دورة

‫المنير‬ ‫في الرياضيات‬ ‫الفصل الدراسي الثاني‬ ‫الوحدة الرابعة والخامسة‬ ‫توجيهي أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫منهاج جديد‬ ‫‪8102‬‬ ‫الأستاذ منير أبو بكر ‪1550505780 -‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الفهرس‬ ‫الفصل الدراسي الثاني‬ ‫الوحدة الرابعة ‪ :‬التكامل وتطبيقاته‬ ‫الفصل الأول ‪ :‬التكامل …………………………………………‪3 ..‬‬ ‫التكامل غير المحدود …………………………………………… ‪3‬‬ ‫التكامل المحدود ……………………………………………… ‪15‬‬ ‫خصائص التكامل المحدود ……………………………………… ‪17‬‬ ‫التكامل بالتعويض …………………………………………… ‪56‬‬ ‫الفصل الثاني ‪ :‬تطبيقات التكامل ………………………………… ‪30‬‬ ‫تطبيقات هندسية …………………………………………… ‪30‬‬ ‫تطبيقات فيزيائية …………………………………………… ‪57‬‬ ‫المساحة …………………………………………………… ‪27‬‬ ‫الفصل الثالث ‪ :‬الاقترانات اللوغاريتمي الطبيعي والأسي الطبيعي وتطبيقاتهما … ‪75‬‬ ‫الاقتران اللوغاريتمي الطبيعي ………………………………… ‪75‬‬ ‫الاقتران الأسي الطبيعي ……………………………………… ‪75‬‬ ‫النمو والاضمحلال ………………………………………… ‪25‬‬ ‫حل أسئلة الوحدة …………………………………………… ‪22‬‬ ‫‪0‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫الوحدة الخامسة ‪ :‬الإحصاء والاحتمالات‬ ‫الفصل الأول ‪ :‬طرائق العد ………………………………………‪06..‬‬ ‫أولاً ‪ :‬مبدأ العد ………………………………………………‪06..‬‬ ‫ثانياً ‪ :‬التباديل …………………………………………………‪196..‬‬ ‫ثالثاً ‪ :‬التوافيق …………………………………………………‪115‬‬ ‫الفصل الثاني ‪ :‬المتغيرات العشوائية المنفصلة والمتصلة ………………‪155‬‬ ‫أولاً ‪ :‬المتغير العشوائي المنفصل وتوزيع ذي الحدين …………………‪152‬‬ ‫ثانياً ‪ :‬العلامة المعيارية ……………………………………… ‪151‬‬ ‫ثالثاً ‪ :‬التوزيع الطبيعي …………………………………………‪129‬‬ ‫الفصل الثالث ‪ :‬الارتباط والانحدار …………………………………‪165‬‬ ‫أولاً ‪ :‬الارتباط ………………………………………………‪165.‬‬ ‫ثانيا ‪ :‬خط الانحدار ……………………………………………‪177‬‬ ‫حل أسئلة الوحدة ……………………………………………‪127‬‬ ‫ملحق ‪ :‬جدول التوزيع الطبيعي المعياري …………………………‪105..‬‬ ‫‪8‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التكامل غير المحدود‬ ‫عملية التكامل هي عملية عكسية للتفاضل ( الاشتقاق) أو هي عملية إعادة الاقتران إلى حالته الاصلية قبل‬ ‫الاشتقاق‬ ‫تعريف التكامل بالرموز ‪  :‬قَ(س)‪x‬س = ق(س) ‪ +‬جـ حيث جـ ثابت التكامل‬ ‫يسمى التكامل غير محدود لأن هناك قيم غير محدودة يمكن أن يأخذها الثابت جـ‬ ‫التكامل والاشتقاق عمليتان متعاكستان أي يلغي أحدهما الاخر أي أن ‪:‬‬ ‫مشتقة )التكامل غير المحدود للاقتران ق(س) ) = ق(س) ومعناها بالرموز ‪:‬‬ ‫ق(س)‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪x‬س‬ ‫ق(س)‬ ‫(‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫صفحة ‪111‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫عندما س =‪2‬‬ ‫‪x‬ص‬ ‫فجد‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪x‬س‬ ‫‪3‬س‬ ‫–‬ ‫(‪4‬س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫‪x‬س‬ ‫باشتقاق الطرفين ‪:‬‬ ‫(‪4( ‬س‪3 – 2‬س )‪x‬س ) = ‪4‬س‪3– 2‬س‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫–‪)2(3‬‬ ‫‪2)2(4‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫عندما‬ ‫‪x‬س‬ ‫صفحة ‪111‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫عندما‬ ‫‪x‬ص‬ ‫فجد‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪4‬س ‪6-‬‬ ‫‪‬‬ ‫ص=‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪6 + 2‬‬ ‫‪3‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪4‬س ‪6-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س)‬ ‫‪4‬س ‪6-‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫باشتقاق الطرفين ‪:‬‬ ‫س‪6 + 2‬‬ ‫س‪6 + 2‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪5-‬‬ ‫=‬ ‫‪6- )6-(4‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫‪،‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫عندما‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪6 + 2)6-‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫قواعد التكامل ‪:‬‬ ‫القاعدة ‪  : 6‬أ ‪x‬س = أس ‪ +‬جـ حيث أ ثابت‬ ‫مثال ‪x 3 ‬س = ‪3‬س ‪ +‬جـ‬ ‫حيث ن ‪6- ‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫سن‪6+‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ن‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫القاعدة‬ ‫ن‪6+‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫مثال‬ ‫‪5‬‬ ‫مراجعة في تجهيز الأسس قبل التكامل حسب القاعدة ‪: 2‬‬ ‫حيث ‪ ‬س ‪x‬س = ‪ ‬س‪x ‬س‬ ‫‪ -‬س = س‪‬‬ ‫حيث ‪ ‬ن‪‬س ‪x‬س = ‪ ‬سن‪x—0‬س‬ ‫‪ -‬ن‪‬س = سن‪—0‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪ ‬س‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫حيث‬ ‫س‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪x‬س = ‪- ‬سن‪x—0‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫حيث‬ ‫‪-‬سن‪—0‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ن‪‬س‬ ‫ن‪‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫ن‬ ‫س‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫حيث‬ ‫ن‬ ‫س‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫سن‬ ‫سن‬ ‫القاعدة ‪  : 3‬جاس ‪x‬س = ‪ -‬جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫حيث جـ ثابت التكامل‬ ‫القاعدة ‪  : 4‬جتاس ‪x‬س = جاس ‪ +‬جـ‬ ‫القاعدة ‪  : 5‬قا‪2‬س ‪x‬س = ظاس ‪ +‬جـ‬ ‫مثال ‪ 3 ( ‬جتاس – ‪2‬قا‪2‬س ‪ +‬جاس )‪x‬س‬ ‫= ‪3‬جاس ‪2-‬ظاس – جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫‪5‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪113‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫جد كلا من التكاملات التالية ‪:‬‬ ‫‪x  -6‬س = س ‪ +‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫حيث س ‪1 ‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫س‪4-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪  -3‬س‪x 5-‬س =‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ +‬جـ = ‪‬س‪ + 2‬جـ‬ ‫س‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪‬‬ ‫صفحة ‪112‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫‪x 2- )6‬س = ‪2-‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪6-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪6-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪2-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )2‬‬ ‫س‬ ‫‪6-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫= قا‪2‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫حيث‬ ‫‪x‬س = ‪ ‬قا‪2‬س‪x‬س = ظاس ‪ +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ )3‬‬ ‫جتا‪2‬س‬ ‫جتا‪2‬س‬ ‫خصائص التكامل ‪:‬‬ ‫‪  -6‬أ ل(س) ‪x‬س = أ ‪ ‬ل(س) ‪x‬س ‪ ،‬حيث أ ثابت‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪‬‬ ‫مثال‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(  -2‬ل(س) ‪ +‬ع(س)) ‪x‬س = ‪ ‬ل(س) ‪x‬س ‪ +‬ع(س) ‪x‬س‬ ‫مثال ‪( ‬س‪ + 2‬جاس) ‪x‬س = ‪ ‬س‪x2‬س ‪  +‬جاس ‪x‬س = ‪ ‬س‪ – 3‬جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫‪(  -3‬ل(س) ‪ -‬ع(س)) ‪x‬س = ‪ ‬ل(س) ‪x‬س ‪  -‬ع(س) ‪x‬س‬ ‫مثال ‪( ‬س‪ - 3‬جتاس) ‪x‬س = ‪ ‬س‪x3‬س ‪ -‬جتاس ‪x‬س = ‪ ‬س‪ – 4‬جاس ‪ +‬جـ‬ ‫مثال ‪2( ‬س ‪7-‬س‪x )1+ 3‬س = ‪2‬س‪x‬س – ‪7 ‬س ‪x‬س ‪x 1  +‬س‬ ‫= س‪  - 2‬س‪1 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪0‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪111‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫س‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬س‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫–‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3(  )6‬س‪- 2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬‬ ‫= س‪62 – 3‬س‪ + ‬جـ = س‪ 62 – 3‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪4(  )2‬س – ‪3‬جاس) ‪x‬س = ‪4‬س ‪x‬س ‪3  -‬جاس ‪x‬س = ‪ 4‬س ‪x‬س ‪  3 -‬جاس‪x‬س‬ ‫‪ -(3 -‬جتاس) ‪ +‬جـ = ‪2‬س‪3+ 2‬جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫صفحة ‪111‬‬ ‫مثال الكتاب ‪4‬‬ ‫‪  : )1‬س(‪2‬س ‪x )6-‬س = ‪2( ‬س‪ – 2‬س) ‪x‬س = ‪‬س‪ - 3‬س‪ + 2‬جـ‬ ‫‪x 5‬س‬ ‫)‪x‬س = ‪ ‬س ‪x‬س ‪ -‬‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪5 - 2‬س‬ ‫‪:‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫‪‬س‬ ‫= ‪‬س‪5 – 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫فكر وناقش ‪:‬‬ ‫‪3 ‬س‪2(2‬س – ‪x )6‬س = ‪1( ‬س‪3 – 3‬س‪x )2‬س =‪  1‬س‪x 3‬س ‪  3 -‬س‪x2‬س‬ ‫‪ +‬جـ = ‪ ‬س‪ - 4‬س‪ + 3‬جـ‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫–‬ ‫س‪4‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫صفحة ‪115‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪4‬‬ ‫‪2(  )6‬س ‪x2)3 +‬س = ‪4( ‬س‪62+ 2‬س ‪x ) 9 +‬س = ‪‬س‪1 + 3‬س‪9 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪x‬س‬ ‫(س‪5 - ‬س‪) ‬‬ ‫‪x‬س = ‪( ‬س‪5 – 2‬س )س‪x -‬س = ‪‬‬ ‫س‪5 - 2‬س‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪3 ‬س‬ ‫‪3 3 -‬س‪ + 5‬جـ‬ ‫‪×5‬س‪ + ‬جـ = ‪3‬س‪8‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬س‪‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬س‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫س‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪،‬س‪3‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪2+ 2‬س ‪65 -‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫‪ ‬س‪3-‬‬ ‫‪x‬س = ‪( ‬س ‪x ) 5 +‬س = ‪‬س‪5 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫(س‪()3-‬س‪)5+‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫س‪3-‬‬ ‫‪6‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪x‬س حيث س ‪4- ‬‬ ‫س‪14 + 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫س‪4+‬‬ ‫‪x‬س = ‪( ‬س‪4 – 2‬س ‪x ) 61 +‬س‬ ‫(س‪()4+‬س‪4 - 2‬س ‪)61 +‬‬ ‫=‪‬‬ ‫س‪4+‬‬ ‫= ‪ ‬س‪ 2 – 3‬س‪61 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫صفحة ‪111‬‬ ‫حل أسئلة الدرس‬ ‫‪ )6‬جد كلا مما يأتي ‪:‬‬ ‫أ) ‪x  ‬س = ‪ ‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪4-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪5-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫ب) ‪‬‬ ‫‪4‬س‪4‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫س‪5‬‬ ‫جـ) ‪ – 2( ‬س‪x )2‬س = ‪2‬س ‪  -‬س‪ + 3‬جـ‬ ‫د) ‪3 ‬س‪x 2‬س = س‪ + 3‬جـ‬ ‫‪x‬س = ‪  -‬س‪ + 1‬جـ = ‪  -‬س‪ + 1‬جـ‬ ‫‪2-‬س‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪‬‬ ‫هـ)‬ ‫س‪5-‬‬ ‫‪ )2‬جد كلا مما ياتي ‪:‬‬ ‫أ) ‪61( ‬س‪ 1 - 2‬س ‪3 +‬قا‪ 2‬س ) ‪x‬س = ‪61( ‬س‪ – 2‬س‪3 + ‬قا‪ 2‬س ) ‪x‬س‬ ‫= ‪ ‬س‪  - 3‬س‪3 + ‬ظاس ‪ +‬جـ‬ ‫ب) ‪ – 2( ‬س)(‪4‬س ‪x )6+‬س = ‪ 8( ‬س ‪4 – 2 +‬س‪ - 2‬س ) ‪x‬س‬ ‫= ‪7( ‬س ‪4-‬س‪x )2 + 2‬س = ‪‬س‪  - 2‬س‪2 + 3‬س ‪ +‬جـ‬ ‫× جتاس‪x‬س = ‪3 ‬جاس‪x‬س = ‪3 -‬جتاس ‪ +‬جـ‬ ‫جاس‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫جتاس‬ ‫‪3‬ظاس‬ ‫‪‬‬ ‫جـ)‬ ‫جتاس‬ ‫حيث س ‪2- ‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪1 + 2‬س ‪8 +‬‬ ‫د) ‪‬‬ ‫س‪2+‬‬ ‫‪( ‬س ‪x )4 +‬س = ‪‬س‪4 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫(س ‪()4 +‬س ‪) 2 +‬‬ ‫=‪‬‬ ‫س‪2+‬‬ ‫‪،‬س‪1‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬س ‪+‬‬ ‫‪ј‬‬ ‫عندما س = ‪ ، 5‬حيث ص =‬ ‫‪x‬ص‬ ‫جد‬ ‫‪)3‬‬ ‫س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪5‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ومنه‬ ‫‪4‬س ‪6 +‬‬ ‫=‬ ‫)‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬س ‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪26‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)5(4‬‬ ‫‪xx‬سصس│==‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪)4‬إذا كان ق اقترانا قابلا للاشتقاق ‪ ،‬وكان قَ(س) = ‪1‬س – ‪ 8‬س‪ ، 5 + 3‬وكان ق(‪، 2 = )6-‬‬ ‫فجد قاعدة الاقتران ق‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪1( ‬س – ‪8‬س‪x ) 5 + 3‬س‬ ‫ق(س) = ‪3‬س‪2 – 2‬س‪5 + 4‬س ‪ +‬جـ‬ ‫ق(‪ + )6-(5 + 4)6-(2 – 2)6-(3 = )6-‬جـ‬ ‫‪ + 5 – 2 – 3 = 2‬جـ ومنه جـ = ‪ 1‬وبالتالي قاعدة الاقتران هي ‪:‬‬ ‫ق(س) = ‪3‬س‪2 – 2‬س‪5 + 4‬س ‪1 +‬‬ ‫‪ )5‬إذا كان ‪َ ‬ع(س) ‪x‬س = ‪1‬س‪3 – 3‬س‪1 + 2‬س – ‪ 5‬فجد َع (‪ )6‬نشتق الطرفين‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫–‬ ‫(‪1‬س‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س)‬ ‫َع(س)‬ ‫‪‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫َع(س) = ‪68‬س‪1 – 2‬س ‪ 1 +‬ومنه َع(‪68 = 1 + )6(1 – 2)6(68 = )6‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان ق اقترانا قابلا للاشتقاق ‪ ،‬وكان َق(س)= ‪2‬س – ‪ ، 5‬وكان ق(‪ ، 4 = )2‬فجد قيمة ق(‪)1‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪2( ‬س – ‪x )5‬س = س‪5 – 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫ق(‪ + )2(5 – 2)2( = )2‬جـ‬ ‫‪ + 61 – 4 = 4‬جـ ومنه جـ = ‪ 61‬وبالتالي قاعدة الاقتران ‪:‬‬ ‫ق(س) = س‪5 – 2‬س ‪ 61 +‬ومنه ق(‪1 = 61 + )6(5 – 2)6( = )6‬‬ ‫‪ )7‬إذا كان ق اقترانا قابلا للاشتقاق ‪ ،‬وكان قَ(س) = ‪3‬س(‪5 – 1‬س) ‪4 +‬س‪3‬‬ ‫وكان ق(‪ ، 6- = )2‬فجد قيمة ق(‪ ، )6‬نكامل الطرفين‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪3( ‬س(‪5 – 1‬س) ‪4 +‬س‪x )3‬س‬ ‫ق(س) = ‪68 ‬س – ‪65‬س‪4 + 2‬س‪x )3‬س = ‪9‬س‪5 – 2‬س‪ + 3‬س‪ + 4‬جـ‬ ‫‪2‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ق(‪ + 4)2( + 3)2(5 – 2)2(9 = )2‬جـ = ‪6-‬‬ ‫‪ + 61 + 41 – 31 = 6-‬جـ ومنه جـ = ‪63-‬‬ ‫ق(س) = ‪9‬س‪5 – 2‬س‪ + 3‬س‪63- 4‬‬ ‫ق(‪8- = 63 – 6 + 5 – 9 = 63- 4)6( + 3)6(5 – 2)6(9 = )6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫صفرا‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫‪،‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬س ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫وكان‬ ‫‪،‬‬ ‫للاشتقاق‬ ‫قابلا‬ ‫اقترانا‬ ‫ق‬ ‫كان‬ ‫إذا‬ ‫‪)8‬‬ ‫س‬ ‫وكان ق(‪ ، 62 = )6‬فجد قاعدة الاقتران ق‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‬ ‫‪8‬س‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫= ‪( ‬سس‪2‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬س ‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫َق(س)‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫ق(س) = ‪(‬س ‪8 + 1 +‬س‪x )2‬س = ‪‬س‪1 + 2‬س ‪  +‬س‪ + 3‬جـ‬ ‫ق(‪ + 3)6(  + )6(1 + 2)6( = )6‬جـ‬ ‫‪67‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫المقامات‬ ‫توحيد‬ ‫بعد‬ ‫ومنه‬ ‫‪ +  + 1 +  = 62‬جـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪76‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )9‬إذا كان ل اقترانا قابلا للاشتقاق ‪ ،‬وكان لَ(س) = ‪1‬س‪1 – 2‬س‪2 – 3‬س ‪ ،‬فجد قيمة‬ ‫ل(‪ – )3‬ل(‪)6‬‬ ‫‪َ ‬ل(س) ‪x‬س = ‪1( ‬س‪1- 2‬س‪2 – 3‬س) ‪x‬س‬ ‫ل(س) = ‪2‬س‪  - 3‬س‪ – 4‬س‪ + 2‬جـ‬ ‫ل(‪ + 2)3( – 4)3(  - 3)3(2 = )3‬جـ = ‪ + 9- 2243- 54‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪243‬‬ ‫ل(‪- 45 = )3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ل(‪ + 2)6( – 4)6(  - 3)6(2 = )6‬جـ = ‪ + 6 -  - 2‬جـ‬ ‫= ‪ + -‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ ‪ -  +‬جـ = ‪71 - = 626 – 45‬‬ ‫‪243‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪45‬‬ ‫=‬ ‫ل(‪)6‬‬ ‫–‬ ‫ل(‪)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫فجد َق (‪ )2‬نشتق الطرفين‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ق(س) = ‪2( ‬س‪x )3 – 2‬س‬ ‫َق (س)= ‪2‬س‪ 3 – 2‬ومنه َق (‪5 = 3 – 2)2(2 = )2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪(  :‬جتاس – ‪x )2‬س = ‪ ‬جتاس ‪x‬س ‪x 2  -‬س = جاس – ‪2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬ق(س)= ‪4( ‬س‪2 + 3‬س) ‪x‬س ‪ ،‬فجد َق (‪ )6‬نشتق الطرفين‬ ‫َق(س) = ‪4‬س‪2 + 3‬س ومنه قَ(‪1 = )6(2 + 3)6(4 = )6‬‬ ‫سؤال إضافي ‪   :‬س‪x 3‬س = ‪ ‬س‪x ‬س = ‪‬س‪ + ‬جـ‬ ‫سؤال إضافي ‪(  :‬قا‪32‬س ‪2 -‬س ‪x ) 62 +‬س = ‪  ‬قا‪2‬س ‪x‬س ‪  2 -‬س ‪x‬س ‪x 62 +‬س‬ ‫= ‪ ‬ظاس – س‪62 + 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫إذا كان ‪َ ( ‬ق(س) ‪3 +‬س‪x )2‬س = س‪  + 3‬س‪ 6 + 2‬وكان َق(‪ 1 =)6‬فجد الثابت ‪‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  3 +‬س‪x 2‬س = س‪  + 3‬س‪6 + 2‬‬ ‫ق(س) ‪ +‬س‪ + 3‬جـ = س‪  + 3‬س‪ 6 + 2‬ومنه‬ ‫ق(س) = ‪ ‬س‪ – 6 + 2‬جـ‬ ‫قَ(س) = ‪ 2‬س ومنه عندما س = ‪ 6‬فإن قَ(‪)6(2 = )6‬‬ ‫‪ 2 = 1‬ومنه ‪3 = ‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج جديد‬ ‫إذا كان ق اقترانا متصلا ‪ ،‬وكان ‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪3‬س‪ 2‬فإن َق(س) تساوي ‪:‬‬ ‫د)‪1‬س‪2‬‬ ‫ج)‪1‬س‬ ‫ب)س‪3‬‬ ‫أ) ‪3‬س‪2‬‬ ‫باشتقاق الطرفين ينتج ‪ :‬قَ(س) = ‪1‬س‬ ‫‪01‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال وزاري ‪ 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا كان ق اقترانا متصلا ‪ ،‬وكان ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = س‪2+3‬س ‪ ،‬فإن قَ(س) تساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪1‬س‬ ‫جـ) ‪1‬س‪2+‬‬ ‫ب) ‪3‬س‪2+2‬س‬ ‫أ)‪3‬س‪2+2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫نشتق الطرفين ق(س) = ‪3‬س‪ 2+2‬حيث الاشتقاق يلغي التكامل‬ ‫ومنه َق(س) = ‪1‬س‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )6‬إذا كان ق(س) = ‪(‬جاس ‪ +‬جتاس) ‪‬س ‪ ،‬فجد َق(س)‬ ‫‪ )2‬جد مايلي ‪1 :‬س‪ 2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫مايلي‬ ‫‪ )3‬جد‬ ‫س‬ ‫‪ )4‬جد ما يلي ‪4( :‬س‪3 + 3‬س‪) 2‬س‬ ‫‪ )5‬جد مايلي ‪3( :‬س‪ 5 +5‬س ‪)7+‬س‬ ‫‪ )1‬جد ما يلي ‪4(  :‬قا‪2‬س ‪4 +‬جاس)‪‬س‬ ‫‪ )7‬إذا كان ق اقترانا قابلا للاشتقاق وكانت َق(س)= ‪3‬س‪4-2‬س ‪ ، 6+‬فجد ق(‪ )6-‬علما بأن ق(‪2 =)3‬‬ ‫‪ )8‬إذا كان ‪َ ‬ق(س) ‪‬س = ‪4‬س‪1- 3‬س‪ ، 2+ 2‬فجد قَ(‪)6‬‬ ‫‪ )9‬جد كلا من التكاملات التالية ‪:‬‬ ‫)‪‬س‬ ‫قا‪2‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫جتاس‬ ‫(‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)8‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬س‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪61(‬س‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪00‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التكامل المحدود‬ ‫التكامل المحدود للاقتران ق على الفترة ]أ ‪ ،‬ب [ هو ‪:‬‬ ‫بب‬ ‫‪ ‬ق(س)‪x‬س = ع(س( = ع(ب) – ع(أ) ‪ ،‬حيث ‪:‬‬ ‫المحدود‬ ‫للتكاملأ‬ ‫السفلي‬ ‫الحد‬ ‫أ‬ ‫أ‬ ‫‪:‬‬ ‫ب ‪ :‬الحد العلوي للتكامل المحدود‬ ‫ب‬ ‫حيث يرمز للمقدار العددي ‪ :‬ع(ب) – ع(أ) بالرمز ع(س)‬ ‫أ‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫صفحة ‪118‬‬ ‫‪22‬‬ ‫جد ‪ 3 ‬س‪x 2‬س = س‪7 = 3)6(–3)2( = 3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫صفحة ‪119‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪3( ‬س‪62- 2‬س ‪x )5 +‬س = (س‪1- 3‬س‪5 + 2‬س)‬ ‫‪22‬‬ ‫= ( ‪1- = )1-(– 12- = ) 11 + 21- 8( – )5-1-1-‬‬ ‫صفحة ‪119‬‬ ‫تدريب كتاب ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪62‬س‪‬‬ ‫س‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬س‬ ‫س‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪62- = 24 – 62 = 4 62 - 6 62‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪=)1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪)6(1‬‬ ‫‪1‬س‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫×‬ ‫‪64‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪(64‬س)‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫تدريب كتاب ‪ 3‬صفحة ‪101‬‬ ‫ب‬ ‫إذا كان ‪1  :‬س ‪x‬س = ‪ 9‬فجد قيمة الثابت ب‬ ‫ب‪1‬‬ ‫= ‪3‬س‪3 = 2‬ب‪ 9 = 2)6(3 – 2‬ومنه ‪3‬ب‪ 9 = 3 - 2‬ومنه ‪3‬ب‪62 = 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ 4 = 2‬ومنه ب = ‪ ، 2‬ب = ‪2-‬‬ ‫‪08‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪101‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫احسب قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫أ) ‪x2- ‬س = ‪2-‬س = ‪61- = 2+ 62- = ))6(2-( – )1(2-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬س‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬س‪= ‬‬ ‫×‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫ب)‬ ‫‪88‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪62‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫×‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫×‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪2)8(3‬‬ ‫‪- 2)6(3‬‬ ‫=‬ ‫‪61‬‬ ‫‪11‬‬ ‫جـ) ‪2( ‬س ‪8 +‬س‪5 – 3‬س‪x )7 + 4‬س = (س‪2 + 2‬س‪ – 4‬س‪7 + 5‬س)‬ ‫‪11‬‬ ‫= ((‪))1(7 + 5)1( – 4)1(2 + 2)1(( – ))1(7 + 5)1( – 4)1(2 + 2)1‬‬ ‫= ‪5611- = 42 + 7771 – 2592 + 31‬‬ ‫‪22‬‬ ‫هـ) ‪3( ‬س‪()2-‬س‪x )6+‬س = ‪3( ‬س‪3+ 2‬س ‪2-‬س ‪x )2-‬س‬ ‫‪2 2-‬‬ ‫‪22-‬‬ ‫= ‪3( ‬س‪ + 2‬س ‪x ) 2-‬س = (س‪  + 3‬س‪2 – 2‬س )‬ ‫‪2- 2-‬‬ ‫= ((‪) )2-(2 – 2)2-(  + 3)2-(( - ) )2(2 – 2)2(  + 3)2‬‬ ‫= (‪8 = 4 – 2 – 8 + 4- 2 + 8 = ) 4 + 2+ 8-( -) 4- 2+ 8‬‬ ‫م‬ ‫‪ )2‬إذا كان ‪x 4 ‬س = ‪ ، 21‬فجد قيمة الثابت م‬ ‫م ‪1-‬‬ ‫‪4‬س = ‪ 21‬ومنه ‪(4‬م ) – ‪ 21 = )6-(4‬ومنه ‪4‬م ‪21=4+‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪4‬م = ‪ 61‬ومنه م = ‪4‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان الاقتران ق معرفا على الفترة ]‪ ، [ 5 ، 6‬وكان َق(س) = ‪2‬س ‪ ، 6 +‬فجد قيمة ق(‪ – )5‬ق(‪)6‬‬ ‫‪55‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س= ‪2( ‬س ‪x )6 +‬س‬ ‫‪51‬‬ ‫‪51‬‬ ‫ق(س) = ( س‪ + 2‬س)‬ ‫‪28‬‬ ‫=‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2)6‬‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫‪)5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2)15‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫ق(‪)6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(‪)5‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )4‬احسب قيمة التكامل الآتي ‪4(  :‬س – ‪1‬س‪x )3 + 2‬س =‬ ‫‪2‬‬ ‫‪03‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪2‬‬ ‫(‪2‬س‪3 – 2‬س‪3 + 3‬س ) = (‪ = ))2(3 + 3)2(3 – 2)2(2( - ))2(3 + 3)2(3 – 2)2(2‬صفر‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )5‬احسب قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫‪2 22‬‬ ‫أ) ‪3 ‬س(‪2-4‬س‪x )2‬س = ‪62( ‬س – ‪1‬س‪x )3‬س = (‪1‬س‪- 2‬س‪) 4‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫= (‪ - =  + 1- 24 – 24 = )4)6(- 2)6(1(- )4)2(- 2)2(1‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫ب)‪2( ‬س – ‪x 2)3‬س = ‪4( ‬س‪62- 2‬س ‪x ) 9 +‬س‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= (‪ ‬س‪1 – 3‬س‪9 + 2‬س )‬ ‫‪1‬‬ ‫= (‪) )6(9 + 2)6(1 – 3)6( (-) )6-(9 + 2)6-(1 – 3)6-( ‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪68‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪9-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪9-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪(2-‬س‪()7+‬س‪)6-‬‬ ‫‪x‬س =‬ ‫‪7‬‬ ‫‪1+‬س ‪-‬‬ ‫‪2-‬س‪2‬‬ ‫جـ)‬ ‫‪ ‬س‪6-‬‬ ‫س‪6-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2- 1‬‬ ‫‪21-‬‬ ‫= ‪( ‬س ‪x )7 +‬س = (‪ ‬س‪7 + 2‬س )‬ ‫‪11‬‬ ‫= (‪) )1(7 + 2)1( ( - ) )2-(7 + 2)2-( ‬‬ ‫= ‪62- = 64 – 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )1‬إذا كان ‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ ، 63‬وكان ق(‪ ، 67- = )5‬فجد قيمة ق(‪)2‬‬ ‫‪52‬‬ ‫ق(س) = ‪63‬‬ ‫ق(‪ 5– )2‬ق(‪ 63 = )5‬ومنه ق(‪ 63 = )67-( – )2‬ومنه ق(‪63 = 67 + )2‬‬ ‫ق(‪4 - = 67- 63 = )2‬‬ ‫ملاحظة هامة ‪:‬‬ ‫مشتقة التكامل المحدود تساوي صفر لأن التكامل المحدود قيمة ثابتة‬ ‫‪‬ص‬ ‫أوجد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫مثال ‪ :‬إذا كان ص = ‪2( ‬س‪) 3- 2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫لأن التكامل المحدود قيمة ثابتة مشتقته صفر‬ ‫= صفر‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪:‬‬ ‫الحل‬ ‫‪‬س‬ ‫‪05‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا علمت أن ق(‪ ، 61 = )6‬ق(‪ ، 1 = )3‬فجد ‪َ ‬ق(س) ‪x‬س‬ ‫‪1 33‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ق(س) = ق(‪ – )3‬ق(‪4- = 61 - 1 = )6‬‬ ‫جـ ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ‪2( ‬س ‪x )3 +‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة جـ‬ ‫جـ ‪1‬‬ ‫(س‪3 + 2‬س ) = ‪ 1‬ومنه ((جـ)‪(3 + 2‬جـ) ) ‪))6(3 + 2)6(( -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ‪3 + 2‬جـ ‪ 1 = 4 -‬ومنه جـ‪3+ 2‬جـ ‪1= 1 – 4-‬‬ ‫جـ‪3 + 2‬جـ ‪ 1 = 61-‬ومنه (جـ ‪ ( )5+‬جـ ‪1 = )2 -‬‬ ‫جـ ‪ 1= 5 +‬ومنه جـ = ‪ ، 5-‬جـ ‪ 1 = 2 -‬ومنه جـ = ‪2‬‬ ‫‪33‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬إذا علمت أن ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ ، 5‬فجد ‪( ‬ق(س) – ‪x ) 2‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( ‬ق(س) – ‪x ) 2‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س – ‪x2 ‬س = ‪2( – 5‬س)‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪6- = 1 – 5 = )1×2 – 3×2( – 5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬أوجد تكامل ‪ (  :‬س ‪ +‬س ) ‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪ ( ‬س ‪ +‬س ) ‪x‬س = ‪ ( ‬س‪ + ‬س ) ‪x‬س = (‪ ‬س‪  + ‬س‪) 2‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= (‪‬س‪  + 3‬س‪ =  +  = ) 2)1(  + 3)1(( - )2)6(  + 3)6(( = ) 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ق(‪ ، 5 = )2‬ق(‪ 2 = )6‬فإن قيمة ‪َ ‬ق(س‪x )6+‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪َ ‬ق(س‪x )6+‬س = ق(س‪ = )6+‬ق(‪ – )6+6‬ق(‪ =)6+1‬ق(‪3 = 2 – 5 = )6( – )2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة‬ ‫‪ 2‬ق(س)‬ ‫‪ :‬إذا كان ‪:‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3( ‬س‪ 3 + 2‬ق(س)) ‪x‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬س = ‪ 1‬ومنه نضرب الطرفين بـ ‪ 2‬ومنه‬ ‫ق(س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪62‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪00‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3( ‬س‪3 + 2‬ق(س)) ‪x‬س = ‪  3‬س‪x2‬س ‪  3 +‬ق(س)) ‪x‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= س‪44 = 31 + 3)1( – 3)2( = 62 × 3 + 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ق(س) متصلا وكان ق(‪ ، 4 =)6‬ق(‪62 = )2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪َ  ‬ق(س) ‪x‬س = ‪  ، 61‬ثابت ‪ ،‬فجد قيمة ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ق(س) = ‪61‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(‬ق(‪ – )2‬ق(‪ 61 = ) )6‬ومنه ‪ 61 = ) 4 – 62(‬ومنه ‪ 61 = 8‬ومنه ‪2 = ‬‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )6‬جد كلا من التكاملات التالية ‪:‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  -‬س‪ 2‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪   -‬س ‪‬س‬ ‫‪ ،‬فما قيمة ب ؟‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‬ ‫‪ )2‬إذا كان ‪ 8 ‬س = ‪24‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان ق(‪ ، 65 = )3-‬ق(‪ ، 8- = )6-‬فجد ‪َ ‬ق(س) ‪‬س‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪ ،‬فما قيمة جـ ؟‬ ‫جـ‬ ‫‪ )4‬إذا كان ‪3‬س‪ 2‬س = ‪35 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ )5‬إذا كان الاقتران ق معرفا على الفترة ]‪ ، [ 3 ، 2-‬وكان قَ(س) = ‪1‬س ‪ ،‬فجد قيمة‬ ‫ق(‪ – )3‬ق(‪)2-‬‬ ‫‪06‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫خصائص التكامل المحدود‬ ‫بب‬ ‫‪  )6‬ل ق(س) ‪x‬س = ل ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪ ،‬حيث ل ثابت‬ ‫أب ب‬ ‫أب‬ ‫‪(  )2‬ق(س) ‪ +‬ع(س)) ‪x‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  +‬ع(س) ‪x‬س‬ ‫أأ‬ ‫أ‬ ‫بب‬ ‫ب‬ ‫‪(  )3‬ق(س) ‪ -‬ع(س)) ‪x‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  -‬ع(س) ‪x‬س‬ ‫أأ‬ ‫أ‬ ‫صفحة ‪102‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫إذا كان ‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪  ، 1‬هـ(س)‪x‬س = ‪ 2-‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3(  )2‬هـ(س)‪1-‬ق(س)‪x )4+‬س‬ ‫‪2  )6‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2  )6‬ق(س)‪x‬س = ‪  2‬ق(س)‪x‬س = ‪62 = 1 × 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3(  )2‬هـ(س)‪1-‬ق(س)‪x )4+‬س = ‪ 3‬هـ(س) ‪x‬س ‪  1-‬ق(س) ‪x‬س ‪x  4+‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪4 + 1×1 – 2-×3‬س = ‪34- = 8+ 42-= )6×4-3×4(+ 31- 1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫صفحة ‪103‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫إذا كان ‪2 ‬ل(س)‪x‬س = ‪  ، 2-‬ع(س)‪x‬س = ‪ ، 5‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪5‬ع(س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2(  )2‬ع(س) – ‪ 3‬ل(س) – ‪2‬س)‪x‬س‬ ‫‪ )6‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬ع(س) ‪x‬س = ‪= 5 × ‬‬ ‫‪1- 2‬‬ ‫‪2(  )2‬ع(س) – ‪ 3‬ل(س) – ‪2‬س)‪x‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2 2 22‬‬ ‫= ‪  2‬ع(س)‪x‬س ‪ 3-‬ل(س)‪x‬س ‪  2-‬س ‪x‬س ولكن ‪ ‬ل(س)‪x‬س = ‪6 -‬‬ ‫‪1- 1- 2 1- 1-‬‬ ‫= ‪ – 6-×3 – 5 × 2‬س‪61 = 3- 63 = )2)6-( – 2)2(( – 3 + 61 = 2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪05‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫خصائص أخرى للتكامل المحدود‬ ‫أ‬ ‫‪  - 6‬ق(س)‪x‬س = صفرا‬ ‫أ‪2‬‬ ‫مثال ‪ ‬ق(س)‪x‬س = صفرا‬ ‫ب‪ 2‬أ‬ ‫‪  -2‬ق(س) ‪x‬س = ‪  -‬ق(س)‪x‬س‬ ‫ب‪1‬‬ ‫أ‪3‬‬ ‫مثال ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪  -‬ق(س)‪x‬س‬ ‫جـ ‪ 3‬جـ‬ ‫ب‪1‬‬ ‫‪  -3‬ق(س)‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س = ‪ ‬ق(س)‪x‬س‬ ‫أ بأ‬ ‫تدريب الكتاب ‪ 2‬صفحة ‪105‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪  ،‬ق(س)‪x‬س = ‪ ، 4‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫إذا كان ‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪  )2‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪2  )6‬ق(س)‪x‬س)‬ ‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ق(س)‬ ‫‪ )6‬‬ ‫ومنه ‪  ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 5‬نضرب الطرفين بـ ‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1- 2‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 65‬ومنه ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 65-‬نضرب الطرفين بـ ‪2‬‬ ‫‪2 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2 ‬ق(س) ‪x‬س = ‪31-‬‬ ‫‪2 1-‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪  )2‬ق(س)‪x‬س = ‪ ‬ق(س)‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س = ‪66 = 65 + 4-‬‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫صفحة ‪105‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫‪55‬‬ ‫إذا كان ‪3( ‬ق(س) – ‪x )4‬س = ‪ ، 68‬فجد قيمة التكامل الآتي ‪  :‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪3( ‬ق(س) – ‪x )4‬س = ‪ 68‬ومنه ‪  3‬ق(س) ‪x‬س ‪x 4-‬س = ‪68‬‬ ‫‪2 52‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪ 3‬ق(س) ‪x‬س – ‪4‬س = ‪ 68‬ومنه ‪ 3‬ق(س) ‪x‬س – (‪68 = )2×4 – 5×4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ 3‬ق(س) ‪x‬س – ‪ 68 = 62‬ومنه ‪  3‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 31‬ومنه‬ ‫‪22‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪61‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪02‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪101‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫ب‬ ‫إذا كان ‪2( ‬س – ‪x )6‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة الثابت ب‬ ‫بما أن قيمة التكامل المحدود تساوي صفر ‪ ،‬وقاعدة الاقتران معلومة فإن ‪:‬‬ ‫ب‪1‬‬ ‫‪2( ‬س – ‪x )6‬س = ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‬ ‫(س‪ – 2‬س ) = ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(ب‪ – 2‬ب) – ((‪1 = ) 6 – 2)6‬‬ ‫ب‪ -2‬ب = ‪ 1‬ومنه ب(ب – ‪ 1 = )6‬ومنه ب = ‪ ، 1‬ب‪ 1= 6-‬ومنه ب = ‪6‬‬ ‫صفحة ‪101‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪4‬‬ ‫‪0-‬‬ ‫‪ )6‬إذا كان ‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة الثابت م‬ ‫م‪1+3‬‬ ‫بما أن قيمة التكامل المحدود تساوي صفرا ‪ ،‬وقاعدة الاقتران غير معلومة ‪ ،‬فإن ‪:‬‬ ‫الحد العلوي للتكامل = الحد السفلي للتكامل‬ ‫م‪ 7- = 6+3‬ومنه م‪ 8- = 3‬أي م = ‪2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )2‬إذا كان ‪2( ‬س – ‪x)3‬س = ‪ 1‬فجد قيمة للثابت ن‬ ‫ن‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2( ‬س – ‪x)3‬س = (س‪3 – 2‬س )‬ ‫نن‬ ‫‪(( - ) )6(3 – 2)6(( = 1‬ن)‪(3 – 2‬ن) )‬ ‫‪ – 2- = 1‬ن‪3 + 2‬ن نضرب الطرفين بـ ‪1-‬‬ ‫ن‪3- 2‬ن ‪ 1 = 2 +‬ومنه (ن‪()2-‬ن‪1= )6-‬‬ ‫‪ E‬ن = ‪ 2‬أو ن = ‪6‬‬ ‫‪07‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪100‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪51‬‬ ‫‪ )6‬إذا كان ‪2 ‬ق(س) ‪x‬س = ‪  ، 62‬ق(س)‪x‬س = ‪ 4‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫أ) ‪ 3 ‬ق(س) ‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪21‬ق( ‪1‬س) ‪x‬س = ‪62‬‬ ‫نقسم الطرفين على ‪2‬‬ ‫ومنه ‪ 2‬ق(س) ‪x‬س = ‪62‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 1‬ومنه ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 1-‬نضرب الطرفين بـ ‪: 3‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪ 3 ‬ق(س) ‪x‬س = ‪68-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪111‬‬ ‫ب)‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪ ‬ق(س)‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪1 55‬‬ ‫= ‪61- = )1-( + 4-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ‪( ‬ق(س) ‪2 +‬س)‪x‬س = ‪ ‬ق(س)‪x‬س ‪  2 +‬س‪x‬س‬ ‫‪5 5 15‬‬ ‫= ‪ + 4-‬س‪63- = ) 25 – 61( + 4-= )2)5( – 2)4( (+ 4- = 2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪x‬س = ‪3‬‬ ‫ل(س)‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬إذا كان‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(  ،‬هـ(س)‪x )6+‬س = ‪ ، 5‬فجد قيمة كل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2 1- 1-‬‬ ‫أ) ‪ ‬هـ(س)‪x‬س‬ ‫‪2 1-‬‬ ‫‪( ‬هـ(س)‪x )6+‬س = ‪5‬‬ ‫‪1- 1- 1- 1-2‬‬ ‫‪ ‬هـ(س)‪x‬س ‪x  +‬س = ‪ 5‬ومنه ‪ ‬هـ(س)‪x‬س ‪ +‬س = ‪5‬‬ ‫‪2 1- 2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪ ‬هـ(س)‪x‬س ‪ 5 = ) 2 – 6-( +‬ومنه ‪ ‬هـ(س)‪x‬س – ‪5 = 3‬‬ ‫‪2 1-2‬‬ ‫‪ ‬هـ(س)‪x‬س = ‪8‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب) ‪3( ‬هـ(س)‪2-‬س‪3+‬ل(س)) ‪x‬س = ‪ 3‬هـ(س)‪x‬س ‪ 2-‬س ‪x‬س ‪ 3+‬ل(س)‪x‬س‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1- 2 1-‬‬ ‫ولكن ‪ ‬ل(س)‪x‬س = ‪ 1‬من الفرض‬ ‫‪2 1-‬‬ ‫= ‪ – 8-×3‬س‪ 5 = 1×3 + 2‬ومنه ‪5 = 68 + )2)6-( – 2)2((– 24-‬‬ ‫‪9- = 3- 1- =1-) 6- 4 ( – 1-‬‬ ‫‪81‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ ،‬فجد قيمة الثابت أ‬ ‫‪5‬أ ‪0+‬‬ ‫‪)3‬إذا كان ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪1‬‬ ‫أ ‪1-‬‬ ‫بما أن قيمة التكامل المحدود تساوي صفرا وقاعدة الاقتران غير معلومة فإن ‪:‬‬ ‫‪5‬أ ‪ = 7 +‬أ – ‪ 6‬ومنه ‪5‬أ – أ = ‪ 7 – 6-‬ومنه ‪4‬أ = ‪ 8-‬ومنه أ = ‪2-‬‬ ‫م‬ ‫‪ )4‬إذا كان ‪4 – 2( ‬س) ‪x‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة الثابت م‬ ‫‪3‬م‬ ‫(‪2‬س – ‪2‬س‪ 1 = )2‬بما أن قيمة التكامل المحدود تساوي صفرا وقاعدة الاقتران معلومة فإن ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪2‬م – ‪(2‬م)‪1 = )2)3(2 – )3(2( - )2‬‬ ‫‪2‬م – ‪2‬م‪ 1 = 68 + 1- 2‬ومنه ‪2‬م – ‪2‬م‪ 1= 62 + 2‬نقسم على ‪2-‬‬ ‫م‪ – 2‬م ‪ 1 = 1 -‬ومنه ( م – ‪()3‬م ‪ 1 = )2 +‬إما م = ‪ 3‬أو م = ‪2-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ )5‬إذا كان ‪3( ‬ق(س) – ‪x )5‬س = ‪ ، 9‬فجد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2( ‬ق(س) ‪x )6 +‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3( ‬ق(س) – ‪x )5‬س = ‪ 9‬ومنه ‪  3‬ق(س)‪x‬س ‪x 5-‬س = ‪9‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 3‬ق(س)‪x‬س ‪5-‬س = ‪9‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪ 3‬ق(س)‪x‬س – ( ‪9 = )4× 5 – 6×5‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪  3‬ق(س)‪x‬س ‪ 9 = 65+‬ومنه ‪  3‬ق(س)‪x‬س = ‪ 1-‬نقسم الطرفين على ‪3‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪ 2-‬نعوض في التكامل المطلوب حسابه‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2( ‬ق(س) ‪x )6 +‬س = ‪  2‬ق(س)‪x‬س ‪x  +‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪ + 2 × 2‬س = ‪7 = 3+ 4 = ) 6 – 4 (+ 4-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ل‬ ‫‪)1‬إذا كان ‪2( ‬س – ‪x )6‬س = ‪ ، 1‬فجد قيمة الثابت ل‬ ‫‪1‬ل‬ ‫(س‪ – 2‬س) = ‪ 1‬ومنه ( (ل)‪ – 2‬ل)‪1 = ) 1 – 2)1((-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ل‪ – 2‬ل =‪ 1‬ومن ل‪ – 2‬ل ‪ 1= 1-‬ومنه (ل‪()3-‬ل‪ 1= )2+‬أي إما ل= ‪ 3‬أ و ل = ‪2-‬‬ ‫‪80‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪32‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا علمت أن ‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪1  ، 4‬ق(س)‪x‬س = ‪، 62‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫فجد قيمة ‪ ‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪1 32‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪ 1‬ق(س)‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س‬ ‫‪2 33‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫ولكن ‪1 ‬ق(س)‪x‬س =‪ 62‬ومنه ‪ 1‬ق(س)‪x‬س = ‪ 62‬نقسم على ‪ 2‬أي ‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪1- = 4- + 2-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ‪ ‬ق(س) ‪‬س =‪  ، 1‬ق(س) ‪‬س = ‪ ، 2-‬فجد ‪( ‬ق(س) ‪ )5+‬س‬ ‫‪3 1-‬‬ ‫‪3 33‬‬ ‫‪3 1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( ‬ق(س) ‪ )5+‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪x 5+‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪5 +‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1- 3‬‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫= ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  +‬ق(س) ‪x‬س ‪28 = 5+65+ 2+1 = )6-(5 – )3(5 +‬‬ ‫‪1 1-‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أوجد قيمة التكامل ‪3(  :‬س‪2 – 2‬س ‪x)5+‬س‬ ‫‪22‬‬ ‫‪3( ‬س‪2 – 2‬س ‪x)5+‬س = ‪ 1‬حسب خصائص التكامل فإن مشتقة التكامل المحدود تساوي صفر‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ‪x7 ‬س = ‪ ، 26‬فجد قيمة ‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫(‪7‬س ) = ‪ 26‬ومنه ( ‪26= )1×7- ×7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 26 = 7‬نقسم الطرفين على ‪7‬‬ ‫‪3=‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ق(‪ ، 5 = )2‬ق(‪ ، 2=)6‬فجد قيمة ‪ ‬قَ(س‪x)6+‬س‬ ‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬قَ(س‪x)6+‬س = ق(س‪ = )6+‬ق(‪ – )6+6‬ق(‪ = )6+1‬ق(‪ – )2‬ق(‪3 = 2 – 5 = )6‬‬ ‫‪11‬‬ ‫(ق(س)‪x )7 -‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫فجد‬ ‫‪5‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ق(س)‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ :‬إذا كان‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪62‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪99‬‬ ‫‪93‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪( ‬ق(س)‪x )7 -‬س = ‪ ‬ق(س)‪x‬س ‪x7  -‬س‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪88‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫… (‪)6‬‬ ‫‪9 95‬‬ ‫= ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س – ‪7‬س‬ ‫نعوض في (‪)6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ق(س)‬ ‫‪3‬‬ ‫ولكن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪8‬‬ ‫بـ ‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪33‬‬ ‫= ‪38 = 42+ 4- = )3×7 – 9×7 ( + 62- 8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬أوجد ‪  ‬س ‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫س‪‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪ ‬س‪‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫= (‪ = )1( -)6(‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ :‬إذا كان ق(‪ ، 4=)6‬ق(‪   ، 62 =)2‬قَ(س) ‪x‬س = ‪61‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬ثابت ‪ ،‬فجد قيمة ‪، ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪  ‬قَ(س) ‪x‬س = ‪61‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪ ‬ق(س) = ‪ 61‬ومنه ‪ ‬ق(‪  - )2‬ق(‪61 = )6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 61 = 4 × - 62×‬ومنه ‪ 61 = 8‬ومنه ‪2 = ‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫‪5 00‬‬ ‫إذا كان ‪4 ‬ق(س)‪x‬س = ‪  ، 8‬ق(س)‪x‬س = ‪ 9-‬فجد ‪(3( ‬ق(س) ‪ -‬س‪x ) 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪51‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ق(س)‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫(‪(3‬ق(س) ‪ -‬س‪x ) 2‬س =‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1 5 1 5 01‬‬ ‫= ‪ (3‬ق(س)‪x‬س ‪  +‬ق(س)‪x‬س ) ‪  -‬س‪3‬‬ ‫‪1 01‬‬ ‫‪00‬‬ ‫ولكن ‪4‬ق(س)‪x‬س = ‪ 8‬نقسم الطرفين على ‪ 1‬ومنه ‪ ‬ق(س)‪x‬س = ‪2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪29- = 12 – 33 = ) 62- 6225(– 33 = ) 3)6(  - 3)5( (- )9 + 2(3‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ،‬فإن ‪3 ‬ق(س) ‪x‬س يساوي ‪:‬‬ ‫‪  ،‬ق(س) ‪x‬س= ‪62‬‬ ‫إذا كان ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪3-‬‬ ‫د) ‪68‬‬ ‫ج) ‪68-‬‬ ‫ب) ‪1-‬‬ ‫أ) ‪1‬‬ ‫‪83‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪2 3- 2‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  +‬ق(س) ‪x‬س = ‪1 = 62+ 1-‬‬ ‫‪3- 1 21‬‬ ‫‪3 ‬ق(س) ‪x‬س = ‪68 = 1 × 3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪1‬‬ ‫‪،‬‬ ‫=‪5‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1-‬هـ(س)‬ ‫‪،‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا كان‬ ‫‪2‬‬ ‫فجد ‪2( ‬ل(س) ‪2 +‬س ‪+‬هـ(س))‪x‬س‬ ‫‪ ‬ل(س)‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪11-‬‬ ‫فجد ‪ 2‬ل(س) ‪x‬س ‪ +‬س‪+ 2‬هـ(س) ‪x‬س =‬ ‫‪1- 1- 1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪61-‬‬ ‫=‬ ‫(س)‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫ومنه‬ ‫‪61‬‬ ‫=‬ ‫(س)‪x‬س‬ ‫=‪ 5‬ومنه ‪ ‬هـ‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1-‬هـ(س)‬ ‫ولكن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ ‬هـ‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ 2‬ل(س) ‪x‬س ‪+ )6 – 61( +‬هـ(س) ‪x‬س = ‪66 = 61- 65 + 3×2‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪2- 1‬‬ ‫إذا كان ‪2 ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ ، 1‬فإن ‪ ‬ق(س) ‪x‬س تساوي ‪:‬‬ ‫‪1 2-‬‬ ‫د) ‪1‬‬ ‫ج) ‪1-‬‬ ‫ب) ‪3‬‬ ‫أ) ‪3-‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪31‬‬ ‫‪1‬‬ ‫إذا كان ‪( ‬ق(س)‪x )2+‬س = ‪ ، 8‬فإن ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ 65‬فجد ‪  :‬ق(س) ‪x‬س‬ ‫‪1 1 31‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪( ‬ق(س)‪x )2+‬س = ‪ 8‬ومنه ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪x 2 +‬س = ‪8‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪2 +‬س = ‪8‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪ 8 = )6×2 – 1×2( +‬ومنه ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪8 = 61 +‬‬ ‫‪1 11‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪2-‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪31‬‬ ‫‪ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪ ‬ق(س) ‪x‬س ‪  +‬ق(س) ‪x‬س = ‪67- = 65- 2-‬‬ ‫‪11 1‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫‪2‬‬ ‫قيمة ‪x 4 ‬س يساوي ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫د) ‪61-‬‬ ‫ج) صفر‬ ‫ب) ‪24-‬‬ ‫ب) ‪24‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪x 4 ‬س = ‪4‬س = ‪24- = 8×4 – 2×4‬‬ ‫‪88‬‬ ‫‪85‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪3‬‬ ‫‪22‬‬ ‫فجد ‪ ‬ق(س) ‪‬س‬ ‫‪ )6‬إذا كان ‪ ‬ق(س)‪‬س = ‪  ، 61‬ق(س)‪‬س = ‪، 8-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪3 1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5 )2‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان ‪2 ‬ق(س) ‪‬س = ‪62‬‬ ‫‪ ،‬فجد ‪ ‬ق(س)‪‬س‬ ‫‪53‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫جـ‬ ‫‪ )5‬إذا كان ‪2 ‬س ‪‬س = ‪ ، 1‬فجد قيم الثابت جـ ؟‬ ‫‪3-‬‬ ‫ب‬ ‫‪ )1‬إذا كان ‪2(‬س – ‪)4‬س = ‪ ، 65‬فجد قيمة الثابت ب ؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ )7‬إذا كان ‪2( ‬ق(س) – ‪ ، 8 = )6‬فجد ‪ ‬ق(س) ‪‬س‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ ،‬فإن قيمة ‪ ‬ق(س) ‪‬س تساوي ‪:‬‬ ‫‪ )8‬إذا كان ‪2 ‬ق(س) ‪‬س = ‪61‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫د) ‪5-‬‬ ‫ج) ‪61‬‬ ‫ب) ‪5‬‬ ‫أ) ‪61-‬‬ ‫‪ ،‬فجد‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫ع(س)‪‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫‪5‬‬ ‫إذا كان‬ ‫‪)9‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬ق(س)‬ ‫‪5 2-‬‬ ‫‪3( 5‬ق(س) ‪ +‬ع(س) – س) ‪‬س‬ ‫‪2-‬‬ ‫جـ‬ ‫‪)61‬‬ ‫إذا كان ‪ 3 ‬س = ‪ ، 1-‬فإن قيمة الثابت جـ تساوي ‪:‬‬ ‫د) ‪6‬‬ ‫جـ)‪6-‬‬ ‫ب) ‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫أ) ‪3-‬‬ ‫‪80‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫التكامل بالتعويض‬ ‫تستخدم هذه الطريقة عند وجود عملية ضرب داخل التكامل يصعب تبسيطها ‪ ،‬وهي تقوم على عملية التعويض أي كتابة‬ ‫التكامل بدلالة متغير آخر وبشكل يسهل إجراء عملية التكامل لها وسنشرح ذلك من خلال الأمثلة‬ ‫صفحة ‪108‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫‪3 ‬س‪(2‬س‪x 2)5 + 3‬س‬ ‫الخطوة الأولى ‪ :‬بما أن ما خارج القوس يساوي مشتقة ما داخل القوس لذلك نفرض ما داخل القوس = ص أي ‪:‬‬ ‫ص = س‪5 + 3‬‬ ‫الخطوة الثانية ‪ :‬نشتق ص كما يلي ‪:‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه نوجد ‪‬س كما يلي ‪‬س =‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫الخطوة الثالثة نعوض في التكامل ونختصرثم نجري عملية التكامل ‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫ص‪2‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪2‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2)5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬س‪(2‬س‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫الخطوة الرابعة ‪ :‬نعيد كتابة التكامل بدلالة س ‪:‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(س‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2)5‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬س‪(2‬س‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صفحة ‪109‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪3(26  :‬س‪4+2‬س)(س‪2+3‬س‪x 7)2‬س‬ ‫‪4+‬س‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫نفرض ص = (س‪2+3‬س‪)2‬‬ ‫بما أن أحد القوسين يساوي مشتقة القوس الآخر‬ ‫‪‬س‬ ‫نعوض في التكامل‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪‬س =‬ ‫‪3‬س‪4+ 2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3(26 ‬س‪4+2‬س)(س‪2+3‬س‪x 7)2‬س = ‪3(26 ‬س‪4+2‬س)ص‪7‬‬ ‫‪3‬س‪4+ 2‬س‬ ‫‪86‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫ص‪8‬‬ ‫=‪×26‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪7‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫(س‪2+3‬س‪ + 8)2‬جـ‬ ‫‪62‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3(26‬س‪4+2‬س)(س‪2+3‬س‪7)2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫صفحة ‪109‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قيمة التكامل التالي ‪:‬‬ ‫‪2(  )6‬س‪ )6+‬س ‪ +2‬س ‪ 5+‬س‬ ‫بما أن ما داخل القوس هو مشتقة ما تحت الجذر لذلك نفرض ص = س‪ +2‬س ‪5+‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫= ‪2‬س ‪ 6 +‬ومنه ‪‬س =‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س ‪6+‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س = ‪2( ‬س‪  )6+‬ص‬ ‫‪2( ‬س‪ )6+‬س ‪ +2‬س ‪5+‬‬ ‫‪2‬س ‪6+‬‬ ‫= ‪  ‬ص ‪x‬ص = ‪‬ص‪x ‬ص = ‪‬ص‪ + ‬جـ‬ ‫= ‪ ‬ص‪ + 3‬جـ =‪(‬س‪+2‬س‪ + 3)5+‬جـ‬ ‫‪1  )2‬جتا(‪2‬س‪x)6-‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪x‬س=‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫نفرض ص = ‪2‬س – ‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪1 ‬جتا(‪2‬س‪x)6-‬س =‪1 ‬جتاص‪2 ‬ص = ‪3 ‬جتاص‪x‬ص = ‪3‬جاص ‪ +‬جـ‬ ‫‪1 ‬جتا(‪2‬س‪x)6-‬س = ‪3‬جا(‪2‬س‪x)6-‬س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪ )3‬‬ ‫‪3‬س‪+ 2‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫نفرض ص = س‪6 + 2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪31‬س ‪‬ص‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬ص ‪2‬س‬ ‫س‪+ 2‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪x‬ص = ‪3 ‬ص‪x-‬ص = ‪×3‬ص‪ + ‬جـ =‪3 ‬ص‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬ص‬ ‫‪85‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(3‬س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫س‪+ 2‬‬ ‫صفحة ‪182‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪3‬‬ ‫‪)6‬جد قيمة التكامل الآتية ‪:‬‬ ‫‪3 )6‬س(س‪x 5-)6+2‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪5-‬‬ ‫‪3‬س‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3‬س(س‪5-)6+2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪x‬ص = ‪ -‬ص‪ + 4-‬جـ‬ ‫ص‪4-‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫‪‬ص‪5-‬‬ ‫=‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪3 ‬س(س‪x 5-)6+2‬س = ‪ (-‬س‪ + 4-)6 + 2‬جـ‬ ‫‪2 )2‬س قا‪ -6(2‬س‪x )2‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2-‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2-‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫قا‪2‬ص‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪)2‬‬ ‫قا‪-6(2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪2-‬س‬ ‫= ‪ -‬قا‪ 2‬ص ‪x‬ص = ‪ -‬ظاص ‪ +‬جـ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬س قا‪ -6(2‬س‪x )2‬س = ‪ -‬ظا(‪ – 6‬س‪ + )2‬جـ‬ ‫‪82‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪4(  )3‬س‪ 3)6-‬س‪2-‬س‪ 6-2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫=‪4 – 6‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫نفرض ص= س ‪2 -‬س‪ 6- 2‬ومنه‬ ‫‪4 -‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪0-‬‬ ‫‪4( ‬س‪ 3 )6-‬س‪2-‬س‪6-2‬‬ ‫‪4 - 6‬س‬ ‫‪‬س = ‪4( ‬س‪ 3 )6-‬ص‬ ‫‪3-‬ص ‪x‬ص = ‪(-‬ص)‪x ‬ص = ‪-‬ص‪ + ‬جـ‬ ‫= ‪3  -‬ص‪ + 4‬جـ = ‪(3  -‬س‪2-‬س‪ + 4)6-2‬جـ‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪‬س = ‪(3  -‬س‪2-‬س‪4)6-2‬‬ ‫‪4( ‬س‪ 3)6-‬س ‪2 -‬س‪6- 2‬‬ ‫‪11‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫= ‪) 613 - 2513(  - = 4)6-2)6(2-6(3 -4)6-2)6-(2-6-(3( -‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫(س‪-)6+‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫‪5‬س ‪6 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪‬س‬ ‫‪( ‬س‪x -)6+‬س = ‪ ‬ص‪x-‬ص = ‪‬ص‪ + ‬جـ = ‪5 ‬ص‪ + 4‬جـ‬ ‫‪x‬س = ‪(5 ‬س ‪ +4)6 +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5 ‬س ‪6 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪5 ‬س ‪6 +‬‬ ‫‪x‬س = ‪(5 ‬س ‪4)6 +‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪) 6 – 2515( = ) 4)6 + 1(5 - 4)6 + 3(5(‬‬ ‫قواعد التكامل ‪:‬‬ ‫إذا أ ‪ ،‬ب ثابتين ‪ ،‬أ ‪ ، 1 ‬ن ‪ 6- ‬فإن ‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ب )ن‪6+‬‬ ‫(أس ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪+‬ب)ن‬ ‫(أس‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪)6+‬‬ ‫أ (ن‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ب)‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا(أس‬ ‫‪x‬س=‪-‬‬ ‫ب)‬ ‫‪+‬‬ ‫جا(أس‬ ‫‪‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫أ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ب)‬ ‫جا(أس ‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ب)‬ ‫‪+‬‬ ‫(أس‬ ‫جتا‬ ‫‪‬‬ ‫‪)3‬‬ ‫أ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ب)‬ ‫ظا(أس ‪+‬‬ ‫=‬ ‫ب)‪x‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫قا‪(2‬أس‬ ‫‪‬‬ ‫‪)4‬‬ ‫أ‬ ‫مثال ‪ :‬جد قيمة الآتي ‪3(  :‬س‪x3)5+‬س‬ ‫(‪3‬س‪4)5+‬‬ ‫=‬ ‫(‪3‬س‪x3)5+‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪4×3‬‬ ‫مثال ‪ :‬جد قيمة الآتي ‪2(3  :‬س ‪x4)6 +‬س = ‪2( ‬س ‪x )6 +‬س‬ ‫(‪2‬س‪)5+‬‬ ‫=‬ ‫‪2×‬‬ ‫جا(‪3‬س‪)5+‬‬ ‫=‪1‬‬ ‫مثال ‪ :‬جد قيمة الآتي ‪1  :‬جتا(‪3‬س‪x )5+‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪87‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪183‬‬ ‫مثال الكتاب ‪3‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6 13-‬‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫‪23 ‬س ‪6 -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫)‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫‪13-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6 13-‬‬ ‫‪23 ‬س ‪6 -‬‬ ‫‪13-‬‬ ‫‪2( ‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪13- 1‬‬ ‫=‪2 ) ×‬س – ‪2(3  = )6‬س ‪2)6-‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪2) 6-‬‬ ‫= ‪1×2( 3 - 2)6- 63-×2(3 ‬‬ ‫صفحة ‪183‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪5‬‬ ‫جد قيمة كل تكامل مما يأتي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1× 2-‬‬ ‫‪2‬س)‪1‬‬ ‫–‬ ‫(‪6‬‬ ‫‪×1‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2‬س)‪5‬‬ ‫–‬ ‫‪6(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫‪ = 729× + 729 ×- =) 1)6-×2-6( -(– 1)2×2 – 6( -‬صفر‬ ‫‪62  )2‬جا(‪4 – 6‬س) ‪x‬س = ‪ - × 46-× 62‬جتا(‪4- 6‬س) ‪ +‬جـ‬ ‫= ‪ 3‬جتا(‪4- 6‬س) ‪ +‬جـ‬ ‫‪31‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪181‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪ )1‬اكتب التعويض المناسب لإيجاد قيمة كل تكامل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫أ) ‪2-6( ‬س)(س‪ -‬س‪x4)2‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫= ‪2-6‬س ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫س‪2‬‬ ‫–‬ ‫س‬ ‫نفرض ص=‬ ‫‪2-6‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫(‪2-6‬س)ص‪4‬‬ ‫=‪ј‬‬ ‫‪2-6( ‬س)(س‪ -‬س‪x4)2‬س‬ ‫‪2-6‬س‬ ‫س‬ ‫بدلالة‬ ‫التكامل‬ ‫نكتب‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪5)2‬‬ ‫–‬ ‫(س‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫س‪4)2‬‬ ‫(‪2-6‬س)(س‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ب) ‪1 ‬س‪2( 5 2‬س‪x 2) 2 - 3‬س = ‪1‬س‪2(2‬س‪x )2- 3‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫= ‪ 1‬س‪2‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪2‬س‪3‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪1‬س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪1‬س‪2‬‬ ‫‪x‬س =‪‬‬ ‫‪1 ‬س‪2( 5 2‬س‪2) 2 - 3‬‬ ‫‪1‬س‪2‬‬ ‫ص‪ + ‬جـ‬ ‫‪5‬‬ ‫ص‪ ‬ص =‬ ‫‪‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫(‪2‬س‪)2- 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪x‬س =‬ ‫‪1‬س‪2(5 2‬س‪2) 2 - 3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪2( 5‬س‪7) 2 - 3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪7‬‬ ‫جـ ) ‪2( ‬س – ‪3‬س‪)2‬قا‪(2‬س‪ – 3‬س‪x ) 2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪2‬س‬ ‫–‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫س‪2‬‬ ‫–‬ ‫س‪3‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪3‬س‪2 – 2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬س‪2 – 2‬س‬ ‫(‪2‬س – ‪3‬س‪)2‬قا‪(2‬س‪ – 3‬س‪x ) 2‬س = ‪2( ‬س – ‪3‬س‪)2‬قا‪2‬ص‬ ‫= ‪ – ‬قا‪2‬ص ‪‬ص = ‪ -‬ظاص ‪ +‬جـ‬ ‫‪2( ‬س – ‪3‬س‪)2‬قا‪(2‬س‪ – 3‬س‪x ) 2‬س = ‪ -‬ظا(س‪ – 3‬س‪ + )2‬جـ‬ ‫‪x‬س = (‪3‬س – ‪()9‬س‪1 – 2‬س)‪x 2-‬س‬ ‫‪3‬س ‪9 -‬‬ ‫د)‬ ‫‪( ‬س‪1 -2‬س)‪2‬‬ ‫‪30‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪1‬‬ ‫–‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫‪1‬س‬ ‫–‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪(2‬س ‪)3-‬‬ ‫‪2‬س ‪1-‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪2-‬‬ ‫‪)3-‬‬ ‫‪(3‬س‬ ‫=‪‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3‬س ‪9 -‬‬ ‫‪(2‬س ‪)3-‬‬ ‫‪( ‬س‪1 -2‬س)‪2‬‬ ‫‪  ‬ص‪ 2-‬ص = ‪ 66-× ‬ص‪ + 6-‬جـ‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬س)‬ ‫‪3-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪6-‬‬ ‫‪1‬س‬ ‫–‬ ‫س‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪(2‬س‪- 2‬‬ ‫‪ )2‬جد قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫أ) ‪3( 3 ‬س ‪x 2) 2 -‬س = ‪3( ‬س – ‪x )2‬س‬ ‫‪3 (‬س – ‪ + )2‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ =‬ ‫(‪3‬س ‪)2-‬‬ ‫=‬ ‫‪3×‬‬ ‫ب)‪( ‬س – ‪2()6‬س‪4-2‬س‪x 5)6+‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪4‬‬ ‫–‬ ‫‪4‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫بفرض ص = ‪2‬س‪4-2‬س‪6+‬‬ ‫‪4‬س – ‪4‬‬ ‫‪‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪(4‬س – ‪)6‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫(س – ‪ )6‬ص‪5‬‬ ‫‪( ‬س – ‪2()6‬س‪4-2‬س‪x 5)6+‬س = ‪‬‬ ‫‪(4‬س – ‪)6‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪1‬‬ ‫×‪61‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‪2‬س‪4- 2‬س ‪ + 1)6 +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪24‬‬ ‫‪24‬‬ ‫جـ) ‪2‬قا‪ – 2(2‬س) ‪x‬س = ‪ 2‬قا‪ – 2(2‬س) ‪x‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س)‬ ‫–‬ ‫‪2‬ظا(‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫س)‬ ‫ظا(‪-2‬‬ ‫‪×2‬‬ ‫=‬ ‫‪6-‬‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪4‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ ‫د) ‪2 ‬س‪3‬جا(س‪x )6+4‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪4‬س‪3‬‬ ‫‪38‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪2 ‬س‪3‬جا(س‪x )6+4‬س = ‪2 ‬س‪3‬جاص‬ ‫‪4‬س‪23‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫جتاص‬ ‫(‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫جاص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا(س‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬احسب قيمة كل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪8‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬س‬ ‫‪8‬‬ ‫أ)‬ ‫‪4( ‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫(‪4‬س ‪)6+‬‬ ‫= ‪4(‬س‪ + )6+‬جـ = ‪4( ‬س ‪ + 3)6 +‬جـ‬ ‫=‬ ‫‪4×‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3)6+‬‬ ‫×‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3)6+‬‬ ‫×‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪3)6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬س‬ ‫(‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪4‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪63‬‬ ‫=‬ ‫‪21‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 1-‬أ‬ ‫ب) ‪3 ‬س‪(2‬س‪x 3)6 – 3‬س = صفر وذلك حسب الخاصية ‪ ‬ق(س) ‪x‬س = صفر‬ ‫‪ 1-‬أ‬ ‫ويمكن التأكد من ذلك بحل السؤال على التكامل بالتعويض‬ ‫نفرض ص = س‪ 6 – 3‬فيكون‪‬سص = ‪3‬س‪2‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه ‪x‬س =‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ص‪3‬ص‬ ‫‪ј‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3 ‬س‪(2‬س‪x 3)6 – 3‬س = ‪3 ‬س‪2‬ص‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪6-‬‬ ‫(س‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3)6‬‬ ‫–‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪3 ‬س‪(2‬س‪3‬‬ ‫‪1- 1-‬‬ ‫((‪ = ) 6 – 3)6-‬صفر‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫‪)6‬‬ ‫–‬ ‫((‪3)6-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫جـ) ‪2 ‬س ‪ 3‬س‪x 6 - 2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬س ‪ 3‬س‪x 6 - 2‬س = ‪2‬س(س‪x )6- 2‬س‬ ‫‪33‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2‬س ‪ 3‬س‪6 - 2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫‪2)6((3‬‬ ‫((‪- 4)6 – 2)1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪(3‬س‪4)6-2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2‬س ‪ 3‬س‪6 - 2‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬س ‪ 3‬س‪6 - 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2-3‬س‬ ‫‪2‬‬ ‫د)‬ ‫(س‪3 - 2‬س)‪2‬‬ ‫‪x‬س = ‪2-3( ‬س)(س‪3 – 2‬س)‪x 2-‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪3-‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫نفرض ص= س‪3 – 2‬س‬ ‫‪2‬س ‪3-‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪2-3‬س‬ ‫‪2‬س ‪3-‬‬ ‫‪( ‬س‪3 - 2‬س)‪2‬‬ ‫‪x‬س = ‪2 – 3( ј‬س) ص‪2-‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪- -‬ص‪6-6‬‬ ‫=‬ ‫ص‪2-‬ص‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫ص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪2-3 2‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪( ‬س‪3 - 2‬س)‪2‬‬ ‫‪)6(3‬‬ ‫(‪2)6‬‬ ‫‪)2(3‬‬ ‫(‪2)2‬‬ ‫‪3‬س‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪01‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫صفر‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪)1‬إذا علمت أن ق(‪ ، 5 =)8-‬ق(‪ ، 1- = )27‬فجد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3 ‬س‪ 2‬قَ(س‪x)3‬س‬ ‫الحل ‪2- :‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‪3‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪3‬س‪ 2‬قَ(س‪x)3‬س‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪3‬س‪َ 2‬ق(س‪x)3‬س = ‪3 ‬س‪ 2‬قَ(ص)‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪َ ‬ق(ص) ‪‬ص = ق(ص) ‪ +‬جـ‬ ‫‪33‬‬ ‫‪3 ‬س‪ 2‬قَ(س‪x)3‬س = ق(س‪ = )3‬ق((‪ – )3)3‬ق((‪ = )3)2-‬ق(‪ – )27‬ق(‪)8-‬‬ ‫‪66- = 5- 1- = 2-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪35‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪22‬‬ ‫‪)5‬إذا علمت أن ‪ ‬ق(س)‪x‬س= ‪ ، 3‬فجد قيمة التكامل الآتي ‪ 8  :‬س ق(س‪x)6+2‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬س‬ ‫ومنه‬ ‫س‪6+2‬‬ ‫ص=‬ ‫أن‬ ‫نفرض‬ ‫‪ 8 ‬س ق(س‪x)6+2‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫= ‪ 4 ‬ق(ص)‪x‬ص‬ ‫‪‬ص‬ ‫ق(ص)‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ق(س‪x)6+2‬س‬ ‫س‬ ‫‪8‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪8‬س‬ ‫لكن عندما س = ‪ 6-‬نعوض في ص = س‪ 6+2‬فيكون ص =‪ 2‬وعندما س =‪ 2‬فإن ص =‪5‬‬ ‫‪52‬‬ ‫‪ 8 ‬س ق(س‪x)6+2‬س = ‪ 4 ‬ق(ص)‪x‬ص‬ ‫‪2 1-‬‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪  4‬ق(ص)‪ ‬ص = ‪62- = 3-×4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪)1‬جد قيمة التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫نفرض‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪)9+‬‬ ‫‪2‬س(س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫س‪+2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫ومنه‬ ‫=‪2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫ص = س‪9+2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫س‪+2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫ص‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫=‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)1((‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2)4((‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫س‪+2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪(‬س‪= 3)9+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪691‬‬ ‫=‬ ‫‪54‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪251‬‬ ‫=‬ ‫‪27‬‬ ‫×‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫×‪625‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪ ‬جا(‪3‬س‪x)6+‬س يساوي ‪:‬‬ ‫ب)‪3-‬جتا(‪3‬س‪ + )6+‬جـ‬ ‫‪،‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا(‪3‬س‪)6+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫أ)‬ ‫د) ‪3‬جتا(‪3‬س‪ + )6+‬جـ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا(‪3‬س‪)6+‬‬ ‫ج)‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3 -‬س‪)2‬‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪3‬قا‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫جد التكامل الآتي ‪:‬‬ ‫س‪ +2‬س‬ ‫‪30‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫= ‪3‬ظاس ‪ +‬لـــوهـ |س‪ + 2‬س| ‪ -‬س‪ + 3‬جـ‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫جد قيمة التكامل الآتي ‪  :‬س‪ 2‬جا(س‪)7+3‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫س‪7+3‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫= ‪ ‬س‪ 2‬جاص‬ ‫‪ ‬س‪ 2‬جا(س‪x)7+3‬س‬ ‫‪3‬س‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫جتاص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬ص=‬ ‫جاص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫(س‪)7+3‬‬ ‫جتا‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪ ‬س‪ 2‬جا(س‪x)7+3‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫سؤال إضافي ‪ ‬س جا(س‪x )7 + 2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫س‪7+2‬‬ ‫ص=‬ ‫نفرض‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫جاص‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪ ‬س جا(س‪x )7 + 2‬س‬ ‫‪2‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫جتاص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬ص=‬ ‫جاص‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫(س‪2‬‬ ‫جتا‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪)7‬‬ ‫‪+‬‬ ‫جا(س‪2‬‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫‪x‬س = ‪2( ‬س‪()6+‬س‪+2‬س ‪x -)6-‬س‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ ‬س‪ + 2‬س ‪6-‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫س‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫(‪2‬س ‪ )6 +‬ص‪-‬‬ ‫‪x‬س = ‪‬‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪  ‬س‪ + 2‬س ‪6-‬‬ ‫= ‪ ј‬ص‪x -‬ص = ‪ 2‬ص‪ + ‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪ +‬جـ = ‪ 2‬س‪ + 2‬س ‪6-‬‬ ‫‪x‬س = ‪(2‬س‪ + 2‬س ‪) 6-‬‬ ‫‪2‬س‪6+‬‬ ‫‪  ‬س‪ + 2‬س ‪6-‬‬ ‫‪36‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫سؤال إضافي ‪13  :‬س– س‪2 – 1( 2‬س)‪x‬س = ‪1( ‬س‪ -‬س‪2-1()2‬س) ‪x‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫س‪2‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬س‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2 – 1‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪13 ‬س– س‪2 – 1( 2‬س)‪x‬س = ‪ ‬ص‪2 – 1( ‬س)‬ ‫‪2 – 1‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬ص‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫س‪4)2‬‬ ‫–‬ ‫(‪1‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪:‬‬ ‫سؤال إضافي‬ ‫‪3‬س)‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا‪(2‬س‪2‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫فيكون‬ ‫‪3‬س‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫نفرض‬ ‫‪2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪2‬س ‪3 +‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬س ‪3 +‬‬ ‫جتا‪2‬ص‬ ‫‪3 +‬س)‬ ‫جتا‪(2‬س‪2‬‬ ‫= ‪ ‬قا‪2‬ص ‪x‬ص = ظاص ‪ +‬جـ‬ ‫‪x‬ص‬ ‫‪ ‬جتا‪2‬ص‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪3‬س)‬ ‫‪+‬‬ ‫ظا(س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬س)‬ ‫‪+‬‬ ‫جتا‪(2‬س‪2‬‬ ‫‪35‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬اكتب التعويض المناسب لإيجاد قيمة كل تكامل من التكاملات الآتية ‪:‬‬ ‫أ) ‪3 ‬س‪(2‬س‪ 5)4+ 3‬س‬ ‫ب)‪2‬س جا(س‪)3 – 2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪4‬س ‪1-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ج)‪‬‬ ‫س‪3- 2‬س‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )2‬إذا علمت أن ق(‪ ، 62 = )4‬ق(‪ ، 8- =)6‬فاحسب قيمة ‪2‬س َق(س‪)2‬س‬ ‫‪1-‬‬ ‫‪ )2‬احسب قيمة كل من التكاملات التالية ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ) ‪ ‬س‪ ( 2‬س‪ 2)5 – 3‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬س‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬س‪+ 2‬‬ ‫ب) ‪‬‬ ‫‪1-‬‬ ‫ج) ‪( ‬س‪ 3)3+‬س‪1 +2‬س ‪ 4-‬س‬ ‫‪32‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫تطبيقات التكامل‬ ‫الفصل الثاني‬ ‫تطبيقات هندسية‬ ‫بما ان التكامل عملية عكسية للتفاضل ‪ ،‬فإنه يمكننا إيجاد قاعدة الاقتران ق بمعرفة ميله قَ(س) عند أي نقطة على منحناه‬ ‫(س ‪ ،‬ص) وإحداثيي إحدى النقط على منحناه‬ ‫صفحة ‪185‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن ميل المماس لمنحناه عند النقطة (س ‪ ،‬ص)يعطى بالقاعدة‪:‬‬ ‫قَ(س) = ‪3‬س‪ 8 – 2‬س ‪ ،‬وأن منحناه يمر بالنقطة (‪)3 ، 6-‬‬ ‫خطوات الحل ‪:‬‬ ‫الخطوة الأولى ‪ :‬نقوم بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ‪:‬‬ ‫‪ ‬قَ(س)‪x‬س = ‪3( ‬س‪ 8-2‬س)‪x‬س ينتج ‪:‬‬ ‫ق(س) = س‪4-3‬س‪ + 2‬جـ‬ ‫الخطوة الثانية ‪ :‬نقوم بإيجاد قيمة جـ وذلك بتعويض النقطة (‪ ) 3 ، 1-‬في الاقتران‬ ‫وذلك لأن منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة (‪ )3 ، 6-‬أي أن ق(‪3 =)6-‬‬ ‫ق(‪ + 2)6-(4-3)6-( = )6-‬جـ‬ ‫‪ + 4- 6- = 3‬جـ ومنه جـ = ‪8‬‬ ‫الخطوة الثالثة ‪ :‬نعوض قيمة جـ في قاعدة الاقتران ق فيكون‬ ‫قاعدة الاقتران ق(س) = س‪4-3‬س‪8 + 2‬‬ ‫صفحة ‪181‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪1‬‬ ‫جد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن منحناه يمر بالنقطة (‪ ، )2 ، 6-‬وأن ميل المماس لمنحنى الاقتران ص= ق(س) عند‬ ‫النقطة (س ‪ ،‬ص)يعطى بالقاعدة ‪ :‬قَ(س) = ‪2‬س ‪6-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫قَ(س) = ‪2‬س ‪ 6-‬بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق(س)‪x‬س = ‪2( ‬س – ‪x)6‬س‬ ‫‪37‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ق(س) = س‪ – 2‬س ‪ +‬جـ لكن منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة (‪ )2 ، 6-‬أي إن ق(‪2 =)6-‬‬ ‫ق(س) = س‪ – 2‬س‬ ‫ق(‪ + )6-( – 2)6-( = )6-‬جـ‬ ‫‪ + 2 = 2‬جـ ومنه جـ = ‪  ، 1‬قاعدة الاقتران ‪:‬‬ ‫صفحة ‪181‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قاعدة الاقتران ص = ق(س) ‪ ،‬علما بأن ميل المماس لمنحناه عند النقطة(س ‪ ،‬ص)يعطى‬ ‫ص‬ ‫الاقتران‬ ‫منحنى‬ ‫على‬ ‫تقع‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫(‬ ‫النقطة‬ ‫وأن‬ ‫‪،‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫س‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪:‬‬ ‫بالقاعدة‬ ‫‪‬س‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص)=‬ ‫‪،‬‬ ‫(س‬ ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫ص‬ ‫العلاقة‬ ‫لمنحنى‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫‪‬س‬ ‫نضرب الطرفين بـ ‪x‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫س‪‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص = س‪ ‬س‪ 9 + 2‬س‬ ‫‪ ‬ص = ‪ ‬س‪ ‬س‪x 9 + 2‬س نجري التكامل ‪‬س‪ ‬س‪x 9 + 2‬س بطريقة التعويض‬ ‫ص= ‪ ‬س‪ ‬س‪x 9 + 2‬س = ‪ ‬س (س‪x )9 + 2‬س نفرض ص = س‪9 + 2‬‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫= ‪2‬س ومنه‬ ‫‪‬ص‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪9‬‬ ‫‪+‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫س‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫ص=‬ ‫‪2‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬ص‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫ص‪‬‬ ‫×‪32‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫ص=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(‬س‪3)9+2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ص=‬ ‫‪3‬‬ ‫لكن من الفرض ص = ‪ 6‬عندما س = ‪4-‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪(‬س‪3)9+2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫‪3‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫((‪3)9+2)4-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪51‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪622‬‬ ‫‪-‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫ومنه‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪625‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪=6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪622‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪(‬س‪3)9+2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫=‬ ‫ص‬ ‫‪:‬‬ ‫هي‬ ‫الاقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫صفحة ‪180‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫جد قيمة ق(‪ ، )64‬علما بأن ميل المماس لمنحنى الاقتران ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫قَ(س) = ‪23 1‬س – ‪ ، 6‬وأن منحناه يمر بالنقطة ( ‪) 5 ، 1‬‬ ‫َق(س) = ‪23 1‬س – ‪ 6‬بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪ ‬قَ(س) ‪x‬س = ‪23 1 ‬س – ‪x 6‬س = ‪2(  1‬س – ‪x)6‬س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2(3‬س–‪4)6‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪)6‬‬ ‫–‬ ‫‪2(‬س‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪2‬س ‪)6 -‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫ق(س)=‬ ‫‪2×‬‬ ‫ولكن المنحنى يمر بالنقطة (‪ )5 ، 1‬أي أن ق(‪5 = )1‬‬ ‫‪66‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫ومنه‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+ 4)6–1×2(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫ق(‪=)1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫قاعدة الاقتران ‪:‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2(3‬س–‪4)6‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫‪4‬‬ ‫‪66‬‬ ‫‪+‬‬ ‫×‪86‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪66‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪4‬‬ ‫‪27‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫=‬ ‫‪66‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4)6–64×2(3‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪)64‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪685‬‬ ‫=‬ ‫‪741‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪50‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫صفحة ‪188‬‬ ‫حل الأسئلة‬ ‫‪)1‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يساوي‬ ‫(‪2 – 1‬س ‪9 +‬س‪ ، )3‬فجد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن ق(‪5 = )1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫َق(س) = ‪2 – 1‬س ‪9 +‬س‪ 3‬بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق(س)‪x‬س = ‪2 – 1( ‬س ‪9 +‬س‪x ) 3‬س‬ ‫وبما أن ق(‪5 = )1‬‬ ‫ق(س) = ‪1‬س – س‪ 94+ 2‬س‪ + 4‬جـ‬ ‫ق(‪ + 4)1( 94+ 2)1( – )1(1 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 5‬جـ ومنه قاعدة الاقتران ‪ :‬ق(س) = ‪1‬س – س‪ 94+ 2‬س‪5 + 4‬‬ ‫‪ )2‬جد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬إذا كان ميل المماس للمنحنى ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫‪ ،‬وكان منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة (‪)4 ، 1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫قَ(س)=‬ ‫‪3‬س‪+2‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫قَ(س)=‬ ‫‪3‬س‪+2‬‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪8‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫قَ(س)‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬س‪+2‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪‬ص‬ ‫نفرض ص= س‪ 8+2‬ومنه‬ ‫ق(س) = ‪2 ‬س(س‪x -)8 + 2‬س‬ ‫‪‬س‬ ‫نعوض‬ ‫‪‬ص‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫ومنه‬ ‫‪2‬س‬ ‫‪‬ص‬ ‫ص‪-‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪-)8‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س(س‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫‪2‬س‬ ‫= ‪ ‬ص‪ -‬ص = ‪‬ص‪ + ‬جـ‬ ‫ق(س) = ‪2ј‬س(س‪x -)8 + 2‬س =‪(3 ‬س‪ + 2)8 +2‬جـ ولكن ق(‪4 = )1‬‬ ‫‪ +‬جـ‬ ‫‪2)8 +2)1(( 3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫ق(‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪58‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ + 1 = 4‬جـ ومنه جـ = ‪2-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪2)8‬‬ ‫‪(3‬س‪+2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ق(س) =‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ )3‬جد قيمة ق(‪ ، )6‬علما بأن ميل المماس للمنحنى ص = ق(س) عند النقطة (س‘ ص) يساوي ‪ 5(25‬س ‪4 +‬‬ ‫)‪ ، 4‬وأن منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة ( ‪)7 ، 6-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪5(25 ‬س ‪x 4) 4 +‬س بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫(‪5‬س‪5)4+‬‬ ‫=‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫(‪5‬س‪)4+‬‬ ‫×‬ ‫‪25‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫(‪5‬س‪4)4+‬‬ ‫ق(س) = ‪ 25‬‬ ‫‪5×5‬‬ ‫ق(‪ 7 = )6-‬ومنه ق(‪ + 5)4 + 6-×5( = )6-‬جـ‬ ‫‪ + 6- = 7‬جـ ومنه جـ = ‪8‬‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪ :‬ق(س) = (‪5‬س‪8 + 5)4+‬‬ ‫ق(‪ 8 + 5)4+6×5( = )6‬ومنه ق(‪59157 = 8 + 5)9( = )6‬‬ ‫‪)1‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ل عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يعطى بالقاعدة ‪:‬‬ ‫لَ(س) = ‪2‬س(‪3 – 4‬س) ‪ ،‬فجد قاعدة الاقتران ل ‪ ،‬علما بأن منحناه يمر بالنقطة (‪)3 ، 1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫َل(س) = ‪2‬س(‪3 – 4‬س) بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪ ‬لَ(س) ‪x‬س = ‪2 ‬س(‪3 – 4‬س) ‪x‬س = ‪8 ) ‬س – ‪1‬س‪x )2‬س‬ ‫ل(س) = ‪4‬س‪2 – 2‬س‪ + 3‬جـ ولكن ل(‪3 = )1‬‬ ‫ل(‪ + 3)1( – 2)1(2 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 3‬جـ ومنه قاعدة الاقتران هي ‪ :‬ل(س) = ‪4‬س‪2 – 2‬س‪3 + 3‬‬ ‫س‪،1‬‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪2‬س‪- 2‬‬ ‫=‬ ‫هَـ(س)‬ ‫بالقاعدة‬ ‫يعطى‬ ‫هـ‬ ‫الاقتران‬ ‫لمنحنى‬ ‫المماس‬ ‫ميل‬ ‫كان‬ ‫‪)5‬إذا‬ ‫س‬ ‫فجد هـ(‪ ، )2‬علما بأن منحنى الاقتران هـ يمر بالنقطة ( ‪) 5 ، 6-‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪53‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪2‬س‪- 2‬‬ ‫=‬ ‫(س)‬ ‫هَـ‬ ‫س‬ ‫‪x‬س‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪2‬س‪- 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫هَـ(س)‪x‬س‬ ‫‪‬‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5-‬س‬ ‫س‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‬ ‫‪5‬‬ ‫–‬ ‫(‪2‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‬ ‫‪5‬س‬ ‫‪-‬‬ ‫(‪2‬سس‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫(س)‬ ‫هـ‬ ‫س‬ ‫هـ (‪ 5 =)6-‬ومنه هـ(‪ + )6-(5- 2)6-( = )6-‬جـ‬ ‫‪ + 5 + 6 = 5‬جـ ومنه جـ = ‪6-‬‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪ :‬هـ(س) = س‪5- 2‬س ‪6-‬‬ ‫هـ(‪7- = 6- 61 – 4 = 6- )2(5- 2)2( = )2‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج جديد‬ ‫إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ص = ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص)يساوي (‪4‬س – ‪: )1‬‬ ‫فجد قاعدة الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن منحناه يمر بالنقطة (‪)6- ، 2‬‬ ‫َق(س) = ‪4‬س – ‪ 1‬نكامل الطرفين‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪4( ‬س – ‪x )1‬س‬ ‫ولكن ق(‪6- = )2‬‬ ‫ق(س) = ‪2‬س‪1- 2‬س ‪ +‬جـ‬ ‫‪ + 4- = 6-‬جـ ومنه جـ = ‪ 3‬نعوض‬ ‫ق (‪ + )2(1 – 2)2(2 = )2‬جـ‬ ‫‪ + 62 – 8 = 6-‬جـ ومنه‬ ‫ق(س) = ‪2‬س‪1- 2‬س ‪3 +‬‬ ‫سؤال وزاري ‪ : 8102‬منهاج قديم‬ ‫إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يساوي ‪3‬س(س‪ ، )1+‬فجد قاعدة الاقتران ق‬ ‫‪ ،‬علما أن منحناه يمر بالنقطة ( ‪) 5 ، 6‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫قَ(س) = ‪3‬س(س‪ )4+‬بإجراء التكامل بالنسبة إلى المتغير س لكل من الطرفين ينتج ‪:‬‬ ‫‪َ ‬ق(س) ‪x‬س = ‪3 ‬س(س‪x )4+‬س =‪3( ‬س‪62 + 2‬س) ‪x‬س‬ ‫‪55‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ق(س) = س‪1 + 3‬س‪ + 2‬جـ‬ ‫ولكن المنحنى يمر بالنقطة (‪ )5 ، 6‬أي أن ق(‪5 = )6‬‬ ‫ق(‪ + 2)6(1 + 3)6( = )6‬جـ‬ ‫‪ + 1 + 6 = 5‬جـ ومنه جـ = ‪2-‬‬ ‫‪ ‬قاعدة الاقتران ق(س) = س‪1 + 3‬س‪2- 2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص ) هو (‪2 – 1‬س) فجد قاعدة الاقتران ق علما‬ ‫بأن ق(‪2 = )6‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫َق(س) = ‪2 – 1‬س بإجراء عملية التكامل للطرفين بدلالة المتغير س يكون ‪:‬‬ ‫‪ ‬قَ(س)‪x‬س = ‪2 – 1( ‬س)‪x‬س‬ ‫ق(س) = ‪1‬س – س‪ + 2‬جـ‬ ‫ق(‪ + 2)6( – )6(1 = )6‬جـ‬ ‫‪ + 6 – 1 = 2‬جـ ومنه جـ = ‪3-‬‬ ‫قاعدة الاقتران هي ‪ :‬ق(س) = ‪1‬س – س‪3- 2‬‬ ‫سؤال إضافي ‪:‬‬ ‫يمر‬ ‫الاقتران‬ ‫منحنى‬ ‫وكان‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫–‬ ‫(‪2‬‬ ‫هو‬ ‫)‬ ‫ص‬ ‫‪،‬‬ ‫(س‬ ‫النقطة‬ ‫عند‬ ‫ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س)‬ ‫إذا كان‬ ‫س‪2‬‬ ‫(‪ )6 ، 26‬فجد قاعدة الاقتران‬ ‫بالنقطة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫بإجراء عملية التكامل للطرفين بدلالة المتغير س يكون ‪:‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫َق(س)‬ ‫س‪2‬‬ ‫( ‪ – 2‬س‪x )2-‬س‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬س‬ ‫)‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫(‬ ‫‪ ‬قَ(س) ‪x‬س = ‪‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫‪ +‬جـ ولكن ق(‪6=) 26‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫س‬ ‫جـ‬ ‫‪+‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‬ ‫‪62(2‬‬ ‫)=‬ ‫ق(‪26‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪50‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ + 2 + 6 = 6‬جـ ومنه جـ = ‪2-‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬س‬ ‫=‬ ‫ق(س)‬ ‫‪:‬‬ ‫هي‬ ‫الاقتران‬ ‫قاعدة‬ ‫س‬ ‫اختبر نفسك‬ ‫‪ )1‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يساوي (‪4‬س – ‪ ، 3)2‬فاكتب قاعدة الاقتران ق‬ ‫علما بأنه يمر بالنقطة (‪) 8 ، 1‬‬ ‫‪ )2‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يساوي (‪3‬س‪ )6- 2‬فجد قاعدة الاقتران ق‬ ‫‪ ،‬علما بأن منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة ( ‪)4 ‘ 2‬‬ ‫‪ )3‬إذا كان ميل المماس لمنحنى الاقتران ق(س) عند النقطة (س ‪ ،‬ص) يساوي (‪4‬س‪1- 3‬س) فجد قاعدة‬ ‫الاقتران ق ‪ ،‬علما بأن منحنى الاقتران ق يمر بالنقطة ( ‪)5 ‘ 2‬‬ ‫‪56‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫تطبيقات فيزيائية‬ ‫‪‬ع‬ ‫=‬ ‫عَ(ن)‬ ‫ت(ن)=‬ ‫هو‬ ‫التسارع‬ ‫وأن‬ ‫‪‬ف‬ ‫فَ(ن)=‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫إذا كانت‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪‬ن‬ ‫فإنه يمكننا معرفة المسافة بمعرفة مقدار السرعة ‪ ،‬أو السرعة والتسارع ‪ ،‬ويمكن أيضا معرفة السرعة بمعرفة مقدار التسارع‬ ‫صفحة ‪189‬‬ ‫مثال الكتاب ‪1‬‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث انطلق من الموقع الابتدائي ف(‪4=)1‬م ‪ ،‬إذا كانت سرعته بعد مرور ن ثانية تعطى‬ ‫بالعلاقة ع(ن)= (‪2 – 1‬ن ‪1 +‬ن‪ )2‬م ‪/‬ث ‪ ،‬فجد موقعه بعد مرور ثلاث ثوان من بدء الحركة‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪‬ف‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫ولكن‬ ‫‪،‬‬ ‫‪1‬ن‪2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬ن‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫‪‬ن‬ ‫= ‪2 – 1‬ن ‪1 +‬ن‪2‬‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪2 – 1( ‬ن ‪1 +‬ن‪x ) 2‬ن‬ ‫ف = ‪1‬ن – ن‪2 + 2‬ن‪ + 3‬جـ ولكن ف(‪4 = )1‬‬ ‫ف(‪ + 3)1(2 + 2)1( – )1(1 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 4‬جـ‬ ‫ومنه ف(ن) = ‪1‬ن – ن‪2 + 2‬ن‪4 + 3‬‬ ‫ف(‪17 = 4 + 3)3(2 + 2)3( – )3(1 =)3‬‬ ‫‪ ‬موقع الجسيم بعد مرور ثلاث ثوان من بدء الحركة = ‪ 17‬م‬ ‫صفحة ‪191‬‬ ‫تدريب كتاب ‪1‬‬ ‫‪) 6‬يتحرك جسيم على خط مستقيم ‪ ،‬وتعطى سرعته بالعلاقة ‪ :‬ع(ن) = (‪2‬ن – ‪ )5‬م ‪/‬ث ‪ ،‬حيث ن ‪ :‬الزمن بالثواني ‪،‬‬ ‫جد موقع الجسيم بعد ثانيتين من بدء الحركة ‪ ،‬علما بأن موقعه الابتدائي ف(‪ 3 = )1‬م‬ ‫الحل‬ ‫‪‬ف‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫ولكن‬ ‫ع(ن) = (‪2‬ن – ‪)5‬‬ ‫‪‬ن‬ ‫= ‪2‬ن – ‪5‬‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪2( ‬ن ‪x ) 5 -‬ن‬ ‫‪55‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫ف = ن‪5 – 2‬ن ‪ +‬جـ ولكن ف(‪3 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1(5 – 2)1( = )1‬جـ‬ ‫‪ = 3‬جـ‬ ‫ف(ن) = ن‪5 – 2‬ن ‪3 +‬‬ ‫ف(‪ 3- = 3 + 61- 4 = 3 + )2(5 – 2)2( =)2‬م‬ ‫موقع الجسيم بعد مرور ثانيتين من بدء الحركة = ‪ 3-‬م‬ ‫‪)2‬يتحرك جسيم على خط مستقيم بحيث إن سرعته بعد مرور(ن) ثانية من بدء الحركة تعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ع(ن)=(‪2 – 6(1‬ن)‪ )2‬م ‪/‬ث ‪ ،‬جد موقعه بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحركة ‪،‬‬ ‫علما بأن موقعه الابتدائي ف(‪ 5 = )1‬م‬ ‫ع(ن)=(‪2 – 6(1‬ن)‪4 – 6 ( 1 = )2‬ن ‪4 +‬ن‪ 24 – 1 = )2‬ن ‪ 24 +‬ن‪2‬‬ ‫‪‬ف‬ ‫=‬ ‫ع(ن)‬ ‫ولكن‬ ‫‪‬ن‬ ‫ن‪2‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ن‬ ‫‪24‬‬ ‫–‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪24 - 1( ј‬ن ‪ 24 +‬ن‪x ) 2‬ن‬ ‫ف(ن) = ‪1‬ن – ‪62‬ن‪ 8 + 2‬ن‪ + 3‬جـ ولكن ف(‪5 = )1‬‬ ‫ف(‪ + 3)1( 8 + 2)1(62 – )1( 1 = )1‬جـ‬ ‫‪ = 5‬جـ‬ ‫ف(ن) = ‪ 1‬ن – ‪62‬ن‪ 8 + 2‬ن‪5 + 3‬‬ ‫ف(‪ 7 = 5 + 8+62-1 = 5 + 3)6( 8 + 2)6(62 – )6( 1 = )6‬م‬ ‫موقع الجسيم بعد مرور ثانية واحدة من بدء الحركة = ‪ 7‬م‬ ‫صفحة ‪191‬‬ ‫مثال الكتاب ‪2‬‬ ‫تتحرك نقطة مادية على خط مستقيم بحيث إن تسارعه بعد مرور ن ثانية من انطلاقها يعطى بالعلاقة ‪:‬‬ ‫ت(ن) = (‪62‬ن – ‪) 1‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬إذا علمت أن موقعها الابتدائي‬ ‫ف(‪2 = )1‬م ‪ ،‬وان سرعتها الابتدائية ع(‪ 3=)1‬م ‪/‬ث ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ )1‬سرعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطلاقها‬ ‫‪52‬‬

‫الأستاذ منير أبو بكر ‪9772527052 -‬‬ ‫المنير في الرياضيات‬ ‫أدبي – فندقي وسياحي‬ ‫‪ )2‬موقع النقطة المادية بعد مرور ثلاث ثوان من انطلاقها‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫ت(ن) = ‪62‬ن – ‪1‬‬ ‫= ‪62‬ن – ‪1‬‬ ‫‪‬ع‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪‬ع = (‪62‬ن – ‪)1‬ن‬ ‫‪ ‬ع = ‪62( ‬ن – ‪)1‬ن‬ ‫ع = ‪1‬ن‪1 – 2‬ن ‪ +‬جـ‪6‬‬ ‫جـ‪3 = 6‬‬ ‫ع(‪ 3 = )1‬ومنه ‪ + )1(1 – 2)1(1 = 3 :‬جـ‪ 6‬ومنه‬ ‫ع(ن) = ‪1‬ن‪1 – 2‬ن ‪3 +‬‬ ‫ومنه ع(‪ 65 = 3 + 62 – 24 = 3 + )2(1 – 2)2(1 = )2‬م ‪/‬ث‬ ‫أي أن سرعة النقطة المادية بعد مرور ثانيتين من انطلاقها هي ‪ 65‬م ‪/‬ث‬ ‫‪)2‬ع(ن)= ‪1‬ن‪1 – 2‬ن ‪3 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬ن‬ ‫–‬ ‫‪1‬ن‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪‬ف‬ ‫‪‬ن‬ ‫‪ ‬ف = ‪1 ( ‬ن‪1 – 2‬ن ‪)3 +‬ن‬ ‫ف = ‪2‬ن‪3 – 3‬ن‪ 3 + 2‬ن ‪ +‬جـ‪ 2‬ولكن ف(‪2 = )1‬‬ ‫ف(‪ + )1( 3 + 2)1(3 – 3)1(2 = )1‬جـ‪2‬‬ ‫‪ = 2‬جـ‪2‬‬ ‫ف(ن) = ‪2‬ن‪3 – 3‬ن‪ 3 + 2‬ن ‪2 +‬‬ ‫ف(‪ 38 = 2+ 9+ 27 – 54 = 2 + )3( 3 + 2)3(3 – 3)3(2 = )3‬م‬ ‫أي أن موقع النقطة المادية بعد مرور ثلاث ثوان من انطلاقها هي ‪ 65‬م ‪/‬ث‬ ‫صفحة ‪191‬‬ ‫تدريب الكتاب ‪2‬‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم ‪ ،‬وبتسارع ثابت مقداره ت(ن) = ‪ 62 -‬م ‪/‬ث‪ ، 2‬إذا كانت سرعته الابتدائية‬ ‫ع(‪ 5 = )1‬م ‪/‬ث ‪ ،‬وموقعه الابتدائي ف(‪3 = )1‬م ‪ ،‬فجد ‪:‬‬ ‫‪ -1‬سرعة الجسيم بعد مرور أربع ثوان من بدء الحركة‬ ‫‪ -2‬موقع الجسيم بعد مرور ثلاث ثوان من بدء الحركة‬ ‫‪57‬‬