ตำราฟิสิกส์เบื้องต้น

กำรเคลื่อนทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 43คือ กำรกระจัด ควำมเร็ว และควำมเร่ง แต่จะมีองค์ประกอบสองหรือสำมองค์ประกอบ ไม่ได้มีทิศอยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วอีกต่อไป ซ่งึ เมื่อเรำสังเกตจะพบว่ำกำรเคลื่อนท่ีที่น่ำสนใจหลำยรูปแบบเกิดข้ึนในสองมิติหรือเกิดบนระนำบ ทฤษฎีเรื่องเวกเตอร์ท่ีเรำเรียนกันไปในบทที่ 1 จึงเข้ำมำมีบทบำทสำคัญในกำรวิเครำะห์และแกป้ ญั หำโจทย์ 2.4.2.1 กำรเคลอ่ื นท่ีแบบโปรเจคไทล์ โปรเจคไทล์หรือการเคล่ือนท่ีแบบวิถีโค้ง คือ กำรเคลื่อนท่ีในสองมิติของวัตถุซ่ึงเป็นผลมำจำกแรงโน้มถ่วงของโลกเกิดเป็นกำรเคล่ือนท่ีในแนวรำบและแนวดิ่งไปพร้อมๆกัน เช่น กำรชูตบำส กำรกระโดดไกล กำรปล่อยระเบิดจำกเคร่อื งบิน กำรขว้ำงหรอื ปำส่ิงของ วถิ ีของสำยน้ำทพี่ ุ่งออกจำกสำยยำง ฯลฯ เรำเรยี กระนำบกำรเคล่อื นที่ของโปรเจคไทลว์ ่ำระนำบ xy โดยแกน x เป็นกำรเคล่อื นที่ในแนวรำบ สว่ นแกน y เป็นกำรเคลือ่ นท่ีในแนวดง่ิ แก่นสำคัญสำหรับกำรวิเครำะห์กำรเคล่ือนท่ีแบบโปรเจคไทล์ คือ เรำสำมำรถพิจำรณำแกน xและแกน y แยกอิสระจำกกันได้ องค์ประกอบในแกน x จะมีควำมเร่งเป็นศูนย์ ในขณะท่ีองค์ประกอบในแกนy จะมีควำมเร่ง g = -9.8 m/s2 (พิจำรณำแนวรำบเคล่ือนที่ด้วยควำมเร็วคงตัว ส่วนแนวดิ่งเคล่ือนที่ด้วยควำมเรง่ คงตวั ) vx  ux vy  0 vx  uxuy u vx  ux sy vx  ux  ux sx vy  uyรปู ที่ 2.6 แสดงเส้นทำงกำรเคลอ่ื นที่แบบโปรเจคไทล์และตัวแปรตำ่ ง ๆรปู ท่ี 2.6 แสดงเสน้ กำรเคล่ือนที่แบบโปรเจคไทล์และตวั แปรต่ำง ๆ ทพี่ จิ ำรณำ ควำมเร็วตน้ uสำมำรถแยกองคป์ ระกอบเป็น ux และ u y คือ ux  u cos , u y  u sin  (2.14)เนื่องจำกเรำพิจำรณำควำมเร็วต้นในแนวรำบมีค่ำคงตัวส่วนแนวด่ิงน้ันมีควำมเร่งคงตัว สมกำรที่ใช้ในกำรพิจำรณำจึงมีควำมคลำ้ ยคลงึ กบั สมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรือ (2.13) โดยแยกพิจำรณำเป็นแกนx และ แกน y อสิ ระจำกกนั โดยมีตัวแปรเวลำ t เป็นตัวเช่ือมระหว่ำงสองแกน ดงั น้ี vx  ux  u cos (2.15) sx  uxt  (u cos )t (2.16) vy  u y  gt  (u sin  )  gt (2.17)

44 แรงและกำรเคลื่อนท่ี  (uy  vy  (u sin   vsin  (2.18) 2 2 sy )t )t sy  uyt  1 gt 2  (u sin  )t  1 gt 2 (2.19) 2 2 v 2  u 2  2gsy  (u sin  )2  2gsy (2.20) y y เม่อื s คอื ระยะทำง (distance) หรอื กำรกระจัด (displacement) ในหนว่ ย m u คอื อตั รำเร็วต้น (initial speed) หรอื ควำมเร็วต้น (initial velocity) ในหน่วย m/s v คอื อตั รำเรว็ ปลำย (final speed) หรอื ควำมเรว็ ปลำย (final velocity) ในหนว่ ย m/s a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 t คอื เวลำ (time) ในหน่วย s ข้อสังเกตุ ท้ังแกน x และแกน y มีตัวแปรร่วมกันคือเวลำ t นั่นหมำยควำมว่ำเวลำท่ีใช้ในกำรพิจำรณำแนวรำบและแนวด่ิงมีค่ำเท่ำกัน นอกจำกนี้เวลำท่ีใช้ในกำรเคลื่อนท่ีจำกจุดเร่ิมต้นถึงจุดสูงสุดจะเทำ่ กบั เวลำจำกจดุ สูงสุดลงมำถงึ ท่ีระดบั เดียวกบั จุดเริ่มตน้ และท่ีระดับควำมสงู เดยี วกันทั้งขำขน้ึ และขำลงจะมีขนำดของควำมเร็วเท่ำกันต่ำงกนั แค่เพียงทศิ เท่ำนั้นตัวอย่ำงที่ 2.15 ในกำรปลูกข้ำวแบบนำโยน เกษตรกรขว้ำงต้นกล้ำออกไปในแนวระดับด้วยควำมเร็ว 6 m/sจงหำตำแหน่งและควำมเร็วหลงั จำกเวลำผ่ำนไป 1/3 s และหำกเกษตรกรขว้ำงตน้ กลำ้ ออกไปท่ีระดับควำมสูง1.5 m ในเวลำท่ีกำหนด ตน้ กลำ้ ตกลงถึงพน้ื แลว้ หรอื ยงัวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ตน้ กล้ำข้ำวถูกขวำ้ งออกไปในแนวระดบั ดว้ ยควำมเรว็ 6 m/s (ux = 6 m/s และu y = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ทเี่ วลำ 1/3 s (t = 1/3 s) ถำมหำตำแหน่ง ( s )และควำมเร็วปลำย ( v )สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร ux , u y , g , t ตอ้ งกำรหำตัวแปร s และ v โดยพจิ ำรณำแยกทีละแกนพิจำรณำแกน x จำกสมกำร (2.16) sx = uxtแทนค่ำ sx = 61  2 mจำกสมกำร (2.15) vx = 3 ux  6 m/sพจิ ำรณำแกน y จำกสมกำร (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนค่ำ sy = 0  (1  (9.8) (1)2 )   0.54 mจำกสมกำร (2.17) vy = 23 uy  gtแทนคำ่ vy = 0  ((9.8) 1)   3.27 m/s 3

กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 45 ดงั นั้น ตำแหนง่ และควำมเร็วของต้นกลำ้ ข้ำวหลังจำกผำ่ นไป 1/3 s สำมำรถเขียนในรปู เวกเตอรห์ น่งึหน่วยได้วำ่ s = 2 ˆi  0.54 ˆj m v = 6 ˆi  3.27 ˆj m/s ตอบ จำกผลกำรหำตำแหนง่ ของต้นกลำ้ ขำ้ วพบว่ำต้นกลำ้ เคลื่อนไปในแนวรำบ 2 m ในแนวดิง่ 0.54 mดังน้ันหำกเกษตรกรปำออกไปท่รี ะดบั ควำมสงู 1.5 m ในเวลำ 1/3 s ต้นกลำ้ จะยังไม่ตกลงกระทบพนื้ตวั อย่ำงท่ี 2.16 นกั ฟุตบอลคนหนึ่งเตะลูกบอลข้ึนไปด้วยควำมเร็ว 30 m/s ทำมุม 60oกับแนวระดับ เขำต้องวง่ิ ด้วยควำมเรว็ คงที่อย่ำงน้อยที่สุดเท่ำใด จงึ จะไปรับลูกบอลท่เี ขำเตะออกไปได้พอดีก่อนตกถึงพ้นืวธิ ที ำ จำกโจทยก์ ำหนดใหล้ ูกบอลถูกเตะออกไปดว้ ยควำมเรว็ 30 m/s ( u = 30 m/s) ในทศิ ทำมมุ 60o กับแนวระดับ ( = 60o) ภำยใตแ้ รงโนม้ ถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) และถำมหำควำมเร็วทต่ี อ้ งวิ่งไปรบั ลูกฟุตบอลให้ทัน ซง่ึ กำรที่นักฟุตบอลจะวิง่ ออกไปรับลูกบอลท่ีเตะออกไปได้ทัน เขำจะต้องวิง่ ดว้ ยควำมเร็วอย่ำงน้อยเท่ำกับควำมเรว็ ในแนวรำบของลูกฟตุ บอล ( vx ) นน่ั เองสรุปได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร u ,  , g ตอ้ งกำรหำตัวแปร vx จึงเลอื กใช้สมกำร (2.15)ควำมเร็วในแนวรำบ vx = ux  ucosแทนคำ่ vx = 30 cos 600  15 m/sดังนั้นนกั ฟุตบอลต้องวิ่งออกไปรับลูกบอลดว้ ยควำมเรว็ อย่ำงน้อย 15 m/s ตอบตัวอย่ำงที่ 2.17 ขว้ำงกอ้ นหินด้วยควำมเร็ว 45 m/s ในทิศทำมุม 60 องศำกบั แนวระดับจำกหน้ำผำแหง่ หน่งึซึ่งสงู 265 m จงหำก) ควำมเร็วเร่มิ ต้นของก้อนหินในแนวแกน x และ yข) ควำมเรว็ ปลำยของก้อนหินก่อนตกถงึ พ้ืนค) ระยะหำ่ งระหว่ำงก้อนหินและหนำ้ ผำ เมื่อก้อนหินกระทบพ้นืวธิ ที ำ จำกโจทยก์ ำหนดให้กอ้ นหินถูกขวำ้ งด้วยควำมเร็ว 45 m/s ( u = 45 m/s) ในทศิ ทำมุม 60o กับแนวระดบั ( = 60o) จำกหนำ้ ผำสูง 265 m ( s y = -265 m) ภำยใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) และถำมหำควำมเรว็ ท่ีตอ้ งวงิ่ ไปรับลกู ฟตุ บอลให้ทนั ซงึ่ กำรท่ีนักฟุตบอลจะวง่ิ ออกไปรบั ลูกบอลทเ่ี ตะออกไปได้ทนัเขำจะต้องวิง่ ดว้ ยควำมเร็วอย่ำงน้อยเท่ำกับควำมเรว็ ในแนวรำบของลูกฟตุ บอล ( vx ) น่นั เอง ก) ถำมหำควำมเร็วเร่ิมต้นในแนวแกน x (ux ) และควำมเรว็ เร่ิมตน้ ในแนวแกน y (u y )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร u ,  , g , s y ตอ้ งกำรหำตวั แปร ux , u y จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.14)แทนคำ่ ux = u cos  45cos 600  22.5 m/sแทนค่ำ uy = usin   45sin 600  38.97 m/sดังนัน้ ควำมเร็วเร่มิ ตน้ ในแนวแกน x และ y คอื 22.5 และ 38.97 m/s ตำมลำดับ ตอบ

46 แรงและกำรเคล่ือนท่ี ข) ถำมหำควำมเรว็ ปลำยของก้อนหนิ ก่อนตกถงึ พืน้ จำเป็นตอ้ งทรำบควำมเร็วปลำยท้ังสองแกนก่อนสรุปไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร u ,  , g , s y ตอ้ งกำรหำตัวแปร vx , vy จึงแยกพิจำรณำทลี ะแกนพจิ ำรณำแกน x จำกสมกำร (2.15) vx = ux  22.5 m/sพจิ ำรณำแกน y จำกสมกำร(2.20) v 2 = u 2  2gsy y yแทนค่ำ =v 2 38.972  (2 (9.8)  (265)) y vy =  81.93 m/sดงั นน้ั ควำมเร็วปลำยของก้อนหนิ ก่อนตกถึงพืน้ คือ v = 22.5 ˆi 81.93 ˆj m/s ตอบค) ถำมหำระยะหำ่ งระหว่ำงก้อนหินและหนำ้ ผำ ( sx ) แตท่ รำบเพยี งตัวแปร ux เทำ่ นั้น จึงจำเปน็ ต้องหำตัวแปร t จำกแกน y กอ่ นพจิ ำรณำแกน y ทรำบค่ำตัวแปร u ,  , g , s y ตอ้ งกำรหำตัวแปร t จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนคำ่  265 = (38.97 t)  (1  (9.8)t 2 )แกส้ มกำรพหุนำมจะได้ t= 2 12.34 sจำกน้ันพจิ ำรณำแกน x ทรำบคำ่ ตวั แปร ux ตอ้ งกำรหำตัวแปร sx จำกสมกำร (2.16) sx = uxtแทนค่ำ sx = 22.5 12.34  277.65ดังนั้นจะไดร้ ะยะหำ่ งระหวำ่ งกอ้ นหินและหนำ้ ผำ 277.65 m ตอบ2.4.2.2 กำรเคลอื่ นทแ่ี บบวงกลมเม่ือวัตถุเคลื่อนที่ไปตำมทำงโค้ง ทิศทำงของควำมเร็วจะมีกำรเปล่ียนแปลงไปตลอดเวลำ ดังรูปท่ี2.7 หำกพิจำรณำเฉพำะการเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่าเสมอ โดยกำหนดให้อัตรำเร็วมีค่ำคงตัว พิจำรณำ 1vหรือvv21มvีท1 ิศซท่ึงำกง็คไืปอคทวำำงมขวเรำ่งแขลอะงวคัตวถำมุ เเรรำว็ จทะี่ตพำบแหว่ำนท่งิศทที่ 2ำงหขรอืองคvว2ำมมเีทริศ่งพจะุ่งลมงีทิศเมเขื่อ้ำหสำู่ควำมเร็วที่ตำแหน่งที่ควำมเร็วที่เปลี่ยนไปศนู ย์กลำงเสมอ และได้สมกำรของควำมเรง่ ดงั นี้ ac  v2 (2.21)  rเมื่อ  คอื ควำมเร่งเขำ้ ส่ศู นู ยก์ ลำง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 ac v คือ อตั รำเรว็ (speed) ในหนว่ ย m/s r คอื รัศมกี ำรเคลือ่ นทแี่ บบวงกลม (radius) ในหน่วย m

กำรเคลอ่ื นที่แบบต่ำง ๆ 47 a รูปที่ 2.7 กำรหำควำมเรว็ ทีเ่ ปล่ยี นไป ( a ) ของวตั ถุท่ีกำลงั เคลื่อนท่แี บบวงกลมดว้ ยอัตรำเรว็ คงตวั จำกสมกำร (2.15) เรำเรยี กควำมเร่งนี้ว่ำ ความเร่งเข้าสศู่ ูนย์กลาง (centripetal acceleration)หรือ ac เน่ืองจำกควำมเร่งน้ีจะมีทิศช้ีเข้ำศูนย์กลำงของวงกลมเสมอ และเม่ือพิจำรณำกฎข้อท่ีสองของนิวตันควำมเร่งที่ชี้เขำ้ หำศนู ย์กลำงของวงกลมต้องเกิดจำกแรงสุทธิในแนวรศั มีท่ชี ี้เขำ้ หำศูนย์กลำงด้วย ดงั สมกำร   mac  m v2 (2.22) Fc  rเมอื่  คอื แรงสศู่ นู ยก์ ลำง (Centripetal Force) ในหนว่ ย N Fc m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg  ac คอื ควำมเร่งเขำ้ ส่ศู ูนย์กลำง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 v คือ อตั รำเรว็ (speed) ในหนว่ ย m/s r คือ รัศมกี ำรเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลม (radius) ในหนว่ ย m เพื่อให้กำรวิเครำะห์กำรเคล่ือนที่ครอบคลุมตัวแปรท่ีหลำกหลำย ยังมีปริมำณท่ีสำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนที่แบบวงกลมอีกสองปริมำณ น่ันก็คือ คำบและควำมถ่ี คาบ (T ) ของกำรเคลื่อนท่ี คือชว่ งเวลำที่ใชใ้ นกำรเคล่ือนท่ีครบหนง่ึ รอบ มหี นว่ ยในระบบ SI คือ วนิ ำที และ ความถ่ี ( f ) คือ ค่ำจำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนท่ีไปได้ในช่วงเวลำหน่ึง ในระบบ SI ควำมถี่มีหน่วยเป็นรอบต่อวินำที หรือ Hz แต่ในทำงปฏิบัติอำจพบกำรใช้งำนในหน่วยอ่ืน ๆ เช่น rpm (รอบต่อนำที) ซ่ึงต้องอำศัยกำรเปล่ียนหน่วยเพื่อช่วยในกำรพจิ ำรณำ โดยทงั้ สองปรมิ ำณนมี้ คี วำมสมั พันธ์กนั ดงั สมกำร f  1 (2.23) Tเมอื่ f คอื ควำมถ่ี หรอื จำนวนรอบของกำรเคลอื่ นทเ่ี ป็นวง (frequency) ในหนว่ ย Hz T คือ คำบเวลำท่ีใช้ในกำรเคลอื่ นทค่ี รบรอบ (period) ในหน่วย sข้อควรระวงัอยำ่ สับสน f (ควำมถ่ี หนว่ ย Hz) กบั f (แรงเสยี ดทำน หน่วย N) แม้วำ่ จะใช้ตัวแปรเดียวกนั เม่ือพิจำรณำควำมเร็วในกำรเคล่ือนท่ีเป็นวงกลมสม่ำเสมอในรูปของคำบ (T ) ของกำรเคลื่อนที่ในเวลำ 1 คำบวัตถุจะเคลอ่ื นที่ได้ระยะทำงเทำ่ กับเส้นรอบวง 2r ของวงกลม ดงั นัน้ อัตรำเร็วของวตั ถุคือ v  s  2r (2.24) tTและเมอ่ื พจิ ำรณำถึงควำมสัมพันธ์ของคำบกำรเคลอ่ื นทก่ี บั คำ่ ควำมถี่ f  1 จะได้ว่ำ T

48 แรงและกำรเคล่ือนท่ี v  2rf (2.25) เมือ่ แทนคำ่ สมกำร (2.24) และ (2.26) ลงในสมกำร (2.21) จะไดส้ ตู รควำมเร่งในอีกรปู หนง่ึ คือ   4 2r  4 2 rf 2 (2.26) ac T2 เม่ือ v คอื อตั รำเรว็ (speed) ในหน่วย m/s ac คือ ควำมเร่งเข้ำส่ศู ูนย์กลำง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 r คือ รศั มกี ำรเคล่อื นทแ่ี บบวงกลม (radius) ในหน่วย m f คือ ควำมถ่ี หรอื จำนวนรอบของกำรเคลอื่ นทเ่ี ปน็ วง (frequency) ในหน่วย Hz T คือ คำบเวลำทใ่ี ชใ้ นกำรเคลื่อนที่ครบรอบ (period) ในหนว่ ย sตัวอย่ำงที่ 2.18 จงหำควำมเร่งสศู่ นู ยก์ ลำงของรถยนต์คันหน่งึ ที่เคลือ่ นท่บี นถนนที่โคง้ เป็นเสน้ รอบวงของวงกลมรศั มี 800 m อตั รำเรว็ ของรถยนต์ 120 km/hวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้ทำงโค้งมีรศั มี 800 m ( r = 600 m) อตั รำเรว็ ของรถยนต์ 120 km/h (v = 120 km/h) v และถำมหำควำมเร่งสศู่ ูนย์กลำง ( ac ) สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร r , v และถำมหำตัวแปร  จงึ เลือกใช้สมกำร (2.21) ac จำก  = v2 ac  r แปลงหนว่ ยของอัตรำเรว็ v = 120 km  1000 m  1 h  33.33 m/s h 1 km 3600 s แทนค่ำ  = 33.332  1.39 m/s2 ac 800 ดังนั้นควำมเร่งสศู่ นู ย์กลำงของรถยนตค์ ือ 1.39 m/s2 ตอบตวั อยำ่ งท่ี 2.19 ในกำรน่ังรถหมุนในงำนเทศกำล ผโู้ ดยสำรเคลื่อนทีด่ ้วยอตั รำเร็วคงตวั เป็นวงกลมรศั มี 6 mและเคลื่อนท่ีครบหนง่ึ รอบใช้เวลำ 5 s จงหำควำมเรง่ ของผโู้ ดยสำรวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้ผโู้ ดยสำรเคล่อื นท่ีเปน็ วงกลมรัศมี 6 m ( r = 6 m) และเคล่ือนที่ครบหนง่ึ รอบใช้เวลำ 5 s (T = 5 s) และถำมหำควำมเร่งของผู้โดยสำร ( ac ) สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร r , T และต้องกำรหำค่ำ ac จงึ เลือกใช้สมกำร (2.26) จำก  = 4 2r ac T2 แทนคำ่  = 4 2  6  9.47 m/s2 ac 52 ดงั น้ันควำมเรง่ ของผู้โดยสำร คอื 9.47 m/s2 ตอบ

กำรเคลือ่ นที่แบบตำ่ ง ๆ 49ตัวอย่ำงท่ี 2.20 หลอดทดลองในเครื่องเหว่ียงบรรจุของเหลวมีเม็ดเลือดแดงแขวนลอยอยู่ หลอดถูกเหวี่ยงให้เคลอื่ นที่เปน็ วงกลมรศั มี 0.1 m วินำทลี ะ 750 รอบ จงหำควำมเร่งสูศ่ นู ยก์ ลำงของหลอดทดลองวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหห้ ลอดถูกเหว่ียงให้เคลื่อนท่ีเป็นวงกลมรัศมี 0.1 m ( r = 0.1 m) วินำทีละ 750รอบ ( f = 750 Hz) และถำมหำควำมเรง่ สศู่ ูนย์กลำงของหลอดทดลอง ( ac )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตัวแปร r, f และต้องกำรหำค่ำ  จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.26) acจำกส  = 4 2rf 2 acแทนค่ำ ac = 4 2  0.1 750 2  2.22 106 m/s2ดังนัน้ ควำมเร่งสศู่ นู ย์กลำงของหลอดทดลองคือ 2.22x106 m/s2 ซง่ึ จำกผลกำรคำนวณจะเห็นว่ำควำมเร่งนม้ี ีค่ำสูงกวำ่ คำ่ ควำมเร่งโนม้ ถว่ ง g ถึงสองแสนเท่ำ ขนำดควำมเรง่ เท่ำน้ีจงึ มำกพอท่จี ะสำมำรถดึงให้สำรแขวนลอยตกตะกอนไดอ้ ย่ำงรวดเรว็ โดยไมต่ อ้ งรอคอยใหต้ กตะกอนตำมธรรมชำติ ตอบตวั อย่ำงท่ี 2.21 โลกหมนุ รอบตัวเอง 1 รอบกนิ เวลำ 24 ชวั่ โมง จงหำควำมเรว็ เชงิ เสน้ ท่ีบริเวณเส้นศนู ย์สตู รซงึ่ มีรศั มี 6.38x106 mวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้โลกหมนุ รอบตวั เอง 1 รอบกินเวลำ 24 ชัว่ โมง (T = 24 h) รัศมขี องโลก 6.38x106m ( r = 6.38x106 m) และถำมหำควำมเร็วเชงิ เสน้ ทบ่ี รเิ วณเส้นศูนย์สูตร ( v )สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร r , T และตอ้ งกำรหำค่ำ v จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.24)แปลงหน่วยคำบ T= 24 h  3600 s  86400 s 1hจำก v= 2r Tแทนคำ่ v= 2  6.38 106  463.97 m/s 86400ดงั นั้นควำมเรว็ เชิงเสน้ ท่ีบริเวณเส้นศูนย์สตู รของโลกคือ 463.97 m/s ตอบคดิ ซักนดิ 5ด้วยควำมเร็วเชิงเสน้ ในกำรหมนุ ของโลกทบ่ี รเิ วณเสน้ ศนู ย์สูตร 463.97 m/s หรอื 1670 km/h เหตใุ ดเรำซึ่งยืนอยูบ่ นโลกจงึ ไม่รูส้ ึกว่ำกำลังเคลอ่ื นที่ตัวอย่ำงท่ี 2.22 ถ้ำทำให้ล้อที่หมุน 2000 rpm หยุดลงด้วยควำมเร่งเชิงมุมคงที่ โดยหลังจำกเบรกแล้วล้อยังหมุนไปได้อีก 60 รอบก่อนหยุด จงหำเวลำที่ใชใ้ นกำรเบรกลอ้วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหล้ ้อหมนุ ด้วยควำมถ่ี 2000 rpm ( f = 200 rpm) หยุดลง (v = 0 m/s) เมอ่ื หมนุไปได้ 60 รอบ ( s = 60 รอบ) และถำมหำเวลำทใ่ี ช้ในกำรเบรก ( t ) เร่ิมจำกลองเปลย่ี นหน่วยปริมำณทโ่ี จทย์ใหม้ ำ

50 แรงและกำรเคล่ือนท่ีควำมถี่ f = 2000 rpm 1 min  33.33 Hz 60 sระยะทำง s = 2r  60  2  r  60  376.99r mเนือ่ งจำกโจทย์ไม่ไดใ้ ห้รัศมขี องล้อมำ จึงตดิ ตัวแปร r ไว้สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร f , v , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร t ซง่ึ จำกกำรพจิ ำรณำควำมสัมพันธ์เบอ้ื งตน้ พบว่ำ คำ่ ควำมถีข่ องลอ้ ท่กี ำหนดสำมำรถนำไปใช้หำค่ำควำมเร็วต้นไดจ้ ำกสมกำร (2.25)จำก u= 2rf  2  r  33.33  209.44r m/sจำกสมกำร (2.11) s = (u v) t 2แทนคำ่ 376.99r = (209.44r  0) t 2จะไดเ้ วลำ t = 3.60 sดงั นัน้ เวลำทใี่ ชใ้ นกำรเบรก คือ 3.60 s ตอบตัวอย่ำงที่ 2.23 ในกำรออกแบบใบพัดเครื่องบินให้หมุนท่ีอัตรำ 2500 rpm เพื่อให้อัตรำเร็วที่เครื่องบินเคล่ือนท่ีไปข้ำงหน้ำมีค่ำ 70 m/s และอัตรำเร็วของปลำยใบพัดที่หมุนตัดอำกำศต้องไม่เกิน 270 m/s (ค่ำน้ีมีค่ำประมำณ 0.8 เท่ำของอัตรำเร็วเสียงในอำกำศ เนื่องจำกหำกใบพัดเคล่ือนท่ีด้วยอัตรำเร็วเสียงจะทำให้เกิดเสยี งที่ดงั มำก) จงหำวำ่ ก) รัศมสี ูงสดุ ท่ใี บพดั จะมไี ดม้ คี ่ำเทำ่ ใด ข) ทร่ี ัศมีนี้ควำมเร่งทีป่ ลำยใบพัดมขี นำดเทำ่ ใดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ใบพัดหมุนที่อัตรำ 2500 rpm ( f = 2500 rpm) โดยทอ่ี ัตรำเรว็ ของปลำยใบพดัตอ้ งไมเ่ กิน 270 m/s ( v = 270 m/s)เปล่ียนหน่วยควำมถ่ี f = 2500 rpm 1 min  41.67 Hz 60 sก) ถำมหำรัศมใี บพดั ( r ) เมอื่ ทรำบคำ่ ตัวแปร f , v จงึ เลือกใช้สมกำร (2.25)จำก v= 2rfแทนค่ำ 270 = 2  r  41.67จะไดร้ ัศมขี องใบพัด r = 1.03 mข) หำควำมเร่งท่ปี ลำยใบพดั ( ac ) เมอื่ ทรำบคำ่ ตัวแปร v , r จึงเลือกใช้สมกำร (2.21)จะได้ควำมเร่งทีป่ ลำยใบพัด  = v2  270 2  7.07 10 4 m/s2 ac  r 1.03ดังนัน้ รัศมีของใบพดั คอื 1.03 m และทร่ี ัศมนี ี้มคี วำมเร่งที่ปลำยใบพัด 7.07x104 m/s2 ตอบเมื่อพจิ ำรณำ   ma พบวำ่ ทุกๆมวล 1 kg ใบพดั จะต้องทนต่อแรงประมำณ 70,000 N ดังน้ัน Fเพ่ือใหใ้ บพัดทนต่อแรงที่มำกขนำดนีไ้ ดจ้ ึงจำเปน็ ตอ้ งเลือกใชว้ ัสดทุ ี่มคี วำมทนทำนสูง

กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 51ตวั อย่ำงท่ี 2.24 กำรเลีย้ วโคง้ บนถนนรำบที่มสี ่วนโค้งรศั มี 250 m ถ้ำกำหนดสัมประสทิ ธคิ วำมเสยี ดทำน 0.80อตั รำเร็วสูงสดุ ที่คนขับเลย้ี วรถไดโ้ ดยท่ีรถไม่ไถลมีคำ่ เท่ำใดวิธีทำ จำกโจทยก์ ำหนดให้ถนนโค้งรัศมี 250 m ( r = 250 m) มีสัมประสทิ ธิควำมเสียดทำน 0.80 (  =0.80) และถำมหำอตั รำเรว็ สงู สุดทเี่ ล้ียวรถไดโ้ ดยทีร่ ถไม่ไถล ( v )พิจำรณำแกน x เคลอื่ นทด่ี ว้ ยควำมเรง่ เขำ้ สู่ศูนยก์ ลำง ทรำบค่ำตวั แปร r ,  และตอ้ งกำรหำ v จึงเลือกใช้สมกำร (2.22) Fx = mv 2 r f = mv 2 r N = mv 2 ----------------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y เพ่ือหำคำ่ N r F y =0 แทนใน (1) = mg N mg = mv 2 rแทนคำ่ 0.80 9.8 = v2 250จะได้อัตรำเรว็ สูงสดุ ทีค่ นขบั เล้ยี วรถได้โดยทรี่ ถไมไ่ ถล v  44.27 m/s หรอื 160 km/h ตอบ คิดซักนดิ 6 จำก ตัวอยำ่ งท่ี 2.24 หำกฝนตกถนนเปียกทำให้ค่ำสัมประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนลดลงเหลือ 0.25 อตั รำเร็ว สงู สุดทค่ี นขบั เลี้ยวรถได้โดยท่ีรถไม่ไถลจะมีคำ่ เท่ำใด 2.4.3 กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบหมุน ในกำรศึกษำเรื่องแรงและกำรเคลื่อนท่ีท่ีผ่ำนมำ ขนำดและทิศทำงของแรงเป็นส่ิงสำคัญ แต่มักไม่ได้ให้ควำมสำคัญกับตำแหน่งที่แรงกระทำ ในกำรเคลื่อนที่แบบหมุนน้ัน ตำแหน่งที่แรงกระทำมีบทบำทสำคัญอย่ำงมำกต่อกำรหมุน ยกตัวอย่ำงเช่น หำกเรำต้องกำรจะผลักประตูที่หนักมำก ๆ กำรออกแรงผลักที่ตำแหน่งไกลจำกแกนหมนุ (ใกล้ลกู บิดประต)ู จะใช้แรงน้อยกว่ำกำรผลกั ที่ตำแหน่งใกล้แกนหมนุ (ใกล้บำนพับ)กำรใช้ประแจขันน็อตให้แน่น กำรจับประแจท่ีปลำย (ตำแหน่ง B ในรูปท่ี 2.8) ย่อมออกแรงน้อยกว่ำจับท่ีตำแหนง่ ใกล้นอ็ ต (ตำแหน่ง A) กำรเปิดฝำขวดน้ำจะงำ่ ยขน้ึ หำกเรำจับท่ีฝำขวดและออกแรงหมนุ ทก่ี ้นขวด

52 แรงและกำรเคลื่อนท่ี 20 cm B 10 cm A รปู ที่ 2.8 แสดงผลของตำแหน่งทแ่ี รงกระทำปริมำณของแรงท่ีก่อให้เกิดกำรเคล่ือนท่ีแบบหมุน คือ ทอร์ก ( ) หรืออำจเรียกว่ำ แรงบิด นักฟิสิกส์มักใช้คำว่ำ “ทอร์ก” ในขณะท่ีวิศวกรมักใช้คำว่ำ “โมเมนต์” แต่สองคำน้ีสื่อถึงสิ่งเดียวกัน เรำนิยำม   rทอร์ก (หรือโมเมนต์) ของแรง F รอบจุดหมุนว่ำคือผลคูณระหว่ำงขนำดของแรง F กับระทำงต้ังฉำกจำกจุดหมุนมำยังแนวแรงมีหน่วยในระบบ SI คือ นิวตันเมตร (N.m) ทอร์กเป็นปริมำณเวกเตอร์ ขนำดของทอร์กหำได้ตำมสมกำร ส่วนทิศทำงหำได้จำกกฎมอื ขวำดงั รปู ท่ี 2.9   r   (2.27) F   rF sin  (2.28)เม่อื  คือ ทอร์ก หรือ แรงบิด (Torque) ในหน่วย N.m r F คือ ระยะทำงจำกจุดหมนุ มำตัง้ ฉำกแนวแรง (radius) ในหนว่ ย m  คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N  r F คือ มุมระหวำ่ งเวกเตอร์ และ (angle) ในหนว่ ย องศำ แรงบดิ แรงนอ็ ตเคลอ่ื นที่ลง รปู ที่ 2.9 ทศิ ทำงของทอรก์ ตำมกำรใชก้ ฎมือขวำ

กำรเคล่ือนท่แี บบต่ำง ๆ 53 หำกเรำสังเกตกำรใชก้ ฎมือขวำในกำรบอกทิศของทอร์กจะพบวำ่ ในกำรหมนุ หรอื บดิ เพ่ือเปิดหรือปิดวำล์วต่ำง ๆ ไม่ว่ำจะเป็นวำล์วแก๊ส ก๊อกน้ำ หรือกำรขันสกรู ฯลฯ กำรหมุนทวนเข็มนำฬิกำจะทำให้วำล์ลนัน้ เปิดออก ส่วนกำรหมุนตำมเขม็ นำฬกิ ำจะเปน็ กำรปิด นอกจำกน้ีปริมำณสำคัญอีกค่ำหน่ึงซึ่งมีบทบำทสำคัญต่อกำรพิจำรณำกำรหมุนก็คือ โมเมนต์ความเฉ่ือย ( I ) ของวัตถุ โมเมนต์ควำมเฉ่ือย คือ สมบัติซ่ึงต้ำนกำรเปล่ียนแปลงสภำพกำรหมุนหรือควำมเฉอื่ ยของกำรหมุนของวัตถมุ หี นว่ ยเป็น kgm2 และมีค่ำดังสมกำร    mr 2 (2.29) I เม่อื  คือ โมเมนต์ควำมเฉอ่ื ย (moment of inertia) ในหนว่ ย kgm2 I m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg r คอื รศั มขี องกำรหมนุ (radius) ในหนว่ ย m จำกสมกำรเรำพบว่ำ วัตถุที่มีมวลมำกและวัตถุท่ีมีขนำดใหญ่ (รัศมีกำรหมุนมำก) จะหมุนได้ยำกกวำ่ เน่ืองจำกมีควำมเฉอ่ื ยในกำรหมุนมำก ซ่ึงจำกกำรสังเกตส่งิ ตำ่ ง ๆ รอบตัว เช่น กำรที่เรำพยำยำมกำงแขนออกเพือ่ ทรงตวั ไม่ให้ลม้ หรอื นักสเก็ตนำ้ แข็งจะใช้กำรหมุนตัวแล้วหุบแขนเพอ่ื ใหห้ มุนตัวไดเ้ ร็วคดิ ซกั นิด 7สำหรับเงือ่ นไขกำรสมดลุ (วตั ถไุ ม่หมนุ ) เรำสำมำรถอ้ำงได้ว่ำผลรวมโมเมนตซ์ งึ่ เกิดจำกแรงท่ที ำใหเ้ กิดกำรหมนุ แบบทวนเข็มจะมีคำ่ เท่ำกับผลรวมโมเมนต์ของแรงทท่ี ำใหเ้ กิดกำรหมนุ ตำมเข็ม  rตำFมเขต็มำมเข็ม r   ทวนเขม็ = F ทวนเข็ม =ตัวอย่ำงที่ 2.25 จำกรูปท่ี 2.8 ท่ีตำแหน่ง B ซึ่งมีแขนแรงยำว 20 cm ต้องใช้แรงขนำด 20 N ในกำรขันน็อตจงหำแรงทต่ี อ้ งใชใ้ นกำรขนั น็อตทตี่ ำแหนง่ A ซึ่งมแี ขนแรงยำว 10 cmวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้แขนแรงท่ตี ำแหน่ง B ยำว 20 cm (  = 20 cm) ใช้แรง 20 N (  = 20 N)แขนแรงที่ตำแหน่ง A ยำว 10 cm ( rA = 10 cm) rB  FB FA และถำมหำแรงทตี่ ำแหน่ง A ( ) สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร  , rFB ,FrA และต้องกำรหำ  พจิ ำรณำใหท้ อร์กทีต่ ำแหน่ง A และ Bเทำ่ กัน จงึ เลือกใช้สมกำร (2.27) rB FA   A = Bจำก 10  FA = 20  20ดงั นั้นแรงทีต่ ำแหนง่ A FA = 40 N ตอบ 2.4.4 กำรเคลื่อนทแี่ บบสัน่ กำรเคล่ือนที่แบบสั่น หรือ การเคลื่อนที่แบบคาบ (Oscillation motion) คือ กำรเคล่ือนท่ีกลบั ไปมำบนเสน้ ทำงเดิมในชว่ งเวลำเท่ำ ๆ กัน ซงึ่ สำมำรถพบเหน็ กำรเคลอ่ื นท่ีแบบนี้ได้มำกมำยรอบ ๆ ตวั เรำเช่น กำรแกว่งของชิงช้ำ กำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำ กำรสั่นของเส้นลวดในเครื่องดนตรีประเภทเครื่องสำย

54 แรงและกำรเคล่ือนที่ กำรสั่นของหนังกลอง กำรชักเข้ำออกของลูกสูบในเคร่ืองยนต์ กำรลอยขึ้นลงของเรือในทะเลตำมกระแสคลื่น ฯลฯ นอกจำกน้ีลักษณะกำรเคลื่อนที่แบบคล่ืน ไม่ว่ำจะเป็นคล่ืนน้ำ คลื่นในเส้นเชือก คลื่นเสียง หรือคลื่น แมเ่ หลก็ ไฟฟ้ำกจ็ ดั เป็นกำรเคลื่อนที่แบบคำบเช่นกนั ซ่ึงรำยละเอียดของคลน่ื นนั้ จะขอกล่ำวถึงในบทที่ 6 กำรเคลื่อนท่ีแบบสั่นที่พบเห็นกันในชีวิตประจำวันนั้นมีอยู่หลำยมีตัวแปรที่ส่งผลให้กำรพิจำรณำ เป็นไปไดย้ ำก สำหรบั ในบทเรียนนจี้ ะขอกล่ำวถึงเฉพำะกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนทีแ่ บบสัน่ ในกรณที ีง่ ่ำยท่ีสุด คือ การเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic motion) ซ่ึงเป็นกำรเคล่ือนท่ีแบบเป็นคำบท่ีมี แอมปลิจูด ( A) และควำมถีเ่ ชงิ มมุ คงที่ ( ) เพ่ือเป็นตวั อยำ่ งต่อกำรนำไปศึกษำต่อไปเท่ำนั้น ตัวอย่ำงกำรเคล่ือนท่ีแบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำยท่ีพบเห็นได้ ยกตัวอย่ำงเช่นกำรแกว่งของลูกตุ้ม นำฬิกำอย่ำงงำ่ ย ซึ่งเรำพบวำ่ หำกเรำปลอ่ ยให้ลูกตุ้มน้นั อยู่น่ิง ลูกตุม้ จะวำงตัวอยใู่ นตำแหน่ง O ดังรูปท่ี 2.10 แต่เมื่อเรำดึงลูกตุ้มข้ึนมำในตำแหน่ง A และปล่อย ลูกตุ้มนั้นจะถูกแรง mg sin  ดึงให้เคล่ือนท่ีกลับมำยัง ตำแหนง่ O อีกคร้ังและเลยไปอกี ด้ำนจนถึงตำแหนง่ –A กอ่ นจะเคลื่อนทกี่ ลับตำมเส้นทำงเดิมซำ้ ไปซำ้ มำแบบ นี้ไปเร่ือยๆ เรำเรียกตำแหน่ง O ว่ำตำแหน่งสมดุล ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ลูกตุ้มจะวำงตัวอยู่น่ิงเม่ือไม่มีแรงใดมำ กระทำ และเป็นตำแหน่งที่ลูกตุ้มจะเคล่ือนท่ีผ่ำนไปมำซ้ำไปเร่ือยๆก่อนจะหยุดน่ิงอีกคร้ังท่ีตำแหน่งนี้ ส่วน ตำแหน่ง A และ –A น้ัน เรำนิยำมขนำดของปริมำณกระจัดจำกตำแหน่ง O ไปยังตำแหน่ง A และ –A ว่ำเป็น ปริมำณกระจัดมำกที่สุดของกำรเคล่ือนที่แบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำย หรือท่ีเรียกว่ำ แอมปลิจูดของกำรสั่น ( A) นอกจำกน้ียังมีปรมิ ำณท่สี ำคัญตอ่ กำรพิจำรณำกำรเคลื่อนที่อีก เช่น คำบ (T ) และ ควำมถ่ี ( f )O-A A Oรูปที่ 2.10 ลูกตมุ้ นำฬกิ ำอยำ่ งง่ำย เงื่อนไขสำคัญสำหรับกำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำยก็คือ มุม  ในกำรแกว่งจะต้องมีค่ำน้อย ๆ เพื่อให้ค่ำ sin    ในหน่วย rad โดยพบว่ำคำบกำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำยจะมีค่ำดังสมกำรT  2 l (2.30) gเมอ่ื T คอื คำบกำรแกวง่ ของลูกตุ้ม (period) ในหนว่ ย s l คือ ควำมยำวเชอื กของลกู ตมุ้ (length) ในหน่วย m g คอื ควำมเรง่ โน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2

กำรเคลอ่ื นที่แบบตำ่ ง ๆ 55 จำกสมกำร (2.30) เรำพบว่ำคำบกำรแกว่งมีค่ำข้ึนอยกู่ บั ควำมยำวเชอื กของลูกตุม้ และค่ำควำมเร่งโนม้ ถว่ งของโลก นั่นหมำยควำมวำ่ กำรเปล่ยี นแปลงควำมยำวของเชอื กมีผลต่อคำบกำรแกว่งน่ันเอง ซ่ึงเรำอำจสังเกตได้จำกกำรผูกชิงช้ำ ย่งิ เรำผูกชิงช้ำกับก่ิงไม้ที่สูง เรำจะพบวำ่ ชิงช้ำน้ันใช้เวลำในกำรแกว่งแตล่ ะรอบมำกขนึ้ และหำกเรำปรบั ควำมยำวเชอื กของลูกตุ้มจนไดค้ ่ำท่ีเหมำะสม เรำสำมำรถนำลกู ตุ้มน้ันมำใชใ้ นกำรจบั เวลำอย่ำงง่ำยได้ นอกจำกนี้จำกกำรทดลองเร่ืองลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำย เรำสำมำรถนำผลกำรทดลองที่ได้จำกกำรปรับค่ำควำมยำวเชือกของลูกตุ้มและจับเวลำในกำรเคลื่อนที่แต่ละรอบ มำเขียนเป็นกรำฟเพ่ือนำไปหำค่ำควำมเร่งโนม้ ถ่วงของโลกได้ลองทำดูนักศึกษำลองนำเชอื กมำผูกกับก้อนหินโดยปรบั ควำมยำวของเชือกเป็น 20, 30, 40, 50 cm ฯลฯ จบั เวลำทใ่ี ชใ้ นกำรแกวง่ 10 รอบเพ่อื นำมำหำคำ่ คำบกำรแกวง่ ของควำมยำวเชือกแตล่ ะคำ่ ทำกำรทดลองซ้ำอยำ่ งน้อยค่ำละ 3 คร้ังเพื่อหำค่ำเฉล่ีย แล้วนำตัวเลขท่ีได้มำเขียนกรำฟระหว่ำงควำมยำวเชือกและคำบกำรแกว่ง จำกนนั้ พิจำรณำควำมสัมพันธจ์ ำกกรำฟเพื่อหำค่ำควำมเร่งโนม้ ถ่วงตำมสมกำร (2.30)ตัวอยำ่ งท่ี 2.26 มินตรำต้องกำรผกู เชือกเพ่อื ทำชิงช้ำไมท้ ่ีหนำ้ บำ้ น โดยต้นไม้มกี ิ่งไม้ท่ีสำมำรถผกู ชงิ ชำ้ ไดอ้ ยู่ 2กิ่ง คือ ก่ิงที่มีควำมสูง 4 เมตร และ ก่ิงทม่ี ีควำมสูง 8 เมตร หำกมินตรำต้องกำรให้กำรแกว่งแต่ละรอบใช้เวลำประมำณ 4 s อยำกทรำบว่ำมินตรำสำมำรถผูกชิงชำ้ ไมท้ ี่หน้ำบำ้ นได้หรือไม่ และถำ้ ไดค้ วรจะผกู ทีก่ งิ่ ไหนวิธีทำ จำกโจทย์คำบกำรแกว่งคือ 4 s (T = 4 s) ภำยใต้ควำมเรง่ โนม้ ถ่วง ( g = 9.8 m/s2) และถำมหำควำมยำวเชือก ( l ) สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร T , g และต้องกำรหำคำ่ l จึงเลือกใช้สมกำร (2.30)จำก T= 2 l gแทนค่ำ 4 = 2 l 9.8จะได้ควำมยำวเชือก l = 3.98 mดังนนั้ มินตรำสำมำรถผกู ชิงช้ำไม้ท่ีกงิ่ ที่มคี วำมสงู 4 เมตรได้ ตอบ

56 แรงและกำรเคลื่อนที่ สรุปแนวคิดประจำบทที่ 2 แรงเป็นปริมำณเวกเตอร์ซึ่งเกิดขึ้นจำกกำรดึงหรือผลักวัตถุ มหี น่วย SI คือ นิวตนั (N) ในกำรพจิ ำรณำแรง จำเปน็ ตอ้ งสนใจท้ังขนำดและทิศทำงของแรง มวลเปน็ ปริมำณทวี่ ดั สมบตั คิ วำมเฉอ่ื ยของวัตถุ ในขณะทน่ี ้ำหนักเปน็ แรงโน้มถ่วงทโ่ี ลกกระทำต่อวัตถุ w  mg กฎกำรเคล่ือนท่ีข้อท่ี 1 กล่ำวว่ำ เมื่อไม่มีแรงมำกระทำต่อวัตถุ หรือ แรงสุทธิท่ีกระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์วัตถุจะอยู่ในสมดุล หรือก็คือ หำกเดิมวัตถุหยุดน่ิงก็จะหยุดน่ิงต่อไป แต่หำกวัตถุกำลังเคลื่อนท่ีก็จะเคลื่อนท่ีตอ่ ไปด้วยควำมเร็วคงที่  F   0 กฎกำรเคลอ่ื นทข่ี ้อท่ี 2 กล่ำววำ่ เมอ่ื มแี รงสทุ ธFกิระทำตอ่ mวaตัถจุ ะสง่ ผลให้วัตถนุ ้ันเคลอื่ นท่ีด้วยควำมเร่ง กฎกำรเคลื่อนทข่ี ้อที่ 3 กล่ำววำ่ แรงกระทำใดเมื่อเกดิ ขนึ้ แลว้ จะมแี รงปฏิกิริยำโต้ตอบขนำดเท่ำกันแต่มีทิศทำงตรงขำ้ มเกิดข้ึนเสมอ เรยี กวำ่ แรงคูก่ ริ ยิ ำ-ปฏิกิริยำ ระยะทำงเป็นปริมำณสเกลำร์ คือ ควำมยำวตลอดเส้นทำงที่มีกำรเคลื่อนที่ ในขณะที่กำรกระจัดซึ่งเป็นปริมำณเวกเตอร์ คือ ควำมยำวที่วัดจำกจุดเริ่มต้นไปยังจุดสุดท้ำยเท่ำนั้นโดยไม่สนใจเส้นทำงกำรเคล่ือนท่ี ควำมเร็วเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลำหนึ่ง และ ควำมเรว็ ท่เี วลำใด ๆ มีนิยำมว่ำ s s2  s1 vt  ds   t  t2  t1 และ vav dt ควำมเร่งเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลำหนึ่ง และ ควำมเร่งทเี่ วลำใด ๆ มีนิยำมว่ำ v v2  v1 at  dv   t  t2  t1 และ aav dt พิจำรณำกำรเคลื่อนที่ใน 1 มิติ เมื่อควำมเร่งมีค่ำคงตัวแปรท่ีสำคัญต่อกำรพิจำรณำนั้นมีอยู่ 5 ตัวคอื ระยะทำงหรือกำรกระจดั ( s ) อตั รำเรว็ หรือควำมเรว็ ในตอนทเ่ี รม่ิ พจิ ำรณำ (u ) อตั รำเร็วหรือควำมเร็วในตอนทำ้ ย (v ) ควำมเร่ง ( a ) และเวลำ (t ) โดยมีสมกำรกำรเคลือ่ นที่ดงั นี้ v  u  at s  (u  v) t 2 s  ut  1 at2 2 v2  u2  2as ส่วนกำรตกอย่ำงอิสระในแนวดิ่งที่ควำมเร่งคงตัว ขนำดของควำมเร่งเนื่องจำกแรงโน้มถ่วงคือ g โดยสำมำรถใช้สมกำรกำรเคลือ่ นที่ได้เช่นเดียวกับกำรเคลอ่ื นที่ใน 1 มิติ เพียงแค่แทนค่ำตัวแปรจำก a ดว้ ย g = -9.8 m/s2 ในกำรเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ ซึ่งเป็นกำรเคลื่อนที่ใน 2 มิติ และมีวิถีกำรเคลื่อนที่เป็นเส้น โค้งพำรำโบลำ โดยพิจำรณำแกน x ว่ำเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วคงที่ ในขณะที่แกน y เคลื่อนที่

กำรเคล่ือนทีแ่ บบต่ำง ๆ 57ด้วยควำมเร่งโน้มถ่วง g มีตัวแปรท่ีใชร้ ่วมกนั คอื เวลำ t (เวลำท่ีใช้ในกำรพจิ ำรณำแนวรำบและแนวดิ่งมีค่ำเท่ำกัน) นอกจำกน้ีเวลำที่ใช้ในกำรเคล่ือนท่ีจำกจุดเร่ิมต้นถึงจุดสูงสุดจะเท่ำกับเวลำจำกจุดสูงสุดลง มำถึงท่ีระดับเดียวกับจุดเริ่มต้น และท่ีระดับควำมสูงเดียวกันท้ังขำขึ้นและขำลงจะมีขนำดของควำมเร็ว เท่ำกันตำ่ งกนั แคเ่ พยี งทิศเทำ่ นน้ั เมื่ออนุภำคเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ ทิศทำงของควำมเร่งมีทิศเข้ำสู่ศูนย์กลำง เรียกว่ำ ควำมเร่งเขำ้ สู่ศูนยก์ ลำง โดยแรงทที่ ำใหเ้ กดิ กำรเคลอ่ื นท่แี บบวงกลมนี้คือ แรงสูศ่ นู ยก์ ลำง ซงึ่ มคี ำ่ ดังสมกำร ac  v2 และ   mac  m v2 r Fc rและเพอ่ื ให้กำรวิเครำะห์กำรเคล่ือนท่ีครอบคลมุ ตัวแปรท่ีหลำกหลำย ยังมีปริมำณที่สำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคลื่อนท่แี บบวงกลมอีกสองปรมิ ำณ นัน่ ก็คือ คำบและควำมถ่ี ซง่ึ มคี วำมสมั พนั ธ์กนั ดังสมกำร f 1 Tดงั นัน้ จะได้สมกำรสำหรบั พิจำรณำกำรเคล่อื นท่แี บบวงกลมเพ่ิมเตมิ คือ 4 2rv  s  2r  2rf และ ac  T2  4 2rf 2 tT ในกำรพจิ ำรณำกำรเคลอ่ื นทีแ่ บบหมุน ตำแหน่งท่ีแรงกระทำมีบทบำทสำคญั อยำ่ งมำกต่อกำรหมุน แรงบดิหรอื ทอร์ก มคี ่ำดงั สมกำร  r  และ   rF sin  F  ในขณะท่ีโมเมนต์ควำมเฉ่ือย ซง่ึ เปน็ สมบัติที่ต้ำนกำรเปลย่ี นสภำพกำรหมนุ มีค่ำดังสมกำร  mr 2 I  วัตถุที่มีมวลมำกและวัตถุที่มีขนำดใหญ่ (รัศมีกำรหมุนมำก) จะหมุนได้ยำกกว่ำ เน่ืองจำกมีควำมเฉื่อยใน กำรหมนุ มำก กำรเคลื่อนที่แบบแกว่ง หรือ กำรเคล่ือนที่แบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำยเช่น กำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำย มีเงื่อนไขสำคัญก็คือ มุม  ในกำรแกว่งจะต้องมีค่ำน้อย ๆ เพื่อให้ค่ำ sin    ในหน่วย rad โดยพบวำ่ คำบกำรแกวง่ ของลกู ต้มุ นำฬกิ ำอย่ำงง่ำยจะมีคำ่ ดังสมกำร T  2 l g

58 แรงและกำรเคลื่อนที่ คำถำม Q2.1 หำกเรำกำลังยืนอยู่นิ่งโดยไม่สัมผัสส่ิงใดบนรถโดยสำรท่ีหยุดน่ิง ทันทีที่รถออกวิ่ง เรำจะหงำยไปทำง ด้ำนหลงั เหตุใดจึงเปน็ เช่นนนั้ จงอธบิ ำย Q2.2 ในขณะท่ีเรำกำลังเดินทำงโดยรถไฟฟ้ำใต้ดินซึ่งว่ิงด้วยควำมเร็ว 80 km/h แล้วเผลอหลับไป เมื่อตื่น ข้ึนมำอีกครงั้ เรำจะทรำบหรอื ไมว่ ่ำรถกำลงั วิง่ อยหู่ รือไม่หำกไม่สงั เกตออกไปนอกรถ จงอธิบำย Q2.3 ในกำรดันกล่องใบหน่ึงขึ้นพื้นเอียง เรำใช้แรงในกำรดันมำกหรือน้อยกว่ำเม่ือเทียบกับกำรดันกล่องใบ เดยี วกนั นีบ้ นพ้ืนรำบในแนวระดบั Q2.4 ลังหนังสือวำงน่ิงบนพ้ืนระดับท่ีมีควำมฝืด เมื่อเปรียบเทียบแรงท่ีใช้ในกำรดึงลังในทิศทำมุม  กับ แนวระดบั กบั แรงทใ่ี ช้ในกำรดันลังด้วยมุมเดียวกนั แบบใดใช้แรงนอ้ ยกวำ่ จงอธิบำย Q2.5 ขอ้ ควำมทวี่ ่ำ “วตั ถุท่ีอยใู่ นสภำวะหยดุ นิ่ง แสดงวำ่ ไมม่ แี รงใดมำกระทำ” ถูกหรือผดิ เพรำะเหตใุ ด Q2.6 จงยกตวั อยำ่ งกำรทดลองท่แี สดงใหเ้ หน็ ว่ำ กฎข้อที่ 1 ของนิวตนั เปน็ จริง Q2.7 เด็กหญิงคนหน่ึงอยู่ในลิฟต์ท่ีกำลังเคล่ือนที่ ในมือถือของเล่นไว้ ถ้ำเด็กหญิงปล่อยมือจำกของเล่นแต่ ของเลน่ ไม่ตกลงบนพ้ืน จงสรปุ กำรเคลอื่ นที่ของลฟิ ตว์ ่ำเปน็ อยำ่ งไร Q2.8 จงยกตวั อยำ่ งวัตถทุ ่ีมคี วำมเรว็ เป็นศนู ยแ์ ตค่ วำมเร่งไม่เป็นศูนย์ Q2.9 คนขับรถกระบะคันหนึ่งถูกส่งตัวขึ้นศำลในข้อหำขับรถเร็วเกินกว่ำที่กฎหมำยกำหนด โดยมีพยำนคือ ตำรวจซึ่งสังเกตเห็นรถกระบะขับมำคู่กับรถเก๋งซ่ึงได้ตรวจวัดแล้วว่ำขับรถเร็วเกินกำหนดจริง แต่ คนขับรถกระบะค้ำนว่ำ “รถเก๋งทแี่ ล่นอยู่ผ่ำนผมไป ผมไม่ได้ขับรถเร็วเกินกำหนด” ผู้พิพำกษำเห็นว่ำ ถ้ำรถทั้งสองคันอยู่ข้ำงกันแสดงว่ำคนขับทั้งสองขับรถเร็วเกินกำหนด หำกเรำเป็นทนำยจะแก้ต่ำงให้ คนขบั รถกระบะอย่ำงไร Q2.10 ในกำรยงิ ปืนยำวไปยังเปำ้ ทอ่ี ยู่ไกลออกไป ลำกล้องปืนต้องไม่วำงตัวในแนวระดบั แต่ต้องเผ่อื มุมไว้ เหตุ ใดจงึ เป็นเชน่ นน้ั Q2.11 ในขณะเดียวกับที่เรำยิงปืนออกไปในแนวระดับ ก็ปล่อยลูกปืนอีกลูกจำกระดับควำมสูงเดียวกับลำ กลอ้ งปืน ถ้ำไมม่ แี รงต้ำนอำกำศ ลกู ปนื นดั ใจตกกระทบพนื้ ก่อน จงอธิบำย แบบฝึกหัด 2.1 สุนัขสองตัวถูกผูกเชือกไว้กับเสำ เชือกทั้งสองเส้นทำมุมกัน 65 องศำ หำกสุนัข A ออกแรงดึง 200 N ในขณะท่ีสุนัข B ออกแรงดึง 170 N จงหำแรงลัพธ์ และทิศทำงของแรงลัพธ์ว่ำทำมุมเท่ำใดกับเชือกของ สนุ ัข A 2.2 วัตถุก้อนหน่ึงไถลลงมำตำมพ้ืนเอียงซึ่งทำมุม 25 องศำกับแนวระดับ ที่ไม่มีควำมเสียดทำน วัตถุจะ เคลอ่ื นท่ีลงมำด้วยควำมเร่งเท่ำใด 2.3 จงหำแรงตึงเชือกท่ีทำมุม 37 องศำกับแนวระดับซึ่งพอดีลำกวัตถุหนัก 25 N ไปทำงขวำบนพ้ืนรำบด้วย อัตรำเร็วคงตวั แรงปฏิกริ ิยำตั้งฉำกมคี ่ำเทำ่ ใด กำหนด  = 0.2

กำรเคลือ่ นทแ่ี บบต่ำง ๆ 592.4 กระสอบวำงอยู่บนพ้ืนเอียง เมื่อปรับมุมเอียงจนกระท่ังกระสอบเล่ือนไถลลงมำเองตำมพื้นเอียงด้วย อตั รำเร็วคงตวั จงหำมมุ ของพน้ื เอียง กำหนดสัมประสทิ ธคิ วำมเสยี ดทำน 0.352.5 ออกแรง 15N ฉดุ ลำกกลอ่ งในทศิ ทำมมุ 60 องศำกับแนวระดับ ปรำกฎว่ำกล่องเคล่ือนทดี่ ้วยควำมเร็วคงท่ี ไปบนพน้ื รำบ ถำ้  = 0.45 กล่องใบนห้ี นักเทำ่ ไร2.6 ขนตู้เส้ือผ้ำหนัก 300 N ลงจำกท้ำยรถบรรทุกโดยใช้พ้ืนเอียงยำว 2.8 m สูง 1.2 m ถ้ำ  = 0.3 ถำมว่ำ ต้องออกแรงดงึ ข้นึ หรอื ดงึ ลงต้จู งึ เคลื่อนท่ดี ว้ ยอัตรำเร็วคงตวั และตอ้ งใชแ้ รงขนำนกบั พืน้ เอยี งขนำดเท่ำใด2.7 หญิงมวล 48 kg ยนื อยบู่ นตำชั่งในลิฟต์ จงหำว่ำตำช่งั จะอ่ำนคำ่ น้ำหนักเทำ่ ใดเม่อื ก) ลฟิ ต์หยดุ น่งิ ข) ลฟิ ตเ์ คลอ่ื นทข่ี ้นึ ด้วยควำมเร่ง 1.5 m/s2 ค) ลิฟต์เคลื่อนท่ลี งดว้ ยควำมเรง่ 1.5 m/s22.8 นักแสดงหนุ่มนำยหน่ึงขับรถด้วยควำมเร็ว 100 km/hr เพื่อรีบไปกองถ่ำย ในขณะท่ีเขำขับรถอยู่นั้นเขำ มองเห็นส่ิงกีดขวำงอยู่ข้ำงหน้ำในระยะ 150 m ถำมว่ำเขำจะต้องเหยียบเบรกให้ได้ควำมเร่งเท่ำไหร่จึงจะ หยุดรถหน้ำส่งิ กดี ขวำงพอดี และนกั แสดงหนุ่มผู้นน้ั จะใชเ้ วลำนบั ตง้ั แตเ่ ริ่มเบรกจนรถหยุด เป็นเวลำเทำ่ ใด2.9 รถคนั หนง่ึ เริม่ เคลอ่ื นทีจ่ ำกหยดุ นิ่งดว้ ยควำมเร่ง 2 m/s2 เปน็ เวลำ 4 s จงหำควำมเร็วปลำย2.10 ปลอ่ ยกอ้ นหนิ ก้อนหน่ึงลงมำจำกหนำ้ ผำสูง กอ้ นหินตกถึงพื้นใชเ้ วลำ 20 s จงหำว่ำหนำ้ ผำสงู เทำ่ ใด2.11 โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวด่ิงจำกยอดตึกแห่งหนึ่งซึ่งสูง 45 m ด้วยควำมเร็ว 10 m/s จงหำว่ำก้อนหินจะ ขึน้ ไปได้สูงสดุ เทำ่ ใด และจะตกถงึ พ้ืนด้วยควำมเร็วเท่ำใด2.12 ชำยคนหน่ึงออกแรงดันตเู้ ยน็ ขึ้นจำกพืน้ เอยี งมมุ 25 องศำ ด้วยควำมเร็วคงตัว หำกตู้เย็นมมี วล 90 kg จง หำขนำดของแรงดนั ในแนวขนำนกบั พน้ื เอยี ง2.13 รถยนต์คันหนงึ่ มมี วล 2100 kg วิง่ ดว้ ยควำมเร็ว 90 km/h แล้วเบรกกระทนหนั ปรำกฎวำ่ รถไถลไประยะ หนึ่ง ถำ้ สมั ประสทิ ธคิ วำมเสียดทำนระหวำ่ งถนนและลอ้ คือ 0.65 จงหำ ก) แรงเสียดทำนระหว่ำงรถกับถนน ข) ควำมหน่วงของลอ้ ค) ระยะทำงทรี่ ถไกลไปก่อนหยุด2.14 ออกแรงผลักลังสินค้ำใบหนึ่งด้วยแรง 120 N ไปบนพื้นซึ่งมีแรงเสียดทำน 25 N ปรำกฎว่ำลังสินค้ำ เคลอ่ื นที่ไปได้ 5m ในเวลำ 11 s จงหำ ก) ลงั สินคำ้ มวลเทำ่ ใด ข) ถ้ำที่เวลำ 11s หยุดออกแรงผลักลังสินค้ำ ลังสินค้ำจะเคล่ือนที่ไปได้อีกระยะทำงเท่ำใดในอีก 5 s ตอ่ มำ2.15 ป้ำสมหวังดันลังผลไม้มวล 50 kg ไปบนพ้ืนระดับควำมอัตรำเร็วคงตัว 3m/s ถ้ำสัมประสิทธ์ิควำมเสียด ทำนระหว่ำงกลอ่ งและพื้นมีคำ่ 0.2 ป้ำสมหวงั ต้องออกแรงเท่ำใด และหำกป้ำหยุดออกแรงดันลังจะไถลไป ได้อกี ไกลเท่ำใดกอ่ นหยุด

60 แรงและกำรเคล่ือนท่ี 2.16 ในระหว่ำงกำรรบ เคร่ืองบินรบกำลังบินในแนวระดับด้วยควำมเร็ว 55m/s ท้ิงระเบิดลงมำเม่ือบินอยู่ เหนือเป้ำหมำยจำกควำมสูง 350 m หำกไม่คิดแรงต้ำนอำกำศ ลูกระเบิดจะตกถึงพื้นในเวลำเท่ำใด และ ลูกระเบดิ ตกห่ำงจำกตำแหนง่ เปำ้ หมำยไปเปน็ ระยะทำงเท่ำใดในแนวรำบ 2.17 ในกำรช่วยเหลือผู้ประสบภัยจำกเหตุกำรแผ่นดินไหวซึ่งถนนถูกตัดขำด เฮลิคอปเตอร์ต้องบินเข้ำไปเพ่ือ แจกจำ่ ยเสบียงในกำรยังชีพ หำกเฮลคิ อปเตอรบ์ ินด้วยควำมเร็ว 65 km/h ท่ีระดบั ควำมสูง 300 m นกั บิน ควรจะปลอ่ ยเสบียงทร่ี ะยะห่ำงเทำ่ ใดจำกเปำ้ หมำยในแนวระดบั 2.18 นักบำสเก็ตบอลยงิ ลูกออกไปท่ีระดับควำมสูง 1.8 m ด้วยมมุ 30 องศำกับแนวระดับที่ระยะห่ำงจำกแป้น 4.5 m หำกแป้นมีควำมสูง 3.05 m เขำต้องยิงลูกบำสออกไปด้วยควำมเร็วเทำ่ ใดจงึ จะลงหว่ งพอดี 2.19 รถจักรยำนยนต์และคนขบั มีมวลรวมกัน 170kg ถ้ำขบั ข่ีด้วยอัตรำเร็ว 40 km/h เลี้ยวโค้งบนถนนรำบซึ่ง รัศมคี วำมโค้ง 30 m แรงเสยี ดทำนด้ำนขำ้ งลอ้ ทท่ี ำให้รถเลย้ี วโค้งได้เปน็ เทำ่ ใด 2.20 นักข่ีมอเตอร์ไซค์ไต่ถังมีมวลรวมกับรถเป็น 155 kg ถังมีรัศมี 6m หำกสัมประสิทธิควำมเสียดทำนเป็น 0.4 จงหำวำ่ เขำต้องขี่ดว้ ยอัตรำเร็วเท่ำใดจงึ ไตถ่ งั ได้ 2.21 จำกตัวอย่ำงท่ี 2.24 หำกต้องกำรออกแบบทำงโค้งรัศมีควำมโค้ง 250 mโดยกำรยกพื้นด้ำนนอกโค้งให้ เอียงเพื่อป้องกันกำรไถลแหกโค้งกรณีท่ีเกิดฝนตกหรือถนนล่ืน (ไม่คิดแรงเสียดทำน) ควรจะยกทำงโค้งให้ เอียงเป็นมมุ เทำ่ ใดสำหรบั ก) รถที่ควำมเร็วปกตติ ำมควำมเรว็ ทกี่ ฎหมำยกำหนด ที่ 90 km/h ข) รถแข่งในสนำมแข่งทค่ี วำมเรว็ 160 km/h 2.22 ในกำรกระโดดข้ึนตบลกู วอลเลย์บอลแต่ละครั้ง นักกีฬำจะต้องกระโดดขึ้นในแนวด่ิงสงู 0.7 m ถ้ำนักกีฬำ คนน้มี ีนำ้ หนัก 600 N และช่วงเวลำกำรกระโดดคอื 0.3 s แรงเฉล่ยี ทน่ี กั กฬี ำกระทำต่อพนื้ มีค่ำเทำ่ ใด

บทท่ี 3งำนและพลังงำนสำหรับกำรแก้ปัญหำบำงข้อนั้นกำรใช้ทฤษฎีเรื่องแรงและกำรเคล่ือนท่ีจำกบทท่ีผ่ำนมำอำจไม่เพียงพอในกำรแก้ปัญหำ กำรจะหำอัตรำเร็วของจอบที่ถูกเงื้อข้ึนก่อนจะกระทบพ้ืนดินอำจเป็นเร่ืองที่ยำกเนื่องจำกแรงท่ีใช้เป็นแรงไม่คงที่และกำรเคล่ือนท่นี เ้ี กดิ ขึ้นในหลำยมติ ิในบทน้ีจะนำเสนอกำรประยุกต์แนวควำมคิดเก่ียวกับงำนและพลังงำนในกำรแก้ปัญหำโจทย์ท่ีมีควำมซับซ้อนมำกขึ้น โดยยดึ หลักของ กฎการอนุรักษ์พลังงาน ทเี่ ช่ือว่ำพลังงำนสำมำรถเปล่ียนรูปจำกรูปหนึ่งไปเป็นอีกรูปหน่ึงได้โดยไม่มีกำรสูญหำยของพลังงำน และไม่สำมำรถสร้ำงขึ้นใหม่หรือสูญสลำยไปได้ เช่น ในเครื่องยนต์พลังงำนเคมีบำงส่วนถูกเปล่ียนให้เป็นพลังงำนท่ีใช้ในกำรเคลื่อนที่ของรถและบำงส่วนเปลยี่ นไปเป็นควำมร้อนในห้องเคร่ือง กำรท่ีดวงอำทติ ย์ปลดปล่อยพลังงำนออกมำในรูปของแสงและควำมร้อน พืชสงั เครำะห์แสงและเก็บสะสมพลังงำนในรูปของแป้ง มนุษย์และสัตว์รับประทำนพืชเข้ำไปและย่อยสลำยแป้งเพ่ือเป็นแหล่งพลังงำนในกำรดำรงชีวิตและทำกิจกรรมต่ำง ๆ นอกจำกนี้กำรเปล่ียนรูปของพลังงำนยังเป็นสำเหตุสำคัญของปรำกฏกำรณต์ ่ำง ๆ เช่น กำรเกิดลมและฝน หรอื กำรเปล่ยี นแปลงสภำวะอำกำศตำ่ ง ๆ3.1 งำนและกำลัง3.1.1 งำนในฟิสิกส์งำนมีนิยำมที่แตกต่ำงไปจำกควำมเข้ำใจทั่วไป เรำอำจคิดว่ำกำรทำงำนบ้ำน กำรนั่งทำเอกสำร กำรเดนิ เสิร์ฟอำหำร หรือกำรขนทรำยเข้ำวัดเป็นงำน แต่ในเชิงฟิสิกส์กิจกรรมบำงอยำ่ งอำจไม่เรยี กว่ำงำน นยิ ำมงำนของนักฟสิ ิกสน์ นั้ มำจำกกำรสงั เกตควำมสัมพันธ์ของแรงและกำรเคลือ่ นที่ ยกตัวอยำ่ งเชน่ กำรท่ีเรำออกแรงผลักลังผลไม้ให้เคลื่อนที่ เม่ือออกแรงมำกข้ึน ลังผลไม้ก็จะไปได้ระยะทำงไกลมำกขึ้น ดังนั้นเมื่อพิจำรณำกำรเคล่ือนที่ของวัตถุ จำกรูปท่ี 3.1 มีแรงคงตัวขนำด F ทำต่อวัตถุส่งผลให้วัตถุน้ันเคล่ือนท่ีไปได้กำรกระจัดขนำด s จะได้งำนดังสมกำร (สำหรับกำรพิจำรณำจะสมมติให้วัตถุเป็นอนุภำคเพื่อไม่ต้องคำนึงถึงกำรหมุนหรือกำรเปลี่ยนรปู รำ่ งของวตั ถ)ุ W Fs (3.1)เมอื่ W คือ งำน (Work) ในหน่วย J F คอื แรง (Force) ในหน่วย N s คอื กำรกระจัดตำมแนวแรง (displacement) ในหนว่ ย m หน่วย SI ของงำน คือ จูล (ย่อว่ำ J เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชำวอังกฤษเจมส์ จูล JamesPrescott Joule ผู้ค้นพบหลักกำรคงตัวของพลังงำน) จำกสมกำร (3.1) จะเห็นได้ว่ำหน่วยของงำนคือหน่วยของแรงคูณกบั หนว่ ยของระยะทำงดังนั้นหน่งึ จลู จึงมีคำ่ เทำ่ กับหนง่ึ นวิ ตนั -เมตร (N.m) 1 J = 1 N.m

62 งำนและพลงั งำน รปู ที่ 3.1 เม่ือแรงคงตวั  ทำในทศิ เดียวกบั กำรกระจดั s Fข้อควรระวงัอย่ำสับสน W (งำน หน่วยจลู ) กบั w (น้ำหนกั หนว่ ยนวิ ตัน) แม้วำ่ สัญลกั ษณจ์ ะคล้ำยกันแตท่ ้ังสองเปน็ปรมิ ำณท่ตี ำ่ งกนัตวั อย่ำงท่ี 3.1 ชำยผู้หน่ึงออกแรงผลักวัตถุช้ินหนง่ึ ด้วยแรง 150 N ทำให้วัตถุเคล่ือนท่ีไปในแนวเดียวกับทิศท่ีแรงกระทำเป็นระยะทำง 10 m งำนท่ีเกดิ ข้นึ มีค่ำเท่ำไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้แรงผลกั คือ 150 N ( F = 150 N) ระยะทำง 10 m ( s = 10 m) และถำมหำงำน (W )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตวั แปร F , s และต้องกำรหำค่ำ W จงึ เลือกใช้สมกำร (3.1)จำก W = F sแทนคำ่ W = 150 10  1500 Jดงั นั้นงำนทีเ่ กดิ ขน้ึ มีค่ำ 1500 J ตอบ3อเน.ง2ื่คอ์ปงเรจรำะำจกกะอเพรบำิจขจสำอำนรกงณตใจFัวำเอเฉใฉยนพพ่ำทำงำศิ ะทะขงแี่ อ3ำรง.นง1กใทำนห่ีชรทำกำกิศรยแะกผรจำู้นงัดรน้ีทเเทั้นคำ่ำกลนดรื่อ้นัะังนทดนทงัำั้นี่ขสตเอมอ่มงกวื่อวตัำแัตรถรถใุ งนุเททF่ำศินทแ้ันำลงะท( กFำำมcรมุ oกsระ)จกัแดับมก้จsำระมกยีทรังะิศมจีตแัด่รำขงงอใกนงันวทัติศเถรอุดำ่ืนงัจรดะปู้วใทชย้ี่ W  F s cos (3.2) เม่อื W คอื งำน (Work) ในหนว่ ย J F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คือ กำรกระจัดตำมแนวแรง (displacement) ในหน่วย m  คอื มมุ ระหว่ำงแรงและกำรกระจัด (angle) ในหน่วย องศำ สมกำร (3.2) อยู่ในรูปของผลคณู สเกลำร์ซงึ่ ได้กลำ่ วไปแล้วในบทท่ี 1 ว่ำ  จึง A  B  AB cosอำจเขียนสมกำร (3.2) ใหก้ ระชบั มำกข้ึนได้ว่ำ  F W   s (3.3)

งำนและกำลัง 63 รูปท่ี 3.2 เม่ือแรงคงตัว  ทำในทศิ ทำมุม  กับกำรกระจดั s F งำนนั้นเป็นปริมำณสเกลำร์ แม้ว่ำจะคำนวณงำนจำกเวกเตอร์สองตัวก็ตำม (แรงและกำรกระจัด)กำรเข้ำใจว่ำงำนเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็เป็นส่ิงสำคัญ งำนจะมีค่ำเป็นบวกเม่ือแรงมีองค์ประกอบในทิศเดียวกันกับกำรกระจัด (มุม  อยู่ระหว่ำงศูนย์และ 900) และงำนจะมีค่ำเป็นลบเมื่อแรงมีองค์ประกอบในทิศตรงข้ำมกับกำรกระจัด (มุม  อยู่ระหว่ำง 900และ 1800) นอกจำกนี้งำนอำจมีค่ำเป็นศูนย์ได้เม่ือแรงมีทิศตั้งฉำกกบั กำรกระจดั (มุม  =900) ในหลำย ๆ สถำนกำรณ์งำนอำจมีคำ่ เป็นศนู ย์หรอื ไม่เกิดงำนได้ เรำอำจคิดวำ่ กำรถือถุงใสอ่ ำหำรท่ีหนักเดินกลับบ้ำนเป็นงำนท่ีหนัก แต่ในทำงฟิสิกส์แล้วกิจกรรมน้ีไม่ถือว่ำเกิดงำนเน่ืองจำกทิศของแรงตั้งฉำกกบั กำรเคล่อื นที่คิดซกั นดิ 8ยงั มีกจิ กรรมอะไรอีกบ้ำงท่ีในทำงฟสิ ิกสถ์ ือว่ำไม่เกดิ งำนตัวอย่ำงท่ี 3.2 พ่อลำกเล่ือนไปตำมพื้นเป็นระยะทำง 10 m ด้วยแรง 150 N เชือกทำมุม 30o กับแนวระดับงำนทเ่ี ขำทำมีคำ่ เทำ่ ไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดระยะทำง 10 m ( s = 10 m) แรง 150 N ( F = 150 N) มุม 30o ( = 30o)และถำมหำงำน (W )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร F , s ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ W จึงเลอื กใช้สมกำร (3.2)จำก W= F s cosแทนค่ำ W= 150 10  cos30oดงั นนั้ จะได้งำน W = 1299.04 J ตอบจะเหน็ ไดว้ ำ่ เม่ือออกแรงในทิศทำมุมจะได้งำนน้อยกวำ่ กรณีออกแรงขนำนกบั กำรเคลอ่ื นท่ีตวั อย่ำงท่ี 3.3 ออกแรงลำกกล่องมวล 20 kg ไปบนพื้นท่ีมีสัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 โดยออกแรงดึงทำมุม 37 องศำกับแนวระดับ หำกเกิดงำนขึ้น 600 J อยำกทรำบว่ำลำกกล่องใบนี้ไปเป็นระยะทำงเท่ำใดในแนวรำบวธิ ที ำ จำกโจทยก์ ำหนดให้กล่องมมี วล 20 kg ( m = 20 kg) สัมประสิทธิควำมเสยี ดทำน 0.3 (  = 0.3)มมุ 37 องศำกับแนวระดับ ( = 37o) เกดิ งำนข้ึน 600 J (W = 600 J) และถำมหำระยะทำง ( s )จำก ตัวอย่ำงที่ 2.5 หำแรงดึงไว้แลว้ ได้ 60.35 N ( F = 60.35 N)สรปุ ได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร F , W ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ s จึงเลอื กใช้สมกำร (3.2)จำกสมกำร W= F s cos

64 งำนและพลังงำน แทนคำ่ 600 = 60.35  s  cos 37o ดังน้ันจะได้ระยะทำง s = 12.45 m ตอบตัวอย่ำงที่ 3.4 ชำยคนหน่ึงตัดหญ้ำท่ีสนำมหน้ำบ้ำน อยำกทรำบว่ำเขำต้องใช้แรงเท่ำใดในกำรเข็นเคร่ืองตัดหญ้ำ หำกในกำรตัดหญ้ำเขำเผำผลำญพลังงำนไป 200 kcal และ 30% ของพลังงำนน้ีถูกเปล่ียนเป็นงำนในกำรเข็นเคร่ืองตัดหญ้ำเป็นระยะทำง 550 m กำหนดให้แขนเคร่ืองตัดหญ้ำยำว 1.25 m และตำแหน่งท่ีจับอยู่สูงจำกพ้นื 1 mวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ 30% ของกำรเผำผลำญพลังงำน 200 kcal ถูกเปลี่ยนเป็นงำน (W =30 200 103 4.184 J) ระยะทำง 550 m ( s = 550 m) แขนเครื่องตัดหญ้ำยำว 1.2 m และตำแหน่ง100ท่ีจบั อย่สู ูงจำกพื้น 1 m (sin   1 ) และถำมหำแรงทต่ี ้องใช้ ( F ) 1.25 สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร W , s , และตอ้ งกำรหำคำ่ F จงึ เลอื กใช้สมกำร (3.2) จำก W= F s cos แทนค่ำ 30  200 103  4.184 = F  550  cos(sin 1 1 ) 100 = 1.25 ดังน้นั จะได้แรงที่ต้องใช้ F 760.72 N ตอบ สำหรับกรณีที่มีแรงหลำยแรงกระทำต่อวัตถุ กำรใช้สมกำร (3.2) หรือสมกำร (3.3) เพื่อหำงำนท่ีทำโดยแรงแต่ละแรงแยกกันแล้วนำมำหำงำนสุทธิ Wtotal โดยวิธีผลบวกพีชคณิต หรืออำจหำงำนสุทธิโดยกำรหำผลบวกเวกเตอร์ของแรงทั้งหมด (แรงสุทธิ) ก่อนแล้วจึงนำแรงสุทธินี้มำหำงำนสุทธิตำมสมกำร (3.2) หรือสมกำร (3.3) ก็ได้ตัวอย่ำงที่ 3.5 ชำวนำผูกรถแทรกเตอร์เข้ำกับทอ่ นซุงและลำกไปเป็นระยะทำง 30 m ท่อนซุงมีนำ้ หนัก 1500N รถแทรกเตอรอ์ อกแรงคงตัวขนำด 4000 N ในทิศทำมุม 250กบั แนวระดบั มแี รงเสียดทำนขนำด 2500 N จงหำงำนทีท่ ำโดยแรงแตล่ ะแรงและงำนสทุ ธิโดยแรงท้งั หมดวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ระยะทำง 30 m ( s = 30 m) พิจำรณำเฉพำะแรงในแนวกำรเคลื่อนที่ ซ่ึงประกอบด้วย รถแทรกเตอร์ออกแรงคงตวั ขนำด 4000 N ( F = 4000 N) ในทิศทำมุม 250 กับแนวระดบั (= 25o) แรงเสียดทำนขนำด 2500 N ( f = 2500 N) และถำมหำงำนท่ีทำโดยแรงแต่ละแรง (WF ,W f )และงำนสทุ ธโิ ดยแรงทั้งหมด (Wtotal ) สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร s , F , f ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ WF ,W f ,Wtotal จงึ เลือกใชส้ มกำร(3.2) จำก W= F s cos งำนที่ทำด้วยแรงฉดุ ลำก WF = 4000  30  cos 25o = 108,756.93 J ตอบ งำนท่ที ำดว้ ยแรงเสียดทำน Wf = 2500  30  cos180 o =  75,000 J ตอบ

งำนและกำลงั 65ดงั นั้นงำนสทุ ธิมคี ่ำ Wtotal = WF  W f J ตอบหรอื หำจำกแรงสุทธิก่อน  33,756 .93 ตอบดังนน้ั งำนสทุ ธิมีคำ่ =  Fx = (4000  cos 25o )  2500 Wtotal = 1125.23 N =  Fx s = = 1125 .23  30 33756 .93 J จำกท่ีกล่ำวมำเป็นกำรศึกษำงำนเมื่อแรงคงตัวกระทำต่ออนุภำค แต่หำกมีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนภุ ำค กำรแก้ปญั หำนจ้ี ะต้องเขียนสมกำรของงำนในรูปของอนิ ทกิ รัล คอื W s2 (3.4)  F ds s1 ตัวอย่ำงของแรงไม่คงตัวทน่ี ำมำพจิ ำรณำคือกรณีแรงในสปริง (กำรออกแรงดงึ เพื่อยืดสปริง ยิ่งยืดสปริงออกมำกก็ยิ่งต้องใช้แรงมำกข้ึน) พิจำรณำกฎของฮุค ( F  ks) ที่ว่ำควำมยำวท่ียืดออกของสปริง sแปรผันตรงกบั แรงยดื F เม่อื k คอื ค่ำคงตวั ของสปรงิ จะได้ว่ำ Ws  s s  1 ks2 (3.5)  F ds  ks ds 02 0ตวั อย่ำงท่ี 3.6 สปริงอันหนึ่งแขวนอยู่ในแนวดิง่ ในสภำวะสมดุล ต่อมำทำกำรแขวนมวล 6 kg ท่ีปลำยล่ำงของสปรงิ ถำ้ วัดสว่ นยดื ของสปรงิ ได้ 11 cm จงหำงำนทเ่ี กดิ ข้ึนจำก ก) แรงโน้มถว่ งของโลก ข) แรงในสปรงิวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดมวล 6 kg ( m = 6 kg) สว่ นยืดของสปริง 11 cm ( s = 0.11 m)ก) หำงำนทีเ่ กดิ ขึน้ จำกแรงโน้มถ่วงของโลก (Wg )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , s และต้องกำรหำ Wg จงึ เลือกใชส้ มกำร (3.1)จำก Wg = F s  mg sแทนค่ำ Wg = 6  9.8 0.11  6.468 Jข) หำงำนทเ่ี กิดขึ้นจำกแรงในสปริง (Ws )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ จงี แปน m , s และต้องกำรหำคำ่ Ws จึงเลือกใชส้ มกำร (3.1)จำก Ws = 1 k s2หำคำ่ k จำกสมกำร F  ks จะได้ 2 k  F  mg  69.8  534.54 N/m ss 0.11แทนคำ่ Ws = 1 534.54  0.112 = 3.234 J 2ดงั นั้นงำนทีเ่ กดิ ขน้ึ จำกแรงโน้มถว่ ง คอื 6.468 J และงำนที่เกดิ จำกแรงในสปรงิ คือ 3.234 J ตอบ

66 งำนและพลงั งำน 3.1.2 กำลงั จำกนิยำมของงำนในหัวข้อท่ีผ่ำนมำไม่ได้มีกำรกล่ำวถึงเวลำที่ใช้เลย หำกเรำออกแรง 200 N ยกวัตถุหนักขึ้นในแนวดิ่งเป็นระยะ 0.7 m เรำจะทำงำน 140 J ไม่ว่ำจะใช้เวลำยก 5 วินำที 5 นำที หรือ 5ช่ัวโมง แต่บ่อยครั้งเรำมักจำเป็นต้องกำรทรำบด้วยว่ำงำนนั้นใช้เวลำไปแค่ไหน ซึ่งตัวแปรนี้คือ กาลัง ในทำงฟสิ กิ สน์ ยิ ำมกำลังว่ำคือ อตั รำกำรทำงำนตอ่ เวลำ กำลงั เปน็ ปริมำณสเกลำร์เช่นเดยี วกบั งำน เม่ือมีกำรทำงำน W ในระหว่ำงช่วงเวลำ t จะนิยำมให้งำนเฉล่ียท่ีทำต่อหนึ่งหน่วยเวลำหรอื กำลงั เฉล่ยี Pav มคี ่ำดงั สมกำร Pav  W  dW (3.6) t dt หนว่ ย SI ของกำลงั คือ วัตต์ (ตวั ย่อ W ตำมชือ่ ของเจมส์ วัตต์ นักประดษิ ฐ์ชำวองั กฤษ) หน่วยของกำลังคอื ผลหำรของหนว่ ยงำนและเวลำ หนงึ่ วตั ต์คอื หนึ่งจูลต่อวินำที 1 J = 1 N.m ซึ่งโดยท่ัวไปแล้วจะพบเห็นกำรใช้งำนหน่วยของกำลังในรูปของกิโลวัตต์ (1 kW = 1000 W) หรือเมกะวตั ต์ (1 MW = 106 W) นอกจำกน้ยี งั มีหน่วยของกำลงั ทน่ี ิยมใชอ้ กี หนว่ ยหนึง่ คือ กำลังมำ้ (hp) 1 Hp = 746 W วัตต์เป็นหน่วยของกาลังไฟฟ้าที่เรำคุ้นเคยกัน เช่น หลอดไฟขนำด 60 W จะเปล่ียนพลังงำนไฟฟ้ำ 60 J เป็นแสงและควำมร้อนในแต่ละวินำที หรือเตำปิ้งขนมปัง 700W จะเปล่ียนพลังงำน 700 J เป็นพลังงำนควำมร้อนในแต่ละวินำที จงึ มีกำรนำหนว่ ยของกำลังมำนิยำมหนว่ ยใหม่ของงำนไดว้ ่ำ กิโลวตั ต์-ชั่วโมง(kW.h) ซึ่งเป็นหน่วยทำงกำรค้ำของงำนหรือพลังงำนทำงไฟฟ้ำ หน่ึงกิโลวัตต์-ช่ัวโมงคืองำนท่ีทำในหนึ่งช่ัวโมง(3600s) เม่ือกำลงั มคี ่ำ 1 kW (103 J/s) 1 kW.h = (103 J/s)(3600 s) = 3.6x106 J = 3.6 MJข้อควรระวงัหนว่ ยกโิ ลวตั ต์-ช่วั โมงเปน็ หนว่ ยของงำนหรือพลงั งำน ไม่ใช่กำลังนอกจำกนอ้ี ำจเขยี นกำลงั ในรูปของแรงและควำมเรว็ ไดด้ ว้ ยดังสมกำร  PW  F  s    v (3.7) F ttเมอื่ P คือ กำลงั (Power) ในหนว่ ย W W คอื งำน (Work) ในหนว่ ย J t คือ เวลำ (time) ในหน่วย s F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื กำรกระจัด (displacement) ในหน่วย m v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/s

ทฤษฎงี ำนพลงั งำน 67ตัวอยำ่ งท่ี 3.7 รถยกยกมวล 500 kg ข้ึนด้วยอตั รำเร็ว 2 m/s รถยกมีกำลงั เท่ำไรวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดมวล 500 kg ( m = 500 kg) อัตรำเร็ว 2 m/s ( v = 2 m/s) และถำมหำกำลงั ( P )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , v และตอ้ งกำรหำคำ่ P จงึ เลือกใช้สมกำร (3.7)จำก P= Fvแทนคำ่ F  mg ; P = mg vดงั นนั้ กำลงั ของรถยก = 500  9.8 2  9,800 W ตอบตัวอย่ำงที่ 3.8 หัวรถจักรออกแรง 120 kN ลำกขบวนรถให้เคลื่อนท่ีด้วยอัตรำเร็ว 25 m/s กำลังท่ีหัวรถจักรกระทำต่อขบวนรถเปน็ เทำ่ ใด (ตอบในหน่วยของเมกะวัตต)์วิธที ำ จำกโจทย์กำหนดแรง 120kN ( F = 120 kN) อัตรำเรว็ 25m/s ( v = 25 m/s) และถำมหำกำลงั ( P )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร F , v และต้องกำรหำค่ำ P จึงเลือกใช้สมกำร (3.7)จำก P= Fvแทนคำ่ P= 120 103  25 = 3106 Wดงั นน้ั กำลงั ที่หวั รถจักร = 3 MW ตอบตัวอยำ่ งท่ี 3.9 ลฟิ ต์มวล 1200 kg เคล่ือนทดี่ ว้ ยควำมเรว็ 3 m/s มีแรงเสียดทำน 4500 N กำลงั ที่น้อยทสี่ ุดของมอเตอร์ท่ีใชย้ กลฟิ ต์มีคำ่ กกี่ โิ ลวตั ตแ์ ละหำกต้องกำรเลือกซ้ือมอเตอร์สำหรับลิฟต์ควรเลือกมอเตอร์กี่แรงวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 1200 kg ( m = 1200 kg) ควำมเร็ว 3 m/s (v = 3 m/s) แรงเสียดทำน4500 N ( f = 4500 N) และถำมหำกำลัง ( P )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร m , v , f และต้องกำรหำค่ำ P F fลฟิ ตเ์ คลอ่ื นท่ีข้นึ ดว้ ยควำมเร็วคFงท่ี จำกกฎนิวตันขอ้ ที่ 1 =0 F  mg  f = 0 F= (1200  9.8)  4500 mg = 16260 Nจำกสมกำร (3.7) P= Fvแทนค่ำ P= 16260  3 = 48780 W 1 Hp W 746 = 65.39 Hpดงั นั้นกำลังน้อยทส่ี ดุ คือ 48.78 kW และควรเลือกซื้อมอเตอร์ขนำดอยำ่ งน้อย 75 แรง ตอบ3.2 ทฤษฎงี ำนพลงั งำน งำนทั้งหมดท่ีแรงภำยนอกทำต่อวัตถุมีควำมสัมพันธ์กับกำรกระจัดของวัตถุ นั่นก็คือข้ึนกับกำรเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ นอกจำกนี้ยังเกี่ยวข้องกับกำรเปล่ียนอัตรำเรว็ ของวัตถดุ ้วย หำกพจิ ำรณำอนุภำคมวล

68 งำนและพลงั งำนm เคลื่อนที่ไปตำมแกน x ภำยใต้แรงสุทธิคงตัวขนำด F ในทิศตำมแกนบวก x ควำมเร่งของอนุภำคมีค่ำคงตัว a จำกกฎขอ้ ท่ีสองของนิวตนั F  ma และสมกำรกำรเคล่ือนที่ v2  u2  2as จะได้วำ่ F  ma  v2 u2 m 2s Fs  1 m v2  1 m u2 (3.8) 22 ผลคูณ F s คือ งำนท่ีแรงสุทธิ F ทำต่ออนุภำค หรือ งำนสุทธิ ( )Wtotal และเรียกปริมำณ1 mv2 วำ่ พลังงำนจลน์ ( Ek ) ของอนภุ ำคดงั จะกล่ำวถึงต่อไปจงึ เขยี นสมกำร (3.8) ใหมไ่ ด้วำ่2 Wtotal  Ek2  Ek1  Ek (3.9) เมื่อ F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg a คอื ควำมเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 s คือ กำรกระจดั (displacement) ในหนว่ ย m v คือ ควำมเรว็ ปลำย (final velocity) ในหน่วย m/s u คอื ควำมเร็วต้น (initial velocity) ในหนว่ ย m/s Wtotal คอื งำนสทุ ธิ (Total Work) ในหน่วย J Ek คือ พลังงำนจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J สมกำร (3.9) นี้คือ ทฤษฎีงำน-พลังงำนซ่ึงอธิบำยได้ว่ำ งานท่ีแรงสุทธิทาต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภาค ซ่ึงจำกสมกำรจะพบว่ำหน่วยSI ของพลังงำนและงำนเป็นหน่วยเดียวกันนั่นก็คือ จูล ทฤษฎีงำน-พลังงำนน้ีได้มำจำกกำรพิจำรณำกรณีที่แรงมีค่ำคงตัวและกำรเคล่ือนที่เกิดขึ้นในแนวตรง แลว้ หำกแรงไม่คงตวั และเส้นทำงกำรเคลอื่ นท่ีเป็นเสน้ โคง้ ทฤษฎนี ้ีจะยังเป็นจรงิ หรือไม่ ในกำรพิจำรณำกรณีท่ีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนุภำคและเส้นทำงกำรเคล่ือนท่ีของอนุภำคไม่เป็นเส้นตรง เพื่อให้ง่ำยต่อกำรพิจำรณำจะเพิ่มควำมยุ่งยำกทีละอย่ำงโดยพิจำรณำแรงไม่คงตัวที่ทาให้อนุภาคเคล่ือนที่ในแนวตรงกอ่ น จะไดว้ ่ำ     s2 F ds W  s2  s2 dv  s2 dv ds  v (3.10) m ds m ds ma ds s1 dt s1 ds dt mv dv s1 s1 u Wtotal  1 mv 2  1 mu 2  Ek (3.11) 22 จำกสมกำร (3.11) ได้ผลเดียวกันกับสมกำร (3.9) แม้จะไม่ได้ใช้สมมติฐำนว่ำแรงสุทธิ F คงตัวดังนั้นทฤษฎีงำน-พลังงำนใชไ้ ดแ้ ม้เม่อื F เป็นแรงไม่คงตัวหรือแรงมกี ำรเปลยี่ นแปลงในขณะทเ่ี กิดกำรเคล่อื นท่ีส่วนกำรพิจำรณำกรณีอนุภำคเคล่ือนท่ีเป็นเส้นโค้งน้ัน ขอให้ศึกษำทำควำมเข้ำใจนิยำมของพลังงำนจลน์พลังงำนศกั ย์ และกฎกำรอนุรักษพ์ ลังงำนท่ีจะกล่ำวถึงตอ่ ไปนี้ก่อน 3.2.1 พลงั งำนจลน์

ทฤษฎงี ำนพลงั งำน 69 พลังงำนจลน์มีค่ำขึ้นกับมวลและอัตรำเร็วของอนุภำค โดยไม่ขึ้นกับทิศกำรเคล่ือนที่ของอนุภำคดังท่ีกล่ำวมำแล้ว พลังงำนจลน์เป็นปริมำณสเกลำร์เช่นเดียวกับงำน พลังงำนจลน์มีค่ำเป็นลบไม่ได้ และมีค่ำเป็นศนู ย์เม่อื อนภุ ำคหยดุ น่งิ เท่ำนนั้ ดังสมกำร Ek  1 mv2 (3.12) 2เมื่อ Ek คือ พลงั งำนจลน์ (kinetic energy) ในหน่วย J m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s3.2.2 พลังงำนศักย์พลังงำนศักย์เป็นพลังงำนท่ีสัมพันธ์กับตำแหน่งของวัตถุ เป็นปริมำณท่ีวัดศักยภำพหรือควำมเป็นไปได้ในกำรทำงำน หรืออำจเรียกได้ว่ำเป็นพลังงำนท่ีสะสมไว้เพ่ือเปล่ียนเป็นพลังงำนจลน์ในขณะท่ีวัตถุเคล่อื นท่ี ในหวั ข้อน้จี ะศึกษำพลังงำนศกั ย์ 2 ชนิดนั่นคือ พลังงำนศกั ยโ์ น้มถว่ ง และ พลงั งำนศกั ยย์ ดื หยุน่พลังงำนศักย์โน้มถ่วงเป็นพลังงำนที่สัมพันธ์กับน้ำหนักและควำมสูงของวัตถุเหนือพ้ืน เมื่อพจิ ำรณำวัตถตุ กอย่ำงอิสระโดยไม่มีแรงต้ำนอำกำศ พลังงำนศักย์โน้มถว่ งมีคำ่ ลดลงในขณะท่ีพลังงำนจลน์ของวัตถุมีค่ำเพ่ิมข้ึนเน่ืองจำกพลังงำนศักย์โน้มถ่วงถูกเปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงำนจลน์ หำกเขียนสมกำรของงำนเน่อื งจำกแรงโนม้ ถว่ งจะได้วำ่Wgrav  F s  w ( y1  y2 )  mgy1  mgy2 (3.13)นิยำมผลคูณของนำ้ หนกั mg กับควำมสงู y คอื พลงั งำนศกั ย์โน้มถว่ ง ( E pg ) (3.14) E pg  mgy เมื่อคำ่ พลังงำนศักยโ์ น้มถ่วง ณ จุดเริ่มต้นคือ Epg1  mgy1 และพลังงำนศกั ย์โน้มถว่ ง ณ จุดสุดท้ำยคอื Epg2  mgy2 สมกำร (3.13) เขยี นใหมไ่ ดว้ ำ่Wgrav  E pg1  E pg2   (E pg2  E pg1 )   E pg (3.15) เมอื่ Wgrav คอื งำนเน่ืองจำกแรงโนม้ ถ่วง (gravitational work) ในหน่วย J F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื กำรกระจดั (displacement) ในหนว่ ย m y คอื ควำมสูงจำกระดบั อ้ำงองิ (height) ในหน่วย m E pg คอื พลงั งำนศักย์โน้มถว่ ง (gravitational potential energy) ในหน่วย J m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg g คือ ควำมเรง่ โน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 เพ่ือให้ง่ำยต่อกำรแก้ปญั หำเรอ่ื งพลังงำนศักย์โน้มถ่วง กำรกำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงจะช่วยลดเทอมท่ตี ้องพิจำรณำลง โดยกำหนดใหท้ ี่ตำแหนง่ อ้ำงอิงมีพลังงำนศักย์โน้มถว่ งเป็นศนู ย์ (โดยมำกมกั กำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงที่พื้น แต่สำหรับบำงกรณีตำแหน่งอ้ำงอิงอำจไม่ได้ถูกกำหนดท่ีพ้ืน) ตำแหน่งท่ีอยู่เหนือจำกตำแหน่ง

70 งำนและพลงั งำนอ้ำงอิงจะมีพลังงำนศักย์โน้มถ่วงเป็นบวก ในขณะท่ีตำแหน่งที่อยู่ต่ำกว่ำระดับอ้ำงอิงจะมีพลงั งำนศักย์โน้มถ่วงเป็นลบ พลังงำนศักย์ยืดหยุ่น เป็นพลังงำนศักย์ท่ีสะสมอยู่ในวัตถุท่ีเปล่ียนรูปได้ เช่น สปริงหรือยำงหนังสติ๊ก (วัตถุที่สำมำรถกลับคืนสู่รูปร่ำงและขนำดเดิมหลังจำกถูกเปลี่ยนรูปไป) จำกสมกำร (3.5) เรำนิยำมงำนเนื่องจำกแรงดงึ ในสปริง Ws  1 k s2 และให้ปรมิ ำณน้ีเปน็ พลงั งำนศกั ยย์ ืดหยนุ่ ( E ps ) ด้วย 2 E ps  1 ks2 (3.16) 2 Ws  E ps1  E ps2   (E ps2  E ps1 )   E ps (3.17) เม่ือ Ws คือ งำนเน่ืองจำกแรงดงึ ในสปรงิ (Work done to stretch spring) ในหนว่ ย J Eps คอื พลงั งำนศักยย์ ืดหยุ่น (elastic potential energy) ในหนว่ ย J k คอื ค่ำคงท่ีของสปรงิ (spring constant) ในหนว่ ย N/m s คือ ระยะยดื จำกตำแหน่งสมดุล (distant) ในหน่วย mตัวอย่ำงที่ 3.10 ชำยผู้หน่ึงขว้ำงก้อนหินมวล 0.2 kg ออกไปจำกหน้ำผำด้วยควำมเร็ว 18 m/s เม่ือก้อนหินกระทบผวิ นำ้ มีควำมเรว็ 35 m/s พลังงำนจลน์ของก้อนหนิ เปลี่ยนไปเทำ่ ไรวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 0.2 kg ( m = 0.2 kg) ควำมเรว็ ตน้ 18 m/s (u = 18 m/s) ควำมเรว็ ปลำย35 m/s (v = 35 m/s) และถำมหำพลงั งำนจลน์ของก้อนหินเปลี่ยนไป ( Ek )สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , u , v และต้องกำรทรำบคำ่ Ek จงึ เลือกใช้สมกำร (3.11)จำก Ek = 1 mv 2  1 mu 2 22แทนค่ำ = 1  0.2 (352 182 )  90.1 J 2ดังนั้นพลังงำนจลนข์ องก้อนหินเปล่ยี นไป 90.1 J ตอบตัวอย่ำงที่ 3.11 รถเลื่อนมวล 30 kg คันหน่ึงเริ่มเล่ือนจำกตำแหน่งท่ีอยู่เหนือพื้นระดับ 53 m เม่ือมำถึงตำแหน่งสุดท้ำยซงึ่ อยสู่ ูงจำกพน้ื ระดับ 4 m รถเลอื่ นมกี ำรเปล่ียนแปลงพลงั งำนศักย์ไปเท่ำไรวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดมวล 30 kg ( m = 30 kg) ควำมสงู เร่มิ ตน้ 53 m ( y1 = 53 m) ตำแหนง่ สดุ ทำ้ ยซึ่งอยู่สงู จำกพน้ื ระดับ 4 m ( y2 = 4 m) และถำมหำกำรเปล่ยี นแปลงพลังงำนศกั ย์ของรถเล่อื น ( Epg )สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , y1 , y2 และตอ้ งกำรทรำบค่ำ Epg จงึ เลือกใช้สมกำร (3.14)จำกส E pg = mgy2  mgy1แทนคำ่ = 30  9.8 (4  53)  14,406 Jดังนน้ั รถเลือนมีกำรเปล่ยี นแปลงพลังงำนศักยล์ ดลง 14,406 J ตอบตัวอยำ่ งท่ี 3.12 ปนื เดก็ เล่นกระบอกหน่ึงมีกระสนุ เปน็ ลกู บอล ตัวปืนมสี ปริงอยู่ข้ำงใน ค่ำคงตัวของสปรงิ1.6x104 N/m ในขณะเตรยี มยิงสปริงจะหดเขำ้ มำจำกปกติ 8 mm จงหำวำ่ก) เมื่อยิงกระสนุ ไป สปริงจะมีกำรเปล่ียนแปลงพลงั งำนศกั ยไ์ ปเทำ่ ไร

ทฤษฎีงำนพลงั งำน 71ข) ถำ้ ลูกกระสุนมีมวล 0.4 g และพลังงำนศกั ยข์ องสปริงถูกถำ่ ยไปเป็นพลงั งำนจลน์ของกระสนุ กระสุนจะพ่งุดว้ ยควำมเรว็ เท่ำใดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดคำ่ คงตัวของสปรงิ 1.6x104 N/m ( k = 1.6x104 N/m) ระยะหด 8 mm ( s = 8mm) สรุปไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตัวแปร k , sก) หำค่ำกำรเปล่ียนแปลงพลงั งำนศกั ย์ ( Eps )จำกสมกำร (3.16) =E ps 1 ks2 2แทนค่ำ = 1 1.6 104  0.008 2 ตอบดังนน้ั มีกำรเปลีย่ นแปลงพลงั งำนศกั ย์ 2  0.512 Jข) หำคำ่ ควำมเร็วของกระสนุ ( v ) เมอ่ื กำหนด มวล 0.4 g ( m = 0.4 g) และพลังงำนศักย์ของสปรงิ ถกู ถำ่ ยไปเป็นพลังงำนจลนข์ องกระสุน ( Ek  Eps = 0.512J)สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , Ek และต้องกำรทรำบคำ่ vจำกสมกำร (3.12) Ek = 1 mv 2 2แทนคำ่ 0.512 = 1  0.4103  v2 2ดงั นนั้ ลูกกระสนุ จะพงุ่ ด้วยควำมเร็ว v = ตอบ 50.60 m/s3.2.3 กฎกำรอนุรักษพ์ ลังงำนกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนนั้นกล่ำวถึงกำรคงตัวของพลังงำน พลังงำนกลทั้งหมดของระบบจะต้องมีค่ำเดียวกันที่ทุกจุดบนเส้นทำงกำรเคล่ือนที่ เรำนิยำมผลบวก Ek  Ep ของพลังงำนจลน์และพลังงำนศักย์ว่ำเป็นพลังงำนกลท้ังหมด E ของระบบ นั่นคือ พลังงำนสำมำรถเปล่ยี นรูปได้ พลังงำนจลน์เปล่ียนเป็นพลังงำนศักย์หรืองำนได้ เช่น กำรตอกตะปูคือกำรเปลี่ยนแปลงของพลังงำนศักย์ที่สะสมขณะที่เงื้อค้อนขึ้นมำเป็นพลังงำนจลนใ์ ห้ค้อนเคลอื่ นทีไ่ ปและเมือ่ ตอกลงไปบนตะปูก็เปลย่ี นเปน็ งำนทต่ี ะปูจมลงในเน้อื ไม้ E  Ek  Ep  คำ่ คงตวั (3.18)หรอื อำจเขยี นไดว้ ่ำ E1  E2 (3.19)แทนค่ำสมกำร (3.18) ลงในสมกำร (3.19) และแทนค่ำพลังงำนตำ่ ง ๆ จำกสมกำร (3.12), (3.14)และ (3.16) ลงในสมกำร (3.19) Ek1  E pg1  E ps1  Ek 2  E pg2  E ps2 (3.20) 1 mv12  mgy1  1 k s12  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 (3.21) 2 2 2 2 2

72 งำนและพลงั งำน สำหรับกำรแก้ปัญหำน้ันหำกโจทย์ไม่ได้กล่ำวถึงพลังงำนตัวใด ให้ถือว่ำพลังงำนน้ันเป็นศูนย์สำมำรถตัดเทอมนั้นออกจำกกำรพิจำรณำได้ นอกจำกนี้หำกมีแรงอ่ืนนอกเหนือจำกแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยนุ่ ทำงำนต่อวัตถุดว้ ย เรำเรียกงำนของแรงเหล่ำนี้วำ่ Wother ซ่ึงจำกทฤษฎงี ำน-พลังงำนซึ่งกล่ำววำ่ งานท่ีแรงสทุ ธิทาต่ออนุภาคมีค่าเทา่ กบั พลังงานจลน์ท่ีเปลยี่ นไปของอนุภาคจะได้วำ่1 mv12  mgy1  1 k s12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 (3.22)2 2 2 2 2 เม่ือ E คอื พลังงำนกล (mechanical energy) ในหนว่ ย J Ek คือ พลังงำนจลน์ (kinetic energy) ในหน่วย J E p คอื พลังงำนศักย์ (potential energy) ในหนว่ ย J E pg คอื พลังงำนศักย์โนม้ ถ่วง (gravitational potential energy) ในหนว่ ย J Eps คอื พลงั งำนศักย์ยืดหยุ่น (elastic potential energy) ในหน่วย J m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg v คือ ควำมเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s g คือ ควำมเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 y คอื ควำมสูงจำกระดบั อ้ำงอิง (height) ในหนว่ ย m k คอื คำ่ คงทข่ี องสปรงิ (spring constant) ในหน่วย N/m s คือ ระยะยดื จำกตำแหน่งสมดลุ (distant) ในหน่วย m Wother คอื งำนท่ีทำโดยแรงอืน่ (other work) ในหน่วย J น่ันคือ งานท่ีทาโดยแรงอื่นทั้งหมดนอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงหรือแรงยืดหยุ่นมีค่าเท่ากับผลต่างของพลังงานกลท้ังหมดของระบบ (Wother  E ) ถ้ำมีเพียงแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นเท่ำนั้นที่ทำงำนต่อวัตถุเรำจะได้ว่ำ Wother  0 สมกำร (3.22) ถือเป็นสมกำรทั่วไปที่ใช้ในกำรแก้ปัญหำได้อย่ำงกว้ำงขวำงซึ่งรวมถึงในกรณีที่แรงไมค่ งทีก่ ระทำต่อวัตถุใหเ้ คลื่อนที่เปน็ เส้นโค้งอกี ดว้ ยตัวอย่ำงท่ี 3.13 วัตถุช้ินหนึ่งตกลงมำอย่ำงอิสระ ขณะที่อยู่ที่ระยะ y1 มีควำมเร็วในทิศทำงลง 5 m/s เม่ือมำถึงตำแหนง่ y2 ซึง่ อยตู่ ำ่ กวำ่ y1 3 m วัตถจุ ะมคี วำมเรว็ เทำ่ ใดวิธที ำ โจทย์กำหนดให้ควำมเร็วที่ตำแหน่ง y1 คือ 5 m/s ( v1 = 5 m/s) ตำแหน่ง y2 อยู่ต่ำกว่ำ y1 3 m( y1 = 3 m และ y2 = 0 m) และถำมหำควำมเร็วทต่ี ำแหนง่ y2 ( v2 )สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร v1 , y1 , y2 และต้องกำรหำคำ่ v2จำกกฎอนุรักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2 1 mv12  mgy1  1 k s12  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2แทนค่ำ 1 52  (9 3)  1 v22  0 2 2จะได้ควำมเร็วทตี่ ำแหนง่ y2 v2  8.89 m/s ตอบ

ทฤษฎีงำนพลงั งำน 73ตวั อยำ่ งที่ 3.14 รถมวล 1500 kg เจำ้ ของลืมใสเ่ บรกไว้ เริ่มไหลจำกหยดุ นิง่ ลงมำตำมทำงลำดเอียง 10o กับแนวระดับไดร้ ะยะทำง 12 m จงหำวำ่ เมื่อไปถึงปลำยลำ่ งสุด รถมคี วำมเรว็ เทำ่ ใดก. ถ้ำไม่คิดแรงเสยี ดทำนข. ถ้ำถนนมีแรงเสียดทำน 2 kNวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดมวล 1500 kg ( m = 1500 kg) ไหลจำกหยุดนิ่ง (v1 = 0 m/s) ระยะทำง 12 mบนทำงลำดเอยี ง 10o กบั แนวระดบั ( y1 12sin100 m และ y2 = 0 m) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g =9.8 m/s2) และถำมหำควำมเรว็ ปลำยของรถ ( v2 ) 12 m สรุปได้ว่ำทรำบตวั แปร m , v1 , y1 , y2 , g และตอ้ งกำรหำคำ่ v2 10oจำกกฎอนรุ ักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2ก) ไมค่ ดิ แรงเสยี ดทำน Wother  0 =1mv12  1 k s12 1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wotherแทนคำ่ 0  (9.812 sin 10o )  0  0 = 1  v22  0  0 2ดงั นั้นควำมเรว็ ปลำย v2 = 6.39 m/s ตอบข) ถนนมแี รงเสยี ดทำน f  2000 Nดังนัน้ Wother  fscos  2000 12 cos180 0  24000 J =1mv12 1 k s12 1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2  mgy1   Wotherแทนคำ่ 0  (1500  9.812 sin 10o )  0  24000 = 1 1500  v22  0  0 2ดงั นนั้ ควำมเร็วปลำย v2 = 2.97 m/s ตอบตัวอย่ำงที่ 3.15 รถยนต์มีมวล 1000kg กำลังเคล่ือนท่ีด้วยควำมเร็ว 95 km/h เพื่อจะให้รถหยุดใน 4 วินำทีจะตอ้ งทำงำนก่ีจูลวธิ ที ำ จำกโจทยก์ ำหนดมวล 1000 kg ( m = 1000 kg) ควำมเร็ว 95 km/h (v1 = 95 km/h) รถหยุด (v2= 0 m/s) ใน 4 วินำที ( t = 4 s) และถำมงำน ( )Wotherสรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร m , v1 , v2 , t และต้องกำรหำค่ำ Wotherเปลี่ยนหน่วย v1  95  1000  26.39 m/s 3600จำกกฎอนรุ ักษ์พลังงำน สมกำร (3.19) E1  E2

74 งำนและพลังงำน =1 mv12   1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wother 2แทนคำ่ ( 1 1000  26.39 2 )  0  0  Wothet = 000 2 =Wother  348,186.73 Jดังน้นั ตอ้ งทำงำนเพิม่ 348,186.73 J ตอบตัวอย่ำงที่ 3.16 ถ้ำต้องกำรเร่งรถมวล 1400 kg ที่จอดน่ิงอยู่ ให้มีควำมเร็ว 25 m/s ภำยในระยะ 120 mจะตอ้ งออกแรงฉุดเทำ่ ไรวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 1400 kg ( m = 1400 kg) จอดนิ่ง ( v1 = 0 m/s) เร่งให้มีควำมเร็ว 25 m/s( v2 = 25 m/s) ภำยในระยะ 120 m ( s = 120 m) และถำมหำแรงฉุด ( F )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร m , v1 , v2 , s และตอ้ งกำรหำค่ำ Fจำกกฎอนรุ ักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2 =1 mv12   1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wother 2แทนค่ำ เมื่อ Wother  Fs cos ; 0  0  0  (F 120 cos 0o ) = (1 1400  252 )  0  0 F = 2 3,645.83 N ตอบตัวอย่ำงท่ี 3.17 รถยนต์มวล 1000 kg แล่นด้วยอัตรำเร็ว 12 m/s ลงมำตำมเนินเขำซ่ึงทำมุมกับแนวรำบ 8องศำ ถำ้ คนขับเบรกให้รถหยุดไดใ้ นระยะทำง 20 m อยำกทรำบวำ่ แรงตำ้ นท่ที ำใหร้ ถหยดุ มีคำ่ เทำ่ ใดวิธที ำ จำกโจทย์มวล 1000 kg ( m = 1000 kg) อัตรำเร็ว 12 m/s (v1 = 12 m/s) ระยะทำง 20 m ตำมเนนิ เขำซงึ่ ทำมุมกับแนวรำบ 8 องศำ ( y1  20sin 80 m และ y2 = 0 m) รถหยุด ( v2 = 0 m/s) และถำมหำแรงตำ้ นที่ทำให้รถหยดุ ( f )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , v1 , v2 , y1 , y2 ตอ้ งกำรหำค่ำ fจำกกฎอนรุ ักษ์พลังงำน สมกำร (3.19) E1  E2 =1 mv12 1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2  mgy1   Wother 2แทนค่ำ เมื่อ Wother  fscos ;(1 1000 122 )  (1000  9.8 20 sin 8o )  0  ( f  20 cos180 o ) = 000 2 N ตอบ f =  4,963.90 จำกควำมรู้เร่ืองกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนสำมำรถนำมำประยุกต์ใช้ในกำรออกแบบเครื่องทุ่นแรงทำงกำรเกษตรได้หลำยชนดิ ตัวอย่ำงเช่น เคร่ืองท่นุ แรงในกำรปลูกข้ำวได้แก่ เครอ่ื งหยอดต้นกล้ำข้ำวนำโยน

กำรชนและโมเมนตัม 75แบบลำกจูง1 ซ่ึงอำศัยควำมรู้ที่ว่ำวัตถุทุกชนิดมีพลังงำนศักย์สะสมอยู่ในตัววตั ถุ โดยพลังงำนศักย์นี้มีค่ำข้ึนอยู่กับควำมสูงเริ่มต้นของวัตถุนั้น น่ันก็คือยิ่งควำมสูงในกำรปล่อยมำก พลังงำนศกั ย์สะสมในวัตถกุ ็ยิ่งมำกตำมไปด้วย และพลังงำนศักย์น้ีจะถูกเปล่ียนเป็นพลังงำนจลน์ในกำรเคล่ือนที่ส่งผลให้แรงท่ีเกิดขึ้นขณะกระทบพื้นท่ีควำมสูงต่ำง ๆ มคี ำ่ แตกต่ำงกนั จำกหลกั กำรที่กลำ่ วมำแลว้ นักวิจยั จึงไดค้ ิดออกแบบเครอ่ื งทุน่ แรงทช่ี ่วยในกำรดำนำได้โดยไมต่ ้องหลังขดหลังแข็งก้มลงปักต้นกล้ำในนำข้ำว เคร่ืองมือที่ประดิษฐ์ขึ้นนี้จะช่วยในกำรปักดำต้นกล้ำโดยใช้วิธีกำรปล่อยต้นกล้ำลงตำมรำงท่ีควำมสูงท่ีกำหนด อำศัยเพียงแค่แรงโนม้ ถ่วงของโลกเท่ำนั้น คล้ำยกับกำรทำนำโยนนั่นเอง แต่สำมำรถกำหนดระยะปลูกได้แม่นยำโดยอำศัยกำรหมุนของล้อจักรยำนเป็นตัวกำหนดระยะกำรปลูกว่ำต้นกล้ำแต่ละชุดควรจะมีระยะห่ำงเท่ำใด เคร่ืองมือชนิดน้ีอำศัยหลักกำรท่ีว่ำพลังงำนศักย์ที่สะสมในต้นกล้ำขณะที่ปล่อยให้ตกลงมำนั้นจะถูกเปล่ียนเป็นงำนในกำรจมลงในดินของต้นกล้ำควำมสูงท่ีพอเหมำะจะส่งผลต่อค่ำพลังงำนศักย์ท่ีเหมำะสมซ่ึงจะช่วยให้ต้นกล้ำสำมำรถตั้งตรงไม่ล้มได้ ควำมสูงที่น้อยเกินไปค่ำพลงั งำนศักย์จะไม่เพียงพอต่อกำรจม ต้นกลำ้ จึงลม้ ในขณะท่ีควำมสูงทมี่ ำกเกินไปอำจทำให้ต้นกล้ำเกิดกำรกระดอนข้ึน ต้นกล้ำจึงล้มเช่นเดียวกัน ซึ่งจำกงำนวิจัยได้ค่ำควำมสูงที่เหมำะสมสำหรับกำรพฒั นำเครอื่ งหยอดตน้ กลำ้ อยู่ที่ 1 m สำหรับตน้ กลำ้ ข้ำวอำยุ 15-20 วันที่มมี วลเฉล่ีย 4.48 g/ตน้ เครื่องหยอดต้นกล้ำข้ำวแบบนำโยนน้ีนอกจำกจะช่วยทุ่นแรงในกำรดำนำแลว้ ยังช่วยลดปริมำณเมล็ดพนั ธ์ลงได้ จำกเดิมตอ้ งใชป้ รมิ ำณเมล็ดพันธ์ 30-50 kg/ไร่ เหลือเพยี งไมถ่ ึง 1 kg/ไร่ อีกท้ังข้ำวในนำยังขึ้นเป็นระเบียบทำให้ง่ำยต่อกำรกำจัดวัชพืช และไม่จำเป็นต้องปล่อยน้ำท่วมนำเพ่ือควบคุมวัชพืช จึงสำมำรถทำกำรเพำะปลกู ขำ้ วได้แม้ในพ้ืนท่ีแหง้ แล้ง ซ่ึงเรยี กกำรปลกู ข้ำวในลกั ษณะน้ีวำ่ กำรปลูกขำ้ วแอโรบคิ 23.3 กำรชนและโมเมนตมั เม่อื รถพ่วงสิบแปดล้อชนกับรถคันเล็ก เหตใุ ดผู้โดยสำรในรถคันเล็กมีโอกำสบำดเจบ็ มำกกว่ำ และควำมเสียหำยที่เกิดข้ึนกับรถมีมำกกว่ำ เพ่ือท่ีจะตอบคำถำมน้ีกฎข้อที่สองของนิวตันไม่เพียงพอที่จะใช้แก้ปัญหำ แนวคดิ เรื่องโมเมนตัมและกำรดลถูกนำมำใช้ในกำรอธบิ ำยได้เปน็ อย่ำงดี กฎกำรอนุรกั ษโ์ มเมนตมั จะช่วยให้เรำวิเครำะห์สถำนกำรณ์การชนท่ีวัตถุสองช้ินชนกันและเกิดแรงที่มีขนำดใหญ่มำกกระทำต่อกันในช่วงเวลำทส่ี ัน้ มำก ๆ3.3.1 โมเมนตมั และ กฎกำรอนรุ ักษ์โมเมนตมั dvพิจำรณำกฎข้อทีส่ องของนิวตัน    ma เรำสำมำรถเขียนกฎนใ้ี หม่ไดโ้ ดยแทนค่ำ a  dt F   m dv  d (mv) (3.23) F dt dtเน่ืองจำกมวล m เป็นค่ำคงท่ีจึงสำมำรถนำเข้ำไปด้ำนในอนุพันธ์ได้ และสำมำรถอธิบำยกฎข้อท่ี สองของนิวตันในรูปใหม่น้ีได้ว่ำ แรงสุทธิ  F ที่กระทำต่ออนุภำคมีค่ำเท่ำกับอัตรำกำรเปล่ียนแปลงของปริมำณผสม mv เทียบกับเวลำ เรำเรียกปริมำณผสมซึ่งเป็นผลคูณระหว่ำงมวลและควำมเร็วนี้ว่ำ โมเมนตัมของอนุภำค โดยใชส้ ญั ลักษณ์ p1 ผดงุ ศักดิ์ วำนิชชงั , ใจทิพย์ วำนิชชงั และ นฤมล บุญกระจำ่ ง. 2558. กำรพัฒนำเครื่องปลูกต้นกลำ้ ขำ้ วนำโยนแบบลำกจงู . รำยงำนกำรวิจัยมหำวิทยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลตะวันออก2 ผดงุ ศกั ด์ิ วำนชิ ชงั , ใจทพิ ย์ วำนชิ ชัง, นฤมล บญุ กระจ่ำง และ เพยี งขวญั วำนชิ ชงั . 2557. กำรพฒั นำเครอ่ื งปลูกขำ้ วและกำจัดวชั พชื ในกำรปลกู ข้ำวแอโรบิค. รำยงำนกำรวิจัย มหำวิทยำลัยเทคโนโลยรี ำชมงคลตะวันออก

76 งำนและพลงั งำน p  mv (3.24)เมอื่  คือ แรง (Force) ในหน่วย N F m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คือ ควำมเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s t คอื เวลำ (time) ในหนว่ ย s p คอื โมเมนตัม (momentum) ในหนว่ ย kg.m/sโมเมนตัมเป็นปริมำณเวกเตอร์ท่ีมีขนำด mv และมีทิศทำงช้ีตำมทิศของควำมเร็ว v โมเมนตัมของลูกบอลที่ถูกขว้ำงไปทำงขวำด้วยอัตรำเร็ว 5 m/s แตกต่ำงจำกโมเมนตัมของลูกบอลที่ถูกขว้ำงไปทำงซ้ำยดว้ ยอัตรำเรว็ 5 m/s รถพ่วงสิบแปดล้อมโี มเมนตัมมำกกวำ่ รถมอเตอร์ไซค์ที่แล่นด้วยควำมเร็วเทำ่ กันเพรำะรถพ่วงมีมวลมำกกว่ำ หน่วย SI ของโมเมนตัมคือหน่วยของมวลคูณกับอัตรำเร็ว (kg.m/s) และเมื่อแทนสมกำร(3.24) ลงในสมกำร (3.23) จะไดว้ ่ำ    d p (3.25) F dtสมกำร (3.25) คือกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปของโมเมนตัม ซึ่งอธิบำยได้ว่ำ แรงสุทธิท่ีทาต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอนุภาคเทียบกับเวลา ซ่ึงจำกสมกำรจะเห็นได้ว่ำหำกกำรเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมนี้เกิดข้ึนอย่ำงรวดเร็วจะส่งผลให้เกิดแรงสุทธิขึ้นปริมำณหน่ึงแต่หำกยืดระยะเวลำออกให้กำรเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมค่อยเป็นค่อยไปแรงสุทธิจะมีค่ำลดลง ปัจจุบันมีกำรใช้หลักกำรน้ีออกแบบอปุ กรณ์ควำมปลอดภยั หลำยชนดิ เช่น ถุงลมนริ ภยั ทีจ่ ะช่วยยืดระยะเวลำในกำรชนให้มำกข้นึ เมอื่ เทียบกบั กำรกระแทกเข้ำกับพวงมำลัยในทันทีที่เกิดกำรชน เชือกกระโดดบันจ้ีจ๊ัมพ์ท่ีมีควำมยืดหยุ่นช่วยไม่ให้เกิดกำรกระชำกอย่ำงรุนแรงฉับพลัน หรือวัสดบุ รุ องในรรจุหีบหอ่ เพื่อป้องกันวัตถุเปรำะบำงหรือผลไม้สำหรบั กำรขนส่งนอกจำกนน้ี กั กฬี ำคำรำเต้ยงั ใชห้ ลักกำรนลี้ ดชว่ งเวลำในกำรกระแทกจึงสำมำรถใช้มือสับหนิ กอ้ นใหญใ่ หแ้ ตกได้หลักกำรโมเมนตัมใช้ได้ดีในกำรอธิบำยสถำนกำรณ์ท่ีมีวัตถุกระทำกันร ะหว่ำงสองวัตถุหรือมำกกว่ำ โดยกำรประยุกต์ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ซ่ึงกล่ำวว่ำ ถ้าผลบวกเวกเตอร์ของแรงภายนอกที่กระทาตอ่ ระบบเป็นศูนย์ โมเมนตัมท้งั หมดของระบบมคี า่ คงตวั    (3.26) p1 p2เม่ือโมเมนตมั ของระบบสำมำรถหำได้จำกพิจำรณำระบบที่มอี นภุ ำค A, B, C,… จำนวนเท่ำใดก็ได้ท่มี กี ำรกระทำระหว่ำงกนั และกนั โดยกำรคดิ โมเมนตัมรวมของระบบนนั้ จะคิดตำมหลักกำรรวมกนั ของเวกเตอร์จงึ ตอ้ งมีกำรคำนึงถงึ ทิศทำงของควำมเรว็ ดว้ ย โมเมนตัมของระบบสำมำรถเขียนได้ว่ำ p         mB   (3.27) pÄ pB mAvA vB เมื่อใช้กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัมน้ีร่วมกับกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนที่ได้กล่ำวมำแล้วจะสำมำรถวเิ ครำะห์สถำนกำรณ์ได้อยำ่ งกวำ้ งขวำงและมีบทบำทสำคญั ต่อกำรศกึ ษำฟิสิกสใ์ นทกุ สำขำตวั อย่ำงที่ 3.18 รถบรรทุกปูนซเี มนต์คันหน่ึงมมี วล 45,000 kg แลน่ ด้วยควำมเรว็ 15 m/s จงหำวำ่ก) โมเมนตัมของรถบรรทุกมีคำ่ เทำ่ ไรข) ถ้ำรถยนตน์ ัง่ สว่ นบคุ คลมวล 1,200 kg จะวิง่ ให้เรว็ จนมีโมเมนตัมเท่ำกบั รถในข้อ ก) ต้องวิ่งเร็วเท่ำไร

กำรชนและโมเมนตัม 77วิธีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 45,000 kg ( m = 45,000 kg) ควำมเร็ว 15 m/s ( v = 15 m/s)ก) หำโมเมนตมั ( p ) ของรถบรรทุก สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , v และ ต้องกำรหำค่ำ pจำกสมกำร (3.24) p= mvแทนคำ่ = 45000 15ดงั นนั้ โมเมนตัมของรถบรรทุก = 675,000 kgm/s ตอบข) กำหนดมวล 1,200 kg ( m = 1,200 kg) โมเมนตัมเท่ำกับข้อ ก) ( p = 675,000 kgm/s) และถำมหำควำมเรว็ (v )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , p และต้องกำรหำค่ำ vจำกสมกำร (3.24) p = mv =แทนค่ำ 675,000 = 1200  vดังนั้นควำมเร็ว v 562.5 m/s ตอบตวั อย่ำงที่ 3.19 นักกอล์ฟผู้หน่ึงใช้หน้ำไม้กอล์ฟตีลูกกอล์ฟ ระยะเวลำกำรตี 0.7 x 10-3 s ลูกกอลฟ์ มีมวล 42g กระเด็นออกไปด้วยควำมเรว็ 65 m/s จงหำแรงกระทำเฉลี่ยต่อลกู กอล์ฟวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดระยะเวลำ 0.7 x 10-3 s (t = 0.7 x 10-3 s) มวล 42 g ( m = 42 g) ควำมเรว็ 65m/s (v = 65 m/s) และถำมหำแรงกระทำเฉลย่ี ต่อลูกกอล์ฟ ( F )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตวั แปร t, m , v=และต้องmกำรทvรำบคำ่ Fจำกสมกำร (3.23) F tแทนค่ำ จะได้ควำมเร็ว = (65  0)  3900 N ตอบ 0.042 0.7 1033.3.2 กำรชนกำรชนในทำงฟสิ ิกส์น้นั ไมไ่ ดห้ มำยถงึ แต่กำรชนกนั ของรถบนท้องถนนเทำ่ น้นั แตห่ มำยรวมไปถงึกำรชนกันระหว่ำงวัตถุใด ๆ เช่น ไมก้ อล์ฟทห่ี วดลูกกอล์ฟ ลูกบิลเลียดทชี่ นกนั บนโตะ๊ บิลเลียด ฯลฯ กำรชนคอื กำรทมี่ แี รงกระทำอย่ำงแรง กระทำตอ่ วัตถุอยำ่ งรวดเร็วและส้นิ สดุ ในเวลำส้นั ๆ ซง่ึ แบ่งได้เป็น 2 แบบคือกำรชนแบบยดื หยุ่น และ การชนแบบไมย่ ืดหยนุ่กำรชนแบบยืดหยุ่น จัดเป็นกำรชนแบบอุดมคติ มักไม่ค่อยเกิดข้ึนจริงในธรรมชำติ กำรชนแบบน้ีเป็นไปตำมกฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงำนกล (ไม่มีกำรสูญเสียพลังงำนเกิดขึ้นในกำรชน)ตวั อย่ำงทใ่ี กลเ้ คยี งกบั กำรชนแบบยดื หยุ่นท่ีสดุ คือ กำรชนกันของลูกบิลเลียด          (3.28) mAvA1 mBvB1 mAvA2 mBvB21 mAv 2  1 mB vB12   1 mAv A2 2  1 mB vB 2 2  (3.29)2 A1 2 2 2 ข้อสังเกตหำกเป็นกำรชนแบบยืดหยุ่นที่มวลของสองวัตถุเท่ำกัน หลังชนวัตถุทั้งสองจะมีกำรแลกเปล่ียนควำมเร็วกัน ดังจะเห็นได้จำกกำรแข่งขันสนุกเกอร์ท่ีผู้เล่นยิงลูกขำวออกไปชนลูกสีจำกน้ันลูกขำว

78 งำนและพลงั งำนจะหยดุ น่ิงในตำแหน่งแทนทีล่ ูกสีนั้นส่วนลูกสีก็จะเคลื่อนท่ีต่อไป แต่หำกกำรชนนี้เกิดขึ้นในวัตถุที่มมี วลตำ่ งกันอยำ่ งมำกวัตถุทีม่ มี วลมำกจะแทบไมไ่ ดร้ บั ผลกระทบใดและจะยงั เคลื่อนทต่ี ่อไปดว้ ยควำมเรว็ เทำ่ เดิมกำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นกำรชนที่พบเห็นได้ทั่วไป ซ่ึงมีกำรสูญเสียพลังงำนโดยเปล่ียนรูปเป็นพลงั งำนรปู อ่ืน ทำใหไ้ ม่เปน็ ไปตำมกฎกำรอนุรกั ษ์พลงั งำนกล แตย่ ังคงเป็นไปตำมกฎกำรอนรุ กั ษโ์ มเมนตมั เช่นกรณที วี่ ัตถทุ ่ชี นกันแลว้ ตดิ ไปดว้ ยกัน หรือกำรชนทก่ี ันชนยบุ ซึง่ งำนท่ที ำให้กันชนยุบไปน้ันเอำกลบั คืนมำไมไ่ ด้ mAvA1  mBvB1   mAvA2  mBvB2  (3.30)เมอ่ื m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/sตวั อย่ำงที่ 3.20 รถยนต์มวล 1000 kg วิ่งมำทำงขวำด้วยควำมเร็ว 25 m/s แล้วไปชนกับรถบสั มวล 4000 kgท่วี ่ิงสวนมำด้วยอตั รำเร็ว 20 m/s อย่ำงแรง และตดิ ไปดว้ ยกนั จงหำควำมเร็วของรถทง้ั สองหลังชนวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดรถยนต์มวล 1000 kg (m = 1000 kg) วงิ่ มำทำงขวำด้วยควำมเรว็ 25 m/s (  kg) A  -20 m/s) v A1=ถำ2ม5หำmค/วsำ)มรเถร็วบขสั อมงวรลถท4งั้0ส0อ0งk(gv(Am2,BvB=2 4000 20 m/s ( v B1 = ) ที่วิ่งสวนมำดว้ ยอัตรำเรว็ และสรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร mA ,  ดmังBน,้นั vBv1Aแ2ละตvอ้ Bง2กำรvห2 ำเปv็นAก2ำ,รvชBน2แบบไมย่ ืดหยุ่น v A1 ,เน่ืองจำกรถทั้งสองติดกันไปหลงั ชนจำกกฎอนุรักษ์โมเมนตัมสมกำร (3.30) m4B )0v020)v2 mAvA1  mBvB1 = (mA แทนคำ่ (1000  25)  (4000  20) = (1000 = v2 11 m/s ตอบดังนน้ั หลังชนรถทง้ั สองจะเคล่ือนท่ตี ิดไปด้วยกนั ด้วยควำมเร็ว 11 m/s ไปทำงซำ้ ยตวั อย่ำงท่ี 3.21 รถมวล 1200 kg ถูกชนโดยรถมวล 1000 kg ซ่ึงขับตำมมำด้ำนหลัง หำกรถท่ีถูกชนยืนยันว่ำเขำขับมำด้วยควำมเร็ว 60 km/h จงหำควำมเร็วก่อนชนของรถท่ีมำชน เม่ือหลังชนท้ังสองติดไปด้วยกันด้วยควำมเร็ว 78 km/h และหำกกฎหมำยกำหนดควำมเร็วท่ี 80 km/h รถคันท่ีมำชนขับเกินควำมเร็วท่ีกำหนดหรือไม่วคซิธ่ึวงขำที มับำเตร็วำจม7ำม8กำโkดจm้ำทน/ยhห์กลำ(หังvนรAด2ถรทถี่ถมvูกBวช2ลน1ม2vีค20ว0=ำkมg7เ8ร(็วmkm6A0/h=k)m1แ0/ลh0ะ0ถ( vำkมgA1)หถ=ำูกค2ชว5ำนมโmเดร/ยว็ sรก)ถ่อหมนลวชลังนชข1น0อท0งั้งร0สถkทอgงม่ี ต(ำmิชดนไBป(ด=v้วB4ย10)ก0ัน0ดk้วgย)สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร mA, mB , ,  ,  2 และตอ้ งกำรหำ  vA2 vB v B1 vÄ1เนอ่ื งจำกรถทั้งสองตดิ กันไปหลงั ชน ดังนนั้ vA2  vB2  v2 เป็นกำรชนแบบไมย่ ดื หยุ่นจำกกฎอนุรักษโ์ มเมนตมั สมกำร (3.30) แทนคำ่ (1000m60A)vA1(12m0B0vB1vBv1B)1 )v2 = (mA  mB = = (1000 1200 )  78 93 km/h

ดงั น้ันรถคนั ที่มำชนขบั รถเรว็ เกินทกี่ ฎหมำยกำหนด กำรชนและโมเมนตัม 79 ตอบคน้ คว้ำเพ่มิ เติมนกั ศึกษำลองศกึ ษำคลปิ VDO สำธติ กำรชนเพมิ่ เตมิ ได้จำกสรุปแนวคิดประจำบทที่ 3 เมือ่ มีแรงคงตวั กระทำต่อวตั ถสุ ่งผลให้วWตั ถนุ นั้Fเคsลcอื่ oนsท่ีไปไดFก้ ำรsกระจัดค่ำหน่ึง งำนจะมคี ่ำดังสมกำรเม่ือ  เป็นมุมระหว่ำงแรงและกำรกระจัด หน่วย SI ของงำน คือ จูล หรือ นิวตันเมตร งำนเป็นปริมำณสเกลำร์ หำกทิศทำงของแรงและกำรกระจัดแตกต่ำงกัน เรำจะคิดเฉพำะองค์ประกอบของแรงในทิศกำรกระจัดเท่ำนั้น นั่นเป็นสำเหตุว่ำทำไมกิจกรรมบำงอย่ำงไม่นับว่ำเกิดงำนในทำงฟิสิกส์ เพรำะหำกแรงกระทำมีทิศตั้งฉำกกับกำรกระจัดแล้ว งำนจะมีค่ำเป็นศูนย์ กรณีท่ีมีแรงหลำยแรงกระทำต่อวัตถุ งำนสุทธิ Wtotal อำจหำได้จำกกำรหำค่ำงำนของแต่ละแรง แล้วนำ รวมกนั โดยวิธีผลบวกพชี คณิต หรอื หำงำนสุทธิโดยกำรหำผลบวกเวกเตอรข์ องแรงท้ังหมด (แรงสทุ ธิ) กอ่ นแล้วจึงนำแรงสุทธินีม้ ำหำงำนสทุ ธิก็ได้ กรณีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนภุ ำค สมกำรของงำนสำมำรถหำได้ในรูปของอินทิกรัล ตัวอย่ำงเชน่ กรณีแรงในสปริง โดยพิจำรณำกฎของฮุค ( F  ks) ท่ีว่ำควำมยำวที่ยืดออกของสปริง s แปรผันตรงกับแรงยืดF เม่อื k คอื คำ่ คงตวั ของสปรงิ จะไดว้ ำ่Ws  s s  1 ks2  F ds  ks ds 02 0 ในทำงฟิสิกส์นิยำมกำลังว่ำคือ อัตรำกำรทำงำนต่อเวลำ กำลังเป็นปริมำณสเกลำร์เช่นเดียวกับงำนหน่วยSI ของกำลังคือ วตั ต์ กำลังมคี ำ่ ดงั สมกำร    s    v F F PW tt ทฤษฎีงำน-พลังงำนกล่ำวว่ำ งำนท่ีแรงสุทธิทำต่ออนุภำคมีค่ำเท่ำกับพลังงำนจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภำคซง่ึ จำกสมกำรจะพบว่ำหน่วยSI ของพลงั งำนและงำนเป็นหน่วยเดยี วกนั น่ันกค็ ือ จลูWtotal  Ek2  Ek1  Ek พลังงำนจลน์มีค่ำขึ้นกับมวลและอัตรำเร็วของอนุภำค โดยไม่ขึ้นกับทิศกำรเคลื่อนท่ีของอนุภำค พลังงำนจลน์เปน็ ปริมำณสเกลำรเ์ ชน่ เดียวกบั งำน และมคี ่ำดังสมกำร Ek  1 mv2 2 พลังงำนศักย์เป็นพลังงำนท่ีสัมพันธ์กับตำแหน่งของวัตถุ เช่น พลังงำนศักย์โน้มถ่วงท่ีสัมพันธ์กับควำมสูงของวัตถุ และพลังงำนศักย์ยดื หยุ่นท่สี ัมพนั ธ์กับระยะยืด ดังสมกำรE pg  mgy และ E ps  1 ks2 2

80 งำนและพลังงำน กฎกำรอนุรักษ์พลงั งำนกล่ำวถึงกำรคงตัวของพลังงำน พลังงำนกลท้ังหมดของระบบจะตอ้ งมีค่ำคงที่เสมอ เรำนยิ ำมผลบวก Ek  Ep ของพลังงำนจลนแ์ ละพลงั งำนศักย์ว่ำเป็นพลังงำนกลทัง้ หมด E ของระบบ E1  E2 สมกำรท่วั ไปท่ีใช้ในกำรแก้ปัญหำได้อย่ำงกว้ำงขวำง โดยคิดวำ่ งำนที่ทำโดยแรงอื่นท้ังหมดที่นอกเหนือจำกแรงโนม้ ถว่ งหรือแรงยืดหยนุ่ มคี ่ำเทำ่ กับผลต่ำงของพลังงำนกลทั้งหมดของระบบ จะไดส้ มกำรทวั่ ไปดงั นี้ 1 mv12  mgy1  1 k s12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2 โมเมนตัมเป็นปริมำณเวกเตอร์ที่มีขนำด mv และชี้ตำมทิศของควำมเร็ว v หน่วย SI ของโมเมนตัมคือ(kg.m/s) โดยที่แรงสทุ ธิท่มี ีค่ำเท่ำกับอตั รำกำรเปลย่ี นแปลงโมเมนตัมของอนภุ ำคเทยี บกบั เวลำ  d p p  mv และ  F  dt กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม กล่ำวว่ำ ถ้ำผลบวกเวกเตอร์ของแรงภำยนอกท่ีกระทำต่อระบบเป็นศูนย์ โมเมนตมั ทง้ั หมดของระบบมคี ่ำคงตัว   p1 p2 โดยทีโ่ มเมนตัมของระบบสำมำรถหำได้จำก p  pÄ  p B    mAvA  mBvB   กำรชน คือ กำรที่มแี รงกระทำอย่ำงแรง กระทำต่อวัตถอุ ย่ำงรวดเร็วและส้ินสุดในเวลำส้ัน ๆ ซง่ึ แบ่งได้เป็น 2 แบบคือ กำรชนแบบยดื หยุน่ และ กำรชนแบบไมย่ ดื หยุน่ กำรชนแบบยืดหยุ่น เป็นกำรชนแบบอุดมคติ เปน็ ไปตำมกฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงำน กล หรือก็คือไม่มีกำรสูญเสียพลังงำนเกิดข้ึนในกำรชน ในขณะที่กำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นกำรชนที่พบ เห็นได้ทั่วไป มีกำรสูญเสียพลังงำนโดยเปลี่ยนรูปเป็นพลังงำนรูปอื่น ทำให้ไม่เป็นไปตำมกฎกำรอนุรักษ์ พลังงำนกล แตย่ ังคงเป็นไปตำมกฎกำรอนุรักษโ์ มเมนตมั

กำรชนและโมเมนตัม 81 คำถำมQ3.1 จงยกตัวอย่ำงเหตุกำรณืในชีวิตประจำวัน 3 เหตุกำรณ์ที่ไม่เกิดงำนทำงฟิสิกส์แม้จะคิดว่ำน่ันคือกำร ทำงำน พรอ้ มทงั้ อธิบำยเหตผุ ลวำ่ ทำไมQ3.2 สำหรับแรงคงตัวในทิศของกำรกระจัด ถ้ำต้องกำรให้ได้งำนเป็นสองเท่ำโดยใช้แรงเท่ำเดิมจะต้องทำ อย่ำงไรQ3.3 จับเวลำตนเองขณะท่ีกำลังว่ิงขึ้นบันไดชั้น 3 ของอำคำรศูนย์เรียนรวม จงหำอัตรำเฉลี่ยท่ีเรำทำงำน ตำ้ นแรงโนม้ ถ่วงในหนว่ ยวตั ตแ์ ละกำลงั มำ้Q3.4 ชำยคนหนงึ่ ออกแรงผลักให้ชงิ ช้ำแกวง่ จงตอบคำถำมวำ่ ก) งำนท่ชี ำยคนน้ีผลักชิงชำ้ มคี ่ำเทำ่ กับพลงั งำนจลนข์ องชงิ ชำ้ ณ ขณะน้นั หรอื ไม่ ข) ขณะที่ชิงช้ำแกว่งไปหยดุ ท่จี ุด ๆ หนงึ่ ณ ตำแหน่งน้ันพลังงำนจลน์เป็น 0 พลังงำนจลน์จำกข้อ ก) หำยไปไหนQ3.5 ในกำรเคล่ือนที่แบบโปรเจคไทล์ที่มีมุมยิงต่ำงกนั แต่พลังงำนจลน์ตอนต้ังต้นเท่ำกนั ทำไมจงึ ข้ึนไปไดส้ ูง ไม่เท่ำกนัQ3.6 เมอื่ เกิดอุบัติเหตุบนท้องถนน เหตใุ ดรถคันเลก็ จงึ มีโอกำสบำดเจ็บมำกกว่ำQ3.7 ในกำรตอกตะปู คอ้ นหนักมปี ระสิทธภิ ำพมำกกว่ำคอ้ นเบำหรือไม่ จงอธบิ ำยQ3.8 เมื่อตกจำกท่ีสงู เหตุท่ีทำให้บำดเจ็บเปน็ เพรำะกำรกระแทกในเวลำอันสั้นเม่ือถึงพ้ืน จำกข้อควำมนี้จง ตอบในเชิงฟิสิกส์ว่ำตอ้ งทำอย่ำงไรจึงจะไม่ไดร้ ับบำดเจบ็Q3.9 ในคำบเรียนครูให้นกั เรียนทำกำรทดลองปล่อยไข่ลงมำจำกตึกช้ันส่ีซึ่งมีควำมสูง 25 m จงเสนอไอเดีย ทจี่ ะทำให้ไข่ท่ตี กลงมำถงึ พน้ื แลว้ ไมแ่ ตก แบบฝึกหัด3.1 เด็กคนหน่ึงลำกรถไม้เด็กเล่นด้วยเชือกด้วยแรง 59 N เชือกวำงตัวทำมุม 20 องศำกับพื้นรำบ หำกเด็กคน นี้เดินไปเป็นระยะทำง 20 m จงหำว่ำเด็กคนน้ีทำงำนได้เท่ำไหร่ และหำกเขำลำกเชือกขนำนกับพ้ืนจะได้ งำนเทำ่ ใด3.2 ออกแรงในแนวระดับลำกลังไม้ให้เคลื่อนท่ีด้วยควำมเร็วคงที่ไปเป็นระยะทำง 15 m หำกลังไม้มีมวล 40 kg และพ้นื มีสัมประสทิ ธคิ วำมเสยี ดทำน 0.35 งำนทีเ่ กดิ ข้ึนจำกกำรลำกลงั ไมเ้ ป็นเท่ำใด3.3 ชำวประมงดึงสำยเบ็ดกลับมำ 8 m ในขณะท่ีดึงปลำเข้ำมำปลำออกแรงต้ำนคงท่ี 20 N ถ้ำเขำดึงปลำเข้ำ มำดว้ ยควำมเรว็ คงท่ี แรงดงึ ในสำยเบ็ดทำงำนเท่ำใดตอ่ ปลำ3.4 อำจำรย์ดันหนังสือฟิสิกส์ไปบนโต๊ะเป็นระยะทำง 1.2m ด้วยแรงขนำด 2 N แรงเสียดทำนที่ต้ำนกำร เคลอ่ื นท่ีมีคำ่ 0.4 N จงหำงำนท่ีอำจำรย์ดันหนงั สือ งำนทแ่ี รงเสียดทำนทำตอ่ หนังสือ และงำนท้งั หมดทที่ ำ ตอ่ หนังสือ3.5 ต้นไม้ใหญ่คำยน้ำได้เฉล่ีย 550 g ต่อวัน จงหำว่ำถ้ำน้ำถูกดูดขึ้นไปสูง 6 m ต้นไม้จะใช้พลังงำนไปเท่ำใด และถ้ำกำรคำยน้ำนี้เกิดขน้ึ ในช่วงกลำงวันเทำ่ นน้ั (12 ชั่วโมง) ตน้ ไม้ใช้กำลังเฉล่ยี เทำ่ ใด

82 งำนและพลังงำน 3.6 จำกสถิติของกำรไฟฟ้ำฝ่ำยผลิต ประเทศไทยมีควำมต้องกำรไฟฟ้ำรวม 27,345 MW ในปี พ.ศ. 2558 จง หำอัตรำเฉลยี่ ของกำรใช้พลงั งำนไฟฟำ้ ในหน่วยจลู ตอ่ ปี และหำกกำหนดใหด้ วงอำทิตย์ถ่ำยโอนพลังงำนมำ สู่โลกโดยกำรแผ่รังสีที่อัตรำประมำณ 1 kW ต่อตำรำงเมตรของพ้ืนที่ผิว ถ้ำเรำสำมำรถเก็บพลังงำนและ เปล่ียนให้เป็นพลังงำนไฟฟ้ำได้ด้วยประสิทธิภำพ30% เรำจะต้องใช้พ้ืนท่ีก่ีไร่เพื่อที่จะเก็บพลังงำนให้ เพียงพอต่อกำรใชง้ ำน 3.7 จงคำนวณพลงั งำนจลนข์ องรถมอเตอรไ์ ซส์มวล 200 kg ซงึ่ แล่นมำดว้ ยควำมเร็ว 70 km/h ในหน่วยจูล 3.8 พลังงำนศักยข์ องลฟิ ต์มวล 900 kg ที่ยอดของตึกใบหยกซ่งึ สูง 304 m มีค่ำเท่ำใด หำกกำหนดให้พลังงำน ศกั ยท์ ่ีพ้ืนเป็นศูนย์ 3.9 ทำงขึ้นสนั อ่ำงเก็บน้ำบำงพระเปน็ เนนิ ที่มีควำมชนั ค่อนข้ำงมำก โดยทำมมุ ประมำณ 5o กับแนวระดับและ มีระยะทำงยำว 500 m จงหำว่ำชำยคนหน่ึงมวล 80 kg จะสูญเสียพลังงำนศักย์ไปเท่ำไรในกำรไถลลงมำ จำกเนินนี้ และถ้ำ 20% ของพลังงำนศักย์ท่ีสูญเสียไปกลำยเป็นพลังงำนจลน์ ขณะท่ีลงมำถึงพื้นรำบ จกั รยำนของเขำจะมคี วำมเร็วเพ่มิ ขนึ้ เทำ่ ใด 3.10 รถมวล 1500 kg เรมิ่ ต้นอยนู่ ่ิงแล้วไถลลงมำจำกพน้ื เอยี ง 200 ท่ีมีควำมยำว 15 m ด้วยควำมเรง่ 2 m/s2 จงหำพลังงำนจลนข์ องรถเมือ่ มำถงึ ปลำยพ้ืนเอียง และแรงเสียดทำนทเ่ี กิดข้ึนเปน็ เท่ำไร 3.11 ลังสินค้ำมวล 250 kg ถูกดันให้เคลื่อนท่ีขึ้นไปตำมทำงลำดเอียงอย่ำงช้ำ ๆ จงหำงำนที่ต้องทำในกำรดัน ลงั สนิ คำ้ นใ้ี ห้เคลือ่ นทส่ี งู ข้ึนในแนวระดบั 2 m เมือ่ ก) ไม่คิดแรงเสียดทำน ข) ถ้ำทำงลำดเอยี งยำว 5m และแรงเสยี ดทำนมคี ่ำ 200 N 3.12 ลิฟต์ขนของมีมวลรวมท้ังหมด 2300 kg เร่ิมเคล่ือนที่จำกหยุดน่ิงที่พื้นชั้น 1 ข้ึนไปถึงช้ันท่ี 8 เป็น ระยะทำง 50 m ด้วยอตั รำเร็ว 2m/s แรงเสียดทำนในระบบมคี ำ่ คงท่ี 600 N งำนทีเ่ ครื่องจักรของลิฟต์ทำ มคี ำ่ เท่ำใด 3.13 เด็กคนหนึ่งขว้ำงก้อนหินมวล 250 g จำกสะพำนซ่ึงสูงจำกพ้ืนน้ำ 10 m ด้วยอัตรำเร็ว 12m/s จงหำ อตั รำเร็วของกอ้ นหินเมอื่ ถึงพื้นนำ้ 3.14 หนังสติ๊กเส้นหนึง่ ยิงลูกหินมวล 15g ข้ึนไปตรง ๆ ได้สูง 20 m จงหำพลังงำนศกั ย์ท่ีสะสมในยำงหนังสต๊ิก นี้ และด้วยพลงั งำนศักยเ์ ทำ่ นีห้ ำกเปลีย่ นลกู หนิ เปน็ 30 g ลกู หนิ จะขึ้นไปได้สงู เทำ่ ใด 3.15 สปริงอันหนึ่งเมื่อแขวนมวล 500 g จะยืดออกไป 12 cm ถ้ำต้องกำรยืดสปริงจำกตำแหน่งสมดุล 3 cm ต้องทำงำนเท่ำใด 3.16 ในกำรออกแบบทำงลำดเพอ่ื ใช้ขนสง่ สนิ ค้ำ หำกลงั สินค้ำมนี ้ำหนัก 1300 N เคลอื่ นท่ดี ้วยอตั รำเร็ว 2 m/s ทีย่ อดของทำงลำดซ่ึงมีมุมเอียง 20oทำงลำดออกแรงเสียดทำนสูงสุด 400 N และทดี่ ้ำนล่ำงจะมีสปริงเพื่อ ช่วยหยดุ กำรเคลอ่ื นท่ีโดยที่ลังจะต้องไมก่ ระเด้ง จงคำนวณคำ่ คงตัวของสปรงิ ทห่ี ำกทำงลำดนีย้ ำว 12 m 3.17 ในกำรออกแบบรถไฟเหำะตีลังกำจงหำควำมเรว็ ณ ตำแหน่งสูงสุดของวงหำกต้องกำรใหร้ ถไฟสำมำรถวิ่ง กลับหัวในวงกลมรศั มี 15 m ได้โดยทผ่ี ู้โดยสำรบนรถไฟไม่รว่ งลงมำ จงหำควำมสูงของรำงทตี่ ำแหน่งสูงสุด

กำรชนและโมเมนตัม 83 วำ่ ควรเป็นเท่ำใดจึงจะมีแรงสง่ เพียงพอ หำกรถไฟเหำะไมใ่ ช้พลงั งำนอ่นื ใดเพ่ิมเติมและไม่คิดแรงเสียดทำน ระหว่ำงรถไฟและรำง V h r3.18 จำกภำพประกอบกำรทดลองหำกรถทดลองมีมวล 0.5 kg และรำงทดลองทำมุม 20o กับแนวระดับ ท่ี ปลำยพ้ืนเอียงมีสปริงซึ่งมีค่ำคงตัวของสปริง 490 N/m ติดอยู่ หำกเร่ิมต้นกดสปริงเข้ำไป 0.02 m เม่ือ ปล่อยให้สปริงดีดรถทดลองออกไป ถ้ำพ้ืนเอียงมีควำมยำว 1.8 m มวลจะพุ่งออกไปถึงปลำยสุดของพื้น เอยี งหรือไม่ ถ้ำถึงขณะท่มี ำถงึ มวลมีอตั รำเร็วเท่ำใด ปุ่มปลดลอ็ คสปริง ตัวหยดุ กำรเคลอื่ นท่ี3.19 จงหำขนำดของโมเมนตัมและพลังงำนจลน์ของลูกโบวลิ่งมวล 0.7 kg ที่ถูกขว้ำงด้วยควำมเร็วขนำด 3 m/s และลูกเทนนิสมวล 0.1 g ท่พี ่งุ ดว้ ยควำมเร็ว 21 m/s และหำกให้เลอื กจะรบั บอลลกู ใดเพรำะเหตุใด3.20 ในอุบัติเหตุรถชนกันรำยหนึ่งผู้โดยสำรเป็นชำยมวล 90 kg โดยสำรมำในรถที่ว่ิงด้วยอัตรำเร็ว 90 km/h หำกหัวเข่ำตอ้ งรับน้ำหนกั 25% ของน้ำหนกั ตวั และกระดูกจะทนแรงกระแทกได้ไม่เกิน 4000 N หำกเกิน กว่ำนี้กระดูกจะหัก กำรออกแบบห้องโดยสำรควรมีระยะหำ่ งจำกหัวเขำ่ ไปยังตัวรถเท่ำใด เพือ่ ให้ชำยคนนี้ ไมไ่ ดร้ ับบำดเจบ็ หนักจนถงึ ขั้นกระดูกหกั

บทที่ 4กลศำสตร์ของของไหลของไหลเป็นส่ิงที่สำมำรถพบเหน็ ไดท้ ่ัวไป และมนุษย์เรำมคี วำมคนุ้ เคยกับของไหลหลำกหลำยประเภท ไม่ว่ำจะเป็นกำรไหลของน้ำในลำธำร น้ำทเ่ี รำด่มื กิน เลือดที่สูบฉีดไปทั่วรำ่ งกำย ลมท่ีสมั ผัสใบหนำ้ หรือไอเสียทป่ี ล่อยไปตำมปลอ่ ง ฯลฯ ตำมนิยำม ของไหล (fluid) คือ สถำนะของสสำรทีร่ วมกันของทง้ั ของเหลวแล แก๊ส โดยจะเรียกสสารที่สามารถเคล่ือนที่หรือไหล หรือสามารถเปลี่ยนรูปร่างตามภาชนะที่บรรจุได้ ในกำรศึกษำกลศำสตรข์ องของไหลจะขอแบง่ กำรพิจำรณำออกเป็นสองส่วน คือ สถิตศาสตร์ของของไหล และ พลศาสตร์ของของไหล4.1 สถิตศำสตร์ของของไหล สถิตศำสตร์ของของไหลเป็นกำรศึกษำของไหลท่ีอยู่น่ิง เช่น น้ำในแก้ว น้ำในบ่อหรืออ่ำงเก็บน้ำหรือของไหลที่อยู่นิ่งในภำชนะต่ำง ๆ โดยจะเน้นไปที่สมบัติต่ำง ๆ เช่น ควำมหนำแน่น ควำมดัน กำรลอยตัวควำมตงึ ผวิ ฯลฯ 4.1.1 ควำมหนำแนน่ ควำมหนำแน่นเป็นสมบตั เิ ฉพำะตวั ของสสำรหรือของวสั ดทุ ่ีพิจำรณำ โดยนยิ ำมถงึ มวลตอ่ หนึ่งหนว่ ยปรมิ ำตรของสำร โดยใช้สญั ลักษณ์  แทนควำมหนำแนน่ ของสสำร m (4.1) V หน่วย SI ของควำมหนำแน่นคือ กิโลกรัมต่อลูกบำศก์เมตร (kg/m3 ) และมีหน่วย cgs ซ่ึงนิยมใชก้ ันอย่ำงแพรห่ ลำยอีกหนว่ ยหนง่ึ คือ g/cm3 โดยตำรำงที่ 4.1 แสดงค่ำควำมหนำแนน่ ของวสั ดบุ ำงชนดิ 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 ความหนาแน่นสัมพัทธ์ หรืออีกช่ือเรียกหนึ่งคือ ความถ่วงจาเพาะ ( S ) คืออัตรำส่วนระหว่ำงควำมหนำแน่นของวัสดุต่อควำมหนำแน่นของน้ำ (1000 kg/m3) เป็นปริมำณท่ีไม่มีหน่วย ตัวอย่ำงเช่น ควำมถ่วงจำเพำะของปรอทเท่ำกับ 13.6 นอกจำกน้ีปริมำณน้ียังเป็นตัวบ่งชี้สถำนะกำรจมลอยของวัสดุในน้ำได้อีกด้วย โดยวัสดุท่ีมีควำมถ่วงจำเพำะมำกกว่ำ 1 เม่ือนำไปลอยในน้ำวัสดุนั้นจะจมน้ำ แต่หำกมีค่ำควำมถ่วงจำเพำะนอ้ ยกวำ่ หนง่ึ วสั ดุนน้ั จะลอยนำ้ S  o (4.2) wเมื่อ  คอื ควำมหนำแน่น (density) ในหน่วย kg/m3 o คือ ควำมหนำแนน่ ของวตั ถุ (density of object) ในหนว่ ย kg/m3 w คอื ควำมหนำแน่นของน้ำ (density of water) ในหน่วย kg/m3 m คอื มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คือ ปรมิ ำตร (volume) ในหนว่ ย m3 S คือ ควำมถ่วงจำเพำะ (specific gravity) ไม่มหี น่วย

สถิตศำสตรข์ องของไหล 85ตำรำงที่ 4.1 ควำมหนำแนน่ ของวสั ดุบำงชนิดวสั ดุ ควำมหนำแนน่ (kg/m3) วัสดุ ควำมหนำแน่น (kg/m3)อำกำศ (1atm,20oC) 1.20 เหลก็ , เหล็กกลำ้ 7.8x103เอทำนอล 0.81x103 ทองเหลือง 8.6x103 0.90x103 8.9x103เบนซนี ทองแดงน้ำแข็ง 0.92x103 เงิน 10.5x103นำ้ 1.00x103 ตะกว่ั 11.3x103 1.03x103 13.6x103น้ำทะเล ปรอทเลือด 1.06x103 ทอง 19.3x103กลีเซอรนี 1.26x103 ทองคำขำว 21.4x103 2x103 ดำวแคระขำว 1010คอนกรีตอลมู ิเนียม 2.7x103 ดำวนวิ ตรอน 1018ทีม่ ำ: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ ิกส์ระดับอุดมศกึ ษำ เล่ม 1. แปลโดย ปิยพงษ์ สทิ ธิคง.กรุงเทพฯ: เพยี รส์ ัน เอ็ดดูเคชั่น อินโดไชนำ่ , 2547: หนำ้ 428.ตัวอย่ำงท่ี 4.1 สระนำ้ ขนำด 20 m x 10 m บรรจุน้ำลึก 1.8 m น้ำในสระมีมวลเท่ำใดวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดขนำดของสระ 20 m x 10 m และควำมลึก 1.8 m (V = 20 x 10 x 1.8 m3)และถำมหำมวลของนำ้ ( m ) สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร V และต้องกำรหำค่ำ m โดยใช้ค่ำ  จำกตำรำงท่ี 4.1 จำกสมกำร (4.1) = m แทนค่ำ 1000 = V m ดงั นั้นจะได้มวลของนำ้ m = kg ตอบ 20 10 1.8 360,000ตัวอย่ำงที่ 4.2 นักสำรวจเดินทำงด้วยบอลลูนบรรจุแก๊ส ก่อนออกเดินทำงเขำบรรจุแก๊สฮีเลียมท่ีมีปริมำตร450 ลูกบำศก์เมตรและมวล 70 กโิ ลกรมั ขณะนัน้ แกส๊ ฮีเลียมในบอลลนู มคี วำมหนำแน่นเท่ำใดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดปริมำตร 450 ลูกบำศก์เมตร (V = 450 m3) มวล 70 กิโลกรัม ( m = 70 kg) และถำมหำควำมหนำแนน่ (  ) สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร V , m และต้องกำรหำค่ำ  จำกสมกำร (4.1) = m V แทนค่ำ = 70 ตอบ ดงั นั้นจะได้ควำมหนำแน่น  = 450 0.16 kg/m3 อุปกรณท์ ่ีนยิ มใช้ในกำรหำค่ำควำมหนำแนน่ สัมพทั ธ์หรือควำมถว่ งจำเพำะของของเหลว คอื ขวดวดั ค่ำควำมถ่วงจำเพำะ (Pycnometer) หรือ ขวดหำถ.พ. มีลักษณะดังรูปที่ 4.1 ซ่ึงเป็นขวดแก้วมีฝำปิดที่มี

86 กลศำสตร์ของของไหล ปริมำตรแม่นยำตำมท่ีระบุไว้ ซง่ึ เมือ่ เรำชั่งน้ำหนักขวดเปล่ำ ( mb ) ขวดบรรจุของเหลวท่ีตอ้ งกำรหำ ( ml ) ขวด บรรจนุ ำ้ ( mw ) เรำจะสำมำรถหำค่ำควำมถ่วงจำเพำะนำ้ หรือของของเหลวทีต่ ้องกำรได้ดังสมกำร รูปท่ี 4.1 ขวดหำถ.พ. Sw  mw  mb (4.3) Vb Sl  ml  mb (4.4) mw  mb นอกจำกใช้ในกำรวัดควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวแล้ว ยังมีกำรนำขวดหำถ.พ.ไปใช้ในกำรหำควำมถ่วงจำเพำะของเมล็ดพืชได้อีกด้วย โดยอำจใช้โทลูอีน (C6H5CH3) 3 หรือใช้น้ำ4 ในกำรหำค่ำถ.พ.ของเมล็ดพืชดังสมกำรSs  Sl  ms (4.5) ms  (mls  ml )เมอื่ Sw คอื ควำมถ่วงจำเพำะของน้ำ (specific gravity of water) Sl คอื ควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวใด ๆ (specific gravity of liquid) Ss คือ ควำมถ่วงจำเพำะของเมล็ดพชื (specific gravity of seed) mw คอื มวลของขวดใส่น้ำ (mass of pycnometer with water) ในหน่วย g ml คอื มวลของขวดใส่ของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with liquid) ใน หนว่ ย g ms คอื มวลของเมล็ดพืช (mass of water) ในหน่วย g mb คอื มวลของขวด (mass of water) ในหน่วย g mls คอื มวลของขวดใส่เมลด็ พชื และของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with seed and liguid) ในหนว่ ย g Vb คอื ปรมิ ำตรของขวด (volume of pycnometer) ในหน่วย ml3 Mohsenin, N.N. Physical properties of plant and animal materials. Gordon and Breach Science Publishers Inc., 19964 ใจทิพย์ วำนิชชงั , ผดงุ ศักดิ์ วำนชิ ชัง และ เพียงขวญั วำนิชชัง. กำรวิจัยและพฒั นำอปุ กรณ์วัดอัตรำกำรขัดสขี ้ำว. 2556. รำยงำนกำรวจิ ัยมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออก

สถิตศำสตรข์ องของไหล 87ตวั อย่ำงที่ 4.3 จงหำควำมถว่ งจำเพำะของโทลูอนี จำกผลกำรทดลองดงั นี้น้ำหนกั ขวดถ.พ. นำ้ หนกั ขวด+น้ำ นำ้ หนักขวด+โทลูอนี55.6465 81.7689 78.2380วิธที ำ จำกผลกำรทดลองทรำบคำ่ ตัวแปร mb = 55.6465, mw = 81.7689, ml = 78.2380 และต้องกำรหำ Sl เมอื่ ใหโ้ ทลอู นี เปน็ ของเหลวใด ๆ สำมำรถหำควำมถว่ งจำเพำะของโทลูอีนได้จำกสมกำร (4.4) Sl = ml  mb mw  mbควำมถว่ งจำเพำะของโทลอู นี = 78.2380  55.6465 = 0.8648 ตอบ 81.7689  55.6465ตัวอย่ำงที่ 4.4 จำกผลกำรทดลอง4 ไดค้ ่ำตำ่ ง ๆ ดงั นี้ อยำกทรำบว่ำควำมถ่วงจำเพำะของขำ้ วสำรมีค่ำเทำ่ ใดนำ้ หนักข้ำวสำร 10 เมล็ด นำ้ หนกั ขวดถ.พ. นำ้ หนักขวด+น้ำ น้ำหนกั ขวด+นำ้ +ข้ำว 2.1114 20.8195 45.8737 46.5208วธิ ที ำ จำกผลกำรทดลองทรำบคำ่ ตวั แปร ms = 2.1114, mb = 20.8195, mw = 45.8737, mls =46.5208 และตอ้ งกำรหำ Ss จงึ เลือกใช้สมกำร (4.5) แตเ่ น่ืองจำกยังไม่ทรำบค่ำตวั แปร Sl และ ml จงึ ตอ้ งไปหำค่ำควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวใด ๆ ก่อน ซึง่ ในท่ีน้ีคอื นำ้ จึงไดว้ ่ำ Sl = Sw และ ml = mw =45.8737 สำมำรถหำควำมถว่ งจำเพำะของนำ้ ได้จำกสมกำร (4.3) Sw = mw  mb V = 45.8737  20.8195 25ดงั นน้ั Sl = Sw = 1.0022จำกนนั้ หำควำมถว่ งจำเพำะของเมลด็ ขำ้ วสำรจำกสมกำร (4.5) Ss = Sl  ms ตอบ = ms  (mls  ml )ดงั นั้นควำมถ่วงจำเพำะของข้ำวสำร= 1.0022  2.1114 2.1114  (46.5208  45.8737 ) 1.4451 4.1.2 ควำมดนั ในของไหล เม่ือบรรจุของไหลลงในภำชนะ ของไหลจะออกแรงกระทำในแนวตั้งฉำกกับผนังภำชนะและผิวที่สัมผัสกับของไหล เรำนิยำมอัตรำส่วนของแรงกระทำต่อพ้ืนที่ท่ีถูกกระทำว่ำ ความดัน (pressure) ซ่ึงแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P P  F (4.6) A

88 กลศำสตรข์ องของไหล เม่ือ P คือ ควำมดัน (Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2 F คอื แรงทต่ี ั้งฉำกกบั พื้นท่ี (Force) ในหนว่ ย N A คอื พืน้ ท่ผี ิวทีส่ มั ผสั ของไหล หรอื ผนงั ภำชนะ (area) ในหน่วย m2 หน่วย SI ของควำมดนั คือหน่วยของแรงต่อพนื้ ที่ หรือนยิ ำมหน่วยว่ำ ปำสคำล 1 ปำสคำล = 1 Pa = 1 N/m2 นอกจำกนย้ี งั มหี นว่ ยวัดควำมดนั อื่น ๆ ที่นิยมใช้อีก เช่น 1 bar (dyne/cm2) = 105 Pa 1 Tor = 1 mmHg ควำมดันบรรยำกำศ Pa หรือควำมดันอำกำศ คือ ควำมดันของบรรยำกำศของโลกที่เรำอำศัยอยู่ซึ่งมีค่ำแปรเปล่ียนไปตำมลมฟ้ำอำกำศและระดับควำมสูง โดยควำมดันบรรยำกำศปกตทิ ่ีระดบั น้ำทะเล คือควำมดนั 1 บรรยำกำศ (atm) ซ่ึงนิยำมให้เท่ำกบั 101,325 Pa Pa = 1 atm = 1.01325 x 105 Pa = 1.013 bar = 760 mmHg = 14.70 ln/in2 ข้อควรระวัง ในกลศำสตร์ของไหล คำว่ำ “ควำมดัน” และ “แรง” มีควำมหมำยแตกต่ำงกัน ควำมดันเป็นปริมำณ สเกลำร์ ซึง่ จะกระทำต้งั ฉำกกับผิวสมั ผัสใด ๆ และเปน็ ขนำดของแรงต่อพน้ื ทหี่ นงึ่ หนว่ ยตัวอย่ำงที่ 4.5 น้ำมันเคร่ือง 860 g บรรจุอยู่ในถังรูปทรงกระบอก เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.6 m มีควำมดันที่ก้นถงั เทำ่ ไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดน้ำมันเคร่ือง 860 g ( m = 860 g) เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.6 m ( d = 0.6 m) และถำมหำควำมดันทีก่ น้ ถัง ( P )สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , d และตอ้ งกำรหำคำ่ Pจำกคำ่ m สำมำรถนำไปหำคำ่ แรง F ไดจ้ ำก F  mg  860 9.8  8.428 N 1000จำกค่ำ d สำมำรถนำไปหำคำ่ พื้นผิว A ของทรงกระบอกไดจ้ ำก A  d 2   (0.6)2  0.28 m2 44จำกสมกำร (4.6) P= F Aแทนคำ่ จะได้ควำมดนั ท่ีก้นถัง = 8.428  30.1 Pa ตอบ 0.28 ควำมดันในของไหล ณ ส่วนใด ๆ จะมีค่ำเท่ำกันทุกจุดที่อยู่ในระดับเดียวกัน หรืออำจกล่ำวได้ว่ำควำมดันของของไหลจะแปรเปล่ียนตำมควำมลึก หรือควำมสูงของของไหล เช่น ควำมดันของน้ำใต้ท้องทะเลลกึ จะสูงกว่ำควำมดันท่ีระดับน้ำทะเล ซ่ึงเรำสำมำรถสัมผัสได้เมื่อดำน้ำลงไป ย่ิงลึกหูของเรำจะย่ิงรบั รู้ถึงควำมดันที่มำกข้ึน แต่ในที่สูงควำมดันบรรยำกำศจะลดลงต่ำกว่ำที่ระดับน้ำทะเล เรำสำมำรถเขียนสมกำรควำมดันในของไหลในรปู ของความลึกจำกผิวของไหลได้ คอื

สถติ ศำสตรข์ องของไหล 89 P  Pa  gh (4.7) เมื่อ P คอื ควำมดันในของไหล (Pressure) ในหนว่ ย Pa หรอื N/m2 Pa คอื ควำมดนั บรรยำกำศ (Atmospheric Pressure) ในหน่วย Pa หรอื N/m2  คอื ควำมหนำแน่นของของไหล (density) ในหน่วย kg/m3 g คือ ควำมเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 h คอื ควำมสูง หรอื ควำมลึกของของไหลทีต่ ำแหนง่ พิจำรณำ (height) ในหนว่ ย m สมกำร (4.7) เป็นจรงิ เฉพำะกรณีของไหลที่มคี วำมหนำแน่นสม่ำเสมอเทำ่ น้ัน หำกทำกำรคำนวณท่ีควำมสูงมำก ๆ เช่น ยอดเขำเอเวอเรสต์ ซึ่งมีควำมสูง 8882 m ณ จุดน้ันควำมหนำแน่นของอำกำศจะแตกต่ำงจำกทร่ี ะดบั น้ำทะเลถึงสำมเท่ำซง่ึ จะไม่สำมำรถใช้สมกำร (4.7) ได้ นอกจำกนี้ในสถำนกำรณ์ปกติทว่ั ไปอำจพิจำรณำให้ Pa  P0 ได้4.1.3 กฎของปำสคำล จำกสมกำร (4.7) หำกพิจำรณำเพ่ิมควำมดัน P0 ที่ผิวบน อำจโดยกำรใช้ลูกสูบกดลงบนผิวของไหล ควำมดัน P ท่ีควำมลึกใด ๆ ก็จะเพิ่มข้ึนด้วยปริมำณเดียวกัน ซ่ึงนักวิทยำศำสตร์ชำวฝร่ังเศส แบลซปาสคาล ได้คน้ พบควำมจรงิ ข้อนี้ในปี พ.ศ. 2196 เรียกว่ำ “กฎของปาสคาล” ซ่ึงกล่ำววำ่ ความดันซึ่งกระทาตอ่ ของไหลในภาชนะปิดจะส่งผลไปยงั ทุกส่วนของของไหลและผนังภาชนะท่ีบรรจุของไหลด้วยขนาดที่เท่ากันตลอด เคร่อื งยนต์ไฮดรอลิคใน รูปที่ 4.2 เป็นตวั อยำ่ งกำรประยุกตก์ ฎของปำสคำล โดยออกแรง F1 กดท่ีลูกสูบขนำดเล็ก A1 ควำมดนั ที่เกิดขนึ้ จะสง่ ผำ่ นของเหลวในกระบอกสูบไปทำงทอ่ เชือมไปยังลกู สูบทม่ี ีขนำดใหญก่ ว่ำ A2 และเนอ่ื งจำกควำมดันท่ีกระทำมคี ่ำเทำ่ กันตลอดทั้งภำชนะ ดงั นนั้ F1  F2 (4.8) A1 A2เม่อื F คอื แรงกดท่ีลูกสบู (Force) ในหนว่ ย N A คอื พ้นื ท่ีของลูกสูบ (area) ในหน่วย m2 F2 = P2 A2 F1 = P1 A1 12รปู ที่ 4.2 หลกั กำรของเคร่อื งยนต์ไฮดรอลคิ โดยใชก้ ฎของปำสคำล

90 กลศำสตรข์ องของไหล เคร่ืองยนต์ไฮดรอลิคจัดเป็นอุปกรณที่ช่วยผ่อนแรงอีกประเภทหน่ึง ยิ่งลูกสูบทั้งสองมีขนำดตำ่ งกันมำกก็จะย่ิงช่วยผ่อนแรงได้มำก ตัวอย่ำงอปุ กรณใ์ นชีวิตประจำวันท่มี ีกำรใช้หลักกำรน้ี เช่น เก้ำอ้ีทำฟันแม่แรงยกรถ หรือเครื่องยกรถในร้ำนเปลี่ยนยำง หรือในเบรกของรถบำงประเภท นอกจำกน้ีสำหรับในเครื่องจักรกลเกษตรขนำดใหญ่ เครื่องอัดไฮดรอลิกจัดเปน็ อปุ กรณ์สำคญั อยำ่ งยงิ่ ในเกอื บทกุ ระบบ ตง้ั แต่ระบบยก ระบบสบู และระบบขบั เคล่ือนตัวอย่ำงท่ี 4.6 จงคำนวณหำควำมดันบนตัวนักดำน้ำ เม่ือดำลงไปลึก 12 m ใต้ผิวน้ำ กำหนดให้ ควำมหนำแน่นของน้ำทะเลเท่ำกบั 1,025 kg/m3 และควำมดนั บรรยำกำศทท่ี ่ีผิวนำ้ มคี ่ำเทำ่ กบั 1.013x105 N/m2วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดควำมลกึ 12 m ( h = 12 m) ควำมหนำแน่นของนำ้ ทะเลเทำ่ กบั 1,025 kg/m3 ( = 1,025 kg/m3) ควำมดันบรรยำกำศที่ท่ีผิวน้ำมีค่ำเท่ำกับ 1.013x105 N/m2 ( Pa = 1.013x105 N/m2)และถำมหำควำมดนั บนตัวนักดำนำ้ ( P )สรุปไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตวั แปร h ,  , Pa และตอ้ งกำรทรำบค่ำ Pจำกสมกำร (4.7) P= Pa  ghแทนค่ำ = 1.013 105  1025 9.812ดังนนั้ ควำมดนั บนตัวนกั ดำนำ้ = 221,840 Pa ตอบตวั อยำ่ งที่ 4.7 เครื่องอัดไฮโดรลกิ มีพืน้ ที่ลูกสูบใหญ่ 9 m2 เกดิ แรงยกขึ้นขนำด 3x106 N จงหำขนำดของแรงท่ีถูกกระทำต่อลกู สูบเล็กพ้นื ท่ี 12 cm2วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดพ้ืนที่ลกู สบู ใหญ่ 9 m2 ( A2 = 9 m2 ) เกดิ แรงยก 3x106 N ( F2 = 3x106 N )ลกู สบู เล็กพื้นที่ 12 cm2 ( A1 = 12 cm2) และถำมหำแรงยกที่ลูกสูบเล็ก ( F1 )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร A2 , F2 , A1 และต้องกำรทรำบค่ำ F1จำกสมกำร (4.8) F1 = F2 A1 A2แทนค่ำ F1 = 3 10 6 12 10 4 = 9ดงั นัน้ แรงยกท่ลี ูกสูบเล็ก F1 ตอบ 400 Nเม่ือกล่ำวถึงควำมดนั ในของไหล ปญั หำควำมดันในยำงรถยนต์มกั ถกู นำมำพิจำรณำ เนื่องจำกเป็นสถำนกำรณ์ท่ีพบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน จะเกิดอะไรขึ้นหำกควำมดันในยำงรถยนต์มีค่ำเท่ำกับควำมดันบรรยำกำศ คำตอบคือ ยางจะแบน เหตทุ ี่เปน็ เชน่ นเี้ พรำะยำงรถยนต์จำเป็นต้องรับน้ำหนักรถจึงต้องมคี วำมดันที่สูงกว่ำควำมดันบรรยำกำศ ตัวเลขควำมดัน 30 ln/in2 แท้จริงแล้วคือค่ำผลต่ำงระหว่ำงควำมดันในยำงรถยนต์กับควำมดันบรรยำกำศ เนื่องจำกควำมดันบรรยำกำศมีค่ำ 14.7 ln/in2 นั่นหมำยควำมว่ำควำมดันในยำงรถยนต์คือ 44.7 ln/in2 เรำเรียกควำมดันสุทธิน้ีว่ำ ความดันสัมบูรณ์ และเรียกผลต่ำงจำกควำมดันบรรยำกำศว่ำ ความดันเกจ (หรือกค็ อื ควำมดันทอี่ ำ่ นได้จำกเคร่ืองมือวัด) ซึง่ อำจเขยี นเปน็ สมกำรไดว้ ่ำ ควำมดันสมั บรู ณ์ = ควำมดนั บรรยำกำศ + ควำมดันเกจ (4.9) P  Pa  Pg (4.10)

สถิตศำสตรข์ องของไหล 914.1.4 เคร่อื งมอื วัดควำมดัน เครอ่ื งมือวดั ควำมดันอย่ำงง่ำยท่ีสุด คอื มานอมิเตอรแ์ บบปลายเปิด ซึ่งประกอบด้วยหลอดแก้วรูปตัว U บรรจุของเหลวไว้ภำยใน (มักเป็นปรอทหรือน้ำ) ปลำยหน่ึงเชื่อมต่อกับภำชนะที่ต้องกำรวัดควำมดันส่วนอีกปลำยหนึ่งเปิดออกสู่บรรยำกำศ ดังรูปท่ี 4.3 ซ่ึงเม่ือพิจำรณำของเหลวท้ังสองฝนงั ของหลอดแก้วทรี่ ะดับควำมสูงเดียวกันจะได้ว่ำ ควำมดันที่หลอดฝันงซ้ำยจะเท่ำกับควำมดันที่หลอดฝันงขวำที่ระดับควำมสูงเดียวกันเสมอ ซงึ่ เขียนเป็นสมกำรได้ว่ำ Pgas  Pa  gh (4.11) เม่ือเทียบกับสมกำร (4.10) จึงได้ว่ำควำมดันเกจ Pg  gh และเพ่ือควำมสะดวกในกำรอ่ำนค่ำควำมดัน ยังได้มีกำรกำหนดหน่วยของควำมดันในรูปของควำมสูงของลำปรอท เช่น มิลลิเมตรปรอท(ย่อวำ่ mmHg) ซึง่ จำกรปู ท่ี 4.3 สำมำรถอำ่ นค่ำควำมดนั จำกค่ำควำมสูงของลำปรอทได้เลย เช่น หำกค่ำควำมสงู ปรอทในหลอดด้ำนขวำอยู่ตรงกบั ตำแหน่ง 70 cm ก็สำมำรถอำ่ นคำ่ ควำมดนั ได้ว่ำ 70 cmHg เป็นต้นPgas  Pa Pgas  Pa Pgas  Pa Pa Pa Pa ปรอท h hก Pgas  Pa ข Pgas  Pa  h ค Pgas  Pa  hรูปท่ี 4.3 มำนอมเิ ตอร์แบบปลำยเปิดและกำรอำ่ นค่ำในหน่วย mmHg นอกจำกน้ยี ังมีเคร่ืองมือวัดควำมดันอีกประเภทหน่ึง คือ บารอมิเตอร์ปรอท ซ่ึงเปน็ เครอ่ื งมือที่ใช้วัดค่ำควำมดันบรรยำกำศ โดยอุปกรณ์ชนิดน้จี ะประกอบไปด้วยท่อแก้วยำวทีม่ ปี ลำยเปิดหน่ึงข้ำง ภำยในบรรจุปรอทไว้เตม็ และควำ่ ลงในอ่ำงปรอทดงั รูปที่ 4.4 ควำมดนั ท่ีดำ้ นบนของปรอทถือได้วำ่ เป็นศูนย์ จะได้ว่ำ Pa  gh (4.12)เมือ่ Pgas คือ ควำมดนั ของแกส๊ (Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2 Pa คือ ควำมดันบรรยำกำศ (Atmospheric Pressure) ในหนว่ ย Pa หรอื N/m2  คอื ควำมหนำแน่นของของไหล (density) ในหน่วย kg/m3 g คอื ควำมเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 h คอื ควำมสูง หรือควำมลกึ ของของไหลท่ตี ำแหนง่ พจิ ำรณำ (height) ในหนว่ ย m นน่ั ก็คือ บำรอมเิ ตอร์ปรอทสำมำรถอ่ำนค่ำควำมดนั โดยตรงจำกควำมสูงของปรอทได้เลย จำกรูปที่ 4.4 เมื่ออำ่ นค่ำควำมสงู ของลำปรอทได้เปน็ 760 mm จะไดค้ ำ่ ควำมดนั บรรยำกำศคอื 760 mmHg

92 กลศำสตร์ของของไหล หลอดแกว้ สุญญำกำศ ควำมดนั บรรยำกำศ ควำมสูงของลำ ปรอทในหน่วยนว้ิ หรือเซนตเิ มตร รปู ที่ 4.4 บำรอมิเตอร์ปรอทตัวอย่ำงท่ี 4.8 จงคำนวณหำควำมดันบรรยำกำศในขณะท่ีควำมสูงของลำปรอทในบำรอมิเตอร์ของของไหลเปน็ 76 cm กำหนดให้ควำมหนำแนน่ ของปรอทเทำ่ กับ 13.6x103 kg/m3วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดควำมสูงของลำปรอท 76 cm ( h = 76 cm) ควำมหนำแน่นของปรอท 13.6x103kg/m3 (  = 13.6x103 kg/m3) และถำมหำควำมดันบรรยำกำศ ( Pa )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร h ,  และต้องกำรทรำบค่ำ Paจำกสมกำร (4.12) Pa = ghแทนคำ่ = 13.6 103  9.8 0.76ดังนนั้ ควำมดันบรรยำกำศ = 1.013 105 Pa ตอบตัวอย่ำงท่ี 4.9 ด้ำนซ้ำยมือของมำนอมิเตอร์ต่อกับถังแก๊ส ปรอททำงด้ำนขวำมือสูงกว่ำด้ำนซ้ำยอยู่ 35 cmบำรอมเิ ตอรท์ ่ีอย่ใู กล้ ๆ อำ่ นค่ำได้ 74 cmHg จงหำควำมดนั สมบูรณข์ องแกส๊ ในถงัวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดมำนอมเิ ตอร์ควำมสงู 35 cm ( h = 35 cm) บำรอมเิ ตอร์อ่ำนคำ่ ได้ 74 cmHg ( Pa= 74 cmHg) และถำมหำควำมดนั สมบูรณ์ของแก๊สในถัง ( Pgas )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร h , Pa และต้องกำรทรำบค่ำ Pgasจำกสมกำร (4.11) =Pgas Pa  ghแทนคำ่ จะได้ควำมดนั สมบูรณ์ = 74  35  109 cmHg ตอบจะเห็นวำ่ กำรบอกควำมดนั ในหน่วยของควำมสูงน้ันสะดวกอยำ่ งมำก 4.1.5 กำรลอยตัว เรำคุ้นเคยกันดีกับกำรเห็นวัตถุจมและลอย แต่เหตุใดวัตถุบำงอย่ำงจมแต่วัตถุบำงอย่ำงกลับลอยได้ มนุษย์เรำสำมำรถลอยตัวในน้ำได้ แต่ไม่สำมำรถลอยตัวในอำกำศได้ ชำวสวนใช้กำรจมและลอยของผลไม้เป็นตัววัดว่ำผลไม้นั้นสุกพร้อมเก็บเก่ียวหรือไม่ เรือดำน้ำสำมำรถจมลงในน้ำได้อย่ำงไร และทำอย่ำงไรจึงลอยกลับขึ้นมำเหนือน้ำได้ ตัวแปรใดที่มีผลต่อกำรจมและลอยวัตถุ เพื่อที่จะอธิบำยปรำกฏกำรณ์เหล่ำน้ีเรำย้อนไปถึงหลักของอำร์คิมิดิส ซ่ึงกล่ำวว่ำ “วัตถุท่ีจมในของไหลจะถูกแรงลอยตัวกระทา และแรงลอยตัวจะมีค่าเท่ากับน้าหนักของของไหลท่ีถูกวัตถุน้ันแทนที่” นั่นหมำยควำมว่ำกำรจมหรือลอยของวัตถุเป็นผลมำจำกแรงลอยตัว (Buoyancy Force) ซ่ึงสำมำรถคำนวณได้จำกน้ำหนักของของไหลที่ถูกวัตถุน้ันแทนที่น่ันเอง เรำ