Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας 157 σελίδες

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄Λυκείου-Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Σύνολα Σύνολo είναι κάθε συλλογή αντικειμένων Το σύνολο είναι καλά ορισμένo Τα σύνολα διακρίνονται το ένα από το άλλο Π.χ, 1) το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν={0,1,2,3,...} 2) το σύνολο των ρητών αριθμών Q={ μ/ν,ν≠} 3) το σύνολο Α={1,2} Ίσα σύνολα Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα , όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία.Π.χ, τα σύνολα Α={0,1} και Β={0,1} είναι ίσα ( Α=Β ) Υποσύνολα συνόλου Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β Π.χ, Α={0,1} και Β={0,1,2} http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Στη περίπτωση αυτή γράφουμε AB Ιδιότητες 1.Α  Α 2.Αν Α  Β και Β  Γ τότε Α  Γ 3.Α  Β και Β  Α τότε Α=Β Κενό σύνολοΤο σύνολο που δεν έχει στοιχεία ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με  Π.χ, το σύνολο Κ={τα χ που ανήκουν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών για τα οποία χ2=-2 }={  }, διότι η εξίσωση χ2=-2 είναι αδύνατη ,δηλ.δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.  Συμβολίζω με Ω το σύνολο όλων των συνόλων και το ονομάζω βασικό σύνολο Ένωση συνόλων Α  Β={χ  Ω, χ  Α ή χ Β } http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΠ.χ, αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε την ένωση των Α και Β,δηλαδή το σύνολο ΑUΒ Τομή συνόλων Α  Β={χ  Ω, χ  Α και χ Β }Π.χ, αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε την τομή των Α και Β,δηλαδή το σύνολο Α∩Β http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α΄={χ  Ω , χ  Α } Π.χ, έστω Α = {1,2,3} και έστωΩ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} να βρείτε το συμπλήρωμα του Α Απάντηση Α΄={4,5,6,7,8,9,10} http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΕάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Kαλή ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschoolonline.org/ Θέματα προσομοίοσης και απαντήσεις στα «Μαθηματικά & Στοιχεία Στατιστικής» της Γ΄ Λυκείου ΘΕΜΑ 1οΑ.α)Πότε τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται : i) ασυμβίβαστα , ii) συμπληρωματικά Μονάδες 4 β) Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβασταμεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω={ω1,ω2,..,ων}, με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ισχύει P A  B  P A  P B Μονάδες 7 Β.α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις σημειώνοντας στο γραπτό σας το αντίστοιχο γράμμα Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος)i)Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε και τα Α΄ και Β΄είναι ασυμβίβαστα ii)Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά τότε και τα Α΄ και Β΄ είναι συμπληρωματικάiii)Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε είναι και συμπληρωματικά http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Μονάδες 5Β) Να αντιστοιχίσετε στο γραπτό σας κάθε ενδεχόμενοτης στήλης Α με την πιθανότητα του πό τη στήλη Β αν είναι γνωστό ότι ισχύει 2P A  3P A  4P A  B  1 Στήλη Α i)Α΄ ii) A  B iii)Α-Β Στήλη Β 1) 2/3 2)1/4 3)7/12 4)5/6 5)1/2 6)1/3 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 2ο Έστω ένα δείγμα 100 παρατηρήσεων x1,x2,…,x100, με συντελεστή μεταβολής 10% για το οποίο ισχύει http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ 100  xi2  646400 i1 Α)Να βρείτε τη μέση τιμή x του δείγματος Μονάδες 9 β)Να αποδείξετε ότι κάθε παρατήρηση xi ,είναι μη αρνητικός αριθμός Μονάδες 5γ) Να αποδείξετε ότι για το εύρος R του δείγματος ισχύει R  160 Μονάδες 4 δ)Θεωρούμε επιπλέον τις παρατηρήσεις y1=2x1+1,y2=2x2+1,…,y100=2x100+1 Na βρείτε τη μέση τιμή y Των παρατηρήσεων y1,y2,…,y100 Μονάδες 7 ΘΕΜΑ 30 Η Θέση ενός κινητού x(t) το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τη σχέση x t  t3  1 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Όπου ο χρόνος μετριέται σε second Να βρεθεί Α) η ταχύτητα του κινητού για t=2s Μονάδες 10 Β)η επιτάχυνση του κινητού για t=3s Μονάδες 10 ΘΕΜΑ 4ο Δίνεται η συνάρτηση f(x)=lnx Να βρεθεί α)το πεδίο ορισμού της f Μονάδες 5 β) η παράγωγος της f Μονάδες 6 γ)η τιμή f΄(1) Μονάδες 4 δ)η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικήςπαράστασηςβτης f στο σημείο Α(1,f(1)) , καθώς και ηγωνία που σχηματίζει η ευθεία αυτή με τον άξονα xx΄ Μονάδες 8 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ ε)σε ποιο σημείο η εφαπτομένη της Cf είναι παράλληλη στην ευθεία y  1x3 2 Μονάδες 7 Σύνολο 100 μονάδες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ1ο Α.α) Τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα όταν A B Τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται συμπληρωματικά όταν AB  ΩΒ) Τα ενδεχόμενα Α και Β του δειγματικού χώρου Ω είναι ασυμβίβαστα,δηλαδή A B Έστω Ν(Α)=κ και Ν(Β)=λ Τότε ,εφόσον τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα Ν(A  B)  κ  λ  Ν(Α)  Ν(Β) Επομένως http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/P(A  B)  NA B  Ν(Α)  Ν(Β)  NΩ Ν(Ω) P(A  B)  Ν(Α)  Ν(Β)  Ν(Ω) Ν(Ω) P(A  B)  P(A)  P(B)Βi) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα τότε και τα Α΄ και Β΄είναι ασυμβίβαστα ΛΑΘΟΣ Αντιπαράδειγμα Έστω Ω={1,2,3,4,5} με Α={1} και Β={2} A B Α΄={2,3,4,5} και Β΄={1,3,4,5} Όμως A΄ B΄ ii)Αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά τότε και τα Α΄ και Β΄είναι συμπληρωματικά ΣΩΣΤΟ ΕπεξήγησηΤο συμπληρωματικό του Α συμβολίζεται με Α΄, οπότε Β=Α΄http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/Και το συμπληρωματικό του Β συμβολίζεται με Β΄, οπότε Α=Β΄ Επομένως και τα Α΄ και Β΄ είναι συμπληρωματικά iii)Tα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ,δηλαδή A B τότε είναι και συμπληρωματικά ΛΑΘΟΣ Αντιπαράδειγμα Έστω Ω={1,2,3,4,5} και Α={1} , Β={2} τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα ,δηλαδή A B Όμως AB  Ω Δηλαδή δεν είναι συμπληρωματικά Ββ) i)5,ii)3,iii)2 Επεξήγηση P(A΄)=1-P(A)=1-(1/2)=1/2  P A  B  P(A)  P(B)  P(A  B)  P A  B  (1 / 2)  (1 / 3)  (1 / 4) P A  B  7 / 12 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ P A  B  P(A)  P(A  B)  1 / 2  1 / 4 P A  B  1 / 4 ΘΕΜΑ 2οCV=10%=(10/100) =(1/10) Όμως CV  s x Επομένωςs  1  x  10s  s  x (1)x 10 10 Α)Γνωρίζω ότι s21  ν xi 2  ν   i1   ν xi2         i1 ν    1  1  100 2  100 646400 100      i1  s2  xi  1  1  100 2  100  646400 100      i1  s2  xi  1.1  100 2 100 100 s2  i1 xi 6464    http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/   100  2xi  s2  6464   i1  100   s2  6464  x2(2) Aπό την (1) έχωs2   x 2  s2  x2 (i)   100  10  Επομένως η (2) γίνεται x2  6464  x2  101 x2  6464 100 100x2  646400  x2  6400 x 0 101x  6400  x  80 β)Γνωρίζω επίσης ότι   s2  x1  x 2  ...  x100  x 2  100Όμως από το προηγούμενο ερώτημα έχωs2  x2 = 802  80.80  s2  82 100 100 100http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Άρα    s2  x1  x 2  ...  x100  x 2  100    82  x1  80 2  ...  x100  80 2  100    82.100  x1  80 2  ...  x100  80 2     802  x1  80 2  ...  x100  80 2    100 xi  80 2  802 i1    Όμως xi  80 2  100 xi  80 2 i1 Δηλαδή xi  80 2  802  xi2  2xi.80  802  802  xi2  2xi.80  0  xi xi  160  0 Σχηματίζω το πίνακα τιμών http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Από το πίνακα παρατηρώ ότι η ανισότητα  xi xi  160  0 Επαληθεύεται για 0  xi  160 Αυτό σημαίνει ότικάθε παρατήρηση xi ,είναι μη αρνητικός αριθμόςγ)Αν x1 είναι η μικρότερη παρατήρηση και x100 η μεγαλύτερη έχουμε λόγω της ανισότητας 0  xi  160 ότι R  x100  x1  160  0  R  160 δ)Θεωρούμε επιπλέον τις παρατηρήσεις y1=2x1+1,y2=2x2+1,…,y100=2x100+1 Γνωρίζω ότι αν yi  axi  b Τότε y  ax  b Επομένως http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ η μέση τιμή y των παρατηρήσεων y1,y2,…,y100 είναι y  2x  1 ΘΕΜΑ 3ο Α) η ταχύτητα του κινητού δίνεται από τη σχέση   υ t  x(t)  t3  1   3t Επομένως για t=2s  υ 2  3.2  6 μοναδες μήκους/sΒ) η επιτάχυνση α(t) του κινητού δίνεται από τη σχέση a t  υt  xt  3t2   6t Επομένως για t=3s  a 3  6.3  18 μονάδες μήκους/s2 ΘΕΜΑ 4ο Α)Για να ορίζεται η f(x)=lnx πρέπει χ>0 Επομένως π.ο της f είναι το A  0,  http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/Β) η παράγωγος της f είναιfx  ln x  1 , x 0 xΓ)επομένωςf 1  1  1 1Δ)f(1)=ln1=0Eπομένως η εφαπτομένη ε διέρχεται από το σημείοΑ(1,0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης f1  1Η εφαπτομένη έχει εξίσωση της μορφής y  λx  a (1) Όπου λ=f΄(1)=1Άρα η (1) γίνεταιy  x  a (2)Το σημείο Α(1,0) επαληθεύει όμως την εξίσωση (2) της εφαπτομένης Άρα 0=1+α->α=-1 http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ Επομένως η εφαπτομένη έχει εξίσωση Y=x-1 Έστω ω η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη με τον άξονα χχ΄, τότε ισχύει λ=εφω=f΄(χ0) Επομένως εφω=1->ω=π/4ε)Έστω Μ(χ,f(x)) το σημείο που η εφαπτομένη ε είναι παράλληλη στην ευθεία y  1x3 2O συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας είναι λ΄=1/2 (i) και η εφαπτομένη στο σημείο Μ έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=f΄(x) (ii) Όμως η εφαπτομένη ε είναι παράλληλη στην ευθεία y  1x3 2 Δηλαδή λ=λ΄ Απο (i) και (ii) έχω http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschoolonline.org/ ½f΄(x)=1/2 ->1/x = -> x=2 οπότε f(2)=ln2Eπομένως το ζητούμενο σημείο είναι το Μ(2,ln2) Αν υπάρχει απορία επικοινώνησε με το http://www.mathschoolonline.org/ http://www.mathschoolonline.org/

http://www.mathschool-online.com Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικώνΓ΄ Λυκείου –Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Πιθανότητες Συνοπτική θεωρία με παραδείγματα Περιεχόμενα Δειγματικός χώρος- Ενδεχόμενα- Πράξεις με ενδεχόμενα- Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα- Η έννοια της πιθανότητας- Αξιωματικός ορισμός τηςπιθανότητας-Λογισμός πιθανοτήτων-Παραδείγματα Δειγματικός χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με Ω Π.χ, αν Κ είναι το αποτέλεσμα κεφαλή και Γ τοαποτέλεσμα γράμμα κατά τη ρίψη ενός κέρματος, ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={Κ,Γ} Ενδεχόμενο Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Π.χ, το ενδεχόμενο Α να έρθει κεφαλή στο προηγούμενο πείραμα είναι Α={Κ}Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις Πράξεις με ενδεχόμεναΈστω Α,Β τα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω Το ενδεχόμενο A B πραγματοποιείται όταν πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β Το ενδεχόμενο A B πραγματοποιείται ότανπραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Το ενδεχόμενο Α΄ πραγματοποιείται όταν δεν πραγματοποιείται το Α και ονομάζεται συμπληρωματικό του Α Το ενδεχόμενο Α-Β πραγματοποιείται όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β  Το ενδεχόμενο A B ΄σημαίνει ότι δενπραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΗ σχέση Α  Β σημαίνει ότι η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β Π.χ, αν Α={Κ } και Β={Κ,Γ} ,δηλαδή Α  Β τότε εάν έρθει το αποτέλεσμα κεφαλή Κ στη ρίψητου κέρματος, δηλαδή εάν έρθει το ενδεχόμενο Α , θα έχει πραγματοποιηθεί και το ενδεχόμενο Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β= , δηλαδή όταν δεν μπορούν να http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com πραγματοποιηθούν συγχρόνως Παράδειγμα 1ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6}, το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος είναι Β={2,4,6} Τα ενδεχόμενα Α={1,3,5 } και Β={2,4,6} είναι ασυμβίβαστα, Α Β= Παράδειγμα 2ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},τοενδεχόμενο να έρθει ο αριθμός 3 είναι Α={3 } , το ενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Β={1,3,5}. http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθούν συγχρόνως και τα δυο είναι Α Β={3} Παράδειγμα 3ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει περιττός ή άρτιος είναι Α Β ={1,2,3,4,5,6} Παράδειγμα 4ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φορά Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός αριθμός είναι Α={1,3,5 } , το ενδεχόμενο να έρθει άρτιος είναι Α΄={2,4,6}. Το Α΄={2,4,6} λέγεται συμπληρωματικό του Α Παράδειγμα 5ο Ρίχνω ένα ζάρι μία φοράΟ δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},τοενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Α={1,3,5}, το http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com ενδεχόμενο να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 3 είναι Β={4,5,6}.Το ενδεχόμενο να έρθει περιττός μικρότερος του 5 είναι Α-Β={1,3} Παράδειγμα 6ο Στο ίδιο πείραμα, ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6},το ενδεχόμενο να έρθει περιττός είναι Α={1,3,5}, το ενδεχόμενο να έρθει αριθμός περιττός μεγαλύτερος του 3 είναι Β={5}.Το ενδεχόμενο να έρθει αριθμός μεγαλύτερος του 5 είναι Α  Β΄  {6} Παράδειγμα 7ο Αν Α = {1,2,3} και Β = {2,4,5} να βρείτε τα Α∩Β, ΑUΒ, Α–Β Λύση http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Η έννοια της πιθανότηταςΣε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα ορίζω ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α και το συμβολίζω με P(A) το λόγοP(A)  πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων σύνολο όλων των δυνατών περιπτώσεων P(A)= Ν(Α) Ν(Ω) Ιδιότητες P(Ω)= Ν(Ω)  1 Ν(Ω)http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com P()= 0  0 Ν(Ω) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0  P(A)  1 (διότι Ν(Α)≤Ν(Ω),δηλαδή το πλήθος τωνστοιχείων του Α είναι μικρότερο από το πλήθος των στοιχείων του Ω) Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Γενικευμένος ορισμός Εστω ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2,ω3,...ων} Σε κάθε ενδεχόμενο ωi αντιστοιχίζουμε τον πραγματικό αριθμό P(ωi) ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου ωi έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής 0  P(ωi)  1 P(ω1)+ P(ω2)+ P(ω3)+... +P(ων)=1 Ορισμός πιθανότητας ενός ενδεχομένου  Α= α1,α2,α3,...,αν   http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου  Α= α1,α2,α3,...,αν   ορίζεται το άθροισμα των πιθανοτήτων P(A)=P(α1)+ P(α2)+ P(α3)+... +P(αν) Ιδιότητα P  0 Παράδειγμα 1οΡίχνουμε ένα ζάρι να βρεθεί η πιθανότητα να έρθει ζυγός αριθμός . Απάντηση Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6} Το ενδεχόμενο να έρθει ζυγός είναι Α={2,4,6} Η πιθανότητα να είναι ζυγός , σύμφωνα με το γενικευμένο ορισμό είναι P(A)=P(2)+P(4)+P(6) Επειδή τα αποτελέσματα 2,4,6 είναι ισοπίθανα έχω P(2)=P(4)=P(6)→ Ν(2)/Ν(Ω)=Ν(4)/Ν(Ω)=Ν(6)/Ν(Ω)=1/6 http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com επομένως P(A)=P(2)+P(4)+P(6)= 1/6 +1/6 +1/6 =3/6 2ος τρόπος Ο δειγματικός χώρος είναι ο Ω={1,2,3,4,5,6} το ενδεχόμενο να έρθει ζυγός είναι Α={2,4,6}Επειδή όλα τα αποτελέσματα του Ω και επομένως και του Α είναι ισοπίθανα ισχύει ο ορισμός P(A)=N(A)/N(Ω) = 3/6 Λογισμός πιθανοτήτων Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει  P A B  P(A)  P(B)  P(A B) Για δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει PA B  P(A)  P(B) Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύει P(A)=1-P(A΄) Αν A  B http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Τότε ισχύει P(A) ≤ P(B)Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B ) Aπόδειξη A  B A B  A (δες και το παραπάνω σχήμα) έχω P[A  B A B]  P(A) Όμως τα ενδεχόμενα Α-Β και A B είναι ασυμβίβαστα Επομένως PA  B  PA B  P(A) http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com PA  B  PA B  P(A)  PA  B  P(A)  PA B Παράδειγμα 2οΓια τα ενδεχόμενα Α , Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P(A)=17/30, P(B)=7/15 , P(A B)  2 / 3 Να βρείτε την P(A B) Λύση Γνωρίζω ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει  P A B  P(A)  P(B)  P(A B)  2 / 3  17 / 30  7 / 15  P(A B)  P(A B)  2 / 3 + 17/30 + 7/15 EKΠ=30 P(A B)  20 / 30 + 17/30 + 14/30  P(A B)  11 / 30 Παράδειγμα 2ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.com Δίνεται ο δειγματικός χώρος Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4} και τα ενδεχόμενα Α = {ω2,ω3} και Β = {ω2,ω4}.Αν P(A)=1/2 , P(B)= 1/3και P(ω3)= 1/4, να βρείτε το Ρ(ω1). Λύση Είναι Ρ(Α)=P(ω3) + P(ω2) , ( δες ξανά τον ορισμό της πιθανότητας ενός  ενδεχομένου Α= α1,α2,α3,...,αν   ) οπότε 1/2 =1/4 + P(ω2) → P(ω2)=1/2 - 1/4=2/4 – 1/4=1/4 Επίσης Ρ(Β)= P(ω4) + P(ω2)→ 1/3= P(ω4)+1/4→ P(ω4)=1/3 – 1/4 = 1/12Τέλος ισχύει λόγω του γενικευμένου ορισμού της πιθανότητας : P(ω1) + P(ω2) +P(ω3) + P(ω4)=1→ P(ω1)=1- 1/4 – 1/4 – 1/12= 5/12 Παράδειγμα 3ο http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.comΗ πιθανότητα εμφάνισης βλάβης σε ένα μηχάνημαεργοστασίου είναι 0.05, η πιθανότητα εμφάνισης σεένα δεύτερο μηχάνημα είναι 0.08 και η πιθανότητα βλάβης και στα δυο μηχανήματα είναι 0.02. Ποια είναι η πιθανότητα βλάβης σε ένα τουλάχιστον μηχάνημα Λύση Ρ ( Α U Β ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ ( Α Β ) Ρ ( Α U Β ) = 0,05 + 0,08 - 0,02 Ρ ( Α U Β ) = 0,11Εάν έχεις οποιαδήποτε απορία επικοινώνησε με το mathschool-online Καλή Ανάγνωση ! http://www.mathschool-online.com

http://www.mathschool-online.gr Διαδικτυακό φροντιστήριο μαθηματικών Γ΄Λυκείου –Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Πιθανότητες Tυπολόγιο Δειγματικός χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων πουμπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται με Ω Ενδεχόμενο Ενδεχόμενο λέγεται το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος Τα στοιχεία ενός ενδεχομένου λέγονται ευνοϊκές περιπτώσεις! http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.grAν Α,Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης και ω είναι ένα αποτέλεσμα του πειράματος,τότε έχουμε τους εξής συμβολισμούς 1.Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται: ω������Α2. Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται: ω������Α΄ ή ω Α http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 3. πραγματοποιούνται συγχρόνως τα Α και Β : ωA B4. πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον από τα Α και Β: ω  A B 5. πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β: ω������Α-Β http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 6. δεν πραγματοποιείται κανένα από τα  ενδεχόμενα Α και Β: ω  A B ΄ 6. η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β: ω Α  Β Ασυμβίβαστα ενδεχόμεναΔύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα όταν Α Β= , δηλαδή όταν δεν μπορούν να http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr πραγματοποιηθούν συγχρόνωςπ.χ , τα Α και Α΄ είναι ασυμβίβαστα διότι Α Α΄= Η έννοια της πιθανότηταςΣε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματαορίζω ως πιθανότητα του ενδεχομένου Α και το συμβολίζω με P(A) το λόγοP(A)  πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων σύνολο όλων των δυνατών περιπτώσεων P(A)= Ν(Α) Ν(Ω) Προσοχή Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας εφαρμόζεται σε έναν δειγματικό χώρο μεπεπερασμένο πλήθος στοιχείων μόνο όταν τα δυνατά αποτελέσματα είναι ισοπίθανα ! Ιδιότητες P(Ω)= Ν(Ω)  1 Ν(Ω)http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr P()= 0  0 Ν(Ω) Για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει 0  P(A)  1 Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας Γενικευμένος ορισμόςΕστω ο δειγματικός χώρος Ω={ω1,ω2,ω3,...ων} Σε κάθε ενδεχόμενο ωi αντιστοιχίζουμε τονπραγματικό αριθμό P(ωi) ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχομένου ωi έτσι ώστε να ισχύουν τα εξής 0  P(ωi)  1 P(ω1)+ P(ω2)+ P(ω3)+... +P(ων)=1 Ορισμός πιθανότητας ενός ενδεχομένου  Α= α1,α2,α3,...,αν   Ως πιθανότητα ενός ενδεχομένου  Α= α1,α2,α3,...,αν   ορίζεται το άθροισμα των πιθανοτήτων http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr P(A)=P(α1)+ P(α2)+ P(α3)+... +P(αν) Ιδιότητα P  0 Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων1.Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει P Α Β  P(A)  P(B) (απλός προσθετικός νόμος)2.Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α΄ ισχύουν 1  P(A)  P(A΄) P(A)  1  P(A΄) P(A΄)  1  P(Α) 3.Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Α Β  P(A)  P(B)  P A B (προσθετικός νόμος) http://www.mathschool-online.gr

http://www.mathschool-online.gr 4. Αν Α  Β τότε P(A)  P(B)5. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P Α  Β  P(A)  P A B Καλή ανάγνωση !http://www.mathschool-online.gr

www.mathschool-online.comΔιαδικτυακό Φροντιστήριο ΜαθηματικώνΤυπολόγιο Μαθηματικών Γ΄ΛυκείουΜαθηματικά και Στοιχεία ΣτατιστικήςΣυνέχεια συνάρτησηςΗ f είναι συνεχής στο π.ο τηςΕάν για κάθε xo του π.ο της, έχω   f xo =limxxof x Παράγωγος συνάρτησηςΗ f είναι παραγωγίσιμη στο xo  π.ο αν υπάρχει το   limxxof x =f x0 και είναι x-x0πραγματικός αριθμός, δηλαδήf     limxxo x =f x0 =f΄ xo =λ, λ  R x-x0www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο   A xo, f xo είναι y-fxo =f΄xo x-xo   y-fxo =λ x-xo  Ρυθμός μεταβολής Έστω ένα σώμα που κινείται πάνω σε έναν άξονα.x (t) ,(η συνάρτηση θέσης) είναι η θέση του τη χρονική στιγμή t. tΗ στιγμιαία ταχύτητα υ( 0) του κινούμενου tσώματος τη χρονική στιγμή 0 είναι η tπαράγωγος της x(t) στο 0, δηλ. η x΄(t0). www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comΕπομένωςυt0 =x΄t0 =limtt0 x  t  -x  t0  = t-t0limh0 x  t0 +h-x t0  , hόπου h=t-t0 Το παραπάνω όριο ονομάζεται ρυθμόςμεταβολής του x ως προς t τη χρονική στιγμή t0 Τέλος η επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t0 είναι : α( t0 )=υ΄( t0 )=x΄΄( t0 ) Eάν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο χ του π.ο της τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Κανόνες παραγώγησης c.fx΄=c.f΄x, π.χ 2.f  x  ΄=2.f΄ x  f  x  +g  x ΄=f΄ x  +g΄ x  f  x  g  x ΄ f΄xgx  fxg΄x fx  f΄xgx-fxg΄x gx  =  g  x 2gfx΄ g΄f(x).f΄xΠαράγωγοι βασικών συναρτήσεων c΄=0 cx =c x΄=1 xν =νxν-1 www.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com x ΄= 1 2x ex ΄ ex lnx΄= 1 xημχ΄=συνχσυνχ΄=-ημχ Με βάση τον κανόναgfx΄ g΄f(x).f΄xκαι σε συνδιασμό με τις παραγώγους των παραπάνω συναρτήσεων, έχω:  fν x ΄=νfν-1 x f΄x fx ΄ 1 x  f΄x 2 f   efx ΄ efxf΄ xwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.comln f x ΄= f 1 f΄x xημfx  ΄=συνfxf΄xσυνfx  ΄=-ημfxf΄x Π.χ , (ημ(2χ+3))΄= συν(2χ+3).(2χ+3)΄ =συν(2χ+3).[(2χ)΄+3΄] συν(2χ+3)[2χ΄+0]=συν(2χ+3).(2.1)= 2συν(2χ+3) Στατιστική Βασικές έννοιες Πληθυσμός Ένα σύνολο που θέλουμε να εξετάσουμε ταστοιχεία του ως προς κάποιο χαρακτηριστικό τουςwww.mathschool-online.com

www.mathschool-online.com Μεταβλητές Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε ένα πληθυσμό Τιμές της μεταβλητήςΟι τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή. Eίδη Μεταβλητών  ΠοιοτικέςΟι τιμές τους δεν είναι αριθμοί,π.χ η ομάδα αίματος  Ποσοτικές Οι ποσοτικές διακρίνονται στις : Διακριτές Παίρνουν μόνο μεμονωμένες τιμές, π.χ 1,2,3,κλπ Συνεχείς Παίρνουν τιμές σε ένα διάστημα (α,β) www.mathschool-online.com