19

Fluid Mechanics 6-19 ตวั อยา่ งท่ี 6.2 ตอ้ งการออกแบบทอ่ สง่ น้ํามนั ผ่านพน้ื ทร่ี าบระยะทาง 12 กม. โดยใชท้ อ่ wrought iron อตั ราการสง่ น้ํามนั ทใ่ี ชใ้ นการออกแบบคอื 300 ลติ รต่อนาที น้ํามนั มคี า่ ความถว่ งจาํ เพาะเท่ากบั 0.7 ความหนืดคเิ นมาตกิ ของน้ํามนั เทา่ กบั 5X10-7 m2/s ถา้ ขอ้ กาํ หนดของการออกแบบคอื ความดนั ภายในทอ่ สง่ จะลดลงไดไ้ มเ่ กนิ 10.3 kPa ต่อ ระยะทาง 1 กม. จงออกแบบขนาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางของทอ่ วธิ ที าํ พจิ ารณาสมการพลงั งานระหวา่ งจดุ เรมิ่ ตน้ (1) กบั จุดสน้ิ สดุ (2) z1  P1  V12 = z2  P2  V22  hf O 2g O 2g เน่ืองจาก z1  z2 และ V1  V2  V จะไดว้ า่ P2  P1 O O = hf P = f L V2 O D 2g P = f 12,000 V2 --------- (1) O D 2g จากขอ้ กาํ หนด ความดนั จะลดลงไดไ้ มเ่ กนิ 10.3 kPa/km ดงั นนั้ ความดนั ทงั้ สองจุดจะแตกต่างกนั เทา่ กบั P = (10.3 kPa/km) (12 km) = 123.6 kPa แทนคา่ ในสมการท่ี (1) 123.6 kPa = f 12,000 V2  0.7  9810 D 2g 0.0294 = f V2 --------- (2) D ทอ่ wrought iron  = 0.045 mm อตั ราการไหลในทอ่ Q = 300 l/min = 5 l/s สมมตุ ขิ นาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทอ่ D = 10 cm  0.045 mm D =  0.00045 100 mm V = Q =  0.005 = 0.637 m/s A  0.12  4 VD  0.637 0.1 Re = O =  1.3 105 5 107  จาก Moody diagram f  0.0195 แทนคา่ ในสมการท่ี (2)  0.637 2  0.1 0.0294 =  0.0195 . 0.0294  0.0791 แสดงวา่ เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทส่ี มมตุ นิ นั้ ยงั ไมถ่ กู ตอ้ ง ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-20 Fluid Mechanics สมมตุ ขิ นาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทอ่ D = 15 cm  0.045 mm D =  0.0003 150 mm V = Q =  0.005 = 0.283 m/s A  0.152  4 VD  0.283 0.15 Re = O =  8.5 104 5 107  จาก Moody diagram f  0.020 แทนคา่ ในสมการท่ี (2)  0.283 2  0.15 0.0294 =  0.020 . 0.0294  0.0107 แสดงวา่ เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทส่ี มมตุ นิ นั้ ยงั ไมถ่ กู ตอ้ ง สมมตุ ขิ นาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทอ่ D = 12.25 cm  0.045 mm D =  0.0004 122.5 mm V = Q =  0.005 = 0.424 m/s A   0.12252  4 VD  0.424 0.1225 Re = O = 1.0 105 5 107  จาก Moody diagram f  0.020 แทนคา่ ในสมการท่ี (2) 0.0294 =  0.020  0.424 2  0.1225 . 0.0294  0.02935 แสดงวา่ เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทส่ี มมตุ นิ นั้ ถกู ตอ้ ง  ขนาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางของทอ่ คอื 12.25 cm Ans Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 6-21 ตวั อยา่ งท่ี 6.3 ตอ้ งการสบู น้ําจากบอ่ ขน้ึ ถงั สงู ดว้ ย อตั ราการสบู 20 l/s ลกั ษณะดงั รปู โดยระดบั น้ําทบ่ี อ่ เทา่ กบั –1.5 m และระดบั น้ําทถ่ี งั สงู เทา่ กบั + 25.0 m จง ตอบคาํ ถามต่อไปน้ี - ถา้ เครอ่ื งสบู มปี ระสทิ ธภิ าพ 65 % จงหากาํ ลงั งานทใ่ี ช้ ในการสบู น้ํา - จงหาความดนั ในทอ่ ทจ่ี ดุ I (ความยาวทอ่ ชว่ ง BI เทา่ กบั 9 m) วธิ ที าํ พจิ ารณาสมการพลงั งานระหวา่ งจุด H กบั A zH  PH  VH2  HP = zA  PA  VA2  hf  hm W 2g W 2g HP = zH  zA  hf  hm --------- (1) จาก Q = VA  VGE = Q = 0.02 = 2.546 m/s A GE   0.10 2 4 Q 0.02 VDB = A DB = = 4.527 m/s   0.075 2 4 การสญู เสยี พลงั งานหลกั จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื ของไหลเดนิ ทางผา่ นทอ่ จากจดุ G ถงึ จดุ B ผา่ นทอ่ สองเสน้ คอื GE และ DB ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งานหลกั จงึ หาไดจ้ าก หาคา่ เรยโ์ นลดน์ มั เบอร์ ทอ่ GE ReGE =  2.546 0.1 1106  2.546X105 ReGE = = 0.15 mm (จากโจทย)์   = 0.15 = 0.0015 D 100 = 0.0225 จากราฟ Moody diagram fGE หาคา่ เรยโ์ นลดน์ มั เบอร์ ทอ่ GE ReDB =  4.527 0.075 1106  3.395X105 ReDB = = 0.15 mm (จากโจทย)์   = 0.15 = 0.002 D 75 = 0.024 จากราฟ Moody diagram fDB ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-22 Fluid Mechanics hf = hfGE  hfDB = VG2E VD2B fGE LGE 2g  fDB LDB 2g hf = DGE DDB hf =  2.546 2  4.527 2  0.0225  7.5 2g   0.0240  33.0 2g  0.1  0.075 11.588 m การสญู เสยี พลงั งานรอง จะเกดิ ขน้ึ ทท่ี างเขา้ (foot valve : kG = 2.0) ประตนู ้ํา (Gate valve : kvalve = 2.5) ขอ้ งอ 90O ทงั้ สองตวั (F และ C : kF = kC = 1.5) และบรเิ วณทางออก (B : kB = 1) ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งาน รองทงั้ หมดจงึ มคี า่ เทา่ กบั (คา่ k ของอุปกรณ์ต่างๆ โจทยร์ ะบมุ าให)้  hm = kG  kF  kvalve  VG2E  kC  k B  VD2B 2g 2g =  2.0  1.5  2.5  2.546 2  1.5  1.0  4.527 2 2g 2g  hm = 4.594 m นํา  hf และ  hm ไปแทนคา่ ใน (1)   25.0    1.5   11.588  4.594 HP = 42.682 m = กาํ ลงั งานทน่ี ้ําไดร้ บั QHP = 98100.0242.682 PW = 8374.208 Watt = PW =  8374.208 กาํ ลงั งานทก่ี าํ ลงั ของเครอ่ื งสบู P  0.65 12883.398 PP = 12.883 Watt = k Watt Ans PP = พจิ ารณาสมการพลงั งานระหวา่ งจุด I กบั A zI  PI  VI2 = zA  PA  VA2  hf  hm W 2g W 2g  15.5  PI  VD2B =  25.0  0  0   hf   hm W 2g PI = 9.5  VD2B  hf   hm --------- (2) 2g W Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 6-23 การสญู เสยี พลงั งานหลกั จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื ของไหลเดนิ ทางผา่ นทอ่ จากจดุ I ถงึ จุด B ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งานหลกั จงึ หาไดจ้ าก hf = hfIB VD2B = 2g fDB LIB = DDB 4.527 2  0.0240  9.0  2g  0.075 = 3.008 m การสญู เสยี พลงั งานรอง จะเกดิ ขน้ึ ทท่ี างออก (kB = 1.0) ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งานรองจงึ มคี า่ เทา่ กบั  hm = k B  VD2B 2g  4.527 2 2g =  1.0  hm = 1.045 m แทนคา่ ผลรวมของการสญู เสยี พลงั งานหลกั และการสญู เสยี พลงั งานรองในสมการท่ี (2) PI = 9.5   4.527 2   3.008  1.045 W 2g = 12.508 m PI = 12.508  W = 122.703 kPa Ans ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-24 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 6.4 โรงผลติ กระแสไฟฟ้าพลงั น้ํา มกี ารตดิ ตงั้ ระบบตา่ งๆ ในลกั ษณะดงั รปู ระดบั น้ําในอ่างเกบ็ น้ําอยทู่ ่ี +210.0 ม.รทก. และระดบั น้ําดา้ นทา้ ยเขอ่ื นอยทู่ ่ี +125.5 ม.รทก. ถา้ เดนิ เครอ่ื งกาํ เนิดกระแสไฟฟ้าโดยการปลอ่ ยน้ํา ผา่ นกงั หนั ดว้ ยอตั รา 0.5 cms กงั หนั มปี ระสทิ ธภิ าพ 55 % จงหากาํ ลงั งานทก่ี งั หนั สง่ ใหก้ บั เครอ่ื งกาํ เนิดกระแสไฟฟ้า วธิ ที าํ พจิ ารณาสมการพลงั งานระหวา่ งจุด A กบั I zA  PA  VA2 = zI  PI  VI2  HT  hf  hm W 2g W 2g HT = zA  zI   hf  hm --------- (1) m/s จาก Q = VA  VBE = Q = 0.50 = 2.546 A BE m/s   0.50 2 4 Q 0.50 VFH = A FH = = 1.132   0.75  2 4 การสญู เสยี พลงั งานหลกั จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื ของไหลเดนิ ทางผา่ นท่อจากจุด B ถงึ จดุ H ผา่ นทอ่ สองเสน้ คอื BE และ FH ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งานหลกั จงึ หาไดจ้ าก หาคา่ เรยโ์ นลดน์ มั เบอร์ ทอ่ BE ReBE =  2.456 0.5 ReBE = 1106  1.228X106 = 0.20 mm (จากโจทย)์   = 0.20 = 0.0004 D 500 = 0.016 จากราฟ Moody diagram fBE หาคา่ เรยโ์ นลดน์ มั เบอร์ ทอ่ FH ReFH = 1.132 0.75 ReFH = 1106  8.49X105 = 0.15 mm (จากโจทย)์   = 0.15 = 0.0002 D 750 = 0.015 จากราฟ Moody diagram fFH Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 6-25 hf = hfBE  hfFH VF2H = VB2E 2g fBE LBE 2g  fFH LFH = DBE DFH hf =  2.546 2  1.132 2  0.016  150 2g   0.015  35 2g  0.5  0.75 1.632 m การสญู เสยี พลงั งานรอง จะเกดิ ขน้ึ ทท่ี างเขา้ (ตะแกรงดกั ขยะ : kB = 3.50) ประตนู ้ํา (Gate valve : kvalve = 0.39) ขอ้ งอ 45O ทงั้ สองตวั (C และ D : kC = kD = 0.20) ขอ้ งอ 90O (kG = 0.30) และบรเิ วณทางออก (H : kH = 1.00) ดงั นนั้ การสญู เสยี พลงั งานรองทงั้ หมดจงึ มคี า่ เทา่ กบั  hm = kB  kC  kD  k valve  VB2E  k G  kH  VF2H 2g 2g = 3.50  0.2  0.2  0.39 2.5462  0.3  1.0 1.1322 2g 2g  hm = 1.502 m นํา  hf และ  hm ไปแทนคา่ ใน (1) HT =  210.0   125.5  1.632  1.502 = 81.366 m กาํ ลงั งานทน่ี ้ําไดร้ บั จากของไหล = 98100.581.366 Ans PW = QHT k Watt = 399.100 = 0.55400.125 กาํ ลงั งานทก่ี าํ ลงั ของเครอ่ื งสบู k Watt PP = TPW = 219.050 ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-26 Fluid Mechanics การต่อท่อแบบขนาน (Pipe in parallel) การต่อทอ่ แบบขนาน คอื การตอ่ ทอ่ หลายๆ เสน้ โดยทแ่ี ต่ละเสน้ ทางของการไหลจะเรม่ิ ตน้ จากจดุ เดยี ว และ สน้ิ สดุ ทจ่ี ุดเดยี วกนั ดงั ตวั อยา่ งรปู ท่ี 6.18 รปู ท่ี 6.18 ตวั อยา่ งการตอ่ ทอ่ แบบขนาน จากรปู ท่ี 6.18 ของไหลจะไหลจากถงั ใบท่ี 1 ไปยงั ถงั ใบท่ี 2 โดยของไหลสามารถเดนิ ทางไดส้ ามเสน้ ทางคอื เสน้ ทางแรก ABCDEFG เสน้ ทางทส่ี องคอื ABCDHIEFG และเสน้ ทางสดุ ทา้ ยคอื ABCJKLG ซง่ึ ทงั้ สามเสน้ ทางเรมิ่ ตน้ จากจุดเดยี วกนั และสน้ิ สดุ ลงทจ่ี ดุ เดยี วกนั เม่อื พจิ ารณาพลงั งานทจ่ี ดุ เรม่ิ ตน้ (จุด A) ทงั้ สามเสน้ ทางมพี ลงั งานเรม่ิ ตน้ เทา่ กนั สว่ นทจ่ี ดุ สน้ิ สดุ (จุด G) พลงั งานทเ่ี หลอื อยขู่ องทงั้ สามเสน้ ทางกเ็ ทา่ กนั เชน่ เดยี วกนั ดงั นนั้ ไมว่ า่ ของไหลจะ เดนิ ทางไปตามเสน้ ทางใด การสญู เสยี พลงั งานทเ่ี กดิ ขน้ึ ระหวา่ งการเดนิ ทางจะมคี า่ เทา่ กนั ฉะนนั้ ปญั หาของการไหลใน ทอ่ แบบขนานจงึ อาศยั หลกั ของการสญู เสยี พลงั งานทเ่ี ทา่ กนั น้ีเป็นหลกั การในการวเิ คราะห์ ดงั นนั้ หากพจิ ารณาสมการพลงั งานของการไหลตามรปู ท่ี 6.18 จะไดว้ า่ zA  zB  z  hf  hm BCDEF  hf  hm BCDHIEF  hf   hm BCJKL Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 6-27 ตวั อยา่ งท่ี 6.5 ระบบทอ่ ขนานเชอ่ื มตอ่ อา่ งเกบ็ น้ําสองแห่งลกั ษณะดงั รปู ถา้ สภาพการไหลในทอ่ ทงั้ สามเสน้ เป็น แบบ Fully rough flow (complete turbulent) จงหาอตั ราการไหลในทอ่ ทงั้ สามเสน้ วธิ ที าํ พจิ ารณาสมการพลงั งานระหวา่ งจุด A กบั G ของไหลสามารถเดนิ ทางไดส้ องเสน้ ทางคอื ABCDEFG และ ABCDHIJG ดงั นนั้ จะไดว้ า่ zA  PA  VA2 = zG  PG  VG2   hf   hm BD   hf   hm DF W 2g = W 2g = zA  zG =  hf   hm BD   hf   hm DF --------- (1) --------- (2) zA  PA  VA2 zG  PG  VG2   hf   hm BD   hf   hm DJ W 2g W 2g zA  zG  hf   hm BD   hf   hm DJ นําสมการท่ี (1) ลบกบั สมการท่ี (2) จะได้ --------- (3) --------- (4)  hf   hm DF =  hf   hm DJ นําสมการท่ี (1) บวกกบั สมการท่ี (2) จะได้ 2zA  zG  = 2 hf   hm BD   hf   hm DF   hf   hm DJ เน่ืองจากสภาพการไหลเป็นแบบ Fully rough flow คา่ f จงึ แปรผนั กบั  เพยี งอยา่ งเดยี ว D  0.20  D BD  100  0.002  fBD  0.0235   DF    DJ  0.20  0.004  fDF  fDJ  0.0285 D D 50  hf   hm BD = fBD LBD VB2D    kDF VB2D DBD 2g 2g =   0.0235  10   0.5  1.5  VB2D   0.10  2g =  4.35 VB2D 2g ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-28 Fluid Mechanics  hf   hm DF = fDF LDF VD2F  kDF VD2F DDF 2g 2g =   0.0285  15   0.9  1.5  0.39  1.0  VD2F   0.05  2g = 12.34 VD2F 2g  hf   hm DJ = fDJ LDJ VD2J   kDJ VD2J DDJ 2g 2g =   0.0285  20   0.9  1.5  0.39  1.5  1  VD2J   0.05  2g = 16.69 VD2J 2g แทนคา่ ในสมการท่ี (3) 9.84  VD2F = 16.69 VD2J 2g 2g VDF = (1.302) VDJ --------- (5) แทนคา่ ในสมการท่ี (4) 2  4.35 VB2D     12.34  VD2F     16.69 VD2J  230 12 =  2g   2g   2g  36 =   8.70 VB2D     20.919 VD2J     16.69 VD2J  36 =  2g   2g   2g    8.70 VB2D     37.609 VD2J  --------- (6)  2g   2g  หากพจิ ารณาจากอตั ราการไหล จะเหน็ ไดว้ า่ QBD = QDF + QDJ = 4  0.12  VBD = 4  0.052  VDF  4  0.052  VDJ (4) VBD VDF + VDJ จากสมการท่ี (5) (1.302) VDJ + VDJ --------- (7) (4) VBD = VDJ  (1.738) VBD = Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 6-29 แทนคา่ สมการท่ี (7) ในสมการที (6) 36 =   8.70 VB2D     37.609 1.738VBD 2  2g 2g 36 = 8.70  37.609  1.7382  VB2D 2g VBD = 2.403 m/s VDJ = (1.738) 2.403 = 4.176 m/s m/s VDF = (1.302) 4.176 = 5.438 = 18.87 QBD = 4  0.102  2.403 = 0.01887 m3/s = 8.20 l/s l/s QDF = 4  0.052  4.176 = 0.00820 m3/s = 10.67 l/s QDJ =    0.052   5.438 = 0.01067 m3/s Ans 4 ธญั ดร ออกวะลา Flow in Pressure Conduit

6-30 Fluid Mechanics Flow in Pressure Conduit ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-1 บทที่ 7 การไหลในทางนํ้าเปิ ด การไหลในทางน้ําเปิด (Open Channel Flow) คอื การไหลของของไหลไปตามทางน้ําโดยมผี วิ อสิ ระ สมั ผสั กบั อากาศดา้ นบน การไหลจะอยภู่ ายใตอ้ ทิ ธพิ ลของความดนั บรรยากาศโดยรอบ (Atmospheric pressure) และแรงโน้ม ถว่ งของโลก (Gravity) ซง่ึ การไหลในลกั ษณะน้ีสามารถพบเหน็ ไดท้ วั่ ไปเชน่ การไหลในแมน่ ้ําลาํ คลอง การไหลในคลอง สง่ น้ํา การไหลในทอ่ หรอื รางระบายน้ํา เป็นตน้ รปู ท่ี 7.1 ทางน้ําธรรมชาติ รปู ท่ี 7.2 ทางน้ําทม่ี นุษยส์ รา้ งขน้ึ 7.1 ประเภทของทางนํ้าเปิ ด (Type of channel) ทางน้ําเปิดทพ่ี บเหน็ โดยทวั่ ไปนนั้ สามารถจาํ แนกได้ 2 ประเภทคอื - ทางน้ําธรรมชาติ (Natural channel) คอื ทางน้ําทเ่ี กดิ ขน้ึ เองตามธรรมชาติ รปู รา่ งของรปู ตดั ขวางของทางน้ํา และความลาดเทของทอ้ งทางน้ํา จะเปลย่ี นแปลงไปตามสภาพพน้ื ท่ี (Non-Prismatic channel) เชน่ ลาํ ธาร คลอง หรอื แมน่ ้ํา เป็นตน้ (ดงั รปู ท่ี 7.1) - ทางน้ําทม่ี นุษยส์ รา้ งขน้ึ (Artificial channel) คอื ทางน้ําทม่ี นุษยส์ รา้ งขน้ึ เพอ่ื สนองตอบตอ่ ความตอ้ งการดา้ น ตา่ งๆ เชน่ การสง่ น้ําเพอ่ื การชลประทาน การระบายน้ํา หรอื เพอ่ื การคมนาคมขนสง่ เป็นตน้ ซง่ึ โดยทวั่ ไป ลกั ษณะของทางน้ําจะมรี ปู ตดั ขวาง และความลาดเทของทอ้ งรางคงท่ี (Prismatic channel) เชน่ คลองสง่ น้ํา ดาดคอนกรตี ราง หรอื ทอ่ ระบายน้ํา เป็นตน้ (ดงั รปู ท่ี 7.2) ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-2 Fluid Mechanics 7.2 การจาํ แนกประเภทการไหลในทางนํ้าเปิ ด (Open channel flow classification) ในการวเิ คราะหด์ า้ นชลศาสตร์ ประเดน็ ในการวเิ คราะหเ์ พอ่ื จาํ แนกประเภทของการไหลในทางน้ําเปิดจะถกู แบง่ ออกเป็น 2 สว่ นคอื จาํ แนกโดยพจิ ารณาจากรปู แบบของการไหล (Type of flow) และจาํ แนกโดยพจิ ารณาจาก สภาวะของการไหล (State of flow) 7.2.1 การจาํ แนกประเภทการไหลในทางน้ําเปิดโดยพจิ ารณาจากรปู แบบของการไหล (Type of flow) ในการจาํ แนกจะมหี ลกั เกณฑ์ 2 ประการคอื 1) พจิ ารณาการเปลย่ี นแปลงกบั เวลาเวลา a) การไหลคงท่ี (Steady flow) คอื การไหลทไ่ี มม่ กี ารเปลย่ี นแปลงตามเวลา กลา่ วคอื ตวั แปรตา่ งๆ ท่ี เกย่ี วขอ้ งกบั การไหล เชน่ ความลกึ (y) ความเรว็ (V) อตั ราการไหล (Q) พน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล (A) จะคงทต่ี ลอดชว่ งเวลาทพ่ี จิ ารณา d y, A, v, Q   0 dt b) การไหลไมค่ งท่ี (Unsteady flow) คอื การไหลทม่ี กี ารเปลย่ี นแปลงตามเวลา กลา่ วคอื ตวั แปรต่างๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การไหล เชน่ ความลกึ ความเรว็ อตั ราการไหล พน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล ไมค่ งทต่ี ลอด ชว่ งเวลาทพ่ี จิ ารณา d y, A, v, Q   0 dt 2) พจิ ารณาการเปลย่ี นแปลงรปู ตดั ขวางของการไหลในชว่ งใดๆ a) การไหลแบบสม่าํ เสมอ (Uniform Flow : UF) คอื การไหลทม่ี คี วามลกึ (y) และพน้ื ทห่ี น้าตดั การ ไหล (A) คงทต่ี ลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา b) การไหลแบบแปรเปลย่ี น (Varied flow หรอื Non-Uniform flow) คอื การไหลทม่ี คี วามลกึ และ พน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล ไมค่ งทต่ี ลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา ซง่ึ แบง่ เป็น 2 ลกั ษณะคอื - การไหลแบบแปรเปลย่ี นแบบคอ่ ยเป็นคอ่ ยไป (Gradually Varied Flow : GVF) คอื การไหลท่ี ความลกึ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล มกี ารเปลย่ี นแปลงทล่ี ะน้อยไปตามความยาวของชว่ งท่ี พจิ ารณา - การไหลแบบแปรเปลย่ี นแบบฉบั พลนั (Rapidly Varied Flow : RVF) คอื การไหลทค่ี วามลกึ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล มกี ารเปลย่ี นแปลงอยา่ งฉบั พลนั ในชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา รปู ท่ี 7.3 ตวั อยา่ งการแบง่ ประเภทการไหลโดยพจิ ารณาการเปลย่ี นแปลงรปู ตดั เป็นเกณฑ์ Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-3 ดงั นนั้ หากพจิ ารณาเกณฑท์ งั้ สองขอ้ เราจะสามารถจาํ แนกประเภทของการไหลทเ่ี กดิ ไดด้ งั น้ี - การไหลแบบสม่าํ เสมอไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา (Steady Uniform flow) Steady uniform flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี า่ ความลกึ ความเรว็ อตั ราการไหล และพน้ื ทห่ี น้าตดั การ ไหล คงทต่ี ลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา โดยจะไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา ซง่ึ เกอื บทงั้ หมดมกั จะเกดิ ในทางน้ําทม่ี นุษยส์ รา้ งขน้ึ เน่ืองจากรปู ตดั ขวางของทางน้ํามกั จะสรา้ งใหม้ รี ปู รา่ งคงท่ี และในการใชง้ าน เราสามารถควบคมุ ความเรว็ และอตั ราการไหลได้ รปู ท่ี 7.4 การไหลแบบ Steady uniform flow - การไหลแปรเปลย่ี นแบบคอ่ ยเป็นคอ่ ยไปแตไ่ มแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา (Steady Gradually Varied flow) Steady gradually varied flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี า่ ความลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล เปลย่ี นแปลงอยา่ งต่อเน่ืองแบบคอ่ ยเป็นคอ่ ยไปตลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา แตค่ วามลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหลทจ่ี ุดใดจดุ หน่ึงนนั้ จะคงท่ี ไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา รปู ท่ี 7.5 การไหลแบบ Steady gradually varied flow - การไหลแปรเปลย่ี นแบบฉบั พลนั แต่ไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา (Steady Rapidly Varied flow) Steady rapidly varied flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี า่ ความลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล เปลย่ี นแปลงอยา่ งฉบั พลนั ในชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา แตค่ วามลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล ทจ่ี ุดใดจดุ หน่ึงนนั้ จะคงท่ี ไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา รปู ท่ี 7.6 การไหลแบบ Steady rapidly varied flow ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-4 Fluid Mechanics - การไหลแบบสม่าํ เสมอแปรเปลย่ี นตามเวลา (Unsteady Uniform flow) Unsteady uniform flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี า่ ความลกึ ความเรว็ อตั ราการไหล พน้ื ทห่ี น้าตดั การ ไหล เทา่ กนั ตลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา แต่จะเปลย่ี นแปลงไปตามเวลา รปู ท่ี 7.7 การไหลแบบ Unsteady uniform flow - การไหลแปรเปลย่ี นแบบคอ่ ยเป็นคอ่ ยไปและแปรเปลย่ี นตามเวลา (Unsteady Gradually Varied flow) Unsteady gradually varied flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี าความลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล มกี ารเปลย่ี นแปลงอยา่ งต่อเน่ืองแบบคอ่ ยเป็นค่อยไปตลอดชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา และเปลย่ี นแปลง ตามเวลาไปพรอ้ มๆ กนั รปู ท่ี 7.8 การไหลแบบ Unsteady gradually varied flow - การไหลแปรเปลย่ี นแบบฉบั พลนั และแปรเปลย่ี นตามเวลา (Unsteady Rapidly Varied flow) Unsteady rapidly varied flow คอื สภาพการไหลทม่ี คี า่ ความลกึ ความเรว็ และพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล มี การเปลย่ี นแปลงอยา่ งฉบั พลนั ในชว่ งความยาวทพ่ี จิ ารณา และเปลย่ี นแปลงตามเวลาไปพรอ้ มๆ กนั รปู ท่ี 7.9 การไหลแบบ Unsteady rapidly varied flow ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

Fluid Mechanics 7-5 7.2.2 การจาํ แนกประเภทตามสภาวะของการไหล (State of flow) การจาํ แนกประเภทการไหลตามสภาวะของการไหลนนั้ จะพจิ ารณาจากพฤตกิ รรมของการเคลอ่ื นตวั ของของ ไหลในทางน้ํา รวมถงึ ผลกระทบของแรงทม่ี อี ทิ ธพิ ลต่อการไหล 7.2.2.1 จาํ แนกโดยพจิ ารณาจาก เรยโ์ นลดน์ มั เบอร์ (Reynold number : Re) Reynold number คอื ตวั เลขทว่ี เิ คราะหโ์ ดยคาํ นึงถงึ อทิ ธพิ ลของแรงอนั เน่ืองมาจากความหนืด (Vicous force) และแรงอนั เน่ืองมาจากความเฉ่อื ยของมวล (Inertia force) ซง่ึ ตวั เลขดงั กลา่ วนนั้ จะสามารถบงบอกถงึ พฤตกิ รรมของการเคลอ่ื นทข่ี องอนุภาคของไหลได้ เชน่ เดยี วกบั การไหลในทอ่ (การวเิ คราะหโ์ ดยละเอยี ดจะ กลา่ วถงึ ในบทท่ี 8) สาํ หรบั การไหลในทางน้ําเปิด Re สามารถคาํ นวณไดจ้ าก Re  VR --------- (7.1)  เมอ่ื R = รศั มชี ลศาสตร์ (Hydraulic radius) V= ความเรว็ เฉลย่ี = ความหนืดคเิ นมาตกิ ของของไหล เชน่ เดยี วกบั การไหลในทอ่ การไหลในทางน้ําเปิดสามารถแบง่ สภาวะการไหลไดเ้ ป็น 3 ประเภทคอื - การไหลแบบราบเรยี บ (Laminar flow) อนุภาคของของไหลจะเคล่อื นตวั อยา่ งเป็นระเบยี บ จะเกดิ ขน้ึ กบั การ ไหลทม่ี คี วามเรว็ ต่าํ หรอื ความหนืดของของไหลมาก โดยเรยโ์ นลดน์ มั เบอรจ์ ะมคี า่ ต่าํ กวา่ 500 - การไหลแบบปนั่ ปว่ น (Turbulent flow) อนุภาคของของไหลจะเคลอ่ื นตวั อยา่ งไมเ่ ป็นระเบยี บ จะเกดิ ขน้ึ กบั การไหลทม่ี คี วามเรว็ สงู หรอื ความหนืดของของไหลต่าํ โดยเรยโ์ นลดน์ มั เบอรจ์ ะมคี า่ มากกวา่ 2,000 - การไหลแบบแปรเปลย่ี น (Transitional flow) เป็นสภาวะการไหลทไ่ี มส่ ามารถระบไุ ดว้ า่ เป็นแบบปนั่ ปว่ น หรอื ราบเรยี บ โดยเรยโ์ นลดน์ มั เบอรจ์ ะมคี า่ อยรู่ ะหวา่ ง 500 ถงึ 2,000 7.2.2.2 จาํ แนกโดยพจิ ารณาจาก ฟรดุ นมั เบอร์ (Froude number : Fr) Froude number คอื ตวั เลขทว่ี เิ คราะหโ์ ดยคาํ นึงถงึ อทิ ธพิ ลของแรงอนั เน่ืองมาจากความโน้มถ่วง (Gravity force) และแรงอนั เน่ืองมาจากความเฉ่ือยของมวล (Inertia force) ตวั เลขดงั กลา่ วนนั้ จะสามารถบงบอก ถงึ พฤตกิ รรมของการไหลได้ (การวเิ คราะหจ์ ะกลา่ วถงึ ในบทท่ี 8) ซง่ึ สามารถคาํ นวณไดจ้ าก Fr  V --------- (7.2) gD เมอ่ื D = ความลกึ ชลศาสตร์ (hydraulic depth) g= ความเรง่ เน่ืองจากแรงโน้มถ่วง การไหลในทางน้ําเปิดสามารถแบง่ สภาวะการไหลไดเ้ ป็น 3 ประเภทคอื - การไหลวกิ ฤต (Critical flow) จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื คา่ ฟรดุ นมั เบอรเ์ ทา่ กบั 1 คา่ ความลกึ และความเรว็ ทส่ี ภาวะน้ีจะ เรยี กวา่ ความลกึ วกิ ฤต และความเรว็ วกิ ฤต - การไหลต่าํ กวา่ วกิ ฤติ (Subcritical flow) จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื คา่ ฟรดุ นมั เบอรต์ ่าํ กวา่ 1 ทส่ี ภาวะน้ี ความลกึ จะ มากกวา่ ความลกึ วกิ ฤต แตค่ วามเรว็ จะน้อยกวา่ ความเรว็ วกิ ฤต เมอ่ื เปรยี บเทยี บทอ่ี ตั ราการไหลเทา่ กนั - การไหลเหนือกวา่ วกิ ฤติ (Supercritical flow) จะเกดิ ขน้ึ เมอ่ื คา่ ฟรดุ นมั เบอรม์ ากกวา่ 1 ทส่ี ภาวะน้ี ความลกึ จะน้อยกวา่ ความลกึ วกิ ฤต แต่ความเรว็ จะมากกวา่ ความเรว็ วกิ ฤต เมอ่ื เปรยี บเทยี บทอ่ี ตั ราการไหลเทา่ กนั ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-6 Fluid Mechanics รปู ท่ี 7.10 สภาวะการไหลแบบต่าง 7.3 สมการพืน้ ฐานของการไหลในทางน้ําเปิ ด (Basic equation of open channel flow) เน่ืองจากเน้ือหาในบทน้ีเป็นการกลา่ วถงึ หลกั การพน้ื ฐานของการไหลในทางน้ําเปิด ซง่ึ จะทาํ การวเิ คราะหภ์ ายใต้ สมมตุ ฐิ านทว่ี า่ ของไหลเป็นของไหลจนิ ตภาพ บบี อดั ตวั ไมไ่ ด (Ideal fluid , Incompressible fluid) นอกจากน้ีในการ วเิ คราะหจ์ ะกลา่ วถงึ เฉพาะการไหลแบบคงทไ่ี มแ่ ปเปลย่ี นตามเวลา (Steady flow) เทา่ นนั้ เพอ่ื ความสะดวกในการศกึ ษา จะขอกลา่ วถงึ นิยามของตวั แปรทเ่ี กย่ี วของกบั การวเิ คราะหก์ ารไหลในทางน้ําเปิด เสยี ก่อน ซง่ึ ประกอบดว้ ยตวั แปรดงั ต่อไปน้ี - ความลกึ (Depth :y) คอื ระยะในแนวดงิ่ ทว่ี ดั จากจุดต่าํ สดุ จนถงึ ผวิ อสิ ระของหน้าตดั การไหล - ความกวา้ งผวิ (Top width :B) คอื ความกวา้ งของผวิ อสิ ระของพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล - ความลกึ ชลศาสตร์ (Hydraulic depth :D) คอื ความลกึ เฉลย่ี ของพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหลทม่ี คี วามกวา้ งเทา่ กบั ความกวา้ งผวิ ซง่ึ สามารถคาํ นวณไดจ้ าก D  A (ในกรณีทท่ี างน้ําเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก D  y ) B - ความยาวเสน้ ขอบเปียก (Wetted perimeter :P) คอื ความยาวเสน้ ขอบดา้ นสมั ผสั กบั ทางน้ําของ พน้ื ทห่ี น้าตดั การไหล - รศั มชี ลศาสตร์ (Hydraulic radius :R) คอื ตวั แปรทม่ี คี ณุ ลกั ษณะคลา้ ยกบั รศั มี ซง่ึ คาํ นวณจาก R  A P รปู ท่ี 7.11 ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การไหลในทางน้ําเปิด Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-7 7.3.1 สมการต่อเน่ือง (Continuity Equation) จากสมการกฎการอนุรกั ษม์ วล MCV   M In   M Out t พจิ ารณาการไหลเขา้ ออกของปรมิ าตรควบคุมดงั รปู ท่ี 7.12 เมอ่ื ของไหลอดั ตวั ไมไ่ ด้ (incompressible fluid) และ อตั ราการไหลคงทไ่ี มแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา (steady state) จะไดว้ า่ ดงั นนั้ จะไดว้ า่ MCV =0 t = Q1 = A1V1  M In = Q2 = A2V2  M Out = A1V1 A2V2  0 หรอื A1V1 = A2V2 --------- (7.3) ในกรณที างน้ําเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก หรอื การวเิ คราะหก์ ารไหลต่อหน่ึงหน่วยความกวา้ ง จะไดว้ า่ B  y1V1 = B  y2 V2 y1V1 = y2V2 --------- (7.4) รปู ท่ี 7.12 ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-8 Fluid Mechanics 7.3.2 สมการพลงั งาน (Energy Equation) ดงั ทก่ี ลา่ วไวใ้ นบทท่ี 4 สมการพลงั งานคอื สมการความสมั พนั ธข์ องเฮด (Energy head) ของอนุภาคของไหลท่ี เคลอ่ื นทไ่ี ปตาม streamline ผา่ นจุดตา่ งๆ ซง่ึ เฮดทว่ี า่ นนั้ จะประกอบดว้ ย เฮดระดบั (Elevation head) เฮดความดนั (Pressure head) และเฮดความเรว็ (Velocity head) โดยผลรวมของเฮดระดบั กบั เฮดความดนั จะเรยี กวา่ เฮดสถติ (Static head) เมอ่ื พจิ ารณากบั การไหลในทางน้ําเปิด ทห่ี น้าตดั การไหลเดยี วกนั หากเราพจิ ารณาคา่ เฮดสถติ ของ อนุภาคของไหลใดๆ บนหน้าตดั ดงั รปู ท่ี 7.13 จะเหน็ ไดว้ า่ รปู ท่ี 7.13 เฮดของอนุภาคของไหลบนหน้าตดั ใดๆ ของการไหลในทางน้ําเปิด จากรปู เมอ่ื พจิ ารณา static head ของอนุภาคของไหล 1 และ 2 มคี า่ เทา่ กบั z1  P1  z1  h1   z1  h1  z  y   z2  P2  z2  h2   z2  h2  z  y   จากขอ้ พสิ จู น์ดงั กลา่ วจะเหน็ ไดว้ า่ ไมว่ า่ จะอยจู่ ุดใดบนหน้าตดั เดยี วกนั คา่ ของ static head จะมคี า่ เทา่ กนั เสมอ ดงั นนั้ สมการพลงั งานของการไหลในทางน้ําเปิดจงึ มรี ปู แบบดงั ต่อไปน้ี z1  y1  V12  z2  y2  V22  hL --------- (7.5) 2g 2g เมอ่ื hL = การสญู เสยี พลงั งาน yi = ความลกึ ทห่ี น้าตดั i zi = คา่ ระดบั ทอ้ งรางน้ําทห่ี น้าตดั i Vi = ความเรว็ เฉลย่ี ของการไหลทห่ี น้าตดั i sf = ความลาดชนั ของเสน้ ระดบั พลงั งานรวม sw = ความลาดชนั ของผวิ น้ํา so = ความลาดชนั ของทอ้ งรางน้ํา Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-9 รปู ท่ี 7.14 เฮดของหน้าตดั การไหลของการไหลในทางน้ําเปิด สาํ หรบั การไหลในทางน้ําเปิด สงิ่ ทค่ี วรระวงั คอื คา่ z ในสมการท่ี 7.5 ไมใ่ ชค้ า่ เฮดระดบั ของอนุภาคของของไหล แต่เป็นคา่ ระดบั ของทอ้ งรางน้ําเปิดของหน้าตดั การไหลทพ่ี จิ ารณา ซง่ึ กค็ อื เฮดระดบั ของหน้าตดั การไหล สว่ นความลกึ ของน้ํา (y) จะกลายเป็นเฮดความดนั 7.3.3 สมการโมเมนตมั (Momentum Equation) จากทก่ี ลา่ วไวใ้ นบทท่ี 5 สมการโมเมนตมั สาํ หรบั การไหลในทางน้ําเปิด จะแตกต่างกบั การไหลในทอ่ เน่ืองจาก การไหลในทางน้ําเปิดนนั้ ความดนั จะแปรผนั ตามความลกึ ของน้ํา ดงั ตวั อยา่ งในรปู ท่ี 7.14 รปู ท่ี 7.15 การวเิ คราะหแ์ รงทก่ี ระทาํ กบั Control volume ของการไหลในทางน้ําเปิด จากรปู ท่ี 7.14 ถา้ วเิครFาsyะsหต์ ามสมการท่ี 5.7 จะไดว้ า่ VOut VIn =  Out  Q Out     In  Q In   F1  F2  FX  f = QV2  QV1 กาํ หนดให้ F คอื ผลรวมของแรงจากภายนอกโดยไมร่ วมแรงทเ่ี กดิ จากความดนั ซง่ึ ในทน่ี ้ีมคี า่ เทา่ กบั FX + f และเมอ่ื จดั รปู สมการใหมจ่ ะได้ F = F1  QV1  F2  QV2 =   y1A1  QV1    y 2A 2  QV2 F =  y1A1  Q2   y 2 A 2  Q2  --------- (7.6)   gA1  gA 2   ซง่ึ สมการท่ี 7.6 น้ีกค็ อื สมการโมเมนตมั ของการไหลในทางน้ําเปิด ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-10 Fluid Mechanics 7.4 การวิเคราะหก์ ารไหลแบบสมาํ่ เสมอไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Steady Uniform Flow) เมอ่ื การไหลนนั้ เกดิ ขน้ึ ในทางน้ําทม่ี หี น้าตดั สม่าํ เสมอเป็นระยะทางยาวมากๆ ในชว่ งเรมิ่ ตน้ ของทางน้ําการไหล จะมกี ารปรบั ตวั เพอ่ื ใหแ้ รงกระทาํ ตา่ งๆ ในระบบเขา้ สสู้ ภาวะทส่ี มดลุ ไมม่ คี วามเรง่ ซง่ึ เมอ่ื เขา้ สสู่ ภาวะทส่ี มดุลแลว้ พน้ื ทห่ี น้าตดั ตามขวางของการไหล จะมรี ปู รา่ งคงทต่ี อ่ เน่ืองตามความยาวของทางน้ําไปจนกวา่ ทางน้ํานนั้ เปลย่ี นแปลง รปู รา่ งไปจากเดมิ ดงั รปู ท่ี 7.16 ดว้ ยเหตุน้ีความลาดชนั ของผวิ น้ํา (Sw) ตลอดชว่ งของการไหลแบบสม่าํ เสมอ จะ เทา่ กบั ความลาดชนั ของทอ้ งทางน้ํา (So) และเทา่ กบั ความลาดชนั ของเสน้ ระดบั พลงั งาน (Sf) ดงั รปู ท่ี 7.17 รปู ท่ี 7.16 การเกดิ การไหลแบบ Uniform flow รปู ท่ี 7.17 การวเิ คราะหก์ ารไหลแบบ Uniform flow จากรปู ท่ี 7.16 เมอ่ื พจิ ารณาสมดุลของแรงทเ่ี กดิ ขน้ึ กบั ของไหลในปรมิ าตราควบคมุ ในทศิ ทางทข่ี นานกบั การไหล จะเหน็ ไดว้ า่ เน่ืองจากการไหลมพี น้ื ทห่ี น้าตดั คงท่ี จงึ ทาํ ใหแ้ รงดนั F1 หกั ลา้ งกบั แรงดนั F2 ดงั นนั้ จะไดว้ า่ f = W sin ในกรณีทค่ี วามลดชนั มคี า้ น้อย ระยะในแนวเอยี งจะใกลเ้ คยี งกบั ระยะในแนวราบ (L) และ sin   tan   so PL = AL  tan   = ALso --------- (7.7) PL  = Rso เมอ่ื  คอื ความเคน้ เฉอื นทเ่ี กดิ ขน้ึ บรเิ วณผนงั ทางน้ํา (Wall shear stress) Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-11 ในปี ค.ศ. 1773 Antoni Chezy ไดท้ าํ การศกึ ษาพบวา่ ในสภาพการไหลแบบปนั่ ปว่ น ความเคน้ เฉอื นทผ่ี นงั จะ เป็นปฏภิ าคโดยตรงกบั ความเรว็ เฉลย่ี (V) ยกกาํ ลงั สอง   V2  = KV2 (K คอื คา่ คงท)่ี --------- (7.8) แทนคา่  จากสมการ 7.8 ลงในสมการ 7.7 จะได้ Rs o KV2 = Rs o K V= V  C Rso --------- (7.9) สมการท่ี 7.9 นนั้ เรยี กวา่ สมการ Chezy หรือ สตู ร Chezy (Chezy’s Formula) โดยที C   คอื คา่ K สมั ประสทิ ธขิ ์ อง Chezy (Chezy coefficient) ซง่ึ มลี กั ษณะเป็นสมั ประสทิ ธกิ ์ ารไหลชนิดหน่ึง โดยจะขน้ึ อยกู่ บั ลกั ษณะ ทางกายภายของทางน้ํา และความหยาบของพน้ื ผวิ ทางน้ํา ต่อมาในปี ค.ศ. 1890 Robert Manning ไดพ้ ฒั นาสมการของ Chezy โดยนําผลทไ่ี ดจ้ ากการทดลองใน หอ้ งปฏบิ ตั กิ าร และขอ้ มลู ในภาคสนามมาวเิ คราะหพ์ บวา่ สมั ประสทิ ธขิ ์ อง Chezy จะมคี วามสมั พนั ธก์ บั คา่ สมั ประสทิ ธิ ์ ความขรขุ ระของ Manning (Manning’s roughness coefficient) ดงั สมการท่ี 7.10 และ 7.11 สาํ หรบั ระบบ SI C= 1  R  1 --------- (7.10) n 6 หรอื สาํ หรบั ระบบ BG C= 1.49 R  1 --------- (7.11) n 6 เมอ่ื n คอื สมั ประสทิ ธคิ ์ วามขรขุ ระของ Manning (Manning’s roughness coefficient) ซง่ึ มลี กั ษณะเป็น สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเสยี ดทานชนิดหน่ึง โดยจะขน้ึ อยกู่ บั ลกั ษณะทางกายภายของทางน้ํา และความหยาบของพน้ื ผวิ ทาง น้ํา เชน่ เดยี วกบั สมั ประสทิ ธขิ ์ อง Chezy (ตารางท่ี 7.1) ดงั นนั้ หากพจิ ารณาจากสมการท่ี 7.9 เมอ่ื เปลย่ี นคา่ สมั ประสทิ ธขิ ์ อง Chezy เป็น สมั ประสทิ ธคิ ์ วามขรขุ ระของ Manning จะไดว้ า่ สาํ หรบั ระบบ SI V  1  R  2  S 1 --------- (7.12) n 3 2 หรอื Q  1  A  R  2  S 1 --------- (7.13) n 3 2 สาํ หรบั ระบบ BG V  1.49  R 2   S 1 --------- (7.14) n 3 2 หรอื Q  1.49  A R 2 S 1 --------- (7.15) n 3 2 สมการท่ี 7.12 และ 7.14 นนั้ เรยี กวา่ สมการ Manning หรอื สตู ร Manning (Manning’s Formula) ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-12 Fluid Mechanics ตารางท่ี 7.1 คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามขรขุ ระของ Manning (Manning’s roughness coefficient) Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-13 ตวั อยา่ งท่ี 7.1 ทางน้ําดาดคอนกรตี รปู สเ่ี หลย่ี มคางหมดู งั รปู น้ํามคี วามลกึ 2 m. คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามขรขุ ระของแมนน่ิง เทา่ กบั 0.015 และความลาดเทของพน้ื ทางน้ําเทา่ กบั 0.001 จง หาอตั ราการไหล และความเรว็ ของน้ํา วธิ ที าํ พจิ ารณาพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหลรปู สเ่ี หลย่ี มคางหมู A  b  myy  4  2  22  16 m2 P  b  2y 1 m2  4  22 1 22  12.94 m R  A  16  1.24 m P 12.94 1 2 1 สมการของ Manning V= n   R  3   S  2 = 1  12.94  2   0.001 1 --------- (1) n 3 2 จากโจทยก์ าํ หนดคา่ ส.ป.ส. ความขรขุ ระของ Manning ของพน้ื ผวิ คอนกรตี มคี า่ เทา่ กบั 0.015 แทนคา่ ในสมการ (1) V= 1  12.94  2   0.001 1 --------- (2) 0.015 3 2 จาก Q = VA  Q= 1  12.94  2   0.001 1  16 0.015 3 2 = 38.88 cms Ans ตวั อยา่ งท่ี 7.2 จากทางน้ําในตวั อยา่ งท่ี 7.1 ถา้ อตั ราการไหลเทา่ กบั 29 cms จงหาคา่ ความลกึ ปกติ (yn) วธิ ที าํ พจิ ารณาพน้ื ทห่ี น้าตดั การไหลรปู สเ่ี หลย่ี มคางหมเู หมอื นดงั ตวั อยา่ งท่ี 7.1 A  b  myn yn P  b  2yn 1 m2 R  A  b b  myn yn P  2yn 1 m2 ดงั นนั้ เมอ่ื แทนคา่ ในสมการของ Manning จะไดว้ า่  b  myn yn  2 3  Q = 1 AR 2 3 S10 2 = 1 b  myn y   2yn 1  m2  S10 2 n n n b  4  2y n yn  2 3  29 = 1 4  2yn y n   2yn 1 22  0.001 12 0.015 4 แกส้ มการหาคา่ yn (ดว้ ยวธิ ี ลองผดิ ลองถกู trial & error) yn = 1.73 m Ans ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-14 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 7.3 ทางน้ําลกั ษณะดงั รปู น้ําไหลดว้ ยความลกึ ปกตเิ ทา่ กบั 4 m. คา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามขรขุ ระของแมนน่ิง บรเิ วณรอ่ งน้ําหลกั (Main channel) และบรเิ วณพน้ื ทน่ี ้ําทว่ ม (Floodplain) เทา่ กบั 0.015 และ 0.035 ตามลาํ ดบั ความ ลาดเทของพน้ื ทางน้ําเทา่ กบั 0.001 จงหาอตั ราการไหลในทางน้ํา วธิ ที าํ แยกพจิ ารณาหน้าตดั การไหลออกเป็น 3 สว่ น พจิ ารณา Main Channel : หน้าตดั ยอ่ ยท่ี 1 A1   4  14  2.5  141.5  43.5 m2  P1  4  2 2.5 1 22  15.18 m 2 43.5 R1  15.18  2.87 m Q = 1 A1R12 3 S1012 = 1  43.5 2.87 2 3 0.001 12 n1 0.015 = 185.20 cms พจิ ารณา Floodplain : หน้าตดั ยอ่ ยท่ี 2 และ 3 A2  A3   10  14.5 1.5  18.38 m2  P2  P3  10  1.5 1 32  14.74 m 2 18.38 R2  R3  14.74  1.25 m  Q2 = Q3 = 1 A 2R 2 3 S10 2 = 1 18.381.25 2 3  0.001 12 n2 2 0.035 2 = 19.27 cms ดงั นนั้ อตั ราการไหลรวมทงั้ หน้าตดั มคี า่ เทา่ กบั Q = Q1+Q2+Q3 = 185.20+19.27+19.27 = 233.74 cms Ans Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-15 7.5 พลงั งานจาํ เพาะกบั การไหลแปรเปล่ียนแบบฉับพลนั แต่ไม่แปรเปล่ียนตามเวลา (Specific energy and steady rapidly varied flow) พจิ ารณาสมการพลงั งานของการไหลในทางน้ําเปิด (สมการท่ี 7.5) เฮดทบ่ี ง่ บอกถงึ สภาวะของการไหลนนั้ จะ ประกอบดว้ ย เฮดความเรว็  V2  และ เฮดความดนั (y) ซง่ึ ผลรวมของทงั้ สองสว่ นน้ีเรยี กวา่ พลงั งานจาํ เพาะ 2g (Specific energy) E = y  V2 --------- (7.16) 2g E = y  Q2 2 --------- (7.17) 2gA ดงั นนั้ สมการท่ี 7.5 สามารถเขยี นใหมไ่ ดว้ า่ z1  E1 = z2  E2  hL --------- (7.18) --------- (7.19) ซง่ึ หากนําไปประยกุ ตใ์ ชใ้ นการวเิ คราะหก์ ารเปลย่ี นแปลงสภาพการไหลในชว่ งสนั้ ๆ จะไดว้ า่ z2  z1 = E1  E2  hL รปู ท่ี 7.18 พลงั งานงานจาํ เพาะของการไหลในทางน้ําเปิด จากขา้ งตน้ พลงั งานจาํ เพาะ (E) ประกอบขน้ึ จากตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การไหล และของไหลโดยเฉพาะ ดงั นนั้ หากนํามาวเิ คราะหก์ บั การไหลในทางนํ้ารปู ส่ีเหล่ียมผนื ผา้ หรือการไหลต่อหนึ่งหน่วยความกว้าง จะไดว้ า่ เมอ่ื กาํ หนดให้ q = Q (อตั ราการไหลตอ่ หน่ึงหน่วยความกวา้ ง) B VA = B = Vy V = q --------- (7.20) y ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-16 Fluid Mechanics จากสมการท่ี 7.16 E = y  V2 2g E = y  q2 2 --------- (7.21) 2g y จาก q คงท่ี ดงั นนั้ หากพจิ ารณาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง E กบั y พบวา่ กราฟความสมั พนั ธจ์ ะเป็นรปู Hyperbola ดงั รปู ท่ี 7.19 รปู ท่ี 7.19 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหลในทางน้ําเปิดรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก จากความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล จะเหน็ ไดว้ า่ ทร่ี ะดบั พลงั งานจาํ เพาะหน่ึงๆ คา่ ความลกึ ของการไหลสามารถเป็นไปไดส้ องคา่ (alternate depth) ดงั รปู ท่ี 7.19 แตจ่ ะมเี พยี งจุดเดยี วเทา่ นนั้ ทค่ี า่ พลงั งานจาํ เพาะสมั พนั ธก์ บั คา่ ความลกึ เพยี งหน่ึงคา่ เราเรยี กจดุ น้ีวา่ การไหลวิกฤต (critical flow) ซง่ึ เราจะเรยี กคา่ ความลกึ และพลงั งานจาํ เพาะทจ่ี ดุ น้ีวา่ ความลึกวิกฤต (critical depth : yc) และพลงั งานจาํ เพาะท่ีจดุ วิกฤต (critical specific energy : Ec) ตามลาํ ดบั ในกรณที ก่ี ารไหลมคี า่ ความลึกมากกว่าความลึกวิกฤต ( y > yc ) ซง่ึ ความเรว็ ของการไหลจะตาํ่ กว่า ความเรว็ ที่จดุ วิกฤต ( V < Vc ) เราจะเรยี กการไหลลกั ษณะน้ีวา่ การไหลตาํ่ กว่าวิกฤต (subcritical flow) ในทางตรงกนั ขา้ มการไหลมคี า่ ความลึกน้อยกว่าความลึกวิกฤต ( y < yc ) ซง่ึ ความเรว็ ของการไหลจะ มากกว่าความเรว็ ที่จดุ วิกฤต ( V > Vc ) เราจะเรยี กการไหลลกั ษณะน้ีวา่ การไหลเหนือวิกฤต (supercritical flow) จากสมการท่ี 7.21 หากเราพจิ ารณาอนุพนั ธข์ องพลงั งานจาํ เพาะเทยี บกบั ความลกึ จะไดว้ า่ dE = dy  q2  d  1  dy dy 2g dy  y2  dE = 1 q2   1  dy g  y3  dE = 1  q2 --------- (7.22) dy gy 3 Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-17 จากสมการท่ี 7.22 ทจ่ี ุดวกิ ฤต คา่ อนุพนั ธข์ องพลงั งานจาํ เพาะเทยี บกบั ความลกึ จะมคี า่ เทา่ กบั 0 ฉะนนั้ เมอ่ื แทน คา่ y = yc จะทาํ ให้ dE  0 จงึ ไดว้ า่ dy q2 0=  1 3 yc = g y c 3 q2 --------- (7.23) g จากสมการท่ี 7.2 ความลกึ ชลศาสตรข์ องการไหลในทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก จะมคี า่ เทา่ กบั กบั คา่ ความลกึ ของ การไหล (D = y) เมอ่ื แทนคา่ ในสมการท่ี 7.23 จะไดว้ า่ Dc = 3 V Dc 2 g 1 = V Dc 2 = V 3 gDc g  D c 1= V = V = Frc --------- (7.24) gDc gyc ดงั นนั้ จงึ สรปุ ไดว้ า่ ทส่ี ภาวะการไหลแบบวิกฤติ ค่าฟรดุ นัมเบอรจ์ ะมีค่าเท่ากบั 1 จากสมการท่ี 7.24 จะเหน็ ไดว้ า่ Vc  gy c เมอ่ื นําไปแทนคา่ ในสมการท่ี 7.16 จะไดว้ า่ Ec = yc  Vc2 =  gy c 2 2g yc  2g Ec = 3 y c --------- (7.25) 2 หากพจิ ารณาทส่ี ภาวะการไหลต่าํ กวา่ วกิ ฤต ซง่ึ y  y c ; V  Vc จะสง่ ผลให้ Fr  1 หรอื สรปุ ไดว้ า่ ทส่ี ภาวะ การไหลตา่ํ กว่าวิกฤติ ฟรดุ นัมเบอรจ์ ะมีค่าน้อยกว่า 1 หากพจิ ารณาทส่ี ภาวะการไหลเหนือวกิ ฤต ซง่ึ y  y c ;V  Vc จะสง่ ผลให้ Fr  1 หรอื สรปุ ไดว้ า่ ทส่ี ภาวะการ ไหลเหนือวิกฤติ ฟรดุ นัมเบอรจ์ ะมีค่ามากกว่า 1 ในการวิเคราะหป์ ัญหาการไหลแปรเปลี่ยนแบบฉับพลนั แต่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Steady Rapidly Varied flow) เราสามรถนําหลกั การของพลงั งานจาํ เพาะมาใชใ้ นวเิ คราะหป์ ญั หาไดโ้ ดย คาํ นวณคา่ ตวั แปรต่างๆ จาก สมการ และตรวจสอบสภาวะการไหลทต่ี าํ แหน่งต่างๆ ดว้ ยการวเิ คราะหจ์ ากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-18 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 7.4 ทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ กวา้ ง 3 m ความลกึ y1 เทา่ กบั 1.55 m และความเรว็ V1 เทา่ กบั 1.83 m/s หากทางดา้ นทา้ ยน้ํามกี ารยกพน้ื ขน้ึ ลกั ษณะดงั รปู - ถา้ z = 0.2 m จงหาความลกึ และความเรว็ ดา้ นทา้ ยน้ํา - จงหาวา่ สามารถยกพน้ื สงู สดุ ไดเ้ ทา่ ไหร่ โดยไมท่ าํ ให้ ความลกึ ดา้ นเหนือน้ําเกดิ การเปลย่ี นแปลง (กาํ หนดใหก้ ารสญู เสยี พลงั งานมคี า่ น้อยมาก) วธิ ที าํ ตรวจสอบสภาวะการไหลทห่ี น้าตดั ท่ี 1 โดยการหาฟรดุ นมั เบอร์ ซง่ึ โจทยข์ อ้ น้ีเป็นการไหลในทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากดงั นนั้ Fr1  V1  1.83  0.47  1 แสดงวา่ ทห่ี น้าตดั ท่ี 1 การไหลเป็นแบบ Subcritical flow gy1 g1.55 หาคา่ ความลกึ วกิ ฤตของการไหลจาก Frc  1  Vc 1 --------- (1) gy c q q จาก V  y ดงั นนั้ Vc  yc แทนใน (1) q = gy c yc yc = 3 q2 --------- (2) g จาก q  v1y1  v 2y 2  viy i แทนใน (2) yc = 3 V1y1 2 = 3 1.55 1.83 2 g g y c = 0.94 m พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 (ไมม่ กี ารสญู เสยี พลงั งาน) จะไดว้ า่ z2  z1 = E1  E 2  --------- (3) V12 z 2  z1  0.2 m เน่ืองจาก E1 y 2g 1.55 1.83  2  1.72 m และ 2g  1    แทนคา่ ใน (3) จะได้ E 2 = 1.72  0.2 = 1.52 m E2 y2 q2 y2 V1y1 2    จาก   2   2 2g y 2 2g y 2 เมอ่ื แทนคา่ E2 ลงไปจะได้ 1.52 = 1.831.55 2  y2  2g y 2 2 แกส้ มการจะได้ y2 = 1.76 m และ 0.71 m Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-19 ในการหาคาํ ตอบจาํ เป็นตอ้ งวเิ คราะหจ์ ากพฤตกิ รรม ของการเปลย่ี นแปลงสภาวะการไหล โดยสามารถวเิ คราะห์ ไดจ้ ากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ ทด่ี า้ นเหนือน้ํา สภาวะ การไหลเป็นแบบ ต่าํ กวา่ วกิ ฤต (subcritical flow : y > yc) การทค่ี วามลกึ ดา้ นทา้ ยน้ําจะลดลงจนกระทงั่ ต่าํ กวา่ ความลกึ วกิ ฤต (supercritical flow : y < yc) ไดน้ นั้ การไหลจะตอ้ ง ผา่ นสภาวะวกิ ฤตเสยี ก่อน ซง่ึ จากโจทย์ เมอ่ื พจิ ารณาการ เปลย่ี นแปลงระดบั ทอ้ งทางน้ํา ไมส่ ามารถทาํ ใหก้ ารไหลเขา้ สสู่ ภาวะวกิ ฤตได้ ดงั นนั้ การไหลดา้ นทา้ ยน้ําจงึ เป็นการไหล แบบต่าํ กวา่ วกิ ฤต (y > yc)  ความลกึ ของการไหลดา้ นทา้ ยน้ํา y2 = 1.76 m Ans Ans จาก q  v1y1  v 2y 2  V2 = V1y 1 = 1.83 1.55 y2 1.76 V2 = 2.25 m/s หากวเิ คราะหไ์ ดจ้ ากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง พลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล ประกอบกบั สมการพลงั งานของการไหลในทางน้ําเปิด จะเหน็ ไดว้ า่ ผลตา่ งของคา่ ระดบั ทอ้ งทางน้ําจะมากทส่ี ดุ เมอ่ื E2 = Ec หรอื กลา่ วอกี นยั หน่ึงคอื ผลต่างของคา่ ระดบั ทอ้ งทางน้ํา ทม่ี ากทส่ี ดุ จะตอ้ งทาํ ใหส้ ภาวะการไหลดา้ นทา้ ยน้ําเป็น การไหลแบบวกิ ฤต พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 จะไดว้ า่ z2  z1 = E1  E 2  z max = E1  Ec  --------- (4) --------- (5) จากสมการท่ี 7.25 Ec = 3 y c = 3  0.94  2 2 Ans แทน (5) ใน (4) z max = 1.72  3  0.94  2 z max = 0.31 m ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-20 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 7.5 ทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ กวา้ ง 3 m หากชว่ งกลาง ทางน้ํามกี ารยกพน้ื ขน้ึ จนทาํ ใหเ้ กดิ การไหลแบบวกิ ฤต (y2=yc) ลกั ษณะดงั รปู ความสงู ของพน้ื ทถ่ี กู ยกขน้ึ เทา่ กบั 0.50 m ถา้ ไม่ พจิ ารณาการสญู เสยี พลงั งาน จงหาคา่ ความลกึ ของน้ําดา้ นเหนือ น้ํา และทา้ ยน้ํา เมอ่ื ชว่ งกลางของทางน้ํามคี วามลกึ 0.9 m (y2=0.9) วธิ ที าํ เน่ืองจากชว่ งกลางของทางน้ํา การไหลเป็นแบบ critical flow  y2 = yc = 3 q2 g 0.9 = 3 q2 g m3/s/m q = 2.674  V2  q  2.674  2.971 m s y2 0.9 พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 ระหวา่ จุดท่ี 1 กบั 2 จะไดว้ า่ z2  z1 = E1  E 2  --------- (1) z2  z1  0.5 m เน่ืองจาก E2  y2 V22 0.9  2.971 2  1.350 m และ 2g 2g    แทนคา่ ใน (1) จะได้ E1 = 1.350  0.50 = 1.850 m q2  จาก E1  y1  2 2g y 1  2.674 2 เมอ่ื แทนคา่ E1 ลงไปจะได้ 1.850 =  y 1  2g y 2 1 แกส้ มการจะได้ y1 = 0.525 m และ 1.728 m หากพจิ ารณาจากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งาน จาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล และจากโจทย์ ความลกึ ดา้ นเหนือน้ํามากกวา่ ความลกึ วกิ ฤต ดงั นนั้ ความลกึ ดา้ น เหนือน้ํา y1 ควรมคี า่ เทา่ กบั 1.728 m Ans Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-21 พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 ระหวา่ จดุ ท่ี 2 กบั 3 จะไดว้ า่ z3 z2 = E2  E3  --------- (3) เน่ืองจาก E2  y2 V22 0.9  2.971 2  1.350 m และ z3  z2  0.5 m 2g 2g    แทนคา่ ใน (3) จะได้ E3 = 1.350  0.50 = 1.850 m q2  จาก E3  y3  2 2g y 3  2.6742 เมอ่ื แทนคา่ E1 ลงไปจะได้ 1.850 = 3 y 2g y 2 3 แกส้ มการจะได้ y3 = 0.525 m และ 1.728 m หากพจิ ารณาจากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งาน จาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล และจากโจทย์ สภาพดา้ น ทา้ ยน้ําไมส่ ามารถบอกไดว้ า่ การไหลจะอยใู่ นสภาวะใด เชน่ ถา้ ดา้ นทา้ ยน้ําเกดิ การหนุนของน้ํา จนความลกึ มากกวา่ ความลกึ วกิ ฤต เป็นตน้ จะสง่ ผลใหส้ ภาวะการไหลดา้ นทา้ ย น้ําเป็นแบบ subcritical flow ความลกึ y3 จะมคี า่ เทา่ กบั 1.728 m แตถ่ า้ ดา้ นทา้ ยน้ําเกดิ การไหลตกอยา่ งอสิ ระ หรอื ความลาดชนั ดา้ นทา้ ยน้ําสงู จะสง่ ผลใหส้ ภาวะการไหลดา้ น ทา้ ยน้ําเป็นแบบ supercritical flow ความลกึ y3 จะมคี า่ เทา่ กบั 0.525 m ดงั นนั้ จงึ ไมม่ คี าํ ตอบทแ่ี น่นอน Ans ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-22 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 7.6 ทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ดา้ นเหนือน้ํา (B1) กวา้ ง 3 m ชว่ งกลาง (B2) กวา้ ง 2.0 m และทา้ ยน้ํา (B3) กวา้ ง 2.0 m ดงั รปู ถา้ อตั ราการไหล 8.51 cms ความลกึ ของน้ําดา้ นเหนือน้ํา y1 เทา่ กบั 2.0 m จงหาความลกึ ของน้ํา บรเิ วณคอคอด (y2) และความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ํา (y3) โดยไมพ่ จิ ารณาการสญู เสยี พลงั งาน วธิ ที าํ หาความลกึ วกิ ฤตบรเิ วณเหนือน้ํา และ ทา้ ยน้ํา เนืองจากมคี วามกวา้ งเทา่ กบั ดงั นนั้ q1  q3  Q  Q  8.51  2.8367 cms m B1 B3 3 y c1  y c3  3 q2 3  2.83672  0.936 m g g ดงั นนั้ ดา้ นเหนือน้ําการไหลมสี ภาวะเป็นแบบ subcritical flow (y1 > yc) หาความลกึ วกิ ฤตบรเิ วณคอคอด q2  Q  8.51  4.255 cms m B2 2 yc2  3 q 22 3  4.2552  1.227 m g g พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 ระหวา่ จดุ ท่ี 1 กบั 2 โดยไมพ่ จิ ารณาการสญู เสยี พลงั งานจะไดว้ า่ z2  z1 = E1  E2  --------- (1) E1 y1 q2 2.0 2.83672 2.1025 m 2g y12 2g 2.02    เน่ืองจาก      y2 q 2  y2 4.255 2  y2 0.9228 และ z2  z1  0    E2  2   2 2 2 2g y 2 2g y 2 y 2 แทนคา่ ใน (1) จะได้ y 2  0.9228 = 2.1025 2 y 2 y 2 = 1.8256 m และ 0.8628 m จากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความ ลกึ ของการไหล ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ ทด่ี า้ นเหนือน้ํา สภาวะการ ไหลเป็นแบบ subcritical flow การทส่ี ภาวะการไหลบรเิ วณ คอคอดจะเป็นแบบ supercritical flow ไดน้ นั้ การไหล จะตอ้ งผา่ นสภาวะ critical flow เสยี ก่อน ซง่ึ จากโจทย์ เมอ่ื พจิ ารณาการเปลย่ี นแปลงของทางน้ํา ไมส่ ามารถทาํ ใหก้ าร ไหลเขา้ สสู่ ภาวะ critical flow ได้ ดงั นนั้ คาํ ตอบคอื การไหล คอคอดจงึ เป็นแบบ subcritical flow : y2 = 1.8256 m Ans Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-23 พจิ ารณาจากสมการท่ี 7.19 ระหวา่ จุดท่ี 2 กบั 3 โดยไมพ่ จิ ารณาการสญู เสยี พลงั งานจะไดว้ า่ z3 z2 = E2  E3  --------- (2) q2 4.2552 2g 1.8256    เน่ืองจาก E2  y2  2g y 2  1.8256  2  2.1025 m 2 q32  y2 2.83672 0.4101 และ z3  z2  0    E3y3 2  2  y3  2 2g y 3 2g y 3 y 3 แทนคา่ ใน (2) จะได้ y 3  0.4101 = 2.1025 2 y 3 y 2 = 2.0000 m และ 0.5070 m จากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความ ลกึ ของการไหล ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ ทค่ี อคอด สภาวะการไหล เป็นแบบ subcritical flow การทส่ี ภาวะการไหลบรเิ วณทา้ ย น้ําจะเป็นแบบ supercritical flow ไดน้ นั้ การไหลจะตอ้ งผา่ น สภาวะ critical flow เสยี ก่อน ซง่ึ จากโจทย์ เมอ่ื พจิ ารณาการ เปลย่ี นแปลงของทางน้ํา ไมส่ ามารถทาํ ใหก้ ารไหลเขา้ สู่ สภาวะ critical flow ได้ ดงั นนั้ คาํ ตอบคอื การไหลดา้ นทา้ ย น้ําจงึ เป็นแบบ subcritical flow : y3 = 2.00 m Ans ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-24 Fluid Mechanics 7.6 โมเมนตมั ฟังกช์ นั กบั การไหลแปรเปลี่ยนแบบฉับพลนั แต่ไม่แปรเปลี่ยนตามเวลา (Momentum function and steady rapidly varied flow) จากสมการท่ี 7.6 F = y1A1  Q2    y 2 A 2  Q2   gA1   gA 2  กาํ หนดให้ Momentum function (M) = yA  Q2  --------- (7.26) gA  ดงั นนั้ สมการท่ี 7.6 จงึ เขยี นใหมไ่ ดเ้ ป็น F = M1  M2 --------- (7.27)  หากพจิ ารณาการไหลในทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก หรอื การไหลต่อหน่ึงหน่วยความกวา้ ง Momentum function จะอยใู่ นรปู M =  b y 2  bq2  1  --------- (7.28)  2 g y  จากสมการท่ี 7.28 จะเหน็ ไดว้ า่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง โมเมนตมั ฟงั กช์ นั กบั ความลกึ ของการไหล จะมลี กั ษณะ คลา้ ยกบั รปู ทรงพาราโบรา่ ดงั รปู ท่ี 7.20 รปู ท่ี 7.20 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งโมเมนตมั ฟงั กช์ นั กบั ความลกึ ของการไหลในทางน้ําเปิดรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก เชน่ เดยี วกบั ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งานจาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล จะเหน็ ไดว้ า่ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง โมเมนตมั ฟงั กช์ นั กบั ความลกึ ของการไหล จะมลี กั ษณะคลา้ ยกบั รปู ทรงพาราโบรา่ โดยทร่ี ะดบั โมเมนตมั ฟงั กช์ นั หน่ึงๆ คา่ ความลกึ ของการไหลสามารถเป็นไปไดส้ องคา่ (conjugate depth) ดงั รปู ท่ี 7.20 แตจ่ ะมเี พยี งจดุ เดยี วเทา่ นนั้ ทค่ี า่ พลงั งานจาํ เพาะสมั พนั ธก์ บั คา่ ความลกึ เพยี งหน่ึงคา่ ซง่ึ กค็ อื ท่ี การไหลวิกฤต (critical flow) Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-25 ตวั อยา่ งท่ี 7.7 การไหลในทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ กวา้ ง 3 m ดา้ น เหนือน้ําทจ่ี ดุ ท่ี 1 ความลกึ y1 เทา่ กบั 2.0 m และความเรว็ V1 เทา่ กบั 1.75 m/s อยากทราบวา่ - ถา้ ความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ํา y2 เทา่ กบั 1.75 m แรงเสยี ดทานท่ี เกดิ ขน้ึ ระหวา่ งจดุ ท่ี 1 กบั 2 มขี นาดเทา่ ไร - ถา้ แรงเสยี ดทานทเ่ี กดิ ขน้ึ ระหวา่ งจุดท่ี 1 กบั 2 มขี นาด เทา่ กบั 11.5 kN จงหาความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ํา วธิ ที าํ จากสมการท่ี 7.27 F = M1  M2  เน่ืองจากมผี ลของแรงเสยี ดทาน เป็นผลกระทบจากแรงภายนอกซง่ึ ไมไ่ ดเ้ กดิ จากของไหล F  f f= M1  M2 --------- (1)  ทางน้ําเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก จากสมการท่ี 7.28 แทนคา่ ใน (1) จะไดว้ า่ f =  b y 2  bq2  1   b y 2  bq2  1  --------- (2) w  2 1 g   2 2 g y2   y 1    = 3 22   3 2 1.752  1   3  1.75  2   3 2 1.752  1   2 g 2   2 g  1.75   f =  7.873  6.734 w = 11.173 kN Ans ถา้ แรงเสยี ดทาน f  11.5 kN แทนคา่ ใน (2) จะได้ 11.5 103 =   3   2  2   3 2 1.752  1   3 y 2   3 2 1.752  1  w  2 g 2   2 2 g y2    6.700 = 3 y 2   3 2 1.752  1   2 2 g y2  y2 = 0.610 m และ 1.741 m หาคา่ yc = 3 V1y1 2 = 3  2 1.752 = 1.117 m g g หากพจิ ารณาจากกราฟ ระหวา่ ง Momentum function กบั ความลกึ ของการไหล ความลกึ ดา้ นเหนือน้ํา y1 > yc การไหล เป็นแบบ subcritical flow ดงั นนั้ คาํ ตอบ y2 = 0.610 m จงึ ไมน่ ่า เป็นไปได้ เน่ืองจากการลดระดบั ลงของระดบั น้ําในทางน้ํา เกดิ ขน้ึ แบบคอ่ ยเป็นคอ่ ยไป ไมไ่ ดถ้ กู บงั คบั ใหเ้ ปลย่ี นโดย กะทนั หนั และระหวา่ วทางไมม่ สี ง่ิ ใดทาํ ใหส้ ภาวะการไหลผา่ น จดุ วกิ ฤต ดงั นนั้ ดา้ นทา้ ยน้ําควรเกดิ สภาวะการไหลแบบ subcritical flow (y2 > yc) เพราะฉะนนั้ คาํ ตอบของขอ้ น้ีคอื ความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ํามคี า่ เทา่ กบั 1.741 m Ans ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-26 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 7.8 การไหลในทางน้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ กวา้ ง 3 m เกดิ ปรากฏทเ่ี รยี กวา่ Hydraulic jump ลกั ษณะดงั รปู ดา้ นเหนือน้ําความลกึ y1 เทา่ กบั 0.4 m และความเรว็ V1 เทา่ กบั 7 m/s หากไมพ่ จิ ารณาผล จาแรงเสยี ดทาน จงหาความลกึ และความเรว็ ดา้ นทา้ ยน้ํา พลงั งานงาน ทส่ี ญู เสยี ไประหวา่ งการเกดิ Hydraulic jump มคี า่ เทา่ ไร วธิ ที าํ จากสมการท่ี 7.27 F = M1  M2  เน่ืองจากไมพ่ จิ ารณาผลของแรงเสยี ดทาน จงึ ไมเ่ กดิ ผลกระทบจากแรง ภายนอก ดงั นนั้ F  0 จงึ ทาํ ให้ M1 = M2 --------- (1) ทางน้ําเป็นรปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก จากสมการท่ี 7.28 แทนคา่ ใน (1) จะไดว้ า่ b y 2  bq2  1  = b y 2  bq2  1   2 1 g y1   2 2 g y2  3  0.5 2   3 7 0.52  1 =   3  y 2   3 7  0.52  1   2 g  0.5   2 2 g y2  0.375  7.492 = 1.5y 2   3.746  y2 2 y2  = 2.00 m และ 0.5 m หากพจิ ารณาจากกราฟ ระหวา่ ง Momentum function กบั ความลกึ ของการไหล คาํ ตอบทงั้ สองคา่ คอื คู่ conjugate depth และเน่ืองจากการไหลไมม่ แี รงภายนอกมา กระทาํ คา่ ของ Momentum function จงึ เทา่ เดมิ คา่ ความลกึ 0.5 กค็ อื ความลกึ ดา้ นเหนือน้ํา ดงั นนั้ ในสถานการณ์ทเ่ี กดิ Hydraulic jump ความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ําจะมากกวา่ เสมอ เพราะฉะนนั้ คาํ ตอบของขอ้ น้ีคอื ความลกึ ดา้ นทา้ ยน้ํามคี า่ เทา่ กบั 2.00 m V2 = q =  7  0.5 = 1.75 m/s Ans พจิ ารณาสมการท่ี 7.19 y 2  2.00 z2  z1 = E1  E2  hL เน่ืองจากทอ้ งทางน้ําอยใู่ นแนวระดบั  z2  z1  0 hL = E1  E2  --------- (2) : E1  y1  V12  0.5   72  2.9975 m 2g 2g V22 : E2  y2  2g  2.00   1.75  2  2.1561 m 2g Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 7-27 แทนคา่ ใน (2) hL =  2.9975   2.1561 = 0.8414 m Ans เมอ่ื พจิ ารณาจากกราฟความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพลงั งาน จาํ เพาะ กบั ความลกึ ของการไหล พฤตกิ รรมของการเกดิ ปรากฏการณ์ Hydraulic jump การไหลจะเปล่ียนสภาวะ จาก supercritical flow ไปเป็น subcritical flow อย่าง ฉับพลนั โดยไม่ผา่ นจดุ วิกฤต ซ่ึงในระหว่างช่วงระยะทาง ของการเปลี่ยนแปลงนัน้ จะมีพลงั งานส่วนหนึ่งสญู เสียไป ธญั ดร ออกวะลา Open Channel Flow

7-28 Fluid Mechanics ปรากฏการณ์ Hydraulic jump เป็นปรากฏการณ์ทส่ี ามารถพบเหน็ ไดท้ วั่ ไป เชน่ การไหลบรเิ วณทา้ ยเขอ่ื น หรอื ประตนู ้ํา (รปู ท่ี 7.21 ก) การไหลในอ่างสลายพลงั งาน (รปู ท่ี 7.21 ข) หรอื แมก้ ระทงั่ การไหลในทางน้ําธรรมชาติ (รปู ท่ี 7.21 ค) ปรากฏการณ์ hydraulic jump น้ีจะเกดิ ขน้ึ ในจดุ ทก่ี ารไหลเปลย่ี นแปลงสภาวะจากการไหลแบบเหนือวกิ ฤต (supercritical flow) ไปเป็นการไหลแบบต่าํ กวา่ วกิ ฤต (subcritical flow) โดยจะไมผ่ า่ นสภาวะการไหลแบบวกิ ฤต (critical flow) ในระหวา่ งชว่ งของการเปลย่ี นแปลงนนั้ ระดบั น้ําจะเพม่ิ ขน้ึ อยา่ งกะทนั หนั การไหลจะมคี วามปนั่ ปว่ นมาก (turbulent) เกดิ กระการไหลแบบหมนุ วน (eddy current) ซง่ึ เป็นเหตุใหเ้ กดิ การสญู เสยี พลงั งานขน้ึ ระหวา่ งชว่ งของการ เปลย่ี นแปลง รปู ท่ี 7.21 Hydraulic jump ในงานดา้ นวศิ วกรรม หากเราศกึ ษาพฤตกิ รรมของการเกดิ Hydraulic jump และสามารถควบคมุ ได้ เรากจ็ ะ สามารถใชป้ ระโยชน์จากปรากฏการณ์น้ีไดเ้ ชน่ การสลายพลงั งานของน้ําทไ่ี หลลน้ ผา่ นทางระบายน้ําลน้ (spillway) ซง่ึ เป็นการไหลในสภาวะเหนือวกิ ฤต ทม่ี พี ลงั งานและความเรว็ ในการไหลสงู มาก หากปลอ่ ยน้ําในสภาวะดงั กลา่ วลงสทู่ าง น้ําธรรมชาติ พลงั งานทม่ี ากบั น้ํานนั้ จะถกู ถ่ายทอดสทู่ างน้ําดา้ นทา้ ยน้ําโดยตรง ซง่ึ ทาํ ใหบ้ รเิ วณทอ้ งน้ํา และตลงิ่ จะถูก กดั เซาะอยา่ งรนุ แรง จนอาจก่อใหเ้ กดิ ความเสยี หายตอ่ ตวั อาคารชลศาสตรบ์ รเิ วณนนั้ หรอื ชุมชนทอ่ี ยดู่ า้ นทา้ ยน้ําได้ ดงั นนั้ กอ่ นทจ่ี ะระบายน้ําลงสทู่ างน้ําธรรมชาติ เราจะตอ้ งสลายพลงั งานโดยการควบคมุ ใหเ้ กดิ hydraulic jump ในอา่ ง สลายพลงั งาน (stilling basin) เพอ่ื ลดพลงั งานทม่ี ากบั น้ําและความเรว็ ของกระแสน้ําใหเ้ หลอื น้อยทส่ี ดุ (ต่าํ กวา่ วกิ ฤต) กอ่ นทจ่ี ะปลอ่ ยลงสทู่ างน้ําธรรมชาตติ ่อไป Open Channel Flow ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 8-1 บทท่ี 8 การวิเคราะหม์ ิติ และความคล้ายคลึงทางชลศาสตร์ ในบางครงั้ การวเิ คราะหป์ ญั หาทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การไหลของของไหล โดยอาศยั หลกั การทาง ฟิสกิ ส์ และ คณิตศาสตร์ อาจมคี วามซบั ซอ้ น หรอื ยากเกนิ กวา่ ทจ่ี ะอธบิ ายใหเ้ หน็ เป็นรปู ธรรมได้ จงึ ตอ้ งอาศยั การทดลองใน หอ้ งปฏบิ ตั กิ ารจาํ ลองสถานการณ์ทอ่ี าจจะเกดิ ขน้ึ เพอ่ื ใชเ้ ป็นขอ้ มลู ในการแกป้ ญั หาตอ่ ไปได้ ดงั นนั้ เน้ือหาในบทน้ี จะ เป็นการกลา่ วถงึ การวเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธข์ องตวั แปรในเชงิ มติ ิ เพอ่ื นําไปสกู่ ารออกแบบการทดลอง หรอื การจาํ ลอง สถานการณ์ใหส้ อดคลอ้ งกบั ความเป็นจรงิ ทจ่ี ะเกดิ ขน้ึ จรงิ โดยจะกลา่ วถงึ การวเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธข์ องตวั แปรในสอง ลกั ษณะคอื การวเิ คราะหม์ ติ ิ (Dimension analysis) และ การวเิ คราะหค์ วามคลา้ ยคลงึ (Similarity or Similitude) รปู ท่ี 8.1 แผนภมู คิ วามเชอ่ื มโยงระหวา่ งแบบจาํ ลอง กบั ตน้ แบบ 8.1 การวิเคราะหม์ ิติ (Dimension analysis) การวเิ คราะหม์ ติ ิ เป็นเทคนิคทางคณิตศาสตรท์ ใ่ี ชศ้ กึ ษาเกย่ี วกบั มติ ิ และหน่วย ของตวั แปรตา่ งๆ เพอ่ื ใช้ แกป้ ญั หาทางดา้ นกลศาสตรข์ องไหลซง่ึ ทฤษฎกี ารไหลอ่นื ๆ ไมส่ ามารถอธบิ ายได้ หรอื อธบิ ายไดย้ าก โดยจะชว่ ยให้ เขา้ ใจถงึ ปรากฏการณ์ของการไหล และทาํ นายตวั แปรทม่ี อี ทิ ธพิ ลตอ่ ปรากฏการณ์ทเ่ี กดิ ขน้ึ ซง่ึ สามารถหาความสมั พนั ธ์ ของตวั แปรตา่ งๆ ในรปู ของตวั แปรไรม้ ติ ิ และเมอ่ื นํามาวเิ คราะหร์ ว่ มกบั ขอ้ มลู ทไ่ี ดจ้ าการตรวจวดั หรอื ทาํ การทดลอง จะ สามารถสรปุ ออกมาเป็นสตู รหรอื สมการทวั่ ไปได้ นอกจากน้ียงั ชว่ ยใหเ้ ราทราบถงึ แนวทางในออกแบบการทดลอง หรอื การทดสอบแบบจาํ ลองของตวั ตน้ แบบทางชลศาสตรอ์ กี ดว้ ย ธญั ดร ออกวะลา Dimension Analysis & Similarity

8-2 Fluid Mechanics 8.1.1 มิติ และหน่วย (Dimension and Unit) เพอ่ื ใหเ้ ขา้ ใจในหลกั การของการวเิ คราะห์ จะขอกลา่ วถงึ ความหมายของคาํ วา่ มติ แิ ละหน่วยเสยี ก่อน มิติ (Dimension) มติ ิ หมายถงึ คณุ สมบตั ทิ างกายภาพของสสาร ซง่ึ สามารถระบไุ ดใ้ นเชงิ ปรมิ าณ เชน่ ความยาว น้ําหนกั มวล แรง ฯลฯ เป็นตน้ ซง่ึ สามารถแบง่ ไดเ้ ป็น 2 ประเภทคอื - มติ ปิ ฐมภมู ิ หรอื มติ พิ น้ื ฐาน (Primary Dimensions or Basic Dimensions) หมายถงึ มติ ขิ องตวั แปรพน้ื ฐานทไ่ี ม่ สามารถแยกเป็นมติ อิ ่นื ไดอ้ กี และไมข่ น้ึ อยกู่ บั มติ อิ ่นื ๆ ซง่ึ เป็นคา่ ทบ่ี อกถงึ ปรมิ าณทท่ี ส่ี สารแสดงออกมาโดยตรง ในวชิ า กลศาสตรข์ องของไหลจะใชม้ ติ พิ น้ื ฐาน 4 ตวั ดงั น้ี มวล (Mass) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื M ความยาว (Length) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื L เวลา (Time) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื T อุณหภมู ิ (Temperature) สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื  - มติ ทิ ุตยิ ภมู ิ (Secondary Dimensions) เป็นมติ ทิ เ่ี กดิ จากการรวมกนั ของมติ ปิ ฐมภมู ิ ซง่ึ ตวั แปรจะแสดงคา่ มติ ิ ตามทถ่ี กู กาํ หนดขน้ึ จาก นิยาม หรอื ทฤษฎี เชน่ ปรมิ าตร เกดิ จาก ความกวา้ ง (L)  ความยาว (L)  ความสงู (L) ดงั นนั้ ปรมิ าตร จงึ มมี ติ เิ ป็น L3 หรอื ความเรว็ คอื ระยะทางทเ่ี ปลย่ี นไป (L) ตอ่ หน่ึงหน่วยเวลา (T) ดงั นนั้ ความเรว็ จงึ มมี ติ เิ ป็น L/T เป็นตน้ หน่วย (Unit) หน่วย หมายถงึ ลกั ษณะนามทใ่ี ชร้ ะบุถงึ ปรมิ าณของมติ ทิ แ่ี สดงออกมา ซง่ึ ทวั โลกไดม้ กี ารกาํ หนดระบบหน่วยใน การวดั ขน้ึ มาหลายระบบ แตร่ ะบบหน่วยสากลทน่ี ิยมใชม้ ากทส่ี ดุ ในปจั จบุ นั มี 2 ระบบ คอื - System International Unit หรอื ทเ่ี รยี กวา่ “ระบบ SI” ตวั ยอ่ SI ซง่ึ สาํ หรบั มติ พิ น้ื ฐาน จะมหี น่วยดงั น้ี มวล (Mass) หน่วยคอื กโิ ลกรมั (kg) ความยาว (Length) หน่วยคอื เมตร (m) เวลา (Time) หน่วยคอื วนิ าที (s) อุณหภมู ิ (Temperature) หน่วยคอื เคลวนิ (K) - British Gravitational System หรอื ทเ่ี รยี กวา่ “ระบบองั กฤษ” ตวั ยอ่ BG ซง่ึ สาํ หรบั มติ พิ น้ื ฐาน จะมหี น่วยดงั น้ี มวล (Mass) หน่วยคอื สลกั (Slug) ความยาว (Length) หน่วยคอื ฟุต (ft) เวลา (Time) หน่วยคอื วนิ าที (sec) อุณหภมู ิ (Temperature) หน่วยคอื แรนไคน์ (R) ในเอกสารการฉบบั น้ีจะใชร้ ะบบ SI เป็นหลกั Dimension Analysis & Similarity ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 8-3 ตารางท่ี 8.1 ตงั อยา่ งมติ ิ และหน่วยของตวั แปรตา่ งๆ ธญั ดร ออกวะลา Dimension Analysis & Similarity

8-4 Fluid Mechanics 8.1.2 การวิเคราะหม์ ิติโดยวิธี บกั กิ้งแฮมพาย (Dimension analysis by Buckingham Pi Theorem) เป็นทฤษฎที ใ่ี ชว้ เิ คราะหพ์ จน์ของตวั แปรไรม้ ติ ิ (Dimensionless terms) ซง่ึ เป็นวธิ ที น่ี กั ฟิสกิ สข์ าวอเมรกิ นั ช่อื Edgar BuckingHam ไดเ้ ป็นผพู้ ฒั นาขน้ึ โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์  (Pi) แทนพจน์ของตวั แปรไรม้ ติ ทิ ว่ี เิ คราะหข์ น้ึ มาจากตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั ปญั หาทพ่ี จิ ารณา โดยขนั้ ตอนในการวเิ คราะหส์ ามารถสรปุ ไดด้ งั น้ี 1) รวบรวมตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งปญั หาทงั้ หมด (จาํ นวน k ตวั ) โดยหลกั ในการพจิ ารณาจะจาํ แนกตวั แปรออกเป็น 3 กลมุ่ ดงั น้ี - กลุม่ ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั ขนาด และรปู รา่ ง เชน่ ความยาว (l) เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง (D) ความกวา้ ง (B) ความสงู (h) พน้ื ทห่ี น้าตดั (A) ปรมิ าตร () เป็นตน้ - กลมุ่ ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั คุณสมบตั ขิ องของไหล เชน่ ความหนาแน่น () ความหนืด () น้ําหนกั จาํ เพาะ () เป็นตน้ - กลุม่ ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั อทิ ธพิ ลภายนอกทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การไหล เชน่ ความดนั (P) ความเรง่ เน่ืองจากแรงโน้มถว่ ง (g) ความเรว็ (V) แรงกระทาํ (F) เป็นตน้ ทงั้ น้ีตวั แปรทร่ี วบรวมไดจ้ ะตอ้ งไมข่ น้ึ อยกู่ บั ตวั แปรอ่นื เชน่ น้ําหนกั จาํ เพาะ () เกดิ จากผลคณู ระหวา่ ง ความหนาแน่น () กบั ความเรง่ เน่ืองจากแรงโน้มถ่วง (g) ดงั นนั้ ในการคดั เลอื กตวั แปรสามารถทาํ ไดส้ อง แบบคอื เลอื ก น้ําหนกั จาํ เพาะ เพยี งตวั เดยี ว หรอื เลอื ก ความหนาแน่น และ ความเรง่ เน่ืองจากแรงโน้มถ่วง 2) วเิ คราะหม์ ติ ขิ องตวั แปรโดยใชร้ ะบบ FLT หรอื MLT (เลอื กแบบใดแบบหน่ึง) และนบั จาํ นวนมติ อิ า้ งองิ (Reference dimension) ซง่ึ กค็ อื มติ พิ น้ื ฐานทป่ี ระกอบขน้ึ เป็นตวั แปรทงั้ หมด (จาํ นวน r ตวั ) ตวั อยา่ งเชน่ ถา้ ปญั หาประกอบดว้ ยตวั แปรดงั ต่อไปน้ี โดยใชร้ ะบบ MLT เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง (D) มติ คิ อื L 1 ความหนืด () มติ คิ อื M 1 L - 1 T - 1 ความหนาแน่น () มติ คิ อื M 1 L - 3 มติ คิ อื L 1 T-1 ความเรว็ (V) มติ คิ อื M 1 L - 1 T - 2 ความดนั (P) ดงั นนั้ จะเหน็ ไดว้ า่ ตวั แปรทงั้ หมดประกอบขน้ึ จากมติ อิ า้ งองิ คอื M L และ T ซง่ึ เทา่ กบั 3 ตวั (r = 3) 3) เลอื กตวั แปรซ้าํ (Repeating variable) จากตวั แปรทงั้ หมด ใหม้ จี าํ นวนเทา่ กบั จาํ นวนของมติ อิ า้ งองิ โดยตวั แปรซ้าํ ทเ่ี ลอื กมานนั้ เมอ่ื นํามติ ทิ งั้ หมดมารวมกนั จะตอ้ งมอี งคป์ ระกอบของมติ อิ า้ งองิ ครบทุกตวั (เพอ่ื ใหง้ า่ ยต่อการวเิ คราะห์ ตวั แปรซ้าํ แต่ละตวั ทท่ี าํ การเลอื กควรมมี ติ นิ ้อยทส่ี ดุ ) ตวั อยา่ งเชน่ เมอ่ื พจิ ารณาจากตวั อยา่ งก่อนหน้า มติ อิ า้ งองิ ประกอบดว้ ย M L และ T ดงั นนั้ จะตอ้ งเลอื ก ตวั แปรซ้าํ 3 ตวั (r = 3) ในทน่ี ้ีสามารถเลอื ก เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง (D) ความหนาแน่น () และความเรว็ (V) เพราะมติ ขิ องตวั แปรทงั้ สามประกอบขน้ึ จากมติ อิ า้ งองิ ครบทกุ ตวั หรอื อาจจะเลอื ก ความหนืด () ความดนั (P) และ เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง (D) กไ็ ด้ Dimension Analysis & Similarity ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 8-5 4) สรา้ งพจน์ของตวั แปรไรม้ ติ ิ หรอื พายเทอม (-term) ดว้ ยการผสมตวั แปรซ้าํ ทกุ ตวั กบั ตวั แปรทเ่ี หลอื อยทู่ ี ละตวั แลว้ ทาํ การปรบั เลยชก้ี าํ ลงั ของตวั แปรซ้าํ จนกระทงั้ พจน์ของตวั แปรนนั้ ไรม้ ติ ิ ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ จาํ นวน ของพจน์ไรม้ ติ นิ นั้ จะเทา่ กบั k – r พจน์ ตวั อยา่ งเชน่ เมอ่ื พจิ ารณาจากตวั อยา่ งกอ่ นหน้า มตี วั แปรทงั้ หมด 5 ตวั (k = 5) ตวั แปรทงั้ หมด ประกอบดว้ ยมติ อิ า้ งองิ 3 ตวั (r = 3) หากเลอื ก เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง (D) ความหนาแน่น () และความเรว็ (V) เป็นตวั แปรซ้าํ ตวั แปรทเ่ี หลอื อยคู่ อื ความหนดื () และ ความดนั (P) ดงั นนั้ จะมพี จน์ของตวั แปรไรม้ ติ ิ ทงั้ หมด 2 พจน์ (n = k – r = 5 – 3) โดยพจน์ของตวั แปรไรม้ ติ จิ ะมลี กั ษณะดงั น้ี 1  D a b V c ;  2  PD d e V f โดยคา่ ของ a b c d e และ f จะตอ้ งทาํ ใหม้ ติ ขิ อง -term เทา่ กบั 1 หรอื ไมม่ มี ติ ิ (i : M 0 L 0 T 0 = 1) 5) หลงั จาไดพ้ จน์ของตวั แปรไรม้ ติ มิ าแลว้ เราสามารถผนั รปู ของตวั แปรใหเ้ หมาะสมกบั รปู แบบของการทดลอง การเกบ็ ขอ้ มลู หรอื รปู แบบของพจน์ตวั แปรทเ่ี ราคุน้ เคยได้ โดยกระบวนการผนั รปู ของพจน์ตวั แปรไรม้ ติ นิ นั้ ตอ้ งสามารถคงสถานะไรม้ ติ ขิ องพจน์ตวั แปรเอาไวไ้ ด้ เชน่ - การยกกาํ ลงั หรอื ถอดราก การยกกาํ ลงั หรอื ถอดรากของพจน์ตวั แปรไรม้ ติ จิ ะไมม่ ผี ลตอ่ สถานะไร้ มติ ขิ องพจน์ตวั แปรแต่อยา่ งใด - การคณู หรอื หารดว้ ยคา่ คงท่ี ถา้ นําคา่ คงทซ่ี ง่ึ ไมม่ มี ติ มิ าคณู หรอื หารกบั พจน์ตวั แปรไรม้ ติ จิ ะไมม่ ผี ล ต่อสถานะไรม้ ติ ขิ องพจน์ตวั แปรแตอ่ ยา่ งใด - การนําพจน์ไรม้ ติ สิ องพจน์มาคณู หรอื หารกนั เน่ืองจากพจน์ตวั แปรไรม้ ติ ทิ งั้ สองตวั ไมม่ มี ติ ิ ดงั นนั้ การนํามาคณู หรอื หารกนั จงึ ไมม่ ผี ลตอ่ สถานะไรม้ ติ ิ 6) หาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพจน์ตวั แปรไรม้ ติ ิ    1 , 2 , 3 ,...,  n   0 ความสมั พนั ธจ์ ะไดจ้ ากการเกบ็ ขอ้ มลู จากการทอลอง ธญั ดร ออกวะลา Dimension Analysis & Similarity

8-6 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 8.1 จงวเิ คราะหเ์ พอ่ื หาพจน์ไรม้ ติ ขิ องปญั หา การลดลง ของความดนั ในทอ่ ตอ่ หน่ึงหน่วยความยาว (P/l) ซง่ึ ขน้ึ อยกู่ บั เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางทอ่ (D) ความหนาแน่นของของเหลว () Dynamic Viscosity () และความเรว็ เฉลย่ี ของการไหลในทอ่ (V) และความ หยาบผวิ ของผนงั ทอ่ () วธิ ที าํ ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งมดี งั น้ี  D, - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั รปู รา่ งประกอบดว้ ย - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั คณุ สมบตั ขิ องไหลประกอบดว้ ย  , - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั ปจั จยั ภายนอกประกอบดว้ ย จาํ นวนตวั แปรทงั้ หมดเทา่ กบั 6 ตวั (k = 6)  P , V , g  พจิ ารณามติ ขิ องตวั แปรทงั้ หมดโดยใชร้ ะบบ MLT ในการวเิ คราะห์ D : L1  : L1  : M 1 L 3  : M 1 L 1 T 1 P : M 1 L 2 T 2 V : L1 T 1 g : L1 T 2  มติ อิ า้ งองิ ประกอบดว้ ย M L และ T ( r = 3 ) เลอื กตวั แปรซ้าํ ใหเ้ ทา่ กบั จาํ นวนมติ อิ า้ งองิ  D ,  , V ตวั แปรทเ่ี หลอื อยคู่ อื   , , P ,g ดงั นนั้ พจน์ของตวั แปรไรม้ ติ จิ งึ มที งั้ หมด 4 พจน์ (k-r = 4)  วเิ คราะหม์ ติ ขิ องพจน์ไรม้ ติ ิ (-term)  1   D a  b V c  L1 L1  a M 1 L3  b L1 T 1  c M  M  00b0   M 0  b  0   L L  1a3 bc   L0  a  c  1   a  1 T  T  000c   T 0  c  0     1  D Dimension Analysis & Similarity ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 8-7       2    D d  e V f  M 1 L 1 T 1  L1 d M 1 L 3 e L1 T 1  f M  M  10e0   M 0  e  1   L L  1d3 ef   L0  d  f  2   d  1 T  T  100f   T 0  f  1   VD    2  DV   3  P  D g  h V i  M 1 L 2 T 2 L1  g M 1 L 3  h L1 T 1  i  M  M  10h0   M 0  h  1  1  L  L  2g3 hi   L 0  g  i  1   g T  T  200i   T0  i  2      3  P D  V 2  4  g  D j  k V n  L1 T 2  L1  j M 1 L3  k L1 T 1  n M  M  00k0   M 0  k  0   L L 1j3 kn   L0  j  n  1   j  1 T T  200n   T0  n  2   gD V2  4  V2  gD ดงั นนั้ จงึ สามารถสรปุ ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรตา่ งๆ ไดด้ งั น้ี     , VD , P D , V2   0 Ans  D   gD    V 2 หากพจิ ารณาจากสมการการสญู เสยี พลงั งานหลกั ของการไหลในทอ่  hf  f   V2 D 2g hf คอื การสญู เสยี เฮด ซง่ึ ถา้ ทอ่ ในแนวระดบั มเี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางคงท่ี  hf  P  P  f   V 2  2  P  D  f  D 2  g V 2 ธญั ดร ออกวะลา Dimension Analysis & Similarity

8-8 Fluid Mechanics  ซง่ึ จากทฤษฎกี ลา่ วไวว้ า่ Re  f , D จากการวเิ คราะหม์ ติ ิ จะเหน็ ไดว้ า่ VD  3    Re  และ gD V2 V  4  V2  gD  gD  Fr Froude number ดงั นนั้ จงึ สามารถสรปุ ใหม่ ไดว้ า่ f     , Re , FR   D    Dimension Analysis & Similarity ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 8-9 ตวั อยา่ งท่ี 8.2 วตั ถุทรงกลมมวล m เสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง D กาํ ลงั จมลงในของเหลวทม่ี คี า่ น้ําหนกั จาํ เพาะ  คา่ ความหนืด  เน่ืองจากผลของแรงตา้ น (Drag force) ทาํ ใหว้ ตั ถุเคลอ่ื นทด่ี ว้ ย ความเรว็ คงทเ่ี ทา่ กบั V จงวเิ คราะหค์ วามสมั พนั ธข์ องตวั แปร ตา่ งๆ ใหอ้ ยใู่ นรปู ของพจน์ตวั แปรไรม้ ติ ิ วธิ ที าํ ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งคอื - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั รปู รา่ ง เชน่ D - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั คณุ สมบตั ขิ องของไหล เชน่ ,  ,  - ตวั แปรทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั อทิ ธพิ ลภายนอก เชน่ m , V , g , F แต่เน่ืองจาก   g จงึ ตดั  , g ออก ใช้  แทน ดงั นนั้ จะเหลอื ตวั แปรทงั้ หมด 6 ตวั พจิ ารณามติ ขิ องตวั แปรทงั้ หมดโดยใชร้ ะบบ MLT ในการวเิ คราะห์ D : L1  : M 1 L 2 T 2  : M 1 L 1 T 1 m : M1 V : L1 T 1 F : M 1 L1 T 2  D , ,V มติ อิ า้ งองิ ประกอบดว้ ย M L และ T ( r = 3 ) เลอื กตวั แปรซ้าํ ใหเ้ ทา่ กบั จาํ นวนมติ อิ า้ งองิ ตวั แปรทเ่ี หลอื อยคู่ อื   ,m,F ดงั นนั้ พจน์ของตวั แปรไรม้ ติ จิ งึ มที งั้ หมด 3 พจน์ (k-r = 3) วเิ คราะหม์ ติ ขิ องพจน์ไรม้ ติ ิ (-term)         1   D a  b V c  M 1 L1 T 1  L1 a  M 1 L2 T 2 b  L1 T 1 c M  M  10b0   M 0  b  1   L L 1a2 bc   L0  a  c  1   a  2 T  T  102 bc   T 0  c  1  V   1  D2 ธญั ดร ออกวะลา Dimension Analysis & Similarity

8-10 Fluid Mechanics  2  m D d  e V f  M 1 L1 d  M 1 L2 T 2 e  L1 T 1 f M  M  10e0   M 0  e  1   L L 0d2 ef   L0  d  f  2   d  4 T  T  002 ef   T 0  f  2  mV 2  D4  2          3  F D g  h V i  M 1 L1 T 2  L1 g  M 1 L2 T 2 h  L1 T 1 i M  M  10h0   M 0  h  1   L L 1g2 hi   L0  g  i  3   g  3 T  T  202 hi   T0  i0  F  D3  3  ดงั นนั้ จงึ สามารถสรปุ ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรตา่ งๆ ไดด้ งั น้ี   V , mV 2 , F   0 Ans  D2 D4   D 3   Dimension Analysis & Similarity ธญั ดร ออกวะลา