Ηλεκτρονικό Βιβλίο Άλγεβρας Β' (flipbook) (επιλεγμένες 162 σελ)

■ Γωνίες – πολλαπλάσια των 30ο (εκτός από 90ο , 180ο , 270ο ) • Εμφανίζονται οι αριθμοί ± 1 , ± 3 για ημίτονο και συνημίτονο, 22 και οι αριθμοί ± 3 , ± 3 για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. 3 100

■ Γωνίες – πολλαπλάσια των 45ο (εκτός από 90ο , 180ο , 270ο ) • Εμφανίζονται οι αριθμοί ± 2 για ημίτονο και συνημίτονο, 2 και οι αριθμοί ± 1 για εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. ** Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : 1ο 2ο 3ο 4ο ημω + + - - συνω + - - + εφω + - + - σφω + - + - 101

● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών σε γωνίες που είναι της μορφής : • κ∙360ο (ή κ∙2π = 2κπ , σε rad)  δηλ. \"μερικές ολόκληρες περιστροφές\" (κύκλοι) • κ∙360ο + 180ο (ή 2κπ + π)  δηλ. \"μερικές περιστροφές (κύκλοι) συν ένα ημικύκλιο\" • κ∙360ο + μο (ή 2κπ + ω) δηλ. \"μερικές περιστροφές (κύκλοι) συν γωνία του 1ου τεταρτημορίου\" ■ Α. Αν έχουμε την γωνία σε μοίρες Κάνουμε ακέραια διαίρεση του μέτρου της γωνίας με το 360 , και εκφράζουμε την γωνία με την βοήθεια της \"Ταυτότητας της Διαίρεσης\" : Δ = δπ + υ (Διαιρετέος = διαιρέτης∙πηλίκο + υπόλοιπο) • 1η Περίπτωση : Αν το υπόλοιπο είναι 0 , τότε η γωνία είναι \"ολόκληροι κύκλοι\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 0ο . ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 720ο , κάνοντας την ακέραια διαίρεση, και σύμφωνα με την Ταυτότητα της διαίρεσης, η γωνία γράφεται : 720 360 -720 2 720 = 2∙360 + 0 0 δηλαδή 720ο = 2∙360ο Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"2 κύκλους\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 0ο . Οπότε : ημ720ο = 0 συν720ο = 1 εφ720ο = 0 (σφ δεν ορίζεται) • 2η Περίπτωση : Αν το υπόλοιπο είναι 180 , τότε η γωνία είναι \"μερικοί ολόκληροι κύκλοι συν ένα ημικύκλιο\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 180ο . ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 1260ο , κάνοντας την ακέραια διαίρεση, και 1260 360 σύμφωνα με την Ταυτότητα της διαίρεσης, η γωνία γράφεται : -1080 3 1260ο = 3∙360ο + 180ο 180 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"3 κύκλους και 1 ημικύκλιο\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 180ο . Οπότε : ημ1260ο = ημ180ο = 0 συν1260ο = συν180ο = -1 εφ1260ο = εφμ180ο = 0 (σφ δεν ορίζεται) • 3η Περίπτωση : Αν το υπόλοιπο υ είναι 0 < υ < 90 , τότε η γωνία είναι \" μερικοί ολόκληροι κύκλοι συν γωνία μ του 1ου τεταρτημορίου\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των μο . ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 780ο , κάνοντας την ακέραια διαίρεση, και 780 360 σύμφωνα με την Ταυτότητα της διαίρεσης, η γωνία γράφεται : -720 2 780ο = 2∙360ο + 60ο 60 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"2 κύκλους και 60ο \", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 60ο . Οπότε : ημ780ο = ημ60ο = 3 συν780ο = συν60ο = 1 2 2 εφ780ο = εφ60ο = 3 σφ780ο = σφ60ο = 3 3 102

■ Β. Αν έχουμε την γωνία σε ακτίνια (rad) • 1η Περίπτωση : Αν η γωνία γράφεται στη μορφή (άρτιος)∙π (δηλαδή: άρτιος επί π ) τότε σημαίνει ότι η γωνία είναι \"ολόκληροι κύκλοι\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 0 rad . ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 6π rad , η γωνία γράφεται : 720 360 6π = 3∙(2π) -720 2 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"3 κύκλους\", οπότε οι τριγωνομετρικοί 0 αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 0 rad ( δηλ. 0ο ). Οπότε : ημ6π = 0 συν6π = 1 εφ6π = 0 (σφ δεν ορίζεται) • 2η Περίπτωση : Αν η γωνία γράφεται στη μορφή (περιττός)∙π (δηλαδή: περιττός επί π ) τότε σημαίνει ότι η γωνία είναι \" μερικοί ολόκληροι κύκλοι συν ένα ημικύκλιο\", οπότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των π rad (180ο). ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 11π rad , η γωνία γράφεται : 720 360 11π = 10π + π = 5∙(2π) + π -720 2 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"5 κύκλους και 1 ημικύκλιο\", οπότε οι 0 τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των π rad ( δηλ. 180ο ). Οπότε : ημ11π = 0 συν11π = -1 εφ11π = 0 (σφ δεν ορίζεται) • 3η Περίπτωση : Αν η γωνία γράφεται στη μορφή (άρτιος) ⋅ π (δηλαδή: στον ν αριθμητή να έχω άρτιο επί π ) τότε μπορώ να γράψω τον άρτιο ως 2κ και να γράψω (2κ) ⋅ π = κ ⋅ 2π = κ ∙2π ν νν Δηλαδή η γωνία γράφεται ως κ κύκλοι, και κάνω την ακέραια διαίρεση . ν ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 14π rad , η γωνία γράφεται : 73 3 -6 2 1 14π = 7(2π) = 7 ∙2π 3 33 το κλάσμα 7 γράφεται 3 κάνω την ακέραια διαίρεση, και γράφω το 7 ως μικτό, 2 + 1 , και έχω 33 ως μικτός : \"2 και 1 \" 3 7 ∙2π = (2 + 1 )∙2π = 2∙2π + 2π 33 3 δηλ. 2 + 1 3 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"2 κύκλους και 2π \", οπότε οι 3 τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των 2π rad ( δηλ. 120ο ). 3 Οπότε : ημ 14π = ημ 2π = 3 3 32 103

• 4η Περίπτωση : Αν η γωνία γράφεται στη μορφή (περιττός) ⋅ π (δηλαδή: στον ν αριθμητή να έχω περιττό επί π ) τότε πολλαπλασιάζω αριθμητή και παρονομαστή με το 2 και γράφω κ ⋅ 2π = κ ∙2π 2ν 2ν Δηλαδή η γωνία γράφεται ως κ κύκλοι, και κάνω την ακέραια διαίρεση . 2ν ► Π.χ. αν έχουμε τη γωνία των 25π rad , η γωνία γράφεται : 25 12 6 -24 2 25π = 25π ⋅ 2 = 25 ∙2π 1 6 6 ⋅ 2 12 κάνω την ακέραια διαίρεση, και γράφω το 25 ως μικτό, 2 + 1 , και το κλάσμα 25 12 12 12 έχω γράφεται ως μικτός : 25 ∙2π = (2 + 1 )∙2π = 2∙2π + 2π = 2∙2π + π \"2 και 1 \" 12 12 12 6 12 Άρα, σημαίνει ότι η γωνία είναι ίση με \"2 κύκλους και π \", οπότε οι δηλ. 2 + 1 6 12 τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι ίδιοι με αυτούς των π rad ( δηλ. 30ο ). 6 Οπότε : ημ 25π = ημ π = 1 συν 25π = συν π = 3 6 62 6 62 104

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να μετατρέψετε σε ακτίνια (rad) τις παρακάτω γωνίες : α) 150ο β) 270ο γ) 135ο δ) 210ο ε) 900ο στ) 2160ο 2. Να μετατρέψετε σε μοίρες τις παρακάτω γωνίες : 5π 3π 2π 4π ε) 7π rad στ) 20 rad α) 6 rad β) 4 rad γ) 3 rad δ) 3 rad 3. Να τοποθετήσετε στον τριγωνομετρικό κύκλο τη γωνία των 30ο και να δείξετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημ, συν, εφ) . 4. Να τοποθετήσετε στον τριγωνομετρικό κύκλο τη γωνία των 45ο και να δείξετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς (ημ, συν, εφ) . 5. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών : α) 420ο β) 765ο γ) 1800ο δ) 1620ο 6. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών : α) 16π rad β) 23π rad γ) 13π rad 41π 6 δ) 4 rad 105

3.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και ισχύουν για ΚΑΘΕ ΓΩΝΙΑ ω. Είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. ** ((Υπενθύμιση : \"Ταυτότητα\" λέγεται μία ισότητα, η οποία ισχύει ΓΙΑ ΚΑΘΕ τιμή της μεταβλητής, ή των μεταβλητών που περιέχει ! )) ■ 1. ημ2ω + συν2ω = 1  ΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω Μ(x, y) το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο (έχει ακτίνα ρ=1) . • Τότε γνωρίζουμε ότι ισχύουν : x = συνω και y = ημω • Στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται , οι κάθετες πλευρές έχουν μήκη |x| , |y| και η υποτείνουσα ΟΜ είναι ίση με 1 (ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου). • Άρα από το Πυθαγόρειο Θεώρημα , έχουμε : |x|2 + |y|2 = (OM)2 <=> x2 + y2 = 1 Άρα συν2ω + ημ2ω = 1 . ■ 2. εφω = ηµω και σφω = συνω συνω ηµω  ΑΠΟΔΕΙΞΗ • Έστω Μ(x, y) το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο (ακτίνα ρ=1) . • Τότε γνωρίζουμε ότι ισχύουν : x = συνω και y = ημω • Γνωρίζουμε ότι γενικά : εφω = y , άρα εφω = ηµω . x συνω (εφόσον x = συνω ≠ 0 ) • Γνωρίζουμε ότι γενικά : σφω = x , άρα σφω = συνω . y ηµω (εφόσον y = ημω ≠ 0 ) 107

Με τη βοήθεια των ταυτοτήτων (1) και (2), αποδεικνύονται οι επόμενες δύο επιπλέον χρήσιμες ταυτότητες. ■ 3. εφω ∙ σφω = 1  ΑΠΟΔΕΙΞΗ • Ισχύει ότι : εφω = ηµω και εφω = συνω (από την Τριγωνομετρική Ταυτότητα \"2\") . συνω ηµω (εφόσον συνω ≠ 0 και ημω ≠ 0) • Άρα, εφω ∙ σφω = ηµω ∙ συνω = 1 . συνω ηµω ■ 4. συν2ω = 1 και ημ2 ω= εϕ2ω 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω  ΑΠΟΔΕΙΞΗ ● i) • Έχουμε την Βασική Τριγωνομετρική Ταυτότητα : ημ2ω + συν2ω = 1 (1) . • Για συνω ≠ 0 , διαιρούμε με συν2ω και τα δύο μέλη της ταυτότητας (1) , και έχουμε : ημ2ω + συν2ω = 1 <=>  ημω 2 +1 = 1 <=> εφ2ω + 1 = 1 <=> συν2ω συν2ω συν2ω  συνω  συν2ω συν2ω <=> συν2ω (εφ2ω + 1) = 1 <=> συν2ω = 1 1 + εϕ2ω ● ii) • Έχουμε την Βασική Τριγωνομετρική Ταυτότητα : ημ2ω + συν2ω = 1 (1) . • Από την ταυτότητα που μόλις αποδείξαμε πιο πάνω, έχουμε : συν2ω = 1 (2) . 1 + εϕ2ω • Αντικαθιστώ από την (2) στην (1) και έχω : ημ2ω + 1 =1 ( λύνω ως προς ημ2ω ) 1 + εϕ2ω <=> ημ2ω = 1 – 1 ( γράφω το 1 ως κλάσμα 1 + εϕ2ω και τα κάνω ομώνυμα) 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω <=> ημ2ω = 1 + εϕ2ω – 1 <=> ημ2ω = 1 + εϕ2ω − 1 <=> ημ2ω = εϕ2ω 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω 108

■ 3.2 -A. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ■ Α.1. Υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω όταν γνωρίζουμε ημω ή συνω ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ημ2ω + συν2ω = 1 και • 1) Παίρνουμε την Βασική Τριγωνομετρική Ταυτότητα : αντικαθιστούμε τον γνωστό τριγωνομετρικό αριθμό, και βρίσκουμε τον άλλον. --------------------------------------------------------------------- • 2) Λόγω του τετραγώνου, βγαίνουν 2 πιθανές τιμές, και πρέπει να γνωρίζουμε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού. Αυτό θα βγαίνει από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. (η τελική της πλευρά). ► Παράδειγμα 3.2 - A.1 Για την γωνία ω , με 0 < ω < π , είναι συνω = 3 . 25 Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad (δηλ. ημω, εφω, σφω). >> Λύση : ημ2ω + συν2ω = 1 <=> • Έχουμε την Βασική Τριγωνομετρική Ταυτότητα : <=> ημ2ω + ( 3 )2 = 1 <=> ημ2ω + 9 = 1 <=> ημ2ω = 1 - 9 <=> 5 25 25 <=> ημ2ω = 25 - 9 <=> ημ2ω = 16 <=> ημω = ± 16 <=> ημω = ± 4 25 25 25 25 5 Επειδή όμως είναι 0 < ω < π , δηλαδή η γωνία ω (η τελική της πλευρά) είναι στο 2ο τεταρτημόριο, 2 το ημίτονο είναι ΘΕΤΙΚΟ ! Άρα : ημω = 4 5 --------------------------------------------------------------------- 4 • Είναι : εφω = ημω = 5 =4 συνω 3 3 5 --------------------------------------------------------------------- 3 • Είναι : σφω = συνω = 5 =3 ημω 4 4 5 (ή αλλιώς : εφω ∙ σφω = 1 <=> σφω = 1 <=> σφω = 1 <=> σφω = 3 εϕω 4 4 3 109

■ Α.2. Υπολογισμός τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας ω όταν γνωρίζουμε εφω ή σφω ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ • α) Αν γνωρίζουμε την εφαπτομένη, τότε μπορούμε να βρούμε την συνεφαπτομένη από την ταυτότητα σφω = 1 , εϕω και το ημίτονο και το συνημίτονο από τις ταυτότητες : ημ2 ω = εϕ2ω και συν2ω = 1 + 1 . 1 + εϕ2ω εϕ2ω --------------------------------------------------------------------- • β) Αν γνωρίζουμε την συνεφαπτομένη, τότε μπορούμε να βρούμε την εφαπτομένη από την ταυτότητα εφω = 1 , σϕω και το ημίτονο και το συνημίτονο από τις ταυτότητες : ημ2 ω = εϕ2ω και συν2ω = 1. 1 + εϕ2ω 1 + εϕ2ω ** 2ος τρόπος - ΧΩΡΙΣ τις ταυτότητες 3 και 4 , αλλά με μη-γραμμικό σύστημα Έστω ότι γνωρίζουμε την εφαπτομένη. Παίρνουμε τις Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες : ημ2ω + συν2ω = 1 και ημω = εφω συνω οπότε λύνουμε το σύστημα με τους 2 αγνώστους , ημω και συνω . ► Παράδειγμα 3.2 - A.2 Για την γωνία ω , με 3π < ω < 2π , είναι εφω = - 3 . 2 Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω rad (δηλ. ημω, συνω, σφω). >> Λύση : ● 1ος τρόπος – Με τις τριγωνομετρικές ταυτότητες \"3\" και 4\". • Είναι : σφω = 1 = 1 = - 3 = - 3 => σφω = - 3 εϕω − 3 3 3 ( 3)2 3 --------------------------------------------------------------------- • Είναι : ημ2ω = εϕ2ω = (− 3)2 =3 = 3 1 + εϕ2ω 1+ (− 3)2 1+ 3 4 Άρα ημω = ± 3 , κι επειδή η γωνία βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο ( 3π < ω < 2π ) , το 22 ημίτονο είναι ΑΡΝΗΤΙΚΟ, άρα ημω = - 3 . 2 --------------------------------------------------------------------- • Είναι : ημ2ω + συν2ω = 1 <=> (- 3 )2 + συν2ω = 1 <=> 3 + συν2ω = 1 <=> 24 <=> συν2ω = 1 - 3 <=> συν2ω = 4 - 3 <=> συν2ω = 1 <=> συνω = ± 1 4 44 4 2 κι επειδή η γωνία βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο, το συνημίτονο είναι ΘΕΤΙΚΟ, άρα συνω = 1 . 2 110

● 2ος τρόπος – Με μη-γραμμικό σύστημα • Έχουμε τις Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες : ημ2ω + συν2ω = 1 και ημω = εφω . συνω ηµ2ω + συν2ω = 1  Δηλαδή έχω το σύστημα :  ηµω με 2 αγνώστους, το ημω και το συνω .  συνω = − 3 • Θέτω : ημω = α και συνω = β και το σύστημα γίνεται : α2 + β2 =1 α2 + β2 =1 (1)     α  <=> α = −β 3  β = − 3  (2) • Η (1) με αντικατάσταση από την (2), γίνεται : (-β 3 )2 + β2 = 1 <=> 3β2 + β2 = 1 <=> 4β2 = 1 <=> β2 = 1 <=> β = ± 1 42 Δηλαδή συνω = ± 1 . 2 Η γωνία ω βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο, δηλ. το συνημίτονο είναι ΘΕΤΙΚΟ, άρα συνω = 1 . 2 --------------------------------------------------------------------- • Από την (2) , έχω : α = - 1 3 <=> α = - 3  Δηλαδή ημω = - 3 22 2 --------------------------------------------------------------------- • Είναι : σφω = 1 = 1 = - 3 = - 3 => σφω = - 3 εϕω − 3 3 3 ( 3)2 3 111

3.3 ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1o ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ * Ο υπολογισμός των τριγωνομετρικών αριθμών οποιασδήποτε γωνίας μπορεί να γίνει, με τη βοήθεια των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών του 1ου Τεταρτημορίου (από 0ο μέχρι 90ο) . ■ 3.3 -1. Αντίθετες Γωνίες  ω , -ω * (από το 4ο Τεταρτημόριο  στο 1ο !) • Αν θεωρήσουμε 2 αντίθετες γωνίες, δηλαδή τις ω και -ω , τότε όπως φαίνεται στο σχήμα, λόγω συμμετρίας των σημείων Μ , Μ' ως προς τον άξονα x'x, ισχύει ότι : * Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες σε ακτίνια ● ημ(-ω) = - ημω (δεν φαίνεται διαφορά στη γραφή) ● συν(-ω) = συνω *** ------------------------------------- ● εφ(-ω) = - εφω ● σφ(-ω) = - σφω ► Παράδειγμα 3.3-1.1 : ω' = -30ο • ημ(-30ο) = - ημ30ο = - • συν(-30ο) = συν30ο = ------------------------------------ • εφ(-30ο) = -εφ30ο = - • σφ(-30ο) = -σφ30ο = - ► Παράδειγμα 3.3-1.2 : ω' = -45ο // Συμπληρώστε το σχήμα και τις ισότητες : • ημ(-45ο) = ………………. • συν(-45ο) = ………………. ------------------------------------ • εφ(-45ο) = ………………. • σφ(-45ο) = ………………. 119

■ 3.3 -2. Γωνίες με άθροισμα 180o (ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ)  ω , 180o – ω * (από το 2ο Τεταρτημόριο  στο 1ο !) • Αν θεωρήσουμε 2 Παραπληρωματικές γωνίες, δηλαδή τις ω και 180ο-ω , τότε όπως φαίνεται στο σχήμα, λόγω συμμετρίας των σημείων Μ , Μ' ως προς τον άξονα y'y, ισχύει ότι : * Οι γωνίες με άθροισμα 180o (Παραπληρωματικές) έχουν το ίδιο ημίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Τριγωνομετρικοί αριθμοί σε μοίρες ω , 180ο - ω σε ακτίνια ω , π - ω ● ημ(180ο - ω) = ημω *** ● ημ(π - ω) = ημω *** ● συν(180ο - ω) = - συνω ● συν(π - ω) = - συνω ---------------------------------- ---------------------------------- ● εφ(180ο - ω) = - εφω ● εφ(π - ω) = - εφω ● σφ(180ο - ω) = - σφω ● σφ(π - ω) = - σφω ► Παράδειγμα 3.3.2-1 : ω' = 120ο • ημ = ημ(π - ) = ημ = • συν = -συν(π - ) = - συν = - --------------------------------------------------------------- • εφ = -εφ(π - ) = -εφ = - • σφ = -σφ(π - ) = -σφ = - ► Παράδειγμα 3.3-2.2 : ω' = 135ο // Συμπληρώστε το σχήμα και τις ισότητες : • ημ(135ο) = ημ = ………………. • συν(135ο) = συν = ………………. ----------------------------------------------------------------- • εφ(135ο) = εφ = ………………. • σφ(135ο) = σφ = ………………. 120

3.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΈΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ■ Περιοδικά φαινόμενα – Περιοδικές Συναρτήσεις Στη φύση, αλλά και στις δραστηριότητες των ανθρώπων, συμβαίνει πολλές φορές ένα φαινόμενο να επαναλαμβάνεται συνέχεια με τον ίδιο τρόπο, σε σταθερά χρονικά διαστήματα . - Ένα τέτοιο φαινόμενο ονομάζεται περιοδικό φαινόμενο. - Ο χρόνος που χρειάζεται για να πραγματοποιηθεί μία φορά το φαινόμενό , ονομάζεται Περίοδος του περιοδικού φαινομένου. >> Παραδείγματα τέτοιων φαινομένων στη φύση είναι: - η περιστροφή της Γης γύρω από τον Ήλιο, - η παλλίροια του Ευρίπου, και παραδείγματα από τις δραστηριότητες των ανθρώπων είναι - το δρομολόγιο ενός λεωφορείου, - η κίνηση μίας κούνιας, ή ενός εκκρεμούς (αν υποθέσουμε ότι κινούνται πάντα με μία σταθερή ώθηση μεταξύ 2 ακραίων θέσεων. ► Παράδειγμα 1 : Ας ξεκινήσουμε από το τελευταίο παράδειγμα, και ας υποθέσουμε ότι ένα κοριτσάκι κάνει κούνια , όπως φαίνεται στο σχήμα. Ξεκινώντας από την θέση Α (πίσω), και πηγαίνει μέχρι την θέση Β (μπροστά) και επιστρέφει στην αρχική θέση Α. Αυτή η κίνηση θα επαναλαμβάνεται ακριβώς η ίδια, αν υποθέσουμε ότι ο πατέρας του κοριτσιού σπρώχνει την κούνια με σταθερή δύναμη κάθε φορά που η κούνια βρίσκεται στην θέση Α. Έστω ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα, χρειάζεται χρόνος 2 δευτερολέπτων για να κινηθεί η κούνια από το σημείο Α στο σημείο Β, και 2 δευτερόλεπτων για την κίνηση από το Β στο Α. Θέλουμε να μελετήσουμε το ύψος στο οποίο βρίσκεται το κάθισμα της κούνιας, σε σχέση με τον χρόνο, δηλαδή να μελετήσουμε το Ύψος (h) ως συνάρτηση του Χρόνου (t) . Επειδή παρατηρούμε ότι κάθε 2 δευτερόλεπτα, η κούνια θα βρίσκεται στο ίδιο ύψος (όπως στο Α, έτσι και στο Β), η γραφική παράσταση του ύψους θα έχει την μορφή του διπλανού σχήματος. - Κάθε 2 δευτερόλεπτα δηλαδή, η κούνια κάνει ακριβώς την ίδια κίνηση, και το ύψος παίρνει διαδοχικά τις ίδιες τιμές. Το φαινόμενο αυτό λοιπόν είναι περιοδικό. - Το χρονικό διάστημα των 2 δευτερολέπτων στο οποίο η κούνια κάνει ακριβώς την ίδια κίνηση, είναι η Περίοδος του φαινομένου αυτού. ● Ορισμός * Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγματικός αριθμός Τ > 0 τέτοιος, ώστε να ισχύουν τα παρακάτω : • i) για κάθε x∈A , x + T ∈ A και x − T∈A • ii) για κάθε x∈A , f (x + T) = f (x − T) = f (x) Ο πραγματικός αριθμός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης f . 129

■ 3.4 -1. Η Τριγωνομετρική Συνάρτηση f(x) = ημx Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία ω υπάρχει μία μόνο τιμή του ημω, με −1 ≤ ημω ≤ 1 . Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία ω αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της, θεωρώντας το μέτρο της γωνίας να μετριέται σε ακτίνια (rad) που είναι πραγματικός αριθμός. (όχι σε μοίρες) Θα μελετήσουμε την συνάρτηση f(x) = ημx που μας δίνει τις τιμές του ημιτόνου της γωνίας x (rad) , αρχικά όταν το x παίρνει τιμές στο διάστημα [0, 2π]. Βρίσκουμε τις τιμές του ημιτόνου, για τις γνωστές γωνίες. • για x = 0 : f(0) = ημ0 = 0 • για x = π : π ημ π = 1 f( ) = 6 6 62 • για x = π : f( π ) = ημ π = 1 222 • για x = 5π : f( 5π ) = ημ 5π = ημ(π - π ) = ημ π = 1 (παραπληρωματικές γωνίες) 666 6 62 • για x = π : f(π) = ημπ = 0 • για x = 7π : f( 7π ) = ημ 7π = ημ(π + π = -ημ π = -1 (γωνίες που διαφέρουν π) ) 666 6 62 • για x = 3π : f( 3π ) = ημ 3π = -1 222 • για x = 11π : f( 11π ) = ημ(2π - π ) = ημ(- π ) = - 1 (γωνίες που διαφέρουν π) 66 6 62 • για x = 2π : f(2π) = ημ2π = 0 *** Παρατηρήστε ότι 2π  6,28 (αφού π  3,14) ! 130

•• Μονοτονία της συνάρτησης f(x) = ημx • Όταν το x μεταβάλλεται από το 0 μέχρι το π , 2 το Μ κινείται από το Α μέχρι το Β.  Άρα η τεταγμένη του αυξάνεται, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π ]. 2 • Όταν το x μεταβάλλεται από το π μέχρι το π , 2 το Μ κινείται από το Β μέχρι το Γ.  Άρα η τεταγμένη του μειώνεται, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ π , π] . 2 • Όταν το x μεταβάλλεται από το π μέχρι το 3π , 2 το Μ κινείται από το Γ μέχρι το Δ.  Άρα η τεταγμένη του μειώνεται, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [π, 3π ] . 2 • Όταν το x μεταβάλλεται από το 3π μέχρι το 2π , 2 το Μ κινείται από το Δ μέχρι το Α.  Άρα η τεταγμένη του αυξάνεται, που σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ 3π , 2π] . 2 ** Τα βασικά σημεία και η μονοτονία της συνάρτησης φαίνονται στον παρακάτω πίνακα : x 0 π π 3π 2π * Η f έχει μέγιστο για x = π το f( π ) = 1 2 2 22 1 * Η f έχει ελάχιστο για x = π το f( 3π ) = -1 22 ημx 0 0 0 -1 • Επομένως, αν πάρουμε για κάθε x που ανήκει στο διάστημα [0, 2π], το ημx, και κατόπιν τα σημεία (x, ημx) , θα δούμε ότι η γραφική παράσταση που αποτελείται από όλα αυτά τα σημεία έχει την παρακάτω μορφή : 131

• Γνωρίζουμε ότι για κάθε γωνία x rad (για κάθε x∈ℝ ) , ισχύει : ημ(x + 2π) = ημ(x − 2π) = ημx >> Άρα για την συνάρτηση f(x) = ημx , που έχει Πεδίο Ορισμού το ℝ , ισχύει : • για κάθε x∈ℝ , (x + 2π) ∈ ℝ και (x – 2π) ∈ ℝ • για κάθε x∈ℝ , f (x + 2π) = f (x – 2π) = f (x) ** Άρα η συνάρτηση ημίτονο είναι Περιοδική , με Περίοδο Τ = 2π . - Αφού η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική, με περίοδο 2π, η γραφική της παράσταση έχει την ίδια μορφή στα διαστήματα [2π, 4π] , [4π, 6π] κτλ. καθώς και στα διαστήματα [−2π, 0] , [−4π, −2π] κτλ. * Έτσι έχουμε την ακόλουθη γραφική παράσταση της συνάρτησης ημίτονο, η οποία λέγεται ημιτονοειδής καμπύλη. • Τέλος γνωρίζουμε ότι οι αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα. Άρα για κάθε x∈ ℝ ισχύει ημ(−x) = −ημx. * Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιττή (ισχύει f(-x) = - f(x) για κάθε x∈ ℝ) και επομένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο(0,0) των αξόνων. 132

● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την Σχεδίαση της Γραφικής Παράστασης της συνάρτησης f(x) = ημx (στο διάστημα [0, 2π] ) 1) • Σχεδιάζουμε ένα ορθογώνιο Σύστημα Συντεταγμένων, βάζοντας - στον άξονα x'x τους ακέραιους αριθμούς από το 0 μέχρι το 6,28 (  2π ) (δηλ. 0,1,2,3,4,5,6) - στον άξονα y'y τους αριθμούς -1 και 1 (ελάχιστη και μέγιστη τιμή αντίστοιχα) ------------------------------------------------------------------- • Βάζουμε τους επιπλέον 3 χαρακτηριστικούς αριθμούς, όπου το ημίτονο είναι 1, 0 , ή -1. Δηλαδή x= π π , και 3π . π  1,55 // π  3,14 // 3π  4,7) , ( 22 22 2) Τοποθετούμε τα σημεία που προκύπτουν από τα ζεύγη (x , ημx) για x = 0, π , π , 3π , 2π . 22 3) Ενώνουμε τα σημεία. (Λεπτομέρεια : H καμπύλη y = ημx βρίσκεται ΚΑΤΩ απ' την ευθεία y=x.) 133

■ 3.4 -5. Οι Συναρτήσεις f(x) = ρ∙ημ(ωx) και g(x) = ρ∙συν(ωx) Αποδεικνύεται ότι οι συναρτήσεις της μορφής f(x) = ρ∙ημωx και g(x) = ρ∙συνωx , όπου ω>0: • Είναι περιοδικές. • Το ρ καθορίζει τη μέγιστη τιμή κάθε τέτοιας συνάρτησης, που είναι ίση με |ρ| και την ελάχιστη τιμή της που είναι ίση με −|ρ| . • Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση με Τ = 2π . ω ► Παραδείγματα : ► Παράδειγμα 3.4 - 5.1 --- f(x) = ρ∙ημx , με ρ > 0 (ω = 1) Να κάνετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2ημx , στο διάστημα [0, 2π] . >> Λύση : • Είναι ω = 1, οπότε : Τ = 2π = 2π = 2π . ω1 Άρα η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο 2π. • Οι τιμές της συνάρτησης f(x) = 2ημx φαίνεται από τον τύπο ότι είναι διπλάσιες από τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης φ(x) = ημx . - Στην φ(x) = ημx , η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή είναι 1 και –1 . ( –1 ≤ ημx ≤ 1 ) • Στην f(x) = 2ημx η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή είναι |ρ| = |2| = 2 και –|ρ| = – |2| = –2 . (είναι : –1 ≤ ημx ≤ 1 ⋅2→ –2 ≤ 2ημx ≤ 2 ) • Στα x στα οποία η φ(x) = ημx μηδενίζεται, θα μηδενίζεται και η f(x) = 2ημx . . x 0 π π 3π 2π 22 ημx 0 1 0 -1 0 2ημx 0 2 0 -2 0 . 142

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα για τις τιμές της συνάρτησης f(x) = ημx και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση στο διάστημα [0, 2π] . x 0 π π 3π π 5π 3π 7π 2π 424 424 ημx (Υπόδειξη : 2  0,7 ) Θεωρήστε ότι 2 2. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα για τις τιμές της συνάρτησης f(x) = συνx και σχεδιάστε 2π την γραφική της παράσταση στο διάστημα [0, 2π] . 7π 4 x 0 π π 3π π 5π 3π 424 42 συνx Υπόδειξη : 2  0,7 Θεωρήστε ότι 2 3. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) f(x) = ημx και g(x) = 3ημx στο διάστημα [0, 2π] . β) f(x) = ημx και g(x) = –ημx στο διάστημα [0, 2π] . (Υπόδειξη : Σχεδιάστε τις 2 γραφικές παραστάσεις με διαφορετικά χρώματα, ή την μία με συνεχόμενη γραμμή και την άλλη με διακεκομμένη γραμμή , ώστε να ξεχωρίζουν) 4. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) f(x) = συνx και g(x) = 2συνx στο διάστημα [0, 2π] . β) f(x) = συνx και g(x) = –3συνx στο διάστημα [0, 2π] . 5. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) f(x) = ημx + 1 και g(x) = ημx – 2 στο διάστημα [0, 2π] . β) f(x) = συνx + 2 και g(x) = συνx – 1 στο διάστημα [0, 2π] . 147

6. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = –ημ 1 x στο διάστημα [0, 4π]. 2 7. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2συν 1 x στο διάστημα [0, 4π]. 2 8. Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 2ημ3x στο διάστημα [0, 4π ]. 3 9. Συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα για τις τιμές της συνάρτησης f(x) = εφx και σχεδιάστε την γραφική της παράσταση στο διάστημα (– π , π ) . 22 . ππ ππ x– – 0 34 43 εφx Υπόδειξη : Θεωρήστε ότι π  0,8 4 π  1,05 και π  1,55 32 και 3  1,7 10. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων : α) f(x) = εφx και g(x) = εφx + 1 στο διάστημα (– π , π ). 22 β) f(x) = σφx και g(x) = σφx – 1 στο διάστημα (0, π) . 148

3.5 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΈΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ■ 3.5 -1. Η εξίσωση ημx = α Θα κάνουμε την εισαγωγή στις τριγωνομετρικές εξισώσεις με ένα παράδειγμα . ► Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα x για τα οποία ισχύει ότι ημx = 1 . 2 ••• 1η Προσέγγιση : ΓΡΑΦΙΚΑ • Θεωρούμε την οριζόντια ευθεία y = 1 2 και την ημιτονοειδή καμπύλη y = ημx (δηλαδή την γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = ημx ). • Αν λύσουμε το μη γραμμικό σύστημα y = 1 (1) 2 y = ηµx (2) θα βρούμε ως λύσεις, τις τιμές του x που είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων των 2 γραφικών παραστάσεων. Δηλαδή, εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη των εξισώσεων (1) και (2) , έχουμε : ημx = 1 . 2 • Οι λύσεις της εξίσωσης αυτής, είναι οι τετμημένες των κοινών σημείων που φαίνονται στο σχήμα: * Καταλαβαίνουμε, ότι αφού η συνάρτηση f(x) = ημx είναι περιοδική, οι λύσεις θα είναι άπειρες! 149

••• 2η Προσέγγιση : Με τη βοήθεια του ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ • Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [0, 2π] , το ημίτονο κάποιας γωνίας x rad είναι ίσο με 1 , όταν η γωνία αυτή 2 είναι x = π ή x = 5π . (παραπληρωματικές γωνίες) 66 • Επίσης, και έξω από το διάστημα [0, 2π] , αν πάρουμε τις γωνίες 2π + π (ένας \"κύκλος\" και 6 π ) και 2π + 5π (ένας \"κύκλος\" και 5π ) θα έχουν και πάλι ημίτονο 1 ! 66 6 2 Το ίδιο θα συμβαίνει αν προσθέσουμε 2 \"κύκλους\" ή περισσότερους, ή αν αφαιρέσουμε \"κύκλους\". • Επομένως, , για να καταλήγουμε σε σημείο (τελική πλευρά γωνίας) που είναι \"ψηλά\" στο 1 , 2 πρέπει να διαγράφεται γωνία \"οσωνδήποτε κύκλων και π \" ή \"οσωνδήποτε κύκλων και 5π \". 66 • Αφού ένας κύκλος ισοδυναμεί με 2π rad , οι αριθμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως κ ⋅ 2π + π , κ∈ℤ (κ \"κύκλοι\" και π )  ⋅ 2π + 6 6 κ 5π 6 ή (κ \"κύκλοι\" και η παραπληρωματική του π , δηλ. π - π = 5π ) 6 66 ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση της εξίσωσης ημx = α Βρίσκουμε μία εύκολη λύση , δηλαδή μία γωνία θ για την οποία ισχύει ημθ = α, οπότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται : x = κ ⋅ 2π + θ x= 2κπ + θ   ημx = α <=> ημx = ημθ <=>  ή , κ ∈ ℤ <=>  ή ,κ∈ℤ x = κ ⋅ 2π + (π − θ) x = 2κπ + (π − θ) 150

Άρα το παραπάνω παράδειγμα θα γραφόταν ως εξής : ► Παράδειγμα 3.5 - 1.1 Να λύσετε την εξίσωση ημx = 1 . 2 >> Λύση : • Μία γνωστή γωνία θ , η οποία έχει ημίτονο 1 είναι θ = π . 26 Άρα έχουμε : ημx = 1 <=> ημx = ημ π <=> 26 <=> x= 2κπ + π ,κ∈ℤ <=> x= 2κπ + π ,κ∈ℤ  6  6   ή ή  2κπ + (π − π)  2κπ + 5π x = x= 6 6 ► Παράδειγμα 3.5 - 1.2 Να λύσετε την εξίσωση ημx = 2 . 2 >> Λύση : • Μία γνωστή γωνία θ , η οποία έχει ημίτονο 2 είναι θ = π . 24 Άρα έχουμε : ημx = 2 <=> ημx = ημ π <=> 24 <=> x= 2κπ + π ,κ∈ℤ <=> x= 2κπ + π ,κ∈ℤ  4  4   ή ή  2κπ + (π − π  2κπ + 3π x = ) x= 4 4 151

► Παράδειγμα 3.5 - 1.3 ---- Αρνητικό ημίτονο Να λύσετε την εξίσωση ημx = – 3 . 2 >> Λύση : Όταν έχουμε αρνητικό ημίτονο, αρχικά, μπορούμε να αγνοήσουμε το πρόσημο . • Ημίτονο ίσο με 3 ξέρουμε ότι έχει η γωνία θ = π . 23 • Αντίθετο ημίτονο έχει η αντίθετή της, δηλαδή ημ(- π ) = - 3 . 32 Άρα έχουμε : ημx = - 3 <=> ημx = ημ(- π ) <=> 23 x= 2κπ − π ,κ∈ℤ <=> x= 2κπ − π ,κ∈ℤ  3  3 <=>   ή ή  2κπ + [π − (− π)]  2κπ + π + π x = x = 3 3 ** Παρατήρηση : Αν λάβουμε υπ' όψιν μας από την αρχή το πρόσημο και καταλάβουμε ότι η γωνία - π έχει ημίτονο - 3 , ακόμη καλύτερα. 32 (Θυμηθείτε τις γωνίες που είναι πολλαπλάσια των 30ο , δηλ. του π ) 6 ► Παράδειγμα 3.5 - 1.4 ---- Βασική τριγωνομετρική εξίσωση : ημx = 1 Να λύσετε την εξίσωση ημx = 1 . >> Λύση : Ημίτονο ίσο με 1 ξέρουμε ότι έχει η γωνία θ = π . 2 Άρα έχουμε : ημx = 1 <=> ημx = ημ π <=> 2 x= 2κπ + π x= 2κπ + π 2  2 <=>  ,κ∈ℤ <=>  ,κ∈ℤ  ή ή  2κπ + π − π  2κπ + π x = x= 2 2 <=> x = 2κπ + π , κ ∈ ℤ 2 Παρατηρούμε εδώ, ότι τελικά οι 2 τύποι λύσεων, καταλήγουν να γίνονται ένας γενικός τύπος! ** Παρατήρηση : Η εξίσωση αυτή θα δούμε ότι ανήκει στις \"ΒΑΣΙΚΕΣ Τριγωνομετρικές Εξισώσεις\" , στις οποίες θα υπάρχει μόνο ένας τύπος λύσεων και θα τον βρίσκουμε πιο γρήγορα! 152

■ 3.5 -2. Η εξίσωση συνx = α Όπως και στην εξίσωση ημx = α , ξεκινάμε με ένα παράδειγμα . ► Έστω ότι θέλουμε να βρούμε τα x για τα οποία ισχύει ότι συνx = 1 . 2 ••• Με τη βοήθεια του ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΚΥΚΛΟΥ : • Παρατηρούμε ότι στο διάστημα [0, 2π] , το συνημίτονο κάποιας γωνίας x rad είναι ίσο με 1 , όταν η γωνία αυτή 2 είναι x = π ή x = 5π . 33 - Πιο απλά, μπορούμε να δούμε το διάστημα [-π, π] και να πάρουμε τις γωνίες π ή π x= x=- . 33 • Επίσης, και έξω από το διάστημα [-π, π] , αν πάρουμε τις γωνίες 2π + π (ένας \"κύκλος\" και 3 π ) και 2π - π (ένας \"κύκλος\" μείον π ) θα έχουν και πάλι συνημίτονο 1 ! 33 3 2 Το ίδιο θα συμβαίνει αν προσθέσουμε 2 \"κύκλους\" ή περισσότερους, ή αν αφαιρέσουμε \"κύκλους\". • Επομένως, για να καταλήγουμε σε σημείο (τελική πλευρά γωνίας) που είναι \"δεξιά\" στο 1 , 2 πρέπει να διαγράφεται γωνία \"οσωνδήποτε κύκλων και π \" ή \"οσωνδήποτε κύκλων μείον π \". 33 • Αφού ένας κύκλος ισοδυναμεί με 2π rad , οι αριθμοί αυτοί μπορούν να γραφούν ως κ ⋅ 2π + π , κ∈ℤ (κ \"κύκλοι\" και π )  ⋅ 2π − 3 3 κ π 3 ή (κ \"κύκλοι\" μείον π ) 3 ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση της εξίσωσης συνx = α Βρίσκουμε μία εύκολη λύση , δηλαδή μία γωνία θ για την οποία ισχύει συνθ = α, οπότε η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γράφεται : x = κ ⋅ 2π + θ x= 2κπ + θ   συνx = α <=> συνx = συνθ <=>  ή , κ ∈ ℤ <=> <=>  ή ,κ∈ℤ x = κ ⋅ 2π − θ x = 2κπ − θ 153

Άρα το παραπάνω παράδειγμα θα γραφόταν ως εξής : ► Παράδειγμα 3.5 - 2.1 Να λύσετε την εξίσωση συνx = 1 . 2 >> Λύση : • Μία γνωστή γωνία θ , η οποία έχει ημίτονο 1 είναι θ = π . 23 Άρα έχουμε : 2κπ + π 3 συνx = 1 συνx = συν π  2 <=> 3 <=>  ή , κ∈ℤ  − π 2κπ 3 ► Παράδειγμα 3.5 - 2.2 Να λύσετε την εξίσωση συνx = – 2 . 2 >> Λύση : ** Όταν έχουμε αρνητικό συνημίτονο, αρχικά, μπορούμε να αγνοήσουμε το πρόσημο . • Συνημίτονο ίσο με 2 ξέρουμε ότι έχει η γωνία θ = π . 24 • Αντίθετο συνημίτονο έχει η παραπληρωματική της! Δηλαδή συν(π – π ) = – 2 , ή πιο απλά συν 3π = – 2 . 42 42 Άρα έχουμε : <=> x= 2κπ + 3π ,κ∈ℤ συνx = - 2 <=> συνx = συν 3π  4  24 ή  2κπ − 3π x= 4 ** Παρατήρηση : Αν λάβουμε υπ' όψιν μας από την αρχή το πρόσημο και καταλάβουμε ότι η γωνία 3π έχει συνημίτονο - 2 , ακόμη καλύτερα. 42 (Θυμηθείτε τις γωνίες που είναι πολλαπλάσια των 45ο , δηλ. του π ) 4 154

*** ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ x= 2κπ + θ ημx = α <=> ημx = ημθ <=>   ή , κ∈ℤ συνx = α <=> συνx = συνθ <=> εφx = α <=> εφx = εφθ <=> x = 2κπ + (π − θ) x= 2κπ + θ   ή , κ∈ℤ x = 2κπ − θ x = κπ + θ , κ ∈ ℤ σφx = α <=> σφx = σφθ <=> x = κπ + θ , κ ∈ ℤ ■ ΒΑΣΙΚΕΣ Τριγωνομετρικές Εξισώσεις 1. ημx = 1 <=> x = 2κπ + π , κ∈ ℤ ημx = -1 2 2. <=> x = 2κπ – π , κ∈ ℤ 2 3. ημx = 0 (ή x = κπ + 3π ) 2 <=> x = κπ , κ∈ ℤ 4. συνx = 1 <=> x = 2κπ , κ∈  5. συνx = -1 <=> x = 2κπ + π , κ∈ ℤ 6. συνx = 0 <=> x = κπ + π , κ∈ ℤ 2 160

>>> Παραδείγματα σε πιο γενικές μορφές ► Παράδειγμα 3.5 - 5.1 Να λύσετε την εξίσωση 2ημ2x = 1 . >> Λύση : Λύνω ως προς το ημίτονο : 2ημ2x = 1 <=> ημ2x = 1 2 Μία γνωστή γωνία θ , η οποία έχει ημίτονο 1 είναι θ= π . 26 Άρα ημ2x = 1 <=> ημ2x = ημ π <=> 26 <=> 2x= 2κπ + π ,κ∈ℤ <=> 2x= 2κπ + π ,κ∈ℤ  6  6   ή ή  2κπ + (π − π)  2κπ + 5π 2x = 2x= 6 6 <=> x = κπ + π ,κ∈ℤ (διαίρεσα με το 2 , και τα 2 μέλη των εξισώσεων)  12  ή  κπ + 5π x =  12 ► Παράδειγμα 3.5 - 5.2 Να λύσετε την εξίσωση συν(3x – π) – 1 = 0 . >> Λύση : Λύνω ως προς το συνημίτονο : συν(3x – π) - 1 = 0 <=> συν(3x – π) = 1 * Αυτή είναι μία από τις βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις, που ξέρουμε απ' ευεθίας ότι : συνα = 1 <=> α = 2κπ Άρα : συν(3x – π) = 1 <=> 3x – π = 2κπ , κ ∈ ℤ <=> 3x = 2κπ + π , κ ∈ ℤ <=> x = 2κπ + π , κ ∈ ℤ 33 161

► Παράδειγμα 3.5 - 5.3 Να λύσετε την εξίσωση (ημx – 1)( 3 – 2συνx) = 0 . >> Λύση :  Έχω : (ημx – 1)( 3 – 2συνx) = 0 <=>  ημx −1 =0   ημx = 1   ημx = 1   ή   ή   ή  <=>     <=>    3 − 2συνx =0 2συνx = 3   3    συνx =  2  • ημx = 1 <=> x = 2κπ + π , κ ∈ ℤ (1) ή 2 • συνx = 3 <=> συνx = συν π <=> x= 2κπ + π ,κ∈ℤ (2) 23  3  ή  2κπ − π x= 3 ► Παράδειγμα 3.5 - 5.4 --- Από τριγωνομετρική , με αντικατάσταση  σε δευτεροβάθμια Να λύσετε την εξίσωση 2ημ2x – ημx – 1 = 0 . >> Λύση : (1) Έχω : 2ημ2x – ημx – 1 = 0 Θέτω : ημx = ω , οπότε η (1) γίνεται : 2ω2 – ω – 1 = 0 (2) Δ = β2 -4αγ = (-1)2 - 4·2·(-1) = 1 + 8 = 9 ω = −β ± ∆ = −(−1) ± 9 = 1 ± 3  1 − 3 = −2 = - 1 2α 2 ⋅ 2 4 4 42  1+3 = 4 = 1 44     ημx = 1   ημx = 1      Άρα  ή  <=>  ή   − 1   ημ(− π  ημx =  ημ=x )  2  6 • ημx = 1 <=> x = 2κπ + π , κ ∈ ℤ (1) ή 2 • ημx = ημ(- π ) <=> x= 2κπ − π , κ ∈ ℤ <=> x= 2κπ − π ,κ∈ℤ 6  6  6   ή ή  2κπ + π − (− π)  2κπ + 7π x = x= 6 6 162

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις α) ημx = 1 β) ημx = –1 γ) ημx = 0 2. Να λύσετε τις εξισώσεις α) συνx = 1 β) συνx = –1 γ) συνx = 0 3. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2ημx = 2 β) 2ημx – 1 = 0 γ) 3 + 2ημx = 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2συνx + 2 = 0 β) 2συνx – 1 = 0 γ) 3 – 2συνx = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις α) εφx = 3 β) 3εφx – 3 = 0 γ) 3 εφx = 1 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α) σφx – 3 = 0 β) σφx + 1 = 0 γ) 3 σφx – 1 = 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις β) (ημx – 1)(σφx + 3 )εφx = 0 α) (2ημx – 1)(συνx + 1) = 0 δ) ημx + ημx∙εφx + εφx + 1 = 0 γ) συνx + συνx∙ημx = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις β) εφ2x – εφx = 0 γ) 2ημ2x – 5ημx + 2 = 0 α) 4ημ2x – 3 = 0 δ) συν2x + 4συνx + 3 = 0 9. Να λύσετε τις εξισώσεις β) 2συν2x + 2 =0 γ) 3 εφ(x – π) = 1 α) 2ημ 1 x = 1 2 δ) ημ(x – π ) = 1 ε) 7συν(x – π ) = –7 2 2 167

10. Να λύσετε τις εξισώσεις β) 2σφ( π – x) = 3 ( εϕx + 1) α) ημ( π – x) + συνx = 3 23 2 δ) ημ(x – π ) = συνx γ) ημx + ημ(π – x) = συν( π – x) 4 2 στ) συν(x – π ) – ημ( π + x) = 0 ε) συν( π – x) + ημx = 0 63 2 11. Να λύσετε τις εξισώσεις β) εφx = 1 α) 3ημx – 3 συνx = 0 σϕ3x 12. Να βρείτε για ποιες τιμές του x, καθεμιά από τις επόμενες συναρτήσεις έχει τη μέγιστη και για ποιες την ελάχιστη τιμή της: α) f(x) = 2συν(x – π ) , 0 ≤ x < 2π β) g(x) = – 4ημ(x – π ) , 0 ≤ x < 2π 3 2 168

● Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος >> Α' Ομάδα ΣΛ 1. Έστω γωνία ω = x O t πάνω στο σύστημα αξόνων xOy και ένα σημείο Μ(x, y) ΣΛ της ημιευθείας Οt. Το ημίτονο της γωνίας ω ορίζεται ως ημω = y , όπου ρ ΣΛ ρ = x2 + y2 . ΣΛ ΣΛ 2. Έστω γωνία ω = x O t πάνω στο σύστημα αξόνων xOy και ένα σημείο Μ(x, y) ΣΛ της ημιευθείας Οt. Η συνεφαπτομένη της γωνίας ω ορίζεται ως σφω = y . ΣΛ x ΣΛ 3. Είναι : ημ30ο = 1 . ΣΛ 2 ΣΛ 4. Είναι : συν60ο = 1 . ΣΛ 2 ΣΛ ΣΛ 5. Είναι : εφ45ο = 1 . ΣΛ ΣΛ 6. Για κάθε k∈ℤ , ισχύει : ημ(k⋅360ο + ω) = ημω . 7. Η εφαπτομένη μιας γωνίας ω δεν ορίζεται για γωνίες μεγαλύτερες των 360ο . 8. Αν Μ(x0 , y0) είναι ένα σημείο πάνω στον τριγωνομετρικό κύκλο , τότε η τετμημένη του Μ είναι ίση με το συνημίτονο της γωνίας ω που ορίζεται από τον θετικό ημιάξονα Οx και την ευθεία ΟΜ. (δηλ. ω = x O M ) 9. Για οποιαδήποτε γωνία ω , ισχύει : −1 < ημω < 1 . 10. Έστω γωνία ω = x O t πάνω στο σύστημα αξόνων xOy . Αν η ημιευθεία Οt βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο, τότε όλοι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας ω είναι θετικοί. 11. Έστω γωνία ω = x O t πάνω στο σύστημα αξόνων xOy . Αν η ημιευθεία Οt βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο, τότε είναι ημω > 0 . 12. Έστω γωνία ω = x O t πάνω στο σύστημα αξόνων xOy . Αν η ημιευθεία Οt βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο, τότε είναι συνω < 0 . 13. Για οποιαδήποτε γωνία ω , ισχύει : ημ2ω + συν2ω = 1 . 14. Για οποιαδήποτε γωνία ω , ισχύει : σφω = 1 . εϕω 15. Για κάθε x∈ ℝ , ισχύει ημ(−x) = −ημx . 169

16. Αντίθετες γωνίες έχουν αντίθετα ημίτονα . ΣΛ 17. Για κάθε x∈ ℝ , ισχύει συν(−x) = −συνx . ΣΛ ΣΛ 18. Για κάθε x∈ ℝ , ισχύει συν( π − x) = ημx . 2 ΣΛ ΣΛ 19. Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι Περιοδική , με Περίοδο Τ = 2π . ΣΛ ΣΛ 20. Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι άρτια . ΣΛ 21. Η συνάρτηση f(x) = ημx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, π] . ΣΛ 22. Η συνάρτηση f(x) = συνx είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0, π ] . 2 ΣΛ 23. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = συνx . Αν x1 , x2 ∈ [0, π] με x1 < x2 , τότε 2 ισχύει συνx1 > συνx2 . 24. Η συνάρτηση f(x) = εφx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (– π , π . ) 22 25. Οι λύσεις της εξίσωσης συνx = 1 είναι όλα τα x για τα οποία x = 2κπ , κ ∈ ℤ . >> Β' Ομάδα (Κρίσεως) ΣΛ 1. Ισχύει : ημ400ο = ημ40ο . ΣΛ 2. Η γωνία 60ο (μοιρών) αντιστοιχεί σε γωνία π rad (ακτινίων) . ΣΛ 6 ΣΛ 3. Υπάρχει γωνία ω για την οποία ισχύουν ταυτόχρονα ημω = 1 και συνω = 1 . ΣΛ 4. Αν για κάποια γωνία ω είναι ημω = 1, τότε υποχρεωτικά θα είναι συνω = 0 . ΣΛ 5. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = ημ2x είναι ίση με 1 . ΣΛ 6. Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης f(x) = – συνx είναι ίση με –1 . ΣΛ 7. Η περίοδος της συνάρτησης f(x) = συν2x είναι ίση με 2π . 8. Η εξίσωση ημx = 1 έχει μοναδική λύση στο διάστημα [0, 2π] . 2 170

4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ■ Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. * Ορισμός • Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής αxν , όπου α είναι ένας πραγματικός αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. - Μονώνυμο του x καλούμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. >>> Παραδείγματα : καθώς και οι αριθμοί : -1, 4, 0 2x , 5x2 , -x3 , 1 x2 , 0x4 , 2 * Ορισμός • Καλούμε πολυώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής: ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 όπου ν είναι ένας φυσικός αριθμός και α0 , α1 , ….. , αν είναι πραγματικοί αριθμοί. * Τα μονώνυμα ανxν , αν-1xν-1 , ……… , α1x , α0 λέγονται όροι του πολυωνύμου . * Οι αριθμοί α0 , α1 , ….. , αν λέγονται συντελεστές του πολυωνύμου . * Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύμου. * Τα πολυώνυμα της μορφής α0 , δηλαδή οι πραγματικοί αριθμοί, λέγονται σταθερά πολυώνυμα. * Ειδικότερα το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο . >>> Παραδείγματα : Οι παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x . 3x , -2x+1 , 4x2 + 0x -1 , -x3 + 8 , καθώς και οι αριθμοί : -3, 6, 0 , 1 , 2 . 2 ** Τα πολυώνυμα τα συμβολίζουμε συνήθως με P(x), Q(x), R(x) κτλ. 171

4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ■ 4.2 -1. Αλγοριθμική διαίρεση Γνωρίζουμε από το Γυμνάσιο την έννοια της Ευκλείδειας ή ακέριας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. . Αν για παράδειγμα διαιρέσουμε το 23 με το 5, τότε η διαίρεση φαίνεται στο 23 5 -20 4 διπλανό σχήμα, και ισχύει η ισότητα : 3 23 = 5∙4 + 3 . - Γενικότερα, λέγαμε ότι: Για κάθε ζεύγος φυσικών αριθμών Δ (= Διαιρετέος) και δ (= διαιρέτης) με δ≠0, υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π (=πηλίκο) και υ (= υπόλοιπο), τέτοιοι ώστε Δ = δ∙π + υ (με 0 ≤ υ < δ) (1) Η ισότητα αυτή είναι γνωστή ως Ταυτότητα της Ευκλείδειας Διαίρεσης . Η έννοια της διαίρεσης των πολυωνύμων είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα ισχύει: * Θεώρημα Ταυτότητα της Διαίρεσης Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ(x) ≠ 0 , υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) , τέτοια ώστε Δ(x) = δ(x)∙π(x) + υ(x) (2) όπου το υπόλοιπο υ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του διαιρέτη δ(x) . * Όπου, Δ(x) : διαιρετέος // δ(x) : διαιρέτης // π(x) : πηλίκο // υ(x) : υπόλοιπο Για να προσδιορίσουμε το πηλίκο π(x) και το υπόλοιπο υ(x) της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Δ(x) με ένα πολυώνυμο δ(x) , ακολουθούμε μια διαδικασία, ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. ► Παράδειγμα 4.2 - 1.1 Θέλουμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο x3 – 2x2 – x + 5 με το πολυώνυμο x – 1 . >> Ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία : 179

Βήματα Στάδιο της διαίρεσης 1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και . x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 γράφουμε τα δυο πολυώνυμα. x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 2. Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο x3 του . x2 x3 = x2 . x Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x του −x2 διαιρέτη και βρίσκω τον 1ο όρο x2 του . = –x πηλίκου . . x 3. Πολλαπλασιάζω το x2 του πηλίκου με τον −2x = – 2 x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 x διαιρέτη x – 1 και το αφαιρώ από τον -x3 x2 διαιρετέο. α) x2 ∙x = x3  βάζω -x3 γιατί το x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 αφαιρώ . -x3 + x2 x2 β) x2 ∙(-1) = -x2  βάζω +x2 γιατί το αφαιρώ - x2 . x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 4. Κατεβάζω και τους υπόλοιπους όρους του . -x3 + x2 x2 Διαιρετέου. – x2 – x + 5 5. (Επανάληψη του Βήματος 2) . x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο -x2 του . Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x του -x3 + x2 x2 – x διαιρέτη και έχω τον 2ο όρο -x του πηλίκου . . – x2 – x + 5 6. (Επανάληψη του Βήματος 3) . x3 – 2x2 – x + 5 Πολλαπλασιάζω το -x του πηλίκου με τον διαιρέτη x – 1 και το αφαιρώ από τον -x3 + x2 x–1 διαιρετέο. – x2 – x + 5 x2 – x + x2 – x – 2x . 7. (Επανάληψη του Βήματος 4) . x3 – 2x2 – x + 5 Κατεβάζω και τους υπόλοιπους όρους του -x3 + x2 x–1 – x2 – x + 5 x2 – x Διαιρετέου. + x2 – x – 2x + 5 . 8. (Επανάληψη του Βήματος 2) . x3 – 2x2 – x + 5 Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο -2x του Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x του -x3 + x2 x–1 διαιρέτη και έχω τον 3ο όρο -2 του πηλίκου . – x2 – x + 5 x2 – x– 2 + x2 – x – 2x + 5 9. (Επανάληψη του Βήματος 3) . Πολλαπλασιάζω το -2 του πηλίκου με τον . διαιρέτη x – 1 και το αφαιρώ από τον διαιρετέο. x3 – 2x2 – x + 5 x–1 x2 – x– 2 -x3 + x2 – x2 – x + 5 + x2 – x – 2x + 5 + 2x – 2 3 . 180

* Εδώ σταματάει η διαίρεση , διότι ο βαθμός του υπολοίπου . είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. (Το υ(x) = 3 είναι μηδενικού βαθμού , και x3 – 2x2 – x + 5 x – 1 ο διαιρέτης δ(x) = x – 1 είναι 1ου βαθμού. ) -x3 + x2 x2 – x– 2 Άρα, γράφοντας την Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x) = δ(x)∙π(x) + υ(x) – x2 – x + 5 για την παραπάνω διαίρεση, έχουμε : + x2 – x x3 – 2x2 – x + 5 = (x – 1)( x2 – x– 2) + 3 – 2x + 5 + 2x – 2 3 . ► Παράδειγμα 4.2 - 1.2 Θέλουμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο x3 – 7x + 8 με το πολυώνυμο x2 – 2x . >> Λύση : . Στάδιο της διαίρεσης . x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x Βήματα . 1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και . x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x x3 =x γράφουμε τα δυο πολυώνυμα. . x x2 * Βάζουμε και τον όρο 0x2 , γιατί πρέπει να υπάρχουν ΟΛΟΙ οι όροι του πολυωνύμου, από x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x τον μεγιστοβάθμιο μέχρι τον σταθερό όρο. 2. Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο x3 του -x3 + 2x2 x Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x2 του διαιρέτη και βρίσκω τον 1ο όρο x του 2x2 πηλίκου . 3. Πολλαπλασιάζω το x του πηλίκου με τον διαιρέτη x2 – 2x και το αφαιρώ από τον διαιρετέο. . x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x 4. Κατεβάζω και τους υπόλοιπους όρους του . -x3 + 2x2 x Διαιρετέου. 2x2 – 7x + 8 5. (Επανάληψη του Βήματος 2) . x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x 2x2 Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο 2x2 του . x2 Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x2 του -x3 + 2x2 x+2 = 2 διαιρέτη και έχω τον 2ο όρο 2 του πηλίκου . . 2x2 – 7x + 8 6. (Επανάληψη του Βήματος 3) . Πολλαπλασιάζω το 2 του πηλίκου με τον διαιρέτη x2 – 2x και το αφαιρώ από τον x3 + 0x2 – 7x + 8 x2–2x διαιρετέο. -x3 + 2x2 x+2 2x2 – 7x + 8 - x2 + 4x - 3x + 8 . * Εδώ σταματάει η διαίρεση , διότι ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. Άρα, γράφοντας την Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x) = δ(x)∙π(x) + υ(x) για την παραπάνω διαίρεση, έχουμε : x3 – 7x + 8 = (x2 – 2x)(x + 2) + (-3x + 8) 181

► Παράδειγμα 4.2 - 1.3 Θέλουμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο 3x3 – 6x2 + x – 2 με το πολυώνυμο 3x2 + 1 . >> Λύση : Βήματα Στάδιο της διαίρεσης 1. Κάνουμε το σχήμα της διαίρεσης και . 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 γράφουμε τα δυο πολυώνυμα. 2. Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο 3x3 του . 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 3x3 =x Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο 3x2 . x 3x 2 του διαιρέτη και βρίσκω τον 1ο όρο x του πηλίκου . . 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 . –3x3 – x x 3. Πολλαπλασιάζω το x του πηλίκου με τον διαιρέτη 3x2 + 1 και το αφαιρώ από τον – 6x2 διαιρετέο. . 4. Κατεβάζω και τους υπόλοιπους όρους του . 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 Διαιρετέου. -3x3 - x x 5. (Επανάληψη του Βήματος 2) . – 6x2 – 2 −6x 2 Διαιρώ τον μεγιστοβάθμιο όρο 2x2 του . 3x2 = –2 Διαιρετέου , με τον μεγιστοβάθμιο όρο x2 του 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 διαιρέτη και έχω τον 2ο όρο 2 του πηλίκου . . -3x3 - x x – 2 – 6x2 – 2 6. (Επανάληψη του Βήματος 3) . 3x3 – 6x2 + x – 2 3x2+1 Πολλαπλασιάζω το 2 του πηλίκου με τον -3x3 - x x–2 διαιρέτη x2 – 2x και το αφαιρώ από τον διαιρετέο. – 6x2 – 2 + 6x2 + 2 0 . * Εδώ σταματάει η διαίρεση , διότι ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη. Άρα, γράφοντας την Ταυτότητα της Διαίρεσης Δ(x) = δ(x)∙π(x) + υ(x) αφού και το υπόλοιπο είναι 0 , για την παραπάνω διαίρεση, έχουμε : 3x3 – 6x2 + x – 2 = (3x2 + 1)(x - 2) *** Γενικά, αν σε μια διαίρεση το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι υ(x) = 0 λέμε ότι η διαίρεση είναι τέλεια . Τότε η ταυτότητα της Διαίρεσης γράφεται : Δ(x) = δ(x)∙π(x) * Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι \" το δ(x) διαιρεί το Δ(x) \" ή ότι \" το δ(x) είναι παράγοντας του Δ(x) \" ή ότι \" το δ(x) είναι διαιρέτης του Δ(x)\" ή ακόμη ότι \" το Δ(x) διαιρείται με το δ(x) \" >> Π.χ. στο Παράδειγμα 3 , το 3x2 + 1 είναι παράγοντας, ή διαιρέτης του 3x3 – 6x2 + x – 2 . 182

■ 4.2 -2. Σχήμα Horner Το σχήμα Horner αποτελεί μία διαδικασία η οποία μας βοηθάει σε διάφορα θέματα που αφορούν πολυώνυμα ή πολυωνυμικές εξισώσεις ή πολυωνυμικές συναρτήσεις. • Με το Σχήμα Horner στην ουσία κάνουμε διαίρεση πολυωνύμων με πολυώνυμα της μορφής x–ρ . • Επίσης μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του πολυωνύμου για κάποιο x, να κάνουμε παραγοντοποίηση πολυωνύμων, επίλυση εξισώσεων. ► Παράδειγμα 4.2 - 2.1 --- Διαίρεση πολυωνύμων με (x – ρ) ** ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ** Έχουμε το πολυώνυμο P(x) = x3 – 2x2 – x + 5 και θέλουμε να το διαιρέσουμε με το x – 1 . >> Λύση : ● Βήμα 1ο: Από το x – 1 ξεχωρίζουμε ότι ρ = 1 . --------------------------------------------------------------------- ● Βήμα 2ο: • Φτιάχνουμε έναν πίνακα με 3 γραμμές και ν+1 στήλες, όπου ν είναι ο βαθμός του πολυωνύμου. Εδώ , το πολυώνυμο x3 – 2x2 – x + 5 είναι 3ου βαθμού (μεγαλύτερη δύναμη του x είναι το x3), δηλαδή ν=3. Άρα ο πίνακας πρέπει να έχει 4 στήλες. • Δεξιά γράφουμε τον αριθμό ρ, για τον οποίο κάνουμε το σχήμα Horner. (διαίρεση με το x – ρ) ρ=1 --------------------------------------------------------------------- ● Βήμα 3ο: • Στην 1η γραμμή του πίνακα γράφουμε με τη σειρά τους συντελεστές του πολυωνύμου. Εδώ, που το πολυώνυμο είναι x3 – 2x2 – x + 5 , έχουμε: 1∙x3 – 2x2 – x + 5 1 –2 –1 5 ρ = 1 1 • Στο πρώτο κουτάκι της 2ης γραμμής δεν γράφουμε τίποτα. • Αντιγράφουμε τον αριθμό που είναι στο 1ο κουτάκι της 1ης γραμμής, στο 1ο κουτάκι της 3ης γραμμής. 186

● Βήμα 4ο: • Κάθε αριθμό της 3ης γραμμής, τον πολλαπλασιάζουμε με το ρ για να βρούμε το διαγώνιο στοιχείο του στην 2η γραμμή. 1 –2 –1 5 ρ=1 1 ∙ρ 1 Εδώ πολλαπλασιάσαμε 1∙ρ = 1∙1 = 1 • Προσθέτουμε τους 2 πρώτους αριθμούς κάθε στήλης, για να βρούμε τον αριθμό που είναι στην 3η γραμμή στην στήλη αυτήν. 1 –2 –1 5 ρ=1 1+ 1 –1 Εδώ προσθέτουμε στην 2η στήλη (–2) + 1 = –1 . --------------------------------------------------------------------- ● Βήμα 5ο: >> Αφού συμπληρωθεί όλος ο πίνακας, μπορούμε από την 3η γραμμή του πίνακα να δούμε το Πηλίκο και το Υπόλοιπο της διαίρεσης . • Οι αριθμοί της 3ης γραμμής εκτός από τον τελευταίο, είναι οι συντελεστές του Πηλίκου, το οποίο είναι ένα πολυώνυμο βαθμού ν – 1 (κατά ένα μικρότερος βαθμός από το αρχικό πολυώνυμο). Εδώ, αφού το αρχικό ήταν 3ου βαθμού, αυτό θα είναι 2ου βαθμού, δηλαδή το (x2 + 2) . • Ο τελευταίος αριθμός της 3ης γραμμής είναι το Υπόλοιπο της διαίρεσης υ ! Και αφού στην διαίρεση ενός πολυωνύμου με το x – ρ ισχύει ότι υ = Ρ(ρ) , ο τελευταίος αριθμός παριστάνει επίσης την τιμή του πολυωνύμου για x = ρ , δηλαδή το Ρ(ρ) ! Εδώ το υπόλοιπο είναι 0 . Δηλαδή το 1 –2 –1 5 ρ=1 1 –1 –2 3 (x – ρ) 1 –1 –2   1·x2 + –1·x + 2 (x – 1) πηλίκο  (x2 – x – 2) υπόλοιπο P(1) = 3 --------------------------------------------------------------------- ● Βήμα 6ο: • Η ταυτότητα της διαίρεσης του x3 – 2x2 – x + 5 με το x – 1 γράφεται: x3 – 2x2 – x + 5 = (x – 1) (x2 – x – 2) + 3 ((** Δες Παρ. 4.2-1.1 ! )) 187

► Παράδειγμα 4.2 - 2.2 --- ρ < 0 και τέλεια διαίρεση Να κάνετε την διαίρεση του πολυωνύμου P(x) = – x3 + 7x + 6 με το x + 2 . >> Λύση : ** Όταν δεν υπάρχουν όλες οι δυνάμεις του x στο πολυώνυμο (π.χ. εδώ λείπει το x2 ), θα θεωρούμε ότι ο συντελεστής αυτής της δύναμης είναι το 0. (δηλαδή ότι έχουμε 0x2 ) • Το πολυώνυμο – x3 + 7x + 6 γράφεται: – 1x3 + 0x2 + 7x + 6 * Αφού κάνουμε διαίρεση με το x + 1 , δηλαδή x – (–2) , έχουμε ότι ρ = –2 . • Σχήμα Horner για ρ= –1. 0 7 6 ρ = –2 x – (–2) –1 2 –4 –6  2 3 0 (x + 2) –1 υ = P(–2) = 0  (–x2 + 2x + 3) • Η ταυτότητα της διαίρεσης του – x3 + 7x + 6 με το x + 2 γράφεται: – x3 + 7x + 6 = (x + 2)(–x2 + 2x + 3) * Παρατήρηση : Δηλαδή βλέπουμε ότι P(–2) = 0 (το P(x) διαιρείται με το x + 2 ) ισοδύναμα , το –2 είναι ρίζα του P(x) ισοδύναμα , το (x + 2) είναι παράγοντας του P(x) ► Παράδειγμα 4.2 - 2.3 --- Σχήμα Horner σε τριώνυμο // Παραγοντοποίηση τριωνύμου Να κάνετε την διαίρεση του πολυωνύμου P(x) = 2x2 – 5x + 2 με το x – 2 . >> Λύση : έχουμε ότι ρ = 2 . ■ Γνωρίζουμε ότι η παραγοντοποίηση * Αφού κάνουμε διαίρεση με το x – 2 , ρ=2 • Σχήμα Horner για ρ = 2 . ενός τριωνύμου αx2 +βx + γ γίνεται (x – 2) αν βρούμε τις ρίζες του. Δηλαδή : 2 -5 2 • Αν Δ > 0 και ρ1 , ρ2 οι ρίζες 4 –2 αx2 +βx + γ = α(x – ρ1)(x – ρ2) 2 –1 0 • Αν Δ = 0 και ρ η διπλή ρίζα (2x – 1) αx2 +βx + γ = α(x – ρ)2 • Η ταυτότητα της διαίρεσης του 2x2 – 5x + 2 με το x–2 γράφεται: 2x2 – 5x + 2 = (x – 2)(2x – 1) * Παρατήρηση : Με το Σχήμα Horner επομένως, αν γνωρίζουμε την 1 ρίζα ενός τριωνύμου, μπορούμε και πάλι να το παραγοντοποιήσουμε! 188

*** Παρατήρηση / Υπενθύμιση - Μεθοδολογία : Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι ένα πολυώνυμο της μορφής x – ρ είναι παράγοντας ενός άλλου πολυωνύμου Ρ(x), αρκεί να δείξουμε ότι το ρ είναι ρίζα του P(x) ! Αυτό μπορεί να γίνει : • είτε με αντικατάσταση του ρ στη θέση του x στο πολυώνυμο, ( P(ρ) = …… = 0 ) • είτε και με Σχήμα Horner , αφού το υπόλοιπο γνωρίζουμε ότι είναι ακριβώς το Ρ(ρ) ! ► Παράδειγμα 4.2 - 2.6 --- Σχήμα Horner με ρ που περιέχει ριζικό Να αποδείξετε ότι τo πολυώνυμo x–1– 3 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x3 – 3x2 + 2 . >> Λύση : Για να είναι παράγοντας το x–(1+ 3 ) , αρκεί να είναι το 1+ 3 ρίζα του P(x) ! ● 1ος τρόπος : Με αντικατάσταση στο πολυώνυμο • Είναι : P(1+ 3 ) = (1+ 3 )3 – 3(1+ 3 )2 + 2 = = 13 + 3∙12∙ 3 + 3∙1∙( 3 )2 + ( 3 )3 – 3[12 + 2∙1∙ 3 + ( 3 )2] + 2 = 1 + 3 3 + 9 + 3 3 – 3(1 + 2 3 + 3) + 2 = 10 + 6 3 – 3 –6 3 – 9 + 2 =0 >> Δηλαδή : P(1+ 3 ) = 0 <=> το 1+ 3 είναι ρίζα του P(x) <=> το x – 1 – 3 είναι παράγοντας του P(x) . --------------------------------------------------------------------- ● 2ος τρόπος : Με εύρεση τιμής του πολυωνύμου με το Σχήμα Horner Αντί για τις κοπιαστικές πράξεις που κάναμε στον 1ο τρόπο, μπορούμε να βρούμε σε τέτοιες περιπτώσεις πιο εύκολα την τιμή P(1+ 3 ) με το Σχήμα Horner . 1 –3 0 2 ρ = 1+ 3 1 + 3 1 – 3 –2 x – (1 + 3 ) 1 3 –2 1– 3 0 Άρα το υπόλοιπο είναι υ(x) = 0 . Δηλαδή : P(1+ 3 ) = 0 <=> το 1+ 3 είναι ρίζα του P(x) <=> το x – 1 – 3 είναι παράγοντας του P(x) . (**) Στον 2ο πολλαπλασιασμό : ( 3 – 2)(1 + 3 ) = 3 + ( 3 )2 – 2 – 2 3 = = 3 +3–2–2 3 = 1– 3 190

► Παράδειγμα 4.2 - 2.9 --- ** Βασική Ταυτότητα xν − αν Αν ν είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδειχθεί η ταυτότητα: (xν − αν ) = (x − α)(xν−1 + xν−2α + xν−3α2 + ...... + xαν−2 + αν−1 ) >> ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Το σχήμα Horner με διαιρετέο το xν −αν και διαιρέτη το x – α δίνει : 1 0 0 …… 0 -αν ρ = α x–α α α2 …… αν-1 αν 1 α α2 …… αν-1 0 Επομένως το υπόλοιπο της διαίρεσης (xν − αν ) : (x − α) είναι μηδέν, ενώ το πηλίκο είναι το πολυώνυμο π(x) = xν−1 + xν−2α + xν−3α2 + ...... + xαν−2 + αν−1 . • Άρα από την Ταυτότητα της Διαίρεσης προκύπτει ότι : xν − αν = (x − α) ∙ (xν−1 + xν−2α + xν−3α2 + ...... + xαν−2 + αν−1 ) • Ειδικά για α = 1 : xν − 1 = (x − 1) ∙ (xν−1 + xν−2 + xν−3 + ...... + x + 1 ) ► Παραδείγματα : Ισχύουν επομένως οι ταυτότητες : • α3 – β3 = (α – β)(α2 + αβ + β2) • x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1) • α4 – β4 = (α – β)(α3 + α2β + αβ2 + β3) • α5 – β5 = (α – β)(α4 + α3β + α2β2 + αβ3 + β4) ** Και γενικά για οποιονδήποτε εκθέτη, είτε άρτιο, είτε περιττό θετικό ακέραιο! *** Αποδεικνύεται ότι για περιττό θετικό ακέραιο ν ισχύει η ταυτότητα : xν + αν = (x + α) ∙ (xν−1 – xν−2α + xν−3α2 – ...... – xαν−2 + αν−1 ) ► Παραδείγματα : • x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1) Ισχύουν επομένως οι ταυτότητες : • α3 + β3 = (α + β)(α2 – αβ + β2) • α5 + β5 = (α + β)(α4 – α3β + α2β2 – αβ3 + β4) ** Και γενικά ΜΟΝΟ για εκθέτη περιττό θετικό ακέραιο! 192

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να κάνετε τις διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. α) (x3 – 5x2 − 8x + 4) : (x – 2) β) (2x3 + 4x – 1) : (x + 1) γ) x3 : (x2 + 3) δ) (x4 – x2 – 2) : (x3 + x) ε) (2x3 – 9x2 + 7x – 2) : (2x + 1) στ) (x3 – 7x + 6) : (x2 – 3x + 2) ζ) (4x4 + x2 − 3x − 2) : (2x2 – x + 1) η) (x5 – 2) : (x4 + x3 + x2 + x + 1) 2. Να αποδείξετε ότι τo πολυώνυμo x + 1 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x7 + 5x4 – 4 . 3. Να ελέγξετε : α) αν το πολυώνυμο P(x) = 3x3 – 5x + 6 = 0 έχει ρίζα το 4 . β) αν το πολυώνυμο Q(x) = 4x4 + 5x2 + 7x + 4 = 0 έχει ρίζα το 2. γ) αν το πολυώνυμο R(x) = 6x6 – 3x3 + 2x2 – x + 2 = 0 δεν έχει ρίζα το –3 . (~Εξ. 2001 – Θ1Β1) 4. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = (4x + 5)2004 + x2001 . Να ελέγξετε αν κάποιο από τα πολυώνυμα (x + 1) και (x – 1) είναι παράγοντας του P(x) . (~Εξ. 2001 – Θ1Β2) 5. Να βρείτε τις τιμές του κ , για τις οποίες το x – 3 είναι παράγοντας του Ρ(x) = x3 – 3x2 – λx + 2λ + 2 . 6. Δίνεται το πολυώνυμο P(x) = α2x3 – 3αx2 + αx + 1 , όπου α∈ℝ . Να βρείτε την τιμή του α για την οποία το υπόλοιπο της διαίρεσης του P(x) με το (x – 1) είναι ίσο με μηδέν. (Εξ. 1999 – Θ1Β) 7. Δίνεται το πολυώνυμο Ρ(x) = x3 – (k + 1)x2 + (k – 1)x + 2, k∈ℝ , για το οποίο ισχύει ότι Ρ(2) = 0. α) Να αποδείξετε ότι k = 2 . β) Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο x + 3 . (~Εσπ. 2002 – Θ4) 8. Δίνεται το πολυώνυμο F(x) = x3 + (3 – λ2)x2 + (2λ – 1)x – 3 , όπου λ∈ℝ . α) Να βρείτε τις τιμές του λ , για τις οποίες ισχύει F(–1) = –8 . Για λ = 2 , β) να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του F(x) με το x – 2 . γ) να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του F(x) με το x – 1 . (~Εσπ. 2001 – Θ2) 194

4.3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ και ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ■ 4.3 -1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων • αx + β = 0  πολυωνυμική 1ου βαθμού • αx2 + βx + γ = 0  πολυωνυμική 2ου βαθμού (δευτεροβάθμια) • αx4 + βx2 + γ = 0 , με α ≠ 0  πολυωνυμική 4ου βαθμού (διτετράγωνη) • xν – αν = 0 (xν = αν ) Οι εξισώσεις αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις μιας κατηγορίας εξισώσεων της μορφής Ρ(x) = 0 , όπου Ρ(x) πολυώνυμο, οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Συγκεκριμένα: * Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζουμε κάθε εξίσωση της μορφής ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 = 0 , αν ≠ 0 >> Για παράδειγμα, οι εξισώσεις 2x3 − 5x2 + x − 2 = 0 και −3x6 + 5x2 +1 = 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 6ου βαθμού αντιστοίχως. * Ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης ονομάζουμε κάθε ρίζα του πολυωνύμου Ρ(x) = ανxν + αν-1xν-1 + ……… + α1x + α0 , δηλαδή κάθε αριθμό ρ , για τον οποίο ισχύει Ρ(ρ) = 0 . Όπως για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, έτσι και για τις πολυωνυμικές εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσής τους. Οι τρόποι αυτοί όμως απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου και δε θα αναπτυχθούν εδώ. Τέλος, έχει αποδειχθεί ότι γενικός τρόπος επίλυσης για πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού μεγαλύτερου του 4 δεν υπάρχει. Για τους λόγους αυτούς, για την επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου από 2, θα περιοριστούμε στη γνωστή μας παραγοντοποίηση. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την Επίλυση Πολυωνυμικών Εξισώσεων με παραγοντοποίηση Η επίλυση μιας εξίσωσης με τη μέθοδο αυτή στηρίζεται στην ισοδυναμία Ρ1(x)∙Ρ2(x)∙Ρ3(x)∙ …… ∙Ρκ(x) <=> { Ρ1(x) = 0 ή Ρ2(x) = 0 ή ... ή Ρκ(x) = 0 } Δηλαδή, για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση Ρ(x) = 0, παραγοντοποιούμε το Ρ(x) και αναγόμαστε έτσι στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού. 197

>>> ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ : ► Παράδειγμα 4.3-1.4 --- Παραγοντοποίηση με εξαγωγή κοινού παράγοντα από όλους τους όρους Να λυθεί η εξίσωση : x3 – 3x2 + 2x = 0 Έχω x3 – 3x2 + 2x = 0 <=> x(x2 – 3x + 2) = 0 <=>  x=0   x=0      <=>  ή  < ∆=9−4⋅2= 1 >  ή  1=ή x 2 x2 − 3x + 2 =0 =x ► Παράδειγμα 4.3-1.5 4x4 = x2 Να λυθεί η εξίσωση : Έχω 4x4 = x2 <=> 4x4 – x2 = 0 <=> x2(4x2 – 1) = 0 <=>  x2 = 0      x=0  x=0   x=0  <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή  <=>  ή          4x2 − 1 =0 4x2 = 1  = 1   1 ή x= − 1  x2  x =   4 2 2 ► Παράδειγμα 4.3-1.6 --- Παραγοντοποίηση με εξαγωγή κοινού παράγοντα κατά ζεύγη Να λυθεί η εξίσωση : x3 + x2 – 4x – 4 = 0 Έχω x3 + x2 – 4x – 4 = 0 <=> x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0 <=> (x +1)(x2 – 4) = 0  x + 1 =0   x = −1  x = −1        <=>  ή  <=>  ή  < ∆=9−4⋅2= 1 >  ή  x2 − 4 =0  x2 = 4  x = 2 ή x = −2 ► Παράδειγμα 4.3-1.7 (x – 3)2(x + 5) + (x + 5)(x – 3)(2x – 9) = 0 Να λυθεί η εξίσωση : Έχω (x – 3)2(x + 5) + (x + 5)(x – 3)(2x – 9) = 0 <=> <=> (x – 3)(x + 5) ∙ [ (x – 3) + (2x – 9) ] = 0 <=> (x – 3)(x + 5)(3x – 12) = 0  x − 3 =0  x=3  x=3  <=>  + ή =0  <=>  ή  <=>  ή  x 5  x = −5  x = −5    ή   ή   ή        3x − 12 =0 3x = 12  x = 4  200

► Παράδειγμα 4.3-1.8 --- Εξισώσεις που ανάγονται στην μορφή xν = αν . Να λυθούν οι εξισώσεις : α) 8x3 = 27 β) (x – 3)4 = 16 γ) (2x + 7)5 = -1 >> Λύση : ** Υπενθύμιση : Για την εξίσωση xν = αν , με ν∈ℕ* , που έχει προφανή λύση την x = α , ισχύει ότι: • Αν ο ν είναι περιττός, τότε η εξίσωση xν = αν έχει μοναδική λύση, την x = α . • Αν ο ν είναι άρτιος, τότε η εξίσωση xν = αν έχει δύο λύσεις, τις x1 = α και x2 = –α . α) 8x3 = 27 <=> β) (x – 3)4 = 16 γ) (2x + 7)5 = -1 <=> (x – 3)4 = 24 <=> (2x + 7)5 = (-1)5 <=> x3 = 27 <=> 2x + 7 = -1 8  x − 3 =2  <=> 2x = 8 <=> x = 4 <=> x3 = 33 <=>  ή  23   x3 =  3 3 x − 3 =−2  2  <=> x = 5 <=> x = 3 <=>  ή  2   x = 1 ► Παράδειγμα 4.3-1.9 --- Παραγοντοποίηση με Σχήμα Horner Να λυθεί η εξίσωση : x3 – 7x + 6 = 0 >> Λύση : * Οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου 6, είναι : ±1 , ±2 , ±3 , ±6. Έχω x3 – 7x + 6 = 0 <=> Μία ρίζα της εξίσωσης παρατηρώ ότι είναι <=> (x + 1)(x2 + x – 6) = 0 το 1 . (*)  x −1 =0  Σχήμα Horner για ρ= 1.   1 0 -7 6 ρ = 1 <=>  ή  1 1 -6 1 1 -6 0 x2 + x − 6 =0  (x2 + x – 6) (x – 1)  x =1  Άρα το πολυώνυμο x3 – 7x + 6   από την Ταυτότητα της Διαίρεσης, < ∆=1−4⋅(−6) = 25 >  ή  γράφεται : x =−3 ή x =2 (x – 1)(x2 + x – 6) 201

► Παράδειγμα 4.3-1.10 --- Παραγοντοποίηση με Σχήμα Horner (2 φορές) Να λυθεί η εξίσωση : x4 – 3x3 – x2 + 5x + 2 = 0 >> Λύση : * Η εξίσωση είναι πολυωνυμική 4ου βαθμού, οπότε θα παραγοντοποιήσουμε αρχικά με το Σχήμα Horner το πολυώνυμο του 1ου μέλος , έχοντας έναν παράγοντα της μορφής (x – ρ) και έναν παράγοντα πολυώνυμο 3ου βαθμού. Έχω x4 – 3x3 – x2 + 5x + 2 = 0 <=> (*) Οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου 2, είναι : ±1 , ±2 . Μία ρίζα της εξίσωσης παρατηρώ ότι είναι το -1 . <=> (x + 1)(x3 – 4x2 + 3x + 2) = 0 (*) Σχήμα Horner για ρ= -1. ρ = -1 1 -3 -1 5 2 (x + 1) <=> (x + 1)(x – 2)(x2 – 2x – 1) = 0 (**) -1 4 -3 -2 1 -4 3 2 0 (x3 – 4x2 + 3x + 2)  x + 1 =0  --------------------------------------------   <=>  ή  (**)  x − 2 =0  Για το πολυώνυμο (x3 – 4x2 + 3x + 2) οι ακέραιοι διαιρέτες του σταθερού όρου 2, είναι : ±1 , ±2 .  ή  Μία ρίζα του πολυωνύμου παρατηρώ   ότι είναι το 2 . x2 − 2x − 1 =0  x= −1  Σχήμα Horner για ρ = 2.   1 -4 3 2 ρ = 2 ή  2 -4 -2 1 -2 -1 0 < ∆=4−4⋅(−1)= 8 >  x=2  (x2 – 2x – 1) (x – 2)  ή    (***) x= 1 + 2    ή  x= 1 − 2  (***) Αφού στην δευτεροβάθμια εξίσωση x2 – 2x – 1 = 0 με Δ = 8 , έχουμε : x = −β ± ∆ = −(−2) ± 8 = 2 ± 2 2 = 2(1 ± 2)  1+ 2 2α 2 ⋅1 2 2  1– 2 202

■ 4.3 -2. ΠΡΟΣΗΜΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ - ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Έστω ότι θέλουμε να μελετήσουμε ένα γινόμενο P(x) = A(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) ως προς το πρόσημό του, όπου οι παράγοντες A(x) , B(x) , .... , Φ(x) είναι της μορφής αx + β (διώνυμο) ή της μορφής αx2 + βx + γ (τριώνυμο) . Βρίσκουμε το πρόσημο κάθε παράγοντα χωριστά και στη συνέχεια το πρόσημο του γινομένου P(x), \"πολλαπλασιάζοντας τις τιμές στα αντίστοιχα διαστήματα τιμών\". Πιο αναλυτικά : ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την Εύρεση του Προσήμου Πολυωνύμου / Γινομένου • 1) Λύνουμε την εξίσωση P(x) = 0 , ώστε να βρούμε όλες τις ρίζες του πολυωνύμου. A(x) = 0  ή    B(x) = 0    P(x) = 0 <=> A(x) ⋅B(x) ⋅....⋅Φ(x) = 0 <=>  ή  <=> …. .......   ή  Φ(x) =0 • 2) Σχηματίζουμε πίνακα προσήμων για κάθε παράγοντα, και για το συνολικό γινόμενο. Κάθε γραμμή δείχνει το πρόσημο ενός παράγοντα στα διαστήματα στα οποία η ρίζα ή οι ρίζες του , χωρίζουν το σύνολο ℝ . x -∞ x1 x2 ... xν +∞ Α(x) – –O+ + (*) Β(x) + O – – O + (**) …. … … … … Φ(x) + + + + P(x) – O + O – O + (*) Το πολυώνυμο αx + β είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΔΕΞΙΑ από την ρίζα. (**) Το τριώνυμο αx2 + βx + γ : - αν Δ > 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΕΞΩ από τις ρίζες - αν Δ = 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΠΑΝΤΟΥ, εκτός από την μοναδική ρίζα - αν Δ < 0  είναι ΟΜΟΣΗΜΟ του α ΠΑΝΤΟΥ (δεν έχει ρίζες) • 3) Πολλαπλασιάζουμε τα πρόσημα των παραγόντων που υπάρχουν σε κάθε διάστημα, ώστε να βρούμε το πρόσημο του γινομένου P(x) στο συγκεκριμένο διάστημα. Π.χ. για το διάστημα (-∞ , x1) πολλαπλασιάζουμε τα πρόσημα των παραγόντων στην στήλη αυτή, και προκύπτει το γινόμενο του P(x) στο (-∞ , x1) 205