Calculo - Volumen I (Cálculo Diferencial)

1.5.3 Funciones trigonométricas inversasLas seis funciones trigonométricas básicas vistas en apartadosanteriores son periódicas y, por lo tanto, no son uno-uno. Sinembargo, si restringimos el dominio de una función trigonométrica aun intervalo en el que es uno-uno, podemos definir su funcióninversa.Consideremos la función seno (Figura 1.34). La función seno es uno-uno en un número infinito de intervalos, pero la convención estándares restringir el dominio al intervalo . Al hacerlo, definimos lafunción inversa del seno en el dominio tal que para cualquier en este intervalo, la función inversa del seno nos dice qué ángulo en el intervalo satisface .De forma similar, podemos restringir los dominios de las otrasfunciones trigonométricas para definir funciones trigonométricasinversas, que son funciones que determina qué ángulo en un ciertointervalo tiene un valor trigonométrico específico.DEFINICIÓNLa función inversa del seno, denotada por o , y lafunción inversa del coseno, denotada por o , estándefinidas en el dominiode la forma[− , ]2 π2 π[−1, 1]xθ[− , ]2 π2 πsenθ= xsen−1arcsencos−1arcosD= { / − 1 ≤xx≤ 1}sen( ) =x −1ysi y solo sisen y( ) =x−≤2 πy≤ 2 π149

La función inversa de la tangente, denotada por o , yla función inversa de la cotangente, denotada por o ,están definidas en el dominiode la formaLa función inversa de la cosecante, denotada por o ,y la función inversa de la secante, denotada por o ,están definidas en el dominiode la formacos( ) =x −1ysi y solo sicos y( ) =x0 ≤y≤ πtan−1arctgcot−1arcotD= { /∞ <xx< ∞}tan( ) =x −1ysi y solo sitan y( ) =x−<2 πy< 2 πcot( ) =x −1ysi y solo sicot y( ) =x0 <y< πcsc−1arccscsec−1arsecD= { /∣ ∣ ≥ 1}x xcsc( ) =x −1ysi y solo sicsc y( ) =x−≤2 πy≤,y=  02 πsec( ) =x −1ysi y solo sisec y( ) =x0 ≤y≤ ,π y=  /2π150

Para representar las funciones trigonométricas inversas, utilizamoslas gráficas de las funciones trigonométricas restringidas a losdominios definidos anteriormente y reflejamos las gráficas sobre larecta (Figura 1.41).Figura 1.41 La gráfica de cada una de las funciones trigonométricasinversas es un reflejo sobre la recta de la función trigonométricarestringida correspondiente.y= xy= x151

En la siguiente escena realizada en Geogebra por Ana Garciapuedes ver cómo las gráficas de las funciones trigonómetricasinversas son el reflejo respecto de la recta de la funciónoriginal.y= x152

En la siguiente escena interactiva puedes practicarrepresentando las principales funciones transcendentes y susinversas.Al evaluar una función trigonométrica inversa, la salida es un ángulo.Por ejemplo, para evaluar necesitamos encontrar un ángulo tal que .cos( ) −1 12θcosθ= 2 1153

Claramente, muchos ángulos tienen esta propiedad. Sin embargo,dada la definición de , necesitamos el ángulo que no soloresuelve esta ecuación, sino que también se encuentra en el intervalo. Concluimos que Ahora consideramos una composición de una función trigonométricay su inversa. Por ejemplo, las dos expresiones siguientes y . Para la primera expresión, losimplificamos de la siguiente manera:Para la segunda expresión, se tieneSi pensamos que la función inversa “deshace” lo que \"hace\" la funciónoriginal, entonces, ¿por qué no se cumple ? Recordando nuestra definición de funciones inversas,una función y su inversa satisfacen las condiciones para todos en el dominio de y para todos los puntos en el dominio , ¿qué pasa entonces? Elproblema es que la función inversa del seno, está restringida aldominio . Por lo tanto, para en este intervalo es cierto queSin embargo, para valores de fuera de este intervalo, la ecuación notiene que cumplirse aunque esté definido para todos los númerosreales el valor de .cos−1θ[0, ]πcos( ) = −1 123 πsen sen(())−12 2sen(sen π( ))−1sen sen(()) =−122sen( ) =4 π22sen(sen π( )) =−1sen(0) = 0 −1sen(sen π( )) =−1sen(0) =−1πff−1f f (( )) =y −1yyf−1f( ( ))) =f x −1xxfsen−1[− , ]2 π2 πxsen(sen x( )) =−1xxxsen(sen x( ))−1154

¿Qué ocurre para ? ¿Ocurre lo mismo? La respuesta esno. Dado que el dominio de es el intervalo , concluimosque si y la expresión no está definidapara otros valores de . En resumen,De manera similar, para la función coseno, se tendráDe forma análoga se pueden obtener las mismas propiedades para elresto de funciones y sus inversas.Evalúa cada una de las siguientes expresiones.a. .b. .c. .d. .sen sen(( ))y −1sen−1[−1, 1]sen sen(( ) =y −1y−1 ≤y≤ 1ysen sen(( )) =y −1y si− 1 ≤y≤ 1sen(sen x( )) =−1x si−≤2 πx≤ 2 πcos cos(( )) =y −1y si− 11 ≤y≤ 1cos(cos x( )) =−1x si0 ≤x≤ π1.32 Evaluación de expresiones queinvolucran funciones trigonométricasinversassen()−12 −3)(tg tg((−))−13 1cos(cos(−))−14 5 πsen(cos())−13 2 π155

PROYECTO DE ESTUDIANTEEn muchas áreas de la ciencia, la ingeniería y las matemáticas, esútil conocer el valor máximo que puede obtener una función,incluso si no conocemos su valor exacto en un instante dado. Porejemplo, si tenemos una función que describe la resistencia de unaviga de techo, querríamos saber el peso máximo que la viga puedesoportar sin romperse. Si tenemos una función que describe lavelocidad de un tren, querríamos saber su velocidad máxima antesde que salte de los rieles. El diseño seguro a menudo depende deconocer los valores máximos.Este proyecto describe un ejemplo simple de una función con uncientes de ecuación.fivalor máximo que depende de dos coeVeremos que los valores máximos pueden depender de variosfactores además de la variable independiente .ca enfi1. Considera la grá Figura 1.42. de la función ca. ¿Es periódica? ¿Cómo lofi. Describe su grásabes?xy=senx+cosx156

2. Usando una calculadora gráfica u otro dispositivo gráfico,estima los valores e del punto máximo para el gráfico(el primer punto donde ). Puede resultar útilexpresar el valor de como un múltiplo de .3. Ahora considera otras gráficas de la forma para varios valores de y . Dibuja la gráficacuando y , y encuentra los valores e parael punto máximo. (Recuerda expresar el valor de como unmúltiplo de , si es posible). ¿Se ha movido?4. Repite para , . ¿Existe alguna relación con loque encontró en la parte (2)?5. Completa la siguiente tabla, agregando algunas opcionespropias para y :011122341012124311251512Tabla 1.11 Valores de para obtener una lista de númerosracionales aproximados 6. Intenta averiguar la fórmula para los valores de y.7. La fórmula para los valores de es un poco más difícil. Lospuntos más útiles de la tabla son , , .(Sugerencia: considera las funciones trigonométricasinversas).xyx> 0xπy=Asenx+BcosxABA= 2B= 1x yxπA= 1B= 2A BABA3B32 x22x(1, 1) (1, 3 ( 3), 1)157

8. Si encontraste fórmulas para las partes (5) y (6),demuestra que funcionan juntas. Es decir, sustituya lafórmula del valor que encontró en y simplifíquela para llegar a la fórmula del valor yque encontró.1.5.4 Ejercicios Para los siguientes ejercicios, usa la prueba de la línea horizontalpara determinar si cada uno de los gráficos dados es uno-uno.183.(Solución)184.xy=Asenx+Bcosx158

185.(Solución)186.187.(Solución)159

188. Para los siguientes ejercicios, a. encontrar la función inversa, y b.encuentra el dominio y rango de la función inversa.189. (Solución)190. 191. (Solución)192. 193. (Solución)194. Para los siguientes ejercicios, usa la gráfica de para bosquejarla gráfica de su función inversa.f x( ) =x− 4, 2x≥ 0f x( ) =x− 4 3f x( ) =x+ 1 3f x( ) = ( − 1) ,xx≤ 12f x( ) =x− 1f x( ) =x+2 1f160

195.(Solución)196.197.(Solución)161

198. Para los siguientes ejercicios, usa la composición paradeterminar qué pares de funciones son inversas.199. , (Solución)200. , 201. , (Solución)202. , 203. ,, , (Solución)204. , 205. , , , (Solución)206. , , , f x( ) = 8x g x( ) = /8xf x( ) = 8 + 3 ( ) =xg x8 x−3f x( ) = 5 − 7 ( ) =xg x7 x+5f x( ) =x+ 2 ( ) =3 2g xx+ 3 2 3f x( ) =x−1 1x=  1 ( ) =g x+ 1x 1x=  0f x( ) =x+ 1 ( ) = ( − 1) 3g xx1/3f x( ) =x+ 2 + 1 2xx≥ 1g x( ) = −1 +xx≥ 0f x( ) =4 −x 20 ≤x≤ 2 ( ) =g x4 −x 20 ≤x≤ 2162

Para los siguientes ejercicios, evalúe las funciones. Dar el valorexacto.207. (Solución)208. 209. (Solución)210. 211. (Solución)212. 213. (Solución)214. 215. (Solución)216. La función convierte gradosFahrenheit a grados Celsius.a. Halla la función inversa .b. ¿Para qué se usa la función inversa?tan−1( 3 3)cos− −1(2 2)cot1 ( )−1sen−1) −1(cs−1( 2 3)costan −1(−1(3))sencos −1(−1( 2 2))tantan −1(−1( ))6 πtantan −1(−1( ))6 πC=T F( ) = (5/9)(F− 32)F= T( )C −1163

217. [T] La velocidad (en centímetros por segundo) de la sangre enuna arteria a una distancia cm del centro de la arteria se puedemodelar mediante la función para .a. Encuentra .b. Interpreta para qué se usa la función inversa.c. Encuentra la distancia desde el centro de una arteria con unavelocidad de 15 cm/seg, 10 cm/seg y 5 cm/seg.(Solución)218. [T] Una función que convierte las tallas de los vestidos en losEstados Unidos a las de Europa viene dada por .a. Encuentra las tallas de vestidos europeos que corresponden alas tallas 6, 8, 10 y 12 en los Estados Unidos.b. Busca la función que convierte las tallas de vestidos europeos entallas de vestidos estadounidenses.c. Utiliza la parte b. para encontrar las tallas de vestido en losEstados Unidos que corresponden a 46, 52, 62 y 70.219. [T] El costo de eliminar una toxina de un lago está modelado porla función ,donde es el costo (en miles dedólares) y es la cantidad de toxina en un lago pequeño (medido enpartes por mil millones [ppb]). Este modelo es válido solo cuando lacantidad de toxina es inferior a 85 ppb.a. Encuentra el costo de eliminar 25 ppb, 40 ppb y 50 ppb de latoxina del lago.b. Encuentra la función inversaVxV= ( ) = 500(0.04 −f xx ) 20 ≤x≤ 0.2x= f( )V −1D x( ) = 2 + 24xC p( ) = 75 /(85 − )ppCp164

c. Utiliza la parte b. para determinar la cantidad de toxina que seelimina por 50,000 dólares.(Solución)220. [T] Un coche de carreras acelera a una velocidad dada por , donde es la velocidad (en pies por segundo) en eltiempo .a. Encuentra la velocidad del automóvil a los 10 segundos.b. Encuentra la función inversa.c. Utiliza la parte b. para determinar cuánto tarda el automóvil enalcanzar una velocidad de 150 pies/seg.221. [T] El número de Mach de un avión es la relación entre suvelocidad y la velocidad del sonido. Cuando un avión vuela a una altitudconstante, su ángulo de Mach viene dado por .Encuentra el ángulo de Mach (al grado más cercano) para los siguientesnúmeros de Mach.a. b. c. (Solución)v t( ) =t+ 54 4 25vtMμ= 2sin()−1M 1M= 1.4M= 2.8M= 4.3165

222. [T] Usando , encuentra el número de Mach para los siguientes ángulos.a. b. c. 223. [T] La temperatura promedio (en grados Celsius) de una ciudaden el norte de los Estados Unidos se puede modelar mediante lafunción , donde es el tiempo enmeses y corresponde al 1 de enero. Determina el mes y eldía en que la temperatura promedio es de 21°C. (Solución)224. [T] La profundidad (en pies) del agua en un muelle cambia conla subida y bajada de las mareas. Está modelado por la función ,donde es el número de horas despuésde la medianoche. Determine la primera vez después de lamedianoche cuando la profundidad es de 11.75 pies.225. [T] Un objeto que se mueve en un movimiento armónicosimple es modelado por la función ,donde semide en pulgadas y se mide en segundos. Determine la primera vezque la distancia recorrida es de 4.5 pulg. (Solución)226. [T] Una galería de arte local tiene un retrato de 3 pies de alturaque se cuelga a 2.5 pies por encima del nivel de los ojos de unapersona promedio. El ángulo de visión se puede modelar mediantela función ,donde es la distancia (en pies)del retrato. Encuentra el ángulo de visión cuando una persona está a4 pies del retrato.μ= 2sin( )−1M 1Mμ= 6 πμ= 7 2 πμ= 8 3 πT x( ) = 5 + 18sen( − 4.6)x [ 6 π]xx= 1.00D t( ) = 5sent−+ 8( 6 π6 7 π)ts t( ) = −6cos( )2 πtstθθ=tan− −1 5.5xtan−1 2.5xx166

227. [T] Usa una calculadora para evaluar y . Explique ambos resultados. (Solución)228. [T] Usa una calculadora para evaluar y . Explique ambos resultados.1.6 Función exponencial y logarítmicaObjetivos de aprendizaje1. Identificar la forma de una función exponencial.2. Explicar la diferencia entre las gráficas de y .3. Reconocer la importancia del número .4. Identificar la forma de una función logarítmica.5. Explicar la relación entre funciones exponenciales ylogarítmicas.6. Describir cómo calcular un logaritmo en una base diferente.7. Identificar las funciones hiperbólicas, sus gráficas e identidadesbásicas.En esta sección examinaremos las funciones exponenciales ylogarítmicas y, utilizando las propiedades de estas funciones, seresolverán ecuaciones con términos exponenciales o logarítmicos.Analizaremos el significado y la importancia del número ydefiniremos también las funciones hiperbólicas e hiperbólicas inversas,que se definen a partir de combinaciones de funciones exponenciales ylogarítmicas. En el capítulo de aplicaciones de las integrales sepresentarán definiciones alternativas de las funciones exponenciales ylogarítmicas viendo que tienen las mismas propiedadesindependientemente de cómo se definan.tan(tan(2.1))−1cos(cos(2.1))−1sin sin((−2))−1tan tan((−2))−1x bb xee167

1.6.1 Funciones exponencialesLas funciones exponenciales surgen en muchas aplicaciones. Unejemplo común es el crecimiento de la población.Por ejemplo, si una población comienza con individuos y luegocrece a una tasa anual de 2%, su población después de 1 año seráSu población después de 2 años seráEn general, su población después años esque es una función exponencial. De manera más general, cualquierfunción de la forma , dónde , , es una funciónexponencial con base y exponente . Las funciones exponencialestienen bases constantes y exponentes variables. Debes tener encuenta que una función de la forma para alguna constante no es una función exponencial sino una función potencial.Para ver la diferencia entre una función exponencial y una funciónpotencial, compararemos las funciones e . En la tabla1.10, vemos que ambos y se acercan al infinito cuando .Sin embargo, se vuelve más grande que y crece másrápidamente a medida que . En la dirección opuesta, cuando , , mientras . La recta es una asíntotahorizontal para .P 0P(1) =P+ 0.020P=0P(1 + 0.02) = 1.020P .0P(2) =P(1) + 0.02 (1) = 1.02 ⋅PP(1) = (1.02)P .20tP t( ) =P(1.02)0tf x( ) =b xb> 0b=  1bxf x( ) =x bby= x 2y= 2x2 xx 2x→ ∞2 xx 2x→ ∞x→ −∞x→ ∞ 22 → 0 xy= 0y= 2x168

-3-2-1012345694101491625361/81/41/21248163264Tabla 1.10 Valores de y En la Figura 1.43 representamos ambas curvas e paramostrar en qué se diferencian las gráficas.Figura 1.43. Ambas curvas y se acercan al infinito cuando ,pero crece más rápidamente que . Cuando , ,mientras que .xx 22 xx 22 xy= x 2y= 2x2 xx 2x→ ∞2 xx 2x→ −∞x→ ∞ 22 → 0 x169

Evaluar funciones exponencialesRecordemos en primer lugar las propiedades de los exponentes:Si es un número entero positivo, entonces definimos (con factores de ). Además, se define como 1.Si es un número entero negativo, entonces para unentero positivo y, y definimos .Si es un número racional, entonces , dónde y sonenteros y . Por ejemplo, .Sin embargo, ¿cómo se define si es un numero irracional? Porejemplo, ¿qué entendemos por ? Esta es una pregunta demasiadocompleja para que podamos responderla completamente en estemomento; sin embargo, podemos hacer una aproximación.En la tabla 1.11, enumeramos algunos números racionales que seacercan , y también los valores de para cada número racional .Afirmamos que si elegimos números racionales acercándose cadavez más a , los valores de se acercan más y más a algún número . Definimos ese número como el valor de .1.41.411.4141.41421.414211.4142132.639 2.65737 2.66475 2.665119 2.665138 2.665143Tabla 1.11Valores de para obtener una lista de números racionalesaproximados xb= xb b b⋅ ...xbb 0xx= −yb=xb= 1/ − yb yxx= /p qp qb=xb= p q /qb p9= 3/2= 2729 3b xx2222 xxx22 xLL22x2 x2 x22170

Supongamos que se sabe que una población particular debacterias duplica su tamaño cada 4 horas. Si un cultivocomienza con 1000 bacterias, el número de bacterias después 4horas es . El número de bacterias después de 8horas es . En general, la cantidad debacterias después horas es .Considerando , vemos que el número de bacteriasdespués de horas es . Encuentra la cantidadde bacterias después de 6 horas, después de 10 horas, ydespués de 24 horas.Dada la función exponencial , evaluar y .Visita el enlace enlace para ver otro ejemplo de crecimientopoblacional exponencial.1.33 Crecimiento de bacteriasn(4) = 1000 ⋅ 2n(8) = (4) ⋅ 2 = 1000 ⋅ 2n24mn m(4 ) = 1000 ⋅ 2mt= 4mtn t( ) = 1000 ⋅ 2t/4Cuestión 1.27f x( ) = 100 ⋅ 3x/2f(4)f(10)171

Representación de funciones exponencialesPara cualquier base , , la función exponencial está definido para todos los números reales y . Por tanto, eldominio de es y el rango es .Para representar , observamos que para , crece en y cuando , mientras que cuando . Por otro lado, si está comprendido entre 0 y 1, decrece en y cuando mientras que cuando ( Figura 1.44).Figura 1.44. Si , se tiene que crece en . Si , secumple decrece en .La siguiente escena interactiva, a la que se puede acceder desdeeste enlace, permite la exploración de las gráficas de funcionesexponenciales.b> 0b=  1f x( ) =b xx b> 0 xf x( ) =b x(−∞, ∞)(0, ∞)b xb> 1b x(−∞, ∞)b→ ∞ xx→ ∞b→ 0 xx→ −∞bf x( ) =b x(−∞, ∞)b→ 0 xx→ ∞b→ ∞xx→ ∞b> 1b x(−∞, ∞)0 < < 1bb x(−∞, ∞)172

Debemos tener en cuenta que las funciones exponenciales satisfacenlas leyes generales de los exponentes. Para recordar estas leyes, lasestablecemos como reglas.173

REGLA. Leyes de los exponentesPara cualquier constante , , y para todo e ,1. 2. 3. 4. 5. Usa las leyes de los exponentes para simplificar cada una de lassiguientes expresiones.a. b. Usa las leyes de los exponentes para simplificar a> 0b> 0x yb⋅ xb= ybx y += b y b xbx y −( ) =b xybxy( ) =abxa bx x= ( )b x a xba x1.34 Usando las leyes de los exponentes(4x) −1/3 2 (2x) 2/3 3(xy)2 −2(x y) 3 ?1 2Cuestión 1.2812xy −4 5 6 xy −3 2174

1.6.2 El número eEn las aplicaciones del mundo real aparece un tipo especial defunción exponencial. Para introducirla, consideremos el siguienteejemplo de crecimiento exponencial que surge del interés compuestoen una cuenta de ahorros. Supongamos que una persona invierte dólares en una cuenta de ahorros con una tasa de interés anualcompuesto, . La cantidad de dinero después de 1 año esLa cantidad de dinero después 2 años esDe manera más general, la cantidad después de años esSi el dinero se capitaliza 2 veces al año, la cantidad de dinero despuésde medio año esLa cantidad de dinero después de 1 esDespués de años, la cantidad de dinero en la cuenta esPrA(1) =P+rP= P(1 + )rA(2) =A(1) +rA(1) =P(1 + ) +rrP(1 + ) =rP(1 + )r2tA t( ) =P(1 + )rtA=( )2 1P+P= ( )2 rP1 +.(2 r)A(1) =A+A= P1 ++P1 += P1 +( )21( ) ( )2 r21(2 r)2 r(2 r)(2 r) 2tA t( ) =P1 +.(2 r) 2 t175

De manera más general, si el dinero está compuesto veces al año, lacantidad de dinero en la cuenta después de años viene dado por lafunción¿Qué ocurre cuándo ? Para responder a esta pregunta,denotando se tendráExaminamos el comportamiento de cuando ,usando una tabla de valores (Tabla 1.12).10100100010,000100,0001,000,0002.59372.70482.716922.718152.7182682.718280Tabla 1.12 Valores de cuando .Mirando esta tabla, parece que se acerca a un númeroentre 2.7 y 2.8 cuando . De hecho, se puede demostrar que converge a un número cuando , a este valor lellamaremos número . Con seis cifras decimales de precisión, .La letra fue utilizado por primera vez para representar este númeropor el matemático suizo Leonhard Euler durante la década de 1720.Aunque Euler no descubrió el número, mostró muchas conexionesimportantes entre y las funciones logarítmicas.ntA t( ) =P1 +.(n r)ntn→ ∞m= /n r1 +=(n r)nt1 +(m 1)mrt(1 + 1/ )m mm→ ∞m(1 +)m 1m(1 + 1/ )m mm→ ∞(1 + 1/ )m mm→ ∞(1 + 1/ )m mm→ ∞ee≈2.718282ee176

Todavía usamos la notación hoy para honrar el trabajo de Eulerporque aparece en muchas áreas de las matemáticas y porquepodemos usarlo en muchas aplicaciones prácticas.Volviendo a nuestro ejemplo de cuenta de ahorros, podemos concluirque si una persona pone dólares en una cuenta a una tasa deinterés anual compuesto continuamente, entonces Esta función puede resultarle familiar. Dado que las funciones quecontienen términos con el número surgen a menudo enaplicaciones, llamamos a la función la función exponencialnatural. Esta función no solo es interesante por la definición delnúmero , sino también, como se analiza a continuación, su gráficatiene una propiedad importante.Figura 1.45. La gráfica de tiene una recta tangente conpendiente 1 en .Como , sabemos que es creciente . En la Figura1.45, mostramos la gráfica de junto con una rectatangente a la gráfica en . Aunque daremos una definiciónprecisa de recta tangente en el capítulo dedicado a las derivadas,informalmente, diremos que una recta tangente a una gráfica de enun punto es una recta que pasa por el punto y tieneePrA t( ) =Pe. rtef x( ) =e xef x( ) =e xx= 0e> 1e x(−∞, ∞)f x( ) =e xx= 0fx= a( , ( ))a f a177

la misma \"pendiente\" que en ese punto. La función es laúnica función exponencial con recta tangente en que tieneuna pendiente con valor 1. Como veremos más adelante en el texto,tener esta propiedad hace que la función exponencial natural sea lafunción exponencial más simple para usar en muchos casos.Supongamos que 500 dólares se invierten en una cuenta a unatasa de interés anual de , compuesto continuo.a. Sea el número de años después de la inversión inicial y la cantidad de dinero en la cuenta en el momento .Encuentra una fórmula para .b. Encuentra la cantidad de dinero en la cuenta después 10años y después 20 años.Si 750 dólares se invierten en una cuenta a una tasa de interésanual del , compuesto continuo, encuentra una fórmula parala cantidad de dinero en la cuenta después de años. Encuentrala cantidad de dinero después de 30 años.ff x( ) =e xb xx= 01.35 Interés compuestor= 5.5%tA t( )tA t( )Cuestión 1.294%t178

1.6.3 Funciones logarítmicasUna vez introducidas las funciones exponenciales; podemos analizarsus inversas; que son las funciones logarítmicas. Estos son útilescuando necesitamos considerar cualquier fenómeno que varíe en unaamplia gama de valores; como el pH en química o los decibelios en losniveles de sonido.La función exponencial es uno-uno, con dominio y rango . Por lo tanto, tiene una función inversa,llamada función logarítmica con base . Para cualquier , distinto de 1, la función logarítmica con base b, que se denota ,tiene dominio y rango , y satisfacePor ejemplo,Además, dado que y son funciones inversas,La función logarítmica más utilizada es la función y como utilizael número como base, se llama logaritmo natural.f x( ) =b x(−∞, ∞)(0, ∞)bb> 0blogb(0, ∞)(−∞, ∞)log x( ) =bysi y solo si b= . yxlog(8) = 3 ya que 2 = 823log= −2 ya que 1010(1001)= −21001log(8) = 3 ya que 2 = 823log(1) = 0 ya quebb= 1 0y=log x( )by= b xlog b( ) =bxxy b= . log x( )bxlogee179

Aquí usamos la notación o para la función . Porejemplo,Dado que las funciones y son inversasentncesy sus gráficas son simétricas con respecto a la recta ( Figura1.46).Figura 1.46. Las funciones y son inversas entre sí, por loque sus gráficas son simétricas con respecto a la recta . Haciendo clic en el siguiente enlace, puedes ver un ejemplo deuna escala logarítmica de base 10.ln x( )lnxlog x( )eln e( ) =ln e( ) = 1eln e( ) = 3log e( ) = 3e3ln(1) =log(1) = 0.ef x( ) =e xg x( ) =ln x( )ln e( ) = xxye= , ln x( )xy= xy= e xy=ln x( )y= x180

En general, para cualquier base , distinto de 1, la función es simétrica con respecto a la recta de lafunción . Usando este hecho y las gráficas de las funcionesexponenciales, representamos para varios valores de (Figura 1.47).Figura 1.47. Gráficas de para los valores .Antes de resolver algunas ecuaciones en las que aparecen funcionesexponenciales y logarítmicas, repasemos las propiedades básicas delos logaritmos.REGLA. Propiedades de los logaritmosSi , siendo , y es un número real, entoncesb> 0bg x( ) =log x( )by= xf x( ) =b xlogbb> 1y=log x( )bb= 2; ; 10ea b c, , > 0b=  1r181

Propiedad del producto: Propiedad del cociente: Propiedad de la potencia: Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones en :a. b. Resuelve .Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones en .log ac( ) =blog a( ) +blog c( )blog( ) =bc alog a( ) −blog c( )blog a( ) =brrlog a( )b1.36 Resolver ecuaciones con funcionesexponencialesx5 = 2 xe+ 6 xe= 5 − xCuestión 1.30= 1/23+e 2 xe 2 x1.37 Resolver ecuaciones con funcioneslogarítmicasx182

a. b. c. Resolver Al evaluar una función logarítmica con una calculadora, es posibleque haya notado que las únicas opciones son o , llamadologaritmo decimal, o , que es el logaritmo natural. Sin embargo, lasfunciones exponenciales y las funciones logarítmicas se puedenexpresar en términos de cualquier base deseada . Si necesitas usaruna calculadora para evaluar una expresión con una base diferente,puedes aplicar primero las fórmulas de cambio de base. Usando estecambio de base, normalmente escribimos una función exponencial ologarítmica dada en términos de las funciones exponencial natural ylogarítmica natural.REGLA. Fórmulas de cambio de baseSea , , y , log(1/ ) = 4xlog+ 10xlog x= 2 10ln x(2 ) − 3 ( ) = 0ln x2Cuestión 1.31ln x( ) − 4 ( ) = 1.3ln xlog10loglnba> 0b> 0a=  1b=  1183

1. para cualquier número real . Si , esta ecuación se reduce a .2. para cualquier número real . Si , esta ecuación se reduce a .PruebaPropiedad 1. Para la primera fórmula de cambio de base,comenzamos haciendo uso de la propiedad de potencia de lasfunciones logarítmicas. Sabemos que para cualquier base , , se tiene . Por lo tantoAdemás, sabemos que y son funciones inversas. Por lotanto,Combinando estas dos últimas igualdades, llegamos a la conclusiónde quePropiedad 2. Mostremos quea=xbxlog abxb= ea=xe= xlog aeexlnalog x= alog ablog xbx> 0b= elog x= alnalnxb> 0b= 1log a= bxxlog abb= log a()bxbxlog abb xlog x( )bb= log a()bxa xa= xbxlog ab(log a) ⋅ ( blog x) = alog xb184

Consideramos , , . Mostraremos que .Por la definición de funciones logarítmicas, sabemos que , y . De las ecuaciones anteriores, vemos quePor lo tanto, . Dado que las funciones exponenciales sonuno-uno, podemos concluir que .Utiliza una herramienta de cálculo y la función logaritmonatural para evaluar mediante la fórmula de cambio debase presentada anteriormente.Utiliza el cambio de base y una herramienta de cálculo paraevaluar .u=log a vb=log x wa=log xbu v⋅ =wb= uaa= vx b= wxb= ( ) = uvbu va= vx= b. wb= uvb wu v⋅ =w1.38 Cambios de baselog73Cuestión 1.32log64185

Figura 1.48. (crédito: modificación del trabajo de Robb Hannawacker,NPS).En 1935, Charles Richter desarrolló una escala (ahora conocidacomo escala de Richter) para medir la magnitud de unterremoto. Esta escala es una escala logarítmica de base 10, y sepuede describir como se indica a continuación.Consideremos un terremoto con magnitud en la escala deRichter y un segundo terremoto con magnitud en la escalade Richter. Supongamos , lo que significa el terremotode magnitud es más fuerte, pero ¿cuánto más fuerte esrespecto del otro terremoto?Una forma de medir la intensidad de un terremoto es usando unsismógrafo para medir la amplitud de las ondas del terremoto. Si es la amplitud medida para el primer terremoto y para elsegundo, entonces las amplitudes y magnitudes de los dosterremotos satisfacen la siguiente ecuación:1.39 Apertura del capítulo. La escala deRichter para terremotosR 1R 2R>1R 2R 1A 1A 2R−1R=2log.10( A 2A 1)186

Consideremos un terremoto que mide 8 en la escala de Richtery un terremoto que mide 7 en la escala de Richter. Luego,Por lo tanto,lo que implica o . Ya que es 10 veces eltamaño de , decimos que el primer terremoto es 10 vecesmás intenso que el segundo.Por otro lado, si un terremoto mide 8 en la escala de Richter yotro mide 6, entonces la intensidad relativa de los dosterremotos satisface la ecuaciónPor lo tanto, . Es decir, el primer terremoto es 100veces más intenso que el segundo.¿Cómo podemos usar funciones logarítmicas para comparar laseveridad relativa del terremoto de magnitud 9 en Japón en2011 con el terremoto de magnitud 7.3 en Haití en 2010?8 − 7 =log.10( A 2A 1)log= 1,10( A 2A 1)= 10A 2A 1A= 101A 2A 1A 2log= 8 − 6 = 210( A 2A 1)A= 1001A 2187

Compare la severidad relativa de una magnitud de unterremoto de 8.4 y otro de intensidad 7.4.1.6.4 Funciones hiperbólicasLas funciones hiperbólicas se definen en términos de ciertascombinaciones de y . Estas funciones surgen de forma naturalen diversas aplicaciones de la ingeniería y la física, incluido el estudiode las ondas del agua y las vibraciones de las membranas elásticas.Otro uso común de una función hiperbólica es la representación deuna cadena o cable colgante, también conocido como catenaria(Figura 1.49). Si introducimos un sistema de coordenadas de modoque el punto bajo de la cadena se encuentra a lo largo del eje ,podemos describir la altura de la cadena en términos de una funciónhiperbólica. Empecemos entonces por definir estas funciones.DEFINICIÓNCoseno hiperbólico:Seno hiperbólico:Tangente hiperbólica:Cuestión 1.33e xe − xYcoshx=2 e+ e x− xsenhx=2 e− e x− xtanhx==coshxsenhxe+ e x− xe− e x− x188

DEFINICIÓNCosecante hiperbólicaSecante hiperbólicoCotangente hiperbólicaFigura 1.49. La forma de una hebra de seda en una telaraña se puededescribir en términos de una función hiperbólica. La misma forma se aplicaa una cadena o cable que cuelga de dos soportes con solo su propio peso.(crédito: \"Mtpaley\", Wikimedia Commons).Usando la definición de y principios de la física, se puededemostrar que la altura de una cadena colgante, como la de Figura1.49, puede ser descrito por la función paraciertas constantes y .cschx==senhx1e− e x− x2sechx==coshx1e+ e x− x2cothx==senhxcoshxe− e x− xe+ e x− xcosh x( )h x( ) =acosh x a( / ) +ca c189

Pero, ¿por qué estas funciones se denominan funciones hiperbólicas?Para responder a esta pregunta, consideremos la expresión . Usando la definición de y , se tieneEsta identidad es análoga a la identidad trigonométricaAquí, dado un valor , el punto se encuentraen la hipérbola unidad( Figura 1.50).Figura 1.50. La hipérbola unitaria cosh t− 2senh t2cosh senhcosh t− 2senh t= 2−4e+ 2 +e2 t−2t= 1.4e− 2 +e2 t−2tcos t+ 2sen t= 1 2t( , ) = (x ycosht senht,)x−2y= 1 2cosh t− 2senh t= 1. 2190

En la siguiente escena del Proyecto Descartes se puedecomprobar la relación entre las funciones trigonométricas y lacircunferencia unidad y las funciones hiperbólicas y la hipérbolaunitaria.Gráficos de funciones hiperbólicasPara representar la gráfica de y , hacemos uso del hechode que ambas funciones se acercan cuando , ya que cuando .coshx senhx(1/2)e − xx→ ∞e→ 0 − xx→ ∞191

Cuando , se aproxima a , mientras que se aproxima a . Por lo tanto, usando las gráficas de , , y como guías, podremos representar y . Para representar , usamos el hecho de que , para todos los valores , cuando , y cuando .Las gráficas de las otras tres funciones hiperbólicas se puedenbosquejar usando las gráficas de , , y ( Figura 1.51).Figura 1.51. Las funciones hiperbólicas implican combinaciones de y .x→ −∞coshx1/2e − xsenh x( )−1/2e − x1/2e x1/2e − x−1/2e − xcoshxsenh x( )tanhxtanh(0) = 0−1 <tanh x( ) < 1xtanhx→ 1x→ ∞tanhx→ −1x→ ∞cosh senhxtanhxe xe − x192

Identidades que incluyen funciones hiperbólicasLa identidad , se muestra en la Figura 1.50, es unade varias identidades relativas a las funciones hiperbólicas, algunasde las cuales se enumeran a continuación.Las primeras cuatro propiedades se derivan fácilmente de lasdefiniciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico. Excepto poralgunas diferencias en los signos, la mayoría de estas propiedades sonanálogas a las identidades de las funciones trigonométricas.REGLA. Identidades de las funciones hiperbólicascosh t− 2senh t2cosh(− ) =xcoshxsenh(− ) = −xsenhxcoshx+senh x( ) =e xcosh x( ) −senh x( ) =e − xcosh x( ) − 2senh x( ) = 1 21 −tanh x= 2sech x2coth x( ) − 1 = 2csch x2senh x( ± ) =ysenh x( ) ⋅coshy±coshx senh y⋅( )cosh x( ± ) =ycosh x( ) ⋅coshy±senhx senh y⋅( )193

a. Simplifica .b. Si , encuentra los valores de las cincofunciones hiperbólicas restantesSimplifica .Funciones hiperbólicas inversasDe las gráficas de las funciones hiperbólicas, vemos que todas ellasson uno-uno excepto y . Si restringimos los dominiosde estas dos funciones al intervalo , entonces todas lasfunciones hiperbólicas son uno-uno, y podemos definir las funcioneshiperbólicas inversas. Dado que las funciones hiperbólicas en símismas se definen a partir de las funciones exponenciales, lasfunciones hiperbólicas inversas se definirán mediante funcioneslogarítmicas.1.40 Evaluación de funciones hiperbólicassenh(5 ⋅lnx)senh x( ) = 3/41.34 Evaluación de funciones hiperbólicascosh(2 ⋅lnx)cosh x( )sech x( )[0, ∞)194

DEFINICIÓN Funciones hiperbólicas inversasVeamos cómo deducir la primera ecuación. Los demás sedemostrarían de forma similar. Supongamos . Luego, y, por la definición de la función del seno hiperbólico, . Por lo tanto,Multiplicando esta ecuación por , obtenemossenh x= −1arcsenh x( ) =ln x( +) 1x+2cosh( ) =x −1arccosh x( ) =ln x( +) 1x−2tanh( ) =x −1arctanh x( ) =ln()2 11−x 1+xcoth( ) =x −1arccot x( ) =ln2 1( x−1 x+1)sech( ) =x −1arcsech x( ) =ln(x1+ 1−x 2)csch( ) =x −1arccsch x( ) =ln+ ( x 1∣ ∣x 1+x 2)y=senh x−1x=senh y( )x=2 e− e y− ye− 2 − yxe= 0. − ye ye− 2 2 yxe− 1 = 0. y195

Esto se puede resolver como una ecuación cuadrática, con la soluciónYa que , la única solución es la que tiene el signo positivo.Aplicando el logaritmo natural a ambos lados de la ecuación, llegamosa la conclusión de queEvalúa cada una de las siguientes expresiones: , 1.6.5 Ejercicios Para los siguientes ejercicios, evalúa las funciones exponencialesdadas como se indica, con una precisión de dos dígitos significativosdespués del decimal.229. , a. , b. , c. (Solución)230. , a. , b. , c. e= y=22 ±x4 x+ 4 2x±x+ 1 2e> 0 yy=ln x( +).x+ 1 21.41 Evaluación de funciones hiperbólicasinversassenh(2)−1tanh(1/4)−1f x( ) = 5xx= 3x= 2 1x=2f x( ) = (0.3)xx= −1x= 4x= −1.5196

231. , a. , b. , c. (Solución)232. , a. , b. , c. Une la función exponencial con el gráfico correcto.233.(Solución)f x( ) = 10xx= −2x= 4x= 3 5f x( ) =e xx= 2x= −3.2x= πy= 4− xy= 2x−1y= 2x+1y=+ 2 ( )2 1xy= −3− xy= 1 − 5x197

234.235.(Solución)236.198