อนุรักษ์ ธัญญเจริญ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 93 ให้ (a, b)A เนอ่ื งจาก (a, b) (c, c)A 0 จะได้ (a  c, b  c)A 0 เพราะว่า (a, b) (a  c, b  c) จะได้ (a, b)A 0 ดงั นั้น A  A  0 นน่ั คือ A  0  A ทานองเดยี วกนั จะไดว้ ่า 0  A  A ต่อไปจะแสดงว่า 0 มีเพยี งหนึ่งเดียว ทท่ี าให้ A  0  A สมมติว่ามจี านวนเต็ม B ซง่ึ ทาให้ A  B  A จะได้ว่า 0  B  0 ดังนน้ั B  0  B  0 เราจงึ สรุปได้วา่ สาหรับจานวนเต็ม A ใด ๆ จะมีจานวนเต็ม 0 เพียงจานวนเดียว เท่านนั้ ทที่ าให้ A 0  A  0  A จากทฤษฎีบท 4.30 จะเหน็ ได้ว่า จานวนเตม็ ใด ๆ จะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก เชน่ 20202 (3) 0  3 0 (3) เป็นต้น ทฤษฎีบท 4.31 สาหรบั จานวนเต็ม A ใด ๆ จะมีจานวนเต็ม A เพยี งจานวนเดียวเท่าน้ัน ทท่ี าให้ A (A) 0 (A) A พสิ ูจน์ ให้ A เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ดงั นนั้ จะมี (a, b)  ทที่ าให้ A  [a, b] เพราะฉะนนั้ A  [b, a] จะไดว้ า่ (a, b) (b, a)A (A) (a  b, b a)A (A) เน่อื งจาก a  b  b  a ดงั นั้น (a  b, b a)0 จะไดว้ ่า A  (A)  0 1.2) ให้ (a  b,a  b)0 เน่ืองจาก a  b  b  a จะได้วา่ (a  b, b a)0 นั่นคอื (a, b) (b, a)0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 94 จะไดว้ ่า (a, b) (b, a)A (A) ดงั นัน้ 0  A  (A) เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ A (A) 0 ทานองดยี วกัน จะไดว้ ่า (A) A 0 ต่อไปจะแสดงว่ามหี นึ่งเดยี ว สมมตวิ า่ มีจานวนเตม็ B ซงึ่ ทาให้ A  B  0 เนอื่ งจาก B  B  0  B(A (A)) (B A) (A) (A  B) (A) 0 (A)  A ดังน้นั B  A เพราะฉะนั้น เราจงึ สรปุ ได้ว่า สาหรบั จานวนเตม็ A ใด ๆ จะมีจานวนเตม็ A เพยี งจานวนเดียวเท่านั้นท่ีทาให้ A (A) 0 (A) A จากทฤษฎีบท 4.31 สาหรับจานวนเต็ม A ใด ๆ จะมีจานวนเต็ม A ซ่ึงเราเรียกว่า ผกผันการบวกของ A เช่น เมื่อกาหนดจานวนเต็ม 5 ดังน้ันจะมีผกผันการบวกของ 5 คือ -5 โดยท่ี 5(5) 0 (5)5 เปน็ ตน้ ทฤษฎบี ท 4.32 สาหรบั จานวนเต็ม A และ B ใด ๆ จะมีจานวนเต็ม C เพียงจานวนเดียวเท่าน้นั ท่ที าให้ A  C  B พสิ จู น์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ เลือก C (A) B พิจารณา A C  A ((A) B) (A (A)) B 0B B ดังน้นั A  C  B จะแสดงวา่ มีจานวนเดยี วเทา่ น้ัน สมมตมิ จี านวนเต็ม D ซง่ึ ทาให้ A  D  B เน่ืองจาก C (A) B (A) (A D) ((A) A) D 0D D นั่นคอื C  D

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 95 บทแทรก 4.33 สาหรบั จานวนเต็ม A และ B ใด ๆ จะมีจานวนเต็ม C เพยี งจานวนเดยี วเท่าน้นั ที่ทาให้ C  A  B พิสจู น์ ให้พิสูจนเ์ ปน็ แบบฝกึ หัด ทฤษฎบี ท 4.44 สาหรับจานวนเต็ม A และ B ใด ๆ ถ้า A  B  0 แล้ว B A พิสูจน์ ให้ A เปน็ จานวนเต็มใด ๆ สมมติ A  B  0 จาก A เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จากทฤษฎบี ท 4.31 ดงั นั้นจะมีจานวนเตม็ A ดงั นั้นจาก A  B  0 จะไดว้ า่ (A) (A B) (A) 0 ((A) A) B (A) 0 0 B (A) 0 B A ดงั น้นั สาหรบั จานวนเต็ม A และ B ใด ๆ ถ้า A  B  0 แลว้ B A ทฤษฎบี ท 4.45 สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ (A B) (A) (B) พสิ ูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเต็มใด ๆ พิจารณา (A B) ((A) (B)) [(A B) (A)](B) [A (B(A))](B) [A ((A) B)](B) [(A (A)) B](B) (0 B) (B)  B(B) 0 จะไดว้ ่า (A B) ((A) (B)) 0 จากทฤษฎีบท 4.44 เราจึงสรปุ ได้ว่า (A) (B)  (A B) จากทฤษฎีบท 4.45 เราสังเกตุเห็นได้ว่า เราสามารถแจกแจงเคร่ืองหมายลบไปยัง จานวนเต็มสองจานวนที่บวกกนั เช่น (4 3) (4) (3) (58) (5) (8) เป็นต้น ทฤษฎีบท 4.46 สาหรบั จานวนเต็ม A, B และ C ใด ๆ ถา้ A  C  B C แลว้ A  B พิสจู น์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ สมมติ A C  B C

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 96 จากจานวนเตม็ C จะมจี านวนเต็ม C จาก A C  B C จะไดว้ ่า (A C) (C) (BC) (C) A (C(C)) B(C(C)) A0B0 AB ดังนน้ั เราจะสรปุ ได้ว่า สาหรับจานวนเตม็ A, B และ C ใด ๆ ถ้า A C  B C แล้ว A  B บทแทรก 4.47 สาหรบั จานวนเตม็ A, B และ C ใด ๆ ถ้า C  A  C  B แล้ว A  B พิสจู น์ ทานองเดยี วกับพสิ จู น์ทฤษฎีบท 4.46 จากทฤษฎีบท 4.46 และบทแทรก 4.47 พบว่า สาหรับจานวนเต็มใด ๆ จะมสี มบัติการตัดออก ทางซ้ายสาหรับการบวกจานวนเตม็ และสมบัติการตดั ออกทางซา้ ยสาหรบั การบวกจานวนเตม็ ตามลาดบั จากที่กล่าวไว้ก่อนหน้านไี้ วว้ ่า เซตของจานวนเต็มประกอบด้วยเซตของจานวนเต็มบวก เซตของ จานวนเต็มศูนย์ และเซตของจานวนเต็มลบ หากพิจารณาสมาชิกในเซตของจานวนเต็มบวกที่มีการดาเนินการ บวก อย่างเชน่ 4 6 10 จะเหน็ ไดว้ า่ ยงั ได้ผลลพั ธ์เปน็ จานวนเต็มบวก จะแสดงให้เห็นดังทฤษฎีบทต่อไปน้ี ทฤษฎบี ท 4.48 ถ้า A และ B เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ แลว้ A  B เปน็ จานวนเตม็ บวก พิสจู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ ดงั น้นั จะมี (m, n), (x, y)  และจานวนนบั p, q ที่ซ่งึ A {(m, n)  | m  n  p} และ B {(x, y)  | x  y  q} พิจารณา (m, n) (x, y)A  B จะได้วา่ (m  x, n  y)A  B เนือ่ งจาก m  n  p และ x  y  q จะไดว้ า่ m  x  (n  p)  (y  q)  (n  y)  (p  q) ให้ m  x  u , n  y  v และ p  q  w ดังน้นั A  B {(u, v)  | u  v  w} เพราะฉะน้นั ถ้า A และ B เป็นจานวนเตม็ บวก A  B เปน็ จานวนเต็มบวก ทฤษฎบี ท 4.49 ถา้ A และ B เปน็ จานวนเต็มลบใด ๆ แลว้ A  B เปน็ จานวนเตม็ ลบ พิสูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเต็มลบใด ๆ จากทฤษฎบี ท 4.31 ดังนัน้ จะมี A และ B เป็นจานวนเต็มบวก

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 97 จากทฤษฎีบท 4.48 จะได้ (A) (B) เปน็ จานวนเต็มบวก จากทฤษฎบี ท 4.44 เรามี (A) (B)  (A B) ดงั นั้น (A  B) เป็นจานวนเตม็ บวก นนั่ คือ A  B เปน็ จานวนเตม็ ลบ จากทฤษฎบี ท 4.48 และทฤษฎบี ท 4.49 พบว่า ผลบวกของจานวนเตม็ บวกสองจานวน เป็นจานวนเต็มบวก น่ันคือจานวนเต็มบวกมีสมบัติปิดสาหรับการบวก และผลบวกของจานวนเต็มลบสอง จานวนเป็นจานวนเตม็ ลบ นั่นคือจานวนเตม็ ลบมีสมบัติปิดสาหรบั การลบ จากบทนยิ าม 4.9 สาหรับ (m, n) และ (p, q) เป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  จะได้ว่า (m, n) (p, q) ก็ต่อเมอื่ m  q  n  p อีกทั้งทฤษฎีบท 4.12 เราไดว้ ่า ถา้ (m, n) (p, q) แล้ว (r, s)(m, n) (r, s)(p, q) สาหรับ (m, n) , (p, q) และ (r, s) เป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  ในทานองเดียวกัน เรามีทฤษฎบี ทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 4.49 สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ ถ้า (a, b), (c, d)A และ (e, f ), (g, h)B แล้ว (a, b)(e, f ) (c, d)(g, h) พสิ ูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ สมมติ (a, b), (c, d)A และ (e, f ), (g, h)B จะไดว้ ่า (a, b) (c, d) และ (e, f ) (g, h) ดงั น้ัน a  d  b  c และ e  h  f  g เนอ่ื งจาก (a, b) (c, d) โดยทฤษฎบี ท 4.12 จะไดว้ า่ (e, f )(a, b) (e, f )(c, d) จากทฤษฎบี ท 4.15 (2) เราได้ (a, b)(e, f ) (c, d)(e, f ) เนอ่ื งจาก (e, f ) (g, h) โดยทฤษฎบี ท 4.12 จะไดว้ ่า (c, d)(e, f ) (c, d)(g, h) เพราะวา่ เปน็ ความสัมพันธ์สมมูล ดงั นั้น (a, b)(e, f ) (c, d)(g, h) ต่อไปน้จี ะศึกษาการดาเนินการคูณสาหรับจานวนเต็ม บทนยิ าม 4.50 สาหรบั (a, b)A และ (c, d)B ผลคูณของจานวน A และ B ใด ๆ เขียน แทนดว้ ย AB คือ กลุม่ ของคู่อันดับ (a, b)(c, d) ภายใตค้ วามสมั พนั ธ์ หรือ AB {(x, y)  | (x, y) (a, b)(c, d)}

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 98 ทฤษฎบี ท 4.51 ถ้า A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ แล้ว AB มีเพียงจานวนเต็มจานวนเดียว เท่านน้ั พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ดงั นั้นจะมี (a, b), (c, d)  ซง่ึ A  [a, b] และ B  [c, d] จากบทนิยาม 4.50 จะได้วา่ (a, b)(c, d)A B จากทฤษฎบี ท 4.4 จะไดว้ า่ (a, b)(c, d) จะมเี พยี งจานวนเดียวเท่านน้ั ดงั น้ัน เราสรุปได้วา่ สาหรบั A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ AB มเี พียงจานวน เตม็ จานวนเดียวเทา่ นน้ั ทฤษฎบี ท 4.52 สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ AB  BA พสิ ูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ดังนน้ั จะมี (a, b), (c, d)  ซง่ึ A  [a, b] และ B  [c, d] จากบทนิยาม 4.50 จะไดว้ า่ (a, b)(c, d)A B และ (c, d)(a, b)BA จากทฤษฎีบท 4.5 จะไดว้ ่า (a, b)(c, d)  (c, d)(a, b) ดงั นัน้ AB  BA เราสรปุ ได้วา่ สาหรบั A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ AB  BA ทฤษฎีบท 4.53 สาหรับจานวนเต็ม A, B และ C ใด ๆ (AB)C  A(BC) พิสูจน์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ดังนัน้ จะมี (a, b), (c, d), (e, f )  ซง่ึ A  [a, b], B  [c, d] และ C  [e, f ] จากบทนยิ าม 4.50 จะได้วา่ ((a, b)(c, d))(e, f )(A B)C และ (a, b)((c, d)(e, f ))A (BC) เนอื่ งจากทฤษฎีบท 4.6 เรามี ((a, b)(c, d))(e, f )  (a, b)((c, d)(e, f )) เพราะฉะนน้ั (AB)C  A(BC) เราจงึ สรุปไดว้ ่า สาหรบั จานวนเต็ม A, B และ C ใด ๆ (AB)C  A(BC) ทฤษฎีบท 4.54 สาหรบั จานวนเต็ม A, B และ C ใด ๆ 1) A(BC) (AB) (AC) 2) (A B)C (AC) (BC) พิสูจน์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 99 ดังนัน้ จะมี (a, b), (c, d), (e, f )  ซง่ึ A  [a, b], B  [c, d] และ C  [e, f ] โดยบทนยิ าม 4.26, 4.50 และทฤษฎบี ท 4.7 เราได้วา่ (a, b)((c, d) (e, f )) (a, b)(e, f ) (c, d)(e, f ) เพราะฉะนนั้ A(BC) (AB) (AC) ทานองเดยี วกัน เราสามารถพิสจู นไ์ ดว้ ่า (A B)C (AC) (BC) ทฤษฎบี ท 4.55 สาหรบั จานวนเตม็ A ใด ๆ จะมจี านวนเตม็ 1 เพยี งจานวนเดียวเท่านน้ั ที่ทาให้ A1 A 1A พสิ จู น์ ให้ A เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ดงั นนั้ จะมี (a, b)  ซง่ึ A  [a, b] เนอ่ื งจาก 1  [2,1] จากบทนยิ าม 4.15 จะได้วา่ A1  [a, b][2,1] [a2  b1, a1 b2] [(a a)  b, a (b  b)] [(a a)  b, a (b  b)] [a (a  b), b (a  b)] [a, b] A ทานองเดียวกนั เราจะไดว้ า่ 1A  A ต่อไปจะแสดงว่า 1 มเี พยี งจานวนเดยี วเทา่ นั้น สมมตวิ ่ามีจานวนเตม็ B ซึง่ ทาให้ AB  A สาหรบั ทุกจานวนเตม็ A ถา้ A 1 จะได้ว่า 1B 1 ดงั น้นั B 1B 1 นั่นคือ B 1 ดงั น้ันเราจงึ สรุปไดว้ ่า สาหรบั จานวนเต็ม A ใด ๆ จะมีจานวนเตม็ 1 เพียงจานวน เดยี วเท่านนั้ ท่ีทาให้ A1 A 1A ทฤษฎีบท 4.56 สาหรบั จานวนเตม็ A และ B ใด ๆ 1) (A)(B)  AB 2) A(B)  (AB) (A)B พสิ จู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ ดังน้นั จะมี (a, b),(c, d)  ซง่ึ A  [a, b] และ B  [c, d]

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง100 1) จากบทนยิ าม 4.50 เรามี (a, b)(c, d)A B นน่ั คอื (ac  bd, ad  bc)AB จะได้ว่า (bd ac, bc ad)AB (b,a)(d, c)AB (a, b)(c, d)(A)(B) น่นั คอื AB(A)(B) ให้ (a, b)(c, d)(A)(B) จะไดว้ า่ (b, a)(d, c)AB (bd ac, bc ad)AB (ac  bd, ad  bc)AB (ac  bd, ad  bc)AB ดงั นัน้ (A)(B)  AB เราจงึ สรุปได้วา่ (A)(B)  AB 2) ให้ (a, b)(d, c)A (B) เราได้วา่ (a, b)(c, d)A B (ac  bd, ad  bc)AB (ad  bc, ac  bd)(AB) นั่นคือ (a, b)(d, c)(A B) ดังนน้ั A(B)  (AB) พิจารณา (a, b)(d, c)(A B) จะไดว้ ่า (ad  bc, ac  bd)(AB) นนั่ คอื (ac  bd, ad  bc)AB (a, b)(c, d)AB (a, b)(d, c)A(B) จะได้ว่า (AB)  A(B) เราจงึ สรปุ ได้ว่า A(B)  (AB) ทานองเดยี วกนั เราสามารถพิสจู น์ได้ว่า (AB)  (A)B ทฤษฎีบท 4.57 สาหรับจานวนเตม็ A ใด ๆ A  (1)A พิสูจน์ ให้ A เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ดงั นน้ั จะมี (a, b)  ซง่ึ A  [a, b]

101 จากทฤษฎีบท 4.56 จะได้วา่ (1)A  (1A) ดังนั้น A  (1)A  A ถา้ เรานาจานวนเตม็ บวกสองจานวนมาคูณกัน จะเห็นได้ว่า ผลลัพธ์ทีไ่ ด้จะยงั คงเป็น จานวนเตม็ บวก ดังทฤษฎบี ทต่อไปน้ี มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงทฤษฎบี ท 4.58 (สภุ า สุจริตพงศ์, 2523: 96-97 ) ถ้า A และ B เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว AB เป็นจานวนเต็มบวก พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนเต็มบวกใด ๆ จะมจี านวนนับ p และ q ซง่ึ ทาให้ A {(m, n)  m  n  p} B {(x, y)  x  y  q} ให้ (m, n) เป็นคูอ่ ันดับใด ๆ ใน A และ (x, y) เป็นค่อู นั ดับใด ๆ ใน B ดังนั้น (m, n)(x, y)A B เน่อื งจาก (m, n)(x, y) (mx  ny, my  nx)  ((n  p)(y  q)  ny, (n  p)y  n(y  q))  ((n  p)y (n p)q  ny, (n p)y  n(yq)) ((n  p)y (nq pq) ny, (n  p)y n(y q)) ((n  p)y (nq pq) ny, (n  p)y (ny nq)) ((n  p)y (nq ny) pq, (n  p)y (nq ny)) ให้ a  b pq และ b (n  p)y (nq ny) จะไดว้ า่ AB {(a, b)  a  b  pq} เพราะฉะนน้ั เราจึงสรุปได้วา่ AB เป็นจานวนเต็มบวก ทฤษฎบี ท 4.59 ถ้า A และ B เป็นจานวนเต็มลบใด ๆ แลว้ AB เปน็ จานวนเต็มบวก พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ ลบใด ๆ จะไดว้ ่า A และ B เป็นจานวนเต็มบวก จากทฤษฎบี ท 4.57 จะได้ (A)(B) เป็นจานวนเต็มบวก จากทฤษฎีบท 4.56 เราได้ (A)(B)  AB ดงั น้ัน A 0 AB เปน็ จานวนเตม็ บวก ทฤษฎีบท 4.60 ถา้ A เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ และ B เป็นจานวนเต็มลบใด ๆ แลว้ AB เป็น จานวนเตม็ ลบ พสิ จู น์ ให้พิสูจนเ์ ป็นแบบฝึกหัด

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง102 ทฤษฎบี ท 4.61 สาหรับจานวนเตม็ A ใด ๆ แลว้ A0  0 พสิ ูจน์ ให้ A เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ พจิ ารณา A0  A(0 0) A0  A0  A0 0  A0  A0  A0 จากทฤษฎบี ท 3.46 จะได้วา่ 0  A0 ดังน้ัน A0  0 สาหรับทุกจานวนเต็ม A ใด ๆ จากทฤษฎีบท 4.61 จะเห็นได้ว่าจานวนเต็มใด ๆ เม่ือคูณกับศนู ย์จะมคี ่าเท่ากับศนู ย์ ในทานอง เดยี วกัน สาหรับทุกจานวนเตม็ A ใด ๆ 0A  0 ทฤษฎีบท 4.62 (สุภา สุจริตพงศ์, 2523: 98 - 99) สาหรับจานวนเต็ม A และ B ใด ๆ จะได้ว่า A B  0 ก็ต่อเม่อื A  0 หรอื B  0 จากจากทฤษฎบี ท 4.62 เราสามารถประยุกตใ์ ช้ในการพสิ จู นส์ มบัตติ ่อไปน้ี ทฤษฎบี ท 4.63 สาหรับ A, B และ C เป็นจานวนเต็มใด ๆ ถ้า AC  BC และ C  0 แลว้ A  B พิสจู น์ ให้ A, B และ C เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ สมมติ AC  BC และ C  0 เนอ่ื งจาก A เป็นจานวนเตม็ ดงั นั้นจะมจี านวนเตม็ A และเราได้วา่ A C เป็นจานวนเตม็ เน่ืองจาก AC  BC จะไดว้ า่ AC(AC)  BC(AC) AC((AC))  BC(A)C 0  BC(A)C 0 (B(A))C เพราะว่า C  0 จากทฤษฎีบท 4.62 เราจะไดว้ ่า B(A) 0 จากทฤษฎีบท 4.28 จะได้ (A) B 0 จากทฤษฎบี ท 4.44 จะได้วา่ B  (A) และจากทฤษฎบี ท 4.23 เราจึงสรุปได้วา่ B  A

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 103 4.5 การจัดอนั ดบั เชงิ เส้นของจานวนเต็ม (Linear Order relations of Integers) จานวนนับมีสมบัติการจัดอันดับเชิงเส้นดังท่ีได้กล่าวไว้ในบทท่ี 3 น่ันคือ จานวนนับ ใดๆ สองจานวนย่อมสามารถเปรียบเทียบกันได้ด้วยเครื่องหมายมากกว่าหรือน้อยกว่า ในทานอง เดยี วกนั ในหวั ข้อนเ้ี ราจะศกึ ษาสมบตั กิ ารจดั อันดับเชงิ เสน้ ของจานวนเตม็ บทนยิ าม 4.63 (อาพล ธรรมเจรญิ , /2553:22) ให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ เรากล่าววา่ A นอ้ ยกว่า B เขียนแทนดว้ ย A  B ก็ต่อเมื่อ A  B  และกล่าวว่า A มากกว่า B เขียนแทนดว้ ย A  B กต็ ่อเม่อื A  B  สุภา (สุภา สุจริตพงศ์, 2523: 100 ) ได้นิยามคาว่าน้อยกว่าและมากกว่า กล่าวคือ ไม่วา่ A และ B เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ก็ตาม A  B (หรอื B  A ) หมายความว่า a  d  b  c เมือ่ (a, b)A และ (c, d)B ทฤษฎบี ท 4.65 สมบัตไิ ตรวภิ าค (Trichotomy Law) สาหรับ A และ B เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ขอ้ ความต่อไปนี้จะเป็นจริงเพียงกรณหี น่ึง กรณเี ดียวเท่านนั้ 1) A  B 2) A  B 3) A  B พิสูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ ดังนัน้ A B เป็นจานวนเต็มใด ๆ จากทฤษฎบี ท 4.22 เราได้ว่าจะเกดิ เพียงกรณีหนึง่ กรณีเดียวเท่านนั้ ในขอ้ ต่อไปน้ี A  B  หรือ A  B  0 หรือ A  B  จากบทนิยามบทนิยาม 4.62 จะได้ว่า 1) หรือ 2) หรือ 3) จะเป็นจริงเพียงกรณีหนึ่ง กรณเี ดยี วเทา่ นนั้ ทฤษฎบี ท 4.66 สาหรับ A จานวนเตม็ ใด ๆ 1) 0  A กต็ ่อเม่ือ A เปน็ จานวนเตม็ บวก 2) A  0 ก็ต่อเมือ่ A เปน็ จานวนเต็มลบ พสิ ูจน์ ให้ A เป็นจานวนเต็มใด ๆ พิจารณา 0  A  0 A  A  A  ดงั น้ัน 0  A ก็ตอ่ เม่ือ A เปน็ จานวนเตม็ บวก

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง104 ทานองเดียวกัน เราไดว้ ่า A  0 ก็ต่อเมื่อ A เปน็ จานวนเตม็ ลบ ทฤษฎีบท 4.67 ความสัมพันธ์  เป็นการจัดอนั ดับเชิงเส้นบนเซตของจานวนเต็ม พิสูจน์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จะมี (a, b),(c, d),(e, f )  ซง่ึ [a, b]  A, [c, d]  B และ [e, f ]  C 1) สมมติ A  B และ B  C จะได้ a  d  b  c และ c  f  d  e เพราะฉะนนั้ (a d) (c f ) (b c) (d e) และ (a f ) (c d) (b e) (c d) ดังนนั้ (a f ) (b e) นั่นคอื A  C สรปุ ได้ว่า ถา้ A  B และ B  C แล้ว A  C 2) สมมติ A  B และ B  A เป็นจริง จะได้ A  A เนื่องจาก A  A เกดิ ข้อขัดแย้ง สมมติ A  B และ A  B เป็นจริง จะได้ A  A เน่อื งจาก A  A เกิดขอ้ ขดั แย้ง สมมติ B  A และ A  B เป็นจริง จะได้ A  A เน่อื งจาก A  A เกิดข้อขดั แย้ง ดังนั้น A  B หรอื B  A หรอื A  B เปน็ จรงิ เพียงข้อเดียว จาก 1) และ 2) ความสัมพันธ์  เปน็ การจดั อนั ดับเชิงเสน้ บนเซตของจานวนเต็ม ทฤษฎีบท 4.68 สาหรับ A,B และ C เป็นจานวนเต็มใด ๆ A  B กต็ ่อเม่ือ A C  B C พิสจู น์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนเต็มใด ๆ พจิ ารณา A  B  A B  (A B)0  (A B) (C(C))  (A C)(BC)  ACBC ดังน้ัน สาหรับ A,B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ A  B ก็ต่อเม่อื A C  B C ทฤษฎบี ท 4.69 สาหรบั A,B,C และ D เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ถา้ A  B และ C  D แล้ว A C  B D

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 105 พิสจู น์ ให้ A,B,C และ D เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ สมมตใิ ห้ A  B และ C  D จะได้ A  B  และ C D  จากทฤษฎบี ท 4.49 จะไดว้ า่ (A B) (CD)  นัน่ คอื (A C) (BD)  ดังนนั้ A C  B D ทฤษฎีบท 4.70 สาหรับ A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ A  B กต็ อ่ เมือ่ BA พสิ จู น์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเต็มใด ๆ สมมติ A  B เนื่องจาก A และ B เป็นจานวนเตม็ ดงั นนั้ จะมีจานวนเต็ม A และ B จากทฤษฎีบท 4.68 จะไดว้ า่ A (A)  B(A) น่ันคอื 0  B(A) (B)0 (B)(B(A)) (B)0 ((B)B)(A) (B) 0 0 (A) B  A ดังน้นั BA สมมติ BA เน่อื งจาก A และ B เปน็ จานวนเตม็ จากทฤษฎบี ท 4.68 จะไดว้ า่ (B) B(A) B นน่ั คือ 0 (A) B และ A 0  A ((A) B) A00B AB ดงั นัน้ A  B เพราะฉะนัน้ เราจงึ สรปุ ได้วา่ A  B กต็ อ่ เม่ือ BA ทฤษฎีบท 4.71 สาหรบั A,B และ C เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ ถ้า 0  C แลว้ A  B ก็ตอ่ เมื่อ AC  BC พสิ ูจน์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ สมมติ 0  C จะแสดงว่า ถา้ A  B แล้ว AC  BC ให้ A  B จากบทนิยาม 4.63 เราได้ว่า A  B 

106 จาก 0  C เราจะได้วา่ CI จากทฤษฎีบท 4.59 เราได้วา่ (A B)(C)  (A(C)) (B(C))  ((AC)) ((BC))  ((AC)) (BC))  (((AC)) (BC))  มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ดงั นั้น AC  BC ACBC  สมมติ AC  BC จากบทนยิ าม 4.62 เราได้ว่า AC BC  (A B)C  เนอ่ื งจาก C เปน็ จานวนเตม็ บวก ถ้า A B เปน็ จานวนเตม็ บวก จากทฤษฎีบท 4.58 จะเกดิ ขอ้ ขัดแยง้ ดงั นัน้ A  B  นนั่ คอื A  B เพราะฉะนัน้ สาหรับ A,B และ C เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ถา้ 0  C แลว้ A  B กต็ อ่ เม่ือ AC  BC ทฤษฎีบท 4.72 สาหรับ A,B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ถ้า AC  BC แล้ว A  B กต็ ่อเมื่อ BC  AC พสิ จู น์ ให้พสิ ูจน์เปน็ แบบฝกึ หดั ทฤษฎีบท 4.73 สาหรับ A,B,C และ D เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ ถา้ A  B และ C  D แลว้ AC  BD พสิ จู น์ ให้ A,B,C และ D เปน็ จานวนเต็มบวกใด ๆ สมมติ A  B และ C  D จากทฤษฎีบท 4.71 จะได้วา่ AC  BC และ CB  DB จะไดว้ า่ AC  BC และ BC  BD จากทฤษฎีบท 4.67 เราจะไดว้ ่า AC  BD บทนิยาม 4.74 สาหรบั A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ A นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กับ B ( B มากกว่า หรอื เท่ากับ A ) เขียนแทนด้วย A  B ( B  A ) หมายความว่า A  B ( B  A ) หรอื A  B ทฤษฎีบท 4.75 ความสัมพันธ์  เปน็ การเรียงอนั ดบั อย่างง่ายบนเซตของจานวนเต็ม

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 107 พสิ ูจน์ ให้ A,B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ 1) เน่อื งจาก A  A จากบทนยิ าม 4.74 จะไดว้ า่ A  A 2) สมมติ A  B และ B  A จากบทนิยาม 4.74 จะได้ A  B หรอื A  B และ B  A หรอื B  A ดังนัน้ จึงเกิดเพยี งกรณีเดยี วเท่านน้ั คือ A  B จะได้ว่า ถา้ A  B และ B  A แล้ว A  B 3) สมมติ A  B และ BC จากบทนยิ าม 4.74 จะได้ A  B หรือ A  B และ B  C หรอื B  C จากทฤษฎีบท 4.67 เราได้วา่ A  C หรอื A  C นนั่ คอื A C ดงั น้นั ถ้า A  B และ BC แล้ว A C 4) ให้ A และ B เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จากทฤษฎบี ท 4.65 ดังนั้น กรณีตอ่ ไปนีจ้ ะเป็นจริงกรณเี ดยี วเท่านัน้ คือ A  B หรือ A  B หรือ B  A จะได้วา่ A  B หรอื B  A จาก 1) – 4) เราจึงสรุปไดว้ า่ ความสัมพนั ธ์  เปน็ การเรยี งอันดับอยา่ งง่ายบนเซต ของจานวนเต็ม ทฤษฎีบท 4.76 สาหรบั A,B,C และ D เป็นจานวนเต็มใด ๆ จะได้วา่ 1) A  B ก็ต่อเมื่อ A C  BC 2) ถา้ A  B และ C  D แล้ว A C BD 3) ถ้า A  B แล้ว B  A พสิ จู น์ 1) พสิ จู น์ได้จากจากทฤษฎีบท 4.68 และบทนิยาม 4.74 2) พสิ ูจนไ์ ดจ้ ากจากทฤษฎีบท 4.69 และบทนิยาม 4.74 2) พสิ จู น์ไดจ้ ากจากทฤษฎบี ท 4.70 และบทนยิ าม 4.74 ทฤษฎบี ท 4.77 สาหรบั A,B และ C เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ถา้ 0  C และ A  B แล้ว AC BC พิสจู น์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ สมมติ 0  C และ A  B จากบทนิยาม 4.72 เราไดว้ า่ (0  C หรือ 0  C ) และ (A  B หรือ A  B) ถ้า C  0 เราไดว้ า่ AC BC เป็นจริง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง108 สมมติ C  0 จากทฤษฎบี ท 4.71 ถ้า 0  C และ A  B แล้ว AC  BC นน่ั คอื AC BC ถ้า 0  C และ A  B ดังน้นั AC  BC จะได้ว่า AC BC ดังน้นั เราจึงสรปุ ได้วา่ ถ้า 0  C และ A  B แลว้ AC BC ทฤษฎีบท 4.78 สาหรบั A,B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ถ้า A  B และ C  0 แลว้ AC BC พสิ จู น์ ทานองเดยี วกับทฤษฎีบท 4.75 บทสรุป เมื่อพิจารณาจนวนนับสองจานวนใด ๆ เราพบวา่ สองจานวนนนั้ อาจจะมีคา่ เท่ากันหรือ มีจานวนใดจานวนหน่ึงท่ีมีค่ามากกว่า ดังนั้นเม่ือเรานาสองจานวนมาพิจาณาผลต่าง ทาให้ได้จานวน เต็มจานวนหน่ึง ซึ่งจานวนเต็มท่ีได้นั้นอาจมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือจานวนเต็มบวก หรือจานวนเต็มลบ อย่างใดอยา่ งหน่งึ เทา่ นั้น จานวนเต็มใด ๆ มีสมบัติต่าง ๆ ที่คล้ายกับจานวนนับ เช่น เช่น สมบัติปิด สมบัติการ สลับท่ี สมบัติการเปล่ียนกลุ่ม สมบัติการแจกแจง สมบัติการมีเอกลักษณ์ สมบัติการมีผกผัน เป็น ต้น โดยการพิสูจน์อาศัยความสัมพันธ์ของการบวกและการคูณของคู่อันดับของจานวนนับใด ๆ ที่มี สมบัติข้างต้น อีกท้ังจานวนเต็มมีสมบัติการจัดอันดับเชิงเส้น นั่นคือ ความสัมพันธ์น้อยกว่าและ ความสัมพันธ์น้อยกวา่ หรือเท่ากับเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของจานวนเต็ม ซ่งึ สมบัติท้งั หมดของ จานวนเต็มนจี้ ะเปน็ พื้นฐานทส่ี าคญั สาหรับการศกึ ษาจานวนตรรกยะต่อไป แบบฝึกหัดทา้ ยบทท่ี 4 จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1) จงอธบิ ายความเปน็ มาของการสร้างจานวนเต็ม 2) จงแสดงใหเ้ หน็ วา่ (m, n) (p, q)  (n, m) (q, p) หรอื ไม่ เม่อื (m, n), (p, q)  3) กาหนดให้ (u, v), (x, x)  จงพจิ ารณาว่า (u, v) (x, x) (x, x) เปน็ จริงหรอื เทจ็ ถ้า เป็นจริงให้พิสูจน์ ถา้ เป็นเทจ็ ให้ยกตวั อยา่ งคา้ น 4) สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ จงพิสจู น์ว่า จะมีจานวนเต็ม C เพียงจานวนเดยี วเทา่ นั้นที่ ทาให้ C  A  B 5) สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ จงพสิ ูจน์วา่ ((A) B)  A (B) 6) จงพิสจู น์ว่า A เป็นจานวนเตม็ บวก กต็ อ่ เมื่อ A เป็นจานวนเตม็ ลบ

109 7) จงพสิ ูจน์ว่า สาหรับจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ (A  B)2 (A B)2  2A2 2B2 8) สาหรบั จานวนเต็ม A,B และ C ใด ๆ ถา้ CA  CB แล้ว A  B เป็นจริงหรือเทจ็ ถ้า เป็นจรงิ ใหพ้ ิสจู น์ ถา้ เปน็ เท็จให้ยกตวั อยา่ งคา้ น 9) สาหรบั จานวนเต็ม A ใด ๆ จงพสิ ูจนว์ า่ A  A2 10) ถ้า AC BC และ C  0 แลว้ AC BC 11) จงพสิ จู น์ว่า ถ้า A เปน็ จานวนเตม็ บวกใด ๆ และ B เปน็ จานวนเต็มลบใด ๆ แล้ว AB เป็น จานวนเตม็ ลบ 12) จงพสิ ูจน์วา่ สาหรบั A,B และ C เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ถ้า AC  BC แล้ว A  B กต็ ่อเม่อื BC  AC เอกสารอา้ งอิง ประชุม สวุ ัตถี (2518). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : นยิ มวทิ ยา. ชะเอม สายทอง (2532). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : โอ เอส พรน้ิ ต้ิง เฮาส์. วสนั ต์ จนิ ดารตั นาภรณ์ (2542). ระบบจานวน. เชยี งใหม่ : สถาบันราชภัฏเชยี งใหม่. สมศักด์ิ โพธิวจิ ิตร (2523). ระบบจานวน. สงขลา : มหาวทิ ยาลัยศรนี ครนิ ทรวโิ รฒ สงขลา. สมสวาท สุดสาคร (2542). ระบบจานวน. (พิมพ์ครั้งที่ 4). กรุงเทพฯ : มหาวทิ ยาลัยรามคาแหง. สเุ ทพ จนั ทร์สมศักดิ์ (2538). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ์จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั . สุภา สจุ ริตพงศ์ (2523). โครงสรา้ งของระบบจานวน. กรุงเทพฯ : จฬุ าลงกรณ์มหาวิทยาลยั . อาพล ธรรมเจรญิ (2553). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : พทิ ักษก์ ารพมิ พ.์ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏหม่บู า้ นจอมบงึ 110

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 111 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทที่ 5 เนือ้ หาประจาบท บทที่ 5 จานวนตรรกยะ 5.1 การดาเนินการคู่อนั ดับใน  * 5.2 ความสมั พันธ์สมมลู บนเซต  * 5.3 การบวกจานวนตรรกยะ 5.4 การคูณจานวนตรรกยะ 5.5 การจัดอันดับเชงิ เส้นของจานวนตรรกยะ จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม เมอ่ื ศึกษาบทที่ 5 แลว้ นกั ศึกษาสามารถ 1. สามารถอธิบายที่มาของการสรา้ งจานวนตรรกยะ 2. สามารถพิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ของการบวกและการคูณคู่อันดับใน  * พร้อม ยกตวั อยา่ งได้ 3. สามารถพิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ของความสัมพันธ์สมมูลบนเซต  * พร้อม ยกตวั อย่างได้ 4. สามารถพิสูจน์สมบตั ิต่าง ๆ ของการบวกจานวนตรรกยะ พร้อมยกตวั อย่างได้ 5. สามารถพิสจู น์สมบัติต่าง ๆ ของการคณู จานวนตรรกยะ พรอ้ มยกตัวอย่างได้ 6. สามารถพิสจู นส์ มบัตติ ่าง ๆ ของการจัดอันดบั เชงิ เส้นของจานวนตรรกยะ พร้อม ยกตวั อยา่ งได้ กิจกรรมการเรียนการสอนประจาบท 1. ผูส้ อนอธิบายทฤษฎีบทและการพสิ ูจน์พร้อมยกตวั อย่างประกอบการบรรยาย โดยใช้โปรเจคเตอร์ และซกั ถามในระหว่างอธบิ าย 2. แบ่งผู้เรียนเป็นกลมุ่ กลมุ่ ละประมาณ 5 คน เพื่อศึกษาทฤษฎบี ทแล้วอธบิ ายในกลุ่ม 3. ใหผ้ เู้ รียนศกึ ษาเอกสารประกอบการสอนวิชา ระบบจานวน เปรียบเทยี บกบั ขอ้ สรปุ 4. ผสู้ อนและผเู้ รยี นร่วมกันอภิปรายและหาข้อสรุปรว่ มกันอกี ครั้งหน่ึง 5. มอบหมายให้ผู้เรยี นทาแบบฝกึ หดั บทท่ี 5 6. ทดสอบย่อยหลงั จบบทเรียน

112 สื่อการเรียนการสอน 1. เอกสารเอกสารประกอบการสอน วิชาระบบจานวน 2. โปรแกรมช่วยสอน/สือ่ อิเล็กทรอนิกส์ 3. เครือ่ งฉายโปรเจคเตอร์ 4. หนงั สอื อา่ นประกอบค้นควา้ เพ่มิ เติม 5. แบบฝึกหดั บทที่ 5 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง การวัดผลและประเมนิ ผล 1. การสงั เกตจากการซักถามผเู้ รยี น 2. การสงั เกตจากการรว่ มกิจกรรม 3. การสังเกตจากความสนใจ 4. การสงั เกตจากการอภปิ รายกลุ่มยอ่ ยและอภิปรายสรปุ 5. การประเมินจากการทาแบบฝึกหดั /Quiz 6. การประเมินจากการสอบระหวา่ งภาคและปลายภาค

113 บทที่ 5 จานวนตรรกยะ (Rationl Numbers) เราได้ศึกษาจานวนเต็มในบทท่ี 4 และพบว่าจานวนเต็มเกิดขึ้นจากแนวคิดของการหา คาตอบของสมการบางอย่างว่ามีความเป็นไปได้หรือไม่ท่ีจะทาให้สมการนั้นมีคาตอบ และได้ศึกษาสมบัติ ต่าง ๆ ของจานวนเต็ม ในบทที่ 5 นี้ จะศึกษาแนวคิดท่ีเก่ียวข้องกับจานวนตรรกยะ ( Rational Number) โดยมีพ้ืนฐานมาจากจานวนเต็มสองจานวนนามาหารกัน เรียกว่า “เศษส่วน” (Fraction) โดยท่ีตวั ส่วนของเศษส่วนนน้ั จะต้องมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ จานวนตรรกยะมีความเก่ียวขอ้ งในหน่วยการ วัด ซึ่งไมจ่ าเปน็ ตอ้ งมคี ่าเป็นจานวนเต็มเสมอไปนน่ั เอง ในชีวิตประจาวันเราคงเคยซื้อของ เช่น เน้ือหมูโลครึ่ง ไก่สดคร่ึงตัว เป็นต้น หรือมีการ ตวงส่ิงของ เช่น เติมน้ามันครึ่งถึง เติมน้าลงในถังหนึ่งในสามของถัง เป็นต้น เพราะบางคร้ังน้าหนัก และปริมาตรส่งิ ของไมไ่ ดเ้ ป็นจานวนเต็มหน่วยเสมอไป ดงั นนั้ จานวนตรรกยะจึงถูกสร้างขึ้นมาเพื่อหา คาตอบของบางปญั หาทม่ี คี าตอบที่ไม่ใช่จานวนเต็มหรอื เป็นเศษส่วน จากกรณี a  b เราสามารถหาจานวนเต็ม x ที่ทาให้สมการ a  x  b เป็นจริง แต่ ถ้า b  a เรายงั คงสามารถหาคา่ จานวนเต็ม x ทที่ าใหส้ มการดังกลา่ วเป็นจรงิ ไดห้ รอื ไม่ คาถามนี้จึง เป็นแนวคิดของการเกิดขึ้นของเซตของจานวนเต็ม โดยมีพื้นฐานมาจากสมบัติของจานวนนับ ทาให้เรา สามรถพิสูจนไ์ ดว้ ่าจานวนเต็มมีสมบตั ติ ่าง ๆ ที่คล้ายกบั จานวนนับ แต่อย่างไรก็ดี เราพบว่าจานวนเต็มใด ๆ จะไม่มีตวั ผกผันสาหรบั การคูณ กาหนดให้ a และ b เป็นจานวนเต็มใด ๆ พิจารณาสมการ ax  b ซ่ึงเป็นประโยค เปิด เพราะจะเห็นได้ว่าสมการนี้อาจจะมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จก็ได้ ถ้ากาหนดให้ x เป็น จานวนเต็ม บางสมการอาจจะมีคาตอบ เช่น 3x 15 4x  4 2x  0 เป็นต้น แต่ในบางสมการ ไมม่ คี าตอบ เช่น 6x  3 2x  5 9x  2 เปน็ ตน้ จากการนิยามคู่อันดับของจานวนนับในบทท่ี 4 น่ันคือ (a, b)  โดยที่ (a, b) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง หมายถงึ a  b ซ่ึงเปน็ จดุ เริ่มต้นทีส่ ามารถพิสูจน์สมบัตติ ่าง ๆ ของจานวนเต็ม ในทานองเดียวกนั ใน บทน้ีเรากาหนดให้ คือเซตของจานวนเต็ม และ * {b b  0} คอู่ ันดับ (a, b)  * หมายถึง a โดยท่ี a,b เป็นจานวนเต็มและ b0 นั่นคือเม่ือกาหนด (a, b) จะแทนจานวนตรรก b 4 1 21 ยะจานวนใดจานวนหนึ่ง เช่น (4, 5)  5 (1, 2)  2 (21, 7)  7 เป็นต้น ดังนั้นในหัวขอ ต่อไปนี้ เราจะศึกษาการดาเนินการบวกและการคูณของคู่อันดับใน  * เพื่อเป็นพื้นฐานในการ พิสูจน์สมบัตขิ องจานวนตรรกยะตอ่ ไป

114 5.1 การดาเนนิ การคูอ่ นั ดบั ใน  * (Operations of Order-pairs in  * ) ในหัวข้อต่อไปน้ี เราจะพิจารณาสมบัติเบ้ืองต้นของคู่อันดับใน  * ท่ีเริ่มจากการ นิยามการดาเนนิ การบวกและการคูณของสองคู่อนั ดบั ใด ๆ ใน  * ดังตอ่ ไปนี้ บทนิยาม 5.1 กาหนดให้ (a, b) และ (c, d) เป็นคอู่ นั ดับใด ๆ ใน  * ผลบวกของ (a, b) และ (c, d) เขยี นแทนด้วย (a, b) (c, d) นยิ ามโดย (a, b) (c, d) (ad  bc, bd) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม 5.2 กาหนดให้ (a, b) และ (c, d) เปน็ คูอ่ ันดับใด ๆ ใน  * ผลคณู ของ (a, b) และ (c, d) เขยี นแทนด้วย (a, b)(c, d) นยิ ามโดย (a, b)(c, d)  (ac, bd) จากบทนิยาม 5.1 และ 5.2 จะเหน็ ได้ว่าการดาเนนิ การบวกและการคูณของสองคู่อันดับ  * กค็ ือการบวกและการคูณเศษส่วนเหมือนท่เี ราเคยชนิ เชน่ ใด ๆ ใน 4 1 42 15 8 5 13 5 2 52 25 10 10 10       2  6  26  12 เป็นตน้ 3 5 35 15 ทฤษฎีบทต่อไปนี้ จะแสดงการดาเนินการบวกและการคณู ของคู่อันดับใน  * ทฤษฎีบท 5.3 ถา้ (a, b) และ (c, d) เป็นคอู่ นั ดบั ใด ๆ ใน  * แลว้ 1) (a, b) (c, d)  * มีเพยี งคู่เดียวเท่าน้นั 2) (a, b)(c, d)  * มเี พยี งคู่เดียวเทา่ น้นั พสิ จู น์ ให้ (a, b) และ (c, d) เปน็ คู่อันดับใด ๆ ใน  * 1) จากบทนิยาม 5.1 เราไดว้ ่า (a, b) (c, d) (ad  bc, bd) เนือ่ งจาก a, c และ b, d * จากทฤษฎีบท 4.51 จะได้วา่ ad, bc, bd และมีจานวนเดียว จากทฤษฎบี ท 4.27 จะไดว้ ่า ad  bc และมจี านวนเดียว เราจงึ ไดว้ ่า (ad  bc, bd)  (a, b) (c, d)  * มเี พียงค่เู ดยี วเทา่ นนั้ 2) จากบทนยิ าม 5.2 เราไดว้ า่ (a, b)(c, d)  (ac, bd) เนื่องจาก a, c และ b, d * จากทฤษฎบี ท 4.51 จะได้วา่ ac, bd และมจี านวนเดยี ว

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 115 เราจงึ ไดว้ า่ (ac, bd)  (a, b)(c, d)  * มีเพยี งค่เู ดียวเทา่ นนั้ จากทฤษฎีบท 5.3 จะเป็นพ้ืนฐานท่ีช่วยในการไปพิสูจน์สมบัติปิดสาหรับการบวกและ การคูณของจานวนเตม็ ต่อไป ทฤษฎีบท 5.4 ถา้ (a, b) และ (c, d) เปน็ คูอ่ นั ดบั ใด ๆ ใน  * แล้ว 1) (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) 2) (a, b)(c, d)  (c, d)(a, b) พิสูจน์ ให้ (a, b) และ (c, d) เป็นคอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  * 1) จากบทนิยาม 5.1 เราได้วา่ (a, b) (c, d) (ad  bc, bd)  (da  cb, db)  (cb  da, db) (c,d)(a, b) ดังนน้ั เราจวึ สรปุ ไดว้ ่า (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) 2) ทานองเดยี วกบั การพิสูจน์ 1) จากทฤษฎีบท 5.4 จะเป็นพ้ืนฐานท่ีช่วยในการไปพิสูจน์สมบัติสลับท่ีสาหรับการบวก และการคณู ของจานวนเต็มตอ่ ไป ทฤษฎบี ท 5.5 ถ้า (a, b), (c, d) และ (e, f ) เปน็ คอู่ นั ดบั ใด ๆ ใน  * แล้ว 1) ((a, b)  (c, d)) (e, f ) (a, b)  ((c, d) (e, f )) 2) ((a, b)(c, d))(e, f )  (a, b)((c, d)(e, f )) พิสจู น์ ให้ (a, b), (c, d) และ (e, f ) เป็นค่อู นั ดับใด ๆ ใน  * 1) พจิ ารณา ((a, b)  (c, d)) (e, f ) (ad  bc, bd) (e, f )  (ad  bc, bd) (e, f )  ((ad  bc)f (bd)e, (bd)f )  (a(df ) (b(cf )  b(de)), b(df ))  (a(df )  b(cf  de), b(df ))  (a, b)  (cf  de, df )  (a, b)  ((c, d) (e, f )) 2) ทานองเดยี วกับการพิสูจน์ 1)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 116 จากทฤษฎีบท 5.5 จะเป็นพื้นฐานท่ีช่วยในการไปพิสูจน์สมบัติเปลี่ยนหมู่ท่ีสาหรับการ บวกและการคณู ของจานวนเตม็ ต่อไป 5.2 ความสัมพนั ธส์ มมูลบนเซต  * (Equavalence Relations on  * ) ในบางกรณีจะพบว่า อาจมีคู่อันดับบางจานวนท่ีมีค่าเท่ากันเช่น คู่อันดับ (2, 4) มีค่า เทา่ กับ (1, 2) คอู่ ันดับ (3, 5) มีคา่ เทา่ กับ (15, 25) เป็นต้น ดังนั้น เราจึงให้คู่อันดับท่ีมีเท่ากันอยู่ใน กล่มุ ท่ีสัมพนั ธ์กัน ในหัวข้อนี้เราจึงนยิ ามความสมั พนั ธ์สมมูลกนั ของคูอ่ นั ดบั ใน  * บทนยิ าม 5.6 สาหรับคู่อันดับ (a, b) และ (c, d) ใด ๆ ใน  * จะเรียกว่า (a, b) สมมูลกบั (c, d) เขยี นแทนด้วย (a, b) (c, d) ก็ต่อเมื่อ ad  bc จากบทนยิ าม 5.6 จะเหน็ ได้ชัดจากตวั อย่าง เช่น (1, 2) (2, 4) 14  22 (3, 5) (9, 15)  3(15) 5(9) เปน็ ต้น แตห่ าพจิ ารณา 34 12 ดงั นนั้ เราจะได้ วา่ คอู่ ันดบั (3, 2) ไมส่ ัมพนั ธ์กบั คู่อันดบั (1, 4) ทฤษฎีบท 5.7 ความสมั พันธ์ เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซต  * พสิ จู น์ ให้ (a, b), (c, d) และ (e, f ) เป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  * 1) เนอื่ งจาก ab  ba จากบทนยิ าม 5.6 จะได้ว่า (a, b) (a, b) 2) สมมติ (a, b) (c, d) จากบทนิยาม 5.6 จะได้ว่า ad  bc หรือ bc  ad เพราะฉะนั้น เราจะไดว้ า่ cb  da นั่นคือ (c, d) (a, b) 3) สมมติ (a, b) (c, d) และ (c, d) (e, f ) จากบทนยิ าม 5.6 จะไดว้ า่ ad  bc และ cf  de ดังน้ัน (ad)f  (bc)f และ b(cf )  b(de) นัน่ คือ (ad)f  b(de) a(df )  b(ed) a(fd)  b(ed) (af )d  (be)d เน่อื งจาก d  0 เราจะได้ว่า af  be นั่นคอื (a, b) (e, f )

117 จาก 1) - 3) เราจึงสรุปได้ว่า ความสมั พนั ธ์ เป็นความสมั พันธ์สมมูลบนเซต * จากทฤษฎีบท 5.7 คู่อันดับใด ๆ ใน  * ที่มคี วามสัมพันธ์ กันนั้นก็คือกลุ่มของ จานวนตรรกยะท่ีมีค่าเทา่ กัน ดงั นั้น เราใช้สัญลักษณ์ [a,b] แทนกลุ่มของคู่อนั ดับที่สัมพันธก์ ันภายใต้ ความสมั พันธส์ มมลู เชน่ [1,1] { ,(3,3),(2,2),(1,1),(1,1),(2, 2),(3, 3),...,} [3, 4] { ,(9,12),(6,8),(3,4),(3, 4),(6,8),(9,12),...,} เป็นตน้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนยิ าม 5.8 (สมสวาท สุดสาคร, 2542: 112) จานวนตรรกยะคือคู่อันดับที่อยู่ ใน  * ซึ่ง สมั พันธ์กันภายใต้ความสัมพันธส์ มมูล ข้อสงั เกต 5.9 จากบทนยิ าม 5.8 เราไดว้ ่า [a,b] {(x,y)  * (a,b) (x,y)}{(x,y)  * ay  bx} a ซึ่งจะเหน็ ได้วา่ สัญลกั ษณ์ [a,b] ก็คือการแทนดว้ ยจานวนตรรกยะ b นั่นเอง ดงั นนั้ เซต ของจานวนตรรกยะ เขียนแทนด้วย กาหนดโดย {[a,b] a  b *} และหากพจิ ารณาจานวนเตม็ บางจานวน ทาให้ไดจ้ านวนตรรกยะทน่ี ่าสนใจ ดังบทนิยามต่อไปน้ี บทนิยาม 5.10 จานวนตรรกยะศนู ยค์ ือกลุ่มของคู่อันดบั ที่สัมพันธส์ มมูลกับ [0, a] เมื่อ a * และ [0, a] {(x,y)  * x  0} เขียนแทนด้วย 0 บทนิยาม 5.11 จานวนตรรกยะหนึง่ คือกลมุ่ ของคู่อนั ดับที่สมั พนั ธส์ มมูลกับ [a, a] เมื่อ a * และ [a, a] {(x,y)  * x  y} เขียนแทนดว้ ย 1 1 จากข้อสังเกต 5.9 เมื่อเราแทนคา่ a  0 และ b  a ตามลาดับ และใช้สมบัติ บางอยา่ งของจานวนเต็มทาใหเ้ ราจะได้บทนยิ าม 5.9 และ 5.10 ตามลาดับ ทฤษฎบี ท 5.12 (กลั ยาณี ไชยวรนิ ทรกุล, 2543: 54 - 56) ถา้ ให้ (a,b) และ (a,b) แทนจานวนตรรกยะ A และ (c,d) และ (c,d) แทนจานวนตรรกยะ B แล้ว 1) คู่อันดบั (ad  bc, bd) ,(ad bc,bd), (ad  bc,bd) และ (ad bc,bd) แทนจานวนตรรกยะ A  B ตวั เดยี วกัน

118 2) คอู่ นั ดบั (ac,bd), (ac,bd), (ac,bd) และ (ac,bd) แทน จานวนตรรกยะ AB ตัวเดียวกัน จากทฤษฎีบท 5.12 ได้แสดงให้เห็นถึงการเท่ากันของจานวนตรรกยะในการดาเนินการ บวกและการคณู เมอ่ื แทนคา่ ดว้ ยจานวนตรรกยะทเ่ี ท่ากนั หรือคอู่ นั ดับใน  * ที่สมมลู กัน เช่น 4 1 4 3 8 1 8 3 7  2  7  6  14  2  14  6 2มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง72 164272 164เปน็ ต้น 5 3 5 5 3 5 บทนิยาม 5.13 จานวนตรรกยะบวกคือกลมุ่ ของคู่อนั ดบั ท่ีสัมพนั ธ์สมมลู กบั [a, b] โดยท่ี [a, b] {(a,b)  * ab เป็นจานวนเตม็ บวก} จากบทนิยาม 5.13 จะเห็นได้ว่า สาหรับทุก ๆ จานวนเต็ม a และ b โดยที่ b  0 ถ้า ab เป็นจานวนเต็มบวกแล้ว [a, b] เปน็ จานวนตรรกยะบวก บทนิยาม 5.14 จานวนตรรกยะลบคือกลมุ่ ของคอู่ นั ดับทส่ี ัมพนั ธ์สมมลู กับ [a, b] โดยท่ี [a, b] {(a,b)  * ab เปน็ จานวนเต็มลบ} จากบทนิยาม 5.14 จะเห็นได้ว่า สาหรับทุก ๆ จานวนเต็ม a และ b โดยท่ี b  0 ถ้า ab เป็นจานวนเตม็ ลบแลว้ [a, b] เปน็ จานวนตรรกยะลบ ทฤษฎบี ท 5.15 ถ้า A เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ แล้ว {(a, b)  * (a,b)A} เปน็ จานวนตรรกยะ พิสจู น์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ จะมี (c, d)  * ซ่ึงทาให้ A  [c, d] จะแสดงว่า {(a, b)  * (a,b)A}[c, d] ให้ (x, y){(a, b)  * (a,b)A} จะได้วา่ (x, y)A  [c, d] นั่นคอื (x)d  yc จะได้ว่า (1)((x)d) (1)(yc) xd  (yc) xd  y(c)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 119 นน่ั คอื (x,y)[c, d] ดังน้นั {(a, b)  * (a,b)A}[c, d] ให้ (u,v)[c, d] จะไดว้ ่า ud  v(c) นั่นคอื ud  (vc) (1)(ud)  (1)((vc)) (ud)  vc (u)d  vc นั่นคอื (u, v)[c, d]  A ดังนน้ั (u, v){(a, b)  * (a,b)A} นน่ั คอื [c, d] {(a, b)  * (a,b)A} ดังน้นั {(a, b)  * (a,b)A}[c, d] เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ {(a, b)  * (a,b)A} เปน็ จานวนตรรกยะ บทนิยาม 5.16 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ {(a, b)  * (a, b)A} เป็นจานวนตรรกยะเขยี นแทนดว้ ย A จากบทนิยาม 5.16 พบว่า A คือจานวนตรรกยะที่เป็นจานวนตรงข้ามของจานวน ตรรกยะ A นั่นคือ ถ้า A [a, b] จะได้ว่า A  [a, b] และถ้าสมมติให้ A  0 จากบทนิยาม 5.16 เราได้ว่า 0 {(x, y)  * (x,y)0} จากบทนิยาม5.10 จะเห็นได้ว่า (x,y)0 ก็ ต่อเมือ่ x  0 ทาใหไ้ ด้วา่  0  0 นั่นเอง ทฤษฎีบท 5.17 สาหรบั จานวนตรรกยะ A ใด ๆ (A)  A พิสจู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ จะแสดงว่า (A)  A ให้ (a, b)(A)  (a, b)A  ((a), b)A  (a, b)A ดงั นั้น (A)  A ทฤษฎบี ท 5.18 สาหรบั จานวนตรรกยะ A ใด ๆ 1) A เปน็ จานวนตรรกยะบวก กต็ ่อเมื่อ A เปน็ จานวนตรรกยะลบ 2) A เปน็ จานวนตรรกยะลบ กต็ อ่ เมื่อ A เป็นจานวนตรรกยะบวก พสิ จู น์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ

120 1) จะแสดงว่า A เปน็ จานวนตรรกยะบวก กต็ ่อเม่อื A เป็นจานวนตรรกยะลบ A เป็นจานวนตรรกยะบวก  A  [a, b] โดยที่ ab   (A)  [a, b] โดยที่ ab   A  [a, b] โดยท่ี (a)b   A เป็นจานวนตรรกยะลบ 2) พสิ ูจนท์ านองเดียวกับ 1) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง พิจารณาจานวนตรรกยะ A ใด ๆ ดังนั้นจะมี (a, b)  * ซึ่ง A [a, b] น่ันคือ A มีค่าเท่ากับ a โดยที่ b0 ถ้า a0 แล้วจะเห็นได้ว่า b ก็ยังคงเป็นจานวนตรรกยะ ดัง b a ทฤษฎบี ทตอ่ ไปน้ี ทฤษฎบี ท 5.19 สาหรบั จานวนตรรกยะ A ใด ๆ ถ้า A  0 แล้ว {(a, b)  * (b, a)A} เป็นจานวนตรรกยะ พสิ จู น์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ และ A  0 ดงั น้ันจะมี (a, b)  * ซึ่งทาให้ A [a, b] จะแสดงวา่ {(a, b)  * (b, a)A}[b, a] ให้ (u, v){(a, b)  * (b, a)A} จะได้ (v, u)A ดงั น้นั (v, u) (a, b) น่นั คอื vb  ua หรอื ua  vb จะได้วา่ (u, v) (b, a) ดงั นั้น (u, v)[b, a] เพราะฉะนน้ั {(a, b)  * (b, a)A}[b, a] ทานองเดียวกนั เราจะได้วา่ [b, a] {(a, b)  * (b, a)A} เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ {(a, b)  * (b, a)A}[b, a] เป็นจานวนตรรกยะ บทนยิ าม 5.20 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ โดยท่ี A  0 จะมีจานวนตรรกยะ A1 ซ่ึง A1 {(x,y)  * (y,x)A}

121 ทฤษฎบี ท 5.21 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ ถ้า A  0 แล้ว (A1)1  A พิสจู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ สมมติ A  0 ให้ (a, b)  * จากบทนยิ าม 5.20 จะไดว้ ่า (a, b)A  (b, a)(A1)  (a, b)(A1 )1 ดังนนั้ A (A1)1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎบี ท 5.22 สาหรบั A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ โดยท่ี A  0 1) A เปน็ จานวนตรรกยะบวก ก็ต่อเม่ือ A1 เป็นจานวนตรรกยะบวก 2) A เป็นจานวนตรรกยะลบ ก็ต่อเมอื่ A1 เป็นจานวนตรรกยะลบ พิสจู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ และ A  0 1) ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะบวก  A  [a, b] โดยท่ี ab   A  [a, b] โดยท่ี ba   A1  [b, a] โดยท่ี ba   A1 เป็นจานวนตรรกยะบวก 2) พิสจู นท์ านองเดียวกบั 1) จากทฤษฎีบท 5.18 และ 5.22 จะเป็นพ้ืนฐานท่ีช่วยในการแสดงสมบัติการมีผกผัน สาหรบั การบวกและการคูณของจานวนตรรกยะ ตามลาดับ 5.3 การบวกจานวนตรรกยะ (Addition of Rational Numbers) จากบทนิยาม 5.1 ได้นิยามการดาเนินการบวกของคู่อันดับใน  * ในบางกรณีเรา จะพบว่าคู่อันดับบางคู่ที่มีความสัมพันธ์สมมูลกัน ทาให้ผลบวกของคู่อันดับน้ันมีค่าเท่ากัน อย่างเช่น (1, 2) (3, 2) มีค่าเท่ากับ (2, 4) (9, 6) ดังนั้นในหัวข้อน้ี เราจะพิจารณาการบวกของจานวน ตรรกยะ นั่นคือการดาเนินการบวกของกลุม่ ของคู่อันดับทีส่ มมลู กัน โดยใช้ความรพู้ ้ืนฐานในหวั ข้อ 5.2 มาช่วยในการพิสูจน์ ซ่ึงสมมับติต่าง ๆ ของการบวกจานวนตรรกยะ มีความคล้ายคลึงกับจานวนเต็ม ดงั ตอ่ ไปนี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 122 บทนยิ าม 5.23 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ผลบวกของ A และ B เขียนแท นด้วย A  B กาหนดโดย A  B {(x, y)  * (x, y) (a,b) (c,d)} โดยท่ี (a, b)A และ (c, d)B ขอ้ สังเกต 5.24 จากบทนิยาม 5.1 และ 5.23 เม่อื (a, b)A และ (c, d)B เราไดว้ ่า A  B {(x, y)  * (x, y) (ad  bc,bd)} ทฤษฎีบท 5.25 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ A  B เปน็ จานวนตรรกยะและมีเพยี ง จานวนเดียวเทา่ นนั้ พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นั้น จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] จากบทนิยาม 5.1 และ ทฤษฎีบท 5.3 เราไดว้ า่ (ad  bc,bd)  (a, b) (c, d)  * จะไดว้ ่า (ad  bc,bd)A B เป็นจานวนตรรกยะ ดังนั้น A  B เปน็ จานวนตรรกยะ จากทฤษฎีบท 5.3 เราไดว้ ่า (a, b) (c, d) มีเพียงหนึ่งเดียวใน  * ดังนน้ั เราจึงสรปุ ไดว้ ่า A  B เปน็ จานวนตรรกยะเพยี งจานวนเดยี ว ทฤษฎีบท 5.26 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ A  B  B  A พิสจู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นั้น จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] เน่ืองจาก (a, b)  (c, d)A  B และจากบทนิยาม 5.1 และ ทฤษฎีบท 5.4 เราได้ว่า (a, b)(c, d) (c, d)(a, b) ดงั นั้น (a, b) (c, d)B  A เพราะฉะนนั้ A  B  B  A จากทฤษฎีบท 5.26 เราเรยี กจานวนจานวนตรรกยะนี้ว่า “สมบัติสลับท่ขี องจานวนตรรก ยะสาหรับการบวก” (Commutation of Rational Number for Addition) ทฤษฎีบท 5.27 สาหรับจานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ (A B) C  A (BC) พิสูจน์ ให้ A, B และ C เป็นจานวนตรรกยะ ดังนั้น จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B  [c, d]

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 123 และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] เนอื่ งจาก ((a, b)  (c, d)) (e, f )(A B) C และจากทฤษฎีบท 5.5 เรามี ((a, b)  (c, d)) (e, f ) (a, b)  ((c, d) (e, f )) ดงั นนั้ ((a, b)  (c, d)) (e, f )A (B C) เพราะฉะนั้น (A B) C  A (BC) จากทฤษฎีบท 5.27 เราเรียกจานวนจานวนตรรกยะน้ีว่า “สมบัติเปลี่ยนหมู่ของจานวน ตรรกยะสาหรับการบวก” (Association of Rational Number for Addition) ทฤษฎบี ท 5.28 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ จะมีจานวนตรรกยะ 0 เพียงจานวนเดียวเทา่ นั้น ซง่ึ A 0  A  0  A พสิ จู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะ ดงั นนั้ จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] จากบทนิยาม 5.10 จะมี (0, c)  * ซง่ึ 0  [0, c] เน่อื งจาก (a, b) (0, c)A 0 จากบทนยิ าม 5.1 เราไดว้ ่า (a, b) (0, c) (ac 0b, bc) (ac, bc) แต่ (ac, bc) (a, b) เมื่อ (a, b)A นั่นคอื (a, b) (0, c)A ดังน้นั A  0  A จากทฤษฎบี ท 5.26 เราได้ว่า 0  A  A 0  A ตอ่ ไปจะแสดงว่า 0 มีหนึ่งเดียว สมมตวิ า่ มีจานวนตรรกยะ B  [d, e] ซง่ึ (d, e)B และ A  B  A ดังนน้ั B A  A  B  A  0  A น่ันคอื B  A  0  A จะไดว้ า่ (d, e) (a, b) (0, c) (a, b) (db ea, eb) (0b  ca, cb) ดงั นน้ั (db ea)(cb)  ( eb)(0b  ca) น่ันคือ (db)(cb) (ea)(cb) ( eb)(ca) โดยสมบัตขิ องจานวนเต็ม เราจะไดว้ า่ (db)(cb) (ea)(cb) 0 (ea)(ba) จากทฤษฎบี ท 4.46 จะได้ (db)(cb)  0 เนือ่ งจาก b, c * นัน่ คอื b,c  0 ดังนน้ั d  0 จะไดว้ ่า B  [0, e] น่ันคอื B  0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 124 จากทฤษฎีบท 5.28 เราเรียกจานวนตรรกยะ 0 ว่า “ เอกลักษณ์การบวก” (Additive Identity) เน่อื งจาก (0, a) (0,1) ดงั นั้นเราอาจจะให้ 0  [0,1] เพอื่ ใหง้ า่ ยต่อการพิสจู น์ ทฤษฎีบท 5.29 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ จะมีจานวนตรรกยะ A เพยี งจานวนเดยี วเท่าน้นั ที่ A (A) 0 (A) A พิสูจน์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะ ดงั น้ัน จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] จะได้ว่า A  [a, b] พิจารณา (a, b) (a, b)  (ab  b(a), bb)  (ab  b(a), bb)  (ab (ba), bb)  (ab (ab)), bb)  (0, bb) เนื่องจาก (a, b) (a, b)A (A) และ (0, bb)0 ดงั น้ัน A (A) 0 จากทฤษฎีบท 5.26 เราได้วา่ (A) A  A (A) 0 ต่อไปจะแสดงว่า A มเี พียงหน่ึงเดยี ว สมมตวิ า่ มีจานวนตรรกยะ B ซง่ึ A  B  0 ดงั น้นั จะมี (c, d)  * ซง่ึ B  [c, d] เนือ่ งจาก A  B  0 ดงั น้ันจะมี (0,1) ซง่ึ (a, b) (c, d) (0,1) ดงั นั้น (ad  bc, bd) (0,1) จะได้ว่า (ad  bc)(1)  bd(0) ad  bc  0 bc  (ad) bc  (a)d cb  d(a) นน่ั คอื (c, d) (a, b) ดังนั้น B A เราจงึ สรปุ ไดว้ ่า มีจานวนตรรกยะ A เพียงจานวนเดยี วเท่านัน้ ซง่ึ A (A) 0 (A) A

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 125 จากทฤษฎีบท 5.29 ถ้ามีจานวนตรรกยะ A ใด ๆ แล้ะวจะมีจานวนตรรกยะ A เรียกว่า “ผกผันการบวก” (Inverse of Addition) ของจานวนตรรกยะ A เพื่อให้ง่ายต่อการเขียน ดงั นนั้ เราจงึ แทนการดาเนินการของจานวนตรรกยะ A B หมายถึง A (B) ทฤษฎีบท 5.30 สาหรบั จานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ ถา้ A  B แล้ว 1) C  A  C  B 2) A  C  B  C พิสจู น์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ ดังนน้ั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] สมมติ A  B จะไดว้ า่ (a, b) (c, d) จากทฤษฎีบท 5.12 จะไดว้ ่า (e, f ) (a, b) (eb  fa, fb)  (ed  fc, fd) (e, f)(c, d) ดงั น้ัน C  A  C  B และจากทฤษฎีบท 5.26 เราจะได้ว่า A  C  B  C ทฤษฎบี ท 5.31 สาหรบั จานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ ถา้ C  A  C  B แลว้ A  B พสิ ูจน์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ สมมติ C  A  C  B เนอ่ื งจาก C เป็นจานวนตรรกยะ ดังน้ันจะมจี านวนตรรกยะ C จาหทฤษฎีบท 5.30 เราไดว้ ่า (C) (C  A) ((C) (C  B) (C) C)  A  ((C) C)  B 0A0B AB ดงั น้ัน ถา้ C  A  C  B แลว้ A  B บทแทรก 5.32 สาหรับจานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ ถา้ A  C  B  C แล้ว A  B พสิ ูจน์ พสิ ูจนโ์ ดยอาศยั ทฤษฎบี ท 5.26 และจากทฤษฎีบท 5.31 ทฤษฎีบท 5.33 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ จะมจี านวนตรรกยะ C เพยี งจานวนเดียว เท่านั้น ท่ที าให้ A  C  B

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 126 พสิ ูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ ดงั นัน้ มจี านวนตรรกยะ A เลอื ก C  B(A) ดังนั้น A  C  A (B(A))  A ((A) B) (A (A)) B 0B B ดังนั้น A  C  B ต่อไปจะแสดงวา่ มีจานวนตรรกยะ D ทซ่ี ง่ึ A  D  B พิจารณา A  D  B  A  C ดงั นน้ั A  D  A  C จากทฤษฎีบท 3.51 จะไดว้ า่ D  C ดงั นน้ั เราสรปุ ได้วา่ จะมีจานวนตรรกยะ C เพยี งจานวนเดยี วเท่าน้ัน ที่ทาให้ A  C  B ทฤษฎีบท 5.34 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ (A B) (A) (B) พิสจู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดังน้ันจะมจี านวนตรรกยะ A และ B พจิ ารณา (A B) ((A) (B))  A (B((A) (B)))  A (B((B) (A)))  A ((B(B)) (A))  A (0 (A))  A (A) 0 เพราะฉะนัน้ (A B) ((A) (B)) 0 จากทฤษฎบี ท 5.29 ดังนนั้ (A B) (A) (B) ทฤษฎบี ท 5.35 ถ้า A และ B เปน็ จานวนตรรยะบวก แลว้ A  B เปน็ จานวนตรรกยะบวก พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะบวก ดังนนั้ จะมี (a, b), (c, d)  * ซง่ึ A  [a, b] และ B [c, d] โดยที่ ab และ cd เป็นจานวนเตม็ บวก โดยที่ ab เป็นจานวนเต็มบวก พจิ ารณา (a, b) (c, d) (ad  bc, bd) นนั่ คอื (a, b) (c, d) (ad  bc, bd) เนือ่ งจาก (a, b) (c, d)  A  B

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 127 ดังนัน้ (ad  bc, bd)A  B เนื่องจาก ab และ cd เปน็ จานวนเต็มบวก ถา้ a,b,c และ d เปน็ จานวนเต็มบวก จะไดว้ า่ ad  bc และ bd เปน็ จานวนเต็มบวก นัน่ คือ (ad  bc)(bd) เป็นจานวนเต็มบวก ถา้ a,b,c และ d เปน็ จานวนเตม็ ลบ ในทานองเดียวกัน เราจะไดว้ ่า (ad  bc)(bd) เป็นจานวนเตม็ บวก พจิ าณากรณี a และ b เปน็ จานวนเต็มลบ แต่ c และ d เป็นจานวนเตม็ บวก และกรณี a และ b เป็นจานวนเต็มบวก แต่ c และ d เป็นจานวนเต็มลบ ดังนัน้ จะได้ว่า ad, bc และ bd เป็นจานวนเต็มลบ นนั่ คอื ad  bc เปน็ จานวนเตม็ ลบและ (ad  bc)(bd) เปน็ จานวนเตม็ บวก ดังน้ัน A  B เปน็ จานวนตรรกยะบวก เพราะฉะน้นั เราสรุปได้ ถา้ A และ B เปน็ จานวนตรรยะบวก แลว้ A  B เปน็ จานวนตรรกยะบวก บทแทรก 5.36 ถ้า A และ B เปน็ จานวนตรรยะลบ แล้ว A  B เปน็ จานวนตรรกยะลบ พสิ จู น์ ให้ A และ B เปน็ จานวนตรรกยะลบ จากทฤษฎบี ท 5.18 จะมี A และ B เปน็ จานวนตรรกยะบวก จากทฤษฎีบท 5.35 (A) (B) เป็นจานวนตรรกยะบวก เนือ่ งจาก (A B) (A) (B) ดังนน้ั (A  B) เป็นจานวนตรรกยะบวก น่นั คอื A  B เปน็ จานวนตรรกยะลบ จะเห็นได้ว่า ทฤษฎีบท 5.35 และ บทแทรก 5.36 เป็นสมบัติที่เหมือนกับการบวกของจานวน เต็มและจานวนนับ แต่หากพิจาณาให้จานวนตรรยะลบกบั จานวนตรรกยะบวกมาบวกกนั แล้ว พบว่าผลลัพธ์ท่ี ได้อาจมีคา่ เป็นบวกหรอื เปน็ ลบกไ็ ดน้ ่นั เอง 5.4 การคูณจานวนตรรกยะ (Multiplication of Rational Numbers) ในหัวข้อนี้จะศึกษาสมบัติของจานวนตรรกยะสาหรับการดาเนินการคูณ ซ่ึงมีสมบัติ คล้ายกับการดาเนินการบวกของจานวนตรรกยะ โดยในการพิสูจน์นั้นจะอาศัยสมบัติของการ ดาเนินการคณู ของคู่อันดับใน  * ดงั ต่อไปนี้ บทนิยาม 5.37 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ผลคูณของ A และ B เขียนแทนด้วย AB ก า ห น ด โ ด ย AB {(x,y)  * (x,y) (a,b)(c,d)} โ ด ย ที่ (a, b)A และ (c, d)B

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 128 จากบทนิยาม 5.37 เราสามารถพิจารณาผลคูณของ A และ B และนิยามของ ความสมั พนั ธ์ ของคูอ่ ันดับใน  * โดย AB {(x,y)  * (x,y) (ac,bd)} ทฤษฎีบท 5.38 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ AB เป็นจานวนตรรกยะเพียงจานวน เดียว พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นนั้ จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] จากบทนยิ าม 5.2 และ ทฤษฎีบท 5.3 เราไดว้ ่า (ac,bd)  (a, b)(c, d)  * จะได้วา่ (ac,bd)AB เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นนั้ AB เปน็ จานวนตรรกยะ จากทฤษฎบี ท 5.3 เราได้วา่ (a, b)(c, d) มีเพียงหน่งึ เดียวใน  * ดงั นน้ั เราจงึ สรุปไดว้ ่า AB เป็นจานวนตรรกยะเพียงจานวนเดียว จากทฤษฎีบท 5.38 เราเรียกสมบัตขิ องจานวนเตม็ นี้วา่ เป็นสมบัติปิดสาหรับการคูณของ จานวนตรรกยะ ซ่ึงทาให้สามารถพิสูจฯสมบตั อิ น่ื ๆ ของจานวนตรรกยะได้ ดังตอ่ ไปน้ี ทฤษฎีบท 5.39 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ AB  BA พิสจู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะ ดงั นน้ั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] เน่ืองจาก (a, b)(c, d)AB และจากบทนยิ าม 5.2 และ ทฤษฎบี ท 5.4 เราไดว้ ่า (a, b)(c,d) (c,d)(a, b) ดังนั้น (a, b)(c, d)BA เพราะฉะน้นั AB  BA จากทฤษฎีบท 5.39 เราเรียกจานวนจานวนตรรกยะนี้ว่า “สมบัติสลับท่ีของจานวนตรรก ยะสาหรบั การคณู ” (Commutation of Rational Number for Addition) ทฤษฎีบท 5.40 สาหรับจานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ (AB)C  A(BC) พสิ จู น์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนตรรกยะ ดงั นั้น จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ]

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 129 เน่อื งจาก ((a, b)(c, d))(e, f )(AB)C และจากทฤษฎีบท 5.5 เรามี ((a, b)(c, d))(e, f )  (a, b)((c, d)(e, f )) ดงั นน้ั ((a, b)(c, d))(e, f )A(BC) เพราะฉะน้นั (AB)C  A(BC) จากทฤษฎีบท 5.40 เราเรียกจานวนจานวนตรรกยะน้ีว่า “สมบัติเปล่ียนหมู่ของจานวน ตรรกยะสาหรบั การคณู ” (Association of Rational Number for Multiplitation) ทฤษฎบี ท 5.41 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ จะมจี านวนตรรกยะ 1 ซง่ึ A1 A 1A พิสจู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ ดังนั้น จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] จากบทนิยาม 5.11 จะมี (c, c)  * ซง่ึ 1  [c, c] ถา้ A  0 จะไดว้ ่า A  [0, b] และ (0, b)(c, c)  (0c, bc) (0, bc)[0, bc] 0 ดงั นน้ั 01  0 10 พิจารณากรณี A  0 เนือ่ งจาก (a, b)(c, c)A1 จากบทนิยาม 5.2 เราได้วา่ (a, b)(c, c)  (ac, bc) แต่ (ac, bc) (a, b) เม่อื (a, b)A นน่ั คือ (a, b)(c, c)A ดังนนั้ A1 A จากทฤษฎีบท 5.39 เราไดว้ า่ A1 A 1A สมมติวา่ มีจานวนตรรกยะ B  [d, e] ซง่ึ (d, e)B และ AB  A จะไดว้ า่ B 1B 1 นั่นคอื B 1 เราเรียกจานวนตรรกยะ 1 ว่า “ เอกลักษณ์การคูณ” Multiplicative Identity) oyjogv’ จากการพิสูจน์ทฤษฎีบท 5.41 เราพบกว่า เม่ือสมมติว่ามีจานวนตรรกยะ B  [d, e] ซึ่ง (d, e)B แ ล ะ AB  A จ ะ ได้ ว่ า (a, b)(d, e) (a, b) ห รื อ (ad, be) (a, b) ดั ง น้ั น (da)(b)  ( be)(a) โด ย ส ม บั ติ ข อ งจ า น ว น เต็ ม เร า จ ะ ได้ ว่ า (d)(ab)  ( e)(ab) นั่ น คื อ (d, e) (ab, ab) ซ่ึงเรามี b  0 ถ้า a  0 จึงเกิดข้อขัดแย้ง เพราะ (ab, ab)  * จึงทาให้ A  0 เพราะถ้าหากลองพิจารณาสมการ AB  A เมื่อ A  0 จะเห็นได้ว่าสมการดังกล่าวเป็น จริงสาหรบั ทุก ๆ จานวนตรรกยะ B น่นั เอง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 130 ทฤษฎีบท 5.42 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ ถา้ A  0 แลว้ จะมจี านวนตรรกยะ A1 เพียง จานวนเดียวเท่านนั้ ซง่ึ AA1 1  A1 A พิสจู น์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะ สมมติ A  0 ดงั นนั้ จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ a  0 จากบทนิยาม 5.20 จะไดว้ ่า A1 [b, a] จากบทนิยาม 5.37 เราได้ว่า (a, b)(b, a)AA1 พิจารณา (a, b)(b, a)  (ab, ba)  (ab, ab)[ab, ab] 1 ดงั นน้ั AA1 1 จากทฤษฎบี ท 5.39 จะได้ A1 A  AA1 1 ตอ่ ไปจะแสดงว่าผกผนั การคูณของจานวนตรรกยะมเี พียงหน่งึ เดียว สมมตวิ า่ มีจานวนตรรกยะ B ซง่ึ AB 1 ดังนน้ั จะมี (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] เนอ่ื งจาก AB 1 ดงั นั้น (a, b)(c, d) (e, e) เมอ่ื [e, e] 1 และ e  0 จะได้วา่ (ac, bd) (e, e) เพราะฉะนนั้ (ac)e (bd)e เน่ืองจาก e  0 จากทฤษฎีบท 4.63 เราไดว้ า่ ac  bd จะไดว้ ่า ca  db นัน่ คือ (c, d) (b, a) นน่ั คือ B  A1 จากทฤษฎีบท 5.43 ถ้ามีจานวนตรรกยะ A  0 ใด ๆ แล้ะวจะมีจานวนตรรกยะ A1 เรยี กวา่ “ผกผันการคณู ” (Inverse of Multiplication) ของจานวนตรรกยะ A ทฤษฎีบท 5.43 สาหรับจานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ 1) A(BC)  ABAC 2) (A B)C  ACBC พสิ จู น์ ดงั น้นั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] 1) จากบทนิยาม 5.23และ 5.37เราไดว้ ่า (a, b)((c, d) (e, f ))A(B C) จากทฤษฎบี ท 5.5 ขอ้ 1) จะได้ (a, b)((c, d) (e, f )) (a, b)(c, d) (a, b)(e, f ) ซง่ึ (a, b)(c, d) (a, b)(e, f )AB AC

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 131 ดงั น้ัน A(BC)  ABAC 2) พสิ ูจนท์ านองเดียวกบั 1) จากทฤษฎีบท 5.43 เราเรียกจานวนจานวนตรรกยะนี้ว่า “สมบัติแจกแจงของจานวน ตรรกยะ” (Distribution of Rational Number) ทฤษฎบี ท 5.44 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ 1) 0A  0 2) (1)A  A 3) AB  (A)(B) 4) (AB)  A(B)  (A)B พสิ จู น์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ 1) พจิ ารณา 0 0A 0A (0 0)A 0A 0A จะได้ว่า 0 0A  0A 0A จากทฤษฎีบท 5.30 จงึ ทาให้ A0  0 2) พิจารณา (1)A (1)A 0 (1)A (A (A)) ((1)A A)(A) ((1)A 1A) (A) ((1)1)A (A) 0A (A) 0 (A)  A 3) พิจารณา (A)(B)  ((1)A)((1)B)  (((1)A)(1))B  ((1)(A(1)))B  ((1)((1)A))B  ((1)(A))B  (((A))B AB 4) พิจารณา (AB)  (1)(AB)  ((1)A)B  (A)  B และ (AB)  (1)(AB)  ((1)A)B  (A(1))B  A((1)B)  A(B)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 132 เพราะฉะนน้ั (AB)  A(B)  (A)B ทฤษฎบี ท 5.44 สาหรบั จานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ ถ้า A  B แลว้ AC  BC พสิ จู น์ ให้ A, B และ C เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดงั นน้ั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] สมมติ A  B นน่ั คอื (a, b) (c, d) จากทฤษฎีบท 5.12 จะได้วา่ (a, b)(e, f ) (c, d)(e, f ) ดังน้นั AC  BC ทฤษฎีบท 5.45 สาหรับจานวนตรรกยะ A, B และ C ใด ๆ ถา้ AC  BC และ C  0 แล้ว AB พสิ จู น์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ สมมติ AC  BC และ C  0 จากทฤษฎบี ท 5.42 ดงั นัน้ จะมี C1 และจากทฤษฎบี ท 5.44 จะไดว้ ่า (AC)C1 (BC)C1 A(CC1 )  B(CC1) A1 B1 AB ดังนัน้ เราจงึ สรุปได้ว่า ถ้า AC  BC และ C  0 แลว้ A  B จากทฤษฎีบท 5.44 และ 5.45 เราจะเห็นถึงความแตกต่างของสมบัติการเพิ่มเข้า และตัดออกของการคูณสาหรับจานวนตรรกยะ ซงึ่ มีเพียงสมบัติการตดั ออกที่ต้องจาเปน็ พิจารณาการ ตัดจานวนตรรกยะท่ีไม่เป็นศูนย์เท่านั้น เพราะจะไม่สามารถหาผกผันของการคูณของจานวนนนั้น ๆ ได้ นนั่ เอง ทฤษฎีบท 5.46 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ถา้ A  0 และ B  0 แลว้ 1) (AB)1  B1 A1 2) (A)1  A1 พิสจู น์ ให้ A และ B เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ สมมติ A  0 และ B  0 1) พจิ ารณา (AB)(B1 A1)  ((AB)B1)A1  (A(BB1))A1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 133  (A 1)  A1  A A1 1 ดังนัน้ เราจะไดว้ า่ (B1 A1) เป็นผกผนั การคณู ของ (AB) น่ันคอื (AB)1  B1 A1 2) พิจารณา (A)(A1)  A(A1)  A(A1) 1 ดังน้นั เราจะไดว้ า่ A1 เปน็ ผกผันการคูณของ A นน่ั คอื (A)1  A1 5.5 การจัดอนั ดับเชิงเสน้ ของจานวนตรรกยะ (The Linearly Ordered of Rational Numbers) เมื่อพิจารณา A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ แล้วจะมี (a, b)A ซ่ึง A  [a, b] และ (c, d)B ซ่ึง B [c, d] ถ้าให้ A  B ดังน้ัน (a, b) (c, d) น่ันคือสมการ ad  bc เป็นจรงิ หากลองพจิ ารณากรณีที่ ad  bc จากสมบตั ิไตรวภิ าคของจานวนเต็ม เราจะได้วา่ ad  bc หรือ ad  bc ซ่ึงสมบัติของจานวนเต็มนี้ จะเป็นพื้นฐานที่ช่วยแสดงใหเ้ ห็นว่า จานวนตรรก ยะมีสมบตั ิการจัดอันดบั เชิงเสน้ คล้ายกบั จานวนเต็มนั่นเอง ดังนัน้ ในหวั ขอ้ นี้ เราจะพจิ ารณาสมบัตกิ าร มอี นั ดับของจานวนตรรกยะ บทนิยาม 5.47 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ซ่ึง (a, b)A , (c, d)B และ b, d  0 จะกลา่ ววา่ A นอ้ ยกว่า B ( A  B ) กต็ อ่ เม่อื ad นอ้ ยกว่า bc (ad  bc ) และจะกล่าววา่ A มากกวา่ B ( A  B) กต็ ่อเมื่อ ad มากกวา่ bc (ad  bc ) จากบทนิยาม 5.47 เราพบว่าสาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ A  B ก็ ตอ่ เมื่อ B  A ซ่งึ จากบทนยิ ามน้ี เราสามารถพสิ ูจน์ความสัมพนั ธ์ของจานวนตรรกยะไดด้ งั ต่อไปน้ี ทฤษฎีบท 5.48 สาหรับจานวนตรรกยะ A  [a, b] ใด ๆ โดยท่ี b  0 1) 0  A กต็ อ่ เม่อื A เปน็ จานวนตรรกยะบวก 2) A  0 ก็ตอ่ เมอื่ A เปน็ จานวนตรรกยะลบ พิสจู น์ ให้ A เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดังน้ัน จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b]

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 134 และจะมี 0  [0,1] 1) 0  A  0b 1a 0a  a เป็นจานวนเต็มบวก  ab เปน็ จานวนเตม็ บวก  A  [a, b] เปน็ จานวนตรรกยะบวก 2) พิสูจนท์ านองเดยี วกับ 1) ทฤษฎีบท 5.49 (อาพล ธรรมเจริญ, 2553:46) สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ข้อความ ต่อไปน้ีเป็นจริงเพยี งกรณหี น่ึงกรณเี ดยี ว คือ 1) A  B 2) A  B 3) A  B พสิ ูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดังนัน้ จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] ดงั นน้ั จะมจั านวนตรรกยะ B  [c, d] เนือ่ งจาก (a, b) (c, d)A (B) พจิ ารณา (a, b) (c, d) (ad  b(c), bd)  (ad  bc, bd) จากทฤษฎบี ท 4.22 จะไดว้ ่า แตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนจ้ี ะเปน็ จรงิ เพยี งขอ้ ใดข้อหน่งึ เทา่ นัน้ 1) ad  bc  จะไดว้ า่ ad  bc นนั่ คือ A  B 2) ad  bc  0 จะไดว้ า่ ad  bc นนั่ คือ A  B 3) ad  bc  จะไดว้ า่ ad  bc นนั่ คือ A  B ทฤษฎบี ท 5.50 สาหรับจานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ ถ้า A  B และ B  C แล้ว A  C พิสูจน์ ให้ A,B และ C เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ ดังนน้ั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] โดยท่ี b, f  0 สมมติ A  B และ B  C จากบทนิยาม 5.47 เราได้วา่ ad  bc และ cf  de ดังนน้ั (ad)f (bc)f และ (cf )b  (de)b เนอ่ื งจาก (bc)f  b(cf ) (cf )b ดังนน้ั (ad)f  (de)b (da)f  (de)b

135 d(af )  d(eb) เพราะว่า d * น่ันคอื d  0 ดงั น้ัน af  eb นน่ั คือ af  be เราจึงไดว้ า่ A  C จากทฤษฎบี ท 5.50 เราไดว้ ่า ความสมั พนั ธน์ ้อยกวา่ มีสมบัติการถา่ ยทอดสาหรบั จานวน ตรรกยะ น่นั คือการมสี มบัติการจดั อันดบั เชงิ เสน้ ของจานวนตรรกยะ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎบี ท 5.51 สาหรบั จานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ ถ้า A  B ก็ต่อเมื่อ A  C  B  C พิสจู น์ ให้ A,B และ C เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ ดงั น้ัน จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] และ b, d, f  0 พิจารณา A  B  ad  bc  (ad)(ff )  (bc)(ff )  (af )(df )  (bf )(cf )  (af )(df )  (be)(df )  (bf )(cf )  (be)(df )  df (af  be)  bf (cf  de)  (af  be)df  bf (cf  de)  (af  be,bf )  (cf  de,df ) (a, b)(e, f ) (c, d) (e, f ) ACBC ดังน้นั เราจงึ สรปุ ได้ว่า A  B ก็ต่อเมอ่ื A  C  B  C สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ จะมีผกผันจากบวกของ A เสมอ ซึ่งเขียนแทน ด้วย A ในทานองเดียวกัน ถ้า A  0 จะได้ว่า จะมี A1 ซึ่งเรียกว่าเป็นผนผันการคูณของ จานวนตรรกยะ A ดังน้ันเพื่อให้ง่ายในการเขียน เราจึงนิยามการดาเนินการลบและหารของจานวน A ตรรกยะ โดยที่ A B A (B) และ B  A(B1 ) เมื่อ B0 ตามลาดับ ทฤษฎีบท 5.52 สาหรบั จานวนตรรกยะ A,B,C และ D ใด ๆ 1) ถา้ A  B แลว้ A  B  0 2) ถา้ A  B และ C  D แลว้ A C  B  D พสิ ูจน์ ให้ A,B,C และ D เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ 1) สมมติ B  A

136 เนื่องจาก B เปน็ จานวนตรรกยะ ดังน้ันจะมจี านวนตรรกยะ B และจากทฤษฎีบท 5.50 เราได้ A (B)  B(B) ดังนั้น A  B  0 2) สมมติ A  B และ C  D จาก 1) จะไดว้ า่ A  C  B C และ C  B  D  B นนั่ คอื B  D  B  C และ B  C  A C จากทฤษฎีบท 5.50 จะไดว้ า่ B D  A C นัน่ คอื A C  B  D มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎบี ท 5.53 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ A  B ก็ต่อเมือ่ B A พิสจู น์ ทานองเดียวกับทฤษฎบี ท 5.52 ทฤษฎบี ท 5.54 สาหรบั จานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ 1) ถา้ C  0 แลว้ A  B ก็ต่อเม่ือ AC  BC 2) ถ้า C  0 แลว้ A  B ก็ต่อเม่ือ AC  BC พิสจู น์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดังนัน้ จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b], (c, d)B ซง่ึ B [c, d] และ (e, f )C ซง่ึ C  [e, f ] และ b, d, f , ef  0 1) สมมติ C  0 พจิ ารณา A  B  ad  bc  (ad)(ef )  (bc)(ef )  (ae)(df )  (be)(cf )  (ae)(df )  (bf )(ce)  (ae,bf ) (ce,df )  (a, b)(e, f) (c, d)(e, f)  ACBC 2) พิสจู น์ทานองเดยี วกับ 1) ทฤษฎีบท 5.55 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ A0 กต็ อ่ เมื่อ 1 0 A พสิ ูจน์ ให้ A เปน็ จานวนตรรกยะใด เนื่องจาก A  0 จะไดว้ ่า A  0 1 ดงั นนั้ จะมี A 0 ถ้า 1 0 จากทฤษฎีบท 5.54 จะไดว้ ่า A  1  0  1 A A A นนั่ คอื 1  0 ซึง่ เกิดข้อขดั แย้ง

137 ดงั น้นั 1 0 A 1 1 ในทางกลับกนั ให้ A 0 นน่ั คอื 0 A สมมติให้ A  0 1 A จากทฤษฎีบท 5.54 จะไดว้ ่า 0 A   A มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงน่ันคือ 0 1 ซึ่งเกดิ ข้อขัดแยง้ 1 A เพราะฉะน้ัน เราจึงสรุปได้วา่ A0 กต็ อ่ เมื่อ 0 ทฤษฎบี ท 5.56 สาหรับจานวนตรรกยะ A ใด ๆ A0 ก็ต่อเม่ือ 1 0 A พสิ จู น์ พสิ จู น์ทานองดยี วกบั ทฤษฎีบท 5.55 ทฤษฎบี ท 5.57 สาหรบั จานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ A B 1) ถา้ C  0 แลว้ A  B กต็ อ่ เมื่อ C  C 2) ถา้ C  0 แล้ว A  B กต็ อ่ เม่ือ A  B C C พสิ ูจน์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ 1) สมมติ C  0 1 จากทฤษฎบี ท 5.55 จะมี C  0 จากทฤษฎีบท 5.54 เราได้วา่ AB กต็ ่อเมื่อ A  B C C 2) พสิ จู นท์ านองเดียวกบั 1) ทฤษฎีบท 5.58 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ 1 1 1) ถา้ 0AB แลว้ B  A 2) ถ้า AB0 แลว้ 1  1 B A พสิ จู น์ ให้ A และ B เปน็ จานวนตรรกยะใด ๆ 1) สมมติ 0  A  B 1 1 A B จากทฤษฎีบท 5.55 จะมี 0 และ 0

138 จากทฤษฎบี ท 5.54 จะไดว้ ่า A  1  B 1 A A 1 1  B A 1 1  1  B 1  B B A 1 1 1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง B 1   B B  A 1 1  1 1 B A 11 2) พิสูจน์ทานองเดียวกบั 1) BA ทฤษฎีบท 5.59 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ถ้า A  B แล้วจะมีจานวนตรรกยะ R ซง่ึ A R B พิสูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ดังนน้ั จะมี (a, b)A ซง่ึ A  [a, b] และ (c, d)B ซง่ึ B  [c, d] และ b, d 0 สมมติ A  B จะไดว้ า่ ad  bc เน่อื งจาก b  0 จะได้ว่า (ad)b  (bc)b จะได้ (ad)b (ad)b (ad)b (bc)b และ (ad)b (bc)b (bc)b (bc)b น่นั คอื a(db db) (ad  bc)b และ (ad  bc)b (bc  bc)b จะไดว้ า่ a(db db) (bc  bc)b a(db db)  b(bc  bc) ดงั นั้น (a, b)  (da  bc, bd  bd) นน่ั คอื A  R เมือ่ R [da  bc, bd  bd] เป็นจานวนตรรกยะ ในทานองเดียวกนั เราสามารถพสิ จู น์ได้วา่ R  B สรปุ ได้ว่า A R B จากทฤษฎีบท 5.59 เราจะเหน็ ได้ว่า ทุก ๆ จานวนตรรกยะสองจานวนใด ๆ ย่อมจะ มีจานวนตรรกยะระหว่างสองจานวนน้ันเสมอ เราอาจจะเห็รได้ชัดข้ึน เช่น เม่ือให้ A และ B เป็น A B A A A B จานวนตรรกยะใด ๆ สมมติ AB ได้ว่า 2  2 จะทาให้ 2  2  2  2 และ

139 A  B  B  B ดังนั้น A  A  A  A  B  B  B  B นั่นคือ A  A  B  B ซึ่ง 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 หมายถงึ หน่ึงในจานวนท่ีอยู่ระหว่างจานวนตรรกยะสองจานวนใด ๆ ก็คือคร่งึ หน่ึงของผลบวกของสอง จานวนนน้ั น่ันเอง ทฤษฎบี ท 5.60 ถา้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ที่ไมเ่ ท่ากบั ศนู ย์ แลว้ จะมจี านวนตรรกยะ C ทซ่ี ง่ึ AC  B พิสูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ โดยท่ี A, B  0 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ดงั นั้นจะมีจานวนตรรกยะ A1 จากทฤษฎีบท 5.49 จะได้ว่า A  B หรือ A  B หรอื A  B จะเปน็ จริงอยา่ ง ใดอยา่ งหนง่ึ เท่านนั้ กรณี A  B แลว้ จะมี C 1 ท่ีทาให้ AC  B กรณี A  B เนือ่ งจาก 1  0 ดังนัน้ A 1 B0 A 1  B  เลือก C  A1(A 1) ที่ทาให้ AC  A A1(A 1)  (AA1)(A 1) 1(A 1)  A  1  B กรณี A  B จะไดว้ า่ A  B (A) B (B) B (A) B 0 ((A)B) B 0 B ((A) B) B  B เลอื ก C  A1(((A)  B)  B) ท่ที าให้  AC  A A1(((A)  B)  B) (AA1)(((A)  B)  B) 1(((A) B) B) ((A) B) B B ดงั น้นั เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ ถ้า A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ ทไี่ มเ่ ท่ากบั ศนู ย์ แล้วจะมจี านวนตรรกยะ C ท่ซี ่ึง AC  B บทนิยาม 5.61 สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ จะกล่าวว่า A นอ้ ยกว่าหรือเทา่ กบั B เขยี นแทนด้วย A  B หมายถงึ A  B หรือ A  B และกลา่ วว่า B มากกว่า หรือเทา่ กับ A เขยี นแทนด้วย B  A หมายถงึ A  B หรอื A  B

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 140 บทนยิ าม 5.62 B  A กต็ อ่ เมอื่ A  B ทฤษฎบี ท 5.63 ความสัมพันธ์  เปน็ การจัดอนั ดับอย่างง่ายบนเซตของจานวนตรรกยะ พสิ จู น์ ให้ A, B และ C เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ 1) เนอื่ งจาก A  A จะได้วา่ A  A 2) สมมติ A  B และ B  A จาก A  B จะได้วา่ A  B หรือ A  B และจาก B  A จะไดว้ ่า B  A หรือ B  A จากทฤษฎบี ท 5.49 จะได้วา่ A  B 3) สมมติ A  B และ BC จาก A  B จะได้ว่า A  B หรอื A  B จาก BC จะไดว้ า่ B  C หรอื B  C จากทฤษฎบี ท 5.50 จะได้วา่ A  C และ A  B  C นัน่ คอื A  C ดงั นน้ั A C 4) จากทฤษฎีบท 5.49 จะได้วา่ A  B หรอื A  B หรือ B  A ดงั นนั้ A  B หรือ B  A จาก 1)-4) จะได้ว่า ความสัมพันธ์  เป็นการจัดอันดับอย่างง่ายบนเซตของจานวน ตรรกยะ ทฤษฎีบท 5.64 สาหรบั จานวนตรรกยะ A,B,C และ D ใด ๆ 1) A  B กต็ อ่ เมือ่ A C BC 2) ถา้ A  B และ C  D แล้ว A C BD 3) A  B ก็ตอ่ เมอื่ B  A พิสจู น์ ให้ A,B,C และ D เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ 1) จากทฤษฎบี ท 5.30 และ 5.31 จะไดว้ ่า A  B กต็ ่อเมื่อ A  C  B C จากทฤษฎีบท 5.51 จะไดว้ ่า A  B กต็ ่อเม่อื A  C  B C ดังนนั้ A  B กต็ ่อเมื่อ A C BC 2) กับ 3) พิสจู น์ทานองเดียวกับ 1) ทฤษฎีบท 5.65 สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ โดยที่ A,B  0 แล้ว A  B ก็ต่อเม่ือ B1  A1 พิสจู น์ ให้ A และ B เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ โดยท่ี A,B  0 ถา้ A  B ทฤษฎบี ท 5.42 จะไดว้ า่ A1  B1 และจากทฤษฎบี ท 5.53 เรามี A  B กต็ อ่ เม่อื B1  A1 เพราะฉะนน้ั A  B ก็ตอ่ เมื่อ B1  A1 เมอื่ A,B  0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 141 ทฤษฎีบท 5.65 สาหรับจานวนตรรกยะ A,B และ C ใด ๆ 1) ถา้ 0  C แล้ว A  B กต็ อ่ เมอื่ AC BC 2) ถ้า C  0 แล้ว A  B กต็ อ่ เม่อื AC BC พสิ จู น์ ให้ A,B และ C เป็นจานวนตรรกยะใด ๆ 1) สมมติ 0  C จากทฤษฎบี ท 5.44 และ 5.45 จะไดว้ า่ A  B กต็ อ่ เมอื่ AC  BC จากทฤษฎบี ท 5.65 จะได้ว่า A  B ก็ต่อเมือ่ AC  BC ดงั น้นั A  B ก็ตอ่ เมือ่ AC BC 2) พสิ จู นท์ านองเดยี วกับ 1) จากทฤษฎีบท 5.65 เราจะเห็นได้ว่า ให้ C  0 ถ้า A  B แล้ว AC BC เป็น จรงิ แต่ในทางกลับกัน ถ้า AC BC แลว้ A  B เป็นเท็จ บทสรปุ จานวนตรรกยะมีพ้ืนฐานมาจากจานวนเต็มสองจานวนนามาหารกันในแบบท่ีเราคุ้นชิน กบั ตาว่าเศษส่วน โดยท่ีตัวส่วนของเศษส่วนน้ันมีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เพราะเนื่องจากว่า เราไม่สารถหา ผกผันของการคูณของจานวนท่มี สี ว่ นเปน็ ศนู ยไ์ ด้ จงึ ทาให้เรามกั ใชค้ าวา่ หาค่าไม่ได้นั่นเอง ในชีวิตประจาวันเราคงเคยซ้ือของ หรือมีการตวง โดยที่น้าหนักและปริมาตรส่ิงของไม่ จาเปน็ ตอ้ งเป็นจานวนเต็มหนว่ ยเสมอไป ดงั นนั้ จานวนตรรกยะจึงถูกสร้างขึ้นมาเพ่ือหาคาตอบของ บางปญั หาที่มคี าตอบที่ไม่ใช่จานวนเต็มหรือเปน็ เศษสว่ น การพิสูจน์สมบัติของจานวนตรรกยะเร่ิมต้นจากการแสดงสมบัติของคู่อันดับใด ๆ ของ จานวนเต็มทั้งการดาเนินการบวกและคูณ เพื่อท่ีจะนาสมบัติของจานวนเต็มในบทที่ 4 มาช่วยในการ อา้ งอิงเพื่อพสิ ูจน์ เชน่ สมบตั ปิ ิด สมบตั ิการสลับที่ สมบัติการเปล่ียนกลุ่ม สมบัตกิ ารแจกแจง สมบัติ เอกลักษณ์ ตัวผกผันการบวก เป็นต้น อีกทั้งยังพิสูจน์สมบัติการมีอันดับของคู่อันดับของจานวนเต็ม ภายใต้ความสัมพันธ์  และนามาช่วยพิสูจน์สมบัติการจัดอันดับเชิงเส้นของจานวนตรรกยะบน ความสัมพันธ์  และ  ซ่งึ เป็นสมบัติการบวกและการคณู อสมการทเ่ี ราใช้ในปัจจุบันน่นั เอง แบบฝึกหัดทา้ ยบทที่ 5 จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) จงหาคอู่ ันดับทส่ี มมูลกับ [3, 5],[4, 3],[7, 7] และ [1, 9] 2) จงหาผลลัพธข์ องแต่ละข้อตอ่ ไปนี้ 2.1) [4, 7][4, 7] 2.2) [1, 2][3, 4]

142 2.3) ([2,6][4,5]) [1, 3] 2.4) [2, 7]([1, 4][9, 5]) 2.5) [1,3]([4,8][2,5]) 3) จงพสิ จู นว์ า่ [a,  b] [a, b] โดยที่ b  0 4) จงพสิ จู น์วา่ [a, b][b, a] [1,1] โดยท่ี b, a  0 5) จงพสิ ูจนว์ ่า [ca, cb] [a, b] โดยท่ี b, c  0 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 6) สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ถ้า A  B แลว้ A2  B2 เปน็ จรงิ หรือเทจ็ ถา้ เป็น จริงให้พสิ จู น์ ถ้าเปน็ เทจ็ ให้ยกตวั อย่างค้าน 7) สาหรบั จานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ถา้ A2  B2 แลว้ A  B เป็นจริงหรอื เทจ็ ถา้ เปน็ จริงให้พิสจู น์ ถ้าเปน็ เทจ็ ให้ยกตวั อย่างคา้ น 1 1 1 A B AB 8) สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ โดยท่ี A,B 0 จงพิสจู นว์ ่า   9) สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ ถา้ A  B แลว้ A  AB เปน็ จริงหรือเท็จ ถ้าเปน็ จริง ให้พสิ ูจน์ ถา้ เป็นเทจ็ ใหย้ กตัวอย่างค้าน 1 1 A B 10) สาหรับจานวนตรรกยะ A และ B ใด ๆ โดยที่ A0B จงพสิ ูจนว์ ่า  เอกสารอา้ งอิง กลั ยาณี ไชยวรินทรกุล (2543). ระบบจานวน. (พิมพ์ครั้งท่ี 6). กรุงเทพฯ: มหาวิทยาลัยรามคาแหง. ประชมุ สุวตั ถี (2518). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : นิยมวิทยา. ชะเอม สายทอง (2532). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : โอ เอส พรน้ิ ติ้ง เฮาส์. วสนั ต์ จนิ ดารัตนาภรณ์ (2542). ระบบจานวน. เชยี งใหม่ : สถาบันราชภัฏเชียงใหม่. สมศกั ด์ิ โพธิวจิ ติ ร (2523). ระบบจานวน. สงขลา : มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ สงขลา. สมสวาท สดุ สาคร (2542). ระบบจานวน. (พิมพ์ครัง้ ที่ 4). กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลยั รามคาแหง. สุเทพ จนั ทร์สมศกั ด์ิ (2538). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย. สภุ า สุจริตพงศ์ (2523). โครงสรา้ งของระบบจานวน. กรุงเทพฯ : จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย. อาพล ธรรมเจริญ (2553). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : พิทักษ์การพิมพ์.