อนุรักษ์ ธัญญเจริญ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 43 คอื เซตของสมาชกิ ตวั หลังของคู่อันดับทั้งหมดใน r เขียนแทนดว้ ยสัญลักษณ์ Rr หรอื Rr {bB aA,(a,b)r} ตวั อยา่ ง 2.36 กาหนดให้ r {(a,2),(b,1),(b,2),(c,2)} จงหา Dr และ Rr วิธีทา จากความสมั พนั ธ์ r ท่ีกาหนดให้ จะได้ว่า Dr {a,b,c} และ Rr {1,2} 2.5.1 ความสัมพันธ์สมมลู บทนิยาม 2.37 r เป็นความสัมพันธ์สมมูล (Equivalence relation) บนเซต A ก็ต่อเม่ือ r  AA และมสี มบัตดิ งั นี้ 1) สาหรบั สมาชกิ a ทกุ ตัวใน A จะได้ (a,a)r หรอื aA,(a,a)r เรยี กวา่ สมบัติสะท้อน (Reflexive relation) 2) สาหรบั สมาชกิ a และ b ทกุ ตวั ใน A ถา้ (a,b)r แลว้ (b,a)r หรือ aA bA,(a,b)r (b,a)r เรยี กวา่ สมบตั ปิ ฏสิ มมาตร (Symmetric relation) 3) สาหรบั สมาชิก a,b และ c ทกุ ตวั ใน A ถ้า (a,b)r และ (b,c)r แล้ว (a,c)r หรือ aA bA cA,(a,b)r  (b,c)r (a,c)r เรยี กวา่ สมบตั ิถ่ายทอด (Transitive relation) บางคร้งั อาจเขยี นสญั ลักษณ์ a r b แทน (a,b)r ตวั อยา่ ง 2.38 กาหนดให้ A {1,2,3} จงยกตวั อย่างความสมั พันธ์สมมลู บนเซต A วิธีทา r1 {(1,1),(1,2),(2,1)} r2 {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,3)} r3 {(1,1),(2,2),(3,3)} บทนยิ าม 2.39 (สมสวาท สุดสาคร, 2542: 13) ให้ A เป็นเซตใด ๆ ที่ไม่ใช่เซตว่างและaA , r เป็น ความสัมพนั ธ์สมมูลบนเซตA เซตที่มคี วามสมั พนั ธก์ บั a ภายใต้เง่อื นไข r เขยี น แทนดว้ ย Ea จากบทนยิ าม จะไดว้ า่ Ea {xA x r a} กาหนดให้ เป็นเซตของจานวนเตม็ r เป็นความสมั พนั ธบ์ น x r y คอื 3 หาร x  y ลงตัว E0 {...,6, 3, 0, 3, 6,...} E1 {...,5, 2,1, 4, 7,...}

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 44 E2 {...,4, 1, 2, 5,8,...} E3 {...,6, 3, 0, 3, 6, 9...} ดงั นัน้ E0  E3  E3  E6  E6  ... E1  E4  E2  E7  E5  ... และ E2  E5  E1  E8  E4  ... 2.5.2 การจดั อนั ดับเชิงเสน้ บทนิยาม 2.40 (สายัญ, 2554:53) ให้ A   และ r เป็นความสัมพันธ์บน A จะกล่าวว่า r เป็น อันดับบางส่วนบน A ก็ต่อเมื่อ r มีสมบัติสะท้อน ปฏิสมมาตร และถ่ายทอด และ เรียก (A,r) วา่ เซตอนั ดับบางส่วน (partiallyorderedset) หรอื โพเซต (poset) ตวั อยา่ งเซตอันดบั บางส่วน มีดังน้ี 1)  เป็นอันดับบางส่วนบน 2)  เป็นอันดับบางสว่ นบน P(A) เมื่อ A เปน็ เซต 3) การหารลงตวั เปน็ อนั ดบั บางส่วนบน บทนิยาม 2.41 (สายัญ, 2554:54) ให้ (A,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน และ x,yA จะกล่าวว่า x และ y เปรียบเทียบกันได้ (comparable) ถ้า x r y หรือ y r x และกล่าวว่า x และ y เปรยี บเทยี บกันไมไ่ ด้ (non-comparable) ถา้ x r y และ y r x ข้อสงั เกต 2.42 1) ถา้ (A,r) เปน็ เซตอนั ดบั บางส่วน และ (x,y)r แล้ว เราจะกล่าวว่า x น้อย กวา่ หรอื เท่ากบั y เขียนแทนด้วย x y 2) ถา้ (x,y)r หมายความวา่ x y 3) ถ้าเขยี น x y อ่านว่า x นอ้ ยกว่า y หมายความว่า x y และ x  y บทนิยาม 2.43 (สายัญ, 2554:54) ให้ (A,r) เป็นเซตอันดับบางส่วน และ B  A ถ้าสมาชิกทุก ตัวใน B เปรียบเทียบกันได้ นั่นคือ ทุก x,yB ได้ว่า x y หรือ y x แล้ว เราจะเรียก (B,r) ว่า เซตย่อยอันดับเชิงเส้น (linearly ordered subset) ของ A หรือเรยี ก B ว่า เป็นลกู โซ่ (chain) ของ A และถ้าทุกสมาชิกใน A เปรียบเทยี บกนั ได้ นัน่ คอื ทุก x,yA ได้วา่ x y หรือ y x แลว้ เราจะเรยี ก (A,r) เซตอันดบั เชิงเส้น (linearly ordered set) ยกตวั อยา่ งเซตอนั ดับเชิงเส้น เช่น

45 ( ,) เป็นอันดบั เชิงเส้น ( ,) เป็นอันดบั เชิงเส้น ( ,) เปน็ อนั ดับเชงิ เสน้ (P( ),) ไมเ่ ป็นอนั ดับเชิงเส้น ( , การหารลงตัว) ไม่เป็นอนั ดับเชิงเสน้ ขอ้ สงั เกต 2.44 1) ถา้ (A,r) เป็นเซตอนั ดบั บางส่วน แล้ว (A,r) เปน็ เซตอนั ดับ (ordered set) 2) ถ้า (A,r) เป็นเซตอันดับเชงิ เสน้ และ x  y สาหรบั ทุก x,yA แล้ว x y หรือ y x เพียงอยา่ งใดอยา่ งหนึง่ เทา่ นั้น มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.6 ฟงั ก์ชนั (Functions) ในบางตัวอย่างของความสัมพันธ์ที่ได้ยกตัวอย่างไปก่อนหน้าน้ี พบว่ายังมีลักษณะอื่น ๆ ท่ี มากกว่าสมบตั สิ ะท้อน ปฏิสมมาตรและถ่ายทอด เช่น มีสมาชิกตัวหนา้ ของแต่ละค่อู ันดบั ท่แี ตกต่างกัน หมดเลย มีจานวนสมาชิกของความสัมพนั ธ์เทา่ กันจานวนสมาชกิ ในโดเมน เป็นต้น ในหัวข้อต่อไปน้จี ะ เป็นการกล่าวถึงฟังก์ชนั ซ่งึ มคี ณุ สมบตั ิที่กาหนดข้นึ มาเพิม่ เตมิ จากความสัมพนั ธ์ บทนิยาม 2.45 กาหนดให้ A และ B เป็นเซตใด ๆ และ f เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B จะไดว้ า่ f เป็นฟังกช์ ันจาก A ไป B กต็ ่อเมอื่ f สอดคลอ้ งกับแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี 1) Df  A และ Rf  B 2) ถ้า (x1,y1)f และ (x2 ,y2 )f โดยที่ x1  x2 แลว้ y1  y2 เขยี นแทนดว้ ย f : A  B จากบทนิยาม 2.45 ขอ้ 2 นี้ อาจทาไดโ้ ดยแสดงว่า ถ้า x1  x2 แลว้ f(x1)  f(x2 ) ตัวอย่าง 2.46 จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ตอ่ ไปนเี้ ปน็ ฟงั ก์ชนั หรือไม่ 1) ให้ r1  AA เมอื่ A {2,4,5} ซง่ึ r1 {(2,2),(4,5)} 2) ให้ r2  BB เม่อื B {c,b} ซง่ึ r2 {(b,b),(c,c)} 3) r3 {(x,y)  y  2x 1} 4) r4 {(x,y)  | y2  x} 5) r5 {(x,y)  x2  y 1} วิธที า 1) r1 ไมเ่ ป็นฟังกช์ ัน เพราะ 5Dr1 2) r2 เปน็ ฟงั ก์ชนั 3) r3 เปน็ ฟงั กช์ ัน 4) r4 ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั เพราะ (4,2)r4 และ (4,2)r4 แต่ 2  2

46 5) r5 เป็นฟังก์ชัน บทนิยาม 2.47 กาหนดให้ f : A  B จะกลา่ ววา่ f เป็นฟงั ก์ชันหนง่ึ ต่อหนง่ึ (One to One) ก็ต่อเม่ือ ถ้า (x1,y1)f และ (x2 ,y2 )f โดยท่ี y1  y2 แล้ว x1  x2 เขยี นแทนด้วยสัญลักษณ์ f : A 1-1 B จากบทนยิ าม 2.46 ข้อ 2 น้ี อาจทาได้โดยแสดงว่า ถา้ f(x1)  f(x2 ) แล้ว x1  x2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม 2.48 กาหนดให้ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะกล่าวว่า f เป็นฟังก์ชันท่ัวถึง (Onto) กต็ ่อเมื่อ Rf  Bและเขียนแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ f : A ทวั่ ถึง B จากบทนยิ าม 2.47 เราสามารถแสดงว่า f เป็นฟังก์ชนั ทว่ั ถงึ โดยการพจิ าณาสาหรับแตล่ ะ yB จะมี xA ซง่ึ y  f(x) ตวั อยา่ ง 2.49 ให้ f,g,h และ k เป็นฟังก์ชัน จาก ไปยัง จงพิจารณาว่า ฟังก์ชันต่อไปนี้ เปน็ ฟังกช์ ันหนง่ึ ตอ่ หน่งึ และทวั่ ถึง หรอื อยา่ งใดอย่างหน่ึง หรือไมใ่ ชท่ งั้ สองอยา่ ง 1) f(x)  x 1 2) g(x)  x2 3) h(x)  x x 1 4) k(x)  x เม่ือ x0 วิธที า 1) จาก f(x)  x 1 เนื่องจาก สมมติให้ f(x1)  f(x2 ) สาหรบั x1,x2  จะไดว้ ่า x1 1 x2 1 x1  x2 นนั่ คือ f เป็นฟงั ก์ชนั หนึ่งต่อหน่งึ เลือก x  y 1 จะไดว้ ่า f (x)  f (y 1)  (y 1) 1  y ดงั นน้ั f เปน็ ฟงั กช์ นั ทว่ั ถงึ 2) g(x)  x2 ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั หนึง่ ตอ่ หน่งึ เนอื่ งจาก (1,1)g และ (1,1)g แต่ 1  1 เนอ่ื งจาก g(x)  x2  0 สาหรับทุก x ดังนน้ั Rg [0,)  น่นั คอื g ไม่เปน็ ฟังก์ชันทัว่ ถึง 3) ทานองเดยี วกบั 1) จะได้วา่ h(x)  x ฟังก์ชันหนงึ่ ต่อหน่งึ ทานองเดยี วกบั 2) จะไดว้ ่า h ไมเ่ ปน็ ฟงั ก์ชนั ทั่วถึง

47 4) k เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก 0Dk บทสรปุ ในการศึกษาระบบจานวนจาเป็นเป็นต้องมีความรู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่เป็น พ้ืนฐานให้เข้าใจก่อน เร่ิมต้นจากความรู้พื้นฐานทางตรรกศาสตร์ แล้วเร่ิมขยายขอบเขตให้กว้างข้ึน เป็นการศึกษาเรื่องเซตและการดาเนินการ จากนั้นเมื่อสมาชิกในแต่ละเซตมีความสัมพันธ์หรือมี ลักษณะพิเศษบางอย่างทาให้ได้กฎเกณฑ์ภายใต้นิยามของคาว่าความสัมพันธ์และฟังก์ชัน นอกจากนี้ ในบทท่ี 2 ยังได้แสดงวิธีการพิสูจน์ข้อความในรูปแบบต่าง ๆ เพื่อให้ศึกษาเนื้อหาที่ละเอียดและลึกได้ ง่ายขึ้นในบทถดั ไป เพราะมสี ว่ นเน้อื หาทีเ่ ป็นกฎ สัจพจนแ์ ละทฤษฎีทีส่ าคัญ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง แบบฝึกหดั ทา้ ยบทที่ 2 จงตอบคาถามตอ่ ไปนี้ 1) จงอธบิ ายวา่ โครงสร้างวิชาคณติ ศาสตร์เกย่ี วข้องกับธรรมชาติอยา่ งไร 2) จงอธบิ ายวา่ เพราะเหตใุ ดคาอนยิ ามถงึ ไม่จาเป็นต้องนิยาม 3) จงยกตัวอย่างประโยคเปิดทสี่ ามารถเปล่ยี นเปน็ ประพจน์ได้ x 4) จงหานเิ สธของประพจน์ x ,x  2 5) จงแสดงวา่ ประพจน์ [~ q (p q)]p เปน็ สจั นริ นั ดร์หรอื ไม่ 6) กาหนดให้  {1,0,1,...,9}, A {2,3,9}, B {1,0,1} และ C {0,2,4,6,8} จงหา 6.2) AB 6.3) C(A B) 6.1) A B 6.4) (A B)/ 6.5) CB 7) จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปนีว้ ่าเปน็ จริงหรือเทจ็ ถา้ เปน็ จริงใหพ้ ิสูจน์ ถ้าเป็นเท็จ ให้ยกตัวอยา่ งค้าน 7.1) สาหรบั เซต A,B และ C ใด ๆ ถ้า A  B  C แล้ว BC และ A C 7.2) สาหรับเซต A,B และ C ใด ๆ A C  B กต็ ่อเม่อื A B C 7.3) ถ้า x เป็นจานวนเตม็ คู่ และ y เปน็ จานวนเต็มค่ี แล้ว xy เปน็ จานวนเต็มคู่ 7.4) y ,y2 1  0 (n 1)(2n 3) 7.5) 1  0  2  4  ...  (2n  2)  2  สาหรับทุกจานวนนบั n 7.6) ! x , x  x2 8) กาหนดให้ A {a,b}และ B {1,2,3} จงยกตวั อยา่ งเซตทม่ี คี วามสัมพนั ธ์ถ่ายทอดจากเซต A ไปเซต B

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 48 9) จงพิจารณาวา่ r {(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(c,y)} เปน็ ความสมั พนั ธส์ มมูลหรือไม่ 10) จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนีเ้ ปน็ ฟังก์ชันหรือไม่ 10.1) r1 {(b,b),(c,a),(a,c)} 10.2) r2 {(0,4),(3,0),(1,0)} 10.3) r3 {(x,y)  y  (x 1)2} 10.4) r4 {(x,y)  x2  y2  9} 11) จงยกตวั อยา่ งฟังก์ชันชนั หนงึ่ ตอ่ หนึง่ ทวั่ ถงึ จาก ไปยัง เอกสารอ้างองิ ฉวีวรรณ รัตนประเสรฐิ (2550). พชี คณติ เชิงเอกภพ. โรงพมิ พม์ หาวิทยาลัยศิลปากร. พิมพ์ครั้งที่ 2. นวลอนงค์ อิทธิจรี ะจรัส (2541). ทฤษฎีเซตเบือ้ งต้น. เชียงใหม่ : มหาวิทยาลัยเชียงใหม.่ นิตยา ตรนี ันทวนั (2544). ทฤษฎีจานวน. กรุงเทพฯ: สานกั พมิ พ์มหาวทิ ยาลัยรามคาแหง. พฒั นี อดุ มกะวานิช (2559). หลกั คณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ : จฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย. วีระ ยุคุณธร (2563). เซตและการดาเนินการของเซต. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และ เท คโนโลยี (สสวท .) 17 มีนาคม 2563 จาก https://www.scimath.org/lesson- physics/item/9417-2018-11-14-08-31-37. ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี, สถาบนั . (2545). เอกสารเสรมิ ความร้ทู างคณิตศาสตร์ ตรรกศาสตร์เบอื้ งตน้ และวธิ ีการพิสจู น.์ กรุงเทพฯ : พราว เพรส จากดั . สมสวาท สดุ สาคร (2542). ระบบจานวน. (พิมพค์ รั้งท่ี 4). กรงุ เทพฯ: มหาวทิ ยาลัยรามคาแหง. สมยั ยอดอินทร์ (2525). ตรรกศาสตรเ์ ชิงคณติ ศาสตร.์ เชยี งใหม่ : มหาวทิ ยาลยั เชยี งใหม่. สุเทพ จันทร์สมศักดิ์ (2518). ตรรกวิทยาคณิตศาสตรเ์ บ้อื งต้น. (พิมพค์ รงั้ ที่ 3). กรุงเทพฯ : ไทยวฒั นาพานชิ . สุเทพ จันทร์สมศักดิ์ (2538). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพจ์ ฬุ าลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย. สุเทพ ทองอยู่ (2539). เอกสารการสอนชุดวชิ าคณติ ศาสตร์ 1 หนว่ ยที่ 3 และ 4. (พิมพค์ รั้งที่ 4). กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลยั สโุ ขทัยธรรมาธริ าช. สภุ า สุจรติ พงศ์ (2523). โครงสรา้ งของระบบจานวน. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณม์ หาวิทยาลัย. สาขาวิชาคณิตศาสตร์ (2552). หลักการคณิตศาสตร์(Mathematics Principle) MAP1401. คณะครศุ าสตร์ มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏสวนสุนันทา. สายัญ ปันมา (2554). เอกสารประกอบการสอน กระบวนวิชา206217 (แนวคิดหลักมูลของ คณิตศาสตร์). ภาควชิ าคณิตศาสตร์ มหาวทิ ยาลยั เชียงใหม่. Skvarcius R., Robinson W.B. (1986). Discrete mathematics with computer science applications. The Benjamin/Cummings Publishing Company.

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 49 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทท่ี 3 เนอ้ื หาประจาบท บทท่ี 3 จานวนธรรมชาติ 3.1 สจั พจนเ์ ปอาโน 3.2 พีชคณิตของจานวนธรรมชาติ 3.3 ลาดับของจานวนธรรมชาติ จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม เมอ่ื ศึกษาบทท่ี 3 แลว้ นักศึกษาสามารถ 1. บอกสจั พจนเ์ ปอาโนได้ 2. ยกตัวอยา่ งของพจนต์ ามหลังได้ 3. พิสูจนส์ มบัตติ า่ ง ๆ ของการบวกจานวนธรรมชาตไิ ด้ 4. ยกตัวอย่างทส่ี อดคล้องกบั สมบตั ิตา่ ง ๆ ของการบวกจานวนธรรมชาตไิ ด้ 5. พสิ จู น์สมบัติต่าง ๆ ของการคณู จานวนธรรมชาตไิ ด้ 6. ยกตวั อยา่ งทส่ี อดคลอ้ งกับสมบตั ติ า่ ง ๆ ของการคูณจานวนธรรมชาติได้ 7. พิสูจน์สมบัตติ ่าง ๆ ของการจัดอันดับเชิงเส้นของจานวนธรรมชาตไิ ด้ 8. ยกตวั อย่างทีส่ อดคล้องกับสมบัติต่าง ๆ ของการจัดอนั ดับเชงิ เสน้ ของจานวน ธรรมชาติได้ กจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. ผู้สอนอธบิ ายทฤษฎบี ทและซักถาม พร้อมยกตวั อย่างประกอบการบรรยาย โดยใชโ้ ปรเจคเตอร์ 2. แบ่งผูเ้ รียนเป็นกลมุ่ กลุม่ ละประมาณ 5 คน เพอ่ื ศึกษาทฤษฎบี ทแล้วอธิบายในกลุ่ม 3. ให้ผเู้ รียนศกึ ษาเอกสารคาสอนเปรยี บเทยี บกับขอ้ สรุป 4. ผู้สอนและผเู้ รยี นร่วมกนั อภิปรายและหาขอ้ สรปุ ร่วมกันอกี ครั้งหน่ึง 5. ให้ผเู้ รียนทาแบบฝกึ หดั บทที่ 3 6. ทดสอบยอ่ ยหลงั จบบทเรยี น

50 สื่อการเรยี นการสอน 1. เอกสารคาสอนวชิ าระบบจานวน 2. ไฟล์เอกสารคาสอนวชิ าระบบจานวน 3. เคร่ืองฉายโปรเจคเตอร์ 4. หนังสืออ่านประกอบค้นคว้าเพ่มิ เตมิ 5. แบบฝกึ หดั บทที่ 3 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง การวัดผลและประเมนิ ผล 1. สงั เกตจากการซักถามผเู้ รียน 2. สงั เกตจากการร่วมกจิ กรรม 3. สงั เกตจากความสนใจ 4. สงั เกตจากการอภิปรายกลุ่มย่อยและอภิปรายสรปุ 5. ประเมินจากการทาแบบฝกึ หัด 6. ประเมนิ จากการสอบระหว่างภาคและปลายภาค

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 51 บทท่ี 3 จานวนธรรมชาติ (Natural Numbers) เราไดร้ ูจ้ ักจานวนทม่ี ีววิ ฒั นาการจากในอดตี จนถงึ ปจั จบุ ัน และพน้ื ฐานทางคณิตศาสตรท์ ่ีจาเป็น มาแลว้ นนั้ ในบทน้ี เราจะศกึ ษาจานวนธรรมชาติ (Natural Numbers) ที่ถือว่าเป็นจานวนทท่ี ุกคนใช้ ในชีวิตประจาวันบอ่ ยและคุน้ เคยที่สุด เช่น จานวนสมาชกิ ในครอบครบั จานวนส่ิงของที่มี จานวนสัตว์ ที่เลี้ยง เป็นต้น เราจึงเรียกจานวนแบบน้ีว่า จานวนธรรมชาติ (Natural Numbers) นอกจากน้ี บทนี้ ยงั กลา่ วถึงสมบัตทิ างพชี คณิตของจานวนธรรมชาติ เพ่ือเป็นพืน้ ฐานในการศึกษาเรอื่ งจานวนจริงต่อไป 3.1 จานวนธรรมชาตเิ บอ้ื งต้น (Introduction to Natural Numbers) เซตของจานวนธรรมชาติ (Natural Numbers) หรอื จานวนนับ เขียนแทนดว้ ย หรอื  {1,2,3, } โดยมสี มบตั ิที่เก่ียวข้องกับจานวนธรรมชาตทิ ่สี าคัญ ดังน้ี สัจพจน์ 3.1 (Peano’s Postulates or Peano’s Axiom) (P1) 1 เป็นจานวนธรรมชาติ (1 ) (P2) สาหรับแต่ละ n จะมีพจน์ตามหลังของ n (successor of n ) เป็นจานวน ธรรมชาติ เขยี นแทนดว้ ย n* (P3) สาหรบั ทุก ๆ n , n*  1 (P4) สาหรบั ทุก ๆ m, n  ถ้า m  n แลว้ m*  n* (P5) ถา้ S เป็นเซตที่มสี มบตั ิดังตอ่ ไปน้ี I. 1 S II. ถา้ n  S แลว้ n*  S จะได้ว่า S  จากข้อ P1 จะเห็นได้ว่า   เนอ่ื งจากมีสมาชกิ อยา่ งน้อย 1 ตวั คือเลข 1 ในขอ้ P2 แสดงให้เห็นถึงว่า ถ้ามี n  m แล้ว n*  m* ข้อ P3 น่ันคือ 1 ไม่ใช่พจน์ตามหลังของจานวน ธรรมชาติใด ๆ ข้อ P4 หมายถึงว่าถ้าจานวนต่างกัน พจน์ตามหลังจะมีค่าต่างกัน นอกจากนี้ยังพบว่า P5 มีลักษณะคล้ายกับหลักการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์และเป็นสัจพจน์ท่ีสาคัญในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ต่าง ๆ เกี่ยวกับจานวนนับ โดยอาศยั ความสัมพันธเ์ ท่ากบั ทม่ี สี มบัติของความสัมพนั ธ์สมมูล ดังตอ่ ไปน้ี สัจพจน์ 3.2. กาหนดให้ x, y, z  จะไดว้ า่ 1) สมบัตสิ ะทอ้ น (Reflexive) สาหรับทุก ๆ x , x  x

52 2) สมบตั สิ มมาตร (Symmetric) สาหรับทกุ ๆ x, y  ถ้า x  y แล้ว y  x 3) สมบติถ่ายทอด (Transitivie) สาหรับทุก ๆ x, y, z  ถ้า x  y และ y  z แล้ว xz นอกจากน้ี สาหรับทุก ๆ x และ y ถ้า x และ x  y แล้ว y  เรียกว่า สมบัติ เทา่ กนั (Equality Axim) ทฤษฎีบท 3.3 สาหรบั จานวนธรรมชาติ n ใด ๆ n  n* พิสูจน์ ให้ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซึ่งทาให้ S {n n n*}และ S  1) จาก P1 จะได้วา่ 1 จาก P3 จะไดว้ า่ 1  1* ดงั น้นั 1S 2) สมมติ nS สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ จะแสดงวา่ n* S จาก nS เพราะฉะนนั้ n  n* จาก P4 จะได้วา่ n*  (n* )* เนือ่ งจาก n เปน็ จานวนธรรมชาติ จาก P2 จะได้วา่ n*  นั่นคอื n* S เพราะฉะนนั้ สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ n  n* มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เซต S  จากทฤษฎีบท 3.3 พบว่า การพิสูจน์อาศัยหลักอุปนัยทางคณิตศาสตร์ โดยการสมมติ แล้ว แสดงให้ได้วา่ S  โดยแบ่งการพสิ ูจน์เป็น 2 ตอน คือ 1) แสดงว่า 1S และ 2) แสดงวา่ สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใดๆ ถ้า nS แล้ว n* S ทฤษฎีบท 3.7 สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ ที่ไม่ใช่ 1 ยอ่ มเป็นจานวนตามหลังของอีกจานวน หน่งึ พสิ ูจน์ ให้ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซ่งึ ทาให้ S {n n 1หรือ n เปน็ พจน์ตามหลัง} และ S  1) จะเหน็ ได้ชดั ว่า 1S

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 53 2) สมมติ nS สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ จะแสดงวา่ n* S จาก nS และ S  จะได้ว่า n จาก P2 จะได้ n*  และเปน็ พจน์ตามหลงั ของ n ดงั นั้น n* S เพราะฉะนน้ั ถ้า nS แลว้ n* S จาก 1) และ 2) สรุปได้วา่ S  จงึ สรุปไดว้ ่า สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ ท่ีไม่ใช่ 1 ยอ่ มเปน็ พจน์ตามหลังของ อีกจานวนหนงึ่ เนื่องจาก ประพจน์ p  q สมมูลกับประพจน์ p q ดังนั้น จากทฤษฎีบท 3.7 จะได้ว่าถ้า n 1 แล้ว n เป็นพจน์ตามหลังของอีกจานวนหน่ึง แสดงว่าจานวนธรรมชาติ 1 มีเพียง จานวนเดียวเท่าน้ัน ส่วนจานวนธรรมชาติอ่ืน ๆ มีพจน์ตามหลัง เช่น 1*  2, 2*  3, 3*  4, เปน็ ตน้ 3.2 พชี คณติ ของจานวนธรรมชาติ (Algebras of Natural Numbers) การบวกของจานวนธรรมชาติ จากที่เคยศึกษามาในระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน เรามักเคยได้ยินสมบัติปิดภายใต้การ บวก น่ันคือ จานวนเต็มบวกรวมกับจานวนเต็มบวก ได้ผลลัพธ์เป็นจานวนเต็มบวก น่ันคือการนา ตัวเลขสองจานวนมาดาเนินการภายใต้การบวกนั่นเอง การดาเนินการที่กล่าวน้ีก็คือการดาเนินการ ทวภิ าค ดงั นยิ ามตอ่ ไปนี้ บทนิยาม 3.8 กาหนดให G เปนเซตทไ่ี มใชเซตวาง และให้ * เปนฟงกชันจาก GG ไปยงั G เรียก * วาการดาเนินการทวภิ าค (binary operation) บน G จากบทนิยาม 3.8 ถ้าให้ G คือ และ * คือ  ซ่ึง :   นิยามโดย (x,y)  x  y จะเห็นได้ว่า  เป็นฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันการบวก ซึ่งก็คือการบวกแบบปกติของ จานวนสองจานวนท่ีเราคนุ้ ชนิ น่ันเอง บทนิยาม 3.9 (อาพล ธรรมเจริญ, 2553: 3) ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ จะได้วา่ 1) ผลบวกของ m และ 1 เขยี นแทนดว้ ย m 1 กาหนดโดย m 1  m*

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 54 2) ผลบวกของ m และ n เขยี นแทนด้วย m  n กาหนดโดย (m  n)*  m  n* จากบทนิยาม 3.9 จะได้วา่ 11 1*  2 , 2 1  2*  3, … อีกท้ัง 1 2 11* (11)*  2* 3, 13 1 2* (1 2)* 3*  4 , … และ 2  2  2 1* (2 1)* 3*  4 , 2 3  2  2* (2  2)*  4* 5, … นนั่ คือ เราสามารถเลอื ก m และ n ที่เปน็ จานวนธรรมชาติและหาคา่ ของการดาเนนิ การบวกของ m และ n แลว้ จะไดผ้ ลบวกเพียงค่าเดียวเท่าน้นั ดังทฤษฎีบทต่อไปน้ี ทฤษฎบี ท 3.10 กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ จะได้ว่า m  n มเี พยี งจานวน ธรรมชาติจานวนเดยี วเทา่ นั้น พสิ จู น์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {n m  n } และ S  1) จากบทนิยาม 3.9 เรามี m 1  m* และจาก P2 จะได้ m*  ดังน้นั m 1 นัน่ คือ 1S 2) สมมติ kS สาหรับ k จานวนนบั ใด ๆ จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะได้ว่า m  k จาก P2 จะได้ (m  k)*  เน่ืองจาก (m  k)*  m  k* จะไดว้ ่า m  k*  ดงั น้นั k* S นน่ั คือ ถ้า kS แล้ว k* S จาก P5 จะได้ S  จงึ สรปุ ไดว้ ่า สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ m  n เปน็ จานวน ธรรมชาติ ตอ่ ไปจะแสดงว่า m  n มเี พยี งจานวนเดยี วเท่าน้ัน สมมติ m  n  x และ m  n  y โดยที่ x  y จากบทนิยาม 3.9 เรามี (m  n)*  m  n* นน่ั คือ x* (m  n)*  m  n* ทานองเดียวกัน จะได้ y*  (m  n)*  m  n*

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 55 เนื่องจาก x  y จาก P4 จะไดว้ า่ x*  y* จาก P2 จะไดว้ า่ n* และ (m  n)* มีเพียงจานวนเดยี วเทา่ น้ัน ดงั นั้น x*  (m  n)*  m  n*  (m  n)*  y* เกดิ ขอ้ ขัดแย้ง น่นั คอื x  y จงึ สรปุ ได้วา่ m  n มเี พียงจานวนเดียวเทา่ นนั้ จากทฤษฎบี ท 3.10 เห็นไดว้ า่ ผลบวกของจานวนธรรมชาติสองจานวนจะได้ผลลพั ธ์ยงั คง เป็นจานวนธรรมชาติ น่ันคือการมีสมบัตปิ ิดภายใตก้ ารบวกของจานวนธรรมชาติ อีกทั้งผลลพั ธ์ท่ไี ด้มีเพียงค่า เดียวเท่านั้น เราเรียกว่า “ความเป็นได้อย่างเดียวสาหรับการบวก ” (Uniqueness for Addition) จานวน ธรรมชาติยงั มีสมบตั ิอื่น ๆ อกี ดงั ทฤษบี ทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 3.11 สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ m  n แล้ว m  p  n  p พสิ ูจน์ ให้ m,n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ สมมติ m  n ซง่ึ S {p m  p  n  p} และ S  จาก ข้อสมมติ m  n จะไดว้ ่า m*  n* 1) เพราะว่า m 1  m*  n*  n 1 1S 2) สาหรบั k เปน็ จานวนนบั ใด ๆ ให้ kS จะแสดงว่า k* S จาก kS จะไดว้ ่า m  k  n  k เพราะฉะนน้ั m  k* (m  k)* (n  k)*  n  k* เพราะฉะนนั้ k* S ดังนั้น ถ้า kS แลว้ k* S จาก 1) และ 2) สรุปได้วา่ S  น่ันคอื สาหรับจานวนนับ m,n และ p ใด ๆ ถ้า m  n แลว้ m  p  n  p ทฤษฎบี ท 3.12 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ (m  n)  p  m  (n  p) พสิ จู น์ ให้ m,n เปน็ จานวนนบั ใด ๆ ซง่ึ S {p (m  n)  p  m (n  p)} และ S  1) เพราะว่า (m  n) 1  (m  n)*

56  m  n*  m (n 1) ดงั นั้น 1S 2) สาหรับ k เปน็ จานวนนับใด ๆ ให้ kS จะแสดงว่า k* S จาก kS จะไดว้ ่า (m  n)  k  m (n  k) จาก P2 จะไดว้ ่า [(m  n)  k]* [m (n  k)]* น่ันคือ (m  n)  k*  m (n  k)* m(n k*) ดังนนั้ k* S จะไดว้ ่า ถ้า kM แล้ว k* M จาก 1) และ 2) สรปุ ไดว้ ่า M  จงึ สรปุ ได้วา่ สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ (m  n) p m (n p) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎีบท 3.12 ได้แสดงให้เห็นว่า สมบัติการเปล่ียนหมู่ภายใต่การบวกของจานวน ธรรมชาติเป็นจริง สาหรับทุก ๆ จานวนธรรมชาติ เราจึงมักนามาใช้ในปัจจุบันกันด้วยความเคยชินท่ีว่าจะ บวกเลขไหนกอ่ นกไ็ ดน้ น่ั เอง นอกจากนี้ จานวนธรรมชาติยังมีสมบัติสลับท่ีภายใต้การบวก ในการพิสูจน์ทฤษฎีของการ สลบั ท่ภี ายใตก้ ารบวก จาเป็นตอ้ งอาศัยบทตงั้ ตอ่ ไปน้ี บทตั้ง 3.13 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m ใด ๆ จะได้ 1 m  m 1 พสิ จู น์ ให้ m เปน็ จานวนนบั ใด ๆ ซึง่ ทาให้ S {m 1m  m 1} และ S  1) เนื่องจากสมบตั ิ P1 เรามี 1 และ 11 11 ดังนนั้ 1S 2) ให้ n เปน็ จานวนนบั ใด ๆ ซึ่ง nS จะแสดงวา่ n* S เน่อื งจาก nS จะได้ว่า 1 n  n 1 จากสมบตั ิ P2 จะได้ (1 n)* (n 1)* พิจารณา 1 n*  (1 n)*  (n 1)*  (n* )*

57  n* 1 เพราะฉะนน้ั n* S ดงั นน้ั ถ้า nS แล้ว n* S จาก 1) และ 2) สรุปได้ว่า S  นนั่ คอื สาหรบั จานวนธรรมชาติ m ใด ๆ จะได้ว่า 1 m  m 1 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงทฤษฎบี ท 3.14 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ จะไดว้ า่ n  m  m  n พิสูจน์ ให้ m เป็นจานวนนบั ใด ๆ ซง่ึ S {n n  m  m  n} และ S  1) จากบทตง้ั 3.14 จะได้ 1 m  m 1 ดังน้ัน 1S 2) สมมติ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k ใด ๆ จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะได้ k  m  m  k เนอื่ งจาก k*  m (k 1) m  k (1m) (ทฤษฎีบท 3.12)  k (m 1) (บทตั้ง 3.14)  (k  m) 1 (ทฤษฎีบท 3.12)  (m  k) 1 ขอ้ สมมติ  m (k 1) (ทฤษฎบี ท 3.12)  m  k* เพราะฉะนน้ั k* S ดังน้นั ถา้ kS แล้ว k* S โดยสมบตั ิ P5 และจาก 1)- 2) สรุปได้ว่า S  นั่นคือ สาหรับจานวนนับ m และ n ใด ๆ จะได้วา่ n  m  m  n จากทฤษฎบี ท 3.14 จะสังเกตพบวา่ จานวนธรรมชาติสองมสี มบัติเรียกว่า “สมบตั กิ าร สลับท่ีสาหรับการบวก” (Commutative Property for Addition) อีกท้ังในทฤษฎีบท 3.12 ได้ แสดงให้เห็นว่าจานวนธรรมชาติมีสมบัติการบวกด้วยจานวนที่เท่ากัน หรือเรียนกว่า “สมบัติการเพ่ิม เข้า“ ทานองเดียวกันธรรมชาติก็ยังมีสมบัติท่ีเรียกว่า “สมบัติการตัดออกสาหรับการบวก” (Cancellation Property for Addition) ดงั ตอ่ ไปนี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 58 ทฤษฎบี ท 3.15 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ m  p  n  p แลว้ m  n พิสจู น์ ให้ m,n และ p เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {p m  p  n  p m  n} และ S  1) ถ้า m 1  n 1 จะได้วา่ m*  n* เพราะฉะน้นั m  n นนั่ คอื ถา้ m  p  n  p แล้ว m  n n  p เปน็ จรงิ ดงั น้ัน 1S 2) สมมติ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k ใด ๆ จะแสดงว่า k* S จาก kS จะได้ ถา้ m  k  n  k แล้ว m  n เปน็ จริง สมมตใิ ห้ m  k*  n  k* จะได้ว่า (m  k)* (n  k)* จาก P4 จะได้ m  k  n  k ดังนน้ั m  n นนั่ คือ ถ้า m  k*  n  k* แล้ว m  n เปน็ จริง เพราะฉะน้ัน k* S ดงั น้นั ถา้ kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรุปได้ว่า S  จงึ สรปุ ได้วา่ สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า m  p  n  p แล้ว mn จะเหน็ ไดว้ า่ จะนวนธรรมมธรรมมีสมับตทิ ีส่ าคญั หลายประการ หากเราพจิ ารณาสมบัตทิ ่ี ไดก้ ล่าวมาขา้ งตน้ สามารถประยกุ ต์ได้ดังบทแทรก 3.17 บทแทรก 3.16 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ m  n  m  p แล้ว n  p พสิ จู น์ ให้พสิ จู นเ์ ป็นแบบฝกึ หัด เม่ือพิจารณาประพจน์แย้งสลับท่ีของทฤษฎีบท 3.15 และบทแทรก 3.16 จะได้ว่า ส าห รั บ จ าน วน ธรรม ช าติ m, n แ ล ะ p ใด ๆ ถ้ า n  p แ ล้ ว m  n  m  p แ ล ะ p  m  p  n น่นั เอง ทฤษฎีบท 3.17 สาหรับจานวนธรมมชาติ m และ n ใด ๆ จะได้ว่า m  n  m

59 พสิ ูจน์ ให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซึ่ง S {n m  n  m} และ S  1) เพราะวา่ m 1  m* 1 ดังนน้ั 1S 2) สมมติ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k ใด ๆ จะแสดงว่า k* S จาก kS จะได้ว่า k  n  k จาก P4 จะได้ (k  n)*  k* ดงั นั้น k  n* (k  n)*  k* เพราะฉะนัน้ k* S ดงั น้ัน ถ้า kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรปุ ไดว้ ่า S  จึงสรปุ ได้วา่ สาหรับจานวนนบั m และ n ใด ๆ m  n  m มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จากสมบัติ P3 ได้กล่าวไว้ว่า “จานวนนับ 1 ไม่ใช่พจน์ตามหลังของจานวนนับใด ๆ ” ซึ่ง สอดคลอ้ งกับทฤษฎบี ท 3.18 ในกรณที ่ี n 1 ซึง่ หมายถงึ m 1  m ในขณะท่ี n 1 ทฤษฎีบท 3.17 ไดแ้ สดงใหเ้ ปน็ ว่ายงั เปน็ จรงิ นนั่ เอง ทฤษฎีบทต่อไปนี้ จะแสดงให้เห็นว่าเซตของจานวนธรรมชาติเป็นเซตอนันต์ซึ่งมีสมาชิกเป็น จานวนมาก ทฤษฎีบท 3.18 (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, 2542: 28-30) สาหรับจานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ ขอ้ ความตอ่ ไปน้เี ปน็ จริงเพียงขอ้ เดียว 1) m  n 2) มีจานวนธรรมชาติ p ทีซ่ ง่ึ m  p  n 3) มีจานวนธรรมชาติ q ที่ซง่ึ m  n  q จากทฤษฎีบท 3.18 เราเรียนสมบติทั้งสามข้อนี้ว่า “สมบัตไิ ตรวภิ าค” ที่ได้แสดงให้เห็น ว่า หากมีจานวนธรรมชาติสองจานวนท่ีต่างกัน จะสามารถหาจานวนธรรมชาติอื่น ที่ทาให้มีเท่ากัน เชน่ สาหรับจานวนนับ 4 และ 11 ขอ้ ความตอ่ ไปนมี้ ีขอ้ ความเดยี วเท่านั้นทเี่ ปน็ จรงิ 1) 4 11 ขอ้ ความนเ้ี ปน็ เท็จ 2) มีจานวนนับ 7 ซง่ึ 4  7 11 ข้อความนเ้ี ปน็ จรงิ 3) มีจานวนนับ 8 ซง่ึ 4 11 7 ขอ้ ความนเ้ี ปน็ เทจ็ เปน็ ต้น

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 60 การคูณของจานวนธรรมชาติ การคูณของจานวนธรรมชาติเป็นการดาเนินการทวิภาคบนเซตจานวนนับ กล่าวคือ :   นิยามโดย (x,y)  n หรือ (x,y)  xy  n นั่นเอง หากพิจารณาการบวก ของจานวนธรรมชาติที่เท่ากัน เช่น 10 10 10 หรือ 2  2  2  2  2 เป็นต้น จะมีค่าเท่ากับ 103 หรือ 25 ตามลาดับ ดงั นัน้ การดาเนินการคูณจึงมสี มบัติต่าง ๆ คล้ายกับการบวก ดงั น้ี บทนยิ าม 3.19 (อาพล ธรรมเจรญิ , 2553: 5) ให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ 1) ผลคณู ของ m กบั 1 เขยี นแทนดว้ ย m1 กาหนดโดย m1 m 2) ผลคูณของ m กับ n เขยี นแทนด้วย mn กาหนดโดย mn*  mn  m หมายเหตุ : เราสามารถเขียนสัญลักษณ์ของผลคูณของ m กับ n ด้วย mn หรือ mn หรือ mn ในการหาค่าของ m n  m น่ันจะต้องหาคา่ ของ mn ก่อนเสมอ จากนั้นจึงนา ค่าท่ไี ดไ้ ปหาผลกับกบั 1 หรืออาจเขยี นแทน m n  m ด้วย (mn) m เชน่ 11 1 12 11* (11) 111 2 22  21*  211  2 1  3 เป็นตน้ ทฤษฎบี ท 3.20 สาหรับจานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ จะไดว้ า่ mn เป็นจานวนธรรมชาติ และมคี ่าเดยี วเทา่ นั้น พสิ จู น์ ให้ m เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซ่งึ ทาให้ S {n mn } และ S  1) เนื่องจาก m1 m และ m ดงั นั้น m1 น่นั คือ 1S 2) สมมติให้ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k ใด ๆ จะแสดงว่า k* S จาก kS จะได้ mk โดยสมบตั ิปดิ สาหรับการบวกของจานวนธรรมชาติ จะได้ mk* (mk) 1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 61 เพราะฉะนัน้ mk*  จะได้ k* S ดังนั้น ถา้ kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ ่า S  นน่ั คอื mn เป็นจานวนธรรมชาตสิ าหรบั ทุก m และ n ต่อปจะแสดงวา่ ผลคูณของ m และ n มคี า่ เดยี วเทา่ นั้น ให้ m เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {n |มจี านวนนบั p เพียงจานวนเดยี ว ซ่งึ mn  p} และ S  1) จากบทนิยาม 3.19 จะมี m เพียงจานวนเดียว ทีซ่ ึ่ง m1 m ดงั นน้ั 1M 2) สมมติให้ kS จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะมี p เพยี งจานวนเดียว ซ่งึ mk  p จะได้วา่ (mk)  m  p  m ดงั นนั้ จากทฤษฎีบท 3.10 จะมี p  m เพียงจานวนเดยี วเทา่ นั้น เนอ่ื งจาก mk* (mk)  m pm จะได้วา่ m k* มีเพยี งจานวนเดียวเทา่ น้ัน เพราะฉะนั้น k* S ดังนนั้ ถ้า kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ ่า S  น่นั คือ ผลคูณของ m และ n มคี า่ เดยี วเท่าน้ัน จงึ สรปุ ไดว้ า่ mn เปน็ จานวนธรรมชาตแิ ละมคี า่ เดยี วเท่านน้ั สาหรบั ทุกจานวน ธรรมชาติ m และ n ใด ๆ จากทฤษฎีบท 3.20 จะเห็นได้ว่า ผลคูณของจานวนธรรมชาติสองจานวนใด ๆ จะยังคง เป็นจานวนธรรมชาติ ซึ่งเราเรียกสมบัตินี้ว่า “สมบัติปิดสาหรับการคูณ” (Closure Property for Multiplication) และการมีเพียงค่าเดียวของผลลัพธ์จะเรียกสมบัติน้ีว่า “ความเป็นได้อย่างเดียว สาหรับการคูณ” (Uniqueness for Multiplication) นอกจากนี้การดานินการการคูณยังมีสมบัตอื่น ๆ ทีเ่ ราคุ้นชนิ และใช้อย่เู ป็นประจา ดังต่อไปนี้

62 ทฤษฎีบท 3.21 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ m  n แลว้ mp  np พิสูจน์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {p mp  np} และ S  1) เนอ่ื งจากถ้า m  n แลว้ จะได้ m*  n* นัน่ คอื m1 n1 ดงั น้นั 1S 2) สมมตใิ ห้ kS สาหรบั จานวนธรรมชาติ k จะแสดงว่า k* S เนอ่ื งจาก kS จะไดว้ า่ mk  nk จากทฤษฎีบท 3.11 จะได้ (mk) m (nk) m นั่นคอื mk*  nk* เพราะฉะนั้น k* S ดังนนั้ ถา้ kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรปุ ไดว้ ่า S  นัน่ คอื สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า m  n แลว้ mp  np มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จากทฤษฎีบท 3.21 ได้แสดงให้เห็นว่า ถ้าเราคูณด้วยจานวนท่ีเท่ากัน ย่อมทาให้ ผลลพั ธ์ยังคงเท่ากัน ตอ่ ไปจะแสดงว่าจานวนธรรมชาติมีสมบัติสลับที่สาหรับการคณู (Commutative Property for Multiplication) ทฤษฎบี ท 3.22 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ m* n (mn)  n พสิ ูจน์ ให้ m เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซ่ึง S {n m* n  (mn)  n} และ S  1) เนื่องจาก m* 1 m*  m 1(m1) 1 ดงั นั้น 1S 2) สมติให้ kS จาหรับจานวนธรรมชาติ k จะแสดงว่า k* S จาก nS จะได้วา่ m* k (mk)  k ดงั นั้น m* k*  (m* k)  m* (บทนิยาม 3.19) ((mk)  k) (m 1) ( m* k (mk)  k ) (mk) (k (m 1)) (ทฤษฎีบท 3.12)

63 (mk) ((k m) 1) (ทฤษฎบี ท 3.12) (mk) ((m  k) 1) (ทฤษฎีบท 3.14) (mk) (m (k 1)) (ทฤษฎีบท 3.12) ((mk) m) (k 1) (ทฤษฎบี ท 3.12)  (mk* )  k* (นยิ ามเซต S ) เพราะฉะนนั้ k* S มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จาก 1) และ 2) สรปุ ได้ว่า S  นั่นคอื สาหรับจานวนธรรมชาติ m , n ใด ๆ m* n (mn)  n บทต้ัง 3.23 สาหรบั จานวนธรรมชาติ n ใด ๆ n11n พสิ ูจน์ ให้ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซึ่ง S {n n11n}และ S  1) เนอ่ื งจาก 1111 ดงั นั้น 1S 2) สมติให้ nS จาหรบั จานวนธรรมชาติ n จะแสดงว่า n* S จาก nS จะไดว้ า่ n11n เนื่องจาก n* 1  n* (บทนิยาม 3.19)  n 1 (บทนิยาม 3.9) (n1) 1 (บทนิยาม 3.19) (1n) 1 ( n11n )  1 n* (บทนิยาม 3.19) เพราะฉะนน้ั n* S ดงั นั้น ถ้า nS แล้ว n* S จาก 1) และ 2) สรุปได้ว่า S  นน่ั คอื สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ n11n จากบทตั้ง 3.23 จะพบว่า 1 กับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ มีสมบัติสลับที่สาหรับการคูณ ต่อไปจะแสดงว่าสมบตั ิสลับท่สี าหรบั การคูณเปน็ จริงสาหรับทุก ๆ จานวนธรรมชาติ ทฤษฎีบท 3.24 สาหรับจานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ mn  nm พสิ จู น์ ให้ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {m mn  nm} และ S  1) จากบทตั้ง 3.24 จะได้วา่ 1n  n1

64 จะได้ 1S 2) สมมตใิ ห้ kS จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะได้วา่ mk  km เนื่องจาก m k* (mk) m (บทนิยาม 3.19) (km)m ( mk  km)  k* m (ทฤษฎบี ท 3.23) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เพราะฉะนนั้ k* S ดังนั้น ถา้ kS แลว้ k* S จาก 1) และ 2) สรปุ ได้ว่า S  นั่นคอื สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ mn  nm จากทฤษฎีบท 3.24 ได้แสดงให้เห็นว่าการสลับที่ภายใต้การคูณของจานวนธรรมชาติ ยังคงมีค่าเท่าเดมิ ต่อไปจะพิจารณาคณุ สมบตั อิ น่ื ๆ ของจานวนธรรมชาติ ทฤษฎีบท 3.25 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ m(n  p)  mn  mp พสิ ูจน์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {p m(n  p)  mn  mp} และ S  1) จากบทนยิ าม 3.20 จะได้วา่ m(n 1)  mn* mnm ดงั นน้ั 1S  mn  m1 2) สมมตใิ ห้ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k จะแสดงว่า k* S เนอื่ งจาก kS จะไดว้ า่ m(n  k) mn mk พจิ ารณา m(n  k* )  m(n  k)*  m(n  k)  m (บทนยิ าม 3.19)  (mn  mk)  m ( k S )  mn  (mk  m) (ทฤษฎีบท 3.12) mn mk* (บทนิยาม 3.19) เพราะฉะนน้ั k* S ดังนัน้ ถ้า kS แลว้ k* S

65 จาก 1) และ 2) สรุปได้ว่า S  นน่ั คอื สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ m(n  p)mn mp ในทานองเดียวกัน เราจะได้สมบตั ิการแจกแจงดงั ต่อไปนี้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงทฤษฎบี ท 3.26 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ (m  n)p  mp  np พิสูจน์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซึ่งทาให้ M {p (m  n)p  mp  np} และ S  1) เนื่องจาก (m  n)1  m  n  m1 n1 ดงั นัน้ 1S 2) สมมตใิ ห้ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะไดว้ ่า (m  n)k mk  nk พิจารณา (m  n)k* (m  n)k (m  n) (บทนยิ าม 3.20) (mk  nk)(m  n) ( kS)  mk (nk (m  n)) (ทฤษฎบี ท 3.12)  mk ((m  n)  nk) (ทฤษฎบี ท 3.15) (mk m) (n  nk) (ทฤษฎีบท 3.12) (mk m) (nk  n) (ทฤษฎบี ท 3.15) mk*  nk* (บทนยิ าม 3.20) เพราะฉะนัน้ k* S ดังนน้ั ถา้ kS แล้ว k* S จาก 1) และ 2) สรุปไดว้ ่า S  นั่นคอื สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ (m n)p mpnp จากทฤษฎีบท 3.25 และทฤษฎีบท 3.26 ได้แสดงให้เห็นว่าจานวนธรรมชาติมีสมบัติ การแจกแจงทางซ้าย (Left Distributive Property for Multiplication) และสมบัติการแจกแจง ทางขวา (Right Distributive Property for Multiplication) ตามลาดับ ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะแสดง สมบตั ิการเปล่ียนกล่มุ ภายใตก้ ารดาเนนิ การคูณของจานวนธรรมชาติ

66 ทฤษฎบี ท 3.27 สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ (mn)p  m(np) พสิ ูจน์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซ่งึ S {p (mn)p  m(np)} และ S  1) เน่ืองจาก (mn)1 (mn)  m(n1) จะได้ 1S 2) สมมตใิ ห้ kS จะแสดงวา่ k* S มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จาก kS จะได้ (mn)k  m(nk) พจิ ารณา (mn)k* (mn)k (mn) (บทนิยาม 3.19)  m(nk)  (mn) ( kS)  m((nk) n) (ทฤษฎบี ท 3.25)  m(n k* ) (บทนยิ าม 3.19) เพราะฉะนน้ั k* S ดังนั้น ถ้า kS แลว้ k* S จาก 1) และ 2) สรุปได้วา่ S  นั่นคอื สาหรบั จานวนนับ m,n และ p ใด ๆ (mn)p  m(np) จากทฤษฎีบท 3.27 เราเรียกสมบัตินี้ว่า “สมบัติการเปล่ียนหมู่สาหรับการคูณ ” Associative Property for Multiplication) สาหรับการคูณยังมีสมบัติการตัดออกท่ีเรียกว่า “สมบัติการตัดออกสาหรบั การคูณ” (Cancellation Property for Multiplication) ดังต่อไปนี้ ทฤษฎบี ท 3.28 สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า mp  np แลว้ m  n พิสจู น์ ให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซ่งึ S {p |ถา้ mp  np แล้ว m  n } และ S 1) เนื่องจากถ้า m1 n1แลว้ จะได้ว่า m  n ดงั นนั้ 1S 2) สมมติ kS สาหรับจานวนธรรมชาติ k จะแสดงวา่ k* S จาก kS จะไดว้ า่ ถ้า mk  nk แล้ว m  n พจิ ารณา ถ้า mk*  nk* จากบทนิยาม 3.19 จะได้วา่ mk  m  nk  n เนอ่ื งจาก mk  nk และสมบตั ิการตัดออกทางซา้ ยของการบวก จะไดว้ ่า m  n

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 67 ดงั นน้ั k* S จาก 1) และ 2) จะไดว้ ่า S  จึงสรปุ ไดส้ าหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า mp  np แลว้ m  n บทแทรก 3.29 สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ pm  pn แล้ว m  n พิสจู น์ ให้ m,n และ p เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ สมมติ pm  pn จากทฤษฎีบท 3.24 จะได้ mp  pm  pn  np นนั่ คือ mp  np จากทฤษฎีบท 3.28 จะได้ว่า m  n เพราะฉะนนั้ สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า pm  pn แล้ว m  n จากทฤษฎีบท 3.28 และบทแทรก 3.29 ได้แสดงสมบัติการตัดออกสาหรับการคูณท้ัง ทางขวาและทางซ้าย ตามลาดบั 3.3 ลาดบั ของจานวนธรรมชาติ (Sequence of Natural Numbers) จากท่ีได้กล่าวถึงสัจพจน์ของเปอาโนในหัวข้อก่อนหน้าน้ี เราทราบว่า 1 เป็นจานวน ธรรมชาติท่ีเป็นจุดเร่ิมต้นของตัวเลขอ่ืน ๆ และยังมีจานวนอ่ืนอีกที่เรียกว่าพจน์หลัง ซึ่งเรารู้ว่า 1 ไม่เป็น พจน์ตามหลังของจานวนธรรมชาติใด ๆ และเม่ือเราพิจารณาจานวนธรรมชาติสองจานวน m และ n ใด ๆ เราจะได้ว่า m  n หรือ m  n แต่หากเราต้องการเปรียบเทียบค่าระหว่าง m และ n จึงต้อง ศึกษาสมบัติการจัดอันดับเชิงเส้นของจานวนธรรมชาติ เพราะจานวนธรรมชาติมีลาดับ กล่าวคือ ทุก สองจานวนธรรมชาติจะมจี านอนหนง่ึ มากอ่ นเสมอ (อาพล ธรรมเจริญ, 2553:8) ดงั ต่อไปนี้ บทนยิ าม 3.40 (อาพล ธรรมเจริญ, 2553:8) ให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติ เรากล่าววา่ m มา ก่อน n หรือ m น้อยกว่า n เขียนแทนด้วย m  n ก็ต่อเม่ือ มีจานวนธรรมชาติ p ทที่ าให้ m  p  n เรากลา่ ววา่ m มากกวา่ n เขยี นแทนด้วย m  n ก็ ต่อเม่ือ n  m เรากล่าวว่า m น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย m  n ก็ ต่อเมื่อ m  n หรือ m  n เรากล่าวว่า m มากกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทน ดว้ ย m  n ก็ตอ่ เม่ือ m  n หรือ m  n

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 68 จากบทนิยาม 3.40 จะเห็นได้ว่า m  m* สาหรับทุกจานวนธรรมชาติ m ใด ในกรณีที่ m  n นั้นจะมีจานวนธรรมชาติ p เพียงจานวนเดียวเท่าน้ัน ที่ทาให้ m  p  n และถ้า m ไม่น้อย กว่า n เราจะแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ m  n ทฤษฎบี ท 3.41 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถา้ m  n และ n  p แล้ว m  p พิสูจน์ ให้ m,n และ p เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ สมมติ m  n และ n  p จาก m  n และบทนิยาม 3.40 จะไดว้ ่า จะมีจานวนธรรมชาติ r ท่ที าให้ m  r  n จาก n  p และบทนยิ าม 3.40 จะได้ว่า จะมจี านวนธรรมชาติ s ทท่ี าให้ n  s  p น่นั คือ (m  r)  (n  s)  n  p จากสมบัติการสลับท่ี เปล่ียนหมู่ และการตดั ออกสาหรบั การบวก เราไดว้ ่า m  (r  s)  p โดยท่ี r  s จากบทนิยาม 3.40 จะไดว้ า่ m  p จากทฤษฎีบท 3.41 จะเห็นได้ว่า ความสัมพันธ์  (น้อยกว่า) มีสมบัติถ่ายทอด และจานอนที่อยทู่ างซ้ายของเครื่องหมาย  มีคา่ นอ้ ยกวา่ จานวนทางขวาน่ันเอง ขอ้ สังเกต 3.42 1) ความสัมพันธ์  (มากกว่า) มีสมบตั ถิ ่ายทอด 2) ความสมั พนั ธ์  (นอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กบั ) มสี มบัตสิ ะท้อนและถา่ ยทอด 3) ความสมั พนั ธ์  (มากกว่าหรือเท่ากับ) มีสมบตั สิ ะท้อนและถา่ ยทอด ทฤษฎบี ท 3.43 สาหรับจานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถา้ m  n แล้ว m  p  n  p พิสจู น์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมมชาติ สมมติ m  n จากบทนิยาม 3.40 จะไดว้ า่ จะมี q ทท่ี าให้ m  q  n จากทฤษฎีบท 3.41 และ 3.12 จะไดว้ า่ จะมี p ท่ีทาให้ (m  q)  p  n  p m (q  p) n p m  (p  q)  n  p

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 69 (m  p)  q  n  p โดยท่ี q จากบทนิยาม 3.41 จะได้ว่า m  p  n  p ทฤษฎีบท 3.44 สาหรับจานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถา้ m  p  n  p แล้ว m  n พสิ ูจน์ ให้พสิ ูจน์เป็นแบบฝึกหัด ทฤษฎบี ท 3.45 สาหรบั จานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถ้า m  n แลว้ mp  np พิสจู น์ ทานองเดยี วกบั การพิสจู น์ทฤษฎบี ท 3.42 ทฤษฎีบท 3.46 สาหรบั จานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถา้ mp  np แล้ว m  n พสิ จู น์ ให้พสิ ูจน์เปน็ แบบฝึกหดั จากทฤษฎบี ท 3.43 - 3.46 หากเราแทนสญั ลักษณ์  ดว้ ยสัญลกั ษณ์ ,  และ  จะยังคงทาใหท้ ฤษฎบี ทเปน็ จริง เน่ืองจากเราพจิ ารณากรณีที่เป็นจานวนธรรมชาตเิ ทา่ นั้น แต่ถ้าหาก เราพจิ ารณากรณีทเ่ี ป็นจานวนอนื่ ๆ เช่น จานวนเต็ม จานวนตรรกยะ จานวนจริง เป็นต้น จะไม่เปน็ จริง เสมอไป ซึ่งเราจะศึกษาใบบทต่อไป นอกจากน้ี จานวนธรรมชาติยังมีสมบัติอน่ื ๆ ดังน้ี ทฤษฎีบท 3.47 สาหรับจานวนธรรมชาติ m,n,p และ q ใด ๆ ถ้า m  p และ n  q แล้ว mnpq พสิ จู น์ ให้ m,n,p และ q เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ สมมติ m  p และ n  q จาก m  p จะมี r ทท่ี าให้ m  r  p จาก n  q จะมี s ทท่ี าให้ n  s  q โดยสมบตั ิการสลับทแ่ี ละเปล่ียนหมู่ จะไดว้ ่า p  q (mr)(n s) (mn)(r s) (m  n)  t เมอ่ื t (r s) จะไดว้ า่ m  n  p  q สาหรบั ทกุ จานวนธรรมชาติ m,n,p และ q ใด ๆ ทฤษฎบี ท 3.48 สาหรับจานวนธรรมชาติ m, n, p และ q ใด ๆ ถ้า m  p และ n  q แล้ว mn  pq

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 70 พิสูจน์ ทานองเดียวกบั ทฤษฎบี ท 3.47 ทฤษฎบี ท 3.49 สาหรบั จานวนธรรมมชาติ m ใด ๆ 1 m พิสจู น์ ให้ S {m 1 m} และ S 1) เน่ืองจาก 11 ดังนน้ั 1S 2) สมมติ nS สาหรับจานวนธรรมชาติ n จะแสดงว่า n* S จาก nS จะได้วา่ 1 n จากทฤษฎบี ท 3.41 และเนื่องจาก n  n* จะไดว้ ่า 1 n* นัน่ คือ n* S จาก 1) และ 2) เราไดว้ ่า S  ดงั น้ัน เราจึงสรุปได้วา่ สาหรับจานวนธรรมมชาติ m ใด ๆ 1 m จากทฤษฎบี ท 3.49 เราจะกล่าววา่ 1 เป็นจานวนธรรมชาตทิ ี่นอ้ ยทสี่ ุด ทฤษฎบี ท 3.50 สาหรับจานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถา้ m  n แลว้ m*  n พสิ จู น์ ให้ n เปน็ จานวนธรรมชาตใิ ด ๆ ซึ่ง S {m ถา้ m  n แลว้ m*  n} และ S  1) ถ้า 1 n ดังน้ัน จะมี p ซึ่ง 1 p  n ถา้ p 1 จะได้วา่ 1 p 11  n นั่นคือ 1*  n จะได้ว่า 1*  n ถา้ p 1 จากทฤษฎบี ท 3.47 จะได้ 1 p และจะได้วา่ 1*  p*  p 1 1 p  n น่นั คือ 1*  n ดงั น้นั 1*  n จะไดว้ า่ 1S 2) สมมติ kS สาหรบั จานวนธรรมชาติ k จะแสดงว่า k* S จาก kS จะไดว้ า่ ถา้ k  n แล้ว k*  n สมมตใิ ห้ k*  n จะได้วา่ k 1 n ดังนัน้ จะมี p ซ่ึง (k 1)  p  n ถ้า p 1 จะไดว้ ่า (k 1) 1 n (k* ) 1  n

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 71 (k* )*  n จะได้ (k* )*  n ถา้ p 1 จากทฤษฎีบท 3.47 จะได้ 1 p และจากทฤษฎีบท 3.7 จะมี q โดยที่ p  q* พิจารณา (k* )*  q  (k* 1)  q  k*  (1 q)  k*  (q 1)  k* q*  k*  p  (k 1)  p n ดังน้ัน k*  n และจะได้วา่ k*  n จากทั้งสองกรณจี ะสรปุ ได้วา่ k*  n นัน่ คือ k* S จาก 1) และ 2) จงึ สรปุ ได้ว่า S  เพราะฉะนนั้ สาหรบั จานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถ้า m  n แลว้ m*  n จากทฤษฎีบท 3.50 สามารถเขียนได้ว่า ถ้า m  n แล้ว m 1 n สาหรับทุกจานวน ธรรมชาติ m และ n น่นั เอง ตอ่ ไปนีจ้ ะแสดงสมบตั ทิ ่ีสาคัญของจานวนธรรมชาติ ทฤษฎีบท 3.51 (อาพล ธรรมเจรญิ , 2553:8) สมบตั ิไตรวภิ าค (Trichotomy law) สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ ข้อความต่อไปนีเ้ ปน็ จริงเพียงข้อเดยี ว เทา่ น้นั คือ 1. m  n 2. m  n 3. m  n พสิ ูจน์ ให้ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ ซง่ึ S {m m  n หรือ m  n หรือ m  n} และ S  1) เนอื่ งจาก 11 และ 1 n สาหรับทกุ จานวนธรรมชาติ n 1 ดังนนั้ 1S 2) สมมติ kS สาหรบั จานวนธรรมชาติ k จะแสดงวา่ k* S

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 72 จาก kS จะไดว้ ่า ถ้า k  n ดังน้ัน k*  n*  n ดังนน้ั k* S ถา้ k  n จากทฤษฎบี ท 3.48 จะได้วา่ k*  n นน่ั คอื k*  n หรือ k*  n ดงั นนั้ k* S ถ้า k  n เนื่องจาก k*  k จะไดว้ ่า k*  n ดงั นั้น k* S จากทั้งสามกรณีจงึ สรปุ ได้ว่า k* S จาก 1) และ 2) จะไดว้ ่า S  เพราะฉะนน้ั m  n หรอื m  n หรอื m  n สาหรบั ทุกจานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ ต่อไปจะแสดงวา่ m  n หรือ m  n หรอื m  n จะเป็นจรงิ เพยี งแค่กรณีเดียว เท่านั้น สมมติ m  n และ m  n ดงั นน้ั m  n  m นั่นคือ m  m จากบทนิยาม 3.40 จะมี p ที่ทาให้ m  p  m ดงั น้นั (m  p)*  m* m  p*  m* m  (p 1)  m 1 p11 p* 1 เกดิ ข้อขัดแย้ง เพราะว่า 1 ไมใ่ ช่พจนต์ ามหลงั ของจานวนธรรมชาตใิ ด ๆ จึงสรปุ ได้ว่า กรณี m  n และ m  n ไมส่ ามารถเกิดขน้ึ พรอ้ มกนั ได้ ทานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า กรณี m  n และ m  n เป็นจริงพร้อม กันไมไ่ ด้ และกรณี m  n และ m  n ไมส่ ามารถเปน็ นจริงทงั้ คู่ได้ จากทฤษฎี 3.51 อาจเขียนกรณีท่ี m  n แทนด้วย n  m สาหรับทุกจานวน ธรรมชาติ m และ n ใด ๆ ทฤษฎบี ท 3.52 สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ ถ้า m  n และ n  m แล้ว m  n พิสจู น์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ สมมติ m  n และ n  m ถ้า m  n จาก m  n จะไดว้ า่ m  n และจาก n  m จะไดว้ ่า n  m นนั่ คอื m  n

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 73 เน่ืองจาก m  n จากทฤษฎี 3.51 จะได้ว่า m  n หรือ m  n เป็นจริงอย่างใด อย่างหนงึ่ เท่านนั้ จงึ เกดิ ขอ้ ขดั แย้ง ดังนั้น ถ้า m  n และ n  m แล้ว m  n ทฤษฎบี ท 3.53 (วสันต์ จินดารัตนาภรณ์, 2542: 41) หลักการอาร์คมี ีเดยี นสาหรบั จานวน ธรรมชาติ (The Archemedean Principle for Natural Numbers) สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ จะมีจานวนธรรมชาติ p โดยที่ m  pn พสิ จู น์ ให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ จะไดว้ า่ n 1 หรือ n 1 1) ถ้า n 1 ให้ p  m*  m 1 จะได้ m  p และได้ m  p1 ดังนั้น m  pn 2) ถ้า n 1 ดังนั้น จะมี q ซ่งึ n  q* ให้ p  m จะได้วา่ p n  mn  mq* mqm mmq ดงั นัน้ m  pn จาก1) และ 2) สรุปไดว้ ่า สาหรับจานวนนับ m และ n ใด ๆ มีจานวนนบั p โดยท่ี m  pn บทแทรก 3.54 สาหรับทกุ จานวนธรรมชาติ n จะมจี านวนธรรมชาติ p ทีท่ าให้ n  p พิสูจน์ ให้พสิ ูจนเ์ ปน็ แบบฝึกหัด ทฤษฎีบท 3.55 (อาพล ธรรมเจรญิ , 2553:10) สาหรับจานวนธรรมชาติ n ใด ๆ ไม่มจี านวนธรรมชาติ x ทีท่ าให้ n  x  n 1 พสิ จู น์ ให้ m และ n เปน็ จานวนธรรมชาติใด ๆ และ n  m  n 1 เนือ่ งจาก n m จากทฤษฎีบท 3.50 จะได้วา่ n*  m นั่นคือ n 1  m หรือ n 1  m จงึ เกดิ ขอ้ ขัดแยง้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 74 เพราะฉะนั้น ไม่มจี านวนธรรมชาติ x ท่ีทาให้ n  x  n 1 บทนยิ าม 3.56 (วสนั ต์ จนิ ดารตั นาภรณ์, 2542: 41) กาหนดให้ A   ซง่ึ A  จะเรียก aA ว่าเป็นสมาชิกแรกหรือสมาชิกค่าน้อยสุดของ A ก็ต่อเมื่อ a  n สาหรับสมาชิก n ใด ๆ ในเซต A ทฤษฎบี ท 3.57 1 เปน็ สมาชกิ แรกของเซต พสิ จู น์ ให้ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ เนื่องจาก 1 และ 1  n สาหรบั ทุก n ดงั นน้ั 1 เปน็ สมาชิกแรกของเซต ทฤษฎบี ท 3.58 ให้ A  ถ้า A มจี านวนนอ้ ยสดุ แลว้ จานวนนอ้ ยสุดจะมีเพียงตัวเดียวเทา่ นั้น พิสจู น์ สมมติ A มีจานวนนอ้ ยสดุ คือ m และ n เนอ่ื งจาก m เป็นจานวนนอ้ ยสุด จะไดว้ ่า m  n สาหรบั ทุก n เนื่องจาก n เป็นจานวนน้อยสดุ จะไดว้ า่ n  m สาหรบั ทุก m จากทฤษฎีบท 3.52 จะได้ว่า m  n ดงั นัน้ ถ้า A มจี านวนน้อยสุด แล้วจานวนนอ้ ยสุดจะมเี พยี งตัวเดียวเทา่ นนั้ ทฤษฎีบท 3.59 (อาพล ธรรมเจริญ, 2553:11) หลกั การเรยี งลาดับอย่างดี (the Well-Ordering Principle) เซตย่อยไม่วา่ งใด ๆ ของจานวนธรรมชาติ จะมีจานวนนอ้ ยท่ีสดุ พิสจู น์ ให้ A  โดยท่ี A   แสดงวา่ A ต้องมีสมาชกิ อย่างน้อยหน่ึงตวั ให้ kS และ m เป็นจานวนนับตัวหน่ึง ท่ีทาให้ S {n n  m,mA} 1) เนื่องจาก 1 m สาหรับทุก mA จะได้ 1S นนั่ คือ S   2) ถา้ มี nS A จากนยิ ามเซต S จะได้วา่ n เป็นจานวนที่น้อยทสี่ ดุ ของ A สมมติ SA   น่นั คอื S ไมม่ ีจานวนที่น้อยท่สี ุด สมมตใิ ห้ nS จะได้วา่ nA ดังน้ัน n m สาหรบั ทกุ ๆ mA และจากทฤษฎีบท 3.50 จะได้ว่า n*  m สาหรบั ทกุ ๆ mA จะได่วา่ n* S ดังนนั้ จาก 1) และ 2) จะได้ S 

75 จาก A  จะได้ SA  A  A เกิดข้อขัดแย้ง เพราะ SA   ดงั นั้น มี nS A จึงสรปุ ได้ว่า n เป็นสมาชิกตัวที่นอ้ ยท่สี ุดใน A บทสรุป ในปจั จบุ ัน นกั ศึกษาหลาย ๆ คนคงจะคุ้นชินกบั คาว่าจานวนนับมากกว่าจานวนธรรมชาติ เราใช้การนับจานวนต่าง ๆ ในชีวิตประจาวันและแสดงผ่านตัวเลข ซึ่งทุกส่ิงล้วนเกิดจากธรรมชาติ นั่นเอง โดยเร่ิมต้นจากเลข 1 ดังในสัจพจน์ของเปอาโน เกิดพจน์ตามหลังจานวนแต่ละจานวน ธรรมชาติ ทาใหเ้ ห็นวา่ มจี านวนธรรมชาติหรือจานวนนับได้มากมาย แลว้ จานวนทม่ี จี ะมีสมบัติท่สี าคัญ ท่ีเป็นพ้ืนฐานทางการคานวณทางคณิตศาสตร์ นอกจากน้ี การศึกษาจานวนธรรมชาติทาให้เห็นการ เปรียบเทียบกันของสมาชิกในเซตของจานวนธรรมชาติ และทาให้สามารถขยายแนวคิดไปสู่จานวน เตม็ ในบทถัดไป แบบฝึกหัดทา้ ยบทท่ี 3 จงตอบคาถามต่อไปนี้ 1) กาหนดให้ลกู ศรในแผนภาพตามกฎพจน์ตามหลงั จงพจิ ารณาในแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้สี อดคล้องกบั สจั พจนข์ องเปอาโนขอ้ ใดบ้าง 1.1) A {1,2,3} และ 21 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 1.2) A {1,2,3,4} และ 4 1 2 3 4

76 2) จงพสิ ูจน์ว่า 2.1) 5 2  7 2.2) 4  4 8 2.3) 33  9 2.4) 62 12 3) สาหรับจานวนธรรมชาติ a,b ใด ๆ จงพิสูจนว์ า่ 3.1) a  b*  a*  b 3.2) (a*  b)* a*  b* มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 4) สาหรบั จานวนธรรมชาติ a,b,c และd ใด ๆ จงพสิ ูจน์ว่า (a  b)(c d) (ac ad)(bc  bd) 5) สาหรับจานวนนบั a และ b ใด ๆ กาหนดให้ a*b (ab)  b จงพิจารณาวา่ a * b มสี มบัติ สลบั ท่ีหรือไม่ 6) จงพิสูจน์ สาหรบั จานวนธรรมชาติ m และ n ใด ๆ m* n* (mn) m  n 1 7) จงพิสูจนว์ า่ สาหรบั จานวนธรรมชาติ m,n และ p ใด ๆ ถ้า m  n  m  p แล้ว n  p 8) จงพสิ ูจน์วา่ สาหรับจานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถ้า m  p  n  p แลว้ m  n 9) จงพิสจู นว์ า่ สาหรับจานวนธรรมมชาติ m และ n ใด ๆ ถ้า mp  np แล้ว m  n 10) สาหรับจานวนธรรมชาติ a และ b ใด ๆ กาหนดให้ a2  aa เมอ่ื a เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ จงพิสจู นว์ ่า (a  b)(a b) a2 b2 11) สาหรับจานวนธรรมชาติ a และ b ใด ๆ จงพสิ จู นว์ ่า a  ab 12) จงพิจารณาวา่ ประพจน์ ถา้ a และ b เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ แลว้ a  b  ab มคี า่ ความ จริงเป็นจริงหรอื เท็จ ถ้าจริงให้พสิ จู นถ์ ้าเทจ็ ให้ยกตัวอย่างคา้ น 13) สาหรับจานวนธรรมชาตใิ ด a และ b ๆ จงพสิ ูจน์ว่า ab a  ba  b 14) สาหรับทกุ จานวนธรรมชาติ n จะมีจานวนธรรมชาติ p ที่ทาให้ n  p เอกสารอา้ งอิง ชะเอม สายทอง (2532). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : โอ เอส พรน้ิ ตง้ิ เฮาส.์ วสันต์ จินดารตั นาภรณ์ (2542). ระบบจานวน. เชยี งใหม่ : สถาบันราชภัฏเชยี งใหม.่ สมศกั ดิ์ โพธิวจิ ติ ร. (2523). ระบบจานวน. สงขลา : มหาวทิ ยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ สงขลา. สุเทพ จนั ทรส์ มศักดิ์ (2538). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พจ์ ฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั . สมสวาท สุดสาคร (2542). ระบบจานวน. (พิมพ์ครง้ั ท่ี 4). กรงุ เทพฯ : มหาวทิ ยาลยั รามคาแหง. อาพล ธรรมเจรญิ (2553). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : พิทักษ์การพมิ พ์.

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 77 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทที่ 4 เนื้อหาประจาบท บทท่ี 4 จานวนเต็ม 4.1 นิยามของจานวนเตม็ 4.2 การดาเนินการของค่อู ันดบั ใน  4.3 ความสมั พนั ธ์สมมลู 4.4 การดาเนินการของจานวนเต็ม 4.5 การจดั อนั ดบั เชิงเส้นของจานวนเต็ม จดุ ประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม เมื่อศึกษาบทท่ี 4 แล้วนกั ศึกษาสามารถ 1. สามารถอธบิ ายที่มาของการสรา้ งจานวนเตม็ 2. พิสจู นส์ มบัตติ ่าง ๆ ของการดาเนนิ การบวกและการคูณบนค่อู นั ดับของจานวนนบั ได้ พรอ้ มยกตัวอย่างที่สอดคล้อง 3. พสิ ูจนส์ มบัติตา่ ง ๆ ของความสมั พันธ์สมมูลของจานวนเต็มไดพ้ รอ้ มยกตัวอย่างที่ สอดคลอ้ ง 4. พิสูจน์สมบตั ติ า่ ง ๆ ของการบวกจานวนเตม็ พร้อมยกตวั อยา่ งทีส่ อดคล้อง 5. พิสูจน์สมบัติตา่ ง ๆ ของการคณู จานวนเต็ม พร้อมยกตัวอย่างทสี่ อดคล้อง 6. พสิ ูจนส์ มบัตติ า่ ง ๆ ของการจดั อันดับเชงิ เสน้ ของจานวนเตม็ ได้ พรอ้ มยกตัวอยา่ งท่ี สอดคลอ้ ง กจิ กรรมการเรียนการสอนประจาบท 1. ผ้สู อนอธิบายทฤษฎีบทและซกั ถามพรอ้ มยกตัวอย่างประกอบการบรรยาย โดยใช้โปรเจคเตอร์ 2. แบง่ ผ้เู รยี นเป็นกลุ่ม กลมุ่ ละประมาณ 5 คน เพือ่ ศึกษาทฤษฎบี ทแลว้ อธบิ ายในกลมุ่ 3. ใหผ้ ู้เรยี นศึกษาเอกสารประกอบการสอนเพื่อเปรยี บเทยี บกับ 4. ผู้สอนและผู้เรยี นร่วมกันอภปิ รายและหาข้อสรุปรว่ มกนั 5. ใหผ้ เู้ รียนทาแบบฝกึ หัดบทที่ 4 6. ทดสอบย่อยหลงั จบบทเรียน

78 ส่อื การเรยี นการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจานวน 2. หนงั สือระบบจานวน 3. เคร่อื งฉายโปรเจคเตอร์ 4. Google classroom 5. แบบฝึกหัดบทท่ี 4 การวดั ผลและประเมินผล 1. สงั เกตจากการส่มุ ถามรายบคุ คล 2. สังเกตจากการรว่ มกจิ กรรมในชั้นเรยี น 3. สังเกตจากความสนใจในชัน้ เรยี น 4. สังเกตจากการอภปิ รายกลมุ่ ยอ่ ย 5. ประเมนิ จากการทาแบบฝกึ หัด 6. ประเมินจากการสอบระหวา่ งภาคและปลายภาค มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 79 บทที่ 4 จานวนเตม็ (Integer Numbers) ใบบทที่ 3 เราจะเห็นจุดเริ่มต้นของจานวนธรรมชาติมาจากสัจพจน์ของเปอาโน แล้ว ขยายแนวคิด พอสูจน์สมบัติและทฤษฎีต่าง ๆ ทาให้ได้ระบบของจานวนธรรมชาติ ทานองเดียวกัน การพจิ ารณาตวั เลขต่าง ๆ ของเซตของจานวนเต็ม กม็ ีสมบัติทคี่ ล้างคลงึ กับจานวนธรรมชาติ เช่น การ ดาเนินการของจานวนเต็ม ความสัมพันธ์สมมูล และการจัดอันดับเชิงเส้นของจานวนเต็ม เป็นต้น แต่ในบางสมบัติของจานวนธรรมชาตอิ าจจะไม่เป็นจริงสาหรับจานวนเตม็ เพราะจานวนธรรมชาติเป็น สว่ นหนงึ่ ของจานวนเตม็ 4.1 นยิ ามของจานวนเต็ม (Definition of Integers) กาหนดให้ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ท่ีสอดคล้องกับสมการ 6  2  n จะเห็นได้ ว่าจะมีคาตอบของสมการเพียงหน่ึงจานวนเท่าน้ัน คือ 4 แต่ ในขณะท่ีสมการ 7 8  n และ 5  6  n จะไม่สามารถหาจานวนธรรมชาติที่ทาให้ n ที่สอดคล้องกับสองสมการดังกล่าวได้ เม่ือ กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนธรรมชาติใด ๆ ซึ่ง m  n  p จะพบว่า ถ้า n  m จากนิยาม น้อยกว่า จะมีจานวนธรรมชาติ x ซึ่ง m  n  x นั่นคือ สมการ m  n  p จะมีคาตอบของ สมการเป็นจานวนธรรมชาติ แต่ถ้าพิจารณา m  n แล้วจะได้ว่าสมการ m  n  p จะไม่มี คาตอบของสมการท่ีเป็นจานวนธรรมชาติน่ันเอง ดังน้ันจึงเกิดแนวคิดในการสร้างจานวนเพื่อให้ สมการดงั กล่าวมีคาตอบ เรยี กวา่ “ จานวนเตม็ ” (Integer) เพ่ือให้เข้าใจได้งา่ ยข้ึน เราจะใช้คาว่า ”จานวนนับ” แทนจานวนธรรมชาติ กาหนดให้ m และ n เป็นจานวนนับ เขียนแทน m (n) ด้วย m n และเขียนแทน mn ด้วย mn หรือ mn กรณีเม่ือ m > n จะมีจานวนนับ p ท่ีซึ่ง m = n + p เรากล่าวว่า p เป็นผลต่างของ m กบั n เขยี นวา่ p = m – n และผลต่าง m – n จะเป็นจานวนนับ กรณีถ้า m = n ผลต่างของ m – n จะไม่เป็นจานวนนับ ถ้าต้องการความหมายของ ผลตา่ ง m – m จึงกาหนดสัญลักษณ์ให้แทนดว้ ย 0 (ศูนย)์ น่นั คอื ให้ m – m = 0 โดยสัญลกั ษณ์น้ี จะ ไดว้ า่ m = m + 0 ทานองเดียวกัน ในกรณีที่ m < n จะได้ว่าผลต่าง m – n ไม่เป็นจานวนนับ เราจะ กาหนดสัญลักษณ์ของผลต่างน้ีด้วย – p ท่ีซึ่ง – p = m – n ก็ต่อเมื่อ p = n – m หรือ p เป็น จานวนนับทท่ี าให้ n = m + p ดังน้นั จะไดเ้ ซตของจานวนตา่ ง ๆ จากทก่ี ล่าวมาข้างต้น คือ = {…, –3 , –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 80 เรยี กเซตนี้ว่า เซตของจานวนเต็ม (Integer) ประกอบด้วยสมาชิกทม่ี าจาก 3 เซต ไดแ้ ก่ เซตของจานวนเตม็ บวก (Positive Integer) คอื เซตของจานวนนบั เซตของจานวนเต็มศูนย์ (Zero) และ เซตจานวนเตม็ ลบ (Negative Integer) คือ เซตที่ประกอบด้วยจานวน –n เมือ่ n เปน็ จานวนนบั พิจารณาสมการ m  n  p สาหรบั ทุก จานวนเต็ม m และ n จะเหน็ ได้ว่าเปน็ สมการ ท่ีมีคาตอบ p ที่เป็นจานวนเต็ม ในการสร้างเซตของจานวนเต็มเราเร่ิมพิจาณาจากผลต่างของจานวน นับสองจานวน เขียนแทนด้วย (m,n) สาหรับจานวนเต็ม m และ n ใด ๆ เมื่อ (m,n) แทนการ ดาเนินการ m n ซึ่งมคี ่าเท่ากบั จานวนเต็มบางจานวน เช่น (3,5) แทนจานวนเต็มทีส่ อดคล้องกบั สมการ 3  5 x (7,1) แทนจานวนเต็มทสี่ อดคล้องกบั สมการ 7 1 x (4,4) แทนจานวนเต็มทสี่ อดคลอ้ งกบั สมการ 4  4  x เป็นต้น พิจารณาคู่อันดับ (2,1) แทนจานวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ 2 1 x และ คู่อันดับ (3,2) แทนจานวนเต็มที่สอดคล้องกับสมการ 3  2  x พบว่าคู่อันดับ (2,1) และ (3,2) แทนจานวนเต็มจานวนเดยี วกนั คอื 1 และพบว่า 2  2 13 น อ ก จ า ก นี ้เร า พ บ ว่า ใน บ า ง คู ่อ ัน ด ับ จ ะ ม ีค ่า เท ่า ก ัน เช ่น (2,1)  (6,5) (3,3)  (2,2) เป็นต้น นั่นคือ ถ้า (m, n)  (p, q) แล้วจะได้ m  n  p  q หรือเขียนใหม่ได้เป็น mqpn 4.2 การดาเนนิ การของคอู่ นั ดบั ใน  (Operations of  ) ต่อไปจะศึกษาสมบัติต่าง ๆ เก่ียวกับจานวนเต็ม ด้วยการดาเนินการบวกและการคูณ ของจานวนเต็มสองจานวนซึ่งแทนด้วยคอู่ ันดบั ของจานวนนับใน  ดังนี้ บทนิยาม 4.1 กาหนดให้ (m, n)  และค่อู นั ดบั (m, n) เขียนแทนดว้ ย m n บทนิยาม 4.2 กาหนดให้ (m, n), (p,q)  ผลบวกของ (m, n) และ (p, q) เขียนแทน ด้วย (m, n) (p, q)  (m  p, n  q) บทนยิ าม 4.3 กาหนดให้ (m, n), (p,q)  ผลคณู ของ (m, n) และ (p, q) เขียนแทน ดว้ ย (m,n)(p,q)  (m p  n q,m q  n p) ทฤษฎีบท 4.4 ถา้ (m, n), (p,q)  แลว้ 1) (m, n) (p, q) เป็นคอู่ นั ดับเพยี งคเู่ ดียวเทา่ น้นั ใน 

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 81 2) (m, n)(p, q) เป็นคอู่ ันดับเพยี งคเู่ ดียวเทา่ น้นั ใน  พสิ ูจน์ ให้ (m, n) และ (p, q) เปน็ คูอ่ ันดบั ใด ๆ ใน  1) จากบทนยิ าม 4.2 เราจะได้ (m, n) (p, q)  (m  p, n  q) เนื่องจาก m  p และ n  q จากทฤษฎีบท 3.10 จะได้ (m  p, n  q)  ดงั น้ัน (m, n) (p, q)  และจากทฤษฎีบท 3.10 จะไดว้ า่ (m, n) (p, q) มีคอู่ ันดับใน  เพียงคู่ เดียวเทา่ นนั้ 2) จากบทนิยาม 4.3 จะได้ (m,n)(p,q)  (m p  n q,m q  n p) จากทฤษฎีบท 3.20 จะได้ m p และ n q จากทฤษฎีบท 3.10 จะได้ m p  n q ทานองเดยี วกนั จะได้ m q  n p เพราะฉะนน้ั (m p  nq,m q  n p)  ดังน้นั (m,n)(p,q)  และจากทฤษฎีบท 3.10 และทฤษฎีบท 3.20 จะได้ว่า (m,n)(p,q) มีเพยี งจานวน เดียวเท่านน้ั ใน  จากการพิสูจน์ทฤษฎีบท 4.4 เราเรียนสมบัติน้ีว่า “สมบัติปิดสาหรับการบวก” (Closure Law for Addition) แ ล ะ ”ส ม บั ติ ปิ ด ส า ห รั บ ก า ร คู ณ ” (Closure Law for Multiplication) ของคู่อันดับใน  ตามลาดบั ทฤษฎีบท 4.5 ถา้ (m, n), (p,q)  แล้ว 1) (m, n) (p, q)  (p, q) (m, n) 2) (m,n)(p,q) (p,q)(m,n) พสิ ูจน์ ให้ (m, n) และ (p, q) เปน็ คอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  1) จากบทนยิ าม 4.2 เราจะได้ (m, n) (p, q)  (m  p, n  q) เนือ่ งจาก m  p  p  m และ n  q  q  n ดังนัน้ (m, n) (p, q) (m  p, n  q) (p  m,q  n) (p, q) (m, n) ดงั นั้น (m, n) (p, q)  (p, q) (m, n) 2) จากบทนิยาม 4.3 (m,n)(p,q)  (m p  n q,m q  n p) เนอื่ งจาก การคูณมีสมบตั ิมีสมบตั สิ ลบั ท่ที กุ ๆ จานวนนบั ดงั นน้ั (m,n)(p,q)  (m p  n q,m q  n p)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 82 (pm qn,qm pn) (p, q)(m, n) ดังนัน้ (m,n)(p,q) (p,q)(m,n) จากทฤษฎีบท 4.5 เราจะเรียกสมบัติน้ีว่า “สมบัติสลับที่สาหรับการบวก” (Commutative Law for Addition) และ “สมบัติสลับที่สาหรับการคูณ” (Commutative Law for Multiplication) ของคู่อันดับใน  ตามลาดบั ทฤษฎบี ท 4.6 ถ้า (m, n) , (p, q) และ (r, s) เปน็ คอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  แล้ว 1) ((m, n) (p, q)) (r, s) (m, n) ((p, q) (r, s)) 2) ((m, n)(p, q))(r, s) (m, n)((p, q)(r, s)) พิสจู น์ ให้ (m,n),(p,q),(r,s)   1) จากบทนิยาม 4.2 และสมับติการเปล่ียนหมูข่ องจานวนนับ เราจะได้ ((m, n) (p, q)) (r, s) (m  p,n  q) (r, s)  ((m  p)  r,(n  q) s)  (m (p  r),n  (q s)) (m,n)(pr,q s)  (m, n) ((p, q) (r, s)) ดงั นั้น ((m, n) (p, q)) (r, s) (m, n) ((p, q) (r, s)) 2) จากบทนยิ าม 4.2 และสมบั ตกิ ารเปล่ยี นหม่ขู องจานวนนับ เราจะได้ ((m, n)(p, q))(r, s)  ((mp  nq,mq  np))(r, s)  ((mp  nq)r  (mq  np)s,(m p  n q)s  (m q  n p)r)  (((mp)r  (nq)r) ((mq)s (np)s),((mp)s (nq)s) ((mq)r  (np)r))  ((m(pr)  m(qs)) (n(ps)  n(qr)),(m(ps) m(qr)) (n(pr)  n(qs)))  (m(pr  qs)  n(ps  qr),m(ps  qr)  n(pr  qs))  (m, n)((pr  qs,ps  qr))  (m, n)((p, q)(r, s)) ดงั นนั้ ((m, n)(p, q))(r, s) (m, n)((p, q)(r, s)) จากทฤษฎีบท 4.6 เราจะเรียกสมบัตินี้ว่า “สมบัติเปลี่ยนหมู่สาหรับการบวก” (Associative Law for Addition) และ “สมบัติเปลี่ยนหมู่สาหรับการคูณ” (Associative Law for Multiplication) ของคู่อนั ดบั ใน  ตามลาดับ ทฤษฎบี ท 4.7 ถ้า (m, n), (p, q) และ (r, s) เปน็ คู่อนั ดบั ใด ๆ ใน  แล้ว

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 83 1) (m, n)((p, q) (r, s)) (m, n)(p, q) (m, n)(r, s) 2) ((m, n) (p, q))(r, s) (m, n)(r, s) (p, q)(r, s) พสิ ูจน์ ให้ (m,n),(p,q),(r,s)   1) จากบทนิยาม 4.2 และสมบติของจานวนนบั จะไดว้ ่า (m, n)[(p, q) (r, s)] (m, n)(pr,q s)  (m(p  r)  n(q s),m (q s)  n (p  r))  ((mp  mr)  (nq  ns),(mq  ms) (np  nr))  ((mp  nq)  (mr  ns),(mq  np) (ms  nr))  (mp  nq,mq  np)  (mr  ns,ms  nr) (m, n)(p, q)(m, n)(r,s) ดังนนั้ (m, n)((p, q) (r, s)) (m, n)(p, q) (m, n)(r, s) 2) พิสจู น์ทานองเดยี วกนั กับ 1) จากทฤษฎีบท 4.7 เราจะเรียกสมบัตินี้ว่า “สมบัติแจกแจงสาหรับการบวก” (Distributive Law for Addition) และ “สมบัติแจกแจงสาหรับการคูณ” (Distributive Law for Multiplication) ของคู่อันดบั ใน  ตามลาดับ ทฤษฎีบท 4.8 ถา้ (m, n), (p, q) และ (r, s) เปน็ ค่อู ันดบั ใด ๆ ใน  1) ถ้า (m, n) (p, q)  (r, s) (p, q) แลว้ (m, n)  (r, s) 2) ถา้ (m, n) (p, q) (m, n) (r, s) แลว้ (p, q)  (r, s) พิสูจน์ ให้ (m,n),(p,q),(r,s)   1) สมมติ (m, n) (p, q)  (r, s) (p, q) จากบทนยิ าม 4.2 และสมบติของจานวนนับ จะได้ว่า (m  p, n q) (r  p,s q) ดงั น้ัน m  p  r  p และ n  q  s  q และจะได้วา่ m  r และ n  s นั่นคอื (m, n)  (r, s) 2) พิสูจน์ทานองเดยี วกับ 1) จากทฤษฎีบท 4.8 เราเรยี กสมบตั ิน้วี ่า “สมบัติการตัดออกทางขวา” และ“สมบัตกิ ารตัด ออกทางซ้าย” ของคู่อันดบั ใน  ตามลาดับ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 84 4.3 ความสมั พันธ์สมมลู (Equivalent Relation) ก่อนหน้านี้เราได้นิยามคู่อันดับ (p, q) หมายถึง p q เมื่อ p q มีค่าเท่ากับจานวน เต็มจานวนหนึง่ แต่อาจจะเกดิ กรณที ่จี านวนเต็ม p q มีคา่ เทา่ กบั คู่อนั ดับอนื่ ๆ เช่น (6, 4)  6  4  2  3 1  (3,1) (7, 7)  7 7  0  3 3  (3, 3) เปน็ ตน้ ดังนั้นในหวั ข้อน้ี เราจะศกึ ษาความสัมพันธ์สมมลู ระหว่างค่อู ันดบั ของจานวนเตม็ บทนิยาม 4.9 ให้ (m, n) และ (p, q) เปน็ คอู่ นั ดบั ใด ๆ ใน  คู่อันดับ (m, n) สัมพันธ์ กบั คู่อันดับ (p, q) กต็ ่อเมื่อ m  q  n  p เขยี นแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ (m, n) (p, q) เมือ่ (m, n) สมั พนั ธ์กบั (p, q) ข้อสงั เกต 4.10 สาหรบั p, q และ r เป็นจานวนนบั ใด ๆ จะได้วา่ 1) (p  r, q  r) (p, q) 2) (p*,p ) (q*, q) 3) (p, p) (q, q) 4) (p  q,q ) (p*,1) ทฤษฎีบท 4.11 ~ เปน็ ความสัมพนั ธ์สมมลู (Equivalence Relation) พิสจู น์ ให้ (m, n), (p, q) และ (r, s) เป็นคอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  1) เนือ่ งจาก m  n  m  n จะได้วา่ m  n  n  m จากบทนิยาม 4.9 ดังน้นั (m, n) (m, n) 2) สมมติ (m, n) (p, q) จากบทนยิ าม 4.9 จะได้วา่ m  q  n  p เพราะฉะนั้น q  m  p  n หรือได้ว่า p  n  q  m ดังนน้ั (p, q) (m, n) 3) สมมติ (m, n) (p, q) และ (p, q) (r, s) จากบทนิยาม 4.9 จะไดว้ า่ m  q  n  p และ p  s  q  r เพราะวา่ (m  q)  (p  s)  (n  p) (q  r) โดยสมบัตขิ องจานวนนับ เราไดว้ ่า

85 (m s)(q p) (n r)(q p) เพราะฉะนัน้ m s  n  r ดังนัน้ (m, n) (r, s) จาก 1) , 2) และ 3) ความสัมพันธ์ ~ เปน็ ความสมั พนั ธส์ มมลู จากทฤษฎีบท 4.11 ในการแสดงว่า ความสัมพันธ์ ~ เป็นความสัมพันธ์สมมูลใน  จะต้องพิจารณาความสัมพันธ์สะท้อน ความสัมพันปฏิสมมาติและความสัมพันธ์ถ่ายทอด ให้ สอดคลอ้ งท้ังหมดน่ันเอง มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎีบท 4.12 สาหรับ (m, n), (p, q) และ (r, s) เป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  ถ้า (m, n) (p, q) แล้ว (r, s)(m, n) (r, s)(p, q) พิสจู น์ ให้ (m, n), (p, q) และ (r, s) เป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  สมมติ (m, n) (p, q) จากบทนยิ าม 4.9 จะไดว้ า่ จะได้ m  q  n  p จะไดว้ า่ r(m  q)  r(n  p) และ s(m  q)  s(n  p) นนั่ คือ rm  rq  rn  rp และ sm  sq  sn  sp จากทั้งสองสมการ จะไดว้ ่า (rm  rq)  (sn  sp)  (rn  rp) (sm sq) น่นั คอื (rm  sn)  (rq sp)  (rn sm) (rp sq) ดงั นน้ั ((rm  sn),(rn  sm)) ((rp sq),(rq sp)) เพราะฉะน้นั (r, s)(m, n) (r, s)(p, q) จะเห็นได้ว่า ในบางกรณี จะมีบางคู่อันดับที่มีค่าเท่ากัน ดังน้ันเราจึงนิยามเซต ดังต่อไปน้ี บทนิยาม 4.13 ให้ [m,n] แทนกลมุ่ ทส่ี ัมพนั ธ์กบั (m,n) ภายใต้ความสัมพนั ธ์สมมลู ใน  โดยที่ [m,n] {(p, q)  (p,q) (m, n)} ข้อสังเกต 4.14 ถ้า (p,q) (m, n) จะอยใู่ นเซตเดียวกันท่เี รียกว่า “ชน้ั สมมูล” (Equivalent Class) และจากนยิ ามของ [m,n] จะไดว้ ่า [m, n]  [p, q] กต็ อ่ เม่อื m  q  n  p

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 86 จากบทนยิ าม 4.13 เราพบว่า [m,n] คอื กลมุ่ ของคู่อันดบั ท่สี มมลู กัน เรียกว่า “จานวนเต็ม ”(Integer) และ [m,n] คือเซตของกลมุ่ ที่มีความสัมพันธส์ มมลู กบั (m, n) ภายใต้ ความสัมพนั ธ์  เช่น [2,1] [3,2] [4,3] ... {(2,1),(3,2),(4,3),...} [1,1] [2,2] [3,3] ... {(1,1),(2,2),(3,3),...} [4,1] [5,2] [6,3] ... {(4,1),(5,2),(6,3),...} เปน็ ตน้ บทนยิ าม 4.15 กาหนดให้ m,n,p และ q เปน็ จานวนนบั ใด ๆ เซต {[m,n]| m,n } และการดาเนนิ การบวกและการคูณ ดงั น้ี 1. [m,n] [p,q] [m  p,n  q] 2. [m,n][p,q] [m p  n q,m q  n p] จะเรียกเซต วา่ “เซตของจานวนเต็ม” (The set of Integer) จากบทนิยาม 4.15 ถ้ามสี มาชกิ a ในเซต จะได้วา่ จะมจี านวนนบั m และ n ซง่ึ a [m,n] ตอ่ ไปนี้จะพจิ ารณาส่วนประกอบของสมาชิกในเซตจานวนเต็ม ทฤษฎบี ท 4.16 ถ้า m เป็นจานวนนับ แล้ว [m,m] {(p, q)  p  q} พิสูจน์ ให้ m เป็นจานวนนับใด ๆ จะแสดงว่า [m,m] {(p, q)  p  q} และ {(p, q)  p  q}[m,m] สมมติ (p, q)[m, m] จากบทนิยาม 4.13 จะได้ จะได้ (p, q) (m, m) เมือ่ (p, q)  จากนิยามความสมั พนั ธ์ จะไดว้ ่า p  m  q  m นั่นคอื p  q เราได้วา่ (p, q){(p, q)  p q} ดงั นน้ั [m, m]{(p, q)  p  q} สมมตใิ ห้ (r,s){(p, q)  p q} จะได้ (r, s)  โดยที่ s  t โดยสมบตั กิ ารบวกของจานวนนั จะได้ r  m  s  m เมื่อ m นั่นคอื (r, s) (m, m) ดังนัน้ (r,s)[m, m] นนั่ คือ {(p, q)  p q}[m, m]

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 87 จึงสรุปได้วา่ [m,m] {(p, q)  p  q} บทนิยาม 4.17 ให้ m เปน็ จานวนนบั จานวนเต็มศนู ยค์ ือกลมุ่ ของคู่อันดบั ทสี่ มั พันธส์ มมูลกับ [m,m] โดยที่ [m,m] {(p, q)  p  q} เขยี นแทนด้วย 0 จากบทนิยาม 4.17 พบว่า [m,m] {(p, q)  p  q} เป็นกลุ่มของคู่อันดับที่ สัมพันธส์ มมูลกัน ดังน้ี 0 [1,1] [2, 2] [3, 3] ... {(1,1),(2, 2),(3, 3),...}{(p, q)  p  q} ทฤษฎีบท 4.18 ถา้ m และ x เปน็ จานวนนับ แล้ว [x  m, x] {(p, q)  p  q  m} พสิ ูจน์ ให้ m และ x เป็นจานวนนบั จะแสดงว่า [x  m, x]{(p, q)  p  q  m} และ {(p, q)  p  q  m}[x  m, x] ให้ (p, q)[x  m, x] จากบทนิยาม 4.13 จะไดว้ ่า (p, q) (x  m, x) เม่อื (p, q)  ดงั น้นั p  x  q  (x  m) และ p  x  (q  m)  x นั่นคอื p  q  m เพราฉะน้นั (p, q){(p, q)  p q m} เราไดว้ ่า [x  m, x]{(p, q)  p  q  m} ให้ (r,s){(p, q)  p  q m} จากบทนิยาม 4.13 จะไดว้ า่ r  s  m เมื่อ (r, s)  ดังนนั้ r x (s m) x และ r x s (x m) เพราะฉะนั้น (r, s) (x  m, x) น่นั คือ (r,s)[x  m, x] จะได้ว่า {(p, q)  p  q  m}[x  m, x] เราจึงสรุปไดว้ ่า [x  m, x] {(p, q)  p  q  m} จากทฤษฎีบท 4.18 จะเห็นได้ว่า [x  m, x] {(p, q)  p  q  m} เป็น กลุ่มของคู่อันดับทส่ี มั พันธ์สมมูลกนั คือ จานวนเต็มบวก (Positive Integers) และนิยามได้ดงั น้ี บทนิยาม 4.19 ให้ m และ x เปน็ จานวนนับ จานวนเต็มบวกคือกลุ่มของคูอ่ ันดับทส่ี ัมพันธ์สมมูล

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 88 กับ [x  m, x] โดยท่ี [x  m, x] {(p, q)  p  q  m} จากบทนยิ าม 4.19 เราไดว้ า่ 1[2,1] {(p, q)  p  q 1}{(2,1),(3,2),(4,3),...} 3 [4,1] {(p,q)  p  q 3}{(4,1),(5,2),(6,3),...} 6 [10, 4] {(p,q)  p  q 6}{(10,4),(11,5),(12,6),...} เป็นตน้ ทฤษฎบี ท 4.20 ให้ x และ m เป็นจานวนนบั [x, x  m] {(p, q)  q  p  m} พสิ จู น์ ให้ x และ m เป็นจานวนนับ จะแสดงวา่ [x, x  m]{(p, q)  q  p  m} และ {(p, q)  q  p  m}[x, x  m] ให้ (p, q)[x, x  m] จากบทนยิ าม 4.13 (p, q) (x, x  m) เมอ่ื (p, q)  จะได้ p  (x  m)  q  x และ (p  m)  x  q  x ดังนั้น q  p  m น่นั คอื (p, q){(p, q)  q  p m} เพราะฉะนั้น [x, x  m] {(p, q)  q  p  m} ให้ (r,s){(p, q)  q  p m} จะได้วา่ (r, s)  และ s  r  m น่นั คือ s x (r m) x และ s x  r (x m) r (xm) sx ดงั นนั้ (r, s) (x, x  m) นนั่ คือ (r, s)[x, x  m] เพราะฉะนนั้ {(p, q)  q  p  m}[x, x  m] เราจึงสรปุ ได้ว่า [x, x  m] {(p, q)  q  p  m} จากทฤษฎีบท 4.20 จะเห็นได้ว่า [x, x  m] {(p, q)  q  p  m} เป็น กล่มุ ของคอู่ ันดับท่สี มั พนั ธ์สมมลู กัน คอื จานวนเตม็ ลบ (Negative Integers) และนิยามได้ดงั นี้

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 89 บทนิยาม 4.21 ให้ x และ m เป็นจานวนนบั จานวนเต็มลบคอื กล่มุ ของคู่อันดับทีส่ ัมพันธ์สมมลู กบั [x, x  m] โดยที่ [x, x  m] {(p, q)  q  p  m} จากบทนิยาม 4.21 เราไดว้ า่ 1[1, 2] {(p,q)  q  p 1}{(1,2),(2,3),(3,4),...}  4 [1, 5] {(p, q)  q  p 4) {(1,5),(2,6),(3,7),...} 10 [1,11] {(p, q)  q  p 10) {(1,11),(2,12),(3,13),...} เปน็ ตน้ จากทฤษฎีบท 3.51 กลา่ วถึงสมบตั ิไตรวิภาคของจานวนนับใด ๆ น่ันคอื สาหรบั จานวน นับ m และ n ใด ๆ แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริงเพียงกรณีเดียวเท่าน้ัน คือ m  n หรือ m  n หรือ m  n เราจะไดว้ ่า สาหรับจานวนเตม็ [m, n] พจิ ารณาแตล่ ะกรณี ตอ่ ไปน้ี 1) ถา้ m  n จะมีจานวนนบั p ทที่ าให้ m  n  p จะไดว้ ่า [m, n] [n  p, n] [p*,1]  p เมอ่ื p แทน [p* ,1] และกาหนดใหเ้ ซตของจานวนเต็มบวก คือ  {[m, n]| m  n} หรือ  {1, 2, 3, } 2) ถ้า m  n จะได้วา่ [m, n] [n, n] [1,1]  0 เมอ่ื 0 แทน [1,1] และกาหนดให้เซตของจานวนเต็มศูนย์ คือ 0 {[m, n]| m  n} หรอื 0 {0} 3) ถ้า m  n จะมีจานวนนบั p ทท่ี าให้ m  p  n จะได้วา่ [m, n] [m, m  p] [1, p*]  p เมือ่ p แทน [1, p* ] และกาหนดใหเ้ ซตของจานวนเต็มลบ คอื  {[m, n]| m  n} หรือ  {1,  2, 3, } ทฤษฎีบท 4.22 (อาพล ธรรมเจริญ, 2553:20) สาหรบั จานวนเตม็ a ใด ๆ จะได้วา่ แตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี จะเปน็ จรงิ เพยี งข้อใดข้อหนึ่งเท่านนั้ 1) a 

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 90 2) a  0 3) a  พิสจู น์ ให้ a เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ดังนั้น a  [m, n] เมอื่ m และ n เปน็ จานวนนบั จากสมบตั ไิ ตรวภิ าค (ทฤษฎีบท 3.51) เราไดจ้ ะไดว้ ่า m  n หรอื m  n หรอื m  n 1) ถ้า m  n จะไดว้ า่ a [m, n]  p สาหรับบางจานวนเต็มบวก p ดงั นั้น a  2) ถา้ m  n จะไดว้ ่า a  [n, n]  0 ดงั นั้น a  0 3) ถา้ m  n จะไดว้ า่ a  [m, n]  p เม่ือ p เป็นจานวนเต็มลบ ดังนน้ั a  ทฤษฎบี ท 4.23 ถา้ a เปน็ จานวนเต็มใด ๆ แลว้ (a)  a พสิ ูจน์ ให้ a เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ จากสมบตั ขิ องจานวนเตม็ จะได้วา่ (a)  (a) 0  (a)[(a)a)]  [(a)  (a)]  a) 0a a ดงั น้นั (a)  a ทฤษฎีบท 4.24 ถ้า a เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ แล้ว a เปน็ จานวนเต็มบวก ก็ตอ่ เมือ่ a เปน็ จานวนเต็ม ลบ พสิ ูจน์ ให้ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ สมมตใิ ห้ a เปน็ จานวนเตม็ บวก นัน่ คือ a  ดังนน้ั a  [m, n] เมือ่ m และ n เปน็ จานวนนบั และ m  n จาก m  n จะไดว้ า่ n  m นั่นคือ a [n, m]  ในทานองเดยี วกัน สมมติ a เปน็ จานวนเตม็ ลบ ดงั นั้น a  [m, n] เม่อื m และ n เปน็ จานวนนบั และ m  n จะไดว้ ่า a [n, m] 

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 91 ทฤษฎบี ท 4.25 ถา้ a เป็นจานวนเตม็ ใด ๆ แล้ว a เปน็ จานวนเตม็ ลบ ก็ต่อเมื่อ a เป็นจานวนเ ต็ ม บวก พสิ ูจน์ ทานองเดียวกับทฤษฎีบท 4.25 เมื่อ a เป็นจานวนเต็มใด ๆ แล้ว จานวนตรงข้ามของ a คือ a ที่เป็นผกผันการบวก ของ a นั่นเอง กล่าวคือ จานวนตรงข้ามของจานวนเต็มบวกคือจานวนเต็มลบ และในทานองเดียวกัน จานวนตรงขา้ มของจานวนเต็มลบคือจานวนเตม็ บวก เชน่ จานวนตรงขา้ มของ 5 คอื 5 จานวนตรงข้ามของ 3 คอื 3 จานวนตรงขา้ มของ 2 คือ 2 จานวนตรงข้ามของ 2 คอื 2 เปน็ ตน้ 4.4 การดาเนนิ การของจานวนเตม็ (Operations of Integers) จากบทนิยาม 4.9 ได้ให้ความหมายของคู่อันดับ (m, n) และ (p, q) ซึ่งเป็นคู่อันดับใด ๆ ใน  ที่สัมพันธ์กัน ก็ต่อเม่ือ m  q  n  p เม่ือ m, n, p และ q เป็นจานวนนับใด ๆ ในหัวข้อต่อไปนี้ จะแสดงให้เห็นถึงจานวนเต็มท่ีสัมพันธ์กันเมื่อมีการดาเนินการบวกและคูณของ จานวนเต็ม และจากบทนิยาม 4.13 ได้กล่าวถึงเซตของจานวนเต็มท่ีสัมพันธ์กัน ดังนั้นเมื่อเรา กาหนดให้ A เป็นจานวนเต็มใด ๆ นนั่ หมายถึง จะมี (a, b)  ซง่ึ A  [a, b] บทนยิ าม 4.26 สาหรบั (a, b)A และ (c, d)B ผลบวกของจานวนเตม็ A และ B ใด ๆ คอื กลุ่มของคู่อันดับ (a, b) (c, d) ภายใต้ความสัมพนั ธ์ เขียนแทนดว้ ย A  B หรือ A  B {(x, y)  | (x, y) (a, b)  (c, d)} ต่อไปน้จี ะแสดงทฤษฎบี ทของการดาเนินการบนจานวนเตม็ ทฤษฎีบท 4.27 ถ้า A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ แล้ว A  B เป็นจานวนเต็มเพียงจานวน เดียวเท่าน้นั พิสูจน์ ให้ A และ B เป็นจานวนเต็มใด ๆ ดังนั้นจะมี (a, b), (c, d)  ทที่ าให้ A  [a, b] และ B  [c, d] จากบทนิยาม 4.26 จะได้ว่า (a, b) (c, d)A  B จากทฤษฎีบท 4.4 จะไดว้ ่า (a, b) (c, d) มีเพียงจานวนเดียวเท่านน้ั ดงั นน้ั A  B เป็นจานวนเต็มเพยี งจานวนเดียว

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 92 ทฤษฎีบท 4.28 สาหรับจานวนเต็ม A และ B ใด ๆ A  B  B  A พสิ ูจน์ ให้ A และ B เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ดังนน้ั จะมี (a, b), (c, d)  ท่ีทาให้ A  [a, b] และ B  [c, d] จากบทนิยาม 4.26 จะไดว้ า่ (a, b) (c, d)A  B และ (c, d) (a, b)B  A จากทฤษฎบี ท 4.5 จะไดว้ ่า (a, b) (c, d) (c, d) (a, b) ดังน้ัน A  B  B  A ทฤษฎบี ท 4.29 สาหรบั จานวนเตม็ A, B และ C ใด ๆ (A B) C  A (BC) พิสูจน์ ให้ A, B และ C เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ ดงั นน้ั จะมี (a, b), (c, d), (e, f )  ทท่ี าให้ A  [a, b], B  [c, d] และ C  [e, f ] จากบทนยิ าม 4.26 จะไดว้ า่ ((a, b) (c, d)) (e, f )(A B) C และ (a, b) ((c, d) (e, f ))A (B C) จากทฤษฎีบท 4.6 เราได้วา่ ((a, b) (c, d)) (e, f ) (a, b) ((c, d) (e, f )) ดังนนั้ (A B) C  A (BC) ทฤษฎบี ท 4.30 สาหรบั จานวนเต็ม A ใด ๆ จะมจี านวนเตม็ 0 เพยี งจานวนเดียวเท่านั้น ทท่ี าให้ A 0  A  0  A พสิ ูจน์ ให้ A เปน็ จานวนเต็มใด ๆ ดงั น้ันจะมี (a, b)  ท่ีทาให้ A  [a, b] และ (c, c)  ซง่ึ [c, c]  0 จะแสดงว่า A  0  A และ A  A  0 จากบทนิยาม 4.26 จะไดว้ า่ (a, b) (c, c)A 0 จะได้ (a  c, b  c)A 0 แต่ (a  c, b  c) (a, b) จะได้ (a, b) (c, c) (a, b) เนือ่ งจาก (a, b)[a, b] เพราะฉะนัน้ (a, b) (c, c)[a, b] ดงั นัน้ A  0  A