Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore maths_g_(1)_2016-2017

maths_g_(1)_2016-2017

Published by nantia.theou, 2016-09-09 08:39:33

Description: maths_g_(1)_2016-2017

Search

Read the Text Version

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΑ Γραμμικό ςύςτημα δύο εξιςώςεων με δύο αγνώςτουσ ������ και ������, λϋμε ϋνα ςύνολο από δύο γραμμικϋσ εξιςώςεισ ������1 ∶ ������1������ + ������1������ = ������1 και ������2 ∶ ������2������ + ������2������ = ������2΢υμβολύζεται με : ������1������ + ������1������ = ������1 ������2������ + ������2������ = ������2 Λύςη γραμμικού ςυςτόματοσ δύο εξιςώςεων με δύο αγνώςτουσ ������ και ������ ονομϊζεται κϊθε ζεύγοσ ( x, y ) που επαληθεύει τισ εξιςώςεισ του. Ένα γραμμικό ςύςτημα επιλύεται γραφικϊ και αλγεβρικϊ. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 3.1.ΕΝΟΣΗΣΑ 2 1. Να βρεύτε την τιμό του λ, ώςτε το ςημεύο ������(5������– 2,2������ + 1) να ανόκει ςτη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = – ������ + 6 . 2. Να βρεθούν τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ ������: – 3������ + 2������ = 12 . με τουσ ϊξονεσ ������������΄ και ������������΄ και να υπολογιςτεύ το εμβαδό του τριγώνου που ςχηματύζει η ευθεύα με τουσ ϊξονεσ. 3. Να βρεύτε τον αριθμό α, ώςτε η ευθεύα ������: 2������ + ������ = ������ να διϋρχεται από το ςημεύο ������(−2,6). Για ������ = 2 να ςχεδιαςτεύ η ευθεύα. 4. Να βρεθεύ η τιμό του λ, ώςτε η εξύςωςη(2������ − 8)������ + (4 − 2������)������ = 8 να παριςτϊνει ευθεύα που να εύναι: 1) Παρϊλληλη ςτον ϊξονα ������������΄. 2) Παρϊλληλη ςτον ϊξονα ������������΄. 101 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ5. Δύνεται η ευθεύα ε με εξύςωςη 4������ + 3������ = 12. 1) Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα ε. 2) Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ Α και Β τησ ευθεύασ ε με τουσ ϊξονεσ. 3) Να υπολογύςετε την περύμετρο και το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.6. Δύνεται η ευθεύα 2−������ ������ + (������ − 1)������ = 12 η οπούα διϋρχεται από το ςημεύο ������(3, – 2). 2 Να βρεύτε: 1) Σην τιμό του α. 2) Σα ςημεύα τομόσ Α και Β τησ ευθεύασ με τουσ ϊξονεσ. 3) To εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ.7. Δύνεται η ευθεύα ε1 : ������ = (3������– 4)������ + 2������ – 6. Για ποια τιμό του λ η ευθεύα ε1 : 1) Περνϊ από το ςημεύο Α(2,2) 2) Εύναι παρϊλληλη ςτον ϊξονα ������΄������ 3) Διϋρχεται από την αρχό των αξόνων 4) Εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ε2 : ������ = 8������ + 7 5) Σϋμνει τον ϊξονα ������΄������ ςτο ςημεύο με τετμημϋνη 3 6) Σϋμνει τον ϊξονα ������΄������ ςτο ςημεύο με τεταγμϋνη 4 102 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3.2. Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΟΤ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΟ΢ ΚΑΙ Η ΓΡΑΥΙΚΗ ΕΠΙΛΤ΢Η ΣΟΤΓια την γραφικό επύλυςη ενόσ γραμμικού ςυςτόματοσ δύο εξιςώςεων με δύο αγνώςτουσ ������και ������ ςχεδιϊζουμε ςτο ύδιο ςύςτημα αξόνων τισ ευθεύσ που παριςτϊνουν τισ εξιςώςεισ τουςυςτόματοσ .  Αν οι ευθεύεσ τϋμνονται ςε ϋνα ςημεύο τότε το ςύςτημα ϋχει μύα μοναδικό λύςη τισ ςυντεταγμϋνεσ του κοινού ςημεύου.  Αν οι ευθεύεσ εύναι παρϊλληλεσ τότε το ςύςτημα δεν ϋχει λύςη, εύναι αδύνατο.  Αν οι ευθεύεσ ςυμπύπτουν (ταυτύζονται) ϋχουν όλα τα ςημεύα τουσ κοινϊ και επομϋνωσ το ςύςτημα ϋχει ϊπειρεσ λύςεισ. ΢την περύπτωςη αυτό λϋμε ότι το ςύςτημα εύναι αόριςτο. 103 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 3.2.1. Να λύςετε γραφικϊ τα παρακϊτω ςυςτόματα x  21) 2x  y  22)  y  1   x  y  0 x  y  13) x  y  1 x  2y  24) 2x  4 y  6 3x  6 y  95) 2x  4 y  62. Δύνονται οι εξιςώςεισ: 1) 2������ + ������ = 5 2) ������ + 2������ = 5 3) 2������ + ������ = 6 4) 4������ + 2������ = 10 1. Σο ςύςτημα των εξιςώςεων 1) και ……… εύναι αδύνατο. 2. Σο ςύςτημα των εξιςώςεων 1) και ……… εύναι αόριςτο. 3. Σο ςύςτημα των εξιςώςεων 1) και ……… ϋχει μοναδικό λύςη.3. Για ποιεσ τιμϋσ του κ οι ευθεύεσ ������ = 3κ 2x + 1 και ������ = (������ + 4)������ – 5κ 2 εύναι παρϊλληλεσ;4. Δύνεται η εξύςωςη 5������ – 4������ = 7. Να βρεύτε μια ϊλλη εξύςωςη που να ςχηματύζει με αυτό : 1) ϋνα ςύςτημα, που να ϋχει μια λύςη. 2) ϋνα ςύςτημα, που να εύναι αδύνατο. 3) ϋνα ςύςτημα, που να εύναι αόριςτο.5. ΢ε ϋνα ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ δύνεται ότι: ������������ = ������ + 4 , ������������ = 4������ – ������ και ������������ = ������ + 2. Να βρεθούν τα μόκη των πλευρών του. 104 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. Να βρεύτε την ευθεύα που εύναι παρϊλληλη προσ την ������ + 2������ = 0 και διϋρχεται από το ςημεύο A(4,−1).7. α) Για ποιεσ τιμϋσ του λ η ευθεύα ������ = 2������ + ������ διϋρχεται από το ςημεύο Α(2,5) β) Να ςχεδιϊςετε την ευθεύα αν −2 ≤ ������ ≤ 18. Για ποιεσ τιμϋσ του λ οι ευθεύεσ εύναι παρϊλληλεσ: 1) ������ = (������ + 2)������ + 3 , ������ = ( λ2 −4) ������ + 1 2) ������ = (������2 − 9)������ + 1 , ������ = 0 3) ������ = (2������ + 1)������ + 5 , 2������ + 3������ = 59. Να βρεθεύ εξύςωςη ευθεύασ που εύναι παρϊλληλη ςτην ������ = −5������ + 4 και διϋρχεται από το ςημεύο ������(3,8).10. Να βρεθεύ ο λ ώςτε οι ευθεύεσ (������1) ������ = (������2 − 4������)������ + 10 και (������2) ������ = −3������ + 7������ − 1 εύναι παρϊλληλεσ.11. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από την αρχό Ο των αξόνων και εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα ������ = 3������ + 10.12. Για ποιεσ τιμϋσ του λ οι ευθεύεσ με εξιςώςεισ ������ = (������2 + 2������)������ − 3 και ������ = 3������ − 5 εύναι παρϊλληλεσ;13. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από το ������(−2, −1) και εύναι παρϊλληλη ςτην ευθεύα 2������ − 5������ = 4 . 105 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3.3. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΤ΢Η ΣΟΤ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΟ΢Για την επύλυςη ενόσ αλγεβρικού ςυςτόματοσ χρηςιμοποιούμε τισ παρακϊτω μεθόδουσ : Μϋθοδοσ τησ αντικατϊςταςησ 1. Λύνουμε μύα από τισ εξιςώςεισ του ςυςτόματοσ ωσ προσ ϋναν ϊγνωςτο. 2. Αντικαθιςτούμε ςτην ϊλλη εξύςωςη του ςυςτόματοσ τον ϊγνωςτο αυτόν με την ύςη παρϊςταςό του, οπότε προκύπτει εξύςωςη με ϋναν ϊγνωςτο, την οπούα και λύνουμε. 3. Σην τιμό του αγνώςτου που βρόκαμε την αντικαθιςτούμε ςτην προηγούμενη εξύςωςη, οπότε βρύςκουμε και τον ϊλλο ϊγνωςτο. 4. Προςδιορύζουμε τη λύςη του ςυςτόματοσ. Μϋθοδοσ των αντιθϋτων ςυντελεςτών 1. Πολλαπλαςιϊζουμε τα μϋλη κϊθε εξύςωςησ με κατϊλληλο αριθμό, ώςτε να εμφανιςτούν αντύθετοι ςυντελεςτϋσ ς ´ ϋναν από τουσ δύο αγνώςτουσ προκειμϋνου να τον απαλεύψουμε. 2. Προςθϋτουμε κατϊ μϋλη τισ δύο εξιςώςεισ, οπότε προκύπτει εξύςωςη με ϋναν ϊγνωςτο την οπούα και λύνουμε. 3. Αντικαθιςτούμε την τιμό του αγνώςτου που βρόκαμε ςε μύα από τισ δύο εξιςώςεισ του ςυςτόματοσ, οπότε βρύςκουμε την τιμό και του ϊλλου αγνώςτου. 4. Προςδιορύζουμε τη λύςη του ςυςτόματοσ 106 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 3.3.1. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό ό Λϊθοσ.Α) Σο ςύςτημα : 2������ + 4������ = 6 ϋχει μοναδικό λύςη. ������ + 2������ = 3Β) Σο ςύςτημα : 8������ + 16������ = 6 εύναι αδύνατο. ������ + 2������ = 32. Να λυθούν τα ςυςτόματα :1) ������ + ������ = 13 ������ − ������ = 12) ������ − 3������ = 0 ������ + 2������ = 153) 3������ + ������ = 11 ������ + ������ = 74) 2������ − ������ = 3 ������ + ������ = 95) 2������ = 4 − ������ 5������ = 9 − 3������6) 2������ = 22 − 3������ 5������ + 2������ = 07) ������ − ������ = 4 2������ − 2������ = 03. Να λυθεύ η εξύςωςη x  3y 1  2x  y  5  0.4. Να λύςετε με τη μϋθοδο τησ αντικατϊςταςησ και των αντύθετων ςυντελεςτών το ςύςτημα: 2������  ������ = 3 2������ + ������ = 1Να παραςτόςετε τισ εξιςώςεισ και τη λύςη του ςε ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων.5. Να λυθούν τα ςυςτόματα: ������) 3������  4������ = 17 ������) 5������ 7������ 47 = 0 ������) 0,5������ + 0,2������ = 16 3������ + 8������ = 37 2������ + 7������ 16 = 0 1,5������ + 0,5������ = 23 107 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. Να λυθούν τα ςυςτόματα:������) ������ 2 = 0 ������) 3������ 7������ + 13 = 0 ������ = 2 2������ 3������ + 7 = 07. Να λυθούν τα ςυςτόματα :1) 3(������ − ������) + 2(������ + ������) = 15 3(������ + ������) + 2(������ − ������) = 252) 3(������ + ������ − 5) = 2(������ − ������) 3(������ − ������ − 7) + 2(������ + ������ − 2) = 03) 5(������ + 2������) − (3������ − 13������) = 14 4������ + 6������ − 4(������ − 1) = 50 ������+1 = 8 − ������−1 234) ������+1 = 9 − ������−1 23 ������+1 − 3(������−3) = 0 245) ������−1 = − ������ − 1 12 2 3 ������+������ + ������−������ = 5 2 366) ������−������ + 2������+������ = 19 2 36 ������ = 2������+������ 27) ������ = 3(������−1) 4 108 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ������+4 + ������−1 = 3 8 428) ������+1 − ������+12 = − 3 28 49) (������ + 1)2 + (������ + 2)2 = ������2 + ������2 + 1 ������ + 6������ = 210) 3(������ − ������) − 2(������ − 2������) = 2 (������ − 1)2 + 3������ = (������ − 4)(������ + 4) + 3 ������+1 + ������ = 111) 3 ������−3 + 2������ = 1 4 ������(������ + 2) − ������(������ + 3) = ������ + ������ − 1012) ������−2������ − ������−2������ + 5 = 0 32 ������ − ������+1 = 4������−3 + ������ + 113) 43 ������+3������ + 4������+3������ = 4 − ������ 35 ������ + ������−2 = 114) 34 4������−3 + ������ = 5 3 ������ − ������+5 = ������ + 3������15) 34 ������+5������ + ������−3 = 1 − ������ 24 2������+������ − ������+3������ = −116) 35 4−������ + 2������+3������ = 2 34 2������+������ + ������+������ = −117) 35 −3������+2������ − ������−������ = 5 24 109 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ8. Να βρεθούν οι τιμέσ των ������, ������ που ικανοποιούν την παρακάτω ιςότητα : (������ + ������ + 2)2 + (������ − ������)2 = 09. Να λυθεύ το ςύςτημα : ������ − 12 ������ + 18 2������ + 3������ 4=3= 210. Αν η ευθεύα ������: ������ = ������������ + ������ διϋρχεται από τα ςημεύα ������( 2, 2) και ������( 1, 3 ). Να βρεθούν αριθμού α και β.11. Να βρεύτε το ςημεύο Κ ςτο οπούο τϋμνονται οι ευθεύεσ με εξιςώςεισ : ������1: 2������ + ������ = 10 και ������2 ∶ 3������ − ������ = 512. Αν η ευθεύα με εξύςωςη ������ ∶ (������ − 1) ������ + (3������ − 2) ������ = 0 διϋρχεται από το ςημεύο Κ(1,1) , να βρεύτε την τιμό του λ.13. Δύνονται οι ευθεύεσ ε1 , ε2 με εξιςώςεισ ������ = (������2 + 4)������ + 5 και ������ = 4������������ – 3������ αντύςτοιχα. Να βρεύτε τισ τιμϋσ του ������, ώςτε οι δύο ευθεύεσ να εύναι παρϊλληλεσ.14. Να βρεθεύ η ςυνϊρτηςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα (2,7) και (−3, −8)15. Να βρεθεύ η ςυνϊρτηςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα (2,7) και (−3, −8)16. Να βρεθεύ εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα ������(2,5) , ������(4,11).17. Να βρεθούν τα α, β, ώςτε η εξύςωςη ������2 + ������������ + β = 0 να αληθεύει για ������ = 3 και ������ = – 7.18. Να βρεύτε την εξύςωςη τησ ευθεύασ ������ = ������������ + ������ αν αυτό διϋρχεται από τα ςημεύα (������, – 1) και (1,3������).19. Να βρεθεύ η εξύςωςη τησ ευθεύασ που διϋρχεται από τα ςημεύα ������(2,0), ������(0, −2) και να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ������������������ όπου Ο η αρχό των αξόνων.20. Ένα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ������������������ με κορυφό το Α ϋχει ΑΒ = ������2 , ΑΓ = 5 – ������2 και τα ύψη του από το ������, ������ εύναι ������������ = ������ + ������ και ������������ = 1 αντύςτοιχα. Να υπολογύςετε τισ ύςεσ πλευρϋσ του τριγώνου. 110 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ21. Δύνεται η ευθεύα ������: (������ + ������)������ + (2������ − ������)������ = 3. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ λ και μ , ώςτε η ευθεύα ε να διϋρχεται από τα ςημεύα ������(2,5 ) και ������(−1 , −7) .22. Δύνεται το πολυώνυμο P x  ax3  bx2  7x 1, όπου α και b εύναι πραγματικού αριθμού. Αν η αριθμητικό τιμό του πολυωνύμου για x 1 εύναι 0 και για x  1 εύναι 4, να βρεύτε τισ τιμϋσ των α και b.23. Δύνεται το ςύςτημα : ������������ + ������������ = 51 (������ + 2)������ − (������ + 2)������ = 25 Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β ώςτε το ςύςτημα να ϋχει λύςη το (������ , ������) = (7 , 4 )24. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = ������3 + ������������2 + ������������ − 6 Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β , αν ιςχύει ότι : ������(−1) = 0 και ������(2) = 025. Δίνεται η εξίςωςη x2  ax  b  0. Αν η εξίςωςη έχει τουσ αριθμούσ 2 και 3 ρίζεσ, να βρείτε τα a, b .26. Για τισ τιμέσ που βρήκατε ςτο (1) να βρείτε τα ςημεία τομήσ τησ ευθείασ 3ax  2by  4  0 με τουσ άξονεσ.27. Σα ςυςτόματα : 2������ + ������ = 2 και ������������ + ������������ = 1 ������ − 2������ = 11 2������������ + (������ + ������)������ = −8 ϋχουν κοινό λύςη . Να βρεύτε τουσ αριθμούσ α και β . 2  1 1  x y28. Να λυθεύ το ςύςτημα με χρόςη κατϊλληλου μεταςχηματιςμού:   4 5 3 y  x29. Δύνονται τα παρακϊτω ςυςτόματα τα οπούα εύναι αόριςτο και αδύνατο αντύςτοιχα, να αιτιολογηθεύ το γιατύ χωρύσ να επιλυθούν. a) 2x  y  3 b)  x2 y0 4 2  x2  y  500  3 x  3 y  2  111 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ30. Να βρείτε ( αν υπάρχει ) την κοινή λύςη των ςυςτημάτων :7(������ + ������) + 3(������ − 2������) = −4 και ������2 + ������ = 1 ������ + 2������ 3������ + ������ ������ + ������ = −1 2 − 3 = −331. Nα επιλυθούν τα παρακάτω ςυςτήματα 2 εξιςώςεων με 2 αγνώςτουσ. 2x  y  5 b) x2  y  0 c) 2 ������ + 3(������ + 1) = 8a) 4x  3y  13  ������ + ������ ������ 1 x  y  5 2 − 10 = 532. Οι αριθμού ������, ������ εύναι ανϊλογοι προσ τουσ αριθμούσ, 3 και 5 αντύςτοιχα. Επύςησ το ϊθροιςμϊ τουσ διαιρούμενο με το 16 δύνει πηλύκο 2 και υπόλοιπο 0. Να βρεθούν οι αριθμού ������, ������.33. ΢ε ϋνα γκαρϊζ υπϊρχουν ςυνολικϊ 100 οχόματα, αυτοκύνητα και ποδόλατα. Αν ϋχουν όλα μαζύ 240 ρόδεσ, να βρεύτε πόςα εύναι τα αυτοκύνητα και πόςα τα ποδόλατα.34. Να βρεθούν τα α και β ώςτε η εξύςωςη : ������2+(2������ + 4)������ + 2������ = 0 , να ϋχει λύςεισ −2 και το −4.35. Δύνεται το ςύςτημα : (2������ + ������)������ + (2������ − ������)������ = 1 (������ + ������ − 6)������ + (������ − ������)������ = 9Αν το ςύςτημα ϋχει λύςη την (������ , ������ ) = (−2 , 3 ) , να βρεθούν τα α και β .36. α) Να λυθεύ το ςύςτημα : 3(������ + 2) − 2(������ + 1) = 5 ������(������ − 2) + ������(3 − ������) = −4β) Για τισ τιμϋσ των α και β που βρόκατε ςτο α’ ερώτημα , να λύςετε την εξύςωςη : −(������ + ������)������2 + (3������ + 2������)������ − 2������ − ������ = 037. α) Να λυθεύ η εξύςωςη : 4������2 + 3������ − 1 = 0 . β) Αν α η κλαςματικό λύςη τησ εξύςωςησ του α’ ερωτόματοσ , να λύςετε το ςύςτημα : 4������������ − ������ = 2 ������2 − ������2 = 4 112 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΓΕΝΙΚΕ΢ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ ΑΛΓΕΒΡΑ΢ ΚΕΥΑΛΑΙΩΝ 1 , 2 ,31. Δύνονται τα πολυώνυμα : ������ = ������2 − 3������ + 2 και ������ = ������ + 1 1) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη ������ = ������ · ������ − ������3 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = −11 .2. Δύνεται η παρϊςταςη : ������ = ������(������2 − 30) + (3������ + 2)2 − (������ − 2)(������2 + 9������ − 1) 1) Να γύνουν οι πρϊξεισ ςτην παρϊςταςη ������ . 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = 3 .3. Δύνεται η εξύςωςη : ������2 + 3������������ − 3������2 + 2������ − 9 = 0 , όπου λ ϋνασ πραγματικόσ αριθμόσ. Αν η εξύςωςη ϋχει λύςη την ������ = 2 , να προςδιοριςτεύ ο πραγματικόσ αριθμόσ λ.4. α) Να παραγοντοποιηθεύ η παρϊςταςη ������ = ������5 − ������ β) Να λυθεύ η εξύςωςη : ������ = 0 .5. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = (5������ − 2)2 και ������ = (2������ + 1)2 1) Να βρεύτε τα αναπτύγματα των παραςτϊςεων ������ και ������. 2) Να λύςετε την εξύςωςη ������ = ������. 3) Να παραγοντοποιόςετε το τριώνυμο ������ − ������.6. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = (2������ − 1)2 και ������ = (������ + 2)2 4) Να βρεύτε τα αναπτύγματα των παραςτϊςεων ������ και ������. . 5) Να λύςετε την εξύςωςη ������ = ������. 6) Να παραγοντοποιόςετε το τριώνυμο ������ − ������. 113 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ7. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������(������) = 3(������ − 2)2 − 2(1 − 2������)(1 + 2������) − 8������2 − 5(3 − 2������) + 4 και ������(������) = (������ − 2)3 + ������2(5 − ������) + 9 − 12������1) Να γύνουν όλεσ οι δυνατϋσ πρϊξεισ ςτισ παραπϊνω παραςτϊςεισ .2) Να λυθεύ η εξύςωςη : ������(������) = 0 .3) Nα παραγοντοποιηθούν οι παραςτϊςεισ ������(������) και ������(������) .4) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ ορύζεται το κλϊςμα ������(������ ) και ςτη ςυνϋχεια να το ������(������ ) απλοποιόςετε .8. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������(������) = (3������ + 2)2 − 5(������ − 2)2 − 4(8������ − 3) και ������(������) = ������3 − ������2 + 2������ − 21) Να γύνουν όλεσ οι δυνατϋσ πρϊξεισ ςτην παρϊςταςη ������(������) .2) Nα παραγοντοποιηθούν οι παραςτϊςεισ ������(������) και ������(������) .3) Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ ορύζεται το κλϊςμα ������(������ ) και ςτη ςυνϋχεια να το ������(������ ) απλοποιόςετε .9. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = 2������2 − 3������ − 5 , ������ = ������2 − 1 και ������ = ������2 − 2������ + 1 1) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β. 2) Να υπολογύςετε το γινόμενο ������ · ������ , εκτελώντασ όλεσ τισ δυνατϋσ πρϊξεισ. ������ ������−110. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������2 − 7������ + 12 , ������ = ������2 + 3������ και ������ = 16 − ������21) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ ������ , ������ και ������.2) Να απλοποιηθεύ η παρϊςταςη : ������2−7������+12 · ������ 2+3������ 16−������ 2 2������ +611. Nα λύςετε την εξύςωςη : ������ + 4 = 2−������ . 2������ −4 4������−2������ 2 ������ 114 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ12. Nα λύςετε την εξύςωςη : ������ +3 + ������ +1 = ������ 2−7 . ������ +2 1−������ ������ 2+������−213. Nα λύςετε την εξύςωςη : ������ −1 − 2 = ������ +3 . ������ ������ +1 ������ 2+������14. Δύνεται η παρϊςταςη : ������ = 1 − ������ + 1 ������ 2+2������ 4−������ 2 ������ 2−2������ 1) Να προςδιορύςετε τισ τιμϋσ του x για τισ οπούεσ ορύζεται η παρϊςταςη Α. 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = 0.15. α) Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ : ������ = ������ 2−3������+2 και ������ = 2������ 2−2������+1−������ . ������ 2−1 (������ −1)2 β) Να λύςετε την εξύςωςη ������ + ������ = −2������ 2+2������ +2. ������2−116. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������2−7������+10 και ������ = ������ 3−2������ 2−9������ +18 . 9−������ 2 ������ −5 1) Nα βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του x ορύζονται οι παραςτϊςεισ ������ και ������. 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������2 − 7������ + 10 = 0. 3) Να παραγοντοποιόςετε το τριώνυμο ������2 − 7������ + 10 . 4) Να απλοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ ������ και ������ . 5) Για ������ = 2 , να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������2 − ������2.17. Nα λυθεύ η εξύςωςη : 2������ −1 − 2������ + 1 = 0 ������ 2−������ ������ 2−1 ������18. Nα λυθεύ η εξύςωςη : 3������ −18 = 1 − 1 ������ 2−5������−6 ������ +119. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = 6������2 + ������ − 1 και ������ = ������2 − 2������ + 1 1) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β. 2) Να λυθεύ η εξύςωςη : 3 + 1 = ������+11������−2 2������+1 3������−1 ������ 115 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ20. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������2 − 4������ + 3 και ������ = ������2 − 2������ − 3 3) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β. 4) Να λυθεύ η εξύςωςη : ������+7−������2 − 1 = ������ ������ 3−������ ������−121. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������2 − 4 και ������ = ������2 − 13������ + 22 5) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ Α και Β. 6) Να λυθεύ η εξύςωςη : ������ + 5 = −1 ������ 422. Δύνεται το ςύςτημα 3������ − 3(������ − ������) = 5 + ������������ − ������(������ + 1) ������ − ������ = −2 2 ������ + 3������ = 5Nα φϋρετε ϋπειτα από πρϊξεισ το παραπϊνω ςύςτημα ςτη μορφό : 2������ − ������ = −4και να το επιλύςετε.23. Δύνεται το ςύςτημα 2(2������ − ������) − 5 = 3(������ − ������ − 1) ������−1 − ������+2 = 1 ������ + ������ = 2 2������ − ������ = 10 36Nα φϋρετε ϋπειτα από πρϊξεισ το παραπϊνω ςύςτημα ςτη μορφό :και να το επιλύςετε.24. Δύνεται το ςύςτημα 2(������ − 1) − 3������ = −2(������ − 1) − 1 3(������ − 2) − 2(2 − ������) = 1 − ������ − 2������Nα φϋρετε ϋπειτα από πρϊξεισ το παραπϊνω ςύςτημα ςε απλούςτερη μορφό και να τοεπιλύςετε.25. Nα λυθεύ το ςύςτημα : 3������−������ − ������−������ = 1 − ������ 28 3(2������ − 1) + 2(������ + 2) = 926. Δύνεται το ςύςτημα : (������1) ∶ 3������ − ������ = 3 2������ + ������ = 7Αν το ςύςτημα (������2) ∶ 2������������ − ������������ = −10 , ϋχει ωσ λύςη του τη λύςη του ������1 , να βρεύτε ������������ + 3������������ = 16τισ τιμϋσ των α και β . 116 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ27. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = 2������2 − 2 , ������ = ������2 + ������ − 2 , ������ = ������2 + 2������ + 1 1) Να παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ ������ , ������ και ������. 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = 3 ������28. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������2 − ������ , ������ = ������2 − 3������ + 2 , ������ = ������2 + 4������ + 43) Να παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ ������ , ������ και ������.4) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = ������ ������ 3������+65) Aν α η θετικό ρύζα τησ παραπϊνω εξύςωςησ και β η αρνητικό τησ ρύζα , τότε να λύςτε το ςύςτημα : 2������ + ������������ = −3 ������ − 2������������ = ������ + ������29. Έςτω το πολυώνυμο : ������(������) = ������3 + ������������ + ������1) Αν ������(0) = 1 , να βρεύτε το α .2) Αν ������(2) − ������(1) = 5 , να βρεύτε το β.3) Για ������ = 1 και ������ = −2 , να λύςετε το ςύςτημα : ������������ + ������������ = −3 (������ − 3)������ + 2������������ = −1830. Δύνεται το ςύςτημα : ������ = 18 − ������ ������ + 5������ = 501) Να αποδεύξετε ότι η λύςη του παραπϊνω ςυςτόματοσ εύναι :(������ , ������) = (10 , 8) .2) Αν α και β οι αριθμού του παραπϊνω ερωτόματοσ , τότε να αποδεύξετε ότι η αλγεβρικό παρϊςταςη : (������ − ������)2 −(������ − ������)(������ + ������) + 20������ , εύναι ςταθερό πολυώνυμο.31. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = ������(������ + 2) − (������ + 1)(������ − 1) − 2(������ − 2) ������ = (2������ − 3)2 − 2������(������ − 3) − 2(������2 − 3������ + 5)1) Να αποδεύξετε ότι : ������ = 5 και ������ = −1.2) Να λυθεύ το ςύςτημα : 2������ − ������ = ������ ������ + 3������ = ������32. α) Να λυθεύ η εξύςωςη : 2������2 − 2������ − 12 = 0 .β) Αν ������1 , ������2 εύναι οι λύςεισ τησ παραπϊνω εξύςωςησ με ������1 < ������2 τότε να λυθεύ ωσ προσα και β το παρακϊτω ςύςτημα : ������1 ������ + ������2 ������ − 1 = 0 −������1 ������ − 3������ = 3������ 2 117 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢ 118 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4.1. Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������ = ������ ������������ , με α≠0Έχει γραφικό παρϊςταςη μια καμπύλη που ονομϊζεται παραβολόΈχει κορυφό το ςημεύο (0,0) και ϊξονα ςυμμετρύασ τον ������’������.  Αν ������ > 0 , η παραβολό βρύςκεται πϊνω από τον ϊξονα x’x,που ςημαύνει ότι για οποιαδόποτε τιμό του x ιςχύει ������ ≥ 0 και η ςυνϊρτηςη παύρνει ελϊχιςτη τιμό ������ = 0 , όταν ������ = 0 .  Αν ������ < 0 , η παραβολό βρύςκεται κϊτω από τον ϊξονα ������’������,που ςημαύνει ότι για οποιαδόποτε τιμό του x ιςχύει ������ ≤ 0 και η ςυνϊρτηςη παύρνει μϋγιςτη τιμό ������ = 0 , ό������������������ ������ = 0 Όταν η απόλυτη τιμό του α αυξϊνεται , τότε το «ϊνοιγμα» τησ παραβολόσ «κλεύνει» . 119 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΑ΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 4.1.1. Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ ςτισ παρακϊτω προτϊςεισ. 1) Σα ποςϊ που όςο μεγαλώνει το ϋνα, μεγαλώνει και το ϊλλο, λϋγονται……………….. 2) Αντιςτρόφωσ ανϊλογα λϋγονται τα ποςϊ που όςο μικραύνει το ϋνα…………………… το ϊλλο. 3) Η ςυνϊρτηςη ������ = ������������ παριςτϊνει ………………… που διϋρχεται από το ( , ) και τα ποςϊ που εκφρϊζει εύναι …………………… 4) Η ςυνϊρτηςη ������ = ������������ + ������ παριςτϊνει ευθεύα που εύναι ………………………. ςτην y=αx και διϋρχεται από το ςημεύο ( , ). 5) Η ςυνϊρτηςη ������ = ������������2 παριςτϊνει ………………… που ονομϊζεται ……………………2. ΢ωςτό ό Λϊθοσ: 1) Για την ςυνϊρτηςη ������(������) = 3������ + 5 εύναι ������(−1) = 2 και ������(0) = 5. 2) Για την ςυνϊρτηςη ������(������) = 3������2 − 1 εύναι ������(−1) = ������(1) = 2. 3) Σο ςημεύο (1,4) ανόκει ςτην ευθεύα ������ = 4������. 4) Αν η ευθεύα ������ = −������ διϋρχεται από το ςημεύο ������(������, ������ + 1) τότε εύναι ������ = − 1 . 2 5) Η παραβολό ������ = 2������2 ϋχει ϊξονα ςυμμετρύασ τον ������’������. 6) Αν το ςημεύο (������, 2������) εύναι ςημεύο τησ παραβολόσ ������ = ������2 + 1 τότε ������ = 1. 7) Η υπερβολό ������ = 3 διϋρχεται από το ςημεύο (3,1) . x 8) Η υπερβολό ������ = − 2 βρύςκεται ςτο 1ο και 3ο τεταρτημόριο. x120 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ παραβολόσ ������ = ������2 και τησ ευθεύασ ������ = ������ + 6.4. Για ποιεσ τιμϋσ του α , η παραβολό ������ = (2������– 6)������2 ϋχει ελϊχιςτο;5. Nα ςχεδιϊςετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = 8 και ������ =  8 ςτο ύδιο xx ςύςτημα αξόνων. 1) Σι παρατηρεύτε για τισ δύο γραφικϋσ παραςτϊςεισ; 2) Θα μπορούςαμε ,όπωσ και πριν να δύναμε δύο μόνο τιμϋσ για την ςυμπλόρωςη του πύνακα; 3) Γιατύ δεν δώςαμε την τιμό 0 ςτον πύνακα; 4) Σϋμνει η γραφικό παρϊςταςη τουσ ϊξονεσ;6. Να ςχεδιϊςετε την γραφικό παρϊςταςη των ςυναρτόςεων ������ = 2������2 και ������ = −2������2 ςτο ύδιο ςύςτημα αξόνων. 1) Σι παρατηρεύτε για τισ δύο αυτϋσ παραςτϊςεισ; 2) Εύναι ςυμμετρικϋσ ωσ προσ κϊποιον ϊξονα ; 3) Ποιο ςημεύο εύναι η κορυφό τουσ και πωσ ονομϊζεται ςε κϊθε μύα περύπτωςη 121 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4.2. Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������ = ������ ������������ + ������������ + ������ , ������ ≠ ������ Κϊθε ςυνϊρτηςη τησ μορφόσ ������ = ������������������ + ������������ + ������ , ������ ≠ ������ ονομϊζεται τετραγωνικό. Η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ αυτόσ εύναι παραβολό με :  Κορυφό ϋχει το ςημεύο ������(− ������ , − ������ ) , όπου Δ=������2 − 4������������ . 2������ 4������  Άξονα ςυμμετρύασ την κατακόρυφη ευθεύα που διϋρχεται από την κορυφό κ και ϋχει εξύςωςη ������ = − ������ . 2������  Αν ������ > 0 , η ςυνϊρτηςη παύρνει ελϊχιςτη τιμό ������ = − ������ όταν ������ = − ������ . 4������ 2������  Αν ������ < 0 , η ςυνϊρτηςη παύρνει μϋγιςτη τιμό ������ = − ������ όταν ������ = − ������ . 4������ 2������ 122 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 4.2.1. Να ςχεδιϊςετε την γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = ������2 − ������ – 2. 1) Σι παρατηρεύτε για την παραπϊνω γραφικό παρϊςταςη; 2) Πωσ επιλϋξαμε τισ τιμϋσ που δώςαμε; 3) Ποιο ςημεύο εύναι η κορυφό και πωσ χαρακτηρύζεται;2. Αν η ςυνϊρτηςη ������(������) = 2������3 − ������������ διϋρχεται από το ςημεύο A(−1,5) να βρεύτε το α.3. Η γραφικό παρϊςταςη την ςυνϊρτηςησ f(������) = 3������2 − 2������ − 1 1) ������ε ποια ςημεύα τϋμνει τον y΄y ; 2) ςε ποια ςημεύα τϋμνει τον ������΄������ ;4. Ποια εύναι τα κοινϊ ςημεύα των ςυναρτόςεων ������ = ������2 και ������ = 2 − ������.5. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ (������) = ������ 2– 3������ + 1. Να βρεύτε, αν υπϊρχουν, τισ τιμϋσ τησ μεταβλητόσ ������ οι οπούεσ να αντιςτοιχούνται ςτο 11.6. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f (������) = 3������2 – (������ + 1)������ – 2. 1) Για ποια τιμό του λ, η γραφικό τησ παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ διϋρχεται από το ςημεύο ������(1, – 5); 2) Για την τιμό του λ που θα βρεύτε να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ όταν – 1 ≤ ������ ≤ 4.7. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ (������) = ������������2 – 4������ + 5. 1) Να βρεύτε τισ τιμϋσ του λ, αν η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από το ςημεύο ������(– 1,8). 2) Να εξετϊςετε αν η ςυνϊρτηςη ϋχει μϋγιςτο ό ελϊχιςτο. 3) Να βρεύτε τα ςημεύα ςτα οπούα η γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ τϋμνει τουσ ϊξονεσ. 123 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ8. Δύνεται η παραβολό ������ = ������2 + 2������������ + ������. 1) Να βρεύτε τα α, β αν γνωρύζετε ότι η γραφικό τησ παρϊςταςη διϋρχεται από την αρχό του ςυςτόματοσ των αξόνων και από το ςημεύο ������(1,5). 2) Να την παραςτόςετε γραφικϊ.9. Δύνεται η ευθεύα ������ = ������ + 3 και η παραβολό ������ = ������2 – 2������ + 3. 1) Να βρεύτε τισ ςυντεταγμϋνεσ των κοινών τουσ ςημεύων. 2) Να ςχεδιϊςετε τισ γραφικϋσ παραςτϊςεισ τουσ ςτο ύδιο ςύςτημα αξόνων.10. Δύνονται οι ςυναρτόςεισ ������ = 2������2 + ������������ + ������ ������������������ ������ = ������������ – ������. Αν το ςημεύο ������(1,2) εύναι κοινό ςημεύο των γραφικών τουσ παραςτϊςεων τότε: 1) Να βρεθούν τα α, β. 2) Να βρεθεύ το ϊλλο κοινό ςημεύο των γραφικών τουσ παραςτϊςεων.11. Σο ϊθροιςμα μιασ βϊςησ και του αντύςτοιχου ύψουσ ενόσ τριγώνου εύναι 12 ������������. 1) Αν η βϊςη εύναι 2x cm, να εκφρϊςετε το ύψοσ ωσ ςυνϊρτηςη του ������. 2) Να εκφρϊςετε το εμβαδόν του τριγώνου ωσ ςυνϊρτηςη του ������. 3) Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ του εμβαδού για 0 ≤ ������ ≤ 6. 4) Από τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ του εμβαδού να βρεύτε το μόκοσ που πρϋπει να ϋχουν η βϊςη και το ύψοσ για να εύναι το εμβαδόν μϋγιςτο.12. Δύνεται η ςυνϊρτηςη ������ (������) = ������2 – 9������ + 12. Για ποιεσ τιμϋσ του ������ εύναι: 1) ������ (������) = – 6 2) ������ (������) = – ������ 3) ������ (������) = ������ (– ������) 4) ������ (������) = ������ (������ + 1)13. Να ςχεδιϊςετε τη γραφικό παρϊςταςη τησ ςυνϊρτηςησ ������ = ������������2 + ������ + ������, αν διϋρχεται από την αρχό των αξόνων και το ςημεύο ������(1,3).14. Δύνεται η ������ με ������(������) = ������2 − 2������ + 11. Να δεύξετε ότι ������(1 + ������) = ������(1 − ������). 124 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΕΥΑΛΑΙΟ 5 ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ΢ 125 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ΢ΤΝΟΛΑ Ένα ςύνολο εύναι κϊθε ςυλλογό ςαφώσ διακριτών αντικειμϋνων και καλώσ καθοριςμϋνωναντικειμϋνων που προϋρχονται από τον χώρο τησ εμπειρύασ ό τησ διανοόςεώσ μασ και πουλαμβϊνονται ωσ μια ενότητα. ΚΑΙ  Για να δηλώςουμε ότι το x εύναι ςτοιχεύο του ςυνόλου Α, γρϊφουμε: x  και διαβϊζουμε «τοx ανόκει ςτο Α»,ενώ για να δηλώςουμε ότι το x δεν εύναι ςτοιχεύο του ςυνόλου Α γρϊφουμε: x  καιδιαβϊζουμε «το x δεν ανόκει ςτο Α».ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢Η ΢ΤΝΟΛΟΤ Για να παραςτόςουμε ϋνα ςύνολο χρηςιμοποιούμε ςυνόθωσ ϋναν από τουσ παρακϊτωτρόπουσ:  Παρϊςταςη του ςυνόλου με αναγραφό των ςτοιχεύων του π.χ. Α = *2, 4, 6+  Παρϊςταςη του ςυνόλου με περιγραφό των ςτοιχεύων του. Αν από ϋνα ςύνολο Ω επιλϋξουμε εκεύνα τα ςτοιχεύα του, που ϋχουν μια οριςμϋνη ιδιότητα Ι, τότε φτιϊχνουμε ϋνα νϋο ςύνολο που ςυμβολύζεται x: x έτει ηην ιδιόηηηα Ι. Μερικϊ ςημαντικϊ ςύνολα εύναι :  Υυςικού Αριθμού : ℕ = *0,1,2,3,…..+  Ακϋραιοι Αριθμού : ℤ= *……,-2,-1,0,1,2,……+  Ρητού Αριθμού : ℚ=* α , α, β ακϋραιοι , β ≠ 0 } β  Πραγματικού Αριθμού : ℝ εύναι όλοι οι ρητού και ϊρρητοι αριθμού.Σο ςύνολο αυτό, που δεν ϋχει καθόλου ςτοιχεύα, λϋγεται κενό ςύνολοκαι ςυμβολύζεται με  ό { }.Δεχόμαςτε ότι το κενό ςύνολο εύναι υποςύνολο κϊθε ςυνόλου και εύναι μοναδικό. 126 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Δύο ςύνολα Α και Β λϋγονται ύςα όταν κϊθε ςτοιχεύο του Α εύναι ςτοιχεύο του Β καιαντιςτρόφωσ κϊθε ςτοιχεύο του Β εύναι και ςτοιχεύο του Α.ΤΠΟ΢ΤΝΟΛΑ « ⊆ »Ένα ςύνολο Α λϋγεται υποςύνολο ενόσ ςυνόλου Β όταν κϊθε ςτοιχεύο του Αεύναι και ςτοιχεύο του Β .΢τη περύπτωςη αυτό γρϊφουμε ������ ⊆ ������.  ������ ⊆ ������ ������������������ ������ϊ������������ ������ύ������������������������ ������.  ������������ ������ ⊆ ������ ������������������ ������ ⊆ ������, ������ό������������ ������ ⊆ ������.  ������������ ������ ⊆ ������ ������������������ ������ ⊆ ������, ������ό������������ ������ = ������.ΠΡΑΞΕΙ΢ ΢ΤΝΟΛΩΝ  ΢υμπλόρωμα c  '  x και x    . Για το ςυμπλόρωμα ιςχύουν : '   και   '   127 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Ένωςη (ό)   x ή x . Η ϋνωςη περιϋχει τα κοινϊ και μη κοινϊ ςτοιχεύα των Α, Β. Σομό (και)   x και x Η τομό περιϋχει μόνο τα κοινϊ ςτοιχεύα των Α, Β. 128 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ΢ Πεύραμα τύχησ ονομϊζεται η διαδικαςύα εκεύνη την οπούα όςεσ φορϋσ και αν τηνεπαναλϊβουμε κϊτω από τισ ύδιεσ ςυνθόκεσ δεν μπορούμε εκ των προτϋρων να προβλϋψουμετο αποτϋλεςμϊ τησ. Δειγματικόσ χώροσ ονομϊζεται το ςύνολο όλων των δυνατών αποτελεςμϊτων που μπορούννα εμφανιςτούν κατϊ την εκτϋλεςη του πειρϊματοσ και ςυμβολύζεται Ω = *ω1, ω2, ... , ωκ+. Σοπλόθοσ των ςτοιχεύων ενόσ δειγματικού χώρου ςυμβολύζεται Ν(Ω).Ενδεχόμενα Ενδεχόμενο ονομϊζεται το ςύνολο που ϋχει ωσ ςτοιχεύα ϋνα ό περιςςότερα αποτελϋςματαενόσ πειρϊματοσ τύχησ.  Απλό ενδεχόμενο ονομϊζεται το ενδεχόμενο όταν ϋχει ϋνα μόνο ςτοιχεύο .  ΢ύνθετο ενδεχόμενο ονομϊζεται το ενδεχόμενο όταν ϋχει περιςςότερα από ϋνα ςτοιχεύα  Σο Ω λϋγεται βϋβαιο ενδεχόμενο.  Σο κενό ςύνολο  λϋγεται αδύνατο ενδεχόμενο.  Αςυμβύβαςτα ενδεχόμενα λϋγονται δύο ενδεχόμενα Α και Β λϋγονται αςυμβύβαςτα όταν Α∩Β   .Δύο αςυμβύβαςτα ενδεχόμενα λϋγονται επύςησ ξϋνα μεταξύ τουσ ό αμοιβαύωσ αποκλειόμενα. Σο πλόθοσ των ςτοιχεύων ενόσ ενδεχομϋνου Α ςυμβολύζεται με Ν(Α). 129 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΠρϊξεισ ενδεχομϋνωνΑν Ω ο δειγματικόσ χώροσ ενόσ πειρϊματοσ τύχησ και Α,Β ⊆ Ω δύο ενδεχόμενα τότε :  Σο ενδεχόμενο Α΄ το ςυμπληρωματικό του Α πραγματοποιεύται όταν δεν πραγματοποιεύται το Α και εύναι c  '  x και x    .  Σο ενδεχόμενο ϋνωςη   x ή x πραγματοποιεύται όταν πραγματοποιεύται τουλϊχιςτον ϋνα από τα Α, Β.  Σο ενδεχόμενο τομό   x και x πραγματοποιεύται όταν πραγματοποιούνται ςυγχρόνωσ τα Α και Β.Κλαςικόσ Οριςμόσ Πιθανότητασ΢ε ϋνα πεύραμα τύχησ με ιςοπύθανα δυνατϊ αποτελϋςματα ορύζουμε ωσ πιθανότητα τουενδεχομϋνου Α τον αριθμό()  πλήθος εσνοϊκών περιπηώζεων  Ν(Α) πλήθος δσναηών περιπηώζεων ()με ιδιότητεσ :  )()  0  0,  )()  ()  1  )0  ()  1, () ()    Για δύο ςυμπληρωματικϊ ενδεχόμενα Α και ' ιςχύει :     '  1 Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενόσ δειγματικού χώρου Ω ιςχύει ο προςθετικόσ νόμοσ :       130 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢1. Δύνεται το ςύνολο ������ = *−4, −2, 0, +1, +2, +3+ και τα ςύνολα ������ = *0, +2, +3+ , ������ = {0, +1}. Να βρεύτε: 1) Α΄, Β΄, , , ( )΄ 2) Να παραςτόςετε τα όλα τα παραπϊνω ςύνολα με διαγρϊμματα Venn.2. Ένα ςύνολο Α ϋχει 8 ςτοιχεύα ενώ ϋνα ςύνολο Β ϋχει 5 ςτοιχεύα. Αν το ςύνολο  ϋχει 5 ςτοιχεύα, πόςα ϋχει το ;3. Ρύχνουμε ϋνα νόμιςμα 2 φορϋσ. Να γρϊψετε τον δειγματικό χώρο.4. Ρύχνουμε ϋνα νόμιςμα και ϋνα ζϊρι διαδοχικϊ. 1) Να γρϊψετε τον δειγματικό χώρο. 2) Να βρεύτε τα ενδεχόμενα: Α. Κορώνα και αριθμόσ τουλϊχιςτον 3. Β. Γρϊμματα και αριθμόσ το πολύ 4. 3) Να βρεύτε τα ενδεχόμενα : Α΄, Β΄, ( )΄.5. Ρύχνουμε ϋνα νόμιςμα 3 φορϋσ. 1) Να γρϊψετε τον δειγματικό χώρο. 2) Να βρεύτε τα ενδεχόμενα: Α. Να φϋρουμε το πολύ 2 φορϋσ γρϊμματα. Β. Να φϋρουμε τουλϊχιςτον 1 φορϊ γρϊμματα. Γ. Να φϋρουμε την ύδια ϋνδειξη. 131 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. Από μια τρϊπουλα με 52 φύλλα παύρνουμε ϋνα ςτην τύχη. 1) Να βρεύτε τισ πιθανότητεσ των ενδεχομϋνων Α: το χαρτύ να εύναι δϋκα Β: το χαρτύ να μην εύναι 10 2) Εύναι τα παραπϊνω ενδεχόμενα αντύθετα7. Ένα κουτύ περιϋχει 10 μαύρεσ 12 ϊςπρεσ, 18 κόκκινεσ και 10 πρϊςινεσ μπϊλεσ. Παύρνουμε μια μπϊλα ςτην τύχη. Να βρεύτε τισ πιθανότητεσ των ενδεχομϋνων η μπϊλα να εύναι: α. μαύρη β. κόκκινη ό πρϊςινη γ. ούτε μαύρη, ούτε κόκκινη8. Δύνεται το ςύνολο ������ = {12,13,14, . . .25}. Επιλϋγουμε ςτην τύχη ϋναν αριθμό. Να βρεύτε τισ πιθανότητεσ των ενδεχομϋνων, ο αριθμόσ να διαιρεύται: α. με 5 β. με 7 γ. με 39. Ένα κιβώτιο περιϋχει 2 πρϊςινεσ, 5 μαύρεσ και 3 κόκκινεσ ςφαύρεσ. Επιλϋγουμε μύα ςφαύρα ςτην τύχη. Να βρεύτε την πιθανότητα Ρ, η ςφαύρα να εύναι μαύρη ό κόκκινη.10. Έςτω ������ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ο δειγματικόσ χώροσ ενόσ πειρϊματοσ και ϋςτω τα ενδεχόμενα ������ = {3, 4, 8}, ������ = {1, 2, 4, 7, 8}. 1) Να βρεύτε τα ςύνολα Α΄, Β΄, , . 2) Να βρεύτε τισ πιθανότητεσ των παραπϊνω ςυνόλων.11. ΢ε μια τϊξη υπϊρχουν 18 αγόρια και 12 κορύτςια. Σα μιςϊ από τα αγόρια και τα 5/6 από τα κορύτςια εύναι ϊριςτοι ςτα Μαθηματικϊ. Διαλϋγουμε ϋνα ϊτομο ςτην τύχη. Ποια εύναι η πιθανότητα: 1) Να εύναι ϊριςτο ςτα Μαθηματικϊ. 2) Να εύναι αγόρι. 3) Να εύναι κορύτςι και να μην εύναι ϊριςτο ςτα Μαθηματικϊ. 4) Να εύναι κορύτςι ό να εύναι ϊριςτο ςτα Μαθηματικϊ. 132 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ12. Δύνεται ο δειγματικόσ χώροσ ������ = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Αν Α εύναι ϋνα ενδεχόμενο του Ω το οπούο ϋχει ωσ ςτοιχεύα τισ λύςεισ τησ εξύςωςησ : ������3 − 5������2 + 6������ = 0. Να βρεύτε την πιθανότητα του Α.13. Η Α΄ τϊξη ενόσ Γυμναςύου ϋχει 40 μαθητϋσ. Από αυτούσ οι 20 παύζουν ποδόςφαιρο, οι 14 παύζουν μπϊςκετ και οι 8 και τα δυο. Αν επιλϋξουμε τυχαύα ϋναν από τουσ παραπϊνω μαθητϋσ, να βρεύτε την πιθανότητα ο μαθητόσ: 1) Να παύζει ποδόςφαιρο ό μπϊςκετ. 2) Να μην αςχολεύται ταυτόχρονα και με τα δυο αθλόματα.14. Ρύχνουμε ϋνα ζϊρι και ϋςτω x η ϋνδειξη. Να υπολογύςετε τισ πιθανότητεσ: 1) ������(������ ≥ 4) 2) ������(������ ≤ 4)15. Έςτω ο δειγματικόσ χώροσ Ω=*1, 2, 4, 7, 8, 9, 10+ και τα ενδεχόμενα Α=*2, 4, 7+ και Β=*1+. 1) Να εξετϊςετε αν τα Α, Β εύναι αςυμβύβαςτα. 2) Αν    3  2 ,    2 1 να βρεύτε ποιεσ τιμϋσ μπορεύ να πϊρει το λ και να 77 υπολογύςετε την   . 133 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΓΕΩΜΕΣΡΙΑ 134 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 Ι΢ΟΣΗΣΑ-ΟΜΟΙΟΣΗΣΑ ΢ΦΗΜΑΣΩΝΣο τϊγκραμ χρηςιμοποιόθηκε για πρώτη φορϊ ςτην Κύνα πριν από χιλιϊδεσ χρόνια.Αποτελεύται από ϋνα τετρϊγωνο που το κόβουμε ςε επτϊ ςχόματα: πϋντε τρύγωνα (δύομεγϊλα, δύο μικρϊ, ϋνα μεςαύο), ϋνα μικρό τετρϊγωνο και ϋνα πλϊγιο παραλληλόγραμμο.Με αυτϋσ τισ επιφϊνειεσ μπορεύτε να ςχηματύςετε όςα ιςοεμβαδικϊ ςχόματα και εικόνεσεπιθυμεύτε! 135 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.1. ΣΡΙΓΩΝΑ Σο τρύγωνο εύναι επύπεδο γεωμετρικό ςχόμα. Ορύζεται ωσ μια κλειςτό τεθλαςμϋνη γραμμό τριών ςημεύων. Κϊθε πλευρϊ τριγώνου εύναι μικρότερη από το ϊθροιςμα των ϊλλων δύο. Η ιδιότητα αυτό των πλευρών ενόσ τριγώνου ονομϊζεται τριγωνικό ιδιότητα. ������ < ������ + ������ , ������ < ������ + ������ , ������ < ������ + ������Σο ϊθροιςμα γωνιών ενόσ τριγώνου εύναι 180° .  ΢ε κϊθε τρύγωνο ιςχύει: ������ + ������ + ������ = 180°ΕΙΔΗ ΣΡΙΓΩΝΩΝ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΣΙ΢ ΓΩΝΙΕ΢Ένα τρύγωνο ανϊλογα με το εύδοσ των γωνιών του ονομϊζεται: a) Οξυγώνιο, όταν ϋχει όλεσ τισ γωνύεσ του οξεύεσ. b) Ορθογώνιο, όταν ϋχει μύα γωνύα ορθό. c) Αμβλυγώνιο, όταν ϋχει μύα γωνύα αμβλεύα. 136 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΢ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο η μεγαλύτερη πλευρϊ η οπούα βρύςκεται απϋναντι από την ορθό γωνύα λϋγεται υποτεύνουςα ενώ οι ϊλλεσ δύο λϋγονται κϊθετεσ πλευρϋσ. ΕΙΔΗ ΣΡΙΓΩΝΩΝ Ω΢ ΠΡΟ΢ ΣΙ΢ ΠΛΕΤΡΕ΢ Ένα τρύγωνο ανϊλογα με τισ ςχϋςεισ που ςυνδϋονται οι πλευρϋσ του ονομϊζεται: a) ΢καληνό, όταν ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του ϊνιςεσ. b) Ιςοςκελϋσ, όταν ϋχει δύο πλευρϋσ ύςεσ. c) Ιςόπλευρο, όταν ϋχει όλεσ τισ πλευρϋσ του ύςεσ ΢ε ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = ΑΓ η πλευρϊ ΒΓ ονομϊζεται βϊςη του και το ςημεύο Α κορυφό του. Σο ιςόπλευρο τρύγωνο εκτόσ του ότι όλεσ οι πλευρϋσ του εύναι ύςεσ ϋχει και όλεσ τισ γωνύεσ του ύςεσ και μϊλιςτα η κϊθε μια 600. 137 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΔΕΤΣΕΡΕΤΟΝΣΑ ΢ΣΟΙΦΕΙΑ ΣΡΙΓΩΝΟΤΣα δευτερεύοντα ςτοιχεύα του εύναι οι διϊμεςοι, τα ύψη και οι διχοτόμοι. a) Διϊμεςοσ ενόσ τριγώνου ονομϊζεται το ευθύγραμμο τμόμα που ξεκινϊει από μια κορυφό ενόσ τριγώνου και καταλόγει ςτο μϋςο τησ απϋναντι πλευρϊσ. b) Ύψοσ ενόσ τριγώνου ονομϊζεται το ευθύγραμμο τμόμα που ξεκινϊει από μια κορυφό ενόσ τριγώνου και καταλόγει κϊθετα ςτην απϋναντι πλευρϊ. c) Διχοτόμοσ ενόσ τριγώνου ονομϊζεται το ευθύγραμμο τμόμα που φϋρνουμε από μια κορυφό του τριγώνου χωρύζει τη γωνύα ςε δύο ύςεσ γωνύεσ και καταλόγει ςτην απϋναντι πλευρϊ. ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ Ι΢Ο΢ΚΕΛΟΤ΢ ΣΡΙΓΩΝΟΤ ΢ε κϊθε ιςοςκελϋσ τρύγωνο : 1. Οι προςκεύμενεσ γωνύεσ ςτη βϊςη εύναι ύςεσ. 2. Η διϊμεςοσ που αντιςτοιχεύ ςτην βϊςη εύναι και ύψοσ και διχοτόμοσ . 3. Η ευθεύα τησ διαμϋςου που αντιςτοιχεύ ςτη βϊςη εύναι και ϊξονασ ςυμμετρύασ του ιςοςκελούσ τριγώνου. 138 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ Ι΢ΟΠΛΕΤΡΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤ ΢ε κϊθε ιςόπλευρο τρύγωνο : 1. Όλεσ οι πλευρϋσ και όλεσ οι γωνύεσ του εύναι ύςεσ. 2. Κϊθε διϊμεςοσ εύναι ύψοσ και διχοτόμοσ. 3. Οι ευθεύεσ των διαμϋςων εύναι ϊξονεσ ςυμμετρύασ του ιςόπλευρου τριγώνου.ΚΡΙΣΗΡΙΑ Ι΢ΟΣΗΣΑ΢ ΣΡΙΓΩΝΩΝ  Δύο τρύγωνα εύναι ύςα αν ϋχουν τισ πλευρϋσ τουσ ύςεσ μύα προσ μύα και τισ αντύςτοιχεσ γωνύεσ τουσ ύςεσ και αντύςτροφα αν δύο τρύγωνα εύναι ύςα, τότε θα ϋχουν τισ πλευρϋσ τουσ και τισ αντύςτοιχεσ γωνύεσ τουσ ύςεσ μύα προσ μύα.  ΢ε ύςα τρύγωνα απϋναντι από ύςεσ πλευρϋσ βρύςκονται ύςεσ γωνύεσ και απϋναντι από ύςεσ γωνύεσ βρύςκονται ύςεσ πλευρϋσ 139 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΡΙΣΗΡΙΑ Ι΢ΟΣΗΣΑ΢ ΣΡΙΓΩΝΩΝΚριτόρια ιςότητασ τριγώνων λϋμε τισ προτϊςεισ με τισ οπούεσ διαπιςτώνουμε αν δύο τρύγωναεύναι ύςα. 1ο κριτόριο ιςότητασ (Π-Γ-Π)Αν δύο τρύγωνα ϋχουν δύο πλευρϋσ ύςεσ μύα προσ μύα και την περιεχόμενη γωνύα τουσ ύςη,τότε εύναι ύςα 2ο κριτόριο ιςότητασ (Γ-Π-Γ) Αν δύο τρύγωνα ϋχουν μύα πλευρϊ ύςη και τισ προςκεύμενεσ ςτην πλευρϊ αυτό γωνύεσ ύςεσ μύα προσ μύα, τότε εύναι ύςα1ο κριτόριο ιςότητασ (Π-Γ-Π)Αν δύο τρύγωνα ϋχουν δύο πλευρϋσ ύςεσ μύα προσ μύα και την περιεχόμενη γωνύα τουσ ύςη, τότε εύναι ύςα 3ο κριτόριο ιςότητασ (Π-Π-Π) Αν δύο τρύγωνα ϋχουν τισ πλευρϋσ τουσ ύςεσ μύα προσ μύα, τότε εύναι ύςα. 140 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΡΙΣΗΡΙΑ Ι΢ΟΣΗΣΑ΢ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΡΙΓΩΝΩΝΔύο ορθογώνια τρύγωνα εύναι ύςα, όταν ϋχουν:1)δύο αντύςτοιχεσ πλευρϋσ ύςεσ μύα προσ μύα. Μεςοκϊθετοσ ευθύγραμμου τμόματοσ2)μύα αντύςτοιχη πλευρϊ ύςη και μύα αντύςτοιχη οξεύα γωνύα ύςη.  Μεςοκϊθετοσ ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ λϋγεται η ευθεύα η οπούα εύναι κϊθετη ςτο ευθύγραμμο τμόμα και περνϊει από το μϋςο του.  Κϊθε ςημεύο τησ μεςοκαθϋτου ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ιςαπϋχει από τα ϊκρα του και αντύςτροφα, κϊθε ςημεύο που ιςαπϋχει από τα ϊκρα ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ εύναι ςημεύο τησ μεςοκαθϋτου του ευθύγραμμου τμόματοσ.141 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΜεςοκϊθετοσ ευθύγραμμου τμόματοσ Μεςοκϊθετοσ ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ λϋγεται η ευθεύα η οπούα εύναι κϊθετη ςτο ευθύγραμμο τμόμα και περνϊει από το μϋςο του. Κϊθε ςημεύο τησ μεςοκαθϋτου ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ιςαπϋχει από τα ϊκρα του και αντύςτροφα, κϊθε ςημεύο που ιςαπϋχει από τα ϊκρα ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ εύναι ςημεύο τησ μεςοκαθϋτου του ευθύγραμμου τμόματοσ Διχοτόμοσ γωνύασ Κϊθε ςημεύο τησ διχοτόμου μιασ γωνύασ ιςαπϋχει απο τισ πλευρϋσ τησ γωνύασ και αντύςτροφα, Κϊθε ςημεύο που ιςαπϋχει από τισ πλευρϋσ μιασ γωνύασ εύναι ςημεύο τησ διχοτόμου τησ . 142 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΤΓΗΗ6Τ56Τ5Τ6 A΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.1. Α΢1. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ , η γωνύα ������ εύναι διπλϊςια από την γωνύα ������ και η γωνύα ������ εύναι 20° μεγαλύτερη από τη γωνύα ������. Να βρεύτε τισ γωνύεσ ������, ������ , ������.2. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ , η γωνύα ������ εύναι διπλϊςια από την γωνύα ������ και η γωνύα ������ εύναι 40° μεγαλύτερη από τη γωνύα ������. Να βρεύτε τισ γωνύεσ ������, ������ , ������.3. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με ������ = 70° και ������ = 30°. Αν ΑΔ εύναι διχοτόμοσ και ΑΕ εύναι ύψοσ του τριγώνου , να βρεύτε την γωνύα ������������������.4. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ προεκτεύνουμε την πλευρϊ ΒΑ κατϊ τμόμα ΑΔ=ΒΑ και την πλευρϊ ΓΑ κατϊ τμόμα ΑΕ=ΓΑ .1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ εύναι ύςα.2) Να γρϊψετε τισ ιςότητεσ των πλευρών και των γωνιών που προκύπτουν από τα παραπϊνω ύςα τρύγωνα. ������1 ������25. Α Γ Μ ������1 Δ Β ������2΢το παραπϊνω ςχόμα οι ευθεύεσ ������1 και ������2 εύναι παρϊλληλεσ .Η ευθεύα ������2 διϋρχεται από το μϋςο Μ του ΑΒ. 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΜΓ και ΒΜΔ εύναι ύςα. 2) Να γρϊψετε τισ ιςότητεσ των πλευρών και των γωνιών που προκύπτουν από τα ανϊμεςα ςτα κύρια ςτοιχεύα των τριγώνων ΑΜΓ και ΒΜΔ. 143 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. Να δεύξετε ότι ςε κϊθε ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ η διϊμεςοσ ΑΔ εύναι ύψοσ και διχοτόμοσ.7. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ (    ).Αν Μ και Λ εύναι μϋςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα να δεύξετε ότι : 1) ΒΛ=ΓΜ 2) Σα Μ και Λ απϋχουν ύςη απόςταςη από την πλευρϊ ΒΓ.8. Α ΢το διπλανό ςχόμα τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΔΒΓ εύναι ιςοςκελό , με την ύδια βϊςη ΒΓ. Γ Γ 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ εύναιΒ ύςα. 2) Να γρϊψετε τα ζεύγη ύςων γωνιών των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ.9. ΢ε διπλανό ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) προεκτεύνουμε τη βϊςη ΒΓ κατϊ τμόματα ΒΖ=ΓΗ όπωσ φαύνεται ςτο ςχόμα. Αν ΖΛ και ΗΜ αποςτϊςεισ από τισ πλευρϋσ ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα , να δεύξετε ότι ΖΛ=ΗΜ.10. Δύνεται το τρύγωνο ΑΒΓ και το ύψοσ του ΑΚ. Αν ΑΒ=ΒΔ και ΑΓ=ΓΕ , να αποδεύξετε ότι Δ και Ε απϋχουν ύςη απόςταςη από την ευθεύα ΒΓ. 144 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ11. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ , η διχοτόμοσ ΑΔ και πϊνω ςτην ημιευθεύα ΑΔ τα ςημεύα Ε , Ζ ώςτε ΑΕ=ΑΒ και ΑΖ=ΑΓ . Να αποδεύξετε ότι ������������������ = ������������������ .12. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ και το ύψοσ ΑΔ. 1) Αν προεκτεύνουμε το ύψοσ ΑΔ κατϊ τμόμα ΔΗ=ΑΔ , να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ και ΗΒΔ εύναι ύςα. 2) Υϋρνουμε ευθύγραμμο τμόμα ΓΕ=ΑΔ κϊθετο ςτη ΒΓ . Αν το ΑΕ τϋμνει τη ΒΓ ςτο ςημεύο Ζ , να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΔΖ και ΕΓΖ εύναι ύςα.13. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ , με βϊςη ΒΓ και ΑΔ το ύψοσ του. Αν Κ εύναι ϋνα ςημεύο του ΑΔ , να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΚ και ΑΓΚ εύναι ύςα.14. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με βϊςη ΒΓ. Αν Κ , Λ , Μ εύναι τα μϋςα των πλευρών ΑΒ , ΒΓ , ΓΑ αντύςτοιχα , να αποδεύξετε ότι ΛΚ=ΛΜ.15. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ϋςτω ΒΔ και ΓΖ οι διχοτόμοι του. Να αποδεύξετε ότι : 1) ΒΕ=ΓΖ 2) ΒΖ=ΓΕ16. Έςτω τρύγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ<ΑΓ και ΑΕ διχοτόμοσ του. ΢την πλευρϊ ΑΓ παύρνουμε ςημεύο Δ ώςτε ΑΔ=ΑΒ. Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΒΕΔ εύναι ιςοςκελϋσ.17. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ϋςτω ΒΜ και ΓΝ οι διϊμεςοι του. Να αποδεύξετε ότι : 1) ΒΜ=ΓΝ 2) ������������������=������������������18. ΢ε ϋνα ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ , με βϊςη ΒΓ φϋρνουμε τισ διαμϋςουσ ΒΜ και ΓΝ . Να αποδεύξετε ότι ΒΜ=ΓΝ.19. ΢το εξωτερικό ενόσ ιςοςκελούσ τριγώνου ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ θεωρούμε τα ιςόπλευρα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ . Να αποδεύξετε ότι ΒΕ=ΓΔ. 145 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ20. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και ϋςτω ΒΔ και ΓΕ οι διχοτόμοι του. Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΒΓΕ και ΒΓΔ εύναι ύςα.21. Α Σο τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ιςοςκελϋσ και ΔΒ=ΓΕ. Να αποδεύξετε ότι : 1) ������������������=������������������ 2) το τρύγωνο ΑΔΕ εύναι ιςοςκελϋσ.ΔΒ ΓΕ22. ΢τισ ύςεσ πλευρϋσ ΑΒ και ΑΓ ενόσ ιςοςκελούσ τριγώνου ΑΒΓ παύρνουμε τα ςημεύα Δ και Ε αντύςτοιχα , ώςτε ΑΔ=ΑΕ. Αν Μ εύναι το μϋςο τησ βϊςησ ΒΓ , να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΜΔΕ εύναι ιςοςκελϋσ.23. Α Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ , το ύψοσ ΑΔ και το τυχαύο ςημεύο Μ του ΑΔ. Να αποδεύξετε ότι : Μ 1) τα τρύγωνα ΑΒΜ και ΑΜΓ εύναι ύςα. 2) το τρύγωνο ΒΜΓ εύναι ιςοςκελϋσ. Β ΔΓ24. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και τα ύψη ΒΔ και ΓΕ. Να αποδεύξετε ότι : 1) ΒΔ=ΓΕ 2) ΑΔ=ΑΕ25. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ η διϊμεςοσ ΑΜ εύναι και ύψοσ. Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο εύναι ιςοςκελϋσ. 146 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ26. ΢ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ<ΑΓ φϋρνουμε την διϊμεςο ΑΜ. Να αποδεύξετε ότι οι κορυφϋσ Β και Γ ιςαπϋχουν από την ευθεύα ΑΜ.27. Δύνεται ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με ������=90° και η Β διχοτόμοσ του ΓΔ. Αν το ΔΕ εύναι κϊθετο ςτη ΒΓ , Ε να αποδεύξετε ότι : ΓΑ=ΓΕ Δ ΑΓ28. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ με ΑΒ=ΑΓ και τα μϋςα Μ , Ν των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα. Να αποδεύξετε ότι τα Μ , Ν ιςαπϋχουν : 1) από τισ πλευρϋσ ΑΓ και ΑΒ αντύςτοιχα, 2) από την βϊςη ΒΓ.29. Α Δύνεται ιςοςκελϋσ ΑΒΓ με βϊςη ΒΓ . ΔΕ Αν Δ και Ε τα μϋςα των ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα ΒΚΛ Γ και τα τμόματα ΔΚ και ΕΛ εύναι κϊθετα ςτη ΒΓ , να αποδεύξετε ότι ΔΚ = ΕΛ.Δ Δύνεται ιςόπλευρο τρύγωνο ΑΒΓ και πϊνω ςτισ πλευρϋσ του ΑΒ , ΒΓ και ΓΑ 30. παύρνουμε αντύςτοιχα τα ςημεύα Κ , Λ , Μ ϋτςι ώςτε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ. 1) Να ςυγκρύνετε τα τρύγωνα ΑΚΜ και ΒΚΛ. 2) Να ςυγκρύνετε τα τμόματα ΚΜ και ΚΛ. 3) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΚΛΜ εύναι ιςόπλευρο.31. Έςτω ΑΒΓ ιςοςκελϋσ τρύγωνο. Προεκτεύνουμε τισ ύςεσ πλευρϋσ ΑΒ, ΑΓ κατϊ τμόματα ΒΔ = ΓΕ . Να δεύξετε ότι ΒΕ = ΓΔ . 147 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ32. Έςτω ABΓ ιςοςκελϋσ τρύγωνο και Μ, Ν τα μϋςα των ύςων πλευρών ΑΒ, ΑΓ. Προεκτεύνουμε την ΒΓ κατϊ ΒΔ = ΓΕ . Να δεύξετε ότι ΜΔ = ΝΕ .33. . 33. ΢το διπλανό ςχόμα το ΑΒΓ εύναι ιςοςκελϋσ τρύγωνο (ΑΒ=ΑΓ) , Μ μϋςο τησ ΒΓ και ΑΖ=ΑΕ. Να δεύξετε το τρύγωνο ΜΖΕ εύναι ιςοςκελϋσ34. 34. 35. 34. ΢το διπλανό ςχόμα το ΑΒΓ εύναι τυχαύο τρύγωνο με ΑΔ=ΑΒ ,ΑΕ=ΑΓ και ������������ ⊥ ������������, ������������ ⊥ ������������. Να δεύξετε ότι ΓΔ=ΒΕ. 36.35.Α Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμοσ του. Ε ΢την πλευρϊ ΑΓ παύρνουμε τμόμα ΑΕ , τϋτοιο ώςτε ΑΒ=ΑΕ.ΒΔ Γ 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΔΕ εύναι ύςα. 2) Να αποδεύξετε ότι το τρύγωνο ΒΔΕ εύναι ιςοςκελϋσ. 3) Να αποδεύξετε ότι το ΑΔ εύναι κϊθετο ςτο ΒΕ. 148 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.2. ΛΟΓΟ΢ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΩΝ ΣΜΗΜΑΣΩΝΙ΢Α ΣΜΗΜΑΣΑ ΜΕΣΑΞΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝΑν τρεύσ (τουλϊχιςτον) παρϊλληλεσ ευθεύεσ ορύζουν ύςα τμόματα ςε μια ευθεύα, τότε θαορύζουν ύςα τμόματα και ςε οποιαδόποτε ϊλλη ευθεύα που τισ τϋμνει.Γηα παξάδεηγκα ζην παξαπάλω ζρήκα όπνπ ������1//������2//������3 : Αλ ΑΒ=ΒΓ , ηόηε είλαη Α’Β’=B’Γ’ . ΕΥΑΡΜΟΓΗ ΢ΣΑ ΣΡΑΠΕΖΙΑ ΚΑΙ ΢ΣΑ ΣΡΙΓΩΝΑ1. ΢ε ϋνα τραπϋζιο , αν από το μϋςο τησ μιασ μη παρϊλληλησ πλευρϊσ φϋρουμε ευθεύαπαρϊλληλη προσ τισ βϊςεισ του, τότε η ευθεύα αυτό διϋρχεται και από το μϋςο τησ ϊλλησ μηπαρϊλληλησ πλευρϊσ. ΑΒ Αν Μ μϋςο τησ ΑΔ και Μ Ν ������������//������������//������������ , τότε το Ν εύναι μϋςο τησ ΒΓ. ΔΓ2. Αν από το μϋςο μιασ πλευρϊσ ενόσ τριγώνου φϋρουμε ευθεύα παρϊλληλη προσ μύα ϊλληπλευρϊ του, τότε αυτό διϋρχεται από το μϋςο τησ τρύτησ πλευρϊσ του. Αν Δ μϋςο τησ ΑΒ και ������������//������������ , τότε το Ε εύναι μϋςο τησ ΑΓ.149 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΔΙΑΙΡΕ΢Η ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟΤ ΣΜΗΜΑΣΟ΢ ΢Ε ν Ι΢Α ΣΜΗΜΑΣΑ Από το Α φϋρνουμε μύα τυχαύα ημιευθεύα Ax και πϊνω ςε αυτόν παύρνουμε με το διαβότη ν διαδοχικϊ ύςα τμόματα ΑΕ, ΕΖ, ΖΗ,... Ενώνουμε τα ςημεύα Β, Η και από τα ςημεύα Ζ, Ε, Α φϋρνουμε παρϊλληλεσ προσ την ΒΗ. Οι παρϊλληλεσ αυτϋσ ορύζουν ςτην Αxύςα τμόματα οπότε θα ορύζουν και ςτην ΑΒ. ΛΟΓΟ΢ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΟΤ ΣΜΗΜΑΣΟ΢Έςτω ΑΒ, ΓΔ εύναι δύο ευθύγραμμα τμόματα. Ο λόγοσ ενόσ ευθύγραμμου τμόματοσ ΑΒ προσ το ευθύγραμμο τμόμα ΓΔ ςυμβολύζεται  και εύναι ο αριθμόσ λ, για τον οπούο ιςχύει ΑΒ = λ·ΓΔ.Ο λόγοσ δύο ευθυγρϊμμων τμημϊτων εύναι ύςοσ με το λόγο των μηκών τουσ, εφόςον ϋχουνμετρηθεύ με την ύδια μονϊδα μϋτρηςησ. π.χ. ΢το παρϊδειγμα ΑΒ = ΑΒ = 4 ΓΔ 4·ΑΒ 150 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook