Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore maths_g_(1)_2016-2017

maths_g_(1)_2016-2017

Published by nantia.theou, 2016-09-09 08:39:33

Description: maths_g_(1)_2016-2017

Search

Read the Text Version

Πύνακασ περιεχομϋνων

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΑΛΓΕΒΡΑ ...............................................................................................................................................4ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢.....................................................................................5 1.1. ΠΡΑΞΔΙ΢ ΜΔ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΤ΢ ΑΡΙΘΜΟΤ΢ ...............................................................6 1.2. ΜΟΝΩΝΤΜΑ-ΠΡΑΞΔΙ΢ ΜΔ ΜΟΝΩΝΤΜΑ ................................................................24 1.3. ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ-ΠΡΟ΢ΘΔ΢Η ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΔ΢Η ΠΟΛΤΩΝΤΜΩΝ...............................32 1.4. ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ ΠΟΛΤΩΝΤΜΩΝ ...................................................................36 1.5. ΑΞΙΟ΢ΗΜΔΙΩΣΔ΢ ΣΑΤΣΟΣΗΣΔ΢ ................................................................................41 1.6. ΠΑΡΑΓΟΝΣΟΠΟΙΗ΢Η ΑΛΓΔΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΩΝ ..........................................48 1.8. Δ.Κ.Π. θαη Μ.Κ.Γ. ΑΚΔΡΑΙΩΝ ΑΛΓΔΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΩΝ ...............................59 1.9. ΡΗΣΔ΢ ΑΛΓΔΒΡΙΚΔ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΙ΢..........................................................................61 1.10. ΠΡΑΞΔΙ΢ ΡΗΣΩΝ ΑΛΓΔΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΔΩΝ...................................................64 2.1. ΔΞΙ΢Ω΢ΔΙ΢ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ������������ + ������ = ������........................................................................69 2.2. ΔΞΙ΢Ω΢ΔΙ΢ 2ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ������������������ + ������������ + ������ = ������...........................................................73 2.3. Πξνβιήκαηα εμηζώζεωλ δεπηέξνπ βαζκνύ .......................................................................84 2.4. ΚΛΑ΢ΜΑΣΙΚΔ΢ ΔΞΙ΢Ω΢ΔΙ΢..........................................................................................86 2.3. ΑΝΙ΢Ω΢ΔΙ΢ 1νπ ΒΑΘΜΟΤ ............................................................................................92ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΑ ..............................................................................................................98 3.1. Η ΔΝΝΟΙΑ ΣΗ΢ ΓΡΑΜΜΙΚΗ΢ ΔΞΙ΢Ω΢Η΢ ..................................................................99 3.2. Η ΔΝΝΟΙΑ ΣΟΤ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΟ΢ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΔΠΙΛΤ΢Η ΣΟΤ ....................................................................................................................................................103 3.3. ΑΛΓΔΒΡΙΚΗ ΔΠΙΛΤ΢Η ΣΟΤ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤ ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΟ΢..................................106ΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 ΢ΤΝΑΡΣΗ΢ΕΙ΢ ........................................................................................................118 4.1. Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������ = ������ ������������ , κε α≠0............................................................................119 4.2. Η ΢ΤΝΑΡΣΗ΢Η ������ = ������ ������������ + ������������ + ������ , ������ ≠ ������.............................................................122ΚΕΥΑΛΑΙΟ 5 ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ΢ ........................................................................................................125ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ ......................................................................................................................................134ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 Ι΢ΟΣΗΣΑ-ΟΜΟΙΟΣΗΣΑ ΢ΦΗΜΑΣΩΝ.................................................................135 1.1. ΣΡΙΓΩΝΑ ........................................................................................................................136 1.2. ΛΟΓΟ΢ ΔΤΘΤΓΡΑΜΜΩΝ ΣΜΗΜΑΣΩΝ ...................................................................149 1.5. ΟΜΟΙΟΣΗΣΑ .................................................................................................................156 1.6. ΛΟΓΟ΢ ΔΜΒΑΓΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΢ΥΗΜΑΣΩΝ..............................................................162ΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΑ ....................................................................................................170 2.1. ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΔΙΑ΢ ΓΩΝΙΑ΢ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤ ....171 2.2...............................................................................................................................................177 2 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΢ΤΜΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΩΝΓΩΝΙΩΝ ....................................................................................................................................1772.3. ΢ΥΔ΢ΔΙ΢ ΜΔΣΑΞΤ ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ .............................................183 3 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΑΛΓΕΒΡΑ 4 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢ 5 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.1. ΠΡΑΞΕΙ΢ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΤ΢ ΑΡΙΘΜΟΤ΢Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙ΢ ΣΟΤ΢΢ΤΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ  Υυςικού Αριθμού : ℕ = *0,1,2,3,…..+  Ακϋραιοι Αριθμού : ℤ= *……,-2,-1,0,1,2,……+ Οι φυςικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ.  Ρητού Αριθμού : ℚ=* α , α, β ακϋραιοι , β ≠ 0 } β Εύναι οι αριθμού που ϋχουν ό μπορούν να πϊρουν κλαςματικό μορφό , δηλαδό την μορφό ������ , όπου ������ ������, ������ ακϋραιοι με ������ ≠ 0 .Οι φυςικού , τα κλϊςμα τα και οι δεκαδικού μαζύ με τουσ αντύςτοιχουσ αρνητικούσ.  Άρρητοι αριθμού : εύναι οι αριθμού που δεν εύναι ρητού. Διαφορετικϊ θα θυμόμαςτε ότι ϊρρητοσ εύναι κϊθε αριθμόσ ο οπούοσ δεν μπορεύ να γραφεύ ςαν τετρϊγωνο ακεραύου.  Πραγματικού Αριθμού : ℝ εύναι όλοι οι ρητού και ϊρρητοι αριθμού. Παραδεύγματα γνωςτών ϊρρητων αριθμών εύναι το π , e και η τετραγωνικό ρύζα του 2 2 * 6 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ *Ι΢ΣΟΡΙΚΟ ΢ΗΜΕΙΩΜΑ Ο αριθμόσ π εύναι μια μαθηματικό ςταθερϊ οριζόμενη ωσ ο λόγοσ τησ περιφϋρειασ προσ τη διϊμετρο ενόσ κύκλου, ενώ με ακρύβεια οκτώ δεκαδικών ψηφύων εύναι ύςη με 3,14159265. Εκφρϊζεται με το ελληνικό γρϊμμα π από τα μϋςα του 18ου αιώνα, παρότι επύςησ μερικϋσ φορϋσ γρϊφεται ωσ pi. Ο π εύναι ϋνασ ϊρρητοσ αριθμόσ, κϊτι που ςημαύνει ότι δεν μπορεύ να εκφραςτεύ ακριβώσ ωσ λόγοσ δύο ακεραύων (όπωσ 22/7 ό ϊλλα κλϊςματα που χρηςιμοποιούνται ςυνόθωσ για την προςϋγγιςη του π)· κατϊ ςυνϋπεια, η δεκαδικό απεικόνιςη δεν τελειώνει ποτϋ και ποτϋ δεν εγκαθύςταται ςε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παρϊςταςη. Σα ψηφύα φαύνεται να εμφανύζονται με τυχαύα ςειρϊ, αν και δεν ϋχει ανακαλυφθεύ ακόμη κϊποια απόδειξη για αυτό. Ο π εύναι ϋνασ υπερβατικόσ αριθμόσ, δηλαδό δεν αποτελεύ ρύζα ενόσ μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούσ ςυντελεςτϋσ. Αυτό ϋχει ςαν ςυνϋπεια ότι εύναι αδύνατο να λυθεύ το αρχαύο πρόβλημα του τετραγωνιςμού του κύκλου με κανόνα και διαβότη. Όλοι οι πραγματικού υπερβατικού αριθμού εύναι ϊρρητοι, αφού όλοι οι ρητού εύναι αλγεβρικού. Σο αντύςτροφο δεν ιςχύει: δεν εύναι όλοι οι ϊρρητοι και υπερβατικού. π.χ. η ρύζα του 2 εύναι ϊρρητοσ αλλϊ όχι υπερβατικόσ, αφού εύναι λύςη τησ εξύςωςησ : x2 − 2 = 0.Αεύ ο Θεόσ ο Μϋγασ γεωμετρεύ, το κύκλου μόκοσ ύνα ορύςη διαμϋτρω, παρόγαγεν αριθμόν απϋραντον, καύ όν, φεύ, ουδϋποτε όλον θνητού θα εύρωςι. 7 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ ΣΗ΢ ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η΢ ΚΑΙ ΣΟΤ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟΤ ΙΔΙΟΣΗΣΑ ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ Αντιμεταθετικό Προςεταιριςτικό ������ + ������ = ������ + ������ ������ · ������ = ������ · ������ Ουδϋτερο ΢τοιχεύοΑντύθετοσ - Αντύςτροφοσ (������ + ������) + ������ = ������ + (������ + ������) (������ · ������) · ������ = ������ · (������ · ������) Επιμεριςτικό ������ + ������ = ������ + ������ = ������ ������ · ������ = ������ · ������ = ������ ιδιότητα ������ + (−������) = ������ ������ ������(������ + ������) = ������������ + ������������ ������ · ������ = ������ ������(������ − ������) = ������������ − ������������ (������ + ������)(������ + ������) = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΡΗΣΩΝ Για να προςθϋςουμε δύο ό περιςςότερουσ ομόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, προςθϋτουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο ϊθροιςμα βϊζουμε το κοινό τουσ πρόςημο. Για να προςθϋςουμε δύο ετερόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό τη μικρότερη και ςτη διαφορϊ βϊζουμε το πρόςημο του ρητού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμό.ΑΥΑΙΡΕ΢Η ΡΗΣΩΝ Για να αφαιρϋςουμε από τον αριθμό α τον αριθμό β , προςθϋτουμε ςτον α τον αντύθετο του β . ������ − ������ = ������ + (−������) 8 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ ΡΗΣΩΝ  Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ομόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «+».  Για να πολλαπλαςιϊςουμε δύο ετερόςημουσ ρητούσ αριθμούσ, πολλαπλαςιϊζουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτο γινόμενο βϊζουμε το πρόςημο «–». Για να πολλαπλαςιϊςουμε πολλούσ παρϊγοντεσ αρκεύ να πολλαπλαςιϊςουμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ των παραγόντων και να μετρόςουμε το πλόθοσ των αρνητικών προςόμων .  Αν αυτό εύναι ϊρτιο το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο θετικό (+),  ενώ , αν αυτό εύναι περιττό το γινόμενο θα ϋχει πρόςημο αρνητικό. Αν ϋνασ παρϊγοντασ εύναι 0, τότε το γινόμενο θα εύναι 0. ΚΑΝΟΝΑ΢ ΠΡΟ΢ΗΜΩΝ (+) · (+) =(+) (−) · (−) = (+) (+) · (−) =(−) (−) · (+) =(−) 9 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΔΙΑΙΡΕ΢Η ΡΗΣΩΝΓια να διαιρϋςουμε δυο ρητούσ αριθμούσ, διαιρούμε τισ απόλυτεσ τιμϋσ τουσ και ςτοπηλύκο βϊζουμε :  το πρόςημο «+», αν εύναι ομόςημοι  και το πρόςημο «–», αν εύναι ετερόςημοι.  Αλλιώσ, η διαύρεςη  γρϊφεται και ωσ   1 , επομϋνωσ για να διαιρϋςουμε δύο  ρητούσ, πολλαπλαςιϊζουμε ςτον διαιρετϋο τον αντύςτροφο του διαιρϋτη.΢ύνθετο κλϊςμα ονομϊζεται το κλϊςμα που ϋχει ϋνα τουλϊχιςτον όρο ςε μορφό κλϊςματοσ ������ ������ · ������ ������ · ������ ������ = ������ ������ Δεν ορύζεται η διαύρεςη με διαιρϋτη το 0.ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ α·0=0 Αν α·β=0 τότε α=0 ό β=0 0 = 0 , αν α≠0 ������ ������: ������ = ������ · 1 ������ ������ ������������������ύ������������������������������ ������������������ ������ ������ύ������������������ ������ − ������ . ������ ������������������ύ������������������������������ ������������������ ������������������������������ό������ ������ύ������������������ ������������ ������������������ϋ������. ������������������ ������������������������������������ύ ������������ ������������������ό������������������������ ������������������ ������������������ϊ������������ ������ϋ������������������������������������ ������������������ύ������������������������������������������. ������ ������������������ύ������������������������������������������ ������������������ ������ ������ύ������������������ ������������ 1 . ������ Αλλϊ προςοχό δεν υπϊρχει αντύςτροφοσ του μηδενόσ. 10 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΑΠΑΛΟΙΥΗ ΠΑΡΕΝΘΕ΢ΕΩΝ Για να απαλεύψουμε τισ παρενθϋςεισ από μύα αριθμητικό παρϊςταςη ελϋγχουμε :  Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο «+» ό δεν ϋχει καθόλου πρόςημο, τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με τα πρόςημα τουσ.  Αν μπροςτϊ από την παρϋνθεςη υπϊρχει το πρόςημο «  », τότε απαλεύφουμε την παρϋνθεςη και γρϊφουμε τουσ όρουσ που περιϋχει με αντύθετα πρόςημα. Η ΠΡΟΣΕΡΑΙΟΣΗΣΑ ΣΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ 1. Εκτελούμε τισ πρϊξεισ μϋςα ςτισ παρενθϋςεισ (εκτόσ αν επιθυμούμε να κϊνουμε απαλοιφό παρενθϋςεων) 2. Εκτελούμε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ και τισ διαιρϋςεισ. 3. Σϋλοσ , εκτελούμε τισ προςθϋςεισ και τισ αφαιρϋςεισ. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.1.1. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ ωσ ΢ωςτό ό Λϊθοσ. 1. Δύο πραγματικού αριθμού με ϊθροιςμα μηδϋν εύναι αντύςτροφοι . 2. Αν α, β πραγματικού όπου ������ + ������ = 0 τότε ϋχουν ύςεσ απόλυτεσ τιμϋσ . 3. Αν α, β πραγματικού τότε ������  ������ = ������  ������ . 4. Αν α, β πραγματικού που ιςχύει ������  ������ = 1 τότε |������| = |������| . 5. Για α πραγματικό α  1 = α + 1 γιατύ 1 ουδϋτερο ςτον πολ/μό . 6. Αν α, β ≠ 0 πραγματικού με ������ = 0 τότε ������ = ������ . ������ 7. Αν α, β πραγματικού με γινόμενο μηδϋν τότε ������ = 0 ό ������ = 0 . 8. Δύο αριθμού που ϋχουν γινόμενο αρνητικό θα ϋχουν πηλύκο θετικό. 9. Αν α, β, γ πραγματικού με ������  ������  ������ = 2016 τότε ������ ≠ 0 ������������������ ������ ≠ 0 ������������������ ������ ≠ 0. 10. Ο αντύςτροφοσ του 1 εύναι το –1 . 11 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ11. Ο αριθμόσ – ������ εύναι ϋνασ αρνητικόσ ρητόσ αριθμόσ.12. Οι αντύθετοι αριθμού ϋχουν αντύθετεσ απόλυτεσ τιμϋσ.13. Οι αντύθετοι αριθμού ϋχουν την ύδια πϊντα απόλυτη τιμό αφού αυτό εκφρϊζει την απόςταςη των ςημεύων του ϊξονα από το 0 .14. Η απόλυτη τιμό ενόσ αριθμού εύναι πϊντα μη αρνητικόσ αριθμόσ.15. Οι ομόςημοι αριθμού ϋχουν γινόμενο ϋναν θετικό αριθμό.16. Οι ετερόςημοι ϋχουν γινόμενο ϋναν αρνητικό αριθμό.17. Οι αντύθετοι αριθμού ϋχουν γινόμενο αρνητικό αριθμό.18. Οι αντύςτροφοι αριθμού ϋχουν γινόμενο 0.19. Οι αντύςτροφοι αριθμού ϋχουν γινόμενο –1.20. Οι αντύςτροφοι αριθμού ϋχουν γινόμενο 1.2. Να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων: Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 1. (−3 + 2) + (−7 + 8 − 3)— 5 + 2 − 3 2. 1 − (7 − 2 + 2) − (−3 − 4 + 2) 3. −5 − (−2) − (−2 − 4 − 6 + 1) 4. −2— ,4 + (−3 − 4 + 1)- 5. −5 + ,−3 − (−4 + 1)- − (−5) 6. 1 + ,−3 + (−10 + 10)- − (−3 + 8)3. Να υπολογύςετε τα αθρούςματα. 1. +(+5) − (+4)— 6 + (−8) = 2. — 4 − (+3) + (+10) − (+12)= 3. (+5,7) + (−3,4 + (−2,06) + (+3,4) = 4. .+ 3/ + .+ 3/ = 57 5. .− 3/ + .+ 2/ = 23 6. .+ 5/ + .− 5/ = 46 7. .+ 3/ + .+ 3/ = 77 8. .5 + 2/ − 15 = 7 3 42 12

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ9. .3 1 − 2/ − 3 = 23 44. Να γύνουν οι πρϊξεισ1. 2 − .− 1/ + .− 1/ − .+ 1 / 3 4 2 122. −7 1 − 2 − 7 .1 − 2/ 23 233. − .− 1 + 3 − 5/ .− 1 + 5 − 11/ 326 23 64. .1 − 7/ .1 − 4/ − 3 : .− 2 + 2/ 225 5 535. Να γύνουν οι πρϊξεισ 1. .− 1/ − .+ 3 / − .− 1/ 5 10 2 2. −(−4) − .+ 3 / − .− 3/ 10 2 3. .− 1/ + .+ 3 / − .− 1/ 5 20 4 4. .− 1/ − .+ 3 / − .− 8 / + 3 5 10 15 46. Φωρύσ να γύνουν οι πρϊξεισ , να βρεύτε τα πρόςημα των παραςτϊςεων:i) (−4)(−1)(−7)(−9)(+4) ii) (−10)(−5)(10) ∶ (−2)(1)(+4)7. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ : 3 −12 5 1 −321. Α) 4 Β) 4 Γ) Δ) 3 5 8 6 52. −21+23−1 3−61+213. −2·3−41 −2.3−41/4. −7 + −3−13 −2+13 13 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ5. 2 − 3−52 2+126. 1 + (−2).−13/ 7 1−917. 1 + 1 · (−2).+13/ 7 1−198. −25+−34−−52 −1−139. .− 1 + −7 − 2/ : .− 2 / −3 3 40328. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων. 3  1 5  2  1 2 2 3Α= : Β = 1  2 : (3  2)  1  1 3 19. Αν για τουσ αριθμούσ α, β ιςχύει : ������−������ = 3 , να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων: ������ ������ = ������+������ ������ = −2������+3������ ������ = 4������−3������ ������ −������ −4������Μια από τισ πιο ςημαντικϋσ ιδιότητεσ των αριθμών εύναι η επιμεριςτικό ιδιότητα ������(������ + ������) = ������������ + ������������ ������(������ − ������) = ������������ − ������������ π.χ. 2(������ + 4) = 2������ + 2 · 4 = 2������ + 8 5(������ − 3) = 5������ + 3 · 5 = 5������ − 15 14 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ10. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ : A = 2(x − 3) − 3(x − 2)— (−x + 4) B = 5(y − 2) + 4(x − 2) + (−x + 8) Γ = −2(5 − x) − 6(x − 1) − (−2 + x) − (−4) Δ = −2(α − 2β + 3) + 3(2α − β − 1) − 2(α + β) Ε = −2(3α − 3) + 3(3 + 2α) − 10 Ζ = 3(2α − β + 1) − 2(α − β) + 15(2α + 2 − β) − α Η = −2(α − β) + 2(α + 3β − 2) − (2α − 5) − 2β11. Αν ������ + ������ = −5 και ������ + ������ = −7 , να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων : A = 4 − (x − ω) − (y − φ) B = −(−5 − x + φ) + (−8 + y) − (ω − 4)12. Αν α − β = 1 , να βρεύτε την τιμό των παραςτϊςεων : A = 4(α − β − 2) − 2(α − β − 5) B = 2(3α − 3β + 1) − 3(2 − 2α + 2β) − α + β13. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ A = 2(α − 6) − 3(α − 2) + α + 4 B = −,2(3α − 3) − 4(2 − 2α)- − α Γ = 2(α − 6) − 3(α − 2) + α + 4 Γ = 2(α − 6) − 3(α − 2) + α + 4 Δ = 7 − 5*3 − ,2 − (x − 4)-+ − 4 E = 4 − 2(x − 2) + 4*6 − ,1 − (x − 4)-+15 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΒ. ΔΤΝΑΜΕΙ΢ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ν-οςτη δύναμη του α Λϋγεται το γινόμενο ������ · ������ · ������ ···· ������ που ϋχει ν παρϊγοντεσ ύςουσ με το α και ςυμβολύζεται ������������ . ν-παρϊγοντεσ  Σο α λϋγεται βϊςη τησ δύναμησ και το ν εκθϋτησ.  Ση δύναμη α2 λϋμε τετρϊγωνο του α, ενώ η α3 λϋγεται κύβοσ του α. ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ α1 = α α0 = 1 με α ≠ 0 α−1 = 1 με α ≠ 0 ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢ α 1.Κϊθε αριθμόσ μπορεύ να γραφεύ ωσ δύναμη με α−ν = 1 με α ≠ 0 εκθϋτη το 1 . αν π.χ. 5= 51ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ ΔΤΝΑΜΕΩΝ 2. 10������ = 1000 … 00 10−������ = 0,000 … 0011. ������������ · ������������ = ������������ +������ ν-μηδενικϊ ν-δεκαδικϊ2. ������������ : ������������ = ������ ������ = ������������−������ 3.Για να ιςχύει ������������ = 0 , ������������ϋ������������������ : ������ ������ ������ = 0 ������������������ ������ ������ ������������ ������ύ������������������ ������������������������������ό������ ������������������ ≠ 0. 4.Εϊν ������, ������ ≥ 0 και ������2 = ������2 , τότε α = β .3. (������������ )������ = ������������ ·������4. (������ · ������)������ = ������������ · ������������5. (������: ������)������ = .������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ /6. .������ −������ = .������ ������ = ������ ������ ������ ������ ������ ������ / / 16 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΔυνϊμεισ με βϊςη αρνητικό και εκθϋτη ακϋραιο Εϊν ο εκθϋτησ εύναι ϊρτιοσ τότε το αποτϋλεςμα θα εύναι θετικό. π.χ. (−5)2 = 52=25 Εϊν ο εκθϋτησ εύναι περιττόσ τότε το αποτϋλεςμα θα εύναι αρνητικό. π.χ. (−5)3 = 53 = 125ΠΡΟ΢ΟΦΗ Δεν ιςχύει το ύδιο για δυνϊμεισ τησ μορφόσ - ������������ . π.χ. -52 = −25 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.1 1. Να ςυμπληρωθεύ ο πύνακασ a2  b2 a  b2 a2  b2 a  b2a b a2 b2 21 –5 –4–3 7 1 1 23 32 553 1 442 4 332. Να ςυμπληρώςετε τισ ιςότητεσ : α) –24 = …….……. β) (–2)3 = ……….… δ) (–2)4 = ………..… γ) –23 = ……….…3. Ομούωσ: 1) Αν ν: ϊρτιοσ , τότε (–1)ν = ……… 2) Αν ν: περιττόσ , τότε (–1)ν = ……… 17 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

4. Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α = ,(–2)–3]2 Β = ,–(–2)3]2 Γ = – [(–2)3]2 Δ = (–1)2(–2)3 Ε = (–22)35. Να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ : A = (−4 + 32): (−5) + (−2)(−1)7 B = 23 − 32 − 1100 + 50 + (−7)0 Γ = (−1)10 + (−1)9 − (−2)4 − (−3)2 Δ = (−2)2: (−4) + (−3)3 ∶ (−9) + (−4)2 ∶ (−8) (−2)4 · 2 (−3)5(−2) (−5)6(−3) Ε = 24 + 35 + 566. Να γρϊψετε την καθεμύα από τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ ωσ μια δύναμη .α)3−7 · 315 β)2−10 · 2−5 γ)4−3 · 4−1 δ)5−6 · 510ε)3−5 · 92 ζ)23 · 35 η)3−4 · (−9)2 θ) (−10)8 587. Να γρϊψετε ωσ μια δύναμη καθεμύα από τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ .α) 23 · 16 β) 27 · 1 γ) 33 · 27 · 81 δ) 2−4 · 322ε) (−5)4 · 253 8 ςτ) .1/5 · (−3)17 98. Να γρϊψετε ωσ μια δύναμη καθεμύα από τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ .α)(23)4 · 27 β) (3 · 32)3 · 3−6 γ)(7−2)−3: 75 δ)(57: 54)2 · 5−4ε)(���������4��� 2∶·������������ 6−)2−59. Εφαρμόζοντασ ιδιότητεσ δυνϊμεων να γρϊψετε ςε πιο απλό μορφό τισ παραςτϊςεισ:Α = (������–2  ������–3)–2Β = (������3������4������5)(������–6 : ������2) 18 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΓ = (������4 : ������2)2:(������2 : ������3)3Δ = ������7:(������5: ������3)10. Να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ :α)(−2)5: (−2)2 + (−3)15: (−3)13 β) (−5)10: 59 +(−7)10: (−7)9γ) −64: (−6)3 + (−2)6: −25 δ) (−4)10: −410 −(−3)10 · (−3)−911. Να υπολογύςετε την τιμό των παρακϊτω παραςτϊςεων :α)(−1)10 · (−2)3 · (−2016)0 β) (−2)2 · (−1)2016γ) ,(−1)20 · (−3)3- δ).− 1/−3 (−2)−1 212. Να υπολογύςετε την τιμό των παρακϊτω παραςτϊςεων :α)(������2)5 · 3 ������−5 β) (������2������)2 · 4 ������������−2 γ)(−3������)2(4������5)δ) (−4������)2: (22������2) ε) (−2������3)2: (−2������2)3 ζ) (−3������3)2 x4η) .3������ 2 −4 · .9������ 2 2 θ) ������ −2������ · .������������ −2 3 6 ������ −2������ ������������ 2������ / 4������ / /13. Να γρϊψετε τισ παραςτϊςεισ ςε γινόμενο δυνϊμεων των 2,3,5 και να υπολογιςτούν .1) (−2)−4 (−3)5 (−5)−3 (−2)−6 (−3)3 (−5)−22) (−2)3 (−3)2 (−5)−2 24 32 5−23) (−3 · 52)−4(−3)5(−5)1014. Να αποδεύξετε ότι για τουσ πραγματικούσ αριθμούσ ������, ������ ≠ 0 , ιςχύει : ������ 2 ������ 2 2������2 2������2 : (4������������)−2 = 115. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ:Α) 83x = 4 Β) (–6)2x–1 = 1 Γ) 272–3x = 81Δ) (–2)2–3x = –8 Ε) (3 – 2x)2016 = 0 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 19

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ ΝΟ 11. ΢ωςτό – Λϊθοσ1) 4−2 = − 1 162) (−2.016)0 = 13) . 1 −2 = 152 15 /4) .2/−2 = .3/2 325) (−3)2 = −96) (−2)−3 = − 1 62. Να ςυμπληρωθούν τα κενϊ : 1) 2.0160 =…… 2) 35 · 34 = 3… 3) 55 · 5−6 = 5… = 4) 35: 34 = 3… 5) 103: 104 = 10… =…….. 6) (23)4 = 2…. 7) (3−2)2 = 3… = 8) (535−1)2 =……………………………………………………………………………………. 9) (232−2)3 =………………………………………………………………………………… 10) .1/−2 =…………………………………………………………………………………… 5 11) .− 3/−3 =……………………………………………………………..………………… 2 12) 2−4 =………………………………………………………………………………………3. Να υπολογύςετε τισ δυνϊμεισ :1) (3−1)−2 =…………………………………………………………………………………….2) 7 · 7−3 =………………………………………………………………………………………3) (−2)3 · (−2)−5 =…………………………………………………………………………….4) ,(−3)−1-2 =………………………………………………………………………………….5) ,(−2)3-−2 =………………………………………………………………………………….6) (−5)9 =……………………………………………………………………………………….. (−5)77) (−4)11 =……………………………………………………………………………………….. (−4)128) (−2)7 =……………………………………………………………………………………….. (−2)4 20 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΓ. ΣΕΣΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΤ ΑΡΙΘΜΟΤΟΡΙ΢ΜΟ΢Σετραγωνικό ρύζα ενόσ θετικού αριθμού α , ονομϊζεται ο θετικόσ αριθμόσ που όταν υψωθεύςτο τετρϊγωνο μασ δύνει τον θετικό αριθμό α και ςυμβολύζεται με α. ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΕΙ΢  0=0  Δεν ορύζεται ρύζα αρνητικού αριθμού.  ������ ≥ 0 ������������������ ������ϊ������������ ������ ≥ 0  ������ = 0 ό������������������ ������ = 0  Αν x ≥ 0 , τότε ������ 2=������ .  Αν ο ������ εύναι πραγματικόσ αριθμόσ , ������2 = ������ .ΙΔΙΟΣΗΣΕ΢ ΡΙΖΩΝ 1. Αν α , β ≥0 τότε ������ · ������ = ������ · ������ . 2. Αν ������ ≥ 0 και ������ > 0 τότε ������ = ������ . ������ ������ ΠΡΟ΢ΟΦΗ ������ + ������ ≠ ������ + ������ΡΗΣΟΠΟΙΗ΢Η ΠΑΡΟΝΟΜΑ΢ΣΗΜΕΘΟΔΟ΢Εϊν ϋχουμε ϋνα κλϊςμα τησ μορφόσ ������ , α>0 όπου ������ εύναι ϊρρητοσ αριθμόσ . ������Για να μετατρϋψουμε το κλϊςμα ςε ιςοδύναμο με ρητό παρονομαςτό , πολλαπλαςιϊζουμε καιτουσ δύο όρουσ του κλϊςματοσ με την ρύζα που υπϊρχει ςτον παρονομαςτό .Δηλαδό ,������ ������ · ������ ������ · ������ ������ · ������ == ������ 2 =������ ������ · ������ ������21 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.11. ΢υμπληρώςτε τισ προτϊςεισ: 1) Αν ������ = ������ με ������, ������ μη αρνητικούσ αριθμούσ τότε ιςχύει ………….. 2) Αν ������2 = ������ τότε ο αριθμόσ α πρϋπει να εύναι …………… 3) Αν ������2 = −������ , τότε ο αριθμόσ α πρϋπει να εύναι………………… 4) Αν α οποιοςδόποτε αριθμόσ τότε ������2 =………. 5) Αν ������ ≥ 0 τότε ������ 2 =……… 6) Αν ������ ≥ 0 τότε ������ · ������ =……. 7) Αν ������ ≥ 0 και 5 = ������ τότε ������2 =….. 8) Αν ������2 = 5 και ������ ≥ 0 τότε ������ =…… 9) Αν ������2 = 5 και ������ < 0 τότε ������ =…………2. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων :α) 0,02 0,08 β) 2016 2016 γ) ������5 δ) 16 200 ������ 2ε) 5 + 5 + 5 5 ςτ) 2 8 − 4 2 + 3 2 − 18 ζ) 50  2  32 28− 63 θ) 75 + 125 20η) 700 36 κ) 3 18 λ) 15 10 μ) 4������ 2 9������ 2 ������ 2 ������ 2ι) 2 16 12 8 12 50ν) 16������ 2������ 2 4������ 2 −2 ο) .3 5/−2 + .3 5/2 ������ 2 ������ 2������ 2 ξ) 1 22 5 22 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παρακϊτω παραςτϊςεων: Α = 1 + 43 + 31 + 15 + 100 · 18Β = 13 + 7 + 4 + 24 + 4 − 9Γ = 49+ 36 − 144+ 121 Δ = 3 5 4 + 3 5 −2 64− 49 196− 1694. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:α) 2 2 − 1 β) 2 + 1 2−1 ������ + ������γ) 2 − 3 2+ 3 δ) ������ − ������ 1 1ε) 2 ςτ) 2−1 3ζ) 3+ 25. Να βρεύτε για ποιεσ τιμϋσ του ������ ορύζονται οι ακόλουθεσ ρύζεσ :α) x + 1 β) −x + 5 δ) 3 − 9xγ) 2������−4 36. Να γρϊψετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ με ρητό παρονομαςτό. 1, 3 , 3 , 2 , 2 , 20− 45 12 3 3 8 3 80 2 23 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.2. ΜΟΝΩΝΤΜΑ-ΠΡΑΞΕΙ΢ ΜΕ ΜΟΝΩΝΤΜΑ Αριθμητικό παρϊςταςη λϋγεται η παρϊςταςη που περιϋχει αριθμούσ και πρϊξεισ. Αλγεβρικό παρϊςταςη λϋγεται η παρϊςταςη που περιϋχει αριθμούσ, πρϊξεισ καιμεταβλητϋσ. π.χ. 5x4 − 3x y5 Ακϋραια αλγεβρικό παρϊςταςη λϋγεται η παρϊςταςη που μεταξύ των μεταβλητών τησ ςημειώνονται μόνο οι πρϊξεισ τησ πρόςθεςησ και του πολλαπλαςιαςμού και οι εκθϋτεσ των μεταβλητών εύναι φυςικού αριθμού. π.χ. 4 ������5 + 4x 5 Αν ςε μύα αλγεβρικό παρϊςταςη αντικαταςτόςουμε τισ μεταβλητϋσ με αριθμούσ και κϊνουμε πρϊξεισ θα προκύψει ϋνασ αριθμόσ που λϋγεται αριθμητικό τιμό τησ παρϊςταςησ.Μονώνυμα λϋγονται οι ακϋραιεσ αλγεβρικϋσ παραςτϊςεισ, ςτισ οπούεσ μεταξύ τωνμεταβλητών ςημειώνεται μόνο η πρϊξη του πολλαπλαςιαςμού. π.χ. 4 x5y 5  ΢’ ϋνα μονώνυμο ο αριθμητικόσ παρϊγοντασ λϋγεται ςυντελεςτόσ του μονωνύμου.  Σο γινόμενο όλων των μεταβλητών του λϋγεται κύριο μϋροσ.  Ο εκθϋτησ μύασ μεταβλητόσ λϋγεται βαθμόσ του μονωνύμου ωσ προσ τη μεταβλητό αυτό, ενώ ο βαθμόσ του μονωνύμου ωσ προσ όλεσ τισ μεταβλητϋσ λϋγεται το ϊθροιςμα όλων των εκθετών των μεταβλητών του. Όμοια μονώνυμα ονομϊζονται τα μονώνυμα που ϋχουν το ύδιο κύριο μϋροσ. Ίςα μονώνυμα ονομϊζονται τα μονώνυμα που ϋχουν το ύδιο κύριο μϋροσ και τον ύδιο ςυντελεςτό. Αντύθετα μονώνυμα ονομϊζονται τα μονώνυμα που ϋχουν αν ϋχουν ύδιο κύριο μϋροσ και αντύθετουσ ςυντελεςτϋσ. Μηδενικό μονώνυμο λϋμε το ςταθερό μονώνυμο 0.(για το οπούο δεν ορύζεται βαθμόσ) 24 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.2. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Κύριο μϋροσ1. Να ςυμπληρώςετε τον παρακϊτω πύνακα:Μονώνυμο ΢υντελεςτόσ−������������������������������������������������ ������������ ������������������������������������ − ������ ������������������������−������������������������ ������������������������2. Να γύνει αντιςτούχιςη μεταξύ ομούων μονώνυμων : −������������������������ ������������ ������ ������������ ������ 5������−3������3, ������ ≠ 0 ������ ������ ������������������ 3 2������������ ������ ������������������ ������4������ 5 ������������ 1 ������2 ������3 3 ������������ 5������−1������3������2 , ������ ≠ 0 25 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Πούεσ από τισ παρακϊτω αλγεβρικϋσ παραςτϊςεισ εύναι μονώνυμα και ποιεσ όχι ; α) 10������3 β) 1 ������2������2 γ) 10 δ) 15������−2������2 2 ������ ε) 3������5������2 ςτ) −9������−5������2 ζ) − 5������5������3 η) 4������������24. Ποια από τα παρακϊτω μονώνυμα εύναι όμοια ; α) 10 ������5������2 β) 1 ������2������2 γ) − 2������2 δ) 15������5������3 2 ε) 3������5������2 ςτ) −9������2 ζ) − 5������5������3 η) 4������2������25. Ποια από τα παρακϊτω μονώνυμα εύναι ύςα και ποια αντύθετα ; α) 10 ������������ β) 1 ������2 γ) − 2������2 δ) 5������5������3 2 ε) 5������3������5 ςτ) 5������������ ζ) − 5������5������3 η) −10������������6. Δύνεται το μονώνυμο − 5������ 3������ 2 . 3 α)Ποιοσ εύναι ο ςυντελεςτόσ και ποιο το κύριο μϋροσ του μονωνύμου ; β)Να βρεθεύ ο βαθμόσ του μονωνύμου: ������) ωσ προσ ������ ������������) ωσ προσ ������ ������������������) ωσ προσ ������ και ������ . γ)Να βρεύτε την αριθμητικό τιμό του μονωνύμου για ������ = −2 και ������ = 2 .7. Να βρεύτε τουσ πραγματικούσ αριθμούσ κ , λ και ν , ώςτε τα μονώνυμα : (2������ − 4)������������ ������2 και 12 ������14������2������−8 να εύναι ύςα . 26 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΠΡΑΞΕΙ΢ ΜΟΝΩΝΤΜΩΝΑΘΡΟΙ΢ΜΑ ΜΟΝΩΝΤΜΩΝ  Αν τα μονώνυμα εύναι όμοια τότε το ϊθροιςμα τουσ εύναι όμοιο μονώνυμο με αυτϊ και ϋχει ςυντελεςτό το ϊθροιςμα των ςυντελεςτών τουσ. π.χ. −2xy2 + 10xy2 = 8xy2 Αν τα μονώνυμα δεν εύναι όμοια τότε δεν προςτύθενται και δεν αφαιρούνται αλλϊ το ϊθροιςμα ό η διαφορϊ τουσ εύναι μύα αλγεβρικό παρϊςταςη. π.χ. 2xy2 +12y2 ,οι δύο όροι δεν μπορούν να προςτεθούν και ςυνεπώσ το ϊθροιςμα 2xy2 +12y2 εύναι μια αλγεβρικό παρϊςταςη.Έτςι λοιπόν , Σο ϊθροιςμα ομούων μονωνύμων εύναι μονώνυμο , ενώ Σο ϊθροιςμα μη ομούων μονωνύμων εύναι αλγεβρικό παρϊςταςη.ΓΙΝΟΜΕΝΟ-ΠΗΛΙΚΟ ΜΟΝΩΝΤΜΩΝ Σο γινόμενο μονωνύμων εύναι ϋνα μονώνυμο που ϋχει :  ωσ ςυντελεςτό το γινόμενο των ςυντελεςτών και  ωσ κύριο μϋροσ το γινόμενο όλων των μεταβλητών τουσ με εκθϋτη το ϊθροιςμα των εκθετών τουσ.Π.χ. 3xy2 ·(−2y2x3)=−6x4y4 Σο πηλύκο μονωνύμων εύναι ϋνα μονώνυμο που ϋχει :  ωσ ςυντελεςτό το πηλύκο των ςυντελεςτών και  ωσ κύριο μϋροσ το πηλύκο όλων των μεταβλητών τουσ με εκθϋτη τη διαφορϊ των εκθετών τουσ.π.χ. 8x 5 y 4 : (−2x 2 y 3 ) = 8x5y4 · 1 = − 8x 5 y 4 = −4x 3 y −2x 2 y 3 2x 2 y 3. Σο ϊθροιςμα, και το γινόμενο μονωνύμων εύναι πϊντα μονώνυμο, ενώ το πηλύκο μονωνύμων δεν εύναι πϊντα μονώνυμο.π.χ. 16x 5 y 4 : (−8x 3 z 2 y 3 ) = − 16 x5 zy 4 = − 2x2y 8x 3z 2y 3 z 27 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΑ΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.2.1. Να χαρακτηρύςετε τισ προτϊςεισ με ΢ωςτό ό Λϊθοσ. 1. Η παρϊςταςη 4 ������5������ εύναι μονώνυμο. 5 2. Σο 0 λϋγεται μηδενικό μονώνυμο. 3. Για το μηδενικό μονώνυμο δεν ορύζεται βαθμόσ. 4. Σο 2 εύναι μονώνυμο μηδενικού βαθμού. 5. Η παρϊςταςη (5 ������): ������ εύναι μονώνυμο. 6. Σα μονώνυμα 2������������2 και 12������2 εύναι όμοια. 7. To μονώνυμο 10������5������ εύναι 6ου βαθμού ωσ προσ x και y. 8. To μονώνυμο 3������7������ εύναι 1ου βαθμού ωσ προσ x. 9. Η αλγεβρικό παρϊςταςη 3������������2 ·(−2������2������3) εύναι μονώνυμο. 10. Η αλγεβρικό παρϊςταςη 3������������2 : (−2������2������3) εύναι μονώνυμο. 11. Η αλγεβρικό παρϊςταςη 3������6������5 ·(−2������2������3) εύναι μονώνυμο.2. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω αθρούςματα μονωνύμων :1) 5������ + 3������ – 2������ – ������ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα2) 5������ − 3 − 2������ − 3������ + 23) – ������2 + ������24) – 3������2 + 8 ������25) −10������5 + 5������5 − 3������56) −10������2 + 10 + 5������2 − 3������27) 2������ + 5������ + ������8) 3������������2 − 4������������2 + 8������������29) ������������2 − 2������������2 + 8������������210) 4������������������ − 5������������������ + 2������������������ − ������������������ 28

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ11) 2������������ + 4 2������������ − 6 2������������12) 9������������2 − ������2������ + 10������������213) 20������2������ + 5������2������ − 35������2������14) 2������3 + 5������3 − 8������3 + 215) −2������������ + 4������������ − 10������������16) 13������������ − 4������ + 4������������ − 2������������ − 5������17) 5������5 + 1 ������5 218) 2������������4– 0,5������������4 + 1,25������������419) − ������3 + ������3 − ������3 + 3������3 26320) −������3������ + 1 ������3������ + 1 ������3������ 3 1221) 1 (������2������)2 + 1 ������4������2 2322) 3������������4������������ − 3������2������223) 2������������ ������������ − 5������������ ������������24) −2������2������������ + 5������2������������25) ������2 − ������������ − ������2 + 2������2 − 5������������ − ������2 + 3������2 + 4������������ + 2������226) ������2 − 8 − ������2 + 9������2 − 5 − 6������2 + 3������2 − 2������2 + 1227) ������2 − 12������������ − ������3 + 14������2 − 20������������ − 3������3 + 228) 3������2 – [(5������3–������) + 4������2 – (2������2+6)] + (–2������2–5������)29) 5α3 – (2α2+α–3) + [– (3α2–2α–4) + (–2+6α)3. Να υπολογύςετε τα παρακϊτω γινόμενα μονωνύμων:1) –5������ · 3������2) (−2������������2)(−3������)3) (−2������������2)2������(−5������������)4) (−2������������3)(−3������2������)5) (3������������2)2(2������2������������)3 29 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

6) .1 ������2������������/2 (2������������������)3 ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 27) 0,5������3������ · (−2������������3) · ������8) (−5������3������4)2������9) ������3������ · (−2) · (������2������)2·410) ������������ (−������������+2)11) ������������ ������������ (−3������������2)12) 4 ������������2(5������������3)(−������2������)4. Να γύνουν οι παρακϊτω διαιρϋςεισ μονωνύμων:1) – 5������: 4������2) 4������������3: ( – 2������������)3) –5������: (3������3������)4) ������������ 3 : ������ 2������ 395) ������: ( – ������2)6) – ������3: – ������27) 30������4������3������ ∶ 10������2������28) (−4������5������3������): (−2������2������2)9) (−8������2������): (2������4������2)10) −2������2: (2������������)11) 16������2������������3: (−2������������������2)12) (−33������2������): (−3������)213) (6������������2)3: (2������������)214) ,(������������2)3: ������������-: (������������)15) .1 2 : 1 ������2������4 ������������/ 2416) (22������������4)2: ������������517) (3������2������2������)3: (9������2������) 30

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ18) ,(2������������2)2 + 4������4������2-: (−2������������3)19) (−4������2������3������): ,(−2������2������)(−������������2)-20) (3������������+1): (−������������ )21) −8������2������ ������������ : −4������������ ������������−15. Να βρεύτε τα κ , λ ώςτε η παρϊςταςη 2������2−������ ������������−1 + 1 ������4������3−������ να εύναι μονώνυμο. 26. Να βρεύτε τουσ πραγματικούσ αριθμούσ κ , λ και ν , ώςτε τα μονώνυμα :(2������������ ������2)3(3������������������ )2 και λ������14������12: ,(������7������3): (6������4������)- να εύναι ύςα .7. Δύνονται τα μονώνυμα : ������ = 1 ������6������5 ������������������ ������ = − 1 ������4������2 . 42 1) Να βρεύτε το πηλύκο ������ . ������ 2) Αν το μονώνυμο 8������������−3������2������+1 εύναι όμοιο με το πιο πϊνω πηλύκο , να βρεύτε τισ τιμϋσ των μ και λ .8. Να βρεύτε τουσ ακεραύουσ κ , λ ώςτε η αλγεβρικό παρϊςταςη −2������������+1������2 + 7������5������1−������ , να εύναι μονώνυμο.9. α) Αν ������ , ������ > 0 να προςδιορύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 16 + ������ − ������2 − ������ + ������2 β) Να προςδιορύςετε το κ ώςτε η παρϊςταςη ������ = ������3������2 − 3������3������������−1 , να εύναι μονώνυμο.10. Δύνονται τα μονώνυμα : 2������������ ������������+2 ������������������ 1 ������������−8������ . 2 Σο γινόμενο των παραπϊνω μονωνύμων ϋχει βαθμό 25 ωσ προσ ������ και ������ . 1) Να αποδεύξετε ότι : ������ = 10 . 2) Να βρεύτε το πηλύκο των δύο μονωνύμων και ςτην ςυνϋχεια την τιμό του μονωνύμου για ������ = 8 και ������ = 1 . 431 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.3. ΠΟΛΤΩΝΤΜΑ-ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΚΑΙ ΑΥΑΙΡΕ΢Η ΠΟΛΤΩΝΤΜΩΝΠολυώνυμολϋγεται μύα αλγεβρικό παρϊςταςη που προκύπτει από ϊθροιςμα τουλϊχιςτον δύο μονωνύμωνπου δεν εύναι όμοια.Κϊθε μονώνυμο που περιϋχεται ςε ϋνα πολυώνυμο λϋγεται όροσ του πολυωνύμου.π.χ.  To πολυώνυμο ������(������) = ������2 + 2������ αποτελεύται από δύο όρουσ, τα μονώνυμα ������2 και το 2������ .  To πολυώνυμο ������(������) = 2������������ + ������2 − ������ − 3 , αποτελεύται από 4 όρουσ. Αν ϋνα πολυώνυμο ϋχει δύο όρουσ λϋγεται διώνυμο, ενώ αν ϋχει τρεύσ όρουσ λϋγεται τριώνυμο. Βαθμόσ του πολυωνύμου, ωσ προσ μύα ό περιςςότερεσ μεταβλητϋσ του, εύναι ο μεγαλύτεροσ από τουσ βαθμούσ των όρων του. Σο πολυώνυμο P(x) = αx + β ονομϊζεται 1ου βαθμού πολυώνυμο .  ΢ταθερό πολυώνυμο λϋγεται κϊθε αριθμόσ και εύναι μηδενικού βαθμού, Σο πολυώνυμο P(x) = c , εϊν το c≠0 ονομϊζεται ςταθερό πολυώνυμο και εύναι μηδενικού βαθμού.  Μηδενικό πολυώνυμο λϋγεται ο αριθμόσ 0. Σο μηδενικό πολυώνυμο δεν ϋχει βαθμό. Σο πολυώνυμο P(x) = 0 ονομϊζεται μηδενικό πολυώνυμο.  Ίςα πολυώνυμα λϋγονται τα πολυώνυμα τα οπούα ϋχουν όρουσ ύςα μονώνυμα. Ένα πολυώνυμο με μύα μεταβλητό λϋμε ότι γρϊφεται κατϊ τισ φθύνουςεσ δυνϊμεισ αν το γρϊψουμε από τον όρο με το μεγαλύτερο βαθμό προσ τον όρο με τον μικρότερο βαθμό. ������(������) = 2������ − 3 + ������2 = ������2 + 2������ − 3 32 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Η αριθμητικό τιμό του πολυωνύμου ������(������) για ������ = ������ , ςυμβολύζεται με ������(������) και προκύπτει αν αντικαταςτόςουμε το ������ με τον πραγματικό αριθμό p. π.χ. Για το πολυώνυμο ������(������) = 2 · ������5 + ������3 + 10 · ������ , θα βρούμε την αριθμητικό τιμό του για ������ = 1. P(1) = 2 · 15 + 13 + 10 · 1 = 2 + 1 + 10 = 13 Αν ������(������) = 0 , τότε ο p ονομϊζεται ρύζα του πολυωνύμου. π.χ. Για το πολυώνυμο P(x) = 2 · x5 + x3 − 3 · x το 1 εύναι ρύζα αφού : P(1) = 2 · 15 + 13 − 30 · 1 = 2 + 1 − 3 = 0ΠΡΟ΢ΘΕ΢Η ΚΑΙ ΑΥΑΙΡΕ΢Η ΠΟΛΤΩΝΤΜΩΝΓια να προςθϋτουμε ό να αφαιρϋςουμε πολυώνυμα:  Βγϊζουμε τισ παρενθϋςεισ και προςθϋτουμε μεταξύ τουσ μόνο τουσ όμοιουσ όρουσ. π.χ. ������(������) + ������(������) = (4������2 + 6������2 + 6) + (−3������2 + 4������ + 10������2) = 4������2 + 6������2 + 6−3������2 + 4������ + 10������2 = ������2 + 16������2 + 4������ + 6 ������(������) − ������(������) = (4������2 + 6������2 + 6) − (−3������2 + 4������ + 10������2) = 4������2 + 6������2 + 6+3������2 − 4������ − 10������2 = 7������2 − 4������2 − 4������ + 6 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.3. 1. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό ό Λϊθοσ. 1) Σο ������(������) = 0 ονομϊζεται ςταθερό πολυώνυμο. 2) Σο ������(������) = 0 εύναι μηδενικού βαθμού. 3) Σο ������(������) = ������������2 + ������������ + ������ εύναι δευτϋρου βαθμού. 4) Tο πολυώνυμο P(������) = 2������5 + ������3 − 3 · ������ ϋχει ρύζα τον αριθμό 1. 5) Σο πολυώνυμο ������4������ + 3������3������3 + 3������2������2 ονομϊζεται 4ου βαθμού πολυώνυμο . 6) Σο ������(������) = 3������2 + 2������ + 2.016 εύναι δευτϋρου βαθμού. 7) Σο ������(������) = 45 εύναι πρώτου βαθμού. 8) Σο ������(������) = 2.016 ονομϊζεται ςταθερό πολυώνυμο μηδενικού βαθμού. 33 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = 5������3 + 7������2– ������4 −6������+2 1) Να γρϊψετε τουσ όρουσ του πολυωνύμου. 2) Να γρϊψετε τον ςταθερό όρο καθώσ και τον όρο με τον μεγαλύτερο εκθϋτη. 3) Να υπολογύςετε την τιμό του ������(������) για ������ = −2. 4) Να διατϊξετε το πολυώνυμο κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������ και να βρεύτε τον βαθμό του.3. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = (������ − 2)������3 + (������ − 1)������ + ������ + ������ − 3 , όπου λ και μ πραγματικού αριθμού. 1) Να βρεύτε τισ τιμϋσ των λ , μ ώςτε το ������(������) να εύναι ςταθερό πολυώνυμο. 2) Να αποδεύξετε ότι όταν το ������(������) εύναι ςταθερό , τότε εύναι και μηδενικό.4. Δύνονται τα πολυώνυμα: ������ (������) = 6������4+5������3–2������+7, ������ (������) = 5������3–2������2–9������+4 ������ (������) = – ������4–3������2+11, ������(������) = –7������3+8������2–������+6Να υπολογύςετε τα : α) ������ (������) − ������ (������) β) 2 · ������ (������) + ������ (������)γ) ������ (������) + ������(������) δ) ������(������) − ������(������) + (������(������) + ������(������))5. Δύνονται τα πολυώνυμα: ������(������) = 7������2–6������+2, ������(������) =–4������2+7������–8Να υπολογύςετε ������������ : α) ������(������) = ������(������) + ������(������) β) ������(������) = ������(������)– 3������(������).γ) ������ – 1 δ) ������(3) ε) ������(1) + ������(0) + ������ – 16. Έςτω ������ = – 2������ + ������ + ������ , ������ = ������ – 2������ + ������ , ������ = ������ + ������ – 2������. 1) Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ + ������ + ������ . 2) Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : 2������ – ������ . 3) Να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ (������ + 2������) – (������ + 2������) . 34 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ7. Αν ������(������) = ������2–3������+1 , ������(������) = –������2+2������ +5 , ������(������) = 2������2– ������– 3 , να βρεθούν τα επόμενα αθρούςματα : α) Α(������) + Β(x) β) ������(������) + ������(������) + ������(������) γ) ������(������) – ������(������) – ������(������) .8. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = −5������3 + ������4 + ������ + 3������2 − 1 1) Να διατϊξετε το πολυώνυμο κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������ και να βρεύτε τον βαθμό του. 2) Να υπολογύςετε την τιμό του ������(������) για ������ = 1 και ������ = −1. 3) Να υπολογύςετε το πολυώνυμο ������(������) = ������(������) + ������(−������) . 4) Να υπολογύςετε την παρϊςταςη ������ = ������(1)������(−1) . 35 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.4. ΠΟΛΛΑΠΛΑ΢ΙΑ΢ΜΟ΢ ΠΟΛΤΩΝΤΜΩΝ Για να πολλαπλαςιϊςουμε μονώνυμο με πολυώνυμο , πολλαπλαςιϊζουμε το μονώνυμο με κϊθε όρο του πολυωνύμου. ������(������ + ������) = ������������ + ������������ ������(������ − ������) = ������������ − ������������ π.χ. 2������5(5������ − 2) = 10������6 − 4������5 Για να πολλαπλαςιϊςουμε δυο πολυώνυμα , πολλαπλαςιϊζουμε κϊθε όρο του ενόσ με κϊθε όρο του ϊλλου (χρηςιμοποιούμε δηλαδό την επιμεριςτικό ιδιότητα ) και προςθϋτουμε τα γινόμενα που προκύπτουν . (������ + ������)(������ + ������) = ������������ + ������������ + ������������ + ������������ ������. ������. (������ − 3) · (������3 − 4������ + 2) = ������4 − 4������2 + 2������ − 3������3 + 12������ − 6 = ������4 − 3������3 + 14������ − 6Ο βαθμόσ του γινομϋνου δύο πολυωνύμων εύναι ύςοσ με το ϊθροιςμα των βαθμών τωνπολυωνύμων αυτών.ΕΝΟΣΗΣΑ 5 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.4.1. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:1. (������ + ������)(3������ − ������)2. −(4������ − ������)(2������ − ������)3. −2������(2������ + ������)4. (������ − ������)(������ + ������)5. −3������2(������ + 5������)6. (������ + 1)(������ − 2) − (3������ + 4)(������ − 6) 36 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ7. 2(������ − 6������) − 3������������(������ − ������)8. (2������ + 3������)(3������ − 2������) − 3(������2 − ������2)9. 4������(������2 − ������������ + ������2)10. −[������������ − ������(2������ − ������)]11. (������ + ������ − ������)(������ + ������)12. (������2 + 2������������ + ������2)(−2������2 + 4������������ − ������2)13. −������4(4 + 2������2 + ������2)2. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ: 1) – 2������(������ – ������) + 4(������ – ������) – 2(������2 – ������2) 2) 3������(3 – 2������) – 6(2 – ������2) – 10(������ + 1) + 20 3) ������2(������ – 2) + ������(������2 – 1) + ������(2������ + 1) 4) ������(������ – ������ + 1) – ������(������ – ������ – 1) – ������(������ + 1) 5) ������������(������ – ������) – ������(1 – ������2)– (������ – ������)3. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ: 1) (2������2– 3������– 6)(������2– ������ + 2) 2) (������– 2������– 3������)(������– 2������ + 3������) 3) (������2– 2������ + 5)(������2 + 2������ + 5) 4) (– ������2– ������2– 3������2)(������2– ������2– 3������2) 5) ( ������2 + ������2 )(������– ������)( ������2 + ������������ + ������2 ) 6) (2������ + 3)(4������ – ������– 2) 7) – (������2– 1)(������2������ + ������������2– ������) 8) – 2(5������2– 4������ + 3)(2������– 1) 9) (������– 1)(������2 + ������������ + ������) 10) (������ + 1)(������2– ������������ + ������2) 11) (������ + 2)(������ + 3)– ������(������ + 5)– 5 37 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ12) (������ – 1)(������ + 4) + 6 – ������(������ + 3)13) (������ – 4)(������ – 5) + ������(9 – ������) – 174. Για ποιεσ τιμϋσ των α, β, γ τα πολυώνυμα εύναι ύςα; 2������– 1 ������2– 2������������������ + ������������2 , 5������2 + 8������������ + ������25. Αν ������(������) = ������(������2– 2) – (������ + 2)[������2– (1– ������)], να εκτελϋςετε τισ πρϊξεισ και μετϊ να υπολογύςετε την τιμό ������(– 3).6. Δύνονται τα πολυώνυμα ������(������) = (������ + 7)(������– 2) και ������(������) = (������ + 7)(������ + 4). Να λυθεύ η εξύςωςη : ������(������) – ������(������) = 07. Αν τα πολυώνυμα ������(������) = ������3 + 2������2 + ������ + 1 και ������(������) = ������– ������2– 1 , να υπολογύςετε: ������) ������(2) , ������(2) ������) ������(2)  ������(2) ������) ������(������) = ������(������)  ������(������) ������) ������(2)8. Να γύνουν οι πρϊξεισ: (������2– 2������)3������ + (������������ + ������2)(– ������) + (������ + ������)(– 2������������) – (������ + 3)2������2. Μετϊ να βρεύτε την αριθμητικό τιμό του εξαγόμενου για ������ = 2 ������������������ ������ = – 1.9. Να δεύξετε ότι η αλγεβρικό παρϊςταςη: 2������(������2– ������ + 1) – (������������ + 1)(������– 2) – ������(������2 + 2) + ������ , ϋχει ςταθερό τιμό για τισ διϊφορεσ τιμϋσ των ������, ������.38 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ10. Να εκτελϋςετε τισ παρακϊτω πρϊξεισ και να βρεύτε την αριθμητικό τιμό του εξαγόμενου για τισ τιμϋσ των μεταβλητών που αναφϋρονται. 1) (2������ + 3)(������2 + ������– 1) – (������2– 1)(������ + 2) – 2������3 , ������ = – 2. 2) (������2������– 2������������2)(2������– ������) – 2������3(������ + ������) , ������ = – 1, και ������ = 2.11. Αν ������ (������) = ������2– ������ + 1 , ������(������) = ������ + 2 ������������������ ������(������) = ������– 1 , να βρεθούν τα εξαγόμενα: α) ������(������)  ������(������) β) ������(������)  ������(������) γ) ������(������) · ������(������) δ) ������(������)  ������(������) + ������(������)  ������(������)– ������(������)  ������(������).12. Δύνονται τα πολυώνυμα ������(������) = (������������2 + ������������ + ������)(������������ + ������) και ������(������) = ������2������3 + 4������2 + ������������ + ������ , όπου ������ , ������ , ������ , ������ , ������ εύναι θετικού και ακϋραιοι αριθμού. Αν ιςχύει ότι ������(1) = 21 , να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραμϋτρων ������ , ������ , ������ , ������ ώςτε τα πολυώνυμα να εύναι ύςα. 39 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ ΝΟ21. Να δοθεύ ο οριςμόσ του πολυωνύμου , βαθμόσ του πολυωνύμου και όροσ του πολυωνύμου.2. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό ό Λϊθοσ.1) Σν ������(������) = 0 νλνκάδεηαη ζηαζεξό πνιπώλπκν.2) Σν ������(������) = ������ ������2 + ������������ + ������ είλαη δεπηέξνπ βαζκνύ όηαλ ������ ≠ 0.3) Σν ������(������) = 2.016 ������2 + ������ − 3 είλαη δεπηέξνπ βαζκνύ.4) Η παξάζηαζε 4 ������8������ ������ είλαη κνλώλπκν . 55) Η παξάζηαζε (5 ������4): ������5 είλαη κνλώλπκν.6) Σα κνλώλπκα 1 ������2 θαη 12������2 είλαη όκνηα. 2.0167) To κνλώλπκν 10������3������ είλαη 4νπ βαζκνύ ωο πξνο x θαη y.8) Η αιγεβξηθή παξάζηαζε 6 ������5������6 ·(−2������2������3) είλαη κνλώλπκν.9) Tν πνιπώλπκν ������(������) = 20������5 + 19������3 − 2.016 · ������ έρεη ξίδα ηνλ αξηζκό 0.10) Η παρϊςταςη 2������ + 3 ������ + 10������3 εύναι πολυώνυμο.11) Σν πνιπώλπκν ������5������ + 3������4������3 + 3������2������2 είλαη 6νπ βαζκνύ πνιπώλπκν ωο πξνο ������ θαη ������3. Για ποιεσ τιμϋσ των α, β, γ τα πολυώνυμα εύναι ύςα; (2������– 1)������2– 2������������������ + ������������2 , 5������2 + 8������������ + ������24. Δύνονται τα πολυώνυμα ������(������) = (������ + 3)(������– 10) και ������(������) = ������2 − 10������. Να λυθεύ η εξύςωςη ������(������) – ������(������) = 05. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ και να γρϊψετε τα παρακϊτω πολυώνυμα κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������. 1) ������(������) = – 2������(������ – 1) + 4(3 – ������) – 3(������ – ������2) 2) ������(������) = 2������2– 3������– 6 ������2– ������ + 2 + 2(������ − 2)6. Δύνονται τα πολυώνυμα: ������(������) = 5������3 − ������(������ − 2) + 4 ������(������) = (−������ − 2)2 − 3(������ − 2)(−������ − 2) 1) Να γρϊψετε τα παραπϊνω πολυώνυμα κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������ . 2) Nα γρϊψετε το πολυώνυμο ������(������) = 2 · ������(������) + ������(������) κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������ . 3) Nα υπολογιςτεύ η αριθμητικό τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = ������(1) + ������(0) 40 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.5. ΑΞΙΟ΢ΗΜΕΙΩΣΕ΢ ΣΑΤΣΟΣΗΣΕ΢Σαυτότητα ονομϊζεται κϊθε ιςότητα που περιϋχει μεταβλητϋσ και αληθεύει για όλεστισ τιμϋσ των μεταβλητών τησ .1. (������ + ������)2 = ������2 + 2������������ + ������2 Άζξνηζκα θαη δηαθνξά ηεηξαγώλνπ2. (������ − ������)2 = ������2 − 2������������ + ������2 Γηαθνξά ηεηξαγώλωλ3. ������2 − ������2 = (������ − ������)(������ + ������) Κύβνο αζξνίζκαηνο θαη δηαθνξάο4. (������ + ������)3 = ������3 + 3������2������ + 3������������2 + ������35. (������ − ������)3 = ������3 − 3������2������ + 3������������2 − ������3 ΑΠΟΔΕΙΞΕΙ΢ :1. ������������ύ������������������ ������������ 1������ ������ϋ������������������ ������������������ ϋ������������ ∶ (������ + ������)2 = =(������ + ������)(������ + ������) = ������2 + ������������ + ������������ + ������2 = ������2 + 2������������ + ������2.2. ������������ύ������������������ ������������ 1������ ������ϋ������������������ ������������������ ϋ������������ ∶ (������ − ������)2 = = (������ − ������)(������ − ������) = ������2 − ������������ − ������������ + ������2 = ������2 − 2������������ + ������2.3. ������������ύ������������������ ������������ 2������ ������ϋ������������������ ������������������ ϋ������������ ∶ (������ − ������)(������ + ������) = = ������2 + ������������ − ������������ − ������2=������2 − ������24. ������������ύ������������������ ������������ 1������ ������ϋ������������������ ������������������ ϋ������������: (������ + ������)3 = = (������ + ������)(������ + ������)2 = (������ + ������)(������2 + 2������������ + ������2) = = ������3+2������2������ + ������������2 + ������������2 + 2������������2 + ������3 = ������3 + 3������2������ + 3������������2 + ������3.5. ������������ύ������������������ ������������ 1������ ������ϋ������������������ ������������������ ϋ������������: (������ − ������)3 = =(������ − ������)(������ − ������)2 = (������ − ������)(������2 − 2������������ + ������2) = = ������3−2������2������ + ������������2 − ������������2 + 2������������2 − ������3 = ������3 − 3������2������ + 3������������2 − ������3. 41 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. ������3 + ������3 = (������ + ������)(������2 − ������������ + ������2) Άζξνηζκα θαη δηαθνξά θύβωλ7. ������3 − ������3 = (������ − ������)(������2 + ������������ + ������2)ΕΝΟΣΗΣΑ 6 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.5.1. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό ό Λϊθοσ.1) Iςχύει ότι : (−α + β)2 = (β − α)22) Iςχύει ότι : (−α − β)2 = (α + β)23) Iςχύει ότι : (−α − β)3 = (α + β)34) Iςχύει ότι : (−������ − 3)3 = (3 + ������)35) Iςχύει ότι : (−α − β)2 = ������2 + 2αβ + β26) Iςχύει ότι : (������ + 2)2 = 4 + 4������ + ������22. Να βρεύτε τα αναπτύγματα: 1) (������ – 4)2 Θυμύζω… 2) (2������ + 5)2 3) (1 – 3x)2 (−������ + ������)������ = (������ − ������)������ 4) (2������ + 5y)2 (−������ − ������)������ = (������ + ������)������ 5) (������ + 5)2 6) (������ + 6)2 7) (������ − 7)23. Να βρεθούν τα αναπτύγματα:1) (������– 3)2 9) (5������2 + 2������)22) (−������ + 1)23) (2������ + ������)2 10) (2������– 3������)24) (– ������– ������)25) (������������ + 2������)2 11) (α2β + β2α)26) (2������– ������������)27) (10������2– 3)2 12) (–α3–α2)28) (−������– 2)2 13) 2 x 3 y 2  3 4  14) (4– ������)2 42 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4. Να ςυμπληρώςετε τισ παρακϊτω ιςότητεσ: ������2 – 4������ +…… = (….– ….)2 9α2 +6α +….. = (…. + ….)2 25 – 20α +…… = (….– ….)2 α2 + 2+….. = (…. + ….)2 49κ4 – 14κ2+…… = (….– ….)25. Nα αποδειχθεύ ότι η παρϊςταςη εύναι ανεξϊρτητη από την μεταβλητό ������: (������ + 2)2 + (������ + 1)2– 2(������– 1)2– 5(2������ + 1)6. Να βρεθούν τα αναπτύγματα : β) (������ − ������ − ������)2 α)(������ + 2������ + 3������)27. Αν ������ + ������ = 2 και ������������ = −10 , να υπολογιςτούν οι παραςτϊςεισ :������ = ������2 + ������2 ������ = ������3 + ������38. Να βρεθούν τα γινόμενα: 8) (2������ + ������)(2������– ������) 9) (2������ + 3������)(2������– 3������) 1) (������– 1)(������ + 1) 10) (������ − 2������)(−������ − 2������) 2) (3������– 2)(3������ + 2) 11) (������ + 2������ + ������)(������– 2������– ������) 3) (������ + 3������)(������– 3������) 12) (3������ – 2������)(3������ + 2������) 4) (2������ + ������)(������– 2������) 13) – (������ + 2)(������– 2) 5) (������������3 + 2������������)(2������������– ������������3) 14) (������ + 2)(2– ������) 6) (������– 3)(– ������– 3) 7) (������������ + 2)(������������– 2) Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 43

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ9. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ χρηςιμοποιώντασ την ταυτότητα:1) (������ + 5)(������ – 5) 7) (������3 – 2)(������3 + 2)2) (������ – 6)(������ + 6)3) (2������ – 5)(−2������ − 5) 8)  x5  y3   x5  y3 4) (1 – 3������)(1 + 3������)  5 3   5 3 5) (2������ + 5������)(2������– 5������)    6) (������2 + 1)(������2– 1) 9)  2 x  3 y   2 x  3 y   3 4   3 4 10. Να γύνουν οι πρϊξεισ:1) (7������ + 4������)(4������– 7������)2) 7 − 3 7 + 33) 2 5 − 3 2 5 + 34) (4������������3– 9������2������)(– 4������������3 – 9������2������)5) (������ + ������– 1)(������ + ������ + 1)6) (2������ + ������– 3������)(2������ + ������ + 3������)7) (2������ + ������– 3������)(2������– ������ + 3������)8) (������– ������ − ������)(������ + ������ + ������)11. Να γύνουν οι πρϊξεισ:1) (������ + 3������)2 – (������– 2������)2 – 5������22) (������– ������)2 – ������– ������ (������ + ������) + (������– ������)23) (������ + 3)2 + (������– 3)2 + 2(������ + 3)(������– 3)4) (������– 2)2 – (������ + 2)2 – (������ + 2)(������– 2)5) (2������ + 5)2– (2������– 3)(2������ + 3)6) – (������– 5)2 + (3������– 1)2 44 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

12. Να βρεύτε τα αναπτύγματα: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Θυμύζω… (−������ + ������)������ = (������ − ������)������ (−������ + ������)������ = −(������ − ������)������ (−������ − ������)������ = −(������ + ������)������1) (������ + 1)3 9) (−3������ – 2������)32) (������ + 2)33) (2������ + 3)3 10) (������ 2– 1)34) (1 + 3������)35) (������ + 5������)3 11) (−������3 – 2)36) (������ − 1)37) (−������ − 2)3 12)  x  1 38) (−3 + ������)3  x 13. Να γύνουν οι πρϊξεισ: 1) (������– 1)3– (������– 2)(������ + 2) 2) (������ + ������)3 – (������– ������)(������ + ������) – ������(������– ������) 3) (������ + 2)3 – 3������ ������– 1 + ������– 1 (������ + 1) 4) 3(x+1)2 + 3(x–1)2 + (x–1)3 5) (������– ������)3 – 3(������–y)2 (������ + ������) 6) 3(������– ������)(������ + ������) – (������ + ������)314. Να αποδεύξετε την ταυτότητα : (α + β + γ)2 = ������2 + ������2 + ������2 + 2������������ + 2������������ + 2������������.15. Δύνονται τα πολυώνυμα: ������(������) = (2������ + 3)2– 4������2, ������(������) = (������ + 2)(������ + 3)– 2������2– 6 1. Nα γύνουν όλεσ οι δυνατϋσ πρϊξεισ ςτα παραπϊνω πολυώνυμα και να τα γρϊψετε κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������ . 2. Να βρεθεύ το γινόμενο ������(������) · ������(������). 45 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ   16. Δύνονται οι παραςτϊςεισ:   2 1 3 ,   2 1 3 1) Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων Α , Β 2) Να δεύξετε ότι η τιμό τησ παρϊςταςησ     εύναι ύςη με 1.17. Δύνεται η παρϊςταςη: ������ = (4������ − 3������)2 + (4������ + 3������)2 − 20(������ − ������)(������ + ������) 1) Να γύνουν οι πρϊξεισ ςτην παραπϊνω αλγεβρικό παρϊςταςη. 2) Να βρεθεύ η τιμό τησ παρϊςταςησ Α , για ������ = −2 και ������ = 1.18. Να αποδεύξετε ότι: (������ + ������)2 + (������ + ������)2 + (������ + ������)2 – ������2 – ������2 – ������2 = (������ + ������ + ������)219. Δύνονται τα πολυώνυμα : ������(������) = (������ − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) και ������(������) = (������������2 + ������������)(������������2 + ������) + 4 , όπου ������ , ������ , ������ , ������ εύναι πραγματικού αριθμού. Αν ιςχύει ότι ������ + ������ + ������ + ������ = −3 , να βρεύτε τισ τιμϋσ των παραμϋτρων ������ , ������ , ������ , ������ ώςτε τα πολυώνυμα να εύναι ύςα. 46 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ 31. Σι ονομϊζεται ταυτότητα;2. Να αποδεύξετε την ταυτότητα : (α + β)3 = α3 + 3α2β + 3αβ2 + β33. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ( ΢ ) αν εύναι ΢ωςτϋσ και (Λ) αν εύναι Λανθαςμϋνεσ. 1) – ������ − 5 2 = 25 + 10������ + ������2 2) ������ − ������ = – (������ − ������) 3) – ������ − ������ 3 = (������ − ������)3 4) – ������ − ������ 2 = (������ + ������)2 5) Σο πολυώνυμο ������(������) = (������ + 1)2 − ������2 εύναι δευτϋρου βαθμού. 6) (−������ + ������)2 = ������2 − 2������������ + ������24. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ ςτισ παρακϊτω ιςότητεσ. 1) (___ … 3)2 = ������2 + ___ + ____ 2) (������ … ___)2 = ___ − 6������ + 9 3) (������ … ___)2 = ___ + ___ + 25 4) (___ + 2)2 = 9������2 + ___ + ___ 5) (������ − ___)2 = ___ − 4������������ + ___ 6) (������ + ___)3 = ___ + ___ + 12������������2 + ___ 7) (___ − ___)2 = 16������2 … 8������������ … ������25. Να βρεύτε τα αναπτύγματα : 1) (������ + 3)2 2) – ������2 + 6 2 3) – ������ + 3 2 4) (������ + 3)(−������ − 3) 5) (5 − ������)(������ + 5) 6) – ������ − 1 36. Δύνονται τα πολυώνυμα : ������(������) = 2������(3������ − 1) + (2������ − 1)2 − (2������ − 1)(2������ + 1) + 4������ + 1 και ������(������) = (������ + 1)2 + 2������2 + 1 1) Να αποδεύξετε ότι : ������(������) = 6������2 − 2������ + 3 και ������(������) = 3������2 + 2������ + 2 . 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������(������) − 2 · ������(������) = 0 47 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.6. ΠΑΡΑΓΟΝΣΟΠΟΙΗ΢Η ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΩΝΗ παραγοντοπούηςη μιασ παρϊςταςησ εύναι η μετατροπό τησ ςε γινόμενο παραγόντων και γύνεται με ϋναν από τουσ παρακϊτω τρόπουσ ό με ςυνδυαςμό αυτών :1. Κοινόσ παρϊγοντασΟι όροι του πολυωνύμου ϋχουν ϋναν κοινό παρϊγοντα και η παραγοντοπούηςη γύνεταιεφαρμόζοντασ την επιμεριςτικό ιδιότητα.π.χ. 2������ + 2������ = 2(������ + ������) , ������������2 + ������������ = ������(������2 + ������)2. Ομαδοπούηςη ΢ε ϊρτιο πλόθοσ όρων χωρύζω τουσ όρουσ του πολυωνύμου ςε ομϊδεσ ϋτςι ώςτε : 1. ΢ε κϊθε ομϊδα να υπϊρχει ϋνασ κοινόσ όροσ και 2. Βγϊζοντασ τον κοινό αυτό παρϊγοντα να προκύπτει το ύδιο πολυώνυμο ςε κϊθε παρϋνθεςη τησ κϊθε ομϊδασ. π.χ. ������������ + ������������ + 3������ + 3������ = = ������(������ + ������) + 3(������ + ������) = (������ + 3)(������ + ������)3. Σαυτότητεσ ������2 − ������2 = (������ − ������)(������ + ������)A. ������������������������������������ϊ ������������������������������������ώ������������������Φρηςιμοποιούμε την παραγοντοπούηςη αυτό όταν το πολυώνυμομπορεύ να πϊρει την μορφό α2 − β2. π.χ. ������2 − 100 = ������2 − 102 = (������ − 10)(������ + 10)B. Ανϊπτυγμα τετραγώνου ������2 + 2������������ + ������2 = (������ + ������)2 ������2 − 2������������ + ������2 = (������ − ������)2Φρηςιμοποιούμε την παραγοντοπούηςη αυτό όταν το πολυώνυμο μπορεύ να πϊρει τηνμορφό α2 + 2αβ + β2 ό α2 − 2αβ + β2. π.χ. ������2 − 6������ + 9 = ������2 − 2 · 3������ + 32 = (������ − 3)2 48 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4. Παραγοντοπούηςη τριωνύμου τησ μορφόσ : ������������ + ������������+λ ΢την περύπτωςη αυτό αναζητούμε δύο αριθμούσ α και β με ϊθροιςμα κ και γινόμενο λ. Αν υπϊρχουν οι αριθμού αυτού τότε : ������2 + ������������ + ������ = ������2 + (������ + ������)������ + ������ · ������ = (������ + ������) · (������ + ������) ΠΑΡΑΣΗΡΗ΢ΔΙ΢ 1. Αν λ>0 , προςπαθούμε να γρϊψουμε τον κ ωσ ϊθροιςμα δύο ομόςημων αριθμών με γινόμενο λ .  Αν το κ εύναι θετικό τότε εύναι θετικού αριθμού. π.χ. ������������ + ������������ + ������ , λ=6>0 παρατηρούμε ότι οι αριθμού 2 και 3 ϋχουν ϊθροιςμα 5 και γινόμενο 6 , ϊρα : ������������ + ������������ + ������ = (������ + ������) · (������ + ������)  Αν το κ εύναι αρνητικό τότε εύναι αρνητικού αριθμού. π.χ. ������������ − ������������������ + ������������ , λ=24>0 παρατηρούμε ότι οι αριθμού −4 και −6 ϋχουν ϊθροιςμα −10 και γινόμενο 24 , ϊρα : ������������ − ������������������ + ������������ = (������ − ������) · (������ − ������) 2. Αν λ<0 , προςπαθούμε να γρϊψουμε τον κ ωσ ϊθροιςμα δύο ετερόςημων αριθμών με γινόμενο λ .  Αν το κ εύναι θετικό τότε από τουσ δύο αριθμούσ μεγαλύτερη απόλυτη τιμό ϋχει ο θετικόσ . π.χ. ������������ + ������������ − ������������ , λ = −10 < 0 παρατηρούμε ότι οι αριθμού −2 και 5 ϋχουν ϊθροιςμα 3 και γινόμενο −10 , ϊρα : ������������ + ������������ + ������ = (������ + ������) · (������ − ������)  Αν το κ εύναι αρνητικό τότε από τουσ δύο αριθμούσ μεγαλύτερη απόλυτη τιμό ϋχει ο αρνητικόσ . π.χ. ������������ − ������������ − ������������ , λ = −18 < 0 παρατηρούμε ότι οι αριθμού −6και 3 ϋχουν ϊθροιςμα −3 και γινόμενο -18 , ϊρα : ������������ − ������������ − ������������ = (������ − ������) · (������ + ������) 49 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ5. Προςθαφαύρεςη όρου και διαφορϊ τετραγώνωνΌταν ςε μια παρϊςταςη δεν μπορούμε να εφαρμόςουμε κϊποια γνωςτό μϋθοδοπαραγοντοπούηςησ , τότε προςπαθούμε : A . Μϋθοδοσ Να διαςπϊςουμε κϊποιον όρο τησ παρϊςταςησ, δηλαδό να τον γρϊψουμε ωσ ϊθροιςμα ό διαφορϊ δύο όρων.π.χ. 1 ������2 + 6������ + 8 = = ������2 + 4������ + 2������ + 8 = = ������(������ + 4) + 2(������ + 4) = (������ + 4)(������ + 2)π.χ. 2 ������2 + 2������ − 3 = = ������2 + 3������ − ������ − 3 = = ������2 − ������ + 3������ − 3 = = ������(������ − 1) + 3(������ − 1) = (������ − 1)(������ + 3) Β. Μϋθοδοσ Να προςθϋςουμε και να αφαιρϋςουμε τον ύδιο όρο. π.χ. 4������4 + 1 = = (2������2)2 + 1 = = (2������2)2 + 1 ± 4������2 = = (2������2)2 + 4������2 + 12 − 4������2 = = (2������2 + 1)2 − 4������2 = (2������2 + 1)2 − (2������)2 = (2������2 + 1 + 2������)(2������2 + 1 − 2������) = = (2������2 + 2������ + 1)(2������2 − 2������ + 1) 50 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook