Brands Math

ตรรกศาสตร ประพจน (Proposition หรอื Statement) คือ ประโยคทเ่ี ปน “จริง” หรือ “เทจ็ ” อยางใดอยา งหนึ่งเทา นัน้ ประโยคท่ีมีลักษณะดังกลา วจะอยใู นรูป ประโยคบอกเลา หรอื ประโยคปฏิเสธกไ็ ด การเชื่อมประพจน เปนการนําเอาประพจนม าสรางเปน ประพจนใ หม โดยเตมิ ตวั เช่อื ม (connectives) ตวั เช่อื มประพจนหลกั ๆ มีอยู 5 ชนดิ ไดแก คําวา “และ” (∧), “หรอื ” (∨), “ถา...แลว ...” (⇒), “กต็ อเม่ือ” (⇔) และ “นเิ สธ (ไม)” (∼) ประพจนท ่ีนํามาเชื่อมกันดวยตัวเชือ่ มตา งๆ เรยี กวา ประพจนย อย (atomic statement) การหาคา ความจรงิ ของประพจน p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q ∼p ∼q TTTTT T FF TFFTF F FT FTFTT F TF FFFFT T TT โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (51)

ขอ สังเกตเกี่ยวกับคาความจรงิ ที่ไดจ ากการเชอื่ มประพจน ตวั เช่ือม T F ∧ ทกุ ประพจนเ ปน T มปี ระพจนอยา งนอ ย 1 ตวั เปน F ∨ มีประพจนอยางนอย 1 ตวั เปน T ทุกประพจนเปน F ⇒ F ⇒ ? (หนาเปน F) T ⇒ F (หนา เปน T และหลังเปน F) ? ⇒ T (หลงั เปน T) ⇔ หนา -หลัง เหมือนกนั หนา -หลัง ตา งกัน ประพจนท ่ีสมมูลกนั คือ ประพจนท ่ีมีคา ความจรงิ เหมอื นกนั ทกุ กรณี กรณีตอ กรณี แทนดวย p ≡ q ประพจนท ี่ไมส มมลู กนั คอื ประพจนท ่มี คี าความจรงิ ตางกันอยา งนอยหน่ึงกรณี แทนดวย p ≡ q ประพจนท่เี ปนนเิ สธกัน คอื ประพจนทีม่ ีคาความจริงตรงขามกันทกุ กรณี กรณีตอ กรณี แทนดวย p ≡ ∼q การตรวจสอบประพจนทีส่ มมูล ทาํ ได 3 วธิ ี คอื 1. ใชต าราง 2. ใชร ปู แบบประพจนท ส่ี มมูล 3. แทนคา ประพจน สจั นิรนั ดร (Tautology) คือ รูปแบบของประพจนท ่มี ีคา ความจริงเปนจริงทกุ กรณี การตรวจสอบสัจนริ นั ดร ทาํ ได 3 วิธี คอื 1. ใชตาราง 2. ใชร ูปแบบประพจนท่ีสมมูล 3. การหาขอ ขดั แยง รปู แบบของประพจนท ส่ี มมูลกัน 1. p ∧ q ≡ q∧p 2. p ∨ q ≡ q∨p 3. p ∧ p ≡p 4. p ∨ p ≡p 5. (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 6. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) 7. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) 8. p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 9. p ⇒ (q ∧ r) ≡ (p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r) 10. p ⇒ (q ∨ r) ≡ (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ r) คณติ ศาสตร (52)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

11. (p ∧ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∨ (q ⇒ r) 12. (p ∨ q) ⇒ r ≡ (p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r) 13. p ⇒ q ≡ ∼p ∨ q ≡ ∼q ⇒ ∼p ** 14. p ⇔ q ≡ q⇔p ≡ ∼p ⇔ ∼q ≡ ∼q ⇔ ∼p 15. ∼(∼p) ≡p 13. ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q 17. ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q 18. ∼(p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q 19. ∼(p ⇔ q) ≡ ∼p ⇔ q ≡ p ⇔ ∼q ≡ q ⇔ ∼p ≡ ∼q ⇔ p ขอ สงั เกตของสมมลู 1. ♥ ∨ ∼♥ ≡ T 2. ♥ ∧ ∼♥ ≡ F 3. ♥ ∨ T ≡ T 4. ♥ ∧ T 5. ♥ ∨ F ≡♥ 6. ♥ ∧ F 7. T ⇒ ♥ ≡♥ 8. ♥ ⇒ F ≡F ≡♥ ≡ ∼♥ 9. ♥ ⇒ T ≡ T 10. F ⇒ ♥ ≡ T ประโยคเปด คือ ประโยคบอกเลา หรอื ประโยคปฏิเสธ ท่ีมีตัวแปรและเม่ือแทนคา ของตวั แปรดวยสมาชกิ ในเอกภพ สมั พทั ธแ ลว ไดประพจน เชน กาํ หนดใหเ อกภพสมั พทั ธ คือ เซตของจํานวนจรงิ 2x + 1 = 3 เปนประโยคเปด เพราะเม่อื แทน x ดว ยจํานวนจริงใดๆ แลว ไดป ระพจน แทน x = 1 ได 2(1) + 1 = 3 จรงิ แทน x = 3 ได 2(3) + 1 = 3 เทจ็ สัญลักษณแ ทนประโยคเปด P(x), Q(x), R(x), ... แทน ประโยคเปด ทม่ี ีตัวแปรเปน x เชน P(x) : x + 3 = 2 P(x, y), Q(x, y), R(x, y), ... แทน ประโยคเปดทมี่ ตี วั แปรเปน x, y เชน Q(x, y) : x - 2y = 0 โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (53)

ตัวบง ปริมาณ (Quantifier) ∀x แทนคาํ วา “สาํ หรับ x ทุกตวั ” หรือ “สําหรบั แตล ะคา ของ x” ∃x แทนคาํ วา “สําหรบั x บางตวั ” หรือ “มี x บางคา ” เชน คา ความจริงของประโยคเปด ทีม่ ีตัวบง ปริมาณ (ตัวแปรเดียว) ประพจน มคี า ความจริงเปน “จรงิ ” เมอื่ มีคาความจรงิ เปน “เทจ็ ” เมอ่ื ∀x[P(x)] ทุก x ∈ U แทนใน P(x) มบี าง x ∈ U แทนใน P(x) แลวทาํ ให P(x) เปน จรงิ แลวทําให P(x) เปนเทจ็ ∃x[P(x)] มีบาง x ∈ U แทนใน P(x) ทกุ x ∈ U แทนใน P(x) แลว ทําให P(x) เปน จรงิ แลวทําให P(x) เปนเทจ็ คา ความจริงของประโยคเปด ทีม่ ีตัวบงปริมาณ (หลายตวั แปร) ประพจน มคี า ความจรงิ เปน “จริง” มีคาความจริงเปน “เท็จ” ∀x∀y[P(x, y)] ทุก x, y ∈ U มบี าง x, y ∈ U ∀x∃y[P(x, y)] เม่อื แทนใน P(x, y) เมื่อแทนใน P(x, y) ∃x∀y[P(x, y)] แลวทาํ ให P(x, y) เปน จริง แลว ทําให P(x, y) เปนเท็จ ∃x∃y[P(x, y)] ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U มบี าง x ∈ U ท่ที กุ y ∈ U เมือ่ แทนใน P(x, y) เมอ่ื แทนใน P(x, y) แลว ทําให P(x, y) เปนจริง แลวทาํ ให P(x, y) เปนเท็จ มบี าง x ∈ U ซึง่ ทุก y ∈ U ทุก x ∈ U จะมี y ∈ U เมอ่ื แทนใน P(x, y) เม่ือแทนใน P(x, y) แลว ทาํ ให P(x, y) เปน จริง แลวทาํ ให P(x, y) เปนเท็จ มบี าง x, y ∈ U เมื่อแทนใน P(x, y) ทกุ x, y ∈ U แลว ทาํ ให P(x, y) เปนจริง เมือ่ แทนใน P(x) แลวทาํ ให P(x) เปนเท็จ ตัวอยาง จงหาคา ความจริงของประโยคเปด ทีม่ ีตัวบงปริมาณ เมือ่ กําหนดเอกภพสัมพทั ธใหใ นแตล ะขอ ตอ ไปนี้ 1. ∀x∀y[x + y = y + x] เมือ่ U = {0, 1} 2. ∀x∃y[y < x] เมื่อ U = {0, 1, 2} 3. ∃x∀y[x + y = 0] เมื่อ U = {-1, 0, 1} 4. ∃x∃y[x + 3 = 2y] เมื่อ U = {4, 5, 6} คณติ ศาสตร (54)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

สมมลู ของประโยคที่มีตวั บง ปรมิ าณ ∀x[P(x)] ≡ ∀x[Q(x)] ก็ตอเม่อื P(x) ≡ Q(x) ∃x[P(x)] ≡ ∃x[Q(x)] ก็ตอเมื่อ P(x) ≡ Q(x) นิเสธของประโยคที่มตี ัวบง ปริมาณ ∼∀x[P(x)] ≡ ∃x[∼P(x)] ∼∃x[P(x)] ≡ ∀x[∼P(x)] ∼∀x∀y[P(x, y)] ≡ ∃x∃y[∼P(x, y)] ∼∃x∀y [P(x, y)] ≡ ∀x∃y[∼P(x, y)] การอา งเหตุผล ประกอบดว ยสวนท่ีสําคญั 2 สว น คือ 1. เหตหุ รือส่งิ ทก่ี ําหนดให ไดแ ก P1, P2, P3, …, Pn 2. สวนท่เี ปน ผล ไดแก Q การตรวจสอบการอา งเหตุผล 1. สรางประพจน เพ่ือตรวจสอบสัจนริ ันดร (1) เช่ือมเหตทุ กุ ตัว “และ” จะได P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn (2) เชอ่ื ม “ขอ 1” กับ “ผล” ดวย “⇒” จะได (P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) ⇒ Q (3) ถาประพจนในขอ (2) เปนสัจนริ ันดร แสดงวา การอา งเหตผุ ล “สมเหตสุ มผล (valid)” ถาประพจนใ นขอ (2) ไมเ ปน สัจนริ ันดร แสดงวา การอางเหตุผล “ไมสมเหตุสมผล (invalid)” 2. ใชรปู แบบประพจนท ส่ี มเหตุสมผล รูปแบบการอา งเหตผุ ลท่ีสมเหตสุ มผล 1) เหตุ 1. p → q 2) เหตุ 1. p → q 2. p 2. ∼q ผล q ผล ∼p 3) เหตุ 1. p ∨ q 4) เหตุ 1. p → q 2. ∼p (หรือ ∼q) 2. q → r ผล q (หรือ p) ผล p → r 5) เหตุ 1. p → q 6) เหตุ 1. p ∧ q ผล 2. q → s ผล p (หรอื q) 3. p ∨ q r∨s 7) เหตุ 1. p → q 8) เหตุ 1. p ผล ∼p ∨ q ผล p ∨ q ∨ r หรือ ∼q → ∼q โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (55)

แบบทดสอบ 1. กําหนดให p, q และ r เปน ประพจน พิจารณาขอ ความตอ ไปน้ี ก. ถา q ∧ r มคี า ความจรงิ เปน จริง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) ⇒ p] มคี าความจริงเหมือนกนั ข. ถา p มีคา ความจริงเปน เท็จ แลว r และ (p ⇒ q) ∧ r มีคา ความจรงิ เหมือนกัน ขอใดตอ ไปนี้เปน จรงิ *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 2. กาํ หนดให ประพจน (∼p ↔ ∼r) ∨ (p ↔ q) มคี าความจริงเปนเท็จ ประพจนใดตอ ไปนี้มีคาความจรงิ เปนเท็จ 1) ∼p → (q ∨ r) 2) ∼p → (q ∧ r) 3) p ∨ q ∨ ∼r *4) p ∧ q ∧ ∼r 3. กําหนดให p, q และ r เปนประพจน ถา ประพจน p → (q ∧ r) มีคาความจริงเปน เทจ็ และ (p ∨ q) ↔ r มคี าความจริงเปน จรงิ แลวพิจารณาคา ความจรงิ ของประพจนตอไปน้ี ก. (p ↔ q) ↔ ∼r ข. p ↔ (q ∨ ∼r) 1) ก. และ ข. จริง 2) ก. จรงิ และ ข. เทจ็ 3) ก. เท็จ และ ข. จริง 4) ก. และ ข. เทจ็ 4. กําหนดให p, q, r เปน ประพจน จงพิจารณาขอความตอไปนี้ ก. ประพจน p ⇒ (p ⇒ (q ∨ r)) สมมลู กบั ประพจน p ⇒ (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q ⇒ r) สมมลู กบั ประพจน (q ⇒ p) ∨ ∼(p ⇒ ∼r) ขอ ใดตอไปนถ้ี ูก 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผดิ 5. พิจารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. ถา q มีคาความจริงเปนเท็จแลว ประพจน p → (q → r) มีคา ความจรงิ เปน จรงิ ข. นิเสธของประพจน (p → q) → r คือ (∼p ∧ ∼r) ∨ (∼r ∧ q) ขอใดตอ ไปนถี้ กู *1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. ผดิ และ ข. ผิด 6. กาํ หนด p, q, r และ s เปน ประพจน ประพจนใ นขอ ใดตอ ไปนี้ไมเ ปนสัจนริ ันดร 1) [(p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)] 2) [p ∨ (q ∧ r)] ∨ ∼[p ∨ (q ∧ r)] 3) [(p ∨ q) → r] ↔ [∼r → (∼p ∧ ∼q)] *4) [(p → q) ∧ (q → r) ∧ (s ∨ ∼r) ∧ ∼s] ↔ p 7. ประพจนต อไปน้ขี อใดเปนสจั นิรันดร ก. [(p → q) ∨ (q → r)] ∨ (p → r) เม่ือ p, q และ r เปน ประพจนใ ดๆ ข. (∼p → q) ∨ (∼p ∨ q) เม่ือ p และ q เปนประพจนใดๆ ขอ ใดตอไปนถ้ี กู *1) ก. และ ข. เปน สัจนริ นั ดร 2) ก. เปน แต ข. ไมเ ปนสจั นริ ันดร 3) ก. ไมเ ปน แต ข. เปนสัจนริ นั ดร 4) ก. และ ข. ไมเปนสจั นริ นั ดร คณิตศาสตร (56)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

8. เอกภพสัมพัทธใ นขอ ใดตอ ไปนี้ ทําใหป ระโยค ก. และ ข. ทีก่ าํ หนดใหขางลางนมี้ ีคาความจรงิ เปนเทจ็ ทัง้ คู ก. ∀x [(x2 - 1)(x2 - 3x) = 0] ข. ∃x[ |x|+ 2 = 2] 1) {-2, 0, 1, 2} 2) {-1, 0, 1, 3} *3) {-3, -1, 0, 1} 4) {-1, 0, 2, 3} 9. พจิ ารณาประโยคตอ ไปนี้ ก. ∃x[ |x|+ 2 < x] ข. ∃x[2|x| > 3x] เอกภพสมั พทั ธใ นขอใดทาํ ใหประโยค ก. และ ข. มีคาความจรงิ เปนจรงิ 1) {-2, 0, 2} *2) {-2, 0, 3} 3) {0, 1, 2} 4) {0, 1, 3} 10. เอกภพสมั พทั ธ U ท่กี าํ หนดใหข อใดตอ ไปน้ีท่ที ําใหประโยค ∃x [2x2 + x - 1 ≤ 0 ∧ x2 - 4x + 4 ≤ 3] มคี า ความจริงเปน จริง 2) U = เซตของจํานวนเต็มบวกค่ี 1) U = เซตของจํานวนเตม็ บวกคู 3) U = เซตของจาํ นวนเตม็ ลบคู *4) U = เซตของจาํ นวนเต็มลบค่ี 11. กาํ หนดให U = x ∈ R (xx-+15)2 < 1   ให P(x) แทนประโยค |x| < 5 และ Q(x) แทนประโยค 1 < x2 < 16 ถา U เปน เอกภพสัมพัทธ แลว ขอ ความในขอ ใดตอไปนมี้ คี า ความจริงเปน เท็จ 1) ∀x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 2) ∃x[P(x)] ∧ ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] ∨ ∃x[Q(x)] *4) ∃x[Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 12. กาํ หนดให P(x) และ Q(x) เปนประโยคเปด โดยท่ี ∀x[P(x)] → ∃x[∼Q(x)] มคี าความจริงเปน เท็จ เม่อื เอกภพสมั พทั ธ คือเซตของจาํ นวนจริง ขอ ใดตอไปน้มี ีคา ความจรงิ เปนจริง 1) ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x)] 2) ∃x[∼Q(x) ∨ ∼Q(x)] 3) ∀x[P(x) → ∼Q(x)] *4) ∀x[P(x) → Q(x)] 13. กําหนดให เอกภพสมั พัทธ คือ U = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} ขอใดตอไปนมี้ คี าความจริงเปนเท็จ 1) ∃x∀y[x + y < y] 2) ∃x∀y[x - y2 < x] *3) ∃x∀y[xy2 = x] 4) ∃x∀y[x2y = y] 14. กําหนดใหเ อกภพสัมพทั ธคอื เซต {-2, -1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอ ไปนีม้ ีคา ความจริงเปน เท็จ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ -(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x - y = 0] *4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] 15. กําหนดใหเอกภพสมั พทั ธคือ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถี้ กู *1) ∀x∀y[x I y ≠ ∅] 2) ∀x∀y[x U y = U] 3) ∀x∃y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] 4) ∃x∀y[y ≠ x ∧ y ⊂ x] โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (57)

16. กําหนดให U = { n ∈ I+ | n ≤ 10 } ประโยคในขอ ใดตอไปน้มี ีคาความจรงิ เปนเทจ็ 1) ∀x∀y[(x2 = y2) ⇒ (x = y)] *2) ∀x∃y[(x ≠ 1) ⇒ (x > y2)] 3) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 4) ∃x∃y[(x - y)2 ≥ y2 + 9xy] 17. พิจารณาขอ ความตอไปน้ี ก. ใหเ อกภพสัมพัทธค ือเซตของจาํ นวนเฉพาะบวก ขอความ ∀x∃y[x2 + x + 1 = y] มีคาความจรงิ เปน จรงิ ข. นเิ สธของขอ ความ ∀x[P(x) → (Q(x) ∨ R(x))] คอื ∃x[P(x) ∧ ∼Q(x) ∧ ∼R(x)] ขอใดตอ ไปน้ีถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 1) ก. และ ข. ถูก *3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด 18. พจิ ารณาขอความตอ ไปนี้ ก. ถา p, q เปน ประพจน โดยท่ี p มีคา ความจรงิ เปนจรงิ และ ∼q → (∼p ∨ q) เปน สัจนิรนั ดร ข. แนลิเสว ธqขอมงคีขาอคคววาามมจร∃งิ เxป[น(∼จรPิง(x)) ∧ Q(x) ∧ (∼R(x))] คอื ขอ ความ ∀x[Q(x) → (P(x) ∨ R(x))] ขอใดตอ ไปนถี้ ูก *1) ก. และ ข. ถกู 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด 19. กําหนดให P(x) และ Q(x) เปน ประโยคเปด โดยท่ี ∀x[P(x)] ⇒ ∃x[∼Q(x)] มีคา ความจริงเปน เท็จ เม่ือ เอกภพสมั พัทธ คือเซตของจํานวนจรงิ ขอ ใดตอ ไปนี้มีคา ความจริงเปน จรงิ 1) ∀x[∼P(x)] ⇒ ∃x[Q(x)] *2) ∀x[Q(x)] ⇒ ∃x[∼P(x)] 3) ∃x[P(x)] ⇒ ∀x[Q(x)] 4) ∃x[∼Q(x)] ⇒ ∀x[P(x)] 20. นเิ สธของขอ ความ ∀x∃y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0) → y = 0] สมมลู กบั ขอความในขอใดตอ ไปน้ี 1) ∃x∀y[(xy = 0 ∨ x = 0) ∧ y ≠ 0] 2) ∃x∀y[(xy ≠ 0 ∧ x = 0) ∨ y = 0] *3) ∃x∀y[(xy = 0 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 0] 4) ∃x∀y[xy ≠ 0 ∨ x = 0 ∨ y = 0] 21. นเิ สธของ ∀r > 0 ∃s > 0 ∀x ∈ R [|x + 1| < s → |f(x) - 2| < r] คอื ประพจนในขอ ใดตอ ไปนี้ 1) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| ≥ s → |f(x) - 2| ≥ r] *2) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 3) ∃r ≤ 0 ∀s ≤ 0 ∃x ∈ R [|x + 1| < s ∧ |f(x) - 2| ≥ r] 4) ∃r > 0 ∀s > 0 ∃x ∈ R [|f(x) - 2| ≥ r → |x + 1| ≥ s] คณิตศาสตร (58)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

22. พิจารณาขอความตอ ไปน้ี ก. ถา p ⇒ (q ∧ r) มคี า ความจริงเปน จริง และ (p ∨ q) ⇒ r มคี าความจริงเปนเทจ็ แลว q ⇒ (p ∨ r) มคี าความจริงเปนจรงิ ข. การอา งเหตผุ ลตอไปน้สี มแหตสุ มผล เหตุ 1. (∼p) ∨ q 2. (p ∨ q) ⇒ ∼r 3. p ⇒ ∼r ผล q ∨ r ขอใดตอไปนถี้ ูก 1) ก. และ ข ถูก 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถกู *4) ก. และ ข. ผิด 23. กําหนดให เหตุ 1. ∼p → ∼q 2. p → (r ∨ s) 3. q ∨ t 4. ∼t ผลในขอ ใดตอไปนี้ทําใหการอางเหตุผลน้ี สมเหตุสมผล 1) s → r 2) s → ∼r 3) r → ∼s *4) ∼r → s 24. พิจารณาการใหเหตุผลตอไปน้ี ข. เหตุ 1. p → (q → ∼s) ก. เหตุ 1. p → (q → r) 2. p ∧ s 2. p 3. ∼t → q ผล p ผล r → t 2) ก. สมเหตุสมผล และ ข. ไมส มเหตสุ มผล 4) ก. ไมส มเหตุสมผล และ ข ไมสมเหตุสมผล ขอ ใดตอ ไปนถ้ี ูก 1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล *3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตสุ มผล 25. พิจารณาการอา งเหตุผลตอไปนี้ เมอ่ื p, q และ r เปนประพจน ก. เหตุ 1. p ∨ (p ∧ ∼q) ข. เหตุ 1. ∼p → r 2. p → q 2. ∼r ∨ s 3. ∼s ผล q ผล p ขอ ใดตอ ไปนถ้ี กู *1) ก. และ ข. สมเหตุสมผล 2) ก. สมเหตสุ มผล และ ข. ไมส มเหตสุ มผล 3) ก. ไมสมเหตุสมผล และ ข. สมเหตสุ มผล 4) ก. ไมสมเหตสุ มผล และ ข ไมส มเหตุสมผล โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (59)

26. กาํ หนดให p, q, r และ s เปนประพจน ในการอา งเหตผุ ล ถา “เหตุ” คอื 1. (p ∨ q) → (r ∧ s) 2. r → ∼s แลว ประพจนใ นขอใดตอ ไปนี้เปน “ผล” ทท่ี าํ ใหการอา งเหตผุ ลมีความสมเหตุสมผล 1) p 2) q *3) ∼p ∧ ∼q 4) ∼p ∧ q 27. กาํ หนด เหตุ 1. A ↔ ∼B 4) D 2. ∼A → (C → ∼B) 3. (∼D ∨ ∼C) → ∼(∼B) 4. ∼D ผลในขอ ใดตอไปนไ้ี ดจ ากการสรปุ ท่ีสมเหตสุ มผลจากเหตทุ ี่กําหนดใหทง้ั สี่ขอ 1) A 2) ∼B *3) ∼C 28. กาํ หนดเหตใุ หดงั ตอ ไปนี้ 2) ∀x[P(x) → Q(x)] 1) เอกภพสมั พัทธไ มเ ปน เซตวา ง 4) ∃x[∼R(x)] 3) ∀x[Q(x) ∨ R(x)] 29. ขอความในขอใดตอไปนเี้ ปน ผลทที่ าํ ใหการอา งเหตุผล สมเหตสุ มผล 1) ∃x[P(x)] 2) ∃x[Q(x)] 3) ∀x[P(x)] *4) ∀x[Q(x)] คณติ ศาสตร (60)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

ระบบจํานวนจรงิ โครงสรางของระบบจํานวนจรงิ จาํ นวนตรรกยะ (Q) จาํ นวนจรงิ (R) จํานวนอตรรกยะ (Q′) จํานวนเตม็ เชน ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ทศนิยมไมรจู บแบบไมซ ํา้ เชน 0.1637... เศษสวน เชน 12 , 54 n A เชน 2 , 5 , 3 7 , 4 11 , 5 25 ทศนิยมรจู บ เชน 0.3, 0.123 ♥ 49 , 3 343 , 4 2401 ไมใชจํานวนอตรรกยะ ทศนยิ มซ้ํา เชน 0.1& , 0.2&3& , 0.325& π = 3.14159... ≈ 3.1416 ≈ 272 e = 2.718... ≈ 2.718 สมบตั ิของระบบจํานวนจรงิ ให a, b, c ∈ R สมบัติ การบวก การคูณ ปด 1. a + b ∈ R 6. ab ∈ R 7. ab = ba การสลับท่ี 2. a + b = b + a 8. (ab)c = a(bc) 9. มีจาํ นวนจรงิ 1, 1 ≠ 0 การเปลี่ยนหมู 3. (a + b) + c = a + (b + c) ซึง่ 1 ⋅ a = a = a ⋅ 1 การมีเอกลกั ษณ 4. มีจํานวนจริง 0 ซึ่ง 10. สําหรับ a ทีไ่ มเ ปน 0 จะมจี ํานวนจรงิ 0+a=a=a+0 a-1 โดยที่ a-1 ⋅ a = 1 = a ⋅ a-1 การมีอินเวอรส 5. สําหรับ a จะมีจาํ นวนจรงิ -a เรยี ก a-1 วาอนิ เวอรส การคณู ของ a การแจกแจง โดยท่ี (-a) + a = 0 = a + (-a) เรียก -a วาอินเวอรส การบวกของ a 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการพหุนามตัวแปรเดยี ว เราสามารถหาคาํ ตอบของสมการพหนุ ามตัวแปรเดยี วโดยใชก ารแยกตวั ประกอบ หรือสูตรตางๆ ของการ แยกตัวประกอบ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (61)

สตู รการแยกตวั ประกอบของพหุนาม ผลตางกําลังสอง A2 - B2 = (A + B)(A - B) กําลงั สองสมบูรณ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 ผลตางกาํ ลังสาม A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2) ผลบวกกาํ ลงั สาม A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) กาํ ลงั สามสมบูรณ A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 การแกส มการกําลังสอง 1. แยกตัวประกอบพหนุ าม 2. ใชสตู ร ถา ax2 + bx + c = 0 โดยท่ี a, b และ c เปน จาํ นวนจริงใดๆ แลว x= -b ± b2 - 4ac 2a ถา b2 - 4ac > 0 แลว คาํ ตอบของสมการมี 2 คําตอบ ถา b2 - 4ac = 0 แลว คาํ ตอบของสมการมี 1 คําตอบ ถา b2 - 4ac < 0 แลว ไมม คี าํ ตอบสมการในระบบจํานวนจรงิ การแกสมการพหนุ ามโดยใชท ฤษฎีบทเศษเหลอื ทฤษฎีบทเศษเหลอื (remainder theorem) เม่อื p(x) คอื พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปนจํานวนจรงิ ซึ่ง an ≠ 0 ถาหารพหนุ าม p(x) ดว ย x - c เมอ่ื c เปนจาํ นวนจรงิ เศษเหลือจะเทา กับ p(c) นัน่ คือ แทนคา x = c ลงใน p(x) จะได p(c) เปนเศษ ทฤษฎีบทตวั ประกอบ (factor theorem) เมอ่ื p(x) คอื พหุนาม anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยท่ี n เปนจํานวนเตม็ บวก an, a n-1, ..., a1, a0 เปน จํานวนจรงิ ซ่ึง an ≠ 0 พหนุ าม p(x) จะมี x - c เปน ตวั ประกอบกต็ อ เมื่อ p(c) = 0 นั่นคอื 1. สาํ หรบั พหุนาม p(x) ถา x - c เปน ตวั ประกอบแลวจะได p(c) = 0 2. สาํ หรบั พหนุ าม p(x) ถา p(c) = 0 แลว x - c จะเปนตวั ประกอบของ p(x) คณติ ศาสตร (62)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

การหารสังเคราะห (Synthetic Division) ตวั อยา ง จงหาผลหารและเศษจากการหารพหนุ าม 2x3 + 3x2 - 5x + 4 ดว ย x + 3 วธิ ีทํา ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................... ทฤษฎีบทตวั ประกอบจํานวนตรรกยะ (Factor Theorem) เม่อื p(x) คือ พหุนามในรปู anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 โดยที่ n เปน จํานวนเตม็ บวก an, a -n-1mk, ...,เปaน1,ตaัว0ปรเปะกน อจบํานขวอนงพจรหงิ นุ าซมึง่ an ≠ 0 ถา x p(x) โดยที่ m และ k เปน จํานวนเตม็ ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เปน 1 แลว m หาร an ลงตัว และ k หาร a0 ลงตวั สมบัติของการไมเทา กัน ถา a และ b เปน จาํ นวนจริงแลว a = b, a < b และ a > b จะเปนจริงเพียงอยางใดอยา งหนึ่ง เทา นั้น เรียกวา “สมบตั ไิ ตรวภิ าค” ทฤษฎบี ท กําหนดให a, b และ c เปน จํานวนจรงิ ใดๆ 1. ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. ถา a > b แลว a + c > b + c 3. ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc และถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 4. ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b และถา ac > bc และ c < 0 แลว a < b 5. ถา a < 0 และ b < 0 แลว ab > 0 6. ถา a < 0 และ b > 0 แลว ab < 0 7. ถา a > 0 และ b < 0 แลว ab < 0 8. ถา a < b < c แลว a < b และ b < c หลกั การแกอสมการ 1. จดั ดานขวามอื ของอสมการใหเ ปน ศูนย 2. แยกตวั ประกอบของพหนุ าม เชน (ax - b)(cx - d) > 0 ∗ ถา อสมการอยใู นรปู เศษสว น ตอ งระวังไวเสมอวา ตัวสว นตอ งไมเปนศูนย 3. ใหต ัวประกอบแตล ะตวั เทากบั 0 แลวแกส มการหาคา x จากน้ันจึงนาํ คา x ที่ไดไ ปเขียนบนเสน จาํ นวน ซง่ึ คา x ท่ไี ดจะแบงเสน จาํ นวนเปนชว งๆ 4. พิจารณาเครื่องหมายของพหุนามในแตล ะชวง สวนใหญเครอื่ งหมายบวก ลบ จะสลับกันไป 5. จากน้ันพิจารณาชวงคําตอบ ถาอสมการมีเครอื่ งหมายเปน “>” ใหต อบชว งท่ีเปน บวก ถา อสมการมเี ครือ่ งหมายเปน “<” ใหตอบชวงทเ่ี ปน บวก 6. กรณีทว่ี งเลบ็ ใดไมส ามารถแยกตัวประกอบได ใหค งไวอ ยา งนัน้ แลวคดิ เคร่ืองหมายไดเลย เชน (x2 + 4) (2x + 1)(3x - 2) ≤ 0 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (63)

การแกสมการและอสมการในรปู คา สมั บูรณ คาสัมบรู ณข องจาํ นวนจริง a เขยี นแทนดวย |a| หมายถึง ระยะจากจุด 0 ถงึ จดุ a บนเสนจาํ นวน บทนยิ าม ให x เปน จาํ นวนจริง |x| =  x;x>0  0;x=0  -x ; x < 0 ทฤษฎีบทของคา สัมบูรณ เมอ่ื x และ y เปน จาํ นวนจริง 1. |x| ≥ 0 2. |x| = |-x| 3. |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y| 4. xy |x| = |y| 5. |x - y| = |y - x| 6. |x|2 = x2 7. x2 = |x| 8. |x + y| ≤ |x| + |y| 9. |x - y| ≥ |x| - |y| การแกส มการในรูปคา สัมบรู ณ 1. ถา |f(x)| = 0 แลว f(x) = 0 2. ถา |f(x)| = a และ a ≥ 0 แลว f(x) = a หรือ f(x) = -a 3. ถา |f(x)| = a และ a < 0 แลว x ∈ ∅ 4. ถา |f(x)| = |g(x)| แลว f(x) = g(x) หรือ f(x) = -g(x) 5. ถา |f(x)| = g(x) แลว f(x) = g(x) หรอื f(x) = -g(x) โดยที่ g(x) ≥ 0 6. ถา |P(x)| = P(x) แลว P(x) ≥ 0 ถา |P(x)| = - P(x) แลว P(x) ≤ 0 7. ถา |P(x)| + |Q(x)| = |P(x) + Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ถา |P(x)| - |Q(x)| = |P(x) - Q(x)| แลว P(x) ⋅ Q(x) ≥ 0 ∧ P(x) ≥ Q(x) การแกอ สมการในรูปคาสัมบรู ณ 1. |x| ≤ ∆ กต็ อ เมอ่ื -∆ ≤ x ≤ ∆ |x| < ∆ ก็ตอ เมอ่ื -∆ < x < ∆ 2. |x| ≥ ∆ กต็ อเมือ่ x ≤ -∆ หรอื x ≥ ∆ |x| > ∆ กต็ อ เมือ่ x < -∆ หรอื x > ∆ 3. |P(x)| < |Q(x)| กต็ อเม่ือ (P(x) + Q(x)) ⋅ (P(x) - Q(x)) < 0 คณติ ศาสตร (64)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

แบบทดสอบ 1. ให a เปนจาํ นวนเตม็ ถา x - a หาร x3 + 2x2 - 5x - 2 เหลอื เศษ 4 แลว ผลบวกของคา a ทั้งหมดท่ี สอดคลองเงอื่ นไขดังกลาว เทากบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) -6 *2) -2 3) 2 4) 6 2. กําหนดให x + 1 และ x - 1 เปน ตัวประกอบของพหนุ าม P(x) = 3x3 + x2 - ax + b เมอื่ a, b เปน คา คงตัว เศษเหลือทไี่ ดจ ากการหาร P(x) ดวย x - a - b เทากับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 15 2) 17 3) 19 *4) 21 3. กําหนดให f(x) = x3 + kx2 + mx + 4 เมือ่ k และ m เปนคาคงตัว ถา x - 2 เปนตัวประกอบหนง่ึ ของ f(x) และเม่ือนํา x + 1 ไปหาร f(x) ไดเศษเหลือ 3 แลวคาสมั บรู ณข อง k + m เทา กับ เทา ใด (ตอบ 4) 4. กาํ หนดให k และ l เปนจาํ นวนเต็ม ซ่ึงเมือ่ หาร x3 - 6x2 + (k + l)x + 2 ดว ย x - 2 แลวเหลอื เศษเปน -4 ถา k : l = 3 : 2 แลว ผลหารของการหาร 6x3 + 2x2 + 8x + 1 ดว ย kx - l มคี า เปน เทา ใด (ตอบ 9) 5. ให P(x) = x3 + ax2 + bx + 10 เม่ือ a, b เปนจํานวนเต็ม และ Q(x) = x2 + 9 ถา Q(x) หาร P(x) เหลือ เศษ 1 แลว P(a) + P(b) มีคา เทาใด (ตอบ 922) 6. ให p(x) เปนพหนุ าม ถา หาร p(x) ดว ย x - 1 จะเหลอื เศษ 3 และ ถา หาร p(x) ดว ย x - 3 จะเหลือเศษ 5 ถา r(x) = ax + b คือ เศษท่เี กดิ จากการหาร p(x) ดว ย (x - 1)(x - 3) แลว 3a + 2b เทากับเทา ใด (ตอบ 7) 7. ให a และ b เปน จํานวนจริงทท่ี าํ ให x2 + ax + b หาร x3 - 3x2 + 5x + 7 มเี ศษเทา กับ 10 คา a + b เทากับขอ ใดตอไปน้ี *1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 8. กาํ หนดให S = {x ||x|3 = 1} เซตในขอ ใดตอ ไปนเี้ ทา กับเซต S 1) {x |x3 = 1} *2) {x |x2 = 1} 3) {x |x3 = -1} 4) {x |x4 = x} 9. กําหนดให S เปนเซตคาํ ตอบของสมการ 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของ S เทา กับขอใดตอ ไปนี้ 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 *4) 3.5 10. ถา a, b และ c เปน คําตอบท้ัง 3 คาํ ตอบของสมการ x3 - 8x2 + 5x + 7 = 0 แลว คาของ a2 + b2 + c2 มคี าเทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี 1) 39 *2) 54 3) 63 4) 74 11. กาํ หนดให A = {x ||x - 1| ≤ 3 - x} และ a เปน สมาชกิ คามากทีส่ ุดของ A คา ของ a อยูในชวงใด ตอไปนี้ 1) (0, 0.5] 2) (0.5, 1] 3) (1, 1.5] *4) (1.5, 2] โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (65)

12. กาํ หนดให A เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + x2 - 27x - 27 = 0 และ B เปนเซตคําตอบของสมการ x3 + (1 - 3 )x2 - (36 + 3 )x - 36 = 0 A I B เปนสับเซตของชวงในขอใดตอ ไปนี้ *1) [-3 5 , -0.9] 2) [1.1, 0] 3) [0, 3 5 ] 4) [1, 5 3 ] 13. กําหนดให A = {x | (2x + 1)(x - 1) < 2} และ B = {x | 16 - 9x2 > 0} เซต A I B เปน สับเซตของ ชว งในขอ ใดตอไปน้ี -32, 73 53 -34, 54 -53, 1)   *2)  -1,  3)   4)  1          14. กาํ หนดให S= x x2 x + 2 ≥ x +2  ชวงในขอใดตอ ไปนเ้ี ปน สับเซตของ S 3x x2 -1   -  1) (-∞, -3) *2) (-1, 0, 5) 3) (-0.5, 2) 4) (1, ∞) 15. กาํ หนดให A เปน เซตคาํ ตอบของอสมการ (2x +21-)(xx - 1) ≥ 0 และ B เปน เซตคาํ ตอบของอสมการ 2x2 - 7x + 3 < 0 ถา A I B = [c, d) แลว 6c - d เทา กับขอใดตอ ไปนี้ *1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 16. กาํ หนดให A = {x | (x2 - 1)(x2 - 3) ≤ 15 } ถา a เปน สมาชกิ คานอยสุดในเซต A และ b เปน สมาชกิ คามากสดุ ในเซต A แลว (b - a)2 เทากับขอใดตอ ไปน้ี *1) 24 2) 16 3) 8 4) 4 17. กาํ หนดให S เปนเซตคาํ ตอบของอสมการ x4 - 13x2 + 36 ≥ 0 ถา a เปนจํานวนทม่ี คี า นอ ยทสี่ ดุ ในเซต x2 + 5x + 6 S I (2, ∞) และ b เปนจาํ นวนลบที่มีคามากทส่ี ุด ซงึ่ b ∉ S แลว a2 - b2 เทา กบั ขอใดตอไปนี้ 1) -9 2) -5 *3) 5 4) 9 18. กาํ หนดให A เปน เซตคําตอบของสมการ |(2x - 1)(x + 3) | = |(x + 7)(3 - 4x) | ผลบวกของสมาชิก ทงั้ หมดของ A เทา กบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 2) - 125 3) 125 *1) -15 4) 15 19. กําหนดให I เปน เซตของจํานวนเตม็ ถา S = {x| 2x2 - 9x - 26 ≤ 0 และ |1 - 2x| ≥ 0} แลว ผลบวก ของสมาชิกของ S เทากับเทาใด (ตอบ 17) 20. เซตคาํ ตอบของอสมการ |3x - 1||(2x + 1) < 1 และ 5x < 1 เทา กบั ขอ ใดตอไปน้ี -13 51 -12 51 1) -∞,  U  0,  2) -∞,  U  0,          3) (-∞, 0) U  61, 51  *4) -∞, -61  U  0, 51        21. ถาเซตคาํ ตอบของอสมการ |x2 + x - 2| < (x + 2) คือชว ง (a, b) แลว a + b มคี า เทา กับเทา ใด (ตอบ 2) คณิตศาสตร (66)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010

22. กาํ หนดให A เปนเซตคาํ ตอบของอสมการ |x2 + x - 2| ≤ |x2 - 4x + 3| และ B = A - {1} ถา a เปนสมาชกิ ของ B ซ่ึง a - b ≥ 0 ทกุ b ∈ B แลว พจิ ารณาขอความตอ ไปนี้ ก. 34 a เปนจาํ นวนคู ข. 5a เปนจาํ นวนคู ขอ ใดตอ ไปน้ีถูก 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ผดิ และ ข. ถกู 3) ก. ถูก และ ข. ผิด 4) ก. และ ข. ผิด 23. กําหนดให A = {x|x2 + 2x - 3 < 0} และ B = {x|x + 1 ≥ 2|x|} ถา A - B = (a, b) แลว 3|a + b| มคี า เทาใด (ตอบ 10) 24. กาํ หนดให U เปนเซตคาํ ตอบของอสมการ ||x + 1| + 2| ⋅ ||x + 1| - 2| ≤ 25 ประโยคในขอใดตอไปนมี้ ี คาความจริงเปน จรงิ 1) ∃x∃y[x + y = 14] 2) ∃x∃y[x + y = 11] *3) ∃x∃y[x + y = -11] 4) ∃x∃y[x + y = -14] 25. ถา A = {(x, y) ∈ R × R||x + y| ≥ |x| + |y|} แลว A คอื เซตในขอ ใดตอไปนี้ 1) A = {(x, y) ∈ R × R|x = 0 หรือ y = 0} 2) A = {(x, y) ∈ R × R|x ≥ 0 หรือ y ≥ 0} 3) A = {(x, y) ∈ R × R|xy ≤ 0} *4) A = {(x, y) ∈ R × R|xy ≥ 0} 26. ถา A = { x ∈ R+|3|x + 2| ≤ |2x2 + x|} แลว สมาชกิ ของ A ทีม่ ีคา นอ ยทสี่ ุดเทา กับคา ในขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 13 - 1 *2) 13 + 1 3) 13 - 1 4) 13 + 1 2 2 27. กาํ หนดให P(x) และ Q(x) เปนพหนุ ามดกี รี 2551 ซงึ่ สอดคลองกับ P(n) = Q(n) สําหรบั n = 1, 2, 3, ..., 2551 และ P(2552) = Q(2552) + 1 คาของ P(0) - Q(0) เทากบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 0 2) 1 *3) -1 4) หาคาไมไดเ พราะขอ มูลไมเ พียงพอ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (67)

ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน นิยามการหารลงตัว ให a และ b เปนจาํ นวนเต็มโดยท่ี b ≠ 0 b หาร a ลงตัวก็ตอเมื่อ มจี ํานวนเตม็ c ท่ที าํ ให a = bc เรยี ก b วา ตัวหาร (Divisor) ของ a และเรยี ก a วา พหคุ ูณ (Multiple) ของ b b|a แทน “b หาร a ลงตวั ” และ b|a แทน “b หาร a ไมล งตวั ” สมบัตกิ ารหารลงตัว ♥ ถา a, b และ c เปน จาํ นวนเตม็ โดยที่ b และ c ไมเ ทา กบั ศนู ย แลว a|b และ b|c แลว a|c ♥ ถา a|b และ c|d แลว ac|bd ♥ ถา a และ b เปนจาํ นวนเตม็ บวก ซง่ึ a|b และ b ≠ 0 แลว a ≤ b ♥ ถา a, b และ c เปนจาํ นวนเตม็ ซ่ึง a | b และ a | c จะได a | (bx + cy) โดย x, y ∈ I และเรียก bx + cy วา “ผลรวมเชิงเสน ” ตวั อยา งที่ 1 กาํ หนด a, b และ c เปน จาํ นวนเต็มใดๆ ท่ไี มเ ปนศูนย ถา a|(b + c) แลว ขอ ใดตอ ไปนถี้ ูก 1) a|b 2) a|c 3) a|(b2 + c2) 4) a|(b2 - c2) ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางท่ี 2 ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซง่ึ d|15k + 27) และ d|(3k + 2) แลว d ตรงกับขอ ใดตอไปน้ี 1) 1 หรือ 17 2) 3 หรอื 11 3) 2 หรือ 13 4) 4 หรือ 19 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... คณิตศาสตร (68)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

จํานวนคแู ละจาํ นวนค่ี ♥ จาํ นวนคู เขียนแทนดวย 2n เมือ่ n เปนจาํ นวนเต็ม ♥ จาํ นวนค่ี เขียนแทนดวย 2n + 1 หรือ 2n - 1 เม่อื n เปนจํานวนเตม็ ตวั อยา งท่ี 3 จงแสดงวา ถา x เปน จาํ นวนเต็มค่ี แลว 4|(x2 - 1) วิธที าํ ....................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... จํานวนเฉพาะ (Prime numbers) ♥ จาํ นวนเต็ม p ≠ 0 จะเปนจาํ นวนเฉพาะ ก็ตอ เม่ือ p ≠ 1, -1 และถา จํานวนเต็ม x หาร p ลงตวั แลว x ∈ {1, -1, p, -p} ♥ เรยี กจํานวนเตม็ ที่ไมใ ชจ ํานวนเฉพาะ และไมใ ช -1, 0, 1 วาเปน “จํานวนประกอบ (composite numbers)” ตัวอยางท่ี 4 จงหาจาํ นวนเตม็ บวก n ท้งั หมดทที่ าํ ให n3 - 14n2 + 64n - 93 เปนจาํ นวนเฉพาะ ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ทฤษฎีบทหลกั มูลทางเลขคณิต ♥ จํานวนเต็ม n ทกุ จํานวนทม่ี ากกวา 1 สามารถเขยี นไดในรูปผลคูณของจาํ นวนเฉพาะไดเพียงแบบเดียว เทานน้ั เชน 28 = 22 × 7 60 = 22 × 3 × 5 ♥ จํานวนตวั ประกอบทัง้ หมดทเ่ี ปน บวกของ n = p1c1 ⋅ pc22 ⋅ p3c3 ⋅... ⋅ pckk มีคา เทากับ (c1 + 1)(c2 + 1)(c3 + 1) … (ck + 1) โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (69)

ตัวอยางที่ 5 จาํ นวนเต็มบวกท้ังหมดท่ีหาร 210 ลงตัว มจี ํานวนเทา กับขอ ใดตอไปนี้ 1) 14 2) 15 3) 16 4) 17 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 6 ถา A = {x ∈ I | x เปนจํานวนเฉพาะ และ 2x | (252 - 6x)7} แลว จาํ นวนสมาชกิ ทั้งหมดใน A เทา กับขอใด 1) 1 2) 2 3) 4 4) 6 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวหารรว มมาก (ห.ร.ม.) ♥ กาํ หนดจาํ นวนเตม็ a, b ซึ่ง a2 + b2 ≠ 0 จํานวนเตม็ บวก d จะเปนตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) ของ a และ b กต็ อ เมื่อ 1) d|a และ d|b 2) ถา c เปน จาํ นวนเตม็ ซึ่ง c|a และ c|b จะไดวา c|d ♥ d = (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ♥ เราสามารถเขียน d ในรปู ของผลรวมเชงิ เสนของ a และ b คือ d = am + bn เมื่อ m, n ∈ I ♥ ถา (a, b) = 1 เราเรียก a, b วาเปน “ จํานวนเฉพาะสมั พัทธ (Relative primes) ” ตัวอยางท่ี 7 ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มคี า เทา ใด ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตวั อยา งท่ี 8 จาํ นวนเต็มทงั้ หมดต้งั แต 0 ถึง 100 ท่ไี มเ ปนจํานวนเฉพาะสัมพทั ธกับ 15 มีทัง้ หมดกจ่ี าํ นวน ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... คณติ ศาสตร (70)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

ข้ันตอนวธิ กี ารหาร ให m และ n เปนจาํ นวนเตม็ ซึง่ n ≠ 0 แลว จะมีจาํ นวนเตม็ q และ r ชุดเดยี ว ซงึ่ m = nq + r โดยท่ี 0 ≤ r < |n| เรียก q วา ผลหาร และ r วา เศษเหลือ ตัวอยา งท่ี 9 กาํ หนดให n เปนจํานวนนับใดๆ และ r เปน เศษเหลือจากการหาร n2 ดวย 11 จาํ นวนในขอ ใด ตอ ไปน้ีเปน คา ของ r ไมได 1) 1 2) 3 3) 5 4) 7 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ตัวอยางที่ 10 กําหนดให n เปนจํานวนเต็มท่มี คี า มากทสี่ ดุ ซ่งึ มีสมบัตวิ า n หาร 551 และ 731 เหลือเศษ r r -n 1 เทา กัน และ n หาร 1093 เหลือเศษ r + 2 แลว มีคาเทา กับขอ ใดตอไปน้ี 1) 117 2) 118 3) 119 4) 210 ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................... ขั้นตอนวธิ ยี คุ ลิด กําหนดจาํ นวนเตม็ บวก a และ b จากการนาํ ขั้นตอนการหารมาใชซ้าํ ๆ กนั จะไดสมการ b = (a ⋅ q1) + r1 0 < r1 < a ...(1) a = (r1 ⋅ q2) + r2 0 < r2 < r1 ...(2) r1 = (r2 ⋅ q3) + r3 0 < r3 < r2 ...(3) rMn-2 = (rn-1 ⋅ qn) + rn 0 < rMn < rn-1 ...(n) rn-1 = (rn ⋅ qn+1) + 0 0 < r1 < a ...(n + 1) rn = (a, b) = ห.ร.ม. ตวั คูณรวมนอย (ค.ร.น.) ♥ ให m และ n เปน จํานวนเตม็ ทไ่ี มเ ปนศนู ย c จะเปนตวั คณู รว มนอย (ค.ร.น.) ของ m และ n กต็ อเม่อื 1. m|c และ n|c 2. ถา a เปนจํานวนเต็ม ซ่งึ m|a และ n| จะได c|a ♥ c = [ m, n ] = ค.ร.น. ของ m, n ♥ ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทีเ่ ปน บวกของจาํ นวนเต็ม m, n ตามลาํ ดบั จะไดว า dc = mn โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (71)

แบบทดสอบ 1. ถา d เปนจํานวนเต็มบวก ซ่ึง d|(20k + 36) และ d|(4k + 3) แลว d ตรงกบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 1 หรอื 11 *2) 3 หรือ 5 3) 2 หรือ 11 4) 4 หรือ 5 2. ให a, b และ c เปน จํานวนเตม็ จงพิจารณาขอ ความตอ ไปน้ี 4) ผดิ ท้งั ก. และ ข. ก. ถา a|bc แลว a|b หรอื a|c ข. ถา a|b และ b|c แลว a|(c - b) ขอใดตอ ไปน้ีถูก 1) ถูกทั้ง ก. และ ข. 2) ถกู เฉพาะขอ ก. *3) ถูกเฉพาะขอ ข. 3. กําหนดให a, b และ c เปน จาํ นวนเต็ม ขอ ใดตอไปน้ีเปน จริง 1) ถา a|(b + c) แลว a|b หรอื a|c 2) ถา a|bc แลว a|b หรอื a|c *3) ถา a|(2a - 3b) และ a|(4a - 5b) แลว a|b 4) ถา a|c และ b|c จะได ab|c 4. พจิ ารณาขอความตอไปนี้ 4) ก. และ ข. ผิด ก. 3|(a4 + 2a3 - a2 - 2a) ทกุ จํานวนเต็ม a ข. {x ∈ I-|6x3 + 17x2 + 14x + 3 ≥ 0} มีสมาชกิ เพียงตัวเดียว ขอ ใดตอไปนี้ถูกตอ ง *1) ก. และ ข. ถกู 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 5. พิจารณาขอความตอ ไปน้ี ก. ถา a, b และ c เปนจาํ นวนเต็มซงึ่ a|(2b - c) และ a2|(b + c) แลว a|3c ข. ถา A =  x ∈ R x -x2-x2+ 2 < 1 และ B = {x ∈ R|x3 - 2x2 < 0} แลว A = B    ขอใดตอไปนถ้ี ูก 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผิด 6. ถา A = {p | p เปน จาํ นวนเฉพาะบวก และ p | (980 - p)3} แลว ผลบวกของสมาชกิ ท้งั หมดใน A เทากบั ขอ ใด 1) 10 2) 12 *3) 14 4) 16 7. กาํ หนด a เปน จํานวนเตม็ ใดๆ จงพจิ ารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. (a2 + a) เปนจาํ นวนคี่ ข. (a2 - a) เปน จํานวนคู ขอใดกลาวถูกตอง 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผิด *3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 4) ก. และ ข. ผดิ คณิตศาสตร (72)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

8. ขอ ความใดตอไปนผ้ี ดิ 1) ถา a และ b เปนจาํ นวนคูแ ลว (a - b)2 เปนจํานวนคู 2) ถา b|a และ |a| < |b| แลว a = 0 *3) ห.ร.ม. ของ 364 และ 1012 คอื 2 4) ถา a เปน จาํ นวนคี่ และ b เปนจาํ นวนคแู ลว a2 + 2b เปน จํานวนคี่ 9. กําหนดให a เปน คาํ ตอบของ 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + 5 ⋅ 6 และ b เปนคาํ ตอบของ 4 ⋅ 6 + 6 ⋅ 8 + 8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 12 แลว (a, b) มีคาตรงกับขอใดตอ ไปน้ี 1) 70 *2) 68 3) 66 4) 64 10. กาํ หนดให a และ b เปน จํานวนเตม็ บวก ซ่ึง (a, b) = c แลว ห.ร.ม. ของ 2a และ 2b ตรงกบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) c *2) 2c 3) 4c 4) 8c 11. กาํ หนดให a, b และ c เปนจํานวนเต็มบวกใดๆ พจิ ารณาขอ ความตอไปนี้ 4) ผดิ ท้งั ก. และ ข. ก. ถา a|b และ b|c แลว a|c ข. ถา a|b แลว ห.ร.ม. ของ a กับ b คือ a ขอใดตอ ไปนถี้ ูก *1) ถูกท้งั ก. และ ข. 2) ถกู เฉพาะขอ ก. 3) ถูกเฉพาะขอ ข. 12. กําหนดให x และ y เปน จาํ นวนเต็มบวก โดยที่ x < y ห.ร.ม. ของ x, y เทา กบั 9 ค.ร.น. ของ x, y เทากบั 28215 และจาํ นวนเฉพาะท่แี ตกตางกนั ทงั้ หมดทีห่ าร x ลงตัว มี 3 จาํ นวน คา ของ y - x เทา กบั ขอใดตอไปนี้ 1) 36 2) 45 3) 9 *4) 18 13. ให x และ y เปนจํานวนเต็มบวก ซง่ึ 80 < x < 200 และ x = pq เมื่อ p และ q เปน จาํ นวนเฉพาะ ซง่ึ p ≠ q ถา x และ y เปน จาํ นวนเฉพาะสมั พัทธ และ ค.ร.น. ของ x, y เทา กบั 15015 แลว ผลบวก ของคาของ y ท้งั หมดท่สี อดคลอ งเง่ือนไขทง้ั หมดทีก่ าํ หนดใหเทากับเทาใด (ตอบ 270) 14. ถา 1 = ax + by โดย a, x, b, y เปน จํานวนเตม็ จงหา ห.ร.ม. ของ x, y (ตอบ 1) 15. ให a เปนจาํ นวนเต็มบวก ซ่ึง 3 | a และ 5 | a หา ห.ร.ม. ของ a และ 7 เทากบั 1 แลว ห.ร.ม. ของ a และ 105 เทากับขอใดตอไปน้ี 1) 5 *2) 15 3) 35 4) 105 16. กําหนดใหเอกภพสมั พัทธคือ {x|x เปนจาํ นวนเตม็ ท่ีไมใช 0 และ -100 ≤ x ≤ 100} ให A = {x|ห.ร.ม. ของ x กบั 21 เปน 3} จํานวนสมาชิกของ A เทา กบั ขอใดตอไปนี้ 1) 29 2) 34 3) 68 *4) 58 17. สาํ หรับจาํ นวนเตม็ a, b ใดๆ ให (a, b) = ห.ร.ม. ของ a และ b ให A = {1, 2, 3, ..., 400} จํานวน สมาชิกของเซต {x ∈ A|(x, 40) = 5} มคี า เทากบั ขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 30 *2) 40 3) 60 4) 80 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (73)

18. ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465 แลว a - b มีคาเทาใด (ตอบ 30) 19. กําหนดให n เปนจํานวนเตม็ บวกท่มี คี านอยทีส่ ดุ ซงึ่ หารดวย 7 แลว มเี ศษเหลอื เทา กับ 4 ถา 9 และ 11 ตา ง ก็หาร (n - 2) ลงตัวแลว n คือจํานวนใด 20. กําหนด a, b, n, r เปน จํานวนเต็มใดๆ จงพิจารณาขอ ความตอไปนี้ a = b(n) + r b = r(2) + 70 r = 70(1) + 21 70 = 21(3) + 7 21 = 7(3) + 0 ขอ ใดตอ ไปน้ีผดิ 1) (a, b) = (70, 21) *2) (b, n) = 3 3) (r, 70) = (70, 21) 4) (a, b) = 7 21. ถา a, b, q1, q2 เปน จํานวนเต็มบวก ซง่ึ a = bq1 + 231 b = 231q2 + 126 แลว ห.ร.ม. ของ a, b เทากับเทาใด (ตอบ 21) 22. กําหนดให a และ b เปน จํานวนเตม็ บวก ถา b หาร a ไดผ ลลัพธ 1 เหลอื เศษ 24 โดยท่ี 24 < b, 24 หาร b ไดผ ลลัพธ 1 เศษ 12 แลว ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบั จํานวนในขอใดตอ ไปน้ี 1) 1 2) 2 3) 6 *4) 12 23. ให n ∈ I+ ซึง่ ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทา กับ 6 ถา 42 = n q0 + r0 , 0 < r0 < n n = 2 r0 + r1 , 0 < r1 < r0 และ r0 = 2 r1 โดยที่ q0, r0, r1 เปนจาํ นวนเต็ม แลว ค.ร.น. ของ n และ 42 มคี า เทากับเทาไร (ตอบ 210) 24. กาํ หนดให a, b เปน จาํ นวนเตม็ ซ่ึง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ให q1, q2 เปนจํานวนเต็มบวกโดยท่ี 216 = bq1 + 106 b = x310+6aqx22++4bx ถา f(x) = - 36 แลว เมือ่ หาร f(x) ดวย x-a ไดเศษเทากบั เทาใด 1) 192 *2) 200 3) 236 4) 272 25. ในระบบจํานวนเตม็ ให a และ b > 0 a = 1998 b + r , 0 < r < 1998 1998 = 47 r + r1 , 0 < r1 < r และ (r, r1) = 6 ขอความใดตอ ไปนถ้ี กู ตอง 3) (b, r) = 6 4) (1998, r) > 6 1) (a, b) = 6 *2) (a, 1998) = 6 คณติ ศาสตร (74)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

26. เมื่อหารจํานวนเต็มบวก x ดว ย 6 มเี ศษเหลือเปน 4 จงหาเศษเหลอื เมอ่ื หาร 4x ดว ย 3 (ตอบ 1) 27. ถา n เปนจาํ นวนเต็มบวกท่มี ากทส่ี ดุ ซง่ึ หาร 90 เหลือเศษ 6 และหาร 150 เหลือเศษ 3 แลว n หาร 41 เหลอื เศษเทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ 1) 5 2) 6 3) 18 *4) 20 28. ขอความในขอ ใดตอไปนผี้ ิด 1) ถา a, b, n เปน จํานวนเต็มบวก ซ่ึง n|a และ n|b แลวจะไดว า n หาร ห.ร.ม. ของ a, b ลงตัวดว ย 2) ถา a, b, n เปน จํานวนเตม็ บวก ซ่ึง a|n และ b|n แลวจะไดวา ค.ร.น. ของ a, b หาร n ลงตัวดว ย *3) ถา a, m, n เปนจาํ นวนเตม็ บวก และ a|mn แลวจะไดวา a|m และ a|n 4) ถา d และ c เปน ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มบวก m, n แลว จะไดวา dc = mn 29. ให a เปน จํานวนคูบวก และ b เปนจํานวนค่ีบวก ขอใดตอไปน้ีถูก 1) a และ b เปนจํานวนเฉพาะสมั พัทธ 2) a + b เปนจํานวนเฉพาะ 3) ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบั ห.ร.ม. ของ a และ 2b *4) ค.ร.น. ของ a และ b เทากับ ค.ร.น. ของ a และ 2b 30. กําหนดให m เปน จํานวนเตม็ บวก และ n เปนจํานวนเฉพาะ ถา m หาร 777 และ 910 แลวเหลือเศษ n แลว m – n มีคาเทากบั เทา ใด (ตอบ 2) 31. ถา n เปน จํานวนเตม็ บวกทีม่ คี า นอยสดุ ซง่ึ 3 | (n - 2) และ 7 | (n - 6) แลว ห.ร.ม. ของ n และ (n + 4) มีคา เทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี 1) 3 *2) 4 3) 5 4) 7 32. ให m และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก ถา 5 หาร m เหลือเศษ 4 และ 5 หาร n เหลือเศษ 2 แลว 5 หาร (m + n) เหลอื เศษเทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี *1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 33. ถา S เปนเซตของจํานวนเต็ม m ที่มสี มบัติดงั นี้ 50 ≤ m ≤ 100 และ 7 หาร m3 เหลอื เศษ 6 แลว จาํ นวนสมาชกิ ของ S เทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) 7 2) 14 3) 18 *4) 21 34. ถา n เปน จํานวนเตม็ บวกซ่งึ มีสมบัตดิ ังนี้ 100 ≤ n ≤ 1000, 45 และ 75 หาร n ลงตัว, 7 หาร n เหลอื เศษ 3 แลว n มคี าเทากบั เทาใด (ตอบ 675) 35. กําหนดให n เปนจํานวนนบั ใดๆ และ r เปน เศษทเ่ี หลือจากการหาร n2 ดวย 11 จํานวนในขอใดตอไปนี้เปน คา ของ r ไมไ ด 1) 1 2) 3 3) 5 *4) 7 36. กาํ หนดให n เปน ห.ร.ม. ของ 14097 และ 14351 จาํ นวนในขอใดตอไปนี้หารดวย n แลว ไดเศษเหลือเปน จํานวนเฉพาะ 1) 135 *2) 144 3) 153 4) 162 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (75)

ความสมั พนั ธแ ละฟงกช นั ผลคูณคารทีเซยี น (Cartesian product) A × B = {(x, y)|x ∈ A และ y ∈ B} สมบัตขิ องผลคณู คารท เี ซยี น 1. A × B = B × A กต็ อเมอื่ A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅ 2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A 3. ถา A และ B เปน เซตจาํ กดั แลว n(A × B) = n(A) × n(B) 4. มีสมบัติการแจกแจง A × (B U C) = (A × B) U (A × C) A × (B I C) = (A × B) I (A × C) A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสัมพนั ธ (relation) ♥ ความสมั พนั ธ คอื เซตทีเ่ กิดจากสมาชิกของผลคณู คารท เี ซียนท่ีสอดคลองกบั เงอื่ นไขทก่ี าํ หนด ♥ r เปน ความสมั พันธจ ากเซต A ไปเซต B เม่ือ r ⊂ A × B ♥ r เปน ความสัมพนั ธใ น A เมอ่ื r ⊂ A × A ♥ ถา (x, y) ∈ r แสดงวา x มคี วามสมั พนั ธ r กับ y เขียนแทนดว ย x r y ♥ ถา (x, y) ∉ r แสดงวา x ไมม คี วามสัมพันธ r กับ y เขียนแทนดวย x r y ♥ จํานวนความสมั พันธท ี่เปนไปไดจาก A ไป B = 2n(A)×n(B) ความสัมพันธ โดเมนและเรนจของความสมั พนั ธ ♥ โดเมนของความสมั พนั ธ r (Dr) คือ เซตของสมาชิกตวั หนา ของคอู ันดับ Dr = {a|(a, b) ∈ r} ♥ เรนจข องความสมั พันธ r (Rr) คอื เซตของสมาชิกตัวหลงั ของคูอันดับ Rr = {b|(a, b) ∈ r} ♥ การหา Dr และ Rr ของความสมั พันธ 1) จดั รปู สมการ หาโดเมน ⇒ จดั y ใหอ ยูในรูปของ x (หรือ y = ... x) หาเรนจ ⇒ จดั x ใหอ ยใู นรปู ของ y (หรือ x = ... y) 2) ตรวจสอบคา x, y โดย ถา แลว ∆ ≠ 0 = - ∆ แลว ≤ 0 และ ∆ ≥ 0 = -|∆| แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R ∆ = -∆2 แลว ≤ 0 และ ∆ ∈ R ถา = ∆ แลว ≥ 0 และ ∆ ≥ 0 หรือ ถา ถา = |∆| แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรือ ถา ถา = ∆2 แลว ≥ 0 และ ∆ ∈ R หรอื ถา อนิ เวอรส ของความสมั พันธ ♥ ถา r = {(a, b)} แลว r-1 = {(b, a)} ♥ Dr-1 = Rr และ Rr-1 = Dr คณติ ศาสตร (76)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

ฟงกช นั (Function) คอื ความสมั พันธท ส่ี มาชกิ ในโดเมนแตล ะตวั จับคกู บั สมาชกิ ในเรนจข องความสัมพนั ธเพียงตัวเดยี วเทานั้น r1 r2 1 -1 1 -1 2 -2 2 -2 3 -3 3 -3 r1 เปนความสมั พันธทีเ่ ปนฟง กช นั r1 เปน ความสัมพนั ธทไี่ มเ ปน ฟง กชัน นั่นคือ f จะเปนฟง กช ัน กต็ อ เม่อื f เปน ความสัมพนั ธ ซงึ่ ถามี (x, y) ∈ f และ (x , z) ∈ f แลว y = z แทนฟงกช ันดวยสญั ลกั ษณ f = {(x, y)|y = f(x)} หรือ y = f(x) ฟงกชนั แบบตางๆ 1. f เปนฟงกชันจาก A ไป B เมอ่ื f เปน ฟงกชัน ทีม่ ี Df = A และ Rf ⊂ B แทนดว ยสญั ลักษณ f : A → B 2. f เปนฟงกช นั จาก A ไปทั่วถึง B เมอื่ f เBปน หฟรงอื กชf นั: Aทม่ี ี Dofn=toA→แลBะ Rf = B แทนดว ยสัญลักษณ f : A ทัว่ ถึง→ 3. f เปน ฟงกชนั หนงึ่ ตอ หน่งึ จาก A ไป B เม่ือ f เปนฟงกชนั จาก A ไป B ซึ่งถา f(x1) = f(x2) แลว x1 = x2 แทนดวยสัญลักษณ f : A 1-1→ B 4. f เปนฟง กช นั หนง่ึ ตอ หนง่ึ จาก A ไปทัว่ ถึง B เม่ือ f เปนฟงกช ัน 1 - 1 ท่ีมี Df = A และ Rf = B แทนดวยสญั ลักษณ f : A 1on-t1o→ B หรือ f : A 1-ท่ัว1ถ→งึ B 5. f เปนฟง กชนั เพมิ่ ใน A กต็ อเมื่อ สาํ หรบั x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) < f(x2) 6. f เปนฟงกช ันลดใน A ก็ตอ เมอ่ื สําหรบั x1 และ x2 ใดๆ ใน A ถา x1 < x2 แลว f(x1) > f(x2) ฟง กชันประกอบ (composite function) กําหนด f และ g เปน ฟงกชนั โดยท่ี Rf I Dg ≠ ∅ A f BC g D gof ฟงกชันคอมโพสิทของ f และ g เขียนแทนดวย gof โดยที่ (gof)(x) = g(f(x)) โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (77)

การหาคา ของฟง กช นั จากฟงกชนั ประกอบ ตัวอยา งที่ 1 กาํ หนดให f = {(1, 3), (3, 5), (5, 1)} และ g = {(3, 1), (1, 1), (2, 5), (5, 3)} จงหา gof = .............................................................................................................................................. fog = .............................................................................................................................................. fof = .............................................................................................................................................. gog = .............................................................................................................................................. ตวั อยา งท่ี 2 กําหนดให f(x) = x + 1 และ ตัวอยางที่ 3 ถา f(g(x)) = x2 และ f(x) = x – 1 (gof)(x) = x2 + 2x + 3 จงหา g(x) จงหา g(x) ฟง กชนั อินเวอรส (Inverse Function) การหาอินเวอรส ของฟงกชนั จะเหมอื นกบั การหาอนิ เวอรสของความสมั พันธ r ซ่ึงมหี ลักการดงั น้ี กําหนด f = {(x, y) ∈ A × B|y = เทอมของ x} จะไดวา f-1 = {(x, y) ∈ B × A|y = เทอมของ x} หรือ f-1 = {(y, x) ∈ B × A|x = เทอมของ y} สมบตั ขิ องฟงกช ันอินเวอรส 1. Df = R f-1 ; Rf = Df-1 2. กราฟของ f-1 จะสมมาตรกับกราฟของ f เมอื่ เทยี บกับเสนตรง y = x 3. (fog)-1 (x) = (g-1of-1)(x) เมอ่ื f(x) และ g(x) เปนฟง กช นั 1 - 1 4. (fof-1)(x) = x 5. (f-1o f)(x) = x 6. ถา f (∆) = แลว ∆ = f-1( ) พชี คณติ ของฟง กชัน (Algebra of functions) 1. f+g = {(x, y) y = fff(((gfxxx((x)))x))+g-แ(xggล)((ะxx))Dแแแf/ลลลgะะะ=DDDDfff+-gfggI==D=gDDD-fffIII{xDDD|gggg}}}(x) 2. f-g = {(x, y) | y = = 0}} 3. fg = {(x, y) | y = 4. gf = {(x, y) | y = | คณติ ศาสตร (78)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

แบบทดสอบ 1. กาํ หนดให S เปน เซตคาํ ตอบของอสมการ x2 ≤ 8x + 20 ถา A = {x ∈ S | x เปน จํานวนเฉพาะบวก} และ B = {x ∈ S|x เปน จาํ นวนเตม็ ค}่ี แลว (A × B) - (B × A) มีจาํ นวนสมาชิกเทา กับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 11 *2) 15 3) 21 4) 23 2. ให A = {0, 1, 2, 3} และ P(A) คือเพาเวอรเ ซตของ A ถา r เปนความสมั พันธจ าก A ไปยัง P(A) กําหนดโดย r = {(a, B)|a ≥ 2, a ∉ B และ a + 1 ∉ B} แลว r มีจํานวนสมาชกิ กจ่ี าํ นวน (ตอบ 12) 3. กาํ หนดให S = [-2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไี้ มเ ปนสบั เซตของ Dr - Rr 1) (-1.4, -1.3) 2) (-1.3, -1.2) 3) (1.2, 1.4) *4) (1.4, 1.5) 4. กาํ หนดให r = {(x, y) | (x - 2)(y - 1) = 1} และ s = {(x, y) | xy2 = (y + 1)2} เซตในขอ ใดตอ ไปน้ี ไมเปน สับเซตของ Rr I Rs -21 21, 1) (-∞, -1) 2)  -2,  *3)  2  4) (1, ∞)     5. กําหนดให r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 16}, s = {(x, y) ∈ R × R | xy2 + x + 3y2 + 2 = 0} เซตในขอ ใดตอไปนี้เปน สบั เซตของ Dr - Ds 1) [-4, -1] 2) [-3, 0] *3) [-2, 1] 4) [-1, 2] 6. กําหนดให A = [-2, -1] U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x - y = -1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทา กับขอใดตอไปนี้ 1) 2.5 *2) 3 3) 3.5 4) 4 7. กําหนดให r = {(x, y) | x > 0, x ≠ y, x - 3 x = y - 3 y } สมาชิกคา มากท่สี ุดของ Dr เทากบั ขอใด ตอ ไปนี้ 4 8 3) 94 4) 98 1) 33 *2) 33 8. กําหนดให r = {(x, y)|x ≥ y และ y2 = x2 + 2x - 3} พจิ ารณาขอ ความตอ ไปนี้ ก. Dr = [1, ∞) ข. Rr = (-∞, ∞) ขอใดตอไปน้ีถูก *2) ก. ถกู และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผดิ 1) ก. และ ข. ถูก 9. ถา r = {(x, y)|y ≤ x2 และ y ≥ 2x} แลว เรนจของ r-1 คือเซตในขอ ใดตอไปน้ี 1) [0, 2] 2) [0, 4] *3) (-∞, 0] U [2, ∞) 4. (-∞, 0] U [4, ∞) โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (79)

10. หนดให r = {(x, y)|x ∈ [-1, 1] และ y = x2} 4) ก. และ ข. ผดิ พิจารณาขอความตอไปนี้ ก. r-1 = {(x, y) |x ∈ [0, 1] และ y = ± | x |} ข. กราฟของ r และกราฟของ r-1 ตดั กัน 2 จดุ ขอใดตอไปน้ีถกู *1) ก. และ ข. ถกู 2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผดิ และ ข. ถกู 11. ให R เปน เซตของจํานวนจรงิ และ f : R → R กําหนดโดย -1 x ; x<0 f(1 - x) = - ; x=0  0   1 - x ; x>0 ถา x * y = f(y – x2) สาํ หรบั จํานวนจรงิ x และ y ใดๆ แลว คา ของ f(-2) * f(3) มีคาอยใู นชวงใดตอไปน้ี *1) (-4, -2] 2) (-2, 2] 3) (2, 4] 4) (4, 6)  2 ; x ≤ -1  12. กาํ หนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 เซตคาํ ตอบของสมการ f(|x|) - 4 = 0 เปนสับเซตของเซต (x + 1) ; x ≥ 2 ซึ่งเปน ชว งในขอใดตอ ไปนี้ 1) (-3, 5) 2) (-6, -1) *3) (-5, 4) 4) (1, 6) 13. กําหนดให f(x) = x - 1 เม่อื x ∈ (-∞, -1] U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอื่ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนี้ถูก *1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg 3) f เปนฟงกช ัน 1 - 1 4) g ไมเ ปนฟงกชัน 1 - 1 14. ให A = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {a, b, c} เซต S = {f|f : A → B เปน ฟง กช นั ทัว่ ถึง} มีจาํ นวนสมาชิก เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 12 2) 24 *3) 36 4) 39 15. กาํ หนดให A = {1, 2} และ B = {1, 2, 3, 4} เซต { f | f : A 1-1→ B และ f(x) ≠ x ทุก x ∈ A } มีจํานวนสมาชกิ เทา ใด (ตอบ 7) 16. ให A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} ถา f เปนฟง กชันจาก A ไป B โดยท่ี f(1) = 2 หรือ f(2) = m เมอ่ื m เปนจํานวนค่ี แลว จาํ นวนของฟงกชัน f ท่มี สี มบตั ิดังกลาวเทา กบั ขอใด 1) 75 2) 150 *3) 425 4) 500 17. กาํ หนดให f(x) = x2 + x + 1 และ a, b เปนคา คงตวั โดยท่ี b ≠ 0 ถา f(a + b) = f(a - b) แลว a2 อยู ในชวงใดตอ ไปนี้ *1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) คณติ ศาสตร (80)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010

18. กําหนดให n เปนจํานวนนบั ถา f : {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} เปน ฟงกช นั 1 – 1 และทว่ั ถึง ซึง่ สอดคลอ งกบั เง่ือนไข f(1) + f(2) + ... + f(n) = f(1)f(2) ... f(n) แลวคามากสดุ ทเ่ี ปนไปไดข อง f(1) - f(n) เทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ *1) 2 2) 5 3) 8 4) 11 19. ถา f(x) = 1x และ g(x) = 2f(x) แลว gof(3) + fog-1(3) มคี า เทา ใด (ตอบ 7.5) 20. กาํ หนดให f(x) = x - 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจํานวนจรงิ ซ่งึ (gof)(a) = (fog)(a) แลว (fg)(a) มีคา เทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) -25 *2) -18 3) 18 4) 25 21. กาํ หนดให f(x) = 3x - 1 และ g-1(x) =  x2 , x ≥ 0 คา ของ f-1(g(2) + g(-8)) เทา กบั ขอใดตอ ไปน้ี  -x2 , x < 0 *1) 1 -3 2 2) 1+ 2 3) 1 --3 2 4) 1+ 2 3 -3 22. กาํ หนดให f(x) = x2 และ g เปน ฟงกชนั พหุนามโดยที่ gof(x) = 3x2 + 1 ถา เซต {y|y = g-1of(x), x ∈ [-10, 10]} คอื ชวง [a, b] แลว 3(a + b) มคี า เทา กบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) 88 2) 90 *3) 98 4) 100 23. กําหนดให f(x) = 10x และ g(x) = 100 - 3x2 จํานวนเต็มทีม่ คี า มากทสี่ ุดทเี่ ปน สมาชิกของ Rgof มีคา เทาใด (ตอบ 10) 24. กําหนดฟง กชนั f และ g ดงั น้ี f(2x - 1) = 4x - a, a > 0 และ g-1(x) = x + 1 ถา (fog)(a) = a2 + 20 แลว f(a) มคี า เทากับขอ ใดตอ ไปน้ี 1) 6 *2) 7 3) 10 4) 17 (f(x))2 25. กาํ หนดให f, g เปนฟง กช ัน ซง่ึ Df = [0, ∞) โดยท่ี f-1(x) = x2 ; x ≥ 0 และ g-1(x) = + 1 ; x ≥ 0 ถา a > 0 และ f(a) + g(a) = 19 แลว f -1 (a) + g-1 (a) เทากบั ขอใดตอไปนี้ *1) 273 2) 274 3) 513 4) 514 26. กาํ หนดให f(x) = ax2 + b และ g(x - 1) = 6x + c เมื่อ a, b, c เปน คา คงตวั ถา f(x) = g(x) เมือ่ x = 1, 2 และ (f + g)(1) = 8 แลว (fog-1)(16 ) มีคา เทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) 391 2) 691 3) 10 *4) 20 27. ให I เปนเซตของจํานวนเต็ม ถา f และ g เปน ฟง กช นั ซง่ึ กําหนดโดย f(x) = 2x และ g(x) = x - 1 ทุก x ∈ I แลวเรนจข อง (fog) + f คอื เซตในขอใดตอ ไปนี้ *1) {x ∈ I| 2x เปนจํานวนเตม็ ค่}ี 2) {x ∈ I| 2x เปน จาํ นวนเต็มคู} 3) เซตของจาํ นวนเตม็ ค่ีทัง้ หมด 4) เซตของจํานวนเต็มคูทง้ั หมด โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (81)

28. กาํ หนดให f และ g เปน ฟงกชัน ซึง่ นิยามโดย f(x) = x - 1 ; x<0 และ g(x) = x2 + 4x + 13 ถา a x3 - 1 ; x≥0 เปน จาํ นวนจริงบวก ซ่งึ g(a) = 25 แลว f-1(-2a) + f-1(13a) มคี าเทา กบั ขอ ใดตอ ไปนี้ *1) 0 2) 2 3) 4 4) 6 29. กาํ หนดให f และ g เปน ฟง กชัน ซง่ึ นิยามโดย f(x) = x2 + 1 และ g(x) = ax เมื่อ a ∈ (0, 1) ถา k เปน จาํ นวนจริงทที่ ําให (fog)(k) = (gof)(k) แลว (fog-1)  k12  มคี า เทากับขอ ใดตอ ไปน้ี     1) 1 *2) 2 3) 3 4) 4 30. กาํ หนดให f, g เปน ฟง กช ันซ่งึ f(x) = (x - 1)3 + 3 และ g-1(x) = x2 - 1, x ≥ 0 ถา gof-1(a) = 0 แลว a2 อยูในเซตใดตอ ไปน้ี *1) [10, 40] 2) [40, 70] 3) [70, 100] 4) [100, 130] 31. กําหนดให f(x) = 3x + 5 และ h(x) = 3x2 + 3x - 1 ถา g เปนฟงกช นั ซง่ึ ทําให fog = h แลว g(5) มคี า เทาใด (ตอบ 28) 32. กําหนดให f(x) = -(x - 1)2 ทกุ x ≤ 1 และ g(x) = 1 - x ทกุ x ≤ 1 พจิ ารณาขอ ความตอไปนี้ ก. f-1(x) = 1 - | x | ทกุ x ≤ 0 -14 34 ข. (g-1of-1)   =   ขอใดตอไปน้ีถูก 1) ก. และ ข. ถูก 2) ก. ถกู และ ข. ผิด 3) ก. ผดิ และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผดิ 33. กําหนดให f และ g เปนฟงกช นั ซง่ึ f(x) < 0 ทกุ x ถา (gof)(x) = 2[f(x)]2 + 2f(x) - 4 และ g-1(x) = x 3+ 1 แลว พจิ ารณาขอความตอไปน้ี ก. gof เปนฟง กช ันคงตวั ข. f(100) + g(100) = 300 ขอ ใดตอไปนถี้ ูก 1) ก. และ ข. ถกู *2) ก. ถูก และ ข. ผดิ 3) ก. ผิด และ ข. ถูก 4) ก. และ ข. ผิด  2 ; x ≤ -1  34. กําหนดให f(x) = (x - 1)2 ; -1 < x < 2 และ g(x) = f(x) + 2 ถา k เปนจาํ นวนเตม็ ท่นี อ ยทส่ี ดุ ทท่ี ําให (x + 1) ; x ≥ 2 g(k) > 5 แลว (gof)(k) มีคา เทากบั ขอใดตอ ไปนี้ 1) 5 2) 6 *3) 7 4) 8 คณติ ศาสตร (82)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

35. กําหนด f เปน ฟง กช นั จากเซต {0, 1, 2, ..., 2551} ไปยงั เซตของจํานวนเตม็ บวก ถา f สอดคลองทุก เง่อื นไขตอ ไปนี้ (1) f(2x + 1) = f(2x) (2) f(3x + 1) = f(3x) (3) f(5x + 1) = f(5x) และ (4) f(7x + 1) = f(7x) แลว เรนจข อง f มจี าํ นวนสมาชกิ มากทีส่ ดุ ท่ีเปน ไปไดก ีจ่ าํ นวน (ตอบ 584) โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (83)

เมตริกซ (Matrices) a11 a11 ... a1n   a21 a22 .... a2n  A = [aij]m×n = ...  เปนเมตริกซท ่ีมี m แถว และ n หลัก  M M   Mam1 am2 amn  น่ันคือ A เปน เมตรกิ ซท ม่ี ีมติ ิ m × n โดยท่ี aij คือ สมาชกิ ของเมตริกซ A ทอี่ ยูใ นแถวที่ i และหลักที่ j ชนดิ ของเมตริกซ 1. เมตรกิ ซศ ูนย (zero matrix หรอื null matrix) คอื เมตริกซท ีม่ สี มาชกิ ทกุ ตวั เปนศูนย แทนดวย 0 2. เมตรกิ ซจ ตั ุรสั (square matrix) คอื เมตริกซท ม่ี จี าํ นวนแถวเทากบั จาํ นวนหลัก 3. เสน ทแยงมุมหลกั (main diagonal) คือ แนวท่ลี ากจากมุมบนซา ย ทแยงมายงั มุมลา งขวาของ เมตรกิ ซจ ัตุรัส หรอื สมาชกิ ในตําแหนง a11, a22, a33, …, ann 4. เมตรกิ ซหน่ึงหนว ย หรอื เมตรกิ ซเ อกลักษณ (Unit matrix หรอื Identity matrix ; In) 10 0 00 เชน I1 = [1]1×1 I2 = 1 0 I3 = 1 0 1 2×2 0 0 13×3 5. เมตรกิ ซส ามเหลีย่ ม (Triangular matrix) คือ เมตริกซจ ตั รุ สั ท่มี สี มาชกิ ทอี่ ยูดา นบน หรอื ดา นลา ง ของแนวเสน ทแยงมมุ หลกั เปนศนู ยท งั้ หมด เชน 1 2 3 0 0 0 0 0 0 2 3   0 0 0  0 9    0 4 5 0 4 0  0 0 6  4 2 6  5 0 0        การเทากันของเมตริกซ เมตริกซจะเทากนั กต็ อเมือ่ มมี ติ เิ ทา กนั และสมาชิกในตาํ แหนง เดียวกันมคี า 1  เทา กัน เชน 0  = 3003      การบวกและการลบเมตริกซ ถา A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แลว A ± B = [aij ± bij]m×n นนั่ คอื จะตอ งตรวจสอบกอนวาเมตรกิ ซท่นี าํ มาบวกหรอื ลบกันนนั้ มมี ิตเิ ทา กนั หรือไม - ถาเทากันใหนําสมาชกิ ที่อยูใ นตําแหนง เดยี วกันมาบวก หรอื ลบกนั เชน -1 2 1 3 (-1) + 1 2 + 3 0 5  0 1 + -1 2 = 0 + (-1) 1 + 2 = -1 3  -1 2  1 3  (-1) - 1 2 - 3 -2 -1   0 1 - -1 2 = 0 - (-1) 1 - 2 =  1 -1   - ถา ไมเ ทา กัน ไมสามารถนํามาบวก หรือลบกนั ได คณติ ศาสตร (84)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

การคูณเมตริกซ ถา A =1[a0ij]m2×0n แลว c A = [c aij]m×n 1. คูณเมตริกซด วยคาคงที่ 3 = 30  6 60 ⋅ ⋅ เชน 10 ⋅ 1 2   4 5  40 50  2. คูณเมตรกิ ซดวยเมตริกซ เมตริกซจ ะคูณกนั ไดก ต็ อ เม่ือ จาํ นวนหลักของเมตรกิ ซตัวตัง้ เทากับ จํานวนแถวของเมตรกิ ซตัวคณู และผลคณู ที่ไดจ ะมมี ติ เิ ทากับ “แถวของเมตรกิ ซต ัวตัง้ (ตวั หนา) × หลกั ของเมตริกซตัวคณู (ตวั หลัง)” ดงั นี้ A2×2 × B2×3 = C2×3 เทา กัน 3. สมบตั ิเกย่ี วกับการคณู ของเมตรกิ ซ ถา A, B และ C เปน เมตรกิ ซท ่ีบวก ลบ และคูณกนั ได และ k เปนจาํ นวนจรงิ ใดๆ แลว 1. ถา A เปน เมตริกซจ ตั รุ ัสแลว An = A ⋅ A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A 2. เมตริกซท จ่ี ะนาํ มายกกาํ ลงั ได ตองเปน เมตริกซจตั รุ สั เทานั้น 3. AI = IA = A (I เปนเมตริกซหน่ึงหนว ย) 4. k(AB) = A(k)B = (AB)k 5. (AB)C = A(BC) 6. A(B + C) = AB + AC (การแจกแจงดานซาย) 7. (A + B)C = AC + BC (การแจกแจงดานขวา) 8. (kA)n = kn ⋅ An 9. (-A)2 = A2 10. AB อาจจะเทา หรอื ไมเ ทากับ BA กไ็ ด 11. ถา AB ≠ BA แลว 1) (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + A2 2) A - B)2 = (A - B)(A - B) = A2 - AB - BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 12. ถา AB = BA แลว 1) (A + B)2 = A2 + 2AB + A2 = A2 + 2BA + A2 2) (A - B)2 = A2 - 2AB + A2 = A2 - 2BA + A2 3) (A + B)(A - B) = A2 - B2 13. ถา AB = 0 แลว A = 0 หรือ B = 0 หรือ ทั้ง A, B ≠ 0 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (85)

ทรานสโพสของเมตริกซ (At) คอื เมตริกซท ่ีเกดิ จากการเปล่ยี นสมาชิกในแถว m ใดๆ เปน หลกั m หรอื 1  เมตริกซทเ่ี กิดจากการเปลีย่ นสมาชกิ ในหลัก n ใดๆ เปน แถว n เชน ถา A = [1 4] แลว At =  4  สมบัตเิ กยี่ วกบั ทรานโพสของเมตริกซ 1. (At)t = A 2. (A + B)t = At + Bt 3. (A - B)t = At - Bt 4. (cA)t = cAt 5. (AB)t = BtAt 6. (ABC)t = CtBtAt 7. (At)n = (An)t ดีเทอรมิแนนต (Determinant) คือ คาของจํานวนจรงิ ทไ่ี ดจากเมตริกซจัตุรสั เทานัน้ ดเี ทอรม แิ นนตของเมตรกิ ซ A แทนดว ย det (A) a b หรอื |A| หรอื c d การหาคา Determiant 1. ดีเทอรม แิ นนตข องเมตรกิ ซ 1 × 1 เชน ถา A = [1] แลว det A = 1 2. ดีเทอรม ิแนนตข องเมตริกซ 2 × 2 เชน 2 6 ถา A = 1 -1 -1 แลว det (A) = คณู ลง - คณู ขึ้น = (-1) - (6) = -7 3 3. ดเี ทอรมแิ นนตของเมตริกซ 3 × 3 เชน 0 5 -4 1 -1 ถา A =  1 -1 0  3 แลว det (A) = คูณลง - คณู ขน้ึ = (6 + 4 + 0) - (0 + 5 - 4)  2 3 1  5 = 10 - 1 = 9   2  2  -4 -4 5   64 0 4. ดเี ทอรมิแนนตข องเมตริกซ n × n เชน A = aaa123111 a12 a13 ccc132111 c12 c13 กําหนดให a22 a23  และ C(A) = c22 c23  a32 a33  c32 c33        พิจารณาแถวท่ี 1 det A = a11c11 + a12c12 + a13c13 พิจารณาแถวที่ 2 det A = a21c21 + a22c22 + a23c23 พิจารณาหลกั ที่ 1 det A = a11c11 + a21c21 + a31c31 พจิ ารณาหลกั ที่ 2 det A = a12c12 + a22c22 + a32c32 คณิตศาสตร (86)______________________________ โครงการแบรนดซมั เมอรแ คมป 2010

สมบตั ขิ องดีเทอรม แิ นนต กาํ หนดให A, B, C เปน เมตรกิ ซม ติ ิ n × n 1. det (At) = det (A) 2. det (A ⋅ B ⋅ C ⋅ ... ⋅ Z) = det (A) ⋅ det (B) ⋅ det (C) ⋅ ... ⋅ det (Z) 3. det (I) = 1 4. det (0) = 0 5. det (Ak) = (det A)k 6. det (A-1) = (det A)-1 = det1(A) 7. det (kA) = kn ⋅ det (A), n เปน มติ ิของ A 8. det (adj A) = (det A)n-1 9. ถา A = B แลว det (A) = det (B) อนิ เวอรสการคูณของเมตรกิ ซ 1. อนิ เวอรส การคณู ของ A เขยี นแทนดวยสญั ลักษณ A-1 ซ่ึง A ⋅ A-1 = I = A-1 adj (A) 2. A-1 = det (A) นัน่ คือ เมตริกซ A ใดๆ จะหาอนิ เวอรสได กต็ อ เมือ่ A เปนเมตรกิ ซจตั รุ สั เทานั้น และ det (A) ≠ 0 ถา “det (A) = 0” เรยี ก A วา “เมตรกิ ซเ อกฐาน (Singular Matrix)” ถา “det (A) ≠ 0” เรยี ก A วา “เมตริกซไ มเอกฐาน (Non - Singular Matrix)” การหาอนิ เวอรสการคูณของเมตรกิ ซ d -b 1. อนิ เวอรสการคูณของเมตรกิ ซ 2 × 2 ถา A = a b แลว A-1 = d-ect (Aa) c d   2. อินเวอรส การคูณของเมตรกิ ซ n × n หาไดด ังแผนภาพตอ ไปนี้ A M(A) C(A) adj(A) A-1 ไมเนอร (Minor) เชน M(A) = mmm132111 m12 m13  โดยที่ m22 m23  m32 m33    เชน ไมเนอรต ําแหนง ij (mij) คือ ดีเทอรมแิ นนตของเมตรกิ ซท่ไี ดจากการตัดแถวท่ี i และหลักที่ j ของเมตรกิ ซ m11 แถวที่ 1  a11 a12 a13  = det a22 a23   = a22a33 - a32a23  a21 a22 a23  a32 a33  = det  a31 a32 a33      หลักที่ 1 โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (87)

โคแฟกเตอร (Cofactor) เชน C(A) = ccc132111 c12 c13  โดยท่ี cij = (-1)i+j ⋅ mij c22 c23  c32 c33    เมตรกิ ซผูกพนั (Adjoint) adj (A) = [C(A)]t อนิ เวอรส การคูณของเมตรกิ ซ A-1 = daedtj ((AA)) ระบบสมการเชิงเสน a1x + b1y + c1z กาํ หนดระบบสมการเชงิ เสน = d1 เขยี นสมการดงั กลาวในรูปเมตริกซ a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 a1 b1 c1  x d1  a2 b2 c2   y  = d2  a3 b3   z    ⋅      c3    d3    หรอื A X = B การแกระบบสมการเชิงเสน 1. โดยใชอินเวอรส ของเมตรกิ ซ ถา AX = B แลว X = A-1B เมอ่ื det A ≠ 0 2. โดยใชกฎของเครเมอร (Kramer’s rule) d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 d2 b2 c2 a2 d2 c2 a2 b2 d2 d3 b3 c3 = DDx ; y = a3 d3 c3 = DDy a3 b3 d3 DDz x= a1 b1 c1 a1 b1 c1 ; z= a1 b1 c1 = a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 c3 3. โดยใชการดาํ เนินการตามแถว (row operation) วธิ ีดําเนินการบนแถวของเมตรกิ ซ 1. สามารถสลับ 2 แถวใดๆ ได 2. สามารถคณู แถวใดแถวหนงึ่ ดวยตวั เลขทไี่ มใชศูนยได 3. สามารถนาํ สองแถวใดๆ มาบวก หรอื ลบกันได 4. สามารถคณู แถวใดแถวหนง่ึ ดวยตัวเลขท่ไี มใ ชศ ูนย แลวนาํ ไปบวก หรอื ลบกบั อกี แถวหน่ึงได a1 b1 c1 d1 1 0 0 x a2 b2 c2 d1  0 1 0 y       ∼  a3 b3 c3 d1  0 0 1 z    [A : I] ∼ [I : A-1] คณติ ศาสตร (88)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010

แบบทดสอบ 1. A = 1 2  และ B = 2 1 พจิ ารณาขอ ความตอ ไปนี้ 3 4  -1 1  ก. (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 ข. (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 ค. A2 - B2 = (A - B)(A + B) ขอใดสรปุ เกย่ี วกับขอ ความขางตน ไดถ ูกตองท่ีสดุ 1) ถกู ทกุ ขอ 2) มีถกู 2 ขอ 3) มถี กู 1 ขอ *4) ผดิ ทกุ ขอ  0 x 0-1   1 2. det  20 2 2   = - แลว x มคี าเทากบั ขอใดตอ ไปนี้  3 1   x 1     5    1) 1 2) 2 3) 3 *4) 4 3. นดเมตริกซ A และ B ดังน้ี A = x2 -2 2  , B = -2 -4x โดยที่ x เปนจาํ นวนจริง ถา 2 x    2   2 0   det (2A) = -76 แลว เมทริกซ C ในขอ ใดตอไปนี้ ทที่ าํ ใหคาของ det (BC) อยภู ายในชวง (-100, -50) 1 -1 -1 2 2 1 2 1 *1) C= 1  2) C=  1 3) C= -1  4) C= 3 -1 2   1 4  4. กาํ หนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ A = 1 a , B = 1 -3 ถา (A + B)2 2AB = A2 + B2 แลว 1 b 2  - 3  det (A) เทา กับขอ ใดตอไปน้ี 1) 0.5 2) 1.5 3) 3.5 4) 4.5 5. กาํ หนดให A เปน เมทรกิ ซท ี่มีมิติ 2 × 2 และ det (A) = 4 ถา I เปนเมทริกซเ อกลักษณ และ A - 3I เปน เมทรกิ ซเ อกฐาน แลว det (A + 3I) เทากบั ขอใดตอไปน้ี 1) 0 2) 6 3) 13 *4) 26 6. ให A เปนเมตรกิ ซมิติ 3 × 3 และ Aij คอื เมตริกซท ี่ไดจ ากการตดั แถวท่ี i และหลกั ที่ j ของเมตริกซ A ออก  2 -5 -1  -1 -2 1 -1  ถา adj A = -28 10 -1  , A11 = และ A32 = 3 -2 แลว det (A) มีคาเทากับขอใด 17 -5 -1   5 8        1) -92 *2) -15 3) 15 4) 92 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (89)

7. กาํ หนดเมตริกซ A = [aij] ถา det (A) = -92 และ adj(A) = -9 3 3 -1 แลว 3a11 + 3a21 – a31 1 -1 2  2 1 2    มคี าเทา กบั เทา ใด (ตอบ 9) 8. ให A เปนเมตริกซมติ ิ 3 × 3 ถา M13 = -1 3 , M21 = -1 1 และ M32 = 2 1 แลว  1 2   2 4  -1 0       det A มีคาเทากับเทา ใด (ตอบ 15) 9. ให A เปนเมตรกิ ซจ ตั ุรสั มติ ิ 4 × 4 และ Mij(A) คอื ไมเนอรข อง aij ถา M23(A) = 5 แลว M32(2At) เทากบั ขอ ใดตอไปน้ี 1) 10 2) 20 *3) 40 4) 80  1 2 4  สมาชิกในแถวที่ 3 หลกั ที่ 1 ของ A-1 เทากับเทา ใด (ตอบ 15 )  8  10. กําหนดให A = -3 2 0  1   -1  1 2 -1   11. กาํ หนดให A = 2 x 2 โดยท่ี x และ y เปนจาํ นวนจรงิ ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว 2 1 y   det(A) มคี าเทา กับขอใดตอ ไปนี้ 1) -33 2) -30 3) 30 *4) 33 12. กาํ หนดให -2 2 3 สมาชิกในแถวที่ 2 และหลกั ที่ 3 ของ A-1 เทา กับขอ ใดตอ ไปนี้  1 -1 0   0 1 4      1) - 32 2) -2 *3) 32 4) 2 13. กาํ หนดเมทรกิ ซ A =  2 x 1  โดยท่ี x เปนจํานวนจริง ถา C22(A) = 14 แลว det (adj (A)) มี  -1 0 1      1 - x 2 2x คาเทา ใด (ตอบ 36) 14. กาํ หนดให A = 3x 1 1  ถา C12(A) = 4 แลว det (2A) มีคา เทาใด (ตอบ 16) x 1 1  0    -1  คณติ ศาสตร (90)______________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010

15. ถา A และ B เปนเมทริกซซ่ึง 2A B = 3 4 และ 2A + B = -1 2 แลว (AB)-1 คอื เมทรกิ ซใ น - 3   -2 6   4 ขอ ใดตอไปน้ี -1 0  14 1 -1  -14 1) 0  2)  1 -14  3) 1  *4)  -14     0    -1   -1 0   1 16. กําหนดให n เปน จาํ นวนนับ และ x เปน จํานวนจรงิ ซึงไมเ ทา กับ 1 ถา A คอื ตัวผกผันการคูณของเมทริกซ x x2 xn  00  00  0 x    0 0    x2  แลวคาของ n ทีท่ าํ ให [1 0 0]A  = [2 0 0]A  เทา กบั ขอ ใดตอ ไปน้ี   x  2  3     1) 1 *2) 3 3) 6 4) 9  2a b c      17. กําหนดให A = 0 c2 a  ถา A + AT เปนเมทรกิ ซเ อกฐานและ a3 + b3 + c3 = 1 แลว det (A-1)  0  0 2b   เทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ *1) 24 2) 8 3) 2 4) 0 60 20 5 0 18. ถา A เปน 2 × 2 เมตรกิ ซ ซงึ่ มใิ ชเอกฐาน และ ถา 30 40  A = 0  แลว A-1 คอื เมตรกิ ซใ นขอ  5   ใดตอ ไปนี้ 2 9 -18 12 20 6 -12 4 12 1) 3 4  2) 6  *3)  6 8 4) 30 8      19. ให A เปนเมตรกิ ซ และ I เปน เมตริกซเอกลกั ษณม ติ ิ 3 3 ถา B  1 2 -1    =  3 0 1 และ ×  -2 1 0   C = 30 2 -3  สอดคลองกับสมการ AB - AC - 21 I = 0 แลว A-1 คือเมตริกซในขอ ใดตอไปน้ี 0 -1 2  2   1 1)  1 0 -21 *2)  2 0 4  3) -10 0 -12 4) -20 0 -24  0 1  0 2 -2  -1 -2       -2 -1 -1 -4 -2 -2  2 1 1   4 2 2    โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (91)

20. กาํ หนดให zxy  สอดคลองสมการ AX = C เม่อื A =  1 2 1  1 -1 0  และ C=   0   X =  -2 1 1 , B = 2 0 -1   0 2 1 4 0        2  ถา (2A + B)X = a  แลว a + b + c มคี า เทา กับขอ ใดตอไปน้ี   cb -2  3  1) 3 2) 6 *3) 9 4) 12 21. ถา x, y และ z สอดคลอ งกบั ระบบสมการ x + 2y - 2z = -2 2x + y + 2z = 5 x - 3y - 2z = 3 2 1 -3 แลว ดีเทอรมแิ นนต -2 2 -2 มคี าเทา กับขอ ใดตอไปน้ี x + 2y 2x + y x - 3y *1) 60 2) 75 3) 90 4) 105 22. ถา x, y และ z เปน จํานวนจรงิ ซง่ึ สอดคลองกับระบบสมการเชิงเสน 2x - 2y - z = 1 x - 3y + z = 7 -x + y - z = -5 แลว 1x + 2y + 3z เทา กับขอใดตอ ไปน้ี *1) 0 2) 2 3) 5 4) 8 23. ถา x, y และ z เปนจํานวนจรงิ ซ่งึ สอดคลอ งระบบสมการ 4) xy = -2 2x - 2y - z = -5 z x - 3y + z = -6 -x + y - z = 4 ขอ ใดตอไปน้ีถูกตอ ง *1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2 3) xyz = 6 24. กําหนดให B = 10 -1 0  , C = 10 , X = zxy  และ I เปนเมตรกิ ซเ อกลกั ษณ ถา A เปน เมตรกิ ซม ติ ิ 1 2  2  3 0 1        3 × 3 ซึ่งสอดคลองกบั สมการ 2AB = I และ AX = C แลว คาของ x + y + z เทา กับขอใดตอ ไปนี้ 1) 20 2) 24 3) 26 4) 30 คณติ ศาสตร (92)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแคมป 2010

25. กําหนดให  1 2 a  X= zxy  B = 1   3    A =  2 0 b ,  , 1  โดยท่ี a, b, c เปนจาํ นวนจริง ถา AX = B    -1 c   0  และ A  1 2 3 R2 2R1 แลว x มคี าเทากับเทา ใด  0 -1 -1   ∼   - -1 0 2 1) -1 *2) - 23 3) 34 4) 2  4 12 -3    26. กาํ หนดให A = 7 -10 5  และ B, C, D เปนเมตรกิ ซมิติ 3 3 ซง่ึ A ∼B C ∼D  × ∼ 1 0 0 โดยท่ี B ไดจ าก A โดยการดาํ เนินการ R1 - 34 R2 C ไดจ าก B โดยการดําเนินการ 5R1 D ไดจ าก C โดยการดาํ เนินการ R23 แลว det (D) เทากบั ขอ ใดตอไปนี้ 1) -3,750 2) -150 *3) 150 4) 3,750 27. 3 x 3 กําหนดให A = 2 0 9  เมอื่ x เปนจํานวนจรงิ 1 1 2    3 x 3 1 0 0 1 0 0 9 5 -36 ถา 209 010∼010 -5 -3 21 แลว x มคี า เทา กบั เทาใด 112 001 001 -2 -1 8 28. ให x, y และ z เปนคาํ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน a11x + a12y + a13z = 2 a21x + a22y + a23z = 1 a31x + a32y + a33z = 0 a11 a12 a13 1 0 0 10 0 0 1 -1 11 แลว คาของ x + y + z เทากบั เทาใด ถา a21 a22 a23 0 1 0  0 1 0 0 -2 0 a32 a33 0 0  ∼ 0 1 2 3  a31 1   (ตอบ 6)  โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณติ ศาสตร (93)

1 0 2  29. กาํ หนดให a เปน จํานวนจรงิ และ A = 0 3 0  ถา a > 0 และ det (adj A) = 225 แลว a มีคา  4 0 a      เทากบั ขอใดตอไปนี้ 1) 11 2) 12 *3) 13 4) 14 30. ให A และ B เปน เมตริกซจัตรุ ัสมิติ 4 × 4 และ I เปน เมตริกซเอกลักษณม ติ ิ 4 × 4 โดยที่ A(adj A) - BA =I ถา det B = 0 แลว det A มคี าเทากับขอ ใดตอไปน้ี 1) -1 2) 0 *3) 1 4) 2 31. กําหนดให A = [aij]3×3 โดยที่ aij = 2i-1 ; i = j det  4addejt(A(At))  เทา กบั ขอใดตอ ไปนี้ 2 ; i ≠ j   *1) -16 2) -4 3) 4 4) 16 32. ถา A เปนเมตริกซซ ่งึ A-1 = 1 2 0  , x 0 และ det (2 adj A) = 118 แลว x เปน จรงิ ตาม 3 1 -1  0   >  x -2  ขอ ใดตอไปน้ี 1) x < 5 2) 5 ≤ x < 9 *3) 9 ≤ x < 13 4) x ≥ 13 คณิตศาสตร (94)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

เรขาคณิตวิเคราะห และภาคตดั กรวย 1. ระยะตางๆ 1.1 ระยะระหวา งจุดสองจดุ B (x2, y2) y2 - y1 AB = (x2 - x1 )2 + (y2 - y1 )2 (x1A, y1) x2 - x1 1.2 ระยะตัง้ ฉากจากจุด (m, n) ไปยงั เสน ตรง Ax + By + C = 0 (m, n) d = |Am + Bn + C| A2 + B2 d Ax + By + C = 0 1.3 ระยะระหวางเสนคูข นาน d= |C - D| Ax + By + C = 0 A2 + B2 d Ax + By + D = 0 2. จดุ แบงสว นของเสนตรง 2.1 จดุ กึ่งกลาง B(x2, y2) P (x, y) =  x1 + x2 , y1 + y2    A(x1, y1) P(x, y) 2 2 โครงการแบรนดซ ัมเมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (95)

2.2 จดุ แบง สวนของเสนตรงออกเปน อตั ราสว น m : n m B(x2, y2) mxm1 + nnx2 mym1 + nny2 + + n P(x, y) P(x, y) =  ,  A(x1, y1) 2.3 จดุ ตัดของเสนมัธยฐาน x = x1 + x32 + x3 A(x1, y1) P(x, y) y = y1 + y32 + y3 2 B(x2, y2) 1 D C(x2, y2) 3. ความชันของเสน ตรง (Slope, m) 3.1 กาํ หนดมุม θ m = tan θ θ 3.2 กาํ หนดจุดสองจดุ B(x2, y2) xy22 xy11 y2- y1 m= - - A(x1, y1) x2 - x1 = xy11 - xy22 โดยท่ี x1 ≠ x2 - 3.3 กําหนดสมการเสนตรง แบบท่ี 1 y = ax + b จะได a คือ ความชัน b คือ ระยะตัดแกน y CABB แบบท่ี 2 Ax + By + C = 0 จะได - คือ ความชนั - คือ ระยะตัดแกน y คณติ ศาสตร (96)______________________________ โครงการแบรนดซัมเมอรแ คมป 2010

3.4 ความชันแบบตา งๆ m=O m>O m < O m หาคาไมได tan θ = 1m+2m-2mm11 3.5 มุมระหวา งเสนตรงสองเสน Y L2 L1 θ θ1 θ2 X 3.6 ความสมั พันธร ะหวางเสน ตรงสองเสน m1 = m2 L1 L1 m1 ⋅ m2 = -1 L2 L2 4. สมการเสน ตรง y - y1 = m(x - x1) (x1, y1) เมื่อ m คือ ความชัน และ (x1, y1) คือ จดุ บนเสนตรง โครงการแบรนดซมั เมอรแคมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (97)

5. วงกลม (Circle) คือ เซตของจุดทงั้ หมดในระนาบที่หา งจากจดุ ๆ หนึง่ ที่ตรึงอยูก ับทีเ่ ปน ระยะทางคงตัว 5.1 สมการรปู แบบมาตรฐานของวงกลม x2 + y2 = r2 (x - h)2 + (y - k)2 = r2 Y Y r P(x, y) X r P(x, y) C(0, 0) C(h, k) X 5.2 สมการรูปแบบท่วั ไปของวงกลม -A2 -B2 x2 + y2 + Ax + By + C = 0 จุดศนู ยก ลาง (h, k) =  ,    รศั มี (r) = h2 + k2 - C = A2 + B2 - 4C 2 5.3 ระยะจากจุดใดๆ ไปยังวงกลม ใหว งกลมมีสมการเปน x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หรือ (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ♥ ความยาวเสนสมั ผสั วงกลม P(x1, y1) PA = x12 + y12 + Ax1 + By1 + C A หรือ PA = (x1 - h)2 + (y1 - k)2 - r2 O ♥ ระยะทางทีส่ น้ั ท่ีสุดจากจุดไปยงั วงกลม P • P เปน จดุ ภายนอกวงกลม PA = PO - r rA • Q เปน จดุ ภายในวงกลม QB = r - QO O Q B คณติ ศาสตร (98)______________________________ โครงการแบรนดซ มั เมอรแคมป 2010

♥ ระยะทางทีย่ าวที่สดุ จากจุดไปยงั วงกลม B P • P เปนจดุ ภายนอกวงกลม PA = PO + r r • Q เปน จุดภายในวงกลม QB = QO + r rO AQ 6. พาราโบลา (Parabola) คือ เซตของจดุ ทงั้ หมดในระนาบซงึ่ หางจากจุด F ทตี่ รงึ อยกู บั ทีจ่ ุดหน่งึ และเสนตรง l ทีต่ รงึ อยกู ับที่ เสนหนงึ่ เปน ระยะทางเทา กัน A F พาราโบลาB V คอื จดุ ยอดของพาราโบลา c F คือ จุดโฟกสั ของพาราโบลา l คือ เสน ไดเรกตริกซ (directrix) V l c คอื ระยะโฟกสั AB คือ เสน เลตสั เรกตมั (latus rectum line) 12 6 y=k+c 10 4 8 (x, y) 2 (x, y) F(h, k - c) 6 F(h, k + c) -5 5 4 -2 2 y=k-c -4 -5 5 10 -6 (x - h)2 = 4c(y - k) (x - h)2 = 4c(y - k) โครงการแบรนดซ มั เมอรแ คมป 2010 ______________________________ คณิตศาสตร (99)

10 (x, y) 10 x=h+c 8 F(h + c, k) (x, y) 8 x = h -6 c 5 10 6 4 4 2 F(h - c, k2) -2 -2 (y - k)2 = 4c(x - h) (y - k)2 = 4c(x - h) 7. วงรี (Ellipse) คือ เซตของจดุ ทัง้ หมดในระนาบซ่ึงผลบวกของระยะทางจากจดุ ใดๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ทตี่ รงึ อยกู ับ ท่ีมคี า คงตัว โดยคาคงตัวน้ีมีคา มากกวา ระยะหา งระหวา งจดุ ทตี่ รงึ อยูกับทท่ี ง้ั สอง จดุ สองจุดทต่ี รงึ อยกู บั ท่นี ้เี รยี กวา โฟกสั (focus) ของวงรี Y P2 B a P1 G b V′ F′ C c FV X x = - ac2 B′ G′ x = ac2 P1F1 + P1F2 = P2F1 + P2F2 = 2a ♥ C คอื จุดศนู ยก ลางของวงรี ♥ V, V′ คอื จุดยอดของวงรี ♥ F, F′ คอื จดุ โฟกัสของวงรี ♥ VV′ คือ แกนเอก (major axis) ของวงรี ยาว 2a หนวย ♥ BB′ คอื แกนโท (minor axis) ของวงรี ยาว 2b หนว ย ♥ CF = CF′ คอื ระยะโฟกัส ยาว c หนวย ยาว 2ba2 หนวย ♥ GG′ คอื เลตัสเรกตัม ♥ 0 < b < a เสมอ ♥ สมการรูปแบบมาตรฐานของวงรี คณิตศาสตร (100)_____________________________ โครงการแบรนดซ ัมเมอรแ คมป 2010