ฟิสิกส์เบื้องต้น

กำรเคลื่อนท่ีแบบตำ่ ง ๆ 43คือ กำรกระจัด ควำมเร็ว และควำมเร่ง แต่จะมีองค์ประกอบสองหรือสำมองค์ประกอบ ไม่ได้มีทิศอยู่ในแนวเส้นตรงเดยี วอกี ต่อไป ซง่ึ เมื่อเรำสังเกตจะพบว่ำกำรเคล่ือนที่ที่น่ำสนใจหลำยรปู แบบเกิดข้ึนในสองมิติหรอื เกิดบนระนำบ ทฤษฎีเรื่องเวกเตอร์ที่เรำเรียนกันไปในบทท่ี 1 จึงเข้ำมำมีบทบำทสำคัญในกำรวิเครำะห์และแกป้ ัญหำโจทย์ 2.4.2.1 กำรเคลอ่ื นที่แบบโปรเจคไทล์ โปรเจคไทล์หรือการเคลื่อนท่ีแบบวิถีโค้ง คือ กำรเคลื่อนท่ีในสองมิติของวัตถุซ่ึงเป็นผลมำจำกแรงโน้มถ่วงของโลกเกิดเป็นกำรเคลื่อนท่ีในแนวรำบและแนวด่ิงไปพร้อมๆกัน เช่น กำรชูตบำส กำรกระโดดไกล กำรปลอ่ ยระเบดิ จำกเครอื่ งบนิ กำรขวำ้ งหรอื ปำสิ่งของ วิถีของสำยน้ำทีพ่ ุ่งออกจำกสำยยำง ฯลฯ เรำเรยี กระนำบกำรเคลื่อนทีข่ องโปรเจคไทลว์ ำ่ ระนำบ xy โดยแกน x เปน็ กำรเคลอ่ื นท่ใี นแนวรำบ สว่ นแกน y เป็นกำรเคลอื่ นทใี่ นแนวดิง่ แก่นสำคัญสำหรับกำรวิเครำะห์กำรเคลื่อนท่ีแบบโปรเจคไทล์ คือ เรำสำมำรถพิจำรณำแกน xและแกน y แยกอิสระจำกกันได้ องค์ประกอบในแกน x จะมีควำมเร่งเป็นศูนย์ ในขณะท่ีองค์ประกอบในแกนy จะมีควำมเร่ง g = -9.8 m/s2 (พิจำรณำแนวรำบเคลื่อนท่ีด้วยควำมเร็วคงตัว ส่วนแนวด่ิงเคลื่อนที่ด้วยควำมเร่งคงตัว) vx  ux vy  0 vx  uxuy u vx  ux sy vx  ux  ux sx vy  uyรปู ที่ 2.6 แสดงเส้นทำงกำรเคลื่อนทแี่ บบโปรเจคไทลแ์ ละตัวแปรต่ำง ๆรูปท่ี 2.6 แสดงเส้นกำรเคลื่อนท่แี บบโปรเจคไทลแ์ ละตวั แปรตำ่ ง ๆ ท่พี จิ ำรณำ ควำมเร็วตน้ uสำมำรถแยกองคป์ ระกอบเป็น ux และ u y คอื ux  u cos , u y  u sin  (2.14)เนื่องจำกเรำพิจำรณำควำมเร็วต้นในแนวรำบมีค่ำคงตัวส่วนแนวด่ิงนั้นมีควำมเร่งคงตัว สมกำรที่ใช้ในกำรพจิ ำรณำจึงมีควำมคลำ้ ยคลึงกบั สมกำร (2.10), (2.11), (2.12) หรอื (2.13) โดยแยกพจิ ำรณำเป็นแกนx และ แกน y อิสระจำกกัน โดยมีตัวแปรเวลำ t เปน็ ตวั เชื่อมระหวำ่ งสองแกน ดงั นี้ vx  ux  u cos (2.15) sx  uxt  (u cos )t (2.16) vy  u y  gt  (u sin  )  gt (2.17)

44 แรงและกำรเคลื่อนที่  (uy  vy  (u sin   vsin  (2.18) 2 2 sy )t )t sy  uyt  1 gt 2  (u sin  )t  1 gt 2 (2.19) 2 2 v 2  u 2  2gsy  (u sin  )2  2gsy (2.20) y y เม่อื s คอื ระยะทำง (distance) หรอื กำรกระจัด (displacement) ในหน่วย m u คอื อตั รำเร็วต้น (initial speed) หรอื ควำมเร็วต้น (initial velocity) ในหน่วย m/s v คอื อตั รำเรว็ ปลำย (final speed) หรือ ควำมเรว็ ปลำย (final velocity) ในหนว่ ย m/s a คือ ควำมเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 t คอื เวลำ (time) ในหน่วย s ข้อสังเกตุ ท้ังแกน x และแกน y มีตัวแปรร่วมกันคือเวลำ t นั่นหมำยควำมว่ำเวลำที่ใช้ในกำรพิจำรณำแนวรำบและแนวด่ิงมีค่ำเท่ำกัน นอกจำกนี้เวลำท่ีใช้ในกำรเคลื่อนที่จำกจุดเร่ิมต้นถึงจุดสูงสุดจะเทำ่ กบั เวลำจำกจดุ สูงสุดลงมำถงึ ท่ีระดบั เดียวกบั จุดเริ่มตน้ และท่ีระดับควำมสงู เดยี วกันท้งั ขำขึ้นและขำลงจะมีขนำดของควำมเร็วเท่ำกันต่ำงกนั แค่เพียงทศิ เทำ่ นั้นตัวอย่ำงที่ 2.15 ในกำรปลูกข้ำวแบบนำโยน เกษตรกรขว้ำงต้นกล้ำออกไปในแนวระดับด้วยควำมเร็ว 6 m/sจงหำตำแหน่งและควำมเร็วหลงั จำกเวลำผ่ำนไป 1/3 s และหำกเกษตรกรขว้ำงต้นกลำ้ ออกไปทรี่ ะดับควำมสูง1.5 m ในเวลำท่ีกำหนด ตน้ กลำ้ ตกลงถึงพน้ื แลว้ หรอื ยงัวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ตน้ กล้ำข้ำวถูกขวำ้ งออกไปในแนวระดบั ดว้ ยควำมเร็ว 6 m/s (ux = 6 m/s และu y = 0 m/s) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g = -9.8 m/s2) ทเี่ วลำ 1/3 s (t = 1/3 s) ถำมหำตำแหน่ง ( s )และควำมเร็วปลำย ( v )สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร ux , u y , g , t ตอ้ งกำรหำตัวแปร s และ v โดยพิจำรณำแยกทลี ะแกนพิจำรณำแกน x จำกสมกำร (2.16) sx = uxtแทนค่ำ sx = 61  2 mจำกสมกำร (2.15) vx = 3 ux  6 m/sพจิ ำรณำแกน y จำกสมกำร (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนค่ำ sy = 0  (1  (9.8) (1)2 )   0.54 mจำกสมกำร (2.17) vy = 23 uy  gtแทนคำ่ vy = 0  ((9.8) 1)   3.27 m/s 3

กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 45 ดงั นั้น ตำแหน่งและควำมเร็วของต้นกล้ำข้ำวหลังจำกผ่ำนไป 1/3 s สำมำรถเขียนในรปู เวกเตอรห์ นึ่งหน่วยได้วำ่ s = 2 ˆi  0.54 ˆj m v = 6 ˆi  3.27 ˆj m/s ตอบ จำกผลกำรหำตำแหนง่ ของต้นกลำ้ ขำ้ วพบวำ่ ต้นกล้ำเคล่ือนไปในแนวรำบ 2 m ในแนวดิง่ 0.54 mดงั น้ันหำกเกษตรกรปำออกไปทรี่ ะดับควำมสงู 1.5 m ในเวลำ 1/3 s ต้นกลำ้ จะยงั ไม่ตกลงกระทบพนื้ตัวอย่ำงที่ 2.16 นกั ฟุตบอลคนหน่ึงเตะลูกบอลข้ึนไปด้วยควำมเร็ว 30 m/s ทำมุม 60oกับแนวระดับ เขำต้องว่งิ ด้วยควำมเรว็ คงทอ่ี ย่ำงน้อยทสี่ ดุ เทำ่ ใด จงึ จะไปรับลูกบอลทีเ่ ขำเตะออกไปได้พอดีกอ่ นตกถึงพ้นืวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดใหล้ ูกบอลถูกเตะออกไปด้วยควำมเร็ว 30 m/s ( u = 30 m/s) ในทศิ ทำมมุ 60o กับแนวระดับ ( = 60o) ภำยใตแ้ รงโนม้ ถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) และถำมหำควำมเร็วทต่ี อ้ งวิ่งไปรบั ลูกฟุตบอลให้ทัน ซ่งึ กำรท่นี ักฟุตบอลจะวง่ิ ออกไปรับลูกบอลท่ีเตะออกไปไดท้ นั เขำจะต้องวิง่ ดว้ ยควำมเร็วอย่ำงน้อยเท่ำกับควำมเร็วในแนวรำบของลูกฟุตบอล ( vx ) น่นั เองสรุปไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตัวแปร u ,  , g ต้องกำรหำตวั แปร vx จึงเลือกใชส้ มกำร (2.15)ควำมเรว็ ในแนวรำบ vx = ux  ucosแทนค่ำ vx = 30 cos 600  15 m/sดงั น้นั นักฟุตบอลต้องวงิ่ ออกไปรบั ลูกบอลด้วยควำมเร็วอย่ำงนอ้ ย 15 m/s ตอบตัวอย่ำงท่ี 2.17 ขว้ำงก้อนหินด้วยควำมเรว็ 45 m/s ในทศิ ทำมุม 60 องศำกบั แนวระดับจำกหน้ำผำแหง่ หน่งึซงึ่ สงู 265 m จงหำก) ควำมเร็วเริ่มต้นของก้อนหินในแนวแกน x และ yข) ควำมเรว็ ปลำยของก้อนหินก่อนตกถึงพื้นค) ระยะหำ่ งระหว่ำงก้อนหินและหนำ้ ผำ เม่ือก้อนหนิ กระทบพน้ืวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้กอ้ นหินถูกขว้ำงด้วยควำมเร็ว 45 m/s ( u = 45 m/s) ในทศิ ทำมุม 60o กับแนวระดบั ( = 60o) จำกหนำ้ ผำสูง 265 m ( s y = -265 m) ภำยใต้แรงโน้มถว่ งของโลก ( g = -9.8 m/s2) และถำมหำควำมเร็วทต่ี ้องวิ่งไปรับลูกฟตุ บอลใหท้ นั ซึง่ กำรท่ีนกั ฟุตบอลจะว่ิงออกไปรับลูกบอลทเ่ี ตะออกไปได้ทนัเขำจะต้องวิ่งด้วยควำมเร็วอย่ำงนอ้ ยเทำ่ กับควำมเรว็ ในแนวรำบของลูกฟุตบอล ( vx ) น่นั เอง ก) ถำมหำควำมเรว็ เร่มิ ต้นในแนวแกน x (ux ) และควำมเร็วเร่ิมตน้ ในแนวแกน y (u y )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร u ,  , g , s y ต้องกำรหำตวั แปร ux , u y จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.14)แทนค่ำ ux = u cos  45cos 600  22.5 m/sแทนค่ำ uy = usin   45sin 600  38.97 m/sดังนั้นควำมเรว็ เร่ิมตน้ ในแนวแกน x และ y คือ 22.5 และ 38.97 m/s ตำมลำดับ ตอบ

46 แรงและกำรเคล่ือนท่ี ข) ถำมหำควำมเรว็ ปลำยของก้อนหนิ ก่อนตกถงึ พืน้ จำเป็นตอ้ งทรำบควำมเรว็ ปลำยทง้ั สองแกนก่อนสรุปไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร u ,  , g , s y ตอ้ งกำรหำตัวแปร vx , vy จึงแยกพิจำรณำทีละแกนพจิ ำรณำแกน x จำกสมกำร (2.15) vx = ux  22.5 m/sพจิ ำรณำแกน y จำกสมกำร(2.20) v 2 = u 2  2gsy y yแทนค่ำ =v 2 38.972  (2 (9.8)  (265)) y vy =  81.93 m/sดงั นน้ั ควำมเร็วปลำยของก้อนหนิ ก่อนตกถงึ พืน้ คือ v = 22.5 ˆi 81.93 ˆj m/s ตอบค) ถำมหำระยะหำ่ งระหว่ำงก้อนหินและหนำ้ ผำ ( sx ) แตท่ รำบเพียงตัวแปร ux เท่ำนน้ั จึงจำเปน็ ตอ้ งหำตัวแปร t จำกแกน y กอ่ นพจิ ำรณำแกน y ทรำบค่ำตัวแปร u ,  , g , s y ตอ้ งกำรหำตัวแปร t จงึ เลอื กใชส้ มกำร (2.19) sy = uyt  1 gt 2 2แทนคำ่  265 = (38.97 t)  (1  (9.8)t 2 )แกส้ มกำรพหุนำมจะได้ t= 2 12.34 sจำกน้ันพจิ ำรณำแกน x ทรำบคำ่ ตวั แปร ux ตอ้ งกำรหำตัวแปร sx จำกสมกำร (2.16) sx = uxtแทนค่ำ sx = 22.5 12.34  277.65ดังนั้นจะไดร้ ะยะหำ่ งระหวำ่ งกอ้ นหินและหน้ำผำ 277.65 m ตอบ2.4.2.2 กำรเคลอื่ นทแ่ี บบวงกลมเม่ือวัตถุเคลื่อนที่ไปตำมทำงโค้ง ทิศทำงของควำมเร็วจะมีกำรเปล่ียนแปลงไปตลอดเวลำ ดังรูปท่ี2.7 หำกพิจำรณำเฉพำะการเคลื่อนที่เป็นวงกลมอย่างสม่าเสมอ โดยกำหนดให้อัตรำเร็วมีค่ำคงตัว พิจำรณำ 1vหรือvv21มvีท1 ิศซท่ึงำกง็คไืปอคทวำำงมขวเรำ่งแขลอะงวคัตวถำมุ เเรรำว็ จทะี่ตพำบแหว่ำนท่งิศทท่ี 2ำงหขรอืองคvว2ำมมีทเริศ่งพจะุ่งลมงีทิศเมเื่อข้หำสำู่ควำมเร็วที่ตำแหน่งที่ควำมเร็วที่เปลี่ยนไปศนู ย์กลำงเสมอ และได้สมกำรของควำมเรง่ ดงั นี้ ac  v2 (2.21)  rเมื่อ  คอื ควำมเร่งเขำ้ ส่ศู นู ยก์ ลำง (centripetal acceleration) ในหนว่ ย m/s2 ac v คือ อตั รำเรว็ (speed) ในหนว่ ย m/s r คอื รัศมกี ำรเคลือ่ นทแี่ บบวงกลม (radius) ในหนว่ ย m

กำรเคลอ่ื นที่แบบต่ำง ๆ 47 a รูปที่ 2.7 กำรหำควำมเรว็ ทเี่ ปล่ียนไป ( a ) ของวัตถุท่ีกำลงั เคลื่อนที่แบบวงกลมดว้ ยอัตรำเรว็ คงตวั จำกสมกำร (2.15) เรำเรยี กควำมเร่งน้ีวำ่ ความเร่งเข้าสศู่ ูนย์กลาง (centripetal acceleration)หรือ ac เน่ืองจำกควำมเร่งน้ีจะมีทิศช้ีเข้ำศูนย์กลำงของวงกลมเสมอ และเมื่อพิจำรณำกฎข้อท่ีสองของนิวตันควำมเร่งที่ชี้เขำ้ หำศูนย์กลำงของวงกลมต้องเกิดจำกแรงสทุ ธิในแนวรศั มีทช่ี ี้เขำ้ หำศูนย์กลำงด้วย ดงั สมกำร   mac  m v2 (2.22) Fc  rเมอื่  คอื แรงสูศ่ ูนย์กลำง (Centripetal Force) ในหนว่ ย N Fc m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg  ac คอื ควำมเรง่ เขำ้ สศู่ ูนย์กลำง (centripetal acceleration) ในหน่วย m/s2 v คือ อตั รำเรว็ (speed) ในหนว่ ย m/s r คือ รศั มีกำรเคลอ่ื นท่ีแบบวงกลม (radius) ในหน่วย m เพื่อให้กำรวิเครำะห์กำรเคลื่อนที่ครอบคลุมตัวแปรท่ีหลำกหลำย ยังมีปริมำณท่ีสำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคล่ือนที่แบบวงกลมอีกสองปริมำณ น่ันก็คือ คำบและควำมถี่ คาบ (T ) ของกำรเคลื่อนท่ี คือชว่ งเวลำที่ใชใ้ นกำรเคล่ือนท่ีครบหนึ่งรอบ มหี นว่ ยในระบบ SI คือ วนิ ำที และ ความถ่ี ( f ) คือ ค่ำจำนวนรอบที่วัตถุเคลื่อนท่ีไปได้ในช่วงเวลำหน่ึง ในระบบ SI ควำมถี่มีหน่วยเป็นรอบต่อวินำที หรือ Hz แต่ในทำงปฏิบัติอำจพบกำรใช้งำนในหน่วยอื่น ๆ เช่น rpm (รอบต่อนำที) ซ่ึงต้องอำศัยกำรเปล่ียนหน่วยเพื่อช่วยในกำรพจิ ำรณำ โดยทงั้ สองปรมิ ำณนีม้ ีควำมสัมพนั ธ์กนั ดงั สมกำร f  1 (2.23) Tเมอื่ f คอื ควำมถี่ หรือ จำนวนรอบของกำรเคล่อื นทเี่ ปน็ วง (frequency) ในหนว่ ย Hz T คือ คำบเวลำที่ใชใ้ นกำรเคลอ่ื นทค่ี รบรอบ (period) ในหน่วย sข้อควรระวงัอยำ่ สับสน f (ควำมถ่ี หนว่ ย Hz) กับ f (แรงเสยี ดทำน หน่วย N) แม้วำ่ จะใช้ตัวแปรเดียวกนั เม่ือพิจำรณำควำมเร็วในกำรเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมสม่ำเสมอในรูปของคำบ (T ) ของกำรเคล่ือนที่ในเวลำ 1 คำบวัตถุจะเคลอ่ื นท่ีได้ระยะทำงเท่ำกับเส้นรอบวง 2r ของวงกลม ดงั นัน้ อัตรำเร็วของวตั ถุคือ v  s  2r (2.24) tTและเมือ่ พจิ ำรณำถึงควำมสัมพนั ธ์ของคำบกำรเคลอ่ื นท่ีกบั คำ่ ควำมถี่ f  1 จะได้ว่ำ T

48 แรงและกำรเคล่ือนท่ี v  2rf (2.25) เมือ่ แทนคำ่ สมกำร (2.24) และ (2.26) ลงในสมกำร (2.21) จะไดส้ ตู รควำมเรง่ ในอีกรปู หนง่ึ คือ   4 2r  4 2 rf 2 (2.26) ac T2 เม่ือ v คอื อตั รำเรว็ (speed) ในหน่วย m/s ac คือ ควำมเร่งเข้ำส่ศู ูนย์กลำง (centripetal acceleration) ในหนว่ ย m/s2 r คือ รศั มกี ำรเคล่อื นทแ่ี บบวงกลม (radius) ในหน่วย m f คือ ควำมถ่ี หรอื จำนวนรอบของกำรเคลอื่ นทเ่ี ปน็ วง (frequency) ในหน่วย Hz T คือ คำบเวลำทใ่ี ชใ้ นกำรเคลื่อนที่ครบรอบ (period) ในหนว่ ย sตัวอย่ำงที่ 2.18 จงหำควำมเร่งสศู่ นู ยก์ ลำงของรถยนต์คันหน่งึ ที่เคลือ่ นท่บี นถนนที่โคง้ เป็นเสน้ รอบวงของวงกลมรศั มี 800 m อตั รำเรว็ ของรถยนต์ 120 km/hวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้ทำงโค้งมีรศั มี 800 m ( r = 600 m) อัตรำเรว็ ของรถยนต์ 120 km/h (v = 120 km/h) v และถำมหำควำมเร่งสศู่ ูนย์กลำง ( ac ) สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร r , v และถำมหำตัวแปร  จงึ เลือกใช้สมกำร (2.21) ac จำก  = v2 ac  r แปลงหนว่ ยของอัตรำเรว็ v = 120 km  1000 m  1 h  33.33 m/s h 1 km 3600 s แทนค่ำ  = 33.332  1.39 m/s2 ac 800 ดังนั้นควำมเร่งสศู่ ูนย์กลำงของรถยนตค์ ือ 1.39 m/s2 ตอบตวั อยำ่ งท่ี 2.19 ในกำรน่ังรถหมุนในงำนเทศกำล ผโู้ ดยสำรเคลื่อนทีด่ ้วยอตั รำเร็วคงตวั เป็นวงกลมรศั มี 6 mและเคลื่อนท่ีครบหนง่ึ รอบใช้เวลำ 5 s จงหำควำมเรง่ ของผโู้ ดยสำรวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดให้ผโู้ ดยสำรเคลอ่ื นท่ีเปน็ วงกลมรัศมี 6 m ( r = 6 m) และเคลื่อนที่ครบหนง่ึ รอบใช้เวลำ 5 s (T = 5 s) และถำมหำควำมเร่งของผู้โดยสำร ( ac ) สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร r , T และต้องกำรหำค่ำ ac จงึ เลือกใช้สมกำร (2.26) จำก  = 4 2r ac T2 แทนคำ่  = 4 2  6  9.47 m/s2 ac 52 ดงั น้ันควำมเรง่ ของผู้โดยสำร คอื 9.47 m/s2 ตอบ

กำรเคลือ่ นที่แบบตำ่ ง ๆ 49ตัวอย่ำงท่ี 2.20 หลอดทดลองในเครื่องเหว่ียงบรรจุของเหลวมีเม็ดเลือดแดงแขวนลอยอยู่ หลอดถูกเหวี่ยงให้เคลอื่ นที่เปน็ วงกลมรศั มี 0.1 m วินำทลี ะ 750 รอบ จงหำควำมเรง่ สู่ศูนย์กลำงของหลอดทดลองวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหห้ ลอดถูกเหวย่ี งให้เคลื่อนที่เป็นวงกลมรัศมี 0.1 m ( r = 0.1 m) วินำทีละ 750รอบ ( f = 750 Hz) และถำมหำควำมเรง่ สศู่ ูนย์กลำงของหลอดทดลอง ( ac )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตัวแปร r, f และต้องกำรหำค่ำ  จงึ เลอื กใช้สมกำร (2.26) acจำกส  = 4 2rf 2 acแทนค่ำ ac = 4 2  0.1 750 2  2.22 106 m/s2ดังนัน้ ควำมเร่งสศู่ นู ย์กลำงของหลอดทดลองคือ 2.22x106 m/s2 ซง่ึ จำกผลกำรคำนวณจะเห็นว่ำควำมเร่งนม้ี ีค่ำสูงกวำ่ คำ่ ควำมเร่งโนม้ ถว่ ง g ถงึ สองแสนเท่ำ ขนำดควำมเรง่ เท่ำน้ีจงึ มำกพอท่จี ะสำมำรถดึงให้สำรแขวนลอยตกตะกอนไดอ้ ย่ำงรวดเรว็ โดยไม่ตอ้ งรอคอยให้ตกตะกอนตำมธรรมชำติ ตอบตวั อย่ำงท่ี 2.21 โลกหมนุ รอบตัวเอง 1 รอบกนิ เวลำ 24 ชวั่ โมง จงหำควำมเร็วเชิงเสน้ ท่ีบริเวณเส้นศนู ย์สตู รซงึ่ มีรศั มี 6.38x106 mวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้โลกหมนุ รอบตวั เอง 1 รอบกินเวลำ 24 ชัว่ โมง (T = 24 h) รัศมขี องโลก 6.38x106m ( r = 6.38x106 m) และถำมหำควำมเรว็ เชงิ เส้นท่บี รเิ วณเส้นศูนย์สตู ร ( v )สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร r , T และตอ้ งกำรหำคำ่ v จึงเลอื กใช้สมกำร (2.24)แปลงหน่วยคำบ T= 24 h  3600 s  86400 s 1hจำก v= 2r Tแทนคำ่ v= 2  6.38 106  463.97 m/s 86400ดงั นั้นควำมเรว็ เชิงเสน้ ท่ีบริเวณเส้นศนู ยส์ ตู รของโลกคือ 463.97 m/s ตอบคดิ ซักนดิ 5ด้วยควำมเร็วเชิงเสน้ ในกำรหมนุ ของโลกทบ่ี ริเวณเส้นศนู ย์สูตร 463.97 m/s หรือ 1670 km/h เหตใุ ดเรำซึ่งยืนอยูบ่ นโลกจึงไม่รูส้ ึกว่ำกำลังเคลอ่ื นที่ตัวอย่ำงท่ี 2.22 ถ้ำทำให้ล้อที่หมุน 2000 rpm หยุดลงด้วยควำมเร่งเชิงมุมคงท่ี โดยหลังจำกเบรกแล้วล้อยังหมุนไปได้อีก 60 รอบก่อนหยุด จงหำเวลำทใ่ี ช้ในกำรเบรกลอ้วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดใหล้ ้อหมนุ ด้วยควำมถี่ 2000 rpm ( f = 200 rpm) หยุดลง (v = 0 m/s) เมอ่ื หมนุไปได้ 60 รอบ ( s = 60 รอบ) และถำมหำเวลำทีใ่ ช้ในกำรเบรก ( t ) เร่ิมจำกลองเปลย่ี นหน่วยปริมำณทโ่ี จทยใ์ ห้มำ

50 แรงและกำรเคล่ือนท่ีควำมถี่ f = 2000 rpm 1 min  33.33 Hz 60 sระยะทำง s = 2r  60  2  r  60  376.99r mเนือ่ งจำกโจทย์ไม่ไดใ้ ห้รัศมขี องล้อมำ จึงตดิ ตัวแปร r ไว้สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตัวแปร f , v , s และตอ้ งกำรหำตัวแปร t ซึง่ จำกกำรพจิ ำรณำควำมสัมพันธ์เบอ้ื งตน้ พบว่ำ คำ่ ควำมถีข่ องลอ้ ท่กี ำหนดสำมำรถนำไปใช้หำค่ำควำมเร็วต้นไดจ้ ำกสมกำร (2.25)จำก u= 2rf  2  r  33.33  209.44r m/sจำกสมกำร (2.11) s = (u v) t 2แทนคำ่ 376.99r = (209.44r  0) t 2จะไดเ้ วลำ t = 3.60 sดงั นัน้ เวลำทใี่ ชใ้ นกำรเบรก คือ 3.60 s ตอบตัวอย่ำงที่ 2.23 ในกำรออกแบบใบพัดเครื่องบินให้หมุนท่ีอัตรำ 2500 rpm เพื่อให้อัตรำเร็วที่เครื่องบินเคล่ือนท่ีไปข้ำงหน้ำมีค่ำ 70 m/s และอัตรำเร็วของปลำยใบพัดที่หมุนตัดอำกำศต้องไม่เกิน 270 m/s (ค่ำน้ีมีค่ำประมำณ 0.8 เท่ำของอัตรำเร็วเสียงในอำกำศ เนื่องจำกหำกใบพัดเคลื่อนท่ีด้วยอัตรำเร็วเสียงจะทำให้เกิดเสยี งที่ดงั มำก) จงหำวำ่ ก) รัศมสี ูงสดุ ท่ใี บพดั จะมไี ดม้ คี ่ำเทำ่ ใด ข) ทร่ี ัศมีนี้ควำมเรง่ ทป่ี ลำยใบพัดมขี นำดเทำ่ ใดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ใบพัดหมุนที่อัตรำ 2500 rpm ( f = 2500 rpm) โดยท่อี ัตรำเรว็ ของปลำยใบพดัตอ้ งไมเ่ กิน 270 m/s ( v = 270 m/s)เปล่ียนหน่วยควำมถ่ี f = 2500 rpm 1 min  41.67 Hz 60 sก) ถำมหำรัศมใี บพดั ( r ) เมอื่ ทรำบคำ่ ตัวแปร f , v จึงเลือกใช้สมกำร (2.25)จำก v= 2rfแทนค่ำ 270 = 2  r  41.67จะไดร้ ัศมขี องใบพัด r = 1.03 mข) หำควำมเร่งท่ปี ลำยใบพดั ( ac ) เมอื่ ทรำบคำ่ ตัวแปร v , r จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.21)จะได้ควำมเร่งทีป่ ลำยใบพัด  = v2  270 2  7.07 10 4 m/s2 ac  r 1.03ดังนัน้ รัศมีของใบพดั คอื 1.03 m และทร่ี ัศมนี ี้มคี วำมเร่งที่ปลำยใบพดั 7.07x104 m/s2 ตอบเมื่อพจิ ำรณำ   ma พบวำ่ ทุกๆมวล 1 kg ใบพดั จะต้องทนต่อแรงประมำณ 70,000 N ดังน้ัน Fเพ่ือใหใ้ บพัดทนต่อแรงที่มำกขนำดนีไ้ ดจ้ ึงจำเปน็ ตอ้ งเลือกใชว้ ัสดทุ ่มี คี วำมทนทำนสูง

กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 51ตวั อย่ำงท่ี 2.24 กำรเลยี้ วโคง้ บนถนนรำบที่มสี ่วนโค้งรศั มี 250 m ถ้ำกำหนดสัมประสทิ ธคิ วำมเสยี ดทำน 0.80อตั รำเร็วสูงสดุ ที่คนขับเลย้ี วรถไดโ้ ดยท่ีรถไม่ไถลมีคำ่ เท่ำใดวิธีทำ จำกโจทยก์ ำหนดให้ถนนโค้งรัศมี 250 m ( r = 250 m) มีสัมประสทิ ธิควำมเสียดทำน 0.80 (  =0.80) และถำมหำอตั รำเรว็ สูงสุดทเี่ ล้ียวรถไดโ้ ดยทีร่ ถไม่ไถล ( v )พิจำรณำแกน x เคลอื่ นทด่ี ว้ ยควำมเรง่ เขำ้ สู่ศูนยก์ ลำง ทรำบค่ำตวั แปร r ,  และตอ้ งกำรหำ v จึงเลือกใช้สมกำร (2.22) Fx = mv 2 r f = mv 2 r N = mv 2 ----------------------------------(1)พจิ ำรณำแกน y เพ่ือหำค่ำ N r F y =0 แทนใน (1) = mg N mg = mv 2 rแทนคำ่ 0.80 9.8 = v2 250จะได้อัตรำเรว็ สูงสดุ ทีค่ นขบั เล้ยี วรถได้โดยทรี่ ถไมไ่ ถล v  44.27 m/s หรอื 160 km/h ตอบ คิดซักนดิ 6 จำก ตัวอยำ่ งท่ี 2.24 หำกฝนตกถนนเปียกทำให้ค่ำสัมประสิทธคิ วำมเสยี ดทำนลดลงเหลือ 0.25 อตั รำเร็ว สงู สุดทค่ี นขบั เลี้ยวรถไดโ้ ดยท่ีรถไม่ไถลจะมีคำ่ เท่ำใด 2.4.3 กำรเคล่อื นทแ่ี บบหมุน ในกำรศึกษำเรื่องแรงและกำรเคลื่อนท่ีท่ีผ่ำนมำ ขนำดและทิศทำงของแรงเป็นส่ิงสำคัญ แต่มักไม่ได้ให้ควำมสำคัญกับตำแหน่งที่แรงกระทำ ในกำรเคลื่อนที่แบบหมุนน้ัน ตำแหน่งท่ีแรงกระทำมีบทบำทสำคัญอย่ำงมำกต่อกำรหมุน ยกตัวอย่ำงเช่น หำกเรำต้องกำรจะผลักประตูท่ีหนักมำก ๆ กำรออกแรงผลักที่ตำแหน่งไกลจำกแกนหมุน (ใกล้ลกู บิดประต)ู จะใช้แรงน้อยกว่ำกำรผลกั ที่ตำแหน่งใกล้แกนหมนุ (ใกล้บำนพับ)กำรใช้ประแจขันน็อตให้แน่น กำรจับประแจท่ีปลำย (ตำแหน่ง B ในรูปที่ 2.8) ย่อมออกแรงน้อยกว่ำจับท่ีตำแหนง่ ใกล้นอ็ ต (ตำแหน่ง A) กำรเปิดฝำขวดน้ำจะงำ่ ยขน้ึ หำกเรำจับท่ีฝำขวดและออกแรงหมนุ ทก่ี ้นขวด

52 แรงและกำรเคลื่อนท่ี 20 cm B 10 cm A รปู ที่ 2.8 แสดงผลของตำแหน่งทแ่ี รงกระทำปริมำณของแรงท่ีก่อให้เกิดกำรเคล่ือนท่ีแบบหมุน คือ ทอร์ก ( ) หรืออำจเรียกว่ำ แรงบิด นักฟิสิกส์มักใช้คำว่ำ “ทอร์ก” ในขณะท่ีวิศวกรมักใช้คำว่ำ “โมเมนต์” แต่สองคำน้ีสื่อถึงสิ่งเดียวกัน เรำนิยำม   rทอร์ก (หรือโมเมนต์) ของแรง F รอบจุดหมุนว่ำคือผลคูณระหว่ำงขนำดของแรง F กับระทำงต้ังฉำกจำกจุดหมุนมำยังแนวแรงมีหน่วยในระบบ SI คือ นิวตันเมตร (N.m) ทอร์กเป็นปริมำณเวกเตอร์ ขนำดของทอร์กหำได้ตำมสมกำร ส่วนทิศทำงหำได้จำกกฎมอื ขวำดงั รปู ท่ี 2.9   r   (2.27) F   rF sin  (2.28)เม่อื  คือ ทอร์ก หรือ แรงบิด (Torque) ในหนว่ ย N.m r F คือ ระยะทำงจำกจุดหมนุ มำตัง้ ฉำกแนวแรง (radius) ในหนว่ ย m  คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N  r F คือ มุมระหวำ่ งเวกเตอร์ และ (angle) ในหนว่ ย องศำ แรงบดิ แรงนอ็ ตเคลอ่ื นที่ลง รปู ที่ 2.9 ทศิ ทำงของทอรก์ ตำมกำรใชก้ ฎมือขวำ

กำรเคลื่อนท่ีแบบต่ำง ๆ 53 หำกเรำสังเกตกำรใชก้ ฎมือขวำในกำรบอกทศิ ของทอร์กจะพบวำ่ ในกำรหมนุ หรือบดิ เพือ่ เปดิ หรือปิดวำล์วต่ำง ๆ ไม่ว่ำจะเป็นวำล์วแก๊ส ก๊อกน้ำ หรือกำรขันสกรู ฯลฯ กำรหมุนทวนเข็มนำฬิกำจะทำให้วำล์ลนัน้ เปิดออก ส่วนกำรหมนุ ตำมเขม็ นำฬกิ ำจะเป็นกำรปิด นอกจำกน้ีปริมำณสำคัญอีกค่ำหน่ึงซึ่งมีบทบำทสำคัญต่อกำรพิจำรณำกำรหมุนก็คือ โมเมนต์ความเฉ่ือย ( I ) ของวัตถุ โมเมนต์ควำมเฉ่ือย คือ สมบัติซ่ึงต้ำนกำรเปลี่ยนแปลงสภำพกำรหมุนหรือควำมเฉอื่ ยของกำรหมุนของวตั ถมุ หี นว่ ยเป็น kgm2 และมีค่ำดังสมกำร    mr 2 (2.29) I เม่อื  คือ โมเมนต์ควำมเฉอ่ื ย (moment of inertia) ในหนว่ ย kgm2 I m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg r คอื รศั มขี องกำรหมนุ (radius) ในหน่วย m จำกสมกำรเรำพบว่ำ วัตถุที่มีมวลมำกและวัตถุท่ีมีขนำดใหญ่ (รัศมีกำรหมุนมำก) จะหมุนได้ยำกกวำ่ เน่ืองจำกมีควำมเฉื่อยในกำรหมุนมำก ซ่ึงจำกกำรสังเกตสงิ่ ต่ำง ๆ รอบตัว เช่น กำรที่เรำพยำยำมกำงแขนออกเพือ่ ทรงตวั ไมใ่ หล้ ้ม หรอื นักสเก็ตนำ้ แข็งจะใช้กำรหมุนตวั แลว้ หุบแขนเพอื่ ให้หมุนตัวได้เรว็คดิ ซกั นิด 7สำหรับเงือ่ นไขกำรสมดุล (วตั ถไุ ม่หมนุ ) เรำสำมำรถอ้ำงได้ว่ำผลรวมโมเมนต์ซง่ึ เกิดจำกแรงท่ีทำใหเ้ กดิ กำรหมนุ แบบทวนเข็มจะมีคำ่ เท่ำกับผลรวมโมเมนต์ของแรงทท่ี ำให้เกิดกำรหมนุ ตำมเข็ม  rตำFมเขตม็ ำมเข็ม r   ทวนเขม็ = F ทวนเข็ม =ตัวอย่ำงที่ 2.25 จำกรูปท่ี 2.8 ท่ีตำแหน่ง B ซึ่งมีแขนแรงยำว 20 cm ต้องใช้แรงขนำด 20 N ในกำรขันน็อตจงหำแรงทต่ี อ้ งใช้ในกำรขันน็อตทตี่ ำแหนง่ A ซ่งึ มแี ขนแรงยำว 10 cmวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้แขนแรงท่ตี ำแหน่ง B ยำว 20 cm (  = 20 cm) ใช้แรง 20 N (  = 20 N)แขนแรงที่ตำแหน่ง A ยำว 10 cm ( rA = 10 cm) rB  FB FA และถำมหำแรงทีต่ ำแหนง่ A ( ) สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตัวแปร  , rFB ,FrA และต้องกำรหำ  พจิ ำรณำให้ทอร์กทีต่ ำแหน่ง A และ Bเทำ่ กัน จงึ เลือกใช้สมกำร (2.27) rB FA   A = Bจำก 10  FA = 20  20ดงั นั้นแรงทีต่ ำแหนง่ A FA = 40 N ตอบ 2.4.4 กำรเคล่อื นทแี่ บบสัน่ กำรเคล่ือนที่แบบสั่น หรือ การเคลื่อนที่แบบคาบ (Oscillation motion) คือ กำรเคลื่อนท่ีกลบั ไปมำบนเสน้ ทำงเดมิ ในชว่ งเวลำเท่ำ ๆ กัน ซงึ่ สำมำรถพบเห็นกำรเคลื่อนท่แี บบน้ไี ด้มำกมำยรอบ ๆ ตวั เรำเช่น กำรแกว่งของชิงช้ำ กำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำ กำรส่ันของเส้นลวดในเคร่ืองดนตรีประเภทเครื่องสำย

54 แรงและกำรเคล่ือนที่ กำรสั่นของหนังกลอง กำรชักเข้ำออกของลูกสูบในเครื่องยนต์ กำรลอยข้ึนลงของเรือในทะเลตำมกระแสคล่ืน ฯลฯ นอกจำกน้ีลักษณะกำรเคลื่อนท่ีแบบคลื่น ไม่ว่ำจะเป็นคลื่นน้ำ คลื่นในเส้นเชือก คล่ืนเสียง หรือคลื่น แมเ่ หลก็ ไฟฟ้ำกจ็ ดั เปน็ กำรเคล่อื นท่แี บบคำบเชน่ กนั ซ่ึงรำยละเอียดของคลืน่ นนั้ จะขอกลำ่ วถึงในบทท่ี 6 กำรเคลื่อนที่แบบสั่นท่ีพบเห็นกันในชีวิตประจำวันน้ันมีอยู่หลำยมีตัวแปรท่ีส่งผลให้กำรพิจำรณำ เป็นไปไดย้ ำก สำหรบั ในบทเรียนน้ีจะขอกลำ่ วถงึ เฉพำะกำรพิจำรณำกำรเคลื่อนที่แบบสัน่ ในกรณที ีง่ ่ำยทีส่ ดุ คือ การเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย (Simple Harmonic motion) ซ่ึงเป็นกำรเคล่ือนที่แบบเป็นคำบที่มี แอมปลิจูด ( A) และควำมถีเ่ ชงิ มมุ คงที่ ( ) เพ่อื เป็นตวั อยำ่ งต่อกำรนำไปศกึ ษำต่อไปเท่ำนั้น ตัวอย่ำงกำรเคลื่อนท่ีแบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำยท่ีพบเห็นได้ ยกตัวอย่ำงเช่นกำรแกว่งของลูกตุ้ม นำฬิกำอย่ำงงำ่ ย ซึ่งเรำพบว่ำ หำกเรำปล่อยใหล้ ูกตุ้มนั้นอยูน่ ่ิง ลูกต้มุ จะวำงตวั อยูใ่ นตำแหน่ง O ดังรูปท่ี 2.10 แต่เมื่อเรำดึงลูกตุ้มข้ึนมำในตำแหน่ง A และปล่อย ลูกตุ้มนั้นจะถูกแรง mg sin  ดึงให้เคล่ือนที่กลับมำยัง ตำแหนง่ O อีกคร้ังและเลยไปอกี ดำ้ นจนถงึ ตำแหนง่ –A กอ่ นจะเคล่อื นทก่ี ลับตำมเส้นทำงเดิมซ้ำไปซำ้ มำแบบ นี้ไปเร่ือยๆ เรำเรียกตำแหน่ง O ว่ำตำแหน่งสมดุล ซึ่งเป็นตำแหน่งที่ลูกตุ้มจะวำงตัวอยู่น่ิงเม่ือไม่มีแรงใดมำ กระทำ และเป็นตำแหน่งที่ลูกตุ้มจะเคลื่อนท่ีผ่ำนไปมำซ้ำไปเร่ือยๆก่อนจะหยุดน่ิงอีกครั้งที่ตำแหน่งน้ี ส่วน ตำแหน่ง A และ –A น้ัน เรำนิยำมขนำดของปริมำณกระจัดจำกตำแหน่ง O ไปยังตำแหน่ง A และ –A ว่ำเป็น ปริมำณกระจัดมำกที่สุดของกำรเคล่ือนท่ีแบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำย หรือที่เรียกว่ำ แอมปลิจูดของกำรส่ัน ( A) นอกจำกน้ียังมีปรมิ ำณทสี่ ำคญั ตอ่ กำรพิจำรณำกำรเคลื่อนที่อีก เชน่ คำบ (T ) และ ควำมถี่ ( f )O-A A Oรปู ที่ 2.10 ลกู ตมุ้ นำฬิกำอยำ่ งงำ่ ย เงื่อนไขสำคัญสำหรับกำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำยก็คือ มุม  ในกำรแกว่งจะต้องมีค่ำน้อย ๆ เพื่อให้ค่ำ sin    ในหน่วย rad โดยพบว่ำคำบกำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำยจะมีค่ำดังสมกำรT  2 l (2.30) gเมอ่ื T คอื คำบกำรแกว่งของลกู ตุ้ม (period) ในหนว่ ย s l คือ ควำมยำวเชอื กของลูกตมุ้ (length) ในหนว่ ย m g คอื ควำมเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2

กำรเคลอ่ื นทแ่ี บบตำ่ ง ๆ 55 จำกสมกำร (2.30) เรำพบว่ำคำบกำรแกว่งมีคำ่ ขนึ้ อยู่กบั ควำมยำวเชือกของลกู ตุ้มและคำ่ ควำมเร่งโน้มถว่ งของโลก น่ันหมำยควำมวำ่ กำรเปล่ียนแปลงควำมยำวของเชอื กมีผลต่อคำบกำรแกวง่ นน่ั เอง ซึ่งเรำอำจสงั เกตได้จำกกำรผูกชิงช้ำ ยิง่ เรำผูกชิงช้ำกับก่ิงไมท้ ่ีสูง เรำจะพบว่ำชิงชำ้ น้ันใช้เวลำในกำรแกว่งแตล่ ะรอบมำกขน้ึ และหำกเรำปรบั ควำมยำวเชอื กของลกู ตุม้ จนได้ค่ำทีเ่ หมำะสม เรำสำมำรถนำลกู ตุ้มนั้นมำใช้ในกำรจบั เวลำอย่ำงงำ่ ยได้ นอกจำกนี้จำกกำรทดลองเร่ืองลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำย เรำสำมำรถนำผลกำรทดลองที่ได้จำกกำรปรับค่ำควำมยำวเชือกของลูกตุ้มและจับเวลำในกำรเคลื่อนที่แต่ละรอบ มำเขียนเป็นกรำฟเพื่อนำไปหำค่ำควำมเร่งโน้มถว่ งของโลกได้ลองทำดูนกั ศึกษำลองนำเชือกมำผูกกับกอ้ นหนิ โดยปรบั ควำมยำวของเชือกเป็น 20, 30, 40, 50 cm ฯลฯ จับเวลำท่ีใชใ้ นกำรแกว่ง 10 รอบเพอื่ นำมำหำค่ำคำบกำรแกว่งของควำมยำวเชอื กแตล่ ะคำ่ ทำกำรทดลองซ้ำอยำ่ งน้อยค่ำละ 3 คร้ังเพื่อหำค่ำเฉล่ีย แล้วนำตัวเลขที่ได้มำเขียนกรำฟระหว่ำงควำมยำวเชือกและคำบกำรแกว่ง จำกน้นั พจิ ำรณำควำมสัมพันธ์จำกกรำฟเพ่ือหำค่ำควำมเรง่ โน้มถ่วงตำมสมกำร (2.30)ตวั อยำ่ งท่ี 2.26 มินตรำต้องกำรผูกเชือกเพื่อทำชิงช้ำไมท้ ห่ี นำ้ บ้ำน โดยต้นไมม้ กี ิ่งไม้ท่ีสำมำรถผูกชิงช้ำได้อยู่ 2กิง่ คือ ก่ิงที่มีควำมสูง 4 เมตร และ ก่ิงทม่ี ีควำมสูง 8 เมตร หำกมินตรำต้องกำรให้กำรแกว่งแต่ละรอบใช้เวลำประมำณ 4 s อยำกทรำบว่ำมินตรำสำมำรถผกู ชงิ ช้ำไมท้ ่ีหนำ้ บ้ำนได้หรือไม่ และถ้ำไดค้ วรจะผกู ท่ีก่งิ ไหนวิธที ำ จำกโจทย์คำบกำรแกวง่ คือ 4 s (T = 4 s) ภำยใตค้ วำมเรง่ โนม้ ถว่ ง ( g = 9.8 m/s2) และถำมหำควำมยำวเชือก ( l ) สรปุ ไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร T , g และต้องกำรหำค่ำ l จงึ เลือกใชส้ มกำร (2.30)จำก T= 2 l gแทนคำ่ 4 = 2 l 9.8จะได้ควำมยำวเชอื ก l = 3.98 mดังนั้นมินตรำสำมำรถผูกชิงช้ำไมท้ ่ีก่ิงที่มคี วำมสงู 4 เมตรได้ ตอบ

56 แรงและกำรเคลื่อนที่ สรุปแนวคิดประจำบทท่ี 2 แรงเป็นปรมิ ำณเวกเตอร์ซง่ึ เกิดขึ้นจำกกำรดึงหรือผลักวัตถุ มหี น่วย SI คือ นิวตัน (N) ในกำรพิจำรณำแรง จำเป็นต้องสนใจทงั้ ขนำดและทศิ ทำงของแรง มวลเป็นปรมิ ำณที่วัดสมบตั คิ วำมเฉือ่ ยของวตั ถุ ในขณะทีน่ ้ำหนักเป็นแรงโนม้ ถ่วงทโ่ี ลกกระทำต่อวตั ถุ w  mg กฎกำรเคลื่อนที่ข้อท่ี 1 กล่ำวว่ำ เม่ือไม่มีแรงมำกระทำต่อวัตถุ หรือ แรงสุทธิท่ีกระทำต่อวัตถุเป็นศูนย์วัตถุจะอยู่ในสมดุล หรือก็คือ หำกเดิมวัตถุหยุดน่ิงก็จะหยุดน่ิงต่อไป แต่หำกวัตถุกำลังเคล่ือนที่ก็จะเคลอื่ นท่ีต่อไปดว้ ยควำมเรว็ คงท่ี  F   0 กฎกำรเคลอ่ื นทข่ี อ้ ท่ี 2 กล่ำววำ่ เมื่อมแี รงสุทธFกิระทำตอ่ mวaตัถจุ ะส่งผลให้วัตถนุ ัน้ เคลอื่ นที่ด้วยควำมเร่ง กฎกำรเคลอ่ื นทีข่ ้อท่ี 3 กล่ำววำ่ แรงกระทำใดเมื่อเกดิ ขึน้ แล้วจะมีแรงปฏิกิริยำโต้ตอบขนำดเท่ำกันแตม่ ีทิศทำงตรงขำ้ มเกิดข้นึ เสมอ เรยี กวำ่ แรงคกู่ ิรยิ ำ-ปฏกิ ริ ิยำ ระยะทำงเป็นปริมำณสเกลำร์ คือ ควำมยำวตลอดเส้นทำงที่มีกำรเคลื่อนที่ ในขณะที่กำรกระจัดซึ่งเป็นปริมำณเวกเตอร์ คือ ควำมยำวที่วัดจำกจุดเริ่มต้นไปยังจุดสุดท้ำยเท่ำนั้นโดยไม่สนใจเส้นทำงกำรเคล่ือนที่ ควำมเร็วเฉล่ียของวัตถุในช่วงเวลำหนึ่ง และ ควำมเร็วทเ่ี วลำใด ๆ มีนิยำมว่ำ s s2  s1 vt  ds   t  t2  t1 และ vav dt ควำมเร่งเฉลี่ยของวัตถุในช่วงเวลำหนึ่ง และ ควำมเร่งที่เวลำใด ๆ มีนิยำมว่ำ v v2  v1 at  dv   t  t2  t1 และ aav dt พิจำรณำกำรเคลื่อนที่ใน 1 มิติ เมื่อควำมเร่งมีค่ำคงตัวแปรท่ีสำคัญต่อกำรพิจำรณำนั้นมีอยู่ 5 ตัวคือ ระยะทำงหรือกำรกระจดั ( s ) อตั รำเร็วหรือควำมเรว็ ในตอนที่เรม่ิ พจิ ำรณำ (u ) อตั รำเร็วหรอื ควำมเร็วในตอนทำ้ ย (v ) ควำมเร่ง ( a ) และเวลำ (t ) โดยมสี มกำรกำรเคล่อื นทีด่ งั น้ี v  u  at s  (u  v) t 2 s  ut  1 at2 2 v2  u2  2as ส่วนกำรตกอย่ำงอิสระในแนวดิ่งที่ควำมเร่งคงตัว ขนำดของควำมเร่งเนื่องจำกแรงโน้มถ่วงคือ g โดยสำมำรถใช้สมกำรกำรเคล่ือนที่ได้เช่นเดียวกับกำรเคลอ่ื นท่ีใน 1 มิติ เพียงแค่แทนค่ำตัวแปรจำก a ดว้ ย g = -9.8 m/s2 ในกำรเคลื่อนที่แบบโปรเจคไทล์ ซึ่งเป็นกำรเคลื่อนที่ใน 2 มิติ และมีวิถีกำรเคลื่อนที่เป็นเส้น โค้งพำรำโบลำ โดยพิจำรณำแกน x ว่ำเคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วคงที่ ในขณะที่แกน y เคลื่อนท่ี

กำรเคล่ือนทีแ่ บบต่ำง ๆ 57ด้วยควำมเร่งโน้มถ่วง g มีตัวแปรท่ีใชร้ ่วมกนั คอื เวลำ t (เวลำท่ีใช้ในกำรพจิ ำรณำแนวรำบและแนวดิ่งมีค่ำเท่ำกัน) นอกจำกน้ีเวลำที่ใช้ในกำรเคล่ือนท่ีจำกจุดเร่ิมต้นถึงจุดสูงสุดจะเท่ำกับเวลำจำกจุดสูงสุดลง มำถึงท่ีระดับเดียวกับจุดเริ่มต้น และท่ีระดับควำมสูงเดียวกันท้ังขำขึ้นและขำลงจะมีขนำดของควำมเร็ว เท่ำกันตำ่ งกนั แคเ่ พยี งทิศเทำ่ นัน้ เมื่ออนุภำคเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมสม่ำเสมอ ทิศทำงของควำมเร่งมีทิศเข้ำสู่ศูนย์กลำง เรียกว่ำ ควำมเร่งเขำ้ สู่ศูนยก์ ลำง โดยแรงทที่ ำให้เกดิ กำรเคลอ่ื นท่แี บบวงกลมนคี้ ือ แรงสูศ่ นู ยก์ ลำง ซงึ่ มคี ำ่ ดังสมกำร ac  v2 และ   mac  m v2 r Fc rและเพอ่ื ให้กำรวิเครำะห์กำรเคล่ือนท่ีครอบคลมุ ตัวแปรท่ีหลำกหลำย ยังมีปริมำณที่สำคัญในกำรพิจำรณำกำรเคลื่อนท่แี บบวงกลมอีกสองปรมิ ำณ นัน่ ก็คือ คำบและควำมถ่ี ซง่ึ มคี วำมสมั พนั ธ์กนั ดังสมกำร f 1 Tดงั นัน้ จะได้สมกำรสำหรบั พจิ ำรณำกำรเคล่อื นท่แี บบวงกลมเพิ่มเตมิ คือ 4 2rv  s  2r  2rf และ ac  T2  4 2rf 2 tT ในกำรพจิ ำรณำกำรเคลื่อนทแ่ี บบหมุน ตำแหน่งท่ีแรงกระทำมบี ทบำทสำคญั อยำ่ งมำกต่อกำรหมนุ แรงบดิหรอื ทอร์ก มคี ่ำดงั สมกำร  r  และ   rF sin  F  ในขณะท่ีโมเมนต์ควำมเฉ่ือย ซ่ึงเปน็ สมบัติที่ต้ำนกำรเปลย่ี นสภำพกำรหมนุ มีค่ำดังสมกำร  mr 2 I  วัตถุที่มีมวลมำกและวัตถุท่ีมีขนำดใหญ่ (รัศมีกำรหมุนมำก) จะหมุนได้ยำกกว่ำ เน่ืองจำกมีควำมเฉื่อยใน กำรหมนุ มำก กำรเคลื่อนที่แบบแกว่ง หรือ กำรเคล่ือนที่แบบฮำร์มอนิกอย่ำงง่ำยเช่น กำรแกว่งของลูกตุ้มนำฬิกำอย่ำงง่ำย มีเงื่อนไขสำคัญก็คือ มุม  ในกำรแกว่งจะต้องมีค่ำน้อย ๆ เพื่อให้ค่ำ sin    ในหน่วย rad โดยพบวำ่ คำบกำรแกวง่ ของลกู ตมุ้ นำฬกิ ำอย่ำงง่ำยจะมีคำ่ ดังสมกำร T  2 l g

58 แรงและกำรเคลื่อนที่ คำถำม Q2.1 หำกเรำกำลังยืนอยู่นิ่งโดยไม่สัมผัสส่ิงใดบนรถโดยสำรท่ีหยุดน่ิง ทันทีท่ีรถออกว่ิง เรำจะหงำยไปทำง ด้ำนหลงั เหตุใดจึงเปน็ เช่นนนั้ จงอธบิ ำย Q2.2 ในขณะท่ีเรำกำลังเดินทำงโดยรถไฟฟ้ำใต้ดินซ่ึงว่ิงด้วยควำมเร็ว 80 km/h แล้วเผลอหลับไป เม่ือต่ืน ข้ึนมำอีกครงั้ เรำจะทรำบหรอื ไม่วำ่ รถกำลงั วิง่ อยูห่ รือไม่หำกไม่สงั เกตออกไปนอกรถ จงอธบิ ำย Q2.3 ในกำรดันกล่องใบหน่ึงขึ้นพื้นเอียง เรำใช้แรงในกำรดันมำกหรือน้อยกว่ำเม่ือเทียบกับกำรดันกล่องใบ เดยี วกันนีบ้ นพ้ืนรำบในแนวระดบั Q2.4 ลังหนังสือวำงน่ิงบนพ้ืนระดับที่มีควำมฝืด เม่ือเปรียบเทียบแรงท่ีใช้ในกำรดึงลังในทิศทำมุม  กับ แนวระดบั กบั แรงทใ่ี ช้ในกำรดนั ลังดว้ ยมุมเดยี วกัน แบบใดใช้แรงนอ้ ยกวำ่ จงอธิบำย Q2.5 ขอ้ ควำมทวี่ ่ำ “วตั ถุท่ีอยใู่ นสภำวะหยุดนงิ่ แสดงวำ่ ไมม่ ีแรงใดมำกระทำ” ถูกหรือผิด เพรำะเหตุใด Q2.6 จงยกตวั อยำ่ งกำรทดลองที่แสดงใหเ้ หน็ ว่ำ กฎขอ้ ที่ 1 ของนิวตนั เปน็ จริง Q2.7 เด็กหญิงคนหน่ึงอยู่ในลิฟต์ท่ีกำลังเคลื่อนที่ ในมือถือของเล่นไว้ ถ้ำเด็กหญิงปล่อยมือจำกของเล่นแต่ ของเลน่ ไม่ตกลงบนพ้ืน จงสรปุ กำรเคลือ่ นท่ขี องลิฟตว์ ำ่ เป็นอยำ่ งไร Q2.8 จงยกตวั อยำ่ งวัตถทุ ่ีมคี วำมเรว็ เป็นศนู ยแ์ ตค่ วำมเร่งไม่เปน็ ศูนย์ Q2.9 คนขับรถกระบะคันหนึ่งถูกส่งตัวขึ้นศำลในข้อหำขับรถเร็วเกินกว่ำที่กฎหมำยกำหนด โดยมีพยำนคือ ตำรวจซึ่งสังเกตเห็นรถกระบะขับมำคู่กับรถเก๋งซึ่งได้ตรวจวัดแล้วว่ำขับรถเร็วเกินกำหนดจริง แต่ คนขับรถกระบะค้ำนว่ำ “รถเก๋งทแี่ ล่นอยู่ผ่ำนผมไป ผมไม่ได้ขับรถเร็วเกินกำหนด” ผู้พิพำกษำเห็นว่ำ ถ้ำรถทั้งสองคันอยู่ข้ำงกันแสดงว่ำคนขับทั้งสองขับรถเร็วเกินกำหนด หำกเรำเป็นทนำยจะแก้ต่ำงให้ คนขบั รถกระบะอย่ำงไร Q2.10 ในกำรยงิ ปืนยำวไปยังเปำ้ ท่ีอยู่ไกลออกไป ลำกล้องปืนต้องไม่วำงตัวในแนวระดบั แต่ต้องเผือ่ มุมไว้ เหตุ ใดจงึ เป็นเชน่ นน้ั Q2.11 ในขณะเดียวกับที่เรำยิงปืนออกไปในแนวระดับ ก็ปล่อยลูกปืนอีกลูกจำกระดับควำมสูงเดียวกับลำ กลอ้ งปืน ถ้ำไมม่ แี รงต้ำนอำกำศ ลกู ปนื นดั ใจตกกระทบพนื้ ก่อน จงอธิบำย แบบฝึกหัด 2.1 สุนัขสองตัวถูกผูกเชือกไว้กับเสำ เชือกทั้งสองเส้นทำมุมกัน 65 องศำ หำกสุนัข A ออกแรงดึง 200 N ในขณะท่ีสุนัข B ออกแรงดึง 170 N จงหำแรงลัพธ์ และทิศทำงของแรงลัพธ์ว่ำทำมุมเท่ำใดกับเชือกของ สนุ ัข A 2.2 วัตถุก้อนหน่ึงไถลลงมำตำมพ้ืนเอียงซึ่งทำมุม 25 องศำกับแนวระดับ ที่ไม่มีควำมเสียดทำน วัตถุจะ เคลอ่ื นท่ีลงมำด้วยควำมเร่งเทำ่ ใด 2.3 จงหำแรงตึงเชือกท่ีทำมุม 37 องศำกับแนวระดับซ่ึงพอดีลำกวัตถุหนัก 25 N ไปทำงขวำบนพ้ืนรำบด้วย อัตรำเร็วคงตวั แรงปฏิกริ ิยำตั้งฉำกมคี ่ำเทำ่ ใด กำหนด  = 0.2

กำรเคลื่อนทีแ่ บบตำ่ ง ๆ 592.4 กระสอบวำงอยู่บนพ้ืนเอียง เมื่อปรับมุมเอียงจนกระทั่งกระสอบเลื่อนไถลลงมำเองตำมพื้นเอียงด้วย อตั รำเร็วคงตวั จงหำมมุ ของพน้ื เอียง กำหนดสัมประสทิ ธคิ วำมเสียดทำน 0.352.5 ออกแรง 15N ฉดุ ลำกกลอ่ งในทศิ ทำมมุ 60 องศำกับแนวระดบั ปรำกฎว่ำกล่องเคลอื่ นทด่ี ้วยควำมเรว็ คงที่ ไปบนพน้ื รำบ ถำ้  = 0.45 กล่องใบนห้ี นักเทำ่ ไร2.6 ขนตู้เส้ือผ้ำหนัก 300 N ลงจำกท้ำยรถบรรทุกโดยใช้พ้ืนเอียงยำว 2.8 m สูง 1.2 m ถ้ำ  = 0.3 ถำมว่ำ ต้องออกแรงดงึ ข้นึ หรอื ดงึ ลงต้จู งึ เคลื่อนท่ดี ว้ ยอัตรำเร็วคงตัว และตอ้ งใช้แรงขนำนกับพน้ื เอียงขนำดเทำ่ ใด2.7 หญิงมวล 48 kg ยนื อยบู่ นตำชั่งในลิฟต์ จงหำว่ำตำช่งั จะอ่ำนค่ำน้ำหนกั เท่ำใดเมอ่ื ก) ลฟิ ต์หยดุ น่งิ ข) ลฟิ ตเ์ คล่อื นทข่ี ้นึ ดว้ ยควำมเรง่ 1.5 m/s2 ค) ลิฟต์เคลอ่ื นท่ลี งดว้ ยควำมเรง่ 1.5 m/s22.8 นักแสดงหนุ่มนำยหน่ึงขับรถด้วยควำมเร็ว 100 km/hr เพื่อรีบไปกองถ่ำย ในขณะท่ีเขำขับรถอยู่นั้นเขำ มองเห็นส่ิงกีดขวำงอยู่ข้ำงหน้ำในระยะ 150 m ถำมว่ำเขำจะต้องเหยียบเบรกให้ได้ควำมเร่งเท่ำไหร่จึงจะ หยุดรถหน้ำส่งิ กดี ขวำงพอดี และนกั แสดงหนุ่มผู้นน้ั จะใชเ้ วลำนบั ตง้ั แตเ่ รมิ่ เบรกจนรถหยุด เป็นเวลำเทำ่ ใด2.9 รถคนั หนง่ึ เริม่ เคลอ่ื นทีจ่ ำกหยดุ นิ่งดว้ ยควำมเร่ง 2 m/s2 เป็นเวลำ 4 s จงหำควำมเรว็ ปลำย2.10 ปลอ่ ยกอ้ นหนิ ก้อนหนึง่ ลงมำจำกหนำ้ ผำสูง กอ้ นหนิ ตกถงึ พืน้ ใช้เวลำ 20 s จงหำว่ำหน้ำผำสูงเท่ำใด2.11 โยนก้อนหินขึ้นไปในแนวด่ิงจำกยอดตึกแห่งหนึ่งซึ่งสูง 45 m ด้วยควำมเร็ว 10 m/s จงหำว่ำก้อนหินจะ ขึน้ ไปได้สูงสดุ เทำ่ ใด และจะตกถงึ พ้ืนด้วยควำมเร็วเท่ำใด2.12 ชำยคนหน่ึงออกแรงดันตเู้ ยน็ ขึ้นจำกพืน้ เอยี งมมุ 25 องศำ ด้วยควำมเร็วคงตัว หำกตู้เย็นมีมวล 90 kg จง หำขนำดของแรงดนั ในแนวขนำนกบั พน้ื เอยี ง2.13 รถยนต์คันหนงึ่ มมี วล 2100 kg วิง่ ดว้ ยควำมเร็ว 90 km/h แล้วเบรกกระทนหนั ปรำกฎว่ำรถไถลไประยะ หนึ่ง ถำ้ สมั ประสทิ ธคิ วำมเสียดทำนระหวำ่ งถนนและลอ้ คือ 0.65 จงหำ ก) แรงเสียดทำนระหว่ำงรถกับถนน ข) ควำมหน่วงของลอ้ ค) ระยะทำงทรี่ ถไกลไปก่อนหยุด2.14 ออกแรงผลักลังสินค้ำใบหนึ่งด้วยแรง 120 N ไปบนพ้ืนซึ่งมีแรงเสียดทำน 25 N ปรำกฎว่ำลังสินค้ำ เคลอ่ื นที่ไปได้ 5m ในเวลำ 11 s จงหำ ก) ลงั สินคำ้ มวลเทำ่ ใด ข) ถ้ำที่เวลำ 11s หยุดออกแรงผลักลังสินค้ำ ลังสินค้ำจะเคล่ือนท่ีไปได้อีกระยะทำงเท่ำใดในอีก 5 s ตอ่ มำ2.15 ป้ำสมหวังดันลังผลไม้มวล 50 kg ไปบนพ้ืนระดับควำมอัตรำเร็วคงตัว 3m/s ถ้ำสัมประสิทธิ์ควำมเสียด ทำนระหว่ำงกลอ่ งและพื้นมีคำ่ 0.2 ป้ำสมหวงั ต้องออกแรงเท่ำใด และหำกป้ำหยดุ ออกแรงดันลังจะไถลไป ได้อกี ไกลเท่ำใดกอ่ นหยุด

60 แรงและกำรเคล่ือนท่ี 2.16 ในระหว่ำงกำรรบ เคร่ืองบินรบกำลังบินในแนวระดับด้วยควำมเร็ว 55m/s ท้ิงระเบิดลงมำเม่ือบินอยู่ เหนือเป้ำหมำยจำกควำมสูง 350 m หำกไม่คิดแรงต้ำนอำกำศ ลูกระเบิดจะตกถึงพื้นในเวลำเท่ำใด และ ลูกระเบดิ ตกห่ำงจำกตำแหนง่ เปำ้ หมำยไปเปน็ ระยะทำงเท่ำใดในแนวรำบ 2.17 ในกำรช่วยเหลือผู้ประสบภัยจำกเหตุกำรแผ่นดินไหวซึ่งถนนถูกตัดขำด เฮลิคอปเตอร์ต้องบินเข้ำไปเพ่ือ แจกจำ่ ยเสบียงในกำรยังชีพ หำกเฮลคิ อปเตอรบ์ ินด้วยควำมเร็ว 65 km/h ทร่ี ะดับควำมสูง 300 m นักบิน ควรจะปลอ่ ยเสบียงทร่ี ะยะห่ำงเทำ่ ใดจำกเปำ้ หมำยในแนวระดบั 2.18 นกั บำสเก็ตบอลยงิ ลูกออกไปท่ีระดับควำมสูง 1.8 m ด้วยมมุ 30 องศำกับแนวระดับที่ระยะห่ำงจำกแป้น 4.5 m หำกแป้นมีควำมสูง 3.05 m เขำต้องยิงลูกบำสออกไปด้วยควำมเรว็ เท่ำใดจงึ จะลงห่วงพอดี 2.19 รถจักรยำนยนต์และคนขบั มีมวลรวมกัน 170kg ถ้ำขบั ข่ีด้วยอัตรำเร็ว 40 km/h เล้ียวโค้งบนถนนรำบซ่ึง รัศมคี วำมโค้ง 30 m แรงเสยี ดทำนด้ำนขำ้ งลอ้ ทท่ี ำให้รถเลย้ี วโคง้ ไดเ้ ปน็ เทำ่ ใด 2.20 นักข่ีมอเตอร์ไซค์ไต่ถังมีมวลรวมกับรถเป็น 155 kg ถังมีรัศมี 6m หำกสัมประสิทธิควำมเสียดทำนเป็น 0.4 จงหำวำ่ เขำต้องขี่ดว้ ยอัตรำเร็วเท่ำใดจงึ ไตถ่ งั ได้ 2.21 จำกตัวอย่ำงท่ี 2.24 หำกต้องกำรออกแบบทำงโค้งรัศมีควำมโค้ง 250 mโดยกำรยกพื้นด้ำนนอกโค้งให้ เอียงเพื่อป้องกันกำรไถลแหกโค้งกรณีท่ีเกิดฝนตกหรือถนนล่ืน (ไม่คิดแรงเสียดทำน) ควรจะยกทำงโค้งให้ เอียงเป็นมมุ เทำ่ ใดสำหรบั ก) รถที่ควำมเร็วปกตติ ำมควำมเรว็ ทกี่ ฎหมำยกำหนด ที่ 90 km/h ข) รถแข่งในสนำมแข่งทค่ี วำมเรว็ 160 km/h 2.22 ในกำรกระโดดข้ึนตบลกู วอลเลย์บอลแต่ละคร้ัง นักกีฬำจะตอ้ งกระโดดขึ้นในแนวดิ่งสูง 0.7 m ถำ้ นักกีฬำ คนน้มี ีนำ้ หนัก 600 N และช่วงเวลำกำรกระโดดคอื 0.3 s แรงเฉล่ียที่นักกีฬำกระทำต่อพ้นื มีคำ่ เท่ำใด

บทท่ี 3งำนและพลังงำนสำหรับกำรแก้ปัญหำบำงข้อน้ันกำรใช้ทฤษฎีเรื่องแรงและกำรเคลื่อนที่จำกบทท่ีผ่ำนมำอำจไม่เพียงพอในกำรแก้ปัญหำ กำรจะหำอัตรำเร็วของจอบท่ีถูกเง้ือขึ้นก่อนจะกระทบพ้ืนดินอำจเป็นเรื่องท่ียำกเน่ืองจำกแรงที่ใช้เป็นแรงไม่คงที่และกำรเคล่อื นท่ีนี้เกิดข้นึ ในหลำยมติ ิในบทน้ีจะนำเสนอกำรประยุกต์แนวควำมคิดเกี่ยวกับงำนและพลังงำนในกำรแก้ปัญหำโจทย์ท่ีมีควำมซับซ้อนมำกขึ้น โดยยดึ หลักของ กฎการอนรุ ักษ์พลังงาน ท่เี ชื่อว่ำพลังงำนสำมำรถเปล่ียนรูปจำกรูปหน่ึงไปเป็นอีกรูปหน่ึงได้โดยไม่มีกำรสูญหำยของพลังงำน และไม่สำมำรถสร้ำงขึ้นใหม่หรือสูญสลำยไปได้ เช่น ในเคร่ืองยนต์พลังงำนเคมีบำงส่วนถูกเปลี่ยนให้เป็นพลังงำนท่ีใช้ในกำรเคล่ือนที่ของรถและบำงส่วนเปลยี่ นไปเป็นควำมร้อนในห้องเคร่ือง กำรท่ีดวงอำทติ ย์ปลดปล่อยพลังงำนออกมำในรูปของแสงและควำมร้อน พืชสงั เครำะห์แสงและเก็บสะสมพลังงำนในรูปของแป้ง มนุษย์และสัตว์รับประทำนพืชเข้ำไปและย่อยสลำยแป้งเพ่ือเป็นแหล่งพลังงำนในกำรดำรงชีวิตและทำกิจกรรมต่ำง ๆ นอกจำกนี้กำรเปล่ียนรูปของพลังงำนยังเป็นสำเหตุสำคัญของปรำกฏกำรณต์ ่ำง ๆ เช่น กำรเกิดลมและฝน หรอื กำรเปลีย่ นแปลงสภำวะอำกำศตำ่ ง ๆ3.1 งำนและกำลัง3.1.1 งำนในฟิสิกส์งำนมีนิยำมที่แตกต่ำงไปจำกควำมเข้ำใจทั่วไป เรำอำจคิดว่ำกำรทำงำนบ้ำน กำรนั่งทำเอกสำร กำรเดนิ เสิร์ฟอำหำร หรอื กำรขนทรำยเข้ำวดั เป็นงำน แตใ่ นเชิงฟิสิกส์กิจกรรมบำงอยำ่ งอำจไม่เรียกว่ำงำน นยิ ำมงำนของนักฟิสิกสน์ น้ั มำจำกกำรสังเกตควำมสัมพันธ์ของแรงและกำรเคล่อื นท่ี ยกตัวอยำ่ งเช่น กำรที่เรำออกแรงผลักลังผลไม้ให้เคล่ือนท่ี เมื่อออกแรงมำกข้ึน ลังผลไม้ก็จะไปได้ระยะทำงไกลมำกขึ้น ดังน้ันเมื่อพิจำรณำกำรเคล่ือนที่ของวัตถุ จำกรูปท่ี 3.1 มีแรงคงตัวขนำด F ทำต่อวัตถุส่งผลให้วัตถุน้ันเคลื่อนท่ีไปได้กำรกระจัดขนำด s จะได้งำนดังสมกำร (สำหรับกำรพิจำรณำจะสมมติให้วัตถุเป็นอนุภำคเพื่อไม่ต้องคำนึงถึงกำรหมุนหรือกำรเปลย่ี นรูปรำ่ งของวตั ถ)ุ W Fs (3.1)เมือ่ W คอื งำน (Work) ในหนว่ ย J F คือ แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื กำรกระจัดตำมแนวแรง (displacement) ในหน่วย m หน่วย SI ของงำน คือ จูล (ย่อว่ำ J เพื่อเป็นเกียรติแก่นักฟิสิกส์ชำวอังกฤษเจมส์ จูล JamesPrescott Joule ผู้ค้นพบหลักกำรคงตัวของพลังงำน) จำกสมกำร (3.1) จะเห็นได้ว่ำหน่วยของงำนคือหน่วยของแรงคูณกบั หน่วยของระยะทำงดงั นน้ั หนง่ึ จลู จงึ มีค่ำเท่ำกับหน่ึงนวิ ตัน-เมตร (N.m) 1 J = 1 N.m

62 งำนและพลงั งำน รปู ที่ 3.1 เม่ือแรงคงตวั  ทำในทศิ เดียวกบั กำรกระจดั s Fข้อควรระวงัอย่ำสับสน W (งำน หนว่ ยจลู ) กบั w (น้ำหนกั หนว่ ยนวิ ตัน) แม้วำ่ สัญลกั ษณจ์ ะคล้ำยกันแตท่ ้ังสองเปน็ปรมิ ำณท่ตี ำ่ งกนัตวั อย่ำงท่ี 3.1 ชำยผู้หน่ึงออกแรงผลักวัตถุช้ินหนง่ึ ด้วยแรง 150 N ทำให้วัตถุเคล่ือนท่ีไปในแนวเดียวกับทิศท่ีแรงกระทำเป็นระยะทำง 10 m งำนท่ีเกดิ ข้นึ มีค่ำเท่ำไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้แรงผลกั คือ 150 N ( F = 150 N) ระยะทำง 10 m ( s = 10 m) และถำมหำงำน (W )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร F , s และต้องกำรหำค่ำ W จงึ เลือกใช้สมกำร (3.1)จำก W = F sแทนคำ่ W = 150 10  1500 Jดงั นั้นงำนทีเ่ กดิ ขน้ึ มีค่ำ 1500 J ตอบ3อเน.ง2ื่คอ์ปงเรจรำะำจกกะอเพรบำิจขจสำอำนรกงณตใจFัวำเอเฉใฉยนพพ่ำทำงำิศะทะขงแี่ อ3ำรง.นง1กใทำนห่ีชรทำกำกิศรยแะกผรจำู้นงัดรน้ีทเเทั้นคำ่ำกลนดรื่อ้นัะังนทดนทำังั้นี่ขสตเอมอ่มงกวื่อวตัำแัตรถรถใุ งนุเททF่ำศินทแ้ันำลงะท( กFำำมcรมุ oกsระ)จกัแดับมก้จsำระมกยีทรังะิศมจีตแัด่รำขงงอใกนงันวทัติศเถรอุดำ่ืนงัจรดะปู้วใทชย้ี่ W  F s cos (3.2) เม่อื W คอื งำน (Work) ในหนว่ ย J F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คือ กำรกระจัดตำมแนวแรง (displacement) ในหน่วย m  คอื มมุ ระหว่ำงแรงและกำรกระจัด (angle) ในหน่วย องศำ สมกำร (3.2) อยู่ในรูปของผลคณู สเกลำร์ซงึ่ ได้กลำ่ วไปแล้วในบทท่ี 1 ว่ำ  จึง A  B  AB cosอำจเขียนสมกำร (3.2) ใหก้ ระชบั มำกข้ึนได้ว่ำ  F W   s (3.3)

งำนและกำลัง 63 รูปท่ี 3.2 เม่ือแรงคงตัว  ทำในทศิ ทำมุม  กับกำรกระจดั s F งำนนั้นเป็นปริมำณสเกลำร์ แม้ว่ำจะคำนวณงำนจำกเวกเตอร์สองตัวก็ตำม (แรงและกำรกระจัด)กำรเข้ำใจว่ำงำนเป็นบวก ลบ หรือศูนย์ก็เป็นส่ิงสำคัญ งำนจะมีค่ำเป็นบวกเม่ือแรงมีองค์ประกอบในทิศเดียวกันกับกำรกระจัด (มุม  อยู่ระหว่ำงศูนย์และ 900) และงำนจะมีค่ำเป็นลบเมื่อแรงมีองค์ประกอบในทิศตรงข้ำมกับกำรกระจัด (มุม  อยู่ระหว่ำง 900และ 1800) นอกจำกนี้งำนอำจมีค่ำเป็นศูนย์ได้เม่ือแรงมีทิศตั้งฉำกกบั กำรกระจดั (มุม  =900) ในหลำย ๆ สถำนกำรณ์งำนอำจมีคำ่ เป็นศนู ย์หรือไม่เกิดงำนได้ เรำอำจคิดวำ่ กำรถือถงุ ใสอ่ ำหำรท่ีหนักเดินกลับบ้ำนเป็นงำนท่ีหนัก แต่ในทำงฟิสิกส์แล้วกิจกรรมน้ีไม่ถือว่ำเกิดงำนเน่ืองจำกทิศของแรงตั้งฉำกกบั กำรเคล่อื นที่คิดซกั นดิ 8ยงั มีกจิ กรรมอะไรอีกบ้ำงท่ีในทำงฟสิ ิกสถ์ ือว่ำไม่เกดิ งำนตัวอย่ำงท่ี 3.2 พ่อลำกเล่ือนไปตำมพื้นเป็นระยะทำง 10 m ด้วยแรง 150 N เชือกทำมุม 30o กับแนวระดับงำนทเ่ี ขำทำมีคำ่ เทำ่ ไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดระยะทำง 10 m ( s = 10 m) แรง 150 N ( F = 150 N) มุม 30o ( = 30o)และถำมหำงำน (W )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร F , s ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ W จึงเลอื กใช้สมกำร (3.2)จำก W= F s cosแทนค่ำ W= 150 10  cos30oดงั นนั้ จะได้งำน W = 1299.04 J ตอบจะเหน็ ไดว้ ำ่ เม่ือออกแรงในทิศทำมุมจะได้งำนน้อยกวำ่ กรณีออกแรงขนำนกบั กำรเคลอ่ื นท่ีตวั อย่ำงท่ี 3.3 ออกแรงลำกกล่องมวล 20 kg ไปบนพื้นท่ีมีสัมประสิทธิควำมเสียดทำน 0.3 โดยออกแรงดึงทำมุม 37 องศำกับแนวระดับ หำกเกิดงำนขึ้น 600 J อยำกทรำบว่ำลำกกล่องใบนี้ไปเป็นระยะทำงเท่ำใดในแนวรำบวธิ ที ำ จำกโจทยก์ ำหนดให้กล่องมมี วล 20 kg ( m = 20 kg) สัมประสิทธิควำมเสยี ดทำน 0.3 (  = 0.3)มมุ 37 องศำกับแนวระดับ ( = 37o) เกดิ งำนข้ึน 600 J (W = 600 J) และถำมหำระยะทำง ( s )จำก ตัวอย่ำงที่ 2.5 หำแรงดึงไว้แลว้ ได้ 60.35 N ( F = 60.35 N)สรปุ ได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร F , W ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ s จึงเลอื กใช้สมกำร (3.2)จำกสมกำร W= F s cos

64 งำนและพลังงำน แทนคำ่ 600 = 60.35  s  cos 37o ดังน้ันจะได้ระยะทำง s = 12.45 m ตอบตัวอย่ำงที่ 3.4 ชำยคนหน่ึงตัดหญ้ำท่ีสนำมหน้ำบ้ำน อยำกทรำบว่ำเขำต้องใช้แรงเท่ำใดในกำรเข็นเคร่ืองตัดหญ้ำ หำกในกำรตัดหญ้ำเขำเผำผลำญพลังงำนไป 200 kcal และ 30% ของพลังงำนน้ีถูกเปล่ียนเป็นงำนในกำรเข็นเคร่ืองตัดหญ้ำเป็นระยะทำง 550 m กำหนดให้แขนเครื่องตัดหญ้ำยำว 1.25 m และตำแหน่งท่ีจับอยู่สูงจำกพ้นื 1 mวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ 30% ของกำรเผำผลำญพลังงำน 200 kcal ถูกเปลี่ยนเป็นงำน (W =30 200 103 4.184 J) ระยะทำง 550 m ( s = 550 m) แขนเครื่องตัดหญ้ำยำว 1.2 m และตำแหน่ง100ท่ีจบั อย่สู ูงจำกพื้น 1 m (sin   1 ) และถำมหำแรงทต่ี ้องใช้ ( F ) 1.25 สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร W , s , และตอ้ งกำรหำค่ำ F จงึ เลอื กใช้สมกำร (3.2) จำก W= F s cos แทนค่ำ 30  200 103  4.184 = F  550  cos(sin 1 1 ) 100 = 1.25 ดังน้นั จะได้แรงที่ต้องใช้ F 760.72 N ตอบ สำหรับกรณีที่มีแรงหลำยแรงกระทำต่อวัตถุ กำรใช้สมกำร (3.2) หรือสมกำร (3.3) เพื่อหำงำนท่ีทำโดยแรงแต่ละแรงแยกกันแล้วนำมำหำงำนสุทธิ Wtotal โดยวิธีผลบวกพีชคณิต หรืออำจหำงำนสุทธิโดยกำรหำผลบวกเวกเตอร์ของแรงทั้งหมด (แรงสุทธิ) ก่อนแล้วจึงนำแรงสุทธินี้มำหำงำนสุทธิตำมสมกำร (3.2) หรือสมกำร (3.3) ก็ได้ตัวอย่ำงที่ 3.5 ชำวนำผูกรถแทรกเตอร์เข้ำกับทอ่ นซุงและลำกไปเป็นระยะทำง 30 m ท่อนซุงมีน้ำหนัก 1500N รถแทรกเตอรอ์ อกแรงคงตัวขนำด 4000 N ในทิศทำมุม 250กบั แนวระดบั มแี รงเสียดทำนขนำด 2500 N จงหำงำนทีท่ ำโดยแรงแตล่ ะแรงและงำนสทุ ธิโดยแรงท้งั หมดวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดให้ระยะทำง 30 m ( s = 30 m) พิจำรณำเฉพำะแรงในแนวกำรเคลื่อนท่ี ซ่ึงประกอบด้วย รถแทรกเตอร์ออกแรงคงตวั ขนำด 4000 N ( F = 4000 N) ในทิศทำมุม 250 กับแนวระดบั (= 25o) แรงเสียดทำนขนำด 2500 N ( f = 2500 N) และถำมหำงำนท่ีทำโดยแรงแต่ละแรง (WF ,W f )และงำนสทุ ธโิ ดยแรงทั้งหมด (Wtotal ) สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตัวแปร s , F , f ,  และตอ้ งกำรหำคำ่ WF ,W f ,Wtotal จงึ เลือกใชส้ มกำร(3.2) จำก W= F s cos งำนที่ทำด้วยแรงฉดุ ลำก WF = 4000  30  cos 25o = 108,756.93 J ตอบ งำนท่ที ำดว้ ยแรงเสียดทำน Wf = 2500  30  cos180 o =  75,000 J ตอบ

งำนและกำลงั 65ดงั นั้นงำนสทุ ธิมคี ่ำ Wtotal = WF  W f J ตอบหรอื หำจำกแรงสุทธิก่อน  33,756 .93 ตอบดังนน้ั งำนสทุ ธิมีคำ่ =  Fx = (4000  cos 25o )  2500 Wtotal = 1125.23 N =  Fx s = = 1125 .23  30 33756 .93 J จำกท่ีกล่ำวมำเป็นกำรศึกษำงำนเมื่อแรงคงตัวกระทำต่ออนุภำค แต่หำกมีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนภุ ำค กำรแก้ปญั หำนจ้ี ะต้องเขียนสมกำรของงำนในรูปของอนิ ทกิ รลั คอื W s2 (3.4)  F ds s1 ตัวอย่ำงของแรงไม่คงตัวทน่ี ำมำพจิ ำรณำคือกรณีแรงในสปริง (กำรออกแรงดงึ เพื่อยืดสปริง ยิ่งยืดสปริงออกมำกก็ยิ่งต้องใช้แรงมำกข้ึน) พิจำรณำกฎของฮุค ( F  ks) ที่ว่ำควำมยำวท่ียืดออกของสปริง sแปรผันตรงกบั แรงยดื F เม่อื k คอื ค่ำคงตวั ของสปรงิ จะได้ว่ำ Ws  s s  1 ks2 (3.5)  F ds  ks ds 02 0ตวั อย่ำงท่ี 3.6 สปริงอันหนึ่งแขวนอยู่ในแนวด่ิงในสภำวะสมดุล ต่อมำทำกำรแขวนมวล 6 kg ท่ีปลำยล่ำงของสปรงิ ถำ้ วัดสว่ นยดื ของสปรงิ ได้ 11 cm จงหำงำนทเ่ี กดิ ข้ึนจำก ก) แรงโน้มถ่วงของโลก ข) แรงในสปรงิวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดมวล 6 kg ( m = 6 kg) สว่ นยืดของสปริง 11 cm ( s = 0.11 m)ก) หำงำนทีเ่ กดิ ขึน้ จำกแรงโน้มถ่วงของโลก (Wg )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , s และต้องกำรหำ Wg จงึ เลือกใช้สมกำร (3.1)จำก Wg = F s  mg sแทนค่ำ Wg = 6  9.8 0.11  6.468 Jข) หำงำนทเ่ี กิดขึ้นจำกแรงในสปรงิ (Ws )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ จงี แปน m , s และตอ้ งกำรหำคำ่ Ws จงึ เลอื กใชส้ มกำร (3.1)จำก Ws = 1 k s2หำคำ่ k จำกสมกำร F  ks จะได้ 2 k  F  mg  69.8  534.54 N/m ss 0.11แทนคำ่ Ws = 1 534.54  0.112 = 3.234 J 2ดงั นั้นงำนทีเ่ กดิ ขน้ึ จำกแรงโน้มถว่ ง คือ 6.468 J และงำนที่เกดิ จำกแรงในสปรงิ คือ 3.234 J ตอบ

66 งำนและพลงั งำน 3.1.2 กำลงั จำกนิยำมของงำนในหัวข้อท่ีผ่ำนมำไม่ได้มีกำรกล่ำวถึงเวลำที่ใช้เลย หำกเรำออกแรง 200 N ยกวัตถุหนักขึ้นในแนวดิ่งเป็นระยะ 0.7 m เรำจะทำงำน 140 J ไม่ว่ำจะใช้เวลำยก 5 วินำที 5 นำที หรือ 5ช่ัวโมง แต่บ่อยครั้งเรำมักจำเป็นต้องกำรทรำบด้วยว่ำงำนนั้นใช้เวลำไปแค่ไหน ซ่ึงตัวแปรน้ีคือ กาลัง ในทำงฟสิ กิ สน์ ยิ ำมกำลังว่ำคือ อตั รำกำรทำงำนตอ่ เวลำ กำลงั เป็นปรมิ ำณสเกลำรเ์ ช่นเดียวกับงำน เม่ือมีกำรทำงำน W ในระหว่ำงช่วงเวลำ t จะนิยำมให้งำนเฉล่ียท่ีทำต่อหนึ่งหน่วยเวลำหรอื กำลงั เฉล่ยี Pav มคี ่ำดงั สมกำร Pav  W  dW (3.6) t dt หนว่ ย SI ของกำลงั คือ วัตต์ (ตัวยอ่ W ตำมชอื่ ของเจมส์ วตั ต์ นักประดิษฐ์ชำวอังกฤษ) หน่วยของกำลังคอื ผลหำรของหนว่ ยงำนและเวลำ หนงึ่ วัตต์คอื หนึ่งจูลต่อวินำที 1 J = 1 N.m ซึ่งโดยท่ัวไปแล้วจะพบเห็นกำรใชง้ ำนหน่วยของกำลังในรูปของกโิ ลวัตต์ (1 kW = 1000 W) หรือเมกะวตั ต์ (1 MW = 106 W) นอกจำกน้ยี งั มหี น่วยของกำลงั ทน่ี ยิ มใช้อีกหน่วยหนึ่งคือ กำลังม้ำ (hp) 1 Hp = 746 W วัตต์เป็นหน่วยของกาลังไฟฟ้าที่เรำคุ้นเคยกัน เช่น หลอดไฟขนำด 60 W จะเปลี่ยนพลังงำนไฟฟ้ำ 60 J เป็นแสงและควำมร้อนในแต่ละวินำที หรือเตำปิ้งขนมปัง 700W จะเปลี่ยนพลังงำน 700 J เป็นพลังงำนควำมร้อนในแต่ละวินำที จงึ มีกำรนำหน่วยของกำลังมำนิยำมหนว่ ยใหม่ของงำนไดว้ ำ่ กิโลวัตต์-ชั่วโมง(kW.h) ซึ่งเป็นหน่วยทำงกำรค้ำของงำนหรือพลังงำนทำงไฟฟ้ำ หน่ึงกิโลวัตต์-ช่ัวโมงคืองำนท่ีทำในหนึ่งช่ัวโมง(3600s) เม่ือกำลงั มคี ่ำ 1 kW (103 J/s) 1 kW.h = (103 J/s)(3600 s) = 3.6x106 J = 3.6 MJข้อควรระวงัหนว่ ยกโิ ลวตั ต์-ช่วั โมงเปน็ หนว่ ยของงำนหรือพลงั งำน ไม่ใชก่ ำลังนอกจำกนอ้ี ำจเขยี นกำลงั ในรูปของแรงและควำมเร็วไดด้ ว้ ยดงั สมกำร  PW  F  s    v (3.7) F ttเมอื่ P คือ กำลงั (Power) ในหนว่ ย W W คอื งำน (Work) ในหนว่ ย J t คือ เวลำ (time) ในหน่วย s F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื กำรกระจัด (displacement) ในหนว่ ย m v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/s

ทฤษฎงี ำนพลงั งำน 67ตัวอยำ่ งท่ี 3.7 รถยกยกมวล 500 kg ข้ึนด้วยอตั รำเร็ว 2 m/s รถยกมีกำลงั เท่ำไรวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดมวล 500 kg ( m = 500 kg) อตั รำเร็ว 2 m/s ( v = 2 m/s) และถำมหำกำลงั ( P )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , v และตอ้ งกำรหำคำ่ P จงึ เลือกใช้สมกำร (3.7)จำก P= Fvแทนคำ่ F  mg ; P = mg vดงั นนั้ กำลงั ของรถยก = 500  9.8 2  9,800 W ตอบตัวอย่ำงที่ 3.8 หัวรถจักรออกแรง 120 kN ลำกขบวนรถให้เคลื่อนท่ีด้วยอัตรำเร็ว 25 m/s กำลังท่ีหัวรถจักรกระทำต่อขบวนรถเปน็ เทำ่ ใด (ตอบในหน่วยของเมกะวัตต์)วิธที ำ จำกโจทย์กำหนดแรง 120kN ( F = 120 kN) อัตรำเรว็ 25m/s ( v = 25 m/s) และถำมหำกำลงั ( P )สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร F , v และต้องกำรหำค่ำ P จึงเลือกใช้สมกำร (3.7)จำก P= Fvแทนคำ่ P= 120 103  25 = 3106 Wดงั นน้ั กำลงั ที่หวั รถจักร = 3 MW ตอบตัวอยำ่ งท่ี 3.9 ลฟิ ต์มวล 1200 kg เคล่ือนทดี่ ว้ ยควำมเรว็ 3 m/s มีแรงเสียดทำน 4500 N กำลงั ที่น้อยทสี่ ุดของมอเตอร์ทใ่ี ชย้ กลฟิ ต์มีคำ่ กกี่ โิ ลวตั ตแ์ ละหำกต้องกำรเลือกซ้ือมอเตอร์สำหรับลิฟต์ควรเลอื กมอเตอร์กี่แรงวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 1200 kg ( m = 1200 kg) ควำมเร็ว 3 m/s (v = 3 m/s) แรงเสียดทำน4500 N ( f = 4500 N) และถำมหำกำลัง ( P )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร m , v , f และตอ้ งกำรหำค่ำ P F fลฟิ ตเ์ คลอ่ื นท่ีข้นึ ดว้ ยควำมเร็วคFงท่ี จำกกฎนิวตันขอ้ ที่ 1 =0 F  mg  f = 0 F= (1200  9.8)  4500 mg = 16260 Nจำกสมกำร (3.7) P= Fvแทนค่ำ P= 16260  3 = 48780 W 1 Hp W 746 = 65.39 Hpดงั นั้นกำลังน้อยทส่ี ดุ คือ 48.78 kW และควรเลือกซื้อมอเตอร์ขนำดอยำ่ งน้อย 75 แรง ตอบ3.2 ทฤษฎงี ำนพลงั งำน งำนทั้งหมดท่ีแรงภำยนอกทำต่อวัตถุมีควำมสัมพันธ์กับกำรกระจัดของวัตถุ น่ันก็คือข้ึนกับกำรเปลี่ยนตำแหน่งของวัตถุ นอกจำกนี้ยังเกี่ยวข้องกับกำรเปล่ียนอตั รำเรว็ ของวัตถดุ ้วย หำกพจิ ำรณำอนุภำคมวล

68 งำนและพลงั งำนm เคลื่อนที่ไปตำมแกน x ภำยใต้แรงสุทธิคงตัวขนำด F ในทิศตำมแกนบวก x ควำมเร่งของอนุภำคมีค่ำคงตัว a จำกกฎขอ้ ท่ีสองของนิวตนั F  ma และสมกำรกำรเคล่ือนที่ v2  u2  2as จะไดว้ ่ำ F  ma  v2 u2 m 2s Fs  1 m v2  1 m u2 (3.8) 22 ผลคูณ F s คือ งำนท่ีแรงสุทธิ F ทำต่ออนุภำค หรือ งำนสุทธิ ( )Wtotal และเรียกปริมำณ1 mv2 วำ่ พลังงำนจลน์ ( Ek ) ของอนภุ ำคดงั จะกล่ำวถึงต่อไปจงึ เขยี นสมกำร (3.8) ใหม่ได้ว่ำ2 Wtotal  Ek2  Ek1  Ek (3.9) เมื่อ F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg a คอื ควำมเร่ง (acceleration) ในหน่วย m/s2 s คือ กำรกระจดั (displacement) ในหนว่ ย m v คือ ควำมเรว็ ปลำย (final velocity) ในหน่วย m/s u คอื ควำมเร็วต้น (initial velocity) ในหน่วย m/s Wtotal คอื งำนสทุ ธิ (Total Work) ในหน่วย J Ek คือ พลังงำนจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J สมกำร (3.9) นี้คือ ทฤษฎีงำน-พลังงำนซ่ึงอธิบำยได้ว่ำ งานท่ีแรงสุทธิทาต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับพลังงานจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภาค ซ่ึงจำกสมกำรจะพบว่ำหน่วยSI ของพลังงำนและงำนเป็นหน่วยเดียวกันนั่นก็คือ จูล ทฤษฎีงำน-พลังงำนน้ีได้มำจำกกำรพิจำรณำกรณีที่แรงมีค่ำคงตัวและกำรเคล่ือนท่ีเกิดข้ึนในแนวตรง แลว้ หำกแรงไม่คงตวั และเส้นทำงกำรเคลอื่ นท่ีเป็นเสน้ โคง้ ทฤษฎนี ้ีจะยังเป็นจริงหรอื ไม่ ในกำรพิจำรณำกรณีท่ีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนุภำคและเส้นทำงกำรเคลื่อนท่ีของอนุภำคไม่เป็นเส้นตรง เพื่อให้ง่ำยต่อกำรพิจำรณำจะเพิ่มควำมยุ่งยำกทีละอย่ำงโดยพิจำรณำแรงไม่คงตัวท่ีทาให้อนุภาคเคล่ือนที่ในแนวตรงกอ่ น จะไดว้ ่ำ     s2 F ds W  s2  s2 dv  s2 dv ds  v (3.10) m ds m ds ma ds s1 dt s1 ds dt mv dv s1 s1 u Wtotal  1 mv 2  1 mu 2  Ek (3.11) 22 จำกสมกำร (3.11) ได้ผลเดียวกันกับสมกำร (3.9) แม้จะไม่ได้ใช้สมมติฐำนว่ำแรงสุทธิ F คงตัวดังนั้นทฤษฎีงำน-พลังงำนใชไ้ ดแ้ ม้เม่อื F เป็นแรงไม่คงตัวหรือแรงมกี ำรเปลยี่ นแปลงในขณะท่ีเกิดกำรเคลือ่ นท่ีส่วนกำรพิจำรณำกรณีอนุภำคเคล่ือนท่ีเป็นเส้นโค้งน้ัน ขอให้ศึกษำทำควำมเข้ำใจนิยำมของพลังงำนจลน์พลังงำนศกั ย์ และกฎกำรอนุรักษพ์ ลังงำนท่ีจะกล่ำวถึงตอ่ ไปน้ีก่อน 3.2.1 พลงั งำนจลน์

ทฤษฎงี ำนพลงั งำน 69 พลังงำนจลน์มีค่ำขึ้นกับมวลและอัตรำเร็วของอนุภำค โดยไม่ข้ึนกับทิศกำรเคลื่อนที่ของอนุภำคดังท่ีกล่ำวมำแล้ว พลังงำนจลน์เป็นปริมำณสเกลำร์เช่นเดียวกับงำน พลังงำนจลน์มีค่ำเป็นลบไม่ได้ และมีค่ำเป็นศนู ย์เม่อื อนภุ ำคหยดุ น่งิ เท่ำนนั้ ดังสมกำร Ek  1 mv2 (3.12) 2เมื่อ Ek คือ พลงั งำนจลน์ (kinetic energy) ในหนว่ ย J m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s3.2.2 พลังงำนศักย์พลังงำนศักย์เป็นพลังงำนท่ีสัมพันธ์กับตำแหน่งของวัตถุ เป็นปริมำณท่ีวัดศักยภำพหรือควำมเป็นไปได้ในกำรทำงำน หรืออำจเรียกได้ว่ำเป็นพลังงำนท่ีสะสมไว้เพื่อเปล่ียนเป็นพลังงำนจลน์ในขณะท่ีวัตถุเคล่อื นท่ี ในหวั ข้อน้จี ะศึกษำพลังงำนศกั ย์ 2 ชนิดนั่นคือ พลงั งำนศกั ยโ์ นม้ ถ่วง และ พลงั งำนศกั ยย์ ดื หยุ่นพลังงำนศักย์โน้มถ่วงเป็นพลังงำนที่สัมพันธ์กับน้ำหนักและควำมสูงของวัตถุเหนือพ้ืน เมื่อพจิ ำรณำวัตถตุ กอย่ำงอิสระโดยไม่มีแรงต้ำนอำกำศ พลังงำนศักย์โน้มถ่วงมีค่ำลดลงในขณะท่ีพลังงำนจลน์ของวัตถุมีค่ำเพ่ิมข้ึนเน่ืองจำกพลังงำนศักย์โน้มถ่วงถูกเปลี่ยนรูปไปเป็นพลังงำนจลน์ หำกเขียนสมกำรของงำนเน่อื งจำกแรงโนม้ ถว่ งจะได้วำ่Wgrav  F s  w ( y1  y2 )  mgy1  mgy2 (3.13)นิยำมผลคูณของนำ้ หนกั mg กับควำมสงู y คือ พลงั งำนศักย์โน้มถว่ ง ( E pg ) (3.14) E pg  mgy เมื่อคำ่ พลังงำนศักยโ์ น้มถ่วง ณ จุดเริ่มต้นคือ Epg1  mgy1 และพลังงำนศักยโ์ น้มถ่วง ณ จุดสุดท้ำยคอื Epg2  mgy2 สมกำร (3.13) เขยี นใหมไ่ ดว้ ่ำWgrav  E pg1  E pg2   (E pg2  E pg1 )   E pg (3.15) เมอื่ Wgrav คอื งำนเนื่องจำกแรงโนม้ ถ่วง (gravitational work) ในหน่วย J F คอื แรง (Force) ในหนว่ ย N s คอื กำรกระจดั (displacement) ในหนว่ ย m y คอื ควำมสูงจำกระดบั อ้ำงองิ (height) ในหน่วย m E pg คอื พลงั งำนศักยโ์ น้มถว่ ง (gravitational potential energy) ในหนว่ ย J m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg g คือ ควำมเรง่ โน้มถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 เพ่ือให้ง่ำยต่อกำรแก้ปญั หำเรอ่ื งพลังงำนศักย์โน้มถ่วง กำรกำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงจะชว่ ยลดเทอมท่ตี ้องพิจำรณำลง โดยกำหนดใหท้ ี่ตำแหนง่ อ้ำงอิงมีพลังงำนศกั ย์โน้มถ่วงเป็นศูนย์ (โดยมำกมักกำหนดตำแหน่งอ้ำงอิงที่พื้น แต่สำหรับบำงกรณีตำแหน่งอ้ำงอิงอำจไม่ได้ถูกกำหนดที่พื้น) ตำแหน่งท่ีอยู่เหนือจำกตำแหน่ง

70 งำนและพลงั งำนอ้ำงอิงจะมีพลังงำนศักย์โน้มถ่วงเป็นบวก ในขณะท่ีตำแหน่งที่อยู่ต่ำกว่ำระดับอ้ำงอิงจะมีพลงั งำนศักย์โน้มถ่วงเป็นลบ พลังงำนศักย์ยืดหยุ่น เป็นพลังงำนศักย์ท่ีสะสมอยู่ในวัตถุท่ีเปล่ียนรูปได้ เช่น สปริงหรือยำงหนังสติ๊ก (วัตถุที่สำมำรถกลับคืนสู่รูปร่ำงและขนำดเดิมหลังจำกถูกเปลี่ยนรูปไป) จำกสมกำร (3.5) เรำนิยำมงำนเนื่องจำกแรงดงึ ในสปริง Ws  1 k s2 และให้ปรมิ ำณน้ีเปน็ พลงั งำนศกั ยย์ ืดหยุ่น ( E ps ) ด้วย 2 E ps  1 ks2 (3.16) 2 Ws  E ps1  E ps2   (E ps2  E ps1 )   E ps (3.17) เม่ือ Ws คือ งำนเน่ืองจำกแรงดงึ ในสปรงิ (Work done to stretch spring) ในหนว่ ย J Eps คอื พลงั งำนศักยย์ ืดหยุ่น (elastic potential energy) ในหนว่ ย J k คอื ค่ำคงท่ีของสปรงิ (spring constant) ในหนว่ ย N/m s คือ ระยะยดื จำกตำแหนง่ สมดุล (distant) ในหน่วย mตัวอย่ำงที่ 3.10 ชำยผู้หน่ึงขว้ำงก้อนหินมวล 0.2 kg ออกไปจำกหน้ำผำด้วยควำมเร็ว 18 m/s เม่ือก้อนหินกระทบผวิ นำ้ มีควำมเรว็ 35 m/s พลังงำนจลน์ของก้อนหนิ เปลี่ยนไปเทำ่ ไรวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 0.2 kg ( m = 0.2 kg) ควำมเรว็ ตน้ 18 m/s (u = 18 m/s) ควำมเรว็ ปลำย35 m/s (v = 35 m/s) และถำมหำพลงั งำนจลน์ของก้อนหินเปลี่ยนไป ( Ek )สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , u , v และต้องกำรทรำบคำ่ Ek จงึ เลือกใช้สมกำร (3.11)จำก Ek = 1 mv 2  1 mu 2 22แทนค่ำ = 1  0.2 (352 182 )  90.1 J 2ดังนั้นพลังงำนจลนข์ องก้อนหินเปล่ยี นไป 90.1 J ตอบตัวอย่ำงที่ 3.11 รถเลื่อนมวล 30 kg คันหน่ึงเริ่มเล่ือนจำกตำแหน่งท่ีอยู่เหนือพ้ืนระดับ 53 m เม่ือมำถึงตำแหน่งสุดท้ำยซงึ่ อยสู่ ูงจำกพน้ื ระดับ 4 m รถเลอื่ นมกี ำรเปล่ียนแปลงพลังงำนศักย์ไปเท่ำไรวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดมวล 30 kg ( m = 30 kg) ควำมสงู เร่มิ ตน้ 53 m ( y1 = 53 m) ตำแหนง่ สดุ ท้ำยซึ่งอยู่สงู จำกพน้ื ระดับ 4 m ( y2 = 4 m) และถำมหำกำรเปล่ยี นแปลงพลังงำนศกั ย์ของรถเล่อื น ( Epg )สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , y1 , y2 และตอ้ งกำรทรำบค่ำ Epg จงึ เลือกใชส้ มกำร (3.14)จำกส E pg = mgy2  mgy1แทนคำ่ = 30  9.8 (4  53)  14,406 Jดังนน้ั รถเลือนมีกำรเปล่ยี นแปลงพลังงำนศักยล์ ดลง 14,406 J ตอบตัวอยำ่ งท่ี 3.12 ปนื เดก็ เล่นกระบอกหน่ึงมีกระสนุ เปน็ ลกู บอล ตัวปืนมสี ปริงอยู่ข้ำงใน ค่ำคงตัวของสปรงิ1.6x104 N/m ในขณะเตรยี มยิงสปริงจะหดเขำ้ มำจำกปกติ 8 mm จงหำวำ่ก) เมื่อยิงกระสนุ ไป สปริงจะมีกำรเปล่ียนแปลงพลงั งำนศกั ยไ์ ปเทำ่ ไร

ทฤษฎีงำนพลงั งำน 71ข) ถำ้ ลกู กระสุนมีมวล 0.4 g และพลังงำนศกั ยข์ องสปริงถูกถ่ำยไปเปน็ พลงั งำนจลน์ของกระสนุ กระสนุ จะพ่งุด้วยควำมเรว็ เท่ำใดวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดคำ่ คงตัวของสปรงิ 1.6x104 N/m ( k = 1.6x104 N/m) ระยะหด 8 mm ( s = 8mm) สรุปไดว้ ำ่ ทรำบค่ำตัวแปร k , sก) หำค่ำกำรเปล่ียนแปลงพลงั งำนศกั ย์ ( Eps )จำกสมกำร (3.16) =E ps 1 ks2 2แทนค่ำ = 1 1.6 104  0.008 2 ตอบดังนน้ั มีกำรเปลีย่ นแปลงพลงั งำนศกั ย์ 2  0.512 Jข) หำคำ่ ควำมเร็วของกระสนุ ( v ) เมอ่ื กำหนด มวล 0.4 g ( m = 0.4 g) และพลังงำนศักย์ของสปรงิ ถกู ถำ่ ยไปเป็นพลังงำนจลนข์ องกระสุน ( Ek  Eps = 0.512J)สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร m , Ek และต้องกำรทรำบค่ำ vจำกสมกำร (3.12) Ek = 1 mv 2 2แทนคำ่ 0.512 = 1  0.4103  v2 2ดงั นนั้ ลกู กระสนุ จะพงุ่ ด้วยควำมเร็ว v = ตอบ 50.60 m/s3.2.3 กฎกำรอนุรักษพ์ ลังงำนกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนนั้นกล่ำวถึงกำรคงตัวของพลังงำน พลังงำนกลท้ังหมดของระบบจะต้องมีค่ำเดียวกันที่ทุกจุดบนเส้นทำงกำรเคล่ือนที่ เรำนิยำมผลบวก Ek  Ep ของพลังงำนจลน์และพลังงำนศักย์ว่ำเป็นพลังงำนกลท้ังหมด E ของระบบ นั่นคือ พลังงำนสำมำรถเปลยี่ นรูปได้ พลังงำนจลน์เปล่ียนเป็นพลังงำนศักย์หรืองำนได้ เช่น กำรตอกตะปูคือกำรเปลี่ยนแปลงของพลังงำนศักย์ที่สะสมขณะที่เง้ือค้อนขึ้นมำเป็นพลงั งำนจลนใ์ ห้ค้อนเคลอื่ นทีไ่ ปและเมือ่ ตอกลงไปบนตะปูก็เปลย่ี นเปน็ งำนที่ตะปจู มลงในเน้อื ไม้ E  Ek  Ep  คำ่ คงตวั (3.18)หรืออำจเขยี นไดว้ ่ำ E1  E2 (3.19)แทนค่ำสมกำร (3.18) ลงในสมกำร (3.19) และแทนค่ำพลังงำนตำ่ ง ๆ จำกสมกำร (3.12), (3.14)และ (3.16) ลงในสมกำร (3.19) Ek1  E pg1  E ps1  Ek 2  E pg2  E ps2 (3.20) 1 mv12  mgy1  1 k s12  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 (3.21) 2 2 2 2 2

72 งำนและพลงั งำน สำหรับกำรแก้ปัญหำน้ันหำกโจทย์ไม่ได้กล่ำวถึงพลังงำนตัวใด ให้ถือว่ำพลังงำนนั้นเป็นศูนย์สำมำรถตัดเทอมนั้นออกจำกกำรพิจำรณำได้ นอกจำกนี้หำกมีแรงอื่นนอกเหนือจำกแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยนุ่ ทำงำนต่อวัตถุดว้ ย เรำเรียกงำนของแรงเหล่ำนี้วำ่ Wother ซึ่งจำกทฤษฎีงำน-พลังงำนซ่ึงกลำ่ วว่ำ งานท่ีแรงสทุ ธิทาต่ออนุภาคมีค่าเทา่ กบั พลังงานจลน์ท่ีเปลยี่ นไปของอนุภาคจะได้ว่ำ1 mv12  mgy1  1 k s12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 (3.22)2 2 2 2 2 เม่ือ E คอื พลังงำนกล (mechanical energy) ในหน่วย J Ek คือ พลังงำนจลน์ (kinetic energy) ในหน่วย J E p คอื พลังงำนศักย์ (potential energy) ในหนว่ ย J E pg คอื พลังงำนศักย์โน้มถ่วง (gravitational potential energy) ในหน่วย J Eps คอื พลงั งำนศักย์ยดื หยนุ่ (elastic potential energy) ในหน่วย J m คือ มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คือ ควำมเร็ว (velocity) ในหน่วย m/s g คือ ควำมเร่งโนม้ ถว่ งของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2 y คอื ควำมสูงจำกระดับอำ้ งอิง (height) ในหนว่ ย m k คอื คำ่ คงทข่ี องสปรงิ (spring constant) ในหน่วย N/m s คือ ระยะยดื จำกตำแหนง่ สมดลุ (distant) ในหน่วย m Wother คอื งำนท่ีทำโดยแรงอืน่ (other work) ในหนว่ ย J น่ันคือ งานท่ีทาโดยแรงอื่นทั้งหมดนอกเหนือจากแรงโน้มถ่วงหรือแรงยืดหยุ่นมีค่าเท่ากับผลต่างของพลังงานกลท้ังหมดของระบบ (Wother  E ) ถ้ำมีเพียงแรงโน้มถ่วงและแรงยืดหยุ่นเท่ำน้ันที่ทำงำนต่อวัตถุเรำจะได้ว่ำ Wother  0 สมกำร (3.22) ถือเป็นสมกำรทั่วไปที่ใช้ในกำรแก้ปัญหำได้อย่ำงกว้ำงขวำงซึ่งรวมถึงในกรณีที่แรงไมค่ งทีก่ ระทำต่อวัตถุใหเ้ คลื่อนทีเ่ ปน็ เส้นโค้งอกี ดว้ ยตัวอย่ำงท่ี 3.13 วัตถุช้ินหนึ่งตกลงมำอย่ำงอิสระ ขณะที่อยู่ที่ระยะ y1 มีควำมเร็วในทิศทำงลง 5 m/s เม่ือมำถึงตำแหนง่ y2 ซึง่ อยตู่ ำ่ กวำ่ y1 3 m วัตถจุ ะมคี วำมเรว็ เทำ่ ใดวิธที ำ โจทย์กำหนดให้ควำมเร็วที่ตำแหน่ง y1 คือ 5 m/s ( v1 = 5 m/s) ตำแหน่ง y2 อยู่ต่ำกว่ำ y1 3 m( y1 = 3 m และ y2 = 0 m) และถำมหำควำมเร็วทต่ี ำแหนง่ y2 ( v2 )สรุปได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร v1 , y1 , y2 และต้องกำรหำคำ่ v2จำกกฎอนุรักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2 1 mv12  mgy1  1 k s12  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2แทนค่ำ 1 52  (9 3)  1 v22  0 2 2จะได้ควำมเร็วทตี่ ำแหนง่ y2 v2  8.89 m/s ตอบ

ทฤษฎีงำนพลงั งำน 73ตวั อยำ่ งที่ 3.14 รถมวล 1500 kg เจำ้ ของลืมใสเ่ บรกไว้ เริ่มไหลจำกหยดุ นิง่ ลงมำตำมทำงลำดเอียง 10o กับแนวระดับไดร้ ะยะทำง 12 m จงหำวำ่ เมือ่ ไปถึงปลำยลำ่ งสุด รถมคี วำมเรว็ เทำ่ ใดก. ถ้ำไม่คิดแรงเสยี ดทำนข. ถ้ำถนนมีแรงเสียดทำน 2 kNวิธที ำ จำกโจทยก์ ำหนดมวล 1500 kg ( m = 1500 kg) ไหลจำกหยุดนิ่ง (v1 = 0 m/s) ระยะทำง 12 mบนทำงลำดเอยี ง 10o กบั แนวระดบั ( y1 12sin100 m และ y2 = 0 m) ภำยใตแ้ รงโน้มถ่วงของโลก ( g =9.8 m/s2) และถำมหำควำมเรว็ ปลำยของรถ ( v2 ) 12 m สรุปได้ว่ำทรำบตวั แปร m , v1 , y1 , y2 , g และตอ้ งกำรหำคำ่ v2 10oจำกกฎอนรุ ักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2ก) ไมค่ ดิ แรงเสยี ดทำน Wother  0 =1mv12  1 k s12 1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wotherแทนคำ่ 0  (9.812 sin 10o )  0  0 = 1  v22  0  0 2ดงั นั้นควำมเรว็ ปลำย v2 = 6.39 m/s ตอบข) ถนนมแี รงเสยี ดทำน f  2000 Nดังนัน้ Wother  fscos  2000 12 cos180 0  24000 J =1mv12 1 k s12 1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2  mgy1   Wotherแทนคำ่ 0  (1500  9.812 sin 10o )  0  24000 = 1 1500  v22  0  0 2ดงั นนั้ ควำมเร็วปลำย v2 = 2.97 m/s ตอบตัวอย่ำงที่ 3.15 รถยนต์มีมวล 1000kg กำลังเคล่ือนท่ีด้วยควำมเร็ว 95 km/h เพื่อจะให้รถหยุดใน 4 วินำทีจะตอ้ งทำงำนก่ีจูลวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดมวล 1000 kg ( m = 1000 kg) ควำมเร็ว 95 km/h (v1 = 95 km/h) รถหยุด (v2= 0 m/s) ใน 4 วินำที ( t = 4 s) และถำมงำน ( )Wotherสรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร m , v1 , v2 , t และต้องกำรหำค่ำ Wotherเปลยี่ นหน่วย v1  95  1000  26.39 m/s 3600จำกกฎอนรุ ักษ์พลังงำน สมกำร (3.19) E1  E2

74 งำนและพลังงำน =1 mv12   1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wother 2แทนคำ่ ( 1 1000  26.39 2 )  0  0  Wothet = 000 2 =Wother  348,186.73 Jดังน้นั ตอ้ งทำงำนเพิม่ 348,186.73 J ตอบตัวอย่ำงที่ 3.16 ถ้ำต้องกำรเร่งรถมวล 1400 kg ที่จอดน่ิงอยู่ ให้มีควำมเร็ว 25 m/s ภำยในระยะ 120 mจะตอ้ งออกแรงฉุดเทำ่ ไรวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 1400 kg ( m = 1400 kg) จอดนิ่ง ( v1 = 0 m/s) เร่งให้มีควำมเร็ว 25 m/s( v2 = 25 m/s) ภำยในระยะ 120 m ( s = 120 m) และถำมหำแรงฉุด ( F )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร m , v1 , v2 , s และตอ้ งกำรหำค่ำ Fจำกกฎอนรุ ักษ์พลงั งำน สมกำร (3.19) E1  E2 =1 mv12   1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2 mgy1  Wother 2แทนค่ำ เมื่อ Wother  Fs cos ; 0  0  0  (F 120 cos 0o ) = (1 1400  252 )  0  0 F = 2 3,645.83 N ตอบตัวอย่ำงท่ี 3.17 รถยนต์มวล 1000 kg แล่นด้วยอัตรำเร็ว 12 m/s ลงมำตำมเนินเขำซ่ึงทำมุมกับแนวรำบ 8องศำ ถำ้ คนขับเบรกให้รถหยุดได้ในระยะทำง 20 m อยำกทรำบวำ่ แรงตำ้ นท่ที ำใหร้ ถหยดุ มีคำ่ เทำ่ ใดวิธที ำ จำกโจทย์มวล 1000 kg ( m = 1000 kg) อัตรำเร็ว 12 m/s (v1 = 12 m/s) ระยะทำง 20 m ตำมเนนิ เขำซงึ่ ทำมุมกับแนวรำบ 8 องศำ ( y1  20sin 80 m และ y2 = 0 m) รถหยุด ( v2 = 0 m/s) และถำมหำแรงตำ้ นที่ทำให้รถหยดุ ( f )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , v1 , v2 , y1 , y2 ตอ้ งกำรหำค่ำ fจำกกฎอนรุ ักษ์พลังงำน สมกำร (3.19) E1  E2 =1 mv12 1 k s12 1 mv 2  mgy  1 k s22 2 2 2 2 2  mgy1   Wother 2แทนค่ำ เมื่อ Wother  fscos ;(1 1000 122 )  (1000  9.8 20 sin 8o )  0  ( f  20 cos180 o ) = 000 2 N ตอบ f =  4,963.90 จำกควำมรู้เร่ืองกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนสำมำรถนำมำประยุกต์ใช้ในกำรออกแบบเครื่องทุ่นแรงทำงกำรเกษตรได้หลำยชนดิ ตัวอย่ำงเช่น เครอ่ื งท่นุ แรงในกำรปลูกข้ำวได้แก่ เครอ่ื งหยอดต้นกล้ำข้ำวนำโยน

กำรชนและโมเมนตัม 75แบบลำกจูง1 ซึ่งอำศัยควำมรู้ที่ว่ำวัตถุทุกชนิดมีพลังงำนศักย์สะสมอยู่ในตัววตั ถุ โดยพลังงำนศักย์น้ีมีค่ำข้ึนอยู่กับควำมสูงเริ่มต้นของวัตถุน้ัน นั่นก็คือยิ่งควำมสูงในกำรปล่อยมำก พลังงำนศักย์สะสมในวัตถุก็ยิ่งมำกตำมไปด้วย และพลังงำนศักย์น้ีจะถูกเปล่ียนเป็นพลังงำนจลน์ในกำรเคล่ือนท่ีส่งผลให้แรงท่ีเกิดข้ึนขณะกระทบพื้นที่ควำมสูงตำ่ ง ๆ มีคำ่ แตกต่ำงกัน จำกหลักกำรที่กลำ่ วมำแล้วนักวจิ ัยจงึ ได้คดิ ออกแบบเครื่องทุ่นแรงท่ชี ว่ ยในกำรดำนำได้โดยไม่ต้องหลังขดหลังแข็งก้มลงปักต้นกล้ำในนำข้ำว เครื่องมือที่ประดิษฐ์ขึ้นน้ีจะช่วยในกำรปักดำต้นกล้ำโดยใช้วิธีกำรปล่อยต้นกล้ำลงตำมรำงที่ควำมสงู ที่กำหนด อำศัยเพียงแค่แรงโน้มถ่วงของโลกเท่ำน้ัน คล้ำยกับกำรทำนำโยนนั่นเอง แต่สำมำรถกำหนดระยะปลูกได้แม่นยำโดยอำศัยกำรหมุนของล้อจักรยำนเป็นตัวกำหนดระยะกำรปลูกว่ำต้นกล้ำแต่ละชุดควรจะมีระยะห่ำงเท่ำใด เคร่ืองมือชนิดน้ีอำศัยหลักกำรท่ีว่ำพลังงำนศักย์ที่สะสมในต้นกล้ำขณะท่ีปล่อยให้ตกลงมำนั้นจะถูกเปล่ียนเป็นงำนในกำรจมลงในดินของต้นกล้ำควำมสูงท่ีพอเหมำะจะส่งผลต่อค่ำพลังงำนศักย์ที่เหมำะสมซึ่งจะช่วยให้ต้นกล้ำสำมำรถต้ังตรงไม่ล้มได้ ควำมสงู ทีน่ ้อยเกินไปค่ำพลงั งำนศักย์จะไม่เพียงพอต่อกำรจม ต้นกลำ้ จงึ ลม้ ในขณะท่ีควำมสูงท่ีมำกเกินไปอำจทำให้ต้นกล้ำเกิดกำรกระดอนข้ึน ต้นกล้ำจึงล้มเช่นเดียวกัน ซ่ึงจำกงำนวิจัยได้ค่ำควำมสูงที่เหมำะสมสำหรับกำรพฒั นำเครื่องหยอดต้นกลำ้ อยูท่ ี่ 1 m สำหรับต้นกลำ้ ขำ้ วอำยุ 15-20 วนั ท่มี ีมวลเฉลยี่ 4.48 g/ตน้ เคร่ืองหยอดต้นกล้ำข้ำวแบบนำโยนน้ีนอกจำกจะช่วยทุ่นแรงในกำรดำนำแล้ว ยังช่วยลดปริมำณเมล็ดพันธ์ลงได้ จำกเดมิ ต้องใช้ปริมำณเมลด็ พันธ์ 30-50 kg/ไร่ เหลอื เพียงไมถ่ ึง 1 kg/ไร่ อีกทั้งข้ำวในนำยังขึ้นเป็นระเบียบทำให้ง่ำยต่อกำรกำจัดวัชพืช และไม่จำเป็นต้องปล่อยน้ำท่วมนำเพ่ือควบคุมวัชพืช จึงสำมำรถทำกำรเพำะปลูกขำ้ วได้แมใ้ นพนื้ ทีแ่ หง้ แลง้ ซง่ึ เรียกกำรปลูกขำ้ วในลกั ษณะนี้วำ่ กำรปลูกข้ำวแอโรบิค23.3 กำรชนและโมเมนตัม เม่อื รถพว่ งสิบแปดล้อชนกบั รถคนั เล็ก เหตุใดผู้โดยสำรในรถคนั เล็กมีโอกำสบำดเจบ็ มำกกว่ำ และควำมเสียหำยท่ีเกิดขึ้นกับรถมีมำกกว่ำ เพื่อท่ีจะตอบคำถำมนี้กฎข้อท่ีสองของนิวตันไม่เพียงพอที่จะใช้แกป้ ญั หำ แนวคดิ เรอ่ื งโมเมนตัมและกำรดลถูกนำมำใช้ในกำรอธบิ ำยได้เปน็ อย่ำงดี กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตมั จะช่วยให้เรำวิเครำะห์สถำนกำรณ์การชนที่วัตถุสองชิ้นชนกันและเกิดแรงที่มีขนำดใหญ่มำกกระทำต่อกันในช่วงเวลำที่สนั้ มำก ๆ3.3.1 โมเมนตมั และ กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม dvพจิ ำรณำกฎขอ้ ทีส่ องของนวิ ตัน    ma เรำสำมำรถเขียนกฎน้ีใหม่ไดโ้ ดยแทนค่ำ a  dt F   m dv  d (mv) (3.23) F dt dtเน่ืองจำกมวล m เป็นค่ำคงท่ีจึงสำมำรถนำเข้ำไปด้ำนในอนุพันธ์ได้ และสำมำรถอธิบำยกฎข้อที่ สองของนิวตันในรูปใหม่น้ีได้ว่ำ แรงสุทธิ  F ท่ีกระทำต่ออนุภำคมีค่ำเท่ำกับอัตรำกำรเปล่ียนแปลงของปริมำณผสม mv เทียบกับเวลำ เรำเรียกปริมำณผสมซึ่งเป็นผลคูณระหว่ำงมวลและควำมเร็วน้ีว่ำ โมเมนตัมของอนุภำค โดยใช้สัญลกั ษณ์ p1 ผดุงศักดิ์ วำนิชชัง, ใจทพิ ย์ วำนชิ ชงั และ นฤมล บญุ กระจำ่ ง. 2558. กำรพฒั นำเคร่อื งปลูกต้นกล้ำขำ้ วนำโยนแบบลำกจงู . รำยงำนกำรวิจยัมหำวิทยำลยั เทคโนโลยีรำชมงคลตะวนั ออก2 ผดงุ ศกั ด์ิ วำนชิ ชัง, ใจทิพย์ วำนิชชัง, นฤมล บญุ กระจ่ำง และ เพยี งขวญั วำนิชชัง. 2557. กำรพฒั นำเครอ่ื งปลกู ขำ้ วและกำจัดวัชพชื ในกำรปลูกข้ำวแอโรบคิ . รำยงำนกำรวิจัย มหำวิทยำลยั เทคโนโลยรี ำชมงคลตะวนั ออก

76 งำนและพลงั งำน p  mv (3.24)เมอื่  คือ แรง (Force) ในหน่วย N F m คือ มวล (mass) ในหน่วย kg v คือ ควำมเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/s t คอื เวลำ (time) ในหน่วย s p คอื โมเมนตัม (momentum) ในหนว่ ย kg.m/sโมเมนตัมเป็นปริมำณเวกเตอร์ท่ีมีขนำด mv และมีทิศทำงชี้ตำมทิศของควำมเร็ว v โมเมนตัมของลูกบอลที่ถูกขว้ำงไปทำงขวำด้วยอัตรำเร็ว 5 m/s แตกต่ำงจำกโมเมนตัมของลูกบอลท่ีถูกขว้ำงไปทำงซ้ำยดว้ ยอัตรำเรว็ 5 m/s รถพ่วงสิบแปดล้อมโี มเมนตัมมำกกวำ่ รถมอเตอร์ไซคท์ ี่แล่นด้วยควำมเร็วเท่ำกนั เพรำะรถพ่วงมีมวลมำกกว่ำ หน่วย SI ของโมเมนตัมคือหน่วยของมวลคูณกับอัตรำเร็ว (kg.m/s) และเม่ือแทนสมกำร(3.24) ลงในสมกำร (3.23) จะไดว้ ่ำ    d p (3.25) F dtสมกำร (3.25) คือกฎข้อที่สองของนิวตันในรูปของโมเมนตัม ซ่ึงอธิบำยได้ว่ำ แรงสุทธิท่ีทาต่ออนุภาคมีค่าเท่ากับอัตราการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของอนุภาคเทียบกับเวลา ซ่ึงจำกสมกำรจะเห็นได้ว่ำหำกกำรเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมนี้เกิดข้ึนอย่ำงรวดเร็วจะส่งผลให้เกิดแรงสุทธิข้ึนปริมำณหนึ่งแต่หำกยืดระยะเวลำออกให้กำรเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมค่อยเป็นค่อยไปแรงสุทธิจะมีค่ำลดลง ปัจจุบันมีกำรใช้หลักกำรน้ีออกแบบอปุ กรณ์ควำมปลอดภยั หลำยชนดิ เช่น ถุงลมนริ ภยั ท่ีจะชว่ ยยดื ระยะเวลำในกำรชนให้มำกขน้ึ เมอ่ื เทียบกับกำรกระแทกเข้ำกับพวงมำลัยในทันทีที่เกิดกำรชน เชือกกระโดดบันจี้จ๊ัมพ์ท่ีมีควำมยืดหยุ่นช่วยไม่ให้เกิดกำรกระชำกอย่ำงรุนแรงฉับพลัน หรือวัสดบุ รุ องในรรจุหีบหอ่ เพื่อป้องกันวตั ถุเปรำะบำงหรือผลไม้สำหรบั กำรขนส่งนอกจำกนน้ี กั กฬี ำคำรำเต้ยงั ใชห้ ลักกำรนลี้ ดช่วงเวลำในกำรกระแทกจงึ สำมำรถใชม้ ือสบั หนิ กอ้ นใหญใ่ ห้แตกได้หลักกำรโมเมนตัมใช้ได้ดีในกำรอธิบำยสถำนกำรณ์ที่มีวัตถุกระทำกันระหว่ำงสองวัตถุหรือมำกกว่ำ โดยกำรประยุกต์ใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัม ซึ่งกล่ำวว่ำ ถ้าผลบวกเวกเตอร์ของแรงภายนอกที่กระทาตอ่ ระบบเป็นศูนย์ โมเมนตัมท้งั หมดของระบบมีค่าคงตวั    (3.26) p1 p2เม่ือโมเมนตมั ของระบบสำมำรถหำได้จำกพิจำรณำระบบท่ีมีอนภุ ำค A, B, C,… จำนวนเท่ำใดก็ได้ท่มี กี ำรกระทำระหว่ำงกนั และกนั โดยกำรคดิ โมเมนตัมรวมของระบบน้นั จะคดิ ตำมหลักกำรรวมกันของเวกเตอร์จงึ ตอ้ งมีกำรคำนึงถึงทิศทำงของควำมเรว็ ดว้ ย โมเมนตัมของระบบสำมำรถเขียนไดว้ ่ำ p         mB   (3.27) pÄ pB mAvA vB เมื่อใช้กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัมนี้ร่วมกับกฎกำรอนุรักษ์พลังงำนท่ีได้กล่ำวมำแล้วจะสำมำรถวเิ ครำะห์สถำนกำรณ์ได้อยำ่ งกวำ้ งขวำงและมีบทบำทสำคัญต่อกำรศึกษำฟิสกิ สใ์ นทุกสำขำตวั อย่ำงที่ 3.18 รถบรรทุกปูนซเี มนต์คันหน่งึ มีมวล 45,000 kg แลน่ ดว้ ยควำมเรว็ 15 m/s จงหำว่ำก) โมเมนตัมของรถบรรทุกมีค่ำเทำ่ ไรข) ถ้ำรถยนตน์ ัง่ สว่ นบคุ คลมวล 1,200 kg จะวิ่งใหเ้ รว็ จนมีโมเมนตมั เทำ่ กับรถในข้อ ก) ตอ้ งว่งิ เร็วเท่ำไร

กำรชนและโมเมนตัม 77วิธีทำ จำกโจทย์กำหนดมวล 45,000 kg ( m = 45,000 kg) ควำมเรว็ 15 m/s ( v = 15 m/s)ก) หำโมเมนตมั ( p ) ของรถบรรทุก สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , v และ ต้องกำรหำค่ำ pจำกสมกำร (3.24) p= mvแทนคำ่ = 45000 15ดงั นนั้ โมเมนตัมของรถบรรทุก = 675,000 kgm/s ตอบข) กำหนดมวล 1,200 kg ( m = 1,200 kg) โมเมนตัมเท่ำกับข้อ ก) ( p = 675,000 kgm/s) และถำมหำควำมเรว็ (v )สรุปได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร m , p และต้องกำรหำค่ำ vจำกสมกำร (3.24) p = mv =แทนค่ำ 675,000 = 1200  vดังนั้นควำมเร็ว v 562.5 m/s ตอบตวั อย่ำงที่ 3.19 นักกอล์ฟผู้หนึ่งใช้หน้ำไม้กอล์ฟตีลูกกอล์ฟ ระยะเวลำกำรตี 0.7 x 10-3 s ลูกกอล์ฟมีมวล 42g กระเด็นออกไปด้วยควำมเรว็ 65 m/s จงหำแรงกระทำเฉลี่ยต่อลกู กอลฟ์วธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดระยะเวลำ 0.7 x 10-3 s (t = 0.7 x 10-3 s) มวล 42 g ( m = 42 g) ควำมเรว็ 65m/s (v = 65 m/s) และถำมหำแรงกระทำเฉลย่ี ต่อลูกกอล์ฟ ( F )สรุปได้วำ่ ทรำบค่ำตวั แปร t, m , v=และต้องmกำรทvรำบคำ่ Fจำกสมกำร (3.23) F tแทนค่ำ จะได้ควำมเร็ว = (65  0)  3900 N ตอบ 0.042 0.7 1033.3.2 กำรชนกำรชนในทำงฟสิ ิกสน์ ้นั ไมไ่ ดห้ มำยถงึ แต่กำรชนกนั ของรถบนท้องถนนเทำ่ น้นั แตห่ มำยรวมไปถงึกำรชนกันระหว่ำงวัตถุใด ๆ เช่น ไมก้ อล์ฟทห่ี วดลูกกอล์ฟ ลูกบิลเลียดท่ีชนกนั บนโตะ๊ บิลเลียด ฯลฯ กำรชนคอื กำรทมี่ แี รงกระทำอย่ำงแรง กระทำตอ่ วัตถุอยำ่ งรวดเร็วและส้นิ สุดในเวลำส้นั ๆ ซง่ึ แบ่งได้เปน็ 2 แบบคือกำรชนแบบยดื หยุ่น และ การชนแบบไมย่ ืดหยนุ่กำรชนแบบยืดหยุ่น จัดเป็นกำรชนแบบอุดมคติ มักไม่ค่อยเกิดข้ึนจริงในธรรมชำติ กำรชนแบบน้ีเป็นไปตำมกฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงำนกล (ไม่มีกำรสูญเสียพลังงำนเกิดขึ้นในกำรชน)ตวั อย่ำงทใ่ี กลเ้ คยี งกบั กำรชนแบบยดื หยุ่นท่ีสดุ คือ กำรชนกันของลูกบิลเลียด          (3.28) mAvA1 mBvB1 mAvA2 mBvB21 mAv 2  1 mB vB12   1 mAv A2 2  1 mB vB 2 2  (3.29)2 A1 2 2 2 ข้อสังเกตหำกเป็นกำรชนแบบยืดหยุ่นที่มวลของสองวัตถุเท่ำกัน หลังชนวัตถุทั้งสองจะมีกำรแลกเปล่ียนควำมเร็วกัน ดังจะเห็นได้จำกกำรแข่งขันสนุกเกอร์ท่ีผู้เล่นยิงลูกขำวออกไปชนลูกสีจำกน้ันลูกขำว

78 งำนและพลงั งำนจะหยดุ น่ิงในตำแหน่งแทนทีล่ ูกสีนน้ั ส่วนลูกสกี ็จะเคลื่อนที่ต่อไป แต่หำกกำรชนน้ีเกิดขึ้นในวตั ถุท่ีมมี วลตำ่ งกันอยำ่ งมำกวัตถุทีม่ มี วลมำกจะแทบไม่ได้รบั ผลกระทบใดและจะยงั เคลื่อนทต่ี ่อไปดว้ ยควำมเรว็ เท่ำเดิมกำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นกำรชนที่พบเห็นได้ทั่วไป ซ่ึงมีกำรสูญเสียพลังงำนโดยเปล่ียนรูปเป็นพลงั งำนรปู อ่ืน ทำใหไ้ ม่เปน็ ไปตำมกฎกำรอนุรกั ษ์พลงั งำนกล แต่ยังคงเปน็ ไปตำมกฎกำรอนุรกั ษ์โมเมนตมั เช่นกรณที วี่ ัตถทุ ่ชี นกันแลว้ ตดิ ไปดว้ ยกัน หรือกำรชนทกี่ ันชนยุบ ซึง่ งำนท่ที ำให้กันชนยุบไปนั้นเอำกลับคืนมำไมไ่ ด้ mAvA1  mBvB1   mAvA2  mBvB2  (3.30)เมอ่ื m คอื มวล (mass) ในหน่วย kg v คอื ควำมเร็ว (velocity) ในหนว่ ย m/sตวั อย่ำงที่ 3.20 รถยนต์มวล 1000 kg วิง่ มำทำงขวำด้วยควำมเร็ว 25 m/s แล้วไปชนกับรถบสั มวล 4000 kgท่วี ่ิงสวนมำด้วยอตั รำเร็ว 20 m/s อยำ่ งแรง และตดิ ไปด้วยกนั จงหำควำมเร็วของรถทง้ั สองหลงั ชนวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดรถยนต์มวล 1000 kg (m = 1000 kg) วงิ่ มำทำงขวำด้วยควำมเรว็ 25 m/s (  kg) A  -20 m/s) v A1=ถำ2ม5หำmค/วsำ)มรเถร็วบขสั อมงวรลถท4งั้0ส0อ0งk(gv(Am2,BvB=2 4000 20 m/s ( v B1 = ) ท่ีวิง่ สวนมำดว้ ยอตั รำเรว็ และสรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตัวแปร mA ,  ดmังBน,้ันvBv1Aแ2ละตvอ้ Bง2กำรvห2 ำเปv็นAก2ำ,รvชBน2แบบไมย่ ดื หยุ่น v A1 ,เน่ืองจำกรถทั้งสองติดกันไปหลงั ชนจำกกฎอนุรักษ์โมเมนตัมสมกำร (3.30) m4B )0v020)v2 mAvA1  mBvB1 = (mA แทนคำ่ (1000  25)  (4000  20) = (1000 = v2 11 m/s ตอบดังนน้ั หลังชนรถทง้ั สองจะเคล่ือนทต่ี ดิ ไปด้วยกนั ดว้ ยควำมเร็ว 11 m/s ไปทำงซำ้ ยตวั อย่ำงท่ี 3.21 รถมวล 1200 kg ถูกชนโดยรถมวล 1000 kg ซ่ึงขับตำมมำด้ำนหลัง หำกรถท่ีถูกชนยืนยันว่ำเขำขับมำด้วยควำมเร็ว 60 km/h จงหำควำมเร็วก่อนชนของรถท่ีมำชน เม่ือหลังชนท้ังสองติดไปด้วยกันด้วยควำมเร็ว 78 km/h และหำกกฎหมำยกำหนดควำมเร็วที่ 80 km/h รถคันที่มำชนขับเกินควำมเร็วท่ีกำหนดหรือไม่วคซิธ่ึวงขำที มับำเตร็วำจม7ำม8กำโkดจm้ำทน/ยhห์กลำ(หังvนรAด2ถรทถี่ถมvูกBวช2ลน1ม2vีค20ว0=ำkมg7เ8ร(็วmkm6A0/h=k)m1แ0/ลh0ะ0ถ( vำkมgA1)หถ=ำูกค2ชว5ำนมโmเดร/ยว็ sรก)ถ่อหมนลวชลังนชข1น0อท0งั้งร0สถkทอgง่ีมต(ำmิชดนไBป(ด=v้วB4ย10)ก0ัน0ดk้วgย)สรปุ ได้ว่ำทรำบคำ่ ตวั แปร mA, mB , ,  ,  2 และต้องกำรหำ  vA2 vB v B1 vÄ1เนอ่ื งจำกรถทั้งสองตดิ กันไปหลงั ชน ดังนั้น vA2  vB2  v2 เป็นกำรชนแบบไมย่ ดื หยุ่นจำกกฎอนุรักษโ์ มเมนตมั สมกำร (3.30) แทนคำ่ (1000m60A)vA1(12m0B0vB1vBv1B)1 )v2 = (mA  mB = = (1000 1200 )  78 93 km/h

ดงั น้ันรถคนั ท่ีมำชนขบั รถเรว็ เกินท่กี ฎหมำยกำหนด กำรชนและโมเมนตัม 79 ตอบคน้ คว้ำเพ่มิ เติมนกั ศึกษำลองศึกษำคลปิ VDO สำธติ กำรชนเพมิ่ เตมิ ได้จำกสรุปแนวคิดประจำบทท่ี 3 เมือ่ มีแรงคงตวั กระทำต่อวตั ถสุ ่งผลให้วWตั ถนุ นั้Fเคsลcอื่ oนsท่ีไปไดFก้ ำรsกระจัดค่ำหน่ึง งำนจะมคี ่ำดงั สมกำรเม่ือ  เป็นมุมระหว่ำงแรงและกำรกระจัด หน่วย SI ของงำน คือ จูล หรือ นิวตันเมตร งำนเป็นปริมำณสเกลำร์ หำกทิศทำงของแรงและกำรกระจัดแตกต่ำงกัน เรำจะคิดเฉพำะองค์ประกอบของแรงในทิศกำรกระจัดเท่ำนั้น นั่นเป็นสำเหตุว่ำทำไมกิจกรรมบำงอย่ำงไม่นับว่ำเกิดงำนในทำงฟิสิกส์ เพรำะหำกแรงกระทำมีทิศตั้งฉำกกับกำรกระจัดแล้ว งำนจะมีค่ำเป็นศูนย์ กรณีท่ีมีแรงหลำยแรงกระทำต่อวัตถุ งำนสุทธิ Wtotal อำจหำได้จำกกำรหำค่ำงำนของแต่ละแรง แล้วนำ รวมกนั โดยวิธีผลบวกพชี คณิต หรอื หำงำนสุทธิโดยกำรหำผลบวกเวกเตอรข์ องแรงท้ังหมด (แรงสทุ ธ)ิ กอ่ นแล้วจึงนำแรงสทุ ธินีม้ ำหำงำนสทุ ธิกไ็ ด้ กรณีแรงไม่คงตัวกระทำต่ออนภุ ำค สมกำรของงำนสำมำรถหำได้ในรูปของอินทิกรัล ตัวอย่ำงเช่นกรณีแรงในสปริง โดยพิจำรณำกฎของฮุค ( F  ks) ท่ีว่ำควำมยำวที่ยืดออกของสปริง s แปรผันตรงกับแรงยืดF เม่อื k คือค่ำคงตวั ของสปรงิ จะไดว้ ่ำWs  s s  1 ks2  F ds  ks ds 02 0 ในทำงฟิสิกส์นิยำมกำลังว่ำคือ อัตรำกำรทำงำนต่อเวลำ กำลังเป็นปริมำณสเกลำร์เช่นเดียวกับงำนหน่วยSI ของกำลังคอื วตั ต์ กำลังมคี ำ่ ดงั สมกำร    s    v F F PW tt ทฤษฎีงำน-พลังงำนกล่ำวว่ำ งำนที่แรงสุทธิทำต่ออนุภำคมีค่ำเท่ำกับพลังงำนจลน์ที่เปลี่ยนไปของอนุภำคซง่ึ จำกสมกำรจะพบว่ำหน่วยSI ของพลงั งำนและงำนเปน็ หนว่ ยเดียวกนั น่ันกค็ ือ จลูWtotal  Ek2  Ek1  Ek พลังงำนจลน์มีค่ำขึ้นกับมวลและอัตรำเร็วของอนุภำค โดยไม่ข้ึนกับทิศกำรเคล่ือนท่ีของอนุภำค พลังงำนจลน์เปน็ ปริมำณสเกลำรเ์ ชน่ เดียวกับงำน และมคี ่ำดังสมกำร Ek  1 mv2 2 พลังงำนศักย์เป็นพลังงำนท่ีสัมพันธ์กับตำแหน่งของวัตถุ เช่น พลังงำนศักย์โน้มถ่วงท่ีสัมพันธ์กับควำมสูงของวัตถุ และพลังงำนศักย์ยดื หยุ่นท่สี ัมพันธ์กับระยะยืด ดงั สมกำรE pg  mgy และ E ps  1 ks2 2

80 งำนและพลังงำน กฎกำรอนุรักษ์พลังงำนกล่ำวถึงกำรคงตัวของพลังงำน พลังงำนกลท้ังหมดของระบบจะตอ้ งมีค่ำคงที่เสมอ เรำนยิ ำมผลบวก Ek  Ep ของพลังงำนจลน์และพลงั งำนศักย์ว่ำเป็นพลังงำนกลทัง้ หมด E ของระบบ E1  E2 สมกำรท่วั ไปท่ีใช้ในกำรแก้ปัญหำได้อย่ำงกวำ้ งขวำง โดยคิดวำ่ งำนที่ทำโดยแรงอื่นท้ังหมดที่นอกเหนือจำกแรงโนม้ ถว่ งหรือแรงยืดหยนุ่ มคี ่ำเทำ่ กับผลตำ่ งของพลังงำนกลทั้งหมดของระบบ จะไดส้ มกำรทวั่ ไปดงั นี้ 1 mv12  mgy1  1 k s12  Wother  1 mv 2  mgy 2  1 k s22 2 2 2 2 2 โมเมนตัมเป็นปริมำณเวกเตอร์ที่มีขนำด mv และชี้ตำมทิศของควำมเร็ว v หน่วย SI ของโมเมนตัมคือ(kg.m/s) โดยที่แรงสุทธทิ มี่ ีค่ำเท่ำกับอตั รำกำรเปลย่ี นแปลงโมเมนตัมของอนภุ ำคเทยี บกบั เวลำ  d p p  mv และ  F  dt กฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม กล่ำวว่ำ ถ้ำผลบวกเวกเตอร์ของแรงภำยนอกท่ีกระทำต่อระบบเป็นศูนย์ โมเมนตมั ทง้ั หมดของระบบมีค่ำคงตวั   p1 p2 โดยทีโ่ มเมนตัมของระบบสำมำรถหำได้จำก p  pÄ  p B    mAvA  mBvB   กำรชน คือ กำรท่ีมแี รงกระทำอย่ำงแรง กระทำต่อวัตถอุ ย่ำงรวดเร็วและส้ินสุดในเวลำส้ัน ๆ ซง่ึ แบ่งได้เป็น 2 แบบคือ กำรชนแบบยดื หยุน่ และ กำรชนแบบไมย่ ดื หยุน่ กำรชนแบบยืดหยุ่น เป็นกำรชนแบบอุดมคติ เปน็ ไปตำมกฎกำรอนุรักษ์โมเมนตัม และกฎอนุรักษ์พลังงำน กล หรือก็คือไม่มีกำรสูญเสียพลังงำนเกิดข้ึนในกำรชน ในขณะที่กำรชนแบบไม่ยืดหยุ่น เป็นกำรชนที่พบ เห็นได้ทั่วไป มีกำรสูญเสียพลังงำนโดยเปล่ียนรูปเป็นพลังงำนรูปอื่น ทำให้ไม่เป็นไปตำมกฎกำรอนุรักษ์ พลังงำนกล แตย่ ังคงเป็นไปตำมกฎกำรอนรุ กั ษโ์ มเมนตมั

กำรชนและโมเมนตัม 81 คำถำมQ3.1 จงยกตัวอย่ำงเหตุกำรณืในชีวิตประจำวัน 3 เหตุกำรณ์ที่ไม่เกิดงำนทำงฟิสิกส์แม้จะคิดว่ำน่ันคือกำร ทำงำน พรอ้ มทงั้ อธบิ ำยเหตผุ ลว่ำทำไมQ3.2 สำหรับแรงคงตัวในทิศของกำรกระจัด ถ้ำต้องกำรให้ได้งำนเป็นสองเท่ำโดยใช้แรงเท่ำเดิมจะต้องทำ อย่ำงไรQ3.3 จับเวลำตนเองขณะท่ีกำลังว่ิงข้ึนบันไดชั้น 3 ของอำคำรศูนย์เรียนรวม จงหำอัตรำเฉลี่ยที่เรำทำงำน ตำ้ นแรงโนม้ ถ่วงในหน่วยวตั ตแ์ ละกำลังมำ้Q3.4 ชำยคนหนงึ่ ออกแรงผลกั ใหช้ ิงชำ้ แกวง่ จงตอบคำถำมวำ่ ก) งำนท่ชี ำยคนนผ้ี ลกั ชงิ ช้ำมคี ่ำเทำ่ กับพลงั งำนจลนข์ องชงิ ช้ำ ณ ขณะนั้นหรอื ไม่ ข) ขณะที่ชิงช้ำแกว่งไปหยุดท่จี ุด ๆ หนึ่ง ณ ตำแหน่งนั้นพลังงำนจลน์เปน็ 0 พลังงำนจลน์จำกข้อ ก) หำยไปไหนQ3.5 ในกำรเคล่ือนที่แบบโปรเจคไทล์ทม่ี ีมมุ ยงิ ต่ำงกนั แต่พลังงำนจลน์ตอนต้ังต้นเท่ำกนั ทำไมจึงขึ้นไปได้สูง ไม่เท่ำกนัQ3.6 เมอื่ เกิดอุบัติเหตุบนท้องถนน เหตุใดรถคนั เลก็ จงึ มีโอกำสบำดเจ็บมำกกว่ำQ3.7 ในกำรตอกตะปู ค้อนหนักมปี ระสิทธิภำพมำกกวำ่ คอ้ นเบำหรอื ไม่ จงอธบิ ำยQ3.8 เมื่อตกจำกท่ีสงู เหตุที่ทำให้บำดเจ็บเป็นเพรำะกำรกระแทกในเวลำอันสนั้ เม่ือถึงพื้น จำกข้อควำมน้ีจง ตอบในเชิงฟิสิกส์วำ่ ตอ้ งทำอยำ่ งไรจงึ จะไม่ไดร้ ับบำดเจบ็Q3.9 ในคำบเรียนครูให้นักเรยี นทำกำรทดลองปล่อยไข่ลงมำจำกตึกช้ันส่ีซึ่งมีควำมสูง 25 m จงเสนอไอเดีย ทจี่ ะทำให้ไข่ท่ตี กลงมำถึงพนื้ แล้วไม่แตก แบบฝึกหัด3.1 เด็กคนหน่ึงลำกรถไม้เด็กเล่นด้วยเชือกด้วยแรง 59 N เชือกวำงตัวทำมุม 20 องศำกับพ้ืนรำบ หำกเด็กคน นี้เดินไปเป็นระยะทำง 20 m จงหำว่ำเด็กคนน้ีทำงำนได้เท่ำไหร่ และหำกเขำลำกเชือกขนำนกับพ้ืนจะได้ งำนเทำ่ ใด3.2 ออกแรงในแนวระดับลำกลังไม้ให้เคลื่อนที่ด้วยควำมเร็วคงที่ไปเป็นระยะทำง 15 m หำกลังไม้มีมวล 40 kg และพ้นื มีสัมประสทิ ธคิ วำมเสียดทำน 0.35 งำนทีเ่ กดิ ข้ึนจำกกำรลำกลงั ไม้เป็นเท่ำใด3.3 ชำวประมงดึงสำยเบ็ดกลับมำ 8 m ในขณะท่ีดึงปลำเข้ำมำปลำออกแรงต้ำนคงท่ี 20 N ถ้ำเขำดึงปลำเข้ำ มำดว้ ยควำมเรว็ คงท่ี แรงดงึ ในสำยเบ็ดทำงำนเท่ำใดตอ่ ปลำ3.4 อำจำรย์ดันหนังสือฟิสิกส์ไปบนโต๊ะเป็นระยะทำง 1.2m ด้วยแรงขนำด 2 N แรงเสียดทำนท่ีต้ำนกำร เคลอ่ื นท่ีมีคำ่ 0.4 N จงหำงำนที่อำจำรยด์ ันหนงั สือ งำนทแ่ี รงเสียดทำนทำตอ่ หนังสือ และงำนท้งั หมดทที่ ำ ตอ่ หนังสือ3.5 ต้นไม้ใหญ่คำยน้ำได้เฉลี่ย 550 g ต่อวัน จงหำว่ำถ้ำน้ำถูกดูดขึ้นไปสูง 6 m ต้นไม้จะใช้พลังงำนไปเท่ำใด และถ้ำกำรคำยน้ำนี้เกิดข้นึ ในชว่ งกลำงวันเทำ่ นน้ั (12 ชั่วโมง) ตน้ ไมใ้ ช้กำลังเฉล่ยี เทำ่ ใด

82 งำนและพลังงำน 3.6 จำกสถิติของกำรไฟฟ้ำฝ่ำยผลิต ประเทศไทยมีควำมต้องกำรไฟฟ้ำรวม 27,345 MW ในปี พ.ศ. 2558 จง หำอัตรำเฉลยี่ ของกำรใช้พลงั งำนไฟฟ้ำในหน่วยจลู ตอ่ ปี และหำกกำหนดให้ดวงอำทิตยถ์ ่ำยโอนพลังงำนมำ สู่โลกโดยกำรแผ่รังสีที่อัตรำประมำณ 1 kW ต่อตำรำงเมตรของพ้ืนท่ีผิว ถ้ำเรำสำมำรถเก็บพลังงำนและ เปล่ียนให้เป็นพลังงำนไฟฟ้ำได้ด้วยประสิทธิภำพ30% เรำจะต้องใช้พื้นที่ก่ีไร่เพ่ือที่จะเก็บพลังงำนให้ เพียงพอต่อกำรใชง้ ำน 3.7 จงคำนวณพลงั งำนจลนข์ องรถมอเตอรไ์ ซส์มวล 200 kg ซงึ่ แลน่ มำดว้ ยควำมเร็ว 70 km/h ในหน่วยจูล 3.8 พลังงำนศักยข์ องลฟิ ต์มวล 900 kg ที่ยอดของตึกใบหยกซ่งึ สูง 304 m มีค่ำเท่ำใด หำกกำหนดให้พลังงำน ศกั ยท์ ่ีพ้ืนเป็นศนู ย์ 3.9 ทำงขึ้นสันอ่ำงเกบ็ น้ำบำงพระเปน็ เนนิ ท่ีมีควำมชนั ค่อนข้ำงมำก โดยทำมมุ ประมำณ 5o กับแนวระดับและ มีระยะทำงยำว 500 m จงหำว่ำชำยคนหน่ึงมวล 80 kg จะสูญเสียพลังงำนศักย์ไปเท่ำไรในกำรไถลลงมำ จำกเนินนี้ และถ้ำ 20% ของพลังงำนศักย์ท่ีสูญเสียไปกลำยเป็นพลังงำนจลน์ ขณะท่ีลงมำถึงพื้นรำบ จกั รยำนของเขำจะมีควำมเร็วเพ่มิ ขนึ้ เทำ่ ใด 3.10 รถมวล 1500 kg เรมิ่ ตน้ อยนู่ ่ิงแล้วไถลลงมำจำกพน้ื เอยี ง 200 ท่ีมีควำมยำว 15 m ด้วยควำมเรง่ 2 m/s2 จงหำพลงั งำนจลน์ของรถเมือ่ มำถงึ ปลำยพ้ืนเอียง และแรงเสียดทำนทเ่ี กดิ ขึ้นเปน็ เท่ำไร 3.11 ลังสินค้ำมวล 250 kg ถูกดันให้เคลื่อนท่ีขึ้นไปตำมทำงลำดเอียงอย่ำงช้ำ ๆ จงหำงำนท่ีต้องทำในกำรดัน ลงั สนิ คำ้ น้ีให้เคล่อื นทส่ี งู ข้ึนในแนวระดบั 2 m เมือ่ ก) ไม่คิดแรงเสียดทำน ข) ถ้ำทำงลำดเอยี งยำว 5m และแรงเสยี ดทำนมคี ่ำ 200 N 3.12 ลิฟต์ขนของมีมวลรวมท้ังหมด 2300 kg เร่ิมเคล่ือนที่จำกหยุดนิ่งท่ีพื้นชั้น 1 ข้ึนไปถึงชั้นท่ี 8 เป็น ระยะทำง 50 m ด้วยอตั รำเร็ว 2m/s แรงเสียดทำนในระบบมคี ำ่ คงท่ี 600 N งำนทเี่ ครื่องจักรของลิฟตท์ ำ มคี ำ่ เท่ำใด 3.13 เด็กคนหนึ่งขว้ำงก้อนหินมวล 250 g จำกสะพำนซ่ึงสูงจำกพ้ืนน้ำ 10 m ด้วยอัตรำเร็ว 12m/s จงหำ อตั รำเร็วของกอ้ นหินเมอื่ ถึงพื้นนำ้ 3.14 หนังสติ๊กเส้นหนง่ึ ยิงลูกหินมวล 15g ข้ึนไปตรง ๆ ได้สูง 20 m จงหำพลังงำนศกั ย์ที่สะสมในยำงหนงั สต๊ิก นี้ และด้วยพลงั งำนศักย์เทำ่ นีห้ ำกเปลีย่ นลกู หินเป็น 30 g ลกู หนิ จะขึน้ ไปได้สงู เทำ่ ใด 3.15 สปริงอันหนึ่งเม่ือแขวนมวล 500 g จะยืดออกไป 12 cm ถ้ำต้องกำรยืดสปริงจำกตำแหน่งสมดุล 3 cm ต้องทำงำนเท่ำใด 3.16 ในกำรออกแบบทำงลำดเพอ่ื ใช้ขนสง่ สินค้ำ หำกลงั สินค้ำมนี ำ้ หนัก 1300 N เคลื่อนทดี่ ้วยอัตรำเร็ว 2 m/s ทีย่ อดของทำงลำดซ่ึงมีมุมเอียง 20oทำงลำดออกแรงเสียดทำนสูงสุด 400 N และท่ดี ้ำนล่ำงจะมีสปริงเพื่อ ช่วยหยดุ กำรเคลือ่ นที่โดยที่ลังจะต้องไมก่ ระเด้ง จงคำนวณคำ่ คงตัวของสปริงที่หำกทำงลำดนีย้ ำว 12 m 3.17 ในกำรออกแบบรถไฟเหำะตีลังกำจงหำควำมเรว็ ณ ตำแหน่งสูงสุดของวงหำกต้องกำรใหร้ ถไฟสำมำรถวิ่ง กลับหัวในวงกลมรศั มี 15 m ได้โดยท่ีผโู้ ดยสำรบนรถไฟไม่รว่ งลงมำ จงหำควำมสูงของรำงทตี่ ำแหน่งสูงสุด

กำรชนและโมเมนตัม 83 วำ่ ควรเป็นเท่ำใดจึงจะมีแรงสง่ เพียงพอ หำกรถไฟเหำะไมใ่ ช้พลงั งำนอื่นใดเพ่ิมเติมและไม่คดิ แรงเสียดทำน ระหว่ำงรถไฟและรำง V h r3.18 จำกภำพประกอบกำรทดลองหำกรถทดลองมีมวล 0.5 kg และรำงทดลองทำมุม 20o กับแนวระดับ ท่ี ปลำยพ้ืนเอียงมีสปริงซึ่งมีค่ำคงตัวของสปริง 490 N/m ติดอยู่ หำกเร่ิมต้นกดสปริงเข้ำไป 0.02 m เมื่อ ปล่อยให้สปริงดีดรถทดลองออกไป ถ้ำพื้นเอียงมีควำมยำว 1.8 m มวลจะพุ่งออกไปถึงปลำยสุดของพื้น เอยี งหรือไม่ ถ้ำถึงขณะท่มี ำถงึ มวลมีอตั รำเร็วเท่ำใด ปุ่มปลดลอ็ คสปริง ตัวหยดุ กำรเคลอื่ นท่ี3.19 จงหำขนำดของโมเมนตัมและพลังงำนจลน์ของลูกโบวลิ่งมวล 0.7 kg ที่ถูกขว้ำงด้วยควำมเร็วขนำด 3 m/s และลูกเทนนิสมวล 0.1 g ท่พี ่งุ ดว้ ยควำมเร็ว 21 m/s และหำกใหเ้ ลอื กจะรบั บอลลูกใดเพรำะเหตุใด3.20 ในอุบัติเหตุรถชนกันรำยหนึ่งผู้โดยสำรเป็นชำยมวล 90 kg โดยสำรมำในรถที่ว่ิงด้วยอัตรำเร็ว 90 km/h หำกหัวเข่ำตอ้ งรับน้ำหนกั 25% ของน้ำหนกั ตวั และกระดูกจะทนแรงกระแทกได้ไมเ่ กิน 4000 N หำกเกิน กว่ำนี้กระดูกจะหัก กำรออกแบบห้องโดยสำรควรมีระยะหำ่ งจำกหัวเขำ่ ไปยังตัวรถเท่ำใด เพ่อื ให้ชำยคนนี้ ไมไ่ ดร้ ับบำดเจบ็ หนกั จนถงึ ขั้นกระดูกหกั

บทที่ 4กลศำสตร์ของของไหลของไหลเป็นส่ิงที่สำมำรถพบเห็นไดท้ ั่วไป และมนุษย์เรำมคี วำมค้นุ เคยกับของไหลหลำกหลำยประเภท ไม่ว่ำจะเป็นกำรไหลของน้ำในลำธำร น้ำท่เี รำด่มื กิน เลือดที่สูบฉีดไปทั่วรำ่ งกำย ลมท่ีสมั ผัสใบหนำ้ หรือไอเสียทีป่ ล่อยไปตำมปลอ่ ง ฯลฯ ตำมนิยำม ของไหล (fluid) คือ สถำนะของสสำรทีร่ วมกันของทง้ั ของเหลวแล แก๊ส โดยจะเรียกสสารที่สามารถเคล่ือนที่หรือไหล หรือสามารถเปลี่ยนรูปร่างตามภาชนะท่ีบรรจุได้ ในกำรศึกษำกลศำสตรข์ องของไหลจะขอแบ่งกำรพิจำรณำออกเป็นสองส่วน คือ สถิตศาสตร์ของของไหล และ พลศาสตร์ของของไหล4.1 สถิตศำสตร์ของของไหล สถิตศำสตร์ของของไหลเป็นกำรศึกษำของไหลที่อยู่น่ิง เช่น น้ำในแก้ว น้ำในบ่อหรืออ่ำงเก็บน้ำหรือของไหลที่อยู่นิ่งในภำชนะต่ำง ๆ โดยจะเน้นไปที่สมบัติต่ำง ๆ เช่น ควำมหนำแน่น ควำมดัน กำรลอยตัวควำมตงึ ผวิ ฯลฯ 4.1.1 ควำมหนำแนน่ ควำมหนำแน่นเป็นสมบตั เิ ฉพำะตัวของสสำรหรือของวสั ดทุ ่ีพจิ ำรณำ โดยนยิ ำมถึงมวลต่อหนึ่งหนว่ ยปรมิ ำตรของสำร โดยใช้สัญลักษณ์  แทนควำมหนำแนน่ ของสสำร m (4.1) V หน่วย SI ของควำมหนำแน่นคือ กิโลกรัมต่อลูกบำศก์เมตร (kg/m3 ) และมีหน่วย cgs ซึ่งนิยมใชก้ ันอย่ำงแพรห่ ลำยอีกหนว่ ยหน่ึงคอื g/cm3 โดยตำรำงที่ 4.1 แสดงค่ำควำมหนำแนน่ ของวัสดุบำงชนิด 1 g/cm3 = 1000 kg/m3 ความหนาแน่นสัมพัทธ์ หรืออีกชื่อเรียกหนึ่งคือ ความถ่วงจาเพาะ ( S ) คืออัตรำส่วนระหว่ำงควำมหนำแน่นของวัสดุต่อควำมหนำแน่นของน้ำ (1000 kg/m3) เป็นปริมำณท่ีไม่มีหน่วย ตัวอย่ำงเช่น ควำมถ่วงจำเพำะของปรอทเท่ำกับ 13.6 นอกจำกน้ีปริมำณน้ียังเป็นตัวบ่งชี้สถำนะกำรจมลอยของวัสดุในน้ำได้อีกด้วย โดยวัสดุท่ีมีควำมถ่วงจำเพำะมำกกว่ำ 1 เม่ือนำไปลอยในน้ำวัสดุนั้นจะจมน้ำ แต่หำกมีค่ำควำมถ่วงจำเพำะนอ้ ยกวำ่ หนง่ึ วสั ดุน้นั จะลอยนำ้ S  o (4.2) wเมื่อ  คอื ควำมหนำแน่น (density) ในหน่วย kg/m3 o คอื ควำมหนำแน่นของวตั ถุ (density of object) ในหนว่ ย kg/m3 w คือ ควำมหนำแนน่ ของน้ำ (density of water) ในหนว่ ย kg/m3 m คอื มวล (mass) ในหนว่ ย kg v คือ ปรมิ ำตร (volume) ในหนว่ ย m3 S คือ ควำมถ่วงจำเพำะ (specific gravity) ไมม่ หี น่วย

สถิตศำสตรข์ องของไหล 85ตำรำงที่ 4.1 ควำมหนำแนน่ ของวสั ดุบำงชนิดวสั ดุ ควำมหนำแนน่ (kg/m3) วัสดุ ควำมหนำแนน่ (kg/m3)อำกำศ (1atm,20oC) 1.20 เหลก็ , เหล็กกลำ้ 7.8x103เอทำนอล 0.81x103 ทองเหลือง 8.6x103 0.90x103 8.9x103เบนซนี ทองแดงน้ำแข็ง 0.92x103 เงิน 10.5x103นำ้ 1.00x103 ตะกว่ั 11.3x103 1.03x103 13.6x103น้ำทะเล ปรอทเลือด 1.06x103 ทอง 19.3x103กลีเซอรนี 1.26x103 ทองคำขำว 21.4x103 2x103 ดำวแคระขำว 1010คอนกรีตอลมู ิเนียม 2.7x103 ดำวนวิ ตรอน 1018ทีม่ ำ: Young, Hugh D., and Freedman, Roger A. ฟสิ ิกส์ระดับอุดมศกึ ษำ เล่ม 1. แปลโดย ปิยพงษ์ สิทธิคง.กรุงเทพฯ: เพยี รส์ ัน เอ็ดดูเคชั่น อินโดไชนำ่ , 2547: หนำ้ 428.ตัวอย่ำงท่ี 4.1 สระนำ้ ขนำด 20 m x 10 m บรรจุน้ำลึก 1.8 m น้ำในสระมีมวลเท่ำใดวธิ ที ำ จำกโจทย์กำหนดขนำดของสระ 20 m x 10 m และควำมลึก 1.8 m (V = 20 x 10 x 1.8 m3)และถำมหำมวลของนำ้ ( m ) สรุปได้ว่ำทรำบค่ำตวั แปร V และต้องกำรหำค่ำ m โดยใช้ค่ำ  จำกตำรำงท่ี 4.1 จำกสมกำร (4.1) = m แทนค่ำ 1000 = V m ดงั นั้นจะได้มวลของนำ้ m = kg ตอบ 20 10 1.8 360,000ตัวอย่ำงที่ 4.2 นักสำรวจเดินทำงด้วยบอลลูนบรรจุแก๊ส ก่อนออกเดินทำงเขำบรรจุแก๊สฮีเลียมท่ีมีปริมำตร450 ลูกบำศก์เมตรและมวล 70 กโิ ลกรมั ขณะนัน้ แกส๊ ฮีเลียมในบอลลนู มคี วำมหนำแน่นเท่ำใดวธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดปริมำตร 450 ลูกบำศก์เมตร (V = 450 m3) มวล 70 กิโลกรัม ( m = 70 kg) และถำมหำควำมหนำแนน่ (  ) สรปุ ได้วำ่ ทรำบคำ่ ตัวแปร V , m และต้องกำรหำค่ำ  จำกสมกำร (4.1) = m V แทนค่ำ = 70 ตอบ ดงั นั้นจะได้ควำมหนำแน่น  = 450 0.16 kg/m3 อุปกรณท์ ่ีนยิ มใช้ในกำรหำค่ำควำมหนำแนน่ สัมพทั ธ์หรือควำมถว่ งจำเพำะของของเหลว คอื ขวดวดั ค่ำควำมถ่วงจำเพำะ (Pycnometer) หรือ ขวดหำถ.พ. มีลักษณะดังรูปที่ 4.1 ซ่ึงเป็นขวดแก้วมีฝำปิดท่ีมี

86 กลศำสตร์ของของไหล ปริมำตรแม่นยำตำมท่ีระบุไว้ ซง่ึ เมือ่ เรำชั่งน้ำหนักขวดเปล่ำ ( mb ) ขวดบรรจขุ องเหลวท่ีตอ้ งกำรหำ ( ml ) ขวด บรรจนุ ำ้ ( mw ) เรำจะสำมำรถหำค่ำควำมถ่วงจำเพำะนำ้ หรือของของเหลวท่ตี ้องกำรได้ดังสมกำร รูปท่ี 4.1 ขวดหำถ.พ. Sw  mw  mb (4.3) Vb Sl  ml  mb (4.4) mw  mb นอกจำกใช้ในกำรวัดควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวแล้ว ยังมีกำรนำขวดหำถ.พ.ไปใช้ในกำรหำควำมถ่วงจำเพำะของเมล็ดพืชได้อีกด้วย โดยอำจใช้โทลูอีน (C6H5CH3) 3 หรือใช้น้ำ4 ในกำรหำค่ำถ.พ.ของเมล็ดพืชดังสมกำรSs  Sl  ms (4.5) ms  (mls  ml )เมอื่ Sw คอื ควำมถ่วงจำเพำะของนำ้ (specific gravity of water) Sl คอื ควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวใด ๆ (specific gravity of liquid) Ss คือ ควำมถ่วงจำเพำะของเมลด็ พชื (specific gravity of seed) mw คอื มวลของขวดใส่น้ำ (mass of pycnometer with water) ในหน่วย g ml คอื มวลของขวดใส่ของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with liquid) ใน หนว่ ย g ms คอื มวลของเมล็ดพืช (mass of water) ในหน่วย g mb คอื มวลของขวด (mass of water) ในหน่วย g mls คอื มวลของขวดใส่เมล็ดพืชและของเหลวใด ๆ (mass of pycnometer with seed and liguid) ในหนว่ ย g Vb คอื ปรมิ ำตรของขวด (volume of pycnometer) ในหน่วย ml3 Mohsenin, N.N. Physical properties of plant and animal materials. Gordon and Breach Science Publishers Inc., 19964 ใจทิพย์ วำนิชชงั , ผดงุ ศักดิ์ วำนชิ ชัง และ เพียงขวญั วำนิชชัง. กำรวิจยั และพฒั นำอปุ กรณ์วัดอตั รำกำรขัดสขี ้ำว. 2556. รำยงำนกำรวจิ ัยมหำวิทยำลัยเทคโนโลยีรำชมงคลตะวันออก

สถิตศำสตรข์ องของไหล 87ตวั อย่ำงที่ 4.3 จงหำควำมถว่ งจำเพำะของโทลูอนี จำกผลกำรทดลองดงั นี้น้ำหนกั ขวดถ.พ. นำ้ หนกั ขวด+น้ำ นำ้ หนักขวด+โทลูอนี55.6465 81.7689 78.2380วิธที ำ จำกผลกำรทดลองทรำบคำ่ ตัวแปร mb = 55.6465, mw = 81.7689, ml = 78.2380 และต้องกำรหำ Sl เมอื่ ใหโ้ ทลอู นี เปน็ ของเหลวใด ๆ สำมำรถหำควำมถว่ งจำเพำะของโทลูอีนได้จำกสมกำร (4.4) Sl = ml  mb mw  mbควำมถว่ งจำเพำะของโทลอู นี = 78.2380  55.6465 = 0.8648 ตอบ 81.7689  55.6465ตัวอย่ำงที่ 4.4 จำกผลกำรทดลอง4 ไดค้ ่ำต่ำง ๆ ดงั นี้ อยำกทรำบว่ำควำมถ่วงจำเพำะของขำ้ วสำรมีค่ำเทำ่ ใดนำ้ หนักข้ำวสำร 10 เมล็ด นำ้ หนกั ขวดถ.พ. นำ้ หนักขวด+น้ำ น้ำหนกั ขวด+นำ้ +ข้ำว 2.1114 20.8195 45.8737 46.5208วธิ ที ำ จำกผลกำรทดลองทรำบคำ่ ตวั แปร ms = 2.1114, mb = 20.8195, mw = 45.8737, mls =46.5208 และตอ้ งกำรหำ Ss จงึ เลือกใช้สมกำร (4.5) แตเ่ น่ืองจำกยังไม่ทรำบค่ำตวั แปร Sl และ ml จงึ ตอ้ งไปหำค่ำควำมถ่วงจำเพำะของของเหลวใด ๆ ก่อน ซึง่ ในท่ีน้ีคอื นำ้ จึงไดว้ ่ำ Sl = Sw และ ml = mw =45.8737 สำมำรถหำควำมถว่ งจำเพำะของนำ้ ได้จำกสมกำร (4.3) Sw = mw  mb V = 45.8737  20.8195 25ดงั นน้ั Sl = Sw = 1.0022จำกนนั้ หำควำมถว่ งจำเพำะของเมลด็ ขำ้ วสำรจำกสมกำร (4.5) Ss = Sl  ms ตอบ = ms  (mls  ml )ดงั นั้นควำมถ่วงจำเพำะของข้ำวสำร= 1.0022  2.1114 2.1114  (46.5208  45.8737 ) 1.4451 4.1.2 ควำมดนั ในของไหล เม่ือบรรจุของไหลลงในภำชนะ ของไหลจะออกแรงกระทำในแนวตั้งฉำกกับผนังภำชนะและผิวที่สัมผัสกับของไหล เรำนิยำมอัตรำส่วนของแรงกระทำต่อพ้ืนที่ท่ีถูกกระทำว่ำ ความดัน (pressure) ซ่ึงแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ P P  F (4.6) A

88 กลศำสตรข์ องของไหล เม่ือ P คือ ควำมดนั (Pressure) ในหน่วย Pa หรอื N/m2 F คอื แรงท่ตี ้ังฉำกกับพืน้ ท่ี (Force) ในหนว่ ย N A คอื พ้ืนทีผ่ ิวทสี่ ัมผสั ของไหล หรือ ผนังภำชนะ (area) ในหน่วย m2 หน่วย SI ของควำมดนั คือหน่วยของแรงต่อพน้ื ท่ี หรือนยิ ำมหน่วยวำ่ ปำสคำล 1 ปำสคำล = 1 Pa = 1 N/m2 นอกจำกนย้ี งั มหี น่วยวัดควำมดันอืน่ ๆ ท่ีนิยมใช้อีก เชน่ 1 bar (dyne/cm2) = 105 Pa 1 Tor = 1 mmHg ควำมดันบรรยำกำศ Pa หรือควำมดันอำกำศ คือ ควำมดันของบรรยำกำศของโลกที่เรำอำศัยอยู่ซึ่งมีค่ำแปรเปล่ียนไปตำมลมฟ้ำอำกำศและระดับควำมสูง โดยควำมดันบรรยำกำศปกตทิ ่ีระดบั น้ำทะเล คือควำมดนั 1 บรรยำกำศ (atm) ซงึ่ นยิ ำมให้เท่ำกบั 101,325 Pa Pa = 1 atm = 1.01325 x 105 Pa = 1.013 bar = 760 mmHg = 14.70 ln/in2 ข้อควรระวัง ในกลศำสตร์ของไหล คำว่ำ “ควำมดัน” และ “แรง” มีควำมหมำยแตกต่ำงกัน ควำมดันเป็นปริมำณ สเกลำร์ ซงึ่ จะกระทำต้งั ฉำกกับผวิ สัมผสั ใด ๆ และเปน็ ขนำดของแรงต่อพ้นื ทห่ี นง่ึ หนว่ ยตัวอย่ำงที่ 4.5 น้ำมันเคร่ือง 860 g บรรจุอยู่ในถังรูปทรงกระบอก เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.6 m มีควำมดันที่ก้นถงั เทำ่ ไรวิธีทำ จำกโจทย์กำหนดน้ำมันเคร่ือง 860 g ( m = 860 g) เส้นผ่ำนศูนย์กลำง 0.6 m ( d = 0.6 m) และถำมหำควำมดันทีก่ น้ ถัง ( P )สรุปไดว้ ่ำทรำบค่ำตวั แปร m , d และตอ้ งกำรหำคำ่ Pจำกคำ่ m สำมำรถนำไปหำค่ำแรง F ไดจ้ ำก F  mg  860 9.8  8.428 N 1000จำกค่ำ d สำมำรถนำไปหำค่ำพ้ืนผิว A ของทรงกระบอกได้จำก A  d 2   (0.6)2  0.28 m2 44จำกสมกำร (4.6) P= F Aแทนคำ่ จะได้ควำมดนั ที่ก้นถงั = 8.428  30.1 Pa ตอบ 0.28 ควำมดันในของไหล ณ ส่วนใด ๆ จะมีค่ำเท่ำกันทุกจุดท่ีอยู่ในระดับเดียวกัน หรืออำจกล่ำวได้ว่ำควำมดันของของไหลจะแปรเปล่ียนตำมควำมลึก หรือควำมสูงของของไหล เช่น ควำมดันของน้ำใต้ท้องทะเลลกึ จะสูงกว่ำควำมดันท่ีระดับน้ำทะเล ซึ่งเรำสำมำรถสัมผัสได้เม่ือดำน้ำลงไป ย่ิงลึกหูของเรำจะย่ิงรบั รู้ถึงควำมดันที่มำกข้ึน แต่ในที่สูงควำมดันบรรยำกำศจะลดลงต่ำกว่ำที่ระดับน้ำทะเล เรำสำมำรถเขียนสมกำรควำมดันในของไหลในรปู ของความลึกจำกผิวของไหลได้ คือ

สถติ ศำสตรข์ องของไหล 89 P  Pa  gh (4.7) เมื่อ P คอื ควำมดันในของไหล (Pressure) ในหนว่ ย Pa หรอื N/m2 Pa คอื ควำมดนั บรรยำกำศ (Atmospheric Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2  คอื ควำมหนำแน่นของของไหล (density) ในหน่วย kg/m3 g คือ ควำมเร่งโน้มถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหนว่ ย m/s2 h คอื ควำมสูง หรอื ควำมลึกของของไหลทีต่ ำแหนง่ พิจำรณำ (height) ในหน่วย m สมกำร (4.7) เป็นจรงิ เฉพำะกรณีของไหลท่ีมคี วำมหนำแน่นสม่ำเสมอเท่ำน้ัน หำกทำกำรคำนวณท่ีควำมสูงมำก ๆ เช่น ยอดเขำเอเวอเรสต์ ซึ่งมีควำมสูง 8882 m ณ จุดน้ันควำมหนำแน่นของอำกำศจะแตกต่ำงจำกทร่ี ะดบั น้ำทะเลถึงสำมเท่ำซง่ึ จะไม่สำมำรถใช้สมกำร (4.7) ได้ นอกจำกนีใ้ นสถำนกำรณป์ กติทัว่ ไปอำจพิจำรณำให้ Pa  P0 ได้4.1.3 กฎของปำสคำล จำกสมกำร (4.7) หำกพิจำรณำเพ่ิมควำมดัน P0 ที่ผิวบน อำจโดยกำรใช้ลูกสูบกดลงบนผิวของไหล ควำมดัน P ท่ีควำมลึกใด ๆ ก็จะเพิ่มข้ึนด้วยปริมำณเดียวกัน ซ่ึงนักวิทยำศำสตร์ชำวฝร่ังเศส แบลซปาสคาล ได้คน้ พบควำมจรงิ ข้อนี้ในปี พ.ศ. 2196 เรียกว่ำ “กฎของปาสคาล” ซ่ึงกล่ำววำ่ ความดันซึ่งกระทาตอ่ ของไหลในภาชนะปิดจะส่งผลไปยงั ทุกส่วนของของไหลและผนังภาชนะท่ีบรรจุของไหลด้วยขนาดท่ีเท่ากันตลอด เคร่อื งยนต์ไฮดรอลิคใน รูปที่ 4.2 เป็นตวั อยำ่ งกำรประยุกตก์ ฎของปำสคำล โดยออกแรง F1 กดท่ีลูกสูบขนำดเล็ก A1 ควำมดนั ที่เกิดขนึ้ จะสง่ ผำ่ นของเหลวในกระบอกสูบไปทำงทอ่ เชือมไปยังลกู สูบทมี่ ีขนำดใหญก่ ว่ำ A2 และเนอ่ื งจำกควำมดันท่ีกระทำมคี ่ำเทำ่ กันตลอดทั้งภำชนะ ดงั นนั้ F1  F2 (4.8) A1 A2เม่อื F คอื แรงกดท่ีลูกสบู (Force) ในหนว่ ย N A คอื พ้นื ท่ีของลูกสูบ (area) ในหน่วย m2 F2 = P2 A2 F1 = P1 A1 12รปู ที่ 4.2 หลกั กำรของเคร่อื งยนต์ไฮดรอลคิ โดยใชก้ ฎของปำสคำล

90 กลศำสตรข์ องของไหล เคร่ืองยนต์ไฮดรอลิคจัดเป็นอุปกรณที่ช่วยผ่อนแรงอีกประเภทหน่ึง ยิ่งลูกสูบท้ังสองมีขนำดตำ่ งกันมำกก็จะย่ิงช่วยผ่อนแรงได้มำก ตัวอย่ำงอุปกรณ์ในชีวติ ประจำวันทมี่ ีกำรใช้หลกั กำรนี้ เช่น เก้ำอ้ีทำฟันแม่แรงยกรถ หรือเครื่องยกรถในร้ำนเปล่ียนยำง หรือในเบรกของรถบำงประเภท นอกจำกน้ีสำหรับในเครื่องจักรกลเกษตรขนำดใหญ่ เครื่องอัดไฮดรอลิกจัดเปน็ อุปกรณ์สำคญั อย่ำงย่ิงในเกือบทุกระบบ ต้ังแต่ระบบยก ระบบสบู และระบบขบั เคลื่อนตัวอย่ำงท่ี 4.6 จงคำนวณหำควำมดันบนตัวนักดำน้ำ เม่ือดำลงไปลึก 12 m ใต้ผิวน้ำ กำหนดให้ ควำมหนำแน่นของน้ำทะเลเท่ำกบั 1,025 kg/m3 และควำมดันบรรยำกำศท่ีทผ่ี ิวนำ้ มีคำ่ เท่ำกับ 1.013x105 N/m2วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดควำมลกึ 12 m ( h = 12 m) ควำมหนำแน่นของนำ้ ทะเลเทำ่ กับ 1,025 kg/m3 ( = 1,025 kg/m3) ควำมดันบรรยำกำศท่ีท่ีผิวน้ำมีค่ำเท่ำกับ 1.013x105 N/m2 ( Pa = 1.013x105 N/m2)และถำมหำควำมดันบนตัวนักดำน้ำ ( P )สรุปไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร h ,  , Pa และตอ้ งกำรทรำบค่ำ Pจำกสมกำร (4.7) P= Pa  ghแทนค่ำ = 1.013 105  1025 9.812ดังนนั้ ควำมดันบนตัวนกั ดำนำ้ = 221,840 Pa ตอบตวั อยำ่ งที่ 4.7 เครื่องอัดไฮโดรลกิ มีพ้ืนที่ลกู สูบใหญ่ 9 m2 เกดิ แรงยกข้ึนขนำด 3x106 N จงหำขนำดของแรงท่ีถูกกระทำต่อลูกสบู เลก็ พ้นื ท่ี 12 cm2วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดพ้ืนที่ลกู สบู ใหญ่ 9 m2 ( A2 = 9 m2 ) เกดิ แรงยก 3x106 N ( F2 = 3x106 N )ลกู สบู เล็กพื้นที่ 12 cm2 ( A1 = 12 cm2) และถำมหำแรงยกท่ีลกู สูบเล็ก ( F1 )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร A2 , F2 , A1 และต้องกำรทรำบค่ำ F1จำกสมกำร (4.8) F1 = F2 A1 A2แทนค่ำ F1 = 3 10 6 12 10 4 = 9ดงั นัน้ แรงยกท่ลี ูกสูบเล็ก F1 ตอบ 400 Nเม่ือกล่ำวถึงควำมดนั ในของไหล ปญั หำควำมดันในยำงรถยนตม์ ักถกู นำมำพิจำรณำ เนอื่ งจำกเป็นสถำนกำรณ์ท่ีพบเห็นได้ในชีวิตประจำวัน จะเกิดอะไรขึ้นหำกควำมดันในยำงรถยนต์มีค่ำเท่ำกับควำมดันบรรยำกำศ คำตอบคือ ยางจะแบน เหตทุ ่ีเป็นเชน่ นเ้ี พรำะยำงรถยนตจ์ ำเป็นต้องรับนำ้ หนักรถจงึ ต้องมคี วำมดันที่สูงกว่ำควำมดันบรรยำกำศ ตัวเลขควำมดัน 30 ln/in2 แท้จริงแล้วคือค่ำผลต่ำงระหว่ำงควำมดันในยำงรถยนต์กับควำมดันบรรยำกำศ เน่ืองจำกควำมดันบรรยำกำศมีค่ำ 14.7 ln/in2 นั่นหมำยควำมว่ำควำมดันในยำงรถยนต์คือ 44.7 ln/in2 เรำเรียกควำมดันสุทธินี้ว่ำ ความดันสัมบูรณ์ และเรียกผลต่ำงจำกควำมดันบรรยำกำศว่ำ ความดนั เกจ (หรือกค็ อื ควำมดนั ทีอ่ ำ่ นไดจ้ ำกเคร่ืองมือวดั ) ซึ่งอำจเขียนเปน็ สมกำรไดว้ ่ำ ควำมดันสมั บูรณ์ = ควำมดันบรรยำกำศ + ควำมดนั เกจ (4.9) P  Pa  Pg (4.10)

สถิตศำสตรข์ องของไหล 914.1.4 เคร่อื งมือวัดควำมดัน เคร่ืองมือวดั ควำมดันอย่ำงงำ่ ยท่สี ุด คือ มานอมิเตอรแ์ บบปลายเปิด ซ่ึงประกอบด้วยหลอดแก้วรูปตัว U บรรจุของเหลวไว้ภำยใน (มักเป็นปรอทหรือน้ำ) ปลำยหน่ึงเชื่อมต่อกับภำชนะท่ีต้องกำรวัดควำมดันส่วนอีกปลำยหนึ่งเปิดออกสู่บรรยำกำศ ดังรปู ท่ี 4.3 ซึง่ เมื่อพิจำรณำของเหลวท้ังสองฝั่งของหลอดแก้วที่ระดับควำมสูงเดียวกันจะได้ว่ำ ควำมดันที่หลอดฝ่ังซ้ำยจะเท่ำกับควำมดันที่หลอดฝ่ังขวำท่ีระดับควำมสูงเดียวกันเสมอ ซึ่งเขียนเปน็ สมกำรไดว้ ำ่ Pgas  Pa  gh (4.11) เมื่อเทียบกับสมกำร (4.10) จึงได้ว่ำควำมดันเกจ Pg  gh และเพ่ือควำมสะดวกในกำรอ่ำนค่ำควำมดัน ยังได้มีกำรกำหนดหน่วยของควำมดันในรูปของควำมสูงของลำปรอท เช่น มิลลิเมตรปรอท(ย่อว่ำ mmHg) ซ่งึ จำกรูปที่ 4.3 สำมำรถอำ่ นค่ำควำมดันจำกค่ำควำมสูงของลำปรอทได้เลย เช่น หำกค่ำควำมสงู ปรอทในหลอดด้ำนขวำอยู่ตรงกบั ตำแหน่ง 70 cm กส็ ำมำรถอำ่ นคำ่ ควำมดันไดว้ ่ำ 70 cmHg เปน็ ตน้Pgas  Pa Pgas  Pa Pgas  Pa Pa Pa Pa ปรอท h hก Pgas  Pa ข Pgas  Pa  h ค Pgas  Pa  hรปู ที่ 4.3 มำนอมเิ ตอร์แบบปลำยเปดิ และกำรอำ่ นคำ่ ในหน่วย mmHg นอกจำกน้ยี ังมีเครือ่ งมือวัดควำมดันอีกประเภทหน่งึ คือ บารอมิเตอร์ปรอท ซ่ึงเปน็ เคร่ืองมือท่ีใช้วัดค่ำควำมดันบรรยำกำศ โดยอุปกรณช์ นดิ นีจ้ ะประกอบไปด้วยท่อแกว้ ยำวท่มี ปี ลำยเปดิ หน่ึงข้ำง ภำยในบรรจุปรอทไว้เตม็ และควำ่ ลงในอำ่ งปรอทดงั รปู ท่ี 4.4 ควำมดนั ท่ีด้ำนบนของปรอทถือไดว้ ำ่ เป็นศนู ย์ จะไดว้ ่ำ Pa  gh (4.12)เม่อื Pgas คอื ควำมดันของแกส๊ (Pressure) ในหน่วย Pa หรอื N/m2 Pa คือ ควำมดันบรรยำกำศ (Atmospheric Pressure) ในหน่วย Pa หรือ N/m2  คอื ควำมหนำแนน่ ของของไหล (density) ในหนว่ ย kg/m3 g คือ ควำมเรง่ โนม้ ถ่วงของโลก (gravitational acceleration) ในหน่วย m/s2 h คอื ควำมสงู หรอื ควำมลึกของของไหลทีต่ ำแหน่งพจิ ำรณำ (height) ในหนว่ ย m นั่นก็คือ บำรอมเิ ตอร์ปรอทสำมำรถอ่ำนคำ่ ควำมดันโดยตรงจำกควำมสงู ของปรอทได้เลย จำกรูปที่ 4.4 เมื่ออ่ำนค่ำควำมสูงของลำปรอทได้เปน็ 760 mm จะได้คำ่ ควำมดนั บรรยำกำศคือ 760 mmHg

92 กลศำสตร์ของของไหล หลอดแกว้ สุญญำกำศ ควำมดันบรรยำกำศ ควำมสูงของลำ ปรอทในหน่วยนว้ิ หรือเซนตเิ มตร รูปที่ 4.4 บำรอมิเตอร์ปรอทตัวอย่ำงท่ี 4.8 จงคำนวณหำควำมดันบรรยำกำศในขณะท่ีควำมสูงของลำปรอทในบำรอมิเตอร์ของของไหลเปน็ 76 cm กำหนดให้ควำมหนำแนน่ ของปรอทเทำ่ กับ 13.6x103 kg/m3วธิ ีทำ จำกโจทย์กำหนดควำมสูงของลำปรอท 76 cm ( h = 76 cm) ควำมหนำแน่นของปรอท 13.6x103kg/m3 (  = 13.6x103 kg/m3) และถำมหำควำมดันบรรยำกำศ ( Pa )สรปุ ไดว้ ำ่ ทรำบคำ่ ตวั แปร h ,  และต้องกำรทรำบค่ำ Paจำกสมกำร (4.12) Pa = ghแทนคำ่ = 13.6 103  9.8 0.76ดังนนั้ ควำมดันบรรยำกำศ = 1.013 105 Pa ตอบตัวอย่ำงท่ี 4.9 ด้ำนซ้ำยมือของมำนอมิเตอร์ต่อกับถังแก๊ส ปรอททำงด้ำนขวำมือสูงกว่ำด้ำนซ้ำยอยู่ 35 cmบำรอมเิ ตอรท์ ่ีอย่ใู กล้ ๆ อำ่ นค่ำได้ 74 cmHg จงหำควำมดนั สมบูรณข์ องแกส๊ ในถงัวิธที ำ จำกโจทย์กำหนดมำนอมเิ ตอร์ควำมสงู 35 cm ( h = 35 cm) บำรอมิเตอร์อ่ำนคำ่ ได้ 74 cmHg ( Pa= 74 cmHg) และถำมหำควำมดนั สมบูรณ์ของแก๊สในถัง ( Pgas )สรปุ ไดว้ ่ำทรำบคำ่ ตัวแปร h , Pa และต้องกำรทรำบค่ำ Pgasจำกสมกำร (4.11) =Pgas Pa  ghแทนคำ่ จะได้ควำมดนั สมบูรณ์ = 74  35  109 cmHg ตอบจะเห็นวำ่ กำรบอกควำมดนั ในหน่วยของควำมสูงน้ันสะดวกอยำ่ งมำก 4.1.5 กำรลอยตัว เรำคุ้นเคยกันดีกับกำรเห็นวัตถุจมและลอย แต่เหตุใดวัตถุบำงอย่ำงจมแต่วัตถุบำงอย่ำงกลับลอยได้ มนุษย์เรำสำมำรถลอยตัวในน้ำได้ แต่ไม่สำมำรถลอยตัวในอำกำศได้ ชำวสวนใช้กำรจมและลอยของผลไม้เป็นตัววัดว่ำผลไม้นั้นสุกพร้อมเก็บเก่ียวหรือไม่ เรือดำน้ำสำมำรถจมลงในน้ำได้อย่ำงไร และทำอย่ำงไรจึงลอยกลับขึ้นมำเหนือน้ำได้ ตัวแปรใดที่มีผลต่อกำรจมและลอยวัตถุ เพื่อที่จะอธิบำยปรำกฏกำรณ์เหล่ำน้ีเรำย้อนไปถึงหลักของอำร์คิมิดิส ซ่ึงกล่ำวว่ำ “วัตถุท่ีจมในของไหลจะถูกแรงลอยตัวกระทา และแรงลอยตัวจะมีค่าเท่ากับน้าหนักของของไหลท่ีถูกวัตถุน้ันแทนที่” นั่นหมำยควำมว่ำกำรจมหรือลอยของวัตถุเป็นผลมำจำกแรงลอยตัว (Buoyancy Force) ซ่ึงสำมำรถคำนวณได้จำกน้ำหนักของของไหลที่ถูกวัตถุน้ันแทนที่น่ันเอง เรำ