Calculo - Volumen I (Cálculo Diferencial)

Del mismo modo, si el límite de la izquierda y el límite de la derechatoman valores diferentes, el límite de la función no existe. Estasconclusiones se resumen en el siguiente teorema.TEOREMA 2.2. Relacionar limites laterales y el límiteSea una función definida en todos los valores en unintervalo abierto que contenga al punto , con la posibleexcepción del punto , y sea un número real. Se tiene,2.3.4 Límites infinitosEvaluar el límite de una función en un punto o evaluar el límite de unafunción a la derecha o a la izquierda en un punto nos ayuda acaracterizar el comportamiento de una función alrededor de un valordado. Como veremos, también podemos describir el comportamientode funciones que no tienen límites finitos.Ahora dirigimos nuestra atención a , la tercera yúltima función presentada al principio de esta sección (ver Figura2.12 (c)). De su gráfica vemos que a medida que los valores de seacercan a , los valores de se vuelven cada vezmás grandes superando a cualquier número real. Matemáticamente,decimos que el límite de cuando se acerca a es infinitopositivo. Simbólicamente, expresamos esta idea comof x( )aaLf x=x a →lim ( )L si y solo sif x= limx a → − lim( )f x=x a → +( )Lh x( ) = 1/( − 2)x2x2h x( ) = 1/( − 2)x2h x( )x2h x= +∞x→2lim ( )249

De manera más general, definimos límites infinitos de la siguientemanera:DEFINICIÓNDefinimos tres tipos de límites infinitos.1. Límites infinitos desde la izquierda: Sea unafunción definida en todos los valores en un intervaloabierto de la forma .i. Si los valores de aumentan sin límite cuandolos valores de (donde ) se acercan alnúmero , entonces decimos que el límite cuando se acerca a a desde la izquierda es infinitopositivo y escribimosii. Si los valores de disminuyen sin límitecuando los valores de (donde ) se acercanal número , entonces decimos que el límitecuando se acerca al punto desde la izquierdaes infinito negativo y escribimosf x( )( , )b af x( )xx< aaxf x= +∞x a → − lim( )(2.8)f x( )xx< aaxaf x= −∞x a → − lim( )(2.9)250

2. nitos desde la derecha:fiLímites in Sea una funciónnida en todos los valores en un intervalo abierto de lafideforma .i. Si los valores de aumentan sin límite cuandolos valores de (donde ) se acercan alnúmero , entonces decimos que el límite cuando se acerca al punto desde la izquierda esnito positivo y escribimosfiinii. Si los valores de disminuyen sin límitecuando los valores de (donde ) se acercanal número , entonces decimos que el límitecuando se acerca al punto desde la izquierdanito negativo y escribimosfies inf x( )( , )a cf x( )xx> aaxaf x= +∞x a → + lim( )(2.10)f x( )xx> aaxaf x= −∞x a → + lim( )(2.11)251

3. Límite infinito: Sea definirse para todo en unintervalo abierto que contiene .i. Si los valores de aumenta sin límite cuandolos valores de (donde ) se acercan alnúmero , entonces decimos que el límite cuando se acerca al punto es infinito positivo yescribimosii. Si los valores de disminuyen sin límitecuando los valores de (donde ) se acercanal número , entonces decimos que el límitecuando se acerca al punto es infinito negativoy escribimosEs importante entender que cuando escribimos declaraciones como o estamos describiendo elcomportamiento de la función, tal como la acabamos de definir. Noestamos afirmando que exista un límite. Para que exista el límite deuna función en , debe acercarse a un número real cuando se acerca al punto .f x( )x= aaf x( )xx= aaxaf x= +∞x a →lim ( )(2.12)f x( )xx= aaxaf x= −∞x a →lim ( )(2.13)f x= +∞x a →lim ( )f x= −∞x a →lim ( )f x( )aLxa252

Dicho esto, si, por ejemplo, , siempre escribimos en lugar de En la siguiente escena interactiva incorporamos un applet parapracticar los límites infinitos.f x= +∞x a →lim ( )f x= +∞x a →lim ( )f x= +∞x a →lim ( )∄253

Evalúa cada uno de los siguientes límites, si es posible. Usa unatabla de valores funcionales y grafique paraconfirmar su conclusión.a. b. c. Evalúa cada uno de los siguientes límites, si es posible. Usa unatabla de valores funcionales y represente la gráfica de para confirmar su conclusión.a. b. c. 2.9 Reconociendo un límite infinitof x( ) = 1/xx→0− limx 1x→0+ limx 1x→0 limx 1Cuestión 2.8f x( ) =1/x 2x→0− limx 2 1x→0+ limx 2 1x→0 limx 2 1254

Es útil señalar que funciones de la forma , donde es un número entero positivo, tiene límites infinitos cuando seacerca al punto desde la izquierda o la derecha (Figura 2.20). Estoslímites se resumen en el siguiente resultado.Figura 2.20 La función tiene límites infinitos en .TEOREMA 2.3. Límites infinitos de enteros positivosSi es un entero par positivo, entoncesSi es un entero impar positivo, entoncesf x( ) = 1/( − )xannxaf x( ) = 1/( − )xanan= +∞x a → limx− ) a(n1n= +∞x a → + limx− ) a(n1= −∞x a → − limx− ) a(n1255

También debemos señalar que en las gráficas de ,los puntos en el gráfico que tienen coordenadas muy cerca de estánmuy cerca de la línea vertical . Es decir, cuando se acerca alpunto , los puntos en la gráfica de están más cerca de la recta . La recta se llama asíntota vertical del gráfico.Definimos a continuación formalmente una asíntota vertical.DEFINICIÓNSea una función. Si se cumple alguna de las siguientescondiciones, entonces la recta es una asíntota vertical de Evalúa cada uno de los siguientes límites utilizando Límitesinfinitos de enteros positivos. Identifica cualquier asíntota verticalde la funciónf x( ) = 1/( − )xanxax= axaf x( )x= ax= af x( )x= af x( )f x= +∞x a → − lim( )o− ∞f x= +∞x a → + lim( )o− ∞f x= +∞x a →lim ( )o− ∞2.10 Encontrar una asíntota verticalf x( ) =( + 3)x41256

a. b. c. Usa la gráfica de en la Figura 2.21 para determinar cadauno de los siguientes valores:a. b. c. d. x→−3− limx+3) (41x→−3+ limx+3) (41x→−3limx+3) (412.11 Comportamiento de una función endiferentes puntosf x( )f x;f x;f x;f−4)x→−4− lim( )x→−4+ lim( )x→−4lim( )(f x;f x;f x;f−2)x→−2− lim( )x→−2+ lim( )x→−2lim( )(f x;f x;f x;f1 ( )x→1− lim( )x→1+ lim( )x→1lim ( )f x;f x;f x;f3 ( )x→3− lim( )x→3+ lim( )x→3lim ( )257

Figura 2.21 La gráfica muestra .Evalúa cada uno de los siguientes límites. Identifica las asíntotasverticales de la función .a. b. c. f x( )Cuestión 2.9f x( ) = 1/( − 2)x3x→−2− limx−2) (31x→−2+ limx−2) (31x→−2limx−2) (31258

Evalúa para mostrado aquí:En el siguiente ejemplo ponemos nuestro conocimiento de variostipos de límites para analizar el comportamiento de una función envarios puntos diferentes.En el primer capítulo mencionamos brevemente cómo AlbertEinstein demostró que existe un límite a la rapidez con la quepuede viajar cualquier objeto. Dada la ecuación de Einstein parala masa de un objeto en movimiento, ¿cuál es el valor de estelímite?Cuestión 2.10f x x→1lim ( )f x( )2.12 Ecuación de Einstein259

Figura 2.22 Crédito: NASA.2.3.5 EjerciciosPara los siguientes ejercicios, considera la función .30. [T]Completa la siguiente tabla para la función. Redondea tussoluciones a cuatro decimales.f x( ) =∣ −1∣x x−12260

0.9a1.1e0.99b1.01f0.999c1.001g0.9999d1.0001h31. ¿Qué indican los resultados del ejercicio anterior sobre el límite Explica la respuesta. (Solución) Para los siguientes ejercicios, considera la función .32. [T] Haz una tabla que muestre los valores de para y para . Redondea tus soluciones a cincodecimales.-0.01a1.1e-0.001b0.001f-0.0001c0.0001g-0.00001d0.00001h33. ¿Qué indica la tabla de valores del ejercicio anterior sobre lafunción ? (Solución)34. ¿A qué constante matemática parece acercarse el límite delejercicio anterior?xf x( )xf x( )f x x→1lim ( )f x( ) = (1 +x )1/xfx=−0.01, −0.001, −0.0001, −0.00001x=0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001xf x( )xf x( )f x( ) = (1 + )x1/x261

En los siguientes ejercicios, usa los valores dados para configuraruna tabla para evaluar los límites. Redondea tus soluciones a ocholugares decimales.35. [T] -0.1a0.1e-0.01b0.01f-0.001c0.001g-0.0001d0.0001h(Solución)36. [T] -0.01a1.1e-0.001b0.001f-0.0001c0.0001g-0.00001d0.00001h37. Utiliza los dos ejercicios anteriores para conjeturar (adivinar) elvalor del siguiente límite: para un valor real positivo.(Solución)[T]En los siguientes ejercicios, configura una tabla de valorespara encontrar el límite indicado. Redondea a ocho dígitos.; ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.00x→0 limxsen x2 ()xxsen x(2 )xxsen x(2 ); ±0.1, ±0.01, ±0.001, ±0.0001x→0 limxsen x3 ()xxsen x(3 )xxsen x(3 )x→0 limxsen ax()a262

38. 1.9a2.1e1.99b2.01f1.999c2.001g1.9999d2.0001h39. 0.9a1.1e0.99b1.01f0.999c1.001g0.9999d1.0001h(Solución)40. -0.1a0.1e-0.01b0.01f-0.001c0.001g-0.0001d0.0001hx→2 limx+ −6x 2x−42xx+ −6x 2x−42xx+ −6x 2x−421 − 2 )xx→1lim (x1 − 2xx1 − 2xx→0 lim1−e1/x 5x1−e1/x5x1−e1/x5263

41. -0.1a0.1e-0.01b0.01f-0.001c0.001g-0.0001d0.0001h(Solución)42. 0.1a0.01b0.001c0.0001d43. 1.9a2.1e1.99b2.01f1.999c2.001g1.9999d2.0001h(Solución)z→0 limz z+3) 2 ( z−1zz z+3) 2 ( z−1zz z+3) 2 ( z−1t→0+ limtcostttcostx→2 limx−421−x 2x1−e1/x5x1−e1/x5264

[T] En los siguientes ejercicios, configura una tabla de valores yredondea a ocho dígitos significativos. Con base en la tabla devalores, adivina cuál es el límite. Luego, usa una calculadora pararepresentar la gráfica de la función y determinar el límite. ¿Fuecorrecta la conjetura? Si no es así, ¿por qué falla el método de utilizartablas?44. -0.1a0.1e-0.01b0.01f-0.001c0.001g-0.0001d0.0001h45. 0.1a0.01b0.001c0.0001d(Solución)En los siguientes ejercicios, considera la gráfica de la función que se muestra.senθ→0 lim( )θ πθsen( )θ πθsen( )θ πcosα→0 limα 1( )α παcosα 1( )α πy= ( )f x265

¿Cuál de las afirmaciones sobre son verdaderas y cualesson falsas? Explica por qué es falsa.46. .47. . (Solución)48. .49. . (Solución)En los siguientes ejercicios, usa la siguiente gráfica de la función para encontrar los valores, si es posible. Estimar cuandosea necesario.y= ( )f xf x= 0x→10lim( )f x= 3x→2+ lim( )f x=x→8lim ( )f−8)(f x= 5x→6lim ( )y= ( )f x266

50. 51. (Solución)52. 53. (Solución)54. .En los siguientes ejercicios, utiliza la gráfica de la función que se muestra a continuación para encontrar los valores, si esposible. Estimar cuando sea necesario.f xx→1− lim( )f xx→1+ lim( )f x x→1lim ( )f x x→2lim ( )f(1)y=f x( )267

55. (Solución)56. 57. (Solución)58. En los siguientes ejercicios, utiliza la gráfica de la función que se muestra aquí para encontrar los valores, si es posible.Estimar cuando sea necesario.f xx→0− lim( )f xx→0+ lim( )f x x→0lim ( )f x x→2lim ( )y=f x( )268

59. (Solución)60. 61. (Solución)62. 63. (Solución)64. En los siguientes ejercicios, utiliza la gráfica de la función que se muestra a continuación para encontrar los valores, si esposible. Estimar cuando sea necesario.f xx→−2− lim( )f xx→−2+ lim( )f xx→−2lim( )f xx→2− lim( )f xx→2+ lim( )f x x→2lim ( )y=g x( )269

65. (Solución)66. 67. (Solución)En los siguientes ejercicios, utiliza la gráfica de la función que se muestra a continuación para encontrar los valores, si esposible. Estimar cuando sea necesario.g xx→0− lim( )g xx→0+ lim( )g x x→0lim ( )y=h x( )270

68. 69. (Solución)70. En los siguientes ejercicios, utiliza la gráfica de la función que se muestra a continuación para encontrar los valores, si esposible. Estimar cuando sea necesario.h xx→0− lim( )h xx→0+ lim( )h x x→0lim ( )y=f x( )271

71. (Solución)72. 73. (Solución)74. 75. (Solución)En los siguientes ejercicios, esboce la gráfica de una función conlas propiedades dadas.76. f xx→0− lim( )f xx→0+ lim( )f x x→0lim ( )f x x→1lim ( )f x x→2lim ( )f x= 1 ; limx→2lim ( )f x= 3 ; limx→4−( )f x=x→4+( )6 ;f4 ( )no definido272

77. , (Solución)78. , 79. (Solución)80. ; 81. Las ondas de choque surgen en muchas aplicaciones físicas, quevan desde supernovas hasta ondas de detonación. Aquí se muestraun gráfico de la densidad de una onda de choque con respecto a ladistancia, . Estamos interesados principalmente en la ubicación delfrente del amortiguador, etiquetado en el diagrama. (Solución)f x= 0 ; limx→−∞ lim( )f x= −∞ ;x→1−( )f x= ∞ ;x→−1+ lim( )f x=x→0lim ( )f0 ;f0 = 1 ; lim()()f x= −∞ ;x→∞( )f x= 2 ; lim ( )x→−∞ lim( )f x= −∞ ;x→3f x= ∞x→3+ lim( )f x= 2 ;x→∞ lim( )f0 =()3 −1f x= 2 ; limx→−∞ lim( )f x= −∞ ;x→−2( )f x=x→∞ lim( )2 ;f0 = 0()f x= 0 ;x→−∞ lim( )f x= ∞ ;x→−1− lim( )f x= −∞x→−1+ lim( )f0 = −1 ; lim()f x= −∞ ;x→1−( )f x=x→1+ lim( )∞ ;f x= 0x→∞ lim( )xxSF273

a. Evalúa .b. Evalúa .c. Evalúa . Explica los significados físicos detrás detus respuestas.82. Un entrenador de pista usa una cámara con un obturador rápidopara estimar la posición de un corredor con respecto al tiempo. Aquíse da una tabla de los valores de posición del atleta frente al tiempo,donde es la posición en metros del corredor y es el tiempo ensegundos. ¿Qué es ? ¿Qué significa físicamente?(segundos) (metros)1.754.51.956.11.996.422.016.582.056.92.258.52.4 Las leyes de los límitesObjetivos de aprendizaje1. Reconocer las reglas básicas de los límites.2. Utilizar las reglas de límites para evaluar el límite de unafunción.ρ xx x → SF + lim( )− ( )ρ xx x → SF − limρ xx x → SF lim( )xtx tt→2lim ( )tx274

3. Evaluar el límite de una función factorizando.4. Utilizar las reglas de los límites para evaluar el límite de unpolinomio o función racional.5. Evaluar el límite de una función factorizando o usandoconjugados.6. Evaluar el límite de una función mediante la regla delsandwich.En la sección anterior, evaluamos los límites observando gráficos oconstruyendo una tabla de valores. En esta sección, establecemosleyes para calcular los límites y aprendemos cómo aplicar estas leyes.En el Proyecto del estudiante al final de esta sección, tienes laoportunidad de aplicar estas leyes de límites para derivar la fórmuladel área de un círculo adaptando un método ideado por elmatemático griego Arquímedes.Comenzamos reafirmando dos resultados de límites útiles de lasección anterior. Estos dos resultados, junto con las leyes de límites,sirven como base para calcular muchos límites.2.4.1 Evaluación de límites con las leyes de los límitesLas dos primeras leyes de límites se establecieron en dos límitesimportantes y los repetimos aquí. Estos resultados básicos, junto conlas otras leyes de límites, nos permiten evaluar los límites de muchasfunciones algebraicas.275

TEOREMA 2.4. Resultados básicos de límitePara cualquier número real y cualquier constante ,Evalúa cada uno de los siguientes límites utilizando Resultadosdel límite básico.a. b. Ahora echamos un vistazo a las leyes de los límites. Las pruebas quesostienen estas reglas se omiten aquí.TEOREMA 2.5. Propiedades de límitesSea y funciones definidas para todo x ≠ a sobre algúnintervalo abierto que contenga . Supongamos que y sonnúmeros reales tales que y Sea una constante. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades:acx= x a → lima(2.14)c=x a → limc(2.15)2.13 Evaluación de un límite básicox x→2 lim5x→2 limf x( )g x( )aLMf x( ) =x a → limLg x( ) =x a → limMc276

1. Ley de la suma para los límites:2. Ley de la diferencia para límites:3. Ley de la multiplicación por una constantes para límites:4. Ley del producto para límites:5. Ley del cociente para límites:para .6. Ley de potencia para límites:para cada entero positivo .f x+ ( )]g x= lim ( )x a →lim [ ( )f x+ lim ( )x a →g x=x a →L +Mf x− ( )]g x= lim ( )x a →lim [ ( )f x− lim ( )x a →g x=x a →L −Mcf x= lim ( )x a → lim( )cf x=x a →cLf x⋅ )g x= lim ( ) lim ( )x a →lim [ (( )]f x⋅x a →g x=x a →L M ⋅=x a → limg x( )f x( )=g xx a →lim ( )f xx a →lim ( )M LM=  0f x= lim ( )x a →lim [ ( )]nf x=[x a →]nL nn277

7. Ley de la raíz para los límites:para todo si es impar y para si es par y Ahora practicamos la aplicación de estas reglas de límites paraevaluar un límite.Utiliza las leyes de límites para evaluar Utiliza las leyes de los límites para evaluar .=x a → limnf x( )=nf xx a →lim ( )nLLnL≥ 0nf x( ) ≥ 02.14 Evaluación de un límite mediante leyesde límites4 + 2)xx→−2lim (2.15 Usar leyes de límites repetidamentex→2 limx+432 x−3 +1x 2278

Usa las leyes del límite para evaluar . Encada paso, indica la ley de límites que se aplica.2.4.2 Límites de funciones polinomiales y racionalesA estas alturas probablemente hayas notado que, en cada uno de losejemplos anteriores, se ha dado el caso de que .Esto no siempre es cierto, pero es válido para todos los polinomiospara cualquier elección de y para todas las funciones racionales entodos los valores de para los que esté definida la función racional.TEOREMA 2.6. Límites de las funciones polinómicas yracionalesSea y funciones polinomiales. Sea un número real.Se cumple,Cuestión 2.112 − 1)xx→6lim (x+ 4f x=x a →lim ( )f a( )aap x( )q x( )ap x= ( )x a →lim ( )p a=x a → limq x( )p x( )si q a=  0q a( )p a( )( )279

Para ver que este teorema es válido, consideremos el polinomio Al aplicar las leyes de lasuma, la multiplicació por una constante y la potencia, terminamosconAhora se sigue de la ley del cociente, que si y sonpolinomios para los cuales , se cumpleEvalúa el .Evalúa .p x=( )c x+ nncx+ ... +n−1n−1c x+ 1c 0p xx a →lim ( ) = limc x+ cx+ ... +c x+ cx a →(nnn−1n−110 )= cx+ cx+ ... +cn(x a → lim) nn−1(x a → lim) n−1o=c a+ ca+ ... +c= ( )p annn−1n−1op x( )q x( )q a( ) = 0=x a → limq x( )p x( )q a( )p a( )2.16 Evaluación de un límite de una funciónracionalx→3 limx+42 x−3 +1x 2Cuestión 2.123 x− 2 + 7xx→−2lim(3)280

2.4.3 Técnicas adicionales de evaluación de límitesComo hemos visto, podemos evaluar fácilmente los límites de lospolinomios y los límites de algunas (pero no todas) funcionesracionales mediante sustitución directa. Sin embargo, como vimos enla sección introductoria sobre límites, es posible que existacuando no esté definido. La siguiente observación nos permiteevaluar muchos límites de este tipo:Si para todo , sobre algún intervalo abiertoque contenga al punto , entonces .Para comprender mejor esta idea, consideremos el límite .La funcióny la función coincide con para todos los valoresde .Los gráficos de estas dos funciones se muestran en la Figura 2.24.Vemos esof xx a →lim ( )f a( )x= a f x( ) = ( )g xaf x= lim ( )x a →lim ( )g xx a →x→1 limx−1 x−12f x=( )=x− 1 x− 1 2x− 1x− 1) (x+ 1)(g x( ) =x+ 1f x( )x=  1x→1 limx− 1 x− 1 2= limx→1x− 1x− 1) (x+ 1)(= lim (x+ 1)x→1= 2281

Figura 2.24 Las gráficas de y coinciden para todo . Suslímites en 1 son iguales.El límite tiene la forma , donde y En este caso, decimos que tiene la forma indeterminada.La siguiente estrategia de resolución de problemas proporciona unesquema general para evaluar límites de este tipo.Estrategia de resolución de problemas: Cálculo de un límitecuando tiene la forma indeterminada 0/0 1. Primero debemos asegurarnos de que nuestra funcióntenga la forma adecuada y no se pueda evaluarinmediatamente utilizando las leyes de límites.2. Después necesitamos encontrar una función que seaigual a para todo en algúnintervalo que contenga al punto .f x( )g x( )x=  1x a → limg x( )f x( )f x= 0 lim ( )x a →lim ( )g x=x a →0.f x g x( )/ ( )0/0f x g x( )/ ( )h x( ) = ( )/ ( )f x g xx= aa282

Para hacer esto, es posible que debamos probar uno omás de los siguientes pasos: a. Si y son polinomios, debemosfactorizar cada funciónn y cancelar cualquierfactor común.b. Si el numerador o denominador contiene unadiferencia que involucra una raíz cuadrada,deberemos intentar multiplicar el numerador y eldenominador por el conjugado de la expresiónque involucra la raíz cuadrada.c. Si es una fracción compleja,comenzamos por simplificarla.d. Por último, aplicamos las leyes de límites.Los siguientes ejemplos muestran la aplicación de estas estrategiasde resolución de problemas: el Ejemplo 2.17 ilustra la técnica defactorización y cancelación; el Ejemplo 2.18 el de la multiplicaciónpor un conjugado y el Ejemplo 2.19, simplificar una fracción compleja.Evalúa .f x( )g x( )f x g x( )/ ( )2.17 Evaluación de un límite factorizando ycancelandox→3 lim2 x−5 −3x 2 x−3x 2283

Evalúa .Evalúa .Evalúa .Evalúa .Cuestión 2.13x→−3limx−92x+4 +3x 22.18 Evaluar un límite multiplicando por unconjugadox→−1limx+1−1 x+2Cuestión 2.14x→5 limx−5−2 x−12.19 Evaluar un límite simplificando unafracción complejax→1 limx−1− x+1 12 1284

En la siguiente escena interactiva incorporamos un applet quepermite aplicar esta estrategia calculando los valores que seconsideren y representa la gráfica de la función.El Ejemplo 2.20 no cae claramente en ninguno de los patronesestablecidos en los ejemplos anteriores. Sin embargo, con un poco decreatividad, todavía podemos utilizar estas mismas técnicas.285

Evalúa .Evalúa .Evalúa .Repasemos ahora los límites laterales. Las modificaciones simples en lasleyes de límites nos permiten aplicarlas a límites laterales. Por ejemplo,para aplicar las leyes del límite a un límite de la forma ,requerimos que la función se defina sobre un intervalo abierto dela forma ; para un límite de la forma , requerimos que lafunción se defina sobre un intervalo abierto de la forma . ElEjemplo 2.21 ilustra este punto.Cuestión 2.15x→−3limx+3+1 x+2 12.20 Evaluación de un límite cuando lasleyes de límites no se aplican+x→0 lim( x 1x x−5) (5)Cuestión 2.16−x→3 lim( x−3 1x−3 −3x 24)h xx a → − lim( )h x( )( , )b ah xx a → + lim( )h x( )( , )a c286

Evalúa cada uno de los siguientes límites, si es posible.a. b. En el Ejemplo 2.22 obtenemos los límites laterales de una funcióndefinida por partes y usamos estos límites para sacar una conclusiónsobre el límite de la misma función.Para , evalúa cada uno de los siguienteslímites:a. b. c. 2.21 Evaluación de un límite lateralutilizando las leyes de límitesx→3− limx− 3x→3+ limx− 32.22 Evaluación de un límite utilizando lasleyes de límites{4 − 3x( − 3)x2si < 2xsi ≥ 2xf xx→2− lim( )f xx→2+ lim( )f x x→2lim ( )287

Representa y evalúa .Ahora enfocamos nuestra atención en evaluar un límite de la forma , donde . Es decir, tiene la forma , con en .Evalúa .Evalúa .Cuestión 2.17⎩ ⎨ ⎧− − 2x2x 3si < −1xsi = −1xsi ≥ 1xf xx→.1− lim( )x→.a limg x( )f x( )f x= limx→.a lim( )g x= 0x→.a( )f x g x( )/ ( )K /0K=  0a2.23 Evaluación de un límite de la forma , K /0K=  0x→.2− limx−2x 2 x−3Cuestión 2.18x→1 limx−1) (2x+2288

2.4.4 Teorema del sandwichLas técnicas que hemos desarrollado hasta ahora funcionan muy bienpara funciones algebraicas, pero todavía somos incapaces de evaluarlos límites de funciones trigonométricas muy básicas. El siguienteteorema, llamado teorema de sandwich, resulta muy útil paraestablecer límites trigonométricos básicos. Este teorema nos permitecalcular límites al “encajar” una función, con un límite en un punto que es desconocido, entre dos funciones que tienen un límiteconocido común en .Figura 2.27 ilustra esta idea.Figura 2.27 El teorema del sandwich se aplica cuando y .aaf x( ) ≥ ( ) ≥g xh x( )f x= lim ( )x a →lim ( )h xx a →289

TEOREMA 2.7. La regla del sandwichSea , y debe definirse para todo sobre unintervalo abierto que contiene al punto . Si para todo en un intervalo abierto que contiene alpunto y donde es un númeroreal, entonces .Aplicar el teorema del sandwich para evaluar .Utiliza el teorema del sandwich para evaluar .Ahora usamos el teorema del sandwich para abordar varios límitesmuy importantes. Aunque esta discusión es algo extensa, estoslímites resultan muy importantes para el desarrollo del materialtanto en la siguiente sección como en el próximo capítulo. El primerode estos límites es . Consideremos el círculo unitario que semuestra en la Figura 2.29.f x g x( ) ( )h x( )x= aaf x( ) ≥ ( ) ≥g xh x( )x= aaf x= lim ( )x a →lim ( )h x=x a →LLg x=x a →lim ( )L2.24 Aplicar el teorema de la compresiónxcos ( )xx→0 limCuestión 2.19x senx→0 lim2( )x 1senθθ→0 lim290

En esta figura, vemos que es la coordenada en el círculounitario y corresponde al segmento de la figura que se muestra enazul. La medida en radianes del ángulo es la longitud del arco queabarca en el círculo unitario. Por tanto, vemos que para ,se cumple .Figura 2.29 El seno se muestra como el segmento azul considerando elcírculo unitario.Dado que y , utilizando el teorema delsandwich concluimos quePara ver que también, observamos que para , y por lo tanto, .senθyθ0 <θ< 2 π0 <senθ< θ0 = 0θ→0+ limθ= 0θ→0+ limsenθ= 0θ→0+ limsenθ= 0θ→0− lim< 2 − πθ< 0 0 < − <θ2 π0 <sin(− ) < −θθ291

En consecuencia, . De ello se deduce que . Una aplicación del teorema del sandwich produce el límitedeseado. Por lo tanto, como y ,Luego, usando la identidad para ,vemos queAhora echamos un vistazo a un límite que juega un papel importanteen capítulos posteriores, se trata de . Para evaluar este límite,usamos el círculo unitario en la Figura 2.30. Observamos que estafigura agrega un triángulo adicional a la Figura 2.30. Vemos que lalongitud del lado opuesto al ángulo en este nuevo triángulo es .Así, vemos que para , se cumple .Figura 2.30 Tanto el seno como la tangente se muestran como segmentosen el círculo unitario.0 < −senθ< −θ0 >sinθ> θsenθ= 0θ→0+ limsenθ= 0θ→0− limsenθ= 0θ→0 lim(2.16)cos =θ1 −sen θ2< 2 − πθ< 2 πcos = limθθ→0 lim= 1θ→01 −sen θ2(2.17)θ→0 limθsenθθtanθ0 <θ< 2 πsenθ< θ<tanθ292

Dividiendo por en todas los miembros de la desigualdad,obtenemosDe manera equivalente, tenemosDado que , concluimos que . Alaplicar una manipulación similar a la utilizada, podemos demostrarqueAsí,En el Ejemplo 2.25 usamos este límite para establecer Este límite también resulta útil en capítulos posteriores.Evalúa .senθ1 <<senθθcosθ 11 >> cosθsenθθ1 = 1 = limθ→0+ limcosθθ→0+= 1θ→0+ limθsenθ= 1θ→0− limθsenθ= 1θ→0 limθsenθ(2.18)=θ→0 limθ1−cosθ0.2.25 Evaluación de un límite trigonométricoimportante= 0θ→0 limθ1−cosθ293

Evalúa .PROYECTO DE ESTUDIANTEDerivar la fórmula para el área de un círculoAlgunas de las fórmulas geométricas que damos por sentadas hoyen día se obtuvieron primero mediante métodos que anticipanalgunos de los métodos de cálculo. El matemático griegoArquímedes (287-212 a. C.) fue particularmente inventivo, yutilizó polígonos inscritos dentro de círculos para aproximar elárea del círculo a medida que aumentaba el número de lados delpolígono. Nunca se le ocurrió la idea de un límite, pero podemosusar esta idea para ver qué podrían haber predicho susconstrucciones geométricas sobre el límite.Podemos estimar el área de un círculo calculando el área de unpolígono regular inscrito. Piensa en el polígono regular como siestuviera formado por triángulos. Al tomar el límite cuando elángulo del vértice de estos triángulos llega a cero, puede obtenerel área del círculo.Para ver esto, sigue los siguientes pasos:1. Expresa la altura y la base del triángulo isósceles en laFigura 2.31 en términos de y .Cuestión 2.20θ→0 limsenθ1−cosθnhbθ r294

Figura 2.31 .2. Usando las expresiones que obtuviste en el paso 1, expresael área del triángulo isósceles en términos de y .Indicación: Sustituye por entu expresión.3. Si un polígono regular de lados está inscrito en un círculode radio , encuentra una relación entre y . Resuelveesto para . Ten en cuenta que hay radianes en uncírculo. Indicación: Utiliza radianes, no grados.4. Encuentra una expresión para el área del polígono de lados en términos de y .5. Para encontrar una fórmula para el área del círculo,encuentra el límite de la expresión en el paso 4 cuando tiende a cero. Indicación: .La técnica de estimar áreas de regiones utilizando polígonos serevisa en el apartado de introducción a la integración.θr(1/2)senθsen θ( /2)cos θ( /2)nrθnn2 πnr θθ= 1θ→0 limθsenθ295

2.4.5 EjerciciosEn los siguientes ejercicios, utiliza las leyes de límites paraevaluar cada límite. Justifica cada paso indicando las leyes de límiteapropiadas.83. (Solución)84. 85. (Solución)86. En los siguientes ejercicios, utiliza la sustitución directa paraevaluar cada límite.87. (Solución)88. 89. (Solución)90. 91. (Solución)92. 4 x− 2 + 3xx→0 lim(2)x→1 lim4−7xx+3x+532x→−2limx− 6 + 3x29 + 1)xx→−1lim (2x x→7 lim24 x− 1x→−2lim(2)x→0 lim1+senx 1ex→2 lim2 −x x2x→1 limx+6 2−7xlnex→3 lim3 x296

En los siguientes ejercicios, utiliza la sustitución directa paramostrar que cada límite conduce a la forma indeterminada .Luego, evalúa el límite.93. (Solución)94. 95. (Solución)96. 97. (Solución)98. donde es una constante de valor real distinta decero.99. (Solución)100. 101. (Solución)102. 0/0x→4 limx−4 x−162x→2 limx−2x 2 x−2x→6 lim2 −12x3 −18xh→0 limh 1+ )h−1(2t→9 lim−3t t−9h→0 limh−a h + 1a 1aθ→ π limtanθ senθx→1 limx−12 x−13x→1/2lim2 −1x 2 x+3 −2x 2x→−3limx+3−1 x+4297

En los siguientes ejercicios, utiliza la sustitución directa paraobtener una expresión indeterminada. Luego, usa el método delEjemplo 2.23 para simplificar la función para ayudar a determinar ellímite.103. (Solución)104. 105. (Solución)106. En los siguientes ejercicios, supón que , , y . Utiliza estos tres hechos y las leyes de límites paraevaluar cada límite.107. (Solución)108. 109. (Solución)110. 111. (Solución)112. x→−2− limx+ −2x 2 2 x+7 −4x 2x→−2+ limx+ −2x 22 x+7 −4x 2x→1− limx+ −2x 2 2 x+7 −4x 2x→1+ limx+ −2x 22 x+7 −4x 2f x= 4 lim ( )x→6lim ( )g x=x→69h x= 6x→6lim ( )2 ( ) ( )f x g xx→6 limx→6 limf x( ) g x−1( )f x+g xx→6 lim(( )3 1( ))x→6 lim2 h x[ ( )]3x→6 limg x− ( )f x ( )x h x⋅ ( )x→6 lim298