Higher Algebra

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ເວຌລໆ າ ຍໆ ມ຅ີ າຌລຌ຅ຄິ ໃຈ໅ ຋ໆ ຉີ ຨຍ຦ະໜຨຄ຋ຄ຦ຨຄ ຦ມົ ຏຌົ ຂາ໇ ຄເ຋ຄິ ຌ.ີ໇ ຈໆ ຄຌຌ໇ ກໆ ມໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຨາຈ຅ະເຎຌກໆ ມ຋ໆ ມີ ີ 1 ຨຄົ ຎະກຨຍ ວ ຨາຈເຎຌ ກໆ ມຍໆ ຦ຌິ໇ ຦ຈ ວ ເຎຌກໆ ມ ເຎໆ ົາ. 2. ຩູຍຩໆ າຄຉໆ າຄ໅ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ 2.1 ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ 2x2 ຋າຄຈາ໇ ຌເ຤ຂາ຃ະຌຈິ ແຉໆ ຤ະ຦ມົ ຏຌົ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ. aa2111xx  a12 y  b1  a22 y  b2 ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເ຦ຌ໇ ຆໆ ໃຌແຏໆ ຌຑຽຄ x O y , ແຐຈ (x1 , y1) ຅ະເຎຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ກໆ ຉໆ ເມໆ ຨ ມເີ ມຈ຋ໆ ມີ ຉີ ລົ ຎະ຦າຌ຃ (x1 , y1) ໃຌ຦ຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ຋ໆ ມີ ຦ີ ມົ ຏຌົ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ , ເລາົ໇ ຨກີ ຢໆ າຄໜໆ ຄຶ ລໆ າ ເມຈ຋ໆ ມີ ີ ຉລົ ຎະ຦າຌ (x1 , y1) ແມໆ ຌເມຈຉຈ຤ະວລໆ າຄ຦ຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ຋ໆ ມີ ຦ີ ມົ ຏຌົ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . ຉລົ ຢໆ າຄ 2: ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . (1) 2x  y  4 y  2  x  y  2 2x  y  4 1 2 x 1 x y  2 0 -1 -2 -3 -4 ( ຩູຍ 1 ) ຦ຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (1) ຉຈກຌຢໆ ູ (2, 0 ) ຈໆ ຄຌຌ໇ , ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (1) ຅ໆ ຄຶ ມຑີ ຽຄແຉໆ ໜໆ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ ຃ (2, 0 ) 93

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ (2) x  y  4 x–y=2 x–y=4 x  y  2 y x 0 123456 -1 -2 -3 -4 ຦ຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (2) ຂະໜາຌກຌ ຈໆ ຄຌຌ໇ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (2) ຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ . (3)  xy2  x  y  2 y 2 1 X 0 12 x+y=2 -x – y = -2 ຦ຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (3) ເຉຄກຌ. ຈໆ ຄຌຌ໇ , ຉລົ ຎະ຦າຌໃຌ຋ກ໅ເມຈຂຨຄເ຦ຌ໇ ຆໆ ຌີ໇ ແມໆ ຌ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (3) ວ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (3) ມໃີ ຅ຏຌົ ຍໆ ຦ຌິ໇ ຦ຈ. 2.2 ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌ 3x  2 y  z  2  ໃວ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (a)  y3  2z  4 3x  2 y  z  2  (b)   3x  y  z  5  3x  2 y  z  2 94

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (a) ຦າມາຈຆຨກໄຈຄ໇ ໆາງໂຈງແ຋ຌ຃ໆ າ y =3 ແ຤ະ z =2 ໃ຦ໆ ຦ມົ ຏຌົ (1) ຅ະໄຈ໇ 3 x + 2(3) - 2 = 2  x  2 ຦ະຌຌ໇ (2, 3, 2) ແມໆ ຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (a) ຦າ຤ຍ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (b) ເວຌລໆ າຆຨກໃ຅ຏຌົ ງາກກລໆ າ. ຉາມ຃ລາມ຅ຄິ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (b) ມໃີ ຅ຏຌົ ຈຽລກຍ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ( a ) ເຆໆ ຄິ ເວຌໄຈເ໇ ມໆ ຨຍລກ຦ຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຋າຨຈິ ເຂາົ໇ ກຌ຅ະໄຈ໇ 3x  2 y  z  2  3x  y  z  5 y3 ເມໆ ຨ (x, y, z) ແມໆ ຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຦ມົ ຏຌົ (b) ແ຤ລ໇ ມຌຉຨຍ຦ະໜຨຄເຄໆຨຌໄຂຂຨຄ຋ກ໅຦ມົ ຏຌົ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແ຤ະ ຉຨຍ຦ະໜຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆໄີ ຈ຅໇ າກກາຌຍລກ຦ຨຄ຦ມົ ຏຌົ ໃຈໜໆ ຄຶ ໃຌ຤ະ ຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . ຈໆ ຄຌຌ໇ , (x, y, z) ຉຨ໇ ຄຉຨຍ຦ະໜຨຄ຦ມົ ຏຌົ ໃໝໆ ຋ໆໄີ ຈ຅໇ າກຏຌົ ຤ຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໜີ ໆ ຄຶ ກຍ ຦ມົ ຏຌົ ຋຦ີ າມ. 3x  2y  z  2 3x  2 y  z  2 2z  4 ຈໆ ຄຌຌ໇ , ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (b) ກ຃຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (a) ແ຤ະ ມຑີ ຽຄແຉໆ ໜໆ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ ຃ (2, 3, 2) . ຌງິ າມ 1: ຦ຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ມີ ີ ຉລົ ຤ຍເ຋ໆ າົ ກຌ ແ຤ະ ມກີ ໆ ມໃ຅ຏຌົ ຨຌຈຽລກຌ. ເຑໆ ຌິ ເຨຌີ໇ ລໆ າ ຦ຨຄ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌ.ເຆໆ ຌລໆ າ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (a) ແ຤ະ (b) ຂາ໇ ຄເ຋ຄິ ຌ຋ີ໇ ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌ. ເວຌລໆ າ ເມໆ ຨຎໆ ຽຌ຤າຈຍຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຅ະໄຈ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃໝໆ ຋ໆ ຋ີ ຽຍເ຋ໆ າົ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເຈມີ ເຆໆ ຌ x  2y  4 4x  y  6 3x  y  2 ແ຤ະ 3x  y  2 4x  y  6 x  2 y  4 ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຌ. ຂ຦໇ ຄເກຈ ເມໆ ຨ຃ຌູ ຅າຌລຌໃຈໜໆ ຄຶ ຋ໆ ຉີ ໆ າຄ຦ູຌໃ຦ໆ ຦ມົ ຏຌົ ໃຈໜໆ ຄຶ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຅ະໄຈ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃໝໆ ຋ໆ ຋ີ ຽຍເ຋ໆ າົ ກຍ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເຈມີ . ຦ະວຍ ຦ະວຍແ຤ລ໇ ເຩາົ ຦າມາຈໃຆວ໇ ກກາຌ຤ລມ 3 ລ຋ິ ຉີ ໆໄຎຌກີ໇ ຍ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຅ະໄຈ໇ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຋ໆ ຋ີ ຽຍເ຋ໆ າົ ກຍ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເຈມີ . 95

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ (a) ເຩາົ ຦າມາຈຏຌຎໆ ຽຌ຤າຈຍຂຨຄ຦ມົ ຏຌົ . (b) ເຩາົ ຦າມາຈ຃ູຌ຦ມົ ຏຌົ ໃຈໜໆ ຄຶ ໃວ຅໇ າຌລຌ຅ຄິ ຉໆ າຄ຦ູຌ. (c) ເຩາົ ຦າມາຈຍລກກຌເຑໆ ຨໃວໄ໇ ຈ຦໇ ມົ ຏຌົ ໃໝໆ ຨກີ . 2.3 ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂະໜາຈ mn ຌງິ າມ 2: ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨຂະໜາຈ mn , ຊາ໇ ລໆ າໃຌ຦ມົ ຏຌົ ຋ີ k . ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄຉລົ ຤ຍ (k - 1) ຉລົ ຋າຨຈິ ເ຋ໆ າົ ຦ູຌໝຈົ ແຉໆ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄຉລົ ຤ຍ xk ຉໆ າຄ຦ູຌ ( k = 1 , 2 , 3 ...n ) ເຑໆ ຌິ ເຨຌີ໇ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌລີ໇ ໆ າ຤ະ ຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍຩໆ າຄຩູຍ຦າມແ຅. ຉລົ ຢໆ າຄ 3: ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ 3x  2 y  z  1 1  2  yz2 3  2z  4 ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍຩໆ າຄ຦າມແ຅ ເວຌລໆ າ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍຩໆ າຄ຦າມແ຅ແກຄ໇ ໆາງເຆໆ ຌ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂາ໇ ຄເ຋ຄິ ຌີ໇ ຅າກ຦ມົ ຏຌົ (3) ຅ະໄຈ໇ z  2 . ເມໆ ຨແ຋ຌ z  2 ໃ຦ໆ ຦ມົ ຏຌົ (2) ຅ະໄຈ໇ y = 4 ແ຤ະ ເມໆ ຨແ຋ຌ z  2 , y = 4 ໃ຦ໆ ຦ມົ ຏຌົ (1) ຅ະໄຈ໇ x  3 ຂະຍລຌກາຌແ຋ຌ຃ໆ າຂຨຄຉລົ ຤ຍແຉໆ ຤ໆ ມຂຌຶ໇ ເ຋ຄິ ຌີ໇ ມຆີ ໆ ລໆ າ: ຂະຍລຌກາຌແ຋ຌ຃ຌວຄ. ຉລົ ຢໆ າຄ 4: ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ x  y  2z  w  3  y  z  2w  2   2z  3w  4  5w  5 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ ໃຆຂ໇ ະຍລຌກາຌແ຋ຌ຃ຌວຄ຅ະໄຈ:໇ 5w  5  w  1 2z  31  4  z  1 2 y  1  21  2  y  1 22 x  1  2 1  1  3  x  7 2 2 2 96

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ແ຤ະ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ໃີ ວມ໇ າແມໆ ຌ  7 , 1, 1 , 1 2 2 2 ເມໆ ຨ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂະໜາຈ nn ຍໆ ຢໆ ູໃຌຩູຍຩໆ າຄ ຩູຍ຦າມແ຅, ເຩາົ ໃຆວ໇ ກກາຌ຃າຌລຌ ຦າ຤ຍ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເຑໆ ຨຎໆ ຽຌຩູຍຩໆ າຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ໃີ ວມ໇ າໄຎ຦ໆ ູ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍຩໆ າຄ ຩູຍ ຦າມແ຅ ເຆໆ ຄິ ຋ຽຍເ຋ໆ າົ ກຍ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເຈມີ . ຉລົ ຢໆ າຄ 5. ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ .  x  2z 1 R1  R2  2x  y  z  2 R3 5x  y  2z  0 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ ຍລກແຊລ຋຦ີ ຨຄ ແ຤ະ ແຊລ຋ີ ຦າມ (R2 + R3) ໄຈ ໇  x  2z 1   2x  y  z  2  7x  3y  2  R4  ຃ຌູ -7 ໃ຦ໆ ແຊລ຋ີ 1 ຍລກກຍແຊລ຋ີ 3 (--7R1 + R4 ) ໄຈ ໇  x  2z 1   2x  y  z  2  11z  5 ໃຆຂ໇ ະຍລຌກາຌແ຋ຌ຃ຌ຅ະໄຈ໇ z 5; y  15 ; x 1 11 11 11  x  2y  z  3 (R1 ) ຉລົ ຢໆ າຄ຋ີ 6: ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ 3x  y  3z  1 (R2 ) (R3 )  2x  3y  z  4 ລ຋ິ ແີ ກ:໇  3R1  R2 ແ຤ະ  2R1  R3 ໄຈ ໇  x  2 y  z  3 (R1)   7 y  6z  10 (R2 )    y  z  2 97

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ຅າກ  1 ( R2 )  (R3 ) ໄຈ ໇ 7  x  2y  z  3   7 y  6z  10     1 z  4 77 ໃຆຂ໇ ະຍລຌກາຌແ຋ຌ຃ຌໄຈ໇ z  4; y  2; x  3 ຦ະຌຌ໇ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ໃີ ວມ໇ າແມໆ ຌ  3 ,  2 , 4 ກຈິ ຅ະກາ: 1. ຅ໆ ຄົ ຍຨກ຅າຌລຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຉໆໄຎຌໂີ໇ ຈງໃຆລ໇ ຋ິ ເີ ຤ຂາ຃ະຌຈິ . x  y  4  2x  y  3  x y 1 x  y  2  1 2   4x  2 y  6 3  x y 1   x  3y  3 2.຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ .  x  y  2z  9  x  y  2z 1  1 x2y  2x  y  2z  3  3 0 1  2x  y  3z  9 2 3 5x  2 y  3z  0  3x 18y  0 4 2x  5y  8  0  x y  2 6  x  y 1   23  x  7 y 15  0 5 2x  y  1  x  2 y  1 x  3y  9  xyz8  7  2y  z  5  3y  9 3 ກາຌແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຈລ໇ ງລ຋ິ ໃີ ຆ໇ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງ (ລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄ ກາລ຦)໌ . ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ : 98

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ a11x1  a12 x2  . . .  a1n xn  b1   a2 1x1  a22x2 . . .  a2n xn  b2  . . . . .   . .. .. . . . . .  am1x1  am2 x2  . . .  amn xn  bm ມຩີ ູຍຩໆ າຄ:  a11 a12 . . . a1n b1   a21 a22 . . .a2n b2    . . . . .. .  . . . . .. .    . . . . .. .  am1 am2 . . .amn bm  ຉລົ ຢໆ າຄ 1: ໃວ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ :  x  2y  z  3 3x  y  3z  1  2x  3y  z  4 ເມໆ ຨເຨາົ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄແຉໆ ຤ະຉລົ ຤ຍໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ໃີ ວມ໇ າຂາ໇ ຄເ຋ຄິ ຌ.ີ໇ ມາຂຽຌໃຌຩູຍຩໆ າຄມາຉຣ຦ິ , ຅ະໄຈ ໇ 1 2 1  3 1  3 2 3 1  ມາຉຣ຦ິ ຌມີ໇ ຆີ ໆ ລໆ າ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . ເມໆ ຨຉໆ ມຊຌ຦າຎະ຦ຈິ ເຨກະ຤າຈ ໃ຦ໆ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຅ະໄຈ໇ ມາ ຉຣ຦ິ ໃໝໆ . 1 2 1 3  3 1  3 1 2 3 1 4  ເຆໆ ຄິ ເຨຌີ໇ ລໆ າ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . ກາຌຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງເ຋ຄິ ຌີ໇ ຈລ໇ ງ ລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄກາລ຦ແ໌ ມໆ ຌ : 1 2 1 3   0  7 6  10   3R1R2  2R1  R3 0 1 1  2  99

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 1 2 1 3  1  7  0  7  6 10     R2 R3 0  z4  0 1  4  7 7 ຅າກແຊລ຋ີ 2 ຅ະໄຈ:໇  7 y  6z  10  y  2 ຅າກແຊລ຋ີ 1 ຅ະໄຈ:໇ x  3  2y  z  3  2(2)  4  x  3 ຉລົ ຢໆ າຄ 2: ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . x  2  3z  1   2x  4 y  z  4 3x  3y  2z  2 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ ຎໆ ຽຌ຅າກ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເ຦ຌ໇ ຆໆ ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງ. 1 2 3 1 1 2 3 1  2  4 1   0  4  8 7 6  R2  2R1 3  3 2 2  3  3 2 2  1 2 3 1   0  8 7 6  0  9  7 5  R3 3R1 1 2 3 1   6  0 1 7    1 R2 9 8 8  8 0 7 5    1   2 3 1   0 1 7 6   0 0 8 8 7 14  8  8  R3  9R2 ຅າກແຊລ຋ີ 3 ຅ະໄຈ໇ 100

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ  z  2 7 z   14 88 ຅າກແຊລ຋ີ 2 ຅ະໄຈ໇ y   6  7 z   6  7 (2)  y  1 88 88 ຅າກແຊລ຋ີ 1 ຅ະໄຈ໇ x  1 2y  3z  1 2(1)  3(2)  x  3 ຦ະຌຌ໇ , ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແມໆ ຌ (3, 1,  2) 3.1 ຩູຍຩໆ າຄຂຌ໇ ໄຈຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ (Forme ď Echelon de la Matrice ) ມຍີ າຄກ຤ະຌເີ ຩາົ ຍໆ ຦າມາຈ ຎໆ ຽຌ ມາຉຣ຦ິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໄຎ຦ໆ ູຩູຍ຦າມແ຅ໄຈເ໇ ຆໆ ຌ : ຉລົ ຢໆ າຄ 3: 1 1 1 1 1 1    1 1 0 0 1 1   2 2 0 0 3 1    0 0 1 1 3 1   1 1 2 2 4 1  1 1 1 1 1 1    0 0 1 1 2 0   0 0 0 0 1 3   0 0 0 0 1  1  0 0 0 0 1 0  1 1 1 1 1 1     0 0 1 1 2 0   0 0 0 0 1 3    0 0 0 0 1 1   0 0 0 0 1 0  1 1 1 1 1 1     0 0 1 1 2 0   0 0 0 0 1 3    0 0 0 0 0 4   0 0 0 0 0  3  101

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ມາຉຣ຦ິ ຋ໆໄີ ຈມ໇ າຍໆ ແມໆ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅, ຦ຨຄແຊລ຦ຈ຋າ໇ ງຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຆຍີ໇ ຨກລໆ າ ox1  ox2  ox3  ox4  ox5   4 ox1  ox2  ox3  ox4  ox5   3 ຑຨ໇ ມກຌຌີ໇ ຍໆ ມ຅ີ າຌລຌຨຌຈຍໃຈ໅ ຋ໆ ຉີ ຨຍ຦ະໜຨຄຉາມ຦ຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຌ.ີ໇ ຦ະແຈຄລໆ າ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ໃີ ວ໇ ມາຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ . ມາຉຣ຦ິ ຦ຈ຋າ໇ ງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂາ໇ ຄເ຋ຄິ ຌມີ໇ ຩີ ູຍຩໆ າຄຂຌ໇ ໄຈ. 1 1 1 1 1 1     0 0 1 1 2 0  0 0 0 0 1 3    0 0 0 0 0  4   0 0 0 0 0  5  ຌງິ າມ: ຂະຍລຌກາຌຎໆ ຽຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ໃວເ໇ ຎຌ ມາຉຣ຦ິ ໃຌ ຩູຍຩໆ າຄຂຌ໇ ໄຈ ເຨຌີ໇ ລໆ າ ກາຌ຤ຍຶ ຂຨຄ ກາລ຦.໌ ຦ຄເກຈເວຌລໆ າ ເມໆ ຨ ມາຉຣິ ຦ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ຢີ ໆ ູໃຌຩູຍຩໆ າຄຂຌ໇ ໄຈວາກມີ ແຊລ຋ໆ ມີ ຩີ ູຍຩໆ າຄ ( 0 0 0 1 1 ) ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌຌ໇ ຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ . ໃຌກ຤ະຌກີ ຄົ ກຌຂາ໇ ມ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌຌ໇ ມໃີ ຅ຏຌົ ເມໆ ຨ ມາຉຣ຦ິ ໃຌຩູຍຩໆ າຄ ຂຌ໇ ໄຈຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ວາກເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅; ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌຌ໇ ມຑີ ຽຄແຉໆ ໜໆ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ . ຉລົ ຢໆ າຄ 4:  1 2 1  1 2 1      (1)  1 1 3    0 1 2   1 2 2   0 0 3  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຌຍີ໇ ໆ ມໃີ ຅ຏຌົ  1 2 1 1  1 2 1 1   2  1  (2)  2 1 1 5   0 1 0  35 0 5 4 1 1   0 0 2 1     2 5  0 0 0  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຌມີ໇ ຑີ ຽຄ ໜໆ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ ຃ x 7 , y 1 , z1 10 10 2 102

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 1 2 1 1 1 2 1 1     1  (3)  2 1 1 2    0 1 0  3 3 0 5 4 4  0 0 0      3 1 2 3   0 0 0 0  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຌມີ໇ ວີ າງໃ຅ຏຌົ . ຦ມົ ມຈ x3   ເຩາົ ຅ະໄຈ ໇ x2   0.2x3   0.2 x1  1 2x2  x3 1 0.6x3  1 0.6 ຈໆ ຄຌຌ໇ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຅ະຢໆ ູໃຌຩູຍຩໆ າຄ (10.6a),  0.2a, a) , a  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ກີ ໆ ຽລຂຨ໇ ຄກຍ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງ ໃຌຉລົ ຢໆ າຄ 4 ຂ໇ (1), (2), (3) ເຨຌີ໇ ລໆ າ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເກຌີ ( ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ຅ີ າຌລຌ ຦ມົ ຏຌົ ວາງກລໆ າ ຅າຌລຌຉລົ ຤ຍ ). 1 2 1 1  1 2 1 1  (4) 2   0  4 2 3  0 0 1  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂຨຄ ມາຣ຦ິ ຌຍີ໇ ໆ ມໃີ ຅ຏຌົ .  1 1 1 1 1 2  1 1 1 1 1 2      (5)  1 1 1 2 2 3    0 0 0 11 1   1 1 1 2 3 2   0 0 0 0 1 1  ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຌີ໇ ມວີ າງໃ຅ຏຌົ ແ຤ະ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄມຌ຅ະຢໆ ູໃຌຩູຍແຍຍ (1 a b , a , b , 2 1 ) ເຆໆ ຄິ a ,b  . ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ກີ ໆ ຽລຂຨ໇ ຄກຍ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງໃຌຉລົ ຢໆ າຄ 4 ຂ໇ (4), ຂ໇ (5) ເຨຌີ໇ ລໆ າ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຍໆ ຑ (຅າຌລຌ຦ມົ ຏຌົ ວາງກໆ ລາ ຅າຌລຌຉລົ ຤ຍ). ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແຍຍຌີ໇ ຨາຈ ຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ ວ ຊາ໇ ມໃີ ຅ຏຌົ ຅າຌລຌໃ຅ ຏຌົ ຅ະວາງຍໆ ຦ຌິ໇ ຦ຈ, ຅ະຍໆ ມກີ ຤ະຌຑີ ຽຄໃ຅ຏຌົ ຈຽລ. ຉລົ ຢໆ າຄ 5. ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຉໆ ໄຎຌ.ີ໇  2x  y  z  3t 10  x  3y  z  2t   2 3x  2 y  3z  4t  4  2x  y  z  3t  6 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ ຌາເຨາົ ຦າຎະ຦ຈິ ແ຤ະ ຉລົ ຃ຄົ ຃ໆ າມາຂຽຌເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງ຦ມົ ຏຌົ ໄຈ໇ 103

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ  2 1 1  3 10      1 3 1 2 2   3 2 3 4 4   2 1 1 3 6   1 3 1  2  2  R1  R2     2 1 1 3 10   3 2 3 4 4   2 1 1 3 6  1 3 1  2  2      0 7 1 1 14  R2 2R1 7 0 6 10 10  R3  3R1  R4  2R1  0 0 3 7 10  1 3 1  2  2      0 7 1 1 14  0 5 0 9 4    0 0 2 6  4   1 3 1  2  2      0 7 1 1 14  0 5 0 9 4     0 0 1 3  2  1 R4 2  1 3 1  2 2     0 7 0 2 16  R2  R4 0 1 3 R3  4R4 0 4    0 0 1 3  2   1 3 0 1 4  R1  R4   R 4  R3   0 7 0 2 16   0 0 1 3  4   0 0 0 6  6  104

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ  1 3 0 1 4  1   7 R2   0 7 00 14  1  0 0 1 3 6 R4 4    0 0 0 1 1   1 3 0 0 3  R1  R4   1  0 1 00 2  7 R2   0 0 10 R3  3R4 7    0 0 0 1 1  1 0 0 0 3  R1  3R2     0 100 2   0 010  7  0  0 0 1  1  ຈໆ ຄຌຌ໇ x 3 ; y  2 ; z 7 ແ຤ະ t  1 ກຈິ ຅ະກາ: ຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຈລ໇ ງລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄ ກາລ຦໌  x1  2x2  x3  2  (1)  3x1  x2  2x3 1  4x1  3x2  x3 3 2x1  4x2  2x3  4 2x  2 y  3z  1  (2)  x  y 3z  4  x  3y  z   4  2x  y  z  7 (3) x  4 y  z  1  3x  5y  z  5 4. ກາຌແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຈລ໇ ງລ຋ິ ໃີ ຆ໇ ເຈແຉກມຌີ ຄ ກຈົ ເກຌ ຃ຣາມເມີ ( Cégle de Crame ) ຦ມົ ຏຌົ ແ຤ະ ຉລົ ເຩາົ ຦າມາຈຌາໃຆ໇ ເຈແຉກມຌີ ຄ ໃຌກາຌຆຨກວາ຃າຉຨຍ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ມີ ີ ຤ຍ ໂຈງເຩາົ ເ຤ໆ ມີ ຅າກກາຌ຦ຄເກຈ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . 105

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ຅າກ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ : aa2111xx  a12 y  c1 (1)  a22 y  c2 ເຑໆ ຨຆຨກວາ຦ູຈ ຦າ຤ຍກາຌຆຨກວາ຃ໆ າຂຨຄ ເຩາົ ຅ະເ຤ໆ ມີ ຅າກ: x a11 a12 a21 a22 ຨຄີ ຉາມ຤ກ຦ະຌະຂຨຄ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຊາ໇ B ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຋ໆໄີ ຈ຅໇ າກກາຌ຃ູຌຨຄົ ຎະກຨຍຂຨຄ ແຊລ ວ ຊຌໃຈໝໆ ຄຶ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຈລ໇ ງ, K  , ຅ະໄຈ໇ B  K A ເຆໆ ຌ: Ka11 Ka12 Ka13 a11 a12 a13 a21 a22 a23  K a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a33 ເຩາົ ມີ x a11 a12  a11x a12 a21 a22 a21x a22  a11x  a12 y a12 ໄຈ຅໇ າກເຨາົ ຊຌ຋ີ 2 ຃ູຌ y ແ຤ລ໇ ຍລກກຍຊຌ຋ີ 1 a21x  a22 y a22  c1 a12 ຅າກ຦ມົ ຏຌົ (1) c2 a22 ຈໆ ຄຌຌ໇ c1 a11 (2) x  c2 a22 a11 a12 a21 a22 ຦ູຈ຦າ຤ຍກາຌຆຨກວາ ຃ໆ າ y ເຩາົ ເ຤ໆ ມີ ຅າກ: y a11 a12 ( ຨຄີ ຉາມ຃ຌ຤ກ຦ະຌະ຃ກຌກຍ ກາຌຆຨກ x ) a21 a22 y a11 a12  a11 a12 y a21 a22 a21 a22 y  a11 a12 y  a11x ໄຈ຅໇ າກເຨາົ ຊຌ຋ີ 1 ຃ູຌ x ແ຤ລ໇ ຍລກກຍຊຌ຋ີ 2 a21 a22 y a21x  a11 c1 ຅າກ ຦ມົ ຏຌົ (1) a21 c2 106

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ a11 c1 (3) ຈໆ ຄຌຌ໇ y  a21 c2 a11 a12 a21 a22 ຅າກ຦ມົ ຏຌົ ຋ີ (2) ແ຤ະ ຋ີ (3) ຅ະເວຌລໆ າ: ຑູຈແມໆ ຌ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຅າຌລຌຑູຈຂຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຋ີ (2) ເຎຌເຈແຉກມຌີ ຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຋ໆ ໄີ ຈ຅໇ າກ ກາຌແ຋ຌຊຌຂຨຄ x a11  ຈລງ໇ a21   c1  ແ຤ະ ຅າຌລຌຑູຈຂຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຋ີ (3) ແມໆ ຌເຈແຉກມຌີ ຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຋ໆໄີ ຈ຅໇ າກກາຌແ຋ຌຊຌຂຨຄ c2   y a12  ຈລ໇ ງ  c1  . ຊາ໇ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຍໆ ເ຋ໆ າົ ກຍ຦ູຌ. ຤ະຍຍົ a  c2  2 2   ຦ມົ ຏຌົ ຅ະມຑີ ຽຄໃ຅ຏຌົ ຈຽລ ແຉໆ ຊາ໇ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ເ຋ໆ າົ ຦ູຌ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຨາຈ຅ະຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ ວ ມໃີ ຅ຏຌົ ຍໆ ຦ຌິ໇ ຦ຈ. ຉລົ ຢໆ າຄ 1: ຅ໆ ຄົ ຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . 2x  3y  19 2x  2 y  4 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ ຂຽຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍແຍຍ ຦ມົ ຏຌົ ມາຉຣ຦ິ ໄຈ໇ 2 3 x   19  2  2  y     4  A X C ຆຨກ   det(A)  A  2 3  10 2 2 19 3 x  4  2   50  5 10 10 2 19 y  2 4   30  3 10 10 ຈໆ ຄຌຌ໇ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌີ໇ ແມໆ ຌ x  5, y  3 . 4.1 ກຈົ ເກຌ ຂຨຄ຃ຣາມເມີ ( Regle de Cramer ) 107

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ຅າກ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ  a11x1  a12 x2  . . .  a1n xn  c1 a21x1  a22 x2  . . .  a2n xn c2  . ... .   . ... . . ... .  an1x1  an2 x2  . . .  an xn  cn ຊາ໇ ໃວ໇  ເຎຌ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ A , ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແມໆ ຌ x1  1 ; x2  2 ;. . . ; xn  n    ໂຈງໃວ໇  n ເຎຌ ເຈແຉກມຌີ ຄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຋ໆໄີ ຈ຅໇ າກກາຌແ຋ຌຍໆ ຨຌຊຌ຋ີ n ຂຨຄ ເຈແຉກມຌີ ຄ  ຈລ໇ ງ ຊຌ຅າຌລຌ຃ຄົ ຃ໆ າ. ຉລົ ຢໆ າຄ 2: ຅ໆ ຄົ ຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . 2 x1  x2  x3 2 2 3x1  2 x2  3x3   5x1  3x2  x3  9 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ 21 1   det(A)  3  2 3 = 4 + 9 + 15 + 10 -18 + 3 =23 5 3 1 2 11 1   2  2 3  4  6  27 18  2 18  23 9 3 1 x1  1  23 1  23 22 1 2  3  2 3  4  27  30 10  54  6  23 5 9 1 x2  2  23 1  23 108

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 21 2 3  3  2  2  36 18 10  20  27 12  23 53 9 x3  3   23  1  23 ຈໆ ຄຌຌ໇ , ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແມໆ ຌ x1  1 ; x2  1 ; x3  1 ຉລົ ຢໆ າຄ 3: ຅ໆ ຄົ ຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ .  x  y  z  2w  2 2x  y  3z  3w  1   3x  2y  w7  2x  y  z  2 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ 1 1 1  2 1 3 3 2 3 3   2 1  3 3  (1) 2 0 1  (1) 3 0 1 32 0 1 1 1 0 2 1 0 2 1 1 0 213 2 1 3  (1) 3 2 1  (2) 3 2 0 210 2 1 1   8 13  3  4   20 2 1 1  2 1 3 3 1 3 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3 3 1  7 2 0  2 2 0 1  (1) 7 0 1  (1) 7 2 1  (2) 7 2 0 1 1 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 1 2 1 1 0  12  6  2  21 6 1 21 2 12 1 4  42  24 14  40 x  1   40  2   20 1 2 1 2 2 1 3 3 y  2  0 0 2  3 7 0  0,   20 1 2 2 1 0 109

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 2 z  3   40  2 1 1 2 3   20 211  40 , 3  3 2 7 1 212 0 1 1 1 2 2 1 3 1 w  4   20 1 4  3 2  20 ,   20 07 11 12 ຈໆ ຄຌຌ໇ , ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌແີ໇ ມໆ ຌ x  2 ; y 0 ; z  2 ; w  1 ຉລົ ຢໆ າຄ 4: ຅ໆ ຄົ ຆຨກວາ຃ໆ າຂຨຄ z ຅າກ຦ມົ ຏຌົ ໂຈງໃຆ໇ ກຈົ ເກຌ ຃ຣາມເມ.ີ  x  y  5w  6  x  2 y  z  4 2 y  z  w  6  3x  4w  2 ລ຋ິ ແີ ກ:໇ 110 5 11 0 5   1 2 1 0  0 1 1  5 1 0 2 1 1 0 0 1 11 3 0 0  4 0 0 0 1 116 5 11 6 5 1 2 4 0 0 1 2 5   0 1 0 11   98 3 2 6 4 0 0 10  49 0 2 0 0 5 ຈໆ ຄຌຌ໇ z   z   98   98 1 z   98 110

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ຍຈົ ເຐີກວຈ 8 1. ຅ໆ ຄົ ແກ ໇ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຉໆ ໄຎຌຈີ໇ ລງ໇ ລ຋ິ ແີ ຋ຌ຃ໆ າ.  x1  x2  x3 8  2x2  x3 5 a   3x3  9  x1  x2  x3  x4  x5  5   2x2  x3  2x4  x5  1 b  4x3  x4  2x5 1  x4 3x5  0   2x5  2 2. ຅ໆ ຄົ ຂຽຌ຦ມົ ຏຌົ ຂະວງາງ ຂຨຄມາຉຣ຦ິ 1  2 5  2 1 4 1 3 1 2 (2) 1  1 3 0 2   2 1 5 3  3.ມາຉຣ຦ິ ຉໆໄຎຌີ໇ ແມໆ ຌມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ໆ ຢີ ໆ ູໃຌຩູຍຩໆ າຄຂຌ໇ ໄຈ. ຊາມລໆ າ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຈ຋ໆ ີ ເກາະກໆ າງກຍມາຉຣ຦ິ ເວໆ າົ ຌມີ໇ ໃີ ຅ຏຌົ ? ຊາ໇ ລໆ າ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌມີ໇ ຑີ ຽຄແຉໆ ໜໆ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ , ຅ໆ ຄົ ຆຨກໃ຅ຏຌົ ຈໆ ຄກໆ າລ. 1 2 5 1 3 1  c 0  a 0 1 3 1 1  0 0 1 0 0 0  1  2 2  2  b 0  1 1 3  0 0 1 2  4.ມາຉຣ຦ິ ຉໆໄຎຌີ໇ ແມໆ ຌມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ . ຅ໆ ຄົ ຆຨກໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຈໆ ຄກໆ າລ. 1 0 0 3  1 0 0 0 3  0  a 0 1 0 1  d  0 1 0 0 2   0 1 0 0 0 1  2  1   0 0 0 1  1  111

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 1 0 0 0  1 4 0 2  b 0  e 0  1 0 1  0 1 3  0 0 1 1 0 0 0 1  0 1 0 2  c 0  0 1 1  0 0 0 0  5.຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຉໆ ໄຎຌີ໇ ຈລງ໇ ລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄກາລ຦.໌  x2y  1  2x  y  z 0 x  2y  z  2  x  y  z  0 a  2 y  z  3 b 4x  3y  2z  2 c    x  y 2z 0  2z  4  2x  y 3z  0 3x  4 y  2z 1   y  z w  0  x2z  1  x  y  z  w  6 d   e  2x y z2  2x 4y  z  2w 1  5x  y  2z 0  3x  y  2z  2w  3 6.຅ໆ ຄົ ແກ຤໇ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ໆ ມຌຈີ໇ ລ໇ ງ ເຈແຉກມຌີ ຄ.  x  y  z 10  x1  x2  0  a x  2y 3 b  3x  z 13 c  x2  x3  2x4 1    x1  2x3  x4 0  3x  y 1  2x  y  z  9  x1  x2  x4  0  x1  x2  x3  0 x  2y 3z 7  2x  4y  z 1  d   2x2  x3  x4  4 e  2x z 0 f   2y 2  x2  2 x3  2x4 3    3x  y  0  x  3y  2z 3  2x2  x3  2x4   2 112

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ຍຈົ ຋ີ 9 ມາຉຣ຦ິ 1. ມາຉຣ຦ິ 1.1 ຌງິ າມ: ມາຉຣ຦ິ (Matrice) ຃ກື ຸ່ ມຂຨຄ຅າຌລຌ ວື ຉາ຤າເຆຸ່ ຄິ ຂຽຌ຤ຽຄກຌເຎຌຩູຍ຦ຸ່ ແີ ຅຦າກຑາງ ໃຌເ຃ຸ່ ຨື ຄ ໜາງ \"   \" ວື \"   \" ວື \" \". ໃຌ຋າຄເ຦ຈຊະ຦າຈມກີ າຌໃຆມັ້ າຉຣ຦ິ ເຂາົ້ັ ໃຌກາຌແກໄ້ັ ຂຍຌວາ ແ຤ະ ຦ະແຈຄຂມັ້ ູຌຈຸ່ ຄ ຉລົ ຢຸ່ າຄ ກາຌ຦ະແຈຄ຅າຌລຌເ຦ຨືັ້ ຉາມຆະຌຈິ ແ຤ະ ຂະໜາຈຂຨຄເ຦ຨື້ັ ໃຌຩາັ້ ຌ຃າ້ັ ແວຸ່ ຄໜຸ່ ຄຶ . ຂະໜາຈ ຆະຌຈິ ຆະຌຈິ ໃວງຸ່ ກາຄ ເ຦ຨື້ັ ເຆຈີ 10 5 4 ເ຦ຨື້ັ ຢືຈ 4 25 9 ເ຦ຨືັ້ ຩາລາງ 9 0 10 ເມຸ່ ຨື ຌາມາຂຽຌໃຌຩູຍ ມາຉຣ຦ິ ຅ະໄຈັ້ 10 5 4     4 25 9   9 0 10  ຊາ້ັ ມ຤ີ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ x  y  z  0 x  3y  5z  0 2x  y  6z  0 ເຩາົ ຦າມາຈຌາເຨາົ ຦າຎະ຦ຈິ ຂຨຄ x, y, z ມາຂຽຌໃຌຩູຍຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຅ະໄຈັ້ 1 1 1 1  3 5  2  1 6 ໂຈງ຋ຸ່ ລົ ໄຎເຑຸ່ ຌິ ມກໃຆຨ້ັ ກ຦ຨຌຑາ຦າ຤າແຉຄ ( Latin ) ຉລົ ຑມິ ໃວງຸ່ ຃:ື A, B, C... ແ຋ຌ ຆຸ່ ຂື ຨຄ ມາຉຣ຦ິ . ຦ຸ່ ລຌຨຄົ ຎະກຨຍ຅ະຂຽຌແ຋ຌຈລ້ັ ງ : a11, a12, a13 ... ຉາມ຤າຈຍ. ຩູຍຩຸ່ າຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ ແມຸ່ ຌ : 113

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  a11 a12 . . . a1n  ແຊລ຋ີ 1   ແຊລ຋ີ 2  a2 1 a22 .. . a2n  ແຊລ຋ີ m A= =  . . . .  . . .   .  . . . . am1 am2 . . . amn  ຊຌ຋ີ 1 ຊຌ຋ີ 2 ຊຌ຋ີ n ຅າຌລຌ຋ຸ່ ຂີ ຽຌ຤ຽຄກຌໃຌແຊລຌຨຌ ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ແຊລ ( ligne ) ຅າຌລຌ຋ຸ່ ຂີ ຽຌ຤ຽຄກຌໃຌແຊລຉຄັ້ ເຨຌີັ້ ລຸ່ າ ຊຌ ( colonne ) a11 ແມຸ່ ຌຨຄົ ຎະກຨຍຢຸ່ ູແຊລ຋ີ 1 ແ຤ະ ຊຌ຋ີ 1 ຅ະເວຌລຸ່ າມາຉຣ຦ິ A ມີ m ແຊລ, n ຊຌເຑຸ່ ຌິ ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ A ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m  n ກາຌຂຽຌມາຉຣ຦ິ ໃວ຦້ັ ຌ້ັ ກລຸ່ າຌຂີັ້ ຽຌໄຈຈັ້ ຸ່ ຄຌີ້ັ :  A  aij mn ເຆຸ່ ຄິ ມ຃ີ ລາມໜາງຈຸ່ ຄຌ:ີັ້ A ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m  n ວື ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ມີ ີ m ແຊລ n ຊຌ. aij ແ຋ຌຨຄົ ຎະກຨຍແຊລ຋ີ i ຊຌ຋ີ j ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ໂຈງ຋ຸ່ ີ i 1 , 2 , 3 , . . .m j  1 , 2 , 3 , . . .n. ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1:  A  aij 23 ຅ະໄຈລ້ັ ຸ່ າ i 1 , 2 j 1 , 2 , 3 A  a11 a12 a13  a21 a22  a2 3  ໜາງເວຈ: ກາຌຍຨກຉາແໜຸ່ ຄຨຄົ ຎະກຨຍຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຌີ້ັ ຉຨ້ັ ຄຍຨກຉາແໜຸ່ ຄຂຨຄແຊລກຸ່ ຨຌຊຌ. (1) ຃າລຸ່ າ \" ຂະໜາຈ \" ຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຍາຄເ຋ຸ່ ຨື ກເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ \" ມຉິ ິ \" ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ . (2) ກຈິ ຅ະກາ: 114

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ ໃວມັ້ າຉຣ຦ິ A  2 1 3 0 2 1 ຆຨກ a11  ? , a21  ? , a23  ? ຂະໜາຈຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ມເີ ຋ຸ່ າົ ໃຈ ? ຂຽຌແຍຍໃຈ ? 2. ກາຌ຃າຌລຌ ມາຉຣ຦ິ 2.1 ກາຌ຃າຌລຌມາຉຣ຦ິ ຦ມົ ມຈ :  a11 a12 . . . a1n     a2 1 a22 . . . a 2n  . . . . . . A    . . ... .  . . . . . .  am1 am2 . . . a mn     ເຑຸ່ ຌິ ມກຂຽຌວງ ັ້ ມາຉຣ຦ິ A ຂະໜາຈ m  n ຢຸ່ ູໃຌຩູຍຩຸ່ າຄ A  aij mn . ຦ມົ ມຈ: B  bij mn ແມຸ່ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m  n .    ຌງິ າມ 1: ເຑຸ່ ຌິ ເລາົັ້ ລຸ່ າ຦ຨຄ ມາຉຣ຦ິ A  aij mn ແ຤ະ B  bij mn ເ຋ຸ່ າົ ກຌຊາັ້ ລຸ່ າ aij  bij i , j ແ຤ະ ຂຽຌ A = B .  ຌງິ າມ 2: ຦ມົ ມຈ   , A aij mn ເມຸ່ ຨື ຃ຌູ  ໃວຨັ້ ຄົ ຎະກຨຍແຉຸ່ ຤ະຉລົ ຂຨຄມາຉຣ຦ິ A ຅ະໄຈ້ັ ມາຉຣ຦ິ ໃໝຸ່ ຋ຸ່ ຦ີ ຌງະ຤ກຈລັ້ ງ  A .   A  aij mn ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: ໃວ ັ້ A  0 1 2 3 2 5 1  0 1 1  0 3 6 2  2  9  6 15 A   1  ແ຤ະ 3 A   3 5  2 2 ໜາງເວຈ: ເຑຸ່ ຌິ ຂຽຌ - A ແ຋ຌ ( -1 ) A.  ຌງິ າມ 3: ຊາ້ັ A ແ຤ະ B ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m  n ຋ຄ຦ຨຄ ມາຉຣ຦ິ aij bij mn ເຨຌີັ້ ລຸ່ າ: ມາຉຣ຦ິ ຏຌົ ຍລກຂຨຄ A ແ຤ະ B ຦ຌງະ຤ກຈລັ້ ງ A + B. 115

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: 1 2 3  1 0 2  11 20 3  2  2 2 5 5 1 2 3 4 6 5  3 1 4 2  6 8 5 8 ຌງິ າມ 4: ເມຸ່ ຨື A ແມຸ່ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m  n ; B ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ n ໃຌກ຤ະຌີ ຌ຦ີັ້ າມາຈ ຃ູຌ A ໃວັ້ B . ເຆຸ່ ຄິ ຦ຌງະ຤ກຈລ້ັ ງ AB ແ຤ະ ຏຌົ ຂຨຄກາຌ຃ຌູ ຌແີັ້ ມຸ່ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ n . ຦ມົ ມຈ: AB = C n  cij  aik bkj k ຉລົ ຢຸ່ າຄ 3: 2 3 1  x1  2x1  3x2  x3  4 1 6    x2  6x3  (1).  x2    4x1   x3  (2). ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ :  3x  2y 1  x  y  2 ຦າມາຈຂຽຌໃຌຩູຍຩຸ່ າຄ ມາຉຣ຦ິ ໄຈຈັ້ ຸ່ ຄຌີັ້ 3 2 x  1  1  1  y 2 2 1 2 4 2 1  8 1  (3). ໃວັ້ A 0 4 0 1  3 0  12 2 2  4 4  2  6 ໂຈງ຋ຸ່ ລົ ໄຎ AB  BA ຦າມາຈຑ຦ິ ູຈລຸ່ າ຃າຢືຌຢຌຂຨຄວກເກຌຉຸ່ໄຎຌຊີັ້ ກື ຉຨ້ັ ຄ. ວກເກຌ ຦ມົ ມຈ  ,   ; A, B ແ຤ະ C ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ໃີ ວມ້ັ າ, ເລ຤າຌ:ີ້ັ 1 A B  B  A 2 ( A  B )  C  A  ( B  C ) 3 ( A B )C  A ( B C ) 4 A ( B  C )  A B  AC 5 ( A  B ) C  AC  BC 116

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ 6 (  ) A   ( A) 7  ( A B )  ( A) B  A ( B ) 8 (   ) A  A   A 9  ( A  B )   A  B ເຑຸ່ ຌີ ຂຽຌ A .A...A  Ak k ຉລົ ຢຸ່ າຄ 4: ໃວັ້ A  1 1 1 1  A2  1 1 1 1  2 2 1 1 1 1 2 2 A3  A2 A 2 2 1 1  4 4 2 2 1 1 4 4 . . . An  2 n 1 2n1   2n1 1 1  2 n 1 A 2 n 1  1 1 2 n1  ກຈິ ຅ະກາ: (1). ໃວມັ້ າຉຣ຦ິ A  1 2 1 B  0 1 2 C   2 1  1  2 0 1 1 3 1  2   0 1  ຆຨກ: A + B = ? A + ( B + C ) = ? ( A + B ) + C = ? 1  2 3 0  1 1 0 3 4  ; 1 1 2  ; C  0 2 (2). ໃວມ້ັ າຉຣ຦ິ A B  1 1 ຆຨກ: 4A . . .? ; 3B  . . .? ; 2C . . .? ; A(BC ) . . .? ; ( A B )C . . .? 3. ຩູຍແຍຍຂຨຄມາຉຣ຦ິ 3.1 ຌງິ າມ: ຌງິ າມ 1: ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ມີ ຅ີ າຌລຌແຊລ ແ຤ະ ຅າຌລຌຊຌເ຋ຸ່ າົ ກຌເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ. 117

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ  ຌງິ າມ 2: ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ I  i j ເຆຸ່ ຄິ i j  1 i 1 0 i j ຦າມາຈ຦ະແຈຄໃວເັ້ ວຌລຸ່ າ ເມຸ່ ຨື I ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ວລົ ໜຸ່ ລງ ແ຤ະ A ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈເ຋ຸ່ າົ ກຍ ຂະໜາຈຂຨຄ I ຅ະໄຈ້ັ A I  I A  A . ຌງິ າມ 3: ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ A ຋ຸ່ ມີ ີ ai j  0,i  j ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅ເ຋ຄິ . ຌງິ າມ 4: ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ A ຋ຸ່ ມີ ີ ai j  0, i  j ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅຤ຸ່ ມ. ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: 2 1 5 ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅ເ຋ຄິ 0 1 3 0 0 4 1 0 0 ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅຤ຸ່ ມ. 2 3 0 1 2 1 ຌງິ າມ 5: ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ A ຋ຸ່ ມີ ີ ai j  0,i  j ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ເ຦ຌ້ັ ເຌຸ່ ຄ຅ຨມ. 1 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0 0 ແ຤ະ 0 0 ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ເ຦ຌັ້ ເຌຸ່ ຄ຅ຨມ. ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: ; 0 2 7 0 1 1 0 0 ຌງິ າມ 6: ຦ມົ ມຈ A ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ວລົ ໜຸ່ ລງ ແ຤ະ A ແມຸ່ ຌມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ. ເມຸ່ ຨື ມມີ າຉຣ຦ິ B ຋ຸ່ ຉີ ຨຍ ຦ະໜຨຄເຄຸ່ຨື ຌໄຂຈຸ່ ຄຌີ້ັ AB  BA  I , ເຑຸ່ ຌິ ເຨຌີັ້ B ແມຸ່ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ( Matrice Inverse ) ຂຨຄ A ແ຤ະ ຦ຌງະ຤ກຈລັ້ ງ B = A-1 ຉລົ ຢຸ່ າຄ 3: 3 2 1 2  1 0  1  1  1  3 0 1 ແ຤ະ  1 2 3 2  1 0 1 3  1  1 0 1  1 2 ແ຤ະ 3 2 ແມຸ່ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ເຆຸ່ ຄິ ກຌ ແ຤ະ ກຌ.  1  3  1  1 ຦າມາຈ຦ະແຈຄໃວເັ້ ວຌລຸ່ າ a b  1 1 d  b c  ad  cb  c  d  a  118

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ມີ ີ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ຍຸ່ ເຨກະຊາຌ (Matrice non sin gulier 'e ). ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ຍີ ຸ່ ມມີ າຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ເຨຌີ້ັ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ເຨກະຊາຌ ( matrice Singulier 'e ) ຦ມົ ມຈ A ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຍຸ່ ເຨກະຊາຌ ຅ະໄຈັ້ AX B A1 AX  A1B ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ AX  B ເມຸ່ ຨື A ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຍຸ່ ເຨກະຊາຌ ຅ະມຑີ ຽຄ ໜຸ່ ຄຶ ໃ຅ຏຌົ ຃ື X  A1B ກຈິ ຅ະກາ: (1). ໃວັ້ A  1 2 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ A-1 4 9 (2). ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຉຸ່ໄຎຌ:ີັ້  3x  6y  1 2x  4 y  0 4. ກາຌຍລກ ແ຤ະ ກາຌ຤ຍົ ມາຉຣ຦ິ 4.1 ກາຌຍລກ ມາຉຣ຦ິ    ຃ຈື ຸ່ ຄ ຌງິ າມ 3 ຂຨຄຂ້ັ 2.1 ໄຈເັ້ ລາົັ້ ລຸ່ າ : ຊາັ້ ມາຉຣ຦ິ A  ai j mn ແ຤ະ ມາຉຣ຦ິ B  bi j mn ,  ຅ະໄຈລ້ັ ຸ່ າ A B  ai j  bi j mn ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ ຊາັ້ A  a11 a12  ແ຤ະ B  b11 b12  , ຅ະໄຈັ້ A B  a11  b11 a12  b12  a21  b21  a21  b21  a22  b22  a22  b22  ໝາງເວຈ: (1) ຦ຨຄມາຉຣ຦ິ ຍລກກຌໄຈັ້ ກຸ່ ຉຸ່ ເມຸ່ ຨື ມາຉຣ຦ິ ຋ຄ຦ຨຄມຂີ ະໜາຈເ຋ຸ່ າົ ກຌ. (2) ຊາັ້ ມາຉຣ຦ິ A ແ຤ະ B ມຂີ ະໜາຈ m  n ຅ະໄຈມັ້ າຉຣ຦ິ A + B ມຂີ ະໜາຈ m x n. ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: 1 2 3 2 1  3 2  2 4 4 (1). 3 4  1 1  3 1 4 1  4 5 5 6 0 3 5  0 6  3 5 9 119

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ (2). 1 3  2 ມາຉຣ຦ິ ຋ຄ຦ຨຄຌຍີັ້ ລກກຌຍຸ່ ໄຈເ້ັ ຑາະລຸ່ າຂະໜາຈຂຨຄຑລກມຌຍຸ່ ເ຋ຸ່ າົ ກຌ. 2 5 1  2 0 1 5 1 2 (3). ໃວັ້ A  1 5 4 , B  3 0 2  3  2 0 6 4 7  2 0 1 5 1 2 A + B = 1 5 4  3 0 2  3  2 0 6 4 7  2  5 0 1 1 2 7 1 3 = (1)  3 5  0 4  2 = 2 5 6  3  6 (2)  4 0  7 9 2 7 (4). ໃວັ້ A  2 0 ; B   5 1 5 7   4  3 A + B  2 0   5 1  2  (5) 01    3 1 5 7  3  4  53 7  (4)  8 3 4.2 ຃ຌ຤ກ຦ະຌະຂຨຄກາຌຍລກ ມາຉຣ຦ິ ຊາ້ັ A , B , C ແ຤ະ D ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈເ຋ຸ່ າົ ກຌແ຤ລ້ັ ກາຌຍລກມາຉຣ຦ິ ຅ະມ຃ີ ຌ ຤ກ຦ະຌະຈຸ່ ຄຉຸ່ ໄຎຌີ້ັ : (1) A + B = B + A ຦ຍຎຸ່ ຽຌຍຸ່ ຨຌ (2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C ກາຌໂຩມໜຸ່ .ູ (3) A + 0 = 0 + A ຃ຌ຤ກ຦ະຌະເຨກະ຤ກ. ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: ໃວັ້ A  1 2 ; B 2 0 ; C  5 6 ; 0  0 0 3 4 1 3 7 8 0 0  A B  1 2  2 0  3 2 3 4 1 3 4 7  B A  2 0  1 2  3 2 1 3 3 4 4 7 ຈຸ່ ຄຌຌັ້ A + B = B + A  A ( B C )  1 2   2 0  5 6  3 4 1 3 7 8 120

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  1 2  7 6  8 8 3 4 8 11 11 15  ( AB)C   1 2  2 0   5 6 3 4 1 3 7 8  3 2  5 6  8 8 4 7 7 8 11 15 ຈຸ່ ຄຌຌັ້ A + ( B + C ) = ( A + B ) + C  A0  1 2  0 0  1 2 3 4 0 0 3 4  0 A  0 0  1 2  1 2 0 0 3 4 3 4 ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ A + 0 = 0 + A. 4.3 ກາຌ຤ຍົ ມາຉຣ຦ິ 4.3.1 ຌງິ າມຂຨຄກາຌ຤ຍົ ມາຉຣ຦ິ ຊາັ້ ມາຉຣ຦ິ A ແ຤ະ B ມຂີ ະໜາຈເ຋ຸ່ າົ ກຌແ຤ລ້ັ ຏຌົ ຤ຍົ ຤ະວລຸ່ າຄ A–B ກໝາງເຊຄິ A+(-B). ຉລົ ຢຸ່ າຄ 3:  1 2 3 1 (1). ໃວັ້ A   4 3 , B  4  1  ຆຨກ AB  1 5 0 2   1 2  3 1  A  B = A + (- B ) =  4 3   4 1  1 5  0  2  1  (3) 2 1  (4)  (4)  = 3  (1)   1  0 5  (2)  2 3 =  8 2  1 3 121

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  4 2  4  (2)  6   4     1 (2).  3     3  (4)     1  6  1  (6)   5 4.3.2 ຃ຌ຤ກ຦ະຌະຂຨຄກາຌ຤ຍົ ມາຉຣ຦ິ 1 A B  B  A 2 ( A B ) C  A  ( B C ) 3 A  0  0  A ຉລົ ຢຸ່ າຄ 4: ໃວ້ັ A  1 2 ; B  2 0 3 4 1 3 C  5 6 ; 0  0 0 7 8 0 0  AB  1 2  2 0  1 2 3 4 1 3  2 1  B A 2 0  1 2  1  2 1 3 3 4  2  1 ເວຌລຸ່ າ A  B  B A  ( A  B ) C   1 2  2 0   5 6 3 4 1 3 7 8  1 2  5 6  2 1 7 8   6  4  5  7  A ( B C )  1 2   2 0  5 6  3 4 1 3 7 8  1 2   3  6 3 4  6  5  4 8 9 9 ເວຌລຸ່ າ : ( A B ) C  A( B C ) ກຈິ ຅ະກາ: 1. ໃວ ້ັ A   3 a ; B  a 3  2 b 3  2 122

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ຆຨກ: A + B , B + A , A – B , B – A 2. ໃວ ້ັ A   5 4 0 ; B  2 7 1  1 3 2  3 1 0 ຆຨກ: A + B , B + A , A + B , B - A 3. ຅ຸ່ ຄົ ຍຨກຂະໜາຈຂຨຄມາຉຣ຦ິ ໃຌແຉຸ່ ຤ະຂ້ັ ຤ຸ່ ມຌ:ີັ້ 1 A 2 5 7 2 B  1 2 3   6 7 4 3 3 1 4 1 5 2 4   8 3 2 1 0 4. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  1 7 3  1 0 9 3 6  (1) ¥‰¤§º¡¢½Î¾©¢º¤ A (2) ¥‰¤¹¾ a11 ; a13 ; a21 ; a24 5. ຅ຸ່ ຄົ ແກຍັ້ ຈົ ເ຤ກ຤ຸ່ ມຌີ້ັ (1) ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  ai j  33 ຅ຸ່ ຄົ ຂຽຌ ມາຉຣ຦ິ A ໃຌຩູຍ຋ຸ່ ແີ ຅ກງາງຨຄົ ຎະກຨຍ຋ກຉລົ . (2) ກາຌຈົ ໃວັ້ B  b11 b12 b13 b14  ຅ຸ່ ຄົ ຂຽຌມາຉຣ຦ິ B ເຎຌ ຉລົ ແ຋ຌຨຄົ ຎະກຨຍ. a21 b22 b23  b2 4  4 0  9 1 1 8  1 (3) ໃວ້ັ A  ; B   3 2  ຆຨກ: A + B ; A – B ; B + A ; B – A 5. ກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ ກຍ຦ະກາແ຤  a11 a12 . . . a1n     a 21 a22 . . . a2n  . . ... . ຦ມົ ມຈ A .  . . ... .  . . . . . .   am1 am2 . . . amn   ຂຽຌວງ ້ັ A  ai j mn 123

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ 5.1 ຌງິ າມ    ຊາ້ັ ມາຉຣ຦ິ A  ai j mn ແ຤ະ   ຅ະໄຈ ັ້  A  Ai j mn ຈຸ່ ຄຌຌັ້ ຊາັ້ A  a11 a12  ແ຤ລ້ັ  A   a11  a12  a21   a21  a2 2   a22  ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  2 4 6 ; B  0 4 ແ຤ະ 0  0 0 8 10 12 1  3 0 0 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາມາຉຣ຦ິ ຉຸ່ ໄຎຌີ້ັ (1). 1A 2 1 (2) 1 (4) 112((162))  (8) 2 2  1A  1 2 4 6   2 1 (10) 2 2 8 10 12  1 2 2  1 2 3 4 5 6 2). 5 B  5 B 5 0 4  5 (0) 5(4)  1  3  5 (1) 5 (3)  0 20  5  15 (3). 0A  0 A 0 2 4 6  0 0 0 0 8 10 12 0 0 0 (4).  (0)   (0)   0 0  0 0 0 0 0 0 0 5.2 ຃ຌ຤ກຆະຌະຂຨຄກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ ຈລ້ັ ງ຅າຌລຌ຅ຄິ ຊາ້ັ A , B , C ແ຤ະ 0 ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ມີ ຂີ ະໜາຈເ຋ຸ່ າົ ກຌ ແ຤ະ  ; 1 ແ຤ະ  2 ເຎຌ຅າຌລຌ຅ຄິ ໃຈ ໝຸ່ ຄຶ ຉາມໃ຅ເຩາົ ຅ະໄຈັ້ : 124

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ 1  ( A B )  A   B 2 (1  2 ) A 1 A  2 A 3 1 ( 2 A)  (1  2 A) 4 0 A 0 5  0  0 ກຈິ ຅ະກາ: 0 3 5 2 0 0 ກາຌຈົ ໃວ້ັ A 1 1 2   0 0 2 4 0 , B   4  , C 0 5 , 0   6 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ຃ຸ່ າຂຨຄ 2A , 3B , 1 C , 8(0) 2 6. ກາຌ຃ຌູ ຦ຨຄມາຉຣ຦ິ ເ຃ເ຤ (A . Cayley , ຃ ຦ 1821 - 1895). ຆຌິ ເລຈ຦ະເຉີ (J .J . Sylvester ຃.຦ 1832 - 1897 ) ແ຤ະ ແຩມຌິ ຉຌ ( W. R . Hamilton ຃ ຦ 1805 - 1865 ) ເຎຌຌກລ຋ິ ະງາ຦າຈ຋ຸ່ ີ ເ຤ຸ່ ມີ ຑຈ຋ະຌາ຋ຈິ ຦ະຈີ ຂຨຄມາຉຣ຦ິ , ເ຃ເ຤ ຑຈ຋ະຌາ຅າກ຋ຈິ ຦ະຈກີ າຌຎຸ່ ຽຌແຎຄ ( Theory of Transformation ) ເຆຸ່ ຄິ ຅າກກາຌ ແຎຄ຦ຨຄ຃ຄັ້ ກຸ່ ໃວເັ້ ກຈີ ກາຌ຃ູຌ ມາຉຣ຦ິ ຈລ້ັ ງ ມາຉຣ຦ິ , ຎືມ້ັ ຍາຄວລົ ຅ຸ່ ຄິ ເຨຌີັ້ ກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ ຈລ້ັ ງ ມາຉຣ຦ິ ລຸ່ າກາຌ຃ຌູ ຂຨຄ ເ຃ເ຤ ( Cayley multiplication ) . 6.1 ຌງິ າມ ໃວ້ັ A ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m x p ແ຤ະ B ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ p x n ຏຌົ ຃ຌູ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ກຍ B ຃ື AB , ຅ະເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ m x n ໂຈງ຋ຸ່ ຨີ ຄົ ຎະກຨຍຉລົ ຋ີ i j ຂຨຄ AB ເກຈີ ຅າກຏຌົ ຍລກຂຨຄຏຌົ ຃ູຌ ຂຨຄຨຄົ ຎະກຨຍໃຌແຊລ຋ີ i ຂຨຄ A ກຍຨຄົ ຎະກຨຍໃຌຊຌ ຋ີ j ຂຨຄ B ຌຌັ້ ຃ື : ຊາ້ັ      A  ai j m ແ຤ະ B  bi j n ແ຤ລ້ັ AB  C  Ci j mn ໂຈງ຋ຸ່ ີ : C i j  a11b1 j  a12b2 j  a13b3 j  . . .  a1 pbp j p ເມຸ່ ຨື i  1 , 2 , 3 , . . . m ; j 1 , 2 , 3 , . . . , n ວື Ci j  ai jbi j k 1 125

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  a11 a12 . . . a1 j . . . a1 p     a2 1 a 22 . .. a2 j . .. a2 p  AB . . . . . . ... .     ai1 ai 2 . . . ai j . .. ai p  . . . .. . . . . .   am1 am 2 . . . am j . . . am p  b11 b12 . . . b1 j . . . b1n   c11 c12 . . . c1 j . . . c1n       b21 b22 . . . b2 j .. . b2 n   c 21 c22 . . . c2 j ... c2 n   . . . .. . ... .  =  . . ... . . . . .       bi 1 bi 2 . . . bi j ... bi n   ci 1 ci 2 . . . ci j ... ci n   . . .. . . ... .  . . ... . . .. .   bp1 bp 2 . . . bp j . . . bp n  cm1 cm 2 . . . cm j . . . cm n  ລ຋ິ ຦ີ ຄເກຈ : ຨຄົ ຎະກຨຍໃຌ AB Cij = a11 a12 . . . a1j . . . a1p b1j x b2j .. bij .. bpj = a11b1 j  a12b2 j  . . .a1p bpj ຈຸ່ ຄຌຌັ້ , c11 ໄຈມັ້ າ຅າກຏຌົ ຍລກຂຨຄຏຌົ ຃ຌູ ຂຨຄ ຨຄົ ຎະກຨຍໃຌ຤ະຈຍຈຽລກຌ ໃຌແຊລ຋ີ 1 ຂຨຄ A ກຍ ຊຌ຋ີ 1 ຂຨຄ B. c25 ໄຈມ້ັ າ຅າກຏຌົ ຍລກຂຨຄຏຌົ ຃ຌູ ຂຨຄຨຄົ ຎະກຨຍ ໃຌ຤າຈຍຈຽລກຌໃຌແຊລ຋ີ 2 ຂຨຄ A ກຍຊຌ຋ີ 5 ຂຨຄ B ເຎຌຉຌົ້ັ . ຂະໜາຈຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ AB ແມຸ່ ຌ:  A  aij mp  B  bi j pn  = AB  Cij mn ເ຋ຸ່ າົ ກຌ 126

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ A ກຍ B ຅າຌລຌຊຌຂຨຄ A ຅ະຉຨັ້ ຄເ຋ຸ່ າົ ກຍ຅າຌລຌແຊລຂຨຄ B ຅ຸ່ ຄິ ຅ະຆຨກ AB ໄຈ.້ັ ຍາຄກ຤ະຌີ ຆຨກ AB ໄຈແ້ັ ຉຸ່ ຆຨກ BA ຍຸ່ໄຈ.ັ້ ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: (1). ໃວ້ັ A  1 3 ແ຤ະ B 2 0  4 2  1 3 2  6  ຆຨກ຃ຸ່ າ AB ແ຤ະ BA . ລ຋ິ ແີ ກ ັ້ A ມຂີ ະໜາຈ 2 x 2 ແ຤ະ B ມຂີ ະໜາຈ 2 x 3 ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ AB ວາ຃ຸ່ າໄຈັ້ ແ຤ະ ມຂີ ະໜາຈ 2 x 3. ແຉຸ່ BA ວາ຃ຸ່ າຍຸ່ ໄຈັ້    B  bi j 23 A  aij 22 ຉຸ່ າຄກຌ ເຑາະລຸ່ າ 3  2 A B  1 3 2 0  4 2  1 3 2  6    (1) (2)  (3) (3) (1) (0)  (3) (2) (1) (4)  (3) (6)  (2) (2)  (1) (3) (2) (0)  (1) (2) (2) (4)  (1) (6)  11 6 14   2  14  1 (2). ໃວ້ັ A  2 4 5 2 5 3 1 2 B  3 6 4 7 2 4 5 2 5 2 (2)  4 (3)  5(4) 2 (5)  4 (6)  5(7) 3 1 2 3 6 AB  4 7   3 (2) 1(3)  2 (4) 3(5) 1(6)  2 (7)     36 69 17 35 (3). ໃວັ້ A  3 6 B 4  2 1 2  2  1  127

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ AB  3 6  4  2  3(4)  6 (2) 3(2)  6 (1) 1 2  2  1(4)  2 (2) 1(2)  2 (1) 1   0 0 0 0 0 ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ ຅ຸ່ ຄຶ ຦ະວຍໄຈລັ້ ຸ່ າ: (1) ຊາ້ັ A ແ຤ະ B ເຎຌມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ ແ຤ລັ້ ຅ະຆຨກວາ຃ຸ່ າຂຨຄ AB ແ຤ະ BA ໄຈ້ັ ຦ະເໝ.ີ (2) ຊາ້ັ AB = 0 ແ຤ລັ້ ຍຸ່ ຅າເຎຌ຋ຸ່ ມີ າຉຣ຦ິ A ວື B ຅ະຉຨ້ັ ຄເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຦ູຌ. 6.2 ຃ຌ຤ກ຦ະຌະກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ ຈລ້ັ ງ ມາຉຣ຦ິ (1) A ( BC ) = ( AB ) C ກາຌໂຩມໝຸ່ .ູ (2) A ( B + C ) = AB + AC ກາຌແ຅ກຢາງ. (3) (3)  ( A B ) ( A) B  A ( B ) ,   (4) ຊາ້ັ A ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈແ຤ລັ້ AA = A2 AAA = A3 ; AA . . . A = An n ເ຋ຸ່ ຨື ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: 1  2 ; B 13 0  1 1 0  3 1 ; C  0 2 (1). ໃວັ້ ມາຉຣ຦ິ A 4  2  1 1   1  2  3 0 1 1 0   3 4  1 1 2  0 2  A( BC )  1 1    1  2 2 1  3  3  4  4    4  9  6 19  128

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ  1  2 3 0  1  1 0  1 2  5 1 0  3 1 0 2  5 4 0 2  ( AB)C 4  1 2  1 1  11  1 1      4  9  6 19  ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ A( BC )  ( A B )C (2). ໃວ້ັ ມາຉຣ຦ິ A  1 2 ; B   3 0 ແ຤ະ C  1 1 5 4  2  2  1  0  A(BC)  1 2   3 0   1 1  5 4  1 2  0 2  1 2  4 1 5 4  1 4  2 9  16 21  AB  AC  1 2  3 0  1 2 1 1 5 4  1 2 5 4  0 2   1 4  1 5  11 8  5 13  2 9  16 21 ຈຸ່ ຄຌຌັ້ : A ( B C )  AB  AC (3). ໃວ້ັ ມາຉຣ຦ິ A  1 3 ແ຤ະ B  4 1 2  4  2  1  4( A B )  4  1 3 4 1  2  4  2  1  4  2  2   8  8  16 6   64 24   ( 4 A) B   4 1 3  4 1  2  4  2 1  4 12   4 1   8  8 8 16  2 1    64 24  129

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  A(4B)  1 3  4 4 1  2  4   2  1  1 3  16 4   8  8 2  4  8  4 16 6  ຈຸ່ ຄຌຌັ້ : 4 ( A B )  ( 4 A ) B  A ( 4 B ) ກຈິ ຅ະກາ: 1. ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາຏຌົ ຃ຌູ ຂຨຄ AB. 2 1  1 4 3 (1). A 3  2 1  2 0 5  , B   1 4 6 1 1 4  A 2 5  , B  2  3 (2). 1  0 1 3  3 1  1 (3). A 3 ; B  3 0 4 5 2. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  2 1 ແ຤ະ B  0 1 3 4 2  1 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ  A2  2 AB  B2  AB2  A2 B2 ແມຸ່ ຌຍ ? 7. ກາຌຏຌຎຸ່ ຽຌ ມາຉຣ຦ິ ( Transformation de la Matrice ) ຊາ້ັ ລຸ່ າຎຸ່ ຽຌຨຄົ ຎະກຨຍແຊລ ມາເຎຌຨຄົ ຎະກຨຍຊຌ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຅ະໄຈມັ້ າ ຉຣ຦ິ ໃໝຸ່ , ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ີ ໄຈ຅້ັ າກກາຌຎຸ່ ຽຌແຎຄ຤ະວລຸ່ າຄຨຄົ ຎະກຨຍຂຨຄແຊລມາ ເຎຌຊຌຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຌຌ້ັ ເຨຌີັ້ ລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ຎຸ່ ິຌ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ (Transformation de la Matrice) ຦ຌງະ຤ກ AT 7.1 ຌງິ າມ    ຊາັ້ A  ai j mn ແ຤ລັ້ ມາຉຣ຦ິ ຎຸ່ ິຌຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ແມຸ່ ຌ AT  a ji nm ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: ໃວ້ັ ມາຉຣ຦ິ . 130

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ A  1 2 3 ມຂີ ະໜາຈ 2 x 3 4 5 6 1 4 ມຂີ ະໜາຈ 3 x 2 B  2 5 ມຂີ ະໜາຈ 1 x 3 3 6 C 5 8 4 D  2 ມຂີ ະໜາຈ 2 x 1 4 1 4 ມຂີ ະໜາຈ 3 x 2  AT  2 5 6 3  BT  1 2 3 ມຂີ ະໜາຈ 2 x 3 4 5 6 5   CT   8  ມຂີ ະໜາຈ 3 x 1  4   DT  2 4 ມຂີ ະໜາຈ 1 x 2 7.2 ຃ຌ຤ກ຦ະຌະຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຎຸ່ ິຌ ຦ມົ ມຈ A, B ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ຦ີ າມາຈຍລກ ແ຤ະ ຃ູຌກຌໄຈ,ັ້   , ເຩາົ ຅ະໄຈັ້ : 1 ( AT )T  A 2 (A)T  AT 3 ( A  B )T  AT BT 4 ( A B )T  BT AT ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: (1). ໃວ້ັ A  2 3 1 ຆຨກ (AT )T , (2 A)T  1 4 0 2  1  AT 3  4  1 0  131

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  (AT )T 21 3 1 4 0  ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ AT T  A  2 3 1  T   1 4 0  (2 A)T  2 4 6 2T 4  2  2 8 0  6   8  2 0  2  1 4  2  2 AT  2 3   6  4  8  1 2 0  0   ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ 2 AT  2 AT (2). ໃວ ັ້ A  2 6 ; B  1 0 ຆຨກ (A  B)T , AT  BT 4 8 3 2   2 6  1 0 T  3 6 T  3 7 4 8 3 2 7 10 6 10  2 6T  1 0T  2 4  1 3  3 7 4 8 3 2 6 8 0 2 6 10 ຈຸ່ ຄຌຌັ້ A BT  AT  BT (3). ໃວັ້ A  1 0 ; B  0 1 2 ຆຨກ ( AB)T , AT BT 2 1 1 1 3  A BT   1 0 0 1 2 T  0 1 2T 0 1 2 1 1 1 3 1 3 7  1 3 7 2 0 1 2T 1 0T 0 1 1 2 1 1 3 2 1  1 1 0 1  BT AT  3 2 0 1  1 3 2 7 132

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ ຈຸ່ ຄຌຌັ້ A BT  BT AT ກຈິ ຅ະກາ: ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ ມາຉຣ຦ິ ຎຸ່ ິຌຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຉຸ່ໄຎຌ.ີ້ັ 1 6  1 2 5 2 1 2  0 3 8 0   1 4  3 4 0 7 5 2  10  ຍຈົ ເຐິກວຈ 9 1. ຅ຸ່ ຄົ ຦ຄເກຈລຸ່ າ ມາຉຣ຦ິ ແຉຸ່ ຤ະ຃ຸ່ ຋ູ ຸ່ ກີ າຌຈົ ໃວ້ັ ຉຸ່ໄຎຌຍີ້ັ ລກກຌໄຈ້ັ ວື ຍຸ່ . ຊາ້ັ ຍລກກຌໄຈ້ັ ໃວຆ້ັ ຨກວາຏຌົ ຍລກ ຂຨຄມຌ. 1 2 5 ;  7 2 1 4  6   1  1 5 3 2 6  4  9 2 1  2  2 7 0  1  3 0 1 4 3  2 3 7 ;2 7 8 8 4 2 3 0 4 6  1 2 ; 3 7 9 4 6 5 1 ; 9 8 4  2 8 1 1 6 4 2. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  5 3 2 ; B  3 1 5  4 6 9 2 1 6 133

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ (1). A  B (2). A  B (3). 2A  B (4). 3 A  2 B (5). 1 B  3 A. 22 3. ຅ຸ່ ຄົ ວາຏຌົ ຃ຌູ ຂຨຄ AB ແ຤ະ BA ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຋ຸ່ ກີ າຌຈົ ໃວຉັ້ ຸ່ໄຎຌີັ້ ຊາ້ັ ວາໄຈ.ັ້ ກ຤ະ ຌວີ າຍຸ່ໄຈ຅ັ້ ຸ່ ຄົ ຍຨກ ເວຈຏຌົ . 2 1  1 4 3 A 3  2 1  2 (1) 0 5  ; B   1 4 5 1 1 4  (2) A  2 6  ; B  2  3 1  0 1  3 3 1  1 (3) A  3 ; B  3 0 4 5 1 (4) A   6 3 4 ; B   2  1  (5) A  1 2 ; B  3 1  1 4 0 2 4. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  1  1 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ (1). AAT (2). AAT 2 4  1 2 1 1 1 4 5. ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  0 1   1 3 2  ; B   2 3 1 1  1 1 2 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ: (1). AB (2). ABT (3). AT BT (4). BT AT 6. ຊາັ້ A  1 2 ແ຤ະ B  1 0  1  1 2  0 ຦ະແຈຄລຸ່ າ (1). A B A B  A2  2 AB  B2 (2). A B A B  A2  B2 134

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ 8. ກາຌຆຨກມາຉຣ຦ິ ຎິຌ້ັ (Matrice Inverse) ກາຌຆຨກ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ມວີ າງລ຋ິ ຃ີ ື 1. ໂຈງລ຋ິ ຦ີ ມົ ມຈ. 2. ໂຈງລ຋ິ ີ ກາຌຂຨຄ ກາລ຦.໌ ( Gauss ) 3. ໂຈງໃຆັ້ (Matrice Adjointe). 8.1 ກາຌຆຨກມາຉຣ຦ິ ຈລັ້ ງ ລ຋ິ ຦ີ ມົ ມຈ ຦າ຤ຍ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ 1 x 1 ມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ຂຨຄມຌກຸ່ ຃ເື ຤ກ຦ຸ່ ລຌຂຨຄຨຄົ ຎະກຨຍ ຂຨຄມຌ ເຆຸ່ ຌລຸ່ າ 5 ມີ ມາ ຉຣ຦ິ ຎິຌັ້ ແມຸ່ ຌ 1 .  5  ຦າ຤ຍ ມາຉຣ຦ິ ຂະໜາຈ 2x2 ມລີ ຋ິ ຆີ ຨກ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ຈຸ່ ຄຌ.ີ້ັ ກາຌຈົ ໃວັ້ A  a b ກາຌຆຨກມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ຂຨຄ A ຈລ້ັ ງລ຋ິ ຦ີ ມົ ມຈ. c d  ຅ະຉຨັ້ ຄໃວັ້ A1   x1 x2   x3   x4  ຅າກຌງິ າມຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ໄຈ ັ້ A A1  I2 ຌຌັ້ ຃ື a b  x1 x2   1 0 c    0 1 d   x3 x4  ຅າກວກກາຌ຃ຌູ ມາຉຣ຦ິ ກຍມາຉຣ຦ິ ຅ະໄຈັ້ ax1  bx3 ax2  bx4   1 0 cx1  dx3  0 1 cx2  dx4  ຅າກວກກາຌ ເ຋ຸ່ າົ ກຌຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຅ະໄຈ້ັ ວກກາຌ຋ີ 1: cax1x1dbxx3 301 (1) ຌາໄຎວາ຃ຸ່ າ x1 ແ຤ະ x3 (2) ເຨາົ ຦ມົ ຏຌົ (1)d ແ຤ະ ຦ມົ ຏຌົ (2)b ຅ະໄຈັ້ adx1  bdx3  d (3) bcx1  bdx3  0 (4) 135

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ເຨາົ ຦ມົ ຏຌົ ( 3 ) - ຦ມົ ຏຌົ ( 4 ) ຅ະໄຈັ້ adx1  bcx1  d ( ad  bc ) x1  d x1  d ad  bc ເຨາົ ຃ຸ່ າ ຂຨຄ x1 ໄຎແ຋ຌໃ຦ຸ່ ຦ມົ ຏຌົ ( 2 ) ຅ະໄຈ ັ້ c  ad d dc   dx3 0  x3   cd d ad bc x3  c ad  bc ວກກາຌ຋ີ 2: acxx22  bx4 0 (1)  dx4 1 (2) ຌາໄຎວາ຃ຸ່ າ x2 ແ຤ະ x4 ເຨາົ ຦ມົ ຏຌົ (1) x d ແ຤ະ ຦ມົ ຏຌົ (2) x b ຅ະໄຈ້ັ adx2  bdx4  0 (3) bcx2  bdx4 1 (4) ເຨາົ ຦ມົ ຏຌົ (3) - ຦ມົ ຏຌົ (4) ຅ະໄຈ້ັ adx2  bcx2   b ( ad  bc ) x2   b x2  b ad bc ເຨາົ x2 ໄຎແ຋ຌໃ຦ຸ່ (1) ໄຈ ້ັ a  b   bx4 0 ad  bc x4 a ad  bc ຅າກ x1 ; x2 ; x3 ແ຤ະ x4 ຋ຸ່ໄີ ຈ ັ້ ຅ະ຦ະວຍໄຈຈັ້ ຸ່ ຄຌ:ີັ້ ຊາັ້ ມາຉຣ຦ິ A  a b c d  136

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ d b    ຅ະໄຈ ້ັ A1   ad  bc ad  bc   c a   ad  bc ad  bc  ວື A1  1 d  b ad bc  c  a  ມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ຂຨຄ A ຍາຄກ຤ະຌກີ ຆຨກໄຈັ້ ແຉຸ່ ຍາຄກ຤ະຌຆີ ຨກຍຸ່ໄຈ.້ັ ງຨັ້ ຌຂຌຶັ້ ຢຸ່ ູກຍ຃ຸ່ າ ຂຨຄ ad bc ຊາັ້ ad bc 0 ຦ະແຈຄລຸ່ າຍຸ່ ຦າມາຈຆຨກມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ຂຨຄ A ໄຈ.້ັ ຊາັ້ ad bc  0 ຦ະແຈຄລຸ່ າ຦າມາຈຆຨກ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ຂຨຄ A ໄຈ.້ັ ຊາັ້ ມາຉຣ຦ິ A ຦າມາຈຆຨກ A -1 ໝາງ຃ລາມລຸ່ າ ad bc  0 A  a b - ຦າມາຈຎຸ່ ຽຌ a ກຍ d  c  d a d   - ຎຸ່ ຽຌ຤ະວລຸ່ າຄ b ກຍ c ເຎຌ຅າຌລຌກຄົ ກຌຂາັ້ ມ   b  c  - ຨຄົ ຎະກຨຍ຋ກຉລົ ວາຌຈລັ້ ງ ad bc d b    ຏຌົ ໄຈຩັ້ ຍ຃ື : A1   ad  bc ad  bc   c a   ad  bc ad  bc  ເຩາົ ຦າມາຈຑ຦ິ ູຈໄຈລ້ັ ຸ່ າ A A1  A1 A  I ຉລົ ຢຸ່ າຄ 1: (1). ໃວ້ັ A  4 2 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ AŒ1 1 3 ລ຋ິ ແີ ກ:ັ້ ຆຨກວາຉລົ ຦ຸ່ ລຌ ( ຑູຈ ) ຂຨຄຨຄົ ຎະກຨຍໃໝຸ່ ຂຨຄ AŒ1 4 (3) – 2 (1) = 10 ຎຸ່ ຽຌ 4 2  3  2 1 3  1  4  137

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ 3  2 A1  101  ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ : 10   10 4  10  (2). ໃວ້ັ A  2 7 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ AŒ1 1 4 ລ຋ິ ແີ ກ:້ັ ຆຨກວາຉລົ ຦ຸ່ ລຌ ( ຑູຈ ) ຂຨຄຨຄົ ຎະກຨຍໃໝຸ່ ຂຨຄ A-1 ad bc  2(4) 7(1)  1 ຎຸ່ ຽຌ 2 7  4  7 1 4  1  2  4 7   ຈຸ່ ຄຌຌັ້ A1   1 1   1 2  1 1  4  7  1  2  8.2 ກາຌຆຨກມາຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ໂຈງໃຆລ້ັ ຋ິ ກີ າຌ຤ຍຶ ຂຨຄກາລ຦໌ ( Gauss ) 8.2.1 ກາຌ຤ຍຶ ຂຨຄກາລ຦໌ (Gauss) ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ aa21xxbb21 y  c1 z  d1 y  c2 z d2 a3 x  b3 y  c3 z  d3 ມຩີ ູຍຩຸ່ າຄ aa12 b1 c1 d1   R1 b2 c2 d2   R2  a3 b3 c3 d3   R3 ເມຸ່ ຨື ໄຈ້ັ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ແ຤ລ້ັ ກຈາເຌຌີ ລ຋ິ ກີ າຌ຤ຍຶ ຂຨຄແຊລຈຸ່ ຄ: ຉລົ ຢຸ່ າຄ 2: ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ຸ່ ຂີ ຽຌໃຌຩູຍຩຸ່ າຄມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງ຤ຸ່ ມຌ:ີ້ັ 2 1 1 5  3  2 2  3 1  3 3  2 ລ຋ິ ແີ ກ:ັ້ ເຨາົ 2 ຃ູຌ ແຊລ຋ີ 1 ຍລກແຊລ຋ີ 2 2R1  R2  138

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ 2 1 1 5  7 0   0 7   R2 1 3  3  2 ເຨາົ 1 ຃ູຌແຊລ຋ີ 2 1 7 7 R2 2 1 1 5   R1 1 0   R2  0 1  1  3 3  2  R3 ເຨາົ -1 ຃ູຌແຊລ຋ີ 2 ແ຤ລັ້ ຍລກແຊລ຋ີ 3 1 R2  R3 2 1 1 5   R1 1 0   R2  0 1  0  3 3  3  R3 ເຨາົ -2 ຃ູຌແຊລ຋ີ 2 ແ຤ລັ້ ຍລກແຊລ຋ີ 1  2R2  R3 0 1 1 3  1 0   0 1  0  3  3  3  R3 ເຨາົ  1 ຃ຌູ ແຊລ຋ີ 3 ( 1 3 3)R3 0 1 1 3  R1 1 0 0 1  0 1 1 1  R3 ເຨາົ ແຊລ຋ີ 3 ຍລກແຊລ຋ີ 1 R3  R1 0 2 0 4  R1  1 0 0 1 0 1 1 1 ເຨາົ 1 ຃ຌູ ແຊລ຋ີ 1 1 2 2 R1 0 1 0 2   R1 1   0 0 1  0 1 1 1   R3 139

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ເຨາົ -1 ຃ູຌແຊລ຋ີ 1 ແ຤ລ້ັ ຍລກແຊລ຋ີ 3 1 R1  R3 0 1 0 2  1   0 0 1  0 0 1 1 8.2.2 ກາຌຆຨກວາ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ໂຈງໃຆລ້ັ ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄກາລ຦໌   ກາຌຆຨກມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ຉາມແຏຌລາຈ A I  I A1 ມຆີ ຸ່ ລື ຸ່ າກາຌຆຨກ ມາຉຣ຦ິ ຎີຌ້ັ ຈລັ້ ງລ຋ິ ີ ຂຨຄກາລ຦໌ ເຆຸ່ ຌ : ເມຸ່ ຨື aa1211 a12 a13 1 0 0  1 0 0 b11 b12 b13  a22 a23 0 1  0 1 0 b21 b22 b23  0    a31 a32 a33 0 0 1  0 0 1 b31 b32 b33  a11 a12 a13  b11 b12 b13  a21  ມມີ າຉຣ຦ິ ຎີຌັ້ ແມຸ່ ຌ b21  ມາຉຣ຦ິ a22 a2 3  b22 b2 3  a31 a32 a33  b31 b32 b33  ຉລົ ຢຸ່ າຄ 3:  1 1 0 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກ A1 (1). ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  1 3 4  0 4 3  ລ຋ິ ແີ ກ:ັ້ ຂຽຌ ມາຉຣ຦ິ ໃຌຩູຍຩຸ່ າຄ A I3  1 1 0 1 0 0  R1 1 3 4 0 1 0  R2  0 4 3 0 0 1  R3  ຉຸ່ໄຎຈາເຌຌີ ກາຌ຤ຍຶ ແຊລໃວຢັ້ ຸ່ ູໃຌຩູຍ I3 A1 140

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ 1 1 0 1 0 0 R1  R2  0 4 4 1 1 0  ຃ຌູ - 1 ເຂາົັ້ ແຊລ຋ຸ່ ີ 3 , 1R3 0 4 3 0 0 1 1 1 0 1 0 0  0 4 4 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0  0 4 4 1 1   0  0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0  0 4 0  3 4 0  3  3   4  R2  4R3 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0   0 3 3  1  0 1 4 1 4 R2 0 0 4  1 11 1   0 7 3  1 R1  R 2  1 1 04 4  0 0 3 3 1  44  0 0 1 1 1 1    I3 A1 7 3  1  4  ຦ະວຍລຸ່ າ A 1   4 3  3 1 4 4   1 1 1   (2). ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  1 2 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ A1 3 4 ລ຋ິ ແີ ກ:້ັ ເວຌລຸ່ າ A ມຂີ ະໜາຈ 2 x 2 ຈຸ່ ຄຌຌ້ັ ມາຉຣ຦ິ ວລົ ໜຸ່ ລງ ຋ຸ່ ຅ີ ະເຨາົ ມາ຃ູຌ ກແມຸ່ ຌ I 2   ຅າກ A I2  I2 A1 , ຅ະໄຈ້ັ 1 2 1 0 1 2 1 0 R2  3R1 3 4 0 1  0  2  3 1 141

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  1 2 1 0 R2    1  3 1  2  0 1 2 2   1 0 2 1 3 1 0 1 2 2    I2 A1 ຦ະວຍລຸ່ າ  2 1  A1   3 1  2 2  ກຈິ ຅ະກາ: 1. ຅ຸ່ ຄົ ຂຽຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຋ຸ່ ມີ ີ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຈຸ່ ຄ຤ຸ່ ມຌີ້ັ 3 2 8 5  2 1 3 (1). 1 5 7 (2). 2 3  4 0 2. ຅ຸ່ ຄົ ຂຽຌ ມາຉຣ຦ິ ຂະວງາງຂຨຄ຦ມົ ຏຌົ ຤ຸ່ ມຌ:ີັ້ 1 2x 5y 1 3x  7 y  2 2  3x  2y 6  4x  y 14 3 x  y 2 2x  5y 8  2x  y  2z 1 4 3x  2 y  4z  5  6x  y  3z  9 2 1 0  2 0 5 3. ກາຌຈົ ໃວັ້ A 3 5  B  0 3 0 1  ; 1 0 3 1 4 1 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກ A1, B1 ໂຈງລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄ ກາລ຦໌ 142