PVS Mental Math

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เมื่อใดท่ีเราคุ้นเคยและสนุกไปกับมัน เราจะไม่มีทางคูณ 11 โดยวิธีอ่ืนอีกเลย ลองฝึกอกี เล็กนอ้ ยนะ แบบฝึกหดั ท่ี 4.1: Multiply by 11 แบบฝกึ หดั ท่ี 4.2: Addition-Method Multiplication Problems 41

PVS MENTAL MATH HANDBOOK The Subtraction Method การใช้วธิ กี ารลบคอ่ นข้างจะมีประโยชน์เมือ่ เลขตวั ทา้ ยเปน็ 8 หรือ 9 เช่น ตอนนี้ลองมาดตู วั อยา่ งอกี ซักข้อหนึ่งซิ งา่ ยขนึ้ เยอะ งา่ ยผุด ๆ แล้วถ้าลงทา้ ยด้วย 8 ละ่ ในกรณีน้ีเราควรจะมอง 88 ให้เป็น 90 – 2 แล้วคูณ 90x 23 = 2070 แต่ เราคูณเลขมากไปใช่มั้ย ดังนั้นเราควรลบออก -2 x 23 = -46 จาก 2070 เป็น 2024 และน่ีคอื คำตอบสดุ ท้ายยยย 42

PVS MENTAL MATH HANDBOOK อย่างไรกต็ ามมันไม่จำเปน็ ว่าจะต้องใชก้ ับเลขที่ลงท้ายด้วย 8 กบั 9 เท่าน้ัน แต่ เราสามารถใช้เลขท่ีอยู่ในช่วง 90 กว่า ๆ ได้ เนื่องจาก 100 เป็นเลขที่สะดวกในการคูณ ยกตัวอยา่ งเชน่ 96 x 73 เราควรจะ Round Up เปน็ 100 เม่อื ไหรท่ ่ีเราลบเลขแล้วมีความจำเป็นที่จะตอ้ งยืม การใช้ Complements ก็จะ ช่วยได้มาก ดูตัวอย่างด้านล่าง เราลบ 340 – 78 ความต่างระหวา่ ง 40 กับ 78 คือ 38 และ Complement ของ 38 คือ 62 ดังน้ั 62 จะเป็นสองหลักสุดท้ายของคำตอบ ซ่ึงก็ คือ 262: มันมีอยสู่ องวธิ ที ่จี ะทำในขั้นตอนของการลบ และดา้ นลา่ งนคี้ ือวธิ ที ี่ยาว: 43

PVS MENTAL MATH HANDBOOK วิธีท่ีส้ันก็คือให้ลบ 52 – 40 = 12 หลังจากน้ันให้หา Complement ของ 12 ซ่ึงก็คือ 88 และเม่ือ 52 นั้นมันมากกว่า 40 เรารู้อยู่แล้วว่าคำตอบจะต้องเป็น 6600 กว่า ดังนั้นเราแคเ่ อา 88 ไปเปน็ สองหลักสุดทา้ ย คำตอบกค็ ือ 6688 ลองดูอกี ข้อหนึง่ เรามองเห็นอยู่แล้วว่าคำตอบจะเป็น 3900 กว่า เพราะว่าอะไร ก็เพราะ 67 มากกวา่ 20 และ 67 – 20 = 47 เมอ่ื Complement ของ 47 ก็คอื 53 ดังนั้นคำตอบ กค็ อื 3953 เราจะสังเกตุได้ว่า วิธีการแบบนี้จะใช้ได้ดีเม่ือโจทย์ทำให้เราต้องมีการยืมใน (ข้ันตอนของการลบ) แบบฝึกหัดที่ 4.3: Subtraction-Method Multiplication Problems 44

PVS MENTAL MATH HANDBOOK The Factoring Method วิธีแยก Factor เป็นอีกวิธีหน่ึงที่ง่ายมาก ๆ และมันไม่ได้มีข้ันตอนของการคูณ หรือการหารเลย เราสามารถใช้วิธีการนี้ต่อเม่ือเราสามารถแยกองค์ประกอบของเลขสอง หลกั เปน็ ตัวเลขทเ่ี ล็กลง การแยก Factor หรือการแยกองค์ประกอบ ก็คือ การแยกให้เป็นตัวเลขที่เล็ก ลง แต่เม่ือเอาเลขที่แยกมาคูณกันก็จะกลับมาเป็นตัวเลขเดิม เช่น 24 เราสามารถแยก ออกเป็น 6 x 4 หรือ 8 x 3 (แน่นอนว่า มันสามารถแยกเป็น 12 x 2 ได้ด้วย แต่เลข หลกั เดยี วยจะจดั การได้งา่ ยกวา่ ซึ่งเปา้ หมายของเราคอื ทำให้มนั งา่ ยเข้าไว้) และน่ีคือตวั อย่างของ Factors Numbers: ในการท่ีจะดูว่าการแยก Factor ช่วยเรื่องการคูณได้เป็นอย่างมาก ลองดูโจทย์ ด้านลา่ ง เราลองทำมนั ใหมอ่ กี คร้งั หนง่ึ จากในส่วนของ Addition Method กอ่ นหนา้ น้ี ก่อนหน้านี้ เราแกป้ ัญหานี้โดยการคูณ 46 x 40 และ 46 x 2 แล้วเอาผลลัพธ์ ของท้งั สองมาบวกกัน ในการใช้ Factoring Method เปล่ียน 42 ให้เป็น 7 x 6 แลว้ คูณ 46 x 7 ซ่ึงได้ 322 หลังจากนั้นคูณ 366 x 6 = 1932 คือคำตอบ เรารู้วิธีการคูณเลข 2-by-1 และ 3-by-1 multiplication กันอยู่แล้วน่ี จากบทที่ 2 ไงล่ะ ดังน้ันมันไม่ยาก เลยใชม่ ้ัย 45

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แน่นอนวา่ เราสามารถแยก Factor ของ 42 กไ็ ด้เช่นกนั แต่ก็อย่างท่ีเห็นนั่นแหละ การคูณ 322 x 6 มันง่ายกว่าการคูณ 276 x 7 ใชม่ ้ัยล่ะ สำหรับผมนะ ผมชอบท่จี ะใช้ Factor ตัวมากกอ่ นในการคูณ 2-by-1 (ในทีน่ ้ีคือ 7) และใชต้ ัวน้อย (6) ในการคูณ 3-by-1 เพราะมนั งา่ ยกว่าสำหรบั ผม ลองดูอกี ซกั หนงึ่ ตัวอย่าง เช่นที่ผ่านมา เราต้องจัดระเบียบโจทย์ 2-by-2 โดยการแยก Factor 63 ไป เป็น 9 x 7 แล้วเอาไปคูณ 75 สังเกตุว่า มันก็มีทางอ่ืนด้วยนะ แล้วแต่คนชอบ เช่น 25 x 3 หรือ 5 x 5 x 3: อ่าว... ทำแบบน้ีก็ดีเหมือนกันแฮะ ง่ายด้วย เอาเป็นว่าแต่ละคนต้องไปหา คำตอบกันเองแล้วล่ะว่า ตนเองถนัดแบบไหนมากกว่ากัน ส่วนตัวผมเองชอบแยกเป็นแค่ 2 Factors มากกวา่ มันจำน้อยกวา่ และมนั คูณนอ้ ยกวา่ ลองทำโจทยด์ า้ นลา่ งอกี ซกั หนอ่ ย หรือเราอาจจะแยก Factor 24 เปน็ 6 x 4 กไ็ ด้ จากการเปรียบเทียบ สงั เกตวุ า่ การแยก Factor มนั งา่ ยกว่าวิธกี ารบวก 46

PVS MENTAL MATH HANDBOOK จากโจทย์ด้านบน เราแก้ปัญหา 2-by-1 แล้วก็เอามาบวกกัน แต่ด้วยวิธีการ แยก Factor เราแค่ทำการคูณแค่ 2 ครั้งแล้วก็จบ (2-by-1 และ 3-by-1) ไม่มีการ บวกเพิ่มมาอกี ขั้นตอนหนง่ึ จำโจทยท์ ี่อยูใ่ น วิธีการลบ (Subtraction Method) ได้มัย้ ลองมาดูกันอกี ทนี ะ ท่ีผ่านมาเราบอกว่ามันง่ายแล้วใช่ม้ัย แต่ลองดู Factoring Method ดูซิว่าเป็น อย่างไร การแก้โจทย์แบบนี้ยิ่งง่ายไปใหญ่ เพราะว่าเรามี 0 อยู่ตรงกลางของ 801 ตัวอย่างถัดไปแสดงให้เห็นว่า บางกรณีการเรียง Factor ตามลำดับก็อาจทำให้ง่ายขึ้น เราสามารถคำนวณ 67 x 42 ไดส้ องทางเชน่ : โดยทั่วไปเราจะแยก Factor ของ 42 เป็น 7 x 6 ดังในตัวอย่างแรก ซึ่งเรา สามารถที่จะคูณ Factor ตัวมากก่อน แต่ว่าการแก้โจทย์จะง่ายข้ึนหากเราแยก Factor 42 เปน็ 6 x 7 เพราะมนั จะสร้างตัวเลขทม่ี ีเลข 0 อยูต่ รงกลาง ซึง่ ทำใหง้ า่ ยตอ่ การคณู 47

PVS MENTAL MATH HANDBOOK อนั ท่ี 2 งา่ ยกว่าใช่มั้ยล่ะ ผมได้สรุปตัวเลขที่คูณกันแล้วจะได้คำตอบที่มี 0 อยู่ตรงกลาง ก็ไม่ได้หวงั ว่าจะ ให้จำนะ แค่เก็บเป็นลิสต์ไว้ก็พอ หากทำโจทย์มากข้ึนมันก็จะผ่านตาเราเอง และจะระลึก ได้เอง 48

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 49

PVS MENTAL MATH HANDBOOK กอ่ นหน้านี้เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับการคณู ด้วย 11 มาแล้ว และเราก็เห็นแล้วว่ามัน ง่ายแคไ่ หน ดงั นนั้ ในการแยก Factor ก็หยิบมาใช้เลยซิหากเราเจอ โอ้วแม่เจ้า...ช่างงา่ ยอะไรปานนี้ แบบฝึกหดั ท่ี 4.4: Factoring-Method Multiplication Problems APPROACHING MULTIPLICATION CREATIVELY เห็นม้ัยว่า การแก้ปัญหาโจทย์การคูรนั้นมันสนุกแค่ไหน (มันมว๊ากกกก) เพราะว่ามันสามารถทำได้หลายวิธี ไหนตอนน้ีเราลองประยุกต์ใช้วิธีการทั้งสามแบบท่ี กลา่ วมาดูซิ เราจะเรม่ิ จาก Addition Method: 50

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ตอนน้ลี อง Subtraction Method: จำไว้ว่า เลขสองหลักสุดท้ายของวิธีการลบจะมาจาก 50 + (Complement ของ 73) = 50 + 27 = 77 หรืออาจจะทำง่าย ๆ โดยเอา Complement ของ 73 – 50 = Complement ของ 23 = 77 สุดทา้ ย ลองวธิ ีการ Factoring Method: Congratulations! อย่าลืมทำโจทย์เยอะ ๆ นะ แบบฝึกหัดที่ 4.5: 2-by-2 General Multiplication 51

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 52

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ของแถมทา้ ยบท จากการท่เี รานำเลขสองหลกั ใด ๆ มาคูณด้วย 11 เชน่ ตวั อย่างท่ีผา่ นมา เราก็แค่เอา 4 ไปบวกกับ 2 = 6 แล้วเอาไปสอดตรงกลางระหว่าง 4 กับ 2 คำตอบกค็ ือ 462 มันมีอะไรมากไปกว่าน้ีหรือเปล่าในการเอาเลขใด ๆ ไปคูณกับ 11 ตามมาใกล้ เดี๋ยวผมจะเสกเวทมนตรใ์ หด้ ู เลข 3 หลักคณู กบั 11 เช่น 345 x 11 = 3795 213 x 11 = 2343 426 x 11 = 4686 สังเกตุเห็นอะไรหรือเปล่า...ดูให้ดี ๆ ซิ ตัวหน้ากับตัวท้ายก็เหมือนกับการที่เรา เอาเลขสองหลักมาคูณกับ 11 เลยใช่ม้ัย แต่เลขตรงกลางท่ีเราเอาเข้ามาสอดกลับ กลายเปน็ สองหลกั แลว้ เอามาจากไหนละ่ ... เห็นหรือยงั ถ้ายงั จากขอ้ แรก 345 x 11 ตัว ที่เอามาสอดตรงกลางก็คือ (3+4) กับ(4+5) ไงล่ะ กลายเป็น 79 แล้วเอาไปสอดตรง กลางระหว่าง 3 กบั 5 เปน็ 3795 คอื คำตอบ โอว้ แม่เจา้ มนั ยอดมากเลยใช่มย้ั ล่ะ 213 x 11 = 2(2+1)(1+3)3 = 2343 ตอบ, 426 x 11 = 4(4+2)(2+6)6 =4686 ตอบ น่ันไงได้หรือยัง คราวน้ีเรามาลองเลขซัก 5 หลักดูซิ เช่น 21432 x 11 = 2(2+1)(1+4)(4+3)(3+2)2 =235752 WOW!!! ได้เหมอื นกันแฮะ หมายความวา่ ไมว่ า่ จะเปน็ เลขก่หี ลักหากนำมาคูณกบั 11 แล้ว ก็ใชว้ ธิ ีนี้ได้เลยจา้ ! คราวน้ีหากว่าเราลองตั้งข้อสังเกตุเพิ่มไปอีกนิดหน่ึงซิ เอ...213 x 11 มันก็คือ 2[(2x1)+1][(1x1)+3]3 = 2343 ใช่หรือไม่ แล้วทำไมต้องเอา 1 ไปคูณให้ยุ่งยากด้วย 555 มันก็แค่อยากจะลองดูน่ะ ถ้าเราเอา 1 ตวั ท้ายของ 11 ไปคณู กับตวั หน้าแล้วค่อยเอา 53

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ไปบวกตัวหลัง เกิดว่าเป็นเลข 12 ท่ีเราเอาไปคูณล่ะ เราเอา 2 ไปคูณกับตัวหน้าแล้วค่อย เอาไปบวกตัวหลัง คำตอบมันจะได้หรือเปล่า เอ้า...ลองดูละกัน สมมุติ 213 x 12 จะได้ เท่ า ไห ร่ ดึ ง 2 กั บ 3 อ อ ก ม า ร อ เล ย ต อ น น้ี ก็ แ ค่ ห า ตั ว ที่ จ ะ เอ า ม า ส อ ด [(2x2)+1][(1x2)+3] = 55 คำตอบคือ 2553 หรือเปล่านี่ อ่าวไม่ใช่ สามตัวแรกถูกแล้ว แต่ตัวสุดท้ายดันไปเป็น 6 ซะน่ี แสดงว่าตัวท้ายก็ต้องเอามาคูณ 2 ด้วยล่ะซิ 3x2 = 6 เออ...ตอนน้ีคำตอบได้ 2556 ถูกตอ้ งแล้ว งั้นมันกแ็ ค่ดึงตวั หน้าออกมาตัวเดยี ว ลองดูอีกข้อละกัน 234 x 12 = 2[(2x2)+3][(3x2)+4][4x2] = 27[10]8 อ่าว...ตวั ทส่ี ามดนั เปน็ เลข 10 ซะนี่ ทำไงด.ี ..ออ้ กท็ ศไปขา้ งหน้าเหมือนททุ ีซิ ดงั นัน้ คำตอบ คอื 2808 โอว้ ...มนั ถูกแลว้ จอช 387 x 12 = 3[6+8][16+7][14] = 3[14][23][14] = 4644 ถกู อกี แล้ว 345 x 12 = 3[10][13][10] = 4140 โอ้ว...ง่ายจริง ๆ เลย ถ้าอกี ขอ้ ถูกแสดง วา่ หลกั การนถ้ี กู แนน่ วล 864 x 12 = 8[22][16][8] = 10368 จรงิ แท้แน่นอนเลยจอช อืม...13 จะได้มยั้ คราวน้เี อา 3 คูณ 251 x 13 = 2[11][16][3] = 3263 เฮ้ย!!!ได้ด้วย 14 ละ่ 257 x 14 = 2[13][27][28] = 3598 ว้าว!!!สุดยอดไปเลยวา่ ม้ัย ท่ีเหลือก็ลองคิดกันเอาเองนะว่าเลขอ่ืนจะได้มั้ย แล้ว หากวา่ เอาไปคูณกับตวั เลขท่มี หี ลายหลักจะเปน็ อย่างไร 54

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 5: MULTIPLICATION 3 อ่าว...เรื่องเก่ียวกับการคูณยังไม่หมดอีกเหรอเน่ีย ผ่านมาตั้ง 2 บทแล้วนะ ยัง ครับยัง ใจเย็น ๆ ที่ผ่านมาหากว่าทุกคนได้ทำตามท่ีผมบอกแล้วล่ะก็ (Make It Simple and From left to Right อย่าลืมซิ!!!) เราทุกคนสามารถคูณเลข 2 หลัก 3 หลัก แมก้ ระทง่ั บางคนได้ถงึ 4 หลักในใจแบบสบาย ๆ ตามผมมาอกี ครับ ในบทน้ี ผมจะพาทุก ทา่ นไปพบกบั ขมุ ทรัพยท์ ี่จะทำให้ทุกคนตระการตา ตามมาเลยครับ 55

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2 by 2 MULTIPLICATION PROBLEMS ท่ีผ่านมาเราได้ใช้วิธีการที่หลากหลายในการคูณเลขสองหลักคูณสองหลัก ไม่ว่า จะเป็น Addition Method, Subtraction Method หรือ Factoring Method แต่ใน บทน้ีจะเป็นการคูณเลขที่ใช้วิธีการแบบปกติมาดัดแปลงให้ไม่ปกติ ??? งงล่ะซิ เพียงแค่ เราจดจำรูปแบบของมันได้ การคูณก็จะง่ายกว่าปอกกล้วยเข้าปาก ดูรูปแบบของการคูณ ด้านลา่ ง From left to right ลองดูตัวอย่างง่าย ๆ ที่ยังไม่มีการทศก่อน เช่น 12 x 21 อันดับแรกเอา 1 x 2 = 2, (2 x 2) + (1 x 1) = 5 และ 2 x 1 = 2 ดงั น้นั คำตอบคือ 252 ดังภาพด้านลา่ ง 12 12 12 x 2 1x21x21 2 52 จากตัวอยา่ งด้านบนจะเห็นได้ว่า ในการคูณเลขสองหลกั กับสองหลกั นนั้ คำตอบ ที่ได้จะมีสามส่วน เราสามารถขีดเส้นไว้ก่อนได้เพื่อจะได้รู้ว่าเลขส่วนใดเป็นส่วนใด เช่น _ _ _ หลังจากเอาหลักสิบคูณกันเสร็จแล้วให้เขียนผลลัพธ์ลงบนขีดแรก 2 _ _ หลงั จากทำส่วนทส่ี องเสร็จก็จะเปน็ 2 5 _ และ 2 5 2 ตามลำดับ ตอบ 56

PVS MENTAL MATH HANDBOOK มาดูโจทย์อีกซักข้อหน่ึงดูซิ คราวนี้ลอง 26 x 32 ผมจะเขียน Chart อีกแบบ หน่ึง ลองดูล่ะกนั 26 x3 2 (2x3) (6x3)+(2x2) (6x2) 62 221 12 832 ลองทำความเข้าใจทีละข้ันตอน จากซ้ายไปขวา 1) เอา 2 x 3 = 6 คือเลขตัว หน้าสุด 2) คูณไขว้ แล้วนำมาบวกกันจะได้ (6 x 3) + (2 x 2) = 18 + 4 = 22 นำ สองหลักหน่วยใส่ตรงกลางแล้วเอา 2 หลักสิบไปทศที่ 6 ตัวแรก 3) เอา 6 x 2 = 12 ใส่ 2 แลว้ เอา 1 ไปทศที่ 2 คำตอบจะได้ 832 81 x 59 = ? 81 x5 9 (8x5) (1x5)+(8x9) (1x9) 407 77 9 47 7 9 ตอบ 4779 57

94 x 97 = ? PVS MENTAL MATH HANDBOOK 94 x9 7 (9x9) (9x7)+(4x9) (4x7) 8110 992 28 91 1 8 ตอบ 9118 คราวนี้ลองมาดู โจทย์จากบทที่ 4 บ้าง 42 x 11 = ? 42 x1 1 (4x1) (4x1)+(2x1) (2x1) 462 ก็ได้คำตอบเท่ากัน สังเกตุหรือเปล่าว่า จริง ๆ แล้ววิธีการจากท่ีทำในบทที่ 2 นั้น มันก็มาจากตรงน้ีนี่เอง ดึง 4 ลงมา ดึง 2 ลงมา เอา 4 + 2 = 6 เอาไปสอดตรง กลาง 462 WOW!!! 58

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝึกหัดท่ี 5.1: 2 by 2 Multiplication Problems 59

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 3 by 3 MULTIPLICATION PROBLEMS การคูณ 3 by 3 ก็จะยุ่งยากกว่า 2 by 2 ไปอีกนิดหน่ึงส่ิงสำคัญก็คือ จาก ซ้ายไปขวา จำไว้ อย่าลืมซิ! การคูณ 3 by 3 จะมีขั้นตอนอยู่ 5 ข้ันตอนแทนท่ีจะเป็น 3 เหมอื นกับ 2 by 2 ลองดรู ูปแบบของมนั ดูกอ่ น ดตู ามตวั อย่างไปเลยนะ 312 x 121 = ? 312 312 312 312 312 x121x121x121x121x121 3 7 75 2 ขั้นตอนท่ี 1: 3 x 1 = 3 ขั้นตอนท่ี 2: (3x2)+(1x1) = 7 ขั้นตอนท่ี 3: (3x1)+(1x2)+(2x1) = 7 จากซา้ ยไปขวา ขนั้ ตอนท่ี 4: (1x1)+(2x2) = 5 ขนั้ ตอนท่ี 5: 2x1 = 2 ดังนั้นคำตอบคือ 37752 ***เช่นเดยี วกนั กบั ที่ผ่านมา หากวา่ มีการทศก็ทำตามข้ันตอนตามปกติ 60

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ดเู หมอื นยุ่งนะแต่บอกได้เลยว่าไมย่ าก ฝึกบ่อย ๆ แล้วจะชินกับมัน หลงั จากน้ัน ว่าจะเป็นการคูณ 4 by 4 หรือ 7 by 7 หรือมากกว่านั้นเราก็สามารถทำได้ในสาม บรรทดั ลองดอู ีกซกั ข้อหนงึ่ ล่ะกัน คราวนี้ 841 x 362 = ? 841 8 41 8 4 1 8 4 1 841 x 362x 3 62x3 6 2x3 6 2x362 24 60 43 14 2 30 4 44 2 ขั้นตอนท่ี 1: 8x3 = 24 ขั้นตอนที่ 2: (8x6)+(4x3) = 60 ขน้ั ตอนที่ 3: (8x2)+(4x6)+(1x3) = 43 จากซ้ายไปขวา ขั้นตอนท่ี 4: (4x2)+(1x6) = 14 ข้ันตอนท่ี5: 1x2 = 2 ดังนนั้ คำตอบคอื 304442 มนั ยอดมากเลยใช่มยั้ ล่ะ สังเกตุรูปแบบของมันให้ดีนะ จากซ้ายไปขวา มันจะค่อย ๆ เลื่อนไปทีละแนว ดังนั้นไม่ว่ามันจะมีก่ีหลักก็ใช้หลักการเดียวกัน ยิ่งหลักมากก็จะมีข้ันตอนมากขึ้น แต่หาก เราเขา้ ใจรูปแบบของมันแล้ว มนั กไ็ ม่นา่ มีปัญหาอะไรใช่มัย้ มาดกู ันตอ่ ดกี ว่า 61

381 x 463 = ? PVS MENTAL MATH HANDBOOK 381 3 81 3 8 1 3 8 1 381 x 463x 4 63x4 6 3x4 6 3x463 12 50 61 30 3 17 6 40 3 ขั้นตอนที่ 1: 3x4 = 12 จากซ้ายไปขวา ขัน้ ตอนท่ี 2: (3x6)+(8x4) = 40 102 10 2 ขน้ั ตอนที่ 3: (3x3)+(8x6)+(1x4) = 61 ขั้นตอนที่ 4: (8x3)+(1x6) = 30 ขั้นตอนท5่ี : 1x3 = 3 เลขท่อี อก.....176403..... 102 x 105 = ? 102 102 102 x105x105x105x105x10 5 1 0 7 0 10 1 0 71 0 ข้ันตอนท่ี 1: 1x1 = 1 จากซา้ ยไปขวา ขั้นตอนที่ 2: (1x0)+(0x1) = 0 ขั้นตอนที่ 3: (1x5)+(0x0)+(2x1) = 7 ขน้ั ตอนท่ี 4: (0x5)+(2x0) = 0 ขน้ั ตอนที่5: 2x5 = 10 เลขที่ออก.....10710..... 62

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝกึ หัดท่ี 5.2: 3 by 3 Multiplication Problems ***************************** 63

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ของแถมอกี แลว้ จา้ ... คณิตศาสตร์....มันมีอะไรน่าติดตามเยอะมาก ดูซิว่าผมจะแถมอะไรให้บ้างในบท นี้ ตามมาเลย ตามมา มนั มีโจทย์การคณู ไม่วา่ จะเปน็ 2 by 2 หรือ 3 by 3 ที่หากสงั เกตใุ ห้ดีมนั ทำให้ เกิดคำตอบที่น่าสนใจเป็นอย่างมาก ไม่ว่าจะเป็น 94 x 97 ท่ีได้คำตอบ 9118 หรือ 102 x 105 ทไ่ี ด้ 10710 ตัวเลขของคำตอบมันทำใหผ้ มเกิดความสงกะสัยเป็นอันมาก คือ เลข 94 มันห่างจาก 100 ไป 6 และเลข 97 มันห่างไป 3 ซึ่ง 6x 3 ได้ 18 เฮ้ย...มันคือตัว ท้ายของคำตอบน่ีหว่า เอาล่ะซิ แล้ว 91 มาจากไหน จากเลขท่ีห่างจาก 100 มันมีเลข 6 กับ 3 น่ี เอา 94 – 3 ได้ 91 หรือว่าเอา 97 – 6 เฮ้ย... ได้ 91 เหมือนกันเลย และถ้า เอาสองตวั มาตอ่ กัน....ดูซิ 9118 วา้ ว งา่ ยเพยี งน้ี ลองดูอีกข้อหนึ่ง 102 x 105 = 10710 ลองเอา 2 x 5 ซิ ได้ 10 ได้ตัวท้าย แล้ว คราวนี้ เอา 102 – 5 ได้ 97 เอ๊ะ! ไม่ใช่ตัวหน้าน่ี ถ้าเอามาบวกล่ะ 102 + 5 ได้ 107 เออ คำตอบได้ 10710 ตรงละ...........ออ้ เข้าใจแล้ว ถ้าเกิน 100 ก็เอาไปบวกซะ ถ้า ต่ำกว่า 100 ก็เอาไปลบออก แค่น้ีนี่เอง เอาล่ะ แล้วถ้าตัวหน่ึงต่ำกวา่ 100 คูณกับสูงกว่า 100 ล่ะ เร่ิมน่าคิดละ สมมุติ 97 x 104 จะไดเ้ ท่าไหร่ ลองสังเกตุดูซิ......อืม......ตอนท่ีเก้าสิบกว่าคูณกันเราเอามนั ไปลบ ออก 3 กับลบออก 6 แล้วตอนท่ีรอ้ ยกว่าคณู กันเราเอาไปบวกนี่ แสดงว่าเลขต่ำกว่า 100 ไปเท่าใหร่ให้เป็นลบ เลขท่ีสูงกว่า 100 ไปเท่าไหร่ให้เป็นบวก ดังน้ันจาก 97 เราก็จะได้ เลข -3 มา และจาก104 เราก็จะได้เลข +4 มาคูณกันได้ -12 ตัวหน้าล่ะ 97 + 4 ได้ 101 และ 104 – 3 ก็ 101 ดังน้นั ตัวหน้าเราก็จะได้ 101 แล้วเราจะเอามาต่อกันยังไง เฮ้ย ...รู้แล้ว 101 ก็คือ 10100 ถ้าเราเอา 12 ไปลบออกก็จะได้ 10088 ไหนลองกดเครื่องคิด เลขดซู ิ 10088 ถกู ตอ้ งละครา๊ บบบบ... แบบน้นี ่ีเองจอช 55555 ************************* 64

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 6: SQUARING NUMBERS เลขยกกำลังก็คือ เลขที่คูณตัวมันเอง เช่น 32 ก็คือ 3 x 3 คำตอบก็คือ 9 การ หาคำตอบของเลขยกกำลงั มักจะทำใหห้ ลาย ๆ คนปวดหัว ยง่ิ หลักของตัวเลขเยอะข้ึนก็ย่ิง ยากข้ึนไปเป็นทวีคูณ (ยังมาพูดเร่ืองคูณอีก) ไหน ๆ ก็ตามผมมาต้ังนานแล้ว ตามต่อไป อีกละกันนะ เป็นเพ่ือนกันไปเร่ือย ๆ เด๋ียวทุกคนก็จะได้สมบัติจากขุมทรัพย์ท่ีผมว่าติดไม่ ติดมือไปคนละนิดละหน่อย หรืออาจจะมาก ๆ ด้วยก็ได้ มา ๆๆๆ อย่าช้า ขุมทรัพย์ของ การยกกำลงั อาจจะมีอยหู่ ลายท่กี เ็ ปน็ ได้ 65

PVS MENTAL MATH HANDBOOK SQUARING 2-DIGIT NUMBERS # 1 สมมุติ แค่สมมุติว่า ผมเริ่มจากเลขง่าย ๆ คือ 10 x 10 หรือ 102 ซ่ึงผลลัพธ์ก็ คือ 100 ตอนนี้ลองมาดูส่ิงที่ตามมา หากผมลดเลขตัวหน้าท่ีละ 1 ในขณะเดียวกันเพิ่มตัว หลังทีละหน่ึงเช่นกนั (ผลบวกของสองตัวคือ 20) จะได้ 9 x 11 = 99, 8 x 12 = 96, 7 x 13 = 91, 6 x 14 = 84, 5 x 15 = 75, 4 x 16 = 64,…ไปเรื่อย ๆ ผมสังเกตุเห็น ว่า ผลลัพธ์มันลดลงไปเรื่อย ๆ และระยะห่างของมันกับ 100 เป็น 1, 4, 9, 16, 25, 36,…หรอื 12, 22, 32, 42, 52, 62,…ตามตารางด้านล่าง เลขทร่ี วมกนั ได้ 20 ระยะหา่ งจาก 10 ผลลพั ธ์ ความตา่ งจาก 102 10 10 0 100 0 9 11 1 99 1 8 12 2 96 4 7 13 3 91 9 6 14 4 84 16 5 15 5 75 25 4 16 6 64 36 3 17 7 51 49 2 18 8 36 64 1 19 9 19 81 ว้าว!!! หลังจากน้ันผมลองดูว่าหากเลขท่ีรวมกันไม่ใช่ 10 ล่ะ หากเป็น 26 หรือ จะเป็นอย่างไร ในตอนแรกลองเอา 13 มายกกำลังสองได้ 169 หลังจากน้ันก็ลอง เหมือนเดิมคือลดตัวหน้าทีละหน่ึงและเพิ่มตัวหลังทีละหนึ่งเช่นกัน เอา 12 x 14 = 168, 11 x 15 =165, 10 x 16 = 160, 9 x 17 = 153,…แบบน้ีไป เรื่อย ๆ เอาละซิก็ เหมือนเดิม ระยะห่างจาก 169 เป็น 12, 22, 32, 42,…เหมือนกันเลย (ดูตารางด้านล่าง) อืมมมมม มันจะต้องมีคำอธิบายสนิ ่า 66

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เลขทร่ี วมกนั ได้ 26 ระยะหา่ งจาก 13 ผลลพั ธ์ ความตา่ งจาก 132 13 13 0 169 0 12 14 1 168 1 11 15 2 165 4 10 16 3 160 9 9 17 4 153 16 8 18 5 146 25 ทดลองดูซิ สมมุตวิ า่ ผมอยากจะยกกำลัง 13 แทนทเ่ี ราจะเอา 13 x 13 ทำไมไม่ ลองเอาตวั เลขทคี่ ณู กันงา่ ย ๆ มาคณู กันแตก่ ย็ ังบวกกันได้ 26 จากตารางด้านบน ตวั ที่ คณู กันไดง้ ่ายทสี่ ดุ ก็คือ 10 คูณกับ 16 = 160 แล้วกแ็ คเ่ อา 32 บวกเข้าไป ก็ 10 กบั 16 กต็ ่างหา่ งจาก 13 ไป 3 ไง และเมื่อ 32 = 9 ดงั นนั้ 132 = 160 + 9 = 169 สดุ ยอด เลย วธิ กี ารท่ผี มคดิ กต็ าม Diagram ด้านลา่ ง 16 +3 13 x 160 -3 +9 (3)2 10 169 ตอนนี้ลองดเู ลขอน่ื บา้ ง 412 = ? 42 +1 41 x 1680 -1 +1 (1)2 40 1681 ในการยกกำลังสองของ 41 เราลด 1 เหลือ 40 และเพ่ิม 1 เป็น 42 ต่อไปเอา 40 x 42 อย่าพึ่งตกใจซิ ก็แค่การคูณ 2 by 1 จากบทท่ี 2 ไง (เอา 4 x 42) ได้ 168 เตมิ 0 เป็น 1680 แล้วบวก 12 = 1 คำตอบคือ 1681 งา่ ยจงั 67

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ตอนน้ลี อง 772 ดบู ้าง เราทำอย่างไรได้บ้าง 84 80 +7 +3 77 x 5880 77 x 5920 +9 (3)2 -7 +49 (7)2 -3 5929 70 5929 74 เห็นมั้ยล่ะว่ามันก็ไม่ใช่ว่าจะทำได้วิธีเดียวนะ เอาแล้วแต่สะดวกเลย ใครถนัด แบบไหน จะบวกเพ่ิมเป็นเลขลงตัวของ 10 หรือจะลดลงก็ตามใจพระคุณท่านแล้วกัน แต่ ส่วนตัวผมนะ ผมเลอื กแบบหลัง ผมจะพยายามให้เลขที่เพิ่มหรือลดน้อยท่ีสุด เพราะเวลา เอาไปบวกจะบวกได้ง่ายกว่า แต่กอ็ ย่างทบ่ี อกแล้วแตพ่ ระคณุ ทา่ นนะ ลองอีกขอ้ หนงึ่ 562 60 +4 56 x 3120 -4 +16 (4)2 52 3120 อุ๊ตะ๊ ...สนกุ จังเลย อกี ขอ้ เลยละกนั 962 100 +4 96 x 9200 -4 +16 (4)2 92 9216 ข้อน้ยี ่งิ งา่ ยไปใหญ่ เมอ่ื เรา Round Up แล้วไดเ้ ป็น 100 พอดี 68

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝึกหัด 6.1: SQUARING 2-DIGIT NUMBERS # 1 SQUARING 2-DIGIT NUMBERS # 2 บอกแลว้ ไงว่าขุมทรพั ยม์ ันไมไ่ ดม้ ีแค่ที่เดยี ว คราวนี้เราลองมาดูการยกกำลังสอง อีกแบบหน่ึงซิ แลว้ ทกุ คนจะต่ืนเตน้ มากขึน้ ไปอีก สมมุติว่า a และ b คือเลขใด ๆ การยกกำลังสองแบบที่ 2 น้ี คำตอบที่ได้เรา ต้องแบ่งออกเป็น 3 ส่วน ดังนั้จะได้เป็น (ab)2 = _ _ _ คำตอบส่วนแรก (ซ้ายสุด) มา จาก a2 ส่วนที่สองมาจาก a x b x 2 (เลข 2 คือเลขที่ยกกำลัง) ส่วนท่ี 3 มาจาก b2 ลองดตู วั อย่าง (21)2 = ? (21)2 = 22 [2x1x2] 12 = 441 มาอีกแล้วงา่ ยมย้ั ละ่ ดอู กี ข้อนะ (32)2 = ? (32)2 = 32 [3x2x2] 22 =9 [12] 4 = 1024 อย่าลืมทศละ่ อกี ซักขอ้ (67)2 = ? (67)2 = 62 [6x7x2] 72 = 36 [84] 49 = 4489 แลว้ (25)2 = ? กเ็ หมอื นเดิมคอื (25)2 = 22 [2x5x2] 52 = 4 [20] 25 = 625 เอาล่ะ มาถึงตรงนี้ หากว่าเราสังเกตุดูดี ๆ ในตัวอย่างท้ังส่ีข้อเราเห็นอะไรหรือ เปล่า??? ผมตั้งข้อสังเกตุไว้ 2 กรณี คือ เลขยกกำลังสองท่ีลงท้ายด้วย 1 กับ 5 ไง จำ 69

PVS MENTAL MATH HANDBOOK กันได้หรือเปล่าว่าในบทที่ 4 เราเอาเลขอะไรก็ตามมาคูณกับ 11 ผลลัพธ์ท่ไี ด้มันน่าต่ืนเต้น ขนาดไหน สว่ นเลข 5 ไม่ตอ้ งพดู ถึงเราเจอมาบา้ งแล้ว เอาละ่ เรามาเร่ิมกนั ตรงเลขสองหลักท่ลี งท้ายดว้ ย 1 กนั กอ่ น ดตู ารางด้านล่าง เลขลงทา้ ย เลขตวั เลขตวั หนา้ (เลขลงท้าย ดว้ ย 1 หนา้ 2 x2 ดว้ ย 1)2 11 1 2 121 21 4 4 441 31 9 6 961 41 16 8 1681 51 25 10 2601 61 36 12 3721 71 49 14 5041 81 64 16 6561 91 81 18 8281 เอาอีกแล้ว...ในขุมสมบัตินี้ดันมีมงกุฏทองคำอีกแหนะ หากว่าเราเจอเลขสอง หลักท่ีลงท้ายด้วย 1 เราก็แค่ เอาตัวหน้ายกกำลังสอง ต่อด้วยตัวหน้าคูณสอง และต่อ ดว้ ย 1 แค่นีเ้ อง นา่ ลองเลขสามหลกั จงั เลย ไว้ตอน 3 digit ดกี วา่ ดังน้ันถ้าจะลองเขียนเป็นสูตรดูก็คือ ให้ a เป็นเลขใด ๆ ดังน้ัน (a1)2 = a2 [ax2] 1 วา้ ว มันยอดมากเลยว่ามั้ย คราวน้ลี องมาดูเลขที่ลงท้ายด้วย 5 บ้าง (5 น่ีมนั เป็นเลขมหัศจรรย์เลยนะเนีย่ ) กลบั ไปดูวธิ ีการยกกำลงั สองวธิ กี ารแรกที่เราทำกันซิ สมมุติ (15)2 20 +5 15 x 200 -5 +25 (5)2 10 225 70

ดไู ปเรอ่ื ย ๆ นะ ตอนนี้ (25)2 PVS MENTAL MATH HANDBOOK 30 x 600 +25 (5)2 +5 625 25 x 1200 +25 (5)2 -5 1225 20 (35)2, (45)2, (55)2,… 40 +5 35 -5 30 50 +5 45 x 2000 -5 +25 (5)2 40 2025 60 +5 55 x 3000 -5 +25 (5)2 50 3025 เห็นอะไรม้ัย........ทุกข้อตัวท้ายจะเป็น 25 ทั้งหมด และตัวหน้าก็คือ ตัวมันเอง คูณกับตัวมากกว่าที่ถัดจากมันไป 1 ตัว ดังน้ันหากเป็น (85)2 ก็จะเป็น ตัวที่ถัดจาก 8 คือ 9 เอา 8 x 9 = 72 และเต็ม 25 เขา้ ไป ได้ 7225 ตอบ.......ฮยู ....ง่ายชะมัดเลย 71

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 7: SUBTRACTION AGAIN ในบทท่ี 1 เราได้ทำความเข้าใจในพื้นฐานของการลบกันไปบ้างแล้ว จากซ้ายไป ขวา ลบไปทีละหลักทเี่ ปน็ จำนวนเตม็ เช่น 483 – 384 เราลบ 480 – 300 กอ่ นได้ 180 แลว้ เอา 183 – 80 ได้ 103 เอาไปลบ 103 – 4 ได้ 99 ตอบ จำได้หรอื ไม่ท่ีผมไดก้ ล่าวถงึ ประโยคอยู่ประโยคหน่ึง “All from 9 and the last from 10” คราวนี้ เราจะได้ใช้มันละนะ การลบเลขหลาย ๆ หลักรู้มั๊ยมันมีวิธีที่ง่ายกว่าอีก วิธีหนึ่ง หลักการก็แค่ “All from 9 and the last from 10” เท่าน้ันเอง เรามาเริ่มกัน จากเลขง่ายๆ ก่อนนะ เช่น 10000 – 8675 จำไว้นะว่าเลขสุดท้ายจาก 10 นอกนั้นจาก 9 นะ ในท่ีนี้คือ เอา 9 – 8, 9 – 6, 9 – 7, และตัวสุดท้าย 10 – 5 จะได้ 1325 เรียง จากซา้ ยไปขวา และนคี่ อื ...........คำตอบ อ่าวเสรจ็ แลว้ หรือน่ี เฮย้ !แค่นี้เอง 72

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ดูอีกข้อนะ 100000 – 875 All from 9 ก่อน เลข 100000 หากเอาไปลบ มันก็จะเหลือ 5 หลักนะ แต่ตัวที่เอาไปลบมี 3 ตัว ง้ันก็เติม 0 เข้าไปข้างหน้าอีก 2 ตัวก็ ได้ เป็น 00875 เอาเริ่มกันเลย 9 – 0 = 9, 9 – 0 = 9, 9 – 8 = 1, 9 – 7 = 2, และตัวสดุ ท้าย 10 – 5 = 5 ดงั นนั้ คำตอบคอื 99125 1000000 – 547621 เร่ิม..... 9 – 5 = 4, 9 – 4 = 5, 9 – 7 = 2, 9 – 6 = 3, 9 – 2 = 7, 10 – 1 = 9 คำตอบสุดทา้ ยคือ 452379 งา่ ยมย๊ั ละ...แค่จำว่า All from 9 and the last from 10 เทา่ น้เี องนะจะ๊ แล้วหากว่ามันไมใ่ ชเ่ ลข 10, 100, 1000, 10000,… ล่ะ ตามมาครับตามมา SUBTRACTION # 1 จำได้มยั้ วา่ ท่ผี ่านมาเราได้กล่าวถงึ “Complements” กันมาแล้ว คราวน้ีเราจะ ใช้ Complement ของเลขฐาน 10 เทา่ นนั้ มาช่วยในการลบเลข ดูตารางด้านล่าง Base 10 Complement 19 28 37 46 55 64 73 82 91 ตอนนีเ้ ราจะใช้ Complement มาชว่ ยในการลบเลขตา่ ง ๆ 73

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2 by 1 SUBTRACTION PLOBLEMS ยกตัวอย่าง 27 – 3 = ? หากหลักเดียวกันตัวบนมากกว่าตัวลบ ลบไปได้เลย (อยา่ ลืม จากซา้ ยไปขวา) 27 -3 24 แต่หากว่าหลกั เดยี วกนั ตัวบนน้อยกวา่ ละ่ เช่น 24 – 9 = ? 24 - 91 15 คำตอบข้อนี้มายงั ไงกัน เอาล่ะลองมาดู ในการลบเลขจากซา้ ยไปขวา อันดับแรก ให้เราเหลือบไปมองหลักทางขวามือก่อนหากว่าข้างบนมันน้อยกว่าข้างล่าง ให้เราเอาเลข น้ันไปลบออก 1 แล้วดึงลงมา ในข้อนี้ก็คือ 2 – 1 = 1 ต่อไปให้มาดูตรง 4 – 9 คราวนี้ เราจะใช้ Complement ของ 9 ซงึ่ ก็คือ 1 แล้วเอาไปบวกกับ 4 + 1 ได้ 5 ดังน้นั คำตอบ คือ 15 เหย้ มยั้ วา่ การใช้ Complement มาชว่ ยทำให้การลบง่ายข้ึนเยอะ มาดอู กี ข้อหน่งึ 36 – 8 36 - 82 28 เลขด้านขวาเอามาลบกันแล้วเป็นลบ ดังนั้น 3 – 1 = 2 Complement ของ 8 คอื 2; 6 + 2 = 8 คำตอบคอื 28 อีกขอ้ นะ 47 – 9 = ? 47 - 91 38 ตอบ 38 74

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2 by 2 SUBTRACTION PLOBLEMS 43 – 24 43 - 2 46 19 ด้านขวา 3 – 4 ออกมาเป็นลบดังนั้นลบ 4 ออกไป 1 เป็น 3 – 2 = 1 ตัวเลข ด้านขวา Complement ของ 4 คอื 6 เอา 6 + 3 = 9: คำตอบคือ 19 *กอ่ นเขยี นคำตอบหลกั ใด ๆ ลงไปใหเ้ ช็คด้านขวากอ่ นทกุ ครงั้ * 53 – 18 53 - 1 82 35 เลขทางขวาบนน้อยกว่าล่าง ดังนั้นลบ 5 ออกไป 1 ได้ 4 – 1 = 3: Complement ของ 8 คือ 2 บวก 3 = 5: คำตอบคอื 35 67 – 14 67 -14 53 ดูด้านขวา ลบกันเป็นบวก ดังน้ันลบปกติไปเลย 6 – 1 = 5: 7 – 4 = 3 คำตอบคอื 53 งา่ ยมย้ั ฝึกต่อกนั เองนะ 75

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝึกหัด 7.1: 2-Digit Subtraction 3 by 2 SUBTRACTION PLOBLEMS เช่นเดียวกัน ก่อนที่เราจะใส่คำตอบลงไปเริ่มจากทางซ้าย เราต้องมองหลัก ต่อไปทางขวามอื กอ่ น ลอง 342 – 56 342 - 55 64 286 ตัวแรก 3 แต่ว่าขวามือบนน้อยกว่าล่าง ดังน้ันเอาออก 1 เหลือ 2 ตัวต่อมา Complement ของ 5 คือ 5 ขวามือก็น้อยกว่าล่าง เอาออก 1 ได้ 3 + 5 = 8 ถัดมา Complement ของ 6 คือ 4 เอา 4 บวก 2 ได้ 6 ดังน้ันคำตอบคอื 286 638 – 29 638 - 2 91 609 ก่อนดึง 6 ลงมาดูด้านขวา บนมากกว่าล่าง ตัวแรกคือ 6 ถัดมาลบได้เลย แต่ ทางขวา บนน้อยกว่าล่าง ดังนั้น 3 – 1 = 2 – 2 = 0 ตัวสุดท้าย Complement ของ 9 คอื 1 + 8 = 9 คำตอบคอื 609 76

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 539 – 66 539 - 64 6 473 ขวาของ 5 บนน้อยกว่าล่าง ลด 1 = 4 ถัดมาทางขวาบนมากกว่าล่าง Complement ของ 6 คือ 4 + 3 = 7; 9 – 6 = 3 คำตอบคือ 473 งา่ ยมย้ั ล่ะ โคตรงา่ ยเลยใช่ม้ยั ตอนน้ีลองมาดูอกี ซักขอ้ ซิ 524 – 29 สงั เกตุดี ๆ ข้อนี้ ในหลัก 10 เป็น 2 เหมือนกันตามหลักแล้วหากว่าเราเอา 52 – 2 มนั ก็จะได้ 50 แตว่ า่ ดา้ นขวาของ 2 กลบั เปน็ เลขทีบ่ นนอ้ ยกวา่ ล่าง 524 - 28 91 495 ก่อนดึง 5 ลงมาดูด้านขวา บนเท่าล่าง ดังนั้นไปดูถัดไป กลายเป็นบนน้อยกว่า ล่าง ให้เอา 1 ไปลบออกจาก 5 ได้ 4 ถัดมา Complement ของ 2 คือ 8 ด้านขวาบน น้อยกวา่ ล่าง 2 – 1 = 1 + 8 = 9 สดุ ทา้ ย 1 + 4 = 5 คำตอบคือ 495 436 – 38 436 - 37 82 398 ก่อนดึง 4 ดูทางขวาเป็นเลขเท่ากัน ดูขวาต่อไป บนน้อยกว่าล่าง ดังน้ันลบออก 1 เหลือ 3 ถัดมาทางขวา บนน้อยกว่าล่าง เอา 3 – 1 = 2 บวกกับ Complement ของ 3 คือ 7 + 2 = 9 สดุ ทา้ ย เอา 2 + 6 = 8 คำตอบคอื 398 77

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 549 – 46 549 - 46 503 ข้อนี้อย่าคิดมากไม่มีอะไรเลย ตัวท้ายสุดบนมากกว่าล่าง ลบปกติจากหน้าไปหลัง หรอื จากซ้ายไปขวาได้เลย 3 by 3 SUBTRACTION PLOBLEMS ถึงตรงน้ีอย่าพ่ึงหยุดนะ ตามผมมาเร่ือย ๆ ก่อน เผื่อจะเจออะไรดี ๆ อีก เริ่ม จากโจทยเ์ ลยละกัน 536 – 229 536 - 2 2 91 307 มันก็ไม่ได้ยากขน้ึ เลยนะ เพียงแต่เพิ่มตัวเลขขึ้นไปอีกเท่านี้เอง ขวาของแถวหน้า บนมากกว่าล่าง ดังนั้นลบได้เลย 5 – 2 = 3 ต่อมาทางขวา บนน้อยกว่าล่างเอา 3 – 1 = 2 และ 2 – 2 = 0 แถวสุดท้าย Complement ของ 9 คือ 1 + 6 = 7 คำตอบคือ 307 628 – 597 628 - 5 91 7 031 เริ่มเข้าใจมากข้ึนหรือยัง เห็นหรือเปล่าว่า การคำนวณจากซ้ายไปขวามันดูเป็น พ้ืนฐานมากกว่าแบบเดิม ๆ มาก และมันจะง่ายสำหรับนักเรียนมาก ข้อนี้ตอบ 31 (สังเกตุว่าข้อนี้สามารถตอบได้ไวกว่านี้ได้โดย Round Up 597 เป็น 600 จะได้ 28 + 3 คำตอบคือ 31 เชน่ กนั ) ดูข้อถดั ไป 548 – 249 78

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 548 - 2 46 91 299 โอ๊ย....ถึงตรงน้ีทุกคนคงจะมีความสุขกับการลบเลขแล้วล่ะซิ สนุกมาก ๆ เลย ใชม่ ยั้ ละ่ ผมละไมอ่ ยากหยดุ เลย ไปตอ่ กนั เถอะ............ 745 – 246 745 - 2 46 64 499 ผมคงไมต่ ้องอธบิ ายละนะ.......ตอบ 499 แบบฝกึ หดั 7.2: 3-Digit Subtraction 79

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ANY DIGIT NUMBERS SUBTRACTION PLOBLEMS 7235421869 – 2468913495 7235421869 - 2 46 64 82 91 1 37 4 91 5 4766508374 ตอบ 4766508374 โอ้...พระเจ้าจอช มันยอดมากเลยใช่มั้ยทุกคน ยอดมาก Fast and Furious เลยล่ะ ป้าดโซะ้ ... 6234152687 – 2239052489 6234152687 - 2 28 37 91 0 5 28 4 82 91 3995100198 ตอบ 3995100198 อย่าลมื ดทู ลี ะหลกั นะ ถ้าเท่ากันก็ดูถัดไป ถ้าเท่ากนั อีกก็ดถู ัดไปอกี SUBTRACTION # 2 จากด้านบน Subtraction # 1 เราได้นำ Complement มาใช้ให้เป็นประโยชน์ มาช่วยในการลบเลขให้ง่ายยิ่งข้ึน แต่รู้ม้ัยว่ามันยังมีอีกวิธีหนึ่ง ตามผมมาเรื่อย ๆ นะ หลงั จากที่ทุกคนรวู้ ิธีการท่ีผมจะพาไปนี้แล้วก็ขึ้นอยู่กับแต่ละคนแล้วว่า แบบไหนท่ีดีท่ีสุด เหมาะสมท่ีสุดสำหรับตัวเอง “All from 9 and the last from 10” ย้อนกลับมาอีกแล้วสำหรับประโยคน้ี มันอะไรกันนะ เรารู้จัก Complement แล้วว่ามันเป็นอย่างไร ตอนนี้ลองมาดูวิธีการลบ อกี วธิ ีหนึ่งดู 80

PVS MENTAL MATH HANDBOOK VINCULUM Vinculum คืออะไร ในที่น้ีมันก็คือ “ขีด” ท่ีอยู่บนตัวเลข เช่น 1̅ แล้วเอามาใช้ อะไรในการลบเลขล่ะ??? สมมตุ ิวา่ ผมมเี ลข 31̅ เลข 31 ที่มขี ีดบนเลข 1 หมายความเทียบ ได้กับว่า 30 – 1 = 29 งงล่ะซิ แล้วเอามาทำไม ลองดูอีกตัวอย่างหน่ึง 43̅6̅ ดังนั้นมันก็ คือ 400 – 36 = 364 แล้วหากว่าเป็น 53̅4̅8̅2̅ ล่ะ มันก็คือ 50000 – 3482 เอาละซิ ลบยากละ รู.้ ..ว่าทุกคนลบไดแ้ ลว้ เอาวธิ ีการลบดา้ นบนมาใช้ก็ได้ แต.่ .. ลองดูนี่ All from 9 and the last from 10…ให้ลดเลขก่อนหน้าเลขท่ีมีขีดลงไปหน่ึง เลขทม่ี ีขดี ด้านบนตดิ ต่อกันคือลบออกจาก 9 แต่ตัวสดุ ทา้ ยจาก 10 ลองดูนะ ได้เทา่ ไหร่ 9 9 9 10 5 3̅ 4̅ 8̅ 2̅ 4651 8 ดังนั้น 50000 – 3482 มันคอื 46518 ใช่หรอื เปลา่ นะ ถ้าเลข 36̅4̅2 ล่ะ สังเกตุมั้ยว่า เลข 2 ไม่มีขีด ดังนั้นไม่ต้องกลับ All from 9 and the last from 10 คำว่า the last ในทนี่ ีค้ ือตัวเลขทมี่ ขี ีดดา้ นบนนะ 9 10 3 6̅ 4̅ 2 23 6 2 ลองอีกเลขหนึง่ 53̅216̅ 10 10 5 3̅ 2 1̅ 6 47196 สงั เกตุมัย้ วา่ หากเป็นลักษณะน้ีตวั ที่มขี ดี ก็เหมอื นกบั เป็นตัวสุดท้ายไปเลย ดังนั้น ก็ใช้ 10 อีกซักตัวอย่างหนึ่งซิ 54̅007̅6 บอกเลยก็ได้ว่า หากเจอลักษณะนี้ เม่ือใดก็ ตามที่มี 0 อยู่ระหว่างตัวเลขที่มีขีด ให้ใส่ขีดที่ 0 ด้วยเป็น 54̅0̅̅07̅6 เมื่อแปลงแล้วจะได้ เปน็ 459936 81

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ท่ีกล่าวมาน้ีเป็นพ้ืนฐานของการลบอีกวิธีหนึ่งที่จะทำให้ทุกคนรู้สึก ว้าว! ไปกับ มนั ตามมาเลย “All from 9 and the last from 10” 2 by 1 SUBTRACTION PLOBLEMS ตอนนี้เราจะใช้ประโยชน์ของ Vinculum มาช่วยในการลบเลข เอาง่าย ๆ ก่อน เลย 24 – 7 24 -7 2 3̅ 17 รู้รึยังว่าท่ีเราทำกันด้านบนมีประโยชน์ตรงไหน ข้อน้ี เราดึงสองลงมาเลย แล้ว แทนที่จะเอา 4 – 7 ซ่ึงมันจะเป็นลบ ให้กลับกันโดยเอา 7 – 4 แทนได้ 3 แต่เมื่อเรา กลับแล้วลบให้ใส่ขีดด้านบนเลข 3̅ เราก็จะได้ 23̅ หลังจากนั้นเราค่อยแปลงเลขดังวิธีท่ี กลา่ วมาดา้ นบนจะได้ 17 คือคำตอบ น่าน...ง่ายอกี แลว้ ลองดอู ีกซกั ขอ้ นะ 36 – 8 36 -8 3 2̅ 28 ตอบ 28 (อย่าลมื นะวา่ ตัวเลขที่มขี ดี มตี ัวเดียว ดงั นน้ั ใช้ 10) 47 – 9 4 7 - 9 2̅ 4 8 3 ตอบ 38 ไมย่ ากเลยเนอะ วิธกี ารนจี้ ะตา่ งจากด้านบนตรงไหนรูม้ ้ยั ดไู ปเร่อื ย ๆ ละกนั 82

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2 by 2 SUBTRACTION PLOBLEMS 43 – 27 4 3 -2 7 ตอบ 16 67 – 19 2 4̅ 6 ตอบ 48 1 37 – 14 6 7 -1 9 5 2̅ 8 4 3 7 -1 4 3 2 อันนไ้ี มม่ ีอะไรเลย ง้ันก็ลบตามปกตไิ ปเลยละกนั 23 ตอบ 3 by 2 SUBTRACTION PLOBLEMS 348 – 26 348 - 26 322 83

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 434 – 47 434 - 47 4 1̅ 3̅ 387 ข้อน้ีจะสังเกตุว่าตัวท่ีมีขีดด้านบนมีอยู่สองตัว ดังนั้น ตัวหน้าลบออกจาก 9 ตัว สดุ ท้ายลบออกจาก 10 เปน็ 387 ตอบ 867- 78 867 - 78 8 1̅ 1̅ 789 ตอบ 789 572- 81 572 - 81 ตอบ 491 762 – 39 5 1̅ 1 491 762 - 39 7 3 7̅ 723 84

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 3 by 3 SUBTRACTION PLOBLEMS 436 – 218 436 -2 1 8 2 2 2̅ 218 749 -283 749 -2 8 3 5 4̅ 6 466 534 – 238 534 -2 3 8 3 0 4̅ 296 ANY DIGIT NUMBERS SUBTRACTION PLOBLEMS เอาล่ะนะ ไมย่ ากเลยใชม่ ยั้ ลองมาดเู ลขหลายหลักลบกนั บา้ งนะว่าจะเป็นยงั ไง 7235421869 – 2468913495 7235421869 -2 4 6 8 9 1 3 4 9 5 5 2̅ 3̅ 3̅ 5̅ 1 2̅ 4 3̅ 4 4766508374 ผมดงึ โจทย์มาจากวธิ ที ี่ 1 ด้านบน คำตอบทไี่ ดเ้ ทา่ กนั คือ 4766508374 85

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ต่อไป 5234167285 – 2389172139 5234167285 -2 3 8 9 1 7 2 1 3 9 3 1̅ 5̅ 5̅ 0̅ 1̅ 5 1 5 4̅ 2844995146 สังเกตุว่า โจทยข์ อ้ นม้ี ี 0 อยู่ระหวา่ ง เลขที่มขี ีด ดงั นัน้ ใสข่ ดี ท่ี 0 ดว้ ย จาก “All from 9 and the last from 10” คำตอบทไ่ี ด้คอื 2844995146 เห็นม้ัยว่ามันง่ายกว่าการลบแบบปกติเยอะมาก ๆ แล้วเราจะไปทำแบบเดิม ทำไมกัน หาส่งิ ที่ดกี วา่ ให้นกั เรยี นกันเถอะ สำหรับบทน้ีก็ เอวงั ด้วยประการฉะนี้..... 86

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 8: ADDITION 2 หลังจากท่ีเรารู้ถึงพ้ืนฐานของการบวกในบทท่ี 1 มาแล้ว คือเราต้องเอาเลขมา กระจายแล้วคอ่ ยบวกแน่นอนวา่ มันต้องจากซ้ายไปขวา หวงั ว่าท่ีผ่านมาทุกคนคงจะเคยชิน กับวิธกี ารบวกจากซา้ ยไปขวากันไปแลว้ ในบทนเี้ ราจะมาพูดถึงการบวกท่ีไวข้นึ ไปอกี 87

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2 by 1 Addition Problems เอะ๊ ...ตอนเริ่มบทท่ี 1 เราเริ่มจาก 2 by 2 ไม่ใช่เหรอ คราวน้ีย้อนไปถงึ 2 by 1 ซะแล้ว ใคร ๆ ก็ทำได้ แลว้ ทำไมต้องมาเริ่มตรงน้ี ใจเยน็ ๆ ครับ ตามผมมา แลว้ ก็จะรู้ 24 +7 จริง ๆ แล้ว ทุกคนสามารถบวก 24 กับ 7 ได้อย่างแน่นอน แต่ลองดูดี ๆ ตามทเี่ ราทำการบวกเลข 2 by 2 ในบทท่ี 1 เราเอาตัวบวกมากระจาย แล้วบวกตามหลัก เช่น 43 + 36 เราเร่ิมจากการเอา 36 มากระจายเป็น 30 + 6 แล้วเอา 43 ไปบวก 30 กอ่ นเปน็ 73 แล้วคอ่ ยเอา 6 ไปบวกทหี ลงั ตอนน้ี ในการบวกเลขสองจำนวนด้วยกันมีข้อสังเกตุว่า ในแต่ละหลัก ไม่ว่าจะ เป็นหลักหน่วยบวกกับหลักหน่วย เลขท่ีบวกกันมากที่สุดก็คือ 9 + 9 หมายความวา่ อะไร หมายความว่า ไม่ว่าเราจะบวกเลขท่ีอยู่ในหลักเดียวกันหลักใด ผลลัพธ์มันก็จะมีมากที่สุด ได้แค่ 18 เท่านั้น (19 ไม่ได้เนื่องจากมาจาก 9 + 10 แต่ 10 เป็นตวั เลขสองหลัก) ซ่ึงจะ ทำให้ตวั ทจี่ ะทศมมี ากท่สี ดุ ได้แค่ 1 เท่านั้น ไปตอ่ เลยนะ จากข้อนี้ 24 + 7 เราทำจากซ้ายไปขวา ก่อนที่เราจะใส่ 2 เป็นคำตอบในหลัก สิบ ให้เราเหลือบไปดูหลักหน่วยก่อน 4 + 7 มันต้องทศใช่มั้ย (เกิน 10) ดังนั้นเราเพ่ิม จาก 2 เป็น 3 เลย 24 + 7 >10 3 แลว้ เอา 4 + 7 ได้ 1 ทำไม้ป็น 1 ไมต่ อ้ งบอกแลว้ ใส่ 1 เลย 24 +7 31 88

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ดังนน้ั คำตอบคือ 31 43 + 9 ขา้ งหนา้ เปน็ 4 แต่ขา้ งหลงั บวกกันแล้วเกิน 10 เปลี่ยนเปน็ 5 เลย 43 + 9 >10 52 3 + 9 =_2 ใส่ 2 เขา้ ไป ลองอีกขอ้ หนง่ึ ซิ 37 + 8 37 + 8 >10 45 มองดูหลักหน่วย บวกกันเกิน 10 ดังนั้นเปล่ียน 3 เป็น 4 และ 7 กับ 8 ได้ 5 คำตอบคอื 45 เพื่อจะได้ง่ายข้นึ ผมได้จับคู่ตัวเลขที่จะนำมาบวกกันเป็นเลขสองหลักระหว่าง 10 ถงึ 18 แล้วลงทา้ ยดว้ ยเลข ต่าง ๆ ตัง้ แต่ 0 – 9 ให้ตามตารางด้านล่าง เลขท้าย คขู่ องเลข 0 (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5) 1 (2,9),(3,8),(4,7),(5,6) 2 (3,9),(4,8),(5,7),(6,6) 3 (4,9),(5,8),(6,7) 4 (5,9),(6,8),(7,7) 5 (6,9),(7,8) 6 (7,9),(8,8) 7 (8,9) 8 (9,9) 9 (0,9) ตารางด้านบนเราไม่จำเป็นตอ้ งจำนะ หากว่าเราฝกึ ฝน ทำโจทย์บอ่ ย ๆ เราก็จะ ชินกับมันไปเอง หรือ ใช้ Complement ช่วยเช่น 9 บวกกับอะไร ให้เอา 1 ไปลบออกจาก 89

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เลขนั้น 9 + 8 ดังน้ันจะได้เลขท้ายคือ 8 – 1 = 7 หรือ 8 + 9 Complement ของ 8 กค็ อื 2 เอา 2 ไปลบออกจาก 9 กจ็ ะได้ 7 เชน่ กันดังนัน้ กไ็ มต่ อ้ งจำเลย...ฮิฮิฮ.ิ .. 2 by 2 Addition Problems From left to right 24 + 19 24 +19 43 2 + 1 = 3 แตท่ างขวาบวกกนั มากกวา่ 10 เพท่ิ เปน็ 4 และ (4,9) คือ 3 ตอบ 43 36 +58 94 ทางขวาบวกกันมากกว่า 10; 3 + 5 = 8 เพิ่มเป็น 9; (6,8) = 4 ตอบ 94 27 +38 65 ทางขวาบวกกนั มากกว่า 10; 2 + 3 = 5 เพ่มิ เปน็ 6; (7,8) = 5 ตอบ 65 แบบฝกึ หัด 8.1: 2-Digit Addition 90