หนังสือเรียนสาระความรู้พื้นฐาน รายวิชา คณิตศาสตร์ (พค21001) ระดับมัธยมศึกษาตอนต้น

952. จงหาพ้นื ทสี่ ว นท่ีแรเงา ตัวเลขที่เขียนกํากับไวถือวาเปนความยาวของดานและมีหนวยความยาวเปน เมตร………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

962.6 พน้ื ทร่ี ูปหลายเหล่ียม การหาพ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ใชว ธิ ีแบง รูปหลายเหล่ียม เปนรูปสเี่ หลยี่ มยอยๆ แลว หาพ้ืนท่ีของรปู แตล ะรูปนาํ ผลลัพธมารวมกนั แตบ างครงั้ อาจใชว ิธีตอ เติมรปู เพื่อใหเกิดรปู เหลยี่ มใหมแ ลวนํามาหักลบกนั ดังตัวอยางตัวอยา ง จงหาพ้นื ทรี่ ปู เหลยี่ มทแี่ รเงาวธิ ีทํา ลากตอ EF และ HG ทําใหเกิดเปนรปู ส่ีเหลย่ี มมุมฉากยอย 3 รูป คอื DEJC, FGKJ, ABKH จากรูป EJ = 6 เซนติเมตร FJ = 4 เซนตเิ มตรพ้ืนทร่ี ูปหลายเหลีย่ ม ABCDEFGH = พ.ท. DEJC + พ.ท. FGKJ + พ.ท. ABKH = ( 2×6) + (1×4) + (3×10) = 12 + 4 + 30 ตารางเซนติเมตรดงั น้นั พ้ืนท่ีรูปหลายเหลี่ยม ABCDEFGH = 46 ตารางเซนติเมตร2.7 พ้นื ที่รูปวงกลม การหาพืน้ ที่ของรูปวงกลมโดยวิธีแบง ออกเปนสว นเลก็ ๆ แลว นําแตละสวนมาสลบั กัน ดังรปู

97 จะเหน็ ไดวา ถายิง่ แบง สว นยอยใหม จี าํ นวนมากข้ึน รูปสเี่ หลยี่ มท่ไี ดจ ะมีรปู ใกลเคยี งกบั รปูสเ่ี หล่ยี มผนื ผา โดยมีสวนสูงใกลเคียงกับรัศมีของวงกลม ความยาวของฐาน ใกลเคียงกับครึ่งหนึ่งของเสนรอบวง หรือ 1 (2πr) = πr 2 จากสตู ร พื้นท่ี ผนื ผา = ฐาน × สูง = (πr)× r = πr 2สูตร พ้ืนทว่ี งกลม = πr 2เมือ่ π = 22 หรอื 3.14 โดยประมาณ 7 r แทนความยาวรัศมีตวั อยา ง จงหาพื้นที่วงกลมที่มีรัศมียาว 7 เซนติเมตรวธิ ที าํพื้นที่วงกลม = πr 2พ้ืนทีว่ งกลม = = 22 × 7 × 7 ตารางเซนตเิ มตร 7 154 ตารางเซนตเิ มตร

98 แบบฝกหดั ท่ี 51. จงหาพื้นทีส่ ว นทแี่ รเงา ตวั เลขที่เขียนกํากับดานมหี นว ยเปน เซนติเมตร และจุด O แทน จุดศูนยกลางของวงกลม 1

99สรุปสูตรการหาพ้ืนที่

100

101เรื่องท่ี 4 การแกโ จทยป ญหาเกย่ี วกบั พ้ืนทีใ่ นสถานการณตางๆตวั อยาง ท่ดี ินรปู สเี่ หลยี่ มผืนผา กวาง 12 เมตร ยาว 20 วา ตองการทําถนนในที่ดินกวาง 1 วาโดยรอบถนนจะมพี ื้นท่ีกี่ตารางวาวธิ ีทํา พืน้ ทที่ ง้ั หมด = 12 × 20 = 240 ตารางวา พน้ื ที่รูปใน = 10 × 18 พื้นทถ่ี นน = 180 ตารางวา ∴ พื้นทถ่ี นน = 240 – 180 = 60 ตารางวาตวั อยาง หองๆ หนึง่ 6.5 เมตร กวาง 4 เมตร ตองการปูกระเบื้องรปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ซ่งึ มีความกวางดา นละ 25 เซนตเิ มตร จะตองใชก ระเบื้องกแ่ี ผนวธิ ที ํา หองหน่งึ มคี วามยาว 6.5 เซนตเิ มตร = 650 เซนตเิ มตร ความกวาง 4 เมตร = 400 เซนตเิ มตร พน้ื ทีห่ อง พนื้ ที่กระเบอื้ ง = 400 × 650 = 260,000 เซนตเิ มตร = 25 × 25 = 625 ตารางเซนติเมตร ตอ งใชก ระเบ้ือง = 260,000 = 416 แผนดงั นั้น ตองใชกระเบ้ือง 416 แผน 625

102 แบบฝกหัดท่ี 61. แผนผงั บานหลงั หนึง่ มลี กั ษณะและขนาดดังรปู ถา บริเวณทีแ่ รเงาตอ งการเทปูนซีเมนต โดยเสยีคาใชจายตารางเมตรละ 250 บาท จะตองเสียคาใชจายทั้งหมดกี่บาท กําหนดความยาวมีหนวยเปนเมตร2. ตองการตดั เสือ้ ตวั หนง่ึ มลี ักษณะดงั รูป จะตองใชผากีต่ ารางเมตร (ไมคิดตะเข็บ) ความยาวที่กาํ หนดมหี นวยเปน เซนตเิ มตร

103เรอ่ื งที่ 5 การคาดคะเนเวลา ระยะทาง ขนาด น้ําหนัก ในชีวิตประจําวันบางครั้งเราอาจตองการทราบรายละเอียดเกี่ยวกับเวลา ระยะทาง ขนาดหรือนํ้าหนกั ของส่ิงตางๆ แตไมสะดวกที่จะวัดสงิ่ ตางๆ เหลา น้ัน เนื่องจากมขี อจํากัดบางประการตัวอยางเชน ตองการวัดความยาว และความกวางของสนามฟุตบอลของโรงเรียน แตไมมีอุปกรณที่เหมาะสม ทําใหตองมีกี่ประมาณอยางคราวๆ ซึ่งในบางครงั้ อาจจะถูกตอง หรืออาจผิดไปจากความเปนจรงิ บา ง เราเรยี กวธิ ีการประมาณในลักษณะน้ีวา การคาดคะเน การคาดคะเนปริมาณตางๆ เชน ชว งเวลา ระยะทาง ขนาด และนาํ้ หนกั ของส่ิงตางๆ ผูคาดคะเนมักใชสายตารวมกับประสบการณของผูคาดคะเนเอง ซึ่งในการคาดคะเนแตละครั้งอาจถูกตองพอดี หรืออาจมขี อผิดพลาดเกิดข้ึนบางก็ได เราเรยี กขอผิดพลาดนว้ี า ความคลาดเคล่ือน และความคลาดเคลื่อนคํานวณไดจากผลตางของปริมาณที่คาดคะเนไวกับปริมาณที่วัดไดจริง เชน คะเนวา หนงั สือเรยี นกวา ง 15 เซนตเิ มตร ยาว 20 เซนติเมตร และหนา 1 เซนติเมตร แตเมื่อวดั จรงิ พบวา หนงั สอื เรยี นกวาง 14.6 เซนตเิ มตร ยาว 20.9 เซนตเิ มตร และหนา 1 เซนติเมตร ดังนั้นคะเนความกวาง และความยาวของหนังสือเรียนคลาดเคลื่อนไป 0.4 และ 0.9 ตามลําดับ (15.0เซนตเิ มตร – 14.6 เซนติเมตร = 0.4 เซนตเิ มตร และ 20.9 เซนติเมตร – 20 เซนตเิ มตร = 0.9เซนตเิ มตร สวนความหนาคาดคะเนไดถูกตองไมคลาดเคลื่อนเลย ) หมายเหตุ บางคร้ังอาจพบการใชสัญลกั ษณ ± ตามความคลาดเคลื่อน เชน เครื่องบรรจุนา้ํไดข วดละ 1,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร ± 5 ลูกบาศกเซนติเมตร หมายความวา โดยปกติแลว นํ้าดม่ื ท่ีบรรจุขวดโดยเครือ่ งน้จี ะมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร แตอาจจะมีบางขวดที่มีปริมาตรมากกวา หรอื นอ ยกวา 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร ซึ่งปริมาตรทคี่ ลาดเคลือ่ นนไ้ี มเกิน 5 ลูกบาศกเซนติเมตร นัน่ คือ นํ้าดื่มที่บรรจุขวดจะมีปริมาตรตั้งแต 995 ลูกบาศกเซนติเมตร ถงึ 1,005ลูกบาศกเซนติเมตร

104 แบบฝกหัดท่ี 71. จงคาดคะเนเวลาหรือชวงเวลาใหเหมาะสมกับสถานการณตอไปนี้ 1) ฟาใกลสวา ง อากาศเยน็ สบาย ไกตวั ผตู ปี กและสงเสยี งขัน มีน้ําคา งจับตามยอดหญานาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า 2) เม่อื อยกู ลางแจงดวงอาทติ ยอ ยูตรงศีรษะพอดี เงาของตัวเองอยูบนพื้นทยี่ ืนอยพู อดี นาจะเปนเวลาประมาณ...................นาฬกิ า3) ในจังหวัดทางภาคเหนือเปนเวลาเชาตรู ฟาสวางแลว แตยงั ไมเห็นพระอาทิตย ทองฟาขมุกขมัวอากาศหนาวเยน็ จดั นา จะเปนฤดู....................และควรจะเปน ชว งเดือน.....................2. จงวงกลมลอมรอบขอที่เหมาะสมที่สุด สําหรับใชหนวยในการคาดคะเน ระยะทาง น้ําหนัก หรือขนาดของสิ่งตอไปนี้1) ความยาวของคัตเตอรก. 1.5 มิลลเิ มตร ข. 15 เซนตเิ มตร ค. 15 เมตร2) นาํ้ หนกั ของมะพรา ว 1 ผลก. 1 กรมั ข. 1 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั3) ปริมาณของนม 1 กลอ งก. 4 ×5×12 เซนติเมตร3 ข. 4 ×5×12 ฟตุ 3 ค. 4 ×5×12 เมตร34) รถกระบะ4.1 มีน้าํ หนัก ก. 10 กิโลกรมั ข. 100 กิโลกรมั ค. 1 ตนั4.2 ความกวา ง ก. 160 เซนตเิ มตร ข. 16 ฟุต ค. 16 เมตร4.3 ความยาว ก. 5 ฟุต ข. 5 เมตร ค. 5 วา4.4 ความสงู ก. 160 มิลลิเมตร ข. 1,600 มลิ ลิเมตร ค. 16,000 มิลลเิ มตร5) เกาอีน้ ่งั5.1 กวา ง ยาว สูง ก. 40 ×50×80 มลิ ลเิ มตร3 ข. 40 ×50×80 เซนตเิ มตร3 ค. 4 ×5×8 เมตร35.2 นาํ้ หนกั ก. 10 กโิ ลกรมั ข. 100 กโิ ลกรมั ค. 1 ตนั

1053. ทางหลวงสายพหลโยธินกรุงเทพฯ-แมสาย ยาว 952 กิโลเมตร รถประจําทางปรับอากาศวิ่งบนทางหลวงสายนต้ี ลอดเสน ทางดว ยอตั ราเรว็ 80-100 กิโลเมตรตอ ช่วั โมง (1) รถประจําทางปรับอากาศใชเวลาวิ่งตลอดเสนทางนานเทาไร (2) ถารถออกจากกรุงเทพฯ ประมาณ 18.00 นาฬิกา จะถึงแมสายในชวงใด (3) ถา ตองการใหถึงแมส ายประมาณเทย่ี งวนั ท่ี 16 กันยายน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาเทาไร4. ลฟิ ตของโรงแรมแหงหนึ่งบรรทุกผูโดยสายไดเที่ยวละไมเกนิ 10 คน (600 กิโลกรัม) บางครั้งมีผูโดยสารเขาลฟิ ตเพยี ง 8 คน ลฟิ ตจะมเี สยี งเตือน บางครง้ั มีผูโดยสาร 12 คน ลิฟตไ มม เี สียงเตือนยงัใชงานไดเปนเพราะเหตุใด จงอธิบาย5. ทางหลวงสายเพชรเกษม (กรุงเทพฯ-บานคลองพราน จังหวัดนราธิวาส) 1,352 กิโลเมตร ทางหลวงสายมิตรภาพ (กรงุ เทพฯ-จงั หวดั หนองคาย) 508 กิโลเมตร ทางหลวงสายสุขุมวิท (กรุงเทพฯ-จงั หวดั ตราด) 400 กโิ ลเมตร (1) ถาขับรถจากบานคลองพรานตามทางหลวงสายเพชรเกษมผานกรุงเทพฯ แลวมุงสูจังหวัดหนองคายตามทางหลวงสายมิตรภาพ ดว ยอตั ราเรว็ ในชว ง 90-100 กิโลเมตรตอ ช่ัวโมง จะใชเวลาประมาณกี่ชั่วโมง (2) ถาเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปตามทางหลวงสายเพชรเกษม เวลา 12.00 นาฬกิ า วันน้ี จะถึงจังหวดั นราธวิ าสเมื่อใด โดยใชอตั ราความเรว็ 100 กิโลเมตรตอช่ัวโมง (3) ถาตองการเดินทางจากกรุงเทพฯ ไปจังหวัดตราดทางหลวงสายสุขุมวิท และถึงจังหวัดตราดประมาณเที่ยงวัน จะตองออกจากกรุงเทพฯ เวลาใด เมื่อใชอัตราความเร็ว 80 กิโลเมตรตอชัว่ โมง (4) ใหนักเรียนเปรียบเทียบความยาวของทางหลวงทั้งสามสาย

106 บทท่ี 6 ปริมาตรและพนื้ ท่ผี วิสาระสําคัญ การหาพื้นทีผ่ วิ และปริมาตรของ ปริซมึ พรี ะมดิ ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม จําเปนจะตอ งรกู ระบวนการคดิ และการใชส ูตร เพ่ือสะดวกในการคํานวณอนั จะเปนประโยชนต อ การนําไปใชใ นชวี ติ จรงิผลการเรยี นรูทคี่ าดหวงั 1. อธิบายลกั ษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ทรงกลม หา ปริมาตรและพน้ื ท่ีผวิ ของปริซึมได 2. สามารถหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได 3. สามารถหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลมได 4. เปรยี บเทยี บหนวย ความจุ หรอื หนว ยปรมิ าตรในระบบเดยี วกนั หรือตา งระบบ และ เลอื กใชห นว ยการวัดเกย่ี วกบั ความจหุ รือปรมิ าตรไดอ ยา งเหมาะสม 5. ใชความรเู ก่ียวกบั ปริมาตรและพืน้ ท่ีผวิ แกป ญหาในสถานการณตา งๆ ได 6. ใชก ารคาดคะเนเก่ียวกบั ปริมาตรและพืน้ ทผี่ วิ ในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสมขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 ลักษณะสมบตั ิและการหาพ้นื ท่ผี ิวและปริมาตรของปรซิ ึม เรื่องที่ 2 การหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เรื่องท่ี 3 การหาปริมาตรของพีระมิด กรวยและทรงกลม เรื่องที่ 4 การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร เรื่องท่ี 5 การแกโจทยปญ หาเก่ยี วกบั ปรมิ าตรและพนื้ ที่ผวิ เรื่องท่ี 6 การคาดคะเนปรมิ าตรและพืน้ ทีผ่ วิ

107เรือ่ งที่ 1 ลกั ษณะสมบัติและการหาพน้ื ที่ผิวและปรมิ าตรของปรซิ มึ พน้ื ที่ผวิ และปรมิ าตรของปริซมึ รูปเรขาคณติ สามมติ ิทมี่ ีหนาตัด (ฐาน) ทั้งสองเปนรูปหลายเหลี่ยมที่เทากันทุกประการและอยูใ นระนาบท่ขี นานกัน มีหนา ขา งเปน รูปสีเ่ หลีย่ มดานขนาน เรียกวา ปรซิ มึสว นตา งๆ ของปรซิ มึ มีชอื่ เรียกดงั นี้เราเรียกชื่อปริซึมชนิดตาง ๆ ตามลักษณะของฐานของปริซึมดังตัวอยางปรซิ มึ ส่เี หลย่ี มผืนผา ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูปริซมึ หา เหลยี่ ม ปรซิ ึมหกเหล่ียมสตู ร การหาพ้ืนที่ผิวของปรซิ ึม = พื้นทผี่ วิ ขาง + พนื้ ที่ผิวหนาตัด ปริมาตรปริซึม = พื้นทฐ่ี าน x สงู

108ตวั อยา ง 1 จงหาพนื้ ที่ผิวของปริซมึ ตอ ไปน้ี กาํ หนดความยาวทห่ี นว ยเปน เซนติเมตรวธิ ีทาํ พืน้ ท่ผี วิ ดา นขาง 4 ดา น = 2(3 x5) + 2 ( 4 x 5) = 70 ตารางเซนตเิ มตรพนื้ ท่ีหนา ตัด = 2 ( 3 x 4) = 24 ตารางเซนตเิ มตรพน้ื ทผ่ี วิ ของปรซิ ึม = 70 + 24 = 94 ตารางเซนตเิ มตรตัวอยา ง 2 จงหาปริมาตรของปริซึมตอไปนี้ (ความยาวท่ีกาํ หนดใหม หี นวยเปน เมตร)วิธที าํปริมาตรปริซึม = พน้ื ท่ีฐาน x สูง = (4 x 5) x 8 = 160 ลูกบาศกเมตร แบบฝกหดั ท่ี 1จงหาพื้นทีผ่ วิ และปรมิ าตรของปริซมึ ตอไปนี้

109เรอ่ื งท่ี 2 การหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ีผิวของทรงกระบอก ทรงกระบอก คือ ทรงสามมิติที่มีฐานเปนรูปวงกลมที่เทากันทุกประการ และอยูในระนาบท่ีขนานกัน ซง่ึ เมื่อตดั ทรงสามมติ ินี้ดว ยระนาบท่ีขนานกบั ฐานแลว จะไดรอยตัดเปนวงกลมที่เทากันทุกประการกับฐานเสมอพ้ืนทผ่ี วิ ของทรงกระบอก เมื่อคลี่ผิวขางของทรงกระบอกใดๆ พบวา จะเปน รปู สี่เหลี่ยมผืนผาทีม่ คี วามยาวเทา กบั เสนรอบฐานวงกลม และสวนสูงเทากับความสูงของทรงกระบอกสูตร พน้ื ที่ผวิ ของทรงกระบอก = พ้ืนทผี่ ิวขาง + พ้ืนท่ีฐานทงั้ สอง = 2πrh + 2πr 2 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานของทรงกระบอก h แทน ความสูงของทรงกระบอก

110ปริมาตรทรงกระบอก = พ้ืนท่ีฐาน x สงู จาก ปริมาตรของปริซึม = πr 2 h ปริมาตรทรงกระบอก สตู ร ปริมาตรทรงกระบอก = πr 2 hตัวอยางท่ี 5 กระปองทรงกระบอกใบหนึ่งมีรัศมี 7 เซนตเิ มตร และสูง 10 เซนติเมตร ก) ตองการปดกระดาษรอบขางและปดฝาทั้งสองจะตองใชกระดาษกี่ตารางเซนตเิ มตร ข) กระปองใบน้มี ีความจุก่ลี ูกบาศกเซนตเิ มตรวธิ ที าํ ก) พ้ืนทฐ่ี านทง้ั หมด = 2πr 2 = 2 × 22 × 7 × 7 7 = 308 ตารางเซนตเิ มตร พน้ื ทีผ่ วิ ขา ง = ความยาวรอบฐาน x สงู = 2πr × h พืน้ ทผ่ี ิวกระปอ ง = 2 × 22 × 7 ×10 7 = = 440 ตารางเซนตเิ มตร = 308 + 440 748 ตารางเซนตเิ มตร ข) ปริมาตร = พื้นท่ฐี าน x สงู = πr 2 h = 22 × 7 × 7 ×10 7 = 1,540 ลูกบาศกเซนติเมตร ดงั น้ัน ก. ตองใชก ระดาษ 748 ตารางเซนตเิ มตร ข. กระปองมีความจุ 1,540 ลูกบาศกเซนตเิ มตร

111 แบบฝก หดั ท่ี 21. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของทรงกระบอกสูง 10 เซนติเมตร มีเสนผานศูนยกลาง 14เซนตเิ มตร..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. จงหาปริมาตรของทรงกระบอกใบหนึ่งที่มีรัศมีของฐาน 3.5 นวิ้ และสงู 5 นว้ิ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. จงหาปรมิ าตรและพ้ืนท่ผี วิ ท้ังหมดของถังเกบ็ นํา้ รูปทรงกระบอกใบหนงึ่ ที่มรี ัศมีท่ีฐาน 3 เมตร สูง 4 เมตร 90 เซนตเิ มตร............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

112เรื่องที่ 3 การหาปรมิ าตรของพรี ะมดิ กรวยและทรงกลม 3.1 พืน้ ที่ผวิ และปรมิ าตรของพีระมิด พรี ะมิด คอื ทรงสามมิติทมี่ ฐี านเปนรปู เหลย่ี มใดๆ มยี อดแหลม ซง่ึ ไมอ ยูใ นระนาบเดียวกบัฐาน และหนา ทุกหนา เปน รปู สามเหลีย่ ม ที่มีจุดยอดรว มกันทย่ี อดแหลมลักษณะของพรี ะมดิ ตรง 1. หนาของพีระมิดตรงเปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 2. สันของพรี ะมิดตรงจะยาวเทากันทุกเสน 3. ความสูงเอียงของพีระมิดตรง ดานเทา มุมเทา จะยาวเทากันทุกเสน 4. ปริมาตรของพีระมิด เปนหนึ่งในสามของปริมาตร ปริซึมที่มีฐานเทากับพีระมิด และมี สวนสูงเทากบั พรี ะมิดสูตร พื้นทผ่ี ิวขา งของพีระมดิ = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี ง 2พ้ืนท่ีผวิ ทั้งหมดของพีระมดิ = พ้ืนท่ีผวิ ขา ง + พ้นื ทฐี่ านปริมาตรของพีระมิด = 1 × พืน้ ที่ฐาน x สูง 3

113ตวั อยางท่ี 3 พรี ะมิดฐานส่ีเหลย่ี มผืนผา กวา ง 10 เซนติเมตร ยาว 18 เซนติเมตร และความสูงของพรี ะมิดเปน 12 เซนติเมตร จงหาความสูงเอียงของพีระมิดทั้งสองดาน1. ความสูงเอียงดานกวาง a 2 = 122 + 92 =144 + 81 a 2 = 225 a =15 เซนตเิ มตร2. ความสูงเอียงดานยาว c 2 = 52 + 12 2 = 25 + 144 = 169 c = 13 เซนตเิ มตรตัวอยางท่ี 4 พรี ะมิดแหง หนึ่งมีฐานเปน รปู สี่เหลยี่ มจัตุรัส ยาวดา นละ 6 เมตร สงู เอยี ง 5 เมตร และสูงตรง 4 เมตร จงหาพน้ื ทีผ่ ิวและปริมาตรของพรี ะมดิวธิ ที าํพนื้ ท่ผี วิ ขา งของพีระมิด = 1 × ความยาวรอบฐาน x สงู เอยี งพนื้ ทฐ่ี าน 2ดังนัน้ พนื้ ท่ผี ิวของพีระมดิปริมาตรของพีระมิด = 1 × (6x4) x 5 2 = 60 ตารางเมตร = 6x6 = 36 ตารางเมตร = 60 + 36 = 96 ตารางเซนติเมตร = 1 × พน้ื ทีฐ่ าน x สงู 3 = 1 × 36 x 4 3 = 48 ลูกบาศกเมตร

114 แบบฝก หัดที่ 31. จงหาปรมิ าตรและพ้นื ท่ผี ิวท้งั หมดของพีระมดิ ทส่ี งู 6 เซนติเมตร ฐานเปนรปู สเี่ หลย่ี มจัตรุ สั ยาวดา นละ 16 เซนตเิ มตร..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. จงหาพื้นที่ผิวเอียงของพีระมิดฐานรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา ยาวดานละ 4 เซนติเมตร สงู เอยี ง7.5 เซนตเิ มตร..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1153.2 พนื้ ทผ่ี วิ และปรมิ าตรของทรงกรวย กรวย คอื ทรงสามมิตทิ ่ีมฐี านเปนรปู วงกลม มยี อดแหลมทไี่ มอยบู นระนาบเดยี วกับฐานและเสนท่ตี อ ระหวางจุดยอดกบั จุดใด ๆ บนเสน รอบวงของฐาน เรียกเสนตรงนวี้ า “สงู เอยี ง” สงู ตรง สูงเอยี ง พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย การหาพ้นื ทผ่ี ิวเอียงของกรวย ทําไดโ ดยตัดกรวยตามแนวสงู เอียงแลว คล่แี ผอ อกจะเกดิ เปนรูปสามเหลี่ยมฐานโคง hสูตร พ้ืนทผ่ี ิวของกรวย = πrl + πr 2เมือ่ r เปนรัศมีของฐานกรวยl เปนความยาวของสูงเอียง ปริมาตรของกรวย ความสัมพันธของปริมาตรของกรวยกับทรงกระบอก จะเหมือนกับความสัมพันธของปรซิ ึมกับพีระมดิ ทม่ี ีสวนสูงและพ้ืนท่ีฐานเทา กนั น่ันคอื

116 ปริมาตรของกรวย เปน 1 ของปริมาตรของทรงกระบอก ที่มีพื้นที่ฐานและสวนสูงเทากับ 3กรวย สตู ร ปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 เมื่อ r แทน รัศมีของฐานกรวย h แทน ความสูงของกรวยตวั อยา งท่ี 6 จงหาพ้ืนทผ่ี วิ และปรมิ าตรของกรวย ซงึ่ สงู 24 เซนตเิ มตร และเสน ผา นศูนยก ลาง 14เซนตเิ มตร รัศมี = 14 = 7 เซนตเิ มตรวธิ ที าํ 2 หาความสูงเอียง (l) จาก  ABO l 2 = 242 + 7 2 = 576 + 49 = 625 l = 25 เซนตเิ มตร พ้นื ทผี่ ิวขาง = πrl พ้นื ทฐี่ าน = 22 × 7 × 25 = 7 = 550 ตารางเซนตเิ มตร = πr 2 = 22 × 7 × 7 7 154 ตารางเซนตเิ มตรพน้ื ที่ผิวทั้งหมด = พน้ื ท่ีผวิ ขา ง + พืน้ ท่ีฐาน = 550 + 154 = 704 ตารางเซนตเิ มตรปริมาตรของกรวย = 1 × πr 2 h 3 = 1 × 22 × 7 × 7 × 24 37 = 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตรพน้ื ท่ผี ิวทัง้ หมด 704 ตารางเซนตเิ มตรปริมาตรของกรวย 1,232 ลูกบาศกเซนติเมตร

117 แบบฝกหดั ที่ 41. จงหาปริมาตร และพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูง 24 เซนติเมตร มีเสน ผา นศูนยกลาง 14เซนตเิ มตร..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวทั้งหมดของกรวยกลมที่สูงเอียง 5 เซนตเิ มตร มเี สนผานศูนยกลาง 8เซนตเิ มตร (ตอบในรูป π)..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. จงหาปริมาตรจรวดทรงกระบอกมีปลายเปนกรวย มีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนติเมตร ความยาวทรงกระบอก 30 เซนตเิ มตร ความสงู ยอดกรวย 12 เซนตเิ มตร.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1183.3 พ้ืนท่ผี ิวและปริมาตรของทรงกลม ทรงกลม คอื ทรงสามมติ ทิ ี่มีผวิ โคงเรยี บ และจุดทุกจุดอยูบนผิวโคงอยหู า งจากจุดคงที่จดุหน่ึงเปนระยะเทากนั จุดคงที่ เรียกวา จุดศูนยก ลางของทรงกลม ระยะท่เี ทากนั เรยี กวา รศั มีของทรงกลมพนื้ ท่ีผิวของทรงกลมพ้ืนที่ผิวของทรงกลม เปนสี่เทาของพื้นที่วงกลม ซึ่งมีรัศมีเทากับรัศมีของทรงกลมจาก พ้นื ทข่ี องรปู วงกลม = πr 2ดงั น้ัน พน้ื ที่ผิวของทรงกลม = 4 πr 2 สูตร พน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 4 πr 2ปริมาตรของทรงกลม ปริมาตรของทรงกลมอาจหาไดจากการทดลองหาความสัมพันธระหวางปริมาตรของครึ่งวงกลมกับปริมาตรของกรวยขอ กาํ หนด 1) ครึ่งของทรงกลมที่มีรัศมี r หนว ย 2) กรวยที่มีรัศมีเทากับครึ่งทรงกลม r หนว ย และสว นสงู ของกรวย (h) เปน 2 เทาของรัศมี ฐานของกรวย คือ 2 r หนว ย

119 สตู ร ปริมาตรของทรงกลม = 4 πr 3 3 เม่อื แทน r รัศมีของทรงกลมตัวอยางที่ 7 จงหาปรมิ าตรและพนื้ ท่ีผิวของลูกโลกพลาสตกิ ซง่ึ มีรัศมยี าว 7 เซนติเมตรวิธีทาํ พ้นื ทผ่ี ิวทรงกลม = 4 πr 2 = 4 × 22 × 7 × 7 7 = 616 ตารางเซนตเิ มตร ปริมาตรทรงกลม = 4 πr 3 3 = 4 × 22 × 7 × 7 × 7 37 = 4,312 3 = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตรพน้ื ท่ผี วิ ของทรงกลม = 616 ตารางเซนตเิ มตรปริมาตรของทรงกลม = 1,437.3 ลูกบาศกเซนติเมตร

120 แบบฝก หดั ท่ี 51. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลมซึ่งมีเสนผานศูนยกลาง 14 เซนตเิ มตร........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. ทรงกลมมีปริมาตร 38,808 ลกู บาศกเซนตเิ มตร จงหารศั มีและพ้ืนทผ่ี วิ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. ทรงกลมมีพน้ื ท่ผี วิ 616 ตารางนิ้ว จงหาปริมาตรของทรงกลม..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................4. โลหะกลมลกู หนึ่ง รัศมภี ายนอก 21 เซนติเมตร รศั มีภายใน 7 เซนตเิ มตร จงหาปรมิ าตรเนอ้ื โลหะ..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

121เรอ่ื งท่ี 4 การเปรยี บเทยี บหนว ยปรมิ าตร การตวง คือ การนาํ สิ่งทต่ี อ งการหาปริมาตรใสในภาชนะท่ีใชสําหรบั ตวง หนว ยการตวงท่นี ิยมและใชก นั มาก คือ ลติ ร 1 ลติ ร = 1,000 มลิ ลิลติ ร 1,000 ลติ ร = 1 กโิ ลลติ รเมื่อเทียบกับหนว ยปรมิ าตรหนว ยการตวงในมาตราไทย เปนหนวยการตวงที่นิยมใชกันมาก คอื1 ถงั = 20 ลติ ร (ทะนานหลวง)1 เกวียน = 100 ถัง1 เกวียน = 2 ลูกบาศกเมตร1 เกวียน = 2,000 ลติ ร1 ลิตร = 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร10 มิลลิลติ ร = 1 ลูกบาศกเซนติเมตร1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลติ ร1 ลูกบาศกเมตร = 1,000,000 ลูกบาศกเซนติเมตร1 แกลลอน = 4.546 ลติ ร1 ลกู บาศกน้วิ = 16.103235 ลูกบาศกเซนติเมตร1 ลกู บาศกน ้ิว = 0.0164 ลติ ร1 ลูกบาศกฟุต = 1.728 ลูกบาศกนิ้ว1 ลกู บาศกฟุต = 28.32 ลติ ร1 บารเ รล = 158.98 ลติ ร

122ตัวอยา งท่ี 1 อางน้ําทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากใบหนึ่ง กวา ง 30 เซนตเิ มตร ยาว 50 เซนติเมตร และสูง40 เซนตเิ มตร 1. อางใบน้ีจุน้ํากี่ลติ ร 2. ถา มนี ํา้ บรรจเุ ตม็ อา ง และนาํ้ 1 ลกู บาศกเซนติเมตร หนัก 1 กรัม จงหานํ้าหนักของ นาํ้ ในอา งใบน้ีวธิ ีทํา 1. ปริมาตรของอางน้ํา = ความกวาง × ความยาว × ความสูง แทนคา ปริมาตรของอางน้ํา = 30 × 50 × 40 = 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตรเมือ่ เทียบกับหนว ยปรมิ าตร1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ ร 60,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 60,000 = 60 ลติ ร 1,0002. น้าํ 1 ลูกบาศกเซนติเมตร หนกั 1 กรมันํ้า 60,000 ลูกบาศกเ ซนติเมตร หนัก 60,000 กรมั = 60,000 = 60 กโิ ลกรมั 1,000 ตอบ 60 กโิ ลกรมัตวั อยางที่ 2 ถังเก็บน้ําฝนทรงกระบอกเสนผานศูนยกลางภายใน 3 เมตร สงู 5 เมตร คดิ เปนปริมาตรของน้าํ กี่ลิตรวธิ ที ํา ปริมาตร = πr2 h = 22 ×1.5 ×1.5 × 5 7 = 35.36 ลูกบาศกเมตร = 35.36 X 1,000,000 ลกู บาศกเซนตเิ มตร = 35,360,000 ลูกบาศกเซนติเมตรเนอ่ื งจาก 1,000 ลูกบาศกเซนติเมตร = 1 ลติ รดังน้ัน 35,360,000 ลูกบาศกเ ซนตเิ มตร = 35,360,000 = 35,360 ลติ ร 1,000

123 แบบฝกหดั ท่ี 61. สระแหง หนง่ึ เปน รูปสีเ่ หล่ียมผนื ผา กนสระกวาง 5 วา ลกึ 3 เมตร ยาว 15 เมตร ถาใชเครื่องสบู นํ้าออกจากสระไดนาทลี ะ 9,000 ลิตร จะตองใชเ วลาสบู นา้ํ เทาไร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….2. อางเลี้ยงปลาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 90 เซนติเมตร ยาว 1.2 เมตร จุนํา้ 540 ลิตร ตองการปูกระเบือ้ งภายในอา งดว ยแผนกระเบือ้ งรปู ส่เี หล่ียมจัตุรัส ยาวดานละ 10 เซนติเมตร ตองใชก ระเบอ้ื งอยางนอ ยทส่ี ุดเทา ไร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….3. นายาบวนปากขวดหนึ่งปริมาตรสุทธิ 700 มิลลิลติ ร ใชอมปว นปากคร้งั ละ 10 มลิ ลิลิตร วันละ 2ครั้ง จะใชไ ดกวี่ นั……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….4. ถังน้ําทรงลูกบาศกยาวดานละ 2 เมตร จนุ ้าํ ไดกี่ลติ ร……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….5. ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากวัดภายในกวาง 90 เซนตเิ มตร ยาว 1.50 เซนติเมตร สงู 1.20 เมตร บรรจุน้ําเตม็ ถัง ถาตอ งการตวงน้ําจากถังใสแกลอนซึ่งมีความจุ 4.5 ลิตร จะไดน้าํ ท้งั หมดกี่แกลอน……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………….

124เร่อื งที่ 5 การแกโ จทยปญ หาเกีย่ วกับปรมิ าตรและพื้นทีผ่ ิวตัวอยาง ลังกระดาษบรรจุกลองซีดี วัดความยาวภายในไดกวาง 12 เซนติเมตร บรรจุ ยาว 14 เซนตเิ มตรและสูง 15 เซนตเิ มตร และบรรจุกลอ งซดี เี ตม็ ลังพอดี ลงั กระดาษน้มี ปี รมิ าตรเทา ไร และถา หยบิ กลอ งซดี อี อกมา 1 กลอ ง ซงึ่ มปี รมิ าตร 270 ลูกบาศกเซนติเมตร กลองซีดีจะหนาเทาไรวิธที าํ ลังกระดาษมีปริมาตร = พ้นื ทฐ่ี าน x สูง = (12 x 14) x 15 = 2, 520 ลูกบาศกเซนติเมตรกลอ งซดี ี 1 กลอง มีปริมาตร = พ้นื ท่ฐี าน x หนา 270 = (12 x 15) x หนา หนา = 270กลอ งใสซีดมี คี วามหนา = 12 ×15 1.5 เซนตเิ มตรลังกระดาษมีปริมาตร 2,520 ลูกบาศกเซนติเมตรตวั อยาง นาํ้ ขนั ครง่ึ วงกลมรัศมี 3 น้ิว ตักนํ้าใสถ งั ทรงกระบอกทีม่ ีรศั มี 10 น้ิว และสงู 27 น้ิว กี่คร้ังนาํ้ จงึ จะเตม็ ถงัวิธีทํา ปริมาตรน้ํา 1 ขัน = 1 ของปริมาตรของทรงกลม 2 = 1 × 4 πr 3 23 = 1 × 4 ×π ×3×3×3 23 = 18 π ลูกบาศกน ิว้ปริมาตรถังทรงกระบอก = πr 2 h = π ×102 × 27 = 2,700 π ลูกบาศกน้วิจะตองตักนาํ้ = 2,700π ครัง้ตอบ 18π = 150 คร้ัง 150 ครงั้

125 แบบฝกหัดที่ 71. ถงั เก็บนาํ้ มันของปม แหงหนึง่ เปน รปู ทรงกลม มเี สน ผานศนู ยก ลาง 7 เมตร ตองการทาสีครึ่งทรงกลมบน โดยเสียคาทาสีตารางเมตรละ 40 บาท ตองเสียคาทาสีกี่บาท........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................2. หินออนทรงลูกบาศกมีขนาดดานละ 2.1 เมตร ถาตองการกลึงใหเปนรูปทรงกลมใหมีขนาดเสนผานศูนยกลางเทากับความยาวของดานลูกบาศก จงหาวาจะตองกลึงหินออกไปปริมาตรเทาใด........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................3. นําแทงตะกั่วทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากกวาง 8 นว้ิ ยาว 11 น้ิว หนา 5 นว้ิ ไปหลอมเปน ลูกปน ทรงกลมขนาดรัศมี 1 นิว้ จะหลอมไดกี่ลูก.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

126เรอ่ื งที่ 6 การคาดคะเนเกย่ี วกบั ปรมิ าตรและพ้นื ทีผ่ ิว การคาดคะเนพื้นที่ เปนการประมาณพื้นที่อยางคราวๆ จากการมองโดยอาศัยประสบการณและความรูเกี่ยวกับขนาดและความยาวมาชวยในการเปรียบเทียบและตัดสินใจ เพื่อใหใกลเคียงกับพนื้ ทจ่ี รงิ มากทสี่ ดุ หนวยพ้นื ท่ที นี่ ิยมใช คือ ตารางเซนติเมตร(ซม.2 ) ตารางเมตร(ม.2) และตารางวา(วา2)การคาดคะเนพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมตัวอยาง จงคะเนหาพ้ืนท่ีรูปหลายเหล่ยี มตอ ไปน้ี

127วธิ ีคดิ ในบางคร้งั การหาพ้ืนท่ีรปู หลายเหล่ยี มตางๆ ทไี่ มไ ดระบหุ นวยความยาว เราอาจจะใชวธิ ีการสรางหนวยตาราง 1 หนว ย คลุมพื้นท่ดี งั กลาวโดยกาํ หนด แทนพน้ื ท่ี 1 หนวย หรอื แทนพืน้ ท่ี 1 ตารางเซนตเิ มตร หรอื แทนพืน้ ที่ 1 ตารางเมตร หรอื แทนพน้ื ท่ี 1 ตารางวาจากรูปภาพนับรปู ได 22 รูป ซงึ่ แทนพน้ื ท่ี 22 ตารางหนว ยดงั นนั้ พน้ื ท่ีรปู หลายเหลย่ี ม = 22 ตารางหนวย

128 บทท่ี 7 คูอันดบั และกราฟสาระสําคัญ คอู ันดับ เปน การจบั ครู ะหวางสมาชิกสองตวั จากกลุม เพ่อื นําไปจดั ทํากราฟบนระนาบพกิ ัดหาปริมาณ ความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดผลการเรียนรูทีค่ าดหวงั 1. อานและอธิบายความหมายคูอันดับได 2. อานและแปลความหมายกราฟบนระนาบพิกัดฉากที่กําหนดใหได 3. เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของของปริมาณสองชุดที่กําหนดใหไดขอบขา ยเน้ือหา เร่ืองที่ 1 คูอ ันดับ เร่ืองท่ี 2 กราฟของคูอ ันดับ เร่ืองท่ี 3 การนําคูอันดับและกราฟไปใช

129เรือ่ งที่ 1 คูอ ันดบั คอู ันดับ (Ordered pairs) เปนการจับคูระหวางสมาชิกสองตัวจากกลุม 2 กลมุ ท่ีมีความสัมพนั ธภายใตเ ง่ือนไขทีก่ ําหนด เขยี นแทนดว ยสัญลักษณ (a , b) อา นวา คอู นั ดับเอบี เรียก a วา สมาชิกตวั หนา หรือสมาชิกตัวที่หนง่ึ และเรียก b วา สมาชิกตัวหลัง หรอื สมาชกิ ตัวที่สอง ดงั แผนภาพ เขยี นเปนคูอันดับไดดงั น้ี (1, 12), (2,24), (3,36), (4,48)หมายเหตุ คูอ ันดบั (1,a) ≠ (a,1) ถา กาํ หนด ( a , b ) และ ( x , y ) เปนคูอันดับ 2 คใู ดๆ จะไดว า ( a , b ) = ( x , y ) กต็ อ เมื่อa = x และ b = y เชน 1. ( x , y ) = (5 , 12) ดงั นนั้ x = 5 และ y = 12 2. (x – 3, y – 2 ) = (0,0) วิธที ํา x – 3 = 0 และ y – 2 = 0 ดังน้ัน x = 3 และ y = 2

130 แบบฝก หดั ที่ 11. จงเขยี นคอู ันดบั จากแผนภาพทก่ี าํ หนดใหต อไปน้ี 1).………………………………………………………………………………………… 2).………………………………………………………………………………………… 3).…………………………………………………………………………………………2. จงหาคา x และ y จากเงื่อนไขท่กี าํ หนดใหในแตล ะขอตอไปนี้ 1). (x,y) = (4,3)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2). (x,y) = (y,2)

131…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3). (x,0) = (6,y)…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4). (x+1,y) = (5,4)……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

132เรอ่ื งท่ี 2 กราฟของคอู ันดับ กราฟของคูอ ันดับเปนแผนภาพทีแ่ สดงความสัมพันธระหวางสมาชิกของกลุมหนึง่ กลับสมาชิกของอีกกลุม หนึ่งโดยใชเสนจํานวนในแนวนอนหรือแนวตั้ง ใหตัดกันเปนมุมฉาก ที่ตาํ แหนง ของจดุ ทแ่ี ทนศนู ย (0) ซง่ึ เราเรยี กวา จดุ กาํ เนิด ดงั ภาพ เสน จาํ นวนในแนวนอน หรอื แกน X และเสน จาํ นวนในแนวตง้ั หรอื แกน Y อยูบนระนาบเดยี วกนั และแบง ระนาบออกเปน 4 สว นเรยี กวา จตุภาค (Quadrant)การอา นและแปลความหมายกราฟบนระนาบพกิ ัดฉากทีก่ ําหนดให

133ตาํ แหนง ของจุด A คอื (1,2)ตาํ แหนง ของจุด B คอื (-2,3)ตาํ แหนง ของจุด C คอื (-3,-2)ตาํ แหนง ของจุด D คอื (2,-4)เรยี กจดุ ท่ีแทนตําแหนงคูอนั ดบั วา กราฟของคูอันดบั และเรยี กตาํ แหนงของคูอันดบั วา พกิ ดัตวั อยา ง กาํ หนด A = (-4,6) , B= (3,-5) , C= (2,2) , D = (-1,-2) จดุ A, B, C, D อยูในจตุภาคใดวธิ ที าํ จดุ A = (-4,6) อยใู นจตุภาคที่ 2 จดุ B = (3,-5) อยใู นจตภุ าคท่ี 4 จดุ C = (2,2) อยใู นจตภุ าคท่ี 1 จดุ D = (-1,-2) อยใู นจตภุ าคท่ี 3

134 แบบฝก หดั ที่ 21. จงหาพกิ ดั ของจดุ A, B, C, D ในแตล ะขอ 1.1.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1.2..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1352. จงเขียนกราฟของคูอันดบั ในแตละขอ 1). (1, 2), (-2, 4), (3, -6), (4, 0)2). (5, -1), (2, 2), (-4, 3), (-2, 0)

136เรือ่ งท่ี 3 การนาํ คูอ ันดบั และกราฟไปใช เราสามารถนําคูอนั ดับและกราฟไปใชใ นชีวิตประจําวันได ซง่ึ จะกลาวในตวั อยางตอไปนี้ตวั อยางที่ 1 กราฟที่แสดงปริมาณน้ํามัน (ลิตร) และราคาน้ํามัน (บาท) ของวนั ที่ 5 เดือนมีนาคม ป 2552ซึ่งมีราคาลิตรละ 19 บาทวธิ ที ํา ราคานํา้ มนั (บาท) ปริมาณนํ้ามนั (ลติ ร)ตัวอยางท่ี 2 จากกราฟในตวั อยา งที่ 1 จงตอบคําถามตอไปนี้(1) นํา้ มัน 9 ลิตร ราคาเทาใด(2) เงนิ 209 บาท ซอ้ื นํ้ามนั ไดก่ีลิตรวธิ ีทาํ

137 (1) จากตาํ แหนง แสดงปรมิ าณนาํ้ มนั 9 ลติ ร ลากเสนตรงใหขนานกับแกนตั้งไปตดั กราฟและจากจุดทต่ี ดั กราฟลากเสน ตรงขนานแกนนอนไปตดั แกนท่ีแสดงราคานาํ้ มนั เปน เงิน171 บาท ดงั นนั้ นํ้ามัน 9 ลติ ร เปนราคา 171 บาท (2) จากตาํ แหนง แสดงราคานาํ้ มนั 209 ลติ ร ลากเสน ตรงใหข นานกับแกนนอนไปตัดกราฟและจากจุดที่ตัดกราฟลากเสนตรงขนานแกนตั้งไปตัดที่แกนแสดงจํานวนน้ํามันเปนปริมาณ 11 ลติ รดงั นน้ั เงิน 209 ลติ ร จะซื้อนาํ้ มันได 11 ลติ ร แบบฝก หัดท่ี 3กราฟขางลางแสดงการเดินทางของอนุวัฒนและอนุพันธจงใชกราฟที่กําหนดใหตอบคําถามตอไปนี้1.อนุวัฒนอ อกเดินทางกอนอนพุ นั ธก ่ชี ั่วโมง 4.อนวุ ัฒนอ อกเดนิ ทางนานเทา ไรจงึ จะหยดุ พกั................................................................. .................................................................2.อนุพันธใชเวลาเดินทางกี่ชั่วโมงจึงทันอนุวฒั น 5.ตาํ แหนง ท่ีอนวุ ัฒนห ยุดพกั หา งจากตาํ แหนง ท่ี อนุพันธอ อกเดินทางก่ีกิโลเมตร................................................................. .................................................................3. อนุพันธเ ดินทางทนั อนุวัฒนเม่ือทง้ั สองเดินทางไดก ีก่ โิ ลเมตร.................................................................

138 บทท่ี 8ความสมั พนั ธระหวา งรปู เรขาคณติ สองมิตแิ ละสามมติ ิสาระสําคัญ รูปเรขาคณิตสองมิติ และสามมิติ มีความสัมพันธกันเปนอยางมาก เหมาะที่จะนําไปใชในการประดิษฐเปน รูปลูกบาศกแ ละใชป ระโยชนใ นชวี ติ ประจาํ วันผลการเรยี นรทู ค่ี าดหวัง 1. อธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิติจากภาพสองมิติที่กําหนดใหได 2. ระบุภาพสองมิติที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง ดานบน ของรูปเรขาคณิตสาม มติ ทิ ีก่ าํ หนดใหได 3. วาดหรือประดษิ ฐร ปู เรขาคณิตท่ีประกอบขึ้นจากลูกบาศกเมื่อกําหนดภาพสองมิติที่ได จากการมองทางดานหนา ดานขาง หรือดานบนไดขอบขา ยเน้ือหา เรื่องท่ี 1 ภาพของรูปเรขาคณิตสองมิติที่เกิดจากการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติ เรื่องท่ี 2 ภาพสองมติ ิที่ไดจากการมองดานหนา ดานขาง หรือดา นบนของรปู เรขาคณิตสามมิติ เรื่องที่ 3 การวาดหรือประดิษฐรูปเรขาคณิตที่ประกอบขึ้นจากลูกบาศก

139เร่ืองที่ 1 ภาพของรูปเรขาคณติ สองมติ ทิ เี่ กดิ จาการคล่ีรูปเรขาคณติ สามมิติ รูปเรขาคณิตมีสวนเกีย่ วของสัมพันธกับชีวิตประจําวันมนุษยตัง้ แตอดีตจนถึงปจจุบันสิ่งแวดลอมตางๆ ที่อยูร อบตัวเราลวนเปนไปดวยวัตถุรูปเรขาคณิต นอกจากนีเ้ ราใชเรขาคณิตเพื่อทําความเขาใจหรืออธิบายสิ่งตางๆ รอบตวั เชน ในการสํารวจพ้นื ที่ สรางผังเมือง เปนตนภาพของรูปเรขาคณิต รูปเรขาคณติ เปน รปู ท่ีประกอบดวย จดุ ระนาบ เสนตรง เสนโคง ฯลฯ อยา งนอยหนง่ึ อยา งตวั อยา งภาพเรขาคณิตสองมิติตัวอยา งรปู เรขาคณติ สามมติ ิ จะเห็นวา รูปเรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติ มีสวนประกอบของรูปเรขาคณิตหนึ่งมิติและสองมิติ

140รูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติ รูปคลี่ของรปู เรขาคณิตสามมิติ หรือทรงสามมิติใดๆ เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่สามารถนํามาประกอบกันแลวไดทรงสามมิติ พิจารณาทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกวาง ความยาว และความสูง 1 หนวย เทา กัน ซ่ึงเราเรียกทรงส่เี หล่ียมมุมฉากน้ีวา “ลูกบาศก”

141 แบบฝก หัดที่ 11. จงบอกชนิดของรูปเรขาคณิตสามมติ ทิ ่ีมีรปู คลี่ดงั ตอ ไปนี้1. ……..………………………...…. 2. ….……………………………….3. …….…………………………….. 4. …..……………………………….

1422. จงเขียนรูปคลี่ของรูปเรขาคณิตสามมิติในแตละขอตอไปน้ี

143เรือ่ งที่ 2 ภาพสองมติ ทิ ่ไี ดจ ากการมองดานหนา ดา นขา ง หรอื ดานบนของรปู เรขาคณติสามมติ ิ โดยทั่วไปการเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติ ในการอธิบายลักษณะของรูปเรขาคณิตสามมิตินยิ มเขยี น 3 ภาพ ซึ่งประกอบดวย ภาพที่ไดจากการมองทางดานหนา ดานขาง และดา นบน ดงัตวั อยางตวั อยา ง จงแรเงาพรอมทั้งเขียนรูปเรขาคณิตสองมิติสวนที่เปนดานบน ดานหนา และดานขางของทรงสามมิติที่กําหนดใหตอไปนี้

144วิธที าํ