Ψηφιακό βιβλίο Β Λυκείου Διανύσματα

http://www.mathschool-online.com ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1.ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 2.ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ 3.ΜΕΘΟΔΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 4.ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ & ΣΧΗΜΑΤΑ 5.ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ 6.ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1.Διανύσματα 2.Eσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ1.1) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ1.2) ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θα σου αναλύσω ορισμένα στοιχεία από τη θεωρία του σχολικού βιβλίου που είναι τα ση  μαντικότερα και εφαρμόζονται όπως θα δεις στη λύση των ασκήσεων.Αναφέρομαι σε αυτά αναλυτικά και κατά τη διάρκεια επίλυσης των ασκήσεων. Kαλή ανάγνωση !

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Διαδοχικά ονομάζονται τα διανύσματα όταν ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣτο πέρας του ενός αποτελεί αρχή για το άλλο διάνυσμα, π.χ τα διανύσματα  και  είναιδιαδοχικά. Όταν τα διανύσματα είναι διαδοχικά τότε μπορώ να τα προσθέσω    . Τοαποτέλεσμα είναι ένα διάνυσμα με αρχή την αρ-χή του πρώτου και πέρας το πέρας του δευτέρου.

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣa i) a  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ a ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΌταν τα διανύσματα δεν είναι διαδοχικά καιθέλω να τα προσθέσω τότε είτε τα μετατρέπωσε διαδοχικά με παράλληλη μεταφορά όπωςπεριγράφω παρακάτω (δες και το σχήμα i),(καθώς επίσης και την άσκηση 1. σελ.20σχ.β.)είτε εφαρμόζω τη μέθοδο του παραλληλογράμ-μου

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΑ a i) a    a   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θεωρώ ένα τυχαίο σημείο Α. Μεταφέρω παράλ- ληλα το δάνυσμα  από την αρχική του θέση στη νέα του θέση τοποθετώντας την αρχή του στο ση- μείο Α. Στη συνέχεια μεταφέρω παράλληλα το διάνυσμα  από την αρχική του θέση στη νέα του θέση τοποθετώντας την αρχή του στο πέρας του διανύσματος .

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΗ ΔΙΑΔΟΧΙΚΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝΣΕ ΔΙΑΔΟΧΙΚΑ a i) a      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ a     Το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του α καιπέρας το πέρας του  είναι το άθροισμα των διανυσμάτων  και . Δηλαδή,     

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟΥa a  ΄    a        ΄Τοποθετώ το διάνυσμα  στην αρχή του διαν/τος . ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΦέρνω από το πέρας του  το διάνυσμα ΄ παράλληλο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣστο  .Φέρνω από το πέρας του  το διάνυσμα ΄ πα-ράλληλο στο . Σχηματίζεται έτσι το παραλληλόγραμ- μο ΑΒΓΔ. Η διαγώνιος  του παραλ/μου ΑΒΓΔ είναι το άθροισμα των  και  , δηλ.     .

ΧΡΗΣΙΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ        0Αντίθετα ονομάζονται τα διανύσματα που έχουντο ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση (βρίσκονται στηνίδια ευθεία ή σε παράλληλες) αλλά αντίθετη φορά.Το άθροισμα δύο αντίθετων διανυσμάτων είναι τομηδενικό διάνυσμα.

ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ               ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ          Για να αφαιρέσω δύο διανύσματα α και β προ- σθέτω στο α το αντίθετο του β, καθιστώντας τα διανύσματα διαδοχικά με το τρόπο που περιέγραψα προηγουμένως (δες και το σχήμα),(καθώς και τη λύση της άσκηση 1. σελ.20 σχ.β.   αναλυτικά). Επομένως         .

ΣΗΜΕΙΟ ΑΝΑΦΟΡΑΣ-ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΕΩΣ     ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ     Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου και  ένα διάνυσμα του χώρου.Τα διανύσματα ,ονομάζονται διανύσματα θέσεως ή διανυσματικέςακτίνες των Α και Β και το Ο ονομάζεται σημείο  αναφοράς και ισχύει    .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΑπό τη Φυσική γνωρίζω ότι στο σώμα Σ γιανα μη μετακινηθεί πρέπει να ασκηθεί δύνα-μη F0 ίσου μέτρου και αντίθετης φοράς μετη συνολική δύναμη F που ασκείται σε αυ-τό αυτή τη στιγμή. Πρέπει δηλαδή F0  F.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΗ συνολική δύναμη F που ασκείται στο Σώμααυτή τη στιγμή είναι το άθροισμα των δυνά-μεων F1  F2  F3  F4  F5. Για να αθροίσω τιςδυνάμεις αυτές πρέπει να τις κάνω διαδοχικές,δηλαδή εκεί που έχειτο πέρας η μία να είναι ηαρχή για την άλλη.Τα παραπάνω περιγράφονταιστο επόμενο σχήμα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. F5 F4  F1 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ F1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  ΄ F2F3 Θεωρώ ένα οποιοδήποτε σημείο Σ΄ στοχώρο και μεταφέρω το διάνυσμα F1 πα-ράλληλα από το σημείο Σ στο σημείο Σ΄

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. F5 F4 ΄ ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ F1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   F2F3  F1 F2Στη συνέχεια μεταφέρω παράλληλα το διάνυ-σμα F2 από το σημείο Σ στο σημείο Σ΄ τοπο-θετώντας το στο πέρας του διανύσματος F1

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. F4 F F5 F5 F1 ΄ F4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗF3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   F1 F2  F2 F3Με τον ίδιο τρόπο γίνεται η μεταφορά καιτων άλλων διανυσμάτων ώστε να γίνουνδιαδοχικά και να μπορέσω να τα αθροίσω

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.F F5΄ F2 F4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  F1 F3Στη συνέχεια ενώνω την αρχή του F1 με το πέραςτου F5 . Το διάνυσμα που σχηματίζεται με φοράπρος το πέρας του F5 είναι το άθροισμα F τωνδιανυσμάτων F1  F2  F3  F4  F5.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 1.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. F F5 ΄ F2 F4 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣF  F1 F3Στη συνέχεια σχηματίζω το διάνυσμα  Fτο οποίο έχει ίδιο μέτρο και ίδια διεύθυνσημε το F αλλά αντίθετη φορά. Επομένως F   F1  F2  F3  F4  F5 .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  Τα διανύσματα θέσεως ως προς το σημείοαναφοράς Ο είναι τα διανύσματα που έχουναρχή το Ο και πέρας τα σημεία Α,Β,Γ,Δαντίστοιχα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   i) Γνωρίζω ότι κάθε διάνυσμα ΑΒ στο χώροείναι ίσο με το διάνυσμα θέσεως του πέρατοςΒ μείον το διάνυσμα θέσεως της αρχής Α ,  δηλαδή, ΑΒ    .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2I)ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    Επομένως                        

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2I)ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Κατέληξα δηλαδή στο συμπέρασμα   . Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα  και έχουν το ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση (βρίσκο-νται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες)και την ίδια φορά. Αυτό σημαίνει, εφόσον τοΑΒΓΔ είναι τετράπλευρο, ότι ΔΓ//=ΑΒ δηλαδήτο  είναι παραλληλόγραμμο.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2II)ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ      ii)                 Οι απόλυτες τιμές των διανυσμάτωνΓΑ και ΔΒ συμβολίζουν τα μέτρα τους. Επομέ- νως       .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2II)ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ              . Τα  και συμβολίζουν τις διαγώνιες του τετραπλεύρου . Επομένως οι διαγώνιες του είναι ίσες.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 2III)ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣiii)        και       . Από τη πρώτη σχέση συμφωνα με την i) έχω    . Από τη δεύτερη σχέση σύμφωναμε την ii) έχω   .Από τις σχέσεις    και    συμπεραίνω ότι το ΑΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμομε ίσεςδιαγωνίους. Άρα το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. i) x   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Για να εκφράσω το διάνυσμα x   ως συνάρ-τηση των άλλων διανυσμάτων ξεκινώ τη διαδρο- μή από την αρχή Α του διανύσματος x  αθροίζοντας ένα ένα τα διανύσματα που συναντώστη διαδρομή έως ότου να καταλήξω στο πέρας Γ του διανύσματος x  .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. i) x  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   Επομένως x      x  

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.ii) x    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  Ομοίως για να εκφράσω το διάνυσμα x   ωςσυνάρτηση των άλλων διανυσμάτων ξεκινώ τη δια- δρομή από την αρχή Α του διανύσματος x  αθροίζοντας ένα ένα τα διανύσματα που συναντώστη διαδρομή έως ότου να καταλήξω στο πέρας Δ του διανύσματος x  .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.ii) x  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    Προσοχή όμως τα διανύσματα που έχουν φοράαντίθετη με τη κατεύθυνση της διαδρομής μαςσημειώνονται με αρνητικό πρόσημο. Επομένωςx       .

iii)   x    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΟμοίως για να εκφράσω το διάνυσμα x   ωςσυνάρτηση των άλλων διανυσμάτων ξεκινώ τηδιαδρομή από την αρχή Α του διανύσματος x   αθροίζοντας ένα ένα τα διανύσματαπου συναντώ στη διαδρομή έως ότου να καταλή- ξω στο πέρας Δ του διανύσματος x  

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 3.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.iii)  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ  ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ    x Προσοχή όμως τα διανύσματα που έχουν φοράαντίθετη με τη κατεύθυνση της διαδρομής μαςσημειώνονται με αρνητικό πρόσημο. Επομένως x             .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  Υπόθεση         ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Συμπέρασμα ΒΔΓΕ παραλ/γραμμοΘέλω να δείξω ότι το ΒΔΓΕ είναι παραλ/γραμμο.Αρκεί να δείξω όπως αναφέ-ραμε και στην άσκηση 2i) σελ.20 σχ.β.(κοίταξε την άσκηση) ότι   .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 4.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  Από την Υπόθεση έχω ότι      και θέλω να δείξω ότι   . Επομένως από   την                   .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. Υπόθεση     O Συμπέρασμα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ       Θεωρώ το Ο σημείο αναφοράς και θα εκφράσω το   ως συνάρτηση των διανυσματικών  ακτίνων , , , 

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.O  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΈχουμε                             Όμως από την Υπόθεση   

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.O      ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗΕπομένως η        ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  γράφεται                 +  .        Τα διανύσματα  και  έχουν το ίδιομέτρο, την ίδια διεύθυνση και αντίθετη φο- ρά. Άρα    .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 5.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.O  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ        Επομένως    +               +       +

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  Υπόθεση ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ O      ,     Συμπέρασμα  Να εκφραστεί το  ώς συνάρτηση των  και Θεωρώ το σημείο τομής των διαγωνίων του κανο-νικου εξαγώνου Ο ως σημείο αναφοράς. Θα εκ- φράσω το  ως συνάρτηση των διανυσμάτων θέσης  και .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  ΥπόθεσηO      ,    ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ Συμπέρασμα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ  Να εκφραστεί το  ώς συνάρτηση των  και   Έχουμε    . Γνωρίζω όμως ότι στο κα-νονικό εξάγωνο όλες οι πλευρές του είναι ίσες καιότι τα τρίγωνα που σχηματίζονται όταν φέρω τιςδιαγώνιες είναι ισόπλευρα.

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 6.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ   O  Επομένως i                            Δηλαδή το ΟΒΓΔ είναι παραλληλόγραμμο Αυτό σημαίνει ότι   .

 O   ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΑπό τις σχέσεις τις i έχω επίσης            όίό  . Από τις σχέσεις       και    η       γράφεται         

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β. ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΥπόθεσηΈστω P1P2P3P4P5P6 τυχαίο εξάγωνοΣυμπέρασμα      P1P3  P2P4  P3P5  P4P6  P5P1 P6P2  OΑπόδειξη : Αλλάζω τη σειρά των διανυσμάτων στην P1P3  P2P4  P3P5  P4P6  P5P1 P6P2  Oέτσι ώστε τα διαδοχικά διανύσματα να γραφούντο ένα μετά το άλλο και έχω

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.                   P1P3 P3 P5 P5 P1 P2 P4 P4 P6 P6 P2          . Τα διανύσματα ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ   ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ P1P5 P5 P1 P2 P6 P6 P2 P1P5 και P5P1 είναι αντίθετα, δηλαδή έχουντο ίδιο μέτρο, την ίδια διεύθυνση αλλά αντί- θετη φορά.Αυτό σημαίνει ότι P1P5  P5P1  . Ομοίως τα P2P6 και P6P2 είναι αντίθετα. Eπομένως P2P6  P6P2  .

ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΣΚΗΣΗΣ 7.ΣΕΛ.20 ΣΧ.Β.  ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΆρα P1P3  P2P4  P3P5  P4P6  P5P1 P6P2                 P1P3 P3 P5 P5 P1 P2 P4 P4 P6 P6 P2                 P1P5 P5 P1 P2 P6 P6 P2

ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1.3 ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

Στη παράγραφο αυτή μέσα από τις ασκή- ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗσεις σου αναλύω όλη τη θεωρία που χρει- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣάζεσαι και είναι η περισσότερο σημαντική.Σε κάποιες ενότητες των μαθημάτων, όπουχρειάζεται, θα δεις ότι σου δίνω αναλυτικάεπιπλέον χρήσιμα στοιχεία από τη θεωρία.Καλή ανάγνωση!

ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝa a0  a =2aa0  a =2a a ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΗ σχέση a0  a εκφράζει τη συνθήκηπαραλληλίας των διανυσμάτων a0 και a.Παρατηρώ δηλαδή ότι το a0 έχει την ίδιαδιεύθυνση με το διάνυσμα a, αυτό σημαίνειότι είτε είναι παράλληλα είτε συγγραμμικά(βρίσκονται στην ίδια ευθεία)

ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΔΥΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝa a0  a =2a ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗa0  a =2a a ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠαρατηρώ επίσης ότι το μέτρο του a0 είναι  2 φορές το μέτρο του a και επιπλέον ηφορά του διανύσματος a0 είναι ίδια με τηφορά του διανύσματος a εφόσον το   2είναι θετικό

ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΔΥΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ a a0  a =  2aa0  a =  2a a ΣΤΕΛΛΑ ΣΕΡΕΜΕΤΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣΠαρατηρώ εδώ ότι το διάνυσμα a0 έχει την ίδιαδιεύθυνση με το διάνυσμα a, ότι το μέτρο τουείναι 2 φορές το μέτρο του a ενώ η φορά τουείναι αντίθετη με τη φορά του διανύσματος aεφόσον το   2 είναι αρνητικό.