Ηλεκτρονικό Βιβλίο Άλγεβρας Β' (flipbook) (επιλεγμένες 162 σελ)

Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει την ύλη της Άλγεβρας της Β' τάξης του Γενικού Λυκείου, σύμφωνα με την διδακτέα ύλη (2019-2020) και τις οδηγίες διδασκαλίας του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (ΙΕΠ) . Δεν περιλαμβάνονται οι παράγραφοι 3.6 και 3.7 της Τριγωνομετρίας , διότι είναι εκτός εξεταστέας ύλης στις Πανελλαδικές Εξετάσεις της Γ' Λυκείου, καθώς και το Κεφάλαιο της Στατιστικής που προστέθηκε στον \"Φάκελο του Μαθητή\". Στο βιβλίο γίνεται προσπάθεια να δοθεί μεγάλη έμφαση στην κατανόηση των εννοιών της θεωρίας, με πολλά σχήματα , πολλά παραδείγματα και αναλυτική εκτέλεση των πράξεων, διότι στο σχολικό εγχειρίδιο αναφέρονται αρκετές έννοιες και πράξεις πιο συνοπτικά και δυσκολεύουν πολλούς μαθητές. Δίνεται έμφαση σε επανάληψη βασικών εννοιών από την Α' Λυκείου και σε εισαγωγικές βασικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την Γ' Λυκείου. Πιο συγκεκριμένα : • Στο Κεφάλαιο 2 , παρουσιάζονται αναλυτικά οι Βασικές Συναρτήσεις f(x) = |x| , f(x) = x3 , f(x) = x με τις γραφικές τους παραστάσεις σε αρκετά παραδείγματα και ασκήσεις. Οι 2 τελευταίες θεωρούνται γνωστές στην Γ' Λυκείου, όμως δεν εμφανίζονται στα σχολικά εγχειρίδια της Α' και Β' Λυκείου. • Στο Κεφάλαιο 3 , δίνεται μεγάλη έμφαση στην κατανόηση των τριγωνομετρικών αριθμών με την βοήθεια του Τριγωνομετρικού Κύκλου. Γίνεται αναλυτική επεξήγηση των γραφικών παραστάσεων των Βασικών Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων f(x) = ημx , f(x) = συνx , f(x) = εφx , f(x) = σφx . Γίνεται αναλυτική επεξήγηση των Βασικών Τριγωνομετρικών Εξισώσεων με την βοήθεια σχημάτων και του Τριγωνομετρικού Κύκλου, ώστε να γίνονται και οπτικά αντιληπτές οι έννοιες και να γίνουν ευκολότερα οι αλγεβρικές πράξεις. • Στο Κεφάλαιο 4 , γίνεται προσπάθεια για κατηγοριοποίηση των εξισώσεων και ανισώσεων με μεγάλη έμφαση στην καταγραφή των περιορισμών που απαιτούνται για την επίλυση αυτών. • Στο Κεφάλαιο 5 , παρουσιάζονται οι Βασικές Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις f(x) = ex , f(x) = lnx με πολλά σχήματα και πολλά παραδείγματα για την αντιμετώπιση εκθετικών και λογαριθμικών εξισώσεων και ανισώσεων. Γενικά, σε όλο το βιβλίο , με την αναλυτική επεξήγηση, τις Μεθοδολογίες, τις Παρατηρήσεις και τα σχήματα, γίνεται προσπάθεια να επιτευχθούν 3 στόχοι : • Ο μαθητής να κατανοεί πλήρως τις έννοιες και σε καμία περίπτωση να μην κάνει στείρα απομνημόνευση. • Ο μαθητής στην ουσία να μάθει να σκέφτεται. • Το βιβλίο να αποτελέσει μία πλήρη καταγραφή όλων όσων λέει ο διδάσκων καθηγητής στο μάθημα και σημείο αναφοράς για να μπορεί να ανατρέξει ο μαθητής σε κάθε έννοια και να την ανακαλέσει, σαν να ακούει και πάλι τον καθηγητή να του μιλάει. Άρης Κεσογλίδης 3

Το βιβλίο αφιερώνεται στους γονείς μου Αναστάση και Μαρία, στον αδερφό μου Νίκο, στη μνήμη του θείου μου, μαθηματικού, Μιχάλη, στους φίλους μου, παλιούς συμμαθητές, Νίκο και Χρήστο στους φίλους μου, παλιούς συμφοιτητές και συναδέλφους μου μαθηματικούς και στους μαθητές μου 4

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ 7 0.1 Συναρτήσεις .…………………………………………………………………………. 7 0.2 Η συνάρτηση f(x) = αx + β ………………….………………………………………. 9 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 16 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 17 1.1 Γραμμικά Συστήματα .…………………………………………………………….. 17 1.1-1 Μέθοδος της αντικατάστασης ………………………………………………………... 18 1.1-2 Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών (ή της απαλοιφής) …………………………... 21 1.1-3 Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2 × 2 …………………………………….. 24 1.1-4 Επίλυση γραμμικού συστήματος 2 × 2 με ορίζουσες ……………………………….. 26 1.1-5 Γραμμικό σύστημα 3 × 3 ……………………………………………………………. 33 1.2 Μη Γραμμικά Συστήματα ………………….………………………………………. 41 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 51 2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 53 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης ……………………………………... 53 2.1-1 Μονοτονία …………………………………………………………………………….. 53 2.1-2 Ακρότατα (μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης) ……………………………………… 59 2.1-3 Άρτιες και περιττές συναρτήσεις …………………………………………………….. 62 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης …………………………………….. 69 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 77 3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 79 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ……………………………………………………. 79 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες ……………………………………………….. 107 3.3 Αναγωγή στο 1ο Τεταρτημόριο ………………………………………………………. 119 3.4 Οι Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις …………………………………………………….. 129 3.4-1 Η Τριγωνομετρική Συνάρτηση f(x) = ημx ………………………………………… 130 3.4-2 Η Τριγωνομετρική Συνάρτηση f(x) = συνx ……………………………………….. 134 3.4-3 Η Τριγωνομετρική Συνάρτηση f(x) = εφx ………………………………………… 138 3.4-4 Η Τριγωνομετρική Συνάρτηση f(x) = σφx ………………………………………… 141 3.4-5 Οι Συναρτήσεις f(x) = ρ∙ημ(ωx) και g(x) = ρ∙συν(ωx) ………………………… 142 5

3.5 Τριγωνομετρικές Εξισώσεις …………………………………………………………... 149 3.5-1 Η εξίσωση ημx = α …………………………………………………………………. 149 3.5-2 Η εξίσωση συνx = α ………………………………………………………………… 153 3.5-3 Η εξίσωση εφx = α …………………………………………………………………. 156 3.5-4 Η εξίσωση σφx = α …………………………………………………………………. 158 3.5-5 Παραδείγματα σε πιο γενικές μορφές ………………………………………………… 161 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 169 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 171 4.1 Πολυώνυμα .…………………………………………………………………………… 171 4.2 Διαίρεση Πολυωνύμων ……………………………………………………………….. 179 4.2-1 Αλγοριθμική διαίρεση ………………………………………………………………… 179 4.2-2 Σχήμα Horner ……………………………………………………………………….. 186 4.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις ……………………………………………... 197 4.3-1 Πολυωνυμικές Εξισώσεις …………………………………………………………….. 197 4.3-2 Πρόσημο γινομένου – πρόσημο πολυωνύμου ………………………………………… 205 4.3-3 Πολυωνυμικές Ανισώσεις ……………………………………………………………. 208 4.4 Εξισώσεις και Ανισώσεις που ανάγονται σε Πολυωνυμικές ………………………….. 215 4.4-1 Κλασματικές Εξισώσεις ………………………………………………………………. 215 4.4-2 Εξισώσεις με ριζικά (άρρητες) ………………………………………………………... 219 4.4-3 Κλασματικές Ανισώσεις ………………………………………………………………. 223 4.4-4 Ανισώσεις με ριζικά (άρρητες) ………………………………………………………... 225 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 230 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ και ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 233 5.1 Εκθετική Συνάρτηση - Εκθετικές Εξισώσεις και Ανισώσεις ………………………... 233 5.1-1 Εκθετική Συνάρτηση …………………………………………………………………. 236 5.1-2 Εκθετικές Εξισώσεις …………………………………………………………………. 241 5.1-3 Εκθετικές Ανισώσεις …………………………………………………………………. 247 5.1-4 Εκθετικά Συστήματα …………………………………………………………………. 253 5.2 Λογάριθμοι …………….……………………………………………………………… 255 5.3 Λογαριθμική Συνάρτηση - Λογαριθμικές Εξισώσεις και Ανισώσεις ……………….. 269 5.3-1 Λογαριθμική Συνάρτηση ……………………………………………………………... 269 5.3-2 Λογαριθμικές Εξισώσεις (και Συστήματα) …………………………………………… 275 5.3-3 Λογαριθμικές Ανισώσεις ……………………………………………………………... 281 * ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ τύπου ΣΩΣΤΟ – ΛΑΘΟΣ ……………………………………………... 292 6. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ – ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ των ασκήσεων 295 6

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ █ Γραμμικό Σύστημα 2×2 (\"2 επί 2\") * Γραμμική εξίσωση με 2 αγνώστους x, y ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ όπου α, β ,γ πραγματικοί αριθμοί, με α ≠ 0 ή β ≠ 0. * Λύση της γραμμικής εξίσωσης ονομάζεται κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x0,y0) που την επαληθεύει. * Σύστημα 2 γραμμικών εξισώσεων με 2 αγνώστους (σύστημα \"2×2\") είναι ένα σύστημα της μορφής: αx + βy = γ α΄x + β΄y = γ΄ * Λύση του ονομάζεται κάθε διατεταγμένο ζεύγος (x0, y0) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Η επίλυση ενός γραμμικού συστήματος γίνεται με κατάλληλη μετατροπή του σε άλλο γραμμικό σύστημα το οποίο έχει ακριβώς τις ίδιες λύσεις με το αρχικό. Τα δύο αυτά συστήματα λέγονται ισοδύναμα συστήματα. * Οι 2 βασικές μέθοδοι που υπάρχουν για την αλγεβρική επίλυση ενός συστήματος είναι : 1) Μέθοδος της αντικατάστασης 2) Μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών (ή μέθοδος της απαλοιφής) ((Λέμε \"αλγεβρική\" επίλυση, δηλαδή μέσω αλγεβρικών πράξεων, διότι υπάρχει και ο τρόπος της γραφικής επίλυσης , όπως θα δούμε παρακάτω. Ο τρόπος αυτός όμως δεν είναι πάντα ακριβής αλλά πολλές φορές είναι προσεγγιστικός. )) 17

■ 1.1-1. Μέθοδος της αντικατάστασης ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ • 1) Λύνουμε τη μία από τις δύο εξισώσεις (όποια θέλουμε) ως προς τον έναν άγνωστο (όποιον θέλουμε). * Το πιο βολικό γενικά είναι να λύνουμε ως προς τον άγνωστο που έχει συντελεστή 1 ή -1 , (δηλαδή δεν φαίνεται αριθμός μπροστά του), ή αν δεν υπάρχει τέτοιος άγνωστος, να λύσουμε ως προς τον άγνωστο που έχει τον μικρότερο συντελεστή. --------------------------------------------------------------------- • 2) Αντικαθιστούμε την παράσταση που βρήκαμε στην άλλη εξίσωση στην θέση του προαναφερθέντος αγνώστου και έτσι προκύπτει μια εξίσωση με έναν μόνο άγνωστο. --------------------------------------------------------------------- • 3) Λύνουμε την εξίσωση 1ου βαθμού (με έναν άγνωστο) που προέκυψε και βρίσκουμε τον έναν άγνωστο. (*) Αν η εξίσωση είναι αδύνατη, τότε το Σύστημα είναι Αδύνατο, ενώ αν είναι αόριστη και το Σύστημα είναι Αόριστο. (έχει άπειρες λύσεις) --------------------------------------------------------------------- • 4) Αντικαθιστούμε την τιμή του αγνώστου που βρήκαμε σε μία από τις προηγούμενες εξισώσεις, για να βρούμε και την τιμή του άλλου αγνώστου. ► Παράδειγμα 1.1-1.1 - Μοναδική λύση Να λύσετε το σύστημα : 3x + 2y =11 (1)   x − y =2 (2) >> Λύση : * Παρατήρηση : • Παίρνω την εξίσωση (2) και λύνω ως προς x , διότι έχει συντελεστή 1. Αν λύσουμε ως προς έναν άγνωστο που έχει (2) <=> x = y + 2 (3) συντελεστή , προκύπτει κλάσμα. • Αντικαθιστώ το y + 2 από την (3) στην θέση του x στην (1) : Π.χ. λύνω από την (1) ως (1) (3)→ 3(y + 2) + 2y = 11 προς y : <=> 3y + 6 + 2y = 11 (1) <=> 2y = 11 – 3x <=> 3y + 2y = 11 – 6 <=> y = 11 − 3x 2 <=> 5y = 5 <=> y = 1 x=3 και με αντικατάσταση στην • Για y = 1 , από την (3) έχουμε: x = 2 + 1 <=> (2) , έχω : x – 11 − 3x = 2 2 <=> ......(εύρεση του x) 18

► Παράδειγμα 1.1-1.2 - Αδύνατο Σύστημα Να λύσετε το σύστημα : 2x= y −1 (1) 4x − 2y =7 (2) >> Λύση : • Το σύστημα δεν είναι στην βασική του μορφή, οπότε το * Παρατήρηση 1 : φέρνω εγώ στην βασική μορφή. (οι άγνωστοι στα πρώτα μέλη και οι σταθεροί όροι στα δεύτερα μέλη) Αν μετά την αντικατάσταση η εξίσωση 1ου βαθμού που 2x= y −1  <=> 2x − y =− 1 (1) προκύψει είναι Αδύνατη, τότε 4x − 2y =7 4x − 2y =7 (2) είναι Αδύνατο και το Σύστημα. • Παίρνω την εξίσωση (1) και λύνω ως προς y , διότι έχει * Παρατήρηση 2 : συντελεστή -1. (1) <=> 2x + 1 = y <=> y = 2x + 1 (3) Αν στην βασική μορφή του Συστήματος, οι συντελεστές των • Αντικαθιστώ το 2x + 1 από την (3) στην θέση του y αγνώστων στην μία είναι στην (2) : πολλαπλάσιοι των συντελεστών (2) (3)→ 2x – (2x + 1) = 7 των αγνώστων της άλλης (επί τον ίδιο αριθμό και οι 2) , αλλά ο <=> 2x – 2x – 1 = 7 σταθερός όρος δεν είναι <=> 0x = 8  αδύνατη ! αντίστοιχο πολλαπλάσιο, τότε μπορούμε να καταλάβουμε • Αφού δεν υπάρχει λύση για το x , το σύστημα είναι αμέσως ότι το σύστημα είναι ΑΔΥΝΑΤΟ. Αδύνατο! Εδώ δηλαδή στην βασική μορφή οι συντελεστές της εξίσωσης (2) είναι 4 και -2 , που είναι πολλαπλάσιοι των συντελεστών 2 και -1 της (1) (επί 2), ενώ ο σταθερός όρος 7 δεν είναι πολλαπλάσιο του -1 (επί 2). 2x − y =−1  ↓;; ↓ ⋅2 ↓ ⋅2 4x − 2y =7 19

► Παράδειγμα 1.1-1.3 - Αόριστο Σύστημα (Άπειρες Λύσεις) Να λύσετε το σύστημα : x + 3y =4 (1) 3x + 5y = 4(3 − y) (2) >> Λύση : • Το σύστημα δεν είναι στην βασική του μορφή, οπότε το * Παρατήρηση 1 : φέρνω εγώ στην βασική μορφή. Αν μετά την αντικατάσταση η  x + 3y =4  <=>  x + 3y =4 (1)  εξίσωση 1ου βαθμού που 3x + 5y =12 − 4y 3x + 9y =12 (3) προκύψει είναι Αόριστη, τότε είναι Αόριστο και το Σύστημα. • Παίρνω την εξίσωση (1) και λύνω ως προς x , διότι έχει * Παρατήρηση 2 : συντελεστή 1. (1) <=> x = 4 – 3y (4) Αν στην βασική μορφή του Συστήματος, οι συντελεστές των • Αντικαθιστώ το 4 – 3y από την (4) στην θέση του x αγνώστων ΚΑΙ ο σταθερός όρος στην (3) : στην μία, είναι πολλαπλάσιοι των (3) (4)→ 3(4 – 3y) + 9y = 12 συντελεστών των αγνώστων ΚΑΙ του σταθερού όρου της άλλης <=> 12 – 9y + 9y = 12 <=> – 9y + 9y = 12 – 12 (επί τον ίδιο αριθμό και οι 2) , τότε μπορούμε να καταλάβουμε αμέσως ότι το σύστημα είναι Αόριστο! <=> 0y = 0  αόριστη ! (άπειρες λύσεις) Εδώ δηλαδή στην βασική μορφή οι συντελεστές της εξίσωσης (2) • Αφού υπάρχουν άπειρες λύσεις για το y , το σύστημα έχει είναι 3, 9 και 12 , που είναι Άπειρες Λύσεις (άπειρα ζεύγη x , y το επαληθεύουν). πολλαπλάσιοι των συντελεστών ------------------------------------------- 1 , 3 και 4 της (1) (επί 3) . •• Αν στην θέση του x θεωρήσω ότι παίρνω έναν τυχαίο πραγματικό αριθμό κ , τότε από την (4) έχω : x + 3y =4 κ = 4 – 3y <=> 3y = 4 – κ <=> y = 4 − κ  ↓ ⋅3 3 ↓ ⋅3 ↓ ⋅3 Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι της μορφής 3x + 9y =12 (x , y) = (κ , 4 − κ ) 3 ** Το καλύτερο είναι βέβαια να μην ξεχνάμε να κάνουμε \"απλοποίηση\" κάθε εξίσωσης, αν μπορούμε να διαιρέσουμε ΟΛΟΥΣ τους όρους της με τον ίδιο αριθμό. Εδώ δηλαδή, στην βασική μορφή έπρεπε να προσέξουμε ότι η εξίσωση (2) μπορεί να διαιρεθεί με το 3 και να έχουμε τελικά :  x + 3y =4 (1)  < :3 > x + 3y =4 (1)  3x + 9y =12 (3) x + 3y  =4 (3)  Επομένως όταν οι 2 εξισώσεις είναι ίδιες, τότε το Σύστημα είναι Αόριστο! 20

1.2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ - Στα Μη-Γραμμικά Συστήματα δεν είναι όλες οι εξισώσεις γραμμικές, δηλαδή της μορφής αx + βy = γ , αλλά μία τουλάχιστον από τις εξισώσεις δεν είναι γραμμική. Μπορεί δηλαδή να περιέχει κάποιον άγνωστο υψωμένο σε εκθέτη (π.χ. x2 , x3 ) ή να έχει γινόμενο των αγνώστων (π.χ. όρους της μορφής xy , xy2 ) ή κλάσματα (με όρους της μορφής α , β ) κτλ . xy * Στα συστήματα αυτά ΔΕΝ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των \"Αντιθέτων Συντελεστών\" , ούτε την μέθοδο των \"Οριζουσών\"! Επομένως θα τα λύνουμε με την μέθοδο της \"Αντικατάστασης\". (με \"αντίθετους συντελεστές\", μόνο σε Ειδικές Περιπτώσεις…) * Αν υπάρχει στο σύστημα μία γραμμική εξίσωση, είναι πολύ πιθανό να είναι ευκολότερο να επιλύσουμε ως προς έναν άγνωστο από την γραμμική εξίσωση, και να αντικαταστήσουμε στην άλλη. - Πολλές φορές μπορεί να μας βοηθήσει να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε κατά μέλη τις 2 εξισώσεις. * Υπενθύμιση για τις βασικές εξισώσεις γραμμών/καμπυλών και τα γραφήματά τους : ■ 1) Μία γραμμική εξίσωση αx + βy = γ , όπως έχουμε πει, παριστάνεται στο Σύστημα Συντεταγμένων με μία Ευθεία. Π.χ. y = 1 x + 1 (ή x - 2y = -2 ) Π.χ. y = - 3 x + 2 (ή 3x + 2y = 4 ) 2 2 ■ 2) Μία μη-γραμμική εξίσωση της μορφής y = αx2 (και γενικότερα y = αx2 + βx + γ) , γνωρίζουμε ότι παριστάνεται στο Σύστημα Συντεταγμένων με μία Παραβολή. Π.χ. y = x2 Π.χ. y = - x2 + 1 41

■ 3) Μία μη-γραμμική εξίσωση της μορφής y = α (ή xy = α ) , γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο x ότι παριστάνεται στο Σύστημα Συντεταγμένων με μία Υπερβολή. Π.χ. y = 1 (ή xy = 1) Π.χ. y = - 2 (ή xy = -2) x x ■ 4) Μία μη-γραμμική εξίσωση της μορφής x2 + y2 = ρ2 θα ξέρουμε στο εξής ότι παριστάνεται στο Σύστημα Συντεταγμένων με έναν Κύκλο, με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) και ακτίνα ρ. π.χ. x2 + y2 = 1 (δηλαδή x2 + y2 = 12 ) π.χ. x2 + y2 = 4 (δηλαδή x2 + y2 = 22 ) - Επομένως, πολλές φορές, η λύσεις (x, y) ενός μη-γραμμικού συστήματος θα συμβολίζουν τα κοινά σημεία κάποιων γνωστών καμπυλών και θα μπορούμε να τις δούμε ως σημεία πάνω στο Σύστημα Συντεταγμένων. (όπως αντίστοιχα στο γραμμικό σύστημα, οι λύσεις συμβόλιζαν τα κοινά σημεία ευθειών) 42

► Παραδείγματα : ► Παράδειγμα 1.2 - 1 - Ευθεία & Παραβολή Να λύσετε το σύστημα : y= x + 2 (1)  y = x2 (2) >> Λύση : * Η μορφή του συστήματος είναι πολύ βολική, ώστε να εξισώσουμε τα δεύτερα μέλη, αφού τα πρώτα είναι ίσα! (είναι το ίδιο με το να πούμε ότι κάνουμε αντικατάσταση του y από την μία εξίσωση στην άλλη. Άρα έχουμε : x2 = x + 2 <=> x2 – x – 2 = 0 Δ = β2 -4αγ = (-1)2 - 4·1·(-2) = 1 + 8 = 9 x = −β ± ∆ = −(−1) ± 9 = 1 ± 3  1 − 3 = −2 = -1 δηλ. x = - 1 2α 2 ⋅1 2 22 ή x=2  1+3 = 4 = 2 22 • Αν x = -1 , από την (1) , έχουμε : y = -1 + 2 <=> y = 1  Μία λύση το ζεύγος (-1, 1) • Αν x = 2 , από την (1) , έχουμε : y = 2 + 2 <=> y = 4  Μία λύση το ζεύγος (2, 4) • Γραφικά, βλέπουμε τα κοινά σημεία της ευθείας και της παραβολής : 43

► Παράδειγμα 1.2 - 2 - Ευθεία & Υπερβολή Να λύσετε το σύστημα : x − y =2 (1) xy = 3 (2) >> Λύση : * Προτιμώ να επιλύσω από την (1) που είναι γραμμική, ως προς y. Έχω : x – y = 2 <=> – y = – x + 2 <=> y = x – 2 (3) Η (2), με τη βοήθεια της (3) γίνεται : (2) < (3) > x(x – 2) = 3 <=> x2 – 2x = 3 <=> x2 – 2x – 3 = 0 Δ = β2 -4αγ = (-2)2 - 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16 x = −β ± ∆ = −(−2) ± 16 = 2 ± 4  2 − 4 = −2 = -1 δηλ. x = - 1 2α 2 ⋅1 2 22 ή x=3  2+4 = 6 = 3 22 • Αν x = -1 , από την (3) , έχουμε : y = -1 - 2 <=> y = -3  Μία λύση το ζεύγος (-1,-3) • Αν x = 3 , από την (3) , έχουμε : y = 3 - 2 <=> y = 1  Μία λύση το ζεύγος (3, 1) Γραφικά, βλέπουμε τα κοινά σημεία της ευθείας και της υπερβολής : 44

► Παράδειγμα 1.2 - 3 - Ευθεία & Κύκλος Να λύσετε το σύστημα :  y = −x (1)  3 (2)  x2 + y2 =10 >> Λύση : * Αν πολλαπλασιάσω χιαστί στην (1) , λύνω ως προς y και μάλιστα βλέπω ότι είναι γραμμική εξίσωση (δηλαδή παριστάνει ευθεία!). Έχω : y = - x <=> y = -3x (3) (  ευθεία που διέρχεται απ' την αρχή των αξόνων! ) 3 Η (2), με τη βοήθεια της (3) γίνεται : (2) < (3) > x2 + (-3x)2 = 10 <=> x2 + 9x2 = 10 <=> 10x2 = 10 <=> x2 = 1 <=> <=> x = ± 1 • Αν x = -1 , από την (3) , έχουμε : y = -3(-1) <=> y = 3  Μία λύση το ζεύγος (-1,3) • Αν x = 1 , από την (3) , έχουμε : y = -3∙1 <=> y = -3  Μία λύση το ζεύγος (1, -3) Γραφικά, βλέπουμε τα κοινά σημεία της ευθείας και του κύκλου : 45

► Παράδειγμα 1.2 - 4 - Υπερβολή & Κύκλος Να λύσετε το σύστημα : xy = 8 (1)  x 2 + y2 =20 (2)  >> Λύση : (3) Από την (1) έχω : xy = 8 <=> y = 8 x Η (2), με τη βοήθεια της (3) γίνεται : (2) < (3) > x2 + ( 8 )2 = 20 <=> x2 + 64 = 20 <=> x4 + 64 = 20x2 <=> x x2 <=> x4 – 20x2 + 64 = 0 <=> (x2 )2 – 20x2 + 64 = 0 (4) (  \"Διτετράγωνη\" εξίσωση ) ** Θέτω : ω = x2 , οπότε η (4) γίνεται : ω2 – 20ω + 64 = 0 (5) Δ = β2 -4αγ = (-20)2 - 4·1·64 = 400 - 256 = 144 ω = −β ± ∆ = −(−20) ± 144 = 20 ± 12  20 −12 = 8 = 4 2α 2 ⋅1 2 22 ή  20 + 12 = 32 = 16 22 ω = 4  x2 = 4  x = ±2       Άρα  ή  <=>  ή  <=>  ή  ω = 16  x 2 = 16 x = ±4  • Αν x = -2 , από την (3) , έχουμε : y = 8 <=> y = -4  Μία λύση: το ζεύγος (-2, -4) −2 • Αν x = 2 , από την (3) , έχουμε : y = 8 <=> y = 4  Μία λύση: το ζεύγος (2, 4) 2 • Αν x = -4 , από την (3) , έχουμε : y = 8 <=> y = -2  Μία λύση: το ζεύγος (-4, -2) −4 • Αν x = 4 , από την (3) , έχουμε : y = 8 <=> y = 2  Μία λύση: το ζεύγος (4, 2) 4 Γραφικά, βλέπουμε τα κοινά σημεία της υπερβολής και του κύκλου : 46

► Παράδειγμα 1.2 - 5  1 + 6 =5 (1)  x y (2) Να λύσετε το σύστημα :   3 4 − =4  x y >> Λύση : • Το σύστημα μπορεί να πάρει καλύτερη μορφή, αν γράψουμε τους συντελεστές (αριθμητές) μπροστά από τα κλάσματα, ώστε να φανούν ως άγνωστοι οι όροι 1 και 1 ! xy  1 + 6 =5 (1)  1 + 6 1 =5   x y   x y   <=>    3 4 3 1 1 =4 − y =4 (2) x − 4 y  x ** Θέτω : α = 1 και β = 1 , οπότε το σύστημα γίνεται : α + 6β =5 (3)  xy 3α − 4β =4 (4) <=> < ⋅(−3) > α + 6β =5  <=> −3α −18β = −15  +→ -3α -18β + 3α – 4β = -15 + 4 <=> 3α − 4β =4    3α − 4β =4  <=> -22β = -11 <=> 22β = 11 <=> β = 11 <=> β = 1 22 2 • Από την (3) , για β = 1 έχω : α + 6 1 = 5 <=> α + 3 = 5 <=> α = 2 22 Δηλαδή : α =2 1 = 2  2x = 1 x = 1   x   2 β 1  <=>   <=> y = 2  <=> y = 2  = 2   1 1   =  y 2  ► Παράδειγμα 1.2 - 6 2x3 − 3y2 =13 (1) Να λύσετε το σύστημα :  3x 3 − 8y2 =16 (2) >> Λύση : και το σύστημα γίνεται : 2α − 3β =13 (3) (γραμμικό!) ** Θέτω : α = x3 και β = y2 3α − 8β =16 (4) • Βρίσκουμε ότι : α = 8 και β = 1 . Δηλαδή α =8 <=> x3 = 8 <=> x3 = 23  <=> x = 2  β      y = ±1 =1   y 2 = 1  y 2 = 1  • Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη : (2, -1) και (2, 1) ! 47

► Παράδειγμα 1.2 - 7  =y x2 − 1 (1) Να λύσετε το σύστημα : (y − x − 1)(y − x + 1) =0 (2) >> Λύση : y − x −1 =0 y= x + 1 (3)      • Από την (2) <=> (y – x – 1)(y – x + 1) = 0 <=>  ή  <=>  ή  y − x + 1 =0 y= x −1 (4) Επομένως, το αρχικό μας σύστημα (Σ) χωρίζεται σε 2 συστήματα : =y x2 − 1 (1)  =y x2 − 1 (1)      (Σ1) :  ή  και (Σ2) :  ή  y= x + 1 (3)  y= x −1 (4)  ■ Για το (Σ1) • Από (1) και (3) , εξισώνω τα δεύτερα μέλη και έχω : x2 – 1 = x + 1 <=> x2 – x – 2 = 0 <=> x = –1 ή x = 2 • Αν x = –1 , από την (3) , έχουμε : y = –1 + 1 <=> y = 0  Μία λύση: το ζεύγος (-1, 0) • Αν x = 2 , από την (3) , έχουμε : y = 2 + 1 <=> y = 3  Μία λύση: το ζεύγος (2, 3) ■ Για το (Σ2) • Από (1) και (4) , εξισώνω τα δεύτερα μέλη και έχω : x2 – 1 = x – 1 <=> x2 – x = 0 <=> x = 0 ή x = 1 • Αν x = 0 , από την (4) , έχουμε : y = 0 – 1 <=> y = –1  Μία λύση: το ζεύγος (0, –1) • Αν x = 1 , από την (4) , έχουμε : y = 1 – 1 <=> y = 0  Μία λύση: το ζεύγος (1, 0) >>> Άρα όλες οι λύσεις του συστήματος είναι : (-1, 0) , (2, 3) , (0, –1) , (1, 0) 48

● Ασκήσεις 1. Να λύσετε τα συστήματα : α) y =−2x − 1 y= x − 4  γ) x2 + 2x − y =3 =y  β) y =−x2 + 2 3x − y =−3  x2 − 4   2. Να λύσετε τα συστήματα : α) y =−x + 2 β) x + 3y =9 γ) xy − y =4 xy = −8  xy = 6  x − 4y =1    3. Να λύσετε τα συστήματα : α)  y=x  β) y =−x + 2  γ)  y= x −1   =1  =4  =5  x 2 + y2 x 2 + y2 x 2 + y2 4. Να λύσετε τα συστήματα : α) xy = 6  xy = 2  xy = −3   =13 β) x2 + y2 =4 γ) x2 + y2 =10  x 2 + y2 5. Να λύσετε τα συστήματα : −4x2 + y2 =5 2x2 − 5y2 =−3  1 − 3 =3   x y α)   β)  =7  γ)   2x 2 − y2 =−7   −x 2 + 2y2  2 9 =11 +  x y  6. Να λύσετε τα συστήματα : α)  x2 + y =0  β)  xy = 4  (4x + 4)(1 − 2x) =0 (y − 2)(x − 2y − 2) =0 7. Δίνεται η παραβολή y = x2 – 2 και η ευθεία y = 3x + β, β∈ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του β η ευθεία και η παραβολή έχουν 2 κοινά σημεία. 8. Δίνεται η παραβολή y = x2 – 1 και η ευθεία y = 2x + λ , λ∈ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η ευθεία και η παραβολή δεν έχουν κοινά σημεία. 9. Δίνονται οι παραβολές y = – x2 και y = x2 + κx + 2 , κ∈ℝ . Να βρείτε για ποιες τιμές του κ οι παραβολές έχουν ένα μόνο κοινό σημεία. 50

● Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος >> Α' Ομάδα 1. Ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να έχει ΣΛ ακριβώς δύο λύσεις. ΣΛ ΣΛ 2. Ένα γραμμικό σύστημα 2×2 μπορεί να έχει καμία , μία ή άπειρες λύσεις. ΣΛ ΣΛ 3. Αν η ορίζουσα D ενός γραμμικού συστήματος 2×2 είναι διάφορη του μηδενός , τότε το σύστημα έχει μοναδική λύση. ΣΛ ΣΛ 4. Αν σε ένα γραμμικό σύστημα 2×2 η ορίζουσα είναι D = 0 , τότε το σύστημα έχει άπειρες λύσεις. 5. Το γραμμικό σύστημα των εξισώσεων αx + βy = γ και α'x + β'y = γ' έχει λύση το ζεύγος x = D και y = D , όταν D ≠ 0 (όπου D, Dx , Dy είναι οι ορίζουσες του Dx Dy συστήματος). 6. Αν το σύστημα δύο εξισώσεων που παριστάνουν ευθείες είναι αδύνατο, τότε οι ευθείες είναι παράλληλες. 7. Ένα μη γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους μπορεί να έχει ακριβώς δύο λύσεις. >> Β' Ομάδα (Κρίσεως) ΣΛ 1. Η εξίσωση y = 2 παριστάνει ευθεία. ΣΛ ΣΛ x 2. Η εξίσωση y = 2 παριστάνει παραβολή. x 3. Η εξίσωση y2 = - x2 + 3 παριστάνει κύκλο. 4. Οι ευθείες 2x + 3y = 5 και 4x + 6y = 10 ταυτίζονται . ΣΛ ΣΛ 5. Το σύστημα  x − 2y =6  είναι αδύνατο . −3x + 6y =−10 ΣΛ ΣΛ 6. Αν 2 ευθείες τέμνονται στο σημείο Μ(α, β) , τότε η λύση του συστήματος των εξισώσεών τους είναι το ζεύγος x = α και y = β . 7. Αν γνωρίζουμε ότι ένα γραμμικό σύστημα έχει τρεις διαφορετικές λύσεις, τότε θα έχει άπειρο πλήθος λύσεων. 51

2. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ – ΑΚΡΟΤΑΤΑ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ■ 2.1 - 1. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Επεξηγηματικό σχόλιο για την έννοια της Μονοτονίας (\"ορισμός\") Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικά στην κατεύθυνση της μεταβολής των τιμών της στο πεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού. Με άλλα λόγια, βλέποντας την μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής x (δηλαδή \"το x να μεγαλώνει\", πηγαίνοντας προς τα δεξιά στον άξονα των πραγματικών αριθμών) , θέλουμε να εξετάσουμε αν και οι τιμές f(x) (ή αλλιώς, y) της συνάρτησης , αυξάνονται, μειώνονται, ή παραμένουν σταθερές. • Η μονοτονία λοιπόν είναι η πληροφορία που αναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή y αυξάνεται , ή μειώνεται, ή μένει αμετάβλητη, όσο αυξάνεται η ανεξάρτητη μεταβλητή x Μέχρι τώρα έχουμε δει κάποιες βασικές συναρτήσεις και τις γραφικές τους παραστάσεις, από τις οποίες μπορούμε να δούμε αν οι τιμές της συνάρτησης \"ανεβαίνουν\" (παρατηρώντας την καμπύλη από αριστερά προς τα δεξιά, όπως διαβάζουμε) , \"κατεβαίνουν\" , ή παραμένουν σταθερές. >> Παράδειγμα 1: Η συνάρτηση f(x) = 1 x + 1 έχει γραφική 2 παράσταση μία ευθεία, η οποία ανεβαίνει διαρκώς. Δηλαδή όσο ανεβαίνουν οι τιμές του x , βρίσκουμε όλο και μεγαλύτερες τιμές του y. >> Παράδειγμα 2: Η συνάρτηση f(x) = x2 έχει γραφική παράσταση μία παραβολή, η οποία κατεβαίνει διαρκώς στο διάστημα (-∞, 0] , ενώ από εκεί και μετά στο διάστημα [0, +∞) διαρκώς ανεβαίνει. 53

* Ορισμός Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f (x1) < f (x2) Όπως εξηγήσαμε και πιο πάνω δηλαδή, σε οποιοδήποτε ζεύγος x1 , x2 πάρω στο διάστημα Δ, το μεγάλο x (αυτό που είναι πιο δεξιά στον άξονα x'x) , έχει μεγαλύτερη τιμή f(x) . Ή αλλιώς, \"όσο πιο δεξιά πηγαίνω στα x, βλέπω ότι διαρκώς ανεβαίνουν οι τιμές στα y\" . * Ορισμός Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f (x1) > f (x2) Δηλαδή, σε οποιοδήποτε ζεύγος x1 , x2 πάρω στο διάστημα Δ, το μεγάλο x (αυτό που είναι πιο δεξιά στον άξονα x'x) , έχει μικρότερη τιμή f(x) . Ή αλλιώς, \"όσο πιο δεξιά πηγαίνω στα x, βλέπω ότι διαρκώς κατεβαίνουν οι τιμές στα y\" . * Ορισμός Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. - Έχοντας λοιπόν τους παραπάνω ορισμούς, θα δούμε ότι μπορούμε να αποδεικνύουμε αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα, χωρίς να βλέπουμε την γραφική της παράσταση, αλλά με αλγεβρικές πράξεις να καταλήγουμε στην κατάλληλη σχέση των ορισμών. 54

► Παράδειγμα 2.1 – 1.1 - f(x) = αx + β με α > 0  Γνησίως αύξουσα Να εξετάσετε τη συνάρτηση f(x) = 1 x + 1 ως προς την μονοτονία, στο Πεδίο Ορισμού της το ℝ . 2 Έστω τυχαία x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 . Είναι : x1 < x2 => 1 x1 < 1 x2 => 1 x1 + 1 < 1 x2 + 1 => f(x1) < f(x2) 2 2 2 2 Άρα, αφού για οποιαδήποτε (τυχαία) x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 Προσπαθώ να ισχύει η συνεπαγωγή x1 < x2 => f (x1) < f (x2) , κατασκευάσω τον τύπο της f σε κάθε σύμφωνα με τον ορισμό, η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . μέλος της αρχικής σχέσης * Συμπέρασμα : Η συνάρτηση f(x) = αx + β , με α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. ► Παράδειγμα 2.1 – 1.2 - f(x) = αx + β με α < 0  Γνησίως φθίνουσα Να εξετάσετε τη συνάρτηση f(x) = –3x + 2 ως προς την μονοτονία, στο Πεδίο Ορισμού της το ℝ . Έστω τυχαία x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 . Είναι : x1 < x2 => -3x1 > -3x2 => -3x1 + 2 > -3x2 + 2 => f(x1) > f(x2) Άρα, αφού για οποιαδήποτε (τυχαία) x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 Όταν ισχύει η συνεπαγωγή x1 < x2 => f (x1) > f (x2) , πολλαπλασιάζω με αρνητικό, αλλάζει η σύμφωνα με τον ορισμό, η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ . φορά της ανισότητας * Συμπέρασμα : Η συνάρτηση f(x) = αx + β , με α < 0 είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ. 55

► Παράδειγμα 2.1 – 1.3 - - - Οι ΒΑΣΙΚΕΣ συναρτήσεις f(x) = x3 και f(x) = - x3 α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x3 είναι γνησίως αύξουσα, στο ℝ . β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = - x3 είναι γνησίως φθίνουσα, στο ℝ . α) Έστω τυχαία x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 . β) Έστω τυχαία x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 . Είναι : Είναι : x1 < x2 => x13 < x 3 => f(x1) < f(x2) x1 < x2 => x13 < x 3 => - x13 > - x 3 => 2 2 2 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . => f(x1) > f(x2) Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ . ► Παράδειγμα 2.1 – 1.4 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x3 + 2x + 5 είναι γνησίως αύξουσα, στο ℝ . Έστω τυχαία x1 , x2 ∈ ℝ , με x1 < x2 . * Θα προσπαθήσω, όπως στα προηγούμενα παραδείγματα, να κατασκευάσω τον τύπο της συνάρτησης και στα 2 μέλη. Είναι : x13 < x 3 (1) Όταν όμως το x εμφανίζεται σε διαφορετικούς • x1 < x2 => 2 όρους και όχι μόνο σε έναν , τότε πρέπει να • x1 < x2 => πάρω διαφορετικές σχέσεις και στο τέλος να 2x1 < 2x2 => προσθέσω κατά μέλη. 2x1 + 5 < 2x2 + 5 (2) •• Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) έχω : x13 + 2x1 + 5 < x 3 + 2x2 + 5 => f(x1) < f(x2) 2 >> Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . 56

** Για να βρούμε το μέγιστο ή το ελάχιστο μιας συνάρτησης, δεν είναι εύκολη η διαδικασία. - Υπάρχουν περιπτώσεις όμως που μπορούμε να διαπιστώσουμε/αποδείξουμε ότι μία συνάρτηση έχει μία συγκεκριμένη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή, αν αυτή δίνεται. Αν π.χ. μας ζητηθεί να δείξουμε ότι μία συνάρτηση έχει ελάχιστο το f(2) , αρκεί να αποδείξουμε την ανισότητα f(x) ≥ f(2) για κάθε x του Πεδίου Ορισμού της. ► Παράδειγμα 2.1 – 2.1 --- Μέγιστο Παραβολής Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = – x2 + 4x – 7 έχει μέγιστο για x = 2 . • Αφού θέλουμε να δείξουμε ότι η f έχει μέγιστο για x = 2, σημαίνει ότι το μέγιστο θα είναι το f(2) = – 22 + 4∙2 – 7 = – 4 + 8 – 7 = –3 • Πρέπει να αποδείξω ότι για κάθε x∈ℝ ισχύει η ανισότητα : f(x) ≤ f(2) ! • Παίρνω : f(x) ≤ f(2) <=> –x2 + 4x – 7 ≤ –3 <=> x2 – 4x + 4 ≥ 0 <=> (x – 2)2 ≥ 0 που ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική! ● 2ος τρόπος (ειδικός για το τριώνυμο): Επειδή η συνάρτηση f(x) = – x2 + 4x – 7 είναι ένα τριώνυμο, και έχει γραφική παράσταση μία παραβολή, γνωρίζουμε ότι το ελάχιστο εμφανίζεται για β = –4 =4 =2 x0 = – 2α 2(−1) 2 και είναι ίσο με ∆ = – 42 − 4(−1)(−7) = – 16 − 28 = – −12 = –3 y0 = – 4α 4(−1) −4 −4 δηλαδή y0 = f(2) = –3 ► Παράδειγμα 2.1 – 2.2 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2x έχει ελάχιστο για x = –1 . x2 +1 • Αφού θέλουμε να δείξουμε ότι η f έχει ελάχιστο για x = –1, σημαίνει ότι το ελάχιστο θα είναι το f(–1) = 2(−1) = −2 = –1 (−1)2 + 1 2 • Πρέπει να αποδείξω ότι για κάθε x∈ℝ ισχύει η ανισότητα : f(x) ≥ f(-1) ! • Παίρνω : f(x) ≥ f(-1) <=> 2x ≥ –1 ←είνα⋅(ιx2x+21+)1>0→ 2x (x2 + 1) ≥ –1(x2 + 1) <=> x2 +1 x2 +1 <=> 2x ≥ – x2 – 1 <=> x2 + 2x + 1 ≥ 0 <=> (x + 1)2 ≥ 0 που ισχύει, άρα ισχύει και η αρχική! 61

■ 2.1 - 3. ΑΡΤΙΕΣ και ΠΕΡΙΤΤΕΣ συναρτήσεις █ Άρτια συνάρτηση Πριν αναφέρουμε τον μαθηματικό ορισμό της άρτιας συνάρτησης, θα δούμε πιο εύκολα και πάλι την έννοια της άρτιας συνάρτησης μέσω της γραφικής της παράστασης. * Μία συνάρτηση λοιπόν, καταλαβαίνουμε ότι είναι άρτια, όταν η γραφική της παράσταση είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y'y . - Σαν 1η προϋπόθεση βέβαια για να συμβαίνει αυτό, είναι, το Πεδίο Ορισμού της f να είναι συμμετρικό ως προς το 0 . Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση Cf μιας συνάρτησης f που έχει πεδίο ορισμού όλο το ℝ. Παρατηρούμε ότι η Cf έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y'y, αφού το συμμετρικό κάθε σημείου της Cf ως προς τον άξονα y'y ανήκει στη Cf . Αν πάρουμε ένα τυχαίο σημείο M(x, y) που ανήκει στην Cf , το συμμετρικό του σημείο ως προς τον y'y είναι το Μ'(-x,y). Επειδή όμως και τα 2 σημεία ανήκουν στην Cf , ισχύει f(x) = y και f(-x) = y . Δηλαδή τα 2 σημεία είναι \"το ίδιο ψηλά\", οπότε ισχύει : f(-x) = f(x) * Ορισμός Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, θα λέγεται άρτια όταν: • για κάθε x ∈ Α , το -x ∈ Α • για κάθε x ∈ Α , ισχύει f(-x) = f(x) Ο παραπάνω ορισμός δηλαδή με άλλα λόγια μας λέει ότι \"η f είναι άρτια όταν • το Πεδίο Ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0 . • για κάθε x του Πεδίου Ορισμού, το x και ο αντίθετός του, το -x , έχουν ίσες τιμές , δηλαδή τα σημεία M'(-x, f(-x)) και M(x, f(x)) βρίσκονται το ίδιο ψηλά \" >> Το πιο απλό παράδειγμα Συνόλου που είναι συμμετρικό ως προς το 0 , είναι το ℝ ! >> Άλλα παραδείγματα Συνόλων που είναι συμμετρικά ως προς το 0 : Α = ℝ* Α = (-2, 2) Α = (-∞, -1]U[1, +∞) 62

► Παράδειγμα 2.1 – 3.1 Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = 2x2 + 1 είναι άρτια . Το Πεδίο Ορισμού της f είναι όλο το ℝ . Άρα ισχύουν : (το Πεδίο Ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0) • για κάθε x ∈ ℝ , το -x ∈ ℝ • για κάθε x ∈ ℝ , είναι f(-x) = 2(-x)2 + 1 = 2x2 + 1 = f(x) οπότε σύμφωνα με τον ορισμό, η f είναι άρτια. Βάζω στον τύπο της f το -x ► Παράδειγμα 2.1 – 3.2 --- Η ΒΑΣΙΚΕΣ συναρτήσεις f(x) = x και g(x) = | x | Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x , με Πεδίο Ορισμού το Α = [0, +∞) . Η γραφική της παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Επίσης, δίνεται η συνάρτηση g(x) = | x | . α) Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της g. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι άρτια . γ) Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της f , να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της g. α) - Πρέπει : |x| ≥ 0 . Αυτό όμως ισχύει για κάθε x∈ℝ . Άρα Πεδίο Ορισμού της g είναι το ℝ . --------------------------------------------------------------------- β) Ισχύουν : (το Πεδίο Ορισμού είναι συμμετρικό ως προς το 0) • για κάθε x ∈ ℝ , το -x ∈ ℝ • για κάθε x ∈ ℝ , είναι g(-x) = | −x | = | x | = g(x) άρα η g είναι άρτια. --------------------------------------------------------------------- γ) Αφού αποδείξαμε ότι η g(x) = | x | είναι άρτια, αυτό σημαίνει ότι η γραφική της παράσταση θα είναι συμμετρική ως προς τον y'y! Άρα την σχεδιάζουμε συμμετρικά και αριστερά από το 0 : 63

2.2 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ - ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ █ Η ΒΑΣΙΚΗ συνάρτηση f(x) = |x| Γνωρίζουμε ότι για την απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x ισχύει : −x , αν x < 0 π.χ. |2| = 2 |x| = x , αν x ≥ 0 |–3| = –(–3) = 3 Έτσι, αν ορίσουμε την συνάρτηση f(x) = |x| , μπορούμε να γράψουμε : −x , αν x < 0 f(x) = |x| = x , αν x ≥ 0 Αυτό σημαίνει ότι μπορώ να την μελετήσω με \"2 διαφορετικούς τύπους\", έναν για x < 0, και έναν για x ≥ 0 . • Για x < 0 , είναι f(x) = - x , οπότε η γραφική παράσταση είναι το τμήμα της ευθείας y = -x στο (-∞, 0) : • Για x ≥ 0 , είναι f(x) = x , οπότε η γραφική παράσταση είναι το τμήμα της ευθείας y = x στο [0, +∞) : ** Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = |x| είναι : 69

► Παράδειγμα 2.2 - 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = |x| + 1. Να γράψετε τον τύπο της χωρίς απόλυτη τιμή και να σχεδιάσετε την γραφική της παράσταση. Όπως και με τον ορισμό της φ(x) = |x|, για την συνάρτηση f(x) = |x| + 1 , μπορούμε να γράψουμε: −x + 1 , αν x < 0 f(x) = |x| + 1 = x + 1 , αν x ≥ 0 Επομένως, όπως και με την φ(x) = |x| , μπορώ να την μελετήσω με \"2 διαφορετικούς τύπους\", έναν για x < 0, και έναν για x ≥ 0 . • Για x < 0 , είναι f(x) = – x + 1 , οπότε η γραφική παράσταση είναι το τμήμα της ευθείας y = – x + 1 στο (-∞, 0) : διότι - Για x = –1 : y = – (–1) + 1 = 2  σημείο Α(–1, 2) - Για x = 0 (** \"οριακά\") : y = 0 + 1 = 1  σημείο Β(0, 1) ** Παρατήρηση : Κανονικά, δεν μπορώ να πάρω το x = 0 , διότι μιλάμε για x < 0. Όμως επειδή ξέρω ότι η ευθεία y = - x + 1 (αν x∈ℝ) διέρχεται από το Β(0, 1), το παίρνω για να σχεδιάσω την ευθεία μέχρι εκεί που φτάνει \"οριακά\". • Για x ≥ 0 , είναι f(x) = x + 1 , οπότε η γραφική παράσταση είναι το τμήμα της ευθείας y = x + 1 στο [0, +∞) : διότι - Για x = 0 : y = 0 + 1 = 1  σημείο Β(0, 1) - Για x = 1 : y = 1 + 1 = 2  σημείο Γ(1, 2) ** Επομένως η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = |x| + 1 είναι : (* Παρατηρούμε, ότι είναι ίδια σε σχήμα με την γραφική παράσταση της συνάρτησης φ(x) = |x| , αλλά μετατοπισμένη κατά 1 μονάδα προς τα πάνω.) 70

█ Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x) + c , όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x) – c , όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω . >> Άλλα παραδείγματα : f(x) = x2 h(x) = x2 + 1 f(x) = x2 – 2 f(x) = – x2 και g(x) = – x2 + 3 f(x) = x και g(x) = x + 1 71

█ Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x – c) , όπου c > 0 , προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα δεξιά . Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x + c) , όπου c > 0 , προκύπτει από μια οριζόντια μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα αριστερά . ► Παράδειγμα 2.2 - 2 --- Οριζόντιες μετατοπίσεις της y = |x| Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = |x – 1| και g(x) = |x + 1| f(x) = |x| και g(x) = |x – 1| f(x) = |x| και g(x) = |x + 1| ► Παράδειγμα 2.2 - 3 --- Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση της y = x3 Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = x3 + 1 και g(x) = (x – 2)3 f(x) = x3 h(x) = x3 + 1 f(x) = (x – 2)3 72

■ Οριζόντια και Κατακόρυφη μετατόπιση (μαζί) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = – |x| , είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της g(x) = |x| ως προς τον άξονα x'x , όπως φαίνεται στο σχήμα. Κάτι ανάλογο δηλαδή με τις γραφικές παραστάσεις των παραβολών y = x2 και y = –x2 . * Γενικά, όπως θα δούμε στην Γ' λυκείου, οι συναρτήσεις f και –f έχουν γραφικές παραστάσεις που είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x'x. f(x) = - |x| f(x) = -x2 ► Παράδειγμα 2.2 - 4 --- Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση (μαζί) της y = x3 Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = – |x – 2| – 3 . • Αρχικά, σκεφτόμαστε την y = – |x|. • Η γραφική παράσταση της y = – |x – 2| , προκύπτει από την μετατόπιση της y = – |x| , κατά 2 μονάδες δεξιά. • Τέλος, η γραφική παράσταση της y = – |x – 2| – 3 , προκύπτει από την μετατόπιση της y = – |x – 2| , κατά 3 μονάδες κάτω! 73

■ Μετατόπιση της Παραβολής y = x2 Σχεδίαση της γραφικής παράστασης (Παραβολής) της f(x) = αx2 + βx + γ ► Παράδειγμα 2.2 - 5 --- Κατακόρυφη και οριζόντια μετατόπιση (μαζί) της y = x2 Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (x – 3)2 + 1 . • Αρχικά, σκεφτόμαστε την y = x2 . • Η γραφική παράσταση της y = (x – 3)2 , προκύπτει από την μετατόπιση της y = x2 , κατά 3 μονάδες δεξιά. • Τέλος, η γραφική παράσταση της y = (x – 3)2 + 1 , προκύπτει από την μετατόπιση της y = (x – 3)2 , κατά 1 μονάδα πάνω! * Παρατήρηση : Αν \"ανοίξουμε\" την ταυτότητα στον τύπο της f , αυτή γίνεται: f(x) = (x - 3)2 + 1 = x2 – 6x + 9 + 1 = x2 – 6x + 10 Επομένως, μπορεί να γίνει και το ανάποδο: δηλαδή , να έχουμε ένα τριώνυμο της μορφής y = αx2 + βx + γ y = κ(x – λ)2 + μ ! και να το γράψουμε στην μορφή ► Παράδειγμα 2.2 - 6 : f(x) = αx2 + βx + γ --- ΜΕΘΟΔΟΣ \" Συμπλήρωσης Τετραγώνου\" Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x2 + 2x + 3 . Είναι : 1) Παρατηρώ τους όρους του x2 και f(x) = x2 + 2x + 3 του x , και προσπαθώ να δω τον όρο του x ως \"2xλ\" ώστε να = x2 + 2x∙1 + 3 φτιάξω την ταυτότητα \"τετράγωνο = x2 + 2x∙1 + 12 - 12 + 3 αθροίσματος\" (x + λ)2 . = (x2 + 2x∙1 + 12) - 1 + 3 ((εδώ λ=1)) 2) Προσθέτω και αφαιρώ τον όρο λ2 , για να συμπληρωθεί η ταυτότητα. ((εδώ +12 -12 )) = (x + 1)2 + 2 * Επομένως, η γραφική παράσταση της f είναι η μετατόπιση της y = x2 , κατά 1 μονάδα αριστερά, και 2 μονάδες πάνω ** Παρατήρηση : Αφού προσθέτω και αφαιρώ τον ίδιο αριθμό, δεν μεταβάλλεται καθόλου η παράστασή μου! Με βοηθάει όμως για να συμπληρώσω την ταυτότητα. 74

● Ασκήσεις Α' Κατακόρυφη μετατόπιση 1. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x2 g(x) = x2 - 1 (παραβολές!) (Υπόδειξη : Βρείτε αρχικά τα σημεία της Cf , όταν το x είναι : -2, -1, 0, 1 και 2 ) 2. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = -x2 g(x) = -x2 - 2 (παραβολές!) (Υπόδειξη : Βρείτε αρχικά τα σημεία της Cf , όταν το x είναι : -2, -1, 0, 1 και 2 ) 3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x g(x) = x – 1 (Υπόδειξη : Βρείτε αρχικά τα σημεία της Cf , όταν το x είναι : 0, 1 και 4 ) 4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = 1 g(x) = 1 + 2 (υπερβολές!) x x (Υπόδειξη : Βρείτε αρχικά τα σημεία της Cf , όταν το x είναι : -2, -1, - 1 , 1 , 1 και 2 ) 2 2 Β' Οριζόντια μετατόπιση 1. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x2 h(x) = (x – 4)2 2. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x h(x) = x + 2 3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = 1 g(x) = 1 x x+3 75

Γ' Οριζόντια και Κατακόρυφη μετατόπιση 1. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x2 g(x) = (x + 3)2 – 1 2. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = x2 g(x) = (x – 2)2 + 2 3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = |x| g(x) = |x – 4| + 1 4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = – |x| g(x) = – |x + 1| + 1 5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : f(x) = 1 g(x) = 1 + 1 x x−2 6. Με την μέθοδο της \"Συμπλήρωσης Τετραγώνου\" , να σχεδιάσετε τις παρακάτω παραβολές : α) f(x) = x2 – 2x – 1 β) f(x) = x2 + 4x + 5 γ) f(x) = x2 + 2x 7. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 . α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f : • κατά 3 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. • κατά 2 μονάδες προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδα προς τα κάτω. β) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g . 8. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x . α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης g της οποίας η γραφική παράσταση προκύπτει από δύο διαδοχικές μετατοπίσεις της γραφικής παράστασης της f : • κατά 1 μονάδα προς τα αριστερά και κατά 1 μονάδα προς τα πάνω. • κατά 4 μονάδες προς τα δεξιά και κατά 2 μονάδες προς τα κάτω. β) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των f και g . 76

● Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος >> Α' Ομάδα ΣΛ ΣΛ 1. Αν μία συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα Δ , και υπάρχουν x1 , x2 ∈ Δ με ΣΛ x1 < x2 για τα οποία ισχύει: f (x1) < f (x2), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. ΣΛ ΣΛ 2. Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ΣΛ ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει: f (x1) < f (x2). ΣΛ ΣΛ 3. Η συνάρτηση f(x) = αx + β , είναι πάντα γνησίως αύξουσα στο ℝ. ΣΛ ΣΛ 4. Η συνάρτηση f(x) = αx + β , με α > 0 είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ. ΣΛ 5. Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως φθίνουσα σε ΣΛ ένα διάστημα Δ λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ. ΣΛ 6. Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈A (ολικό) ελάχιστο όταν: f (x) ≥ f(x0) , για κάθε x ∈ Α . 7. Αν μία συνάρτηση δεν έχει ολικό μέγιστο, τότε θα έχει σίγουρα ολικό ελάχιστο. 8. Όλες οι συναρτήσεις παρουσιάζουν είτε ολικό μέγιστο είτε ολικό ελάχιστο. 9. Όταν μια συνάρτηση f είναι άρτια , τότε για κάθε x ∈ Α , ισχύει f(x) = f(–x). 10. Αν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α , ισχύει ότι : για κάποιο x∈Α , και το -x ∈ Α και επίσης f(–x) = –f(x) , τότε η f είναι περιττή. 11. Αν μία συνάρτηση δεν είναι περιττή, τότε θα είναι άρτια. 12. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x + c) , όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα πάνω . 13. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f , με: f(x) = φ(x) – c , όπου c > 0 , προκύπτει από μια κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c μονάδες προς τα κάτω . 77

>> Β' Ομάδα (Κρίσεως) ΣΛ ΣΛ 1. Αν μία συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, τότε θα ΣΛ είναι γνησίως φθίνουσα. ΣΛ ΣΛ 2. Αν μία γνησίως μονότονη συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ΣΛ ορισμού της, τότε θα είναι γνησίως φθίνουσα. ΣΛ 3. Η συνάρτηση f(x) = – 2x + 7 είναι γνησίως φθίνουσα στο ℝ. ΣΛ 4. Αν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ ισχύει f(x) ≥ f(3) για κάθε ΣΛ x∈ℝ , τότε η f έχει ελάχιστο το f(3) . ΣΛ ΣΛ 5. Αν για μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α ισχύει f(x) ≥ 0 για κάθε x∈Α , ΣΛ τότε η f έχει ελάχιστο το 0. ΣΛ 6. Αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α = [-1, 2] , δεν μπορεί να είναι ούτε ΣΛ άρτια, ούτε περιττή. ΣΛ 7. Η γραφική παράσταση της g(x) = (x – 2)2 + 1 προκύπτει από την γραφική παράσταση της f(x) = x2 μετατοπίζοντας την Cf κατά 2 μονάδες αριστερά και 1 μονάδα πάνω. 8. Αν μετατοπίσουμε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = x3 κατά 3 μονάδες κάτω, τότε αυτή η νέα γραφική παράσταση θα απεικονίζει την συνάρτηση g(x) = x3 – 3 . 9. Η συνάρτηση f(x) = x2 + 1 έχει ελάχιστη τιμή το 1 . 10. Η συνάρτηση f(x) = x − 2 έχει ελάχιστη τιμή το –2 . 11. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και έχει ρίζα τον αριθμό 2, τότε θα έχει ρίζα και τον αριθμό –2. 12. Αν μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ℝ είναι περιττή και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(4, –1) , τότε θα διέρχεται και από το σημείο Β(–4, 1). 13. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και διέρχεται από τα σημεία Α(1,2) , και Β(2,1) , τότε είναι γνησίως φθίνουσα. 14. Αν μία συνάρτηση έχει ελάχιστο το 0 και μέγιστο το 3 , τότε μπορεί να διέρχεται από το σημείο Μ(2, 4) . 15. Αν η μέγιστη τιμή μιας συνάρτησης f είναι ίση με 1, τότε δεν υπάρχει κανένα x0 για το οποία να ισχύει f(x0) = 2 . 78

3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ █ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. (ω = Α O Β) Πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας παίρνουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε τις κάθετες MM1 και NN1 προς την άλλη πλευρά της γωνίας. - Τότε τα τρίγωνα OMM1 και ONN1 είναι όμοια. (είναι ορθογώνια και έχουν μία κοινή γωνία, άρα όλες τις γωνίες τους ίσες μία προς μία) - Οπότε ισχύουν οι ισότητες των λόγων: • µικρή κάθετη του ΟΜΜ1 = µικρή κάθετη του ΟΝΝ1 δηλαδή : ΜΜ1 = NN1 υποτείνουσα του ΟΜΜ1 υποτείνουσα του ΟΝΝ1 ΟΜ ΟN • µεγάλη κάθετη του ΟΜΜ1 = µεγάλη κάθετη του ΟΝΝ1 δηλαδή : ΟΜ1 = ΟΝ1 υποτείνουσα του ΟΜΜ1 υποτείνουσα του ΟΝΝ1 ΟΜ ΟΝ • µικρή κάθετη του ΟΜΜ1 = µικρή κάθετη του ΟΝΝ1 δηλαδή : ΜΜ1 = NN1 µεγάλη κάθετη του ΟΜΜ1 µεγάλη κάθετη του ΟΝΝ1 ΟΜ1 ΟN1 * Γενικά δηλαδή, καταλαβαίνουμε ότι για τη γωνία ω (σε οποιοδήποτε τρίγωνο) τα πηλίκα • ΑΠΕΝΑΝΤΙ Κάθετη ( = ΜΜ1 = NN1 ) Υποτείνουσα ΟΜ ΟN • ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ Κάθετη ( = ΟΜ1 = ΟΝ1 ) Υποτείνουσα ΟΜ ΟΝ • ΑΠΕΝΑΝΤΙ Κάθετη ( = ΜΜ1 = NN1 ) ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ Κάθετη ΟΜ1 ΟN1 είναι ΣΤΑΘΕΡΑ , δηλαδή ανεξάρτητα της θέσης του σημείου Μ πάνω στην πλευρά της γωνίας. - Τα πηλίκα αυτά, όπως γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο, ονομάζονται ημίτονο , συνημίτονο και εφαπτομένη της γωνίας ω και συμβολίζονται με ημω , συνω και εφω , αντιστοίχως. 79

Δηλαδή, στο ορθογώνιο τρίγωνο OMΜ1 , ισχύουν : ● ημω = ΜΜ1  ΑΠΕΝΑΝΤΙ Κάθετη  ΟΜ    Υποτείνουσα  ● συνω = ΟΜ1  ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ Κάθετη  ΟΜ    Υποτείνουσα  ● εφω = ΜΜ1  ΑΠΕΝΑΝΤΙ Κάθετη  ΟΜ1    ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ Κάθετη  Ορίζουμε ακόμα ως συνεφαπτομένη της οξείας γωνίας ω, την οποία συμβολίζουμε με σφω , το σταθερό πηλίκο ● σφω = ΟΜ1  ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ Κάθετη  ΜΜ1    ΑΠΕΝΑΝΤΙ Κάθετη  80

█ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί γωνίας 30ο ((επανάληψη από προηγούμενες τάξεις)) Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΜΟ , με οξείες γωνίες 30ο και 60ο . Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία της Α' Λυκείου, αποδείξαμε ότι : \"Σε ορθογώνιο τρίγωνο με μία οξεία γωνία 30ο , η κάθετη πλευρά που βρίσκεται απέναντι από την γωνία των 30ο είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας\". Δηλαδή στο σχήμα μας : ΑΜ = OM 2 ή , πολλαπλασιάζοντας χιαστί : ΟΜ = 2ΑΜ (1) (η υποτείνουσα είναι ΔΙΠΛΑΣΙΑ από την μικρή κάθετη!) • Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, μπορούμε να βρούμε και την μεγάλη κάθετη x , σε σχέση με την μικρή κάθετη. Είναι : ΟΜ2 = ΟΑ2 + ΑΜ2 <=> (2ΑΜ)2 = x2 + AM2 <=> 4AM2 = x2 + AM2 <=> <=> x2 = 4AM2 – AM2 <=> x2 = 3AM2 <=> x = 3AM2 <=> x = 3 AM (2) ** Μπορούμε επομένως να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 30ο : ● ημίτονο της γωνίας των 30ο ημ30ο = AM = AM = AM = 1 OM 2AM 2 AM 2 ● συνημίτονο της γωνίας των 30ο συν30ο = OA = 3AM = 3 AM = 3 (≈ 0,87) OM 2AM 2 AM 2 ● εφαπτομένη της γωνίας των 30ο εφ30ο = AM = AM = 1 = 3 = 3=3 (≈ 0,58) OA 3AM 3 3 ⋅ 3 ( 3)2 3 ● συνεφαπτομένη της γωνίας των 30ο (≈ 1,73) σφ30ο = OA = 3AM = 3 AM AM 83

█ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί γωνίας 45ο ((επανάληψη από προηγούμενες τάξεις)) Θεωρούμε το ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΜΟ , με οξείες γωνίες ίσες με 45ο . Έστω ότι οι ίσες κάθετες πλευρές έχουν μήκος x . Δηλαδή ΟΑ = ΑΜ = x . • Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα, μπορούμε να βρούμε και την υποτείνουσα , σε σχέση με τις ίσες κάθετες, δηλαδή συναρτήσει του x. Είναι : ΟΜ2 = ΟΑ2 + ΑΜ2 <=> OΜ2 = x2 + x2 <=> OM2 = 2x2 <=> OM = 2x2 <=> <=> OM = x 2 (2) ** Μπορούμε επομένως να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας των 45ο : ● ημίτονο της γωνίας των 45ο ημ45ο = AM = x = 1 = 2= 2=2 (≈ 0,7) OM x 2 2 2 ⋅ 2 ( 2)2 2 ● συνημίτονο της γωνίας των 45ο συν45ο = OA = x = 1 = 2= 2=2 (≈ 0,7) OM x 2 2 2 ⋅ 2 ( 2)2 2 ● εφαπτομένη της γωνίας των 45ο εφ45ο = AM = x = 1 OA x ● συνεφαπτομένη της γωνίας των 45ο σφ45ο = OA = x = 1 AM x 84

█ Ο Τριγωνομετρικός Κύκλος Έστω ότι έχουμε μία γωνία ω , η οποία προκύπτει αν περιστρέψουμε τον θετικό ημιάξονα Οx κατά την θετική φορά μέχρι να συμπέσει με την ημιευθεία Οt. - Είδαμε στους γενικούς τύπους των τριγωνομετρικών αριθμών, ότι για το ημίτονο και το συνημίτονο έχουμε παρονομαστή το ρ, δηλαδή την απόσταση του σημείου Μ(x, y) της τελικής πλευράς της γωνίας ω από την αρχή των αξόνων. ημω = y συνω = x ρ ρ • Γίνεται πολύ βολικό, αν μπορούμε να επιλέγουμε σημεία πάνω στην τελική πλευρά Ot της γωνίας, τα οποία να απέχουν απόσταση από το Ο ίση με 1 , δηλαδή να είναι ρ = 1 . Τότε οι τύποι θα γίνουν : ημω = y και συνω = x . (!) Αυτό μπορούμε να το πετύχουμε, αν σχεδιάσουμε έναν κύκλο με ακτίνα 1. Τότε θα πάρουμε ως σημείο Μ της τελικής πλευράς της γωνίας ω , το σημείο τομής της πλευράς Ot με τον κύκλο! * Ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0, 0) και ακτίνα ρ = 1 , ονομάζεται τριγωνομετρικός κύκλος . * Επομένως, στον τριγωνομετρικό κύκλο, επειδή είναι ρ = 1, είναι : ημω = y = y = y και συνω = x = x = x ρ1 ρ1 συνω = x τετμημένη του σημείου Μ ημω = y τεταγμένη του σημείου Μ Για τον λόγο αυτό, • ο άξονας x'x λέγεται και άξονας των συνημίτονων, • ενώ ο άξονας y'y λέγεται και άξονας των ημίτονων. ** Άμεση συνέπεια του παραπάνω συμπεράσματος είναι ότι: Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει: −1 ≤ συνω ≤ 1 −1≤ ημω ≤ 1 87

■ ΕΥΡΕΣΗ ΗΜΙΤΟΝΟΥ στον Τριγωνομετρικό Κύκλο - Η εύρεση του ημιτόνου μιας γωνίας στον Τριγωνομετρικό Κύκλο μπορεί να γίνει προσεγγιστικά στις περισσότερες, και ακριβής σε κάποιες συγκεκριμένες γωνίες. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να βρούμε το ημίτονο μιας γωνίας στον Τριγωνομετρικό Κύκλο, αρκεί να δούμε \"πόσο ψηλά\" είναι το σημείο της τελικής πλευράς της γωνίας πάνω στον κύκλο\". (αφού ημω = y) ! ► Παραδείγματα στο 1ο τεταρτημόριο : ημ10ο ≈ 0,17 ημ30ο = 0,5 ημ45ο ≈ 0,7 ημ60ο ≈ 0,87 ** Γίνεται προφανές, ότι ημ0ο = 0 και ημ90ο = 1 ! ► Παραδείγματα στο 2ο τεταρτημόριο : ημ120ο ≈ 0,87 ημ45ο ≈ 0,7 ημ150ο = 0,5 ** Γίνεται προφανές, ότι ημ180ο = 0 ! 88

■ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ στον Τριγωνομετρικό Κύκλο - Η εύρεση του συνημιτόνου μιας γωνίας στον Τριγωνομετρικό Κύκλο μπορεί να γίνει προσεγγιστικά στις περισσότερες, και ακριβής σε κάποιες συγκεκριμένες γωνίες. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να βρούμε το συνημίτονο μιας γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί να δούμε \"πόσο δεξιά / αριστερά\" είναι το σημείο της τελικής πλευράς της γωνίας πάνω στον κύκλο\" . (αφού συνω = x) ! ► Παραδείγματα στο 1ο τεταρτημόριο : συν10ο ≈ 0,985 συν30ο ≈ 0,87 συν45ο ≈ 0,7 συν60ο = 0,5 ** Γίνεται προφανές, ότι συν0ο = 1 και συν90ο = 0 ! ► Παραδείγματα στο 2ο τεταρτημόριο : συν120ο = -0,5 συν135ο ≈ -0,7 συν150ο ≈ -0,87 ** Γίνεται προφανές, ότι συν180ο = -1 ! 90

■ - Ο άξονας των Εφαπτομένων - ΕΥΡΕΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ στον Τριγωνομετρικό Κύκλο • Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(x, y). • Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. • Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε(1, yE) , τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟAΕ θα έχουμε : εφω = AE = yE = yΕ OA 1 • Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: τεταγμένη του σημείου Ε εφω = yE * Για τον λόγο αυτό η ευθεία ε , που έχει εξίσωση x = 1 , λέγεται άξονας των Εφαπτομένων. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να βρούμε την εφαπτομένη μιας γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί να δούμε \"πόσο ψηλά\" είναι το σημείο Ε της τελικής πλευράς της γωνίας πάνω στην ευθεία ε : x = 1\" . (αφού εφω = yE) ! ► Παραδείγματα στο 1ο τεταρτημόριο : εφ30ο ≈ 0,58 εφ45ο = 1 εφ60ο ≈ 1,73 ** Γίνεται προφανές, ότι εφ0ο = 0 και η εφ90ο ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ! 92

■ - Ο άξονας των Συνεφαπτομένων - ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ στον Τριγωνομετρικό Κύκλο • Θεωρούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο και μια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέμνει στο σημείο M(x, y). • Φέρνουμε την εφαπτομένη ε του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Β. • Αν η τελική πλευρά της γωνίας βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο Ε(xE , 1) , τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΟBΕ θα έχουμε : σφω = BE = xE = xΕ OB 1 • Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε άλλο τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: τετμημένη του σημείου Ε σφω = xE * Για τον λόγο αυτό η ευθεία ε , που έχει εξίσωση y = 1, λέγεται άξονας των Συνεφαπτομένων. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Για να βρούμε την συνεφαπτομένη μιας γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο, αρκεί να δούμε \"πόσο δεξιά\" είναι το σημείο Ε της τελικής πλευράς της γωνίας πάνω στην ευθεία ε : y = 1\" . (αφού σφω = xE) ! ► Παραδείγματα στο 1ο τεταρτημόριο : σφ30ο ≈ 1,73 σφ45ο = 1 σφ60ο ≈ 0,58 ** Γίνεται προφανές, ότι η σφ0ο ΔΕΝ ΟΡΙΖΕΤΑΙ και ότι σφ0ο = 0 ! 94

█ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών Έχουμε γνωρίσει στο Γυμνάσιο το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης τόξων. Συγκεκριμένα: Ένα τόξο AB ενός κύκλου (Ο, ρ) λέγεται τόξο ενός ακτινίου (ή 1rad), αν το τόξο αυτό έχει μήκος ίσο με την ακτίνα ρ του κύκλου. Επομένως, το τόξο α ακτινίων (ή α rad) έχει μήκος S = α⋅ρ . (α φορές την ακτίνα) Ορίζουμε τώρα το ακτίνιο και ως μονάδα μέτρησης των γωνιών ως εξής: * Ορισμός Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). * Αποδεικνύεται, ότι το μήκος της ακτίνας του κύκλου, \"χωράει\" 6,28 φορές στην περιφέρεια του κύκλου. (6,28 = 2∙3,14 = 2π) Αυτό φαίνεται στον τύπο υπολογισμού του μήκους της περιφέρειας του κύκλου, που είναι : L = 2πρ (6,28 φορές την ακτίνα) • Επομένως, ολόκληρος ο κύκλος που είναι τόξο 360ο με μήκος 2πρ, αντιστοιχεί σε 2π ακτίνια . • Άρα διαιρώντας με το 2, το ημικύκλιο, δηλαδή το τόξο 180ο , αντιστοιχεί σε π ακτίνια . >> Αντίστοιχα, σε γωνίες: * Η γωνία 360ο (μοίρες) είναι ίση με 2π rad (ακτίνια) . * Η γωνία 180ο (μοίρες) είναι ίση με π rad (ακτίνια) . • Μπορούμε επομένως να σκεφτούμε ότι : τότε η γωνία αν έχουμε μία γωνία μο ( μ μοιρών) και αντίστοιχα α rad (α ακτινίων) ,  µέρος  ως κλάσμα της γωνίας των 360ο θα είναι το µ (π.χ. το 1 , 1 , 3 …) , και  σύνολο  360 2 3 5 ως κλάσμα της γωνίας των 2π rad θα είναι το α (π.χ. το 1 , 1 , 3 …) . 2π 2 3 5 >> Άρα, από την ΙΔΙΑ αυτή ποσότητα, ως \"μέρος (ή ποσοστό) του κύκλου\" , μπορούμε να έχουμε την ισότητα : α = µ , ή με απλοποίηση : α= µ 2π 360 π 180 96

► Παράδειγμα 3.1 - 3 α) Να μετατρέψετε την γωνία 90ο σε ακτίνια (rad) . β) Να μετατρέψετε την γωνία 60ο σε ακτίνια (rad) . γ) Να μετατρέψετε την γωνία π rad σε μοίρες . 4 δ) Να μετατρέψετε την γωνία π rad σε μοίρες . 6 >> Λύση : α) • Έχουμε ότι μ = 90ο . Από τον τύπο της μετατροπής, έχουμε : α = µ <=> α = 90 <=> α = 1 <=> 2α = π <=> α = π (rad) π 180 π 180 π2 2 --------------------------------------------------------------------- β) • Έχουμε ότι μ = 60ο . Από τον τύπο της μετατροπής, έχουμε : α = µ <=> α = 60 <=> α = 1 <=> 3α = π <=> α = π (rad) π 180 π 180 π3 3 --------------------------------------------------------------------- γ) • Έχουμε ότι α = π . Από τον τύπο της μετατροπής, έχουμε : 4 π 4 = µ <=> π = µ <=> 1 = µ <=> 4μ = 180 <=> μ = 45ο π 180 4π 180 4 180 --------------------------------------------------------------------- δ) • Έχουμε ότι α = π . Από τον τύπο της μετατροπής, έχουμε : 6 π 6 µ <=> πµ <=> 1 = µ <=> 6μ = 180 <=> μ = 30ο = = π 180 6π 180 6 180 ■ Τους παρακάτω αριθμούς (σε μοίρες και αντίστοιχα σε ακτίνια) καλό είναι να τους απομνημονεύσουμε, γιατί είναι τα μέτρα ΒΑΣΙΚΩΝ γωνιών! Μοίρες Ακτίνια (rad) 360ο 2π 180ο π 90ο π 60ο 45ο 2 30ο π 3 π 4 π 6 97

█ - ΓΕΝΙΚΗ χρήση του ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ - Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών για γωνίες που είναι πολλαπλάσια των 30ο και των 45ο ■ 1o Τεταρτημόριο ( 0ο , 30ο , 45ο , 60ο , 90ο ) Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε ακτίνια (rad) ημω συνω εφω σφω 0ο 0 0 Δεν ορίζεται 30ο π 10 1 6 2 33 3 45ο π 23 2 21 1 4 2 2 60ο π 1 3 3 23 3 3 2 0 90ο π 0 Δεν ορίζεται 1 2 98

■ Γωνίες 0ο , 90ο , 180ο , 270ο (360ο) • Εμφανίζονται οι αριθμοί 0 ή ± 1 για ημίτονο και συνημίτονο, και οι αριθμός 0 για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη , ή δεν ορίζονται ! Γωνία ω Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε ακτίνια (rad) ημω συνω εφω σφω 0ο 0 0 Δεν ορίζεται 1 10 90ο π 2 0 0 Δεν ορίζεται 0 180ο π -1 -1 0 Δεν ορίζεται 0 270ο 3π 0 Δεν ορίζεται 0 2 1 0 Δεν ορίζεται 360ο 2π 99