3. Bahan Ajar Kapita Selekta WS MN_PGRI SMA -2021

PELATIHAN KETERAMPILAN BERPIKIR TINGKAT TINGGI (KBTT) DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERORIENTASI PISA

BAHAN AJAR PELATIHAN KETERAMPILAN BERPIKIR TINGKAT TINGGI (KBTT) DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERORIENTASI PISA MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH ATAS Kapita Selekta Matematika SMA Penulis: Untung Trisna Suwaji Sigit Tri Guntoro Wiworo Penyunting: Mahmun Zulkifli Desainer Grafis dan Ilustrator: Tim Desain Grafis PPPPTK Matematika Copyright © 2021 Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengopi sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi .

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA KATA PENGANTAR Kami mengucapkan rasa syukur hanya kepada Allah SWT karena berkat rahmat dan karuniaNya, PPPPTK Matematika berhasil mnyelesaikan revisi Bahan Ajar Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA. Kami mengucapkan apresiasi setinggi-tingginya kepada para penyusun/perevisi bahan ajar ini, yang menunjukkan komitmen dan dedikasi yang luar biasa sehingga modul ini dapat diselesaikan di samping menyelesaikan pekerjaan lain yang juga tidak kalah pentingnya. Bahan Ajar Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA ini sudah ditambahkan framework PISA 2021. Tambahan framework ini dapat memberikan wawasan kepada guru matematika SMA/MA dalam mengajarkan siswa bernalar dan berpikir kritis melalui penyelesaian masalah-masalah seperti konteks PISA. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan kontribusi dalam meningkatkan pencapaian siswa khususnya dalam matematika. Yogyakarta, Mei 2021 Plt. Kepala PPPPTK Matematika Nunik Sukeksi, S.H., M.Pd. NIP. 196703011992032001 i

Kapita Selekta Matematika SMA DAFTAR ISI KATA PENGANTAR...........................................................................................................................................i DAFTAR ISI...........................................................................................................................................................ii KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ALJABAR (4JP) .................................................................................1 A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN.....................................................................1 B. TUJUAN PEMBELAJARAN ........................................................................................................1 C. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI........................................................................1 D. URAIAN MATERI...........................................................................................................................1 1. Pengertian Relasi dan Fungsi.................................................................................................2 2. Jenis-jenis Fungsi..........................................................................................................................5 3. Fungsi Aljabar ................................................................................................................................7 4. Fungsi Eksponen dan Grafiknya........................................................................................15 5. Fungsi Logaritma dan Grafiknya.......................................................................................17 E. AKTIVITAS PEMBELAJARAN...............................................................................................18 F. RANGKUMAN...............................................................................................................................26 G. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK...........................................................................................27 DAFTAR PUSTAKA...................................................................................................................................28 KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 GEOMETRI DAN TRIGONOMETRI (5 JP).........................29 A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN..................................................................29 B. TUJUAN PEMBELAJARAN .....................................................................................................29 C. URAIAN MATERI........................................................................................................................30 1. Luas dan Volume .......................................................................................................................30 2. Teorema Pythagoras................................................................................................................31 3. Geometri Dimensi Tiga...........................................................................................................31 4. Transformasi Geometri..........................................................................................................53 5. Trigonometri................................................................................................................................75 D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN............................................................................................102 KEGIATAN PEMBELAJARAN 3 KALKULUS (4 JP) ......................................................................110 A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN...............................................................110 B. TUJUAN PEMBELAJARAN ..................................................................................................110 C. URAIAN MATERI.....................................................................................................................110 1. Bagian I Limit Fungsi............................................................................................................111 ii

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 2. Bagian II Turunan dan Integral.......................................................................................126 D. AKTIVITAS PEMBELAJARAN............................................................................................144 E. RANGKUMAN............................................................................................................................150 F. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK........................................................................................151 G. EVALUASI ...................................................................................................................................152 DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................................156 KEGIATAN PEMBELAJARAN 4 STATISTIKA (3 JP) ...................................................................157 A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN...............................................................157 B. TUJUAN PEMBELAJARAN ..................................................................................................157 C. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI..................................................................157 D. URAIAN MATERI.....................................................................................................................157 1. Membaca sajian data ............................................................................................................158 2. Distribusi Frekuensi..............................................................................................................165 3. Rataan Hitung atau Mean...................................................................................................168 4. Modus...........................................................................................................................................176 5. Median..........................................................................................................................................183 E. AKTIVITAS PEMBELAJARAN............................................................................................184 F. RANGKUMAN............................................................................................................................186 G. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK........................................................................................187 DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................187 iii



Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA KEGIATAN PEMBELAJARAN 1 ALJABAR (4JP) A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN Pada kegiatan ini Anda akan mempelajari pengertian relasi fungsi dan jenis-jenis fungsi. Pengertian fungsi dalam matematika merupakan hal yang sangat esensial dalam pembelajaran matematika. Konsep fungsi dalam matematika dikembangkan atas dasar konsep relasi, sehingga pembahasan mengenai relasi perlu diketahui dengan tujuan untuk memudahkan dalam mempelajari fungsi dan jenis-jenis fungsi dengan memberikan contoh-contoh kontekstual dalam pembelajaran kepada peserta pelatihan. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan kegiatan pembelajaran ini adalah untuk memberikan pemahaman kepada pembaca terkait dengan konsep relasi dan fungsi, jenis-jenis fungsi, beberapa fungsi aljabar, dan fungsi eksponen maupun logaritma serta dapat memanfaatkannya dalam penyelesaian masalah dan pengembangan keterampilan berpikir tingkat tinggi. C. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada bagian ini, pembaca diharapkan dapat menanamkan nilai-nilai karakter dan mampu 1. Menjelaskan konsep relasi dan fungsi. 2. Membedakan fungsi surjektif, injektif, dan bijektif. 3. Menyelesaikan soal terkait fungsi linier, kuadrat, rasional, eksponen dan logaritma 4. Menerapkan konsep relasi dan fungsi dalam menyelesaikan permasalahan kontekstual sehari-hari D. URAIAN MATERI Pada bagian ini dibahas mengenai relasi dan fungsi dengan harapan dapat menggali potensi disiplin, kreatif, rasa ingin tahu, kerja keras, cermat, mandiri, tanggung jawab, dan potensi karakter lainnya dalam aktivitas pembelajaran materi berikut. 1

Kapita Selekta Matematika SMA 1. Pengertian Relasi dan Fungsi Relasi antara dua himpunan misalnya himpunan dan , adalah aturan yang memasangkan atau memetakan anggota-anggota himpunan dengan himpunan . Relasi tersebut biasanya dinyatakan dengan diagram panah, diagram Cartesius atau dengan himpunan pasangan berurutan. Sebagai contoh relasi antara nama peserta yang nasionalis dalam rangka HUT RI mengikuti lomba permainan sesuai dengan olah raga kegemarannya ditunjukkan dalam diagram panah berikut. Dari diagram panah di atas ada nama peserta didik yang memiliki lebih dari satu cabang olah raga kegemaran, yaitu Dodi gemar sepak bola dan bola voli. Sekarang cermati dan perhatikan relasi dari himpunan = {1,2,3} ke himpunan = {2,3,4,5,6} yang ditunjukkan dalam diagram panah berikut. Dari diagram panah di atas terdapat relasi yang memasangkan setiap elemen dari secara tunggal dengan elemen pada . Relasi fungsional ini sering disingkat fungsi atau pemetaan (mapping) yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi: Suatu fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang memasangkan setiap elemen dari A secara tunggal, dengan elemen pada himpunan B. Ditulis :  dibaca “fungsi memetakan ke ” 2

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Oleh sebab itu, fungsi f di atas dapat dinotasikan dengan : → 2 , ∈ . Fungsi ini bila dinyatakan dalam himpunan pasangan berurutan yaitu {(1,2), (2,4), (3,6)} dan bila digambarkan dengan diagram kartesius sebagai berikut: Apabila memetakan suatu elemen  ke suatu  dikatakan bahwa adalah peta dari oleh dinotasikan dengan ( ), dan biasa ditulis dengan :  ( ), sedangkan biasa disebut prapeta dari ( ). Himpunan A dinamakan daerah asal (domain) dari fungsi f, sedangkan himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) dan himpunan dari semua peta di B dinamakan daerah hasil (range) dari fungsi f tersebut. Contoh 1: Grafik di samping menyajikan sebuah fungsi, dinamakan fungsi f. f(x) (2,4) (–2,4) (–1,1) (1,1) O (0,0) X Misalnya domainnya Df dan rangenya Rf maka fungsi itu dapat didefinisikan :  ( )= .  Df = {–2, –1, 0, 1, 2}, Rf = {0, 1, 4}.  4 disebut bayangan (peta) dari 2 dan –2. Karena (2) = 4 dan juga (– 2) = 4.  – 2 dan 2 disebut prapeta dari f. 3

Kapita Selekta Matematika SMA  Fungsi bernilai 0 untuk = 0. Nilai yang menyebabkan f bernilai 0 disebut pembuat nol atau harga nol fungsi. Misalnya: ( ) = – 2 , maka ada dua pembuat nol yaitu 0 dan 2. Contoh 2: Diketahui = { | − 3  < 3,  } dan suatu fungsi :  yang ditentukan oleh rumus ( ) = + 1 a. Carilah (−1), (0) dan prapeta dari 5. b. Lukislah grafik dengan teliti, tentukan daerah hasil dari fungsi . c. Jelaskan bahwa adalah suatu fungsi! Jawab: a. ( ) = + 1  (−1) = (−1) + 1 = 2 (0) = 0 + 1 = 1 Prapeta dari 5  + 1 = 5  = 4  = +2 Sehingga prapeta dari 5 adalah 2 atau –2 a. Dibuat grafik = +1 (−3) = (−3) + 1 = 10 (3) = (3) + 1 = 10 titik balik (0,1) Jadi daerah hasil dari fungsi f adalah: R = {y1 < y < 10, y  R}, karena nilai f(x) = y terletak pada interval tersebut sebagaimana terlihat pada sumbu y. b. Karena f suatu relasi dimana setiap elemen pada domain A (sumbu x) dipasangkan secara tunggal maka f merupakan fungsi. 4

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Pada setiap fungsi dalam matematika di atas tentunya dapat diambil hikmah yang dapat Anda sampaikan ke siswa sebagai bagian dari pendidikan penguatan karakter. 2. Jenis-jenis Fungsi Dengan memperhatikan secara cermat elemen-elemen pada domain dan kodomain yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal jenis fungsi yakni sebagai berikut: 1) Injektif (Satu-satu) Perhatikan fungsi f dan g dari himpunan = {1,2,3} dan himpunan = { , , , } digambarkan pada diagram panah berikut. Fungsi : → disebut fungsi injektif (satu-satu), jika untuk setiap , dan ≠ akan berlaku ( ) ≠ ( ) atau jika ( ) = ( ) maka = , sedangkan fungsi : → bukan fungsi injektif. Mengapa? Diskusikan! Contoh: 1). Fungsi pada yang didefinisikan dengan ( ) = 2 adalah fungsi satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua bilangan yang berlainan adalah berlainan pula. 2). Fungsi pada yang didefinisikan dengan ( ) = bukan suatu fungsi satu-satu sebab (−2) = (2). 2) Surjektif (Onto) Misalkan suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil ( ) dari fungsi adalah himpunan bagian dari B, atau ( )  B, fungsi ini kita kenal dengan nama fungsi into (ke dalam). Jika ( ) = , yang berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A onto B” Perhatikan fungsi f dan g dari himpunan A = {1, 2, 3, 4} ke dalam himpunan B = {p, q, r} yang digambarkan dalam diagram panah berikut: 5

Kapita Selekta Matematika SMA Fungsi : → disebut fungsi onto atau fungsi surjektif karena untuk setiap sekurang-kurangnya terdapat satu sedemikian hingga = ( ). Dengan kata lain fungsi : → disebut sebagai fungsi surjektif jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B. Fungsi : → disebut fungsi into karena ada yang tidak memiliki prapeta di A. Dengan kata lain fungsi : → disebut sebagai fungsi into jika daerah hasil fungsi g merupakan himpunan bagian dari B. Contoh: (i). Fungsi :  yang didefinisikan dengan rumus ( ) = bukan fungsi yang onto karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut. (ii).Misal = { , , , } dan = { , , } dan fungsi :  disamping adalah suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil adalah sama dengan kodomain dari (himpunan B). Bx by cz d Af B 3) Bijektif (Korespondensi Satu-satu) Suatu fungsi :  sedemikian rupa sehingga merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “ adalah fungsi yang bijektif” atau “ A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”. Perhatikan fungsi dari himpunan = {1,2,3} dan himpunan = { , , } digambarkan pada diagram panah berikut. 6

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Fungsi : → merupakan fungsi bijektif karena setiap anggota dalam himpunan A dipasangkan dengan tepat satu anggota dalam himpunan B, demikian juga sebaliknya, tiap anggota dalam himpunan B dipasangkan dengan tepat satu anggota dalam himpunan A. Dalam fungsi yang demikian ini banyaknya elemen A sama dengan banyaknya elemen B Contoh: 1) Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan = { , , } yang didefinisikan sebagai diagram panah di bawah ini adalah suatu fungsi yang bijektif. ap br cq 2). Fungsi yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negara- negara di dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan. 3. Fungsi Aljabar Beberapa fungsi aljabar yang kita bicarakan berikut ini antara lain: a. Fungsi Linear dan Grafik Fungsi Linear Bentuk fungsi linear ( ) = + , dengan , konstan dan a  0, maka pembuat nol fungsi, yaitu + = 0 merupakan bentuk umum persamaan linear dengan satu peubah. Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus dengan persamaan = + , dimana , konstan dan a  0. Untuk menggambar grafik fungsi linear bisa dilakukan dengan dua 7

Kapita Selekta Matematika SMA cara yaitu membuat tabel dan menentukan titik potong dengan sumbu dan sumbu . Contoh: Gambarlah grafik fungsi = 2 + 3 Penyelesaian: Dengan membuat tabel: = 2 + 3 1 0 1 135 Dari tabel diperoleh titik-titik berupa pasangan koordinat, kemudian dihubungkan, sehingga membentuk garis lurus. - Dengan menentukan titik-titik potong dengan sumbu dan sumbu 3 0 −2 03 Kedua titik potong tersebut dihubungkan sehingga membentuk garis lurus seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut. b. Fungsi Kuadrat dan Grafik Fungsi Kuadrat Bentuk umum fungsi kuadrat adalah ( ) = + + , dengan , ,  dan 0 Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan = + + , dengan a, b, c  R dan a  0. Jika a  0, parabola terbuka ke atas sehingga mempunyai titik balik minimum, dan jika a  0 parabola terbuka ke bawah sehingga mempunyai titik balik maksimum. 8

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Pemandangan air mancur yang pancarannya berbentuk parabola (HTTPS://WWW.SURABAYAREK.COM/AIR-MANCUR-MENARI-JEMBATAN- KENJERAN-SUROBOYO) Jika ditinjau dari nilai a dan D (diskriminan D = b2  4ac) maka sketsa grafik parabola sebagai berikut: 9

Kapita Selekta Matematika SMA Untuk menentukan puncak parabola dari grafik fungsi kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut. = ++ = ++ = + +2 −4 + −4 = +2 − 4 − −4 = − (2 ) + −4 = ( − )+ Maka puncak parabola , Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat = + + 1. Menentukan pembuat nol fungsi, sehingga = 0 atau ( ) = 0 Pembuat nol fungsi dari persamaan = + + diperoleh jika + + = 0. Sehingga diperoleh nilai yang memenuhi + + = 0. Nilai ini tidak lain adalah absis titik potong dengan sumbu , sedangkan untuk menentukan titik potong 10

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA dengan sumbu , dapat dilakukan dengan mensubstitusikan nilai tadi pada persamaan kuadrat semula. 2. Menentukan sumbu simetri = 3. Menentukan titik puncak ( , ) dengan = dan = 4. Menggambar sketsa grafiknya Contoh: Gambarlah sketsa grafik fungsi = – 6 + 5 Penyelesaian: 1. Menentukan pembuat nol fungsi, dengan pemfaktoran diperoleh: – 6 + 5 = 0  ( – 1) ( – 5) = 0  = 1 atau = 5 2. Menentukan sumbu simetri = = ( )= =3 3. Menentukan titik puncak ( , ) ∙ Karena nilai x sudah diperoleh maka tinggal mencari nilai y dengan substitusi = 3 pada fungsi semula = 3 – 6 (3) + 5 = 9 – 18 + 5 = –4 Jadi puncak parabola adalah titik (3, –4) Sketsa grafiknya seperti pada gambar berikut ini. 11

Kapita Selekta Matematika SMA c. Fungsi Rasional dan Grafik Fungsi Rasional Fungsi rasional (rational functions) kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi pecah. Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh ( )= ( ) dengan ( ) dan () ( ) yang merupakan polynomial dalam dan ( ) ≠ 0 pada domainnya. Misalnya, ( ) = , ( ) = dan ( ) = Jika diketahui fungsi ( )= ( ) , maka nilai-nilai yang menyebabkan ( ) = 0 ( ) disebut nilai nol dari fungsi ( ). Nilai nol disebut juga pembuat nol atau harga nol. Dapat dibuktikan bahwa jika ( ) = 0, maka juga ( ) = 0. Jadi, untuk mencari nilai nol fungsi ( )= ( ) cukup dicari nilai-nilai yang menyebabkan ( ) = 0. Namun ( ) perlu diingat bahwa nilai yang menyebabkan ( ) = 0 belum tentu merupakan nilai nol fungsi ( ). Ini terjadi jika nilai tersebut ternyata juga membuat ( ) = 0. Untuk yang bersama-sama membuat ( ) dan ( ) bernilai nol menyebabkan ( ) mempunyai nilai tak tentu. Misalnya, pada ( ) = , nilai = 1 bukan nilai nol dari fungsi ( ) sekalipun untuk ( ) = + − 2 berlaku (1) = 0. Ini karena juga berlaku (1) = 0, sehingga (1) bernilai tak tentu. Tentu saja tidak setiap fungsi pecah mempunyai nilai nol. Ini terjadi kalau ( ) tidak mungkin berharga nol. Seperti diketahui, nilai nol suatu fungsi berkaitan dengan koordinat titik potong grafik dengan sumbu . Jadi, jika = adalah nilai nol dari fungsi ( ), maka ( , 0) adalah koordinat titik potong grafik dengan sumbu . Selain dikenal nilai nol, dalam fungsi pecah ada nilai kutub yaitu nilai pembuat nol ( ). Nilai kutub ini menyebabkan fungsi rasional memiliki nilai tak terdefinisi atau nilai tak tentu, oleh karena itu nilai-nilai kutub tidak menjadi anggota daerah definisi. Nilai nol dan nilai kutub fungsi pecah dapat dipakai untuk menentukan di interval mana fungsi tersebut berharga positif atau negatif, cara mencarinya dengan sifat atau prinsip penyelesaian pertidaksamaan. Grafik fungsi pecah beraneka bentuknya tergantung dari persamaan fungsinya. Langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi pecah dapat dilakukan sebagai berikut:  Menentukan titik-titik potong dengan sumbu dan sumbu  Menentukan jenis-jenis asimptot diantaranya adalah:  Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nol 12

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA  Asimptot datar, diperoleh bila  ∞  Asimptot miring, hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya  Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak di atas sumbu ) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu )  Menentukan nilai ekstrim fungsi (bila ada)  Menentukan titik-titik bantu (jika perlu)  Mensketsa kurvanya Contoh 1: Diketahui fungsi ( ) = . Pada fungsi itu, nilai diskriminan dari persamaan + 4 + 8 = 0 adalah D = 42 – (4)(1)(8) = 16 – 32 = -16 < 0 Karena D < 0, maka ( ) = tidak mempunyai nilai nol. Ini berarti juga grafik ( ) tidak memotong sumbu . Contoh 2: Sketsalah grafik ( ) = . Penyelesaian: Untuk membuat skesa grafik fungsi dengan langkah – langkah: 1. Titik potong dengan sumbu x dan sumbu y adalah (0,0) 2. Asimptot – asimptot:  tegak, diperoleh bila + 5 + 4 = 0 ( + 4)( + 1) = 0 = −4 atau = −1 Jadi asimptot tegak adalah garis = −4 dan = −1  datar, ( ) = = () == () untuk  ∞ maka  0 Sehingga = ∙ = =0 Jadi asimptot datar adalah garis = 0 ∙∙ 3. Sumbu dibagi menjadi 4 interval oleh titik potong sumbu dan asimptot tegak. Tentukan tanda ( ) untuk masing-masing interval -+ -+ -4 -1 0 4. Nilai ekstrim 13

Kapita Selekta Matematika SMA Misal ( ) mempunyai nilai ekstrim . Dengan demikian =  +5 +4 –3 = 0  + (5 – 3) + 4 = 0 Syarat supaya persamaan kuadrat mempunyai akar-akar adalah D  0 sehingga: (5p – 3)2 – 4p (4p)  0  25p2 – 30p + 9 – 16p2  0  9p2 – 30p + 9  0  3p2 – 10p + 3  0  (3p – 1) (p – 3)  0 Sehingga p = y  atau p = y  3 Ini menunjukkan nilai ekstrim minimum = 3 dan nilai ekstrim maksimum = . Untuk menentukan titik maksimum dan minimum, subtitusi nilai ekstrim maksimum dan minimum ke dalam ( ), diperoleh titik ekstrim minimum (-2,3) dan titik ekstrim maksimum (2, ) 5. Titik-titik bantu −6 −5 −3 11 1 2 3 −2 2 −1 2 4 31 1 33 1 9 −1 5 −3 4 4 2 3 3 3 5 10 3 28 6. Sketsa grafik (-2, 3) x = -4 x = -1 Fungsi Eksponen dan Logaritma 14

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 4. Fungsi Eksponen dan Grafiknya Tuhan telah menciptakan makluk hidup seperti jenis amuba yang sudah diatur dalam kehidupannya, perhatikan perkembangan banyaknya amuba yang dinyatakan dalam tabel sebagai berikut: Periode awal 0 (awal) 1 2 3 4 5 …… X Banyak amuba 1 2 4 8 16 32 …… Bentuk pangkat 20 21 22 23 24 25 …… 2x Pada bentuk urutan dari baris ke-1 dengan baris ke-3 di atas merepresentasikan suatu fungsi satu-satu dengan domain bilangan asli. Fungsi f: x  f(x) = 2x merupakan salah satu fungsi eksponen, sehingga perkembangan amuba tersebut merupakan salah satu contoh dari fungsi eksponen yang domainnya adalah bilangan cacah. Perubahan panas, perubahan sifat logam karena pendinginan dari waktu ke waktu ternyata juga terkait dengan fungsi eksponen, sedangkan waktu berjalan secara kontinyu, bukan diskrit. Ini mengindikasikan bahwa domain fungsi eksponensial dapat merupakan himpunan bilangan real. Peluruhan zat radioaktif juga merupakan contoh peristiwa alam yang mengikuti sifat fungsi eksponen. Fungsi f: x  ax, dengan a  0 dan a  1 disebut fungsi eksponen, yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan positif. Fungsi f: x  ax, untuk a  1 adalah fungsi naik dan jika 0  a  1 maka fungsi turun. Karena range dari f adalah bilangan positif dan a0 = 1, maka grafik fungsi f: x  ax untuk a  0 terletak di atas sumbu x dan melalui titik (0,1). Grafik fungsi f: x  ax dan g: x  a-x akan simetris terhadap sumbu y Dengan demikian bentuk umum fungsi eksponen adalah : → atau ( ) = dengan > 0 dan ≠ 1 Pada fungsi eksponen yaitu ( ) = , berlaku: 1. disebut peubah dan daerah asal (domain) dari fungsi eksponen adalah himpunan bilangan real yaitu :{ |−∞ < < +∞, ∈ }. 2. disebut bilangan pokok fungsi dengan syarat > 0dan ≠ 1 dengan demikian berlaku 0 < < 1dan > 1. Apabila 0 < < 1 maka grafiknya turun, sedangkan apabila > 1 maka grafiknya naik. Untuk menggambar sketsa grafik fungsi eksponen dengan cara menentukan beberapa titik yang mudah, kemudian beberapa titik digambar pada koordinat kartesius dan 15

Kapita Selekta Matematika SMA melalui titik-titik tersebut dibuat kurva yang mulus, misalnya grafik fungsi f(x)= 2x dan g(x) = dapat digambarkan sebagai berikut: g(x) = Y8 f(x)= 2x 4 1 X –1 1 Pada gambar tersebut terlihat bahwa: 1) Kedua grafik melalui titik (0, 1) 2) Kedua grafik simetris terhadap sumbu Y 3) Grafik f: x  2x merupakan grafik naik/mendaki dan grafik g: x  merupakan grafik yang menurun, dan keduanya berada di atas sumbu X (nilai fungsi selalu positif) Contoh: Sepotong logam mendingin menurut rumus T = Toe–1,2t dengan T selisih suhu logam dengan udara sekitarnya setelah t menit, dan To selisih permulaan. Bila suhu logam semula 400oC dan suhu udara 30oC, tentukanlah suhu logam itu sesudah 2 menit. Jawab: To = 400 – 30 = 370 T = Toe–1,2t = 370  (2,71828182)–1,22 = 370  (2,71828182)–2,4 = 370  0,0907179539669469075505886621545983 = 33,5656429677703557937178049972014 Jadi suhu logam setelah 2 menit  (30 + 33,57)oC = 63,57oC 16

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 5. Fungsi Logaritma dan Grafiknya Dari fungsi f: x  ax yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan real positif. Fungsi tersebut bijektif dari R ke R+ sehingga mempunyai invers f-1: R+  R, yaitu setiap x  R mempunyai peta tunggal y  R+ dan sebaliknya y  R+ mempunyai peta tunggal x  R. Jadi fungsi f : x  ax mempunyai invers f-1 sehingga dari y = ax  = diperoleh : f-1(x) = dan f-1(y) = . Fungsi invers ini disebut fungsi logaritma yang mempunyai domain himpunan bilangan positif R+ dan range himpunan bilangan real R Berarti fungsi f-1 : x  adalah fungsi invers dari fungsi f : x  ax Fungsi – fungsi tersebut grafiknya simetris terhadap garis y = x sehingga setiap titik (q,p) pada grafik y = merupakan peta titik (p,q) pada grafik y = ax Dalam logaritma diisyaratkan a  0 dan a  1, serta x  0 Fungsi logaritma merupakan invers dari fungsi eksponen. Fugsi logaritma dapat dicari nilai fungsinya untuk domain 0 < < ∞. Dengan demikian secara umum bentuk umum fungsi logaritma adalah: : → atau ( ) = dengan > 0 , ≠ 1, x > 0 dan ∈ Dari bentuk umum di atas dapat diambil pengertian sebaga berikut: 1. Daerah asal (domain) dari fungsi logaritma adalah :{ | > 0, ∈ }. 2. disebut bilangan pokok (basis) logaritma dengan syarat > 0dan ≠ 1 dengan demikian berlaku 0 < < 1dan > 1. 3. Daerah hasil (range) dari fungsi logaritma adalah Rf : y    y  , y  R Grafik fungsi logaritma ( ) = selalu memotong sumbu X di titik (1,0) dan tidak pernah memotong sumbu Y. Apabila 0 < < 1 maka grafiknya turun, sedangkan apabila > 1 maka grafiknya naik. Berdasar kenyataan bahwa fungsi eksponen dan fungsi logaritma yang pokok eksponen dan pokok logaritmanya sama adalah fungsi yang saling invers, maka grafik kedua fungsi tersebut saling simetris terhadap grafik fungsi identitas, yaitu f(x) = x yang persamaannya y = x. Karena itu maka setiap titik (q, p) pada grafik y = alog x merupakan peta titik (p, q) pada grafik y = ax. Hal ini dapat ditunjukkan seperti pada gambar berikut. 17

Kapita Selekta Matematika SMA Contoh: Kerja suatu motor (ω) dirumuskan dengan ω = ln V2 – ln V1. Diketahui V1=0,01; V2=0,5 dan log 5 = 0,6989. Tentukan besarnya kerja motor tersebut! Jawab: ω = ln V2 – ln V1= = ln 50 = 2,303 log 50 = 2,303 (log 5 + log 10) = 2,303. 1,6989= 3,9126 Jadi besarnya kerja motor adalah 3,9126 joule E. AKTIVITAS PEMBELAJARAN Aktivitas 1 1. Tentukan contoh penyangkal (counterexample) dari pernyataan-pernyataan berikut ini: a. Daerah asal (domain) dari relasi memuat elemen-elemen yang sama dengan daerah hasil (range) dari relasi . Daerah hasil dari relasi memuat elemen- elemen yang sama dengan daerah asal relasi . Dengan demikian, relasi adalah invers dari relasi . b. Semua persamaan linear merupakan fungsi. c. Solusi dari suatu persamaan rasional tidak pernah bernilai nol. 18

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA 2. Selidikilah apakah pernyataan “Invers dari suatu fungsi juga merupakan suatu fungsi” selalu, kadang-kadang, atau tidak pernah benar. Jelaskan alasan Anda. 3. Selidikilah apakah grafik = , dengan > 0 dan ≠ 1, kadang-kadang, selalu, atau tidak pernah mempunyai tidak potong dengan sumbu . Jelaskan alasan Anda. Aktivitas 2 1. Buatlah sketsa parabola menggunakan Desmos atau GeoGebra yang memodelkan situasi sehari-hari. Jelaskan makna dari titik puncak parabola yang Anda buat. Tentukan daerah asal dan daerah hasil yang sesuai untuk menyatakan model situasi yang Anda buat. 2. Buatlah masing-masing sebuah fungsi eksponen dan fungsi logaritma yang menyatakan situasi sehari-hari, selanjutnya gambarkan grafiknya. Analisislah grafik fungsi eksponen tersebut. Catatan:  Apabila Anda menggunakan telepon pintar (smartphone) atau tablet, Desmos dan GeoGebra dapat diunduh di Google Playstore (bagi pengguna Android) atau AppStore (bagi pengguna iPhone atau iPad).  Apabila Anda menggunakan komputer meja (desktop) atau laptop, untuk Desmos tidak perlu diunduh, tetapi dapat langsung digunakan secara daring melalui tautan https://www.desmos.com/calculator.  Apabila Anda menggunakan komputer meja (desktop) atau laptop, untuk GeoGebra harus diunduh dan dipasang melalui tautan https://www.geogebra.org/download. Anda direkomendasikan untuk memilih GeoGebra Classic 5 untuk aplikasi standar. Adapun GeoGebra Classic 6 direkomendasikan untuk laptop dengan kemampuan layar sentuh.  Dasar-dasar pengoperasian Desmos dapat Anda pelajari pada tautan https://learn.desmos.com/.  Dasar-dasar pengoperasian GeoGebra dapat Anda pelajari pada tautan https://www.geogebra.org/a/14. 19

Kapita Selekta Matematika SMA Aktivitas 3 Perhatikan gambar berikut. Ketinggian puncak Gunung Merapi adalah 2968 meter di atas permukaan laut. Pada saat erupsi terlihat lontaran partikel padat berupa batu panas membara (volcanic boom) ke segala arah. Pada saat berjarak sekitar 5 meter di timur puncak ketinggian batu tersebut sekitar 2973 meter. Pada saat berjarak 10 meter di timur puncak, ketinggian batu sejajar dengan puncak gunung. Buatlah prediksi tentang bentuk persamaan grafik lintasan lontaran volcanic boom tersebut. Aktivitas 4 . Apakah fungsi ( ) sama dengan Diketahui fungsi ( ) = − 1 dan ( ) = ( )? Berikan penjelasan. Aktivitas 5 Tuliskan dalam paragraf yang menggambarkan tiga fungsi berbeda yang menyatakan perilaku-perilaku kuantitas dalam kehidupan sehari-hari antara tahun 1998 – 2018. Selama kurun waktu tersebut, satu kuantitas menurun, satu kuantitas bertambah, dan satu kuantitas konstan. 20

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Aktivitas 6 Pandang persamaan berikut ini: = 1, jika rasional 0, jika irrasional Apakah ini merupakan fungsi? Apakah daerah asalnya? Apakah daerah hasilnya? Apakah titik potong dengan sumbu , jika ada? Apakah titik potong dengan sumbu , jika ada? Bagaimana Anda menggambarkan grafiknya? Aktivitas 7  Investigasi Pengaruh Nilai Pada = ( − ) Terhadap Grafik Awal = 1. Gambarkan grafik = menggunakan aplikasi Desmos atau Geogebra. 2. Gambarkan grafik = ( − ) . Aktifkan slider untuk nilai . 3. Gerakkan slider nilai dan isikan tabel berikut: Persamaan Kurva Nilai Koordinat Titik Persamaan Sumbu =( − ) Balik Simetri = 0 (0,0) =0 = ( − 1) = ( − 3) = ( − 7) = ( + 2) = ( + 5) = ( + 8) 4. Jelaskan pengaruh perubahan nilai pada grafik = ( − ) terhadap grafik awal = . 5. Tuliskan koordinat titik balik, dalam , pada grafik = ( − ) . 6. Tuliskan persamaan sumbu simetri, dalam , pada grafik = ( − ) .  Investigasi Pengaruh Nilai Pada = + Terhadap Grafik Awal = 1. Gambarkan grafik = menggunakan aplikasi Desmos atau Geogebra. 2. Gambarkan grafik = + . Aktifkan slider untuk nilai . 21

Kapita Selekta Matematika SMA 3. Gerakkan slider nilai dan isikan tabel berikut: Persamaan Kurva Nilai Koordinat Titik Persamaan Sumbu =+ Balik Simetri =0 = 0 (0,0) = +2 = +5 = +8 = −1 = −3 = −6 4. Jelaskan pengaruh perubahan nilai pada grafik = + terhadap grafik awal =. 5. Tuliskan koordinat titik balik, dalam , pada grafik = + . 6. Tuliskan persamaan sumbu simetri, dalam , pada grafik = + .  Investigasi Pengaruh Nilai dan Pada = ( − ) + Terhadap Grafik Awal = 1. Berdasarkan kesimpulan Anda pada dua bagian di atas, gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut: a. = ( − 2) b. = + 1 Tuliskan koordinat titik balik dan persamaan sumbu simetri untuk masing- masing grafik. 2. Tanpa menggunakan gambar, prediksikan koordinat titik balik dan persamaan sumbu simetri dari grafik = ( − 2) + 1. Jelaskan jawaban Anda. 3. Tunjukkan kebenaran jawaban Anda pada nomor (2) dengan membuat sketsa grafik = ( − 2) + 1. 4. Tanpa bantuan gambar, isikan tabel berikut: Persamaan Kurva Nilai Koordinat Persamaan Nilai Titik Balik Sumbu Simetri =( − ) + 22

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA = ( − 2) + 1 = ( − 2) + 3 = ( − 2) − 5 = ( − 2) − 2 = ( + 1) − 2 = ( + 3) − 2 = ( + 2) + 1 = ( + 4) + 1 5. Tunjukkan kebenaran jawaban Anda pada nomor (4) dengan menggambar grafik = ( − ) + menggunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra. Aktifkan slider untuk dan . 6. Pada grafik = ( − ) + , koordinat titik balik adalah (_____, _____), sedangkan persamaan sumbu simetri adalah garis __________ . 7. Gambarkan grafik fungsi kuadrat berikut: a. = ( − 1) + 1 b. = ( + 2) − 1 Aktivitas 8 1. Gunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menggambarkan grafik-grafik berikut: a. = b. = c. = d. = 2. Bandingkan keempat grafik di atas, selanjutnya sebutkan perbedaan-perbedaan antara: a. = dan = b. = dan = 3. Menggunakan sketsa grafik pada nomor (1), nyatakan banyaknya solusi real dari masing-masing persamaan berikut: a. = 23

Kapita Selekta Matematika SMA b. − = 0 c. − = 0 Aktivitas 9 1. Gunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menggambarkan grafik-grafik fungsi berikut: a. = b. = c. = d. = e. = f. = 2. Tuliskan dalam paragraf yang menjelaskan kesamaan dan perbedaan dari grafik- grafik fungsi yang sudah Anda gambar. 3. Menggunakan hasil pada nomor (2), buatlah dugaan (konjektur) untuk grafik fungsi = dan = . Selanjutnya gambarkan grafik fungsi = dan = menggunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra dan bandingkan hasilnya dengan konjektur yang sudah Anda buat. Aktivitas 10 Eksplorasikan dengan menggunakan Desmos atau GeoGebra. Selidikilah pengaruh perubahan nilai , ℎ, dan terhadap grafik fungsi asal (parent function) = . a. = b. = ( + ℎ) c. = + d. = ( + ℎ) + 24

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Aktivitas 11 1. Gunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menggambarkan grafik fungsi ( ) = − 14 + 51 dan ( ) = + 14 + 51 dalam satu sumbu koordinat. Investigasilah hubungan antara kedua grafik fungsi tersebut. 2. Gunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menggambarkan grafik fungsi ( ) = + 12 + 34 dan ( ) = − 12 + 34 dalam satu sumbu koordinat. Investigasilah hubungan antara kedua grafik fungsi tersebut. 3. Gunakan aplikasi Desmos atau GeoGebra untuk menggambarkan grafik fungsi ( ) = − + 8 − 20 dan ( ) = − − 8 − 20 dalam satu sumbu koordinat. Investigasilah hubungan antara kedua grafik fungsi tersebut. 4. Tuliskan kesimpulan yang menggeneralisasi hasil investigasi Anda pada nomor (1) sampai dengan (3). Aktivitas 12 Untuk setiap kelompok fungsi, buatlah masing-masing grafiknya pada bidang layar yang sama dengan menggunakan Desmos atau GeoGebra. Bandingkan grafik dari setiap kelompok kemudian tuliskan kesamaan dan perbedaan dari masing-masing grafik. Buatlah konjektur (dugaan) untuk masing-masing kelompok fungsi berdasarkan hasil pekerjaan Anda. ABCD =2 =2 =2 =3∙2 =2 +3 =2 = 3 = 3(2 − 1) =2 −4 =2 = 5 = 3(2 + 1) Aktivitas 13 Buatlah grafik-grafik berikut dalam bidang layar yang sama dengan menggunakan Desmos atau GeoGebra: = | |, = 2| |, = 3| |, dan = 5| |. Selanjutnya diskusikan hal-hal berikut ini: a. Selidikilah kesamaan dan perbedaan dari keempat grafik tersebut. b. Jelaskan pengaruh perubahan nilai terhadap gambar grafik = | |. Asumsikan > 0. c. Buatlah satu fungsi nilai mutlak yang gambar grafiknya berada di antara grafik = 2| | dan = 3| |. 25

Kapita Selekta Matematika SMA d. Pada bidang layar baru buatlah grafik = | |, = −| |, = 2| |, dan = −2| |. Berikan penjelasan terhadap keempat grafik baru yang Anda buat. e. Buatlah konjektur terhadap gambar grafik = | | jika < 0. F. RANGKUMAN Suatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu relasi yang mengawankan atau memasangkan setiap anggota dari himpunan A ke hanya satu anggota dari himpunan B. Suatu fungsi :  adalah fungsi injektif apabila  berakibat ( )  ( ) atau ekuivalen jika ( ) = ( ) berakibat = . Suatu fungsi :  maka apabila ( )  dinamakan fungsi into ( ke dalam). Jika ( ) = dikatakan adalah suatu fungsi surjektif atau “ memetakan A onto B” Suatu fungsi :  merupakan fungsi yang injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “ adalah fungsi yang bijektif” atau “A dan B berada dalam korespondensi satu-satu”. Bentuk umum fungsi linear adalah :  + , dimana ,  dan  0. Grafik fungsi linear berbentuk garis lurus. Bentuk umum fungsi kuadrat adalah :  + + dengan , ,  dan  0. Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan = + + berbentuk parabola dan sumbu simetri = 2a , serta titik puncak P ( , ) dengan nilai diskriminan = 4 . Fungsi pecah adalah fungsi yang dirumuskan oleh ( ) = ( ) dengan P(x) dan Q (x) () yang merupakan polinomialdalam dan Q(x) 0 pada domainnya. Langkah-langkah untuk membuat sketsa grafik fungsi pecah dapat dilakukan sebagai berikut:  Menentukan titik-titik potong dengan sumbu x dan sumbu y  Menentukan asimptot datar, tegak dan miring  Membuat tabel yang menunjukkan dimana fungsi bernilai positif (grafik terletak di atas sumbu x) dan bernilai negatif (grafik terletak di bawah sumbu x)  Menentukan nilai ekstrim fungsi Ada beberapa jenis-jenis asimptot pada fungsi pecah diantaranya adalah:  Asimptot tegak, diperoleh bila penyebut bernilai nol 26

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA  Asimptot datar, diperoleh bila x  ~  Asimptot miring, hanya untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya mempunyai derajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya Fungsi f: x  , dengan a  0 dan a  1 disebut fungsi eksponen, yang mempunyai domain bilangan real dan range bilangan positif. Grafik fungsi f: x  , apabila 0 < < 1 maka grafiknya turun, sedangkan apabila > 1 maka grafiknya naik. Fungsi : → atau ( ) = dengan > 0 , ≠ 1, x > 0 dan ∈ disebut fungsi logaritma Grafik fungsi logaritma ( ) = selalu memotong sumbu X di titik (1,0) dan tidak pernah memotong sumbu Y. Apabila 0 < < 1 maka grafiknya turun, sedangkan apabila > 1 maka grafiknya naik. G. REFLEKSI DAN UMPAN BALIK Pada bagian ini, Anda harus lebih banyak bertanya pada diri sendiri mengenai berbagai hal yang sudah Anda dapatkan selama mengikuti kegiatan dalam modul ini dan juga di kelas, antara lain:  Apa yang sudah saya pelajari?  Materi apa yang belum saya pahami?  Apakah semua materi sudah saya pahami dengan baik?  Kesulitan terbesar apa yang saya alami untuk memahami materi?  Apakah semua aktivitas sudah saya lakukan?  Apakah semua aktivitas dan tugas dapat saya selesaikan?  Apakah manfaat pengetahuan dan keterampilan yang sudah saya dapatkan? Terhadap pemahaman materi, Anda dapat kembali merujuk pada apa yang telah diuraikan pada bagian Uraian Materi. Anda dapat meminta bantuan rekan sejawat Anda untuk mengoreksi dan memberikan penilaian pada jawaban aktivitas Anda. Jika Anda masih kesulitan memahami materi pada kegiatan pembelajaran ini, jangan menyerah dan teruslah memperbanyak membaca referensi. Silahkan mengidentifikasi kesulitan Anda kemudian mencari penyelesaiannya dengan membaca ulang modul ini, bertanya kepada fasilitator dan rekan sejawat di sekolah. 27

Kapita Selekta Matematika SMA DAFTAR PUSTAKA Aufmann, Richard N., Vernon C. Barker, dan Richard D. Nation, 2011, College Algebra and Trigonometry, Belmont, CA: Brooks/Cole. Clark, Mark dan Cynthia Anfinson, 2012, Intermediate Algebra: Connecting Concepts through Applocations, Belmont, CA: Brooks/Cole. Gantert, Ann Xavier, 2009, Algebra 2 and Trigonometry, New Yoyk, NY: Amsco School Publications, Inc. Holliday, Berchie, Gilbert J. Cuevas, Beatrice Luchin, dkk., 2008, Algebra 2, Columbus, OH: The McGraw-Hill Companies, Inc. Kime, Linda Almgreen, Judith Clark, dan Beverly K. Michael, 2011, Explorations in College Algebra, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. Markaban dan Titik Sutanti, 2018, Modul Pelatihan Mata Pelajaran Ganda Jenjang Matematika SMA: Relasi dan Fungsi, Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Markaban, Sigit Tri Guntoro, Puji Iryanti, dkk, 2018, Modul Pengembangan Keprofesian Berkelanjutan Guru Matematika SMA: Relasi, Fungsi, Persamaan, dan Pertidaksamaan, Yogyakarta: PPPPTK Matematika. Larson, Ron dan David C. Falvo, 2011, College Algebra, Belmont, CA: Brooks/Cole. Stewart, James, Lothar Redlin, dan Saleem Watson, 2016, Precalculus: Mathematics for Calculus, Boston, MA: Cengage Learning. Swokowski, Earl W. dan Jeffery A. Cole, 2010, Algebra and Trigonometry: with Analytic Geometry, Belmont, CA: Brooks/Cole. Young, Cynthia Y., 2013, Algebra and Trigonometry, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. 28

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA KEGIATAN PEMBELAJARAN 2 GEOMETRI DAN TRIGONOMETRI (5 JP) A. PENGANTAR KEGIATAN PEMBELAJARAN Geometri dan trigonometri memiliki sejarah yang panjang dalam peradaban manusia. Bangsa Mesir kuno telah memiliki pengetahuan yang tinggi dalam tentang geometri. Demikian juga dalam trigonometri, meskipun belum menggunakan istilah trigonometri, namun beberapa bagian dari konsep trigonometri telah mereka gunakan untuk keperluan praktis. Peran geometri dan trigonometri saat ini tidak dapat dilepaskan dari kehidupan manusia. Perhitungan konstruksi gedung, jembatan, lintasan pesawat, lintasan orbit satelit tidak bisa dilepaskan dari geometri dan trigonometri. Dalam kaitannya dengan pembelajaran di SMA, materi geometri meliputi geometri dimensi tiga, namun demikian pada modul ini juga dibahas tentang transformasi geometri yang pada jenjang SMA pendekatan yang digunakan lebih condong ke aljabar. Pada pembahasan geometri dimensi tiga, diawali dari mengingat kembali konsep dasar geometri untuk menunjukkan sistim deduktif aksiomatik yang terdapat dalam geometri. Pembahasan tentang dimensi tiga sendiri lebih banyak pada praktik penyelesaian masalah. Pada bagian geometri transformasi, dari sajian materi diharapkan siswa tidak sekedar hafal rumus, namun lebih ditekankan pada bagaimana proses geometris dan aljabar suatu transformasi terjadi. Dari proses ini diharapkan siswa mampu menurunkan sendiri rumus-rumus yang berlaku pada transformasi geometri. Trigonometri menjadi bagian akhir dari kegiatan pembelajaran ini. Seperti halnya materi geometri transformasi, dalam trigonometri terdapat banyak rumus. Hampir mustahil memaksa siswa untuk menghafal rumus- rumus tersebut. Oleh karena itu, di samping kemampuan menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep trigonometri, siswa harus faham dari mana rumus- rumus tersebut diperoleh. B. TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan kegiatan pembelajaran ini adalah untuk memberikan pemahaman kepada pembaca terkait dengan konsep dasar geometri, kedudukan antar objek dalam dimensi tiga, jarak antar objek, sudut dalam dimensi tiga, konsep dasar trigonometri, fungsi trigonometri, sifat-sifat yang berlaku dalam trigonometri, serta dapat 29

Kapita Selekta Matematika SMA memanfaatkannya dalam penyelesaian masalah dan pengembangan keterampilan berpikir tingkat tinggi. C. URAIAN MATERI 1. Luas dan Volume a. Luas Jajar Genjang dan Segitiga Luas segitiga dapat diperoleh melalui urutan luas persegi panjang dan luas jajar genjang. Dalam beberapa kasus, perhitungan jarak dalam dimensi tiga dapat diselesaikan menggunakan pendekatan luas segitiga. https://www.geogebra.org/m/dgwxadbv Luas jajar genjang dapat dicari dengan momotong dan menyusun kembali menjadi persegi panjang, sehingga = ×. Luas segitiga dapat diperoleh dengan menggandakan segitiga dan menyusun menjadi sebuah jajargenjang. Sehingga = . Selanjutnya diperoleh =. https://www.geogebra.org/m/vyqw4s2m Luas segitiga yang diketahui tiga sisinya ( , , dan ) dapat dicari dengan rumus Heron. = ( − )( − )( − ) dengan = ( + + ). Proses mendapatkan rumus Heron dapat disimak di tautan video: https://youtu.be/fwAlz0RPDxU atau pindai kode QR berikut. 30

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA b. Volume Limas Volume limas segitiga dapat dipakai sebagai alternatif mencari jarak titik ke bidang jika. Rumus volume limas dapat diperoleh dari volume prisma segitiga dengan bantuan prinsip Cavalieri. Berikut ini applet prinsip Cavalieri dan proses mendapatkan rumus volume limas segitiga. https://www.geogebra.org/m/tfks7hw7 https://www.geogebra.org/m/zfzpbsbt 2. Teorema Pythagoras Pada segitiga siku-siku bersisi , , dan dengan sisi terpanjang berlaku: Kuadrat sisi terpanjang sama dengan jumlah kuadrat sisi yang lain, atau dengan kata lain + = . Terdapat ratusan bukti pernyataan di atas. Salah satunya adalah bukti yang dibuat oleh James A. Garfield (1876), Presiden Amerika Serikat (Maret – Sept 1881). Perhatikan gambar, pandang sebagai trapesium dengan sisi sejajar dan , diperoleh luas = ( + )( + ) = + + . Sementara itu jika dihitung bagian per bagian = + + = + . Dari dua hasil di atas, diperoleh + + = + , sehingga + = . Bukti lain, dapat dilihat di applet: https://www.geogebra.org/m/drgw2ep6 3. Geometri Dimensi Tiga a. Kedudukan titik terhadap garis. Dalam geometri, garis ditentukan oleh dua titik tidak berimpit. Garis memanjang ke dua arah tanpa batas. Ada dua kemungkinan kedudukan titik terhadap garis, yaitu 31

Kapita Selekta Matematika SMA titik terletak pada garis, dan titik di luar garis. Eksplorasi applet berikut: https://www.geogebra.org/m/m2rgjkxp. b. Kedudukan titik terhadap bidang Bidang ditentukan oleh tiga titik tidak segaris. Kedudukan titik terhadap bidang ada dua, yaitu titik terletak pada bidang, dan titik di luar bidang. Eksplorasi applet berikut: https://www.geogebra.org/m/yqpf6ser. c. Kedudukan Dua Garis Dalam ruang dimensi tiga, terdapat beberapa kemungkinan kedudukan dua garis, di antaranya adalah berpotongan, sejajar, dan bersilangan. Dua garis dikatakan berpotongan jika memiliki satu titik persekutuan. Dua garis dikatakan sejajar jika keduanya terletak pada sebuah bidang dan kedua garis tersebut tidak memiliki titik persekutuan. Dua garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak terletak pada bidang yang sama, dan keduanya tidak memiliki titik persekutuan. Sebagai ilustrasi, garis dan bersilangan, tidak ada bidang yang dapat dibuat yang sekaligus memuat garis dan . Pada balok di bawah, contoh pasangan garis yang sejajar adalah dan , dan . Sedangkan pasangan garis bersilangan antara lain dan , dan . Ilustrasi garis berpotongan, sejajar, dan bersilangan dapat dilihat di … d. Kedudukan Garis dan Bidang. Kedudukan garis terhadap bidang memiliki beberapa kemungkinan, di antaranya adalah garis terletak pada bidang (bisa dikatakan bidang memuat garis, garis berimpit dengan bidang), garis sejajar bidang, dan garis menembus bidang. 32

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Sebuah garis dan sebuah bidang saling sejajar jika keduanya tidak memiliki titik persekutuan. Gunakan applet eksplorasi kedudukan garis terhadap bidang https://www.geogebra.org/m/jy9vp5cz. Garis dikatakan menembus atau memotong bidang jika garis dan bidang memiliki tepat satu titik persekutuan. Titik persekutuan ini dinamakan titik potong, atau titik tembus. Garis tegak lurus bidang jika tegak lurus terhadap dua garis berpotongan di bidang . e. Kedudukan antara dua bidang. Ada tiga kemungkinan kedudukan antara dua bidang, yaitu dua bidang berimpit, dua bidang saling sejajar (keduanya tidak memiliki titik-titik persekutuan), dan dua bidang berpotongan (memiliki titik-titik persekutuan yang membentuk sebuah garis). Tautan …. f. Proyeksi Proyeksi Titik ke Bidang Definisi: Proyeksi titik pada bidang adalah titik di bidang sedemikian sehingga tegak lurus pada bidang . Amati applet interaktif berikut https://www.geogebra.org/m/tpzsjx4p merupakan proyeksi dari pada bidang . Dalam hal ini garis disebut garis pemroyeksi, sedangkan bidang disebut sebagai bidang proyeksi. Proyeksi suatu bangun geometri pada bidang diperoleh dengan memproyeksikan semua titik pada bangun tersebut pada bidang . Proyeksi sebuah garis pada bidang umumnya berupa sebuah garis (i). 33

Kapita Selekta Matematika SMA Proyeksi garis sejajar bidang berupa garis sejajar dengan garis tersebut (ii). Proyeksi sebuah garis tegak lurus bidang berupa sebuah titik (iii). Proyeksi kurva ke bidang diperoleh dengan memproyeksikan semua titik pada kurva ke bidang (iv). (i) (ii) (iii) (iv) g. Jarak Pembahasan tentang jarak, harus memperhatikan konteksnya. Perhatikan kasus- kasus berikut: i) Jarak Banda Aceh berada pada 95° BT ke Jayapura pada 140° BT adalah 5.127 km. Dengan mengabaikan ketinggian jelajah pesawat, bagaimanakah bentuk lintasan yang menghubungkan kedua kota? Mengapa bisa demikian? ii) Misalkan kamu akan berjalan kaki dari Kantor TVRI ke alun-alun kota Nunukan di Propinsi Kalimantan Utara, bagaimana bentuk lintasannya? Pada konteks ini, manakah yang lebih sesuai untuk menyatakan jarak, garis lurus 703 meter atau rute sepanjang 800 meter? iii) Misalkan diberikan lingkaran dan sebuah titik di luar lingkaran seperti pada gambar berikut. Ruas garis manakah yang paling tepat untuk mendeskripsikan jarak antara titik ke lingkaran? Berikan alasan jawabanmu! Jarak Banda Aceh-Jayapura Jarak Kantor TVRI ke Jarak titik ke lingkaran Alun-alun Kota Nunukan 34

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Dalam pembahasan tentang jarak kali ini, yang Ilustrasi dimaksud dengan jarak adalah panjang ruas garis terpendek yang menghubungkan dua objek. Sebagai contoh, pada balok . di bawah, jarak antara dan adalah ruas garis , demikian juga jarak ke dinyatakan dengan panjang ruas garis . Jarak antar obyek-obyek geometri: No. Deskripsi Jarak Objek 1 Jarak antara dua titik dan adalah panjang ruas garis 2 Jarak antara titik ke garis adalah panjang ruas garis dengan terletak di garis , dan ⊥ . 3 Jarak antara titik dengan bidang α adalah panjang ruas garis dari , dengan di bidang α dan tegak lurus bidang α. 4 Jarak dua garis sejajar dan ℎ adalah panjang ruas garis dengan di , dan di ℎ, ⊥ , dan ⊥ ℎ. 5 Jarak antara dua garis bersilangan dan ℎ adalah panjang ruas garis dengan di , di ℎ, ⊥ , dan ⊥ ℎ. 6 Garis sejajar bidang α, maka jarak dari ke α adalah panjang ruas garis dengan di , di , ⊥ , ⊥. 7 Jarak antara dua bidang sejajar α dan adalah panjang ruas garis dengan di , di , ⊥ , dan ⊥. 35

Kapita Selekta Matematika SMA Contoh 1: Kubus . memiliki rusuk 4cm. Titik di tengah . Tentukan jarak titik ke garis . Applet: https://www.geogebra.org/m/avwsbxhq Alternatif penyelesaian: Panjang , , dan dapat dicari menggunakan teorema Pythagoras. = + = 2 + 4 = √20 = + = + + = 4 + 4 + 2 = √36 = 6 = + = 4 + 4 = √32 Perhatikan Δ ′ dan Δ ′ yang memiliki sudut siku di ′, berlaku =− dan = − Sehingga − =− 36 − √32 − = 20 − Dari persamaan di atas, akan diperoleh = = √2, sehingga √ = − = √20 − = √20 − 2 = 3√2 Contoh 2: 36

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Diberikan limas beraturan . dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegak 6 cm. Tentukan jarak titik ke . Applet: https://www.geogebra.org/m/pkkf9ct7 Alternatif penyelesaian: Jarak ke merupakan panjang ruas garis yang melalui ke garis dan tegak lurus . Misalkan tegak lurus dan = , maka = 6 − . Dengan menggunakan Teorema Pythagoras = 32 dan = − = − akibatnya 32 − (6 − ) = 36 − 10 ⇒ =3 Substitusikan ke = − atau = √ − Dengan menggunakan Teorema Pythagoras = 32 dan = − = − akibatnya Substitusikan ke 32 − (6 − ) = 36 − 10 ⇒ =3 = − atau = √ − 10 4 = 6 − 3 = 3 √14 Jadi jarak titik A ke garis TC adalah √14 cm. Contoh 3. Diberikan limas tegak beraturan . dengan rusuk alas 4 cm dan tinggi limas 6. Tentukan jarak antara titik ke bidang . Alternatif penyelesaian: 37

Kapita Selekta Matematika SMA Tampilan proyeksi titik ke bidang dari berbagai sudut pandang. Perhatikan bahwa merupakan proyeksi titik terhadap bidang . Posisi titik berada di luar segitiga . Cara 1. . Perluas segitiga sehingga membentuk persegipanjang Gunakan visualisasi di https://www.geogebra.org/m/npu43evm Gunakan teorema Pythagoras = 2 = 2√2 = √8 + 36 = √44 =+ = − = √44 − 4 = √40 Gunakan pendekatan luas. ⋅⋅ = 2 = 2 ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ 4 ⋅ 6 = √40 ⋅ 4⋅6 6 = √40 = 5 √10 Jadi jarak antara A ke bidang TBC adalah √10 cm. Cara 2. 38

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Gunakan visualisasi di https://www.geogebra.org/m/qytazbrs Perhatikan bahwa sejajar bidang , dengan demikian jarak semua titik pada garis sama dengan jarak titik ke bidang . Ambil dan berturut-turut titik tengah dan . Pada segitiga , jarak ke garis mewakili jarak ke bidang . Akibatnya =. == + = 6 + 2 = √40. Pada segitiga , ⋅⋅ Akibatnya, = 2 = 2. ⋅ 4⋅6 6 = = √40 = 5 √10. Jadi jarak ke bidang adalah √10 cm. Contoh 4: pada kubus . yang memiliki Tentukan jarak titik dan bidang panjang rusuk . Penyelesaian: 39

Kapita Selekta Matematika SMA Perhatikan gambar di atas, = = (rusuk kubus), dan = = (diagonal sisi) sehingga . limas segitiga beraturan, sehingga jarak ke bidang yaitu garis ruas garis merupakan tinggi limas . . =+ = √2 11 1 =2 =2 Segitiga PCG siku-siku di G, sehingga = 2 √2. = + = 2 √6. Dengan menggunakan luas segitiga diperoleh hubungan ⋅ = ⋅ , dengan substitusi nilai-nilai yang diketahui, didapatkan = √3. Jadi, jarak titik ke bidang adalah √3. Untuk membantu visualisasi, gunakan tautan https://www.geogebra.org/m/zsnwznre Contoh 5: Pada kubus . dengan panjang rusuk 2 satuan, titik di tengah . ke garis . Tentukan jarak garis 40

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA Alternatif penyelesaian: Jarak garis ke garis dapat diwakili oleh sejajar bidang , ⇒ = jarak garis ke bidang melalui sejajar . jarak ke = jarak ke bid Bidang ini dapat dibuat dengan menarik garis jarak ke bid . sejajar melalui , sehingga bidang sejajar . Dengan demikian jarak ke dapat diwakili oleh jarak ke bidang . Selanjutnya, jarak garis ke bidang tersebut dapat diwakili oleh jarak titik ke bidang . Gunakan applet https://www.geogebra.org/m/vvgsakaf untuk membantu visualisasinya. Limas . merupakan potongan bagian dari limas . yang memiliki tinggi (mengapa?). Luas seperdelapan luas (mengapa?). 1 11 18 . = 3 ⋅ ⋅ ⋅ 2 = 3 ⋅ 2√2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2√2 = 3 1 18 1 . =8⋅ . = 8 ⋅ 3 = 3 ∗) Dengan memandang sebagai alas, maka . = × . Sementara itu, tinggi limas . yaitu merupakan jarak dari ke bidang . Dengan menggunakan teorema Pythagoras, diperoleh = √5, = √6, dan = √3. Karena ketiga sisinya dapat ditemukan, dengan rumus Heron luas segitiga dapat dicari. = ( − )( − )( − ) dengan = ( + + ). 11 = 2 √5 + √6 + √3 ; − = 2 √6 + √3 − √5 ; 11 − = 2 √3 + √5 − √6 ; − = 2 √5 + √6 − √3 41

Kapita Selekta Matematika SMA = √5 + √6 + √3 ⋅ √6 + √3 − √5 ⋅ √3 + √5 − √6 ⋅ √5 + √6 − √3 Dan seterusnya, diperoleh 1 = 2 √14 Selanjutnya, substitusikan hasil di atas ke . = × . 1 . . = 3. 11 ∗∗) . = 3 . 2 √14. Dari * dan **, diperoleh = = √14 √ Jadi, jarak garis HB ke GP adalah √14 ≈ 0,5345. Contoh 6. Kubus . panjang rusuknya 20 cm. Titik di tengah . Tentukan jarak titik ke garis . Alternatif penyelesaian: Dengan teorema Pythagoras, = ++ = 20 + 20 + 10 = √900 = 30 =+ = 20 + 10 = √500 = 10√5 =+ = 20 + 20 = √800 = 20√2 Misal = maka = 20√2 − . − (1) Karena tegak lurus , maka berlaku − (2) = = Dari kedua persamaan di atas diperoleh 42

Pelatihan Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi (KBTT) dalam Pembelajaran Matematika Berorientasi PISA −=− 900 − 20√2 − = 500 − 900 − 800 − 40 √2 + = 500 − 100 + 40 √2 − = 500 − 40 √2 = 400 10 √2 = ⋅ = 5√2 √2 √2 Sehingga = = 5√2 Substitusikan hasil ini ke (2), diperoleh = − = 500 − 5√2 = 450 ⇒ = √450 = 15√2 Jadi jarak titik P ke garis BG adalah 15√2 cm. Alternatif penyelesaian yang lain, gunakan rumus Heron untuk mencari luas segitiga , kemudian tentukan tinggi segitiga dengan sebagai alas. Contoh 7. Diberikan kubus . dengan panjang rusuk 6. Titik terletak pada perpanjangan , sehingga = . Jika memotong di dan memotong di , tentukan jarak ke bidang . Alternatif penyelesaian. Cara 1. Menggunakan pendekatan volume. Tentukan volume . , pandang sebagai puncak limas . , maka jarak ke bidang sama dengan tinggi limas .. Perhatikan Δ ∼ Δ ∼ Δ , maka =⇒ ⋅ 3⋅6 = = 9 = 2. = ⋅ ⋅ = ⋅ 2 ⋅ 2 = 2; = ⋅ ⋅ = ⋅ 6 ⋅ 2 = 6. 43

Kapita Selekta Matematika SMA = − = 6 − 2 = 4. dan . memiliki tinggi yang Dengan memandang sebagai puncak, limas . sama yaitu = 2. . =⋅ ⋅ = ⋅ 4 ⋅ 3 = 4. (1). Selanjutnya akan dicari luas Δ menggunakan rumus Heron. = = √3 + 2 = √13; = √2 + 2 = 2√2 = ( + + ) = √13 + √13 + 2√2 = √2 + √13. − = − = √2 + √13 − √13 = √2; − = √2 + √13 − 2√2 = √13 − √2 = ( − )( − )( − ) = √13 + √2 ⋅ √2 ⋅ √2 ⋅ √13 − √2 = 2(13 − 2) = √22 Pandang limas . dengan sebagai puncak, maka tinggi dari titik mewakili jarak ke bidang . Misal menyatakan jarak ke bidang , maka . =⋅ ⋅ ℎ = ⋅ √22 ⋅ ℎ = √ . Karena . =. , maka √ = 4. Akibatnya ℎ = = √ = √ . √ Jadi jarak F ke bidang TPQ adalah √ . Cara 2. Menggunakan luas segitiga. Garis sejajar , akibatnya sejajar bidang . Ambil titik di tengah . Jarak ke bidang dapat diwakili oleh jarak ke bidang , yaitu . Selanjutnya akan dicari luas segitiga . Dengan memandang sebagai alas, maka tinggi segitiga mewakili tinggi segitiga sekaligus jarak dari ke bidang = = = √ + = ⋅ 6√2 = 3√2. 44