Higher Algebra

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ ຍຈົ ເຐິກວຈ 9.1 1. ກາຌຈົ ໃວ້ັ ມາຉຣ຦ິ ຈຸ່ ຄ຤ຸ່ ມຌີ້ັ : A  1 2 0 2 3 2 1 D 2 4 8.  3 4 2 B  4 C  4 1 0 6 2 3 5 E  0 7 2 0 0 0 1 2 3 3 5 F  1 3 0 0 G  0 5 1 6 1 5 0 0 0 2 2 4 3 1 ກ. ຅ຸ່ ຄົ ຍຨກຂະໜາຈຂຨຄແຉຸ່ ຤ະ ມາຉຣ຦ິ . ຂ. ມາຉຣ຦ິ ໃຈເຎຌມາຉຣ຦ິ ຅ະຉ຤ຈ. ຃. ມາຉຣ຦ິ ໃຈເຎຌມາຉຣ຦ິ ຦າມແ຅ເ຋ຄິ ວື ຦າມແ຅຤ຸ່ ມ. ຄ. ມາຉຣ຦ິ ໃຈເຎຌມາຉຣ຦ິ ຊຌ. ຅. ມາຉຣ຦ິ ໃຈເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ແຊລ. ຦. ຅ຸ່ ຄົ ຍຨກ ຨຄົ ຎະກຨຍຂຨຄ a31 ; a23 ; a32 ຂຨຄຊຌມາຉຣ຦ິ C. 2. ຅ຸ່ ຄົ ຃າຌລຌ. ກ. 2 4  1  2  3  5 5  3 0  7  4  2  1 4  4 1  28  2  9 ຂ.  3 0   5  3   5  5  1 1 2    ຃. 2   5  2 5  4  1  3 1  10 ຄ. 4 5  2 3 143

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ  0  4 0  8 0 3   2 1 0 0 ຅.  0 5 8   3 5 2 7 0 9  3 2 1  4  1  3  3  2  3. ກາຌຈົ ໃວ້ັ A  B     1 9 3  ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ ກ. A- B ຂ. 2 ( A - 2 B ) ຃. B - A. 4. ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ຃ຸ່ າຂຨຄຏຌົ ຃ູຌ຤ຸ່ ມຌີັ້ ກ. 2 4 2 2 1 1 0 1  3 0 4 2 2 ຂ. 2 2 3 3 5. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  1  1 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ 2 4  (1). AAt (2). ( AA )t 1 2 1 1 1 4 6. ກາຌຈົ ໃວັ້ A  0 1   1 3 2  ; B   2 ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ 3 1 1  1 1 2 (1). A B (2). ( A B )t (3). At Bt (4). Bt At 7. ຅ຸ່ ຄົ ແກ຤ັ້ ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ຸ່ ມຌຈີ້ັ ລັ້ ງລ຋ິ ີ ໃຆ຃ັ້ ລາມຩູເ້ັ ຤ຸ່ ຨື ຄ ມາຉຣ຦ິ .໌ 4x  y  9 2. x  2y 1 1. 2x  2 y  8 2x  y  0 2x  3y  z 3  3.  x  2 y  z 1   x  4 y   2 8. ຅ຸ່ ຄົ ຆຨກວາ A1 ຂຨຄມາຉຣ຦ິ A ຈລັ້ ງລ຋ິ ຤ີ ຍຶ ຂຨຄ ກາລ຦. 2 0 1 A  4 0 6 9 8 5 144

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 10 ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ 1 ຌງິ າຓ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ (Determinant) ຾ຓໃ ຌ຅າຌທຌ຅ຄິ ຋ໃແີ ຈຓໄ າ຅າກຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈ. ຊາໄ ທໃ າ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຂະໜາຈ n n , ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄ A ຘາຓາຈຂຼຌ຾຋ຌ ຈທໄ ງ det ( A) ນົຼື A . 1.1 ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຂະໜາຈ 1x1 ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ຉທ຺ ຓຌຽບຄ ນົືຼ det A  A  A ຽຓໃ ບືຼ A  1.2 ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຂະໜາຈ 2x2 ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ det  a b   a b  ad  cb ຽຓໃ ບຼື a ,b ,c , d  c  c d d  ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: ກາຌຈ຺ ເນໄ A   3 ຾ຖະ B  7 , ຅ໃ ຄ຺ ນາ຃ໃ າຂບຄ det A ຾ຖະ det B ທ຋ິ ຾ີ ກ ໄ : det A  det  3  3 det B  det 7  7 ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  2 3 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ det A 1  1 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ det A  det  2 3  1  1 2 3  21 13  1 1  2 3  5 ຈໃ ຄຌຌໄ det A   5 2 ກາຌ຃ຈິ ແຖໃ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ 2 ຾ຖະ 3 ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຾ຓໃ ຌແຈຓໄ າ຅າກກາຌຌາຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸ ຖຈຓາ ຃ຈິ ແຖໃ ຿ຈງ ທ຋ິ ກີ າຌ຃ຈິ ແຖໃ ຈໃ ຄຉໃແຎຌ:ີໄ 2.1 ກາຌ຃ຈິ ແຖໃ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ 2 145

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ເນ ໄ A  a b ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈ ຂະໜາຈ 2x2. c  d  ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຾ຓໃ ຌ ad  cb ຘຌງະຖກຈທໄ ງ A  det A a b  ad  cb cd ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1 2 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det A 4 9 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຅າກ A  1 2 4 9 det A  A  1 2  1 9 42 1 49 det A = 1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1 3 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det A 4 6 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ det A  A  1 3  1 6  43 46  6 12   6 det A = - 6. 2.2 ກາຌ຃ຈິ ແຖໃ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ 3 : ຽປາ຺ ປູ຾ໄ ຖທໄ ທໃ າ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ 3 ແຈຓໄ າ຅າກ ຓາຉຕຘິ 3x3. ຽປາ຺ ຘາຓາຈນາແຈໄ ຿ຈງກາຌຌາຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍ ເຌຊຌ຋ີ 1 ຾ຖະ 2 ຓາຂຼຌຉໃ ຊຌ຋ີ 3 ຽຑໃ ຓີ ບກີ 2 ຊຌ. ນຄົ ຅າກຌຌໄ ກນາ຃ໃ າ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ 3 ແຈ຅ໄ າກກາຌ຃ູຌ຾ຉໃ ຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຆາໄ ງຘະນົຼຄຖຄ຺ ຖໃ ຸຓ ຽຎຌ ຃ໃ າຍທກ ຾ຖະ຃ຌູ ຾ຉໃ ຖໃ ຸຓຆາໄ ງຘະນົຼຄຂຌຶໄ ຽ຋ຄິ ຽຎຌ຃ໃ າຖຍ຺ ຈໃ ຄປູຍ຾ຍຍຖໃ ຸຓຌີໄ : -- - pqr pq s tus t v wxv w +++ 146

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ pqr ຅ະແຈໄ s t u  ptx  quv  rsw  vtr  wup  xsq v wx 3 4 1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ 0 5 2 2 3 1 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຊຌ຋ີ 1 ຾ຖະ 2 ຂຼຌຉໃ ຅າກຊຌ຋ີ 3 ຽຑໃ ຓີ ບກີ 2 ຊຌ ຾ຖທໄ ຌາ ຓາ຃ຌູ ຘະນຼົ ຄ ຽຑໃ ບືຼ ຌາຏຌ຺ ຋ໃແີ ຈປໄ ຍຓາຍທກ ຾ຖະ ຖຍ຺ ກຌຉາຓປູຍ຾ຍຍ຋ໃ ກີ ໃ າທຓາຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຅ະແຈ:ໄ -- - 3 4 1 3 4 0 5 20 5 2 3 1 2 3 + ++ 3 4 1 ນົືຼ 0 5 2 351  42 2 103  251 323 104 2 3 1  15 16  0 10 18  0  23 x 5 1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  0 4  2 ຿ຈງ຋ໃ ີ det (A)   4 ຾ຖະ x  0 0 0  x ຽຎຌ຅າຌທຌ຅ຄິ . ຊາໄ ທໃ າ I ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ນທ຺ ໜໃ ທງ ຂະໜາຈ 3x3. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det 2( I  A) ທ຋ີ ຾ີ ກ:ໄ ຅າກ x 5 1 A  0 4  2 0 0  x -- - x 5 1 x 5 detA  0 4  2 0 4 0 0 x 0 0 + ++ 147

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  x 4 x 5 20 100  0410 2x  x05  4x2 ກາຌຈ຺ ເນໄ det A = - 4  4x2   4 x2 1 ຅ະແຈໄ x  1 x 0 1 5 1 ຘະ຾ຈຄທໃ າ A  0 4  2 0 0 1 1 0 0 1 5 1 I  A  0 1 0  0 4  2 0 0 1 0 0 1 0  5 1  0  3 2 0 0 2 0 10 2 2 I  A  0  6 4 0 0 4 -- - 0 10 2 0 10 det 2 ( I  A)  0  6 4 0  6 0 0 40 0 ++ +  0 64 1040 00 0 62 040 4010 0 a b c ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det A ຉທ຺ ດໃ າຄ 3: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1 2 3 1 2 3 148

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ abc detA  1 2 3 123 --- abc ab 1 2 3 12 12 123 +++  a23 b31 c12 c21 a32 b13 0 ຅າກຉທ຺ ດໃ າຄຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຽນຌທໃ າຊາໄ ບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄ ຾ຊທ຋ີ 2 ກຍ ຾ຊທ຋ີ 3 ຃ກຼື ຌ຾ຖທໄ det A = 0. 1 0 1 0 1 4  4 ຾ຖະ B  2 1  2 ຉທ຺ ດໃ າຄ 4: ກາຌຈ຺ ເນໄ A   2 3  1 5 2 1 1 0  ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det A , det B , det AB ; ຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າ det AB  detAdet B 1 0 1  4 , ຅ະແຈໄ ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຅າກ ຓາຉຕຘິ A   2 3  1 5 2 1 0 1  4 detA  2 3  1 5 2 - -- 01 4 01  2 1  2 2 1 11 11 0 +++  6  010 3 20 0  39 det A = 39. 149

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 0 1 4 ຅າກ ຓາຉຕຘິ B  2 1  2 , ຅ະແຈໄ 1 1 0  014 det B  2 1  2 11 0 - -- 01 4 01  2 1  2 2 1 11 11 0 + ++  0  2 8  4 0 0 10 det B  10 1 0 1 0 1 4  4 2 1  2 ປູທໄ ໃ າ AB   2 3  1 5 2 1 1 0   1 0  4 A B   2  9 14  12  2  6 1 0 4 detAB   2 9 14 12  2  6 --- 1 0 4 10   2 9 14 2 9 12  2 12  2  6 +++   54 0 16  432  28 0 150

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ det AB  390 ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກທໃ າ det AB  390 ຾ຖະ det B  10 ຈໃ ຄຌຌໄ detAdetB  39 10  390 ຈໃ ຄຌຌໄ det AB  detAdet B 3 ຃ຸຌຖກຘະຌະຑຌືຼໄ ຊາຌຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ. ຅າກ ທ຋ິ ກີ າຌຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຋ໃແີ ຈກໄ ໃ າທຓາ຾ຖທໄ ຌຌໄ ຽປາ຺ ຽນຌທໃ າຽຎຌທ຋ິ ກີ າຌນາ ຃ໃ າ ຽຈ຾ຉກຓີ ຌຄ ຋ໃ ຽີ ຘງຽທຖານົາງ ຿ຈງຘະຽຑາະຊາໄ ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈ຋ໃ ຓີ ຂີ ະໜາຈເນງໃ ຃ຂືຼ ະໜາຈ 4x4 ນົືຼ 5x5 ຽຎຌຉຌ຺ໄ . ຈໃ ຄຌຌໄ ຽປາ຺ ຅ະແຈຘໄ ກຶ ຘາຖກຘະຌະຉໃ າຄໂຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຽຑໃ ບຼື ຽປຈເນໄ ຽປາ຺ ຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄແຈຄໄ ໃາງຂຌືຼໄ ກທໃ າຽກໃ າ຺ ຈໃ ຄຌ:ີໄ 3.1 ຊາໄ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌ຾ຊທເຈ຾ຊທໜໃ ຄຶ ນົຼື ຊຌເຈຊຌໜໃ ຄຶ ຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຽຎຌ ຘູຌ ໝຈ຺ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຌຌໄ ຅ະຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 0. ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: 0 00 1. 1 2 5  0 3 4 8 ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌ຾ຊທ຋ີ 1 ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 0 ຋ຸກຉທ຺ . 40 40 2. 1 0  3 1  0 80 65 70 7 2 ຽຌໃ ບືຼ ຄ຅າກ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຊຌ຋ີ 2 ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 0 ຋ຸກຉທ຺ . 3.2 ຊາໄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄເຈໜໃ ຄຶ ຓີ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຘບຄ຾ຊທ຃ກຼື ຌໝຈ຺ ນົືຼ ບຄ຺ ຎະກບຍ ເຌຘບຄຊຌ ຃ກືຼ ຌໝຈ຺ ຅ະຽປຈເນໄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຌຌໄ ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 0. ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: 123 1. 1 2 3  0 4 5 9 151

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຽຌໃ ບືຼ ຄ຅າກ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌ຾ຊທ຋ີ 1 ຾ຖະ ຾ຊທ຋ີ 2 ຃ກຼື ຌໝຈ຺ . 141 2. 6 2 6  0 585 ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຊຌ຋ີ 1 ກຍຊຌ຋ີ 3 ຃ກືຼ ຌໝຈ຺ . 3.3 ຊາໄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ໃ ດີ ໃ ູຽຍບຼືໄ ຄຖໃ ຸຓ ນົຼື ຽ຋ຄິ ຽຘຌໄ ຂາຈ຋ໃ ຂີ ຈີ ຅າກຽ຋ຄິ ຆາໄ ງນາຖໃ ຸຓຂທາຓີ ຃ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍຘູຌໝຈ຺ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຅ະຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍຏຌ຺ ຃ຌູ ຂບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ໃ ຌີ ບຌ ເຌຽຘຌໄ ຂາຈ ຌຌໄ (ຈໃ ຄຉທ຺ ດໃ າຄຖໃ ຸຓຌ)ີໄ . ຉທ຺ ດໃ າຄ 3: 25 1. 04 = (2) (4) = 8 500 2. 3 4 0  541  20 201 3.4 ຊາໄ ຽປາ຺ ຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄ ຘບຄ຾ຊທເຈຓາຎໃ ຼຌຍໃ ບຌກຌຉາຓຖາຈຍ ນົຼື ຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄຘບຄຊຌເຈ ຓາ ຎໃ ຼຌຍໃ ບຌກຌຉາຓຖາຈຍ ຏຌ຺ ຋ໃ ແີ ຈ຅ໄ ະຽຎຌ຅າຌທຌກຄ຺ ກຌ ຂາໄ ຓກຍ ຽຈ຾ຉກຓີ ຌຄຽກໃ າ຺ . ຉທ຺ ດໃ າຄ 4: 123 1. ເນໄ 4 5 6  k 789 ຊາໄ ຌາຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍ ເຌ຾ຊທ຋ີ 1 ກຍ຾ຊທ຋ີ 2 ຎໃ ຼຌຍໃ ບຌກຌ, ຅ະແຈໄ 456 1 2 3  k 789 2. ເນ ໄ a b k c d 152

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຊາໄ ຌາຽບາ຺ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຊຌ຋ີ 1 ກຍ ຊຌ຋ີ 2 ຎໃ ຼຌຍໃ ບຌກຌ຅ະແຈໄ ba  k dc 3.5 ຊາໄ ຌາຽບາ຺ ຃ໃ າຂບຄ k ຃ຌູ ກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ຸກຉທ຺ ເຌ຾ຊທເຈໜໃ ຄຶ ນົຼື ຃ຌູ ກຍບຄ຺ ຎະກບຍ຋ຸກຉທ຺ ເຌຊຌເຈໜໃ ຄຶ ຏຌ຺ ແຈປໄ ຍ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຂຌືຼໄ ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຍຉທ຺ ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ຃ຌູ ກຍຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຽກໃ າ຺ . ຉທ຺ ດໃ າຄ 5: 1. ກາຌຈ຺ ເນໄ a b c k d ຽບາ຺ 2 ຓາ຃ູຌກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ຸກຉທ຺ ເຌ຾ຊທ຋ີ 2 ຅ະແຈ.ໄ a b ab 2 2c 2d c d  2k 576 2. ກາຌຈ຺ ເນໄ 4 9 3  k 186 ຽບາ຺ 3 ຓາ຃ຌູ ກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ຸກຉທ຺ ເຌຊຌ຋ີ 3 ຅ະແຈໄ 5 7 18 5 7 6 4 9 9 3 4 9 3  3k 1 8 18 1 8 6 3.6 ຊາໄ ຽບາ຺ ຉທ຺ ຃ຄ຺ ຃ໃ າ ຓາ຃ຌູ ກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ຸກຉທ຺ ເຌ຾ຊທເຈໜໃ ຄຶ ນົືຼ ຊຌເຈໜໃ ຄຶ ຾ຖທໄ ແຎຍທກກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍບກີ ຾ຊທໜໃ ຄຶ ຉາຓຖາຈຍຂບຄ຋ຸກຉທ຺ ຽຑໃ ບືຼ ເນຽໄ ຎຌບຄ຺ ຎະກບຍ ເໝໃ ຽຈ຾ຉກ ຓຌີ ຄເໝໃ ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຂຌືຼໄ ຅າກກາຌ຃ຌູ ຈໃ ຄກໃ າທ ຅ະຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຍຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຽກໃ າ຺ ຋ຸກດໃ າຄ. ຘາຖຍຂຌໄ ຾ີໄ ຓໃ ຌແຈຌໄ າເຆນໄ າົ ງ຋ໃ ຘີ ຸຈເຌກາຌຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ. ຉທ຺ ດໃ າຄ 6: ກາຌຈ຺ ເນໄ a b c k d ຊາໄ ຌາຽບາ຺ 3 ຓາ຃ຌູ ກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌ຾ຊທ຋ີ 1 ຾ຖທໄ ຌາຽບາ຺ ແຎຍທກກຍ ບຄ຺ ຎະ ກບຍເຌ຾ຊທ ຋ີ 2, ຅ະ ແຈ ໄ ab c  3a d  3b 153

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຅າກ຃ຸຌຖກຘະຌະ 3.6 ຅ະແຈໄ ab =k c  3a d  3b 123 2. ກາຌຈ຺ ເນໄ 4 5 6  c 789 3.6 ຊາໄ ຌາຽບາ຺ 5 ຓາ຃ຌູ ກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຊຌ຋ີ 1 ຾ຖທໄ ຌາແຎຍທກກຍ ບຄ຺ ຎະກບຍ ເຌຊຌ຋ີ 3, ຅ະ 1 2 3  51 1 2 8 ແຈໄ 4 5 6  54  4 5 26 7 8 9  57 7 8 44 ຅າກ຃ຸຌຖກຘະຌະ຋ີ 3.6 ຅ະແຈໄ 12 8 4 5 26  c ( ຃ຽືຼ ກໃ າ຺ ) 7 8 44 ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ ກໃ ຼທກຍຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂະໜາຈ n x n . ເນໄ A, B ຾ຖະ C ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ n x n . 1. ຊາໄ A  B ຽປາ຺ ຘະນຸຍົ ແຈທໄ ໃ າ det A det B ຽຌໃ ບືຼ ຄ຅າກ ຘບຄ ຓາຉຕຘິ ຅ະຽ຋ໃ າ຺ ກຌກໃ ຉໃ ຽຓໃ ບຼື ບຄ຺ ຎະກບຍ ຋ໃ ດີ ໃ ູເຌຉາ຾ໜໃ ຄ຋ໃ ກີ ຄ຺ ກຌຽ຋ໃ າ຺ ກຌ຋ຸກຉທ຺ . ຈໃ ຄຌຌໄ ຖກຘະຌະຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຾ຖະ B ຅ໃ ຄຶ ຃ກືຼ ຌ຋ຸກດໃ າຄ ຏຌ຺ ຋ໃ ແີ ຈໄ ປຍກ຃ຼື ຃ໃ າຂບຄຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຉບໄ ຄຽ຋ໃ າ຺ ກຌ. 2. ຊາໄ det A det B ຾ຖທໄ ຘະນຸົຍທໃ າ A  B ຌຌໄ ໜາງຽຊຄິ ຉບໄ ຄຽຎຌ຅ຄິ ຋ຸກກຖະຌີ ຍໃ ທໃ າຖກ ຘະຌະບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຾ຖະ B ຅ະຽຎຌ຾ຌທເຈກຉາຓ ຽຆໃ ຄິ ຂ຃ໄ ທາຓຌຍີໄ ໃ ຾ຓໃ ຌ ຃ທາຓ຅ຄິ ຽຑາະທໃ າ ເຌຍາຄ຃ຄໄ det A det B ຿ຈງ຋ໃ ີ A ກຍ B ຍໃ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌຽຆໃ ຌ: 32 11 A ຾ຖະ B 55 16 ເຌກຖະຌຌີ ີໄ ຑທກຽປາ຺ ຅ະຽນຌທໃ າ det A det B= 5 ຾ຉໃ A  B 3. det ABC  det A det B det C ຘາຖຍຂຌໄ ຓີໄ ຎີ ະ຿ນງຈນົາງຽຑາະທໃ າ ຽທຖາຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄຏຌ຺ ຃ຌູ ຾຋ຌ ຋ໃ ີ ຅ະຽຘງຽທຖາ ຽບາ຺ ຓາຉຕຘິ ຓາ຃ູຌກຌກໃ ບຌ຾ຖທໄ ຅ໃ ຄຶ ແຎຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ເໝໃ ຌຌໄ ຽປາ຺ ຃ຈິ ແຖໃ ຽຈ຾ຉກ ຓຌີ ຄຂບຄ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຾ຖທໄ ຽບາ຺ ຓາ຃ູຌກຌ ຅ະຄໃາງກທໃ າຈໃ ຄຉທ຺ ດໃ າຄຖໃ ຸຓຌ:ີໄ 154

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຉທ຺ ດໃ າຄ 7: ເນໄ  2 3  a b 4 2 ຾ຖະ D  1 2 A 0 1 ; B c  ;C 3 1 3 4 d  ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det B ຽຆໃ ຄິ ABC  D ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຅າກ ABC  D ຅ະແຈໄ det ABC   det D ( ຅າກຂໄ 1 ) ຾ຉໃ ທໃ າ det ABC  det A det B det C ( ຅າກຂໄ 3 ) ຘະຌຌໄ det A det B det C  det D (1) ຽຑາະທໃ າ det A  2 3 2 0 1 det C  4 2  4  6   2 31 det D 1 2   2 34 ຾຋ຌ຃ໃ າເຘໃ (1) ຅ະແຈໄ (2) det B  2   2 ຅ະແຈໄ det B  1 2 4. det An   detAn ຃ທາຓປູຂໄ ບຄຂຌໄ ຽີໄ ຎຌຏຌ຺ ຓາ຅າກ ຂ຋ໄ ີ 3 ຾ຉໃ ຽຎຌເຌກຖະຌີ ຓາຉຕຘິ ຋ໃ ຌີ າຓາ຃ຌູ ກຌ ຽ຋ໃ າ຺ ກຌໝຈ຺ . 5. det AT   det A ຅າກຂຌໄ ີໄ ຽທາ຺ໄ ແຈທໄ ໃ າ ຅ະຽຎຌ A ນົຼື AT ຃ໃ າຂບຄຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຅ະຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຌ. a b  ຉທ຺ ດໃ າຄ 8: c  det A ເນ ໄ A  d  ຘະ຾ຈຄທໃ າ det AT  ທ຋ິ ຾ີ ກ ໄ : ຅າກ A  a b c  d  det A  ad  cb AT  a c b d  155

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  det AT  ad bc ຘະຌຌໄ det AT   det A 6. ຊາໄ I ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ນທ຺ ໜໃ ທງ ຾ຖທໄ det I   1 100 10 1 ; 0 1 0 1 01 001 7. ຊາໄ ຓາຉຕຘິ A ຓຂີ ະໜາຈ nn , ຅ະແຈໄ det kA  k n det A ຘາຖຍຂໄ 7 ຌ຅ີໄ ະຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌ຃ກືຼ ຌກຍ ຓາຉຕຘິ 2 x 2 ຽຆໃ ຌ: ເນໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 2 x 2. ຅ໃ ຄ຺ ຘະ຾ຈຄທໃ າ det kA  k 2 det A ຽຓໃ ບຼື k ທ຋ິ ຆີ ຾ີໄ ຅ຄ: ຘຓ຺ ຓຸຈເນໄ A  a b c  d  kA ka kb kc  kd  ຌ຃ີໄ ືຼ det kA  ka kd kb kc  k 2ad  k 2bc  k 2 ad  bc ຾ຉໃ ທໃ າ k 2 detA  k 2 ad  bc  k 2ad  k 2bc ຘຸຈ຋າໄ ງ຅ະແຈໄ det kA  k 2 det A ຅າກຽນຈຏຌ຺ ຈໃ ຄກໃ າທຘາຓາຈ ບະ຋ຍິ າງຂໄ 7 ແຈຈໄ ໃ ຄຉທ຺ ດໃ າຄຖໃ ຸຓຌ.ີໄ ຉທ຺ ດໃ າຄ 9: ເນໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 3 x 3, ຅ະແຈໄ det5A 53 det A det  A  13 det A det 4I   43 det I  641  64 ຘະນຸົຍ ທ຋ິ ກີ າຌ຃ຈິ ແຖໃ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຘາຓາຈ ຘະນຸົຍແຈຈໄ ໃ ຄຌ:ີໄ 156

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 1. ຊາໄ A  B ຽປາ຺ ແຈໄ det A det B 2. ຊາໄ det A det B ຾ຖທໄ ຍໃ ຘາຓາຈ ຘະນຸຍົ ແຈທໄ ໃ າ A  B . 3. det ABC  det A det B det C 4. det An   detAn 5. det AT   det A 6. det I   1 7. det kA  k n det A ຽຓໃ ບືຼ A ຓຂີ ະໜາຈ n n 4 ກາຌຂະນງາງຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຅າກຂກໄ າຌຈ຺ ຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຋ໃ ເີ ນຽໄ ປາ຺ ປູທໄ ໃ າ ກໃ ບຌ຋ໃ ຽີ ປາ຺ ຅ະປູທໄ ຋ິ ກີ າຌຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຑທກຽປາ຺ ຅ະຉບໄ ຄຽຂາ຺ໄ ເ຅຃າທໃ າ ຓຽີ ຌີ ( Mineur ) ຾ຖະ ຿຃ຒກຽຉີ ( Cofacteur ) ກໃ ບຌຈໃ ຄຉໃແຎ ຌີໄ  4.1 ຓຽີ ຌີ ( Mineur ): ເນໄ A ai j nn ຽທຖາຽທາ຺ໄ ຽຊຄິ ຓຽີ ຌີ ຉບໄ ຄຽທາ຺ໄ ທໃ າຓຽີ ຌຂີ ບຄບຄ຺ ຎະກບຍຉທ຺ ເຈ ເຌ A ຽຆໃ ຌ : ຊາໄ ຅ະຽທາ຺ໄ ຽຊຄິ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ a12 ຅ະເຆຘໄ ຌງະຖກ M12A ຾຋ຌ ຈໃ ຄຌຌໄ ຿ຈງ ຋ໃ ທ຺ ແຎ ຾ຖທໄ ຊາໄ ຽທາ຺ໄ ຽຊຄິ ຓຽີ ຌຂີ ບຄບຄ຺ ຎະກບຍ ai j ຅ະເຆຘໄ ຌງະຖກ M i j A ຾຋ຌ. ຿ຈງ຋ໃ ີ M i j A ຓ຃ີ ທາຓໝ າງຈໃ ຄຌ.ີໄ M i j A ຾ຓໃ ຌຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຋ໃ ຽີ ກຈີ ຅າກກາຌຉຈຽບາ຺ ຾ຊທ຋ີ i ຾ຖະ ຊຌ຋ີ j ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ບບກ. a11 a12 a13  ເນ ໄ A  a21 a22  ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: a32 a23  a31 a33  ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a11  M11 A  a22 a23 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 1 ຾ຖະ ຊຌ຋ີ 1 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a32 a33 ບບກ ) ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a12  M12 A  a21 a23 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 1 ຾ຖະຊຌ຋ີ 2 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a31 a33 ບບກ ) 157

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a13  M13A  a21 a22 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 1 ຾ຖະຊຌ຋ີ 3 ຂບຄຓາຉຕຘິ A ບບກ ) a31 a32 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a21  M 21A  a12 a13 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 2 ຾ຖະຊຌ຋ີ 1 ຂບຄຓາຉຕຘິ A ບບກ ) a32 a33 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a22  M 22A  a11 a13 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 2 ຾ຖະຊຌ຋ີ 2 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a31 a33 ບບກ ) ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a23  M 23A  a11 a12 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 2 ຾ຖະຊຌ຋ີ 3 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a31 a32 ບບກ ) ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a31  M 31A  a12 a13 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 3 ຾ຖະຊຌ຋ີ 1 ຂບຄຓາຉຕຘິ A ບບກ ) a22 a23 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a32  M 32A  a11 a13 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 3 ຾ຖະຊຌ຋ີ 2 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a21 a23 ບບກ ) ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ  a33  M 33A  a11 a12 ( ຉຈ຾ຊທ຋ີ 3 ຾ຖະຊຌ຋ີ 3 ຂບຄຓາຉຕຘິ A a21 a22 ບບກ )  3 2 1  5 6 ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ ຓຽີ ຌີ ຂບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຽຆໃ ຄິ A   4  2  3 1 ທ຋ິ ຾ີ ກ ໄ : ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ai j ຾຋ຌຈທໄ ງ M11A  5 6 3 1  5 1  3 6  23 ຘຄຽກຈ (1) a11 ຾ຓໃ ຌ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ໃ ດີ ໃ ູເຌ຾ຊທ 1 ຾ຖະ ຊຌ຋ີ 1 ຈໃ ຄຌຌໄ ຓຽີ ຌີ ຂບຄ a11 ຘາຓາຈຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງ M11A (2) M11A ແຈຓໄ າ຅າກກາຌຉຈ຾ຊທ຋ີ 1 ຊຌ຋ີ 1 ຂບຄ A ບບກ. ຾ຖທໄ ນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄຓາຉຕຘິ ຎະກບຍຈທໄ ງ ບຄ຺ ຎະກບຍ ຋ໃ ງີ ຄຽນົບືຼ ຈໃ ຄຌ:ີໄ 158

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຉຈຊຌ຋ີ 1 ບບກ  3 2 1 ຉຈ຾ຊທ຋ີ 1 ບບກ  4 5 6   2  3 1 ຓາຉຕຘິ ຋ໃ ຎີ ະກບຍຈທໄ ງ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ໃ ຽີ ນົບືຼ ຾ຓໃ ຌ  5 6  3 1 ຅ະແຈໄ ຓຽີ ຌີ ຂບຄ a1 1 = M11A  det  5 6  5 6  3 1 3 1  5 1  3 6  23 ຈໃ ຄຌຌໄ M11A  23 ຘະຌຌໄ ຘາຖຍກາຌນາ M12A, M13A, M 21 A, M 22A, M 23A, M 31 A M32A, M33A ຘາຓາຈຆບກຈທໄ ງທ຋ິ ຈີ ຼທກຌກຍ M11A ຽຆໃ ຌ : ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a12  M12A  4 6  4 1 2 6 2 1 M12A   8 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a13  M13A  4 5  4  3 2 5 2 3 M13A   22 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a21  M 21A  2 1  2 1  3 1 3 1 M 21A  5 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a22  M 22A  3 1   3 1 2 1 2 1 M 22A   5 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a23  M 23A  3 2   3  3 2 2 2 3 159

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ M 23A  5 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a31  M 31 A  2 1  2 6 5 1 5 6 M 31A  7 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a32  M 32A  3 1   3 6 4 1 4 6 M32A   22 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ a33  M 33A  3 2   3 5 4 2 4 5 M 33A   23 ຅າກກາຌຆບກນາ ຓຽີ ຌີ ຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຌຌໄ ຽປາ຺ ຘາຓາຈ ຘາໄ ຄ ຓາຉຕຘິ ຋ໃ ຎີ ະກບຍຈທງໄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຋ໃ ຽີ ຎຌ M12A, M13A, M 21 A, M 22A, M 23A, M 31 A, M32A, M 33A ແຈ ໄ ຾ຖະ ຓາຉຕຘິ ຋ໃ ີ ຽກຈີ ຂຌຼືໄ ເໜໃ ຌຽີໄ ບຌີໄ ທໃ າຓາຉຕຘິ ຓຽີ ຌີ ຽຆໃ ຌ ຓາຉຕຘິ ຂບຄຓຽີ ຌີ  M 11  A M 12  A M 13  A  M 21A M 22A M 23A M 32A M 33A M 31A 23  8  22     5 5 5   7  22  23 ຽປາ຺ ເນໄ M i j ຾຋ຌ ບຄ຺ ຎະກບຍ ຓາຉຕຘິ ຂບຄຓຽີ ຌີ ຋ໃ ດີ ໃ ູ຾ຊທ຋ີ i ຊຌ຋ີ j ຿ຈງ i  1 , 2 , 3  ຾ຖະ j  1 , 2 , 3ຘາຓາຈຂຼຌຓາຉຕຘິ ຂບຄ ຓຽີ ຌີ ເນຘໄ ຌໄ ຽຂາ຺ໄ ແຈ຃ໄ ືຼ  M i j A 33 ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : ຊາໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຓຂີ ະໜາຈ nn ຾ຖທໄ ຘາຓາຈຂຼຌຓາຉຕຘິ ຂບຄ ຓຽີ ຌີ ແຈຈໄ ໃ ຄຌີໄ 160

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ M11A M12A M13A . . . M1n A M 21A M 22A M 23A . . . M 2n A M  A M 32A M 33A  A  31 ... M 3n  . . ...    M i j A nn = . .   . . . ... .    . . . ... .  M n1A M n2 A M n3 A . . . M nn A ຉທ຺ ດໃ າຄ 3:  1 4 2 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາຓຽີ ຌີ ຂບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ -1 ຾ຖະ 8. ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1 3 9  0 8 7 ທ຋ິ ຾ີ ກ ໄ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ 1  M 21 A  4 2 8 7  4 7  8 2  28 16 M 21A 112 ຓຽີ ຌຂີ ບຄ 8  M 32A  1 2 1 9  1 91 2 M 32A =11 4.2 ຿ກຒກຽຉີ (Cofacteur) ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄບຄ຺ ຎະກບຍ aij ຂບຄຓາຉຕຘິ A ເຈໜໃ ຄຶ ຾ຓໃ ຌ 1i  j ຃ູຌກຍຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຊທ຋ີ i ຾ຖະ ຊຌ຋ີ j ຾ຖະ ຽຑໃ ຌີ ຌງິ ຓ຺ ເຆຘໄ ຌງະຖກ Ci j A ຾຋ຌ຿ກຒກ ຽຉີ ຂບຄຓາຉຕຘິ A  ຃ຼື : ຊາໄ A ai j mn ຽປາ຺ ຅ະແຈ ໄ Ci j A  1i  j M i j A ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : - ຊາໄ i  j ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ, ຅ະແຈ ໄ 1i  j  1 - ຊາໄ i  j ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກີ , ຅ະແຈ ໄ 1i  j  1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 4: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ເຌຓາຉຕຘິ A 161

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  3 2 1  5 6 ຽຓໃ ບືຼ ເນໄ A   4  2  3 1 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a11  C11 A   1 11 M11A  1 5 6 3 1  5 1  36 C11A  23 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a12 C12A   1 12 M12A  1 4 6 21 C12A 8 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a13 C13A   1 13 M13A  1 4 5 2 3 C13A   22 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a21  C21 A   1 21 M 21A  1 2 1 3 1 C21A   5 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a22 C22A   1 22 M 22A  1  3 1 21 C22A   5 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a23 C23A   1 23 M 23A  1  3 2 2 3 162

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ C23A   5 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a31  C31 A   1 31 M 31A  1 2 1 56 C31 A  7 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a32 C32A   1 32 M 32A  1  3 1 46 C32A  22 ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a33 C33A   1 33 M 33A  1  3 2 45 C33A   23 ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : ຽປາ຺ ຘາຓາຈ ຘາໄ ຄ ຓາຉຕຘິ ຎະກບຍຈທໄ ງບຄ຺ ຎະກບຍ ຋ໃ ຽີ ຎຌ : C11 A, C12A, C13A C21A, C22A, C23A, C31 A, C32A, C33A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ເໝໃ ຽບຌີໄ ທໃ າ ຓາຉຕຘິ ຂບຄ ຿ກຒກຽຉຽີ ຆໃ ຌ C11A C12 A C13  A ຓາຉຕຘິ ຂບຄ຿ກຒກຽຉີ = C21A C22  A C 23  A C32  A C33  A C31A =  1 11 M 11A  1 12 M12 A  1 13 MM1233AA  1 21 M 21A  1 21 M 21A  1 23  1 31 M 31A  1 32 M 32 A  1 33 M 33A  M11  M12 M13   23 8 5    M 21 M 22    5 5   M 23   5   M 31  M 32 M 33   7  22  23 163

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ເນໄ ci j ຾຋ຌບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຿ກຒກຽຉີ ຋ໃ ດີ ໃ ູເຌ຾ຊທ຋ີ i ຊຌ຋ີ j ຽຆໃ ຄິ i  1 , 2 , 3  ຾ຖະ j 1 , 2 , 3 ຘາຓາຈຂຼຌ ຓາຉຕຘິ ຂບຄ຿ກຒກຽຉີ ເນຘໄ ຌໄ ແຈ຃ໄ ຼື  Ci j A 33 . ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : ຊາໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຂະໜາຈ n n ຾ຖທໄ ຘາຓາຈຂຼຌຓາຉຕຘິ ຿ກຒກຽຉແີ ຈໄ  Ci j A nn ເຌຌຌໄ Ci j A  1i  j M i j A ຽຆໃ ຄິ 1i  j =1 ຊາໄ i  j ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ໃ ູ ຾ຖະ 1i  j =-1 ຊາໄ i  j ຽຎຌ຅າຌທຌ຃ກີ . M11A M12A M13A . . . M1n A M 21A M 22A M 23A . . . M 2n A M  A M 32A M 33A  A  31 ... M 3n . . ...   ຅າກ M i j A nn = . .  . . . ... .    . . . ... .  M n1A M n2 A M n3 A . . . M nn A  M11A  M12A  M13A . . .  M1n A  M 21A  M 22A  M 23A . . .  M 2n A   M 31A  M 32A  M 33A  A  ...  M 3n  . . . ...   ຅ະແຈໄ .  Ci j A nn = . . . ... .    . . . ... .    M n1A  M n2 A  M n3 A . . .  M nn A ຉທ຺ ດໃ າຄ 5: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ ຓຽີ ຌີ ຾ຖະ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຽຑໃ ບຼື ເນໄ 5 1 6 A  2 5 7 4 8 9 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ 1. ຆບກນາ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A . ປູທໄ ໃ າ M i j A ຾ຓໃ ຌຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຋ໃແີ ຈ຅ໄ າກກາຌຉຈ຾ຊທ i ຾ຖະ ຊຌ j ບບກ. M 1 1  A  5 7  5 98 7  11 8 9 M12A  2 7  2 94 7  10 4 9 164

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ M13A  2 5  2 84 5   4 4 8 M 21 A  1 6  1 98 6   57 8 9 M 22A  5 6  5 94 6  21 4 9 M 23A  5 1  5 84 1  44 4 8 M 31A  1 6  1 75 6   37 5 7 M 32A  5 6  5 72 6  23 2 7 M 33A  5 1  5 52 1  27 2 5 2. ຆບກນາ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄບຄ຺ ຎະກບຍ ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A . C11 A  1 11 M11 A 1 11  11 C12A  1 12 M12A 1 10  10 C13A  1 13 M13A 1  4   4 C21 A  1 21 M 21 A 1  57  57 C22A  1 22 M 22A 1 21  21 C23A  1 23 M 23A 1 44   44 C31A  1 31 M31A 1  37  37 C32A  1 32 M32A 1 23   23 C33A  1 33 M33A 1 27  27 x 1 6 ຊາໄ ຓຽີ ຌີ ຂບຄ a32 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 23 ຾ຖະ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ a23 ຉທ຺ ດໃ າຄ 6: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  2 5 7 4 2 y 9 ຽ຋ໃ າ຺ ກຍ - 44 ຾ຖທໄ x  y ຅ະຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ? ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ x 1 6 ຾ຖະ M 32  23 ຅າກ A  2 5 7 4 2 y 5 165

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຅ະແຈ ໄ x 6 2  23 7 7x 12  23 x5 (1) ຽປາ຺ ປູ ໄ C23(A)   44 ຘະຌຌໄ  1 23 x 1   44 4 2y 1x 2y 4 1   44 (2)  2  y  4   44 2xy  4  44 ຽບາ຺ (1) ຾຋ຌເນໄ (2) ຅ະແຈໄ 2 5 y  4  44  y4 ຈໃ ຄຌຌໄ x  y  5 4  9 5. ຘູຈກາຌຂະນງາງ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ  ນົກກາຌ: ຊາໄ ai j nn ຽຓໃ ບຼື ai j  ຾ຖະ n ຽຎຌ຅າຌທຌຊທໄ ຌ຋ໃ ນີ ົາງກທໃ າ 2 ຾ຖທໄ  n ຽຓໃ ບືຼ j ຽຎຌ ບຄ຺ ຎະກບຍເຌຉທ຺ ເຈ ໜໃ ຄຶ ຂບຄ 1 , 2 , 3, . . . , n ນົືຼ det A   ai jCi j A i 1  n ຽຓໃ ບືຼ i ຽຎຌບຄ຺ ຎະກບຍຉທ຺ ເຈໜໃ ຄຶ ຂບຄ 1 , 2 , 3, . . . , n . det A   ai jCi j A i 1 a11 a12 a13 . . . a1n  a21  a22 a23 . .. a2 n  ຊາໄ ທໃ າ A = a.31 a32 a33 . .. a3n  , ກາຌຆບກຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄຓາຉຕຘິ ຾ຓໃ ຌ : . . ... .   an1 an2 an3 . . . ann  ເນຽໄ ຖບຼື ກ຾ຊທເຈ຾ຊທໜໃ ຄຶ ນົຼື ຊຌເຈຊຌໜໃ ຄຶ ຂບຄ A . ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽປາ຺ ຽຖບືຼ ກຽບາ຺ ຾ຊທ຋ີ 1 ຓາຌາເຆກໄ ຅ະ ແຈ.ໄ det A  a11C11A  a12C12A  a13C13A  . . .  a1nC1n A ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽປາ຺ ຽຖບຼື ກຊຌ຋ີ 1 ຌາຓາເຆກໄ ຅ະແຈໄ : 166

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ det A  a11C11A  a21C21A  a31C31A  . . .  an1Cn1A ໝາງຽນຈ: ເຌຘບຄກຖະຌຽີ ຋ຄິ ຌີໄ ຅ະແຈ຃ໄ າຉບຍ຃ກືຼ ຌ.  3 2 1  5 6 ຉທ຺ ດໃ າຄ 7: ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄຓາຉຕຘິ A ຽຓໃ ບືຼ A   4  2  3 1  3 2 1  5 6 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຅າກ A   4  2  3 1 1. ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽຖບືຼ ກ຾ຊທ຋ີ 1 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a11C11A  a12C12A a13C13A   3 23  2 8 1  22 ຘະຌຌໄ det A   75 2. ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽຖບຼື ກ຾ຊທ຋ີ 2 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a21C21A  a22C22A a23C23A  4  5  5  5 6  5 ຘະຌຌໄ det A   75 3. ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽຖບຼື ກ຾ຊທ຋ີ 3 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a31C31A  a32C32 A a33C33A  2 7   3 22 1  23 ຘະຌຌໄ det A   75 4. ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽຖບຼື ກຊຌ຋ີ 1 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a11C11A  a21C21A a31C31A   3 23  4  5 2 7 ຘະຌຌໄ det A   75 5. ຘຓ຺ ຓຸຈຽຖບຼື ກຊຌ຋ີ 2 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a12C12A  a22C22A a32C32A 167

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  2 8 5 53 22 ຘະຌຌໄ det A   75 6. ຘຓ຺ ຓຸຈ ຽຖບືຼ ກຊຌ຋ີ 3 ຌາຓາເຆ຅ໄ ະແຈໄ detA  a13C13A  a23C23A a33C33A  1  22  6  5 1  23 ຘະຌຌໄ det A   75 ຅າກກາຌຽຖບຼື ກຉໃ າຄໂເຌຂາໄ ຄຽ຋ຄິ ຽນຌທໃ າ ຍໃ ທໃ າ຅ະຽຖບືຼ ກ຾ຊທເຈ ນົຼື ຊຌເຈກຉາຓ det A ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ກຌຘະຽໝ.ີ ຅າກກາຌຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຈທງໄ ທ຋ິ ກີ າຌຽຖບຼື ກຉໃ າຄໂ ຅ະຽນຌທໃ າຽປາ຺ ຃ທຌຽຖບືຼ ກ຾ຊທ ນົຼື ຊຌ຋ໃ ຓີ ີ (0) ນົາງກໃ ທາໝໃ .ູ ຊາໄ ກຖະຌຍີ ໃ ຓ຾ີ ຊທ ນົຼື ຊຌເຈຓີ (0) ຽຖງີ ກ຃ທຌ຅ະຽຖບືຼ ກ຾ຊທ ນົຼື ຊຌ຋ໃ ຓີ ຉີ ທ຺ ຽຖກຌບໄ ງກທໃ າ ຽຑໃ ບືຼ ຽປຈເນຽໄ ປາ຺ ຘາຓາຈ຃ຈິ ແຖໃ ແຈແໄ ທຂຌຶໄ . ຉທ຺ ດໃ າຄ 8: ເນໄ ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 3 x 3 . ຊາໄ M13  1 3 ; M 21  1 1 ; M 31  2 1  1 2  2 4  1 0 ຾ຖທໄ det A ຓ຃ີ ໃ າຽ຋ໃ າ຺ ເຈ ? a11 a12 a13  A  a21  ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຘຓ຺ ຓຸຈ ເນໄ a22 a23  a31 a32 a33  a11 a12 a13  1 3 M13  a21 a22  2 ຅າກຉທ຺ ດໃ າຄ a32 a2 3    1 a31  a33  ຽນຌທໃ າ a21  1 ; a22 3 ; a31  1 ; a32  2 (1) a11 a12 a13  1 1 M 21  a21 a22   2 4 ຅າກຉທ຺ ດໃ າຄ a32 a2 3   a31 a33  ຽນຌທໃ າ a12  1 ; a13 1 ; a32  2 ; a33  4 (2) 168

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ a11 a12 a13  2 1 M 32  a21 a22   1 0 ຅າກຉທ຺ ດໃ າຄ a32 a2 3   a31 a33  ຽນຌທໃ າ a11  2 ; a13 1 ; a21  1 ; a23  0 (3) ຅າກ (1) , (2) , (3) ຽປາ຺ ແຈ.ໄ  2 1 1 A  1 3 0  1 2 4 ກາຌຆບກນາ຃ໃ າ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຿ຈງຂະນງາງຉາຓຊຌ຋ີ 3 ຽປາ຺ ຽນຌທໃ າ຅ະຄໃາງ຋ໃ ຘີ ຸຈ຃ຼື det A  1  1 13 1 3 0  4  1 33 2  1  2  1   1 3   1 1 2 1 3 4 2 3 1 1   5  20 det A = 15. ຘະນຸົຍ: ຅າກ຋ຈິ ຘະຈກີ າຌຂະນງາງ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ, ດາກຽຂາ຺ໄ ເ຅ກາຌຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄແຈໄ ຘໃ ຄິ ຋ໃ ີ ຘາ຃ຌ຾ຖະ ຽປາ຺ ຃ທຌປູ຾ໄ ຓໃ ຌ: - ຓຽີ ຌີ ຂບຄ ai j ຾ຓໃ ຌຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຋ໃແີ ຈ຅ໄ າກກາຌຉຈ຾ຊທ຋ີ i ຾ຖະ ຊຌ຋ີ j ຂບຄຓາຉຕຘິ A ບບກ. ຾ຖະ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ai j ຂຼຌ຾຋ຌຈທງໄ M i j A . - ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ ai j ຾ຓໃ ຌຏຌ຺ ຃ຌູ ຂບຄ 1i  j ຾ຖະ M i j A ຽຆໃ ຄິ ທໃ າ Ci j A   1 ij M i j A ຾ຖະ ຿ກຒກຽຉຂີ ບຄ ai j ຘາຓາຈຂຼຌນງແໄ ຈ ໄ Ci j A .  - det A  n ai jCi j A ຽຆໃ ຄິ ai j ຽຎຌບຄ຺ ຎະກບຍຉທ຺ ເຈໜໃ ຄຶ ຂບຄຓາຉຕຘິ A . i, j 1 6. ກາຌຆບກ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຈທງໄ ກາຌເຆໄ ບຈຆທຄ ( Adjoint ) ກາຌນາ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຈທງໄ ບຈຆທຄ ກໃ ບຌບໃ ຌຼື ຽປາ຺ ຓາປູຽໄ ຊຄິ ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຑີ ທ຺ ຑຌຽຊຄິ ຽຄໃບືຼ ຌແຂ ຉໃ າຄໂ ຋ໃ ກີ ໃ ຼທຂບໄ ຄ ຽຆໃ ຌ: ຊາໄ ທໃ າ ຓາຉຕຘິ B ຓຂີ ະໜາຈ n n ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຎີໄຌ ຂບຄຓາຉຕຘິ A ຋ໃ ຓີ ຂີ ະໜາຈ n n ກໃ ຉໃ ຽຓໃ ບືຼ AB  BA  I ຽຆໃ ຄິ I ຾ຓໃ ຌຓາຉຕຘິ ນທ຺ ໜໃ ທງ ຂະໜາຈ n n . ຽປາ຺ ຘາຓາຈຂຼຌ຾຋ຌ ຓາຉຕຘິ B ຈທໄ ງ A -1. 169

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 6.1 ກາຌຆບກຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄຓາຉຕຘິ 1. ກາຌຆບກຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 1 x 1. ຊາໄ A a ຽຓໃ ບຼື a  ຾ຖະ detA  a  0 ຾ຖທໄ A1   1   1  a   det  A 2. ກາຌຆບກຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 2 x 2. ຊາໄ A  a b ຽຓໃ ບືຼ a,b,c,d ຾ຖະ detA  ad bc  0 ຾ຖທໄ c d  A1  ad 1 d  b ນົືຼ A1  1 d  b  bc  c a   c a  detA 3. ກາຌຆບກຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ n n .  ຊາໄ A  ai j nn ຽຓໃ ບືຼ ai j R ຾ຖະ n ຽຎຌ຅າຌທຌຽຉຓ຋ໃ ຓີ ຃ີ ໃ ານາົ ງກທໃ າ 1 ຾ຖທໄ . ກ. ຘາຖຍ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈ A ເຈກຉາຓ຅ະຘາຓາຈນາກາຌຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ແຈກໄ ຉໃ ຽຓໃ ບືຼ detA  0 .    ຂ. ບຈຆທຄຓາຉຕຘິ ຂບຄ A ຾ຓໃ ຌຓາຉຕຘິ ຎໃ ິຌ ຂບຄຓາຉຕຘິ  Ci j A nn ຿ຈງ  Ci j A nn ຃ຓືຼ າຉຕຘິ ຿ກ  ຒກຽຉີ ຾ຖະ ບຈຆທຄຓາຉຕຘິ ຂບຄ A ຾ຖະ ຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງ adj(A) ຽຆໃ ຄິ adj(A) =  Ci j A T nn C11A C12A C13A . . . C1n A C21A C22A C23A . . . C2n A C31.A C32  A C33A C3n A Ci j ( A)nn = ... . . ... .    . . . ... .    . . . ... .  Cn1A Cn2 A Cn3 A . . . Cnn A C11A C21A C31A . . . Cn1 A C12A C22A C32 A . . . Cn2 A C1 3 A C23A C33  A Cn3 A  ... adj( A) = . . . ... .    . . . ... .    . . . ... .  C1n A C2n A C3n A . . . Cnn A ຃. A adj(A)  adj(A) A  det A I ຽຓໃ ບຼື I ຃ຓຼື າຉຕຘິ ນທ຺ ໜໃ ທງ. 170

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຄ. A adj(A)  adj(A) A  det A I . ຊາໄ ທໃ າ detA  0 ຾ຖທໄ A1  1 adj( A) detA    Ci j A T nn A   C11A C21A C31A ... C n1  A   ...   A A A A ... C A  A C12 C22  A C32  A n2 A 1  Ci j A T   A A A A A  nn  A  C13 C 23  A C33  A Cn3 A A A A A    . A . . ... Cn . A   ...  C1n C2n A C3n A n  A A A A  ເນຌໄ ກປຼຌຽຂາ຺ໄ ເ຅ຽຖໃ ບຼື ຄ ຓຽີ ຌຂີ ບຄ ai j ຿ກຒກຽຉຂີ ບຄ ai j ຾ຖະ ບຈຆທຄ ຓາຉຕຘິ ຂບຄ A ກໃ ບຌ ຽຑໃ ບຼື ຽຎຌຑຌືຼໄ ຊາຌເຌກາຌຆບກນາ A1 ຈໃ ຄຌ:ີໄ ຓຽີ ຌີ ( Mineur ) ຿ກຒກຽຉີ ( Cofacteur ) ບຈຆທຄຂບຄຓາຉຕິ ຘ (Matrice Adjointe ) A-1 ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : ຽປາ຺ ຅ະນາ຃ໃ າຂບຄ A1 ແຈໄ ນົືຼ ຍໃແຈກໄ ຂຌຶໄ ດໃ ູກຍ຃ໃ າຂບຄ detA ຃:ຼື - ຊາໄ detA = 0, ຅ະນາ຃ໃ າຂບຄ A1 ຍໃແຈຽໄ ຆໃ ຄິ ຽບຌີໄ ຓາຉຕຘິ A ທໃ າຓາຉຕຘິ ຽບກະຊາຌ (Matrice Singuliére). 171

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ - ຊາໄ detA  0 , ຅ະຘາຓາຈ ນາ຃ໃ າຂບຄ A1 ແຈຽໄ ຆໃ ຄິ ຽບຌີໄ ຓາຉຕຘິ A ທໃ າຓາຉຕຘິ ຍໃ ຽບກະຊາຌ ( Matrice non Œ Singuliére). ປູ ໄ detA  A 6.2 ຃ຸຌຖກຘະຌະຂບຄບຈຆທຄຓາຉຕຘິ 1. Aadj(A) adj(A) A  detA I  A  I 2. A1  adj( A) ຾ຖະ adj( A)1  A A A 3. ຊາໄ A ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຓຉິ ິ nn ຾ຖະ ຽຎຌ Matrice non - Singuliére ຾ຖທໄ detadj(A) detAn1 ຂຼຌ຾຋ຌຈທໄ ງ adj(A)  A n1 . 4. ຊາໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຓຉິ ິ nn ຾ຖະ ຽຎຌ Matrice Singuliére ຾ຖທໄ ຅ະແຈ ໄ Aadj(A) 0 . 5. ຊາໄ A ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈ ຾ຖທໄ adjA B adj(B)adj(A) . 6. ຊາໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຅ະຉຸຖຈຓຉິ ິ nn ຾ຖະ ຽຎຌ Matrice non - Singuliére ຾ຖທໄ adj adj(A)  A n2  A 5.3 ຉທ຺ ດໃ າຄຂບຄກາຌຆບກຓາຉຕຘິ ບຈຆທຄ ບຈຆທຄຂບຄ A ຾ຓໃ ຌຓາຉຕຘິ ຋ໃ ແີ ຈ຅ໄ າກກາຌຽບາ຺ ຓາຉຕຘິ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ A ຓາຎໃ ີຌ ຽຆໃ ຄິ ຽປາ຺ ປູທໄ ໃ າ຿ກ ຒກຽຉຂີ ບຄຓາຉຕຘິ A ຾຋ຌຈທໄ ງ Cof (A) . ຘະຌຌໄ adj(A) CofAT . 1 2 3 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ adj(A) ຉທ຺ ດໃ າຄ 1: ເນໄ A  4 5 6 7 8 9 ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກ adj(A) Cof (A)T ຈໃ ຄຌຌໄ ກໃ ບຌ຅ະ຾ກຍໄ ຈ຺ ຽຖກຌແີໄ ຈຽໄ ປາ຺ ຉບໄ ຄຆບກນາ Cof (A) ຂບຄ ບຄ຺ ຎະກບຍ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ກໃ ບຌ. ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ກາຌຆບກ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄຓາຉຕຘິ A . C11 A   1 11 5 6  3 8 9 172

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ C12  A  11 2 4 6 7 6 9 C13 A   1 1 3 4 5 7  3 8 C  A   12 1 2 3 8 6 21 9 C22 A  12 2 1 3 7  12 9 C23 A   12  3 1 2 7 6 8 C31 A   1 31 2 3 5  3 6 C32  A  13 2 1 3 6 4 6 C33  A   1 3 3 1 2  3 4 5 ຈໃ ຄຌຌໄ ຓາຉຕຘິ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຽ຋ໃ າ຺ ກຍ:  3 6  3  6 Cof ( A)   6  12  3 6  3  3 6  3  6  ຈໃ ຄຌຌໄ adj( A)  Cof (A)T   6  12  3 6  3 2 1 1  ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ເນໄ A  1  3 0  ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ adj(A) 2 0  2 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຋າບຈິ ຆບກນາ຿ກຒກຽຉຂີ ບຄຓາຉຕຘິ A ກໃ ບຌ຿ຈງກາຌນາ ຿ກຒກຽຉີ ຂບຄບຄ຺ ຎະກບຍ ຾ຉໃ ຖະຉທ຺ ຉາຓຖາຈຍຈໃ ຄຌ:ີໄ C11A   1 11 3 0 0  6 2 C12  A   1 1 2 1 0 2 2 2 C13  A   1 13 1 3 2  6 0 173

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ C21A   12 1 1 1 0  2 2 C22  A  12 2 2 1 2  6 2 C23  A   12  3 2 1 2  2 0 C31A   13 1 1 1  3 3 0 C32 A  13 2 2 1 1 1 0 C33  A   13  3 2 1 1 7 3 ຈໃ ຄຌຌໄ  6 2  6 Cof (A)   2  6  2  3 1 7  ນຄົ ຅າກແຈໄ Cof (A) ຾ຖທໄ ຽບາ຺ Cof (A) ຓາ ຎໃ ິຌ ຅ະແຈໄ  6  2  3  1 ຽຑາະ adj(A) Cof (A) T Cof (A)T   2 6  6  2 7  6  2  3 ຘະຌຌໄ ຽປາ຺ ແຈໄ adj( A)   2  6 1  6  2 7 ຅າກບຈຆທຄ ຂບຄຓາຉຕຘິ A ຘາຓາຈຆບກຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ A ແຈຈໄ ໃ ຄຌີໄ : ຌງິ າຓ 1: ຊາໄ A ຽຎຌ ຓາຉຕຘິ ຋ໃ ຓີ ຂີ ະໜາຈ nn ຾ຖະ detA  0 , ຅ະແຈໄ A1  1 adjA detA ນົຼື A1  adj( A) . detA ຅າກຌງິ າຓຈໃ ຄກໃ າທ ຽປາ຺ ຽນຌທໃ າ A1 ຅ະຆບກນາ຃ໃ າແຈກໄ ໃ ຉໃ ຽຓໃ ບືຼ detA  0 . ຈໃ ຄຌຌໄ ກໃ ບຌຽປາ຺ ຅ະຆບກນາ A1 ຽປາ຺ ຃ທຌຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄ A ກໃ ບຌ. ຊາໄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄ A ຍໃ ຽ຋ໃ າ຺ ກຍ 0 ກາຌຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ A1 ຅ະຈາຽຌຌີ ຉໃ ແຎ. 1 0 1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 2: ເນ ໄ A  2 1 0 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ A1 1 1 1 174

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຋າບຈິ ຆບກນາ detA. 1 0 1 detA  2 1 0  1 0   21 0  0   2 1 1 1 ຽນຌທໃ າ detA   2  0 ຈໃ ຄຌຌໄ ຆບກນາ adj(A) ຉໃແຎແຈ຿ໄ ຈງ ຽຖໃ ຓີ ຅າກກາຌຆບກນາ ຿ກຒກຽຉີ ຈໃ ຄຉໃແຎຌີໄ C11 A   1 11 1 0 1 1 1 C12 A   1 1 2 2 0 1  2 1 C13  A   11 3 2 1 1  3 1 C21A   12 1 0 1 1  1 1 C22  A  12 2 1 1 1 0 1 C23  A   12  3 1 0 1 1 1 C31A   13 1 0 1  1 1 0 C32  A  13 2 1 1 2 2 0 C33  A   13  3 1 0 2 1 1 ຽປາ຺ ແຈໄ  1  2  3 Cof ( A)  1 0 1 1 2 1 175

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  1 1 1 ຈໃ ຄຌຌໄ adj(A)   2 0 2  3 1 1 ຘຸຈ຋າໄ ງ ຽປາ຺ ຌາຽບາ຺ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ກຍບຈຆທຄ ຂບຄຓາຉຕຘິ A ຓາຉຕຘິ ຎີໄຌຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຅ະແຈໄ A1  1 adj( A) detA ຅າກ A1  1 adj( A) ຈໃ ຄຌຌໄ : detA 1  1 1 1 2  2  A1   3 0 2  1 1    1 1 1  2112   2 2  1 0 3 1 2  2 ດາກ຋ຈ຺ ຖບຄທໃ າ A1 ຋ໃ ຆີ ບກແຈຌໄ ຌໄ ຊກຼື ຉບໄ ຄ ນຍົືຼ ໃ ຘາຓາຈຆບກແຈ ໄ ຈທໄ ງທ຋ິ ີ ກາຌຌາຽບາ຺ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ A ຋ໃ ຆີ ບກແຈ຃ໄ ູຌກຍ ຓາຉຕຘິ A ; ຊາໄ ຏຌ຺ ຋ໃ ີ ແຈປໄ ຍ ຽຎຌຓາຉຕຘິ ນທ຺ ໜໃ ທງ ຘະ຾ຈຄທໃ າ A1 ຋ໃ ຆີ ບກແຈຌໄ ຌໄ ຊກຼື ຉບໄ ຄ ໝາງ຃ທາຓທໃ າ A A1  A1 A  I ຅າກ A1  1 adj( A) ຽປາ຺ ຘາຓາຈຂຼຌບຈຆທຄແຈບໄ ກີ ຃ຼື detA adjA  detA A1 ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌປູກໄ ໃ ຼທກຍກາຌ຃ຌູ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ n n ຘໃ ຄິ ຋ໃ ຃ີ ທຌປູ຋ໄ ໃ ຅ີ ະຽທາ຺ໄ ຉໃແຎຌຽີໄ ນຌທໃ າຓຎີ ະ຿ນງຈນາົ ງເຌກາຌຌາແຎຆໃ ທງ຾ກຍໄ ຈ຺ ຽຖກ ກໃ ຼທກຍ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ nn ຈໃ ຄຌີໄ : ເນໄ A ຾ຖະ B ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຍໃ ຽບກະຊາຌ຋ໃ ຓີ ຂີ ະໜາຈ nn    1. A1 T  A T 1  2. AB 1  B1 A1 176

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  3. A1  1 det detA ຉທ຺ ດໃ າຄ 3: ຅ໃ ຄ຺ ຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າ AB1  B1 A1 ຽຓໃ ບຼື A ຾ຖະ B ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຍໃ ຽບກະຊາຌ. ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກທໃ າ A ຾ຖະ B ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຍໃ ຽບກະຊາຌ. ຈໃ ຄຌຌໄ A ຾ຖະ B ຉບໄ ຄຓີ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ .     AB B1 A1  A BB 1 A1  AIA1  AI  A1  AA1  I ຘະ຾ຈຄທໃ າ B1 A1 ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຎີໄຌຂບຄ A B ນົືຼ  AB 1  B1 A1 ຂ຃ໄ ທຌຽບາ຺ ເ຅ເຘໃ : ເຌກຖະຌ຋ີ ໃ ທ຺ ແຎນາໄ ຓເຆ ໄ AB1  B1 A1  ຉທ຺ ດໃ າຄ 4: 1 ຽຓໃ ບຼື A ຽຎຌຓາຉຕຘິ ຍໃ ຽບກະຊາຌ. ຅ໃ ຄ຺ ຘະ຾ຈຄເນຽໄ ນຌທໃ າ det A1  detA ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຽຌໃ ບືຼ ຄ຅າກທໃ າ AA1  I  det AA1  detI   detAdet A1 1  ຽປາ຺ ແຈໄ A1  1 det A det ຉທ຺ ດໃ າຄ 5: ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1  1 . ຊາໄ ທໃ າ B  2A1 . ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ det3adjB . 2  1  ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຽຌໃ ບຼື ຄ຅າກ adjA detA A1 ຈໃ ຄຌຌໄ adj(B) detB B1  det3adj(B)  det 3detBB1   32 detB2 det B1  9 detB2 1 detB det3adj(B)  9detB (1) ຅າກ B  2 A1 177

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  detB  det 2A1 ງບໄ ຌ det A  1 2   22 det A1  4 1 detA ຅າກ (1) ຽປາ຺ ແຈໄ det3adj(B)9 4  12 3 1 2 0  det2adj(A)  1 A1  3  1 ຉທ຺ ດໃ າຄ 6: ເນໄ x 1  2 ຾ຖະ x  0 . ຊາໄ ທໃ າ 18 ,຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າ x = ? 0 ທ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ 1 2 0  ຅າກ A1  3 1 1 x 0  2 1 2 0   det A1  3 1 1 x 0  2   2   2x  0  0  0  12   2x  10 ຅າກ adj(A) detAA1, ຅ະແຈໄ  det2adj(A)  det 2detAA1  1  23 detA3 det A1 18 1  8 det  A3 1 18 detA 1 8detA2 18  1 8 1 2 A1 18 det 1   2 8 102 18 x 178

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ  2x  102 188 144  2x 10   12  2x   12 10  2x  2 ,  22  x  1 , 11 ຽຌໃ ບືຼ ຄ຅າກ x  0 , ຈໃ ຄຌຌໄ x  11 179

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ ຍຈ຺ ຽຐີກນຈ 10 1. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຂບຄ ຓາຉຕຘິ ຖໃ ຸຓຌີໄ (1) A  6 1 (2) B  1 5 (3) C  2  7 2 3 4 8 3  1 (4) D  0 1 a 2b  1 4 2 4 2 (5) E  1 1  (6) F   3 1 0 b a  1 2 5  1 7 1  3 1 0  2  0 0 7) G   0 1 (8) H   1 1 0 1  1 1 1  2 5 1  2   4  3  2 J  4 2    1  (9) I    1 0 1  (10)  5  2 3 4   6 0 1   2. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ ຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄຓາຉຕຘິ ຖໃ ຸຓຌີໄ 1 0 1 2  3 5 0 0 1 (1) 2 0 1 (2) 0 1 5 (3) 0 1 0 0 0 4 1 0 0 0 1 1 1 4 3  0,5 4 3  2 5    (4) 4  (5)  0 5 4  1  3  2  0  3  2 1 2 3 2 4 8 3. ເນໄ E  0 1 2 ຾ຖະ F  0 1 2 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ 0 0 1 0 0 1 (1) EF  ? (2) EF 1  ? (3) E 1F 1  ? (4) F 1  E 1  ? 4. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄຂບຄຓາຉຕຘິ ຖໃ ຸຓຌີໄ 180

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຘູຄ 6 1 0 1  3 1 0 (1) 2 3 (2) 4 2 (3) 1 0 0 5. ກາຌຈ຺ ເນໄ A  1 2 , B   1  1  1 1 1 a 3  2  ຾ຖະ C  2AB 1  B1 1  ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ a ຋ໃ ຽີ ປຈເນໄ detC 1 6. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກ຃ໃ າຂບຄ ຽຈ຾ຉກຓຌີ ຄ ຿ຈງເຆໄ ຿ກຒກຽຉ.ີ  2 1 0  1 2 1 0 0 1 2  ( 2) 1 2 3 6  (1)  3 2 1 (3) 6 0 0 1    2 1 1 1 1 1 2 0  1 6 1 1  2  0 1 0 2 2 1 1 1  0 3 1  3 (4) 2 2 0 0 (5) 3 2 2 2 1 1 1 1 0 0 8 8 2 3  1 4  7. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ x ຅າກຽຄໃບືຼ ຌແຂ຋ໃ ກີ າຌຈ຺ ເນຈໄ ໃ ຄຌີໄ x4 0 0 0 x4 0 0 0 0 x 1 8. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ຃ໃ າຂບຄ x ຅າກຽຄໃບືຼ ຌແຂ຋ໃ ກີ າຌຈ຺ ເນ:ໄ 1 x x2 1 1 1 0 45 0 9. ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາຓາຉຕຘິ ຎີຌໄ ຂບຄຓາຉຕຘິ ຉໃ ແຎຌີໄ 1 0 1 1 4 3  (1) 2 0 1 (2) 2 5  4  0 1 2 1  3  2 1 2 3 2 4 8 (3) ເນໄ E  0 1 2 ຾ຖະ F  0 1 2 ຅ໃ ຄ຺ ຆບກນາ : 0 0 1 0 0 1 (1). EF ; (2). EF 1 ; (3). E 1F 1; (4). F 1E 1 181

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 11 ຋ຈິ ຦ະຈຣີ ຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ 1 ຌງິ າມຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ (Rang de la Matrice) ຽມໃ ຨ A ຾ມໃ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຋ໃ ມີ ຂີ ະໜາຈ m  n ຾ຉໃ ຤ະ຾ຊລຂຨຄ A ຽຎຌຽລກຽຉີ ຂຨຄ຅ກກະລາຌ ຌງິ າມ 1: ຨະຌ຅ຸ ກກະລາຌ຋ໃ ກີ າຽຌຈີ ຅າກຽລກຽຉ຾ີ ຊລຂຨຄ A ມີ ຆໃ ລໃ າ ຅ກກະລາຌ຾ຊລຂຨຄ A . ຉລ຺ ຢໃ າຄ 1: ເວໄ A  1 0 0 0 1 0 ຅ກກະລາຌ຾ຊລຂຨຄ A ຾ມໃ ຌກໃ ຸມຂຨຄ຋ຸກໂ ຽລກຽຉີ ເຌຩູຍ຾ຍຍ a ( 1, 0 , 0)  b ( 0 , 1, 0 )  ( a , b , 0 ) ຈໃ ຄຌຌໄ , ຅ກກະລາຌຂຨຄ຾ຊລ A ຾ມໃ ຌ຅ກກະລາຌ຋ໃ ມີ ຂີ ະໜາຈຽ຋ໃ າ຺ 2 ຽຆໃ ຄິ ຽຎຌຨະຌ຅ຸ ກ ກະລາຌຂຨຄ 3. ຦າມາຈ ຦ະ຾ຈຄເວຽໄ ວຌລໃ າ: ຃າຢຌຢຌຂຨຄວກົ ກາຌຉໃ ແຎຌຊີໄ ກຉຨໄ ຄ. ວົກກາຌ: ຦ຨຄມາຉຣ຦ິ ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ຅ະມ຅ີ ກກະລາຌ຾ຊລຨຌຈຼລກຌ ຌງິ າມ 2: ຣຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ A ຦ຌງະ຤ກຈລໄ ງ Rank ( A ) ຾ມໃ ຌຂະໜາຈຂຨຄ຅ກກະລາຌ ຾ຊລຂຨຄ A ວົ ຽລາ຺ໄ ຢໃ າຄໜໃ ຄຶ ລໃ າ ຂຌໄ ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A. 1  2 3  ຉລ຺ ຢໃ າຄ 2: ເວໄ A  2  5  1  1  4  7 ຦າມາຈຎໃ ຼຌແຎຽຎຌມາຉຣ຦ິ ເຌຩູຍຂຌໄ ແຈ ແຈຈໄ ໃ ຄຌີໄ 1  2 3 A  U  0 1 5 0 0 0 ຽວຌລໃ າຽລກຽຉີ ( 1 , -2 , 3 ) ຾຤ະ ( 0 , 1 , 5 ) ຎະກຨຍຽຎຌຑຌໄ ຂຨຄ຅ກກະລາຌ ຾ຊລຂຨຄ U ຑຨໄ ມຈຼລກຌຌີໄ U ຾຤ະ A ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກຌ: Rank ( A ) = 2 ກາຌຆຨກຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ເຌຉລ຺ ຢໃ າຄ 2 ຦າມາຈຆຨກຈລໄ ງລ຋ິ ຉີ ໃແຎຌ.ີໄ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຾ມໃ ຌ ຤າຈຍ຦ູຄ຦ຸຈຂຨຄ ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄຉໃ າຄ 0 ຃ຈ຅າກມາຉຣ຦ິ A ກໃ ຨຌຨໃ ຌ ຅ະຽຍໃ ຄິ ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ຤າຈຍ 3 ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A 182

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ 1 2 3 det A1  2  5 1  0 1 4 7 ຽວຌລໃ າ det A1  0 ຾຤ລໄ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 3 ມາ຦ຄຽກຈ ຽຈ຾ຉກມຌິ ຄ຤າຈຍ 2 ຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A det A2  1  2  1 2  5 ຽວຌລໃ າ det A2  1  0 ຽຩາ຺ ຅ະແຈ ໄ ຣຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ A ຽ຋ໃ າ຺ 2 , ໝາງຈລໄ ງ rank ( A ) = 2 2 ກາຌຆຨກຣຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຽມໃ ຨກາຌຈ຺ ມາຉຣ຦ິ A ເຈໜໃ ຄຶ ເວໄ ຍາຄ຃ຄໄ ຽຩາ຺ ຏຌຎໃ ຼຌມາຉຣ຦ິ A ເຌຩູຍຩໃ າຄຂຌໄ ແຈ, ຾຤ລໄ ຽຍໃ ຄິ ຽລກຽຉີ ຋ໃ ຎີ ະກຨຍຽຎຌຑຌໄ ຊາຌຂຨຄ຅ກກະລາຌຂຨຄ U ຾຤ະ A : ຊາໄ U ຾຤ະ A ຋ຼຍຽ຋ໃ າ຺ ກ຦າມາຈແຈ ໄ rank ( A ) , ຍາຄ຃ຄໄ ຽຩາ຺ ກຆຨກຈລໄ ງກາຌຽຍໃ ຄິ ຦ູຄ຦ຸຈ ຋ໃ ຉີ ໃ າຄ 0 ຾຤ລໄ ກ຦າມາຈຆຨກ rank ( A ) . 1 0 0 1    ຉລ຺ ຢໃ າຄ 1: ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A   0 1 0 1   0 1 1 0  2  2  0 0 ລ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຆຨກ det A ຦າກໃ ຨຌ (ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ ຤າຈຍ 4) 1 0 1 det A  1 1 1 0  1 0 2 2 ຽລາ຺ໄ ແຈລໄ ໃ າ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 4 ຦ຄຽກຈຽຍໃ ຄິ ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ ຤າຈຍ 3 1 0 0 det A2  0 1 0  1 0 1 1 ຅ະແຈ ໄ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ A ຽ຋ໃ າ຺ 3, ໝາງຈລໄ ງ rank ( A ) = 3  1 1 1 2  ຉລ຺ ຢໃ າຄ 2: ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ B   2 0  3 1  3 1 5 0  183

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ ລ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ  1 1 1 2  B   2 0  3 1  3 1 5 0  B ຾ມໃ ຌມາຉຣ຦ິ ຦າມ຾ຊລ ຦ໃ ຊີ ຌ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ B ຅ະຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 3 ກໃ ຨຌຨໃ ຌ ໜຈ຺ ຽຩາ຺ ຦ຄຽກຈ ຽຍໃ ຄິ ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ຤າຈຍ 3 ຦າກໃ ຨຌ. 1 1 1 1 1 2 1 1 2 det B1   2 0  3   2  3 1  0  3 1  0 , ຦ະຌຌໄ ຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ 315 350 150 B ຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 3. ຽຩາ຺ ຦ຄຽກຈ ຽຈ຾ຉກມຌີ ຄຂຨຄ຤າຈຍ 2. 1 1 det B2   2 2 0 ຽຩາ຺ ຽລາ຺ໄ ແຈລໄ ໃ າ rank ( B ) = 2 1 2 1 A  0  2 ຉລ຺ ຢໃ າຄ 3: ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ 1 2 0 1 2 1  1  ລ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ A ຾ມໃ ຌ ມາຉຣ຦ິ ຦ໃ ຾ີ ຊລ຦າມຊຌ ຣຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ A ຅ະຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 3 ວຽົ ຋ໃ າ຺ 3 ກໃ ຨຌຨໃ ຌໝຈ຺ ຽຩາ຺ ຆຨກຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ຤າຈຍ຦າມ຦າກໃ ຨຌ. 1 2 1 1 2 1 0 2  2 det A1  0 2  2  1 1 0  1 1 0  0 , ຦ະຌຌໄ ຣຄຂຨຄມາຉຣຈິ ຂຨຄ A 11 0 21 1 21 1 ຉຨໄ ຄໜຨໄ ງກລໃ າ 3 ຽຩາ຺ ຦ຄຽກຈຽຈ຾ຉກມຌີ ຄ຤າຈຍ 2. 12 det A2  2 0 2 ຈໃ ຄຌຌໄ rank ( A ) = 2 3 ກາຌຌາເຆຣໄ ຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຽຂາ຺ໄ ເຌກາຌ຾ກ຤ໄ ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຤ຽີ ຌ຾ຨ ວົກຽກຌ: ຽມໃ ຨ x1 , x2 , . . . , xn ຾ມໃ ຌເ຅ຏຌ຺ ຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  0 ເຌກ຤ະຌຌີ ີໄ ກາຌຎະ຦ມ຺ ຤ີ ຽຌ຾ຨ c1x1  c2 x2  . . .  cn xn 184

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ ກ຅ະຽຎຌເ຅ຏຌ຺ ຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  0 . ຽຑາະລໃ າ A ( c1x1  c2 x2  . . . cn xn )  c1 Ax1  c2 Ax2  . . .  cn Axn  0  0 . . .00 ວົກຽກຌ: ຋ຸກໂເ຅ຏຌ຺ ຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຤ຽີ ຌ຾ຨ AX  0 ຾ມໃ ຌກາຌຎະ຦ມ຺ ຤ຽີ ຌ຾ຨຂຨຄ n  r ຉລ຺ ຤ຍ ຽຨກະ຤າຈ ຽຆໃ ຄິ n ຾ມໃ ຌ ຅າຌລຌຉລ຺ ຤ຍ຋ຄໝຈ຺ ເຌ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຾຤ະ r ຾ມໃ ຌ rank (A) 1 2 1 1 ຉລ຺ ຢໃ າຄ 1: ເວໄ A  2 4  3 0 1 2 1 5 ຆຨກ຅າຌລຌຉລ຺ ຤ຍຽຨກະ຤າຈຂຨຄ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  0 ລ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ ຽຑາະລໃ າ 1 2 1 1 A  U  0 0 1 2 0 0 0 0  rank ( A)  2  n  rank ( A)  4  2  2 ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  0 ມຉີ ລ຺ ຤ຍຽຨກະ຤າຈ 2 ຉລ຺ . ວົກຽກຌ຿ກຣຽຌຽກີ (Th໙or໙me de Kronecker ) ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຅ະມເີ ຅ຏຌ຺ ກໃ ຉໃ ຽມໃ ຨ rank ( A)  rank ( A B ) ລ຋ິ ຑີ ຦ິ ູຈ: ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຦າມາຈຂຼຌເຌຩູຍຩໃ າຄ  a11   a11   a1n   b1           a21   a22   a2 n   b2  . .  .  . x1    x2  . . .  xn     (1)  .  .   .   .  . .  .  .     am1  am2  amn  bm  ວົ x1u1  x2u2  . . . xnun  B ( 1' ) ຅າກ (1) ວົ (1 ' ) ຽວຌລໃ າ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຅ະມເີ ຅ຏຌ຺ ກໃ ຉໃ ຽມໃ ຨ B ຦າມາຈຂຼຌ ເຌຩູຍຩໃ າຄ ກາຌຎະ຦ມ຺ ຤ຽີ ຌ຾ຨ ຂຨຄຽລກຽຉຊີ ຌຂຨຄ A , ຨກີ ຈາໄ ຌໜໃ ຄຶ : rank ( A)  rank ( A B ) ກໃ ຉໃ ຽມໃ ຨ ຑຌໄ ຊາຌຂຨຄ u1 , u2 , . . . ,un ຽຎຌ ຑຌໄ ຊາຌຂຨຄ u1 , u2 , . . . ,un , B . 185

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ ຈໃ ຄຌຌໄ ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຅ະມເີ ຅ຏຌ຺ ກໃ ຉໃ ຽມໃ ຨ rank ( A)  rank ( A B ) ຍຈ຺ ຑ຦ິ ູຈ຃ຍ຺ ຊລໄ ຌ. ຉລ຺ ຢໃ າຄ 2: ເວໄ 1 1 1 2 ; B  2 A  1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1  1 1 2 1  A B   1   0 0 1 1 2 2  0 1 1 2 3  0 0 0 0 ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຍໃ ມເີ ຅ຏຌ຺ . 186

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ຦ູຄ ຍຈ຺ ຽຐິກວຈ 11 1. ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກຣຄຂຨຄ ມາຉຣ຦ິ ຤ໃ ຸມຌີໄ  3 1 3 4  1 3 2  2 1  2 2.  1 1. 2 1 4  3 8 4 2  4 7 8 1 3  2 1 3. 2 1 3 2 3 4 5 6 2. ເຌ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ເຈມເີ ຅ຏຌ຺ . 1. A  1 2 ; B 4 2 4 8 2. A 3 6 ; B 1 1 2 1 3. A 2 1 ; B 4 3 4 6 3. ຅ໃ ຄ຺ ຆຨກວາຣຄຂຨຄມາຉຣ຦ິ ຉໃ ແຎຌີໄ 1 3 2   3 1 3 4  1 3  2 1 ກ.  2 1 4 ຂ.  1 2 1 2 ຃.  2 1 3 2  4 7 8   3 8 4 2   3 4 5 6 4. ເຌ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ AX  B ຤ໃ ຸມຌ຤ີໄ ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ເຈມເີ ຅ຏຌ຺ ? ກ. A   1 2  ; B   4  ຂ. A13 62 ; B 11 2 4 8 ຃. A   2 14 ; B   4  0 1  2 3 6 ຄ. A  1 0 ; B5 0 1  2 187

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ຦ູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 12 ກາຌ຃ຈ຅ຨ້ັ ຌມາຉຣິ ຈ 1. ຃່ າ຦ະເຑາະ ແ຤ະ ເລກເຉ຦ີ ະເຑາະ ໃວມັ້ າຉຣຈິ ຅ະຉຸ຤ຈ A ແ຤ະ ຦ມ຺ ຏຌ຺ Ax  x 1 ຃່ າຂຨຄ  ຋່ ຦ີ ມ຺ ຏຌ຺ 1 ມໃີ ຅ຏຌ຺ x  0 ຉ່ າຄ຦ູຌ, ມຆີ ່ ລ່ າ຃່ າ຦ະເຑາະຂຨຄ A ແ຤ະ ໃ຅ຏຌ຺ ມຆີ ່ ລ່ າເລກເຉີ ຦ະເຑາະ຋່ ກີ ່ ຽລຂຨ້ັ ຄກຍ ຃່ າ຦ະເຑາະຌຌັ້ . ຉລ຺ ຢ່ າຄ1: ໃວ ັ້ A   5 22 ຅່ ຄ຺ ຆຨກ຃່ າ຦ະເຑາະ ແ຤ະ ເລກເຉ຦ີ ະເຑາະຂຨຄມາຉຣຈິ ຌ.ີັ້ 2 ຍຈ຺ ແກ:ັ້ ຆຨກ຃່ າ຦ະເຑາະ A ແມ່ ຌຆຨກ຃່ າ  ຋່ ຦ີ ມ຺ ຏຌ຺ Ax  x ມໃີ ຅ຏຌ຺ x   x1  ຋່ ຉີ ່ າຄ຦ູຌ x2  5 2  x1    x1  2 2 x2 x2  5x1  2x2  x1  2x1  2x2  x2   5   x1  2x2  0 2    2  x2   2x1 0 A  Ex  0 , E   1 10 0 ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ ຌ຅ີັ້ ະມໃີ ຅ຏຌ຺ ຉ່ າຄ຦ູຌ ກຉໍ ່ ເໍ ມ່ ຨ detA  E  0 . ຈ່ ຄຌຌັ້ ກາຌຆຨກ຃່ າ຦ະເຑາະ ຂຨຄ ມາຉຣຈິ A ແມ່ ຌກາຌແກ຦ັ້ ມ຺ ຏຌ຺ detA  E  0 . 5 2 2 2 0  5   2   4  0 2  7  6  0   1 ,   6 ຈ່ ຄຌຌ້ັ ,   1 ແ຤ະ   6 ແມ່ ຌ຃່ າ຦ະເຑາະຂຨຄມາຉຣຈິ A ເມ່ ຨແ຋ຌ   1 ໃ຦່ ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2 ຅ະໄຈ:ັ້ 188

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ຦ູຄ  4x1  2x2  0  2x1  x2  0  x2  2x1 ຊາ້ັ ລ່ າໃວັ້ x1  1 ຅ະໄຈ ັ້ x2  2 ແ຤ະ x  x 1   1  ເຎຌເລກເຉ(ີ ເລກເຉ຦ີ ະເຑາະ) ໜ່ ຄຶ 2 ຋່ ກີ ່ ຽລຂຨັ້ ຄກຍ຃່ າ຦ະເຑາະ   1 ຂຨຄມາຉຣຈິ A ເມ່ ຨແ຋ຌ   6 ໃ຦່ ຤ະຍຍ຺ ຦ມ຺ ຏຌ຺ 2 ຅ະໄຈ:້ັ x1  2x2  0  0  2x1  4x2 x1  2x2  0 ຊາັ້ ລ່ າໃວ້ັ x1  2 ຅ະໄຈ ້ັ x2  1 ແ຤ະ x  x2   21 ເຎຌເລກເຉ(ີ ເລກເຉ຦ີ ະເຑາະ) ໜ່ ຄຶ ຋່ ກີ ່ ຽລຂຨັ້ ຄກຍ຃່ າ຦ະເຑາະ   6 ຂຨຄມາຉຣຈິ A ໃຌກ຤ໍ ະຌ຋ີ ່ ລ຺ ໄຎ, ກາຌຆຨກວາ຃່ າ຦ະເຑາະຂຨຄມາຉຣຈິ A ແມ່ ຌກາຌແກ຦້ັ ມ຺ ຏຌ຺ detA  E  0 . ຍຈ຺ ເຐິກວຈ 12 1. ຅່ ຄ຺ ຆຨກ຃່ າ຦ະເຑາະ ແ຤ະ ເລກເຉ຦ີ ະເຑາະຂຨຄມາຉຣຈິ ຤່ ຸມຌ:ີ້ັ ກ.  8 4  ຂ.  2 0  2 2 1 3 ຃.  0 21 ຄ.  2 1  3 0 2 ຅.  2 21 ຦.  2 02  5 1 ຆ. 13 2  ງ.  1 42  4 5 189

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ສູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 13 ຑະຫຸຑຈ຺ ຾ລະ ຽສຈສໃ ວຌຎ຺ກກະຉິ 1 ຉຳລຳຑະຫຸຑຈ຺ ຌງິ ຳມ: ຽຑໃ ຌິ ຽຬຌີໄ ວໃ ຳຉຳລຳຑະຫຸຑຈ຺ ເຌ K ຾ມໃ ຌ຋ຸກໂກຳຌຎະ຋ຍ f ຾ຉໃ K ຫຳ K , x ມີ ຽຄຳ຺ f (x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ apx p ອູຍອໃ ຳຄ຋ໃ ວ຺ ແຎ. p (x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn ; ai Î ; i Î [1, n] ຃ຸຌລກສະຌະ: ຽຬຌີໄ ວໃ ຳຉຳລຳ຃ຄ຺ ຃ໃ ຳ f : xb ຽຬຌີໄ ວໃ ຳຉຳລຳຑະຫຸຑຈ຺ ຂຌໄ ໜໃ ຄຶ f : x ax + b f : x ax2 + bx + c ຽຬຌີໄ ວໃ ຳຉຳລຳຑະຫຸຑຈ຺ ຂຌໄ ສຬຄ f : x ax3 + bx2 + cx + d ຽຬຌີໄ ວໃ ຳຉຳລຳຑະຫຸຑຈ຺ ຂຌໄ ສຳມ ກ. ຊຳໄ A ຾ມໃ ຌວຄ຺ ຾ຫວຌຫວ຺ ໜໃ ວງ ຾ລະ ສຍຎໃ ຼຌຍໃ ຬຌ, ຑະຫຸຑຈ຺ ຋ໃ ມີ ຉີ ວ຺ ຃ຌູ ເຌ A ຾ມໃ ຌສຳງ຅ຳຌວຌຬຌໜໃ ຄຶ ຋ໃ ມີ ີ a0, a1, a2,..., an; ai Î A ກໃ ຸມຂຬຄຑະຫຸຑຈ຺ ສຌງະລກຈວໄ ງ Ax ຫົຼື p an  ; n  ຂ. ສຬຄຑະຫຸຑຈ຺ P ຾ລະ Q ຅ະຽ຋ໃ ຳ຺ ກຌກຉໃ ຽມໃ ຬືຼ P an n  Q bn n ໝຳງຽຊຄິ an  bn ; n  2 ກຳຌຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ ຉຳມກຳລຄລຄ຺ (຾ຍຍຽຬກີ ະລຈິ ) ຌງິ ຳມ 1 : A ຾ລະ B ຾ມໃ ຌສຬຄຑະຫຸຑຈ຺ ເຌ Kx , ຽຑໃ ຌິ ຽວຳ຺ໄ ວໃ ຳ B ຫຳຌຂຳຈ A ຊຳໄ ຎະກຈ຺ ມີ Q ຋ໃ ຌີ ຬຌ ເຌ Kx ຽຆໃ ຄິ ວໃ ຳ B  A.Q , B ຽຬຌີໄ ວໃ ຳ ຉວ຺ ຫຳຌຂຬຄ A ຫຽົືຼ ວຳ຺ໄ ວໃ ຳ A ຽຎຌ຋ະວ຃ີ ຌູ ຂຬຄ B . ຫກົ ຽກຌ : ກຳຌຫຳຌ຾ຍຍຽຬກີ ກະລຈິ ເຫສໄ ຬຄຑະຫຸຑຈ຺ A ຾ລະ B . B  0 ເຌ Kx ຎະກຈ຺ ມສີ ຬຄຑະຫຸ ຑຈ຺ Q ຾ລະ R ຋ໃ ກີ ຳຌຈ຺ ຈວໄ ງ. ì A = BQ + R í îR=0 ; d·R < d·B ຑສິ ູຈ ສມ຺ ມຸຈ Q1 ຾ລະ R1 ສຬຈ຃ໃ ຬຄຉຳມຽຄໃຬືຼ ຌແຂເຌຫກົ ຽກຌຽອຳ຺ ມີ ì0= B (Q - Q1) + R - R1 í î R - R1 = 0 ຫົຼື d  RR  R1   d  B 190

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ສູຄ ຊຳໄ R  R1  0 ກຳຌຑວ຺ ຑຌຂຳໄ ຄຽ຋ຄິ ຅ະຉຬໄ ຄເຫໄ Q  Q  0 ຈໃ ຄຌຌໄ d· ëéB(Q - Q1)ùû = d· B + d· (Q - Q1) ³ d· B ສະ຾ຈຄວໃ ຳ R  R1  B.Q  Q1  ຽຎຌແຎຍໃ ແຈ,ໄ ສະຌຌໄ ມຑີ ຼຄ຾ຉໃ ເຫໄ Q  Q1 ຾ລະ R  R1 ກຳຌ຃ຈິ ແລໃ ກໃ ຼວກຍກຳຌຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ ຍຌຈຳຑະຫຸຑຈ຺ A ຾ລະ B ຂຼຌຉຳມກຳລຄລຄ຺ ຋ໃ ແີ ຈຑໄ ສິ ູຈຏໃ ຳຌມຳ຾ມໃ ຌເຌອູຍຂຬຄຽຬກີ ະ ລຈິ , ຈໃ ຄຌຌໄ ກຳຌຫຳຌ຾ຍຍຽຬກີ ະລຈິ ຾ມໃ ຌກຳຌຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ ຉຳມກຳລຄລຄ຺ . ຉວ຺ ຢໃ ຳຄ 1: ເຫສໄ ຬຄຑະຫຸຑຈ຺ A = x3 + 2x2 - 6x +1 ຾ລະ B = 2x2 + x - 1 ຅ໃ ຄ຺ ຆຬກຏຌ຺ ຫຳຌຂຬຄ A ເຫໄ B ? ວ຋ິ ຾ີ ກ:ໄ x3  2x2  6x 1 2x2 + x - 1  x3  1 x2  1 x 22 0  3 x2  11 x  1 1 x+ 3 22 24  3 x2  3 x  3 2 44 0 - 25 x + 7 44 ຏຌ຺ ຫຳຌຉຳມວ຋ິ ຂີ ຬຄຽຬກີ ະລຈິ ຾ມໃ ຌຂຼຌຉຳມອູຍອໃ ຳຄຈໃ ຄຌ:ີໄ  x3  2x2  6x 1  2x2  x 1  1 x  3   25 x  7 2 4 4 4 ໝຳງຽຫຈ: ກຳຌຫຳຌ຅ະສຌິໄ ສຸຈແຈໄ ກຉໃ ຽມໃ ຬືຼ ກຳຌຫຳຌມຉີ ວ຺ ຽສຈຽ຋ໃ ຳ຺ ສູຌ ຫົືຼ ຉວ຺ ຽສຈຫຳກມຂີ ຌໄ ຉໃ ຳກວໃ ຳຉວ຺ ຫຳຌ. ຉວ຺ ຢໃ ຳຄ 2: ຫຳຌ A = x3 + 4x2 - 47x - 210 ຈວໄ ງ B = x2 + x - 30 ແຈຏໄ ຌ຺ ຫຳຌ ( )x3 + 4x2 - 47x - 210 = x2 + x - 30 (x + 3)- (20x +120) ຃ຸຌລກສະຌະຂຬຄກຳຌຫຳຌ຾ຍຍຽຬກີ ະລຈິ . ຫກົ ຽກຌ 1: ຑະຫຸຑຈ຺ B  0 ຽຆໃ ຄິ ຫຳຌຂຳຈຈວໄ ງຑະຫຸຑຈ຺ A ກຉໃ ຽມໃ ຬືຼ ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌ຾ຍຍ ຽຬກີ ະລຈິ A ຈວໄ ງ B ຽ຋ໃ ຳ຺ ສູຌ. ຑສິ ູຈ: ຊຳໄ ຑະຫຸຑຈ຺ B ຫຳຌຂຳຈ A ຅ະມຑີ ະຫຸຑຈ຺ Q ຽຆໃ ຄິ ວໃ ຳ A  B.Q ຬຄີ ຉຳມຫກົ ກຳຌຂຬຄກຳຌຫຳຌ຾ຍຍຽຬກີ ກະລຈິ ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌຽ຋ໃ ຳ຺ ສູຌໝຳງ຃ວຳມວໃ ຳ A  B.Q ຽຆໃ ຄີ B ຫຳຌຂຳຈ A . (ຑສິ ູຈ຃ຍ຺ ຊວໄ ຌ) 191

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌໄ ສູຄ ຫກົ ຽກຌ 2: ຊຳໄ ວໃ ຳ Q ຾ມໃ ຌຏຌ຺ ຫຳຌ ຾ລະ R ຾ມໃ ຌຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌ A ຈວໄ ງ B , C ຽຎຌຑະຫຸຑຈ຺ ຉໃ ຳຄ ສູຌຽວລຳຌຌໄ Q ຾ລະ CR ຾ມໃ ຌຏຌ຺ ຫຳຌ ຾ລະ ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌ CA ຈວໄ ງ CB. ຑສິ ູຈ: ຅ຳກອູຍ຾ຍຍຂຬຄກຳຌຫຳຌ : A = BQ + R ; R = 0 ; d· R < d· B ຃ູຌ C ເສໃ ຋ຄສຬຄຽຍຬຼືໄ ຄຽອຳ຺ ແຈໄ CA = CBQ + CR ; R = 0 d·CR = d·C + d· R < d·C = d·CB (ຑສິ ູຈ຃ຍ຺ ຊວໄ ຌ) ຫກົ ຽກຌ 3: ຋ຸກໂຑະຫຸຑຈ຺ C ຋ໃ ຫີ ຳຌຂຳຈ ເຫສໄ ຬຄຑະຫຸຑຈ຺ A,B ຾ລະ C ຅ະຉຬໄ ຄຫຳຌຂຳຈເຫໄ ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄ ກຳຌຫຳຌ A ຈວໄ ງ B ຉໃ ມຼື ຬກີ . ຑສິ ູຈ: ສມ຺ ມຸຈເຫໄ P1 ຾ລະ P2 ຽຎຌຑະຫຸຑຈ຺ ຽຆໃ ຄິ ວໃ ຳ A CP1 ຾ລະ B CP2 ຬຄີ ຉຳມ຾ຍຍຉຄໄ ກຳຌຫຳຌຂຬຄ ຽຬກີ ະລຈິ A ຈວໄ ງ B A = BQ + R ຽອຳ຺ ຅ະແຈໄ R  Cp1  p2Q ໝຳງ຃ວຳມວໃ ຳ C ຫຳຌຂຳຈເຫໄ R ຃ໃ ຳ ຾ລະ ອຳກຂຬຄຑະຫຸຑຈ຺ ເຫຑໄ ະຫຸຑຈ຺ A ຋ໃ ຌີ ຬຌເຌ Kx , a  K ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌ A ຈວໄ ງ x  a ຾ມໃ ຌ ຑະຫຸຑຈ຺ ສູຌ, ຈໃ ຄຌຌໄ A  x  aQ   ;  K ຽມໃ ຬືຼ ຾຋ຌ x ຈວໄ ງ a (຃ໃ ຳຂຬຄຑະຫຸຑຈ຺ x  a ) ຅ະແຈໄ Aa   . ຌງິ ຳມ 1: ຉວ຺ ຽສຈຂຬຄກຳຌຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ ຈວໄ ງ x  a ຾ມໃ ຌ Aa ຽຬຌີໄ ວໃ ຳ຃ໃ ຳຂຬຄຑະຫຸຑຈ຺ A ຢໃ ູຽມຈ a . ຌງິ ຳມ 2: ຽຑໃ ຌິ ຽວຳ຺ໄ ວໃ ຳ a ຾ມໃ ຌອຳກຂຬຄຑະຫຸຑຈ຺ A , ຊຳໄ ວໃ ຳ Aa=0. ຉວ຺ ຢໃ ຳຄ 1 : ຾ມໃ ຌອຳກຂຬຄ A(x) =1+ - x + x2 - x3 ງຬໄ ຌ A1  0 ຫົກຽກຌ : ຊຳໄ a ຾ມໃ ຌອຳກຂຬຄ A ກຉໃ ຽມໃ ຬືຼ A ຫຳຌຂຳຈຈວໄ ງ x  a ກຳຌຫຳຌຉຳມກຳລຄຂຌຶໄ ກຳຌຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ A ຈວໄ ງ B ຉຳມກຳລຄຂຌຶໄ , ຽຑໃ ຌິ ແຈ຅ໄ ຈລຳຈຍ A ຾ລະ B ຿ຈງກຳຌ ຂຼຌລຼຌ ຾ຉໃ ກຳລຄຌຬໄ ງຫຳເຫງໃ ຾ລວໄ ຎະຉຍິ ຈກຳຌ຾ຍຍຈຼວກຌກຍກຳຌຫຳຌ຾ຍຍກຳລຄລຄ຺ . ຉວ຺ ຢໃ ຳຄ 1: ຅ໃ ຄ຺ ຫຳຌຑະຫຸຑຈ຺ ຉໃ ແຎຌຉີໄ ຳມກຳລຄຂຌຶໄ ອຬຈຂຌໄ 2 ຫຳຌ A = 1- 6t + 2t2 + t3 ຈວໄ ງ B  1 t  2t 2 192