Brands Math

(x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมอ่ื c2 = a2 - b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมอื่ c2 = a2 - b2 a2 b2 a2 b2 Y Y V(h, k + a) B(h, k + b) P(x, y) F′(h, k + c) P(x, y) V′(h - a, k) F′(h - c, k) CF(h(h, k+) c, k) V(h + a, k) B′(h - b, k) C(h, k) B(h + b, k) O X O F(h, k - c) X B′(h, k - b) V′(h, k - a) 8. ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คอื เซตของจุดทงั้ หมดในระนาบซึ่ง ผลตาง ของระยะทางจากจดุ ใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู กับทม่ี คี า คงตัว โดยคาคงตัวนอยกวาระยะหา งระหวา งจุดคงที่ทีต่ รึงอยกู ับทที่ ้ังสอง จุด F1 และ F2 ดังกลาวนี้ เรยี กวา โฟกสั ของไฮเพอรโบลา Y P(x, y) F1(-c, O) F2(c, O) X |PF1 - PF2| = คา คงตัว = 2a สว นประกอบของไฮเพอรโ บลา l2 B1 l1 2b G1 G3 C(h, k) a V1 5 F2 V2 c G4 -5 G2 -2 -4 B2 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (101)

♥ C คือ จุดศนู ยกลางของไฮเพอรโ บลา ♥ V, V′ คอื จดุ ยอดของไฮเพอรโ บลา ♥ F, F′ คือ จดุ โฟกสั ของไฮเพอรโ บลา ♥ VV′ คอื แกนตามขวาง (transveral axis) ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คอื แกนสงั ยุค (conjugate axis) ยาว 2b หนวย ♥ CF = CF′ คอื ระยะโฟกัส ยาว c หนว ย ยาว 2ba2 หนวย ♥ GG′ คือ เลตสั เรกตมั ♥ l1, l2 คือ เสน กาํ กบั (asymptote) ♥ สมการรปู แบบมาตรฐานของไฮเพอรโบลา (x - h)2 + (y - k)2 = 1 เมือ่ c2 = a2 + b2 (y - k)2 + (x - h)2 = 1 เมอื่ c2 = a2 + b2 a2 b2 a2 b2 Y Y B(h, k + b) F(h, k + c) V′ V V(h, k + a) F′(h - c, k) (h - a, k) (h + a, k) F(h + c, k) B′(h + b, k) C(h, k) B(h + b, k) B′(h, k - b) X V′(h, k - a) F′(h, k - c) X คณิตศาสตร (102)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

แบบทดสอบ 1. กําหนดให A = {(x, y) |x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) |x2 + y2 - 10x - 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากสดุ ทีเ่ ปน ไปไดระหวา งจุด p และ q เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 5 2 หนว ย *2) 2 + 5 2 หนว ย 3) 2 5 หนว ย 4) 5 + 2 5 หนวย 2. ให a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ ถา วงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มจี ุดศนู ยกลางที่ (2, 1) และมี เสนตรง x - y + 2 = 0 เปน เสนสัมผสั วงกลม แลว |a + b + c| (ตอบ 5.5) 3. กาํ หนดใหเสน ตรง l1 และ l2 สมั ผสั วงกลม (x - 5)2 + y2 = 20 ที่จดุ P และ Q ตามลําดบั และจดุ ศูนยก ลางของวงกลมอยบู นเสน ตรงที่ผา นจุด P และ Q ถา l1 มีสมการเปน x - 2y + 5 = 0 แลว จุดใน ขอ ใดตอไปนอ้ี ยบู น l2 52 1)  0,  2) (8, -1) 3) (1, -8) *4) (15, 0)   4. กาํ หนดให วงกลมรูปหน่ึงมจี ดุ ศูนยกลางอยูท่จี ดุ (2, 1) ถาเสน สัมผัสวงกลมท่ีจดุ x = 1 เสน หนง่ึ มีความชนั 1 เทากับ 3 แลว จดุ ในขอใดตอไปน้อี ยูบ นวงกลมท่กี าํ หนด *1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) 5. กําหนดให C1 และ C2 เปนวงกลมที่มีสมการเปน x2 + y2 = 2y และ x2 + y2 + 2y = 3 ตามลาํ ดับ และ L เปนเสน ตรงทค่ี วามชนั นอยกวา 0 ซึง่ สมั ผสั ทัง้ วงกลม C1 และ C2 ขอใดตอไปน้ีเปน ความชนั ของ L 1) - 2 2) - 1 - 3 1 2 *3) 4) 3 6. วงกลมวงหนึ่งมจี ดุ ศูนยกลางอยูท ี่จุดศูนยก ลางของวงรีทม่ี สี มการเปน 9x2 + 4y2 - 36x - 24y + 36 = 0 ถาวงกลมน้สี ัมผสั กับเสน ตรงทผ่ี านจุด (1, 3) และ (5, 0) แลว รศั มีของวงกลมนเ้ี ทา กับขอใดตอไปนี้ *1) 53 2) 54 3) 78 4) 193 7. พาราโบลามจี ุดยอดที่ (-1, 0) และมจี ดุ กาํ เนิดเปนโฟกัส ถาเสนตรง y = x ตัดพาราโบลาทจ่ี ุด P และจดุ Q แลว ระยะทางระหวางจุด P กับจุด Q เทากับเทา ใด (ตอบ 8) 8. ถาเสนตรงหนึ่งผา นจุดกาํ เนดิ และจดุ ยอดของพาราโบลา y2 - 4y + 4x = 0 และตดั เสนไดเรกตรกิ ซที่จุด (a, b) แลว a + b มคี า เทากับขอ ใดตอไปนี้ 1) 4 2) 5 *3) 6 4) 7 9. ถาระยะทางระหวางจดุ (x, y) กบั จุด (2, 2) เทา กับระยะทางระหวา งจุด (x, y) กับเสนตรง x + y = 0 แลว จดุ (x, y) อยบู นกราฟของสมการในขอใดตอ ไปน้ี *1) (x - y)2 = 8(x + y - 2) 2) (x - y)2 = 4(x + y - 2) 3) (x + y)2 = 8(x + y) - 12 4) (x + y)2 = (x + y) + 2 โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (103)

10. วงกลม C มีจุดศนู ยก ลางที่จุดกาํ เนดิ และผา นจุดโฟกสั ของพาราโบลาซ่งึ มสี มการเปน (x - 2)2 = 8y โดย เสน ไดเรกตริกซของพาราโบลาตัดวงกลม C ทจี่ ดุ P และจดุ Q ถา จุด R อยบู นพาราโบลาและอยหู า งจาก จุดโฟกัสเปน ระยะทาง 4 หนว ย แลวสามเหล่ยี ม PQR มพี ืน้ ทเี่ ทากับขอ ใด 1) 8 หนวย 2) 9 หนวย 3) 10 หนว ย 4) 12 หนวย 11. วงรีวงหน่ึงมี F1(1, 1) และ F2(1, -3) เปนจดุ โฟกสั ถา A และ B เปนจดุ บนวงรีทท่ี ําใหร ูปสามเหล่ยี ม ABF2 มีเสนรอบรูปยาว 12 หนวย และสว นของเสน ตรง AB ผาน F1 แลว จุดในขอ ใดตอ ไปน้ีอยบู นวงรี 53 53 52 52 *1)  3, 5 - 1  2)  2, 5 - 1  3)  3, 5 - 1  4)  2, 5 - 1          12. กาํ หนดให วงรีรปู หนง่ึ มโี ฟกัสอยทู ี่จดุ (±3, 0) และผา นจุด  2, 221  จุดในขอ ใดตอ ไปนอ้ี ยบู นวงรที ี่     กําหนด *1) (-4, 0) 2)  0, 5 2 2  3) (6, 0) 4) (0, -3 2 )     13. กําหนดใหวงรี E มีโฟกัสทัง้ สองอยูบ นวงกลม C ซ่ึงมสี มการเปน x2 + y2 = 1 ถา E สัมผัสกบั C ที่จุด (1, 0) แลว จดุ ในขอใดตอไปน้ีอยูบน E 12, 32 12, 52 31, 32 31, 34 1)   2)   3)   *4)           14. ให E เปนวงรที ี่มแี กนเอกขนานกบั แกน x มจี ุดศูนยกลางที่ (-2, 1) สมั ผัสเสนตรง x = 1 และ y = 3 โดยมี F1 และ F2 เปน จดุ โฟกัสของ E ให C เปนวงกลมท่ีมี F1F2 เปน เสนผา นศูนยกลาง ถา วงรี E ตัดวงกลม C ทีจ่ ดุ P, Q, R, S แลว พืน้ ทีร่ ปู สเ่ี หลย่ี ม PQRS มีคาเทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี 1) 152 ตารางหนว ย 2) 254 ตารางหนวย 3) 356 ตารางหนว ย *4) 458 ตารางหนว ย 15. ถา k, λ และ m เปน จํานวนจรงิ ทที่ าํ ใหวงรี kx2 + λy2 - 72x - 24y + m = 0 มจี ดุ ศนู ยก ลางอยูท ีจ่ ดุ (4, 3) และสัมผสั แกน Y แลว ขอใดตอไปน้ผี ดิ 1) ความยาวแกนเอกเทากบั 12 หนวย 2) ความยาวแกนโทเทากบั 8 หนวย 3) ระยะหา งระหวางจุดโฟกสั ทง้ั สองเทากบั 4 5 หนว ย 4) จุด (2, 6) อยูบนวงรี 16. ให F1 , F2 เปน จดุ โฟกสั ของวงรีท่ีมสี มการเปน kx2 + 4y2 - 4y = 8 และ B เปน จุดที่วงรีตดั แกน y และ อยเู หนือแกน x ถา F1, B, F2 ไมอ ยูใ นแนวเสนตรงเดยี วกัน และ F1BF2 เปนสามเหลย่ี มทมี่ พี ้นื ที่เทากับ 37 ตารางหนวยแลว k มคี า เทา กบั เทาใด 4 17. กําหนดใหวงรวี งหน่ึงมีสมการเปน 3x2 + 4y2 - 6x + 8y - 5 = 0 ถา P เปนจุดบนวงรี ซงึ่ มีระยะหางจาก โฟกสั จุดหน่งึ เปน สองเทา ของระยะระหวา งโฟกัสกบั จดุ ยอด จงหาระยะทางระหวางจุด P กับจดุ ยอดของวงรี (ตอบ 7 ) คณติ ศาสตร (104)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

18. กําหนดให E เปนวงรที มี่ ีโฟกัสอยูท่ีจดุ ยอดของไฮเพอรโ บลา x2 - y2 = 1 ถา E ผา นจุด (0, 1) แลว จดุ ใน ขอ ใดตอ ไปน้ีอยบู น E *1)  1, - 22  2) (1, 2 ) 3)  1, -12  4)  1, 23            19. กาํ หนดให A และ B เปนโฟกสั ของไฮเพอรโ บลา 3x2 - y2 = 3 ถา P เปน จุดใดๆ บนวงรที ี่มโี ฟกัสท่ีจดุ A, B และ AP + BP = 8 แลว สมการของวงรีคอื ขอใดตอ ไปนี้ 1) 4x2 + 3y2 = 24 2) 4x2 + 3y2 = 48 3) 3x2 + 4y2 = 24 4) 3x2 + 4y2 = 48 20. กําหนด H เปน ไฮเพอรโบลาทม่ี แี กนตามขวางยาว 6 หนวย และแกนสังยุคยาว 8 หนว ย โดยมี F1 และ F2 เปน จดุ โฟกสั ถา P เปน จุดบนไฮเพอรโบลา H ท่ที าํ ให F1PˆF2 = 90° แลว รูปสามเหล่ียม F1PF2 มีพ้ืนที่ กีต่ ารางหนว ย (ตอบ 16 ตารางหนวย) 21. กาํ หนดให H เปนไฮเพอรโ บลาที่มสี มการเปน 16x2 - 9y2 - 144 = 0 ถา จุด A(6, k) เม่ือ k > 0 เปนจุด อยบู นเสน กาํ กับของ H และ F1, F2 เปนโฟกสั ของ H แลว พนื้ ที่ของรูปสามเหลย่ี ม AF1F2 เทา กับขอ ใด ตอไปนี้ 1) 327 ตารางหนว ย 2) 425 ตารางหนว ย 3) 30 ตารางหนว ย *4) 40 ตารางหนว ย 22. กาํ หนด F เปนจดุ โฟกสั ของพาราโบลา y2 - 2y + 4x + 9 = 0 และ C เปน จดุ ศนู ยก ลางของวงกลม x2 + y2 - 6x + 4y + 12 = 0 ถา สวนของเสนตรง FC ตดั วงกลมทีจ่ ดุ T แลวสว นของเสนตรง FT มีความยาวเทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 4 2) 29 - 1 3) 41 - 1 *4) 3 5 - 1 23. กําหนดให A = {a|เสน ตรง y = ax ไมต ัดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b|เสน ตรง y = x + b ตัดกราฟ y2 = 1 - x2 สองจดุ } เซต {d|d = c2 , c ∈ B - A} เทากบั ชว งในขอใดตอ ไปนี้ 1) (0, 1) 2) (0, 2) *3) (1, 2) 4) (0, 4) 24. กําหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 > 1}, B = {(x, y) | 4x2 + 9y2 < 1}, C = {(x, y) | y2 - x2 > 1} ขอ ใดตอ ไปนผ้ี ดิ 1) A - B = A 2) B - C = B 3) B I (A U C) = ∅ 4) A I (B U C) = ∅ 25. ให A และ B เปน จดุ ยอดของไฮเพอรโบลา 4x2 - y2 - 24x + 6y + 11 = 0 สมการของพาราโบลาที่มี AB เปนเลตสั เรกตมั และมกี ราฟอยเู หนือแกน X คือสมการในขอใดตอไปน้ี *1) (x - 3)2 = 4(y - 2) 2) (x - 3)2 = 8(y - 1) 3) (x - 2)2 = 4(y - 2) 4) (x - 2)2 = 8(y - 1) 26. กําหนดให S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17}, A = {(x, y) | x2 - y2 = 1}, B = {(x, y) | y2 - x2 = 1} ถา p ∈ SI A และ q ∈ SI B แลวระยะทางทน่ี อยสุดทเี่ ปนไปไดระหวางจดุ p และ q เทา กับขอใดตอ ไปนี้ *1) 3 2 - 4 2) 3 2 - 2 3) 2 3 - 2 4) 2 3 - 3 โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (105)

ฟง กชันเอกซโ พเนนเชียล และฟงกช นั ลอการทิ มึ (Exponential and Logarithm Functions) เลขยกกาํ ลัง ถา a เปนจาํ นวนจริง และ n เปน จาํ นวนนบั บทนยิ าม 1. an = a × a × a × ... × a 2. am ⋅ an = am+n n ตวั 3. (an)m = anm 4. (ab)n = an ⋅ bn n an 5.  ab  = bn เมือ่ b ≠ 0   6. am = am-n เมื่อ a ≠ 0 an 7. a0 = 1 เมือ่ a ≠ 0 1 8. a-n = an เมื่อ a ≠ 0 รากที่ n ในระบบจาํ นวนจริง บทนยิ าม ให n เปน จํานวนเต็มทม่ี ากกวา 1, x และ y เปนจํานวนจริง y เปน รากท่ี n ของ x ก็ตอ เมอ่ื yn = x คาหลักของรากที่ n บทนิยาม ให x เปนจํานวนจริงทมี่ รี ากที่ n จะกลา ววา จํานวนจรงิ y เปน คาหลกั ของรากท่ี n ของ x ก็ตอเมือ่ 1. y เปน รากท่ี n ของ x 2. yx ≥ 0 แทนคาหลักของรากที่ n ของ x ดวย n x คณติ ศาสตร (106)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

ขอ สรปุ เกย่ี วกบั รากท่ี 2 ของจํานวนจรงิ 1. รากที่สองของจาํ นวนจริงบวก (A) มี 2 คา คือ 1) รากท่เี ปน บวก ( A ) 2) รากท่ีเปนลบ (- A ) 2. รากท่สี องของจํานวนศนู ย มี 1 คา คือ 0 3. รากทสี่ องของจํานวนจรงิ ลบ ไมสามารถหาคา ได 4. สญั ลักษณแทน รากทสี่ องทเี่ ปนบวกของ 25 คือ 25 = 5 รากที่สองท่เี ปน ลบของ 25 คอื - 25 = -5 5. A เรียกสญั ลกั ษณ วา กรณฑ (Radical) ท่ี 2 อา นวา กรณฑท่ี 2 ทีเ่ ปนบวกของ A หรอื อานวา square root A 6. คา หลกั ของรากที่ 2 ของจํานวนจริงบวก คือ รากที่สองทเี่ ปน บวกของจาํ นวนจรงิ นน้ั ขอ สรปุ เก่ยี วกบั รากที่ 3 ของจาํ นวนจรงิ 1. รากทส่ี ามของจาํ นวนจริง มีเพยี ง 1 คา 2. รากทสี่ ามของจํานวนจริงบวก เปน จาํ นวนจริงบวก รากท่สี ามของจาํ นวนศนู ย เปนศนู ย รากที่สามของจํานวนจรงิ ลบ เปน จาํ นวนจรงิ ลบ 3. สญั ลกั ษณแทน รากทีส่ ามของ 64 คือ 3 64 = 4 รากทสี่ ามของ 0 คือ 3 0 = 0 รากทส่ี ามของ -343 คือ 3 - 343 = -7 4. 3 A เรียก 3 วา กรณฑท่ีสาม อา นวา กรณฑท ี่สามของ A 5. คาหลักของรากท่ี 3 ของจาํ นวนจริง คือ ตวั มันเอง ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับรากท่ี n ทฤษฎบี ทที่ 1 ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว x ⋅ y = xy ทฤษฎบี ทที่ 2 ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว x = xy y ทฤษฎบี ทที่ 3 ถา x และ y มรี ากท่ี n แลว n x ⋅ n y = n xy nx ทฤษฎบี ทที่ 4 ถา x และ y มีรากท่ี n และ y ≠ 0 แลว ny = n xy เลขยกกาํ ลงั ที่มเี ลขช้ีกําลงั เปน จํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมอื่ a เปน จํานวนจริง n เปนจาํ นวนเต็มที่มากกวา 1 และ a มรี ากท่ี n แลว a1/n = n x บทนิยาม ให a เปน จํานวนจริง p, q เปนจาํ นวนเตม็ ที่ (p, q) = 1, q > 0 และ a1/q ∈ R โดยเมอ่ื p < 0 แลว a ตองไมเ ปน 0 ap/q = (a1/q)p โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (107)

การหารากทีส่ องของจาํ นวนท่อี ยูใ นรปู x ± 2 y x + 2 y = ( a + b )2 เมอ่ื y = a × b และ x = a + b x - 2 y = ( a - b )2 เมือ่ y = a × b และ x = a + b ตวั อยา ง จํานวนจริง x ที่เปนคาํ ตอบของสมการ 15 - b = 22 - 2 105 มีคา เทากบั เทาใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ฟง กชันเอกซโ พเนนเชียล (Exponential Function) คอื ฟง กชัน f = {(x, y) ∈ R × R+ | y = ax ; a > 0 and a ≠ 1} 3 3 2 2 1 1 -2 -1 12345 -5 -4 -3 -2 -1 12 0 < a < 1 ฟงกช ันลด a > 1 ฟงกช นั เพ่ิม การแกสมการฟง กชันเอกซโ พเนนเชียล แบบท่ี 1 สมการมี 2 พจน 1. จัดสมการในรูป ax = ay โดยใชสมบตั ขิ องเลขยกกาํ ลัง 2. ถา ax = ay แลว x = y แบบที่ 2 สมการมี 3 พจนข้ึนไป 1. ใชวิธกี ารสมมติ 2. การแกสมการทมี่ ีหลายพจนพยายามถอดตวั รว มออก แบบที่ 3 การแกสมการทต่ี อ งใช Conjugate เขาชวย การแกอสมการฟงกช ันเอกซโ พเนนเชียล อสมการ ฐาน (a) ขอ สรปุ ax > ay 0<a<1 x<y a>1 x>y คณติ ศาสตร (108)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

ฟงกช นั ลอการทิ ึม (Logarithm Function) คอื ฟง กชนั f = {(x, y) ∈ R+ × R|x = ay; a > 0 and a ≠ 1} f = {(x, y) ∈ R+ × R|y = loga x; a > 0 and a ≠ 1} 3 3 2 2 1 1 -3 -2 -1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 0 < a < 1 ฟงกชันลด a > 1 ฟงกชันเพิ่ม ตวั อยางท่ี 1 จงเขยี นสมการแตล ะขอ ตอไปน้ีใหอ ยูในรปู ของลอการิทมึ 3 1) 25 = 32 2) 82/3 = 2 3)  13  = 217 4) 3 = 31   ตัวอยางท่ี 2 จงเขยี นสมการแตละขอตอไปนใ้ี หอ ยูในรปู เลขยกกาํ ลงั 4) log6 6 = 1 1) log10 100 = 2 2) log1 16 = -4 3) log5 1 = 0 สมบัตขิ องลอการิทมึ 1. loga 1 = 0 2. loga 1 = 0 3. logay Mx = xy loga M 4. loga M = logax Mx 5. loga (x ⋅ y) = loga x + loga y 6. loga  xy  = loga x - loga y   7. x logay = y logax 8. a logaM = M llooggcc x 9. loga x = a 10. loga x = log1x a การแกสมการลอการทิ มึ 1. ทําฐานของ log ใหเทา กนั แลวปลด log ออก โดยนําเอาทฤษฎตี างๆ มาใช 2. เม่อื หาคา x มาได จะตอ งพจิ ารณาดว ยวาคา x ทไี่ ดม านน้ั ทําใหส มการเปน จริงหรือไม การแกอ สมการลอการิทึม loga x > loga y 0<a<1 a>1 x<y x>y x>0∧y>0 โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (109)

แบบทดสอบ 1. ถา 4x-y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทา กบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) -2 *2) -1 3) 1 4) 2 2. ถา 6x+y = 36 และ 5x+2y = 125 แลวคาของ x เทา กับขอใดตอไปนี้ 4) 2.5 1) 1 2) 1.5 *3) 2 3. ถา xy = 2 แลว 2(x + y)2 มีคา เทากับขอใดตอ ไปนี้ 2(x-y)2 1) 4 2) 8 3) 64 *4) 256 4. กาํ หนดให x, y > 0 ถา xy = yx และ y = 5x แลว คาของ x อยใู นชว งใดตอไปน้ี 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4) 5. ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลว คา ของ x อยใู นชวงใดตอ ไปนี้ 4) [3, 4) 1) [0, 1) *2) [1, 2) 3) [2, 3) 6. กาํ หนดสมการ  245  x +  295  x = 1 จงพิจารณาขอความตอ ไปน้ี     ก. ถา a เปนคาํ ตอบของสมการ แลว a > 1 4) ก ผิด และ ข ผดิ ข. ถา สมการมคี ําตอบ แลว คําตอบจะมีเพียงคาเดียว ขอ ใดถูก 1) ก ถกู และ ข ถูก 2) ก ถูก และ ข ผดิ *3) ก ผดิ และ ข ถกู 7. ให f : R → R+ ถา f สอดคลองสมการ f(x) - 3f  1x  = 4x สาํ หรับทกุ จาํ นวนจรงิ บวก x แลว ขอ ใด ตอไปน้เี ปน จรงิ 1) ∃x[f(x) > 0] 2) ∃x f(x) + f  1x  > 0   *3) ∃x[(f(x))2 < 8]   4) ∃x  f(x) + f  1x  2 < 9    8. กาํ หนดให x เปน จํานวนตรรกยะท่ีสอดคลอ งสมการ ( 5 - 1)(3 + 5 )x + ( 5 + 1)(3 - 5 )x = 4 ⋅ 2x ถา เขยี น x = mn ในรปู เศษสวนอยา งต่ํา โดยท่ี m และ n เปน จํานวนเต็ม จงหา mn (ตอบ 21 ) 9. คาํ ตอบของสมการ 3x(3x+1) + 3x+1(3x+2) = 2[2x(2x+1) + 2x+1 (2x+2)] อยใู นชวงใด 1) (-1, 0) 2) [-2, -1) 3) (-2, -1] 4) (0, 1] คณิตศาสตร (110)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

10. ถา a, b เปน คาํ ตอบของสมการ 6x - 3x+1 - 2x+2 + 12 = 0 แลว คําตอบของสมการ (ab)2x+1 = (ab + 3)x เทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 2lo-g 3 l7og- 4 3) log518 - 2 *4) log215 - 2 1) log log 3 2) log log 6 11. ให S เปน เซตคําตอบของสมการ 52x + 11 ≤ |12(5x) - 9| ถา a และ b เปนสมาชิกของ S ท่มี ีคา มาก ทสี่ ดุ และนอยทีส่ ุดตามลาํ ดบั แลว a + b เทากบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) log5 15 *2) log5 20 3) 2 4) log5 30 12. เซตคาํ ตอบของอสมการ 2x2(x-3) < 82/3-x เปนสับเซตของเซตในขอ ใดตอ ไปน้ี 1) (1, ∞) 2) (-2, 100) 3) (-10, 10) *4) (-∞, 2) 13. กาํ หนดให A และ B เปนจาํ นวนเตม็ บวก ถา A log50 5 + B log50 2 = 1 แลว A + B เทากบั ขอ ใด ตอ ไปนี้ *1) 2 2) 3 3) 1 4) 2 14. กาํ หนดให a, b, c > 1 ถา loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 แลวคาของ logc d เทากับขอ ใดตอไปน้ี *1) 75 2) 90 3) 120 4) 120 15. จงพิจารณาขอความตอ ไปนี้ ก. ถา (log a)3 = x - 1 และ (log b)3 = x + 1 แลว log(a + b) = 3 x2 - 1 ข. กราฟของ y = x2 และกราฟของ y = 2x ตดั กันเพียงสองจุดเทา นนั้ ขอใดตอไปนถ้ี ูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู *4) ก. และ ข. ผดิ 16. ถา log4x 2x2 = log9y 3y2 = log25z 5z2 แลว logxz (yz) มคี าเทากับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) log 6 2) log 10 *3) log 15 4) log 30 17. ถา xlog y ⋅ ylog z ⋅ zlog x = 1 และ xy ≠ 1 แลว ขอ ใดตอ ไปนผี้ ิด 1) ถา x = y แลว xz2 = 1 *2) ถา x2y = 1 แลว z = x2 3) ถา x = y2 แลว xz3 = 1 4) ถา xy2 = 1 แลว z = x 18. กําหนดให a > 1 และ b, c > 0 ถา a2 + b2 = c2 และ x เปน จํานวนจรงิ ซง่ึ logc+b a + logc-b a = x (logc+b a logc-b a) แลว x มคี าเทาใด (ตอบ 2) 19. รากทมี่ คี า นอ ยที่สุดของสมการ 2log (x-2) ⋅ 2log (x-3) = 2log 2 มคี าเทาใด (ตอบ 4) 20. กําหนด logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 มคี า เทา ใด (ตอบ 6) 21. ผลบวกของคาํ ตอบทัง้ หมดของสมการ log3 x = 1 + logx 9 อยใู นชวงใดตอไปน้ี 1) [0, 4) 2) [4, 8) *3) [8, 12) 4) [12, 16) โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (111)

22. คาํ ตอบของสมการ log 2 (4 - x) = log2 (9 - 4x) + 1 อยูในชว งใดตอ ไปนี้ 1) [-10, -6] 2) [-6, -2) *3) [-2, 2) 4) [2, 6) 23. กาํ หนดให A = {n|n เปน จาํ นวนนบั และ n2+9 = nn3-9} B = {n|n เปน จาํ นวนนบั และ log n = log(n + 1)} ผลบวกของสมาชิกทกุ ตัวในเซต A U B เทากับเทาใด (ตอบ 4) 24. ถา 4 (log x)2 + 9 (log y)2 = 12 (log x)(log y) แลว ขอใดตอไปนี้ถกู 1) y2 = x 2) x2 = y *3) x3 = y3 4) x2 = y3 21x 25. ผลบวกของรากท้งั หมดของสมการ log3 (31/x + 27) = log3 4 + 1 + เทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 0 2) 12 *3) 34 4) 1 26. ถา log2 3 = 1.59 แลวคา ของ x ที่สอดคลอ งกับสมการ 22x+1 ⋅ 32x+2 = 122x เทากับเทาใด (ตอบ 2.09) 27. กําหนดให A = z ∈ R z = xy และ 6 log (x - 2y) = log x3 + log y3  แลว ผลบวกของสมาชิกท้ังหมดใน    เซต A มีคา เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 6 28. ผลบวกของคาํ ตอบของสมการ log2 (4x-1 + 2x-1 + 6) = 2 + log2 (2x-1 + 1) มีคาเทาใด (ตอบ 3) 29. ขอใดตอไปนถ้ี กู ตอ ง *1) log7 3 < log7 3 < log7 10 2) log5 3 < log7 3 < log7 10 3) log7 3 < log7 10 < log5 3 4) log7 10 < log5 3 < log7 3 30. กาํ หนดให A เปน เซตคําตอบของอสมการ log4 log3 log2 (x2 + 2x) ≤ 0 จํานวนเตม็ ท่เี ปน สมาชกิ ของ A มีทัง้ หมดกี่จาํ นวน (ตอบ 3) 31. ถา A = {x|a < x < b} เปน เซตคําตอบของอสมการ log2 (2x - 1) - log4  x2 + 12  < 12 แลว   a + b มคี า เทาใด (ตอบ 2.5) 32. จาํ นวนเต็มทีส่ อดคลอ งกับอสมการ log1/2 [log3 (x + 1)] > -1 มจี าํ นวนเทา กับขอ ใดตอไปน้ี 1) 6 2) 7 *3) 8 4) มากกวา 8 33. กาํ หนดให S เปน เซตคาํ ตอบของอสมการ 4 ⋅ 2log x2 - 9 ⋅ 2(log x/10 + 1) + 2 ≤ 0 ถา a และ b เปน สมาชิกของ S ท่ีมีคามากและคา นอ ยสุด ตามลําดับแลว ab เทา กับขอ ใดตอไปนี้ 1) 20 2) 100 *3) 200 4) 1000 34. เซตคาํ ตอบของอสมการ (4x - 2) ⋅ log (1 - x2) > 0 เปนสับเซตของเซตในขอใดตอไปน้ี 12 -21, 12, *1) -2,  2)  2  3) (0, 10) 4)  20       คณิตศาสตร (112)_____________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

ฟงกชันตรีโกณมิติ (Trigonometry) B 1. sin A = cabacb ; cosec A = acabcb cos A = ; sec A = ca tan A = ; cot A = Ab C 2. cosec A = cssioinn1s AAA , sec A = ccsooin1ss AAA , cot A = tan1 A tan A = , cot A = 3. ถา A + B = 90° แลว 1) sin A = cos B 2) tan A = cot B 3) sec A = cosec B 4. -1 ≤ sin A ≤ 1 -1 ≤ cos A ≤ 1 5. sin2 A + cos2 A = 1 sec2 A - tan2 A = 1 cosec2 A - cot2 a = 1 วงกลมหน่ึงหนวย (the unit circle) 1. x = cos θ , y = sin θ (0, 1) π2 , 90° 2. ตาราง มุม θ° (เรเดียน) ฟงกช นั π, 180° (-,S+) (++, +) มุม (+) 30°  π6  45°  π4  60°  π3  (-1, 0) 0(1°, 0) sin       (-,T-) (+,C-) มมุ (-) cos 12 1 = 2 3 2 2 2 (0, -1) 32π , 270° 3 1 = 2 12 2 2 2 tan 1 = 3 1 3 3 3 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (113)

3. cos (-A) = cos A sec (-A) = sec A sin (-A) = -sin A cosec (-A) = -cosec A tan (-A) = -tan A cot (-A) = -cot A สูตรเอกลักษณต รีโกณมติ ิ 1. sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B cos (A ± B) = c1otsamnAtaAnco±AstaBtannmBBsin A sin B มุมบวก/ลบกัน tan (A ± B) = 2. sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A 1 + tan2 A cos 2A = = cos2 A - sin2 A = 2 cos2 A - 1 มมุ 2 เทา = 1 - 2 sin2 A 1 - tan2 A tan 2A = 1 2+ ttaann2AA 1 - tan2 A 3. sin A2 = ± 1 - c2os A cos A2 = ± 1 + c2os A ครงึ่ มุม tan A2 = ± 11 - ccooss AA + 4. sin 3A = 3 sin A - 4 sin3 A cos 3A = 4 cos3 A - 3 cos A มุม 3 เทา 3 tan A - tan3 A tan 3A = 1 - 3 tan2 A 5. 2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A - B) 2 cos A sin B = sin (A + B) - sin (A - B) ฟงกช นั คณู กัน -2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A - B) คณติ ศาสตร (114)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

6. sin A + sin B = 2 sin  A 2+ B  cos  A 2- B      sin A - sin B = 2 cos  A 2+ B  sin  A 2- B  ฟงกชนั บวก/ลบกัน     cos A + cos B = 2 cos  A 2+ B  cos  A 2- B      cos A - cos B = -2 sin  A 2+ B  sin  A 2- B      7. คาของฟงกชันตรีโกณมิตขิ องมุมที่นา สนใจ ฟงกช ัน 15° มุม θ° (เรเดยี น) 22 21 ° sin θ 36° 72° 21 2 - 2 cos θ 3 -1 21 2 + 2 22 10 - 2 5 10 + 2 5 tan θ 3 +1 4 4 2- 2 22 5 +1 5 -1 2+ 2 3-1 4 4 หรือ 3 - 1 3 +1 หรือ 2 - 3 10 - 2 5 10 + 2 5 5 +1 5 -1 อัตราสว นตรโี กณมิตขิ องรปู สามเหล่ยี มทไี่ มใ ชส ามเหลย่ี มมุมฉาก 1. Law of cosine C ba a2 = b2 + c2 - 2bc cos A cos A = b2 +2cb2c- a2 cos B = c2 +2aa2c- b2 AcB b2 = c2 + a2 - 2ac cos B cos C = a2 +2ba2b- c2 c2 = a2 + b2 - 2ab cos C 2. Law of sine sina A = sinb B = sinc C sina A = sinb B = sinc C พน้ื ที่ ∆ = 12 ab sin C = 12 ac sin B = bc sin A 21 โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (115)

ตวั ผกผันของฟงกชันตรโี กณมติ ิ โดเมน เรนจ ฟงกชัน x ∈ [-1, 1] y ∈ - π2, π2  y = arcsin x  y = arctan x x∈R y ∈  - π2 , π2    y = arccosec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈ - π2, 0  U  0, π2    y = arccos x x ∈ [-1, 1]  y = arccot x x∈R y ∈ [0, π] y = arcsec x x ∈ (-∞, 1] U [1, ∞) y ∈ (0, π) y∈ 0, π2  U  π2 , π    ตวั อยา งท่ี 1 จงหาคาของ 12 1) arcsin (0) = .................... 2) arcsin   = ....................   3) arccos  22  = .................... 4) arccos  - 23  = ....................   = ....................  = ....................     5) arcsin  -12  6) arctan (-1)   ตวั อยางท่ี 2 จงเตมิ ชองวางใหถูกตอง 21 1) arcsin   = arccosec .......... = arccos ..........   2) arccos  -53  = arcsec .......... = arccot ..........   3) arctan  152  = arccot .......... = arcsec ..........   ตวั อยางที่ 3 จงเติมชองวางใหถูกตอ ง 1) sin  arcsin  21   = .................... 2) sin  arcsin  23   = .................... = ....................     3) sin (arctan (2))   4) sec (arccosec ( 2 )) = .................... 5) cos  arcsin  - 22   = .................... 6) arccos  tan -54π  = ....................         ตวั อยางท่ี 4 จงเตมิ ชองวา งใหถ ูกตอ ง 1) sin  arcsin 1123 + arcsin 54  = .................... 2) sec  2 arcsin 1  = ..................   3     คณิตศาสตร (116)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

แบบทดสอบ 1. ถา 1 – cot 20° = x แลว x มคี า เทาใด (ตอบ 2) 1 - cot 25o 2. ถา cos θ - sin θ = 5 แลวคาของ sin 2θ เทากับขอใดตอ ไปน้ี 1) 143 3 193 *3) 94 2) 4) 193 3. ถา ssiinn AB = 2 และ ccooss AB = 1 แลว tan2 B มคี า เทากบั ขอใดตอ ไปนี้ 3 2 1) 4 *2) 23 3) 1 4) 32 4. ถา sin 15° + sin 55° = x และ cos 15° + cos 55° = y แลว (x + y)2 - 2xy เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี *1) 4 cos2 20° 2) 2 cos2 20° 3) 4 cos2 40° 4) 2 cos2 40° 5. ถา sin2 3A − cos2 3A = 2 แลว cos 2A มคี าเทากับขอ ใดตอ ไปน้ี sin 2 A cos2 A *1) 14 2) 12 1 1 3) 2 4) 3 6. คา ของ sin 30o − cos 30o เทากับขอใดตอไปนี้ sin 10o cos10o 1) -1 2) 1 *3) 2 4) -2 7. ถา (sinθ + cos θ)2 = 32 เม่อื 0 ≤ θ ≤ π4 แลว arcos(tan 3 θ) มคี าเทาใด (ตอบ 0) 8. ถา arcsin (5x) + arcsin (x) = π2 แลว คา ของ tan (arcsin x) เทา กบั ขอใดตอไปนี้ *1) 51 2) 31 4) 21 3) 1 3 9. ให -1 ≤ x ≤ 1 เปน จาํ นวนจริงซง่ึ arccos x - arcsin x = 25π52 แลว คา ของ sin 25π52 เทากับขอใด ตอ ไปนี้ *2) 1 - 2x2 3) 2x2 - 1 1) 2x 4) -2x 10. ถา arccos x - arcsin x = π6 แลว arccos x - arctan 2x มคี าเทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 1π2 2) 51π2 3) 71π2 4) 1112π 11. sec  12 arcsin 53 + arccos 53  + tan  12 arcsin 54 + arccos 54  มีคาเทากับขอใด     1) 2 2) 3 *3) 1 + 2 4) 2 + 3 โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (117)

12. กําหนดให arccos 54 + arcsin 1132 + x = π2 แลว tan x มคี าเทา กบั เทา ใด 1) 1663 2) 663 *3) - 1663 4) - 663 34 13. คา ของ sin  arctan  + cos  2 arcsin 53  เทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี  2    1) 1 + 265 2) 1 + 265 *3) 1 + 275 4) 1 + 275 10 3 10 3 14. ถา arctan x = arctan 14 - 2 arctan 12 แลว sin (180° + arctan x) มีคา เทากับขอ ใด 13 16 13 16 *1) 5 17 2) 5 17 3) -5 17 4) -5 17 15. ถา a และ b เปน คาํ ตอบของสมการ sin (2 arcsin x) = x โดยที่ a ≠ 0, b ≠ 0 และ a ≠ b แลว |sin arctan (ab)| เทา กับเทา ใด (ตอบ 0.6) 16. ให A เปนเซตคําตอบของสมการ cos (2 arcsin x) + 2 = 4 sin2 (arccos x) ขอ ใดตอ ไปนีค้ ือ ผลคณู ของ สมาชกิ ในเซต A 1) - 14 *2) - 12 3) 14 4) 12 17. -sin2 1° + sin2 2° - sin2 3° + … - sin2 89° + sin2 90° มคี า เทา กับเทา ใด (ตอบ 0.5) 18. กาํ หนดให 0° < α < 30° ถา sin2 (7α) - sin2 (5α) = sin (2α) sin (6α) แลว α เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ *1) 10° 2) 15° 3) 20° 4) 25° 19. กาํ หนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มซึ่งมี 2 sin A + 3 cos B = 4 และ 3 sin B + 2 cos A = 1 คา ของ sin C เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 61 *2) 31 3) 21 4) 1 20. พจิ ารณาขอ ความตอ ไปน้ี เม่ือเอกภพสัมพัทธคือเซตของจาํ นวนจริง 12 ก. ∃x(cot 2x - cot x = 0) ข. ∀x sin4 x + cos4 x = 1 - sin2 2x    คา ความจรงิ ของขอความ ก. และขอ ความ ข. เปน ไปตามขอ ใดตอไปนี้ 1) ก. เปนจรงิ และ ข. เปน จริง 2) ก. เปนจรงิ และ ข. เปนเทจ็ *3) ก. เปนเท็จ และ ข. เปนจริง 4) ก. เปนเทจ็ และ ข. เปน เทจ็ 21. กาํ หนดให x ∈ [ 0, 4π ] เซตคําตอบของสมการ cos x = 3 (1 - sin x) คอื ขอ ใดตอไปน้ี 56π 136π 56π 136π 1)  π6 , ,  2)  , π2 ,          *3)  π6 , π2 , 136π , 52π  4)  π6 , 56π , π2 , 54π      คณิตศาสตร (118)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

22. กําหนดให ABC เปนรปู สามเหลย่ี มท่ีมีดา น AB ยาว 2 หนว ย ถา BC3 + AC3 = 2BC + 2AC แลว cot C มคี าเทา กบั เทาใด 1 2) 21 *1) 3 3) 1 4) 3 23. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลยี่ มทมี่ มี มุ A เทา กับ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คา ของ cos 2B เทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 14 2) 21 3) 3 *4) 34 2 24. ถา A(1, 2) , B(4, 3) และ C(3, 5) เปน จุดยอดของสามเหล่ยี ม ABC แลว sin B2 มีคาเทากบั ขอใดตอไปนี้ 1 / 2 1 / 2 12  50 - 1 12  50 + 1 1)  50  2)  50       50 + 1 1 / 2  50 - 1 1 / 2   2 50 3)  2 50  *4)     25. รูปสามเหลยี่ ม ABC มี a, b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมมุ A, Bและ C ตามลาํ ดบั 14 ถา cos B = และ (a +b + c)(a - b + c) = 30 แลว ac มคี าเทา กับขอ ใดตอ ไปนี้ *1) 12 2) 20 3) 250 4) 430 26. กาํ หนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยม ซ่ึงมี ACˆB = 60° ลากเสน ตรงจากจุด A ไปพบดาน BC ที่จุด D โดย ทําให BAˆD = 30° ถาระยะ BD ยาว 3 หนวย และระยะ AD ยาว 2 หนวยแลว ระยะ CD ยาวเทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 43 2) 53 3) 76 *4) 86 3 3 9 9 27. นายดํายืนอยูบนสนามแหงหนงึ่ มองเห็นยอดเสาธงเปน มุมเงย 60° แตเมื่อเขาเดินตรงเขาไปหา เสาธงอีก 20 เมตร เขามองเห็นยอดเสาธงเปนมมุ เงย 75° ในขณะที่เขามองเห็นยอดเสาธงเปน มมุ เงย 60° น้ันเขายนื อยูห า งจากเสาธงเทา กบั เทา ใด 32 21 1) 10  2 + 3  2) 10  2 + 3  3) 10(2 + 2 3 ) *4) 10(2 + 3 )     28. ให A, B และ C เปนจุดยอดของรปู สามเหล่ียม ABC และ Aˆ < Bˆ < Cˆ โดยท่ี tan A ⋅ tan B ⋅ tan C = 3 + 2 3 และ tan B + tan C = 2 + 2 3 พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ ข. Cˆ = 51π2 ก. tan C = 2 + 3 ขอ ใดตอ ไปนถี้ กู *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (119)

29. ให θ เปนจํานวนจรงิ ซึง่ สอดคลอ งกับสมการ 1 + 1 + 1 + 1 = 7 แลว tan2 2θ tan2θ cot2θ sin2θ cos2θ มคี า เทา ใด (ตอบ 8) 30. พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. tan 14° + tan 76° = 2 cosec 28° 54 31, ข. ถา x > 0 และ sin (2 arctan x) = แลว x ∈  3    ขอ ใดตอไปนถ้ี ูกตอ ง 4) ก. และ ข. ผิด *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ผิด และ ข. ถูก 3) ก. ถกู และ ข. ผดิ 31. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลีย่ มซงึ่ มดี านตรงขา มมมุ Aˆ , Bˆ และ Cˆ ยาว 2a, 3a, 4a ตามลาํ ดบั ถา sin A = k แลว cot B + cot C มีคา เทา กับขอ ใดตอไปนี้ 1) 61k 2) 6k *3) 31k 4) k3 คณติ ศาสตร (120)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

เวกเตอร (Vectors) บทนิยาม ปรมิ าณทม่ี แี ตขนาดเพยี งอยา งเดียว เรียกวา ปริมาณสเกลาร (scalar quantity) สว นปริมาณ ที่มีทัง้ ขนาดและทศิ ทางเรียกวา ปริมาณเวกเตอร (vector quantity) หรอื เรยี กสัน้ ๆ วา เวกเตอร การเขยี นสญั ลักษณแทนเวกเตอร เวกเตอรจาก A ไป B อา นวา เวกเตอร เอบี เขยี นแทนดว ย 1) รูปเรขาคณิต B A 2) AB (เรียก A วา จุดเริ่มตน (initial point) เรยี ก B วา จุดสิ้นสุด (terminal point) ของเวกเตอร) 3) ถAา Bพกิ=ดั ขyxอ22ง--Ayx1เ1ปน=(x(1x,2 y1) และ B เปน (x2, y2) แลว - x1) vi + (y2 - y1) vj 4) ถาพิกัดของ A เปน (x1, y1, z1) และ B เปน (x2, y2, z2) แลว x2 x1  -  x1) vi y1) vj z1) vk   AB =  y2 y1  = (x2 - + (y2 - + (z2 -  -  เมื่อ vvvkijzเเเ2ปปป-นนน เเเzววว1กกกเเเตตตอออรรร 1 หนว ย ในทศิ +x 1 หนว ย ในทิศ +y 1 หนวย ในทศิ +z ขนาดของเวกเตอร | AB| แทน ความยาวของสวนของเสนตรง AB หรอื BA หรอื ขนาดของเวกเตอรนนั่ เอง 1) ถา AB = a vi + b vj แลว | AB | = a2 + b2 2) ถา AB = a vi + b vj + c vk แลว | AB | = a2 + b2 + c2 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (121)

การเทา กัน vvuuแลแ=ะลนvะvเิ สvvธกขต็ ขออนงเามเวน่อื กกเเันวตกอกเร็ตต ออเรมท่ือั้งสเอวกงเมตขีอนรทาด้งั สเทอางกมันีทศิ แทลาะงทเศิดทียาวงกเันดียหวรกอื ันทศิ ทางตรงกันขา ม บทนิยาม a1 ab22 บทนยิ าม b1 ถา   =  แลว a1 = a2 และ b1 = b2       ถา a1  = a2  a1 = a2 และ b1 = b2 และ c1 = c2 b1  b2        c1  c2    vu (negative vu ) vu เขยี นแทนดวย ตรงกันขบาทมนกิยับาทมิศทานงเิ สขธอขงอvuง -ovuf คอื เวกเตอรท ่มี ขี นาดเทา กับขนาดของ แตม ที ิศทาง - vu a  -a  -a vi - b vj หรอื - vu a   -a  = -a vi - b vj - c vk = = -b = = b  = --cb -  b - c    เวกเตอรศนู ย (zero vector) 000 คือ เวกเตอรทม่ี ีขนาดเปน 0 เขยี นแทนดว ย v0 = 0 หรอื v0 = 0   การบวกเวกเตอร ♥ เชงิ เรขาคณิต vu vv vu + vv vv vu vu vv vv + vu ♥ เชงิ พีชคณิต ab11  + ab22  = ab11 + a2  = (a1 + a2) vi + (b1 + b2) vj   + b2     a1  +  a2  = cab111 + a2  = (a1 + a2) vi + (b1 + b2) vj + (c1 + c2) vk b1   b2  + b2      + c2       c1  c2      คณติ ศาสตร (122)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

การลบเวกเตอร หมายถงึ การบวกเวกเตอรดวยนิเสธการบวกของเวกเตอรตัวลบ เชน vu - vv = vu + ( vu - vv ) ♥ เชิงเรขาคณติ vu -vu vu vv -vv u - vv = vu + (-vv) - vv ♥ เชิงพีชคณติ ab11  -  a2  =  a1 - a2  = (a1 - a2) vi + (b1 - b2) vj   b2   b1 - b2       a1  a2  = cab111 - a2  = (a1 - a2) vi + (b1 + b2) vj + (c1 - c2) vk b1  b2  - b2      - c2    -     c1  c2     การคณู เวกเตอร 1. การคณู เวกเตอรด วยสเกลาร kใ♥♥♥ห cabเถถถvuชาาา น≠=aaa-=v20<>kkk30bacvuvuแ00แลคแแลคะอืลลวอื เเaววเวชaวกนเaaกvuปเเvvตuuนตอ=จอ5รคคํารทvืออืน0ท132ี่มวี่มเเทีนววีทิศจ=กกิศรทเเตตติงารออง555งรรเขดทท×××าียีม่่มี ม132วีทีทกกศิิศบัับทต=เเวราวกงงกเข11เเดต5ต05ายีอมอวรกรกับับvuvuvuvuแแลลแแะะลมลมะีขะีขมมนนีขขีาานดนดาเาเดปปดเนนทเทา 32ากกบัเเบัททา|าaaขข|ออเเทงทงเาเาววขขกกออเเงตงตออvuvรuร vuvu ทฤษฎีบทที่ 1 ใvuห vu ≠ v0 vvแแvvลล=ะะกต็v0vvvvอเแ≠≠มลื่อว vv00มaจี แาํ=ลนะ0วนแvuจลระไิงมbขaน=≠า0น0กบัซง่ึ ทvvาํ ใจหะ ไดvuว า= a vv ทฤษฎีบทที่ 2 ให ขavuนvuา≠น+กv0bับ ถา โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (123)

เวกเตอรหน่ึงหนวย (unit vector) คอื เวกเตอรท ่ีมขี นาดหนงึ่ หนวย เวกเตอรห นง่ึ หนวยท่ีมีทศิ ทางเดยี วกบั เวกเตอร vu คอื เวกเตอร -|vvuu||vvuu| vu คือเวกเตอร เวกเตอรห นึ่งหนวยท่ีมที ศิ ทางเดียวกบั เวกเตอร เชน กาํ หนดให vu = 3 vi - 4 vj - vk จะได | vu | = 33v2i + 44vj2 + vk(-1)2 = 26 ดังนัน้ เวกเตอรห นึง่ หนว ยทมี่ ีทศิ ทางเดยี วกับ vu คือ คือ - - 3 vi 4 vj 1 vk 26 26 26 26 หรือ - - 2. การคณู เวกเตอรดว ยเวกเตอร (ผลคูณเชิงสเกลาร (dot product)) vu ⋅ vv = a1  a2  = a1a2 + b1b2 + c1c2 b1  b2      ⋅   ||vuvvuu⋅ vv vvv=v |cvu1|| vuvvvu||c|222c+-os22θvuvuเ⋅ม⋅ vอ่ืvvv θ เ||ปvvนvvม||มุ22ระหวาง vu และ vv เมอ่ื vu และ vv มีจุดเรม่ิ ตน เดยี วกนั + |2 = | - |2 = | + + 21ส..มบใใ♥♥♥♥♥♥♥หหตั ิทavuvuvvvvvv่สีuuu0ii(าํ,,vu⋅⋅⋅⋅⋅⋅คvvv(vvvvvvัญuu⋅vijvvvเขvแป=====อ+ล)น งะ0=vvvvuเkviwผvว2wก(ลv⋅⋅⋅a)เค=ตvvvkukvu=ูณเอ|ป)ร==เvu⋅นvuทชเvไ่ีิงvvv|⋅วjjมส2กvใv⋅⋅เ=ชเกตเvvkj+ลวอvuการ==เvuร⋅ใตด(10อa⋅ๆรvvwvศ )ูนย เวกเตอร vu ตงั้ ฉากกบั เวกเตอร vv กต็ อเม่อื vu ⋅ vv = 0 คณติ ศาสตร (124)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

3. กvuาร×คณู vvเวอกา เนตวอารดเววกยเเตวอกรเยตู อครร อ(ผสลเควูณกเเตชองิ รเววีก(หเตาอไดรเ ฉ(cพrาoะsเsวกpเตroอdรu 3ctม))ิตเิ ทา น้ัน) vu a1  vv a2  vu × vv a2b3 - a3b2     ถา = b1 , = b2 แลว = a3b1 a1b3      -      c1  c2  a1b2 a2b1    -  vu × vv = a2 a3 vi + a3 a1 vj + a1 a2 vk b2 b3 b3 b1 b1 b2 vv | vu × vv | = พแ|ล้ืนvuะท|ร่ี |vvูปvvสเี่เ|ปหนลsดiย่ี nามนθดขาอนงขรนปู าสนเี่ ทหมี่ลียี่ vuมน้ัน vu = vr ให vu , vv , vr เปน ดา นของทรงสีเ่ หลีย่ มดา นขนานแลว vv ปรมิ าตรของสี่เหลยี่ มดา นขนานทรงตัน = | vu ⋅ ( vv × vr )| vu a1   โคไซนแสดงทศิ ทาง (Direction Cosines) ถากาํ หนดจุด P(a1, a2, a3) จะได OP = a2  a3    cos α = a12 a1 a 23 , cos β = a12 a2 a 23 , cos γ = a3 + a22 + a22 a12 + a22 + a23 + + α, β, γ คือ มมุ ท่ี OP ทํากบั แกน x, y, z ตามลําดบั เรียก cos α, cos β, cos γ วา “โคไซนร ะบทุ ศิ ทางของ OP ” โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (125)

แบบฝกหดั 1. กาํ หนดให ABC เปน สามเหล่ยี มใดๆ และ E เปนจุดท่ีทาํ ให CE = 2 BA ถา BE = a CB + b CA เม่ือ a, b เปนคา คงตวั แลว b - a คือคา ในขอใด 1) -1 2) 2 3) 3 *4) 5 2. กําหนดให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมสี มบตั ิวา 5| AB | = | BC | + |CA | ถา M และ N เปน จุดแบงครง่ึ ดา น BC และ AC ตามลาํ ดบั แลว พจิ ารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. MN = 12 ( BC - AC ) ข. AM ⋅ BN = 0 ขอ ใดถกู 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 3. กาํ หนดให ABC เปน รูปสามเหลีย่ มทีม่ ี D เปน จดุ บนดา น AC และ F เปนจดุ บนดาน BC ถา AD = 14 AC , BF = 13 BC และ DF = a AB + b BC แลว ba มคี าเทา ใด (ตอบ 9) 51 AD และ N เปนจุด 4. กาํ หนดให ABCD เปนรปู ส่เี หล่ยี มดา นขนาน, M เปน จุดบนดา น AD ซ่ึง AM = เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี AD แลว a + b 1 บนเสน ทแยงมุม AC ซึง่ AN = 61 AC ถา MN = a AB + b *1) 122 2) 51 3) 13 4) 5. ให A, B และ C เปน จดุ ยอดของรปู สามเหลย่ี มใดๆ พิจารณาขอความตอ ไปนี้ ก. AB + BC + CA = v0 ข. (BC)2 ≤ (CA)2 + (AB)2 ขอ ใดถูก 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด 6. กําหนดให ABC เปนรปู สามเหลี่ยมดา นเทา และ D เปน จุดบนดา น DC ซง่ึ ทาํ ให | BD | : | BC | = 1 : 3 พจิ ารณาขอ ความตอไปน้ี ก. 3AD = 2AB + BC ข. AD ⋅ BC = - 16 | BC |2 ขอ ใดถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด *3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 7. ให A, B และ C เปน จดุ สามจุดทไ่ี มอ ยูบ นเสนตรงเดียวกัน และ D เปนจุดบนเสนตรง BC ทที่ าํ ให BD : DC = 2 : 1 ถา | AD |2 = a| AB |2 + b| AC |2 + c| AB⋅AC | โดยท่ี a, b และ c เปนจาํ นวนจรงิ และ AB ⋅ AC ≠ 0 แลว a2 + b2 + c2 มีคา เทากบั ขอ ใด 1) 3811 2) 3821 3) 1207 *4) 2171 คณิตศาสตร (126)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

8. ให vu = vi + 3vj , vv = 2vi + vj ถา θ เปน มมุ ระหวา ง ( vu + vv ) และ ( vu - vv ) แลว cos θ มคี าเทากบั ขอใด 1 2 3) 51 4) 52 *1) 5 2) 5 9. ถา | vu + vv | = 5 2 และ | vu - vv | = 26 แลว vu ⋅ vv เทากับขอใด 1) 3 *2) 6 3) 8 4) 12 10. ถา vu และ vv ทาํ มุมกัน 60° และ | vu + vv | = 37 , | vu - vv | = 13 แลว | vu | + | vv | มีคาเทา กบั ขอใด 1) 5 *2) 7 3) 37 4) 50 พิจาขกร..ณถถาขาาอ ||ค2vuวvuา|มต+=อ |vไvปvv|น|้ี=เ≠ม|่อื vvv0vu|แแแลลลว ว ะ(|vuvvvu-เ|ป⋅นvv(เ)vuว(กvuเ+ต+อvvรv)v 11. ) = 0 = 0 ขอ ใดตอไปนถ้ี กู ตอ ง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด vvvu และ vv เปน เวกเตอรท ม่ี ขี นาดหนึง่ หนว ย vu + 2 vv ตัง้ ฉากกับเวกเตอร 2 vu vv 12. กแําลหว นดvuให⋅ เทากับขอใดตอไปน้ี ถาเวกเตอร + *1) - 54 2) 0 3) 51 4) 53 13. กvuาํ ห-กน.ดvvใ|หvuพ vจิu|า=รแณล|าะvvขอv|vควเปามน ตเวอ กไเปตนอ้ี รท ี่ไมเทากบั เวกเตขอ.รศvuูนย+ซึ่ง2 vu ตั้งฉากกับ vv และ vu + vv ตง้ั ฉากกับ vv ต้ังฉากกับ 2 vu - vv ขอ ใดตอ ไปน้ีเปน จริง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผดิ กาํ หนดให vu vv vu vv vu + 3 vv 14. แลว เวกเตอร 5แลvuะ - vvเปมนีขเวนกาเดตเอทราท กม่ี บั ีขขนอ าใดดหตนอง่ึ ไหปนนว ้ี ย ถา เวกเตอร 3 + ตัง้ ฉากกับเวกเตอร 1) 3 หนวย 2) 3 2 หนวย 3) 4 หนว ย *4) 4 2 หนว ย 15. กําหนดให vu และ vv เปน เวกเตอรซึง่ | vu ⋅ vv | ≠ | vu || vv | ถา a(vr − 2ur) + 3ur = b(2ur + vr) แลวคา ของ a อยใู นชว งใดตอไปนี้ 12 12, 23 32, 1) 0,  *2)  1  3) 0,  4)  1        โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (127)

16. กําหนดให vu และ vv ไมเ ปนเวกเตอรและ | vu + vv | = | vu - vv | ถา | vv | = 1 | vu | เปนมมุ ระหวา งเวกเตอร vu + vv และเวกเตอร vu - vv เทา กับขอ ใดตอ ไปนี้ 3 17. 1) ⋅3Ar0rB,° rB rBแล⋅ะCrCr+ เปCrน⋅เวAr2ก)เตม4อคี 5รา° เซทง่ึ าก|บั Arขอ|ใ=ดต3,อ|ไปrBน*3|้ี ) 60° | Cr | = 1 ถา 4Ar) 9+0°rB + 4 Cr = r0 แลว ใArห + = 2 และ 18. *1) - 52 P(-8, 5), 2) -1 R(1, -7) 3) 0 ถา vv = a 4) + 21 vj (a, b เปนจํานวน กําหนดให Q(-15, -19), เปนจดุ บนระนาบ vi b จรงิ ) เปน เวกเตอรซ งึ่ มที ศิ ทางขนานกบั เสนตรงซึ่งแบงครง่ึ มมุ QPˆR แลว ab มคี า เทา กับขอ ใดตอ ไปนี้ 3) 121 *4) - 121 19. 1) 2 vu = 3vi + 2) -2 wv = avi + bvj โดยที่ wv มที ศิ ทางเดียวกนั กบั vu และ | wv | = 10 กําหนดให 4vj ถา แลว a + b เทา กบั เทา ใด (ตอบ 14) กแลาํ หะนvuดใหต้งั ฉvuา,กกvvับแvvละถwาvθเปเปนน เวมกุมเรตะอหรวทาี่สงอดvuคลแอ ลงะกบั wvสมแกลารวคvuาข+อง5 vv 2 wv v0 โดยที่ vu = 3 vi + 4vj 20. | wv- |cos = เทา กบั เทาใด (ตอบ 2.5) θ 21. ถา vvn = n1 vi + 1 - 1 vj เมื่อ n = 1, 2, 3, ..., 99 แลว คา ของ 99 | vvn +1 - vvn | อยูในชวงใด n2 ∑ n=1 1) (1, 1.2) 2) (1.2, 1.4) *3) (1.4, 1.6) 4) (1.6, 1.8) 14 35 14 22. กาํ หนดใหเ วกเตอร  ต้งั ฉากกับเวกเตอร -8a  และ  = b  + c -8a  ถา θ เปนมมุ ระหวา ง      0a    cb เวกเตอร  และ  แลว cos2 θ เทา กับเทาใด (ตอบ 0.8)   23. กําหนดทรงส่เี หลย่ี มดา นขนาน มจี ุดยอดอยูท่จี ุด O(0, 0, 0), A(1, 5, 7), B(2a, -b, -1) และ C(a, 3b, 2) โดยท่ี a และ b เปน จํานวนเตม็ ถา OA ต้งั ฉากกบั ฐานทปี่ ระกอบดว ย OB และ OC และ θ เปนมมุ ระหวาง OB และ OC แลวขอใดตอไปน้ีถูก 5 1) sin θ = 37 2) |OB ||OC | = 21 53 2 3) พ้ืนท่ฐี านของทรงส่เี หลีย่ มดา นขนานเทา กับ ตารางหนวย *4) ปริมาตรของทรงสีเ่ หลย่ี มดานขนานเทา กบั 75 ลกู บาศกห นวย คณติ ศาสตร (128)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

24. กําหนดให wvvuvv = vi + 3+xvkvkvj ถา vu , vv และ = 2 3j vi+ เ-ม่ือvk x เปนจํานวนจรงิ =wv - 1) อยูในระนาบเดียวกัน แลว x มคี า เทา ใด ให -12 2vk2) -8 - 33)bv8j *4) 16 25. vu = avi + bvj + =a และ vv = 2avi โดยท่ี a, b เปนจํานวนเต็มบวก และ θ เปนมุม ระหวาง vu และ vv ถา | vu | 3124))แล--ว 162vivuvi × vv มคี า เทา กบั ขอใดตอไปนี้ 162vivi ++8v4jvj --1100vkvk =3 และ cos θ = --8v4jvj ++1100vkvk *1) 3) ———————————————————— โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (129)

จํานวนเชิงซอน (Complex) 1. จาํ นวนเชงิ ซอน เซต C = {(a, b)| a, b ∈ R} จะเรียกวา เซตของจาํ นวนเชิงซอน ก็ตอเม่ือสําหรบั ทกุ ๆ สมาชกิ (a, b) และ (c, d) ใน C 1. (a, b) = (c, d) กต็ อเมอ่ื a = c และ b = d 2. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 3. (a, b) ⋅ (c, d) = (ac - bd, ad + bc) จาํ นวนเชงิ ซอ น (a, b) นยิ มเขยี นแทนดว ย a + bi เรียก a วา สว นจรงิ และเรียก b วา สวนจนิ ตภาพ ขอ สังเกต 1. c(a, b) = (ca, cb) 2. i2 = -1, i3 = -i, i4 = 1 สงั ยคุ ของจํานวนเชงิ ซอน กําหนดใหจ ํานวนเชงิ ซอน z = a + bi นิยามสังยุคของ z แทนดวย z คอื z = a - bi สมบตั ิ 1. (a + bi)(a - bi) = a2 + b2 2. z1 + z2 = z1 + z2 3. z1 - z2 = z1 - z2 4. z1 ⋅z2 = z1 ⋅ z2 5. zZ21 = zz21 โดยท่ี z2 ≠ 0 6. z + z = 2Re(z) เมื่อ Re(z) คอื สวนจริงของ z 7. z - z = 2Im(z) เมอ่ื Im(z) คือ สว นจินตภาพของ z 8. z = z คณิตศาสตร (130)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

คา สัมบูรณข องจาํ นวนเชิงซอ น a2 + b2 กาํ หนดใหจ ํานวนเชิงซอน z = a + bi นิยามคาสมั บูรณข อง z แทนดวย |z| คอื |z| = สมบัติ 1. z z = |z|2 2. |z| = |-z| 3. |z1z2| = |z1||z2| 4. zz21 = zz21 , z2 ≠ 0 5. |z-1|= |z|-1 6. |z| = | z | 7. |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| 8. |z1 - z2| ≥ ||z1| - |z2|| 2. จํานวนเชิงซอนในรูปเชงิ ขว้ั ให z = a + bi โดยที่ z ≠ 0 และ θ เปน มุมบวกที่เลก็ ที่สุดซึ่ง tan θ = ba จะไดว า รปู เชิงข้วั ของ z คอื z = |z|(cos θ + i sin θ) เรียก θ วา อารก วิ เมนต (argument) ของ z การคณู และการหารจาํ นวนเชิงซอนในรปู เชิงข้ัว กําหนดให z1, z2 เปนจาํ นวนเชิงซอ นท่ีไมใชศนู ย โดย z1 = |z1|(cos θ1 + i sin θ1) และ z2 = |==z2||||(zzzc211o|||s|θ(zc22o|+s(c(θio1ss(i-θn1θθ+22))θ+จ2ะ)iได+sวiniา(sθin1 1. zzz112z2 (θ1 + θ2)) 2. - θ2)) 3. z1n = |z1|n (cos nθ1 + i sin nθ1) การแกสมการจาํ นวนเชิงซอ น สําหรบั จาํ นวนเชิงซอน z = |z|(cos θ + i sin θ) เม่ือ n ≥ 2 จะไดวา n z = n |z|  cos θ +n2kπ  + i sin  θ +n2kπ   เมอ่ื k = 0, 1, 2, ..., n - 1       กาํ หนดให f(x) = anxn + an-1 xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ a0, a1, a2, ..., an ∈ R และ an ≠ 0 จะไดว า ถา f(z) = 0 แลว f( z ) = 0 ดวย นนั่ คือ ถา z เปน คาํ ตอบของสมการแลว z จะเปนคําตอบของสมการดวย โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (131)

แบบฝก หัด 1. กําหนดให S เปนเซตคําตอบของสมการ z2 + z + 1 = 0 เมอื่ z เปน จํานวนเชงิ ซอ น เซตในขอใดตอ ไปน้ี เทา กับเซต S 1) {-cos 120° - i sin 60°, cos 60° + i sin 60°} 2) {cos 120° + i sin 60°, -cos 60° + i sin 60°} 3) {-cos 120° - i sin 120°, -cos 60° + i sin 60°} 4) {cos 120° + i sin 120°, -cos 60° - i sin 60°} 2. คกําา หขอนงดใ|หz 1z|12แ+ละ|zz22|เ2ปเนทจาํากนับวขนอ เใชดิงตซอ อ ไนปซนง่ึ ้ี |z1 + z2|2 = 5 และ |z1 - z2|2 = 1 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 3. กาํ หนดให z เปนจํานวนเชิงซอ นทสี่ อดคลอ งกบั สมการ z4 + 1 = 0 คาของ z + 1z 2 เทา กบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 4. คกําาหขอนงดใ|หz 1|z12,z+2 |zเป2|น 2จาํ นเทวา นกเบัชขงิ ซออใดนตซอ่ึงไป|นz้ี 1 + z2| = 3 และ z1 ⋅ z2 = 3 + 4i 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 5. กาํ หนดให z เปน จาํ นวนเชงิ ซอนท่สี อดคลองกบั z3 - 2z2 + 2z = 0 และ z ≠ 0 ถาอารก วิ เมนตข อง z อยู ในชวง 0, π2  แลว z4 มคี าเทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ (z)2 1) -2i 2) 1 - i 3) 1 + i 4) 2i 6. กาํ หนดให w, z เปน จาํ นวนเชิงซอนซงึ่ w = z - 2i และ |w|2 = z + 6 ถาอารกิวเมนตข อง w อยู ในชวง 0, π2  และ w = a + bi เมื่อ a, b เปน จาํ นวนจริง แลว a + b มคี า เทาใด  1) 2 2) 4 3) 6 4) 8 เฉลย 1. 4) 2. 3) 3. 2) 4. 1) 5. 1) 6. 2) คณิตศาสตร (132)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

กาํ หนดการเชิงเสน (Linear Programing) 1. กราฟอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟสมการเชิงเสน (โดยหาจดุ ท่ีสอดคลอ งกับสมการเชงิ เสน สองจุด มกั ใชจดุ ตัดแกน X และ จุดตดั แกน Y) 2. พิจารณาอาณาบริเวณ โดยใชจุดทีไ่ มอยูบ นเสน กราฟทดสอบ (มักใชจ ุด (0, 0)) ถา จุดทท่ี ดสอบสอดคลองกับอสมการ จะไดก ราฟเปนอาณาบริเวณทม่ี จี ุดน้นั อยู ถาจุดทท่ี ดสอบขดั แยงกับอสมการ จะไดกราฟเปน อาณาบรเิ วณทอ่ี ยูต รงขามกับบรเิ วณท่มี ีจดุ น้ันอยู 3. พิจารณาวาอสมการนัน้ ยอมรบั การเทากันไดห รอื ไม โดยเลือกแทนดว ยเสนทบึ หรอื เสน ประให สอดคลอง 2. กราฟของระบบอสมการเชิงเสน 1. วาดกราฟของอสมการเชงิ เสน หาบรเิ วณทส่ี อดคลอ งในทุกๆ อสมการ (คอื อาณาบรเิ วณที่ซอนทับกนั ) เรียกอาณาบรเิ วณนัน้ วา อาณาบรเิ วณทห่ี าคาํ ตอบได แลวหาพิกัดของมมุ ของอาณาบริเวณท่หี าคาํ ตอบได 2. ในกรณีที่ระบบอสมการเชงิ เสนมีหลายอสมการ ในการวาดกราฟของอสมการเชงิ เสน อาจตองมีการ หาพกิ ัดของจุดตัดของสองเสนกอน 3. การแกป ญหากาํ หนดการเชิงเสนโดยวธิ ีใชกราฟ - ปญ หากาํ หนดการเชงิ เสน ประกอบดว ย ฟงกชันจุดประสงค (Objective Function) และอสมการ ขอจาํ กดั (Constraint Inequalities) - ผลเฉลยของปญหาจะเปนพกิ ดั ทอี่ ยูในบริเวณที่หาคําตอบไดของระบบอสมการเชิงเสนท่ไี ดมาจากอสมการ ขอ จาํ กดั โดยเปนพกิ ดั ท่ที าํ ใหฟ งกช นั มีคา สงู สุดหรือตํ่าสดุ ตามฟง กช นั จุดประสงค - โดยการใชก ารเลอื่ นของกราฟฟง กช ันจุดประสงคท ีม่ ีความชันคงท่ี แตม ีระยะตดั แกน Y ที่เปลยี่ นแปลง พบวาคาํ ตอบท่ตี องการจะอยทู จ่ี ุดมุมของอาณาบรเิ วณท่ีหาคําตอบได 4. สรุปขั้นตอนการแกปญ หากําหนดการเชิงเสน 1. สมมติตัวแปร กําหนดฟง กช นั จดุ ประสงค และอสมการขอ จํากัด 2. วาดกราฟของระบบอสมการเชิงเสน ทไี่ ดจ ากอสมการขอ จํากัด แลว หาอาณาบรเิ วณท่ีหาคําตอบได 3. หาพกิ ดั ของจุดมุมของอาณาบรเิ วณทห่ี าคาํ ตอบได 4. นาํ จดุ มุมทง้ั หมดไปทดสอบกบั ฟง กช ันจุดประสงค โดยเลือกพิกัดท่ที าํ ใหค า ของฟงกชนั สงู สุดหรือต่ําสุด ตามท่ตี อ งการ ขอ สงั เกต ในบางสถานการณปญหา ตองการคําตอบท่ีเปนจํานวนเตม็ แตถา พกิ ดั ทเี่ ปนคําตอบไมใชจ ํานวนเต็ม จะตอ งนาํ พิกัดท่ีเปน จาํ นวนเตม็ ท่อี ยใู กลเคียงกบั จดุ นนั้ มาพจิ ารณาหาพกิ ัดท่ใี หคาที่ดีที่สุดแทน โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (133)

แบบฝก หดั 1. ถา C เปนปริมาณท่มี ีคา ขน้ึ กบั คา ของตวั แปร x และ y ดว ยความสัมพนั ธ C = 3x + 5y เม่ือ x, y เปนไป ตามเง่ือนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคา ต่าํ สุดของ C ตามเง่ือนไขขา งตน มีคา เทากบั ขอใดตอ ไปน้ี 1) 251 2) 259 3) 245 4) 247 2. ถา P = 5x + 4y เมอื่ x และ y เปน ไปตามเงือ่ นไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาสูงสดุ ของ P เทากบั ขอใดตอไปน้ี 1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 3. กาํ หนดให a และ b เปน จาํ นวนจริงบวกซึ่ง a < b ถา คามากสุดและคานอยสดุ ของ P = 2x + y เมือ่ x, y เปน ไปตามเงื่อนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคี า เทา กับ 100 และ 10 ตามลําดับ แลว a + b มคี า เทา ใด 1) 70 2) 50 3) 30 4) 10 เฉลย 1. 2) 2. 3) 3. 1) คณิตศาสตร (134)_____________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

ลําดบั และอนกุ รม (Sequence and Series) 1. ลาํ ดบั คอื ฟง กชันท่มี ีโดเมนเปน เซตของจาํ นวนนับ n ตวั แรก (ลําดับจํากัด) หรือเซตของจาํ นวนนับ (ลาํ ดบั อนันต) การเขยี นลาํ ดับ เขยี นได 3 แบบ คอื เขยี นแบบเซต เขียนแบบแจกแจงเฉพาะคาของลําดับ เขยี นแบบ พจนทว่ั ไป ลมิ ติ ของลาํ ดบั 1. ลําดับท่ีจะนํามาพิจารณาตอ งเปน ลําดับอนันต 2. ลมิ ิตของลาํ ดับ (an) มคี า เปน จํานวนจริง L เขยี นแทนดว ย nl→im∞ an = L ก็ตอ เมอื่ เมอ่ื n มคี า มากขึ้น an จะมคี าเขาใกลห รอื เทากบั L ( nl→im∞ an = L ↔ ∀∈ > 0 ∃n0 ∈ N, n ≥ n0 → |an - L| < ∈) 3. ถา nl→im∞ an = L (L ∈ R) แลว จะกลา ววา ลําดบั an ลเู ขา (converge) สู L และถาลําดบั (an) ไมม ีลิมิตแลว เราจะกลาววา ลาํ ดบั an ลูออก (diverge) (ถา ลมิ ิตของลาํ ดับมคี าแลว จะมไี ดค า เดียว) ทฤษฎบี ท กาํ หนดให c เปนคา คงตัวใดๆ nl→im∞ an = A, nl→im∞ bn = B 1. nl→im∞ c = c 2. nl→im∞ c ⋅ an = cA 3. nl→im∞ (an + bn) = A + B 4. nl→im∞ (an ⋅ bn) = AB 5. nl→im∞ k an = k A (เมือ่ k เปน คาคงท่ีและทกุ เทอมมีความหมาย) 6. nl→im∞ bann = AB (เม่ือทุกเทอมมีความหมาย) หมายเหตุ 1. ถา an = qp((xx)) โดยที่ p(x) และ q(x) เปน พหุนาม ถา deg p(x) = deg q(x) จะได nl→im∞ an = AB เมือ่ A และ B คือ สัมประสิทธิ์ของ x กําลงั สูงสดุ ของพหนุ าม p(x) และ q(x) ตามลําดับ ถา deg p(x) > deg q(x) จะได nl→im∞ an ลอู อก ถา deg p(x) < deg q(x) จะได nl→im∞ an = 0 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (135)

2. ถา an อยใู นรปู แบบของฟงกชนั ชกี้ ําลงั ใหดึงตัวรว มและใชขอ เทจ็ จริงทีว่ า nl→im∞ an = 0 เม่ือ 0 < a < 1 3. ใชค อนจเู กต ลาํ ดับเลขคณิต คอื ลาํ ดบั ทีม่ ีผลตา งของพจนที่ n + 1 กบั พจนท ่ี n เปนคา คงทเ่ี สมอ เรยี กผลตางทค่ี งทน่ี ีว้ า ผลตา งรว ม แทนดวย d (d = an + 1 - an) พจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณติ an = a1 + (n - 1)d ลําดบั เรขาคณติ คือ ลําดับทม่ี อี ตั ราสวนของพจนท่ี n + 1 กับพจนท ี่ n เปนคาคงท่ีเสมอ เรียกอัตราสวนทคี่ งท่นี ี้วา อตั ราสวนรว ม แทนดว ย r (r = aann+1 ) พจนท ่วั ไปของลาํ ดับเรขาคณติ an = a1 ⋅ rn-1 2. อนุกรม คือลาํ ดบั ของผลบวกยอ ย เรียก sn วา ผลบวกยอย n พจนแรกของลําดับ (an) N ∑ อนกุ รมทีเ่ กิดจากลาํ ดบั จํากดั เรียก อนุกรมจาํ กดั sn = a1 + a2 + ... + an = i=1 a i อนกุ รมท่ีเกดิ จากลําดบั อนันต เรยี ก อนุกรมอนันต nl→im∞ sn = s∞ = a1 + a2 + ... = i∑∞=1ai โดยถา nl→im∞ sn มคี า จะกลาววาอนกุ รมลเู ขา และมผี ลบวกเทากบั คา ของลิมิตนน้ั และถา nl→im∞ sn หา คา ไมไดจะกลาววา อนกุ รมลูออก อนกุ รมเลขคณิต ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ sn = n2 (2a1 + (n - 1)d) = n2 (a1 + an) อนกุ รมเรขาคณติ ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ a1 (1 - rn ) เมือ่ r ≠ 1 sn = 1-r ผลบวกอนันตพ จนข องอนกุ รมเรขาคณิต nl→im∞ sn = ∞ a i = 1a-1 r ก็ตอเม่ือ |r| < 1 ∑ i=1 nl→im∞ sn = ∞ a i ลูอ อก กต็ อเม่ือ |r| ≥ 1 ∑ i=1 อนกุ รมผสม ใชเ ทคนิคคูณตลอดดวย r อนุกรมทอ่ี ยูในรปู เศษสวนยอ ย ปรับแตละพจนใชอยูใ นรูปเศษสว นยอ ย คณิตศาสตร (136)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

อนกุ รมพี ∞ 1 ลเู ขา กต็ อ เม่อื p > 1 np ∑ n=1 ∞ 1 ลูออก ก็ตอเมื่อ p ≤ 1 np ∑ n=1 สญั ลกั ษณแ ทนการบวก n 1. ∑ c = nc i=1 2. n cx i = c n x i ∑ ∑ i=1 i=1 3. n (x i ± yi) = n x i ± n y i ∑ ∑ ∑ i=1 i=1 i=1 4. n i = n(n + 1) ∑ 2 i=1 5. n i 2 = n(n + 1)(2n + 1) ∑ 6 i=1 6. n i 3 =  n i  2 = 41 (n(n + 1))2 ∑  ∑  i=1 i=1  ทฤษฎีบท ∞ ∞ 1. ถา a n เปน อนกุ รมลเู ขา แลว nl→im∞ an = 0 หรือ ถา nl→im∞ an ≠ 0 แลว a n ลูออก ∑ ∑ n=1 n=1 ∞ ∞ ∞ 2. ถา a n และ b n เปน อนกุ รมลเู ขา แลวสําหรบั จาํ นวนจรงิ c, d ใดๆ จะไดวา (ca n ± dbn ) ∑ ∑ ∑ n=1 n=1 i=1 เปน อนุกรมลเู ขา ดว ย โดยที่ ∞ (ca n ± dbn ) = c ∞ a n ± d ∞ b n ∑ ∑ ∑ n=1 n=1 n=1 3. กาํ หนดให 0 ≤ an ≤ bn จะไดวา ∞ ∞ ถา b n ลูเขา แลว a n จะลเู ขา ดว ย ∑ ∑ n=1 n=1 ∞ ∞ ถา a n ลูออก แลว b n จะลูออกดวย ∑ ∑ n=1 n=1 โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (137)

แบบฝก หดั 1. ถา nl→im∞ n2b + 1 = 1 แลวผลบวกของอนกุ รม ∞  ab  n เทากับขอใดตอไปน้ี 2n2a - 1   n ∑ 1  a2 + b2  = 1) 13 2) 32 3) 1 4) หาคา ไมไ ด กําหนดให an เปน ลําดบั ท่สี อดคลอ งกับ aan+n 2 = 2 สําหรบั ทกุ จํานวนนบั n 10 2. ถา ∑ 1 a n = 31 n= 2552 แลว ∑ a n เทา กับขอใดตอไปน้ี n=1 1) 21275 - 1 2) 21276 - 1 3) 22551 - 1 4) 22552 - 1 3. ถา a1, a2, a3, ... เปน ลาํ ดบั เรขาคณิตซึง่ n ∞ 1 a n =4 แลวคา มากที่สดุ ท่ีเปนไปไดข อง a2 เทา กับขอใด ∑ = ตอ ไปน้ี 1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มีคามากไดอยา งไมม ขี ดี จํากัด 4. กาํ หนดแบบรปู 1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ... จํานวนในพจนที่ 5060 ของรปู แบบน้มี คี า เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 1 2) 10 3) 100 4) 1000 5. กําหนดให an เปนลาํ ดับเลขคณิตที่สอดคลอ งกบั เงือ่ นไข nl→im∞  an n- a1  = 5 ถา a9 + a5 = 100 แลว a100 เทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 500 2) 515 3) 520 4) หาไมไดเพราะขอมูลไมเพียงพอ 6. ถา A = nl→im∞  8+ 2nk  มีคาเปนจาํ นวนจริงบวกแลว แลวคาของ A เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 27 + ... +  1 + n3  1) 0 2) 2 3) 4 4) 8 7. ถา ∞ n4 1 n2 = A แลว ∞ 1 มีคา เทา กับขอ ใดตอ ไปนี้ 1) A - 2) 54 n2 3) 34 - A ∑ ∑ 4) 54 - A n=2 34n=2+ +A คณติ ศาสตร (138)_____________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

8. กาํ หนดให an เปนลาํ ดบั ซ่งึ สอดคลอ งกับเงื่อนไข a1n + a 1 = 1 สาํ หรับทกุ จํานวนนับ n n+1 ถา a1 + a2 + ... + a100 = 250 แลว |a2552 - 2.5| มีคาเทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 1 + 5 2) 2 + 5 3) 5 4) 2 5 2 9. พจิ ารณาขอความตอไปนี้ ก. ถา ลาํ ดับ an ลูเขา แลว อนุกรม ∞ a n ลเู ขา ∑ n=1 ข. ถาอนุกรม ∞ a n ลูเขา แลวอนกุ รม ∞  1 + 2ann  ลูเ ขา ∑   n=1 ∑   n=1 ขอใดตอไปนเี้ ปน จริง 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 1) ก. และ ข. ถูก 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด 10. ถา an เปนลําดบั เลขคณิตซึ่ง l→im∞ a2n + 1n - a2n  = 4 แลว a17 - a9 มีคาเทา ใด  2 n 1) 2 2 2) 2 2 3) 2 4) 2 2 11. n l→im∞ 3n + 12n + 2277n++...+...n+3 3n3  มคี า เทาใด +8 +  1  1) 6 2) 5 3) 4 4) 3 เฉลย 1. 2) 2. 2) 3. 3) 4. 2) 5. 2) 6. 4) 7. 3) 8. 3) 9. 4) 10. 1) 11. 3) โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (139)

แคลคลู ัส (Calculus) 1. ลมิ ติ และความตอ เนือ่ งของฟงกช นั เม่ือ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานซายของเสนจํานวน (x < a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน จรงิ L จะกลาววา L เปนลมิ ิตซายของ f ที่ a แทนดวยสญั ลกั ษณ lim f(x) = L1 x→a- เมื่อ x มีคาเขาใกลจํานวนจริง a ทางดานขวาของเสนจํานวน (x > a) แลวคาของ f(x) เขาใกลจํานวน จรงิ L จะกลาววา L เปนลมิ ิตขวาของ f ท่ี a แทนดวยสัญลักษณ lim f(x) = L2 x→a+ ถา ลิมติ ทางซา ยและลมิ ติ ทางขวาของฟง กชนั f เทากนั และมีคา เทากับ L จะกลา ววา ฟง กช นั f มลี มิ ิตเปน L ที่ a แทนดวยสญั ลักษณ xl→ima f(x) = L ถา ลมิ ิตทางซา ยไมเ ทากับลิมิตทางขวา หรอื ลิมิตขางใดขางหนง่ึ หาคาไมไ ด จะกลา ววา ฟงกช ัน f ไมม ลี ิมิตท่ี a ทฤษฎีบทของลิมิต กาํ หนดให a เปนจํานวนจริงใดๆ f และ g เปน ฟง กชันท่ีมลี ิมติ ทจี่ ดุ a จะไดว า 1. xl→imac = c เม่อื c เปนคา คงตวั ใดๆ 2. xl→imax = a 3. xl→imaxn = an เมอื่ n ∈ N 4. xl→imacf(x) = c xl→imaf(x) เม่ือ c เปน คา คงตวั ใดๆ 5. xl→ima(f(x) ± g(x)) = xl→imaf(x) ± xl→imag(x) 6. xl→ima(f(x) ⋅g(x)) = xl→imaf(x) ⋅ xl→imag(x) xl→imaf(x) 7. xl→ima gf((xx))  = xl→imag(x) เมือ่ xl→imag(x) ≠ 0 8. xl→ima((f(x))n =  xl→ima f(x)  n เมอื่ n∈N   9. xl→iman f(x) = n xl→imaf(x) เมอื่ n ∈ N และ xl→imaf(x) ≥ 0 mn 10. xl→ima((f(x)) n =  xl→ima f(x)  เมอื่ n, m ∈ N และ xl→imaf(x) ≥0 m   11. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม น่ันคือ f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 เม่ือ a0, a1, a2, ..., an เปนคาคงตวั โดย an ≠ 0 จะไดว า xl→imaf(x) = f(a) คณิตศาสตร (140)_____________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

ความตอ เน่อื งของฟง กชนั นิยาม ให a เปนจํานวนจริงใดๆ ฟงกชัน f เปนฟงกชันตอเน่ืองท่ีจุด a ก็ตอเมื่อ ฟงกชัน f มีสมบัติ ตอไปน้ี 1. xl→imaf(x) หาคา ได 2. f(a) หาคา ได 3. xl→imaf(x) = f(a) 2. อตั ราการเปล่ยี นแปลงของฟง กชนั นิยาม ถา y = f(x) เปน ฟงกชนั ใดๆ และ h เปน จาํ นวนจรงิ ทไี่ มใ ชศูนย อัตราการเปลยี่ นแปลงเฉล่ยี ของ y เทียบกบั x ในชวง x ถึง x + h คือ f(x + hh) - f(x) อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ y เทยี บกบั x ใดๆ คอื hl→im0 f(x + hh) - f(x) 3. อนุพันธของฟงกช ัน hl→im0 f(x + h) f(x) h นิยาม ถา y = f(x) เปนฟงกชันท่ีมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจริง และ - หาคา ได เรยี กคาลมิ ติ ทไ่ี ดน้ีวา อนุพันธของฟง กช ัน f ที่ x แทนดวย f′(x) , ddx f(x) และ dy dx ทฤษฎบี ทของอนพุ ันธ 1. ddxc = 0 เมอื่ c คือ คา คงตวั ใดๆ 2. ddxx = 1 3. ddx xn = nxn-1 เม่อื n เปนจาํ นวนจรงิ ใดๆ 4. ddx [f(x) ± g(x)] = ddx f(x) ± ddx g(x) 5. ddx cf(x) = c ddx f(x) เมือ่ c คือ คา คงตัวใดๆ 6. ddx [f(x)g(x)] = f(x) ddx g(x) + g(x) ddx f(x) g(x)ddx f(x) - f(x)ddx g(x) 7. ddx  gf((xx))  = เมอ่ื g(x) ≠ 0   (g(x))2   8. ddx gof(x) = ddy g(y) ddx f(x) เม่อื y = f(x) (กฎลูกโซ (Chain rule)) 9. ddx [f(x)]n = n[f(x)]n-1 ddx f(x) โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (141)

อนุพันธอันดับสงู ของฟงกชัน นิยาม ถา f′(x) หาอนุพันธไดแลวจะเรยี กอนพุ ันธของ f′(x) วา อนพุ นั ธอ ันดบั สองของ f แทนดวย f″(x), d2y dx2 , d2 f(x) ในทํานองเดียวกันเราสามารถนิยามอนุพันธอันดับ 3, 4, ... ของฟงกชัน ตลอดจนกําหนด dx2 สัญลกั ษณไดโดยวธิ ีเดยี วกนั การประยุกตข องอนพุ นั ธ ความชันของเสนสัมผสั โคง ถา f เปน สมการเสน โคง ความชันของเสนตรงที่สัมผัสเสนโคงที่จุด (a, f(a)) คอื f′(a) ฟงกชันเพ่ิมและฟงกชันลด กําหนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f เปนฟงกชันเพ่ิมบน (a, b) ⊂ Df ถา f′(c) > 0 ทกุ c ∈ (a, b) และฟง กช นั f เปนฟง กชนั ลดบน (a, b) ⊂ Df ถา f′(c) < 0 ทกุ c ∈ (a, b) คาสดุ ขดี ของฟงกชนั กาํ หนดให f มีโดเมนเปน Df ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธที่จุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซึ่ง f(c) > f(x) สําหรับ ทุกๆ x ในชวง (a, b) ท่ี x ≠ c ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธท่ีจุด x = c ถามีชวง (a, b) ⊂ Df และ c ∈ (a, b) ซ่ึง f(c) < f(x) สําหรับ ทกุ ๆ x ในชวง (a, b) ที่ x ≠ c นยิ าม ถา f′(c) = 0 แลว เราจะเรียก c วา คา วกิ ฤตของฟง กช นั f และเรียกจุด (c, f(c)) วา จดุ วกิ ฤตของ f ทฤษฎบี ท กําหนดให f เปนฟงกช ันตอ เน่อื งใดๆ บน (a, b) ⊂ Df และ c เปนคาวกิ ฤตของ f แลว ถา f″(c) < 0 แลว f(c) เปน คา สงู สดุ สมั พทั ธ ถา f″(c) > 0 แลว f(c) เปนคาตํา่ สดุ สมั พทั ธ โจทยปญหาคา สุดขีด ทาํ ความเขา ใจปญหาเพื่อสรา งฟงกชัน f(x) โดยให f(x) เปนส่ิงท่โี จทยตองการทราบ คา สุดขีด และตัวแปร x คอื สิ่งที่สงผลตอคาสดุ ขดี นนั้ 4. การอินทเิ กรต นิยาม ฟง กช นั F เปนปฏยิ านุพันธข องฟงกช ัน f เม่อื F ′(x) = f(x) สําหรบั ทกุ คา x ∈ Df ใช ∫ f(x)dx แทน F(x) + c เมอื่ c เปนคาคงตวั ใดๆ และเรยี ก ∫f(x)dx วา อนิ ทิกรลั ไมจ ํากดั เขตของฟง กชนั f ทฤษฎบี ท 1. ∫kdx = kx + c เม่ือ k และ c เปน คา คงตัว 2. ∫xndx = xnn++11 + c เม่อื n ≠ -1 3. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx เมื่อ k เปน คา คงตวั 4. ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx คณิตศาสตร (142)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

อนิ ทิกรัลจาํ กัดเขต นยิ าม ให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] ถา F เปนฟงกชันท่ีมีอนุพันธบนชวง [a, b] โดยท่ี F′(x) = f(x) แลว b ∫ a f(x)dx = F(b) - F(a) เรยี ก ∫ b f(x)dx วา อนิ ทิกรลั จาํ กดั เขตของฟง กชัน f บน [a, b] ใชส ญั ลักษณ F(x) b แทน F(b) - F(a) a a ทฤษฎีบท b b ∫a 1. kf(x)dx = k f(x)dx เมื่อ k เปน คาคงตัว ∫a b b b 2. ∫ a (f(x) ± g(x))dx = f(x)dx ± g(x)dx ∫a ∫a b c b 3. f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx เมอื่ c ∈ (a, b) ∫a ∫a ∫c b a 4. f(x)dx = - ∫ b f(x)dx ∫a พ้ืนท่ที ีป่ ดลอ มดว ยเสนโคง นิยาม กําหนดใหฟงกชัน f(x) ตอเนื่องบน [a, b] พื้นท่ีปดลอมดวยเสนโคงของ f(x) จาก x = a ถึง x = b หมายถงึ พนื้ ท่ีของบริเวณทล่ี อมรอบดว ยกราฟของ f แกน X เสนตรง x = a และเสน ตรง x = b ทฤษฎีบท กําหนดใหฟงกชัน f ตอเนื่องบน [a, b] และ A เปนพ้ืนที่ที่ปดลอมดวยเสนโคงของ f จาก x = a ถึง x = b จะหาไดจ ากสูตรตอไปนี้ b 1. ถา f(x) ≥ 0 สาํ หรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = ∫ a f(x)dx 2. ถา f(x) ≤ 0 สําหรับทุก x ในชวง [a, b] และ A = - ∫ b f(x)dx a โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (143)

แบบฝกหัด 1. กําหนดให A แทนพื้นทีข่ องอาณาบรเิ วณท่ปี ดลอมดวยเสนโคง y = 1 - x2 และแกน X B แทนพ้นื ท่ีของอาณาบริเวณท่ีใตเสนโคง y = x42 เหนอื แกน X จาก x = -c ถงึ x = c คาของ c ทีท่ าํ ให A = B เทากับขอ ใดตอไปนี้ 1) 2 2) 2 3) 2 2 4) 4 2. กําหนดให f(x) = x4 - 3x2 + 7 f เปนฟง กช ันเพม่ิ บนเซตในขอใดตอไปน้ี 1) (-3, -2) U (2, 3) 2) (-3, -2) U (1, 2) 3) (-1, 0) U (2, 3) 4) (-1, 0) U (1, 2) 3. ถา f′(x) = 21  1 + 1  แลว คา ของ hl→im0 ff((41 + hh)) - ff((14)) เทา กับขอ ใดตอไปนี้  x x3  + -   2) 156 3) 75 4) 51 1) 1 4. ถา f′(x) = 3x2 + x - 5 และ f(0) = 1 แลว 1 ∫ f(x)dx มีคา เทากบั ขอใดตอ ไปน้ี -1 1) 53 2) 73 23 4) 31 3) 5. ถา f, g และ h สอดคลองกบั f(1) = g(1) = h(1) = 1 และ f′(1) = g′(1) = h′(1) = 2 แลว คา ของ (fg + h)′(1) เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 1 6. เสน ตรงซง่ึ ตดั ตั้งฉากกับเสน สัมผัสของเสน โคง y = 2x3 - x ท่ีจุด x = 1 คอื เสนตรงในขอใดตอ ไปน้ี 1) 13x - 2y - 11 = 0 2) 13x + 2y - 15 = 0 3) 2x - 13y - 11 = 0 4) 2x + 13y - 15 = 0 7. ถา f′(x) = x2 - 1 และ 1 f(x)dx = 0 แลว |f(1)| มีคาเทา กบั เทา ใด 0∫ 1) 0.25 2) 0.50 3) 0.75 4) 1.00 8. ถา f(x) = ax2 + b x เมื่อ a และ b เปน จํานวนจริงที่ b ≠ 0 ถา 2f′(1) = f(1) แลว ff'((49)) มคี า เทาใด 1) 8 2) 12 3) 16 4) 20 9. กาํ หนดให y = f(x) เปน ฟง กชนั ซึ่งมีคาสูงสดุ ที่ x = 1 ถา f\"(x) = -4 ทุก x และ f(-1) + f(3) = 0 แลว f มี คาสูงสุดเทา ใด 1) 38 2) 28 3) 18 4) 8 คณิตศาสตร (144)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

เฉลย 1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 4) 6. 4) 7. 1) 8. 2) 9. 4) โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (145)

วิธเี รยี งสับเปล่ยี น วิธีจดั หมู และความนาจะเปน (Permutation, Combination, and Probability) 1. หลักการเบ้อื งตน เก่ยี วกับการนับ กฎการบวก ถาการทาํ งานหนง่ึ อยา งแบง ออกเปน n กรณียอยโดยในแตละกรณีเปนการทาํ งานที่เสรจ็ ส้นิ จาํ นวนวธิ ีในการทาํ งานจะเทากบั ผลรวมของจาํ นวนวธิ ีของทกุ กรณี กฎการคูณ 1. ถา งานทที่ ําแบงออกเปนสองขน้ั ตอน โดยงานขั้นตอนแรกเลือกทําได n1 วธิ ี และในแตล ะวธิ ีในการ เลอื กทาํ งานอยา งแรกนส้ี ามารถเลือกทํางานอยางที่สองได n2 วิธี จํานวนวธิ ีทจี่ ะเลอื กทํางานชิ้นน้ี คอื n1n2 วธิ ี 2. ถางานทีท่ าํ แบงออกเปน k ข้นั ตอน โดยงานข้นั ตอนแรกเลือกทําได n1 วิธี และในแตละวิธีในการเลอื ก ทาํ งานอยา งแรกนีส้ ามารถเลือกทาํ งานอยางทสี่ องได n2 วธิ ี ในแตละวิธีในการเลือกทาํ งานอยา งท่ีสองสามารถ เลอื กทํางานอยา งที่สามได n3 วิธี ฯลฯ จาํ นวนวิธีที่จะเลือกทํางานชน้ิ น้ี คือ n1n2n3 ... nk วธิ ี นิยาม กาํ หนดให n ∈ N n! = 1 × 2 × 3 × 4 × ... × n และ 0! = 1 2. วธิ ีเรียงสบั เปลย่ี นและวิธจี ดั หมู กฎขอที่ 1 จาํ นวนวธิ ีเรียงสบั เปลีย่ นของสิง่ ของ n ส่งิ ทแ่ี ตกตา งกันทัง้ หมด เทากบั n! กฎขอ ท่ี 2 จํานวนวิธเี รียงสบั เปลย่ี นของส่งิ ของ n สิ่งทแ่ี ตกตา งกันโดยนํามาเรยี งแค r สิ่ง (r ≤ n) คือ nPr n! = (n - r)! กฎขอ ที่ 3 จาํ นวนวิธีเรยี งสับเปลย่ี นเชิงวงกลมของสิง่ ของ n ส่ิงท่ีแตกตางกนั ทงั้ หมด เทากบั (n - 1)! กฎขอที่ 4 ถามสี ่งิ ของอยู n สง่ิ ในจาํ นวนน้มี ี n1 สิ่งทเี่ หมือนกันอยกู ลุม ทีห่ นึ่ง n2 สงิ่ ทเ่ี หมอื นกนั อยกู ลุมทสี่ อง M nk ส่งิ ทีเ่ หมือนกันอยูก ลุม ที่ k โดยท่ี n1 + n2 + ... +nn1k!n=2nn!!... จาํ นวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นของสงิ่ ของทง้ั n ส่งิ เทากบั n k ! กฎขอ ท่ี 5 จํานวนวิธเี ลือกส่ิงของ n ส่งิ ทแี่ ตกตา งกัน ทล่ี ะ r ส่ิง (r ≤ n) เทา กบั  n  = nCr = r (n -n!r)!r! เทคนิค การนับจาํ นวนฟง กชนั , คอมพลเี มนท, การจัดเรียงของใหติดกันโดยการมัด คณิตศาสตร (146)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

3. ความนา จะเปน การทดลองสมุ คือ การทดลองใดๆ ซง่ึ ทราบวา ผลลพั ธอ าจเปนอะไรไดบาง แตไมส ามารถทาํ นายผล ลว งหนาได แซมเปลสเปซ คือ เซตท่มี สี มาชกิ เปนผลลัพธที่เปน ไปไดท ้ังหมดของการทดลองสมุ เหตกุ ารณ คอื สับเซตของแซมเปล สเปซ ความนาจะเปนของเหตุการณ E แทนดวย P(E) = nn((ES)) สมบตั ิบางประการของความนา จะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0 3. P(S) = 1 4. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 5. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 6. P(E) = 1 - P(E′) 4. ทฤษฎบี ททวินาม (a + b)n =  n  anb0 +  n  an-1b1 +  n  an-2b2 + ... +  n n 1  a1bn-1 +  nn  a0bn  0   1   2   -   เรียก  n  วาสมั ประสทิ ธ์ทิ วินาม r ขอ สงั เกต 1. การกระจาย (a + b)n จะได n + 1 พจน 2. ในแตละพจนผ ลรวมของกําลังของ a และ b จะไดเ ทา กบั n 3. พจนท วั่ ไปของการกระจาย (a + b)n Tr+1 =  n  an-rbr r โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (147)

แบบฝกหัด 1. กาํ หนดให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {a, b, c} เซต S = {f|f : A → B เปน ฟงกชันทว่ั ถงึ } มีจาํ นวน สมาชกิ เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 12 2) 24 3) 36 4) 39 2. คณุ ลุง คุณปา ลูกชาย และลูกสาว มาเย่ียมครอบครวั เราซ่ึงมี 4 คน คือ คณุ พอ คุณแม ตวั ฉนั และนองชาย ในการ จัดที่นงั่ รอบโตะอาหารกลมที่มี 8 ท่นี ง่ั โดยใหคุณลงุ น่ังตดิ กับคณุ พอ คุณปานงั่ ติดกับคุณแม ลกู ชายของคุณลงุ นัง่ ตดิ กับนองชายของฉัน และลกู สาวของคณุ ลงุ นงั่ ตดิ กบั ฉนั จะมจี าํ นวนวิธีจดั ไดเ ทากับขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 96 วธิ ี 2) 192 วธิ ี 3) 288 วธิ ี 4) 384 วิธี 3. ขา วสารบรรจถุ ุงแลวกองหนง่ึ ประกอบดว ย ขาวหอมมะลิ 4 ถุง ขา วเสาไห 3 ถุง ขาวขาวตาแหง 2 ถุง และ ขาวบัสมาตี 1 ถุง สุม หยิบขา วจากกองนีม้ า 4 ถุง ความนาจะเปน ทีจ่ ะไดขา วครบทกุ ชนดิ เทา กบั ขอใด ตอ ไปนี้ 1) 345 2) 335 3) 52 4) 14 4. กิตติและสมาน กับเพือ่ นๆ รวม 7 คน ไปเที่ยวตา งจงั หวัดดวยกนั ในการคา งแรมทมี่ ีบานพกั 3 หลงั หลงั แรกพกั ได 3 คน สว นหลงั ทสี่ องและหลังทสี่ ามพกั ไดห ลังละ 2 คน ซงึ่ แตล ะหลงั มีความแตกตางกนั พวกเขาจึงตกลงที่จะจบั สลากวา ใครจะไดพ กั ทบี่ านหลังใด ความนา จะเปนทีก่ ติ ตแิ ละสมานจะไดพ ักบานหลงั เดยี วกันในหลงั ทีห่ นงึ่ หรอื หลังทสี่ าม เทา กบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 241 2) 251 3) 281 4) 1201 5. กําหนดให n เปน จํานวนนับ ในการสุม หยบิ เลข n จาํ นวนพรอมๆ กันจากเซต {1, 2, ..., 2n} ถาความนา จะเปน 210 ทจ่ี ะไดเ ลขคทู ้งั หมดเทา กับ 2) แลว ความนา จะเปนที่จะไดเ ลขคเู พียง 1 จาํ นวนเทากับขอ ใดตอไปน้ี 1) 210 230 3) 290 4) 2101 6. ตอ งการสรา งจาํ นวนคบู วก 4 หลกั จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 7, 8 โดยแตล ะจํานวนที่สรา งขน้ึ ไมม ีเลขโดดใน หลักใดท่ซี าํ้ กันเลย จะมีจาํ นวนวิธีทสี่ รา งไดเทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 180 2) 156 3) 144 4) 136 7. จาํ นวนเตม็ ที่มคี าต้งั แต 100 ถงึ 999 ท่หี ารดว ย 2 ลงตัว แตห ารดวย 3 ไมล งตวั มีจาํ นวนเทากบั ขอ ใด ตอไปน้ี 1) 250 2) 283 3) 300 4) 303 8. ถุงใบหน่งึ บรรจุลกู กวาดรสสตรอเบอรี่ 5 ลูก รสชอคโกแลต 4 ลูก รสกาแฟและรสมินทอ ยา งละ 2 ลกู หาก สุมหยิบลูกกวาดจากถุงใบนีม้ า 3 ลูก ความนาจะเปน ทจี่ ะหยิบไดลูกกวาดตา งรสกนั ท้งั หมดเทากบั ขอ ใด ตอ ไปน้ี 1) 15473 2) 15483 3) 15493 4) 16403 คณิตศาสตร (148)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

9. กําหนดให A = {(0, n) | n = 1, 2, ..., 10} และ B = {(1, n) | n = 1, 2, ..., 10} ในการเลอื กจุดสอง จดุ ทแี่ ตกตา งกันจากเซต A และอีกหน่ึงจุดจากเซต B เพอื่ เปนจดุ ยอดของรูปสามเหลี่ยมบนระนาบ ความ นาจะเปน จะไดร ูปสามเหล่ียมท่มี พี ้นื ท่ี 1 ตารางหนวย เทากบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) 485 2) 495 3) 1405 4) 1415 10. ในลน้ิ ชกั มีถุงเทาสีขาว 4 คู สีดาํ 3 คู และสีนาํ้ เงิน 2 คู แตไ มไ ดจดั เรยี งไวเปน คๆู ถาสมุ หยิบถงุ เทา มา 2 ขาง ความนา จะเปน ท่จี ะไดถงุ เทาสีเดียวกนั เทา กับขอใดตอ ไปน้ี 1) 21 2) 32 3) 14533 4) 14593 11. ถุงใบหนง่ึ บรรจุลกู แกว สีแดง 5 ลูก สีเขียว 4 ลกู และสีเหลือง 3 ลูก ถาหยบิ ลกู แกว จากถุงทลี ะลูก 3 ครง้ั โดยไมใ สคืน แลวความนา จะเปนทีจ่ ะหยิบไดลูกแกว ลกู ที่หนึง่ สอง และสาม เปนสแี ดง สีเขยี ว และสีเหลือง ตามลําดบั เทากบั ขอใดตอไปนี้ 1) 211 2) 212 3) 232 4) 235 12. ในการโยนลูกเตา 2 ลกู หนึง่ คร้งั ความนาจะเปน ทีจ่ ะไดแตม รวมเปน 7 โดยท่มี ลี ูกเตา ลกู หนง่ึ ขึน้ แตม ไมน อ ย กวา 4 เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 1) 13 2) 14 3) 61 4) 112 13. มีส่ิงของซึง่ แตกตา งกันอยู 8 ชิ้น ตองแบงใหคน 2 คน คนหน่งึ ได 6 ชิ้น และอกี คนหน่งึ ได 2 ช้นิ จะมีจํานวน วธิ ีแบง ก่ีวธิ ี 1) 56 2) 128 3) 270 4) 326 14. ในการแขง ขันฟุตบอลฤดูกาลหนึ่ง มีทีมเขา รวมการแขงขนั 7 ทมี จัดแขงแบบพบกันหมด (แตล ะทีมตองลง แขงกบั ทีมอน่ื ทุกทมี ) จะตองจดั การแขง ขันอยา งนอยกน่ี ดั 1) 7 2) 14 3) 21 4) 28 เฉลย 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 1) 5. 3) 6. 2) 7. 3) 8. 2) 9. 1) 10. 4) 11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 3) โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (149)

สถิติ (Statistics) 1. ขอ มูล ขอมลู ทใ่ี ชใ นการวเิ คราะหทางสถิติมีสองประเภท คอื ขอมลู ท่ไี มไดแ จกแจงความถ่ี ซ่ึงจะเหน็ คาของขอ มูล ทุกตัวและขอ มูลที่แจกแจงความถ่ี จะเห็นเปนอันตรภาคชนั้ ความกวา งของอนั ตรภาพชัน้ = ขอบบน - ขอบลาง ขอบบน + ขอบลา ง จดุ กง่ึ กลางอันตรภาคช้ัน = 2 2. การวดั แนวโนมเขา สสู ว นกลาง 1. คาเฉล่ยี เลขคณติ , Mean, x N ∑xi x ของขอ มูลทไี่ มแ จกแจงความถ่ี x = i =N1 x ของขอมูลที่แจกแจงความถ่ี K N x = i ∑=N1fi x i ∑ ขอสังเกต 1. x i = N x i=1 2. N - x) = 0 ∑ (x i i=1 3. N - a)2 มคี า นอยทีส่ ุดเม่อื a = x ∑ (x i i=1 4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มคี า เฉลย่ี เลขคณติ เปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลีย่ เลขคณิตเปน x + k x1k, x2k, x3k, ..., xnk มีคาเฉลีย่ เลขคณิตเปน x k N1Nx12 NN22x 5. x รวม = + 2 + คณิตศาสตร (150)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010