แผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.4

รายวชิ า คณติ ศาสตร์พ้ืนฐาน แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 1 ระดบั ช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ เร่อื ง จานวนจริง เวลา 1 ชว่ั โมงครูผู้สอน นางสุมาพร จักรอินต๊ะ โรงเรียนหนั คาราษฎร์รังสฤษด์ิ รหสั วิชา ค31102 ภาคเรียนท่ี 21. สาระ/มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชวี้ ดั สาระที่ 1 จานวนและการดาเนนิ การ มาตรฐาน ค 1.1 เข้าใจถึงความหลากหลายของการแสดงจานวนและการใช้จานวนในชวี ิตจรงิ ตวั ชว้ี ดั ค 1.1 ม.4-6/1 แสดงความสัมพันธ์ของจานวนจรงิ ตา่ งๆ ในระบบจานวนจริง2. สาระสาคญั เซตของจานวนจริงประกอบด้วยสบั เซตของจานวนต่างๆ โดยความสมั พนั ธแ์ สดงไวด้ งั แผนผงัต่อไปน้ี จำนวนจริงจำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะที่ไมใ่ ช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ บวกm;l,;l,;l[pl[;[l[l[pl[pl[pl[plp[l[plhy ศนู ย์ hynmuจjkำmน;วl,น’;เwตmม็ ลujบmuj3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรียนร้แู กนกลาง : เพื่อใหน้ ักเรยี น 3.1.1 บอกความสมั พนั ธ์ของเซตของจานวนจริง เซตของจานวนตรรกยะ เซตของ จานวนอตรรกยะ เซตของจานวนเตม็ และเซตของจานวนนับได้ 3.1.2 บอกไดว้ ่าจานวนทีก่ าหนดใหเ้ ปน็ จานวนชนดิ ใด 3.2 ดา้ นทักษะและกระบวนการ (P) : เพอื่ ให้นกั เรยี น 3.2.1 ใหเ้ หตุผลในการอธิบายถึงความสัมพันธ์ของเซตของจานวนจรงิ เซตของจานวน ตรรกยะ เซตของจานวนอตรรกยะ เซตของจานวนเต็ม และเซตของจานวนนับได้

3.2.2 ใชภ้ าษาและสญั ลกั ษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการส่ือสาร สอื่ ความหมาย และนาเสนอ ในเรื่องจานวนจริงได้อย่างถกู ต้อง ชดั เจน 3.3.3 เช่ือมโยงความคิดรวบยอดเกย่ี วกับเซตของจานวนจริง เซตของจานวนตรรกยะ เซตของจานวนอตรรกยะ เซตของจานวนเตม็ และเซตของจานวนนับ เพอ่ื อธิบายข้อสรุป ต่าง ๆ ได้ 3.3 ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) : เพอื่ ใหน้ ักเรียน 3.3.1 มีความสนใจ และกระตือรือรน้ ในกิจกรรมการเรยี นรู้ 3.3.2 มีความรบั ผิดชอบ และมสี ่วนรว่ มในชั้นเรยี น 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการสอื่ สาร 3.4.2 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน 4.1 แบบฝึกหัดท่ี 15. สาระการเรยี นรู้ มนุษย์รู้จกั การใชจ้ านวนมาตงั้ แตส่ มัยดึกดาบรรพ์ โดยการใชก้ อ้ นหินหรือใช้รอยบากบนต้นไม้แทนจานวนต่างๆ กลา่ วไดว้ ่าจานวนชนดิ แรกท่ีมนุษย์ร้จู ักคือจานวนนับ ตอ่ มาเม่ือมีการพฒั นามากขึ้น มนษุ ย์จงึพัฒนาจานวนชนิดอน่ื ๆขน้ึ เพ่ือให้สามารถแทนปริมาณตา่ งๆ เช่น น้าหนกั อณุ หภมู ิ จานวนประชากร ฯลฯจานวนซงึ่ สามารถแทนส่งิ เหลา่ นี้ได้ เรยี กว่า จานวนจริง เซตของจานวนจรงิ ประกอบด้วยสบั เซตของจานวนต่างๆ โดยความสมั พันธ์แสดงไว้ดังแผนผงั ตอ่ ไปนี้ จำนวนจริงจำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ บวกm;l,;l,;l[pl[;[l[l[pl[pl[pl[plp[l[plhy ศูนย์ hynmuจjkำmน;วl,น’;เwตmม็ ลujบmuj สาหรบั สว่ นน้ีเราจะศึกษาจานวนจริงในสว่ นของการเทา่ กนั ของจานวนจรงิ และสมบัติของจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ รวมท้งั การลบและการหารจานวนจริงด้วย

จานวนจริง (Real Number) เขียนแทนด้วย R ประกอบจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ1. จานวนตรรกยะ (Rational Number) เขยี นแทนด้วย Q คอื จานวนทสี่ ามารถเขียนในรปู เศษสว่ นของจานวนเต็ม ซึง่ ตวั หารไม่เปน็ ศนู ย์ หรือจานวนท่ีเขยี นในรูปทศนิยมซา้ (เพราะทศนิยมซ้าทกุ จานวน สามารถเขียนในรูปเศษส่วนได)้ เช่น 0, 5, – 2, 4.7, 3 , 22 , 2.468468468... , 3.724, 2.67 57 Q = { a │ a  I, b I และ b  0 } หรอื b จานวนตรรกยะ (Rational Number) จานวนท่สี ามารถเขยี นในรปู เศษส่วนของจานวนเต็ม ซ่ึงตัวหารไม่เปน็ ศนู ย์ เรียกวา่ จานวนตรรกยะ เขียนแทนด้วย Q = Q  x x  a เมื่อ a,b I และ b  0 bจานวนตรรกยะมี 2 ชนิด ได้แก่ 1. จานวนตรรกยะท่เี ปน็ จานวนเต็ม (Integers) เขยี นแทนด้วย I ประกอบด้วย จานวนเต็มบวกศูนย์ และจานวนเต็มลบ - จานวนเต็มบวก (Positive Integer) ; I  หรอื จานวนนบั (Counting Number) หรือจานวน ธรรมชาติ (Natural Number) ; N ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, … โดยที่ 1 เปน็ จานวนเต็มบวกที่มีค่า นอ้ ยทสี่ ุด จานวนเต็มบวกท่ีมีค่ามากทสี่ ดุ หาไมไ่ ด้ - จานวนเต็มลบ (Negative Integer) ; I  ไดแ้ ก่ – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, … โดยท่ี – 1เป็น จานวนเตม็ ลบทม่ี ีค่ามากที่สดุ จานวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยท่ีสดุ หาไม่ได้ - จานวนเตม็ ศนู ย์ ; I 0 ไดแ้ ก่ 0 2. จานวนตรรกยะทไ่ี มใ่ ชจ่ านวนเต็ม ประกอบด้วย 1) จานวนทเี่ ขียนในรปู เศษส่วนของจานวนเต็ม เม่ือตวั ส่วนไมเ่ ปน็ ศูนย์ เช่น 1 ,  5 เป็นตน้ 24 2) จานวนทีเ่ ขยี นอยู่ในรูปทศนยิ มซ้า เช่น 2 = 2.0 = 2 1 1.414 = 1.414000 = 1414 1000 0.217 = 0.21717... = 215 990 จานวนอตรรกยะ (Irrational Number) เขียนแทนด้วย Q′ คือ จานวนจริงท่ีไม่ใช่จานวนตรรกยะเช่น 3 , – 5 , – 2.694365…, π 2 = 1.4142135… ≈ 1.414 3 = 1.7320508… ≈ 1.732 5 = 2.2360679… ≈ 2.236 π = 3.14159265… ≈ 3.1416

ตวั อยา่ งที่ 1 จงพิจารณาวา่ จานวนที่กาหนดใหเ้ ป็นสมาชกิ ในเซตใด แลว้ เขยี นเครอื่ งหมาย จานวน จานวนนับ จานวนเตม็ จานวน จานวน จานวน จานวนจริง เต็มลบ ตรรกยะ อตรรกยะ 5      2 3    12 3     7        0        16 – 9  20.10– 1.235… 8 2    5  2 5  2ตวั อยา่ งท่ี 2 ให้นักเรียนเขยี น  หน้าข้อทถ่ี ูก และ  หนา้ ขอ้ ทผ่ี ิด.... ..... 1. 0.003003003… เป็นจานวนตรรกยะ.... ..... 2. 0 เป็นจานวนจรงิ.... ....... 3. 1331 เป็นจานวนเฉพาะ.... ..... 4. 0.23333… เป็นจานวนอตรรกยะ.... ..... 5. 2.04004000400004… เป็นจานวนอตรรกยะ..... ..... 6. 10 ไมเ่ ปน็ จานวนเตม็ 2 เป็นจานวนอตรรกยะ เป็นจานวนอตรรกยะ.... ....... 7. 169.... ....... 8. -7.5.... ....... 9. 2.4 เป็นจานวนคู่........... 10. จานวนทเี่ ขียนไดใ้ นรปู ทศนยิ มซา้ ไม่เป็นจานวนตรรกยะ.... ......11. มจี านวนเตม็ ท่ีน้อยท่สี ุดทม่ี ากกวา่ 12..... ...... 12. มีจานวนค่ีบวกที่มากท่ีสดุ ท่ีน้อยกว่า 1..... ...... 13. a  b2  a  b ไมว่ ่า a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ..... ...... 14. มีจานวนตรรกยะทีน่ ้อยท่ีสดุ ทีม่ ากกวา่ 20...... ..... 15. มีจานวนนบั ทม่ี ากทส่ี ดุ

6. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขัน้ นา 1. ครูแจง้ จุดประสงค์การเรยี นรู้ใหน้ ักเรยี นทราบวา่ วันนี้จะเรยี นเรอ่ื งใหม่ คือ เรือ่ งจานวนจริง นกั เรยี นจะต้องรู้อะไรบา้ ง 2. ครทู บทวนระบบจานวนทีน่ กั เรียนเคยเรยี นมาแล้ว เช่น จานวนเต็มบวก จานวนเต็มลบ จานวนนบั เปน็ ต้น โดยการถามคาถามแนะแนวทางว่านักเรยี นรู้จกั จานวนชนดิ ใดบา้ ง และ จานวนทน่ี ักเรยี นรู้จกั ดังกล่าวแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ใด เชน่ จานวนนบั (N), จานวนเต็ม (I), จานวนเตม็ ลบ (I- ), จานวนเตม็ บวก (I+), จานวนตรรกยะ (Q), จานวนอตรรกยะ (Q ' ) ข้นั สอน 1. ครอู ธบิ ายความหมายของจานวนตรรกยะ และอธิบายวา่ จานวนตรรกยะประกอบไปด้วยเซต ของจานวนใดบ้าง โดยใช้คาถามกระต้นุ - จานวนนบั เปน็ จานวนตรรกยะหรือไม่ เพราะเหตใุ ด - จานวนเต็มเป็นจานวนตรรกยะหรือไม่ เพราะเหตใุ ด - เศษสว่ นเป็นจานวนตรรกยะหรือไม่ - ทศนิยมเป็นจานวนตรรกยะหรอื ไม่ - ทศนยิ มในรูปทศนยิ มซา้ เป็นจานวนตรรกยะหรอื ไม่ 2. ครูอธิบายความหมายเซตของจานวนต่างๆที่เกี่ยวข้องกับเซตของจานวนจริง ครูใชค้ าถาม กระตนุ้ - เซตของจานวนเต็มประกอบไปดว้ ยอะไรบา้ ง (จานวนเต็มบวก จานวนเตม็ ลบ และศูนย)์ - เซตของจานวนนับและเซตของจานวนเต็มบวกเหมือนกนั หรอื ไม่ และแต่ละเซตประกอบไป ดว้ ยสมาชิกอะไรบ้าง (เซตของจานวนเต็มบวก ( I  ) หรือจานวนนบั ( N ) เป็นเซตท่มี ีสมาชิก เหมอื นกัน ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, …) - เซตของจานวนเต็มลบประกอบไปดว้ ยสมาชิกอะไรบ้าง (จานวนเต็มลบ ( I  ) ไดแ้ ก่ – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, … ) 3. ครูอธิบายความหมายของจานวนอตรรกยะ พร้อมทัง้ ยกตัวอยา่ งจานวนทเ่ี ปน็ อตรรกยะให้ นักเรยี นดู 4. ครูแสดงแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจานวนตา่ งๆ ในระบบจานวนจริง นักเรยี นสังเกต ความสมั พนั ธ์ เพ่ือประกอบความเขา้ ใจพร้อมทง้ั อธิบายประกอบ 5. ครอู ธิบายเพ่ิมเตมิ ว่า นอกจากจานวนจริงแลว้ ยังมจี านวนชนดิ อ่ืนอีก เชน่ จานวนทีไ่ ด้จาก การแก้สมการ x2  1 ซึง่ บอกไมไ่ ด้ว่ามากกว่าศนู ยห์ รือน้อยกว่าศูนย์ จานวนชนิดนี้ไม่ใช่ จานวนจรงิ และยูเนียนของเซตของจานวนจริงและเซตของจานวนชนิดใหม่ เรียกว่า เซต ของจานวนเชงิ ซ้อน 6. ครูยกตวั อย่างที่ 1 แล้วให้นกั เรียนชว่ ยกันพจิ ารณาว่าจานวนแต่ละจานวนทค่ี รกู าหนดให้เป็น จานวนใดบ้าง ระหวา่ ง จานวนนบั จานวนเต็ม จานวนเตม็ ลบ จานวนตรรกยะ จานวน อตรรกยะ และจานวนจริง 7. ครยู กตัวอยา่ งท่ี 2 แลว้ ใหน้ กั เรียนลองพจิ ารณาวา่ ข้องความท่ีครูกาหนดให้ในแต่ละข้อนัน้ ข้อใดถกู ข้อใดผิด แลว้ สุ่มนักเรยี นเฉลยคนละหน่ึงข้อ พรอ้ มใหเ้ หตผุ ลดว้ ยว่าเหตใุ ดข้อนัน้ จึงถกู หรอื ผดิ

ข้ันสรุป 1. ครใู ห้นักเรียนชว่ ยกนั สรปุ ความคิดรวบยอดเกย่ี วกับเรื่องทีเ่ รียนมาในคาบนี้ สรุปไดว้ ่า จำนวนจริงจำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะท่ีไมใ่ ช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ บวกm;l,;l,;l[pl[;[l[l[pl[pl[pl[plp[l[plhy ศูนย์ hynmuจjkำmน;วl,น’;เwตmม็ ลujบmuj 2. ครูแจกแบบฝึกหัดท่ี 1 เรือ่ งจานวนจรงิ ใหน้ ักเรียนทาเป็นการบา้ น7. สอ่ื /แหลง่ การเรียนรู้ 7.1 สอ่ื การเรียนรู้ 7.1.1 หนงั สอื เรียนสาระการเรยี นรูพ้ ้นื ฐานคณติ ศาสตร์ ม.4 ของสานกั พมิ พ์แม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝกึ หัดท่ี 1 เร่ือง จานวนจริง 7.2 แหลง่ การเรียนรู้ 7.2.1 หอ้ งศนู ยก์ ารเรียนรู้คณติ ศาสตร์ 7.2.2 หอ้ งสมุดโรงเรยี น

8. การวดั ผลและประเมินผลการเรยี นรู้จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ การวดั ผล การประเมินผล พิจารณาจาก :เพอ่ื ให้นกั เรยี น : พจิ ารณาจาก :ด้านความรู้ - ถา้ นักเรียนทาแบบฝึกหดั ท่ี 1 ได้ถูกต้อง1. บอกความสัมพนั ธ์ของเซตของ 1. การทาแบบฝกึ หดั ที่ 1 . มากกว่า รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อทัง้ หมดจานวนจริง เซตของจานวนตรรก . ถือว่า “ผ่าน”ยะ เซตของจานวนอตรรกยะเซตของจานวนเต็ม และเซตของจานวนนับได้2. บอกได้วา่ จานวนที่กาหนดให้เป็นจานวนชนดิ ใดดา้ นทกั ษะและกระบวนการ 1. การทาแบบฝกึ หัดท่ี 1 - ถ้านกั เรียนทาแบบฝึกหดั ท่ี 1 ได้ถกู ต้อง1. ใหเ้ หตผุ ลในการอธบิ ายถึง 2. การถาม-ตอบ เพ่อื . มากกว่า รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อทัง้ หมดความสัมพันธ์ของเซตของจานวน . ตรวจสอบความเข้าใจ . ถอื วา่ “ผ่าน”จรงิ เซตของจานวน - ถ้านกั เรยี นร่วมกันตอบคาถามภายในช้ันเรยี นตรรกยะ เซตของจานวนอตรรก ถอื วา่ “ผา่ น”ยะ เซตของจานวนเต็ม และเซตของจานวนนับได้2. ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ างคณิตศาสตร์ในการสื่อสาร สอ่ืความหมาย และนาเสนอในเร่อื งจานวนจรงิ ไดอ้ ยา่ งถกู ต้องชดั เจน3. เชื่อมโยงความคิดรวบยอดเกย่ี วกับเซตของจานวนจริง เซตของจานวนตรรกยะ เซตของจานวนอตรรกยะ เซตของจานวนเตม็ และเซตของจานวนนบั เพ่อือธิบายขอ้ สรปุ ต่าง ๆ ได้ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ 1. การตอบคาถาม - ถา้ นกั เรยี นร่วมกันตอบคาถามภายในช้ันเรียน1. มีความสนใจและ 2. การมสี ว่ นรว่ มใน ถือวา่ “ผา่ น”กระตือรอื ร้นในกิจกรรม . ช้ันเรยี น - ถา้ นกั เรยี นมีความสนใจและกระตือรือร้นการเรยี นรู้ . ในการเรยี น ถอื วา่ “ผ่าน”2. มีความรับผิดชอบและมสี ่วนรว่ มในชั้นเรยี น

9. บันทกึ หลงั การสอน 9.1 ดา้ นความร(ู้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ด้านคุณลักษณะอนั พึงประสงค์(A)....................................................................................................................... ................................. 9.4 ด้านสมรรถนะสาคัญผู้เรียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอปุ สรรค/ข้อเสนอแนะอนื่ ๆ................................................................................................................................... ....................................... ลงช่อื ................................................ครผู ูส้ อน (นางสุมาพร จักรอนิ ต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหวั หน้ากลมุ่ สาระการเรยี นรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงช่อื ................................................หวั หนา้ กลุ่มสาระ (นางสุมาพร จักรอนิ ต๊ะ) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นหวั หน้ากลมุ่ งานบรหิ ารวชิ าการ............................................................................................................................................................ .............. ลงชอ่ื ..................................... หัวหนา้ กล่มุ งานบริหารวชิ าการ (นางสาวทศั นีย์ วงทองดี) วนั ท่ี ........................................ความคิดเหน็ ผบู้ ริหารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชอื่ .............................................. (นายวินยั คาวเิ ศษ) วันที่ ........................................ ตาแหน่ง ผ้อู านวยการโรงเรียนหันคาราษฎร์รงั สฤษด์ิ (......../................/............)

รายวชิ า คณติ ศาสตรพ์ ื้นฐาน แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 2 ระดบั ชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ เร่ือง สมบตั ขิ องจานวนจรงิ เวลา 1 ชว่ั โมงครูผสู้ อน นางสุมาพร จักรอินตะ๊ รหสั วชิ า ค31102 โรงเรียนหันคาราษฎร์รงั สฤษด์ิ ภาคเรยี นที่ 21. สาระ/มาตรฐานการเรียนร/ู้ ตัวชี้วัด สาระที่ 1 จานวนและการดาเนนิ การ มาตรฐาน ค 1.4 เขา้ ใจระบบจานวนและนาสมบตั เิ ก่ยี วกบั จานวนไปใช้ ตวั ชีว้ ัด ค 1.4 ม.4-6/1 เข้าใจสมบัติของจานวนจริงเก่ียวกับการบวก การคณู การเท่ากนั การไม่เท่ากัน และนาไปใช้ได้2. สาระสาคญั สมบัตกิ ารเทา่ กนั ของจานวนจริง 1) สมบัติการสะทอ้ น ให้ a เปน็ จานวนจริงใดๆ จะไดว้ า่ a = a 2) สมบัติการสมมาตร ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b แล้ว b = a 3) สมบัตกิ ารถ่ายทอด ให้ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = c 4) สมบัตกิ ารบวกดว้ ยจานวนทเ่ี ทา่ กนั ให้ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c 5) สมบตั กิ ารคูณด้วยจานวนทเี่ ท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b แลว้ a  c = b  c

สมบตั ขิ องจานวนจริงเกย่ี วกับการบวกและการคณูสมบตั ิ การบวก การคูณ1. ปิด ถา้ aR และ bR แลว้ a + bR ถ้า aR และ bR แลว้ a bR2. การสลบั ที่ a+b = b+a ab=ba3. การเปลี่ยนกลุ่ม a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c4. การมีเอกลักษณ์ มจี านวนจริง 0 ซึ่ง 0 + a = a = a + มีจานวนจรงิ 1 และ 1  0 ซง่ึ 0 1a=a=a15. การมีอนิ เวอร์ส สาหรับจานวนจริง a จะมจี านวนจริง – a สาหรบั a ที่ a  0 จะมจี านวนจรงิ a 1 ท่ี (– a) + a = 0 = a + (– a) ที่ a 1 a = 1 = a a 16. การแจกแจง a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca3. จุดประสงค์การเรียนรู้ 3.1 สาระการเรยี นรู้แกนกลาง(K) : เพื่อใหน้ ักเรียน 3.1.1 บอกสมบตั ิการเท่ากันของจานวนจริงได้ 3.1.2 บอกสมบตั ิของจานวนจรงิ เก่ียวกบั การบวกและการคูณ และนาไปใชไ้ ด้ 3.2 ดา้ นทักษะและกระบวนการ (P) : เพอื่ ใหน้ กั เรยี น 3.2.1 ใหเ้ หตผุ ลในการอธิบายการใช้สมบัติของจานวนจรงิ ได้ 3.2.2 ใชภ้ าษาและสญั ลักษณท์ างคณติ ศาสตร์ในการส่ือสาร สอ่ื ความหมาย และนาเสนอ ในเรอ่ื งจานวนจริงไดอ้ ยา่ งถูกต้อง ชดั เจน 3.3 ดา้ นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) : เพ่ือใหน้ ักเรียน 3.3.1 มีความสนใจ และกระตือรือร้นในกจิ กรรมการเรียนรู้ 3.3.2 มคี วามรบั ผดิ ชอบ และมสี ่วนร่วมในช้ันเรียน 3.4 สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน (C) 3.4.1 ความสามารถในการสอ่ื สาร 3.4.2 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน 4.1 แบบฝกึ หดั ท่ี 25. สาระการเรียนรู้ 1. สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริง ใชส้ ัญลกั ษณ์ “ = ” แทนการเท่ากัน สมบัติการเท่ากนั ของจานวนจรงิ มดี งั นี้ 1) สมบตั ิการสะทอ้ น ให้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะได้ว่า a = a เช่น π เป็นจานวนจริง จะได้ว่า π = π 2) สมบัตกิ ารสมมาตร ให้ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ ถา้ a = b แล้ว b = a เช่น ถ้า 3 = 2 + 1 แลว้ 2 + 1 = 3

3) สมบตั กิ ารถา่ ยทอดให้ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b และ b = c แลว้ a = cเชน่ ถ้า 2 2 = 4 และ 4 = 3 + 1 แลว้ 2 2 = 3 + 14) สมบตั ิการบวกด้วยจานวนท่ีเท่ากนั ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c เช่น ถ้า 2 3 = 6 และ c = 2 แลว้ (2 3) + 2 = 6 + 25) สมบตั กิ ารคณู ด้วยจานวนทเี่ ท่ากนัให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b แล้ว a  c = b  cเช่น ถา้ 4 = 2 และ c = 3 แลว้  4  (3) = (2)(3) 2  2 ตัวอยา่ งที่ 1 จงเติมคาตอบลงในช่องวา่ งให้สมบูรณ์ โดยอาศยั สมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริง1) ถ้า 2a = 2b – 1 แล้ว 2b – 1 = 2a ใชส้ มบตั สิ มมาตร2) ถา้ 2(x – y) = a  b แลว้ 4(x – y) = a + b ใช้สมบัตกิ ารคูณดว้ ยจานวนท่ีเทา่ กนั 2 2. สมบัตขิ องจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคณูสมบัติของระบบจานวนจรงิ เก่ยี วกับการบวกเอกลกั ษณก์ ารบวก ในระบบจานวนจริง เรยี กจานวนจริงทบี่ วกกับจานวนจริงใดๆ กต็ าม แลว้ ได้ผลลพั ธเ์ ป็นจานวนจริงนน้ั วา่ เอกลักษณ์การบวก เราจงึ ไดว้ ่า ถ้า z เป็นเอกลักษณ์การบวกแลว้ z + a = a = a + z โดยท่ี a เปน็ จานวนจรงิใดๆ ในระบบจานวนจรงิ มเี อกลกั ษณ์การบวกเพียงจานวนเดยี ว คอื 0 โดยท่ี a + 0 = a = 0 + a อินเวอรส์ การบวก ในระบบจานวนจรงิ อนิ เวอร์สการบวกของจานวนจรงิ a (แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ – a) หมายถงึ จานวนจริงท่ีบวกกับ a แลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ 0 เราจงึ ไดว้ ่า ถา้ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ a + (– a) = 0 = (– a) + a นน่ั คอื ถา้ จานวนสองจานวนบวกกนั ได้ศูนย์ จะเรียกจานวนท้ังสองวา่ เป็นอนิ เวอร์สการบวกซ่ึงกนั และกนั

ตัวอยา่ งที่ 2 ในตารางตอ่ ไปนี้ แสดงอินเวอรส์ การบวกของจานวนจริง a ทก่ี าหนดให้ จานวน (a) อนิ เวอร์สการบวก (– a) 3 –3 1.4 – 1.4 – 15 15 21 – 2  1  59  5 9  2 5 – 2 5  หรือ 2  5 6  6  6 จานวนจรงิ นอกจากจะมเี อกลักษณ์การบวกและอนิ เวอร์สการบวกแล้ว จานวนจรงิ ยงั มี สมบัติปดิสมบตั กิ ารสลับท่ี และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดงั นี้ สมบตั ิ การบวก ตัวอยา่ ง1. ปดิ ถา้ aR และ bR แลว้ a + bR ถ้า 3, 4R แลว้ (3 + 4)R2. การสลับที่ a+b = b+a 3+4 = 4+33. การเปลยี่ นกลมุ่ a + (b + c) = (a + b) + c 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 54. การมีเอกลกั ษณ์ มจี านวนจรงิ 0 ซ่ึง 0 + a = a = a + 0+6 = 6 = 6+0 05. การมีอินเวอร์ส สาหรับจานวนจรงิ a จะมจี านวนจรงิ – a (– 6) + 6 = 0 = 6 + (– 6) ที่ (– a) + a = 0 = a + (– a)สมบตั ิของระบบจานวนจริงเกีย่ วกับการคณูเอกลักษณก์ ารคูณ ในระบบจานวนจรงิ เรียกจานวนจริงทไี่ ม่เป็นศูนย์ซ่ึงคูณกับจานวนจริงจานวนใดก็ตามได้ผลลัพธเ์ ป็นจานวนจรงิ จานวนนัน้ ว่า เอกลกั ษณ์การคูณ กลา่ วคอื ถ้า b เปน็ เอกลักษณ์การคณู b ตอ้ งไมเ่ ป็น 0 และ ba = a = ab โดยท่ี a เป็นจานวนจริงใดๆ ในระบบจานวนจรงิ มเี อกลักษณ์การคูณจานวนเดียว คือ 1 โดยที่ a 1 = a = 1 a อินเวอร์สการคณู ในระบบจานวนจรงิ อินเวอร์สการคณู ของจานวนจรงิ a  0 (แทนดว้ ยสัญลักษณ์ a 1 ) หมายถึง จานวนจริงทคี่ ูณกบั a แลว้ ได้ผลลพั ธ์เป็น 1 กลา่ วคอื ถ้า a เป็นจานวนจริงใดๆ a 1 a = 1 = a a 1

ตัวอย่างท่ี 3 ในตารางตอ่ ไปนี้ แสดงอนิ เวอรส์ การคณู ของจานวนจรงิ a ท่ีกาหนดให้ จานวน (a) อนิ เวอร์สการคณู (a 1 ) a 1 a = 1 = a a 1 9 1 1 9 = 1 = 9 1 –1 9 5 99 6 –5   1  (– 5) = 1 = (– 5)   1 1.9 หรือ 19 1  5   5  10 6  1   6 = 1 =   1  1 หรอื 10     6 6  6 1.9 19 = 1 = 10   19   19   10   10   19   19   10 กล่าวโดยสรุปสมบตั ิของจานวนจรงิ เกีย่ วกับการคูณ มดี ังน้ีสมบัติ การคูณ ตัวอยา่ ง1. ปดิ ถ้า aR และ bR แล้ว a bR ถ้า 3, 4R แล้ว (3 4)R2. การสลับที่ ab=ba 34=433. การเปล่ยี นกลุ่ม a (b c) = (a b) c 3 (4 5) = (3 4) 54. การมเี อกลกั ษณ์ มจี านวนจรงิ 1 และ 1  0 ซง่ึ 16=6=61 1a=a=a15. การมีอนิ เวอรส์ สาหรับ a ที่ a  0 จะมจี านวนจรงิ a 1 1 6 = 1 = 6 1 ที่ a 1 a = 1 = a a 1 6 6ในระบบจานวนจริงยังมีสมบัติทีเ่ กี่ยวข้องท้ังการบวกและการคูณ น่นั คือ สมบตั ิการแจกแจงกลา่ วคือ เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ a (b + c) = ab + ac และ (b + c) a = ba + ca เชน่ 2(58) 2528 หรือ (58)2 52 826. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขน้ั นา 1. ครทู บทวนเรื่องจานวนตา่ ง ๆ ( จำนวนเต็ม จำนวนนับ จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ) 2. ครูใชแ้ ผนผงั แสดงจานวนตา่ ง ๆ ในระบบจานวนจรงิ อธิบายเกยี่ วกบั ระบบจานวนจริง โดยครูใช้คาถามกระตนุ้ นกั เรียนพรอ้ มกบั อธิบายความหมายและสัญลกั ษณแ์ ทนจานวนชนดิ ต่าง ๆ - จานวนเต็มเขยี นแทนสญั ลักษณ์อะไรและประกอบดว้ ยอะไรบ้าง ( เขียนแทนดว้ ย I ประกอบดว้ ย จำนวนเตม็ บวก จำนวนเต็มลบและ ศนู ย์ ) - จานวนเต็มบวกกับจานวนนับเหมือนกนั หรือไมแ่ ละเขยี นแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์อะไร ( เหมือนกัน จำนวนนับเขยี นแทนด้วย N และ จำนวนเตม็ บวก เขยี นแทนด้วย I  ) - จานวนเต็มบวกหรือจานวนนับไดแ้ กจ่ านวนใดบา้ ง ( 1, 2, 3, 4 5,… ) - จานวนเต็มลบเขยี นแทนด้วยสญั ลกั ษณ์อะไรได้แกจ่ านวนใดบ้าง ( เขียนแทนดว้ ย I  ได้แก่ -1, - 2, -3,- 4 , -5,… )

- จานวนตรรกยะหมายถึงอะไร (จำนวนทีส่ ำมำรถเขยี นอย่ใู นรูปเศษส่วนไดโ้ ดยทต่ี ัวส่วนไม่เปน็ ศนู ย์ เขยี นแทนดว้ ย Q ) ขน้ั สอน 1. ครอู ธิบายเก่ียวกบั สมบัตขิ องจานวนจริงโดยเรม่ิ จากการอธิบายถงึ สมบัติการเท่ากนั ของจานวนจรงิ วา่ มสี มบัติใดบา้ ง พร้อมยกตัวอยา่ งที่ 1 ประกอบและใช้คาถามตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน 2. ครอู ธิบายเกี่ยวกบั สมบัติของจานวนจรงิ เกีย่ วกบั การบวก โดยให้นกั เรียนอ่านบทนิยามเรือ่ ง เอกลักษณก์ ารบวก ครใู ชค้ าถามกระตุ้น - จากบทนิยามเอกลักษณ์การบวกในระบบจานวนจริง คืออะไร (นักเรียนควรตอบว่า “0” เป็น เอกลักษณก์ ารบวก) ซ่งึ นักเรียนต้องใหเ้ หตผุ ลได้วา่ เพราะอะไร 3. ครใู หน้ ักเรยี นอา่ นบทนยิ ามเรือ่ ง อนิ เวอร์สการบวก และให้นักเรยี นรว่ มกนั อภิปรายว่า - จากบทนิยามอนิ เวอรส์ การบวกของ a ในระบบจานวนจรงิ คอื อะไร (นกั เรียนควรตอบว่า “ – a ” เปน็ อินเวอรส์ การบวก) ซ่ึงนักเรยี นต้องให้เหตุผลได้วา่ เพราะอะไร 4. ครอู ธบิ ายถึง สมบัติของจานวนจริงเกย่ี วกบั การบวก โดยเรียงลาดบั ดังน้ี 1. สมบตั ิปิดของการบวก 2. สมบัตกิ ารสลบั ท่ขี องการบวก 3. สมบตั กิ ารเปล่ยี นหม่ขู องการบวก 4. สมบตั ิการมีเอกลกั ษณก์ ารบวก 5. สมบตั กิ ารมีอินเวอร์สการบวก พรอ้ มทัง้ ยกตัวอย่างแต่ละสมบัติใหน้ กั เรยี นเข้าใจ 5. ครูอธบิ ายเกย่ี วกับ สมบัติของจานวนจริงเกยี่ วกับการคณู โดยให้นักเรียนอ่านบทนิยามเร่อื งเอกลักษณ์การคูณ และให้นักเรียนรว่ มกนั อภปิ รายวา่ จากบทนยิ ามเอกลักษณ์การคณู ในระบบจานวนจรงิ คืออะไร (นักเรียนควรตอบวา่ “ 1 ” เป็นเอกลักษณก์ ารคูณ) 6. ครใู ห้นกั เรยี นร่วมกันอภิปรายว่าจากบทนยิ ามอินเวอร์สการคณู ของ a ในระบบจานวนจรงิ คอือะไร (นักเรยี นควรตอบว่า “ a 1 ” เปน็ อินเวอร์สการคูณ) ซง่ึ นกั เรียนต้องให้เหตุผลได้วา่ เพราะอะไร 7. ครอู ธิบายถงึ สมบัติของจานวนจรงิ เกี่ยวกบั การคณู โดยเรยี งลาดบั ดงั น้ี 1. สมบตั ปิ ิดของการคูณ 2. สมบัติการสลบั ทข่ี องการคูณ 3. สมบัตกิ ารเปลย่ี นหมู่ของการคูณ 4. สมบัตกิ ารมีเอกลักษณ์การคูณ 5. สมบตั ิการมีอินเวอร์สการคูณ พรอ้ มทง้ั ยกตัวอยา่ งแตล่ ะสมบัติให้นกั เรยี นเขา้ ใจ 8. ครอู ธิบายต่อวา่ นอกจากน้ยี งั มสี มบัติท่เี กี่ยวข้องกบั การบวกและการคูณ คือ สมบตั ิการแจกแจงพร้อมทั้งยกตวั อยา่ งใหน้ ักเรยี นเข้าใจ ขน้ั สรปุ 1. ครใู หน้ กั เรียนชว่ ยกันสรุปความคิดรวบยอดเกยี่ วกับเรื่องท่เี รียนมาในคาบน้ี สรปุ ได้ว่า - สมบัตกิ ารเทา่ กันของจานวนจริง ไดแ้ ก่ สมบัติการสะท้อน สมบตั กิ ารสมมาตร สมบัติ การถ่ายทอด สมบัตกิ ารบวกดว้ ยจานวนทเ่ี ท่ากนั สมบัติการคูณด้วยจานวนทเ่ี ท่ากนั

- สมบตั ขิ องระบบจานวนจริงเกีย่ วกบั การบวกและการคณู ไดแ้ ก่ สมบัตปิ ิด สมบตั ิการ สลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุม่ สมบตั ิการมเี อกลักษณ์ สมบัตกิ ารมีอินเวอรส์ และสมบัตกิ าร แจกแจง 2. ครแู จกแบบฝึกหัดท่ี 2 เรอื่ งสมบัติของจานวนจริงเก่ยี วกบั การบวกและการคณู7. สอ่ื /แหลง่ การเรยี นรู้ 7.1 ส่อื การเรียนรู้ 7.1.1 หนงั สือเรยี นสาระการเรยี นรพู้ นื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ม.4 ของสานักพิมพ์แม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝึกหัดที่ 2 เรื่องสมบตั ิของจานวนจรงิ เก่ยี วกบั การบวกและการคูณ 7.2 แหล่งการเรียนรู้ 7.2.1 ห้องศูนย์การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ 7.2.2 หอ้ งสมดุ โรงเรียน

8. การวัดผลและประเมินผลการเรยี นรู้จุดประสงค์การเรียนรู้ การวดั ผล การประเมนิ ผล พจิ ารณาจาก :เพอื่ ใหน้ ักเรียน : พจิ ารณาจาก :ดา้ นความรู้ 1. การทาแบบฝกึ หดั ที่ 2 - ถา้ นักเรียนทาแบบฝึกหดั ที่ 2 ไดถ้ ูกต้อง . มากกวา่ รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อท้ังหมด1. บอกสมบัติการเท่ากนั ของ . ถือว่า “ผ่าน”จานวนจรงิ ได้2 บอกสมบตั ิของจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณและนาไปใชไ้ ด้ด้านทักษะและกระบวนการ1. ใหเ้ หตผุ ลในการอธิบายการใช้ 1. การทาแบบฝกึ หดั ที่ 2 - ถา้ นกั เรยี นทาแบบฝึกหดั ที่ 2 ได้ถกู ต้อง 2. การถาม-ตอบ เพอ่ื . มากกวา่ ร้อยละ80 ของจานวนขอ้ ทัง้ หมดสมบตั ขิ องจานวนจริงได้ . ถอื ว่า “ผา่ น”2. ใช้ภาษาและสญั ลักษณท์ าง . ตรวจสอบความเขา้ ใจ - ถ้านกั เรียนร่วมกันตอบคาถามภายในช้ันเรียน ถอื วา่ “ผ่าน”คณิตศาสตร์ในการส่ือสาร สอ่ืความหมาย และนาเสนอในเร่ืองจานวนจรงิ ได้อย่างถูกต้องชดั เจนด้านคุณลักษณะอนั พงึ ประสงค์ 1. การตอบคาถาม - ถา้ นกั เรียนร่วมกนั ตอบคาถามภายในช้ันเรยี น1. มีความสนใจและ 2. การมสี ว่ นรว่ มใน ถอื วา่ “ผา่ น”กระตือรอื รน้ ในกจิ กรรม . ชน้ั เรียน - ถา้ นกั เรยี นมีความสนใจและกระตือรือรน้การเรยี นรู้ . ในการเรียน ถอื ว่า “ผ่าน”2. มีความรบั ผิดชอบและมีสว่ นร่วมในชนั้ เรยี น

9. บนั ทกึ หลงั การสอน 9.1 ดา้ นความรู้(K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ดา้ นคณุ ลักษณะอนั พงึ ประสงค(์ A)..................................................................................................... ................................................... 9.4 ด้านสมรรถนะสาคัญผูเ้ รียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอื่น ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงช่อื ................................................ครผู ู้สอน (นางสมุ าพร จักรอนิ ต๊ะ) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นหัวหนา้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ................................................หวั หน้ากลมุ่ สาระ (นางสุมาพร จักรอินต๊ะ) วันที่ ........................................ความคิดเห็นหัวหนา้ กลุม่ งานบริหารวชิ าการ.......................................................................................................................................... ................................ ลงชื่อ ..................................... หัวหนา้ กล่มุ งานบรหิ ารวิชาการ (นางสาวทศั นีย์ วงทองดี) วันท่ี ........................................ความคดิ เหน็ ผู้บรหิ ารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงช่อื .............................................. (นายวนิ ัย คาวิเศษ) วนั ท่ี ........................................ ตาแหน่ง ผอู้ านวยการโรงเรียนหนั คาราษฎร์รังสฤษด์ิ (......../................/............)

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 3 เรอ่ื ง การแยกตัวประกอบของพหุนามรายวชิ า คณิตศาสตรพ์ น้ื ฐาน รหัสวิชา ค31102 ระดับช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4 เวลา 1 ช่ัวโมงกลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ ภาคเรยี นท่ี 2 โรงเรียนหนั คาราษฎร์รงั สฤษด์ิครผู สู้ อน นางสุมาพร จกั รอินตะ๊1. สาระ/มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ชี้วดั สาระท่ี 1 จานวนและการดาเนนิ การ มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจถึงผลที่เกดิ ขึน้ จากการดาเนนิ การของจานวนและความสมั พนั ธ์ระหวา่ งการดาเนนิ การตา่ ง ๆ และสามารถใชก้ ารดาเนนิ การในการแกป้ ญั หาได้ ตัวชว้ี ัด ค 1.2 ม.4-6/1 เข้าใจความหมายและหาผลลพั ธท์ ่ีเกิดจากการบวก การลบ การคูณการหารจานวนจริง จานวนจริงท่อี ยใู่ นรปู เลขยกกาลังท่ีมีเลขชี้กาลงั เป็นจานวนตรรกยะ และจานวนจรงิ ในรปูกรณฑ์2. สาระสาคัญพหุนามดีกรสี องตัวแปรเดียว คือ พหนุ ามใดๆ ท่ีมดี ีกรสี ูงสดุ ของเอกนามในพหนุ ามนั้นไม่เกนิสอง เช่น 5x2 + 5x , 8x – 4y เป็นต้นการแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามท่กี าหนดให้อยู่ในรูปของการคณู กันของพหนุ ามที่มดี กี รีต่ากวา่ ต้งั แตส่ องพหนุ ามขึน้ ไป หรอื เขียนพหนุ ามที่กาหนดให้อยใู่ นรปู ที่งา่ ยกว่า เชน่ 5x2 + 5x = 5x (x+1) 9x2 + 6x + 3 = 3 (3x2 + 2x + 1)3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง(K) : เพ่ือให้นกั เรียน 3.1.1 บอกความหมายของเอกนามและพหนุ ามได้ 3.1.2 แยกตัวประกอบของพหุนามดกี รีสองได้ 3.2 ด้านทกั ษะและกระบวนการ (P) : เพ่ือใหน้ ักเรยี น 3.2.1 ใหเ้ หตผุ ลในการอธบิ ายถงึ สมบัติของจานวนจริงทีเ่ กี่ยวกับการแยกตัวประกอบของ พหนุ ามดีกรีไม่เกินสองและนาไปใช้ได้ 3.2.2 ใชภ้ าษาและสัญลักษณท์ างคณติ ศาสตรใ์ นการส่ือสาร สอ่ื ความหมาย และนาเสนอ ในเรอ่ื งการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีไมเ่ กินสองได้อย่างถูกต้อง ชัดเจน 3.2.3 เชื่อมโยงความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั สมบัติของจานวนจรงิ ทเี่ กย่ี วกบั การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรไี ม่เกินสอง และนาไปใช้ได้

3.3 ด้านคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : เพื่อใหน้ ักเรียน 3.3.1 มคี วามสนใจ และกระตือรอื รน้ ในกจิ กรรมการเรียนรู้ 3.3.2 มคี วามรบั ผดิ ชอบ และมีสว่ นร่วมในชั้นเรยี น 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการส่ือสาร 3.4.2 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน 4.1 แบบฝกึ หัดที่ 35. สาระการเรียนรู้ ในการเขยี นสัญลักษณ์แทนจานวน นิยมใชต้ วั อักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ์เล็ก เชน่ x, y หรอื zแทนจานวน และเรยี กอักษรเหล่านว้ี ่า ตัวแปร สาหรบั ตัวเลขท่ีแทนจานวน เช่น 1, 2, 3 หรอื 0.3 เรียกว่าค่าคงตวั ข้อควรทราบ... 1. เรยี กข้อความในรปู สัญลกั ษณว์ ่า นพิ จน์ เชน่ 2, 3x, 4+5x 2. นพิ จน์ทเ่ี ขยี นให้อยู่ในรปู การคูณของค่าคงตวั กับตวั แปรตงั้ แตห่ นง่ึ ตวั ขน้ึ ไปโดยท่ีเลขช้ีกาลงั ของ ตวั แปรเป็นศูนย์หรอื จานวนเตม็ บวก เรยี กวา่ เอกนาม เชน่ 3, 2xy 3. นิพจนท์ สี่ ามารถเขียนให้อยใู่ นรูปของเอกนามหรือการบวกเอกนามตัง้ แตส่ องเอกนามขน้ึ ไป เรียกกวา่ พหนุ าม 4. ผลบวกของเลขชกี้ าลังของตวั แปรในเอกนาม เรียกวา่ ดกี รี เชน่ 3x มดี กี รี เท่ากับ 1 5xy มดี กี รี เท่ากบั 2 2mn2 มดี ีกรี เทา่ กับ 3 5. พหนุ ามทีเ่ ขยี นไดใ้ นรปู ax2  bx  c เมือ่ a, b, c เปน็ ค่าคงตัว โดยท่ี a  0 และ x เปน็ ตัวแปร เรียกว่า พหนุ ามดกี รีสองตัวแปรเดียว 6. ในการเขยี นพหุนามใหอ้ ยู่ในรูปผลคูณของพหนุ ามที่มดี ีกรีต่ากวา่ เรยี กว่า การแยกตปั ระกอบ ของพหนุ าม เชน่ x2-2x = x (x-2) x2-2x-3 = (x+1) (x-3) x2-2x+1 = (x-1) (x-1)

การแยกตวั ประกอบของพหุนามดกี รีสอง ตัวแปรเดียว การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามทเี่ ขยี นได้ในรูป ax2  bx  c เมือ่ a, b, c เป็นคา่ คงตวัโดยท่ี a  0 และ x เปน็ ตัวแปร แบ่งเปน็ 3 กรณี กรณที 1ี่ a  0 และ c = 0 จะเขยี นได้ในรปู ax2  bx เช่น 15x2 15x  5x(3x 1) x2  3x  x(x  3) กรณที ่ี 2 a 1 เม่ือ a, b, c เป็นค่าคงตวั โดยท่ี c  0 จะเขยี นไดอ้ ยู่ในรูป x2  bx  cทาได้โดยการหาจานวน d และ e ท่คี ูณกันเทา่ กบั c และบวกกันเท่ากบั b ทาให้x2  bx  c   x  d  x  eตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน้ี1. x2  4x  4 = (x  2)(x  2)2. x2  3x  2 = (x  2)(x 1)3. x2  3x  4 = (x  4)(x 1)4. x2  x  2 = (x  2)(x 1)5. x2  5x  6 = (x  2)(x  3) กรณีท่ี 3 เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตวั โดยท่ี a  0 , a 1 และ c  0เช่น 4x2  4x 1 ทาได้โดย1) หาพหุนามดีกรหี นงึ่ สองพหุนามท่คี ูณกนั ได้ 4x2 เช่น (2x)(2x) หรอื (4x)(x)เขยี นสองพหนุ ามที่ไดใ้ หเ้ ปน็ พจนห์ นา้ ของผลคณู ของพหุนาใหม่ ดังน้ี (2x )(2x ) หรือ (4x )(x )2) หาจานวนสองจานวนทคี่ ูณกันได้ 1 ซงึ่ ได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1)เขียนจานวนทัง้ สองเป็นพจน์หลังของพหนุ ามในข้อ 1) ดงั นี้(2x + 1)(2x + 1) หรือ (4x + 1)(x + 1)(2x - 1)(2x - 1) (4x - 1)(x - 1)3) หาพจนก์ ลางของพหุนามจากผลคณู ของพหนุ ามแต่ละคู่ในข้อ 2) ท่ีมผี ลบวกเท่ากับ -4x จะได้ -2xจากผลคูณ (2x - 1)(2x - 1) ไดพ้ จน์กลางเทา่ กับ -4x -2xดังนัน้ พหุนาม 4x2  4x 1 = (2x - 1)(2x - 1)

การแยกตัวประกอบของพหุนามในรปู ผลต่างของกาลงั สอง x2  m2  x  mx  m เมอ่ื m เป็นคา่ คงตัวที่ไม่เท่ากับศูนย์ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแยกตวั ประกอบของพหุนามในรปู ผลต่างของกาลงั สองตอ่ ไปน้ี (ลองทาเอง) 1. x2  4 =  x2  22 = x  2x  22. x 2 – 16 =  x2  42 = x  4x 43. x 2 – 49 =  x2  72 = x7x7 4. x 2 – 3 2= x2  3= x 3x 3 5. x 2 – 169 =  x2  132 =  x 13 x 13การแยกตัวประกอบของพหุนามในรูปกาลังสองสมบูรณ์1. x2  2ax  a2   x  a x  a2. x2  2ax  a2   x  a x  aตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของพหนุ ามตอ่ ไปน(ี้ กาลงั สองสมบูรณ์) (ลองทาเอง) 1. x2  6x  9 = x2  2 x3  32 =  x  3 x  3 2. x 2 + 12x + 36 = x2  2 x6  62 =  x  3 x  3 3. x 2 – 8x + 16 = x2  2 x4  42 = x 4x 4

การแยกตวั ประกอบโดยการทาให้เปน็ กาลังสองสมบูรณ์เชน่ x2  4x  2 = x2  4x  2=  x2  2  x   2   22    22  2  =  x  22  4  2=  x  22  2 = 2  x  22  2= x  2 2x  2 26. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ขนั้ นา 1. ครทู บทวนเก่ยี วกับนิพจน์ เอกนาม ดีกรีของเอกนาม โดยยกตัวอย่างจากเอกนามขึ้นมา เช่น 2xy2 แล้วถามนกั เรยี นเพอื่ ทบทวนความร้เู ดิมและตรวจสอบความเขา้ ใจท่ีเคยเรยี น มาแล้ว พร้อมท้ังอธบิ ายให้นักเรียนฟัง เและเปิดโอกาสให้นกั เรียนได้สอบถามข้อสงสัย ขั้นสอน 2. ครูอธิบายเกยี่ วกับการแยกตัวประกอบของพหนุ าม วา่ เราอาจเขียนพหนุ ามใหอ้ ยใู่ นรปู การ คูณของพหนุ ามท่ีมีดีกรตี ่ากว่า เรยี กว่า การแยกตัวประกอบของพหุนาม พร้อมทั้ง ยกตัวอยา่ งประกอบ เช่น x2  2x = x(x  2) x2-2x-3 = (x+1)(x-3) x2-2x+1 = (x-1)(x-1) 3. ครอู ธบิ ายเกีย่ วกับการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องตวั แปรเดียว ในรปู ax 2 + bx + c เม่ือ a, b เปน็ จานวนเตม็ โดยที่ a  0 และ x เปน็ ตัวแปร ซง่ึ มี 3 กรณี 4. ครตู กลงกบั นักเรยี นวา่ เพ่ือความสะดวกในการอธบิ ายถงึ การแยกตัวประกอบของ ax 2 + bx + c เราจะเรียก ax 2 วา่ พจน์หนา้ เรยี ก bx วา่ พจน์กลาง และเรียก c วา่ พจน์ หลงั 5. ครูอธบิ ายกรณที ่ี 1 พร้อมทั้งยกตัวอย่างประกอบ เกีย่ วกับการแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรี สองตวั แปรเดียวในรปู ax 2 + bx + c เมอ่ื a, b เปน็ จานวนเต็ม โดยท่ี a  0 และ c = 0 โดยมหี ลักการดังน้ี - ในกรณีท่ี c = 0 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียวจะอยใู่ นรูป ax 2 + bx - ใช้สมบตั ิการแจกแจง โดยใหน้ าตวั ประกอบร่วมของแตล่ ะพจน์ในพหนุ ามออกมาเป็นตัว ประกอบของพหนุ ามทก่ี าหนดให้ เชน่ x2  2x  xx  2 ,15x2  5x  5x3x 1 6. ครอู ธบิ ายกรณที ่ี 2 เกย่ี วกบั การแยกตวั ประกอบพหนุ ามดีกรสี องตวั แปรเดยี วทเี่ ขยี นได้ในรูป ax2  bx  c เมื่อ a, b, c เปน็ ค่าคงตวั โดยที่ a 1 และ c  0 โดยมหี ลกั การดงั น้ี - ใหห้ าจานวน d และ e ท่ีคูณกันเท่ากบั c และบวกกนั เทา่ กับ b ทาให้

x2  bx  c   x  d  x  e เช่น x2  7x 10   x  2 x  57. ครูยกตวั อยา่ งที่ 1 บนกระดานดา แล้วให้นกั เรียนพิจารณาพรอ้ มกบั ครู พร้อมแสดงเหตุผล8. ครูอธบิ ายกรณที ่ี 3 เกี่ยวกับการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รีสองตวั แปรเดยี วในรปู ax 2 +bx+ c เมื่อ a ,b, c เป็นจานวนเต็ม โดยท่ี a  0 ,a  1 และ c  0 เชน่ 4x2  4x 1 โดยมหี ลักการดงั น้ี - หาพหนุ ามดีกรหี นึ่งสองพหุนามทีค่ ูณกันแลว้ ไดพ้ จน์หน้า (ในขอ้ น้ี พจนห์ น้าคือ 4x2 ) เชน่ (2x)(2x) หรอื (4x)(x) หลงั จากน้ันเขียนสองพหุนามนน้ั เป็นพจนห์ น้าของผลคณู ของพหนุ ามใหม่ เช่น (2x )(2x ) หรือ (4x )(x ) - หาจานวนสองจานวนทีค่ ณู กนั แล้วไดพ้ จนห์ ลงั (ในข้อนี้ พจนห์ ลังคือ 1) ไดแ้ ก่ (1)(1) หรอื (-1)(-1)จากน้นั เขยี นสองพหุนามนน้ั เป็นพจน์หลงั ของผลคูณของพหุนามใหม่แต่ ละวงเลบ็ (2x + 1 )( 2x + 1) หรือ (4x+ 1)(x+ 1) หรอื (2x - 1 )( 2x - 1) หรอื (4x- 1)(x- 1) - นาแตล่ ะกรณีมาตรวจสอบหาพจน์กลาง เปน็ 4x (-1)(2x) = - 2x พบว่า (2x - 1 )( 2x - 1) ไดพ้ จน์กลางเปน็ (2x)  (2x)  4x (2x) (-1) = - 2x ดังนน้ั การแยกตวั ประกอบของ 4x2  4x 1 ไดด้ งั นี้ 4x2  4x 1 = (2x - 1 )( 2x - 1)9. ครอู ธิบายเกี่ยวกับการแยกตวั ประกอบของพหนุ ามในรปู ผลตา่ งของกาลงั สอง วา่ เป็นการ แยกตวั ประกอบดีกรีสองแล้วได้พหุนามดีกรหี นง่ึ สองพหนุ ามคูณกัน โดยทเ่ี ป็นพจน์ที่ เหมือนกันแต่มเี คร่อื งหมายระหวา่ งพจนต์ า่ งกนั รูปทวั่ ไปคือ x 2 – m 2 = (x + m)(x – m) เม่อื m เปน็ ค่าคงตัวที่ไมเ่ ท่ากับศูนย์10. ครยู กตัวอย่างที่ 2 และใหน้ กั เรียนพจิ ารณาพร้อมกบั ครู11. ครอู ธบิ ายเกยี่ วกับการแยกตวั ประกอบของพหุนามที่เป็นกาลังสองสมบูรณ์ ว่าเป็นการแยกตัว ประกอบของพหุนามแลว้ ได้เปน็ กาลังสองของพหนุ ามดีกรีหนึ่ง (กล่าวคือ สองวงเล็บจะ เหมอื นกนั )12. ครกู ลา่ วว่ารูปทั่วไปของการแยกพหนุ ามท่ีเป็นกาลังสอง มีดงั น้ี 1) x2  2ax  a2   x  a x  a 2) x2  2ax  a2   x  a x  a

13. ครยู กตัวอยา่ งท่ี 3 และใหน้ ักเรยี นพจิ ารณาพร้อมกบั ครู14. ครอู ธิบายเกีย่ วกับการแยกตัวประกอบโดยการทาใหเ้ ป็นกาลงั สองสมบูรณ์ พร้อมทัง้ ยกตวั อยา่ งประกอบ15. ครใู หน้ ักเรียนทาแบบฝกึ หัดที่ 3 เรอื่ งการแยกตวั ประกอบของพหุนาม ขณะนักเรยี นทา แบบฝกึ หัดครูเดนิ ดูนักเรียนท่ัว ๆห้อง คอยให้คาปรกึ ษาและดูแลนกั เรียนในช้ัน ( หาก พบวา่ นักเรยี นมปี ัญหาสงสัยข้องใจในลักษณะเดยี วกันหลายคน ครูจะเอาโจทยข์ ้อนัน้ ขั้น กระดานแล้วอธบิ ายใหน้ กั เรยี นเขา้ ใจพร้อมๆกนั ) แล้วครูสมุ่ ตวั แทนนกั เรยี นออกมาเฉลยบน กระดานดา เพื่อนๆนักเรยี นชว่ ยกันตรวจสอบความถูกต้อง และครูตรวจสอบความถูกต้อง อีกคร้ังหน่ึงขั้นสรุป1. ครใู ห้นักเรียนชว่ ยกนั สรุปความคิดรวบยอดเก่ียวกับเรื่องทเ่ี รียนมาในคาบนี้ สรุปได้วา่ - พหนุ ามดีกรีสองตัวแปรเดียว คอื พหนุ ามใดๆ ที่มีดกี รีสงู สดุ ของเอกนามในพหนุ ามน้นั ไม่เกนิ สอง เชน่ 5x2 + 5x , 8x – 4y เป็นตน้ - การแยกตัวประกอบของพหนุ าม คอื การเขียนพหุนามทกี่ าหนดใหอ้ ยู่ในรูปของการคูณ กันของพหนุ ามท่ีมีดีกรตี า่ กวา่ ตง้ั แตส่ องพหนุ ามขน้ึ ไป หรือ เขียนพหนุ ามท่กี าหนดให้อยู่ใน รูปท่งี ่ายกวา่ เช่น 5x2 + 5x = 5x (x+1) 9x2 + 6x + 3 = 3 (3x2 + 2x + 1)7. สื่อ/แหลง่ การเรยี นรู้ 7.1 สือ่ การเรียนรู้ 7.1.1 หนงั สอื เรียนสาระการเรียนรูพ้ ื้นฐานคณติ ศาสตร์ ม.4 ของสานักพิมพ์แม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝกึ หัดท่ี 3 เรอื่ งการแยกตวั ประกอบของพหุนาม 7.2 แหล่งการเรยี นรู้ 7.2.1 หอ้ งศูนยก์ ารเรยี นรู้คณิตศาสตร์ 7.2.2 ห้องสมุดโรงเรยี น

8. การวัดผลและประเมินผลการเรยี นรู้จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้ การวดั ผล การประเมินผล พิจารณาจาก :เพ่ือใหน้ กั เรยี น : พิจารณาจาก :ดา้ นความรู้ 1. การทาแบบฝกึ หดั ท่ี 3 - ถา้ นักเรยี นทาแบบฝึกหัดที่ 3 ไดถ้ กู ต้อง1. บอกความหมายของเอกนาม . มากกว่า รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อท้งั หมดและพหุนามได้ . ถอื วา่ “ผา่ น”2. แยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องได้ด้านทักษะและกระบวนการ - ถ้านกั เรียนทาแบบฝึกหดั ที่ 3 ได้ถูกต้อง1. ใหเ้ หตุผลในการอธบิ ายถึง 1. การทาแบบฝกึ หดั ที่ 3 . มากกวา่ ร้อยละ80 ของจานวนข้อทง้ั หมดสมบัตขิ องจานวนจรงิ ที่เกี่ยวกับ 2. การถาม-ตอบ เพือ่ . ถอื ว่า “ผา่ น”การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม . ตรวจสอบความเข้าใจ - ถ้านกั เรียนร่วมกันตอบคาถามภายในชั้นเรียนดกี รไี ม่เกนิ สองและนาไปใช้ได้ ถือวา่ “ผา่ น”2. ใชภ้ าษาและสัญลักษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการสื่อสาร สือ่ความหมาย และนาเสนอในเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีไม่เกนิ สองได้อย่างถูกต้องชัดเจน3. เช่ือมโยงความคิดรวบยอดเก่ียวกบั สมบตั ขิ องจานวนจริงที่เก่ียวกบั การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีไมเ่ กนิ สอง และนาไปใช้ได้ด้านคณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์ 1. การตอบคาถาม - ถ้านักเรยี นรว่ มกันตอบคาถามภายในชัน้ เรยี น1. มีความสนใจและกระตือ- 2. การมีสว่ นรว่ มใน ถอื ว่า “ผ่าน”รอื รน้ ในกิจกรรมการเรยี นรู้ . ชนั้ เรียน - ถ้านกั เรยี นมคี วามสนใจและกระตือรือรน้2. มคี วามรบั ผดิ ชอบและมสี ่วน . ในการเรียน ถอื วา่ “ผา่ น”รว่ มในชนั้ เรยี น

9. บนั ทกึ หลงั การสอน 9.1 ด้านความร(ู้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................. .................................. 9.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค(์ A)............................................................................................................................................... ......... 9.4 ดา้ นสมรรถนะสาคัญผู้เรียน(C)......................................................................................... ...............................................................ปญั หาอปุ สรรค/ข้อเสนอแนะอ่ืน ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงช่ือ ................................................ครูผู้สอน (นางสมุ าพร จักรอินต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้.......................................................................................................................................................................... ลงช่ือ ................................................หวั หนา้ กลมุ่ สาระ (นางสุมาพร จักรอินต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคิดเห็นหวั หน้ากล่มุ งานบริหารวชิ าการ............................................................................................................................. ............................................. ลงชอื่ ..................................... หัวหนา้ กลุ่มงานบริหารวิชาการ (นางสาวทัศนยี ์ วงทองดี) วนั ที่ ........................................ความคดิ เหน็ ผ้บู รหิ ารสถานศึกษา.......................................................................................................................................................................... ลงชอื่ .............................................. (นายวินัย คาวเิ ศษ) วันท่ี ........................................ ตาแหนง่ ผูอ้ านวยการโรงเรยี นหนั คาราษฎรร์ งั สฤษดิ์ (......../................/............)

แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 4 เรือ่ ง การแก้สมการกาลงั สองตัวแปรเดยี วรายวิชา คณติ ศาสตร์พ้นื ฐาน รหัสวชิ า ค31102 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 4กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ภาคเรียนท่ี 2 เวลา 1 ชั่วโมงครูผ้สู อน นางสุมาพร จกั รอินตะ๊ โรงเรียนหนั คาราษฎรร์ ังสฤษด์ิ1. สาระ/มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชีว้ ดั สาระที่ 1 จานวนและการดาเนนิ การ มาตรฐาน ค 1.2 เข้าใจถึงผลทีเ่ กดิ ขนึ้ จากการดาเนนิ การของจานวนและความสัมพันธ์ระหว่างการดาเนนิ การตา่ ง ๆ และสามารถใชก้ ารดาเนินการในการแก้ปญั หาได้ ตวั ช้ีวดั ค 1.2 ม.4-6/1 เข้าใจความหมายและหาผลลพั ธท์ ีเ่ กิดจากการบวก การลบ การคณูการหารจานวนจริง จานวนจรงิ ทีอ่ ยูใ่ นรปู เลขยกกาลงั ที่มีเลขชกี้ าลังเป็นจานวนตรรกยะ และจานวนจรงิ ในรูปกรณฑ์2. สาระสาคญั สมการกาลังสองตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเดียวและมีดีกรีสูงสุดเท่ากับสอง มีสมการรูปท่ัวไป คอื ax2 + bx + c เม่อื a, b, c เป็นคา่ คงตวั และ a  0 การหาคาตอบของสมการกาลงั สองตวั แปรเดยี วทาได้ 4 วิธี คอื 1. โดยการแยกตวั ประกอบของ ax2 + bx + c = 0 2. โดยการใชผ้ ลตา่ งกาลังสอง 3. โดยการทาเปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ 4. โดยการใช้สตู ร x = b  b2  4ac 2a3. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรียนรูแ้ กนกลาง(K) : เพื่อให้นกั เรยี น 3.1.1 แยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรสี องได้ 3.1.2 แกส้ มการตัวแปรเดยี วดกี รไี มเ่ กินสองได้ 3.2 ดา้ นทกั ษะและกระบวนการ (P) : เพอ่ื ให้นกั เรียน 3.2.1 ให้เหตผุ ลในการอธิบายถึงสมบัติของจานวนจรงิ ทเ่ี กี่ยวกับแกส้ มการตัวแปรเดยี ว ดกี รีไมเ่ กินสองได้

3.2.2 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณติ ศาสตร์ในการสื่อสาร ส่ือความหมาย และนาเสนอ ในเรอื่ งแก้สมการตวั แปรเดยี วดีกรไี ม่เกินสองได้อยา่ งถูกต้อง ชัดเจน 3.2.3 เชื่อมโยงความคดิ รวบยอดเกีย่ วกับสมบตั ขิ องจานวนจริงที่เกีย่ วกบั แกส้ มการตวั แปร เดียวดกี รไี ม่เกินสองได้ 3.3 ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : เพอื่ ให้นักเรียน 3.3.1 มีความสนใจ และกระตือรือร้นในกจิ กรรมการเรยี นรู้ 3.3.2 มีความรับผิดชอบ และมสี ว่ นร่วมในช้ันเรียน 3.4 สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน (C) 3.4.1 ความสามารถในการสอื่ สาร 3.4.2 ความสามารถในการคิด4. ภาระงาน 4.1 แบบฝึกหดั ที่ 45. สาระการเรยี นรู้ การแกส้ มการตวั แปรเดียวดีกรีไม่เกนิ สองเพอ่ื หาคาตอบของสมการนัน้ มวี ธิ แี กส้ มการหลายวิธีได้แก่ การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามโดยการเขยี นพหุนามให้อยู่ในรูปผลคณู ของพหุนามทีม่ ดี ีกรีต่ากวา่การแยกตวั ประกอบพหนุ ามท่ีเปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบพหนุ ามที่เปน็ ผลต่างกาลังสองการแยกตวั ประกอบโดยการทาให้เปน็ กาลงั สองสมบูรณ์ และการใชส้ ตู ร x  b b2  4ac 2aเป็นต้นการแก้สมการตวั แปรเดียวดีกรไี ม่เกนิ สองโดยการแยกตัวประกอบ อยา่ ลืมตรวจสอบ จาก x2  bx  c   x  d  x  e คาตอบของสมการ เนื่องจาก x2  bx  c  0 ดว้ ยนะคะ ดังนน้ั  x  d  x  e  0 จะได้ x  d  0 หรอื x  e  0 ดงั น้นั x  d หรือ x  e จะได้ d และ e เป็นคาตอบของสมการ x2  bx  c  0 ตวั อยา่ งท่ี 1 จงแก้สมการ x2  7x 10  0 วธิ ที า ใชว้ ธิ ีแยกตัวประกอบของพหุนาม หาจานวนสองจานวนทคี่ ณู กันได้ 10 และบวกกนั ได้ 7 จะได้ x2  7x 10  (x  5)(x  2) = 0 จะได้ (x+5) = 0 หรือ (x+2) = 0 x = - 5 หรือ x = -2 ดงั น้ัน - 5 และ – 2 เป็นคาตอบของสมการ x2  7x 10  0

ตวั อย่างท่ี 2 จงแกส้ มการ x2  x  6  0วธิ ที า ใชว้ ธิ แี ยกตัวประกอบของพหุนาม หาจานวนสองจานวนทค่ี ูณกันได้ - 6 และบวกกันได้ 1 จะได้ x2  x  6  (x  3)(x  2) = 0 จะได้ (x+3) = 0 หรือ (x-2) = 0 x = - 3 หรอื x = 2 ดังนน้ั - 3 และ 2 เป็นคาตอบของสมการ x2  x  6  0การแก้สมการตัวแปรเดียวดีกรสี องโดยการใช้ผลต่างกาลังสองจาก x2  m2  (x  m)(x  m) เมอื่ m เป็นคา่ คงตวั ที่ไมเ่ ท่ากับศนู ย์ อยา่ ลืมตรวจสอบ คาตอบของสมการเนื่องจาก x2  m2  0 ดว้ ยนะคะดังนน้ั (x  m)(x  m)  0จะได้ (x  m)  0 หรอื (x  m)  0ดงั นนั้ x  m หรอื x  mจะได้ m และ m เป็นคาตอบของสมการ x2  m2  0การแกส้ มการตัวแปรเดียวดีกรีสองโดยการใชผ้ ลต่างกาลังสอง ตัวอยา่ งที่ 3 จงแก้สมการ x2 9  0 วธิ ีทา ใช้วิธผี ลต่างกาลังสอง หาจานวนสองจานวนที่คณู กันได้ - 9 และบวกกนั ได้ 0 จะได้ x2  9  (x  3)(x  3) = 0 จะได้ (x+3) = 0 หรอื (x-3) = 0 x = - 3 หรือ x = 3 ดังน้ัน - 3 และ 3 เป็นคาตอบของสมการ x2 9  0การแก้สมการตวั แปรเดยี วดีกรสี องโดยการใช้กาลังสองสมบรู ณ์ ตวั อยา่ งที่ 4 จงแกส้ มการในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยการแยกตวั ประกอบพหนุ ามทเ่ี ป็นกาลังสอง สมบูรณ์ 1) x2 10x  25  0 วธิ ีทา x2 10x  25 = x2  2(x)(5)  (5)2 = (x  5)2 จะได้ x  5 = 0 x = -5 ดังนั้น -5 เป็นคาตอบของสมการ x2 10x  25  0

2) 36 12x  x2  0 วธิ ีทา 36 12x  x2 = x2 12x  36 = x2  2(x)(6)  (6)2 = (x  6)2 จะได้ x  6 = 0 x =6 ดงั นั้น 6 เป็นคาตอบของสมการ 36 12x  x2  0 จากตวั อยา่ ง เป็นการแยกตัวประกอบพหุนามดีกรีสอง แล้วได้ตัวประกอบเปน็ พหนุ ามดีกรีหนึง่ ซา้ กนัเราจะเรยี กสมการพหุนามดกี รสี องท่มี ีลักษณะเชน่ นว้ี า่ สมการกาลงั สองสมบรู ณ์แนวคดิ (หนา้ + หลงั ) 2 = (หน้า) 2 + 2(หนา้ ) (หลัง) + (หลัง) 2 (หนา้ - หลงั ) 2 = (หนา้ ) 2 - 2(หนา้ ) (หลงั ) + (หลงั ) 2ตวั อย่างที่ 5 จงแกส้ มการในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ โดยการทาให้เป็นกาลงั สองสมบูรณ์ 1) x2  6x  2  0วิธีทา x2  6x  2  (x2  6x)  2  (x2  2(x)(3)  32 )  2  32  (x2  6x  9)  2  9จะได้ x2  6x  2  (x  3)2 11 = (x – 3)2- ( 11 )2 ; x2  a2  (x  a)(x  a)ดงั นัน้ x2  6x  2  ((x 3) 11)((x 3)  11) (x (3 11))(x (3 11)) จะได้ (x (3 11))(x (3 11)) 0 ดังนน้ั x (3 11) 0 หรอื x (3 11) 0 จะได้ x  3 11 หรอื x  3 11 ดงั นั้น 3 11 และ 3 11 เป็นคาตอบของสมการ x2  6x  2  0 2) x2  x 1  0 วธิ ีทา x2  x 1  (x2  x) 1  (x2  2(x)(1) 1) 2  (x2  2(x)(1)  (1)2 ) 1 (1)2 22 2  (x  1)2 1 1 24จะได้ x2  x 1  (x  1)2  5 ; x2  a2  (x  a)(x  a) 24

ดงั นัน้ x2  x 1  ((x  1 )  5 )((x  1 )  5 ) 2 2 2 2  [x  (1 5 )][x  (1 5 )] 22เนื่องจาก x2  x 1 0จะได้ [x  (1 5 )][x  (1 5 )]  0 22ดงั น้ัน [x  (1 5 )]  0 หรอื [x  (1 5 )]  0 22จะได้ x  1 5 หรือ x  1 5 22ดังนัน้ 1 5 และ 1 5 เป็นคาตอบของสมการ x2  x 1 0 22การแกส้ มการกาลังสอง ax2  bx  c  0 โดยที่ a  0โดยใช้สูตร x  b b2  4ac 2aตัวอย่างที่ 6 จงหาคาตอบของสมการต่อไปนี้ โดยใช้สูตร1) x2  2x  5  0วธิ ที า เมื่อเทียบกบั สมการ ax2  bx  c  0 จะได้ a = 1, b = - 2, c = - 5 แทนคา่ a = 1, b = - 2, c = - 5 ลงในสตู ร x  b  b2  4ac 2aจะได้ x  (2)  (2)2  4(1)(5) 2(1)  2  24 2(1)  22 6 2 1 6 น่ันคอื x 1 6 หรือ x 1 6ดงั นัน้ 1 6 และ 1 6 เปน็ คาตอบของสมการ x2  2x 5  02) 2x2  3x 10  0วิธีทา จาก 2x2  3x 10  0 เมอ่ื เทยี บกับสมการ ax2  bx  c  0

จะได้ a = 2, b = 3, c = 10 แทนค่า a = 2, b = 3, c = 10 ลงในสูตร x  b  b2  4ac 2a จะได้ x  (3)  (3)2  4(2)(10) 2(2)  3  71 4 เนอ่ื งจาก b2  4ac  0 ดังนน้ั 71 ไมเ่ ป็นจานวนจริงดังนน้ั จึงไม่สามารถหาคาตอบของสมการท่ีเปน็ จานวนจริงได้ข้อสังเกต ในการหาคาตอบของสมการ ax2 bx  c  0 โดยใช้สตู ร x  b  b2  4ac น้นั คา่ ของ x จะเป็นจานวนจริง เม่ือ b2  4ac  0 2a ฉะนั้น จะใชส้ ตู รเพอ่ื หาคาตอบทเ่ี ป็นจริงจานวนจริงของสมการ เม่ือ b2  4ac  0 เทา่ นัน้หมายเหตุ สมการกาลังสอง ax2  bx  c  0 เมอื่ a,b,c เป็นค่าคงตัวท่ี a  0 จะมคี าตอบ 2 คาตอบท่ีเปน็ จานวนจรงิ ถา้ b2  4ac  0 จะมคี าตอบ 1 คาตอบที่เป็นจานวนจริงถา้ b2  4ac  0 ไม่มีคาตอบทเ่ี ป็นจานวนจรงิ ถา้ b2  4ac  0 จากตวั อยา่ งดังกล่าว จะเห็นว่าการแก้สมการตวั แปรเดยี วดีกรไี ม่เกนิ สอง สามารถทาได้หลายวิธี ไมว่ า่จะเปน็ การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม กาลังสองสมบรู ณ์ ผลต่างกาลังสอง และการใช้สตู ร6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ข้ันนา 1. ครทู บทวนการแยกตวั ประกอบของพหุนามตัวแปรเดียวดกี รไี ม่เกนิ สอง โดยอาจใหน้ กั เรียน ออกมาทาบนกระดานดา ขั้นสอน 2. ครอู ธิบายการแก้สมการ หรือ การหาคาตอบของสมการตวั แปรเดียวดีกรไี มเ่ กนิ สอง คือ การ หาคาตอบของสมการทเี่ ขยี นในรปู ax 2 + bx + c = 0 เม่อื a, b, c เป็นคา่ คงตัว ทาได้ โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับการแยกตวั ประกอบ การใช้ผลตา่ งกาลังสอง การใช้กาลังสอง สมบรู ณ์ 3. ครูอธิบายการแก้สมการตัวแปรเดียวดีกรีไมเ่ กินสองโดยการแยกตวั ประกอบพร้อมกบั ยกตวั อย่างที่ 1 และตัวอย่างที่ 2 บนกระดาน 4. ครอู ธบิ ายการแก้สมการตัวแปรเดยี วดีกรไี มเ่ กินสองโดยการใช้ผลตา่ งกาลังสองพร้อมกบั ยกตวั อย่างที่ 3 บนกระดาน 5. ครูอธิบายการแก้สมการตัวแปรเดียวดกี รีไมเ่ กนิ สองโดยการใชก้ าลังสองสมบูรณพ์ ร้อมกับ ยกตวั อย่างท่ี 4 และตวั อยา่ งที่ 5 บนกระดาน

6. ครูอธบิ ายว่า นอกจากจะใชส้ มการตวั แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กินสองโดยวธิ ีท่กี ล่าวมาแล้วยงั มีอกี วิธี หนงึ่ คือ การใช้สูตร x = b  b2  4ac โดยครูยกตัวอยา่ งท่ี 6 อยา่ งละเอยี ด 2a ขั้นสรุป 1. ครูใหน้ ักเรียนชว่ ยกนั สรุปความคดิ รวบยอดเก่ียวกับเรื่องท่ีเรยี นมาในคาบน้ี สรุปได้ว่า สมการกาลงั สองตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเดียวและมีดีกรีสูงสุดเท่ากับสอง มีสมการรูปทัว่ ไป คอื ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เปน็ ค่าคงตวั และ a  0 การหาคาตอบของสมการกาลงั สองตัวแปรเดียวทาได้ 4 วิธี คือ 1. โดยการแยกตัวประกอบของ ax2 + bx + c = 0 2. โดยการใชผ้ ลต่างกาลงั สอง 3. โดยการทาเปน็ กาลังสองสมบรู ณ์ 4. โดยการใชส้ ูตร x = b  b2  4ac 2a 2. ครแู จกแบบฝึกหดั ที่ 4 เร่อื งการแก้สมการ7. ส่ือ/แหล่ง การเรียนรู้ 7.1 สอื่ การเรียนรู้ 7.1.1 หนังสือเรยี นสาระการเรยี นร้พู นื้ ฐานคณิตศาสตร์ ม.4 ของสานกั พิมพ์แม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝกึ หดั ท่ี 4 เรื่องการแกส้ มการ 7.2 แหลง่ การเรียนรู้ 7.2.1 ห้องศนู ยก์ ารเรียนรู้คณติ ศาสตร์ 7.2.2 หอ้ งสมุดโรงเรยี น

8. การวดั ผลและประเมนิ ผลการเรยี นรู้จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ การวัดผล การประเมนิ ผล พิจารณาจาก :เพอ่ื ใหน้ ักเรียน : พิจารณาจาก :ดา้ นความรู้ 1. การทาแบบฝกึ หัดที่ 4 - ถา้ นักเรียนทาแบบฝึกหัดที่ 4 ไดถ้ กู ต้อง1.บอกความหมายของเอกนาม . มากกวา่ ร้อยละ80 ของจานวนข้อทั้งหมดและพหุนามได้ . ถือว่า “ผ่าน”2. แยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี องได้3. แก้สมการตัวแปรเดียวดีกรีไม่เกินสองได้ดา้ นทักษะและกระบวนการ 1. การทาแบบฝึกหดั ที่ 4 - ถ้านกั เรยี นทาแบบฝึกหดั ที่ 4 ไดถ้ กู ต้อง1. ใหเ้ หตผุ ลในการอธิบายถึง 2. การถาม-ตอบ เพอื่ . มากกวา่ รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อทัง้ หมดสมบตั ขิ องจานวนจริงทีเ่ กีย่ วกับ . ตรวจสอบความเขา้ ใจ . ถอื วา่ “ผ่าน”แก้สมการตวั แปรเดยี วดกี รีไม่เกนิ - ถ้านักเรียนรว่ มกันตอบคาถามภายในชั้นเรยี นสองได้ ถือว่า “ผา่ น”2. ใชภ้ าษาและสัญลกั ษณท์ างคณติ ศาสตร์ในการส่ือสาร สอ่ืความหมาย และนาเสนอในเร่อื งแก้สมการตัวแปรเดียวดกี รีไมเ่ กนิสองได้อยา่ งถกู ต้อง ชดั เจน3. เชื่อมโยงความคิดรวบยอดเก่ียวกบั สมบัตขิ องจานวนจริงที่เกย่ี วกับแกส้ มการตวั แปรเดยี วดกี รีไมเ่ กินสองได้ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์ 1. การตอบคาถาม - ถา้ นักเรียนรว่ มกนั ตอบคาถามภายในชั้นเรียน1. มีความสนใจและกระตือ- 2. การมีส่วนรว่ มใน ถอื ว่า “ผ่าน”รือร้นในกจิ กรรมการเรยี นรู้ . ชน้ั เรยี น - ถ้านกั เรียนมคี วามสนใจและกระตอื รือรน้2. มคี วามรบั ผดิ ชอบและมสี ่วน . ในการเรียน ถอื วา่ “ผ่าน”รว่ มในชนั้ เรียน

9. บันทึกหลงั การสอน 9.1 ดา้ นความรู้(K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P)....................................................................................................................................................... ........ 9.3 ดา้ นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์(A)........................................................................................................................................................ 9.4 ด้านสมรรถนะสาคัญผู้เรียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอ่นื ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงชือ่ ................................................ครูผสู้ อน (นางสมุ าพร จักรอินต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหวั หน้ากลมุ่ สาระการเรียนรู้......................................................................................................................... ................................................. ลงชื่อ ................................................หวั หน้ากลุ่มสาระ (นางสมุ าพร จักรอินต๊ะ) วนั ที่ ........................................ความคดิ เหน็ หวั หน้ากลุ่มงานบรหิ ารวิชาการ............................................................................................................................. ............................................. ลงชอ่ื ..................................... หวั หน้ากลุม่ งานบริหารวิชาการ (นางสาวทศั นยี ์ วงทองดี) วันที่ ........................................ความคิดเห็นผบู้ รหิ ารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชอื่ .............................................. (นายวนิ ยั คาวเิ ศษ) วนั ที่ ........................................ ตาแหน่ง ผูอ้ านวยการโรงเรยี นหนั คาราษฎร์รังสฤษดิ์ (......../................/............)

รายวิชา คณติ ศาสตรพ์ ้นื ฐาน แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 5 ระดบั ชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 4กลุม่ สาระการเรียนร้คู ณิตศาสตร์ เร่อื ง โจทย์ปัญหาสมการกาลังสอง เวลา 1 ช่วั โมงครูผู้สอน นางสุมาพร จกั รอินตะ๊ โรงเรยี นหันคาราษฎร์รังสฤษดิ์ รหัสวิชา ค31102 ภาคเรียนที่ 21. สาระ/มาตรฐานการเรียนรู/้ ตัวช้วี ัด สาระที่ 1 จานวนและการดาเนินการ มาตรฐาน ค 1.2 เขา้ ใจถึงผลทีเ่ กิดข้นึ จากการดาเนินการของจานวนและความสัมพนั ธ์ระหวา่ งการดาเนินการต่าง ๆ และสามารถใชก้ ารดาเนินการในการแกป้ ญั หาได้ ตวั ช้วี ดั ค 1.2 ม.4-6/1 เขา้ ใจความหมายและหาผลลัพธ์ทีเ่ กดิ จากการบวก การลบ การคูณการหารจานวนจริง จานวนจรงิ ท่ีอย่ใู นรูปเลขยกกาลงั ทม่ี เี ลขชก้ี าลงั เป็นจานวนตรรกยะ และจานวนจรงิ ในรปูกรณฑ์2. สาระสาคัญ 1) สามารถใชส้ มการกาลงั สองช่วยแก้โจทยป์ ญั หาบางประเภทได้ 2) การแกโ้ จทย์ปัญหาจะต้องตรวจสอบคาตอบเสมอ 3) คาตอบบางคาตอบท่คี านวณได้อาจไม่ใช่คาตอบของปัญหากไ็ ด้3. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรียนรแู้ กนกลาง(K) : เพื่อใหน้ กั เรียน 3.1.1 ใช้ความรู้เร่อื งสมการกาลังสองมาแก้โจทยป์ ัญหาได้ 3.2 ดา้ นทักษะและกระบวนการ (P) : เพ่ือใหน้ กั เรยี น 3.2.1 เชอ่ื มโยงความคดิ รวบยอดเกี่ยวกบั สมการกาลงั สองมาใช้ในการแกโ้ จทยป์ ญั หาได้ 3.3 ด้านคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : เพือ่ ใหน้ ักเรียน 3.3.1 มีความสนใจ และกระตือรอื รน้ ในกจิ กรรมการเรียนรู้ 3.3.2 มีความรบั ผดิ ชอบ และมีสว่ นร่วมในชน้ั เรยี น 3.4 สมรรถนะสาคัญของผูเ้ รียน (C) 3.4.1 ความสามารถในการส่อื สาร 3.4.2 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน 4.1 แบบฝกึ หัดที่ 5

5. สาระการเรียนรู้ โจทยป์ ัญหาสมการกาลังสองตวั อย่างท่ี 1 ใหผ้ ลคูณของจานวนค่จู านวนหนงึ่ กบั จานวนคู่อีกจานวนหน่งึ ท่ีอย่ถู ัดไปเป็น 168 จงหาจานวนคู่ทง้ั สองจานวน แทนดว้ ย xวิธีทา ใหจ้ านวนค่จู านวนหนึ่ง แทนดว้ ย x  2 ดงั น้ัน จานวนค่ทู ี่อยูถ่ ัดไป เทา่ กบั x(x  2) ใหผ้ ลคูณของสองจานวนนั้น เนอื่ งจากผลคูณของจานวนทงั้ สอง เทา่ กับ 168 เขียนเป็นสมการไดด้ ังนี้ x(x  2) 168 x2  2x 168  0 (x 14)(x 12) 0 จะได้ x  14 หรอื x 12 กรณีที่ 1 แทน x  14 ใน x + 2 จะได้ 14 +2 = -12 คาตอบที่ 1 เปน็ จานวนคลู่ บ คอื -12 และ -14 กรณีท่ี 2 แทน x 12 ใน x + 2 จะได้ 12 + 2 = 14 คาตอบที่ 2 เปน็ จานวนค่บู วก คอื 12 และ 14ตวั อยา่ งท่ี 2 A X+5 Bกาหนดใหร้ ูปสเ่ี หลยี่ ม ABCD เปน็ รูปสเ่ี หล่ยี มผืนผ้า X+2ท่มี พี น้ื ท่ี 130 ตารางหน่วยจงหาความยาวรอบรูปส่เี หลี่ยม ABCD Cวธิ ีทาเนื่องจากสตู รพน้ื ทีร่ ูปสี่เหลย่ี มผืนผ้า เทา่ กบั D (กว้าง)  (ยาว) x2 x5กาหนดดา้ นกว้าง เทา่ กับ 130 ตารางหนว่ ยกาหนดดา้ นยาว เทา่ กับเนือ่ งจากมีพื้นท่ี เทา่ กับดังนัน้ เขียนเปน็ สมการได้ดังน้ี (x  2)(x 5) 130 x2 7x 10 130 x2 7x 120  0 (x 15)(x 8)  0ดังนน้ั x  15 หรือ x 8แต่เนื่องจากความยาวจะเปน็ จานวนลบไมไ่ ด้ดังนนั้ x 8 ไดเ้ พียงคาตอบเดียวเทา่ นนั้

จะไดว้ า่ ด้านกว้างเทา่ กบั 8 2 10 ด้านยาวเทา่ กับ 85 13ดงั นน้ั ความยาวรอบรูป เท่ากับ10 10 1313  46 หน่วยตัวอยา่ งท่ี 3กาหนดให้เป็นรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก x 2x-4จงหาพืน้ ท่ีของรูปสามเหลยี่ มมมุ ฉากนี้วิธที าจากทฤษฏบี ทปทิ าโกรัส a2+b2=c2 x2 xx228xx41624x22x164xx2+146 จะได้ว่า 2x2 24x 0 2x(x 12) 0 x  0 หรอื x 12 เนื่องจาก ถ้า x  0 จะทาให้ความยาวด้านดา้ นหน่งึ เท่ากับ 0 ซงึ่ เป็นไปไมไ่ ด้ ดังนนั้ แทน x 12 ไดเ้ พียงคาตอบเดยี วเท่านัน้ 1 จาก สูตรพื้นทีร่ ูปสามเหลย่ี มมุมฉาก เทา่ กบั 2  ฐาน สูง กาหนดดา้ นฐาน เทา่ กับ x  4 ดังนน้ั ดา้ นฐานยาว เท่ากับ 16 เทา่ กับ x กาหนดส่วนสงู ดังนัน้ สว่ นสงู ยาว เท่ากับ 12 1 จะได้ พน้ื ทรี่ ูปสามเหล่ียม เท่ากบั 2 1612  96 ตารางหนว่ ย6. กิจกรรมการเรียนรู้ ขั้นนา 1. ครทู บทวนเกี่ยวกับกาลังสองสมบรู ณ์ โดยใชค้ าถามกระตุ้น - เราสามารถแยกตัวประกอบของพหุนามให้อยใู่ นรปู กาลังสองสมบูรณ์ไดใ้ นรูปแบบใด x2  2ax  a2   x  a x  a x2  2ax  a2   x  a x  a

ขั้นสอน 1. ครูกล่าววา่ เราสามารถใช้สมการกาลงั สองช่วยแกโ้ จทย์ปัญหาบางประเภทได้ 2. ครยู กตวั อย่างที่ 1 บนกระดานดา และให้นักเรียนพจิ ารณาพร้อมกัน 3. จากตวั อยา่ งท่ี 1 ครูกล่าวว่าโจทยบ์ างข้ออาจมีคาตอบไดห้ ลายคาตอบ 4. ครูยกตวั อยา่ งที่ 2 บนกระดานดา และให้นักเรียนพจิ ารณาพรอ้ มกนั 5. ครยู กตัวอยา่ งที่ 3 บนกระดานดา และใหน้ ักเรยี นพิจารณาพรอ้ มกัน 6. จากตวั อยา่ งที่ 2-3 ครกู ล่าววา่ คาตอบบางคาตอบท่คี านวณไดอ้ าจไม่ใช่คาตอบของปัญหาก็ได้ 7. ครูย้ากับนกั เรยี นวา่ การแก้โจทยป์ ญั หาจะต้องตรวจสอบคาตอบเสมอ 8. ครูให้นกั เรยี นทาแบบฝกึ หดั ท่ี 5 ขณะนักเรียนทาแบบฝึกหัดครูเดนิ ดนู กั เรียนทว่ั ๆห้อง คอย ให้คาปรกึ ษาและดแู ลนกั เรียนในชนั้ ( หากพบวา่ นักเรยี นมปี ญั หาสงสัยข้องใจในลักษณะ เดยี วกนั หลายคน ครูจะเอาโจทย์ข้อนั้นข้นั กระดานแลว้ อธิบายใหน้ กั เรยี นเข้าใจพร้อมๆกัน) แล้วครสู ุ่มตัวแทนนกั เรียนออกมาเฉลยบนกระดานดา เพื่อนๆนักเรียนช่วยกันตรวจสอบ ความถูกต้อง และครูตรวจสอบความถูกต้องอีกครง้ั หนง่ึ ข้นั สรุป 1. ครใู ห้นักเรียนชว่ ยกันสรุปความคิดรวบยอดเกยี่ วกับเร่ืองทเ่ี รยี นมาในคาบน้ี สรปุ ได้ว่า 1) สามารถใช้สมการกาลงั สองช่วยแกโ้ จทย์ปัญหาบางประเภทได้ 2) การแกโ้ จทย์ปัญหาจะต้องตรวจสอบคาตอบเสมอ 3) คาตอบบางคาตอบท่คี านวณไดอ้ าจไม่ใชค่ าตอบของปัญหาก็ได้7. สื่อ/แหลง่ การเรยี นรู้ 7.1 ส่ือการเรยี นรู้ 7.1.1 หนงั สือเรียนสาระการเรยี นรพู้ นื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ม.4 ของสานักพิมพแ์ ม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝกึ หัดท่ี 5 เรื่องโจทย์ปัญหาสมการกาลังสอง 7.2 แหลง่ การเรียนรู้ 7.2.1 ห้องศนู ย์การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ 7.2.2 ห้องสมดุ โรงเรยี น

8. การวัดผลและประเมินผลการเรียนรู้จดุ ประสงค์การเรียนรู้ การวดั ผล การประเมนิ ผล พิจารณาจาก :เพื่อใหน้ กั เรยี น : พจิ ารณาจาก :ดา้ นความรู้ - ถา้ นักเรียนทาแบบฝึกหัดท่ี 5 ไดถ้ กู ต้อง1. ใชค้ วามรเู้ ร่อื งสมการกาลงั สอง 1. การทาแบบฝึกหัดที่ 5 . มากกว่า ร้อยละ80 ของจานวนข้อทั้งหมดมาแก้โจทย์ปัญหาได้ . ถอื วา่ “ผา่ น”ดา้ นทักษะและกระบวนการ 1. การทาแบบฝกึ หดั ที่ 5 - ถา้ นักเรยี นทาแบบฝึกหดั ท่ี 5 ได้ถกู ต้อง1. เชอ่ื มโยงความคิดรวบยอด 2. การถาม-ตอบ เพ่อื . มากกวา่ รอ้ ยละ80 ของจานวนข้อทงั้ หมดเกย่ี วกบั สมการกาลังสองมาใชใ้ น . ตรวจสอบความเข้าใจ . ถือวา่ “ผ่าน”การแก้โจทยป์ ัญหาได้ - ถ้านกั เรยี นรว่ มกนั ตอบคาถามภายในชั้นเรียน ถือว่า “ผ่าน”ด้านคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์ 1. การตอบคาถาม - ถ้านกั เรียนร่วมกันตอบคาถามภายในช้นั เรยี น1. มีความสนใจและกระตือ- 2. การมีสว่ นร่วมใน ถอื ว่า “ผ่าน”รือรน้ ในกจิ กรรมการเรยี นรู้ . ชนั้ เรียน - ถา้ นักเรยี นมคี วามสนใจและกระตอื รือรน้2. มคี วามรับผิดชอบและมีสว่ น . ในการเรยี น ถอื ว่า “ผ่าน”ร่วมในช้ันเรียน

9. บันทึกหลังการสอน 9.1 ดา้ นความรู้(K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P).................................................................................................................................................. ............. 9.3 ดา้ นคุณลกั ษณะอันพึงประสงค์(A)........................................................................................................................................................ 9.4 ด้านสมรรถนะสาคัญผู้เรียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอ่นื ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงชือ่ ................................................ครูผสู้ อน (นางสุมาพร จักรอนิ ต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหวั หน้ากลมุ่ สาระการเรียนรู้.................................................................................................................... ...................................................... ลงชื่อ ................................................หวั หน้ากลุ่มสาระ (นางสมุ าพร จกั รอนิ ต๊ะ) วนั ที่ ........................................ความคดิ เหน็ หัวหน้ากลุ่มงานบรหิ ารวิชาการ............................................................................................................................. ............................................. ลงชอ่ื ..................................... หวั หน้ากลมุ่ งานบรหิ ารวิชาการ (นางสาวทศั นยี ์ วงทองดี) วันที่ ........................................ความคิดเห็นผบู้ รหิ ารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชอื่ .............................................. (นายวนิ ยั คาวเิ ศษ) วนั ที่ ........................................ ตาแหน่ง ผูอ้ านวยการโรงเรยี นหนั คาราษฎร์รังสฤษดิ์ (......../................/............)

รายวิชา คณิตศาสตร์พน้ื ฐาน แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 6 ระดับชัน้ มธั ยมศึกษาปีที่ 4กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ เร่อื ง การไมเ่ ทา่ กนั และช่วง เวลา 2 ชัว่ โมงครผู ู้สอน นางสมุ าพร จกั รอินต๊ะ โรงเรียนหันคาราษฎรร์ ังสฤษดิ์ รหสั วชิ า ค31102 ภาคเรยี นที่ 21. สาระ/มาตรฐานการเรยี นรู้/ตวั ชี้วัด สาระท่ี 1 จานวนและการดาเนินการ มาตรฐาน ค 1.4 เข้าใจระบบจานวนและนาสมบตั ิเก่ยี วกับจานวนไปใช้ ตวั ช้ีวดั ค 1.4 ม.4-6/1 เข้าใจสมบัติของจานวนจรงิ เก่ยี วกบั การบวก การคูณ การเทา่ กนัการไมเ่ ท่ากนั และนาไปใชไ้ ด้2. สาระสาคัญ 1. ประโยคท่ีมีสัญลกั ษณ์  ,  ,  ,  ,  เรยี กวา่ อสมการ 2. สมบตั ิของการไม่เท่ากนั เมอ่ื กาหนดให้ a, b, c เปน็ จานวนจริงใดๆ 1) สมบตั ิการถ่ายทอด : ถ้า a  b และ b  c แล้ว a  c 2) สมบัตกิ ารบวกด้วยจานวนท่ีเทา่ กนั : ถา้ a  b แลว้ a+c  b+c 3) สมบัติการคณู ดว้ ยจานวนทีเ่ ท่ากัน 3.1) การคณู ด้วยจานวนท่เี ทา่ กันทม่ี ากกวา่ ศนู ย์ ถ้า a  b และ c  0 แล้ว ac  bc 3.2) การคูณดว้ ยจานวนทีเ่ ทา่ กันทน่ี ้อยกวา่ ศูนย์ ถา้ a  b และ c  0 แลว้ ac  bc3. จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 3.1 สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง(K) : เพ่ือใหน้ ักเรยี น 3.1.1 สามารถเขยี นและอ่านสญั ลกั ษณ์การไม่เทา่ กนั แทนขอ้ ความได้ 3.1.2 สามารถใชส้ ัญลักษณ์แทนความหมายของการไมเ่ ท่ากันโดยใช้เสน้ จานวนได้ 3.1.3 เขา้ ใจสมบัติของจานวนจริงเก่ยี วกับการไมเ่ ท่ากนั 3.1.4 สามารถใช้สมบตั ิการไมเ่ ท่ากัน และความรูเ้ กยี่ วกับช่วงเพื่อแกอ้ สมการได้ 3.2 ด้านทักษะและกระบวนการ (P) : เพ่อื ใหน้ ักเรยี น 3.2.1 ให้เหตผุ ลเกีย่ วกับการไมเ่ ท่ากันได้ 3.2.2 ใช้ภาษาและสัญลักษณ์ทางคณติ ศาสตรเ์ กี่ยวกับการไมเ่ ท่ากนั ในการส่ือสาร สอื่ ความหมาย และนาเสนอได้

3.3 ดา้ นคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) : เพ่อื ใหน้ ักเรียน 3.3.1 มีความสนใจ และกระตือรือร้นในกจิ กรรมการเรยี นรู้ 3.3.2 มคี วามรับผิดชอบ และมีสว่ นรว่ มในช้นั เรยี น 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผูเ้ รยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร 3.4.2 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน 4.1 แบบฝึกหดั ท่ี 65. สาระการเรยี นรู้ การไมเ่ ทา่ กนั (Inequality) ในการเปรยี บเทียบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยี บเทยี บวา่ เทา่ กนั และไม่เทา่ กนั แลว้ ยังมีการเปรยี บเทยี บวา่ มากกว่าหรือน้อยกว่าไดโ้ ดย 1. การใชส้ ญั ลักษณ์แทนความหมายของการไมเ่ ทา่ กนั ในการเปรียบเทียบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยี บเทียบว่าเท่ากันและไม่เท่ากนั แลว้ ยงั มีการเปรียบเทยี บวา่ มากกวา่ หรือนอ้ ยกวา่ ได้โดยเขียนอยู่ในรูปประโยคสญั ลักษณ์ เชน่ ถ้าให้ n แทนจานวนเตม็ 1) n > 5 หมายถงึ จานวนเตม็ ทุกจานวนที่มากกวา่ 5 เช่น 6, 7, 8, ... 2) n < 1 หมายถงึ จานวนเต็มทกุ จานวนทนี่ ้อยกว่า 1 เช่น 0, -1, -2, ... ประโยคทีม่ ีสัญลกั ษณ์ “ < ” , “ > ” หรือ “  ” ข้างต้นวา่ อสมการ นอกจากสัญลกั ษณ์ “ < ” , “ > ” หรือ “  ” ซงึ่ แสดงถึงการไมเ่ ทา่ กนั แล้วยงั มสี ัญลักษณอ์ ื่นๆอีก เชน่ n ≥ 3 หมายถึง n เปน็ จานวนท่มี ากกว่าหรือเท่ากับ 5 เชน่ 3, 4, 5, ... n ≤ 10 หมายถงึ n เปน็ จานวนท่ีน้อยกว่าหรอื เท่ากับ 10 เช่น 10, 9, 8, ...ตวั อยา่ งที่ 1 ตวั อยา่ งการเขยี นสัญลักษณ์การไมเ่ ทา่ กนั แทนข้อความ1) n มากกวา่ -4 เขียนแทนดว้ ย n > -42) m นอ้ ยกว่า 1 เขียนแทนดว้ ย m< 1 2 เขยี นแทนดว้ ย 2 เขียนแทนดว้ ย x53) x นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ 5 y  24) y มากกวา่ หรอื เทา่ กับ -25) z ไมเ่ ท่ากับ 0 เขยี นแทนด้วย z  0 ถา้ a และ b เป็นจานวนจรงิ สองจานวน แลว้ a , b จะมีความเก่ยี วข้องหรือสมั พนั ธ์กนั แบบใดแบบหนึง่ ตอ่ ไปนี้ 1. a เท่ากบั b ใชส้ ัญลักษณ์ a = b 2. a น้อยกว่า b ใชส้ ญั ลกั ษณ์ a < b 3. a มากกว่า b ใชส้ ญั ลักษณ์ a > b

บทนยิ าม a < b หมายความวา่ a  b เป็นจานวนลบ a > b หมายความวา่ a  b เป็นจานวนบวก a  b เป็นจานวนลบ เขียนแทนดว้ ย a  b < 0 a  b เป็นจานวนบวก เขยี นแทนดว้ ย a  b > 0เชน่ เม่อื 2 < 3 จะไดว้ ่า 2 - 3 < 0 3 < 2 จะได้วา่ 3 - 2 > 0บทนิยาม 1. เรยี ก a ว่า จานวนศนู ย์ ก็ตอ่ เม่อื a = 0 2. เรียก a วา่ จานวนบวก ก็ต่อเมือ่ a  R  3. เรยี ก a ว่า จานวนลบ ก็ต่อเม่ือ –a  R บทนยิ าม a  b อ่านว่า a น้อยกวา่ หรือเท่ากับ b หมายถงึ a ไมม่ ากกว่า b a  b อา่ นว่า a มากกว่าหรือเทา่ กับ b หมายถงึ a ไมน่ ้อยกวา่ b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a  b  c หมายถึง a  b และ b  c2. การใช้เส้นจานวนแทนความหมายของการไม่เทา่ กนัตัวอย่างที่ 21) n > -42) m< 13) x ≤ 5 2

4) y ≥ -2 z05)ข้อสังเกต สญั ลักษณ์ หมายถงึ ไมร่ วมจานวนจรงิ นนั้ สญั ลกั ษณ์ หมายถึง รวมจานวนจรงิ นนั้ตวั อย่างที่ 3 จงพิจารณาจานวนต่อไปนบี้ นเสน้ จานวน 1) เนื่องจาก -1 < 1 และ 1 < 2 จะได้ -1 < 1 < 22) เนื่องจาก-1 < 0 และ 0 < 1 จะได้ -1 < 0 < 1 สมบัติของการไมเ่ ท่ากนั ให้ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ1. สมบัตกิ ารถา่ ยทอด ถ้า a > b และ b > c แล้ว a > c เชน่ 8 > 5 และ 5 > 3 แล้ว 8 > 32. สมบัติการบวกด้วยจานวนท่ีเทา่ กนั ถ้า a > b แลว้ a + c > b + c เช่น 2 > 1 แลว้ 2 + 3 > 1 + 3 น่ันคอื 5 > 23. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนท่เี ทา่ กัน 3.1 ถ้า a > b และ c > 0 แลว้ ac > bc เชน่ 5 > 3 ให้ c = 2 ดังนน้ั 5 ( 2 ) > 3 ( 2 ) หรอื 10 > 6 3.2 ถา้ a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc เชน่ 5 > 3 ให้ c =  2 ดังนน้ั 5 (2)  3 (2) หรือ  10  6

4. สมบัตกิ ารตัดออกของการบวก ถา้ a + c > b + c แล้ว a > b เชน่ 5 + 2 > 3 + 2 แล้ว 5 > 35. สมบัติการตัดออกของการคูณ 5.1 ถา้ ac > bc และ c > 0 แลว้ a > b เช่น 5 ( 2 ) > 3 ( 2 ) และ c = 2 แลว้ 5 > 3 5.2 ถา้ ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b เช่น 3 (2) > 5 (2) และ c = 2 แล้ว 3 < 5 ข้อสังเกต การคูณอสมการดว้ ยจานวนลบ จะทาให้อสมการมีเครื่องหมายเปลีย่ นไป ชว่ ง ในการเขียนแทนเซตของจานวนจริงท่มี คี า่ อยูร่ ะหว่างจานวนจรงิ a และ b ใดๆหรอื มากกว่า น้อยกว่าจานวนจริง a ใดๆ สามารถเขียนแทนด้วย ช่วง ดังนี้บทนยิ าม เม่ือเอกภพสัมพัทธเ์ ปน็ เซตของจานวนจริง และ a  bชว่ ง ความหมายในรูปเซต กราฟบนเสน้ จานวนชว่ งเปดิ ( a , b ) {xaxb}  abชว่ งปิด [ a , b ] {xaxb}ช่วงครง่ึ เปิด ( a , b ] { x  a  x  b } a b ชว่ งครึง่ เปิด [ a , b ) { x  a  x  b } a b ช่วง ( a ,  ) {xxa} a b  a b กราฟบนเสน้ จานวน ช่วง ความหมายในรูปเซตช่วง [ a ,  ) {xxa} abชว่ ง (- , b ) {xxb}  abชว่ ง (- , b ] {xxb} abช่วง (- ,  ) {xxR} ab

ตวั อย่างที่ 4 จงพิจารณาชว่ งในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 1) 1,4 {x |1 x  4} เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดังน้ี 2) 1,2{x | 1 x  2} เขยี นแสดงบนเส้นจานวนได้ ดงั น้ี 3) (1,) {x | x 1} เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดงั นี้ 4) [1,) {x | x 1} เขยี นแสดงบนเส้นจานวนได้ ดังน้ี 5) (,1) {x | x 1} เขียนแสดงบนเส้นจานวนได้ ดงั นี้ 6) (,1] {x | x 1} เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดังน้ี เม่อื a < b และ a, b เป็นจานวนจริงทท่ี าใหพ้ หุนามท่ีกาหนดใหม้ ีคา่ เป็นศนู ย์ โดยท่ีไมม่ ีจานวนจริงใดใน (a, b) ที่ทาให้พหุนามดังกลา่ วเป็นศูนย์อกี พหุนามนั้นจะมคี า่ เปน็ บวกหรอื ลบอย่างใดอยา่ งหนึ่งเท่าน้นัเมื่อแทนตัวแปรของพหนุ ามน้ันด้วยจานวนทอี่ ยูใ่ นช่วง (a, b)

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงหาช่วงคาตอบของ (1,4)2,5วธิ ที า จาก (1,4)2,5เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดังนี้ (1, 4) 2,5 ดงั-3น้ัน (-12,4)-12,501,51 2 3 4 5 6ตวั อย่างท่ี 6 จงหาเซตของจานวนเตม็ x โดยที่ 1) 4  x  1 วธิ ที า พิจารณา {x | 4  x  1} จะได้ {x | 4  x  1}{4,3,2}2) 3 x 3วิธที า พจิ ารณา {x | 3 x 3} จะได้ {x | 3 x 3}{2,1,0,1,2}ตัวอยา่ งท่ี 7 จงพิจารณาแต่ละข้อต่อไปนี้1) ถา้ x  5 แลว้ 2x 8 เป็นบวกหรือลบวธิ ีทา จาก x  52x 10 ; นา 2 คูณตลอด2x (8) 10 (8) ; นา (-8) บวกตลอด 2x 82ดงั น้ัน 2x 8 เปน็ จานวนบวก2) ถ้า 1 x 3 แล้ว 2x + 4 เป็นบวกหรอื ลบวธิ ีทา จาก -1 x  3-2 2x  6 ; นา 2 คณู ตลอด-2+4  2x + 4  6+4 ; นา (4) บวกตลอด 2  2x + 4  10ดงั น้ัน 2x + 4 เป็นจานวนบวก6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1. ครูใหน้ กั เรยี นเสนอปญั หาในการทาแบบฝึกหัดของคาบที่แลว้ 2. ครูชแี้ จงจดุ ประสงค์ในการเรียนวันนใี้ ห้นักเรยี นทราบ 3. ครูทบทวนการแก้สมการกาลงั สองตัวแปรเดยี วท้งั 3 วธิ ใี นการหาคาตอบ

ขัน้ สอน 1. ครยู กตวั อย่างจานวน 2 จานวนใด ๆ เพื่ออธบิ ายว่าในการเปรียบเทียบจานวนสองจานวนนอกจากการเปรียบเทยี บวา่ เท่ากนั และไม่เทา่ กนั แล้วยังมีการเปรยี บเทยี บวา่ มากกวา่ หรือน้อยกว่าได้โดยเขียนอยู่ในรปู ประโยคสัญลักษณ์ 2. ครูอธิบายต่อวา่ ประโยคทีม่ สี ญั ลกั ษณ์ “ < ” หรือ “ > ” ข้างตน้ วา่ อสมการ และนอกจากสญั ลกั ษณ์ < และ > ซง่ึ แสดงถึงการไมเ่ ทา่ กนั แลว้ ยงั มสี ญั ลกั ษณ์อ่ืน ๆ อีก เช่น ≥ หมายถึง มากกวา่หรือเทา่ กับ ≤ หมายถึง น้อยกวา่ หรอื เทา่ กับ พร้อมพร้อมทั้งยกตัวอย่างท่ี 1 ประกอบ 3. ครูอธิบายต่อวา่ นอกจากการให้ความหมายของการไม่เทา่ กนั ตามที่กลา่ วมาแล้ว อาจกล่าวถงึ การไมเ่ ทา่ กนั ได้ดงั นี้ 1) a < b หมายความว่า a - b เป็นจานวนลบ หรอื a - b < 0 2) a > b หมายความว่า a - b เปน็ จานวนบวก หรือ a - b > 0 4. ครูอธิบายเสรมิ ว่านอกจากการใชส้ ัญลกั ษณแ์ ทนความหมายของการไมเ่ ท่ากนั แล้วยังสามารถแสดงการไม่เทา่ กนั โดยใช้เส้นจานวนพร้อมท้งั ยกตวั อย่างที่ 2 ประกอบ 5. ครใู ห้นกั เรียนทากิจกรรมลองทาเอง 6. ครูใหน้ กั เรยี นทาแบบฝึกหัดท่ี 6 ครคู อยตอบข้อสงสัยของนักเรียน หลังจากนน้ั สุ่มนักเรียนออกมาเฉลยบนกระดาน โดยครูและนกั เรยี นช่วยกันตรวจสอบความถูกต้อง 7. ครูกลา่ วถงึ สมบตั ิของการไม่เท่ากนั พร้อมท้ังเขียนบนกระดานดา 8. ครูแจกใบงานที่ 6 ให้นกั เรียนทา ครคู อยตอบข้อสงสัยของนักเรียน หลงั จากน้นั สมุ่ นักเรยี นออกมาเฉลยบนกระดาน โดยครแู ละนักเรียนช่วยกันตรวจสอบความถูกต้อง 9. ครทู บทวนความร้เู รอื่ งเซต เรือ่ งการเขยี นเซตแบบต่าง ๆ และการดาเนนิ การบนเซต 10.ครูให้นิยามเรอ่ื งชว่ งแกน่ ักเรยี น 11.ครอู ธิบายการใชส้ ญั ลักษณ์ช่วงแบบตา่ ง ๆ ความหมายในรปู เซต และกราฟบนเส้นจานวนทง้ั 9 แบบ 12.จากนั้นครใู ห้นักเรียนพิจารณาตัวอยา่ งท่ี 4 13.ครูยกตัวอย่างท่ี 5-7 ให้นกั เรียนพจิ ารณาพร้อมกัน และครูเปิดโอกาสใหน้ ักเรยี นซกั ถามข้อสงสัย ขั้นสรุป 1. ครูและนักเรยี นร่วมกันสรปุ เก่ียวกับ การไมเ่ ทา่ กนั รวมถงึ ในเร่อื งของชว่ งว่ามลี ักษณะเปน็อยา่ งไร เขียนกราฟบนเส้นจานวนได้อย่างไร 2. ครใู หน้ กั เรียนทาแบบฝกึ หดั ที่ 6 เรอ่ื งการไม่เทา่ กนั และช่วง เป็นการบ้าน7. สื่อ/แหลง่ การเรยี นรู้ 7.1 สอ่ื การเรยี นรู้ 7.1.1 หนังสอื เรียนสาระการเรยี นร้พู ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ม.4 ของสานักพมิ พแ์ ม็ค และสสวท 7.1.2 แบบฝึกหดั ที่ 6 เรอ่ื งการไมเ่ ท่ากันและช่วง 7.2 แหล่งการเรยี นรู้ 7.2.1 หอ้ งศนู ย์การเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ 7.2.2 ห้องสมุดโรงเรียน