อนุรักษ์ ธัญญเจริญ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 143 แผนบรหิ ารการสอนประจาบทท่ี 6 เนื้อหาประจาบท บทที่ 6 จานวนจรงิ 6.1 จำนวนจริง 6.2 ส่วนตดั เดเดคนิ ด์ 6.3 กำรบวกสว่ นตัด 6.4 กำรคูณส่วนตดั 6.5 กำรจัดอนั ดับเชิงเส้นของส่วนตัด 6.6 กำรกำหนดจำนวนจรงิ จุดประสงคเ์ ชิงพฤติกรรม เมอ่ื ศึกษำบทท่ี 6 แลว้ นักศกึ ษำสำมำรถ 1. บอกทีม่ ำของกำรสร้ำงจำนวนจรงิ ได้ 2. พิสจู นส์ มบตั ติ ่ำง ๆ ของส่วนตัดได้ 3. ยกตัวอย่ำงที่สอดคล้องกับสมบัตติ ำ่ ง ๆ ของส่วนตดั ได้ 4. พสิ ูจน์สมบัตติ ่ำง ๆ ของ กำรบวกส่วนตดั ได้ 5. ยกตวั อยำ่ งท่สี อดคล้องกบั สมบตั ิตำ่ ง ๆ ของกำรบวกส่วนตดั ได้ 6. พสิ จู นส์ มบัติตำ่ ง ๆ ของกำรคณู สว่ นตัดได้ 7. ยกตวั อย่ำงทีส่ อดคลอ้ งกับสมบตั ติ ำ่ ง ๆ ของกำรคณู สว่ นตัดได้ 8. พิสูจน์สมบัตติ ำ่ ง ๆ ของกำรคูณจำนวนตรรกยะได้ 9. ยกตวั อย่ำงทีส่ อดคลอ้ งกับสมบัติตำ่ ง ๆ ของกำรคูณจำนวนตรรกยะได้ 10. พิสูจน์สมบัตติ ำ่ ง ๆ ของกำรจัดอนั ดับเชิงเส้นของส่วนตดั ได้ 11. ยกตัวอย่ำงทีส่ อดคล้องกับสมบัติต่ำง ๆ ของกำรจัดอันดับเชงิ เส้นของสว่ นตดั ได้ กจิ กรรมการเรยี นการสอนประจาบท 1. ผูส้ อนอธบิ ำยนยิ ำมและทฤษฎบี ท รวมทัง้ ยกตวั อยำ่ งประกอบกำรบรรยำย โดยใช้โปรเจคเตอร์ 2. แบง่ ผู้เรียนกลุ่มละประมำณ 5 คน เพ่ือศึกษำทฤษฎีบทแล้วอธิบำยในกลุ่ม 3. ให้ผเู้ รยี นศกึ ษำเอกสำรคำสอนวิชำระบบจำนวนเปรียบเทยี บกับขอ้ สรปุ 4. ผสู้ อนและผู้เรียนร่วมกันอภปิ รำยและหำขอ้ สรปุ รว่ มกนั อกี ครัง้ หนงึ่ 5. ให้ผูเ้ รียนทำแบบฝึกหัดบทที่ 6 6. มอบหมำยแบบฝกึ หัดและทดสอบย่อยหลังจบบทเรียน

144 สื่อการเรยี นการสอน 1. เอกสำรประกอบกำรสอนวิชำระบบจำนวน 2. Google classroom / Microsoft Teams / Kahoot 3. เคร่ืองฉำยโปรเจคเตอร์ 4. หนังสอื อำ่ นประกอบค้นควำ้ เพม่ิ เติม 5. แบบฝึกหัดบทที่ 6 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง การวดั ผลและประเมินผล 1. สงั เกตจำกกำรซักถำมผ้เู รยี น 2. สังเกตจำกกำรร่วมกิจกรรม 3. สังเกตจำกควำมสนใจ 4. สังเกตจำกกำรอภิปรำยกลุ่มยอ่ ยและอภปิ รำยสรุป 5. ประเมนิ จำกกำรทำแบบฝกึ หัด 6. ประเมนิ จำกกำรสอบระหว่ำงภำคและปลำยภำค

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 145 บทที่ 6 จานวนจรงิ (Real Numbers) จำกกำรศึกษำเรื่องจำนวนตรรกยะในบทท่ี 5 เรำจะเห็นได้ว่ำ กำรพิสูจน์สมบัติต่ำง ๆ ของ จำนวนตรรกยะมีพ้ืนฐำนมำกจำกสมบัติของจำนวนเต็ม เพรำะมีกำรนิยำมคู่อันดับของจำนวนเต็มน้ีจึง เปรียบเสมือนจำนวนตรรกยะจำนวนหน่ึง และในจำนวนตรรกยะจำนวนใดจำนวนหน่ึงยังมีจำนวนอ่ืน ๆ ท่ี มีควำมสมั พันธ์กัน หรือมีค่ำเท่ำกันนั่นเอง นอกจำกนี้ ระหวำ่ งจำนวนตรรกยะสองจำนวนใด ๆ ที่ไม่เท่ำกัน ย่อมสำมำรถหำจำนวนตรรกยะสองจำนวนน้ันได้ ดังน้ันจึงทำให้เรำเห็นว่ำจำนวนตรรยะน้ันมีอยู่เป็น จำนวนมำกแม้ว่ำเลขสองจำนวนจะมีค่ำใกล้กันก็ตำม นอกจำกจะมีจำนวนตรรกยะที่อยู่ระหว่ำงสอง จำนวนตรรกยะใด ๆ แล้วจึงเกดิ แนวคิดวำ่ ยังมีจำนวนอีกประเภทหน่ึง ซึ่งต่อมำเรียกวำ่ จำนวอตรรก- ยะ ซึ่งก็คือจำนวนท่ีไม่ใช่จำนวนตรรยะ หำกเมื่อนำสองจำนวนดังกล่ำวมำรวมกัน จึงได้เซตหน่ึงท่ีมี ควำมสมั พันธค์ ล้ำยคลึง่ กบั จำนวนตรรกยะ นัน่ คอื เซตของจำนวนจรงิ 6.1 จานวนจริง (Real Numbers) เม่ือนักคณิตศำสตร์เริ่มสนใจท่ีจะศึกษำปัญหำบำงปัญหำที่ม่สำมำรถหำคำตอบท่ีเป็น จำนวนตรรกยะได้ เช่น มีจำนวนตรรกยะบำงจำนวนที่คูณกันเองแล้วมีผลลัพธ์เท่ำกับสองหรือไม่ ควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมุมฉำกของรูปสำมเหล่ียมมุมฉำกท่ีมีควำมยำวของด้ำนประกอบมุมฉำกเท่ำกับ 1 หน่วยมีค่ำเท่ำใด เป็นต้น “กำรพัฒนำของระบบจำนวนจะยังไม่สมบูรณ์ถ้ำตรำบใดท่ีระบบจำนวนยังไม่ สำมำรถใช้วัดควำมยำวของทุก ๆ ส่วนของเส้นตรงได้ เป็นเวลำกว่ำ 3,000 ปี ที่นักคณิตศำสตร์ยังหลง คิดคำนวณและพิสูจน์ทฤษฎีบทต่ำง ๆ ในทำงคณิตศำสตร์ ทั้ง ๆ ที่ระบบจำนวนไม่สมบูรณ์และ เพียงพอ เพ่ิงมำศตวรรษที่ 19 น้ี จึงได้ค้นพบระบบจำนวนท่ีเพียงพอจะใช้วัดควำมยำวของทุก ๆ สว่ นของเสน้ ตรง” ในกำรขยำยแนวคิดเพื่อศึกษำจำนวนที่กว้ำงไปกว่ำระบบของจำนวนตรรกยะเพ่ือให้ได้ ระบบจำนวนท่ีสมบูรณ์มำกกว่ำเดิม มีอยู่ 2 วิธี ได้แก่ วิธีลำดับโคชี (Cauchy sequence method) ถูกคิดค้นโดยออกัสตินโคชี (Augustin Cauchy, 1789 – 1857) ด้วยกำรศึกษำลำดับของจำนวนตรรก ยะ และวิธีส่วนตัดเดเดคินด์ (Dedekind cut method) คิดค้นโดยเกออร์ก คันทอร์ (George Cantor, 1845 – 1918) และริชำรด์ เดเดคินด์ (Richard Dedekind, 1831 – 1916) ด้วยกำรศึกษำส่วน ตดั ของจำนวนตรรกยะ (กัลยำณี ไชยวรินทรกุล, 2543: 70 – 71) ซึ่งในบทน้ี เรำจะศกึ ษำจำนวนจริง ที่มำจำกวิธสี ว่ นตดั เดเดคนิ ด์ สุภำ (สุภำ สุจริตพงศ์, 2523: 143) กล่ำวถึงควำมหมำยของเสน้ จำนวน (Number Line) กำหนดให้มีเส้นตรงเส้นหนึ่ง โดยสมมติว่ำจุดแต่ละจุดบนเส้นตรงแทนจำนวนตรรกยะ โดยมีเงื่อนไข คือ สำหรับจำนวนตรรกยะ a และ b ใด ๆ โดยท่ี a น้อยกว่ำ b จะได้ว่ำ จุดท่ีแทน a จะอยู่ ทำงซ้ำยของจุดท่ีแทน b และสำหรบั จำนวนตรรกยะ a, b, c และ d ใด ๆ ถ้ำผลต่ำงระหว่ำง a กับ

146 b เท่ำกับผลต่ำงระหว่ำง c กับ d หรือ a-b=c-d แล้ว ส่วนของเสน้ ตรง ab จะมีควำมยำวเท่ำกับ สว่ นของเสน้ ตรง cd เม่ือกำหนดให้รูปส่ีเหล่ียมมุมฉำกท่ีมีด้ำนประกอบมุมฉำกยำว a กับ b หน่วยและด้ำนตรง ข้ำมมุมฉำกยำว c หน่วย จำกทฤษฎีบทของพีทำโกรัส (Pythagoras) เรำจะได้ควำมสัมพันธ์ของด้ำน ต่ำง ๆ คือ a2 +b2 =c2 หำกเรำพิจำรณำท่ีด้ำนประกอบมุมฉำกที่มีควำมยำว a=1 และ b=1 จะได้ ควำมสัมพันธด้ำนต่ำง ๆ ดังสมกำร 12 +12 =c2 นั่นคือ c2=2 จึงเกิดคำถำมท่ีว่ำ เป็นไปได้หรือไม่ที่ จะมีจำนวนตรรกยะ c ท่ีทำให้ c2=2 สมสวำท (สมสวำท สุดสำคร, 2542: 129-130) ได้พิจำณำ ควำมยำวของด้ำน c โดยกำรสร้ำงส่ีเหล่ียมจัตุรัส PQRS แล้วใช้ P เป็นจุดศูนย์กลำงรัศมี PR เขียน ส่วนโค้งให้ตัดส่วนของเส้นตรง L ท่ี T จะเห็นได้ว่ำ ควำมยำวของด้ำน c มีค่ำเท่ำกับเซกเมนต์ PT ซึ่งมีค่ำประมำณ 1 ถึง 2 ดงั ภำพท่ี 6.1 SR มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง c1 P 1 QT L ภำพท่ี 6.1 แสดงจำนวนตรรกยะ 2 บนเสน้ จำนวน ประชุม (ประชุม สุวัตถี, 2518: 77) กล่ำวถึงเรื่องเล่ำในสมัยกรีกว่ำสำนักพีทำโกรัส (Pythagorean) มคี วำมเชือ่ เกี่ยวกับกำรวัดระยะวำ่ ใชแ้ ต่จำนวนธรรมชำติและเศษสว่ นบวกเทำ่ น้นั ถ้ำ เขียนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสให้แต่ละด้ำนยำว 1 หน่วย จะวัดควำมยำวของด้ำนทแยงมุมด้วยจำนวนตรรก ยะไม่ได้ แต่ฮิปฮิปปำซุส (Hippasus) เป็นผู้ขยำยควำมลับน้ีโดยพยำยำมหำคำตอบของปัญหำ ดังกล่ำว เม่ือพบระยะท่ีวัดไม่ได้ชำวสำนักพีทำโกรัสจึงรู้สึกว่ำผลงำนของตนจะต้องล้มเหลวหมด จึง พยำยำมปกปดิ ไวเ้ ปน็ ควำมลบั ของพวกตนและวำงแผนเพ่ือฆ่ำฮิปฮิปปำซุส ทฤษฎบี ท 6.1 (สมสวำท สุดสำคร, 2542: 130 ) ไม่มีคำตอบของสมกำร x2=2 ท่ีเป็นจำนวน ตรรกยะ พิสจู น์ จะพิสูจน์โดยหำข้อขัดแยง้ สมมตวิ ำ่ มจี ำนวนตรรกยะ x ที่ซึง่ x2=2 เนื่องจำก x เป็นจำนวนตรรกยะ จะไดว้ ่ำ จะมีจำนวนเต็ม a และ b ซง่ึ x= a โดยที่ b  0 และ ห.ร.ม. ของ a และ b มีคำ่ เทำ่ กบั 1 b ดงั น้นั  a 2 =2  b  จะไดว้ ำ่ a2 =2b2 น่นั คอื a2 เป็นจำนวนเต็มคู่ จะไดว้ ำ่ a เป็นจำนวนเตม็ คู่ ดังนั้นจะมจี ำนวนเต็ม p ที่ซง่ึ a=2p

147 จำก a2 =2b2 จะไดว้ ่ำ (2p)2 =2b2 ดงั น้ัน 4p2=2b2 นั่นคอื b2=2p2 ทำให้ b2 เป็นจำนวนเต็มคู่ จะไดว้ ำ่ b เป็นจำนวนเต็มคู่ ดังน้ันท้ัง a และ b เป็นจำนวนเต็มคู่ จะได้ว่ำ ห.ร.ม. ของ a และ b มีค่ำไม่ เทำ่ กบั 1 จึงทำให้เกดิ ข้อขัดแยง้ ดงั นน้ั เรำจึงสรปุ ไดว้ ่ำ ไมม่ คี ำตอบของสมกำร x2=2 ที่เปน็ จำนวนตรรกยะ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จำกทฤษฎีบท 6.1 จะเห็นได้ว่ำ คำตอบของสมกำร x2=2 น่ันคือ x=± 2 และเรำ ทรำบกันดีว่ำ ± 2 ไม่ใช่จำนวนนอนตรรกยะ นอกจำกนี้ ถ้ำเรำดำเนินกำรคขู องจำนวนน้ีกบั จำนวน ตรรกยะ q ใด ๆ ทไ่ี ม่เท่ำกับศูนย์ จะไดว้ ่ำ q 2 ไมเ่ ปน็ จำนวนตรรกยะ (สมสวำท สดุ สำคร, 2542: 131) อกี ดว้ ย ดังนัน้ ในหัวข้อถดั ไป เรำจะศึกษำเก่ยี วกบั กำรสรำ้ งจำนวนจริงจำกส่วนตัดเดเดคินด์ โดยมี กำรกำหนดจุดจดุ หนึ่งขน้ึ มำบนเส้นจำนวน อำจจะเป็นจุดที่แทนด้วยจำนวนตรรกยะหรือจดุ ท่ีเปน็ ที่ว่ำ งบนเส้นจำนวนก็ได้ ซึ่งทำให้นักคณิตศำสตร์ทั้งหลำยคิดว่ำน่ำจะมีจำนวนท่ีแทนจุดดังกล่ำว และเกิด เซตเซตหนึ่งที่สมนยั หน่ึงต่อหนึ่งกับทุก ๆ จุดบนเส้นจำนวน ซง่ึ ต่อมำเรียกเซตน้ีว่ำเซตของจำนวนจริง น่นั เอง 6.2 สว่ นตัดเดเดคนิ ด์ (Dedekind Cut Method) จำกหัวข้อที่ผ่ำนมำ เรำได้เกล่ำวถึงวิธีกำรศึกษำจำนวนจริงซ่ึงมี 2 วิธี ได้แก่ วิธีลำดับโคชี และวิธีส่วนตัดเดเดคินด์ ในหัวข้อนี้ เรำจะศึกษำนิยำมและพิสูจน์สมบัติต่ำง ๆ ของจำนวนตรรกยะ และจำนวนอตรรกยะท่ีเกดิ จำกวิธีสว่ นตดั เดเดคินด์ ซ่ึงมนี ิยำมดงั ตอ่ ไปน้ี บทนยิ าม 6.2 สำหรับเซตย่อยแท้ C   ใด ๆ ของจำนวนตรรกยะ จะเรียก C ว่ำ “ส่วน ตดั เดเดคินด์” (Dedekind Cut) หรือเรยี กว่ำ “ส่วนตัด” ถำ้ C สอดคล้องกับแต่ละข้อ ต่อไปน้ี 1) ถำ้ x  และ x  r โดยที่ r C แล้ว x C 2) สำหรับทกุ r C จะมี x C ทซี่ ึง่ x  r ทฤษฎบี ท 6.3 สำหรบั เซตย่อย C   ใด ๆ ของจำนวนตรรกยะ ให้ r C เซต C(r)={x | | x<r} เปน็ สว่ นตัด พิสจู น์ 1) ให้ s  C(r) นัน่ คอื s  r ถำ้ x  และ x  s แล้วได้ว่ำ x  r

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 148 ทำให้ x  C(r) 2) ให้ s  C(r) น่นั คือ s  r ดังน้นั จะมีจำนวนตรรกยะ x ซง่ึ s  x  r น่ันคอื มี x C(r) ท่ีซ่ึง x  s ดังนน้ั จำก 1) และ 2) จะได้ว่ำ C(r) เป็นสว่ นตัด จำกทฤษฎบี ท 6.3 เรำเรียกส่วนตดั C(r) วำ่ “สว่ นตดั ตรรกยะ” ดังนิยำมต่อไปน้ี บทนยิ าม 6.4 ส่วนตัดตรรกยะ (Rational Cut) คือส่วนตัด Cr โดยที่ r เป็นจำนวนตรรกยะ กำหนดโดย Cr ={x  | x  r} บทนิยาม 6.5 สว่ นตดั อตรรกยะ (Irrational Cut) คอื ส่วนตัดทไ่ี ม่ใช่ส่วนตดั ตรรกยะ ทฤษฎบี ท 6.6 ให้ C เป็นส่วนตดั ใด ๆ ถำ้ r C และ s  โดยที่ sC แล้ว r  s พิสจู น์ ให้ C เป็นส่วนตดั ใด ๆ สมมติ r C และ s  โดยที่ sC จำก r C จะได้ s  จำกสมบัติไตรวิภำคของจำนวนตรรกยะ จะไดว้ ่ำ r  s หรอื r  s หรอื r  s เปน็ จริงเพยี งกรณีเดียวเท่ำนนั้ ถำ้ r  s จะได้วำ่ sC จงึ เกิดข้อขัดแย้ง ถ้ำ r  s จะไดว้ ่ำ s  r นน่ั คือ sC จงึ เกิดขอ้ ขัดแย้ง เพรำะฉะน้นั r  s ทฤษฎบี ท 6.7 ให้ C เป็นสว่ นตดั ใด ๆ ถ้ำ r,s  ซง่ึ r C และ r  s แลว้ sC พสิ ูจน์ ให้ C เป็นสว่ นตดั ใด ๆ สมมติ r,s  ซง่ึ r C และ r  s จะพสิ จู น์โดยหำข้อขัดแยง้ สมมติ sC เนื่องจำก r  s จะได้ว่ำ r C จำกข้อสมมติ r C จงึ เกิดข้อขดั แยง้ เพรำะฉะนัน้ เรำจงึ สรุปว่ำ sC บทนยิ าม 6.8 ให้ C และ D เป็นส่วนตดั ใด ๆ ส่วนตดั C เท่ำกับสว่ นตดั D ก็ตอ่ เมอื่ เซต C เทำ่ กับเซต D

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 149 จำกบทนิยำม 6.6 เรำสำมำรถนำสมบัติของเซตมำช่วยศึกษำสมบัติของส่วนตัด สำหรับ ส่วนตัด A, B, C และ D ใด ๆ จะไดว้ ่ำ 1) A  A 2) ถ้ำ A  B แลว้ B  A 3) ถำ้ A  B และ B  C แลว้ A  C 4) A  B ก็ตอ่ เมอื่ A  B และ A  B ทฤษฎีบท 6.9 สำหรบั จำนวนตรรกยะ r และ s ใด ๆ ถำ้ r  s แลว้ {x | (x  )  (x  r)}  {x | (x  )  (x  s)} พิสจู น์ ให้ r และ s เปน็ จำนวนตรรกยะใด ๆ สมมติ r  s ดังนั้นจะได้ว่ำ r  s หรอื r  s ถ้ำ r  s จำกทฤษฎบี ท 5.59 จะมีจำนวนตรรกยะ p ที่ซง่ึ r  p  s นนั่ คือ p  และ p  s จะได้ว่ำ p {x | (x  )  (x  s)} แต่ p {x | (x  )  (x  r)} ดังนน้ั r {x | x   x  q} r {x | x   x  p} น่ันคอื {x | (x  )  (x  r)}  {x | (x  )  (x  s)} ทำนองเดยี วกัน ถำ้ r  s จะได้วำ่ {x | (x  )  (x  r)}  {x | (x  )  (x  s)} เมื่อพิจำรณำจำนวนตรรยะ เรำพบว่ำ 0 และ 1 เป็นเอกลักษณ์กำรบวกและกำรคูณของ จำนวนตรรกยะ ตำมลำดับ อีกทั้ง เซตของจกนวนตรรกยะยังสำมำรถแบ่งเป็นสำมส่วนที่ไม่ซ้ำกัน ได้แก่ เซตของจำนวนตรรกยะบวก เซตของจำนวนตรรกยะศูนย์ และเซตของจำนวนตรรกยะลบ ดังนั้นเรำจะ พิจำรณำสว่ นตัดดังต่อไปน้ี บทนิยาม 6.10 กำหนด C0 {x | (x  )  (x  0)} และเรยี ก C0 ว่ำ “สว่ นตดั ศนู ย์” บทนิยาม 6.11 กำหนด C1 {x | (x  )  (x 1)}และเรยี ก C1 วำ่ “สว่ นตดั หน่งึ ” บทนยิ าม 6.12 จะเรยี ก C ว่ำเป็นส่วนตัดบวก ถ้ำ C เป็นส่วนตัดซ่ึงมีจำนวนตรรกยะบวกอย่ำงน้อย หนงึ่ จำนวนเป็นสมำชกิ ของ C บทนยิ าม 6.13 จะเรียก C ว่ำเป็นส่วนตัดลบ ถ้ำ C เป็นส่วนตัดซึ่งมีจำนวนตรรกยะลบอย่ำงน้อย หนงึ่ จำนวนไมเ่ ปน็ สมำชิกของ C จำกบทนิยำมข้ำงต้น จะเห็นได้ชดั ดงั ต่อไปน้ี 1) สว่ นตัดศูนยเ์ ป็นเซตของจำนวนตรรกยะลบทงั้ หมด

150 2) C จะเป็นสว่ นตดั บวก ก็ตอ่ เมอื่ x  , x  0  x C 3) C จะเป็นสว่ นตดั ลบ ก็ตอ่ เมอื่ x ¤, x  0  x C x  , x  0  x C 4) ถ้ำ C เป็นส่วนตัดบวกแล้วจำนวนตรรกยะลบทุก ๆ จำนวนจะอยู่ใน C จะได้ว่ำ C0  C ทฤษฎีบท 6.14 สำหรับส่วนตัด C ใด ๆ จะไดว้ ่ำ ข้อควำมตอ่ ไปนี้เปน็ จรงิ เพยี งขอ้ ควำมเดยี วเทำ่ น้นัมหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง C เป็นส่วนตดั บวก หรอื C  C0 หรอื C เป็นสว่ นตัดลบ พิสูจน์ ให้ C เป็นสว่ นตัดใด ๆ ถำ้ C  C0 ทำให้ ข้อควำมเป็นจริง สมมติ C  C0 ดงั นนั้ จะมี x C แต่ x C0 หรอื จะมี x C0 แต่ x C ถำ้ x C0 แต่ x C จะไดว้ ่ำ x  0 แต่ x C น่ันคอื C เปน็ ส่วนตดั ลบ ถ้ำ x C แต่ x C0 จะได้ว่ำ x  0 เนือ่ งจำก x C จำกบทนิยำม 6.2 (2) ดงั นนั้ จะมี yC ทซ่ี ง่ึ x  y ทำให้ 0  x  y นัน่ คอื 0  y ดังนัน้ C เปน็ สว่ นตัดบวก ต่อไปจะแสดงวำ่ ข้อควำมดงั กล่ำวเป็นจริงเพียงขอ้ ควำมเดียวเทำ่ นนั้ ถ้ำ C  C0 จะเหน็ ได้ว่ำ C ไม่เป็นส่วนตัดบวกเปน็ สว่ นตดั ลบ ถำ้ C เป็นส่วนตดั บวก ดังนน้ั x ¤, x  0  x C เนอื่ งจำก 0  x และ x C จะไดว้ ่ำ C  C0 และจำนวนตรรกยะลบทุกจำนวนอยู่ใน C ดงั น้ัน C ไม่เปน็ สว่ นตัดลบ ถ้ำ C เปน็ ส่วนตดั ลบ ดงั น้นั x  , x  0  x C เนื่องจำก x  0 และ x C จะได้ว่ำ C  C0 ดังนน้ั ทุกจำนวนตรรกยะบวกไม่เปน็ สมำชกิ ของ C นนั่ คือ C ไมเ่ ปน็ ส่วนตดั บวก เพรำะฉะนนั้ เรำจึงสรปุ ไดว้ ่ำ C เปน็ สว่ นตดั บวก หรอื C  C0 หรอื C เปน็ ส่วนตดั ลบจะเป็นจริงเพยี งขอ้ ควำมเดียวเทำ่ นั้น ทฤษฎีบท 6.15 ถ้ำ C เป็นสว่ นตัดใด ๆ แล้ว {x  | y , yC  x  y} เปน็ ส่วนตัด พสิ ูจน์ ให้ C เป็นสว่ นตดั ใด ๆ และกำหนดให้ D  {x  | y , yC  x  y} เหน็ ไดช้ ดั วำ่ D  ให้ x  ซง่ึ x C และ y  แต่ y C

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 151 ดังน้ัน x  y จะไดว้ ่ำ y  x สำหรับทกุ yC ดังนน้ั x D น่นั คือ D  จึงได้ว่ำ D  เนอ่ื งจำก C  ดังน้ันจะมี yC ซง่ึ y เพรำะว่ำ y  y 1 จะไดว้ ่ำ (y 1)  y ซง่ึ (y 1)  ดังนน้ั (y 1)  D น่ันคือ D   ตอ่ ไปจะแสดงว่ำบทนยิ ำมของสว่ นตัดขอ้ 1) เป็นจริง ให้ x  D และ z  โดยที่ z  x ดงั นน้ั จะมี y  แต่ yC และ x  y จะได้ว่ำ z  y นน่ั คอื z  D ดงั น้ัน ถ้ำ z  และ z  x โดยท่ี x  D แล้ว z  D ต่อไปจะแสดงวำ่ บทนยิ ำมของส่วนตดั ข้อ 2) เป็นจริง ให้ x  โดยท่ี x  D ดงั นัน้ จะมี y  , y C และ x  y จำกทฟษฎีบท 5.69 จะมี z¤ ซง่ึ x  z  y จะไดว้ ่ำ z  D และ x  z ดังนน้ั ถ้ำ x  D และ z  ซง่ึ x  z แลว้ z  D เพรำะฉะนัน้ D  {x  | y  , y C  x  y} เปน็ สว่ นตดั บทนยิ าม 6.16 ให้ C เป็นส่วนตัดใด ๆ จะมีส่วนตดั C กำหนดโดย -C  {x  | y  , y  C  x  y} ทฤษฎบี ท 6.17 ให้ C เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ 1) ถ้ำ C เปน็ ส่วนตดั บวก แลว้ C เปน็ ส่วนตดั ลบ 2) ถำ้ C เปน็ ส่วนตดั ลบ แลว้ C เปน็ ส่วนตดั บวก พสิ ูจน์ ให้ C เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ 1) ให้ C เปน็ สว่ นตัดบวก จำกบทนยิ ำม 6.12 จะมี y ซง่ึ 0  y และ yC เพรำะว่ำ C  ดงั นัน้ จะมี x  แต่ x C นน่ั คือ 0  y  x จะได้วำ่ x  y  0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 152 ดงั นน้ั y เปน็ ตรรกยะลบ ซงึ่ x C แต่ y  x ดังนั้น yC น่ันคือมีจำนวนตรรกยะลบหนง่ึ ตวั ทไี่ มเ่ ป็นสมำชิกใน C เพรำะฉะนน้ั C เป็นส่วนตัดลบ 2) พิสจู น์ทำนองเดยี วกบั 1) จำก ทฤษฎีบท 6.17 จะเห็นได้ว่ำ เมื่อเรำมีจำนวนตรรกยะบวก a ใด ๆ เรำได้ว่ำ a จะเป็นจำนวนตรรกยะลบ จึงทำให้สำมำรถพิสูจน์ได้ตำมทฤษฎีบท 6.17 แต่หำกเรำพิจำรณำจำนวน ตรรกยะบวก a ใด ๆ จะได้ว่ำ a-1 ก็ยังคงเป็นจำนวนตรรกยะบวกเช่นกัน ดังน้ันเมื่อ C เป็นส่วนตัด บวกใด ๆ แลว้ จะได้วำ่ {x  | y , yC  x  y-1} เป็นสว่ นตัดบวก ดงั ทฤษฎีบทตอ่ ไปน้ี ทฤษฎีบท 6.18 ถ้ำ C เป็นส่วนตดั บวกใด ๆ แล้ว {x  | y , yC  x  y-1} เป็นส่วน ตดั บวก พิสูจน์ ให้ C เปน็ ส่วนตดั บวกใด ๆ กำหนดให้ D  {x  | y , yC  x  y-1} จะแสดงว่ำ D เป็นส่วนตดั เนื่องจำก C เป็นสว่ นตดั บวก ดงั น้นั C  แลว้ จะมี a  แต่ a C และจะมีจำนวนตรรกยะบวก b ซง่ึ bC จะไดว้ ำ่ 0  b  a จะไดว้ ำ่ 0  a-1  b-1 น่ันคือ b และ a C แต่ b-1  a-1 ดงั นั้น b-1  D และไดว้ ่ำ D  น่นั คือ D  เนื่องจำก C เป็นสว่ นตัดบวก ดังนน้ั C  แลว้ จะมี a  แต่ a C และจะมีจำนวนตรรกยะบวก b ซง่ึ bC จะได้วำ่ 0  b  a นน่ั คอื 0  a และได้ว่ำ 0  a-1 และ a C ดงั นน้ั 0D ทำให้ D   ต่อไปจะแสดงว่ำบทนยิ ำมของส่วนตัดข้อ 1) เปน็ จรงิ ให้ a D และ d  โดยที่ d  a ดงั นน้ั จะมี b แต่ b C และ a  b-1 จะได้วำ่ d  b-1 น่นั คอื d D ดงั นัน้ ถำ้ a D และ d  โดยที่ d  a แล้ว dD ต่อไปจะแสดงว่ำบทนิยำมของส่วนตัดข้อ 2) เป็นจริง ให้ a D ดงั นั้นจะมี b แต่ b C และ a  b-1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 153 แลว้ จะมจี ำนวนตรรกยะ c ท่ีซ่ึง a  c  b-1 ทำให้ c  b-1 ซง่ึ b  C จะได้ว่ำ c D ดังนั้น ถ้ำ a D และ c¤ ซง่ึ a  c แล้ว c D จะแสดงวำ่ D เปน็ สว่ นตัดบวก เนอ่ื งจำก C  และ C เปน็ สว่ นตดั บวก แลว้ จะมี a  แต่ a C นัน่ คือ 0  a ทำให้ 0  a-1 แลว้ จะมี z  ซง่ึ 0  z  a-1 นัน่ คือ z  D โดยที่ z  0 เพรำะฉะน้นั D เป็นสว่ นตดั บวก บทนยิ าม 6.19 (สมสวำท สดุ สำคร, 2542: 140) ให้ C เปน็ ส่วนตดั บวกใด ๆ เซต {x  | y , yC  x  y-1} คือส่วนตัดบวก เรียกว่ำ “ตัวผกผัน” ของ C แทนด้วย C-1 ขอ้ สังเกต 6.20 ถ้ำ C เป็นส่วนตัดบวก แลว้ C-1 เป็นสว่ นตัดบวก ทฤษฎีบท 6.21 ถ้ำ C เปน็ สว่ นตัดลบ แล้ว C-1 เปน็ สว่ นตัดลบ พสิ จู น์ สมมติ C เป็นส่วนตดั ลบ ดงั นน้ั จะมี a  0 ซง่ึ a C จำกทฤษฎบี ท 6.17 จะได้วำ่ C เปน็ ส่วนตดั บวก จำกบทนิยำม 6.19 จะได้วำ่ (C)1 เปน็ ส่วนตัดบวก ให้ x (C)1 ดังน้นั จะมี y ¤ และ y (C) โดยที่ x  y1 เน่ืองจำก C เปน็ สว่ นตัดบวก และ y (C) จะได้วำ่ y  0 ทำให้ y  0 และ y-1  0 จะได้วำ่ y  y1 ดงั นน้ั yC1 ซง่ึ y  0 เพรำะฉะนั้น C1 เป็นสว่ นตดั ลบ ทฤษฎีบท 6.22 ถำ้ C เป็นสว่ นตดั ลบใด ๆ แลว้ (C)1 เป็นสว่ นตดั ลบ พสิ จู น์ ให้ C เป็นสว่ นตัดลบใด ๆ จำกทฤษฎีบท 6.17 จะไดว้ ำ่ C เป็นสว่ นตดั บวก จำกข้อสังเกต 6.20 ทำให้ (C)1 เปน็ ส่วนตดั บวก

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 154 และจำกทฤษฎีบท 6.17 จะได้ว่ำ (C)1 เปน็ สว่ นตดั ลบ 6.3 การบวกสว่ นตัด (Additions of Cut) ในหัวข้อน้ี เรำจะศึกษำกำรดำเนินกำรบวกของส่วนตัด ซ่ึงไม่ใช่กำรบวกกันของตัวเลข ปกติ เพรำะส่วนตัดคอื เซตย่อยยแทข้ องจำนวนตรรกยะ ดงั น้นั จึงเปน็ กำรบวกกันของเซตนนั่ เอง ทฤษฎีบท 6.23 (สมสวำท สดุ สำคร, 2542: 141) ส่วนตัดใด ๆ จะไมเ่ ป็นทง้ั สว่ นตดั บวกและสว่ นตดั ลบในขณะเดยี วกัน พิสจู น์ สมมติ C เป็นท้งั สว่ นตดั บวกและสว่ นตดั ลบ ดงั นนั้ จะมี x  0 ซง่ึ x C และจะมี y  0 ซง่ึ yC จะไดว้ ำ่ y  x ซง่ึ x C เน่อื งจำก C เปน็ สว่ นตดั จำกนยิ ำมส่วนตัดจะไดว้ ำ่ yC จงึ เกิดข้อขัดแย้ง เพรำะฉะน้นั ส่วนตัดใด ๆ จะไมเ่ ปน็ ทั้งส่วนตัดบวกและสว่ นตัดลบในขณะเดยี วกัน ทฤษฎบี ท 6.24 ถ้ำ C เป็นเซตของจำนวนตรรกยะลบทง้ั หมด แล้ว C เป็นส่วนตดั ซ่งึ ไม่เป็นส่วนตัด บวกหรอื สว่ นตัดลบ พิสูจน์ ให้ C เปน็ เซตของจำนวนตรรกยะลบทั้งหมด จะเห็นได้วำ่ ทุก ๆ x C แล้ว x  0 นน่ั คอื C เปน็ ส่วนตดั ศนู ย์ จำกทฤษฎบี ท 6.24 จะได้วำ่ C ไมเ่ ปน็ สว่ นตดั บวกหรือสว่ นตัดลบ ทฤษฎบี ท 6.25 ถ้ำ C และ D เปน็ ส่วนตัดใด ๆ แลว้ {a  | x C, y  D, a  x  y} เป็นส่วนตดั พสิ จู น์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ กำหนดให้ A  {a  | x  C, y  D, a  x  y} เน่ืองจำก C และ D เปน็ สว่ นตัด จะไดว้ ่ำ C   และ D   ทำให้จะมีจำนวนตรรกยะ x C และ y D โดยที่ a  x  y เพรำะฉะนั้น A  เนอ่ื งจำก C และ D เปน็ สว่ นตัด จะไดว้ ่ำ C  และ D  ดังนนั้ จะมี u, v  ซง่ึ u C และ vD สำหรับทุก x C และทุก y D ดังนน้ั x  u และ y  v

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 155 ทำให้ x  y  u  v สำหรับทกุ x C และทกุ y  D จะไดว้ ำ่ a  x  y  u  v ดงั นนั้ u  vA ต่อไปจะแสดงนยิ ำมของส่วนตัดข้อ 1) เป็นจรงิ ให้ a A ดังนน้ั จะมี x C และทุก y D ซง่ึ a  x  y ให้ b¤ ดงั นนั้ จะมจี ำนวนตรรกยะ z ทที่ ำให้ z  y  b สมมติ b  a จะไดว้ ่ำ z  y  x  y ทำให้ z  x ดังนน้ั z C ทำให้ z  yA เพรำะฉะน้ัน bA ต่อไปจะแสดงนิยำมของส่วนตัดขอ้ 2) เป็นจริง ให้ a A ดังนน้ั จะมี x C และทกุ y D ซง่ึ a  x  y เน่อื งจำก x C ดังนั้นจะมี w  โดยท่ี x  w แล้ว w C จะไดว้ ่ำ x  y  w  y น่นั คือ a  w  y โดยที่ w  yC  D ดงั นัน้ w  y A เพรำะฉะนั้น เรำจงึ สรปุ ได้ว่ำ A เปน็ สว่ นตัด บทนิยาม 6.26 (อำพล ธรรมเจริญ, 2553: 53) ให้ C และ D เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ ผลบวกของสว่ นตดั C และ D เขยี นแทนดว้ ย C  D โดยท่ี C  D  {a  | x  C, y  D, a  x  y} ทฤษฎีบท 6.27 สำหรบั ส่วนตัด C และ D ใด ๆ C  D มเี พียงส่วนตดั เดียวเท่ำน้ัน พสิ จู น์ ให้ C และ D เป็นส่วนตดั ใด ๆ จำกบทนยิ ำม 6.26 จะได้ C  D เป็นสว่ นตัด ดังนัน้ จะมี x C และทุก y D ซง่ึ a  x  y เนือ่ งจำก a  x  y มีเพยี งจำนวนเดียวเท่ำน้นั ดังน้นั C  D มเี พยี งสว่ นตดั เดียวเท่ำน้นั ทฤษฎบี ท 6.28 สำหรบั ส่วนตัด C และ D ใด ๆ C  D  D  C พิสูจน์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตดั ใด ๆ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 156 พจิ ำรณำ a C  D  x C, y  D, a  x  y  y  D, x  C, a  y  x  aD C เพรำะฉะนน้ั C  D  D  C จำกกำรพิสูจน์ทฤษฎีบท 6.28 เรำจะเห็นได้วำ่ จำนวนตรรกยะมีสมบัตกิ ำรสลับที่สำหรับ กำรบวก จึงทำให้กำรบวกของส่วนตดั มสี มบตั ิกำรสลบั ท่ีสำหรับกำรบวกเชน่ กนั ทฤษฎีบท 6.29 สำหรับส่วนตดั C, D และ E ใด ๆ (C  D)  E  C  (D  E) พสิ จู น์ ให้ C, D และ E เปน็ สว่ นตัดใด ๆ พิจำรณำ a (C  D)  E  x (C  D), y  E, a  x  y  x  (C  D), y  E, a  x  y  u  C, v  D, y  E, a  x  y, x  u  v  u  C, v  D, y  E, a  (u  v)  y  u  C, v  D, y  E, a  u  (v  y)  u  C, (v  y)  (D  E), a  u  (v  y)  a C  (D  E) เพรำะฉะน้นั (C  D)  E  C  (D  E) จำกกำรพสิ จู น์ทฤษฎบี ท 6.29 เรำจะเห็นไดว้ ่ำ จำนวนตรรกยะมสี มบัตกิ ำรเปลีย่ นหมู่ สำหรับกำรบวก จึงทำให้กำรบวกของสว่ นตัดมีสมบตั ิกำรเปล่ียนหมสู่ ำหรบั กำรบวกเชน่ กนั ทฤษฎีบท 6.30 สำหรับสว่ นตดั C ใด ๆ จะมี C0 เป็นสว่ นตดั เดยี วเท่ำนน้ั ทที่ ำให้ C  C0  C  C0  C พิสูจน์ ให้ C เป็นส่วนตดั ใด ๆ เรำไดว้ ำ่ C  C0 เป็นส่วนตัด พิจำรณำ a C  C0  x C, yC0, a  x  y  x  C, (y  ¤  y  0), a  x  y  x  C, a  x  aC เพรำะฉะน้ัน C C0  C จำกทฤษฎบี ท 6.28 เรำจึงสรุปไดว้ ่ำ C0  C  C C0  C ตอ่ ไปจะแสดงว่ำมี C0 เปน็ สว่ นตัดเดยี วเท่ำน้นั ซง่ึ CC0  C สมมตวิ ำ่ D เป็นสว่ นตดั ใด ๆ ท่ีทำให้ C  D  C เนอื่ งจำก D  C0  D  C0 จะได้ว่ำ D  C0

157 เพรำะฉะน้ัน เรำจึงสรุปได้ว่ำ สำหรับส่วนตัด C ใด ๆ จะมี C0 เป็นส่วนตัดเดียว เทำ่ นนั้ ทีท่ ำให้ C C0  C  C0  C จำกทฤษฎบี ท 6.30 เรำไดว้ ำ่ C0 เปน็ เอกลกั ษณ์กำรบวกเพียงหนึ่งเดยี วของสว่ นตดั ใด ๆ ดงั นัน้ เรำจึงนำสมบัติกำรมีเอกลกั ษณก์ ำรบวกของสว่ นตัดน้ไี ปแสดงกำรกำรผผกผนั กำรบวกของส่วน ตัดใด ๆ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้ มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงทฤษฎบี ท 6.31 ถ้ำ C เป็นส่วนตดั ใด ๆ แล้ว จะมี C เป็นส่วนตัดเดียวทที่ ำให้ C  (C)  C0  (C)  C พสิ ูจน์ ให้ C เป็นสว่ นตัดใด ๆ จำกบทนิยำม 6.16 จะมสี ่วนตัด C ให้ a  C  (C) จะได้วำ่ ดงั นน้ั จะมี x C และ y (C) ซง่ึ a  x  y จำก y (C) ดังนั้นจะมี z  แต่ z C โดยท่ี y  z และไดว้ ่ำ z  y เนื่องจำก x C แต่ z C ดังน้นั x  z ทำให้ x  y ดังน้นั a  x  y  0 นั่นคอื a C0 ฉะนัน้ C  (C)  C0 ให้ a C0 เรำได้ว่ำ a  0 หรอื 0  a จะไดว้ ำ่ 0  (-a) 1 2 0    a  1   2  ดังนน้ั จะมี x  แต่ x¤ ซง่ึ x     a  1    C   2   นั่นคือ x   a  1  C  2  เน่ืองจำก x  x     a  1     2   จะไดว้ ำ่ x   a  1         a  1   x  2  x   2     ดงั นัน้ x   a  1   C  2 

158 ทำให้  x   a  1   x   a  1   C  (C)   2   2  นัน่ คือ a C  (C) ฉะน้ัน C0  C  (C) เพรำะฉะน้ัน C (C)  C0 จำกทฤษฎีบท 6.28 เรำจงึ สรุปไดว้ ำ่ C (C)  C0  (C)  C ตอ่ ไปจะแสดงวำ่ มี C เป็นส่วนตัดเดียวเท่ำน้นั ซ่งึ C (C)  C0 สมมติวำ่ D เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ ที่ทำให้ C D  C0 จำกทฤษฎบี ท 6.29 และ 6.30 จะได้ว่ำ D  C0  D มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง  (C  (C))  D  ((C)  C)  D  (C)  (C  D)  (C)  C0  C0 ดังนัน้ เรำจึงสรปุ ได้วำ่ ถ้ำ C เปน็ ส่วนตัดใด ๆ แล้ว จะมี -C เป็นสว่ นตดั เดยี วท่ี ทำให้ C  (C)  C0  (C)  C จำกทฤษฎีบท 6.31 เรำเรียกส่วนตัด C ว่ำตัวผกผันกำรบวกของส่วนตัด C และใน ทำนองเดยี วกนั สว่ นตัด C ก็เปน็ ตัวผกผันกำรบวกของส่วนตดั C ทฤษฎบี ท 6.32 สำหรับส่วนตัด C และ D ใด ๆ (C  D)  (C)  (D) พสิ จู น์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตัดใด ๆ เนื่องจำก (C  D)  (C  D)  C0 จะไดว้ ำ่ (C  D)  (C  D)  (D)  C0  (D) ((C  D)  C)  D)  (D)  C0  (D) ((C  D)  C)  D)  (D)  C0  (D) ((C  D)  C)  (D  (D))  C0  (D) ((C  D)  C)  C0  C0  (D) (C  D)  C  D ((C  D)  C)  (C)  (D)  (C) (C  D)  (C  (C))  (D)  (C) (C  D)  C0  (D)  (C) (C  D)  (D)  (C) (C  D)  (C)  (D) ทฤษฎบี ท 6.33 ถ้ำ C0 เป็นสว่ นตัดศนู ย์ แล้ว C0  C0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 159 พิสูจน์ ให้ C0 เป็นสว่ นตัดศูนย์ ถ้ำ C0 เปน็ ส่วนตัดบวก จะได้ (C0) เป็นสว่ นตดั ลบ แต่ (C0)  C0 เพรำะฉะนัน้ (C0)  C0 เป็นสว่ นตัดลบ จำกทฤษฎีบท 6.14 จึงเกิดข้อขดั แย้ง ดงั น้นั C0 ไม่เป็นส่วนตดั บวก ถำ้ C0 เป็นสว่ นตดั ลบ ทำนองเดียวกนั จะเกดิ ข้อขดั แยง้ เพรำะฉะน้ัน C0  C0 ทฤษฎบี ท 6.34 สำหรบั สว่ นตดั C และ D ใด ๆ (C)  C พิสูจน์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ เนอื่ งจำก (C)  C  C0 ไดว้ ำ่ ((C)  C)  C0 จำกทฤษฎบี ท 6.32 เรำจะได้ (C)  (C)  C0 จำกทฤษฎบี ท 6.33 ทำให้ (C)  (C)  C0 ((C)  (C))  C  C0  C (C)  ((C)  C)  C0  C (C)  C0  C0  C (C)  C เพื่อให้กำรดำเนินกำรบวกด้วยตัวผกผันกำรบวกง่ำยข้ึน เรำจะนิยำมสัญลักษณ์ของกำร ดำเนนิ กำรลบ C  D  C  (D) สำหรับสว่ นตดั C และ D ใด ๆ 6.4 การคูณสว่ นตัด (Multiplications of Cut) ในหัวข้อนี้ เรำจะศึกษำสมบัติต่ำง ๆ สำหรับกำรคูณของส่วนตัด ซ่ึงต้องอำศัยนิยำมกำร คูณดัง ต่อไปน้ี บทนยิ าม 6.35 สำหรับส่วนตดั บวก C และ D ใด ๆ ผลคณู ของ C กับ D เขียนแทนด้วย CD คื อ สว่ นตัดที่กำหนดโดย C D  {a  | (a  0)  (a  0) [x C  , yD  ,a  xy]} ทฤษฎีบท 6.36 ถำ้ C และ D เป็นส่วนตัดบวก แล้ว CD เป็นสว่ นตัดบวก พิสูจน์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตดั บวกใด ๆ เหน็ ได้ชัดวำ่ CD   และ C D 

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 160 ต่อไปจะแสดงนิยำมสว่ นตัดข้อท่ี 1) เป็นจริง ให้ a C D ดังนนั้ a  0 หรือ a  0 หรือ จะมี x C  , yD   โดยท่ี a  xy ให้ b และ b  a ถำ้ b  0 หรือ b  0 แล้วจะไดว้ ำ่ bCD ถ้ำ b  0 ให้ b  zy สำหรับ z   ดงั น้ัน zy  xy นน่ั คอื z  x ทำให้ z C โดยที่ zy  0 ดังน้นั bCD ตอ่ ไปจะแสดงนยิ ำมสว่ นตดั ข้อท่ี 2) เป็นจรงิ ให้ a CD ดงั นน้ั a  0 หรอื a  0 หรือ จะมี x C  , yD   โดยท่ี a  xy ถำ้ a  0 หรอื a  0 จะได้วำ่ จะมี z  xy C D โดยท่ี z  a ถำ้ มี x C   , yD   โดยที่ a  xy จะมี c  x และ d  y ซง่ึ cC และ d D นน่ั คอื d C   , d D   จะไดว้ ำ่ cd  o ดังนนั้ cd CD เพรำะฉะนัน้ CD เป็นสว่ นตดั เน่ืองจำก C และ D เปน็ ส่วนตดั บวกใด ๆ ดังน้นั จะมี x C โดยท่ี x  0 และ y D โดยที่ y  0 เรำจะไดว้ ำ่ xy  0 โดยท่ี x C และ y D ดงั นั้น xyCD นน่ั คือ CD เป็นสว่ นตดั บวก ทฤษฎีบท 6.37 สำหรบั สว่ นตัดบวก C, D และ E เป็นส่วนตดั ใด ๆ C(D  E)  (CD)  (CE) พสิ ูจน์ ให้ C, D และ E เป็นส่วนตดั บวก ให้ a C(D  E) ดงั นน้ั a  0 หรือ a  0 หรอื จะมี x C  และ y(D  E)   โดยที่ a  xy และ y  u  v เมอ่ื u D และ v  E ถำ้ a  0 หรือ a  0 จะได้วำ่ a (CD)  (CE) เนอื่ งจำก D และ E เปน็ สว่ นตดั บวก และ y(D  E)   และจะมี u D   และ vE   ซง่ึ y  u  v ดงั นัน้ a  xy  x(u  v)  xu  xv เพรำะวำ่ xu (C D)   และ xv(CE)   ดงั น้ัน a (CD)  (CE)

161 นัน่ คอื C(D  E)  (C D)  (C  E) ให้ a (C  D)  (C  E) ดงั น้ันจะมี w CD และ z CE ซง่ึ a  w  z จำก w CD ดังนัน้ w  0 หรือ w  0 หรือ จะมี cC  และ d D   ซง่ึ w  cd และ z CE ดงั นน้ั z  0 หรือ z  0 หรอื จะมี eC  และ f D   ซง่ึ z=ef ถำ้ w  0 หรือ w  0 และ z  0 หรือ z  0 จะได้วำ่ a C(D  E) ถำ้ a  ¤ ซง่ึ a  w  z และ w, z   เลือก c  e จะได้วำ่ a=w+z=cd+ef=cd+cf=c(d+f)   เนอื่ งจำก d D   และ f D   ดังน้นั d+f (D  E)   จะไดว้ ่ำ a=c(d+f)  C×(D+E) น่นั คือ (C D)  (C  E)  C (D  E) เพรำะฉะนั้น เรำจงึ สรปุ ไดว้ ำ่ สำหรับสว่ นตัดบวก C, D และ E เป็นสว่ นตดั ใด ๆ C (D  E)  (C  D)  (C  E) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎ๊บท 6.38 ถำ้ C เปน็ สว่ นตัดบวก แล้ว CC-1  C1  พสิ จู น์ ให้ C เป็นส่วนตดั บวก จำกข้อสังเกต 6.20 จะได้วำ่ C-1 เป็นสว่ นตดั บวก จำกทฤษฎบี ท 6.35 จะได้วำ่ CC-1 เปน็ สว่ นตดั บวก ให้ a  C C-1 ถำ้ a  0 หรือ a  0 จะได้ว่ำ a C1 พจิ ำรณำ กรณี a  0 โดยที่ a  xy เม่อื x C  ¤ และ yC-1  เนอื่ งจำก yC-1   ดังน้ันจะมี z C ซง่ึ 0  y  z-1 เนือ่ งจำก x C   แต่ z C ดงั น้ัน 0  x  z จะได้วำ่ 0  z-1  x-1 ดงั นนั้ 0  y  z-1 จะไดว้ ำ่ 0  xy  1 ทำให้ 0  a 1 น่ันคอื a C1 ดังนน้ั CC-1  C1 ให้ a C1 จะได้ว่ำ a 1 ถำ้ a  0 หรอื a  0 จะไดว้ ำ่ a CC-1 พจิ ำรณำ 0  a 1 เนอื่ งจำก C เป็นส่วนตดั บวก ดังนั้นจะมี x C   และทำให้ x(1- a)  0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 162 จะมี y C ท่ีซึง่ x  y ซง่ึ y - x(1- a) C และ x(1 a)  y(1 a) x  xa  y(1 a) ya  y  xa  x ya  y  x(a 1) ya  y  x(1 a) ดงั นัน้ จะมี q ¤ ทีท่ ำให้ ya  q  y  x(1 a) (y  qa-1)a  y  x(1 a) a  (y  x(1 a))(y  qa-1)1 เพรำะวำ่ qa-1  0 ทำให้ y  y  qa-1 จะไดว้ ำ่ (y  qa-1)1  y-1 เพรำะว่ำ y  C จะได้ว่ำ (y  qa1)1 C-1 เรำได้ a  (y  x(1 a))(y  qa1)1 และ C1  C  C-1 ดังน้ัน CC-1  C1 เพรำะฉะนัน้ CC-1  C1 บทนิยาม 6.39 สำหรบั สว่ นตดั ลบ C และ D ใด ๆ ผลคูณของ C กับ D เขยี นแทนดว้ ย CD ส่วนตัดทก่ี ำหนดโดย CD  (C)(D) บทนยิ าม 6.40 สำหรับส่วนตดั ทไี่ มเ่ ปน็ ส่วนตดั ลบ C และส่วนตดั ลบ D ใด ๆผลคูณ C กับ D เขยี นแทนด้วย C  D คอื สว่ นตดั ท่กี ำหนดโดย CD  (C(D)) บทนยิ าม 6.41 สำหรบั ส่วนตัดลบ C และส่วนตดั ท่ไี ม่เป็นสว่ นตัดลบ D ใด ๆ ผลคณู C กับ D เขียนแทนดว้ ย C  D คอื ส่วนตัดที่กำหนดโดย CD  ((C)D) บทนิยาม 6.42 สำหรับสว่ นตดั C ใด ๆ ผลคูณของส่วนตดั C กบั C0 กำหนดโดย CC0  C0  C0 C จำกบทนยิ ำมขำ้ งตน้ เรำนำมำพสิ จู นส์ มบัติของผลตดั สำหบั กำรคูณ ดังตอ่ ไปนี้ ทฤษฎบี ท 6.43 ถ้ำ C และ D เป็นส่วนตัดใด ๆ แล้ว (C)D  (CD) พสิ ูจน์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ 1) ถ้ำ C  C0 หรอื D  C0 จะได้ C  C0  C0 จำกบทนยิ ำม 6.40 จะไดว้ ่ำ (C)D  C0 D  C0  C0  (C0 D)  (CD)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 163 ถ้ำ D  C0 เรำจะได้ว่ำ (C)D  (CD) 2) ถำ้ C และ D เป็นสว่ นตดั บวก จะไดว้ ำ่ C เปน็ ส่วนตัดลบ จำกบทนยิ ำม 6.41 จะได้วำ่ (C)D  ((C)D)  (CD) 3) ถำ้ C และ D เปน็ สว่ นตดั ลบ จะได้วำ่ C เปน็ ส่วนตัดบวก จำกบทนิยำม 6.40 จะได้ (C)D  ((C)(D)) จำกบทนยิ ำม 6.39 เรำได้ CD  (C)(D) ดังนน้ั (C)  D  ((C) (D))  (C D) 4) ถำ้ C เปน็ ส่วนตดั ลบ และ D เปน็ สว่ นตัดบวก จำกบทนิยำม 6.41 เรำมี CD  ((C)D) ดังนนั้ (C D)  (((C)  D))  (C)  D 5) ถำ้ C เป็นสว่ นตัดบวก และ D เปน็ สว่ นตัดลบ จำกบทนยิ ำม 6.40 เรำมี C  D  (C (D)) ดงั นน้ั (C D)  ((C(D)))  C(D) เนื่องจำก C เปน็ สว่ นตดั ลบ จำกบทนยิ ำม 6.39 จะได้วำ่ (C)D  (C)(D)  C(D)  (CD) เพรำะฉะนน้ั เรำจึงสรุปไดว้ ่ำ (C)D  (CD) ทฤษฎบี ท 6.44 ถ้ำ C และ D เป็นส่วนตดั ใด ๆ แลว้ 1) C (D)  (C  D) 2) (C) (D)  C  D พิสูจน์ พิสจู นไ์ ด้ในทำนองเดียวกับทฤษฎบี ท 6.43 ทฤษฎีบท 6.45 ถำ้ C เป็นสว่ นตดั ลบ และ D เปน็ สว่ นตดั บวก แล้ว CD เปน็ สว่ นตัดลบ พสิ จู น์ ให้ C เป็นสว่ นตัดลบ และ D เปน็ สว่ นตดั บวก จะได้ C เป็นส่วนตัดบวก จำกทฤษฎบี ท 6.38 จะไดว้ ่ำ (C)D เปน็ สว่ นตัดบวก นั่นคือ ((C)D) เป็นสว่ นตัดลบ จำกทฤษฎบี ท 6.419 เรำได้ CD  ((C)D) เพรำะฉะนนั้ CD เปน็ ส่วนตัดลบ ทฤษฎีบท 6.46 ถ้ำ C เปน็ ส่วนตัดบวก และ D เป็นส่วนตัดลบ แล้ว CD เปน็ สว่ นตัดลบ พิสจู น์ พสิ ูจน์ไดใ้ นทำนองเดียวกบั ทฤษฎบี ท 6.45 ทฤษฎบี ท 6.47 ถ้ำ C เปน็ สว่ นตดั ลบ และ D เป็นส่วนตดั ลบ แลว้ CD เปน็ ส่วนตดั บวก พสิ จู น์ พสิ จู น์ไดใ้ นทำนองเดียวกบั ทฤษฎบี ท 6.45

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 164 ทฤษฎบี ท 6.48 ให้ C และ D เปน็ ส่วนตัดใด ๆ ถ้ำ CD  C0 แลว้ C  C0 หรือ D  C0 พสิ จู น์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตดั ใด ๆ จะพิสจู น์โดยวธิ ีประพจน์แย้งสลับที่ (Contrapositive Law) สมมติ C  C0 และ D  C0 ถ้ำ C และ D เปน็ สว่ นตดั บวก จำกทฤษฎีบท 6.38 จะไดว้ ำ่ CD เปน็ สว่ นตดั บวก ถำ้ C และ D เป็นสว่ นตัดบลบ จำกทฤษฎีบท 6.47 จะได้วำ่ CD เปน็ ส่วนตดั บวก ถ้ำ C เป็นส่วนตดั ลบ และ D เปน็ ส่วนตดั บวก จำกทฤษฎีบท 6.45 CD เปน็ สว่ นตดั ลบ ถ้ำ C เปน็ สว่ นตดั บวก และ D เปน็ สว่ นตัดลบ จำกทฤษฎบี ท 6.46 CD เป็นส่วนตัดลบ จะเห็นไดว้ ่ำ CD ไมเ่ ป็นส่วนตัดศูนย์ในทกุ ๆ กรณี น่นั คอื CD  C0 ทฤษฎบี ท 6.48 สำหรับสว่ นตัด C และ D ใด ๆ CD  DC พสิ ูจน์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตัดใด ๆ ถำ้ C และ D ไม่เป็นส่วนตดั ลบ พจิ ำรณำ a C D  (a  0)  (a  0) [x C  , yD  ,a  xy]  (a  0)  (a  0) [yD  , x C  ,a  yx]  a DC นนั่ คอื CD  DC ถ้ำ C และ D เปน็ สว่ นตัดลบ จำกบทนิยำม 6.39 จะได้ CD  (C)(D) เน่อื งจำก C และ D เปน็ ส่วนตดั บวก และจำกบทนิยำม 6.37 จะได้วำ่ C D  (C)(D)  (D)(C)  DC ถ้ำ C เป็นส่วนตดั ลบ และ D ไมเ่ ป็นสว่ นตัดลบ จำกบทนยิ ำม 6.41 เรำได้ CD  ((C)D) เพรำะว่ำ C และ D ไมเ่ ป็นส่วนตัดลบ จำกบทนยิ ำม 6.41 เรำไดว้ ่ำ CD  ((C)D)  (D(C))  DC ทำนองเดยี วกนั ถำ้ C ไมเ่ ปน็ ส่วนตัดลบ และ D เป็นสว่ นตดั ลบ เรำไดว้ ำ่ CD  DC เพรำะฉะนนั้ สรุปไดว้ ำ่ สำหรบั ส่วนตัด C และ D ใด ๆ CD  DC จำกทฤษฎบี ท 6.48 เรำจะเหน็ ไดว้ ่ำ ส่วนตดั ใด ๆ มีสมบตั กิ ำรสลับทสี่ ำหรับกำรคณู

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 165 ทฤษฎบี ท 6.49 สำหรบั ส่วนตดั C, D และ E เปน็ ส่วนตัดใด ๆ (CD)E  C(DE) พสิ ูจน์ ให้ C, D และ E เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ 1) ถำ้ C, D หรือ E เป็นส่วนตดั ศูนย์ จำกบทนิยำม 6.42 เรำได้ว่ำ (CD)E  C0  C(DE) 2) ถ้ำ C, D และ E เปน็ ส่วนตัดบวก พิจำรณำ a (CD)E  (a  0)  (a  0) [x (C D)  , y E  ,a  xy]  (a  0) [u C  ,vD  , y E  ,a  (uv)y]  (a  0) [u C  ,vD  +, yE  ,a  u(vy)]  (a  0) [u C  ,(vy) (D E)  ,a  u(vy)]  a C(DE) ดังนนั้ (C D)  E  C(D E) 3) ถ้ำ C, D เป็นส่วนตดั บวก และ E เปน็ สว่ นตดั ลบ จำกทฤษฎีบท 6.38 จะได้ว่ำ C, D เปน็ สว่ นตดั บวก ทำให้ (C  D)  E  ((C  D) (E)) จำกข้อ 2) จะไดว้ ่ำ (C D)  E  ((C D) (E))  (C(D (E))) จำกทฤษฎีบท 6.43 และ 6.44 ทำให้ (CD)E  (C(D(E)))  (C  ((D  E))))  ((C  (D  E))))  C(D  E) สำหรับกรณอี นื่ ๆ สำมำรถพิสูจน์ได้ในทำนองเดยี วกันกบั กรณี 3) เพรำะฉะน้นั (CD)E  C(D E) จำกทฤษฎีบท 6.49 เรำจะเหน็ ไดว้ ำ่ ส่วนตดั ใด ๆ มีสมบตั กิ ำรเปลี่ยนหมู่สำหรบั กำรคณู ทฤษฎีบท 6.50 สำหรบั สว่ นตดั C, D และ E เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ 1) C (D  E)  (C  D)  (C  E) 2) C(D  E) C  (D C)  (E C) พิสูจน์ ให้ C, D และ E เป็นส่วนตดั ใด ๆ 1) ถ้ำ C, D และ E เป็นส่วนตัดบวก จำกทฤษฎีบท 6.37 เรำได้วำ่ C(D  E)  (CD)  (CE) ถำ้ C  C0 และ D, E เป็นส่วนตดั ใด ๆ จำกบทนิยำม 6.42 และทฤษฎีบท 6.30 จะไดว้ ำ่ C(D  E)  C0  C0  C0  (CD)  (CE) ทำนองเดยี วกนั ถำ้ C เป็นส่วนตดั ใด ๆ และ D หรอื E เป็นส่วนตัดศูนย์

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 166 เรำจะไดว้ ่ำ C(D  E)  (CD)  (CE) ถ้ำ C, D และ E เป็นสว่ นตัดลบ จะไดว้ ำ่ C , D , E และ (D)  (E) เปน็ ส่วนตัดบวก จำกทฤษฎบี ท 6.37 เรำไดว้ ำ่ (C)((D)  (E))  (C)(D)  (C)(E) พจิ ำรณำ (C D)  (C E)  (C) (D)  (C) (E)  (C)  ((D)  (E))  (C)  ((D  E))  C(D  E) ทำนองเดยี วกนั กรณีที่อน่ื ๆ เรำสำมำรถพิสูจนไ์ ด้ว่ำ C(D  E)  (CD)  (CE) เพรำะฉะนนั้ เรำจงึ พสิ จู น์ได้ว่ำ สำหรับส่วนตดั C, D และ E เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ C (D  E)  (C  D)  (C  E) 2) จำกทฤษฎีบท 6.48 และข้อ 1) ดังนน้ั C(D  E)C  (DC)  (E C) จำกทฤษฎบี ท 6.50 เรำเรียกสมบัตินีว้ ำ่ สมบตั กิ ำรแจกแจงของสว่ นตัดใด ๆ ทฤษฎบี ท 6.51 ถำ้ C, D และ E เปน็ สว่ นตัดใด ๆ และ CE  DE โดยที่ E  C0 แล้ว C, D พิสจู น์ ให้ C, D และ E เปน็ สว่ นตัดใด ๆ สมมติ CE  DE โดยที่ E  C0 จะไดว้ ่ำ (C E)  ((D  E))  (D  E)  ((D E))  (D  E)  ((D  E))  C0 เนอ่ื งจำก (D  E)  (D) E จะได้ว่ำ (CE)  ((DE))  C0 นน่ั คือ (C  (D))E  C0 เพรำะวำ่ E  C0 ดงั น้ัน C  (D)  C0 เพรำะฉะนนั้ C  (D)  D จำกทฤษฎีบท 6.51 จะเห็นได้ว่ำ ถ้ำ C, D และ E เป็นส่วนตัดใด ๆ และ CE  DE แลว้ C  D ไมเ่ ป็นสจั นิรันดร์ เพรำะขำดเง่อื นไขท่จี ำเปน็ นนั่ คือ E  C0 น่นั เอง ทฤษฎบี ท 6.52 สำหรับสว่ นตดั C ใด ๆ จะมี C1 เพยี งส่วนตดั เดยี วเท่ำน้ันที่ CC1  C  C1 C พิสจู น์ ให้ C เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ จะแสดงวำ่ CC1  C ถำ้ C  C0 จะได้วำ่ CC1  C0 C1  C0  C ถำ้ C  C0

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 167 จะได้วำ่ C เปน็ สว่ นตัดบวก หรอื C เป็นสว่ นตัดลบอย่ำงใดอย่ำงหน่ึงเทำ่ น้ัน กรณี C เปน็ สว่ นตัดบวก จะแสดงว่ำ CC1  C ให้ a CC1 ถำ้ a  0 หรือ a  0 จะไดว้ ำ่ a C พิจำรณำ a  0 ดงั น้นั จะมี u C  ¤+ และ vC1  ¤ ซง่ึ a  uv เน่ืองจำก 0  v  0 นน่ั คอื x  a ทำให้ a C จะได้ว่ำ CC1  C ให้ a C ถำ้ a  0 หรอื a  0 เน่อื งจำก CC1 เป็นส่วนตดั บวก จะได้วำ่ a CC1 พิจำรณำ a  0 ดังน้นั จะมี 0  a  b ซง่ึ bC จะไดว้ ำ่ 0  b-1a 1 นนั่ คือ b-1a C1 ทำให้ a  1(a)  (bb-1)a  b(b-1a) C C1 ดงั นัน้ a C นน่ั คือ C  CC1 เพรำะฉะนน้ั CC1  C ทำนองเดยี วกนั กรณี C เปน็ ส่วนตัดลบ เรำจะไดว้ ่ำ CC1  C ตอ่ ไปจะแสดงว่ำ มี C1 เพียงหนึ่งเดียวทีท่ ำให้ CC1  C สมมติให้ D เป็นส่วนตดั ท่ที ำให้ CD  C ดงั นนั้ D  DC1  C1 D  C1 นัน่ คอื C1 เพียงหนง่ึ เดยี วทีท่ ำให้ CC1  C จำกทฤษฎบี ท 6.48 จะได้วำ่ C1 C  CC1  C ดงั น้ัน เรำจงึ สรุปได้วำ่ สำหรบั สว่ นตัด C ใด ๆ จะมี C1 เพียงส่วนตดั เดียวเท่ำนั้นท่ี ทำให้ CC1  C  C1 C จำกทฤษฎบี ท 6.52 เรำจะเรยี ก C1 วำ่ เป็นเอกลักษณก์ ำรคูณของสว่ นตดั ใด ๆ น่นั เอง ทฤษฎบี ท 6.53 สำหรบั สว่ นตัด C  C0 ใด ๆ จะมี C-1 เพยี งส่วนตัดเดยี วเทำ่ นั้นท่ีทำให้ C  C1  C1  C1  C พิสูจน์ ให้ C เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ ซง่ึ C  C0 จำกบทนิยำม 6.19 จะมีส่วนตัด C-1 จะแสดงวำ่ CC-1  C1

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 168 เนอ่ื งจำก C  C0 ดงั นั้น C เป็นสว่ นตดั บวกหรอื ลบอยำ่ งใดอย่ำงหนงึ่ เท่ำนั้น ถำ้ C เปน็ สว่ นตัดบวก จำกทฤษฎีบท 6.38 เรำมี CC-1  C1 ถำ้ C เป็นสว่ นตัดลบ จำกทฤษฎีบท 6.21 จะมี C-1 เปน็ ส่วนตัดลบ จำกทฤษฎบี ท 6.38 เรำไดว้ ่ำ CC1  (C)(C-1)  C1 ดงั นั้น CC-1  C1 ตอ่ ไปจะแสดงว่ำ มี C-1 เพยี งส่วนตัดเดียวเท่ำน้ันทีท่ ำให้ CC-1  C1 สมมติให้ D เป็นสว่ นตัด ซง่ึ D  C0 ที่ CD  C1 ดงั นนั้ D  D  C1  D  (C  C1)  (D  C)  C1  C1  C1  C1 จำกทฤษฎบี ท 6.48 จะได้วำ่ C1 C  CC1  C1 เพรำะฉะน้ัน เรำจึงสรปุ ได้ว่ำ สำหรับส่วนตัด C ใด ๆ โดยที่ C  C0 จะมี C-1 เพียง ส่วนตดั เดียวเท่ำน้ันที่ทำให้ CC1  C1  C1 C จำกทฤษฎีบท 6.53 เรำจะเรียกส่วนตัด C-1 ว่ำเป็นผกผักกำรคูณของส่วนตัด C ใด ๆ เพรำะผลคูณของส่วนตัดน้ีมีค่ำเท่ำกับ C1 ซึ่งเป็นเอกลักษณ์สำหรับกำรคูณของส่วนตัด ในทำนอง เดียวกนั C กเ็ ป็นผักกันกำรคณู ของสว่ นตัด C-1 เช่นกนั ทฤษฎบี ท 6.54 สำหรบั ส่วนตดั C  C0 ใด ๆ (C1)1  C พสิ จู น์ ให้ C เป็นส่วนตดั ๆ และ C  C0 จำกทฤษฎบี ท 6.49, 6.52 และ 6.53 เรำไดว้ ่ำ (C1)1  (C1)1 C1  (C1)1  (C1  C)  ((C1)1  C1)  C  (C1)  C C ทฤษฎีบท 6.55 ถ้ำ C และ D เป็นส่วนตัดใด ๆ โดยท่ี C  C0 แล้ว จะมี E เพียงส่วนตัดเดียวที่ทำ ให้ CE  D พสิ จู น์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตัดใด ๆ และ C  C0 เลอื ก E  C1  D ทที่ ำให้ C E  C (C1  D)  (C C1)  D  C1  D  D ต่อไปจะแสดงว่ำมี E เพยี งสว่ นตัดเดยี วเท่ำนัน้ ท่ีทำให้ CE  D สมมติวำ่ มสี ่วนตัด F ที่ทำให้ CF  D ดงั นน้ั F  C1  F  (C1  C)  F  C1  (C  F)  (C1)  D  E เพรำะฉะนั้น เรำจึงสรุปได้ว่ำ ถ้ำ C และ D เป็นส่วนตัดใด ๆ โดยที่ C  C0 แล้ว จะมี E เพยี งส่วนตัดเดยี วทีท่ ำให้ CE  D

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 169 6.5 การจดั อันดบั เชงิ เสน้ ของสว่ นตดั (The Linearly Ordered of Cut) ในบทที่ 5 เรำจะเห็นได้ว่ำ จำนวนตรรกยะมีสมบัติกำรจัดอันตับเชิงเส้น นั่นคือสำมำรถ เปรียบเทียบควำมสัมพันธม์ ำกกว่ำ น้อยกว่ำ หรือเท่ำกันได้ ซ่ึงในก่อนหน้ำนี้เรำมีกำรนิยำมสว่ นตัดใด ๆ ซงึ่ มจี ำนวนตรรกยะเปน็ สมำชกิ ดงั น้ันเรำจะศกึ ษำกำรเปรียบเทียบกนั ของสว่ นตตั ใต ๆดังตอ่ ไปน้ี บทนยิ าม 6.56 (อำพล ธรรมเจรญิ , 2553:61) ให้ C และ D เป็นส่วนตัดใด ๆ จะกล่ำวว่ำ C น้อย กวำ่ D เขียนแทนด้วย C  D ถ้ำ D  C เป็นส่วนตัดบวก และจะกล่ำวว่ำ C มำกกวำ่ D เขียนแทนด้วย C  D ถำ้ D  C จำกบทนิยำม 6.56 เนื่องจำก C และ D เป็นส่วนตัด น่ันคือเป็นเซตย่อยแท้ของจำนวน ตรรกยะ จะเห็นได้ว่ำ กำรเปรียยเทียบกันของ C และ D เป็นกำรพิจำรณำสมำชิกที่อยู่ภำยในส่วน ตัด D  C กล่ำวคือ ถ้ำ C  D แล้วสมำชิกทุกตัวของ C เป็นสมำชิกของ D และมีสมำชิกบำงตัว ของ D ไมเ่ ป็นสมำชกิ ของ C หรอื อำจจะกล่ำวว่ำ C  D ดงั ทฤำฎบี ทต่อไปน้ี ทฤษฎบี ท 6.57 (อำพล ธรรมเจริญ, 2553:61) สำหรับสว่ นตัด C และ D เป็นส่วนตดั ใด ๆ C  D กต็ อ่ เม่อื C  D พิสูจน์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตดั ใด ๆ สมมติ C  D จะไดว้ ่ำ C  D เป็นสว่ นตัดบวก ให้ x C  D โดยที่ x   ดังนน้ั จะมี u D และ vC ซง่ึ x  u  (v) D  (C) และ v  c เมอื่ cC ดังนน้ั u  v  c ทำให้ u C จะไดว้ ำ่ C  D ให้ yC จะได้วำ่ y  c  d D นัน่ คอื y D ดังน้นั C  D ในทำงกลบั กัน สมมติ C  D เลือก x,y,z  D  C โดยที่ x  y  z จะไดว้ ำ่ x  y  z จำก x C จะไดว้ ำ่ y C ดังนั้น x  (y)  D  (C)  D  C และ z  (y)  z  (z)  0 จะได้วำ่ D  C เปน็ ส่วนตดั บวก นั่นคอื C  D

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 170 เพรำะฉะน้นั เรำจึงสรปุ ได้วำ่ C  D กต็ อ่ เมื่อ C  D ทฤษฎบี ท 6.58 สำหรบั สว่ นตดั C ใด ๆ 1) C0  C กต็ ่อเมื่อ C เปน็ สว่ นตดั บวก 2) C  C0 ก็ตอ่ เมอื่ C เป็นสว่ นตัดลบ พิสูจน์ ให้ C เปน็ สว่ นตัดใด ๆ 1.1) พิจำรณำ C0  C  C C0 เปน็ สว่ นตดั บวก  C (C0) เปน็ ส่วนตดั บวก  C  C0 เปน็ ส่วนตดั บวก  C เปน็ สว่ นตดั บวก 1.2) พจิ ำรณำ C  C0  C0  C เป็นส่วนตัดบวก  C0  (C) เปน็ สว่ นตดั บวก  C เป็นสว่ นตดั บวก  C เปน็ ส่วนตดั ลบ ทฤษฎีบท 6.59 สำหรับส่วนตัด C และ D ใด ๆ ข้อควำมต่อไปนี้เป็นจริงเพียงข้อเดียวเท่ำนั้น C  D หรือ C  D หรือ C  D พิสจู น์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตดั ใด ๆ จะไดว้ ำ่ C  D เปน็ สว่ นตัด จำกทฤษฎีบท 6.14 เรำไดว้ ่ำ ขอ้ ควำมตอ่ ไปนี้เปน็ จริงเพียงข้อเดียวเทำ่ นัน้ C  D เปน็ สว่ นตดั บวก หรอื CD  C0 หรือ C  D เป็นส่วนตดั ลบ ถ้ำ C  D เป็นส่วนตดั บวก จะได้วำ่ C  D ถำ้ C  D เปน็ ส่วนตัดลบ จะได้วำ่ C  D ถ้ำ C  D  C0 จะได้ว่ำ (C  D)  D  C0  D C  ((D)  D)  C0  D C  C0  C0  D CD ทฤษฎบี ท 6.60 สำหรับสว่ นตดั C, D และ E ใด ๆ ถำ้ C  D และ D  E แลว้ C  E พิสูจน์ ให้ C, D และ E เป็นสว่ นตดั ใด ๆ สมมติ C  D และ D  E จะได้ว่ำ D  C เปน็ สว่ นตดั บวก และ E  D เป็นสว่ นตัดบวก ดงั นนั้ (D  C)  (E  D) เปน็ สว่ นตัดบวก เน่อื งจำก (D  C)  (E  D)  E  C นนั่ คือ E C เป็นส่วนตดั บวก เพรำะฉะนน้ั C  E

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 171 จำกทฤษฎีบท 6.59 และ 6.60 เรำจะได้ว่ำ ควำมสัมพันธ์  เป็นกำรจัดอันดับเชิงเส้นบน เซตของสว่ นตดั ทฤษฎบี ท 6.61 สำหรบั สว่ นตัด C, D และ E ใด ๆ จะไดว้ ่ำ C  D กต็ ่อเมื่อ C E  D  E พิสจู น์ ให้ C, D และ E เป็นสว่ นตัดใด ๆ พิจำรณำ C  D  D  C เป็นส่วนตดั บวก  (D C)  C0 เปน็ สว่ นตดั บวก  (D  (C))  (E  (E)) เป็นสว่ นตดั บวก  (D  E)  ((C)  (E)) เป็นสว่ นตดั บวก  (D  E)  (C  E) เปน็ สว่ นตดั บวก  CEDE เพรำะฉะนัน้ C  D ก็ตอ่ เมื่อ C E  D  E ทำนองเดียวกนั กับทฤษฎบี ท 6.61 เรำจะไดว้ ่ำ C  D ก็ต่อเม่ือ C E  D E สำหรับ ส่วนตัด C, D และ E ใด ๆ ทฤษฎบี ท 6.62 สำหรับส่วนตดั C, D, E และ F ใด ๆ ถำ้ C  D และ E  F แลว้ C  E  D  F พสิ ูจน์ ให้ C, D, E และ F เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ สมมติ C  D และ E  F จะได้วำ่ D  C เปน็ ส่วนตัดบวก และ F  E เปน็ สว่ นตดั บวก ดงั น้ัน (D  C)  (F  E) เป็นสว่ นตัดบวก แต่ (D  C)  (F  E)  (D  F)  (C  E) จะไดว้ ำ่ (D  F)  (C  E) เป็นส่วนตดั บวก นัน่ คือ C  E  D  F ทฤษฎบี ท 6.63 สำหรบั สว่ นตดั C และ D ใด ๆ จะไดว้ ่ำ C  D กต็ อ่ เม่ือ D  C พิสูจน์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตัดใด ๆ พจิ ำรณำ C  D  D  C เป็นส่วนตัดบวก  (C)  D เป็นสว่ นตดั บบวก  (C)  (D) เป็นส่วนตดั บวก  D  C เพรำะฉะนน้ั C  D ก็ตอ่ เม่ือ D  C ทฤษฎบี ท 6.64 สำหรบั สว่ นตัด C และ D ใด ๆ และสว่ นตดั บวก E จะไดว้ ำ่ C  D ก็ตอ่ เมื่อ CE  DE พิสูจน์ ให้ C และ D เปน็ สว่ นตัดใด ๆ และ E เป็นสว่ นตัดบวก

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 172 สมมติ C  D จะไดว้ ำ่ D C เป็นส่วนตดั บวก ดังน้ัน (D  C)E เปน็ สว่ นตัดบวก เนื่องจำก (D  C)  E  D  E  C E จะได้วำ่ DE CE เปน็ ส่วนตัดบวก นั่นคือ CE  DE ในทำงกลบั กนั สมมติ CE  DE จะไดว้ ำ่ DE CE เป็นสว่ นตัดบวก เพรำะวำ่ E เป็นสว่ นตดั บวก จะไดว้ ่ำ E-1 เปน็ สว่ นตดั บวก เน่ืองจำก D  E  C E  (D  C)  E เรำไดว้ ่ำ ((D C)E)E1 เปน็ สว่ นตดั บวก เพรำะฉะนั้น C  D กต็ อ่ เม่ือ CE  DE ทฤษฎบี ท 6.65 สำหรับส่วนตัด C และ D ใด ๆ และส่วนตดั ลบ E จะได้ว่ำ C  D ก็ต่อเมื่อ CE  DE พสิ จู น์ ให้ C และ D เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ และ E เป็นสว่ นตัดลบ จะไดว้ ่ำ E เปน็ ส่วนตัดบวก จำกทฤษฎบี ท 6.63 จะไดว้ ำ่ C  D  C(E)  D(E)  (C  E)  (D  E)  (D E)  ((CE)) เป็นสว่ นตดั บวก  (DE)  (CE) เป็นสว่ นตัดบวก  (CE)  (DE) เปน็ ส่วนตดั บวก  CE  DE เพรำะฉะนนั้ สำหรบั ส่วนตดั C และ D ใด ๆ และสว่ นตดั ลบ E จะได้วำ่ C  D ก็ต่อเม่ือ CE  DE ทฤษฎีบท 6.66 สำหรบั สว่ นตดั บวก C, D, E และ F ใด ๆ ถ้ำ C  D และ E  F แล้ว CE  DF พสิ ูจน์ ให้ C, D, E และ F เปน็ ส่วนตัดบวกใด ๆ สมมติ C  D และ E  F จำกทฤษฎีบท 6.63 จะได้วำ่ CE  DF และ E D  FD เน่อื งจำก FD  DF จำกทฤษฎีบท 6.59 จะได้ว่ำ CE  DF ทฤษฎบี ท 6.67 ให้ C และ D เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ 1) ถ้ำ C0  C  D แลว้ D1  C1 2) ถำ้ C  D  C0 แล้ว D1  C1

พสิ จู น์ 173 ให้ C และ D เปน็ สว่ นตัดใด ๆ 1) ให้ C0  C  D ดงั นนั้ จะมี C1 และ D1 เปน็ สว่ นตดั บวก เพรำะฉะน้นั C1  D1 เป็นสว่ นตัดบวก เนอ่ื งจำก C0  C  D จำกทฤษฎีบท 6.63 จะได้วำ่    C C1 D1  D C1 D1    C  C1  D1  D C1  D1    C  C1  D1  C1  D  D1    C  C1  D1  C1  D  D1 เพรำะฉะน้นั D-1  C1  C1  C1 ดงั นน้ั D1  C1 สรปุ ได้วำ่ ถำ้ C0  C  D แล้ว D1  C1 2) พิสูจน์ทำนองเดยี วกันกบั ข้อ 1) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎบี ท 6.68 ให้ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะใด ๆ a  b กต็ อ่ เม่ือ Ca  Cb พสิ ูจน์ ให้ a และ b เป็นจำนวนตรรกยะใด ๆ สมมติ a  b และ x Ca จะได้ x  a แต่ a  b เพรำะฉะนน้ั x  b จะได้วำ่ x Cb เพรำะว่ำ a  b จะได้ว่ำ a Cb ซง่ึ a Cb ดังนั้น Ca  Cb น่นั คือ Ca  Cb ในทำงกลับกัน สมมติ Ca  Cb ดังนนั้ จะมี zCb โดยที่ zCa จะได้ว่ำ z  b และ a  z จะได้วำ่ a  b ทฤษฎีบท 6.69 ให้ C เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ และ r เปน็ จำนวนตรรกยะใด ๆ r C กต็ อ่ เมื่อ Cr  C พสิ ูจน์ ให้ C เปน็ ส่วนตัดใด ๆ และ r เป็นจำนวนตรรกยะใด ๆ สมมติ r C ให้ x Cr จะได้ว่ำ x  r ทำให้ x C

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 174 เนอื่ งจำก r Cr แต่ r C ดังน้นั Cr  C ดงั นนั้ Cr  C ในทำงกลบั กัน สมมติ Cr  C ดงั นนั้ จะมจี ำนวนตรรกยะ a C แต่ a Cr น่นั คอื r  a จะได้ว่ำ r C เพรำะฉะน้ัน เรำจงึ สรปุ ได้ว่ำ r C ก็ต่อเมื่อ Cr  C บทนิยาม 6.70 ให้ C และ D เป็นส่วนตดั ใด ๆ C  D หรอื D  C หมำยถึง C  D หรอื C  D หรือหมำยถึง C  D ทฤษฎีบท 6.71 ควำมสัมพนั ธ์  เปน็ กำรจดั อันดับอย่ำงง่ำยบนเซตของส่วนตัด ให้ C, D และ E เปน็ สว่ นตดั ใด ๆ 1) ถ้ำ C  D และ D  E แล้ว C  E 2) C  D หรอื D  C พิสจู น์ พิสจู น์ไดจ้ ำกควำมสมั พนั ธข์ องเซตยอ่ ย  และจำกทฤษฎบี ท 6.57 ทฤษฎีบท 6.59 และทฤษฎีบท 6.60 ทฤษฎีบท 6.72 สำหรับส่วนตัด C, D และ E ใด ๆ C  D ก็ต่อเมอื่ C  E  D  E พิสูจน์ ให้ C, D และ E เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ สมมติ C  D จะได้วำ่ C  D หรือ C  D ถำ้ C  D จำกทฤษฎบี ท 6.27 จะไดว้ ำ่ C  E  D  E ถ้ำ C  D จำกทฤษฎีบท 6.61 จะได้วำ่ C  E  D  E ดังน้นั C  E  D  E สมมติ C  E  D  E จะได้ว่ำ C  E  D  E หรือ C  E  D  E จำกทฤษฎีบท 6.65 จะไดว้ ่ำ C  D จำก C  E  D  E จะมสี ่วนตดั E ท่ที ำให้ (C  E)  (E)  (D  E)  (E) C  (E  (E))  D  (E  (E)) C  C0  D  C0 CD ดังน้ัน C  D เพรำะฉะนัน้ C  D กต็ อ่ เม่ือ C  E  D  E

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 175 ทฤษฎีบท 6.73 สำหรับส่วนตดั C, D, E และ F ใด ๆ 1) ถ้ำ C  D และ E  F แลว้ C  E  D  F 2) ถำ้ C  D แล้ว D  C 3) ถำ้ C0  C  D แล้ว D1  C1 4) ถำ้ C  D  C0 แล้ว D1  C1 พสิ จู น์ ให้พสิ ูจน์เปน็ แบบฝึกหัด ทฤษฎีบท 6.74 ให้ C, D และ E เป็นสว่ นตัดใด ๆ 1) ถ้ำ C  D และ E  C0 แล้ว C E  D E 2) ถำ้ C  D และ E  C0 แล้ว C E  D E พสิ ูจน์ ให้ C, D และ E เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ 1) ให้ C  D และ E  C0 จะได้ C  D หรอื C  D และ E  C0 หรือ E  C0 ถ้ำ C  D และ E  C0 ทฤษฎบี ท 6.64 จะไดว้ ่ำ C E  D E ถำ้ C  D และ E  C0 จะไดว้ ำ่ C E  C0  D E ถำ้ C  D และ E  C0 จะได้ว่ำ C E  D E ถ้ำ C  D และ E  C0 จะไดว้ ่ำ C E  C0  D E ดังน้ัน เรำจึงสรุปได้ว่ำ C E  D E 2) พิสจู นท์ ำนองเดียวกันกบั 1) ทฤษฎบี ท 6.75 สำหรบั ส่วนตัด C และ D ใด ๆ ถ้ำ C  D แลว้ จะมีจำนวนตรรกยะ r อยำ่ ง น้อยหนึง่ จำนวนที่ทำให้ C  Cr  D พสิ ูจน์ ให้ C และ D เปน็ ส่วนตดั ใด ๆ สมมติ C  D ดังนนั้ จะมีจำนวนตรรกยะ x  D แต่ x C ให้ y C จะไดว้ ำ่ y  D และ y  x เนอ่ื งจำก C เป็นสว่ นตัด ดังนั้นจะมีจำนวนตรรกยะ r ซึ่ง y  r และ r C เพรำะฉะน้นั yCr ดังนน้ั C  Cr เพรำะว่ำ y  x และ y  r แต่ x C ดงั นั้น y  x  r จะไดว้ ำ่ x Cr และ x C

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 176 นน่ั คือ C  Cr ทำให้ C  Cr จะไดว้ ำ่ C  Cr ให้ r C จะได้ว่ำ r  D แต่ r Cr น่นั คอื Cr  D เพรำะฉะนนั้ C  Cr  D ทฤษฎบี ท 6.76 สมบตั ิอารค์ ีมเี ดยี น สำหรบั สว่ นตัดบวก C และ D ใด ๆ จะมีจำนวนเต็มบวก n อย่ำงน้อยหนึ่ง จำนวน ซงึ่ ทำให้ C  Cn D พิสจู น์ ให้ C และ D เป็นสว่ นตัดบวกใด ๆ ดงั นนั้ จะมีจำนวนตรรกยะบวก x ทท่ี ำให้ x C เพรำะวำ่ C และ D เปน็ ส่วนตัดบวก เรำได้ C0  C และ C0  D เพรำะวำ่ 0  x จำกทฤษฎีบท 6.68 จะได้ว่ำ C0  Cx แต่ x C ดงั นนั้ C  Cx เน่ืองจำก C0  D จำกทฤษฎีบท 6.75 จะมีจำนวนตรรกยะ r อย่ำงน้อยหนึ่งจำนวน ที่ทำให้ C0  Cr  D เนอื่ งจำก x และ r เปน็ จำนวนตรรกยะบวก จำกสมบัตอิ ำร์คีมเี ดียน จะมจี ำนวนเตม็ บวก n ทีท่ ำให้ x  nr ดังนั้น Cx  Cn Cr เพรำะวำ่ C0  Cr  D จำกทฤษฎบี ท 6.66 จะได้วำ่ Cn Cr  Cn  D เพรำะฉะนน้ั C  Cn D 6.6 การกาหนดจานวนจรงิ (Real Numbers Determination) จำกกำรที่เรำได้ศึกษำสว่ นตัดมำในหัวข้อกอ่ นหน้ำน้ี เรำจะเห็นได้ว่ำ เรำเพียงแค่พิจำรณำ สว่ ตตัดของจำนวนตรรกยะ และพิสจู น์สมบัติตำ่ ง ๆ ของส่วนตดั หรอื เซตของส่วนตัด ซึ่งยังไม่ได้คลอบ คลมุ สมบัติของจำนวนจรงิ ดงั นน้ั ในหัวข้อนี้ เรำจะกำหนดจำนวนจรงิ เพือ่ ศึกษำสมบัตติ ำ่ ง ๆ ดงั นี้ ถ้ำจับคู่หนึ่งต่อหน่ึงระหว่ำงเซตของส่วนตัดตรรกยะและเซตของจำนวนตรรกยะ เม่ือ r เป็นจำนวนตรรกยะ โดยให้ Cr  r

177 เรำจะไดว้ ำ่ Cr  Cs  Cr+s  r  s และ Cr  Cs  Crs  rs น่ันแสดงว่ำ เซตของส่วนตดั ตรรกยะจะสมสัณฐำน (Isomorphic) กับเซตของจำนวนตรรกยะ ในกรณีที่ส่วนตัดน้ันไม่ใช่ส่วนตัดตรรกยะ เรำเรียกว่ำ ส่วนตัดอตรรกยะ เรำกำหนด จำนวนที่มีช่ือว่ำ จำนวนอตรรกยะ (Irrational Number) มำจับคู่หนึ่งต่อหน่ึงกับส่วนตัดอตรรกยะ เช่น {x  | x2  2}   2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง {x  | x3  5}   {x  | x  3 5}   3 5 จำนวนตรรกยะประกอบกับจำนวนอตรรกยะ เรำเรียกว่ำ จำนวนจริง ดังน้ัน เซตของส่วน ตดั ทง้ั หมดจะสมสณั ฐำนกบั เซตของจำนวนจรงิ เรำใช้สัญลกั ษณ์ แทนเซตของจำนวนจริง ตอ่ ไปเมอ่ื กลำ่ วถึงจำนวนจริง เรำจะใช้ ตัวอักษร a, b, c, d, …, x, y, … แทนจำนวนจริง และสมบัติต่ำงๆ ของส่วนตัดจะเป็นสมบัติของ จำนวนจริง (อำพล ธรรมเจรญิ , 2553:63) เซตของจำนวนจรงิ ประกอบด้วยจำนวนและตัวดำเนินกำรทวิภำค บวก + และคูณ  (หรือ  หรอื ไมเ่ ขียนเคร่ืองหมำย) มีสมบัติท่เี รยี กวำ่ “สัจพจนข์ องจำนวนจริง” ดังต่อไปนี้ ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ 1. กำรดำเนินกำรบวก: ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ผลบวกของ a กับ b เขยี นวำ่ a  bจะเปน็ จำนวนจรงิ จำนวนหน่ึงเพียงจำนวนเดยี ว และมีสมบตั ิดงั นี้ 1.1 สมบตั กิ ำรเปลย่ี นกลมุ่ : a  (b  c)  (a  b)  c 1.2 สมบัติกำรสลับที:่ a  b  b  a 1.3 มีจำนวนจรงิ ศนู ย์ 0 ที่มีสมบัตวิ ่ำ a  0  0  0  a สำหรบั ทกุ จำนวน จรงิ a เรยี ก 0 วำ่ เป็นเอกลักษณ์กำรบวก 1.4 สำหรบั จำนวนจริง a จะมจี ำนวนจรงิ a ท่ีมสี มบตั วิ ่ำ a  (a)  0  (a)  a เรียก a ว่ำเปน็ ผกผันกำรบวกของ a 2. กำรดำเนินกำรคณู : ให้ a และ b เปน็ จำนวนจรงิ ผลคณู ของ a กับ b เขยี นวำ่ a b หรอื a b หรอื ab จะเปน็ จำนวนจริงจำนวนหน่งึ เพียงจำนวนเดยี ว และมี สมบัติดงั น้ี 2.1 สมบตั กิ ำรเปล่ียนกลมุ่ : a (bc)  (a  b)c 2.2 สมบัติกำรสลับท:ี่ a b  ba 2.3 มีจำนวนจริง 1 ท่ีมสี มบัตวิ ่ำ a 111a สำหรบั ทุกจำนวนจรงิ a เรียก 1 ว่ำเปน็ เอกลักษณ์กำรคูณ 2.4 สำหรับจำนวนจรงิ a ท่ีไม่ใช่ 0 จะมีจำนวนจริง a1 ทีม่ ีสมบัตวิ ่ำ a  a1  1  a1  a เรยี ก a1 ว่ำตวั ผกผนั กำรคณู (Inverse) ของ a 3. สมบตั กิ ำรแจกแจง: ให้ a, b และ c เปน็ จำนวนจริง a  (b  c)  (a  b)  (a  c) หรอื (a  b)  c  (a  c)  (b  c)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 178 เซตท่ีมีสมำชิกและกำรดำเนินกำรสองชนิด ซ่ึงมีสมบัติ 9 ข้อดังข้ำงบนน้ี เรำเรียกว่ำ “สนำม” (Ordered Field) และ”สมบัติควำมบริบูรณ์” (Completeness Axiom) (อำพล ธรรม เจริญ, 2553:63) ดังตอ่ ไปนี้ จำกสจั พนจข์ องจำนวนจริง เรำจะไดว้ ่ำ 1) 0 เปน็ เอกลักษณ์กำรบวกเพียงหนงึ่ เดยี วเทำ่ นนั้ 2) a เปน็ ผกผนั กำรบวกของ a เพียงหนึง่ เดยี วเท่ำน้นั 3) 1 เปน็ เอกลกั ษณก์ ำรคณู เพยี งหนึง่ เดียวเทำ่ น้นั 4) a1 ว่ำตัวผกผนั กำรคณู ของ a เพียงหน่งึ เดยี วเทำ่ นน้ั เพ่ือให้ง่ำยต่อกำรเขียน สำหรับทุกจำนวนจริง a และ b ใด ๆ เรำจะนิยำมให้ a  b  a  (b) และ a  b-1  a ดังน้ันเรำจะเห็นได้ว่ำสมบัติอ่ืน ๆ ของจำนวนจริงน้ัน b เหมือนกับสมบัติของจำนวนตรรยะที่ได้กล่ำวไปในบทท่ี 5 นั่นเอง หำกพิจำรณำเซตของจำนวนจริง บวก เรำจะไดส้ มบัติดงั ต่อไปน้ี สจั พจน์ 6.77 ให้ P  และสอดคลอ้ งกบั แต่ละขอ้ ตอ่ ไปนี้ 1) ถำ้ a, b  P แล้ว a  bP และ abP 2) สำหรบั แตล่ ะ a  จะไดว้ ่ำขอ้ ควำมตอ่ ไปนเ้ี ปน็ จรงิ เพียงข้อเดียวเท่ำนน้ั a  P หรอื a  0 หรอื a P จะเรยี กเซต P ว่ำ “เซตของจำนวนจรงิ บวก” (positive real numbers) จำกสัจพจน์ 6.77 เรำได้ว่ำ ถ้ำ a P น่ันคือ a เป็นจำนวนจริงบวก ในขณะที่ถ้ำ a P หมำยถึง a เป็นจำนวนจริงลบน่ันเอง นอกจำกนี้ เรำยังสำมำรถนิยำมควำมสัมพันธน้อย กว่ำ มำกกวำ่ น้อยกว่ำหรอื เท่ำกบั และมำกกว่ำหรือเทำ่ กับ โดยอำศยั เซตของจำนวนจริงบวก ดงั น้ี บทนยิ าม 6.78 สำหรับทกุ a, b  1) a  b กต็ ่อเมื่อ a  bP 2) a  b กต็ ่อเมื่อ (a  b)  P 3) a  b กต็ อ่ เมื่อ a  b  P {0} 4) a  b กต็ ่อเมื่อ (a  b)  P {0} จำกบทนิยำม 6.78 เรำสำมำรถแสดงสมบัติต่ำง ๆ ของจำนวนจริงได้สอดคล้องกับสมบัติ ของส่วนตัดท่ีได้ศึกษำในหัวข้อ 6.5 นั่นเอง ซ่ึงกำรมีเซตของจำนวนจริงบวกเป็นเซตย่อยแท้ของ จำนวนจริง ทำให้เรำสำมำรถนิยำมในบทนิยำมขำงต้นได้ เพรำะฉะน้ัน เรำจึงกล่ำวว่ำ จำนวนจริงมี สมบัติดปน็ สนำมอนั ดบั (Qrdered Field) (อำพล ธรรมเจรญิ , 2553:66) บทนิยาม 6.79 สำหรบั ทกุ จำนวนจริง a ใด ๆ คำ่ สัมบรู ณ์ (Absolute Value) ของ a กำหนดโดย

179 a {aa :a 0 :a 0 จำกบทนยิ ำม 6.79 เรำจะไดส้ มบัติของค่ำสัมบรู ณส์ ำหรับจำนวนจริง ดงั ตอ่ ไปน้ี ทฤษฎีบท 6.80 สำหรับจำนวนจริง a และ b ใด ๆ 1) a  -a 2) ab  a b 3)  a  a  a 4) a  b ก็ต่อเม่อื b  a  b 5) a  b  a  b มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จำกทฤษฎีบท 6.80 เรำสำมำรถพิสจู น์ได้จำกจำกบทนยิ ำม 6.79 และกำรพิสูจน์แบบแจง กรณีเป็นจำนวนลบหรือเป็นจำนวนจริงท่ีไม่ใช่จำนวนจริงลบ และใช้กำรอ้ำงอิงสมบัติที่มีในแต่ละข้อ กอ่ นข้อน้ัน ๆ มำชว่ ยในกำรพสิ ูจน์ นอกจำกจำนวนจริงจะมีเซตย่อยแท้ที่เป็นเซตของจำนวนจริงบวก เซตของจำนวนจริง ศูนย์และเซตของจำนวนจริงลบท่ีเป็นเซตย่อยแล้ว เรำสำมำรถนิยำมเซตย่อยของจำนวนจริงที่มีค่ำ ขึ้นอย่กู บั จำนวนจรงิ ใด ๆ สองจำนวน ดังต่อไปนี้ บทนิยาม 6.81 สำหรับทุกจำนวนจริง a และ b ใด ๆ โดยท่ี a  b กำหนดเซตย่อยของจำนวน จริง ดังนี้ 1) (a, b)  {x  | a  x  b} 2) [a, b)  {x  | a  x  b} 3) (a, b]  {x  | a  x  b} 4) [a, b]  {x  | a  x  b} 5) (, b)  {x  | x  b} 6) (a, )  {x  | a  x} 7) (, b]  {x  | x  b} 8) [a, )  {x  | a  x} 9) (, )  บทนยิ าม 6.82 สำหรับ A  และ A   โดยท่ี a  1) a เป็น “ขอบเขตบน” (upper bound) ของ A ก็ต่อเมื่อ x  a สำหรับทุก xA 2) a เป็น “ขอบเขตล่ำง” (lower bound) ของ A ก็ต่อเมื่อ x  a สำหรับทุก xA

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 180 บทนิยาม 6.83 สำหรบั A  และ A   1) a เป็นขอบเขตบนน้อยสดุ (least upper bound or supremum) ของ A เขียนแทนด้วย l.u.b A  a หรือ sup A  a ก็ต่อเมื่อ a เป็นขอบเขตบน ของ A และถำ้ s เปน็ ขอบเขตบนของ A แล้ว a  s 2) b เป็นขอบเขตล่ำงมำกสุด (greatest lower bound or infimum) ของ A เขียนแทนด้วย g.l.b A  b หรือ inf A  b ก็ต่อเม่ือ b เป็นขอบเขตล่ำง ของ A และถำ้ u เปน็ ขอบเขตบนของ A แล้ว u  b จำกบทนิยำม 6.83 เรำพบวำ่ จำนวนจรงิ สอดคล้องกับสมบัติทเี่ รียกว่ำ “สัจพจน์ของ ควำมบริบรู ณ”์ (Completeness Axiom) ดงั น้ี สัจพจน์ 6.84 สำหรับ A  และ A   ถ้ำ A เป็นเซตที่มีขอบเขตบน แล้ว A จะมีขอบเข บนน้อยสดุ และมเี พยี งค่ำเดยี วเทำ่ น้นั โดยอำศัยสัจพจน์ของกำรมีขอบเขตบนน้อยสุดในจำกสัจพจน์ 6.84 นี้ เรำสำมำรถนำมำ พสิ ูจนท์ ฤษฎบี ทของกำรมขี อบเขตลำ่ งมำกสดุ ทำให้ไดผ้ ลลพั ธด์ งั ต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 6.85 สำหรับ A  และ A   ถำ้ A เป็นเซตทีม่ ีขอบเขตล่ำง แลว้ A จะมี ขอบเขตล่ำงมำกสดุ และมเี พยี งคำ่ เดยี วเทำ่ นน้ั นอกจำกน้ี จำนวนจริงยงั มสี มบัติของอำร์คีมีดีส (Archmedean Properties) ที่สำคญั ท่ี ชว่ ยในกำรพสิ ูจนท์ ำงกำรวเิ ครำะหเ์ ชิงจริงเบื้องตน้ ใหห้ ลำย ๆ ทฤษฎีบท ดงั นี้ ทฤษฎบี ท 6.86 สำหรบั จำนวนจรงิ บวก x และ y ใด ๆ 1) จะมีจำนวนนับ n ซง่ึ x  n 2) จะมีจำนวนนับ n ซง่ึ x  ny 3) จะมีจำนวนนบั n ซง่ึ 1  x n 4) จะมจี ำนวนนบั n ซง่ึ n 1 x  n จำกทฤษฎีบท 5.59 เรำพบว่ำ สำหรับจำนวนตรรกยะสองจำนวนใด ๆ ย่อมมีจำนวน ตรรกยะที่อยู่ระหว่ำงสองจำนวนน้ัน ๆ เสมอ ในทำนองเดียวกนั ทฤษฎีน้ียังคงเป็นจรงิ สำหรับจำนวน จริง เรยี กทฤษฎีบทนว้ี ่ำ “ควำมหนำแน่นของจำนวนตรรกยะ” ทฤษฎีบท 6.89 สำหรับจำนวนจริง x และ y ใด ๆ ถ้ำ x  y แล้ว จะมีจำนวนตรรกยะ r ซึ่ง xry

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 181 พสิ ูจน์ ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ x  y กรณี x  0  y เรำจะได้วำ่ r  0 กรณี 0  x  y จำกบทนยิ ำม 6.78 จะไดว้ ำ่ y  x  0 จำกทฤษฎีบท 6.86 (3) จะมจี ำนวนนบั n ท่ีทำให้ 1  y  x n นน่ั คอื 1 nx  ny เพรำะวำ่ nx เปน็ จำนวนจรงิ บวก จำกทฤษฎีบท 6.86 จะมจี ำนวนนับ m ทที่ ำให้ m 1  xn  m จะไดว้ ่ำ x  m เมอ่ื m เปน็ จำนวนตรรกยะ nn และจำก m 1  xn  m เรำได้วำ่ m  xn 1  m 1 นน่ั คือ m  xn 1  ny จะได้วำ่ m  y เม่ือ m เปน็ จำนวนตรรกยะ nn น่นั คือ จะมจี ำนวนตรรกยะ r  m ซง่ึ x  r  y n กรณี x  y  0 จะไดว้ ่ำ 0  y  x ดงั นั้น จะมจี ำนวนตรรกยะ r ซง่ึ y  r  x นั่นคอื x  r  y เมือ่ r เปน็ จำนวนตรรกยะ เพรำะฉะนน้ั เรำจึงสรุปไดว้ ำ่ จะมีจำนวนตรรกยะ r ซง่ึ x  r  y ทำนองเดียวกบั จำกทฤษฎบี ท 6.89 สำหรับจำนวนจรงิ สองจำนวนใด ๆ ยอ่ มมจี ำนวนอต รรกยะท่ีอยู่ระหว่ำงสองจำนวนนั้น ๆ เสมอ และเรียกทฤษฎีบทน้ีว่ำ “ควำมหนำแน่นของจำนวนอต รรกยะ” ดงั ทฤษฎีบทต่อไปนี้ ทฤษฎีบท 6.89 สำหรับจำนวนจริง x และ y ใด ๆ ถ้ำ x  y แล้ว จะมีจำนวนอตรรกยะ a ซึ่ง xay พิสูจน์ ให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ สมมติ x  y จะได้วำ่ x  y 22 จำกทฤษฎีบท 6.89 จะมจี ำนวนตรรกยะ r ซง่ึ x  r  y 22 ดังนน้ั x  a  y เมือ่ a  2r เปน็ จำนวนอตรรกยะ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 182 เพรำะฉะน้ัน เรำจึงสรปุ ได้วำ่ จะมีจำนวนอตรรกยะ a ซง่ึ x  a  y บทสรปุ กำรศึกษำจำนวนจริงเร่ิมขึ้นจำกปัญหำของในกำรหำคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะ ซงึ่ ยัง ไม่สำมำรถทำได้ทง้ั หมด เช่น กำรหำควำมยำวของด้ำนตรงข้ำมมมุ ฉำกของรูปสำมเหลี่ยมมมุ ฉำกท่มี ีควำม ยำวของด้ำนประกอบมมุ ฉำกเทำ่ กบั 1 หน่วย เป็นต้น จงึ เกิดแนวคิดท่ีจะตอ้ งกำรหำคำตอบ โดยเร่ิมจำก กำรพิจำรณำจำนวนตรรกยะใด ๆ บนเส้นจำนวน ซ่ึงจะเห็นได้ว่ำ สำหรับจำนวนตรรกยะสองจำนวน ใด ๆ ยอ่ มมีจำนวนตรรกยะทอ่ี ยู่ระหว่ำงสองจำนวนนัน้ ๆ กำรศึกษำวิธีท่ีจะขยำยระบบจำนวนตรรกยะมี 2 วิธีคือ วิธีลำดับโคชี และวิธีส่วนตัดเด เดคินด์ ซ่ึงในบทที่ 6 นี้ เรำได้นิยำมส่วนตัดเดเดคินด์ และพิจำณำส่วนตัดของจำนวนตรรกยะ พบว่ำ จะเกิดส่วนตัดได้ 3 แบบ ได้แก่ ส่วนตัดบวก ส่วนตัดศูนย์ และส่วนตัดลบ ซ่ึงจะเกิดขึ้นเพียงอย่ำงใด อย่ำงงหน่ึงเท่ำนั้นที่เป็นจริง เรำยังพบว่ำ ส่วนตัดยังมีสมบัติที่เหมือนกับจำนวนตรรกยะสำหรับกำร ดำเนินกำรบวกและคณู ของส่วนตดั สมบัติท่ีสำคัญของกำรบวกและกำรคูณส่วนตัด ได้แก่ สมบัติปิด สมบัตกิ ำรสลับที่ สมบตั ิกำรเปลย่ี นหมู่ สมบัติกำรมีเอกลกั ษณ์ สมบัติกำรมีผกผัน และสมบัติกำรแจก แจง เปน็ ตน้ ส่วนตัดยังมีสมบัติกำรจัดอันดบั เชิงเส้นของ นั่นคือ ควำมสมั พนั ธ์  และ  เป็นกำรจัด อนั ดบั อยำ่ งงำ่ ยบนเซตของส่วนตัด และสมบัติควำมบรบิ ูรณ์ของจำนวนจริง เม่ือเรำกำนยิ ำมสว่ นตดั ให้ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จำนวนจริงจึงประกอบด้วยเซตขององจำนวนจริงบวก เซตของศูนย์และเซตของ จำนวนจรงิ ลบ หรือจำนวนจริงประกอบด้วยจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ จำนวนจริงมีสมบตั ติ ่ำง ๆ ที่มำกจำกทฤษฎีบทของส่วนตัดใด ๆ อีกท้ังสมบัตอิ ำร์คีมเี ดียน ที่สอดคล้องกับจำนวนจริง เรำจึงได้สมบัติที่เรำใช้ประโยชน์อยู่ประจำ อย่ำงเช่น ค่ำสัมบูรณ์ สมกำร อิงสำมเหล่ียม เป็นต้น และจะเห็นว่ำยังมีจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะท่ีอยู่ระหว่ำงจำนวน จริงใด ๆ สองจำนวน ดังนั้นจำนวนจริงจึงเป็นเซตที่มีควำมน่ำสนใจและเป็นตัวอย่ำงท่ีสำคัญสำหรับ กำรศึกษำปรภิ มู อิ ื่น ๆ แบบฝกึ หดั ท้ายบทที่ 6 จงตอบคำถำมต่อไปนี้ 1) จงแสดงว่ำ {x  | x  0 x2  5} เป็นส่วนตดั บวก 2) จงแสดงวำ่ {x  | x  x 1} เปน็ ส่วนตดั หรอื ไม่ 3) จงพสิ จู น์ว่ำ ถำ้ Cr เปน็ สว่ นตัดตรรกยะ แลว้ Cr  Cr 4) จงพิสจู น์ว่ำ สำหรบั สว่ นตดั C และ D ใด ๆ ถำ้ CD  C0 แล้ว C  C0 หรือ D  C0 5) จงพิสจู น์ว่ำ สำหรบั สว่ นตดั C,D,E และ F ใด ๆ 5.1) ถ้ำ C  D และ E  F แล้ว C  E  D  F 5.2) ถำ้ C  D แลว้ D  C 5.3) ถำ้ C0  C  D แล้ว D1  C1

183 5.4) ถำ้ C  D  C0 แลว้ D1  C1 6) จงพสิ ูจนว์ ่ำ ถ้ำ Cr,Cs และ Ct เป็นสว่ นตดั ตรรกยะ แลว้ Cr(s+t)  Cr (Cs  Ct ) 7) จงพิสจู นว์ ำ่ สำหรับจำนวนจรงิ a และ b ใด ๆ a  b  a  b 8) จงแสดงว่ำ x  x2 เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจรงิ หรอื ไม่ 9) จงพิสจู น์วำ่ inf A และ sup A เมื่อ A  (3,7] 10) จงพิสจู นว์ ำ่ สำหรับ A   ใด ๆ และ x  A จะไดว้ ำ่ inf A  x  sup A ทุก ๆ x  A 11) จงพสิ ูจน์ว่ำ ถำ้ x เปน็ จำนวนจริงใด ๆ โดยท่ี 0  x  ε สำหรับทกุ จำนวนจรงิ บวก ε แล้ว x0 เอกสารอ้างอิง กลั ยำณี ไชยวรินทรกุล. (2543). ระบบจานวน. (พิมพ์คร้ังที่ 6). กรุงเทพฯ: มหำวทิ ยำลัยรำมคำแหง. ประชุม สวุ ตั ถี. (2518). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : นิยมวทิ ยำ. ชะเอม สำยทอง. (2532). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : โอ เอส พริน้ ต้ิง เฮำส.์ วสนั ต์ จินดำรตั นำภรณ์. (2542). ระบบจานวน. เชียงใหม่ : สถำบันรำชภัฏเชียงใหม.่ สมศักดิ์ โพธวิ ิจติ ร. (2523). ระบบจานวน. สงขลำ : มหำวทิ ยำลยั ศรีนครินทรวิโรฒ สงขลำ. สมสวำท สดุ สำคร. (2542). ระบบจานวน. (พมิ พค์ รั้งท่ี 4). กรงุ เทพฯ : มหำวิทยำลยั รำมคำแหง. สุเทพ จนั ทร์สมศกั ดิ์ (2538). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ: โรงพิมพจ์ ฬุ ำลงกรณ์มหำวทิ ยำลัย. สภุ ำ สุจรติ พงศ.์ (2523). โครงสร้างของระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : จฬุ ำลงกรณม์ หำวิทยำลยั . อำพล ธรรมเจรญิ . (2553). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : พิทักษ์กำรพิมพ์. มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏหม่บู า้ นจอมบงึ 184

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 185 แผนบริหารการสอนประจาบทที่ 7 เนอ้ื หาประจาบท บทท่ี 7 จานวนเชงิ ซ้อน 7.1 การดาเนินการของคู่อนั ดับใน  7.2 จานวนเชิงซ้อน 7.3 จานวนเชงิ ซอ้ นในระบบพิกดั เชิงขว้ั จดุ ประสงค์เชงิ พฤติกรรม เม่อื ศึกษาบทท่ี 7 แลว้ นกั ศกึ ษาสามารถ 1. พสิ ูจน์สมบัติต่าง ๆ ของการดาเนนิ การของคู่อันดับใน  ได้ 2. ยกตวั อยา่ งทีส่ อดคล้องกับสมบตั ติ ่าง ๆ ของคู่อนั ดับใน  ได้ 3. พสิ จู น์สมบตั ติ า่ ง ๆ ของจานวนเชิงซอ้ นได้ 4. ยกตวั อยา่ งที่สอดคล้องกับสมบัตติ ่าง ๆ ของจานวนเชงิ ซอ้ นได้ 5. พิสูจนส์ มบัติตา่ ง ๆ ของจานวนเชงิ ซอ้ นในระบบพิกัดเชงิ ขั้วได้ 6. ยกตัวอยา่ งทสี่ อดคล้องกบั สมบัติตา่ ง ๆ ของจานวนเชิงซ้อนในระบบพิกัดเชิงข้วั ได้ 7. หาจานวนเชงิ ซ้อนท่ียกกาลงั n ได้ 8. หารากที่ n ของจานวนเชงิ ซอ้ นได้ กิจกรรมการเรียนการสอนประจาบท 1. ผสู้ อนอธิบายทฤษฎบี ทและซักถามพร้อมยกตัวอย่างประกอบการบรรยาย โดยใช้โปรเจคเตอร์ 2. แบง่ ผู้เรยี นเป็นกลุม่ ๆ ละประมาณ 5 คน เพ่ือศึกษาทฤษฎีบทแล้วอธบิ ายในกลุม่ 3. ให้ผู้เรยี นศึกษาเอกสารคาสอนเปรยี บเทยี บกับข้อสรปุ 4. ผสู้ อนและผู้เรียนร่วมกันอภปิ รายและหาขอ้ สรปุ ร่วมกันอีกคร้งั หนงึ่ 5. ใหผ้ ู้เรียนทาแบบฝึกหดั บทท่ี 7 6. ทดสอบย่อยหลังจบบทเรียน สอ่ื การเรยี นการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนวิชาระบบจานวน 2. Google Classroom, Microsoft Teams 3. เคร่อื งฉายโปรเจคเตอร์

186 4. หนังสอื อา่ นประกอบคน้ ควา้ เพมิ่ เติม 5. แบบฝึกหัดบทที่ 7 การวัดผลและประเมินผล 1. สงั เกตจากการซักถามผูเ้ รียน 2. สังเกตจากการร่วมกจิ กรรม 3. สังเกตจากความสนใจ 4. สงั เกตจากการอภปิ รายกลมุ่ ยอ่ ยและอภิปรายสรปุ 5. ประเมินจากการทาแบบฝึกหัด 6. ประเมินจากการสอบระหว่างภาคและปลายภาค มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 187 บทท่ี 7 จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) จากแนวคิดของการขยายจานวนนับจนกระท้ั งมาถึงจานวนจริง จะได้ว่า    และพบว่าเรามักจะพยายามแก้ปัญหาของบางส่งิ ท่ียังไม่มีคาตอบในเซตนั้น ๆ เช่น ในบทท่ี 6 ได้ศึกษาปัญหาเกี่ยวกับสมการ x2  2 เป็นต้น พิจารณาสมการ x2 1  0 เพราะว่า x2  0 เราจะได้ว่า x2 11 สาหรับทุก ๆ จานวนจริง x ใด ๆ ดังน้ัน เราพบว่า ไม่ สามารถหาค่าจานวนจริง x ท่ีเป็นคาตอบของสมการนี้ได้ นักคณิตศาสตร์จึงพยายามขยายจานวน จริงออกไปให้สามารถหาคาตอบของปัญหาน้ีได้ นั่นคือจานวนเชิงซ้อน (complex numbers) ดังน้ัน ในบทท่ี 7 นี้ เราจะศึกษาสมบัติต่าง ๆ ของจานวนเชิงซ้อน โดยอาศัยสมบัติของจานวนจริงจากท่ีได้ ศึกษาในบทที่ 6 มาช่วยในการพสิ ูจน์ 7.1 การดาเนนิ การของคู่อนั ดบั ใน  (The Operations of Order-pairs in ) การบวกของของคู่อนั ดับใน  บทนยิ าม 7.1 ให้ (a,b) และ (c,d) เป็นคอู่ ันดับใด ๆ ใน  ผลบวกของ (a,b) และ (c,d) เขยี นแทนดว้ ย (a,b) (c,d) กาหนดโดย (a,b) (c,d) (a c,b d) บทนยิ าม 7.2 ให้ (a,b) และ (c,d) เปน็ คูอ่ นั ดับใด ๆ ใน  ผลคณู ของ (a,b) และ (c,d) เขยี นแทนดว้ ย (a,b)(c,d) กาหนดโดย (a,b)(c,d) (ac bd,ad  bc) จากบทนิยาม 7.1 และบทนิยาม 7.2 เราจะนามาพิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ของสมาชิกใน  ดงั ตอ่ ไปนี้ ทฤษฎีบท 7.3 สาหรับคอู่ ันดับ (a,b) และ (c,d) ใด ๆ ใน  1) (a,b) (c,d)  มีเพยี งคเู่ ดียวเท่านนั้ 2) (a,b)(c,d)  มีเพียงค่เู ดยี วเท่านน้ั พิสูจน์ ให้ (a,b) และ (c,d) เปน็ คู่อันดบั ใด ๆ ใน  1) เน่อื งจาก (a,b) (c,d) (a c,b d) เพราะว่า a  c และ b  d เป็นจานวนจริงเพยี งค่าเดยี วเท่านน้ั ดังนั้น (a,b) (c,d) (a c,b d) มีเพยี งคเู่ ดียวเท่านนั้ ใน  2) เน่ืองจาก (a,b)(c,d) (ac bd,ad  bc)

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 188 เพราะวา่ ac, bd, ad และ bc เปน็ จานวนจรงิ เพยี งค่าเดยี วเทา่ นั้น จะได้ว่า ac  bd และ ad  bc เป็นจานวนจริงเพียงค่าเดียวเทา่ นนั้ ดงั นนั้ (a,b)(c,d) มีเพยี งคูเ่ ดียวเทา่ นน้ั ใน  ทฤษฎีบท 7.4 สาหรับค่อู นั ดับ (a,b) และ (c,d) ใด ๆ ใน  1) (a,b) (c,d) (c,d) (a,b) 2) (a,b)(c,d) (c,d)(a,b) พิสจู น์ ให้ (a,b) และ (c,d) เปน็ คอู่ นั ดบั ใด ๆ ใน  1) จากบทนยิ าม 7.1 ไดว้ ่า (a,b) (c,d) (a c,b d) (c a,d b)  (c,d)  (a, b) ดังน้ัน (a,b) (c,d) (c,d) (a,b) 2) จากบทนิยาม 7.2 ไดว้ ่า (a,b)(c,d) (ac bd,ad  bc) (ca db,da cb) (ca db,cb da)  (c,d) (a, b) ดังน้นั (a,b)(c,d) (c,d)(a,b) จากทฤษฎบี ท 7.4 พบวา่  มสี มบตั สิ ลับสส่ี าหรับการบวกและการคูณตามลาดับ ทฤษฎบี ท 7.5 สาหรบั ค่อู นั ดบั (a,b) , (c,d) และ (e,f ) ใด ๆ ใน  1) (a,b)((c,d) (e,f)) ((a,b) (c,d)) (e,f) 2) (a,b)((c,d)(e,f )) ((a,b)(c,d))(e,f ) พิสูจน์ ให้ (a,b), (c,d) และ (e,f ) เปน็ ค่อู นั ดับใด ๆ ใน  1) จากบทนิยาม 7.1 ได้ว่า (a,b) ((c,d) (e,f )) (a,b) (c e,d f ) (a (c e),b (d f )) ((a c) e,(b d) f ) (a c,b d)(e,f) ((a,b) (c,d)) (e,f ) ดังนั้น (a,b) ((c,d) (e,f )) ((a,b) (c,d)) (e,f ) 2) จากบทนิยาม 7.2 ได้ว่า (a,b)((c,d)(e,f )) (a,b)(ce df,cf de) (a(ce df ) b(cf de),a(cf de) (ce df )b) (a(ce) a(df ) b(cf ) b(de),a(cf ) a(de) (ce)b (df )b) ((ac)e (bd)e (ad)f (bc)f,(ac)f (bd)f e(ad) e(bc)) ((ac bd)e (ad  bc)f,(ac bd)f e(ad bc))

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 189 (ac bd,ad  bc)(e,f )  ((a,b)(c,d))(e,f ) ดงั นน้ั (a,b)((c,d)(e,f )) ((a,b)(c,d))(e,f ) จากทฤษฎีบท 7.5 พบว่า  มีสมบัติเปล่ียนกลุ่มสาหรับการบวกและการคูณ ตามลาดับ ทฤษฎีบท 7.6 สาหรับคู่อันดับ (a,b) ใด ๆ ใน  จะมี (0,0)  เพียงหนึ่งเดียวที่ ทาให้ (a,b) (0,0) (a,b) (0,0) (a,b) พิสูจน์ ให้ (a,b) เปน็ คอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  จากบทนิยาม 7.1 ได้ว่า (a,b) (0,0) (a 0,b 0) (a,b) และจากทฤษฎบี ท 7.4 เราจะได้ (0,0) (a,b) (a,b) (0,0) (a,b) สมมตวิ า่ มี (c,d)  ทท่ี าให้ (a,b) (c,d) (a,b) ดังนั้น (0,0) (c,d) (0,0)  (c,d)  (c,d) เพราะฉะน้นั เราจงึ สรปุ ได้วา่ จะมี (0,0)  เพยี งหน่งึ เดยี วทที่ าให้ (a,b) (0,0) (a,b) (0,0) (a,b) สาหรบั ทกุ (a,b)  จากทฤษฎีบท 7.6 เราจะเรียก (0,0) ว่า “เอกลักษณ์การบวก” ของ (a,b) ใด ๆ ใน  ทฤษฎบี ท 7.7 สาหรับคู่อันดับ (a,b) ใด ๆ ใน  จะมี (a,b)  เพียงหนึ่ง เดียวที่ทาให้ (a,b) (a,b) (0,0) (a,b) (a,b) พสิ ูจน์ ให้ (a,b) เป็นคอู่ ันดบั ใด ๆ ใน  จากบทนิยาม 6.1 ไดว้ ่า (a,b) (a,b) (a (a),b (b)) (0,0) และจากทฤษฎบี ท 6.4 เราจะได้ (a,b) (a,b) (a,b) (a,b) (0,0) สมมตวิ า่ มี (c,d)  ท่ที าให้ (a,b) (c,d) (0,0) จากบทนิยาม 6.1 ไดว้ ่า (a c,b d) (0,0) และจากทฤษฎบี ท 6.3 เราจะได้ a  c  0 และ b  d  0 นั่นคือ c  a และ d  b ดงั นัน้ (c,d) (a,b) บทนยิ าม 7.8 สาหรับค่อู นั ดบั (a,b) ใด ๆ ใน  จะเรยี ก (a,b) วา่ “ผกผนั การบวก” ของ (a,b) เขยี นแทนดว้ ย (a,b) โดยท่ี (a,b) (a,b) ทฤษฎบี ท 7.9 สาหรับคู่อันดับ (a,b) ใด ๆ ใน  จะมี (1,0)  เพียงหน่ึงเดียวท่ี ทาให้ (a,b)(1,0) (a,b) (1,0)(a,b) พสิ ูจน์ ให้ (a,b) เป็นค่อู ันดับใด ๆ ใน 

190 จากบทนิยาม 7.2 ไดว้ ่า (a,b)(1,0) (a(1) b(0),a(0)  b(1)) (a 0,0 b)  (a, b) และจากทฤษฎีบท 7.4 เราจะได้ (1,0)(a,b) (a,b)(1,0) (a,b) สมมติว่ามี (c,d)  ที่ทาให้ (a,b)(c,d) (a,b) ดังนนั้ (1,0) (1,0)(c,d) (c,d) เพราะฉะนัน้ เราจงึ สรปุ ไดว้ ่า จะมี (1,0)  เพียงหนง่ึ เดียวที่ทาให้ (a,b)(1,0) (a,b) (1,0)(a,b) สาหรับทุก (a,b)  มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จากทฤษฎีบท 7.9 เราจะเรียก (1,0) ว่า “เอกลักษณ์การคูณ” ของ (a,b) ใด ๆ ใน  ทฤษฎบี ท 7.10 สาหรับค่อู นั ดบั (a,b) (0,0) ใด ๆ ใน  จะมี  a2 a b2 , b  .  a2  b2 ใน  เพียงหน่ึงเดียวทท่ี าให้ (a, b )  a2 a b2 , b   (1,0)   a2 a b2 , b   (a, b )  a2  b2  a2 b2 พิสูจน์ ให้ (a,b) (0,0) เป็นคู่อันดบั ใด ๆ ใน  จากบทนิยาม 6.2 ได้ว่า (a, b)  a2 a b2 , b   a2 b2   (a) a2 a b2  (b) b ,(a) b  (b) a2 a b2   a2  b2 a2  b2    a2 a2  a2 b2 , ab  a2 ab    b2  b2 a2  b2  b2     a2  2  (1,a02) b 2 , ab  ab   b a2 b2   จากทฤษฎีบท 7.4 จะได้  a2 a b2 , b   (a, b )  (a, b )   a2 a b2 , b   (1,0)  a2 b2  a2 b2 สมมติว่ามี (c,d)  ที่ทาให้ (a,b)(c,d) (1,0) จะได้วา่ (c,d) (c,d)(1,0)

191  (c,d)(a,b) a2 a b2 , b   a2  b2  ( c, d )  (a, b )  a2 a b2 , b   a2 b2  (a, b )  ( c, d )   a2 a b2 , b   a2 b2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง  (1, 0 )   a2 a b2 , b   a2  b2   a2 a b2 , b   a2  b2 เพราะฉะนั้น จะมี  a2 a , b  ใน  เพยี งหน่ึงเดียวทท่ี าให้  b2 a2  b2 (a, b )  a2 a b2 , b   (1,0)   a2 a b2 , b   (a, b )  a2  b2  a2 b2 จากทฤษฎีบท 7.10 เราจะเรียก  a2 a , a2 b  ว่า “ผกผันการคูณ” ของ  b2  b2 (a,b) ใน  บทนยิ าม 7.11 สาหรับคอู่ นั ดบั (a,b) (0,0) ใด ๆ ใน  จะเรยี ก a b  a2  b2 , a2  b2  วา่ “ผกผนั การคณู ” ของ (a,b) เขยี นแทนด้วย (a, b)1 โดยท่ี (a, b )1   a2 a b2 , b   a2  b2 ทฤษฎีบท 7.12 สาหรบั คู่อันดบั (a,b) , (c,d) และ (e,f ) ใด ๆ ใน  1) (a,b)((c,d) (e,f )) (a,b)(c,d) (a,b)(e,f ) 2) ((a,b) (c,d))(e,f ) (a,b)(e,f ) (c,d)(e,f ) พิสจู น์ ให้ (a,b) , (c,d) และ (e,f ) เปน็ คู่อันดับใด ๆ ใน  1) จากบทนยิ าม 7.1 และ 7.2 ไดว้ ่า (a,b)((c,d) (e,f )) (a,b)(c e,d f ) (a(c e) b(d f ),a(d f )  b(c e)) (ac ae bd bf,ad af  bc  be) ((ac bd) (ae bf ),(ad  bc) (af  be))

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 192 (ac bd,ad  bc) (ae bf,af  be)  (a, b)(c,d)  (a, b)(e,f ) ดังนั้น (a,b)((c,d) (e,f )) (a,b)(c,d) (a,b)(e,f ) 2) พสิ ูจนท์ านองเดียวกับ 1) จากทฤษฎีบท 7.12 เราจะเรยี กว่า “สมบัติการแจกแจง” ของคู่อันดับใด ๆ ใน  ทฤษฎีบท 7.13 สาหรับคูอ่ นั ดบั (a,b) และ (c,d) ใด ๆ ใน  จะมี (e,f )  เพียงคเู่ ดยี วเท่าน้นั ท่ที าให้ (a,b) (e,f ) (c,d) พิสจู น์ ให้ (a,b) และ (c,d) เปน็ คู่อันดบั ใด ๆ ใน  เลอื ก (e,f ) (a,b) (c,d) ดังน้ัน (a,b) (e,f ) (a,b) (a,b) (c,d) (a,b) ((a,b))(c,d)  (0,0)  (c,d)  (c,d) สมมติว่ามี (g,h)  ทท่ี าให้ (a,b)  (g,h)  (c,d) ดงั นั้น (e,f ) (a,b) (c,d)  (a,b) (a,b) (g,h) (a,b) (a,b)(g,h)  (0,0)  (g, h) (g,h) เพราะฉะนนั้ จะมี (e,f )  เพียงคเู่ ดียวเท่าน้ัน ทีท่ าให้ (a,b)(e,f) (c,d) ทฤษฎบี ท 7.14 สาหรบั ค่อู ันดับ (a,b) และ (c,d) ใด ๆ ใน  โดยที่ (a,b) (0,0) จ ะ มี (e,f )  เพียงคเู่ ดียวเทา่ นัน้ ทที่ าให้ (a,b)(e,f ) (c,d) พสิ ูจน์ ให้ (a,b) และ (c,d) เป็นคอู่ นั ดบั ใด ๆ ใน  โดยที่ (a,b) (0,0) เลอื ก (e,f ) (a,b)1 (c,d)  ดงั นั้น (a,b)(e,f )  (a,b) (a,b)1 (c,d)   (a,b)(a,b)1 (c,d)  (1,0)(c,d)  (c,d) นน่ั คอื (a,b)(e,f ) (c,d) สมมติว่ามี (g,h)  ทท่ี าให้ (a,b)(g,h) (c,d) ดงั นนั้ (e,f ) (a,b)1 (c,d)