Brands Math

2. มธั ยฐาน, Median, Me Me สาํ หรบั ขอมลู ท่ไี มแจกแจงความถ่ี Me = คา ของขอ มลู ตาํ แหนง ตรงกลาง (ตัวท่ี N 2+ 1 ) เม่อื เรียงลาํ ดบั ขอ มลู แลว Me สําหรบั ขอมูลที่แจกแจงความถี่ N2 Me = L+  -∑ fL  I fM ขอสังเกต 1. การหามธั ยฐานมีสองข้ันตอน คือ หาตําแหนง และหาคา โดยใชส ตู รหรอื การเทยี บบัญญตั ิไตรยางค 2. N xi - a | มคี านอยสุดเมอื่ a = Me ∑| i=1 3. ฐานนิยม, Mode, Mo Mo สําหรับขอ มลู ทไี่ มแ จกแจงความถี่ Mo = คา ของขอ มลู ท่ีมคี วามถีม่ ากที่สดุ Mo สาํ หรับขอมูลท่แี จกแจงความถี่ Mo = จดุ กง่ึ กลางของชน้ั ท่ีมคี วามถี่สงู สุด (แบบหยาบ) d1 = L +  d1 d2  I (แบบละเอียด)  +  ขอ สังเกต 1. ใชไ ดก บั ขอ มูลเชงิ คณุ ภาพ 2. ถาแตละอนั ตรภาคช้นั มีความกวางตา งกัน ตองถว งดว ยนํา้ หนกั ของความกวางดว ย 4. ความสมั พันธข อง x , Me และ Mo x = Me = Mo x > Me > Mo x < Me < Mo โคง ปกติ โคง เบขวา โคง เบซ า ย โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (151)

3. การวัดตาํ แหนงของขอมูล เราจะมองการวัดตําแหนงของขอมูลเปนเหมือนภาคขยายของการหามธั ยฐาน ซ่ึงมีสองข้ันตอนคือ การหา ตําแหนงและการหาคา 1. ควอรไ ทล (Quartiles) คือ การแบงขอ มูลออกเปน 4 สว นเทา ๆ กัน โดย Q1, Q2, และ Q3 คอื คะแนนของตัวแบง ทง้ั 3 ตวั Qr ของขอมลู ทไ่ี มแจกแจงความถี่ การหาตําแหนง : ตําแหนง ของ Qr คอื r(N + 1) 4 การหาคา : ใชก ารเทียบบญั ญัตไิ ตรยางค Qr ของขอ มูลที่แจกแจงความถ่ี การหาตําแหนง : ตําแหนงของ Qr คือ r4N การหาคา : Qr = L +  r4N -∑ fL  I fM 2. เดไซล (Deciles) คือ การแบงขอ มูลออกเปน 10 สวนเทา ๆ กัน โดย D1, D2, ..., D9 คือ คะแนนของ ตัวแบงทั้ง 9 ตวั Dr ของขอ มูลที่ไมแ จกแจงความถี่ การหาตาํ แหนง : ตาํ แหนง ของ Dr คอื r(N + 1) 10 การหาคา : ใชการเทียบบัญญตั ิไตรยางค Dr ของขอ มลู ท่แี จกแจงความถ่ี การหาตาํ แหนง : ตาํ แหนงของ Dr คือ r1N0 การหาคา : Dr = L +  1rN0 -∑ fL  I fM 3. เปอรเ ซน็ ไทล (Percentiles) คือ การแบง ขอ มูลออกเปน 100 สว นเทา ๆ กัน มี P1, P2, ..., P99 คือ คะแนนของตัวแบง ทงั้ 99 ตัว Pr ของขอมลู ท่ีไมแจกแจงความถ่ี การหาตาํ แหนง : ตําแหนงของ Pr คือ r(N + 1) 100 การหาคา : ใชก ารเทียบบญั ญัติไตรยางค Pr ของขอ มูลท่แี จกแจงความถี่ การหาตาํ แหนง : ตําแหนง ของ Pr คอื 1r0N0 การหาคา : Pr = L +  1r0N0 -∑ fL  I fM คณิตศาสตร (152)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

4. การวดั การกระจายของขอมลู 1. การวัดการกระจายสมั บูรณ (Absolute Variation) ใชเ พื่อวัดการกระจายของขอ มูลชุดเดียว 1.1 พสิ ยั (Range) Range = xmax - xmin 1.2 สวนเบ่ยี งเบนควอรไ ทล (Quatile Deviation) Q3 Q1 Q.D. = - 2 1.3 สว นเบี่ยงเบนเฉล่ยี (Mean Deviation) N ∑| xi x | i =1 - N M.D. = 1.4 สว นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) N (x i - x)2 N x 2i ∑ ∑ x2 S.D. = i=1 N = i =N1 - 2. การวัดการกระจายสัมพัทธ (Relative Variation) ใชเ พ่อื ตอ งการเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ มลู มากกวาหนึ่งชุด 2.1 สมั ประสิทธิพ์ สิ ยั xxmmaaxx xxmmiinn สมั ประสิทธพ์ิ ิสยั = - + 2.2 สัมประสิทธคิ์ วอรไทล QQ33 QQ11 สัมประสิทธ์ิควอรไ ทล = - + 2.3 สมั ประสทิ ธสิ์ วนเบย่ี งเบนเฉลยี่ สัมประสิทธิ์สว นเบีย่ งเบนเฉลย่ี = Mx.D. 2.4 สัมประสทิ ธ์กิ ารแปรผัน สัมประสิทธ์ิการแปรผัน = S.xD. ขอสงั เกต 1. ความแปรปรวน (Variance) = S.D.2 = S2 2. S.D. ≥ 0 3. Sxถx1.1า Dk+x., 1=xk,2,0xkx2,2↔,..+...,.,kxxx,n1nk..=.,มมxxีสีสn2วว นน+=เเบk.บ..ีย่ี่ยม=งงสี เเบxวบnนนนเมม=บาาีย่ ตตxงรรเฐบฐาานนนมเเาปปตนนรฐSSา..DนDเ..ป|คkน ว|าSมค.Dแว.ปาคมรวแปาปรมวรแนปปเรปรวปนนรเSวป.นนDเ.ป2Sน.DS.2.kD2.2 4. โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณิตศาสตร (153)

5. คามาตรฐาน zi = xSi .-D.x ขอสงั เกต 1. ขอมูลทมี่ กี ารแจกแจงปกตจิ ะมี x = Me = Mo 2. พ้นื ท่ใี ตโคงปกตเิ ทากบั 1 หรือ 100% ซง่ึ คือปรมิ าณขอ มลู ท้ังหมด 3. การแจกแจงปกติมาตรฐาน คอื การแจกแจงปกตทิ ม่ี ี x = 0 และ S.D. = 1 4. ถา z1, z2, z3, ..., zn จะมี x = 0 และ S.D. = 1 5. คา z สามารถเปน ไดท ั้งบวก (xi > x ) และลบ (xi < x ) 6. zi = 0 ↔ xi = x 7. โดยมาก -3 < zi < 3 8. มคี วามสัมพันธร ะหวาง คะแนนมาตรฐาน, คะแนนดิบ, คา เฉลย่ี เลขคณิต, สว นเบีย่ งเบน- มาตรฐาน, พน้ื ที่ใตโ คง ปกติมาตรฐาน, ปรมิ าณขอ มูล, เปอรเ ซนไทล คณิตศาสตร (154)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

แบบฝกหดั 1. ขอมูลชุดหนึ่งมี 99 จาํ นวน เรียงลําดบั จากนอ ยไปมากไดเปน x1, x2, ..., x99 ถาคาเฉล่ียเลขคณิตของขอ มลู ชดุ น้ีเทากบั มธั ยฐาน แลว ขอ ใดตอไปน้ีถกู 49 99 49 99 1) i ∑ x i = i ∑ x i 2) i ∑ (x 50 - xi) = i ∑ (x 50 - xi ) =1 = 51 =1 = 51 49 99 49 99 3) i ∑ x50 - xi = i ∑ x50 - xi 4) i ∑ (x 50 - x i )2 = i ∑ (x 50 - xi )2 =1 = 51 =1 = 51 2. โรงเรียนอนุบาลแหง หนงึ่ มนี กั เรียน 80 คน โดยการแจกแจงของอายนุ กั เรยี นเปนดังตาราง อายุ (ป) 3.5 4 4.5 5 5.5 6 จาํ นวนนักเรยี น (คน) a 15 10 20 b 5 ถา คา เฉลยี่ ของอายุนกั เรียนมีคา 4.5 ป แลวสวนเบ่ียงเบนเฉลย่ี ของอายนุ ักเรยี นมีคา เทากับขอ ใดตอไปน้ี 1) 156 2) 176 3) 196 4) 1161 3. ถา ตารางแจกแจงความถแ่ี สดงนํ้าหนกั ของเดก็ จํานวน 40 คน เปนดงั น้ี นํา้ หนัก (กโิ ลกรมั ) จํานวน 9-11 15 12-14 5 15-17 5 18-20 10 21-23 5 ถา x แทนคา เฉลี่ยของนาํ้ หนกั เด็กกลมุ น้ี แลว ขอ ใดตอไปนี้ถกู 1) x = 17.444 และมธั ยฐานนอยกวาฐานนยิ ม 2) x = 14.875 และมัธยฐานนอ ยกวา ฐานนิยม 3) x = 17.444 และมธั ยฐานมากกวาฐานนยิ ม 4) x = 14.875 และมัธยฐานมากกวา ฐานนิยม 4. ขอ มูลชดุ หนึ่งมีการแจกแจงปกติ ถาหยบิ ขอมูล a, b, c, d มาคาํ นวณคามาตรฐาน ปรากฏวา ไดคา ดงั ตาราง ขอมูล a b c d คา มาตรฐาน (z) -3 -0.45 0.45 1 ขอ ใดตอไปน้ีถกู 2) -a + b + c - 3d = 0 1) -a + 2b + 2c - 3d = 0 4) a - b + c - d = 0 3) a - 2b + 3c + 2d = 0 โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (155)

5. ขอ มลู ความสูงของนักเรยี นช้ัน ม.6 โรงเรยี นแหง หนงึ่ มกี ารแจกแจงปกติ ถาจํานวนนกั เรียนทมี่ ีความสงู นอยกวา 140.6 เซนตเิ มตร มอี ยู 3.01% และจํานวนนกั เรยี นที่มีความสูงมากกวาคามธั ยฐานแตน อ ยกวา 159.4 เซนติเมตรมีอยู 46.99% แลว จํานวนนกั เรียนทม่ี คี วามสงู ไมน อยกวา 155 เซนตเิ มตร แตไ มเกิน 160 เซนติเมตร มเี ปอรเ ซน็ ตเ ทากบั ขอใดตอไปน้ี เมือ่ กําหนดตารางแสดงพน้ื ท่ใี ตเ สนโคง ปกติมาตรฐาน ระหวา ง 0 ถงึ z เปน ดงั นี้ z 1.00 1.12 1.88 2.00 พื้นทีใ่ ตเสน โคง 0.3413 0.3686 0.4699 0.4772 1) 12.86% 2) 13.14% 3) 15.87% 4) 13.59% 6. ถาความยาวรศั มขี องวงกลม 10 วงมีคา เฉลีย่ เลขคณิตเทา กับ 3 และมีความแปรปรวนเทากบั 5 แลว ผลรวม ของพน้ื ท่ีวงกลมทงั้ 10 วงน้ี มคี าเทากบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 90π 2) 95π 3) 140π 4) 340π 7. กาํ หนดตารางแจกแจงความถ่ีแสดงความสงู ของนักเรยี นในโรงเรียนแหงหนึ่ง เปน ดงั นี้ ความสูง (เซนติเมตร) จํานวนนักเรียน (คน) 120-129 10 130-139 20 140-149 40 150-159 50 160-169 30 ขอ ใดตอไปนี้ถกู 1) มัธยฐานของความสงู มคี านอ ยกวา 149 เซนตเิ มตร 2) ฐานนิยมของความสูงมีคานอ ยกวา 147 เซนติเมตร 3) ควอรไ ทลที่ 3 ของความสูงมีคามากกวา 150 เซนตเิ มตร 4) เปอรเ ซน็ ไทลท่ี 20 ของความสงู มคี ามากกวา 145 เซนติเมตร 8. จากการแจกแจงขอมลู เงนิ เดอื นของพนักงานบริษัทแหงหนงึ่ พบวา เดไซลที่ 13579 เงินเดือน (บาท) 10,000 15,000 20,000 25,000 40,000 ถานายเอกและนายยศมเี งนิ เดอื นรวมกันเทากับ 40,000 บาท และมจี าํ นวนพนักงานท่ไี ดเงินเดือนมากกวา นายยศอยูป ระมาณ 30% ของพนักงานทัง้ หมด แลว เปอรเ ซน็ ตข องจํานวนพนกั งานที่ไดเงินเดอื นนอยกวา นายเอกเทากับขอ ใดตอไปน้ี 1) 10% 2) 30% 3) 50% 4) 70% คณิตศาสตร (156)_____________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

9. กาํ หนดใหขอ มูลชุดหน่งึ มกี ารแจกแจงแบบปกติ ถา หยบิ ขอมลู x และ y จากขอ มูลชุดนีม้ าพิจารณา พบวา 13.14% ของขอ มูลมคี า มากกวา x และ x มากกวา y อยู 2% ของสว นเบ่ียงเบนมาตรฐาน แลวจาํ นวน ขอมลู (คดิ เปน เปอรเซน็ ต) ท่ีมคี า นอ ยกวา y เทา กบั ขอ ใดตอไปน้ี เมื่อกําหนดตารางแสดงพน้ื ทใ่ี ตเ สนโคง ปกติมาตรฐานระหวา ง 0 ถึง z เปนดงั น้ี z 1.00 1.10 1.12 1.14 1.16 พนื้ ทีใ่ ตเสน โคง 0.3413 0.3643 0.3686 0.3729 0.3770 1) 36.43% 2) 37.29% 3) 86.43% 4) 87.29% 10. คะแนนสอบวชิ าความถนดั ของนักเรียนกลมุ หน่ึงมีการแจกแจงปกติ ถา ผลรวมของคา มาตรฐานของคะแนน ของนายแดงและนายดําเทากับ 0 และผลรวมของคะแนนนายแดงและนายดาํ เปน 4 เทา ของสวนเบย่ี งเบน มาตรฐาน แลว สัมประสิทธิ์ของความแปรผันของคะแนนสอบของนกั เรียนกลุม นเ้ี ทา กับขอใดตอไปนี้ 1) 0.5 2) 1 3) 1.5 4) 2 11. กําหนดใหค วามสูงของคนกลุมหนึ่งมีการแจกแจงแบบปกติ ถา มคี นสูงกวา 145 เซนตเิ มตร และ 165 เซนตเิ มตรอยู 84.13% และ 15.87% ตามลําดบั แลวสมั ประสิทธิ์ของความแปรผันของความสูงของคนกลมุ นเี้ ทา กับขอใดตอไปน้ี Z 1.00 1.12 1.14 1.16 พ้ืนทใ่ี ตเ สนโคง ปกติมาตรฐานจาก 0 ถึง z 0.3413 0.3686 0.3729 0.3770 1) 311 2) 321 3) 331 4) 341 12. กาํ หนดใหขอมลู ชุดหนึง่ มกี ารแจกแจงปกติ หยบิ ขอ มลู x1, x2, x3 มาคํานวณคา มาตรฐานปรากฏวาไดค า เปน z1, z2, z3 ตามลาํ ดับ ถา z1 + z2 = z3 แลว คาเฉล่ียเลขคณติ ของขอมลู ชุดน้เี ทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) x1 + x2 - z3 2) x1 - x2 - x3 3) x3 - x2 - x1 4) x1 + x2 + x3 13. ขอมลู ชุดหนงึ่ เรยี งจากนอยไปมากเปนดงั น้ี 1, 4, x, y, 9 และ 10 ถามธั ยมฐานของขอ มลู ชดุ นเ้ี ทา กับ คาเฉลีย่ เลขคณิต และสวนเบ่ียงเบนเฉลยี่ คณติ ของขอ มลู ชดุ นีเ้ ทากบั 83 แลว y - x มีคา เทา ใด 1) 4.5 2) 4 3) 2.5 4) 2 14. ขอ มลู ชดุ หน่งึ มี 5 จํานวนและมคี า เฉลยี่ เลขคณิตเทา กบั 12 ถา ควอรไทลท ี่ 1 และ 3 ของขอมลู ชุดน้มี คี า เทา กับ 5 และ 20 ตามลาํ ดับ แลวเดไซลที่ 5 ของขอมลู ชุดนีม้ คี า เทา ใด 1) 20 2) 15 3) 10 4) 5 เฉลย 1. 3) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 4) 6. 3) 7. 3) 8. 2) 9. 3) 10. 1) 11. 2) 12. 1) 13. 4) 14. 3) โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (157)

ความสัมพันธเชิงฟงกช นั ระหวางขอมูล (Funtional Relation Between Data) 1. การวิเคราะหความสมั พันธเ ชงิ ฟงกชันระหวา งขอ มูล 1. ความสมั พันธข องตัวแปรอสิ ระและตัวแปรตาม 2. การเขียนแผนภาพการกระจาย 2. ระเบยี บวธิ กี ําลังสองนอ ยสดุ สมการเสนตรง : รปู ทัว่ ไปคอื y = mx + c สมการปกติ n n i∑=1y i = m i∑=1x i + nc n = m n 2i + c n i i∑=1x iy i i∑=1x i∑=1x สมการเสนพาราโบลา : รปู ทวั่ ไปคอื y = ax2 + bx + c สมการปกติ n n n ∑y = a ∑x 2i + b ∑x + nc i=1 i i=1 i=1 i n = a n 3i + b n 2i + c n ∑x y ∑x ∑x ∑x i=1 i i i=1 i=1 i=1 i n 2i y i = a n 4i + b n 3i + c n 2i i∑=1x i∑=1x i∑=1x i∑=1x สมการเอกซโ พเนนเชยี ล : รูปทว่ั ไปคือ y = abx หรอื log y = log a + x log b สมการปกติ n n ∑ log yi = n log a + log b ∑ x i i=1 i=1 n log yi = log a n + log b n 2i ∑x ∑x ∑x i=1 i i=1 i i=1 คณติ ศาสตร (158)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

3. ความสมั พันธเชิงฟง กชนั ของขอมลู ทอี่ ยูในรูปอนกุ รมเวลา เราสามารถแทนขอมูลทีเ่ ปนตัวแปรอสิ ระซ่ึงเปนชว งเวลาท่ีหา งเทา กันไดด ังนี้ ถา จํานวนชว งเวลาท่ีนาํ มา สรางความสัมพันธเ ปน จาํ นวนคี่ มักจะแทนดวย ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... โดยใหช วงเวลาที่อยูตรงการเปน 0 ถา จํานวนชว งเวลาที่นาํ มาสรางความสมั พันธเปนจํานวนคู มักจะแทนดว ย ..., -5, -3, -1, 1, 3, 5, ... โดยให ชวงเวลาทีอ่ ยูตรงกลางเปน -1 และ 1 ขอสังเกต 1. รูตวั แปรอสิ ระทาํ นายตวั แปรตาม ไมสามารถทาํ นายกลบั ได (ถา จะทํานายตองสลบั ตัวแปรแลวสรา งความสมั พนั ธเ ชิงฟงกชนั ใหม) 2. เมอ่ื จะทาํ นายความสัมพันธใ นรูปอนกุ รมเวลา ตองแปลงขอ มูลกอ น 3. สําหรบั สมการรูปเสนตรง ( x , y ) อยูบ นเสน 4. สาํ หรบั สมการรปู เสน ตรง ∆y = m∆x โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 _____________________________ คณติ ศาสตร (159)

แบบฝกหัด 1. ในการหาความสมั พนั ธเ ชิงฟงกช ันระหวางคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตร (X) และวชิ าฟสกิ ส (Y) ของนักเรยี น 100 คนของโรงเรียนแหง หนึ่ง ไดพ จนตางๆ ท่ใี ชในการคาํ นวณคาคงตัวจากสมการปกตขิ องความสมั พนั ธ เชงิ ฟง กช นั ทมี่ รี ูปสมการเปน Y = a + bX ดงั นี้ 100 100 100 100 ∑ x i = ∑ y i = 1000, ∑ x i y i = 2000, ∑ x 2i = 4000 i=1 i=1 i=1 i=1 ถา คะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรของนายสมชายเทา กบั 15 คะแนน แลว คะแนนสอบวชิ าฟสิกส (โดยประมาณ) ของนายสมชายเทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 16 คะแนน 2) 16.67 คะแนน 3) 17 คะแนน 4) 17.67 คะแนน 2. ในการหาความสัมพนั ธเชงิ ฟงกชนั ระหวางปริมาณสารปนเปอนชนิดที่ 1 (X) และปรมิ าณสารปนเปอ นชนิดที่ 2 (Y) จากตวั อยา งอาหารจํานวน 100 ตัวอยา ง พบวา ความแปรปรวนของปริมาณสารชนิดที่ 1 มคี าเทา กบั 1.75, คาเฉลย่ี เลขคณิตของปรมิ าณสารชนดิ ที่ 2 มคี าเทากบั 0.5, 100 xiyi = 100 และ 100 x 12 = 200 ∑ ∑ i=1 i=1 ถา สมการปกตขิ องความสมั พันธเ ชิงฟง กชันดงั กลาวอยูใ นรูป Y = a + bX แลว เม่อื พบสารปนเปอนชนิดท่ี 1 อยู 4 หนว ย จะพบสารปนเปอ นชนิดท่ี 2 (โดยประมาณ) เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 0.5 หนว ย 2) 1 หนว ย 3) 1.5 หนว ย 4) 2 หนวย 3. กําหนดใหข อ มลู X และ Y มีความพันธก ันดงั ตารางตอไปนี้ X 1233 Y 1346 ถาสมการปกตขิ องความสมั พนั ธเชงิ ฟง กชันดังกลา วอยูในรูป Y = a + bX แลว เมอื่ X = 10 คา ของ Y เทากบั เทา ใด 1) 8.5 2) 19 3) 22 4) 25.5 เฉลย 1. 2) 2. 4) 3. 2) ———————————————————— คณิตศาสตร (160)_____________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010