คณิตศาสตร์ พค11001 ประถม

44 การนําจํานวนใด ๆ ไปคณู กับผลบวกของจาํ นวนอีกสองจํานวน จะมผี ลคูณเทากับการนํา จาํ นวนนน้ั ไปคูณทีละจาํ นวน แลว บวกกัน เราเรียกสมบตั ิขอ นีว้ า “สมบัติการแจกแจงของการคูณ” สมบัติการแจกแจงของการคณู นี้ นยิ มนําไปใชใ นการคูณจาํ นวน 2 จํานวน ท่ีเปน ตัวเลข ต้ังแต 2 หลักขึ้นไป โดยวิธกี ระจายจาํ นวนตามคําประจําหลกั ตามแนวนอน แตสําหรบั ในชน้ั นี้ นยิ มใชก บั ตวั คณู ท่เี ปน เลขไมเ กนิ สองหลัก ซง่ึ ผูเ รียนไดเรยี นมาบา งแลวในการคณู ที่มตี วั คูณเปน เลขหลักเดยี วนั่นเอง แบบฝก หดั ที่ 19 จงเติมจาํ นวนเลขลงใน  เพอ่ื ใหป ระโยคเปน จริง 1.  ÷ 7 = 0 2.  × 1 = 4 3. 10 ÷  = 10 4. 46 +  = 46 5.  + 0 = 0 + 8 6. 0 × 9 = 9 ×  7. 716 +  = 210 + 716 8. 50 × 70 = 70 ×  9. (9 +7) + 26 = 9 + (  + 26) 10. (40 × 17) × 69 = 40 × (17 ×  ) + (1,460 × 445) 11. (5,040 + 1,460) × 445 =

45 7.4 การหาร ความหมายของการหาร การหารเปน การแบงของออกเปนกลุมยอ ยเทา ๆกนั หรือเปน การนบั ลดลงครง้ั ละเทา ๆ กัน และ สามารถแสดงไดโ ดยการหารของจํานวนเพยี ง 2 จํานวน จํานวนทไี่ ดจากการหารกนั ของ 2 จาํ นวน เรียกวา “ผลหาร” และใชเครอ่ื งหมาย ÷ เปน สญั ลกั ษณแ สดงการหาร เชน 8 ÷ 2 ตวั อยา งที่ 1 15 ถาลบออก ครงั้ ละ 3 จะตอ งลบกค่ี ร้ัง จึงจะหมด คร้งั ที่ 1 15 – 3 เหลือ 12 คร้งั ท่ี 2 12 – 3 เหลือ 9 ครง้ั ท่ี 3 9 – 3 เหลือ 6 ครง้ั ท่ี 4 6 – 3 เหลอื 3 ครั้งที่ 5 3 – 3 เหลอื 0 จะเหน็ วา 15 ลบออกคร้งั ละ 3 ได 5 ครง้ั จงึ จะหมด นัน่ คือ 15 ÷ 3 = 5 ตวั อยา งที่ 2 มีขนม 10 ช้นิ แบงใสจาน จานละ 4 ชิน้ จะไดก จี่ าน มขี นม 10 – ชนิ้ แบง ใสจานแรก 4 ช้ิน เหลือ 6 – ชิน้ แบงใสจานทสี่ อง 4 ช้นิ เหลอื 2 ชิน้ ดังนั้นแบง ขนมใสจ านได 2 จาน และเหลือเศษอกี 2 ช้นิ น่นั คือ 10 ÷ 4 = 2 เศษ 2 การลบออกคร้ังละเทา ๆ กัน จนคร้งั สดุ ทายไดผ ลลบเปน 0 ดังตัวอยางท่ี 1 เรยี กวา “การหารลงตวั ” แตถาลบออกจนครง้ั สุดทายไมเปนศนู ย ดังตวั อยางที่ 2 เรียกวา “การหารไมล งตวั ” และ จํานวนทีเ่ หลอื จากการลบออกครงั้ สดุ ทาย เรียกวา “เศษ”

46 จากตวั อยา งการลบขา งตน จะเห็นวา การหารเปน วธิ ลี ดั ของการลบ และประโยคทแี่ สดงการหาร เชน 15 ÷ 3 = 5 เรยี กวา ประโยคสัญลกั ษณแสดงการหาร อานวา 15 หารดวย 3 เทา กับ 5 15 เรยี กวา ตวั ต้งั 3 เรยี กวา ตัวหาร 5 เรียกวา ผลหาร ดังนนั้ ตัวตง้ั ÷ ตัวหาร = ผลหาร ความสัมพนั ธระหวางการคูณและการหาร มีมะนาว 3 กอง กองละ 4 ผล รวมมีมะนาวท้ังหมด 12 ผล ประโยคสัญลกั ษณ คือ 3 × 4 = 12 มมี ะนาวทงั้ หมด 12 ผล มีมะนาวทงั้ หมด 12 ผล แบงเปน 3 กอง แบงกองละ 4 ผล ไดม ะนาวกองละ 4 ผล ไดม ะนาว 3 กอง ประโยคสัญลกั ษณค ือ 12 ÷ 3 = 4 ประโยคสญั ลกั ษณ คอื 12 ÷ 4 = 3 ตวั ตง้ั ตวั คณู ผลคณู ตัวตงั้ ตวั หาร ผลหาร 3 × 4 = 12 12 ÷ 3= 4 12 ÷ 4= 3 ตวั ต้งั ตวั หาร ผลหาร

47 จากตวั อยางขางตน จะเห็นวา การคูณและการหารมีความสัมพันธก นั กลา วคอื 1. การคณู เปลยี่ นเปน การหาร ไดด งั น้ี 1.1 การคณู เปลี่ยนเปนการหาร เมอ่ื - ตวั ต้ังของการคูณ จะเปลีย่ นเปน ตวั หารหรือผลหาร - ตัวคณู ของการคณู จะเปล่ียนเปนผลหารหรือตวั หาร - ผลคูณของการคณู จะเปล่ยี นเปนตวั ต้ัง 1.2 ประโยคสญั ลกั ษณแสดงการคณู เปลย่ี นเปน ประโยคสัญลกั ษณแ สดงการหารได 2. การหารเปลยี่ นกลบั เปนการคณู ได ดังน้ี ตัวหาร × ผลหาร = ตวั ตงั้ ตวั ตงั้ ÷ ตวั หาร = ผลหาร ประโยคความสัมพันธข องการคณู และหาร 1. ใชตรวจสอบผลหารวาถูกตองหรือไม โดยใช ตัวหาร × ผลหาร = ตวั ตงั้ ตัวอยาง 10 ÷ 2 = วธิ ีทํา 10 ÷ 2 = 5 ตอบ 5 ตรวจคําตอบ 5 × 2 = 10 ดงั นั้นคาํ ตอบถกู ตอ ง 2. ใหห าผลหารไดสะดวกและรวดเรว็ ขนึ้ โดยใชตารางการคณู หรือการทอ งสตู รคณู ตัวอยาง 15 ÷ 5 = วิธที ํา 15 ÷ 5 = 3 ตอบ 3 ตรวจคําตอบ 5 × 3 = 15 ดงั นนั้ คําตอบถูกตอง วิธคี ิด ตวั หาร × ผลหาร = ตัวตัง้ จากตารางการคูณ 5 × 3 = 15 ดังน้ัน 5 ไปหาร 15 ไดผลหารเปน 3 วิธีใชตารางการคูณในการหาผลหาร ในตารางการคณู แถวนอนบนสดุ ซ่ึงเปนตัวตั้งใหเ ปลีย่ นเปน ตัวหาร ในตารางการคณู แถวซายสุด ซง่ึ เปนตวั คูณใหเ ปล่ียนเปนตวั หาร ในตารางการคณู ตวั เลขในตาราง ซึ่งเปน ผลคณู ใหเปลยี่ นเปน ตัวตั้ง ดงั นี้

48 ตัวตัง้ ของการคณู ผลหาร × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ตัวคูณ ตัวหาร 1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 ตวั อยาง 15 ÷ 3 =  วธิ ดี ู ขนั้ ที่ 1 ดูจากตารางแถวตง้ั ซงึ่ อยซู ายสุด ตรงเลข 3 ขน้ั ที่ 2 จากเลข 3 มองตามแนวนอนในบรรทดั เดียวกนั จากซา ยไปขวา จนถงึ เลข 15 ข้ันท่ี 3 จาก 15 มองตามแนวต้ังไลขึ้นจนถงึ บรรทดั บนสุดจะพบเลข 5 ดงั นั้น ผลหารของ 15 ÷ 3 = 5 ตวั อยา ง 42 ÷ 7 =  วิธดี ู ขั้นที่ 1 ดจู ากตารางแถวต้งั ซง่ึ อยูซา ยสดุ ตรงเลข 7 ข้ันท่ี 2 จากเลข 7 มองตามแนวนอนในบรรทดั เดยี วกนั จากซา ยไปขวา จนถงึ เลข 42 ขัน้ ท่ี 3 จาก 42 มองตามแนวตัง้ ไลข้นึ จนถึงบรรทดั บนสดุ จะพบเลข 6 ดงั นั้น ผลหารของ 42 ÷ 7 = 6

49 ขา งบน ในทาํ นองเดยี วกนั ถาจะหาผลหารของจาํ นวนอ่ืน ๆ 2 จาํ นวน กใ็ หใชว ธิ ดี เู ชน เดยี วกบั ตัวอยาง รูปแบบของการหาร การหารตามแนวนอน การหารตามแนวตง้ั 1. 3. 4 ) 96 96 ÷ 4 = 24 24 2. 4. 24 946 = 24 4 ) 96 80 4 × 20 16 16 4 × 4 00 การหารเมือ่ ตวั หารเปนจํานวนทไี่ มเ กนิ สามหลักและผลหารไมม ีเศษ เม่ือตวั หารเปน จํานวนเลขหลกั เดียว ตัวอยาง 184 ÷ 8 มีคาเทาไร วิธีท่ี 1 โดยวิธีหารยาว (เครื่องหมายหารยาว คอื “ ) ”) ประโยคสัญลกั ษณ คือ 184 ÷ 8 =  วธิ ที าํ วิธีคิด 23 1. 20 เปน จํานวนมากท่สี ุดทคี่ ณู กบั 8 แลว ได 8)184 8 × 20 ไมเกนิ 184 160 2. นาํ ผลคณู 8 × 20 คือ 160 ไปลบออกจาก 24 184 เหลือ 24 2 4 8× 3 00 3. 3 เปน จํานวนท่คี ณู กับ 8 แลว ได 24 พอดี ตอบ 23 นาํ 24 ไปลบออกจาก 24 ซง่ึ เปน ตวั ตั้งได 0 ดังนนั้ ผลหารท้งั หมด คอื 23 ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 แสดงวาคําตอบถูกตอ ง

50 วธิ ที ี่ 2 โดยวิธีการหารยาว (วิธีลดั ) ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 184 ÷ 8 =  วิธีทํา วธิ คี ิด วิธีนใ้ี ชตวั หารหารตวั ตั้งทีละหลกั 023 1. นํา 8 ไปหาร 1 ซ่ึงเปนเลขหลักสูงสดุ กอน 8)184 16 – จะเห็นวา 8 มากกวา 1 ฉะนนั้ ใหพ จิ ารณา ไปรวมกับหลกั ถดั ไป เปน 18 24 – 2. นาํ 8 ไปหาร 18 จากตารางการคณู 24 8 × 2 = 16 ซ่ึงเปน คา ท่ใี กลเคยี ง 18 00 มากท่ีสุด และไมเกนิ 18 ดงั น้ัน ผลหาร คอื ตอบ 23 2 ใสไ วเ หนือ 8 ซ่ึงเปน หลักสิบของตัวตั้ง นํา 16 ไปลบออกจาก 18 เหลือเศษ 2 ชกั 4 ตรวจคําตอบ 8 × 23 = 184 ลงมาใหต รงหลัก เปน 24 แสดงวา คาํ ตอบถูกตอ ง 3. นาํ 8 ไปหาร 24 จากตารางการคณู 8 × 3 = 24 ดังน้นั ผลหารคอื 3 ใสไ วเ หนอื 4 ซ่งึ เปนตัวต้ัง แลวนํา 24 ท่ีไดไ ปลบกบั 24 ได 0 ดังน้นั ผลหารทั้งหมด คือ 23 วธิ ที ่ี 3 โดยวธิ หี ารสัน้ (เคร่ืองหมายหารสัน้ คอื “ ) ”) ประโยคสญั ลักษณ คือ 184 ÷ 8 =  วิธีคดิ วธิ ีทํา 8 ) 1 8 4 มวี ธิ คี ดิ เหมือนวธิ หี ารยาว ซงึ่ จะคิดตามวธิ ที ี่ 1 หรือ 2 ก็ได แลว แตถนดั และถา ผเู รียนทอ งสูตร 023 คณู แมน และเขา ใจวธิ กี ารหารยาวดี กส็ ามารถ ตอบ 23 คดิ ในใจ ไดและจะหาผลหารไดรวดเรว็ ขนึ้ ตรวจคาํ ตอบ 8 × 23 = 184 แสดงวาคาํ ตอบถูกตอง

51 ตวั อยา ง เมอื่ ตวั หารเปน จาํ นวนเลขสองหลัก วธิ ีท่เี หมาะสมมดี งั นี้ ใหห าคาของ 7,936 ÷ 31 วิธที ่ี 1 โดยวธิ หี ารยาว วิธที ี่ 2 โดยวธิ หี ารยาว (วธิ ลี ดั ) ประโยคสัญลกั ษณ คือ 7,936 ÷ 31 =  ประโยคสัญลักษณ คอื 7,936 ÷ 31 =  วธิ ที าํ วธิ ที ํา 256 256 31 ) 7 9 3 6 31) 7 9 3 6 6200 – 31 × 200 62 – 31 × 50 1736 – 31 × 6 173 – 1550 155 186 186 – 186 – 186 ตอบ 256 000 ตอบ 23 000 ตรวจคําตอบ 31 × 256 = 7,936 ตรวจคําตอบ 31 × 256 = 7,936 แสดงวาคาํ ตอบถูกตอ ง แสดงวา คาํ ตอบถูกตอ ง วธิ ีที่ 3 โดยวธิ ีหารสั้น (แยกตวั หารใหเปนตัวประกอบ) วิธีนี้ใชเ มอ่ื สามารถแยกตวั หารใหเ ปนตวั ประกอบหลักเดยี วได แลว นําตวั ประกอบไปหารตัวตั้ง ทลี ะตวั จะชว ยใหหารเลขไดงา ยและประหยดั เวลา ตัวอยา ง 1,218 ÷ 21 =  วิธีคิด วธิ ีทํา 21 = 3 × 7 1. นาํ 3 ไปหาร 1,218 ได 406 2. นาํ 7 ไปหาร 406 ได 58 ลงตัวพอดี 3)1218 ดังนัน้ ผลหาร คือ 58 7 )4 0 6 58 ตอบ 58 ตรวจคําตอบ 58 × 7 × 3 = 1,218 แสดงวาคําตอบถกู ตอง

52 เมื่อตวั หารเปน จํานวนเลขสามหลัก ตัวอยาง ใหห าร 34,932 ดว ย 246 วิธีที่ 1 โดยวิธหี ารยาว วธิ ที ่ี 2 โดยวิธหี ารยาว (วธิ ีลดั ) ประโยคสัญลักษณ คอื 34,932 ÷ 246 =  ประโยคสัญลักษณ คอื 34,932 ÷ 246 =  วิธีทํา วิธีทํา 142 142 246) 3 4 9 3 2 246) 3 4 9 3 2– 24600 – 246 × 100 2 4 6 246 × 40 1 0 3 3 2 – 246 × 2 1033 – 9 8 4 0 984 4 9 2 4 9 2 – 492 – 492 ตอบ 142 000 ตอบ 142 000 ตรวจคาํ ตอบ 246 × 142 = 34,932 ตรวจคาํ ตอบ 246 × 142 = 34,932 แสดงวาคาํ ตอบถูกตอ ง แสดงวาคําตอบถูกตอง ทีย่ กตัวอยา งมาทั้งหมดน้ี จะเห็นวาเปนการหารตามแนวต้งั ท้งั หมด สว นการหารตามแนวนอนนนั้ มี ใชอ ยบู า งในเรอ่ื งของโจทยปญหา ซงึ่ นิยมใชว ิธีหารในรูปของประโยคสญั ลกั ษณเ ทา นน้ั แบบฝกหดั ที่ 20 ก. ใหห าคําตอบตอไปนี้ (1) เร่ิมจาก 20 นับลดครง้ั ละ 4 กคี่ รัง้ จงึ จะหมดพอดี (2) เรม่ิ จาก 24 นับลดครงั้ ละ 6 กคี่ รั้ง จึงจะหมดพอดี (3) เร่มิ จาก 35 นบั ลดครั้งละ 7 กคี่ รงั้ จึงจะหมดพอดี (4) มีฟุตบอล 24 ลกู ใสต ะกรา ใบละ 8 ลูก จะไดก ีต่ ะกรา (5) มีเชอื กยาว 54 เมตร ถาตดั เปน ทอ น ๆ ยาวทอ นละ 6 เมตร จะตัดไดก ่ที อ น ข. ใหเ ติมประโยคตอ ไปนใี้ หถกู ตอ ง (1) 6 ÷ 2 =  (2) 15 ÷ 5 =  (3) 48 ÷ 8 =  (4) 7 ÷  = 1 (5) 25 ÷  = 5

53 (6) 54 ÷  = 6 (7)  ÷ 2 = 4 (8)  ÷ 7 = 7 (9)  ÷ 8 = 10 ค. ใหห าผลหารตอไปนี้ โดยวธิ ีหารยาว (1) 84 ÷ 4 (2) 784 ÷ 7 (3) 2,600 ÷ 13 (4) 27,600 ÷ 24 (5) 985,472 ÷ 32 (3) 726 ÷ 6 ง. ใหหาผลหารตอ ไปนี้ โดยวิธหี ารสน้ั (1) 96 ÷ 6 (2) 99 ÷ 9 (4) 968 ÷ 8 (5) 200 ÷ 25 เมือ่ ตวั หารเปน จํานวนเลขหลักเดียว ตัวอยาง ใหหาคาของ 137 ÷ 5 วิธีที่ 1 โดยวิธหี ารยาว วิธีท่ี 2 โดยวธิ หี ารสั้น วธิ ที าํ วธิ ีทํา 27 5 )1 3 7 5) 1 3 7 2 7 เศษ 2 100 – 5 × 20 5× 7 ตอบ 27 เศษ 2 37 – ตรวจคาํ ตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2 35 2 = 137 ผลหาร คอื 27 เศษ 2 แสดงวาคาํ ตอบถูกตอ ง ตอบ 27 เศษ 2 ตรวจคาํ ตอบ (5 × 27) + 2 = 135 + 2 = 137 แสดงวา คําตอบถูกตอง

54 เม่อื ตัวหารเปนจาํ นวนเลขสองหลัก วิธีทํา วิธีท่ี 1 โดยวธิ หี ารยาว (วธิ ลี ดั ) วิธีที่ 2 โดยวิธหี ารส้นั วิธีทาํ 21 32 = 4 × 8 32) 6 9 2 – 4 )6 9 2 64 8 )1 7 3 52 32 – 2 1 เศษ 5 เศษทีแ่ ทจ ริงคือ 5 × 4 = 20 20 ผลหารคอื 21 เศษ 20 ผลหาร คือ 21 เศษ 20 ตอบ 21 เศษ 20 ตอบ 21 เศษ 20 ตรวจคาํ ตอบ (21 × 8 + 5) × 4 ตรวจคาํ ตอบ (32 × 21) + 20 = 173 × 4 = 692 = 672 + 20 = 692 แสดงวาคาํ ตอบถกู ตอง แสดงวา คําตอบถกู ตอ ง วธิ ีคดิ หาเศษท่แี ทจ รงิ ของการหารสนั้ 5 ไมใชเศษทแี่ ทจ ริง เพราะกอ นทจี่ ะนํา 8 มาหารนนั้ มี 4 เปนตัวหารกอนจงึ ทาํ ใหคา ของ จาํ นวนเลขที่เหลืออยูนอ ยลงไป 4 เทา ดังนนั้ ถา ตองการหาเศษท่แี ทจรงิ ตองนํา 4 มาคณู กับ 5 เปน 20 จงึ จะ เปนเศษทแ่ี ทจรงิ แตถา เปน การหารท่ีมีเศษท้งั 2 ครัง้ ใหนําเศษครง้ั แรกบวกดว ย ตวั อยาง 1,526 ÷ 28 =  วธิ ีคดิ หาเศษทีแ่ ทจ รงิ วิธที ํา 28 = 4 × 7 1. ตอ งหาเศษของตัวสุดทายกอ น คือ 4 × 3 = 12 2. นํา 2 ซงึ่ เปนเศษตัวแรกไปบวกคือ 12 + 2 4)1526 ได 14 จงึ เปนเศษท่แี ทจ รงิ 7) 3 8 1 เศษ 2 ขนั้ ท่ี 2 ได (381 × 4) + 2 =1,526 5 4 เศษ 3 เศษท่ีแทจ รงิ (3 × 4) + 2 = 14 ตอบ 54 เศษ 14 ตรวจคาํ ตอบ ข้ันที่ 1 ได (54 × 7) + 3 = 381 แสดงวา คําตอบถกู ตอ ง

55 เมอื่ ตัวหารเปนเลขสามหลกั วิธีที่งา ยคอื การหารยาว ตวั อยาง 52,148 ÷ 462 =  วิธีทาํ 1 1 2 462 ) 5 2 1 4 8 462 – 594 462 – 1328 – 924 404 ผลหาร คอื 112 เศษ 404 ตอบ 112 เศษ 404 ตรวจคําตอบ (462 × 112) + 404 = 51,744 + 404 = 52,148 แสดงวา คําตอบถกู ตอง แบบฝก หดั ท่ี 21 ก. จงหาคาํ ตอบตอไปนี้ (1) 9 ÷ 2 =  เศษ  (2) 25 ÷ 5 =  เศษ  (3) 75 ÷ 7 =  เศษ  (4) 100 ÷ 9 =  เศษ  (5) มเี งาะอยู 50 กโิ ลกรมั แบงใส 6 ชะลอม ๆ ละ 8 กโิ ลกรัม ทเี่ หลอื ใหล กู รับประทาน ลูกจะไดรับประทานเงาะก่ีกิโลกรมั (6) เลี้ยงเปด 495 ตัว แบงขาย 7 ครงั้ ครัง้ ละเทา ๆ กนั ขายเปดไดครง้ั ละกี่ตวั และจะเหลือเปด กี่ตวั ข. จงหาผลหารแลว ตรวจคําตอบ (1) 20 ÷ 3 (2) 35 ÷ 4 (3) 82 ÷ 2 (4) 150 ÷ 12 (5) 1,031 ÷ 51 (6) 28,023 ÷ 145

56 โจทยป ญ หาการหาร โจทยปญ หานเ้ี ปน ปญหาที่เกีย่ วขอ งกบั ชวี ิตประจําวัน ซงึ่ อาจมวี ิธีทําทั้งการบวก ลบ คณู หาร ปนกนั อยใู นขอเดียว หรืออาจมบี างวิธกี ไ็ ด ตัวอยา ง คนงาน 7 คน รบั จา งขดุ บอ แหง หนึ่งไดคาจางทั้งหมด 12,460 บาท ถา แบง เงนิ คาจา ง เทา ๆ กนั จะไดค นละเทา ไร ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 12,460 ÷ 7 =  วิธีทาํ คนงานไดค า จางขดุ บอ ทัง้ หมด 12,460 บาท แบงเงนิ คา จางเทา ๆ กัน 7 คน ดงั น้นั จะไดคนละ 7 ) 12,460 บาท 1,780 บาท ตอบ 1,780 บาท ตัวอยา ง มปี ากกา 8,460 ดาม นํามาใสก ลอง กลอ งละ 250 ดาม จะใสไดก กี่ ลอง ประโยคสญั ลกั ษณ คือ 8,460 ÷ 250 =  วธิ ที ํา มปี ากกา 8,460 ดาม นาํ มาใสกลอง กลองละ 250 ดาม ดังน้นั จะใสไ ด 33 กลอง 250) 8460 750 960 750 – 210 ดังนนั้ จะใสไ ด 33 กลอง และเหลอื เศษ 210 ดาม ตอบ 33 กลอง เหลอื 210 ดาม ตวั อยาง สปั ดาหแ รกขายของได 1,789 บาท สัปดาหที่สองขายได 1,826 บาท สัปดาหทส่ี าม ขายได 2,310 บาท เฉลย่ี แลวขายของไดเ งินสัปดาหล ะเทาไร ประโยคสญั ลักษณ คอื (1,789 + 1,826 + 2,310) ÷ 3 =  วิธีทาํ สัปดาหแรกขายของได สปั ดาหท่สี องขายได 1,789 + บาท สัปดาหทีส่ ามขายได 1,826 + บาท 2,310 บาท รวมสามสปั ดาหข ายของไดเ งิน 5,925 บาท ดงั นน้ั เฉลย่ี แลว ขายของไดเ งินสัปดาหล ะ 5,925 ÷ 3 = 1,975 บาท ตอบ 1,975 บาท

57 โจทยปญ หาการบวก ลบ คณู และหาร โจทยป ญหาซ่ึงเปนเรอื่ งราวทเ่ี กยี่ วของกับชวี ิตประจาํ วันนนั้ อาจมกี ารแกปญ หาโดยวิธกี ารบวก ลบ คูณ และหารปนกนั อยู ดังตวั อยางตอไปน้ี ตวั อยา ง นายม่ิงขายโคเน้ือ 2 ตวั หนกั ตวั ละ 186 กโิ ลกรมั และ 174 กิโลกรัมตามลําดบั โดยขาย กโิ ลกรมั ละ 38 บาท แลวซ้ือตนกลา มะมว งพันธุดีมา 100 ตน ราคาตน ละ 25 บาท จะเหลอื เงนิ เทาไร ประโยคสัญลักษณ คอื (186 + 174) ÷ 38 – (100 × 25) =  วธิ ีทํา โคเนื้อตวั แรกมนี ้าํ หนกั โคเน้อื ตวั ทสี่ องมีน้าํ หนกั 186 + กโิ ลกรัม 174 กโิ ลกรมั โคเน้อื 2 ตัว มนี ้าํ หนักรวม 360 × กโิ ลกรัม ขายกิโลกรมั ละ 38 บาท 2880 บาท 1080 –– บาท รวมเปนเงนิ ทีข่ ายโคได 13680 บาท ตน กลามะมวงพนั ธดีราคาตน ละ 25 บาท ซอ้ื ตน กลา มะมวง 100 × ตน คิดเปนเงินทซี่ อ้ื ตน กลามะมวง 2500 บาท เงินทีข่ ายโคได 13680 บาท จา ยเงนิ คาตน กลา มะมว ง 2500 – บาท ดงั น้ันจะเหลอื เงนิ 11180 บาท ตอบ 11,180 บาท แบบฝก หดั ท่ี 22 ใหเขยี นประโยคสัญลกั ษณแ ละแกป ญ หาโจทยตอไปนี้ โดยแสดงวิธีทํา 1. นายสนิ ชยั รบั จา งแกรถจักรยานยนต มรี ายไดเฉล่ยี วนั ละ 3,670 บาท ส้นิ เดือนหักคา อปุ กรณ และคา ใชจายอ่นื ๆ 45,298 บาท จะเหลอื เงนิ เทา ไร 2. ศูนยอพยพแหง หนงึ่ มีผลู ีภ้ ยั อาศัยอยู 3,144 คน ตองเสียคาใชจา ยในการเลยี้ งดผู ูอ พยพวันละ 141,480 บาท อยากทราบวาศูนยต อ งเสียคา ใชจ ายในการเลีย้ งดูผูอ พยพคดิ เปนรายหวั ละเทา ไร 3. ประชาชนในจงั หวดั แหง หนง่ึ มผี ูท่ไี ดรบั ความเดือดรอ นจากภัยแลงถงึ ขั้นวิกฤตรนุ แรง 428 หมบู า น รุนแรงปานกลาง จํานวน 82 หมบู า น รัฐบาลไดใ หค วามชวยเหลอื ในดานอาหารและ เมลด็ พนั ธพุ ชื สาํ หรับหมูบา นทีเ่ ดอื นรอนข้ันรนุ แรงเฉลย่ี หมบู านละ 50,000 บาท สวนหมบู าน ท่เี ดือดรอนปานกลางเฉล่ียหมูบา นละ 37,000 บาท อยากทราบวา รฐั บาลตองเสยี คา ใชจา ยใน การชว ยเหลือครงั้ น้เี ทาไร

58 4. สมใจจับปลาในบอ แรกไปขายสง ท่ตี ลาดไดเ งิน 79,600 บาท บอท่สี องไดเ งนิ 83,400 บาท แลว ซื้อเครอ่ื งสบู นํ้า 1 เครอ่ื ง ราคา 37,500 บาท และซ้ือลูกพันธปุ ลามาเลี้ยงใหมอีก 5,000 ตัว ๆ ละ 7 บาท จะเหลือเงินอีกเทาไร 5. สหกรณเพอื่ การเกษตรแหง หน่ึงมสี มาชิกรว มหุน ทัง้ หมด 3,796 หุน ถงึ ส้นิ ปม ีกําไรสทุ ธิ 318,864 บาท อยากทราบวา สมาชกิ จะไดเ งนิ ปน ผลหุนละกบ่ี าท เร่อื งที่ 8 ตวั ประกอบของจํานวนนับและการหาตัวประกอบ ความหมายของตวั ประกอบ พจิ ารณาขอ ความตอ ไปน้ี 30 หารดวย 5 ลงตัว เรากลาววา 5 เปน ตวั ประกอบของ 30 24 หารดว ย 8 ลงตัว เรากลา ววา 8 เปน ตัวประกอบของ 24 19 หารดว ย 6 ไมลงตวั เรากลาววา 6 ไมเปน ตัวประกอบของ19 ตัวประกอบของจํานวนนบั ใดก็ตาม กค็ ือ จํานวนนับที่หารจํานวนนน้ั ไดลงตัว แบบฝกหดั ท่ี 23 จงตอบคําถามตอไปน้ี (1) 4 เปน ตัวประกอบของ 20 หรือไม เพราะเหตใุ ด (2) 3 เปนตัวประกอบของ 18 หรอื ไม เพราะเหตุใด (3) 7 เปนตวั ประกอบของ 37 หรือไม เพราะเหตุใด (4) 9 เปนตวั ประกอบของ 45 หรือไม เพราะเหตใุ ด (5) จาํ นวนนับใดมี 2 เปนตวั ประกอบ 2, 5, 8, 9, 12, 14 (6) จํานวนนับใดมี 3 เปน ตวั ประกอบ 2, 3, 6, 15, 20, 24 (7) จงยกตวั อยา งจํานวนนบั ระหวา ง 21 และ 39 ทีม่ ี 5 เปน ตวั ประกอบ (8) จงยกตวั อยางจํานวนนับระหวาง 15 และ 40 ท่ีมี 6 เปนตวั ประกอบ

59 พิจารณาจํานวนนบั ทีเ่ ปน ตวั ประกอบของ 8 นํา 1 ไปหาร 8 ไดลงตวั ดงั นั้น 1 เปน ตวั ประกอบของ 8 นํา 2 ไปหาร 8 ไดลงตวั ดงั นนั้ 2 เปน ตวั ประกอบของ 8 นํา 4 ไปหาร 8 ไดล งตัว ดงั นน้ั 4 เปนตวั ประกอบของ 8 นํา 8 ไปหาร 8 ไดลงตัว ดังน้ัน 8 เปนตวั ประกอบของ 8 ไมมีจํานวนนับอ่ืนทีน่ าํ ไปหาร 8 ไดล งตัวอกี ดังนน้ั 8 มตี ัวประกอบ 4 ตัว คือ 1, 2, 4 และ8 พจิ ารณาจํานวนนับท่เี ปน ตวั ประกอบของ 5 นํา 1 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดังนั้น 1 เปน ตวั ประกอบของ 5 นํา 5 ไปหาร 5 ไดล งตัว ดังน้นั 5 เปน ตัวประกอบของ 5 ไมม จี ํานวนนบั อน่ื ที่นําไปหาร 5 ไดลงตวั อกี ดังนนั้ 5 มตี ัวประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 5 แบบฝก หดั ที่ 24 ก. ตอบคาํ ถามตอ ไปนี้ (1) มีจาํ นวนนับใดบางทีห่ าร 12 ลงตวั (2) มจี าํ นวนนบั ใดบา งท่เี ปน ตวั ประกอบของ 12 (3) มจี าํ นวนนบั ใดบางที่หาร 18 ลงตัว (4) ตวั ประกอบของ 18 มจี าํ นวนใดบา ง

60 ดอกไมป ระกอบ

61 เรือ่ งท่ี 9 จาํ นวนเฉพาะและตัวประกอบเฉพาะ 9.1 จํานวนเฉพาะ พิจารณาตวั ประกอบของจํานวนตอไปนี้ 2 มตี วั ประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 2 3 มตี วั ประกอบ 2 ตวั คือ 1 และ 3 5 มตี วั ประกอบ 2 ตวั คอื 1 และ 5 11 มีตัวประกอบ 2 ตัว คือ 1 และ 11 จํานวนนบั ขา งตนแตละจาํ นวนมตี ัวประกอบท่ตี างกันเพียงสองตวั คือ 1 และตวั ของมันเอง จาํ นวนนับทมี่ ตี ัวประกอบท่ีตางกนั เพยี งสองตัว คอื 1 กับจาํ นวนนบั นัน้ เรียกวา จาํ นวนเฉพาะ 2 เปน จํานวนเฉพาะ เพราะ 2 มตี วั ประกอบเพียง 2 ตวั คอื 1 และ 2 7 เปนจาํ นวนเฉพาะ เพราะ 7 มตี ัวประกอบเพยี ง 2 ตวั คอื 1 และ 7 8 ไมเ ปน จาํ นวนเฉพาะ เพราะ 8 มตี วั ประกอบมากกวา 2 ตวั คือ 1, 2, 4 และ 8 แบบฝกหดั ท่ี 25 จงตอบคําถามตอไปนี้ (1) 13 เปน จาํ นวนเฉพาะหรอื ไม เพราะเหตใุ ด (2) 15 เปนจํานวนเฉพาะหรอื ไม เพราะเหตใุ ด (3) จาํ นวนต้ังแต 20 ถงึ 30 มีจาํ นวนใดบา งเปน จํานวนเฉพาะ (4) จาํ นวนต้ังแต 50 ถงึ 60 มีจํานวนใดบางเปน จาํ นวนเฉพาะ (5) จาํ นวนตงั้ แต 90 ถึง 100 มจี าํ นวนใดบา งเปน จํานวนเฉพาะ 9.2 ตวั ประกอบเฉพาะ ตวั ประกอบของ 12 มี 6 ตวั คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 แต 2 และ 3 เทานนั้ ทเ่ี ปนจาํ นวนเฉพาะ ดงั น้นั 2 และ 3 เปนตวั ประกอบทเ่ี ปน จาํ นวนเฉพาะของ 12 ตวั ประกอบที่เปน จาํ นวนเฉพาะ เรียกวา ตัวประกอบเฉพาะ ตัวประกอบของ 8 มี 1, 2, 4 และ 8 ตัวประกอบเฉพาะของ 8 คือ 2 ตัวประกอบของ 30 มี 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 และ 30 ตวั ประกอบเฉพาะของ 30 คือ 2, 3 และ 5

62 แบบฝก หดั ท่ี 26 จงตอบคําถามตอไปน้ี ตัวประกอบของจํานวนตอไปน้มี จี ํานวนใดบา ง และตวั ประกอบเฉพาะคือ จาํ นวนใด (1) ตัวประกอบของ 9 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 9 คอื _____________________________________________ (2) ตวั ประกอบของ 22 มี ___________________________________________________ ตวั ประกอบเฉพาะของ 22 คือ_____________________________________________ (3) ตัวประกอบของ 36 มี ___________________________________________________ ตัวประกอบเฉพาะของ 36 คอื _____________________________________________ (4) ตวั ประกอบของ 50 มี ___________________________________________________ ตวั ประกอบเฉพาะของ 50 คือ______________________________________________ (5) ตัวประกอบเฉพาะของ 37 มจี ํานวนใดบาง __________________________________ แบบฝกหดั ท่ี 27 ก. จงเขยี นจํานวนตอไปนใ้ี นรปู ผลคณู ของตวั ประกอบสองตวั ท่ีไมมตี ัวใดเปน 1 (1) 21 (2) 24 (3) 28 (4) 36 (5) 49 (6) 51 (7) 63 (8) 81 (9) 72 (10) 90 ข. เราสามารถเขียนจาํ นวนตอ ไปนใ้ี นรูปผลคณู ของตวั ประกอบสองตัวทีไ่ มม ตี วั ใดเปน 1 ไดห รอื ไม เพราะเหตุใด 11, 13, 17, 23, 29

63 เรื่องท่ี 10 การแยกตวั ประกอบ การเขยี นจาํ นวนในรูปผลคณู ของตวั ประกอบ ตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 12 เราสามารถเขยี นจํานวนในรูปผลคณู ของตวั ประกอบของแตล ะจาํ นวนน้ันได เชน 12 = 1 × 12 หรอื 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 พิจารณาการเขียน 12 ในรปู ผลคณู ของตัวประกอบสองตัวท่ไี มม ีตัวใดเปน 1 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 เนอื่ งจาก 6 และ 4 ไมเปนตัวประกอบเฉพาะ ดังนน้ั เราสามารถเขียน 6 และ 4 ในรูปผลคณู ของตวั ประกอบ ตอ ไปไดอ กี ดังนี้ 12 = 2 × 6 หรือ 12 = 3 × 4 = 2×2×3 = 3 ×2×2 เมอื่ เราเขยี น 12 = 2 × 2 × 3 หรอื 12 = 3 × 2 × 2 จะเปนการเขยี น 12 ในรูปผลคูณของตวั ประกอบเฉพาะ เขียนจาํ นวนในรูปผลคณู ของตวั ประกอบเฉพาะเรยี กวา การแยกตัวประกอบ ตัวอยา ง จงแยกตวั ประกอบของ 20 วิธีทํา 20 = 4 × 5 = 2×2×5 แยกตัวประกอบของ 20 ไดเปน 2 × 2 × 5 ตอบ 20 = 2 × 2 × 5 ตัวอยาง จงแยกตวั ประกอบของ 48 วิธีทาํ 48 = 3 × 16 = 3×2×8 = 3×2×2×2×2 แยกตัวประกอบของ 48 ได 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรอื 3 × 24 ตอบ 48 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 หรือ 3 × 24

64 จํานวนทคี่ ณู กับตวั เองหลาย ๆ ครั้ง เชน 2 × 2 × 2 × 2 สามารถเขยี นในรปู เลขยกกําลงั ไดเปน 24 อา นวา สองยกกําลงั สี่ แบบฝกหดั ที่ 28 (3) 28 (10) 100 จงแยกตวั ประกอบของจํานวนตอไปนี้ (6) 52 (9) 72 (1) 6 (2) 14 (4) 35 (5) 36 (7) 45 (8) 60 การแยกตัวประกอบโดยวิธตี ้ังหาร ในการแยกตัวประกอบของ 20 เราอาจทําไดโ ดยนาํ จาํ นวนเฉพาะที่หาร 20 ไดล งตวั มาหาร 20 แลว พิจารณาผลหารไดลงตวั มาหารผลหารน้นั ทําเชน นี้เรอ่ื ยไปจนกระทั่งผลหารท่ีไดเ ปนจํานวนเฉพาะ เราสามารถเขยี น 20 ในรูปผลคณู ของตวั หารทกุ ตัวกับผลหารสุดทาย ซง่ึ ทุกตวั เปน จาํ นวนเฉพาะ ตวั อยา ง จงแยกตวั ประกอบของ 20 วิธที าํ 2 ) 20 2 ) 10 แจบงแบยฝกก ตหวั ดัปทระ่ี 3ก0อบแขยอกงต5จวัาํ ปนรวะนกตออ บไขปอนงี้ 20 ได 2 × 2 × 5 แบบฝก หดั ท่ี 29 จงแยกตวั ประกอบของจํานวนตอไปนี้ (1) 27 (2) 39 (3) 42 (4) 56 (6) 68 (6) 96 (7) 250 (8) 216 การหาผลคณู โดยใชต ัวประกอบ การหาผลคณู ระหวางจํานวนสองจาํ นวนอาจทําไดโดยเขยี นจํานวนใดจํานวนหน่งึ ในรปู ผลคณู ของ ตวั ประกอบ แลวใชคณุ สมบัติการเปลยี่ นกลุม ของการคณู ตัวอยา ง จงหาผลคณู 97 × 35 ตรวจคาํ ตอบโดยใชคณู ในแนวตั้ง วธิ ที าํ 97 × 35 = 97 × (5 × 7) 97 × = (97 × 5) × 7 35 = 485 × 7 485 = 3,395 2,910 ตอบ 3,395 3,395 + ตอบ 3,395

65 แบบฝก หดั ท่ี 30 จงหาผลคูณโดยใชตวั ประกอบและตรวจคาํ ตอบดว ยวธิ อี ืน่ (1) 46 × 36 (2) 92 × 48 (3) 126 × 45 (4) 218 × 28 (5) 118 × 25 (6) 256 × 32 เร่ืองที่ 11 ห.ร.ม. และ ค.ร.น. 11.1 การหา ห.ร.ม. ตัวหารรว ม เราทราบมาแลววา ตัวประกอบของจํานวนใด ๆ สามารถนําไปหารจาํ นวนน้นั ไดล งตวั เชน ตวั ประกอบของ 12 คอื 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ทุกตวั สามารถนาํ ไปหาร 12 ไดลงตวั ดงั นั้นเราอาจเรยี กตวั ประกอบของ 12 แตละตวั นีว้ า เปนตัวหาร ของ 12 ลองพจิ ารณาตวั หารของ 8 และ 12 ตวั หารของ 8 คือ 1, 2, 4, 8 ตัวหารของ 12 คอื 1, 2, 3, 4, 6, 12 ตัวหารของ 8 และ 12 ท่ีเหมอื นกันคือ 1, 2 และ 4 เราเรียก 1, 2 และ 4 วา เปนตัวหารรว มหรอื ตัวประกอบรว ม ของ 8 และ 12 จํานวนนับที่หารจํานวนตงั้ แตส องจาํ นวนข้ึนไปลงตวั เรียกวา ตัวหารรว มของจํานวนเหลาน้ัน ตวั อยา ง จงหาตวั หารรวมของ 9, 15 และ 21 วิธีทาํ ตวั หารของ 9 คอื 1, 3, 9 ตัวหารของ 15 คือ 1, 3, 5, 15 ตัวหารของ 21 คอื 1, 3, 7, 21 ตวั หารรว มของ 9, 15 และ 21 คอื 1, 3 ตอบ 1 และ 3

66 แบบฝก หดั ท่ี 31 จงหาตวั หารรว มของจาํ นวนตอไปน้ี (1) 12, 18 (2) 16, 24 (3) 27, 36 (4) 9, 21 (5) 8, 14, 18 (6) 5, 10, 15 ตวั หารรว ม (ห.ร.ม.) ตัวหารของ 16 คอื 1, 2, 4, 8, 16 ตัวหารของ 20 คือ 1, 2, 4, 5, 10, 20 ตวั หารรว มของ 16 และ 20 คอื 1, 2, 4 ตวั หารรว มทม่ี คี ามากที่สุดของ 16 และ 20 คอื 4 เราเรียกตวั หารรว มทม่ี คี า มากที่สดุ วา ตัวหารรวมมาก ใชต วั ยอวา ห.ร.ม. ดังนน้ั ตวั หารรว มมาก หรือ ห.ร.ม. ของ 16 และ 20 คือ 4 ตัวอยางจงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 วิธีทาํ ตวั หารของ 18 คอื 1, 2, 3, 6, 9, 18 ตัวหารของ 27 คอื 1, 3, 9, 27 ตวั หารรวมมาก หรือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 9 ตอบ 9 แบบฝก หดั ท่ี 32 จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอไปน้ี (1) 10, 14 (2) 9, 12 (3) 14, 28 (4) 8, 27 (5) 16, 28 (6) 18, 24 (7) 6, 4, 22 (8) 10, 20, 30 (9) 18, 27, 63

67 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีแยกตัวประกอบ การหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตาง ๆ เราอาจใชก ารแยกตวั ประกอบชวยหาได โดยนําตวั ประกอบ ท่เี หมอื นกันมาคณู กนั ตวั อยางเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 เมอื่ แยกตัวประกอบของ 18 และ 27 จะไดดงั นี้ 18  2  3  3 27  3  3  3 จํานวนท่มี คี ามากทส่ี ดุ ท่หี าร 18 และ 27 ลงตวั คือจํานวนทอี่ ยใู นรูป 3 × 3 นั่นคอื ห.ร.ม. ของ 18 และ 27 คือ 3 × 3 = 9 ลองดูตัวอยา งใหม เราจะหา ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 40 = 2 × 2 × 2 × 5 30 = 2 × 3 × 5 จาํ นวนทม่ี คี า มากทส่ี ุดทหี่ าร 40 และ 30 ลงตัว คือ จาํ นวนท่อี ยูในรูป 2 × 5 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 40 และ 30 คอื 2 × 5 = 10 ตัวอยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 วิธีทํา 16 = 2 × 2 × 2 × 2 24 = 2 × 2 × 2 × 3 28 = 7 × 2 × 2 ห.ร.ม. ของ 16, 24 และ 28 คอื 2 × 2 = 4 ตอบ 4 แบบฝก หดั ท่ี 33 จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนตอ ไปนี้ (1) 16, 36 (2) 15, 25 (3) 26,34 (4) 12, 27 (5) 35, 21 (6) 42, 64 (7) 49, 56, 63 (8) 15, 30, 45 (9) 18, 27, 54

68 การหา ห.ร.ม. โดยวธิ กี ารตง้ั หาร ในการหา ห.ร.ม. ของจํานวนหลาย ๆ จาํ นวน เราอาจใชว ิธตี ้งั หารทาํ นองเดยี วกับการแยก ตวั ประกอบ โดยวธิ ีต้ังหารได ตวั อยางเชน เราจะหา ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 เราสามารถทาํ ไดด ังน้ี (1) หาจํานวนเฉพาะที่เปนตัวหารรว มของ 2 ) 12, 18, 24 12, 18 และ 24 เชน นํา 2 ไปหาร 12, 18 และ 24 6, 9, 12 ไดผ ลหารเปน 6, 9 และ 12 ตามลําดบั (2) หาจาํ นวนเฉพาะทีเ่ ปนตัวหารรว มของ 2 ) 12, 18, 24 6, 9 และ12 ซึง่ เปนผลหารทไ่ี ด คอื นํา 3 ไปหาร 3) 6, 9, 12 6, 9 และ 12 ไดผ ลหารเปน 2, 3, 4 ตามลําดับ 2, 3, 4 (3) หาจํานวนเฉพาะทีเ่ ปนตัวหารรว มของ 2 ) 12, 18, 24 2, 3 และ 4 ซง่ึ เปน ผลหารทไ่ี ด แตไ มมจี ํานวนเฉพาะ 3) 6, 9, 12 ดังกลา ว 2, 3, 4 ดังนัน้ ตวั หารรวมมากทส่ี ดุ หรือ ห.ร.ม. ห.ร.ม. ของ 12, 18 และ 24 ของ 12, 18 และ 24 คือ ผลคูณของตวั หารรว มทกุ ตัว คือ 2 × 3 = 6 ซง่ึ เทากบั 2 × 3 = 6 ตอบ 6 ตวั อยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 วธิ ที าํ 5 ) 15, 25, 35 3, 5, 7 ห.ร.ม. ของ 15, 25 และ 35 คอื 5 ตอบ 5 ตวั อยาง จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 60, 36 วิธที ํา 2 ) 24, 60, 36 2 ) 12, 30, 18 3 ) 6, 15, 9 2, 5, 3 แบบฝกหดัหท.ร่ี 3.ม5. ของ 24, 60 และ 36 คอื 2 × 2 × 3 = 12 ตอบ 12

69 จงฝกทกั ษะตอ ไปน้ี ก. จงหา ห.ร.ม. ของจาํ นวนทก่ี ําหนดให (1) 21, 35, 42 (2) 27, 63, 81 (3) 10, 25, 30 (4) 24, 32, 64 (5) 16, 20, 36 (6) 20, 15, 45 และ 40 (7) 24, 12, 60 และ 48 (8) 28, 14, 70 และ 84 ข. ดอกไม ตัวประกอบ

70 การหา ค.ร.น. ตัวคูณรวม จาํ นวนทม่ี ี 4 เปน ตวั ประกอบ คอื 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... จํานวนท่ีมี 6 เปน ตัวประกอบ คือ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ... จาํ นวนทีม่ ีทงั้ 4 และ 6 เปน ตัวประกอบ คอื 12, 24, 36,... เราเรยี กจํานวนทีม่ ที ั้ง 4 และ 6 เปน ตวั ประกอบวา ตวั คณู รว ม ของ 4 และ 6 ตวั คณู รวมของจํานวนต้งั แตส องจํานวนขน้ึ ไป หมายถงึ จาํ นวนนบั ท่ีมจี าํ นวนเหลา น้ัน เปน ตวั ประกอบ ตวั อยาง จงหาตัวคณู รว มของ 3 และ 4 วิธที ํา จาํ นวนที่มี 3 เปน ตัวประกอบ คือ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 36, ... จาํ นวนทีม่ ี 4 เปน ตวั ประกอบ คือ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... ตวั คณู รวมของ 3 และ 4 คือ 12, 24, 36, ... ตอบ 12, 24, 36 แบบฝก หดั ท่ี 34 จงหาตวั คณู รวมของจาํ นวนตอไปนี้ (1) 2, 3 (2) 4, 8 (3) 6, 9 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 (6) 10, 15, 20 ตวั คณู รวมนอย (ค.ร.น.) จํานวนทีม่ ี 6 เปน ตัวประกอบ คอื 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ... จาํ นวนทมี่ ี 8 เปน ตวั ประกอบ คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ... ตวั คณู รว มของ 6 และ 8 คือ 24, 48, ... ตัวคณู รว มท่มี คี านอ ยท่ีสดุ ของ 6 และ 8 คือ 24 เราเรยี กตวั คูณรว มที่มคี า นอ ยทสี่ ุดวา ตวั คณู รว มนอ ย ใชต วั ยอวา ค.ร.น.

71 ดงั นน้ั ตวั คณู รว มนอ ย หรือ ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คอื 24 ตวั อยาง จงหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 วธิ ีทํา จํานวนท่มี ี 4 เปน ตัวประกอบ คอื 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... จาํ นวนทีม่ ี 6 เปน ตัวประกอบ คอื 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ... ตัวคณู รวมของ 4 และ 6 คือ 12, 24, 36, ... ตวั คณู รวมนอ ย หรือ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12 ตอบ 12 แบบฝก หดั ท่ี 35 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอไปน้ี (1) 5, 6 (2) 2, 4 (3) 6, 9 (4) 10, 15 (5) 4, 6, 8 (6) 8, 10, 20 การหา ค.ร.น. โดยวิธแี ยกตัวประกอบ ในการหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตา ง ๆ เราอาจใชก ารแยกตัวประกอบชว ยหาได เชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 4 และ 6 เม่ือแยกตวั ประกอบของ 4 และ 6 ไดด ังนี้ 4 = 2 ×2 6 = 2 ×3 จะเหน็ วา จาํ นวนทน่ี อ ยท่สี ดุ ที่มี 4 และ 6 เปนตัวประกอบ คอื 12 ซึง่ 12 = 2 × 2 × 3 เราได 2 × 2 × 3 จากวธิ กี ารดังน้ี 4 =2×2 6 =2×3 2 × 2 × 3 = 12 ดงั นัน้ ค.ร.น. ของ 4 และ 6 คือ 12

72 ตัวอยา ง จงหา ค.ร.น ของ 15 และ 21 วธิ ีทาํ 15  3  5 21  3  7 ค.ร.น. ของ 15 และ 21 คือ 3 × 5 × 7 = 105 ตอบ 105 ตัวอยา ง จงหา ค.ร.น . ของ 18, 24 วิธที าํ 18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 18 และ 24 คือ 2 × 3 × 3 × 2 × 2 = 72 ตอบ 72 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 วธิ ที าํ 8 = 2 × 2 × 2 10 = 2 × 5 12 = 2 × 2 × 3 ค.ร.น. ของ 8, 10, 12 คอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 ตอบ 120 แบบฝกหดั ท่ี 36 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 6, 10 (2) 30, 50 (3) 6, 9, 15 (4) 15, 20, 30 (5) 12, 20 (6) 15, 45 (7) 8, 14, 16 (8) 12, 48, 60 การหา ค.ร.น. โดยวิธตี งั้ หาร ในการหา ค.ร.น. ของจํานวนหลาย ๆ จํานวน เราอาจใชว ิธตี ั้งหาร ตัวอยา งเชน เราจะหา ค.ร.น. ของ 8, 10, และ 12 เราสามารถทําไดดังน้ี

73 (1) หาจาํ นวนเฉพาะท่ีเปน ตัวหารรว มของ 2 ) 8, 10, 12 8, 10, และ 12 หรอื อยา งนอ ย 2 จํานวน เชน นํา 2 ไปหาร 4, 5, 6 8, 10 และ 12 ผลหาร เปน 4, 5 และ 6 ตามลาํ ดบั 2 ) 8, 10, 12 (2) หาจาํ นวนเฉพาะทเ่ี ปนตัวหารรวมของ 2) 4, 5, 6 4, 5 และ6 หรืออยา งนอ ย 2 จาํ นวน เชน 2 เพราะนําไปหาร 4 และ 6 ไดล งตัว แตน าํ ไปหาร 5 ไมลงตวั เขียน 5 ไวด งั เดมิ 2, 5, 3 2 ) 8, 10, 12 (3) หาจาํ นวนเฉพาะท่เี ปน ตวั หารรว มของ 2) 4, 5, 6 2, 5 และ 3 หรืออยางนอย 2 จาํ นวน แตจาํ นวนเฉพาะนนั้ ไมม ี 2, 5, 3 ดงั นน้ั จํานวนทน่ี อ ยท่ีสุดมี 8, 10 และ 12 ค.ร.น. ของ 8, 10 และ 12 เปน ตัวประกอบคอื 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 คือ 2 × 2 × 2 × 5 × 3 = 120 ตอบ 120 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 12, 16, 18 วธิ ีทาํ 2 ) 12, 16, 18 2 ) 6, 8, 9 3 ) 3, 4, 9 1, 4, 3 ค.ร.น. ของ 12, 16 และ 18 คือ 2 × 2 × 3 × 1 × 4 × 3 = 144 ตอบ 144 ตัวอยาง จงหา ค.ร.น. ของ 18, 24 วิธที าํ 2 ) 18, 24 3 ) 9, 12 3, 4 ค.ร.น. ของ 18, 24 คอื 2 × 3 × 3 × 4 = 72 ตอบ 72 แบบฝก หดั ท่ี 37 จงหา ค.ร.น. ของจาํ นวนตอ ไปน้ี (1) 16, 24 (2) 15, 45 (3) 9, 36, 24 (4) 4, 12, 24, 32 (5) 20, 28 (6) 16, 30, 48 (7) 14, 28, 49 (8) 44, 66, 99

74 บทท่ี 2 เศษสวน สาระสําคญั การอา นและเขยี นเศษสว น การเปรยี บเทยี บเศษสวน การบวก ลบ คณู หาร เศษสวน และ การแกโจทยป ญ หาตามสถานการณ ผลการเรยี นรทู ีค่ าดหวัง 1. บอกความหมาย ลกั ษณะและอา นเศษสวนได 2. เขียนเศษสว นใหอยใู นรปู เศษสวนอยา งตาํ่ จาํ นวนคละและเศษสว นเกนิ ได 3. เปรยี บเทียบและเรียงลาํ ดับเศษสวน ได 4. บวก ลบ เศษสว นและนาํ ความรเู กีย่ วกับเศษสวนไปใชแกโ จทยป ญหาได 5. คณู เศษสวนและนําความรเู ก่ียวกับการคณู เศษสวนไปใชแ กโ จทยป ญ หาได 6. หารเศษสว นและนําความรูเ กย่ี วกบั การหารเศษสว นไปใชแ กโ จทยป ญ หาได 7. บวก ลบ คณู หารเศษสวนและนําความรูไ ปใชแ กโ จทยป ญ หาได ขอบขายเนื้อหา เรื่องที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอานเศษสว น เรื่องท่ี 2 เขียนเศษสว นใหอยูในรปู เศษสว นอยา งต่ํา จาํ นวนคละและเศษเกิน เร่ืองท่ี 3 การเปรียบเทียบเศษสวน เรื่องท่ี 4 การบวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญ หา เรอ่ื งท่ี 5 การคูณเศษสวนและโจทยป ญหา เรือ่ งที่ 6 การหารเศษสว นและโจทยป ญ หา เรื่องที่ 7 การบวก ลบ คูณ หารเศษสว นระคนและโจทยปญ หา

75 เรอื่ งที่ 1 ความหมาย ลักษณะของเศษสวนและการอานเศษสว น 1.1 เศษสวน หมายถึง สว นตา ง ๆ ของจํานวนเต็มที่ถูกแบง ออกเปนสวนละเทา ๆ กนั เชน รูปวงกลม 1 วง แบงออกเปน 4 สวนเทา ๆ กัน สวนท่แี รเงาเปน 1 สวน ใน 4 สว น 1 เขียนแทนดว ย 4 อา นวา “เศษหนึง่ สว นส”่ี รปู สเี่ หล่ยี ม 1 รปู แบงออกเปน 5 สว นเทา ๆ กนั สว นท่ีแรเงาเปน 2 สว นใน 5 สว น 2 เขยี นแทนดว ย 5 อานวา “เศษสองสวนหา”

76 ลักษณะของเศษสว น มี 3 ชนดิ คอื เ73ช,น 15214 3 2 11 5 7 15 1. เศษสวนแท เปน เศษสวนทม่ี ีตัวเศษนอ ยกวา ตวั สว น , , , 2. เศษเกินเปนเศษสว นทมี่ ตี วั เศษมากกวา ตวั สวน เชน 3. จํานวนคละ เปน จํานวนทีม่ จี ํานวนเตม็ และเศษสว นแท เชน 3 1 ,5 4 , 11 5 2 7 12 แบบฝก หดั ที่ 1 ก. จงเขยี นเศษสวนแสดงสว นทแี่ รเงาตอ ไปน้ี (1) (2) (3) (4) (5) ข. จงเขียนคําอา นของเศษสวน 2 ตวั อยา ง 3 อา นวา เศษสองสว นสาม (1) 5 (2) 4 (3) 7 (4) 1 (5) 6 6 8 9 7 7 ค. จงเขยี นใหอ ยูในรปู ของเศษสวน (1) เศษหา สว นแปด = __________________________________ (2) เศษสองสว นสาม = __________________________________ (3) เศษเจด็ สวนเกา = __________________________________ (4) เศษหกสวนเจด็ = __________________________________ (5) เศษสามสว นหา = __________________________________ 1.2 เศษสว น หมายถึง สวนตาง ๆ ของกลมุ ท่ถี กู แบง ออกเปนกลุม ยอ ย ซึง่ มีสมาชกิ เทากัน เชน 1 มีไขไ ก 6 ฟอง ตอ งการแบง เปน 3 กองเทา ๆ กนั แตล ะกอง เปน 3 ของไขไ กท ้ังหมด ไขไ กแตละกองเปน 1 ใน 3 ของไขไ ก ทัง้ หมด มสี ม 6 ผล ตอ งการแบงเปน 2 กองเทา ๆ กัน แตล ะกองเปนเ13ขยีข12นอขงแไอทขงนไสกดมว6ทยฟง้ั หอ13งมขหดอรงือไเขทไากกทับัง้กหองมลดะเ2ทฟา กอบัง จะไดส ม ท้งั หมด 2 กอง เขียนแทนดว ย 1 ของสม ทงั้ หมด 6 ผล หรอื เทากบั กองละ 3 ผล 2

77 การอา นเศษสว น เศษสวนจาํ นวนคละ เศษเกิน ภาพ เขยี นเปน เขียนเปน จาํ นวนคละ อา นวา เศษสวน อา นวา 1. 1 1 หน่ึงเศษหน่ึง 5 เศษหา 2. 4 สว นสี่ 4 สว นส่ี 1 สองเศษหน่งึ 17 เศษสบิ เจด็ 8 สวนแปด 8 สว นแปด 2 3. 5 หนึง่ เศษหา 11 เศษสิบเอด็ 6 สวนหก 6 สว นหก 1

78 เรอื่ งที่ 2 การเขียนเศษสวนใหอ ยใู นรูปเศษสว นอยางตาํ่ จาํ นวนคละ และเศษเกนิ 2.1 การเขียนเศษสว นใหอ ยใู นรูปเศษสว นอยา งต่าํ ใหผเู รยี นศึกษาจากภาพตอไปน้ี 2 = 1 4 2 4 = 2 8 4 2= 1 63 2.2 จํานวนคละ ใหผเู รยี นศึกษาจากเศษสวนตอ ไปน้ี 3 1 , 5 3 , 4 10 , 7 21 , 10 101 2 7 13 35 135 2.3 เศษเกนิ ใหผ ูเ รียนศกึ ษาจากจาํ นวนคละใน ขอ 2.2 และเขยี นใหเ ปน เศษเกนิ 132251==…………………………………………,, 5107311=3051…=………………………………, …4 11…03 = ……………………. 3 7

79 เร่ืองที่ 3 การเปรียบเทียบเศษสวน การเปรียบเทียบเศษสวน คือ การนําเอาเศษสว นมาเปรยี บเทียบกนั โดยใชเ คร่อื งหมายตา ง ๆ ดงั น้ี ถาเศษสว นมีคาเทากนั ใชเครื่องหมาย = ถาเศษสวนมคี าไมเ ทา กันใชเ ครื่องหมายนอ ยกวา (<) หรอื มากกวา (>) 3.1 การเปรียบเทยี บเศษสว นท่มี ตี วั สว นเทากนั แตม ีคา ไมเ ทากนั ใชเ คร่อื งหมาย < หรือ > < 1 3 4 4 3.2 เศษสว นที่มีคา เทากนั = 2 4 1 2

80 แบบฝกหดั ท่ี 2 ใหผูเ รยี นใชเ คร่ืองหมาย < (นอยกวา ), > (มากกวา ) หรือ = (เทา กับ) ลงใน  ที่กาํ หนดใหถกู ตอ ง (1) 2  5 (2) 3  4 66 44 (3) 1  2 (4) 5  4 44 99 (5) 1  2 (6) 3  1 22 77 (7) 6  7 (8) 8  7 88 99 (9) 3  5 (10) 4  2 66 77 (11) 2  5 (12) 3  4 66 44 (13) 1  2 (14) 5  4 44 99 (15) 1  2 (16) 3  1 22 77 (17) 6  7 (18) 8  7 88 99 (19) 3  5 (20) 4  2 66 77

81 เรอ่ื งที่ 4 การบวก ลบ เศษสว นและโจทยป ญหา 4.1 การบวกและการลบเศษสว น การบวกและการลบเศษสวนทม่ี ีตวั สว นเทากนั การบวกและการลบเศษสว นท่มี ีตวั สวนเทา กนั ใหท ําดงั นี้ (1) นําเศษมาบวกลบกนั (2) ตวั ท่เี ปน สว นใชเ ลขจาํ นวนเดิม ตัวอยา ง การลบ การบวก 3 2 4 4 1111 1 111 4444 4 444 วธิ ที ํา 1  1 = 1 1 = 2 วิธีทาํ 4  3 = 43 = 1 44 44 44 44 แบบฝก หดั ท่ี 3 ใหผูเรยี นหาผลบวกและผลลบลงใน  ทก่ี าํ หนดไว 8427160++-8733150=== 4 5 (1) (2) 75 + 25 = (3) (4) 78 - 77 = (5) (6) 9 - 9 = (7) 2  3  2 = (8) 1   2  2  = 9 9 9  4 4  2 4 3 2 (9)  7  7  - 3 = (10)  5  5  1 =   7   (11)  2  2  + 3 = (12) 4   2  2  =  7 7  7 5  5 5 

82 การทําเศษสวนใหม คี าเทา กัน 1) การขยายสวน โดยหาจํานวนที่เทา กนั มาคณู ท้งั ตัวเศษและตวั สวน เชน 1 1 2 2 2  22  4 1  1 3  3 3 3 3 9 2) การทอนเศษสวน โดยหาจาํ นวนท่ีเทา กนั มาหารทั้งตวั เศษและตวั สว น เชน 2 2 2 1 4  4  2  2  4  44  1 12 12  4 3 การบวกและการลบเศษสวนทม่ี ีตัวสว นไมเทา กัน การบวกและการลบเศษสว นทไ่ี มเ ทา กนั โดยวิธขี ยายเศษสวน การบวกและลบเศษสวนทมี่ ตี วั สว นไมเทา กนั ใชวิธขี ยายเศษสว นใหเ ปนเศษสว นชนดิ เดียวกนั โดย ทําตวั สวนใหเทา กันแลว จึงนําเศษมาบวกลบกนั การขยายเศษสว น คือ การทําตัวเลขท้ังเศษและสว นใหมากข้ึน โดยท่ีคาของเศษสว นไม เปลย่ี นแปลง เชน ตัวอยา ง จงหาผลลพั ธของ 1 2+325 5 35 วิธีทาํ 1 + 2 = 13 + จะทํา 1 , 2 ใหมีสวนเทากนั ไดอยางไร 5 3 3 1+5011053 5 3 = 135 แนวคดิ = ตัวสว นของเศษสวน คอื 5, 3 ซึ่งหารกนั ไม 1315 แล13ลง5ตะ,วัน1105าํด5ังซนไง่ึ ั้นปมคสีจูณงึว นนํา23เท3าทไกงั้ ปันเศคษูณแล15ะสทวัง้ เนศษจแะไลดะสว น = 15 ตอบ 13 15

83 ตัวอยา ง จงหาผลลพั ธของ 757- 1 7 3 วธิ ที าํ 5 - 13112551=-775271 3 - 1 7 3 3 จะทํา 5 , 1 ใหมสี วนเทา กนั ไดอยา งไร = 7 3 แนวคดิ = 821 ตัวสวนของเศษสวน คือ 7, 3 ซ่งึ หารกนั ไม แล27ลง1ตะัวนซํางึ่ดม7งั ีสนไวัน้ปนคจเณูทงึ นา ก1าํ3นั 3ทไ้ังปเศคษณู แล75ะสทว ้ังนเศจษะแไลดะ ส12ว51น, = 821 ตอบ 21 แบบฝกหดั ที่ 4 จงหาผลลัพธ 1 2 (1) 2  5 (2) 2 + 2 64 (3) 1 + 3 58 (4) 1 + 3 37 (5) 1 + 2 45 (6) 11 - 8 12 13

84 4.2 สมบัติการสลบั ทข่ี องการบวกเศษสว น ตวั อยาง จงเปรียบเทียบวา 2 + 1 และ 1 + 2 เทา กนั หรอื ไม 55 55 วธิ ีทํา 2 + 1 = 2 1 1 + 2 = 12 5 55 5 55 =3 = 3 55 ดังนัน้ 2 + 1 = 1 + 2 5 555 ตวั อยา ง จงเปรียบเทยี บวา 1 + 3 และ 3 + 1 เทากันหรอื ไม 27 72 วธิ ีทํา 1 + 3 = 17 + 32 3 + 1 = 32 + 17 2 7 27 72 7 2 72 27 = 7+6 = 6+7 14 14 14 14 = 76 = 67 14 14 = 13 = 13 14 14 แนวคิด ดงั นั้น 1 + 3 = 3 + 1 2772 เศษสว น 2 จํานวนทน่ี ํามาบวกกนั สามารถสลับท่กี นั ได โดยท่ีผลบวกยังคงเดิม แสดงวา การบวกเศษสวนมสี มบตั กิ ารสลบั ที่ แบบฝก หดั ที่ 5 (2) 12 + 19 =  + 12 จงเขยี นเศษสวนลงใน  ใหถ กู ตอ ง 25 27 25 (1) 5 + 7 = 7 +  (4) 13 +  = 25 + 13 9 13 13 25 29 25 (3) 2 + 8 = 8 +  (6) 21 +  = 19 + 21 5 27 27 91 87 91 (5)  + 5 = 5 + 11 12 12 23

85 4.3 สมบัตกิ ารเปลยี่ นหมขู องการบวกเศษสว น ตวั อยาง จงเปรยี บเทยี บวา  1  2  + 3 และ 1 +  2  3  เทากนั หรือไม 5 7 7 5 7 7 วิธที าํ  1  2  + 3 =  1 7  2  5  + 3 1 +  2  3  = 1 + 5 5 7 7 57 75 7 5 7 7 5 7 =  7  10  + 3 = 17 + 55  35 35  7 57 75 = 17 + 3 = 7 + 25 35 7 35 35 = 17 + 35 = 32 35 7  5 35 = 17 + 15 = 32 35 35 35  1  2  + 3 และ 1 +  2  3  5 7 7 5 7 7 แนวคดิ จงพจิ ารณาวา การหาคาํ ตอบของทัง้ 2 วิธนี ั้น วิธีใดงา ยกวากนั จะเหน็ ไดว า การคิด แบบ 1 +  2  3  งา ยกวา เพราะเราทราบวา 2  3  5 ซึ่งเปนการบวกเศษสวนท่มี ตี ัว 5 7 7 77 7 สวนเทา กัน แลว นาํ 5 ไปบวกกบั 1 ทีหลัง เปนการบวกเศษสว นท่ตี วั สว นไมเ ทา กนั 75 จะเหน็ ไดวาเราสามารถนําสมบตั กิ ารเปลยี่ นหมขู องการบวกเศษสวนชว ยใหหา คาํ ตอบไดเรว็ ขน้ึ และสรุปไดด ังนี้ เศษสวนสามจํานวนนาํ มาบวกกนั จะบวกสองจํานวนแรกกอน หรอื สองจาํ นวน หลงั กอน แลวจงึ นาํ ไปบวกกบั จาํ นวนทเ่ี หลอื ผลลพั ธจ ะเทากนั แสดงวา การบวกเศษสว นมี สมบัติการเปลี่ยนหมขู องการบวก แบบฝก หดั ที่ 6 จงเขียนเศษสว นลงใน   ใหถกู ตอ ง  (1)  2  7  + 1 = +  7  1  5 9 9 9 9  (2)  1  2  + = 1 +  2    3 7 3 7  (3)  3  2  + 3 = 3 +    3  4 9  4 9 9  (4)   1  + 3 = +3  1  3   8 8 4 8 8

86 4.4 โจทยป ญ หาการบวก การลบเศษสว น การบวกเศษสว น ตวั อยาง มาลยั ปลกู ผักได 5 ของแปลง มาลปี ลูกผกั ได 2 ของแปลง สองคนปลกู ผกั รวมกนั ไดเทา ใด 88 แนวคดิ โจทยก ําหนดวา มาลยั ปลกู ผัก 5 ของแปลง มาลีปลูกผักได 2 ของแปลง จะเหน็ วา ตวั สว นของ 88 สองจํานวนมีคาเทา กัน ดงั นน้ั เมอื่ เรานาํ เศษสว นของสองจํานวนมารวมกนั ใหนาํ ตวั เศษของสอง จาํ นวนมาบวกกนั แลวหารดว ยตวั สวนคงเดมิ วธิ ที าํ เขยี นเปน ประโยคสญั ลกั ษณ 5 + 2 =  88 มาลยั ปลกู ผกั 5 ของแปลง 8 มาลปี ลกู ผัก 2 ของแปลง 8 สองคนปลกู ผกั รวมกนั 5 + 2 = 5 2 ของแปลง8 88 = 7 ของแปลง 8 ตอบ 7 ของแปลง 8 แบบฝก หดั ที่ 7 จงหาคาํ ตอบจากโจทยต อไปน้ี (1) อุทัยมีปยุ 4 ถงุ วนิ ยั มีปุย 3 ถุง สุภรณมปี ุย 1 ถงุ ทัง้ สามคนมปี ยุ รวมกนั เปน เศษสวนเทาใดของถงุ9 99 (2) ปรีชามเี มลด็ ถว่ั เขียว 2 ลิตร อนันตม เี มลด็ ถ่วั เขยี ว 3 ลติ ร ท้ังสองคนมีเมลด็ ถั่วเขยี วรวมกนั เทาไร 77 (3) ตวงแปง ทําขนมถวยฟู 3 ถวยตวง นํ้าตาล 2 ถวยตวง รวมตวงแปง และนา้ํ ตาลเทาไร 66 (4) กัลยาปลูกผกั บงุ 2 ของแปลง ผักกาดขาว 1 ของแปลง ผกั กาดหอม 1 ของแปลง 55 5 กลั ยาปลกู ผกั รวมกนั เทาไร (5) มานะปลูกกหุ ลาบโดยเอาดนิ ใสก ระถาง 3 ของกระถาง ใสป ยุ 1 ของกระถาง รวมดนิ และปยุ ทใี่ ส 55 กระถางคิดเปน เศษสวนเทา ไร

87 การลบเศษสวน ตัวอยาง มานะมีเชอื กยาว 4 เมตร ตดั ไปผูกกลอ ง 3 เมตร เหลือเชอื กอีกกี่เมตร 99 แนวคดิ การลบเศษสว นที่มีตวั สว นเทา กนั ใหนําเศษของแตล ะจาํ นวนมาลบกัน ตัวสวนใชเ ลขจํานวนเดมิ วธิ ที ํา เขียนเปน ประโยคสัญลักษณ 4  3 =  99 มานะมเี ชอื กยาว 4 เมตร 9 ตัดไปผูกกลอ ง 3 เมตร 9 เหลือเชือก 4  3 = 4  3 เมตร 9 99 = 1 เมตร 9 ตอบ 1 เมตร 9 แบบฝก หดั ท่ี 8 จงเขยี นเปน ประโยคสญั ลกั ษณ แลวแสดงวธิ ีทาํ (1) อรทัยมปี ยุ 9 กระสอบ นาํ ไปใสแ ปลงผัก 1 กระสอบ ใสโ คนตนมะมวง 2 กระสอบ 13 13 13 เหลอื ปุยอกี เทา ไร (2) สายใจปลูกผกั ได 6 ของแปลง สดุ าปลกู ผกั ได 9 ของแปลง ใครปลกู ผกั ไดม ากกวา กันและ 11 11 มากกวา กนั เทาไร (3) วินยั มเี มล็ดพชื 11 ของกลอง เมือ่ นําไปปลกู เหลอื เมลด็ พืช 5 ของกลอง วนิ ัยใชเ มล็ดพืชไปเทา ไร 12 12 (4) ซอมถนนสายหนึง่ เปนระยะทาง 8 กโิ ลเมตร ซอ มไปแลว เปน ระยะทาง 7 กโิ ลเมตร คงเหลอื 15 15 ระยะทางเทาไรที่จะตอ งซอ ม (5) วริ ชั เดนิ ทางไปโรงเรยี น 4 กโิ ลเมตร วณี าเดนิ ไปโรงเรียน 2 กโิ ลเมตร วิรชั เดนิ ทางมากกวา วณี าก่ี 77 กิโลเมตร

88 4.5 การบวก การลบเศษสวนชนิดตา ง ๆ การบวกลบเศษสว นทไี่ ดศึกษาจากท่เี รียนไปแลวน้ัน เปนการบวกลบเศษสวนในกรณีทเ่ี ปน เศษสว นแท ตอ ไปน้ีจะไดศ กึ ษาการบวกลบเศษสวนที่เปนเศษสวนจํานวนคละและเศษสว นเกนิ ดงั ตวั อยา ง ขางลาง ตัวอยาง จงหาผลบวกของ 2 7 + 3 1 แนวคดิ 88 1. ใหนําจาํ นวนเตม็ ของแตล ะจาํ นวนมา บวกกนั ในท่ีนคี้ ือ 2 และ 3 แลว จึงบวก วธิ ที าํ 2 7 + 3 1 = 2 + 3 + 7 + 1 ดว ยเศษสว นของแตละจํานวน 88 88 2. 8 ทําเปน เศษสว นอยางตํ่า =5+ 8 8 8 8 ÷ 8 =1 =5+1 =6 88 ตอบ 6 แนวคิด ตวั อยา ง จงหาผลบวกของ 12 + 11 1. 12 มาจาก 5  5  2 5 10 5 555 วิธีทํา 12 + 11 =  5  5  2  + 10 + 1 5 10  5 5 5  10 10 11 มาจาก 10 + 1 =1+1+ 2+1+ 1 10 10 10 5 10 2. 5 ทาํ เปน เศษสว นอยา งตํา่ 5  5 = 1 =3+ 22 + 1 10 10 5 2 5 2 10 =3+ 4 + 1 10 10 =3+ 5 10 =3+ 1 2 = 31 2 ตอบ 3 1 2

ตัวอยา ง จงหาผลตา งของ 8 3 และ 5 2 89 7 21 แนวคิด วธิ ที าํ 8 3 5 2 = 8 – 5 + 3  2 1. นําจํานวนเต็มของแตละจํานวนมาลบ 7 21 7 21 กัน เศษสว นที่เหลือนาํ มาบวกลบกัน ตามโจทยก ําหนด =3+ 3 2 7 21 2. 7 ทําเปน เศษสวนอยา งตํ่า 21 = 3 +  3  3   2 7 7 =1  7 3  21 21 7 3 =3+ 9  2 (2) 9 3  6 5 =  21 21 88 =3+ 7 (4) 12 3  5 1 =  21 7 14 =3+ 1 (6) 12 8  4 1 =  3 9 18 = 31 3 ตอบ 3 1 3 แบบฝกหดั ที่ 9 จงหาคําตอบ (1) 3 2  7 3 =  35 (3) 37 + 45 =  6 12 (5) 48 3  30 1 =  5 10

90 เร่อื งที่ 5 การคูณเศษสวนและโจทยปญหา 5.1 การหาผลคณู ระหวางเศษสวนกบั เศษสวน การหาผลคูณระหวา งเศษสวนกับเศษสวน ใหนาํ เศษคูณกบั เศษ และสวนคณู กับสว นแลว ทําใหเปนเศษสวนอยา งตํา่ ตวั อยาง 1 ของ 1 =  25 วธิ ีทํา 1 ของ 1 = 1  1 2 5 25 = 11 แนวคดิ เมอื่ นาํ เศษคณู กับเศษ และสวนคณู กบั 25 สวนได 20 แลว ทําใหเ ปนเศษสว นอยา งต่ํา โดย =1 30 10 นํา 10 ไปหารท้งั เศษและสวน จะไดผลลพั ธ 2 ตอบ 1 3 10 ตวั อยา ง 4  5 =  56 วิธีทํา 4  5 = 45 5 6 56 = 20 30 = 20 10 30 10 =2 3 ตอบ 2 3 แบบฝกหดั ท่ี 10 (2) 12  26 =  จงหาผลคณู แลว ทาํ เปนเศษสว นอยา งต่ํา 13 20 (1) 6  8 =  (4) 11  7 =  79 14 15 (3) 14  9 =  27 15 (5) 15  18 =  18 27

91 5.2 การคูณระหวา งเศษสวนกบั จํานวนเตม็ การคณู ระหวา งเศษสว นและจาํ นวนเตม็ คือ การนาํ เศษสว นทม่ี คี าเทา กนั บวกกนั หลาย ๆ คร้งั ตาม จาํ นวนเตม็ ท่นี าํ มาคณู เชน แบบฝก หดั ที่ 11 จงหาผลลพั ธต อไปนี้ (1) 7 6 =  (2) 9 5 =  (3) 6 3 =  8 11 7 (4) 5  7 =  (5) 12  4 =  (6) 11 3 =  6 13 15 (7) 13  4 =  (8) 10 8 =  12 17 เศษสวนของจาํ นวนเต็ม เศษสว นของจาํ นวนเต็ม มีความหมาย และวิธกี ารเชนเดยี วกบั การคูณเศษสวนดว ยจํานวนเตม็ ดัง ตัวอยาง ตัวอยาง 3 ของเงนิ 50 บาท คดิ เปนเงินเทาไร 5 วธิ ีทํา 3 ของเงนิ 50 บาท = 3  50 บาท 55 = 3 50 บาท 5 = 150 บาท 5 ตอบ 30 บาท = 30 บาท แบบฝก หดั ที่ 12 จงหาผลลัพธตอ ไปน้ี (1) ปลูกสบั ปะรด 5 ของทีด่ นิ 400 ตารางวา ทด่ี นิ ท่ีปลกู สับปะรด คดิ เปน กตี่ ารางวา 8 (2) โรงเรยี นมธั ยมศกึ ษาแหงหน่ึง มีนกั เรียนทง้ั หมด 1,200 คน เปนนกั เรียนชาย 3 ของนักเรียนทั้งหมด 4 โรงเรียนมัธยมศึกษาแหงนีม้ นี กั เรียนชายทงั้ หมดกคี่ น (3) เชอื กยาว 500 เมตร ตดั ไปขาย 2 ของเชอื กทั้งหมด ขายเชือกไดก่เี มตร 25 (4) เล้ยี งไก 200 ตวั เปน โรคระบาดตาย 1 ของไกท ้งั หมด ไกต ายกีต่ วั 20 (5) ปลกู มะมว ง 75 ตน เปน มะมว งแกว 1 ของตน มะมวงท้งั หมด คดิ เปนมะมว งแกว กต่ี น 3

92 เรอื่ งท่ี 6 การหารเศษสวนและโจทยปญหา การหารจํานวนนบั ดว ยเศษสวน = ÷2  1  2  2   1  2  2  1 2 1 =  2  2  ÷ 1  1  11 11 22 22 = 2 2 1 มีท่ีดิน 2ไร แบง ออกเปน สวนละ 1 ไรเ ทา ๆ กัน ดงั น้ัน 2  1 = 2  2 21 2 =4 ดงั นั้น จะแบงไดท งั้ หมด 4 สวน การหารเศษสว นดว ยจํานวนนบั 1 = ÷1  2 3 3 11  1  1   2  1  66 3 2  2 มที ีด่ นิ 1 ไร =  1  1  ÷ 1 3  3 2  แบงเปน 2 สวนเทา ๆ กนั = 11 32 ดังนนั้ 1  2 = 1  1 3 32 =1 6 ดังนน้ั จะไดส ว นละ 1 ไร 6 การหารเศษสวนดวยเศษสวน 4 = ÷4  2  4  5   2  5  5 5 5 5 2 5 2 22 55 =  4  5  ÷ 1 5 2 มีท่ดี ิน 4 ไร 5 = 45 52 แบง ออกเปน สว นละ 2 ไรเ ทา ๆ กัน 5 ดงั น้นั 4  2 = 4  5 55 52 ดังนั้นจะแบงไดทงั้ หมด 2 สว น =2

93 “การหารเศษสว น หมายถึง การแบง เศษสว นออกเปนสวนยอยเทา ๆ กัน” การหารเศษสวนมี 3 แบบ คือ การหารจาํ นวนนับดว ยเศษสวน การหารเศษสว นดว ยจาํ นวนนับ และการหารเศษสว นดว ยเศษสวน ซง่ึ มี หลกั การดังนี้ 6.1 การหารจาํ นวนนบั ดวยเศษสวน การหารจํานวนนบั ดว ยเศษสว น ทําไดโ ดยการคณู จาํ นวนนับกบั สว นกลบั ของเศษสว นนน้ั ตวั อยา ง 6  2 =  3 วิธีทํา 6  2 = 6  3 3 12 = 63 2 = 18 2 =9 ตอบ 9 อธิบาย (1) สวนกลบั ของ 2 คอื 3 32 (2) นาํ 3 มาคูณกบั 6 โดยนาํ เศษคณู กบั เศษ คือ 3 6 ได 18 เพราะ 6 เปนจํานวนเตม็ ถอื วา 2 6 เปน ตวั เศษ มสี วนเปน 1 แลวใสสว นเปน 2 เทา เดมิ เพราะ 21 ได 2 เทา เดิม (3) 18 เปน เศษเกนิ จงึ ให 2 หาร 18 ได 9 2 6.2 การหารเศษสว นดวยจาํ นวนนบั การหารเศษสว นดวยจาํ นวนนับ ทําไดโดยการคูณเศษสว นกบั สว นกลบั ของจาํ นวนนบั น้นั ตัวอยาง 8  4 =  9 วิธีทาํ 8  4 = 8  4 9 91 = 81 94 = 81 94 =8 36 = 84 36  4 =2 9 อธิบาย (1) ทํา 4 ซึง่ ตเปอนบจาํ92นวนนับใหอ ยใู นรูปของเศษสวน โดยมีสว นเปน 1