คณิตปลาย

145 บทท่ี 8 ความนา จะเปน สาระสําคญั 1. การนับจํานวนผลลัพธทัง้ หมดทีเ่ กิดจากการกระทํา หรือการทดลองใดๆ ตองอาศัยกฎเกณฑการ นบั จงึ จะทาํ ใหง า ยและสะดวก รวดเรว็ 2. ความนาจะเปน คือ จํานวนที่แสดงใหทราบวาเหตุการณใดเหตุการณหนึ่ง มีโอกาสเกิดขึน้ มาก หรือนอยเพียงใด สิ่งที่จําเปนตองทราบทําความเขาใจ คือ - การทดลองสุม (Random Experiment) - แซมเปลสเปซ (Sample Space) - เหตุการณ (Event) 3. ความนาจะเปนของเหตุการณใดๆ เปนการเปรียบเทียบจํานวนสมาชิกของเหตุการณนัน้ ๆ กับ จํานวนสมาชิกของแซมเปลสเปซ ซึ่งเปนคาที่จะชวยในการพยากรณหรือการตัดสินใจได ผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. หาจํานวนผลลัพธทีอ่ าจเกิดขึ้นของเหตุการณ โดยใชกฎเกณฑเบือ้ งตนเกี่ยวกับการนับและ แผนภาพตนไมอยา งงา ยได 2. อธิบายการทดลองสุม เหตุการณ ความนาจะเปนของเหตุการณและหาความนาจะเปนของ เหตกุ ารณทกี่ ําหนดใหได 3. นําความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนไปใชในการคาดการณและชวยในการตัดสินใจ ขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 กฎเบอ้ื งตนเก่ียวกับการนับและแผนภาพตน ไม เรื่องที่ 2 ความนาจะเปนของเหตุการณ เรื่องที่ 3 การนําความนาจะเปนไปใช

146 1. กฎเบื้องตน เกีย่ วกบั การนับและแผนภาพตน ไม ในชีวิตประจําวันของคนเรามีการกระทําหรือการทดลองหลายอยางที่สามารถมีวิธีการที่จะเกิด ผลลัพธไ ดหลายวธิ ี การหาจาํ นวนรปู แบบหรือจาํ นวนวธิ ที ี่อาจเกดิ ข้ึนไดจ ากการนบั ทั้งหมด โดยมีกฎ เบื้องตนเกี่ยวกับการนับจากการทํางานดังนี้ 1. 1. การทํางานทมี่ ี 2 อยา งหรือสองขนั้ ตอน ถางานอยางแรกมวี ธิ ที ําได n1 วิธี และในแตล ะวธิ ีทํางานอยา งแรกมีวธิ ที ี่จะทํางานอยางที่สองได n2 วธิ ี แลวจาํ นวนวธิ ที ี่ทาํ งานทงั้ สองอยางเทา กับ n1 n2 วธิ ี สามารถเขียนแผนผังการทํางานไดดังนี้ งานอยางที่ 1 งานอยางที่ 2 นบั ได n1 วธิ ี × n2 วธิ ี จํานวนวิธีทํางานทั้งสองอยาง = n1 × n2 วธิ ี เพื่อความเขาใจใหงายขึ้นสามารถแจกแจงผลการนับแตล ะวิธีไดโ ดยใช แผนภาพตน ไม ดงั ตวั อยา ง ตอ ไปนี้ ตวั อยางที่ 1 โยนเหรยี ญ 2 อันพรอ มกัน 1 คร้ัง เกดิ ผลลพั ธไ ดท้งั หมดกีว่ ธิ ี วธิ ีทาํ โยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกนั 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง เหรียญท่ี 1 เหรียญที่ 2 จัดได 2 × 2 งานอยางแรก การเกดิ ของเหรียญท่ี 1 เกดิ ได 2 วิธี คืออาจเกิดหัว (H ) หรอื อาจเกิดกอ ย (T ) กไ็ ด และในแตละวธิ ีท่เี กิดเหรยี ญท่ี 1 ยงั มีวิธเี กดิ เหรยี ญที่ 2 ไดอ ีก งานอยางที่ 2 การเกิดของเหรียญท่ี 2 เกดิ ได 2 วธิ ี คืออาจเกิดหวั (H) หรอื อาจเกดิ กอ ย (T ) ดงั น้นั การโยนเหรยี ญ 2 อนั พรอ มกัน 1 ครั้ง เกดิ ได = 2 ×2 = 4 วิธี

147 การโยนเหรยี ญ 2 อันพรอมกัน เปนการทํางานที่มี 2 อยา งหรอื 2 ข้ันตอน สามารถแสดง เหตุการณท ่ีเกดิ โดยใชแผนภาพตนไมไ ดด ังน้ี เหรยี ญท่ี 1 เหรียญท่ี 2 เหตุการณท ี่เกิดข้ึน นนั่ คือ โยนเหรยี ญ 2 เหรยี ญพรอมกนั 1 คร้ัง เกิดได 4 วธิ ี คือ HH, HT, TH, TT ตอบ ตวั อยา งที 2 ชายคนหน่ึงมเี ส้อื เชิ้ตตา งกนั 5 ตวั และกางเกงขายาวตา งกนั 3 ตวั วธิ ที ํา เราสามารถใชแ ผนภาพตนไมช ว ยในการหาวธิ ีทง้ั หมดท่ีเปน ไปไดแ สดงไดดังแผนภาพ ขา งลา งน้ี จากแผนภาพตน ไมจ ะพบวา การแตง กายของชายคนนท้ี ่ีแตกตา งกนั นบั ไดท งั้ หมด 15 วธิ ี

148 ตัวอยางท่ี 3 โยนลกู เตา 2 ลูกพรอ มกนั 1 ครง้ั เกดิ ไดทั้งหมดกวี่ ธิ ี วธิ ีทาํ โยนลูกเตา 2 ลกู พรอมกัน 1 ครั้ง เปนการทํางาน 2 อยา ง ลกู ที่ 1 ลูกท่ี 2 จัดได 6 × 6 งานอยางแรก การเกดิ ของลกู เตาลกู ที่ 1 ซ่ึงมี 6 หนา เกดิ ได 6 วธิ ี คอื อาจหงายหนา 1 , 2, 3 …., หรือ 6 ) ∴ โยนลูกเตา 2 ลกู พรอ มกัน 1 ครงั้ เกิดได = 6 ×6 = 36 วธิ ี สามารถแจกแจงผลลพั ธ ไดด งั นี้ ( 1 , 1) ( 1 , 2 ) (1 , 3 ) ( 1 , 4) ( 1 , 5) ( 1 , 6) ( 2 , 1) ( 2 , 2 ) (2 , 3 ) ( 2 , 4) ( 2 , 5) ( 2 , 6) ( 3 , 1) ( 3 , 2 ) (3 , 3 ) ( 3 , 4) ( 3 , 5) ( 3 , 6) ( 4 , 1) ( 4 , 2 ) (4 , 3 ) ( 4 , 4) ( 4 , 5) ( 4 , 6) ( 5 , 1) ( 5 , 2 ) (5 , 3 ) ( 5 , 4) ( 5 , 5) ( 5 , 6) ( 6 , 1) ( 6 , 2 ) (6 , 3 ) ( 6 , 4) ( 6 , 5) ( 6 , 6) ตอบ 36 วธิ ี 1. 2. การทํางานท่มี ี 3 อยางหรือสามข้ันตอน การนบั จะมแี นวคดิ ในทํานองเดียวกัน แตจํานวนขั้นตอนในการเขียนแผนภาพตนไม หรือ การหาผลคณู คารทีเซยี น จะมี 3 งานหรือ 3 ขั้นตอนทีต่ องทาํ ตอเนอื่ งกนั ดังตัวอยา งตอไปนี้ ตวั อยา งท่ี 4 บรษิ ัทรถยนตแหง หนึ่งผลิตตวั ถังรถยนตออกมา 2 แบบ มีเครื่องยนต 2 ขนาด และสี ตาง ๆ กนั 3 สี ถา ตอ งการแสดงรถยนตใ หค รบทกุ แบบ ทุกขนาด และทุกสี จะตองใชร ถยนตอ ยา ง นอยทส่ี ุดกคี่ ัน

วธิ ีท่ี 1 โดยใชแผนภาพตนไม (Tree Diagram ) จะไดผ ลดงั น้ี 149 การทํางานมี 3 ขัน้ คือ ผลงาน ข้ันท่ี 1 ขน้ั ที่ 2 ข้ันที่ 3 สี ตวั ถัง เคร่ือง ดงั นัน้ จะตองมีรถยนตแ สดงอยางนอย 12 คัน จึงจะครบทุกแบบทุกสีทุกขนาด วิธที ่ี 2 โดยใชผ ลคณู คารท ีเซียน ให A เปน เซตของตัวถงั รถยนต A = { ถ1 , ถ2 } B เปน เซตของเครอ่ื งยนต B = { ค1 , ค2 } C เปน เซตของสตี าง ๆ B = { ส1 , ส2 , ส3 } นาํ ตวั ถงั และเครื่องยนตม าประกอบกนั ไดดงั น้ี A × B = { (ถ1 , ค1) , (ถ1 , ค2) , (ถ2,ค4) , (ถ2 , ค2)} n(AxB) = n(A) x n(B) = 4 แบบ นาํ ตัวถึงกับเคร่ืองทีป่ ระกอบแลวมาทาสีตา ง ๆ ( A × B ) × C = { (ถ1 , ค1, ส1 ), (ถ1 , ค1, ส2 ), (ถ1 , ค1, ส3 ), (ถ1 , ค2, ส1 ), (ถ1 , ค2, ส2 ), (ถ1 , ค2, ส3 ), (ถ2 , ค1, ส1 ), (ถ2 , ค1, ส2 ), (ถ2 , ค1, ส3 ), (ถ2 , ค2, ส1 ), (ถ2 , ค2, ส2 ), (ถ2 , ค2, ส3 )} N ( A ×B× C ) = n(AxB) x n(C) = n(A) x n(B) x n(C) = 2 x 2 x 3 = 12 ดงั นน้ั ตองใชรถยนตแ สดงอยางนอย 12 คัน

150 เมอ่ื พิจารณาแผนภาพตนไมแ ละวิธกี ารของผลคูณคารทีเซียนแลว พบวา สามารถหาจํานวนวธิ ี หรือจํานวนรูปแบบในการทํางานไดเชนเดียวกัน จากหลักการของทั้งสองวิธี จึงสามารถนํามาสรางเปน กฎเบอ้ื งตนเกีย่ วกบั การหาจาํ นวนวิธใี นการทํางานอยา งใดอยางหนง่ึ ได โดยสรปุ เปนกฎไดด งั น้ี สรปุ ขั้นตอนในการใชกฎการนับแกโ จทยปญหา 1. พจิ ารณาวา งานหรือเหตกุ ารณทโ่ี จทยก ําหนดมาน้ันคอื อะไร จัดแบง ออกเปนกขี่ ั้นตอนที่ตอเน่ืองกนั 2. พิจารณาเงื่อนไขตาง ๆ ท่กี าํ หนดมาในแตล ะขัน้ ตอน บนั ทึกไว 3. หาจาํ นวนวิธที ี่สามารเลอื กทํางานไดใ นแตละขน้ั โดยตอ งเริ่มจากขั้นทมี่ ีเงือ่ นไขมากทสี่ ุดกอนแลว จึง พจิ ารณาขั้นอื่น ๆ ที่มเี ง่ือนไขรองลงมา ตามความสาํ คัญ 4. นําจาํ นวนวิธีทไ่ี ดใ นแตละข้ันตอนคณู กัน จะไดจ าํ นวนรปู แบบหรือจาํ นวนวธิ ที อ่ี าจเกิดข้ึนไดท งั้ หมด ตวั อยางท่ี 4 ในการเลอื กต้ังกรรมการชุดหน่ึงจะประกอบไปดว ย ประธาน รองประธาน เหรัญญิก และ เลขา โดยกรรมการแตละคนจะดาํ รงตําแหนงไดเพียงตาํ แหนงเดียวเทานนั้ ถา มผี สู มัครทงั้ หมด 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญิง 4 คน ผลการเลือกตั้งกรรมการชุดนีจ้ ะมีไดท ง้ั หมดกี่แบบตา งกนั โดยท่ี 1. ไมม เี ง่ือนไขเพ่ิมเติม 2. กําหนดใหประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง 3. กรรมการตองเปน หญิงลวน ๆ วิธีทํา มผี ูสมัคร 6 คน เปนชาย 2 คน เปนหญงิ 4 คน ใหเลอื กกรรมการ 4 ตาํ แหนง ประธาน รอง ประธาน เหรญั ญกิ เลขา 1) ไมมีเง่ือนไขเพ่มิ เตมิ แตละคนเปนไดต ําแหนงเดยี ว ตาํ แหนง ประธาน เลอื กได 6 วธิ ี ตาํ แหนง รองประธาน เลือกได 5 วธิ ี ตําแหนง เหรญั ญกิ เลอื กได 4 วธิ ี ตําแหนงเลขา เลอื กได 3 วธิ ี ดังน้นั จาํ นวนวิธีในการเลอื กกรรมการมี = 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี 2) กําหนดประธานเปนชาย และเลขาตองเปนหญิง ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี ตาํ แหนง เลขาทีเ่ ปน หญิง เลือกได 4 วธิ ี ตาํ แหนง เหรญั ญกิ (คนท่ีเหลือ) เลอื กได 4 วธิ ี ตาํ แหนง รองประธาน เลอื กได 3 วธิ ี (คนท่เี หลอื สุดทาย ) ดงั น้ัน จํานวนวธิ ใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี

151 3) กรรมการตองเปน ผหู ญงิ ลว น ๆ ตาํ แหนง ประธานเปนชาย เลอื กได 2 วธิ ี ตาํ แหนง เลขาเปน หญงิ เลือกได 4 วธิ ี ตําแหนง รองประธาน เลือกได 4 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื ) ตําแหนง เหรัญญกิ เลอื กได 3 วธิ ี ( เฉพาะหญงิ ท่ีเหลอื ) ดังนน้ั จํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการมี = 2 × 4 × 3 × 4 = 96 วธิ ี0020 ตัวอยา งที่ 5 จากอักษรในคําวา “ PHYSIC” นํามาสรางคําใหมประกอบดวย 3 อกั ษร ตางกนั ( ไมสนใจความหมายของคําเหลานั้น) โดยท่ี 1. ไมม เี งื่อนไขเพิม่ เติม 2. ตองเปนพยัญชนะทั้งหมด วธิ ที าํ อักษรในคาํ วา PHYSIC เปน สระ 1 ตวั และพยญั ชนะ 5 ตวั รวมทั้งหมด 6 ตวั อกั ษร อักษรตัวท่ี 1 2 3 1. สรางคําประกอบดวย 3 ตวั อักษร สรางได = 6 × 5 × 4 = 120 วธิ ี 2. มีเง่ือนไขวา ตอ งเปนพยญั ชนะทัง้ หมด สรางได = 5 × 4 × 3 = 60 วธิ ี ตวั อยางที่ 6 หองประชุมแหงหนง่ึ มี 3 ประตู จงหาวธิ ใี นการเดนิ เขา - ออกหองประชุม โดยมีเงื่อนไขตางกัน ดงั น้ี 1. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา 2. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก 3. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยไมซา้ํ ประตกู ัน 4. จาํ นวนวธิ ใี นการเดินเขา - ออก โดยใชประตูเดมิ วธิ ที ํา ประตูหองประชุมมี 3 ประตู หมายเลข 1 2 และ 3 การเดนิ เขา ออก 1. จาํ นวนวธิ เี ดนิ เขา หอ งประชุม = 3 วธิ ี 2. จาํ นวนวธิ กี ารเดิน เขา - ออก = 3 × 3 = 9 วธิ ี ( ใชประตูซ้ําได) 3. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยไมซ ํา้ ประตูกัน = 3 × 2 = 6 วธิ ี

152 4. จาํ นวนวธิ กี ารเดินเขา - ออก โดยใชป ระตูเดมิ = 3 × 1 = 3 วธิ ี ตัวอยางท่ี 7 ครมู ีหนงั สอื 5 เลมแตกตา งกนั ตองการแจกใหนกั เรียน 4 คน จงหาจาํ นวนวีธแี จกหนงั สอื โดยท่ี 1. ไมมีเงื่อนไขเพ่มิ เติม 2. ไมมใี ครไดห นงั สือเกิน 1 เลม วิธที ํา การแจกหนงั สือตอ งพจิ ารณาการแจกทลี ะเลม หนงั สอื เลมที่ 1 2 3 4 1. ไมมีเงอื่ นไข (แจกซ้ําได ) ดงั นน้ั แจกได = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 วธิ ี 2. ไมม ใี ครไดเ กิน 1 เลม แปลวา ไมมใี ครไดซ ้ํา ไดแลวจะไมแ จกใหอ กี ดงั นน้ั จะมีวธิ ีแจกหนังสอื = 5 × 4 × 3 ×2 = 120 วธิ ี

153 แบบฝกหัดที่ 1 1. โยนเหรยี ญ 1 เหรยี ญ 3 ครั้ง จงหาจาํ นวนท่ีเหรียญจะข้ึนหนา ตางๆ โดยวิธเี ขียนแผนภูมติ นไม 2. ในการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร ประกอบดวย โจทยแ บบปรนัย 4 ตัวเลือก จํานวน 5 ขอ โจทยแ ต ละขอ มคี ําตอบท่ถี กู ตองเพยี งหนง่ึ ตวั เลือกเทา นนั้ แลว จํานวนวิธกี ารตอบคําถามท่ีเปนไปไดท งั้ หมดมกี ่ีวิธี 3. มนี กั เรยี น 5 คน ยนื เขาแถวเพ่ือซอื้ อาหารกลางวันของรานหนึง่ จงหาวา จํานวนวิธีท่ยี ืนเขา แถวที่ แตกตา งกนั มีทงั้ หมดกีว่ ธิ ี 4. มีชาย 6 คน หญิง 5 คน ตองการจัดคแู ขงขันระหวางชาย 1 คน หญิง 1 คนในการแขงขันกีฬา แทนนสิ มีจํานวนทั้งหมดก่วี ิธี 5. เพ่อื น 3 คน นักกันไปรับประทานอาหารเย็นทีภ่ ตั ตาคารและ ซื้อของทห่ี า งสรรพสนิ คา โดยเลอื กที่ จะไป รบั ประทานอาหารและซอื้ ของ ซ่งึ มีภตั ตาคาร 5 แหง และมีหา งสรรพสินคา 4 แหง ทัง้ สามคนนจ้ี ะ มวี ธิ ี เลือกกระทําดังกลาวไดท ้ังหมดกี่วิธี 6. บริษัทแหงหนึ่งเปดรับสมัครพนักงานเขาทํางาน โดยพิจารณาจากเงื่อนไขคือ เพศชาย หญิงระดับอายุ มี 6 ระดับ และมีสาขาวิชาชีพ 10 ประเภท แลวบรษิ ัทน้จี ะมีวิธีการจาํ แนกผสู มัครไดท้ังหมดกวี่ ธิ ี 7. จากการสัมภาษณรับคนเขาทํางานจํานวน 8 คน จะมวี ิธจี ะคดั เลอื กไดพ นกั งานหนงึ่ คนจากผเู ขา สมั ภาษณ ทั้งหมด 8. จงเขยี นแผนภาพตนไมเพ่ือแสดงผลท่ีเกดิ ข้ึนจากการโยนเหรียญ 1 เหรยี ญ 4 ครั้ง จงหาจาํ นวนวธิ ีท่ี แตกตางกนั ในการโยนเหรยี ญครง้ั น้ี โดยที่ 1. ไมม หี นา หวั เลย 2. มหี นาหัวเพยี ง 1 ครั้ง 3. มหี นาทั้ง 2 ครั้ง 4. มีหนา หวั เพยี ง 3 ครั้ง 5. มหี นา หวั 4 ครั้ง

154 2. ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ ในชีวิตประจําวันมักพบกับการคาดคะเน หรือการประมาณเหตุการณ หรือโอกาส เพือ่ ใชในการ ตัดสินใจ โอกาสที่เหตุการณน้ัน จะเกิดไดมีมากนอยเพียงใด ขึ้นอยูกับอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิก ของเหตุการณน ้นั กับจาํ นวนครง้ั ของการทํางานผเู รยี นจึงตองทราบ และทําความเขาใจ กับคําเหลานี้ 1. การทดลองสุม (Random Experiment) คือ การทดลองทีไ่ มสามารถระบุผลลัพธไดอยางแนนอน แต บอกไดวา ผลลพั ธข องการทดลองน้นั มโี อกาสเกิดอะไรข้ึนไดบาง ตัวอยางที่ 1 การทดลองโยนลูกเตา 1 ลูก 1 ครั้ง แตมทีจ่ ะเกิดขึน้ ได คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 ซึ่งไมสามารถบอกไดวาจะเปนแตมอะไรใน 6 แตมน้ี ดงั นนั้ ผลลพั ธท ั้งหมดที่จะเกิดข้ึนคือแตม 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตวั อยางที่ 2 การหยิบลูกปงปอง 1 ลูก จากกลอ ง ซง่ึ มี 5 ลูก 5 สี ลูกปง ปองทห่ี ยิบไดอ าจจะเปน ลกู ปงปอง สขี าว ฟา แดง เขยี ว หรือสม ดังนนั้ ผลลัพธท ัง้ หมดที่จะเกิดขึ้นคอื ลูกปง ปองสีขาว ฟา แดง เขยี ว หรอื สม ตวั อยา งที่ 3 จงเขียนผลทีอ่ าจจะเกิดข้ึนไดทงั้ หมดในการโยนเหรียญบาท 1 เหรียญ และเหรยี ญหาสบิ สตางค 1 เหรยี ญ วิธีทํา ในการโยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ ผลที่อาจเกดิ ขนึ้ คือหัวหรือกอย ถาให H แทน หวั และ ให T แทน กอ ย ในการหาผลที่อาจเกิดขึ้นไดทั้งหมดจากการโยนเหรียญบาทและเหรียญหาสิบสตางคอยางละ 1 เหรยี ญ อาจใชแผนภาพชวยไดดงั นี้

155 ฉะนนั้ ถาเราใชคูอ นั ดับเขยี นผลทัง้ หมดท่ีอาจเกดิ ข้ึนไดโดยใหส มาชิกตวั หนง่ึ ของคอู ันดบั แทนผล ที่อาจเกิดขึ้นจากเหรียญบาท สมาชิกตัวท่สี องของคูอันดับแทนผลที่อาจเกิดข้นึ จากเหรียญหาสิบ สตางค จะได ผลทง้ั หมดท่อี าจจะเกดิ ขนึ้ ได คอื (H, H), (H, T), (T, H) และ (T, T) 2. แซมเปลสเปซ (Sample Space ) เปนเซตที่มีสมาชิกประกอบดวยสิ่งที่ตองการ ทั้งหมด จากการ ทดลองอยางใดอยางหนึ่ง ( บางครั้งเรียกวา Universal Set ) เขยี นแทนดว ย S เชน ตัวอยางที่ 4 ในการโยนลกู เตาถาตอ งการดวู า หนาอะไรจะขนึ้ มาจะได ผลลพั ธทีอ่ าจจะเกิดขนึ้ ไดคือ ลกู เตาข้ึนแตม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรอื 4 หรอื 5 หรือ 6 ดังนัน้ แซมเปล สเปซทไ่ี ด คือ S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ตวั อยางท่ี 5 จากการทดลองสุมโดยการทดลองทอดลูกเตา 2 ลูก 1. จงหาแซมเปลสเปซของแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น วธิ ที ํา 1. เนื่องจากโจทยสนใจแตมของลูกเตาที่หงายขึ้น ดังนั้นเราตองเขียนแตมของลูกเตาที่มีโอกาส ที่จะหงายขึ้นมาทั้งหมด และเพื่อความสะดวกให (a , b) แทนผลลัพธท ีอ่ าจจะเกิดขนึ้ โดยท่ี a แทนแตม ทห่ี งายข้ึนของลกู เตาลูกแรก b แทนแตมท่ีหงายข้ึนของลูกเตา ลกู ท่ีสอง ดังนั้นแซมเปลสเปซของการทดลองสุมคือ S = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

156 3. เหตุการณ (event) คอื เซตทเี่ ปน สบั เซตของ Sample Space หรือเหตุการณที่เราสนใจ จากการทดลอง สุม ตวั อยางที่ 7 ในการโยนลูกเตา 1 ลกู 1 ครั้ง ถา ผลลัพธที่สนใจคอื จํานวนแตมท่ไี ด จะได S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถา ให E1 เปนเหตุการณทไี่ ดแตมซึง่ หารดว ย 3 ลงตวั จะได E1 = {3, 6} E2 เปน เหตุการณท่ไี ดแ ตมมากกวา 2 จะได E2 = {3, 4, 5, 6} ตัวอยางท่ี 8 ถุงใบหนึ่งมีลูกบอลสีขาว 3 ลูก สแี ดง 2 ลกู หยิบลูกบอลออกจากถุง 2 ลกู จงหา 1. แซมเปลสเปซของสีของลูกบอล และเหตุการณท่จี ะไดลกู บอลสีขาว 2. แซมเปลสเปซของลูกบอลที่หยิบมาได และเหตุการณท ่ีจะไดลูกบอลเปนสีขาว 1 ลูก สแี ดง 1 ลูก วิธที ํา 1. เนอ่ื งจากเราสนใจเกีย่ วกบั สขี องลูกบอล และลูกบอลมอี ยูสองสีคือสีขาวและสีแดง ดงั นน้ั แซมเปลสเปซ S = {ขาว, แดง} สมมติให B เปน เหตกุ ารณท ี่จะไดล กู บอลสขี าว ดงั นั้น B = {ขาว} 2. เนอื่ งจากเราสนใจแซมเปล สเปซของลกู บอลแตล ะลกู ทถ่ี กู หยิบขึน้ มา ดงั นน้ั แซมเปล สเปซ S คือ S = {ข1ข2,ข1ข3,ข1ด1,ข1ด2,ข2ด3,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2,ด1ด2} ให C เปนเหตกุ ารณท ีผ่ ลลพั ธเปน ลกู บอลสขี าว 1 ลูก และ สีแดง 1 ลกู ดังนน้ั เหตุการณ C คือ C = {ข1ด1,ข1ด2,ข2ด1,ข2ด2,ข3ด1,ข3ด2} หมายเหตุ ข แทน ขาว และ ด แทน แดง ตวั อยา งที่ 10 โยนเหรยี ญบาท 1 เหรยี ญ 2 ครงั้ จงหาผลลัพธของเหตุการณท ีจ่ ะออกหัวอยา งนอ ย 1 คร้งั การหาผลลัพธทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการโยนเหรียญบาท 1 เหรยี ญ 2 ครัง้ โดยใชแผนภาพตน ไม ดังนี้

157 ผลลัพธท ้ังหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุม มี 4 แบบ คือ HH, HT, TH และ TT นั่นคอื ผลลพั ธข อง เหตกุ ารณท่ีจะออกหัวอยางนอย 1 คร้งั มี 3 แบบ คือ HH, HT และ TH 4. ความนา จะเปน ของเหตุการณ ความนาจะเปน ของเหตุการณ คือ จาํ นวนทแ่ี สดงใหทราบวาเหตกุ ารณใดเหตุการณห นึ่งมีโอกาส เกิดข้นึ มากหรือนอยเพยี งใด ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณใด ๆ เทา กบั อัตราสวนของจาํ นวนเหตกุ ารณทเ่ี ราสนใจ (จะใหเ กดิ ข้นึ หรอื ไมเกดิ ขนึ้ ก็ได) ตอจํานวนผลลัพธทั้งหมดท่อี าจจะเกิดขนึ้ ได ซึง่ มสี ูตรในการคดิ คํานวณดงั นี้ จํานวนผลลพั ธข องเหตุการณท เี่ ราสนใจ ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ = จํานวนผลลพั ธท ัง้ หมดท ี่อาจจะเกดิ ข้นึ ได เมือ่ ผลท้ังหมดท่ีอาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสมุ แตละตัวมีโอกาสเกดิ ข้ึนไดเ ทา ๆ กัน กาํ หนดให E แทน เหตกุ ารณที่เราสนใจ P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตุการณ n(E) แทน จํานวนสมาชิกของเหตุการณ n(S) แทน จํานวนสมาชิกของผลลพั ธท ง้ั หมดท่ีอาจจะเกิดขึน้ ได ดังนน้ั P( E ) = n(E) n(S ) ตวั อยางที่ 1 มีลูกปงปอง 4 ลูก เขียนหมายเลขกํากับไวดังนี้คือ 0, 1, 2, 3 ถา สมุ หยบิ มา 2 ลกู จงหาความ นาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3 วธิ ที ํา ให S เปน แซมเปล สเปซ S = {(0, 1),(0, 2),(0, 3),(1, 2),(1, 3),(2, 3) } จะได n(S) = 6 E เปนเหตุการณห รือสงิ่ ทโ่ี จทยอยากทราบ E = {(1, 3),(2, 3)} จะได n (E) = 2 n(E) n(S ) นน่ั คอื จากสูตรขางบนคือ p(E ) = แทนคา ได P(E) = 2 = 1 63 ความนาจะเปนที่จะไดผลรวมของตัวเลขมากกวา 3 เทา กับ 1 3

158 ขอสงั เกต 1. สมาชกิ ทกุ ตัวในเหตกุ ารณ E ตองเปนสมาชิกในอยูในแซมเปลสเปซ S ดังนน้ั 0 ≤ n(E)≤n(S) 2. ถา E เปนเหตกุ ารณใด ๆ ในแซมเปลสเปซ S จะไดว า 2.1 0≤P(E)≤1 2.2 ถา P(E)=1 หมายถงึ เหตกุ ารณน้ันตอ งเกิดขึ้นแนนอน ถา P(E)=0 หมายถึงเหตกุ ารณน้ันตองไมเ กดิ 2.3 ถา S เปนแซมเปลสเปซ จะไดว า P(S)=1

159 แบบฝกหัดที่ 2 1. จากการทดลองสุมตอไปนี้ จงเขียนแซมเปลสเปซและเหตุการณที่สนใจในการทดลองนั้นๆ (1) ไดห วั สองเหรยี ญจากการโยนเหรยี ญสองอนั หนง่ึ คร้งั (2) ไดผลรวมของแตมบนหนาลูกเตาทั้งสองเปน 2 หรือ 6 จากการโยนลูกเตาสองลูกหนึง่ ครัง้ (3) หยิบไดสลากหมายเลข 5 หรอื 6 หรือ 7 หรอื 8 จากสลาก 10 ใบซึ่งเขียนหมายเลข 1 ถงึ 10 กํากับไว (4) ไดนกั เรยี นทถ่ี นัดมือซายในหอ งเรยี นทีท่ านเรียนอยู (5) ไดสลากที่มีรางวัลจากการจับสลากที่ประกอบดวยสลากที่มีรางวัล 3 ใบ และไมมี รางวัล 7 ใบ (6) ไดคําตอบจากครอบครัว 3 ครอบครัววามีจักรเย็บผาใชทั้งสามครอบครัว (7) ไดลูกบอลสขี าว 2 ลูก สีดาํ 1 ลกู ในการหยบิ ลูกบอล 3 ลกู จากกลอ งซ่งึ บรรจุลูกบอลสี ขาว 3 ลูก และสีดาํ 2 ลูก (8) ไดแ ตม ทเ่ี หมอื นกันหรือไดแ ตม 2 จากลกู เตา ลกู ใดลูกหน่ึงในการทอดลกู เตา พรอมกัน สองลูก (9) ไดห วั และแตม ทม่ี ากกวา 4 จากการโยนเหรยี ญหนง่ึ เหรยี ญและทอดลกู เตา หนง่ึ ลกู หนึง่ คร้งั (10) ไดสีที่ชอบคือ สีฟาหรือสีชมพูจากการสอบถามนางสาวสุชาดาถึงสีของกระดาษ เช็ดหนาที่ชอบสองสีจากสีทั้งหมด 5 สี คือ ขาว ฟา ชมพู เขียว และเหลือง 1. ถา S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Ε1 = { 0, 2, 4, 6, 8 } Ε2 = {1, 3 ,5 ,7 ,9 } Ε3 ={ 2, 3, 4, 5 } และ Ε4 = { 1, 6, 7 } จงหาสมาชิกของ S ท่อี ยใู นเหตกุ ารณตอไปนี้ (1) Ε1  Ε3 (2) Ε1  Ε2 (3) Ε′3 (4) (Ε′3  Ε4)  Ε2 (5) (S  Ε3 )′ (6) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3 2. จากเหตกุ ารณ Ε1 , Ε2 , Ε3 ในขอ 2 จงเขียนแผนภาพของเวนน – ออยเลอรแสดงเหตกุ ารณตอ ไปน้ี

160 (1) Ε1  Ε′2 (3) (Ε1 Ε3)  Ε2 (2) (Ε1 Ε2)′ (4) (Ε′1 Ε′2)  Ε′3 3. ในการสํารวจอายขุ องผูปว ยแผนกเดก็ (อายุไมเ กนิ 15 ป ) ของโรงพยาบาลแหงหนึ่ง ถา Ε1 เปนเหตุการณท่ีผปู วยมีอายุตง้ั แต 1 ถงึ 9 ป Ε2 เปนเหตกุ ารณท ี่ผูปว ยมีอายนุ อยกวา 5 ป และ Ε3 เปน เหตุการณท ่ผี ปู วยมีอายมุ ากกวา 9 ป จงหา (1) Ε1  Ε2 (3) (Ε1 Ε3 ) Ε2 (2) Ε1  Ε2 (4) Ε2  Ε3 4 ในการจับสลาก 1 ใบ จากสลาก 10 ใบ ซงึ่ มเี ลข 0 ถึง 9 กาํ กบั อยู ถา สนใจเลขท่เี ขยี นกํากบั ไวใ นสลากใบ ที่จบั ได โดยให Ε1 เปนเหตกุ ารณท ี่เลขท่เี ขยี นกํากบั ไวเ ปนจํานวนคู Ε2 เปน เหตกุ ารณท ี่เลขที่เขียนกํากับไวเปน จํานวนคี่ Ε3 เปน เหตุการณท ี่เลขท่เี ขยี นกํากับไวเปน จํานวนเฉพาะ Ε4 เปนเหตกุ ารณทเี่ ลขท่เี ขียนกาํ กบั ไวเปน จํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั จงเขยี นเหตุการณต อไปนี้ในรปู Ε1 , Ε2 , Ε3 หรอื Ε4 พรอมท้ังแจกแจงสมาชิกเมื่อ (1) เลขท่ีเขยี นกํากับไวเปนจํานวนคหู รือค่ีหรือจํานวนเฉพาะ (2) เลขทเ่ี ขียนกาํ กบั ไวเปนจํานวนเฉพาะทหี่ ารดวย 3 ลงตวั (3) เลขทเี่ ขียนกํากบั ไวไ มเปน จาํ นวนค่ี และไมเปน จาํ นวนท่ีหารดว ย 3 ลงตวั (4) เลขทเ่ี ขยี นกํากับไวเปน จํานวนคทู เี่ ปน จาํ นวนเฉพาะ

161 4. การนาํ ความนาจะเปนไปใช การนําความนาจะเปนไปใช ตองการใหผูที่ศึกษาทราบวาเหตุการณตางๆนั้นมีโอกาสจะเกิดขึ้น มาก หรือนอ ยเพยี งใด เพื่อชวยในการประกอบการตดั สนิ ใจ เชน ตวั อยางที่ 1 ไพสาํ รบั หน่ึงมี 52 ใบ แบงเปน 2 สี 4 ชนดิ คือ สีแดง ไดแ กโ พแดงกบั ขา วหลามตัด สดี าํ ไดแก โพดํากบั ดอกจิก แตล ะชนดิ มี 13 ใบ จงหาความนาจะเปนที่หยิบมา 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรือสี แดง วิธที ํา S = ไพทั้งหมดมี 52 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบจะได 52 วธิ ี ดังน้นั n(S) = 52 E = ไพโพดํามี 13 ใบ และไพส แี ดงมี 26 ใบ ดังนน้ั n(E) = 13 + 26 = 39 n(E) จากสตู ร p(E) = n(S ) แทนคา ได P(E) = 39 = 3 52 4 ความนาจะเปนที่หยิบไพ 1 ใบแลว ไดโ พดาํ หรือสีแดง เทากบั 3 4 สรปุ ไดว า ไพ 1 ใบ แลว ไดไ พโพดํา หรือโพแดงมีโอกาสเกดิ ขน้ึ 75 % ถือวามโี อกาสเปน ไปไดสูง ตวั อยางท่ี 2 ในการหยิบสลาก 1 ใบจากสลาก 10 ใบ ซึง่ มีเลข 0 - 9 กาํ กบั อยู จงหาความนาจะเปนที่จะ หยบิ ไดเ ปน จาํ นวนเฉพาะสลากมีเลข 2 เลข 3 เลข 5 เลข 7 วิธที าํ S = สลากมี 10 ใบ หยิบมาทีละ 1 ใบ จงึ หยิบได 10 วธิ ี S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} n(S)=10 E = สลากที่เปนจํานวนเฉพาะ E ={2,3,5,7,} n(E)=4 n(E) n(S ) จากสตู ร p(E) = แทนคา ได P(E) = 4 = 2 10 5 ความนาจะเปนที่จะหยิบไดเปนจํานวนจําเพาะ เทากับ 2 5 สรุปไดว า ความนาจะเปนที่จะหยิบไดเปนจํานวนจําเพาะ มโี อกาสเกดิ ข้ึน 40 % ถือวามโี อกาส เกดิ ขน้ึ นอย

162 ตวั อยา งที่ 3 ในการทอดลูกเตา 2 ลูก พรอมกัน 1 ครงั้ จงหาโอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13 วธิ ที ํา ลูกเตา 2 ลูกจะมีผลรวมสงู สุดคือ 6 + 6 = 12 โจทยตองการทราบผลรวมของแตมที่จะเปน 13 จงึ เปนเหตุการณท ี่เปนไปไมได โอกาสที่ผลรวมของแตมเปน 13 เทากับ 0 สรปุ ไดว า โอกาสที่จะทอดลูกเตา 2 ลกู แลว ผลรวมของแตมเปน 13 น้ัน ไมม ีโอกาสเกดิ ขนึ้ เลย

163 แบบฝกหัดที่ 3 1. ในการโยนลูกเตา 1 ลกู 1 ครง้ั จงหาความนาจะเปนของเหตุการณ และสรุปถงึ โอกาสท่จี ะเกิดขน้ึ วา มีมากหรือนอยเพียงใด 1) ไดแ ตม 4 2) ไดแตม คู 3) ไดแตมมากกวา 4 4) ไดแ ตม นอยกวา 7 5) ไดแ ตม มากกวา 0 6) ไดแตม มากกวา 6 หรือเปนแตม ค่ี 7) ไดแตมมากกวา 3 และเปนแตม ค่ี ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 2. ทอดลูกเตา 2 ลูกสองครั้ง ความนาจะเปนที่จะไดแตมรวมเปน 7 ในครง้ั แรกและไดแ ตม รวมเปน 10 ในครัง้ ท่ี 2 เทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3. ชา งกอ สรา งกลมุ หนึ่งมี 10 คน ประกอบดวย ชา งปนู 6 คน และชางไม 4 คน ถาตอ งการเลือกชาง 7 คน จากกลมุ นี้ ความนาจะเปนท่จี ะไดช า งปนู 4 คน และชางไม 3 คน เทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4. กลอ งใบหนง่ึ บรรจหุ ลอดไฟสแี ดง 6 หลอดซง่ึ เปน หลอดดี 4 หลอดและหลอดไฟสนี าํ้ เงนิ 4 หลอด ซ่ึงเปน หลอดดี 2 หลอด ในการสุมหยิบหลอดไฟครง้ั ละ 1 หลอด 2 ครัง้ แบบไมใสคืน ความนาจะ เปนทจ่ี ะไดห ลอดไฟสเี ดยี วกัน และเปน หลอดดที ัง้ สองครั้ง มคี า เทา กับเทา ใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 5. กลองใบหนึ่งมลี ูกบอลสแี ดง 3 ลกู และสีขาวจาํ นวนหนง่ึ โดยที่จาํ นวนวิธกี ารหยิบลูกบอล 2 ลกู เปน ลูกบอลสีเหมือนกนั เทากบั 9 ถา สมุ หยิบลกู บอลพรอ มพัน 2 ลกู แลว ความนา จะเปน ที่จะไดล กู บอลสีขาวทั้ง 2 ลูกเทากับเทาใด ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

164 เฉลยแบบฝกหัด

165 เฉลย บทที่ 1 ระบบจํานวนจริง แบบฝกหดั ท่ี 1 1.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนจ้ี าํ นวนใดเปน จาํ นวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรอื จาํ นวนอตรรก ยะ ขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ จาํ นวนอตรรกยะ 1 − 9,− 7 ,5 2 , 2,0,1 1 0, 1, -9 -9, − 7 , 5 2 ,0 ,1 2 23 3, 12 23 2 3 , 12 -13 2 5,−7 7 ,3,12, 5 − 7 7 ,3 ,12 , 5 34 34 3 2.01,0.666...,-13 , 2.01, 0.666, …,-13 4 2.3030030003..., 2.3030030003... 5 − π ,− 1 , 6 , 2 ,−7.5 25, 3 , 12 6 , -7, 5 −1, 6 , -7.5 −π, 2 33 2 3 33 2 25, -17, −12 , 6 25,−17,− 12 , 9,3,12, 1 π 25, -17, 3, 1π 52 12, 9 5 2 9 , 3, 12 3. จงพิจารณาวาขอความตอ ไปนีเ้ ปน จริงหรือเทจ็ 1) จรงิ 2) จรงิ 3) เทจ็ 4) จรงิ 5) จรงิ 6) เทจ็

166 แบบฝกหดั ท่ี 2 1. ใหผูเ รยี นเติมชองวางโดยใชสมบัติการเทากัน 9. ถา a = b แลว a +5 = b + 5 10. ถา a = b แลว -3a = -3b 11. ถา a + 4 = b + 4 แลว a = b 12. ถา a +1 = b +2 และ b + 2 = c - 5 แลว a +1 = c + 5 13. ถา x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 แลว (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 14. ถา x = 3 y แลว 2x = 3y 2 15. ถา x2 + 1 = 2x แลว (x −1)2 = x2 − 2x + 1 16. ถา ab = a + b แลว 1 (ab) = 1 (a + b) 22 2. กาํ หนดให a , b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ จงบอกวาขอความในแตละขอตอไปนี้เปนจริงตามสมบัติใด 1) 3 + 5 = 5 + 3 สมบัติการสลับที่ของการบวก 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก 3) (-9)+5 = 5 +(-9) สมบัติการสลับที่ของการบวก 4) (8 × 9) เปนจาํ นวนจรงิ สมบัติปดของการคูณ 5) 5 × 3 = 15 = 3 × 5 สมบัติการสลับที่ของการคูณ 6) 2(a+b) = 2a +2b การแจกแจง 7) (a + b) + c = a+( b + c) สมบัติการเปลี่ยนกลุมของการบวก 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a สมบัติการสลับที่ของการบวก 9) 4 × (5 + 6) = (4 × 5) + (4 × 6) การแจกแจง 10) c(a +b) = ac +bc การแจกแจง 3 . เซตท่กี ําหนดใหในแตล ะขอตอไปน้ี มีหรือไมมีสมบัติปดของการบวกหรือสมบัติปดของการคูณ 1) { 1 , 3 , 5 } มีสมบัติปดการบวก, การคูณ 2) { 0 } มีสมบัติปดการบวก 3) เซตของจาํ นวนจรงิ มี 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ มี 5) เซตของจาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตวั มี

167 4. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนในแตล ะขอ 1) อินเวอรสการบวกของ 8 คือ -8 2) อนิ เวอรส การบวกของ - 5 คอื 5 3) อนิ เวอรส การบวกของ - 0.567 คอื 0.567 4) อนิ เวอรส การคณู ของ 3 − 2 คอื 1 3− 2 5) อนิ เวอรส การคณู ของ 1 คือ 5 − 3 5− 3

168 เฉลยแบบฝกหัดที่ 3 1. ใหผเู รียนบอกสมบัตกิ ารไมเ ทากนั (เม่ือตวั แปรเปน จาํ นวนจรงิ ใดๆ) 9. ถา x < 3 แลว 2x <6 สมบตั ิการคูณดว ยจาํ นวนเทากบั ท่ีไมเทา กับศนู ย 10. ถา y>7 แลว -2y -14 สมบัตกิ ารคณู ดวยจํานวนเทา กบั ท่ไี มเ ทา กบั ศูนย 11. ถา x+1 > 6 แลว x+2 > 7 สมบตั กิ ารบวกดว ยจํานวนที่เทา กนั 12. ถา y+3 < 5 แลว y< 2 สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก 13. ถา x< 7 และ 7< y แลว x<y สมบัติการถายทอด 14. ถา a > 0 แลว a+1 > 0 +1 สมบัติการบวกดวยจํานวนที่เทากัน 15. ถา b< 0 แลว b + (-2) < 0+(-2) สมบัติการบวกดวยจาํ นวนที่เทา กนั 16. ถา c> -2 แลว (-1)c < (-1)(-2) สมบัตกิ ารคณู ดวยจํานวนเทากนั ท่ีไมเทากับศูนย 2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลกั ษณะของชว งของจํานวนจริงตอ ไปน้ี 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4] 5) (2, ∞ )

169 6) (- ∞ ,4) 7) (0,8) 8) [-5,4)

170 แบบฝก หดั ท่ี 4 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | x ≤ -2 หรอื x ≥ 2} -3 < x < 3 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x | -3 < x <3} เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ { x |1< x <7} − X ≤ −5 หรือ − X ≥ 1 X ≥ 5 หรอื X ≤ −1 เซตคําตอบคําตอบของอสมการ คือ {x|x ≥ 5 หรอื x ≤ -1} 5 – x < 0 หรอื 5 – x > 0 0 ≤ 5–x ≤ 0 -5 ≤ -x ≤ -5 -x < -5 -x > -5 5≥x≥5 x>5 x<5 -8 < 3x – 4 < 8 -1 ≤ 2x – 9 ≤ 1 - 8 +4 < 3x < 8 +4 -1 + 9 ≤ 2x ≤ 1 + 9 -4 < 3x < 12 8 ≤ 2x ≤ 10 −4 < x<4 3 4 ≤x ≤5 |2 – 4x < 0 หรอื 12 – 4x > 0 0 ≤ 6 – 3x ≤ 0 -4x < -12 หรอื – 4x > -12 -6 ≤ -3x ≤ -6 x > 3 หรอื x < 3 2 ≥x ≥ 0

171 เฉลย คณิต บทท่ี 2 เลขยกกาํ ลัง แบบฝก หัดที่ 1 1. จงบอกฐานและเลขชก้ี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปนี้ 1) ฐานคือ 6 เลขชก้ี ําลังคือ 3 2) ฐานคือ 1.2 เลขช้ีกาํ ลงั คือ -5 3) ฐานคือ -5 เลขช้ีกําลังคือ 0 4) ฐานคือ 1 เลขชี้กําลังคอื 3 2 2. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลังตอ ไปน้ี 1) - 1,024 2) 1 625 3) 1.728 4) 27 3. จงทาํ ใหอยูในรปู อยา งงายและเลขชก้ี ําลงั เปนจํานวนเต็ม 1. a8 2. 12 = 56 = 15,625 5 3.  2 20 3 4. (1.1)15 5. x10

172 แบบฝก หัดท่ี 2 1. จงหาคาของรากที่ n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 5 2) 8 3) -3 4) -5 5) 2 3 6) 2 7) 5 8) − 64 ≠ 8 ไมเ ปน จาํ นวนจรงิ 9) -2 10) 4 −16 ≠ 2 ไมเ ปน จาํ นวนจรงิ 2. จงเขยี นจาํ นวนตอ ไปน้ีใหอยูในรปู อยางาย โดยใชส มบตั ิของ รากที่ n 1) 52 = 5 2) 3 23 = 2 3) 3 (−2)3 = (-2) 4) 5 (−2)5 = (-2) 5) (−3)2 = (-3) 5) 4 (−2)4 = (-2) 6) 200 = 10 2 7) 75 = 5 3 8) 3 240 = 23 30 9) 45 = 3 5 10) 5 15 = 75 = 5 3 11) 3 81 ⋅ 3 32 = 63 12 12) 4 = 4 = 2 13) 5 = 35 9 93 3 82

173 1. จงทาํ จํานวนตอไปนใี้ หอ ยูในรปู อยางงาย แบบฝก หดั ท่ี 3 1) 2x 2 2) 4 3 50 + (6)(5) 3) 2 y 2 4) (-2) 15 2 + 30 5) 6 2 − 2 + 4 2 = 9 2 6) (3 5)( 10)+ (3 5)(2 5) = = 7) 3 8a3 = 2a 8) 33 2 × 3 4 = 33 8 = 6 แบบฝกหดั ท่ี 4 1. จงทําจํานวนตอไปนี้ใหอยูในรูปอยางงาย 1) 8x2 วิธที าํ 8x2 = 2×2×2×x×x = 2x 2 2) 3 = 3 3 − 27 3 (− 3)(− 3)(− 3) วิธที ํา 3 3 − 27 = 3 = -1 (− 3) 3) ( 2 + 8 + 18 + 32)2 วิธที ํา ( 2 + 8 + 18 + 32)2 ( )= 2 2+2 2 +3 2+4 2 = (10 )2 2 = (100)(2) = 200

174 4) 5 −32 + 26 3 27 3 (64) 2 5 −32 26 (− 2) + 64 วิธที ํา 3 27 + ( )= 3 3 3 82 2 (64) 2 = (− 2) + 64 3 (8)3 = (− 2) + 1 38 = −16 + 3 = −13 24 24 24 21 ( )2 5) 8 3 ⋅ 18 2 = 23 3 × 18 4 144 6 4 144 6 21 = 4×3 วิธีทํา 83 ⋅ 182 24 9 4 144 6 = 23 49 1 6) 3 −125 + 32 3 (−8)2 −1 (27) 2 1 วธิ ที ํา 3 −125 + 32 = (− 5) − 1 3 (−8)2 −1 49 (27) 2 = − 45 − 4 = − 49 = −113 − 36 36 36

175 เฉลยแบบฝกหัด บทที่ 3 แบบฝกหัดที่ 1 4. จงเขียนเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1) { สมุทรสาคร,สมุทรสงคราม,สพุ รรณบุรี,สรุ นิ ทร,สุราษฏรธานี,สมุทรปราการ,สงขลา,สระแกว, สระบรุ ี,สิงหบรุ ี} 2) { a,e,i,o,u } 3) { 100,101,…,999} 4) {2,4,6,8,10,12,14,16,18} 5) { -121,-122,-123,….} 6) { 6,7,8,9,10,11,12,13,14} 7) { φ } 5. จงบอกจํานวนสมาชิกของเซตตอไปนี้ 1) 1 2) 6 3) 24 4) 8 6. จงเขยี นเซตตอ ไปนแ้ี บบบอกเงอ่ื นไข 1) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ คแู ละ 2 ≤ x ≤ 8 } 2) { x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก } 3) { x | x = x2 เปนจาํ นวนเตม็ ซงึ่ x = 1,2,3,… } 4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปนเซตวา งเรือเซตจาํ กดั หรือเซตอนนั ต 1) เซตจาํ กดั 2) เซตจาํ กดั 3) เซตอนนั ต 4) เซตวา ง 5) เซตวา ง 6) เซตวา ง 7) เซตจาํ กดั 8) เซตวา ง 9) เซตจาํ กดั 10) เซตอนนั ต

176 5. เซตตอไปน้ีเซตใดบา งทเ่ี ปน เซตที่เทากัน 1) A = B 2) D = E 3) F ≠ G 4) Q = H แบบฝกหัดที่ 2 1) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 2). B ∪ A = { 0,1,2,3,4 ,5} 1) A ∪ B = { 0,1,2,3,4,5} 4). B ∩ A = { 1,2,3,4 } 3). A ∩ B = { 1,2,3,4 } 6). B – A = φ 5). A – B = {0,5} 2). กาํ หนดให U = { 1,2,3,..,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 9. A ∩ B = { φ } 10. B ∪ C = { 1,3,4,5,6,7,9} 11. B ∩ C = { 3,5,7} 12. A ∩ C = { 4,6} 13. C′ = { 1,2,8,9,10} 14. C′ ∩ A = { 2,8,10 } 15. C′ ∩ B = {1,9} 16. ( A = { 1,3,5,7,9}

177 แบบฝกหัดท่ี 3 1. จงแรเงาแผนภาพทกี่ ําหนดใหเพ่ือแสดงเซตตอไปน้ี 1) B′ 2) A ∩ B′ 3) A′ 4) A′ ∪ B

178 5) A′ ∪ B′ 2. จากแผนภาพท่ีกําหนดให จงหาคา 1. A′ ={ 6,7,8} 2. (A ∩ B)′= {1,2,3,6,7,8} 3. A′UB = { 4,5,6,7,8} 4. A′ ∩ B = { 6,7,8}

179 3. จากแผนภาพ 40-6 6 25-6 =34 =19 100-34-6-19 = กาํ หนดให U , A, B และ A∩B41เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก 100 ,40,25, และ 6 ตามลาํ ดบั จงเติม จํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปนี้ เซต A-B B-A A∩B A′ B′ ( A ∪ B จํานวนสมาชิก 34 19 6 19 + 41 = 60 34 + 41 = 75 34 + 6 + 19 = 59 4. จากการสอบถามผูเรยี นชอบเลนกฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลนแบตมินตนั 34 คน ชอบเลน ฟตุ บอล 42 คน ชอบทั้งฟุตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทง้ั ฟตุ บอลและแบตมนิ ตัน 12 คน ชอบ ทั้งปงปองและแบดมินตัน 10 คน ชอบทั้งสามประเภท 7 คน จงหาวานักศึกษาที่ชอบเลนกีฬาประเภทเดียวมี ก่ีคน วธิ ีทาํ A = เลน ฟตุ บอล 42 คน B = เลน แบดมนิ ตนั 34 คน C = เลนปงปอง 27 คน ฟตุ บอล แบดมินตนั ปงปอง จาํ นวนนักศกึ ษาท่ชี อบเลนกีฬาประเภทเดยี ว = 23 + 17 + 12 = 52 คน

180 เฉลย บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล แบบฝก หัดที่ 1 12 จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ 6) 1, 4, 9, 16, 25 , 36 , 49 , 64, 81 , 100 7) 2, 7, 17, 32 , 52 , 77 , 107 8) 5, 10, 30, 120, 600 , 3,600 9) 36 = 444444444 45 = 555555555 81 = 999999999 10) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 = 72 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 + 14 = 56 2 + 4 + 6 + 8 + 10 +12 + 14 + 16

181 แบบฝกหัดท่ี 2 1. จงตรวจสอบผลที่ไดวาสมเหตุสมผลหรือไม 1) สมเหตุสมผล 2) สมเหตุสมผล 3) ไมส มเหตสุ มผล 4) ไมส มเหตุสมผล 5. ไมสมเหตสุ มผล แบบฝก หดั ท่ี 3 1. จงตรวจสอบผลทไี่ ดว า สมเหตสุ มผลหรือไม โดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอร 1) ฝนตก ไมอ อกนอกบา น แคทลียา จากเหตทุ ่ี 1 และ 2 สรปุ ไดวา สมเหตสุ มผล

182 2) คนขยนั เรยี น คนขยนั เรยี น สมชาย สมชาย คนขยันเรยี น สมชาย จากเหตทุ ี่ 1 และ 2 จะเหน็ ไดวา ผลทจ่ี ะเกิดข้นึ มไี ดห ลาย ผลดวยกัน สรุปไดวา ไมส มเหตุสมผล 3) จะเห็นไดว า จากเหตกุ ารณท้ัง 3 เหตุ ผลสรุปทไ่ี ดนน้ั สมเหตสุ มผล

183 4) จํานวนบวก จํานวนลบ จะเหน็ ไดว า จากเหตุที่ 1 และ 2 ผลท่ีไดนนั้ สมเหตสุ มผล 5. สัตว 2 ขา สตั ว 2 ขา จะเหน็ ไดว า จากเหตุที่ 1 และ 2 ผลที่จะเกดิ ขน้ึ มไี ดหลาย ผลดวยกัน สรปุ ไดว า ไมสมเหตสุ มผล

184 เฉลย บทท่ี 5 ตรีโกณมิติ แบบฝก หดั ที่ 1 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนความสัมพันธของความยาวของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส และหาความยาวของดานที่เหลือ (1) วธิ ที ํา a2 = 252 − 242 = 625 – 576 = 49 a=7 (2) วธิ ีทาํ c2 = 122 + 92 = 144 +81 = 225 a = 15

185 2. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี Cˆ = 900 และความยาวของดานทั้งสาม ดังรูป จงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B sin A = 5 sin B = 12 13 13 cos A = 12 cos B = 5 13 13 tan A = 5 tan B = 12 12 5 3. จงหาวาอัตราสว นตรีโกณมติ ทิ ก่ี ําหนดใหตอไปนี้ เปน คา ไซน(sin) หรือโคไซน(cos) หรือแทนเจนต(tan) ของ มมุ ทก่ี าํ หนดให 1. sin A 2. 1 tan B 3. cos A 4. cos B

186 4. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน AB = 10 และ AC = 8 จงหา 1 ) ความยาวดาน BC วธิ ที ํา AB2 = 102 − 82 A = 100 - 64 = 36 10 8 a=6 2) sin A = 6 Ba C 10 cos A = 8 10 tan A = 6 8 3) sin B = 8 10 cos B = 6 10 tan B = 8 6

187 5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และ มุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c B วธิ ที าํ cot A = AC = b c a C BC a A 3=b b 5 b=5 3 จากทฤษฏีบทปทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 c2 = b2 + a2 = ( 5 3 ) 2 +5 2 = 75 + 25 = 100 (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5 วิธีทํา cos a = a c 3a = 5c ∴c = a × 5 = 15 c จากทฤษฎีบทปทาโกรัส AB2 = AC2 + BC2 หรอื c2 = b2 + a2 152 = 62 + 92 b2 = 225 – 81 = 144 ∴b = 12 ดงั นนั้ tan A = a = 9 = 3 b 12 4

188 แบบฝก หดั ที่ 2 1. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 300 sin 600 − cos 300 cos 600  1  3  −  3  1  =0  2 2 2 2  ( ) ( )2) sin 600 2 + cos 600 2  3  2 +  1  2 = 3 + 1 = 4 =1 2  2  44 4 3) 1 − tan 450 1 −12 = 0 2. จงหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตติ อ ไปน้จี ากตาราง 1) sin 200 = 0.342 2) sin 380 = 0.616 3) cos500 = 0.643 4) cos520 = 0.616 5) tan 770 = 4.331 6) tan 890 = 57.290 3. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก ดังรูป วธิ ีทํา AB2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 AB = B cos B = 12 13 sin B = 5 13 tan B = 5 12 sec B = 13 12

189 cosec B = 13 5 cot B = 12 5 4. จงหาคา a, b หรอื c จากรูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ (1) จาก cos 300 = 2 3 c 3=2 3 2c c= 2 3×2 =4 3 จาก sin 300 = a c 1=a 24 a = 1× 4 = 2 2 ดงั นน้ั a = 2 และ c = 4 (2)

190 จาก sin 450 = b 2 8 1 =b 28 8 b= =4 2 จาก tan 450 = b 2 a 1= 4 2 a a= 4 2 ดังนน้ั a = 4 2 และ b = 4 (3) จาก  BCˆD มี BCˆD = 900 sin 450 = CD BD 1 = CD 232 CD = 32 =3 2 tan 450 = CD BC 1= 3 a a =3

191 จาก  ABC มี ACˆB = 900 sin 600 = BC AB 3=3 2c c = 3×2 3 c=2 3 cos 600 = AC AB 1= b 2 23 b = 1× 2 3 2 b= 3 ดังนัน้ a = 3 , b = 3 และ c = 2 3

192 แบบฝก หัดท่ี 3 1. ตน ไมต น หนง่ึ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงที่ลากผานปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทํามุม 30 องศา กับเงาของตนไม จงหาความสูงของตนไม

193 2. วินัยตองการหาความสูงของเสาธงโรงเรียน จึงทํามุมขนาด 45 องศา เพอื่ ใชในการเล็งไปที่ยอดเสาธง ถา ในขณะที่เล็งนน้ั เขามองไปที่ยอดเสาธงไดพ อดี เม่ือกา วไปอยทู ี่จดุ ซงึ่ อยหู า งโคนเสาธง 16 เมตร วินัยมีความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวาเสาธงสูงประมาณกี่เมตร

194 3. จุดพลขุ ้นึ ไปในแนวดิ่ง โดยกาํ หนดจดุ สังเกตการณบ นพ้นื ดนิ หา งจากตาํ แหนง ทีจ่ ดุ พลุ 1 กิโลเมตร ในขณะที่ มองเห็นพลุทํามุม 60 องศา กับพน้ื ดนิ พลขุ ึน้ ไปสงู เทาใด และอยูหางจากจุดสงั เกตการณเปน ระยะทางเทา ใด