Calculo - Volumen I (Cálculo Diferencial)

Estas funciones requieren una técnica llamada derivaciónlogarítmica, que nos permite derivar cualquier función de la forma .. También se puede usar para convertir un problemade derivaciíon muy complejo en uno más simple, como encontrar laderivada de . Describimos esta técnica en la siguienteestrategia de resolución de problemas.Estrategia de resolución de problemas: Derivación logarítmica 1. Para derivar usando la derivación logarítmica,se toma el logaritmo natural en ambos lados de laecuación para obtener .2. Se utilizan las propiedades de los logaritmos paraexpandir tanto como sea posible.3. Se deriva ambos lados de la ecuación. A la izquierdatendremos .4. Se multiplica ambos lados de la ecuación por paradespejar .5. Reemplaza por .Encuentra la derivada de .h x( ) = ( )g xf x( )y= e∗sen x x3x2 +1xy= ( )h xlny=ln h x( ( ))ln h x( ( ))y dx 1dyydx dyyh x( )3.81 Usar derivación logarítmicay= (2x+ 1) 4tgx549

Encuentra la derivada de .Encuentra la derivada de donde es un número realarbitrario.Usa la derivación logarítmica para encontrar la derivada de .Encuentra la derivada de .3.82 Usar derivación logarítmicay=e swn x x3x2 +1x3.83 Ampliando la regla del podery= x rrCuestión 3.54y=x xCuestión 3.55y= (tgx) x550

3.10.4 EjerciciosPara los siguientes ejercicios encuentra 331. (Solución)332. 333. (Solución)334. 335. (Solución)336. 337. (Solución)338. 339. (Solución)340. 341. (Solución)342. 343. (Solución)f x( ) ′f x( ) =x e 2xf x( ) =x e − xf x( ) =ex lnx 3f x( ) =e+ 2x2 xf x( ) =e+ e x− x e x e‘ −− xf x( ) =ln10 10xf x( ) = 2+ 4 4 xx 2f x( ) = 3sen x3f x( ) =x π πxf x( ) =ln x(4+ ) 3xf x( ) =ln5 − 7xf x( ) =x ln x9 2f x( ) =log secx()551

344. 345. (Solución) En los siguientes ejercicios utiliza la derivación logarítmica paraencontrar .346. 347. (Solución)348. $y=(lnx)^{lnx}349. (Solución)350. 351. (Solución)352. 353. (Solución)354. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de lafunción en el punto donde . Representa enuna misma gráfica la función y la recta tangente.355. [T] Encuentra la ecuación de la recta que es normal a la gráficade en el pnnto en el que . Representa en unamisma gráfica la función y la recta normal. (Solución)f x( ) =log(6x+ 3)745f x( ) = 2 ⋅xlog73x−42dxdyy= xxy= (sin x2 )4 xy= xlog x2y= (x− 1) 2lnxy= xcotxy= 3x−42 x+11y= x( x+ 3)−1/22(3 − 4)x 2/34f x( ) = 4xe( x−1)2x= −1f x( ) =x⋅ 5xx= 1552

356. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en el punto donde . (Sugerencia:uutiliza la derivación implícita para encontrar ). Grafique tanto lacurva como la tangente.357. Consideremos la función para .Determina los puntos en la gráfica donde la recta tangente eshorizontal.Determina los puntos en la gráfica donde y aquellosdonde .(Solución)358. La fórmula es la fórmula para una corrientealterna. Completa la siguiente tabla con los valores adecuados.0(i)(ii)(iii)(iv)(v)(vi)(ii)x−3xlny+ y= 2 + 5 3xx= 2dxdyy= x 1/xx> 0y′ > 0y′ < 0I t( ) =e tsentte tsint2 ππ2 3 π2 π2 5 π3 π553

Utilizando solo los valores de la tabla, determina dónde es horizontalla recta tangente a la gráfica de .359. [T] La población de Toledo, Ohio, en 2000 era deaproximadamente 500.000. Supongamos que la población estáaumentando a una tasa del 5% anual.Escribe la función exponencial que relaciona la población totalcomo una función de .Utilizar el apartado a. para determinar la tasa a la que lapoblación está aumentando en años.Utiliza el apartado b. para determinar la tasa de crecimientode la población en 10 años.(Solución)360. [T] Un isótopo del elemento erbio tiene una vida media deaproximadamente 12 horas. Inicialmente hay presentes 9 gramos delisótopo.a. Escribe la función exponencial que relacione la cantidad desustancia restante en función de , medida en horas.b. Utiliza el apartado a. para determinar la velocidad a la que lasustancia se descompone en t horas.c. Utiliza b. para determinar la tasa de descomposición en horas.I t( )tttt= 4554

361. [T] El número de casos de gripe en la ciudad de Nueva Yorkdesde principios de 1960 hasta principios de 1961 está modelado porla función , , donde da elnúmero de casos (en miles) y se mide en años, con correspondiente al comienzo de 1960.Evalúa N (0) y N (4). Describe brevemente lo que indican estosvalores sobre la enfermedad en la ciudad de Nueva York.Evalúa y . Describe brevemente lo que indicanestos valores sobre la enfermedad en la ciudad de NuevaYork.(Solución)362. [T] La tasa relativa de cambio de una función derivable está dada por . Un modelo para el crecimiento de lapoblación es una función de crecimiento de Gompertz, dada por donde , y son constantes.Encuentra la fórmula de la tasa relativa de cambio para lafunción genérica de Gompertz.Utiliza el apartado a. para encontrar la tasa relativa de cambiode una población en meses cuando , y .Interpreta brevemente cuál es el resultado obtenido en b.N t( ) = 5.3e0.093 2−0.87tt(0 ≤ ≤ 4)tN t( )tt= 0N(0) ′N(3) ′y=f x( )% f x( )100⋅ ( )f x ′P x( ) =ae− ⋅b e− cxa b cx= 20a= 204b=0.0198c= 0.15555

Para los siguientes ejercicios, usa la población de la ciudad deNew York desde 1790 a 1860, que se muestra en la siguiente tabla.Añaos desde 1790Poblacion022,1311060,5152096,37330123,70640202,30050312,71060515,54770813,669Tabla 3.8 Población de la ciudad de Nueva York sobre Fuente:http://en.wikipedia.org/wiki/.363. [T] Utilizando un programa de computadora o una calculadora,calcule un curva de crecimiento a los datos de la forma .(Solución)364. [T] Usando el mejor ajuste exponencial para los datos, escribeuna tabla que contenga las derivadas evaluadas en cada año.365. [T] Utilizando el mejor ajuste exponencial para los datos,escribe una tabla que contenga las segundas derivadas evaluadas encada año. (Solución)p=abt556

366. [T] A partir de las tablas de la primera y segunda derivada y elmejor ajuste, responde a las siguientes preguntas:¿Será el modelo preciso para predecir el futuro de la poblaciónde la ciudad de Nueva York? ¿Por qué o por qué no?Estima la población en 2010. la predicción obtenida en a. ¿fuecorrecta?557

558