Higher Algebra

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ  B  A  .....? ຈໄ ຄຌຌ໅ : B  A a ,1 , a , 2 , b , 1 , b , 2 ສຄ຾ກຈ຾ຫຌວໄ າ: A  B  B  A ເຈງ຋ໄ ວົ ໂຎ຿ລວ໅ : A2  A A. A3  A2  A. A3  x , y , z / x  A , y  A , z  A ຉວົ ດໄ າຄ2: ແຫ໅ A  1 , a  ຅ໄ ຄົ ຆຬກ A3  .....? A2  A A 1 , a1 , a 1 ,1 , 1 , a , a , 1 , a , a A3  1 ,1 , 1 , a , a , 1 , a , a1 , a 1 ,1 , 1 , 1 , 1 , a , 1 ,a , 1 , 1 , a , a , a , 1 , 1 , a , 1 , a , a , a , 1, a ,a , a 44

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຍຈົ ຾ຐິກຫຈ 2 1. ຅ໄ ຄົ ສະ຾ໜກີ ໄ ຓຉໄໂໍ ຎຌຈີ໅ ວ໅ ງວ຋ິ ຿ີ ຅ກດາງຬຄົ ຎະກຬຍ ກ. ກໄ ຓ຅າໍ ຌວຌຊວ໅ ຌ຃ກິ ຿ຉໄ 2 ຾ຊຄິ 20. ຂ. ກໄ ຓ຅າໍ ຌວຌຊວ໅ ຌ຃ໄ ຿ູ ຉໄ 1 ຾ຊຄິ 20. ຃. ກໄ ຓ຅າໍ ຌວຌຊວ໅ ຌ຿ຉໄ 2 ຾ຊຄິ 27 ຋ໄ ຫີ າຌຂາຈແຫ໅ 3. 2. ຅ໄ ຄົ ສະ຾ໜກີ ໄ ຓຉໄໂໍ ຎຌຈີ໅ ວ໅ ງວ຋ິ ແີ ຆ຿໅ ຏຌວາຈຂຬຄ຿ວຌ ກ. ແຫ໅ U  x / x ຿ຓໄ ຌກໄ ຓ຅າໍ ຌວຌຊວ໅ ຌຍວກໜຬ໅ ງກວໄ າ 15  A  x / x ຿ຓໄ ຌ຋ະວ຃ີ ູຌຂຬຄ 2  B  x / x ຿ຓໄ ຌ຋ະວ຃ີ ຌູ ຂຬຄ 3  C  x / x ຿ຓໄ ຌຬຎະ຃ຌູ ຂຬຄ 12  ຂ. ແຫ໅ U  x /  4  x  4  A  x / x2  x  6  0  B  x / xx  3x  2x 1  0  3. ກໄ ຓ຿ຉໄ ລະ຃ໄ ຉູ ໄ ໂໍ ຎຌີ໅ ຃ໄ ູແຈ຾຋ໄ າົ ກຌ ຿ລະ ຃ໄ ູແຈ຋ຽຍ຾຋ໄ າົ ກຌ ກ. A  0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 B  x / x ຿ຓໄ ຌ຅າໍ ຌວຌ຃ໄ ູ຿ຉໄ 3 ຫາ 10   ຂ. C  x / x  R , x2  x  30  0 D   5 , 5 ຃. E  1 , 3 , 4 , 7 , 11 , 18  F  18 , 15 , 12 , 9 , 6 , 3 , 1  4. ແຫ໅ A  2 , 4 , 5 , 8 , 9 , 11 , B  2 , 3 , 5 , 9 , 12 , C  1 , 3 , 5 , 7 ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ: a. A  B b. A  B c. A  B  C d. A  B  C f . A  B  C e. A  B 5. ແຫ໅ A, B , C ຿ຓໄ ຌຬະຌກໄ ຓຂຬຄກໄ ຓ຅ກກະວາຌ U ຈໄ ຄ຿ຏຌວາຈລໄ ຓຌ:ີ໅ 45

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຅ໄ ຄົ ຂຽຌກໄ ຓຉໄ ໂໍ ຎຌ຿ີ໅ ຍຍ຿຅ກດາງຬຄົ ຎະກຬຍ: ກ. A  B , A  C , B  C , A  B , A  C BC ຂ. A  B C , A  B C ຃. A' , B' , C' , A  B C' , A  B C' ຄ. A  B'  C , A  C'  B ຅. AB , AC , BC 6. ແຫ໅ U  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9  , A'  B'  1 , 4 , 9 , A  B  2 , A'  B  6 , 8 ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ: A ຿ລະ B' 7. ແຫ໅ A  B   3 , 4 , 5 , 7 , 8  , A  C  1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , A  C   , B  C  8 B  C A  3 , 5 ຿ລະ 4  B ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາກໄ ຓ A , B ຿ລະ C. 8. ຅າກກາຌສຬຍຊາຓຌກອຽຌ 40 ຃ຌົ ຑຍົ ວໄ າຓຌີ ກອຽຌ 25 ຃ຌົ ຓກອຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈ, 22 ຃ຌົ ຓກອຽຌ ວຆິ າຒີຆກິ ສາຈ ຿ລະ 24 ຃ຌົ ຓກອຽຌວຆິ າ຾຃ຓສີ າຈ, ຌຬກ຅າກຌ຾ີ໅ ຑໄ ຌິ ງຄແຫອ໅ ູຬ໅ ກີ ວໄ າຌກອຽຌ 12 ຃ຌົ ຓກ ອຽຌ຋ຄ຃ະຌຈິ ສາຈ ຿ລະ ຒີຆກິ ສາຈ, 18 ຃ຌົ ຓກອຽຌ຋ຄ຃ະຌຈິ ສາຈ ຿ລະ ຾຃ຓສີ າຈ, 15 ຃ຌົ ຓກອຽຌ ຋ຄ຾຃ຓສີ າຈ ຿ລະ ຒີຆກິ ສາຈ, ຓີ 10 ຃ຌົ ຋ໄ ຓີ ກອຽຌ຋ຄສາຓວຆິ າ. ຊາຓວໄ າ: ກ. ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຋ໄ ອີ ຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈ ຫຼື ວຆິ າຒີຆກິ ສາຈ ຫຼື ວຆິ າ຾຃ຓສີ າຈ ? ຂ. ຓ຅ີ ກ຃ຌົ ຍໄ ຓໍ ກອຽຌ຋ຄສາຓວຆິ າ ? 9. ຏຌົ ກາຌສາໍ ຫວຼ ຈຌກສກຶ ສາວ຋ິ ະງາໂລ຿ຫໄ ຄໜໄ ຄຶ ຎະກຈົ ວໄ າ ຓຌີ ກສກຶ ສາ 260 ຃ຌົ ອຽຌວຆິ າສະຊຉິ ,ິ 280 ຃ຌົ ອຽຌວຆິ າ຃ະຌຈິ ສາຈ, 160 ຃ຌົ ອຽຌ຃ຬຓຑວິ ຾ຉ,ີ 76 ຃ຌົ ອຽຌສະຊຉິ ິ ຿ລະ ຃ະຌຈິ ສາຈ, 48 ຃ຌົ ອຽຌສະຊຉິ ິ ຿ລະ ຃ຬຓຑວິ ຾ຉ,ີ 62 ຃ຌົ ອຽຌ຃ະຌຈິ ສາຈ ຿ລະ ຃ຬຓຑວິ ຾ຉ,ີ 30 ຃ຌົ ອຽຌ຋ຄສາຓວຆິ າຌີ໅ ຿ລະ ຓດີ ໄ ູ 150 ຃ຌົ ຋ໄ ຍີ ໄ ໍ຾ລຬືຼ ກອຽຌ຋ຄສາຓວຆິ າຌ.ີ໅ ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ ຅າໍ ຌວຌຌກອຽຌ຋ໄ ອີ ຽຌ຃ຬຓຑວິ ຾ຉ຿ີ ຉໄ ຍໄ ໍ ອຽຌ຃ະຌຈິ ສາຈ ຫຼື ສະຊຉິ .ິ 10. ແຫ໅ A  1 , 2 , 3  , B  a , b , c  ຿ລະ C  m , n  ຆຬກຫາ: ກ. A B ຂ. B  A 46

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໅ ສູຄ ຄ. C  A ຃. A C ຅. B  C ສ. C  B ຆ. A2 ງ. B 2 ຈ. A B  C ຉ. A B  C ຊ. C  A C  B ຋. C  A C  B ຌ. B  B A A ຍ. C  C A B 11. ແຫ໅ A  a , b , c , d , e , f  , B  1 , 3, 5 , 7 , 9 ຿ລະ C  x , y , z  ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄ: ກ. A A ຂ. B  B ຃. C  C ຄ. A B ຅. B  A ສ. A C ຆ. C  A ງ. B  C ຈ. C  B ຉ. A  B C ຊ. A  B C ຋. A  C A ຌ. A  C B ຍ. B  C A 12. ແຫ໅ A  2 , 4 , 6  , B  a, b  ຿ລະ C  x , y  ຅ໄ ຄົ ຆຬກຫາ: ກ. A B  C ຂ. A C  B ຃. A  B C ຄ. B  C A  C ຅. ຅າໍ ຌວຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກໄ ຓແຌຂໍ໅ ກ, ຂ, ຃ ຿ລະ ຄ. 47

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຍຈົ ຋ີ 3 ກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌ຅ຄິ I. ກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌ຅ຄິ  ຅າໍ ຌວຌ຋ຸ່ ໃີ ຆໃ້ັ ຌກາຌຌຍເຆຸ່ ຌ: 1, 2, 3, 4, ... ເຬຌີັ້ ວຸ່ າ຅າໍ ຌວຌ຋າໍ ມະຆາຈ. ກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌ຋ໍາມະຆາຈສຌງາ ລກຈວັ້ ງ N . N  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,.......  ຅າໍ ຌວຌ຋ໍາມະຆາຈພຬັ້ ມກຍເ຃ຸ່ ຬຄໝາງລຍົ , ສູຌ ແລະ ຅າໍ ຌວຌ຋າໍ ມະຆາຈໂອມເຂາົ້ັ ເຎຌກຸ່ ມໜຸ່ ຄຶ ເຆຸ່ ຄິ ເພຸ່ ຌິ ເຬຌີັ້ ວຸ່ າ ກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌຊວ້ັ ຌ ເຆຸ່ ຄິ ສຌງາລກຈວັ້ ງ Z ຫ I. Z  ...,4,  3,  2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...  ກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌຎົກກະຉເິ ພຸ່ ຌິ ສຌງາລກຈວ້ັ ງ Q ແມຸ່ ຌກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌ຋ຸ່ ຂີ ຽຌພາງໃຌອູຍອຸ່ າຄ a , a  Z, b N. b Q  a / a  Z, b  N  .    b  ຅າໍ ຌວຌຎົກກະຉເິ ຎຌ຅າໍ ຌວຌເສຈ ເຆຸ່ ຄິ ສຸ່ ວຌເສຈຂຬຄມຌສຌິັ້ ສຈ ຫ ຍຸ່ ສໍ ຌິັ້ ສຈ ແຉຸ່ ວຸ່ າມອີ ຬຍວຽຌ ເຆຸ່ ຌ: 1  0.5 2 2  0.666666...  0.6 3 ຅າໍ ຌວຌເສຈເຆຸ່ ຄິ ສຸ່ ວຌເສຈຂຬຄມຌຍຸ່ ໍສຌິັ້ ສຈ ແລະ ຍຸ່ ໍມອີ ຬຍວຽຌ ເຬຌີັ້ ວຸ່ າ຅າໍ ຌວຌຬະຎົກກະຉເິ ຆຸ່ ຌ: 2  1.4142135623...   3.1415926535...  ຅າໍ ຌວຌຎົກກະຉິ ແລະ ຅າໍ ຌວຌຬະຎົກກະຉໂິ ອມເຂາົ້ັ ກຌໄຈກ້ັ ຸ່ ມໜຸ່ ຄຶ ເຆຸ່ ຄິ ເຬຌີ້ັ ວຸ່ າກຸ່ ມ຅າໍ ຌວຌ຅ຄິ ຋ຸ່ ສີ ຌງາ ລກຈວັ້ ງ R. ສຄເກຈເຫຌວຸ່ າ N  Z  Q  R. ຍຈົ ເຝິກຫຈ 3 1. ຅ຸ່ ຄົ ຍຬກວຸ່ າແຉຸ່ ລະ຅າໍ ຌວຌລຸ່ ມຌເີ້ັ ຎຌຬຄົ ຎະກຬຍຂຬຄກຸ່ ມໃຈ ? ກ.  5 ;  3 ; 7 ; 1 ; 4 ; 0 ; 9. ຂ.  6 ; 0.33333... ; 3.087 ; 0. 23 ຃. 25 ;  3 ;  65 ; 1 ; 2 ; 14 ; 0. ຄ.  5 ;  1 ; 3 ; 0.98 ; 0.99 ; 7. 3 24 ຅. 1; 2 ; 7 ; 15 ; 120 ; 6 ; 9. ສ. 15;  12 ; 23 ;  ; 16 ; 5.169. 5 48

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ ຍຈ຺ ຋ີ 4 ກາຌຎະສຓ຺ ຑາງເຌ 1. ກຓຸໃ ຋ໃ ີຎະກຬຍຈວໄ ງກຈ຺ ກາຌ຃າໍ ຌວຌຑາງເຌ ກາຌຑວ຺ ຑຌັ ລະຫວາໃ ຄສຬຄຬຄ຺ ຎະກຬຍ a ຾ລະ b ເຌກຓຸໃ E ຆໃ ຄຶ ຑວ຺ ຑຌັ ກຌັ ຈວໄ ງກຈ຺ , ກຈ຺ ຃ຌູ , ກຈ຺ , ກຈ຺  ຾ລະ ກຈ຺ ຬໃ ຌື ໂ, ໝາງ຃ວາຓວາໃ a  b, a  b, a  b, a  b ຾ລະ ຬໃ ຌື ໂ, ຏຌ຺ ຂຬຄກາຌ຃າໍ ຌວຌຉາຓກຈ຺ ຽຫໃ ຺ົາຌຌັໄ ຉຬໄ ຄຽຎັຌ ຬຄ຺ ຎະກຬຍດເໃູ ຌກຓຸໃ . ຌງິ າຓ1. ຽຑໃ ິຌຽວໄ຺າວາໃ ກຈ຺ ກາຌ຃າໍ ຌວຌຑາງເຌ ຫົື ຽວໄ຺າຫງໍວໄ າໃ ກຈ຺ ຑາງເຌ ລະຫວາໃ ຄຍຌັ ຈາຬຄ຺ ຎະກຬຍ ຂຬຄກຓຸໃ E ຃ື ຋ກຸ ໂກາຌຎະ຋ຍັ f ຅າກຑາກສວໃ ຌ A ຂຬຄ E  E ຫາ E ຽຑໃ ິຌຽວ຺ໄາວາໃ E ຎະກຬຍຈວໄ ງກຈ຺ ຑາງເຌຈຄໃ ັ ກາໃ ວ, ຊາໄ ວາໃ ກຈ຺ ຑາງເຌຌຌັໄ ໝາງຈວໄ ງ  ຅ະແຈໄ x, y  f x, y  x  y  E ຾ລະ ຂຼຌຫງໍໄ E,  ຓ຃ີ ວາຓໝາງວາໃ : ກຓຸໃ E ຎະກຬຍຈວໄ ງກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌ. ຉວ຺ ດາໃ ຄ1. 1.1. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ N ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ a  b  a ຅ະແຈວໄ າໃ ກຈ຺  ຽຎັຌ ກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ N ຽຆໃ ັຌ: 3  6  3, 8  3  8 ຾ລະ 33  3 1.2. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ Q ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ ab  a ຅ະແຈວໄ າໃ ກຈ຺  ຍໃ ໍຽຎັຌ b ກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ Q ງຬໄ ຌວາໃ : 30  3 Q 0 1.3. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ Q  0 ຈຄໃ ັ ຌ:ີໄ ab  a ຅ະແຈວໄ າໃ ກຈ຺  b ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ Q  0 ຽຆໃ ັຌ: 32  3, 12  1 , 44  4 2 2 4 1.4. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ Z  0 ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ ab  a ຅ະແຈວໄ າໃ ກຈ຺  b ຍໃ ໍຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ Z  0 ງຬໄ ຌວາໃ : 2  3  2  Z  0 3 1.5. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ R ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ a  b  c , ຓ຃ີ າໃ ຫົາງກວາໃ a ຾ລະ b, ຅ະແຈວໄ າໃ ກຈ຺  ຍໃ ໍຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ R , ຽຌໃ ຬື ຄ຅າກວາໃ a  b ຓ຃ີ າໍ ຉຬຍແຈຫໄ ົາງ຃າໃ ຽຆໃ ັຌ: 2  3  4, 2  3  5, 2  3  10 49

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ ສາຓາຈສະຫຸົຍແຈວໄ າໃ : 1. ກຈ຺ ຍວກ, ກຈ຺ ລຍ຺ , ກຈ຺ ຃ຌູ ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌ Z , ຾ຉວໃ າໃ ກຈ຺ ຫາຌ ຍໃ ໍຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌ Z. 2. ກຈ຺ ຍວກ, ກຈ຺ ລຍ຺ , ກຈ຺ ຃ຌູ ຾ລະ ກຈ຺ ຫາຌ ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌຎກ຺ ກະຉິ Q, ກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌ຅ຄິ R ຾ລະ ກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌສຌ຺ C. ຌງິ າຓ2. ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S ຾ລະ A  S , ຽວລາຌຌັໄ ຅ະຽຬຌໄີ ກຓຸໃ A ວາໃ : ກຓຸໃ ຎິຈ(Closed) ຑາງເຉກໄ ຈ຺  ກຉໍ ໃ ໍຽຓໃຬື ວາໃ a  b  A, ຽຓໃຬື a , b  A. ຉວ຺ ດາໃ ຄ2. 2.1 ກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌ Z ຽຎັຌກຓຸໃ ຎິຈຑາງເຉກໄ ຈ຺ ກາຌ຃ຌູ ງຬໄ ຌວາໃ : ສາໍ ລຍັ ຋ກຸ ໂ a , b  Z ຅ະແຈວໄ າໃ : a b  Z . 2.2 ກຓຸໃ ຅າໍ ຌວຌຊວໄ ຌ Z ຍໃ ໍຽຎັຌກຓຸໃ ຎິຈຑາງເຉກໄ ຈ຺ ກາຌຫາຌ ງຬໄ ຌວາໃ : ສາໍ ລຍັ ຍາຄ a , bZ ຽຆໃ ັຌ: a  3, b  5 ຅ະແຈວໄ າໃ : 3  Z. 5 ໝາງຽຫຈ: ຊາໄ ວາໃ ກຓຸໃ S ຓ຅ີ າໍ ຌວຌຬຄ຺ ຎະກຬຍ຅າໍ ກຈັ (ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍຍໃ ໍຫົາງ), ສາຓາຈສະ຾ຈຄກາຌ຃າໍ ຌວຌຑາງເຌກຓຸໃ S ຈວໄ ງຉາຉະລາຄ ຆໃ ຄຶ ຽຬຌີໄ ວາໃ : ຉາຉະລາຄກຈ຺ ກາຌ຃າໍ ຌວຌຑາງເຌກຓຸໃ ຿ຈງ຋ໃ ີ ຅ະຂຼຌຬຄ຺ ຎະກຬຍຂຬຄ S ຋ຄັ ໝຈ຺ ຉາຓລາໍ ຈຍັ ຾ຊວຌຬຌ ຾ລະ ຾ຊວຉຄັໄ . ຉວ຺ ດາໃ ຄ3. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸໃ S  a , b ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄລຓຸໃ ຌ:ີໄ a b aa b a ba ຅ະສະ຾ຈຄວາໃ ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S ຉາຓຌງິ າຓ 2 ຽອ຺າຓ:ີ aa  a 50

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ab  b ba a bb  a ຫົື ສາຓາຈຂຼຌຽຎັຌກຓຸໃ ແຈຈໄ ຄໃ ັ ຌ:ໄີ ກຈ຺   a, a , a ;a,b ,b ;b, a, a ;b,b , a 2. ຃ຌຸ ລກັ ສະຌະຂຬຄກຈ຺ ກາຌ຃າໍ ຌວຌຑາງເຌ 2.1 ກາຌ຿ອຓໝໃູ ຌງິ າຓ 3. ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ E, ຋ກຸ ໂຬຄ຺ ຎະກຬຍຂຬຄກຓຸໃ E ຅ະ຿ອຓ ໝແໃູ ຈກໄ ຉໍ ໃ ໍຽຓໃຬື ວາໃ : a, b, c  E : a  b  c  a  b c ຊາໄ ວາໃ : a  b  c  a  b c , ຽວລາຌຌັໄ ຅ະຍໃ ໍ຿ອຓໝ.ໃູ ຉວ຺ ດາໃ ຄ4: ສາໍ ລຍັ Z ,  , ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈວໄ ງ: a  b  ab , ຅ຄໃ ຺ ສະ຾ຈຄວາໃ : ກຈ຺  ຿ອຓໝໃູ ແຈເໄ ຌກຓຸໃ Z. ວ຋ິ ີ຾ກ:ໄ  a  b  c  a  bc  abc 1  a  b c  ab c  abc 2 ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ , ຅າກ 1 ຾ລະ 2 ຅ະແຈ:ໄ a  b  c  a  b c ກຈ຺  ຿ອຓໝແໃູ ຈເໄ ຌກຓຸໃ Z. ໝາງຽຫຈ: 1) ກຈ຺ , ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ N, Z , Q , R, C.  2) ກຈ຺ ກາໍ ລຄັ ab ຍໃ ໍຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ N. 51

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ 3) ກຈ຺ ຉຈັ , ກຈ຺ ຿ອຓ  ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ PE. 2.2 ກາຌສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌ ຌງິ າຓ 4. ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ E, ຋ກຸ ໂຬຄ຺ ຎະກຬຍຂຬຄກຓຸໃ E ຅ະສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌ ແຈກໄ ຉໍ ໃ ໍຽຓໃຬື ວາໃ : a, b  E : a  b  b  a ຊາໄ ວາໃ : a, b  E : a  b  b  a , ຽວລາຌຌັໄ ຅ະຍໃ ໍສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌ. ຉວ຺ ດາໃ ຄ5: ເຫໄ B ,  ຾ລະ a  b  a  b  3 ຅ຄໃ ຺ ສະ຾ຈຄວາໃ : ກຈ຺  ສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌແຈເໄ ຌ ກຓຸໃ B. ວ຋ິ ີ຾ກ:ໄ a, b  B ຅າກ a  b  b  a ab3ba3 ab  ba ab  ab ຈຄໃ ັ ຌຌັໄ , B ,  ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌ ໝາງຽຫຈ: 1) ກຈ຺ , ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌເຌກຓຸໃ N, Z , Q , R, C.  2) ເຌກລໍ ະຌີ a  b , ຽວລາຌຌັໄ ກຈ຺ ກາໍ ລຄັ ab ຅ະສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌແຈເໄ ຌ຋ກຸ ໂກຓຸໃ . ຉວ຺ ດາໃ ຄ6: ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ S ,  ຾ລະ S  1, 2 ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄລຓໃຸ ຌ:ໄີ 1 2 11 2 22 1 ຅ຄໃ ຺ ສະ຾ຈຄວາໃ : ກຈ຺  ຿ອຓໝໃູ ຾ລະ ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌເຌກຓຸໃ S. 52

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ ວ຋ິ ີ຾ກ:ໄ 1) ສກຶ ສາກາຌ຿ອຓໝໃູ S , . ຉາຓຌງິ າຓ 3: a, b, c  S : a  b  c  a  b c a b c b  c a b a  b  c a b c 111 1 1 1 1 2 112 2 1 2 2 1 121 2 2 2 2 1 122 1 2 1 1 2 211 1 2 2 212 2 2 1 221 2 1 1 222 1 1 2 ຽຫັຌວາໃ : a  b  c  a  b c. ສະຌຌັໄ , S ,  ຿ອຓໝ.ໃູ 2) ສກຶ ສາກາຌສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌ S , . ຉາຓຌງິ າຓ 4: a, b  S : a  b  b  a a b ab ba 1 1 11 1 222 2 1 22 2 2 11 ຽຫັຌວາໃ : a  b  b  a ສະຌຌັໄ , S ,  ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌ. 2.3 ຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ ຌງິ າຓ 5: ຽຑໃ ິຌຽວໄ຺າວາໃ e ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຑຼຄຉວ຺ ຈຼວເຌ E ,  , ຊາໄ ຫາກວາໃ ຉຬຍ ສະໜຬຄ ຽຄໃຬື ຌແຂຉໃ ໍແຎຌີໄ a  E, e  E : a  e  e  a  a 53

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຉວ຺ ດາໃ ຄ1: ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຂຬຄ 2 ຾ລະ 3 ສາໍ ລຍັ Z ,  ຾ກ:ໄ  0 Z , 2 Z : 0  2  2  0  2 0 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ  0Z , 3Z : 03  3 0  3 0 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ ຉວ຺ ດາໃ ຄ2: ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຂຬຄ 2 ຾ລະ x ສາໍ ລຍັ N ,  ຾ກ:ໄ  1 N , 2 N :1 2  21  2 1 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ  x  N , 1 N :1 x  x1  x 1 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ ໝາງຽຫຈ: 1) ຽລກ 0 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄສາໍ ລຍັ ກຈ຺  2) ຽລກ 1 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄສາໍ ລຍັ ກຈ຺  3) ຽລກ 1 ຍໃ ໍຽຎຌັ ຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ ສາໍ ລຍັ ກຈ຺ ກາໍ ລຄັ , ງຬໄ ຌວາໃ ຓຌັ ຍໃ ໍຉຬຍສະໜຬຄ ກຍັ ຌງິ າຓ a  N, e  N : a1  a, ຾ຉວໃ າໃ 1a  a 2.4 ຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ື ຌງິ າຓ 6: ຽຑໃ ິຌຽວ຺ໄາວາໃ a' ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຑື ຼຄຉວ຺ ຈຼວຂຬຄ a ເຌ E ,  , ຊາໄ ຫາກວາໃ ຉຬຍສະໜຬຄ ຽຄໃຬື ຌແຂຉໃ ໍແຎຌໄີ a  E, a' E : a  a'  a'a  e ຉວ຺ ດາໃ ຄ1: ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ຬຄ 2 ສາໍ ລຍັ Z ,  ຾ກ:ໄ  2Z ,  2 Z : 2   2  2  2  0  2 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ຬຄ 2 ຉວ຺ ດາໃ ຄ2: ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ຬຄ 2 ສາໍ ລຍັ Q ,  54

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຾ກ:ໄ  2Q ,  21 Q : 2 21  21  2  1 21 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ຬຄ 2 ໝາງຽຫຈ: 1) ຽລກ 1 ຽຎັຌຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ືຂຬຄ 1 ຑຼຄຉວ຺ ຈຼວເຌກຓຸໃ N ,  . 2) ຋ກຸ ໂຬຄ຺ ຎະກຬຍເຌ Z ,  , Q ,  , R ,  , C ,  ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ິຄ຃.ື 3) ຬຄ຺ ຎະກຬຍເຌ Z ,  ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ສື ຬຄຉວ຺ ຃:ື 1 ຾ລະ  1 . 2.5 ກາຌ຾຅ກກຈ຺ ຌງິ າຓ 7: ເຫກໄ ຈ຺  ຾຅ກເຫກໄ ຈ຺ T  ຽຎັຌສຬຄກຈ຺ ຑາງເຌກຓຸໃ E, ຽຑໃ ິຌຽວໄ຺າວາໃ ກຈ຺  ຾຅ກເຫກໄ ຈ຺ T  ຊາໄ ວາໃ ຓຌັ ຉຬຍສະໜຬຄຽຄໃຬີ ຌແຂ: a, b, c  E : a  b T c  b T c a ຉວ຺ ດາໃ ຄ1: ເຫໄ N  3 , 5 , 6 ຅ຄໃ ຺ ຆ຾ໄີ ຅ຄວາໃ ກຈ຺  ຾຅ກເຫກໄ ຈ຺ . ຾ກ:ໄ 35  6  5  63 3 11  113 33  33 ກຈ຺  ຾຅ກເຫກໄ ຈ຺ . 3. ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ ຾ລະ ຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈຂຬຄກຈ຺ ຑາງເຌ຅າກ E, ຫາ F,T  3.1 ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ຅າກ E, ຫາ F,T  ຌງິ າຓ 8: ຋ກຸ ໂກາຌຎະ຋ຍັ f ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກ E, ຫາ F,T  ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ (Homomorphisme), ຊາໄ ວາໃ : x, y  E : f x  y  f x T f y. ເຌກລໍ ະຌີ E  F ຽຑໃ ິຌຽວໄ຺າວາໃ f ຽຎັຌຬຄັ ຿ຈຓຬັ ກຒິຈ(Endomorphisme).  ຉວ຺ ດາໃ ຄ1: f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຾ຉໃ , ຫາ , ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ loga x,a  0, f ຅ະ ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ ງຬໄ ຌວາໃ : x, y  R : loga x  y  loga x  loga y 55

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ ຉວ຺ ດາໃ ຄ2: ເຫໄ  ຽຎັຌກາຌຑວ຺ ຑຌັ ຋ຼຍຽ຋ໃ ຺າກາໍ ຌຈ຺ ເຌ E, S ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ກາ຿ຌຌກິ ຅າກ E,T  ຫາ  E   ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ S. S ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ. ,T   ງຬໄ ຌວາໃ : x, y  E : S xTy  S x  S  y  T  ຉວ຺ ດາໃ ຄ3: ເຌ 2 , ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ x1, y1 x2 , y2   x1x2 , y1 y2 , ກາຌຎະ຋ຍັ f ກາໍ ຌຈ຺    ຅າກ 2 , ຫາ 2 , ຽຆໃ ຄິ x1, y1  ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ f x1, y1   x1,0 . ຅ຄໃ ຺ ຑິສຈູ ວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈຍໃ ໍ ? ຑິສຈູ : ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓຽອ຺າແຈ:ໄ x1, y1  , x2 , y2 2 : f x1, y1 x2, y2  f x1, y1  f x2, y2  f x1x2  ,y1 y2  x1,0x2,0 x1x2 ,0  x1,0x2,0 x1x2 ,0  x1x2 ,0 ຽຫັຌວາໃ ຑາກຆາໄ ງຽ຋ໃ ຺າກຍັ ຑາກຂວາ ສະຌຌັໄ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ ຉວ຺ ດາໃ ຄ4: ເຫກໄ າຌຎະ຋ຍັ f ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກ , ຫາ , ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ f x  2x  5 . ຅ຄໃ ຺ ຆ຾ໄີ ຅ຄວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ , ຫາ , ຍໃ ໍ ? ຑິສຈູ : ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓຽອ຺າແຈ:ໄ x, y : f x  y  f x f y ຑາກຆາໄ ງ f x  y  ......? ຓີ f x  2x  5 f x  y  2x  y 5  2x  2y  5 f x  y  2x  2y  5 ຑາກຂວາ f x f y  .......? ຓີ f x  2x  5 , f y  2y  5 f x f y  2x  5  2y  5 f x f y  2x  2y 10 56

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຽຫັຌວາໃ : f x  y  f x f y f ຍໃ ໍຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ , ຫາ , ຉວ຺ ດາໃ ຄ5: ເຫກໄ າຌຎະ຋ຍັ g ກາໍ ຌຈ຺ ຾ຉໃ , ຫາ , ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ gx  bx / b  0. ຅ຄໃ ຺ ຆ຾ີໄ ຅ຄວາໃ g ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຾ຉໃ , ຫາ , ຍໃ ໍ ? ຑິສຈູ : ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓຽອ຺າແຈ:ໄ x, y : gx  y  gx gy ຑາກຆາໄ ງ gx  y  ......? ຓີ gx  bx gx  y  bx  y  bx  by gx  y  bx  by / gx  bx , gy  by gx  y  gx by ຽຫັຌວາໃ : gx  y  gx gy g ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ , ຫາ , ຉວ຺ ດາໃ ຄ6: ເຫກໄ າຌຎະ຋ຍັ h ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກ N, ຫາ N, ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ hx  3x . ຅ຄໃ ຺ ຆ຾ໄີ ຅ຄວາໃ h ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ N, ຫາ N, ຍໃ ໍ ? ຑິສຈູ : ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓຽອ຺າແຈ:ໄ x, y  N : hx  y  hx hy ຑາກຆາໄ ງ hx  y  ......? ຓີ hx  3x hx  y  3xy  3x 3y / hx  3x , hy  3y hx  y  hx hy ຽຫັຌວາໃ : hx  y  hx hy h ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ N, ຫາ N, ຉວ຺ ດາໃ ຄ7: ເຫກໄ າຌຎະ຋ຍັ t ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກ Z, ຫາ Z, ຽຆໃ ຄິ x ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ tx  ax1, a  0 ຅ຄໃ ຺ ຆ຾ໄີ ຅ຄວາໃ h ຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ Z, ຫາ Z, ຍໃ ໍ ? 57

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຑິສຈູ : ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓຽອ຺າແຈ:ໄ x, y  Z : tx  y  tx ty ຑາກຆາໄ ງ tx  y  ......? ຓີ tx  ax1,  t x  y  axy1 ຑາກຂວາ txty  ......?    t x t y  ax1  a y1  axy2 ຽຫັຌວາໃ : tx  y  tx ty t ຍໃ ໍຽຎັຌ຿ຬ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ Z, ຫາ Z, ຫົກັ ຽກຌ1: ຊາໄ ວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ຅າກ E, ຫາ F,T  ຾ລະ g ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ ຅າກ F,T  ຫາ G,, ຽວລາຌຌັໄ gof  ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ຅າກ E, ຫາ G,. ຑິສຈູ : ເຫໄ x , y  E ຉຬໄ ຄຑິສຈູ ວາໃ : gof x  y  gof x  gof y ຬຄີ ຉາຓຌງິ າຓ 8: x, y  E : f x  y  f x T f y ຽອ຺າແຈໄ x, y  E : gof x  y  gof x  gof y ຅າກຑາກຆາໄ ງ gof x  y  g f x  y ຌງິ າຓ gof  g f x T f y f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ  g f x  g f y g ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ  gof x  gof y ຌງິ າຓ gof ຈຄໃັ ຌຌັໄ : gof x  y  gof x  gof y ຂໍສໄ ຄັ ຽກຈ: f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ຅າກ E, ຫາ F,T , ຅ະຽຬຌໄີ f ວາໃ : ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ູໃ ກຉໍ ໃ ໍຽຓໃຬື ວາໃ : f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຽຂຌີ ຾ລະ f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຽຫໃ ົືຬຓ. 3.2 ຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈ຅າກ E, ຫາ F,T  ຌງິ າຓ 9: ຽຑໃ ິຌຽວ຺ໄາວາໃ f ຽຎັຌຬີ຿ຆຓຬັ ກຒິຈ (Isomorphisme) ຅າກ E, ຫາ F,T  ຽຽຓຌໃ ຋ກຸ ໂ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈ ຅າກ E, ຫາ F,T  ຾ລະ f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ູໃ ຅າກ E, ຫາ F,T . ຊາໄ ວາໃ E  F, ຽຑໃ ິຌຽວ຺ໄາວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຉຓຬັ ກຒິຈ (Automorphisme). 58

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຉວ຺ ດາໃ ຄ1: ກາຌຎະ຋ຍັ f ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກ N ,  ຫາ D , , ຽຆໃ ຄິ ວາໃ D ຾ຓຌໃ ກຓຸໃ ຋ໃ ີຎະກຬຍ ຈວໄ ງ 2 p , p  N ເຌຌໄີ p ຓຽີ ຄາ຺ ຾ຓຌໃ f  p  2 p ຅ຄໃ ຺ ຑິສຈູ ວາໃ f ຽຎັຌຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈ ຍໃ ໍ ? ຑິສຈູ : 1. ສກຶ ສາວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈຍໃ ໍ ? x, y  N : f x  y  f x f y ຅າກ f  p  2 p f x  y  2 xy f x  y  2x 2y f x  y  f x f y ຽຫັຌວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓ 2. ສກຶ ສາວາໃ f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ູໃ ? x  N,!y  D / y  f x ຅າກ f  p  2 p f x  2x y  2x x ຅ະຓີ y ຑຼຄ຃າໃ ຈຼວຽຆໃ ັຌເຫ:ໄ x 0 , y 1 x 1 , y  2 ຽຫັຌວາໃ f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ູໃ ຅າກ 1 ຾ລະ 2 ສາຓາຈສະຫຸົຍແຈວໄ າໃ f ຽຎັຌຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈ ຉວ຺ ດາໃ ຄ2: ຅ຄໃ ຺ ຑິສຈູ ວາໃ f 1 ຽຎັຌຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈ ຅າກ D,  ຫາ N , , ຽຆໃ ຄິ f  p  2 p . ຑິສຈູ : 1. ສກຶ ສາວາໃ f 1 ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓຓຬັ ກຒິຈຍໃ ໍ ? ຅າກ f  p  2 p f x  2x y  2x x  log2 y x, y  D : f 1x  y  f 1x f 1y 59

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ log2 x  y  log2 x log2 y ຽຫັຌວາໃ f ຽຎັຌ຿ຬ຿ຓ 2. ສກຶ ສາວາໃ f 1 ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ຍູໃ ໃ ໍ ? x  D,!y  N / x  f y ຅າກ x  log2 y y  2x x ຅ະຓີ y ຑຼຄ຃າໃ ຈຼວ ຽຫັຌວາໃ f ຽຎັຌກາຌຎະ຋ຍັ ຃ຼຄ຃ູໃ ຅າກ 1 ຾ລະ 2 ສາຓາຈສະຫຸົຍແຈວໄ າໃ f 1 ຽຎັຌຬ຿ີ ຆຓຬັ ກຒິຈ 60

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ ຍຈ຺ ຽຐິກຫຈັ 4 1. ສາໍ ລຍັ Z,  ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈວໄ ງ a b  a  b. ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ ກຈ຺  ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ Z ຫົື ຍໃ ໍ ? ສາໍ ລຍັ a,b,c  Z. 2. ສາໍ ລຍັ R,  ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈວໄ ງ a b  a  b  ab. ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ ກຈ຺  ຿ອຓໝເໃູ ຌ ກຓຸໃ R ຫົື ຍໃ ໍ ? ສາໍ ລຍັ a,b,c  R. 3. ສາໍ ລຍັ R,  ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈວໄ ງ a b  a  5b. ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ ກຈ຺  ຿ອຓໝເໃູ ຌ ກຓຸໃ R ຫົື ຍໃ ໍ ? ສາໍ ລຍັ a,b,c  R. 4. ສາໍ ລຍັ Q,  ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈວໄ ງ a b  a  ab  b. ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ ກຈ຺  ຿ອຓໝເໃູ ຌ ກຓຸໃ Q ຫົື ຍໃ ໍ ? ສາໍ ລຍັ a,b,c Q. 5. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S  a , b , c , d ,e ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄ ລຓໃຸ ຌ:ໄີ a b c d e aa b c b bb c a e d cc a b b c a db e b e d ed b a d e 1) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາ: b c , d  d , b ce ຾ລະ c  a d . 2) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາ: a bc ຾ລະ a b c. 3) ກຈ຺  ຿ອຓໝໃູ ຾ລະ ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌ ເຌກຓຸໃ S ແຈໄ ຫົື ຍໃ ໍ ? 6. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺ 0 ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S  a , b , c , d  ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄ ລຓໃຸ ຌ:ີໄ 0 a b c d aa b c d bb c d a cc d a b dd a b c 61

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ 1) ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ : ກຈ຺ 0 ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ S ຫົື ຍໃ ໍ ? 2) ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ : ກຈ຺ 0 ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌເຌກຓຸໃ S ຫົື ຍໃ ໍ ? 3) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄສາໍ ລຍັ ກຈ຺ 0 ເຌ S ? 4) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ສື າໍ ລຍັ ກຈ຺ 0 ເຌ S ? 7. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S  a , b , c , d  ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄ ລຓຸໃ ຌ:ໄີ a b c d ad a c b ba c b d cb d a c dc b d a 1) ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ : ກຈ຺  ຿ອຓໝເໃູ ຌກຓຸໃ S ຫົື ຍໃ ໍ ? 2) ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ : ກຈ຺  ສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌເຌກຓຸໃ S ຫົື ຍໃ ໍ ? 3) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາຬຄ຺ ຎະກຬຍກາຄສາໍ ລຍັ ກຈ຺  ເຌ S ? 4) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ສື າໍ ລຍັ ກຈ຺  ເຌ S ? 8. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ S  a , b , c , d  ສະ຾ຈຄຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄ ລຓຸໃ ຌ:ໄີ a b c d a a b c 1 bb d 2 c cc a d b d d 3 4 a 1) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຫາຬຄ຺ ຎະກຬຍເຌຉາໍ ຾ໜຄໃ 1 , 2, 3 , 4. ? 62

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນັ້ ສູງ 2) ຅ຄໃ ຺ ຑິ຅າລະຌາວາໃ : ກຈ຺  ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌເຌກຓຸໃ S ຫົື ຍໃ ໍ ? 9. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸໃ N ,a,b  N, ຅ະແຈ:ໄ a b  a  b  ab . ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ ກຈ຺  1) ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝຍໃູ ໃ ໍ ? 2) ຽຎັຌກຈ຺ ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌຍໃ ໍ ? 3) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຍໃ ໍ ? 10. ຃າໍ ຊາຓ຃ກື ຍັ ຂໍ຋ໄ ີ 9 ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ a b  a  b  2ab . 11. ຃າໍ ຊາຓ຃ືກຍັ ຂໍ຋ໄ ີ 9 ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ cd  c2 d2.. 12. ເຌກຓຸໃ Z ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺ T  ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ xTy  x  y2 ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ : 1) ກຈ຺ T  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ Z ຫົື ຍໃ ໍ ? 2) ຋ກຸ ໂຬຄ຺ ຎະກຬຍເຌກຓຸໃ Z ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ື ຫົື ຍໃ ໍ ? 13. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌກຓຸໃ N, a,b  N. ຅ະແຈ:ໄ a b  a2  b2. ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ : 1) ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝຍໃູ ໃ ໍ ? 2) ຽຎັຌກຈ຺ ສຍັ ຎໃຼຌຍຬໃ ຌຍໃ ໍ ? 3) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຍໃ ໍ ? 14. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫໄ A, ເຌກາຌ຃າໍ ຌວຌ: x  y  x  y  3. ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ ກຈ຺  : 1) ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝຍໃູ ໃ ໍ ? 2) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຍໃ ໍ ? 3) ຅ຄໃ ຺ ຆຬກຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ຄິ ຃ຂື ຬຄ 5 ຾ລະ 10. ? 63

ພດຶ ຊະຄະນດິ ຊນ້ັ ສູງ 15. ເຫໄ  G  Q   12 , ຾ລະ a b  a  b  ab  4 ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ ກຈ຺  :    1) ຽຎັຌກຈ຺ ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌຍໃ ໍ ? 2) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຍໃ ໍ ? 3) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ໃ ິຄ຃ຍື ໃ ໍ ? 16. ເຫກໄ ຓຸໃ V  0 , 1 ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺ T  ,  ,. ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ V ຆໃ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ກາຌ຃າໍ ຌວຌຈຄໃ ັ ຉາຉະລາຄລຓຸໃ ຌ:ີໄ T01 0 1 01 00 0 001 011 10 1 111 101 ຅ຄໃ ຺ ສກຶ ສາວາໃ ກຈ຺ ຑາງເຌຈຄໃ ັ ກາໃ ວ: 1) ຽຎັຌກຈ຺ ຿ອຓໝຍໃູ ໃ ໍ ? 2) ຽຎັຌກຈ຺ ສຍັ ຎຼໃ ຌຍຬໃ ຌຍໃ ໍ ? 3) ຓຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄຍໃ ໍ ? 17. ກາໍ ຌຈ຺ ເຫກໄ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຂຬຄກຓຸໃ N ຈຄໃ ັ ຌ:ໄີ a  N : a 0  a0 1 , a,b N : a b  ab ຅ຄໃ ຺ ຃ຈິ ແລ:ໃ  11 ..?  3 2  ..?  2 3  ..?  2  25  ..?  2  35  ..? 64

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 5 ຋ິຈຘະຈໝີ ທຈ 1. ຌງິ າຓໝທຈ ຌງິ າຓ1: ເນ້ G ຽຎັຌກຓຸ່ , ຆຸ່ ຄຶ G   ຾ຖະ ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ G , ຅ະຽບຌ້ີ G , ຽຎັຌໝທຈແຈກ້ ຉໍ ໍຽຓຸ່ບື : 1. a , b G : a  b G . 2. a , b ,c G : a b c  a  b  c ຓຖີ ກັ ຘະຌະ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ G 3. ຓບີ ຄ຺ ຎະກບຍກາຄ e  G ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a  e  e  a  a ຘາໍ ຖຍັ a  G . 4. ຘາໍ ຖຍັ a  G ຅ະຓີ b  G ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a b  b  a  e ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ1: ເຌ R ,  ຽຎັຌໝທຈຍຸ່ ໍ ? 1. a , b  R : a  b  R . 2. a , b ,c  R : a  b c  a  b  c a  b  c  a  b  c ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ R 3. ຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ 0  R ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a  0  0  a  a ຘາໍ ຖຍັ a  R . 4. ຘາໍ ຖຍັ a  R ຅ະຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ  a  R ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a   a   a  a  0 ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , R ,  ຽຎັຌໝທຈ ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ2: ເຌ Z ,  ຽຎັຌໝທຈຍຸ່ ໍ ? 1. a , b  Z : a  b  Z . 2. a , b ,c  Z : a  b c  a  b  c a  b  c  a  b  c ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ Z 3. ຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ 0  Z ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a  0  0  a  a ຘາໍ ຖຍັ a  Z 4. ຘາໍ ຖຍັ a  Z ຅ະຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ  a  Z ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a   a   a a  0 ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , Z ,  ຽຎັຌໝທຈ ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ3: ເຌ R  0 ,   ຽຎັຌໝທຈຍຸ່ ໍ ? 65

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ 1. a , b  R  0: a  b  R  0 2. a , b ,c  R  0: a  b c  a  b  c abc  abc ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ R 0 3. ຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ 1 R  0 ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a 1  1 a  a ຘາໍ ຖຍັ a  R  0 4. ຘາໍ ຖຍັ a  R  0຅ະຓ຅ີ າໍ ຌທຌ຅ຄິ a1  R  0 ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a  a1  a1  a  1 ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , R  0 ຽຎັຌໝທຈ  ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ4: ເຌກຓຸ່ Z  ,  ຽຎັຌໝທຈຍຸ່ ໍ ? 1. a , b  Z  : a  b  Z  2. a , b ,c  Z  : a  b c  a  b  c abc  abc ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ Z  3. a  Z  , e  Z  : a  e  e  a  a ຅າກຽຍ້ືບຄຆາ້ ງ: a  e  a e 1 4. ຓ຾ີ ຉຸ່ 1 ຾ຖະ 1 ຽ຋ຸ່ ຺າຌຌັ້ ຋ຸ່ ີຓບີ ຄ຺ ຎະກບຍຎ້ີຌ     1 11  11 1  1  1 11   11  1  1     2 21  21  2  1 / 21  Z  ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , Z  ,  ຍຸ່ ໍຽຎັຌໝທຈ ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ5: ຘາໍ ຖຍັ Q ,   ຆຸ່ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈທ້ ງ a  b  ab , ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ Q ,   ຽຎັຌໝທຈຍຸ່ ໍ ? 2 1. a , b Q : a  b Q 2. a , b ,c Q : a b c  a  b  c  ab   c  a   bc  2 2 abc  abc 44 3. a Q , e Q : a  e  e  a  a ຅າກຽຍືບ້ ຄຆາ້ ງ: a  e  a 66

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ ae  a 2 e2 4. a Q , a' Q : a  a' a'a  e ຅າກ: a  a' e aa'  2 2 a' 4 a ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , Q ,   ຽຎັຌໝທຈ ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ6: ກາໍ ຌຈ຺ ເນ້ G  0 , 1 ຾ຖະ ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌກຓຸ່ G ຈຄຸ່ ັ ຉາຉະຖາຄຖຓຸ່ ຌ:ີ້  0 1 0 0 1 1 0 1 ab b  c a b c a  b  c 1. ກາຌ຃າໍ ຌທຌຑາງເຌກຓຸ່ G 0 0 000  0, 0 G : 0  0  0 G 1 111 1 111  0, 1G : 0 1  1G 1 000 1 011  1 ,0 G : 1 0  1G 0 10 0 0 10 0  1, 1G : 11  0 G 111 2. ກາຌ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ G ab c 000 001 010 011 100 101 110 111 ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , a , b ,c G : a b c  a  b  c 67

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ 3. 0 ຾ຓຌຸ່ ບຄ຺ ຎະກບຍກາຄ ງບ້ ຌທາຸ່ : 0  0  0 , 0 1  1 4. ງບ້ ຌທາຸ່ : 0  0  0 , 11  0 ຈຄຸ່ ັ ຌຌັ້ , a G ຓບີ ຄ຺ ຎະກບຍຽ຃ຸ່ ຄິ ຃ື ຘະຌຌັ້ , G ,   ຽຎັຌໝທຈ ຌງິ າຓ2: ເນ້ G ຽຎັຌກຓຸ່ , ຆຸ່ ຄຶ G   ຾ຖະ ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ G , ຅ະຽບຌ້ີ G , ຽຎັຌໝທຈຘຍັ ຎຼຸ່ ຌຍບຸ່ ຌ ນົື ໝທຈບາຍີຖຼຌແຈກ້ ຉໍ ໍຽຓຸ່ບື : 1. a , b G : a  b G . 2. a , b ,c G : a b c  a  b  c ຓຖີ ກັ ຘະຌະ຿ປຓໝເຸູ່ ຌ G 3. ຓບີ ຄ຺ ຎະກບຍກາຄ e  G ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a  e  e  a  a ຘາໍ ຖຍັ a  G . 4. ຘາໍ ຖຍັ a  G ຅ະຓີ b  G ຋ຸ່ ີຽປັຈເນ້ a b  b  a  e 5. ຘາໍ ຖຍັ a,b  G: a b  b  a ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ7: ຅າກຉທ຺ ດາຸ່ ຄ 5 ຂາ້ ຄຽ຋ິຄຌີ້ ຘາໍ ຖຍັ Q ,   ຆຸ່ ຄຶ ກາໍ ຌຈ຺ ຈທ້ ງ a  b  ab , ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄ 2 ທາຸ່ Q ,   ຽຎັຌໝທຈບາຍຖີ ຼຌຍຸ່ ໍ ? ຾ກ:້ - ປທູ້ າຸ່ Q ,   ຽຎັຌໝທຈ - ຘກຶ ຘາທາຸ່ Q ,   ຓ຃ີ ຌຸ ຖກັ ຘະຌະຘຍັ ຎຼຸ່ ຌຍບຸ່ ຌຍຸ່ ໍ ? a,b  G: a b  b  a ຅າກ a b  b  a  a  b  ab 2  b  a  ba 2 ab  ba ຘະ຾ຈຄທາຸ່ Q ,   ຽຎັຌໝທຈບາຍຖີ ຼຌ 68

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ ຉທ຺ ດາຸ່ ຄ8: ເນ້ M 23 ຽຎັຌຓາຉຕຘິ ຂະໜາຈ 2  3 ຽຆຸ່ ຄິ ຓບີ ຄ຺ ຎະກບຍຽຎັຌ຅າໍ ຌທຌ຅ຄິ ຈຄຸ່ ັ ຌ:້ີ M 23   x11 x12 x13  /  a11 a12 a13  ຾ຖະ b11 b12 b13   x21 x22  xij   ຊາ້ ທາຸ່ a21 a22  b21 b22   x2 3  a23  b23   ຽຎັຌບຄ຺ ຎະກບຍຂບຄ M 23 ຽຆຸ່ ຄິ ກາໍ ຌຈ຺ ຈທ້ ງ: a11 a12 a13   b11 b12 b13   a11  b11 a12  b12 a13  b13  a21 a22  b21 b22  a21  b21 a22  b22  a23  b23  a23  b23  ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ M 23 ,  ຽຎັຌໝທຈບາຍຖີ ຼຌຍຸ່ ໍ ? ຾ກ:້ ໃຫ:້ັ A  a11 a12 a13  , B  b11 b12 b13  C  c11 c12 c13  a21 a22  b21 b22  c21 c22  a23  b23  c23  1) A , B  M 23 : a11 a12 a13   b11 b12 b13   a11  b11 a12  b12 a13  b13   M a21 a22  b21 b22  a21  b21 a22  b22 a23  b23  a23  b23   23 2) A , B , C M 23 : A  B  C  A  B  C ແຌະຌາໍ : A  B  C  A  B  C 3) A  M 23E  M 23 : A  E  E  A  A / E   x11 x12 x13   x22   x21 x23  ພາກຆາ້ັ ງ: A  E  A a11 a12 a13    x11 x12 x13   a11 a12 a13  a21 a22   x22  a21 a22  a 23   x21 x23  a 23   a11  x11 a12  x12 a13  x13   a11 a12 a13  a21  x21 a22  x22 a23   a21 a22  x2 3  a 23  x11  0   x1 2  0 ແມ່ ຌຬຄົ ຎະກຬຍກາຄ  x1 3  0 x14  0 4) A  M 23Y  M 23 : A  Y  Y  A  E / Y   y11 y12 y13   y22   y2 1 y 23  ພາກຆາ້ັ ງ: A  Y  E a11 a12 a13    y11 y12 y13   0 0 0 a21 a22   y22 y23  0 0 0 a 23   y21  69

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ  y11  a11   y1 2  a12 ແມ່ ຌຬຄົ ຎະກຬຍເ຃່ ຄິ ຃ື  y1 3  a13  y14  a14 5) A , B  M 23 : A  B  B  A a11 a12 a13   b11 b12 b13   b11 b12 b13   a11 a12 a13  a21 a22  b21 b22  b21 b22  a21 a22  a23  b23  b23  a23  a11  b11 a12  b12 a13  b13   b11  a11 b12  a12 b13  a13  a21  b21 a22  b22 a23  b21  a21 b22  a22  a11  b11  b23  b23  a23  a21  b21 a12  b12 a13  b13   a11  b11 a12  b12 a13  b13  a22  b22 a23  a21  b21 a22  b22   b2 3  a23  b23  ກຈົ  ມລີ ກສະຌະສຍຎ່ ຽຌຍ່ ຬຌໃຌ M 23 ຽນັຌທາຸ່ M 23 ,   ຽຎັຌໝທຈບາຍີຖຼຌ 70

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຍຈ຺ ຽຐິກນຈັ 5 1. ຅ຄຸ່ ຺ ກທຈຽຍຸ່ ຄິ ທາຸ່ G ,  ຋ຸ່ ີກາໍ ຌຈ຺ ເນຖ້ ຓຸ່ ຌີ້ ຽຎັຌໝທຈ ນົື ຍຸ່ ໍ ? G  Z , ກຈ຺  ກາໍ ຌຈ຺ ຈຄຸ່ ັ ຌ:ີ້ a b  a  b  4 2. ເນ້ S    1 ຾ຖະ ກາໍ ຌຈ຺ ເນກ້ ຈ຺  ຽ຋ິຄກຓຸ່ S ຈຄຸ່ ັ ຌ:ີ້ a b  a  b  2ab 2.1 ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ ກຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ S 2.2 ຅ຄຸ່ ຺ ຆບກນາ ບຄ຺ ຎະກບຍກາຄ ຾ຖະ ບຄ຺ ຎະກບຍຽ຃ຸ່ ຄິ ຃ື 2.3 ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ S ,  ຽຎັຌໝທຈ 2.4 ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ S ,  ຽຎັຌໝທຈບາຍຖີ ຼຌ 2.5 ຅ຄຸ່ ຺ ຾ກຘ້ ຓ຺ ຏຌ຺ ເຌ S : 2  x 3  7 3. ຅ຄຸ່ ຺ ຂຼຌຽຄຸ່ບື ຌແຂ ຽຎັຌ຿ບ຿ຓຓບັ ກຒິຈ, ບ຿ີ ຆຓບັ ກຒິຈ ຂບຄ f ຽຆຸ່ ຄິ ກາໍ ຌຈ຺ ຅າກໝທຈ E ,  ນາໝທຈ F ,  4. ເນ້ N 22   x11 x12    x21  / x11 , x12 , x21 , x22   , x11x22  x21x12  0   x22   ຊາ້ ທາຸ່ A  a11 a12  , B  b11 b12  , ຾ຖະ ກາໍ ຌຈ຺ ເນກ້ ຈ຺  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ a21  b21  a22  b22  N22 ໂຈງ຋:ີ A  B  a11 a12   b11 b12    a11b11  a12b21 a11b12  a12b22  a21  b21  a21b11  a22b21  a22  b2 2  a21b12  a22b22  ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ N22 ,  ເຎຌໝວຈ. 5. ກາໍ ຌຈົ ໃຫກ້ັ ຈົ  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ G  a , b , c ຘະ຾ຈຄຈຄຸ່ ັ ຉາຉະຖາຄຖຓຸ່ ຌ:້ີ a bc aa bc bb a cc ab ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ G ,  ເຎຌໝວຈ. 6. ກາໍ ຌຈົ ໃຫກັ້ ຈົ  ຽຎັຌກຈ຺ ຑາງເຌຽ຋ິຄກຓຸ່ G  a , b , c , d , e , f  ຘະ຾ຈຄຈຄຸ່ ັ ຉາຉະຖາຄຖຓຸ່ ຌ:້ີ 71

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ a b c d e f aa b cd e f bb c a e f d cc a b fd e dd f ea c b ee d f ba c f f e dcb a ຅ຄຸ່ ຺ ຘະ຾ຈຄທາຸ່ G ,  ເຎຌໝວຈ. 7. ເຌກຓຸ່ Z2  0 , 1 , Z3  0 , 1 , 2, Z5  0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ຅່ ຄົ ສະແຈຄກາຌ຃ໍາຌວຌສໍາລຍ ກຈົ  ແລະ ກຈົ  ໃສ່ ຉາຉະລາຄລ່ ມຌີ້ັ ໃຫຊັ້ ກື ຉຬັ້ ຄ. 8.1 8.2 8.3 8. ໃຫ້ັ E  a , b , c , d , ກາໍ ຌຈົ ໃຫກ້ັ ຈົ  ແລະ ກຈົ  ຉາມຉາຉະລາຄລ່ ມຌ:ີັ້ ຅່ ຄົ ສກຶ ສາວ່ າ ກຈົ  ແລະ ກຈົ  ເຎຌໝວຈ ຫື ຍ່ ໍ ? 72

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ 9. ເນ້ G  a , b / a , b  , a , b c , d   ac  bd , ad  bc 9.1 ຅່ ຄົ ສກຶ ສາວ່ າ: G ,  ເຎຌໝວຈຬາຍລີ ຽຌ ຫື ຍ່ ໍ ? 9.2 ຅່ ຄົ ແກສັ້ ມົ ຏຌົ ໃຌ G : 1 , 2 x  3 , 4 10. ຅່ ຄົ ກວຈເຍ່ ຄິ ວ່ າ G ,  ເຎຌໝວຈ ຫື ຍ່ ໍ ? 10.1 G  2n 1, n  Z  10.2 G ,  ກາໍ ຌຈົ ຈ່ ຄຌ:ີັ້ a b  a  b 1 11. ໃຫກັ້ ່ ມມາຉຣຈິ ຅ະຉລຈຂຌ້ັ ສຬຄມກີ ຈົ  ເຎຌກຈົ ພາງໃຌ M 2  ,  11.1 ຅່ ຄົ ຆແີ້ັ ຅ຄ້ັ ວ່ າ M 2  ,  ເຎຌໝວຈຬາຍລີ ຽຌຍ່ ໍ 11.2 ຅່ ຄົ ແກສ້ັ ມົ ຏຌົ ໃຌ M 2  ,  ຉ່ ໄໍ ຎຌ:ີັ້ 13 12  x 0 31  13 24 2 73

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຍຈົ ຋ີ 6 ວຄົ ແຫວຌ ແລະ ຋ົ່ ຄົ 1. ວຄົ ແຫວຌ ຌງິ າມ: ໃຫກັ້ ົ່ ມ A ຎະກຬຍຈວ້ັ ງສຬຄກຈົ  ເເລະ ກຈົ  ເຎຌກາຌ຃າໍ ຌວຌພາງໃຌ A ,  ,  ເຎຌ ວຄົ ແຫວຌຊາ້ັ ຫາກວ່ົ າຉຬຍສະໜຬຄຉາມເຄົ່ຬຌໄຂລົ່ ມຌ:ີ້ັ 1. A ,  ເຎຌໝວຈສຍຎ່ົ ຽຌຍ່ົ ຬຌ 2. ກຈົ  ມລີ ກສະຌະໂອມໝ່ົ ູ 3. ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກ້ັ ຈົ  ຊາ້ັ ວົ່ າກຈົ  ສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌ ເຬຌີ້ັ ວ່ົ າວຄົ ແຫວຌສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌ ຉວົ ຢ່ົ າຄ1: ຅່ົ ຄົ ຆແີ້ັ ຅ຄວົ່ າ Z ,  ,  ເຎຌວຄົ ແຫວຌຍ່ົ ໍ ? ແກ:້ັ 1) ສກຶ ສາ Z ,  ເຎຌໝວຈສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌ  a,b  Z : a  b  Z ເຎຌກາຌ຃ໍາຌວຌໃຌ Z  a,b,c  Z : a  b  c  a  b c a  b  c  a  b  c ມລີ ກສະຌະໂອມໝົ່ ໃູ ຌ Z  a  Z,e  Z : a  e  e  a  a ພາກຆາັ້ ງ a  e  a e  0 ມຬີ ຄົ ຎະກຬຍກາຄໃຌ Z  a  Z, a'  Z : a  a'  a'  a  e ພາກຆາ້ັ ງ a  a'  e a'  0  a a'  a ມຬີ ຄົ ຎະກຬຍເ຃່ົ ຄິ ຃ໃຌ Z  a  Z, b  Z : a  b  b  a a  b  a  b ມລີ ກສະຌະສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌໃຌ Z ເຫຌວົ່ າ Z ,  ເຎຌໝວຈສຍຎົ່ ຽຌຍ່ົ ຬຌ 2) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະໂອມໝ່ົ ຍູ ່ົ ໍ ?  a,b,c  Z : a  b  c  a  b c abc  abc ມລີ ກສະຌະໂອມໝ່ົ ໃູ ຌ Z 3) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກ້ັ ຈົ  ຍ່ົ ໍ ? 73

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ  a,b,c  Z : a  b  c  b  c a ab  ac  ab  ac ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກັ້ ຈົ  ຈົ່ ຄຌຌັ້ : Z ,  ,  ເຎຌວຄົ ແຫວຌ ຉວົ ຢ່ົ າຄ2: ຅ົ່ ຄົ ຆແີັ້ ຅ຄວ່ົ າ M 2  ,  ,   ເຎຌວຄົ ແຫວຌຍົ່ ໍ ? ແກ:້ັ 1) ສກຶ ສາ M 2  ,  ເຎຌໝວຈຬາຍລີ ຽຌຍົ່ ໍ ?  A, B  M 2 : A  a11 a12  , B  b11 b12  a21 a22  b21   b22  a11 a12  b11 b12   a11  b11 a12  b12     Aa21 a22   b21  a21  b21 a22  b22    B  b22   M 2 ເຎຌກາຌ຃າໍ ຌວຌໃຌ M 2    A, B,C  M 2  / C  c11 c12  c21  c22  A  B  C  A  B C a11 a12   b11  c11 b12  c12    a11  b11 a12  b12   c11 c12  a21 a22  b21  c21 b22   a21  b21 a22   c21   c22  b2 2  c22   a11  b11  c11 a12  b12  c12    a11  b11  c11 a12  b12  c12  a21  b21  c21 a22  b22   a21  b21  c21  c22  a22  b22  c22  ມລີ ກສະຌະໂອມໝົ່ ໃູ ຌ M 2   A Z,e  M 2 : A  e  e  A  A ພາກຆາ້ັ ງ A  e  A a11 a12   e  a11 a12  a21 a22  a21   a22  e  0 0 ມຬີ ຄົ ຎະກຬຍກາຄໃຌ M 2  0 0  A M 2 , A'  M 2 : A  A'  A'  A  e ພາກຆາ້ັ ງ A  A'  e a11 a12   A'  0 0 a21  0 0 a2 2  A'   a11  a12  ມຬີ ຄົ ຎະກຬຍເ຃່ົ ຄິ ຃ໃຌ M 2   a21   a2 2   A , B  M 2 : A  B  B  A a11 a12   b11 b12   b11 b12   a11 a12  a21 a22  b21 b22  b21 b22  a21     a22  74

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ a11  b11 a12  b12    a11  b11 a12  b12  a21  b21 a22   a21  b21  b22  a22  b22  ມລີ ກສະຌະສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌໃຌ M 2  ເຫຌວ່ົ າ M 2  ,  ເຎຌໝວຈຬາຍລີ ຽຌ 2) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະໂອມໝົ່ ຍູ ົ່ ໍ ?  A, B,C  M 2 : A B  C  A B C  ພາກຆາ້ັ ງ a11 a12  bb1211 b12  c11 c12  A BC  a21 a22   b22   c21 c22      a11 a12   b11c11  b12c21 b12c12  b12c22  a21 a22  b21c11  b22c21   b21c12  b22c22           a11 b11c11  b12c21  a12 b21c11  b22c21 a11 b12c12  b12c22  a12 b21c12  b22c22  a21 b11c11  b12c21  a22 b21c11  b22c21  a21 b12c12  b12c22  a22 b21c12  b22c22  A B  C  aa1211 a12  b11 b12  c11 c12   ພາກຂວາ a22   b21 b22   c21    c22    a11b11  a12b21 a11b12  a12b22   c11 c12  a21b11  a22b21 a21b12  a22b22  c21   c22          c11   a11b11  a12b21 c11  a11b12  a12b22 c21 a11b11  a12b21 c12  a11b12  a12b22 c22   a21b11  a22b21 a21b12  a22b22 c21   a21b11  a22b21 c12  a b21 12  a22b22 c22           a11 b11c11  b12c21  a12 b21c11  b22c21 a11 b12c12  b12c22  a12 b21c12  b22c22  a21 b11c11  b12c21  a22 b21c11  b22c21  a21 b12c12  b12c22  a22 b21c12  b22c22  A B  C  A B C ມລີ ກສະຌະໂອມໝ່ົ ໃູ ຌ M 2  3) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກັ້ ຈົ  ຍົ່ ໍ ?  A, B,C  Z : A B  C  B  C A a11 a12   b11  c11 b12  c12   b11  c11 b12  c12   a11 a12  a21 a22  b21  c21 b22   b21  c21 b22   a21   c22  c22  a2 2   ພາກຆາັ້ ງ  a11 a12   b11  c11 b12  c12  A BC a21 a22  b21  c21   b22  c22           a11 b11  c11  a12 b21  c21 a11 b12  c12  a12 b22  c22  a21 b11  c11  a22 b21  c21  a21 b12  c12  a22 b22  c22   ພາກຂວາ b11  c11 b12  c12   a11 a12  BC A b21  c21 b22  c22  a21   a2  2 75

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ        b11  c11 a12  b12  c12 a22   b11  c11 a11  b12  c12 a21   b22  c22 a21      b21  c21 b21  c21 a11  a12  b22  c22 a 22 A B  C  B  C A ກຈົ  ຍົ່ ໍແ຅ກໃຫກັ້ ຈົ  ຈ່ົ ຄຌຌັ້ : Z ,  ,  ຍົ່ ເໍ ຎຌວຄົ ແຫວຌ ຉວົ ຢົ່ າຄ3: ໃຫັ້ A ເຎຌວຄົ ແຫວຌໃຌ A A ເພົ່ ຌິ ກາໍ ຌຈົ ສຬຄກຈົ ພາງໃຌຈ່ົ ຄຌ:ີັ້    a, bT a' , b'  a  a' , b  b'    a, b a' , b'  aa' ,0 ຅່ົ ຄົ ຆແີັ້ ຅ຄວົ່ າ A A ເຎຌວຄົ ແຫວຌຍົ່ ໍ ?  ແກ:້ັ 1) ສກຶ ສາ A2 , T ເຎຌໝວຈສຍຎົ່ ຽຌຍ່ົ ຬຌຍ່ົ ໍ ?       a,b, a' ,b'  A2 : a,bT a' ,b'  a  a' ,b  b'  A2 ເຎຌກາຌ຃ໍາຌວຌໃຌ A2              a,b, a' ,b' , a'' ,b''  A2 : a,bT a' ,b' T a'' ,b''  a,bT a' ,b' T a'' ,b''      a , bT a'  a'' , b'  b''  a  a' , b  b' T a'' , b''    a  a'  a'' , b  b'  b''  a  a'  a'' , b  b'  b'' ມລີ ກສະຌະໂອມໝົ່ ໃູ ຌ A2      a , a'  A2 , e , e'  A2 : a , a' Te , e'   e , e' Ta , a'   a , a'  ພາກຆາັ້ ງ a , a' Te , e'   a , a'     a  e , a'  e'  a , a' a  e  a e  0 a'  e'  a'  e'  0 0 , 0 ແມ່ົ ຌຬຄົ ຎະກຬຍກາຄ    a , a'  A2 ,x , y A2 : a , a' Tx , y  x , yTa , a'   e , e'  ພາກຆາັ້ ງ a , a' Tx , y  e , e'  a  x , a'  y  0 , 0 a  x  0  x  a a'  y  0   y  a;     a ,  a' ແມ່ົ ຌຬຄົ ຎະກຬຍເ຃ົ່ ຄິ ຃ຂຬຄ a , a'  a , a'  A2 , x , y A2 : a , a' Tx , y  x , yT a , a' a  x , a'  y  x  a , y  a' a  x , a'  y  a  x , a'  y ມລີ ກສະຌະສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌໃຌ A2  ເຫຌວ່ົ າ A2 , T ເຎຌໝວຈສຍຎົ່ ຽຌຍົ່ ຬຌ 76

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ 2) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະໂອມໝ່ົ ຍູ ່ົ ໍ ?              a, b, a' ,b' , a'' , b''  A2 : a, b a' ,b'  a'' , b''  a, b a' ,b'  a'' , b''      a, b a'a'' ,0  aa' , 0  a'' b''    aa'a'' , 0  aa'a'' , 0 ກຈົ  ມລີ ກສະຌະໂອມໝົ່ ໃູ ຌ A2 3) ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກັ້ ຈົ T  ຍົ່ ໍ ?             a, b, a' ,b' , a'' , b''  A2 : a, b a' ,b' T a'' , b''  a' ,b' T a'' , b''  a, b    a , b a'  a'' , b'  b''  a'  a'' , b'  b''  a , b          a a'  a'' , b b'  b''  a'  a'' a , b'  b'' b          a a'  a'' , b b'  b''  a a'  a'' ,b b'  b'' ກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກ້ັ ຈົ T   ຈ່ົ ຄຌຌ້ັ : A2 , T ,  ເຎຌວຄົ ແຫວຌ 2. ກາຌຫາຌຂາຈໃຌວຄົ ແຫວຌ ຫກເກຌ: ໃຫ້ັa  Z , b  N ຅ະມແີ ຝຈ຅າໍ ຌວຌຊວັ້ ຌ q , r ພຽຄແຉ່ົ ແຝຈຈຽວເ຋່ົ າົ ຌຌັ້ ຋່ົ ຉີ ຬຍສະໜຬຄ ເຄ່ົຬຌໄຂ a  bq  r 0  r  b ພສິ ູຈ: 1. ພສິ ູຈວ່ົ າ຅ະຎະກຈົ ມແີ ຝຈ຅າໍ ຌວຌຊວ້ັ ຌ q , r ? ເມົ່ ຬໃຆກ້ັ າຌຫາຌເຬກີ ະລຈິ ໃຌ N ຂຬຄ a ໃຫັ້ b ເຆົ່ ຄິ ຅ະ ໝາງເຊຄິ ມ຅ີ າໍ ຌວຌ຋າໍ ມະຆາຈ q' ແລະ r ' ຈົ່ ຄຌ:ີັ້ a  bq'  r ' , r ' 1 , b 1 ຫ r '  0 ຈົ່ ຄຌຌັ້ ໃຌກລໍ ະຌຌີ ີັ້ a  0 , b  0 ຅ະໄຈ້ັ  a  bq'  r '  a  b  q'  r ' ຅າກຌເີັ້ ຫຌວ່ົ າເມົ່ ຬ r '  0 ຅ະໄຈ ້ັ q  q' , r  0    ເມ່ົ ຬ a' 1 , b 1 ຅ະໄຈັ້ a  b  q' 1  b  r' ຈ່ົ ຄຌຌັ້ q  q' 1 ; r  b  r ' ສະແຈຄວ່ົ າຎະກຈົ ມແີ ຝຈ຅າໍ ຌວຌຊວັ້ ຌ q , r 2. ພສິ ູຈວົ່ າມແີ ຝຈ຅າໍ ຌວຌຊວັ້ ຌ q , r ພຽຄແຉົ່ ແຝຈຈຽວເ຋ົ່ າົ ຌຌັ້ ? ສມົ ມຈ a  bq  r ແລະ a  bq1  r1 ເຆົ່ ຄິ r, r1 1 , b 1 77

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ ຅ະໄຈ ັ້ r  r1  b  q  q1 ແລະ r  r1 ສະແຈຄວົ່ າ ມແີ ຝຈ຅າໍ ຌວຌຊວັ້ ຌ q , r ພຽຄແຉ່ົ ແຝຈຈຽວເ຋່ົ າົ ຌຌ້ັ ຫກເກຌຂາ້ັ ຄເ຋ຄິ ເຬຌີ້ັ ວ່ົ າຫກເກຌກາຌຫາຌເຬກີ ະລຈິ ຂຬຄ຅າໍ ຌວຌຊວັ້ ຌ a ໃຫັ້ b ກລໍ ະຌີ r  0 ເພົ່ ຌິ ເວາົັ້ ວົ່ າ a ຫາຌຂາຈໃຫ້ັ b ແລະ ສຌງະລກຈວ້ັ ງ a / b ໝາງເຫຈ: ຍາຄ຃ຄ້ັ ເພ່ົ ຌິ ກຂໍ ຽຌ a  bq  r ຢ່ົ ູໃຌອູຍອ່ົ າຄ a q r ແລະ ເວາົັ້ ໄຈວ້ັ ົ່ າາ a ຫາຌໃຫ ັ້ b ໄຈ້ັ q b b ເສຈ r . ຉວົ ຢ່ົ າຄ 1: ສາໍ ລຍ 15  Z , 2 Z ເອາົ ສາມາຈຆຬກໄຈແັ້ ຝຈ (7,1) ເຆ່ົ ຄິ ວົ່ າ 15  2.7 1 ຫ 15  7  1 22 ຉວົ ຢົ່ າຄ 2: ສາໍ ລຍ 8  Z , 4  N ເອາົ ສາມາຈຆຬກໄຈແັ້ ຝຈ (2,0) ເຆ່ົ ຄິ ວ່ົ າ 8  4.2  0 ຫ 8 2 4 3. ຋່ົຄ ຌງິ າມ: ກມົ່ K ຎະກຬຍຈວ້ ງສຬຄກຈພາງໃຌ, ກຈ  ເເລະ ກຈ  ຅ະເຎັຌ຋ົ່ຄ ຊາ້ ຫາກວາ່ົ ຉຬຍສະໜຬຄເຄ່ົຬຌໄຂຉ່ົ ໄຎຌ:້ 1. K , ,   ເຎັຌວຄແຫວຌສຍັ ຎົ່ຽຌຍຬົ່ ຌ 1.1 K ,  ເຎັຌກາຌ຃າຌວຌພາງໃຌ 1.2 K ,  ມລກັ ສະຌະໂອມໝ່ົ 1.3 K ,  ມຬຄຎະກຬຍກາຄ 1.4 K ,  ມຬຄຎະກຬຍເ຃່ົ ຄິ ຃ 1.5 K ,  ມລກັ ສະຌະສຍັ ຎຽົ່ ຌຍຬົ່ ຌ 1.6 K ,   ມລກັ ສະຌະໂອມໝົ່ 1.7 ກຈ  ແ຅ກໃຫກ້ ຈ  ໃຌກມົ່ K 1.8 K ,  ມລກັ ສະຌະສຍັ ຎົ່ຽຌຍຬ່ົ ຌ 2. ກຈ K  ,   ເຎັຌໝວຈ  2.1 K  ,  ເຎັຌກາຌ຃າຌວຌພາງໃຌ  2.2 K  ,  ມລກັ ສະຌະໂອມໝ່ົ 2.3 K  ,  ມຬຄຎະກຬຍກາຄ  2.4 K  ,  ມຬຄຎະກຬຍເ຃ົ່ ຄິ ຃ 78

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຉວຢາ່ົ ຄ1: ຅ຄ່ົ ຆແ້ ຅ຄວາົ່ K ,  ,  ເຎັຌ຋່ົຄຍົ່ ? ແກ:້ 1. K , ,   ເຎັຌວຄແຫວຌສຍັ ຎ່ົຽຌຍຬ່ົ ຌຍ່ົ ? 1.1 a , b  K : a  b  K 1.2 a , b , c  K : a  b  c  a  b c abc  abc 1.3 a  K e  K : a  e  e  a  a ຅າກພາກຆາ້ ງ: a  e  a e0 1.4 a  K a'  K : a  a'  a'  a  e ຅າກພາກຆາ້ ງ: a  a'  e a'  a 1.5 a,b  K : a  b  b  a 1.6 a,b ,c  K : a  b  c  a  b c abc  abc 1.7 a,b ,c  K : a  b  c  b  c a ab  ac  ab  ac 1.8 a,b  K : a  b  b  a ab  ab  2. ກຈ K  ,  ເຎັຌໝວຈຍົ່  2.1 K  ,  ເຎັຌກາຌ຃າຌວຌພາງໃຌ ? a , b  K  : a  b  K   2.2 K  ,  ມລກັ ສະຌະໂອມໝົ່ ? a , b , c  K  : a  b  c  a  b c abc  abc 2.3 K  ,  ມຬຄຎະກຬຍກາຄ ? a  K  e  K  : a  e  e  a  a 79

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ ຅າກພາກຆາ້ ງ: a  e  a e 1  2.4 K  ,  ມຬຄຎະກຬຍເ຃ົ່ ຄິ ຃ ? a  K  a'  K  : a  a'  a'  a  e ຅າກພາກຆາ້ ງ: a  a'  e a'  1 a ເຫັຌວາົ່ K ,  ,  ເຎັຌ຋ົ່ຄ ຉວຢາ່ົ ຄ2: ໃຫ້ W , 7 , 6  ເຎັຌ຋ົ່ຄຍ່ົ ? ພາງໃຉເ້ ຄົ່ຬຌໄຂ 1). c 7 k  k  c  2 2). c 6 k  kc  9 ແກ:້ 1. W , 7, 6  ເຎັຌວຄແຫວຌສຍັ ຎົ່ຽຌຍຬ່ົ ຌຍົ່ ? 1.1 c , k W : c 7 k  k  c  2  K 1.2 c , k , m W : c 7 k 7 m  c 7 k 7 m c 7  m  k  2   k  c  2 7 m mk 2c2 mk c22 ck m4  ck m4 1.3 c W e W : c 7 e  e 7 c  c ຅າກພາກຆາ້ ງ: c 7 e  c ec2c e  2 1.4 c W c' W : c 7 c'  c' 7 c  e ຅າກພາກຆາ້ ງ: c 7 c'  e c'  c  2  e c'  c  4 1.5 c, k W : c 7 k  k 7 c k c2  ck 2 k c2  k c2 80

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ 1.6 c, k , m W : c 6 k 6 m  c 6 k 6 m c 6 mk  9  kc  9 6 m mk  9c  9  mkc  9  9 cmk  9c  9  cmk  9m  9 ເຫຌວົ່ າ: c 6 k 6 m  c 6 k 6 m ຍົ່ ໂໍ ອມໝ່ົ ູ ຈຄ່ົ ັ ຌຌັ້ , W , 7 , 6  ຍ່ົ ເຎັຌ຋່ົຄ ຍຈົ ເຝິກຫຈ 6 1. ຅່ົ ຄົ ກວຈເຍ່ົ ຄິ ວ່ົ າ: Q,  ,  , ,  ,   ເຎຌວຄົ ແຫວຌສຍຎົ່ ຽຌຍ່ົ ຬຌ ? 2. ຅່ົ ຄົ ຆແີ້ັ ຅ຄວ່ົ າກ່ົ ມ Z / 6Z ຎະກຬຍຈວັ້ ງສຬຄກຈົ  ແລະ ກຈົ  ເຎຌວຄົ ແຫວຌ ? 3. ຅ົ່ ຄົ ກວຈເຍ່ົ ຄິ ວົ່ າ: A,  ,  ເຎຌວຄົ ແຫວຌສຍຎົ່ ຽຌຍົ່ ຬຌ ? 4. ໃຫັ້ A,  ,  ເຎຌວຄົ ແຫວຌສຍຎ່ົ ຽຌຍົ່ ຬຌ ເພ່ົ ຌິ ວາຄ x  y  xy  yx ກ. ຅່ົ ຄົ ຆແີ້ັ ຅ຄວ່ົ າກຈົ  ມລີ ກສະຌະແ຅ກໃຫກັ້ ຈົ  ? ຂ. ຅່ົ ຄົ ຆແີ້ັ ຅ຄວ່ົ າກຈົ  ຍົ່ ມໍ ລີ ກສະຌະສຍຎົ່ ຽຌຍົ່ ຬຌ x  y  y  x ? ຃. ຅່ົ ຄົ ພສິ ູຈວ່ົ າ: x  y  z y  z  x z  x  y  0 ? 5. ຅ຄ່ົ ຆແ້ ຅ຄວາົ່ A,  ,  ເຎັຌ຋່ົຄຍ່ົ ? 6. ຅ຄ່ົ ກວຈເຍົ່ ຄິ ວາົ່ N ,  ,  ເຎັຌ຋່ົຄຍົ່ ? 7. ໃຫ້ W , 7 , 6  ເຎັຌ຋່ົຄຍ່ົ ? ພາງໃຉເ້ ຄົ່ຬຌໄຂ 1). c 7 k  k  c 1 2). c 6 k  kc  9c 8. ໃຫ້ W , 1 , 2  ເຎັຌ຋ົ່ຄຍ່ົ ? ພາງໃຉ:້ 1). c 1 k  kc 2). c 2 k  kc  2 9. ໃຫ້ A , T ,   ເຎັຌ຋່ົຄຍົ່ ? ໂຈງຬຄໃສເ່ົ ຄົ່ຬຌໄຂ: 1). c T k  k  c  3 2). c  k  k  c 10. ໃຫ້ K , 8 , 7  ເຎັຌ຋່ົຄຍົ່ ? ຉາມເຄົ່ຬຌໄຂ: 1). c 8 k  k  c  8 2). c 7 k  kc  7 81

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ ຍຈ຺ ຋ີ 7 ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ 1. ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ 1.1 ຌງິ າມ: ສມ຺ ມຸຈ V ຽຎຌ຋່ົ ຄ຺ ສຍຎ່ົ ຼຌຍ່ົ ຬຌ຋ົ່ ມີ ຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ຾ມ່ົ ຌ 0 ຾ລະ 1, ກ່ົ ຸມ V ສາມາຈ ຃າຌວຌຉາມ ກຈ຺ (+) ຾ລະ ກຈ຺  ກຍຬຄ຺ ຎະກຬຍເຌ຋່ົ ຄ຺ K (K ຬາຈຽຎຌ ຫົືຼ ) ຾ລະ ຉຬຍສະໜຬຄຉາມຽຄົ່ຬຼື ຌແຂຉ່ົ ແຎຌີັ້ : 1. (V, +) ຽຎຌໝວຈສຍຎົ່ ຼຌຍົ່ ຬຌ 2. V ຎະກຬຍຈວັ້ ງກຈ຺  ມ຃ີ ຸຌລກສະຌະຈ່ົ ຄຌີ້ັ : x, y V , ,  K :  x   x 1.x  x  x  y  x   y    x  x  x ຽພ່ົ ຌິ ຽຬຌີັ້ V , , ວ່ົ າ຅ກະວາຌຽວກຽຉ,ີ ຾ຉ່ົ ລະຬຄ຺ ຎະກຬຍຂຬຄ V ຽຬຌີັ້ ວ່ົ າຽວກຽຉີ ຾ລະ ຾ຉ່ົ ລະຬຄ຺ ຎະກຬຍຂຬຄ K ຽຬຌີັ້ ວ່ົ າສະກາ຾ລ. ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 1: ເຫັ້ V a2x2  a1x  a0 / a2, a1, a10  } ກ່ົ ຸມແຉພຈ຺ (ພະຫຸພຈ຺ ຂຌ້ັ ສຬຄ) ຽຆ່ົ ຄິ ກາຌຍວກ ຾ລະ ກາຌ຃ຌູ ລະຫວ່ົ າຄແຉພຈ຺ ຾ລະ ກາຌ຃ຌູ ຅າຌວຌເສ່ົ ແຉພຈ຺ ມສີ ູຈ ຈົ່ ຄຌີ້ັ :          a2x2a1x  a0  b2x2  b1x  b0  a2  b2 x2  a1  b1 x  a0  b0  K a2x2  a1x  a0  Ka2x2  Ka1x  Ka0 1. ຽຫຌວົ່ າ V ,  ຽຎຌໝວຈສຍຎ່ົ ຼຌຍ່ົ ຬຌຽຆົ່ ຄິ ມຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ຾ມ່ົ ຌ 0 ຾ລະ ຬຄ຺ ຎະກຬຍ ຽ຃່ົ ຄິ ຃ືຼ ຂຬຄ a2x2  a1x  a0 ຾ມ່ົ ຌ a2 x2  a1x  a0 2. ສາລຍກຈ຺ () ມ຃ີ ຸຌລກສະຌະຈົ່ ຄຌີ້ັ :    ,  K,  a2x2  a1x  a0 , b2x2  b1x  b0 V :      a2x2  a1x  a0    a2x2  a1x  (a0 )    a2x2   a1x  a0    a2x2   a1x   a0 82

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ    a2x2  a1x  a0 ( )+ 1 a2x2 +a1x+a0x =1.a2x2 +1.ax+1.a0  a2x2  a1x  a0         +   a2x2  a1x  a0  b2x2  b1x  b0     a2  b2 x2  a1  b1 x  a0  b0    a2  b2  x2   a1  b1 x   a0  b0   a2x2  b2x2  a1x  b1x  a0  b0     a2x2  a1x  a0  b2x2  b1x  1b0      a2x2  a1x  a0   b2x2  b1x  b0     a2x2  a1x  a0     a2x2     a1x  (  )a0  a2x2  a1x  a0  a2x2  a1x  a0      a2x2  a1x  a0  a2x2  a1x  a0 ສະ຾ຈຄວົ່ າ (V,+,•) ຽຎຌ຅ກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ຋່ົ ຄ຺ K {ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 2: ເຫ້ັ V= n = (x1,x2,....,xn ) / x ; , i 1, n ຽຆົ່ ຄິ ກາຌຍວກ ຾ລະ ກາຌ຃ູຌກຍ ສະກາ຾ລມສີ ູຈຈົ່ ຄຌ:ີັ້ (x1,x2,.....xn )+(y1,y2,.....yn )= (x1+y1,x2 +y2,.....,xn +yn ) kx1, x2 ,......, xn   (kx1, kx2 ,...........kxn ) ສາມາຈສະ຾ຈຄເຫຽັ້ ຫຌວົ່ າ ( n , +, • ) ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 3 : ເຫັ້ V={(x,y)/x³0,y³0} ຽຫຌວ່ົ າ ( ,+,• ) ຍົ່ ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉງີ ຬ້ັ ຌວ່ົ າ 1,2V ຾ຉ່ົ  1,2  1,2V , ໝາງ຃ວາມວົ່ າຽອາ຺ ຍົ່ ສາມາຈຈາຽຌຌີ ກາຌ຃ຌູ ກຍສະກາ຾ລ. ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 4: ສມ຺ ມຸຈມີ (E1,+,•) ; (E2,+,•) ຽຎຌ຅ກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ K , ຽອາ຺ ຅ະແຈ້ັ (E1×E2,+,•) ຽຎຌ຅ກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ຋ົ່ ຄ຺ K ຉາມກາຌກາຌຈ຺ ກຈ຺ (+) ຾ລະ ກຈ຺  ( ຈ່ົ ຄຌ:ີ້ັ (x1,x2 )+(y1,y2 )= (x1+y1,x2 +y2 ) 83

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌັ້ ສູຄ x1,x2   x1,x2  1. ຽຫຌວົ່ າ (E1  E2, ,) ຽຎຌໝວຈສຍຎ່ົ ຼຌຍົ່ ຬຌຽຆົ່ ຄິ ມຬີ ຄ຺ ຎະກຬຍກາຄ຾ມ່ົ ຌ (0,0) ຾ລະ ຬຄ຺ ຎະກຬຍຽ຃ົ່ ຄິ ຃ຂືຼ ຬຄ x1, x2  ຾ມົ່ ຌ  x1,x2  2. ສາລຍກຈ຺  ມ຃ີ ຸຌລກສະຌະຈ່ົ ຄຌີັ້ : ,   K ; x1, x2 ,y1, y2  E1  E2 x1, x2   x1, x2    x1, x2    x1, x2  1x1, x2   1x1,1x2   x1, x2    x1, x2    y1, y2     x1  y1, x2  y2     x1  y1,   x2  y2   x1   y1, x2   y2   x1, x2    y1,  y2     x1, x2     y1, y2     x1, x2      x1,   x2   x1  x1, x2  x2   x1, x2   x1, x2     x1, x2     x1, x2  ສະ຾ຈຄວ່ົ າ E1xE2 ,, ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ຋ົ່ ຄ຺ K. 2. ຬະຌ຅ຸ ກກະວາຌຽວກຽຉີ 2.1 ຌງິ າມ: ເຫ້ັ W ຽຎຌຬະຌກຸ ່ົ ຸມຂຬຄ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ V ຋່ົ ຉີ ຬຍສະໜຬຄຽຄ່ົຬຼື ຌແຂຉົ່ ແຎຌີ້ັ ຽພ່ົ ຌິ ຽວາ຺້ັ ວົ່ າ W ຽຎຌ ຬະຌຸກ່ົ ຸມຂຬຄ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ V. 84

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ 1. W   2. u,v :W ; u  v W 3.   K,u W : u W ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 1: ເຫ້ັ U  a,b,b / a,b  } ຽຎຌຬະຌຸ຅ກກະວາຌຽວກຽຉຂີ ຬຄ 3 ງຬັ້ ຌວ່ົ າ 1. W   ຽພາະວ່ົ າ (0,0,0) W 2. a,b,b,c, d, d  W :a,b,b  c, d, d  W a,b,b  c, d, d   a  c,b  d,b  d  W 3.   , a,b,b w :a,b,b w : a,b,b  a,b,b w ຉວ຺ ຢ່ົ າຄ 2: w  a,b,b / a,b  ; a2  b2  c2  i ຍົ່ ຽຎຌຬະຌຸ຅ກກະວາຌຽວກຽຉຂີ ຬຄ 3 ຽພາະວ່ົ າ 1,0,0,0,1,0 w ຾ຉົ່ ວົ່ າ 1,0,0  0,1,0  1,1,0 w 2.2 ຫົກຽກຌ ສມ຺ ມຸຈ V ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ຋່ົ ຄ຺ K, w  v ຅ະຽຎຌຬະຌຸ຅ກກະວາຌຽວກຽຉຂີ ຬຄ v ກຉົ່ ຽມົ່ ຬືຼ 1. W   2. ,  K,u,v w : u  v w ພສິ ູຈ: ສມ຺ ມຸຈ w  v ຾ລະ w ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉີ - w   ງຬັ້ ຌວ່ົ າ o  w -   K,u  w :  u  w -   K : v  w : v  w ຬຄີ ຉາມຌງິ າມ຋່ົ ວີ ົ່ າ u,v  w : u  v w ;   K,u  w : u  w ຈົ່ ຄຌຌ້ັ ,   K, u,v  w : u  v w ຉວ຺ ຢ່ົ າຄ 3: w  a,b,0/ a,b  IR ຽຎຌຬະຌ຅ຸ ກກະວາຌຽວກຽຉຂີ ຬຄ 3 ງຬ້ັ ຌວ່ົ າ 1. w   2. ,   ,a1,b1,0,a2,b20 R3 :  a1,b1,0   a2,b2,0 w  a1,b10   a2,b2,0  a1,b1,0  a2,b2,0  a1  a2,b1  b2 ,0 w 85

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ 3. ຽຬກະລາຈ ຾ລະ ຍົ່ ຽຬກະລາຈລຽີ ຌ຾ຬ ຌງິ າມ: ຽພົ່ ຌິ ຽວາ຺້ັ ວົ່ າຍຌຈາ p ຽວກຽຉີ e1, e2,..., ep ຂຬຄ E ຅ະຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌຊາັ້ ຫາກ ກາຌຎະກຬຍສາ້ັ ຄ ລຽີ ຌ຾ຬ l e1 + l e2 +...+ l pep = 0 ສົ່ ຄ຺ ຏຌ຺ ສະ຋ຬ້ັ ຌເຫ້ັ 1  2  ...  p  0 ກລະຌຊີ າ້ັ ກຄ຺ ກຌຂາ້ັ ມຽພ່ົ ຌິ ຽວາ຺ັ້ ວ່ົ າຽວກຽຉີ e1, e2,..., ep ຍ່ົ ຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌ ຫົຼື ຉຈິ ພຌຉົ່ ກຌ. ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 1 : ເຫຽັ້ ວກຽຉີ V1 ,V2 ເຌ຾ຏົ່ ຌພຼຄ (ເຌ 2 ) ຽຫຌວົ່ າ V1 ,V2 ຍົ່ ຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌ, ງຬ້ັ ຌມລີ ວຄຈຼວກຌ V1 V2 ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 2: ເຫຽັ້ ວກຽຉີ u1, u2 ເຌ຾ຏ່ົ ຌພຼຄ ( ເຌ 2 ) ຽຫຌວົ່ າ u1, u2 ຽຬກກະລາຈຉົ່ ກຌງຬັ້ ຌຉົ່ າຄລວຄ (ຍົ່ ອົ່ ວມລວຄ) u1 u2 ຉວ຺ ຢົ່ າຄ 3: ເຫຽັ້ ວກຽຉີ V1,V2 ,V3 ຾ລະ u1,u2 ,u3 ເຌ຾ຏົ່ ຌພຼຄ( ເຌ 2 ) V1 (2) u1 (1) V2 u2 u3 V3 ເຌກລະຌີ (1) V1,V2 ,V3 ຍ່ົ ຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌ ເຌກລະຌີ (2) u1,u2 ,u3 ຽຬກກະລາຈຉົ່ ກຌ ຫົກຽກຌ 1: ຽວກຽຉເີ ຌກົ່ ຸມ S  u1,u2 ,u3 un V ຍ່ົ ຽຬກກະລາຈລຽີ ຌ຾ຬຌາກຌ ກຉົ່ ຽມົ່ ຬຼື ຅າຌວຌ຅ຄິ a1a2,..., an ຢ່ົ າຄໜຬ້ັ ງໜົ່ ຄຶ ຉວ຺ ຉ່ົ າຄສູຌຽຆົ່ ຄິ ຽອຈເຫັ້ l 1u1 + l 2u2,..., l nun = 0 ພສິ ູຈ: ສມ຺ ມຸຈ {u1,u2,...,un,u} ຍ່ົ ຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌ, ຽອາ຺ ຅ະແຈັ້ 86

ພຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ້ັ ສູຄ l 1u1 + l 2u2 +... + l nun + l n+1u = 0 ຿ຈງ຋ົ່ ວີ ່ົ າ n1  0 ຊາັ້ ຍ່ົ ຈ່ົ ຄຌຌັ້ ຅ະ຾ມົ່ ຌ l 1u1 + l 2u2 +... + l nun + l n+1u = 0 ຾ລວັ້ ຅ະສາັ້ ຄຏຌ຺ ສະ຋ຬັ້ ຌເຫ ັ້ l 1 = l 2 = ... = l n+1 ໝາງຽຊຄິ {u1,u2,...,un,u} ຽຬກກະລາຈຉ່ົ ກຌ ງຬັ້ ຌຽຫຈຏຌ຺ ຌຌ້ັ ຽອາ຺ ແຈ ັ້ u = b1u1 + b 2u2 +... + b nun ຽຆ່ົ ຄິ i   1 i n1 ສມ຺ ມຸຈ u = g1u1 +g2u2 +... +gnun ຽອາ຺ ຅ະແຈ ັ້ : (b1 - g1)u1 + (b2 - g2 )u2 +...+ (bn - gn )un = 0 ເຌຽມົ່ ຬືຼ {u1,u2,...,un} ຽຬກກະລາຈ ຉົ່ ກຌຽອາ຺ ຅ະແຈ ັ້ b1 = g1, b2 = g2,..., b n = gn ສະ຾ຈຄວົ່ າ u ຂຼຌຽຎຌກາຌຎະກຬຍສາັ້ ຄລຽີ ຌ຾ຬຂຬຄ u1,u2,...,un ເຌອູຍຈຼວ຃ຍ຺ ຊວ້ັ ຌ. ຫກົ ຽກຌ 2: ຽວກຽຉເິ ຌກ່ົ ຸມ S  u1,u2 ,u3 un V ຽຬກກະລາຈລຽີ ຌ຾ຬຌາກຌ ກຉ່ົ ຽມ່ົ ຬືຼ ຅າກ l 1u1 + l 2u2 +... + l nun + l n+1u = 0 ຾ລວັ້ ຅ະແຈ ້ັ 1  2  ...  n  0 ຉວ຺ ຢ່ົ າຄ 4 : ເຌ 3 :u1  0,0,1 ; u2  2,0,1 ; u3  0,5,0 ຽຎຌຽວກຽຉ຋ີ ົ່ ຽີ ຬກະລາຈຉ່ົ ກຌ ຽພາະວ່ົ າ l 1u1 + l 2u2 + l 3u3 = 0R3 1  0,0,1 ; 2  2,0,1 ; 3  0,5,0  0,0,0 5232  0  1  2  3  0  0 1  2  0 ວຼກມຬຍໝາງ 1. ອູວ້ັ ົ່ າ ( , +,· ) ຾ລະ ( , +,· ) ຽຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉເີ ຌ ວາຄເຫ້ັ E ຾ມົ່ ຌກົ່ ຸມ຅າຌວຌ ຅ຄິ ຋ົ່ ມີ ີ ລກສະຌະ x = a + b 2 + c 3 + d 6 ຽຆ່ົ ຄິ a,b, c, d ຾ມົ່ ຌ຅າຌວຌຎ຺ກກະຉ.ິ ຅ົ່ ຄ຺ ຆ຾ີ້ັ ຅ຄວ່ົ າ E ຎະກຬຍຈວັ້ ງກຈ຺ (+) ຾ລະ ກຈ຺  ຅າຌວຌຎ຺ກກະຉຽິ ຎຌ຅ກກະວາຌຽວກຽຉຽີ ຋ຄິ ? 87

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ຍຈົ ຋ີ 8 ກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ 1. ຌງິ າມ ຉາ຤າ T ຅າກ຅ກກະລາຌເລກເຉີ v ວາ w ເຨຌີ໇ ລໆ າ ກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ ຊາ໇ ມຌຉຨຍ຦ະໜຨຄເຄໆຨຌໄຂ ຤ໆ ມຌ:ີ໇ u ,v V ;a,b  , T au bv  aT ubTv ຉລົ ຢໆ າຄ 1: (1) ໃວ໇ T :  x  T x  2x 3 ເຩາົ ໄຈ໇ ຅າກ T ax by  2ax by3  2ax  2by  3 ຅າກ aTx bTy a2x  3b2y  3  2ax 3a  2by 3b  2ax  2by 3a  b ເວຌລໆ າ T ax  by  aTx bTx ຦ະຌຌ໇ T :  ຍໆ ເຎຌກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ x  T x2x 3 (2) ໃວ ໇ T : 2  T x1 , y1   2x1 3y1 ຦າ຤ຍ a , b  ; x, y  2 : x  x1 , y1  y  x2 , y2  ຅າກ: Tax byTax1  bx2 , ay1 by2   2 ax1  bx2   3ay1  by2   2ax1  2bx2  3ay1  3by2  2ax1  3ay1  2bx2  3by2  a 2x1  3y1  b 2x2  3y2   aT x1 , y2  bT x2 , y2   aT x  bT y ເຩາົ ໄຈ໇ T ax  by  aTxbTy 88

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ  T : 2 T x1 , y1   2x1  3y1 ເຎຌກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ (3) ໃວ ໇ T : 2  2 x1 , y1   T x1 , y1   3x1 ,0 a , b x , y  2: x x1, y1 ; y  x2 , y2  ເຩາົ ໄຈ໇ T ax by T ax1 bx2 ;ay1  by2   3( ax1  bx2 ) , 0  3ax1,0   3bx2 , 0  a 3x1 , 0  b 3x2 , 0  aT x bT y ຦ະຌຌ໇ T ax byaTx bT y ຦ະແຈຄລໆ າ T : 2  2 x1 , y1   T x1 , y1  3x1 ,0 ເຎຌກາຌຎະ຋ຍເຌແຨ (4) ໃວ ໇ T : A22  A  a b   T A  det A c d   TkA  detkA  k 2 det A  kTA ຈໆ ຄຌຌ໇ T ຍໆ ແມໆ ຌກາຌຎະ຋ຍ ຤ເີ ຌແຨ . ຅າກ ຌງິ າມຂຨຄກາຌຎະ຋ຍ ຤ເີ ຌແຨຌຌ໇ ເຩາົ ງຄໄຈເ໇ ລາົ໇ ເຊຄິ ວກເກຌ, ຂຨຄກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ ຉໆ ມຨກີ ເຆໆ ຌ ວກເກຌ ໃວ໇ T : n  m ເຎຌກາຌຎະ຋ຍ ຤ເີ ຌແຨ ແ຤ລ໇ ຅ະມີ ມາຉຣ຦ິ A ຂະໜາຈ m n , ເຆໆ ຄິ ເຩຈໃວ໇ v n: Tv  Av ລ຋ິ ຑີ ຦ິ ູຈ: ໃວ ໇ B  e1 , e2 , e3 , . . . , en  ເຎຌຑຌ໇ ຊາຌຂຨຄ n 89

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ 1 0 0 0 1 0 . . . e1    ; e2    ; . . . ; en     .   .   .  . . .    0 0 1  a11   a12   a1n         a 21   a 22   a2 n  ຊາ໇ T e1   .  ; T e2    .  . . ; T en   .   .   . ;.  .       . . .    am1  am2  amn   a11 a12 . . . a1n     a2 1 a22 . . . a2n  ຅ະໄຈ໇ A  . . . . . .    . . ... .  . . . . . .  am1 am2 . . . amn  ເມໆ ຨ v  x1 e1  x2e2  . . .  xnen ຦ະຌຌ໇ Tv x1T e1  x2T e2  . . . xnT en   x1a11 x2 a12 ... xn a1n   x2a22 ...   x1a2 1 ... xn a 2n  . ... . . ... .   Av  . ... .   . x2am2  . .    x1a m1 xn amn  ຅າກວກເກຌເຩາົ ໄຈລ໇ ໆ າ Tv  Av ເຆໆ ຄິ ມາຉຣ຦ິ A ເຎຌ ມາຉຣ຦ິ ມາຈຉະຊາຌຂຨຄກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨ T ແ຤ະ ຂຽຌ ຈລງ໇ A T  ຉລົ ຢໆ າຄ 2: ຆຨກ ມາຉຣ຦ິ ມາຈຉະຊາຌຂຨຄກາຌຎະ຋ຍ ຤ເີ ຌແຨ. T : -3  4 90

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ ລ຋ິ ແີ ກ ໇  x1    x1  x2   x2     T      x1  x2  x3   x3   x1    1 1 0 1 1 1  1 T e1   T 0   0 ; T e2  T 0  0  0 1  0    T e3  T 0  0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 ເຩາົ ໄຈ໇ A T   0 1 1 0 1 0 0 ກຈິ ຅ະກາ ຅ໆ ຄົ ກລຈເຍໆ ຄິ ຉາ຤າຉໆ ໄຎຌເີ໇ ຎຌກາຌຎະ຋ຍ ຤ເີ ຌແຨ ວຍໆ ? a . ໃວ໇ f :  x  f x 3x ຅ໆ ຄົ ຆແີ໇ ຅ຄລໆ າ f ເຎຌກາຌຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨຍ ? b . ໃວ໇ T : 2  2 x , y  T x, y x 1 , y ຅ໆ ຄົ ຆແີ໇ ຅ຄລໆ າ T ເຎຌກາຌ ຎະ຋ຍ຤ເີ ຌແຨຍ ? 2. ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ຌງິ າມ: ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ ( system ď໙quation lin໙aires ) ຋ໆ ີ m ຦ມົ ຏຌົ ແ຤ະ n ຉລົ ຤ຍ ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ໃຌຩູຍຩໆ າຄ. 91

ຑຈຶ ຆະ຃ະຌຈິ ຆຌ໇ ຦ູຄ  a11x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1   a2 1x1  a22x2  ...  a2n xn  b2 . .. . (1)  . .. . . .. . am1x1  am2 x2  ...  amn xn  bm ເຆໆ ຄິ ລໆ າ: ai ; bj  ; 1  i  m ; 1  j  n ຍາຄ຃ຄ໇ ເຑໆ ຌິ ໃວຆ໇ ໆ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ (1) ລໆ າ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨຂະໜາຈ mn . ຉລົ ຢໆ າຄ1: (a) 2x  3y  19 ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ 2 x 2   2x  2y  4 (b)  xyz2 ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ 2 x 3 2x  y  z  4 x  y  2  (c)  x  y  1 ແມໆ ຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ 3 x 2  x  4 ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຤ເີ ຌແຨ mn ແມໆ ຌ຤ະຈຍ n ຅າຌລຌ (x, y, z, . . . ) ຋ໆ ຉີ ຨຍ຦ະໜຨຄໃຌ ຋ກ໅຦ມົ ຏຌົ ໃຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຌຌ໇ ໅ເຆໆ ຌ ແຐຈ (5, 3) ແມໆ ຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂ໇ (a) ເຑາະລໆ າ 25  33  19   25  23  4 ໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂ໇ (b) ແມໆ ຌ (2, 0, 0) ເຑາະລໆ າ  2002 22  0  0  4 ໃຌ຃ລາມ຅ຄິ ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ ຂ໇ (b) ມວີ າງໃ຅ຏຌົ ເຑາະລໆ າ 2  2a,  3a, a ຦ມົ ມຈ a  ຦າມາຈ຦ະແຈຄໃວເ໇ ວຌລໆ າ ຤າຈຍ 3 ຅າຌລຌ 2  2a ,  3a , a ແມໆ ຌໃ຅ຏຌົ ຂຨຄ຤ະ ຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (b) ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (c) ຍໆ ມໃີ ຅ຏຌົ ເຑາະລໆ າ ຅າກ຦ມົ ຏຌົ ຋ີ 3 ຦າມາຈຂຽຌ຤ະຍຍົ ຦ມົ ຏຌົ (c) ໃຌ ຩູຍຩໆ າຄ 4  y  2   4  y  1 92