Ηλεκτρονικό Βιβλίο Άλγεβρας Β' (flipbook) (επιλεγμένες 162 σελ)

► Παράδειγμα 5.3-2.6 ln2x – 2lnx = 0 (1) Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : Η (1) γράφεται : (lnx)2 – 2lnx = 0 (2) Θέτουμε y = lnx . Περιορισμοί: ● Πρέπει : x > 0 Η εξίσωση γίνεται: <=> y2 – 2y = 0 <=> y(y – 2) = 0 <=> y = 0  <=> ln x = 0  y − 2 =0 ln x = 2 <=> ln x = ln1  <=> x = 1  δεκτές     ln x = lne2  x = e2  ► Παράδειγμα 5.3-2.7 - Λογαριθμίζουμε για να \"πέσουν\" οι εκθέτες Να λύσετε την εξίσωση : 2x = 5 >> Λύση : Έχω : 2x = 5 <=> x∙ln2 = ln5 * Στις περιπτώσεις αυτές των εκθετικών <=> ln2x = ln5 εξισώσεων που δεν μπορούμε να τις φέρουμε στην μορφή <=> x = ln 5 ln 2 αP(x) = αQ(x) και να εξισώσουμε τους εκθέτες, λογαριθμίζουμε και τα 2 μέλη, ώστε να \"πέσουν\" οι εκθέτες. ► Παράδειγμα 5.3-2.8 2x = 31-x Να λύσετε την εξίσωση : >> Λύση : * Στις περιπτώσεις αυτές των εκθετικών Έχω : 2x = 31-x εξισώσεων που δεν μπορούμε να τις <=> ln2x = ln31-x <=> x∙ln2 = (1 – x)∙ln3 φέρουμε στην μορφή <=> x∙ln2 = ln3 – x∙ln3 <=> x∙ln2 + x∙ln3 = ln3 αP(x) = αQ(x) και να εξισώσουμε τους εκθέτες, λογαριθμίζουμε και τα 2 μέλη, ώστε να \"πέσουν\" οι εκθέτες. <=> x(ln2 + ln3) = ln3 <=> x = ln 3 <=> x = ln 3 <=> x = ln 3 ln 2 + ln 3 ln(2 ⋅ 3) ln 6 278

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) lnx = 4 β) ln(x – 2) = 0 γ) ln(5 – x) = 1 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) lnx2 = ln(20 – x) α) ln(x + 2) = ln(12 – x) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) ln3 + lnx = ln(4 – x2) α) ln(x2 – x) = ln2 + ln(x – 1) γ) ln(2 – x) + ln(x2 + 2x + 1) = ln4 + ln(2 – x) 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : β) ln2x – 1 = 0 γ) 2ln2x = 3 α) ln2x – 3lnx + 2 = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : α) 3x = 10 β) 2ex = 5 γ) 3x = 22-x δ) 2x-1 = 5x-2 6. Να λύσετε τα συστήματα : α) ln x ⋅ ln y =2 (1) β) ln x = 2 (1)  γ) ln2 x = ln y (1)  ln x + ln y =3 (2)  y  2   ln(xy) = 0 (2) ln y − 4 =2 ln x (2) 280

■ 5.3 -3. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ - Θα ασχοληθούμε μόνο με λογαριθμικές ανισώσεις φυσικών λογαρίθμων (με βάση το e) . (ανάλογα αντιμετωπίζουμε και τις λογαριθμικές ανισώσεις με βάση το 10) * Επειδή η συνάρτηση f(x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το ℝ, για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ℝ ισχύει η ισοδυναμία : x1 < x2 <=> lnx1 < lnx2 (1) - Δηλαδή, όταν ισχύει μία ανισοτική σχέση μεταξύ 2 λογαρίθμων, ισχύει η ίδια ανισοτική σχέση (με την ίδια φορά) και για τις λογαριθμιζόμενες ποσότητες. ● ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ για την επίλυση Λογαριθμικών Ανισώσεων - Η βασική μορφή των λογαριθμικών ανισώσεων είναι ln P(x) ≤ ln Q(x) (ή ln P(x) ≥ ln Q(x) ) , (1) όπου Ρ(x) και Q(x) είναι παραστάσεις του x ( ή μπορεί και κάποιο από τα 2 να είναι αριθμός). • 1) Παίρνουμε πρώτα περιορισμούς, ώστε να είναι P(x) > 0 και Q(x) > 0 ! • 2) Από την ιδιότητα (1) που αναφέραμε, ισχύει : (2) ln P(x) ≤ ln Q(x) <=> P(x) ≤ Q(x) • 3) Λύνουμε την ανίσωση (2) (η οποία θα έχει κάποια από τις γνωστές μορφές, π.χ. πολυωνυμική 1ου ή 2ου βαθμού, ή με απόλυτες τιμές) , και παίρνουμε το διάστημα όπου οι λύσεις της τελευταίας συναληθεύουν με τους αρχικούς περιορισμούς. ► Παράδειγμα 5.3-3.1 ln(2 – x) ≤ 0 Να λύσετε την ανίσωση : >> Λύση : • Έχω : ln(2 – x) ≤ 0 Περιορισμοί : <=> ln(2 – x) ≤ ln1 <=> 2 – x ≤ 1 ● Πρέπει : 2 – x > 0 <=> x < 2 <=> x ≥ 1 • Άρα και σύμφωνα με τον περιορισμό, τελικά x∈ [1, 2) . 281

► Παράδειγμα 5.3-3.7 - * Ειδική Περίπτωση Να λύσετε την ανίσωση : ln x < ln x (1) >> Λύση : Έχω : ln x < ln x Περιορισμοί: 1 Πρέπει <=> ln x 2 < ln x <=> 1 lnx < ln x (2) ●x>0 2 και ● lnx ≥ 0 <=> lnx ≥ ln1 <=> x ≥ 1 * Θέτω : y = lnx (είναι y > 0) , και η (2) γίνεται : ●Επίσης, το 2ο μέλος είναι μεγαλύτερο ή 1 y < y <=> y < 2 y ίσο του μηδενός, άρα πρέπει και 2 ln x ≥ 0 <=> ln x ≥ ln1 <=> x ≥ 1 <=> ( x )2 ≥ 12 <=> x > 1 < y>0 > y2 < (2 y )2 <=> y2 < 4y Άρα γενικά , πρέπει : <=> y2 – 4y < 0 (3) x>1 y = 0   • Παίρνω : y2 – 4y = 0 <=> y(y – 4) = 0 <=>  ή  Άρα από την (3) <=> y = 4 y –∞ 0 4 +∞ y2 – 4y –0 – +0 0 < y < 4. • Το y > 0 , ισχύει, αφού το θεωρήσαμε έτσι νωρίτερα λόγω των περιορισμών. • Παίρνω y < 4 <=> lnx < 4 <=> lnx < lne4 <=> x < e4 - Άρα και σύμφωνα με τους περιορισμούς, ισχύει ότι x∈ (1, e4) . 284

► Παράδειγμα 5.3-3.8 - Πρόσημο των παραστάσεων α∙lnx + β Να λύσετε την ανίσωση : lnx(lnx + 1)(1 – 2lnx) ≥ 0 (1) >> Λύση : Περιορισμοί: ● Πρέπει : x > 0 * Πρέπει να βρούμε : - για ποια x μηδενίζεται ο κάθε παράγοντας και - το πρόσημο του κάθε παράγοντα, να βρούμε το πρόσημο του γινομένου.  ln x = 0   ln x = 0  • Παίρνω : lnx(lnx + 1)(1 – 2lnx) = 0 <=>  ln x ή 1 =0  <=>  ln x ή  <=>  +   = −1     ή   ή      1 − 2 ln x =0 2 ln x = 1    =   =1   x =1       ln x = ln1  ln x ln1 x      ή  ή  ή  ή  = e <=>  ln x − ln <=>  ln x = ln e−1  <=>  = e−1  <=>  = 1    x  x e     ή   ή   ή  ή        1  1  1 ln x = 2  ln x = ln e2  x = e2   =   x e • Παίρνω : lnx > 0 <=> lnx > ln1 <=> x > 1 άρα και lnx < 0 <=> lnx < ln1 <=> x < 1 • Παίρνω : lnx + 1 > 0 <=> lnx > -1 <=> lnx > lne-1 <=> x > e-1 <=> x > 1 άρα και lnx + 1 < 0 <=> … <=> x < 1 e e • Παίρνω : – 2lnx + 1 > 0 <=> 2lnx < 1 <=> lnx < 1 <=> 1 <=> x < e 2 lnx < ln e2 άρα και – 2lnx + 1 < 0 <=> … <=> x > e x 01 1 e +∞ e lnx – –O+ + (*) lnx + 1 – O+ + + (**) – 2lnx + 1 + + +O– lnx(lnx + 1)(1 – 2lnx) + O – O + O – • Άρα για την λύση της ανίσωσης (1) έχουμε : x∈ (0, 1 ]U[1, e ] (ex – 1)( –ex + e) ≥ 0 <=> e 285

► Παράδειγμα 5.3-3.9 Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού των συναρτήσεων : α) f(x) = ln(1 – x2) β) g(x) = ln(x2 – x) γ) h(x) = lnx2 δ) φ(x) = ln 1 + x 1− x α) • Πρέπει : 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 <=> x2 < 1 <=> |x| < 1 <=> -1 < x < 1 • Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι : Df = (-1, 1) . -------------------------------------------------------------------- β) • Πρέπει : x2 – x > 0 x = 0  Παίρνω : x2 – x = 0 <=> x(x – 1) = 0 <=>  ή x = 1 x –∞ 0 1 +∞ – x2 + 1 0+ +0 – Δηλαδή : x2 – x > 0 <=> x ∈ (-∞, 0)U(1, +∞) . • Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι : Dg = (-∞, 0)U(1, +∞) . -------------------------------------------------------------------- γ) • Πρέπει : x2 > 0 , που ισχύει για κάθε x ≠ 0 ! • Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι : Dh = ℝ* . -------------------------------------------------------------------- δ) • Πρέπει : 1 + x > 0 <=> (1 + x)(1 – x) > 0 <=> 1 – x2 > 0 <=> x2 < 1 1− x <=> x2 < 1 <=> |x| < 1 <=> -1 < x < 1 • Άρα το Πεδίο Ορισμού είναι : Dφ = (-1, 1) . 286

● ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) lnx > 0 β) lnx > 1 γ) ln(x + 1) > 2 δ) ln(x – 2) < -2 2. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) 2lnx > ln(12 – x) α) ln(2x + 1) < ln(16 – x) 3. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) ln(x2 – 16) > ln6 + lnx α) ln(x – 1) + lnx < ln(2x – 2) γ) ln(x2 – 1) – ln(x + 1) ≥ ln(9 – x) 4. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) ln2x – lnx > 0 β) ln2x ≤ 1 γ) ln2x – 5lnx > – 4 γ) 3x-1 < 4x+1 5. Να λύσετε τις ανισώσεις : α) 2x ≥ 5 β) 2x < 52x+3 6. Να λύσετε τις ανισώσεις : β) ln x + 1 ≥ 0 α) (lnx – 1)(lnx – 2) < 0 3 − ln x --------------------------------------------------------------------- 7. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού των συναρτήσεων : α) f(x) = ln(x2 – 4) β) g(x) = ln(x2 + 1) γ) h(x) = ln x δ) φ(x) = ln(x + 1) 2−x x 8. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού των συναρτήσεων : α) f(x) = ln x2 + 1 β) g(x) = ln x γ) h(x) = ln x −1 x 2 − ln x 9. Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού των συναρτήσεων : α) f(x) = ex − 2 β) g(x) = ln(x + 1) γ) h(x) = ex + 1 ex − 3 ln(x2 + 1) 290

10. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων : α) f(x) = ln(x – 1) και g(x) = ln(3 – x) β) f(x) = lnx2 και g(x) = ln 1 x 11. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ln(x - 1) α) Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της. β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής της παράστασης με τους άξονες. γ) Να βρείτε τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τον άξονα x'x . δ) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της γραφικής παράστασης της g(x) = ln(x - e) + 1 . ε) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f και της ευθείας y = -1 . στ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g . 12. Δίνεται η συνάρτηση e2x −1 f(x) = ln( ex + 5 ) . α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f . β) Να λύσετε την εξίσωση f(x) = 2ln2 . γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 0. (Εξ. 2002 – Θ4) 13. Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = ln(e2x – 2ex + 3) και g(x) = ln3 + ln(ex – 1) . α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f(x) και g(x). (Εξ. 2003 – Θ4) β) Να λύσετε την f(x) = g(x). γ) Να λύσετε την ανίσωση f(x) > 2g(x). 14. Δίνεται η συνάρτηση g(x) = ln(x – 1) . α) Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της g . β) Να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της g . γ) Να βρείτε τις τιμές του x για τις οποίες ισχύει η σχέση : g(3∙2x) + g(8∙ 2x – 1) = 2g(4∙2x – 1) (~Επαν. 2003 – Θ4) 291

● Ερωτήσεις τύπου Σωστό-Λάθος >> Α' Ομάδα 1. Η εκθετική συνάρτηση f με f(x) = αx , ορίζεται για κάθε α∈ (0,1)U(1, +∞) ΣΛ και έχει πεδίο ορισμού το ℝ . ΣΛ ΣΛ 2. Αν α είναι ένας θετικός αριθμός και α ≠ 1 , τότε η εκθετική συνάρτηση f με ΣΛ f(x) = αx , είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . ΣΛ ΣΛ 3. Κάθε συνάρτηση της μορφής της μορφής f(x) = αx με α > 1 , έχει σύνολο ΣΛ τιμών το διάστημα (0,+∞) των θετικών πραγματικών αριθμών. ΣΛ ΣΛ 4. Η εκθετική συνάρτηση f(x) = ex είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ . ΣΛ ΣΛ 5. Η γραφική της παράσταση της εκθετικής συνάρτησης f(x) = ex έχει ασύμπτωτο ΣΛ τον αρνητικό ημιάξονα των x. ΣΛ ΣΛ 6. Για όλες τις συναρτήσεις f(x) = αx , με α > 0 και α ≠ 1 , ισχύει ότι : ΣΛ \" για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ℝ , με x1 ≠ x2 , ισχύει ότι αx1 ≠ αx2 \" ΣΛ 7. Αν α > 1 , τότε για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει η ισοδυναμία : ΣΛ αx1 < αx2 <=> x1 < x2 8. Αν 0 < α < 1 , τότε για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ ℝ ισχύει η ισοδυναμία : αx1 < αx2 <=> x1 > x2 9. O λογάριθμος logα θ είναι o εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε την βάση α , για να βρούμε το θ . 10. Αν α > 0 με α ≠ 1 και θ > 0, τότε ισχύει η παρακάτω Ισοδυναμία : αx = θ <=> x = logα θ 11. Ισχύει : logα α = 0 . 12. Ισχύει : ln1 = 0 . 13. Ισχύει : lne = 1 . 14. Αν α > 0 , με α ≠ 1 , και θ1 , θ2 , θ > 0 και k∈ ℝ ισχύει : logα (θ1∙θ2) = logα θ1 ∙ logα θ2 15. Αν α > 0 , με α ≠ 1 , και θ1 , θ2 , θ > 0 και k∈ ℝ ισχύει : logα θ1 = logα θ1 – logα θ2 θ2 16. Για κάθε x > 0 ισχύει : ln2x = 2lnx . 17. Για κάθε x > 1 ισχύει : lnx > 0 . 292

18. Αν α > 1 , η λογαριθμική συνάρτηση f(x) = logα x έχει πεδίο ορισμού το (0, ΣΛ +∞) . ΣΛ 19. Αν 0 < α < 1 , η λογαριθμική συνάρτηση g(x) = logα x είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της . ΣΛ ΣΛ 20. Η συνάρτηση f(x) = lnx είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (0, +∞) . ΣΛ 21. Για οποιαδήποτε x1 , x2 ∈ (0, +∞), με x1 < x2 , ισχύει : lnx1 > lnx2 . 22. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = lnx διέρχεται από το σημείο Α(1, e) . >> Β' Ομάδα (Κρίσεως) ΣΛ 1. Η συνάρτηση f(x) = 2x είναι γνησίως αύξουσα. ΣΛ 2. Η συνάρτηση f(x) = e-x έχει σύνολο τιμών το διάστημα (–∞, 0) των αρνητικών ΣΛ πραγματικών αριθμών. ΣΛ 3. Ισχύει : 2 = eln2 . ΣΛ 4. Ισχύει : 3 = lne3 . ΣΛ 5. Για κάθε x∈ℝ ισχύει : ln2x = x∙ln2 . ΣΛ 6. Ισχύει : ln 2 < 1 . e 7. Ισχύει : ln 2 < 1 . e 293