PVS Mental Math

PVS MENTAL MATH HANDBOOK

PVS MENTAL MATH HANDBOOK PVS MENTAL MATH By Dr. Sakan Lomsri

PVS MENTAL MATH HANDBOOK

PVS MENTAL MATH HANDBOOK I dedicate this book to my dad, Dr. Wiroj Lomsri- for everything. Sakan Lomsri Ph.D. i

PVS MENTAL MATH HANDBOOK

PVS MENTAL MATH HANDBOOK Contents Dedication หนา้ Introduction i CHAPTER 1: ADDITION AND SUBTRACTION ii CHAPTER 2: MULTIPLICATION 1 1 CHAPTER 3: TIMES TABLES 14 CHAPTER 4: MULTIPLICATION 2 CHAPTER 5: MULTIPLICATION 3 29 CHAPTER 6: SQUARING NUMBERS 36 CHAPTER 7: SUBTRACTION AGAIN 55 CHAPTER 8: ADDITION 2 65 CHAPTER 9: MULTIPLICATION 4 72 CHAPTER 10: DIVISION 1 87 CHAPTER 11: DIVISION 2 99 CHAPTER 12: THE LAST MILE 109 121 135

PVS MENTAL MATH HANDBOOK

PVS MENTAL MATH HANDBOOK Introduction ตราบเท่าท่ีจำได้ วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาหนึ่งที่ผมชอบมากท่ีสุด การได้สังเกตุ เห็นอะไรต่าง ๆ ในตัวเลขนั้นมันไม่โกหก เวลาผ่านมา ความหลงใหลในตัวเลขมันก็ยิ่ง เพ่ิมพูนข้ึนเร่ือย ๆ พยายามศึกษาหาความรู้มาโดยตลอด ย่ิงยุคของเทคโนโลยีคืบคลาน เข้ามาความรทู้ วั่ โลกกย็ ิ่งถ่ังโถมเพิม่ ข้นึ ย้อนกลับไปในสมัยที่เรียนระดับประถม มัธยม จนกระท่ังมหาวิทยาลัย การ เรียนคณิตศาสตร์ได้ทำความหนักใจให้กับนักเรียนหลาย ๆ คน ส่ิงที่เราเรียนมามัน ถกู ต้องแลว้ หรอื มันก็ไมผ่ ดิ หรอก กาลเวลามนั สามารถเปลี่ยนแปลงอะไรได้มากมาย แล้ว ทำไมคณิตศาสตร์ในไทยถงึ ไม่เปล่ยี นแปลง ดูอย่างเช่น โทรศัพท์ที่เราใช้กัน เม่ือก่อนเป็นอย่างไรแล้วตอนนี้เป็นอย่างไรล่ะ จากโทรศัพท์บ้าน จนปัจจบุ ันเปน็ อย่างไร ยานพาหนะก็เช่นเดียวกัน มกี ารพัฒนาไปอยา่ ง ไม่หยุดยั้ง วิชาที่ผมชอบ (แต่ทำให้หลายคนขยาด) ก็ยังคงเป็นเช่นเดิม มันต้องสามารถ เปล่ยี นไดซ้ ิ และนค่ี ือเหตผุ ลของหนงั สือเล่มนี้ ขอให้ทุกคนมีความสุขในการเรียนคณิตศาสตรน์ ะ ดร.สกานต์ ลอมศรี ii

PVS MENTAL MATH HANDBOOK “Learning…is about everything you make better changes to your brain.” Sakan Lomsri

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 1: ADDITION AND SUBTRACTION ในบทนี้เราจะได้เรียนการบวกเลขและการลบเลข “จากซ้ายไปขวา” ซ่ึงขัดกับ ความรู้สึกของเราที่ผ่าน ๆ มา ให้เวลากับมันซักพัก หลังจากที่คุ้นเคยกับมันแล้วจะรู้ว่า มันดกี ว่ามากเมื่อเทยี บกับการคิดเลขแบบเดิม ๆ ในส่วนแรก (เลขสองหลัก) เราอาจจะมองว่ามันก็ไม่ได้แตกต่างอะไรมากมาย แต่ใจเย็น ๆ ตามผมมาเรื่อย ๆ แล้วจะเห็นว่ามันง่ายมาก ๆ แม้กระทั่งในการแก้ปัญหา โจทย์คณิตศาสตรท์ เี่ ป็นเลขสามหลักหรือมากกวา่ 1

PVS MENTAL MATH HANDBOOK การบวก (Addition) การบวกเลขสองหลกั (2-Digit Addition) ผมเดาเอาว่าเราทุกคนคงจะสามารถบวกและลบเลขหนึ่งหลักได้กันแล้ว ดังนั้น ผมจะเร่ิมท่ีเลขสองหลัก มันมีองค์ประกอบเพียงสามอย่างในการทำให้การบวกเลขน้ันมัน งา่ ยซ่ึงก็คือ ความเรยี บง่าย ความเรียบง่าย และความเรยี บงา่ ย เท่านนั้ เอง การบวกเลขสองหลกั ที่เจอง่ายทสี่ ุดก็คอื การที่เราไมต่ ้องทศเลข ยกตวั อยา่ งเชน่ ในการบวก 32 กับ 47 เข้าด้วยกัน เราแค่แยก 32 ให้เป็น 30 + 2 เอา 30 ไปบวก 47 หลังจากน้ันก็ 2 จากการทำแบบนี้ ปัญหาก็จะกลายเป็น 77 + 2 ซึ่งก็คือ 79 วธิ ีการแบบน้ีดเู หมือนว่าจะไม่มีอะไร แต่เช่ือผมเถอะว่า หากทำไปเร่ือย ๆ หลัก มากขึ้นเร่ือย ๆ รวมไปถึงการคูณและหารที่จะตามมาเราจะเข้าใจว่า ทำไมมันต้องทำจาก ซา้ ยไปขวา ลองมาดูอีกตัวอย่างหน่งึ 67 + 28 = ? เร่ิมบวกจากซ้ายไปขวา เราแค่แก้ปัญหาได้ง่าย ๆ จาก 67 + 20 = 87 หลงั จากนัน้ เอา 87 + 8 = 95 2

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ตอนนี้ลองคดิ ในใจ 84 + 57 = ? แลว้ ค่อยเช็คดูวธิ กี ารดา้ นลา่ ง ไมใ่ ช่ปญั หาเลยใช่ม้ัย แคบ่ วก 84 + 50 = 134 แล้วเอา 134 + 7 = 141 หากเราคิดว่าการทศเลขจะทำให้เกิดปัญหาแล้วล่ะก็ อย่ากังวลให้มาก เพราะนี่ อาจจะเป็นครั้งแรกในชีวิตท่ีเราได้ใช้กระบวนการแบบนี้ และหากคุณเป็นเหมือนคนส่วน ใหญ่ อาจจะใช้เวลาซักพักในการทำความคุ้นเคยกับมัน ทำโจทย์บ่อย ๆ ฝึกฝนบ่อย ๆ แลว้ มันจะกลับกลายเปน็ งา่ ยกว่าการทำแบบปกติ ตอนนมี้ าลองอกี ซักข้อหนึง่ 68 + 45 = ? เอา 68 + 40 = 108 แล้วบวกด้วย 5; 108 + 5 = 113 ตอบ... แบบฝึกหัด 1.1: 2-Digit Addition 3

PVS MENTAL MATH HANDBOOK การบวกเลขสามหลกั (3-Digit Addition) การบวกเลขสามหลักก็เช่นเดียวกันกับการบวกเลขสองหลัก เราจะเริ่มบวกจาก ซา้ ยไปขวา ลองดู เร่ิมจากการบวก 300 เข้าไปใน 538 + 300 = 838 (ตอนนี้โจทย์ก็จะ กลายเป็น 838 + 27) เพิ่มอกี 20; 838 + 20 = 858 (โจทยใ์ หม่เป็น 858 + 7) และ เพิ่มอีก 7; 858 + 7 = 865 ดังด้านล่าง วิธีการบวกเลขในใจสามารถใช้วิธีนี้ได้เช่นกัน เป้าหมายก็คือให้บวกจากซ้ายไป ขวาซ่ึงมันจะเริ่มบวกง่ายขึ้นเร่ือย ๆ มันสำคัญมากที่เราจะลดจำนวนของหลักลงเรื่อย ๆ เน่ืองจากความจำระยะส้ันของมนุษย์นั้นจำกัดไว้โดยประมาณแค่เลข 7 หลัก สังเกตว่า จากตัวเลข 538 + 327 ให้เราเก็บไว้ในความจำระยะสั้นจำนวน 6 หลัก ในขณะท่ี 838 + 27 และ 858 + 7 มีจำนวน 5 หลักและ 4 หลักตามลำดับ ดังนั้นด้วยวิธีการน้ีเมื่อ เราบวกเลขไปเรือ่ ย ๆ โจทย์ก็จะงา่ ยข้ึน ลองบวกเลขดา้ นล่างน้ใี นใจ กอ่ นที่จะไปดวู ิธีการ เราได้ลดความยุ่งยากลงจากการบวกจากซ้ายไปขวา หลังจากเพ่ิมหลักร้อยเข้า ไป (623 + 100 = 723) คณุ ก็จะเหลือแค่ 723 + 59 ตอ่ มา เรากแ็ ค่เพ่ิมหลักสิบเขา้ ไป (723 + 50 = 773) นั่นทำให้ปัญหาเหลือแค่ 773 + 9 เท่านั้นซึ่งเราสามารถบวกเพ่ิม เปน็ 782 ได้ง่าย ๆ การแกป้ ญั หาโจทย์นี้จะเปน็ แบบนี้ 4

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เมื่อเราจะคำนวณโจทย์น้ีในใจ ให้ใช้วิธีการฟังหรือพูดเป็นหลัก เราต้องเอา หก รอ้ ย ย่ีสบิ สามบวกกบั หนึ่งร้อยหา้ สบิ เก้า ใหเ้ น้นคำว่า “ร้อย” ใหต้ นเอง หลังจากนัน้ เรารู้ แล้วว่าเราต้องบวก เจ็ดร้อยย่ีสิบสามกับห้าสิบเก้าไปเร่ือย ๆ แรกเร่ิมเราอาจจะเปล่ง เสยี งออกมาก่อนก็ได้จนเราคุน้ เคย จรงิ ๆ แล้วโจทย์ของการบวกเลขมักจะไม่ยากไปกวา่ โจทย์ลกั ษณะด้านล่างนี้ วิธีการกค็ อื หากจะคดิ ในใจ เราใช้วิธีการ “ฟงั ” ไม่ใช่ “เห็น” ให้ใจให้ได้ยนิ คำว่า 858 บวก 634 เปน็ 1458 บวก 34 เปน็ 1488 บวก 4 ตอบ 1492 ลองมาทำโจทยอ์ กี ซกั ข้อหนึ่ง คดิ ในใจซะกอ่ นแลว้ ค่อยดูด้านล่าง 5

PVS MENTAL MATH HANDBOOK โจทย์ข้อนี้จะยากกว่าข้อท่ีผ่านมาเล็กน้อย เน่ืองจากจะต้องมีการทศเลขในทั้ง สามข้ันตอน อย่างไรก็ตามเราอาจจะใช้วิธีการที่นอกเหนือจากท่ีผ่านมาเล็กน้อยในการ แก้ไขปัญหา ทำให้มนั งา่ ยขึ้น ผมมนั่ ใจว่าเราน่าจะเห็นพ้องตอ้ งกนั ว่า มันงา่ ยกว่าที่จะบวก 500 เขา้ ไปใน 759 มากกว่าการบวก 496 เข้าไป ดงั นนั้ ลองบวก 500 แลว้ ค่อยลบออก ทำเหมอื นเดิม จากซ้ายไปขวา เพยี งแตค่ รัง้ นี้ – 4 ออก ในการทำโจทย์ท่ีเป็นการบวกนั้นไม่ว่าจะอย่างไรหากเราเห็นว่าการสลับตัวท่ี นำมาบวกกันแล้วทำให้เราเข้าใจมากยิ่งข้ึน หรือทำให้เราสบายใจมากย่ิงขึ้น เราก็สามารถ สลับมันไดเ้ ลย เชน่ สุดทา้ ยเราลองมาบวกเลขสามหลกั กับเลขส่หี ลักดู เชน่ เดยี วกัน 4560 + 100 = 4660; 4660 + 71 =4731 สรา้ งพื้นฐานเหล่านีจ้ นเคยชินกับมนั แล้วตามผมมาเรือ่ ย ๆ ยังมีวิธีการอนื่ อีกท่ี จะช่วยให้การบวกเลขน้ันงา่ ยสุด ๆ รอดูภาคถัดไป 6

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝกึ หัด 1.2: 3-Digit Addition การลบ (Subtraction) สำหรับคนส่วนใหญ่แล้ว มักจะบวกเลขง่ายกว่าการลบเลข แต่หากว่าเรายังคง คำนวณจากซ้ายไปขวา และแยกปัญหาน้ันลงเป็นองค์ประกอบง่าย ๆ การลบก็จะง่าย เชน่ เดยี วกนั กบั การบวก การลบเลขสองหลัก (2-Digit Subtraction) เช่นเดียวกับการบวก ในการลบเลขสองหลัก เป้าหมายของเราก็คือ ให้ลดทอน ปญั หาลงจนเราเหลือเลขแค่หลกั เดยี ว ดงั ตัวอยา่ ง 7

PVS MENTAL MATH HANDBOOK หลังจากแต่ละข้ันตอน เราก็จะเจอกับโจทย์ปัญหาที่งา่ ยขึ้นเรื่อย ๆ เร่ิมจากการ ลบ: 86 – 20 = 66 ในตอนนี้โจทย์ปัญหาของเราจะกลายเป็น 66 – 5 = 61 และน่ีก็ คือคำตอบ แน่นอนว่าการแก้ปัญหาโจทย์เก่ียวกับการลบมันจะง่ายข้ึนหากว่ามันจะไม่ เกี่ยวข้องกับการยืม และหากเราเจอปัญหาน้ันเราอาจจะทำเช่นเดียวกับการบวก ดัง ตัวอยา่ งด้านล่าง จากโจทย์ข้อน้ี มันมีอย่สู องวิธี 1. เราอาจจะแยก 29 ให้เปน็ 20 + 9 ลบ 20 หลงั จากนน้ั ลบ 9 หรอื 2. เราอาจจะมองว่า 29 คืออันเดียวกันกับ 30 – 1 หลังจากเสร็จส้ิน กระบวนการแล้วค่อยเอา 1 ไปบวกคนื จะเห็นได้ว่าหลักการในการลบ และหลักการในการบวกก็เป็นเช่นเดียวกัน จาก ซา้ ยไปขวา และหกั ออกทลี ะหลกั ทำให้โจทยป์ ัญหาง่ายขน้ึ ไปเรอื่ ย ๆ แค่นี้เอง 8

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝึกหดั 1.3: 2-Digit Subtraction การลบเลขสามหลกั (3-Digit Subtraction) คราวนี้เราลองมาดูการลบเลขสามหลักกนั บา้ งว่าเป็นอยา่ งไร โจทย์ข้อนี้เราไม่จำเป็นต้องยืมจากหลักใด ๆ ดังนั้นเราแค่ลบทีละหลักจากซ้าย ไปขวากเ็ ป็นอันเสร็จ ลองมาดูโจทยป์ ัญหาการลบเลขสามหลกั ทีเ่ ราจำเปน็ ต้องมีการยมื บา้ ง จากการดูในคร้ังแรกโจทย์ข้อน้ีดูเหมือนจะยาก แต่หากว่าเราเพ่ิม 2 เข้าไปใน 598 แลว้ ลบ 747 – 600 = 147 จากนัน้ กบ็ วกคนื ไป 2 คำตอบคอื 147 + 2 = 149 9

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ตอนนี้ลองทำเอง ได้ทำ 692 ให้เปน็ 700 หรอื เปลา่ แลว้ ลบ 700 ออกจาก 853 หากทำตามน้ี เราก็จะได้ 853 – 700 = 153 แต่เนื่องจากเราลบออกมากเกินกว่า 692 (เราลบออก 700) ดังนน้ั เราตอ้ งเอาเพ่มิ อีก 8 จะได้ 161 จากการทำแบบนกี้ ารลบเลขก็ไมใ่ ช่เรอ่ื งยากอกี ตอ่ ไป ลองมาดอู ีกข้อหนง่ึ หากว่าเราลบทีละหลักวธิ ีการท่ีออกมาก็จะเป็นลักษณะนี้ มันจะเป็นอย่างไรหากว่าเรา Round up ขึน้ เปน็ 500 การลบออก 500 นน้ั งา่ ยมาก: 725 – 500 = 225 แต่ว่าเราลบออกมากไป ดังนนั้ เราตอ้ งบวกคนื แต่เท่าไหรล่ ่ะ และคำตอบทีไ่ ด้เป็นเท่าไหร่ จากการเหลือบมองโจทย์ในตอนแรกเราอาจจะคิดว่าโจทย์ข้อน้ีค่อนข้างยาก การท่ีจะหาว่า 468 นั้นห่างจาก 500 เท่าไหร่ไม่ง่ายเลย คำตอบมีอยู่ แค่เราใช้ “Complements” มัน ก็จะช่วยให้ ปั ญ ห าการลบเลขสามห ลักง่ายขึ้น มาก แ ล้ว Complements คอื อะไรล่ะ 10

PVS MENTAL MATH HANDBOOK การใช้ Complements: ลองคิดเล่น ๆ ดูซวิ า่ เลขต่าง ๆ เหลา่ น้หี ่างจาก 100 เทา่ ไหร่ และคำตอบก็คอื : สังเกตุดูดี ๆ ซิ ลองสังเกตุดูดี ๆ เราเห็นอะไรม้ัย ดูเลขแต่ละคู่ท่ีบวกกันเป็น 100 ซิ เลขหลักแรกดา้ นซ้ายจะบวกกันเปน็ 9 และเลขตัวหลังจะบวกกนั เป็น 10 “All from 9 and the last from 10” *จำประโยคดา้ นบนใหด้ ี เราจะเจออีกในภายหลัง* จากด้านบน เรากล่าวได้ว่า 43 เป็น Complement ของ 57, 32 เป็น Complement ของ 68,.... ตอนน้ีลองหา Complement ของเลขด้านล่างซิ ในการท่ีจะหา Complement ของ 37 อันดับแรก เราต้องเอาอะไรมาบวก 3 เพ่ือท่ีจะให้ได้ 9 (คำตอบคือ 6) หลังจากนั้น เราต้องเอาอะไรมาบวก 7 เพื่อให้ได้ 10 (คำตอบคอื 3) ดงั นั้น 63 กค็ อื Complement ของเรา Complements อื่นก็คือ 41, 7, 56, 92 สังเกตุว่า เช่นเดียวกับการท่ีเราทำ การบวก และการลบท่ีผ่านมา Complement ก็กำหนดจากซ้ายไปขวาเช่นกัน จากที่เห็น ในหลักแรกเราต้องเพ่ิมเลขให้ได้ 9 และหลักท่ีสอง เราต้องเพิ่มให้ได้ 10 (ข้อยกเว้นก็จะ เกิดในกรณที ่ีเลขลงทา้ ยดว้ ย 0 เช่น 30 + 70 = 100) 11

PVS MENTAL MATH HANDBOOK จะเห็นได้ว่า Complements มีส่วนสำคัญในการลบเลข มันช่วยให้การลบเลขที่ ยาก กลับกลายเปน็ ธรรมดาไป ดังเชน่ โจทย์ปญั หาท่ีผา่ นมา เราจะลบ 500 แทนที่จะเป็น 468 (725 – 500 = 225) แต่ว่าหลังจากน้ัน การที่เราลบออกไปมากกว่าปกติ เราต้องบวกคืนเข้าไป ดังนั้นการใช้ Complement จะ ช่วยให้เราได้คำตอบในทันที 468 ห่างจาก 500 ไปเท่าไหร่ คำตอบคือระยะห่างเท่ากัน กับ 68 กับ 100 ดังน้ันเราจะได้ 32 ออกมา เอา 32 ไปบวกกับ 225 จะได้ 257 ซงึ่ เป็น คำตอบสดุ ทา้ ย ลองลบเลขสามหลักอีกซกั ข้อหนึ่ง วิธีทำก็คือ ให้ลบ 821 – 300 = 521 จากน้ันบวกเพิ่ม Complement ของ 59 ซง่ึ กค็ อื 41 เข้าไปจะได้คำตอบคือ 562 ตอนนี้ลองหา เชค็ ดคู ำตอบ และดวู ่าทำถกู หรอื เปลา่ 12

PVS MENTAL MATH HANDBOOK การลบเลขสามหลกั จากเลขสี่หลกั กไ็ ม่ได้ยากไปกวา่ น้ีเลย ลองดู จากการ Round up เราจะลบ 600 ออกจาก 1246 ได้ 646 จากน้ันบวก Complement ของ 79 (ซง่ึ ก็คือ 21) กลบั เขา้ ไป จะไดค้ ำตอบคอื 667 แบบฝึกหัด 1.4: 3-Digit Subtraction 13

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 2: MULTIPLICATION 1 ในบทนี้เราจะกล่าวถึงการคูณเลขหนึ่งหลักกับเลขสองหลัก และสามหลักท่ี แตกต่างจากวธิ ีปกติ แต่เชอื่ เถอะว่าหากได้ทำตามน้ีแล้ว ในบทหลัง ๆ อะไร ๆ จะง่ายข้ึน มากกวา่ ทีเ่ ป็นมา มีสิ่งหน่ึงท่ีอย่างน้อยทุกคนควรจะทำได้ น่ันก็คือ ตารางสูตรคูณจนถึงแม่ 10 (จะแสดงวิธีการหาแม่สูตรคูณตั้งแต่แม่ 1-100 ในตอนหลัง) อย่าลืมว่าหลักการในการ คำนวณ ไม่ว่าจะเป็นการบวก การลบ หรือแม้กระท่ังการคูณต้อง “จากซ้ายไปขวา” เรา ต้องทำความคนุ้ เคยกบั มนั ใหไ้ ด้ ไม่ได้บอกว่า ท่ีเราเรยี นกันมานน้ั ผิด แต่จะบอกว่าการทำ จากซา้ ยไปขวาน้ันนกั เรยี นสามารถทำความเขา้ ใจได้ง่ายกวา่ 14

PVS MENTAL MATH HANDBOOK การคูณ (Multiplication) 2 by 1 Multiplication Problems (คูณเลขสองหลักโดยเลข หนง่ึ หลัก) ในบทท่ี 1 หากว่าได้ทำตามที่ผมบอก และได้ฝึกฝนมาจนชำนาญ เราจะเริ่มมี ความคุ้นเคยกับการทำโจทย์จากซ้ายไปขวา จนอาจจะเรียกได้ว่า มันกลายเป็นความเคย ชินไปแล้ว ดังนั้นในการคูณ เราก็จะทำจากซ้ายไปขวาโดยใช้หลักการเดียวกัน จำไว้ว่านี่ เปน็ สงิ่ ตรงกันข้ามกับส่ิงท่ีมีการเรียนการสอนในโรงเรียนไมว่ ่าจะเป็นในอดีตจนถึงปจั จุบัน 15

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แต่อีกไม่นาน เราจะเห็นว่ามันง่ายกว่ามากที่จะคิดจากซ้ายไปขวามากกวา่ ขวามาซ้าย ลอง มาดูโจทย์ข้อแรกกนั กอ่ น อันดับแรก ให้คูณ 40 x 7 =280 หลังจากนั้นคูณ 2 x 7 = 14 บวก 14 เข้า กับ 280 (แน่นอนว่าจากซ้ายไปขวา) คำตอบที่ได้คือ 294 (เราได้เรียนรู้วิธีการบวก มาแลว้ จากบทที่ 1) ผมจะแสดงวิธีทำใหด้ ดู ้านล่าง พยายามมองโจทย์ปัญหาในขณะที่คำนวณไปทีละข้ันตอน ทำโจทย์บ่อย ๆ แล้ว ในตอนหลงั เราอาจจะไม่ต้องเขียนวิธีทำเลย ลองมาดอู ีกข้อละกนั ข้นั แรกเราต้องแยกโจทยป์ ัญหาออกให้เป็นโจทยท์ ี่ง่ายลง เมื่อ 48 = 40 + 8; ให้คูณ 40 x 4 = 160 หลังจากนั้นบวก 8 x 4 = 32 เข้าไป ดังน้ันคำตอบก็คือ 192 (หากใครมีข้อสงสัยว่าทำไมมันถึงแยกกันคูณแบบน้ีได้ ผมจะอธิบายใน “Why These Tricks Work” ไว้ท้ายบท) 16

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ด้านล่างนี้คือโจทย์การคูณที่คดิ ว่าเราทุกคนควรท่ีจะคิดในใจอย่างรวดเร็วกันได้ แล้ว ลองคดิ ในใจกันก่อนที่จะดูคำตอบ ตัวอยา่ งท้ังสองข้อนค้ี ่อนขา้ งจะง่ายเน่ืองจากเราไม่ต้องทศเลขอะไรทั้งนน้ั โจทย์ ปัญหาการคูณอีกอย่างหนึ่งท่ีควรรู้ก็คือเลขที่เร่ิมต้นด้วยเลข 5; เมื่อเลข 5 คูณกับเลขคู่ เลขตัวแรกท่ีได้จะเปน็ การคูณของ 100 (100, 200, 300,…) ซง่ึ ทำให้การหาคำตอบง่าย ขน้ึ ยกตัวอย่าง อีกซกั หนึง่ ข้อ สังเกตุว่ามันง่ายกว่าท่ีจะคูณจากซ้ายไปขวา มันใช้เวลาสั้นลงในการคำนวณ “400 บวก 35” กวา่ ท่จี ะคูณแบบเดิม ๆ คอื เอา 5 X 7 = 35 ใส่ 5 แลว้ ทศ 1... 17

PVS MENTAL MATH HANDBOOK โจทย์ด้านล่างอีกสองข้อจะยากข้ึนเพราะว่ามันบังคับให้เราทศเลขเม่ืออยู่ใน ข้นั ตอนของการบวก เหมือนที่ผ่านมา ให้แยกปัญหาออกเป็นปัญหาท่ีง่ายลง สำหรับข้อซ้ายมือ คูณ 30 x 9 บวก 8 x 9, เราจะได้ 270 + 72 ปัญหาของการบวกจะยากขึ้นมานิดหนึ่ง เน่ืองจากมันเก่ียวกับการทศเลข จะได้ (จากบทที่ 1) 270 + 70 + 2 = 340 + 2 = 342 เปน็ คำตอบสดุ ทา้ ย Rounding Up เราเห็นจากบทท่ีแล้วว่าเราสามารถท่ีจะ Round up ได้เม่ือเราลบเลข เชน่ เดียวกันกบั การคณู โดยเฉพาะเมอ่ื เลขทเ่ี ราคณู นัน้ ลงท้ายด้วย 8 หรอื 9 ลองดูตัวอย่างด้านล่าง 69 x 6 ด้านซ้ายผมได้ใช้วิธีคำนวณแบบปกติ ส่วน ด้านขวา ผมได้ใช้การ Round up 69 ไปเป็น 70 ซึ่งเป็นตัวเลขท่ีคูณได้ง่ายกว่า และ สำหรับคนส่วนใหญ่ ซึ่งมนั จะงา่ ยกวา่ ในการลบ 420 – 6 กวา่ การบวก 360 + 54 ตวั อย่างด้านล่างกแ็ สดงให้เหน็ วา่ มันงา่ ยกวา่ มากทีจ่ ะ Rounding up 18

PVS MENTAL MATH HANDBOOK วิธการลบจะใช้ได้ดีกับตัวเลขหน่ึงหรือสองหลักห่างจากหลักสิบ มันจะไม่ค่อย ได้ผลกับการที่เรา Round up มากกวา่ สองหลกั เท่าไหร่ หากมากกว่าสองหลัก ส่วนใหญ่ แลว้ เราจะใชว้ ธิ ีการบวกเพม่ิ ดังตัวอยา่ งท่ีผา่ น ๆ มา แบบฝกึ หัด 2.1: 2-by-1 Multiplication 19

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 3-BY-l MULTIPLICATION PROBLEMS (คูณเลขสามหลัก โดยเลขหนง่ึ หลัก) หลังจากท่ีเรารู้วิธีการแก้โจทย์ปัญหาการคูณเลขสองหลักโดยเลขหน่ึงหลักแล้ว เราจะพบว่าการคูณเลขสามหลกั โดยเลขหนง่ึ หลกั น้นั ไมไ่ ด้ต่างกัน เราสามารถเรมิ่ ทีจ่ ะลอง ทำดูจากโจทยด์ า้ นล่างโดยไมต่ อ้ งกลา่ วอะไรมาก อะไรจะงา่ ยไปกว่านี้ม้ัย ลองดูอีกซกั ขอ้ เพยี งแต่คร้ังนี้เราใส่ 6 แทน 0 ทำให้เรา มอี ีก 1 ขั้นตอนข้ึนมา ในกรณีนี้ เราก็แค่เพิ่มผลลัพธ์ของ 6 x 7 ซ่ึงคุณรู้ดีว่าคือ 42 เข้าไปใน 2240 ในเมอ่ื เราไมต่ ้องทศเลขใด ๆ มันงา่ ยมากทีจ่ ะบวก 42 + 2240 = 2282 ตอบ ในการคูณเลขสามหลักกับหน่ึงหลักในใจน้ัน ส่วนที่ยากท่ีสุดก็คือการจำคำตอบ เลขในส่วนแรกในขณะที่เราทำในส่วนท่ี 2 และ 3 มันไม่ได้มีวิธีลัดหรือวิธีที่ง่าย ส่ิงท่ีต้อง ทำก็คอื ฝกึ ฝน ฝึกฝน และฝึกฝน เทา่ นั้น 20

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ลองดูอกี ซกั หนง่ึ ตวั อย่าง และถงึ แม้วา่ ตัวเลขจะเพม่ิ มากข้ึน กระบวนการก็ยงั เหมอื นเดมิ เช่น ตอนแรกเมื่อจะเริ่มในการแก้ปัญหาลักษณะนี้เราต้องเหลือบมองภาพของโจทย์ ก่อนแล้วดูว่าปัญหาแรกมันคืออะไร แต่อย่างไรก็ตามเราต้องแยกโจทย์จนเป็นความเคย ชินให้ได้ จนในท่ีสดุ เรามีโจทยท์ งั้ หมดในสมองของเรา ในส่วนสุดท้ายของปัญหาการคูณเลขสองหลักกับหน่ึงหลัก เราพบว่าปัญหาท่ี เกี่ยวข้องกับตัวเลขที่เริ่มต้นด้วย 5 บางทีต้องแก้ด้วยวิธีที่เฉพาะ ปัญหาการคูณเลขสาม หลกั กับหนึ่งหลักก็เช่นเดียวกนั 21

PVS MENTAL MATH HANDBOOK สงั เกตุว่า เม่ือไหร่ที่ผลลัพธ์ชุดแรกเป็นผลผลิตของตัวคูณ 1000 (มีศูนย์สามตัว หรือการท่ี 5 คูณกับเลขคู่ดังที่ได้กล่าวมาแล้ว) ปัญหาในการบวกจะไม่มีเพราะว่าเราไม่ ต้องทศเลข และเลขหลกั พนั ไม่ได้เปล่ยี น ลองดูโจทย์ลักษณะเดยี วกัน เมอ่ื ตวั คณู คอื 5: เน่ืองจากเลขสองหลักแรกเป็นเลขคู่ เรารู้ได้เลยว่าคำตอบในสองหลักแรกคือ อะไร เนือ่ งจากเราไมต่ อ้ งทศเลขอะไรท้งั สนิ้ ง่ายมยั้ ล่ะ มาเพม่ิ ความทา้ ทายกนั โดยลองแกโ้ จทยป์ ญั หาที่จะให้เราตอ้ งทศเลขดซู กั สองข้อ 22

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ในสองขอ้ ถดั ไปเราจำเปน็ ตอ้ งทศเลขในตอนทา้ ยแทนทจ่ี ะเปน็ ในข้นั ตอนแรก 23

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ในข้ันตอนแรกของปัญหาเหล่านี้มักจะง่าย ในกรณีของข้อแรกมันง่ายท่ีจะบวก 5400 + 360 = 5760 แตว่ ่าพอเอา 8 x 9 = 72 มาบวกมันเริ่มที่จะต้องมกี ารทศเลข ใหไ้ ด้ 5832 แต่เช่ือทำไปเรื่อย ๆ ฝึกฝนบ่อย ๆ แล้วมนั กจ็ ะง่ายขึ้นมาก โจทย์ปัญหาถัดไปเราต้องทศเลขในแต่ละข้ันตอน ซ่ึงอาจจะใช้เวลาเพ่ิมข้ึน แต่ ด้วยการฝกึ ฝนมันกจ็ ะไวขนึ้ ถึงตรงนี้เรามาจบการคูณเลข 3 หลัก โดย 1 หลักกับโจทย์ปัญหาพิเศษท่ีเรา สามารถทำได้ในพรบิ ตาเนื่องจากว่ามนั ใหเ้ ราบวกเลขแคห่ นง่ึ ครั้งแทนท่ีจะเป็นสองคร้ัง 24

PVS MENTAL MATH HANDBOOK โดยท่ัวไป ถ้าผลลัพธ์ของเลขสองหลักท้ายของเลขตัวแรกและตัวคูณเป็นตัวที่ เรารคู้ ำตอบอยูแ่ ล้วเรากไ็ มจ่ ำเป็นต้องคำนวณมนั อกี เชน่ เราอาจจะรู้ว่า 25 x 8 = 200 เหมือนกับ 8 สลึงเท่ากับ 2 บาท) เราก็จะหาคำตอบได้เร็วกว่า ยกตัวอย่าง หากว่าเรารู้ โดยไมต่ อ้ งคำนวณว่า 75x 4 = 300 ดังน้นั มันก็งา่ ยมากทจี่ ะคณู 975 x 4; 25

PVS MENTAL MATH HANDBOOK แบบฝึกหดั 2.1: 3-by-1 Multiplication 26

PVS MENTAL MATH HANDBOOK WHY THESE TRICKS WORK อยา่ งทผี่ มได้รบั ปากเอาไวว้ า่ จะมาอธิบายใหฟ้ งั ว่าทำไมมันถงึ ทำแบบน้ีได้ มนั ก็ ตอ้ งมีเหตผุ ล และคำอธิบายของมนั อยู่ ในกฏของการแจกแจง (distributive law) กำหนดไว้วา่ ในจำนวน a, b, และ c ใด ๆ: น่ันคือ a เป็นจำนวนท่ีแยกออกมาของจำนวนแต่ละตัวในวงเล็บ b และ c ใน การคำนวณโจทย์ข้อแรกของเรา 42 x 7 เราหาคำตอบโดยแยก 42 เป็น 40 + 2 หลังจากนั้นกเ็ อาไปคณู กับ 7 ดังตวั อยา่ ง เราอาจจะมีข้อสงสัยว่าทำไมกฏของการแจกแจงมันถึงเป็นแบบน้ัน เอาง่าย ๆ เลยนะ สมมุติว่าเรามีถุงอยู่ 7 ถุง ในแต่ละถุงมีเหรียญอยู่ 42 เหรียญ 40 เหรียญของ แต่ละถงุ เป็นเหรยี ญทอง และมอี ีก 2 เหรียญเป็นเหรยี ญเงิน เรามเี หรยี ญรวมกันท้ังหมด กเ่ี หรียญ? ในการจะหาคำตอบนัน้ มันมีอยู่ 2 ทาง ทางแรกกค็ อื ใช้การคณู คือจะมีเหรยี ญ ท้ังหมด 42 x 7 เหรียญ อีกทางหนึ่งก็คือ มันจะมีเหรียญทอง 40 x 7 เหรียญ รวมกับ เหรียญเงินอีก 2 x 7 เหรียญ ดังน้ันเรามี (40 x 7 ) + (2 x 7) เหรียญ จากคำตอบ ของเราท่ีได้ 42 x 7 = (40 x 7) + (2 x 7) เหรียญ สังเกตุว่าจำนวน 7, 40, และ 2 สามารถถูกแทนที่โดยจำนวนใดก็ได้ (a, b, หรือ c) และนี่ก็คือเหตุผลว่าทำไมมันถึงทำ แบบน้ไี ด้ จากหลักการที่กลา่ วมาเรากส็ ามารถทำกับการลบได้เชน่ กัน ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ 78 = 80 – 2, 78 x 9 = (80 – 2) x 9 ซึ่งจากกฏ ด้านบนก็คือ (80 x 9) – (2 x 9) เช่นเดียวกันกับเมื่อก้ี สมมุติว่าเรามีถุงอยู่ 9 ถุง แต่ 27

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ละถุงบรรจุเหรียญอยู่ 80 เหรียญ ซ่ึงเป็นเหรียญช็อคโกแลตเสีย 2 เหรียญ จะมีเหรียญ ท่ีไม่ใช่ช็อคโกแลตทั้งหมดก่ีเหรียญ ในเม่ือแต่ละถุงมีเหรียญที่ไม่ใช่ช็อคโกแลตอยู่ 78 เหรียญ ดังน้ันท้ังหมดจะเป็น 9 x 78 เหรียญ หรืออีกวิธีหน่ึงคือ มีเหรียญรวมกันทั้ง 2 แบบทัง้ หมด 9 x 80 เหรียญ เป็นเหรียญช็อคโกแลต 9 x 2 เหรียญ กเ็ ลยเหลือเหรียญ ที่ไมใ่ ช่ชอ็ คโกแลต (9 x 80) – (9 x 2) เหรยี ญน่นั เอง ถ้าใช้เหตุผลเดียวกันกับเหรียญทอง, เหรียญเงิน, และเหรยี ญทองแดง เราก็จะ ได้ ซึ่งในการแก้ปัญหาโจทย์ 326 x 7 เราจะแยก 326 เป็น 300 + 20 + 6 หลังจากนั้นเอาไปคูณ 7: 326 x 7 = (300 + 20 + 6) x 7 = (300 x 7) + (20 x 7) +(6 x 7) ซึ่งรวมกันได้ออกมาเป็นคำตอบ สำหรับในการยกกำลังนั้นก็จะเป็นลักษณะคล้าย ๆ กัน สำหรับจำนวน A และ d ใด ๆ ในท่ีน้ี A เป็นตัวเลขท่ีนำมายกกำลังสอง d เป็นจำนวนใด ๆ แต่ผมให้เป็น d- tance จาก A และเป็นเลขที่เป็นตัวคูณของ 10 ท่ีใกล้ที่สุด ดังน้ัน (77)2 ผมให้ d = 3 และจากสูตร 772 = (77 + 3) x (77 – 3) + 32 = (80 x 74) + 9 = 5929 ไม่ต้องกังวลเร่ืองเลขยกกำลงั ในตอนนี้นะ เดียวถ้าตามผมมาเรื่อย ๆ มันจะมใี น บททเ่ี กยี่ วกับเลขยกกำลัง 28

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 3: TIMES TABLES ทกุ คนคงร้จู ักตารางสตู รคูณกนั เป็นอย่างดีแล้ว ส่งิ ที่นักเรียนควร และจำเปน็ ใน การคูณก็คือตารางสูตรคูณ และท่ีจำเป็นท่ีสุดก็คือตารางสูตรคูณตั้งแต่แม่ 1 – 10 น่ันเอง หลังจากนัน้ เราไมม่ คี วามจำเป็นทจี่ ะตอ้ งทอ่ งอกี เลย การท่ีจะให้นักเรียนท่องแม่สูตรคูณน้ันไม่ใช่ว่าแค่บอกให้นักเรียนท่องจำแบบ นกแก้ว นกขุนทอง เราควรจะแนะนำให้นักเรียนช่างสังเกตุแม่สูตรคูณแต่ละแม่ด้วย แม่ สูตรคูณหรือท่ีเรียกว่า Times Tables หรือ Multiplication Tables ของเราจะเน้น ตรงท่แี ม่ 1 – 10 เทา่ น้นั ดังตารางดา้ นล่าง 29

PVS MENTAL MATH HANDBOOK Times Tables 30

PVS MENTAL MATH HANDBOOK หลายคนอาจจะเรม่ิ มีข้อขัดแยง้ ในใจว่า ที่ผา่ นมา ทเี่ รยี นกันมา ทีท่ ่องกันมา เรา ได้ถูกให้จำกันต้ังแต่แม่ 2 ถึงแม่ 12 น่ี ตามผมมาแล้วจะเข้าใจว่า เราไม่จำเป็นที่จะต้อง ทอ่ งแมส่ ูตรคณู เลยแม่ 10 เลย ข้อสังเกตขุ องสูตรคณู เราต้องทำให้นักเรียนเป็นคนช่างสังเกตุ แม้กระทั่งสูตรคูณเองก็มีเร่ืองราวต่าง ๆ มากมายในตัวของมัน อาจมีเหตุผลบ้าง ไม่มีเหตุผลบ้าง หรืออาจเป็นแค่ความบังเอิญ แต่ไม่ว่าอย่างไร เราก็ไม่ควรที่จะละเลยมันไป หัดให้นักเรยี นสังเกตุมันก็จะเป็นพื้นฐานใน การเรียนคณิตศาสตร์อยา่ งหนง่ึ หากวา่ เราเอาตารางสูตรคูณมากางดู เราเห็นอะไรบ้างล่ะ 1. ผลลัพธ์ของสูตรคูณมันก็คือจำนวนครั้งของการบวกเพ่ิมตัวของมันเอง เช่น ในแม่ 2: 2 x 1 = 2, 2 x 2 = 4, 2 x 3 = 6,… จะเห็นไดว้ ่าเราเอาสองบวกกันก่ีคร้ังก็ คือคำตอบนั่นเอง ในแม่อนื่ ก็เช่นเดยี วกัน ลองสงั เกตุดู 2. ในแม่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นเลขคู่ตั้งแต่ 2 จนถึง 24 และไปเร่ือย ๆ (หรือ เปล่า???) 3. แม่ 3: ใครสังเกตุเหน็ ตวั เลขท้ายเป็นอย่างไร มันเร่ิมจาก 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, วนไปเร่ือย ๆ แบนี้หรือเปลา่ น่าคดิ นะ แล้วเลขตวั แรกล่ะ??? 4. ส่วนแม่ 4: เลขท้ายจะเป็น 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, 4, 8, 2, 6, 0, วนไปเร่ือย ๆ ม้ัย นา่ คิดนะ ส่วนเลขหน้า จะเปน็ 0 สองครั้ง, 1 สองครั้ง, 2 สามครั้ง, 3 สองครัง้ , 4 สามคร้ัง, 5 สองคร้ัง, 6 สามครั้ง วนแบบนหี้ รอื ไม?่ ?? 5. ในแม่ 5: เลขท้ายจะเป็น 5 กับ 0 สลับกัน หากคูณกับเลขค่ี ก็จะเป็น 5 หากคูณกับเลขคู่ก็จะเป็น 0 (จำให้ดีจะมีในตอนหลัง) เลขตัวหน้าจะเร่ิมจาก 0 ถัดมาจะ 31

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เป็น 1 สองคร้ัง, 2 สองครั้ง, 3 สองครั้ง, 4 สองคร้ัง, 5 สองคร้ัง, และ 6 ?? ไปเรื่อย ๆ หรอื เปล่า??? และดูตวั คณู ทเี่ ป็น 5 ในแมอ่ ื่นดซู ิ เหน็ อะไรหรอื เปล่า 6. หากลองสังเกตุดี ๆ สูตรคูณแม่ท่ีเป็นเลขคู่ 2, 4, 6, 8 ตัวเลขตัวท้ายจะ วนเวยี นอยูแ่ ค่ 0, 2, 4, 6, และ 8 เท่านั้น แม่ 10, 20, 30,...จะลงท้ายดว้ ย 0 7. ในแม่ 9: เลขตวั ท้ายจะเรมิ่ จาก 9, 8, 7,..., 2, 1, 0 วนไปเร่อื ยๆ ที่เหลือก็ลองให้นักเรียนต้ังข้อสังเกตุดูและลองพิสูจน์ดูว่ามันเป็นไปตาม สมมุติฐานที่พวกเขาต้ังไว้หรือไม่ เอาล่ะ คราวนี้เราลองมาดูการหาสูตรคูณแม่อ่ืน ๆ ท่ี นอกเหนอื จากแม่ 1 – 10 บ้าง ยกตวั อยา่ ง สตู รคณู แม่ 13 ในการที่จะหาสูตรคูณแม่ 13 ให้เราแยกสูตรคูณแม่ 13 ออกเป็น แม่ 1 กับแม่ 3 แล้วผลลัพธต์ ัวท้ายของแม่ 3 คือผลลพั ธ์ตัวท้ายของแม่ 13 ผลลัพธ์ตัวหน้ามาจากแม่ 1 และหากแม่ 3 เริ่มมีสองหลักเม่ือไหร่ ให้เอาผลลัพธ์ของแม่ 1 มาบวกกับผลลัพธ์ตัวหน้า ของแม่สาม จะไดผ้ ลลัพธต์ วั หน้าของแม่ 13 ออกมา ดงั แสดงดา้ นลา่ ง 13 แม่ 1 แม่ 3 แม่ 13 1 3 = 13 2 6 = 26 3 9 = 39 4 + 12 = 52 5 + 15 = 65 6 + 18 = 78 7 + 21 = 91 8 + 24 = 104 9 + 27 = 117 10 + 30 = 130 32

PVS MENTAL MATH HANDBOOK เห็นหรือเปล่าว่า เราไม่จำเป็นท่ีจะต้องท่องสูตรคูณเกินแม่ 10 เลย เราลองมา ดูตวั อย่างอีกซกั แม่หนึ่ง สตู รคณู แม่ 47 47 x แม่ 4 แม่ 7 แม่ 47 14 7 = 47 28 + 14 = 94 3 12 + 21 = 141 4 16 + 28 = 188 5 20 + 35 = 235 6 24 + 42 = 282 7 28 + 49 = 329 8 32 + 56 = 376 9 36 + 63 = 423 10 40 + 70 = 470 ตกลงมันมีความจำเป็นในการท่องสูตรคูณเกินแม่ 10 หรือเปล่า ในความเป็น จริงบอกได้เลยว่า จริง ๆ แล้วเราจำแค่เพียง 8 แม่เท่าน้ัน คือ แม่ 2 ถึง แม่ 8 แค่น้ี เอง เกบ็ พืน้ ทใี่ นความจำระยะยาว (Long Term Memory) ไวบ้ า้ งจะดีกวา่ ม้ยั 33

PVS MENTAL MATH HANDBOOK อีกสตู รคณู อีกซกั แม่หนงึ่ ม้ัย สตู รคณู แม่ 85 x แม่ 8 + 85 แม่ 85 18 + แม่ 5 = 85 2 16 + 5 = 170 3 24 + 10 = 255 4 32 + 15 = 340 5 40 + 20 = 425 6 48 + 25 = 510 7 56 + 30 = 595 8 64 + 35 = 680 9 72 40 = 765 10 80 45 = 850 50 สังเกตุเห็นอะไรหรือเปล่า อย่างที่ได้กล่าวมาก่อนหน้าน้ีว่า เลขที่ลงท้ายด้วย 5 คูณกับเลขคี่ คำตอบจะลงท้ายด้วย 5 และหากว่าคูณกับเลขคู่ คำตอบจะลงท้ายด้วย 0 (เรอ่ื งราวเกีย่ วกบั เลข 5 ยงั มอี ีก โปรดติดตามตอนตอ่ ไป) 34

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ไหน ๆ เราก็มาไกลถึงตรงนี้แล้ว ลองไปให้ไกลอีกนิดหนึ่งม้ัย เมื่อก้ีเราลองหา สู๖รคูณแม่ 13 มาแล้ว เกิดว่าเราอยากลองหาสูตรคูณแม่ 133 ขึ้นมาล่ะ มันจะได้หรือ เปลา่ นะ มาลองดกู ัน สตู รคณู แม่ 133 x แม่ 13 + 13 3 แม่ 133 1 13 + แม่ 3 = 133 2 26 + 3 = 266 3 39 + 6 = 399 4 52 + 9 = 532 5 65 + 12 = 665 6 78 + 15 = 798 7 91 + 18 = 931 8 104 + 21 = 1064 9 117 24 = 1197 10 130 27 = 1330 30 โอ้พระเจ้าจอชมันยอดมากเลยใช่มั้ยล่ะ สูตรคูณแม่อ่ืน ๆ จะเป็นยังไงบ้างนะ ลอง หาคำตอบกันดูเอง ลองทำสูตรคูณแม่อื่นกันบ้าง ให้นักเรียนแข่งกันหาบ้าง ให้เพ่ือนตั้ง โจทย์ แล้วให้นักเรียนท่ีเหลือแข่งกัน โอ๊ย...มีกิจกรรมให้นักเรียนทำเยอะเลย เห็น มั้ย ตง้ั แตบ่ ทที่ 1 มาจนถงึ ตอนน้ี เราคงเห็นอะไรมากมายแลว้ เจอกนั บทที่ 4 นะ 35

PVS MENTAL MATH HANDBOOK CHAPTER 4: MULTIPLICATION 2 ในบทท่ี 2 เราได้รู้ถึง 2 by 1 Multiplication Problems และ 3 by 1 Multiplication Problems กันไปแล้ว พยายามทำให้มันง่ายเข้าไว้ คูณจากซ้ายไปขวา มี แคน่ ้ีเอง จรงิ ๆ แล้วก็มแี คน่ ีเ้ องจรงิ ๆ ไม่ว่าเราจะคูณเลขอะไร กหี่ ลัก ก็ใชห้ ลักการน้ี คราวนี้เราลองมาดูโจทย์ที่ยากข้ึนอีกเล็กน้อย ถ้าในบทท่ี 2 เป็นพื้นฐาน (Basic) แล้วละ่ ก็บทนก้ี ็เรยี กได้วา่ เป็นระดบั ปานกลางละ่ กัน (Intermediate) อาจจะยาก ขนึ้ มาอีกเลก็ น้อย เล็กน้อยจริง ๆ 36

PVS MENTAL MATH HANDBOOK 2-BY-2 MULTIPLICATION PROBLEMS เม่ือเราคูณเลขสองหลักท่ีแตกต่างกันเข้าด้วยกัน เรามีวิธีที่หลากหลายท่ีจะ สามารถคูณได้ (ติดตามไปเรื่อย ๆ ) แต่สำหรับในบทนี้ เราก็แค่เพ่ิมความยากให้กับ โจทย์ แต่วิธีการน้ันก็คงจะเป็นเหมือนเดิม วิธีการท่ีเราทำกันมาในบทท่ี 2 ลองมาดู ตัวอยา่ งกนั เลยดกี ว่า The Addition Method ท้ังหมดที่เราต้องทำในการใช้วิธีการบวกในการคูณเลข 2 หลักด้วยกันน้ันก็แค่ ทำ 2-by-1 multiplication สองครงั้ แล้วบวกคำตอบมันเข้าดว้ ยกนั ยกตวั อยา่ ง จากตัวอย่างด้านบน เราแยก 42 ให้เป็น 40 และ 2 (ตัวเลขสองชุดที่ง่ายต่อ การคูณ) หลังจากน้ันก็คูณ 40 x 46 ซึ่งก็เหมือนกับ 4 x 46 ท่ีมี 0 อยู่ด้านหลัง หรือ 1840 (4 x 40 = 160 + 24 = 184 ใส่ 0 = 1840) หลังจากนั้นก็คูณ 2x 46 = 92 สุดทา้ ยกเ็ อา 1840 + 92 = 1932 ตอบ ด้านลา่ งนี้กเ็ ป็นอกี วิธีหนงึ่ ที่จะทำในโจทยเ์ ดียวกนั กับขา้ งบน 37

PVS MENTAL MATH HANDBOOK จากการทำแบบนี้ การคูณ 42 x 6 อาจจะยากกว่าการคูณ 46 x 2 เหมือนวิธี ที่ทำตอนแรก นอกจากนี้ การบวก 1680 + 252 ก็อาจจะยากกว่าการบวก 1840 + 92 ดังน้ันเราจะตัดสินใจอย่างไรว่าเลขตัวไหนที่เราควรจะแยก ผมพยายามท่ีจะหาทาง แก้ปญั หาตรงนีแ้ ละพบว่าสว่ นใหญ่แลว้ (ไม่ท้ังหมด) เราควรจะแยกตัวทมี่ ีหลักหน่วยน้อย กว่า เน่อื งจากมนั จะให้คำตอบทีน่ ้อยกวา่ เพือ่ ท่ีเราจะนำมาบวกกับอกี เลขหนง่ึ ลองดู จากด้านบนได้แสดงให้เห็นว่าทำไมเลขที่ลงท้ายด้วย 1 น่าจะถูกแยกออก มากกว่า แล้วหากว่าในโจทย์นั้นเลขท้ายเป็นเลขเดียวกันล่ะ บอกได้เลยว่า เราควรแยก เลขทมี่ ากกว่าดงั ตวั อย่างดา้ นล่าง 38

PVS MENTAL MATH HANDBOOK หากวา่ เลขใดมากกว่าตัวเลขอีกตวั มาก ๆ เรากม็ ักจะแยกตัวที่มากกวา่ ถึงแมว้ ่า มันจะมีเลขท้ายที่มากกว่าก็ตาม ลองดูตัวอย่างด้านล่างที่จะทำให้ดูทั้ง 2 แบบ แล้วลอง มาเปรยี บเทียบกันดู อืมมม...แบบไหนล่ะที่คดิ ว่าดีกวา่ กนั แบบไหนท่ีคดิ ว่าบวกกนั ไดง้ ่ายกว่า??? นี่ก็คืออีกข้อยกเว้นในการแยกตัวเลขท่ีมีตัวท้ายน้อยที่สุด เมื่อเราคูณตัวเลข ในช่วงของเลข 50 โดยเลขคู่ (เลขท่ีเกี่ยวกับ 5 มาอีกแล้ว) เราต้องแยกตัวเลขช่วง 50 นน้ั เช่น ตัวท้ายของเลข 84 นอ้ ยกว่าเลขตัวท้ายของ 59 แต่หากว่าเราแยก 59 ผลลพั ธ์ ทไี่ ด้ก็จะเป็นตัวคูณของ 100 ดงั ตัวอย่างด้านบน ซ่งึ มนั ทำให้การบวกงา่ ยข้นึ มาก เรม่ิ สนุกละ ตอนน้เี ราลองมาดูโจทยง์ ่าย ๆ อกี รปู แบบหน่ึงซิ ☺ 39

PVS MENTAL MATH HANDBOOK ถึงแม้ว่าการคำนวณโจทย์ข้างบนคอ่ นข้างจะง่าย แต่รู้มั้ยว่ามันยังมีวิธีที่ง่ายกว่า นนั้ อีก วิธที ่งี ่าย และเรว็ ปานสายฟา้ ในการคูณเลขสองหลกั ใด ๆ กับ 11 ตามเขา้ มาใกล้ ๆ แล้วจะไมเ่ ชื่อสายตาตวั เอง และนี่คือคำตอบ...สมมุติว่าเรามีเลขสองหลักท่ีเมื่อเราเอาเลขทั้งสองมาบวกกัน แล้วได้ 9 หรือนอ้ ยกวา่ ในการคณู เลขนดี้ ว้ ย 11 เราก็แคเ่ อาเลขสองตัวนัน้ มาบวกกัน แลว้ สอดมันไว้ตรงกลางแค่น้ันเอง นี่แหละคือคำตอบสุดท้าย เช่น ในตัวอย่างด้านบน 4 + 2 = 6 หากเราเอา 6 ไปสอดตรงกลางระหวา่ ง 4 กบั 2 กจ็ ะได้ 462 อย๋ั ยะ ได้คำตอบแล้ว หรอื น่ี โอว้ พระเจา้ จอชมนั ยอดมาก ไหนลอง 54 x 11 โดยวิธนี ้ดี ู ไมม่ อี ะไรง่ายไปกว่านอ้ี ีกแล้ว สิ่งท่ีต้องทำกค็ ือก็คือเอา 9 ไปสอดระหว่าง 5 กับ 4 เทา่ น้ัน เรากจ็ ะไดค้ ำตอบ 594 เราอาจจะมีข้อสงสัยว่า หากเลขทั้งสองนั้นบวกกันแล้วมากกว่า 9 ล่ะ ก็แค่ทศ เข้าซิไม่ยากเลย เชน่ 76 x 11, 7 + 6 = 13 ก็แค่เอา 3 ไปสอดตรงกลางและเอา 1 ไป บวกกับ 7 คำตอบคอื 863.............จบ อกี ซักขอ้ ซิ กำลังมัน 40