Ηλεκτρονικό Βιβλίο Άλγεβρας Β' (flipbook) (επιλεγμένες 162 σελ)

► Παράδειγμα 4.3-2.1 --- Παραγοντοποιημένο πολυώνυμο Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του πολυωνύμου P(x) = (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) . • Παίρνω την εξίσωση : P(x) = 0 <=> (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) = 0 <=>  x −1 =0   x =1   ή   ή  x−  x =−3 ή =2 <=>  x 2 + 6 =0  <=> x   ή        2x2 + x + 1 =0  (αδύνατη)  • Σχηματίζω τον πίνακα προσήμων : x -∞ -3 1 2 +∞ x–1 – – O + + (*) x2 + x − 6 2x2 + x +1 +O– – O + (**) ++++ P(x) – O + O – O + (*) Το πολυώνυμο αx + β είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΔΕΞΙΑ από την ρίζα. (**) Το τριώνυμο αx2 + βx + γ : - αν Δ > 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΕΞΩ από τις ρίζες - αν Δ = 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΠΑΝΤΟΥ, εκτός από την μοναδική ρίζα - αν Δ < 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΠΑΝΤΟΥ (δεν έχει ρίζες) ► Παράδειγμα 4.3-2.2 --- Παραγοντοποιημένο πολυώνυμο Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του πολυωνύμου P(x) = x(x2 – 4)( –x2 + 6x – 9) . • Παίρνω : P(x) = 0 <=> x(x2 – 4x)( –x2 + 6x – 9) = 0 <=>  x=0   x=0   x=0  <=>  x2 ή =0  <=>  ή =0  < =∆36−4⋅9=0 >  x ή x   − 4x   x(x − 4)   =−2 ή =2       ή   ή   ή        −x2 + 6x − 9 =0 x2 − 6x + 9 =0  x = 3  x -∞ -2 0 2 3 +∞ – O x + O –Ο+ + + (*) x2 – 4 – –x2 + 6x – 9 + – –Ο+ + (**) P(x) – – – Ο– – O + O – Ο– 206

► Παράδειγμα 4.3-2.3 --- Πολυώνυμο που δεν είναι Παραγοντοποιημένο Να βρεθεί για τις διάφορες τιμές του x∈ℝ το πρόσημο του πολυωνύμου P(x) = –x4 – x3 + 13x2 + 25x + 12 . • Παίρνω την εξίσωση : P(x) = 0 <=> (*) Οι ακέραιοι διαιρέτες του <=> x4 – 3x3 – x2 + 5x + 2 = 0 σταθερού όρου –12, είναι : ±1 , ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 . Μία ρίζα του πολυωνύμου παρατηρώ ότι είναι το –1 . <=> (x + 1)(–x3 + 13x + 12) (*) Σχήμα Horner για ρ = –1. -1 -1 13 25 12 <=> (x + 1)(x + 1)(–x2 + x + 12) = 0 (**) 1 0 -13 -12 ρ = -1 <=> (x + 1)2(–x2 + x + 12) = 0 -1 0 13 12 0 (x + 1) <=> (x2 + 2x + 1)(–x2 + x + 12) = 0 (–x3 + 13x + 12) x2 + 2x + 1 =0  --------------------------------------------   <=>  ή  (**) Για το πολυώνυμο (–x3 – 13x – 12) οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου 2, είναι : ±1 , ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 . −x2 + x + 12 =0 Μία ρίζα του πολυωνύμου παρατηρώ ότι είναι και πάλι το –1 .  x = −1 < ∆2=∆11=−44⋅−(−41⋅1)⋅1⋅1=2=449 >  x ή  (***) Σχήμα Horner για ρ = –1.  = −3 -1 0 13 12 ρ = -1  1 -1 -12  ή  -1 1 12 0    x = 4  (–x2 + x + 12) (x + 1) • Σχηματίζω τον πίνακα προσήμων : x -∞ -3 -1 4 +∞ x2 + 2x + 1 + +O+ + –x2 + x + 12 – O+ +O– P(x) – O + O – O + 207

■ 4.3 -3. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ της μορφής Α(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) ≥ 0 (ή Α(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) ≤ 0 ) * Για την επίλυση ανισώσεων της μορφής A(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) ≥ 0 (ή ≤ 0) , χρησιμοποιούμε το πρόσημο του (γινομένου) πολυωνύμου που αναφέραμε προηγούμενως. Αν δηλαδή θέσουμε P(x) = A(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) , τότε για την επίλυση της παραπάνω ανίσωσης πρέπει να βρούμε τα διαστήματα στα οποία το γινόμενο (πολυώνυμο) P(x) είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός. ► Παράδειγμα 4.3-3.1 (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) < 0 . ((δες Παρ. 4.3-2.1 !)) Να λυθεί η ανίσωση : • Για να λύσουμε την ανίσωση αυτή, κάνουμε ακριβώς την ίδια διαδικασία που κάναμε στο Παράδειγμα 4.3-2.1 για το πρόσημο του γινομένου αυτού. • Αν λοιπόν θέσουμε P(x) = (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) , οι λύσεις της ανίσωσης είναι οι τιμές του x∈ℝ για τις οποίες το γινόμενο P(x) = (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) είναι αρνητικό. Δηλαδή, x = −3 • Παίρνω : P(x) = 0 <=> (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) = 0 <=> ..... <=>  x ή   =1     ή     x = 2  x -∞ -3 1 2 +∞ x–1 – – O + + (*) x2 + x − 6 2x2 + x +1 +O– – O + (**) ++++ P(x) – O + O – O + Βλέπουμε ότι οι τιμές του πολυωνύμου είναι αρνητικές για τα x που ανήκουν στα διαστήματα (-∞, -3) και (1, 2) . • Οπότε γράφουμε : <=> x ∈ (-∞, -3)U(1, 2) (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) < 0 208

► Παράδειγμα 4.3-3.2 x3 + x2 – 4x – 4 ≥ 0 Να λυθεί η ανίσωση : ** Όταν η ανίσωση που έχω δεν είναι σε παραγοντοποιημένη μορφή, πρέπει να την παραγοντοποιήσω, ώστε να έχω μόνο παράγοντες πρωτοβάθμιους (αx + β) και δευτεροβάθμιους (αx2 + βx + γ) που μπορώ να βρω το πρόσημό τους! • Θέτω : P(x) = x3 + x2 – 4x – 4 (δίνω όνομα στο πολυώνυμο, ώστε να μπορώ να αναφερθώ σε αυτό στον πίνακα προσήμων) • Παίρνω : P(x) = 0 <=> <=> x3 + x2 – 4x – 4 = 0 <=> x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0 <=> (x +1)(x2 – 4) = 0 <=>  x + 1 =0   x = −1      <=>  ή  < ∆=9−4⋅2= 1 >  ή   x 2 − 4 =0 x = 2 ή x = −2  • Σχηματίζω τον πίνακα προσήμων : x -∞ -2 -1 2 +∞ x+1 – –O+ + x2 − 4 +O– –O+ P(x) – O+O–O+ Άρα x3 + x2 – 4x – 4 ≥ 0 <=> x∈ [-2, -1]U[2, +∞) (* Δηλαδή βρήκαμε τα x για τα οποία οι τιμές του πολυωνύμου x3 + x2 – 4x – 4 είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός. ) 209

► Παράδειγμα 4.3-3.4 -- Γραφική Παράσταση πολυωνυμικής συνάρτησης και σχετική θέση με τον x'x. Δίνεται η συνάρτηση : f(x) = x3 – x . α) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα x'x . β) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x . γ) Να βρείτε τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x . α) Για να τέμνει τον άξονα x'x πρέπει τα σημεία να έχουν τεταγμένη y = 0. • Παίρνω : y = 0 <=> f(x) = 0 <=> x3 – x = 0 <=> x(x2 – 1) = 0 <=>  x=0  x = 0   x=0        <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή  x2 − 1 =0 x2 = 1 x =−1 ή x =1 Άρα, η γραφική παράσταση Cf της f , τέμνει τον x'x στα σημεία Α(-1, 0) , Ο(0, 0) , Β(1, 0). --------------------------------------------------------------------- β) Η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x στα διαστήματα στα οποία οι τιμές του πολυωνύμου f(x) είναι θετικές, δηλαδή όταν f(x) > 0 . • Λύνω την ανίσωση f(x) > 0 ! Ήδη, έχουμε λύσει την εξίσωση f(x) = 0 , οπότε έχουμε τον πίνακα προσήμων, για την παραγοντοποιημένη μορφή της f , που είναι : f(x) = x(x2 – 1) x -∞ -1 0 1 +∞ x – –O+ + x2 − 1 +O– –O+ f(x) – O+O–O+ Δηλαδή είναι f(x) > 0 <=> x∈ (-1 , 0) U (1, +∞) Άρα η Cf βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x στα διαστήματα (-1 , 0) , (1, +∞) . --------------------------------------------------------------------- γ) Η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x στα διαστήματα στα οποία οι τιμές του πολυωνύμου f(x) είναι αρνητικές , δηλαδή όταν f(x) < 0 . • Λύνω την ανίσωση f(x) < 0 ! Από τον πίνακα προσήμων που κάναμε παραπάνω, βλέπουμε ότι είναι f(x) > 0 <=> x∈ (-∞ , -1) U (0, 1) Άρα η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x στα Η γραφική παράσταση της f διαστήματα (-∞ , -1) , (0, 1) . 211

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x3 – 2x2 = 0 β) x3 + 4x2 + 3x = 0 γ) x4 – 2x3 + x2 = 0 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) x3 – 3x2 – x + 3 = 0 α) x3 + 4x2 + 2x + 8 = 0 δ) 3x3 + 6x2 – 5x – 10 = 0 γ) 2x3 + x2 – 8x – 4 = 0 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) (x + 1)5 = 32 β) (3x – 5)4 = 1 γ) 27(x – 2 )3 = 125 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) x3 – 7x – 6 = 0 α) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 δ) x3 + 9x2 + 26x + 24 = 0 γ) 2x3 – 3x2 – 3x + 2 = 0 ε) 2x4 – 3x3 – 7x2 + 12x – 4 = 0 5. Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω γινομένων, για τις διάφορες τιμές του x . α) P(x) = (x – 5)(x2 – 3x + 2) β) Q(x) = (x2 – 9)(– x2 + 6x – 5) γ) P(x) = (x2 – 1)(4 – x2) δ) Q(x) = (2x – 3)(2 – x)(2x2 – 3x + 1) 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x3 + 4x2 + 3x < 0 (*δες 1β) β) x3 – 3x2 – x + 3 > 0 (*δες 2β) γ) x3 – 6x2 + 11x – 6 ≤ 0 (*δες 4α) δ) 2x4 – 3x3 – 7x2 + 12x – 4 ≥ 0 (*δες 4ε) 7. Δίνονται οι παρακάτω συναρτήσεις : β) g(x) = – x3 – 4x2 – x + 6 α) f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 3 Να βρείτε για κάθε μία, i) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασής της με τον άξονα x'x ii) τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση βρίσκεται πάνω από τον άξονα x'x. ii) τα διαστήματα, στα οποία η γραφική παράσταση βρίσκεται κάτω από τον άξονα x'x. 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x6 – 7x3 – 8 = 0 β) (x + 2)8 – 17(x + 2)4 + 16 = 0 γ) ( 1 )2 – 6∙ 1 + 8 = 0 x −1 x −1 212

9. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) 1 x3 – 5 x2 + 2 x – 1 = 0 α) 1 x3 – 1 x2 – 1 x + 1 = 0 6 12 3 12 16 4 4 10. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = αx3 + (β – 1)x2 – 3x – 2β + 6 , όπου α, β πραγματικοί αριθμοί. α) Αν ο αριθμός 1 είναι ρίζα του πολυωνύμου P(x) και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x + 1) είναι ίσο με 2 , τότε να δείξετε ότι α = 2 και β = 4 . β) Για τις τιμές των α και β του ερωτήματος α), να λύσετε την εξίσωση P(x) = 0 . (Εξ. 2000 – Θ2) 11. Δίνεται το πολυώνυμο F(x) = x3 – x2 + 3x – 3 . α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του F(x) με το x – 2 . β) Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του F(x) με το x – 1 . γ) Να λύσετε την εξίσωση : F(x) = 0 (Εσπ. 2001 – Θ2) 12. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = kx3 – (k + λ)x2 + λx + 1 . α) Αν P(– 1 ) = 7 και P(-1) = 23 , να αποδείξετε ότι k = –6 και λ = –5 . 2 β) Για k = –6 και λ = –5 , να γίνει η διαίρεση του P(x) με το πολυώνυμο (2x + 1) και να γραφεί το P(x) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης. γ) Για k = –6 και λ = –5 , να λυθεί η ανίσωση P(x) > 7 . (Εξ. 2002 – Θ3) 13. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = αx3 + βx + 2 , όπου α, β είναι πραγματικοί αριθμοί. α) Να αποδείξετε ότι : Ρ(2004) + Ρ(–2004) = 4 . β) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο Q(x) = x . γ) Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ(x) με το πολυώνυμο x –1 είναι υ = α + β + 2 . δ) Αν α = 1 και το πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα τον αριθμό 1 , τότε να υπολογίσετε το β και να λύσετε την εξίσωση Ρ(x) = 0 . (Εσπ-Επ. 2003 – Θ4) 14. Έστω Ρ(x) πολυώνυμο 3ου βαθμού, το οποίο διαιρείται με το πολυώνυμο x2 + 1, έχει ρίζα το 0 και του οποίου το άθροισμα των συντελεστών είναι ίσο με 2 . α. Να αποδείξετε ότι Ρ(x) = x3 + x . β. Να λύσετε την ανίσωση: (Ρ(x) – 2)3 + (Ρ(x) –2)2 + Ρ(x) > 2. (Επαν. 2003 – Θ3) 213

4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ που ανάγονται σε ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Υπάρχουν εξισώσεις, οι οποίες δεν είναι πολυωνυμικές, αλλά με κατάλληλη διαδικασία η λύση τους ανάγεται στη λύση πολυωνυμικών. Δύο κατηγορίες τέτοιων εξισώσεων είναι οι κλασματικές και οι άρρητες . ■ 4.4 -1. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Όταν η εξίσωση περιέχει κλάσματα με την άγνωστη μεταβλητή στον παρονομαστή, τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: • 1) Κάνουμε παραγοντοποίηση των παρονομαστών. • 2) Βρίσκουμε το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των παρονομαστών. • 3) Παίρνουμε τον περιορισμό ΕΚΠ ≠ 0 (Στην ουσία λύνουμε την εξίσωση ΕΚΠ = 0 και εξαιρούμε τις λύσεις) • 4) Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο της εξίσωσης με το ΕΚΠ . • 5) Λύνουμε την πολυωνυμική εξίσωση που προκύπτει. • 6) Ελέγχουμε στο τέλος τις λύσεις με βάση τους περιορισμούς. ► Παράδειγμα 4.4-1.1 x2 + 1 = 3x + 1 − 2x Να λυθεί η εξίσωση : xx Έχω : x2 + 1 = 3x + 1 − 2x Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο xx των παρονομαστών, είναι < ⋅x > x∙x2 + x 1 = 3x∙x + x 1 − 2x ΕΚΠ = x xx <=> x3 + 1 = 3x2 + 1 – 2x Περιορισμοί: <=> x3 – 3x2 + 2x = 0 ● Πρέπει x ≠ 0 <=> x(x2 – 3x + 2) = 0 <=>  x=0   x=0      <=>  ή  < ∆=9−4⋅2= 1 >  ή  1=ή x 2  x 2 − 3x + 2 =0 =x  Από τους περιορισμούς όμως, η λύση x = 0 απορρίπτεται! Άρα δεκτές είναι μόνο οι λύσεις x = 1 , x = 2 . 215

► Παράδειγμα 4.4-1.4 x2 + 2 – 1 =0 Να λυθεί η εξίσωση : 2x −1 2x2 − x Έχω : x2 + 2 – 1 =0 Παραγοντοποιώ τους παρονο- 2x −1 2x2 − x μαστές. <=> x2 + 2 – 1 =0 ΕΚΠ = x(2x - 1) 2x −1 x(2x − 1) <=> x2(2x – 1)x + 2 (2x – 1)x – 1 (2x – 1)x = 0 Περιορισμοί: 2x −1 x(2x − 1) <=> x3(2x – 1) + 2x – 1 = 0 ● Πρέπει x(2x – 1) ≠ 0 <=> (2x – 1)(x3 + 1) = 0 Παίρνω : x(2x – 1) = 0 <=> x = 0 ή x = 1 2 2x − 1 =0 2x = 1   2x = 1        <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή  Άρα πρέπει : x ≠ 0 και x ≠ 1  x 3 + 1 =0  x3 = −1  x 3 = (−1)3  2      x= 1 ή  2    <=>   x = −1    Από τους περιορισμούς όμως , δεκτή είναι μόνο η x = –1 . 217

► Παράδειγμα 4.4-1.5 6 – 1 = 4 Να λυθεί η εξίσωση : x2 −1 x −1 x2 + x − 2 Παραγοντοποιώ τους παρονομαστές. Για το τριώνυμο, παρατηρώ ότι μία ρίζα του είναι το 1, οπότε μπορώ να κάνω Σχήμα Horner για ρ = 1. 1 1 -2 ρ = 1 ΕΚΠ = (x + 1)(x – 1)(x + 2) 12 120 (x + 2) (x – 1) Περιορισμοί: Άρα η εξίσωση γίνεται : ● Πρέπει (x + 1)(x – 1)(x + 2)≠0 6 –1= 4 Παίρνω: (x + 1)(x – 1)(x + 2)= 0 <=> … (x + 1)(x − 1) x −1 (x + 2)(x − 1) Άρα πρέπει : x ≠ –1 και x ≠ 1 και x ≠ –2 <=> (x+1)(x–1)(x+2) 6 – (x+1)(x–1)(x+2) 1 = (x+1)(x–1)(x+2) 4 (x + 1)(x − 1) x −1 (x + 2)(x − 1) <=> 6(x + 2) – (x + 1)(x + 2) = 4(x + 1) <=> 6x + 12 – (x2 + 2x + x + 2) = 4x + 4 <=> 6x + 12 – x2 – 3x – 2 = 4x + 4 <=> x2 + x – 6 = 0 <=> x = 2 ή x = –3 Οι λύσεις είναι δεκτές. * Παρατήρηση : Για την παραγοντοποίηση των παρονομαστών λοιπόν γενικά, μπορεί να χρειαστεί : • απ' ευθείας εξαγωγή κοινού παράγοντα • τις ταυτότητες [ πιο συχνά : α2 – β2 = (α + β)(α – β) και α2 ± 2αβ + β2 = (α ± β)2 ] • παραγοντοποίηση τριωνύμου αx2 + βx +γ με εύρεση ριζών, ώστε να γραφεί ως α(x – ρ1)(x – ρ2) αν έχει 2 ρίζες, ή α(x – ρ)2 αν έχει 1 διπλή ρίζα. • Σχήμα Horner , είτε για τριώνυμο, είτε για πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού. 218

■ 4.4 -2. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ με ριζικά (ΑΡΡΗΤΕΣ) Στις εξισώσεις αυτές, έχουμε ένα ή περισσότερα ριζικά . ** Σαν Μεθοδολογία , πρώτος μας στόχος, είναι να φέρουμε το ένα ριζικό μόνο του στο ένα μέλος, και κατόπιν να υψώσουμε στο τετράγωνο. • Στους περιορισμούς που παίρνουμε εδώ, εκτός από τους προφανείς, ότι όλες οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός, υπάρχουν και επιπλέον \"κρυφοί\" περιορισμοί, όταν π.χ. μία παράσταση είναι ίση με μία ρίζα, τότε πρέπει και αυτή να είναι ≥ 0 .)) • Για τον λόγο αυτόν, προσέχουμε, ώστε στο τέλος να ελέγξουμε τις λύσεις της εξίσωσης με αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση, ώστε να καταλάβουμε αν κάποιες απορρίπτονται. ► Παράδειγμα 4.4-2.1 --- Ένα ριζικό Να λύσετε την εξίσωση : x =x–2 (1) Έχω : x = x – 2 <=> Περιορισμοί: <=> ( x )2 = (x – 2)2 <=> x = x2 – 4x + 4 ● Πρέπει x ≥ 0 . <=> x2 – 5x + 4 = 0 <=> x = 1 ή x = 4 και ((● Πρέπει επίσης να είναι και x - 2 ≥ 0 <=> x ≥ 2 διότι και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό!)) Για x = 1 από την (1) => 1 = 1 – 2 <=> 1 = -1 αδύνατο! (η x = 1 απορρίπτεται) Για x = 4 από την (1) => 4 = 4 – 2 <=> 2 = 2 δεκτή Άρα μόνο η λύση x = 4 είναι δεκτή! ► Παράδειγμα 4.4-2.2 --- Ένα ριζικό Να λύσετε την εξίσωση : x+5 –3 = x (1) Έχω : x + 5 – 3 = x Περιορισμοί: ≤> x + 5 = x + 3 <=> ( x + 5 )2 = (x + 3)2 ● Πρέπει x + 5 ≥ 0 <=> x ≥ -5 ≤> x + 5 = x2 + 6x + 9 και ≤> x2 + 5x + 4 = 0 ((● Πρέπει επίσης να είναι και ≤> x = -1 ή x = -4 απορ. x + 3 ≥ 0 ≤> x ≥ -3 διότι και το 2ο μέλος πρέπει να είναι θετικό!)) Για x = -1 από την (1) => −1 + 5 – 3 = -1 ≤> 2 – 3 = -1 Για x = -4 από την (1) => −4 + 5 – 3 = -4 ≤> 1 – 3 = -4 αδύνατο! Άρα μόνο η λύση x = -1 είναι δεκτή! 219

► Παράδειγμα 4.4-2.3 --- Δύο ριζικά Να λύσετε την εξίσωση : 2x + 6 – x + 4 = 1 (1) Έχω : 2x + 6 – x + 4 = 1 Περιορισμοί: <=> 2x + 6 = x + 4 + 1 ● Πρέπει 2x + 6 ≥ 0 <=> x ≥ -3 και <=> ( 2x + 6 )2 = ( x + 4 + 1)2 ● Πρέπει x + 4 ≥ 0 <=> x ≥ -4 Δηλαδή γενικά για x ≥ -3 . <=> 2x + 6 = ( x + 4 )2 + 2 x + 4 + 1 <=> 2x + 6 = x + 4 + 2 x + 4 + 1 <=> x + 1 = 2 x + 4 (**) (**) (Πρέπει x + 1 ≥ 0 <=> x ≥ -1) <=> (x + 1)2 = 4(x + 4) <=> x2 + 2x + 1 = 4x + 16 <=> x2 - 2x - 15 = 0 <=> x = -3 ή x = 5 Για x = -3 από την (1) => 2(−3) + 6 – −3 + 4 = 1 <=> - 1 = 1 αδύνατο! Για x = 5 από την (1) => 2 ⋅ 5 + 6 – 5 + 4 = 1 <=> 4 - 3 = 1 δεκτή Άρα μόνο η x = 5 είναι λύση της αρχικής εξίσωσης. ► Παράδειγμα 4.4-2.4 -- Με αντικατάσταση του ριζικού Να λύσετε την εξίσωση : x = x−8 + 3 (1) 2x Έχω : x = x−8 + 3 Περιορισμοί: 2x ● Πρέπει x > 0 < ⋅2x > 2 x x = 2 x x − 8 + 3∙2 x (όχι x ≥ 0 , διότι το x 2x βρίσκεται και σε παρονομαστή) <=> 2( x )2 = x – 8 + 6 x <=> 2x = x – 8 + 6 x Δηλαδή γενικά για x ≥ -3 . <=> x – 6 x + 8 = 0 <=> ( x )2 – 6 x + 8 = 0 (2) Θέτω : ω = x , οπότε η (2) γίνεται : ω2 – 6ω + 8 = 0 <=> ω =2  x = 2 x = 4  Με δοκιμή στην (1) βλέπουμε ότι είναι       δεκτές. <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή  ω =4  x = 4 x = 16  220

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x − 2 = 3x −1 β) 1 = 2x −1 γ) 2x − 5 = 6x −10 8 − x 2x + 4 x2 + 5x + 6 4x + 8 x−2 x+5 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) 1 – 2 = – 1 α) 6x − 2 + 5x +1 = 2(x + 3) x +1 x2 −1 x −1 x −1 2x − 2 γ) 4 − x 5x +1 x −1 δ) 3x − 2 1 6 2x + 4 – x2 + 5x + 6 = x + 3 x2 + x + 2x = x2 + 3x + 2 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x2 – 2x2 + 1 = 2 β) 2x2 – 14(x − 1) = 2 – 3(x – 1) x −1 x −1 xx 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x – 3x + 6 = 4 – 2 β) x2 + 2x +1 = 4 – 4 x x2 − 2x x−2 x − 1 x − 2 x2 − 3x + 2 γ) x2 − 3x + 2 = 1 − 3x2 + 2 δ) x2 − x + x2 − 17x = – 4 x x −1 x2 − x x + 3 x2 + 3x x ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 2x − 6 = 2 β) 12 − 3x = 3 γ) 9 − x = 5 δ) 5x − 1 = - 4 ε) 4x − 7 = - 13 στ) x2 + 7 = 4 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x + 1 = x – 1 β) 2x + 12 + x = 6 γ) 8x + 9 – 1 = 2x 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) x = x − 3 + 1 β) x2 + 1 = 4x − 2 γ) 5x + 6 = 3 − x + 3 222

■ 4.4 -3. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΙΣΩΣΗ της μορφής A(x) > 0 ( ή < 0) B(x) • Όπως γνωρίζουμε το πηλίκο και το γινόμενο δύο αριθμών είναι ομόσημα. Επομένως: A(x) > 0 <=> A(x) ⋅B(x) > 0 και A(x) < 0 <=> A(x)⋅B(x) < 0 B(x) B(x) αφού, καμία από τις λύσεις της A(x) ⋅B(x) > 0 και της A(x) ⋅B(x) < 0 δεν μηδενίζει το Β(x). • Π.χ αν έχουμε την ανίσωση (x − 1)(2x2 + 2x + 1) >0 , (x2 + x− 6) η ανίσωση αυτή είναι ισοδύναμη με την (x −1)(x2 + x − 6)(2x2 + x +1) > 0 . A(x) ≥ 0 B(x) ** Παρατήρηση : Μία ανίσωση της μορφής A(x) ≥ 0 αληθεύει για εκείνους τους πραγματικούς B(x) αριθμούς x για τους οποίους ισχύουν συγχρόνως A(x) ⋅B(x) ≥ 0 και B(x) ≠ 0 . ► Παράδειγμα 4.4-3.1 --- Πηλίκο μεγαλύτερο ή μικρότερο του μηδενός Να λύσετε την ανίσωση : x−2 > 0 (1) x+1 • Έχω : x−2 > 0 <=> Περιορισμοί: x+1 (2) ● Πρέπει x -1 ≠ 0 <=> x ≠ 1 <=> (x – 2)(x + 1) > 0 • Θέτω : P(x) = (x – 2)(x + 1) x − 2 =0 x=2  • Παίρνω : (x – 2)(x + 1) = 0 <=>      ή  <=>  ή  x + 1 =0  x = −1 x –∞ -1 2 +∞ x–2 − − 0+ x+1 − P(x) 0+ + + // − 0+ • Οπότε έχουμε : x − 2 > 0 <=> (x – 2)(x + 1) > 0 <=> x ∈ (–∞, -1)U(2, +∞) x+1 223

► Παράδειγμα 4.4-3.2 -- Πηλίκο μεγαλύτερο ή μικρότερο ενός αριθμού Να λύσετε την ανίσωση : 2x + 2 ≥ 4 (1) x−1 *** ΠΡΟΣΟΧΗ‼! Στις κλασματικές ανισώσεις ΔΕΝ κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών, αλλά μεταφέρουμε όλους τους όρους στο 1ο μέλος και κάνουμε τα κλάσματα ομώνυμα, ώστε να δημιουργήσουμε μόνο ένα κλάσμα! • Έχω : (1) <=> 2x + 2 − 4 ≥ 0 Περιορισμοί: x−1 ● Πρέπει x -1 ≠ 0 <=> x ≠ 1 <=> 2x + 2 − 4 (x − 1) ≥ 0 <=> 2x + 2 − 4x + 4 ≥ 0 x−1 x−1 x−1 <=> −2x + 6 ≥ 0 <=> (−2x + 6)(x − 1) ≥ 0 (2) x−1 • Παίρνω (-2x + 6)(x - 1) = 0 <=> x = 3 ή x = 1 . x −∞ 1 3 +∞ ** Βάζουμε διπλή γραμμή 0 − − 2x + 6 + + + στις τιμές που μηδενίζουν τον + 0 − παρονομαστή, λόγω των x−1 −0 + ≥0 περιορισμών! −2x + 6 πηλίκο Q(x) − // x−1 Οπότε έχουμε : 2x + 2 ≥ 4 <=> <=> x ∈ (1, 3] x−1 ► Παράδειγμα 4.4-3.2 -- Κλάσμα μεγαλύτερο ή μικρότερο ενός κλάσματος Να λύσετε την ανίσωση : x2 − 2 ≤ 2 (1) x2−1 x +1 • Έχω : x2 − 2 ≤ 2 <=> x2 − 2 ≤ 2 ΕΚΠ = (x + 1)(x – 1) x2−1 x +1 (x + 1)(x−1) x + 1 Περιορισμοί: ● Πρέπει (x + 1)(x – 1) ≠ 0 <=> x2 − 2 − 2 ≤ 0 <=> x ≠ 1 και x ≠ −1 (x + 1)(x−1) x + 1 <=> x2 − 2 − 2(x − 1) ≤ 0 (x + 1)(x−1) (x + 1)(x − 1) <=> x2 − 2 − 2x + 2 ≤ 0 <=> x2 − 2x ≤ 0 <=> (x2 - 2x)(x + 1)(x - 1) ≤ 0 (2) (x + 1)(x−1) (x + 1)(x−1) • Παίρνω (x2 − 2x)(x + 1)(x - 1) = 0 <=> ...... <=> x = −1 ή x = 0 ή x = 1 ή x = 2 x -∞ -1 0 1 2 +∞ x+1 –O + + + + (*) x–1 – – –O+ + x2 – 2x + +O– – O+ (**) P(x) + // – O + // – Ο + Άρα (x2 − 2x)(x + 1)(x − 1) ≤ 0 <=> x∈ (-1, 0]U(1, 2] 224

■ 4.4 – 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ με ριζικά (ΑΡΡΗΤΕΣ) Στις ανισώσεις αυτές, έχουμε ένα ή περισσότερα ριζικά . ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Παρατηρήσεις Στις εξισώσεις, στο σχολικό βιβλίο δεν παίρνει καθόλου περιορισμούς και αφήνει τον έλεγχο των λύσεων που βρίσκουμε, να τον κάνουμε στο τέλος με δοκιμή στην αρχική εξίσωση. • Σε αντίθεση με τις εξισώσεις, στις ανισώσεις οι περιορισμοί γίνονται υποχρεωτικοί και αυστηροί , διότι από εκεί θα προκύψουν όλες οι λύσεις, από ένα σύστημα ανισώσεων. (μαζί με την τελική, ισοδύναμη ανίσωση με την αρχική, όπου καταλήγουμε μετά από πράξεις.) • Στους περιορισμούς που παίρνουμε, όπως και στις εξισώσεις, εκτός από τους προφανείς, ότι όλες οι υπόρριζες ποσότητες πρέπει να είναι μεγαλύτερες ή ίσες του μηδενός, θα πρέπει να διαχωρίζουμε περιπτώσεις, ώστε να ελέγχουμε αν ένα μέλος είναι θετικό (π.χ. μία ρίζα), και να δούμε τι σχέση έχει με το άλλο μέλος, αν είναι θετικό ή αρνητικό. (θα γίνει κατανοητό στα παραδείγματα) • Μετά τους περιορισμούς στόχος μας είναι να φέρουμε το ένα ριζικό μόνο του στο ένα μέλος, και κατόπιν να υψώσουμε στο τετράγωνο. • Μία ανισοτική σχέση μπορούμε να την υψώνουμε στο τετράγωνο αν και τα 2 μέλη της είναι θετικά. ► Παράδειγμα 4.4-4.1 x − 2 > 3 (1) Να λύσετε την ανίσωση : • Έχω : x − 2 > 3 Περιορισμοί: ● Πρέπει x – 2 ≥ 0 <=> ( x − 2 )2 > 32 <=> x ≥ 2 <=> x – 2 > 9 <=> x > 11 Περιορισμοί: ● Πρέπει 2x – 2 ≥ 0 <=> 2x ≥ 2 Άρα γενικά και με τον περιορισμό, οι λύσεις της ανίσωσης <=> x ≥ 1 είναι όλα τα x για τα οποία ισχύει : x > 11 και 10 – x ≥ 0 <=> x ≤ 10 Άρα γενικά πρέπει : 1 ≤ x ≤ 10 ► Παράδειγμα 4.4-4.2 2x − 2 ≤ 10 − x (1) Να λύσετε την ανίσωση : • Έχω : 2x − 2 ≤ 10 − x <=> ( 2x − 2 )2 ≤ ( 10 − x )2 <=> 2x – 2 ≤ 10 – x <=> 3x ≤ 12 <=> x ≤ 4 Άρα 1 ≤ x ≤ 4 225

► Παράδειγμα 4.4-4.3 --- Ειδική περίπτωση 1 Να λύσετε την ανίσωση : x2 + 2 > – 4 • Για κάθε x∈ℝ η ανίσωση ισχύει , διότι το 1ο μέλος είναι Περιορισμοί: μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, ενώ το 2ο αρνητικό! ● Πρέπει x2 + 2 ≥ 0 που ισχύει για κάθε x∈ℝ ! Δηλαδή \"κάτι θετικό είναι μεγαλύτερο από κάτι αρνητικό\" ! • 2x − 10 > – 1 ισχύει! για κάθε x∈ℝ : θετικό αρνητικό Άρα οι λύσεις είναι όλα τα x∈ℝ ! ► Παράδειγμα 4.4-4.4 --- Ειδική περίπτωση 2 Να λύσετε την ανίσωση : 2x − 10 > – 1 • Για κάθε x ≥ 5 η ανίσωση ισχύει , διότι το 1ο μέλος είναι Περιορισμοί: μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, ενώ το 2ο αρνητικό! ● Πρέπει 2x – 10 ≥ 0 <=> 2x ≥ 10 <=> x ≥ 5 Δηλαδή \"κάτι θετικό είναι μεγαλύτερο από κάτι αρνητικό\" ! • 2x − 10 > – 1 για κάθε x ≥ 5 : θετικό ισχύει! αρνητικό Άρα οι λύσεις είναι όλα τα x∈ [5, +∞) . ► Παράδειγμα 4.4-4.5 --- Ειδική περίπτωση 3 Να λύσετε την ανίσωση : 7−x < –3 • Για κάθε x ≤ 7 η ανίσωση είναι αδύνατη , διότι το 1ο μέλος Περιορισμοί: είναι μεγαλύτερο ή ίσο του μηδενός, ενώ το 2ο αρνητικό! ● Πρέπει 7 – x ≥ 0 <=> x ≤ 7 Δηλαδή \"κάτι θετικό είναι μικρότερο από κάτι αρνητικό\" ! • 7−x > –3 αδύνατο! για κάθε x ≤ 7 : θετικό αρνητικό Άρα οι λύσεις είναι όλα τα x∈ (–∞, 7] . 226

► Παράδειγμα 4.4-4.6 2x > 4 – x (1) Να λύσετε την ανίσωση : ● Ο βασικός περιορισμός είναι ότι πρέπει : 2x ≥ 0 <=> x ≥ 0 . Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις για το 2ο μέλος, αφού μπορεί να είναι και αρνητικό. --------------------------------------------------------------------- ►1η περίπτωση : Αν 4 – x < 0 <=> x > 4 Αφού το 1ο μέλος είναι θετικό για κάθε x ≥ 0 (από τον 1ο περιορισμό) , και το 2ο μέλος είναι αρνητικό για x > 4 , σημαίνει ότι για κάθε x > 4 σίγουρα ισχύει η ανισότητα! (αφού μας λέει ότι \"κάτι θετικό είναι μεγαλύτερο από κάτι αρνητικό\" !) • 2x > 4 – x ισχύει! για κάθε x > 4 : θετικό αρνητικό --------------------------------------------------------------------- ►2η περίπτωση : Αν 4 – x ≥ 0 <=> x ≤ 4 • Έχω : 2x > 4 – x Έχουμε δηλ. τους περιορισμούς • x≥0 <=> ( 2x )2 > (4 – x)2 <=> 2x > 16 – 8x + x2 <=> και • x≤4 <=> x2 – 10x + 16 < 0 (2) Άρα γενικά : 0 ≤ x ≤ 4 (Π1) • Παίρνω : x2 – 10x + 16 = 0 (Δ = 36) <=> x = 2 ή x = 8 x -∞ 2 8 +∞ + x2 – 10x + 16 + 0 - 0 • Οι λύσεις της ανίσωσης (2) είναι τα x για τα οποία ισχύει : 2 < x < 8 . (3) • Από τον περιορισμό (Π1) και από την σχέση (3) , βλέπουμε ότι οι ανισώσεις αυτές συναληθεύουν στο διάστημα : (2, 4] --------------------------------------------------------------------- ► Τελικά, το σύνολο όλων των λύσεων, είναι η ένωση των διαστημάτων και των 2 περιπτώσεων! x∈ (2, 4] U (4, +∞) <=> x ∈ (2, +∞) Δηλαδή : 227

► Παράδειγμα 4.4-4.7 x + 5 < 1 – x (1) Να λύσετε την ανίσωση : ● Ο βασικός περιορισμός είναι ότι πρέπει : x + 5 ≥ 0 <=> x ≥ - 5 . Διακρίνουμε 2 περιπτώσεις για το 2ο μέλος, αφού μπορεί να είναι και αρνητικό. --------------------------------------------------------------------- ►1η περίπτωση : Αν 1 – x < 0 <=> x > 1 Αφού το 1ο μέλος είναι θετικό για κάθε x ≥ -5 (από τον 1ο περιορισμό) , και το 2ο μέλος είναι αρνητικό για x > 1 , σημαίνει ότι για κάθε x > 1 η ανίσωση είναι αδύνατη! (αφού μας λέει ότι \"κάτι θετικό είναι μικρότερο από κάτι αρνητικό\" !) • x+5 < 1–x για κάθε x > 1 : θετικό αδύνατο! αρνητικό --------------------------------------------------------------------- ►2η περίπτωση : Αν 1 – x ≥ 0 <=> x ≤ 1 • Έχω : x + 5 < 1 – x x + 5 < 1 – 2x + x2 <=> Έχουμε δηλ. τους περιορισμούς <=> ( x + 5 )2 < (1 – x)2 <=> (Δ = 25) • x ≥ -5 <=> x2 – 3x – 4 < 0 (2) και • x≤1 • Παίρνω : x2 – 3x – 4 = 0 <=> x = -1 ή x = 4 Άρα γενικά : -5 ≤ x ≤ 1 (Π1) x -∞ -1 4 +∞ x2 – 3x – 4 0– 0 + + • Οι λύσεις της ανίσωσης (2) είναι τα x για τα οποία ισχύει : -1 < x < 4 . (3) • Από τον περιορισμό (Π1) και από την σχέση (3) , βλέπουμε ότι οι ανισώσεις αυτές συναληθεύουν στο διάστημα : (-1, 1] --------------------------------------------------------------------- ► Τελικά, το σύνολο όλων των λύσεων, είναι οι λύσεις μόνο της 2ης περίπτωσης. x∈ (-1, 1] . Δηλαδή : 228

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x −1 > 0 β) 3x + 12 ≥ 0 6 − 2x x−2 2. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) x − 2 ≤ 2 β) 4x2 − 2x > 3 x+4 x2 +1 3. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) x2 + 2x − 7 ≤ 2 α) 3 − x – 5 ≥ 3 x2 − 5x + 6 x−3 x −1 x --------------------------------------------------------------------- 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 2x − 8 ≤ 4 β) x − 5 > - 3 γ) 7 − x < - 1 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) x + 3 > 6 − 2x α) x ≤ 12 − x 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) x2 + 3 > x + 5 α) x + 6 < x 229

● Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος >> Α' Ομάδα 1. Κάθε παράσταση της μορφής αxν , όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ΣΛ ν ένας θετικός ακέραιος , ονομάζεται μονώνυμο του x . ΣΛ ΣΛ 2. Σε ένα πολυώνυμο του x , ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 , οι αριθμοί ΣΛ α0 , α1 , ….. , αν λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου . 3. Σε ένα πολυώνυμο του x , ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 , ο σταθερός όρος του πολυωνύμου είναι το α0 . 4. Για κάθε πολυώνυμο P(x) = ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 με πραγματικούς συντελεστές , ο αριθμός ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου . 5. Όλα τα σταθερά πολυώνυμα , εκτός από το Μηδενικό πολυώνυμο έχουν βαθμό 0. Σ Λ 6. Ρίζα ενός πολυωνύμου ονομάζεται ένας πραγματικός αριθμός ρ , για τον ΣΛ οποίο η τιμή του πολυωνύμου είναι ίση με μηδέν. 7. Το σταθερό πολυώνυμο c έχει τιμή c για όλες τις τιμές του x . ΣΛ 8. Τα ίσα πολυώνυμα έχουν ίσες τιμές για όλες τις τιμές του x . ΣΛ 9. Αν το άθροισμα δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, ΣΛ τότε ο βαθμός του είναι ίσος με το μέγιστο των βαθμών των δυο πολυωνύμων. 10. Ο βαθμός του γινομένου δυο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το Σ Λ άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. --------------------------------------------------------------------- 11. Αν διαιρέσουμε το πολύώνυμο Δ(x) με το πολυώνυμο δ(x) (με δ(x) ≠ 0 ) , Σ Λ τότε το υπόλοιπο υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του διαιρέτη δ(x) . 12. Αν διαιρέσουμε το πολύώνυμο Δ(x) με το πολυώνυμο δ(x) (με δ(x) ≠ 0 ) , ΣΛ και το υπόλοιπο είναι υ(x) = 0 , τότε το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x). 13. Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το x – ρ είναι ίσο με την ΣΛ τιμή του πολυωνύμου για x = ρ . 14. Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο Ρ(x) με το x – ρ , τότε το P(x) μπορεί να ΣΛ γραφεί ως P(x) = (x − ρ)π(x) + P(ρ) . 15. Αν ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει παράγοντα το x–ρ , τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ(x). Σ Λ 16. Αν ένα πολυώνυμο Ρ(x) έχει ρίζα του το ρ , τότε το x–ρ είναι παράγοντας του ΣΛ Ρ(x). 17. Αν για ένα πολυώνυμο P(x) και έναν πραγματικό αριθμό ρ ισχύει P(ρ) = 0 , το ΣΛ (x – ρ) δεν είναι πάντα παράγοντας του P(x) . 230

--------------------------------------------------------------------- 18. Με το σχήμα Horner μπορούμε να κάνουμε διαίρεση δύο οποιονδήποτε ΣΛ πολυωνύμων. 19. Αν θέλουμε να κάνουμε διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) που έχει βαθμό ν , με ΣΛ το (x – ρ) με το Σχήμα Horner , τότε ο πίνακας στο Σχήμα Horner θα έχει ν+1 ΣΛ στήλες . 20. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν + αν-1xν-1 + …… + α1x + α0 = 0 , αν ≠ 0 με ακέραιους συντελεστές . Αν ο ακέραιος ρ ≠ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 . 21. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν + αν-1xν-1 + …… + α1x + α0 = 0 , αν ≠ 0 ΣΛ με ακέραιους συντελεστές . Αν ο ακέραιος ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0 , τότε είναι και ρίζα της εξίσωσης. 231

>> Β' Ομάδα (Κρίσεως) ΣΛ ΣΛ 1. Το πολυώνυμο Ρ(x) = 0x4 + 0x3 + 2x2 − x + 1 είναι 4ου βαθμού. ΣΛ 2. Το άθροισμα 2 πολυωνύμων 3ου βαθμού ενδέχεται να είναι 2ου βαθμού. ΣΛ 3. Αν P(x) είναι πολυώνυμο 2ου βαθμού και Q(x) είναι πολυώνυμο 3ου βαθμού, ΣΛ το γινόμενο P(x)∙Q(x) είναι πολυώνυμο 6ου βαθμού . ΣΛ 4. Αν το πολυώνυμο P(x) διαιρείται από το πολυώνυμο Q(x) , τότε το P(x) μπορεί να γραφεί P(x) = Q(x)∙R(x) , για κάποιο πολυώνυμο R(x) . ΣΛ ΣΛ 5. Αν διαιρέσουμε ένα πολυώνυμο Ρ(x) με το x – 2 , τότε το υπόλοιπό της διαίρεσης είναι το P(2) . ΣΛ 6. Αν για ένα πολυώνυμο P(x) ισχύει P(3) = 0 , τότε το x – 3 είναι παράγοντας ΣΛ του P(x) , δηλαδή γράφουμε P(x) = (x – 3)π(x) , για κάποιο πολυώνυμο π(x) . ΣΛ 7. Η διαίρεση (x3 + 2x – 5) : (x2 – 1) μπορεί να γίνει και με το Σχήμα Horner . ΣΛ ΣΛ 8. Αν θέλουμε να κάνουμε διαίρεση του πολυωνύμου P(x) = x3 – x – 2 , με το (x–4) με το Σχήμα Horner , τότε ο πίνακας στο Σχήμα Horner θα έχει 3 στήλες . ΣΛ 9. Το υπόλοιπο μίας διαίρεσης πολυωνύμων που γίνεται με το Σχήμα Horner είναι ΣΛ πάντα 0. 10. Η διαίρεση ενός πολυωνύμου P(x) με το (x – ρ) με το Σχήμα Horner , γίνεται μόνο όταν ο αριθμός ρ είναι ακέραιος . 11. Το πολυώνυμο P(x) = αx4 + βx2 + γ με α, β, γ ομόσημους , δεν έχει ρίζες . 12. Το πολυώνυμο P(x) = x6 + 3x2 + 5 δεν έχει παράγοντα της μορφής x – ρ . 13. Δίνεται η εξίσωση αx3 + βx2 + γx + 4 = 0 . Αν κανένας από τους αριθμούς -2, -1, 1, 2 δεν είναι ρίζα της εξίσωσης , τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες ρίζες. 14. Η Γραφική Παράσταση μιας πολυωνυμικής συνάρτησης είναι πάνω από τον άξονα x'x στα διαστήματα (του x) που είναι οι λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0 . 15. Δίνεται μία πολυωνυμική συνάρτηση f . Οι λύσεις της εξίσωσης f(x) = 0 είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής παράστασης της f με τον άξονα x'x. 232

5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ και ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.1 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ■ Υπενθύμιση στις δυνάμεις πραγματικών αριθμών Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της δύναμης με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο. ● Δυνάμεις με εκθέτη θετικό ακέραιο Στην αρχή ορίσαμε τη δύναμη ενός πραγματικού αριθμού με εκθέτη θετικό ακέραιο, ως εξής: αν = α ⋅ α ⋅ α ⋅.... ⋅ α , αν ν > 1 , α∈ℝ και ν∈ℕ* α , αν ν = 1 >> Π.χ. //  − 1 2 =  − 1   − 1  = 1 // (-3)3 = (-3)∙(-3)∙(-3) = - 27 43 = 4∙4∙4 = 64  2   2   2  4 ● Δυνάμεις με εκθέτη ακέραιο (θετικό, αρνητικό ή μηδέν) Στη συνέχεια , επεκτείναμε την έννοια της δύναμης ενός πραγματικού αριθμού και στην περίπτωση που ο εκθέτης είναι ακέραιος, με τη βοήθεια των ισοτήτων : α0 = 1 και α-ν = 1 =  1 ν , και α ≠ 0 , ν∈ℕ* αν  α  >> Π.χ. 50 = 1 // (-3)0 = 1 // 4-1 = 1 //  2 −1 = 5 //  − 2 −2 =  − 3 2 = 9 4  5  2  3   2  4 1 12 ** Στη συνέχεια θα ορίσουμε παραστάσεις της μορφής 22 , 34 , 35 και γενικά της μορφής µ αν , όπου α ≥ 0, μ : ακέραιος , ν : θετικός ακέραιος Τις παραστάσεις αυτές θα ονομάσουμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. 233

■ 5.1 -1. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω α ένας θετικός αριθμός και α ≠ 1 . Δηλαδή α∈ (0,1)U(1, +∞) . Όπως είδαμε προηγουμένως για κάθε x∈ℝ ορίζεται η δύναμη αx . * Ορισμός • Για α∈ (0,1)U(1, +∞) , αντιστοιχίζοντας κάθε x∈ℝ στη δύναμη αx , ορίζουμε τη συνάρτηση: f : ℝ → ℝ με f(x) = αx , η οποία λέγεται εκθετική συνάρτηση με βάση α . (* Δεν έχει νόημα να πάρουμε βάση α = 1, γιατί τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f(x) = 1.) ► Παράδειγμα 5.1 - 1.1 Έστω ότι έχουμε την εκθετική συνάρτηση f(x) = 2x . Για να σχεδιάσουμε τη γραφική της παράσταση κατασκευάζουμε τον πίνακα τιμών: x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = 2x 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 16 8 4 2 Π.χ. για x = 0  y = 20 = 1 1 για x = 3  y = 23 = 8 4 για x = -2  y = 2-2 = ( 1 )2 = 2 Τοποθετώντας τα σημεία (x, y) του παραπάνω πίνακα στο καρτεσιανό επίπεδο και ενώνοντάς τα με συνεχή καμπύλη έχουμε το διπλανό σχήμα. ■ Γενικά, κάθε συνάρτηση της μορφής της μορφής f(x) = αx με βάση α > 1 , αποδεικνύεται ότι: • Έχει πεδίο ορισμού το ℝ . • Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+∞) των θετικών πραγματικών αριθμών. • Είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. Δηλαδή για κάθε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει: αν x1 < x2 , τότε αx1 < αx2 . • Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x. 236

■ Ο αριθμός e Υπάρχει μία χαρακτηριστική ακολουθία , της οποίας ο ν-οστός όρος δίνεται από τον τύπο : αν = 1 + 1 ν ν  Καθώς το ν αυξάνεται, αυξάνεται και το 1 + 1 ν και προσεγγίζει έναν ορισμένο πραγματικό ν  αριθμό. Ο αριθμός αυτός είναι άρρητος και συμβολίζεται με e. (Ο συμβολισμός αυτός οφείλεται στο μεγάλο Ελβετό, μαθηματικό Leohard Euler (1707-1783). ) Ο αριθμός e με προσέγγιση πέντε δεκαδικών ψηφίων είναι : e = 2,71828 Συμβολικά γράφουμε : e = lim 1 + 1 ν ν  ν→∞ ■ Η εκθετική συνάρτηση f(x) = ex Σε πολλές πραγματικές εφαρμογές εμφανίζονται εκθετικές συναρτήσεις με βάση τον αριθμό e. * Η απλούστερη τέτοια συνάρτηση είναι η f(x) = ex . - Αφού έχει βάση το e  2,71 (δηλαδή η βάση είναι μεγαλύτερη του 1) , έχει τις ιδιότητες των εκθετικών συναρτήσεων με βάση α > 1. ■ Η συνάρτηση f(x) = ex (e  2,71 > 1), ονομάζεται απλώς εκθετική , και γι' αυτήν ισχύουν : • Έχει πεδίο ορισμού το ℝ . • Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+∞) των θετικών πραγματικών αριθμών. • Είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. Δηλαδή για κάθε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει: αν x1 < x2 , τότε ex1 < ex2 . • Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα των x. * Χαρακτηριστικό σημείο της γραφικής παράστασης (εκτός από το (0, 1) ) είναι και το (1, e) . 238

■ Η εκθετική συνάρτηση f(x) = e-x Η συνάρτηση αυτή γράφεται : f(x) = e-x =  1 x .  e  Δηλαδή έχει τις ιδιότητες των εκθετικών συναρτήσεων με βάση που είναι μεταξύ του 0 και του 1. (0< 1 <1) e ■ Άρα, για την συνάρτηση f(x) = e-x ισχύουν : • Έχει πεδίο ορισμού το ℝ . • Έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0,+∞) των θετικών πραγματικών αριθμών. • Είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ. Δηλαδή για κάθε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει: αν x1 < x2 , τότε e−x1 > e−x2 . • Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο Α(0,1) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα των x. * Χαρακτηριστικό σημείο της γραφικής παράστασης (εκτός από το (0, 1) ) είναι και το (–1, e) . 239

■ 5.1 -2. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ * Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις των εκθετικών συναρτήσεων f(x) = αx , είτε για α > 1 είτε για 0 < α < 1 , επειδή είναι γνησίως μονότονες , βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης που να βρίσκονται \"στο ίδιο ύψος\". f(x) = αx με α > 1 f(x) = αx με 0 < α < 1 γνησίως αύξουσα γνησίως φθίνουσα * Αυτό αλγεβρικά, το γράφουμε ως εξής : (1) για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ℝ , με x1 ≠ x2 , ισχύει ότι αx1 ≠ αx2 . (2) (( διαφορετικά x , έχουν διαφορετικές τιμές f(x) )) * Mε απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι η παρακάτω ισοδύναμη πρόταση : για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ℝ , με αx1 = αx2 , ισχύει ότι x1 = x2 . (( ίσες τιμές f(x) , έχουν μόνο τα ίσα x )) * Παρατήρηση : - Συναρτήσεις στις οποίες ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις, όπως θα δούμε στην Γ' Λυκείου, ονομάζονται \"Συναρτήσεις 1 προς 1\" (συμβολισμός : 1-1 ) - Εύκολα καταλαβαίνουμε, ότι όλες οι γνησίως μονότονες συναρτήσεις είναι και συναρτήσεις 1-1. ** Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται εκθετικές εξισώσεις . ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση Εκθετικών Εξισώσεων Η βασική μορφή των εκθετικών εξισώσεων είναι αΡ(x) = αQ(x) , όπου Ρ(x) και Q(x) είναι παραστάσεις του x ( ή μπορεί και κάποιο από τα 2 να είναι αριθμός). Οπότε, αφού έχουμε ίσες βάσεις, εξισώνουμε τους εκθέτες , δηλαδή : αΡ(x) = αQ(x) <=> Ρ(x) = Q(x) . (λόγω της παραπάνω σχέσης (2) ) 241

► Παράδειγμα 5.1-2.1 - Γράφουμε την μία δύναμη με βάση ίδια με της άλλης δύναμης Να λύσετε την εξίσωση : 3x+1 = 9 >> Λύση : <=> 3x+1 = 32 <=> x + 1 = 2 <=> x = 1 Έχω : 3x+1 = 9 ► Παράδειγμα 5.1-2.2 8x-3 = 2x+1 Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : 8x-3 = 2x+1 <=> (23)x-3 = 2x+1 * Παρατήρηση : Όταν δεν έχουμε ίσες βάσεις στα 2 μέλη, <=> 23x-9 = 2x+1 <=> 3x – 9 = x + 1 φτιάχνουμε εμείς τις δυνάμεις ώστε να έχουν ίσες βάσεις, προσπαθώντας να <=> 2x = 10 <=> x = 5 βρούμε την μικρότερη κοινή βάση. (εδώ το 2) ► Παράδειγμα 5.1-2.3 5x2 −3 = 5 Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : 5x2 −3 = 5 <=> 5x2 −3 = 51 * Παρατήρηση : Ένας σκέτος σταθερός αριθμός είναι <=> x2 – 3 = 1 <=> x2 = 4 <=> x = ± 2 δύναμη του εαυτού του με εκθέτη το 1 ! ► Παράδειγμα 5.1-2.4 ex2−2x = 1 Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : ex2−2x = 1 <=> ex2 −2x = e0 * Παρατήρηση : Ο αριθμός 1 μπορεί να γραφεί ως <=> x2 – 2x = 0 <=> x(x – 2) = 0 δύναμη, με οποιαδήποτε βάση, και εκθέτη το 0 ! <=> x = 0 ή x = 2 (αφού για κάθε α > 0 , ισχύει : α0 = 1 ) 242

► Παράδειγμα 5.1-2.5 - Γράφουμε και τις 2 βάσεις, ως δυνάμεις μικρότερης βάσης Να λύσετε την εξίσωση : 32x = 161-x >> Λύση : Έχω : 32x = 161-x <=> (25)x = (24)1-x * Παρατήρηση : To 16 και το 32 γράφονται ως <=> 25x = 24-4x <=> 5x = 4 – 4x δυνάμεις με βάση το 2 ! <=> 9x = 4 <=> x = 4 9 ► Παράδειγμα 5.1-2.6  1 x = 46-x Να λύσετε την εξίσωση :  2  >> Λύση : Έχω :  1 x = 46-x <=>  1 x = (22)6-x * Παρατήρηση : να  2   2  Σε κάθε δύναμη μπορούμε να αντιστρέψουμε την βάση και  1 x υψώσουμε στον αντίθετο εκθέτη.  2  <=> = 212-2x <=> 2-x = 212-2x  α ν  β −ν  α   β  =   <=> – x = 12 – 2x <=> 2x – x = 12 <=> x = 12 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα κυρίως σε δυνάμεις που έχουν βάση κλάσμα. ► Παράδειγμα 5.1-2.7 - Η μία δύναμη είναι \"κρυφή\" και προκύπτει μετά από πράξεις Να λύσετε την εξίσωση : 3x + 4∙3x = 45 >> Λύση : 5∙3x = 45 * Παρατήρηση : Έχω : 3x + 4∙3x = 45 <=> Μπορώ να σκεφτώ τον όρο 3x γενικά ως έναν όρο με ένα γράμμα, έστω λ . Τότε <=> 3x = 45 <=> 3x = 9 θέτω 3x = λ και η εξίσωση γίνεται : 5 <=> x = 2 λ + 4λ = 45 <=> 4λ = 45 <=> λ = 9 <=> 3x = 32 Η περίπτωση αυτή θεωρείται απλή, αλλά μπορούμε να κάνουμε και την αντικατάσταση αν θέλουμε. 243

► Παράδειγμα 5.1-2.8 - Αντικατάσταση και μετατροπή σε εξίσωση 1ου βαθμού Να λύσετε την εξίσωση : 2x + 2x+1 + 3∙2x+2 = 0 (1) >> Λύση : Έχω : 2x + 2x+1 + 3∙2x+2 = 60 * Παρατήρηση : - Γράφω το 2x+1 ως 2x∙21 , δηλ 2∙2x <=> 2x + 2∙2x + 3∙22∙2x = 60 (*) ...από την ιδιότητα των δυνάμεων <=> 2x + 2∙2x + 12∙2x = 60 (2) αμ+ν = αμ ∙αν • Θέτω : y = 2x . (δηλαδή y > 0 !) Άρα έχω : (2) <=> y + 2y + 12y = 60 <=> 15y = 60 <=> y = 4 <=> 2x = 4 <=> 2x = 22 <=> x = 2 ► Παράδειγμα 5.1-2.9 - Αντικατάσταση και μετατροπή σε εξίσωση 1ου βαθμού Να λύσετε την εξίσωση : 2∙5x+1 – 5x = 6 + 75∙5x – 2 (1) 5 >> Λύση : Έχω : 2∙5x+1 – 5x = 6 + 75∙5x – 2 * Παρατήρηση : 5x 5 - Γράφω το 5x – 2 ως 52 <=> 2∙5∙5x – 5x = 6 + 75∙ 5x (*) 5 52 ...από την ιδιότητα των δυνάμεων <=> 2∙5∙5x – 5x = 6 + 3∙25∙ 5x αμ – ν = αµ 5 25 αν <=> 10∙5x – 5x = 6 + 3∙5x (2) 5 • Θέτω : y = 5x . (δηλαδή y > 0 !) Άρα έχω : (2) <=> 10y – y = 6 + 3y <=> 6y = 6 <=> y = 1 5 55 <=> 5x = 1 <=> 5x = 5-1 <=> x = –1 5 244

► Παράδειγμα 5.1-2.10 - Αντικατάσταση και μετατροπή σε δευτεροβάθμια εξίσωση Να λύσετε την εξίσωση : 4x – 3∙2x + 2 = 0 (1) >> Λύση : (2) * Παρατήρηση : Έχω : 4x – 3∙2x + 2 = 0 - Γράφω το 4x ως δύναμη του 2x . <=> (22)x – 3∙2x + 2 = 0 <=> 22x – 3∙2x + 2 = 0 - Από την ιδιότητα των δυνάμεων <=> (2x)2 – 3∙2x + 2 = 0 (αμ)ν = αμν • Θέτω : y = 2x . (δηλαδή y > 0 !) μπορούμε γενικά να αντιμεταθέτουμε τους εκθέτες. Δηλαδή να γράψουμε και απ' ευθείας το (22)x ως (2x)2 . • Η εξίσωση γίνεται: y2 - 3y + 2 = 0 (3) Δ = β2 - 4αγ = (-3)2 - 4·1·2 = 9 - 8 = 1 άρα y =1 2x = 1  2x = 20  x = 0          ή  <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή  y = 2 2x = 2 2x = 21  x = 1   ► Παράδειγμα 5.1-2.11 32x+1 + 26∙3x – 3 = 0 (1) (Δίνεται : 784 = 28 ) Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : * Παρατήρηση : Έχω : 32x+1 + 26∙3x – 3 = 0 - \"Σπάω\" την δύναμη 32x+1 <=> 32x ∙31 + 26∙3x – 3 = 0 3∙32x ώστε να <=> 3∙32x + 26∙3x – 3 = 0 σε γινόμενο <=> 3∙(3x)2 + 26∙3x – 3 = 0 (2) δημιουργήσω δύναμη του 3x . • Θέτω : y = 3x . (δηλαδή y > 0 !) • Η εξίσωση γίνεται: 3y2 + 26y – 3 = 0 (3) άρα Δ = β2 - 4αγ = 262 - 4·3·(-3) = 676 + 108 = 784   y = −26 ± 28 <=> y = −3 3x = −3 → αδύνατη! (αϕού 3x > 0) 6     ή  <=>  ή  = 1   = 1 <=> 3x = 1 <=> 3x = 3−2 <=> x = −2 y  3x 32  9 9 245

■ 5.1 -3. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ANΙΣΩΣΕΙΣ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ● Είδαμε ότι η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx , με α > 1 , είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 < x2 , τότε αx1 < αx2 . Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο. * Επομένως ισχύει η ισοδυναμία : f(x) = αx με α > 1 αx1 < αx2 <=> x1 < x2 γνησίως αύξουσα -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ● Επίσης, η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx , με 0 < α < 1 , είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ . Αυτό σημαίνει ότι για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 < x2 , τότε αx1 > αx2 . Αποδεικνύεται ότι ισχύει και το αντίστροφο. * Επομένως ισχύει η ισοδυναμία : f(x) = αx με 0 < α < 1 αx1 < αx2 <=> x1 > x2 γνησίως φθίνουσα ** Οι παραπάνω σχέσεις είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για την επίλυση ανισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στον εκθέτη, δηλαδή για τις εκθετικές ανισώσεις . ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση Εκθετικών Ανισώσεων Η βασική μορφή των εκθετικών εξισώσεων είναι αΡ(x) < αQ(x) (ή αΡ(x) < αQ(x) ) , όπου Ρ(x) και Q(x) είναι παραστάσεις του x ( ή μπορεί και κάποιο από τα 2 να είναι αριθμός). ► Αν α > 1 ισχύουν : αΡ(x) < αQ(x) <=> Ρ(x) < Q(x) * Παραμένει ίδια η φορά και αΡ(x) > αQ(x) <=> Ρ(x) > Q(x) της ανίσωσης και για τους εκθέτες. ► Αν 0 < α < 1 ισχύουν : αΡ(x) < αQ(x) <=> Ρ(x) > Q(x) * Αλλάζει η φορά της και αΡ(x) > αQ(x) <=> Ρ(x) < Q(x) ανίσωσης για τους εκθέτες. . 247

► Παράδειγμα 5.1-2.4 625∙5-x ≤ 1 Να λύσετε την ανίσωση : >> Λύση : * Παρατήρηση : Έχω : 625∙5-x ≤ 1 <=> 54∙5-x ≤ 1 Από την ιδιότητα αμαν = αμ+ν <=> 54-x ≤ 1 <=> 54-x ≤ 50 έχω ότι 54∙5-x = 54-x <=> 4 – x ≤ 0 <=> x ≥ 4 ► Παράδειγμα 5.1-2.5 --- Από εκθετική ανίσωση  σε δευτεροβάθμια Να λύσετε την ανίσωση : 4∙2x + 8 ≥ 33 (1) (Δίνεται : 961 = 31 ) 2x >> Λύση : Έχω : 4∙2x + 8 ≥ 33 * Παρατήρηση : 2x Κάνω απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας με το 2x . < ⋅2x > 4∙2x∙2x + 8 ∙2x ≥ 33∙2x 2x <=> 4∙(2x)2 + 8 ≥ 33∙2x <=> 4∙(2x)2 – 33∙2x + 8 ≥ 0 (2) • Θέτω : ω = 2x . (δηλαδή ω > 0 !) • Η ανίσωση γίνεται: 4ω2 – 33ω + 8 ≥ 0 (3) • Παίρνω : 4ω2 – 33ω + 8 = 0 (4) άρα Δ = β2 - 4αγ = (-33)2 - 4·4·8 = 1089 - 128 = 961 ω = 2  ω = 1   ή 8 4 ω = 33 ± 31     2⋅4 <=>  <=>  ή     = 64  ω =8  ω    8  ω –∞ 1 8 +∞ 4 + 4ω2 – 33ω + 8 + 0 –0 άρα για να ισχύει η ανίσωση (3) , πρέπει ισοδύναμα να ισχύει : ω ≤ 1  2x ≤ 1 2x ≤ 2−2  4    22  x ≤ −2         ή  <=> ή  <=>  ή  <=>  ή  <=> x∈ (–∞,–2)U(3, +∞) ω ≥ 8  2x ≥ 8  2x ≥ 23   x ≥ 3        249

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 2x = 32 β) 3x = 81 γ) 5x-2 = 125 δ) ex+1 = e3 ζ) ( 1 )5x = 1 ε) ( 1 )x = 8 στ) 1 = 1 2 3x 27 7 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 8x = 16 β) 9x-2 = 27 γ) ( 3 )x = ( 2 )x+2 δ) 16x+1 = 644-x 23 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 2∙2x = 8x β) e∙ ex2 = e2x γ) 9x = 3−x+7 δ) 7x2 +x+1 = 7 3 ε) 5x2 −x = 25 στ) 33x2 −10x+3 = 1 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) 2∙5x + 3∙5x = 125 γ) 3∙7x + 7x = 4 α) 2x + 7∙2x = 64 ε) 3x-1 + 2∙3x = 3x+2 – 20 49 δ) 2x+1 + 2∙2x = 14 + 2x – 1 27 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) 3∙9x + 8∙3x – 3 = 0 γ) 22x+1 + 7∙2x – 4 = 0 α) 2∙22x – 3∙2x + 1 = 0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) 9∙2x – 3x – 2 = 5∙3x – 1 α) 25∙2x – 4∙5x = 0 --------------------------------------------------------------------- 7. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 3x+1 > 32x-4 β) 5x-5 < 55-x γ) ( 1 )x-3 ≥ ( 1 )3x+9 δ) ( 1 )2x < 1 22 e ex2 8. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 2∙2x < 2 β) ( 1 )2x+5 > 1 γ) ex2 ≤ e δ) 53x > 5x 2x 3 5 9. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) 51∙5x – 2∙5x+2 < 625 α) 2∙3x < 135 – 3x+1 251

5.2 ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ Στην προηγούμενη παράγραφο, είδαμε ότι ορίζεται η δύναμη αx , με α > 0 και α ≠ 1 , για κάθε x∈ℝ . Έτσι, για παράδειγμα ορίσαμε την συνάρτηση f(x) = 2x . • Αν θέλουμε να βρούμε στην γραφική παράσταση της f το σημείο το οποίο έχει τεταγμένη 4 (δηλαδή y = 4), τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f(x) = 4 . - Επομένως έχουμε : f(x) = 4 <=> 2x = 4 <=> 2x = 22 <=> x = 2 Το ζητούμενο σημείο είναι το Α(2, 4). ------------------------------------------ • Αν θέλουμε να βρούμε στην γραφική παράσταση της f το σημείο το οποίο έχει τεταγμένη 8 (δηλαδή y = 8), τότε αρκεί να λύσουμε την εξίσωση f(x) = 8 . - Επομένως έχουμε : f(x) = 8 <=> 2x = 8 <=> 2x = 23 <=> x = 3 Το ζητούμενο σημείο είναι το Β(3, 8). • Έστω τώρα ότι θέλουμε να βρούμε το σημείο της γραφικής παράστασης της f , το οποίο έχει τεταγμένη 5 (δηλαδή y = 5). - Τότε πρέπει να λύσουμε την εξίσωση f(x) = 5 , η οποία όμως ισοδύναμα γράφεται : f(x) = 5 <=> 2x = 5 (1) … και δεν μπορούμε να γράψουμε το 5 ως δύναμη του 2 , ώστε να εξισώσουμε τους εκθέτες. - Το ζητούμενο σημείο, φαίνεται στο σχήμα, και είναι το σημείο Γ. Αν υποθέσουμε ότι η τετμημένη του σημείου Γ είναι x0 , παρατηρούμε ότι είναι x0  2,3 . Οπότε αυτή θα είναι και η λύση της εξίσωσης (1) . (( Με χρήση υπολογιστή τσέπης, μπορούμε να βρούμε ότι τελικά είναι x0  2,23 .)) * Τέτοιες εξισώσεις, όπως η (1) , δεν μπορούν να λυθούν με τις γνώσεις που έχουμε μέχρι, τώρα. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να βρίσκουμε κάποιες λύσεις προσεγγιστικά, από την γραφική παράσταση, όπως κάναμε στο προηγούμενο παράδειγμα. ** Με ανάλογο τρόπο, για τέτοιους εκθέτες όπως στο παραπάνω πρόβλημα, μπορούμε να βρούμε κατά προσέγγιση τη λύση της εξίσωσης: αx = θ , όπου α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0 255

** Η εξίσωση αx = θ , όπου α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0 έχει μοναδική λύση, αφού η εκθετική συνάρτηση f(x) = αx είναι γνησίως μονότονη και ο θ ανήκει στο σύνολο τιμών της. * Την μοναδική αυτή λύση (δηλαδή τον εκθέτη x) την συμβολίζουμε με logαθ και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α . ------------------------------------------------------------------- - Στον λογάριθμο logαθ , το α ονομάζεται βάση του λογαρίθμου και το θ ονομάζεται λογαριθμιζόμενη ποσότητα . *** Ώστε, αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε ισχύει η παρακάτω ΒΑΣΙΚΗ Ισοδυναμία : αx = θ <=> x = logα θ Ισοδύναμα αυτό διατυπώνεται ως εξής: * O λογάριθμος logα θ είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε την βάση α , για να βρούμε την λογαριθμιζόμενη ποσότητα θ . >> Παραδείγματα : 1) Αν θέλω να βρω τον λογάριθμο log2 8 (έστω x), σημαίνει ότι ψάχνω να βρω \"τον εκθέτη , στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 2 ώστε να δώσει αποτέλεσμα 8\" . Από την βασική ισοδυναμία δηλαδή, έχουμε : x = log2 8 <=> 2x = 8 <=> 2x = 23 <=> x = 3 Δηλαδή log2 8 = 3 . 2) Αν θέλω να βρω τον λογάριθμο log10 100 (έστω x), σημαίνει ότι ψάχνω να βρω \"τον εκθέτη , στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 10 ώστε να δώσει αποτέλεσμα 100\" . Από την βασική ισοδυναμία δηλαδή, έχουμε : x = log10 100 <=> 10x = 100 <=> 10x = 102 <=> x = 2 Δηλαδή log10 100 = 2 . 3) Αν θέλω να βρω τον λογάριθμο log4 2 (έστω x), σημαίνει ότι ψάχνω να βρω \"τον εκθέτη , στον οποίο πρέπει να υψωθεί το 4 ώστε να δώσει αποτέλεσμα 2\" . Δηλαδή, έχουμε : x = log4 2 <=> 4x = 2 <=> 22x = 21 <=> 2x = 1 <=> x= 1 2 Δηλαδή log4 2 = 1 . 2 256

Ακόμα, παρατηρούμε ότι : 4) Για να βρω τον λογάριθμο log3 3 (έστω x), έχω : x = log3 3 <=> 3x = 3 <=> x = 1 Δηλαδή log3 3 = 1 . * Γενικά, για οποιονδήποτε αριθμό α > 0 , ο λογάριθμος logα α , ισούται πάντα με 1 . Διότι : x = logα α <=> αx = α <=> x = 1 5) Για να βρω τον λογάριθμο log5 1 (έστω x), έχω : x = log5 1 <=> 5x = 1 <=> 5x = 50 <=> x = 0 Δηλαδή log5 1 = 0 . * Γενικά, για οποιονδήποτε αριθμό α > 0 , ο λογάριθμος logα 1 , ισούται πάντα με 0 . Διότι : x = logα 1 <=> αx = 1 <=> αx = α0 <=> x = 0 * Συνοψίζοντας, από την ΒΑΣΙΚΗ ισοδυναμία , και με τις 2 τελευταίες παρατηρήσεις, έχουμε τις παρακάτω σχέσεις – ιδιότητες : αx = θ <=> x = logα θ logα αx = x αlogα θ = θ logα α = 1 logα 1 = 0 257

>>> Παραδείγματα , πάνω στην ΒΑΣΙΚΗ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ■ 1η Περίπτωση : Ψάχνω τον λογάριθμο (τον εκθέτη) ** Σε αυτές τις περιπτώσεις, θέτω x τον ζητούμενο λογάριθμο, και από την Βασική Ισοδυναμία πηγαίνω σε εκθετική εξίσωση. ► Παράδειγμα 5.2-1.1 Να υπολογίσετε τους λογαρίθμους : α) log2 32 β) log3 81 γ) log2 1 δ) log10 0,01 2 >> Λύση : αx = θ <=> x = logα θ α) Θέτω : x = log2 32 Άρα x = log2 32 <=> 2x = 32 <=> 2x = 25 <=> x = 5 --------------------------------------------------------------------- β) Θέτω : x = log3 81 Άρα x = log3 81 <=> 3x = 81 <=> 3x = 34 <=> x = 4 --------------------------------------------------------------------- γ) Θέτω : x = log2 1 2 Άρα x = log2 1 <=> 2x = 1 <=> 2x = 2-1 <=> x = -1 2 2 --------------------------------------------------------------------- δ) Θέτω : x = log10 0,01 Άρα x = log10 0,01 <=> 10x = 0,01 <=> 10x = 10-2 <=> x = -2 259

■ 2η Περίπτωση : Ψάχνω την λογαριθμιζόμενη ποσότητα ** Σε αυτές τις περιπτώσεις, έχω τον λογάριθμο , και από την Βασική Ισοδυναμία πηγαίνω απ' ευθείας σε μία δύναμη . ► Παράδειγμα 5.2-1.2 Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση την λογαριθμιζόμενη ποσότητα : α) log2 x = -4 β) log1 x = 3 γ) log100 x = 1 δ) log10 3=3 >> Λύση : 2 2 5 αx = θ <=> x = logα θ α) log2 x = -4 <=> 2-4 = x <=> x = ( 1 )4 <=> x = 1 2 16 --------------------------------------------------------------------- β) log1 x = 3 <=> ( 1 )3 = x <=> x = 1 5 125 5 --------------------------------------------------------------------- γ) log100 x = 1 1 <=> x = 10 2 <=> 1002 = x <=> x = 100 --------------------------------------------------------------------- 3 δ) log x = 3 ( )<=> 3  1 2 3 32 <=> x =  32  3 2 =x <=> x = 34 <=> x = 4 33  <=> x = 4 27 260

■ 3η Περίπτωση : Ψάχνω την βάση του λογαρίθμου ** Συχνά χρειάζεται από μία σχέση µ να υψώσω και τα 2 μέλη \"εις την ν \" , δηλαδή µ αν = θ σε εκθέτη αντίστροφο από τον εκθέτη του α , ώστε να μείνει το α1 . µ µν ν µ⋅ν ν ν ν Δηλαδή : αν = θ <=> (αν )µ = θµ <=> αν µ = θµ <=> α1 = θµ <=> α = θµ µν * Άρα και απ' ευθείας, ισχύει : αν = θ <=> α = θµ ► Παράδειγμα 5.2-1.3 Να υπολογίσετε σε κάθε περίπτωση την βάση του λογαρίθμου : α) logα 27 = 3 β) logα 1 = –1 γ) logα 0,2 = 5 δ) logα 0,01 = 3 8 4 2 >> Λύση : αx = θ <=> x = logα θ α) logα 27 = 3 <=> α3 = 27 <=> α = 3 27 <=> α= 3 33 <=> α = 3 8 88 23 2 (Πιο αναλυτικά, θα μπορούσαμε να υψώσουμε και τα 2 μέλη \"εις την 1 \" ) 3 --------------------------------------------------------------------- β) logα 1 = –1 <=> α-1 = 1 <=> 1 = 1 <=> α = 4 4 4 α4 --------------------------------------------------------------------- γ) logα 0,2 = 5 11 <=> α5 = 0,2 <=> (α5)5 = 0, 25 <=> α = 5 0, 2 --------------------------------------------------------------------- 2  3 3 α2  = 3 ( )3 3 2 2 3 <=> α2 = 0,01 <=> α2 = 10-2 δ) logα 0,01 = <=> 10−2  −4 −4 ή τελικά α= 1 = 1 3 104 <=> α = 10 3 <=> α = 10 3 4 10 3 261

■ ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ Λογάριθμοι (Λογάριθμοι με βάση το 10) Πριν από την εξάπλωση των ηλεκτρονικών υπολογιστών, για πολύπλοκους αριθμητικούς υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν λογάριθμους με βάση το 10. * Οι λογάριθμοι που έχουν βάση το 10 λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι . - Στον δεκαδικό λογάριθμο ενός θετικού αριθμού θ , δεν χρειάζεται να γράφουμε την βάση, επομένως αντί να γράφουμε log10 θ , γράφουμε απλά logθ . Επομένως , στους δεκαδικούς λογαρίθμους η Βασική Ισοδυναμία γίνεται : δηλαδή 10x = θ <=> x = log10 θ 10x = θ <=> x = log θ ■ ΦΥΣΙΚΟΙ Λογάριθμοι (Λογάριθμοι με βάση το e ) Στα μαθηματικά είναι πολύ χρήσιμοι και έχουν πολλές εφαρμογές, οι λογάριθμοι με βάση τον αριθμό e . * Οι λογάριθμοι που έχουν βάση το e λέγονται φυσικοί ή νεπέριοι λογάριθμοι . - Στον φυσικό λογάριθμο ενός θετικού αριθμού θ , δεν γράφουμε την βάση, επομένως αντί να γράφουμε loge θ , γράφουμε ln θ . - Επομένως , στους φυσικούς λογαρίθμους η Βασική Ισοδυναμία γίνεται : δηλαδή ex = θ <=> x = loge θ ex = θ <=> x = ln θ **** Η Βασική Ισοδυναμία και οι ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ που προκύπτουν από αυτήν, γίνονται : 10x = θ <=> x = logθ ex = θ <=> x = lnθ ● log1 = 0 ● ln1 = 0 ● log10 = 1 ● lne = 1 ● log10x = x ● lnex = x ● 10logx = x ● elnx = x 263

5.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ■ 5.3 -1. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω α > 0 και α ≠ 1. Όπως είδαμε, για κάθε x > 0 ορίζεται ο λογάριθμος logα x . * Ορισμός • Για α∈ (0,1)U(1, +∞) , αντιστοιχίζοντας κάθε x∈(0, +∞) στον λογάριθμο logα x , ορίζουμε τη συνάρτηση: f : (0,+∞) → ℝ με f(x) = logα x , η οποία λέγεται λογαριθμική συνάρτηση με βάση α . * Η λογαριθμιζόμενη ποσότητα δηλαδή πρέπει πάντα να είναι θετική ! --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ● Ας θεωρήσουμε, τώρα, την λογαριθμική συνάρτηση f(x) = logα x . Επειδή, αν θέσω y τον λογάριθμο, ισχύει : logα x = y <=> αy = x αν το σημείο Μ(ξ, η) είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = logα x , τότε το σημείο Ν(η, ξ) θα είναι σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = αx και αντιστρόφως. - Τα σημεία, όμως, Μ(ξ, η) και Ν(η, ξ) είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x'Oy' . Επομένως: xOy και x'Oy' . * Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = logα x και y = αx είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες 269

Λαμβάνοντας υπόψη μας την παραπάνω συμμετρία και όσα μάθαμε για την εκθετική συνάρτηση f(x) = αx , καταλήγουμε στα παρακάτω συμπεράσματα. ■ Αν α > 1 , αποδεικνύεται ότι για την λογαριθμική συνάρτηση g(x) = logα x ισχύουν: • Έχει πεδίο ορισμού το (0, +∞) . • Έχει σύνολο τιμών το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών. • Είναι γνησίως αύξουσα . Δηλαδή για κάθε x1 , x2 ∈ (0, +∞), ισχύει: αν x1 < x2 , τότε logα x1 < logα x2 . __________________________________ • Από την μονοτονία προκύπτει ότι: ( logα x < 0 , αν 0 < x < 1) και ( logα x > 0 , αν x > 1) • Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Α(1, 0) και έχει ασύμπτωτο τον αρνητικό ημιάξονα Οy' . ► Χαρακτηριστικό παράδειγμα – ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ : ● Η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = lnx (e  2,71 > 1) • Έχει πεδίο ορισμού το διάστημα (0,+∞) των θετικών πραγματικών αριθμών . • Έχει σύνολο τιμών το ℝ . • Είναι γνησίως αύξουσα . Δηλαδή για κάθε x1 , x2 > 0 ισχύει: αν x1 < x2 , τότε lnx1 < lnx2 . ________________________________ • Χαρακτηριστικό σημεία της γραφικής παράστασης : Α(1, 0) και Β(e, 1) , αφού f(1) = ln1 = 0 f(e) = lne = 1 ■ Αν 0 < α < 1 , αποδεικνύεται ότι για την λογαριθμική συνάρτηση g(x) = logα x ισχύουν: • Έχει πεδίο ορισμού το (0, +∞) . • Έχει σύνολο τιμών το σύνολο ℝ των πραγματικών αριθμών. • Είναι γνησίως φθίνουσα . Δηλαδή για κάθε x1 , x2 ∈ (0, +∞), ισχύει: αν x1 < x2 , τότε logα x1 > logα x2 . Από την μονοτονία προκύπτει ότι: ( logα x > 0 , αν 0 < x < 1) και ( logα x < 0 , αν x > 1) • Η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο Α(1, 0) και έχει ασύμπτωτο τον θετικό ημιάξονα Οy. 270

** Παρατήρηση : Όσον αφορά το Πεδίο Ορισμού μίας λογαριθμικής συνάρτησης που δεν βρίσκεται μόνο το x στον λογάριθμο, πρέπει να παίρνουμε τον Περιορισμό ώστε η λογαριθμιζόμενη ποσότητα να είναι μεγαλύτερη του μηδενός . Δηλαδή , για κάθε συνάρτηση της μορφής f(x) = lnA(x) , όπου Α(x) είναι μία παράσταση του x , πρέπει να είναι Α(x) > 0 . ► Παράδειγμα 5.3-1.1 Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού και να κάνετε την γραφική παράσταση για τις συναρτήσεις : α) f(x) = lnx + 2 β) g(x) = lnx – 1 α) • Η f έχει Πεδίο Ορισμού, όπως και η φ(x) = lnx , το διάστημα (0, +∞). • Η γραφική παράσταση της φ(x) = lnx διέρχεται από τα χαρακτηριστικά σημεία Α(1, 0) και Β(e, 1). • Η γραφική παράσταση της f(x) = lnx + 2 προκύπτει από την μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ(x) = lnx , κατά 2 μονάδες προς τα πάνω . - Είναι : f(1) = ln1 + 2 = 0 + 2 = 2 f(e) = lne + 2 = 1 + 2 = 3 Άρα η Cf διέρχεται από τα σημεία Γ(1, 2) και Δ(e, 3). --------------------------------------------------------------------- α) • Η g έχει Πεδίο Ορισμού, όπως και η φ(x) = lnx , το διάστημα (0, +∞). • Η γραφική παράσταση της φ(x) = lnx διέρχεται από τα χαρακτηριστικά σημεία Α(1, 0) και Β(e, 1). • Η γραφική παράσταση της g(x) = lnx – 1 προκύπτει από την μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ(x) = lnx , κατά 1 μονάδα προς τα κάτω . - Είναι : g(1) = ln1 – 1 = 0 – 1 = – 1 g(e) = lne – 1 = 1 – 1 = 0 Άρα η Cg διέρχεται από τα σημεία E(1,–1) και Β(e, 0). 271

► Παράδειγμα 5.3-1.2 Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού και να κάνετε την Γραφική Παράσταση για τις συναρτήσεις : α) f(x) = ln(x – 3) β) g(x) = ln(x + 1) α) f(x) = ln(x – 3) ● Πρέπει : x – 3 > 0 <=> x > 3 Η f έχει Πεδίο Ορισμού το Df = (3, +∞) . Αν φ(x) = lnx , τότε η Cf είναι η μετατόπιση της Cφ κατά 3 μονάδες δεξιά . -------------------------------------------------------------------- β) g(x) = ln(x + 1) ● Πρέπει : x + 1 > 0 <=> x > -1 Η g έχει Πεδίο Ορισμού το Dg = (-1, +∞) . Αν φ(x) = lnx , τότε η Cg είναι η μετατόπιση της Cφ κατά 1 μονάδα αριστερά . 272

► Παράδειγμα 5.3-1.3 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln|x| . α) Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της. β) Να δείξετε ότι είναι άρτια. γ) Να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. α) • Πρέπει : |x| > 0 . Η σχέση αυτή ισχύει για κάθε x∈ℝ* ! Άρα η f έχει Πεδίο Ορισμού το Df = ℝ* . -------------------------------------------------------------------- β) Ισχύουν : • για κάθε x ∈ ℝ* , το -x ∈ ℝ* (το Πεδίο Ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0) • για κάθε x ∈ ℝ* , είναι f(-x) = ln|-x| = ln|x| = f(x) άρα η f είναι άρτια. -------------------------------------------------------------------- γ) H f χωρίς την απόλυτη τιμή , γράφεται : f(x) = ln(−x) , αn x < 0 ln x , αn x > 0 Αφού αποδείξαμε ότι είναι άρτια, αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς τον y'y! Άρα την σχεδιάζουμε δεξιά από τον y'y την γραφική παράσταση της φ(x) = lnx όπως την γνωρίζουμε, και την συμμετρική αυτής αριστερά από τον άξονα y'y : 273

■ 5.3 -2. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ * Παρατηρώντας τις γραφικές παραστάσεις των λογαριθμικών συναρτήσεων f(x) = logα x , είτε για α > 1 είτε για 0 < α < 1 , επειδή είναι γνησίως μονότονες , βλέπουμε ότι δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης που να βρίσκονται \"στο ίδιο ύψος\". f(x) = logα x με α > 1 f(x) = logα x με 0 < α < 1 γνησίως αύξουσα γνησίως φθίνουσα * Αυτό αλγεβρικά, όπως είδαμε και στις εκθετικές συναρτήσεις, το γράφουμε ως εξής : (1) για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈(0, +∞) , με x1 ≠ x2 , τότε ισχύει ότι logα x1 ≠ logα x2 . (( διαφορετικά x , έχουν διαφορετικές τιμές f(x) )) * Mε απαγωγή σε άτοπο, έχουμε ότι ισχύει και η παρακάτω ισοδύναμη πρόταση : (2) για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈(0, +∞) , ισχύει : logα x1 = logα x2 <=> x1 = x2 . (( ίσες τιμές f(x) , έχουν μόνο τα ίσα x )) ** Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση εξισώσεων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται στην λογαριθμιζόμενη ποσότητα. Οι εξισώσεις αυτές λέγονται λογαριθμικές εξισώσεις . * Παρατήρηση : - Όπως είπαμε και στις Εκθετικές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις στις οποίες ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις (1) & (2), όπως θα δούμε στην Γ' Λυκείου, ονομάζονται \"Συναρτήσεις 1 προς 1\" (1-1). ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση Εκθετικών Εξισώσεων Η βασική μορφή των λογαριθμικών εξισώσεων είναι logα P(x) = logα Q(x) , όπου Ρ(x) και Q(x) είναι παραστάσεις του x ( ή μπορεί και κάποιο από τα 2 να είναι αριθμός). • 1) Παίρνουμε πρώτα περιορισμούς για το x , ώστε να είναι P(x) > 0 και Q(x) > 0 ! • 2) Οπότε, αφού έχουμε ίσους λογαρίθμους, εξισώνουμε τις λογαριθμιζόμενες ποσότητες, δηλαδή: logα P(x) = logα Q(x) <=> P(x) = Q(x) • 3) Ελέγχουμε στο τέλος τους περιορισμούς για να κρατήσουμε τις λύσεις που είναι αποδεκτές. 275

► Παράδειγμα 5.3-2.1 ln(x – 1) = 2 Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : ln(x – 1) = 2 <=> ln(x - 1) = lne2 Περιορισμοί: <=> ln(x – 1) = 2lne ● Πρέπει : x - 1 > 0 <=> x > 1 <=> x – 1 = e2 <=> x = e2 + 1 , δεκτή * Πρέπει να γράψουμε το 2 ως λογάριθμο , οπότε είναι 2 = lne2 ► Παράδειγμα 5.3-2.2 ln(x – 1) = ln(7 – x) Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : ln(x – 1) = ln(7 – x) Περιορισμοί : <=> x – 1 = 7 – x <=> 2x = 8 <=> x = 4 , δεκτή ● Πρέπει : x – 1 > 0 <=> x > 1 και 7 – x > 0 <=> x < 7 Άρα γενικά : 1 < x < 7 ► Παράδειγμα 5.3-2.3 - Γράφουμε την μία δύναμη με βάση ίδια με της άλλης δύναμης Να λύσετε την εξίσωση : ln(x + 1) + ln(x – 1) = ln3 >> Λύση : Έχω : ln(x + 1) + ln(x – 1) = ln3 Περιορισμοί : <=> ln[ (x + 1)(x – 1) ] = ln3 ● Πρέπει : x + 1 > 0 <=> x > -1 <=> ln(x2 – 1) = ln3 και <=> x2 – 1 = 3 <=> x2 = 4 x – 1 > 0 <=> x > 1 Άρα γενικά : x > 1 <=> x =− 2 → απορρίπτεται x = 2 276

► Παράδειγμα 5.3-2.4 ln(– x2 + 2x) = 0 Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Περιορισμοί : Έχω : ln(– x2 + 2x) = 0 ● Πρέπει : – x2 + 2x > 0 <=> ln(– x2 + 2x) = ln1 Παίρνω : – x2 + 2x = 0 <=> x2 – 2x = 0 <=> x(x – 2) = 0 <=> x = 0 ή x = 2 <=> – x2 + 2x = 1 Άρα πρέπει : 0 < x < 2 <=> x2 – 2x + 1 = 0 <=> (x – 1)2 = 0 ** To 0 γράφεται ln1 ! <=> x – 1 = 0 <=> x = 1 δεκτή ► Παράδειγμα 5.3-2.5 ln(x – 1) – ln2 = ln(3 – x) – ln(4 – x) Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Έχω : ln(x – 1) – ln2 = ln(3 – x) – ln(4 – x) Περιορισμοί : <=> ln x −1 = ln 3 − x ● Πρέπει : x – 1 > 0 <=> x > 1 2 4−x και <=> x −1 = 3 − x 3 – x > 0 <=> x < 3 2 4−x και 4 – x > 0 <=> x < 4 <=> (x – 1)(4 – x) = 2(3 – x) Άρα πρέπει : 1 < x < 3 <=> 4x – x2 – 4 + x = 6 – 2x (Δ = 9) <=> x2 – 4x – 2x – x + 6 + 10 = 0 <=> x2 – 7x + 10 = 0 x = 2 <=> =x 5 → απορρίπτεται * Συμβολισμός : Όταν θέλουμε να γράψουμε έναν λογάριθμο lnθ υψωμένο στο τετράγωνο, γράφουμε : • (lnθ)2 ή και ln2θ (όπως ισχύει : (ημω)2 = ημ2ω ) Ενώ στην γραφή lnθ2 είναι υψωμένο στο τετράγωνο μόνο το θ και όχι όλος ο λογάριθμος! 277