ตำราฟิสิกส์เบื้องต้น

44 แรงและการเคลอื่ นที่  (uy  vy )t  (u sin   v sin  )t (2.18) 2 2 sy sy  uyt  1 gt 2  (u sin )t  1 gt 2 (2.19) 2 2 v 2  u 2  2 gs y  (u sin  )2  2 gs y (2.20) y y เม่ือ s คือ ระยะทาง (distance) หรอื การกระจดั (displacement) ในหน่วย m u คือ อตั ราเร็วต้น (initial speed) หรอื ความเร็วต้น (initial velocity) ในหนว่ ย m/s v คอื อัตราเรว็ ปลาย (final speed) หรือ ความเรว็ ปลาย (final velocity) ในหน่วย m/s a คือ ความเรง่ (acceleration) ในหนว่ ย m/s2 t คือ เวลา (time) ในหนว่ ย s ข้อสังเกตุ ท้ังแกน x และแกน y มีตัวแปรร่วมกันคือเวลา t นั่นหมายความว่าเวลาท่ีใช้ในการพิจารณาแนวราบและแนวดิ่งมีค่าเท่ากัน นอกจากน้ีเวลาที่ใช้ในการเคลื่อนท่ีจากจุดเร่ิมต้นถึงจุดสูงสุดจะเท่ากบั เวลาจากจุดสงู สดุ ลงมาถึงที่ระดบั เดียวกบั จุดเริ่มตน้ และท่ีระดบั ความสูงเดียวกันทัง้ ขาข้ึนและขาลงจะมีขนาดของความเรว็ เทา่ กันตา่ งกันแคเ่ พยี งทิศเทา่ นน้ัตัวอย่างที่ 2.15 ในการปลูกข้าวแบบนาโยน เกษตรกรขว้างต้นกล้าออกไปในแนวระดับด้วยความเร็ว 6 m/sจงหาตาํ แหน่งและความเร็วหลังจากเวลาผ่านไป 1/3 s และหากเกษตรกรขว้างต้นกล้าออกไปที่ระดับความสูง1.5 m ในเวลาทกี่ าํ หนด ต้นกลา้ ตกลงถึงพ้ืนแลว้ หรือยังวิธที ํา จากโจทย์กาํ หนดให้ต้นกลา้ ขา้ วถูกขว้างออกไปในแนวระดบั ดว้ ยความเรว็ 6 m/s (ux = 6 m/s และu y = 0 m/s) ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ท่เี วลา 1/3 s ( t = 1/3 s) ถามหาตาํ แหนง่ ( s )และความเร็วปลาย (v )สรปุ ไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร ux , u y , g , t ตอ้ งการหาตวั แปร s และ v โดยพจิ ารณาแยกทลี ะแกนพจิ ารณาแกน x จากสมการ (2.16) sx = uxtแทนคา่ sx = 6 1  2 m 3จากสมการ (2.15) vx = ux  6 m/sพิจารณาแกน y จากสมการ (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนค่า sy = 0  ( 1  (9.8)  ( 13) 2 )   0.54 m 2จากสมการ (2.17) vy = u y  gtแทนคา่ vy = 0  ((9.8)  13)   3.27 m/s

การเคลอ่ื นทแ่ี บบต่าง ๆ 45 ดงั นน้ั ตําแหนง่ และความเรว็ ของตน้ กล้าข้าวหลงั จากผ่านไป 1/3 s สามารถเขียนในรปู เวกเตอร์หน่ึงหนว่ ยได้ว่า s = 2 ˆi  0.54 ˆj m v = 6 ˆi  3.27 ˆj m/s ตอบ จากผลการหาตาํ แหน่งของต้นกลา้ ขา้ วพบว่าตน้ กลา้ เคลอ่ื นไปในแนวราบ 2 m ในแนวด่ิง 0.54 mดงั นนั้ หากเกษตรกรปาออกไปทีร่ ะดับความสงู 1.5 m ในเวลา 1/3 s ตน้ กล้าจะยงั ไม่ตกลงกระทบพื้นตัวอย่างท่ี 2.16 นักฟุตบอลคนหน่ึงเตะลูกบอลข้ึนไปด้วยความเร็ว 30 m/s ทํามุม 60oกับแนวระดับ เขาต้องวง่ิ ด้วยความเร็วคงท่ีอยา่ งนอ้ ยทส่ี ุดเทา่ ใด จึงจะไปรับลกู บอลทเี่ ขาเตะออกไปได้พอดกี อ่ นตกถึงพนื้วธิ ีทํา จากโจทยก์ าํ หนดให้ลกู บอลถกู เตะออกไปด้วยความเรว็ 30 m/s (u = 30 m/s) ในทิศทาํ มุม 60o กับแนวระดบั ( = 60o) ภายใต้แรงโนม้ ถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) และถามหาความเร็วทต่ี อ้ งวงิ่ ไปรบั ลูกฟตุ บอลให้ทนั ซง่ึ การทน่ี ักฟตุ บอลจะวง่ิ ออกไปรับลกู บอลท่ีเตะออกไปไดท้ นั เขาจะต้องวิง่ ด้วยความเร็วอย่างนอ้ ยเท่ากบั ความเร็วในแนวราบของลูกฟตุ บอล ( vx ) น่ันเองสรุปได้ว่าทราบค่าตัวแปร u ,  , g ต้องการหาตัวแปร vx จงึ เลือกใชส้ มการ (2.15)ความเรว็ ในแนวราบ vx = ux  ucosแทนคา่ vx = 30cos600  15 m/sดังนนั้ นกั ฟุตบอลต้องวิ่งออกไปรับลูกบอลดว้ ยความเร็วอย่างนอ้ ย 15 m/s ตอบตัวอยา่ งท่ี 2.17 ขว้างกอ้ นหินดว้ ยความเร็ว 45 m/s ในทศิ ทํามมุ 60 องศากับแนวระดบั จากหน้าผาแหง่ หน่ึงซงึ่ สูง 265 m จงหาก) ความเร็วเรม่ิ ตน้ ของก้อนหินในแนวแกน x และ yข) ความเรว็ ปลายของก้อนหนิ กอ่ นตกถึงพื้นค) ระยะหา่ งระหว่างก้อนหินและหนา้ ผา เมอื่ ก้อนหนิ กระทบพ้ืนวธิ ที าํ จากโจทย์กําหนดใหก้ อ้ นหินถกู ขว้างด้วยความเรว็ 45 m/s (u = 45 m/s) ในทศิ ทํามมุ 60o กบั แนวระดบั ( = 60o) จากหน้าผาสูง 265 m ( s y = -265 m) ภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2)และถามหาความเร็วท่ตี ้องวง่ิ ไปรับลูกฟุตบอลให้ทนั ซงึ่ การทนี่ กั ฟุตบอลจะวง่ิ ออกไปรับลกู บอลที่เตะออกไปได้ทัน เขาจะตอ้ งวง่ิ ด้วยความเรว็ อย่างนอ้ ยเท่ากับความเร็วในแนวราบของลูกฟุตบอล ( vx ) นน่ั เอง ก) ถามหาความเรว็ เร่ิมตน้ ในแนวแกน x ( ux ) และความเร็วเร่มิ ต้นในแนวแกน y ( u y )สรปุ ได้ว่าทราบค่าตัวแปร u ,  , g , s y ต้องการหาตัวแปร ux , u y จงึ เลอื กใช้สมการ (2.14)แทนค่า ux = u cos  45cos600  22.5 m/sแทนคา่ uy = usin  45sin600  38.97 m/sดังนั้นความเร็วเรม่ิ ต้นในแนวแกน x และ y คือ 22.5 และ 38.97 m/s ตามลาํ ดบั ตอบ

46 แรงและการเคล่ือนท่ี ข) ถามหาความเร็วปลายของกอ้ นหนิ กอ่ นตกถึงพ้ืนจําเปน็ ต้องทราบความเร็วปลายท้งั สองแกนก่อนสรุปได้ว่าทราบค่าตัวแปร u ,  , g , s y ตอ้ งการหาตัวแปร vx , v y จึงแยกพจิ ารณาทลี ะแกนพจิ ารณาแกน x จากสมการ (2.15) vx = ux  22.5 m/sพจิ ารณาแกน y จากสมการ(2.20) v 2 = u 2  2gs y y yแทนคา่ =v 2 38.972  (2 (9.8)  (265)) y vy =  81 .93 m/sดังน้ันความเรว็ ปลายของกอ้ นหนิ กอ่ นตกถึงพนื้ คอื v = 22.5 ˆi  81.93 ˆj m/s ตอบค) ถามหาระยะห่างระหวา่ งก้อนหินและหนา้ ผา ( sx ) แตท่ ราบเพียงตัวแปร ux เทา่ น้นั จงึ จําเปน็ ตอ้ งหาตัวแปร t จากแกน y กอ่ นพิจารณาแกน y ทราบค่าตวั แปร u ,  , g , s y ตอ้ งการหาตวั แปร t จงึ เลือกใชส้ มการ (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนค่า  265 = (38.97 t )  ( 1  (9.8)  t 2 ) 2แกส้ มการพหนุ ามจะได้ t = 12.34 sจากน้ันพจิ ารณาแกน x ทราบคา่ ตัวแปร ux ตอ้ งการหาตัวแปร sx จากสมการ (2.16) sx = uxtแทนค่า sx = 22.5 12.34  277.65ดังน้นั จะได้ระยะหา่ งระหว่างก้อนหนิ และหนา้ ผา 277.65 m ตอบ2.4.2.2 การเคลอ่ื นทีแ่ บบวงกลมเมื่อวัตถุเคล่ือนท่ีไปตามทางโค้ง ทิศทางของความเร็วจะมีการเปลี่ยนแปลงไปตลอดเวลา ดังรูปที่2.7 หากพิจารณาเฉพาะการเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมอย่างสมํ่าเสมอ โดยกําหนดให้อัตราเร็วมีค่าคงตัว พิจารณาความเร็วที่ตําแหน่งท่ี 1 หรือ v1 มีทิศทางไปทางขวา และความเร็วท่ีตําแหน่งท่ี 2 หรือ v2 มีทิศพุ่งลง เม่ือหาความเร็วท่ีเปล่ียนไป v  v2  v1 ซึ่งก็คือความเร่งของวัตถุ เราจะพบว่าทิศทางของความเร่งจะมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางเสมอ และได้สมการของความเรง่ ดังนี้ ac  v2 (2.21) rเมอื่ ac คอื ความเรง่ เข้าสู่ศนู ย์กลาง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 v คือ อัตราเร็ว (speed) ในหนว่ ย m/s r คอื รัศมกี ารเคลื่อนที่แบบวงกลม (radius) ในหน่วย m

การเคลอ่ื นทแ่ี บบตา่ ง ๆ 47 a รูปที่ 2.7 การหาความเร็วทเ่ี ปล่ียนไป ( a ) ของวตั ถุทกี่ ําลังเคลอื่ นทแี่ บบวงกลมดว้ ยอตั ราเรว็ คงตัว จากสมการ (2.15) เราเรียกความเร่งน้วี า่ ความเรง่ เขา้ สศู่ นู ย์กลาง (centripetal acceleration)หรือ ac เนื่องจากความเร่งนี้จะมีทิศชี้เข้าศูนย์กลางของวงกลมเสมอ และเมื่อพิจารณากฎข้อที่สองของนิวตันความเรง่ ท่ีชีเ้ ขา้ หาศนู ยก์ ลางของวงกลมตอ้ งเกิดจากแรงสุทธใิ นแนวรศั มีทช่ี เี้ ขา้ หาศนู ย์กลางด้วย ดงั สมการ   mac  v2 (2.22) Fc m rเมอื่  คอื แรงสู่ศูนยก์ ลาง (Centripetal Force) ในหนว่ ย N Fc m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg ac คือ ความเรง่ เขา้ ส่ศู ูนยก์ ลาง (centripetal acceleration) ในหนว่ ย m/s2 v คือ อตั ราเรว็ (speed) ในหน่วย m/s r คือ รศั มีการเคลอื่ นทีแ่ บบวงกลม (radius) ในหนว่ ย m เพื่อให้การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ครอบคลุมตัวแปรท่ีหลากหลาย ยังมีปริมาณที่สําคัญในการพิจารณาการเคล่ือนที่แบบวงกลมอีกสองปริมาณ นั่นก็คือ คาบและความถ่ี คาบ (T ) ของการเคล่ือนที่ คือช่วงเวลาทใี่ ช้ในการเคล่อื นทคี่ รบหนึ่งรอบ มหี น่วยในระบบ SI คอื วนิ าที และ ความถี่ ( f ) คอื คา่ จาํ นวนรอบที่วัตถุเคลื่อนท่ีไปได้ในช่วงเวลาหน่ึง ในระบบ SI ความถ่ีมีหน่วยเป็นรอบต่อวินาที หรือ Hz แต่ในทางปฏิบัติอาจพบการใช้งานในหน่วยอื่น ๆ เช่น rpm (รอบต่อนาที) ซ่ึงต้องอาศัยการเปล่ียนหน่วยเพื่อช่วยในการพิจารณา โดยทั้งสองปริมาณนี้มีความสัมพนั ธก์ ันดังสมการ f  1 (2.23) Tเม่อื f คอื ความถ่ี หรือ จํานวนรอบของการเคล่ือนท่เี ปน็ วง (frequency) ในหน่วย Hz T คอื คาบเวลาทใ่ี ช้ในการเคลอ่ื นทค่ี รบรอบ (period) ในหน่วย sขอ้ ควรระวงัอย่าสับสน f (ความถ่ี หนว่ ย Hz) กับ f (แรงเสียดทาน หน่วย N) แม้วา่ จะใชต้ วั แปรเดียวกนั เมื่อพิจารณาความเร็วในการเคล่ือนที่เป็นวงกลมสมํ่าเสมอในรูปของคาบ (T ) ของการเคลื่อนที่ในเวลา 1 คาบวตั ถจุ ะเคลื่อนที่ไดร้ ะยะทางเทา่ กบั เส้นรอบวง 2r ของวงกลม ดงั นนั้ อัตราเรว็ ของวตั ถคุ อื v  s  2r (2.24) tTและเมื่อพจิ ารณาถงึ ความสมั พันธข์ องคาบการเคล่อื นทก่ี ับคา่ ความถี่ f  1 จะไดว้ ่า T

48 แรงและการเคลอ่ื นที่ v  2rf (2.25) เมอ่ื แทนค่าสมการ (2.24) และ (2.26) ลงในสมการ (2.21) จะได้สูตรความเรง่ ในอีกรูปหน่งึ คอื ac  4 2 r  4 2 rf 2 (2.26) T2 เม่ือ v คือ อตั ราเร็ว (speed) ในหน่วย m/s ac คอื ความเรง่ เข้าสศู่ ูนยก์ ลาง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 r คอื รัศมกี ารเคล่ือนที่แบบวงกลม (radius) ในหน่วย m f คอื ความถี่ หรือ จาํ นวนรอบของการเคล่ือนท่เี ปน็ วง (frequency) ในหน่วย Hz T คือ คาบเวลาท่ใี ช้ในการเคล่ือนท่คี รบรอบ (period) ในหน่วย sตัวอย่างที่ 2.18 จงหาความเรง่ สู่ศูนยก์ ลางของรถยนตค์ ันหนึง่ ทเ่ี คลอื่ นทบ่ี นถนนทโี่ ค้งเป็นเส้นรอบวงของวงกลมรศั มี 800 m อตั ราเร็วของรถยนต์ 120 km/hวิธีทาํ จากโจทยก์ ําหนดใหท้ างโค้งมีรัศมี 800 m ( r = 600 m) อัตราเรว็ ของรถยนต์ 120 km/h (v =120 km/h) v และถามหาความเร่งส่ศู ูนย์กลาง ( ac )สรปุ ได้ว่าทราบคา่ ตัวแปร r , v และถามหาตวั แปร ac จึงเลอื กใชส้ มการ (2.21)จาก ac = v2 rแปลงหน่วยของอตั ราเรว็ v = 120 km  1000 m  1h s  33.33 m/s h 1 km 3600แทนคา่ ac = 33 .33 2  1.39 m/s2 800ดงั นัน้ ความเร่งสู่ศนู ย์กลางของรถยนต์คือ 1.39 m/s2 ตอบตวั อยา่ งที่ 2.19 ในการนั่งรถหมนุ ในงานเทศกาล ผโู้ ดยสารเคลอื่ นทด่ี ้วยอตั ราเร็วคงตัวเปน็ วงกลมรศั มี 6 mและเคลื่อนทค่ี รบหนึ่งรอบใชเ้ วลา 5 s จงหาความเรง่ ของผโู้ ดยสารวธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดให้ผู้โดยสารเคลื่อนทเี่ ป็นวงกลมรัศมี 6 m (r = 6 m) และเคล่ือนทค่ี รบหนง่ึ รอบใช้เวลา 5 s (T = 5 s) และถามหาความเร่งของผโู้ ดยสาร ( ac )สรุปไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร r , T และต้องการหาคา่ ac จึงเลือกใชส้ มการ (2.26)จาก ac = 4 2r T2แทนค่า ac = 4 2  6  9.47 m/s2 52ดังนน้ั ความเร่งของผูโ้ ดยสาร คือ 9.47 m/s2 ตอบ

การเคล่ือนทแี่ บบตา่ ง ๆ 49ตัวอย่างที่ 2.20 หลอดทดลองในเครื่องเหว่ียงบรรจุของเหลวมีเม็ดเลือดแดงแขวนลอยอยู่ หลอดถูกเหวี่ยงให้เคลอ่ื นท่ีเปน็ วงกลมรศั มี 0.1 m วินาทลี ะ 750 รอบ จงหาความเรง่ สู่ศูนยก์ ลางของหลอดทดลองวิธีทาํ จากโจทยก์ าํ หนดให้หลอดถกู เหว่ยี งให้เคลื่อนทเี่ ป็นวงกลมรัศมี 0.1 m ( r = 0.1 m) วนิ าทลี ะ 750รอบ ( f = 750 Hz) และถามหาความเรง่ ส่ศู ูนย์กลางของหลอดทดลอง ( ac )สรปุ ได้ว่าทราบค่าตวั แปร r , f และตอ้ งการหาค่า ac จึงเลือกใช้สมการ (2.26)จากส ac = 4 2rf 2แทนคา่ ac = 4 2  0.1 7502  2.22106 m/s2ดังนัน้ ความเรง่ สศู่ ูนยก์ ลางของหลอดทดลองคือ 2.22x106 m/s2 ซึ่งจากผลการคาํ นวณจะเหน็ ว่าความเร่งนี้มีคา่ สูงกวา่ คา่ ความเร่งโน้มถว่ ง g ถึงสองแสนเท่า ขนาดความเรง่ เท่านจี้ ึงมากพอทจ่ี ะสามารถดึงให้สารแขวนลอยตกตะกอนไดอ้ ยา่ งรวดเรว็ โดยไม่ต้องรอคอยใหต้ กตะกอนตามธรรมชาติ ตอบตัวอยา่ งท่ี 2.21 โลกหมนุ รอบตัวเอง 1 รอบกินเวลา 24 ชวั่ โมง จงหาความเรว็ เชิงเส้นทบ่ี รเิ วณเสน้ ศนู ย์สตู รซ่ึงมรี ศั มี 6.38x106 mวิธที าํ จากโจทย์กําหนดให้โลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบกนิ เวลา 24 ชั่วโมง (T = 24 h) รศั มขี องโลก6.38x106 m ( r = 6.38x106 m) และถามหาความเร็วเชิงเสน้ ที่บริเวณเสน้ ศนู ยส์ ูตร ( v )สรปุ ไดว้ ่าทราบค่าตัวแปร r , T และตอ้ งการหาคา่ v จงึ เลอื กใช้สมการ (2.24)แปลงหน่วยคาบ T= 24 h  3600 s  86400 s 1hจาก v= 2r Tแทนคา่ v= 2  6.38 10 6  463.97 m/s 86400ดังน้นั ความเร็วเชงิ เส้นทบี่ ริเวณเส้นศนู ย์สตู รของโลกคอื 463.97 m/s ตอบคิดซกั นิด 5ด้วยความเรว็ เชงิ เสน้ ในการหมนุ ของโลกท่ีบริเวณเสน้ ศนู ยส์ ูตร 463.97 m/s หรือ 1670 km/h เหตุใดเราซึ่งยืนอยบู่ นโลกจงึ ไม่รสู้ ึกวา่ กําลังเคล่อื นท่ีตัวอย่างท่ี 2.22 ถ้าทําให้ล้อที่หมุน 2000 rpm หยุดลงด้วยความเร่งเชิงมุมคงท่ี โดยหลังจากเบรกแล้วล้อยังหมนุ ไปไดอ้ ีก 60 รอบกอ่ นหยดุ จงหาเวลาท่ีใช้ในการเบรกลอ้วิธีทํา จากโจทยก์ ําหนดใหล้ อ้ หมนุ ด้วยความถี่ 2000 rpm ( f = 200 rpm) หยดุ ลง (v = 0 m/s) เม่ือหมุนไปได้ 60 รอบ ( s = 60 รอบ) และถามหาเวลาท่ีใชใ้ นการเบรก (t ) เรม่ิ จากลองเปลยี่ นหนว่ ยปริมาณทโ่ี จทย์ใหม้ า

50 แรงและการเคล่ือนท่ีความถ่ี f = 2000 rpm  1 min  33.33 Hz 60 sระยะทาง s = 2r  60  2  r  60  376.99r mเนื่องจากโจทย์ไมไ่ ดใ้ ห้รัศมีของล้อมา จึงติดตัวแปร r ไว้สรปุ ได้วา่ ทราบค่าตวั แปร f , v, s และตอ้ งการหาตวั แปร t ซ่งึ จากการพิจารณาความสมั พนั ธ์เบ้ืองต้นพบวา่ คา่ ความถข่ี องลอ้ ท่ีกาํ หนดสามารถนําไปใชห้ าคา่ ความเรว็ ตน้ ไดจ้ ากสมการ (2.25)จาก u= 2rf  2  r  33.33  209.44r m/sจากสมการ (2.11) s = ( u  v ) t 2แทนคา่ 376.99r = ( 209.44r  0) t 2จะได้เวลา t = 3.60 sดังนนั้ เวลาที่ใช้ในการเบรก คอื 3.60 s ตอบตัวอย่างท่ี 2.23 ในการออกแบบใบพัดเคร่ืองบินให้หมุนที่อัตรา 2500 rpm เพ่ือให้อัตราเร็วท่ีเคร่ืองบินเคล่ือนท่ีไปข้างหน้ามีค่า 70 m/s และอัตราเร็วของปลายใบพัดท่ีหมุนตัดอากาศต้องไม่เกิน 270 m/s (ค่าน้ีมีค่าประมาณ 0.8 เท่าของอัตราเร็วเสียงในอากาศ เน่ืองจากหากใบพัดเคล่ือนท่ีด้วยอัตราเร็วเสียงจะทําให้เกิดเสยี งท่ีดังมาก) จงหาวา่ ก) รัศมสี ูงสุดทใี่ บพดั จะมไี ด้มคี ่าเท่าใด ข) ทรี่ ศั มนี ค้ี วามเร่งท่ีปลายใบพดั มีขนาดเทา่ ใดวธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดใหใ้ บพัดหมนุ ท่อี ตั รา 2500 rpm ( f = 2500 rpm) โดยท่ีอตั ราเรว็ ของปลายใบพดัต้องไมเ่ กิน 270 m/s (v = 270 m/s)เปล่ียนหนว่ ยความถ่ี f = 2500 rpm  1 min  41.67 Hz 60 sก) ถามหารศั มีใบพดั ( r ) เมอ่ื ทราบค่าตวั แปร f , v จึงเลือกใชส้ มการ (2.25)จาก v = 2rfแทนคา่ 270 = 2 r 41.67จะไดร้ ศั มขี องใบพัด r = 1.03 mข) หาความเร่งทป่ี ลายใบพัด ( ac ) เม่อื ทราบคา่ ตวั แปร v , r จงึ เลือกใชส้ มการ (2.21)จะไดค้ วามเรง่ ท่ีปลายใบพดั ac = v2  270 2  7.07 10 4 m/s2 r 1.03ดังนัน้ รศั มีของใบพดั คือ 1.03 m และทร่ี ัศมีนม้ี ีความเรง่ ท่ปี ลายใบพัด 7.07x104 m/s2 ตอบเมอ่ื พิจารณา    ma พบว่าทุกๆมวล 1 kg ใบพดั จะต้องทนตอ่ แรงประมาณ 70,000 N ดังนน้ั Fเพ่ือให้ใบพัดทนตอ่ แรงที่มากขนาดนไี้ ด้จึงจําเปน็ ต้องเลือกใชว้ ัสดทุ ่มี คี วามทนทานสูง

การเคลือ่ นทีแ่ บบต่าง ๆ 51ตัวอย่างที่ 2.24 การเล้ียวโค้งบนถนนราบท่ีมีส่วนโค้งรัศมี 250 m ถ้ากําหนดสัมประสิทธิความเสียดทาน0.80 อัตราเรว็ สงู สดุ ทค่ี นขับเลยี้ วรถไดโ้ ดยทรี่ ถไม่ไถลมคี ่าเท่าใดวิธที าํ จากโจทย์กําหนดให้ถนนโคง้ รศั มี 250 m ( r = 250 m) มสี มั ประสทิ ธคิ วามเสียดทาน 0.80 (  =0.80) และถามหาอัตราเรว็ สูงสุดทเี่ ล้ยี วรถไดโ้ ดยทร่ี ถไม่ไถล (v )พจิ ารณาแกน x เคลอื่ นที่ดว้ ยความเรง่ เขา้ ส่ศู ูนยก์ ลาง ทราบคา่ ตัวแปร r ,  และต้องการหา v จึงเลือกใช้สมการ (2.22) Fx = mv2 r f = mv2 r N = mv2 ----------------------------------(1)พจิ ารณาแกน y เพอ่ื หาค่า N r Fy =0 N = mg แทนใน (1) mg = mv2 rแทนค่า 0.80  9.8 = v2 250จะได้อัตราเร็วสูงสดุ ท่คี นขับเลี้ยวรถได้โดยที่รถไม่ไถล v  44.27 m/s หรือ 160 km/h ตอบ คดิ ซกั นดิ 6 จาก ตวั อยา่ งท่ี 2.24 หากฝนตกถนนเปียกทาํ ให้ค่าสมั ประสทิ ธิความเสียดทานลดลงเหลือ 0.25 อตั ราเร็ว สงู สุดทคี่ นขบั เล้ยี วรถไดโ้ ดยทรี่ ถไม่ไถลจะมีค่าเท่าใด 2.4.3 การเคลอ่ื นท่แี บบหมุน ในการศึกษาเรื่องแรงและการเคล่ือนที่ที่ผ่านมา ขนาดและทิศทางของแรงเป็นสิ่งสําคัญ แต่มักไม่ได้ให้ความสําคัญกับตําแหน่งท่ีแรงกระทํา ในการเคลื่อนที่แบบหมุนนั้น ตําแหน่งที่แรงกระทํามีบทบาทสําคัญอย่างมากต่อการหมุน ยกตัวอย่างเช่น หากเราต้องการจะผลักประตูท่ีหนักมาก ๆ การออกแรงผลักที่ตําแหน่งไกลจากแกนหมนุ (ใกล้ลูกบดิ ประต)ู จะใชแ้ รงนอ้ ยกวา่ การผลักทต่ี ําแหนง่ ใกล้แกนหมุน (ใกล้บานพับ)การใช้ประแจขันน็อตให้แน่น การจับประแจท่ีปลาย (ตําแหน่ง B ในรูปที่ 2.8) ย่อมออกแรงน้อยกว่าจับที่ตําแหนง่ ใกล้นอ็ ต (ตําแหน่ง A) การเปดิ ฝาขวดนาํ้ จะงา่ ยขึ้นหากเราจับท่ีฝาขวดและออกแรงหมุนท่ีก้นขวด

52 แรงและการเคล่อื นท่ี 20 cm B 10 cm A รปู ที่ 2.8 แสดงผลของตําแหน่งทแ่ี รงกระทาํปริมาณของแรงท่ีก่อให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน คือ ทอร์ก ( ) หรืออาจเรียกว่า แรงบิด นักฟิสิกส์มักใช้คําว่า “ทอร์ก” ในขณะท่ีวิศวกรมักใช้คําว่า “โมเมนต์” แต่สองคํานี้ส่ือถึงสิ่งเดียวกัน เรานิยามทอร์ก (หรือโมเมนต์) ของแรง F รอบจุดหมุนว่าคือผลคูณระหว่างขนาดของแรง F กับระทางตั้งฉาก rจากจุดหมุนมายังแนวแรงมีหน่วยในระบบ SI คือ นิวตันเมตร (N.m) ทอร์กเป็นปริมาณเวกเตอร์ ขนาดของทอร์กหาได้ตามสมการ ส่วนทิศทางหาได้จากกฎมอื ขวาดังรปู ที่ 2.9   r   (2.27) F   rF sin  (2.28)เมอ่ื  คอื ทอรก์ หรอื แรงบิด (Torque) ในหนว่ ย N.m rF คอื ระยะทางจากจุดหมุนมาตั้งฉากแนวแรง (radius) ในหน่วย m  คือ แรง (Force) ในหน่วย N  r F คอื มมุ ระหวา่ งเวกเตอร์ และ (angle) ในหน่วย องศา  r  F r F แรงบดิ แรงนอ็ ตเคลอ่ื นที่ลง  รูปท่ี 2.9 ทิศทางของทอรก์ ตามการใชก้ ฎมอื ขวา

การเคล่ือนทแี่ บบต่าง ๆ 53 หากเราสงั เกตการใชก้ ฎมือขวาในการบอกทิศของทอรก์ จะพบว่า ในการหมุนหรือบิดเพ่ือเปิดหรือปิดวาล์วต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็นวาล์วแก๊ส ก๊อกนํ้า หรือการขันสกรู ฯลฯ การหมุนทวนเข็มนาฬิกาจะทําให้วาล์ลนนั้ เปดิ ออก ส่วนการหมนุ ตามเข็มนาฬกิ าจะเป็นการปดิ นอกจากนี้ปริมาณสําคัญอีกค่าหนึ่งซึ่งมีบทบาทสําคัญต่อการพิจารณาการหมุนก็คือ โมเมนต์ความเฉ่ือย ( I ) ของวัตถุ โมเมนต์ความเฉื่อย คือ สมบัติซ่ึงต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการหมุนหรือความเฉอื่ ยของการหมนุ ของวตั ถุมหี น่วยเปน็ kgm2 และมีคา่ ดงั สมการ    mr 2 (2.29) I เมอ่ื I คือ โมเมนตค์ วามเฉ่อื ย (moment of inertia) ในหน่วย kgm2 m คอื มวล (mass) ในหนว่ ย kg r คอื รัศมขี องการหมนุ (radius) ในหน่วย m จากสมการเราพบว่า วัตถุท่ีมีมวลมากและวัตถุท่ีมีขนาดใหญ่ (รัศมีการหมุนมาก) จะหมุนได้ยากกวา่ เน่ืองจากมีความเฉอื่ ยในการหมุนมาก ซึ่งจากการสังเกตส่ิงต่าง ๆ รอบตัว เช่น การท่ีเราพยายามกางแขนออกเพอื่ ทรงตัวไมใ่ ห้ลม้ หรือ นักสเก็ตนํา้ แข็งจะใชก้ ารหมุนตัวแลว้ หุบแขนเพ่ือให้หมุนตวั ได้เรว็คดิ ซักนดิ 7สาํ หรบั เงอื่ นไขการสมดลุ (วัตถไุ ม่หมนุ ) เราสามารถอา้ งได้วา่ ผลรวมโมเมนตซ์ ึ่งเกดิ จากแรงท่ที ําใหเ้ กดิ การหมนุ แบบทวนเขม็ จะมีคา่ เท่ากบั ผลรวมโมเมนตข์ องแรงท่ีทําใหเ้ กิดการหมุนตามเขม็  rตาFมเขตม็ ามเข็ม r  F ทวนเขม็ = ทวนเข็ม =ตัวอย่างที่ 2.25 จากรูปท่ี 2.8 ท่ีตําแหน่ง B ซึ่งมีแขนแรงยาว 20 cm ต้องใช้แรงขนาด 20 N ในการขันน็อตจงหาแรงทต่ี อ้ งใช้ในการขนั นอ็ ตที่ตําแหนง่ A ซึ่งมแี ขนแรงยาว 10 cmวิธที ํา จากโจทยก์ าํ หนดให้แขนแรงทต่ี าํ แหน่ง B ยาว 20 cm ( rB = 20 cm) ใช้แรง 20 N (  = 20 N)แขนแรงที่ตําแหนง่ A ยาว 10 cm ( rA = 10 cm) และถามหาแรงทีต่ ําแหนง่ A (  FB FA ) สรปุ ได้วา่ ทราบคา่ ตัวแปร rB ,  , rA และต้องการหา  พิจารณาใหท้ อร์กท่ตี ําแหนง่ A และ Bเทา่ กนั จงึ เลอื กใชส้ มการ (2.27) FB FA   F r  B A =จาก 10  FA = 20  20ดังน้ันแรงท่ตี าํ แหน่ง A FA = 40 N ตอบ2.4.4 การเคล่อื นที่แบบส่นั การเคล่ือนท่ีแบบส่ัน หรือ การเคล่ือนท่ีแบบคาบ (Oscillation motion) คือ การเคลื่อนที่กลับไปมาบนเส้นทางเดมิ ในช่วงเวลาเทา่ ๆ กนั ซึง่ สามารถพบเห็นการเคลือ่ นทีแ่ บบนไี้ ด้มากมายรอบ ๆ ตัวเราเช่น การแกว่งของชิงช้า การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกา การส่ันของเส้นลวดในเครื่องดนตรีประเภทเครื่องสาย

54 แรงและการเคลอื่ นท่ี การส่ันของหนังกลอง การชักเข้าออกของลูกสูบในเคร่ืองยนต์ การลอยข้ึนลงของเรือในทะเลตามกระแสคลื่น ฯลฯ นอกจากนี้ลักษณะการเคล่ือนที่แบบคลื่น ไม่ว่าจะเป็นคลื่นน้ํา คลื่นในเส้นเชือก คล่ืนเสียง หรือคล่ืน แม่เหล็กไฟฟา้ ก็จดั เป็นการเคลื่อนท่แี บบคาบเช่นกนั ซงึ่ รายละเอยี ดของคลื่นนั้นจะขอกล่าวถงึ ในบทที่ 6 การเคลื่อนท่ีแบบสั่นท่ีพบเห็นกันในชีวิตประจําวันนั้นมีอยู่หลายมีตัวแปรท่ีส่งผลให้การพิจารณา เปน็ ไปได้ยาก สาํ หรบั ในบทเรยี นน้จี ะขอกลา่ วถึงเฉพาะการพจิ ารณาการเคลอ่ื นที่แบบส่ันในกรณที งี่ า่ ยทสี่ ดุ คอื การเคล่ือนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic motion) ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่แบบเป็นคาบท่ีมี แอมปลจิ ูด ( A) และความถีเ่ ชงิ มุมคงที่ ( ) เพื่อเปน็ ตัวอยา่ งต่อการนาํ ไปศกึ ษาต่อไปเทา่ น้นั ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายท่ีพบเห็นได้ ยกตัวอย่างเช่นการแกว่งของลูกตุ้ม นาฬิกาอย่างง่าย ซึ่งเราพบว่า หากเราปลอ่ ยใหล้ กู ตุ้มน้ันอยู่น่ิง ลูกตุ้มจะวางตัวอยู่ในตําแหน่ง O ดังรูปท่ี 2.10 แต่เมื่อเราดึงลูกตุ้มข้ึนมาในตําแหน่ง A และปล่อย ลูกตุ้มนั้นจะถูกแรง mg sin  ดึงให้เคล่ือนท่ีกลับมายัง ตําแหนง่ O อีกครงั้ และเลยไปอกี ด้านจนถึงตาํ แหนง่ –A กอ่ นจะเคล่อื นท่กี ลับตามเส้นทางเดมิ ซ้ําไปซ้ํามาแบบ น้ีไปเรื่อยๆ เราเรียกตําแหน่ง O ว่าตําแหน่งสมดุล ซ่ึงเป็นตําแหน่งที่ลูกตุ้มจะวางตัวอยู่น่ิงเมื่อไม่มีแรงใดมา กระทํา และเป็นตําแหน่งที่ลูกตุ้มจะเคลื่อนท่ีผ่านไปมาซํ้าไปเรื่อยๆก่อนจะหยุดน่ิงอีกคร้ังที่ตําแหน่งนี้ ส่วน ตําแหน่ง A และ –A น้ัน เรานิยามขนาดของปริมาณกระจัดจากตําแหน่ง O ไปยังตําแหน่ง A และ –A ว่าเป็น ปริมาณกระจัดมากที่สุดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย หรือท่ีเรียกว่า แอมปลิจูดของการส่ัน ( A) นอกจากนี้ยงั มีปรมิ าณที่สําคญั ต่อการพิจารณาการเคลอ่ื นทีอ่ กี เช่น คาบ (T ) และ ความถ่ี ( f ) -A A Oรูปที่ 2.10 ลกู ตมุ้ นาฬกิ าอย่างงา่ ย เง่ือนไขสําคัญสําหรับการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่ายก็คือ มุม  ในการแกว่งจะต้องมีค่าน้อย ๆ เพื่อให้ค่า sin   ในหน่วย rad โดยพบว่าคาบการแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่ายจะมีค่าดังสมการT  2 l (2.30) gเมอื่ T คอื คาบการแกวง่ ของลูกตมุ้ (period) ในหนว่ ย s l คอื ความยาวเชอื กของลูกตมุ้ (length) ในหน่วย m g คือ ความเร่งโน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2

การเคลอ่ื นทแี่ บบตา่ ง ๆ 55 จากสมการ (2.30) เราพบว่าคาบการแกว่งมีค่าข้ึนอยู่กับความยาวเชือกของลูกตุ้มและค่าความเร่งโน้มถ่วงของโลก น่ันหมายความว่าการเปล่ียนแปลงความยาวของเชือกมีผลต่อคาบการแกว่งนั่นเองซ่งึ เราอาจสงั เกตไดจ้ ากการผูกชงิ ชา้ ยิ่งเราผกู ชิงชา้ กบั ก่ิงไมท้ ี่สูง เราจะพบวา่ ชิงช้าน้นั ใช้เวลาในการแกว่งแต่ละรอบมากขึ้น และหากเราปรับความยาวเชือกของลูกตุ้มจนได้ค่าท่ีเหมาะสม เราสามารถนําลูกตุ้มน้ันมาใช้ในการจับเวลาอย่างง่ายได้ นอกจากนี้จากการทดลองเร่ืองลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย เราสามารถนําผลการทดลองท่ีได้จากการปรับค่าความยาวเชือกของลูกตุ้มและจับเวลาในการเคลื่อนท่ีแต่ละรอบมาเขียนเป็นกราฟเพื่อนําไปหาค่าความเรง่ โน้มถ่วงของโลกได้ลองทําดูนกั ศึกษาลองนําเชือกมาผกู กับก้อนหินโดยปรบั ความยาวของเชือกเป็น 20, 30, 40, 50 cm ฯลฯ จับเวลาท่ีใช้ในการแกว่ง 10 รอบเพอื่ นาํ มาหาค่าคาบการแกว่งของความยาวเชือกแต่ละค่า ทําการทดลองซํ้าอย่างน้อยค่าละ 3 คร้ังเพ่ือหาค่าเฉล่ีย แล้วนําตัวเลขท่ีได้มาเขียนกราฟระหว่างความยาวเชือกและคาบการแกว่ง จากนัน้ พจิ ารณาความสมั พันธ์จากกราฟเพอื่ หาคา่ ความเร่งโน้มถ่วงตามสมการ (2.30)ตัวอยา่ งที่ 2.26 มินตราตอ้ งการผูกเชอื กเพื่อทําชงิ ชา้ ไม้ที่หนา้ บ้าน โดยต้นไม้มีก่ิงไม้ท่ีสามารถผูกชิงช้าได้อยู่ 2กิ่ง คือ ก่ิงท่ีมีความสูง 4 เมตร และ กิ่งที่มีความสูง 8 เมตร หากมินตราต้องการให้การแกว่งแต่ละรอบใช้เวลาประมาณ 4 s อยากทราบวา่ มินตราสามารถผกู ชิงช้าไม้ท่ีหน้าบ้านไดห้ รอื ไม่ และถา้ ไดค้ วรจะผูกทก่ี ง่ิ ไหนวธิ ที ํา จากโจทย์คาบการแกวง่ คอื 4 s (T = 4 s) ภายใต้ความเร่งโน้มถว่ ง ( g = 9.8 m/s2) และถามหาความยาวเชือก (l ) สรปุ ไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร T , g และตอ้ งการหาคา่ l จึงเลอื กใช้สมการ (2.30)จาก T= 2 l gแทนคา่ 4 = 2 l 9.8จะไดค้ วามยาวเชอื ก l = 3.98 mดังนน้ั มนิ ตราสามารถผูกชิงชา้ ไม้ทก่ี งิ่ ที่มีความสูง 4 เมตรได้ ตอบ

56 แรงและการเคลือ่ นท่ี สรุปแนวคิดประจําบทท่ี 2 แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ซ่ึงเกิดข้ึนจากการดึงหรือผลักวัตถุ มีหน่วย SI คือ นิวตัน (N) ในการพิจารณาแรงจําเป็นตอ้ งสนใจท้งั ขนาดและทศิ ทางของแรง มวลเปน็ ปริมาณท่วี ัดสมบตั คิ วามเฉอื่ ยของวัตถุ ในขณะที่นํา้ หนกั เปน็ แรงโน้มถว่ งที่โลกกระทําต่อวตั ถุ w  mg กฎการเคล่ือนที่ข้อที่ 1 กล่าวว่า เม่ือไม่มีแรงมากระทําต่อวัตถุ หรือ แรงสุทธิท่ีกระทําต่อวัตถุเป็นศูนย์วัตถุจะอยู่ในสมดุล หรือก็คือ หากเดิมวัตถุหยุดน่ิงก็จะหยุดนิ่งต่อไป แต่หากวัตถุกําลังเคล่ือนท่ีก็จะเคลือ่ นที่ตอ่ ไปด้วยความเรว็ คงที่  F   0 กฎการเคล่อื นท่ขี อ้ ที่ 2 กลา่ วว่า เมื่อมีแรงสุทธFกิระทาํ ตอ่mวaัตถจุ ะสง่ ผลใหว้ ตั ถนุ ั้นเคลอ่ื นท่ีด้วยความเรง่ กฎการเคล่ือนที่ขอ้ ท่ี 3 กลา่ วว่า แรงกระทาํ ใดเม่อื เกดิ ขึน้ แล้วจะมีแรงปฏิกริ ิยาโต้ตอบขนาดเท่ากนั แต่มที ศิทางตรงข้ามเกิดขึ้นเสมอ เรียกว่า แรงคูก่ ิริยา-ปฏกิ ิริยา ระยะทางเป็นปริมาณสเกลาร์ คือ ความยาวตลอดเส้นทางที่มีการเคลื่อนที่ ในขณะที่การกระจัดซ่ึงเป็นปริมาณเวกเตอร์ คือ ความยาวที่วัดจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดสุดท้ายเท่านั้นโดยไม่สนใจเส้นทางการเคลื่อนท่ี ความเร็วเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่ง และ ความเรว็ ท่ีเวลาใด ๆ มีนิยามว่า s s2  s1 vt   ds vav  t  t2  t1 และ dt ความเร่งเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลาหน่ึง และ ความเรง่ ที่เวลาใด ๆ มีนิยามว่า v v2  v1 at  dv aav  t  t2  t1 และ dt พิจารณาการเคลื่อนที่ใน 1 มิติ เมื่อความเร่งมีค่าคงตัวแปรท่ีสําคัญต่อการพิจารณานั้นมีอยู่ 5 ตัวคือ ระยะทางหรือการกระจัด ( s ) อัตราเร็วหรือความเร็วในตอนท่ีเร่ิมพิจารณา (u) อัตราเร็วหรือความเรว็ ในตอนท้าย ( v ) ความเร่ง ( a) และเวลา (t ) โดยมสี มการการเคล่อื นที่ดังน้ี v  u  at s  (u  v) t 2 s  ut  1 at 2 2 v2  u2  2as ส่วนการตกอย่างอิสระในแนวดิ่งที่ความเร่งคงตัว ขนาดของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ g โดยสามารถใช้สมการการเคลื่อนท่ีได้เช่นเดียวกับการเคล่ือนท่ีใน 1 มิติ เพียงแค่แทนค่าตัวแปรจาก a ด้วย g = -9.8 m/s2 ในการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ ซึ่งเป็นการเคลื่อนที่ใน 2 มิติ และมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นเส้น โค้งพาราโบลา โดยพิจารณาแกน x ว่าเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ ในขณะที่แกน y เคลื่อนที่

การเคลอ่ื นทแ่ี บบต่าง ๆ 57ด้วยความเร่งโน้มถ่วง g มีตัวแปรทใี่ ชร้ ่วมกนั คอื เวลา t (เวลาทใี่ ช้ในการพจิ ารณาแนวราบและแนวดิ่งมีค่าเท่ากัน) นอกจากนี้เวลาท่ีใช้ในการเคล่ือนท่ีจากจุดเริ่มต้นถึงจุดสูงสุดจะเท่ากับเวลาจากจุดสูงสุดลงมาถึงท่ีระดับเดียวกับจุดเร่ิมต้น และที่ระดับความสูงเดียวกันทั้งขาขึ้นและขาลงจะมีขนาดของความเร็ว เท่ากนั ต่างกนั แคเ่ พยี งทิศเท่านั้น เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมสมา่ํ เสมอ ทศิ ทางของความเร่งมที ิศเข้าสู่ศูนย์กลาง เรียกว่า ความเร่งเขา้ สศู่ ูนย์กลาง โดยแรงทที่ ําให้เกดิ การเคลอ่ื นทแ่ี บบวงกลมนี้คือ แรงสศู่ ูนย์กลาง ซ่งึ มคี ่าดังสมการac  v2 และ   mac  m v2 r Fc rและเพ่ือให้การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ครอบคลุมตัวแปรที่หลากหลาย ยังมีปริมาณท่ีสําคัญในการพิจารณาการเคลอ่ื นท่แี บบวงกลมอีกสองปริมาณ นั่นก็คือ คาบและความถ่ี ซึง่ มีความสมั พนั ธ์กนั ดังสมการ f 1 Tดงั นน้ั จะได้สมการสําหรบั พิจารณาการเคลื่อนทแี่ บบวงกลมเพิ่มเตมิ คือ 4 2 rv  s  2r  2rf และ ac  T2  4 2 rf 2 tT ในการพจิ ารณาการเคล่ือนที่แบบหมนุ ตําแหน่งท่ีแรงกระทาํ มีบทบาทสาํ คัญอย่างมากต่อการหมุน แรงบิดหรอื ทอร์ก มคี า่ ดงั สมการ และ   rF sin    r  Fในขณะท่ีโมเมนตค์ วามเฉ่ือย ซ่ึงเปน็ สมบัติทต่ี I้านการเmปrลี่ย2 นสภาพการหมุน มีค่าดังสมการวัตถุท่ีมีมวลมากและวัตถุท่ีมีขนาดใหญ่ (รัศมีการหมุนมาก) จะหมุนได้ยากกว่า เนื่องจากมีความเฉ่ือยใน การหมนุ มาก  การเคล่ือนท่ีแบบแกว่ง หรือ การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายเช่น การแกว่งของลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย มีเง่ือนไขสําคัญก็คือ มุม  ในการแกว่งจะต้องมีค่าน้อย ๆ เพ่ือให้ค่า sin   ในหน่วย rad โดยพบวา่ คาบการแกวง่ ของลูกตมุ้ นาฬิกาอย่างง่ายจะมีค่าดงั สมการ T  2 l g

58 แรงและการเคล่ือนที่ คําถาม Q2.1 หากเรากําลังยืนอยู่น่ิงโดยไม่สัมผัสส่ิงใดบนรถโดยสารท่ีหยุดนิ่ง ทันทีที่รถออกว่ิง เราจะหงายไปทาง ด้านหลงั เหตุใดจึงเปน็ เชน่ นน้ั จงอธิบาย Q2.2 ในขณะที่เรากําลังเดินทางโดยรถไฟฟ้าใต้ดินซ่ึงว่ิงด้วยความเร็ว 80 km/h แล้วเผลอหลับไป เมื่อตื่น ขึ้นมาอกี ครัง้ เราจะทราบหรอื ไมว่ ่ารถกาํ ลงั วิ่งอยหู่ รอื ไม่หากไมส่ งั เกตออกไปนอกรถ จงอธบิ าย Q2.3 ในการดันกล่องใบหน่ึงข้ึนพื้นเอียง เราใช้แรงในการดันมากหรือน้อยกว่าเม่ือเทียบกับการดันกล่องใบ เดียวกันนี้บนพน้ื ราบในแนวระดบั Q2.4 ลังหนังสือวางนิ่งบนพื้นระดับที่มีความฝืด เมื่อเปรียบเทียบแรงท่ีใช้ในการดึงลังในทิศทํามุม  กับ แนวระดับ กบั แรงทีใ่ ช้ในการดันลังดว้ ยมมุ เดียวกนั แบบใดใชแ้ รงน้อยกวา่ จงอธบิ าย Q2.5 ขอ้ ความท่ีว่า “วัตถทุ ่อี ยูใ่ นสภาวะหยดุ นง่ิ แสดงว่าไมม่ แี รงใดมากระทาํ ” ถกู หรือผดิ เพราะเหตใุ ด Q2.6 จงยกตวั อย่างการทดลองทแี่ สดงใหเ้ ห็นวา่ กฎขอ้ ท่ี 1 ของนิวตนั เปน็ จริง Q2.7 เด็กหญิงคนหน่ึงอยู่ในลิฟต์ท่ีกําลังเคลื่อนท่ี ในมือถือของเล่นไว้ ถ้าเด็กหญิงปล่อยมือจากของเล่นแต่ ของเลน่ ไมต่ กลงบนพื้น จงสรุปการเคลอื่ นท่ขี องลฟิ ต์วา่ เป็นอย่างไร Q2.8 จงยกตัวอย่างวตั ถุท่มี คี วามเร็วเป็นศูนย์แต่ความเรง่ ไมเ่ ปน็ ศนู ย์ Q2.9 คนขับรถกระบะคันหนึ่งถูกส่งตัวขึ้นศาลในข้อหาขับรถเร็วเกินกว่าที่กฎหมายกําหนด โดยมีพยานคือ ตํารวจซึ่งสังเกตเห็นรถกระบะขับมาคู่กับรถเก๋งซึ่งได้ตรวจวัดแล้วว่าขับรถเร็วเกินกําหนดจริง แต่ คนขับรถกระบะค้านว่า “รถเก๋งที่แล่นอยู่ผ่านผมไป ผมไม่ได้ขับรถเร็วเกินกําหนด” ผู้พิพากษาเห็นว่า ถ้ารถทั้งสองคันอยู่ข้างกันแสดงว่าคนขับท้ังสองขับรถเร็วเกินกําหนด หากเราเป็นทนายจะแก้ต่างให้ คนขบั รถกระบะอยา่ งไร Q2.10 ในการยิงปืนยาวไปยงั เป้าท่อี ย่ไู กลออกไป ลํากลอ้ งปนื ต้องไม่วางตัวในแนวระดับแต่ต้องเผื่อมุมไว้ เหตุ ใดจึงเป็นเชน่ นนั้ Q2.11 ในขณะเดียวกับท่ีเรายิงปืนออกไปในแนวระดับ ก็ปล่อยลูกปืนอีกลูกจากระดับความสูงเดียวกับลํา กลอ้ งปืน ถา้ ไมม่ ีแรงต้านอากาศ ลูกปนื นัดใจตกกระทบพนื้ ก่อน จงอธิบาย แบบฝึกหัด 2.1 สุนัขสองตัวถูกผูกเชือกไว้กับเสา เชือกท้ังสองเส้นทํามุมกัน 65 องศา หากสุนัข A ออกแรงดึง 200 N ในขณะที่สุนัข B ออกแรงดึง 170 N จงหาแรงลัพธ์ และทิศทางของแรงลัพธ์ว่าทํามุมเท่าใดกับเชือกของ สนุ ขั A 2.2 วัตถุก้อนหน่ึงไถลลงมาตามพื้นเอียงซ่ึงทํามุม 25 องศากับแนวระดับ ที่ไม่มีความเสียดทาน วัตถุจะ เคลือ่ นทล่ี งมาดว้ ยความเร่งเท่าใด 2.3 จงหาแรงตึงเชือกที่ทํามุม 37 องศากับแนวระดับซ่ึงพอดีลากวัตถุหนัก 25 N ไปทางขวาบนพื้นราบด้วย อตั ราเร็วคงตัว แรงปฏิกริ ยิ าต้งั ฉากมีค่าเท่าใด กาํ หนด  = 0.2

การเคลื่อนทแี่ บบตา่ ง ๆ 592.4 กระสอบวางอยู่บนพ้ืนเอียง เมื่อปรับมุมเอียงจนกระท่ังกระสอบเล่ือนไถลลงมาเองตามพ้ืนเอียงด้วย อตั ราเร็วคงตัว จงหามมุ ของพ้นื เอยี ง กาํ หนดสัมประสิทธิความเสยี ดทาน 0.352.5 ออกแรง 15N ฉดุ ลากกลอ่ งในทิศทาํ มมุ 60 องศากับแนวระดับ ปรากฎวา่ กลอ่ งเคลื่อนท่ีด้วยความเร็วคงท่ี ไปบนพ้นื ราบ ถ้า  = 0.45 กลอ่ งใบนี้หนกั เทา่ ไร2.6 ขนตู้เสื้อผ้าหนัก 300 N ลงจากท้ายรถบรรทุกโดยใช้พ้ืนเอียงยาว 2.8 m สูง 1.2 m ถ้า  = 0.3 ถามว่า ต้องออกแรงดงึ ข้นึ หรือดึงลงต้จู ึงเคลื่อนที่ดว้ ยอตั ราเรว็ คงตวั และตอ้ งใช้แรงขนานกับพนื้ เอยี งขนาดเท่าใด2.7 หญงิ มวล 48 kg ยนื อยู่บนตาชงั่ ในลฟิ ต์ จงหาว่าตาช่งั จะอา่ นคา่ นํ้าหนักเทา่ ใดเมือ่ ก) ลฟิ ต์หยดุ นิ่ง ข) ลฟิ ต์เคลื่อนท่ีขึน้ ด้วยความเร่ง 1.5 m/s2 ค) ลิฟต์เคลื่อนที่ลงดว้ ยความเร่ง 1.5 m/s22.8 นักแสดงหนุ่มนายหนึ่งขับรถด้วยความเร็ว 100 km/hr เพื่อรีบไปกองถ่าย ในขณะท่ีเขาขับรถอยู่น้ันเขา มองเห็นสิ่งกีดขวางอยู่ข้างหน้าในระยะ 150 m ถามว่าเขาจะต้องเหยียบเบรกให้ได้ความเร่งเท่าไหร่จึงจะ หยุดรถหน้าสงิ่ กีดขวางพอดี และนกั แสดงหนุ่มผู้นนั้ จะใช้เวลานบั ตั้งแตเ่ ร่มิ เบรกจนรถหยุด เปน็ เวลาเทา่ ใด2.9 รถคันหนึง่ เรมิ่ เคลอ่ื นที่จากหยุดนิง่ ด้วยความเร่ง 2 m/s2 เปน็ เวลา 4 s จงหาความเร็วปลาย2.10 ปลอ่ ยก้อนหินก้อนหน่ึงลงมาจากหน้าผาสูง ก้อนหนิ ตกถงึ พนื้ ใชเ้ วลา 20 s จงหาวา่ หน้าผาสูงเทา่ ใด2.11 โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวดิ่งจากยอดตึกแห่งหนึ่งซึ่งสูง 45 m ด้วยความเร็ว 10 m/s จงหาว่าก้อนหินจะ ขน้ึ ไปไดส้ ูงสุดเท่าใด และจะตกถงึ พื้นด้วยความเรว็ เทา่ ใด2.12 ชายคนหน่ึงออกแรงดนั ตเู้ ยน็ ข้ึนจากพื้นเอียงมุม 25 องศา ด้วยความเร็วคงตัว หากตู้เย็นมีมวล 90 kg จง หาขนาดของแรงดนั ในแนวขนานกบั พื้นเอยี ง2.13 รถยนตค์ ันหน่ึงมีมวล 2100 kg วงิ่ ด้วยความเรว็ 90 km/h แลว้ เบรกกระทนหนั ปรากฎวา่ รถไถลไประยะ หนงึ่ ถ้าสมั ประสิทธคิ วามเสยี ดทานระหว่างถนนและลอ้ คือ 0.65 จงหา ก) แรงเสียดทานระหวา่ งรถกบั ถนน ข) ความหน่วงของลอ้ ค) ระยะทางที่รถไกลไปก่อนหยดุ2.14 ออกแรงผลักลังสินค้าใบหน่ึงด้วยแรง 120 N ไปบนพ้ืนซ่ึงมีแรงเสียดทาน 25 N ปรากฎว่าลังสินค้า เคล่ือนที่ไปได้ 5m ในเวลา 11 s จงหา ก) ลังสินคา้ มวลเทา่ ใด ข) ถ้าท่ีเวลา 11s หยุดออกแรงผลักลังสินค้า ลังสินค้าจะเคลื่อนท่ีไปได้อีกระยะทางเท่าใดในอีก 5 s ตอ่ มา2.15 ป้าสมหวังดันลังผลไม้มวล 50 kg ไปบนพ้ืนระดับความอัตราเร็วคงตัว 3m/s ถ้าสัมประสิทธิ์ความเสียด ทานระหวา่ งกลอ่ งและพืน้ มคี า่ 0.2 ปา้ สมหวังต้องออกแรงเท่าใด และหากป้าหยุดออกแรงดันลังจะไถลไป ได้อีกไกลเท่าใดก่อนหยดุ

60 แรงและการเคลอื่ นที่ 2.16 ในระหว่างการรบ เคร่ืองบินรบกําลังบินในแนวระดับด้วยความเร็ว 55m/s ทิ้งระเบิดลงมาเม่ือบินอยู่ เหนือเป้าหมายจากความสูง 350 m หากไม่คิดแรงต้านอากาศ ลูกระเบิดจะตกถึงพื้นในเวลาเท่าใด และ ลูกระเบิดตกหา่ งจากตาํ แหนง่ เปา้ หมายไปเปน็ ระยะทางเทา่ ใดในแนวราบ 2.17 ในการช่วยเหลือผู้ประสบภัยจากเหตุการแผ่นดินไหวซ่ึงถนนถูกตัดขาด เฮลิคอปเตอร์ต้องบินเข้าไปเพ่ือ แจกจ่ายเสบียงในการยังชีพ หากเฮลิคอปเตอร์บินด้วยความเร็ว 65 km/h ท่ีระดับความสูง 300 m นักบนิ ควรจะปลอ่ ยเสบยี งทร่ี ะยะหา่ งเทา่ ใดจากเปา้ หมายในแนวระดบั 2.18 นักบาสเก็ตบอลยิงลูกออกไปที่ระดับความสูง 1.8 m ด้วยมุม 30 องศากับแนวระดับท่ีระยะห่างจากแป้น 4.5 m หากแปน้ มีความสูง 3.05 m เขาต้องยิงลกู บาสออกไปดว้ ยความเร็วเทา่ ใดจงึ จะลงหว่ งพอดี 2.19 รถจักรยานยนต์และคนขับมีมวลรวมกัน 170kg ถ้าขับข่ีด้วยอัตราเร็ว 40 km/h เล้ียวโค้งบนถนนราบซ่ึง รัศมคี วามโค้ง 30 m แรงเสยี ดทานด้านขา้ งลอ้ ท่ที ําใหร้ ถเลยี้ วโค้งได้เปน็ เท่าใด 2.20 นักขี่มอเตอร์ไซค์ไต่ถังมีมวลรวมกับรถเป็น 155 kg ถังมีรัศมี 6m หากสัมประสิทธิความเสียดทานเป็น 0.4 จงหาวา่ เขาตอ้ งข่ดี ้วยอัตราเรว็ เทา่ ใดจงึ ไตถ่ ังได้ 2.21 จากตัวอย่างที่ 2.24 หากต้องการออกแบบทางโค้งรัศมีความโค้ง 250 mโดยการยกพื้นด้านนอกโค้งให้ เอียงเพื่อป้องกันการไถลแหกโค้งกรณีท่ีเกิดฝนตกหรือถนนลื่น (ไม่คิดแรงเสียดทาน) ควรจะยกทางโค้งให้ เอียงเป็นมุมเท่าใดสาํ หรับ ก) รถท่ีความเรว็ ปกติตามความเรว็ ทกี่ ฎหมายกําหนด ท่ี 90 km/h ข) รถแข่งในสนามแขง่ ทีค่ วามเรว็ 160 km/h 2.22 ในการกระโดดข้นึ ตบลกู วอลเลย์บอลแต่ละครั้ง นกั กฬี าจะตอ้ งกระโดดข้ึนในแนวด่ิงสูง 0.7 m ถ้านักกีฬา คนน้มี ีนํ้าหนกั 600 N และชว่ งเวลาการกระโดดคอื 0.3 s แรงเฉล่ียท่ีนกั กฬี ากระทาํ ต่อพืน้ มคี ่าเทา่ ใด

บทท่ี 3งานและพลังงานสําหรับการแก้ปัญหาบางข้อนั้นการใช้ทฤษฎีเร่ืองแรงและการเคล่ือนที่จากบทท่ีผ่านมาอาจไม่เพียงพอในการแก้ปัญหา การจะหาอัตราเร็วของจอบท่ีถูกเงื้อข้ึนก่อนจะกระทบพื้นดินอาจเป็นเร่ืองที่ยากเนื่องจากแรงท่ีใช้เป็นแรงไมค่ งที่และการเคลอื่ นที่นเี้ กดิ ข้นึ ในหลายมติ ิในบทน้ีจะนําเสนอการประยุกต์แนวความคิดเก่ียวกับงานและพลังงานในการแก้ปัญหาโจทย์ที่มีความซับซ้อนมากขึ้น โดยยึดหลักของ กฎการอนุรักษ์พลังงาน ที่เช่ือว่าพลังงานสามารถเปลี่ยนรูปจากรูปหน่ึงไปเป็นอีกรูปหนึ่งได้โดยไม่มีการสูญหายของพลังงาน และไม่สามารถสร้างขึ้นใหม่หรือสูญสลายไปได้ เช่น ในเคร่ืองยนต์พลังงานเคมีบางส่วนถูกเปล่ียนให้เป็นพลังงานท่ีใช้ในการเคลื่อนที่ของรถและบางส่วนเปล่ียนไปเป็นความร้อนในห้องเครื่อง การที่ดวงอาทิตย์ปลดปล่อยพลังงานออกมาในรูปของแสงและความร้อน พืชสังเคราะห์แสงและเก็บสะสมพลังงานในรูปของแป้ง มนุษย์และสัตว์รับประทานพืชเข้าไปและย่อยสลายแป้งเพ่ือเป็นแหล่งพลังงานในการดํารงชีวิตและทํากิจกรรมต่าง ๆ นอกจากน้ีการเปล่ียนรูปของพลังงานยังเป็นสาเหตุสําคัญของปรากฏการณต์ า่ ง ๆ เชน่ การเกิดลมและฝน หรือการเปลย่ี นแปลงสภาวะอากาศตา่ ง ๆ3.1 งานและกาํ ลงั3.1.1 งานในฟิสิกส์งานมีนิยามท่ีแตกต่างไปจากความเข้าใจท่ัวไป เราอาจคิดว่าการทํางานบ้าน การน่ังทําเอกสาร การเดนิ เสริ ์ฟอาหาร หรือการขนทรายเขา้ วัดเป็นงาน แต่ในเชิงฟิสิกส์กิจกรรมบางอย่างอาจไม่เรียกว่างาน นยิ ามงานของนกั ฟสิ ิกส์นั้นมาจากการสงั เกตความสัมพันธข์ องแรงและการเคล่ือนท่ี ยกตัวอย่างเช่น การที่เราออกแรงผลักลังผลไม้ให้เคล่ือนท่ี เม่ือออกแรงมากขึ้น ลังผลไม้ก็จะไปได้ระยะทางไกลมากข้ึน ดังนั้นเมื่อพิจารณาการเคล่ือนท่ีของวัตถุ จากรูปท่ี 3.1 มีแรงคงตัวขนาด F ทําต่อวัตถุส่งผลให้วัตถุนั้นเคลื่อนท่ีไปได้การกระจัดขนาด s จะได้งานดังสมการ (สําหรับการพิจารณาจะสมมติให้วัตถุเป็นอนุภาคเพื่อไม่ต้องคํานึงถึงการหมุนหรือการเปลีย่ นรูปรา่ งของวตั ถ)ุ W Fs (3.1)เมอ่ื W คือ งาน (Work) ในหนว่ ย J F คอื แรง (Force) ในหน่วย N s คอื การกระจัดตามแนวแรง (displacement) ในหน่วย m หน่วย SI ของงาน คือ จูล (ย่อว่า J เพ่ือเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชาวอังกฤษเจมส์ จูล JamesPrescott Joule ผู้ค้นพบหลักการคงตัวของพลังงาน) จากสมการ (3.1) จะเห็นได้ว่าหน่วยของงานคือหน่วยของแรงคูณกบั หนว่ ยของระยะทางดังน้นั หนึง่ จลู จึงมคี ่าเท่ากบั หนงึ่ นิวตนั -เมตร (N.m) 1 J = 1 N.m

62 งานและพลังงาน  F F s mg s รูปท่ี 3.1 เม่อื แรงคงตวั  ทาํ ในทิศเดยี วกบั การกระจดั s Fขอ้ ควรระวงัอยา่ สับสน W (งาน หน่วยจูล) กับ w (น้ําหนัก หนว่ ยนิวตัน) แม้วา่ สญั ลกั ษณจ์ ะคล้ายกันแต่ทง้ั สองเป็นปรมิ าณที่ต่างกนัตัวอย่างท่ี 3.1 ชายผู้หนึ่งออกแรงผลักวัตถุช้ินหน่ึงด้วยแรง 150 N ทําให้วัตถุเคลื่อนที่ไปในแนวเดียวกับทิศที่แรงกระทําเปน็ ระยะทาง 10 m งานที่เกดิ ขึ้นมีค่าเทา่ ไรวิธีทาํ จากโจทยก์ าํ หนดให้แรงผลักคอื 150 N ( F = 150 N) ระยะทาง 10 m ( s = 10 m) และถามหางาน (W )สรปุ ไดว้ ่าทราบคา่ ตัวแปร F , s และต้องการหาค่า W จงึ เลือกใชส้ มการ (3.1)จาก W = F sแทนค่า W = 150 10  1500 Jดังนั้นงานท่เี กิดขึน้ มีคา่ 1500 J ตอบ3อเน.ง2ื่คอป์เงรจราะาจกกะอเพรบิจาจขาสาอรนกงณตใจFาวัเเอฉฉใยนพพา่ ทาางะศิ ทะแขงี่ รอ3าง.งน1ใกนทาหท่ีชรากิศากรยกแะผารจรู้นงดั เนี้ทคเั้นทลําก่า่ือนรดนะัน้ังททนด่ีขําังั้นอตสเง่อมมววกื่อัตัตาแถถรรุเุใทงน่าทนFิศ้ันทแาลงะท(กําFามรุมcกoรsะจก)ัดับแกมsา้จรมะกยีทรังะิศมจตีแัด่ารขงงอกใงนันวทัตเิศถรอุดาื่นังจรดะูป้วใทชยี่้ W  F s cos (3.2) เมื่อ W คอื งาน (Work) ในหนว่ ย J F คือ แรง (Force) ในหน่วย N s คอื การกระจดั ตามแนวแรง (displacement) ในหนว่ ย m  คอื มมุ ระหว่างแรงและการกระจัด (angle) ในหนว่ ย องศา สมการ (3.2) อยใู่ นรูปของผลคูณสเกลาร์ซง่ึ ได้กลา่ วไปแล้วในบทที่ 1 วา่   B  AB cos  จงึ Aอาจเขียนสมการ (3.2) ให้กระชบั มากข้นึ ได้ว่า  F W   s (3.3)

งานและกาํ ลงั 63  F Fcos  รปู ที่ 3.2 เมื่อแรงคงตวั  s  กับการกระจัด s F ทาํ ในทศิ ทํามุม งานนั้นเป็นปริมาณสเกลาร์ แม้ว่าจะคํานวณงานจากเวกเตอร์สองตัวก็ตาม (แรงและการกระจัด)การเข้าใจว่างานเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็เป็นส่ิงสําคัญ งานจะมีค่าเป็นบวกเมื่อแรงมีองค์ประกอบในทิศเดียวกันกับการกระจัด (มุม  อยู่ระหว่างศูนย์และ 900) และงานจะมีค่าเป็นลบเมื่อแรงมีองค์ประกอบในทิศตรงข้ามกับการกระจัด (มุม  อยู่ระหว่าง 900และ 1800) นอกจากนี้งานอาจมีค่าเป็นศูนย์ได้เมื่อแรงมีทิศตั้งฉากกบั การกระจัด (มุม  =900) ในหลาย ๆ สถานการณง์ านอาจมีค่าเปน็ ศูนย์หรือไมเ่ กิดงานได้ เราอาจคดิ วา่ การถือถุงใส่อาหารท่ีหนักเดินกลับบ้านเป็นงานท่ีหนัก แต่ในทางฟิสิกส์แล้วกิจกรรมน้ีไม่ถือว่าเกิดงานเนื่องจากทิศของแรงตั้งฉากกบั การเคล่อื นที่คดิ ซักนิด 8ยงั มกี จิ กรรมอะไรอกี บ้างทใ่ี นทางฟสิ ิกสถ์ อื วา่ ไมเ่ กดิ งานตัวอย่างที่ 3.2 พ่อลากเลื่อนไปตามพื้นเป็นระยะทาง 10 m ด้วยแรง 150 N เชือกทํามุม 30o กับแนวระดับงานท่ีเขาทํามคี า่ เท่าไรวิธที ํา จากโจทยก์ าํ หนดระยะทาง 10 m ( s = 10 m) แรง 150 N ( F = 150 N) มุม 30o ( = 30o)และถามหางาน (W )สรปุ ไดว้ ่าทราบค่าตวั แปร F , s ,  และตอ้ งการหาคา่ W จึงเลอื กใช้สมการ (3.2)จาก W= F s cosแทนค่า W= 15010 cos30oดังน้ันจะได้งาน W = 1299.04 J ตอบจะเห็นไดว้ า่ เม่ือออกแรงในทศิ ทํามุมจะไดง้ านน้อยกวา่ กรณอี อกแรงขนานกบั การเคลอื่ นที่ตัวอย่างท่ี 3.3 ออกแรงลากกล่องมวล 20 kg ไปบนพ้ืนท่ีมีสัมประสิทธิความเสียดทาน 0.3 โดยออกแรงดึงทํามุม 37 องศากับแนวระดับ หากเกิดงานขึ้น 600 J อยากทราบว่าลากกล่องใบน้ีไปเป็นระยะทางเท่าใดในแนวราบวธิ ีทาํ จากโจทยก์ าํ หนดใหก้ ล่องมมี วล 20 kg ( m = 20 kg) สมั ประสิทธคิ วามเสียดทาน 0.3 (  = 0.3)มุม 37 องศากบั แนวระดับ ( = 37o) เกิดงานขน้ึ 600 J (W = 600 J) และถามหาระยะทาง ( s )จาก ตวั อยา่ งที่ 2.5 หาแรงดึงไว้แล้ว ได้ 60.35 N ( F = 60.35 N)สรุปได้ว่าทราบคา่ ตวั แปร F , W ,  และตอ้ งการหาคา่ s จงึ เลอื กใชส้ มการ (3.2)จากสมการ W= F s cos

64 งานและพลงั งาน แทนคา่ 600 = 60.35  s  cos37o ดังน้นั จะได้ระยะทาง s = 12.45 m ตอบตัวอย่างท่ี 3.4 ชายคนหน่ึงตัดหญ้าท่ีสนามหน้าบ้าน อยากทราบว่าเขาต้องใช้แรงเท่าใดในการเข็นเครื่องตัดหญ้า หากในการตัดหญ้าเขาเผาผลาญพลังงานไป 200 kcal และ 30% ของพลังงานน้ีถูกเปล่ียนเป็นงานในการเข็นเครื่องตัดหญ้าเป็นระยะทาง 550 m กําหนดให้แขนเครื่องตัดหญ้ายาว 1.25 m และตําแหน่งที่จับอยู่สงู จากพืน้ 1 mวธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดให้ 30% ของการเผาผลาญพลังงาน 200 kcal ถูกเปลี่ยนเป็นงาน (W =30  200 103  4.184 J) ระยะทาง 550 m (s = 550 m) แขนเคร่ืองตัดหญ้ายาว 1.2 m และตําแหน่ง100ท่จี ับอยู่สงู จากพน้ื 1 m ( sin   1 ) และถามหาแรงทตี่ อ้ งใช้ ( F ) 1.25 สรุปได้วา่ ทราบคา่ ตัวแปร W , s , และตอ้ งการหาค่า F จึงเลือกใช้สมการ (3.2) จาก W= F s cos แทนค่า 30  200 10 3  4.184 = F  550  cos(sin 1 1 ) 100 1.25 ดังนน้ั จะได้แรงทตี่ ้องใช้ F= 760.72 N ตอบ สําหรับกรณีท่ีมีแรงหลายแรงกระทําต่อวัตถุ การใช้สมการ (3.2) หรือสมการ (3.3) เพ่ือหางานที่ทําโดยแรงแต่ละแรงแยกกันแล้วนํามาหางานสุทธิ Wtotal โดยวิธีผลบวกพีชคณิต หรืออาจหางานสุทธิโดยการหาผลบวกเวกเตอร์ของแรงท้ังหมด (แรงสุทธิ) ก่อนแล้วจึงนําแรงสุทธิน้ีมาหางานสุทธิตามสมการ (3.2) หรือสมการ (3.3) กไ็ ด้ตัวอยา่ งที่ 3.5 ชาวนาผูกรถแทรกเตอร์เข้ากับท่อนซุงและลากไปเป็นระยะทาง 30 m ท่อนซุงมีนํ้าหนัก 1500N รถแทรกเตอร์ออกแรงคงตัวขนาด 4000 N ในทิศทํามุม 250กับแนวระดับ มีแรงเสียดทานขนาด 2500 Nจงหางานทที่ ําโดยแรงแต่ละแรงและงานสุทธิโดยแรงท้งั หมดวธิ ที าํ จากโจทย์กําหนดให้ระยะทาง 30 m ( s = 30 m) พิจารณาเฉพาะแรงในแนวการเคลื่อนที่ ซึ่งประกอบด้วย รถแทรกเตอร์ออกแรงคงตัวขนาด 4000 N ( F = 4000 N) ในทิศทํามุม 250 กับแนวระดับ (= 25o) แรงเสียดทานขนาด 2500 N ( f = 2500 N) และถามหางานที่ทําโดยแรงแต่ละแรง (WF ,W f )และงานสทุ ธโิ ดยแรงทงั้ หมด (Wtotal ) สรปุ ได้วา่ ทราบค่าตัวแปร s , F , f ,  และตอ้ งการหาค่า , ,WF W f Wtotal จึงเลอื กใชส้ มการ (3.2) จาก W= F s cos งานที่ทาํ ดว้ ยแรงฉดุ ลาก WF = 4000 30 cos25o = 108,756.93 J ตอบ งานทีท่ ําดว้ ยแรงเสียดทาน Wf = 2500 30cos180o =  75,000 J ตอบ ดงั น้นั งานสทุ ธิมีคา่ =Wtotal WF W f

งานและกาํ ลัง 65  = 33,756.93 J ตอบ Fx ตอบหรอื หาจากแรงสุทธิกอ่ น  = (4000 cos25o )  2500ดงั นั้นงานสุทธิมีค่า = 1125.23 N  =Wtotal  Fx s = 1125.2330 = 33756.93 J จากที่กล่าวมาเป็นการศึกษางานเมื่อแรงคงตัวกระทําต่ออนุภาค แต่หากมีแรงไม่คงตัวกระทําต่ออนภุ าค การแก้ปญั หานีจ้ ะตอ้ งเขียนสมการของงานในรูปของอินทกิ รัล คือ W s2 (3.4)  F ds s1 ตัวอยา่ งของแรงไมค่ งตัวทน่ี าํ มาพิจารณาคือกรณีแรงในสปริง (การออกแรงดึงเพื่อยืดสปริง ย่ิงยืดสปริงออกมากก็ยิ่งต้องใช้แรงมากข้ึน) พิจารณากฎของฮุค ( F  ks ) ที่ว่าความยาวท่ียืดออกของสปริง sแปรผันตรงกบั แรงยืด F เมือ่ k คอื ค่าคงตวั ของสปรงิ จะได้ว่า Ws  s s  1 ks 2 (3.5) 2  F ds  ks ds 0 0ตัวอย่างที่ 3.6 สปริงอันหนึ่งแขวนอยู่ในแนวด่ิงในสภาวะสมดุล ต่อมาทําการแขวนมวล 6 kg ที่ปลายล่างของสปริง ถา้ วดั สว่ นยืดของสปรงิ ได้ 11 cm จงหางานทเี่ กิดข้นึ จาก ก) แรงโน้มถ่วงของโลก ข) แรงในสปรงิวิธีทํา จากโจทย์กําหนดมวล 6 kg ( m = 6 kg) สว่ นยืดของสปรงิ 11 cm ( s = 0.11 m)ก) หางานท่ีเกดิ ขึ้นจากแรงโนม้ ถ่วงของโลก (Wg )สรปุ ได้ว่าทราบคา่ ตวั แปร m , s และตอ้ งการหา Wg จงึ เลือกใชส้ มการ (3.1)จาก Wg = F s  mg sแทนค่า Wg = 69.8 0.11  6.468 Jข) หางานทเ่ี กดิ ข้ึนจากแรงในสปรงิ (Ws )สรุปไดว้ า่ ทราบค่าจีงแปน m , s และตอ้ งการหาคา่ Ws จึงเลือกใชส้ มการ (3.1)จาก Ws = 1 k s2 2หาค่า k จากสมการ F  ks จะได้ k  F  mg  6  9.8  534.54 N/m s s 0.11แทนคา่ Ws = 1  534.54  0.112 = 3.234 J 2ดังนนั้ งานทีเ่ กิดขึ้นจากแรงโนม้ ถว่ ง คือ 6.468 J และงานทีเ่ กิดจากแรงในสปรงิ คอื 3.234 J ตอบ

66 งานและพลงั งาน 3.1.2 กําลัง จากนิยามของงานในหัวข้อที่ผ่านมาไม่ได้มีการกล่าวถึงเวลาท่ีใช้เลย หากเราออกแรง 200 N ยกวัตถุหนักข้ึนในแนวดิ่งเป็นระยะ 0.7 m เราจะทํางาน 140 J ไม่ว่าจะใช้เวลายก 5 วินาที 5 นาที หรือ 5ชั่วโมง แต่บ่อยครั้งเรามักจําเป็นต้องการทราบด้วยว่างานน้ันใช้เวลาไปแค่ไหน ซ่ึงตัวแปรน้ีคือ กําลัง ในทางฟิสกิ สน์ ยิ ามกําลังวา่ คือ อตั ราการทํางานตอ่ เวลา กาํ ลงั เปน็ ปริมาณสเกลาร์เช่นเดียวกับงาน เมื่อมีการทํางาน W ในระหว่างช่วงเวลา t จะนิยามให้งานเฉลี่ยที่ทําต่อหน่ึงหน่วยเวลาหรอื กําลังเฉลยี่ Pav มคี ่าดังสมการ Pav  W  dW (3.6) t dt หน่วย SI ของกําลังคือ วัตต์ (ตัวย่อ W ตามช่ือของเจมส์ วัตต์ นักประดิษฐ์ชาวอังกฤษ) หน่วยของกําลังคอื ผลหารของหนว่ ยงานและเวลา หนง่ึ วตั ตค์ อื หน่ึงจูลต่อวนิ าที 1 J = 1 N.m ซง่ึ โดยทวั่ ไปแลว้ จะพบเหน็ การใช้งานหน่วยของกาํ ลังในรูปของกิโลวัตต์ (1 kW = 1000 W) หรือเมกะวตั ต์ (1 MW = 106 W) นอกจากนยี้ ังมีหน่วยของกาํ ลังที่นิยมใช้อกี หน่วยหนึ่งคอื กําลังม้า (hp) 1 Hp = 746 W วัตต์เป็นหน่วยของกําลังไฟฟ้าท่ีเราคุ้นเคยกัน เช่น หลอดไฟขนาด 60 W จะเปล่ียนพลังงานไฟฟ้า 60 J เป็นแสงและความร้อนในแต่ละวินาที หรือเตาป้ิงขนมปัง 700W จะเปลี่ยนพลังงาน 700 J เป็นพลงั งานความรอ้ นในแต่ละวินาที จงึ มกี ารนาํ หน่วยของกําลงั มานิยามหน่วยใหม่ของงานได้ว่า กิโลวัตต์-ช่ัวโมง(kW.h) ซ่ึงเป็นหน่วยทางการค้าของงานหรือพลังงานทางไฟฟ้า หน่ึงกิโลวัตต์-ช่ัวโมงคืองานท่ีทําในหน่ึงช่ัวโมง(3600s) เม่อื กําลงั มคี า่ 1 kW (103 J/s) 1 kW.h = (103 J/s)(3600 s) = 3.6x106 J = 3.6 MJขอ้ ควรระวงัหนว่ ยกิโลวัตต์-ชัว่ โมงเปน็ หน่วยของงานหรือพลงั งาน ไมใ่ ช่กําลังนอกจากนอี้ าจเขียนกําลังในรูปของแรงและความเรว็ ได้ด้วยดงั สมการ  PW  F  s    v (3.7) F ttเมอ่ื P คือ กาํ ลัง (Power) ในหนว่ ย W W คอื งาน (Work) ในหนว่ ย J t คอื เวลา (time) ในหน่วย s F คือ แรง (Force) ในหน่วย N s คอื การกระจดั (displacement) ในหน่วย m v คอื ความเรว็ (velocity) ในหน่วย m/s

ทฤษฎีงานพลงั งาน 67ตัวอยา่ งที่ 3.7 รถยกยกมวล 500 kg ขึน้ ดว้ ยอตั ราเรว็ 2 m/s รถยกมกี ําลงั เท่าไรวิธีทาํ จากโจทย์กําหนดมวล 500 kg ( m = 500 kg) อตั ราเร็ว 2 m/s ( v = 2 m/s) และถามหากําลงั ( P )สรุปได้ว่าทราบค่าตัวแปร m , v และต้องการหาค่า P จึงเลือกใชส้ มการ (3.7)จาก P= Fvแทนคา่ F  mg ; P = mg vดงั นั้นกาํ ลงั ของรถยก = 5009.8 2  9,800 W ตอบตัวอย่างที่ 3.8 หัวรถจักรออกแรง 120 kN ลากขบวนรถให้เคลื่อนท่ีด้วยอัตราเร็ว 25 m/s กําลังท่ีหัวรถจักรกระทาํ ต่อขบวนรถเป็นเทา่ ใด (ตอบในหน่วยของเมกะวตั ต์)วธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดแรง 120kN ( F = 120 kN) อัตราเรว็ 25m/s ( v = 25 m/s) และถามหากําลัง ( P )สรุปได้ว่าทราบคา่ ตวั แปร F , v และต้องการหาคา่ P จงึ เลือกใชส้ มการ (3.7)จาก P= Fvแทนค่า P= 120103  25 = 3106 Wดังน้ันกําลังท่ีหัวรถจักร = 3 MW ตอบตวั อย่างท่ี 3.9 ลฟิ ต์มวล 1200 kg เคล่ือนท่ีดว้ ยความเรว็ 3 m/s มแี รงเสียดทาน 4500 N กําลังท่ีน้อยทส่ี ุดของมอเตอรท์ ่ใี ช้ยกลฟิ ต์มคี ่ากกี่ ิโลวตั ตแ์ ละหากตอ้ งการเลือกซื้อมอเตอรส์ ําหรบั ลฟิ ตค์ วรเลอื กมอเตอร์กีแ่ รงวธิ ีทาํ จากโจทยก์ ําหนดมวล 1200 kg ( m = 1200 kg) ความเร็ว 3 m/s ( v = 3 m/s) แรงเสียดทาน4500 N ( f = 4500 N) และถามหากาํ ลัง ( P )สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตวั แปร m , v , f และตอ้ งการหาคา่ P F fลฟิ ต์เคลอื่ นทขี่ น้ึ ด้วยความเร็วคFงท่ี จากกฎนวิ ตนั ข้อที่ 1 =0 F  mg  f = 0 F= (12009.8)  4500 mg = 16260 Nจากสมการ (3.7) P = Fvแทนค่า P= 16260 3 = 48780 W  1 Hp 746 W = 65.39 Hpดงั นน้ั กําลงั นอ้ ยทสี่ ุดคือ 48.78 kW และควรเลอื กซ้ือมอเตอร์ขนาดอย่างนอ้ ย 75 แรง ตอบ3.2 ทฤษฎงี านพลังงาน งานท้ังหมดที่แรงภายนอกทําต่อวัตถุมีความสัมพันธ์กับการกระจัดของวัตถุ นั่นก็คือขึ้นกับการเปลี่ยนตําแหนง่ ของวัตถุ นอกจากน้ียังเก่ียวข้องกับการเปลี่ยนอัตราเร็วของวัตถุด้วย หากพิจารณาอนุภาคมวลm เคลื่อนท่ีไปตามแกน x ภายใต้แรงสุทธิคงตัวขนาด F ในทิศตามแกนบวก x ความเร่งของอนุภาคมีค่าคงตัว a จากกฎข้อทีส่ องของนิวตนั F  ma และสมการการเคล่ือนที่ v2  u2  2as จะไดว้ า่

68 งานและพลงั งาน F  ma  v2 u2 m 2s Fs  1 m v2  1 m u 2 (3.8) 2 2 ผลคูณ F s คือ งานที่แรงสุทธิ F ทําต่ออนุภาค หรือ งานสุทธิ ( )Wtotal และเรียกปริมาณ1 mv 2 วา่ พลงั งานจลน์ ( Ek ) ของอนภุ าคดงั จะกลา่ วถึงต่อไปจึงเขยี นสมการ (3.8) ใหมไ่ ดว้ ่า2 Wtotal  Ek2  Ek1  Ek (3.9) เมื่อ F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg a คือ ความเรง่ (acceleration) ในหน่วย m/s2 s คอื การกระจัด (displacement) ในหนว่ ย m v คือ ความเร็วปลาย (final velocity) ในหน่วย m/s u คอื ความเรว็ ต้น (initial velocity) ในหนว่ ย m/s Wtotal คอื งานสุทธิ (Total Work) ในหน่วย J Ek คอื พลงั งานจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J สมการ (3.9) น้ีคือ ทฤษฎีงาน-พลังงานซึ่งอธิบายได้ว่า งานท่ีแรงสุทธิทําต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภาค ซ่ึงจากสมการจะพบว่าหน่วยSI ของพลังงานและงานเป็นหน่วยเดียวกันนั่นก็คือ จูล ทฤษฎีงาน-พลังงานน้ีได้มาจากการพิจารณากรณีท่ีแรงมีค่าคงตัวและการเคลื่อนที่เกิดขึ้นในแนวตรง แลว้ หากแรงไม่คงตวั และเส้นทางการเคล่อื นทีเ่ ปน็ เสน้ โค้งทฤษฎนี ้ีจะยงั เป็นจรงิ หรอื ไม่ ในการพิจารณากรณีท่ีแรงไม่คงตัวกระทําต่ออนุภาคและเส้นทางการเคล่ือนท่ีของอนุภาคไม่เป็นเส้นตรง เพ่ือให้ง่ายต่อการพิจารณาจะเพ่ิมความยุ่งยากทีละอย่างโดยพิจารณาแรงไม่คงตัวที่ทําให้อนุภาคเคลอ่ื นทใ่ี นแนวตรงกอ่ น จะได้วา่     s2 F ds W  s2  s2 dv  s2 dv ds  v (3.10) m ds m ds ma ds s1 dt s1 ds dt mv dv s1 s1 u Wtotal  1 mv 2  1 mu 2  Ek (3.11) 2 2 จากสมการ (3.11) ได้ผลเดียวกันกับสมการ (3.9) แม้จะไม่ได้ใช้สมมติฐานว่าแรงสุทธิ F คงตัวดงั นน้ั ทฤษฎงี าน-พลังงานใชไ้ ดแ้ มเ้ มื่อ F เปน็ แรงไม่คงตวั หรอื แรงมกี ารเปลย่ี นแปลงในขณะท่เี กิดการเคลื่อนท่ีส่วนการพิจารณากรณีอนุภาคเคล่ือนที่เป็นเส้นโค้งน้ัน ขอให้ศึกษาทําความเข้าใจนิยามของพลังงานจลน์พลงั งานศักย์ และกฎการอนุรกั ษพ์ ลงั งานทีจ่ ะกล่าวถงึ ต่อไปน้ีกอ่ น 3.2.1 พลังงานจลน์ พลังงานจลน์มีค่าขึ้นกับมวลและอัตราเร็วของอนุภาค โดยไม่ข้ึนกับทิศการเคลื่อนที่ของอนุภาคดังที่กล่าวมาแล้ว พลังงานจลน์เป็นปริมาณสเกลาร์เช่นเดียวกับงาน พลังงานจลน์มีค่าเป็นลบไม่ได้ และมีค่าเป็นศนู ย์เมอ่ื อนุภาคหยดุ นิง่ เท่าน้นั ดงั สมการ

ทฤษฎีงานพลังงาน 69 Ek  1 m v 2 (3.12) 2เมื่อ Ek คอื พลงั งานจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คอื ความเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s3.2.2 พลังงานศกั ย์พลังงานศักย์เป็นพลังงานท่ีสัมพันธ์กับตําแหน่งของวัตถุ เป็นปริมาณท่ีวัดศักยภาพหรือความเป็นไปได้ในการทํางาน หรืออาจเรียกได้ว่าเป็นพลังงานท่ีสะสมไว้เพื่อเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ในขณะท่ีวัตถุเคลอ่ื นท่ี ในหัวขอ้ นจี้ ะศึกษาพลงั งานศกั ย์ 2 ชนิดนัน่ คอื พลังงานศักยโ์ นม้ ถ่วง และ พลังงานศักย์ยดื หยุ่นพลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นพลังงานที่สัมพันธ์กับน้ําหนักและความสูงของวัตถุเหนือพื้น เมื่อพิจารณาวัตถุตกอย่างอิสระโดยไม่มีแรงต้านอากาศ พลังงานศักย์โน้มถ่วงมีค่าลดลงในขณะท่ีพลังงานจลน์ของวัตถุมีค่าเพ่ิมขึ้นเน่ืองจากพลังงานศักย์โน้มถ่วงถูกเปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงานจลน์ หากเขียนสมการของงานเนอื่ งจากแรงโนม้ ถ่วงจะได้ว่าWgrav  F s  w ( y1  y2 )  mgy1  mgy2 (3.13)นยิ ามผลคูณของนาํ้ หนกั mg กับความสงู y คือ พลงั งานศักยโ์ นม้ ถ่วง ( Epg ) (3.14) E pg  mgy เมือ่ ค่าพลงั งานศักยโ์ น้มถ่วง ณ จุดเร่ิมต้นคือ Epg1  mgy1 และพลังงานศักย์โน้มถ่วง ณ จุดสุดท้ายคอื Epg2  mgy2 สมการ (3.13) เขยี นใหม่ได้วา่Wgrav  E pg1  E pg 2   (E pg 2  E pg1 )   E pg (3.15) เม่ือ Wgrav คือ งานเนอื่ งจากแรงโนม้ ถว่ ง (gravitational work) ในหนว่ ย J F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื การกระจดั (displacement) ในหน่วย m y คอื ความสูงจากระดบั อ้างอิง (height) ในหนว่ ย m Epg คือ พลังงานศักยโ์ น้มถ่วง (gravitational potential energy) ในหนว่ ย J m คอื มวล (mass) ในหนว่ ย kg g คอื ความเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 เพื่อให้งา่ ยต่อการแก้ปัญหาเร่ืองพลังงานศักย์โน้มถ่วง การกําหนดตําแหน่งอ้างอิงจะช่วยลดเทอมท่ีตอ้ งพิจารณาลง โดยกําหนดให้ทต่ี ําแหน่งอ้างอิงมีพลังงานศักยโ์ น้มถว่ งเป็นศูนย์ (โดยมากมักกําหนดตําแหน่งอ้างอิงท่ีพ้ืน แต่สําหรับบางกรณีตําแหน่งอ้างอิงอาจไม่ได้ถูกกําหนดท่ีพื้น) ตําแหน่งที่อยู่เหนือจากตําแหน่งอ้างอิงจะมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นบวก ในขณะท่ีตําแหน่งที่อยู่ต่ํากว่าระดับอ้างอิงจะมีพลังงานศักย์โน้มถ่วงเป็นลบ

70 งานและพลงั งาน พลังงานศักย์ยืดหยุ่น เป็นพลังงานศักย์ที่สะสมอยู่ในวัตถุท่ีเปล่ียนรูปได้ เช่น สปริงหรือยางหนังสติ๊ก (วัตถุท่ีสามารถกลับคืนสู่รูปร่างและขนาดเดิมหลังจากถูกเปลี่ยนรูปไป) จากสมการ (3.5) เรานิยามงานเนอ่ื งจากแรงดึงในสปริง Ws  1 ks 2 และใหป้ ริมาณนเ้ี ป็นพลังงานศกั ย์ยดื หยุ่น ( E ) ด้วย 2 ps E ps  1 ks 2 (3.16) 2 Ws  E ps1  E ps2   (E ps2  E ps1 )   E ps (3.17) เมอื่ Ws คอื งานเนื่องจากแรงดึงในสปริง (Work done to stretch spring) ในหน่วย J Eps คือ พลังงานศกั ยย์ ืดหยุ่น (elastic potential energy) ในหน่วย J k คอื ค่าคงทข่ี องสปริง (spring constant) ในหน่วย N/m s คอื ระยะยืดจากตาํ แหนง่ สมดุล (distant) ในหน่วย mตัวอย่างท่ี 3.10 ชายผู้หนึ่งขว้างก้อนหินมวล 0.2 kg ออกไปจากหน้าผาด้วยความเร็ว 18 m/s เมื่อก้อนหินกระทบผวิ นาํ้ มคี วามเรว็ 35 m/s พลงั งานจลนข์ องกอ้ นหนิ เปลีย่ นไปเทา่ ไรวธิ ที ํา จากโจทยก์ าํ หนดมวล 0.2 kg ( m = 0.2 kg) ความเรว็ ตน้ 18 m/s ( u = 18 m/s) ความเรว็ ปลาย35 m/s (v = 35 m/s) และถามหาพลังงานจลน์ของกอ้ นหินเปล่ยี นไป ( Ek )สรปุ ไดว้ ่าทราบค่าตัวแปร m , u , v และต้องการทราบค่า Ek จงึ เลือกใช้สมการ (3.11)จาก Ek = 1 mv 2  1 mu 2 2 2แทนค่า = 1  0.2 (352  182 )  90.1 J 2ดงั นัน้ พลังงานจลนข์ องกอ้ นหนิ เปลย่ี นไป 90.1 J ตอบตัวอย่างที่ 3.11 รถเลื่อนมวล 30 kg คันหน่ึงเริ่มเล่ือนจากตําแหน่งที่อยู่เหนือพื้นระดับ 53 m เมื่อมาถึงตําแหน่งสดุ ท้ายซึง่ อยู่สงู จากพ้นื ระดบั 4 m รถเลอ่ื นมีการเปลีย่ นแปลงพลังงานศักย์ไปเท่าไรวธิ ที ํา จากโจทยก์ าํ หนดมวล 30 kg ( m = 30 kg) ความสูงเร่ิมตน้ 53 m ( y1 = 53 m) ตําแหน่งสดุ ทา้ ยซ่ึงอยูส่ ูงจากพืน้ ระดับ 4 m ( y2 = 4 m) และถามหาการเปล่ียนแปลงพลังงานศกั ย์ของรถเลอ่ื น ( Epg )สรุปไดว้ ่าทราบคา่ ตัวแปร m , y1 , y2 และตอ้ งการทราบค่า Epg จงึ เลือกใชส้ มการ (3.14)จากส E pg = mgy2  mgy1แทนคา่ = 309.8 (4  53)  14,406 Jดังน้นั รถเลอื นมีการเปล่ยี นแปลงพลงั งานศักย์ลดลง 14,406 J ตอบตัวอย่างที่ 3.12 ปืนเดก็ เล่นกระบอกหนึ่งมกี ระสนุ เป็นลกู บอล ตัวปืนมสี ปริงอยู่ขา้ งใน ค่าคงตวั ของสปรงิ1.6x104 N/m ในขณะเตรียมยงิ สปรงิ จะหดเข้ามาจากปกติ 8 mm จงหาว่าก) เมอ่ื ยงิ กระสุนไป สปรงิ จะมีการเปลย่ี นแปลงพลังงานศักย์ไปเทา่ ไรข) ถ้าลูกกระสนุ มีมวล 0.4 g และพลงั งานศักยข์ องสปริงถูกถา่ ยไปเปน็ พลังงานจลน์ของกระสนุ กระสนุ จะพ่งุด้วยความเรว็ เท่าใด

ทฤษฎงี านพลงั งาน 71วธิ ีทํา จากโจทยก์ าํ หนดคา่ คงตวั ของสปริง 1.6x104 N/m ( k = 1.6x104 N/m) ระยะหด 8 mm ( s = 8mm) สรปุ ไดว้ ่าทราบคา่ ตัวแปร k , sก) หาค่าการเปลย่ี นแปลงพลงั งานศกั ย์ ( Eps )จากสมการ (3.16) E ps = 1 ks 2 2แทนคา่ = 1  1.6 10 4  0.008 2 2ดงั น้นั มกี ารเปลยี่ นแปลงพลังงานศกั ย์  0.512 J ตอบข) หาคา่ ความเรว็ ของกระสุน (v ) เมอ่ื กําหนด มวล 0.4 g ( m = 0.4 g) และพลงั งานศกั ยข์ องสปริงถกู ถ่ายไปเปน็ พลงั งานจลนข์ องกระสนุ ( Ek  E ps = 0.512J)สรุปไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร m , Ek และต้องการทราบคา่ vจากสมการ (3.12) Ek = 1 mv 2 2แทนคา่ 0.512 = 1  0.4  10 3  v 2 2ดังนัน้ ลกู กระสนุ จะพุง่ ดว้ ยความเรว็ v = 50.60 m/s ตอบ3.2.3 กฎการอนรุ กั ษ์พลังงานกฎการอนุรักษ์พลังงานนั้นกล่าวถึงการคงตัวของพลังงาน พลังงานกลทั้งหมดของระบบจะต้องมีค่าเดียวกันท่ีทุกจุดบนเส้นทางการเคล่ือนที่ เรานิยามผลบวก Ek  Ep ของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ว่าเป็นพลังงานกลทั้งหมด E ของระบบ น่ันคือ พลังงานสามารถเปล่ียนรูปได้ พลังงานจลน์เปล่ียนเป็นพลังงานศักย์หรืองานได้ เช่น การตอกตะปูคือการเปล่ียนแปลงของพลังงานศักย์ท่ีสะสมขณะที่เงื้อค้อนขึ้นมาเป็นพลังงานจลนใ์ หค้ ้อนเคล่ือนที่ไปและเม่อื ตอกลงไปบนตะปูก็เปลีย่ นเปน็ งานทต่ี ะปูจมลงในเนื้อไม้ E  Ek  Ep  ค่าคงตวั (3.18)หรอื อาจเขยี นไดว้ ่า E1  E2 (3.19)แทนค่าสมการ (3.18) ลงในสมการ (3.19) และแทนค่าพลงั งานต่าง ๆ จากสมการ (3.12), (3.14)และ (3.16) ลงในสมการ (3.19) Ek1  E pg1  E ps1  Ek 2  E pg 2  E ps2 (3.20) 1 mv12  mgy1  1 ks12  1 mv 2  mgy 2  1 ks 2 (3.21) 2 2 2 2 2 2 สําหรับการแก้ปัญหานั้นหากโจทย์ไม่ได้กล่าวถึงพลังงานตัวใด ให้ถือว่าพลังงานนั้นเป็นศูนย์สามารถตัดเทอมน้ันออกจากการพิจารณาได้ นอกจากน้ีหากมีแรงอ่ืนนอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงและแรงยดื หยุ่นทํางานต่อวัตถุด้วย เราเรียกงานของแรงเหล่าน้ีว่า Wother ซ่ึงจากทฤษฎีงาน-พลังงานซึ่งกล่าวว่า งานที่แรงสุทธิทาํ ตอ่ อนภุ าคมีคา่ เทา่ กับพลังงานจลน์ที่เปล่ียนไปของอนภุ าคจะไดว้ ่า

72 งานและพลังงาน1 mv12  mgy1  1 ks12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 ks 22 (3.22)2 2 2 2 2 เมอ่ื E คือ พลงั งานกล (mechanical energy) ในหน่วย J Ek คือ พลังงานจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J Ep คอื พลงั งานศกั ย์ (potential energy) ในหน่วย J Epg คอื พลงั งานศกั ยโ์ นม้ ถ่วง (gravitational potential energy) ในหนว่ ย J Eps คอื พลังงานศกั ย์ยดื หยนุ่ (elastic potential energy) ในหน่วย J m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg v คือ ความเรว็ (velocity) ในหน่วย m/s g คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2 y คือ ความสงู จากระดับอ้างอิง (height) ในหนว่ ย m k คือ คา่ คงที่ของสปรงิ (spring constant) ในหนว่ ย N/m s คอื ระยะยดื จากตําแหน่งสมดลุ (distant) ในหน่วย m Wother คือ งานท่ีทําโดยแรงอ่นื (other work) ในหนว่ ย J นั่นคือ งานที่ทําโดยแรงอ่ืนท้ังหมดนอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงหรือแรงยืดหยุ่นมีค่าเท่ากับผลต่างของพลังงานกลทั้งหมดของระบบ (Wother  E ) ถ้ามีเพียงแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นเท่าน้ันที่ทํางานต่อวัตถุเราจะได้ว่า Wother  0 สมการ (3.22) ถือเป็นสมการทั่วไปท่ีใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างกว้างขวางซ่ึงรวมถึงในกรณที ่แี รงไมค่ งท่ีกระทําตอ่ วตั ถุให้เคลอื่ นทีเ่ ปน็ เสน้ โค้งอกี ดว้ ยตัวอย่างท่ี 3.13 วัตถุชิ้นหนึ่งตกลงมาอย่างอิสระ ขณะท่ีอยู่ท่ีระยะ y1 มีความเร็วในทิศทางลง 5 m/s เม่ือมาถึงตําแหน่ง y2 ซง่ึ อยตู่ ่ํากวา่ y1 3 m วัตถุจะมีความเร็วเทา่ ใดวธิ ที ํา โจทย์กําหนดให้ความเร็วท่ีตําแหน่ง y1 คือ 5 m/s (v1 = 5 m/s) ตําแหน่ง y2 อยู่ตํ่ากว่า y1 3 m( y1 = 3 m และ y2 = 0 m) และถามหาความเรว็ ที่ตาํ แหนง่ y2 ( v2 )สรปุ ได้ว่าทราบคา่ ตัวแปร v1 , y1 , y2และตอ้ งการหาคา่ v2จากกฎอนรุ กั ษ์พลงั งาน สมการ (3.19) E1  E2 1 mv12  mgy1  1 ks12  1 mv 2  mgy 2  1 ks 2 2 2 2 2 2 2แทนค่า 1 52  (9  3)  1 v22  0 2 2จะได้ความเรว็ ท่ีตําแหน่ง y2 v2  8.89 m/s ตอบตัวอย่างท่ี 3.14 รถมวล 1500 kg เจ้าของลืมใส่เบรกไว้ เรมิ่ ไหลจากหยดุ นงิ่ ลงมาตามทางลาดเอยี ง 10o กับแนวระดบั ได้ระยะทาง 12 m จงหาว่า เมื่อไปถึงปลายล่างสุด รถมคี วามเร็วเท่าใดก. ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานข. ถา้ ถนนมีแรงเสยี ดทาน 2 kN

ทฤษฎงี านพลังงาน 73วธิ ที าํ จากโจทยก์ ําหนดมวล 1500 kg ( m = 1500 kg) ไหลจากหยุดน่ิง (v1 = 0 m/s) ระยะทาง 12 mบนทางลาดเอียง 10o กบั แนวระดบั ( y1 12sin100 m และ y2 = 0 m) ภายใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g =9.8 m/s2) และถามหาความเร็วปลายของรถ ( v2 ) สรุปไดว้ ่าทราบตวั แปร m , ,v1 y1 , y2, g และตอ้ งการหาค่า v2 12 m y1 10oจากกฎอนรุ กั ษ์พลังงาน สมการ (3.19) E1  E2ก) ไมค่ ิดแรงเสียดทาน Wother  0 = = 1 mv12  mgy1  1 ks12  Wother 1 mv22  mgy2  1 ks22 2 2 2 2แทนคา่ 0  (9.812sin10o )  0  0 1  v22  0  0 2ดังนัน้ ความเรว็ ปลาย v2 = 6.39 m/s ตอบข) ถนนมแี รงเสยี ดทาน f  2000 Nดงั นั้น Wother  fs cos  2000 12cos1800  24000 J =1 mv12 1 ks12 1 mv22  mgy2  1 ks22 2 2 2 2  mgy1   Wotherแทนคา่ 0  (1500 9.812sin10o )  0  24000 = 1 1500 v22  0  0 2ดังนนั้ ความเร็วปลาย v2 = 2.97 m/s ตอบตัวอย่างที่ 3.15 รถยนต์มีมวล 1000kg กําลังเคล่ือนท่ีด้วยความเร็ว 95 km/h เพื่อจะให้รถหยุดใน 4 วินาทีจะต้องทาํ งานก่จี ูลวิธีทาํ จากโจทย์กําหนดมวล 1000 kg ( m = 1000 kg) ความเร็ว 95 km/h (v1 = 95 km/h) รถหยุด ( v2= 0 m/s) ใน 4 วนิ าที ( t = 4 s) และถามงาน ( )Wotherสรปุ ได้ว่าทราบคา่ ตวั แปร m , v1 , v2 , t และตอ้ งการหาค่า Wotherเปลีย่ นหนว่ ย v1  95  1000  26.39 m/s 3600จากกฎอนรุ กั ษพ์ ลงั งาน สมการ (3.19) E1  E2 =1 mv12  1 ks12 1 mv22  mgy2  1 ks22 2 2 2 2 mgy1   Wotherแทนคา่ ( 1  1000  26.39 2 )  0  0  Wothet = 000 2 =Wother  348,186.73 Jดังนน้ั ตอ้ งทํางานเพ่มิ 348,186.73 J ตอบ

74 งานและพลังงานตัวอย่างที่ 3.16 ถ้าต้องการเร่งรถมวล 1400 kg ท่ีจอดนิ่งอยู่ ให้มีความเร็ว 25 m/s ภายในระยะ 120 mจะตอ้ งออกแรงฉุดเท่าไรวิธีทาํ จากโจทย์กําหนดมวล 1400 kg ( m = 1400 kg) จอดน่ิง (v1 = 0 m/s) เร่งให้มีความเร็ว 25 m/s( v2 = 25 m/s) ภายในระยะ 120 m ( s = 120 m) และถามหาแรงฉดุ ( F )สรปุ ไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร m , v1 , v2 , s และตอ้ งการหาค่า Fจากกฎอนุรกั ษ์พลังงาน สมการ (3.19) E1  E2 =1mv12   1 ks12 1 mv22  mgy2  1 ks22 2 2 2 2 mgy1  Wotherแทนค่า เมื่อ Wother  Fscos ; 0  0  0  (F 120cos0o ) = ( 1 1400  252 )  0  0 2 F = 3,645.83 N ตอบตัวอย่างที่ 3.17 รถยนต์มวล 1000 kg แล่นด้วยอัตราเร็ว 12 m/s ลงมาตามเนินเขาซ่ึงทํามุมกับแนวราบ 8องศา ถ้าคนขบั เบรกใหร้ ถหยุดไดใ้ นระยะทาง 20 m อยากทราบว่าแรงต้านท่ีทาํ ให้รถหยุดมีคา่ เทา่ ใดวิธที ํา จากโจทย์มวล 1000 kg ( m = 1000 kg) อัตราเรว็ 12 m/s (v1 = 12 m/s) ระยะทาง 20 m ตามเนินเขาซึง่ ทาํ มุมกบั แนวราบ 8 องศา ( y1  20sin80 m และ y2 = 0 m) รถหยดุ ( v2 = 0 m/s) และถามหาแรงต้านที่ทาํ ให้รถหยดุ ( f )สรุปได้ว่าทราบค่าตวั แปร m , v1 , ,v2 y1 , y2 ต้องการหาค่า fจากกฎอนุรกั ษ์พลังงาน สมการ (3.19) E1  E2 =1mv12 1 ks12 1 mv22  mgy2  1 ks22 2 2 2 2  mgy1   Wotherแทนค่า เมื่อ Wother  fscos ;( 1 1000 122 )  (1000  9.8  20 sin 8o )  0  ( f  20 cos180o ) = 000 2 f =  4,963.90 N ตอบ จากความรู้เรื่องกฎการอนุรักษ์พลังงานสามารถนํามาประยุกต์ใช้ในการออกแบบเคร่ืองทุ่นแรงทางการเกษตรได้หลายชนิด ตัวอย่างเช่น เคร่ืองทุ่นแรงในการปลูกข้าวได้แก่ เครื่องหยอดต้นกล้าข้าวนาโยนแบบลากจูง1 ซึ่งอาศัยความรู้ท่ีว่าวัตถุทุกชนิดมีพลังงานศักย์สะสมอยู่ในตัววัตถุ โดยพลังงานศักย์น้ีมีค่าขึ้นอยู่กับความสูงเริ่มต้นของวัตถุน้ัน นั่นก็คือย่ิงความสูงในการปล่อยมาก พลังงานศักย์สะสมในวัตถุก็ย่ิงมากตามไปด้วย และพลังงานศักย์น้ีจะถูกเปลี่ยนเป็นพลังงานจลน์ในการเคลื่อนท่ีส่งผลให้แรงที่เกิดขึ้นขณะกระทบพ้ืนที่ความสูงต่าง ๆ มีคา่ แตกต่างกนั จากหลกั การท่กี ลา่ วมาแล้วนักวิจยั จึงได้คิดออกแบบเครอื่ งทุน่ แรงทช่ี ว่ ยในการดํานาได้โดยไม่ต้องหลังขดหลังแข็งก้มลงปักต้นกล้าในนาข้าว เคร่ืองมือที่ประดิษฐ์ขึ้นน้ีจะช่วยในการปักดําต้นกล้าโดยใช้วิธีการปล่อยต้นกล้าลงตามรางท่ีความสูงท่ีกําหนด อาศัยเพียงแค่แรงโน้มถ่วงของโลกเท่าน้ัน คล้าย1 ผดงุ ศกั ด์ิ วานิชชงั , ใจทิพย์ วานชิ ชงั และ นฤมล บญุ กระจ่าง. 2558. การพัฒนาเครอ่ื งปลูกต้นกล้าขา้ วนาโยนแบบลากจูง. รายงานการวิจัยมหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยีราชมงคลตะวันออก

การชนและโมเมนตัม 75กับการทํานาโยนนั่นเอง แต่สามารถกําหนดระยะปลูกได้แม่นยําโดยอาศัยการหมุนของล้อจักรยานเป็นตัวกําหนดระยะการปลูกว่าต้นกล้าแต่ละชุดควรจะมีระยะห่างเท่าใด เคร่ืองมือชนิดน้ีอาศัยหลักการที่ว่าพลังงานศักย์ที่สะสมในต้นกล้าขณะท่ีปล่อยให้ตกลงมาน้ันจะถูกเปลี่ยนเป็นงานในการจมลงในดินของต้นกล้าความสูงท่ีพอเหมาะจะส่งผลต่อค่าพลังงานศักย์ที่เหมาะสมซ่ึงจะช่วยให้ต้นกล้าสามารถตั้งตรงไม่ล้มได้ ความสงู ที่น้อยเกินไปคา่ พลังงานศกั ย์จะไม่เพยี งพอต่อการจม ต้นกล้าจึงล้ม ในขณะท่ีความสูงที่มากเกินไปอาจทําให้ต้นกล้าเกิดการกระดอนข้ึน ต้นกล้าจึงล้มเช่นเดียวกัน ซึ่งจากงานวิจัยได้ค่าความสูงท่ีเหมาะสมสําหรับการพัฒนาเคร่อื งหยอดตน้ กล้าอยทู่ ี่ 1 m สําหรับตน้ กล้าขา้ วอายุ 15-20 วันทีม่ ีมวลเฉล่ีย 4.48 g/ต้น เคร่ืองหยอดต้นกล้าข้าวแบบนาโยนนี้นอกจากจะช่วยทุ่นแรงในการดํานาแล้ว ยังช่วยลดปริมาณเมล็ดพนั ธล์ งได้ จากเดิมต้องใช้ปรมิ าณเมล็ดพันธ์ 30-50 kg/ไร่ เหลอื เพียงไม่ถึง 1 kg/ไร่ อีกท้ังข้าวในนายังขึ้นเป็นระเบียบทําให้ง่ายต่อการกําจัดวัชพืช และไม่จําเป็นต้องปล่อยนํ้าท่วมนาเพื่อควบคุมวัชพืช จึงสามารถทําการเพาะปลูกขา้ วไดแ้ มใ้ นพน้ื ที่แหง้ แลง้ ซ่งึ เรียกการปลูกข้าวในลักษณะนวี้ ่า การปลกู ข้าวแอโรบิค23.3 การชนและโมเมนตัม เมอื่ รถพ่วงสิบแปดล้อชนกบั รถคันเลก็ เหตใุ ดผู้โดยสารในรถคันเล็กมีโอกาสบาดเจ็บมากกว่า และความเสียหายท่ีเกิดข้ึนกับรถมีมากกว่า เพื่อท่ีจะตอบคําถามน้ีกฎข้อที่สองของนิวตันไม่เพียงพอที่จะใช้แก้ปัญหา แนวคดิ เรอ่ื งโมเมนตัมและการดลถกู นํามาใชใ้ นการอธิบายไดเ้ ป็นอย่างดี กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมจะช่วยให้เราวิเคราะห์สถานการณ์การชนที่วัตถุสองชิ้นชนกันและเกิดแรงที่มีขนาดใหญ่มากกระทําต่อกันในช่วงเวลาทีส่ ัน้ มาก ๆ3.3.1 โมเมนตัมและ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม dv dtพจิ ารณากฎข้อทส่ี องของนวิ ตนั    ma เราสามารถเขียนกฎน้ีใหม่ไดโ้ ดยแทนคา่ a  F F  m dv  d (mv) (3.23) dt dtเน่ืองจากมวล m เป็นค่าคงท่ีจึงสามารถนําเข้าไปด้านในอนุพันธ์ได้ และสามารถอธิบายกฎข้อท่ี สองของนิวตันในรูปใหม่นี้ได้ว่า แรงสุทธิ  F ที่กระทําต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับอัตราการเปล่ียนแปลงของปริมาณผสม mv เทียบกับเวลา เราเรียกปริมาณผสมซ่ึงเป็นผลคูณระหว่างมวลและความเร็วนี้ว่า โมเมนตัมของอนภุ าค โดยใช้สญั ลักษณ์ p p  mv (3.24)เม่ือ F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg v คือ ความเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/s t คอื เวลา (time) ในหน่วย s p คอื โมเมนตัม (momentum) ในหน่วย kg.m/s2 ผดงุ ศกั ด์ิ วานิชชงั , ใจทิพย์ วานชิ ชงั , นฤมล บญุ กระจา่ ง และ เพยี งขวญั วานชิ ชัง. 2557. การพฒั นาเครอ่ื งปลกู ขา้ วและกาํ จัดวชั พืชในการปลกู ขา้ วแอโรบิค. รายงานการวิจัย มหาวทิ ยาลยั เทคโนโลยรี าชมงคลตะวันออก

76 งานและพลงั งานโมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ท่ีมีขนาด mv และมีทิศทางช้ีตามทิศของความเร็ว v โมเมนตัมของลูกบอลที่ถูกขว้างไปทางขวาด้วยอัตราเร็ว 5 m/s แตกต่างจากโมเมนตัมของลูกบอลที่ถูกขว้างไปทางซ้ายดว้ ยอตั ราเรว็ 5 m/s รถพ่วงสบิ แปดล้อมีโมเมนตัมมากกว่ารถมอเตอร์ไซค์ที่แล่นด้วยความเร็วเท่ากันเพราะรถพ่วงมีมวลมากกว่า หน่วย SI ของโมเมนตัมคือหน่วยของมวลคูณกับอัตราเร็ว (kg.m/s) และเม่ือแทนสมการ(3.24) ลงในสมการ (3.23) จะได้วา่    d p (3.25) F dtสมการ (3.25) คือกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปของโมเมนตัม ซึ่งอธิบายได้ว่า แรงสุทธิที่ทําต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอนุภาคเทียบกับเวลา ซ่ึงจากสมการจะเห็นได้ว่าหากการเปล่ียนแปลงโมเมนตัมน้ีเกิดข้ึนอย่างรวดเร็วจะส่งผลให้เกิดแรงสุทธิข้ึนปริมาณหน่ึงแต่หากยืดระยะเวลาออกให้การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมค่อยเป็นค่อยไปแรงสุทธิจะมีค่าลดลง ปัจจุบันมีการใช้หลักการนี้ออกแบบอุปกรณ์ความปลอดภัยหลายชนิด เช่น ถุงลมนิรภัย ที่จะช่วยยืดระยะเวลาในการชนให้มากขึ้นเมื่อเทียบกับการกระแทกเข้ากับพวงมาลัยในทันทีที่เกิดการชน เชือกกระโดดบันจ้ีจ๊ัมพ์ที่มีความยืดหยุ่นช่วยไม่ให้เกิดการกระชากอย่างรุนแรงฉบั พลนั หรอื วัสดบุ รุ องในรรจุหีบหอ่ เพือ่ ปอ้ งกนั วัตถุเปราะบางหรือผลไมส้ ําหรับการขนส่งนอกจากน้นี ักกฬี าคาราเตย้ งั ใช้หลักการนี้ลดช่วงเวลาในการกระแทกจงึ สามารถใช้มอื สบั หนิ กอ้ นใหญใ่ หแ้ ตกได้หลักการโมเมนตัมใช้ได้ดีในการอธิบายสถานการณ์ท่ีมีวัตถุกระทํากันระหว่างสองวัตถุหรือมากกว่า โดยการประยุกต์ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ซึ่งกล่าวว่า ถ้าผลบวกเวกเตอร์ของแรงภายนอกที่กระทําตอ่ ระบบเป็นศูนย์ โมเมนตัมทง้ั หมดของระบบมีค่าคงตวั p1  p 2 (3.26)เม่อื โมเมนตมั ของระบบสามารถหาได้จากพิจารณาระบบท่ีมีอนุภาค A, B, C,… จํานวนเท่าใดก็ได้ท่ีมกี ารกระทําระหวา่ งกันและกนั โดยการคดิ โมเมนตมั รวมของระบบน้นั จะคิดตามหลักการรวมกันของเวกเตอร์จงึ ตอ้ งมกี ารคาํ นึงถงึ ทิศทางของความเรว็ ดว้ ย โมเมนตัมของระบบสามารถเขียนไดว้ ่า p  pÄ  p B    mAvA  mBvB   (3.27) เมื่อใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมน้ีร่วมกับกฎการอนุรักษ์พลังงานที่ได้กล่าวมาแล้วจะสามารถวิเคราะห์สถานการณ์ได้อยา่ งกว้างขวางและมีบทบาทสาํ คัญตอ่ การศกึ ษาฟิสกิ ส์ในทุกสาขาตวั อยา่ งที่ 3.18 รถบรรทกุ ปนู ซีเมนต์คนั หน่ึงมีมวล 45,000 kg แลน่ ดว้ ยความเรว็ 15 m/s จงหาว่าก) โมเมนตัมของรถบรรทกุ มคี ่าเทา่ ไรข) ถ้ารถยนตน์ ง่ั สว่ นบคุ คลมวล 1,200 kg จะว่ิงใหเ้ ร็วจนมโี มเมนตัมเทา่ กบั รถในข้อ ก) ตอ้ งว่ิงเรว็ เทา่ ไรวิธที าํ จากโจทยก์ ําหนดมวล 45,000 kg ( m = 45,000 kg) ความเรว็ 15 m/s ( v = 15 m/s)ก) หาโมเมนตมั ( p ) ของรถบรรทกุ สรุปไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร m , v และ ตอ้ งการหาคา่ pจากสมการ (3.24) p= mvแทนคา่ = 4500015ดงั นัน้ โมเมนตัมของรถบรรทกุ = 675,000 kgm/s ตอบ

การชนและโมเมนตัม 77 ข) กําหนดมวล 1,200 kg ( m = 1,200 kg) โมเมนตัมเท่ากับข้อ ก) ( p = 675,000 kgm/s) และถามหาความเร็ว ( v )สรุปได้วา่ ทราบคา่ ตัวแปร m , p และตอ้ งการหาค่า vจากสมการ (3.24) p = mv =แทนคา่ 675,000 = 1200 vดังนน้ั ความเร็ว v 562.5 m/s ตอบตัวอย่างท่ี 3.19 นักกอล์ฟผู้หน่ึงใช้หน้าไม้กอล์ฟตีลูกกอล์ฟ ระยะเวลาการตี 0.7 x 10-3 s ลูกกอล์ฟมีมวล 42g กระเด็นออกไปด้วยความเร็ว 65 m/s จงหาแรงกระทําเฉล่ยี ต่อลกู กอลฟ์วธิ ีทํา จากโจทยก์ ําหนดระยะเวลา 0.7 x 10-3 s (t = 0.7 x 10-3 s) มวล 42 g ( m = 42 g) ความเรว็ 65m/s ( v = 65 m/s) และถามหาแรงกระทําเฉลีย่ ตอ่ ลกู กอลฟ์ ( F )สรปุ ได้วา่ ทราบคา่ ตวั แปร t, m, v=และตอ้ งmการทvราบคา่ Fจากสมการ (3.23) F tแทนค่า จะไดค้ วามเรว็ = 0.042 (65  0)  3900 N ตอบ 0.7 10 33.3.2 การชนการชนในทางฟสิ ิกส์นนั้ ไม่ไดห้ มายถึงแต่การชนกันของรถบนท้องถนนเท่านัน้ แต่หมายรวมไปถงึการชนกนั ระหวา่ งวัตถุใด ๆ เช่น ไมก้ อล์ฟทหี่ วดลกู กอล์ฟ ลกู บลิ เลยี ดทีช่ นกันบนโต๊ะบิลเลียด ฯลฯ การชนคือ การที่มแี รงกระทําอยา่ งแรง กระทาํ ต่อวัตถุอยา่ งรวดเร็วและสน้ิ สดุ ในเวลาสน้ั ๆ ซงึ่ แบง่ ได้เปน็ 2 แบบคอืการชนแบบยดื หยุ่น และ การชนแบบไมย่ ืดหยุ่นการชนแบบยืดหยุ่น จัดเป็นการชนแบบอุดมคติ มักไม่ค่อยเกิดข้ึนจริงในธรรมชาติ การชนแบบนี้เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงานกล (ไม่มีการสูญเสียพลังงานเกิดข้ึนในการชน)ตวั อยา่ งท่ใี กล้เคียงกับการชนแบบยืดหยนุ่ ท่ีสุด คอื การชนกนั ของลกู บิลเลยี ด mAvA1  mB vB1    mAvA2  mB vB2   (3.28)1 m Av A12  1 mB vB12   1 m Av A2 2  1 mBvB22  (3.29)2 2 2 2 ข้อสังเกตหากเป็นการชนแบบยืดหยุ่นท่ีมวลของสองวัตถุเท่ากัน หลังชนวัตถุทั้งสองจะมีการแลกเปล่ียนความเร็วกัน ดังจะเห็นได้จากการแข่งขันสนุกเกอร์ที่ผู้เล่นยิงลูกขาวออกไปชนลูกสีจากน้ันลูกขาวจะหยุดนิ่งในตําแหน่งแทนที่ลูกสีนั้นส่วนลูกสีก็จะเคลื่อนท่ีต่อไป แต่หากการชนนี้เกิดขึ้นในวัตถุท่ีมีมวลต่างกันอยา่ งมากวัตถุท่ีมมี วลมากจะแทบไมไ่ ด้รับผลกระทบใดและจะยังเคลือ่ นทต่ี ่อไปด้วยความเร็วเท่าเดิม การชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นการชนท่ีพบเห็นได้ท่ัวไป ซ่ึงมีการสูญเสียพลังงานโดยเปลี่ยนรูปเป็นพลงั งานรูปอน่ื ทาํ ให้ไม่เป็นไปตามกฎการอนรุ กั ษ์พลังงานกล แต่ยังคงเปน็ ไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม เช่นกรณีทวี่ ัตถทุ ชี่ นกนั แล้วตดิ ไปดว้ ยกัน หรือการชนที่กนั ชนยบุ ซงึ่ งานที่ทําให้กันชนยุบไปนัน้ เอากลับคนื มาไม่ได้

78 งานและพลังงาน mAvA1  mB vB1    mAvA2  mB vB2   (3.30)เม่อื m คอื มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คือ ความเรว็ (velocity) ในหน่วย m/sตัวอย่างที่ 3.20 รถยนต์มวล 1000 kg วิ่งมาทางขวาด้วยความเร็ว 25 m/s แล้วไปชนกับรถบัสมวล 4000 kgทวี่ ง่ิ สวนมาด้วยอัตราเรว็ 20 m/s อย่างแรง และตดิ ไปด้วยกนั จงหาความเร็วของรถทัง้ สองหลงั ชนวิธีทาํ จากโจทย์กาํ หนดรถยนต์มวล 1000 kg ( mA = 1000 kg) ว่ิงมาทางขวาด้วยความเรว็ 25 m/s ( vA1= 25 m/s) รถบสั มวล 4000 kg ( mB = 4000 kg) ทวี่ งิ่ สวนมาด้วยอัตราเร็ว 20 m/s (vB1 = -20 m/s) และถามหาความเร็วของรถทง้ั สอง ( vA2, vB2 ) สรุปไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร mA , vA1, mB , vB1 และตอ้ งการหา vA2 , vB2 เนือ่ งจากรถทั้งสองติดกันไปหลังชน ดงั นัน้ vA2  vB2  v2 เป็นการชนแบบไมย่ ดื หย่นุจากกฎอนรุ ักษโ์ มเมนตัมสมการ (3.30) (mA  mB )v2 mAvA1  mB vB1 (1000  4000)v2 = ตอบแทนค่า (1000 25)  (4000 20) = 11 m/s = v2ดังนั้นหลงั ชนรถทง้ั สองจะเคล่อื นทต่ี ิดไปดว้ ยกนั ดว้ ยความเร็ว 11 m/s ไปทางซา้ ยตัวอย่างท่ี 3.21 รถมวล 1200 kg ถูกชนโดยรถมวล 1000 kg ซึ่งขับตามมาด้านหลัง หากรถท่ีถูกชนยืนยันว่าเขาขับมาด้วยความเร็ว 60 km/h จงหาความเร็วก่อนชนของรถท่ีมาชน เมื่อหลังชนทั้งสองติดไปด้วยกันด้วยความเร็ว 78 km/h และหากกฎหมายกําหนดความเร็วท่ี 80 km/h รถคันที่มาชนขับเกินความเร็วที่กําหนดหรอื ไม่วธิ ที าํ จากโจทย์กําหนดรถมวล 1200 kg ( mA = 1000 kg) ถูกชนโดยรถมวล 1000 kg ( mB = 4000 kg)ซึ่งขับตามมาด้านหลัง รถท่ีถูกชนมีความเร็ว 60 km/h (vA1 = 25 m/s) หลังชนท้ังสองติดไปด้วยกันด้วยความเรว็ 78 km/h ( vA2  vB2  v2 = 78 km/h) และถามหาความเรว็ กอ่ นชนของรถที่มาชน ( vB1 )สรปุ ไดว้ า่ ทราบคา่ ตัวแปร mA , ,mB , vÄ1 vA2 , vB2 และตอ้ งการหา vB1เนอ่ื งจากรถท้ังสองตดิ กันไปหลงั ชน ดงั นนั้ vA2  vB2  v2 เป็นการชนแบบไมย่ ดื หย่นุจากกฎอนุรกั ษ์โมเมนตมั สมการ (3.30) (mA  mB )v2แทนคา่ (1000  m60A)vA1(12m0B0vB1vB1 ) (10001200) 78 = vB1 = 93 km/h =ดังน้ันรถคันทีม่ าชนขบั รถเรว็ เกนิ ทก่ี ฎหมายกาํ หนด ตอบคน้ ควา้ เพม่ิ เตมินักศึกษาลองศึกษาคลปิ VDO สาธติ การชนเพมิ่ เตมิ ไดจ้ าก

การชนและโมเมนตมั 79 สรุปแนวคิดประจาํ บทที่ 3 เมอื่ มแี รงคงตัวกระทาํ ต่อวตั ถุสง่ ผลให้วWัตถุน้ันFเคsลcอื่ oนsที่ไปไดF้การsก ระจัดคา่ หน่งึ งานจะมีคา่ ดงั สมการ เมื่อ  เป็นมุมระหว่างแรงและการกระจัด หน่วย SI ของงาน คือ จูล หรือ นิวตันเมตร งานเป็นปริมาณสเกลาร์ หากทิศทางของแรงและการกระจัดแตกต่างกัน เราจะคิดเฉพาะองค์ประกอบของแรงในทิศการกระจัดเท่านั้น นั่นเป็นสาเหตุว่าทําไมกิจกรรมบางอย่างไม่นับว่าเกิดงานในทางฟิสิกส์ เพราะหากแรงกระทํามีทิศต้ังฉากกับการกระจัดแล้ว งานจะมีค่าเป็นศูนย์ กรณีที่มีแรงหลายแรงกระทําต่อวัตถุ งานสุทธิ Wtotal อาจหาได้จากการหาค่างานของแต่ละแรง แล้วนํา รวมกนั โดยวิธีผลบวกพชี คณติ หรอื หางานสุทธโิ ดยการหาผลบวกเวกเตอร์ของแรงท้ังหมด (แรงสุทธิ) ก่อนแลว้ จึงนําแรงสุทธิน้มี าหางานสุทธิก็ได้  กรณีแรงไม่คงตัวกระทําต่ออนุภาค สมการของงานสามารถหาได้ในรูปของอินทิกรัล ตัวอย่างเช่นกรณีแรงในสปริง โดยพจิ ารณากฎของฮคุ ( F  ks ) ทวี่ ่าความยาวทยี่ ืดออกของสปรงิ s แปรผนั ตรงกบั แรงยดื Fเม่อื k คอื ค่าคงตัวของสปริง จะไดว้ า่ Ws  s s  1 ks 2 2  F ds  ks ds 0 0 ในทางฟิสิกส์นิยามกําลังว่าคือ อัตราการทํางานต่อเวลา กําลังเป็นปริมาณสเกลาร์เช่นเดียวกับงานหน่วยSI ของกาํ ลังคอื วตั ต์ กาํ ลงั มีค่าดงั สมการ    s  F  v F PW tt ทฤษฎีงาน-พลังงานกล่าวว่า งานท่ีแรงสุทธิทําต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภาคซ่งึ จากสมการจะพบวา่ หน่วยSI ของพลงั งานและงานเป็นหนว่ ยเดียวกัน นน่ั กค็ อื จูล Wtotal  Ek2  Ek1  Ek พลังงานจลน์มีค่าขึ้นกับมวลและอัตราเร็วของอนุภาค โดยไม่ข้ึนกับทิศการเคลื่อนท่ีของอนุภาค พลังงานจลน์เป็นปรมิ าณสเกลารเ์ ชน่ เดียวกับงาน และมคี ่าดงั สมการ Ek  1 m v 2 2 พลังงานศักย์เป็นพลังงานที่สัมพันธ์กับตําแหน่งของวัตถุ เช่น พลังงานศักย์โน้มถ่วงท่ีสัมพันธ์กับความสูงของวัตถุ และพลงั งานศักย์ยดื หยนุ่ ทส่ี มั พันธก์ ับระยะยดื ดงั สมการ E pg  mgy และ E ps  1 ks 2 2 กฎการอนุรักษ์พลังงานกล่าวถึงการคงตัวของพลังงาน พลังงานกลท้ังหมดของระบบจะต้องมีค่าคงท่ีเสมอเรานยิ ามผลบวก Ek  Ep ของพลังงานจลนแ์ ละพลงั งานศกั ยว์ า่ เป็นพลงั งานกลทั้งหมด E ของระบบ E1  E2 สมการทั่วไปท่ีใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างกว้างขวาง โดยคิดว่างานท่ีทําโดยแรงอื่นท้ังหมดท่ีนอกเหนือจากแรงโนม้ ถ่วงหรือแรงยืดหยนุ่ มคี ่าเท่ากับผลตา่ งของพลังงานกลทง้ั หมดของระบบ จะไดส้ มการทวั่ ไปดงั นี้1 mv12  mgy1  1 ks12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 ks 22 2 2 2 2 2

80 งานและพลงั งาน โมเมนตัมเป็นปริมาณเวกเตอร์ท่ีมีขนาด mv และช้ีตามทิศของความเร็ว v หน่วย SI ของโมเมนตัมคือ(kg.m/s) โดยที่แรงสุทธิท่มี ีคา่ pเทา่ กบั อmัตรvาการเปลีย่แนลแะปลงโมเมFนตมั ของdอdนtpุภาคเทียบกบั เวลา กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม กล่าวว่า ถ้าผลบวกเวกเตอร์ของแรงภายนอกท่ีกระทําต่อระบบเป็นศูนย์ โมเมนตมั ทง้ั หมดของระบบมีค่าคงตัว p1  p 2โดยท่โี มเมนตมั ของระบบสามารถหาไดจ้ าก p  pÄ  p B    mAvA  mBvB   การชน คอื การทม่ี ีแรงกระทําอย่างแรง กระทาํ ตอ่ วตั ถุอย่างรวดเร็วและส้ินสุดในเวลาสั้น ๆ ซึ่งแบ่งได้เป็น2 แบบคือ การชนแบบยดื หยุ่น และ การชนแบบไม่ยืดหยุ่น การชนแบบยืดหยนุ่ เป็นการชนแบบอุดมคติ เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงานกล หรือก็คือไม่มีการสูญเสียพลังงานเกิดข้ึนในการชน ในขณะที่การชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นการชนที่พบเห็นได้ท่ัวไป มีการสูญเสียพลังงานโดยเปลี่ยนรูปเป็นพลังงานรูปอื่น ทําให้ไม่เป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงานกล แตย่ ังคงเปน็ ไปตามกฎการอนุรักษโ์ มเมนตัม

การชนและโมเมนตัม 81 คาํ ถาม Q3.1 จงยกตัวอย่างเหตุการณืในชีวิตประจําวัน 3 เหตุการณ์ที่ไม่เกิดงานทางฟิสิกส์แม้จะคิดว่าน่ันคือการ ทาํ งาน พร้อมทั้งอธิบายเหตุผลว่าทําไมQ3.2 สําหรับแรงคงตัวในทิศของการกระจัด ถ้าต้องการให้ได้งานเป็นสองเท่าโดยใช้แรงเท่าเดิมจะต้องทํา อย่างไรQ3.3 จับเวลาตนเองขณะท่ีกําลังว่ิงขึ้นบันไดชั้น 3 ของอาคารศูนย์เรียนรวม จงหาอัตราเฉล่ียที่เราทํางาน ต้านแรงโน้มถ่วงในหน่วยวัตตแ์ ละกําลงั ม้าQ3.4 ชายคนหนง่ึ ออกแรงผลักให้ชิงชา้ แกวง่ จงตอบคาํ ถามวา่ ก) งานที่ชายคนน้ผี ลกั ชิงช้ามคี ่าเทา่ กบั พลงั งานจลน์ของชิงช้า ณ ขณะน้ันหรอื ไม่ ข) ขณะท่ีชงิ ชา้ แกวง่ ไปหยุดทจ่ี ุด ๆ หนึ่ง ณ ตําแหน่งน้ันพลังงานจลน์เป็น 0 พลังงานจลน์จากข้อ ก) หายไปไหนQ3.5 ในการเคลือ่ นท่แี บบโปรเจคไทลท์ มี่ ีมุมยิงตา่ งกันแต่พลงั งานจลน์ตอนตั้งต้นเท่ากัน ทําไมจึงข้ึนไปได้สูง ไมเ่ ทา่ กนัQ3.6 เม่อื เกดิ อบุ ตั ิเหตบุ นท้องถนน เหตุใดรถคนั เล็กจงึ มีโอกาสบาดเจบ็ มากกวา่Q3.7 ในการตอกตะปู คอ้ นหนกั มปี ระสทิ ธิภาพมากกว่าค้อนเบาหรือไม่ จงอธิบายQ3.8 เม่ือตกจากทสี่ ูง เหตทุ ี่ทําให้บาดเจ็บเป็นเพราะการกระแทกในเวลาอันส้ันเม่ือถึงพ้ืน จากข้อความนี้จง ตอบในเชงิ ฟสิ กิ สว์ า่ ตอ้ งทําอยา่ งไรจึงจะไมไ่ ด้รบั บาดเจบ็Q3.9 ในคาบเรียนครูให้นักเรียนทําการทดลองปล่อยไข่ลงมาจากตึกช้ันสี่ซึ่งมีความสูง 25 m จงเสนอไอเดีย ท่จี ะทาํ ให้ไขท่ ีต่ กลงมาถึงพื้นแลว้ ไม่แตก แบบฝึกหัด 3.1 เด็กคนหน่ึงลากรถไม้เด็กเล่นด้วยเชือกด้วยแรง 59 N เชือกวางตัวทํามุม 20 องศากับพ้ืนราบ หากเด็กคน นี้เดินไปเป็นระยะทาง 20 m จงหาว่าเด็กคนน้ีทํางานได้เท่าไหร่ และหากเขาลากเชือกขนานกับพ้ืนจะได้ งานเทา่ ใด3.2 ออกแรงในแนวระดับลากลังไม้ให้เคล่ือนท่ีด้วยความเร็วคงที่ไปเป็นระยะทาง 15 m หากลังไม้มีมวล 40 kg และพืน้ มีสัมประสิทธคิ วามเสียดทาน 0.35 งานทเี่ กดิ ขึน้ จากการลากลังไม้เป็นเทา่ ใด3.3 ชาวประมงดึงสายเบ็ดกลับมา 8 m ในขณะท่ีดึงปลาเข้ามาปลาออกแรงต้านคงที่ 20 N ถ้าเขาดึงปลาเข้า มาดว้ ยความเร็วคงที่ แรงดงึ ในสายเบ็ดทาํ งานเทา่ ใดต่อปลา3.4 อาจารย์ดันหนังสือฟิสิกส์ไปบนโต๊ะเป็นระยะทาง 1.2m ด้วยแรงขนาด 2 N แรงเสียดทานท่ีต้านการ เคล่ือนท่มี ีคา่ 0.4 N จงหางานท่ีอาจารยด์ นั หนังสอื งานท่แี รงเสยี ดทานทาํ ต่อหนังสือ และงานท้งั หมดที่ทํา ตอ่ หนังสือ3.5 ต้นไม้ใหญ่คายน้ําได้เฉลี่ย 550 g ต่อวัน จงหาว่าถ้านํ้าถูกดูดข้ึนไปสูง 6 m ต้นไม้จะใช้พลังงานไปเท่าใด และถา้ การคายน้ําน้ีเกิดขึ้นในชว่ งกลางวนั เทา่ น้ัน (12 ชว่ั โมง) ต้นไม้ใช้กาํ ลงั เฉลย่ี เทา่ ใด

82 งานและพลังงาน 3.6 จากสถิติของการไฟฟ้าฝ่ายผลิต ประเทศไทยมีความต้องการไฟฟ้ารวม 27,345 MW ในปี พ.ศ. 2558 จง หาอตั ราเฉล่ียของการใช้พลังงานไฟฟา้ ในหนว่ ยจูลต่อปี และหากกําหนดให้ดวงอาทิตย์ถ่ายโอนพลังงานมา สู่โลกโดยการแผ่รังสีท่ีอัตราประมาณ 1 kW ต่อตารางเมตรของพ้ืนที่ผิว ถ้าเราสามารถเก็บพลังงานและ เปล่ียนให้เป็นพลังงานไฟฟ้าได้ด้วยประสิทธิภาพ30% เราจะต้องใช้พ้ืนที่กี่ไร่เพื่อที่จะเก็บพลังงานให้ เพียงพอต่อการใช้งาน 3.7 จงคํานวณพลงั งานจลน์ของรถมอเตอร์ไซสม์ วล 200 kg ซงึ่ แลน่ มาด้วยความเรว็ 70 km/h ในหน่วยจูล 3.8 พลังงานศักย์ของลิฟต์มวล 900 kg ที่ยอดของตึกใบหยกซ่ึงสูง 304 m มีค่าเท่าใด หากกําหนดให้พลังงาน ศกั ย์ทีพ่ ้นื เปน็ ศนู ย์ 3.9 ทางขน้ึ สันอ่างเก็บนํ้าบางพระเป็นเนินที่มีความชันค่อนข้างมาก โดยทํามุมประมาณ 5o กับแนวระดับและ มีระยะทางยาว 500 m จงหาว่าชายคนหนึ่งมวล 80 kg จะสูญเสียพลังงานศักย์ไปเท่าไรในการไถลลงมา จากเนินน้ี และถ้า 20% ของพลังงานศักย์ที่สูญเสียไปกลายเป็นพลังงานจลน์ ขณะที่ลงมาถึงพ้ืนราบ จักรยานของเขาจะมคี วามเรว็ เพมิ่ ขึ้นเท่าใด 3.10 รถมวล 1500 kg เร่ิมต้นอยนู่ ่ิงแล้วไถลลงมาจากพืน้ เอยี ง 200 ท่ีมีความยาว 15 m ด้วยความเร่ง 2 m/s2 จงหาพลังงานจลนข์ องรถเมื่อมาถงึ ปลายพ้นื เอยี ง และแรงเสียดทานทเี่ กดิ ขน้ึ เป็นเทา่ ไร 3.11 ลังสินค้ามวล 250 kg ถูกดันให้เคล่ือนที่ข้ึนไปตามทางลาดเอียงอย่างช้า ๆ จงหางานที่ต้องทําในการดัน ลังสนิ ค้าน้ีใหเ้ คลือ่ นที่สงู ขึน้ ในแนวระดับ 2 m เมื่อ ก) ไมค่ ิดแรงเสียดทาน ข) ถา้ ทางลาดเอียงยาว 5m และแรงเสียดทานมคี า่ 200 N 3.12 ลิฟต์ขนของมีมวลรวมท้ังหมด 2300 kg เริ่มเคล่ือนท่ีจากหยุดน่ิงที่พ้ืนชั้น 1 ข้ึนไปถึงช้ันที่ 8 เป็น ระยะทาง 50 m ด้วยอัตราเรว็ 2m/s แรงเสียดทานในระบบมีค่าคงท่ี 600 N งานทเี่ ครื่องจักรของลิฟต์ทํา มคี า่ เท่าใด 3.13 เด็กคนหนึ่งขว้างก้อนหินมวล 250 g จากสะพานซึ่งสูงจากพื้นน้ํา 10 m ด้วยอัตราเร็ว 12m/s จงหา อตั ราเร็วของก้อนหินเมื่อถึงพ้ืนนาํ้ 3.14 หนังสต๊ิกเส้นหน่ึงยิงลูกหินมวล 15g ขึ้นไปตรง ๆ ได้สูง 20 m จงหาพลังงานศักย์ท่ีสะสมในยางหนังสติ๊ก นี้ และด้วยพลังงานศกั ยเ์ ทา่ นห้ี ากเปล่ียนลูกหนิ เป็น 30 g ลูกหนิ จะข้ึนไปไดส้ งู เทา่ ใด 3.15 สปริงอันหนึ่งเม่ือแขวนมวล 500 g จะยืดออกไป 12 cm ถ้าต้องการยืดสปริงจากตําแหน่งสมดุล 3 cm ต้องทํางานเท่าใด 3.16 ในการออกแบบทางลาดเพื่อใช้ขนส่งสินค้า หากลังสินค้ามีนํ้าหนัก 1300 N เคล่ือนท่ีด้วยอัตราเร็ว 2 m/s ที่ยอดของทางลาดซ่ึงมีมุมเอียง 20oทางลาดออกแรงเสียดทานสูงสุด 400 N และท่ีด้านล่างจะมี สปริงเพื่อช่วยหยุดการเคลื่อนที่โดยท่ีลังจะต้องไม่กระเด้ง จงคํานวณค่าคงตัวของสปริงที่หากทางลาดนี้ ยาว 12 m

การชนและโมเมนตัม 833.17 ในการออกแบบรถไฟเหาะตลี งั กาจงหาความเร็ว ณ ตําแหน่งสูงสุดของวงหากต้องการให้รถไฟสามารถว่ิง กลับหัวในวงกลมรัศมี 15 m ไดโ้ ดยที่ผู้โดยสารบนรถไฟไม่รว่ งลงมา จงหาความสูงของรางที่ตําแหน่งสูงสุด วา่ ควรเปน็ เท่าใดจงึ จะมแี รงสง่ เพียงพอ หากรถไฟเหาะไม่ใช้พลังงานอื่นใดเพิ่มเติมและไม่คิดแรงเสียดทาน ระหว่างรถไฟและราง V hr3.18 จากภาพประกอบการทดลองหากรถทดลองมีมวล 0.5 kg และรางทดลองทํามุม 20o กับแนวระดับ ท่ี ปลายพ้ืนเอียงมีสปริงซึ่งมีค่าคงตัวของสปริง 490 N/m ติดอยู่ หากเริ่มต้นกดสปริงเข้าไป 0.02 m เมื่อ ปล่อยให้สปริงดีดรถทดลองออกไป ถ้าพื้นเอียงมีความยาว 1.8 m มวลจะพุ่งออกไปถึงปลายสุดของพ้ืน เอยี งหรือไม่ ถ้าถึงขณะที่มาถงึ มวลมีอตั ราเรว็ เทา่ ใด ปมุ่ ปลดลอ็ คสปรงิ ตัวหยุดการเคล่ือนที่3.19 จงหาขนาดของโมเมนตัมและพลังงานจลน์ของลูกโบวลิ่งมวล 0.7 kg ท่ีถูกขว้างด้วยความเร็วขนาด 3 m/s และลกู เทนนสิ มวล 0.1 g ท่พี ุ่งด้วยความเร็ว 21 m/s และหากให้เลอื กจะรับบอลลกู ใดเพราะเหตุใด3.20 ในอุบัติเหตุรถชนกันรายหนึ่งผู้โดยสารเป็นชายมวล 90 kg โดยสารมาในรถท่ีวิ่งด้วยอัตราเร็ว 90 km/h หากหวั เขา่ ต้องรบั นํ้าหนัก 25% ของนา้ํ หนกั ตัว และกระดูกจะทนแรงกระแทกได้ไม่เกนิ 4000 N หากเกิน กว่าน้ีกระดูกจะหัก การออกแบบห้องโดยสารควรมีระยะห่างจากหัวเข่าไปยังตัวรถเท่าใด เพ่ือให้ชายคนน้ี ไม่ได้รบั บาดเจ็บหนักจนถงึ ขั้นกระดกู หกั

บทที่ 4กลศาสตร์ของของไหลของไหลเป็นสง่ิ ทีส่ ามารถพบเห็นไดท้ ั่วไป และมนุษย์เรามีความคุ้นเคยกบั ของไหลหลากหลายประเภท ไม่ว่าจะเป็นการไหลของนํ้าในลําธาร น้ําท่ีเราดื่มกิน เลือดที่สูบฉีดไปทั่วร่างกาย ลมท่ีสัมผัสใบหน้า หรือไอเสียที่ปล่อยไปตามปล่อง ฯลฯ ตามนิยาม ของไหล (fluid) คือ สถานะของสสารที่รวมกันของทั้งของเหลวแล แก๊ส โดยจะเรียกสสารท่ีสามารถเคล่ือนที่หรือไหล หรือสามารถเปลี่ยนรูปร่างตามภาชนะท่ีบรรจุได้ ในการศึกษากลศาสตร์ของของไหลจะขอแบง่ การพจิ ารณาออกเป็นสองส่วน คือ สถิตศาสตร์ของของไหล และ พลศาสตร์ของของไหล4.1 สถิตศาสตรข์ องของไหล สถิตศาสตร์ของของไหลเป็นการศึกษาของไหลท่ีอยู่น่ิง เช่น นํ้าในแก้ว น้ําในบ่อหรืออ่างเก็บนํ้าหรือของไหลที่อยู่นิ่งในภาชนะต่าง ๆ โดยจะเน้นไปที่สมบัติต่าง ๆ เช่น ความหนาแน่น ความดัน การลอยตัวความตงึ ผวิ ฯลฯ 4.1.1 ความหนาแน่น ความหนาแนน่ เปน็ สมบตั เิ ฉพาะตวั ของสสารหรือของวสั ดุท่ีพจิ ารณา โดยนิยามถึงมวลต่อหนึง่หน่วยปริมาตรของสาร โดยใชส้ ัญลกั ษณ์  แทนความหนาแน่นของสสาร m (4.1) V หน่วย SI ของความหนาแน่นคือ กิโลกรัมต่อลูกบาศก์เมตร (kg/m3 ) และมีหน่วย cgs ซ่ึงนิยมใชก้ นั อย่างแพร่หลายอีกหน่วยหนง่ึ คอื g/cm3 โดยตารางที่ 4.1 แสดงคา่ ความหนาแน่นของวสั ดุบางชนิด 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 ความหนาแน่นสัมพัทธ์ หรืออีกช่ือเรียกหนึ่งคือ ความถ่วงจําเพาะ ( S ) คืออัตราส่วนระหว่างความหนาแน่นของวัสดุต่อความหนาแน่นของน้ํา (1000 kg/m3) เป็นปริมาณท่ีไม่มีหน่วย ตัวอย่างเช่น ความถ่วงจําเพาะของปรอทเท่ากับ 13.6 นอกจากนี้ปริมาณนี้ยังเป็นตัวบ่งชี้สถานะการจมลอยของวัสดุในนํ้าได้อีกด้วย โดยวัสดุท่ีมีความถ่วงจําเพาะมากกว่า 1 เม่ือนําไปลอยในนํ้าวัสดุน้ันจะจมน้ํา แต่หากมีค่าความถว่ งจาํ เพาะน้อยกวา่ หนึ่ง วสั ดนุ ั้นจะลอยนา้ํ S  o (4.2) wเมอ่ื  คือ ความหนาแน่น (density) ในหนว่ ย kg/m3o คือ ความหนาแน่นของวัตถุ (density of object) ในหนว่ ย kg/m3w คือ ความหนาแน่นของน้ํา (density of water) ในหนว่ ย kg/m3m คอื มวล (mass) ในหน่วย kgv คือ ปรมิ าตร (volume) ในหน่วย m3S คอื ความถ่วงจาํ เพาะ (specific gravity) ไมม่ ีหน่วย

สถิตศาสตร์ของของไหล 85ตารางที่ 4.1 ความหนาแน่นของวสั ดุบางชนดิวัสดุ ความหนาแน่น (kg/m3) วสั ดุ ความหนาแนน่ (kg/m3)อากาศ (1atm,20oC) 1.20 7.8x103เอทานอล 0.81x103 เหลก็ , เหล็กกลา้ 8.6x103เบนซนี 0.90x103 ทองเหลอื ง 8.9x103นํ้าแข็ง 0.92x103 ทองแดง 10.5x103น้าํ 1.00x103 เงนิ 11.3x103น้ําทะเล 1.03x103 ตะก่ัว 13.6x103เลอื ด 1.06x103 ปรอท 19.3x103กลเี ซอรีน 1.26x103 ทอง 21.4x103คอนกรีต ทองคําขาวอลูมิเนยี ม 2x103 ดาวแคระขาว 1010 2.7x103 ดาวนิวตรอน 1018ทม่ี า: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ ิกสร์ ะดับอุดมศกึ ษา เลม่ 1. แปลโดย ปิยพงษ์ สทิ ธิคง.กรุงเทพฯ: เพยี ร์สนั เอด็ ดเู คช่ัน อินโดไชนา่ , 2547: หน้า 428.ตวั อยา่ งที่ 4.1 สระนาํ้ ขนาด 20 m x 10 m บรรจุนํ้าลกึ 1.8 m นาํ้ ในสระมีมวลเท่าใดวิธที าํ จากโจทยก์ ําหนดขนาดของสระ 20 m x 10 m และความลึก 1.8 m (V = 20 x 10 x 1.8 m3) และถามหามวลของน้าํ ( m ) สรปุ ไดว้ า่ ทราบค่าตวั แปร V และตอ้ งการหาคา่ m โดยใช้ค่า  จากตารางท่ี 4.1จากสมการ (4.1) = m Vแทนค่า 1000 = mดงั น้ันจะได้มวลของน้าํ m = 20 10 1.8 ตอบ 360,000 kgตัวอย่างที่ 4.2 นักสํารวจเดินทางด้วยบอลลูนบรรจุแก๊ส ก่อนออกเดินทางเขาบรรจุแก๊สฮีเลียมที่มีปริมาตร450 ลูกบาศก์เมตรและมวล 70 กิโลกรัม ขณะนนั้ แก๊สฮเี ลยี มในบอลลูนมีความหนาแนน่ เทา่ ใดวธิ ีทํา จากโจทยก์ าํ หนดปรมิ าตร 450 ลูกบาศก์เมตร (V = 450 m3) มวล 70 กโิ ลกรัม ( m = 70 kg) และถามหาความหนาแนน่ (  )สรปุ ไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร V , m และตอ้ งการหาคา่ จากสมการ (4.1)  = mแทนคา่ = V ตอบดงั นน้ั จะได้ความหนาแน่น  = 70 450 0.16 kg/m3 อปุ กรณท์ ่นี ยิ มใช้ในการหาค่าความหนาแน่นสมั พัทธ์หรือความถ่วงจําเพาะของของเหลว คือ ขวดวัดค่าความถ่วงจําเพาะ (Pycnometer) หรือ ขวดหาถ.พ. มีลักษณะดังรูปที่ 4.1 ซ่ึงเป็นขวดแก้วมีฝาปิดท่ีมี

86 กลศาสตร์ของของไหล ปริมาตรแม่นยําตามที่ระบุไว้ ซ่ึงเมื่อเราช่ังน้ําหนักขวดเปล่า ( mb) ขวดบรรจุของเหลวท่ีต้องการหา ( ml ) ขวด บรรจุนา้ํ ( mw ) เราจะสามารถหาคา่ ความถ่วงจําเพาะน้ําหรอื ของของเหลวท่ีตอ้ งการได้ดังสมการ รปู ที่ 4.1 ขวดหาถ.พ. Sw  mw  mb (4.3) Vb Sl  ml  mb (4.4) mw  mb นอกจากใช้ในการวัดความถ่วงจําเพาะของของเหลวแล้ว ยังมีการนําขวดหาถ.พ.ไปใช้ในการหาความถ่วงจําเพาะของเมล็ดพืชได้อีกด้วย โดยอาจใช้โทลูอีน (C6H5CH3) 3 หรือใช้น้ํา4 ในการหาค่าถ.พ.ของเมล็ดพชื ดงั สมการSs  Sl  ms (4.5) ms  (mls  ml )เมือ่ Sw คือ ความถว่ งจําเพาะของนาํ้ (specific gravity of water) Sl คอื ความถว่ งจําเพาะของของเหลวใด ๆ (specific gravity of liquid) Ss คือ ความถ่วงจาํ เพาะของเมล็ดพืช (specific gravity of seed) mw คอื มวลของขวดใส่นํ้า (mass of pycnometer with water) ในหน่วย g ml คือ มวลของขวดใส่ของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with liquid) ใน หน่วย g ms คือ มวลของเมลด็ พชื (mass of water) ในหนว่ ย g mb คอื มวลของขวด (mass of water) ในหนว่ ย g mls คอื มวลของขวดใส่เมล็ดพชื และของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with seed and liguid) ในหนว่ ย g Vb คอื ปรมิ าตรของขวด (volume of pycnometer) ในหนว่ ย ml3 Mohsenin, N.N. Physical properties of plant and animal materials. Gordon and Breach Science Publishers Inc., 19964 ใจทิพย์ วานิชชงั , ผดงุ ศักดิ์ วานชิ ชงั และ เพยี งขวญั วานิชชัง. การวจิ ัยและพัฒนาอุปกรณว์ ัดอัตราการขัดสีขา้ ว. 2556. รายงานการวจิ ัยมหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลตะวันออก

สถิตศาสตรข์ องของไหล 87ตวั อย่างท่ี 4.3 จงหาความถว่ งจําเพาะของโทลอู นี จากผลการทดลองดังนี้น้ําหนักขวดถ.พ. น้าํ หนักขวด+น้าํ นํ้าหนกั ขวด+โทลอู นี55.6465 81.7689 78.2380วิธีทํา จากผลการทดลองทราบคา่ ตัวแปร mb = 55.6465, mw = 81.7689, ml = 78.2380 และตอ้ งการหา Sl เมื่อใหโ้ ทลอู ีนเป็นของเหลวใด ๆ สามารถหาความถว่ งจาํ เพาะของโทลอู ีนได้จากสมการ (4.4) Sl = ml  mb mw  mbความถ่วงจําเพาะของโทลอู ีน = 78.2380 55.6465 = 0.8648 ตอบ 81.7689 55.6465ตัวอยา่ งที่ 4.4 จากผลการทดลอง4 ไดค้ ่าตา่ ง ๆ ดงั นี้ อยากทราบวา่ ความถ่วงจาํ เพาะของขา้ วสารมคี ่าเทา่ ใดนาํ้ หนกั ขา้ วสาร 10 เมล็ด นํา้ หนักขวดถ.พ. น้าํ หนกั ขวด+นาํ้ นาํ้ หนักขวด+นํา้ +ขา้ ว 45.8737 46.52082.1114 20.8195วธิ ีทาํ จากผลการทดลองทราบคา่ ตัวแปร ms = 2.1114, mb = 20.8195, mw = 45.8737, mls =46.5208 และต้องการหา Ss จงึ เลอื กใช้สมการ (4.5) แตเ่ นอื่ งจากยงั ไม่ทราบคา่ ตัวแปร Sl และ ml จึงต้องไปหาคา่ ความถว่ งจาํ เพาะของของเหลวใด ๆ กอ่ น ซง่ึ ในทน่ี คี้ อื น้ํา จงึ ไดว้ ่า Sl = Sw และ ml = mw =45.8737 สามารถหาความถว่ งจําเพาะของนํ้าได้จากสมการ (4.3) Sw = mw  mb V = 45.8737  20.8195 25ดังนั้น Sl = Sw = 1.0022จากนั้นหาความถ่วงจําเพาะของเมล็ดข้าวสารจากสมการ (4.5) Ss = Sl  ms ตอบ = ms  (mls  ml )ดงั น้นั ความถ่วงจาํ เพาะของข้าวสาร= 1.0022  2.1114 2.1114  (46.5208  45.8737) 1.4451 4.1.2 ความดนั ในของไหล เมื่อบรรจุของไหลลงในภาชนะ ของไหลจะออกแรงกระทําในแนวต้ังฉากกับผนังภาชนะและผิวท่ีสัมผัสกับของไหล เรานิยามอัตราส่วนของแรงกระทําต่อพื้นท่ีท่ีถูกกระทําว่า ความดัน (pressure) ซึ่งแทนด้วยสัญลักษณ์ P P  F (4.6) A

88 กลศาสตรข์ องของไหลเม่ือ P คือ ความดนั (Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2 F คอื แรงทีต่ ง้ั ฉากกบั พนื้ ที่ (Force) ในหนว่ ย N ในหนว่ ย m2 A คอื พืน้ ทผ่ี ิวทส่ี ัมผสั ของไหล หรือ ผนงั ภาชนะ (area)หน่วย SI ของความดันคือหนว่ ยของแรงต่อพนื้ ที่ หรอื นยิ ามหนว่ ยวา่ ปาสคาล 1 ปาสคาล = 1 Pa = 1 N/m2นอกจากน้ียังมหี น่วยวดั ความดันอน่ื ๆ ที่นิยมใชอ้ กี เช่น 1 bar (dyne/cm2) = 105 Pa 1 Tor = 1 mmHg ความดันบรรยากาศ Pa หรือความดันอากาศ คือ ความดันของบรรยากาศของโลกท่ีเราอาศัยอยู่ซ่ึงมีค่าแปรเปลี่ยนไปตามลมฟ้าอากาศและระดับความสูง โดยความดันบรรยากาศปกติท่ีระดับนํ้าทะเล คือความดนั 1 บรรยากาศ (atm) ซ่ึงนิยามใหเ้ ทา่ กับ 101,325 PaPa = 1 atm = 1.01325 x 105 Pa = 1.013 bar = 760 mmHg = 14.70 ln/in2ข้อควรระวงัในกลศาสตร์ของไหล คําว่า “ความดัน” และ “แรง” มีความหมายแตกต่างกัน ความดันเป็นปริมาณสเกลาร์ ซึ่งจะกระทาํ ตั้งฉากกับผิวสัมผสั ใด ๆ และเปน็ ขนาดของแรงตอ่ พนื้ ทห่ี นึง่ หน่วยตัวอย่างท่ี 4.5 นํ้ามันเคร่ือง 860 g บรรจุอยู่ในถังรูปทรงกระบอก เส้นผ่านศูนย์กลาง 0.6 m มีความดันที่ก้นถังเทา่ ไรวธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดนํ้ามันเคร่ือง 860 g ( m = 860 g) เส้นผ่านศูนย์กลาง 0.6 m ( d = 0.6 m) และถามหาความดนั ทกี่ ้นถัง ( P )สรุปไดว้ า่ ทราบค่าตวั แปร m , d และตอ้ งการหาคา่ Pจากค่า m สามารถนาํ ไปหาค่าแรง F ได้จาก F  mg  860  9.8  8.428 N 1000จากคา่ สามารถนาํ ไปหาค่าพื้นผิว ของทรงกระบอกได้จาก d 2  (0.6) 2  0.28 m2 4 4 d A A  จากสมการ (4.6) P = F = Aแทนค่าจะไดค้ วามดันทก่ี น้ ถงั 8.428  30.1 Pa ตอบ 0.28 ความดันในของไหล ณ ส่วนใด ๆ จะมีค่าเท่ากันทุกจุดท่ีอยู่ในระดับเดียวกัน หรืออาจกล่าวได้ว่าความดันของของไหลจะแปรเปล่ียนตามความลึก หรือความสูงของของไหล เช่น ความดันของน้ําใต้ท้องทะเลลึกจะสูงกว่าความดันท่ีระดับน้ําทะเล ซ่ึงเราสามารถสัมผัสได้เมื่อดํานํ้าลงไป ย่ิงลึกหูของเราจะยิ่งรับรู้ถึงความดันที่มากข้ึน แต่ในที่สูงความดันบรรยากาศจะลดลงตํ่ากว่าท่ีระดับนํ้าทะเล เราสามารถเขียนสมการความดันในของไหลในรูปของความลกึ จากผิวของไหลได้ คือ

สถติ ศาสตรข์ องของไหล 89 P  Pa  gh (4.7)เมื่อ P คอื ความดันในของไหล (Pressure) ในหน่วย Pa หรอื N/m2 Pa คือ ความดันบรรยากาศ (Atmospheric Pressure) ในหนว่ ย Pa หรอื N/m2  คอื ความหนาแน่นของของไหล (density) ในหน่วย kg/m3 g คอื ความเรง่ โน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2h คือ ความสูง หรือความลกึ ของของไหลทตี่ ําแหนง่ พิจารณา (height) ในหน่วย mสมการ (4.7) เปน็ จริงเฉพาะกรณีของไหลท่ีมีความหนาแน่นสม่ําเสมอเท่านั้น หากทําการคํานวณท่ีความสูงมาก ๆ เช่น ยอดเขาเอเวอเรสต์ ซ่ึงมีความสูง 8882 m ณ จุดน้ันความหนาแน่นของอากาศจะแตกต่างจากท่รี ะดบั นาํ้ ทะเลถึงสามเท่าซึ่งจะไม่สามารถใช้สมการ (4.7) ได้ นอกจากนใ้ี นสถานการณ์ปกติทั่วไปอาจพจิ ารณาให้ Pa  P0 ได้4.1.3 กฎของปาสคาล จากสมการ (4.7) หากพิจารณาเพ่ิมความดัน P0 ที่ผิวบน อาจโดยการใช้ลูกสูบกดลงบนผิวของไหล ความดัน P ท่ีความลึกใด ๆ ก็จะเพิ่มข้ึนด้วยปริมาณเดียวกัน ซึ่งนักวิทยาศาสตร์ชาวฝร่ังเศส แบลซปาสคาล ได้ค้นพบความจริงข้อนี้ในปี พ.ศ. 2196 เรียกว่า “กฎของปาสคาล” ซึ่งกล่าวว่า ความดันซ่ึงกระทําต่อของไหลในภาชนะปิดจะส่งผลไปยังทุกส่วนของของไหลและผนังภาชนะที่บรรจุของไหลด้วยขนาดท่ีเท่ากันตลอด เคร่ืองยนต์ไฮดรอลิคใน รูปที่ 4.2 เป็นตัวอย่างการประยุกต์กฎของปาสคาล โดยออกแรง F1 กดทลี่ ูกสูบขนาดเล็ก A1 ความดนั ทีเ่ กิดข้ึนจะส่งผา่ นของเหลวในกระบอกสบู ไปทางท่อเชือมไปยังลูกสูบที่มีขนาดใหญ่กวา่ A2 และเนื่องจากความดันทีก่ ระทํามคี า่ เท่ากันตลอดทัง้ ภาชนะ ดังนั้น F1  F2 (4.8) A1 A2เมื่อ F คอื แรงกดทล่ี กู สบู (Force) ในหน่วย N A คือ พนื้ ทีข่ องลูกสบู (area) ในหน่วย m2 F2 = P2 A2 F1 = P1 A1 12รปู ที่ 4.2 หลกั การของเครอ่ื งยนตไ์ ฮดรอลิคโดยใช้กฎของปาสคาล

90 กลศาสตรข์ องของไหล เคร่ืองยนต์ไฮดรอลิคจัดเป็นอุปกรณที่ช่วยผ่อนแรงอีกประเภทหนึ่ง ย่ิงลูกสูบทั้งสองมีขนาดต่างกันมากก็จะย่ิงช่วยผ่อนแรงได้มาก ตัวอย่างอุปกรณ์ในชีวิตประจําวันท่ีมีการใช้หลักการนี้ เช่น เก้าอี้ทําฟันแม่แรงยกรถ หรือเครื่องยกรถในร้านเปลี่ยนยาง หรือในเบรกของรถบางประเภท นอกจากน้ีสําหรับในเคร่อื งจกั รกลเกษตรขนาดใหญ่ เคร่อื งอดั ไฮดรอลิกจดั เป็นอปุ กรณส์ าํ คัญอย่างยิ่งในเกือบทุกระบบ ต้ังแต่ระบบยก ระบบสบู และระบบขบั เคลือ่ นตัวอย่างท่ี 4.6 จงคํานวณหาความดันบนตัวนักดําน้ํา เมื่อดําลงไปลึก 12 m ใต้ผิวน้ํา กําหนดให้ ความหนาแน่นของนํ้าทะเลเท่ากับ 1,025 kg/m3 และความดันบรรยากาศที่ที่ผวิ นา้ํ มคี า่ เทา่ กบั 1.013x105 N/m2วธิ ีทํา จากโจทย์กําหนดความลึก 12 m ( h = 12 m) ความหนาแน่นของน้ําทะเลเท่ากับ 1,025 kg/m3(  = 1,025 kg/m3) ความดนั บรรยากาศที่ท่ีผิวน้ํามีค่าเท่ากับ 1.013x105 N/m2 ( Pa = 1.013x105 N/m2)และถามหาความดนั บนตัวนกั ดํานํ้า ( P )สรปุ ไดว้ ่าทราบค่าตัวแปร h ,  , Pa และต้องการทราบค่า Pจากสมการ (4.7) P= Pa  ghแทนคา่ = 1.013105  10259.812ดงั น้ันความดันบนตัวนกั ดาํ นํา้ = 221,840 Pa ตอบตวั อยา่ งที่ 4.7 เคร่ืองอดั ไฮโดรลิกมพี ื้นทีล่ ูกสูบใหญ่ 9 m2 เกิดแรงยกข้ึนขนาด 3x106 N จงหาขนาดของแรงที่ถูกกระทําตอ่ ลูกสบู เล็กพ้นื ที่ 12 cm2วิธีทาํ จากโจทยก์ ําหนดพ้นื ทีล่ กู สบู ใหญ่ 9 m2 ( A2 = 9 m2 ) เกิดแรงยก 3x106 N ( F2 = 3x106 N )ลูกสูบเล็กพนื้ ท่ี 12 cm2 ( A1 = 12 cm2) และถามหาแรงยกท่ลี กู สบู เลก็ ( F1)สรุปได้วา่ ทราบคา่ ตวั แปร A2 , F2 , A1 และตอ้ งการทราบคา่ F1จากสมการ (4.8) F1 = F2 A1 A2แทนคา่ F1 = 3 10 6 12 104 9ดังน้นั แรงยกทีล่ ูกสบู เล็ก F1 = 400 N ตอบเมอื่ กลา่ วถึงความดนั ในของไหล ปัญหาความดันในยางรถยนต์มักถกู นํามาพิจารณา เนื่องจากเป็นสถานการณ์ที่พบเห็นได้ในชีวิตประจําวัน จะเกิดอะไรขึ้นหากความดันในยางรถยนต์มีค่าเท่ากับความดันบรรยากาศ คาํ ตอบคอื ยางจะแบน เหตุทเ่ี ปน็ เช่นนีเ้ พราะยางรถยนตจ์ าํ เป็นตอ้ งรบั นํา้ หนักรถจึงตอ้ งมีความดันท่ีสูงกว่าความดันบรรยากาศ ตัวเลขความดัน 30 ln/in2 แท้จริงแล้วคือค่าผลต่างระหว่างความดันในยางรถยนต์กับความดันบรรยากาศ เน่ืองจากความดันบรรยากาศมีค่า 14.7 ln/in2 นั่นหมายความว่าความดันในยางรถยนต์คือ 44.7 ln/in2 เราเรียกความดันสุทธินี้ว่า ความดันสัมบูรณ์ และเรียกผลต่างจากความดันบรรยากาศว่า ความดันเกจ (หรือกค็ ือความดนั ท่อี า่ นได้จากเคร่อื งมือวดั ) ซึง่ อาจเขยี นเปน็ สมการได้ว่า ความดนั สมั บูรณ์ = ความดันบรรยากาศ + ความดันเกจ (4.9) P  Pa  Pg (4.10)

สถติ ศาสตรข์ องของไหล 914.1.4 เครอ่ื งมอื วดั ความดนั เครอื่ งมือวดั ความดันอย่างง่ายท่ีสุด คือ มานอมิเตอร์แบบปลายเปิด ซ่ึงประกอบด้วยหลอดแก้วรูปตัว U บรรจุของเหลวไว้ภายใน (มักเป็นปรอทหรือนํ้า) ปลายหน่ึงเชื่อมต่อกับภาชนะท่ีต้องการวัดความดันส่วนอีกปลายหน่ึงเปิดออกสู่บรรยากาศ ดังรูปท่ี 4.3 ซึ่งเม่ือพิจารณาของเหลวท้ังสองฝ่ังของหลอดแก้วท่ีระดับความสูงเดียวกันจะได้ว่า ความดันท่ีหลอดฝ่ังซ้ายจะเท่ากับความดันท่ีหลอดฝั่งขวาที่ระดับความสูงเดียวกันเสมอ ซ่ึงเขยี นเป็นสมการไดว้ ่า Pgas  Pa  gh (4.11) เม่ือเทียบกับสมการ (4.10) จึงได้ว่าความดันเกจ Pg  gh และเพ่ือความสะดวกในการอ่านค่าความดัน ยังได้มีการกําหนดหน่วยของความดันในรูปของความสูงของลําปรอท เช่น มิลลิเมตรปรอท(ย่อว่า mmHg) ซง่ึ จากรูปท่ี 4.3 สามารถอา่ นคา่ ความดนั จากคา่ ความสูงของลาํ ปรอทได้เลย เช่น หากค่าความสูงปรอทในหลอดดา้ นขวาอย่ตู รงกบั ตาํ แหน่ง 70 cm กส็ ามารถอ่านค่าความดนั ได้ว่า 70 cmHg เป็นตน้Pgas  Pa Pgas  Pa Pgas  Pa Pa Pa Pa ปรอท h hก Pgas  Pa ข Pgas  Pa  h ค Pgas  Pa  hรูปท่ี 4.3 มานอมิเตอร์แบบปลายเปดิ และการอา่ นคา่ ในหน่วย mmHg นอกจากนย้ี งั มเี ครอื่ งมือวัดความดนั อีกประเภทหน่ึง คือ บารอมิเตอร์ปรอท ซึ่งเป็นเคร่ืองมือที่ใช้วดั คา่ ความดันบรรยากาศ โดยอปุ กรณ์ชนดิ น้ีจะประกอบไปดว้ ยท่อแก้วยาวที่มีปลายเปิดหนึ่งข้าง ภายในบรรจุปรอทไว้เตม็ และควาํ่ ลงในอา่ งปรอทดังรูปที่ 4.4 ความดันทีด่ า้ นบนของปรอทถอื ได้วา่ เป็นศูนย์ จะไดว้ า่ Pa  gh (4.12)เม่ือ Pgas คอื ความดนั ของแก๊ส (Pressure) ในหน่วย Pa หรอื N/m2 Pa คือ ความดันบรรยากาศ (Atmospheric Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2  คอื ความหนาแนน่ ของของไหล (density) ในหนว่ ย kg/m3 g คือ ความเรง่ โน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 h คอื ความสงู หรอื ความลกึ ของของไหลที่ตาํ แหนง่ พจิ ารณา (height) ในหนว่ ย m นน่ั ก็คือ บารอมิเตอร์ปรอทสามารถอ่านค่าความดันโดยตรงจากความสูงของปรอทได้เลย จากรูปท่ี 4.4 เมอื่ อ่านค่าความสงู ของลําปรอทไดเ้ ปน็ 760 mm จะได้คา่ ความดนั บรรยากาศคือ 760 mmHg

92 กลศาสตรข์ องของไหล หลอดแกว้ สุญญากาศ ความดนั บรรยากาศ ความสงู ของลาํ ปรอทในหน่วยนิว้ หรือเซนตเิ มตร รปู ท่ี 4.4 บารอมเิ ตอร์ปรอทตัวอย่างที่ 4.8 จงคํานวณหาความดันบรรยากาศในขณะที่ความสูงของลําปรอทในบารอมิเตอร์ของของไหลเปน็ 76 cm กําหนดให้ความหนาแนน่ ของปรอทเท่ากบั 13.6x103 kg/m3วิธที ํา จากโจทย์กําหนดความสูงของลําปรอท 76 cm (h = 76 cm) ความหนาแน่นของปรอท 13.6x103kg/m3 (  = 13.6x103 kg/m3) และถามหาความดนั บรรยากาศ ( Pa )สรุปไดว้ ่าทราบคา่ ตวั แปร h ,  และต้องการทราบคา่ Paจากสมการ (4.12) Pa = ghแทนคา่ = 13.6 103  9.8  0.76ดงั นัน้ ความดนั บรรยากาศ = 1.013105 Pa ตอบตัวอย่างที่ 4.9 ด้านซ้ายมือของมานอมิเตอร์ต่อกับถังแก๊ส ปรอททางด้านขวามือสูงกว่าด้านซ้ายอยู่ 35 cmบารอมเิ ตอร์ทีอ่ ยู่ใกล้ ๆ อา่ นคา่ ได้ 74 cmHg จงหาความดนั สมบรู ณข์ องแกส๊ ในถงัวธิ ที าํ จากโจทย์กําหนดมานอมเิ ตอรค์ วามสูง 35 cm ( h = 35 cm) บารอมเิ ตอรอ์ ่านค่าได้ 74 cmHg ( Pa= 74 cmHg) และถามหาความดันสมบูรณ์ของแก๊สในถงั ( Pgas )สรุปได้วา่ ทราบคา่ ตัวแปร h , Pa และต้องการทราบคา่ Pgasจากสมการ (4.11) =Pgas Pa  ghแทนคา่ จะไดค้ วามดันสมบรู ณ์ = 74  35  109 cmHg ตอบจะเหน็ วา่ การบอกความดนั ในหน่วยของความสงู นั้นสะดวกอยา่ งมาก 4.1.5 การลอยตวั เราคุ้นเคยกันดีกับการเห็นวัตถุจมและลอย แต่เหตุใดวัตถุบางอย่างจมแต่วัตถุบางอย่างกลับลอยได้ มนุษย์เราสามารถลอยตัวในน้ําได้ แต่ไม่สามารถลอยตัวในอากาศได้ ชาวสวนใช้การจมและลอยของผลไม้เป็นตัววัดว่าผลไม้นั้นสุกพร้อมเก็บเก่ียวหรือไม่ เรือดําน้ําสามารถจมลงในน้ําได้อย่างไร และทําอย่างไรจึงลอยกลับข้ึนมาเหนือน้ําได้ ตัวแปรใดที่มีผลต่อการจมและลอยวัตถุ เพ่ือที่จะอธิบายปรากฏการณ์เหล่าน้ีเราย้อนไปถึงหลักของอาร์คิมิดิส ซ่ึงกล่าวว่า “วัตถุท่ีจมในของไหลจะถูกแรงลอยตัวกระทํา และแรงลอยตัวจะมีค่าเท่ากับน้ําหนักของของไหลท่ีถูกวัตถุน้ันแทนที่” นั่นหมายความว่าการจมหรือลอยของวัตถุเป็นผลมาจากแรงลอยตัว (Buoyancy Force) ซึ่งสามารถคํานวณได้จากน้ําหนักของของไหลท่ีถูกวัตถุน้ันแทนที่นั่นเอง เรา

สถิตศาสตร์ของของไหล 93อาจจะเคยสังเกตว่าเม่ืออยู่ในน้ํา วัตถุจะมีนํ้าหนักลดลงนั่นเป็นเพราะของไหลออกแรงยกไว้นั่นเองซ่ึงแรงยกนน้ั ก็คอื แรงลอยตวั มีค่าตามสมการ FB  md g (4.13) จากสมการ (4.1)   m จะสามารถหาค่าน้ําหนักของของไหลที่ถูกแทนท่ีได้โดยการ Vพจิ ารณาว่าปริมาตรในส่วนทจ่ี มนัน้ มีคา่ เท่ากับปรมิ าตรของไหลทีถ่ ูกแทนท่ี ดังรูปท่ี 4.5 และไดว้ า่ FB   f Vd g (4.14)เมื่อ FB คือ แรงลอยตัว (Buoyancy Force) ในหน่วย N md คือ มวลของของไหลทถ่ี กู แทนที่ (mass of displaced fluid) ในหน่วย kg g คือ ความเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2  f คือ ความหนาแนน่ ของของไหล (density of fluid) ในหน่วย km/m3 V คือ ปรมิ าตรส่วนทถี่ กู แทน (volume of displaced body of fluid) ในหนว่ ย m3o   f o   f o   f แรงลอยตวั แรงลอยตวั แรงลอยตัว A B C นํ้าหนกั นํา้ หนัก น้ําหนกั รปู ที่ 4.5 แสดงค่าแรงลอยตัวเมื่อวตั ถุจมในของไหลในลกั ษณะตา่ ง ๆ จากรูปที่ 4.5 เราพบว่าวัตถุจะลอยตัวอยู่ในของไหลได้ก็ต่อเมื่อแรงลอยตัวมีค่ามากกว่านํ้าหนักของวัตถุ จากสมการ (4.14) แรงลอยตัวมีค่าเท่ากับ  f Vd g ในขณะท่ีนํ้าหนักของวัตถุมีค่า o Vo g ซ่ึงจากรปู เราแยกพิจารณาได้เป็น 3 กรณดี ังน้ี 1. พิจารณาวัตถุ A ซึ่งจมในของไหลท้ังก้อน (Vd  Vo ) นั่นหมายความว่านํ้าหนักมีค่ามากกว่า แรงลอยตัว หรือก็คือความหนาแนน่ ของวัตถมุ ากกวา่ ความหนาแน่นของของไหล o   f