main

พีชคณิตนามธรรม ผศ.ดร.สารภี ไชยรตั น คณะวิทยาศาสตร มหาวิทยาลยั ทกั ษณิ 2562

พีชคณติ นามธรรม ผศ.ดร.สารภี ไชยรัตน (ปร.ด. คณิตศาสตร) คณะวิทยาศาสตร มหาวทิ ยาลัยทกั ษณิ 2562

Ω คำนำ หนังสือพีชคณติ นามธรรมเลม นี้ ประกอบดวยเนอ้ื หา 4 บท บทท่ี 1 เปน การทบทวนความ รูพื้นฐานเก่ียวกับ เซต และการสง ศกึ ษาสมบตั ิทางพีชคณิตของเซต ความสมั พนั ธ การสงและการ ดำเนนิ การทวภิ าคพรอ มการพิสจู น บทที่ 2 ศึกษาโครงสรางทางพีชคณิตกบั การดำเนนิ การเพียงแบบ เดยี ว โครงสรา งท่ีสำคญั คอื กรุป ซ่ึงจะศึกษาโครงสรางทางพีชคณิตจากงาย ไปสูโครงสรางท่ีซบั ซอน ขึ้นตามลำดับดงั นี้ กรุปพอยด กึ่งกรุป โมนอยด และกรุป โดยใหนยิ าม ตวั อยา ง และการพสิ จู นสมบตั ิ ของโครงสรางนี้ บทท่ี 3 ศึกษา กรุปยอ ยปรกติ ซึง่ เปน กรุปยอ ยท่ีมีความสำคัญ นำไปสูการสรา งกรุป ผลหาร ทำใหเกดิ ทฤษฎีบทสมสัณฐานเปน ทฤษฎีบทที่ใชในการศกึ ษาโครงสรางพชี คณิต บทที่ 4 ศึกษา โครงสรางพีชคณติ ของเซตกบั การดำเนนิ การ 2 แบบ ไดแ ก ริง อินทิกรัลโดเมน ฟลด และพจิ ารณาเซต ยอยของรงิ ท่ีเรียกวา ไอดีล ทำใหเกิดโครงสรางของรงิ ผลหารในทำนองเดียวกบั กรุปผลหาร พรอมทั้ง พสิ ูจนส มบตั ขิ องโครงสรางเหลา น้ี และยกตวั อยา งประกอบ ผูสอนตระหนักถึงการเรียนรูของนกั ศึกษาในรายวิชาที่มีเนอ้ื หาการพสิ ูจนเปน เร่ืองท่ีทำความ เขาใจไดยาก จงึ ไดจัดทำเอกสารที่เหมาะกับการศึกษาพีชคณิตนามธรรมในระดบั อดุ มศึกษาใหมากทสี่ ุด ใหนกั ศึกษาสามารถทำความเขาในเนือ้ หาไดโดยงายไมลึกมากเกินไปแตมีพื้นฐานพอท่ีจะใชศกึ ษาระบบ คณิตศาสตรทซ่ี บั ซอนมากขึน้ ตอ ไป สารภี ไชยรตั น พฤศจิกายน 2562

สารบญั หนา คำนำ ............................................................................................................ ก สารบัญ.......................................................................................................... ข สารบัญรูป ...................................................................................................... ง สารบัญตาราง.................................................................................................. จ บญั ชีสญั ลักษณ................................................................................................ ช บทท่ี 1 เซต และการสง.................................................................................. 1 1.1 เซต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ความสัมพันธ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 การสง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 การดำเนนิ การทวิภาค . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 บทท่ี 2 กรุป................................................................................................ 27 2.1 กึ่งกรุป และกรปุ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 สาทสิ สณั ฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 กรุปยอย และเซตรวมเก่ยี ว . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 กรปุ วัฏจักร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5 กรปุ การเรยี งสบั เปลย่ี น . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 บทที่ 3 กรุปยอ ยปรกติ ................................................................................... 69 3.1 กรุปยอยปรกติ และกรุปผลหาร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2 ทฤษฎีบทสมสัณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 อตั สณั ฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 บทที่ 4 ริง .................................................................................................. 87 4.1 บทนยิ าม และตวั อยาง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 สมบัตมิ ลู ฐานของรงิ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3 ชนิดของริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.4 ริงยอ ย และ ลกั ษณะเฉพาะของริง . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 ไอดีล และสาทิสสัณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 บรรณานุกรม................................................................................................... 121 ภาคผนวก ..................................................................................................... 123 เฉลยแบบฝก หัด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

สารบญั รูป รูปท่ี หนา 1.1 การดำเนนิ การของเซต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 ตวั อยางของโพเซต . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 แผนภาพสลบั ของ h = g ◦ f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 แผนภาพแสดงวฏั จกั ร . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 รูปสามเหลยี่ มดานเทาที่มี 1, 2 และ 3 เปนจดุ ยอด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 หมนุ รปู สามเหลยี่ มดานเทาทวนเขม็ นากิ าทำมุม 0, 2π/3, 4π/3 เรเดียน . . . . . . . 62 2.4 การสะทอนผา นเสน สวนสูงของรปู สามเหล่ียมดา นเทา ทีล่ ากผานจุดยอด 1,2,3 . . . . . 62 2.5 การแปลงคงรูป . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.6 รปู Pn แสดงสมาชกิ ของ Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.7 การสมมาตรของรปู ส่เี หลยี่ มผืนผา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.1 แผนภาพสลบั ของสาทิสสัณฐาน . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2 แผนภาพของทฤษฎบี ทสมสณั ฐานไดมอนด . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.1 แผนภาพสลับเปลี่ยนของ f = gη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

สารบญั ตาราง ตารางที่ หนา 2.1 ตารางการดำเนินการ ∗ บนเซต S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 34 2.3 ตารางการดำเนินการ + บนเซต Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 ตารางการดำเนินการ · บนเซต Z4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.5 ตารางการดำเนนิ การบวกมอดโุ ล 6 ของกรุปยอย H < Z6 . . . . . . . . . . . . 60 63 2.6 ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.7 ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต D3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.8 ตารางการดำเนินการ ◦ บนเซต G = D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 ตารางกรุปสมมาตรของส่เี หลี่ยมผืนผา . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Ω บัญชีสัญลกั ษณ ⇔ กต็ อ เม่ือ x ∈ S x เปนสมาชิกของ S x ∈/ S x ไมเ ปนสมาชกิ ของ S |S| จำนวนเชงิ การนบั ของ S ∅ เซตวา ง ⇒ ถา ...แลว... ⊂ หรอื ⊆ เปนเซตยอ ยของ เปนเซตยอ ยแทของ ⊃ หรือ ⊇ บรรจุ (หรือรวม) U เซตเอกภพสมั พทั ธ ∪ ยเู นียน ∩ อินเตอรเ ซกชนั A − B ผลตา งของ A และ B X′ สว นเตมิ เต็มของ X ยเู นียนของเซตทงั้ หมดในเซต S ∪ อินเตอรเซกชนั ของเซตทั้งหมดในเซต S X X ∈S ∩ X X ∈S

P (X ) เซตกำลังของ X A×B ผลคูณคารทเี ซียนของ A และ B สมภาคมอดโุ ล n (mod n) ชัน้ สมมลู ทีม่ ี x ขอบเขตบนนอยสดุ x ขอบเขตลางมากสุด l. u. b. g. l. b. x∧y l. u. b. {x, y} x∨y g. l. b. {x, y} E(a) ชน้ั สมมูลของ a ภายใต E X/E เซตผลหารของ X โดย E Zn,Z/(n) ช้นั สว นตกคา งของจำนวนเตม็ มอดโุ ล n f : A → B หรอื A −→f B f เปน การสง จาก A ไปยัง B x →f y f สง x ไปยัง y iX หรือ IX การสง เอกลกั ษณบ น X Im f ภาพของการสง f SX เซตของการสงทั้งหมดจาก X ไปยัง S g ◦ f การประกอบของ f ตามดว ย g f : A ∼= B การสง หนงึ่ ตอหนงึ่ ทว่ั ถึงจาก A ไปยงั B F :A→A การเรยี งสบั เปล่ียนของ A fn ff . . . f (การประกอบของ f ซำ้ ๆ) n ตวั

f−1 ตวั ผกผนั ของ f fS ฟง กช ันลกั ษณะเฉพาะของ S f : X → S, (fi)i∈X วงศข องสมาชิกของ S ∏ ผลคูณคารท ีเซียนของ (Ai)i∈X จำนวนสมาชิกของเซต G Ai i∈X |G| หรือ ◦(G) A∆B ผลตา งสมมาตรของ A และ B ϕ ฟง กช นั ออยเลอร SX กรปุ การเรียงสับเปลย่ี นของ X หรอื กรุปสมมาตรบน X Dn กรปุ การหมุนรูประดบั ข้นั n Pn กรุปของการสมมาตรของรปู n เหลย่ี มปรกติ GL(n, F ) กรปุ เชงิ เสนทัว่ ไป มติ ิ n บนฟลด F ∏n ผลคณู ตรงของกรปุ Gi, 1 ≤ i ≤ n ตัวกำหนด หรอื ดเี ทอรม ิแนนท ของ A Gi i=1 det(A) G ∼= H สมสัณฐานของ G ทั่วถงึ H G →H G ฝง ใน H Ker ϕ เคอรเ นลของ ϕ H <G H เปนกรุปยอยของ G [a] หรอื < a > กรปุ วฏั จกั รทีก่ อกำเนิดโดย a Z(G) ศูนยกลางของกรปุ G o(a) อันดบั ของ a aH เซตรวมเก่ยี วซายของ H กำหนดโดย a

G/H เซตของเซตรว มเกยี่ วซายทั้งหมดของ H ใน G Ha เซตรวมเกีย่ วขวาของ H กำหนดโดย a H\\G เซตของเซตรวมเกย่ี วขวาท้ังหมดของ H ใน G [G : H] ดชั นขี อง H ใน G C(S) ตวั ศนู ยกลางของ S ใน G D4 กรปุ แปด N ▹G N เปน กรปุ ยอยปรกติของ G G/N กรปุ ผลหารของ G โดย N N(S) นอรมลั ไลเซอรข อง S ใน G G′ กรุปยอยตัวทำสลับท่ีหรือกรุปอนุพทั ธของ G Aut(G) เซตของอตั สณั ฐานทัง้ หมดของ G Ig อัตสัณฐานภายในของ G In(G) เซตของอัตสณั ฐานภายในทั้งหมดของ G R[x] รงิ พหนุ ามบนรงิ R End(M) หรือ Hom(M, M) เซตของอันตรสณั ฐานของกรปุ M ไปยังตวั เอง Z(R) ศูนยกลางของรงิ R char R ลักษณะเฉพาะของริง R ∏ ผลคูณตรงของวงศ Ri, i = 1, 2, . . . ผลบวกตรงวงศ Ri, i = 1, 2, . . . Ri ไอดีลขวากอกำเนดิ โดย S ไอดีลซายกอ กำเนิดโดย S i ∑ ⊕ Ri i (S)r (S)l

(S) ไอดีลกอ กำเนดิ โดย S PIR ริงไอดีลมุขสำคญั PID โดเมนไอดีลมุขสำคญั R/I หรอื R¯ ริงผลหารของ R มอดุโล I R ≃ S รงิ R และS สมสณั ฐานกนั



1บทท่ี เซต และการสง (Sets and Mapping) 1.1 || เซต เซตเปน พน้ื ฐานของคณิตศาสตร ดงั นัน้ การศกึ ษาทางคณติ ศาสตรจึงเร่มิ ดวยการทำความ เขาใจพจนของ “เซต” และ “เปนสมาชกิ ของ” เซตเปน คำอนยิ าม โดยทัว่ ไป เซตหมายถึงการรวบรวม สิง่ ของหรอื สมาชกิ ไวดว ยกนั ถา S เปนเซตและ x เปน สมาชกิ ของเซต S กลาววา x เปนสมาชิกของ S เขยี นแทนดว ย x ∈ S และถา x ไมเปนสมาชิกของเซต S เขียนแทน x ∈/ S ให A และ B เปนเซต กลา ววา A และ B เทากนั เม่ือท้ังสองเซตมีสมาชกิ เหมอื นกัน เขียน แทนดว ย A = B นน่ั คอื x ∈ A ⇔ x ∈ B สัญลักษณ ⇔ แทน “ก็ตอเมอ่ื ” ดังน้ัน จะกำหนดเซตโดย พิจารณาสมาชิกในเซตนน้ั เซตทีม่ ีสมาชกิ เปน จำนวนจำกดั แสดงโดยเขียนสมาชกิ ในวงเล็บปก กา และค่นั ระหวา งสมาชิก ดวยเครอ่ื งหมายจุลภาค , ดังนน้ั {1, 2, 3} แทนเซตซ่งึ มีสมาชกิ เปน 1, 2 และ 3 อันดับของการเขยี น สมาชิกในเซตไมทำใหเซตตางกนั น่นั คอื {1, 2, 3} และ {2, 1, 3} แทนเซตเดยี วกนั และการเขียน สมาชิกซำ้ ก็ไมทำใหเ ซตตางกัน ตัวอยางเชน {1, 2, 3, 2} เปน เซตเดียวกนั กบั {1, 2, 3} เม่ือกำหนดเซต A และประพจน p(x) จะมีเซต B เพียงเซตเดียวเทา นัน้ ที่ประกอบดว ย { } สมาชกิ ใน A ซ่ึงทำใหประพจน p(x) เปน จรงิ เขียนแทนดว ยสัญลักษณดังน้ี B = x ∈ A p(x) หรอื เขียนแทนดว ย B = { } สัญลักษณโ ดยท่ัวไปของเซตทนี่ ยิ มใชมีดงั ตอ ไปน้ี x p(x) N แทนเซตของจำนวนธรรมชาติ มีสมาชกิ ไดแ ก 1, 2, 3, . . . Z แทนเซตของจำนวนเตม็ มสี มาชิกไดแ ก 0, ±1, ±2, . . . Q แทนเซตของจำนวนตรรกยะ มีสมาชิกไดแ ก a เมือ่ a, b เปนจำนวนเตม็ และ b ̸= 0 b R แทนเซตของจำนวนจริง ซึ่งไมสามารถแจกแจงสมาชกิ ได C แทนเซตของจำนวนเชิงซอ น x + iy เมอ่ื x, y เปนจำนวนจริง และ i2 = −1 เซต S เรยี กวา เปน เซตจำกดั (finite set) เมือ่ S ไมม สี มาชกิ เลยหรอื สามารถนับ สมาชิกดวยจำนวนนับ {1, 2, 3, . . . } โดยหยดุ ท่ีจำนวน n จำนวนหน่ึง และเรียก n วา จำนวนเชงิ

2 บทท่ี 1 เซต และการสง การนับ (cardinality) ของ S เขียนแทนดว ย |S| = n เซตที่ไมสามารถกำหนดจำนวนสมาชกิ ดว ย จำนวนนับ 1, 2, 3, . . . , n ได เรียกวา เซตอนนั ต (infinite set) เซต S เรยี กวา เซตวาง (empty set หรอื null set หรอื void set) กต็ อเมอ่ื S ไมม ีสมาชิก น่นั คอื ประพจน x ∈ S ไมเปนจรงิ สำหรับทุก x และถาท้ังเซต S และ T เปนเซตวางแลว S = T เพราะวา สอดคลองกบั เงอ่ื นไข x ∈ S ⇔ x ∈ T เนือ่ งจากไมมีสมาชกิ x ทง้ั ใน S หรอื T จึงทำให เงอ่ื นไขเปน จรงิ เนื่องจากเซตวา งสองเซตใด ๆ เทากนั จงึ มีเซตวา งเพียงเซตเดยี วเทา นนั้ เขียนแทนดว ย ∅ บทนยิ าม 1.1.1 ให A และ B เปน เซตใด ๆ เรยี กเซต A วา เซตยอ ย (subset) ของเซต B ก็ตอ เมอื่ ทุกสมาชกิ ของเซต A เปน สมาชกิ ของเซต B น่ันคอื a ∈ A ⇒ a ∈ B ถา A เปน เซตยอยของ B เขียนแทนดว ย A ⊂ B หรอื แทนดวย A ⊆ B อาจเรียกวา B บรรจุ หรอื รวม A เขียนแทนดวย B ⊃ A หรือ B ⊇ A จากนยิ ามทำใหไดว า เซต A เทา กบั เซต B ก็ตอ เมอื่ A ⊂ B และ B ⊂ A และไดว า ทุกเซต เปน เซตยอยของตวั เอง และ เซตวางเปนเซตยอยของทกุ เซตเพราะวา เง่ือนไข x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A เปน จรงิ สำหรับเซต A ใด ๆ ถา S ⊂ A แต S ≠ A แลว S เปน เซตยอ ยแท (proper subset) ของ A เขยี นแทนดวย SA เซตเอกภพสัมพทั ธ (universal set) ใชแ ทนดวยเซต U ซ่งึ บรรจเุ ซตที่กำหนดใหทีเ่ กีย่ วขอ ง ทัง้ หมด น่นั คือ X ⊂ U สำหรบั ทุกเซต X สวนเตมิ เตม็ ของ X ใน U คอื เซต U − X เรยี กวา สวน เตมิ เตม็ ของ X เขยี นแทนไดดว ย X′ ตอ ไปจะใหน ิยามการดำเนินการของเซต บทนยิ าม 1.1.2 ใหเซต A และ B เปนเซตยอยของเซตเอกภพสมั พทั ธ U การดำเนนิ การของ เซตไดแก ยูเนียน (union) ของ A และ B เขยี นแทนดว ย A ∪ B คอื เซต {} A∪B = x∈U x∈A ∨ x∈B อินเตอรเซกชนั (intersection) ของ A และ B เขยี นแทนดวย A ∩ B คือ เซต {} A∩B = x∈U x∈A ∧ x∈B ผลตาง (difference) ของ A และ B เขยี นแทนดว ย A − B คือ เซต {} A − B = x ∈ U x ∈ A ∧ x ≠ B

1.1 เซต 3 ถา B ⊂ A แลวเรียก A − B วา สว นเติมเต็ม (complement) ของ B ใน A เซต A และ เซต B เรียกวา ไมม ีสวนรวม (disjoint) เมอ่ื A ∩ B = ∅ สิ่งท่ีชวยในการดำเนนิ การ ยเู นยี น อินเตอรเซกชนั ผลตา ง และสวนเตมิ เตม็ ของเซตคือ แผนภาพเวนน (Venn diagrams) ซึ่งจะวาดวงกลมแทนเซต A และ B แลวลอ มรอบดว ยสี่เหลยี่ ม มุมฉากซงึ่ แทนเซตเอกภพสัมพัทธ U สว นทีแ่ รเงาแทนเซต A∪B หรอื การดำเนินการอ่นื ตามที่กำหนด ดังรูป 1.1 A BA B A∪B A∩B AB A A−B A′ รปู ท่ี 1.1: การดำเนนิ การของเซต ตัวอยา ง 1.1.1 ถา A = {1, 2, 3} และ B = {3, 4, 5} แลว A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}, A ∩ B = {3}, A − B = {1, 2} และ B − A = {4, 5} ทฤษฎีบท 1.1.1 ให A, B และ C เปนเซตใด ๆ แลว จะไดว า (1) A ∪ A = A = A ∩ A (2) A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A (3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

4 บทท่ี 1 เซต และการสง (4) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (5) A ∪ (A ∩ B) = A = A ∩ (A ∪ B) การพิสูจน ใหเปน แบบฝก หดั ทฤษฎีบท 1.1.2 (DeMorgan's rules) ให A, B และ X เปนเซต แลวจะไดว า (1) X − (X − A) = X ∩ A (2) X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B) (3) X − (A ∩ B) = (X − A) ∪ (X − B) การพิสจู น (1) x ∈ X − (X − A) ⇔ x ∈ X ∧ x ∈/ (X − A) ⇔ x∈X ∧ x∈A ⇔ x∈X∩A ดงั น้ัน X − (X − A) = X ∩ A (2) x ∈ X − (A ∪ B) ⇔ x ∈ X ∧ x ∈/ (A ∪ B) ⇔ x ∈ X ∧ x ∈/ A ∧ x ∈/ B ⇔ (x ∈ X ∧ x ∈/ A) ∧ (x ∈ X ∧ x ∈/ B ⇔ x ∈ (X − A) ∧ x ∈ (X − B) ⇔ x ∈ (X − A) ∩ (X − B) ดงั นนั้ X − (A ∪ B) = (X − A) ∩ (X − B) ขอ (3) พสิ ูจนใ นทำนองเดียวกับขอ (2) สมบัตกิ ารเทา กนั ทฤษฎีบท 1.1.1 (3) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) สามารถเขียนโดยไม ใชวงเลบ็ ได คอื A ∪ B ∪ C แทนการยเู นยี นของเซต A, B และ C เห็นชัดวา เซต A ∪ B ∪ C ประกอบ ดวยสมาชกิ ของเซต A, B และ C อยางนอ ยหนง่ึ ตัว และ A ∩ B ∩ C อินเตอรเซกชันของเซตA, B และ C เปน เซตของสมาชิกซง่ึ ทุกตวั อยูในเซต A, B และ C ตอ ไปจะนิยามกรณที ั่วไปของยูเนียน และอนิ เตอรเ ซกชันของเซต

1.1 เซต 5 บทนยิ าม 1.1.3 ให S เปน เซตท่มี ีสมาชิกเปน เซตใด ๆ ยเู นียน ของเซตทง้ั หมดในเซต S กำหนด { } ∪ โดย x x ∈ X, ∃X ∈ S เขยี นแทนดวย X อินเตอรเซกชัน ของเซตทง้ั หมดในเซต S X ∈S { x ∈ X, ∀X ∈ } เขียนแทนดว ย ∩ x S กำหนดโดย X X ∈S ถา S มสี มาชิกเปนจำนวนจำกัด X1, X2, . . . , Xn แลวจะเขียนยเู นียนแทนดว ย ∪n Xi หรอื i=1 X1 ∪ X2 ∪ · · · ∪ Xn และ เขยี นอินเตอรเซกชนั แทนดว ย ∩n Xi หรอื X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn i=1 บขอทงนXยิ ามเข1ยี .น1แ.4ทนใดหว  ยXPเป(Xนเ)ซตนั่นเรคยี อื กเPซต(Xขอ)ง=เซต{ยSอ ยทS้ังห⊂มดXขอ}ง X วา เซตกำลัง (power set) ทบทวน เซตวา ง ∅ และเซต X เปนเซตยอยของเซต X และ ตางกเ็ ปนสมาชิกของ P(X) ตัวอยา งเชน ให X = {1, 2} แลว เซตยอ ยของ X ไดแ ก ∅, {1}, {2} และ X ดังนน้ั P(X) = {∅, {1}, {2}, X} ถา X เปนเซตวาง ∅ แลว P(X) มสี มาชิกเพยี งเพยี งตัวเดยี วคือ ∅ ขอ สังเกต a และ{a} ไมเหมือนกนั ถา a ∈ X แลว {a}∈ P(X) ทฤษฎีบท 1.1.3 ให X เปนเซตจำกัดท่ีมี n สมาชกิ แลวจะไดวา P(X) มีเซตยอ ยจำนวน 2n เซต น่ันคือ |P(X)| = 2|X| การพสิ ูจน พจิ ารณาเซตยอ ยของ X ท่แี ตล ะเซตมีสมาชกิ r ตวั โดยที่ 0 ≤ r ≤ n ซ่ึงจากกฎการ จัดกลุม (combinanation) สามารถเลอื ก r สมาชิกจาก n สมาชิกไดเ ปน จำนวนวิธดี ังน้ี (n) = n! r)! r!(n − r ซทึ่งั้งคหอืมดจขำอนงวXนเซคตือยอ∑nยข(อnง)X ที่แตล ะเซตมีจำนวนสมาชิกเทากับ r ดงั นน้ั รวมจำนวนเซตยอยr เมือ่ เลือก a = 1 r=0 (1 + a)n = ∑n ( n ) จะได ar ในการกระจายแบบทวินาม r r=0 ∑n ( n ) = (1 + 1)n = 2n r r=0

6 บทที่ 1 เซต และการสง นนั่ คือ X มีเซตยอ ยท้ังหมด 2n เซต ดงั น้ัน P(X) มีสมาชกิ 2n สมาชิก เน่ืองจาก n = |X| จะได |P(X)| = 2|X| อกี ประการหนงึ่ ท่ีไดจาก |P(X)| = 2|X| คอื ทำใหอธิบายไดวา ทำไมจงึ เรยี กเซตของเซต ยอยทัง้ หมดของ X วา เซตกำลงั ของ X บทนิยาม 1.1.5 ให X เปนเซต และ π เปน เซตที่มีสมาชิกเปนเซตยอ ยของ X ท่ีไมใชเซตวา ง น่นั คือ π ⊂ P(X) และ ∅ ∈/ π ถา สมาชิกของ π เปน เซตทีไ่ มมีสว นรว มทุกคู และยูเนียนทั้งหมด เทา กับ X แลว เรียก π วา ผลแบง กัน้ (partition) ของ X และเรียกสมาชกิ ของ π วา บล็อก (block) ของผลแบง ก้ัน π ตัวอยางเชน เซต π = {{1, 2}, {3}, {4, 5}} เปนผลแบง กั้นของเซต X = {1, 2, 3, 4, 5} ทฤษฎบี ทตอไปน้เี ปน ผลท่ีไดจ ากบทนิยาม ทฤษฎบี ท 1.1.4 ให X เปนเซต ให π เปน เซตท่มี ีสมาชิกเปน เซตยอยของ X ท่ไี มใ ชเ ซตวา งแลว π เปนผลแบงกนั้ ของ X ก็ตอ เมื่อแตละสมาชิกของ X เปนสมาชิกของเซตใน π เพียงเซตเดยี ว เทานั้น การพิสจู น ใหเปนแบบฝกหัด ขอสงั เกต ถา X เปน เซตวา งจะมผี ลแบงกัน้ π = ∅ เทานน้ั แบบฝก หัด 1.1 1. จงพสิ ูจนทฤษฎีบท 1.1.1 2. จงพิสจู นท ฤษฎีบท 1.1.2 (3) 3. ถา เซต A มี m สมาชกิ และเซต B มี n สมาชิก จงหาจำนวนสมาชิกใน A ∪ B เมือ่ A ∩ B มี k สมาชกิ 4. จากการลงทะเบยี นของนิสติ ปหน่งึ ปรากฏสถติ ิดังน้ี : จำนวนนสิ ติ ที่เลอื กเรียนภาษาองั กฤษมี 60 คน จำนวนนิสิตที่เลอื กเรยี นฟส กิ สม ี 44 คน จำนวนนสิ ิตทีเ่ ลอื กเรยี นภาษาฝรั่งเศสมี 30 คน จำนวนนิสติ ที่เลือกเรียนฟสกิ ส และฝรง่ั เศสมี 15 คน จำนวนนสิ ติ ทเ่ี ลอื กเรยี นภาษาอังกฤษและฟส ิกสแ ตไมเรียนฝรั่งเศสมี 6 คน จำนวนนสิ ติ ท่เี ลือกเรียนภาษาอังกฤษ และฝร่งั เศสมี 24 คน จำนวนนิสิตทเ่ี ลอื กเรยี นทั้งสามวชิ ามี 10 คน

1.1 เซต 7 4.1) จงแสดงวามนี สิ ิต 54 คนทีล่ งทะเบียนเรยี นเพยี งวิชาเดียว 4.2) จงแสดงวา มนี สิ ติ 35 คนท่ลี งทะเบยี นเรียนอยางนอยสองวชิ า 5. ระหวางการตรวจสอบการควบคมุ คณุ ภาพของตวั อยา งโทรทัศน 1,000 เคร่อื ง พบวา หลอดภาพมขี อบกพรอ ง 100 เคร่อื ง ระบบเสยี งมขี อ บกพรอ ง 75 เคร่อื ง รโี มทคอนโทรลมขี อ บกพรอง 80 เครอ่ื ง หลอดภาพและรีโมทคอนโทรลมีขอ บกพรอง 20 เครือ่ ง หลอดภาพและระบบเสยี งมขี อ บกพรอ ง 30 เครอ่ื ง ระบบเสยี งและรโี มทคอนโทรลมขี อบกพรอง 15 เคร่ือง มขี อบกพรอ งทง้ั สามอยา ง 5 เคร่ือง จงใชแ ผนภาพเวนนเพ่ือแสดงตัวอยางโทรทัศนด ังกลา ว 5.1) มีขอบกพรองอยา งนอยหน่ึงอยา ง 195 เครือ่ ง 5.2) ไมมขี อบกพรองเลย 805 เครื่อง 5.3) หลอดภาพมขี อบกพรองเพียงอยา งเดียว 55 เคร่อื ง 5.4) ระบบเสียงมีขอบกพรอ งเพียงอยา งเดยี ว 35 เคร่อื ง 5.5) รโี มทคอนโทรลมีขอ บกพรองเพยี งอยางเดียว 50 เคร่อื ง 6. จงพสิ ูจนท ฤษฎบี ท 1.1.4

8 บทที่ 1 เซต และการสง 1.2 || ความสัมพนั ธ บทนยิ าม 1.2.1 ให a, b เปน สมาชิกของเซต S แลว เรียกเซต {{a}, {a, b}} วา คูอันดับ (ordered pair) และเขยี นแทนดว ย (a, b) เรยี ก a วา สวนประกอบ หรือ พิกดั ที่ 1 (first component or coordinate) และเรยี ก b วา สวนประกอบ หรอื พิกดั ที่ 2 (second component or coordinate) จากการนยิ ามคูอันดบั สามารถใชในการพสิ จู นสมบตั ิตาง ๆ ของคูอนั ดบั เชน การเทากัน ตอ ไปจะแสดงวา (a, b) = (c, d) ก็ตอเม่ือ a = c และ b = d ถา a = c และ b = d แลวเห็นชดั วา (a, b) = (c, d) ในทางกลับ ถา ให (a, b) = (c, d) ดังน้ัน {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} โดยนยิ ามการ เทากันของเซตจะไดวา {a} = {c} หรือ {a} = {c, d} ถา {a} = {c} แลว ทำใหไดวา {a, b} = {c, d} ซง่ึ ผลท่ีตามมาคอื a = c และ b = d อีกกรณี ถา {a} = {c, d} แลว ทำใหไดวา {a, b} = {c} ดังนั้น a = c = d และ a = b = c ซึ่งจะไดว า a = b = c = d บทนิยาม 1.2.2 ให A, B เปน เซตใด ๆ เรยี กเซตของคูอันดับ (x, y) ทัง้ หมด เม่อื x ∈ A และ y ∈ B วา ผลคณู คารทีเซียน (Cartesian product) ของ A และ B ตามลำดับ และเขยี นแทน ดวย A × B สญั ลักษณ {} A × B = (x, y) x ∈ A, y ∈ B ตัวอยา งของผลคณู คารท ีเซียน เชน ถา A = {1, 2} และ B = {a, b, c} แลว จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} ช่ือ “คารท เี ซียน” มาจากพิกัดทางเรขาคณิต ซ่งึ จดุ ในระนาบแทนดวยคอู นั ดับของจำนวนจริง (x, y) เรียกวา พิกดั คารทีเซยี นของจดุ ผลคูณคารทีเซียน R × R คอื เซตของพกิ ดั คารทีเซียนของจดุ ท้ังหมดในระนาบ บทนิยาม 1.2.3 ให A และ B เปนเซตใด ๆ และ R เปนเซตยอยของ A × B แลว เรยี ก R วา ความสัมพันธ (relation) จาก A ไปยัง B ถา (x, y) ∈ R แลว กลา ววา x มีความสัมพันธ R กับ y เขียนแทนดว ย xRy เรยี กความสัมพันธจาก A ไปยัง A วา ความสมั พนั ธบน A หรอื ความสัมพันธใน A อาจกลาวไดวา ความสมั พันธกำหนดโดยเซต 3 เซต คือ A, B และเซตยอย R ของ A × B ซ่งึ เรยี กวาความสัมพันธ R

1.2 ความสัมพนั ธ 9 ถา R เปน ความสัมพนั ธจาก A ไปยงั B และ S เปน ความสมั พนั ธจาก C ไปยัง D แลว R เทา กบั S เม่อื A = C, B = D และทุกสมาชกิ x ∈ A, y ∈ B, xRy ⇔ xSy บทนิยาม 1.2.4 ให R เปนความสมั พนั ธใ นเซต X เรยี ก R วาเปน ความสมั พันธท ี่มีสมบัติ (1) สะทอน (reflexive) ถา xRx สำหรบั ทกุ x ∈ X (2) สมมาตร (symmetric) ถา xRy แลว yRx สำหรับทกุ x, y ∈ X (3) ปฏสิ มมาตร (antisymmetric) ถา xRy และ yRx แลว x = y สำหรบั ทุก x, y ∈ X (4) ถายทอด (transitive) ถา xRy และ yRz แลว xRz สำหรับทุก x, y, z ∈ X ถา R เปน ความสัมพันธท่มี สี มบัติ สะทอน สมมาตร และถายทอด แลวเรียก R วา ความสัมพันธ สมมลู (equivalence relation) บน X ถา R เปนความสมั พนั ธทีม่ สี มบตั ิ สะทอ น ปฏสิ มมาตร และถา ยทอด แลว เรยี ก R วา อันดับบาง สว น (partial order) บน X ตัวอยา ง 1.2.1 (1) ให X เปนเซตของเสน ตรงทัง้ หมดในระนาบจำนวนจรงิ สำหรบั x, y ∈ X ใหความ สัมพนั ธ x∥y หมายถงึ x ขนานกบั y จะไดวา 1.1) เสนตรง x ทุกเสน มสี มบตั ิขนานกับตัวมนั เอง ดังนั้น x ∥ x 1.2) ถา x, y เปนเสนตรงที่ x∥y แลว จะไดวา y∥x 1.3) ถา เสน ตรง x, y, z เปนเสนตรงท่ี x∥y และ y∥z แลว จะไดวา x∥z ดงั น้ัน ความสัมพนั ธ ∥ เปน ความสมั พนั ธสมมลู บน X ในทำนองเดียวกัน การเทากนั ของสามเหลี่ยม และความคลา ยกันของสามเหลี่ยม เปน ความสมั พนั ธส มมูล (2) ให X เปนเซตท่ีมีสมาชิกเปน เซต พิจารณาความสมั พันธ ⊂ กำหนดโดย การเปนเซต ยอ ย สำหรับทุกสมาชิก A, B, C ∈ X พบวา 2.1) A ⊂ A 2.2) ถา A ⊂ B และ B ⊂ A แลว A = B 2.3) ถา A ⊂ B และ B ⊂ C แลว A ⊂ C ดังนัน้ การเปนเซตยอ ยเปน ความสัมพนั ธสะทอน ปฏิสมมาตร และ ถา ยทอด เพราะ ฉะน้ัน ⊂ เปนอันดบั บางสว น

10 บทที่ 1 เซต และการสง (3) ความสัมพนั ธ นอยกวาหรือเทา กับ ≤ บนเซตของจำนวนจรงิ R เปน ความสมั พนั ธสะ- ทอ น ปฏสิ มมาตร และถา ยทอด เพราะฉะนัน้ ≤ เปนอันดับบางสว นบน R (4) ความสัมพนั ธสมภาคมอดุโล n (congruence modulo n) บน Z นยิ ามดงั นี้ ให n เปนจำนวนเต็มบวก สำหรบั แตละ x, y ∈ Z กลาววา x สมภาคกบั y มอดุโล n เขยี นแทนดวย x ≡ y (mod n) กต็ อเมือ่ n หาร x − y ลงตวั ซงึ่ จะไดวา สำหรับแตล ะ x, y, z ∈ Z ขอ ความตอไปน้เี ปน จริง 4.1) n หาร x − x ลงตวั ดงั นน้ั x ≡ x (mod n) 4.2) ถา n หาร x − y ลงตวั แลว n หาร y − x ลงตัว ดงั น้นั x ≡ y (mod n) ⇒ y ≡ x (mod n) 4.3) ถา n หาร x − y และ y − z ลงตัว แลว n หาร x − z ลงตัว x ≡ y (mod n) และ y ≡ z (mod n) ⇒ x ≡ z (mod n) ซงึ่ เปน การแสดงวา สมภาคมอดุโล n เปน ความสัมพนั ธสมมลู บน Z หมายเหตุ ให X เปน เซต และให ≤ เปนอนั ดบั บางสว นบน X (สญั ลักษณ ≤ ในทน่ี ้ใี ชแทนอนั ดับ บางสว นใด ๆ ไมจำเปนตองหมายถึง “นอยกวาหรือเทากบั ” แบบในเซตของจำนวนจรงิ ) เซต X กับอันดับบางสว น ≤ เรียกวา เซตอันดบั บางสว น (partially ordered set) หรอื เรยี กส้นั ๆ วา โพเซต (poset) เขียนแทนดวย (X, ≤) ให (X, ≤) เปน โพเซต และให x, y ∈ X ถา x ≤ y แลว กลา ววา x บรรจุ (contain) ใน y ถา x ≤ y และ x ≠ y แลว กลาววา x บรรจุแท (properly contain) ใน y เขียนแทนดวย x < y ถา x < y และไมม ีสมาชิก a ใน X ที่ x < a < y แลว กลา ววา y ปกคลมุ (cover) x โพเซตจำกัด X แสดงไดดวยแผนภาพในรูปแบบตอไปนี้ โดยแทนสมาชกิ ใน X ดว ย วงกลมเลก็ ๆ หรอื จดุ ซ่งึ ถา x < y แลว ตำแหนง ของ y ในแผนภาพจะสงู กวา x และเช่อื ม x กับ y ดวยสว นของเสน ตรงเมื่อ y ปกคลุม x แผนภาพตอไปนแ้ี สดง 3 โพเซตทก่ี ำหนดดงั นี้ (1) {1, 2, 3, 4, 5, 6} กับความสัมพันธ นอ ยกวา หรอื เทากับ (2) {1, 2, 3, 4, 5, 6} กบั ความสมั พันธ การหารลงตวั (3) P ({1, 2, 3}) กับความสมั พนั ธ การเปนเซตยอย

1.2 ความสมั พนั ธ 11 {1, 2, 3} 6 {1, 2} {1, 3} {2, 3} 5 46 4 {2} 5 3 23 {1} {3} 2 11 ∅ (1) (2) (3) รูปท่ี 1.2: ตัวอยา งของโพเซต ให (X, ≤) เปนเซตอันดับบางสวน ให S เปน เซตยอ ยของ X ขอบเขตบน (upper bound) ของ S คอื สมาชิก b ∈ X ที่ x ≤ b สำหรบั ทุก x ∈ S ขอบเขตบนนอยสุด (least upper bound, l. u. b.) ของ S คอื สมาชิก m ∈ X ที่ (i) x ≤ m สำหรับทุก x ∈ S และ (ii) ถา x ≤ m′ สำหรบั ทุก x ∈ S แลว m ≤ m′ สำหรับ ขอบเขตลา ง (lower bound) และขอบเขตลางมากสุด (greatest lower bound, g. l. b.) นิยามในทำนองเดยี วกัน สามารถแสดงไดโดยงายวา l. u. b. (g. l. b.) ของ S ถาหาคา ไดจ ะมีเพียงคา เดยี ว บทนยิ าม 1.2.5 เซตอันดับบางสวน L เรียกวา แลตทซิ (lattice) ก็ตอเมื่อทุกคูของสมาชิกใน L มีขอบเขตบนนอ ยสุด และขอบเขตลางมากสุด ขอบเขตบนนอยสดุ ของ {x, y} เขียนแทนดวย x ∧ y เรียกวา meet และขอบเขตลา ง มากสดุ ของ {x, y} เขยี นแทนดว ย x ∨ y เรียกวา join แผนภาพรปู ท่ี 1.2: (1) และ (3) แทน แลตทซิ โพเซต (X, ≤) ที่ทุกสมาชิก x, y ∈ X มีสมบัติ x ≤ y หรือไมก็ y ≤ x เรยี กวา ลูกโซ (chain) หรอื เซตอันดับทุกสวน (totally ordered set) ซึง่ จะไดวา ทุก ๆ ลกู โซเปน แลตทิซ สำหรบั เซต S ใด ๆ เซตกำลงั P(S) กบั ความสมั พันธก ารเปน เซตยอ ยเปน แลตทซิ ทงั้ นีไ้ ดวา A ∧ B = A ∩ B และ A ∨ B = A ∪ B สำหรบั ทกุ สมาชกิ A, B ∈ P(S) บทนิยาม 1.2.6 ให E เปนความสมั พันธสมมลู บนเซต X และให a ∈ X เรยี กเซตของสมาชกิ ดในวยXEท(a่ีส)ัมพนัน่ันธคอื EEก(ับa)a=วา {ชxน้ั ∈สมXมูล (equ}ivalence class) ของ a ภายใต E และเขียนแทน xEa เรียกเซตยอย C ของ X วา ชน้ั สมมูลของ E ใน X เม่อื C = E(a) สำหรบั บาง

12 บทท่ี 1 เซต และการสง a∈X เซตของชนั้ สมมูลทง้ั หมดของ E ใน X เรียกวา เซตผลหาร (quotient set) ของ X โดย E และเขียนแท{นดว ย X/E ดงั นี้ } X/E = C ⊂ X C = E(a) , ∃ a ∈ X ตัวอยาง 1.2.2 ให X = Z และ n เปน จำนวนเตม็ บวก สำหรับทกุ x, y ∈ Z สมมติ x ≡ y(mod n) นน่ั คอื n หาร x − y ลงตัว แลวจะไดวา ≡ เปน ความสัมพันธส มมูลบน Z เชน ความ สมั พนั ธใ น ตวั อยา ง 1.2.1 (4) เซตของช้นั สมมลู Z/ เขียนแทนดว ย Zn หรือ Z/(n) คอื เซต {¯0, } ≡ 1¯, . . . , n − 1 โดยที่ ¯0 = {. . . , −2n, −n, 0, n, 2n, . . . }, ¯1 = {. . . , −2n + 1, −n + 1, 1, n + 1, 2n + 1, . . . }, ¯2 =... {. . . , −2n + 2, −n + 2, 2, n + 2, 2n + 2, . . . }, เรียกช้ันสมมูลซึ่งเปน สมาชิกของ Zn หรือ Z/(n) วา ช้นั สวนตกคา ง (residue class) ของจำนวนเตม็ มอดโุ ล n หมายเหตุ จากตวั อยางนี้พบวา จำนวนเตม็ a, b เปน สมาชิกของชนั้ สมมลู เดยี วกัน ก็ตอเมือ่ มีผล ตา งเปน พหคุ ณู ของ n และสองช้นั สมมลู ใด ๆ จะเหมอื นกัน หรือไมม ีสว นรว มกัน อยางใดอยาง หนง่ึ ทฤษฎบี ทตอไปนแี้ สดงวาสมบตั ดิ ังกลา วเปน จรงิ สำหรบั ทุกความสัมพนั ธส มมลู ทฤษฎีบท 1.2.1 ถา E เปนความสัมพนั ธสมมูลบนเซต X แลว X/E เปนผลแบง กนั้ ของ X บทกลบั ถา π เปน ผลแบงกน้ั ของ X แลว จะมีความสมั พนั ธสมมลู E ท่ี X/E = π เพยี งแบบ เดยี ว การพิสจู น ให a ∈ X จะได aEa ดังนน้ั a ∈ E(a) สมมติ a ∈ E(b) แลวจะได aEb เนื่องจาก ทุกสมาชิก x ∈ E(a) จะไดว า xEa และจาก aEb เพราะฉะนัน้ x ∈ E(b) ดังนนั้ E(a) ⊂ E(b) โดยการสมมาตร จะได bEa ในทำนองเดียวกันจะได E(b) ⊂ E(a) เพราะฉะนัน้ E(a) = E(b) ซง่ึ เปน การพสิ จู นวา สมาชิก a ∈ X เปน สมาชกิ ของช้ันสมมูลเดียวเทา น้ัน นั่นคือ E(a) ดงั น้ันโดย ทฤษฎีบท 1.1.4 X/E เปนผลแบง กัน้ ของ X บทกลบั ให π เปนผลแบง กั้นของ X นยิ ามความสมั พันธ E ดังนี้ สำหรบั แตล ะ x, y ∈ X, xEy ก็ตอ เมอื่ x, y อยใู นบลอ็ กของ π บล็อกเดียวกนั เหน็ ชดั วา E เปน ความสัมพนั ธสมมูลบน

1.2 ความสัมพนั ธ 13 X และช้นั สมมูลของ E เปน บลอ็ กของ π ดงั นนั้ X/E = π สมมติมี E′ เปน เปนความสมั พนั ธ สมมลู บน X ที่ X/E′ = π ดวย ดงั นนั้ สำหรบั แตละ x, y ∈ X จะไดวา xEy ⇔ x, y อยูใ นบลอ็ กเดยี วกนั ของ π ⇔ xE′y นนั่ คอื E = E′ ดังน้ัน E เปน ความสมั พันธส มมลู บน X เพยี งแบบเดยี วท่ี X/E = π แบบฝกหดั 1.2 1. ให A = [0, 1], B = {0, 3, 5} จงเขยี นกราฟของ A × B และ B × A ในระนาบ xy และตอบ คำถาม A × B เทา กบั B × A หรอื ไม 2. ถา A หรอื B เทา กับ ∅ แลวจงหาเซตของ A × B และถา A × B = ∅ แลว เซต A หรอื เซต B จะตอ งเปนเซตวางหรือไม 3. สมมติ X ⊂ A และ Y ⊂ B จงแสดงวา X ×Y ⊂ A×B และถา เซตที่กำหนดให X, Y, A, B มสี มบัติ X × Y ⊂ A × B จะสรปุ ไดห รอื ไมว า X ⊂ A และ Y ⊂ B 4. ให U เปนเซตของประชากร ความสมั พันธบ น U ขอไหนตอ ไปน้เี ปนความสมั พนั ธสมมูล 4.1) เปนลุงของ 4.2) เปน เพอื่ นรวมหอ งของ 4.3) เปน เพอ่ื นของ 5. จงบอกลักษณะของความสัมพนั ธสมมลู ทส่ี อดคลองกบั ผลแบง กั้นของ Z ตอ ไปน้ี {. . . , −8, −4, 0, 4, 8, . . . } ∪ {. . . , −7, −3, 1, 5, . . . } ∪ {. . . , −6, −2, 2, 6, . . . } ∪ {. . . , −5, −1, 3, 7, . . . } 6. จงแสดงวา ความสัมพนั ธท ่ีนิยามบน N × N โดย (a, b) ∼ (c, d) ก็ตอ เมอื่ a + d = b + c เปน ความสมั พนั ธสมมลู 7. ให S ≠ ∅ และให R เปนความสัมพันธบ น S สมมติสมบัตติ อไปนีเ้ ปนจริง 7.1) สำหรับทกุ x ∈ S, xRx 7.2) สำหรับทกุ x, y, z ∈ S ถา xRy และ yRz แลวจะได zRx จงพสิ ูจนวา R เปนความสมั พนั ธสมมลู และพิสจู นดวยวา ทุกความสัมพันธสมมูลสอดคลองกับ 7.1) และ 7.2) 8. จงหาความคดิ ท่ีไมถกู ตองในขอพสิ จู นตอไปน้ี ซงึ่ ตอ งการแสดงวา ถา R เปนความสมั พันธสม- มาตร และถายทอดบนเซต X แลว จะเปนความสมั พนั ธส ะทอนดวย : “จากการสมมาตรจะได xRy ⇒ yRx ; จากการถา ยทอดจะได xRy ∧ yRx ⇒ xRx ” [แนะ : ความสมั พนั ธ R เปนเซตยอยของ X × X ถา R = ∅ แลว R เปนความสมั พันธ สมมาตร และถา ยทอด แตไมเปน ความสมั พันธสะทอน] 9. นยิ ามความสมั พันธ ∼ ในเซตของจำนวนเตม็ Z ดงั นี้ a ∼ b กต็ อเม่ือ a + b เปนจำนวนเตม็ คู ∼ เปน ความสมั พันธตอไปนี้หรอื ไม (a) สะทอน (b) สมมาตร (c) ถายทอด ถาเปน จงหาเซตผลหาร Z/ ∼

14 บทที่ 1 เซต และการสง 1.3 || การสง บทนิยาม 1.3.1 ให A และ B เปน เซต ความสัมพันธจ าก A ไปยัง B เรยี กวา การสง (mapping หรือ map) หรอื ฟง กชัน (function) จาก A ไปยัง B เม่ือแตละ x ∈ A มี y ∈ B เพียงตัวเดียว ท่ี x มคี วามสมั พันธ f กับ y ซง่ึ เรยี กวา ภาพ (image) ของ x ภายใต f ถา f เปนการสง จาก A ไปยัง B เขียนเปน สัญลกั ษณดังนี้ f : A → B หรือ A −→f B ให f : A → B เรียกเซต A วา โดเมน (domain) และ เรียกเซต B วา โดเมนรว มเก่ยี ว (codomain) ของการสง f ให x ∈ A ถา y เปน ภาพของ x ภายใต f เขยี นแทนดว ย f(x) = y และกลา ววา f สง x ไป ยงั y ใชส ัญลกั ษณ x →f y หรอื x → y และ ถา f(x) = y แลว เรียก x วา บุพภาพ (pre-image) ของ y { } (x, y) f (x) = y กราฟ (graph) ของการสง f : A → B นยิ ามโดยเซต G = ∈ A × B นั่นคือ G มีความหมายเชน เดียวกับความสมั พนั ธ f ซงึ่ เปนเซตยอยของ A × B การสง f : A → B และ g : C → D เทากนั เมือ่ A = C, B = D และ f(x) = g(x) สำหรับทุก x ∈ A เขียนแทนดว ย f = g หมายเหตุ ถา การสง f และ g มีโดเมนรว มเกยี่ วตางกนั f และ g จะไมเทา กนั แมวาโดเมน จะเทากัน และ f(x) = g(x) ทกุ x ในโดเมน การสง f : X → X ท่ี f(x) = x สำหรบั ทุก x ∈ X เรยี กวา การสง เอกลกั ษณ (identity mapping) บน X เขียนแทนดวย iX (หรือ IX) ให A ≠ ∅ เปน เซตยอยของเซต X แลว เรียกการสง f : A → X ซึ่ง f(a) = a ทกุ a ∈ A วา การสงโดยเปนเซตยอย (inclusion หรือ insertion map) ของ A ไปยงั X ให f : A → B เปนการสงโดบเปนเซตยอ ยของ B ทีป่ ระกอบดวยภาพของบางสมาชกิ ใน A { } เรียกวา ภาพของการสง หรอื เรนจ (range) เขยี นแทนดว ย Im f นั่นคือ Im f = y ∈ B y = f (x), ∃x ∈ A ให X และ S เปน เซตใด ๆ เซตของการสงท้งั หมดจาก X ไปยงั S เขยี นแทนดว ย SX { } น่ันคือ SX = f f :X→S สมมติ X และ S เปนเซตจำกัด มีจำนวนสมาชิกเทากบั m และ n ตามลำดับ พจิ ารณาการ สง ใด ๆ f : X → S ภาพของสมาชิกทกี่ ำหนดใหใน X ใด ๆ คือสมาชกิ หนง่ึ ตัวจาก n ตวั ใน S เพราะ ฉะน้ัน จาก m สมาชิกใน X สามารถหาภาพได n × n × · · · × n = nm วธิ ี น่ันคอื มีการสง จาก X ไปยงั S เปน จำนวน nm วธิ ที แี่ ตกตางกนั ดงั นนั้ สำหรบั เซตจำกัด X และ S สรปุ ไดวา |SX| = |S||X|

1.3 การสง 15 ตวั อยา ง 1.3.1 ให X = {0, 1} แลว จะมีการสง จาก X ไปยัง X จำนวน 22 = 4 วิธีที่แตกตาง กนั ดงั นี้ f1 : X → X โดยท่ี 0 → 0, 1 → 0 f2 : X → X โดยท่ี 0 → 0, 1 → 1 f3 : X → X โดยที่ 0 → 1, 1 → 0 f4 : X → X โดยท่ี 0 → 1, 1 → 1 เราพบวา ถา X = ∅ จะมีการสง X → S เพียงการสงเดียว กลาวคือ การสง เซตวา งซึ่งไมม ี สมาชกิ ท่ีเปน ภาพของท่สี งไป อาจจะดแู ปลกแตส อดคลองกบั นิยามของการสง ซึ่งเปนจริงแมว า S = ∅ ในทางตรงขาม ถา S = ∅ แต X ≠ ∅ จะไมม กี ารสง จาก X ไปยัง S ให f : A → B และ g : B → C เปนการสง แลว การสง h : A → C กำหนดโดย h(x) = g(f(x)) สำหรับทกุ x ∈ A เรียกวา การประกอบ (composite) ของ f ตามดวย g และ เขียนแทนดว ย g ◦ f หรือ gf ดังนั้น g ◦ f(x) = g(f(x)) สำหรับทุก x ∈ A การสง f และ g เรียก วา ตัวประกอบของการประกอบ h = g ◦ f หมายเหตุ การประกอบ คอื อันดับในการสง ที่ทำจากขวาไปซาย ดงั น้ัน ใน g ◦ f จะดำเนนิ การ ท่ี f กอ น การประกอบ g ◦ f นิยามเมื่อโดเมนของ g บรรจุเรนจของ f การประกอบของการสง f : A → B, g : B → C เขยี นแทนไดดว ยแผนภาพดังน้ี Af B g h C รูปท่ี 1.3: แผนภาพสลบั ของ h = g ◦ f การสง จาก A ไปยัง C อาจสง โดยตรง คอื A −h→ C หรือ โดยทาง A −f→ B −→g C ถาผลลัพธเหมือนกนั หมายถงึ ภาพของแตละสมาชกิ x ∈ A เหมอื นกัน แลว เรียกวา แผนภาพสลบั (diagram commutes) จะไดว า แผนภาพสลับ กต็ อเม่อื h = g ◦ f ทฤษฎบี ท 1.3.1 ให f : A → B, g : B → C และ h : C → D แลว h◦(g◦f) = (h◦g)◦f

16 บทท่ี 1 เซต และการสง การพิสจู น เหน็ ชัดวา h ◦ (g ◦ f) และ (h ◦ g) ◦ f มี A เปนโดเมน และมี D เปนโดเมน รว มเกีย่ วเหมอื นกัน ให x ∈ A ดังนน้ั โดยนยิ ามของการประกอบจะได h ◦ (g ◦ f)(x) = h ◦ (g ◦ f (x)) = h ◦ (g(f (x))) และ (h ◦ g) ◦ f (x) = h ◦ g ◦ (f (x)) = h ◦ (g(f (x))) ดังนั้น h◦(g ◦f)(x) = (h◦g)◦f(x) สำหรับทุก x ∈ A เพราะฉะนน้ั h◦(g ◦f) = (h◦g)◦f บทนยิ าม 1.3.2 การสง (mapping) f : A → B เรยี กวา (1) การสง หนึง่ ตอ หนึ่ง (injective mapping หรอื one-to-one mapping หรือ injection) เมอ่ื ทกุ สมาชกิ f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2 หรือสมมลู กับ x1, x2 ∈ A, x1 ̸= x2 ⇒ f (x1) ̸= f (x2) (2) การสงทวั่ ถึง (surjective mapping หรือ onto mapping หรือ surjection) เมือ่ ทกุ สมาชกิ y ∈ B มี x ∈ A ทที่ ำให y = f(x) การสง ท่ีเปน ท้งั หน่งึ ตอหนึง่ และ ทัว่ ถงึ เรียกวา การสง หน่งึ ตอหนงึ่ ท่ัวถงึ (bijective mapping หรือ bijection) ถา f : A → B เปนการสง หน่ึงตอ หนึง่ ท่วั ถงึ อาจเขยี นแทน ดว ย f : A ∼= B เรียกการสง หนงึ่ ตอ หนึง่ ทวั่ ถงึ f : A → A วา การเรียงสบั เปลีย่ น (permutation) ของ A การสงหน่ึงตอหนึ่งทวั่ ถึงเรยี กอีกอยางวา การสมนยั หน่ึงตอหนง่ึ (one- to-one correspondence) ทฤษฎบี ทตอ ไปนแี้ สดงลกั ษณะของการสง หนึ่งตอ หน่ึง การสง ทัว่ ถงึ และการสง หนงึ่ ตอหน่งึ ทั่วถึง ทฤษฎบี ท 1.3.2 ให f : A → B แลว (1) f เปน การสงหนง่ึ ตอ หน่งึ ก็ตอเมอื่ ไมม สี มาชิกใน B ทีม่ บี พุ ภาพมากกวา หนงึ่ (2) f เปนการสงทัว่ ถงึ กต็ อเมื่อทกุ สมาชิกใน B มบี พุ ภาพ (3) f เปน ฟง กช ันหนง่ึ ตอ หน่งึ ทัว่ ถึงกต็ อ เม่ือทุกสมาชกิ ใน B มบี พุ ภาพเพยี งตวั เดียว การพสิ จู น เห็นไดชัด

1.3 การสง 17 ทฤษฎบี ท 1.3.3 การสงหน่งึ ตอ หน่ึงไปยังเซตเดิมของเซตจำกัดเปนการสง หนง่ึ ตอหน่ึงทั่วถึง การพสิ ูจน ให f : A → A เปน การสงหนึง่ ตอหน่งึ ให a ∈ A เราจะหา b ∈ A ที่ทำให f(b) = a ซึง่ ปนการพสิ จู นวา f เปน การสงทั่วถึง และทำใหไดว าเปน การสงหนง่ึ ตอ หนึ่งทั่วถึง พจิ ารณาการดำเนินการประกอบของ f ซำ้ ๆ เขียน f2 แทน ff และ กรณีท่วั ไปเขยี น fn แทน ff . . . f สมาชิก a = f0(a), f(a), f2(a), . . . ทงั้ หมดเปน สมาชิกของเซตจำกดั n ตัว A ดังน้ัน ถาสมาชิกเหลา น้ีมีการซำ้ กัน สมมติ fr(a) = fs(a) โดยท่ี r > s ถา s = 0 แลวเลอื ก b = f−1(a) และ เนือ่ งจาก f เปนการสง หนง่ึ ตอ หน่งึ จะได f r(a) = f s(a) ⇒ f (f r−1(a)) = f (f s−1)(a) ⇒ f r−1(a) = f s−1(a) ⇒ · · · ⇒ f r−s(a) =a ⇒ f (b) = a เม่อื b = f r−s−1(a) ขอ สังเกต ทฤษฎีบท 1.3.3 ไมเ ปน จรงิ สำหรับเซตอนันต ตวั อยาง 1.3.2 ให f : N → N นยิ ามโดย f(x) = x + 1 เปน การสง จากเซตของจำนวน ธรรมชาติไปยงั ตวั เอง จะได f เปนการสงหนงึ่ ตอหนึ่ง แตไ มเ ปน การสง ท่ัวถงึ ทบทวน ix แทนการสง เอกลักษณบ น X บทนยิ าม 1.3.3 ให f : A → B เรียกการสง g : B → A วา การสง ผกผัน (inverse mapping) ของ f เม่อื fg = iB และ gf = iA ถา f มีตัวผกผันกลา ววา f หาตวั ผกผนั ได ถา f หาตัวผกผนั ไดแลว ตวั ผกผนั ซง่ึ เขยี นแทน ดวย f−1 มเี พียงตัวเดียว ทฤษฎีบท 1.3.4 ฟง กชัน f หาตวั ผกผนั ไดกต็ อเมื่อ f เปนฟงกช ันหนึ่งตอหน่ึงท่ัวถึง

18 บทท่ี 1 เซต และการสง การพิสูจน ให f : A → B เปนฟงกช นั ท่ีหาตวั ผกผันได และสมมติ g เปนตัวผกผัน ดังน้นั ถา f(x) = f(y) จะได gf(x) = gf(y) ดังน้ัน x = y เพราะฉะน้นั f เปนฟง กช นั หนง่ึ ตอ หนง่ึ และถา z ∈ B แลว fg(z) = z ซ่ึงทำใหไดวา g(z) ∈ A เปน บุพภาพของ z ภายใต f นัน่ คอื เปน การพิสูจนวา f เปนฟงกช นั ทว่ั ถึง ดงั นั้น f เปน ฟงกช นั หนึ่งตอหน่งึ ทวั่ ถงึ บทกลับ ให f : A → B เปนฟง กช ันหนึง่ ตอ หน่งึ ท่ัวถึง นยิ าม g : B → A ให b ∈ B และ g(b) = a เมอ่ื a เปน บุพภาพเพยี งตัวเดยี วของ b ∈ B ภายใต f เห็นชดั วา g เปนตัวผกผัน ของ f บทนิยาม 1.3.4 ให f : A → B แลวการสง g : B → A เรยี กวา เปน (1) ตวั ผกผันทางซาย (left inverse) ของ f เม่อื gf = iA (2) ตัวผกผันทางขวา (right inverse) ของ f เมือ่ fg = iB เหน็ ชัดวา ถา f มีตัวผกผนั แลว ตัวผกผันทางซาย และตวั ผกผนั ทางขวาของ f จะเหมอื นกัน ทฤษฎีบท 1.3.5 กำหนดการสง f : A → B จะไดวา (1) f เปนการสงหนง่ึ ตอหน่งึ ก็ตอเมื่อ f มีตัวผกผันทางซา ย (2) f เปนการสงทว่ั ถึงก็ตอ เมือ่ f มตี วั ผกผนั ทางขวา การพสิ จู น ใหเ ปน แบบฝก หัด ตอไปจะกลาวถงึ การสง ทเ่ี กิดจากการสงอนื่ หรอื เกดิ จากโดเมนหรือโดเมนรว มเกยี่ วทีก่ ำหนด ตวั อยาง 1.3.3 (1) ให f : A → B, S ⊂ A และ T ⊂ B ซงึ่ f(x) ∈ T สำหรับทุก x ∈ S แลวจะไดวา f กอใหเ กิดการสง g : S → T กำหนดโดย g(x) = f(x) สำหรบั ทกุ x ∈ S เรยี กการสง g วา การกำกดั (restriction) ของการสง f (2) การสง ท่ีกำหนดโดยเซตยอยของเซต ให S ⊂ X และ ให A = {0, 1} แลว S กำหนดการสง fS : X → A โดย  1 , x ∈ S fS(x) = 0 , x ∈/ S

1.3 การสง 19 เรยี กการสง fS วา ฟงกชนั ลักษณะเฉพาะ (characteristic function) ของ S { } ในทางกลับ ถา กำหนดการสง f : X → A และเซต S = x ∈ X f (x) = 1 เหน็ ชัดวา ฟงกชนั ลักษณะเฉพาะของ S คอื การสง f ท่ีกำหนด นอกจากนัน้ จะไดว า S เปนเซตยอ ยของ X เพยี งเซตเดยี วเทา น้ันท่ีมี f เปนฟง กชันลักษณะเฉพาะ ซึง่ เปน การ พิสูจนวา การสง ψ : P(X) → AX กำหนดโดย S → fS เปน การสง หนึง่ ตอหนงึ่ ท่วั ถงึ ใหเซต A = {1, 2} ดงั นนั้ มีฟง กช ันหน่งึ ตอ หนง่ึ ทั่วถงึ ระหวา งเซต P(X) และ AX จงึ สามารถเขยี นแทน P(X) ดวย AX (3) ให E เปน ความสัมพันธส มมลู บนเซต X แลวเซต E กอ ใหเ กิดการสงท่วั ถึง p : X → X/E นิยามโดย x → E(x) เมื่อ E(x) เปนชัน้ สมมลู ของ x ภายใต E เรยี กการสง p วา การสง แบบบญั ญัติ (canonical mapping หรือ natural mapping) จากเซต X ไปยงั เซตผลหาร X/E (4) กำหนดเซต S และ T มกี ารสง แบบบัญญตั ิโดยมโี ดเมนเปน S × T ดงั น้ี p : S × T → S นยิ ามโดย (x, y) → x สำหรบั ทุก (x, y) ∈ S × T และ q : S × T → T นิยามโดย (x, y) → y สำหรับทุก (x, y) ∈ S × T การสง p และ q เรยี กวา ภาพฉาย (projection) จาก S × T ไปท่วั ถึง S และ T ตาม ลำดบั (5) กำหนดการสง f : A → S และ g : B → T แลว นิยามการสง ϕ : A × B → S × T โดย (x, y) → (f(x), g(y)) สำหรับทุก (x, y) ∈ A × B เรยี กการสง ϕ วา ผลคูณ คารทีเซียน (Cartesian product) ของ f และ g เขียนแทนดว ย f × g หรอื (f, g) (6) ให f : A → B และ S ⊂ A แลว f กอใหเกดิ การสง f∗ : P(A) → P(B) กำหนด โดย { สำหรบั บาง } f∗(S) = y ∈ B y = f (x) x ∈ S กรณีท่ี f∗(A) = Im f จะได f∗(∅) = ∅ และสำหรบั ทุกเซตโทน {a} ⊂ A จะไดวา f∗({a}) = {f(a)} เมือ่ ตดั ∗ ออก และเขยี นการสงทีเ่ กิดข้ึนใหมดว ย f ดงั นัน้ จะได { y = f (x) สำหรบั บาง x ∈ } f (S) = y ∈ B S จะไดวา f แทนการสง A → B การสง ท่ีเกิดขึ้นใหมของ P(A) → P(B) จากการสง f : A → B กอใหเกดิ การสง ผกผนั เชนเดียวกัน กลาวคือ สำหรบั ทกุ ให (A) นยิ ามโดย f∗(T T ⊂{B f(x) ∈ T } เมอ่ื เขยี นแทนการ f ∗ : P(B) → P ) =x ∈A { } สง f∗ นดี้ วย f −1 ดังนัน้ f −1(T ) = x ∈ A f (x) ∈ T

20 บทท่ี 1 เซต และการสง ขอควรระวัง f−1 ในท่ีนี้ไมใ ชตวั ผกผนั ของ f ท่ีนิยามในตอนตน ซึ่งการสง f∗ : P(B) → P(A) ท่เี กดิ นส้ี ามารถหาไดเ สมอไมวา f จะหาตัวผกผันไดห รอื ไม ให S ≠ ∅ และ n เปน จำนวนเต็มบวก ให n แทนเซต {1, . . . , n} การสง f : n → S เรยี กวา ลิสต หรอื เซตอนั ดับ (list หรือ ordered set) ของสมาชกิ ของ S สมาชิก f(i) เขียนแทน ดว ย fi และแสดงเซตอันดับ f ดวย (f1, f2, . . . , fn) เรียกจำนวนเต็มบวก n วา ความยาว (length) ของเซตอนั ดับ และ เรียก f1, f2, . . . , fn วา สมาชกิ (members หรือ elements) ของเซตอนั ดับ และ เรียกเซตอันดับความยาว n วา n-ส่งิ อันดับ (n-tuple) การสง f : N → S เรยี กวา ลำดบั (sequence) ของสมาชกิ ของ S และเขยี นแทนดว ย (fi)i=1,2... หรือ (f1, f2, . . . ) โดยท่ี fi = f (i) เรียกการสง f : X → S วา วงศ (family) ของสมาชิกของ S แทนดวยสญั ลักษณ (fi)i∈X เรยี กเซต X วา เซตดชั นี (index set) ของวงศ f และกลา ววา f ดชั นโี ดย X หรอื X - ดชั นี ส่ิงท่ีนา สงสยั คอื ทำไมตองมีคำใหม “วงศ” ซง่ึ เหมือนไมม ีความแตกตางกบั การสง แตจริง ๆ แลวมีจดุ ที่แตกตา ง คอื เม่ือพดู ถึงการสง f : X → S ท่ีเปน วงศ หมายถงึ สมาชิกของ X เปน เหมือน เครอ่ื งหมายบอกตำแหนงของสมาชกิ ใน S ตวั อยา งหนึ่งที่ทำใหเห็นภาพ คอื เซตของรังนกพิราบ หรือ กลองไปรษณยี  ซ่งึ แตละปา ยชือ่ จบั คูกบั สมาชิกของ X เพยี งหนง่ึ สมาชิก ในแตละกลอ งใสสมาชิกของ S เพยี งสมาชิกเดียว (สำหรบั การอนุญาตใหเกิดซ้ำ อาจจะใสสมาชิกเหมอื นกันในหลาย ๆ กลอง) นัน่ คือ fi เปนสมาชกิ ในกลอ ง i ดงั นัน้ จะไดวาสมาชิกของเซตดัชนี X เปรียบเสมือนสถานที่สำหรบั ท่ีตั้ง ของสมาชิกของ S ในเรนจข อง f ให (Ai)i∈X เปน วง{ศใด ๆ ของเซตดชั นี X ผลคูณคารทีเซยี นข}อง (Ai)i∈X เขยี นแทนดวย ∪ ∏ Ai นยิ ามดงั นี้ ∏ Ai = f (i) ∈ Ai, ∀i ∈ X f : X → Ai i∈X i∈X ∏ Ai คอื วงศ i∈X โดยที่ ai ∈ Ai ขอ สงั เกต สมาชิกของ (ai)i∈X ในกรณี Ai i∈X สำหรบั ทุก i ∈ X ผลคณู คารท ีเซียน ∏ Ai คอื AX =A i∈X ผลคูณคารทีเซียนของวงศจำกดั (ซึง่ คือ ลิสต) ของเซต A1, A2, . . . , An เขียนแทนดว ย ∏n Ai หรอื A1 × A2 × · · · × An i=1 แบบฝกหดั 1.3 1. จงพสิ ูจน ทฤษฎีบท 1.3.2 2. ใหการสง f : A → B และ g : B → C จงพสิ ูจนว า 2.1) g ◦ f เปน การสงหนง่ึ ตอ หนง่ึ เมอ่ื ท้งั f และ g เปน การสงหนง่ึ ตอหน่ึง 2.2) g ◦ f เปน การสง ทัว่ ถึง เมอ่ื ทั้ง f และ g เปนการสง ทว่ั ถึง 2.3) g ◦ f เปน การสงหน่ึงตอ หนึง่ ทั่วถงึ เมื่อ f และ g เปนการสง หนึ่งตอ หน่งึ ทัว่ ถึง

1.3 การสง 21 3. จงพิสูจน ทฤษฎีบท 1.3.5 4. ถา f ◦ g เปนการสงหน่ึงตอ หนง่ึ (หรือ การสง ท่วั ถงึ ) จงบอกลกั ษณะของการสง f และ g 5. ให f : A → B และ g : B → A เปนการสงท่ี g ◦ f = iA ถา f เปนการสงทว่ั ถงึ หรอื g เปนการสงหนึ่งตอ หนง่ึ จงพิสจู นว า f และ g เปนการสง หนึ่งตอ หนง่ึ ทัว่ ถงึ และ f ◦ g = iB 6. ให C[0, 1] เปน เซตของฟง กช ันตอ เน่ืองทง้ั หมดจากชว งปด [0, 1] ไปยัง R และ ให S เปนเซต ของฟงกชันท่ีหาอนพุ ันธไดท้งั หมด f ∈ C[0, 1] โดยที่ f(0) = 0 และ f′ เปน ฟง กชนั ตอเนอ่ื ง จงพิสจู นวา การสง D : f → f′ เปนการสงหนง่ึ ตอ หนง่ึ ทั่วถงึ จาก C[0, 1] ไปยงั S 7. จงหาจำนวนของการสง หนง่ึ ตอหนึง่ จากเซตท่ีมี m สมาชิก ไปยงั เซตทีม่ ี n สมาชกิ เมือ่ 7.1) m = n 7.2) m < n 7.3) m > n 8. ถา f เปนการสงจาก N ไปยัง N นยิ ามโดย f(x) = 2x + 1 จงแสดงวา f มีตวั ผกผันทางซา ย แตไ มมีตัวผกผนั ทางขวา และจงแสดงวา f มตี วั ผกผันทางซา ยเปน จำนวนอนนั ต 9. ให S เปน เซตท่ีมี n สมาชิก จงหาจำนวนของการสงท่ีแตกตา งกนั จาก S ไปยัง S และหาวามี การสงหนง่ึ ตอ หน่ึงทวั่ ถงึ จำนวนเทา ไร

22 บทที่ 1 เซต และการสง 1.4 || การดำเนนิ การทวภิ าค บทนยิ าม 1.4.1 การสง ∗ : S × S → S เรยี กวา การดำเนินการทวิภาค (binary operation) บนเซต S ดังนั้นการดำเนนิ การทวภิ าคบนเซต S คอื คูอนั ดบั ของสมาชิกใน S × S กบั สมาชกิ ของ S นนั่ เอง การดำเนินการทวภิ าคมกั จะใชส ญั ลกั ษณ ∗, ·, +, ◦ แทนอักษร f, g และอนื่ ๆ ภาพของ (x, y) ภายใตก ารดำเนินการทวภิ าค ∗ คือ ∗(x, y) เขยี นแทนดวย x ∗ y การบวก (+) และการคูณ (·) ในเซตของจำนวนเต็ม Z หรอื จำนวนจริง R เปนตวั อยางของ การดำเนนิ การทวิภาคท่ีคุนเคยกนั ดี ถา A และ B เปนเซตยอ ยของ X แลว A ∪ B, A ∩ B และ A − B เปนเซตยอ ยของ X ดว ย ดังนนั้ ยเู นียน อนิ เตอรเ ซกชัน และผลตา ง เปนการดำเนนิ การทวภิ าคบนเซต P(X) ให f : X → X และ g : X → X จะได g ◦ f เปน การสงจาก X → X ดวย ดงั นัน้ การ ประกอบ (◦) ของการสง เปนการดำเนนิ การทวิภาคบนเซต S = XX ซงึ่ เปน เซตของการสงทั้งหมด จาก X ไปยงั X กรณีทวั่ ไปของการสงดังกลา ว คอื f : Sn → S เม่อื n เปนจำนวนเตม็ บวกและ Sn = S × S × · · · × S เรียกวา การดำเนินการ n−ภาค (n−ary operation) บน S และเม่อื n = 1 เรียก วา การดำเนนิ การเอกภาค (unary operation) บทนิยาม 1.4.2 การดำเนนิ การทวิภาค ∗ : S × S → S บนเซต S มีสมบัติ (1) การสลับที่ (commutative) กต็ อ เมอื่ x ∗ y = y ∗ x สำหรบั ทุก x, y ∈ S (2) การเปลี่ยนหมู (associative) กต็ อ เมอ่ื x∗(y∗z) = (x∗y)∗z สำหรับทุก x, y, z ∈ S ถา ◦ เปนการดำเนินการทวภิ าคอกี การดำเนินการหนึ่งจะไดว า ∗ มสี มบัติ (3) การแจกแจงทางซา ย(left-distributive) บน ◦ กต็ อ เมือ่ x∗(y◦z) = (x∗y)◦(x∗z) สำหรับทกุ x, y, z ∈ S (4) การแจกแจงทางขวา(right-distributive) บน ◦ กต็ อเม่ือ (y◦z)∗x = (y∗x)◦(z∗x) สำหรบั ทกุ x, y, z ∈ S ถา ∗ มีสมบตั ิการแจกแจงทงั้ ทางซา ยและขวาบน ◦ แลวกลาววา ∗ มสี มบตั กิ ารแจกแจง บน ◦

1.4 การดำเนินการทวิภาค 23 ตัวอยา ง 1.4.1 (1) การบวก + และการคูณ · ใน Z หรือ R มีสมบตั ิการสลบั ที่และการ เปลย่ี นหมู นอกจากน้ี การคณู · มีสมบตั ิการแจกแจงบนการ + แตบทกลับไมจ ริง (2) ยเู นยี นและอนิ เตอรเซกชันในเซต P(X) มีสมบตั ิการสลบั ท่ี และการเปลี่ยนหมู รวมท้งั มสี มบัติการแจกแจงบนอกี การดำเนินการหนึ่ง (3) การประกอบ ◦ ของการสงเปน การดำเนนิ การทวภิ าคท่ีมีสมบตั ิการเปลย่ี นหมูบนเซต XX ของการสงทง้ั หมดจาก X ไปยงั X และถา X มีสมาชิกมากกวาหน่ึงสมาชกิ แลว ◦ ไมม สี มบัติสลับที่ หมายเหตุ ให ∗ เปน การดำเนนิ การทวภิ าคท่มี สี มบัตกิ ารเปล่ยี นหมูบนเซต S ดังนัน้ สำหรับทุก a, b, c ∈ S สามารถเขยี นผลคูณ a ∗ b ∗ c โดยไมตองใชวงเล็บได คาดวากรณีท่วั ไปของสมบตั ิดงั กลา วเปน จริง สำหรบั การคณู สมาชิกจำนวนจำกดั ใด ๆ เพ่อื การพิสูจนกรณีทัว่ ไปนมี้ ีขอ สงั เกตุบางประการดงั นี้ สมมุติให ∗ เปนการดำเนินการทวภิ าค ซ่งึ ไมจำเปนตองมีสมบตั ิการเปลี่ยนหมู บน S และ a ∗ b คือ ผลคณู ของ a, b โดยมอี ันดับ ตอ ไปใหล สิ ต a1, a2, ..., an ∈ S แลว จะไดวาสามารถหาผลคูณ ของ a1, a2, ..., an โดยมีอันดบั ไดหลายวิธี โดยการใสวงเล็บแบบตาง ๆ และทำการดำเนนิ การทวิภาค ∗ ซ้ำ ๆ แตการใชวงเลบ็ ตอ งทำใหผลคณู นัน้ มีความหมาย ตัวอยา งเชน ถา ∗ ไมม ีสมบัติเปลยี่ นหมูแลว ขอความ a ∗ b ∗ c มคี วามกำกวม เพราะฉะน้ันผลคูณจงึ ไมมีความหมาย และผลคูณทม่ี คี วามหมายของ a, b, c โดยมอี ันดบั คือ (a∗b)∗c และ a∗(b∗c) สำหรบั สมาชิก 4 ตัว a, b, c, d จะไดวา มีผลคูณโดยมี อนั ดบั 5 แบบดงั นี้ ((a ∗ b) ∗ c) ∗ d, (a ∗ (b ∗ c) ∗ d), (a ∗ b) ∗ (c ∗ d), a ∗ ((b ∗ c) ∗ d), a ∗ (b ∗ (c ∗ d)) ในกรณีท่ัวไป เม่ือให ϕ(a1, ..., an) แทนผลคูณท่ีมีความหมายโดยมีอันดับของ a1, ..., an แลวเห็นชดั วา ϕ(a1, ..., an) = ϕ(a1, ..., ak) ∗ ϕ(ak+1, ..., an) สำหรับบาง k ท่ี 1 k n และ ϕ(a1, ..., ak) และ ϕ(ak+1, ..., an) แทนผลคณู ทม่ี ีความหมาย ผลคณู มาตรฐาน (standard product) ของสมาชกิ a1, ..., an โดยมีอันดบั นยิ ามโดยการ อปุ นยั ไดด ังนี้ ∏1 ai = a1 i=1 ( ) ∏n n∏−1 ai = ai ∗ an สำหรับ n > 1 ตวั อยา งเชนi=ผ1ลคูณมาตiร=ฐ1านของ a1, a2, a3, a4, a5 โดยมีอันดับ คือ (((a1 ∗ a2) ∗ a3) ∗ a4) ∗ a5

24 บทท่ี 1 เซต และการสง ทฤษฎบี ท 1.4.1 ให ∗ เปน การดำเนนิ การทวภิ าคทีม่ สี มบตั กิ ารเปลย่ี นหมูบนเซต S เม่ือกำหนด ลิสต a1, ..., an ∈ S แลว ผลคูณที่มีความหมายของ a1, ..., an โดยมีอันดับจะเทากับผลคณู มาตรฐาน ∏n ai i=1 การพิสจู น จะพสิ จู นโดยการอุปนยั บน n สำหรบั n = 1 เหน็ ชดั วาผลลพั ธเปนจรงิ ให n > 1 และสมมตุ ิวา ผลคณู เปน จรงิ สำหรบั ทุกคา m < n ให ϕ(a1, ..., an) เปนผลคูณที่มีความหมาย ของ a1, ..., an โดยมีอันดบั ดงั น้ัน ϕ(a1, ..., an) = ϕ1(a1, ..., ak) ∗ ϕ2(ak+1, ..., an) สำหรบั บาง k ที่ 1 k n และ ϕ1(a1, ..., ak) และ ϕ2(ak+1, ..., an) เปน ผลคูณท่ีมีความหมายของ a1, ..., ak และ ak+1, ..., an ตามลำดบั โดยสมมตุ ฐิ านของการอปุ นยั จะไดวา ϕ(a1, ..., ak) = ∏k ai, i=1 n∏−k ϕ(ak+1, ..., an) = ak+j ดังนน้ั j=1 ( ) ∗ (n∏−k ) ∏k ai ak+j an) = ϕ(a1, ..., i=1 j=1 ( ) ถา k = n − 1 แลว จะได ϕ(a1, ..., an) = n∏−1 ∏n ai ∗ an = ai ( i=1 ) (( i=1 )) ∏k n−∏k−1 ถา k < n − 1 แลวจะได ϕ(a1, ..., an) = ai ∗ ak+j ∗ an (( ) ( )) i=1 j=1 ∏k n−∏k−1 = ai ∗ ak+j ∗ an (i=1 ) ( j=1 ) ∏k n−∏k−1 น่ันคอื ai ∗ ak+j เปน ผลคณู ที่มคี วามหมายของ n − 1 สมาชกิ i=1 j=1 เพราะฉะนั้น โดยสมมตุ ฐิ านการอปุ นยั ทำใหไดผ ลคูณเทา กบั n∏−1 ai () i=1 ดังน้ัน จะได ϕ(a1, ..., an) = n∏−1 ∏n ai ∗ an = ai i=1 i=1 ทฤษฎีบท 1.4.1 เปนทร่ี ูจักในนามของ กฎการเปลี่ยนหมูท่ัวไป (generalized associative law) ผลของทฤษฎบี ทนี้จะไดว า ถา ∗ เปนการดำเนนิ การทวิภาคทม่ี ีสมบัติเปล่ยี นหมูบนเซต S แลว ลิสต a1, ..., an ∈ S มีผลคณู ของ a1, ..., an โดยมีอันดบั เพยี งคาเดียว นั่นคอื เขียน a1 ∗ ... ∗ an ได โดยไมต อ งมวี งเลบ็

1.4 การดำเนินการทวิภาค 25 บทนิยาม 1.4.3 ให ∗ เปนการดำเนนิ การทวภิ าคท่ีมีสมบตั ิเปล่ียนหมูบนเซต S ให a ∈ S และ n ∈ N นยิ ามการอุปนยั โดยการยกกำลังของ a ดงั น้ี a1 = a, an+1 = (an) ∗ a ทฤษฎบี ท 1.4.2 ให ∗ เปนการดำเนินการทวภิ าคทมี่ ีสมบัติการเปล่ยี นหมูบน S ให a ∈ S และ m, n เปนจำนวนเตม็ บวกแลวจะได (1) am ∗ an = am+n (2) (am)n = amn การพิสจู น ไดจ ากบทนยิ ามของ an และกฎการเปลยี่ นหมทู วั่ ไป แบบฝก หดั 1.4 1. จงแสดงวา การดำเนินการทวิภาค ◦ บน R\\{0} ตอไปนี้ มีสมบัติเปลยี่ นหมหู รอื สลับทหี่ รือไม (1) x ◦ y = x2y (3) x ◦ y = xy + yx (2) x ◦ y = min(x, y) (4) x ◦ y = 1 2. ให S ≠ ∅ กบั การดำเนนิ การทวภิ าค ◦ ให x, y, z ∈ S สมมุติ x สลับที่ไดก ับ y และ z จงแสดง วา x สลบั ทไ่ี ดก ับ y ◦ z ดวย 3. ให S ≠ ∅ กับการดำเนินการทวิภาค • ที่มีสมบัติการเปล่ยี นหมู ให a ∈ S จงแสดงวาการ ดำเนินการทวิภาค ◦ ซ่ึงกำหนดโดย x ◦ y = x • a • y มีสมบตั ิการเปล่ียนหมูดว ย และถา • มี สมบตั กิ ารสลับท่ี แลว ◦ มสี มบัตกิ ารสลบั ท่ดี ว ยหรือไม 4. ให S เปน เซตที่มีสมาชกิ n ตัว จงหาจำนวนของการดำเนินการทวภิ าคทงั้ หมดบน S และจำนวน ของการดำเนนิ การทวภิ าคที่มีสมบตั ิสลับที่ 5. จงพิสูจนว า ถา ∗ เปน การดำเนินการทวภิ าคที่มีสมบตั ิเปลยี่ นหมแู ละสลับทีบ่ นเซต S แลว (a ∗ b) ∗ (c ∗ d) = [(d ∗ c) ∗ a] ∗ b 6. ให S ≠ ∅ กบั การดำเนนิ การทวภิ าค ◦ ทมี่ สี มบัตกิ ารเปล่ียนหมู สมมุติ e, f ∈ S ซงึ่ x ◦ e = x และ f ◦ x = x สำหรับทกุ สมาชกิ x ∈ S จงพสิ ูจนวา e = f และ ถา x ◦ y = e = z ◦ x จง แสดงวา y = z 7. ถา ∗ และ ∗′ เปน การดำเนนิ การทวภิ าคใดๆ บนเซต S แลว a ∗ (b ∗′ c) = (a ∗ b) ∗′ (a ∗ c) สำหรับทกุ a, b, c ∈ S เปน จริงหรือไม ถา เปนจรงิ จงพสิ ูจน ถา เปนเทจ็ ใหยกตัวอยา งคา น

26 บทที่ 1 เซต และการสง

2บทที่ กรปุ (Groups) 2.1 || กง่ึ กรุป และกรุป โครงสรา งพชี คณิต หรือ ระบบพชี คณิต ประกอบดว ย เซตซงึ่ ไมเ ปน เซตวา งกบั การดำเนินการ ทวภิ าคบนเซตนน้ั ซึ่งอาจจะมากกวา หน่งึ การดำเนินการ โครงสรา งพชี คณติ ที่สำคัญไดแ ก ก่งึ กรุป กรปุ ริง ฟลด มอดลู ในการศกึ ษาโครงสรา งพีชคณิตจะเร่ิมจากโครงสรางงาย ๆ ไปสูโครงสรา งทซี่ ับซอนขึ้น บทนิยาม 2.1.1 กําหนดเซต S ̸= ∅ กบั การดำเนนิ การทวภิ าค ∗ แลว ระบบพีชคณิต (S, ∗) เรยี กวา กรปุ พอยด (groupoid) หมายเหตุ ถา ∗ เปนการดำเนินการทวิภาคบนเซต S แลว อาจจะกลาววา S มีสมบตั ิปดภายใตการ ดำเนนิ การ ∗ บทนยิ าม 2.1.2 กาํ หนดเซต S ̸= ∅ กับการดำเนินการทวภิ าค ∗ ที่มีสมบตั ิเปล่ียนหมู แลว ระบบพชี คณติ (S, ∗) เรยี กวา กง่ึ กรปุ (semigroup) โครงสรางพชี คณติ S ใด ๆ กับการดำเนนิ การทวิภาค + หรือ · เขยี นแทนดว ย (S, +) หรอื (S, ·) หรอื กลาววา โครงสรา งพีชคณิตของ S ภายใตการบวก หรอื การคูณมสี มบัติปด ถา ให (S, ·) เปน กึ่งกรปุ และให a, b ∈ S ตอ ไปจะเขียนแทน a · b ดวย ab ตวั อยาง 2.1.1 พิจารณาการดำเนินการ ∗ ท่ีนยิ ามบนเซต S = {1, 2, 3} โดยตารางการดำเนนิ การดงั นี้

28 บทท่ี 2 กรปุ ตารางท่ี 2.1: ตารางการดำเนนิ การ ∗ บนเซต S ∗ 123 1 123 2 312 3 231 จากตารางพบวา (S, ∗) เปน กรุปพอยดเ น่อื งจาก ∗ เปน การดำเนินการทวภิ าคบนเซต S แตไมเปน ก่ึงกรุปเพราะวา 2∗(1∗3) = 2∗3 = 2 แต (2∗1)∗3 = 3∗3 = 1 นั่นคือ 2∗(1∗3) ≠ (2∗1)∗3 ทำให (S, ∗) ไมมสี มบัตเิ ปลย่ี นหมู ตัวอยาง 2.1.2 กำหนดให Ze แทนเซตจำนวนเต็มคู จะไดว า (Ze, +) เปน กรปุ พอยด เน่อื งจากถาให x, y ∈ Ze แลว จะได x = 2m, y = 2n สำหรบั บาง m, n ∈ Z ดังนั้น x + y = 2m + 2n = 2(m + n) น่ันคอื x + y ∈ Ze ตวั อยา ง 2.1.3 กำหนดให (Z, +), (Z, ·), (R, +), (R, ·), (C, +), (C, ·) เมอื่ +, · คือ การบวก และคณู ปกติของระบบจำนวน จะไดวา โครงสรา งพชี คณิตทั้งหมดนี้เปน กึง่ กรุป ตวั อยา ง 2.1.4 ให G เปนเซตของการสงจากเซต S ไปยงั S โดยท่ี S ≠ ∅ ภายใตการประกอบ ของการสง ◦ จะไดวาระบบพีชคณิต (G, ◦) เปนก่ึงกรุป เนื่องจากการประกอบของการสง มีสมบตั ิ ปด และเปลย่ี นหมู ตวั อยา ง 2.1.5 ให Mn เปน เซตของเมทรกิ ซจำนวนจริง มติ ิ n × n ภายใตการบวก หรอื การ คณู เมทรกิ ซ จะไดว า ระบบพชี คณติ (Mn, +), (Mn, ·) เปนก่ึงกรุป เน่ืองจากการบวกและการคูณ ของเมทรกิ ซจ ัตรุ สั มีสมบัติปด และเปลีย่ นหมู ตวั อยา ง 2.1.6 ให P (U ) = { X ⊆ U } จะไดว า (P(U ), ∪) และ (P(U ), ∩) เปนกงึ่ X กรุป เน่อื งจากการดำเนินการยูเนียน และอินเตอรเซกชันของเซตมสี มบัตปิ ดและเปล่ยี นหมู เพื่อความสะดวกตอไปจะใชส ัญลกั ษณ · แทนการดำเนินการทวิภาคใด ๆ บนเซต S นอกจาก จะนยิ ามเปน แบบอ่นื สมาชิก e ในเซต S เรียกวา เอกลกั ษณดา นซา ย (left identity) ถา ea = a สำหรับทุก a ∈ S และ เอกลกั ษณด า นขวา (right identity) ถา ae = a สำหรับทุก a ∈ S

2.1 ก่งึ กรุป และกรปุ 29 ถาก่งึ กรุปมีเพียงเอกลักษณดานซาย หรอื ดา นขวาอยางใดอยางหนงึ่ อาจมีเอกลกั ษณได หลายตวั แตถากึ่งกรุป S มีทั้งเอกลักษณดานซา ย e และดา นขวา f แลว จะไดวา e = ef และ f = ef น่นั คอื e = ef = f ดังน้นั ถากึง่ กรุปมีเอกลักษณทัง้ ดานซา ย และดา นขวา แลวจะเปนตวั เดียวกัน และเรียกวา เอกลกั ษณส องดา น (two sided identity) หรือเรยี กวา เอกลักษณ (identity) บทนิยาม 2.1.3 ให (S, ·) เปน กงึ่ กรุป ถา มีสมาชกิ e ใน S ซึง่ ex = x = xe สำหรับทุก x ∈ S แลว เรยี ก e วา เอกลกั ษณ (identity) ของกึ่งกรุป บทนยิ าม 2.1.4 กงึ่ กรปุ (S, ·) ทมี่ ีเอกลกั ษณส ำหรบั การดำเนนิ การ · เรยี กวา โมนอยด (monoid) ตัวอยาง 2.1.7 (Z+, ·) เปน โมนอยด แต (Z+, +) ไมเปน โมนอยดเพราะไมม ีเอกลกั ษณสำหรับ การบวก เน่อื งจาก 0 ∈/ Z+ ตวั อยาง 2.1.8 (P(U ), ∪) และ (P(U ), ∩) เปน โมนอยด โดยมีเซตวา ง ∅ เปน เอกลักษณ สำหรับการดำเนนิ การ ยูเนียน เพราะวา A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A ทกุ A ∈ P(U ) และมีเซต เอกภพสมั พัทธ U เปน เอกลักษณสำหรบั การดำเนินการ อนิ เตอรเซกชนั เพราะวา A ∩ U = U ∩ A = A สำหรบั ทกุ A ∈ P(U ) ตัวอยาง 2.1.9 เซต S = { + √ a√, b ∈ Z} ก+ับdก√าร2ดำเปเนนนิ สกมาารชิก· ใเปนน Sโมแนลอวยจดะ ไแดส ดงไดวา a b2 b2 และ c S มสี มบัตปิ ดภายใตก ารคณู โดยให a + √√ √ (a + b 2)(c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ S โครงสราง (S, ·) เปนกึ่งกรุปสลับท่ีมี 1 = 1 + √ เปนเอกลกั ษณ ดงั น้ัน (S, ·) เปน โมนอยด 02 สลบั ที่ ให S เปนกึ่งกรุป และ e เปนเอกลักษณดา นซาย ใน S และ ให a ∈ S แลวสมาชิก b ∈ S เรียกวา ตวั ผกผันดานซาย (left inverse) ของ a เมอื่ ba = e และ เรียก b วา ตวั ผกผนั ดานขวา (right inverse) ของ a เมือ่ ab = e สมาชกิ ใด ๆ ใน S อาจจะมตี ัวผกผนั ดา นซา ย หรอื ตัวผกผันดานขวาไดห ลายตัว แตถ า e เปน เอกลกั ษณ และสมาชกิ a มี b เปนตัวผกผันดา นซา ยมี c เปนตวั ผกผันดา นขวา แลว จะไดวา a มีตัว ผกผันเพียงตัวเดยี ว เน่อื งจาก b = be = bac = ec = c

30 บทท่ี 2 กรปุ บทนยิ าม 2.1.5 ให (S, ·) เปนก่ึงกรุปที่มี e เปน เอกลกั ษณ ให a ∈ S ถา มีสมาชิก b ใน S ซึง่ ab = e = ba แลว เรยี ก b วา ตัวผกผนั (inverse) ของ a และกลาววา a หาตวั ผกผนั ได (invertible) จุดประสงคของบทน้ี คือ ศกึ ษาความรูเบอ้ื งตน และเทคนิคการพิสจู นทฤษฎีบทที่เกี่ยวกบั โครงสรางของกรปุ อาจจะนิยามกรุปดว ยก่ึงกรุปที่มีเอกลกั ษณ และทุกสมาชกิ หาตวั ผกผันได และตอง มีเพยี งตัวเดยี ว บทนยิ าม 2.1.6 กำหนดเซต G ̸= ∅ กบั การดำเนนิ การทวิภาค · เซต G เรียกวา กรุป (group) ก็ตอเมือ่ สัจพจนต อไปนเี้ ปน จรงิ (1) a(bc) = (ab)c สำหรับทกุ a, b, c ∈ G (2) มี e ∈ G ซึง่ ea = a = ae สำหรบั ทกุ a ∈ G (3) สำหรับทุกสมาชกิ a ∈ G มี a′ ทีท่ ำให a′a = e = aa′ ขอสังเกต จากบทนยิ าม 2.1.6 ถา ใหเ ซต G มสี มบตั ิตามขอ (1) โดยท่ีขอ (2) ea = a และ (3) a′a = e แลวจะไดวา G มีเอกลักษณดานขวา และทกุ สมาชกิ มีตัวผกผนั ดานขวาทำใหไดว า G เปนกรุป ดังแสดง ตอไปนี้ สมมติให a ∈ G และให a′ เปนตวั ผกผันดานซายของ a และ a′′ เปน ตวั ผกผนั ดา ยซา ยของ a′ แลว จะได a′a = e = a′′a′ ดังนั้น aa′ = e(aa′) = a′′(a′a)a′ = a′′(ea′) = a′′a′ = e เพราะ ฉะน้นั a′ เปนตวั ผกผนั ดานขวาของ a ดวย และจะไดวา ae = a(a′a) = (aa′)a = ea = a สำหรับ ทกุ a ∈ G ดังนน้ั e เปน เอกลกั ษณดานขวาดว ย น่นั คอื G เปน กรปุ ตามบทนิยาม สามารถเขยี นแทนกรุป (G, ·) ดวย G แทนสมาชกิ เอกลักษณดวย e หรอื 1 และแทนตวั ผกผันของ a ดวย a−1 ถา การดำเนนิ การทวิภาคเปนการบวก เขียนแทนเอกลกั ษณด ว ย 0 และตวั ผกผัน การบวกของ a แทนดว ย −a เรียกวา ลบของ a ตัวอยา ง 2.1.10 ให S เปนเซตของคูอ นั ดับของจำนวนจรงิ ทไ่ี มรวมศูนย และให ∗ เปน การ ดำเนิน การทวภิ าคนยิ ามบน S กำหนดโดย (a, b)∗(c, d) = (ac, bd) จะไดว า (S, ∗) คเปือน(โม1น, อ1ย)ดเสพลรับาทะี่ ซ่ึงมี (1, 1) เปนเอกลักษณ นอกจากนน้ั แตละสมาชกิ (a, b) ∈ S มีตวั ผกผนั ab ( 1) ( 1) วา 1 a 1 (a, b) ∗ a , b = · a , b · b = (1, 1)

2.1 กง่ึ กรปุ และกรุป 31 ตัวอยา ง 2.1.11 โมนอยดสลับที่ (P(U ), ∪) จากตัวอยาง 2.1.8 จะไดว า ∅ เทา นนั้ ท่มี ตี วั ผกผัน เพราะ ถา A ∈ P(U ) และ A ≠ ∅ แลว จะไมม เี ซตยอ ย A−1 ใน P(U ) ท่ี A ∪ A−1 = ∅ ใน ทำนองเดียวกนั กรณีของโมนอยด (P(U ), ∩) จะไดว าเซตเอกภพสัมพัทธ U เทา นั้นทีม่ ตี ัวผกผนั บทนยิ าม 2.1.7 ถา การดำเนนิ การทวภิ าคในกรปุ (G, ·) มีสมบตั ิสลับที่ นนั่ คอื ab = ba สำหรับ ทกุ a, b ∈ G แลว เรยี ก G วา กรุปสลบั ท่ี (commutative group) หรอื อาบีเลียนกรุป (abelian group) ให (S, ·) เปนกงึ่ กรปุ เนื่องจากการคณู มีสมบัตเิ ปลีย่ นหมู ดังน้นั มีผลคูณของสมาชิก a1, a2, . . . , an ∈ S เพยี งชดุ เดยี วเทานั้น ซง่ึ เขียนในรปู a1a2 . . . an บทนิยาม 2.1.8 ผลคณู n ครั้งของ a แทนดว ย an = ∏n a = a . . . a เรยี กวา กำลงั ท่ี n ของ a i=1 ถา S มีเอกลกั ษณ e จะนิยาม a0 = e และ ถา a เปน สมาชิกของ S ที่หาตัวผกผนั ได สำหรับ จำนวนเต็มบวก n ใด ๆ จะนิยาม a−n = (a−1)n เมอ่ื a−1 แทนตัวผกผนั ของ a ในกรณีของก่ึงกรุปกับการบวก (S, +) เรียก ผลบวก (sum) แทนผลคูณ และเรยี ก พหคุ ูณ (multiple) แทนการยกกำลัง ดังน้ันสาํ หรับจาํ นวนเตม็ บวก n ใด ๆ และ a ∈ S จะนิยาม ∑n (ผลบวก n คร้งั ของ a) na = a = a + a + · · · + a i=1 ทฤษฎีบท 2.1.1 กำหนดให G เปน กึ่งกรุป จะไดวา G เปนกรุป ก็ตอเม่ือ สมการ ax = b และ ya = b มคี ำตอบสำหรับทกุ สมาชกิ a, b ∈ G การพิสจู น ให G เปน กรุป เหน็ ชัดวาสมการ ax = b และ ya = b มีคำตอบ นนั่ คอื x = a−1b และ y = ba−1 ตามลำดบั บทกลบั ให G เปนกง่ึ กรุป และสมมติ สมการ ax = b และ ya = b มีคำตอบ สำหรบั ทกุ สมาชิก a, b ∈ G เน่ืองจาก a ∈ G จะไดวา ya = a มีคำตอบ เม่อื ให y = e จะได ea = a ดังน้ัน y = e เปนคำตอบ ตอ ไปพิจารณาสมาชกิ b ใด ๆ ใน G จะไดว า สมการ ax = b มีคำตอบ ให x = x0 เปน คำตอบ ดงั น้นั ax0 = b เพราะฉะนั้น eb = eax0 = ax0 = b ดงั น้นั e เปนเอกลกั ษณดานซาย

32 บทที่ 2 กรปุ และจะไดวา สำหรับทกุ สมาชกิ a ใน G สมการ ya = e มีคำตอบ ดังนั้น a มีตัวผกผันดานซา ย เพราะฉะนนั้ G เปน กรุป บทนิยาม 2.1.9 กรุป (G, ·) เรียกวา กรปุ จำกดั (finite group) กต็ อ เมื่อ G เปน เซตจำกดั และ เรยี กวา กรุปอนันต (infinite group) ก็ตอ เม่อื G เปนเซตอนันต จำนวนสมาชกิ ของเซต G เรยี ก วา อนั ดับ (order) ของกรุป G เขียนแทนดว ย |G| หรือ o(G) ทฤษฎีบทตอ ไปนีแ้ สดงลกั ษณะเบื้องตน ของกรปุ จำกัด ทฤษฎบี ท 2.1.2 กงึ่ กรุปจำกดั G เปนกรปุ ก็ตอ เมอื่ กฎการตดั ออกเปนจรงิ สำหรบั ทุกสมาชกิ ใน G นนั่ คือ ถา ab = ac แลว b = c และ ถา ba = ca แลว b = c สำหรับทกุ a, b, c ∈ G การพิสจู น ให G เปนกรุป เห็นชดั วา กฎการตัดออกเปนจริง บทกลบั ให G เปน กง่ึ กรุปจำกัดและ กฎการตดั ออกเปนจริง จะแสดงวา สำหรบั ทกุ สมาชิก a, b ∈ G สมการ ax = b และ ya = b หาคำตอบได ให a, b ∈ G และ G = {a1, a2, . . . , an} โดยท่ี a1, . . . , an เปนสมาชกิ ที่แตกตา ง กนั ของ G พจิ ารณาเซต H = {aa1, aa2, . . . , aan} เนือ่ งจาก aai ∈ G สำหรับแตล ะ i = 1, 2, . . . , n ดังนั้น H ⊂ G โดยกฎการตัดออกดานซา ย ถา aai = aaj แลว ai = aj ดังน้นั H มีสมาชิก n ตวั ที่แตกตา งกัน เพราะฉะนนั้ H = G จาก b ∈ H จะได aai = b สำหรับบาง ai ∈ G นน่ั คือ สมการ ax = b หาคำตอบได ในทำนองเดียวกัน โดยกฎการตดั ออกดานขวาจะได วา สมการ ya = b หาคำตอบได ดังนั้นโดยทฤษฎีบท 2.1.1 จะได G เปน กรปุ {ตัวอยาง 2∈.1Z.1}2 ให a เปน จำนวนจรงิ ที่ไมใ ชศูนย ให G เปนเซตของพหุคณู ของ a นั่นคือ G = จะไดวา (G, +) เปนอาบีเลยี นกรปุ โดยมีเอกลกั ษณ คือ 0 = 0a ตวั ผกผันของ na n สมาชกิ na ใน G คือ −(na) = (−n)a ∈ G ตัวอยา ง 2.1.13 ให G = P(U ) กำหนดการดำเนนิ การ ∆ บน G ดังนี้ A∆B = (A − B) ∪ (B − A), A, B ∈ G การดำเนนิ การ ∆ เรยี กวา ผลตางสมมาตร (symmetric difference) ของ A และ B

2.1 กงึ่ กรุป และกรปุ 33 จะไดวา (G, ∆) เปนอาบีเลียนกรุป โดยมีเซตวา งเปน เอกลกั ษณ และแตละสมาชิก A ของ G ตัวผกผัน คือตัวเอง ตัวอยา ง 2.1.14 ให G = { a, b ∈ R, a ̸= } นิยามการดำเนินการ ∗ บน G โดย (a, b) 0 (a, b) ∗ (c, d) = (ac, bc + d) แลว จะไดว า G เปนกรปุ แสดงไดด งั น้ี สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมูเปนจรงิ เพราะวา () (a, b) ∗ (c, d) ∗ (e, f ) = (ac, bc + d) ∗ (e, f ) () = (ac)e, (bc + d)e + f () = a(ce), b(ce) + (de + f ) = (a, b) ∗ (ce, de + f ) () = (a, b) ∗ (c, d) ∗ (e, f ) คอู ับดบั เปน สมาชิกเอกลกั ษณ และตัวผกผันของ คอื ( 1 −b ) ดงั นัน้ a a (1, 0) (a, b) ∈ G , (G, ∗) เปน กรปุ แตไ มเ ปนอาบีเลียนกรุปเพราะวา (1, 2) ∗ (3, 4) = (3, 10) ≠ (3, 6) = (3, 4) ∗ (1, 2) ตัวอยาง 2.1.15 ใหเซต G ประกอบดว ยฟงกช นั f1, f2, f3, f4, f5, f6 จากเซต R − {0, 1} ไป บนเซตเดิม สำหรบั x ∈ R − {0, 1} นิยาม f1(x) = x, f2(x) = 1 , f3(x) = 1 − x f5(x) = x f4(x) = x − 1 , x , f6(x) = 1 x x − 1−x 1 และการดำเนนิ การ ◦ คอื การประกอบกันของฟงกช ัน ทำใหไดว า f2 ◦ f6 = f3 แต (f6 ◦ f2)(x) = f6(f2(x)) = f6 (1) = 1 1 = x = f5(x) 1− x x−1 x ดงั นน้ั f6 ◦ f2 = f5 แสดงวา การดำเนนิ การ ◦ ไมม สี มบัติสลบั ท่ี สำหรบั การดำเนินการ ◦ แสดงดงั ตาราง 2.2

34 บทท่ี 2 กรุป ตารางที่ 2.2: ตารางการดำเนนิ การ ◦ บนเซต G ◦ f1 f2 f3 f4 f5 f6 f1 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f2 f2 f1 f6 f5 f4 f3 f3 f3 f4 f1 f2 f6 f5 f4 f4 f3 f5 f6 f2 f1 f5 f5 f6 f4 f3 f1 f2 f6 f6 f5 f2 f1 f3 f4 เนือ่ งจากการประกอบกันของฟง กชนั มีสมบตั ิเปลี่ยนหมู จากตาราง 2.2 จะเห็นวา f1 เปน สมาชิก เอกลกั ษณ และ แตล ะสมาชกิ จะมีตวั ผกผันของ ดังนี้ f1−1 = f1, f2−1 = f2, f3−1 = f3, f4−1 = f6, f5−1 = f5, f6−1 = f4 ดังนัน้ (G, ◦) เปนกรปุ ตัวอยา ง 2.1.16 กรุปจำนวนเต็มมอดุโล n ภายใตก ารบวก (Zn, +) ให x, y ∈ Z และให n เปนจำนวนเตม็ บวก นิยาม x ≡ y( mod n) ก็ตอเม่ือ x − y = qn สำหรบั บาง q ∈ Z จะไดวา ≡ เปน ความสมั พันธสมมลู และชน้ั สมมลู ของ x คือ x และจะได Zn คือเซตของชั้นสมมูลทัง้ หมด นิยามการบวกใน Zn ดงั น้ี x + y = x + y นิยามแจม ชดั เพราะถา x = x′ และ y = y′ แลวจะไดว า n | (x − x′) และ n | (y − y′) ดงั นน้ั n | ((x + y) − (x′ + y′)) นัน่ คอื x + y = x′ + y′ จะไดวา มี 0 เปน เอกลักษณ และ −x เปน ตวั ผกผันของ x ดงั น้ัน Zn เจปะน ไอดา บZีเ4ลีย=นก{ร0ปุ ,ส1ำ,ห2ร,ับ3ก}ามรบีตวากราแงลกะามรดอี ำนั เดนบัินกnารของกรปุ (Z4, +) สมติให n = 4 แสดงไดด งั ตอไปนี้ ตารางท่ี 2.3: ตารางการดำเนนิ การ + บนเซต Z4 + 0123 0 0123 1 1230 2 2301 3 3012