Brands Math

เซต เซตจาํ กัด คอื เซตท่ีสามารถระบุจาํ นวนสมาชิกได เซตอนันต คือ เซตท่มี ีจาํ นวนสมาชิกมากมาย เซตวาง คือ เซตทีไ่ มมสี มาชกิ หรือมีจํานวนสมาชิกเปน ศูนย เขยี นแทนดว ย φ หรอื { } ตัวอยางท่ี 1 ให A เปน เซตจาํ กดั และ B เปนเซตอนันต ขอความใดตอไปนี้เปนเทจ็ 1) มีเซตจาํ กัดท่ีเปนสับเซตของ A 2) มีเซตจาํ กัดที่เปนสับเซตของ B *3) มีเซตอนนั ตท ีเ่ ปน สบั เซตของ A 4) มเี ซตอนนั ตที่เปนสบั เซตของ B จํานวนสมาชิกของเซตจํากัด ให n(A) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของเซต A 1. n(U) = n(A) + n(A′) 2. n(A U B) = n(A) + n(B) - n(A I B) 3. n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) 4. n(A - B) = n(A) - n(A I B) คณิตศาสตร (2) _______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

ตัวอยางท่ี 2 ถา กาํ หนดจํานวนสมาชกิ ของเซตตา งๆ ตามตารางตอ ไปน้ี เซต A U B A U C B U C A U B U C AIBIC 7 จํานวนสมาชิก 25 27 26 30 4) 26 แลว จาํ นวนสมาชกิ ของ (A I B) U C เทากับขอใดตอ ไปน้ี *1) 23 2) 24 3) 25 ตวั อยางที่ 3 นักเรยี นกลมุ หนง่ึ จาํ นวน 46 คน แตละคนมีเสอื้ สเี หลืองหรอื เส้อื สฟี าอยางนอยสลี ะหนง่ึ ตวั ถา นกั เรียน 39 คนมีเสื้อสเี หลอื ง และ 19 คนมีเสื้อสฟี า แลวนกั เรยี นกลมุ นีท้ ่มี ีทั้งเสื้อสเี หลอื งและเสือ้ สีฟามีจํานวนเทากับขอใดตอไปน้ี 1) 9 2) 10 3) 11 *4) 12 ตวั อยางที่ 4 นกั เรยี นกลุมหนึง่ จาํ นวน 50 คน มี 32 คน ไมช อบเลน กฬี าและไมช อบฟง เพลง ถามี 6 คน ชอบฟง เพลงแตไ มชอบเลน กฬี า และมี 1 คน ชอบเลน กฬี าแตไมชอบฟง เพลง แลว นกั เรียนในกลมุ นที้ ช่ี อบ เลนกีฬาและชอบฟงเพลงมจี าํ นวนเทา กับขอใดตอ ไปน้ี *1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน ตัวอยา งท่ี 5 กําหนดให A และ B เปน เซต ซง่ึ n(A U B) = 88 และ n[(A - B) U (B - A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว n(B) เทา กับขอ ใดตอไปน้ี 1) 45 2) 48 3) 53 *4) 55 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณติ ศาสตร (3)

ตวั อยางที่ 6 ในการสอบถามพอ บานจาํ นวน 300 คน พบวา มีคนทไี่ มด่มื ท้ังชาและกาแฟ 100 คน มีคนท่ีดมื่ ชา 100 คน และมคี นท่ดี ม่ื กาแฟ 150 คน พอบา นทด่ี ม่ื ทั้งชาและกาแฟมจี าํ นวนเทา ใด (ตอบ 50 คน) สับเซต บทนยิ าม เซต A เปน สับเซตของเซต B กต็ อเมอื่ สมาชิกทุกตวั ของเซต A เปนสมาชิกของเซต B และ เขยี นเปนสญั ลักษณ คือ A ⊂ B ตัวอยา งที่ 7 ให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} เน่ืองจากสมาชิกของเซต A ทุกตวั เปน สมาชกิ ของ เซต B ดงั น้นั A ⊂ B เพาเวอรเซต บทนิยาม เพาเวอรเซตของเซต A คอื เซตที่มีสมาชิกเปนสบั เซตท้งั หมดของเซต A เขียนแทนดวย P(A) ตวั อยา งท่ี 8 ให A = {1, 2, 3} จะไดสับเซตทัง้ หมดของ A ไดแ ก φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} P(A) = {φ, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} สมบตั ขิ องสบั เซตและเพาเวอรเซต 1. φ เปน สับเซตของเซตทุกเซต 2. φ เปน สมาชกิ ของเพาเวอรเซตเสมอ 3. A ⊂ A 4. A ∈ P(A) 5. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 6. จาํ นวนสับเซตของเซต A ท้ังหมดเทากับ 2n(A) 7. จํานวนสมาชกิ ของ P(A) ทง้ั หมดเทากบั 2n(A) คณติ ศาสตร (4) _______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

การดาํ เนนิ การทางเซต 1. ยเู นียน เซต A ยเู นียนกับเซต B คอื เซตที่มีสมาชิกเปน สมาชิกของเซต A หรอื เซต B เขยี นแทนดว ย AUB 2. อินเตอรเซกชนั เซต A อินเตอรเซกชันกบั เซต B คอื เซตทมี่ ีสมาชิกเปน สมาชกิ ของเซต A และเซต B เขียนแทนดว ย A I B 3. ผลตาง ผลตา งของ A และ B คอื เซตท่มี สี มาชกิ ในเซต A แตไ มเปน สมาชกิ ในเซต B เขยี นแทนดวย A-B 4. คอมพลีเมนต ถา A เปน เซตเซตใดในเอกภพสัมพันธ U แลว คอมพลเี มนตของเซต A คือ เซตที่มี สมาชกิ เปนสมาชิกของ U แตไ มเปน สมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย A′ ตัวอยางท่ี 9 กาํ หนดให U = {1, 2, 3, ..., 10} A = {1, 2, 4, 8} B = {2, 4, 6, 10} จะได A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10} A I B = {2, 4} A - B = {1, 8} B - A = {6, 10} A′ = {3, 5, 6, 7, 9, 10} และ B′ = {1, 3, 5, 7, 8, 9} ตัวอยางที่ 10 ถา A - B = {2, 4, 6}, B - A = {0, 1, 3} และ A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว A I B เปน สบั เซตในขอ ใดตอ ไปน้ี 1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} *3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (5)

การใหเหตผุ ล การใหเ หตุผลทางคณิตศาสตรทส่ี าํ คญั มอี ยู 2 วิธี ไดแ ก 1. การใหเหตผุ ลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) หมายถึง วธิ กี ารสรปุ ผลในการคนหาความจริง จากการสงั เกตหรือการทดลองหลายๆ คร้งั จากกรณี ยอยแลว นาํ มาสรปุ เปนความรแู บบท่วั ไป 2. การใหเ หตผุ ลแบบนริ นัย (Deductive Reasoning) หมายถึง วธิ กี ารสรุปขอเทจ็ จรงิ โดยการนาํ ความรพู ื้นฐาน ความเชอ่ื ขอตกลง หรือบทนิยาม ซ่ึงเปนสิ่ง ทรี่ ูมากอ นและยอมรบั วาเปน จริง เพ่อื หาเหตผุ ลนาํ ไปสูขอสรุป ตัวอยางท่ี 1 จงพิจารณาการใหเ หตุผลตอ ไปน้เี ปน การใหเ หตผุ ลแบบอุปนยั หรอื นิรนัย 1) เหตุ 1. นัทชอบทานไอศกรีม 2. แนทชอบทานไอศกรมี ผล เด็กทุกคนชอบทานไอศกรีม 2) เหตุ 1. เด็กทกุ คนชอบทานไอศกรมี 2. แนทเปน เดก็ ผล แนทชอบทานไอศกรีม ตัวอยางท่ี 2 จงหาคา a จากแบบรูปของจํานวนท่กี ําหนดให 1, 4, 9, 16, 25, a 2, 4, 8, 16, 32, a ความสมเหตุสมผล สว นประกอบของการใหเหตุผล การตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยแผนภาพเวนน- ออยเลอร 1. a เปนสมาชกิ ของ A 2. a ไมเปน สมาชกิ ของ A คณติ ศาสตร (6) _______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

3. สมาชิกทุกตัวของ A เปนสมาชกิ ของ B 4. ไมม สี มาชิกตวั ใดใน A เปน สมาชิกของ B 5. สมาชกิ บางตัวของ A เปน สมาชิกของ B 6. สมาชิกบางตัวของ A ไมเ ปน สมาชิกของ B ตัวอยางที่ 3 กําหนดเหตใุ หดังตอไปน้ี เหตุ ก. ทุกจงั หวัดท่อี ยูไกลจากกรุงเทพมหานครเปน จังหวัดท่มี อี ากาศดี ข. เชียงใหมเ ปนจังหวัดทม่ี อี ากาศไมดี ขอ สรุปในขอ ใดตอไปนีส้ มเหตุสมผล *1) เชยี งใหมเปน จงั หวดั ทอ่ี ยไู มไ กลจากกรงุ เทพมหานคร 2) นราธิวาสเปนจังหวดั ทีอ่ ยูไมไกลจากกรุงเทพมหานคร 3) เชยี งใหมเ ปน จงั หวัดท่ีอยไู กลจากกรงุ เทพมหานคร 4) นราธิวาสเปนจังหวัดท่อี ยูไกลจากกรงุ เทพมหานคร ตวั อยา งที่ 4 จงพิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ 1. คนตกี อลฟ ทุกคนเปนคนสายตาดี 2. คนที่ตกี อลฟไดไ กลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาดี 3. ธงชัยตีกอลฟเกง แตต ไี ดไ มไ กลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปนี้ มีความเปนไปไดท จ่ี ะสอดคลอ งกบั ขอความทัง้ สามขางตน เม่อื จุดแทนธงชยั 1) 2) *3) 4) โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 _______________________________ คณติ ศาสตร (7)

ตัวอยา งท่ี 5 จากแบบรปู ตอไปนี้ 7 14 21 77 1 2 4 2 4 8 3 6 12 . . . a b c โดยการใหเ หตุผลแบบอปุ นัย 2a - b + c มคี าเทา กบั ขอใดตอไปนี้ *4) 44 1) 11 2) 22 3) 33 ตัวอยางท่ี 6 พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. นักกฬี าทกุ คนมีสุขภาพดี ข. คนที่มีสุขภาพดีบางคนเปนคนดี ค. ภราดรเปนนักกีฬา และเปนคนดี แผนภาพในขอใดตอไปน้ี มีความเปนไปไดทจ่ี ะสอดคลองกบั ขอ ความทง้ั สามขอขางตน เม่ือจดุ แทนภราดร 1) 2) 3) *4) ตัวอยางที่ 7 เหตุ 1. ไมม ีคนขยนั คนใดเปนคนตกงาน 2. มคี นตกงานที่เปน คนใชเ งนิ เกง 3. มีคนขยันทีไ่ มเปนคนใชเงินเกง ผล ในขอ ใดตอไปนที้ ่เี ปนการสรปุ ผลจากเหตุขางตน ทีเ่ ปน ไปอยางสมเหตุสมผล 1) มคี นขยนั ที่เปน คนใชเงินเกง *2) มคี นใชเ งนิ เกงทเ่ี ปน คนตกงาน 3) มคี นใชเงินเกง ทเ่ี ปน คนขยนั 4) มคี นตกงานทีเ่ ปนคนขยนั คณติ ศาสตร (8) _______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

ระบบจาํ นวนจรงิ แผนผงั แสดงความสมั พนั ธของระบบจาํ นวน จาํ นวนเชิงซอ น จาํ นวนจรงิ (R) จาํ นวนจนิ ตภาพ จาํ นวนอตรรกยะ (Q′) จาํ นวนตรรกยะ (Q) จํานวนตรรกยะ (I′) ที่ไมใชจ ํานวนเต็ม จาํ นวนเตม็ (I) จาํ นวนเต็มลบ (I-) จาํ นวนเตม็ บวก (I+) (จาํ นวนนับ) (N) จาํ นวนเต็มศูนย (I0) จาํ นวนอตรรกยะ หมายถงึ จํานวนท่ไี มสามารถเขยี นใหอ ยใู นรปู เศษสวนของจาํ นวนเต็ม หรือทศนยิ ม ซาํ้ ได เชน 2 , 5 , - 3 , π, 2.17254... เปน ตน จาํ นวนตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทีส่ ามารถเขียนในรปู เศษสว นของจาํ นวนเตม็ ได ตวั อยางที่ 1 พิจารณาขอ ความตอ ไปน้ี 3) ก. ผิด และ ข. ถกู *4) ก. และ ข. ผดิ ก. มีจํานวนตรรกยะทน่ี อยท่ีสุดท่มี ากกวา 0 ข. มจี าํ นวนอตรรกยะท่ีนอ ยทีส่ ุดทมี่ ากกวา 0 ขอสรุปใดตอไปนีถ้ กู ตอง 1) ก. ถูก และ ข. ผดิ 2) ก. และ ข. ถูก ตวั อยางท่ี 2 กาํ หนดใหคา ประมาณทีถ่ ูกตอ งถงึ ทศนยิ มตําแหนงที่ 3 ของ 3 และ 5 คือ 1.732 และ 2.236 ตามลาํ ดบั พิจารณาขอ ความตอไปนี้ ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 - 1.731 ≤ 5 - 3 ≤ 2.237 - 1.733 ขอสรุปใดตอไปน้ถี ูกตอง *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผดิ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 _______________________________ คณิตศาสตร (9)

สมบตั ขิ องจํานวนจริง 1. สมบัตกิ ารเทา กนั ของจาํ นวนจรงิ กาํ หนดให a, b, c ∈ R 1) สมบตั กิ ารสะทอน a=a 2) สมบัตกิ ารสมมาตร ถา a = b แลว b = a 3) สมบัติการถา ยทอด ถา a = b และ b = c แลว a = c 4) สมบัตกิ ารบวกดวยจํานวนที่เทากัน ถา a = b แลว a + c = b + c 5) สมบัตกิ ารคูณดว ยจาํ นวนทเี่ ทา กัน ถา a = b แลว a + c = b + c 2. สมบัตขิ องจํานวนจรงิ เกยี่ วกับพชี คณติ กาํ หนดให a, b, c ∈ R สมบตั ิ สมบัติของการบวก สมบัติของการคณู สมบัตปิ ด สมบตั กิ ารสลบั ท่ี a+b∈R a⋅b ∈ R สมบัตกิ ารเปลยี่ นกลุม a+b=b+a a⋅b = b⋅a สมบตั กิ ารมีเอกลักษณ a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c มี 0 เปนเอกลกั ษณก ารบวก มี 1 เปนเอกลักษณการคูณ สมบตั กิ ารมอี ินเวอรส ซ่ึง 0 + a = a = a + 0 ซง่ึ 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 สําหรับจาํ นวนจริง a สาํ หรบั จํานวนจริง a ท่ี a ≠ 0 สมบัตกิ ารแจกแจง มจี าํ นวนจริง -a จะมี a-1 ที่ a ⋅ a-1 = a-1 ⋅ a = 1 ท่ี (-a) + a = 0 = a + (-a) a(b + c) = ab + ac ตัวอยา งท่ี 3 ให a และ b เปน จํานวนตรรกยะที่แตกตางกัน 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผดิ c และ d เปนจาํ นวนอตรรกยะท่แี ตกตา งกนั พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. a - b เปนจํานวนตรรกยะ ข. c - d เปน จํานวนอตรรกยะ ขอ สรุปใดตอไปนถี้ กู ตอ ง 1) ก. และ ข. ถูก *2) ก. ถูก และ ข. ผิด คณิตศาสตร (10)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

ตวั อยางที่ 4 พิจารณาขอความตอ ไปน้ี ก. สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส การบวกของจํานวนจรงิ b ที่ b + a = 0 = a + b ข. สมบัติการมอี นิ เวอรสการคณู ของจาํ นวนจริงกลา ววา สําหรับจํานวนจริง a จะมจี าํ นวนจรงิ b ที่ ba = 1 = ab ขอ สรปุ ใดตอ ไปนีถ้ กู ตอง 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด ทบทวนสตู ร 1. กาํ ลังสองสมบูรณ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 2. กําลงั สามสมบรู ณ (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3a2b - b3 3. ผลตา งกําลงั สอง a2 - b2 = (a - b)(a + b) 4. ผลตา งกาํ ลงั สาม a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) จากสมการพหนุ ามกําลงั สอง ax2 + bx + c = 0 เมื่อ a, b และ c เปน คา คงท่ี, a ≠ 0 จะได x = -b ± b2 - 4ac 2a ถา b2 - 4ac > 0 แลว x จะมี 2 คาํ ตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว x จะมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว x จะไมมีคําตอบที่เปนจํานวนจริง โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (11)

สมบัติของอสมการ ให a, b และ c เปนจาํ นวนจริง 1. สมบตั กิ ารถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตั ิการบวกดว ยจาํ นวนจรงิ ทีเ่ ทากัน ถา a > b แลว a + c > b + c 3. สมบัติการคณู ดว ยจาํ นวนทเี่ ทากัน ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ให a และ b เปนจาํ นวนจริง จาก a < x < b จะได a < x และ x < b ชวงของจํานวนจริง ให a และ b เปนจํานวนจริง และ a < b 1. (a, b) = {x|a < x < b} เสน จํานวน คอื a b 2. [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} เสน จํานวน คอื a b 3. (a, b] = {x|a < x ≤ b} เสนจาํ นวน คอื a b 4. [a, b) = {x|a ≤ x < b} เสนจาํ นวน คอื a b 5. (-∞, a) = {x|x < a} เสน จาํ นวน คอื a 6. [a, ∞) = {x|x ≥ a} เสนจํานวน คอื a ตัวอยางที่ 5 ตองการลอ มรัว้ รอบท่ดี ินรปู สเี่ หล่ยี มผนื ผา ซ่งึ มพี ื้นท่ี 65 ตารางวา โดยดานยาวของที่ดินยาวกวา สองเทาของ ดา นกวา งอยู 3 วา จะตองใชร วั้ ทมี่ ีความยาวเทากับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 30 วา *2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา คณติ ศาสตร (12)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

ตวั อยางที่ 6 เม่อื เขยี นกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท่ี a ≠ 0 เพ่อื หาคําตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอ ไปนแี้ สดงวา สมการไมมคี ําตอบทีเ่ ปนจาํ นวนจริง y y 5 5 1) 0 5x 2) 0 5x -5 -5 -5 -5 y y 5 5 3) 0 5x *4) 0 5x -5 -5 -5 -5 ตัวอยางท่ี 7 แมคานําเมล็ดมะมวงหิมพานต 1 กโิ ลกรัม ถั่วลสิ ง 3 กิโลกรัม และเมลด็ ฟก ทอง 4 กโิ ลกรมั มาผสมกนั แลวแบง ใสถงุ ถงุ ละ 100 กรมั ถาแมค าซอ้ื เมลด็ มะมวงหิมพานต ถ่วั ลสิ ง และเมล็ดฟกทองมาในราคา กิโลกรัมละ 250 บาท 50 บาท และ 100 บาท ตามลําดับ แลว แมคาจะตอ งขายเมลด็ พืชผสมถงุ ละ 100 กรัมนี้ ในราคาเทา กับขอ ใดตอ ไปนีจ้ ึงจะไดก ําไร 20% เม่ือขายหมด 1) 10 บาท *2) 12 บาท 3) 14 บาท 4) 16 บาท โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (13)

ตัวอยา งท่ี 8 เซตคําตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + x 2 ≤1 คอื เซตในขอใดตอ ไปนี้ 1- 1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] *3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] คาสมั บรู ณ บทนยิ าม ให a เปน จํานวนจรงิ a เมื่อ a≥0 |a| = -a เมือ่ a<0 ทฤษฎีบทเก่ียวกบั คา สมั บูรณ 1. |x| = a ก็ตอ เม่ือ x = a หรอื x = -a 2. ให a เปนจํานวนจริงบวก |x| < a กต็ อเมอ่ื -a < x < a |x| ≤ a ก็ตอเม่อื -a ≤ x ≤ a |x| > a ก็ตอเมอ่ื x < -a หรอื x > a |x| ≥ a ก็ตอ เมื่อ x ≤ -a หรือ x ≥ a ตัวอยางท่ี 9 พิจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรุปใดตอ ไปนี้เปน เทจ็ 1) คําตอบหนงึ่ ของสมการมคี าระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาํ ตอบทั้งหมดของสมการมคี า เทากับ 14 *3) สมการน้ีมคี ําตอบมากกวา 2 คําตอบ 4) ในบรรดาคําตอบท้งั หมดของสมการ คําตอบที่มีคานอ ยท่สี ุดมีคา นอยกวา 3 คณิตศาสตร (14)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

  |1a|2 1a 2       ตัวอยา งที่ 10 จํานวนสมาชกิ ของเซต  x x =  a + - |a|- เม่ือ a เปน จาํ นวนจรงิ ซึง่ ไมเ ทา กบั 0       เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 1 *2) 2 3) 3 4) มากกวา หรอื เทากับ 4 ตัวอยา งท่ี 11 ผลบวกของคําตอบทกุ คาํ ตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทา กบั ขอใดตอไปน้ี 2) 3 *3) 3 - 1 4) 3 + 1 1) 0 โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (15)

ความสัมพันธแ ละฟงกช นั ผลคณู คารทเี ชียน กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณู คารทเี ชยี นของ A และ B คือ A × B = {(a, b)|a ∈ A และ b ∈ B} เชน ให A = {1, 2} และ B = {a, b, c} จะได A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} สมบัตขิ องผลคูณคารทเี ชียน ให A, B และ C เปน เซตใดๆ 1. A × φ = φ × A = φ 2. A × B ≠ B × A 3. n(A × B) = n(A) × n(B) 4. A × (B U C) = (A × B) U (A × C) (B U C) × A = (B × A) U (C × A) 5. A × (B I C) = (A × B) I (A × C) (B I C) × A = (B × A) I (C × A) ตัวอยางที่ 1 กําหนดให A = {1, 2} และ B = {a, b} คูอันดับในขอใดตอ ไปนเี้ ปน สมาชิกของผลคูณคารท ีเชียน A × B *1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) ความสมั พนั ธ คอื เซตของคูอ ันดับทเ่ี ก่ียวของกนั ตามเง่ือนไขทกี่ ําหนดและเปนสบั เซตของผลคูณคารท เี ชยี น กําหนดให A และ B เปนเซตใดๆ r เปน ความสัมพันธจ าก A ไป B เขียนแทนดว ย r ⊂ A × B r เปนความสมั พันธใ น A เขยี นแทนดว ย r ⊂ A × A *จาํ นวนความสมั พันธทงั้ หมดจาก A ไป B เทา กบั 2n(A)×n(B) คณติ ศาสตร (16)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

ตวั อยางท่ี 2 กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, ... , 11, 12} S = (a, b) ∈ A × B b = 2a + 2a     จํานวนสมาชกิ ของเซต S เทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4 ตวั อยางที่ 3 ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจํานวนสมาชิกในความสมั พันธ r เทากับขอ ใดตอไปนี้ 1) 8 *2) 10 3) 12 4) 16 โดเมนของ r เขียนแทนดวย Dr คอื เซตของสมาชกิ ตวั หนาของคอู ันดับทงั้ หมดใน r สญั ลักษณ คือ Dr = {x|(x, y) ∈ r} เรนจของ r เขยี นแทนดว ย Rr คอื เซตของสมาชกิ ตวั หลังของคูอนั ดับท้ังหมดใน r สญั ลกั ษณ คอื Rr = {y|(x, y) r} เชน จาก r ∈ 4), (-1, 1), (1, 1)} {(-2, = จะได Dr = {-2, -1, 1} และ Rr = {1, 4} การหาโดเมนและเรนจข องความสมพันธข อง r ⊂ R × R 1. โดเมน หาโดยจัดรูปสมการเปน y ในรปู ของ x และพิจารณาวา x สามารถเปนจาํ นวนจริงใดไดบา ง ทีส่ ามารถหาคา y ที่เปน จํานวนจรงิ ได 2. เรนจ หาโดยจัดรูปสมการเปน x ในรปู ของ y และพจิ ารณาวา y สามารถเปนจาํ นวนจริงใดไดบ า ง ฟง กชัน คอื ความสัมพันธท่คี อู ันดับทุกๆ ตัวในความสมั พนั ธ ถาสมาชิกตัวหนาของคูอันดับสองคูเทา กนั แลว สมาชิกตัวหลังของท้ังสองคอู นั ดบั ตอ งเทากนั ดวย นัน่ คอื r เปนฟงกช ันกต็ อ เมอื่ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z r ไมเปนฟงกชนั ก็ตอ เมือ่ มี (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r ซ่งึ y ≠ z โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (17)

การตรวจสอบฟง กช ัน 1. กรณี r เขยี นแบบแจกแจงสมาชกิ ถา มสี มาชกิ ตัวหนา ของคูอันดบั ซง่ึ เปนสมาชิกใน r จับคูก บั สมาชกิ ตวั หลังของคอู นั ดบั มากกวา 1 ตวั ข้ึนไป r ไมเปน ฟงกชัน เชน r1 = {(a, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 4)} จr2ะไ=ด{r1(pไ,ม2เ)ป, น(qฟ,ง 4ก)ช, นั (r,เพ6)ร}าะ b จับคกู ับ 2 และ 3 จะได r2 เปนฟง กช นั เพราะสมาชกิ ตวั หนาของคูอ นั ดบั ทุกตัวจับคูกับสมาชกิ ตวั หลังเพยี งตวั เดียว เทา น้ัน 2. กรณี r วาดเปนรปู กราฟ ใหล ากเสนตรงต้ังฉากกบั แกน x ถามกี รณีทเี่ สน ตรงทีล่ ากตั้งฉากกับแกน x ตัดกับกราฟของ r เกินเกิน 1 จุดข้นึ ไป r ไมเปนฟงกชัน y r1 เนื่องจากมีกรณีทเ่ี สน ตรงท่ีตัง้ ฉากกับแกน x ตัดกับกราฟ r เชน เกิน 1 จุด x ดงั นั้น r1 ไมเ ปน ฟงกช นั y เนอ่ื งจากไมมกี รณที ี่เสนตรงท่ตี ั้งฉากกบั แกน x ตัดกับกราฟ r เกนิ 1 จุด ดงั นนั้ r2 เปน ฟงกช นั x r2 ตวั อยา งท่ี 4 จํานวนในขอใดตอ ไปนเ้ี ปน สมาชกิ ของโดเมนของฟง กชนั f = (x, y)|y = x2 x + 2x - 1 + 3x + 2 x2 -1 1) -2 2) -1 *3) 0 4) 1 คณติ ศาสตร (18)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

ตวั อยา งท่ี 5 ให A = {1, 99} ความสมั พันธใ น A ในขอ ใดไมเ ปน ฟงกชัน 1) เทากบั 2) ไมเทากับ *3) หารลงตัว 4) หารไมลงตวั ตัวอยางท่ี 6 จากความสัมพันธ r ทแ่ี สดงดว ยกราฟดงั รูป y 3 2 1 -3 -2 -1-10 123 x -2 -3 ขอใดตอไปนี้ถกู ตอ ง 1) r เปนฟงกช นั เพราะ (1, 1), (2, 2) และ (3, 3) อยูในแนวเสน ตรงเดียวกนั 2) r เปน ฟง กช ันเพราะมจี าํ นวนจดุ เปนจํานวนจาํ กดั *3) r ไมเ ปนฟง กชนั เพราะมีจดุ (3, 3) และ (3, -1) อยบู นกราฟ 4) r ไมเปน ฟงกชนั เพราะมจี ดุ (1, 1) และ (-1, 1) อยบู นกราฟ ฟงกช นั ประเภทตา งๆ ฟง กช นั เชิงเสน (Linear Function) คือ ฟงกช ันทีอ่ ยใู นรปู f(x) = ax + b เมื่อ a, b ∈ R ฟงกช นั คงท่ี (Constant Function) คอื ฟงกชันเชิงเสน ทม่ี ี a = 0 กราฟของฟงกชันจะเปน เสนตรง ขนานกบั แกน X ฟง กช นั กาํ ลงั สอง (Quadratic Function) คอื ฟงกชนั ท่อี ยใู นรูป f(x) = ax2 + bx + c เม่อื a, b, c ∈ R และ a ≠ 0 ถา a > 0 กราฟหงาย มจี ุดวกกลบั เปนจดุ ตํ่าสดุ ของฟงกชัน และถา a < 0 กราฟคว่าํ มีจุดวกกลบั เปน จุดสงู สุดของฟง กช นั ถา รูปทว่ั ไปของสมการ คือ f(x) = ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c ∈ R จุดวกกลับอยทู ่ี -2ba, f-2ba  หรือ -2ba, 4ac4-a b2  ถา รูปทว่ั ไปของสมการ คือ f(x) = a(x - h)2 + k เม่ือ a, k ∈ R และ a ≠ 0 จดุ วกกลับอยทู ่ี (h, k) โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (19)

การแกสมการโดยใชกราฟ 1. ในกรณีทกี่ ราฟไมต ดั แกน x จะไมมคี ําตอบของสมการทเี่ ปนจํานวนจรงิ 2. กราฟของ y = a(x + c)2 เม่อื c > 0 จะตัดแกน x ท่จี ุด (-c, 0) สมการมีคาํ ตอบเดียว คอื x = -c กราฟของ y = a(x - c)2 เมอื่ c > 0 จะตัดแกน x ทจี่ ดุ (c, 0) สมการมีคําตอบเดยี ว คอื x = c b2 3. นอกเหนอื จากนี้กราฟตดั แกน x สองจุด โดยพจิ ารณาจากการแกส มการ หรอื สูตร x = -b± 2a - 4ac ฟงกช ันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function) คือ ฟงกชนั ท่อี ยใู นรปู y = ax เม่ือ a > 0 และ a ≠ 1 ฟงกชันคา สมั บูรณ (Absolute Value Function) คอื ฟง กชนั ทีอ่ ยใู นรูป y = |x - a| + c เมื่อ a, c ∈ R ฟงกช ันข้นั บนั ได (Step Function) คอื ฟง กชนั ทม่ี ีโดเมนเปนสบั เซตของ R และมคี า ฟง กชันคงตัวเปน ชวงๆ มากกวาสองชว ง กราฟของฟง กชนั จะมีรูปคลา ยบันได ตัวอยางท่ี 7 คาของ a ทท่ี าํ ใหก ราฟของฟง กชัน y = a(2x) ผา นจดุ (3, 16) คอื ขอใดตอ ไปน้ี *1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 ตวั อยางท่ี 8 ทกุ x ในชว งใดตอไปน้ีทีก่ ราฟของสมการ y = -4x2 - 5x + 6 อยเู หนือแกน x 21, 23 23 13 52 23 14 67 *1) - , -  2)  - , -  3)  ,  4)           ตวั อยางท่ี 9 กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริงบวก ถา กราฟของฟง กช ัน y1 = 1 + ax และ y2 = 1 + bx มี ลักษณะดงั แสดงในภาพตอไปนี้ y y2 = 1 + bx y1 = 1 + ax 2 ขอ ใดตอ ไปนี้เปน จรงิ 1 x 4) b < a < 1 1) 1 < a < b 0 *3) b < 1 < a 2) a < 1 < b คณิตศาสตร (20)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

ตัวอยางท่ี 10 ถาเสน ตรง x = 3 เปน เสนสมมาตรของกราฟของฟง กช ัน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 - 10) เมอ่ื k เปนจาํ นวนจริง แลว f มีคาสูงสุดเทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) -4 *2) 0 3) 6 4) 14 ตัวอยางที่ 11 กําหนดให f(x) = x2 - 2x - 15 ขอใดตอไปน้ีผดิ 1) f(x) ≥ -17 ทกุ จาํ นวนจรงิ x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) *4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (21)

เลขยกกาํ ลงั สมบัติของเลขยกกําลัง ให a และ b เปน จํานวนจริงใดๆ โดยท่ี m และ n เปน จํานวนเต็มบวก และ k เปน จํานวนเต็ม 1. am ⋅ an = am+n am 2. (aamn)n = am-n 3. = amn 4. (am ⋅ bn)k = amk ⋅ bnk  am k 5.  bn  = amk , b ≠ 0   bnk 1 6. a-n = an , a≠0 7. a0 = 1, a ≠ 0 เลขยกกาํ ลังทีม่ เี ลขชีก้ าํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก และ n เปนจํานวนที่มากกวา 1 a1/n = n a บทนยิ าม กําหนด a เปนจาํ นวนจรงิ m และ n เปนจาํ นวนเตม็ ที่มากกวา 1 ที่ ห.ร.ม ของ m และ n เทา กับ 1 n am = am/n สมการในรูปเลขยกกาํ ลงั ให a และ b เปนจํานวนจรงิ บวกท่ไี มเ ทา กับ 1 และ m, n เปน จาํ นวนตรรกยะ จะไดว า 1. am = an ก็ตอ เมอ่ื m = n 2. am = bm ก็ตอเมือ่ m = 0 และ a, b ≠ 0 ตวั อยางท่ี 1 คาของ (-2)2 +  81/2 +2 2  เทา กับขอใดตอ ไปน้ี 32     1) -1 2) 1 *3) 3 4) 5 คณติ ศาสตร (22)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

ตัวอยางที่ 2 ถา  1285 4 =  61265  1/ x แลว x มคี าเทากับขอใดตอไปนี้   1) 34 *2) 32 3) 23 4) 34 ตัวอยางท่ี 3 ขอใดตอ ไปน้ีผดิ 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 *3) 220 ⋅ 340 ⋅ 430 < (24)30 ตวั อยางท่ี 4 ( 18 + 2 3 -125 - 3 4 4 ) มคี าเทา กบั ขอ ใดตอไปน้ี *1) -10 2) 10 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5 ตวั อยา งที่ 5  5 - 2  2 มคี าเทากบั ขอใดตอไปน้ี  6 15   2) 170 *1) 130  3) 5 - 2 4) 6 - 2 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (23)

อสมการในรปู เลขยกกาํ ลงั ให a เปนจํานวนจรงิ บวกท่ีไมเทากับ 1 และ m, n เปน จํานวนตรรกยะ จะไดวา 1. am < an และ a > 1 จะไดว า m < n 2. am < an และ 0 < a < 1 จะไดวา m > n ตวั อยา งท่ี 6 เซตคาํ ตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 312 คือเซตในขอ ใดตอ ไปน้ี - 52, 52 2) - 52, 1 3) - 21, 1 21, 52 1)  *4) -    ตวั อยา งที่ 7 ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มีคา เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 13 *2) 23 3) 34 4) 53 ตัวอยา งที่ 8 ถา 3 + 83 3x = 1861 แลว x มีคา เทา กับขอ ใดตอไปน้ี 4) 91 *1) - 94 2) - 92 3) - 91 ตวั อยา งท่ี 9 ขอ ใดตอไปนผ้ี ดิ *2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 1) 0.9 + 10 < 0.9 + 10 4) 300 125 < 200 100 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) คณติ ศาสตร (24)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

ตวั อยางท่ี 10 ถา 4a = 2 และ 16-b = 14 แลว a + b มคี าเทา กับเทา ใด (ตอบ 0.75) ตวั อยา งที่ 11 คาของ x ทส่ี อดคลอ งกับสมการ 2 (x2) = 2(4x) เทากับขอ ใดตอไปนี้ 1) 2 2) 3 44 *3) 4 4) 5 ตัวอยา งท่ี 12 อสมการในขอใดตอไปน้ีเปน จรงิ 2) 3600 < 21000 < 10300 1) 21000 < 3600 < 10300 4) 10300 < 21000 < 3600 *3) 3600 < 10300 < 21000 ตวั อยางท่ี 13 5 -32 + 26 มีคา เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 3 27 (64)3/2 *1) - 2143 2) - 56 3) 32 4) 1294 ตวั อยา งที่ 14 ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มีคา เทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 *4) 200 โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (25)

อัตราสว นตรโี กณมิติ ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส ถา ABC เปนรปู สามเหลีย่ มมมุ ฉากซงึ่ มี ACˆB เปน มมุ ฉาก c แทนความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก a และ b แทนความยาวของดา นประกอบมมุ ฉากจะไดค วามสมั พนั ธร ะหวา งความยาวของดานท้งั สามของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก ABC ดังน้ี B c a c2 = a2 + b2 A bC อตั ราสวนตรีโกณมิตขิ องรูปสามเหลยี่ มมุมฉาก บทนยิ าม กาํ หนดให ABC เปน รปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ความยาวของดานตรงขามมมุ A ความยาวของดา นตรงขามมุมฉาก B ไซน (sine) ของมมุ A = sin A = c a โคไซน (cosine) ของมมุ A = cos A = ความยาวของดา นประชดิ มุม A ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก A b C แทนเจนต (tangent) ของมมุ A = tan A = ความยาวของดานตรงขามมมุ A ความยาวของดานประชดิ มมุ A sin A = ac , cos A = bc , tan A = ab และยังมอี ตั ราสวนอ่นื ๆ อกี คอื 1. csc A = sin1A , sec A = co1s A , cot A = tan1 A 2. tan A = csoins AA , cot A = csoins AA 3. sin2 A + cos2 A = 1 4. tan2 A + 1 = sec2 A 5. 1 + cot2 A = csc2 A คณติ ศาสตร (26)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

ความสมั พันธร ะหวา งมมุ A กับมมุ 90° - A ในรปู สามเหล่ยี มมมุ ฉาก C A B sin A = cos (90° - A), csc A = sec (90° - A) cos A = sin (90° - A), sec A = csc (90° - A) tan A = cot (90° - A), cot A = tan (90° - A) อตั ราสวนตรโี กณมิตขิ องมมุ 30°, 45° และ 60° มุม sin cos tan csc sec cot 12 1 2 30° 2 23 3 2 3 3 45° 2 2 60° 3 212 1 2 = 2 2 = 2 1 2 2 2 1 2 3 3 3 2 การเปรียบเทียบมาตรการวัดมมุ ระบบอังกฤษและระบบเรเดียน 360° = 2π เรเดยี น 180° = π เรเดียน 90° = π2 เรเดียน 30° = π6 เรเดยี น 60° = π3 เรเดยี น 45° = π4 เรเดยี น ตวั อยา งท่ี 1 จากรูป ขอใดตอไปน้ีถูกตอ ง A 21° C *1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° B 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (27)

ตัวอยางที่ 2 ขอใดตอไปนถ้ี กู ตอง 2) cos 30° < cos 45° *1) sin 30° < sin 45° 4) tan 60° < cot 60° 3) tan 45° < cot 45° ตวั อยางท่ี 3 กาํ หนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปน ตารางหาอตั ราสว นตรโี กณมิติของมมุ ขนาดตางๆ ดังนี้ ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ 40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900 ถารูปสามเหลี่ยม ABC มมี ุม B เปน มุมฉาก มุม C มขี นาด 41° และสว นสูง BX ยาว 1 หนว ย แลว ความยาวของสว นของเสน ตรง AX เปนดังขอ ใดตอไปน้ี B 1) ปรากฏอยใู นตาราง A 2) ปรากฏอยูในตาราง B *3) ปรากฏอยใู นตาราง C 4) ไมป รากฏอยูในตาราง A, B และ C AX C ตวั อยางท่ี 4 ถารปู สามเหลี่ยมดา นเทารปู หนงึ่ มคี วามสูง 1 หนว ย แลว ดา นของรปู สามเหลีย่ มรูปนี้ยาวเทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 3 หนว ย *2) 23 หนว ย 3) 34 หนวย 4) 23 หนว ย 2 3 คณิตศาสตร (28)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

ตัวอยางที่ 5 กําหนดให ABC เปนรปู สามเหลี่ยมที่มีมุม C เปนมมุ ฉาก และ cos B = 23 ถาดาน BC ยาว 1 หนว ย แลว พนื้ ทข่ี องรปู สามเหลี่ยม ABC เทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 5 ตารางหนว ย *2) 5 ตารางหนว ย 5 4 3) 5 ตารางหนวย 4) 5 ตารางหนวย 3 2 ตวั อยา งที่ 6 กาํ หนดให ABCD เปนรูปส่เี หลยี่ มผนื ผา ซ่งึ มีพืน้ ทีเ่ ทากบั 12 หนว ย และ tan ABˆD = 31 ถา AE ตัง้ ฉากกับ BD ท่ีจุด E แลว AE ยาวเทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 10 หนว ย 2) 2 10 หนว ย 3 5 3) 10 หนวย *4) 3 10 หนวย 2 5 ตัวอยา งท่ี 7 C 2 1 E พจิ ารณารปู สามเหลี่ยมตอไปนี้ โดยที่ CFˆE , CAˆB , AEˆB 3 4 และ EDˆB ตางเปนมมุ ฉาก ขอ ใดตอ ไปนผี้ ดิ F 1) sin ( 1ˆ ) = sin ( 5ˆ ) A 2) cos ( 3ˆ ) = cos ( 5ˆ ) *3) sin ( 2ˆ ) = cos ( ˆ4 ) 4) cos ( 2ˆ ) = sin ( 3ˆ ) D5 B โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (29)

ลําดบั และอนุกรม ลําดับ (Sequences) บทนิยาม ลาํ ดบั คอื ฟงกช นั ที่มีโดเมนเปน เซตของจํานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรอื โดเมนเปน เซต ของจาํ นวนเตม็ บวก ลาํ ดบั ทมี่ ีโดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก n ตัวแรกเรียกวา ลาํ ดับจาํ กดั (Finite Sequences) ลาํ ดบั ที่มีโดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก เรยี กวา ลาํ ดับอนนั ต (Infinite Sequences) ลาํ ดับเลขคณติ (Arithmetic Sequences) บทนิยาม ลําดับเลขคณติ คอื ลาํ ดับทผ่ี ลตางซ่ึงไดจ ากพจนท ี่ n + 1 ลบดวยพจนท่ี n มคี า คงตวั คา คงตัวน้เี รยี กวา ผลตางรวม (Common difference) 1. เมื่อกําหนดใหพจนแ รกของลาํ ดับเลขคณิต คือ a1 และผลตางรว ม คือ d โดยที่ d = an+1 - an พจนท ี่ n ของลําดบั นคี้ อื an = a1 + (n - 1)d 2. ลาํ ดับเลขคณติ n พจนแ รก คือ a, a + d, a + 2d, ..., a + (n - 1)d ตวั อยางที่ 1 ลําดบั เลขคณิตในขอ ใดตอ ไปน้ีมบี างพจนเ ทา กบั 40 4) an = 2 + 2n 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n *3) an = 2 - 2n ตวั อยางที่ 2 พจนท่ี 31 ของลําดบั เลขคณติ - 210 , - 310 , - 610 , ... เทากับขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 152 2) 1303 *3) 290 4) 175 ตัวอยา งที่ 3 ถา a1, a2, a3, ... เปน ลําดบั เลขคณติ ซ่งึ a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลําดบั เลขคณิตน้ี มคี า เทา กับขอ ใดตอไปนี้ 1) 1.25 *2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 คณติ ศาสตร (30)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

ลาํ ดับเรขาคณิต (Geometric Sequences) บทนิยาม ลาํ ดบั เรขาคณติ คอื ลําดบั ท่อี ัตราสวนของพจนท ่ี n + 1 ตอ พจนท ี่ n เปน คา คงตัว คา คงตวั นีเ้ รียกวา อัตราสว นรวม (Common ration) 1. เมือ่ กําหนดพจนแรกของลําดบั เรขาคณิตเปน a1 และอัตราสว นรวม คือ r โดยที่ r = a na + 1 พจนท่ี n ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ an = a1 ⋅ rn-1 n 2. ลาํ ดับเรขาคณติ n พจนแ รก คอื a, ar, ar2, ..., arn-1 ตวั อยา งที่ 4 กําหนดให a1, a2, a3 เปน ลําดบั เรขาคณิต โดยที่ a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอื คา ในขอ ใดขอหนึ่ง ตอ ไปนแี้ ลว ขอดงั กลาวคือขอใด *1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 ตัวอยางท่ี 5 กาํ หนดให a1, a2, a3, ... เปนลําดับเรขาคณติ พิจารณาลําดบั สามลําดบั ตอไปน้ี ก. a1 + a3 , a2 + a4 , a3 + a5 , ... ข. aa111a2 , aa212a3 , aa313a4 , ... ค. , , , ... ขอ ใดตอไปนถ้ี กู *1) ทั้งสามลําดบั เปนลาํ ดับเรขาคณติ 2) มีหนง่ึ ลาํ ดบั ไมเ ปน ลําดับเรขาคณิต 3) มีสองลาํ ดับไมเ ปนลาํ ดบั เรขาคณิต 4) ทั้งสามลาํ ดับไมเปนลาํ ดบั เรขาคณิต ตัวอยา งที่ 6 พจนท่ี 16 ของลําดบั เรขาคณติ 6215 , 1 5, 1215 , ... เทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 125 1) 25 5 2) 125 *3) 125 5 4) 625 โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (31)

ตัวอยางที่ 7 ลาํ ดับในขอ ใดตอ ไปนี้ เปน ลําดับเรขาคณิต 3) an = 3n2 4) an = (2n)n *1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n อนกุ รมเลขคณติ (Arinmetic Series) เมอื่ a1, a2, a3, ..., an เปนลาํ ดับเลขคณิต จะไดว า a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนุกรมเลขคณิต ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม คือ S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 MM Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิต Sn = n2 [2a1 + (n - 1)d] หรือ Sn = n2 [a1 + an] ตัวอยางท่ี 8 คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากับขอใดตอไปนี้ 1) 970 2) 1020 3) 1050 *4) 1071 ตัวอยางท่ี 9 ถา a1, a2, a3, ... เปน ลาํ ดบั เลขคณิต ซง่ึ a2 + a3 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + ... + a10 มีคาเทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 120 *2) 125 3) 130 4) 135 คณิตศาสตร (32)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

ตวั อยางท่ี 10 กาํ หนดให S = {101, 102, 103, ... , 999} ถา a เทากบั ผลบวกของจาํ นวนค่ีทัง้ หมดใน S และ b เทากับผลบวกของจํานวนคทู ้งั หมดใน S แลว b - a มคี า เทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี *1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 อนุกรมเรขาคณติ (Geometrics Series) เมือ่ a1, a2, a3, ..., an เปนลําดับแรขาคณติ จะไดว า a1 + a2 + a3 + ... + an เปนอนกุ รมเรขาคณติ ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ n Sn = a1 (1 - r ) เม่อื r ≠ 1 1-r ตัวอยางท่ี 11 ขอใดตอไปนีเ้ ปน อนุกรมเรขาคณติ ที่มี 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 31 + 51 + ... + (2n1- 1) + ... + 1919 3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 51 + 1215 + 31125 1 1 *4) + ... + 52n-1 + ... + 5199 ตัวอยา งท่ี 12 ผลบวกของอนุกรมเรขาคณติ 1 - 2 + 4 - 8 + ... + 256 เทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) -171 2) -85 3) 85 *4) 171 ตัวอยา งท่ี 13 กําหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ ซง่ึ มอี ตั ราสวนรวมเทา กับ 2 ถา S11360 S8 = 32 แลว พจนท ี่ 9 ของอนุกรมนเี้ ทากับขอใดตอไปน้ี 1) - 2) 230 3) 236 *4) 332 โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (33)

ความนาจะเปน กฎเกณฑเ บอ้ื งตนเก่ียวกบั การนบั 1. กฎการบวก ถาการทํางานอยางหนง่ึ แบงออกเปน k กรณี โดยทก่ี รณที ี่ 1 มีจาํ นวน n1 วิธี กรณีท่ี 2 มจี ํานวน n2 วิธี กรณที ี่ 3 มีจาํ นวน n3 วิธี MM กรณที ่ี k มจี าํ นวน nk วิธี ดังนน้ั จํานวนวธิ ใี นการทํางานทัง้ หมดจะเทากับ n1 + n2 + n3 + ... + nk วธิ ี 2. กฎการคูณ ถา การทาํ งานอยางหนึง่ แบงออกเปน k ข้นั ตอน โดยทข่ี ้ันตอนท่ี 1 มจี ํานวน n1 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 มีจํานวน n2 วธิ ี ขัน้ ตอนท่ี 3 มีจาํ นวน n3 วธิ ี MM ขัน้ ตอนที่ k มจี าํ นวน nk วธิ ี ดังน้ัน จาํ นวนวิธีในการทํางานทั้งหมดจะเทากบั n1 × n2 × n3 × ... × nk วธิ ี แฟกทอเรยี ล นิยาม กําหนดให n เปน จํานวนเตม็ ทีม่ ีคา มากกวา หรอื เทากับ 0 ข้นึ ไป n! = n × (n - 1) × (n - 2) × (n - 3) × ... × 3 × 2 × 1 เชน 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 * 0! = 1 ตัวอยา งท่ี 1 ในการคัดเลอื กคณะกรรมการหมูบานซ่ึงประกอบดวยประธานฝา ยชาย 1 คน ประธานฝายหญงิ 1 คน กรรมการฝา ยชาย 1 คน และกรรมการฝา ยหญงิ 1 คน จากผูสมคั รชาย 4 คน และหญิง 8 คน มวี ิธกี ารเลอื กคณะกรรมการไดก ีว่ ิธี 1) 168 วธิ ี 2) 324 วธิ ี *3) 672 วธิ ี 4) 1344 วิธี คณติ ศาสตร (34)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

ตวั อยา งที่ 2 มาลีตอ งการเดินทางจากเมือง A ไปยงั เมือง C โดยตองเดนิ ทางผา นไปยงั เมอื ง B กอน จากเมือง A ไปเมือง B มาลีสามารถเลอื กเดนิ ทางโดยรถยนต รถไฟ หรอื เคร่ืองบนิ ได แตจ ากเมอื ง B ไป เมอื ง C สามารถเดินทางไปทางเรือ รถยนต รถไฟ หรอื เครือ่ งบนิ ขอ ใดตอ ไปนค้ี อื จาํ นวนวิธีใน การเดินทางจากเมอื ง A ไปยังเมือง C ที่จะตอ งเดินทางโดยรถไฟเปนจํานวน 1 คร้ัง *1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 ตัวอยางที่ 3 ครอบครัวหน่งึ มพี ่นี อ ง 6 คน เปนชาย 2 คน หญิง 4 คน จาํ นวนวิธที ่จี ะจัดใหคนทัง้ 6 คนยนื เรยี งกัน เพือ่ ถา ยรปู โดยใหช าย 2 คนยืนอยรู ิมสองขางเสมอเทา กบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 12 วธิ ี 2) 24 วธิ ี 3) 36 วิธี *4) 48 วิธี การทดลองสุม คอื การทดลองใดๆ ซึง่ ทราบวา ผลลพั ธอาจจะเปน อะไรไดบ า ง แตไ มส ามารถทํานายผล ลว งหนาได ความนาจะเปน คือ อตั ราสว นระหวา งจาํ นวนสมาชกิ ของเหตกุ ารณที่สนใจกับจาํ นวนสมาชกิ ของแซมเปล สเปซ เขยี นแทนดวย P(E) ความนา จะเปน ของเหตุการณ E คอื P(E) = nn((ES)) โดยที่ n(E) คือ จํานวนของเหตกุ ารณทส่ี นใจ n(S) คือ จาํ นวนเหตกุ ารณท ่ีเปนไปไดท ง้ั หมด สมบตั ิของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. P(φ) = 0, P(S) = 1 3. P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 I E2) 4. P(E1 U E2 U E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3) - P(E1 I E2) - P(E1 I E3) - P(E2 I E3) + P(E1 I E2 I E3) 5. P(E) = 1 - P(E′) เมื่อ P(E′) แทนความนาจะเปน ของเหตุการณท่ีไมตองการ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (35)

ตัวอยา งที่ 4 พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ 4) ก. และ ข. ผดิ ก. การทดลองสุม เปน การทดลองทที่ ราบวา ผลลัพธอ าจเปน อะไรไดบ าง ข. แตล ะผลลัพธข องการทดลองสุมมีโอกาสเกิดข้ึนเทาๆ กัน ขอ สรุปใดตอ ไปน้ีถูกตอง 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู ตัวอยา งที่ 5 โรงเรียนแหงหนึ่งมรี ถโรงเรยี น 3 คัน นักเรยี น 9 คน กาํ ลงั เดินไปขึน้ รถโรงเรยี นโดยสุม ความ นา จะเปนที่ไมมีนกั เรียนคนใดขน้ึ รถคันแรกเทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี  9 9  3  3 1)  31 *2)  23  3)  91 4)  92         ตัวอยา งที่ 6 โรงแรมแหงหนึ่งมีหอ งวางช้ันที่หนึง่ 15 หอ ง ช้นั ทีส่ อง 10 หอง ช้ันท่สี าม 25 หอง ถาครสู มใจ ตอ งการเขาพกั ในโรงแรมแหง นีโ้ ดยวธิ ีสมุ แลว ความนา จะเปน ทีค่ รูสมใจจะไดเ ขา พกั หอ งชั้นท่ีสอง ของโรงแรมเทากับขอ ใดตอไปน้ี 1) 110 *2) 51 3) 130 4) 21 ตัวอยางที่ 7 ในการหยิบบตั รสามใบ โดยหยบิ ทีละใบจากบัตรสใ่ี บ ซึง่ มหี มายเลข 0, 1, 2 และ 3 กาํ กบั ความ นา จะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขบนบตั รสองใบแรกนอยกวาตวั เลขบนบตั รใบทส่ี ามเทากบั ขอใด *1) 14 2) 34 3) 21 4) 23 คณติ ศาสตร (36)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

ตวั อยางท่ี 8 กลอง 12 ใบ มหี มายเลขกาํ กบั เปน เลข 1, 2, ... , 12 และกลองแตละใบบรรจลุ ูกบอล 4 ลูก เปน ลกู บอลสีดาํ สแี ดง สขี าว และสีเขียว ถา สมุ หยิบลกู บอลจากกลองแตล ะใบ ใบละ 1 ลูก แลว ความนา จะเปน ที่จะหยบิ ไดล ูกบอลสแี ดงจากกลองหมายเลขค่ี และไดลกู บอลสดี ําจากกลอ ง หมายเลขคเู ทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 2 12 12 4 1)  112 *2)  14  3)  12 4)  112          ตัวอยา งท่ี 9 กาํ หนดให A = {1, 2, 3} B = {5, 6, ... , 14} และ r = {(m, n)|m ∈ A และ n ∈ B} ถาสุมหยบิ คูอันดบั 1 คู จากความสมั พนั ธ r แลว ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดค ูอันดับ (m, n) ซ่งึ 5 หาร n แลว เหลอื เศษ 3 เทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 115 2) 110 *3) 51 4) 53 ตัวอยางท่ี 10 ชางไฟคนหนง่ึ สุมหยิบบันได 1 อันจากบนั ได 9 อนั ซึง่ มีความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟตุ แลวนํามาพาดกบั กาํ แพง โดยใหป ลายขางหน่ึงหา งจากกําแพง 3 ฟตุ ความนา จะเปน ที่ บันไดจะทาํ มมุ กับพืน้ ราบนอยกวา 60° มคี าเทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) 91 *2) 92 3) 93 4) 94 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (37)

ตวั อยางท่ี 11 ถา สุมตวั เลขหน่งึ ตวั จากขอ มลู ชดุ ใดๆ ซ่ึงประกอบดวยตวั เลข 101 ตวั แลว ขอใดตอไปน้ีถกู *1) ความนา จะเปนทีต่ ัวเลขท่ีสมุ ไดมคี านอ ยกวาคามธั ยฐาน < 12 2) ความนา จะเปน ที่ตัวเลขที่สมุ ไดม ีคา นอ ยกวาคาเฉลีย่ เลขคณติ < 12 3) ความนา จะเปน ที่ตวั เลขที่สุมไดมีคา นอ ยกวาคามัธยฐาน > 12 12 4) ความนาจะเปน ที่ตัวเลขทส่ี ุมไดม คี า นอ ยกวา คาเฉลีย่ เลขคณิต > คณติ ศาสตร (38)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

สถติ ิ สถติ ิเชิงพรรณนา (Descriptive) คอื การวเิ คราะหข น้ั ตนท่มี งุ วเิ คราะห เพือ่ อธบิ ายลักษณะกวางๆ ของ ขอมลู ชดุ น้ัน เชน การวดั คา แนวโนมเขา สูส วนกลาง คาวัดการกระจาย การแจกแจงความถ่ขี องขอมลู และการ นาํ เสนอผลสรปุ ดวย ตาราง แผนภมู ิแทง เพอื่ อธิบายขอมูลชุดน้นั สถติ ิเชิงอนุมาน (Inferential Statistice) คือ การวิเคราะหข อมูลทเี่ กบ็ รวบรวมไดจ ากตัวอยางเพื่อ อางองิ ไปถึงขอมลู ทงั้ หมด องคประกอบของสถติ ิ 1. การเกบ็ รวบรวมขอ มูล เชน การสอบถาม การสังเกต การทดลอง เปนตน 2. การวเิ คราะหข อ มลู โดยขอ มลู ทน่ี าํ มาวิเคราะหเพียงสว นหนึ่ง เรยี กวา กลมุ ตวั อยา งและขอมลู ทเ่ี ลอื ก มาจากขอ มลู ทัง้ หมด เรียกวา ประชากร 3. การนําเสนอขอสรปุ ขอ มูล คือ ขอความจรงิ หรือส่งิ ที่บงบอกถึงสภาพ สถานการณห รอื ปรากฏการณ โดยที่ขอ มูลอาจเปน ตวั เลขหรอื ขอ ความกไ็ ด สารสนเทศหรอื ขา วสาร คือ ขอ มลู ท่ผี านการวเิ คราะหเ บือ้ งตน หรือขั้นสูงแลว ประเภทของขอ มลู 1. แบง ตามวธิ เี ก็บ 1.1 ขอ มูลปฐมภมู ิ คอื ขอมูลท่ผี ใู ชเ กบ็ รวบรวมเอง เชน การสํามะโน การสํารวจกลมุ ตัวอยาง 1.2 ขอ มูลทุตยิ ภมู ิ คอื ขอมูลทีไ่ ดจ ากผอู น่ื เก็บรวบรวมไวแลว เชน รายงาน บทความ เปน ตน 2. แบง ตามลกั ษณะของขอ มลู 2.1 ขอ มลู เชิงปรมิ าณ คอื ขอมูลทใี่ ชแ ทนขนาดหรือปริมาณซึง่ วดั ออกมาเปน จํานวนท่สี ามารถ นาํ มาใชเ ปรียบเทยี บกนั ไดโดยตรง 2.2 ขอ มลู เชงิ คณุ ภาพ คือ ขอมลู ท่ไี มสามารถวัดออกมาไดโดยตรง แตอธิบายลกั ษณะหรือคุณสมบัติ ในเชงิ คุณภาพได ตัวอยางที่ 1 ขอ ใดตอ ไปนเี้ ปน เทจ็ 1) สถติ ิเชิงพรรณนาคอื สถิตขิ องการวเิ คราะหข อ มูลข้ันตนท่มี ุงอธบิ ายลักษณะกวา งๆ ของขอ มูล 2) ขอมูลที่เปนหมายเลขท่ีใชเ รยี กสายรถโดยสารประจาํ ทางเปน ขอมลู เชิงคณุ ภาพ *3) ขอ มลู ปฐมภูมคิ ือขอ มูลทผี่ ใู ชเ ก็บรวบรวมจากแหลง ขอ มูลโดยตรง 4) ขอมูลทนี่ ักเรยี นรวบรวมจากรายงานตางๆ ทไ่ี ดจากหนว ยงานราชการเปนขอ มลู ปฐมภมู ิ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (39)

การวิเคราะหขอมูลเบอื้ งตน ขอมลู เชงิ ปริมาณทีใ่ ชใ นการวเิ คราะหท างสถิติมีสองประเภท คือ ขอมูลท่ีไมไ ดแจกแจงความถ่ี ซง่ึ จะเหน็ คา ของขอ มลู ทุกตวั และขอมลู ที่แจกแจงความถี่ จะเหน็ เปน อันตรภาคชนั้ ความกวางของอนั ตรภาพชัน้ = ขอบบน - ขอบลาง จุดก่ึงกลางอนั ตรภาคช้นั = (ขอบบน + ขอบลาง) ÷ 2 ฮิสโทแกรม คอื รูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากวางเรยี งตอกนั บนแกนนอน โดยมีแกนนอนแทนคาของตัวแปร ความกวา ง ของสเี่ หล่ยี มมุมฉากแทนความกวา งของอนั ตรภาคชนั้ และพนื้ ทีข่ องรปู ส่ีเหล่ียมมมุ ฉากแทนความถข่ี องแตละ อันตรภาคชัน้ ซง่ึ ถา ความกวางของทุกช้ันเทากนั ความสูงของรูปสเี่ หลีย่ มจะแสดงความถ่ี แผนภาพตน -ใบ (Stem-and-Leaf Plot) เปน วิธีการสรางแผนภาพเพอ่ื แจกแจงความถีแ่ ละวิเคราะห ขอ มูลเบือ้ งตน โดยเริ่มจากการนําขอมลู มาแบง กลุม โดยใชเลขหลกั สบิ แลว นาํ มาสรา งเปน ลาํ ตน (Stem) แลว ใช เลขโดดในหลกั หนว ยมาสรา งเปนใบ (Leaf) การวัดตาํ แหนง ของขอ มลู : มสี องขัน้ ตอน คอื การหาตําแหนง และการหาคา 1. ควอรไ ทล (Quartiles) คอื การแบงขอ มูลออกเปน 4 สวนเทาๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คือ คะแนนของตัวแบง ทัง้ 3 ตวั 2. เดไซล (Deciles) คอื การแบง ขอ มูลออกเปน 10 สวนเทาๆ กนั โดย D1, D2, ..., D9 คอื คะแนนของ ตัวแบงท้งั 9 ตัว 3. เปอรเซ็นไทล (Percentiles) คือ การแบงขอมลู ออกเปน 100 สวนเทาๆ กัน มี P1, ..., P99 คอื คะแนนของตัวแบงทง้ั 99 ตวั r(N + 1) การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คอื 4 ตําแหนงของ Dr คอื r(N + 1) 10 r(N + 1) ตาํ แหนงของ Pr คือ 100 การหาคา : ใชก ารเทียบบัญญัตไิ ตรยางค หมายเหตุ เม่อื หาคาขอ มูลทมี่ คี าสงู สดุ ตํา่ สดุ Q1, Q2 และ Q3 สามารถนํามาสรางแผนภาพกลอ ง (Box- and-Whisker Plot หรอื Box-Plot) โดยแผนภาพจะทาํ ใหเ ราทราบถึงลักษณะการกระจายของขอมูล การวัดแนวโนม เขา สูสว นกลาง 1. คา เฉล่ยี เลขคณติ , Mean, x N ∑xi x ของขอมูลทไ่ี มแ จกแจงความถี่ x = i =N1 k x ของขอมูลทแี่ จกแจงความถ่ี x = i ∑=N1fi x i คณิตศาสตร (40)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

ขอสังเกต 1. N x i = N x ∑ i=1 N 2. ∑ (x i - x) = 0 i=1 N 3. ∑ (x i - a)2 มีคา นอ ยทสี่ ดุ เมอ่ื a = x i=1 4. ถา x1, x2, x3, ... , xn มีคา เฉลยี่ เลขคณิตเปน x x1 + k, x2 + k, x3 + k, ... , xn + k มีคาเฉลย่ี เลขคณติ เปน x + k x1k, x2k, xN3k1N,x.12..,++xnNNk22xม2ีคาเฉลย่ี เลขคณิตเปน xk x รวม = 5. 2. มัธยฐาน, Median, Me Me สําหรับขอ มลู ที่ไมแจกแจงความถี่ Me = คาของขอ มูลตาํ แหนง ตรงกลาง (ตัวท่ี N 2+ 1 ) เมื่อเรียงลําดบั ขอมูลแลว ขอ สงั เกต 1. การหามธั ยฐานมสี องขัน้ ตอน คอื หาตาํ แหนง และหาคาโดยใชสูตรหรอื การเทยี บบัญญัติไตรยางค 2. N xi - a | มคี านอยสุดเมอื่ a = Me ∑| i=1 3. ฐานนยิ ม, Mode, Mo Mo สาํ หรบั ขอมูลทไ่ี มแ จกแจงความถี่ Mo = คา ของขอ มลู ท่มี คี วามถ่มี ากท่สี ดุ ขอสงั เกต ใชไดกบั ขอมลู เชิงคณุ ภาพ ตวั อยา งท่ี 2 สวนสงู ของพ่นี อ ง 2 คน มีพสิ ยั เทา กับ 12 เซนตเิ มตร มีคาเฉลย่ี เลขคณติ เทากบั 171 เซนติเมตร ขอ ใดตอ ไปนี้เปน สว นสงู ของพี่หรือนองคนใดคนหนงึ่ 1) 167 เซนติเมตร 2) 172 เซนติเมตร 3) 175 เซนตเิ มตร *4) 177 เซนตเิ มตร โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (41)

ตัวอยางท่ี 3 ขอมูลชดุ หนึง่ ประกอบดว ย 4, 9, 2, 7, 6, 5, 4, 6, 3, 4 ขอใดตอไปนถี้ กู ตอง 1) คา เฉลี่ยเลขคณติ < ฐานนยิ ม < มธั ยฐาน *2) ฐานนิยม < มธั ยฐาน < คา เฉล่ียเลขคณิต 3) ฐานนยิ ม < คาเฉลีย่ เลขคณติ < มัธยฐาน 4) มัธยฐาน < ฐานนิยม < คา เฉล่ียเลขคณิต ตัวอยางท่ี 4 ความสงู ในหนว ยเซนตเิ มตรของนกั เรยี นกลมุ หนึ่งซง่ึ มี 10 คน เปนดงั นี้ 155, 157, 158, 158, 160, 161, 161, 163, 165, 166 ถามนี ักเรียนเพิ่มขึ้นอกี หนง่ึ คน ซึ่งมคี วามสูง 158 เซนติเมตร แลวคา สถิตใิ ดตอ ไปน้ีไมเปลย่ี นแปลง 1) คา เฉลยี่ เลขคณิต 2) มธั ยฐาน 3) ฐานนยิ ม *4) พสิ ยั ตัวอยางที่ 5 การเลือกใชค า กลางของขอมลู ควรพิจารณาสิง่ ตอไปนี้ ยกเวนขอใด 1) ลักษณะของขอมูล *2) วธิ ีจัดเรยี งลําดบั ขอ มลู 3) จดุ ประสงคของการนําไปใช 4) ขอดแี ละขอ เสียของคากลางแตละชนดิ การวัดการกระจายของขอมูล Range = xmax - xmin 1. พสิ ัย (Range) 2. สวนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) N (x i - x)2 N x 2i ∑ ∑ i =N1 - x2 S.D. = i=1 N = ขอสังเกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. S.D. = 0 ↔ x1 = x2 = ... = xn = x 4. ถา x1, x2, ..., xn มสี ว นเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน S.D. ความแปรปรวนเปน S.D.2 x1 + k, x2 + kx,nk...,มxสี nว น+เkบ่ยี มงสี เวบนนเมบายี่ ตงรเบฐานนมเาปตน รฐSา.นDเ.ป|kน |Sค.Dว.าคมวแาปมรแปปรรวปนรเวปนน เปSน.DS.2.kD2.2 x1k, x2k, ..., คณติ ศาสตร (42)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

5. The 95% Rule กลาววา มจี ํานวนขอ มลู ทอี่ ยใู นชว ง ( x - 2s, x + 2s) ประมาณ 95% ของจาํ นวนขอ มลู ทงั้ หมด 6. โดย The 95% Rule ไดว า s ≈ Ran4ge ความสมั พนั ธของ x , Me และ Mo x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo โคง ปกติ โคง เบข วา โคง เบซา ย การสํารวจความคิดเห็น 1. ขอบเขตของการสาํ รวจ กาํ หนดดวยพนื้ ท่ี ลกั ษณะผูใ หข อ มลู การมีสว นไดส วนเสียกบั ขอ มูล 2. วธิ เี ลอื กตวั อยา ง การสมุ ตัวอยา ง (Sampling) การเลือกตัวอยางแบบชน้ั ภูมิ การเลือกตวั อยางแบบ หลายข้ันและการเลือกตวั อยางแบบกาํ หนดโควตา 3. การสรางแบบสํารวจความคดิ เหน็ แบบสํารวจทด่ี ปี ระกอบดว ย ลักษณะของผตู อบที่คาดวา มผี ลตอ การแสดงความคดิ เห็น ความคดิ เหน็ ของผตู อบในดานตางๆ และขอ เสนอแนะ โดยตองไมเปน คาํ ถามทช่ี ้ีนํา และมี จาํ นวนไมม ากเกนิ ไป ตลอดจนความสอดคลอ งของความรูของผใู หข อมลู กับเรือ่ งทีส่ อบถาม 4. การประมวลผลและวิเคราะหความคดิ เหน็ 1. รอยละของผตู อบแบบสาํ รวจความคดิ เห็นในแตล ะดานท่ีเก่ยี วขอ ง 2. ระดับความคดิ เหน็ เฉลีย่ ตวั อยางที่ 6 ขอ มูลชดุ หนึ่งมคี า เฉลย่ี เลขคณติ เทากับ 20 มธั ยฐานเทา กบั 25 และฐานนยิ มเทา กับ 30 ขอสรปุ ใด ตอไปนี้ถกู ตอ ง *1) ลักษณะการกระจายของขอมลู เปนการกระจายทเ่ี บทางซา ย 2) ลักษณะการกระจายของขอ มูลเปนการกระจายที่เบท างขวา 3) ลักษณะการกระจายของขอมูลเปน การกระจายแบบสมมาตร 4) ไมสามารถสรปุ ลกั ษณะการกระจายของขอมลู ได โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (43)

ตัวอยางท่ี 7 พจิ ารณาขอ มูลตอ ไปนี้ 10, 5, 6, 9, 12, 15, 8, 18 คาของ P80 ใกลเ คยี งกบั ขอ ใดตอ ไปนม้ี ากทีส่ ดุ 1) 15.1 2) 15.4 *3) 15.7 4) 16.0 ตวั อยา งที่ 8 ในกรณที ่ีมีขอมลู จาํ นวนมาก การนําเสนอขอ มูลในรปู แบบใดตอไปนีท้ าํ ใหเ หน็ การกระจายของ ขอ มูลไดช ัดเจนนอยทสี่ ดุ 2) แผนภาพตน -ใบ 1) ตารางแจกแจงความถ่ี *4) การแสดงคาสังเกตทกุ คา 3) ฮสิ โทแกรม ตัวอยางที่ 9 จากการสอบถามเยาวชนจํานวน 12 คน วา เคยฟง พระธรรมเทศนามาแลวจาํ นวนกี่คร้ัง ปรากฏผล ดังแสดงในแผนภาพตอ ไปนี้ จาํ นวนเยาวชน 5 จาํ นวนครง้ั ทเ่ี คยฟงพระธรรมเทศนา 4 3 2 1 0 123456 มัธยฐานของขอ มลู น้คี อื ขอ ใด 4) 4 คร้ัง *1) 3 ครงั้ 2) 3.25 ครงั้ 3) 3.5 ครงั้ ตัวอยางท่ี 10 ขอใดตอไปน้ีมผี ลกระทบตอ ความถูกตองของการตดั สนิ ใจโดยใชสถติ ิ ยกเวน ขอ ใด 1) ขอมลู 2) สารสนเทศ 3) ขา วสาร *4) ความเช่ือ คณิตศาสตร (44)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

เกง็ ขอสอบ O-NET 1. กําหนดใหเอกภพสมั พัทธค อื เซต U = {a, b, c, d, e} และ A, B, C เปนเซตใดๆ ซ่งึ เปน สับเซตใน U โดยมี เง่อื นไข ดงั น้ี n(A) = n(B) = n(C) = 3 n(A I B) = n(B I C) = n(A I C) = 2 และ n(A U B U C) = n(U) ขอ ใดตอ ไปนผ้ี ิด 1) n[A U (B I C)] = 3 2) n(A U C) = 4 3) n[A I (B I C)] = 2 4) n(A I B I C) = 1 2. กาํ หนดให A = {1, 2, {3}} ขอใดตอ ไปนผ้ี ดิ 1) 1 ∈ A 2) {3} ∈ P(A) 3) {2, {3}} ⊂ A 4) {{1, 2}, {3}} ⊂ P(A) 3. กาํ หนดให a, b, c และ d เปน จํานวนจรงิ ใดๆ โดยที่ 0 < a < b และ d < c < 0 จงพจิ ารณาขอความ ตอ ไปน้ี ก. ac > bd ข. ca < db 1) ก. และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด 4. กําหนดให A คอื เซตคาํ ตอบของอสมการ |2x + 1| ≤ 5 และ B คือ เซตคาํ ตอบของอสมการ |x + 3| ≥ 2 ขอ ใดตอไปนี้ คือเซตคาํ ตอบของ A I B 1) [-5, -1] 2) [-1, 2] 3) [-5, 2] 4) [-1, 5] 5. ถา x - 1 หารพหุนาม x2 + 2x - 1 เศษเหลอื มคี า เทากับ a และ x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตวั แลวคา ของ a + b มคี าตรงกับขอใด 1) 12 2) 14 3) 16 4) 18 6. กําหนดให n เปนจาํ นวนเตม็  55n+1 + 54n +1  3/2n มีคา ตรงกบั ขอ ใด  53n+1 + 52n +1    1) 5 2) 25 3) 125 4) 625 โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (45)

7. กําหนดให 5 - a = 7 - 2 10 คา ของ a ตรงกบั ขอใด 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5 8. กําหนดให A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} และ B = {{1}, {2, 3}, 4, 5, 6, ...} จํานวนความสัมพนั ธท ้ังหมดจากเซต A - B ไปเซต B - A มีคาเทาใด 1) 16 จํานวน 2) 32 จาํ นวน 3) 64 จํานวน 4) 128 จาํ นวน 9. ถา สามจํานวนน้ีเรยี งกันเปนลาํ ดับเลขคณติ คอื x - 2, x, x2 - 4 แลวผลบวกของคา x ทง้ั หมดตรงกบั ขอ ใด 1) -2 2) -1 3) 1 4) 2 คณิตศาสตร (46)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

เฉลย 1. เฉลย 4) n(A I B I C) = 1 จากสตู ร n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A I B) - n(A I C) - n(B I C) + n(A I B I C) และ n(A U B U C) = n(U) =5 จะไดว า 5 = 3 + 3 + 3 - 2 - 2 - 2 + n(A I B I C) n(A I B I C) = 5 - 9 + 6 = 2 2. เฉลย 2) {3} ∈ P(A) ท่ีถกู ตอง คือ {{3}} ∈ P(A) 3. เฉลย 2) ก. ถกู และ ข. ผิด จาก 0 < a < b สมมติให a = 4, b = 9 จาก d < c < 0 สมมตใิ ห d = -3, c = -2 ก. ac > bd 4(-2) > 9(-3) -8 > -27 ดังน้ัน ก. ถกู ข. -4c2a < -db93 < ดังนั้น ข. ผิด -2 < -3 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (47)

4. เฉลย 2) [-1, 2] จาก |2x + 1| ≤ 5 จะได -5 ≤ 2x + 1 ≤ 5 -5 - 1 ≤ 2x + 1 - 1 ≤ 5 - 1 -6 ≤ 2x ≤ 4 -26 ≤ 22x ≤ 24 -3 ≤ x ≤ 2 จะได A = [-3, 2] จาก |x + 3| ≥ 2 จะได x + 3 ≤ -2 หรอื |x + 3| ≥ 2 x ≤ -5 หรือ x ≥ -1 จะได B = (-∞, -5] U [-1, ∞) ดงั นัน้ A I B = [-1, 2] 5. เฉลย 4) 18 ให p(x) = x2 + 2x - 1 จาก x - 1 หารพหนุ าม x2 + 2x - 1 เศษเหลือมีคา เทา กับ a นน่ั คอื p(1) = a 12 + 2(1) - 1 = a a=2 ให q(x) = x2 + 3ax - b q(x) = x2 + 3(2)x - b q(x) = x2 + 6x - b จาก x - 2 หารพหุนาม x2 + 3ax - b ลงตัว น่ันคือ q(2) = 0 22 + 6(2) - b = 0 b = 16 ดังนน้ั a + b = 2 + 16 = 18 คณิตศาสตร (48)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

6. เฉลย 3) 125  55n+1 54n+1  3/2n =  54n+1 (5n + 1)  3/2n จาก  53n+1 52n+1  52n+1 (5n +   +   1)  +    =  54n+1  3/2n  52n+1    = [5(4n+1)-(2n+1)]3/2n = [52n]3/2n = 52n ⋅ 3/2n = 53 = 125 7. เฉลย 1) 2 จาก 5 - a = 7 - 2 10 5 - a = (5 + 2) - 2 5 ⋅ 2 5 - a = ( 5)2 - 2 5 ⋅ 2 + ( 2)2 5 - a = ( 5 - 2)2 5- a = 5- 2 จะได a = 2 8. เฉลย 3) 64 จาํ นวน A - B = {1, 2, 3} จะได n(A - B) = 3 B - A = {{1}, {2, 3}} จะได n(B - A) = 2 จากสูตร จํานวนความสัมพันธท้งั หมดจากเซต A ไปเซต B เทา กบั 2n(A)×n(B) ดงั นน้ั จํานวนความสัมพันธทงั้ หมดจากเซต A - B ไปเซต B - A เทา กับ 2n(A-B)×n(B-A) = 23×2 = 26 = 64 จาํ นวน โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (49)

9. เฉลย 3) 1 จาก x - 2, x, x2 - 4 เปน ลาํ ดบั เลขคณิต นน่ั คอื (x2 - 4) - x = x - (x - 2) x2 - x - 4 = 2 x2 - x - 6 = 0 (x - 3)(x + 2) = 0 จะได x = -2, 3 ดงั นั้น ผลบวกของคา x ท้ังหมดเทากับ -2 + 3 = 1 ———————————————————— คณติ ศาสตร (50)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010