คณิตปลาย

45 ตัวอยางท่ี 4 กาํ หนดให A และ B เปนสับเซตของ U โดยที่ U = ( 1 , 2 , 3 , . . . , 10 } ถา n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 แลว จงหา n ( A ∪ B) / วธิ ีทาํ จาก n ( U ) = 10 , n (A/ ∪ B/) = 5 , n (A/ ) = 3 , n (B) = 6 n (A ∪ B′) = n (A ∪ B/) ∴ n ( A ∩ B) = 10 – 5 = 5 n (A) = 10 – 3 = 7 n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n (B) - n ( A ∩ B) n(A ∪ B) = 7+6–5 = 8 ∴ n ( A ∪ B) / = 10 - 8 = 2 • ถา เซต A เซต B และเซต C มีสมาชิกบางตัวรวมกัน n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ตัวอยางท่ี 5 พิจารณาจากรูป ตัวเลขในภาพแสดงจํานวนสมาชิกของเซต จะได = 60 1) n (U) = 26 2) n (A) =7 3) n (B ∩ C) =8 4) n (A ∩ C) =3 5) n (A ∩ B ∩ C )

46 3.2 การนําเซตไปใชใ นการแกป ญ หา การแกป ญ หาโจทยโดยใชค วามรเู รอื่ งเซต สง่ิ ทน่ี ํามาใชป ระโยชนม ากกค็ อื การเขียนแผน ภาพเวนน - ออยเลอร และนาํ ความรูเร่ืองสมาชกิ ของเซตจํากดั ดงั ท่ีจะศกึ ษารายละเอียดตอไปนี้ ตัวอยางท่ี 1 บรษิ ัทแหง หนึ่งมพี นักงาน 80 คน พบวา พนกั งาน 18 คนมีรถยนต พนักงาน 23 คน มีบานเปนของตวั เอง และพนักงาน 9 คน มีบานของตัวเองและรถยนต จงหา 1) จาํ นวนพนกั งานทง้ั หมดทม่ี ีรถยนตห รือมบี า นเปนของตวั เอง 2) จํานวนพนักงานที่ไมม ีรถยนตห รือบานของตัวเอง วิธีทํา ให A แทนเซตของพนักงานที่มีรถยนต B แทนเซตของพนักงานที่มีบานเปนของตัวเอง เขยี นจาํ นวนพนกั งานที่สอดคลองกบั ขอมูลลงในแผนภาพไดด งั น้ี 1) n (A) = 18 , n (B) = 23 , n (A ∩ B) = 9 พจิ ารณา n (A ∪ B) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) = 18 + 23 – 9 = 32 ดงั นัน้ จาํ วนพนักงานท่มี ีรถยนตห รือมบี า นของตัวเองเปน 32 คน 2) เน่ืองจากพนักงานทั้งหมด 80 คน นนั่ คอื พนักงานท่ไี มม ีรถยนตหรือบา นของตัวเอง = 80 - 32 = 48 คน ดงั นั้น พนกั งานท่ไี มมีรถยนตหรือบา นของตวั เองเปน 48 คน

47 ตัวอยา งที่ 2 ในการสํารวจเกี่ยวกับความชอบของนักศึกษา 100 คน พบวา นกั ศึกษาทีช่ อบเรียน คณิตศาสตร 52 คน นักศกึ ษาทชี่ อบเรียนภาษาไทย 60 คน นักศกึ ษาทไ่ี มชอบเรยี น คณิตศาสตรและไมชอบเรียนภาษาไทยมี 14 คน จงหานกั ศึกษาที่ชอบเรยี นคณติ ศาสตร และภาษาไทย วิธีทาํ แนวคิดที่ 1 ให A แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตร B แทนเซตของนักศึกษาที่ชอบเรียนภาษาไทย จาก n (A) = 52 , n(B) = 60 n ( A/ ∩ B/ ) = 14 = n ( A ∪ B )/ [∴A/ ∩ B/ = ( A ∪ B ) / ] ∴ n ( A ∪ B ) = 100 n ( A ∪ B ) = n(A) + n(B) - n (A ∩ B) 100 – 14 = 52 + 60 - n (A ∩ B) 86 = 52 + 60 - n (A ∩ B) n (A ∩ B) = 112 - 86 = 26 ดังน้ัน จํานวนนกั ศกึ ษาที่ชอบเรียนคณติ ศาสตรและภาษาไทย มี 26 คน แนวคดิ ที่ 2 ให x แทนจํานวนนักศึกษาที่ชอบเรียนคณิตศาสตรและภาษาไทย จากแผนภาพเขยี นสมการไดดงั น้ี ( 52 - x ) + x + ( 60 - x ) = 100 - 14 112 - x = 86 x = 112 - 86 = 26 ดงั นน้ั จาํ นวนนักศกึ ษาท่ีชอบเรียนคณติ ศาสตรแ ละภาษาไทย มี 26 คน

48 ตวั อยางท่ี 3 นกั ศึกษาสาขาหนึ่งมี 1,000 คน มีนกั ศกึ ษาเรยี นภาษาองั กฤษ 800 คน เรยี น คอมพิวเตอร 400 คน และเลอื กเรยี นท้งั สองวิชา 280 คน อยากทราบวา 1) มีนักศกึ ษากี่คนท่เี รยี นภาษาอังกฤษเพียงวชิ าเดยี ว 2) มีนักศึกษาก่คี นทเี่ รียนคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดียว 3) มีนกั ศกึ ษากค่ี นทีไ่ มไดเ รียนวิชาใดวชิ าหน่งึ เลย 4) มนี กั ศึกษากคี่ นท่ไี มไ ดเรยี นทัง้ สองวิชาพรอมกัน วธิ ีทาํ ให U แทนเซตของนักศึกษาทั้งหมด A แทน เซตของนักศึกษาทีเ่ รียนวิชาภาษาอังกฤษ B แทน เซตของนักศกึ ษาทีเ่ รียนวิชาคอมพิวเตอร A ∩ B แทน เซตของนักศึกษาท่เี รียนทั้งสองวิชา n ( U ) = 1,000 , n ( A ) = 800 , n ( B ) = 400 , n (A ∩ B) = 280 เขยี นแผนภาพไดด งั น้ี 1) นักศึกษาทเ่ี รียนภาษาองั กฤษเพียงวชิ าเดยี วมีจาํ นวน 800 - 280 = 520 คน 2) นักศึกษาทีเ่ รยี นคอมพิวเตอรเพียงวชิ าเดยี วมจี าํ นวน 400 - 280 = 120 คน 3) นกั ศึกษาที่ไมไ ดเรียนวชิ าใดวชิ าหนง่ึ เลย คือสวนที่แรเงาในแผนภาพซงึ่ มีจาํ นวน เทากบั 1,000 - 520 - 280 - 120 = 80 คน

49 4) นกั ศกึ ษาทีไ่ มเรยี นทั้งสองวชิ าพรอ มกัน คือ นกั ศึกษาทเ่ี รยี นวิชาใดวิชาหนง่ึ เพยี งวชิ า เดยี ว รวมกับนักศึกษาที่ไมเรยี นวชิ าใดเลย คอื สว นท่แี รเงาในแผนภาพ ซ่ึงมจี าํ นวน เทา กบั 1,000 - 280 = 720 หรือ 520 + 120 + 80 = 720 คน ตัวอยางท่ี 4 ในการสํารวจผใู ชสบู 3 ชนิด คอื ก , ข , ค พบวา มีผใู ชช นดิ ก. 113 คน, ชนิด ข. 180 คน, ชนดิ ค. 190 คน, ใชชนดิ ก . และ ข. 45 คน, ชนดิ ก. และ ค. 25 คน, ชนดิ ข. และ ค. 20 คน, ท้ัง 3 ชนดิ 15 คน, ไมใ ชทั้ง 3 วิธีทาํ ชนดิ 72 คน จงหาจํานวนของผเู ขารับการสาํ รวจทงั้ หมด แนวคดิ ที่ 1 ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก. B แทนผใู ชส บชู นิด ข. C แทนผูใชสบูช นิด ค. จาก n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n ( A ∩ C ) + n (A ∩ B ∩ C) โดยที่ n (A) = 113 n (B) = 180 n (C) = 190 n (A ∩ B) = 45 n (A ∩ C) = 25 n (B ∩ C) = 20 n (A ∩ B ∩ C) = 15 n (A ∪ B ∪ C ) = n (A) + n (B) + n (C) - n (A ∩ B) – n (B ∩ C) - n (A ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) ∴ n (A ∪ B ∪ C) = 113 + 180 + 190 - 45 – 20 – 25 + 15 = 408

50 จาํ นวนผูท ี่ใชส บู ก. หรอื ข. หรือ ค. = 408 คน จาํ นวนผูท่ไี มใชทง้ั 3 ชนิด = 72 คน ดงั น้นั จํานวนของผูเขารบั การสํารวจทัง้ หมด 408 + 72 = 480 คน แนวคดิ ที่ 2 ให A แทนผใู ชสบชู นดิ ก. B แทนผูใ ชสบูชนิด ข. C แทนผูใ ชสบูชนิด ค. จาํ นวนผูท่ใี ชส บู ก. หรือ ข. หรือ ค. = 58 + 30 + 10 + 15 + 160 + 5 + 130 = 408 คน จาํ นวนผทู ีไ่ มใ ชทั้ง 3 ชนิด = 72 คน ดงั นั้น จาํ นวนของผูเขารบั การสาํ รวจทั้งหมด 408 + 72 = 480 คน

51 แบบฝกหดั ท่ี 3 1. จงแรเงาแผนภาพที่กาํ หนดใหเ พ่ือแสดงเซตตอไปน้ี 1) B′ 2) A ∩ B′ 3) A′ 4) A′ ∪ B 5) A′ ∪ B′ 2. จากแผนภาพท่ีกาํ หนดให จงหาคา 1) A′ 2) (A ∩ B)′ 3) A′U B 4) A′ ∩ B

52 3. จากแผนภาพ กาํ หนดให U , A, B และ A∩B เปนเซตที่มีจํานวนสมาชิก 100 ,40,25, และ 6 ตามลําดับ จง เติมจํานวนสมาชิกของเซตตาง ๆ ลงในตารางตอไปนี้ เซต A-B B-A A∩B A′ B′ ( A ∪ B จํานวนสมาชิก 4. จากการสอบถามผูเรียนชอบเลน กฬี า 75 คน พบวา ชอบเลนปงปอง 27 คน ชอบเลน แบตมนิ ตัน 34 คน ชอบเลน ฟุตบอล 42 คน ชอบทั้งฟุตบอลและปงปอง 14 คน ชอบทั้งฟตุ บอลและแบตมินตนั 12 คน ชอบทั้งปงปองและแบดมินตัน 10 คน ชอบทั้งสามประเภท 7 คน จงหาวานักศึกษาที่ชอบเลน กีฬาประเภทเดียวมีกคี่ น

53 บทที่ 4 การใหเ หตผุ ล สาระสําคัญ 1. การใหเหตุผลแบบอุปนัยเปนการสรุปผลภายหลังจากคนพบความจริงที่ไดจากการสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครง้ั จากทุก ๆ กรณยี อยแลวนําบทสรปุ มาเปนความรูแบบทั่วไปเรา เรยี กขอ สรุปแบบน้ีวา “ ขอความคาดการณ” 2. การใหเหตุผลแบบนิรนัยไมไดคํานึงถึงความจริงหรือความเท็จแตจะคํานึงเฉพาะขอสรุปที่ ตองสรุปออกมาไดเทานน้ั ผลการเรยี นรทู ี่คาดหวัง 1. อธบิ ายและใชก ารใหเ หตผุ ลแบบอปุ นยั และนริ นยั ได 2. บอกไดวาการอางเหตผุ ลสมเหตสุ มผลหรือไม โดยใชแ ผนภาพเวนน – ออยเลอรไ ด ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 การใหเหตผุ ล เร่ืองท่ี 2 การอางเหตุผลโดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร

54 เรอ่ื งท่ี 1 การใหเ หตผุ ล การใหเ หตผุ ลมคี วามสําคญั เพราะการดาํ เนินชีวิตของคนเราตองขนึ้ อยกู ับเหตุผลไมว าจะเปน ความเชื่อ การโตแ ยง และการตดั สนิ ใจ เราจาํ เปนตองใชเ หตุผลประกอบท้ังสน้ิ อกี ทั้งยังเปน พ้ืนฐานท่ี สําคัญในการหาความรขู องศาสตรตาง ๆ อีกดว ย การใหเ หตผุ ล แบง เปน 2 ประเภท ไดแก การให เหตผุ ลแบบอปุ นัย และการใหเ หตุผลแบบนริ นยั 1.1 การใหเหตุผลแบบอุปนยั ( Inductive Reasoning ) การใหเหตุผลแบบอุปนัย หมายถึง การสรุปผลภายหลังจากการคนพบความจริงที่ไดจาก การ ใชสังเกต หรือการทดลองมาแลวหลายๆครั้ง จากทุกๆกรณียอยๆ แลวนําบทสรุปมาเปนความรูแบบทั่วไป หรืออีกนยั หนงึ่ การใหเ หตุผลแบบอุปนยั หมายถึง การใหเ หตุผลโดยยดึ ความจรงิ สวนยอ ยทพ่ี บเหน็ ไปสู ความจริงสวนใหญ ตวั อยา งการใหเหตุผลแบบอุปนยั 1. มนุษยส งั เกตพบวา : ทกุ ๆวันดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวันออก และตกทางทิศตะวนั ตก จงึ สรุปวา : ดวงอาทิตยขึ้นทางทิศตะวนั ออก และตกทางทิศตะวนั ตกเสมอ 2. สนุ ทรี พบวา ทุกคร้ังทีค่ ณุ แมไ ปซือ้ กวยเตี๋ยวผดั ไทยจะมตี น กยุ ชายมาดวยทุกครง้ั จึงสรุปวา กวยเตย๋ี วผดั ไทยตอ งมีตนกุยชาย 3. ชาวสวนมะมวงสังเกตมาหลายปพบวา ถาปใดมีหมอกมาก ปนั้นจะไดผลผลิตนอย เขาจึง สรุปวาหมอกเปนสาเหตุที่ทําใหผลผลติ นอ ย ตอมามีชาวสวนหลายคนทดลองฉีดน้ําลางชอมะมวง เมอื่ มีหมอกมากๆ พบวา จะไดผ ลผลติ มากข้ึน

55 จึงสรุปวา การลางชอมะมวงตอนมีหมอกมากๆ จะทําใหไดผลผลิตมากขึ้น 4. นายสมบัติ พบวา ทุกครั้งที่ทําความดีจะมีความสบายใจ จึงสรุปผลวา การทําความดีจะทําใหเกิดความสบายใจ ตัวอยา งการใหเ หตผุ ลแบบอุปนยั ทางคณิตศาสตร 1. จงใชก ารใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยสรปุ ผลเกย่ี วกบั ผลบวกของจาํ นวนคสู องจํานวน 0+2 = 2 (จาํ นวนคู) 2+4 = 6 (จาํ นวนค)ู 4+6 = 10 (จาํ นวนคู) 6+8 = 14 (จาํ นวนคู) 8+10 = 18 (จาํ นวนค)ู สรุปผลวา ผลบวกของจํานวนคูสองจํานวนเปนจํานวนคู 2. 11×11 = 121 11×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 3. (1 × 9) + 2 = 11 (12 × 9) + 3 = 111 (123 × 9) + 4 = 1111 (1234 × 9) + 5 = 11111 ขอ สังเกต 12 1) ขอสรุปของการใหเหตุผลแบบอุปนัยอาจจะไมจรงิ เสมอไป 2) การสรุปผลของการใหเ หตุผลแบบอปุ นัยอาจข้นึ อยูกับประสบการณของผสู รุป 3) ขอสรุปทไี่ ดจากการใหเ หตผุ ลแบบอุปนัยไมจําเปนตอ งเหมอื นกัน ตวั อยา ง 1. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 8 12 2. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 10 เพราะวา 4 + 6 = 10

56 3. กาํ หนด จาํ นวน 2, 4, 6 , a จงหา จาํ นวน a จะได a = 22 เพราะวา 6 = (2 × 4)-2 และ 22 = (4 × 6)-2 ตัวอยาง 4) ขอสรุปของการใหเหตุผลแบบอปุ นยั อาจ ผดิ พลาดได 12 ให F(n) = n2 - 79n + 1601 ทดลองแทนคาจํานวนนับ n ใน F(n) 12 n = 1 ได F(1) = 1523 เปน จาํ นวนเฉพาะ 12 n = 2 ได F(2) = 1447 เปน จาํ นวนเฉพาะ 12 n = 3 ได F(3) = 1373 เปน จาํ นวนเฉพาะ ∴ F(n) = n2 - 79n + 1601 แทนคา n ไปเรื่อยๆ จนกระทั่งแทน n = 79 ได F(79) เปนจํานวนเฉพาะ 12 จากการทดลองดังกลาว อาจสรปุ ไดว า n2 - 79n + 1601 เปนจํานวนเฉพาะ สําหรับทุกจํานวน 12 นบั แต F(n) = n2 - 79n + 1601 F(80) = 802 - (79)(80) + 1601 = 1681 = (41)(41) ∴ F(80) ไมเปนจํานวนเฉพาะ 12

57 แบบฝกหดั ที่ 1 จงเติมคําตอบลงในชองวางตอไปนี้ 1) 1,4,9,16,  ,  ,49, 64,  ,  2) 2,7,17,  ,52 ,  ,  3) 5,10,30,120,  ,  4) ถา 12345679 × 9 = 111111111 12345679 × 18 = 222222222 12345679 × 27 = 333333333 12345679 ×  = 12345679 ×  = 999999999 5) ถา 2=2 2+4 = 6 2+4+6 = 12 2+4+6+8 = 20 2+4+6+8+ = 30 2+4+ +8+ + 12 =  2+ + +8+ 12+14 =  2+ + +8+ +12+14+ =  12

58 1.2. การใหเหตผุ ลแบบนริ นัย (Deductive reasoning) เปน การนําความรูพื้นฐานที่อาจเปนความเชื่อ ขอตกลง กฏ หรือบทนิยาม ซง่ึ เปน สิง่ ทีร่ ู 12 มากอนและยอมรับวา เปน จริง เพือ่ หาเหตผุ ลนาํ ไปสขู อสรุป การใหเหตุผลแบบนิรนัย ไมไดคํานึงถึง ความจริงหรือความเท็จ แตจะคํานึงถึง เฉพาะ ขอ สรุปท่ีตองออกมาไดเทาน้ัน พจิ ารณากระบวนการการใหเหตผุ ลแบบนิรนยั จากแผนภาพดงั น้ี 12 ตวั อยา งการใหเ หตผุ ลแบบนิรนัย 12 1. เหตุ 1) จาํ นวนคหู มายถงึ จํานวนทห่ี ารดว ย 2 ลงตวั 2) 10 หารดว ย2 ลงตวั ผล 10 เปน จาํ นวนคู 2. เหตุ 1) คนที่ไมมีหนี้สินและมีเงินฝากในธนาคารมากกวา 10 ลานบาท เปนเศรษฐี 2) คุณมานะไมมีหนี้สินและมีเงินฝากในธนาคาร 11 ลานบาท ผล คุณมานะเปนเศรษฐี

59 3. เหตุ 1) นักกีฬาการแจงทุกคนจะตองมีสุขภาพดี 2) เกยี รติศักดิ์เปน นักฟตุ บอลทีมชาตไิ ทย ผล เกยี รตศิ กั ด์มิ สี ุขภาพดี จากตวั อยา งจะเห็นวาการยอมรับความรูพื้นฐานหรือความจริงบางอยางกอน แลวจึงหาขอสรุป จากส่งิ ที่ยอมรบั แลว นนั้ ซงึ่ เรียกวา ผล การสรปุ ผลจะถูกตองกต็ อเม่อื เปนการสรุปผลไดอ ยา ง สมเหตสุ มผล(valid) เชน เหตุ 1) เรือทกุ ลําลอยนาํ้ 2) ถงั นํา้ พลาสติกลอยน้ําได ผล ถงั นํา้ พลาสติกเปน เรือ การสรุปผลจากขางตนไมสมเหตุสมผล แมวาขออางหรือเหตุทั้งสองขอจะเปนจริง แตการที่เรา ทราบ วา เรือทกุ ลําลอยนา้ํ ไดกไ็ มไดห มายความวา ส่ิงอ่ืนๆ ท่ีลอยนา้ํ ไดจ ะตองเปน เรือเสมอไป ขอ สรปุ ใน ตัวอยางขางตนจึงเปนการสรุปที่ไมสมเหตุสมผล ขอสงั เกต 12 1. เหตุเปนจรงิ และ ผลเปน จรงิ 12 เหตุ แมงมุมทุกตัวมี 6 ขา และสัตวทม่ี ี 6 ขา ทกุ ตัวมปี ก ผล ดังนั้นแมงมุมทุกตัวมีปก 2. เหตุเปนเท็จ และ ผลเปน เท็จ เหตุ ถานายดําถูกลอตเตอรีร่ างวัลทีห่ นง่ึ นายดําจะมีเงินมากมาย แตน ายดาํ ไมถ ูกลอ ตเตอรี่รางวลั ท่ีหน่ึง ผล ดังนั้นนายดํามีเงินไมมาก 12 3. เหตุอาจเปน จรงิ และผลอาจเปน เท็จ 4. ผลสรุปสมเหตสุ มผลไมไดป ระกันวาขอสรปุ จะตองเปนจริงเสมอไป

60 แบบฝกหัดที่ 2 จงตรวจสอบผลที่ไดว าสมเหตสุ มผลหรอื ไม 1) เหตุ 1. คนทุกคนที่เปนไขหวัดตองไอ ผล 2. คนช่ือมุนไี อ 2) เหตุ มนุ เี ปน ไขห วัด 1. ชาวนาทุกคนเปนคนอดทน ผล 2. นายมีเปนชาวนา 3) เหตุ นายมีเปนคนอดทน 1. สัตวมีปกจะบนิ ได ผล 2. นกกระจอกเทศเปน สัตวมีปก นกกระจอกเทศบินได 4) เหตุ 1. จาํ นวนเต็มทหี่ ารดวย 9 ลงตวั จะหารดวย 3 ลงตวั 2. 15 หารดว ย 3 ลงตัว ผล 15 หารดว ย 9 ลงตัว 5) เหตุ 1. สัตวเลย้ี งลูกดวยนมบางชนิดไมมีขา 2. งูไมมีขา ผล งูเปนสตั วเ ลย้ี งลูกดวยนม

61 เร่ืองที่ 2 การอา งเหตผุ ลโดยใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร 00 ออยเลอร เปนนักคณิตศาสตรชาวสวิสเซอรแ ลนด มชี วี ิตอยรู ะหวาง ค.ศ. 1707 - 1783 เขาได คนพบวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใชรูปปด เชน วงกลม ซ่งึ เปนวิธีการท่งี าย และรวดเร็ว โดย มีหลักการดงั น้ี 1. เขยี นวงกลมแตล ะวงแทนเซตแตล ะเซต 2. ถา มี 2 เซตสมั พนั ธก ันกเ็ ขยี นวงกลมใหคาบเกย่ี วกัน 3. ถาเซต 2 เซตไมสมั พันธก นั กเ็ ขยี นวงกลมใหแยกหา งจากกนั แผนผงั แสดงการตรวจสอบความสมเหตสุ มผลโดยใชแ ผนภาพเวนน- ออยเลอร

62 ขอ ความ หรอื เหตแุ ละผล และแผนภาพเวนน – ออยเลอร ทใี่ ชใ นการใหเหตุผลมี 6 แบบ ดงั นี้

63 ตวั อยา ง การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการใหเหตุผลโดยใชแผนภาพ 1. เหตุ 1 : คนทุกคนเปนสิ่งที่มีสองขา 2 : ตํารวจทุกคนเปนคน ผลสรุป ตํารวจทุกคนเปนสิ่งท่ีมีสองขา จากเหตุ 1 จากเหตุ 2 แผนภาพรวม จากแผนภาพจะเหน็ วา วงของ \" ตาํ รวจ \" อยใู นวงของ \" สิ่งมี 2 ขา \" แสดงวา \" ตํารวจทุกคนเปน คนมีสองขา \" ซง่ึ สอดคลองกบั ผลสรุปทีก่ ําหนดให ดังนั้น การใหเ หตุผลนสี้ มเหตสุ มผล 2. เหตุ 1 : สุนัขบางตัวมีขนยาว 2 : มอมเปนสุนัขของฉัน ผลสรุป มอมเปน สุนขั ทีม่ ีขนยาว ดงั น้นั ผลสรุปที่วา มอมเปนสุนขั ท่ีมขี นยาว ไมส มเหตุสมผล

64 แบบฝก หดั ที่ 3 จงตรวจสอบผลที่ไดวา สมเหตสุ มผลหรอื ไม โดยใชแผนภาพเวนน – ออยเลอร 1) เหตุ 1. ถาฝนตก แคทลยี ากไ็ มออกนอกบา น 2. ฝนตก ผล แคทลียาไมออกนอกบาน 2) เหตุ 1. ถาสมชายขยันเรียนแลวเขาสอบเขาเกษตรได 2. สมชายสอบเขาเกษตรไมได ผล สมชายไมขยันเรียน 3) เหตุ 1. ถาอากาศชืน้ แลว อณุ หภูมิจะลด ผล 2. ถาอณุ หภมู ิลด แลวเกิดหมอก 4) เหตุ 3. อากาศชื้น จะเกดิ หมอก 1. a เปน จาํ นวนบวก หรอื เปนจาํ นวนลบ 2. a ไมเ ปน จาํ นวนบวก ผล a เปน จาํ นวนลบ 5) เหตุ 1. แมวบางตัวมีสองขา 2. นกยูงทุกตัวมีสองขา ผล นกบางตัวเปนแมว

65 บทท่ี 5 อัตราสว นตรโี กณมิตแิ ละการนาํ ไปใช สาระสําคญั 1. ถารูปสามเหลี่ยมคูใดคลายกัน อัตราสวนของดานที่อยูตรงขามมุมที่เทากันจะเทากัน 2. ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูป อัตราสวนความยาวดาน 2 ดา น จะถกู กําหนดคาตางๆไวด งั น้ี 2.1 คาไซนของมุมใด (sine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวของดานตรงขามมุม นั้น กับความยาวของดานตรงขามมุมฉาก 2.2 คาโคไซนของมุมใด (cosine) จะเทากับอัตราสวนระหวางความยาวดานประชิตมุม กับความยาวดานตรงขามมุมฉาก 2.3 คาแทนเจนตของมุมใด (tangent) จะเทากับ อัตราสวนระหวางความยาวของดานตรง ขามมุมกับความยาวของดานประชิตมุมนั้นๆ 3. นอกจากอัตราสว นตรีโกณมิติหลกั 3 คา นแี้ ลว สว นกลับของ sine , cosine และ tangent เรียกวา cosecant , secant และ cotangent ตามลําดับ 4. อัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 30,45 และ 60 องศา มีคาเฉพาะของแตละอัตราสวน สามารถ พิสจู นได 5. การแกปญหาโจทยท่ีเก่ยี วของ จะทาํ โดยการเปล่ยี นปญหาโจทยใหเปนประโยคสัญลกั ษณ และ ใชอัตราสวนตรีโกณมิติในการชวยหาคําตอบโดยเฉพาะการนําไปใชแกปญหาเกี่ยวกับการวัดระยะทาง และ ความสูง ผลการเรยี นรูท ค่ี าดหวงั 1. อธิบายการหาคาอัตราสวนตรีโกณมิติได 2. หาคาอัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 300 , 450 และ 600 ได 3. นาํ อตั ราสว นตรีโกณมติ ิไปใชแกป ญ หาเกยี่ วกับระยะทาง ความสูง และการวัดได ขอบขา ยเนอ้ื หา เร่ืองท่ี 1 อัตราสว นตรีโกณมติ ิ เร่ืองที่ 2 อัตราสวนตรีโกณมิติของมุม 30, 45 และ 60 องศา เร่ืองที่ 3 การนําอตั ราสว นตรีโกณมิติ ไปใชแกปญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความสูง และการวัด

66 เรอ่ื งท่ี 1 อัตราสว นตรโี กณมติ ิ เปนแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร วาดว ยการวัดรูปสามเหลี่ยมตาง ๆ โดยหาความสัมพันธ ระหวา งดาน มมุ และพ้นื ที่ของรปู สามเหลย่ี ม มีความสําคัญตอวิชาดาราศาสตร การเดินเรือ และงาน สาํ รวจ ใชในการคํานวณสงสูงของภูเขา และหาความกวางของแมน้ํา มีประโยชนมากสําหรับวิชาวิทยาศาสตร วิศวกรรมศาสตร และการศึกษาเกย่ี วกับวตั ถุ ซ่ึงมสี ภาพเปนคลื่น เชน แสง เสียง แมเหล็กไฟฟา และวทิ ยุ ความรูเดมิ ที่ตอ งนํามาใชใ นบทเรียนน้ี 1. สมบัติสามเหลี่ยมคลาย พิจารณารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากัน 3 คู ดงั น้ี ถารูปสามเหลี่ยม 2 รูป มีมุมเทากันมุมตอมุมทั้ง 3 คู แลว สามเหลี่ยม 2 รปู นจ้ี ะคลายกัน ดงั รูป B ca Y z x A bC Xy Z รูปท่ี 1 รูปท่ี 2 จากรูป Aˆ = Xˆ , Bˆ = Yˆ , Cˆ = Zˆ ดังนัน้ รูปสามเหลย่ี ม ABC คลายกับรูปสามเหลี่ยม XYZ และจากสมบัติการคลายกันของ รูป สามเหลี่ยมจะไดผลตามมาคือ AB = BC = AC หรอื a = b = c XY YZ XZ xyz เมอ่ื a,b,c เปนความยาวของดาน AB, BC และ AC ตามลําดับในสามเหลี่ยม ABC x,y,z เปนความยาวของดาน XY,YZ และ XZ ตามลําดับในสามเหลย่ี ม XYZ

67 จาก a = b จะไดว า a=x จะไดวา by xy จะไดวา b= y b=c cz yz a=x a=c cz xz นั่นคือ ถามีรูปสามเหลี่ยมสองรูปคลายกัน อัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูป สามเหลีย่ มรปู หนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง โดย ที่ดานของรูปสามเหลี่ยมที่หาความยาวนั้นจะตองเปนดานที่สมนัยกันอยูตรงขามกับมุมที่เทากัน ในทํานองเดียวกัน ถารูปสามเหลี่ยมทั้งสองเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุมที่ไมเปนมุมฉาก เทา กันสมมติวาเปนมุม A เทากับมุม X ดังรูป B zY c ax A b CX yZ พบวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนี้คลายกัน ( มีมุมเทากันมุมตอมุม ทั้ง 3 คู ) ดงั นน้ั จะไดว า ax ax cz =, =, = czbyby สรปุ ไมวารูปสามเหลี่ยมดังกลาวจะมีขนาดใหญหรือเล็กก็ตาม ถารูปสามเหลี่ยม ทั้งสองรูปคลายกันแลว อัตราสวนความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง จะเทากับอัตราสวนของความยาวของดานสองดานของรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่งทส่ี มนยั กนั เสมอ ( ดานที่กลาวถึงนี้ตองเปน ดา นทีอ่ ยูตรงขา มกับมุมท่ีเทา กัน )

68 2. สมบัติสามเหลี่ยมมุมฉาก ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ c a b ดา น AB เปนดานที่อยูตรงขามมุมฉากยาว c หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุมฉาก ดา น BC เปนดานท่ีอยตู รงขา มมมุ A ยาว a หนว ย เรียกวา ดานตรงขามมุม A ดา น AC เปนดานที่อยูตรงขามมุม B ยาว b หนว ย เรียกวา ดานประชิดมุม A ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งมีมุม เปนมุมฉาก c แทนความยาวดานตรงขามมุมฉาก a และ b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก จะไดความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากดังตอไปนี้ c2 = a2 + b2 เมอ่ื a แทนความยาวของดานตรงขามมุม A b แทนความยาวของดานตรงขามมุม B c แทนความยาวของดานตรงขามมุม C

69 ขอควรรูเก่ยี วกบั ทฤษฎบี ทปทาโกรัส ปทาโกรัสไดศึกษาคนควาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางดานตรงขามมุมฉากและดานประกอบมุม ฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเปนทฤษฎีบททีเ่ กาแกและมชี อ่ื เสียงทีส่ ุดบทหน่งึ ไดแกทฤษฎบี ทปท า โกรสั ซึ่งมีใจความวา ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ พนื้ ที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก จะเทากับผลบวกของพนื้ ทีส่ ่เี หล่ียมจัตุรสั บนดา นประกอบมุมฉาก ตัวอยา ง จงเขียนความสัมพันธระหวางความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตอไปนี้ ตามทฤษฎีบท ของ ปทาโกรัส 1). a 3 5 2). a 12 13

70 วิธีทํา พิจารณาความสัมพันธระหวางความยาวดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทปทาโกรัส 52 = a2 + 32 a 2 + 92 = 25 a 2 = 16 ดงั น้ัน a = 4 2). a2 +122 = 13 a2 +144 = 169 b2 = 25 ดังนน้ั b = 5 อัตราสวนตรีโกณมิติ ถา ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมฉากที่ C และมี a , b , c เปนความยาวของดานตรง ขามมุม A , B และ C ตามลําดับ B ca A b C A อัตราสวนตรีโกณมิติ คือ อัตราสวนที่เกิดจากความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

71 a 1. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c เรียกวา ไซน (sine) ของมุม A b 2. อัตราสวนของความยาวของดานประชิด มุม A ตอความยาวของดานตรงขามมุมฉาก หรือ c เรยี กวา โคไซน (cosine) ของมุม A a 3. อัตราสวนของความยาวของดานตรงขามมุม A ตอความยาวของดานประชดิ มุม A หรอื b เรยี กวา แทนเจนต (tangent) ของมุม A เรียกอัตราสว นทง้ั สามนี้วา อัตราสว นตรีโกณมิติของ A เมอ่ื A เปนมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุม ฉาก หรืออาจสรปุ ไดวา sin A = ความยาวของดานตรงขา มมุมA ความยาวของดา นตรงขามมุมฉาก cos A = ความยาวของดา นประชดิ มมุ A ความยาวของดานตรงขา มมุมฉาก tan A = ความยาวของดา นตรงขา มมมุ A ความยาวของดานประชิดมมุ A ตัวอยา ง กําหนดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เปนมุมฉาก มีความยาวดานทั้งสาม ดังรูป จงหาคาตอไปนี้ 6 1. sin A, cos A และ tan A 8 2. sin B, cos B และ tan B วิธีทํา กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก จากทฤษฎีบทปทาโกรัส จะได วา AB2 = AC 2 + BC 2 แทนคา AC = 8 , BC = 6 ดงั น้นั AB2 = 82 + 62 AB2 = 64 + 36 AB 2 = 100 AB2 = 10 ×10หรอื 102

72 น่ันคอื AB = 10 (1) หาคา sin A, cos A และ tan A โดยการพิจารณาที่มุม A sin A = ความยาวของดานตรงขามมุม A = BC = 6 = 3 ความยาวของดา นตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5 cos A = ความยาวของดานประชดิ มุมA = AC = 8 = 4 ความยาวของดา นตรงขา มมุมฉาก AB 10 5 tan A = ความยาวของดานตรงขา มมุมA = BC = 6 = 3 ความยาวของดานประชติ มุมA AC 8 4 (2) หาคา sin B, cos B และ tan B โดยการพิจารณาที่มุม B sin B = ความยาวของดานตรงขา มมมุ B = AC = 8 = 4 ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5 cos B = ความยาวของดา นประชิดมุมB = BC = 6 = 3 ความยาวของดานตรงขา มมมุ ฉาก AB 10 5 tan B = ความยาวของดานตรงขา มมมุ B = AC = 8 = 4 ความยาวของดานประชติ มมุ B BC 6 3 ขอสงั เกต ถา ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุม C เปนมุมฉากแลวจะไดวา 1. Aˆ + Bˆ = 1800 − Cˆ = 1800 − 900 = 900 2. sin A = cos B 3. cos A = sin B

73 แบบฝก หดั ที่ 1 1. จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่กําหนดใหตอไปนี้ จงเขียนความสัมพันธของความยาวของรูปสามเหลี่ยม มุมฉากโดยใชทฤษฎีบทปทาโกรัส และหาความยาวของดานที่เหลือ (1) (2) 2. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี Cˆ = 900 และความยาวของดานทั้งสาม ดังรูป จงหา 1) sin A , cos A และ tan A 2) sin B , cos B และ tan B B

74 3. จงหาวา อัตราสวนตรโี กณมติ ิทก่ี ําหนดใหตอ ไปน้ี เปน คาไซน(sin) หรือโคไซน(cos) หรือแทนเจนต (tan) ของมุมที่กําหนดให 4. กาํ หนด ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เปนมุมฉาก มีดาน AB = 10 และ AC = 8 จงหา 1 ) ความยาวดาน BC 2) sin A , cos A และ tan A 3) sin B , cos B และ tan B 5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปน มุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และมุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

75 เรอื่ งที่ 2 การหาคา อตั ราสวนตรีโกณมติ ขิ องมุม 30 ,45 , 60 องศา การหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตขิ องมมุ 60 องศา พิจารณารูปสามเหล่ียมดานเทา ABD มดี า นยาวดา นละ 2 หนว ย ดงั น้ี A 2 B 300 300 300 2 2 60° 60° 60° C B D A 1 C1 1 จากรูปสามเหลี่ยมดานเทา ABD ลาก AC แบง ครง่ึ มุม A เสนแบงครึ่งมุม A จะตั้งฉากกับ BD ที่ จดุ C โดยใชห ลกั ของสมบัติของสามเหลี่ยมคลาย ABC และ ADC จะได BC = CD = 1 หนว ย ดงั รปู และ จาก รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ใชคุณสมบตั ิของปทาโกรสั ไดดังน้ี B 300 AB 2 = AC 2 + BC 2 2 22 = 12 + BC 2 4 = 1 + BC 2 60° C BC 2 = 4 −1 A BC 2 = 3 BC = 3 1 จะไดว า ดา น BC = 3 ดงั นน้ั Sin 600 = 3 2 Cos 600 = 1 2

76 Tan 600 = 3 = 3 1 ในทาํ นองเดยี วกนั การหาคาอัตราสว นตรีโกณมิตขิ องมมุ 30 องศา ดังน้นั Sin 300 = 1 2 Cos 300 = 3 2 Tan 300 = 1 3

77 สรปุ อัตราสว นของตรีโกณมิติทสี่ าํ คญั ดงั นี้ นน่ั คือ sin 300 = 1 cos 300 = 3 tan 300 = 1 2 2 3 sin 45 0 = 1 cos 45 0 = 1 tan 450 = 1 = 1 2 2 1 sin 600 = 3 cos 600 = 1 tan 600 = 3 = 3 2 2 1

78 เกร็ดความรู การใชนิ้วมอื ชว ยในการจาํ คา ตรีโกณมิตขิ องมุมพื้นฐาน การจําคาตรีโกณมิติพน้ื ฐานโดยใชน้วิ มือ ตองใชมือซา ย มขี นั้ ตอนดงั ตอ ไปน้ี วิธีการนี้ใชจ าํ คา ตรโี กณมิติของมุมพื้นฐานกลาวคือ 1. แบมือซายออกมา มองเลขมุมจับคูกับนิ้วเรียงจากซายไปขวา เปนมุม องศา 2. เมื่อตองการหาคาตรโี กณมิติของมุมใดใหงอนิ้วนั้น สมมติวาหา cos กจ็ ะตรงกบั น้ิวช้ี ก็งอนิ้วชี้ เกบ็ ไว 3. ถอื กฎวา \"sin-ซา ย(ออกเสียงคลายกัน) cos-ขวา(ออกเสยี ง /k/ เหมอื นกัน)\" เมื่อหาคาของฟงกชันใด ใหสนใจจาํ นวนน้วิ มือฝง ทีส่ อดคลองกบั ฟงกชนั นั้น o เพ่อื จะหาคา นาํ จาํ นวนนว้ิ มือดา นทส่ี นใจติดรากทส่ี องแลวหารดวยสอง (หรอื อาจจําวา มี เลขสองตัวใหญๆ อยูบนฝา มือ เม่ืออานก็จะเปน รากท่ีสองของจํานวนน้ิวมือดานทสี่ นใจ หารฝามือ) สาํ หรับ cos 30 กจ็ ะไดว ามีนิว้ มือเหลอื อยูท างดานขวาอีกสามน้วิ (กลาง นาง กอ ย) กจ็ ะได cos30= สาํ หรับฟงกช ันตรีโกณมิติอ่ืนก็ใชสมบัตขิ องฟงกชันนั้นกับ sin และ cos เชน tan=sin/cos

79 คา โดยประมาณของไซน โคไซน และแทนเจนต (ถงึ ทศนยิ มตาํ แหนง ที่ 3 ) หาไดจากตาราง ตอไปน้ี โดยทค่ี า ของไซน โคไซน และแทนเจนต ของมุมท่มี ีคา อยูระหวาง 00 และ900 จะมีคาอยู ระหวา ง 0 และ 1

80 ตัวอยา ง จงหาคาของ a, b จากรปู สามเหล่ยี มท่ีกาํ หนดใหตอไปน้ี วิธที ํา sin 320 = BC AB แทนคา sin 320 = 0.530 และ BC = a , AB = 10 ดงั นน้ั 0.530 = a นนั่ คอื 10 a = 10 × 0.530 a = 5.3 จงหาคาตอไปนี้ sin 450 − tan 450 1. cos 450 2.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600 ( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 2 4. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 300 5.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300 3 วิธีทาํ 1 sin 450 − tan 450 = 2 −1 = 1 × 2 =1-1 =0 1. −1 cos 450 1 21 2 2.sin 300 sin 600 + cos 300 cos 600 =  1   3  +  3   1  = 2  2   2  2 3 32 3= 3 + = 44 42 ( ) ( )3. cos 300 2 + sin 300 2 =  3  2 +  1 2 = 3 + 1 = 4 =1 2  2 44 4 =   2 2  3 +   2 4. tan 2 300 + 2 sin 600 + tan 450 − tan 600 + cos2 300 1 + 3 + 1 − 3 3 2 2 = 1 + 3 +1− 3 + 3 34 = 25 12 5.cos 600 − tan 2 450 + 4 tan 2 300 + cos2 300 − sin 300 = 1 − (1)2 + 4  1  2 +  3  2 − 1 3 2 3 3 2 2 = 1 −1+ 4 + 3 − 1 2 942

81 อัตราสว นตรีโกณมิติอ่ืนๆ =7 36 อัตราสว นของความยาวของดานของรูปสามเหล่ยี มมุมฉากที่เรยี กวา ไซน โคไซน และ แทนเจนต เรียกวาอัตราสว นตรีโกณมติ ิ (Trigonometric ratio) ซงึ่ เปนหลักเบอื้ งตนในคณิตศาสตรแขนง หนึ่ง ทเ่ี รียกวา ตรีโกณมิติ (Trigonometry) หมายถึงการวดั เกย่ี วกบั รูปสามเหลยี่ ม มอี ตั ราสว นตรีโกณมิติอกี 3 อัตราสว น ซึง่ กาํ หนดดว ยบทนิยาม ดงั นี้ 1. ซีแคนตของมุม A เขยี นแทนดว ย secant A หรือ sec A คือสวนกลับของ cos A เมอื่ cos A ≠ 0 นนั่ คอื sec A = 1 เมอ่ื cos A ≠ 0 cos A 2. โคซแี คนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cosecant A หรือ cosec A คือสวนกลับของ sin A เมอ่ื sin A ≠ 0 น่ันคือ cosec A = 1 เมอ่ื sin A ≠ 0 sin A 3. โคแทนเจนตของมุม A เขยี นแทนดว ย cotangent A หรือ cot A คอื สว นกลบั ของ tan A เมอ่ื tan A ≠ 0 น่ันคือ cotangent A = 1 เมอ่ื tan A ≠ 0 tan A

82

83 แบบฝก หัดท่ี 2 1. จงหาคาตอไปนี้ 1) sin 300 sin 600 − cos 300 cos 600 ( ) ( )2) sin 600 2 + cos 600 2 3) 1 − tan 450 2. จงหาคาอัตราสวนตรีโกณมิตติ อ ไปน้จี ากตาราง 1) sin 200 2) sin 380 3) cos 500 4) cos 520 5) tan 770 6) tan 890 3. ให ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีมุม C เปนมุมฉาก ดังรปู จงหา cos B, sin B, tan B, sec B, cosec B, cot B 4. จงหาคา a, b หรอื c จากรูปสามเหลี่ยมตอไปนี้ (1)

84 (2) (3) 5. กาํ หนดใหร ปู สามเหลย่ี ม ABC โดยมีมุม C เปนมุมฉาก และ a,b,c เปนความยาวดานตรงขามมุม A, มุม B และมุม C ตามลําดับ (1) ถา cot A = 3 , a = 5 จงหาคา b,c (2) ถา cos B = 3 และ a = 9 จงหาคา tan A 5

85 เรื่องที่ 3 การนําอตั ราสวนตรีโกณมติ ไิ ปใชแ กป ญหาเก่ยี วกับหาระยะทางและความสูงและการ วัด อัตราสวนตรีโกณมิติมีประโยชนมากในการหาความยาว ระยะทางหรือสวนสูงโดยที่ทราบคามุมใด มมุ หนง่ึ และความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวจะสามารถหาดา นทเ่ี หลือได เสนระดับสายตา คือ เสนท่ีขนานกบั แนวพน้ื ราบ มุมกม คือ มมุ ท่ีแขนขางหนึ่งของมมุ อยตู ่ํากวาระดบั สายตา มมุ เงย คอื มุมท่แี ขนขา งหน่งึ อยูสงู กวา เสนระดับสายตา

86 ตวั อยา งท่ี 1 สมพรยืนอยูหางจากบานหลังหนึ่งเปนระยะทาง 100 เมตร เขาเห็นเครื่องบิน เครื่องหนึ่ง บนิ อยเู หนอื หลงั คาบา นพอดี และแนวที่เขามองเปนมุมเงย 60 องศา จงหาวาเครื่องบิน อยูสูงจาก พื้นดนิ กีเ่ มตร นั่นคือ ความยาวของดานตรงขามมุม 600 = 100 3 จะเหน็ ไดว า ความสงู ของเคร่อื งบินอยหู า งจากพนื้ ดนิ 100 3 ตัวอยา งที่ 2 บนั ไดยาว 50 ฟุต พาดอยูกับกําแพง ปลายบันไดถึงขอบกําแพงพอดี ถาบันไดทํามุม 600 กับกาํ แพง จงหาวาบันไดอยูหางจากกําแพงเทาไร

87 วิธที ํา cos 600 = ความยาวของดานประชิดมุม 60 0 ความยาวของดนตรงขา มมมุ ฉาก 1 = ความยาวของดา นประชิดมมุ 600 2 50 จะได ความยาวของดานประชิตมุม 600 = 50 2 ดังนั้น ระยะระหวา งบันไดกับกําแพงเทา กับ 25 ฟุต ตัวอยา งท่ี 3 สมพรยืนอยบู นหนาผาสงู ชนั แหง หนึง่ ซ่งึ สงู จากระดบั ผนา้ํ ทะเล 50 เมตร เมอ่ื เขาทอดสายตา ไปยังเรือลําหนึ่งกลางทะเล มุมที่แนวสายตาทํากับเสนระดับมีขนาด 30 องศา เรือลาํ น้อี ยูหา งจากฝง โดยประมาณกเี่ มตร วิธที าํ ให A เปนตาํ แหนงที่สมพรยืนอยู AC แทนระยะความสูงจากน้ําทะเลของหนาผา คือ 50 เมตร BC เปนระยะท่เี รอื อยูหา งจากฝง จาก AD // BC จะได CBˆA = DAˆB = 300 ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังน้นั tan 300 = AC BC 1 = 50 3 BC BC = 50 3 ≈ 50 ×1.732 BC ≈ 86.6

88 แบบฝกหัดท่ี 3 1. ตน ไมต น หนง่ึ ทอดเงายาว 20 เมตร แนวของเสนตรงทลี่ ากผา นปลายของเงาตนไม และยอดตนไม ทํา มุม 30 องศา กับเงาของตนไม จงหาความสูงของตนไม 2. วินัยตองการหาความสูงของเสาธงโรงเรียน จึงทํามุมขนาด 45 องศา เพื่อใชในการเล็งไปที่ยอดเสาธง ถา ในขณะทเี่ ลง็ นนั้ เขามองไปท่ียอดเสาธงไดพ อดี เมอื่ กา วไปอยูทจ่ี ุดซ่งึ อยูหางโคนเสาธง 16 เมตร วินยั มี ความสูง 160 เซนติเมตร จงหาวาเสาธงสูงประมาณกี่เมตร 3. จดุ พลขุ น้ึ ไปในแนวดิ่ง โดยกําหนดจดุ สังเกตการณบนพื้นดินหา งจากตาํ แหนง ท่ีจดุ พลุ 1 กโิ ลเมตร ในขณะที่มองเห็นพลุทํามุม 60 องศา กับพืน้ ดนิ พลุขึ้นไปสูงเทาใด และอยูหา งจากจุดสังเกตการณเปน ระยะทางเทาใด

89 บทท่ี 6 การใชเครือ่ งมอื และการออกแบบผลิตภัณฑ สาระสําคัญ 1. การเลือกใชเครือ่ งมือตา ง ๆ ในการสรา งรูปเรขาคณิต 2. ในชีวติ ประจาํ วนั การออกแบบวัสดุหรือครุภัณฑ อาคารทีพ่ ักอาศยั หรอื อาคารสาํ นักงานตา ง ๆ จะเกยี่ วของกบั รูปแบบ การเล่ือนขนาน การหมุน และการสะทอน 3. การมบี รรจุภณั ฑข องสินคาท่ีดี สวยงาม นา สนใจ จะมีสว นชวยในการการเพ่ิมมูลคา ของสนิ คาน้ัน ๆ ได ผลการเรียนรทู ี่คาดหวงั 1. สรางรูปเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือได 2. วิเคราะหและอธิบายความสัมพันธระหวางรูปตนแบบ และรูปที่ไดจากการเลื่อนขนาน การ สะทอ นและการหมนุ ได 3. นําสมบตั เิ กี่ยวกับการเลือ่ นขนาน การหมุน และการสะทอ นจากการแปลงทางเรขาคณิตศาสตร และทางเรขาคณิต ไปใชในการออกแบบ งานศิลปะได ขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองท่ี 1 การสรางรูปทางเรขาคณิตโดยใชเครื่องมือ เร่ืองที่ 2 การแปลงทางเรขาคณิต เรื่องที่ 3 การออกแบบเพื่อการสรางสรรคงานศิลปะโดยใชการแปลงทางคณิตศาสตร และทาง เรขาคณิต

90 เร่อื งที่ 1 การสรา งรูปเรขาคณติ โดยใชเ ครื่องมือ 1.1 รูปเรขาคณิตสองมติ ิ สามารถสรางไดโ ดยใชสนั ตรง เชน ไมบ รรทัด ฟุตเหล็ก ไมฉาก ไม ที เพื่อวัดความยาว ใชไ มโปรแทรกเตอร เพ่ือวัดมุม หรือขนาดของมมุ ใชว งเวยี น เพอ่ื ประกอบการ สรางเสนโคงที่แทนความยาวรอบวงกลม หรือชวยในการสรางมุมที่มีขนาดที่ตองการ สมบตั ติ าง ๆ ของรูปเรขาคณิตและความสัมพันธระหวางรูปเรขาคณติ เพื่อใหนักศึกษามีความเขาใจในการสรางรูปเรขาคณิตสองมติ ิ ผเู รียนควรทบทวนสมบัติตา ง ๆ ของรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติดังนี้ 1. รูปส่เี หลยี่ มผนื ผา 1. มีมุมทั้งสี่เปนมุมฉาก 2. ดานที่อยูตรงขามกันยาวเทากันสองคูและขนานกัน 3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งกันและกัน 4. พนื้ ท่ีของสี่เหล่ยี มผืนผา = ความยาวของดานกวาง x ความยาวของดานยาว 5. ความยาวรอบรูปของสีเ่ หล่ียมผืนผา = ( 2 x ความยาวของดานกวาง ) + ( 2 x ความยาวของดานยาว ) 2. รปู ส่ีเหลีย่ มจตั ุรัส 1. มุมทั้งสี่เปนมุมฉาก 2. ดา นทั้งสี่ยาวเทา กนั 3. เสนทแยงมุมแบงครง่ึ ซึง่ กันและกัน และตั้งฉากกัน

91 4. พน้ื ท่ีของรูปส่ีเหล่ยี มจตั ุรัส = ความยาวดา น x ความยาวดาน หรือ 1 × ผลคณู ของความ 2 ยาว เสนทแยงมมุ 3. รูปสเ่ี หลย่ี มดา นขนาน 1. มีดานตรงกันยาวเทากันและขนานกันสองคู 2. เสนทแยงมุมแบงครึง่ กันและกัน แตย าวไมเ ทากนั 3. พืน้ ท่ขี องรูปสี่เหลย่ี มดานขนาน = ความยาวฐาน X สว นสงู 1. รปู สีเ่ หล่ียมขนมเปยกปูน 1. มีดานตรงขามกันขนานกันสองคู 2. ดา นทง้ั ส่ยี าวเทากัน 3. เสน ทแยงมมุ แบง คร่ึงซ่ึงกันและกัน และตงั้ ฉากกนั 4. พน้ื ทร่ี ูปสามเหลยี่ มขนมเปยกปูน = ความยาวฐาน x สว นสงู หรือ 1 × ผลคณู ของความยาว 2 ของ เสนทแยงมุม

92 5. รปู สเี่ หล่ยี มรปู วา ว 1. มีดานประชดิ กันยาวเทากัน 2 คู 2. เสน ทแยงมุมสองเสน ต้ังฉากกนั 3. เสนทแยงมุมแบงครึ่งซง่ึ กันและกัน แตย าวไมเทากนั 4. พื้นท่ีของรปู สี่เหลย่ี มรูปวาว = 1 × ผลคณู ของความยาวของเสนทแยงมุม 2 6. รูปสี่เหลี่ยมคางหมู 1. มดี า นขนานกัน 1 คู 2. พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู = 1 × ผลบวกของความยาวของดานคูขนาน X สว นสูง 2 7. รูปวงกลม 1. ระยะทางจุดศูนยกลางไปยังเสนรอบวงเปนระยะที่เทากันเสมอ เรียกวา รัศมีของวงกลม 2. เสนผา นศูนยกลางยาวเปน 2 เทาของรัศมี 3. พืน้ ทว่ี งกลม = πr 2 4. ความยาวเสนรอบของวงกลม 2πr

93 1.2 รูปเรขาคณิตสามมติ ิ รปู เรขาคณิต สามมิติสามารถแสดงรูปรางซึ่งมีทั้งความกวาง ความยาว ความสูง หรือความ หนา ตัวอยางรูปทรงเรขาคณิตสามมิติ เชน ปริซึม เปน รปู สามมติ ิทีม่ หี นาตัดหัวทายเทากนั และขนานกนั และผิวดานขางเปนรปู สี่เหลี่ยม เชน ปรซิ มึ สามเหล่ยี ม ปริซึมสเ่ี หล่ยี ม ปริซึมหาเหล่ยี ม พรี ะมดิ เปน รปู เรขาคณติ สามมติ ทิ ่ีมียอดแหลม ผิวดานขางเปนรูปสามเหลยี่ ม สูงเอยี ง พรี ะมดิ ฐานสเ่ี หลย่ี ม พรี ะมดิ ฐานสามเหลี่ยม ตวั อยางรูปเรขาคณติ สามมติ ิทพ่ี บเห็นในชวี ิตประจําวนั เชน ตเู ย็น เปนรูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก หรือปรซิ มึ สเ่ี หลี่ยม ปลากระปอง เปน รปู ทรงกระบอก ไอศกรมี เปนรปู กรวยกลม เปนตน รูปเรขาคณิตที่พบในชีวิตประจําวันโดยเฉพาะรูปเรขาคณิตสามมิติและสองมิติ มีความสัมพันธ กันอยางมาก ซึ่งตองใชการสังเกตหาความสัมพันธ การจําแนก การเปรียบเทียบภาพที่มองเห็นจะ สามารถอธิบายขนาด ตําแหนง ระยะทาง และใชการคาดเดารูปรางของสิ่งที่กําหนดให เมื่อมีการเปลี่ยน ตําแหนงหรือมุมมองในดานตาง ๆ

94 1.3 การคลรี่ ูปเรขาคณิตสามมิติ ภาพท่ีไดจ ะเปนภาพของรปู เรขาคณิตสองมติ ิ เชน การคลีร่ ูปปรซิ มึ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก การคลร่ี ูปพีระมิด ฐานสีเ่ หล่ียม 1.4 การตัดขวางรูปเรขาคณิตสามมิติ เมื่อนาํ รปู เรขาคณิตสองมิติมาตัดขวางรปู เรขาคณิตสามมติ ิในแนวตาง ๆ กัน ภาพท่เี กดิ ขนึ้ จะ มีลักษณะตาง ๆ กนั เชน กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวขนานกบั ฐานกรวย จะไดภ าพสองมติ เิ ปนรปู วงกลม กรวยกลม เมอ่ื ตัดดว ยระนาบในแนวตง้ั ฉากกบั ฐานกรวย จะไดภาพเปนรูปพาลาโบลา กรวยกลม เมื่อตัดดวยระนาบที่ไมขนานกับฐานและไมตั้งฉากกับฐาน จะไดภาพเปนวงรี