19

Fluid Mechanics 2-25 ตวั อยา่ งท่ี 2.9 ประตนู ้ําโคง้ AOB กวา้ ง 5 ม. มรี ศั มคี วามโคง้ 2 ม. ตดิ ตงั้ ในลกั ษณะดงั รปู ในขณะทท่ี ป่ี ระตปู ิดกนั้ น้ําลกึ 3 เมตร และน้ํามนั ลกึ 1 เมตร จงหาขนาดทน่ี ้อยทส่ี ดุ และทศิ ทางของแรง F ทท่ี าํ ใหป้ ระตู เปิดออกพอดี โดยไมค่ ดิ น้ําหนกั ของประตู (ความถว่ งจาํ เพาะของน้ํามนั มคี า่ เทา่ กบั 0.75) วธิ ที าํ พจิ ารณาความดนั และแรงทก่ี ระทาํ กบั กอ้ นของไหล ABC ผลรวมของแรงทข่ี องไหลกระทาํ กบั ประตใู นแนวราบเกดิ จาก F1 + F2 F1 คอื แรงทเ่ี กดิ จากความดนั ของน้ํามนั ดา้ นบนทาํ กบั พน้ื ผวิ เรยี บ AC ดงั นนั้ F1  POA  1 O 25  10.75W 10  7.5W  ตาํ แหน่งของแรง F1 จะอยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ่วงของพน้ื ท่ี AC y1  1 0.5 1  2.5 m จากผวิ น้ํามนั หรอื เทา่ กบั วา่ F1 จะอยสู่ งู กวา่ จุด O เทา่ กบั 1.0 m F2 คอื แรงทเ่ี กดิ จากความดนั ของน้ํากระทาํ กบั พน้ื ผวิ เรยี บ AC ดงั นนั้ F2  WhCA hC  1 0.5  1.5 m ; A  25  10 m2 F2 = W 1.510  15W  I ตาํ แหน่งของแรง F2 อยทู่ ่ี y2  yC  A AC y C  yC  hC  1.5m;I23 5  3.333 m4 12 3.333 y2 = 1.5  101.5  1.722 m จากผวิ ของน้ํา หรอื เทา่ กบั วา่ F2 จะอยสู่ งู กวา่ จุด O เทา่ กบั 2.5 - 1.72 = 0.78 m ผลรวมของแรงทข่ี องไหลกระทาํ กบั ประตใู นแนวด่ิงเกดิ จาก F4+W F4 คอื แรงทเ่ี กดิ จากความดนั ของน้ํากบั น้ํามนั ทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ผวิ เรยี บ BC ดงั นนั้ F4  PBCA F4 = 0.5W 1O 25 = 0.5W  0.75W 10 = 12.5W  ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-26 Fluid Mechanics ตาํ แหน่งของแรง F4 อยทู่ จ่ี ุดศนู ยถ์ ว่ งของพน้ื ท่ี BC ดงั นนั้ F4 อยหู่ า่ งจาจดุ O เทา่ กบั x4  1.0 m W คอื น้ําหนกั ของกอ้ นของไหล ABC ซง่ึ ในการคาํ นวณโดยตรง ทาํ ไดย้ าก แตถ่ า้ พจิ ารณาจากรปู จะเหน็ ไดว้ า่ W5 คอื น้ําหนกั ของน้ํากอ้ น AOBC W5 = W  2  2  5 = 20W  ตาํ แหน่งของ W5 อยทู่ ศ่ี นู ยข์ องกอ้ นน้ํา AOBC ดงั นนั้ W5 กระทาํ หา่ งจากจุด O เทา่ กบั x5  1.0 m W6 คอื น้ําหนกั ของน้ํากอ้ น ABC    W6  1 22  5 =  W 4   = 5W  ตาํ แหน่งของ W6 อยทู่ ศ่ี นู ยข์ องกอ้ นน้ํา ABC ดงั นนั้ W5 กระทาํ หา่ งจากจดุ O เทา่ กบั x6  4 2  0.85 m 3 ในขณะทป่ี ระตูกาํ ลงั เปิดออกพอดี ผลรวมของโมเมนตร์ อบ จุด O จะตอ้ งเท่ากบั 0 1W5  1F4  2F 1F1  0.78F2  0.85W6 = 120  112.5W  2F 17.5  0.7815  0.855W =  2F 32.55W  32.5W =  0.05  W  0.025 W F= 2  แรง F มขี นาดเทา่ กบั 245.25 N ทศิ ทาง Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-27 2.4 แรงลอยตวั (Buoyancy Force) หากพจิ ารณาแรงดนั ทเ่ี กดิ ขน้ึ กบั วตั ถุ ABCD ทจ่ี มอยใู่ นของไหลดงั รปู ท่ี 2.18 ในกรณที ไ่ี มม่ กี ารไหล หรอื วตั ถุ ไมม่ กี ารเคล่อื นท่ี ถา้ กาํ หนดใหแ้ รงในแนวราบทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ผวิ ดา้ น DAB เทา่ กบั F1 และแรงในแนวราบทก่ี ระทาํ กบั พน้ื ผวิ ดา้ น DCB เทา่ กบั F2 จะเหน็ ไดว้ า่ F1 คอื แรงดนั บนพน้ื ผวิ เรยี บ HE และ F2 คอื แรงดนั บนพน้ื ผวิ เรยี บ FG ซง่ึ มี คา่ เทา่ กนั แตม่ ที ศิ ตรงกนั ขา้ ม จงึ ทาํ ใหแ้ รงทงั้ สองหกั ลา้ งกนั หมด รปู ท่ี 2.18 แรงดนั ของของไหลทก่ี ระทาํ กบั วตั ถุใดๆ หากพจิ ารณาแรงในแนวดงิ่ ผลจาการท่ี ดา้ นลา่ ง ABC อยลู่ กึ กวา่ ดา้ นบน CDA จงึ ทาํ ใหค้ วามดนั บนพน้ื ผวิ ดา้ นลา่ ง ABC มคี า่ สงู กวา่ ดา้ นบน CDA ดงั นนั้ แรงทเ่ี กดิ กบั ดา้ นลา่ ง ABC จะสงู กวา่ ดา้ นบน CDA เสมอ ผลจากความ แตกต่างระหวา่ งแรงดนั ดา้ นลา่ งกบั แรงดนั ดา้ นบนทเี่ กดิ ขน้ึ กบั วตั ถุน้ี จะทาํ ใหเ้ กดิ แรงลพั ธท์ มี่ ที ศิ ทางช้ขี น้ึ ดา้ นบนเสมอ ทเี่ รยี กวา่ “แรงลอยตวั ” (FB) พจิ ารณาวตั ถุไมม่ มี วลกอ้ นหน่ึง จมอยใู่ นของไหล ดงั รปู ท่ี 2.19 โดยท่ี Fb คอื แรงทก่ี ดใหว้ ตั ถุจมในของไหล และ W คอื น้ําหนกั ของของไหลทอ่ี ยภู่ ายในกรอบ ABCD เมอ่ื กาํ หนดใหก้ รอบ ABCD คอื กรอบสมมตุ ริ ปู สเ่ี หลย่ี มมมุ ฉากทล่ี อ้ มรอบกอ้ นวตั ุ รปู ท่ี 2.19 แรงตา่ งๆ ทก่ี ระทาํ กบั วตั ถุไมม่ มี วลทจ่ี มอยใู่ นของไหล จากทก่ี ลา่ วมาแลว้ แรงทเ่ี กดิ ในแนวราบจะหกั ลา้ งกนั หมด ในทน่ี ้ีจงึ พจิ ารณาเฉพาะแรงในแนวดงิ่ เทา่ นนั้ จากรปู ท่ี 2.19 จะเหน็ ไดว้ า่ พน้ื ทด่ี า้ น AB เทา่ กบั DC กาํ หนดใหเ้ ทา่ กบั A แรงทเ่ี กดิ บนพน้ื ผวิ ดา้ น AB F1 = h1A แรงทเ่ี กดิ บนพน้ื ผวิ ดา้ น DC F2 = h2A ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-28 Fluid Mechanics เมอ่ื วตั ถุอยใู่ นสภาวะสมดุลจะไดว้ า่ Fb = F2  F1  W = h2A  h1A  W Fb = h2  h1A  W --------- (2.38) จากรปู ท่ี 2.19 จะเหน็ ไดว้ า่ h2  h1A คอื ปรมิ าตรของกรอบ หรอื กาํ หนดใหเ้ ทา่ กบั Box Box = h2  h1A --------- (2.39) จาก W คอื น้ําหนกั ของของไหลทอ่ี ยภู่ ายในกรอบ ถา้ กาํ หนดให้  คอื ปรมิ าตรของวตั ถุสว่ นทจ่ี ม ดงั นนั้ W = Box   --------- (2.40) นําสมการท่ี 2.39 และ 2.40 ไปแทนใน 2.38 จะไดว้ า่ Fb = Box  Box   หรอื Fb =  --------- (2.41) ซง่ึ เมอ่ื พจิ ารณาจาก Fb คอื แรงทก่ี ดใหว้ ตั ถุจม ดงั นนั้ แรงปฏกิ ริ ยิ าทพ่ี ยายามดนั ใหว้ ตั ถุลอยขน้ึ กค็ อื แรงทม่ี ี ขนาดเทา่ กบั Fb แต่มที ศิ ทางตรงกนั ขา้ ม แรงปฏกิ ริ ยิ าทว่ี า่ น่ีกค็ อื “แรงลอยตวั ” FB    --------- (2.42) ดงั นนั้ จากทก่ี ลา่ วมาทงั้ หมดจงึ สามารถสรปุ ไดว้ า่ “แรงลอยตวั จะเกิดข้ึนเมือ่ มีส่วนใดส่วนหนึง่ ของวตั ถุ จมอย่ใู นของไหล ซึง่ แรงลอยตวั น้ีจะมีทิศทางพ่งุ ข้ึนด้านบนเสมอ และจะมีขนาดเท่ากบั น้ําหนักของของไหลที่ มีปริมาตรเท่ากบั วตั ถสุ ่วนทีจ่ ม” Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-29 ตวั อยา่ งท่ี 2.10 จงหาคา่ ความถว่ งจาํ เพาะของวตั ถุทจ่ี มในของไหลในลกั ษณะดงั รปู วธิ ที าํ เน่ืองจากวตั ถุลอยอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั นนั้ Fy  0 W = FBOil  FBW วตั ถุวตั ถุ = OilOil  WW = Oil0.8  W W วตั ถุ = Oil0.8  W  W วตั ถุ SGวตั ถุ = 0.3  0.35 0.200.8  0.3  0.35 0.15 0.3  0.35 0.35 SGวตั ถุ = 0.886 Ans ตวั อยา่ งท่ี 2.11 แทง่ วตั ถุขนาด 1.01.00.5 m3 มนี ้ําหนกั 20 kN วางแนบสนิทกบั พน้ื ทก่ี น้ ถงั น้ําใบหน่ึง จงหาแรง ทน่ี ้อยทส่ี ดุ ทท่ี าํ ใหว้ ตั ถุสามารถลอยขน้ึ จากพน้ื ได้ และแรงทใ่ี ชใ้ นการยกวตั ถุขน้ึ สผู่ วิ น้ํา วธิ ที าํ ในกรณที ว่ี ตั ถุจมแนบอยกู่ บั พน้ื T = F1 + W F1 คอื แรงดนั ทก่ี ระทาํ ดา้ นบนของวตั ถุ PA = 2W 11 F1 = Ans = 2W T = 2W   20103  = 39.62 kN ในกรณยี กวตั ถุทล่ี อย ขน้ึ สผู่ วิ น้ํา T = W - FB FB = 11 0.5W = 0.5W  T = 20103  0.5W  = 15.095 kN Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-30 Fluid Mechanics 2.4.1 เสถียรภาพการลอยตวั ของวตั ถใุ นของไหล (Stability of Floating and Submerged Bodies) เสถยี รภาพการลอยตวั สามารถแบง่ ออกไดเ้ ป็น 3 แบบคอื - Stable Equilibrium หมายถงึ สภาพทว่ี ตั ถุลอยตวั ในของเหลวอยา่ งสมดุล และเมอ่ื มแี รงกระทาํ สภาพการลอยตวั จะเปลย่ี นไป แตเ่ มอ่ื นําแรงกระทาํ นนั้ ออก จะสามารถกลบั คนื สสู่ ภาพเดมิ ได้ - Neutral Equilibrium หมายถงึ สภาพวตั ถุทล่ี อยตวั ในสภาวะทม่ี เี สถยี รภาพพอดี หรอื เกอื บจะไมม่ ี เสถยี รภาพ - Unstable Equilibrium หมายถงึ สภาพทว่ี ตั ถุลอยตวั ในของเหลวอยา่ งสมดลุ เมอ่ื มแี รงมากระทาํ สภาพ การลอยตวั จะเปลย่ี นไป แต่เมอ่ื นําแรงออกจะไมส่ ามารถกลบั สสู่ ภาพเดมิ ได้ 2.4.1.1 เสถยี รภายของวตั ถุทจ่ี มในของไหล (Stability of Submerged Bodies) พจิ ารณาจากรปู ท่ี 2.20(ก) หากวตั ถุมจี ดุ ศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) อยเู่ หนือจุดศนู ยถ์ ่วง (G) เมอ่ื วตั ถุ เอยี งไปจากแนวเดมิ จะเกดิ โมเมนตต์ า้ น ทาํ ใหว้ ตั ถุสามารถกลบั สสู่ ภาพเดมิ ได้ หรอื กลา่ วไดว้ า่ วตั ถุนนั้ มี เสถยี รภาพของการลอยตวั (Stable) รปู ท่ี 2.20 เสถยี รภายของวตั ถุทจ่ี มในของไหล ในทางตรงกนั ขา้ ม หากวตั ถุมจี ดุ ศนู ยถ์ ่วง (G) อยเู่ หนือจดุ ศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) เมอ่ื วตั ถุเอยี งไป จากแนวเดมิ จะเกดิ โมเมนตเ์ สรมิ ใหว้ ตั ถุพลกิ ไดง้ า่ ยขน้ึ และไมส่ ามารถกลบั คนื สสู่ ภาพเดมิ ได้ หรอื กลา่ วไดว้ า่ วตั ถุนนั้ ไมม่ เี สถยี รภาพของการลอยตวั (Unstable) ดงั รปู ท่ี 2.20(ข) 2.4.1.2 เสถยี รภายของวตั ถุทจ่ี มในของไหลเพยี งบางสว่ น (Stability of Floating Bodies) สาํ หรบั วตั ถุลอยอยบู่ รเิ วณผวิ อสิ ระของของไหล หรอื วตั ถุทจ่ี มเพยี งบางสว่ น เสถยี รภาพของการ ลอยตวั ของวตั ถุนนั้ จะขน้ึ อยกู่ บั ความสงู ของจุด “เมตาเซนเตอร”์ (Metacenter) หรอื เรยี กวา่ ความสงู เมตาเซน ตรกิ (Metacentric Height) ถา้ กาํ หนดให้ จดุ G คอื จุดศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ จดุ C คอื จุดศนู ยก์ ลางของแรงลอยตวั Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-31 จดุ เมตาเซนเตอร์ (Metacenter) คอื จุดตดั ของเสน้ ในแนวดง่ิ ทล่ี ากผา่ นจุดศนู ยถ์ ว่ งของวตั ถุ ก่อนท่ี วตั ถุจะเอยี งตวั กบั เสน้ แนวดงิ่ ทล่ี ากผา่ นจุดศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั หลงั จากวตั ถุเอยี งตวั ไปแลว้ หรอื จุด M ในรปู ท่ี 2.21 (ข) ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ เมอ่ื วตั ถุเกดิ การเอยี งตวั ถา้ จุดเมตาเซนเตอร์ อยสู่ งู กวา่ จุดศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ น้ําหนกั ของวตั ถุ และแรงลอยตวั จะทาํ ใหเ้ กดิ โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบในทศิ ทส่ี วนทางกบั การเอยี ง จงึ ทาํ ใหว้ ตั ถุนนั้ มี เสถยี รภาพ ดงั รปู ท่ี 2.21(ก) ในทางตรงกนั ขา้ ม หากจดุ เมตาเซนเตอร์ อยตู่ ่ํากวา่ จดุ ศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ น้ําหนกั ของวตั ถุ และแรงลอยตวั จะทาํ ใหเ้ กดิ โมเมนตข์ องแรงคคู่ วบในทศิ ทางเดยี วกบั การเอยี ง ซง่ึ ชว่ ยทาํ ใหว้ ตั ถุเกดิ การพลกิ วตั ถุจะไมม่ เี สถยี รภาพ ดงั รปู ท่ี 2.21(ข) รปู ท่ี 2.21 เสถยี รภาพของวตั ถุทจ่ี มเพยี งบางสว่ น รปู ท่ี 2.22 เสถยี รภาพของวตั ถุทจ่ี มเพยี งบางสว่ น ความสงู เมตาเซนตรกิ (Metacentric Height) หมายถงึ ระยะทว่ี ดั จากจดุ ศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุไปยงั จุด เมตาเซนเตอร์ ซง่ึ ถา้ พจิ ารณาจากรปู 2.22(ข) ความสงู เมตาเซนเตอรค์ อื ระยะ GM ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-32 Fluid Mechanics การหาคา่ ความสงู เมตาเซนตรกิ (GM) ทาํ ไดโ้ ดย รปู ท่ี 2.23 ตวั แปรต่างๆ ทเ่ี กดิ ขน้ึ เมอ่ื วตั ถุทล่ี อยในของไหลเกดิ การเอยี งตวั จากวตั ถุทจ่ี มในของไหลเพยี งบางสว่ นดงั รปู ท่ี 2.23 หากวตั ถุเกดิ การเอยี งไปเป็นมมุ เลก็ ๆ () ตาํ แหน่งของแรงลอยตวั จะเปลย่ี นจากจดุ C เป็น C’ และเมอ่ื พจิ ารณาเฉพาะแรงลอยตวั จะไดว้ า่ โมเมนตข์ องแรงลอยตวั รปู A’B’FE = โมเมนตข์ องแรงลอยตวั รปู ABFE + โมเมนตข์ องแรงลอยตวั รปู B’BO - โมเมนตข์ องแรงลอยตวั รปู A’AO A'B'FE   x = ABFE   x1  B'BO   x2  A'AO   x3 เมอ่ื x คอื ระยะจากแกน Y ถงึ จดุ ศนู ยถ์ ว่ งของปรมิ าตรA'B'FE x1 คอื ระยะจากแกน Y ถงึ จุดศนู ยถ์ ่วงของปรมิ าตรABFE x2 คอื ระยะจากแกน Y ถงึ จดุ ศนู ยถ์ ่วงของปรมิ าตรB'BO x3 คอื ระยะจากแกน Y ถงึ จดุ ศนู ยถ์ ่วงของปรมิ าตรA'AO เน่ืองจากจุดศนู ยถ์ ว่ งของปรมิ าตรABFE อยบู่ นแกน Y ดงั นนั้ x1  0 A'B'FE  x = B'BO  x2  A'AO  x3  A'B'FE  x =  x  d    x  d --------- (2.43) B'BO  A ' AO จากรปู 2.23(ก) d = x  tan  dA --------- (2.44) แทนคา่ สมการท่ี 2.44 ใน 2.43 จะได้ A'B'FE  x =  x  x  tan  dA    x  x  tan  dA B'BO  A ' AO A'B'FE  x = tan   x2dA   x2dA  --------- (2.45) B'BO  A ' AO เมอ่ื พจิ าณาจาก  x2dA   x2dA หรอื เทา่ กบั  x2dA ซง่ึ กค็ อื โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนทว่ี ตั ถุ B'BO  A ' AO  A ' AOB'B บดิ ตวั (ในทน่ี ่ีคอื แกน z) ของพน้ื ท่ี GHIJ ในรปู ท่ี 2.23 (ข) ดงั นนั้ สมการท่ี 2.43 จงึ สามารถเขยี นใหมไ่ ดว้ า่ A'B'FE  x = tanIZ  --------- (2.46) Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-33 จากรปู ท่ี 2.23(ก) A'B'FE คอื ปริมาตรของวตั ถสุ ่วนท่ีจม กาํ หนดให้แทนด้วยสญั ลกั ษณ์  ดงั นนั้ จะไดว้ า่  x = tanIZ  x IZ tan  =  --------- (2.47) หากพจิ ารณาจากรปู ท่ี 2.23(ก) x คอื ระยะหา่ งระหวา่ ง จดุ ศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) กบั จุด tan  เมตาเซนเตอร์ (M) ซง่ึ เราจะเรยี กระยะน้ีวา่ รศั มเี มตาเซนตรกิ (Metacentric Radius) สญั ลกั ษณ์คอื CM  CM  IZ --------- (2.48)  ถา้ CG คอื ระยะหา่ งระหวา่ งจุดศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) กบั จดุ ศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ (G) วตั ถุจะมี เสถยี รภาพไดก้ ต็ อ่ เมอ่ื จุดเมตาเซนเตอร์ (M) จะอยสู่ งู กวา่ จุดศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ ซง่ึ ระยะ CM ตอ้ งมากกวา่ CG หรอื สามารถสรุปเป็นสมการไดด้ งั น้ี GM  CM  CG --------- (2.49) เมือ่ GM มีค่าเป็นบวก (+) วตั ถจุ ะมีเสถียรภาพ แต่ในทางตรงกนั ข้าม ถ้า GM มีค่าเป็นลบ (-) วตั ถจุ ะไม่มีเสถียรภาพ ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-34 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 2.12 ทอ่ นไมข้ นาด กวา้ ง 30 ซม. ยาว 60 ซม. และสงู 30 ซม. น้ําหนกั 318 N จงตรวจสอบเสถยี รภาพ ของทอ่ นไม้ เมอ่ื ลอยอยใู่ นน้ํา วธิ ที าํ วตั ถุอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั นนั้ ผลรวมของแรงในแนวดงิ่ จะเทา่ กบั 0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่ W = FB = W 318 = 0.3 0.6 dW 318 d = 0.3 0.6W = 0.18 m จดุ ศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ (G) อยสู่ งู 0.3  0.15 m 2 0.18 จุดศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) อยสู่ งู 2  0.09 m ดงั นนั้ CG = 0.15 – 0.09 = 0.06 m ปรมิ าตรสว่ นทจ่ี ม  = 0.3 0.6 0.18 = 0.0324 m3 เน่ืองจากวตั ถุสามารถเอยี งไดท้ งั้ รอบแกน Y และแกน X ดงั นนั้ จงึ ตอ้ งตรวจสอบทงั้ สองแกน จาก CM  I จะเหน็ ไดว้ า่ CM จะขน้ึ อยกู่ บั I ดงั นนั้ การทว่ี ตั ุพลกิ จะเกดิ ขน้ึ รอบแกนทม่ี คี า่ I น้อยกวา่   IX   IY  0.3 0.63  0.0054 m4 0.33  0.6  0.00135 m4 12 12 0.00135 แสดงวา่ วตั ถุจะเรม่ิ พลกิ รอบแกน Y ก่อน  CM  0.0324  0.4167 m จาก GM  CM  CG  0.042  0.09  0.048 GM ทไ่ี ดม้ คี า่ เป็น ลบ (-) ดงั นนั้ วตั ถุจงึ ไมม่ เี สถยี รภาพ Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-35 ตวั อยา่ งท่ี 2.13 Platform สรา้ งจากทอ่ นไมข้ นาด 0.250.30 ม. ยาว 10 ม. ดงั รปู ลอยอยใู่ นน้ํา จงตรวจสอบ เสถยี รภาพการลอยตวั ของ Platform โดยไมค่ ดิ น้ําหนงั ของแผน่ พน้ื และท่อนไมม้ คี วามหนาแน่น 600 กก./ลบ.ม. วธิ ที าํ วตั ถุอยใู่ นสภาวะสมดุล ดงั นนั้ ผลรวมของแรงในแนวดง่ิ จะเทา่ กบั 0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่ W= FB ----(1) W = g 20.30.2510 = 600g 20.75 = 8.829 kN FB = 20.310 dW = 6dW 8.829103 = แทนคา่ ใน (1) 6dW d = 8.829103 = 0.15 m 6W 0.25 จดุ ศนู ยถ์ ่วงของวตั ถุ (G) อยสู่ งู 2  0.125 m จุดศนู ยก์ ลางแรงลอยตวั (C) อยสู่ งู 0.15  0.075 m 2 ดงั นนั้ CG = 0.125 – 0.075 = 0.05 m เน่ืองจากวตั ถุสามารถเอยี งไดท้ งั้ รอบแกน Y และแกน X ดงั นนั้ จงึ ตอ้ งตรวจสอบทงั้ สองแกน  IX  0.3  103  2  50 m4 12    IY  1.23 10  0.63 10  1.26 m4 12 12 ดงั นนั้ วตั ถุจะพลกิ รอบแกน Y กอ่ น CM  IY  1.26  1.4 m  2 0.3  0.15 10 จาก GM  CM  CG  1.4  0.05  1.35 GM ทไ่ี ดม้ คี า่ เป็น ลบ (+) ดงั นนั้ วตั ถุจงึ มเี สถยี รภาพ Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-36 Fluid Mechanics 2.5 การเปล่ียนแปลงความดนั ของของไหลในภาชนะท่ีเคลื่อนที่ (Variation of fluid pressure in moving container) ของไหลทเ่ี คล่อื นทไ่ี ปพรอ้ มกบั ภาชนะทก่ี าํ ลงั เคล่อื นทด่ี ว้ ยความเรง่ อนุภาคของของไหลจะเคล่อื นทไ่ี ป พรอ้ มกนั ซง่ึ ไมเ่ กดิ ลกั ษณะสมั พทั ธ์ (dv) ระหวา่ งอนุภาค จงึ ทาํ ใหไ้ มเ่ กดิ ผลเน่ืองจากแรงเคน้ เฉือน ดงั นนั้ การศกึ ษาถงึ การเปลย่ี นแปลงความดนั ยงั คงใชห้ ลกั การของ สมการการแปรผนั ความดนั ของของไหลทเ่ี คลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ ในกรณี ทไ่ี มเ่ กดิ แรงเคน้ เฉอื นภายในของไหล (สมการท่ี 2.13) ρa จากสการท่ี 2.13 p  γk = เมอ่ื นํามาแยกพจิ ารณาในเทอมของแกน X Y และ Z จะไดว้ า่ P =  ρax --------- (2.50) x P y =  ρay --------- (2.51) P =  ρg  az  --------- (2.52) z จากสมการ 2.50 2.51 และ 2.52 จะเหน็ ไดว้ า่ คา่ ของความดนั จะมกี ารเปลย่ี นแปลงไปตามระยะในแนวแกน X Y และ Z และหากพจิ ารณาทผ่ี วิ อสิ ระของของไหลซง่ึ มคี า่ ของความดนั เทา่ กนั ทุกจดุ ดงั นนั้ เมอ่ื ภาชนะเคลอ่ื นทด่ี ว้ ย ความเรง่ ผวิ อสิ ระจะเอยี งทาํ มมุ กบั แนวระดบั ดงั รปู ท่ี 2.24 รปู ท่ี 2.24 ผวิ อสิ ระของของไหลในภาชนะทเ่ี คล่อื นทด่ี ว้ ยความเรง่ 2.5.1 ความดนั ของของไหลในภาชนะท่ีเคล่ือนที่ด้วยความเร่งเชิงเส้น (Fluid pressure in Linear moving container) รปู ท่ี 2.25 ของไหลในภาชนะทเ่ี คลอ่ื นทด่ี ว้ ยความเรง่ เชงิ เสน้ Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-37 พจิ ารณาเฉพาะระนาบ Y กบั Z จากรปู ท่ี 2.25 ภาชนะเปิดฝาบรรจขุ องไหลเคล่อื นทด่ี ว้ ยความเรง่ a การ เปลย่ี นแปลงของความดนั ตามแนวเสน้ ทางระหวา่ งจดุ 2 จดุ ทอ่ี ยใู่ กลก้ นั มาก บนระนาบ yz ซง่ึ มคี า่ พกิ ดั เป็น ( y , z ) กบั ( y+dy , z+dz ) ดงั รปู ท่ี 2.24 จะสามารถเขยี นเป็นสมการการเปลย่ี นแปลงความดนั ไดด้ งั น้ี dP = P dy  P dz --------- (2.53) y z รปู ท่ี 2.26 การเปลย่ี นแปลงความดนั ตามแนวเสน้ ทางระหวา่ งจุด 2 จดุ บนระนาบ yz แทนสมการท่ี 2.51 และ 2.52 ในสมการท่ี 2.53 จะได้ dP  ρaydy  ρaz  gdz --------- (2.54) สมการท่ี 2.54 คอื สมการการเปลีย่ นแปลงความดนั ของของไหลทีอ่ ย่ใู นภาชนะทีเ่ คลือ่ นทีด่ ้วย ความเรง่ เชิงเส้น หากพจิ ารณาตามแนวเส้นทางท่ีมีความดนั คงท่ี เช่นบนผิวอิสระ ผลต่างของความดนั จะมคี า่ เทา่ กบั 0 ดงั นนั้ แทนคา่ dP = 0 ในสมการท่ี 2.54 จะได้ 0 =  ρaydy  ρaz  gdz จดั รปู สมการใหมจ่ ะไดว้ า่ dz   g ay  --------- (2.55) dy  az ดงั นนั้ สมการท่ี 2.55 กค็ อื สมการของค่าความลาดชนั ของแนวเส้นทางในของไหลทีม่ ีค่าความดนั คงที่ หรอื ค่าความลาดชนั ของผิวอิสระของของไหลในภาชนะทีเ่ คลือ่ นทีด่ ้วยความเร่ง ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ แนว เสน้ ทม่ี คี า่ ความดนั คงท่ี จะขนานกบั ผวิ อสิ ระของของไหลเสมอ ดงั รปู ท่ี 2.27 รปู ท่ี 2.27 แนวเสน้ ทม่ี คี า่ ความดนั คงท่ี ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-38 Fluid Mechanics ในกรณที ไ่ี มม่ คี วามเรง่ (a=0) พจิ ารณาจากสมการท่ี 2.55 จะเหน็ ไดว้ า่ คา่ ของความชนั ของแนวเสน้ ทม่ี ี ความดนั คงท่ี จะมคี า่ เทา่ กบั 0 หรอึ วางตวั ในแนวระดบั ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ ทร่ี ะดบั เดยี วกนั คา่ ของความดนั จะ เทา่ กนั ดงั ทเ่ี คยกลา่ วมาแลว้ ในหวั ขอ้ 2.1.2 และในทาํ นองเดยี วกนั ถา้ ไมม่ คี วามเรง่ คา่ ay และ az ในสมการท่ี 2.54 จะเทา่ กบั 0 ซง่ึ ทาํ ใหส้ มการ 2.52 ลดรปู เป็น dP  ρgdz  dz ซง่ึ สมการไ่ี ด้ คอื สมการท่ี 2.17 ในหวั ขอ้ 2.1.2 Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-39 ตวั อยา่ งท่ี 2.14 ถงั น้ํารปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ ใบหน่ึง สงู 1.20 ม. กวา้ ง 0.45 ม. ยาว 1.45 ม. จงหา - ขนาดของความเรง่ ในแนวราบ ทท่ี าํ ใหร้ ะดบั ผวิ น้ําเสมอขอบ ถงั พอดี โดยไมล่ น้ ออก - ความดนั ทก่ี น้ ถงั ทงั้ สองดา้ น - ถา้ ความเรง่ ในแนวราบเทา่ กบั 3 m/s2 จงหาปรมิ าตรของท่ี เหลอื อยใู่ นถงั วธิ ที าํ จากสมการ 2.53 dz   g ay  dy  az ไมม่ คี วามเรง่ ในแกน z :  az  0  dz   ay ---- (1) dy g การทน่ี ้ําจะลน้ ออกได้ ผวิ น้ําตอ้ งมลี กั ษณะดงั รปู ความลาดชนั ของผวิ น้ําจงึ เทา่ กบั dz   0.15  0.15 dy 1.45 แทนคา่ ใน (1)  0.15  0.15 =  ay 1.45 g ay = 0.15  0.15 g 1.45 ay = 2.030 m/s2 Ans จาสมการ 2.54 dP  ρaydy  ρaz  gdz ทาํ การอนิ ทเิ กรดจะได้ P  ρayy  ρgz  C ---- (2) จากสมการ (2) จะเหน็ ไดว้ า่ มตี วั แปรทไ่ี มท่ ราบคา่ ถงึ 4 ตวั คอื P y z และ C ซง่ึ สามารถแกป้ ญั หาไดโ้ ดย กาํ หนดแกนอา้ งองิ ทจ่ี ดุ E (การกาํ หนดแกนอา้ งองิ กาํ หนดทใ่ี ดกไ็ ด)้ หากพจิ ารณาตาํ แหน่งท่ี ทราบความดนั เชน่ ทจ่ี ดุ D คา่ ของความดนั เท่ากบั 0 ดงั นนั้ เราจงึ สามารถหาคา่ C ได้ ทจ่ี ดุ D : y = -0.725 ; z = +0.15 ; P = 0 แทนคา่ ในสมการ (2) 0 =  ρ2.03- 0.725  ρg 0.15  C  C=0 หาความดนั ทก่ี น้ ถงั ทงั้ สองดา้ นโดย ทจ่ี ุด A : y = -0.725 ; z = -1.05 แทนคา่ ในสมการ (2) PA =  ρ2.03- 0.725  ρg- 1.05  0 = +11.77 kPa Ans ทจ่ี ุด B : y = +0.725 ; z = -1.05 แทนคา่ ในสมการ (2) PB =  ρ2.03 0.725  ρg- 1.05  0 = +8.83 kPa Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-40 Fluid Mechanics ความเรง่ ในแนวราบเทา่ กบั 3 ความชนั ผวิ น้ําจะมคี า่ เทา่ กบั dz    3  0.306 dy g ผวิ น้ําจะวางตวั ตามแนว DC ดงั นนั้ จุด D จะขยบั สงู ขน้ึ z  dz y   0.306 0.725  0.222 m dy ซง่ึ จะเหน็ ไดว้ า่ น้ําจะลน้ ออกจนผวิ น้ําลดระดบั มาอยทู่ แ่ี นวเสน้ ตรง D’C’ ซง่ึ น้ําสว่ นทเ่ี หลอื จะมี ปรมิ าตรเทา่ กบั ปรมิ าตรของรปู ABF’G’ จากรปู ระยะ d หาไดจ้ าก d  z  b  0.222  0.15  0.072 m ปรมิ าตรของของน้ําทเ่ี หลอื อยู่  = 1.45  0.45  1.05  0.072 = 0.638 m3 Ans ตวั อยา่ งท่ี 2.15 ถงั น้ํารปู สเ่ี หลย่ี มคางหมใู บหน่ึง มรี ปู รา่ งและ ลกั ษณะดงั รปู เคล่อื นท่ี ลงจาพน้ื เอยี งดว้ ยความเรง่ a จงหา - ขนาดของความเรง่ ทท่ี าํ ใหผ้ วิ น้ําเสมอขอบถงั พอดี - ความดนั ทม่ี ากทส่ี ดุ เกดิ ขน้ึ ทจ่ี ุดใด แลมคี า่ เทา่ ไร วธิ ที าํ จากสมการ 2.55 dz   g ay  dy  az การทน่ี ้ําจะลน้ ออกได้ ผวิ น้ําตอ้ งมลี กั ษณะดงั รปู ความลาดชนั ของผวิ น้ําจงึ เทา่ กบั dz    0.5  0.5   1 dy  2.0 2 ความเรง่ ในแนวราบ ay  acos    4 a ความเรง่ ในแนวดงิ่ 5 3 az  asin   5 a แทนคา่ ในสมการจะไดว้ า่  1 =   4 a  2 5 3  g 5 a  แกส้ มการจะได้ a = 5  g = 4.459 m/s2 Ans 11 จาสมการ 2.54 dP  ρaydy  ρaz  gdz ทาํ การอนิ ทเิ กรดจะได้ P  ρayy  ρaz  gz  C กาํ หนดแกนอา้ งองิ ทจ่ี ดุ D พจิ ารณาทจ่ี ุด E คา่ ของความดนั เทา่ กบั 0 ดงั นนั้ เราจงึ สามารถหาคา่ C ไดโ้ ดย Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-41 ทจ่ี ดุ E : y = +1.0 ; z = 0 ; P = 0 แทนคา่ ในสมการ (2) 0 =  ρ 4  5 g  1.0   ρg  3  5 g 0   C 5 11 5 11  C= 4   w 11 ความดนั สงู สดุ น่าจะเกดิ ขน้ึ ทจ่ี ุด A หรอื B ทจ่ี ดุ A : y = 0 ; z = -1.5 แทนคา่ ในสมการ PA =  ρ 4  5 g  0   ρg  3  5 g - 1.5   141   w  5 11 5 11 16 = 11   w = +14.269 kPa ทจ่ี ดุ B : y = +2.0 ; z = -3.0 แทนคา่ ในสมการ PB =  ρ 4  5 g   2   ρg  3  5 g  - 3   141   w  5 11 5 11 20 = 11   w = +17.836 kPa  ความดนั สงู สดุ เกดิ ขน้ึ ทจ่ี ดุ B มคี า่ เทา่ กบั 17.836 kPa Ans ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-42 Fluid Mechanics 2.5.2 ของไหลในภาชนะที่เคลื่อนที่ด้วยความเรว็ เชิงมมุ (Fluid pressure in angular moving container) ในกรณีทข่ี องไหลบรรจุหอยใู่ นภาชนะทห่ี มนุ รอบแกนใดๆ ดว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ คงท่ี เมอ่ื กาํ หนดใหแ้ กน z คอื แกนหมนุ หากพจิ ารณาอนุภาคใดอนุภาคหน่ึงของของไหลทก่ี าํ ลงั เคล่อื นทร่ี อบแกน z จะเกดิ ความเรง่ สศู่ นู ยก์ ลาง กระทาํ กบั อนุภาคนนั้ ซง่ึ มที ศิ พงุ่ เขา้ หาแกนหมนุ ลกั ษณะดงั รปู ท่ี 2.28(ก) รปู ท่ี 2.28 ของไหลในภาชนะทห่ี มนุ ดว้ ยความเรว็ เชงิ มมุ คงท่ี เพอ่ื ความสะดวก ในการวเิ คราะหใ์ นการวเิ คราะหเ์ ราจะใชร้ ะบบพกิ ดั เชงิ ขวั้ (Polar Coordinate) ซง่ึ ประกอบดว้ ย r คอื รศั มจี าแกนหมนุ  คอื มมุ ของแนวรศั มเี มอ่ื เทยี บกบั แนวอา้ งองิ และ Z ระยะในแนวดง่ิ ดงั นนั้ สมการการ เปลย่ี นแปลงความดนั (สมการท่ี 2.53) จงึ เปลย่ี นรปู เป็น dP = p dr  p dθ  p dz --------- (2.56) r θ z จากฎการเคล่อื นทข่ี องนิวตนั หากพจิ ารณาแรงต่างๆ ทก่ี ระทาํ กบั อนุภาคของไหล ดงั รปู ท่ี 5.24(ข) จะไดว้ า่ Fr  mar   p  p  dr dzrdθ    p  p  dr dzrdθ  ρr  dr  dθ  dz ar r 2 r 2  p  ρar  ρ - rω2  ρrω2 --------- (2.57) r F  ma   p  p  dθ drdz   p  p  dθ drdz  ρr  dr  dθ  dz aθ θ 2 θ 2 p  ρraθ θ แต่เน่ืองจากไมม่ คี วามเรง่ เชงิ มมุ aθ  0  p  0 --------- (2.58) θ Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-43 Fz  maz   p  p  dz drrdθ    p  p  dz dr rdθ  γr  dr  dθ  dz   ρr  dr  dθ  dz ar z 2 z 2 p  ρg  az  --------- (2.59) z นําสมการท่ี 2.57 2.58 และ 2.59 ไปแทนในสมการท่ี 2.56 จะได้ dp  ρrω2dr  ρg  az dz --------- (2.60) สมการท่ี 2.60 คอื สมการการเปลีย่ นแปลงความดนั ของของไหลในภาชนะทีห่ มนุ รอบแกนด้วยความเรว็ เชิงมมุ คงที่ หากพจิ ารณาตามแนวเส้นทางท่ีมีความดนั คงท่ี เช่นบนผิวอิสระ ผลตา่ งของความดนั จะมคี า่ เทา่ กบั 0 ดงั นนั้ แทนคา่ dP = 0 ในสมการท่ี 2.60 จะได้ จดั รปู ใหมจ่ ะได้ 0  ρrω2dr  ρg  az dz dz  r2 --------- (2.61) dr g  az ดงั นนั้ สมการท่ี 2.61 กค็ อื สมการของค่าความลาดชนั ของแนวเส้นทางในของไหลทีม่ ีค่าความดนั คงที่ หรอื ค่าความลาดชนั ของผิวอิสระของของไหลในภาชนะทีห่ มนุ รอบแกนด้วยความเรว็ เชิงมมุ คงที่ จากสมการท่ี 2.61 นํามาจดั รปู ใหมด่ งั น้ี dz  r2 dr --------- (2.62) g az --------- (2.63) หากทาํ การอนิ ทเิ กรด สมการท่ี 2.60 จะได้ z  2 r 2  C 2g  az สมการท่ี 2.63 กค็ อื สมการความสงู ของผิวน้ํารอบแกนหมนุ ซง่ึ เมอ่ื พจิ ารณาจากสมการ หากภาชนะหมนุ ดว้ ยอตั ราเรว็ เชงิ มมุ คงท่ี และมคี วามเรง่ ในแนวดงิ่ คงท่ี ผวิ น้ําจะมรี ปู รา่ งเป็นรปู ทรงพาราโบลอยดห์ (Paraboloid) โดย จะมจี ุดต่าํ สดุ อยทู่ แ่ี กนหมนุ และมจี ดุ สงู สดุ อยทู่ ข่ี อบของภาชนะ ดงั รปู ท่ี 2.27 ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-44 Fluid Mechanics รปู ท่ี 2.27 รปู ทรงของผวิ อสิ ระของของไหลในภาชนะทห่ี มนุ ดว้ ยความเรว็ เชงิ มมุ คงท่ี เมอ่ื พจิ ารณาทแ่ี กนหมนุ รศั มมี คี า่ เทา่ กบั 0 จงึ ทาํ ให้ z = C หรอื นนั่ หมายความวา่ คา่ C คอื ความลกึ ของน้ําท่ี แกนหมนุ โดยวดั จากผวิ น้ําถงึ แกน r Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 2-45 ตวั อยา่ งท่ี 2.16 ถงั ทรงกระบอกดงั รปู หมนุ ดว้ ยความเรว็ รอบคงทร่ี อบ แกน z และเคล่อื นทข่ี น้ึ ในแนวดง่ิ ดว้ ยความเรง่ 0.4 m/s2 จงหา - ความเรว็ เชงิ มมุ สงู สดุ ทท่ี าํ ใหน้ ้ําไมล่ น้ ออกจากถงั และหาคา่ ความ ดนั ทม่ี ากทส่ี ดุ ทข่ี องไหลกระทาํ กบั กน้ ถง้ - ความเรว็ เชงิ มมุ ทท่ี าํ ใหผ้ วิ อสิ ระสมั ผสั กน้ ถงั พอดี และหาปรมิ าณ น้ําทล่ี น้ ออกจากถงั วธิ ที าํ พจิ ารณากรณีทน่ี ้ําลน้ พอดี ดงั นนั้ ผวิ อสิ ระจะมลี กั ษณะดงั รปู กาํ หนดแกนอา้ งองิ ไวท้ จ่ี ดุ ต่าํ สดุ ของผวิ น้ํา (จดุ O) พกิ ดั ขอบถงั บรเิ วณทน่ี ้ําลน้ (จุด A) คอื r = 0.6 m z = 1.0 m จากสมการท่ี 2.63  z  1 2 r 2  C 2  az g จากรปู คา่ C = 0 m. แทนคา่ พกิ ดั ตา่ งๆ ลงในสมการ จะได้ 1.0  1 2  0.6  2  0    7.53 rad/ s Ans 2 g  4 ตอ้ งการหาคา่ ความดนั ทาํ ไดโ้ ดยการอนิ ทเิ กรดสมการท่ี 2.58 dP = ρrω2dr  ρg  az dz 1 P = 2 ρr 2ω2  ρg  az z  C1 คา่ C1 สามารถหาไดโ้ ดยการแทนคา่ พกิ ดั ของจดุ ทเ่ี ราทราบคา่ ของความดนั คอื ทผ่ี วิ น้ํา เชน่ ทจ่ี ดุ O ทจ่ี ดุ O : r = 0 ; z = 0 ; P = 0  C1 = 0 พจิ ารณาทจ่ี ุด D r = 0 ; z = -0.5 PD = 1 ρ 0 2  7.53 2  ρg  4  - 0.5  0 2 = 6.905 kPa พจิ ารณาทจ่ี ดุ B r = +0.6 ; z = -0.5 PB = 1 ρ 0.6  2 7.532  ρg  4  - 0.5  0 2 = 17.11 kPa  ความดนั ทม่ี ากทส่ี ดุ เกดิ ขน้ึ ทข่ี อบของกน้ ถงั และมคี า่ เทา่ กบั 17.11 kPa Ans พจิ ารณากรณีทผ่ี วิ น้ําสมั ผสั กน้ ถงั จะมลี กั ษณะดงั รปู กาํ หนดแกนอา้ งองิ ไวท้ จ่ี ดุ ต่าํ สดุ ของผวิ น้ํา (จดุ O) พกิ ดั ขอบถงั บรเิ วณ ทน่ี ้ําลน้ (จดุ A) คอื r = 0.6 m z = 1.5 m จากสมการท่ี 2.61  z  2 r2  C g  az จากรปู คา่ C = 0 m. ธญั ดร ออกวะลา Fluid Static

2-46 Fluid Mechanics แทนคา่ พกิ ดั ตา่ งๆ ลงในสมการ จะได้ 1.5  1 2 0.62  0    10.73 rad/ s Ans 2 g  4 *** เน่ืองจากปรมิ าตรของรปู ทรงพาราโบลอยด์ จะมคี า่ เทา่ กบั ปรมิ าตรของทรงกระบอกทม่ี เี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง เทา่ กนั แตม่ คี วามสงู เพยี งครง่ึ หน่ึงของรปู ทรงพาราโบลอยด์ หาปรมิ าตรของน้ําทเ่ี หลอื อยไู่ ดจ้ าก ปรมิ าตรน้ําทเ่ี หลอื = ปรมิ าตรภาชนะ – ปรมิ าตรพาราโบลอยด์ ปรมิ าตรน้ําทเ่ี หลอื =    1.221.5   1.22  1.5  =  4 2  4 0.848 m3  ปรมิ าตรน้ําทล่ี น้ ออกจากถงั = ปรมิ าตรน้ําเดมิ – ปรมิ าตรน้ําทเ่ี หลอื  =  1.22 1.0  0.848  4 = 0.283 m3 Ans Fluid Static ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-1 บทที่ 3 ทฤษฎีการไหลเบอื้ งต้น เน้ือหาในบทน้ี จะเป็นการศกึ ษาเกย่ี วกบั พฤตกิ รรมของความเรว็ ความเรง่ และการเคลอ่ื นทข่ี องของไหล โดย จะไมพ่ จิ ารณาแรงใดๆ ทก่ี ระทาํ กบั ของไหล หรอื ทเ่ี ราเรยี กวา่ Kinematics of Fluid Flow กอ่ นทจ่ี ะเขา้ เน้ือหาในบทน้ีและบทต่อๆไป จาํ เป็นตอ้ งเขา้ คาํ ศพั ทเ์ ฉพาะทอ่ี ธบิ ายถงึ วธิ ใี นการพจิ ารณาการ เคลอ่ื นทข่ี องอนุภาคของของไหลเสยี กอ่ น - Streamline หมายถงึ เสน้ ทางการเคล่อื นทเ่ี ฉลย่ี ขณะใดขณะหน่ึงของของกลุม่ อนุภาคของไหลท่ี เคล่อื นทต่ี ่อเน่ืองกนั ในสนามการไหล ซง่ึ เสน้ streamline น้ีจะสมั ผสั กบั ทศิ ทางของความเรว็ เฉลย่ี ของอนุภาค ของของไหลเสมอ - Streakline หมายถงึ ภาพของกลมุ่ อนุภาคของไหลทก่ี าํ ลงั เคลอ่ื นทใ่ี นสนามการไหล เชน่ เมอ่ื ฉีดสลี ง ในสนามการไหล เราจะเหน็ ภาพของเสน้ สที เ่ี คล่อื นทไ่ี ปในสนามการไหล หรอื ภาพของควนั ทล่ี อยในอากาศ - Pathline หมายถงึ แนวเสน้ ทางการเคล่อื นทข่ี องอนุภาคของไหลเพยี งอนุภาพเดยี วในหน่ึงชว่ งเวลา ในสนามการไหลทไ่ี มซ่ บั ซอ้ นเชน่ การไหลแบบราบเรยี บ (จะกลา่ วถงึ รายละเอยี ดในหวั ขอ้ ตอ่ ไป) อนุภาคของ ไหลจะเคลอ่ื นทอ่ี ยา่ งเป็นระเบยี บไปตาม streamline ซง่ึ ทาํ ใหแ้ นวเสน้ streamline streakline และ pathline คอื เสน้ เดยี วกนั (ดงั รปู ท่ี 3.5) สว่ นในสนามการไหลทม่ี คี วามซบั ซอ้ น เชน่ การไหลผา่ นหวั ฉดี ทส่ี า่ ยไปมาดว้ ยความถค่ี งท่ี ดงั รปู ท่ี 3.1 หากพจิ ารณาการเปรยี บเทยี บกบั หวั ฉีดทจ่ี ุดใดจดุ หน่ึง การเคล่อื นทข่ี องอนุภาคของของไหล (Pathline) จะมี ลกั ษณะพงุ่ กระจายออกเน่ืองจากมอี งคป์ ระกอบของความเรว็ ในแนวแกน x ซง่ึ เป็นผลมาจากการสา่ ยของหวั ฉีด แต่ภาพ ทป่ี รากฏใหเ้ หน็ นนั้ คอื กลุม่ อนุภาคทเ่ี คล่อื นทต่ี อ่ กนั เป็นสายหรอื ทเ่ี รยี กวา่ streakline ดงั รปู ท่ี 3.1(ข) และเมอ่ื พจิ ารณา การเคลอ่ื นทข่ี องของไหลทงั้ หมดในสนามการไหลจะเหน็ ไดว้ า่ แนวเสน้ ทส่ี มั ผสั กบั อนุภาคของความเรว็ ของของไหล หรอื ทเ่ี รยี กวา่ streamline จะมลี กั ษณะดงั รปู ท่ี 3.1 (ค) รปู ท่ี 3.1 ตวั อยา่ ง streamline streakline และ pathline ของการไหลผา่ นหวั ฉีดทมี กี ารสา่ ย ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-2 Fluid Mechanics 3.1 การจาํ แนกประเภทของการไหล (Flow classification) เน่ืองจากคุณสมบตั หิ ลายประการของของไหลสามารถเปลย่ี นแปลงไดต้ ามสภาพแวดลอ้ ม (เชน่ อุณหภมู ิ ความ ดนั เป็นตน้ ) และเวลา ในสภาพปญั หาหน่ึงๆ ถงึ แมก้ ารไหลจะเกดิ ขน้ึ ทต่ี าํ แหน่งเดยี วกนั แต่พฤตกิ รรมของการไหลอาจ ไมเ่ หมอื นกนั ดงั นนั้ การวเิ คราะหจ์ งึ จาํ เป็นตอ้ งคาํ นึงถงึ สมมตุ ฐิ านทส่ี อดคลอ้ งกบั สภาพปญั หานนั้ ๆ จากพฤตกิ รรมการ ไหลทแ่ี ตกต่างกนั น้ี เราสามารถแบง่ ประเภทของการไหลโดยพจิ ารณาไดจ้ ากหลายหลกั เกณฑ์ แตบ่ ทน้ีจะกลา่ วถงึ การ แบง่ ประเภทการไหลโดยพจิ ารณาใน 5 หลกั เกณฑด์ งั น้ี 3.1.1 ของไหลจรงิ และของไหลจนิ ตนาการ (Real Fluid and Ideal Fluid) ในสนามการไหลของของไหลจริง (Real Fluid) จะมผี ลกระทบจากความหนืด ซง่ึ จะทาํ ใหเ้ กดิ แรงเคน้ เฉอื น ขน้ึ ระหวา่ งอนุภาคของของไหลเมอ่ื อนุภาคของไหลมคี วามเรว็ แตกตา่ งกนั สว่ นของไหลจินตนาการ (Ideal Fluid) เป็นการไหลทส่ี มมตุ ใิ หข้ องไหลไมม่ ผี ลกระทบเน่ืองจากความหนืด (การไหลทไ่ี มเ่ กดิ ขน้ึ จรงิ ) ดงั นนั้ ในสนามการ ไหลจะไมเ่ กดิ แรงเคน้ เฉอื นระหวา่ งอนุภาคของของไหล และความเรว็ ของอนุภาคของไหลจะเทา่ กนั รปู ท่ี 3.2 (ก) ของไหลจนิ ตนาการ (ข) ของไหลจรงิ เพอ่ื ใหง้ า่ ยตอ่ การวเิ คราะห์ โดยสว่ นมากเมอ่ื กลา่ วถงึ การไหล จะหมายถงึ การไหลจนิ ตนาการ ทไ่ี มม่ ี ผลกระทบเน่ืองจากความหนืด และความเรว็ คงทใ่ี นบรเิ วณทพ่ี จิ ารณา 3.1.2 พจิ ารณาจากคุณสมบตั ใิ นการบบี อดั ของของไหล (Compressibility) หากของไหลอดั ตวั ได้ (Compressible Fluid) เคล่อื นทใ่ี นสนามการไหลเมอ่ื ความดนั เปลย่ี นแปลงไป ปรมิ าตรของของไหลจะเกดิ การเปลย่ี นแปลง การวเิ คราะหอ์ ตั ราการไหลจงึ มคี วามซบั ซอ้ นมากขน้ึ ดงั รปู ท่ี 3.3(ก) ในทางตรงกนั ขา้ ม หากของไหลอดั ตวั ไม่ได้ (Incompressible Fluid) เคลอ่ื นทใ่ี นสนามการไหล ของไหลจะมี ปรมิ าตรคงท่ี ไมเ่ ปลย่ี นแปลงไปตามขนาดของความดนั ในการวเิ คราะหอ์ ตั ราการไหลจะมคี วามซบั ซอ้ นน้อยลง ดงั รปู ท่ี 3.3 (ข) โดยสว่ นมากของไหลมีสถานะเป็นของเหลว จะถือว่าของไหลนัน้ เป็น ของไหลที่อดตวั ไม่ได้ รปู ท่ี 3.3 ของไหลทอ่ี ดั ตวั ได้ และไมไ่ ด้ ภายในสนามการไหลทม่ี กี ารเปลย่ี นแปลงความดนั Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-3 3.1.3 พจิ ารณาจากการเปรยี บเทยี บกบั เวลา เมอ่ื พจิ ารณาทจ่ี ุดใดจุดหน่ึงในสนามการไหล หากในชว่ งเวลาทว่ี เิ คราะห์ คา่ ของตวั แปรต่างๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ ง ไมม่ กี ารเปลย่ี นแปลง จะถอื วา่ การไหลนัน้ ไม่แปรเปล่ียนตามเวลา หรอื ทเ่ี ราเรยี กวา่ Steady Flow ในทาง ตรงกนั ขา้ ม หากในชว่ งเวลาทว่ี เิ คราะห์ คา่ ของตวั แปรตา่ งๆ ทเ่ี กย่ี วขอ้ ง มกี ารเปลย่ี นแปลงอยา่ งเหน็ ไดช้ ดั จะถอื วา่ การไหลนัน้ แปรเปล่ียนตามเวลา หรอื ทเ่ี ราเรยี กวา่ Unsteady Flow รปู ท่ี 3.4 การไหลแบบ Steady flow และ Unsteady flow 3.1.4 พจิ ารณาจากเสน้ ทางการเคล่อื นทข่ี องอนุภาคของไหล หากพจิ ารณาจากเสน้ ทางการเคลอ่ื นตวั ของอนุภาคของไหลในสนามการไหล เราสามารถแบง่ ประเภทการ ไหลไดเ้ ป็น 2 ลกั ษณะคอื - การไหลแบบราบเรยี บ (Laminar Flow) อนุภาคของของไหลจะเคล่อื นทอ่ี ยา่ งเป็นระเบยี บ ไปตาม เสน้ ทางทแ่ี น่นอน (เคลอ่ื นทไ่ี ปตาม StreamLine) สภาพการไหลไมม่ คี วามปนั่ ปว่ น การไหลประเภทน้ี มกั จะเกดิ กบั การไหลของของไหลทม่ี คี วามหนืดสงู หรอื การไหลทม่ี คี วามเรว็ ต่าํ มากๆ (รปู ท่ี 3.5 ก) - การไหลแบบปนั่ ปว่ น (Turbulent Flow) อนุภาคของของไหลเคล่อื นทอ่ี ยา่ งไมเ่ ป็นระเบยี บ อนุภาคของ ของไหลมเี สน้ ทางการเคล่อื นทไ่ี มแ่ น่นอน สภาพการไหลในสนามการไหลมคี วามปนั่ ปว่ น การไหล ประเภทน้ีมกั เกดิ กบั ของไหลทม่ี คี วามหนืดต่าํ หรอื การไหลทม่ี คี วามเรว็ สงู (รปู ท่ี 3.5 ข) รปู ท่ี 3.5 การไหลแบบราบเรยี บ และการไหลแบบปนั่ ปว่ น ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-4 Fluid Mechanics 3.1.5 พจิ ารณาจากลกั ษณะการเคล่อื นตวั ของอนุภาคของไหล หากพจิ ารณาจากลกั ษณะของการเคลอ่ื นตวั ของอนุภาคของของไหล สามารถแบง่ ได้ 2 ลกั ษณะคอื - การไหลแบบหมนุ (Rotational Flow) คอื การไหลทอ่ี นุภาคของของไหลเคลอ่ื นทไ่ี ปพรอ้ มกบั การหมนุ - การไหลแบบไมห่ มนุ (Irrotational Flow) คอื การไหลทอ่ี นุภาคของของไหลเคลอ่ื นทไ่ี ปแต่ไมม่ กี ารหมนุ โดยสว่ นมากในการวเิ คราะหป์ ญั หาเกย่ี วกบั การไหลจะสมมตุ ใิ หก้ ารไหลเป็นแบบ Irrotational Flow รปู ท่ี 3.6 การไหลแบบหมนุ และการไหลแบบไมห่ มนุ Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-5 3.2 การวิเคราะหก์ ารไหลด้วยวิธีปริมาตรควบคมุ (Flow analysis with Control Volume method) การศกึ ษาถงึ พฤตกิ รรมการเคลอ่ื นทข่ี องของไหล หรอื ทเ่ี ราเรยี กวา่ การไหลนนั้ เราสามารถวเิ คราะหไ์ ดใ้ น 3 ลกั ษณะคอื - วเิ คราะหก์ ารไหลโดยพจิ ารณาความเรว็ และความเรง่ ของของไหลในทุกตาํ แหน่งในสนามการไหล ซง่ึ เป็น วธิ ที จ่ี ะตอ้ งอาศยั หลกั การเกย่ี วกบั สมการเชงิ อนุพนั ธ์ หรอื เรยี กวา่ วธิ อี นุพนั ธ์ (Differential Approach) - วเิ คราะหโ์ ดยการพจิ ารณาถงึ สภาพความสมดุลของปรมิ าณการไหลเขา้ ปรมิ าณการไหลออก และปรมิ าณท่ี อยภู่ ายในขอบเขตทก่ี าํ หนด (Finite Region) - วเิ คราะหโ์ ดยอาศยั หลกั การวเิ คราะหม์ ติ ปิ ระกอบกบั การสรา้ งแบบจาํ ลอง (Dimensional Analysis and Modeling) จากทงั้ สามหลกั การทก่ี ลา่ วมา วธิ อี นุพนั ธ์ เป็นวธิ ที ม่ี คี วามยงุ่ ยากซบั ซอ้ นในการวเิ คราะห์ เพอ่ื ใหไ้ ดค้ าํ ตอบ บางครงั้ อาจตอ้ งใชเ้ ครอ่ื งมอื ชว่ ยในกาคาํ นวณเชน่ โปรแกรมคอมพวิ เตอร์ สว่ นการวเิ คราะหม์ ติ กิ บั แบบจาํ ลองนนั้ จะ กลา่ วถงึ อยา่ งละเอยี ดในบทตอ่ ไป ดงั นนั้ ในบทน้ีจะขอกลา่ วถงึ เฉพาะการวเิ คราะหโ์ ดยการกาํ หนดขอบเขตของการไหล หรอื ทเ่ี รยี กวา่ “วิธีปริมาตรควบคมุ ” (Control Volume Approach) ในการวเิ คราะหพ์ ฤตกิ รรมของของไหลทเ่ี คลอ่ื นทห่ี รอื ไหลไปนนั้ เป็นการยากทจ่ี ะพจิ ารณาของไหลแบบกอ้ น อนุภาค เพราะของไหลมกี ารเปลย่ี นรปู รา่ งอยตู่ ลอดเวลา จงึ ตอ้ งอาศยั การกาํ หนดของเขตในบรเิ วณทม่ี กี ารไหลขน้ึ มา เพอ่ื ทาํ การศกึ ษาพฤตกิ รรมของของไหล ในขณะทไ่ี หลเขา้ ออกจากขอบเขตดงั กลา่ ว กอ่ นทจ่ี ะกลา่ วถงึ การวเิ คราะหด์ ว้ ยวธิ ปี รมิ าตรควบคุม จะตอ้ งเขา้ ใจถงึ ศพั ทท์ างเทคนิคทเ่ี กย่ี วขอ้ งกบั การ วเิ คราะหด์ ว้ ยเสยี กอ่ น - ระบบ (System) หมายถงึ กลุม่ ของอนุภาคของไหลทเ่ี ลอื กทาํ การศกึ ษา มรี ปู พรรณสนั ฐานทเ่ี ฉพาะเจาะจง และ สามารถเคลอ่ื นทไ่ี ปตาํ แหน่งใดกไ็ ด้ - สงิ่ แวดลอ้ ม (Surrounding) หมายถงึ สงิ่ ตา่ งๆ ทล่ี อ้ มรอบอยภู่ ายนอกระบบ - ปรมิ าตรควบคมุ (Control Volume) หมายถงึ ปรมิ าตรทถ่ี กู กาํ หนดขน้ึ เพอ่ื ใชใ้ นการศกึ ษาพฤตกิ รรมของ การไหลเขา้ และไหลออก ในบรเิ วณทท่ี าํ การศกึ ษา - ผวิ ของปรมิ าตรควบคมุ (Control Surface) หมายถงึ พน้ื ทผ่ี วิ ของขอบเขตทล่ี อ้ มรอบปรมิ าตรควบคุม การกาํ หนดขอบเขตของปรมิ าตรควบคมุ การกาํ หนดขอบเขตของปรมิ าตรควบคุม สามารถทาํ ไดห้ ลายลกั ษณะ ขน้ึ อยกู่ บั สภาพปญั หา และระบบทท่ี าํ การวเิ คราะห์ ในการกาํ หนดขอบเขตนนั้ จะตอ้ งมตี าํ แหน่งของของการไหลเขา้ ออกทช่ี ดั เจน และจะตอ้ งตอบคาํ ถาม ทก่ี าํ ลงั วเิ คราะหน์ นั้ ได้ ตวั อยา่ งเชน่ ปญั หาเกย่ี วกบั การไหลในท่อ เราจะกาํ หนดขอบเขตปรมิ าตรควบคมุ แบบอยนู่ ิ่ง กบั ท่ี ไมม่ กี ารเปลย่ี นแปลงรปู รา่ ง (Fix Control Volume) เพอ่ื ศกึ ษาถงึ พฤตกิ รรมของระบบทไ่ี หลผา่ นทอ่ ดงั รปู ท่ี 3.7 (ก) หากปญั หาเกย่ี วขอ้ งกบั วตั ถุทเ่ี คล่อื นทใ่ี นของไหล เราจะกาํ หนดขอบเขตปรมิ าตรควบคมุ แบบเคลอ่ื นท่ี ไม่ มกี ารเปลย่ี นรปู รา่ ง (Moving Control Volume) เพอ่ื ศกึ ษาถงึ พฤตกิ รรมของระบบรอบวตั ถุในขณะทว่ี ตั ถุเคลอ่ื นท่ี ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-6 Fluid Mechanics ผา่ นระบบนนั้ ดงั รปู ท่ี 3.7 (ข) หรอื ถา้ หากตอ้ งการศกึ ษาเกย่ี วกบั ของไหลทอ่ี ยใู่ นภาชนะทส่ี ามารถเปลย่ี นรปู รา่ งได้ เราจะกาํ หนดขอบเขตปรมิ าตรควบคุมแบบเปลย่ี นรปู รา่ งได้ (Deforming Control Volume) เพ่อื ศกึ ษา ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรปู รา่ งของภาชนะ กบั การไหลเขา้ และออกของระบบ ดงั รปู ท่ี 3.7 (ค) รปู ท่ี 3.7 การกาํ หนดขอบเขตของปรมิ าตรควบคุม Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-7 3.3 ทฤษฎีการเคล่ือนย้ายของเรยโ์ นด์ (Reynolds Transport Theorem) ทฤษฎกี ารเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ เป็นทฤษฎพี น้ื ฐานทใ่ี ชอ้ ธบิ ายพฤตกิ รรมการเคลอ่ื นตวั ของของไหล ทม่ี ี การเปลย่ี นแปลงคณุ สมบตั ใิ ดๆ อยา่ งตอ่ เน่ือง ซง่ึ บางครงั้ ทฤษฎกี ารเคล่อื นยา้ ยของเรยโ์ นดน์ ้ีถกู เรยี กวา่ สมการ การของการอนุรกั ษ์ทวั่ ไป (General Conservation Equation) 3.3.1 ทฤษฎกี ารเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ กบั ปรมิ าตรควบคุมทถ่ี กู จาํ กดั ทศิ ทางการไหลเขา้ และออก รปู ท่ี 3.8 การเคล่อื นทข่ี องระบบผา่ นปรมิ าตรควบคุมทม่ี กี ารไหลทศิ ทางเดยี ว พจิ ารณาการเคลอ่ื นตวั ของระบบผา่ นปรมิ าตรควบคุม โดยสมมตุ ใิ หก้ ารไหลมเี พยี งทศิ ทางเดยี ว และไมม่ ี การไหลทางดา้ นขา้ งดงั รปู ท่ี 3.8 กาํ หนดให้ พน้ื ทส่ี เี ทาคอื ระบบทก่ี าํ ลงั พจิ ารณา และแนวเสน้ ประคอื ขอบเขตของปรมิ าตรควบคมุ B = ปรมิ าณทางฟิสกิ สใ์ ดๆ ในระบบทเ่ี คล่อื นตวั ผา่ นปรมิ าตรควบคุม จากรปู ท่ี 3.7 (ก) เมอ่ื เวลา t = t ปรมิ าณใดๆ ทม่ี อี ยใู่ นระบบ BSYS(t) จะเทา่ กบั ปรมิ าณใดๆ ทอ่ี ยใู่ นปรมิ าตร ควบคุม BCV(t) BSYS(t) = BCV(t) --------- (3.1) แต่เมอ่ื เวลาผา่ นไป t หากพจิ ารณาความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าณในระบบ กบั ปรมิ าณในปรมิ าตรควบคุม และสงิ่ แวดลอ้ ม จะไดว้ า่ Bsys t  δt = BCV t  δt  BIt  δt  BIIt  δt --------- (3.2) โดยท่ี BIt  δt คอื ปรมิ าณทไ่ี หลเขา้ มาในปรมิ าตรควบคมุ และ BIIt  δt คอื ปรมิ าณทไ่ี หลออกจาก ปรมิ าตรควบคมุ เมอ่ื เวลาผา่ นไป t พจิ ารณาอตั ราการเปล่ียนแปลงของปริมาณ B ในระบบเม่ือเทียบกบั เวลา จะไดว้ า่ δBsys = Bsys t  δt  Bsys  t --------- (3.3) δt δt ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-8 Fluid Mechanics แทนคา่ สมการท่ี 3.1 และ 3.2 ในสมการท่ี 3.3 δBsys = BCV t  δt  BIt  δt  BIIt  δt  BCVt δt δBsys δt δt δt δt δt = BCV t   BCV  t   BI t    BII t   --------- (3.4) δt δBsys δt δt δt DBsys หากพจิ ารณา t มคี า่ น้อยมากจนเกอื บเป็น 0 จะทาํ ให้ เปลย่ี นรปู เป็น Dt และจากเทอม BCV t  δt  BCV  t ซง่ึ กค็ อื BCV หรอื อตั ราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใน t δt ปริมาตรควบคมุ ต่อเวลา ดงั นนั้ สมการท่ี 3.4 จงึ สามารถเขยี นใหมไ่ ดเ้ ป็น DBsys = BCV  BIt  δt  BIIt  δt --------- (3.5) Dt t BIt  δt δt δt ความหมายของเทอม δt กค็ อื อตั ราการไหลเข้าของปริมาณผ่านผิวปริมาตรควบคมุ กาํ หนดให้ BIt  δt เขยี นแทนดว้ ย BIn δt BIIt  δt และความหมายของเทอม กค็ อื อตั ราการไหลออกของปริมาณผา่ นผิวปริมาตรควบคมุ δt BIIt  δt กาํ หนดให้ เขยี นแทนดว้ ย B Out δt แทนคา่ สญั ลกั ษณ์ในสมการท่ี 3.5 จะได้ DBsys = BCV  BIn  BOut --------- (3.6) Dt t และถา้ หากมที างเขา้ ออกหลายทาง สมการท่ี 3.6 จะเขยี นใหมไ่ ดเ้ ป็น DBsys  BCV  BIn  BOut --------- (3.7) Dt t ซง่ึ เราจะเรยี กสมการท่ี 3.7 วา่ สมการการเคลือ่ นย้ายของเรยโ์ นด์ (Raynolds Transport Theorem) หากกาํ หนดให้ QIn/Out = อตั ราการไหล (เขา้ -ออก)  In / Out   t b = อตั ราสว่ นของปรมิ าณใดๆ ต่อหน่ึงหน่วยมวลของของไหลใดๆ (ของไหลทผ่ี า่ นปรมิ าตรควบคุม ไมจ่ าํ เป็นตอ้ งเป็นระบบ) b = B m Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-9 หากพจิ ารณาท่ี อตั ราการไหลเขา้ ของปรมิ าณผา่ นผวิ ปรมิ าตรควบคุม (BIn ) BIn  mInbIn  InInbIn  In  In bIn t t t BIn = InQInbIn --------- (3.8) ในทาํ นองเดยี วกนั หากพจิ ารณาท่ี อตั ราการไหลออกของปรมิ าณผา่ นผวิ ปรมิ าตรควบคุม (BOut ) BOut  mOutbOut  OutOutbOut  Out  Out bOut t t t BOut = OutQOutbOut --------- (3.9) สมการท่ี 3.7 อาจอยใู่ นรปู DBsys  BCV   InQInbIn   OutQOutbOut  --------- (3.10) Dt t 3.3.2 ทฤษฎกี ารเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ กบั ใชป้ รมิ าตรควบคุมทม่ี กี ารไหลเขา้ ออก อยา่ งอสิ ระ รปู ท่ี 3.9 การเคลอ่ื นทข่ี องระบบผา่ นปรมิ าตรควบคมุ ทม่ี กี ารไหลเขา้ ออก อยา่ งอสิ ระ เมอ่ื พจิ ารณาจากรปู ท่ี 3.9 ปรมิ าณในระบบมคี า่ เทา่ กบั Bsys   b dm   ρb d sys sys ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลของปรมิ าณเทยี บกบั เวลาในระบบมคี า่ เทา่ กบั DBsys  d   ρb d --------- (3.11) Dt dt sys ปรมิ าณในปรมิ าตรควบคมุ มคี า่ เทา่ กบั BCV   b dm   ρb d CV CV ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลของปรมิ าณเทยี บกบั เวลาในปรมิ าตรควบคมุ มคี า่ เทา่ กบั dBCV  d   ρb d --------- (3.12) dt dt  CV  ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-10 Fluid Mechanics จากรปู ท่ี 3.9 (ข) เมอ่ื เวลาเปลย่ี นเป็น t+dt พจิ ารณาปรมิ าณทไ่ี หลออก (II) กาํ หนดใหค้ วามเรว็ ในแนวตงั้ ฉากกบั ผวิ ควบคุม vn  v  n v ความเรว็ ของระบบทผ่ี วิ ของปรมิ าตรควบคมุ --------- (3.13) เมอ่ื = n = เวกเตอรต์ งั้ ฉากหน่ึงหน่วยทผ่ี วิ ของปรมิ าตรควบคุม จากรปู ท่ี 3.9 (ข) ปรมิ าณการไหลออกบนพน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ เทา่ กบั δBOut  ρbvndA δt --------- (3.14) อตั ราการไหลออกของปรมิ าณบนพน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ มคี า่ เทา่ กบั δB Out  δBOut  ρbvndA --------- (3.15) δt ดงั นนั้ อตั ราการไหลออกของปรมิ าณทงั้ หมอจงึ มคี า่ เทา่ กบั BOut   ρbvndA --------- (3.16) CSOut ถา้ พจิ ารณาปรมิ าณการไหลเขา้ บนพน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ จะเทา่ กบั δBIn  ρbvndA δt --------- (3.17) การทม่ี เี ครอ่ื งหมายเป็นลบ เน่ืองมาจากทศิ ของการไหลสวนทางกบั เวกเตอรต์ งั้ ฉากหน่ึงหน่วยทผ่ี วิ ของ ปรมิ าตรควบคุม ดงั นนั้ จงึ สง่ ผลให้ v  n  vn อตั ราการไหลเขา้ ของปรมิ าณบนพน้ื ทเ่ี ลก็ ๆ มคี า่ เทา่ กบั δBIn  δBIn  ρbvndA --------- (3.18) δt ดงั นนั้ อตั ราการไหลเขา้ ของปรมิ าณทงั้ หมดจงึ มคี า่ เทา่ กบั BIn    ρbvndA --------- (3.19) CSIn จากสมการการเคล่อื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ (สมการท่ี 3.7) อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปรมิ าณในระบบเทยี บกบั เวลาจะมคี า่ เทา่ กบั DBCV =  B CV  B Out  B In ] Dt t = BCV    ρbvndA   ρbvndA  t CSOut CSIn  จะไดส้ มการการเคล่อื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ ในรปู DBsys  BCV   ρbvndA --------- (3.20) Dt t CS d  ρb d  d  ρb d   ρbvndA --------- (3.21) dt dt sys CV CS Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-11 3.4 สมการกฎการอนุรกั ษ์มวล (Mass Conservation) หากพจิ ารณาจากรปู แบบอยา่ งงา่ ย โดยใหป้ รมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื มวล จากสมการท่ี 3.7 จะไดว้ า่ DMsys  MCV   M In   M Out --------- (3.22) Dt t DMsys แตเ่ น่ืองจากมวลไมม่ วี นั สญู สลาย ซง่ึ นนั่ หมายความวา่ Dt 0 ดงั นนั้ 0 = MCV   M In   M Out t MCV   M In   M Out --------- (3.23) t สมการท่ี 3.23 คอื สมการกฎการอนุรกั ษ์มวล (Mass Conservation) หรอื เรยี กอกี ชอ่ื หน่ึงวา่ สมการ ความต่อเนือ่ ง (Continuity Equation) ถา้ พจิ ารณาในรปู สมการทวั่ ไป จากสมการท่ี 3.21 อตั ราสว่ นของปรมิ าณใดๆ ตอ่ หน่ึงหน่วยมวลของของ ไหล b  m 1 และเน่ืองจากมวลของระบบจะคงทเ่ี สมอ จงึ ทาํ ให้ d  ρb d  0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่ m dt sys d  ρb d   ρbvndA  0 --------- (3.24) dt CV CS สมการท่ี 3.24 คอื รปู ทวั่ ไปของสมการกฎการอนุรกั ษม์ วล (Mass Conservation) จากสมการท่ี 3.20 หากปรมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื ปรมิ าตร ดงั นนั้ b   หรอื เทา่ กบั ปรมิ าตรจาํ เพาะของของ m ไหล () จะได้ Dsys  CV   ρvndA --------- (3.22) Dt t CS เน่ืองจาก ρ  1 ดงั นนั้ จะได้ Dsys  CV   vndA --------- (3.23) Dt t CS แต่ถา้ สมมตุ ฐิ านของการไหล เป็นการไหลของของไหลทีอ่ ดั ตวั ไม่ได้ (Incompressible Fluid) ปรมิ าตร ของระบบจะคงท่ี ทาํ ให้ Dsys  0 Dt  CV    v n dA --------- (3.24) t CS พจิ ารณาเทอม  vndA   vndA   vndA แทนคา่ ในสมการท่ี 3.24 CS CSOut CSIn CV =    vndA   vndA  t CSOut CSIn ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-12 Fluid Mechanics CV =  vndA   vndA t CSIn CSOut เน่ืองจาก  vndA  Q ดงั นนั้ CS CV   QIn   QOut --------- (3.25) t ถา้ ปริมาตรควบคมุ เป็นแบบคงตวั ปริมาตรคงที่ (Fix Control Volume) และถา้ หากการไหลเป็นการ ไหลแบบคงที่ (Steady Flow) ซง่ึ หมายถงึ การไหลทค่ี ุณสมบตั ขิ องของไหลทต่ี าํ แหน่งใดๆ ไมแ่ ปรเปลย่ี นตาม เวลา ซง่ึ ทาํ ให้ CV 0 ดงั นนั้ จะไดว้ า่ t  QIn   QOut --------- (3.26) Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-13 ตวั อยา่ งท่ี 3.1 น้ําและแอลกอฮอล ไหลมาผสมกนั ในทอ่ รปู ตวั Y ลกั ษณะดงั รปู เมอ่ื อตั ราการไหลของน้ําและแอลกอฮอล เทา่ กบั 0.1 cms และ 0.3 cms ตามลาํ ดบั จงหาความหนาแน่น ของของเหลวทท่ี างออก (SGAlcohol = 0.8) วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการการเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ DBsys  BCV  BIn   B Out Dt t พจิ ารณาปรมิ าตรควบคุมแบบ Fix Control Volume ดงั รปู กาํ หนดใหร้ ะบบคอื ของไหลทงั้ หมดทไ่ี หลผา่ นทอ่ และ ปรมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื มวล จะไดว้ า่ MCV  M In  M Out t เน่ืองจากอตั ราการไหลเขา้ ออกคงท่ี และปรมิ าตรภายในทอ่ สว่ นทอ่ี ยใู่ นปรมิ าตรควบคุมไมเ้ ปลย่ี นแปลง ดงั นนั้ MCV 0 t พจิ ารณาการไหลเขา้ ทงั้ สองทาง M In = wQw  AlcoholQAlcohol = 0.1w  0.30.8w พจิ ารณาการไหลออก M Out = MixQMix แทนคา่ ทงั้ หมดในสมการ จะได้ 0  0.1w  0.30.8wl  MixQMix ----- (1) เน่ืองจากระบบเป็นของเหลวอดั ตวั ไดน้ ้อยมาก ประกอบกบั ปรมิ าตรควบคมุ เป็นแบบคงตวั ไมม่ กี าร เปลย่ี นแปลงปรมิ าตร และการไหลไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา   QIn   QOut  Qw  QAlcohol = Qmix แทนคา่ ใน (1) (0.1) + (0.3) = Qmix Qmix = 0.4 cms 0 = 0.1w  0.30.8wl  Mix 0.4 Mix =  0.1   0.3  0.8  w 0.4 = 0.85w = 850 kg/m3 Ans ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-14 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 3.2 สปรงิ เกอรฉ์ ีดน้ําดว้ ยอตั รา 1 l/s ดงั รปู ทป่ี ลายทางออกของสปรงิ เกอร์ มเี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 6 mm รศั มี 100 mm จงหาความเรว็ ของน้ําในอากาศ (V) ในขณะ ทส่ี ปรงิ เกอรห์ มนุ ดว้ ยความเรว็ รอบ () 600 rpm วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการการเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ DBsys  BCV  BIn   B Out Dt t พจิ ารณาปรมิ าตรควบคุมแบบ Moving Control Volume ดงั รปู กาํ หนดใหร้ ะบบคอื ของไหลทงั้ หมดทไ่ี หลผา่ นทอ่ และปรมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื มวล จะไดว้ า่ MCV  M In  M Out ----- (1) t เน่ืองจากอตั ราการไหลเขา้ ออกคงท่ี และปรมิ าตรของสว่ นทอ่ี ยใู่ นปรมิ าตรควบคุมไมเ้ ปลย่ี นแปลง ดงั นนั้ MCV  0 t พจิ ารณาการไหลเขา้ MIn = wQin = 0.001w พจิ ารณาการไหลออก M Out = 2wQOut  เน่ืองจาก QOut = A Out W =    0.0062 W 4 เมอ่ื W คอื ความเรว็ ของน้ําทไ่ี หลออกจากสปรงิ เกอร์ เมอ่ื เทยี บกบั ปลายสปรงิ เกอร์ ดงั นนั้  M Out = 2 w    0.0062 W  แทนคา่ ทงั้ หมดในสมการ (1) จะได้ 4 0 =  0.001w - 2 w    0.0062 W   4  0.001 W = 2  0.0062 = 17.68 m/s 4 V  W  U จากรปู เมอ่ื พจิ ารณาความเรว็ ในรปู เวกเตอร์ จะเหน็ ไดว้ า่ U = R =  2600 0.1 = 2 m/s 60 -11.40 m/s ดงั นนั้ ความเรว็ ของน้ําในอากาศจงึ เทา่ กบั Ans V = (-17.68) + (+2) = Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 3-15 ตวั อยา่ งท่ี 3.3 เขม็ ฉีดยาอนั หน่ึง แป้นกด (Plunger) มขี นาด พน้ื ท่ี 500 ตร.มม. ถา้ ตอ้ งการฉีดยาใหน้ ้ํายาไหลออกในอตั รา 300 cc/min จงหาความเรว็ ในการกดแป้น โดยสมมตใิ หม้ กี าร รวั่ ไหลของตวั ยารอบแป้นกดเทา่ กบั 0.1 เทา่ ของอตั ราทไ่ี หล ออกทางปลายเขม็ วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการการเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ DBsys  BCV  BIn   B Out Dt t พจิ ารณาปรมิ าตรควบคุมแบบ Deforming Control Volume ดงั รปู กาํ หนดใหร้ ะบบคอื ของไหล และปรมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื มวล จะไดว้ า่ MCV  M In  M Out ----- (1) t เน่ืองจากไมอ่ ตั ราการไหลเขา้ ดงั นนั้ MIn  0 พจิ ารณาการไหลออก M Out = Q  0.1Q เมอ่ื แทนคา่ ในสมการท่ี (1) จะได้ MCV = 0  Q  0.1Q t MCV t = - 1.1Q ----- (2) พจิ ารณาเทอม MCV = dCV = d AL ----- (3) t dt dt ----- (4) MCV dL t = A dt จะเหน็ ไดว้ า่ ความเรว็ ในการกด V= dS =  dL dt dt แทนคา่ (3) และ (4) ใน (2) A V =  1.1Q V = 1.1Q A 106 1.1 300  60   = 500 106 V = 0.011 m/s Ans ธญั ดร ออกวะลา Flow Theorem

3-16 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 3.4 โรงบาํ บดั น้ําเสยี แหง่ หน่ึงตอ้ งการบาํ บดั น้ําผา่ นอา่ งตกตะกอน โดยน้ําเสยี ทต่ี อ้ งการบาํ บดั ทจ่ี ะไหลเขา้ สอู่ า่ งตกตะกอน มปี รมิ าณ 500 ลติ ร/วนิ าที คา่ ความถ่วงจาํ เพาะ 1.0015 หลงั จากผา่ นการตกตะกอนน้ําเสยี มคี า่ ความ ถ่วงจาํ เพาะเทา่ กบั 1.0012 ซง่ึ จะไหลออกผา่ นฝายน้ําลน้ ทท่ี างออก เน่ืองจากระดบั น้ําภายในอา่ งคอ่ นขา้ งคงทจ่ี งึ ประมาณไดว้ า่ อตั ราการไหลออกจากอ่างคอ่ นขา้ งคงท่ี จากการตรวจวดั ตะกอนทก่ี น้ อา่ ง คา่ ความถว่ งจาํ เพาะมคี า่ เทา่ กบั 1.6552 จะตอ้ งใชเ้ วลานานเทา่ ไรกวา่ ทต่ี ะกอนจะเตม็ อ่างพอดี (ปรมิ าณตะกอนถงึ ระดบั สงู สดุ ) วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการการเคลอ่ื นยา้ ยของเรยโ์ นด์ DBsys  BCV  BIn  BOut Dt t พจิ ารณาปรมิ าตรควบคุมแบบ Fix Control Volume ดงั รปู กาํ หนดใหร้ ะบบคอื ของไหล และปรมิ าณทพ่ี จิ ารณาคอื มวล จะไดว้ า่ MCV  M In  M Out ----- (1) t พจิ ารณาการไหลเขา้ MIn = inQin = 1.0015W 1.0 ----- (2) พจิ ารณาการไหลออก M Out = outQout = 1.0012W 1.0 ----- (3) เมอ่ื พจิ ารณาท่ี t = 0 มวลใน Control Volume คอื มวลของน้ําสว่ นท่ี 1 และ 2 แต่เมอ่ื เวลาผา่ นไป t = t มวลทอ่ี ยใู่ น Control volume คอื มวลของน้ําสว่ นท่ี 1 กบั มวลของตะกอนทเ่ี ขา้ มาแทนทส่ี ว่ นท่ี 2 ดงั นนั้ ในชว่ งเวลาดงั กลา่ วมมี วลแตกต่างกนั เท่ากบั MCV = m1  mตะกอน  m1  m2  = mตะกอน  m2 = ตะกอนตะกอน  22 = ตะกอน  2  = 3600 31.6552 1.00121000  MCV = 7,063,200 kg = 7,063.2 ton เมอ่ื พจิ ารณาอตั ราการเปลย่ี นแปลงของมวลใน Control volume ต่อหน่ึงหน่วยเวลา จะได้ MCV = MCV = 7,063.2  103 ----- (4) t t t Ans 7,063.2  103 นํา (2) (3) และ (4) แทนใน (1) t = 1.0015 1.0012W  t = 7,063.2 = 47,088,000 วนิ าที = 545 วนั 1.0015 1.0012 Flow Theorem ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-1 บทที่ 4 สมการพลงั งาน หากพจิ ารณาอนุภาคของของไหลทก่ี าํ ลงั เคล่อื นทใ่ี นสนามของการไหล ความดนั ความเรว็ ของอนุภาค รวมถงึ แรงตา่ งๆ ทเ่ี กดิ ขน้ึ จะมกี ารเปลย่ี นแปลงอยา่ งต่อเน่ือง ไปตามตาํ แหน่ง และเวลาทเ่ี ปลย่ี นแปลงไป เพอ่ื หา ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรตา่ งๆ เราสามารถวเิ คราะหโ์ ดยอาศยั หลกั การจากสมการพน้ื ฐานทเ่ี กย่ี วขอ้ ง 3 สมการคอื สมการความตอ่ เน่ือง สมการพลงั งาน และสมการโมเมนตมั การวเิ คราะหด์ ว้ ยสมการโมเมนตมั นนั้ จะกลา่ วถงึ ในบท ต่อไป สว่ นในบทน้ีจะเป็นการวเิ คราะห์ สมการพลงั งานของอนุภาคของไหลอดั ตวั ไมไ่ ด้ (Incompressible Fluid) ท่ี เคลอ่ื นทไ่ี ปตาม Streamline ภายใตก้ ารไหลแบบ Steady flow สมการพลงั งานของการไหลขนั้ ตน้ นนั้ เกดิ จากแนวคดิ ของ Leonhard Euler โดยพจิ าณาตวั แปรตา่ งๆ ไปตาม แนวเสน้ ทางของการไหล (streamline) ซง่ึ ต่อมา Bernouli ไดน้ ําสมการของ Euler มาวเิ คราะหต์ อ่ จนไดเ้ ป็นสมการ พลงั งานทใ่ี ชก้ นั อยา่ งแพรห่ ลายจนถงึ ปจั จบุ นั 4.1 สมการพลงั งานของ Euler (Euler’s Energy equation) พจิ ารณาอนุภาคของไหลรปู ทรงกระบอกทก่ี าํ ลงั เคล่อื นทไ่ี ปตาม streamline ดงั รปู ท่ี 4.1 รปู ท่ี 4.1 การเคลอ่ื นทข่ี องอนุภาคของไหลตามแนวเสน้ ทางการไหล ของไหลเคลอ่ื นทไ่ี ปตาม streamline ดว้ ยความเรง่ as ทาํ มมุ  กบั แนวระดบั พจิ ารณาแรงภายนอกทก่ี ระทาํ กบั ของไหลประกอบดว้ ย - แรงดนั เน่ืองจากความดนั ทผ่ี วิ ของทรงกระบอกมที ศิ ทางหกั ลา้ งกนั หมด ดงั นนั้ แรงดนั จงึ เหลอื เพยี ง แรงท่ี กระทาํ กบั ปลายดา้ นหน่ึงมคี า่ เทา่ กบั P dA  สว่ นอกี ดา้ นเทา่ กบั  P  P ds dA s - น้ําหนกั ของกอ้ นอนุภาค dW  d  dA  ds จากฎการเคล่อื นทข่ี อ้ ท่ี 2 ของนิวตนั F  ma ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-2 Fluid Mechanics เมอ่ื พจิ ารณาทศิ ทางตามแนวเสน้ ทางการไหล จะไดว้ า่ P dA    P  P ds  dA   dW sin   mas --------- (4.1) s --------- (4.2) เน่ืองจากความเรง่ as  dV และ V  fs,t ดงั นนั้ จะได้ dt V ds V dt V V a  s  dt  t  dt  V  s  t s แตเ่ น่ืองจากสภาพการไหลไมเ่ ปลย่ี นแปลงตามเวลา (Steady flow) จงึ ทาํ ให้ V  0 และ V  dV t s ds สมการท่ี 4.2 จงึ สามารถเขยี นใหมไ่ ดว้ า่ as  V  dV --------- (4.3) ds มวลของอนุภาคของไหลมคี า่ เท่ากบั --------- (4.4) m  d  dA  ds แทนคา่ สมการ 4.3 และ 4.4 ในสมการท่ี 4.1 จะได้ P dA    P  P ds  dA    dA  ds sin    dA  ds V  dV  s ds P   P  P ds    ds  dz    ds  V  dV  s ds ds ทส่ี ภาพการไหลแบบ Steady flow ความดนั ไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา จงึ ทาํ ให้ P  dP ดงั นนั้ s ds dP dz dV P   P  ds ds    ds ds    ds  V  ds  จดั รปู สมการใหมจ่ ะได้ dz  dP  V  dV  0 --------- (4.5)  g ซง่ึ ต่อมาสมการท่ี 4.5 น้ีถกู เรยี กวา่ สมการพลงั งานของ Leonhard Euler Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-3 4.2 สมการ Bernoulli (Bernoulli’s equation) Bernoulli ไดน้ ําสมการพลงั งานของ Leonhard Euler มาทาํ การอนิ ทเิ กรต  dz   dP    V  dV    0   g  จากผลของการอนิ ทเิ กรต จะได้ z  P  V2  C --------- (4.6)  2g หรอื z1  P1  V12  z2  P2  V22 --------- (4.7)  2g  2g ซง่ึ ต่อมาสมการท่ี 4.7 น้ีถกู เรยี กวา่ สมการพลงั งานของ Bernoulli หรอื สมการ Bernoulli ความหมายของสมการ Bernoulli คอื หากไมม่ ผี ลของพลงั งานจากภายนอก และการสญู เสยี พลงั งานจาก ภายในระบบ ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรของของไหลทเ่ี ดนิ ทางไปตาม streamline ผา่ นจดุ ท่ี 1 และ 2 จะเป็นไปตาม สมการท่ี 4.7 รปู ท่ี 4.2 ความสมั พนั ธข์ องตวั แปรเทอมต่างๆ ในสมการ Bernoulli จากสมการท่ี 4.6 และ 4.7 จะเหน็ ไดว้ า่ มติ ขิ องตวั แปรแต่ละเทอมในสมการคอื ความยาว (L) ซง่ึ เป็นมติ ิ เดยี วกนั กบั มติ ขิ องพลงั งานต่อหนึ่งหน่วยน้ําหนักของของไหล กลา่ วคอื    z :L 2 P  FL2   MLT 2 L2  V2  LT1   :     ML 2 T   L 2g :  LT2   L  ML2 T 2   2    มติ ขิ องพลงั งานต่อหน่ึงหน่วยน้ําหนกั = Energy : FL  L Weight F ดงั นนั้ สมการของ Bernoulli ไมใ่ ชส้ มการความสมั พนั ธข์ องพลงั งาน แต่เป็นสมการความสมั พนั ธข์ องพลงั งาน ตอ่ หน่ึงหน่วยน้ําหนกั ของของไหล ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-4 Fluid Mechanics ดว้ ยเหตุน้ีเราจงึ ไมเ่ รยี กเทอมต่างๆ วา่ พลงั งานตอ่ หน่ึงหน่วยน้ําหนกั แต่จะเรยี กวา่ เฮดพลงั งาน (Energy Head) หรอื เรยี กสนั้ ๆ วา่ เฮด (Head) ซง่ึ ในแต่ละเทอมกจ็ ะมชี อ่ื เรยี กเฉพาะตามคาํ นิยามดงั น้ี Z คอื เฮดของพลงั งานศกั ดิ ์ ซง่ึ กค็ อื ความสงู จากระดบั อา้ งองิ ถงึ แนวเสน้ ทางการไหล หรอื เรยี กวา่ เฮดระดบั (Potential head or Elevation head) P คอื เฮดของพลงั งานอนั เน่ืองมาจากความดนั สถติ หรอื เรยี กวา่ เฮดความดนั (Pressure head)  V2 คอื เฮดของพลงั งานจล หรอื เรยี กวา่ เฮดความเรว็ (Velocity head) 2g เมอ่ื พจิ ารณาภายใตเ้ งอ่ื นไข การไหลแบบคงที (Steady flow) แรงทเ่ี กย่ี วขอ้ งมีเพียงแรงโน้มถ่วง กบั แรงอนั เนื่องมาจากความดนั ของไหลเป็นของไหลในจินตนาการ (Ideal Fluid) และอดั ตวั ไม่ได้ (Incompressible fluid) เมอ่ื อนุภาคของไหลเคล่อื นทไ่ี ปตาม streamline โดยไมม่ ผี ลจากพลงั งานภายนอก และการสญู เสยี พลงั งาน ผลรวมของ เฮดทจ่ี ดุ ใดจุดหน่ึง จะเทา่ กบั ผลรวมของเฮดอกี จุดหน่ึงเสมอ ดงั นนั้ เฮดพลงั งานรวมจะคงทต่ี ลอดความยาวของ streamline ดงั รปู ท่ี 4.2 โดยเสน้ ทบ่ี อกถงึ ระดบั ของเฮดพลงั งานรวมนนั้ เราจะเรยี กวา่ เสน้ ระดบั พลงั งาน (Energy Grade Line ; E.G.L.) และเสน้ ทบ่ี อกถงึ ระดบั ผลรวมของเฮดระดบั กบั เฮดความดนั จะเรยี กวา่ ระดบั ชลศาสตร์ (Hydraulic Grade Lime ; H.G.L.) (ผลรวมของเฮดระดบั กบั เฮดความดนั เรยี กวา่ เฮดสถติ ; Static head หรอื Piezomatic head) Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-5 ตวั อยา่ งท่ี 4.1 จากรปู ถงั น้ําสงู 1.0 ม. มใี สน่ ้ําสงู 0.7 ม. มรี รู ะบายน้ําอยู่ ท่ี ความสงู 0.2 ม. จากกน้ ถงั และมเี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 10 ซม. ถา้ ถงั มี ขนาดใหญ่มาก (อตั ราการไหลเปลย่ี นแปลงน้อยมากในขณะทท่ี าํ การวดั ) ถา้ การสญู เสยี พลงั งานเกดิ ขน้ึ น้อยมาก จงหาขนาดของอตั ราการไหลของ น้ําผา่ นรรู ะบาย วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการ Bernoulli ของน้ําทเ่ี ดนิ ทางจาก A ไป C จะไดว้ า่ zA  PA  VA2 = zC  PC  VC2  2g  2g กาํ หนดใหร้ ะดบั ทก่ี น้ ถงั คอื ระดบั อา้ งองิ (Datum) และความดนั อากาศเทา่ กบั 0 ทจ่ี ดุ A : zA = +0.7 m ; PA = 0 ; VA = 0 ทจ่ี ุด C : zC = +0.2 m ; PC = 0 แทนคา่ ใน (1) 0.7  0  0 = 0.2  0  VC2 2g VC = 3.13 m/s    0.102 0.012 m3 / s Q  AC VC  4 3.13   12.29 l / s Ans ตวั อยา่ งท่ี 4.2 จากรปู หวั ฉีดฉดี น้ําจากจุด A ออกสอู่ ากาศทป่ี ลาย B โดย ทจ่ี ุด A มเี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 10 ซม. และมคี วามดนั ทม่ี าตรวดั อ่านได้ เทา่ กบั 68.67 kPa สว่ นทจ่ี ุด B มเี สน้ ผา่ ศนู ยก์ ลาง 7.5 ซม. จงหา ความเรว็ และอตั ราการไหลของน้ําทป่ี ลายทางออก (จดุ B) กาํ หนดให้ การสญู เสยี พลงั งานมคี า่ น้อยมาก วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการ Bernoulli ของน้ําทเ่ี ดนิ ทางจาก A ไป B จะไดว้ า่ zA  PA  VA2 = zB  PB  VB2 ----- (1)  2g  2g กาํ หนดใหร้ ะดบั ทก่ี ง่ึ กลางทอ่ คอื ระดบั อา้ งองิ (Datum) และความดนั อากาศเท่ากบั 0 ทจ่ี ุด A : zA = 0 ; PA = 68.67 x 103 Pa ทจ่ี ดุ B : zB = 0 ; PB = 0 แทนคา่ ใน (1) 0  68.67  103  VA2 = 0  0  VB2  2g 2g 2g6.957  0 = VB2  VA2 ----- (2) เจาก Q  A A VA  ABVB  VA  AB VB   DB 2 VB   0.075 2 VB  0.5625VB แทน AA DA 0.10 คา่ ใน (2) 2g6.957 = VB2  0.5625VB 2 VB = 14.13 m/s   Q  ABVB   0.0752 14.13  0.06242 m3 / s  62.42 l / s Ans 4 ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-6 Fluid Mechanics ตวั อยา่ งท่ี 4.3 ทอ่ AG มขี นาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางชว่ ง A-B 15 ซม. และชว่ ง C-G 10 ซม. มาตรวดั ความดนั ทจ่ี ดุ A อ่านคา่ ได้ 39.24 kPa น้ําไหลจาก G ไป A ดว้ ยอตั รา 78.3 l/s ถา้ การสญู เสยี พลงั งานระหวา่ งการไหลเกดิ ขน้ึ น้อยมาก จงพลอ็ ตกราฟเสน้ ระดบั พลงั งาน และระดบั ชลศาสตรท์ จ่ี ุดต่างๆ วธิ ที าํ เน่ืองจาก Q  ABA VBA  AGC VGC 0.0783  0.0783 VGC   9.97 m s ; VBA   4.43 m s   0.12   0.15 2 4 4 VA2 4.432  E.G.L. A  zA  PA  2g  3.5  4  2g  8.50 m   H.G.L. A  zA  PA  3.5  4.0  7.5 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก G ไป A zG  PG  VG2 = zA  PA  VA2  2g  2g 6.5  PG  9.972 = 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PG = -3.06 m   E.G.L.G  zG  PG  VG2  6.5    3.06  9.972  8.5 m  2g 2g H.G.L.G  z G  PG  6.5   3.06  3.44 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก F ไป A zF  PF  VF2 = zA  PA  VA2  2g =  2g = 6.5  PF  9.972 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PF -3.06 m  Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-7  PF VF2 9.97 2  2g 2g  E.G.L.F  zF   6.5    3.06   8.5 m H.G.L.F  zF  PF  6.5   3.06  3.44 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก E ไป A zE  PE  VE2 = zA  PA  VA2  2g  2g 5.0  PE  9.972 = 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PE = -1.56 m   E.G.L.E  zE  PE  VE2  5.0   1.56  9.972  8.5 m  2g 2g H.G.L.E  zE  PE  5.0   1.56  3.44 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก D ไป A zD  PD  VD2 = zA  PA  VA2  2g  2g 3.5  PD  9.972 = 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PD = -0.06 m   E.G.L.D  zD  PD  VD2  3.5   0.06  9.972  8.5 m  2g 2g H.G.L.D  zD  PD  3.5   0.06  3.44 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก C ไป A zC  PC  VC2 = zA  PA  VA2  2g  2g 3.5  PC  9.972 = 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PG = -0.06 m  ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-8 Fluid Mechanics  E.G.L.C  zC  PC  VC2  3.5   0.06  9.972  8.5 m  2g 2g H.G.L.C  zC  PC  3.5   0.06  3.44 m  พจิ ารณาสมการพลงั งานจาก B ไป A zB  PB  VB2 = zA  PA  VA2  2g  2g 3.5  PB  4.432 = 3.5  39.24 103  4.432  2g  2g PB = 4.0 m   E.G.L.B  zB  PB  VB2  3.5  4  4.432  8.50 m  2g 2g H.G.L.B  zB  PB  3.5  4.0  7.5 m  สามารถพลอ็ ตกราฟ E.G.L. และ H.G.L. ไดด้ งั น้ี Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-9 การประยกุ ตส์ มการ Bernoulli กบั อปุ กรณ์วดั การไหล - Venturi meter Venturi meter คอื อุปกรณ์ทม่ี ลี กั ษณะเป็นทอ่ ลดขนาด ใชส้ าํ หรบั การวดั อตั ราการไหล หรอื ความเรว็ ของ การไหล โดยอาศยั หลกั การของการเปลย่ี นแปลงความเรว็ และความดนั บรเิ วณคอคอด รปู ท่ี 4.3 อุปกรณ์วดั การหลแบบ Venturi จากรปู ท่ี 4.3 ระดบั ของเหลวทอ่ี ยใู่ น Piezometer (H1 , H2) คอื คา่ ของ Static head พจิ ารณาสมการ Bernoulli ระหวา่ งจดุ 1-2 z1  P1  V12  z2  P2  V22  2g  2g เมอ่ื H1 , H2 คอื static head ของจดุ ท่ี 1 และ 2 จะไดว้ า่ H1  V12  H2  V22 2g 2g 2gH2  H1  V22  V12 D12 เน่ืองจาก A1V1  A2V2  V2  D22 V1 ความเรว็ และอตั ราการไหลของของไหลในทอ่ คอื V  V1  2gH --------- (4.8)  D1 4  1 D2 แตเ่ น่ืองจากคา่ ของความเรว็ ทไ่ี ดจ้ ากสมการ 4.8 จะไมต่ รงกบั ความเป็นจรงิ ดงั นนั้ จะตอ้ งมกี ารปรบั แก้ ดว้ ยคา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเรว็ (CV) Vทแ่ี ทจ้ รงิ  CV 2gH  CW 2gH --------- (4.9)  D1 4  1 D2 เมอ่ื CW คอื คา่ สมั ประสทิ ธขิ ์ องมาตรวดั แบบเวนจรู ี ซง่ึ มคี า่ เทา่ กบั CV  D1 4  1 D2 ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-10 Fluid Mechanics - Pitot tube Pitot tube คอื อุปกรณ์อยา่ งงา่ ยทใ่ี ชส้ าํ หรบั การวดั ความเรว็ ของการไหล มลี กั ษณะเป็นทอ่ ขนาดเลก็ ทห่ี นั ปลายทางเขา้ ไปทางตน้ น้ํา ลกั ษณะดงั รปู ท่ี 4.4 รปู ท่ี 4.4 อุปกรณ์วดั การไหลแบบ pitot tube จากรปู ท่ี 4.4 Pitot tube จะกดี ขวางการไหลของพลงั งานจลน์ ดงั นนั้ ระดบั ของเหลวใน Pitot tube จงึ เป็นคา่ ของผลรวมระหวา่ ง Static head กบั Velocity head ซง่ึ กค็ อื ระดบั ของพลงั งานรวม (Total Energy Head) พจิ ารณาสมการ Bernoulli ระหวา่ งจดุ 1-2 z1  P1  V12  z2  P2  V22  2g  2g เมอ่ื H1 , H2 คอื static head ของจดุ ท่ี 1 และ 2 จะไดว้ า่ H1  V12  H2  0 2g ความเรว็ ของของไหลในทอ่ คอื V  V1  2gH --------- (4.10) แตเ่ น่ืองจากคา่ ของความเรว็ ทไ่ี ดจ้ ากสมการ 4.10 จะไมต่ รงกบั ความเป็นจรงิ ดงั นนั้ จะตอ้ งมกี ารปรบั แก้ ดว้ ยคา่ สมั ประสทิ ธคิ ์ วามเรว็ ของทอ่ ปิโตด (CP)  Vทแ่ี ทจ้ รงิ  CP 2gH --------- (4.11) รปู ท่ี 4.5 ตวั อยา่ งอุปกรณ์วดั ความเรว็ ของไหลทอ่ี าศยั หลกั การของทอ่ ปิโตด Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา

Fluid Mechanics 4-11 ตวั อยา่ งท่ี 4.4 จากรปู คอื มาตรวดั อตั ราการไหลของน้ํา แบบ Venturi วางตวั ในแนวราบ ทห่ี น้าตดั ท่ี 1 และ 2 มี ขนาดเสน้ ผา่ ศนู ยก์ ลางเทา่ กบั D และ 0.5D ตามลาํ ดบั ถา้ ในหลอดมานอรม์ เิ ตอรว์ ดั ความดนั สถติ สามรถอา่ นคา่ ความความแตกตา่ งของระดบั น้ําไดเ้ ทา่ กบั h จงหาอตั รา การไหลของน้ําทผ่ี า่ นมาตรวดั โดยสมมตุ ใิ หก้ ารสญู เสยี พลงั งานเกดิ ขน้ึ น้อยมาก การไหลไมแ่ ปรเปลย่ี นตามเวลา และของไหลเป็น Ideal Fluid วธิ ที าํ พจิ ารณาจากสมการ Bernoulli ของน้ําทเ่ี ดนิ ทางจากหน้าตดั ท่ี 1 ไปหน้าตดั ท่ี 2 จะไดว้ า่ z1  P1  V12  z2  P2  V22  2g  2g เน่ืองจากมาตรวดั วางตวั ในแนวราบดงั นนั้ z1 = z2  P1  P2  V22  V12 ------- (1)  2g P1  W h1 พจิ ารณาความดนั สถติ P2  W h2   P1  P2  W h1  h2   W h ------- (2) จากสมการความต่อเน่ืองจะไดว้ า่ Q1 = Q2  A1V1  A2V2  V2  A1 V1   D1 2 V1   D 2 V1  4V1 ------- (3) A2 D2 0.5D แทนคา่ (2) และ (3) ใน (1) W h  4V12  V12  15V12  2gh W 2g V1  2gh ------- (4) Ans 15 Q  A1V1    D2  2gh 4 15 ธญั ดร ออกวะลา Energy Equation

4-12 Fluid Mechanics 4.3 สมการพลงั งาน (Energy Equation) เน่ืองจากสมการ Bernoulli เป็นสมการความสมั พนั ธข์ องเฮดภายใตส้ มมตุ ฐิ านทไ่ี มม่ กี ารสญู เสยี พลงั งาน หรอื การแลกเปลย่ี นพลงั งานระหวา่ งระบบกบั สงิ่ แวดลอ้ ม แต่ในการไหลจรงิ ของไหลอาจมกี ารสญู เสยี พลงั งานใหก้ บั ตวั กลางระหวา่ งการเดนิ ทาง (การสญู เสยี หลกั ) เชน่ การไหลในทอ่ ของไหลจะมกี ารสญู เสยี พลงั งานใหก้ บั ผนงั ทอ่ อนั เน่ืองมาจากแรงเสยี ดทาน หรอื ของไหลอาจเกดิ การสญู เสยี พลงั งานจากการเปลย่ี นแปลงความเรว็ อยา่ งกะทนั หนั (การ สญู เสยี รอง) เชน่ การไหลในทอ่ บรเิ วณวาลว์ และขอ้ งอต่างๆ หรอื ของไหลอาจเคลอ่ื นทผ่ี า่ นอุปกรณ์ทส่ี ามารถเพมิ่ พลงั งานใหก้ บั ระบบหรอื ดงึ พลงั งานออกจากระบบ (Pump and Turbine) ดงั นนั้ ในหวั ขอ้ น้ีจะเป็นการประยกุ ตส์ มการ พลงั งานของ Bernoulli กบั การไหลในสถานการณ์ต่างๆ ดงั ทก่ี ลา่ วมา 4.3.1 การสญู เสียเฮดของการไหลในท่อ (Head loss) การสญู เสยี เฮดสามารถจาํ แนกไดเ้ ป็น 2 ประเภทดงั น้ี - การสญู เสียหลกั (Major loss) เป็นการสญู เสยี เฮดทเ่ี กดิ จากแรงเสยี ดทานบรเิ วณผนงั ทอ่ หรอื เรยี กอกี ชอ่ื หน่ึงวา่ การสญู เสยี เน่ืองจากความฝืด (Friction head loss) ซง่ึ การสญู เสยี เฮดประเภทน้ีจะเกดิ อยา่ ง ต่อเน่ืองตลอดชว่ งความยาวของการไหล สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ชค้ อื hf - การสญู เสียรอง (Minor loss) เป็นการสญู เสยี เฮดทเ่ี กดิ ขน้ึ บรเิ วณทค่ี วามเรว็ ของของไหลมกี าร เปลย่ี นแปลงอยา่ งกะทนั หนั ซง่ึ การสญู เสยี เฮดประเภทน้ีมกั จะเกดิ ขน้ึ บรเิ วณจุดเช่อื มตอ่ ทางเขา้ ออก หรอื จุดทม่ี อี ุปกรณ์ประกอบต่างๆ (Fitting Devices) เชน่ ขอ้ ตอ่ ขอ้ งอต่างๆ วาลว์ เป็นตน้ สญั ลกั ษณ์ทใ่ี ช้ คอื hm รปู ท่ี 4.6 การสญู เสยี เฮดของการไหลในทอ่ จากสมการของ Bernoulli หากพจิ ารณาการสญู เสยี เฮดเขา้ ไปดว้ ย จะไดว้ า่ z1  P1  V12  z2  P2  V22   hf   hm  ------- (4.12)  2g  2g Energy Equation ธญั ดร ออกวะลา