atomistic (1)

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 38 Sy S 1 Sx Sy 0.5 Sz 0 -0.5 -1 0 2500 5000 7500 10000 Time step number (a) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Sx (b) รูปที่ 2.7 (a) การเคลอ่ื นท่ีของสปนเด่ยี วกรณีพิจารณาผลของความรอ นกระทำตอ ระบบที่ T = 0.01 K (b) การเคลือ่ นทข่ี องสปน เดยี่ วเมือ่ มองจากดา นบน (top view) เพอื่ แสดงใหเหน็ ถงึ ผลของความรอ นที่มีตอการเคลอื่ นท่ีของสปน ไดอยา งชดั เจน ในลำดับถดั ไปจะทำการพิจารณาการเคล่ือนท่ีของสปน เด่ยี วที่เวลาตา งๆ ดว ยสมการ LLG แบง พจิ ารณาเปนสอง กรณีคอื กรณีที่คดิ และไมคิดผลของความรอ น โดยกำหนดใหสปน เด่ียวมีตำแหนง เร่มิ ตน อยูท่ี S = (0, 0.707, −0.707) ซงึ่ สปนมีการจดั เรียงตวั อยูในระนาบ yz จากน้นั ทำการปอ นสนามประสิทธิผล ขนาด 1 เทสลากระทำตอ สปนในทศิ ทางตามแนวแกน z กลาวคอื Heff = (0, 0, 1) กรณีแรกจะ พิจารณาท่ีอณุ หภมู ิ 0 เคลวิน ซึ่งไมม ีผลของความรอนตอ การเคลื่อนที่ของสปน เมื่อทำการพิจารณา การเคลอื่ นท่ีของสปนท่ีเวลาตางๆ พบวาสปนมีแนวโนม เคลือ่ นที่ไปตามทศิ ทางของสนามท่ีกระทำตอ ระบบ สปน จะมีการเปล่ียนแปลงทศิ ทางจากเดิมซง่ึ จดั เรียงตวั ในระนาบ yz ไปเรียงตวั ในทิศทางตาม แนวแกน z มาอยุท่ตี ำแหนง S = (0, 0, 1) โดยการเคลอ่ื นท่ีไมมคี วามผนั ผวนเน่อื งจากความรอนดัง รปู ที่ 2.6

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 39 จากน้ันพจิ ารณากรณีที่สองท่ีคิดผลของความรอ นท่ีมีตอ การเคล่อื นท่ีของสปนเด่ียว โดย พจิ ารณาท่ีอณุ หภูมิ 0.01 เคลวิน จะพบวา กรณีที่มีความรอนกระทำตอระบบจะทำใหเกิดความ ผนั ผวนของการเคลือ่ นที่ของสปนและใชเวลานานมากขนึ้ ในการเขา สูสภาวะสมดลุ ดังรปู ที่ 2.7 แมว า อณุ หภูมิมีคา เพียงเล็กนอยแตสง ผลตอความผันผวนของการเคลือ่ นท่ีของสปนเดีย่ วอยา งมาก ในกรณี ท่อี ุณหภมู ิสงู มากๆ สปน จะเกิดการเคลื่อนทร่ี อบๆ บรเิ วณทม่ี พี ลังงานตำ่ สุดและไมสามารถเขาสภู าวะ สมดลุ ไดเนื่องจากการเคล่อื นท่ีเกิดความผันผวนจากผลของอุณหภูมิและสง ผลใหเกดิ การเคลือ่ นท่ี แบบสุมหรือ random walk 2.1.6 สนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ล (Effective field) จากหัวขอที่ผานมาไดกลา วถงึ รายละเอียดเกย่ี วกบั การพจิ ารณาพลังงานตางๆ ท่ีเกดิ ข้ึนใน วสั ดุแมเหล็ก แตในการพิจารณารปู แบบจำลองวสั ดุแมเหลก็ ระดับอะตอมเพ่อื ศกึ ษาการเคลือ่ นที่ของ สปน และคณุ สมบัติตา งๆ ของวัสดุโดยใชสมการ LLG ซงึ่ จะไดกลา วในรายละเอยี ดตอไปนน้ั จำเปน ตองทราบสนามที่กระทำตอสปนภายในวสั ดุแมเหล็ก ซึง่ สนามประสทิ ธผิ ลท่ีกระทำตอ วัสดุแมเหล็ก เกิดจากหลายสวนไดแ ก สนามแมเหลก็ ภายนอก สนามปฎิสัมพันธแลกเปลีย่ น สนามแอนไอโซทรอป สนามคูขัว้ และสนามที่เกดิ จากความรอ น สนามแมเหล็กประสิทธิผลท่ีกระทำตอสปนท่ีตำแหนง i ใน รปู แบบจำลองระดบั อะตอมสามารถพิจารณาไดด งั นี้ Hieff = −1 ∂H + Hdip,i + Hith (2.14) µs ∂Si เมอ่ื H คอื สมการฮามลิ โทเนียลของสปน ดงั สมการท่ี (2.8) H = − ∑ SJij i · Sj − Ku ∑(Si · e)2 − µs ∑ Si · Happ. i≠ j i i ดงั น้ันสนามประสิทธิผลทีก่ ระทำตอ สปน ทต่ี ำแหนง i คือ =. H S Sr er e H (2.15)ieff∑ Jij j + 2Ku ( i· ) + app i̸=j µs µs ij ) ij − µj ] + µ0µs ∑ [ 3(µj · |⃗rij |3 √ 4πa3 Γ(t) 2αkBT + γµs∆t i̸=j

2.2 พารามเิ ตอรข องระบบ 40 2.2 พารามเิ ตอรข องระบบ (System parameterisation) ในการจำลองโครงสรางของวสั ดุแมเหลก็ ระดบั อะตอมมีความจำเปนที่ตอ งทราบตำแหนงของ แตล ะอะตอม เพือ่ ใชใ นการคำนวณพลงั งานทเี่ กิดขน้ึ ทีแ่ ตล ะอะตอมซึ่งมีคา ไมเทา กนั ขึ้นอยูกับตำแหนง และพารามเิ ตอรของอะตอมน้นั ๆ ซึ่งแตกตา งจากรูปแบบจำลองระดับจลุ ภาคท่ีทำการแบงโครงสรา ง ออกเปนเซลลเล็กๆ และหาตำแหนงกงึ่ กลางเซลล โดยพลังงานท่ีเกิดขึน้ ท่ีอะตอมภายในเซลลน้ันๆ จะมีคาเทา กนั เน่ืองจากกำหนดใหอะตอมภายในเซลลเดยี วกนั มีขนาด ทศิ ทาง และพารามิเตอรตา งๆ ของวัสดุแมเหลก็ เหมอื นกนั ซ่งึ ไมสอดคลองกับระบบจรงิ วสั ดุแมเหล็กโดยท่วั ไปเชน Fe Co หรอื Ni จะมีโครงสรางผลึกที่ไมซบั ซอ น ในขณะที่วสั ดุที่ประกอบดวยออกไซด วัสดุแมเหล็กแอนติเฟร- โรแมกเนติก และฮอยเลอรอลั ลอย (Heusler alloy) จะมีโครงสรา งผลึกที่ซบั ซอนขน้ึ สำหรบั วสั ดุ แมเหล็กเฟรโรแมกเนติกตำแหนงของอะตอมจะมีความสำคัญนอยลงในการพิจารณาโครงสรางของ วสั ดแุ มเหลก็ เนอื่ งจากทิศทางของโมเมนตม ที ิศทางขนานกนั ดังนั้นสามารถใชโครงสรา งผลกึ ลกู บาศก อยา งงา ย (simple cubic) แทนได ในทางตรงกันขามวสั ดุเฟรรีแมกเนติกและแอนติเฟรโรแมก เนติกมีทิศทางของโมเมนตแมเหล็กของอะตอมท่ีไมไปในทิศทางเดยี วกนั เน่ืองจากปฏสิ ัมพันธการ แลกเปล่ียน ทำใหในการจำลองโครงสรางวัสดุตองพิจารณารายละเอียดของตำแหนง อะตอมดว ยเพือ่ ความเสมอื นจริง โครงสรา งอะตอมของวสั ดุแมเหลก็ มีความสำคัญตอ การพิจารณาคา พารามเิ ตอรเพ่ือนำไปใช ในการพจิ ารณาพลงั งานของวสั ดุจากสมการฮามิลโทเนยี นของสปน โดยท่ัวไปมีสองแนวทางในการ พจิ ารณาคา พารามิเตอรเพอ่ื ใชเปนขอ มลู เรม่ิ ตนในการพิจารณารูปแบบจำลองวัสดุแมเหล็กไดแก ขอมูลหรือคณุ สมบัติทไ่ี ดจากการทดลองและจากวิธีการคำนวณ ab-initio DFT (Density Funtional Theory) ซึ่งเปน การพจิ ารณาจากโครงสรางอเิ ล็กทรอนกิ สของวัสดุ การพจิ ารณาคา พารามเิ ตอรของ วัสดุแมเหลก็ ที่ไดจากการทดลองเปนอกี วธิ ีการหน่ึงที่รวดเร็วและไมซบซอน แตอาจไมสะดวกกรณี ท่ีเกิดการเปลยี่ นวสั ดุ อุณหภูมิหรือเงอ่ื นไขอน่ื ๆ อาจทำใหตอ งทำการทดลองซำ้ ซ่ึงเปนการเสียเวลา และสนิ้ เปลอื งคาใชจาย พารามเิ ตอรที่ใชในรูปแบบจำลองระดับอะตอมที่สามารถพจิ ารณาไดจาก การทดลองไดแ ก โมเมนตชองสปน (atomic spin moments) คาคงท่ีปฎิสัมพนั ธการแลกเปล่ยี น (exchange constant) และคา คงท่แี อนไอโซทรอป เปนตน คา พารามิเตอรที่ใชในรปู แบบจำลองระดบั อะตอมจะเปนคา ที่อุณหภมู ิ 0 เคลวิน ในกรณีท่ี พจิ ารณาผลของอณุ หภูมิ สนามที่เกิดจากความรอ น (thermal field) ท่ีมีรปู แบบการกระจายตวั แบบสุมจะถกู นำมาพจิ ารณาในรูปแบบจำลอง โดยพารามิเตอรทกุ ตัวท่ีใชยงั เปน คาที่ 0 เคลวิน ซึ่ง ผลของอุณหภมู ิทำใหเกดิ การผันผวนของสปน (spin fluctuation) ซง่ึ สง ผลตอ พารามเิ ตอรตา งๆ ภายในระบบเอง พารามเิ ตอรที่ไดจากการทดลองจะมีหนว ยในระบบ CGS แตในแบบจำลองระดบั อะตอมจะพิจารณาหนวยของพารามเิ ตอรตางๆ ในระบบ SI ดังน้นั จงึ มีความจำเปนที่ตองแปลงคา

2.2 พารามิเตอรข องระบบ 41 พารามิเตอรตา งๆ ที่ไดจากการทดลองใหเปน หนวย SI นอกจากน้ีคาพารามิเตอรเหลานัน้ ตองมีการ คำนวณปรมิ าณตออะตอมดว ย ดังรายละเอยี ดตอไปน้ี 2.2.1 โมเมนตข องสปน โมเมนตของสปน µs เปนปริมาณท่ีแสดงถงึ ความเปนแมเหลก็ ของวสั ดุ สามารถพิจารณาได จากแมกนไี ทเซชนั อ่มิ ตวั (saturation magnetisation) ดงั ความสัมพนั ธต อไปน้ี µs = Msa3 (2.16) nat โดย Ms คอื แมกนไี ทเซชันอ่ิมตวั ที่ 0 เคลวิน มีหนวยเปน JT−1m−3 a คือ ขนาดของเซลลห นึ่งหนวยมหี นว ยเปน เมตร nat คือ จำนวนของอะตอมตอเซลลหนึง่ หนว ย แตโดยท่ัวไปโมเมนตของสปน จะแสดงอยูในรูป แบบของจำนวนเทา ของคา Bohr magnetron จากสมการขางตน จะพบวา โดยปกติคา แมกนีไทเซชันท่ีไดจากการทดลองจะเปน การวดั ใน ระดับจุลภาคและมีหนว ยในระบบ CGS ดงั นั้นเม่อื ตองการคำนวณหาคาโมเมนตของสปนเพอื่ นำมา ใชเปนพารามิเตอรของรูปแบบจำลองระดับอะตอม จะตองทำการแปลงหนว ยของแมกนีไทเซชันท่ี ไดจากการทดลองใหมีหนวยในระบบ SI กอน แลวจึงทำการคำนวณคาโมเมนตของสปน ดงั ความ สัมพันธขา งตน ซ่ึงเปนการคิดคา แมกนไี ทเซชันตออะตอมน่นั เอง 2.2.2 คาปรพิ นั ธการแลกเปลย่ี น คา ปริพนั ธก ารแลกเปล่ยี น Jij เปน พารามิเตอรท ส่ี ำคัญท่ีใชใ นการพจิ ารณาพลงั งานปฎิสัมพนั ธ แลกเปล่ยี นระหวางอะตอมซึง่ ไดกลาวในรายละเอียดกอนหนาน้ีไปแลว คาปริพนั ธการแลกเปลีย่ นมี ความสัมพันธกบั คา อณุ หภมู ิคูรีของวสั ดุ ซึง่ เปน คาที่บอกถงึ จุดเปลี่ยนคณุ สมบตั ิของวสั ดุแมเหล็กไป เปนวสั ดุพาราแมกเนติกดงั สมการที่ (2.17) คา ปริพันธการแลกเปลีย่ นที่ไดจากการทดลองจะมีหนว ย เปน erg/cm แตคา ปริพนั ธการแลกเปลี่ยนท่ีใชในแบบจำลองระดับอะตอมจะมีหนวยเปน J/link ซ่งึ สามารถพิจารณาไดดงั น้ี Jij = 3kB Tc (2.17) ϵz เมอื่ kB เปน คา คงท่ขี อง Boltzmann Tc เปนอุณหภูมิครู ี z เปนจำนวนอะตอมใกลเ คยี งท่ใี กลท่สี ุด (nearest neighbohr)

2.2 พารามเิ ตอรของระบบ 42 ϵ เปนคาตัวประกอบจาก mean-field expression ซึ่งคานี้จะขน้ึ อยูกับลกั ษณะโครงสรางของ ผลกึ [19] จากสมการท่ี (2.17) ขา งตนพบวาคา ปริพันธการแลกเปล่ยี นจะขน้ึ อยูกบั จำนวนอะตอมขา ง เคยี งที่ใกลท ่ีสดุ z ซง่ึ คา น้ีจะขึน้ อยกู บั ลักษณะของโครงสรางผลึก ตัวอยา งที่ 2.6. ทำการพจิ ารณาโมเมนตส ปน ของเหล็ก (Fe, iron) ทมี ีโครงสรางแบบ BCC ซงึ่ มีแมกนีไทเซช่ันอม่ิ ตัวที่ 0 เคลวิน มีคา เทา กับ 1.75 MAm−1 และมีขนาดเซลลหน่ึง หนว ยเทา กบั a = 2.866 Å วิธที ำ จากคาท่ีไดจากโจทยสามารถพิจารณาโมเมนตของสปน ดงั ความสมั พันธในสมการที่ (2.16) โดยโครงสรางแบบ BCC มีจำนวนอะตอมตอ เซลลหนึง่ หนวยเทา กบั 2 ดงั นนั้ จะได วา µs = Msa3 = (1.75 × 106)(2.2866 × 10−10)3 nat 2 = 2.092 × 10−23J /T หรือสามารถแสดงไดในรูปของ µB โดยหารดว ยคา Bohr magnetron ดงั น้ี atom2.092 × 10−23 µs = 9.274 × 10−24 = 2.256 µB/ . ตัวอยา งที่ 2.7. จงพจิ ารณาจำนวนอะตอมขางเคยี งที่ใกลทสี่ ดุ z ของวัสดุท่ีมีโครงสรา ง ผลึกลูกบาศกแบบงาย วธิ ีทำ พจิ ารณาวัสดทุ มี่ โี ครงสรางผลึกลูกบาศกแบบงา ยดังรปู ตอไปนี้ จากรปู ทำการพิจารณา อะตอมสนี ้ำเงินตรงกลาง พบวา อะตอมขางเคียงที่ใกลที่สุดจะมีจำนวน 6 อะตอมไดแก อะตอมสีแดงซึง่ อยูในตำแหนงถัดจากอะตอมท่ีทำการพจิ ารณาไปดานซา ย ดา นขวา ดา น หนา ดา นหลัง ดา นบนและดานลา ง ดวยระยะหา งทใี่ กลทส่ี ดุ คือ คา คงท่ีแลตทิซ (a) .

2.2 พารามิเตอรข องระบบ 43 ตัวอยางท่ี 2.8. ทำการพิจารณาคา ตวั ประกอบความถกู ตอ ง (ϵ, correction factor) สำหรับ วัสดุโคบอล Co ท่ีมีอุณหภมู ิคูรี Tc = 1388K และมีคาปริพนั ธการแลกเปล่ียน Jij = 6.064 × 10−21J/link โดยวสั ดุมีโครงสรา งผลกึ แบบ hcp (hexagonal crystal struc- ture) วธิ ีทำ พจิ ารณาโครงสรา งวสั ดแุ บบ hcp พบวา มจี ำนวนอะตอมใกลเ คยี งเทา กบั 12 อะตอม ดงั น้นั คาตวั ประกอบความถูกตอ งสามารถพิจารณาไดจากความสมั พันธใ นสมการตอ ไปน้ี ϵ = 3kBTc Jij z แทนคา ตวั แปรตา งๆ จะไดว า 3(1.38 × 10−23)(1388) ϵ = (6.064 × 10−21)(12) = 0.7896 . 2.2.3 คาคงทแ่ี อนไอโซทรอป (Anisotropy constant) คา คงที่แอนไอโซทรอป ku เปน คณุ สมบัติภายในของวัสดุซงึ่ จะมีคา แตกตา งกนั ขนึ้ อยูกบั ชนดิ และโครงสรางผลกึ ของวสั ดุนนั้ ๆ เปนคาที่บงบอกถงึ ปริมาณของพลงั งานแอนไอโซทรอปซ่ึงเปน พลังงานที่ใชในการรกั ษาทศิ ทางของแมกนีไทเซชันใหมีการจดั เรียงตัวไปตามทศิ ทางของแนวแกน งาย ซึง่ ทศิ ทางของแกนงา ยสามารถกำหนดและควบคมุ ไดในกระบวนการปลูกผลกึ คาคงที่แอนไอ- โซทรอปที่ใชในรูปแบบจำลองระดบั อะตอม ku มีหนวยเปน J/atom สามารถพจิ ารณาไดจากคา แอนไอโซทรอปท ีว่ ดั ไดจ ากการทดลอง Ku ดงั นี้ ku = Kua3 (2.18) nat

2.2 พารามเิ ตอรข องระบบ 44 เมื่อ Ku มีหนวยเปน Jm−3 นอกจากนี้เรายังสามารถพจิ ารณาคา สนามแอนไอโซทรอป Ha ในรปู แบบจำลองวัสดแุ มเหล็กระดับอะตอมสำหรบั วสั ดแุ มเหล็กท่ปี ระกอบดวยโดเมนเด่ียวไดดงั น้ี Ha = 2Ku = 2ku (2.19) Ms µs เมอ่ื พจิ ารณาคณุ สมบัติของคาแอนไอโซทรอป ku พบวา เปนคณุ สมบตั ิภายในที่ข้ึนอยูกบั อณุ หภูมิ ที่อุณหภูมิศนู ยเคลวนิ คา คงที่แอนไอโซทรอปจะมีคา มากท่ีสุดซ่งึ แสดงถงึ ความสามารถใน การรกั ษาทศิ ทางของแมกนีไทเซชนั ใหมีการจัดเรยี งตวั ไปในทิศทางตามแนวแกนงา ย แตเมือ่ อุณหภมู ิ เพม่ิ ขน้ึ คา คงท่ีแอนไอโซทรอปจะมีคาลดลงจนกระทงั่ มีคา เปน ศนู ยท่ีอุณหภมู ิคูรีดงั รูปที่ 2.8 ทง้ั นี้ เนอื่ งมาจากผลอุณหภมู ิท่ีมีตอความผันผวนของแมกนีไทเซชนั กลา วคอื ท่ีอุณหภูมิสูงๆ พลังงานความ รอ นมีแนวโนม ที่จะเอาชนะพลงั งานแอนไอโซทรอปทำใหแมกนีไทเซชนั เกิดการเรยี งตัวออกจาก แนวของแกนงาย และที่อณุ หภูมิคูรีพลงั งานความรอ นมีคาสูงมากจนแมกนีไทเซชันไมสามารถรกั ษา ทิศทางไปตามแนวแกนงา ยไดจงึ มีทศิ ทางแบบสมุ และเกดิ การหกั ลา งจนไมเหลือสภาพความเปน แม เหลก็ รูปท่ี 2.8 การเปลย่ี นแปลงของแอนไอโซโทรป Ku และแมกนไี ทเซชนั M ท่ีอุณหภูมิตา งๆ [20] รปู ที่ 2.8 แสดงการเปล่ยี นแปลงของแมกนีไทเซชนั ท่ีอุณหภมู ิตา งๆ พบวา แมกนีไทเซชันมีคา ลดลงเมือ่ อณุ หภมู ิเพ่ิมข้นึ เนอ่ื งจากผลของสนามท่ีเกิดจากความรอ นทำใหแมกนีไทเซชนั เกิดความ ผนั ผวนและเกิดการเปล่ยี นแปลงทศิ ทาง โดยพบวา ที่อณุ หภมู ิประมาณ 900 K แมกนีไทเซชนั มีคา เขาใกลศนู ยกลา วคือวัสดุแมเหลก็ มีการเปล่ยี นคุณสมบตั ิจากเฟรโรแมกเนติกเปน วัสดุพาราแมกเนติก อณุ หภมู ินี้เรียกวา อณุ หภูมิคูรี (Tc) ซ่ึงการผนั ผวนของแมกนีไทเซชันน้ีสง ผลตอคา แอนไอโซทรอปซ่ึง

2.2 พารามิเตอรของระบบ 45 เปนไปตามทฤษฎีของ Calen-Calen ดงั สมการที่ (2.20) ซึง่ พบวา คาแอนไอโซทรอปเปนคุณสมบตั ิที่ ขนึ้ อยกู ับอุณหภมู ิ โดยจะมีคาลดลงเมือ่ อณุ หภูมสิ งู ขึน้ และมคี าเปนศูนยท อี่ ณุ หภูมคิ รู ี [ M (T ) ]3 (2.20) K(T ) = K(0) M (0) จากท่ีไดกลาวมาจะเหน็ วา คา พารามเิ ตอรของวสั ดุแมเหลก็ เฟรโรแมกเนติกมีความสำคญั มาก ในการพจิ ารณาแบบจำลองวสั ดุแมเหล็กระดับอะตอมเน่อื งจากเปน ตวั กำหนดคุณสมบตั ิตา งๆ ของ วสั ดุ เชน ลกั ษณะของวงวนฮสี เตอรีซสี คา สนามโคเออซีวิตี (coercivity field) เปนตน พารามิเตอร ที่สำคัญทีใ่ ชใ นรูปแบบจำลองวสั ดุแมเ หลก็ ระดับอะตอมของวสั ดุตา งๆ แสดงดงั ตารางตอ ไปนี้ ตารางที่ 2.1 พารามเิ ตอรตางๆ ของวัสดุเฟรโรแมกเนติก Fe Co Ni และ Gd [2] Crystal structure Fe Co Ni Gd Unit Unit cell size a bcc hcp fcc hcp -- Coordinate number z 2.866 2.507 3.524 3.636 Å Curie temperature Tc 8 12 12 12 -- Correction factor ϵ 1043 1388 631 293 Spin moment µs 0.766 0.790 0.790 0.790 K Exchange energy Jij 2.22 1.72 0.606 7.63 Anisotropy energy k -- 7.050×10−21 6.064×10−21 2.757×10−21 1.280×10−21 µB 5.65 × 10−25 6.69 × 10−24 5.47 × 10−26 5.93 × 10−24 J /link J /atom จากตารางขา งตนจะพบวาวสั ดุตา งชนดิ กนั จะมีคา พารามเิ ตอรที่กำหนดคณุ สมบัติทางแม เหลก็ ท่ีแตกตา งกนั เมือ่ ทราบพารามเิ ตอรตา งๆ เหลานี้ของวัสดุแมเหลก็ ท่ีตองการพจิ ารณา เรา สามารถคำนวณหาสนามประสิทธิผลที่เกิดข้ึนในวสั ดุแมเหล็กได และนำไปสูการการพิจารณาการ เคลอ่ื นท่ีหรอื พลวัตของแมกนีไทเซชันได ซง่ึ รายละเอียดในการจำลองวสั ดุแมเหลก็ เพื่อศกึ ษาพลวตั ของแมกนไี ทเซชนั จะกลาวในบทตอ ไป

2.3 คำถามทา ยบท 46 2.3 คำถามทายบท 2.3.1. จงหาพลังงานปฎิสมั พันธการแลกเปล่ยี นระหวางสปนที่มีทศิ ทาง S1 = (0, 0.707, 0.707) S2 = (0, 1, 0) และ S3 = (0.5, 0.866, 0) 2.3.2. จากรปู เปน ช้ันพนื้ ผิวของวัสดุแมเหล็กชนิดหน่ึงที่มีระยะหางระหวางอะตอม a = 3.5 Å จงหาพลังงานปฎิสัมพันธการแลกเปลี่ยนที่เกิดขึน้ ที่สปนท่ี 8 เมื่อคา ปริพันธการแลกเปลยี่ นมีคา Jij = 5 × 10−21 J/link และแตละสปนมกี ารจดั เรียงตัวไปตามทิศทางดังตอ ไปน้ี S1 = (0, 1, 0) S2 = (0, −1, 0) S3 = (−0.5, 0.866, 0) S4 = (0, 1, 0) S5 = (0.5, 0.866, 0) S6 = (0, 1, 0) S7 = (0, 1, 0) S8 = (0, 1, 0) S S S S9 = (0, −1, 0) 10 = (0, 1, 0) 11 = (0.866, 0.5, 0) 12 = (0, 1, 0) 2.3.3. จงหาจำนวนอะตอมท่ีใกลเคียงทสี่ ดุ ของวัสดุที่มีโครงสรางแบบ BCC FCC และ HCP พรอ ม ทง้ั วาดโครงสรา งผลกึ แตละแบบและแสดงตำแหนงของอะตอมแตละอะตอม

2.3 คำถามทายบท 47 2.3.4. จากรปู โครงสรางพนื้ ผวิ วัสดุสองชั้น Co/Fe จงหาอะตอมท่ีใกลเคยี งทสี่ ุด (nearest neigh- bohr list) ของแตละอะตอมพรอมทั้งหาสนามแมเหลก็ ที่เกิดจากปฎิสมั พันธการแลกเปล่ยี นของ แตละอะตอมเมอ่ื JCo-Co = 5 × 10−21 J/link JFe-Fe = 2.5 × 10−21 J/link และ JCo-Fe = 4 × 10−20 J/link เม่อื กำหนดใหทกุ สปนมีทศิ ทาง (0, 1, 0) 2.3.5. จากรปู เปน เซลลหนง่ึ เซลลของโครงสรา งวสั ดุแมเหล็กที่ประกอบดวยวัสดุสองชนดิ ท่ีมีสปน โมเมนตที่แตกตางกัน จงพจิ ารณาตำแหนงของเซลลเ ม่อื กำหนดใหสปน สีน้ำเงินมีสปนโมเมนต µs1 = 1.5µB และสปนสดี ำมีสปนโมเมนต µs2 = 1.2µB และสปน แตละสปน หา งกัน a = 3 Å

2.3 คำถามทายบท 48 2.3.6. แผน ฟลม บางถกู แบงออกเปน เซลลดงั รูป จงหาคาสนามแมเหล็กคูขว้ั ที่เกดิ ขึน้ ในแตล ะเซลล ของแผน ฟลมบางโดยแตละเซลลม ีตำแหนงจดุ ศูนยก ลางเซลลหา งกนั 3a เม่ือระยะหา งของอะตอมใน แลตทิซมีคา เทากบั a = 3 Å และโมเมนตแมเหล็กในแตล ะเซลลมีขนาดเทา กนั คือ 2µB โดยโมเมนต แมเ หลก็ มเี วกเตอรหน่ึงหนวยดังนี้ µ0 = (0, 1, 0) µ1 = (0, −1, 0) µ2 = (−0.5, 0.866, 0) µ3 = (0, 1, 0) µ4 = (0.5, 0.866, 0) µ5 = (0, 1, 0) µ6 = (0, 1, 0) µ7 = (0, 1, 0) µ8 = (0, −1, 0)

บทที่ 3 สมการ LLG (The Laudau-Lifshitz-gilbert equation) ในบทนี้จะกลา วถงึ การเคลือ่ นที่ของสปนท่ีเวลาตางๆ ซ่ึงการเคลื่อนที่นี้เกดิ ขน้ึ ไดเนือ่ งจากมี แรงบิดท่ีเกดิ จากสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลมากระทำตอสปน การเคลอื่ นท่ีของสปน นี้สามารถอธบิ าย ไดดว ยสมการ LLG (Laudau-Lifshitz-Gilbert equation) ซง่ึ จะกลา วในรายละเอียดตอ ไป นอกจาก น้ีกลไกของการเคลอ่ื นท่ีของสปนกรณีที่มีการปอนกระแสจากภายนอกเขาไปยังโครงสรางวัสดุยัง สามารถอธบิ ายไดดวยสมการปรับแตง LLG (modified LLG equation) ท่ีพจิ ารณาผลของกระแส ภายนอกที่มีตอ การเคลื่อนที่ของสปน และจะอธิ บายข้ันตอนของวธิ ีการเชงิ ตวั เลขท่ีนำมาใชในการ พจิ ารณาการเคลือ่ นท่ีของสปน ซึ่งเปน การประมาณคา เนอ่ื งจากสมการ LLG เปนสมการเชงิ อนพุ ันธที่ มีความซับซอ นในการหาคำตอบแมนตรง วธิ ีการเชงิ ตวั เลขมีหลายวธิ ีแตในที่นี้จะกลา วถงึ วธิ ี Heun scheme ทใี หค าความแมนยำท่ีสูงสำหรับการพจิ ารณารปู แบบวัสดแุ มเหล็กระดับอะตอม 3.1 รปู แบบของสมการ LLG สมการ LL (Landau-Lifshiftz equation) ถูกนำเสนอครั้งแรกโดย L. D. Landau และ E. M. Lifshitz [21] ในป ค.ศ.1935 และถกู นำมาอธิบายการเคลอ่ื นที่ของแมกนีไทเซชนั ในวสั ดุเฟรโร- แมกเนติกท่ีเวลาตา งๆ พฤตกิ รรมการเคลอื่ นท่ีของโมเมนตแมเหลก็ สามารถอธิบายไดโดยใชสมการ แรงบิดทางกลศาสตรควอนตมั อตั ราการเปลีย่ นแปลงของโมเมนตัมเชงิ มมุ ที่เกดิ จากแรงบดิ ที่กระทำ ตอ สปนของอเิ ลก็ ตรอนซึ่งเปนผลเน่ืองมาจากสนามแมเ หล็ก สามารถพจิ ารณาไดด ังนี้ [22, 23] dL = T = µ⃗ × H (3.1) dt และโมเมนตแมเ หลก็ µ⃗ ซึ่งมีหนว ยเปน J/T สามารถพิจารณาไดดงั นี้ µ⃗ = −γL (3.2) เม่ือ L คือโมเมนตัมเชงิ มมุ ของสปน และอตั ราสวนไจโรแมกเนติกของสปน (gyromagnetic ratio) มี คา เทา กับ γ = 1.76086 × 1011 rad s−1T −1 การเคล่ือนท่ีของโมเมนตแมเหล็กในระบบท่ีมีสนามแมเหลก็ ประสิทธิผล (Heff) มากระทำ สามารถพจิ ารณาไดจากรูปแบบจำลองระดับอะตอมโดยทำการแทนสมการท่ี (3.2) ลงในสมการที่

3.1 รปู แบบของสมการ LLG 50 รูปท่ี 3.1 การเคลอ่ื นทข่ี องสปน รอบสนามแมเหล็กประสิทธผิ ลหรือเรยี กวา precessional motion (3.1) และทำการจดั รปู แบบสมการใหมดงั นี้ ∂µ⃗ = −γµ⃗ × Heff ∂t สมการขางตนแสดงอตั ราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตแมเหล็กเมอื่ เทยี บกบั เวลา จากความ สมั พนั ธจะพบวาโมเมนตแมเหล็กจะเกิดการเคลอื่ นที่วนรอบสนามแมเหล็กประสิทธิผลท่ีมากระทำ มีลักษณะการเคลอ่ื นที่คลายกรวย การเคลื่อนที่แบบน้ีเรยี กวา การเคลอ่ื นที่วนรอบหรอื preces- sional motion ในรูปแบบจำลองระดับอะตอมจะทำการพจิ ารณาการเคลือ่ นท่ีของสปน แทนการ เคลอื่ นท่ีของโมเมนตแมเหล็ก ดังน้ันกรณีท่ีตอ งการพิจารณาการเคล่อื นที่ของสปนเมื่อมีสนามแม เหล็กประสทิ ธผิ ลมากระทำ สามารถพิจารณาไดในทำนองเดยี วกันกับการเคลอื่ นท่วี นรอบของโมเมนต แมเหล็ก โดยทำการแทนคาสปน (S⃗) ลงในสมการขา งตนแทนการพจิ ารณาการเคลอื่ นท่ีของโมเมนต แมเ หลก็ ดงั นี้ ∂S⃗ = −γS⃗ × Heff (3.3) ∂t เมือ่ พิจารณาการเคลื่อนที่ของสปนที่สภาวะเสถยี ร (equilibrium state) จากสมการขางตน พบวา สปน จะเคลื่อนท่ีวนรอบสนามแมเหล็กประสิทธิผลดวยวงรอบที่คงที่คา หนึ่งเน่อื งจากไมม ีการ สญู เสียของพลังงานดังรปู ที่ 3.1 กลาวอกี นยั หนึ่งคือสปนมีการจัดเรียงตัวที่แนน อน โดยทำมุมคงท่ี คาหน่งึ กบั ทิศทางของสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลซงึ่ นำไปสูสภาวะเสถียรของระบบซึง่ สอดคลองกบั สมการของ Brown [1] นอกจากสปน จะมีการเคลอ่ื นที่วนรอบสนามแมเหล็กประสิทธิผลแลว สปน ยังมีการเคลือ่ นที่แบบหนว ง (damping motion) โดยมีแรงบดิ มากระทำตอสปนในทศิ ทางตัง้ ฉากกบั ทิศทางของสนามแมเหล็กประสิทธิผล แรงบิดนี้จะสง ผลตอ การเคลอ่ื นที่แบบวนรอบโดยไปลดขนาด ของมมุ ท่ีสปนทำกบั สนามแมเหลก็ ประสทิ ธผิ ล เพ่ือบงั คับใหสปนมีแนวโนมจดั เรียงตวั ไปตามทิศทาง ของสนามแมเหลก็ ประสิทธผิ ลน่ันเอง

3.1 รูปแบบของสมการ LLG 51 การเคลือ่ นทีแ่ บบหนว งนจี้ ะถูกนำมาอธบิ ายเพม่ิ เตมิ ในสมการ Laudau-Lifshiftz (LL) ซึง่ พจน ของการเคลอ่ื นท่ีแบบหนวงที่เพ่มิ เขามาจะทำใหเกดิ แรงบิดเพม่ิ เติมมากระทำตอ สปน และสงผลให โมเมนตแมเหลก็ หรอื สปนมีการจดั เรยี งตัวไปในทิศทางของสนามแมเหล็กประสทิ ธิผล การเคล่อื นที่ แบบหนวงจะถกู อธบิ ายดวยคา คงที่ความหนว ง (damping constant, α) ซึ่งเปน คา คงที่ท่ีเกีย่ วของ กับการถายโอนพลงั งานระหวา งสปนกบั อางความรอนและบอกถึงอตั ราความเรว็ ของการเขาสูสภาวะ เสถยี รของสปน โดยจะมีคาอยูระหวาง 0-1 โดยปกติคา คงที่ความหนวงท่ีใชในรูปแบบจำลองวัสดุ แมเหล็กระดบั อะตอมเพื่อศึกษาคุณสมบัติพลวตั ของแมกนีไทเซชนั จะใชคา ประมาณ 0.01-0.1 เพอื่ ใหใกลเคยี งกับความเปนจริงหรอื ผลที่ไดจากการทดลอง คาคงท่ีความหนว งของวสั ดุแมเหลก็ ตาง ชนดิ จะมีคาที่แตกตางกัน แตเนือ่ งจากการคำนวณคาคงที่ความหนว งจากทฤษฎีคอนขา งซบั ซอ น [22] แบบจำลองวัสดแุ มเ หล็กโดยสวนใหญจ ะเลอื กใชคาท่นี อยหรือนำคาคงทีค่ วามหนวงท่ีไดจากการ ทดลองมาใชซ ง่ึ สามารถวัดไดโดยตรงจากการทดลอง FMR (ferromagnetic resonance) สมการ LL ท่ีพจิ ารณาท้งั การเคลอื่ นทว่ี นรอบและการเคลือ่ นท่ีแบบหนว งสามารถพิจารณาไดด ังสมการตอ ไปน้ี ∂S⃗ = −γLLS⃗ × Heff − αLL S⃗ × (S⃗ × Heff) (3.4) ∂t µs เม่ือ S⃗ คือเวกเตอรข องสปนโมเมนต γLL คอื คาอัตราสวนไจโรแมกเนติก Heff คอื สนามแมเ หลก็ ประสิทธผิ ล αLL คือคาคงท่ีความหนวงของ Laudau-Lifshiftz µs คอื ขนาดของสปน โมเมนต จากสมการท่ี (3.4) ซ่งึ อธิบายการเคล่อื นที่ของสปน พบวาการเคลือ่ นที่ของสปนจะประกอบ ดว ยสองสว นไดแก พจนแรกของสมการอธิบายการเคล่อื นท่ีของสปนวนรอบสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิ- ผล และพจนที่สองอธิบายการเคลอ่ื นท่ีแบบหนว งของสปน การเคลื่อนที่ของสปนท่ีเกิดจากผลของ แรงบดิ ทัง้ สองสว นสามารถพิจารณาไดดงั รปู ท่ี 3.2 สปนในรปู มีทศิ ทางเริ่มตนในทิศทางตามแนว แกน −z จากนัน้ ทำการปอนสนามแมเหลก็ ประสทิ ธผิ ลในทศิ ทางแกน z แรงบิดแบบวนรอบและ แบบหนว งจะไปกระทำตอ สปน สงผลใหสปน มีการเคลือ่ นทีว่ นแบบกนหอยไปในทิศทางของสนามแม เหลก็ ประสทิ ธิผล การเคล่ือนที่แบบหนว งในสมการ LL ขา งตนสามารถนำมาอธบิ ายการเคล่ือนที่ของสปนใน กรณีที่คาคงที่ความหนว งมีคา นอยแตไมเหมาะสมในการนำมาอธิบายการเคลื่อนท่ีของสปนในกรณีท่ี คาคงที่ความหนว งมีคา มาก ตอ มา Gilbert ไดนำเสนอสมการการเคลอ่ื นท่ีแบบหนว งของสปนในอีก รปู แบบหนง่ึ เรยี กวา phenomenological damping term เพ่อื ใชอธบิ ายการเคล่อื นท่ีของสปนที่มี คาความหนวงอยูระหวา ง 0 ≤ α ≤ 1 ดังนน้ั สมการการเคลอ่ื นที่ของสปนที่พจิ ารณาพจนของการ

3.1 รปู แบบของสมการ LLG 52 รปู ท่ี 3.2 การเคลื่อนทแี่ บบกรวยหรือแบบกนหอยของสปน เคลื่อนที่แบบหนว งที่มีการจดั รูปแบบสมการใหมเรียกวา สมการ LLG (Landau-Lifshiftz-Gilbert) ดังน้ี H∂S⃗ αG ∂S⃗ (3.5) µs ∂t ∂t = −γGS⃗ × eff + S⃗ × โดย γG เปนอตั ราสว นไจโรแมกเนติกของ Gilbert αG คือคาคงทีค่ วามหนว งของ Gilbert เมอื่ พิจารณาสมการท่ี (3.4) และ (3.5) พบวาทง้ั สองสมการมีความคลายคลงึ กันและสามารถ แปลงความสัมพนั ธของแตละสมการใหอยูในรูปแบบของอกี สมการได โดยสมการที่ (3.5) เปน สมการ LLG ท่ีอยูในรูปแบบของ Gilbert ซ่ึงมีความยงุ ยากในการพจิ ารณาหาคำตอบการเคลือ่ นที่ของสปน เม่อื เทียบกบั เวลาเนือ่ งจากมตี ัวแปร ∂S⃗ ทีต่ อ งการพจิ ารณาอยูท้ังสองขา งของสมการ ดงั นัน้ เพื่อความ ∂t สะดวกในการพิจารณาการเคลอื่ นท่ีของสปน สมการ Gilbert จะถูกแปลงใหอ ยใู นรปู แบบของสมการ Landau-Lifshitz ซึ่งจะทำใหไ ดสมการ LLG ในรปู แบบที่งายและสะดวกข้นึ การแปลงสมการ LLG จากรปู แบบ Gilbert เปนรปู แบบ LL ทำไดโดยการครอสท้งั สองขาง ของสมการท่ี (3.5) ดวยสปนโมเมนต S⃗ ดงั น้ี HS⃗ ∂S⃗ αG ∂S⃗ (3.6) × ∂t = −γGS⃗ × (S⃗ × eff) + µs S⃗ × (S⃗ × ∂t ) จากนั้นทำการพิจารณาพจนท่ีสองของสมการขา งตนซึ่งเปนการคลอสของสปนโมเมนตก บั การเคลอื่ น ท่ขี องสปน โดยกำหนดให S⃗ · ∂S⃗ = 0 เนือ่ งจากขนาดของสปน โมเมนตจะถกู อนรุ ักษใ หคงท่ี ดงั น้ันจะ ∂t ไดวา

3.1 รปู แบบของสมการ LLG 53 S⃗ × (S⃗ × ∂S⃗ = S⃗ (S⃗ · ∂S⃗ ) − ∂S⃗ (S⃗ · S⃗ ) ) ∂t ∂t ∂t และ S⃗ · S⃗ = µs2 จะไดว า ∂S⃗ ∂S⃗ ∂t ∂t S⃗ × (S⃗ × ) = −µs2 จากน้นั นำความสมั พันธข า งตนไปแทนคา ในสมการท่ี (3.6) ดังน้ี HS⃗ ∂S⃗ ∂S⃗ (3.7) × ∂t = −γGS⃗ × (S⃗ × eff) − αG µs ∂t (3.8) ทำการแทนสมการที่ (3.7) ลงในสมการที่ (3.5) จะไดวา [] H H∂S⃗ ∂S⃗ αG ∂t µs eff) − αGµs ∂t = −γGS⃗ × eff + −γGS⃗ × (S⃗ × จัดรูปแบบสมการใหมด ังน้ี H H∂S⃗ [ ] ∂S⃗ S⃗ ∂t ∂t eff) = −γGS⃗ × eff − γGαG × (S⃗ × − αG2 µs ∂S⃗ γGαG [ ] ∂t µs S⃗ H H(1 eff) + αG2 ) = −γGS⃗ × eff − × (S⃗ × H H∂S⃗ [ ] S⃗ ∂t eff) = −γG S⃗ × eff − (1 γGαG × (S⃗ × (1 + αG2 ) + αG2 )µs ทำการคณู ทง้ั สองขา งของสมการดว ยขนาดของสปนโมเมนต µs จะไดว า H H∂S⃗ −γG [ ] + αG2 S⃗ µs∂t eff) = (1 )µs S⃗ × eff − (1 γGαG × (S⃗ × + αG2 )µs2 จากนน้ั จะไดส มการ LLG จัดในรูปแบบใหม (LL form) ดังนี้ ∂S = S−γG × Heff − γGαG [S × (S × Heff)] (1 + αG2 ) . ∂t (1 + αG2 )

3.1 รูปแบบของสมการ LLG 54 การแปลงสมการ Gilbert ใหอ ยใู นรปู แบบเดยี วกับสมการ LL ดงั แสดงในสมการท่ี (3.8) พบวา เมอ่ื ทำการเปรียบเทยี บสัมประสิทธ์ิในสมการนี้กบั สัมประสิทธ์ิในสมการท่ี (3.4) จะไดความสัมพันธ ดังน้ี γLL = −γG/(1 + αG2 ) และ αLL = γGαG/(1 + αG2 ) และในกรณีที่คาคงที่การหนวงมี คา เปน ศนู ยจะไดวา γLL = γG = γ จากสมการนี้พบวา การเคล่อื นที่ของสปน เกดิ จากสองสวน ไดแ กการเคล่ือนที่แบบวนรอบสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลดังแสดงในพจนแรกของสมการ และการ เคลื่อนท่ีแบบหนว งซง่ึ มีแรงบดิ บังคบั ใหสปนมีแนวโนมการเคล่ือนท่ีไปยังทิศทางของสนามแมเหลก็ ประสิทธผิ ลดังแสดงในพจนที่สองของสมการ การเคลอื่ นท่ีทง้ั สองแบบสามารถพิจารณาไดดังรปู ท่ี 3.3 (a) (b) รปู ที่ 3.3 การเคลือ่ นท่ีของสปน แบบวนรอบและแบบหนวงเมื่อลกู ศรสีแดงแสดงทิศทางของสนาม แมเหลก็ ประสทิ ธผิ ลและลกู ศรสนี ำ้ เงินแสดงทิศทางการเคลือ่ นท่ีของสปน (a) การเคลื่อนท่ีของสปน แบบวนรอบสนามแมเหลก็ ประสิทธิผลของสปน (precessional motion) และ (b) การเคล่อื นท่ีของ สปนแบบหนวง (damping motion) การควบคมุ ทิศทางของแมกนีไทเซชนั ดว ยการปอนกระแสไฟฟาจากภายนอก (current in- duced magnetisation reversal) เขา สโู ครงสรา งของวสั ดแุ แมเ หลก็ กำลงั ไดร บั ความสนใจเปน อยา ง มากเน่ืองจากสามารถนำไปประยุกตใชกบั เทคโนโลยีการบนั ทกึ ขอ มลู และอุปกรณส ปนทรอนิกสได วธิ ีการควบคุมทิศทางของแมกนีไทเซชนั ดวยการปอ นกระแสไฟฟาภายนอกเปน อกี หน่งึ ทางเลือก นอกเหนือจากวิธีดง้ั เดิมท่ีควบคุมทิศทางแมกนีไทเซชันดว ยการปอนสนามแมเหล็กภายนอก ซึ่งวิธี การควบคุมแมกนีไทเซชันดวยสนามแมเหล็กภายนอกคอ นขา งมีขอจำกดั เนอื่ งจากตอ งปอ นสนาม แมเหล็กท่ีมีคาคอ นขางสงู และเกิดฟลกั ซกระจายกนิ พื้นท่ีของโครงสรางวสั ดุคอนขางมาก ซงึ่ ทำให วัสดุแมเหล็กสามารถจุขอ มูลตอพนื้ ท่ีไดนอยลง ในขณะท่ีวธิ ีการควบคมุ ทศิ ทางของแมกนีไทเซชนั ดว ยการปอ นกระแสไฟฟา ภายนอกสามารถทำไดในโครงสรา งวสั ดุที่มีพน้ื ที่ขนาดเลก็ ทำใหสามารถ เพิ่มความจุของขอมลู ตอพ้นื ที่ไดมากขนึ้ การปอ นกระแสไฟฟา ภายนอกในทศิ ทางตัง้ ฉากกับระนาบ ของโครงสรางวัสดุแมเหล็กจะเหน่ยี วนำทำใหเกดิ แรงบิดกระทำตอ สปนที่เรียกวา แรงบิดสปน (spin

3.2 ปรากฏการณส ปน ทอรค 55 torque) ทำใหมีแรงบิดเพม่ิ เตมิ นอกเหนอื จากแรงบิดท่ีเกิดจากสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผล สง ผล ใหการควบคุมทิศทางของแมกนีไทเซชันงา ยข้นึ ดงั นนั้ จึงมีความจำเปน ท่ีตอ งศึกษาการเคลือ่ นท่ีของ สปนที่คิดผลของสปนทอรคเพอ่ื ทำความเขาใจกระบวนการทางฟสกิ สที่เกิดขึน้ ในโครงสรา งวัสดุแม เหลก็ โดยพจิ ารณาจากสมการ LLG แตพจิ ารณาผลของกระแสภายนอกเพิม่ เตมิ เขา ไปดงั จะกลาวใน รายละเอียดตอ ไป 3.2 ปรากฏการณสปน ทอรค (Spin-Transfer Torque) ปรากฏการณของสปนทอรคซึ่งเหนีย่ วนำใหเกิดการเปล่ยี นแปลงทิศทางของแมกนีไทเซชนั และการเคลื่อนท่ขี องกำแพงโดเมนถกู นำเสนอคร้งั แรกโดย Berger [24] และ Slonczewski [25] โดย Slonczewski ไดทำการศึกษาปฎิสัมพันธระหวา งแมกนีไทเซชนั ในโครงสรางวสั ดุแมเหลก็ สามชน้ั ที่ ประกอบดว ยวสั ดุเฟอโรแมกเนติกสองช้ันที่ค่ันกลางดว ยวสั ดุนอนแมกเนติกซ่งึ ไมม ีคุณสมบัติความ เปน แมเหล็ก (spacer) ซ่งึ ชัน้ วัสดุ spacer น้ีจะตอ งบางพอเพอื่ ไมใหเกดิ ปฎิสัมพันธการแลกเปล่ียน ระหวางชนั้ เฟรโรแมกเนติกทั้งสองและเพื่อรักษาทิศทางของกระแสสปน ไมใหเกดิ การเปลี่ยนแปลง ทิศทางเมอ่ื เคลื่อนที่ผา นชน้ั วัสดนุ ้ี ซึ่งปรากฏการณนีไ้ ดรบั การศึกษาอยา งแพรหลายเพอ่ื นำไปประยุกต ใชกับงานดา นตา งๆ โดยเฉพาะอยางย่ิงงานดา นเทคโนโลยีบันทึกขอ มูล การปอนกระแสไฟฟาเขาไป ในโครงสรางวสั ดุแมเหลก็ ทำใหเกิดปรากฏการณสปนทอรค กระทำตอแมกเนไทเซชนั ในวสั ดุ ซ่ึงหาก ความหนาแนนของกระแสไฟฟา ภายนอกท่ีปอนเขา สูโครงสรา งวัสดุมีคา มากพอจะทำใหสามารถ ควบคมุ ทิศทางของแมกเนไทเซชนั ได อปุ กรณการบันทึกขอมลู เชิงแมเหลก็ ท่ีนำหลกั การของสปน- ทอรคมาประยกุ ตใชง าน ไดแก หนวยความจำเขา ถึงแบบสมุ เชงิ แมเหล็ก (magnetoresistive random- access memory, MRAM) มีหลักการทำงานโดยอาศัยการควบคุมทศิ ทางของแมกเนไทเซชันในชน้ั วัสดุแมเหล็กเฟรโรแมกเนติกเพ่ือทำการบนั ทกึ และอา นขอ มลู ดว ยเหตุนี้จงึ ทำใหการศึกษาเกีย่ วกับ วธิ ีการควบคุมทศิ ทางของแมกเนไทเซชนั ในอุปกรณสปนทรอนิกสไ ดรับความสนใจเปน อยา งมากใน ปจ จบุ นั การเกิดปรากฏการณส ปนทอรคสามารถอธบิ ายไดดวยปฎิสมั พนั ธการแลกเปล่ยี นระหวาง แมกนีไทเซชนั ในช้นั เฟรโรแมกเนติกและสปนของตวั นำอเิ ลก็ ตรอนซึง่ สามารถพจิ ารณาไดโดยปอ น กระแสไฟฟา ผา นไปยงั โครงสรางวัสดุสามชัน้ ดงั รปู ท่ี 3.4 (a) เม่อื ทำการปอนกระแสไฟฟา ตง้ั ฉากกับ ระนาบของโครงสรางวัสดุสามชน้ั ผา นไปยงั ชน้ั เฟรโรแมกเนติกชัน้ แรก (F1) ซึ่งเปนชน้ั ที่มีแมกนีไทเซ- ชันคงท่ีไมม ีการเปล่ยี นแปลงทิศทางซึ่งเรียกช้ันวัสดุนี้วา ชั้นพิน (pinned layer) จะเกิดปฎิสัมพันธ แลกเปลย่ี นระหวา งสปนของอเิ ลก็ ตรอนซึ่งมีทิศทางใดๆ (disordered orientation) กับแมกนีไทเซ- ชนั ในช้ันวัสดุเฟรโรแมกเนติก F1 ที่เรยี กวา การแลกเปล่ียน s-d สง ผลใหสปนของกระแสที่ปอ น เขา มาซ่งึ เดมิ มีทิศทางใดๆ มีการจดั เรยี งตวั ไปตามทศิ ทางของแมกนีไทเซชันในชัน้ F1 หรอื ช้ันพิน

3.2 ปรากฏการณสปน ทอรค 56 ซึ่งเรียกกระแสนี้วา กระแสสปน โพลาไรซ (spin-polarised current) จากนนั้ กระแสสปนโพลาไรซ น้ีจะเคลือ่ นที่ผา นไปยงั ช้นั วสั ดุเฟรโรแมกเนติกท่ีสอง F2 หรือชัน้ อสิ ระที่มีแมกนีไทเซชันที่สามารถ เปลยี่ นแปลงทิศทางได (free layer) และเกดิ ปฎิสัมพันธระหวางกระแสสปนกับแมกนีไทเซชนั ในชั้น อสิ ระ สง ผลใหเกิดแรงบิดกระทำตอ สปนของอเิ ล็กตรอน ในขณะเดียวกนั จะเกดิ แรงบิดกระทำกลบั ตอ แมกนีไทเซชนั เชนกัน ซึ่งเปน ไปตามกฎการอนรุ กั ษพลงั งานของโมเมนตัมเชงิ มมุ แรงบิดของสปน ที่กระทำตอ แมกนีไทเซชนั มีแนวโนมที่จะทำใหเกิดการเปลีย่ นแปลงทิศทางของแมกนีไทเซชัน ถา แรง บิดสปน ซง่ึ แปรผนั โดยตรงกบั ความหนาแนน ของกระแสที่ปอ นเขามามีคามากพอ จะทำใหแมกนีไท เซชันในช้นั วัสดุเฟรโรแมกนีติก F2 มีโอกาสจดั เรยี งตวั ไปในทศิ ทางเดียวกบั แมกนีไทเซชนั ในชนั้ วัสดุ เฟรโ รแมกเนติก F1 ดงั รปู ที่ 3.4 (b) (a) (b) รปู ที่ 3.4 โครงสรางวสั ดสุ ามช้ันประกอบดวยวัสดุเฟรโรแมกเนติกสองชั้นคนั่ กลางดว ยชั้น spacer (a) ทศิ ทางของแมกนีไทเซชันในชัน้ เฟรโรแมกเนติกท้ังสองในสภาวะเริม่ ตน กอนการปอนกระแสภายนอก (b) ทิศทางของแมกนีไทในชน้ั เฟรโรแมกเนติกช้ันท่ีสอง F2 เกิดการกลบั ทศิ ทางเนอื่ งจากปฎิสมั พันธ แลกเปลยี่ นระหวา งสปน ของอเิ ล็กตรอนและแมกนีไทเซชันในชั้น F2

3.2 ปรากฏการณส ปนทอรค 57 3.2.1 สมการปรบั แตง LLG กรณีคดิ ผลของกระแสไฟฟาภายนอก การพจิ ารณาผลของสปนทอรคที่มีตอ การเคลอื่ นท่ีของแมกนีไทเซชันหรอื สปนภายในโครง- สรางวสั ดุแมเหลก็ ท่ีเกดิ จากการปอ นกระแสไฟฟา ภายนอกดวยรูปแบบจำลองวสั ดุแมเหล็กระดบั อะตอม สามารถทำไดโดยพจิ ารณาโครงสรางวัสดุสามชน้ั ที่ประกอบดว ยวสั ดุเฟรโรแมกเนติกสอง ชั้นคัน่ กลางดวยชั้นวัสดุท่ีไมม ีความเปน แมเหลก็ การเคลื่อนที่ของสปนในช้ันวสั ดุเฟรโรแมกเนติก ในช้ันท่ีสองหรือช้ันอสิ ระ F2 (S⃗) ที่เวลาตา งๆ ที่คดิ ผลของสปนทอรคสามารถทำไดโดยการปรับ แตงสมการ LLG ซง่ึ ผลของสปนทอรค จะถกู นำเสนอในรปู แบบของสนามแมเหลก็ เพมิ่ เติมที่เกดิ จาก การเหนี่ยวนำของสปนทอรค ซง่ึ พจนนี้จะถูกใสเขา ไปในสมการ LLG มาตราฐาน (standard LLG equation) [26, 27] ดงั ตอไปนี้ H S∂S⃗ α S⃗ ∂S⃗ γaj S⃗ (S⃗ (3.9) µs ∂t µs ∂t = −γS⃗ × eff + × + × × p) เมอื่ Sp คือเวกเตอรหน่งึ หนวยของสปน ในช้นั วัสดุเฟรโ รแมกเนติก F1 หรอื ช้นั พนิ (pinned layer) aj คือสนามแมเหล็กเหน่ียวนำเน่อื งจากการปอ นกระแสไฟฟาจากภายนอกสูโครงสรางวสั ดุแม เหล็ก (current-induced magnetic field) ซงึ่ เปน พารามิเตอรที่แปรผันตรงกับความหนาแนน ของ กระแสไฟฟาท่ีปอนเขามาและแสดงถงึ ขนาดของสปนทอรคท่ีเกดิ ขึน้ บนสปน ซง่ึ สามารถคำนวณได ดังน้ี [26] cosaj ( ξ · e−ξ ) = − √ ℏjea3 1 − ξ (3.10) 2eµB λJ และ ξ = √tF 2λJ โดย ℏ คอื คาคงทขี่ อง Planck ซง่ึ มีคา 1.054571628×10−34J·s je คอื ความหนาแนนของกระแสไฟฟาทป่ี อ นเขาสโู ครงสรา งวัสดุ a คอื ระยะหางระหวางอะตอม (lattice constant) e คือประจขุ องอเิ ล็กตรอนซึ่งมคี า ประมาณ 1.602 × 10−19C µB คือคา Bohr magneton ซึ่งมคี า 9.274×10−24J·T −1 λJ = √ เปน คา คงที่หนวยเปน เมตร 2ℏD0/J D0 คือคา คงท่ีของการแพรซ ง่ึ มีคา D0,Co = 0.001 m2/s และมคี า D0,Cu = 0.005 m2/s

3.2 ปรากฏการณสปนทอรค 58 tF คอื ความหนาของชนั้ เฟรโรแมกเนตกิ F2 หรอื ชน้ั อิสระ J คือคาปริพนั ธแ ลกเปล่ยี นพลงั งานระหวางสปนของอิเล็กตรอนและแมกนีไทเซชัน จากสมการท่ี (7.8) พบวา สองพจนแรกของสมการแสดงการเคลือ่ นที่แบบวนรอบและการ เคลอ่ื นท่ีแบบหนวง (precessional and damping terms) ซึง่ เปนรูปแบบในสมการมาตราฐาน LLG และพจนสุดทายของสมการคือพจนเพม่ิ เตมิ ท่ีเกิดจากผลของสปนทอรค แตเนื่องจากรปู แบบ สมการขางตนอยูในรปู แบบของ Gilbert ซ่งึ ไมสะดวกตอการพิจารณาหาคำตอบดว ยวิธีการคำนวณ เชงิ ตวั เลข ดังน้นั มีความจำเปนท่ีจะตองทำการแปลงรปู แบบสมการใหอยูในรปู แบบของ Landau- Lifshitz เพอื่ สะดวกตอ การพิจารณาการเคลอ่ื นที่ของสปน ดวยวธิ ีการคำนวณเชิงตัวเลข สามารถ ทำไดโดยทำการหารทงั้ สองขางของสมการท่ี (7.8) ดว ยขนาดของสปน โมเมนต µs จะไดวา H S∂S⃗ = −γ S⃗ × eff + α S⃗ × ∂S⃗ + γaj S⃗ × (S⃗ × p) µ2s ∂t µs2 µs∂t µs แต S = S⃗ ดังนนั้ µs ∂S = −γS × Heff + αS × ∂S + γ aj S × (S × Sp) (3.11) ∂t ∂t ทำการพิจารณาพจนครอสในพจนทีส่ องของสมการ โดยการใชก ารอนุรักษขนาดของสปนโมเมนตเ ชน เดยี วกบั การแปลงรูปแบบสมการกรณีที่ไมคิดผลของสปนทอรค ดงั ไดกลา วในรายละเอียดกอนหนา น้ี นำ S ครอสทง้ั สองขา งของสมการจะไดว า S × ∂S = −γS × (S × Heff) + αS × (S × ∂S + γ aj S × [S × (S × Sp)] (3.12) ) ∂t ∂t พจิ ารณาพจนทสี่ องของสมการขางตนดังนี้ S × (S × ∂S = S(S · ∂S − ∂ S (S · S) ) ) ∂t ∂t ∂t แตเ น่ืองจาก S · ∂S = 0 และ S · S = 1 จะไดว า ∂t S × (S × ∂S = −∂S ) ∂t ∂t นำความสมั พันธใ นสมการขา งตน ไปแทนคาในสมการท่ี (3.12) ดังน้ี S × ∂S = −γS × (S × Heff) − ∂S − γ aj (S × Sp) (3.13) ∂t α ∂t

3.2 ปรากฏการณส ปนทอรค 59 ทำการแทนสมการท่ี (3.13) ลงในสมการที่ (3.11) ∂S = −γS × Heff + α [ × (S × Heff) − ∂S − γ aj (S × ] + γ aj S × (S × Sp) ∂t −γS α Sp) ∂t จากนนั้ ทำการจดั รูปแบบสมการใหมดังนี้ ∂S = −γS × Heff − γαS × (S × Heff) − α2 ∂S − γ αaj (S × Sp) + γ aj S × (S × Sp) ∂t ∂t (1 + α2) ∂S = −γS × Heff − γαS × (S × Heff) − γ αaj (S × Sp) + γ aj S × (S × Sp) ∂t ทำการหารท้ังสองขางของสมการขางบนดว ย (1 + α2) จะไดส มการในรปู แบบใหมดงั น้ี ∂S = (1 −γ S × Heff − (1 γα [S × (S × Heff)] − Sγαaj ( × Sp) + α2) ∂t + α2) (1 + α2) + (1 γaj [S × (S × Sp)] (3.14) + α2) . เมอื่ S เปนเวกเตอรหน่ึงหนวยของสปน Sp เปน เวกเตอรห นึง่ หนวยของสปนในชั้นพิน Heff เปน คาสนามแมเหลก็ ประสิทธผิ ล γ เปนคา อตั ราสว นไจโรแมกเนติก α เปนคา คงทก่ี ารหนวง aj เปน สนามแมเหลก็ ท่เี กิดจากจากเหนี่ยวนำของกระแสไฟฟาภายนอก 3.2.2 ผลของสปนทอรคทม่ี ตี อ การเคล่อื นท่ีของสปน การเคลอื่ นท่ขี องสปนทคี่ ดิ ผลของสปนทอรค สามารถพิจารณาไดจากสมการที่ (7.9) ซึง่ อธิบาย การเคลอ่ื นท่ีของสปนเน่ืองจากผลของสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลและผลของสปนทอรค พบวาพจน แรกของสมการอธิบายการเคลื่อนท่ีของสปนวนรอบสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลที่เกิดจากสนามแม เหลก็ ภายนอก สนามปฎิสัมพนั ธแลกเปล่ยี นระหวางสปน สนามแอนไอโซทรอป สนามคูขัว้ และ สนามที่เกิดจากความรอน ในขณะท่ีพจนท่ีสองของสมการอธิบายการเคลื่อนท่ีของสปน แบบหนว ง เน่อื งจากสนามแมเหลก็ ประสิทธผิ ล ซ่งึ จะเกดิ แรงบดิ กระทำตอ สปน ในทิศทางตงั้ ฉากกบั สนามแม

3.2 ปรากฏการณส ปนทอรค 60 เหล็กประสิทธิผล ทำใหสปนมีแนวโนมท่ีจะเคลือ่ นท่ีและมีการจดั เรยี งตวั ไปในทิศทางของสนามแม เหลก็ ประสทิ ธผิ ล ผลของการเคลื่อนที่แบบวนรอบและแบบหนวงทำใหเกิดการเคลอ่ื นที่แบบเกลยี ว หรือกน หอย (spiral motion) ไปในทิศทางของสนามแมเหลก็ ประสทิ ธผิ ลดงั ไดกลาวในรายละเอยี ด ไปแลวกอ นหนา นี้ เมอ่ื พจิ ารณาสองพจนสดุ ทา ยของสมการพบวา เปนแรงบดิ เพิ่มเติมท่ีเกิดจากการปอนกระแส ไฟฟา จากภายนอก (additional spin torque term) ซึ่งอธิบายการเคล่อื นที่ของสปนเนือ่ งจากผล ของสปนทอรค โดยพจนท่ีสามของสมการแสดงใหเห็นวา สปนทอรค สามารถเปน แหลง กำเนิดหน่งึ ที่ ทำใหเกดิ การเคล่ือนท่ีแบบวนรอบไดเชนเดียวกับสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผล และในพจนสุดทา ยของ สมการแสดงการเคลอื่ นที่แบบหนว งที่เกดิ จากผลของสปนทอรค กลา วโดยสรุปคอื การปอ นกระแส ไฟฟา หรืออเิ ล็กตรอนจากภายนอกเขา สูโครงสรา งวสั ดุแมเหลก็ จะทำใหเกิดแรงบดิ กระทำตอสปน ซึ่ง สามารถเปนแหลงกำเนดิ หนงึ่ ของการเคลือ่ นทแ่ี บบวนและแบบหนวงของสปน [28, 29] ผลของการเคลอ่ื นทีแ่ บบหนว งท่เี กิดจากสปนทอรคสามารถพจิ ารณาไดจากทศิ ทางของกระแส ไฟฟา ภายนอกที่ปอ นเขามา ถา ทิศทางของการเคล่อื นที่แบบหนว งที่เกิดจากสปนทอรคมีทศิ ทาง เดียวกนั กบั ทิศทางการหนวงธรรมชาติ (natural damping) ท่ีเกิดจากสนามแมเหล็กประสิทธิผล จะทำใหคาความหนวงประสทิ ธิผลหรอื คา ความหนวงรวมมีคา สูงขน้ึ สงผลใหสปน เคลอ่ื นที่ไปใน ทศิ ทางของสนามแมเหล็กประสิทธิผลไดงา ยขนึ้ เนอ่ื งจากมีแรงผลกั กระทำตอ สปน ใหเขา สูทศิ ทาง สนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลมากขนึ้ นนั่ เอง อยา งไรก็ตามเม่อื การเคล่ือนที่แบบหนวงที่เกิดจากผลของ แรงบิดสปนหรือสปนทอรคมีทศิ ทางตรงกนั ขา มกับทศิ ทางการหนวงธรรมชาติดังแสดงในรปู ท่ี 3.5 จะสงผลทำใหสปน มีการเคลื่อนที่ออกจากทิศทางของสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลเนอื่ งจากไปลดคา การหนวงธรรมชาติน่ันเอง เราสามารถสรุปไดวาผลของสปนทอรค สามารถเพิม่ หรอื ลดคาความหนวง ธรรมชาติท่ีเกดิ จากสนามแมเหลก็ ประสิทธิผลไดข้ึนอยูกบั ทศิ ทางของการปอนกระแสไฟฟาจากภาย- นอก นอกจากนี้ยงั พบวา สปนมีการเคล่ือนท่ีแบบหมุนวนรอบสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลท่ีสภาวะ เสถียร (presessional steady state) ดว ยความถ่ีคาหนง่ึ ซ่งึ แตกตา งกบั การเคลอื่ นที่ของสปนทไ่ี มม ี ผลของสปน ทอรค ทจี่ ะไมม ีการหมนุ วนทีส่ ภาวะเสถยี ร การเคลื่อนที่ของสปนที่คดิ ผลของสปนทอรคที่เกิดจากการปอนกระแสไฟฟาภายนอกที่มี ความหนาแนนของกระแสไฟฟา ท่ีแตกตา งกนั สามารถพจิ ารณาไดจากรูปท่ี 3.6 โดยสปนมีทศิ ทางเรมิ่ ตนท่ีตำแหนงหนึง่ ๆ ดังแสดงในรปู ที่ 3.6 (a) ซ่งึ สปนมีการเรียงตวั ทำมมุ คา หนงึ่ กับทศิ ทางของสนาม แมเหล็กประสทิ ธิผล จากสมการท่ี (7.9) แสดงความสัมพนั ธของสปนทอรคท่ีมีตอการเคล่ือนท่ีของ สปน จะพบวา การเคลอื่ นที่แบบวนรอบหรือหมนุ วนรอบสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลจะมีลักษณะที่ แตกตางกนั ขนึ้ อยูกบั ขนาดของสปนทอรคที่มากระทำตอสปน ซึ่งขนาดของสปนทอรคจะแปรผันตรง กับความหนาแนนของกระแสไฟฟา ท่ีปอ นเขา มา ดงั นน้ั เราจะพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของสปน เมอื่ ทำการปอนกระแสไฟฟา ที่มีความหนาแนนท่ีแตกตา งกัน กรณีท่ีปอ นกระแสไฟฟา ท่ีมีคาความหนา-

3.2 ปรากฏการณส ปนทอรค 61 รปู ที่ 3.5 การเคลื่อนที่ของสปนที่คดิ ผลของสปนทอรค ซ่งึ สามารถเปนแหลง กำเนดิ หนง่ึ ของการ เคล่ือนท่ีแบบวนและแบบหนว ง ซ่งึ การเคลอ่ื นที่แบบหนว งท่ีเกิดจากสปนทอรคสามารถเพ่ิมหรือลด การเคลอื่ นที่แบบหนวงท่ีเกิดจากสนามแมเหลก็ ประสทิ ธผิ ลไดขนึ้ อยูกบั ทิศทางชองการปอ นกระแส ไฟฟา แนนนอยๆ ตำ่ กวาคากระแสไฟฟาวกิ ฤตซ่ึงเปนคาความหนาแนนกระแสไฟฟาท่ีนอยทส่ี ดุ ท่ีสามารถ ทำใหสปน เกิดการเปลยี่ นแปลงทิศทางได สปนทอรค ที่เกดิ ข้ึนจะไมสงผลตอ การเคลอื่ นที่ของสปน ทำใหสปน หมุนรอบสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลดว ยมมุ เล็กๆ คา หนง่ึ ดังแสดงในรูปท่ี 3.6 (b) แตใน กรณีท่ีปอนกระแสไฟฟา ที่มีคาสูงกวาคา กระแสไฟฟาวิกฤต สปนจะมีการเคล่ือนที่ออกจากทิศทาง ของสนามแมเหล็กประสิทธผิ ลมากขนึ้ ทำใหเกดิ มมุ ของการเคลอื่ นท่ีแบบหมนุ วนกวางขน้ึ ทัง้ น้ีเน่ือง มาจากผลของสปนทอรคที่มากขนึ้ ทำใหไปเพม่ิ คา ความหนวงตานทาน (antidamping) ที่มีทิศทาง ตรงกันขา มกบั คาความหนว งธรรมชาติ คาแรงบดิ รวมของการเคลอ่ื นท่ีแบบหนวงที่กระทำตอสปนจึง มีแนวโนมออกจากทิศทางของสนามแมเหล็กประสทิ ธิผลมากข้ึนดงั แสดงในรปู ท่ี 3.6 (c) และในกรณี ท่ีปอ นกระแสไฟฟา ภายนอกที่มีคาสูงมากพอ มมุ ของการเคลื่อนท่ีแบบหมุนวนจะกวา งข้ึนและทำให สปน มีการเคลอื่ นทก่ี ลบั ทิศทาง (spin reversal) ดังแสดงในรูปท่ี 3.6 (d) จากท่ีกลา วมาไดอธบิ ายถึงการพจิ ารณาสมการการเคลื่อนที่ของสปน LLG ที่เกดิ จากสนามแม เหล็กประสิทธิผลและสปนทอรค พรอมทัง้ อธบิ ายกระบวนทางฟสิกสในการเกิดปรากฎการณสปน - ทอรค ในลำดบั ถัดไปจะกลาวถงึ วธิ ีการคำนวณการเคลอ่ื นท่ีของสปนท่ีเวลาตา งๆ ทั้งในกรณีที่คิด และไมคดิ ผลของสปนทอรค ซึง่ ทำไดสองวธิ ีคือ การพิจารณาคำตอบแมน ตรงซ่ึงเปน การแกสมการ LLG ขางตน โดยตรง แตทำไดคอนขางยากเนือ่ งจากมีความซบั ซอ นในการพจิ ารณาสนามแมเหล็ก ประสทิ ธผิ ล ดังน้นั จงึ มีการนำเสนอการพจิ ารณาคำตอบของสมการ LLG ดว ยวธิ ีการคำนวณเชงิ ตวั เลขซึ่งเปนวิธกี ารประมาณคา ใหใกลเ คียงกบั คำตอบแมนตรงใหม ากท่สี ุดซ่งึ จะกลาวดังรายละเอียด ตอ ไปน้ี

3.3 วธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลข 62 รูปที่ 3.6 การเคล่ือนท่ีของสปนกรณีท่ีคดิ ผลของสปนทอรค (a) สปนท่ีสภาวะเริ่มตน (b) การเคลอ่ื น ที่ของสปนกรณีที่กระแสไฟฟา ที่ปอนเขามามีคา นอ ย (c) การเคลอ่ื นที่ของสปนกรณีที่กระแสไฟฟาที่ ปอนเขา มามีคาสงู กวาคา กระแสวิกฤต (critical current density) (d) การเคลื่อนท่ีของสปนกรณีที่ มกี ารปอ นกระแสไฟฟา เขามาสโู ครงสรา งวสั ดมุ ากพอทีจ่ ะทำใหสปนเกิดการกลับทศิ ทาง [30] 3.3 วิธีการคำนวณเชงิ ตวั เลข (Numerical technique) การเคลอื่ นที่ของสปนท่ีเวลาตางๆ ที่ชบั เคลอ่ื นดว ยสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลและสปนทอรค สามารถพจิ ารณาไดจากสมการท่ี (3.8) และ (7.9) ตามลำดับ จากสมการพบวา สปนมีการเคลือ่ นท่ี แบบไมเชงิ เสน ดงั น้นั การพจิ ารณาการเคลื่อนท่ีของสปนจึงมีความจำเปนตอ งใชวิธีการคำนวณเชิง ตัวเลขเพื่อทำการประมาณคาคำตอบ เนือ่ งจากการแกสมการการเคลื่อนท่ีของสปนเพื่อหาผลเฉลย ท่วั ไปทำไดยาก วธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลขที่ถูกนำมาใชในการพจิ ารณาการเคลอื่ นที่ของสปนมีหลาย วธิ ี [20, 31--33] โดยในตอนเรม่ิ ตนวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขออยเลอร (Euler) ถูกนำมาใชในการ ประมาณคาสมการการเคล่ือนท่ีของสปน LLG โดยพิจารณาการเคล่ือนที่ของสปนท่ีแตล ะชวงเวลา ส้นั ๆ ∆t และกำหนดใหมีการเปลี่ยนแปลงเปน แบบเชิงเสน ซึ่งเมื่อทำการคำนวณพบวาคาประมาณ (predicted point) ของทิศทางของสปนท่ีไดจากวิธีออยเลอรอาจมีคา สงู หรือต่ำกวาความเปนจริง ดังแสดงในรูปที่ 3.7 ดงั นนั้ ชว งเวลาท่ีใชในการประมาณคา ∆t ตองมีคานอ ยลงเพอื่ ใหคาประมาณ ทิศทางของสปนมีความถูกตอ งมากย่งิ ขนึ้ ทำใหมีคาความคลาดเคลือ่ นนอ ยลง อยางไรกต็ ามแมว า ชว ง เวลาท่ีเลือกใชจะมีคานอยแตคาความคลาดเคลื่อนจะสะสมเพ่ิมมากข้นึ ตามจำนวนรอบ (iteration) ของการคำนวณ [2] จากรูปท่ี 3.7 แสดงวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขออยเลอร ซึง่ พบวาวิธีนี้มีโอกาสที่จะประมาณ คาท่ีสงู หรือต่ำกวาคาจริง โดยคา ตำแหนง ใหมของสปน (St+1) จะสามารถคำนวณไดจากความชัน ของเสนสมั ผสั ท่ีตำแหนงสปนท่ีเวลา t เน่อื งจากวธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลขออยเลอรจะกำหนดใหสปน

3.3 วิธกี ารคำนวณเชงิ ตวั เลข 63 รปู ที่ 3.7 วธิ ีการคำนวณเชิงตัวเลขออยเลอร (Euler's method) สามารถใหคา ประมาณท่ีมีคา สูง (ซา ย) หรือต่ำกวา คา จรงิ (ขวา) ท่ีตำแหนง ใหมมีการเปลย่ี นแปลงแบบเชิงเสน และกรณีที่กำหนดใหชวงเวลาในการคำนวณ (∆t) มี คามากยง่ิ ทำใหมีคาความคลาดเคลอ่ื นมากขึ้น ดังนน้ั จึงมีการปรับปรงุ วิธีการคำนวณเชิงตวั เลขออย- เลอรเพือ่ ใหมีคาความคลาดเคลื่อนที่นอยลงและสามารถพิจารณาที่ชว งเวลาท่ีกวางขึ้นไดเรยี กวธิ ีการ นว้ี า Heun scheme ดังแสดงในรปู ท่ี 3.8 วธิ ีการคำนวณเชิงตัวเลข Heun scheme เปน วิธีการประมาณคา ตำแหนงของสปนที่เวลา ถัดไปโดยใชขนั้ ตอนการคำนวณดวยอลั กอรึทมึ แบบคาดเดาและแกไขความถกู ตอ ง (predictor- corrector algorithm) โดยเรมิ่ จากการประมาณคาทิศทางใหมของสปนที่เวลา t + 1 โดยใชวธิ ีการ คำนวณเชิงตวั เลขออยเลอรซึง่ ขั้นตอนนเ้ี รียกวา predictor algorithm ดงั แสดงในสมการตอ ไปนี้ St+1,Euler = St + S∆t′ (3.15) t โดยคา อนุพนั ธของสปนกรณีท่ีคิดผลเฉพาะสนามแมเหล็กประสทิ ธิผลท่ีเวลาที่จุดเร่ิมตน t สามารถ พจิ ารณาไดจ ากสมการ LLG ดงั นี้ S′ = ∂S = (1 −γ [St × Heff + αSt × (St × Heff)] (3.16) t + α2) ∂t เมอ่ื ไดสปนตำแหนงใหมท่ีเวลา t+1 ท่ีคำนวณดว ยวิธิเชงิ ตวั เลขออยเลอร (St+1,Euler) จากนน้ั คาอนุพันธหรอื ความชนั ของสปนที่ตำแหนงใหมนี้จะสามารถคำนวณไดจากความสัมพันธในสมการ LLG ดงั น้ี St′ +1,Euler = (1 −γ S[ × Hnefefw + Sα t+1,Euler × S( t+1,Euler × Hnefefw)] (3.17) + α2) t+1,Euler

3.3 วธิ กี ารคำนวณเชงิ ตวั เลข 64 รูปที่ 3.8 วธิ ีการคำนวณเชงิ ตัวเลข Heun scheme จะทำการพจิ ารณาคาประมาณของตำแหนง ถดั ไปดว ยคา อนพุ นั ธของจดุ เรม่ิ ตนดวยวธิ ีออยเลอร (ซา ย) จากนน้ั จะหาคา อนพุ ันธเฉลย่ี ของจดุ เริม่ ตน และจุดถดั ไปที่ประมาณคาดว ยวิธอี อยเลอรเพอ่ื หาคา ตำแหนง สุดทายท่ีมีความถกู ตองมากขน้ึ (ขวา) เม่อื Henfefw = −∂St+∂1H,Euler เปนสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลที่ทำการคำนวณใหมหลังจากขน้ั ตอน pre- dictor algorithm เนื่องจากสปน มกี ารเปลยี่ นแปลงทศิ ทางสงผลใหค าของสนามแมเหล็กประสิทธิผล เปลีย่ นแปลงไป จากน้นั พิจารณาคา อนพุ ันธเ ฉล่ยี ท่ีไดจากสปน ที่ตำแหนง St และ St+1,Euler เพ่อื ลดคาความคลาด เคลื่อนทเ่ี กิดจากวธิ กี ารคำนวณเชิงตวั เลขออยเลอรจ ะไดว า S′avg = S1′ + S′t+1,Euler] (3.18) [t 2 ขนั้ ตอนสดุ ทา ยคอื การหาคา ตำแหนง ของสปนที่เวลา t+1 เรยี กวา corrector algorithm โดย การใชคาอนพุ ันธหรอื ความชนั เฉล่ียในสมการที่ (3.18) จะไดตำแหนง สดุ ทา ยของสปนท่ีมีคา ความถูก ตองมากขึ้นดงั น้ี St+1,Heun = St + ∆t Sa′ vg (3.19) วธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลข Heun scheme เปน วิธีการท่ีงายแตมีประสิทธิภาพในการพจิ ารณา การเคลื่อนที่ของสปนท่ีเวลาตางๆ ในกรณีที่โครงสรางวัสดุประกอบดวยหลายสปน จะตองทำการ พิจารณาทกุ สปน ในระบบจากนัน้ จะทำใหเราสามารถพิจารณาการเคลอ่ื นที่ของสปนท้ังหมดในโครง- สรา งวัสดุที่เวลาตา งๆ ไดโดยการพจิ ารณาขัน้ ตอน predictor-corrector algorithm หลายๆ รอบ เทาท่ีตองการ ส่งิ ที่ตองระวงั ในการพิจารณาการเคล่อื นที่ของสปนดวยวิธีเชิงตวั เลข Heun scheme คือตองทำการ normalised สปน ใหเปนเวกเตอรหนง่ึ หนวยทุกคร้งั หลังข้ันตอน predictor และข้นั

3.3 วิธีการคำนวณเชงิ ตวั เลข 65 ตอน corrector เน่อื งจากวิธีการคำนวณเชงิ ตวั เลขนี้จะไมรักษาสภาพความเปน เวกเตอรหนง่ึ หนว ย ของสปน ซ่งึ เปน การอนรุ กั ษขนาดของสปน ในสมการ LLG ตัวอยา งท่ี 3.1. จงพจิ ารณาการเคลื่อนที่ของสปนที่เวลา t = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 s ดว ยวิธกี ารคำนวณเชิงตวั เลขออยเลอร เมือ่ กำหนดใหสมการการเคล่อื นทขี่ องสปน คอื dS = −2S − e−4t + 2 dt และกำหนดใหส ปน มที ิศทางเริ่มตนท่ี S(0) = 1 วธิ ีทำ จากสมการการเคลื่อนท่ีของสปน เราสามารถพจิ ารณาการเคล่อื นท่ีของสปนที่เวลา ตางๆ ดวยวธิ ีการคำนวณเชงิ ตัวเลขออยเลอรไ ดด งั นี้ • พิจารณาการเคลือ่ นทข่ี องสปน ท่ีเวลา 0.1 s จากความสัมพนั ธดงั น้ี dS(0) S(0.1) = S(0) + ∆t dt โดย dS(0) = −2S(0) − e−4(0) + 2 = −1 dt ดงั นั้นจะไดว า S(0.1) = S(0) + dS(0) = 1 + 0.1(−1) = 0.9 ∆t dt นอกจากนีย้ ังสามารถพจิ ารณาคา ความคลาดเคลื่อนเปรยี บเทยี บกับคา จริงดงั นี้ Sexact(t) = 1 + e−4t − e−2t 22 Sexact(0.1) = 1 + e−4(0.1) − e−2(0.1) = 0.9258 22 พิจารณาคา ความคลาดเคลอ่ื นไดว า error = |S(0.1) − Sexact(0.1)| Sexact(0.1) = |0.9 − 0.9258| = 2.79 % 0.9258 .

3.3 วธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลข 66 • พจิ ารณาการเคลื่อนท่ขี องสปนที่เวลา 0.2 s จากความสัมพนั ธดังน้ี dS(0.1) S(0.2) = S(0.1) + ∆t dt โดย dS(0.1) = −2S(0.1) − e−4(0.1) + 2 = −2(0.9) + e−0.4 + 2 = −0.47 dt ดังนน้ั จะไดวา S(0.2) = S(0.1) + dS(0.1) = 0.9 + 0.1(−0.47) = 0.853 ∆t dt นอกจากนีย้ งั สามารถพิจารณาคาความคลาดเคลอื่ นเปรยี บเทียบกบั คาจริงดงั นี้ Sexact(t) = 1 + e−4t − e−2t 22 Sexact(0.2) = 1 + e−4(0.2) − e−2(0.2) = 0.8895 22 พจิ ารณาคา ความคลาดเคลือ่ นไดว า error = |S(0.2) − Sexact(0.2)| Sexact(0.2) = |0.853 − 0.8895| = 4.11 % 0.8895 ตำแหนงของสปนที่เวลาอ่นื ๆ สามารถพจิ ารณาไดในทำนองเดยี วกนั สามารถสรุป ไดดังตารางตอไปนี้ เวลา (t) คาประมาณจากวิธอี อยเลอร คาจริง คา ความคลาดเคลอ่ื น (%) 0 1 10 0.1 0.9 0.9258 2.79 0.2 0.853 0.8895 4.11 0.3 0.837 0.8761 4.42 0.4 0.839 0.8762 4.16 0.5 0.852 0.8837 3.63 .

3.3 วิธีการคำนวณเชิงตัวเลข 67 ตวั อยา งท่ี 3.2. จากตวั อยา งที่ผา นมา จงพิจารณาการเคล่อื นทข่ี องสปน ทเ่ี วลา t = 0.1, 0.2 0.3, 0.4, 0.5 s ดว ยวธิ กี ารคำนวณเชิงตวั เลข Heun scheme และเปรยี บเทยี บคาความคลาด เคลือ่ นทีเ่ กิดขนึ้ กบั คาจริง พรอมทั้งอธิบายวา ผลทไี่ ดจากการประมาณคา ดว ยวิธกี ารคำนวณ เชิงตวั เลขทงั้ สองแบบใหคา ที่แตกตา งกนั อยางไร วิธที ำ จากสมการการเคล่ือนที่ของสปน เราสามารถพิจารณาการเคลอื่ นท่ีของสปนท่ีเวลา ตางๆ ดวยวธิ ีการคำนวณเชิงตวั เลข Heun scheme ดงั น้ี • พิจารณาการเคลอื่ นท่ีของสปน ที่เวลา 0.1 s จากความสมั พันธด ังน้ี SEuler(0.1) = S(0) + ∆t dS(0) dt โดยคา อนพุ นั ธอ ันดับหนึง่ ของสปนสามารถหาไดจ ากสมการทีโ่ จทยก ำหนดมาใหโ ดยตรง dS(0) = −2S(0) − e−4(0) + 2 = −1 dt ดงั นน้ั จะไดวา SEuler(0.1) = S(0) + dS(0) = 1 + 0.1(−1) = 0.9 ∆t dt จากน้นั พจิ ารณาคาอนุพันธอ นั ดับหน่ึงของสปน dS |S=SEuler (0.1) ดังน้ี dt dS |SEuler(0.1) = −2SEuler(0.1) − e−4(0.1) + 2 dt = −2(0.9) − e−0.4 + 2 = −0.47 จากนั้นพิจารณาคาประมาณดว ย Heun scheme จากคาอนุพนั ธเฉลีย่ ดังน้ี [] dS(0) dS SHeun(0.1) = S(0) + 0.5∆t dt + dt |SEuler(0.1) = 1 + 0.5(0.1)(−1 − 0.47) = 0.9265 พจิ ารณาคา ความคลาดเคลอ่ื นดงั น้ี error = |SEuler(0.1) − Sexact(0.1)| Sexact(0.1) = |0.9265 − 0.9258| = 0.0756 % 0.9258 .

3.3 วธิ กี ารคำนวณเชิงตวั เลข 68 ตำแหนงของสปนที่เวลาอืน่ ๆ สามารถพจิ ารณาไดในทำนองเดียวกนั สามารถสรุปไดดัง ตารางตอ ไปน้ี เวลา (t) คาประมาณ คาจริง คาผดิ พลาด (%) Euler Heun Euler Heun 0 1 0.1 11 0.9258 00 0.2 0.9 0.9265 0.8895 2.79 0.0756 0.3 0.853 0.8904 0.8761 4.11 0.1049 0.4 0.837 0.8784 0.8762 4.42 0.2553 0.5 0.839 0.8788 0.8837 4.16 0.2859 0.852 0.8861 3.63 0.2722 เม่อื ทำการเปรียบเทยี บคาประมาณท่ีไดจากวธิ ีเชงิ ตวั เลขออยเลอรและวิธี Heun scheme พบวา วิธี Heun scheme ใหคา ที่ใกลเคียงกบั คาจรงิ มากกวาการคำนวณดว ยวธิ ีเชิงตัวเลข ออยเลอรดงั แสดงในรูป 1 Exact value Euler Heun 0.95 S 0.9 0.85 0.8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 t[s] .

3.4 การเคลือ่ นที่ของสปน เดี่ยว 69 3.4 การเคล่ือนทขี่ องสปน เดยี่ ว การเคลื่อนที่ของสปน สามารถพจิ ารณาไดจากสมการ LLG ดงั รายละเอียดท่ีไดกลาวไปขา งตน แตพบวาสมการการเคลอ่ื นที่ของสปน น้ีมีความซับซอ นในการหาคาผลเฉลยแทจรงิ เน่ืองจากแสดง อยใู นรปู ของการคลอสระหวา งสปนและสนามแมเ หล็กประสทิ ธิผลดังตอไปน้ี ∂S = S−γG × Heff − γGαG [S × (S × Heff)] (1 + αG2 ) ∂t (1 + αG2 ) ในการพจิ ารณาการเคล่ือนท่ีของสปนดงั ความสมั พนั ธในสมการขางตน เราสามารถใชวิธีการ คำนวณเชิงตวั เลขแบบ Heun scheme ซง่ึ มีความคลาดเคลื่อนจากคา จรงิ นอ ยกวา วิธีการคำนวณเชิง ตัวเลขแบบออยเลอร ในสว นนจ้ี ะพจิ ารณาการเคลื่อนทขี่ องสปนเดย่ี วเพอ่ื ความสะดวกในการคำนวณ และเพื่อความเขา ใจธรรมชาติการเคล่อื นทข่ี องสปนวาแตละพารามเิ ตอรในสมการ LLG มีความสำคญั และสงผลอยางไรตอการเคลื่อนท่ีของสปนเดี่ยว ในการแกสมการ LLG ดว ยวิธีการคำนวณเชิงตัวเลข เพอ่ื พิจารณาการเคลอื่ นที่ของสปนท่ีเวลาตางๆ มีความจำเปนอยางยิง่ ท่ีตอ งนำการเขียนโปรแกรม เขามาชวยในการคำนวณเพ่ือความสะดวกและรวดเร็ว ในที่น้ีจะใชภาษา C++ มาใชในการเขยี นโคด สมการ LLG ไดด งั รายละเอียดตอ ไปนี้ 1 #include<iostream> 2 #include<fstream> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5 6 int main(){ 7 const double alpha=0.1; 8 const double gamma=1.76e11; 9 const double dt_SI=1.0e-13; 10 const double dt = dt_SI * gamma ; 11 double spin [3]; // Spin array 12 double field [3]; // Applied Field Array 13 double H[3]; // Local Field 14 double S[3]; // Local Spin 15 double SxH [3]; // S x H 16 double SxSxH [3]; // SxSxH 17 double euler [3]; // First integration step 18 double heun [3]; // Second integration step

3.4 การเคล่ือนท่ขี องสปนเด่ยี ว 70 19 double dS [3]; // dS 20 double S_new [3]; // new spin 21 double mod; // Spin length 22 double inv_mod ; 23 ofstream outfile ; 24 outfile .open (\"heun.txt\"); 25 // ---------- Initialise values -------------- 26 spin [0] = 0.0; 27 spin [1] = 0.707; 28 spin [2] = -0.707; // Initial spin 29 30 field [0] = 0.0; 31 field [1] = 0.0; 32 field [2] = 1.0; // Effective field 33 34 for(int time =0; time <10000; time ++){ 35 S[0] = spin [0]; 36 S[1] = spin [1]; 37 S[2] = spin [2]; // update in each iteration 38 39 H[0] = field [0]; 40 H[1] = field [1]; 41 H[2] = field [2]; // applied field 42 43 SxH [0] = S[1]*H[2] -S[2]*H[1]; 44 SxH [1] = S[2]*H[0] -S[0]*H[2]; 45 SxH [2] = S[0]*H[1] -S[1]*H[0]; 46 47 SxSxH [0] = S[1]* SxH [2] -S[2]* SxH [1]; 48 SxSxH [1] = S[2]* SxH [0] -S[0]* SxH [2]; 49 SxSxH [2] = S[0]* SxH [1] -S[1]* SxH [0]; 50 // ---------- Determine dS/dt --------------- 51 dS [0]= - SxH [0]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [0]/(1.0+ alpha * alpha ); 52 dS [1]= - SxH [1]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [1]/(1.0+ alpha * alpha ); 53 dS [2]= - SxH [2]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [2]/(1.0+ alpha * alpha ); 54 // ---------- Euler 's method ----------------- 55 // y_n+i=x_n+hf(x,y)

3.4 การเคลื่อนทขี่ องสปน เดี่ยว 71 56 // ------------------------------------------ 57 euler [0] = dS [0]; 58 euler [1] = dS [1]; 59 euler [2] = dS [2]; 60 61 S_new [0] = spin [0] + euler [0]* dt; 62 S_new [1] = spin [1] + euler [1]* dt; 63 S_new [2] = spin [2] + euler [2]* dt; 64 // ---------- Determine dS_new /dt ------------- 65 S[0] = S_new [0]; 66 S[1] = S_new [1]; 67 S[2] = S_new [2]; 68 69 SxH [0] = S[1]*H[2] -S[2]*H[1]; 70 SxH [1] = S[2]*H[0] -S[0]*H[2]; 71 SxH [2] = S[0]*H[1] -S[1]*H[0]; 72 73 SxSxH [0] = S[1]* SxH [2] -S[2]* SxH [1]; 74 SxSxH [1] = S[2]* SxH [0] -S[0]* SxH [2]; 75 SxSxH [2] = S[0]* SxH [1] -S[1]* SxH [0]; 76 77 heun [0]= - SxH [0]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [0]/(1.0+ alpha * alpha ); 78 heun [1]= - SxH [1]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [1]/(1.0+ alpha * alpha ); 79 heun [2]= - SxH [2]/(1.0+ alpha * alpha )-alpha * SxSxH [2]/(1.0+ alpha * alpha ); 80 // ----------Euler modifier ------------------ 81 S_new [0] = spin [0] + (dt /2.0) *( euler [0]+ heun [0]); 82 S_new [1] = spin [1] + (dt /2.0) *( euler [1]+ heun [1]); 83 S_new [2] = spin [2] + (dt /2.0) *( euler [2]+ heun [2]); 84 85 mod= sqrt( S_new [0]* S_new [0] + S_new [1]* S_new [1] + S_new [2]* S_new [2]); 86 inv_mod = 1.0/ mod; 87 88 spin [0] = S_new [0]* inv_mod ; 89 spin [1] = S_new [1]* inv_mod ; 90 spin [2] = S_new [2]* inv_mod ; 91 92 outfile <<time <<\"\\t\"<<spin [0]<<\"\\t\"<<spin [1]<<\"\\t\"<<spin [2]<<\"\\t\"<<

3.4 การเคลือ่ นทีข่ องสปนเด่ียว 72 endl; 93 } 94 outfile . close (); 95 return 0; 96 } บรรทดั ที่ 1-3 เปน การดงึ ไลบราร่ี (libary) มาตราฐานเพ่อื มาใชในโปรแกรมท่ีตองการเขยี น โดย cmath เปนไลบรารท่ี ีม่ ตี วั ปฎบิ ัตกิ ารทางคณิตศาสตร บรรทัดท่ี 7-22 เปน การประกาศคา คงทแ่ี ละตัวแปร อาเรย ทีใ่ ชในการคำนวณ บรรทดั ท่ี 23-24 ทำการประกาศไฟลขาออกเพอ่ื ใชในการบันทกึ ผลลพั ทของการคำนวณและ กำหนดช่อื ไฟลขาออก heun.txt บรรทัดท่ี 26-32 เปนการกำหนดคา เริม่ ตนของทศิ ทางสปนและสนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ลใน ทศิ ทางสามมติ ิ บรรทดั ท่ี 43-63 พจิ ารณาทิศทางของสปนใหมด ว ยวิธอี อยเลอร บรรทดั ที่ 65-83 พิจารณาทิศทางของสปนในขนั้ ตอน corrector ดว ยวิธี Heun scheme เพ่ือ ใหไ ดค าทศิ ทางของสปน ทใ่ี กลเคียงคาจริงมากขึ้น บรรทดั ท่ี 85-90 ทำการ normalised สปนที่ไดจ ากขนั้ ตอน Heun scheme ใหเปน เวกเตอร หนงึ่ หนว ยดว ยการหารดว ยขนาดของสปน บรรทัดที่ 92 ทำการบนั ทึกขอ มลู ทศิ ทางสปนท่ีเวลา t ใดๆ ในไฟลขาออก จากนั้นทำการ พจิ ารณาทิศทางของสปน ทเี่ วลา t+1 ไปจนถึงเวลาสดุ ทายท่ีตองการพจิ ารณา (t=10000) โดยการวน ลปู เวลาในบรรทัดท่ี 34-93 3.4.1 ผลของความหนวง (damping constant) เมือ่ ทำความเขาใจการเขยี นโปรแกรมการเคล่ือนท่ีของสปน เด่ียวในหวั ขอที่ผานมาแลว ลำดบั ถดั ไปจะทำการพิจารณาผลของคา คงที่ความหนว งที่มีตอ การเคลอื่ นท่ีของสปน จากโปรแกรมขา ง- ตน ทำการกำหนดใหสปน เด่ียวมีทิศทางเริ่มตน ท่ี S = (0.0, 0.707, − 0.707) และระบบมีสนาม แมเหลก็ ประสทิ ธิผลมากระทำตอสปนขนาด 10 เทสลา ในทศิ ทางตามแนวแกน z ซง่ึ สามารถแสดง ไดดว ยเวกเตอรดังนี้ Heff = (0, 0, 10) จากนนั้ ทำการพิจารณาผลของคา คงท่ีความหนว งท่ีมีตอ การเคลอื่ นที่ของสปน เด่ยี ว โดยกำหนดคา คงที่ความหนวงท่ีมีคา เทา กบั 0.05 และ 0.1 จากผลการ คำนวณดังแสดงในรปู ท่ี 3.9 พบวา สปนที่มีทศิ ทางเร่ิมตน S = (0.0, 0.707, − 0.707) จะมีแนว โนม เปลยี่ นแปลงทศิ ทางไปในทิศทางของสนามแมเหลก็ ประสทิ ธิผลในแนวแกน z เน่ืองจากสนามแม

3.4 การเคลอ่ื นท่ีของสปนเดี่ยว 73 เหลก็ ประสิทธผิ ลท่ีกระทำตอสปนมีคา สงู พอท่ีจะเหนี่ยวนำทศิ ทางของสปน นัน่ เอง นอกจากนี้ยังพบ วา ระบบท่ีมีคาคงท่ีความหนวงเทากบั 0.05 สปนจะมีการเคลือ่ นที่เขาสูสภาวะเสถยี รไดชา กวาระบบ ที่มีคา ความหนว งเทากบั 0.1 ซ่งึ คาคงที่ความหนว งเปนคาท่ีอธิบายอัตราการแลกเปลย่ี นพลงั งานของ ระบบ ดังนน้ั ในกรณีท่ีตองการพิจารณาคุณสมบตั ิทางแมเหลก็ ท่ีสภาวะเสถยี รจึงกำหนดใหคาคงท่ี ความหนวงมีคาสงู เพือ่ ใหระบบเขา สูสภาวะเสถียรไดเรว็ แตในกรณีที่ตอ งการพิจารณาคณุ สมบัติทาง พลวตั (dynamic properties) นิยมกำหนดใหคาความหนว งมีคานอยๆ เพอ่ื ใหผลท่ีไดใกลเคียงกับ ความเปนจริงท่ไี ดจ ากการทดลอง ซง่ึ คาคงท่ีความหนว งของแตล ะวัสดุจะมีคา แตกตา งกัน แตโ ดยสวน มากจะมคี า อยทู ร่ี ะหวา ง 0.01-0.1 1 0.5 SS 0 -0.5 Sx -1 Sz 0 20 40 60 80 100 1 time [ps] (a) 0.5 0 -0.5 Sx -1 Sz 0 20 40 60 80 100 time [ps] (b) รูปท่ี 3.9 การเคลื่อนที่ของสปน เดย่ี วทีค่ าคงท่คี วามหนว ง (a) 0.05 และ (b) 0.1 ซงึ่ พบวาระบบทมี่ คี า ความหนว งสูงจะเขาสสู ภาวะเสถียรไดเร็ว

3.4 การเคล่อื นที่ของสปน เดี่ยว 74 3.4.2 การพจิ ารณาผลของอณุ หภูมิ ผลของอณุ หภูมิหรือความรอนที่เกิดขึ้นในระบบท่ีสงผลตอการเคลื่อนที่ของสปนสามารถนำไป พจิ ารณาในรูปแบบจำลองระดบั อะตอมไดโดยพจิ ารณาผลของความรอนในรปู ของสนามแบบสุม ซึง่ มีการกระจายตวั แบบเกาสเซียน เน่ืองจากการหารูปแบบสมการท่ีแสดงความสัมพันธของอุณหภูมิที่ ชดั เจนนั้นทำไดยากและมีรูปแบบที่ไมแนน อน ดงั น้นั ในสว นน้ีจะแสดงการเขยี นโปรแกรมในการคดิ ผลของสนามทเี่ กดิ จากความรอ นดวยภาษา C++ เพ่อื เปนตวั อยางทีช่ ัดเจนย่งิ ขึ้น 1 #include<iostream > 2 #include<fstream> 3 #include <cmath> 4 #include\"mtrand.h\" 5 using namespace std; 6 7 //*********************************************** 8 // Namespace MTrandom 9 //*********************************************** 10 namespace mtrandom { 11 double x1 ,x2 ,w; 12 double number1 ; 13 double number2 ; 14 bool logic = false ; 15 MTRand grnd; // single sequence of random numbers 16 } 17 // *********************************************** 18 // Subroutine gaussian 19 // *********************************************** 20 double gaussian (){ 21 using namespace mtrandom ; 22 if( logic == false ){ 23 for (;;){ 24 x1 = 2.0* grnd () - 1.0; 25 x2 = 2.0* grnd () - 1.0; 26 w = x1*x1 + x2*x2; 27 if(w <1.0) break ; 28 } 29 w=sqrt (( -2.0* log(w))/w);

3.4 การเคลอ่ื นท่ีของสปน เดี่ยว 75 30 number1 = w*x1; 31 number2 = w*x2; 32 logic =true; 33 return number1 ; 34 } 35 else { 36 logic = false ; 37 return number2 ; 38 } 39 } ในการเขียนโปรแกรมเพื่อคดิ ผลของความรอนท่ีมีตอ การเคล่ือนที่ของสปน เดย่ี ว จะเร่มิ จาก การพิจารณาสนามท่ีเกดิ จากความรอนซง่ึ มีลกั ษณะแบบสุม และมีการกระจายตัวทางสถติ ิแบบเกาส เซยี น (Gaussian distribution) ดงั นั้นจึงตองทำการเขยี นโปรแกรม namespace mtrandom ที่ มีการสรา งตัวเลขแบบสุมขนึ้ มา (random number) ในลำดบั แรก เมือ่ ไดตัวเลขสมุ แลวจำเปน ตอง ทำใหตัวเลขท่ีไดรบั การสุมเลอื กที่มีลักษณะการกระจายตวั ทางสถิติแบบเกาสเซียน ดงั น้นั จงึ ทำการ เขยี นฟง กช นั gaussian เปนลำดบั ถดั มา ดังรายละเอยี ดในโปรแกรมบรรทดั ที่ 17-35 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 2 3 -3 -2 -1 0 1 Standard Deviation รปู ที่ 3.10 ตวั เลขสุม ที่มกี ารกระจายตัวแบบเกาส ในการพจิ ารณาการเคลื่อนที่ของสปน เดี่ยวท่ีคิดผลของอณุ หภมู ิหรอื ความรอ น สามารถทำได โดยพิจารณาสนามท่ีเกดิ จากความรอ นซ่ึงเปนสนามเพ่มิ เติมนอกเหนือจากสนามแมเหล็กภายนอก ดังนี้ Hith(t) = Γ(t)σ (3.20) เม่ือคาเบ่ยี งเบนมาตราฐาน (standard deviation) มีคา เทา กบั σ = √ และคา Γ(t) 2αkB T γµs∆t เปน คา ท่ีไดจากตัวเลขสุมท่ีมีการกระจายตัวแบบเกาสเซยี น ซึ่งความสมั พนั ธขางตน สามารถนำมา

3.4 การเคลื่อนทขี่ องสปน เด่ียว 76 เขียนโปรแกรมไดดงั น้ี 1 //----------Thermal field------------------------ 2 sigma = sqrt((2.0*boltz_const*temp*alpha)/(mu_s_SI*dt)); 3 thermal_field[0]= sigma*gaussian(); 4 thermal_field[1]= sigma*gaussian(); 5 thermal_field[2]= sigma*gaussian(); 6 7 //----------Total field-------------------------- 8 H[0] = field[0]+thermal_field[0]; 9 H[1] = field[1]+thermal_field[1]; 10 H[2] = field [2]+ thermal_field [2]; บรรทดั ท่ี 2 เปน การคำนวณคาเบย่ี งเบนมาตราฐานที่แปรผนั ตรงกบั อุณหภมู ิ บรรทัดท่ี 3-5 เปน การคำนวณสนามท่เี กิดจากความรอน ซ่ึงมีการพิจารณาในสามสว นประกอบ คอื x y และ z โดยพิจารณาไดจากผลคณู ของคาเบี่ยงเบนมาตราฐานกบั คา ตวั เลขแบบสมุ ท่ีมีการก ระจายตัวทางสถติ ิแบบเกาส บรรทดั ท่ี 8-10 เปนการพจิ ารณาสนามแมเหล็กประสทิ ธิผลท่ีเกิดจากสนามความรอ นและ สนามแมเ หล็กภายนอก 3.4.3 การพิจารณาผลของแอนไอโซโทรปท ่ีมีตอ การเคลื่อนท่ีของสปน เดยี่ ว แอนไอโซทรอปเปนคณุ สมบตั ิที่สำคัญของวัสดุแมเหลก็ ซงึ่ สงผลตอ ลกั ษณะรูปรา งของวงวน ฮสี เตอรีซสี ซง่ึ แสดงถึงการตอบสนองของแมกนีไทเซชนั ตอ สนามแมเหลก็ ภายนอก เปน คุณสมบตั ิ ท่ีมีความสำคัญที่ตอ งนำมาพจิ ารณาในการออกแบบอุปกรณบนั ทกึ ขอ มูล ยกตัวอยางเชน ในการ ออกแบบแผนบนั ทกึ ขอมูลในฮารดดสิ ไดรฟ แผนบันทึกขอ มูลที่ดีควรสามารถเก็บบนั ทึกขอ มูลไดนาน โดยแผน บันทกึ ขอมูลควรทำจากวัสดุแมเหล็กที่มีคาแอนไอโซทรอปที่สงู ซง่ึ จะสามารถรักษาทศิ ทาง ของแมกนีไทเซชนั ได โดยผลของความรอนหรือสนามอืน่ ๆ ไมสามารถทำลายขอ มลู ได ในที่น้ีจะยก ตัวอยางการพจิ ารณาผลของแอนไอโซทรอปแกนเดียวหรอื uniaxial anisotropy ซึ่งมีแกนงา ยเพยี ง แกนเดียวท่ีมีตอ การเคลื่อนที่ของสปน เดย่ี ว จากความสมั พนั ธในสมการตอ ไปน้ี จะพบวา พลังงาน แอนไอโซทรอปจ ะขน้ึ อยกู บั ทิศทางของแมกนไี ทเซชันทที่ ำกับแกนงา ยดังน้ี Hai ni = S2Ku ( i · e)e (3.21) µs

3.4 การเคลื่อนทขี่ องสปนเดี่ยว 77 ดงั นนั้ สนามแมเหลก็ ประสิทธผิ ลทีก่ ระทำตอ สปนเดี่ยวท่ีเกิดจากสนามแมเ หล็กภายนอก สนาม ทเ่ี กดิ จากความรอ น และสนามแอนไอโซทรอปแกนเด่ียวสามารถพจิ ารณาไดด งั น้ี √ Hieff = Happ + Γ(t) 2αkB T + 2Ku (Si · e)e (3.22) γµs∆t µs ในการเขยี นโปรแกรมคิดผลของสนามแมเหล็กทัง้ สามสามารถพจิ ารณาทีละสว นจากนน้ั จงึ พิจารณา สนามแมเ หล็กประสทิ ธผิ ลจากผลรวมของสนามทงั้ หมดดังน้ี 1 //----------Thermal field----------------------- 2 sigma = sqrt((2.0*boltz_const*temp*alpha)/(mu_s_SI*dt)); 3 thermal_field[0]= sigma*gaussian(); 4 thermal_field[1]= sigma*gaussian(); 5 thermal_field[2]= sigma*gaussian(); 6 7 //----------Uniaxial Anisotropy field------------ 8 9 //S.E=SxEx+SyEy+SzEz 10 spin_dot_easy = S[0]* e_axis [0]+S[1]* e_axis [1]+S[2]* e_axis [2]; 11 12 // Hanis = 2Ku/mu_s *(S.E)E 13 uniaxial_anis [0] = spin_dot_easy *2.0* anis_constant * e_axis [0]; 14 uniaxial_anis [1] = spin_dot_easy *2.0* anis_constant * e_axis [1]; 15 uniaxial_anis [2] = spin_dot_easy *2.0* anis_constant * e_axis [2]; 16 17 // ----------Total field -------------------------- 18 H[0] = field [0]+ thermal_field [0]+ uniaxial_anis [0]; 19 H[1] = field [1]+ thermal_field [1]+ uniaxial_anis [1]; 20 H[2] = field [2]+ thermal_field [2]+ uniaxial_anis [2]; จากโปรแกรมขางตนเปนการพิจารณาผลของสนามแอนไอโซทรอปแกนเด่ยี วทม่ี ตี อ การเคลื่อน ท่ีของสปน เดี่ยว โดยกรณีน้ีจะทำการปอนสนามแมเหล็กภายนอกขนาด 10 เทสลา ในทิศทางแกน z ใหแกวสั ดุแมเหล็ก และเพ่ือใหเห็นผลท่ีเกดิ จากสนามแอนไอโซทรอปไดชัดเจนยิ่งข้ึน ผลของอณุ หภูมิ จะไมถูกนำมาคิด จากนัน้ ทำการเปรยี บเทียบการเคล่อื นที่ของสปนเดยี่ วที่เกดิ จากสนามแอนไอโซ- ทรอปที่คาตา งๆ โดยกำหนดใหแกนงายมีทศิ ทางไปตามแกน z การเคลือ่ นที่ของสปนภายใตสนาม แมเหลก็ ประสทิ ธผิ ลที่ประกอบดว ยสนามแมเหลก็ ภายนอกและสนามแอนไอโซทรอปดงั แสดงในรูปที่ 3.11 จะพบวาสปนภายในวสั ดุแมเหลก็ ที่มีคา คงท่ีแอนไอโซทรอปสงู (10Ku) จะมีการเคลอ่ื นท่ีเขา สู

3.4 การเคล่ือนทข่ี องสปน เดยี่ ว 78 สภาวะเสถยี รไดเร็วกวา สปน ในวสั ดุแมเหล็กที่มีคาแอนไอโซทรอปตำ่ โดยเวลาที่ใชในการเขา สูสภาวะ เสถียรมีคาเทากบั 60 ps และ 40 ps สำหรบั วัสดทุ มี่ คี า แอนไอโซทรอป เทา กบั Ku และ 10Ku ตาม ลำดับ เม่อื Ku เปนคา คงท่แี อนไอโซทรอปข องโคบอลตซ งึ่ มคี าเทา กับ 6 × 10−24 J/atom Sz Sy Sx 1 Ku 10Ku 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1 1 0.5 0 -0.5 -1 0 10 20 30 40 50 60 t [ps] รูปท่ี 3.11 สว นประกอบ x y และ z ของสปนเด่ยี วท่เี กดิ จากผลของสนามแอนไอโซทรอปท ีค่ าตางๆ ในกรณีท่ีสปนเขาสูสภาวะเสถียรแลว และตองการเปลย่ี นแปลงทศิ ทางของสปนไปในทศิ ทาง ใดๆ สามารถทำไดโดยทำการปอ นสนามแมเหลก็ ไปในทศิ ทางนัน้ ๆ สำหรับวสั ดุแมเหลก็ ที่มีคา แอนไอ โซทรอปท่ีสงู จะสงผลใหขนาดของสนามแมเหล็กภายนอกท่ีปอ นเพื่อที่ตอ งการเปล่ียนแปลงทศิ ทาง ของสปนมีคาสงู ตามไปดวย เน่อื งจากสนามแมเหล็กภายนอกจะตอ งมีคามากพอที่จะเอาชนะขนาด ของสนามแอนไอโซทรอป การศกึ ษาผลของสนามแอนไอโซทรอปท่ีมีตอ การเคลื่อนที่ของสปนเดยี่ ว ช้ีใหเห็นถึงคุณสมบตั ิท่ีสำคญั ของวัสดุที่จะนำมาประยุกตใชในเทคโนโลยีบนั ทกึ ขอ มลู เชน แผน บันทกึ ขอ มลู ควรทำจากวัสดุท่ีมีคาแอนไอโซทรอปที่สูงเพ่อื ที่จะสามารถรกั ษาขอมูลไดเปนระยะเวลานาน เปนตน

3.5 คำถามทา ยบท 79 3.5 คำถามทา ยบท 3.5.1. จงอธบิ ายสมการการเคลือ่ นท่ีของสปนท่ีอยูในรปู แบบ LL และ Gilbert วา เหมอื นหรอื แตก ตา งกันอยางไร และแตล ะรูปแบบมีขอ จำกดั อยางไร 3.5.2. จงอธิบายสมการการเคล่ือนท่ขี องสปน ทอี่ ยใู นรปู แบบ LLG วา ประกอบดว ยสวนใดบา ง แตล ะ สว นสงผลอยางไรตอ การเคล่อื นท่ีของสปน 3.5.3. จงอธบิ ายกลไกปฏิสัมพนั ธการแลกเปล่ียน s-d ที่เกดิ ขน้ึ ในชั้นเฟรโรแมกเนติกในโครงสรา ง วัสดุสามชนั้ เม่ือมกี ารปอนกระแสไฟฟา จากภายนอก 3.5.4. จากรปู แสดงโครงสรา งวัสดุสามชนั้ ท่ีมีการปอ นกระแสไฟฟา จากภายนอกซ่ึงทำใหทศิ ทางของ แมกนีไทเซชนั ในวัสดุเฟรโรแมกเนติก F2 มีทศิ ทางเดียวกับแมกนีไทเซชันในวสั ดุเฟรโรแมกเนติก F1 เนอ่ื งจากปฎิสัมพนั ธแลกเปล่ยี น s-d กรณีที่ตอ งการกลบั ทศิ ทางของแมกนีไทเซชันในชั้นวสั ดุ เฟรโรแมกเนติก F2 ใหมีทิศทางตรงขามกับทศิ ทางของแมกนีไทเซชนั ในช้ันวัสดุเฟรโรแมกเนติก F1 สามารถทำไดอ ยา งไร จงอธบิ ายกระบวนการอยา งละเอยี ด 3.5.5. จงพจิ ารณาการเคลื่อนท่ีของสปนที่เวลา t = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1.0 s ดวยวธิ ีการคำนวณ เชิงตัวเลขออยเลอรและ Heun scheme และหาคาความคลาดเคลอ่ื นท่ีเกดิ ขึ้นจากการคำนวณดวย ทั้งสองวิธีโดยเปรยี บเทียบกับผลเฉลยแมนตรงเม่ือกำหนดใหส มการการเคลื่อนที่ของสปน คือ dS = 2(t − 1) dt 3.5.6. จงอธบิ ายผลของสนามแมเหล็กภายนอก สนามแอนไอโซทรอป และสนามแมเหล็กที่เกดิ จาก ความรอ น ท่ีมตี อ การเคลอ่ื นที่ของสปน



บทที่ 4 การเคล่อื นทข่ี องสภาพแมเ หล็ก (Magnetisation dynamics) การศึกษาการเคล่ือนท่ีของสภาพแมเหลก็ ที่เวลาตา งๆ มีความสำคัญมาก เน่อื งจากทำใหเรา เขา ใจคุณสมบตั ิทางแมเ หลก็ ของวสั ดุทส่ี ภาวะสถิต (static properties) และสภาวะพลวตั (dynamic properties) จากการศึกษาการเปลี่ยนแปลงของแมกนีไทเซชันที่เวลาตา งๆ ทำใหเราเขาใจธรรมชาติ ของวสั ดุชนิดตางๆ และสามารถนำไปประยุกตใชงานไดอยา งเหมาะสม เชน วัสดุแมเหลก็ ถาวรจะ สูญเสียความเปน แมเหลก็ ประมาณรอยละ 0.1 ตอ ทศวรรษ และความสามารถในการเก็บขอ มลู ใน ฮารดดิสไดรฟจะลดลงตามเวลา เปน ตน ดงั นั้นการนำวัสดุแมเหลก็ นำไปประยกุ ตใชงานดานตางๆ โดยเฉพาะอยางยิ่งการประยกุ ตใชงานกบั อุปกรณสปนทรอนกิ สและเทคโนโลยีบันทึกขอ มลู จงึ มีความ จำเปน ตอ งศกึ ษาและเขา ใจคุณสมบตั ขิ องวัสดแุ มเ หล็กน้ันๆ กอ นนำมาประยกุ ตใ ชง าน การเคลื่อนที่ของสภาพแมเหล็กท่ีเวลาตา งๆ สามารถพจิ ารณาไดโดยใชสมการการเคลือ่ นที่ ของสปน LLG ดังรายละเอยี ดที่ไดกลาวในบทที่ผา นมา ลักษณะการเรียงตวั ของแมกนีไทเซชนั หรอื สปนภายในวัสดุแมเหลก็ จะขึน้ อยูกบั คณุ สมบตั ิของวัสดุนนั้ ๆ โดยแมกนีไทเซชนั สามารถจัดเรยี งตวั ไปในทศิ ทางเดียวกนั ท้งั หมด (uniform magnetisation) หรืออาจมีการเรียงตัวในทิศทางท่ีแตกตา ง กันได กรณีท่ีแมกนีไทเซชันมีการเรยี งตวั ในทศิ ทางที่แตกตางกนั จะทำใหเกดิ บรเิ วณที่เรียกวา กำแพง โดเมน (domain wall, DW) ดงั นั้นจงึ มีความจำเปน ที่ตอ งศึกษาโครงสรางตา งๆ ของแมกนีไทเซชัน กอนท่ีจะพจิ ารณาการเคล่อื นที่ของแมกนีไทเซชันท่ีเวลาใดๆ คุณสมบัติของกำแพงโดเมนไดรบั การ ศกึ ษาอยา งกวา งขวางสำหรบั การประยุกตใชงานดานตางๆ จงึ มีความจำเปนที่ตองเขาใจธรรมชาติ ของกำแพงโดเมน ในสว นน้ีจะกลา วถึงความรูพื้นฐาน คุณสมบัติสถิตและคุณสมบตั ิพลวัตของกำแพง โดเมนเปนลำดบั แรก จากน้ันจะกลา วถงึ การเคล่อื นที่ของกำแพงโดเมนท่ีถกู ขับเคลอื่ นโดยสนามแม เหล็กภายนอกและกระแสไฟฟา ภายนอก 4.1 กำแพงโดเมน (Domain Walls) โดเมนคอื บรเิ วณท่ีมีโมเมนตแมเหล็กมีการจดั เรยี งตัวไปในทศิ ทางเดียวกนั กรณีท่ีโมเมนตแม เหลก็ มีการจดั เรยี งตวั ในทิศทางที่แตกตางกนั โมเมนตแมเหลก็ เหลานัน้ จะถูกก้นั ดวยบริเวณรอยตอ ท่ี เรยี กวา กำแพงโดเมน ดงั แสดงในรูปท่ี 4.1 (a) วัสดุประกอบดว ยสองโดเมนท่ีมีโมเมนตแมเหลก็ ทำมมุ ตางกัน 180 องศา และที่บริเวณรอยตอ ของทง้ั สองโดเมนซง่ึ เรียกวา กำแพงโดเมน จะพบวา โมเมนตแมเหล็กในบริเวณน้ีจะคอยๆ เปลี่ยนแปลงทศิ ทางจากโดเมนหนง่ึ ไปอีกโดเมนหน่งึ และในรูป

4.1 กำแพงโดเมน 82 4.1 (b) กำแพงโดเมนท่เี กดิ จากสองโดเมนสามารถมีโครงสรา งกำแพงโดเมนที่แตกตางกนั โดยกำแพง โดเมนแบบแรกเปนกำแพงโดเมนแบบหวั ตอหวั ซึ่งทิศทางของโมเมนตแมเหลก็ ในบรเิ วณน้ีจะคอ ยๆ เปลย่ี นแปลงจากโดเมนหน่งึ ไปอีกโดเมนหนงึ่ ในขณะที่กำแพงโดเมนแบบท่ีสองจะเปนกำแพงโดเมน แบบวน (vortex domain wall) (a) (b) รูปท่ี 4.1 (a) กำแพงโดเมนแบบหางตอหาง (tail-to-tail domain wall) 180 องศา (b) กำแพงโดเมน แบบหวั ตอหวั (head-to-head domain wall) และแบบวน (vortex domain wall) [34] ลักษณะของกำแพงโดเมนสามารถแบงออกเปน สองแบบหลักคือ กำแพงโดเมนแบบ Bloch และกำแพงโดเมนแบบ Néel กำแพงโดเมนแบบแรกถูกอธบิ ายดว ยทฤษฎีโดย Bloch ซง่ึ พบวา

4.1 กำแพงโดเมน 83 โมเมนตแมเหล็กภายในกำแพงโดเมนจะคอ ยๆ เปลี่ยนแปลงทศิ ทางจากโดเมนหนง่ึ ไปยังโดเมนถัด ไป Bloch ไดทำการศึกษากำแพงโดเมนในแผน ฟล มหนาซึง่ โมเมนตแมเหลก็ ในโดเมนสองโดเมนทำ มมุ กัน 180 องศา และกำแพงโดเมนที่ทำการศึกษาเปนกำแพงโดเมนอยางงา ยสำหรบั วัสดุที่มีแกน งายหรือ easy axis ทิศทางเดยี ว (uniaxial anisotropy) ดังรูปท่ี 4.2 (a) โดยโมเมนตแมเหล็กใน โดเมนท้ังสองเรียงตัวขนานกันไปตามทศิ ทางของแกนงายในทิศทางตรงกันขา ม ในแผนฟลมหนาจะ เกดิ การกระจายตัวของประจุท่ีบริเวณพืน้ ผวิ ของแผนฟลม เนอ่ื งจากผลของสนามคูข้วั ภายในกำแพง โดเมนซ่งึ มีคานอ ยสง ผลใหโมเมนตแมเหลก็ เกิดการหมนุ ขนานกับระนาบของกำแพงโดเมน ทำใหเกิด กำแพงโดเมนสามมติ ิเรยี กวา Bloch wall ดงั แสดงในรูปที่ 4.2 (b) ซ่ึงโมเมนตแมเ หล็กภายในกำแพง โดเมนมีการหมนุ ออกนอกระนาบของแผนฟลม (out-of-plane rotation) (a) (b) รูปที่ 4.2 (a) การกระจายตวั ของประจใุ นกำแพงโดเมนแบบ Bloch และ (b) การเรียงตัวแบบสามมติ ิ ของโมเมนตแ มเ หลก็ ในกำแพงโดเมน กำแพงโดเมนอกี ประเภทหนง่ึ คือ กำแพงโดเมนแบบ Néel ซึ่งเปน กำแพงโดเมนท่ีพบไดทั่วไป ในแผนฟลมบาง ถูกนำเสนอครั้งแรกโดย Néel ซง่ึ พบวากำแพงโดเมนแบบ Bloch ไมสามารถนำมา อธิบายกำแพงโดเมนในแผนฟล มบางได กำแพงโดเมนชนดิ น้ีจะเกิดขึ้นเมอื่ ความหนาของฟลม (t) มี คา ใกลเคยี งกบั ความกวางของกำแพงโดเมน (δ) ทำใหเกิดประจุหรือข้วั อสิ ระภายในแผน ฟลมและสง ผลใหโมเมนตแมเหล็กหรอื สปนเกิดการหมนุ ในระนาบของแผนฟล ม ดงั แสดงในรูปที่ 4.3 แทนการ หมนุ ในระนาบของกำแพงโดเมนเหมอื น Bloch wall เนือ่ งจากในแผน ฟลม บางมสี นามคูขั้วทีส่ ูงทำให

4.2 พลงั งานในกำแพงโดเมน 84 จำกดั การหมุนของโมเมนตแ มเ หลก็ ใหอยใู นระนาบของแผนฟลมเทาน้นั [1, 10] รปู ท่ี 4.3 การกระจายตัวของประจุในกำแพงโดเมนแบบ Néel 4.2 พลังงานในกำแพงโดเมน (Domain wall energy) ในการพจิ ารณาลกั ษณะและความกวา งของกำแพงโดเมนเปน พ้ืนฐานสำคญั ท่ีนำไปสูการประ- ยกุ ตใชในการออกแบบอุปกรณส ปนทรอนกิ สท่ีมีหลักการทำงานโดยอาศยั การเคลื่อนท่ีของกำแพง โดเมน เชน หนวยความจำแบบ racetrack ซึ่งเปน เทคโนโลยีการบันทกึ ขอมูลโดยอาศัยการควบคุม ทิศทางของแมกนีไทเซชนั ภายในเสนลวดแมเหล็กขนาดเลก็ (nanowire) เพ่อื ใหอปุ กรณหนว ยความ จำน้ีสามารถเกบ็ ขอมูลไดสูงข้นึ จึงควรออกแบบใหก ำแพงโดเมนระหวา งบติ มคี วามกวางนอยซงึ่ ความ กวา งของกำแพงโดเมนสามารถพิจารณาไดจากสภาวะพลงั งานรวมตำ่ สดุ ภายในวัสดุ ดังนน้ั จงึ มีความ จำเปนท่ีตอ งเขาใจพลังงานตางๆ ที่เกดิ ข้ึนภายในกำแพงโดเมน พลังงานทัง้ หมดที่เกดิ ข้ึนในกำแพง โดเมนที่ถกู นำมาพิจารณาไดแ ก พลงั งานแอนไอโซทรอป พลังงานการแลกเปลี่ยนและพลงั งานที่ข้ึน กบั รูปรา งของแผน ฟล ม หรอื พลังงานแมเ หล็กสถติ (magnetostatic energy หรือ shape anisotropy energy) จากท่ีไดกลา วไปขางตนพบวา ลกั ษณะโครงสรางของกำแพงโดเมนจะข้ึนอยูกบั ความหนาของ แผนฟล ม โดยจะเกดิ กำแพงโดเมนแบบ Bloch ในแผน ฟลม หนาในขณะที่จะเกดิ กำแพงโดเมนแบบ Néel ในแผน ฟลม บาง ซ่ึงแสดงใหเหน็ วาลกั ษณะของกำแพงโดเมนข้ึนอยูกับลักษณะรปู รา งของแผน ฟล ม นน่ั เอง ดงั น้นั ในสวนนจี้ ะทำการพิจารณาพลังงานทขี่ ึ้นกับรูปรา งทเ่ี กดิ ข้นึ ในกำแพงโดเมนท้งั สอง แบบ ซ่ึงสามารถประมาณคาไดจ ากการพจิ ารณาวัสดุทรงกระบอกทีม่ หี นาตดั วงรี (elliptic cylinder) ดงั แสดงในรปู ที่ 4.4 จากรูปแสดงภาคตดั ขวางของแผน ฟล ม หนาที่มีการเกดิ คูข้ัวท่ีพ้นื ผวิ ของแผน

4.2 พลังงานในกำแพงโดเมน 85 ฟลม และมีการกระจายตวั ของฟลักซแมเหลก็ จากขว้ั เหนือไปข้ัวใตซง่ึ สงผลใหเกดิ โมเมนตแมเหล็ก บริเวณก่งึ กลางของกำแพงโดเมน เรียงตวั ไปในทิศทางตั้งฉากกับพน้ื ผวิ ของแผน ฟล มหรือทิศทาง z ซ่งึ ลักษณะการกระจายตัวของฟลกั ซแมเ หล็กมีลักษณะเปนวงรี รูปที่ 4.4 ภาคตดั ขวางกำแพงโดแมนแบบ Bloch และการพจิ ารณาพลังงานท่ีข้นึ กับรปู รางในกำแพง โดเมนจากวสั ดุทรงกระบอกทม่ี หี นา ตัดวงรี การพจิ ารณาความหนาแนน ของพลงั งานท่ีขน้ึ อยูกบั รูปรา ง (Ems, magnetostatic energy density) หาไดจากสมการตอ ไปนี้ Ems = 1 N Ms2 2 เมอ่ื Ms คือแมกนีไทเซชนั อ่มิ ตวั ของวสั ดุแมเหลก็ N คือสัมประสิทธ์ิการลดสภาพความเปนแมเหล็ก (demagnetising coefficient) ซ่ึงมีคา ขึน้ อยูกบั ทศิ ทางการปอ นสนามแมเหลก็ เพือ่ ใหเกิดการเหน่ยี วนำใหวสั ดุเกดิ สภาพความเปน แมเหล็ก (magnetised direction) กรณีทท่ี ำการเหน่ียวนำโมเมนตแมเ หลก็ ไปตามทศิ ทางแกน a คาสมั ประสิทธิ์ การลดสภาพความเปน แมเ หล็กในหนวย CGS จะมคี า ดงั น้ี b (4.1) Na = 4π a + b และกรณีท่ีมีการเหนี่ยวนำเพือ่ ใหเกิดโมเมนตแมเหล็กไปตามทิศทางแกน b คาสมั ประสิทธิ์การลด สภาพความเปนแมเหลก็ จะมคี า ดงั นี้ a (4.2) Nb = 4π a + b

4.2 พลังงานในกำแพงโดเมน 86 ดงั น้ันเมอ่ื พจิ ารณาการเกดิ โมเมนตแ มเ หลก็ ภายในกำแพงโดเมนแบบ Bloch ในแผน ฟล ม หนา ซง่ึ เปรียบเสมอื นการเหนย่ี วนำใหเกดิ สภาพความเปนแมเหลก็ ไปตามทิศทาง a ดงั นัน้ เราสามารถ พิจารณาความหนาแนน ของพลงั งานที่ขึ้นอยูกับรูปรา งดังน้ี Ems = 2π δMs2 t+δ เม่อื t เปนความหนาของแผน ฟล ม และเราสามารถคำนวณหาพลงั งานที่ขนึ้ กับรูปรา งตอพ้นื ท่ีกำแพง โดเมนโดยการคณู ดวยความกวางของกำแพงโดเมน δ ดงั นี้ γms,B = 2π δ2Ms2 (4.3) t+δ จากสมการขางตนพบวา กรณีที่เปนแผน ฟล มหนาซึ่งมีกำแพงโดเมนแบบ Bloch โดยมีคา ความหนาของแผนฟลม t >> δ ทำใหพลังงานที่ขนึ้ อยูกับรูปรางมีคานอ ยมาก ดงั นน้ั จงึ ไมตอ งนำ พลังงานสวนน้มี าพิจารณาได ตวั อยา งที่ 4.1. จงพจิ ารณาพลงั งานแมเหลก็ สถติ หรือพลงั งานที่ขึ้นกบั รปู รา งของแผน ฟลมบางท่ีมีกำแพงโดเมนแบบ Néel วธิ ที ำ พจิ ารณาภาคตัดขวางของแผน ฟล มบางดงั รูป จากรูปจะพบวาโมเมนตแมเหล็กจะเกดิ การเหนยี่ วนำตามแนวแกน x และเมอื่ เปรียบเทียบ กับรูปทรงกระบอกหนา ตดั วงรีเราสามารถพจิ ารณาคาสมั ประสิทธิ์การลดสภาพความเปน แมเหล็กดังนี้ t Nb = 4π t + δ จากนั้นพิจารณาความหนาแนน ของพลงั งานทขี่ น้ึ อยูกบั รปู รางไดดงั นี้ Ems = 2π tMs2 J /m3 t+δ .

4.2 พลังงานในกำแพงโดเมน 87 และสามารถหาพลงั งานท่ีขนึ้ กบั รูปรางตอพน้ื ทก่ี ำแพงโดเมนดังน้ี γms,N = 2π δtMs2 t+δ . ในลำดับถดั มาจะทำการพจิ ารณาพลงั งานท่ีเกิดขึ้นในกำแพงโดเมนแบบ Néel ในแผน ฟล ม บาง โดยทำการพจิ ารณาโครงสรา งของกำแพงโดเมนดังรปู ที่ 4.5 จะพบวา อะตอมมีการเรียงตวั ของ ตำแหนง ตามแนวแกน x โดยโมเมนตแมเหลก็ ของแตล ะอะตอมเรียงตวั ไปตามแนวแกนงา ยคอื แกน ±y สงผลทำใหเกดิ กำแพงโดเมนแบบ Bloch ท่ีมีการจัดเรียงในระนาบ yz และมีความกวางของ กำแพงโดเมนเปนศนู ย เน่อื งจากโมเมนตแมเหล็กมีการเปลยี่ นแปลงอยางรวดเร็วท่ีบรเิ วณรอยตอ นอกจากน้ียงั พบวา พลงั งานแลกเปล่ยี นในกำแพงโดเมนชนดิ น้ีจะมีคา มาก เนอ่ื งจากวสั ดุเฟรโรแมก- เนติกจะมีพลงั งานแลกเปล่ียนตำ่ สุดเม่ือโมเมนตแมเหลก็ มีการจดั เรยี งตัวไปในทศิ ทางเดยี วกนั และมี พลงั งานแลกเปลยี่ นมากสุดเมอื่ โมเมนตแ มเหล็กในวัสดุเรยี งตัวในทศิ ทางตรงกันขา มนัน่ เอง รปู ท่ี 4.5 กำแพงโดเมนทม่ี คี วามกวางเปนศูนย พลังงานปฏิสัมพันธแลกเปลี่ยนในกำแพงโดเมนจะลดลงเมอ่ื โมเมนตแมเหลก็ ในกำแพงโดเมน คอ ยๆ เปล่ยี นแปลงทิศทาง โดยโมเมนตแ มเ หลก็ ขางเคยี งจะทำมมุ ระหวา งกนั เทา กบั ϕ กรณีทโี่ ดเมน แมเหล็กสองโดเมนทำมมุ กนั 180 องศา จะทำใหเกดิ กำแพงโดเมนระหวา งโดเมนแมเหลก็ ท้งั สอง โดยบรเิ วณกำแพงโดเมนมีจำนวนอะตอมทงั้ หมด N อะตอม จะทำใหมุมระหวา งโมเมนตแมเหล็ก ขางเคียงมีคาเทา กับ ϕ = π/N เม่ือพิจารณากำแพงโดเมนแบบ Bloch ซง่ึ โมเมนตแมเหล็กมีการจัด เรยี งตัวออกจากแนวแกนงายดังรูปท่ี 4.6 ความกวา งของกำแพงโดเมนจะขึ้นอยูกับพลังงานภายใน กำแพงโดเมนซ่งึ ประกอบดวยพลังงานแอนไอโซทรอปแ ละพลงั งานแลกเปลยี่ น กรณีท่ีกำแพงโดเมนมี พลงั งานแลกเปลีย่ นมากกวา พลงั งานแอนไอโซทรอปจะสง ผลใหก ำแพงโดเมนกวาง เน่อื งจากพลังงาน แลกเปล่ียนมีแนวโนมจะทำใหสปนท่ีอยูขางเคียงจัดเรยี งไปในทศิ ทางเดียวกนั ทำใหมุมระหวา งสปน หรือโมเมนตแมเหล็กขางเคยี งมีคา นอย ในขณะที่พลงั งานแอนไอโซทรอปจะทำใหกำแพงโดเมนแคบ