Calculo - Volumen I (Cálculo Diferencial)

La gráfica de la función consta de dos segmentosrectos: el primero tiene por ecuación y termina en elorigen; el segundo tiene por ecuación y comienza en elorigen.Figura 3.14 La función es continua en 0 pero no derivable endicho punto.Consideremos algunos ejemplos más en los que una función continuano es derivable. Consideremos la función :Por tanto, no existe. Un vistazo rápido a la gráfica de muestra que tiene una tangente vertical en 0 (Figura 3.15).f x( ) = ∣ ∣xy= −xy= xf x( ) = ∣ ∣xf x( ) =3xf0 = lim ′()= limx→0x− 0 f x− ( f0)( )= limx→0x− 0− 0 3x= +∞x→03x 21f(0)′f x( ) =3x399

Figura 3.15 La función tiene una tangente vertical en . Escontinua en el punto pero no derivable en .La funcióntambién tiene una derivada con un comportamiento interesante en elpunto 0. Vemos queeste límite no existe, esencialmente porque las pendientes de lasrectas secantes cambian continuamente de dirección a medida quese acercan a cero (Figura 3.16). Se grafica de la función parece unafunción sinusoidal que oscila rápidamente con una amplitud quedisminuye a 0 en el origen.f x( ) =3xx= 000f x( ) ={xsen(1/ )x0si = 0xsi = 0xf0 = lim ′()= limx→0x− 0 xsen− 0( )x 1senx→0( )x 1400

Figura 3.16 La función no es derivable enel punto 0.En resumen:1. Observamos que si una función no es continua, no puede serderivable, ya que toda función derivable debe ser continua.Sin embargo, si una función es continua, es posible que no seaderivable.2. Hemos visto que no es derivable en 0 porque ellímite de las pendientes de las rectas tangentes a la izquierday a la derecha no coindidían. Visualmente, esto resultó que lagráfica tenía un pico en la gráfica de la función en 0. De estoconcluimos que para ser derivable en un punto, una funcióndebe ser “suave” en ese punto.f x( ) ={xsen(1/ )x0si = 0xsi = 0xf x( ) = ∣ ∣x401

3. Como hemos visto en el ejemplo de la función ,una función no es derivable en un punto donde hay una rectatangente vertical.4. Como hemos visto al considerar , una función también puede no serderivable en un punto en otras situaciones distintas a lasanteriores.Una empresa de juguetes quiere diseñar una pista para unautomóvil que comienza a lo largo de una curva parabólica yluego se convierte en una línea recta (Figura 3.17). La funciónque describe la pista podría tener la forma siguiente:donde y están en pulgadas. Para que el automóvil semueva suavemente a lo largo de la pista, la función debeser continua y derivable en -10. Encuentra los valores de y que hagan que sea continua y derivable.Se dibuja un carro en una línea que se curva a través de a ( con una intersección y aproximadamente .f x( ) =3xf x( ) ={xsen(1/ )x0si = 0xsi = 0x3.14 Una función por partes que es continuay diferenciablef x( ) ={x+bx+ c10 12− x+ 4 12 5si < 0xsi ≥ 0xxf x( )f x( )bcf x( )(−10, 5)10, 0)(0, 2)402

Figura 3.17 Para que el automóvil se mueva suavemente a lo largode la pista, la función debe ser continua y derivable.Encuentra los valores de y que hagantanto continua como derivable en 3.Cuestión 3.8a b{ax+ bx 2si < 3xsi ≥ 3x403

3.3.4 Derivadas de orden superiorLa derivada de una función es en sí misma una función, por lo quepodemos calcular la derivada de una derivada. Por ejemplo, laderivada de una función de posición es la tasa de cambio de laposición o velocidad. La derivada de la velocidad es la tasa de cambiode la velocidad, que es la aceleración. La nueva función que seobtiene al derivar la derivada se denomina segunda derivada.Además, podemos seguir tomando derivadas para obtenersucesivamente la derivada tercera, la derivada cuarta, etc. Enconjunto, estas derivadas se denominan derivadas de ordensuperior. La notación para las derivadas de orden superior de lafunción se pueden expresar de las siguientes formas:Es interesante notar que la notación para puede verse como unintento de expresar de forma más compacta . De maneraanáloga, .Dada , encuentra .y= ( )f xf x( ),f( ),xf( ), ...,xf( )x′′′′′(4)( )ny x( ),y( ),xy( ), ...,xy( )x′′′′′(4)( )n,,...dx2d y 2dx3d y 3dx4d y 4dxn d y ndx2 d y 2dx d(dxdy)=dx d(dx d(dx dy))=dx d(dx2 d y 2)dx3 d y 33.15 Encontrar la segunda derivadaf x( ) = 2x− 3 + 1 2xf x( ) ′′404

Encuentra para .La posición de una partícula a lo largo de un eje de coordenadasen el tiempo (en segundos) viene dada por(en metros). Encuentra la función que describe su aceleraciónen el tiempo .Para , encuentra .Cuestión 3.9f x( )′′f x( ) =x 23.16 Encontrar aceleraciónts t( ) = 3 − 4 + 1t 2ttCuestión 3.10s t( ) =t 3a t( )405

3.3.5 EjerciciosPara las siguientes funciones, utiliza la definición de derivada yencuentra 54. 55. (Solución)56. 57. (Solución)58. 59. (Solución)60. 61. (Solución)62. 63. (Solución)Para las siguientes funciones, utiliza la gráfica de parahacer un bosquejo de la gráfica de su derivada 64.f x( ) ′f x( ) = 6f x( ) = 2 − 3xf x( ) =+ 17 2 xf x( ) = 4x 2f x( ) = 5 −xx 2f x( ) =2 xf x( ) =x− 6f x( ) =x 9f x( ) =x+ x 1f x( ) = 1/xy= ( )f xf x( ) ′406

65.(Solución)66.407

67.(Solución)Para los siguientes ejercicios, el límite dado representa laderivada de una función en un punto . Encuentra y 68. 69. (Solución)70. 71. (Solución)72. 73. (Solución)y= ( )f xaf x( )ah→0 limh 1+ )h−1(2/3h→0 limh 3 2+ )h+2 −14[(2]h→0 limhcos + +1π h()h→0 limh 2+ )h−16(4h→0 limh2 3+ )h− 3+ )h−15[(2(]h→0 limh e−1h408

Para las siguientes funciones,ca yfibosqueja la gránición de la derivada para probar que la función nofiusa la dees derivable en 74. 75. (Solución)76. 77. (Solución)Para las siguientes funciones,determina para qué valores de , el existe pero no es continua en determina para que valores de , la función es continuapero no derivable en x= 1f x( ) ={ 2x3 − 1xsi 0 ≤x≤ 1si > 1xf x( ) ={ 33 xsi < 1xsi ≥ 1xf x( ) ={ − x+ 2 2xsi ≤ 1xsi > 1xf x( ) ={ 2 xx 2si ≤ 1xsi > 1xx= af xx a →lim ( )fx= ax= ax= a409

78.79.(Solución)80. Utiliza la gráfica de la función para evaluar a) , b) ,c) , d) y e) , si es que existen estos valoresf(−0.5)′f(0)′f(1)′f(2)′f(3)′410

Para las siguientes funciones, utliza para encontrar 81. (Solución)82. 83. (Solución)Para las siguientes funciones, utliza una calculadora gráfica pararepresentar . Determina la función , y usa después unacalculadora para representar 84. [T] 85. [T] (Solución)86. [T] 87. [T] (Solución)fx= lim′′( )h→0h f x h+ − ( )f x′()′f x( )′′f x( ) = 2 − 3xf x( ) = 4x 2f x( ) =x+ x 1f x( )f x( )′f x( )′f x( ) = −x 5f x( ) = 3x+ 2 + 4 2xf x( ) =+ 3xxf x( ) =2 x 1411

88. [T] 89. [T] (Solución)Para los siguientes ejercicios, describe lo que representan las dosexpresiones en términos de cada una de las situaciones dadas.Asegúrate de incluir unidades.90. denota la población de una ciudad en el tiempo en años.91. denota la cantidad total de dinero (en miles de dólares)gastada en concesiones por clientes en un parque de diversiones.(Solución)92. denota el coste total (en miles de dólares) de fabricación de radio reloj.93. denota la calificación (en puntos porcentuales) recibida enuna prueba, dadas horas de estudio. (Solución)94. denota el coste (en dólares) de un libro de texto desociología en las librerías universitarias de los Estados Unidos en añosdesde 1990.95. denota la presión atmosférica a una altitud de pies.(Solución)f x( ) = 1 +x+ x 1f x( ) =x+ 1 3h f x h+ − ( )f x()f x= lim′( )h→0h f x h+ − ( )f x()P x( )xC x( )xR x( )xg x( )xB x( )xp x( )x412

96. Dibuja la gráfica de una función con todas lassiguientes propiedades: para para y y no existe.97. Supón que la temperatura en grados Fahrenheit a una altura en pies sobre el suelo está dada por . Da unainterpretación física, con unidades, de. Si sabemos que , explica el significado físico. (Solución)98. Supón que la ganancia total de una empresa es enmiles de dólares cuando se venden unidades de un artículo.¿Qué mide para , y cuáles son lasunidades?¿Qué mide y cuáles son las unidades?Supongamos que , ¿cuál es el cambio aproximadoen la ganancia si el número de artículos vendidos aumenta de30 a 31?y= ( )f xf x′( ) > 0−2 ≥x< 1f′(2) = 0f x′( ) > 0x> 2f(2) = 2f(0) = 1f x= 0x→−∞ lim( )f x= ∞x→∞ lim( )f′(1)Txy=T x( )T x′( )T′(1000) = −0.1y=P x( )xb a − P b− ( )P a ( )0 <a< bP x′( )P′(30) = 5413

99. El gráfico de la siguiente figura modela el número de personas que han contraído la gripe semanas después de su brote inicialen una ciudad con una población de 50.000 habitantes.Describe qué representa y cómo se comporta cuando aumenta.¿Qué nos dice la derivada sobre cómo esta ciudad se veafectada por el brote de gripe?La función comienza en (0, 3000) y aumenta rápidamente auna asíntota en y = 50000.(Solución)Para los siguientes ejercicios, usa la siguiente tabla, que muestrala altura del cohete Saturno V para la misión Apolo 11, segundosdespués del lanzamiento.Tiempo (segundos)Altura (metros)0012313425532N t( )tN t′( )tht414

100. ¿Cuál es el significado físico de ? ¿Cuáles son lasunidades?101. [T] Construye una tabla de valores para y representatanto como en la misma gráfica. Sugerencia: para lospuntos interiores, estima tanto el límite izquierdo como el derecho.Un punto interior de un intervalo I es un elemento de I que no es unpunto final del intervalo. (Solución)102. [T] El mejor ajuste lineal a los datos viene dado por , donde es la altura del cohete (en metros) y es eltiempo transcurrido desde el despegue. A partir de esta ecuación,determina . Representa la gráfica con los datos dados y,en un plano de coordenadas separado, representa la gráfica de .103. [T] El mejor ajuste cuadrático a los datos viene dado por , donde es la altura del cohete(en metros) y es el tiempo transcurrido desde el despegue. A partirde esta ecuación, determina . Representa la gráfica con losdatos dados y, en un plano de coordenadas separado, representa lagráfica de . (Solución)104. [T] El mejor ajuste cúbico a los datos viene dado por , donde es la altura delcohete (en m) y es el tiempo transcurrido desde el despegue. Apartir de esta ecuación, determina . Representa la gráfica de con los datos dados y, en un plano de coordenadas separado,representa la gráfica de . ¿La función lineal, cuadrática o cúbicase ajusta mejor a los datos?h t′( )h t( ) ′h t( )h t( ) ′H t( ) =7.229 − 4.905tHtH t′( )H t( )H t′( )G t( ) = 1.429 + 0.0857 − 0.1429t 2tGtG t′( )G t( )G t′( )F t( ) =0.2037 + 2.956 − 2.705 + 0.4683t 3t 2tFtF t′( )F t( )F t′( )415

105. Utilizando los mejores ajustes lineales, cuadráticos y cúbicosde los datos, determina cuáles son , y . ¿Cuáles sonlos significados físicos de , y , y sus unidades?(Solución)3.4 Reglas de derivaciónObjetivos de aprendizaje1. Establecer las reglas de derivada de una potencia, productopor una constante y la de una constante.2. Aplicar las reglas de la suma y la diferencia para combinarderivadas.3. Usar la regla del producto para hallar la derivada de unproducto de funciones.4. Usar la regla del cociente para hallar la derivada de uncociente de funciones.5. Extender la regla de la potencia a funciones con exponentesnegativos.6. Combinar las reglas de derivación para encontrar la derivadade un polinomio o una función racional.Encontrar las derivadas de funciones mediante el uso de la definiciónde derivada puede ser un proceso largo y, para ciertas funciones,bastante desafiante. Por ejemplo, previamente encontramos que usando un proceso que involucraba multiplicar unaexpresión por un conjugado antes de evaluar un límite. El procesoque podríamos usar para evaluar usando la definición,aunque similar, es más complicado.H t G t( ) ′′( ) ′′F t( ) ′′H t G t( ) ′′( ) ′′F t( ) ′′() =dx dx2x 1()dx d3x416

En esta sección, desarrollamos reglas para encontrar derivadas quenos permitan evitar este proceso. Empezaremos por lo básico.3.4.1 Derivada de una constanteLas funciones y donde es un entero positivoson las funciones básicas a partir de los cuales se construyen todoslos polinomios y funciones racionales. Para encontrar sus derivadasde manera eficiente, sin recurrir a la definición de límite de laderivada, primero debemos desarrollar fórmulas para derivar estasfunciones básicas.Derivada de una constantePrimero aplicamos la definición de límite de la derivada paraencontrar la derivada de la función constante, . Para estafunción, tanto como , por lo tanto se obtieneel siguiente resultado:La regla para derivar funciones constantes se llama regla de laconstante y establece que la derivada de una función constante escero; es decir, dado que una función constante es una rectahorizontal, la pendiente o la tasa de cambio de una función constantees 0. Formulamos esta regla en el siguiente teorema.f x( ) =cg x( ) =x nnf x( ) =cf x( ) =cf x( + ) =hcf x ′( ) = lim=h→0hf x+ ) h− ( )f x(= lim= lim= lim0 = 0h→0h c− ch→0h 0h→0417

TEOREMA 3.2. La regla de la función constanteSea una constante. Si , entonces .Alternativamente, podemos expresar esta regla como .Encuentra la derivada de .Encuentra la derivada de .3.4.2 Derivada de una potenciaHemos demostrado que (ejemplos 3.11 y 3.12)cf x( ) =cf c( ) = 0′( ) =c dx d03.17 Aplicar la regla de la constantef x( ) = 8Cuestión 3.11g x( ) = −3( ) = 2xdx d2xy( x) =dx d1/2x2 1−1/2418

En este punto, es posible que vea un patrón para derivadas de la forma . Vamos a proceder para ello en etapas, comenzando conpotencias enteras positivas. Antes de ello, analicemos un casoparticular, . A medida que avancemos en la derivación de estasfunciones, observaremos que la técnica utilizada en este caso esesencialmente la misma que la técnica utilizada para probar el casogeneral.Encuentra .Encuentra .Como veremos, el procedimiento para encontrar la derivada de laforma general es muy similar. Aunque a menudo no esprudente sacar conclusiones generales de ejemplos específicos,observamos que cuando derivamos , la potencia se convierteen el coeficiente de en la derivada y la potencia de en la derivadadisminuye en 1. El siguiente teorema establece que la regla de lapotencia es válida para todas las potencias enteras positivas de .Eventualmente ampliaremos este resultado a potencias enterasnegativas.( x)dx dn( )xdx d33.18 Derivando x 3( )xdx d3Cuestión 3.12( )xdx d4f x( ) =x nf x( ) =x 3x 2xx419

Más adelante, veremos que esta regla también puede extenderseprimero a potencias racionales de y luego a potencias arbitrarias de. Sin embargo, ten en cuenta que esta regla no se aplica a funcionesen las que una constante se eleva a una potencia variable, como .TEOREMA 3.3. La regla de la potenciaSea un número entero positivo. Si , entoncesAlternativamente, podemos expresar esta regla como.PruebaPara donde es un entero positivo, tenemoscomoxxf x( ) = 3xnf x( ) =x nf x( ) = ′nxn−1x= dx dnnxn−1f x( ) =x nnf x= lim′( )h→0hf x+ ) h− ( )f x(x+ ) =h(nx+nxh+xh+nn−1( )2 nn−2 2+xh+ ... +nxh+ h( )3 nn−3 3n−1n420

se tieneAl dividir ambos lados por h:Finalmente,Encuentra la derivada de la función aplicando laregla de la potencia.x+ ) h− x(nn=nxh+xh+n−1( )2 nn−2 2+xh+ ... +nxh+ h( )3 nn−3 3n−1nhx+ ) h− x(nn=nx+xh +n−1( )2 nn−2+xh+ ... +nxh+ h( )3 nn−3 2n−2n−1f x ′( ) = lim[nx+xh +h→0n−1( )2 nn−2+xh+ ... +nxh+ h]( )3 nn−3 2n−2n−1=nxn−13.19 Aplicar la regla de la potenciaf x( ) =x 10421

Encuentra la derivada de .3.4.3 Las reglas de la suma, diferencia y producto poruna constanteSe resumen en el siguiente teorema las reglas de derivación de lasuma, diferencia y producto por constantes de funciones.TEOREMA 3.4. Reglas de suma, diferencia y múltiploconstanteSean y funciones derivables y una constante.Entonces se cumple cada una de las siguientes reglas.Regla de la suma. La derivada de la suma de una función y una función es la suma de la derivada de y laderivada de .es decir, para , Cuestión 3.13f x( ) =x 7f x( )g x( )kfgfg( ( ) + ( )) =f xdx dg x( ( )) +f xdx d( ( ))g xdx dj x( ) = ( ) + ( )f xg xj x( ) =′f x( ) +′g x( )′422

Regla de la diferencia. La derivada de la diferencia deuna función y una función es la misma que ladiferencia de la derivada de y la derivada de :es decir, paraRegla del producto por una constante. La derivada deuna constante multiplicada por una función es lamisma que la constante multiplicada por la derivada:es decir, paraPruebaAquí solo proporcionamos la prueba de la regla de la suma. Para elresto se procedería de manera similar.Para funciones diferenciables y , consideramos . Usando la definición límite de la derivada tenemosfgfg( ( ) − ( )) =f xdx dg x( ( )) −f xdx d( ( ))g xdx dj x( ) = ( ) − ( ), ( ) =f xg x j x′f x( ) − ( )′g x ′kf(kf x( )) =dx dk( ( ))f xdx dj x( ) =kf x j x( ), ( ) =′kf x( ) ′f x( )g x( )j x( ) =f x( ) + ( )g x423

SustituyendoobtenemosReorganizando y reagrupando los términos, tenemosAhora aplicamos la ley de la suma para los límites y la definición de laderivada para obtenerEncuentra la derivada de y compárela con la derivadade .j x= lim′( )h→0hj x+ ) h− ( )j x(j x( + ) = ( + ) + ( + )hf xhg xhj x( ) = ( ) + ( )f xg xj x= lim′( )h→0hf x+ ) h+ (g x+ )]h− [ ( )f x+ ( )]g x[ (j x= lim′( )h→0hf x+ ) h− ( )f x+ (g x+ ) h− ( )g x(j x ′( ) = lim+ limh→0hf x+ ) h− ( )f x(h→0hg x+ ) h− ( )g x(=f x+g x′( )′( )3.20 Aplicación de la regla del múltiploconstanteg x( ) = 3x 2f x( ) =x 2424

Encuentra la derivada de .Encuentra la derivada de .Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en .Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de en . Usa la ecuación punto-pendiente de la recta.3.21 Aplicación de reglas de derivadasbásicasf x( ) = 2x+ 7 5Cuestión 3.14f x( ) = 2x− 6 3x+ 3 23.22 Encontrar la ecuación de una rectatangentef x( ) =x− 4 + 6 2xx= 1Cuestión 3.15f x( ) =3 x− 11 2x= 2425

3.4.4 La derivada de un productoAhora que hemos examinado las reglas básicas, podemos comenzar aver algunas de las reglas más avanzadas. En primer lugar veremos laderivada del producto de dos funciones. Aunque puede resultartentador suponer que la derivada del producto es el producto de lasderivadas, como así ocurría para las reglas de la suma y diferencia defunciones, la regla del producto no sigue este patrón. Para ver porqué no podemos usar este patrón, consideremos la función , cuya derivada es y no .TEOREMA 3.5. Regla del productoSean y funciones diferenciables, se cumpleEs decir, si , entoncesEsto significa que la derivada de un producto de dos funcioneses la derivada de la primera función por la segunda función másla derivada de la segunda función por la primera.PruebaComenzamos suponiendo que y son funciones derivables.En un punto clave de esta demostración, debemos utilizar el hecho deque, dado que es derivable, también es continua.f x( ) =x 2f x( ) = 2 ′x( )⋅x( ) = 1⋅ 1 = 1xdx ddx df x( )g x( )( ( ) ( )) =f x g xdx df x g x( )⋅ ( ) +dx dg x f x( )⋅ ( )dx dj x( ) = ( ) ( )f x g xj x( ) = ′f x g x( ) ( ) + ( ) ( )′g x f x ′f x( )g x( )g x( )426

Utilizando el hecho de que es continua,Al aplicar la definición de la derivada mediante límites a la función , obtenemosAl sumar y restar en el numerador, tenemosDespués de separar este cociente y aplicar la ley de la suma para loslímites, la derivada se convierte enReordenando, obtenemosUtilizando la continuidad de , la definición de las derivadas de y , y aplicando las leyes del límite, llegamos a la regla delproducto,g x( )g x+ ) h= ( )h→0lim (g xj x( ) = ( ) ( )f x g xj x= lim′( )h→0hf x+ ) (h g x+ ) h− ( ) ( )f x g x(f x g x( ) ( + )hj x= lim′( )h→0hf x h g x h+ ) (+ − ( ) (f x g x h+ − ( ) ( )f x g x+ ( ) (f x g x h+ )())j x ′( ) = limh→0hf x+ ) (h g x+ ) h− ( ) (f x g x+ ) h(+ limh→0hf x g x+ ) h− ( ) ( )f x g x( ) (j x ′( ) = lim⋅ (g x+ ) hh→0hf x+ ) h− ( )f x(+ lim ( )f x⋅h→0hg x+ ) h− ( )g x(g x( )f x( )g x( )427

Para , usa la regla del producto para encontrar si , , , y .Para , encuentra aplicando laregla del producto. Verifica el resultado encontrando primero elproducto y luego derivando.Usa la regla del producto para obtener la derivada de .j x= ′( )f x g x+ ( )′( ) ( )f x g x′( )3.23 Aplicación de la regla del producto afunciones en un puntoj x( ) = ( ) ( )f x g xj(2) ′f(2) = 3f(2) = −4 (2) = 1 ′gg(2) = 6 ′3.24 Aplicar la regla de producto a binomiosj x( ) = (x+ 2)(3 2x− 5 ) 3xj x( )′Cuestión 3.16j x( ) =2 (4xx+ )52x428

3.4.5 La derivada de un cocienteHabiendo desarrollado y practicado la regla del producto, ahoraconsideramos la derivada del cociente de funciones. Como vemos enel siguiente teorema, la derivada del cociente no es el cociente de lasderivadas. Es la derivada de la función del numerador por la funcióndel denominador menos la derivada de la función del denominadorpor la función del numerador, todo dividido por el cuadrado de lafunción del denominador.Para comprender mejor por qué no podemos simplemente tomar elcociente de las derivadas, observa queTEOREMA 3.6. La regla del cocienteSean y funciones derivables. Se tieneEs decir, si , entoncesLa prueba de la regla del cociente es muy similar a la prueba de laregla del producto, por lo que se omite aquí. En cambio, aplicamosesta nueva regla para encontrar derivadas en el siguiente ejemplo.( ) = 2 , noxdx d2x=( )xdx d( )xdx d3= 31 3 x 2x 2f x( )g x( )=dx g xd f x( )( )g x( ) .2( ( ))⋅ ( ) −f xg x( ( ))⋅ ( )g xf xdx ddx dj x( ) =g x( )f x( )j x( ) = ′g x( )2f x g x( ) ( ) − ( ) ( )g x f x′′429

Usa la regla del cociente para hallar la derivada de .En este momento, se puede utilizar la regla del cociente paraextender la regla de la potencia para encontrar derivadas defunciones de la forma donde es un número entero negativo.TEOREMA 3.7. Regla de la potencia extendidaSi k es un entero negativo, entoncesPruebaSi es un entero negativo, podemos establecer , de modoque es un entero positivo con . Dado que para cada enteropositivo , , ahora podemos aplicar la regla del cocienteestableciendo y . En este caso, y . Así,3.25 Aplicación de la regla del cocientek x( ) =4 +3x 5 x 2x kk( x) =dx dkkxk−1kn= −knk= −nn x= − nx n 1f x( ) = 1g x( ) =x nf x( ) = 0′g x( ) =′nxn−1( x) =dx d− n( x)n20 ⋅ (x) − 1 ⋅ (nx)nn−1430

Simplificando, vemos queFinalmente, observamos que como , al sustituir tenemosEncuentra .Usa la regla de la potencia extendida y la regla de lamultiplicación por una constante para encontrar la derivada dela función( x) =dx d− n= −x 2 n−nxn−1nx= − ( −1)−2nnnx− −1nk= −n( x) =dx dkkxk−13.26 Usar la regla de potencia extendida( x)dx d−43.27 Usar la regla de potencia extendida y laregla de multiplicación por una constantef x( ) =x 26431

Encuentra la derivada de usando la regla de lapotencia extendida.3.4.6 Combinando reglas de derivaciónComo hemos visto a lo largo de los ejemplos de esta sección, rara vezse nos pide que apliquemos una sola regla de derivación paraencontrar la derivada de una función dada. En este punto, alcombinar las reglas de derivación, podemos encontrar las derivadasde cualquier polinomio o función racional. Más adelanteencontraremos combinaciones más complejas de reglas dederivación. Una buena regla general para usar cuando se aplicanvarias reglas es aplicar las reglas en orden inverso al orden en queevaluaríamos la función.Para , encuentra .Cuestión 3.18g x( ) =x 7 13.28 Combinando reglas de derivaciónk x( ) = 3 ( ) +h xx g x( ) 2k x( )′432

Para , expresa en términos de , , y sus derivadas.Para , encuentra .Encuentra .Determina los valores de para los cuales tiene una recta tangente horizontal.3.29 Ampliación de la regla del productok x( ) = ( ) ( ) ( )f x g x h xk x( ) ′f x( )g x h x( ) ( )3.30 Combinando la regla del cociente y laregla del productoh x( ) =3 +2x 2x k x( ) 3h x( ) ′Cuestión 3.19(3 ( ) − 2 ( ))f x dx dg x3.31 Determinar dónde tiene una funciónuna tangente horizontalxf x( ) =x− 7 3x+28 + 1x433

Figura 3.19 Esta función tiene rectas tangentes horizontales en y .La posición de un objeto en un eje de coordenadas en el tiempo está dada por . ¿Cuál es la velocidad inicial delobjeto?x= 2/3x= 43.32 Encontrar una velocidadts t( ) =t+12t434

Encuentra los valores de para los cuales la gráfica de tiene una recta tangente paralela a la recta .PROYECTO DEL ESTUDIANTE. Tribunas de Fórmula UnoLas carreras de coches de Fórmula Uno pueden ser muyemocionantes de ver y atraer a muchos espectadores. Losdiseñadores de pistas de Fórmula Uno deben asegurarse de quehaya suficiente espacio en las tribunas alrededor de la pista paraacomodar a estos espectadores. Sin embargo, las carreras decoches pueden ser peligrosas y las consideraciones de seguridadson primordiales. Las tribunas deben ubicarse donde losespectadores no estén en peligro si un conductor pierde el controlde un automóvil (Figura 3.20).Figura 3.20 La tribuna junto a una recta del circuito de carreras delCircuito de Barcelona-Cataluña, ubicada donde los espectadores nocorren peligro.Cuestión 3.20xf x( ) =4 x− 3 + 2 2xy=2 + 3x435

La seguridad es especialmente una preocupación en los giros. Siun conductor no reduce la velocidad lo suficiente antes de entraren la curva, el automóvil puede deslizarse fuera de la pista decarreras. Normalmente, esto solo da como resultado un giro másamplio, lo que ralentiza al conductor. Pero si el conductor pierde elcontrol por completo, el automóvil puede salirse de la pista porcompleto en un camino tangente a la curva de la pista de carreras.Supongamos que está diseñando una nueva pista de Fórmula Uno.Una sección de la pista se puede modelar mediante la función (Figura 3.21).Figura 3.21 (a) Una sección de la pista de carreras se puede modelarmediante la función . (b) La esquina delanterade la tribuna se encuentra en .El plan actual exige la construcción de tribunas a lo largo de laprimera recta y alrededor de una parte de la primera curva. Losplanos requieren que la esquina frontal de la tribuna se ubique enel punto . Queremos determinar si esta ubicación poneen peligro a los espectadores en el caso de que un conductorpierde el control del automóvil.f x( ) =x+ 3 3x+2xf x( ) =x+ 3 3x+ 2x(−1.9, 2.8)(−1.9, 2.8)436

gura afigura tiene dos partes etiquetadas como y . La fiEsta ca defimuestra la grá gura b muestra elfi. La co pero esta vez con dos cuadros. El primer cuadrofimismo gráco a ambos lados delfiaparece a lo largo del lado izquierdo del gráeje x aproximadamente paralelo a . El segundo cuadroaparece un poco más alto, también aproximadamente paralelo a , con su esquina frontal ubicada en . Tenga encuenta que esta esquina está aproximadamente en línea con elcamino directo de la pista antes de que comenzara a girar.1. Los físicos han determinado que es más probable que losconductores pierdan el control de sus automóviles alentrar en una curva, en el punto donde la pendiente de lalínea tangente es 1. Encuentra las coordenadas deeste punto cerca de la curva.2. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva eneste punto.Para determinar si los espectadores están enpeligro en este escenario, encuentra la coordenada delpunto donde la línea tangente cruza la recta .3. ¿Se estará seguro a la derecha de la tribuna o losespectadores corren peligro?4. ¿Qué pasa si un conductor pierde el control de que lapendiente sea 1 como establecen los físicos? Supongamosque un conductor pierde el control en el punto (-2.5,0.625).¿Cuál es la pendiente de la recta tangente en este punto?abf x( ) =x+ 3 3x+2xf x( )f x( )(−1, 9, 2, 8)( , )x yxy= 2.8437

5. Si un conductor pierde el control como se describe en laparte 4, ¿están los espectadores a salvo?6. ¿Debería continuar con el diseño actual de la tribuna odebería mover las tribunas?3.4.7 EjerciciosPara las siguientes funciones, encuentra para cada función106. 107. (Solución)108. 109. (Solución)110. 111. (Solución)112. 113. (Solución)114. 115. (Solución)f x( )′f x( ) =x+ 10 7f x( ) =x−3x+ 1f x( ) = 4x− 7 2xf x( ) = 8x+ 9 4x− 1 2f x( ) =x+4x 2f x( ) = 3x18x+(4x+1 13)f x( ) = ( + 2)(2xx− 3) 2f x( ) =x+ 2( x 2 2x 3 5)f x( ) =3x+2x−432f x( ) =x 24 x−2x+132438

116. 117. (Solución)Para las siguientes funciones, encuentra la ecuación de latangente a la gráfica del la función en el punto indicado. Utilizauna calculadora gráfica para representar dela función y su rectatangente.118. [T] en 119. [T] en (Solución)120. [T] en 121. [T] en (Solución)Para los siguientes ejercicios, supongamos que y sonambas funciones derivables. Encuentra la derivada de cada función 122. [T] 123. [T] (Solución)124. [T] 125. [T] (Solución)f x( ) =x−42 x+42f x( ) =x−7 +1x 2x+9T x( )y= 3x+ 4 + 1 2x(0, 1)y= 2+ 1x(4, 5)y= x−1 2 x(−1, 1)y=−x 2x 2 3(1, −1)f x( )g x( )h x( )h x( ) = 4 ( ) +f x7 g x( )h x( ) =x f x( ) 3h x( ) = 42f x g x( ) ( )h x( ) =g x( )+23 ( )f x439

Para los siguientes ejercicios, supongamos que tanto como son derivables.Utiliza la tabla para calcular las derivadas que se solicitan.123435-2023-46-178-34129126. Encuentra si 127. Encuentra si (Solución)128. Encuentra si 129. Encuentra si (Solución)Para los siguientes ejercicios, utiliza las siguientes figuras paraencontrar la derivada indicada si es que existe.f x( )g x( )xf x( )g x( )f x( )′g x( )′h(1) ′h x( ) =xf x( ) + 4 ( )g xh(2)′h x( ) =g x( )f x( )h(3)′h x( ) = 2 + ( ) ( )xf x g xh(4)′h x( ) =+x 1f x( )g x( )440

130. Sea . Encuentra131. Sea . Encuentra(Solución)132. Sea . EncuentraPara los siguientes ejercicios,evalua representa la función y la recta tangente en el punto .133. [T] , (Solución)h x( ) = ( ) + ( )f xg xh(1)′h(3)′h(4) ′h x( ) = ( ) ( )f x g xh(1)′h(3)′h(4)′h x( ) =g x( )f x( )h(1)′h(3)′h(4)′f a( )′f x( )x= af x( ) = 2x+ 3 − 3xx a 2= 2441

134. [T] , 135. [T] , (Solución)136. [T] , 137. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de lafunción , (Solución)138. [T] Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de lafunción , 139. Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de lafunción , (Solución)140. Encuentra el punto de la gráfica de la función talque la recta tangente en el punto tiene intersección con el eje x en elpunto 6141. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto y tangente a la gráfica de la función (Solución)142. Determina todos los puntos de la gráfica de para los cualesla recta tangente es horizontalla recta tangente tien una pendiente de -1143. Encuentra un polinomio cuadrático tal que , y . (Solución)f x( ) =−x 1x a 2= 1f x( ) =x−2x+ 3 + 2 12xa= 0f x( ) =−x 1x2/3a= −1f x( ) = 2x+ 4 3x− 5 − 3 2xx= −1f x( ) =x+2− 10x 4x= 8f x( ) = (3 −xx)(3 − 2x− x ) 2x= 1f x( ) =x 3P(3, 2 =f x( ) =x−1 6f x( ) =x+3x−2x− 1f(1) = 5f(1) =′3f(1) = −6′′442

144. Un automóvil que circula por una autopista con tráfico harecorrido metros en segundosDetermina el tiempo en segundos para que la velocidad delcoche sea 0Determina la aceleración del coche cuando la velocidad es 0145. [T] Un arenque que nada en línea recta ha viajado pies en segundos. Determina la velocidad del arenque cuando haviajado 3 segundos. (Solución)146. La población en millones de lenguado ártico en el OcéanoAtlántico se modela mediante la función , donde semide en años.Determina la población inicial de platija.Determina e interprete brevemente el resultado.147. [T] La concentración de antibiótico en el torrente sanguíneo horas después de ser inyectado viene dada por la función , donde se mide en miligramos por litro de sangre.Encuentra la tasa de cambio de .Determina la tasa de cambio para , , y .Describe brevemente lo que parece estar ocurriendo amedida que aumenta el número de horas.(Solución)s t( ) =t− 6 + 9 3t 2tts t( ) =t+22t 2tP t( ) =0.2 +1t 28 +3ttP′(10)tC t( ) =t+5032 +tt2CC t( )t= 8 12 24 36443

148. Un editor de libros tiene una función de coste dada por , donde es el número de copias de un libro en milesy C es el coste, por libro, medido en dólares. Evalúa y explica susignificado.149. [T] Según la ley de Newton de la gravitación universal, lafuerza entre dos cuerpos de masa constante y viene dadapor la fórmula , donde es la constante gravitacional y es la distancia entre los cuerpos.Supón que , y son constantes. Encuentra la tasa decambio de la fuerza con respecto a la distancia .Encuentra la tasa de cambio de la fuerza con constantegravitacional , en dos cuerposseparados por 10 metros, cada uno con una masa de 1000kilogramos.(Solución)C x( ) =x 2x+2 +3x 3xC′(2)Fm 1m 2F=d 2Gm m12GdG m1m 2FdFG= 6.67 × 10 − 11Nm kg/22444

3.5 Derivada como tasa o razón de cambioObjetivos de aprendizaje1. Determinar el valor de una función a partir del valor conocidode la función en otro punto y la tasa de cambio.2. Calcular la tasa de cambio promedio y explicar en qué sediferencia de la tasa de cambio instantánea.3. Aplicar tasas de cambio al desplazamiento, la velocidad y laaceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una recta.4. Predecir la población futura a partir del valor actual y la tasade crecimiento de la población.5. Utilizar derivadas para calcular el coste y los ingresosmarginales en una situación comercial.En esta sección, examinamos algunas aplicaciones de la derivadacentrándonos en la interpretación de la derivada como la tasa decambio de una función. Estas aplicaciones incluyen aceleración yvelocidad en física, tasas de crecimiento poblacional en biología yfunciones marginales en economía.3.5.1 Razón de cambioUna aplicación de las derivadas es estimar un valor desconocido deuna función en un punto utilizando un valor conocido de una funciónen un punto dado junto con su tasa de cambio en ese punto. Si es una función definida en un intervalo , entonces lacantidad de cambio de en el intervalo es el cambio en los valores de la función en ese intervalo y está dada por .y=f x( )[ , + ]a ahf x( )yf a( + ) − ( )hf a445

La tasa de cambio promedio de la función en ese mismo intervaloes la razón entre la cantidad de cambio en ese intervalo y el cambiocorrespondiente en los valores de . Está dado por .Como ya sabemos, la tasa de cambio instantánea de en es suderivadaPara valores suficientemente pequeños de , .Luego, podemos despejar para obtener la fórmula de lacantidad de cambio:Podemos usar esta fórmula si solo conocemos y ydeseamos estimar el valor de . Por ejemplo, se puedeconsdiderar la población actual de una ciudad y la tasa a la que estácreciendo para estimar su población en el futuro cercano. Comopodemos ver en la Figura 3.22, estamos aproximando por lacoordenada en en la recta tangente a en .Observa que la precisión de esta estimación depende del valor de ,así como del valor de .En el plano cartesiano de coordenadas con y marcadasen el eje , se representa gráficamente la función . Pasa por y . Se traza una línea recta a travésde con su pendiente como derivada en ese punto.fxh f a h( + )− ( )f af x( )af a= lim′( )h→0hf a+ ) h− ( )f a(h f a( ) ≈′h f a h( + )− ( )f af a( + )hf a+ ) h≈(f a+( )f a h ′( )f a( )f a( )′f a( + )hf a( + )hya+ hf x( )x= ahf a( )′a a+ hxf( , ( )) ( + , ( + ))a f aah f ah( , ( ))a f a446

Esta recta pasa por . Hay un segmentode línea que conecta y , y está marcado que este es el error al usar para estimar .Figura 3.22 El nuevo valor de es igual al valor original más latasa de cambio multiplicada por el intervalo de cambio: .Enlace: en la siguiente páginahttps://demonstrations.wolfram.com/ASnowballsRateOfChange hayuna demostración interesante de la tasa de cambio.Si y , estime .( + , ( ) +ah f af a h( ) ) ′( + , ( + ))ah f ah( + , ( ) +ah f af a h( ) ) ′f a( ) +f a h( ) ′f a( + )hf a( + )hf a( + ) ≈h˜ ( ) +f af a h( ) ′3.33 Estimando el valor de una funciónf(3) = 2f(3) = 5′f(3.2)447

Dado y , estime .3.5.2 Movimiento a lo largo de una rectaOtra aplicación de la derivada es analizar el movimiento a lo largo deuna recta. Hemos descrito la velocidad como la tasa de cambio de laposición. Si tomamos la derivada de la velocidad, podemos encontrarla aceleración o la tasa de cambio de la velocidad. También esimportante introducir la idea de aceleración, que es la magnitud de lavelocidad. Por tanto, podemos enunciar las siguientes definicionesmatemáticas.DEFINICIÓNSea una función que da la posición de un objeto en eltiempo .La velocidad del objeto en el tiempo viene dada por .La rapidez del objeto en el tiempo viene dada por .La aceleración del objeto en está dada por .Cuestión 3.21f(10) = −5f(10) = 6′f(10.1)s t( )ttv t( ) =s t( ) ′t∣ ( )∣v tta t( ) =v t( ) =′s t( ) ′′448