อนุรักษ์ ธัญญเจริญ

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 193  (a,b)1 (a,b)(g,h)   (a,b)1 (a,b) (g,h)  (1,0) (g, h) (g,h) ดังนน้ั (e,f ) (g,h) เพราะฉะนนั้ จะมี (e,f )  เพยี งคู่เดียวเทา่ นัน้ ท่ที าให้ (a,b)(e,f) (c,d) ทฤษฎบี ท 7.15 สาหรับคอู่ นั ดับ (a,b) , (c,d) และ (e,f ) ใด ๆ ใน  1) ถา้ (a,b) (e,f ) (c,d) (e,f ) แลว้ (a,b)  (c,d) 2) ถ้า(e,f ) (a,b) (e,f ) (c,d) แลว้ (a,b)  (c,d) พสิ จู น์ ให้ (a,b) , (c,d) และ (e,f ) เปน็ คูอ่ ันดับใด ๆ ใน  1) สมมติ (a,b) (e,f ) (c,d) (e,f ) จะได้วา่ (a,b) (e,f )((e,f )) (c,d) (e,f )((e,f )) (a,b) (e,f ) ((e,f ) (c,d) (e,f ) ((e,f ) (a,b)(0,0) (c,d) (0,0) ดังนนั้ (a,b)  (c,d) 2) จากข้อ 1) และทฤษฎบี ท 7.4 เราจะไดว้ า่ ถ้า (e,f ) (a,b) (e,f ) (c,d) แลว้ (a,b)  (c,d) ทฤษฎบี ท 7.16 สาหรับคอู่ ันดับ (a,b) , (c,d) และ (e,f ) ใด ๆ ใน  โดยที่ (e,f ) (0,0) 1) ถ้า (a,b)(e,f ) (c,d)(e,f ) แล้ว (a,b)  (c,d) 2) ถ้า (e,f )(a,b) (e,f )(c,d) แล้ว (a,b)  (c,d) พิสจู น์ ให้ (a,b) , (c,d) และ (e,f ) เปน็ คู่อันดบั ใด ๆ ใน  โดยที่ (e,f ) (0,0) จากทฤษฎบี ท 7.10 จะมี (e,f )1   . 1) สมมติ (a,b)(e,f ) (c,d)(e,f ) จะได้วา่ (a,b)(e,f )(e,f )1 (c,d)(e,f )(e,f )1    (a,b) (e,f )(e,f )1  (c,d) (e,f )(e,f )1 (a,b)(1,0)  (c,d)(1,0) ดงั นน้ั (a,b)  (c,d) 2) จากข้อ 1) และทฤษฎบี ท 7.4 เราจะได้ว่า ถา้ (e,f )(a,b) (e,f )(c,d) และ (e,f ) (0,0) แล้ว (a,b)  (c,d)

194 7.2 จานวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers) จากสมการ x2 1  0 จะได้ว่า x2  1 นั่นคือ x   1 ซึ่งจะเห็นได้ว่าเป็น สมการที่ไม่มีคาตอบท่ีเป็นจานวนจริง ทานองเดียวกัน พิจารณาสมการ x2  4 จะได้ว่า x   4 น่ันคือ x   4(1)   4 (1) ซ่ึงจะเห็นได้ว่าสามารถเขียนอยู่ในรูปของ ผลคูณของ 1 ได้ เพราะฉะน้ัน เราจึงกาหนดให้ i  1 ทาให้ได้สมบัติ i2  1 ดังนั้น i จึงเปน็ คาตอบของสมการ x2 1  0 จะเห็นได้ว่า i ไม่ใช่จานวนจริง เราเรียกว่า “จานวนจินตภาพ” (Imaginary number) ดงั น้ัน สาหรับจานวนจริง a และ b เรากาหนดให้จานวนท่อี ยใู่ นรปู a  bi คือจานวนเชงิ ซ้อน หรือ a  bi (a,b) นน่ั เอง มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง บทนิยาม 7.17 จานวนเชงิ ซอ้ น (0,1) เขยี นแทนดว้ ย i เรียกว่า “จานวนหนึง่ หน่วยจินตภาพ” จากบทนิยาม 7.17 สมมติ i (0,1) จะได้วา่ ii  (0,1)(0,1) (00 11,0110)  (1,0) ดังนั้น ถ้า i (0,1) แลว้ ii  (1,0) จากหัวข้อ 7.1 เราได้ศึกษาสมบัติของคู่อันดับใน  ดังน้ัน เมื่อเรากาหนดให้ เซต ของจานวนเชิงซอ้ น (Complex numbers) เขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ โดยท่ี   เม่ือ z จะไดว้ ่า จะมี (a,b)  โดยท่ี z  (a,b) เพราะว่า (a,b) (a 0,b 0) ดังนั้น (a,b) (a 0,0  b) (a,0) (0,b) (a,0) (b,0)(0,1) (a,0)(b,0)i ทา ให้ z (a,b) a  bi น่ันเอง บทนยิ าม 7.18 จานวนเชิงซอ้ นศูนย์ เขยี นแทนดว้ ย 0 คือ (0,0) หรอื 0 0i ใน บทนิยาม 7.19 ให้ z  (a,b) เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ จานวนเชิงซ้อน z กาหนดโดย z  (a,b) (a,b)  a (b)i บทนิยาม 7.20 จานวนเชิงซอ้ นหน่งึ เขยี นแทนด้วย 1 คอื คู่อนั ดับ (1,0) หรือ 1 0i ใน บทนิยาม 7.21 ให้ z  (a,b) เป็นจานวนเชิงซอ้ นใด ๆ ซ่ึง z  0 จานวนเชงิ ซ้อน z1   a2 a b2 , b   a2 b2 บทนยิ าม 7.22 ให้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ z1 z2  z1 (z2 )

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 195 เซตของจานวนเชงิ ซอ้ นประกอบด้วยจานวนและตัวดาเนินการทวิภาค บวก + และคณู  (หรือ  หรือไม่เขยี นเคร่ืองหมาย) มสี มบัติท่ีเรียกวา่ “สัจพจน์ของจานวนเชงิ ซอ้ น” ดังต่อไปน้ี ให้ z1, z2 และ z3 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ 1. การดาเนินการบวก: ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน ผลบวกของ z1 กับ z2 เขียนว่า z1  z2 จะเป็นจานวนเชิงซ้อนจานวนหนึ่งเพียงจานวนเดียว และมีสมบัติ ดงั นี้ 1.1 สมบตั กิ ารเปลย่ี นกลมุ่ : z1  (z2  z3)  (z1  z2)  z3 1.2 สมบัติการสลับที:่ z1  z2  z2  z1 1.3 มีจานวนเชงิ ซอ้ นศนู ย์ 0 ทม่ี ีสมบตั วิ ่า z1  0  0  0  z1 สาหรบั ทุก จานวนเชงิ ซ้อน z1 เรยี ก 0 ว่าเป็นเอกลักษณ์การบวก 1.4 สาหรบั จานวนจรงิ z1 จะมีจานวนจรงิ a ท่ีมีสมบตั ิว่า z1  (z1)  0  (z1)  z1 เรียก z1 ว่าเป็นผกผันการบวกของ z1 2. การดาเนนิ การคณู : ให้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน ผลคูณของ z1 กบั z2 เขียน ว่า z1  z2 หรือ z1  z2 หรือ z1z2 จะเป็นจานวนเชิงซ้อนจานวนหน่ึงเพียงจานวน เดยี วและมีสมบตั ิดงั นี้ 2.1 สมบตั ิการเปล่ียนกลมุ่ : z1 (z2  z3)  (z1  z2) z3 2.2 สมบตั ิการสลบั ท่:ี z1  z2  z2  z1 2.3 มีจานวนเชิงซ้อน 1 ท่ีมีสมบัติว่า z1 111 z1 สาหรับทุกจานวน เชิงซ้อน z1 เรียก 1 วา่ เป็นเอกลกั ษณก์ ารคณู 2.4 สาหรับจานวนเชิงซ้อน z1 ท่ไี มใ่ ช่ 0 จะมจี านวนเชงิ ซอ้ น z11 ท่ีมีสมบัติ วา่ z1  z11  1  z11  z1 เรยี ก z11 วา่ ตวั ผกผันการคณู (Inverse) ของ z1 3. สมบัตกิ ารแจกแจง: ให้ z1, z2 และ z3 เป็นจานวนเชิงซอ้ น z1 (z2  z3)  z1  z2  z1  z3 หรอื (z1  z2 ) z3  z1  z3  z2  z3 เซตท่ีมีสมาชิกและการดาเนินการสองชนิด ซึ่งมีสมบัติ 9 ข้อดังข้างบนนี้ เราเรียกว่า “สนาม” (Ordered Field) และ”สมบัตคิ วามบริบรู ณ์” (Completeness Axiom) ทฤษฎีบท 7.23 สาหรับจานวนเชิงซอ้ น z1 และ z2 ใด ๆ 1) (z1)  z1 2) (z1 z2 ) (z1) (z2 ) 3) z1 0 0 4) (z1 )1  z 5) (z1)z2  z1 (z2 )  (z1 z2 ) พสิ จู น์ ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ

196 1) เพราะวา่ (z1)(z1) 0  z (z1) เน่อื งจากผกผนั การบวกของ z1 มีเพยี งจานวนเดยี วเทา่ นั้น คือ z1 ดงั น้ัน (z1)  z1 2) (z1 z2 ) ((z1) (z2 )) ((z1 z2 ) (z1)) (z2 ) (z1 (z2 (z1))) (z2 )  (((zz11(((zz11 )))zz22)))  ((zz22 )   ) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง(0 z2 )(z2 )  z2 (z2 ) 0 จะไดว้ ่า (z1) (z2 ) เปน็ ผกผันการบวกของ z1  z2 ดงั น้นั (z1 z2 ) (z1) (z2 ) 3) z1 z1 0  z1 1z1 0  z1 (10)  z1 1  z1 จะไดว้ ่า z1 0 เป็นเอกลกั ษณ์การบวกของ z1 แต่ 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกของจานวนเชิงซ้อนใด ๆ เพียงจานวนเดียวเท่านน้ั เพราะฉะนนั้ z1 0 0 4) (z1 )1 (z1) 1  z(z1) เนอ่ื งจากผกผนั การคูณของ z11 มีเพียงจานวนเดยี วเท่านนั้ คอื z1 ดงั นัน้ (z1 )1  z 5) จะแสดงวา่ (z1)z2  (z1 z2 ) พิจารณา (z1 z2 ) (z1)z2 (z1 (z1))z2 0z2 0 ดงั นน้ั (z1)z2 เป็นผกผันการบวกของ z1 z2 จะได้วา่ (z1)z2  (z1 z2 ) ทานองเดียวกนั เราได้ z1 (z2 )  (z1 z2 ) เพราะฉะนน้ั เราจงึ สรปุ ได้ว่า (z1)z2  z1 (z2 )  (z1 z2 ) ทฤษฎีบท 7.24 สาหรับจานวนเชงิ ซ้อน z1 และ z2 ใด ๆ ถ้า z1  0 แล้ว จะมีจานวนเชงิ ซ้อน z3 เพียงจานวนเดียวเท่านน้ั ทที่ าให้ z1 z3  z2 พสิ ูจน์ ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ

197 สมมติ z1  0 เลือก z3  z11 z2  ดังน้ัน z1 z3  z1  z11 z2   z1 z11 z2 1z2  z2 สมมติว่า มจี านวนเชิงซอ้ น z4 ซง่ึ ทาให้ z1 z4  z2 ดังน้นั z3 1z3   z11 z1 z3  z11 z1 z3   z11 z2  z11 z1 z4    z11 z1 z4 1z4  z4 เพราะฉะน้ัน เราจึงสรุปได้วา่ จะมีจานวนเชิงซอ้ น z3 เพยี งจานวนเดียวเทา่ นั้น ทท่ี า ให้ z1 z3  z2 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎีบท 7.25 สาหรับจานวนเชิงซ้อน z1 และ z2 ใด ๆ ถ้า z1 z2 0 แล้ว z1  0 หรือ z2 0 พิสูจน์ ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ สมมติ z1 z2 0 จะแสดงวา่ z1  0 หรือ z2  0 สมมติ z1  0 จะพิสูจน์ว่า z2  0 เพราะว่า z1  0 ดังนน้ั จะมี z11  0 จาก z1 z2 0 จะได้วา่ z11 z1 z2   z11 0  z11 z1 z2  z11 0  z11 z1 z2  0 1z2 0 z2 0 เพราะฉะนน้ั เราจึงสรุปไดว้ า่ ถา้ z1 z2 0 แลว้ z1  0 หรือ z2  0

198 ทฤษฎีบท 7.26 สาหรบั จานวนเชงิ ซ้อน z1,z2 และ z3 ใด ๆ 1) ถ้า z1 z3  z2 z3 และ z3  0 แลว้ z1  z2 2) ถา้ z1 z2  z1 z3 และ z1  0 แล้ว z2  z3 พสิ จู น์ ให้ z1,z2 และ z3 เปน็ จานวนเชิงซ้อนใด ๆ 1) สมมติ z1 z3  z2 z3 และ z3  0 เพราะว่า z3  0 ดงั น้ันจะมี z31  0 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง   z 31 1 จาก z1 z3  z2 z3 จะได้ว่า  z1 z3 z2 z3  z 3    z1  z3 z31  z2  z3 z31 z1 1 z2 1 2) พิสูจน์ทานองเดียวกบั 1) z1  z2 บทนิยาม 7.27 ให้ z  (a,b) เปน็ จานวนเชิงซอ้ นใด ๆ โดยท่ี a และ b คือจานวนจริง สว่ นจริง (real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z) คอื a และ ส่วนจินตภาพ (Imagineering part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(z) คือ b บทนิยาม 7.28 ให้ z  (a,b) เป็นจานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ สงั ยคุ (conjugate) ของ z เขยี นแทนด้วย z คอื จานวนเชงิ ซอ้ น z  (a,b) หรอื z  a  bi บทนิยาม 7.29 ให้ z1 a  bi และ z2  c  di เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ z1 z2 (a c) (b d)i บทนยิ าม 7.30 ให้ z1 a  bi และ z2  c  di เป็นจานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ z1 z2 (ac bd) (ad  bc)i บทนิยาม 7.31 ใกหา้หzน1ดzza12bzi1แลzะ2z12  c  di เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ โดยที่ z2  0 ทฤษฎบี ท 7.32 สาหรบั จานวนเชิงซ้อน z1, z2 และ z3 ใด ๆ 1) z1  z2  z1  z2 2) z1 z2  z1 z2 3) (z1)   z1

199 4) z1  z1 5) z1  z1  2Re (z1) 6) z1  z1  2Im (z1) พสิ จู น์ ให้ z1 a  bi , z2  c  di และ z3 e  f i เปน็ จานวนเชิงซ้อนใด ๆ 1) จากบทนิยาม 7.28 และ 7.29 เราไดว้ ่า z1  z2 (c  di) (e  f i) (c e) (di fi) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง (c e)(d f)i  (c e) (di  fi)  (c di) (e f i) ดงั น้ัน z1  z2  z1  z2  z1  z2 2) พิสจู น์ทานองเดยี วกบั 1) 3) จากบทนิยาม 7.28 เราได้ว่า (z)  (a  bi)  (a  bi)  a  bi  (a  bi) ดงั นนั้ (z1)   z1 z 4) จากบทนยิ าม 7.28 เราได้ z a  bi a  bi a  bi z ดังน้ัน z1  z1 5) จากบทนยิ าม 7.28 และ 7.29 เราได้ว่า z1  z1 (a  bi) (a bi) (a a) (bi bi)  2a  2Re(z1) ดงั นั้น z1  z1  2Re (z1) 6) พสิ จู น์ทานองเดยี วกับ 5) บทนิยาม 7.33 ให้ z  a  bi เป็นจานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ ค่าสมั บรู ณ์ของ z เขียนแทนดว้ ย z กาหนดโดย z  a2  b2

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 200 จากบทนิยาม 7.33 เราจะเห็นได้ว่า เมื่อ z เป็นจานวนเชิงซ้อน แต่ z คือจานวนจริง a2  b2 ซ่ึงหากพิจารณาค่าสัมบูรณ์ของจานวนจริงหมายถึงระยะห่างระหว่างจานวนจริงนั้นกับ ศูนย์ จึงทาให้จานวนจริงบวกกับผกผันของจานวนนั้นมีค่าสัมบูรณ์ที่เท่ากัน ทานองเดียวกัน เมื่อ z เป็นจานวนเชิงซ้อน เราจะพิจารณาค่าสัมบูรณ์ของ z  a  bi ในระบบพิกัดฉาก โดยให้แกนแนว นองคือค่าของ a และแกนแนวต้ังคือค่าของ b ดังน้ันเมื่อพิจารณาระยะทางของจุด (a,b) กับจุด (0,0) จะพบวา่ มีความยาวของระยะหา่ งระหว่างจดุ สองจุดนีเ้ ทา่ กับ a2  b2 ทฤษฎบี ท 7.34 สาหรบั จานวนเชงิ ซอ้ น z  a  bi จานวนเชงิ ซอ้ นใด ๆ 1) z  0 2) z 0 ก็ตอ่ เม่ือ z  0 3) z z  z 2 4) z  z 5) z  z พิสจู น์ ให้ z  a  bi และ z1  c  di เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ 1) เพราะว่า x2  0 สาหรบั ทุกจานวนจริง x ดังนนั้ a2  b2  0 นน่ั คอื z  0 2) พจิ ารณา z 0  a2  b2  0 a2 b2 0 a2 0  b2 0 a0b0 a  bi  0 z0 3) จากบทนยิ าม 7.28 และ 7.30 เราไดว้ ่า z z (a  bi)(a bi) (a2  b2 ) (abi  bai) (a2  b2 )   a2  b2 2  z2 4) จากบทนิยาม 7.33 จะได้ z  (a)2  (b)2  a2 b2 z

201 5) จากบทนิยาม 7.28 และ 7.33 จะได้ z  a2  b2  a2 (b)2  a (bi)  a  bi  a  bi z มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง ทฤษฎีบท 7.35 สาหรับจานวนเชิงซอ้ น z1 a  bi และ z2  c  di ใด ๆ 1) z1 z2  z1  z2 1 z1 2) ถ้า z1  0 แลว้ z11  z1 1  3) ถ้า z2  0 แล้ว z1  z1 z2 z2 พสิ ูจน์ ให้ z1 a  bi และ z2  c  di เปน็ จานวนเชิงซอ้ นใด ๆ 1) จากบทนยิ าม 7.30 และ 7.33 ได้ว่า z1 z2  (ac  bd) (ad  bc)i  (ac  bd)2  (ad  bc)2  (ac)2  2(ac)(bd)  (bd)2  (ad)2  2(ad)(bc) (bc)2  (ac)2  (bd)2  (ad)2  (bc)2  a2c2 b2d2 a2d2 b2c2  a2c2 a2d2 b2c2 b2d2  a2  b2 c2 d2     a2  b2 c2  d2  z1  z2 2) สมมติ z1  0 ดงั นน้ั จะมี z11  0 ดงั นน้ั z1  z11  z1 z11  10i  12 02

202 1 ดงั น้นั z11 เป็นผกผันการคูณของ z1 นนั่ คอื z11  z1 1 จากบทนยิ าม 7.33 เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ z11  z1 1  1 z1 3) สมมติ z2  0 ดังนั้นจะมี z21  0มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง จาก 1) และ 3) จะได้ว่า z1  z1  z 1 z2 2  z1  z21  z1  z2 1 1  z1  z2  z1 z2 ทฤษฎบี ท 7.36 สาหรบั จานวนเชิงซอ้ น z1 a  bi และ z2  c  di ใด ๆ 1) z1 z2  z2 z1  2 Re (z1  z 2 ) 2 z1  z2 2  z1 2  z2 2  2 Re (z1  z 2 ) 3) z1  z2  z1  z2 4) z1  z2  z1  z2 พิสูจน์ ให้ z1 a  bi และ z2  c  di เปน็ จานวนเชิงซ้อนใด ๆ 1) พจิ ารณา z1 z2 (a  bi)(c di) (ac  bd) (ad  bc)i และ z2 z1 (a  bi)(c  di) (ac  bd) (ad bc)i ดังนนั้ z1 z2  z2 z1 (ac  bd) (ad  bc)i (ac  bd) (ad bc)i ac  bd (ad)i (bc)i ac  bd (ad)i (bc)i  2(ac  bd)  2 Re (z1  z 2 ) 2) จากทฤษฎบี ท 7.34 จะได้ z1  z2 2  (z1  z2 )(z1  z2 )

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 203  (z1  z2 )(z1  z2 )  z1 z1  z1 z2  z2 z1  z2 z2  z1 2  z1 z2  z2 z1  z2 2  z1 2  2Rez1 z2  z2 2  z1 2  z2 2  2Rez1 z2  3) เพราะวา่ z1  z2 2  z1 2  z2 2  2Rez1 z2   z1 2  z2 2  2 Rez1 z2   z1 2  z2 2  2 z1 z2  z1 2  z2 2  2 z1  z2  z1 2  z2 2  2 z1  z2  z1  z2 2 เพราะฉะน้นั z1  z2  z1  z2 4) เนอ่ื งจาก z1  z1 (z2  z2 )  (z1 z2 )  z2  z1  z2  z2 ดงั น้นั z1  z2  z1 z2 ในทานองเดยี วกนั จะได้ z2  z1  z2 z1  z1 z2  z1  z2 ดงั นั้น  z1 z2  z1  z2  z1 z2 นนั่ คือ z1  z2  z1  z2 7.3 จานวนเชิงซอ้ นในระบบพิกัดเชิงขั้ว (Complex Numbers in Polar Coordinate Plane) ให้ z  a  bi เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ เม่ือนาค่าส่วนจริง a และส่วนจินตภาพ b ไป กาหนดพิกัดจุดในระบบพิกัดฉาก โดยมีแกนแนวนอนคือค่าส่วนจริงและแกนแนวตั้งคือค่าส่วนจินต- ภาพ จะไดด้ ังภาพตอ่ ไปน้ี

204 \\ Y (a,b) b r  Oa มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง X ภาพท่ี 7.1 จานวนเชงิ ซอ้ น (a,b) ในระบบพิกดั ฉาก จากภาพท่ี 7.1 เราให้ r คือ มอดุลัส โดยที่ r  a2  b2 ซึ่งเป็นระยะท่ีจุด z ห่าง จากจุดกาเนิด และ  คือ อาร์กิวเมนต์ ของ z ดังนั้นจานวนเชิงซ้อน a  bi หรือ (a,b) ใด ๆ สามารถเขียนได้ในรูป r cos  i r sin หรือ (r cos,r sin) และเรียกรูปแบบของจานวนเชิงซ้อน น้วี ่า “จานวนเชิงซ้อนในระบบพกิ ัดเชงิ ขัว้ หรือรปู เชงิ ขัว้ ” ต่อไปน้ีจะแสดงทฤษฎีบทที่เก่ียวข้องกบั การดาเนินการคณู หรอื หารของจานวนเชิงซอ้ นใน ระบบพิกัดเชิงข้วั ทฤษฎีบท 7.37 สาหรับจานวนเชงิ ซ้อน z1  r1 (cos1  i sin1) และ z2  r2 (cos2  i sin2 ) ใด ๆ 1) z1 z2  r1r2 [(cos(1  2 )  i sin(1  2 )] z1 r1 2) z2  r2 [(cos(1  2 )  i sin(1  2 )] เมอ่ื z2  0 พสิ ูจน์ ให้ z1  r1 (cos1  i sin1 ) และ z2  r2 (cos2  i sin2 ) 1) พจิ ารณา z1 z2  r1 (cos1  i sin1)r2 (cos2 i sin2 )  r1r2 [(cos1cos2  icos1sin2  isin1cos2  i2sin1sin2 ]  r1r2 [(cos1cos2 sin 1sin 2 )  i(cos1sin 2  sin 1cos2 )]  r1r2 [(cos(1  2 )  i sin(1  2 )] 2) พิจารณา  i sin1 ) z1 r1 (cos1  i sin2 ) z2  r2 (cos2  r1 (cos 1  i sin 1 ) (cos2  i sin 2 ) r2 (cos 2  i sin 2 ) (cos2  i sin 2 )

205  r1 (cos 1  i sin 1 )(cos2  i sin 2 ) (cos 2 )2  (i sin 2 )2 r2 r1 (cos1  i sin1 )(cos2  i sin )  r2 ((cos2 )2  i2 (sin2 )2 ) 2  r1 (cos 1 cos 2  i sin 1 cos2  i cos1 sin 2  i2 sin 1 sin 2 ) r2 ((cos2 )2  (sin 2 )2 ) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงr1(cos cos  sin 1 sin 2  i (sin 1 cos2 cos sin ))  1 2 r2 ((cos2 )2  (sin 2 )2 )  1 2  r1 (cos(1  2 ) i sin(1  2 )) r2 (1)  r1 [(cos(1  2 )  i sin(1  2 )] r2 ตวั อยา่ ง 7.38 ให้ z1  cos   i sin  และ z2  4 (cos 5  i sin 5 ) จงหา 4 4 4 4 1) z1 z2 z1 2) z2 วธิ ที า ให้ z1  cos   i sin  และ z2  4 (cos 5  i sin 5 ) 4 4 4 4 5 5 1) z1  z2  1 4[(cos(   4 )  i sin(   4 )] 4 4 44[(c0os 3i2) 3   i sin 2 ]   4i 2) z1  1 [(cos(   5 )  i sin(   5 )] z2 4 4 4 4 4  1 [(cos()  i sin()] 4 1  4 [(cos()  i sin()]  1 (1  i (0)) 4 1  4

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 206 ทฤษฎีบท 7.39 (กนก จุยคาวงศ์, 2549: 67 – 69) ทฤษฎบี ทของเดอมวั ฟวร์ (De Moivre’s Theorem) ถา้ z เปน็ จานวนเชิงซ้อนท่ีเขยี นในรปู เชงิ ขั้ว z  r(cos  i sin) และ n แลว้ zn  rn [cos(n)  i sin(n)] พิสูจน์ ในการพิสูจนจ์ ะแยกกรณี n เปน็ จานวนเต็ม ออกเป็น 3 กรณี กรณีท่ี 1 n เป็นจานวนเตม็ บวก จะพสิ ูจน์โดยอาศยั หลกั การอุปนัยทางคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) กาหนดให้ P(n):[r(cos  i sin)]n  rn [cos(n)  i sin(n)] พจิ ารณา 1) ถ้า n 1 ได้วา่ r(cos i sin)  r(cos i sin) เป็นจริง 2) สมมตวิ า่ ประพจน์นเี้ ปน็ จรงิ ท่ี n  k กล่าวคือ [r(cos  i sin)]k  rk [cos(k)  i sin(k)] เปน็ จริง จะแสดงว่า ประพจน์นเ้ี ปน็ จริงท่ี n  k 1 นัน่ คอื จะแสดงวา่ [r(cos i sin)]k1  rk1[cos(k 1) i sin(k 1)] พจิ ารณา [r(cos i sin)]k1 [r(cos i sin)]k [r(cos i sin)] [rk (cosk i sin k)][r(cos i sin)]  rk1[cos(k )  i sin(k )]  rk1[cos(k 1) i sin(k 1)] จะได้ P(k) เปน็ จรงิ แลว้ P(k 1) เปน็ จริง โดยอาศยั หลักการอปุ นัยทางคณิตศาสตร์ จะได้ P(n) เปน็ จรงิ สาหรบั ทุก ๆ จานวนเต็มบวก n ดงั นนั้ zn  rn [cos(n)  i sin(n)] เป็นจริง กรณีท่ี 2 n เปน็ จานวนเตม็ ศนู ย์ จาก z  r(cos  i sin) z0 [r(cos  i sin)]0 z0  r0 (cos  i sin)0 z0 1 z0 1(cos0  i sin0)

207 z0  r0 (cos0  i sin0) z0  r0 [cos(0)  i sin(0)] นนั่ คือ zn  rn [cos(n)  i sin(n)] เปน็ จริง เม่ือ n เปน็ จานวนเต็มศนู ย์ กรณที ี่ 3 n เปน็ จานวนเต็มลบ จะได้ n เป็นจานวนเตม็ บวก 1 1 จาก z  r(cos  i sin) ดังนั้น z  r (cos()  i sin()) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงจากกรณีที่ 1 จะได้ n  1  [ 1 (cos()  i sin())]n z r 1 z n  rn (cos(n)  i sin(n)) zn  rn [cos(n)  i sin(n)] เปน็ จรงิ จากกรณี 1 – 3 สรปุ ได้วา่ zn  rn [cos(n)  i sin(n)] โดยที่ n ตัวอยา่ ง 7.40 จงหาค่าจานวนเชิงซอ้ นต่อไปนี้ (1 i)4 วธิ ที า ให้ z  1 i ดงั น้ัน z  (1)2 12  2 1 3   arc tan 1  arc tan( 1)  4 จะได้ว่า z  2 (cos 3  i sin 3 ) 4 4 3 3 ดงั น้ัน z4  ( 2 )4  cos 4  4   i sin 4  4       4 cos3 i sin3  41i0  4 เพราะฉะนัน้ (1 i)4  4 ทฤษฎีบท 7.41 สาหรับจานวนเชงิ ซอ้ น z  r(cos  i sin) และ n เป็นจานวนเตม็ บวกใด ๆ 11    zn  r n cos2 k 2 k n  i sin n  โดยที่ k  0,1, 2,..., n 1  พสิ จู น์ ให้ z  r(cos  i sin) และ x เปน็ ค่ารากท่ี n ของ z

208 1 จะได้ xn  z หรอื x  z n ถา้ z  0 และให้ x  r0 (cos0  i sin0 ) เพราะฉะนั้น [r0 (cos0  i sin0 )]n  r(cos  i sin) และ r0n (cos(n0 )  i sin(n0 ))  r(cos  i sin ) 1 จะได้ r0n  r เพราะฉะนัน้ r0  r n มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบงและ n0    2k โดยที่ k  0,1,2,...,n 1 2k เพราะฉะน้นั 0    n 1 n    ดงั นัน้ x  r n cos2 k  i sin 2 k  n n  11    นน่ั คือ zn  r n cos2 k 2 k n  i sin n   โดยที่ k  0,1,2,...,n 1 ตวั อย่าง 7.42 จงหารากที่ 5 ของ 1 3i วธิ ีทา ให้ z 1 3i ดังนน้ั r  12  ( 3)2  2 พิจารณา   arc tan  3  arc tan( 3)  3 1 4 3 3 จะไดว้ า่ z  2(cos 4 i sin 4 ) ดังนนั้ รากที่ 5 ของ z จะเป็น 1  2 1   34 2 k   i sin  34 2 k  5 cos  5   5  z5  โดยที่ k  0,1,2,3,4 3 3 20 20 ถ้า k  0 แล้ว z0  5 2 (cos i sin ) ถา้ k 1 แลว้ z1  5 2 (cos 11  i sin 11 ) 20 20 19 19 ถา้ k2 แล้ว z2  5 2 (cos 20  i sin 20 )

209 ถา้ k  3 แลว้ z3  5 2 (cos 27 i sin 27 ) 20 20 35 35 ถา้ k  4 แลว้ z4  5 2 (cos 20  i sin 20 ) จากตัวอย่าง 7.42 เราได้ว่า 1 1  34 2 k   i sin  342 k  หาก cos 5   5  z5 25 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง เราแทนค่า k 5 จะได้ว่า z5  5 2 (cos 43  i sin 43 )  5 2 (cos 3  i sin 3 ) ซ่ึงจะเห็น 20 20 20 20 ไดว้ า่ รากท่ี 5 ของจานวนเชิงซ้อน 1 3i จะมเี พยี ง 5 รากท่ีต่างกันเทา่ นั้น บทสรุป จานวนเชิงซ้อนเกิดข้ึนได้จากการต้องการหาคาตอบของปัญหาที่ยังไม่มีคาตอบท่ีเป็น จานวนจริง น่ันคือสมการ x2 1  0 สาหรับจานวนจริง x ใด ๆ นักคณิตศาสตร์พบว่า เม่ือ กาหนดให้ i  1 จะพบว่า i เป็นคาตอบของสมการ x2 1  0 และพบว่าจานวนเชิงซ้อนใด ๆ สามารถเขียนอยใู่ นรูปคอู่ ันดับใน  ซ่ึงคือเซตจานวนเชงิ ซ้อน เม่ือจานวนเชิงซ้อนเขียนอยู่ในรูปของคู่อันดับของจานวนจริง สมบัติต่าง ๆ ของจานวน เชิงซ้อนจึงสามารถพิสูจน์ได้โดยการอ้างอิงจากสมบัติของจานวนจริงสาหรับการดาเนินการบวกและ การคูณ เช่น สมบัติปิด สมบัติการสลับท่ี สมบัติการเปล่ียนกลุ่ม เอกลักษณ์การบวก เอกลักษณ์ การคูณ การผกผนั การบวก การผกผนั การคูณ และสมบตั กิ ารแจกแจง เปน็ ต้น จานวนเชิงซ้อนยงั สามารถเขียนอยู่ในรูปของระบบพิกดั เชิงขั้ว ซ่ึงการเขียนให้อยู่ในรูปเชิง ข้ัวนี้ทาใหส้ ามารถหาค่ายกกาลังและรากของจานวนเชงิ ซอ้ นโดยอาศัยทฤษฎบี ทได้ แบบฝกึ หัดท้ายบทท่ี 7 จงตอบคาถามต่อไปน้ี 1) จงพิสจู นว์ า่ สาหรบั จานวนเชงิ ซอ้ น z1, z2 และ z3 ใด ๆ (z1  z2 )z3  z1 z3  z2 z3 2) จงพิสจู น์ว่า ให้ z1, z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อนใด ๆ จะมจี านวนเชงิ ซ้อน z3 เพยี งจานวนเดยี วเทา่ นน้ั ท่ีทาให้ z1  z3  z2 3) จงพิสจู น์วา่ ถ้า z1  (a, b) และ z2 (c,d) 0 แลว้ z1   ac  bd , bc  ad  z2 c2 d2 c2  d2 4) จงพสิ ูจน์วา่ ให้ z1,z2 และ z3 เป็นจานวนเชิงซอ้ นใด ๆ ถา้ z1  z2  z1  z3 แล้ว z2  z3

210 5) จงพสิ ูจน์ว่า สาหรบั จานวนเชงิ ซอ้ น z  0 ใด ๆ (z)1  1 z 6) จงพิสจู นว์ า่ สาหรับจานวนเชิงซ้อน z  0 ใด ๆ ( z )  z  2Im (z) 7) ให้ z1  2 4i และ z2  15i จงหา z1 z2 8) จงพสิ จู น์วา่ ให้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ นใด ๆ z1 z2  z1  z2 9) ให้ z1   1  3 i และ z2  cos 2  i sin 2 จงหา (z1 )5 และ (z2 )3 มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง22  3 3    z1 z2 10) ให้ z1 4 (cos 2 i sin ) และ z2 2 (cos i sin ) จงหารากที่ 4 ของ และ 2 4 4 เอกสารอา้ งอิง กนก จุยคาวงศ์ (2549). ทฤษฎีสมการเบือ้ งตน้ . จนั ทบรุ ี : มหาวิทยาลัยราชภฏั ราไพพรรณ.ี กลั ยาณี ไชยวรนิ ทรกลุ (2543). ระบบจานวน. (พิมพค์ ร้ังท่ี 6). กรงุ เทพฯ: มหาวิทยาลัยรามคาแหง. ประชุม สุวัตถี (2518). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : นิยมวทิ ยา. ชะเอม สายทอง (2532). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : โอ เอส พรน้ิ ต้ิง เฮาส.์ วสันต์ จินดารัตนาภรณ์ (2542). ระบบจานวน. เชียงใหม่ : สถาบันราชภฏั เชียงใหม่. วชิ ัย บุญเจอื (2518). ระบบจานวน. กรงุ เทพฯ : ส. อักษรวิทยา. สมศักดิ์ โพธิวิจิตร (2523). ระบบจานวน. สงขลา : มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวโิ รฒ สงขลา. สมสวาท สดุ สาคร (2542). ระบบจานวน. (พิมพค์ รงั้ ท่ี 4). กรุงเทพฯ : มหาวิทยาลัยรามคาแหง. สเุ ทพ จนั ทรส์ มศักด์ิ (2538). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ: โรงพิมพจ์ ุฬาลงกรณ์มหาวทิ ยาลัย. สภุ า สจุ ริตพงศ์ (2523). โครงสร้างของระบบจานวน. กรุงเทพฯ : จฬุ าลงกรณม์ หาวิทยาลยั . อาพล ธรรมเจรญิ (2553). ระบบจานวน. กรุงเทพฯ : พิทักษก์ ารพมิ พ์.

211มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏหม่บู า้ นจอมบงึ ภาคผนวก

มหาวทิ ยาลยั ราชภัฏหม่บู า้ นจอมบงึ 212

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 213 เฉลยแบบฝึกหดั ทา้ ยบท บทที่ 1 ประวัติและพัฒนาการของจานวน 1) อักษรแรกเร่ิมของประวัติศาสตร์ยุคโบราณ ชาวอียิปต์โบราณเม่ือยุคสมัยมากกว่า 5,400 กว่าปี มาแลว้ มี การส่อื ความหมายของจานวนและตัวเลขต่าง ๆ ดว้ ยอักษรภาพท่ีเรยี กวา่ ไฮโรกลีฟ 2) 4  1  1  1 5 245 4) 4.1) CMLXV = CM L X V = 900 + 50 + 10 + 5 = 965 5) 5.2) 3x18x204 + 10x18x203 + 16x18x202 + 8x18x201 + 4x201 + 10x200 = 8,640,000 + 1,440,000 + 2,880 + 80 + 10 = 10,082,970 บทที่ 2 ความรพู้ ื้นฐานทางคณติ ศาสตร์ 2) คาอนิยาม (Undefined Term) เป็นคาทไ่ี ม่ต้องให้คาจากัดความ ไม่ตอ้ งอธบิ ายความหมายของคาน้ัน เพิ่มเตมิ เพราะว่าถา้ ใหค้ าจากัดความหรืออธิบายไปจะต้องมีคาจากัดความอื่นอีกต่อไป ย่ิงจะทาให้ สับสนและวกวนกลับมาท่คี าเดมิ อกี เช่น จดุ เซต เปน็ สมาชกิ เสน้ มุม เปน็ ตน้ 3) x2 1  0 เมือ่ x เปน็ จานวนเต็ม เป็นประโยคเปดิ เมือ่ แทน x 1 เราจะไดว้ า่ 12 1  0 มคี า่ ความจริงเป็นจรงิ ดงั นัน้ 12 1  0 เป็นประพจน์ 6) 6.1) A  B {2,3,9} 6.5) CB {1,1,3,5,7,9}{1,0,1}{1,0,1,3,5,7,9} 7) 7.4) y ,y2 1  0 มีคา่ ความจริงเปน็ เทจ็ เนือ่ งจาก y ,y2 1  0 y ,y2 1 0 และ y2  0 จะได้ว่า y2 1  0 น่ันคือ y2 1  0 ดงั นน้ั y ,y2 1  0 มคี า่ ความจรงิ เป็นจริง ทาให้ y ,y2 1  0 มีค่าความจรงิ เปน็ เทจ็ เช่น 32 1  0 มีค่าความจริงเปน็ เทจ็ เปน็ ตน้ 7.6) ! x , x  x2 มีค่าความจริงเป็นเท็จ เพราะ x  0,1 ทาใหป้ ระโยคเป็นจริง 10) 10.1) ไมเ่ ป็นฟงั ก์ชัน เพราะ (c,c)r1 10.4) ไมเ่ ป็นฟงั กช์ นั เพราะ (0,3),(0,3)r4 แต่ 3  3

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 214 บทที่ 3 จานวนธรรมชาติ 1) 1.1) จากรปู พจิ ารณาไดว้ า่ 2 1*, 4  2* และ 1  4* P1 เปน็ จริง เนอ่ื งจาก 1 P2 เปน็ จรงิ เน่ืองจากสาหรับสมาชิกทุกจดุ มีพจน์ตามหลงั เพยี งตัวเดียวเทา่ น้นั แสดงไดด้ งั น้ี 2 1*, 4  2* และ 1  4* P3 ไมจ่ ริง เพราะวา่ 1  4* P4 เป็นจรงิ เนอ่ื งจาก ถา้ n  m แลว้ n*  m* 1  4 1*  4* , 1  2 1*  2* , 2  4  2*  4* P5 ไมจ่ รงิ เนอ่ื งจาก ให้ M {1,2,4} จะได้ว่า M  1) 1M 2) มี 1,2,4 สมมติ 1,2,4M 1M 1*  2M 2M 2*  4M 4M 4* 1M แต่ M  N 2) 2.1) 4  4  4 3* (4 3)* (4  2* )* [(4  2)*]* ((4 1*)*)*  (((4 1)* )* )*  ((5* )* )*  (6* )*  7* 8 2.4 ) 62  61*  61 6  6  6 ทานองเดยี วกบั 2.1) จะไดว้ ่า 62  6 6 12 3) 3.1) a  b* (a  b)* (b a)*  b a* 5) เนือ่ งจาก 2*1(21) 1 2 13 1*2 (12) 2  2 2  4 ดังน้ัน a*b (ab)  b ไม่มีสมบัตสิ ลับท่ี 8) พสิ ูจนไ์ ดจ้ ากทฤษฎีบท 3.14 และ ทฤษฎบี ท 3.15 11) พิสจู น์ จากทฤษฎีบท 3.19 เราได้ว่า 1 b สาหรับทุกจานวนธรรมมชาติ b ใด ๆ เนอื่ งจาก a  a จากทฤษฎีบท 3.48 จะพิสูจนว์ ่า ถา้ a  c และ b  d แล้ว ab  cd สมมติให้ a  c และ b  d ดังนนั้ ab  cb และ cb  cd จะได้ว่า ab  cd สรปุ ได้วา่ ถา้ a  c และ b  d แล้ว ab  cd จากทฤษฎีบท 3.19 เราได้ว่า 1 b สาหรับทุกจานวนธรรมมชาติ b ใด ๆ เนือ่ งจาก a  a

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 215 ดังนัน้ ถา้ a  a และ 1  b จะได้ว่า a1 ab ถา้ a  a และ 1  b จะไดว้ า่ a1  ab เพราะฉะนัน้ a ab บทที่ 4 จานวนเต็ม 1) สมการ m  n  p จะไม่มีคาตอบของสมการท่ีเป็นจานวนธรรมชาติน่ันเอง ดังนั้นจึงเกิดแนวคิด ในการสรา้ งจานวนเพ่ือใหส้ มการดังกล่าวมคี าตอบ เรยี กว่า “ จานวนเตม็ ” 4) พิสูจน์ จากทฤษฎีบท 4.42 และ 4.48 จะได้ว่า สาหรับจานวนเต็ม A และ B ใด ๆ จะมีจานวน เต็ม C เพียงจานวนเดียวเทา่ นั้นทท่ี าให้ C  A  B 6) พสิ จู น์ A เป็นจานวนเตม็ บวก กต็ อ่ เมื่อ (A) เป็นจานวนเตม็ ลบ ก็ตอ่ เมือ่ A เปน็ จานวนเตม็ ลบ 7) พิสจู น์ พิจารณา (A B)2 (A B)(A B)  (A  (B))(A  (B))  (A  (B))A  (A  (B))(B)  (AA  (B)A)  (A(B)  (B)(B))  (AA  A(B))  (A(B)  BB)  (A2  A(B))  (A(B)  B2 )  A2  (A(B)  A(B))  B2  A2  2A(B) B2  A2 2ABB2 ทานองเดยี วกนั จะได้วา่ (A  B)2  A2  2AB B2 ดงั นน้ั (A  B)2 (A B)2  2A2  2B2 10) พสิ จู น์ สมมติ AC BC และ C  0 จะได้ว่า C  0 จากทฤษฎบี ท 4.77 เราได้วา่ A(C)  B(C) น่ันคือ (AC)  (BC) หรือ (BC)  (AC) จากทฤษฎบี ท 4.70 เราได้ AC BC 11) พิสจู น์ ให้ A เปน็ จานวนเตม็ บวกและ B เปน็ จานวนเต็มลบใด ๆ จะได้ B เปน็ จานวนเตม็ บวก ดังน้นั A(B) เป็นจานวนเตม็ บวก เพราะวา่ A(B)  (AB)

216 จะได้วา่ (AB) เปน็ จานวนเตม็ บวก เพราะฉะน้นั AB เปน็ จานวนเตม็ ลบ บทที่ 5 จานวนตรรกยะ 1) [3, 5]  [6,10],[4, 3] [12, 9],[7, 7] [1,1] และ [1, 9]  [2,18] 2) 2.1) [4, 7][4, 7] [0,14] 2.2) [1, 2][3, 4] [3,8] มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 2.5) [1,3]([4,8][2,5]) [1,3][36,40] [1,3][9,10] [9,30] [3,10] 4) พสิ จู น์ ให้ b, a  0 พิจารณา [a, b][b, a] [ab, ba] เนื่องจาก (ab)11(ba) ดงั นน้ั [ab, ba] [1,1] นน่ั คอื [a, b][b, a] [1,1] 6) ให้ A  1 และ B 1 จะด้วา่ A  B แต่ A2  B2 จงึ สรปุ ได้วา่ เปน็ เทจ็ 8) พสิ จู น์ สมมติ A และ B จานวนตรรกยะใด ๆ โดยท่ี A,B  0 1 1 1 จากทฤษฎบี ท 5.46 จะได้ว่า A B  (A  B)1  B1 A1  A1 B1  A  B 10) พสิ จู น์ สมมติ A และ B จานวนตรรกยะใด ๆ โดยที่ A  0  B 1 เพราะว่า 0  B จากทฤษฎีบท 5.55 จะได้ว่า 0  B และ A  0 จากทฤษฎบี ท 5.56 จะไดว้ ่า 1 0 A 1 1 ดังนน้ั A  B บทที่ 6 จานวนจริง 1) จะแสดงวา่ {x | x  0 x2  5} เปน็ ส่วนตดั บวก ให้ x  1 จะไดว้ ่า x2  12  11  1 จะไดว้ า่ x2  5 ดงั น้นั 1{x | x  0  x2  5} จะไดว้ ่า {x | x  0 x2  5} เป็นส่วนตดั บวก 2) พสิ ูจน์ Cr เป็นส่วนตดั ตรรกยะ พิจารณา x Cr  x  r

มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 217  r Cr  x {x  | y  , y Cr  x  y}  x  Cr ดังน้นั Cr  Cr 5) 5.2) พิสูจน์ ให้ C, D, E และ F เปน็ ส่วนตัด ใด ๆ สมมติ C  D จะไดว้ ่า C  D หรอื C  D เน่ืองจาก C และ D เป็นสว่ นตดั ดงั นัน้ จะมีสว่ นตดั C และ D จากทฤษฎบี ท 6.61 จะไดว้ า่ C  ((C)  (D))  D  ((C)  (D)) (C  (C))  (D)  D  ((C)  (D)) (C  (C))  (D)  D  ((D)  (C)) (C  (C))  (D)  (D  (D))  (C) C0  (D)  C0  (C) D  C ถ้า C  D จะไดว้ ่า C  D ดังนัน้ เราจงึ สรปุ ได้วา่ D  C 5.4) พิสจู น์ ให้ C, D, E และ F เปน็ สว่ นตัด ใด ๆ สมมติ C  D  C0 จากทฤษฎีบท 6.67 (2) จะไดว้ า่ D1  C1 ถ้า C  D จะได้ว่า C 1  D1 ดงั นนั้ D1  C1 7) พสิ ูจน์ ให้ a และ b สาหรบั จานวนจริงใด ๆ เพราะวา่ a  a  0  a  ((b)  b)  (a  (b))  b  a  (b)  b  ab  b นนั่ คือ a  a  b  b จะไดว้ ่า a  b  a  b 9) ให้ A  (3,7] เพราะว่า 3  x และ x  7 สาหรับทุก x  A จะได้ว่า 3 เปน็ ขอบเขตล่างของ A และ 7 เป็นขอบเขตบนของ A ให้ u เปน็ ขอบเขตล่างของ A จะได้วา่ u  3 ดังน้นั inf A  3 ให้ v เป็นขอบเขตบนของ A

218 จะได้วา่ 7  v ดังนั้น sup A  7 บทท่ี 7 จานวนเชงิ ซ้อน 2) พสิ ูจน์ ให้ z1, z2 เป็นจานวนเชิงซ้อนใด ๆ เลือก z3  z1  z2 ท่ที าให้ z1  z3  z1  (z1  z2 ) มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง(z1 (z1)) z2  0  z2  z2 สมมติว่ามีจานวนเชิงซอ้ น z4 ทท่ี าให้ z1  z4  z2 พจิ ารณา z4  0  z4 ((z1)  z1)  z4 (z1) (z1  z4 )  (z1 )  z2  z3 เราจงึ สรปุ ไดว้ า่ จะมีจานวนเชิงซอ้ น z3 เพียงจานวนเดยี วเทา่ นนั้ ทที่ าให้ z1  z3  z2 3) พิสจู น์ สมมติ z1  (a,b) และ z2 (c,d)  0 c d จะไดว้ ่า z21   c2  d2 , c2 d2  ดังนั้น z1  z1 z21 z2 c d  (a, b )   c2  d2 , c2 d2    ac  bd , bc ad  c2  d2 c2 d2 1 5) พสิ จู น์ ให้ z0 เปน็ จานวนเชิงซอ้ นใด ๆ (z )1  z สมมติ z  a  bi จะไดว้ า่ z  a  bi ดังนั้น (z)1   a , (b)  (a)2  (b)2 (a)2  (b)2    a , a2 b b2  a2  b2 

219 จากทฤษฎีบท 7.23 (5) เราไดว้ ่า 1  ( 1)  z 1  (1 z 1 )   1 z z 1 a b เนื่องจาก z  z1   a2  b2 , a2  b2  ดงั น้นั  1    a2 a b2 , b    a2 a , (b)    a , a2 b b2  z  a2  b2  b2 a2  b2 a2  b2  มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง 1 เพราะฉะนน้ั เราจึงสรปุ ไดว้ ่า (z)1  z 8) พิสจู น์ ให้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซอ้ นใด ๆ จากทฤษฎีบท 7.34 (4) และ ทฤษฎีบท 7.36 (3) เราได้วา่ z1 z2  z1 (z2 )  z1  z2  z1  z2 ดังนั้น z1 z2  z1  z2 9) ให้ z1   1  3 i และ z2  cos 2 i sin 2 2 2 3 3 จะแปลงจานวนเชงิ ซ้อน z1 ใหอ้ ย่ใู นรบั บพกิ ัดเชงิ ขั้ว เราได้ว่า r1    1 2   3 2  1  3  1 1 2  2  4 4    1 1 2 3 3  arctan  2   arctan  3  2  3 3 ดังนั้น z1 1 cos 2  isin 2  จะไดว้ ่า (z1 )5 15  cos 5  3   isin 5 3    cos 152  isin 15  2 2  2 2 2 จาก z2  cos i sin 3 3 2 2 จะได้ว่า (z2 )3  cos (3)  3   isin  (3)  3   cos(2) isin(2)

220  cos(2) isin(2)  cos(0) isin(0)  0  i1  i มหา ิวทยา ัลยราช ัภฏห ู่ม ้บานจอม ึบง