แผนการจัดการเรียนรู้คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.4

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี 1 เรอ่ื ง ขน้ั ตอนวิธีการหารและห.ร.ม.รายวชิ า คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหสั วิชา ค31201 ระดบั ชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4กลมุ่ สาระการเรียนรูค้ ณิตศาสตร์ครผู ูส้ อน นางสุมาพร จกั รอินตะ๊ ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 3 ช่วั โมง โรงเรียนหันคาราษฎรร์ งั สฤษด์ิ1. ผลการเรยี นรู้ท่ีคาดหวัง แก้สมการและอสมการในรปู แบบตา่ งๆ ได้2. สาระสาคญั ความสมั พนั ธ์ของจานวนตา่ งๆ ในระบบจานวนจริง มีดงั นี้ จำนวนเชิงซอ้ น จำนวนจริง จำนวนเชิงซอ้ นท่ีไมใ่ ช่จำนวนจริง จำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะท่ีไมใ่ ช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ ลบ ศูนย์ จำนวนเตม็ บวกหรือจำนวนนบัสมบตั ิการเทา่ กนั ของจานวนจริง 1) สมบัติการสะทอ้ น ให้ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ จะได้ว่า a = a

2) สมบัตกิ ารสมมาตร ให้ a และ b เปน็ จานวนจริงใดๆ ถา้ a = b แลว้ b = a3) สมบัติการถา่ ยทอด ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b และ b = c แล้ว b = a4) สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนทเ่ี ท่ากัน ให้ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c5) สมบตั กิ ารคูณด้วยจานวนท่เี ท่ากัน ให้ a, b และ c เป็นจานวนจริงใดๆ ถา้ a = b แลว้ a  c = b  cสมบตั ขิ องจานวนจริงเก่ียวกับการบวกและการคณูสมบตั ิ การบวก การคณู1. ปิด ถ้า aR และ bR แลว้ a + bR ถา้ aR และ bR แลว้ a bR2. การสลบั ท่ี a+b = b+a ab=ba3. การเปลี่ยนกลุม่ a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c4. การมีเอกลักษณ์ มจี านวนจรงิ 0 ซ่ึง 0 + a = a + 0 มจี านวนจริง 1 และ 1  0 ซง่ึ 1a=a15. การมอี ินเวอรส์ สาหรบั จานวนจรงิ a จะมจี านวนจรงิ – a สาหรบั a ท่ี a  0 จะมีจานวนจริง a 1 ที่ (– a) + a = 0 = a + (– a) ที่ a 1 a = 1 = a a 16. การแจกแจง a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca3. จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ 3.1 สาระการเรียนร้แู กนกลาง(K) : เพื่อใหน้ ักเรียน 3.1.1 บอกได้วา่ จานวนท่ีกาหนดใหเ้ ปน็ จานวนชนดิ ใด 3.1.2 บอกความสมั พันธ์ของเซตของจานวนจรงิ ได้ 3.1.3 บอกสมบตั ิของระบบจานวนจรงิ เก่ยี วกบั การบวกและการคูณ และนาไปใช้ได้ 3.1.4 บอกความหมายของการลบจานวนจริง โดยใชก้ ารบวกและอนิ เวอรส์ การบวก และ นาไปใช้ได้ 3.1.5 บอกความหมายของการหารจานวนจรงิ โดยใช้การคณู และอินเวอร์สการคูณ และ นาไปใชไ้ ด้ 3.2 ดา้ น ทักษะและกระบวนการ (P) : เพ่ือให้นกั เรยี น 3.2.1 สามารถให้เหตผุ ลและอธบิ ายโครงสรา้ งของระบบจานวนจรงิ และสมบัติของ ระบบจานวนจริงได้ 3.2.2 สามารถใชภ้ าษาและสัญลกั ษณท์ างคณิตศาสตร์ในการส่ือสาร สือ่ ความหมายและนาเสนอ ในเร่อื งโครงสรา้ งของระบบจานวนจรงิ การเทา่ กันกันระบบจานวนจริง และสมบัติของระบบจานวนจรงิ ไดอ้ ย่าง ถกู ตอ้ ง ชัดเจน 3.3 ดา้ นคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : เพอื่ ใหน้ กั เรยี น 3.3.1 ใฝ่เรยี นรู้ มีความมุง่ มัน่ และมีวนิ ัยในชนั้ เรียน 3.3.2. มคี วามรบั ผดิ ชอบต่องานทีไ่ ด้รบั มอบหมาย

3.4 สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการคิด 3.4.1 ความสามารถในการสือ่ สาร4. ภาระงาน : แบบฝึกหดั5. สาระการเรียนรู้เซตของจานวนจริงประกอบด้วยสับเซตของจานวนตา่ งๆ โดยความสัมพนั ธแ์ สดงไว้ดังแผนผงั ตอ่ ไปนี้ แผนผังแสดงความสัมพนั ธ์ของจานวนต่างๆ ในระบบจานวนจรงิ จำนวนเชิงซอ้ น จำนวนจริง จำนวนเชิงซอ้ นท่ีไม่ใช่จำนวนจริงจำนวนตรรกยะ จำนวนอตรรกยะจำนวนตรรกยะท่ีไม่ใช่จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ จำนวนเตม็ ลบ ศนู ย์ จำนวนเตม็ บวกหรือจำนวนนบั สาหรบั ส่วนนเ้ี ราจะศึกษาจานวนจรงิ ในสว่ นของการเทา่ กนั ของจานวนจรงิ และสมบัติของจานวนจริงเกยี่ วกบั การบวกและการคูณ รวมทงั้ การลบและการหารจานวนจริงด้วย จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Number) เขียนแทนดว้ ย C ประกอบด้วยจานวนจรงิ และจานวนเชงิ ซอ้ นที่ไมใ่ ชจ่ านวนจรงิ ซึ่งเปน็ จานวนทีไ่ ม่สามารถจัดลาดบั ความมากน้อยได้ เชน่ จานวนที่ได้จากการแกส้ มการ x 2 =– 4 จะได้ x =  4 ซ่ึงไม่ใช่จานวนบอกไมไ่ ด้ว่ามากกว่าศูนย์หรอื นอ้ ยกวา่ ศูนย์ จานวนจรงิ (Red Number) เขียนแทนดว้ ย R ประกอบจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ จานวนตรรกยะ : (Rational Number) เขยี นแทนดว้ ย Q คือ จานวนที่สามารถเขยี นในรูปเศษสว่ นของจานวนเตม็ ซ่ึงตัวหารไมเ่ ป็นศูนย์ หรอื จานวนท่เี ขียนในรปู ทศนยิ มซ้า (เพราะทศนิยมซ้าทกุ จานวน สามารถเขยี นในรปู เศษสว่ นได)้ เชน่ 0, 5, – 2, 4.7, 3 , 22 , 2.468468468..., 3.724, 2.67 57 Q = { a │ a  I, b I และ b  0 } bจานวนตรรกยะมี 2 ชนดิ ไดแ้ ก่

1. จานวนตรรกยะท่ีเป็นจานวนเตม็ (Integers) เขยี นแทนด้วย I ประกอบดว้ ย จานวนเตม็ บวก ศนู ย์และจานวนเต็มลบ จานวนเต็มบวก (Positive Integer) ; I  หรือจานวนนบั (Counting Number) หรือจานวนธรรมชาติ (Natural Number) ; N ไดแ้ ก่ 1, 2, 3, 4, 5, … โดยท่ี 1 เปน็ จานวนเตม็ บวกทม่ี ีคา่ น้อยที่สดุ จานวนเตม็ บวกทม่ี คี ่ามากทีส่ ุด หาไม่ได้ จานวนเตม็ ลบ (Negative Integer) ; I  ได้แก่ – 1, – 2, – 3, – 4, – 5, … โดยท่ี – 1 เปน็ จานวนเตม็ ลบทม่ี ีคา่ มากทีส่ ดุ จานวนเตม็ บวกที่มคี า่ น้อยท่สี ดุ หาไม่ได้ 2. จานวนตรรกยะทีไ่ ม่ใช่จานวนเต็ม ประกอบดว้ ย1) จานวนท่เี ขียนในรปู เศษส่วนของจานวนเตม็ เม่ือตัวส่วนเปน็ ศูนย์ เช่น 1 ,  5 เปน็ ต้น 242) จานวนท่ีเขียนอยู่ในรปู ทศนิยมซ้า เช่น 2 = 2.0 = 2 1.414 = 1 1.414000 = 1414 10000.217 = 0.21717... = 215 990 จานวนอตรรกยะ : (Irrational Number) เขียนแทนดว้ ย Q′ คอื จานวนจรงิ ท่ีไม่ใชจ่ านวนตรรกยะเช่น 3 , – 5 , – 2.694365…, π 2 = 1.4142135… ≈ 1.414 3 = 1.7320508… ≈ 1.732 5 = 2.2360679… ≈ 2.236 π = 3.14159265… ≈ 3.1416สมบตั ขิ องจานวนจรงิ 1. สมบัตกิ ารเทา่ กันของจานวนจรงิ ใชส้ ัญลักษณ์ “ = ” แทนการเท่ากนั สมบัติการเทา่ กันของจานวนจริง มดี งั นี้ 1) สมบตั กิ ารสะทอ้ น ให้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ จะได้วา่ a = a เชน่ π เป็นจานวนจรงิ จะได้วา่ π = π 2) สมบตั กิ ารสมมาตร ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b แลว้ b = a เช่น ถา้ 3 = 2 + 1 แลว้ 2 + 1 = 3 3) สมบตั ิการถ่ายทอด ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b และ b = c แลว้ b = a เช่น ถา้ 2 2 = 4 และ 4 = 3 + 1 แล้ว 2 2 = 3 + 1 4) สมบตั ิการบวกด้วยจานวนท่ีเท่ากัน ให้ a, b และ c เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ถ้า a = b แลว้ a + c = b + c เชน่ ถ้า 2 3 = 6 และ c = 2 แล้ว (2 3) + 2 = 6 + 2

5) สมบตั กิ ารคณู ด้วยจานวนท่เี ทา่ กนั ให้ a, b และ c เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ถา้ a = b แลว้ a  c = b  c เช่น ถ้า 4 = 2 และ c = 3 แลว้  4  (3) = (2)(3) 2  2 2. สมบตั ิของจานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคณูเอกลกั ษณก์ ารบวก ในระบบจานวนจริง เรยี กจานวนจรงิ ทบี่ วกกับจานวนจริงใดๆ ก็ตาม แลว้ ไดผ้ ลลัพธ์เปน็ จานวนจริงนน้ัวา่ เอกลักษณก์ ารบวก เราจึงได้วา่ ถา้ z เปน็ เอกลักษณ์การบวกแล้ว z + a = a = a + z โดยท่ี a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ ในระบบจานวนจริงมีเอกลักษณ์การบวกเพียงจานวนเดียว คือ 0 โดยที่ a + 0 = a = 0 + a อินเวอรส์ การบวก ในระบบจานวนจริง อินเวอร์สการบวกของจานวนจริง a (แทนดว้ ยสญั ลักษณ์ – a) หมายถงึ จานวนจริงท่บี วกกบั a แลว้ ไดผ้ ลลัพธเ์ ป็น 0 เราจงึ ไดว้ า่ ถ้า a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ a + (– a) = 0 = (– a) + a น่ันคอื ถา้ จานวนสองจานวนบวกกันได้ศนู ย์ จะเรียกจานวนทง้ั สองวา่ เป็นอนิ เวอร์สการบวกซ่งึ กนั และกนั 2.1) สมบตั ิของจานวนจรงิ เกี่ยวกับการบวก จานวนจริงนอกจากจะมเี อกลักษณ์การบวกและอนิ เวอร์สการบวกแล้ว จานวนจริงยังมี สมบัตปิ ดิ สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ดงั นี้ สมบตั ิ การบวก ตัวอยา่ ง1. ปิด ถา้ aR และ bR แล้ว a + bR ถ้า 3, 4R แลว้ (3 + 4)R2. การสลบั ที่ 3+4 = 4+33. การเปลยี่ นกลมุ่ a+b = b+a 3 + (4 + 5) = (3 + 4) + 54. การมีเอกลกั ษณ์ 0+6 = 6 = 6+05. การมอี ินเวอร์ส a + (b + c) = (a + b) + c (– 6) + 6 = 0 = 6 + (– 6) มีจานวนจริง 0 ซงึ่ 0 + a = a + 0 สาหรบั จานวนจรงิ a จะมจี านวนจริง – a ท่ี (– a) + a = 0 = a + (– a)2.2) สมบัตขิ องจานวนจรงิ เกย่ี วกับการคูณเอกลกั ษณก์ ารคณู ในระบบจานวนจริง เรียกจานวนจรงิ ทไี่ มเ่ ป็นศูนย์ซึ่งคูณกับจานวนจริงจานวนใดก็ตามไดผ้ ลลัพธ์เป็นจานวนจรงิ จานวนนัน้ วา่ เอกลกั ษณก์ ารคูณ

กลา่ วคอื ถ้า b เป็นเอกลักษณก์ ารคูณ b ต้องไม่เปน็ 0 และ ba = a = ab โดยที่ a เปน็ จานวนจรงิ ใดๆ ในระบบจานวนจริงมีเอกลักษณก์ ารคูณจานวนเดยี ว คอื 1 โดยที่ a1 = a = 1a อินเวอรส์ การคณู ในระบบจานวนจรงิ อนิ เวอร์สการคณู ของจานวนจรงิ a  0 (แทนด้วยสญั ลักษณ์ a 1 ) หมายถึง จานวนจรงิ ทคี่ ูณกับ a แลว้ ไดผ้ ลลพั ธเ์ ป็น 1 กลา่ วคอื ถา้ a เป็นจานวนจรงิ ใดๆ a 1 a = 1 = aa 1 กลา่ วโดยสรุปสมบัตขิ องจานวนจรงิ เกี่ยวกับการคูณ มดี ังน้ี สมบตั ิ การคณู ตวั อย่าง 1. ปิด ถา้ aR และ bR แล้ว abR ถ้า 3, 4R แล้ว (34)R 2. การสลับที่ ab = ba 34 = 43 3. การเปลี่ยนกลุ่ม a (bc) = (ab) c 3 (45) = (34) 5 4. การมีเอกลกั ษณ์ มจี านวนจรงิ 1 และ 1  0 ซง่ึ 16 = 6 = 61 1a = a1 5. การมีอินเวอรส์ สาหรบั a ท่ี a  0 จะมจี านวนจรงิ a 1 1 6 = 1 = 6  1 ที่ a 1  a = 1 = a a 1 66 นอกจากสมบตั ขิ ้างต้นนีแ้ ล้ว ระบบจานวนจรงิ จะมรี ะบบย่อย R  ซง่ึ R   R มสี มบัตอิ ีก 3 ประการคอื 1. 0  R  และ ถ้า a เป็นจานวนจริงที่ a  0 แลว้ ต้องเปน็ ไปประการใดประการหนึ่งเท่าน้นั คอืaR  หรือ – aR  2. ถ้า a, bR  แลว้ a + b  R  3. ถา้ a, bR  แล้ว ab  R  ในระบบจานวนจริงยงั มสี มบัตทิ ่ีเก่ียวข้องท้ังการบวกและการคณู นนั่ คือ สมบัติการแจกแจงกลา่ วคอื เมื่อ a, b, c เป็นจานวนจริงใดๆ a(b + c) = ab + ac และ (b + c)a = ba + ca เชน่ 2 (5 + 8) = 25 + 82 หรือ (5 + 8) 2 = 52 + 82ขอ้ ควรรู้ การลบและการหารจานวนจริง นยิ ามการลบ เม่ือ a และ b เป็นจานวนจรงิ ใดๆ a – b = a + (– b) นิยามการหาร เมือ่ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ และ b  0 จะไดว้ ่า

6. กิจกรรมการเรยี นรู้ ข้ันนา 1. ครูทบทวนเรื่องจานวนตา่ งๆ ทนี่ ักเรียนเคยเรียนมาแล้ว โดยการใหน้ ักเรยี นชว่ ยกันยกตวั อยา่ งจานวนท่ีนักเรียนเคยเรยี นมาแลว้ ในระดบั ชัน้ มัธยมศึกษาตอนต้น โดยการถามตอบ แล้วครูเขียนบนกระดาน จนกระทัง่ ได้จานวนในรูปแบบตา่ ง ๆ กัน ซ่งึ นกั เรยี นควรตอบได้ครบทุกรปู แบบ คอื จานวนเต็มบวก หรือจานวนนับ ,จานวนเต็มลบ , ศูนย์ , เศษส่วน , ทศนิยม , ทศนยิ มไม่ซา้ และจานวนทีต่ ิดเคร่ืองหมายกรณฑ์ เช่น 2 , – 5, 0 , 1 , 0.9345825... , 0.8 , 2 เป็นตน้ 2 ข้นั สอน 2. ครอู ธิบายเก่ยี วกับระบบจานวนจรงิ ว่าประกอบด้วยจานวนใดบา้ ง และความหมายของจานวนต่างๆ ในระบบจานวนจริงพร้อมท้ังให้สัญลกั ษณแ์ ทนจานวนชนิดต่าง ๆ ซ่งึ จะอธิบายเรียงลาดับดังน้ี - จานวนเต็ม เขียนแทนด้วย I ประกอบด้วย จานวนเตม็ บวก ศนู ย์ และจานวนเต็มลบ - จานวนตรรกยะ เขยี นแทนด้วย Q คอื จานวนท่ีสามารถเขยี นในรูปเศษส่วนของจานวนเต็ม ซ่งึตัวหารไม่เปน็ ศูนย์ หรือจานวนทเ่ี ขียนในรปู ทศนยิ มซ้า (เพราะทศนิยมซ้าทุกจานวน สามารถเขยี นในรูปเศษส่วนได้) เชน่ 0, 5, – 2, 4.7, 3 , 22 , 2.468468468..., 3.724, 2.67 3,– 5,– 57 - จานวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วย Q′ คือ จานวนจริงที่ไม่ใชจ่ านวนตรรกยะ เชน่2.694365…, π - จานวนจรงิ เขียนแทนด้วย R ประกอบจานวนตรรกยะ และจานวนอตรรกยะ โดยเมอื่ อธบิ ายจานวนชนิดใดเสร็จแล้ว สมุ่ นกั เรยี นยกตัวอย่างประกอบ 3. ครอู ธิบายต่อวา่ ยงั มจี านวนอีกประเภทหนึ่ง ที่ไดจ้ ากสมการ x 2 = – 4 จะได้ x =  4 ซึ่งไม่ใช่จานวนจริงบอกไมไ่ ด้วา่ มากกวา่ ศูนย์หรอื นอ้ ยกว่าศนู ย์ เราจะเรียกจานวนประเภทน้ีว่า จานวนเชิงซอ้ นทไี่ ม่ใช่จานวนจรงิ และหากเรายูเนียนของเซตของจานวนจริงและเซตของจานวนเชิงซ้อนที่ไมใ่ ชจ่ านวนจริง เรยี กวา่จานวนเชิงซอ้ น ซึง่ เขียนแทนด้วย Z 4. ครแู ละนักเรยี นช่วยกนั สรปุ แผนผังจานวนชนดิ ตา่ ง ๆ ในระบบจานวนจรงิ โดยการถามตอบ 5. ครูอธบิ ายเกีย่ วกับการเทา่ กันในระบบจานวนจรงิ วา่ มีสมบัตกิ ารเทา่ กนั ใดบ้างทีเ่ ปน็ ข้อตกลงพื้นฐานโดยเรียงลาดับดงั น้ี 1) สมบตั กิ ารสะทอ้ น a=a 2) สมบัตกิ ารสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a 3) สมบตั กิ ารถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c 4) สมการบวกดว้ ยจานวนทีเ่ ทา่ กนั ถ้า a = b แลว้ a + c = b + c 5) สมบัตกิ ารคูณดว้ ยจานวนทีเ่ ท่ากนั ถ้า a = b แล้ว ac = bc โดยเม่อื อธิบายสมบัตใิ ดแล้ว ครูยกตัวอยา่ งประกอบการอธิบาย และสมุ่ นกั เรยี นยกตัวอย่างประกอบด้วย

6. ครอู ธิบายต่อในเรอื่ ง การบวกและการคณู ในระบบจานวนจรงิ โดยการถามนกั เรียนวา่ เอกลกั ษณ์การบวกของ 2 คืออะไร (นักเรยี นควรจะตอบว่า 0 เปน็ เอกลักษณ์การบวกของ 2) และครถู ามต่อว่า อินเวอรส์ การคูณของ 2 คืออะไร (นักเรยี นควรจะตอบวา่ – 2 เปน็ อนิ เวอรส์ การบวกของ 2) หลงั จากนัน้ ครูและนกั เรียนร่วมกันสรปุนิยามของเอกลักษณ์การบวกและอินเวอร์สการบวก ได้ดังนี้ เอกลกั ษณ์การบวก คือ จานวนจรงิ ทบี่ วกกับจานวนจริงใดๆ กต็ าม แล้วไดผ้ ลลัพธ์เปน็ จานวนจริง อินเวอร์สการบวกของจานวนจรงิ a (แทนด้วยสญั ลักษณ์ – a) คือ จานวนจรงิ ทีบ่ วกกับ a แลว้ ได้ผลลัพธเ์ ป็น 0 หลงั จากนั้นครูเน้นย้านักเรยี นว่า ในระบบจานวนจริงมเี อกลักษณ์การบวกเพียงจานวนเดียว คอื 07. ครถู ามนักเรยี นตอ่ ว่า เอกลกั ษณก์ ารคณู ของ 2 คืออะไร (นักเรยี นควรจะตอบวา่ 1 เปน็ เอกลกั ษณ์การคณู ของ 2) และครูถามต่ออีกว่า อนิ เวอรส์ การคูณของ 2 คืออะไร (นักเรยี นควรจะตอบว่า 1 เปน็ อินเวอรส์ การคณู 2ของ 2) หลังจากนนั้ ครูและนักเรียนรว่ มกันสรุปนยิ ามของเอกลักษณ์การคูณและอินเวอร์สการคณู ได้ดังนี้ เอกลักษณ์การคูณ คอื จานวนจรงิ ทีไ่ ม่เป็นศูนยซ์ งึ่ คูณกับจานวนจริงจานวนใดกต็ ามได้ผลลพั ธเ์ ป็นจานวนจรงิ จานวนนน้ั อินเวอร์สการคณู ของจานวนจรงิ a  0 (แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ )a 1 หมายถงึ จานวนจรงิ ท่ีคูณกับa แลว้ ได้ผลลัพธเ์ ปน็ 1 หลงั จากนั้นครูเนน้ ย้านักเรียนว่า ในระบบจานวนจรงิ มเี อกลักษณ์การคูณเพียงจานวนเดียว คอื 18. ครูอธบิ ายต่อว่า ในระบบจานวนจริงนอกจากจะมีสมบัติเอกลักษณก์ ารบวก , อนิ เวอร์สการบวก ,เอกลักษณ์การคูณ และอินเวอร์สการคูณ แล้วยังมีสมบัติอ่ืน ๆ อีก ได้แก่สมบัติ การบวก การคูณปิด ถ้า aR และ bR แล้ว a + bR ถ้า aR และ bR แล้ว abRสลบั ท่ี a + b = b + a ab = baเปลยี่ นหมู่ a + (b + c) = (a + b) + c a (bc) = (ab) cการมีเอกลักษณ์ มจี านวนจริง 0 ซงึ่ 0 + a = a + 0 มจี านวนจริง 1 และ 1  0 ซง่ึ 1a = a1การมีอินเวอรส์ สาหรบั จานวนจรงิ a จะมจี านวนจริง – a สาหรับ a ท่ี a  0 จะมจี านวนจริง a 1 ท่ี (– a) + a = 0 = a + (– a) ท่ี a 1  a = 1 = a a 1การแจกแจง a(b + c) = ab + ac ขั้นสรปุ 9. ครูและนักเรียนช่วยกันสรุปว่า ระบบจานวนจรงิ ประกอบดว้ ยจานวนใดบ้าง และจานวนแตล่ ะชนิดใช้สญั ลักษณ์แทนดว้ ยอะไรบา้ ง การเท่ากนั ของจานวนจริงและสมบตั ิของระบบจานวนจรงิ 10. ครใู ห้การบา้ นนักเรียน โดยให้นักเรียนทากจิ กรรมท่ี 2.1 , 2.2 ก ในหนังสือเรียนเสริม มาตรฐานแม็คคณิตศาสตรเ์ พ่มิ เตมิ ม.4 ภาคเรียนท่ี 1 หน้า 98-1087. สื่อ/แหล่งการเรียนรู้ 1. หนังสือคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ม.4 ของสานักพิมพ์ต่างๆ

8. การวัดผลและประเมินผลการเรยี นรู้ดา้ น การวัดผล การประเมนิ ผลความรู้ 1. การทากิจกรรม 2.1 : จานวนจริง 1. ถ้านักเรียน(คนใด)ตอบได้ถูกตอ้ ง มากกวา่ รอ้ ย 2. การทากจิ กรรม 2.2 ก : สมบัติของระบบ ละ 70 ของจานวนคาถามท้ังหมด ถอื ว่าผา่ น จานวนจรงิ 2. ถ้านักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกว่าร้อย 3. การตอบ “คาถามกระต้นุ การคิดเกยี่ วกบั ละ 70 ของจานวนคาถามทง้ั หมด ถอื ว่าผ่าน จานวนจริงและสมบัติของระบบจานวนจริง” 3. ถ้านักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกต้อง มากกวา่ ร้อย ของนักเรียน ท่ีครูถามระหว่างทาความเขา้ ใจ ละ 70 ของจานวนคาถามท้งั หมด ถือวา่ ผ่าน ในเนอื้ หาทกั ษะและ 1. การทากจิ กรรม 2.1 : จานวนจริง 1. สามารถใหเ้ หตุผลและอธบิ าย วธิ กี ารหากระบวนการ 2. การทากจิ กรรม 2.2 ก : สมบตั ขิ องระบบ คาตอบไดถ้ ูกต้อง ชดั เจน มากกว่ารอ้ ยละ 70 จานวนจริง ของจานวนคาถามทงั้ หมด ถือว่าผ่าน 3. การสงั เกตพฤตกิ รรมของนักเรียน 2. สามารถใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ทาง คณิตศาสตร์ในการส่ือสาร สอื่ ความหมายคณุ ลกั ษณะ 1. พฤตกิ รรมในชัน้ เรยี น ในขณะทาใบงาน ได้อยา่ ง ถกู ต้อง ชดั เจน ถือว่าผา่ น และการส่งการบ้านของนักเรียน 1. ถา้ นักเรยี น(คนใด)มีสว่ นรว่ มในการตอบ คาถามกระตุน้ ความคิด รวมถึงการทากจิ กรรมใน 2. มีความรบั ผดิ ชอบตอ่ งานท่ีไดร้ ับ ชน้ั เรียนในระดบั ปานกลาง ถือวา่ ผา่ น มอบหมาย 2. ถา้ นักเรยี น(คนใด)สง่ งานตามเวลาที่กาหนด ถือว่าผา่ น

9. บันทกึ หลังการสอน 9.1 ด้านความร(ู้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ด้านทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค(์ A)............................................................................................................................. ........................... 9.4 ดา้ นสมรรถนะสาคัญผ้เู รียน(C)........................................................................................................................................................ปญั หาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงช่อื ................................................ครผู สู้ อน (นางสมุ าพร จักรอินต๊ะ) วนั ที่ ........................................ความคิดเห็นหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ................................................หวั หนา้ กลุ่มสาระ (นางสมุ าพร จักรอินต๊ะ) วนั ท่ี ........................................ความคิดเหน็ หวั หน้ากลุม่ งานบริหารวิชาการ....................................................................................................................................................... ................... ลงชือ่ ..................................... หวั หนา้ กลุ่มงานบรหิ ารวชิ าการ (นางสาวทศั นีย์ วงทองด)ี วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นผบู้ ริหารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชอ่ื .............................................. (นายวนิ ยั คาวิเศษ) วนั ท่ี ........................................ ตาแหนง่ ผอู้ านวยการโรงเรียนหันคาราษฎร์รังสฤษด์ิ (......../................/............)

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 2 เรอ่ื ง การลบและการหารจานวนจรงิรายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม รหสั วชิ า ค31201 ระดับช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ครผู ู้สอน นางสุมาพร จักรอินต๊ะ ภาคเรยี นที่ 1 เวลา 3 ชัว่ โมง โรงเรยี นหนั คาราษฎรร์ ังสฤษด์ิ1. ผลการเรียนรทู้ ีค่ าดหวัง แก้สมการและอสมการในรูปแบบต่างๆ ได้2. สาระสาคญั- การลบจานวนจริงเมอ่ื a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ a – b = a + (– b)- การหารจานวนจรงิ a bเมือ่ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ b0; = a (b-1)3. จุดประสงค์การเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรยี นรแู้ กนกลาง(K) : เพ่ือใหน้ ักเรียน 3.1.1 นาสมบตั สิ มบตั ขิ องระบบจานวนจริงมาใชใ้ นการพิสจู น์ทฤษฎีบทได้ 3.1.2 บอกนยิ ามการลบและการหารจานวนจริงได้ 3.1.3. นานยิ ามการลบและการหารจานวนจริงไปใชพ้ สิ ูจน์ทฤษฎบี ทได้ 3.2 ด้าน ทักษะและกระบวนการ (P) : เพอื่ ให้นักเรยี น 3.2.1 สามารถอธิบายสมบัติของระบบจานวนจรงิ ท่นี ามาใช้ในการพสิ จู น์ทฤษฎีบทได้ 3.3 ดา้ นคุณลกั ษณะอนั พึงประสงค์ (A) : เพอื่ ให้นกั เรยี น 3.3.1 ใฝเ่ รยี นรู้ มีความมุ่งมั่น และมีวนิ ัยในชัน้ เรยี น 3.3.2 มคี วามรบั ผิดชอบต่องานท่ไี ด้รับมอบหมาย 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผู้เรียน (C) 3.4.1 ความสามารถในการคดิ

5. สาระการเรยี นรู้ทฤษฏีบทท่ี 1 (กฎการตดั ออกสาหรับการบวก) เมื่อ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1) ถ้า a + c = b + c แลว้ a = b 2) ถ้า a + b = a + c แล้ว b = cพิสูจน์1) a + c = b+c กาหนดให้ (a+c) + (-c) = (b+c) + (-c) สมบตั ิการบวกดว้ ยจานวนเดียวกัน a + [c+ (-c)] = b + [c + (-c)] สมบัติเปลย่ี นหม่กู ารบวก a + 0 = b + 0 อินเวอร์สการบวก a = b เอกลกั ษณ์การบวก ดังนัน้ ถา้ a + c = b + c แล้ว a = b สมบัติการถ่ายทอด2) a + b = a+c กาหนดให้ b + a = c + a สลบั ที่การบวก b = c จาก 1) ดงั นั้น ถา้ a + b = a + c แลว้ b = c สมบตั ิการถา่ ยทอดทฤษฏีบทที่ 2 (กฎการตัดออกสาหรับการคูณ) เม่ือ a, b และ c เป็นจานวนจริงใด ๆ 1) ถ้า ac = bc และ c  0 แลว้ a = b 2) ถ้า ab = ac และ c  0 แลว้ b = cพิสจู น์1) ac = bc และ c  0 กาหนดให้ (ac)c-1 = (bc)c-1 a(cc-1) = b (cc-1) จาก c  0 และสมบัติการคูณด้วยจานวนเดียวกัน การเปลย่ี นกลุม่ การคูณ a1 = b1 อินเวอร์สการคูณ a =b เอกลักษณ์การคูณ ดงั นั้น ถ้า ac = bc และ c  0 แลว้ b = c2) ab = ac และ c  0 กาหนดให้ ba = ca สลบั ท่กี ารคูณ b =c ทฤษฎบี ท 2 ข้อ 1) ดังนั้น ถ้า ab = ac และ c  0 แลว้ b = cทฤษฏบี ทที่ 3 เมื่อ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ a  0 = 0 และ 0  a = 0พิสูจน์ จาก 0+0 =0 เอกลักษณ์การบวก a(0+0) = a0 สมบัตกิ ารคูณด้วยจานวนเดียวกัน a0 + a0 = a0 การแจกแจง a0 + a0 = a  0+ 0 อนิ เวอรส์ การบวก

a0 = 0 ทฤษฎีบท 2 ข้อ 2)ทฤษฏบี ทที่ 4 ถ้า a เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ (-1) a = -aพิสูจน์ a + (-1)a = 1a + (-1)a เอกลักษณ์การคูณ = [1 +(-1)]a การแจกแจง ดังนนั้ a + (-1) a จะได้ (-1) a = 0a อินเวอร์สการบวก =0 ทฤษฎีบทที่ 3 = a +(-a) อินเวอร์สการบวก = a + (-a) สมบติ การถ่ายทอด = -a ทฤษฎบี ทที่ 1 ขอ้ 2)ทฤษฏีบทที่ 5 เมื่อ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ถา้ ab = 0 แลว้ a = 0 หรอื b = 0พสิ ูจน์ กรณที ี่ 1 a=0 a  0 จะมี a-1กรณีที่ 2 ab = 0 กาหนดให้ a-1(ab) = a-1 0 (a-1a)b = a-1 0 สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนเดียวกนั 1 b = a-1 0 การเปล่ยี นกลุ่มการคูณ b = a-1 0 อินเวอรส์ การคณู b =0 เอกลักษณ์การคูณ ทฤษฎีบทที่ 3นนั่ คอื ถา้ ab = 0 แล้ว a = 0 หรอื b = 0ทฤษฏีบทที่ 6 เมอื่ a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ 1. a(-b) = -(ab) 2. (-a)b = -(ab) 3. (-a)(-b) = abพสิ จู น์ = a (-b+b) การเปลย่ี นกลมุ่ การคูณ1. a(-b) + ab = = a0 อนิ เวอร์สการบวกดังน้ัน a(-b) +ab = 0 ทฤษฎีบทที่ 3จะได้ a(-b) -(ab) + ab อนิ เวอร์สการบวก = = -(ab) +ab -(ab) สมบัตกิ ารถ่ายทอด ทฤษฎีบทที่ 1 ข้อ 1)

2. (-a)b = b (-a) สลบั ทก่ี ารคณูดังนั้น (-a)b = -(ba) ทฤษฎีบทที่ 6 ขอ้ 1) = -(ab) สลับทกี่ ารคูณ = -(ab) สมบตั กิ ารถ่ายทอด3. (-a)(-b) = ab 0 (-b) อนิ เวอรส์ การบวก 0 ทฤษฎบี ทที่ 3 พสิ จู น์ [a+(-a)] (-b)= สมบตั ิการถ่ายทอด .........(1) = 0 การแจกแจง [a+(-a)] (-b) = ทฤษฎีบทที่ 6 ข้อ 1) สมบัติการถา่ ยทอด .........(2)และ [a+(-a)] (-b) = a(-b) + (-a) (-b) = 0 = -(ab) + (-a) (-b) = -(ab) + ab -(ab) + ab [a+(-a)] (-b) = -(ab) + (-a)(-b) = abจาก ...(1) และ ...(2) จะได้ -(ab) + (-a)(-b) =  -(ab) + (-a)(-b) จะได้ (-a)(-b)การลบและการหารจานวนจริงนยิ าม เมื่อ a และ b เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ a – b = a + (-b) aนยิ าม เมอ่ื a และ b เป็นจานวนจรงิ ใด ๆ b0; b = a (b-1)ทฤษฎีบทท่ี 1 ถ้า a , b และ c เป็นจานวนจริง 1. a(b-c) = ab – ac 2. (a-b)c = ac – bc 3. (-a)(b-c) = -ab + acพิสจู น์1. a (b-c) = a[b+(-c)] นิยามการลบ = ab +a(-c) การแจกแจง = ab + (-ac) ทฤษฎบี ทท่ี 6 ขอ้ 1) = ab - ac นยิ ามการลบ2. (a –b)c = [a + (-b)]c นิยามการลบ = ac + (-b)c การแจกแจง = ac + (-bc) ทฤษฎีบทท่ี 6 ขอ้ 2) = ac – bc นยิ ามการลบ

3. (-a) (b-c) = (-a)[b + (-c)] นยิ ามการลบ = (-a)(b) + (-a)(-c) การแจกแจง = (-ab) + ac ทฤษฎีบทที่ 6 ข้อ 3)ทฤษฎีบทที่ 2 (ab)-1 = a-1b-1 เมื่อ a, b  R ; a  0 และ b  0พิสูจน์ (a-1b-1)(ab) = (b-1a-1)(ab) = [(b-1a-1)a]b สลับทีก่ ารคณู = [b-1(a-1a)]b เปลย่ี นกลุ่มการคณู = [b-11]b เปล่ยี นกลมุ่ การคูณ = b-1b อินเวอร์สการคณู เอกลกั ษณ์การคูณ =1 อนิ เวอร์สการคูณ = (ab)-1(ab) อนิ เวอร์สการคณู(a-1b-1)(ab) = (ab)-1(ab)จะได้ a-1b-1 = (ab)-1 สมบตั ิการถ่ายทอด (ab)-1 = a-1b-1 ทฤษฎบี ทท่ี 1 ขอ้ 1) a c ac สมบัตสิ มมาตร b d bdทฤษฎบี ทท่ี 3    = เมือ่ a, b, c, d  R ; b  0 และ d 0พิสจู น์  a  c  = (ab-1)(cd-1) นิยามการหาร b d = [(ab-1)c]d-1 เปลยี่ นกลุม่ การคูณ = [a(b-1c)]d-1 เปลยี่ นกลมุ่ การคูณ = [a(cb-1)]d-1 สลับทกี่ ารคณู = [(ac)b-1]d-1 เปลย่ี นกลุ่มการคูณ = (ac)(b-1d-1) เปล่ียนกลุ่มการคูณ = (ac)(bd)-1 ทฤษฎบี ทที่ 2 ac = bd นิยามการหารทฤษฎบี ทท่ี 4 a = ac เมือ่ a, b, c  R ; b  0 และ c 0 b bc a c acพสิ จู น์  b  c  = bc ทฤษฎบี ทท่ี 3  a  (cc-1) = ac นิยามการหาร b bc a ac  b  1 = bc อินเวอรก์ ารคูณ

a = ac เอกลกั ษณ์การคูณ b bc  a  1 b b aทฤษฎีบทที่ 5 = เมอ่ื a, b  R ; a  0 และ b  0พสิ ูจน์  a 1 = (ab-1)-1 b = = =ทฤษฎบี ทที่ 6 a = ad เมอื่ a, b, c, d  R ; b  0; c  0 และ d  0 พิสจู น์ b bc c d =  a  c 1 นิยามการหาร a b d b ทฤษฎีบทท่ี 5 c a d ทฤษฎบี ทที่ 3 d b c =    = ad bcทฤษฎีบทท่ี 7 a  c = ad  bc เม่อื a, b, c, d  R ; b  0 และ d  0 พสิ จู น์ b d bd a c ad bc b  d = bd  bd = (ad)(bd)-1 +(bc)(bd)-1 = (ad+bc)(bd)-1 ad  bc = bdทฤษฎบี ทท่ี 8 a = c กต็ ่อเม่ือ ac = bc เม่ือ a, b, c, d  R ; b  0 และ d  0 พสิ ูจน์ b d a c a c 1) ถ้า b = d แล้ว ad = bc 2) ถ้า ad = bc แลว้ b = d

1) a = c ad = bc b d (ad)b-1 = (bc)b-1 ab-1 = cd-1 a(db-1) = (cb)b-1(ab-1)d = (cd-1)d a(b-1d) = e(bb-1)a(b-1d) = e(d-1d) (ab-1)d = c  1a(db-1) = c  1 (ab-1) d = c(ad) b-1 = c ((ab-1)d)d-1 = cd-1((ad)b-1)b = cb (ab-1)(dd-1) = c d-1(ad)(b-1b) = cb (ab-1)1 = cd-1 ab-1 = ed-1(ad)1 = cb a c b d ad = bc = a cนัน่ คอื ถา้ b = d แลว้ ad = bc a c b d นนั่ คือ ถา้ ad = แ แลว้ =จาก 1 และ 2 จะได้ a c b = d กต็ อ่ เมื่อ ad = bc เมอ่ื a, b, c, d  R ; b  0 และ d 0ตัวอยา่ ง จงหาค่าของ 1 , 2 , 5 , 3 และ 0 , 0 , 0 0 0 0 0 0 5 4 จากนยิ ามการหาร เมื่อ a และ b เป็นจานวนจริงใดๆ b 0 ; a = a(b-1) นั่นคอื a คือผลคูณของ a กบั b bอนิ เวอรส์ การคณู ของ b 1 เน่อื งจาก b = 1(b-1) = b-1 จะได้ a = a(b-1) = a  1  b b 10ดงั น้นั 3 คอื ผลคณู ของ 10 กับอนิ เวอรส์ การคณู ของ 3 (อินเวอร์สการคูณของ 3 คือ ) นัน่ คือ 10 = 10 ( ) 3 0 5 คอื ผลคูณของ 0 กับอนิ เวอร์สการคูณของ 5 (อินเวอรส์ การคูณของ 5 คือ ) นั่นคอื 0 = 0 ( ) 5

0 คือ ผลคณู ของ กับอินเวอรส์ การคณู ของ (อนิ เวอร์สการคูณของ คือ ) 4 ) 0 กับอนิ เวอรส์ การคูณของ แต่ 0 ไม่มีอนิ เวอร์สการคูณ นนั่ คือ 4 = 0 ( กบั อนิ เวอร์สการคูณของ แต่ 0 ไมม่ อี นิ เวอรส์ การคูณ 0 คอื ผลคูณของ 0 1 0 คอื ผลคณู ของ ถ้าให้ 0 มีอนิ เวอรส์ การคณู คือ a จะได้ ซง่ึเปน็ ไปไม่ได้ เพราะจากสมบัตขิ องศนู ย์ 0  a = 0 จากนยิ ามการหารในระบบจานวนจรงิ การหารจะทาได้กต็ ่อเมื่อตวั หารไมเ่ ป็นศนู ย์ เน่ืองจากศูนย์ไมม่ ีอนิ 0 1 2 5 3เวอร์สการคณู 0 , 0 , 0 , 0 , 0 จงึ ไมม่ ีความหมายในระบบจานวนจริง ดังนน้ั จงึ อาจกลา่ วได้ว่า a = c ก็ตอ่ เม่ือ a = bc เปน็ จรงิ ในกรณที ่ี b 0 เท่าน้ัน b 0 0 =1 เพราะ 0= 0  1 ถูกหรือไม?่ จงใหเ้ หตุผล!จากนยิ ามของศูนย์ ; 0 = 00 จะได้ 0 =0 0 0 0 = 01 จะได้ 0 =1 0 = 02 จะได้ 0 = 0 0 0 = 03 จะได้ 0 =ตามสมบตั ิการเท่ากนั จะได้ a ซึง่ เปน็ ไปไม่ได้ 0 นน่ั คอื เม่ือ a เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ ไม่มีความหมายในระบบจานวนจรงิ เขยี น a = ได้หรือไม่? 0 ไม่ใชส่ ัญลักษณ์แทนจานวนใดในระบบจานวนจรงิ แตเ่ ปน็ สญั ลักษณใ์ นระบบขยายของระบบจานวนจริง(extended real number system) โดยทวั่ ไปแลว้ ในทางคณติ ศาสตร์ การใชส้ ัญลกั ษณ์  และ - จะพบในเรื่องลาดบั และอนกุ รม ลิมติอินทกิ รัลไมจ่ ากัดเขตตัวอยา่ ง a2 a = a(a 1) = a เมือ่ a เปน็ จานวนจริงใด ๆ a 1 (a 1) เปน็ จรงิ หรอื เท็จ จงอธิบาย!

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ขน้ั นา 1. ครูให้นักเรยี นเสนอการบา้ นบางขอ้ ของคาบเรียนทีแ่ ลว้ 2. ครูทบทวนเรื่อง สมบตั ิของระบบจานวนจริง โดยใช้คาถามกระตุน้ เช่น - สมบตั ิของระบบจานวนจรงิ มีอะไรบา้ ง ( มีสมบัติปดิ การบวกและการคูณ , สมบตั ิการสลบั ท่ี การ บวกและการคูณ , สมบัติการเปลีย่ นหมกู่ ารบวกและการคูณ , สมบตั ิการมีเอกลกั ษณ์การบวกและการ คณู , สมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส์ การบวกและการคูณ และสมบัติการแจกแจง) - สมบัติปิดการบวก มีลกั ษณะเป็นอย่างไร (เซตของจานวนๆนนั้ บวกกันแลว้ ต้องอยใู่ นเซตเดิม) - ในระบบจานวนจริง เรียกจานวนจริงท่บี วกกบั จานวนจริงใดกต็ ามไดผ้ ลลัพธ์เป็นจานวนจริงจานวน นั้น ว่าอะไร (เอกลักษณ)์ - ในระบบจานวนจรงิ เรียกจานวนจริงทไี่ มเ่ ป็นศูนย์ ซ่ึงคูณกับจานวนจรงิ จานวนใดกต็ าม ไดผ้ ลลักธ์ เป็นจานวนจริงจานวนน้ันว่าอะไร (เอกลักษณ์การคูณ) - เอกลักษณ์การคณู มีกี่ตัว คือจานวนใด (มี 1 ตัว คอื 1) - อนิ เวอร์สการบวกของ a คือ (-a) - อนิ เวอร์สการคูณของ a คอื ( a1 ) ข้ันสอน 3. ครอู ธิบายวา่ ในระบบจานวนจริงนอกจากจะมีสมบตั ิของระบบจานวนจรงิ 11 ข้อท่ีกลา่ วไป แลว้ ในระบบจานวนจรงิ ยังมที ฤษฎีบทตา่ ง ๆ อีกมากมาย ทีส่ ามารถนาไปใช้ในการแกโ้ จทย์ปญั หาได้ หลังจากน้ันครูถามนักเรียนวา่ ทฤษฎบี ทในคณิตศาสตรค์ ืออะไร (นักเรยี นควรจะตอบวา่ ข้อความทีเ่ ป็นจริงเสมอและสามารถพสิ ูจนไ์ ด้ว่าเป็นจรงิ ) 4. ครเู ขียนทฤษฎีบทท่ี 1 (กฎการตดั ออกสาหรับการบวก) บนกระดาน หลงั จากนั้นอธบิ ายการพิสูจน์ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้นกั เรยี นเข้าใจโดยใชว้ ิธกี ารถามตอบวา่ ต้องใช้สมบตั ิของระบบจานวนจริงขอ้ ใด 5. ครูแบง่ นักเรียนเป็น 9 กลุ่ม กลมุ่ ละ 4 – 5 คน และให้ชว่ ยกันพิสูจน์ทฤษฎีบทกลุ่มละ 1 ทฤษฎีบทโดยการจบั ฉลาก เมื่อทราบว่าไดท้ ฤษฎีบทไหนแลว้ ใหป้ รึกษาและชว่ ยกันทา และเม่ือกลุ่มไหนเสรจ็ แลว้ ให้ออกมาแสดงการพิสจู นบ์ นกระดาน ในขณะทีน่ กั เรยี นชว่ ยกันทาอยูน่ ัน้ ครูคอยชว่ ยช้แี นะทกุ กลมุ่ ที่ทาไม่ได้ 6. เมือ่ ทุกกลมุ่ ออกมาแสดงการพสิ ูจน์บนกระดาน แลว้ ให้นักเรยี นทุกคนช่วยกนั ตรวจสอบความถูกต้องโดยครเู ป็นผถู้ ามให้นักเรียนช่วยกันตอบ 7. ครูอธิบายนยิ ามการลบจานวนจรงิ ว่า เม่อื a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ a – b = a + (– b) พร้อมกบั ยกตวั อย่าง เช่น 3 – 4 = 3 + (– 4) 8. ครูอธิบายนิยามการหารจานวนจริงต่อวา่ เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ โดยที่ b  0 จะได้วา่a = a(b1) พรอ้ มกบั ยกตวั อย่าง เชน่ 3 = 3(4 1 )b4 9. ครูอธิบายต่อวา่ ทฤษฎบี ทในระบบจานวนจริงบางทฤษฎจี ะตอ้ งใชน้ ยิ ามการลบและการหารจานวนจรงิ มาชว่ ยในการพิสูจน์ หลงั จากนนั้ ครูเขยี นทฤษฎีบทท่ี 1 ข้อ 1. ย่อย บนกระดาน แล้วครูอธิบายการพิสูจน์ทฤษฎบี ทท่ี 1 ให้นกั เรยี นเข้าใจโดยใชว้ ิธกี ารถามตอบวา่ ต้องใชส้ มบัตขิ องระบบจานวนจริง นิยาม หรือทฤษฎบี ทขอ้ ใดมาใหเ้ หตุผลในการพสิ จู น์

10. ครูให้นักเรยี นแตล่ ะกลมุ่ ช่วยกันพิสจู น์ทฤษฎบี ททเ่ี หลือ กล่มุ ละ 1 ทฤษฎีบท โดยการจับฉลาก เมือ่กลุม่ ไหนพสิ ูจน์เสร็จแลว้ ให้ออกมาแสดงวธิ ีการพิสูจน์บนกระดาน ในขณะทนี่ ักเรียนช่วยกันทาอย่นู นั้ ครูคอยชแี้ นะทุกกลมุ่ ที่ทาไม่ได้ 11. เมอ่ื ทุกกล่มุ ออกมาแสดงการพิสูจนบ์ นกระดาน แล้วใหน้ ักเรยี นช่วยกนั ตรวจสอบความถูกตอ้ ง โดยครูเปน็ ผถู้ ามใหน้ ักเรียนชว่ ยกันตอบ 12. ครูถามนักเรยี นว่า 1 กับ 0 มคี ่าเท่ากับเท่าใด (นักเรยี นควรจะตอบวา่ ไมน่ ิยาม) หลงั จากนั้นครู 00อธิบายถงึ เหตผุ ลทว่ี า่ 1 กบั 0 ไมม่ คี วามหมายในระบบจานวนจริง 00 ขนั้ สรุป 13. ครูตง้ั คาถามกระต้นุ เพ่ือเป็นการตรวจสอบความเข้าใจองนกั เรยี น เชน่ - ทฤษฎีบททัง้ หมดทีพ่ ิสจู น์ในวนั นม้ี กี ที่ ฤษฎบี ท (14 ทฤษฎีบท) - นยิ ามการลบจานวนจริง คือ (เม่ือ a และ b เปน็ จานวนจริงใด ๆ จะได้วา่ a – b = a + (– b) ) - นิยามการหารจานวนจรงิ คอื ( เม่ือ a และ b เป็นจานวนจริงใด ๆ โดยที่ b  0 จะได้วา่ a = )a(b1) b 14. ครใู ห้การบา้ นนักเรียน โดยให้นักเรยี นทากจิ กรรมที่ 2.2 ข ในหนังสอื เรียนเสริม มาตรฐานแมค็คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เติม ม.4 ภาคเรียนที่ 1 หน้า 111-1147. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้ 1. หนงั สอื คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 ของสานักพิมพ์ต่างๆ

8. การวัดผลและประเมนิ ผลการเรยี นรู้ด้าน การวัดผล การประเมนิ ผล 1. ถา้ นักเรียน(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกวา่ รอ้ ยความรู้ 1. การทากิจกรรม 2.2 ข : การลบและการ ละ 70 ของจานวนคาถามท้ังหมด ถอื ว่าผ่าน หารจานวนจริง 2. ถ้านักเรียน(คนใด)ตอบได้ถูกต้อง มากกวา่ ร้อย 2. การตอบ “คาถามกระตนุ้ การคดิ เกีย่ วกบั ละ 70 ของจานวนคาถามท้งั หมด ถือวา่ ผ่าน การลบและการหารจานวนจรงิ ” ของ นกั เรยี น ท่ีครูถามระหว่างทาความเข้าใจใน 1. สามารถใหเ้ หตุผลและอธิบายวธิ ีการหา เนอ้ื หา คาตอบไดถ้ ูกต้อง ชดั เจน มากกวา่ รอ้ ยละ 70 ของจานวนคาถามทัง้ หมด ถือวา่ ผา่ นทักษะและ 1. การทากจิ กรรม 2.2 ข : การลบและกระบวนการ การหารจานวนจริงคุณลักษณะ 1. พฤตกิ รรมในชน้ั เรยี น ในขณะทาใบงาน 1. ถา้ นักเรยี น(คนใด)มสี ่วนรว่ มในการตอบ และการส่งการบ้านของนักเรียน คาถามกระต้นุ ความคดิ รวมถึงการทากจิ กรรมใน ช้ันเรยี นในระดับปานกลาง ถือวา่ ผ่าน 2. มีความรับผดิ ชอบตอ่ งานทไี่ ด้รบั 2. ถา้ นักเรยี น(คนใด)สง่ งานตามเวลาทก่ี าหนด มอบหมาย ถอื วา่ ผ่าน

9. บันทึกหลังการสอน 9.1 ด้านความร(ู้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค(์ A)............................................................................................................................. ........................... 9.4 ดา้ นสมรรถนะสาคญั ผเู้ รียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ............................................................................................................................................... ........................... ลงชื่อ ................................................ครูผสู้ อน (นางสมุ าพร จกั รอินต๊ะ) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงชอ่ื ................................................หวั หนา้ กล่มุ สาระ (นางสุมาพร จักรอินต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหัวหน้ากลุ่มงานบริหารวิชาการ......................................................................................................................................................................... . ลงชื่อ ..................................... หัวหน้ากลมุ่ งานบรหิ ารวิชาการ (นางสาวทัศนีย์ วงทองดี) วันที่ ........................................ความคิดเหน็ ผบู้ ริหารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชือ่ .............................................. (นายวนิ ัย คาวเิ ศษ) วนั ที่ ........................................ ตาแหน่ง ผูอ้ านวยการโรงเรียนหันคาราษฎรร์ ังสฤษด์ิ (......../................/............)

แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 3 เรื่อง ทฤษฎบี ทเศษเหลือรายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเตมิ รหสั วชิ า ค31201 ระดับช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 4กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ครผู ู้สอน นางสมุ าพร จกั รอินตะ๊ ภาคเรียนท่ี 1 เวลา 1 ช่วั โมง โรงเรียนหันคาราษฎร์รงั สฤษด์ิ1. ผลการเรยี นรู้ที่คาดหวัง แกส้ มการและอสมการในรปู แบบต่างๆ ได้2. สาระสาคัญ ทฤษฎีบทเศษเหลอื เม่ือ P(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 โดยที่ n เปน็ จานวนเต็มบวก an, an-1, … , a1,a0 เปน็ จานวนจรงิ ซงึ่ an  0 ถ้าหารพหุนาม P(x) ดว้ ยพหุนาม x-c เมื่อ c เป็นจานวนจรงิ แลว้ เศษจะเทา่ กับ P(c)3. จุดประสงค์การเรียนรู้ 3.1 สาระการเรียนรู้แกนกลาง(K) : เพ่ือใหน้ กั เรียน 3.1.1 บอกทฤษฎีบทเศษเหลือได้ 3.1.2 ใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลือหาเศษจากการหารพหนุ ามดว้ ยพหุนามที่กาหนดใหไ้ ด้ 3.2 ด้าน ทกั ษะและกระบวนการ (P) : เพือ่ ให้นักเรยี น 3.2.1 สามารถให้เหตผุ และอธบิ ายการใช้ทฤษฎบี ทเศษเหลือหาเศษจากการหารพหนุ ามด้วย พหนุ ามท่ี กาหนดให้ได้ 3.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์ (A) : เพือ่ ใหน้ กั เรียน 3.3.1 ใฝเ่ รยี นรู้ มีความมงุ่ มน่ั และมีวนิ ัยในชัน้ เรียน 3.3.2 มคี วามรบั ผิดชอบต่องานท่ไี ด้รับมอบหมาย 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน : แบบฝึกหดั5. สาระการเรยี นรู้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ (remainder theorem) เมื่อ P(x) คอื พหนุ าม anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเตม็ บวก an, an-1, … , a1,a0 เป็นจานวนจรงิ ซ่งึ an 0

ถ้าหารพหนุ าม P(x) ด้วยพหุนาม x-c เม่อื c เปน็ จานวนจริง แลว้ เศษจะเทา่ กับ P(c)พิสจู น์ โดยทฤษฎบี ทข้นั ตอนวิธีหาร จะมีพหุนาม Qx และ r x ซง่ึ P x  x  cQx  r x โดยท่ี r x เทา่ กับ 0 หรือมีดีกรีนอ้ ยกวา่ x  c เน่อื งจาก x  c มดี กี รีเท่ากบั 1 ดังนั้น r x เทา่ กับ 0 หรอื มีดีกรีเทา่ กับ 0 นั่นคือ r x เป็นจานวนจริง เขยี นแทนดว้ ย R ดงั นน้ั Px  x  cQx  R เน่อื งจากสมการข้างต้นเปน็ จริงสาหรับจานวนจริง x ทุกจานวน กรณี x  c จะไดว้ า่ Pc  c  cQc  R ดงั นั้น Pc  R นัน่ คือเศษเหลอื จากการหาร P xดว้ ย x  c เท่ากบั Pcตัวอยา่ งที่ 3 จงหาเศษเหลอื จากการหาร x3  6x2 11x  6 ดว้ ย x 1วธิ ที า ให้ P(x) = x3  6x2 11x  6 หารดว้ ย x – c = x – 1 จะได้ c = 1 ดงั น้นั เศษเหลือท่ีได้จากการหาร คือ P(c) = P(1) = (1) 3 – 6(1) 2 + 11(1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 =0 นั่นคอื เศษเหลือจากการหาร x3  6x2 11x  6 ด้วย x 1 คอื 0ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาเศษเหลอื จากการหาร x4  x3  7x2  x  6 ด้วย x 1วธิ ที า ให้ P(x) = x4  x3  7x2  x  6 หารด้วย x – c = x + 1 = x – (– 1) จะได้ c = – 1 ดังน้ัน เศษเหลอื ที่ได้จากการหาร คอื P(c) = P(– 1) = (– 1) 4 + (– 1) 3 – 7(– 1) 2 – (– 1) + 6 = 1–1–7 +1+6 =0 นั่นคือ เศษเหลือจากการหาร x4  x3  7x2  x  6 ดว้ ย x 1 คอื 0

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาเศษเหลอื จากการหาร x4  3x3  2x2  x 1ด้วย x  2วธิ ที า ให้ P(x) = x4  3x3  2x2  x 1 หารดว้ ย x – c = x – 2 จะได้ c = 2 ดงั นน้ั เศษเหลือท่ีไดจ้ ากการหาร คอื P(c) = P(2) = (2) 4 + 3(2) 3 – 2(2) 2 + 2 + 1 = 16 + 24 – 8 + 2 + 1 = 35 นั่นคอื เศษเหลือจากการหาร x4  3x3  2x2  x 1 ดว้ ย x  2 คือ 356. กจิ กรรมการเรียนรู้ ขัน้ นา 1. ครูให้นักเรียนเสนอการบา้ นบางข้อของคาบท่ีแลว้ 2. ครูทบทวนเรื่อง สมบตั ิของจานวนจรงิ โดยการถามนักเรียนว่า ในระบบจานวนจรงิ สมบัติทน่ี กั เรียนได้ศึกษาไปแลว้ นัน้ มีกสี่ มบัติอะไรบา้ ง (นักเรยี นควรจะตอบว่า มี 11 สมบตั ิ คือ สมบัตปิ ิดการบวกและการคูณสมบตั กิ ารสลับทีก่ ารบวกและการคณู สมบัติการเปลีย่ นกลุ่มการบวกและการคณู สมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณ์การบวกและการคูณ สมบตั ิการมีอินเวอรส์ การบวกและการคูณ และสมบตั ิการแจกแจง) ขน้ั สอน 3. ครูเขียนโจทย์บนกระดาน เช่น 2x 4 – 7x 3 + x 2 + 5x – 2 หารด้วย x – 3 หลงั จากนนั้ ให้นักเรียนชว่ ยกันหาผลหาร และเศษตามทน่ี กั เรยี นเคยเรยี นมาในมัธยมศกึ ษาตอนต้น ซ่งึ นักเรยี นควรจะหาได้ว่า ผลหารคือ 2x 3 – x 2 – 2x – 1 และเศษ คอื – 5 4. ครูอธบิ ายว่า ในการหาเศษเหลอื ของพหนุ ามดว้ ยวิธที ี่นกั เรียนทาแลว้ ยงั มีอีกวธิ ี คือ การใชท้ ฤษฎบี ทเศษเหลอื 5. ครอู ธิบาย ทฤษฎีบทเศษเหลือ ให้นกั เรยี นเขา้ ใจพรอ้ มกบั อธบิ ายตัวอย่างที่ 3 ใหน้ ักเรยี นเขา้ ใจหลังจากนนั้ ใหน้ กั เรียนทาตวั อยา่ งที่ 4 และตัวอยา่ งที่ 5 ครูเดินดนู กั เรยี นและคอยตอบข้อสงสัยของนกั เรียน เมื่อนักเรียนทาเสร็จ ครสู มุ่ นักเรียน 2 คน ออกมาเฉลยบนกระดาน ครแู ละเพ่ือนนักเรียนที่เหลอื ชว่ ยกันตรวจสอบความถกู ตอ้ ง ขน้ั สรุป 6. ครูต้งั คาถามกระตนุ้ เพ่อื เป็นการตรวจสอบความเขา้ ใจองนักเรยี น เช่น - นกั เรียนสามารถหาเศษเหลือของพหนุ ามไดด้ ้วยวธิ ีใดบ้าง (การต้งั หารยาว , การใชท้ ฤษฎีบทเศษเหลอื ) 7. ครูให้การบ้านนักเรยี น โดยให้นกั เรยี นทากิจกรรมที่ 2.3 ในหนงั สือเรยี นเสรมิ มาตรฐานแม็คคณติ ศาสตรเ์ พิ่มเตมิ ม.4 ภาคเรียนท่ี 1 หนา้ 116-1207. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้ 1. หนังสือคณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 ของสานักพิมพต์ ่างๆ

8. การวดั ผลและประเมนิ ผลการเรียนรู้ด้าน การวัดผล การประเมนิ ผลความรู้ 1. การทากจิ กรรม 2.3 : การแกส้ มการ 1. ถา้ นักเรียน(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกว่ารอ้ ยทกั ษะและ พหนุ ามตวั แปรเดยี ว ละ 70 ของจานวนคาถามท้งั หมด ถอื ว่าผ่านกระบวนการ 2. การตอบ “คาถามกระตุ้นการคิดเกย่ี วกบั 2. ถ้านักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกต้อง มากกว่าร้อย ทฤษฎบี ทเศษเหลือ” ของนกั เรียน ท่ีครูถาม ละ 70 ของจานวนคาถามทั้งหมด ถือว่าผ่าน ระหว่างทาความเข้าใจในเนอื้ หา 1. การทากจิ กรรม 2.3 : การแก้สมการ 1. สามารถใหเ้ หตุผลและอธบิ ายวิธกี ารหา พหุนามตวั แปรเดยี ว คาตอบไดถ้ ูกต้อง ชดั เจน มากกว่ารอ้ ยละ 70 ของจานวนคาถามทั้งหมด ถือวา่ ผ่านคุณลกั ษณะ 1. พฤตกิ รรมในชนั้ เรียน ในขณะทาใบงาน 1. ถ้านักเรียน(คนใด)มีส่วนรว่ มในการตอบ และการสง่ การบา้ นของนักเรียน คาถามกระตุ้นความคิด รวมถึงการทากจิ กรรมใน ชั้นเรียนในระดบั ปานกลาง ถือว่าผ่าน 2. มคี วามรับผิดชอบต่องานที่ไดร้ บั 2. ถ้านักเรยี น(คนใด)ส่งงานตามเวลาที่กาหนด มอบหมาย ถอื ว่าผา่ น

9. บันทกึ หลงั การสอน 9.1 ด้านความรู(้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................. .................................. 9.3 ด้านคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค(์ A)........................................................................................................................................................ 9.4 ด้านสมรรถนะสาคญั ผเู้ รียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปญั หาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ................................................ครูผสู้ อน (นางสุมาพร จกั รอนิ ต๊ะ) วนั ท่ี ........................................ความคิดเห็นหัวหน้ากล่มุ สาระการเรียนรู้................................................................................................ .......................................................................... ลงชอ่ื ................................................หวั หนา้ กลุ่มสาระ (นางสุมาพร จกั รอินต๊ะ) วนั ท่ี ........................................ความคิดเหน็ หวั หนา้ กลุ่มงานบรหิ ารวชิ าการ............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ..................................... หัวหนา้ กลุ่มงานบรหิ ารวชิ าการ (นางสาวทัศนยี ์ วงทองดี) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นผูบ้ รหิ ารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชอื่ .............................................. (นายวนิ ยั คาวิเศษ) วนั ท่ี ........................................ ตาแหนง่ ผู้อานวยการโรงเรียนหันคาราษฎร์รังสฤษดิ์ (......../................/............)

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 4 เร่อื ง ทฤษฎีบทตัวประกอบและทฤษฎบี ทตวั ประกอบจานวนตรรกยะรายวิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเตมิ รหสั วชิ า ค31201 ระดับช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 4กลุ่มสาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ภาคเรยี นที่ 1 เวลา 1 ช่ัวโมงครูผสู้ อน นางสุมาพร จกั รอินต๊ะ โรงเรยี นหันคาราษฎร์รงั สฤษดิ์1. ผลการเรียนร้ทู ่คี าดหวัง แกส้ มการและอสมการในรปู แบบตา่ งๆ ได้2. สาระสาคัญทฤษฎบี ทตัวประกอบ (factor theorem)เมือ่ P(x) คือ พหุนาม anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 โดยที่ n เปน็ จานวนเตม็ บวกan, an-1,… , a1, a0 เป็นจานวนจริง ซึง่ an  0 พหนุ าม P(x) น้จี ะมี x – c เป็นตัวประกอบ กต็ อ่ เมื่อ P(c) = 0ทฤษฎบี ทตัวประกอบจานวนตรรกยะเม่อื P(x) คือ พหนุ าม anxn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0 โดยท่ี n เป็นจานวนเต็มบวกan , an-1,…, a1, a0 เป็นจานวนเต็ม ซง่ึ an  0 kถา้ (x – m ) เปน็ ตวั ประกอบของพหนุ าม P(x) โดยท่ี m และ k เป็นจานวนเตม็ ซึ่งm  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กบั 1แล้ว k จะเป็นตัวประกอบของ a0 m จะเป็นตวั ประกอบของ an3. จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 3.1 สาระการเรียนรูแ้ กนกลาง(K) : เพ่อื ใหน้ ักเรียน 3.1.1 บอกทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎบี ทตัวประกอบจานวนตรรกยะได้ 3.1.2 นาทฤษฎีบทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะมาใชใ้ นการแยกตวั ประกอบได้ 3.1.3 แกส้ มการตวั แปรเดยี วทีก่ าหนดให้ได้ 3.2 ด้าน ทักษะและกระบวนการ (P) : เพอ่ื ให้นักเรียน 3.2.1 สามารถอธบิ ายวธิ ีการนาทฤษฎบี ทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตวั ประกอบจานวน ตรรกยะมาใชใ้ นการแยกตวั ประกอบได้ 3.3 ด้านคุณลักษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : เพอ่ื ใหน้ ักเรียน 3.3.1 ใฝเ่ รียนรู้ มคี วามมุ่งมนั่ และมีวินยั ในชน้ั เรียน 3.3.2 มคี วามรับผิดชอบตอ่ งานทีไ่ ดร้ ับมอบหมาย

3.4 สมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการคดิ 3.4.2 ความสามารถในการแก้ปญั หา4. ภาระงาน : แบบฝกึ หดั5. สาระการเรียนรู้ทฤษฎีบทตัวประกอบ (factor theorem) เมื่อ P(x) คือ พหนุ าม anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 โดยที่ n เปน็ จานวนเต็มบวก an, an-1,… , a1, a0 เปน็ จานวนจรงิ ซง่ึ an  0 พหนุ าม P(x) น้ีจะมี x – c เป็นตวั ประกอบ กต็ อ่ เมื่อ P(c) = 0พิสจู น์ () ให้ x – c เปน็ ตัวประกอบของ P(x) จะได้ว่า x – c หาร P(x) ลงตัว นั่นคือ จะมี Q(x) โดยท่ี P(x) = (x – c)Q(x) + 0 โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ จะไดว้ ่า P(c) = 0 ( ) ให้ P(c) = 0 มี Q(x) และ R โดยที่ P(x) = (x – c)Q(x) + R โดยทฤษฎีบทเศษเหลือ R = P(c) = 0 ดังน้นั P(x) = (x – c)Q(x) นัน่ คือ x – c เปน็ ตัวประกอบของ P(x)ทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะan-1,…, เมือ่ P(x) คือ พหุนาม anxn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0 โดยท่ี n เปน็ จานวนเต็มบวก an, a1, a0 –เปน็mkจา) นเวปน็นเตตัว็มปรซะ่งึ กอaบnของพ0หนุ าม ถา้ (x P(x) โดยท่ี m และ k เปน็ จานวนเต็ม ซ่งึm  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กบั 1 แลว้ k จะเปน็ ตวั ประกอบของ a0 m จะเปน็ ตัวประกอบของ anตวั อย่างที่ 1 จงแยกตวั ประกอบของ 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 k เป็นตวั ประกอบของ – 8 ; จานวนเต็มทีห่ าร – 8 ลงตัว คอื 1, 2, 4, 8 m เปน็ ตัวประกอบของ 3 ; จานวนเต็มท่หี าร 3 ลงตวั คอื 1, 3

ดังนน้ั จานวนตรรกยะ k ที่ทาให้ p  k  = 0 (หารลงตวั ) จะเป็นจานวนท่อี ยูใ่ นกลุ่มของ m mจานวนตอ่ ไปน้ี คือ 1, 2, 4, 8,  1 ,  2 ,  4 ,  8 , 3 3 3 3จานวนเหลา่ น้ี ได้มาจากจานวนทเี่ ปน็ ตัวประกอบของ – 8 หารดว้ ย จานวนทีเ่ ปน็ ตวั ประกอบของ 3 โดย ห.ร.ม.ของตวั ตัง้ และตัวหาร ตอ้ งเทา่ กบั 1 k ตวั ตง้ั ตวั หารเป็นการพิจารณาค่า C, m P(x)  (x – c) ได้เศษ P(c) k k P(x)  (x – m ) ไดเ้ ศษ p( m )ใชท้ ฤษฎบี ทตวั ประกอบ และทฤษฎีบทเศษเหลือ ในการแยกตัวประกอบข้นั ที่ 1 หาตัวหาร (x – c) ซง่ึ หาร 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 ลงตวั น่นั คือ เศษจากการหาร = 0 P(c) = 0 พิจารณา c = 2 P(x) = 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 เศษ = P(c) = 3(2) 3 + 2(2) 2 – 12(2) – 8 = 3(8) + 2(4) – 24 – 8 = 24 + 8 – 24 – 8 =0 ดังนัน้ (x – c) = (x – 2) เปน็ ตวั หาร ทห่ี าร P(x) ลงตัว นนั่ คือ (x – 2) เปน็ ตวั ประกอบหน่งึ ของ 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8ขน้ั ท่ี 2 หาผลลพั ธจ์ ากการหาร P(x) ด้วย (x – c) ซึง่ ไดเ้ ศษ = 03x 3 + 2x 2 – 12x – 8  (x – 2) c=2ทาได้ 2 วิธี คอื หารยาว, หารสงั เคราะห์ 23 26+ -1162+ -88+ x 4 0 เศษ 3x 8 xผลลัพธ์ คอื 3x 2 + 8x1 + 4x 0 เศษ 0 = 3x 2 + 8x + 4ข้นั ที่ 3 ตัวตัง้ = (ตัวหาร) (ผลลพั ธ์) + เศษ

ตัวต้ัง = (ตัวหาร) (ผลลพั ธ)์ + 0 ตวั ต้งั = (ตวั หาร) (ผลลพั ธ์) จากขน้ั ที่ 1 ได้ตัวหารท่ีหาร 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 ไดล้ งตวั คือ (x – 2) จากขนั้ ท่ี 2 ไดผ้ ลลัพธ์จากการหาร คือ 3x 2 + 8x + 4 ดังนั้น 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 = (x – 2) (3x 2 + 8x + 4) = (x – 2)(3x + 2)(x + 2) +2x +6xการแกส้ มการตัวอย่างท่ี 2 จงแกส้ มการ 3x 3 + 2x 2 – 12x – 8 = 0 จากขนั้ ที่ 3 ในตวั อยา่ งที่ 1 ข้างตน้ จะได้ (x – 2)(3x 2 + 8x + 4) = 0 (x – 2)(3x + 2)(x + 2) = 0  x = 2, 2 , – 2 3 ดงั นั้น เซตคาตอบของสมการ คอื {2, 2 , – 2} 3ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาคาตอบของสมการ 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3 = 0 k การพิจารณาคา่ c หรอื m ตามทฤษฎีบทตวั ประกอบ k เป็นตัวประกอบของ – 3 ; จานวนเต็มทหี่ าร – 3 ลงตวั คอื 1, 3 m เปน็ ตัวประกอบของ 12 ; จานวนเต็มทห่ี าร 12 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6,12 k k m m ดังนั้นจานวนตรรกยะ ทที่ าให้ p( ) = 0 (หารลงตวั ) จะเป็นจานวนที่อยู่ในกลมุ่ ของ เศษ จานวนตอ่ ไปนี้ คือ 1,  1 ,  1 ,  1 ,  1 ,  1 2 3 4 6 12 3 3 3 3 3 3,  2 ,  3 ,  4 ,  6 ,  12 ซ้า ซ้า ซ้า

แยกตวั ประกอบของพหุนาม P(x) = 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3ขั้นที่ 1 หา (x – c) ทีห่ าร P(x) ลงตัว 1พจิ ารณา c = 2 1 P(x) = 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3 2เศษ = P(c) = p   = 12  1 3 + 16  1 2 – 5  1  –3  2   2   2  = 12  1  + 16  1  – 5 –3  8   4   2  = 3+4– 5–3 22 = 1– 2 2 1 =0 2ดงั น้ัน (x – c) = (x – ) หาร P(x) ลงตวันน่ั คือ (x – 1 ) เป็นตัวประกอบหนึง่ ของ 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3 2ขน้ั ที่ 2 หาผลลัพธจ์ ากการหาร P(x) ด้วย (x – c) ซ่งึ ไดเ้ ศษ = 0 โดยการหารสงั เคราะห์ 112x 3 + 16x 2 – 5x – 3  (x – 2 ) 1 2 12 166+ -151+ -33+ x 12x 22 6 0 เศษ xผลลัพธ์ คอื 12x 2 + 22x1 + 6x 0 เศษ 0 = 12x 2 + 22x + 6ขัน้ ที่ 3 ตวั ตัง้ = (ตวั หาร) (ผลลพั ธ)์ + เศษ 0จะได้ 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3 = 1 (x – 2 )(12x 2 + 22x + 6) = = (x – 1 )(2)(6x 2 + 11x + 3) = 2 (2x – 1)(6x 2 + 11x + 3) (2x – 1)(3x + 1)(2x + 3)

จากสมการ 12x 3 + 16x 2 – 5x – 3 = 0จะได้ (2x – 1)(6x 2 + 11x + 3) = 0 (2x – 1)(3x + 1)(2x + 3) = 0 2x – 1 = 0 หรอื 3x + 1 = 0 หรอื 2x + 3 = 0 2x = 1 3x = – 1 2x = – 3 1 1 3 x = 2 x = - 3 x = - 2 x = 1 , - 1 , - 3 2 3 2เซตคาตอบ คอื { 1 ,  1 ,  3 } 2326. กจิ กรรมการเรยี นรู้ ข้นั นา 1. ครเู สนอการบ้านบางข้อของคาบเรียนที่แล้ว 2. ครูทบทวนเร่ือง ทฤษฎบี ทเศษเหลือ โดยการเขียนพหุนาม x 3 – 6x 2 + 11x – 6 บนกระดานหลังจากน้นั ให้นกั เรยี นหาเศษที่ได้จากการหารพหนุ ามนด้ี ้วย x – 2 โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลอื เมือ่ นักเรยี นทาเสรจ็ ครถู ามนกั เรียนว่า เศษท่ีได้จากการหาร x 3 – 6x 2 + 11x – 6 ด้วย x – 2 คอื อะไร (เศษท่ีไดค้ ือ 0) ขน้ั สอน 3. ครอู ธบิ ายว่า เศษทีไ่ ดจ้ ากการหาร x 3 – 6x 2 + 11x – 6 ด้วย x – 2 คอื 0 แสดงวา่ x – 2 หารx 3 – 6x 2 + 11x – 6 ไดล้ งตัว นน่ั หมายความว่า x – 2 เปน็ ตัวประกอบหน่งึ ของพหนุ าม x 3 – 6x 2 + 11x – 6 4. ครูให้ความหมายทฤษฎบี ทตวั ประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ พรอ้ มกบั เสนอตัวอย่างท่ี 1 บนกระดาน และอธบิ ายวิธีทาเป็นขั้น ๆ ใหน้ ักเรยี นเขา้ ใจ 5. ครใู ห้นักเรยี นทากิจกรรมที่ 2.3 ขอ้ 12.1-12.4 ในหนังสอื เรียนเสริม มาตรฐานแม็ค คณติ ศาสตร์เพิม่ เติม ม.4 ภาคเรียนท่ี 1 หน้า 121-122 ครูเดนิ ดนู กั เรยี นและคอยตอบข้อสงสยั ของนักเรียน เมือ่ นักเรียนทาเสร็จ ครูสมุ่ นักเรียน 4 คนออกมาเฉลยบนกระดาน ครูและเพ่ือนนกั เรียนท่เี หลือชว่ ยกันตรวจสอบความถูกต้อง 6. ครอู ธิบายต่อวา่ ทฤษฎบี ทการแยกตัวประกอบและทฤษฎีบทตวั ประกอบจานวนตรรกยะเราสามารถนามาใช้ประโยชนใ์ นการแกส้ มการท่ีมตี วั แปรซึ่งมีดีกรสี ูงกว่าสองขน้ึ ไปได้อย่างง่ายดาย โดยการพยายามจดั รปู แบบของสมการนั้นให้ทางขวาของสมการเท่ากับ 0 สว่ นทางซา้ ยมอื ก็จัดใหอ้ ยู่ในรูปตัวประกอบ หลงั จากนนั้ เราก็สามารถหาค่าตัวแปรที่ทาใหส้ มการดังกล่าวเปน็ จรงิ ได้ โดยครูยกตวั อยา่ งที่ 2 ประกอบการอธบิ าย 7. ครเู ขียนตัวอยา่ งท่ี 3 บนกระดาน หลังจากนัน้ ครแู สดงวธิ ที าไปพรอ้ มกบั นักเรยี นโดยการใช้วิธถี าม – ตอบ 8. ครใู ห้นักเรยี นทากิจกรรมท่ี 2.3 ขอ้ 13 ในหนังสือเรียนเสริม มาตรฐานแม็ค คณิตศาสตร์เพิม่ เติม ม.4ภาคเรียนท่ี 1 หน้า 123-126 ครูเดินดูนักเรยี นและคอยตอบขอ้ สงสัยของนักเรียน จากน้นั ครูและนกั เรยี นชว่ ยกันเฉลย โดยครใู ช้การถามตอบ และสมุ่ นกั เรยี นออกมาเฉลยบนกระดานบางข้อ ขน้ั สรุป 9. ครตู ้ังคาถามกระตนุ้ เพือ่ เปน็ การตรวจสอบความเขา้ ใจองนักเรยี น เชน่

- x  c เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p x หมายความวา่ อย่างไร (เม่ือแทน pc  0 )- เศษเท่ากบั ศนู ยแ์ สดงว่าการหารน้นั ลงตัวหรือไม่ (ลงตัว) - ทฤษฎีบทการแยกตวั ประกอบและทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ เราสามารถ นามาใชป้ ระโยชนใ์ นการแก้สมการที่มีตัวแปรซงึ่ มีดกี รีสูงกวา่ สองขึ้นไปได้อย่างไร (โดยการ พยายามจัดรปู แบบของสมการนน้ั ให้ทางขวาของสมการเท่ากับ 0 ส่วนทางซา้ ยมือก็จัดให้อยู่ใน รูปตัวประกอบ หลังจากน้นั เราก็สามารถหาคา่ ตัวแปรที่ทาให้สมการดงั กล่าวเป็นจริงได้) 10. ครูใหก้ ารบ้านนักเรยี น โดยให้นกั เรยี นทากิจกรรมท่ี 2.3 ในหนังสอื เรียนเสริม มาตรฐานแม็คคณิตศาสตร์เพ่มิ เติม ม.4 ภาคเรียนที่ 1 หน้า 121-126 ทาข้อท่ีเหลอื7. ส่ือ/แหล่งการเรียนรู้ 1. หนงั สอื คณิตศาสตรเ์ พ่ิมเติม ม.4 ของสานักพิมพต์ ่างๆ8. การวัดผลและประเมินผลการเรียนรู้ด้าน การวัดผล การประเมินผล 1. ถา้ นักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกต้อง มากกวา่ รอ้ ยความรู้ 1. การทากจิ กรรม 2.3 : การแกส้ มการ ละ 70 ของจานวนคาถามทง้ั หมด ถือว่าผา่ น พหุนามตัวแปรเดียว 2. ถา้ นักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกว่าร้อย 2. การตอบ “คาถามกระตนุ้ การคดิ เกยี่ วกับ ละ 70 ของจานวนคาถามทงั้ หมด ถอื วา่ ผ่าน การแกส้ มการพหนุ ามตวั แปรเดยี ว” ของ นกั เรยี น ทีค่ รถู ามระหว่างทาความเข้าใจใน 1. สามารถให้เหตุผลและอธิบายวธิ กี ารหา เนอ้ื หา คาตอบไดถ้ ูกต้อง ชดั เจน มากกว่ารอ้ ยละ 70 ของจานวนคาถามท้ังหมด ถือว่าผา่ นทักษะและ 1. การทากจิ กรรม 2.3 : การแก้สมการกระบวนการ พหุนามตัวแปรเดยี วคุณลกั ษณะ 1. พฤตกิ รรมในชนั้ เรียน ในขณะทาใบงาน 1. ถ้านักเรยี น(คนใด)มสี ่วนร่วมในการตอบ และการส่งการบา้ นของนักเรียน คาถามกระตุ้นความคดิ รวมถึงการทากิจกรรมใน ช้นั เรียนในระดบั ปานกลาง ถือว่าผา่ น 2. มคี วามรับผดิ ชอบต่องานท่ไี ดร้ ับ 2. ถ้านักเรียน(คนใด)ส่งงานตามเวลาที่กาหนด มอบหมาย ถือวา่ ผา่ น

9. บันทึกหลังการสอน 9.1 ด้านความร(ู้ K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทักษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค(์ A)............................................................................................................................. ........................... 9.4 ดา้ นสมรรถนะสาคญั ผเู้ รียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ขอ้ เสนอแนะอน่ื ๆ............................................................................................................................................... ........................... ลงชื่อ ................................................ครูผสู้ อน (นางสุมาพร จกั รอินต๊ะ) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงชอ่ื ................................................หวั หนา้ กล่มุ สาระ (นางสุมาพร จักรอินต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหัวหน้ากลุ่มงานบริหารวิชาการ......................................................................................................................................................................... . ลงชื่อ ..................................... หัวหน้ากลมุ่ งานบรหิ ารวิชาการ (นางสาวทัศนีย์ วงทองดี) วันที่ ........................................ความคิดเหน็ ผบู้ ริหารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชือ่ .............................................. (นายวนิ ัย คาวิเศษ) วนั ที่ ........................................ ตาแหน่ง ผูอ้ านวยการโรงเรียนหันคาราษฎรร์ ังสฤษด์ิ (......../................/............)

แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 5 เรอื่ ง พสิ ูจนค์ วามเป็นอตรรกยะของจานวนรายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม รหสั วชิ า ค31201 ระดับชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 4กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ ภาคเรยี นที่ 1 เวลา 1 ชวั่ โมงครผู ู้สอน นางสุมาพร จกั รอินตะ๊ โรงเรยี นหนั คาราษฎร์รังสฤษด์ิ1. ผลการเรยี นรู้ทีค่ าดหวัง แกส้ มการและอสมการในรูปแบบตา่ งๆ ได้2. สาระสาคญั ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ นอกจากจะเปน็ เครื่องมือในการหาคาตอบท่เี ปน็ จานวนตรรกยะท้งั หมดของพหุนามท่ีมสี ัมประสิทธ์ิเป็นจานวนเต็มแล้ว ยงั สามารถใช้พิสจู นค์ วามเปน็ อตรรกยะของจานวนบางจานวนได้3. จุดประสงค์การเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรียนรู้แกนกลาง(K) : เพื่อให้นกั เรียน 3.1.1 พสิ ูจน์วา่ จานวนทก่ี าหนดให้เป็นจานวนอตรรกยะหรือไม่ 3.1.2 นาความร้เู รอ่ื งทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะไปใช้ในการพิสูจนค์ วามเป็นอตรรกยะของ จานวนบางจานวน 3.2 ดา้ น ทกั ษะและกระบวนการ (P) : เพือ่ ใหน้ ักเรยี น 3.2.1 ใหเ้ หตผุ ลในการพสิ ูจน์ความเป็นอตรรกยะของจานวนบางจานวนได้ 3.3 ด้านคุณลักษณะอนั พึงประสงค์ (A) : เพื่อใหน้ ักเรียน 3.3.1 ใฝ่เรียนรู้ มีความมุง่ ม่ัน และมีวินยั ในชัน้ เรยี น 3.3.2 มคี วามรับผิดชอบต่องานท่ไี ด้รบั มอบหมาย 3.4 สมรรถนะสาคัญของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการคดิ4. ภาระงาน : แบบฝกึ หัด

5. สาระการเรียนรู้ทฤษฎบี ทตัวประกอบจานวนตรรกยะเมอ่ื P(x) คือ พหุนาม anxn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0 โดยที่ n เป็นจานวนเต็มบวก an, an-1,…, a1,a0 เป็นจานวนเตม็ ซ่งึ an  0 kถ้า (x – m ) เปน็ ตวั ประกอบของพหุนาม P(x) โดยท่ี m และ k เปน็ จานวนเตม็ ซง่ึm  0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทา่ กบั 1แล้ว k จะเปน็ ตวั ประกอบของ a0 m จะเป็นตัวประกอบของ an ทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ นอกจากจะเป็นเครื่องมือในการหาคาตอบทเ่ี ป็นจานวนตรรกยะท้งั หมดของพหุนามท่ีมสี ัมประสิทธิ์เป็นจานวนเต็มแลว้ ยังสามารถใชพ้ ิสูจน์ความเปน็ อตรรกยะของจานวนบางจานวนได้ ดงัตัวอย่างตอ่ ไปน้ี 1 26. กจิ กรรมการเรียนรู้ ข้ันนา 1. ครูทบทวนบทเรยี นเรือ่ งการแก้สมการพหุนามตวั แปรเดียวทม่ี ดี กี รีสูง (จงหาเซตคาตอบของสมการตอ่ ไปน้ี

2. จากนน้ั ครใู หน้ กั เรียนสงั เกตว่า คาตอบที่ได้ล้วนเปน็ สมาชิกในเซตตัวประกอบของ 24 และเซตคาตอบที่ได้เปน็ สับเซตของเซตตัวประกอบของ 24ขั้นสอน3. ครูอธิบายวา่ ทฤษฎีบทตัวประกอบตรรกยะ นอกจากจะเป็นเครอื่ งมือในการหาคาตอบท่ีเป็นจานวนตรรกยะท้ังหมดของพหุนามที่มสี ัมประสทิ ธเิ์ ป็นจานวนเต็มแล้ว ยงั สามารถใช้พิสูจนค์ วามเป็นอตรรกยะของจานวนบางจานวนได้4. ครยู กตัวอยา่ งท่ี 1 และ 2 พรอ้ มท้งั อธิบายและใช้คาถามกระตนุ้5. ครูแบ่งกลุม่ นักเรยี นกลมุ่ ละ 6 คน ใหน้ ักเรียนแตล่ ะกลุ่มทาโจทยบ์ นกระดาน แลว้ ครจู ะสุ่มตัวแทนกล่มุออกมาเฉลยวธิ ที าบนกระดาน โดยนกั เรียนทุกคนต้องบนั ทึกวิธที าลงสมดุ ทุกคน จงพิสจู นว์ ่าจานวนต่อไปน้เี ป็นจานวนอตรรกยะ √√ √ √ √ข้นั สรปุ √6. ครูตรวจสอบความเขา้ ใจของนักเรยี นโดยการต้ังคาถามกระตุ้น เชน่  ในการพิสจู น์ความเป็นอตรรกยะของจานวน ทาอะไรเปน็ อันดับแรก  เรานาความร้เู รือ่ งทฤษฎบี ทตัวประกอบตรรกยะ มาใช้อยา่ งไรในการสรปุ วา่ จานวนท่ี กาหนดใหเ้ ป็นจานวนอตรรกยะหรือไม่7. ครูใหก้ ารบา้ นนกั เรียน โดยให้นกั เรียนพสิ ูจน์วา่ √√ เป็นจานวนอตรรกยะหรือไม่7. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้ 1. หนังสือคณิตศาสตรเ์ พิ่มเติม ม.4 ของสานักพิมพ์ต่างๆ

8. การวดั ผลและประเมนิ ผลการเรียนรู้ด้าน การวดั ผล การประเมินผลความรู้ 1. ถ้านักเรียน(คนใด)ตอบได้ถูกต้อง มากกว่าร้อย 1. การทางานในสมุดเรอ่ื ง การพสิ จู นค์ วาม ละ 70 ของจานวนคาถามทัง้ หมด ถือว่าผา่ นทกั ษะและ เปน็ อตรรกยะของจานวนบางจานวน 2. ถ้านักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกว่ารอ้ ยกระบวนการ 2. การตอบ “คาถามกระตุ้นการคิดเก่ยี วกับ ละ 70 ของจานวนคาถามทงั้ หมด ถอื ว่าผ่าน การพสิ ูจนค์ วามเป็นอตรรกยะของจานวนบาง จานวน” ของนกั เรยี น ที่ครูถามระหวา่ งทา 1. ถ้านักเรียน(คนใด)เขียนอธิบายวธิ ีทาและตอบ ความเขา้ ใจในเนื้อหา คาถามถูกต้อง 70 % ขน้ึ ไป ของจานวนข้อทั้งหมด 1. การทางานในสมดุ เร่ือง การพิสจู นค์ วาม ถือว่า “ผ่าน” เป็นอตรรกยะของจานวนบางจานวนคุณลกั ษณะ 1. พฤติกรรมในชนั้ เรียน ในขณะทาใบงาน 1. ถ้านักเรียน(คนใด)มีส่วนรว่ มในการตอบคาถาม และการส่งการบ้านของนักเรียน กระตนุ้ ความคิด รวมถึงการทากิจกรรมในช้นั เรียน ในระดบั ปานกลาง ถือว่าผ่าน 2. มคี วามรับผิดชอบต่องานที่ได้รบั 2. ถ้านกั เรียน(คนใด)ส่งงานตามเวลาท่กี าหนด ถือ มอบหมาย วา่ ผ่าน

9. บันทึกหลังการสอน 9.1 ดา้ นความรู้(K)............................................................................................................................. .................................. 9.2 ดา้ นทกั ษะกระบวนการ (P)............................................................................................................................................................... 9.3 ดา้ นคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค(์ A)............................................................................................................................. ........................... 9.4 ดา้ นสมรรถนะสาคัญผู้เรียน(C)............................................................................................................................. ...........................ปัญหาอุปสรรค/ข้อเสนอแนะอ่ืน ๆ............................................................................................................................................... ........................... ลงชื่อ ................................................ครูผู้สอน (นางสมุ าพร จกั รอนิ ต๊ะ) วันที่ ........................................ความคดิ เห็นหวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรียนรู้............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ................................................หวั หนา้ กลมุ่ สาระ (นางสมุ าพร จกั รอนิ ต๊ะ) วันท่ี ........................................ความคดิ เห็นหวั หนา้ กลุม่ งานบรหิ ารวชิ าการ............................................................................................................................. ............................................. ลงชื่อ ..................................... หัวหนา้ กลุม่ งานบริหารวชิ าการ (นางสาวทศั นีย์ วงทองดี) วันท่ี ........................................ความคิดเหน็ ผู้บริหารสถานศึกษา............................................................................................................................. ............................................. ลงชือ่ .............................................. (นายวนิ ัย คาวเิ ศษ) วนั ท่ี ........................................ ตาแหนง่ ผู้อานวยการโรงเรียนหันคาราษฎร์รังสฤษดิ์ (......../................/............)

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ 6 เรื่อง การไมเ่ ทา่ กนั และชว่ งรายวชิ า คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม รหสั วชิ า ค31201 ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 4กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ครูผ้สู อน นางสมุ าพร จกั รอินตะ๊ ภาคเรยี นท่ี 1 เวลา 3 ชว่ั โมง โรงเรียนหันคาราษฎรร์ งั สฤษดิ์1. ผลการเรียนรทู้ ี่คาดหวัง แกส้ มการและอสมการในรูปแบบตา่ งๆ ได้2. สาระสาคัญ การไมเ่ ท่ากนั (Inequality) a < b หมายความวา่ a  b เปน็ จานวนลบ a > b หมายความว่า a  b เป็นจานวนบวก a  b เป็นจานวนลบ เขยี นแทนดว้ ย a  b < 0 a  b เปน็ จานวนบวก เขียนแทนด้วย a  b > 03. จุดประสงค์การเรยี นรู้ 3.1 สาระการเรียนรแู้ กนกลาง(K) : เพื่อใหน้ ักเรียน 3.1.1 อธิบายความหมายของสญั ลักษณ์แทนการไมเ่ ทา่ กนั ได้ 3.1.2 ใชส้ ัญลักษณ์แทนความหมายของการไมเ่ ทา่ กันโดยใช้เสน้ จานวนได้ 3.1.3 อธิบายเก่ยี วกับชว่ งของอสมการได้ 3.1.4 หาชว่ งคาตอบจากเงือ่ นไขที่โจทย์กาหนดให้ได้ 3.2 ดา้ น ทักษะและกระบวนการ (P) : เพ่ือใหน้ ักเรียน 3.2.1 สามารถอธิบายเก่ียวกับการกาชว่ งคาตอบได้ได้ 3.2.2 สามารถใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ทางคณติ ศาสตรใ์ นการส่อื สาร ส่อื ความหมาย และ นาเสนอในเรอ่ื งการไม่เท่ากนั และช่วง ไดอ้ ย่าง ถูกต้อง ชดั เจน 3.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์ (A) : เพ่ือใหน้ กั เรยี น 3.3.1 ใฝเ่ รียนรู้ มคี วามมุง่ ม่นั และมีวนิ ัยในช้ันเรยี น 3.3.2 มคี วามรบั ผิดชอบต่องานที่ได้รับมอบหมาย 3.4 สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น (C) 3.4.1 ความสามารถในการคิด 3.4.2 ความสามารถในการสอื่ สาร 3.4.3 ความสามารถในการแก้ปัญหา

4. ภาระงาน : แบบฝึกหัด5. สาระการเรยี นรู้การไมเ่ ท่ากนั (Inequality)ในการเปรียบเทยี บจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยี บเทยี บวา่ เท่ากันและไมเ่ ทา่ กนั แลว้ ยงั มีการเปรยี บเทยี บว่า มากกว่าหรือน้อยกว่าได้โดย1. การใช้สัญลกั ษณแ์ ทนความหมายของการไมเ่ ท่ากันในการเปรยี บเทียบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรียบเทียบวา่ เท่ากันและไมเ่ ทา่ กันแลว้ ยงั มกี ารเปรยี บเทียบวา่ มากกว่าหรือน้อยกว่าได้โดยเขียนอยู่ในรปู ประโยคสัญลักษณ์ เช่นถา้ ให้ n แทนจานวนเตม็1) n > 5 หมายถงึ จานวนเต็มทุกจานวนที่มากกว่า 5 เชน่ 6, 7, 8, ...2) n < 1 หมายถงึ จานวนเตม็ ทกุ จานวนทีน่ ้อยกวา่ 1 เช่น 0, -1, -2, ...ประโยคทม่ี สี ัญลักษณ์ “ < ” , “ > ” หรือ “  ” ข้างต้นว่า อสมการนอกจากสัญลักษณ์ “ < ” , “ > ” หรอื “  ” ซงึ่ แสดงถึงการไม่เทา่ กนั แลว้ ยังมีสัญลักษณ์อน่ื ๆ อกี เช่นn ≥ 3 หมายถงึ n เปน็ จานวนทมี่ ากกว่าหรือเทา่ กบั 5 เชน่ 3, 4, 5, ...n ≤ 10 หมายถึง n เป็นจานวนท่ีน้อยกวา่ หรอื เท่ากับ 10 เชน่ 10, 9, 8, ...ตัวอย่างที่ 4 ตัวอย่างการเขียนสัญลกั ษณ์การไมเ่ ทา่ กันแทนข้อความ1) n มากกวา่ -4 เขยี นแทนด้วย n > -42) m นอ้ ยกวา่ 1 เขียนแทนด้วย m < 1 223) x น้อยกว่าหรือเท่ากบั 5 เขียนแทนด้วย x ≤ 54) y มากกวา่ หรอื เท่ากับ -2 เขยี นแทนดว้ ย y ≥ -25) z ไม่เท่ากับ 0 เขยี นแทนด้วย z ≠ 0 ถ้า a และ b เป็นจานวนจรงิ สองจานวน แลว้ a , b จะมีความเกยี่ วข้องหรือสัมพันธก์ ันแบบใดแบบหน่งึต่อไปนี้ 1. a เทา่ กบั b ใชส้ ัญลกั ษณ์ a = b 2. a นอ้ ยกวา่ b ใช้สญั ลกั ษณ์ a < b 3. a มากกว่า b ใช้สญั ลักษณ์ a > bบทนยิ าม a < b หมายความว่า a  b เป็นจานวนลบ0 a > b หมายความว่า a  b เป็นจานวนบวก a  b เปน็ จานวนลบ เขยี นแทนด้วย a  b < a  b เป็นจานวนบวก เขียนแทนด้วย a  b > 0

เช่น เมือ่ 2 < 3 จะได้ว่า 2 - 3 < 0 3 < 2 จะไดว้ า่ 3 - 2 > 0บทนยิ าม 1. เรยี ก a ว่า จานวนศูนย์ กต็ อ่ เม่ือ a = 0 2. เรียก a ว่า จานวนบวก ก็ตอ่ เมื่อ a  R  3. เรียก a ว่า จานวนลบ ก็ต่อเมื่อ –a  R บทนิยาม a  b อา่ นว่า a นอ้ ยกวา่ หรือเท่ากบั b หมายถงึ a ไม่มากกวา่ b a  b อ่านวา่ a มากกวา่ หรือเท่ากบั b หมายถงึ a ไม่น้อยกว่า b a < b < c หมายถึง a < b และ b < c a  b  c หมายถงึ a  b และ b  c2. การใชเ้ ส้นจานวนแทนความหมายของการไม่เท่ากันตัวอยา่ งท่ี 5 1) n > -42) m < 1 23)x≤54)y ≥25) z ≠ 0

ข้อสงั เกต สัญลกั ษณ์ หมายถึง ไมร่ วมจานวนจรงิ นน้ั สัญลักษณ์ หมายถงึ รวมจานวนจรงิ น้ันตัวอยา่ งท่ี 6 จงพิจารณาจานวนต่อไปนีบ้ นเส้นจานวน 1) เน่ืองจาก -1 < 1 และ 1 < 2 จะได้ -1 < 1 < 2 2)ลองทำเอง เนอ่ื งจาก -1 < 0 และ 0 < 1 1) จะได้ -1 < 0 < 1 จงเขยี นแทนจานวน x โดยใชเ้ ส้นจานวน x>12) x ≥ 03) x < -34) x ≠ -45)x≤16) x ≥ 1

7) -1 < x < 18) -4 ≤ x < 2 สมบตั ขิ องการไม่เท่ากนัให้ a, b, c เปน็ จานวนจริงใดๆ1. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a > b และ b > c แลว้ a > c เชน่ 8 > 5 และ 5 > 3 แลว้ 8 > 32. สมบตั ิการบวกด้วยจานวนทเี่ ท่ากนั ถา้ a > b แลว้ a + c > b + c เชน่ 2 > 1 แล้ว 2 + 3 > 1 + 3 น่นั คือ 5 > 23. สมบัตกิ ารคณู ด้วยจานวนทเี่ ท่ากนั3.1 ถ้า a > b และ c > 0 แลว้ ac > bcเช่น 5 > 3 ให้ c = 2 ดังนน้ั 5 ( 2 ) > 3 ( 2 ) หรือ 10 > 6 3.2 ถ้า a > b และ c < 0 แล้ว ac < bc เช่น 5 > 3 ให้ c =  2 ดังนัน้ 5 (2)  3 (2) หรือ  10  64. สมบตั กิ ารตัดออกของการบวก ถ้า a + c > b + c แล้ว a > b เชน่ 5 + 2 > 3 + 2 แลว้ 5 > 35. สมบัตกิ ารตัดออกของการคณู 5.1 ถา้ ac > bc และ c > 0 แล้ว a > b เช่น 5 ( 2 ) > 3 ( 2 ) และ c = 2 แลว้ 5 > 35.2 ถ้า ac > bc และ c < 0 แล้ว a < b เช่น 3 (2) > 5 (2) และ c = 2 แลว้ 3 < 5

ขอ้ สงั เกต การคูณอสมการด้วยจานวนลบ จะทาให้อสมการมเี คร่ืองหมายเปล่ยี นไป ช่วง ในการเขียนแทนเซตของจานวนจริงที่มคี ่าอยู่ระหวา่ งจานวนจริง a และ b ใดๆหรือมากกว่า น้อยกว่าจานวนจรงิ a ใดๆ สามารถเขียนแทนดว้ ย ช่วง ดงั น้ีบทนิยาม เม่ือเอกภพสัมพัทธเ์ ปน็ เซตของจานวนจรงิ และ a  b ชว่ ง ความหมายในรปู เซต กราฟบนเสน้ จานวน ชว่ งเปดิ ( a , b ) {xaxb} abชว่ งปดิ [ a , b ] {xaxb} ab ชว่ งคร่งึ เปดิ ( a , b ] { x  a  x  b } abชว่ งคร่ึงเปิด [ a , b ) { x  a  x  b }  abช่วง ( a ,  ) {xxa}  abช่วง [ a ,  ) {xxa} abชว่ ง (- , b ) {xxb} ช่วง (- , b ] {xxb} abชว่ ง (- ,  ) {xxR} ab abตัวอยา่ งที่ 6 จงพิจารณาช่วงในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี1) 1,4 {x |1 x  4} เขียนแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดังน้ี

2) 1,2{x | 1 x  2} เขยี นแสดงบนเส้นจานวนได้ ดังน้ี 3) (1,) {x | x 1} เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดังน้ี 4) [1,) {x | x 1} เขยี นแสดงบนเสน้ จานวนได้ ดงั นี้ 5) (,1) {x | x 1} เขียนแสดงบนเส้นจานวนได้ ดงั น้ี 6) (,1] {x | x  1} เขยี นแสดงบนเส้นจานวนได้ ดงั นี้ เม่ือ a < b และ a, b เป็นจานวนจริงทท่ี าให้พหนุ ามที่กาหนดให้มีคา่ เป็นศนู ย์ โดยทไ่ี ม่มีจานวนจริงใดใน(a, b) ท่ที าให้พหุนามดังกล่าวเป็นศูนย์อกี พหนุ ามนั้นจะมีค่าเป็นบวกหรือลบอยา่ งใดอย่างหนงึ่ เทา่ นั้นเมอ่ื แทนตวั แปรของพหนุ ามน้ันด้วยจานวนท่ีอยูใ่ นชว่ ง (a, b)

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาชว่ งคาตอบของ (1,4)2,5วธิ ีทา จาก (1,4)2,5 เขยี นแสดงบนเส้นจานวนได้ ดงั น้ี (1, 4) 2,5 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 ดังนน้ั (1,4)2,51,5ตัวอย่างที่ 8 จงหาเซตของจานวนเต็ม x โดยที่ 1) 4  x  1 วธิ ีทา พจิ ารณา {x | 4  x  1} จะได้ {x | 4  x  1}{4,3,2} 2) 3 x 3 วธิ ีทา พจิ ารณา {x | 3 x 3} จะได้ {x | 3 x 3}{2,1,0,1,2}ตัวอย่างท่ี 9 จงพิจารณาแตล่ ะข้อต่อไปน้ี1) ถา้ x  5 แล้ว 2x 8 เป็นบวกหรือลบ วิธีทา จาก x  5 2x 10 ; นา 2 คูณตลอด 2x (8) 10 (8) ; นา (-8) บวกตลอด 2x 82 ดงั นั้น 2x 8 เป็นจานวนบวก2) ถา้ 1 x 3 แล้ว 2x + 4 เป็นบวกหรือลบ วิธที า จาก -1 x  3 -2 2x  6 ; นา 2 คณู ตลอด -2+4  2x + 4  6+4 ; นา (4) บวกตลอด 2  2x + 4  10 ดังนั้น 2x + 4 เปน็ จานวนบวก6. กิจกรรมการเรียนรู้ขั้นนา1. ครูบอกถึงความหมายของคาวา่ “สมการ”2. ครบู อกถึงเนื้อหาทจี่ ะเรียนในคาบเรยี นนี้คือ “อสมการ” พรอ้ มทัง้ ใหน้ ักเรยี นยกตัวอย่างอสมการ

ขนั้ สอน 3. ครยู กตัวอยา่ งจานวน 2 จานวนใด ๆ เพอ่ื อธบิ ายว่าในการเปรยี บเทียบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรียบเทยี บว่าเท่ากนั และไม่เท่ากันแล้วยังมีการเปรียบเทยี บว่า มากกว่าหรือนอ้ ยกว่าไดโ้ ดยเขยี นอยู่ในรูปประโยคสญั ลักษณ์ พร้อมทั้งยกตวั อย่างประกอบ 4. ครอู ธิบายต่อว่า ประโยคท่ีมสี ัญลักษณ์ “ < ” หรือ “ > ” ขา้ งตน้ ว่า อสมการ และนอกจากสญั ลกั ษณ์< และ > ซ่ึงแสดงถงึ การไม่เทา่ กนั แลว้ ยังมสี ัญลักษณ์อน่ื ๆ อกี เชน่ ≥ หมายถงึ มากกว่าหรือเท่ากับ ≤หมายถึง นอ้ ยกว่าหรอื เท่ากับ พร้อมทั้งยกตวั อย่างประกอบให้นกั เรียนเขา้ ใจ 5. ครอู ธบิ ายต่อวา่ นอกจากการให้ความหมายของการไม่เทา่ กนั ตามที่กลา่ วมาแล้ว อาจกล่าวถึงการไมเ่ ทา่ กนั ไดด้ งั นี้ 1) a < b หมายความวา่ a - b เปน็ จานวนลบ หรือ a - b < 0 2) a > b หมายความว่า a - b เปน็ จานวนบวก หรือ a - b > 0 6. ครูอธบิ ายเสรมิ วา่ นอกจากการใชส้ ัญลักษณแ์ ทนความหมายของการไมเ่ ท่ากนั แล้วยังสามารถแสดงการไม่เท่ากัน โดยใชเ้ สน้ จานวนพร้อมทั้งยกตัวอย่าง 7. ครทู บทวนความรูเ้ ร่ืองเซต เรื่องการเขียนเซตแบบตา่ ง ๆ และการดาเนนิ การบนเซต 8. ครบู อกนิยามเร่ืองช่วงแก่นักเรยี น 9. ครูอธบิ ายการใช้สัญลักษณช์ ว่ งแบบต่าง ๆ ความหมายในรูปเซต และกราฟบนเสน้ จานวนทง้ั 9 แบบ 10. จากน้ันครใู หน้ ักเรยี นทาตวั อย่างท่ี 6 แล้วขอตัวแทนนักเรียนออกมาเฉลย ครูและนกั เรียนชว่ ยกันตรวจสอบความถูกตอ้ ง 11. ครูยกตวั อยา่ งที่ 7 ตวั อย่างที่ 8 และตัวอย่างที่ 9 ใหน้ ักเรียนดูและขณะเดยี วกันก็ใชก้ ารถาม-ตอบเพอ่ื ใหน้ กั เรยี นคิดตาม จากน้ันครเู ปดิ โอกาสให้นักเรียนซักถามข้อสงสัย 12. ครแู จกใบงานท่ี 1: ชว่ ง ให้นักเรียนทา ครูคอยตอบขอ้ สงสัยของนักเรยี น หลงั จากน้ันสุ่มนักเรยี นออกมาเฉลยบนกระดาน โดยครแู ละเพ่ือนนักเรยี นทเ่ี หลือช่วยกนั ตรวจสอบความถูกต้อง ข้นั สรปุ 13. ครูและนักเรยี นร่วมกนั สรุปเก่ียวกบั ชว่ ง วา่ มีลักษณะเปน็ อยา่ งไร เขียนกราฟบนเส้นจานวนได้อยา่ งไร มากกวา่ กับมากกวา่ หรือเท่ากับ มกี ารเขยี นกราฟท่ีต่างกนั อยา่ งไร 14. ครูใหก้ ารบา้ นนักเรียน โดยให้นักเรียนทากิจกรรมท่ี 2.4 , 2.5 ก ในหนังสอื เรยี นเสริมมาตรฐานแมค็ คณิตศาสตร์เพ่ิมเติม ม.4 ภาคเรียนท่ี 1 หน้า 128-1357. สอื่ /แหล่งการเรยี นรู้ 1. หนงั สอื คณติ ศาสตรเ์ พิ่มเติม ม.4 ของสานักพิมพต์ ่างๆ 2.ใบงานท่ี 1: ช่วง

8. การวดั ผลและประเมินผลการเรียนรู้ดา้ น การวัดผล การประเมินผลความรู้ 1. การทากจิ กรรม 2.4 : สมบตั ิของการไม่ 1. ถ้านักเรียน(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกวา่ ร้อย เทา่ กัน ละ 70 ของจานวนคาถามทง้ั หมด ถือว่าผา่ น 2. การทากิจกรรม 2.5 ก : ช่วง 2. ถา้ นักเรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกต้อง มากกว่ารอ้ ย ละ 70 ของจานวนคาถามทง้ั หมด ถือว่าผ่าน 3.การทาใบงานที่ 1: ช่วง 3. ถา้ นกั เรยี น(คนใด)ตอบไดถ้ ูกตอ้ ง มากกว่าร้อย ละ 70 ของจานวนคาถามทงั้ หมด ถอื ว่าผา่ น 4. การตอบ “คาถามกระตุ้นการคดิ เก่ยี วกับ 4. ถา้ นักเรียน(คนใด)ตอบได้ถูกตอ้ ง มากกวา่ รอ้ ย สมบัติของการไม่เท่ากันและช่วง” ของ ละ 70 ของจานวนคาถามท้งั หมด ถือวา่ ผ่าน นักเรยี น ทคี่ รูถามระหวา่ งทาความเข้าใจใน เน้ือหา 1. สามารถใหเ้ หตุผลและอธิบาย วธิ กี ารหาทกั ษะและ 1. การทากจิ กรรม 2.4 : สมบตั ิของการไม่ คาตอบไดถ้ ูกต้อง ชัดเจน มากกว่ารอ้ ยละ 70กระบวนการ เท่ากัน ของจานวนคาถามทั้งหมด ถือว่าผ่าน 2. การทากิจกรรม 2.5 ก : ช่วง 2. สามารถใช้ภาษาและสญั ลักษณ์ทาง 3. การทาใบงานท่ี 1: ชว่ ง คณิตศาสตร์ในการส่ือสาร สอ่ื ความหมาย 4. การสังเกตพฤตกิ รรมของนักเรยี น ไดอ้ ยา่ ง ถูกต้อง ชัดเจน ถือว่าผา่ น 1. ถ้านักเรียน(คนใด)มสี ่วนรว่ มในการตอบคุณลกั ษณะ 1. พฤตกิ รรมในช้ันเรียน ในขณะทาใบงาน คาถามกระตนุ้ ความคิด รวมถึงการทากิจกรรมใน และการสง่ การบา้ นของนักเรียน ช้นั เรยี นในระดับปานกลาง ถือว่าผา่ น 2. ถ้านักเรียน(คนใด)ส่งงานตามเวลาท่ีกาหนด 2. มีความรับผดิ ชอบต่องานทไ่ี ดร้ ับ ถอื วา่ ผา่ น มอบหมาย