atomistic (1)

แบบจาจ ลองระดับล อะตอมของวลสั ดจุแมเม่ หลล็ก Atomistic Modelling of Magnetic Materials ผศ. ดร. พรรณวดดี จจุรมีด าศ ภาควิวชาฟวิ สิวกสส์ คณะววิทยาศาสตรส์ มหาวิวทยาลยลั มหาสารคาม

แบบจจาลองระดลับอะตอมของวสลั ดุจแมม่เหลล็ก Atomistic Modelling of Magnetic Materials ผศ. ดร. พรรณวดดี จุจรดมี าศ ภาควชิว าฟิว สวกิ สส์ คณะวิวทยาศาสตรส์ มหาววทิ ยาลยลั มหาสารคาม

แบบจำลองระดับอะตอมของวัสดแุ มเหลก็ Atomistic Modelling of Magnetic Materials สงวนลิขสทิ ธ์ิตามพระราชบัญญตั ิลิขสิทธ์ิ หามคัดลอกสว นใดสว นหนง่ึ ในหนังสือเลม น้ี ไมว า รูปแบบใดๆ นอกจากจะไดรบั อนุญาตเปน ลายลักษณอ กั ษรจากเจา ของลขิ สิทธเิ์ ทา นั้น ขอ มลู ทางบรรณานุกรมของสำนกั หอสมุดแหงชาติ พรรณวดี จรุ มี าศ แบบจำลองระดบั อะตอมของวัสดุแมเ หลก็ -- 200 หนา ภาควชิ าฟสิกส คณะวิทยาศาสตร มหาวทิ ยาลัยมหาสารคาม ISBN : xxxxxxxxx . พิมพค รง้ั ที่ 1 : พฤษภาคม 2559 จำนวน 100 เลม ผจู ดั พิมพ : ผศ. ดร. พรรณวดี จรุ ีมาศ พิมพท ี่ : ตกั สลิ าการพมิ พ 250/4 ถนนศรสี วัสด์ิดำเนนิ ตำบลตลาด อำเภอเมอื ง จงั หวดั มหาสารคาม 44000 โทรศัพท 08-1546-5776, 08-9617-7357 ราคา 200 บาท

คำนำ iii คำนำ อตุ สาหกรรมบันทึกขอ มูลหรอื ฮารดดสิ ไดรฟเปนอุตสาหกรรมขนาดใหญที่สง ผลตอ เศรษฐกจิ ของประเทศไทยเปนอยา งมากเนอื่ งจากประเทศไทยเปน ฐานการผลติ ฮารด ดิสไดรฟท่ีใหญที่สุดใน โลก การขยายตวั ของอุตสาหกรรมนี้จึงสงผลอยางมากตอ เศรษฐกิจของประเทศ การบันทึกขอ มลู โดยอาศยั คณุ สมบตั ิทางแมเหลก็ เปนวธิ ีการหลกั ในการเก็บขอ มูลในปจ จุบนั แมว าการเกบ็ ขอมูลใน อปุ กรณคอมพวิ เตอรตงั้ โตะ จะคอ ยๆ ถูกแทนท่ีดวยหนว ยความจำแบบโซลติ สเตทแตความตองการ ในการบนั ทึกขอมลู แบบคราวดซงึ่ เปนเทคโนโลยีการบนั ทึกขอมลู เชิงแมเหลก็ กลับสูงขนึ้ รอยละ 40 ตอ ป ทำใหการเพิ่มพนื้ ท่ีความจุขอ มลู เชิงพน้ื ท่ีของฮารดดิสไดรฟมีความจำเปน อยา งยิง่ การจดั ตั้ง ศนู ยวจิ ยั และพฒั นาในประเทศไทยเพือ่ ดึงดูดการลงทนุ และการจดั ตั้งฐานการผลิตของอุตสาหกรรมนี้ เปนส่งิ จำเปน อยางยง่ิ นอกจากน้ีการพฒั นานสิ ิตเพ่ือรองรบั การเตบิ โตของอตุ สาหกรรมนี้นบั วา เปน ส่งิ สำคญั ที่จะนำไปสูการพัฒนาประเทศท้งั ดา นเศรษฐกิจและบุคลากรอยา งย่งั ยนื และเปน ประโยขน ตอ ประเทศอยางแทจรงิ อยางไรกต็ ามการผลติ บณั ฑิตที่มีความรูดา นนี้ยงั ไมเพยี งพอตอความตอ งการ ของอตุ สาหกรรม การออกแบบหัวอา น หวั เขยี นและแผน บันทึกขอมลู ในฮารด ดิสไดรฟสามารถทำไดโดยอาศัย ความรูทางดานฟสิกสและวศิ วกรรมรว มกัน แบบจาํ ลองระดบั อะตอมของวัสดุแมเหล็กเปน เคร่อื ง มอื ที่เขามามีบทบาทอยางมากในการวเิ คราะหคณุ สมบัติตางๆ ทางแมเหล็กของวสั ดุ ซงึ่ ทำใหเขาใจ กระบวนการทางฟส ิกสท เ่ี กดิ ขนึ้ ภายในวัสดมุ ากข้ึนและสามารถนำไปสกู ารประยกุ ตใ ชใ นการออกแบบ อุปกรณตา งๆ ที่อาศยั คณุ สมบัติทางแมเหล็กและคณุ สมบัติของสปนเชน อุปกรณบนั ทกึ ขอมลู ฮารด ดิสไดรฟ หนวยความจำเขา ถงึ แบบสุมเชิงแมเหลก็ และอุปกรณสปนทรอนิกส เปน ตน แมวาแบบ จำลองระดบั อะตอมจะมีความสำคัญมาก แตความรูความเขา ใจและรายละเอยี ดของแบบจำลองซงึ่ ถูกนำไปใชในงานวจิ ยั ขั้นสงู ยงั ไมม ีการรวบรวมเปนเอกสารเพ่อื ใชในการเรียนการสอนอยางแทจริง ผูเขียนไดตระหนกั และเล็งเห็นถงึ ความสำคญั ดงั กลาว จึงไดจัดทำตำราเลม น้ีขึน้ เพ่ือใชประกอบการ เรยี นการสอนในรายวิชาแบบจาํ ลองระดบั อะตอมของวัสดุแมเหล็ก (0204 659) ซ่ึงเปน วชิ าเอกเลือก ของหลักสตู รปรัชญาดษุ ฎีบัณฑิต (ฟส ิกส) โดยมีรายละเอยี ดตง้ั แตประเภทของวสั ดุแมเหล็ก การ พจิ ารณาพลังงานท่ีเกดิ ขึ้นในวสั ดุ หลักการคำนวณตา งๆ ในแบบจำลองระดบั อะตอม การประยกุ ต ใชกบั งานวจิ ยั ดานการออกแบบอุปกรณส ปนทรอนิกส การใชโปรแกรมสำเร็จรปู VAMPIRE และ ตัวอยา งการประยกุ ตใชแ บบจำลองระดับอะตอมในงานวจิ ยั ข้นั สงู ผูเขยี นไดท ำการรวบรวมจากเอกสาร ตำรา งานวจิ ยั ตางๆ รวมทัง้ งานวจิ ยั ของผูเขยี นเองเพื่อใหสามารถนำไปใชงานไดจริง ผูเขยี นหวัง เปนอยางย่ิงวาตำราเลมน้ีจะมีประโยชนแกผูที่สนใจและสามารถเปนจุดเรมิ่ ตนในการนำแบบจำลอง ระดับอะตอมไปประยุกตใชงานดานตา งๆ เพ่ือนำไปสูก ารสรางนวตั กรรมใหมๆ ในอนาคต พรรณวดี จรุ มี าศ พฤษภาคม 2559

แบบจำลองระดับอะตอมของวัสดแุ มเหลก็ Atomistic Modelling of Magnetic Materials 0204 659 คำอธิบายรายวิชา ประเภทของวสั ดแุ มเหลก็ พลังงานในวัสดแุ มเหลก็ ฮามิโทเนยี ลของสปน พลงั งานความรอนท่ี มีผลตอ ระบบ สมการ Laudau-Lifshitz-gilbert (LLG) วิธีการเชงิ ตัวเลข การเคล่ือนท่ีของสภาพแม เหลก็ การประยุกตใ ชร ะบบจำลองของวสั ดแุ มเ หลก็ Classification of magnetic materials, Energetics of magnetism, Classical spin Hamil- tonian, Thermal fluctuation, The Laudau-Lifshitz-gilbert (LLG) equation, Numerical technique, Magnetisation dynamics, Application of magnetic model

สารบัญ คำนำ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii สารบญั ภาพ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii สารบญั ตาราง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi 1 วัสดแุ มเหลก็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 ประเภทของวัสดุแมเหล็ก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 วสั ดุไดอะแมกเนติก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 วสั ดุพาราแมกเนตกิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 วสั ดุเฟรโ ร- และ แอนตเิ ฟรโรแมกเนตกิ . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 วสั ดุเฟรร แิ มกเนตกิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 หนว ยทางแมเหลก็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 คำถามทายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 พลงั งานในวัสดุแมเหล็ก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 ฮามลิ โทเนียนแบบฉบับของสปน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 พลงั งานปฏิสมั พันธก ารแลกเปลย่ี น . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 พลงั งานแอนไอโซทรอปผ ลึก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 พลังงานภายนอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.4 พลงั งานลดสภาพความเปนแมเหล็ก . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.5 พลังงานความรอ น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.6 สนามแมเหล็กประสทิ ธผิ ล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 พารามเิ ตอรข องระบบ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.1 โมเมนตของสปน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

สารบญั vi 2.2.2 คาปริพนั ธก ารแลกเปลี่ยน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3 คา คงทแี่ อนไอโซทรอป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 คำถามทายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 สมการ Laudau-Lifshitz-gilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 รปู แบบของสมการ LLG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 ปรากฏการณส ปน ทอรค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 สมการปรับแตง LLG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.2 ผลของสปน ทอรค ที่มตี อ การเคลอ่ื นท่ขี องสปน . . . . . . . . . . 59 3.3 วธิ กี ารคำนวณเชงิ ตัวเลข . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 การเคลื่อนท่ีของสปนเดี่ยว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 ผลของความหนว ง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.2 การพจิ ารณาผลของอุณหภมู ิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4.3 การพจิ ารณาผลของแอนไอโซโทรป . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.5 คำถามทา ยบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 การเคลอ่ื นที่ของสภาพแมเหล็ก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1 กำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 พลงั งานในกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 ความกวา งของกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 ลักษณะของกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 การเคล่ือนท่ีของกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.6 คำถามทายบท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5 การประยกุ ตใ ชร ะบบจำลองของวสั ดุแมเ หลก็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.1 คณุ สมบัตทิ างแมเหล็ก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.1.1 แมกนไี ทเซชัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

สารบญั vii 5.1.2 คา คงทแ่ี อนไอโซทรอป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.1.3 คา คงทก่ี ารปฏสิ มั พันธแลกเปล่ียน . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.2 โครงสรางสปนวาลว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6 VAMPIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 6.1 ขดี ความสามารถของ Vampire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6.2 การตติ ต้งั โปรแกรม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.3 การใชงาน Vampire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.3.1 ไฟลขาเขาและไฟลผ ลลพั ท . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.3.2 ไฟลพ ารามิเตอรของวสั ดุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.4 โครงสรางวสั ดุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4.1 เกรนทรงกระบอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4.2 โครงสรา งวัสดหุ ลายช้นั . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4.3 โลหะผสมอสญั ฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.5 การคำนวณคุณสมบตั ิพื้นฐานทางแมเหลก็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5.1 อุณหภูมิวิกฤต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.5.2 วงวนฮีสเตอรซี สี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 แบบจำลองระดบั อะตอมกบั งานวิจัยขัน้ สูง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.1 การเคล่อื นทีข่ องกำแพงโดเมนท่ีขบั เคลอื่ นดว ยสปนทอรค . . . . . . . . . . 165 7.2 โครงสรา งกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3 พลงั งานท่เี กดิ ข้ึนภายในโครงสรา งวสั ดุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.4 สมการ LLG ท่คี ิดผลของสปน ทอรค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 7.5 การเคลอ่ื นท่ีของกำแพงโดเมนท่ไี มคิดผลของอุณหภมู ิ . . . . . . . . . . . . 175 7.6 ผลของอณุ หภูมทิ มี่ ีตอการเคล่ือนท่ีของกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . 179 ดชั นี . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 บรรณานกุ รม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

สารบัญภาพ 1.1 การวิเคราะหค ณุ สมบตั ทิ างแมเ หลก็ ของวัสดุท่ีระดับสเกลตา งๆ . . . . . . . 1 1.2 แบบจำลองวัสดแุ มเ หล็กระดบั จลุ ภาค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 การเรยี งตัวของโมเมนตแมเ หล็กภายในวัสดุไดอะแมกเนติก . . . . . . . . . 5 1.4 ความสัมพันธระหวา งคาสภาพรับไวไดเชิงแมเหลก็ และอุณหภมู ิของวัสดุได อะแมกเนติก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 การเรยี งตวั ของโมเมนตแมเหล็กภายในวสั ดุพาราแมกเนติกในสภาวะท่ีไมมี และมสี นามแมเ หลก็ ภายนอก . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 ความสัมพนั ธระหวา งคาสภาพรับไวไดเชิงแมเหล็กของวัสดุพาราแมกเนติกที่ อณุ หภูมิใดๆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.7 การเรียงตวั ของโมเมนตแมเ หลก็ ภายในวสั ดุเฟรโรแมกเนติก (ซา ย) และแอน ติเฟรโ รแมก-เนตกิ (ขวา) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 แถบพลงั งานของธาตโุ ลหะทรานซชิ ัน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 (ซา ย) โครงสรา งโมเมนตแมเหล็กของไอออน Fe2+ และ Fe3+ ใน Fe3O4 และ (ขวา) การจัดเรยี งตวั ของโมเมนตแมเหลก็ ในวสั ดเุ ฟรรแิ มกเนตกิ . . . . 13 2.1 คาปริพนั ธก ารแลกเปลี่ยนปฏสิ ัมพนั ธข องสปน . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 กราฟ Bethe-Slater แสดงคาปริพันธการแลกเปลยี่ นของวัสดุชนดิ ตางๆ . . 21 2.3 สนามการลดสภาพความเปนแมเหลก็ ในแทง แมเ หลก็ . . . . . . . . . . . . 28 2.4 การคำนวณสนามคขู ัว้ โดยวิธี supercell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5 การพิจารณาตำแหนงของเซลลใ นการคำนวณสนามคูขั้ว . . . . . . . . . . . 30 2.6 การเคล่ือนที่ของสปน เด่ยี วกรณีไมมีผลของความรอ น . . . . . . . . . . . . 37 2.7 ผลของความรอ นทีม่ ีตอการเคลอื่ นทข่ี องสปนเดี่ยว . . . . . . . . . . . . . . 38 2.8 การเปล่ยี นแปลงของ Ku และM ทอี่ ณุ หภูมติ างๆ . . . . . . . . . . . . . . 44 3.1 การเคล่ือนที่ของสปนรอบสนามแมเหล็กประสทิ ธิผลหรอื เรยี กวา preces- sional motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

สารบญั ภาพ ix 3.2 การเคลอื่ นทีแ่ บบกรวยหรอื แบบกน หอยของสปน . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3 การเคล่ือนที่ของสปนแบบวนรอบและแบบหนวง . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 โครงสรา งวัสดุสามชั้น (trilayer system) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.5 การเคลือ่ นทแ่ี บบหนว งท่เี กิดจากสปนทอรค . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6 การเคลอื่ นที่ของสปนกรณีท่ีคดิ ผลของสปน ทอรค . . . . . . . . . . . . . . 62 3.7 วิธีการคำนวณเชงิ ตัวเลขออยเลอร (Euler's method) . . . . . . . . . . . . 63 3.8 วธิ กี ารคำนวณเชิงตวั เลข Heun scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.9 การเคลอ่ื นทีข่ องสปนเดี่ยวทีค่ า คงทค่ี วามหนว งตางๆ . . . . . . . . . . . . . 73 3.10 ตัวเลขสุมท่ีมกี ารกระจายตัวแบบเกาส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.11 ผลของสนามแอนไอโซทรอปท่ีมตี อ การเคล่ือนทข่ี องสปนเดย่ี ว . . . . . . . . 78 4.1 กำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 กำแพงโดแมนแบบ Bloch ในแผน ฟลม หนา . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.3 กำแพงโดแมนแบบ Néel ในแผน ฟล ม บาง . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.4 ภาคตัดขวางกำแพงโดแมนแบบ Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.5 กำแพงโดเมนที่มคี วามกวา งเปนศนู ย . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.6 โครงสรา งกำแพงโดเมน 180 องศา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.7 ทศิ ทางของแมกนีไทเซชันทตี่ ำแหนง ตางๆ ภายในกำแพงโดเมน . . . . . . . 91 4.8 ลกั ษณะของกำแพงโดเมน 180 องศา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.9 ลักษณะของกำแพงโดเมนท่ีอณุ หูมิตา งๆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.10 แมกนีไทเซชนั ภายในกำแพงโดเมน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.11 แมกนีไทเซชนั ภายในกำแพงโดเมนและระยะการเลื่อนของกำแพงโดเมน . . . 107 4.12 กำแพงโดเมนเมอื่ มีการปอ นสนามแมเหล็กภายนอกท่คี าตา งๆ . . . . . . . . 108 5.1 แมกนไี ทเซชันของ Co และ Ni ทอ่ี ุณหภมู ิตา งๆ . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.2 วธิ กี ารสเกลอุณหภมู ิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

สารบญั ภาพ x 5.3 แรงบิดและแอนไอโซทรอป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.4 โครงสรางเกรนในแผน บนั ทึกขอ มูล . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.5 แรงบิดทีเ่ กดิ ขน้ึ ภายในเกรนเมือ่ แมกนีไทเซชันทำมุมตางๆ . . . . . . . . . . 126 5.6 ผลของอุณหภูมทิ ่มี ีตอ พลงั งานแลกเปลย่ี น . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 5.7 สว นประกอบของฮารดดิสกไดรฟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.8 การแพรกระจายของไอออนบริเวณรอยตอ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.9 ลกั ษณะการตอบสนองของแมกนีไทเซชันตอ สนามภายนอก . . . . . . . . . 132 6.1 โครงสรา งทรงกระบอกที่จำลองจาก Vampire . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.2 โครงสรางวัสดุสองชัน้ ทจี่ ำลองดวย Vampire . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3 โครงสรางโลหะผสมอสัญฐานทีจ่ ำลองดวย vampire . . . . . . . . . . . . . 151 6.4 การคำนวณอณุ หภูมิวกิ ฤตดวยวธิ มี อนติคารโรล . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5 ความสมั พันธร ะหวางแมกนไี ทเซชันกบั อณุ หภมู ิ . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 วงวนฮีสเตอรีซีส . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.7 วงวนฮีสเตอรซี สี ที่ไดจากการคำนวณดวย Vampire . . . . . . . . . . . . . 163 7.1 โครงสรางของหนวยความจำแบบ racetrack . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7.2 โครงสรางวัสดุสามชั้นท่มี กี ำแพงโดเมนภายใน . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3 การแบง เซลลภ ายในชัน้ ฟล ม ของวสั ดุโคบอลต . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.4 ผลของคาแอนไอโซทรอปท มี่ ตี อลักษณะโครงสรางของกำแพงโดเมน . . . . . 171 7.5 ผลเปรยี บเทยี บคาความกวางของกำแพงโดเมนทคี่ า แอนไอโซทรอปต า งๆ . . 171 7.6 สว นประกอบของแมกนีไทเซชันภายในกำแพงโดเมนหลังจากปอนกระแส . . 176 7.7 ภาพเสมือนจรงิ ของแมกนไี ทเซชันภายในกำแพงโดเมนที่สนามสปนทอรคตางๆ 177 7.8 การเปล่ียนแปลงของระยะเล่ือนของกำแพงโดเมนทเ่ี วลาตา งๆ . . . . . . . . 178 7.9 การเปลี่ยนแปลงของระยะเลอ่ื นของกำแพงโดเมนท่ีเทียบกับเวลาที่อณุ หภู มติ า ๆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.10 คา สนามวกิ ฤตท่อี ณุ หภูมติ างๆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

สารบญั ตาราง 1.1 การจดั เรียงตวั ของอิเลก็ ตรอนของอะตอมทรี่ ะดับพลงั งานตางๆ . . . . . . . 10 1.2 ตวั แปรและพารามิเตอรตางๆ ที่ใชในการพิจารณารปู แบบจำลองวัสดุแม เหล็กระดบั อะตอม . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 หนว ยของคณุ สมบตั ิทางแมเ หลก็ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1 พารามิเตอรตา งๆ ของวสั ดเุ ฟรโรแมกเนตกิ Fe Co Ni และ Gd . . . . . . . 45 6.1 รายละเอยี ดความสามารถของโปรแกรม Vampire . . . . . . . . . . . . . . 136



บทท่ี 1 วสั ดุแมเ หลก็ (Magnetic materials) สภาพแมเหล็กเปนปรากฏการณท่ถี กู คนพบขน้ึ คร้ังแรกเม่อื ค.ศ. 600 โดยนักวิทยาศาสตรชาว กรกี ท่ที ำการศึกษาและคน พบหนิ เฟอรไร ในปจ จบุ นั มีการศกึ ษาเกย่ี วกับสภาพแมเหล็กของวสั ดุอยาง กวา งขวางเนื่องจากเปนคุณสมบตั ิที่มีความสำคัญและถกู นำมาประยุกตใชในการออกแบบมอเตอร เครอื่ งกำเนิดไฟฟา หมอ แปลงไฟฟา และอปุ กรณอิเลก็ ทรอนกิ สตางๆ โดยเฉพาะอยางยิง่ คณุ สมบัติ ทางแมเหล็กของวัสดุถูกนำมาประยกุ ตใชอยา งแพรหลายในเทคโนโลยีบนั ทกึ ขอมูลเชงิ แมเหลก็ เชน ฮารดดสิ ไดรฟ หนว ยความจำเขา ถึงแบบสมุ เชิงแมเหลก็ หนว ยความจำแบบ racetrack เปนตน โดย พบวา ความจุขอ มูลตอ พืน้ ที่ของแผน บนั ทกึ ขอ มูลในฮารดดิสไดรฟมีแนวโนมเพม่ิ มากขนึ้ เรื่อยๆ และ กำลงั จะถึงขึดจำกดั ทางกายภาพท่ีไมสามารถเพม่ิ ไดอกี การเพ่ิมขีดความสามารถของแผนบนั ทึก ขอ มูลใหมีความจุตอ พนื้ ที่ไดมากขึน้ มีความจำเปนตองทำการศกึ ษาคณุ สมบัติทางแมเหลก็ ของวัสดุ ขนดิ ตางๆ เพอ่ื การออกแบบที่เหมาะสม การศกึ ษาคุณสมบัตทิ างแมเหลก็ ของวัสดแุ ตละชนดิ สามารถ ศกึ ษาไดจ ากการทดลองและทฤษฎี นอกจากนี้ยงั พบวาการวิเคราะหดวยแบบจำลองทางคณติ ศาสตร ซ่ึงเปนการคำนวณเชงิ ตวั เลขยงั เปนอกี หน่งึ ทางเลือกเน่ืองจากวัสดุสวนใหญมีคุณสมบัติทางแมเหล็ก ที่ไมเปนเชิงเสนซง่ึ ยากแกการวิเคราะหดวยการแกสมการโดยตรง การวเิ คราะหคุณสมบัติทางแม เหล็กของวสั ดุจะอาศัยทฤษฎีโดเมน (domain theory) ในการอธบิ ายและสามารถแบงการพจิ ารณา ตามขนาดของวสั ดุแมเหลก็ ท่ีตอ งการวิเคราะหไดเปน 5 ระดับ ดังแสดงในรปู ที่ 1.1 รูปที่ 1.1 การวิเคราะหคณุ สมบัติทางแมเหลก็ ของวัสดุทรี่ ะดับสเกลตา งๆ [1]

2 การพิจารณาคุณสมบัติทางแมเหล็กของวัสดุดังแสดงในแผนภาพขา งตน สามารถแบงการ วเิ คราะหต ามสเกลที่ระดบั ตา งๆ ดังนี้ 1. การพจิ ารณาระดับอะตอม เปนการวเิ คราะหท่ีละเอียดที่สดุ ซงึ่ เปน การนำโครงสรางและ การจดั เรยี งตัวของสปนในวัสดุมารวมในการวิเคราะหคณุ สมบตั ิทางแมเหลก็ เปน การพิจารณาที่ ระดับขนาดนอยกวา 1 นาโนเมตร ซงึ่ นำไปสูการพิจารณาขนาดของโมเมนตแมเหลก็ แอนไอโซทรอ- ปของผลึก และปฎิสัมพนั ธก ารแลกเปลี่ยนระหวา งอะตอม 2. การพิจารณาระดบั จลุ ภาค เปนการวิเคราะหโครงสรางภายในของโดเมนแมเหล็กของวัสดุ ท่มี ีขนาดตง้ั แต 1-1000 นาโนเมตร 3. การพิจารณาโดเมนของโครงสรางท่ีมีขนาดตั้งแต 1-1000 ไมโครเมตร 4. การวเิ คราะหวัสดุในสวนของแผนภาพเฟส (phase diagram) สำหรับวสั ดุท่ีมีขนาดต้งั แต 0.1 มิลลิเมตร 5. การวิเคราะหการตอบสนองของแมกนีไทเซชนั ที่มีตอ สนามแมเหล็กภายนอกของวสั ดุทัง้ ช้ินงาน รปู แบบจำลองทางคณติ ศาสตรท่ีนยิ มใชในการวเิ คราะหคณุ สมบตั ิทางแมเหลก็ ของวสั ดุใน ปจจบุ นั จะใชวิธีการคำนวณเชงิ ตวั เลขระดับจลุ ภาค (numerical micromagnetics) ซงึ่ ถูกพัฒนา ขึน้ ในชว งป ค.ศ. 1930-1940 เพอื่ เช่อื มโยงทฤษฎี Maxwell ซง่ึ สามารถพจิ ารณาวสั ดุแมเหล็กระดบั มหภาคและทฤษฎที างควอนตมั ซ่งึ เปนการพิจารณาระดับอะตอม วิธีคำนวณเชงิ ตวั เลขท่นี ิยมนำมาใช แบบจำลองวัสดุแมเหล็กระดับจุลภาคไดแก ระเบยี บวธิ ีเชงิ ผลตา ง (finite difference) และระเบยี บ วธิ ีไฟไนตเอลิเมนต (finite element) [2--4] หลักการของทฤษฎีของรปู แบบจำลองวสั ดุแมเหลก็ ระดับจุลภาคจะเริม่ ตน โดยทำการแบงวสั ดุแมเหลก็ ใหเปนเซลลขนาดเลก็ ๆ หลายเซลลดงั รปู และ ทำการประมาณคา ข้วั คูเชงิ อะตอม (atomic dipole) โดยใชสนามเวคเตอรท่ีมีความตอเนอื่ ง ภาย ใตสมมติฐานท่ีกำหนดใหคา ข้ัวคูเชิงอะตอมภายในแตล ะเซลลของวัสดุแมเหลก็ มีการเรยี งตวั ไปใน ทิศทางเดียวกันดงั รปู ที่ 1.2 รปู แบบจำลองระดับจลุ ภาคถกู นำมาใชเปนเครอ่ื งมอื ที่สำคญั ในการศกึ ษาเพือ่ ทำความเขาใจ ผลตอบสนองทางแมเหลก็ ที่มีความซบั ซอ น แตเนื่องจากความกาวหนาทางเทคโนโลยีวสั ดุแมเหลก็ ท่ีเปนไปอยา งรวดเรว็ การประยกุ ตใชวัสดุแมเหล็กในอปุ กรณตา งๆ ถูกออกแบบใหมีขนาดเลก็ ลง ทำใหรปู แบบจำลองระดับจลุ ภาคไมสามารถนำมาประยกุ ตใชและอธิบายปญหาตา งๆ ที่ไดรับความ สนใจไดเชน การใชความรอนในการบนั ทกึ ขอมูลเชิงแมเ หลก็ (heat assisted magnetic recording) การลบลา งสภาพแมเหลก็ ดวยเลเซอร (ultrafast laser-induced demagnetisation) การศึกษาคุณ สมบตั แิ อนไอโซทรอปบ รเิ วณพืน้ ผวิ และรอยตอ (surface and interface anisotropy) ในโครงสราง วัสดแุ มเ หล็กหลายชนั้ การศกึ ษาวัสดุที่มแี อนไอโซทรอปสงู เพ่อื นำไปประยกุ ตใ ชเ ปน แผนบนั ทึกขอ มลู

3 รปู ท่ี 1.2 แบบจำลองวสั ดุแมเ หล็กระดบั จลุ ภาคจะพิจารณาโครงสรา งวัสดุใหประกอบดว ยเซลลขนาด เล็กหลายๆ เซลลโ ดยภายในแตล ะเซลลจะประกอบดวยอะตอมหลายอะตอมซ่ึงจะถกู แสดงดว ยคา ขว้ั คเู ชงิ อะตอมเพยี งคา เดียว ในการบันทึกขอมลู เชิงแมเ หล็กเพอื่ ใหสามารถบันทึกขอมลู ตอพ้นื ท่ีไดส ูงขนึ้ เชน FePt การประยกุ ตใชงานวัสดุแมเหลก็ ท่ีไดกลาวมาขา งตน เปนปญ หาในวัสดุที่มีขนาดระดบั นาโน เมตรซึง่ มีขนาดเลก็ มาก ดังนนั้ ในการพจิ ารณาปญหาเหลา นี้ทำใหมีความจำเปน อยางยิ่งที่ตอ งทำการ พิจารณาผลของโครงสรา งวสั ดุแมเหลก็ ในระดบั อะตอม รปู แบบจำลองระดับอะตอมของวสั ดุแม เหลก็ จงึ เปน เครอ่ื งมอื หน่ึงท่ีเขา มามีบทบาทเพื่อใชในการพิจารณาผลของแตละอะตอมภายในวสั ดุที่ มีตอคณุ สมบตั ิทางแมเหลก็ ของวัสดุนนั้ ๆ โดยแตล ะอะตอมจะมีคาโมเมนตแมเหล็กซงึ่ เปน คณุ สมบตั ิ ภายในซึง่ เปนปรมิ าณที่บอกถึงความเปน แมเหล็กของแตล ะอะตอม รปู แบบจำลองนี้เปน เคร่อื งมอื สำคัญที่ทำใหเราเขา ใจกระบวนการทางฟสิกสที่ซบั ซอนที่เกิดขน้ึ ภายในวัสดุแมเหลก็ บางปญหา อาจสามารถพจิ ารณาดวยรูปแบบจำลองระดบั จลุ ภาคแบบใหมที่ใชสมการ Laudau-Lifshitz-Bloch [5--7] เพอ่ื ใชอธิบายการเคลื่อนท่ีของแมกนีไทเซชนั ซงึ่ มีพนื้ ฐานมาจากการพจิ ารณาความเชอื่ มโยง ระหวา งสปน (macrospin) กบั อางความรอน (heat bath) ทำใหสามารถศกึ ษากระบวนการที่เกดิ ท่ีอุณหภมู ิสูงได อยางไรก็ตามการพิจารณาโครงสรางระดบั อะตอมยังมีความจำเปน ในการพิจารณา การเปล่ยี นแปลงของแมกนีไทเซชันในปญหาของวัสดุแอนติเฟรโรแมกเนต (antiferromagnet) และ ปญหาท่ีพจิ ารณาผลของพ้ืนผวิ และรอยตอระหวา งวัสดุ เปนตน นอกจากนก้ี ารออกแบบอปุ กรณส ปน ทรอนิกสโดยอาศัยคณุ สมบตั ิทางแมเหล็กของวัสดุเร่ิมเขามีบทบาทอยา งมาก เน่ืองจากอปุ กรณตางๆ มีแนวโนมที่จะไดรบั การออกแบบใหมีขนาดเลก็ ลงแตมีประสิทธภิ าพที่สูงขึน้ ทำใหรปู แบบจำลอง วสั ดแุ มเ หล็กซึ่งเปน เครอื่ งมือในการศกึ ษาคณุ สมบัตติ างๆ ของวสั ดมุ ีความสำคัญมากตอ การออกแบบ อปุ กรณตา งๆ กอ นท่ีจะศึกษารายละเอยี ดและวธิ ีการของรปู แบบจำลองระดับอะตอม มีความจำเปน อยา งยงิ่ ที่ตองศึกษาทฤษฎีพืน้ ฐานท่ีเก่ียวขอ งกับรูปแบบจำลองระดับอะตอมดงั จะกลา วในหัวขอถดั ไป

1.1 ประเภทของวัสดุแมเ หลก็ 4 1.1 ประเภทของวสั ดแุ มเหล็ก โมเมนตแมเหลก็ (µ, magnetic moment) เปนปริมาณท่ีใชในการวดั ความเปนแมเหลก็ ของ วสั ดุ เปน ปรมิ าณที่เกดิ ขึน้ จากการเคลอ่ื นที่ของอเิ ล็กตรอนซ่ึงประกอบดวยการเคลอ่ื นท่ีของอิเลก็ - ตรอนรอบนิวเคลียส (orbital motion) และการเคลือ่ นท่ีของสปนรอบแกนตัวมันเอง (spin mo- tion) การเคลือ่ นที่ทง้ั สองแบบน้ีทำใหเกิดโมเมนตมั เชงิ มุมของอิเลกตอนและสปนซง่ึ สง ผลทำใหเกดิ โมเมนตแมเหลก็ ซึง่ สามารถอธิบายดว ยกลศาสตรควอนตัม คุณลักษณะของแตละอะตอมสามารถ อธิบายไดดวยกลุม ของตวั เลขควอนตัมผานโมเมนตมั เชิงมมุ ของอะตอม การเชอ่ื มโยงระหวา งโมเมน- ตมั เชิงมุมของอเิ ลก็ ตรอนและสปน จะสัมพนั ธกบั ตัวเลขควอนตมั L และ S เรยี กวา การเชอื่ มโยง LS (LS coupling) โมเมนตแมเหลก็ เกดิ จากโมเมนตมั เชิงมุมรวม (J = L + S) ซึง่ เปน ผลรวมของ โมเมนตมั เชิงมุมวงโคจร (L) ที่เกิดจากการเคลื่อนท่ีของอเิ ล็กตรอนรอบนวิ เคลียสและโมเมนตมั เชิง- มมุ สปน (S) ท่เี กดิ จากการหมนุ รอบตัวเองของอเิ ล็กตรอน การพจิ ารณาคุณสมบัติทางแมเหล็กสามารถอธิบายไดดวยสองตัวแปรไดแก แมกนีไทเซชนั (M, magnetisation) และสภาพรบั ไวไ ดเ ชิงแมเ หลก็ (χ, magnetic susceptibility) ซ่งึ เปนตัวแปรท่ี สามารถอธิบายระดับความเปนแมเหล็กของวสั ดุตา งๆ ได แมกนีไทเซชันเปนปริมาณท่ีบอกคณุ สมบตั ิ ของวสั ดุแมเหล็กในรูปของโมเมนตแมเหล็กตอ ปริมาตร สว นคาสภาพรบั ไวไดเชิงแมเหล็กหรือคา ความไวตอ สนามแมเหล็กเปน อกี ตวั แปรที่ใชในการวัดคณุ สมบัติแมเหล็ก โดยพิจารณาการตอบสนอง ของแมกนีไทเซชันท่ีมีตอ สนามแมเหล็กภายนอก กลาวคอื เปนอตั ราสวนระหวา งแมกนีไทเซชนั ตอ สนามแมเหล็กที่ปอ นจากภายนอก (χ=dM/dH) ซงึ่ เปนตัวแปรท่ีมีคณุ สมบัติท่ีไมขึ้นกับขนาดของ เกรน ทิศทางการเรยี งตัวของผลกึ ความเคน ความไมสมบรู ณของแลตทซิ เปนตน แตมีคณุ สมบัติท่ี ขึน้ อยกู บั อณุ หภมู ิ ชนดิ ของวสั ดุแมเหล็กสามารถพจิ ารณาตามการตอบสนองตอ สนามแมเหลก็ ภายนอกได 5 ชนิดไดแ ก วสั ดุไดอะแมกเนติก (diamagnetic material) วัสดุพาราแมกเนติก (paramagnetic material) วัสดุแอนติเฟรโรแมกเนติก (antiferromagnetic material) วัสดุเฟรโรแมกเนติก (ferro- magnetic material) และวัสดเุ ฟรรแิ มกเนตกิ (ferrimagnetic material) ซ่งึ มีรายละเอยี ดดังนี้ 1.1.1 วสั ดุไดอะแมกเนตกิ (Diamagnetic material) วสั ดุไดอะแมกเนติกเปนวสั ดุท่ีไมมีสภาพความเปน แมเหล็กเนอื่ งจากการหักลางกนั ของคู อเิ ล็กตรอน วสั ดุชนดิ น้ีจะมีแมกนีไทเซชันเปน ศูนยเม่อื ไมม ีการเหนี่ยวนำดวยสนามแมเหลก็ และมี คา สภาพรับไวไดเชงิ แมเหล็กเปน ลบและมีคานอยมาก นอกจากน้ีวสั ดุไดอะแมกเนติกยังไมสามารถ รกั ษาสภาพความเปนแมเหลก็ ไดถา ไมมีสนามแมเ หลก็ ภายนอกมากระทำดังแสดงในรูปท่ี 1.3 ภายใต

1.1 ประเภทของวสั ดุแมเหลก็ 5 สนามแมเหล็กแมกนีไทเซชนั จะมีทศิ ทางตรงกันขามกบั ทิศทางของสนามแมเหล็กที่ปอน วัสดุไดอะ- แมกเนตกิ ไดแ ก นำ้ ไม ทองแดง ทอง ปรอท บสิ มสั เปนตน รปู ท่ี 1.3 การเรียงตวั ของโมเมนตแมเหลก็ ภายในวัสดุไดอะแมกเนติกในสภาวะที่ไมม ีและมีสนามแม เหลก็ ภายนอกมากระทำ [8] วสั ดุไดอะแมกเนติกเปนวสั ดุท่ีมีความเปนแมเหลก็ นอยมาก โดยจะไมแสดงคุณสมบัติทางแม เหลก็ เมอื่ ไมมีสนามภายนอกมากระทำ แตวสั ดุไดอะแมกเนติกจะแสดงคุณสมบตั ิทางแมเหล็กเมือ่ มี การเปลยี่ นแปลงของโมเมนตเชิงออรบิทัล (orbital moment) ที่เกดิ จากการเหนี่ยวนำของสนามแม เหล็กภายนอกดังแสดงในรปู ที่ 1.3 ลูกศรสีแดงแสดงถงึ ทศิ ทางของโมเมนตข้ัวคูเชงิ อะตอมซ่ึงจะมี ทศิ ทางตรงขา มกบั สนามแมเหล็กภายนอกและมีคา นอ ยมาก โมเมนตแมเหล็กและการตอบสนองของ แมกนีไทเซชนั ตอสนามแมเหล็กหรือคาสภาพรบั ไวไดเชิงแมเหล็กที่เกิดขึน้ ในวัสดุนี้สามารถอธบิ าย ไดดวยกฏของฟาราเดย กลา วคือเมอ่ื ปอ นสนามแมเหลก็ ภายนอกแกวัสดุจะมีกระแสเหนยี่ วนำเกิด ขึ้นและสง ผลทำใหเกดิ แรงกระทำตอ อิเล็กตรอน ผลของแรงที่กระทำตออิเลก็ ตรอนจะทำใหเกดิ การ เปล่ียนแปลงความเรว็ ของอิเล็กตรอนซึง่ สง ผลใหเกดิ การเปลย่ี นแปลงของโมเมนตแมเหล็กและทำให เกดิ การตอบสนองของแมกนไี ทเซชันตอสนามแมเ หลก็ ภายนอกเปน ลบดงั สมการท่ี (1.1) χdia = − µ0N Ze2 < r2 > (1.1) 6m โดย µ0 คือคา สภาพใหซ ึมไดข องสูญญากาศ 4π ×10−7H ·m−1 N คือเลขอาโวกราโดร Z คอื จำนวนอิเล็กตรอนตออะตอม e คือประจขุ องอเิ ลก็ ตรอน m คอื มวลของอเิ ล็กตรอน และ r คือรัศมีวง รอบของอิเล็กตรอน วัสดุโดยท่วั ไปจะแสดงคณุ สมบัติของไดอะแมกเนติกกลา วคอื มีคา สภาพรบั ไวไดเชิงแมเหลก็ เปน ลบและมีคานอยมากประมาณ 10−5 หรอื 10−6 [9] นอกจากน้ียงั พบวาคาสภาพรบั ไวไดเชิงแม เหลก็ ของวสั ดุไดอะแมกเนตกิ ไมขน้ึ อยกู บั อณุ หภูมิดงั แสดงในรูปท่ี 1.4

1.1 ประเภทของวัสดแุ มเหลก็ 6 รูปที่ 1.4 ความสมั พนั ธร ะหวา งคาสภาพรบั ไวไ ดเ ชิงแมเ หล็กและอุณหภมู ขิ องวัสดไุ ดอะแมกเนติก 1.1.2 วสั ดุพาราแมกเนติก (Paramagnetism) วัสดุพาราแมกเนติกเปน วัสดุท่ีมีคาสภาพรับไวไดเชงิ แมเหลก็ เปนบวก ถูกคนพบครง้ั แรกโดย Curie และถูกอธิบายกลไกภายในวสั ดุโดย Langevin ในป ค.ศ.1905 วัสดุนี้ถกู นำมาทดสอบภาย ใตสนามแมเหลก็ ภายนอกท่ีเปน ศูนยและไมเปนศูนย ซงึ่ พบวากรณีท่ีไมม ีสนามแมเหลก็ ภายนอก มา กระทำโมเมนตแมเหล็กของวัสดุพาราแมกเนติกจะมีการจดั เรยี งตัวแบบสมุ หรอื random ดงั รปู ที่ 1.5 และเกดิ การหักลา งของแตล ะอะตอมสง ผลใหแมกนีไทเซชนั มีคา เปนศนู ย เม่อื ทำการปอน สนามแมเหลก็ ภายนอกใหแกวสั ดุชนิดนี้ โมเมนตแมเหลก็ ของแตละอะตอมมีแนวโนม จัดเรยี งตวั ไป ตามทศิ ทางของสนามแมเหล็ก แตในกรณีท่ีมีการพจิ ารณาผลของความรอ น การเรยี งตัวของโมเมนต แมเหลก็ จะมีการเรยี งตัวแบบไมเปนระเบียบ สง ผลใหโมเมนตแมเหล็กบางสวนมีการเรียงตัวไปใน ทศิ ทางของสนามแมเหล็กภายนอก ทำใหเ กดิ คา χ เปนบวก รูปท่ี 1.5 การเรียงตัวของโมเมนตแมเหล็กภายในวัสดุพาราแมกเนติกในสภาวะท่ีไมม ีและมีสนามแม เหลก็ ภายนอก [8] การพจิ ารณาแมกนีไทเซชันของวัสดุพาราแมกเนติกภายใตผลของความรอนสามารถอธบิ ายได ดวยการกระจายตวั ของ Boltzmann ซง่ึ ทำไหไ ดฟง กชนั Langevin ดังสมการที่ (1.2)

1.1 ประเภทของวัสดแุ มเหล็ก 7 รปู ที่ 1.6 ความสมั พนั ธระหวางคา สภาพรบั ไวไดเ ชิงแมเหลก็ ของวสั ดุพาราแมกเนติกท่อี ุณหภมู ใิ ดๆ M = coth a − 1 (1.2) Ms a เม่อื µH a= kB T โดย Ms คือแมกนีไทเซชนั อิ่มตวั µ คอื โมเมนตแมเหล็กของอะตอม H คอื สนามแมเหล็ก ภายนอก kB คอื คา คงที่ Boltzmann และ T คืออณุ หภูมใิ นหนว ยของเคลวนิ จากสมการที่ (1.2) ดา นขวาของสมการซ่งึ เรียกวา ฟงกช ัน Langevin (L(a)) สามารถเขยี น ความสมั พนั ธใ นรปู ของการกระจายอนุกรมไดเมื่อ coth a = 1 + a − a3 + 2a5 − ... ดังนนั้ จะไดวา a 3 45 945 M = a − a3 + 2a5 − ... (1.3) Ms 3 45 945 จากสมการที่ (1.3) พบวาการเพิ่มอุณหภูมิสง ผลใหโมเมนตแมเหล็กมีการจัดเรียงตวั แบบสมุ มากขน้ึ ทำใหคา ความไวตอ สนามแมเหลก็ มคี าลดลงดงั แสดงในรปู ท่ี 1.6 และสมการนสี้ ามารถใชอธิบายความ สัมพนั ธระหวา งแมกนีไทเซชันกบั พารามเิ ตอร a ไดในกรณที ่ี a ≤ 1

1.1 ประเภทของวัสดแุ มเ หลก็ 8 ตวั อยา งที่ 1.1. วัสดุพาราแมกเนติกที่คดิ ผลของความรอนสามารถพจิ ารณาไดจากฟง กช นั Langevin จงพจิ ารณาความสมั พนั ธระหวางพารามิเตอร a กบั แมกนีไทเซชัน M/Ms ใน ฟง กช นั Langevin กรณีทพ่ี ารามิเตอร 0 ≤ a ≤ 1 วิธที ำ จากความสมั พันธของฟงกชนั Langevin ดงั สมการที่ (1.3) สามารถพิจารณาความ สัมพันธระหวางพารามิเตอร a กับแมกนไี ทเซชนั M/Ms ไดด งั น้ี M a a3 2a5 = − + − ... Ms 3 45 945 จากสมการขางตนสามารถพิจารณากรณีท่ีพารามเิ ตอร 0 ≤ a ≤ 1 ซ่ึงผลของพจนท่ีมี อนั ดบั เลขยกกำลังสูงๆ มีคา นอยมากเมื่อเทียบกบั พจนแรก ดังนั้นจะประมาณคาไดวาแมก นีไทเซชันจะขน้ึ อยูกับพจนแรกเทา นัน้ ซ่งึ มีความสัมพนั ธแบบเชงิ เสน เมอื่ นำไปพลอตกราฟ จะไดความสัมพนั ธดงั รูป Ma = Ms 3 0.4 0.3 M/Ms 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a จากกราฟขา งตน พบวาการพลอตความสัมพนั ธระหวาง a กบั แมกนีไทเซชนั M/Ms สามารถพิจารณาคา สภาพรบั ไวไดเ ชงิ แมเ หลก็ ไดเนือ่ งจาก a = µH ถาพิจารณาที่อุณหภมู ิ kB T คงที่พบวา เราสามารถพจิ ารณาคาสภาพรับไวไดเชิงแมเหลก็ ของวสั ดุพาราแมกเนติกไดจาก คา ความชันของกราฟดังนี้ .

1.1 ประเภทของวสั ดแุ มเหล็ก 9 (∆M /Ms) = 1 ∆a 3 (∆M /Ms) 1 = (µ∆H/kBT ) 3 χ = kBT 3µ . 1.1.3 วสั ดเุ ฟรโร- และ แอนติเฟรโ รแมกเนตกิ (Ferrro- and Antiferromagnetism) วัสดุเฟรโรแมกเนติกเปน วัสดุที่มีความเปน แมเหล็กสงู ซึง่ พบมากในวสั ดุโลหะทรานซิชนั เชน Fe Co และ Ni เปนตน เปน วัสดทุ ่ถี กู นำมาประยกุ ตใชงานดา นเทคโนโลยบี ันทกึ ขอมลู เชงิ แมเหล็กเปน อยา งมาก เนื่องจากเปนวัสดุท่ีแสดงสภาพคางแมเหลก็ เม่อื มีการเหนย่ี วนำดวยสนามภายนอก และ เปนวัสดุที่มีโมเมนตแมเหล็กที่มีการจดั เรยี งตวั ไปในทศิ ทางเดยี วกนั ตามทศิ ทางของสนามภายนอก สงผลใหเกดิ คาแมกนีไทเซชนั รวมท่ีมีคาสงู ซง่ึ คณุ สมบตั ิน้ีสามารถอธิบายไดดว ยทฤษฎีแถบพลังงาน (band theory) ซึ่งมีลักษณะตรงกันขา มกบั วสั ดุแอนติเฟรโรแมกเนติกท่ีโมเมนตแมเหลก็ ในแตละ แลตทซิ ยอ ยมีขนาดเทากันแตการจัดเรียงตัวในทศิ ทางตรงกนั ขา ม ทำใหแมกนีไทเซชันรวมมีคาเปน ศูนยดังรูปท่ี 1.7 รูปท่ี 1.7 การเรียงตวั ของโมเมนตแมเหล็กภายในวสั ดุเฟรโรแมกเนติก (ซาย) และแอนติเฟรโรแมก- เนตกิ (ขวา) การจดั เรียงตวั ของโมเมนตแมเหลก็ ภายในวสั ดุเฟรโรแมกเนติกและแอนติเฟรโรแมกเนติก สามารถอธิบายไดดว ยปฎิสัมพันธการแลกเปลย่ี นโดยตรง (direct exchange interaction) โดย คา ปริพันธการแลกเปลี่ยน (Jex, exchange integral) ซงึ่ เปน ตัวบง บอกปรมิ าณการแลกเปลี่ยน ระหวางอะตอม ถา มีคาเปนลบจะสงผลใหโมเมนตแมเหล็กเกิดการเรียงตัวในทิศทางตรงกันขามซึ่ง เปน คณุ สมบตั ิของวัสดุแอนติเฟรโรแมกเนติก ในขณะท่ีวสั ดุเฟรโรแมกเนติกจะมีคา ปริพนั ธการแลก เปลยี่ นเปนบวก ซ่ึงทำใหเกดิ การเรียงตวั ของโมเมนตแมเหลก็ ไปในทศิ ทางเดียวกัน ซึง่ รายละเอยี ด ของคา ปรพิ นั ธการแลกเปลยี่ นจะกลา วในหวั ขอ พลังงานปฎิสัมพันธการแลกเปล่ียน

1.1 ประเภทของวสั ดแุ มเหลก็ 10 ทฤษฎีแถบพลังงานของวัสดุเฟรโรแมกเนตกิ คณุ สมบตั ิความเปนแมเหล็กของวัสดุสามารถอธิบายไดดว ยทฤษฎีแถบพลังงานซึง่ ถกู นำเสนอ โดย E. C. Stoner Mott และ J. C. Slater โดยสามารถพจิ ารณาการจัดเรียงตัวของอเิ ลก็ ตรอน ในแตละชนั้ พลังงานและนำไปสูการพิจารณาคา โมเมนตแมเหลก็ ของวัสดุตา งๆ ได โมเมนตแมเหลก็ ของวัสดุเฟรโรแมกเนติกเกดิ ขึ้นเน่อื งจากการซอนทับของฟงกชนั คล่นื ของอิเล็กตรอน การจดั เรียงตัว ของอิเล็กตรอนที่ระดบั พลงั งานตางๆ สามารถอธิบายไดดวยกฏการกดี กันพลงั งานของเพาลี (Pauli Exclusion Principle) ซึ่งกลาววา อเิ ล็กตรอนแตล ะตวั ในอะตอมจะมีกลุมเลขควอนตมั เฉพาะท่ีไมซำ้ กนั และในแตล ะระดับพลงั งานจะมอี เิ ลก็ ตรอนครอบครองไดส งู สดุ สองตัวซึง่ เรยี งตัวในทิศทางตรงกัน ขาม อิเลก็ ตรอนจะมีการเรียงตวั ตามลำดับชนั้ พลังงาน K L M และ N ตามลำดับ ดังแสดงในดงั ตาราง ที่ 1.1 โดยพบวาระดับพลังงานทห่ี น่ึงจะมีปริมาณอเิ ลก็ ตรอนอยไู ดสองตัว ซ่งึ เปน ระดับพลังงานตำ่ สุด และอยูใกลนวิ เคลียสมากทีส่ ุด ซงึ่ ในการที่จะดงึ อเิ ล็กตรอนในชน้ั น้ีออกจากอะตอมจะตอ งใชพลังงาน มากท่ีสดุ ในขณะทรี่ ะดับพลงั งานที่ส่สี ามารถมีอิเลก็ ตรอนครอบครองไดสงู สดุ ถึง 32 ตัว ตารางที่ 1.1 การจัดเรียงตวั ของอเิ ลก็ ตรอนของอะตอมที่ระดับพลงั งานตา งๆ [10] ระดับพลงั งาน K (ระดบั 1) L (ระดับ 2) M (ระดบั 3) N (ระดบั 4) ระดบั พลังงานยอ ย 1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4f 4f (subshell) 2 2, 6 2, 6, 10 2, 6, 10, 14 จำนวนอิเล็กตรอน การเกดิ สภาพความเปน แมเหล็กของวัสดุจะเกิดข้ึนเมอื่ จำนวนของสปนขึ้นและสปนลงภายใน อะตอมมีจำนวนที่ไมเทากนั ทำใหไมเกิดการหกั ลา งกนั ของทศิ ทางสปน สง ผลใหวสั ดุแสดงสภาพ ความเปน แมเหล็ก สำหรับวสั ดุที่ไมม ีความเปน แมเหลก็ เชน อารก อน (Ar) ซ่งึ มีจำนวนอิเล็กตรอนใน อะตอมเทา กบั 18 ตวั จะมีการจัดเรียงตวั ของอเิ ล็กตรอนที่ระดบั พลังงานตา งๆ ดงั นี้ 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 จะเหน็ ไดวา อเิ ลก็ ตรอนมีการจดั เรียงตวั ที่ทกุ ระดับชน้ั พลงั งานแบบเต็มชัน้ คือมีจำนวนของ สปนขนึ้ เทา กับสปนลง รวมทั้งที่ระดบั พลังงานชัน้ นอกสุด 3p6 มีการจัดเรยี งตัวของสปนทิศขน้ึ และ ทิศลงจำนวนสามคู ทำใหเกดิ การหักลางของทศิ ทางสปน สงผลใหธาตุอารกอนไมแสดงอำนาจทางแม เหล็กนน่ั เอง แตสำหรบั วัสดุแมเหลก็ เฟรโรแมกเนติกจะมีการจดั เรยี งตวั ของอิเลก็ ตรอนแบบไมเตม็ ช้นั ในระดบั พลังงาน 3d และเกิดการซอ นทับของระดับพลังงาน 3d และ 4s ซ่ึงสงผลใหวัสดุแสดง อำนาจทางแมเหลก็ ซึง่ เรยี กธาตกุ ลุม นีว้ า transition metals กรณีที่เปนอะตอมเด่ียวอเิ ลก็ ตรอนจะเกิดการเรยี งตวั และทำใหเกิดระดบั พลังงานท่ีไมตอ เนื่อง แตกรณีของแข็งหรือกลุม กอ นวัสดุซงึ่ ประกอบดวยอะตอมจำนวนมาก อเิ ล็กตรอนในแตล ะอะตอม จะเกิดการเรียงตวั ชดิ กนั ในระดบั พลังงานที่ใกลกนั มาก เนอ่ื งจากที่แตล ะระดับพลังงานสามารถมี อิเล็กตรอนครอบครองไดสูงสุดเพยี งสองตวั และมีทิศทางตรงกันขามซ่ึงเปนไปตามกฏการกีดกนั

1.1 ประเภทของวัสดุแมเหล็ก 11 พลงั งานของเพาลี ยกตวั อยางท่ีระดบั พลงั งาน 1s ซ่ึงเปน ระดับพลงั งานที่ต่ำสุดสามารถมีจำนวน อิเลก็ ตรอนอยไู ดส ูงสดุ สองตัว แตกรณที ีว่ สั ดมุ ีจำนวน N อะตอม อิเล็กตรอนจำนวน 2N จะไมส ามารถ จัดเรยี งตัวที่ระดบั พลงั งานเดยี วกนั ไดตามหลักการกีดกนั พลงั งานของเพาลี ดังนนั้ ที่ระดบั พลังงาน 1s จะถูกแยกออกเปน N ระดับซง่ึ มีคา ใกลเคยี งกนั มากแตไมเทากนั สงผลใหเกิดเปน แถบพลังงานของ ช้ันพลงั งาน 1s การแยกตวั ของระดับพลังงานในแตล ะอะตอมทำใหเกิดแถบพลังงานที่ตอ เนอื่ ง สงผล ใหเกดิ การซอนทับของแถบพลงั งานของอิเลก็ ตรอนช้ันนอกสดุ (valence electrons) ในกรณีของ โลหะทรานซิชันจะเกดิ การซอนทบั ของแถบพลังงานระหวา งอเิ ล็กตรอน 3d และ 4s เนอื่ งจากเปน แถบพลังงานทอ่ี ยูใกลก ันดงั รปู ที่ 1.8 รปู ท่ี 1.8 แถบพลงั งานของธาตโุ ลหะทรานซชิ ัน [10] การซอ นทับของแถบพลังงานมีบทบาทสำคัญในการพจิ ารณาคาโมเมนตแมเหลก็ รวมในวสั ดุ เฟรโรแมกเนติก ซึ่งโมเมนตแมเหล็กไมสามารถเกดิ จากแถบพลงั งานที่เต็มชั้นเน่ืองจากเกิดการหัก ลา งของสปนท่ีมีทิศทางตรงกันขาม อยา งไรกต็ ามอเิ ลก็ ตรอนท่ีอยูในแถบพลงั งานชนั้ 3d ซงึ่ มีอิเลก็ - ตรอนครอบครองไมเต็มช้ัน จะเกดิ การเรียงตัวจากผลของปฏสิ มั พันธการแลกเปลย่ี นพลังงานโดยตรง ซ่ึงสงผลใหเกิดความไมสมดลุ ของสปนที่ระดบั พลังงานเฟรมีและนำไปสูการเกดิ คาโมเมนตแมเหล็ก รวมที่ไมเปนศนู ย

1.1 ประเภทของวสั ดุแมเหลก็ 12 ตัวอยา งท่ี 1.2. พิจารณาการจัดเรยี งอเิ ล็กตรอนของธาตุโลหะทรานซิชนั Ni พรอ มท้ัง อธบิ ายการเกิดโมเมนตแ มเหล็กตามหลักการของ Pauli Exclusion วธิ ีทำ จากตารางธาตุพบวา Ni มีจำนวนอิเลก็ ตรอน 28 ตวั ซงึ่ มีการจดั เรยี งตัวท่ีระดบั พลงั งานตางดงั น้ี 1s2, 2s2, 2p6, 3s2, 3p6, 4s2, 3d8 จากการจดั เรยี งอเิ ล็กตรอนทรี่ ะดับพลงั งานตางๆ พบวา ท่ี subshell ตางๆ มอี เิ ล็กตรอนอยู เตม็ ยกเวนในระดบั พลงั งาน 3s ซงึ่ สามารถรบั อิเลก็ ตรอนได 10 ตวั แตมอี เิ ลก็ ตรอนเพยี ง 8 ตวั เทานน้ั ท่ีเขามาอยูใ นระดับพลงั งานดังกลา ว จากรปู พบวาระดบั พลงั งาน 3d มีอเิ ลก็ ตรอนครอบครองเพียงบางสวน (partial occupy) และมีท่ีวา งใหอิเลก็ ตรอนสามารถเขา มาอยูได ในระดบั พลังงานที่มีอเิ ล็กตรอนครอบครอง เตม็ จะไมทำใหเกดิ โมเมนตแมเหลก็ แตในระดับพลังงานน้ีพบวา เกดิ ความไมสมดุลของ สปนสงผลใหเกิดโมเมนตแมเหลก็ ซ่ึงสามารถพิจารณาไดจากผลตา งของสปนขึน้ (spin up) และสปนลง (spin down) ดงั นี้ µH = 2/10µB = 0.2µB .

1.2 หนวยทางแมเหลก็ 13 1.1.4 วสั ดุเฟรร แิ มกเนติก (Ferrimagnetism) วัสดุเฟรริแมกเนติกประกอบดวยอะตอมท่ีมีโมเมนตแมเหลก็ จัดเรียงตัวในทศิ ทางตรงกนั ขาม คลา ยกับวสั ดุแอนติเฟรโรแมกเนติก แตโมเมนตแมเหล็กที่มีทศิ ทางตรงกันขามจะมีขนาดไมเทากนั ทำใหแมกนีไทเซชนั รวมมีคาไมเปนศูนย วสั ดุชนดิ นี้สว นมากประกอบดวยวสั ดุหรอื ไอออนที่แตกตา ง กนั เชน Fe2+ และ Fe3+ การจดั เรยี งตัวของโมเมนตแมเหล็กในวัสดุเฟรริแมกเนติกสามารถพจิ ารณา ไดด ังรปู ที่ 1.9 รูปที่ 1.9 (ซาย) โครงสรา งโมเมนตแมเหล็กของไอออน Fe2+ และ Fe3+ ใน Fe3O4 [11] และ (ขวา) การจัดเรียงตวั ของโมเมนตแมเหลก็ ในวัสดุเฟรร ิแมกเนติก [8] 1.2 หนวยทางแมเ หล็ก (A note on magnetic units) หนวยทางแมเหล็กนิยมใชมีสองระบบดวยกนั คือ ระบบ CGS (centimetre–gram–second system) และระบบ SI (International System of Units) อยางไรก็ตามในการพิจารณารปู แบบ จำลองวสั ดุแมเหล็กระดับอะตอมในที่น้ีจะใชหนว ยในระบบ SI โดยโมเมนตเชงิ อะตอม (atomic spin moment, µs) จะคิดเปนจำนวนตัวคณู ของบอรแมกนีตรอน (Bohr mangeton) เชน Co ทีมีโครงสรางแบบ hcp มีโมเมนตเชิงอะตอม µs = 1.5µB โมเมนตแมเหลก็ ของแตละอเิ ลก็ ตรอนมี หนว ยเปน J/T ดงั น้ันโมเมนตต อ ปรมิ าตรมหี นว ยเปน JT−1m−3 ซ่งึ มีหนว ยเหมือนกับระบบ SI คอื Am−1 สนามแมเหล็กภายนอกจะมีหนว ยเปนเทสลา (Tesla) ซึง่ หนว ยนี้เกิดจากการหาอนพุ ันธฮา มลิ โทเนยี นของสปน เทยี บกบั โมเมนตแมเหล็ก (∂H/∂µ) ตวั แปร พารามเิ ตอรทางแมเหล็กพรอ มท้ัง หนว ยท่ใี ชในรูปแบบจำลองวสั ดแุ มเหล็กระดับอะตอมสามารถพิจารณาไดดงั ตารางตอไปนี้

1.2 หนวยทางแมเหล็ก 14 ตารางท่ี 1.2 ตวั แปรและพารามเิ ตอรตางๆ ที่ใชในการพิจารณารปู แบบจำลองวัสดุแมเหล็กระดบั อะตอม [2] Variable Symbol Unit Atomic magnetic moment Joules/Tesla (JT )−1 Unit cell size µs Angstroms (Å) Exchange energy a Joules/link (J) Anisotropy energy Jij Joules/atom (J) Applied field Ku Tesla (T) Temperature Kelvin (K) Time H Seconds (s) Parameter T Value Bohr magneton t Gyromagnetic ratio 9.274 × 10−24 J T −1 Permeability of free space Symbol Boltzmann constant 1.76 × 1011 T −1s−1 µB γ 4π × 10−7 T 2J −1m3 µ0 kB 1.3807 × 10−23 J K−1 โดยทั่วไปคณุ สมบัติทางแมเหลก็ ของวัสดุสามารถพิจารณาไดโดยตรงจากการทดลองโดยการ วัดดวยอปุ กรณวัดคา ตางๆ ทางแมเหลก็ (magnetometer) คา ท่ีไดจากการวัดดวยอปุ กรณวัดทาง แมเหล็กจะมีหนวยในระบบ CGS ดังนนั้ กรณีท่ีทราบคา พารามิเตอรตางๆ ท่ีไดจากวัดโดยตรงและ ตองการนำคา เหลาน้ันมาใชในการคำนวณในรปู แบบจำลองวัสดุแมเหลก็ ระดับอะตอมมีความจำเปน ตองแปลงหนว ยจากระบบ CGS ไปเปนคา ในระบบ SI ซ่งึ สามารถทำไดโ ดยการคณู แฟคเตอรค าตางๆ ดังตารางตอ ไปน้ี ตารางที่ 1.3 การแปลงหนวย CGS และ SI ของคุณสมบัติทางแมเหล็ก ปริมาณ สญั ลักษณ หนวย CGS ตวั คูณ หนว ย SI Magnetic flux density Magnetic field B G 10−4 T Magnetisation H Oe 103/4π A/m Intensity of magnetisation M emu/cm3 A/m Magnetic moment J, I emu/cm3 103 Energy density m, µ emu 4π × 10−4 T Demagnetisation factor W erg/cm3 A·m2, J/T D, N − 10−3 10−1 J /m3 − 1/4π

1.2 หนว ยทางแมเหล็ก 15 คา ปรมิ าณในหนวย CGS สามารถแปลงไปเปนปริมาณในหนว ย SI โดยการคูณปรมิ าณใน หนวย CGS ดวยตวั คูณตา งๆ ดงั ความสัมพันธตอ ไปนี้ ปรมิ าณ (CGS) × ตวั คณู = ปริมาณ (SI) (1.4) ตัวอยา งที่ 1.3. วัสดโุ คบอลต (Co) มีคา แมกนไี ทเซชันเทา กับ Ms = 1400 emu/cm3 และ มีระยะหางระหวา งอะตอม a = 3.5 Å จงพจิ ารณาคา ตอไปนใี้ นหนวย SI 1. คา แมกนีไทเซชันในหนวย SI 2. คาโมเมนตแมเ หลก็ µ 3. คา สปนโมเมนต วธิ ีทำ 1. จากตารางการแปลงหนว ยขางตน พบวาปรมิ าณในหนวย CGS สามารถแปลงเปนหนวย SI ไดโ ดยการคณู ดว ยตวั คณู สำหรับปรมิ าณทีต่ อ งการพิจารณาดังความสัมพันธตอ ไปน้ี Ms(CGS) × ตวั คณู = Ms(SI) ในการแปลงแมกนไี ทเซชนั พบวา ตัวคูณมคี า 103 จะไดวา Ms(SI) = 1400 × 1000 = 1.4 × 106 A/m 2. จากนนั้ ทำการพิจารณาโมเมนตแมเ หลก็ ไดด ังนี้ µ = MsV ในกรณนี ้ีเปนการพจิ ารณาในระดบั อะตอมดังนน้ั เราสามารถพจิ ารณาปรมิ าตรไดจ ากปรมิ าตร หนึ่งหนว ยเนอ่ื งจากทราบคา ของระยะหา งระหวางอะตอมหรอื lattice constant a = 3.5 Å จะไดว า µ = MsV = (1.4 × 106)(3.5 × 10−10)3 = 6 × 10−23 J /T 3. พิจารณาสปนโมเมนตไดโ ดยการหารดวยคา Bohr magneton ดังนี้ µ 6 × 10−23 µs = µB = 9.274 × 10−24 = 1.6, µs = 1.6µB .

1.2 หนวยทางแมเหลก็ 16 ตัวอยา งที่ 1.4. วัสดุแมเหล็กชนดิ หนึ่งมีโครงสรา งผลกึ ลูกบาศกแบบงาย (simple cubic) มีคา สปนโมเมนต µs = 1.44µB และมีระยะหางระหวา งอะตอม a = 2.23 Å จงพจิ ารณา หาคา แมกนไี ทเซชันในหนว ย CGS วธิ ที ำ แมกนีไทเซชันเปน คา โมเมนตแมเหล็กตอ หนงึ่ หนวยปริมาตรดังนั้นสามารถพจิ ารณา ไดจากความสมั พันธตอไปน้ี µ Ms = V ซ่ึงคา โมเมนตแมเหล็กสามารถพจิ ารณาไดจากคา สปน โมเมนตด งั น้ี µ = µs × Natom = (1.44µB)(1) เมือ่ Natom คอื จำนวนอะตอมในเซลลหนงึ่ หนวยของโครงสรางผลกึ ลกู บาศกแบบงา ยซง่ึ มี คาเปน หน่งึ และปริมาตรหนึง่ หนว ยของโครงสรา งผลกึ ลกู บาศกแบบงายมีคา เทา กับ V = a3 = (2.23 Å)3 ดังน้นั Ms = 1.44µB = 1.2 × 106 A/m (2.23 × 10−10)3 จากน้ันทำการแปลงคา แมกนีไทเซชันจากหนวย CGS ไปเปนหนวยในระบบ SI โดยใชตัว คูณ 103 จะไดวา Ms(CGS) = Ms(SI) = 1.2 × 106 ตวั คูณ 103 = 1200 emu/cm3 .

1.3 คำถามทายบท 17 1.3 คำถามทา ยบท 1.3.1. จงอธบิ ายนิยาม ความเหมือนและความแตกตางของสปน โมเมนตแมเหลก็ และแมกนีไทเซ- ชัน และกรณีท่ีแผนฟล ม มีขนาดไมเทา กนั ปริมาณเหลา นี้จะเทากันหรอื ไม อธบิ ายรายละเอียดพรอ ม เหตุผล 1.3.2. จงอธิบายรายละเอยี ดของแบบจำลองระดบั จลุ ภาคและแบบจำลองระดับอะตอมพรอ มทัง้ บอกขอ จำกัดของรปู แบบจำลองแตละแบบ 1.3.3. จงพลอตกราฟความสัมพนั ธระหวา งแมกนีไทเซชนั และสนามแมเหล็กภายนอกของวสั ดุพารา แมกเนติกทีอ่ ุณหภูมิตางๆ จากฟงกชนั Langevin M = coth a − 1 Ms a 1.3.4. จงอธบิ ายความสมั พนั ธระหวางคา รบั ไวไดเชงิ แมเหล็ก χ และอณุ หภูมิของวัสดุเฟรโรแมกเน- ตกิ และวสั ดแุ อนตเิ ฟรโรแมกเนตกิ โดยการอธบิ ายสมการความสมั พนั ธแ ละวาดแผนภาพประกอบ 1.3.5. จงอธบิ ายการเกิดโมเมนตแมเหลก็ ในวสั ดุโลหะทรานซิชนั จากหลักการ Pauli Exclusion Principle 1.3.6. จงพจิ ารณาหาคาโมเมนตแมเหล็กของวัสดุโลหะทรานซิชนั Co และ Mn พรอ มทงั้ แสดง แผนภาพการเรยี งตวั ของอิเลก็ ตรอนท่ีระดบั พลงั งานตา งๆ 1.3.7. จงพจิ ารณาหาคา โมเมนตแมเหลก็ ของวสั ดุโลหะทรานซิชนั Fe ซ่งึ มีจำนวนอิเล็กตรอน 26 ตัว โดยแสดงแผนภาพการจดั เรียงตัวของอิเล็กตรอนที่ระดบั พลงั งานตา งๆ พรอมท้ังอธิบายการเกิด โมเมนตแมเ หล็กตามหลกั การกดี กนั พลังงานของเพาลี 1.3.8. วสั ดุแมเหลก็ ชนิดหนงึ่ มีโครงสรา งผลกึ แบบ FCC (faced centered cubic) มีแมกนีไทเซชนั Ms = 1200 emu/cm3 และมี afcc = 3.5 Å จงพิจารณาหาคาระยะหางระหวางอะตอมของวัสดุแม เหล็กชนิดนเ้ี ม่อื มโี ครงสรางผลกึ ลกู บาศกแบบงาย



บทท่ี 2 พลงั งานในวสั ดุแมเหล็ก (Energetics of magnetism) ในบทน้ีจะกลา วถึงรายละเอียดการพจิ ารณาพลงั งานที่เกดิ ข้นึ ในวสั ดุแมเหล็กท่ีใชในรูปแบบ จำลองระดบั อะตอม ฮามิลโทเนยี นแบบฉบบั ของสปน (classical spin Hamiltonian) จะถูกนำ มาอธบิ ายพลังงานตางๆ ที่เกดิ ขึ้นในวสั ดุแมเหล็ก ซึง่ พลงั งานอิสระรวม (total free energy) ที่ เกี่ยวขอ งในวัสดุแมเ หล็กสามารถพจิ ารณาโดยการรวมพลงั งานตางๆ ทีส่ ง ผลตอระบบ ไดแ ก พลังงาน ปฏสิ ัมพนั ธการแลกเปลี่ยน พลังงานแอนไอโซทรอป พลงั งานภายนอก รวมไปถึงพลงั งานดีแมกนีไท หรือพลงั งานสองคขู วั้ ซึ่งรายละเอยี ดของแตล ะพลังงานจะกลา วดงั ตอ ไปนี้ 2.1 ฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของสปน (classical spin Hamiltonian) ในการพจิ ารณารปู แบบจำลองโครงสรางของวัสดุแมเหลก็ ระดบั อะตอม สง่ิ แรกท่ีตอ งพจิ ารณา คือฮามิลโทเนยี นแบบฉบบั ของสปนซ่งึ อธบิ ายพลงั งานที่เกดิ ขน้ึ ในวัสดุซง่ึ แสดงอยูในรูปของผลรวม ของพลงั งานที่เกิดข้นึ ในวัสดุแมเ หล็ก ไดแก พลังงานปฏสิ ัมพันธการแลกเปลย่ี น (Hexc) พลงั งานแอน ไอโซทรอป (Hani) และพลังงานภายนอก (Happ) มีรูปแบบดงั สมการตอ ไปนี้ H = Hexc + Hani + Happ (2.1) สมการฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของสปนขา งตน แสดงพลังงานท่ีเกิดข้ึนในวสั ดุแมเหล็ก ซึง่ แตละพลังงานมรี ายละเอยี ดดงั ตอไปนี้ 2.1.1 พลงั งานปฏิสมั พันธการแลกเปลีย่ น (Exchange interaction energy) ปฎิสมั พนั ธระหวางโมเมนตแมเหล็กในวสั ดุแมเหล็กมีสามแบบคอื ปฎิสัมพันธโดยตรง (direct exchange) ปฎิสัมพนั ธโดยออม (indirect exchange) และการแลกเปล่ยี นแบบพเิ ศษ (superex- change) แตในการคำนวณรปู แบบจำลองระดับอะตอมนี้จะกลาวรายละเอียดเฉพาะปฎิสมั พันธการ แลกเปล่ยี นระยะสนั้ หรอื short-range exchange interaction โดยท่วั ไปแลว ปฎิสัมพนั ธการแลก- เปลี่ยนจะเกิดข้นึ ระหวางโมเมนตแมเหลก็ ภายในวัสดุแมเหล็กเฟรโรแมกเนติก แอนติเฟรโรแมกเนติก และเฟรร ิแมกเนติก

2.1 ฮามิลโทเนียนแบบฉบับของสปน 20 รปู ที่ 2.1 (ซา ย) สปนมีการเรียงตัวไปในทศิ ทางเดียวกันสงผลใหคา ปริพนั ธการแลกเปลี่ยนมีคาเปน บวก และ (ขวา) สปนมกี ารเรยี งตวั ในทศิ ทางตรงกันขามทำใหมคี าปรพิ นั ธการแลกเปลยี่ นมีคา เปน ลบ พลังงานปฏสิ มั พนั ธการแลกเปลยี่ นเปน พลงั งานที่สง ผลตอระบบวสั ดุแมเหล็กมากทส่ี ดุ การ เกิดปรากฏการณปฏสิ ัมพนั ธการแลกเปลย่ี นสามารถอธิบายไดดวยความสมมาตรของฟงกชนั คลน่ื และหลกั การการกดี กันพลังงานของเพาลี ท่ีทำใหสปนมีการจดั เรยี งตัวซอนทบั กนั ท่ีระดบั พลังงาน ท่ีใกลเคยี งกัน กลาวคอื ปฏิสมั พันธการแลกเปล่ียนจะเกิดขน้ึ เมอ่ื โมเมนตขางเคยี งใกลกนั มากพอที่ จะทำใหเกิดการซอ นทบั ของออรบิทอลหรือวงโคจร อเิ ล็กตรอนจะเคลือ่ นท่ีรอบนวิ เคลียสซ่ึงทำให อะตอมที่อยูใกลกนั มากพอมีโอกาสเคลอื่ นที่ไปยังออรบิทอลใกลเคยี ง ปฏิสัมพนั ธการแลกเปลย่ี น ระหวางโมเมนตใกลเคียงนำไปสูการจัดเรียงตัวที่เปนระเบยี บของโมเมนตทางแมเหล็กซึง่ จะเรียง ตวั ขนานไปทศิ ทางเดยี วกนั หรอื ในทศิ ทางตรงกนั ขา ม พลังงานการแลกเปลี่ยนปฏสิ มั พนั ธของแตละ สปน i สามารถแสดงไดดว ยรปู แบบของ Heisenberg Hamiltonian ซง่ึ จะคดิ ผลของสปนท่ีอยูขา ง เคียง j ทีม่ รี ะยะใกลท ส่ี ุดเทานนั้ ดังสมการ S S∑ (2.2) Hexc = − Jij i · j i≠ j เมือ่ Jij คือปรพิ นั ธก ารแลกเปลยี่ นปฏสิ ัมพันธร ะหวางสปน i กบั สปน j Si เปน เวกเตอรห นึ่งหนวยของสปน i ที่ตองการพิจารณา Sj เปนเวกเตอรหนงึ่ หนวยของสปนใกลเคียงของอะตอม j จากสมการขางตน พบวาพลังงานปฏสิ ัมพันธการแลกเปลย่ี นระหวางสปนจะข้นึ อยูกบั มมุ ระ- หวา งสปน และคา ปริพนั ธการแลกเปล่ียน (exchange integral) ซงึ่ เปน คา ที่บอกถึงปริมาณพลังงาน แลกเปลี่ยนระหวางสปนวา มคี า มากนอยเพียงใด ซึง่ จะมีคามากเมอ่ื สปน อยูใ กลกัน ในกรณีท่พี ิจารณา ระบบที่ประกอบดว ยสองสปน พลงั งานปฏิสัมพนั ธการแลกเปลยี่ นที่เกดิ ข้นึ ภายในระบบสามารถ พิจารณาไดจากสมการท่ี (2.2) ดังน้ี Hexc = − ∑ Jij|Si||Sj|cosϕ i≠ j โดย ϕ เปนมมุ ระหวา งเวกเตอรห นง่ึ หนว ยของสปน i และสปน j และจากสมการขา งตน พบวา คา ปริ- พนั ธการแลกเปล่ียน Jij สามารถมีคา เปนไดทัง้ บวกและลบซ่ึงขึ้นอยูกับลักษณะการจดั เรียงตวั ของ

2.1 ฮามิลโทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 21 สปนทั้งสอง โดยจะมคี าเปนบวกเม่อื สปน ท้ังสองสปน มกี ารจัดเรียงตวั ไปในทศิ ทางเดียวกันซึง่ สงผลให คา พลงั งานการแลกเปลยี่ นมคี าทนี่ อ ยทส่ี ุด (minimum exchange energy) ในขณะทคี่ าปริพันธก าร แลกเปล่ยี นจะมคี า เปนลบเม่อื สปนทัง้ สองมกี ารจัดเรียงตวั ในทศิ ทางตรงกนั ขามดังแสดงในรปู ท่ี 2.1 รปู ที่ 2.2 กราฟ Bethe-Slater แสดงคาปริพนั ธการแลกเปลยี่ นของวัสดุชนดิ ตา งๆ นอกจากน้ียังพบวา วัสดุแมเหลก็ เฟรโรแมกเนติกจะมีคา ปริพันธการแลกเปลยี่ นเปนบวกเนื่อง จากสปนภายในวัสดุจะมีการจดั เรียงตัวไปในทศิ ทางเดียวกนั ในขณะท่ีวัสดุแมเหลก็ แอนติเฟรโรแมก- เนติกซึ่งสปน ในแลตทิซยอ ยจะมีการจดั เรยี งตัวในทิศทางตรงกันขา มสลับกันไปจะมีคา ปริพันธการ แลกเปล่ียนเปนลบดังกราฟของ Bethe-Slater curve ซงึ่ แสดงคา ปริพนั ธการแลกเปลี่ยนของวัสดุ ชนิดตางๆ โดยพบวาคาปรพิ ันธก ารแลกเปลีย่ นของวสั ดุเฟรโรแมกเนติก Co > Fe > Ni ดงั รปู ท่ี 2.2 ตัวอยา งท่ี 2.1. จงคำนวณพลงั งานปฎิสมั พันธการแลกเปล่ยี นที่เกิดขึ้นที่สปนท่ี 1 เมื่อคา ปรพิ ันธการแลกเปลี่ยนมีคา Jij = 5 × 10−21 J/link และสปนท้ังสองทำมุมกนั 30 องศา ดังรูป .

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 22 Exchange energy/Jijวิธีทำ พลงั งานปฎิสัมพันธก ารแลกเปลี่ยนสามารถพิจารณาไดจ ากสมการตอไปนี้ S S∑ Hexc = − Jij i · j i≠ j กรณีนี้มีเพยี งสองสปนท่ีเกดิ ปฎิสัมพันธการแลกเปล่ยี นกนั คือ S1 และ S2 ดังนน้ั ถา ตอ งการหาพลงั งานการแลกเปลี่ยนปฏสิ ัมพันธท ่ีเกดิ ข้นึ ท่ี S1 สามารถคำนวณไดจ ากสมการ ขา งตนดงั นี้ S SHexc = −J12 1 · 2 = −J12|S1||S2|cos(30) แตสปน S1 และ S2 เปนเวกเตอรห นง่ึ หนว ยซึง่ มีขนาดเปนหนง่ึ จะไดว า cosHexc = −5 × 10−21 (30) = 4.33 × 10−21 J นอกจากน้ีเม่อื ทำการพจิ ารณาคา พลังงานปฎิสัมพนั ธการแลกเปลยี่ นที่เกดิ ข้ึนที่มมุ ตางๆ ระหวางสองสปนจะไดความสมั พนั ธดังกราฟ 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 15 30 45 60 75 90 Angle[deg] .

2.1 ฮามิลโทเนียนแบบฉบับของสปน 23 จากรูปพบวาเม่อื สปนมีการเรยี งตวั ไปในทศิ ทางเดียวจะเกดิ พลังงานปฎิสมั พนั ธการแลก เปล่ยี นสูงสดุ เนอ่ื งจากเปนพลงั งานท่ีทำใหสปนมีแนวโนม จัดเรยี งตวั ไปในทศิ ทางเดยี วกนั กับสปนท่ีเกิดปฎิสัมพันธ และเมอ่ื พจิ ารณาที่มุม 90 องศาพบวา ปฎิสัมพนั ธระหวางสปน มีคาเปน ศนู ย แสดงใหเหน็ วาถามมุ ระหวา งสปนมีคา มากสงผลใหเกิดปฎิสัมพนั ธการแลก เปล่ียนที่นอย สง ผลใหแนวโนม ท่ีสปนทง้ั สองจะมีโอกาสเรียงตวั ไปในทิศทางเดียวกันนอย ตามไปดวย . ตัวอยา งท่ี 2.2. จากรปู เปน ชั้นพ้ืนผิวของวัสดุแมเหลก็ ชนดิ หนง่ึ ท่มี รี ะยะหา งระหวางอะตอม a = 3.5 Å จงหาพลงั งานปฎิสมั พันธก ารแลกเปลี่ยนที่เกดิ ข้ึนท่สี ปนท่ี 6 เมื่อคา ปริพนั ธก าร แลกเปลี่ยนมีคา Jij = 5 × 10−21 J/link และแตละสปนมีการจัดเรียงตวั ไปตามทิศทาง ดงั ตอ ไปนี้ S1 = (0, 1, 0) S2 = (0, −1, 0) S3 = (−0.5, 0.866, 0) S4 = (0, 1, 0) S5 = (0.5, 0.866, 0) S6 = (0, 1, 0) S7 = (0, 1, 0) S8 = (0, 1, 0) S S S S9 = (0, −1, 0) 10 = (0, 1, 0) 11 = (0.866, 0.5, 0) 12 = (0, 1, 0) .

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 24 วิธีทำ พลังงานปฎิสัมพันธการแลกเปล่ียนท่ีเกดิ ข้ึนที่สปนที่ 6 สามารถพิจารณาไดจาก สมการตอไปน้ี S S∑ Hexc = − Jij i · j i≠ j กรณนี ้มี ีสปน หลายตวั ทีเ่ กดิ ปฎสิ มั พนั ธก บั สปน S6 ดังน้ันตอ งพิจารณาสปน ขา งเคียง ที่อยูใกลทส่ี ดุ ท่ีจะทำใหเกดิ ปฎิสัมพันธได (nearest neighbohr list) จากรูปพบวามีสปน S2 S5 S7 และ S10 อยูใกลกบั สปน ท่ี 6 มากทีส่ ุด คือหา งดว ยระยะระหวางอะตอม (lattice constant, a) ซง่ึ มีคาเทา กบั 3.5 Å สปนท่ีเหลอื อยูหา งจาก S6 เปน ระยะทางมากกวา ระยะหา งระหวา งอะตอมซึง่ ไมสงผลใหเกดิ พลังงานปฎิสมั พนั ธแลกเปลย่ี นจึงไมถูกนำมา พิจารณา ดงั นั้นพลงั งานการแลกเปลย่ี นปฏิสัมพันธท ีเ่ กิดขึ้นที่สปน ที่ 6 พิจารณาไดดงั น้ี S S∑ Hexc = − Jij i · j i̸=j S S S S S S S S= J62 6 · 2 + J65 6 · 5 + J67 6 · 7 + J6,10 6 · 10 แตโจทยกำหนดใหคาปริพนั ธการแลกเปลย่ี นระหวางสปนแตล ะคูมีคา เทากันคือ J = J62 = J65 = J67 = J6,10 = 5 × 10−21 J/link ดงั น้นั จะไดว า Hexc,6 = J[S6 · S2 + S6 · S5 + S6 · S7 + S6 · S10] = 5 × 10−21[(0, 1, 0) · (0, −1, 0) + (0, 1, 0) · (0.5, 0.866, 0) +(0, 1, 0) · (0, 1, 0) + (0, 1, 0) · (0, 1, 0)] = 5 × 10−21[−1 + 0.866 + 1 + 1] = 9.33 × 10−21 J . 2.1.2 พลังงานแอนไอโซทรอปผลกึ (Crystal anisotropy energy) แอนไอโซทรอปเปน คุณสมบตั ิท่ีสำคญั ของวสั ดุแมเหลก็ และเปน คณุ สมบตั ิท่ีเปนตัวกำหนด ลกั ษณะของวงวนฮีสเทอรีซสี (Hysteresis loop) ท่ีบอกถึงการตอบสนองของแมกนีไทเซชันตอ สนามแมเ หล็กภายนอกหรอื กราฟ M-H วัสดุแมเ หลก็ ท่มี โี ครงสรา งผลกึ ทีแ่ ตกตางกันจะมีลกั ษณะของ วงวนฮีสเทอรีซสี ท่ีแตกตา งกัน คาแอนไอโซทรอปมีความสำคัญในการนำมาพิจารณาในการออกแบบ และเลือกวสั ดุแมเหล็กที่ใชในอตุ สาหกรรมตางๆ ไดอยางเหมาะสมเชน อตุ สาหกรรมบันทึกขอมูลท่ี ตอ งการออกแบบแผน บันทึกขอมูลใหมีขนาดเลก็ ลงแตสามารถจุขอมูลไดสงู ข้นึ วัสดุแมเหล็ก FePt

2.1 ฮามิลโทเนียนแบบฉบับของสปน 25 จงึ เปน วัสดุที่ไดรับความสนใจ เน่อื งจากมีคาแอนไอโซทรอปที่สงู และมีทศิ ทางตงั้ ฉากสง ผลใหสามารถ เกบ็ ขอ มลู ไดม ากขึ้น เปนตน พลังงานแอนไอโซทรอปเกดิ ขน้ึ จากปฎิสัมพนั ธระหวางการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนท่ีหมนุ รอบตัวเอง (สปน ) และการเคลอื่ นท่ีของอิเลก็ ตรอนรอบวงโคจร โดยพบวา ในขณะท่ีไมม ีสนามแม เหลก็ ภายนอกมากระทำ สปน ของแตล ะอเิ ลก็ ตรอนมแี นวโนม จดั เรยี งตัวไปในแนวทศิ ทางหน่ึงๆ เรียก วา ทิศทางแกนงาย (easy axis) แตเมื่อทำการปอ นสนามแมเหล็กภายนอกมากระทำตอ สปน สปน มีแนวโนม ที่จะเรียงตวั ไปตามทิศทางของสนามแมเหล็กภายนอกทมี่ ากระทำ ซึ่งจะเบีย่ งเบนไปจาก ทศิ ทางของแกนงายมากนอ ยแคไหนขน้ึ อยูกับทศิ ทางของสนามภายนอกที่ปอ น การที่สปน จะมีการ จดั เรียงตวั ไปตามทิศทางแนวแกนงายน้ันตอ งอาศัยพลังงานแอนไอโซทรอปเพ่ือเอาชนะแรงที่ตอ ตาน การเคลอื่ นท่ีเขาหาแกนงาย ซงึ่ แรงน้ีเกดิ จากการเกย่ี วโยงระหวางวงโคจรกับแลตทิซ (orbit-lattice coupling) รปู แบบสมการของแอนไอโซทรอปในวสั ดุทวั่ ไปมกั จะพจิ ารณาในรูปของแอนไอโซทรอป แกนเด่ยี วหรอื uniaxial anisotropy ซ่ึงมีแกนงา ยเพียงแกนเดียวซง่ึ พบวาพลงั งานแอนไอโซทรอป จะขึ้นอยูก บั ทิศทางของแมกนีไทเซชนั ทีท่ ำกับแกนงา ยดงั สมการตอ ไปน้ี Hani = K0 + K1sin2θ + K2sin4θ + . . . (2.3) เมือ่ K0 K1 K2 . . . คือคาคงทแี่ อนไอโซทรอป มหี นวยเปนพลังงานตอปริมาตรหน่งึ หนว ย (J/m3) จากสมการขา งตน พบวา พจนแรกของสมการจะไมถกู นำมาพจิ ารณาเนอ่ื งจากเปนคา คงท่ีไม ขึ้นกบั มุมระหวางแมกนีไทเซชนั กับแกนงาย และพจนท่ีมีลำดับสงู ๆ ในอนุกรมจะถูกตัดทง้ิ เนื่องจากมี คานอ ย ดังน้ันพลงั งานแอนไอโซทรอปส ามารถเขยี นอยูในรปู แบบใหมไดดงั น้ี Hani = K1sin2θ (2.4) และ cos θ = S · e เมอ่ื S เปน เวกเตอรหน่ึงหนวยของสปน และ e คอื เวกเตอรหนึง่ หนวยของแกน งา ย ดงั นั้นจะไดวา Hani = K1sin2θ = K1(1 − cos2θ) (2.5) = K1(1 − cos2θ) = K1(1 − (S · e)2) = K1 − K1(S · e)2 จากสมการขางตน จะพบวา พลงั งานแอนไอโซทรอปจะข้นึ อยูกับมุมระหวา งสปนและแกนงา ย ดงั น้นั พจนแรกของสมการจะไมถกู นำมาพจิ ารณา และกำหนดให K1 = Ku เนอื่ งจากเปน การพจิ ารณา แอนไอโซทรอปแกนเดยี่ ว และกรณีที่พจิ ารณาพลังงานแอนไอโซทรอปของวสั ดุแมเหลก็ ทัง้ ระบบใน ระดบั อะตอมจะตอ งพจิ ารณาผลรวมของพลงั งานทเ่ี กิดจากทุกสปน ดังน้ี S e∑ (2.6) Hani = −Ku ( i · )2 i

2.1 ฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของสปน 26 Eani/Kuตัวอยางที่ 2.3. พิจารณาพลงั งานแอนไอโซทรอปของวสั ดุเฟรโรแมกเนติก Co ที่มีคาคง ที่แอนไอโซทรอป Ku = 4.19 × 105J/m3 โดยกำหนดใหสปนภายในวัสดุมีทิศทางดงั นี้ S = (0.707, 0.707, 0) และเวกเตอรห นึ่งหนว ยของแกนงา ยมที ศิ ทาง e = (0, 1, 0) วธิ ีทำ จากสมการที่ (2.6) สามารถพจิ ารณาคา พลังงานแอนไอโซทรอปไ ดดังนี้ S eHani = −Ku( · )2 = −Ku(Sx · ex + Sy · ey + Sz · ez)2 = −4.19 × 105(0.707)2 = −2.094 × 105 J/m3 . ตวั อยางที่ 2.4. พจิ ารณาพลังงานแอนไอโซทรอปของวสั ดุเฟรโรแมกเนติก Co ท่ีมีคาคงที่ แอนไอโซทรอป Ku = 4.19 × 105J/m3 เม่ือสปนทำมมุ ตั้งแต 0 ถึง 90 องศากบั แกนงาย วิธที ำ จากสมการที่ (2.6) สามารถพจิ ารณาคาพลังงานแอนไอโซทรอปไ ดดงั น้ี Hani = −Kucos2θ ดังน้นั สามารถพจิ ารณาพลังงานแอนไอโซทรอปทม่ี มุ ใดๆ ไดด งั รปู 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Angle[deg] .

2.1 ฮามิลโทเนยี นแบบฉบับของสปน 27 2.1.3 พลังงานภายนอก (Applied field energy) กรณีท่ีมกี ารปอ นสนามแมเหลก็ ภายนอกแกวสั ดแุ มเหล็ก Happ จะทำใหเ กิดปฏิสัมพนั ธร ะหวาง ระบบของวัสดุแมเหล็กกับสนามแมเหลก็ ภายนอก พลังงานของปฏสิ มั พันธน้ีเรียกวาพลงั งานซีแมน (Zeeman energy) ซึ่งพิจารณาพจิ ารณาคาไดดังสมการท่ี (2.7) Happ = −µs ∑ Si · Happ (2.7) i จากที่กลาวมาขางตนเปนการพิจารณาพลังงานท่ีเกดิ ขึ้นภายในวัสดุแมเหลก็ ไดแก พลงั งาน การแลกเปลีย่ น พลงั งานแอนไอโซทรอป และพลงั งานภายนอก ดงั น้ันเราสามารถพิจารณาสมการ ฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของสปนในสมการที่ (2.1) ซึ่งแสดงพลังงานรวมที่เกดิ ขนึ้ ในวัสดุแมเหลก็ ใน รูปแบบใหมไดโดยแทนสมการที่ (2.2) (2.6) และ (2.7) ลงในสมการท่ี (2.1) ดงั น้ี H = − ∑ SJij i · Sj − Ku ∑(Si · e)2 − µs ∑ Si · Happ. (2.8) i≠ j i i นอกจากพลงั งานท่ีกลา วในรายละเอียดขางตน ดงั แสดงในสมการฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของ สปน เราสามารถพจิ ารณาผลของสนามเหนี่ยวนำที่เกิดจากการลดสภาพความเปน แมเหลก็ หรือ de- magnetising field และสนามที่เกดิ จากความรอนหรอื thermal field เขา ไปในรปู แบบจำลองวัสดุ แมเหลก็ ระดบั อะตอมได การคดิ ผลของสนามที่เกิดจากการลดสภาพแมเหลก็ หรอื สนามดีแมกนีไทซ่งิ จะถกู พจิ ารณาแยกตา งหากเพอ่ื ลดระยะเวลาที่ใชในการคำนวณ เนอื่ งจากการพจิ ารณาสนามที่เกดิ จากการลดสภาพความเปนแมเหล็กท่ีกระทำตออะตอมหนึง่ ๆ จะตอ งคดิ ผลที่เกิดจากทุกๆ อะตอม ในระบบ ทำใหใชเวลาในการคำนวณคอนขางนาน เพอื่ ลดระยะเวลาในการคำนวณคาสนามลดสภาพ ความเปนแมเหลก็ หรือสนามดีแมกนีไทซงิ่ จึงมีการคำนวณในระดับจุลภาครว มกบั การคำนวณระดบั อะตอม โดยใชเทคนิคการคำนวณท่ีพัฒนาโดย Boerner [12] ซ่งึ จะทำการแบงระบบออกเปน เซลล เล็กๆ แลว ทำการประมาณคา สนามที่เกิดจากการลดสภาพแมเหลก็ ในแตละเซลลภายใตสมมตฐิ านวา ทกุ สปน ในเซลลนน้ั ๆ จะมีคาสนามที่เกดิ จากการลดสภาพความเปน แมเหล็กเทากนั สำหรบั สนามที่ เกิดจากความรอ นมีคณุ สมบตั ิท่ีข้นึ อยูกับอุณหภูมิ ดังนั้นฟง กชัน Langevin dynamic จะถกู นำมา อธบิ ายผลของความรอนที่เกิดขึน้ ในรูปแบบจำลองซง่ึ จะกลา วในรายละเอียดดังตอไปน้ี

2.1 ฮามิลโทเนยี นแบบฉบบั ของสปน 28 2.1.4 พลังงานลดสภาพความเปนแมเ หลก็ (Demagnetising energy) พลังงานลดสภาพความเปน แมเหลก็ เปน พลงั งานที่เก่ียวของกบั สนามแมเหล็กที่เกิดขนึ้ ภายใน แทง แมเหลก็ แทงแมเหลก็ ประกอบดวยคูขว้ั คอื ข้วั เหนือและขว้ั ใตซง่ึ ทำใหเกดิ สนามแมเหลก็ ท้งั ภายในและภายนอกแทงแมเหลก็ โดยทัว่ ไปพลงั งานการลดสภาพความเปน แมเหลก็ จะเกดิ ขึน้ ใน ทศิ ทางตรงกนั ขา มกบั ทิศทางของแมกนีไทเซชนั พลงั งานน้มี ผี ลอยางมากตอ พฤตกิ รรมการตอบสนอง ของแมเหล็กและคา ของพลงั งานนีจ้ ะขน้ึ อยูกบั รปู รา งของแมเหล็กดังรูปที่ 2.3 รปู ที่ 2.3 สนามการลดสภาพความเปนแมเ หล็กในแทงแมเหล็ก การพจิ ารณาพลังงานลดสภาพความเปน แมเหล็กสามารถคำนวณไดจากการอินทิเกรทปฏิ- สมั พันธร ะหวา งแมกนีไทเซชันกับสนามคูข วั้ ที่เกดิ ขน้ึ ในวสั ดุแมเหล็กท้งั กอนดงั สมการท่ี (2.9) −1 ∫ M · HddV (2.9) 2 Hdip = และ Hd = −NdM เมื่อ Hd คือสนามคขู ั้วหรอื สนามไดโพล Nd เปนตัวประกอบการลดสภาพแมเหลก็ ซึง่ ขึน้ อยกู ับลักษณะรูปรางของวสั ดแุ มเ หล็ก µ0 คือคา ความซมึ ซาบไดข องอากาศ M คือแมกนไี ทเซชนั โดยทวั่ ไปพลงั งานการลดสภาพความเปนแมเหล็กของโมเมนตแมเหล็กท่ีตำแหนง r ในโครง- สรา งวสั ดุแมเหลก็ จะเกิดขนึ้ จากผลของโมเมนตแมเหล็กตัวอนื่ ๆ และจากตวั มนั เอง อยา งไรกต็ ามใน กรณีที่ระบบวสั ดุแมเหล็กมีขนาดเล็กและมีความสมมาตรซ่ึงประกอบดว ยโดเมนเดยี่ ว พลงั งานการ ลดสภาพความเปนแมเหล็กที่เกิดจากตัวมนั เองจะไมถูกนำมาพิจารณา ดังนั้นในการพจิ ารณารูปแบบ จำลองระดับอะตอมจะกลา วถงึ เฉพาะพลงั งานการลดสภาพความเปน แมเหล็กท่ีเกดิ จากโมเมนตแม เหล็กตัวอ่ืนๆ การพิจารณาพลงั งานน้ีจะใชเ วลาในการคำนวณคอนขา งมากเนือ่ งจากเปน การพจิ ารณา ปฏสิ มั พนั ธระยะไกล (long-range interaction) เพือ่ ลดเวลาในการคำนวณพลังงานการลดสภาพ

2.1 ฮามิลโทเนยี นแบบฉบับของสปน 29 รปู ท่ี 2.4 การคำนวณสนามคขู ้ัวดวยวธิ ี supercell ซึง่ ทำการแบงวัสดุแมเ หล็กเปน เซลลเลก็ ๆ และหา คา โมเมนตแ มเ หล็กของแตละเซลลจากผลรวมของสปนท้งั หมดในเซลลนน้ั ๆ ความเปน แมเหลก็ การคำนวณระดบั อะตอมน้ีจะอาศัยเทคนิคของ Boerner et al. ซง่ึ เปนการ คำนวณระดับจุลภาคเขา มารว มดวยดังรายละเอียดตอ ไปน้ี วิธีการนี้จะเริ่มตน โดยทำการแบง วัสดุแมเหล็กใหเปนเซลลเลก็ ๆ หลายเซลลที่เรียกวา ''su- percell\" โมเมนตแมเหล็กในแตล ะ supercell จะถกู คำนวณโดยการรวมสปนทัง้ หมดในเซลลน้นั ๆ จากน้นั คาโมเมนตแมเหลก็ จะถกู นำมาใชในการคำนวณสนามคูข้วั ของแตละเซลลภายใตสมมติฐานวา สปน ในเซลลน ั้นๆ จะมีคาสนามคขู ั้วหรอื สนามการลดสภาพความเปน แมเหลก็ เหมอื นกนั ดงั รูปท่ี 2.4 การพจิ ารณาพลังงานการลดสภาพความเปนแมเหลก็ ในรปู แบบจำลองระดบั อะตอม สามารถ ทำไดโดยแบง ระบบออกเปนเซลลเล็กๆ ทีมีขนาดเทา กนั โดยในแตละเซลลจะประกอบดว ยสปน หลาย ตัว จากนนั้ ทำการพจิ ารณาตำแหนง ของแตละเซลล (Pc) ซ่งึ จะถูกนำไปใชในการคำนวณพลังงานการ ลดสภาพความเปน แมเหล็กตอไป ตำแหนง ของแตล ะเซลลสามารถคำนวณไดจากหลกั การพิจารณา จดุ กึง่ กลางมวล (magnetic center of mass) ดงั ความสัมพันธใ นสมการตอไปน้ี Pcαell = ∑∑ininµµipiiα (2.10) เมือ่ α แสดงทศิ ทาง x y และ z n คือจำนวนของอะตอมในเซลลน้นั ๆ µi คือสปนโมเมนตของแตล ะสปน ในเซลล จากสมการขา งตนพบวา กรณีที่เซลลนั้นๆ ประกอบดว ยโมเมนตแมเหลก็ ที่เหมือนกนั ตำแหนง ของเซลลจะเปนตำแหนงเฉล่ียของสปน ในเซลลน้นั ๆ ซึ่งตำแหนงของเซลลจ ะอยูตรงกึ่งกลางเซลล ดงั แสดงในรูปที่ 2.5 (a) และกรณีที่เซลลประกอบดวยโมเมนตแมเหลก็ ที่มีขนาดไมเทากัน ตำแหนง ของ เซลลจ ะไมอยูก่ึงกลางเซลลแตส ามารถพิจารณาไดจากสมการท่ี (2.10) ดังแสดงในรปู ที่ 2.5 (b)

2.1 ฮามิลโทเนียนแบบฉบบั ของสปน 30 (a) (b) รปู ที่ 2.5 การพิจารณาตำแหนงของเซลลในการคำนวณสนามคูข้วั (a) ภาพแสดงการพจิ ารณา ตำแหนงของเซลลกรณีที่คดิ ขอบของพ้นื ผิว (b) กรณีที่เซลลประกอบดว ยวสั ดุสองชนดิ ที่มีสปน โมเมนตไมเทา กัน พบวาตำแหนงเฉลี่ยของเซลลจะอยูในตำแหนงที่ใกลกับวัสดุท่ีมีคาสปนโมเมนต ทสี่ งู กวา [2] พลงั งานการลดสภาพความเปนแมเหล็กหรือพลงั งานคูขัว้ สามารถแสดงในรปู ของโมเมนตแม- เหล็กทีเ่ กดิ ขน้ึ ท้งั หมดในระบบดังน้ี − ∑ [ 3(µ⃗ i · ⃗rij)(µ⃗ j · ⃗rij ) µ⃗ i · µ⃗ j ] |⃗rij |5 |⃗rij |3 Hdip,i = j≠ i − เมือ่ µ⃗i คอื โมเมนตแมเ หลก็ ของ supercell ที่ตำแหนง i µ⃗j คอื โมเมนตแ มเหล็กของ supercell ทตี่ ำแหนง j ⃗rij และ | ⃗rij | เปน เวกเตอรและระยะหางระหวาง supercell ตำแหนง i และตำแหนง j ตาม ลำดบั จากน้ันทำการแทนคา เวกเตอรระยะหา งระหวา งเซลล ⃗rij ในสมการขางตน ดว ยเวกเตอรหนงึ่ หนว ย rij = ⃗rij สมการพลังงานการลดสภาพความเปนแมเ หล็กสามารถจดั รปู ใหมไ ดด ังนี้ |⃗rij |

2.1 ฮามลิ โทเนียนแบบฉบับของสปน 31 [ ] 3(µ⃗ i ij)(µ⃗ j · ij) − µ⃗ i · µ⃗ j |⃗rij |3 r rHdip,i− ∑ · = j≠ i จากสมการพลังงานขางตน เราสามารถพจิ ารณาสนามการลดสภาพความเปนแมเหลก็ หรอื สนามแมเหล็กคูขว้ั ไดจากการหาอนพุ ันธอันดับหน่งึ ของพลังงานการลดสภาพความเปน แมเหลก็ (Hdip,i) เทยี บกบั โมเมนตแมเหล็กตำแหนงท่ี i ดังน้ันจะไดว า ∑ [ 3(µ⃗ j ] − µ⃗ j j̸=i H r rdip,i = − ∂Hdip,i = · ij ) ij |⃗rij |3 ∂µ⃗ i แตเนอื่ งจากโมเมนตแมเหลก็ ในเซลลที่ j มีคาเทา กับ µ⃗j = |µ⃗j|µj ดังนน้ั สนามแมเหล็กคูข้ัวของ เซลลท ่ี i สามารถเขยี นไดใ นรปู แบบตอไปนี้ |µ⃗ j| ∑ [ 3(µj ] i̸=j H r rdip,i= · ij ) ij − µj |⃗rij |3 เมื่อ |µ⃗j| คอื ขนาดของโมเมนตแมเหลก็ และ µj เปน เวกเตอรหนงึ่ หนว ยของโมเมนตแมเหล็กของ supercell ตำแหนง ที่ j ตามลำดบั สมการสนามแมเหล็กคูขวั้ ขางตนแสดงในหนวยของระบบ CGS ดังนัน้ สนามแมเหล็กคูขัว้ สามารถแปลงใหอยูในหนว ยเทสลาของระบบ SI ไดโดยการคณู ดว ยตวั ประกอบ µ0/4π และเพือ่ ความงายในการคำนวณ เราสามารถแปลงระยะหางระหวางเซลลซ่งึ มีคาเปนจำนวนจริงเปนระยะ หา งท่แี สดงในรปู ของจำนวนเตม็ ไดโดยหารดวยปริมาตรหนงึ่ หนว ย a3 ดังนี้ ∑ [ 3(µj − µj ] i̸=j H r rdip,i = µ0|µ⃗ j| · ij ) ij (2.11) 4πa3 |⃗rij |3 เมอื่ µ⃗j = ∑natom Sµs i เปนโมเมนตแ มเ หลก็ ของเซลลท ี่ j ซงึ่ สามารถหาไดจ ากผลรวมของสปน โมเมนต i=1 ทั้งหมดในเซลล j µ0 คือคา ความซึมซาบไดของอากาศ a คือระยะหา งของอะตอมในแลตทซิ |⃗rij| ระยะหา งระหวางเซลล i และเซลล j ซ่ึงคำนวณไดจากระบบพกิ ัดจำนวนเตม็ หรือ integer coordi- nate system และ natom คือจำนวนของอะตอมในแตล ะเซลล

2.1 ฮามลิ โทเนียนแบบฉบบั ของสปน 32 ตัวอยางที่ 2.5. แผน ฟลมบางมีขนาด 3 × 3 × 0.6 nm3 ทำจากวสั ดุแมเหล็กชนดิ หนึ่งท่ีมี โครงสรางผลึกลกู บาศกอ ยา งงาย ท่ีมรี ะยะหางระหวางอะตอมมคี าเทา กับ a = 3 Å จงหาคา สนามแมเหลก็ คูข้ัวท่ีเกดิ ขึน้ ท่ีแตละเซลล โดยกำหนดใหแบงแผนฟล มบาง ออกเปน เซลลเลก็ ๆ โดยแตล ะเซลลมีขนาด 0.6 × 0.6 × 0.6 nm3 และกำหนดใหสปน ใน แตละเซลลม ีคาสปน โมเมนตท่ีเทากนั คอื µs = 1.5µB และมที ิศทาง (0, 1, 0) วธิ ีทำ สนามแมเหล็กคูข้วั สามารถพิจารณาไดจากสมการที่ (2.11) ดงั น้นั สวนแรกที่ตอ ง ทำการพจิ ารณาคือตำแหนงและโมเมนตแมเหลก็ ในแตละเซลล จากโจทยพบวาแตล ะเซลล มีปรมิ าตรเทา กับ 0.6 × 0.6 × 0.6 nm3 ซง่ึ มีคา เทา กบั 2a × 2a × 2a ดังน้ันแผน ฟลมบาง จะประกอบดว ยจำนวนเซลลท้ังหมด 5 × 5 × 1 เซลล ดงั รูป โดยที่ตำแหนงของแตล ะเซลลสามารถหาไดโดยพิจารณาคา ตำแหนง เฉล่ียของทุกสปน ใน เซลลน นั้ ๆ ซง่ึ พบวาแตละเซลลป ระกอบดว ยสปน จำนวน 27 สปน เน่อื งจากผลกึ มโี ครงสรา ง ผลกึ ลกู บาศกอยา งงาย และแตละเซลลถกู แบง ดว ยขนาด 2a เมื่อมองภาพจากดา นบน ของแตล ะเซลลจะพบวาตำแหนง เซลลจะอยูกง่ึ กลางเซลลเพราะทุกสปน ในเซลลมีคา สปน โมเมนตท เี่ ทากนั ดงั แสดงในรปู ขางบน ∑27 µipαi ∑27 pαi i=1 = i=1 Pcα = 27 ∑27 µi i=1 .

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบับของสปน 33 เมื่อพิจารณาตำแหนง ของแตล ะเซลลพบวาตำแหนงของเซลลในทิศทาง z จะอยูตำแหนง กึ่งกลางของแผน ฟล ม โดยตำแหนง x และ y สามารถมองจากดา นบนของแผนฟลม ตำแหนง ของแตล ะเซลลสามารถแสดงในระบบพกิ ดั จำนวนเตม็ เพอ่ื ความสะดวกในการคำนวณคา สนามคูขว้ั ดงั รูป สนามคูขว้ั สามารถพิจารณาไดจากสมการที่ (2.11) ดังนี้ ∑ [ 3(µj − µj ] i≠ j H r rdip,i = µ0|µ⃗ j| · ij ) ij 4πa3 |⃗rij |3 กรณีน้ีพบวาทกุ เซลลจะมีโมเมนตแมเหลก็ ท่ีเทา กนั เนอ่ื งจากมีจำนวนสปนภายในเซลล ท่ีเทากันและทกุ สปนมีคา สปนโมเมนตที่เทากนั โมเมนตแมเหล็กในแตล ะเซลลสามารถ พิจารณาไดจ ากผลรวมของสปนภายในเซลลด ังน้ี .

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบับของสปน 34 ∑natom S∑natom µ⃗ j = S⃗i = µs i i=1 i=1 = (1.5µB)(27)(0, 1, 0) = 40.5µB(0, 1, 0) จากการพิจารณาโมเมนตแมเหล็กในแตล ะเซลลพบวามีขนาดเทา กบั |µ⃗j| = 40.5µB และมีทศิ ทางไปตามเวกเตอรหนึง่ หนว ยของโมเมนตแมเหลก็ คือ µj = (0, 1, 0) เมอื่ ทราบ ตำแหนง และโมเมนตแมเหล็กของแตล ะเซลลแลว ลำดับถัดไปเราจะนำขอมูลเหลานี้มา คำนวณหาสนามคูขัว้ ของแตละเซลล ในทนี่ ี้จะยกตัวอยา งการคำนวณสนามคูข้ัวที่เกดิ ขน้ึ ใน เซลลท ่ี c0 ดังนี้ H r rdip,0 ∑ [ 3(µj · ij ) ij − µj ] µ0|µ⃗ j| i̸=j [ |⃗rij |3 = 4πa3 r r r r= 40.5µ0µB 3(µ1 · 01) 01 − µ1 + 3(µ2 · 02) 02 − µ2 + ... 4πa3 − |⃗r01|3 |⃗r02|3 ] 0,23) 0,23 − µ23 µ24 |⃗r0,23|3 r r r r+ 3(µ23 · + 3(µ24 · 0,24) 0,24 |⃗r0,24|3 เพื่อความสะดวกในการคำนวณ ตำแหนง ของเซลลในแนวแกน z จะไมถกู นำมา พจิ ารณา เนอ่ื งจากทุกเซลลจะมีตำแหนงอยูในระดบั เดยี วกนั ซึ่งไมสง ผลตอการคำนวณคา สนามคขู ว้ั คา ตา งๆ สามารถพิจารณาไดดงั ตารางตอไปน้ี ij |⃗rij| rij r r3(µj · ij ) ij −µj |⃗rij |3 0, 1 2.00 ( 1.0000 , 0.0000 ) ( 0.0000 , -0.1250 ) 0, 2 4.00 ( 1.0000 , 0.0000 ) ( 0.0000 , -0.0156 ) 0, 3 6.00 ( 1.0000 , 0.0000 ) ( 0.0000 , -0.0046 ) 0, 4 8.00 ( 1.0000 , 0.0000 ) ( 0.0000 , -0.0020 ) 0, 5 2.00 ( 0.0000 , 1.0000 ) ( 0.0000 , 0.2500 ) 0, 6 2.83 ( 0.7071 , 0.7071 ) ( 0.0663 , 0.0221 ) 0, 7 4.47 ( 0.8944 , 0.4472 ) ( 0.0134 , -0.0045 ) 0, 8 6.32 ( 0.9487 , 0.3162 ) ( 0.0036 , -0.0028 ) 0, 9 8.25 ( 0.9701 , 0.2425 ) ( 0.0013 , -0.0015 ) 0, 10 4.00 ( 0.0000 , 1.0000 ) ( 0.0000 , 0.0313 ) .

2.1 ฮามลิ โทเนยี นแบบฉบับของสปน 35 ij |⃗rij| rij r r3(µj · ij ) ij −µj |⃗rij |3 0, 11 4.47 ( 0.4472 , 0.8944 ) ( 0.0134 , 0.0157 ) 0, 12 5.66 ( 0.7071 , 0.7071 ) ( 0.0083 , 0.0028 ) 0, 13 7.21 ( 0.8321 , 0.5547 ) ( 0.0037 , -0.0002 ) 0, 14 8.94 ( 0.8944 , 0.4472 ) ( 0.0017 , -0.0006 ) 0, 15 6.00 ( 0.0000 , 1.0000 ) ( 0.0000 , 0.0093 ) 0, 16 6.32 ( 0.3162 , 0.9487 ) ( 0.0036 , 0.0067 ) 0, 17 7.21 ( 0.5547 , 0.8321 ) ( 0.0037 , 0.0029 ) 0, 18 8.49 ( 0.7071 , 0.7071 ) ( 0.0025 , 0.0008 ) 0, 19 10.00 ( 0.8000 , 0.6000 ) ( 0.0014 , 0.0001 ) 0, 20 8.00 ( 0.0000 , 1.0000 ) ( 0.0000 , 0.0039 ) 0, 21 8.25 ( 0.2425 , 0.9701 ) ( 0.0013 , 0.0033 ) 0, 22 8.94 ( 0.4472 , 0.8944 ) ( 0.0017 , 0.0020 ) 0, 23 10.00 ( 0.6000 , 0.8000 ) ( 0.0014 , 0.0009 ) 0, 24 11.31 ( 0.7071 , 0.7071 ) ( 0.0010 , 0.0003 ) จากตารางขางตน คา ในคอลมั นที่ 1 แสดงถงึ การพจิ ารณาสนามคูขัว้ ท่ีเกดิ ในเซลลท่ี 0 เน่ืองจากผลของเซลลตา งๆ เชน 0, 1 เปน การพจิ ารณาสนามคขู ้ัวในเซลลท่ี 0 ท่เี กดิ จากผล ของเซลลท่ี 1 เปน ตน สนามคูขั้วท่ีเกดิ ในเซลลท่ี 0 สามารถพจิ ารณาไดโดยนำคาท่ีไดจาก ตารางแทนในสมการความสมั พันธข างตน จะไดวา ∑ [ 3(µj ] i̸=j H r rdip,0 · ij ) ij − µj = µ0|µ⃗ j| |⃗rij |3 4πa3 = 40.5µ0µB [(0.0000, −0.1250) + (0.0000, −0.0156) + (0.0000, −0.0046) + ... 4πa3 + (0.0017, 0.0020) + (0.0014, 0.0009) + (0.0010, 0.0003)] = 40.5µ0µB (0.1282, 0.1952) 4πa3 =1.3911(0.1282, 0.1952) ดังนัน้ จะไดว าสนามคขู ั้วท่ีเกดิ ในเซลลท ี่ 0 มีคา เทากบั Hdip,0 = (0.1783, 0.2715) T สวนคาสนามคูข ั้วของเซลลอ ืน่ ๆ ก็สามารถพิจารณาไดใ นทำนองเดยี วกัน .

2.1 ฮามิลโทเนียนแบบฉบบั ของสปน 36 2.1.5 พลงั งานความรอ นทมี่ ตี อระบบ (Thermal fluctuation) การศึกษาการเคลอื่ นท่ีหรอื พลวัตของแมกนีไทเซชันภายในวัสดุแมเหล็กสามารถอธิบายได ดว ยสมการ LLG (Laudau-Lifshitz Gilbert equation) ซง่ึ โดยปกติจะถกู นำมาใชในแบบจำลอง วสั ดุแมเหลก็ ท้ังในระดบั จุลภาคและระดบั อะตอม แตการพิจารณาดว ยสมการ LLG นี้ โดยปกติจะ พจิ ารณากรณีท่ีไมม ีผลของความรอนเขามาเกย่ี วขอ งหรือเปนการพจิ ารณาที่ 0 เคลวิน ซ่ึงในทาง ปฏบิ ตั ิเราไมสามารถหลีกเลีย่ งผลของอณุ หภูมิได พลงั งานความรอนที่เกิดข้นึ จากผลของอณุ หภมู ิมี ความสำคัญมากเนอ่ื งจากสง ผลใหเกดิ ความผันผวนของสปนโมเมนตในวัสดุแมเหล็ก และที่อณุ หภูมิ สงู ๆ พลังงานความรอ นจะมีคามากกวา พลังงานปฏสิ มั พนั ธสงผลทำใหเกิดเสนแบงพฤติกรรมระหวา ง วสั ดุเฟรโรแมกเนติกและวัสดุพาราแมกเนติก (ferromagnetic-paramagnetic transition) ซึง่ มี ความสำคัญอยา งมากในการนำวัสดุไปประยุกตใชในงานตางๆ ที่จำเปนตอ งทราบคณุ สมบตั ิและขอ จำกัดของวัสดุท่ีเปลีย่ นไปเน่ืองจากผลของอณุ หภูมิ เพื่อใหแบบจำลองวัสดุแมเหล็กระดับอะตอมมี ความเสมอื นจริงผลของความรอ นจงึ ถูกนำมาพจิ ารณาในทีน่ ด้ี วย ผลของความรอนหรอื อุณหภมู ิสามารถนำมาพจิ ารณาในรูปแบบจำลองวสั ดุแมเหล็กระดับ อะตอมโดยใชความสัมพันธของพลวัตแลนจีวนิ (Langevin Dynamics) ซึง่ เปนวธิ ีการที่ถูกพฒั นา โดย Brown [13] ภายใตสมมติฐานท่ีวาผลของอณุ หภมู ิที่เกิดข้นึ ในแตละอะตอมสามารถแสดงไดใน รปู แบบของสนามแบบสมุ (random field term) เนอ่ื งจากผลของความรอ นไมม ีรูปแบบท่ีแนน อน คาดเดาไมได จึงตองอาศยั คุณสมบตั ิทางสถิติเขามาชว ย [14--18] คุณสมบัติทางสถติ ิของสนามท่ีเกิด จากความรอ น (Htih(t)) ซ่งึ มีการกระจายตัวแบบเกาสเซยี นสามารถพิจารณาไดด ังตอไปน้ี ⟨Htih(t)⟩ = 0 H H⟨ ⟩ = 2αkB T δij δ(t − t′), (2.12) tih(t) jth(t′) µsγ เมื่อ i, j เปน สวนประกอบคารเ ทเซยี น (Cartesian components) Hth คอื สนามแบบสมุ ทม่ี กี ารกระจายตวั แบบเกาสเ ซียน 2αkBT/(µsγ) คอื ตวั ประกอบซ่ึงวัดความเขมของสนามท่ีเกิดจากความรอน kB คือคา คงท่ี Boltzmann T คืออณุ หภูมิของระบบมีหนวยเปน เคลวิน α คือคาคงที่ความหนวงซึ่งอธบิ ายการเกีย่ วโยงระหวางสปน ในระบบกับอางความรอน (heat bath) เปนพารามิเตอรท ีบ่ งบอกถงึ ความเรว็ ในการเขาสสู ภาวะสมดลุ ของระบบ γ คอื คา สัมบรู ณของอตั ราสวนไจโร (gyromagnetic ratio) ซ่งึ ในรปู แบบจำลองวสั ดุแมเหล็ก ระดบั อะตอมน้ีจะใชค า เทากบั γ = 1.76 × 1011s−1T −1 µs คอื ขนาดของสปนโมเมนต มีหนวยเปน JT−1 ในการพจิ ารณาการเคลอื่ นที่ของสปนที่คิดผลของอุณหภูมิในรปู แบบจำลองระดบั อะตอม

2.1 ฮามิลโทเนยี นแบบฉบับของสปน 37 ความผันผวนของความรอ นท่ีเกดิ ขน้ึ สามารถพิจารณาไดในรปู แบบของการกระจายตวั แบบเกาส- เซยี น Γ(t) แบบสามมิติ โดยมีทศิ ทางตามแนวแกน x y และ z และมีคาเฉลี่ยเปน ศูนย สนามท่ีเกิด จากความรอ นของสปนทต่ี ำแหนง i ในชวงเวลา (∆t) สามารถพจิ ารณาไดจ ากความสมั พนั ธด ังน้ี √ Hith(t) = Γ(t) 2αkB T (2.13) γµs∆t เม่ือคา เบี่ยงเบนมาตราฐาน (standard deviation) มีคา เทา กับ σ = √ เมื่อสังเกตจากสมการ 2αkB T γµs∆t สนามความรอนขางตนจะพบวา เมื่ออุณหภมู ิเพิ่มขึน้ ความกวางของการกระจายตัวแบบเกาสเซียนจะ กวางขนึ้ กลาวคอื มีคาเบีย่ งเบนมาตรฐานที่สงู ขน้ึ 1 Sx Sy 0.5 Sz Sy S 0 -0.5 -1 0 2500 5000 7500 10000 Time step number (a) 1 0.5 0 -0.5 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Sx (b) รปู ที่ 2.6 (a) การเคลือ่ นที่ของสปนเด่ียวกรณีไมม ีผลของความรอ น (b) การเคลือ่ นท่ีของสปน เดี่ยว เมื่อมองจากดานบน (top view)