ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΑΝΑΛΟΓΑ ΕΤΘΤΓΡΑΜΜΑ ΣΜΗΜΑΣΑΈςτω α , β , γ , δ ευθύγραμμα τμόματα.Σα ευθύγραμμα τμόματα α ,γ εύναι ανϊλογα προσ τα β , δ όταν : . Η ιςότητα αυτό λϋγεται αναλογύα με όρουσ τα ευθύγραμμα τμόματα α , β , γ , δ .Οι ςημαντικότερεσ ιδιότητεσ των αναλογιών εύναι:1) ������ = ������ τότε: ������������ = ������������ Αν ������ ������2) ������ = ������ τότε: ������ = ������ ό ������ = ������ Αν ������ ������ ������ ������ ������ ������3) ������ = ������ ������ = ������ = ������ +������ Αν ������ ������ τότε: ������ ������ ������ +������ΠΑΡΑΣΗΡΗΕΙ 1. Αν ενώςουμε τα μϋςα δύο πλευρών ενόσ τριγώνου, το ευθύγραμμο τμόμα εύναι παρϊλληλο προσ την τρύτη πλευρϊ και εύναι ύςο με το μιςό τησ. Δηλαδό εϊν Δ εύναι το μϋςο του ευθυγρϊμμου τμόματοσ ΑΒ και ΔΕ // ΒΓ τότε τοΕ εύναι μϋςο του ΑΓ . 151 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ2. ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο η διϊμεςοσ που αντιςτοιχεύ ςτην υποτεύνουςα εύναι ύςη με το μιςό τησ υποτεύνουςασ. Γ Μ Δηλαδό ιςχύει ότι ΑΜ=������������ 2 ΑΒ3. ΠΟΡΙΜΑ Αν ςε ϋνα τρύγωνο μια γωνύα του ιςούται με 30° , τότε η απϋναντι πλευρϊ του εύναι το μιςό τησ υποτεύνουςασ και αντύςτροφα. Β 30° ΑΓ Αν ������=30°ςε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ (������=90°) τότε ΑΓ=������������ 2 και αντύςτροφα , Αν ςε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ (������=90°) ΑΓ=������������ τότε ������=30°. 2 152 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 1.2.1. Α Α΄ ������1//������2//������3. Να βρεθεύ ο αριθμόσ ������. ������1������ 3 3������ − 8 ������′ ������23Γ Γ’ ������3 Α ������������//������������. Να βρεθεύ ο αριθμόσ ������. 2. 3 2 Λ K ������ 2 Γ Β Β ������������//������������//������������. Να βρεθεύ ο αριθμόσ ������. 3. x+1 Α Ν 2 3-x Μ Γ2 Γ4. Α Β Γ Δ Ε ΖΗτο παραπϊνω ςχόμα το ευθύγραμμο τμόμα ΑΗ εύναι χωριςμϋνο ςε 6 ύςα τμόματα.Να βρεύτε τουσ λόγουσ : ������������ ������������ ������������������) ������������ ������) ������������ ������) ������������ ������������ ������������ ������������������) ������������ ������) ������������ ������������) ������������ 153 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ5. Γ ΑΒ 6 2Κ ������ Λ ������ + 6 Μτο παραπϊνω ςχόμα τα τμόματα ΚΛ και ΛΜ εύναι ανϊλογα των ΑΒ και ΒΓ . Να βρεύτε :α)τουσ λόγουσ ������������ ������������������ ������������ .β)το ������. ������������ ������������6. Γ ΑΒ ������ ������ − 6 2������ + 5Κ ������ Λ ΜΕΟ το παραπϊνω ςχόμα τα τμόματα ΑΒ και ΒΓ εύναι ανϊλογα των ΚΛ και ΛΜ. Να βρεύτε το ������ . 7. Β 17Γ 6Α 15 ΓΝα βρεύτε τουσ λόγουσ : ������) ������������ ������) ������������ ������) ������������ ������) ������������ ������������ ������������ ������������ ������������8. ΑΜ 6cm Ν ������ = 80° και ������ = 70° . Σα ςημεύα εύναι μϋςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓΒΓ αντύςτοιχα. Να βρεύτε : 1) την πλευρϊ ΒΓ. 2) τισ γωνύεσ ������ και Γ . 154 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
9. Α Ν ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Μ ������ + 1 Αν τα ςημεύα εύναι μϋςα των πλευρών ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα. Να βρεύτε το ������ .Β 3������ − 1 Γ 155 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ1.5. ΟΜΟΙΟΣΗΣΑA. ΟΜΟΙΟΣΗΣΑ ΠΟΛΤΓΩΝΩΝΔύο πολύγωνα Π και ' που το ϋνα εύναι μεγϋθυνςη ό ςμύκρυνςη του ϊλλου τα λϋμε όμοιακαι γρϊφουμε . ' Αν δύο πολύγωνα ϋχουν τισ ομόλογεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ και τισ αντύςτοιχεσ γωνύεσ τουσ ύςεσ τότε εύναι όμοια .Αν το πολύγωνο Π’ εύναι όμοιο του πολυγώνου Π με λόγο λ , τότε το Π’ εύναι : Μεγϋθυνςη του Π , όταν το λ>1 μύκρυνςη του Π , όταν 0<λ<1 και Ίςο με το Π , όταν λ=1 . Κριτόριο ομοιότητασ δύο πολυγώνωνΔύο πολυώνυμα θα εύναι όμοια αν ϋχουν: i) τισ ομόλογεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ ii) και τισ αντύςτοιχεσ γωνύεσ τουσ ύςεσ.Έτςι τα πολύγωνα ΑΒΓΔ και Α’Β’Γ’Δ’ που ϋχουν: ������ = ������′ ������ = ������′ , ������ = ������′ , ������ = ������′ , ������������ = ������������ = ������������ = ������������ = ������και������′ ������′ ������′ ������′ ������′ ������′ ������′ ������′εύναι όμοια με λόγο ομοιότητασ λ. 156 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΑπό τον οριςμό τησ ομοιότητασ δύο πολυγώνων προκύπτουν οι επόμενεσ προτϊςεισ . Δύο κανονικϊ πολύγωνα με τον ύδιο αριθμό πλευρών εύναι όμοια μεταξύ τουσ. Δύο ύςα πολύγωνα εύναι και όμοια , με λόγο ομοιότητασ 1. Κϊθε πολύγωνο εύναι όμοιο με τον εαυτό του. Δύο πολύγωνα όμοια προσ τρύτο εύναι και όμοια μεταξύ τουσ. ΛΟΓΟ ΟΜΟΙΟΣΗΣΑ-ΚΛΙΜΑΚΑΗ κλύμακα εύναι ο λόγοσ τησ απόςταςησ ςτο χϊρτη προσ την αντύςτοιχη πραγματικόαπόςταςη, δηλαδό εύναι ο λόγοσ ομοιότητασ των δύο ςχημϊτων. ΑΚΗΕΙ 1.5. Α1. Δύνονται τα ορθογώνια ΑΒΓΔ και ΚΛΜΝ. Να εξετϊςετε αν εύναι όμοια και να βρεύτε το λόγο ομοιότητασ ςτισ παρακϊτω περιπτώςεισ: 1) ΑΒ = 20cm , ΑΔ = 5cm , ΚΛ = 8cm , ΛΜ = 2cm 2) ΑΒ = 24cm, ΑΔ = 100cm, ΚΛ = 12cm , ΛΜ = 40cm2. Δύνονται τα παραλ/μμα ΑΒΓΔ, ΚΛΜΝ. Να εξετϊςετε αν εύναι όμοια, και να βρεύτε τον λόγο ομοιότητασ (αν εύναι όμοια) ςτισ παρακϊτω περιπτώςεισ: 1) ΑΒ = 4cm, ΑΔ = 8cm , ΚΛ = 16cm , ΚΝ = 32cm , ˆ ˆ 680 2) ΑΒ = 6cm , ΑΔ = 5cm , ΚΛ = 12cm , ΚΝ = 10cm, ˆ ˆ 10503. Δύο ορθογώνια ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ ϋχουν : ΑΒ=12 cm , ΑΔ=9 cm , ΕΖ= 4 cm και ΕΘ= 3 cmA 12 Β Ε4 Ζ 93 ΘΗ ΔΓ1) Να αποδεύξετε ότι ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ εύναι όμοια.2) Να βρεθεύ ο λόγοσ ομοιότητασ των δύο ορθογωνύων. 157 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ 3) Να βρεθεύ ο λόγοσ ������������ και να ςυγκριθεύ με το λόγο ομοιότητασ. ������������ 4) Ένα ϊλλο ορθογώνιο ΚΛΜΝ εύναι όμοιο με το ΑΒΓΔ και ϋχει περύμετρο 210 cm. Ποιεσ εύναι οι διαςτϊςεισ του ορθογωνύου αυτού ;4. Δύνονται δυο παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ τα οπούα εύναι όμοια. Αν εύναι ΑΒ=12 cm ΑΔ=9 cm , ΘΗ= 4 cm , να βρεθεύ η πλευρϊ ΖΗ του παραλληλογρϊμμου ΕΖΗΘ.5. Έςτω ΑΒΓΔ, Α΄Β΄Γ΄Δ΄ ορθογώνια τραπϋζια με ΑΔ // ΒΓ, Α΄Δ΄ // ´ô, ˆ ˆ ˆ ΄ ˆ ΄ 900 . Αν τα τραπϋζια εύναι όμοια με λόγο ομοιότητασ 2/3 και ΑΔ = 4cm , ΑΒ = 6cm , ΒΓ = 12cm τότε: 1) Να βρεύτε την ΓΔ 2) Να βρεύτε τισ πλευρϋσ του Α΄Β΄Γ΄Δ6. Δύο ορθογώνια ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ εύναι όμοια με λόγο ομοιότητασ 1/4 . Αν ΑΒ = 4cm , ΑΓ = 5cm να υπολογύςετε τισ πλευρϋσ των δύο ορθογωνύων.7. Δύο τετρϊπλευρα ΑΒΓΔ, ΚΛΜΝ εύναι όμοια με λόγο ομοιότητασ 4/7. Αν η περύμετροσ του ΑΒΓΔ εύναι 60 cm να υπολογύςετε την περύμετρο του ΚΛΜΝ.8. Δύνεται το παραλ/μο ΑΒΓΔ. Από το Α φϋρνουμε ευθεύα που τϋμνει την ΒΓ ςτο Μ και την ΓΔ ςτο Ν. Να δεύξετε ότι: .9. Δύο παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και Α΄Β΄Γ΄Δ΄ ϋχουν ΑΒ = 8cm , ΒΓ = 2cm , γωνύεσ Α = Α′ = 700 και Α΄Β΄ = 10cm , ´ô = 4cm. Να εξετϊςετε αν εύναι όμοια.10. Ένα ορθογώνιο ϋχει διαςτϊςεισ 5cm , 3cm ενώ ϋνα ϊλλο ϋχει διαςτϊςεισ 15cm , 9cm. Να εξετϊςετε αν εύναι όμοια.11. Ένα ορθογώνιο ϋχει διαςτϊςεισ α=8cm και β=12cm. Ένα δεύτερο ορθογώνιο όμοιο προσ αυτό με διαςτϊςεισ x,y ϋχει εμβαδόν τετραπλϊςιο από το πρώτο. Να βρεύτε τισ διαςτϊςεισ x, y.12. ε τετρϊγωνο ΑΒΓΔ με πλευρϊ 6 cm προεκτεύνουμε την πλευρϊ ΔΓ κατϊ τμόμα ΓΕ = 2 cm. Αν η ΕΒ τϋμνει την προϋκταςη τησ ΔΑ ςτο ςημεύο Ζ, να βρεθεύ το μόκοσ του τμόματοσ ΑΖ. 158 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤB. ΟΜΟΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ Δύο τρύγωνα θα εύναι όμοια όταν ϋχουν : I. Σισ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ και II. Σισ αντύςτοιχεσ γωνύεσ ύςεσ. Κριτόριο ομοιότητασ δύο τριγώνων Για να δεύξουμε ότι δύο τρύγωνα εύναι όμοια αρκεύ να δεύξουμε ότι ϋχουν δύο γωνύεσ τουσ ύςεσ μύα προσ μύα.Αν τα τρύγωνα ΑΒΓ , ΔΕΖ εύναι όμοια τότε :I. Οι πλευρϋσ τουσ θα εύναι ανϊλογεσ ������������ = ������������ = ������������ = ������ ������������ ������������ ������������II. Οι αντύςτοιχεσ γωνύεσ θα εύναι ύςεσ ������ ̂ = ������ ̂ , ������ ̂ = ������ ̂ , ������ ̂ = ������ ̂ 159 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 1.5. Β1. A Ε το παραπϊνω ςχόμα εύναι ΔΕ//ΒΓ. y 46 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα Γ ΑΒΓ και ΑΔΕ εύναι όμοια. Δx 2 2) Να υπολογύςετε τα x , y. B 122. Έςτω τρύγωνο ΑΒΓ και ΒΔ και ΓΕ τα δύο ύψη του. το τρύγωνο ΑΔΕ φϋρνουμε τα ύψη του ΕΗ και ΔΖ. Να αποδεύξετε ότι:1) ������������ = ������������ ������������ = ������������ ������������ ������������ και ������������ ������������2) ������������ · ������������ = ������������ · ������������ = ������������ · ������������3) ΖΗ / / ΒΓ3. ε τρύγωνο ΑΒΓ φϋρνουμε τα ύψη του ΑΔ και ΓΕ. Να αποδεύξετε ότι: 1) τα τρύγωνα ΑΔΒ και ΒΕΓ εύναι όμοια. 2) ������������ = ������������ και ������������ · ������������ = ������������ · ������������ ������������ ������������4. ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ , με ������ = 90° , φϋρουμε το ύψοσ ΑΔ. Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΔ εύναι όμοια. τη ςυνϋχεια να γρϊψετε τουσ ύςουσ λόγουσ που προκύπτουν από την ομοιότητα,5. Δύνεται ιςοςκελϋσ τρύγωνο ΑΒΓ , με ΑΒ=ΑΓ . Από τυχαύο ςημεύο Δ τησ ΒΓ φϋρνουμε ΔΚ κϊθετο ςτο ΑΒ και ΔΛ κϊθετο ςτο ΑΓ. 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΒΔΚ και ΓΔΛ εύναι όμοια. 2) Να γρϊψετε τουσ ύςουσ λόγουσ που προκύπτουν από την ομοιότητα. 160 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ6. Γ 7 Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ , ΒΔΕ εύναι όμοια και να βρεύτε το x. E xΑ 2 Δ x+2 Β7. ε ϋνα οξυγώνιο τρύγωνο ΑΒΓ φϋρνουμε τα ύψη ΒΔ και ΓΕ , 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ και ΑΓΕ εύναι όμοια. 2) Να γρϊψετε τουσ ύςουσ λόγουσ που προκύπτουν από την ομοιότητα.8. ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ΑΒ=8 cm και ΑΓ=6 cm . Αν από το μϋςο Δ τησ ΑΒ φϋρουμε κϊθετη ςτην υποτεύνουςα ΒΓ , τότε : 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ εύναι όμοια και να γρϊψετε τουσ ύςουσ λόγουσ. 2) Να υπολογύςετε τα μόκη των τμημϊτων ΒΓ , ΒΕ και ΔΕ.9. ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ παύρνουμε τα μϋςα Κ , Λ , Μ των πλευρών του. Να αποδεύξετε ότι η περύμετροσ του τριγώνου ΚΛΜ εύναι η μιςό τησ περιμϋτρου του τριγώνου ΑΒΓ.10. ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ παύρνουμε τυχαύο ςημεύο Δ τησ πλευρϊσ του ΒΓ. ημειώνουμε τα μϋςα Κ , Λ των τμημϊτων ΑΒ και ΑΔ. Να αποδεύξετε ότι το τμόμα ΚΛ προεκτεινόμενο διϋρχεται από το μϋςο τησ πλευρϊσ ΑΓ.11. ε ϋνα τρύγωνο ΑΒΓ φϋρνουμε τη διϊμεςο ΑΔ και παύρνουμε τα μϋςα Ε , Ζ των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ. Σο τμόμα ΕΖ τϋμνει την ΑΔ ςτο ςημεύο Κ. Να αποδεύξετε ότι η ΑΚ εύναι διϊμεςοσ του τριγώνου ΑΕΖ.12. Καταςκευϊζουμε ϋνα τετρϊπλευρο ΑΒΓΔ και παύρνουμε τα μϋςα Κ , Λ , Μ , Ν των πλευρών του ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ και ΔΑ αντύςτοιχα. χηματύζουμε τη διαγώνιο ΑΓ. Να αποδεύξετε ότι το τετρϊπλευρο ΚΛΜΝ εύναι παραλληλόγραμμο.13. Καταςκευϊζουμε ϋνα οξυγώνιο τρύγωνο ΑΒΓ και φϋρνουμε το ύψοσ του ΑΔ. Παύρνουμε τα μϋςα Μ , Ν των πλευρών του ΑΒ και ΑΓ αντύςτοιχα. 161 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Να αποδεύξετε ότι η περύμετροσ του τριγώνου ΔΜΝ εύναι η μιςό τησ περιμϋτρου του τριγώνου ΑΒΓ. 14. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ και Δ, Ε, Ζ τα μϋςα των πλευρών του ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ. Να δεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ εύναι όμοια και να γρϊψετε τισ αναλογύεσ των πλευρών τουσ. Ποιοσ εύναι ο λόγοσ ομοιότητασ τουσ; 15. Δύνονται τα όμοια τρύγωνα ΑΒΓ, ΚΛΜ με λόγο ομοιότητασ 3/4. Αν ΑΔ, ΚΕ οι διχοτόμοι των γωνιών Α, Κ . Nα δεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΔ, ΚΛΕ εύναι όμοια. Ποιο εύναι το μόκοσ τησ ΑΔ αν η ΚΕ = 4cm; 16. Δύνεται οξυγώνιο τρύγωνο ΑΒΓ και ΑΔ, ΒΕ τα ύψη του που τϋμνονται ςτο Η. Να δεύξετε ότι: . 17. Για δύο τρύγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ δύνονται τα εξόσ: ˆ ˆ , ˆ ˆ , ΑΒ = 4cm , ������������ = ������ + 6 ������������ , ������������ = ������ + 2 ������������ , ������������ = 4������ + 8 ������������. 1) Να αποδεύξετε ότι τα δύο τρύγωνα εύναι όμοια. 2) Να υπολογύςετε το x. 3) Να αποδεύξετε ότι ο λόγοσ ομοιότητασ των δύο τριγώνων εύναι λ =1/3.1.6. ΛΟΓΟ ΕΜΒΑΔΩΝ ΟΜΟΙΩΝ ΦΗΜΑΣΩΝΛόγοσ εμβαδών ομούων ςχημϊτωνΑν δύο πολύγωνα εύναι όμοια, τότε:Ο λόγοσ των εμβαδών τουσ εύναι ύςοσ με το τετρϊγωνο του λόγου ομοιότητϊ τουσ. ������������ = ������������ ������������Ο λόγοσ των περιμϋτρων τουσ εύναι ύςοσ με το λόγο ομοιότητϊσ τουσ.Ο λόγοσ των όγκων τουσ εύναι ύςοσ με τον κύβο του λόγου ομοιότητϊσ τουσ. 162 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 1.6.1. το παραπϊνω ςχόμα εύναι ΚΛ//ΒΓ. A 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΚΛ 6 ������������ και ΑΒΓ εύναι όμοια. Κ Λ 2) Να βρεύτε τον λόγο (������������������ ) . 3 ������������ Γ (������������������ ) B 3) Αν (������������������������) = 30������������2, να βρεύτε το (������������������).2. A το παραπϊνω ςχόμα εύναι ΚΛ//ΒΓ. 4 ������������ Λ 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΚΛ και Γ ΑΒΓ εύναι όμοια. Κ 6 ������������ 2) Αν (������������������) = 75������������2, να βρεύτε το (������������������) B3. Λ το παραπϊνω ςχόμα εύναι ΚΛ//ΒΓ και A Γ ΒΓ=15 ������������ . Κx 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΚΛ B 15 ������������ και ΑΒΓ εύναι όμοια. 2) Αν (������������������) = 18������������2και (������������������������) = 32������������2 , να βρεύτε την ΚΛ. 163 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ4. το παραπϊνω ςχόμα εύναι ΚΛ//ΒΓ. A ������ 2������ − 4 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΚΛ και ΑΒΓ εύναι όμοια. Κ Λ������ −1 y 2) Αν (������������������ ) = 4 , να βρεύτε : (������������������ ) 9BΓ ������) τον λόγο ομοιότητασ των τριγώνων ΑΚΛ και ΑΒΓ. ������������) τα ������ και ������.5. Δύνεται τραπϋζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) με ΓΔ=3ΑΒ. ΟΙ διαγώνιεσ ΑΓ , ΒΔ του τραπεζύου τϋμνονται ςτο ςημεύο Ο. Να αποδειχτεύ ότι : 1) Σα τρύγωνα ΟΑΒ και ΟΓΔ εύναι όμοια , 2) (ΟΓΔ)=9(ΟΑΒ) 3) (ΟΑΔ)=(ΟΒΓ) Α6. ΔΖ Β4 Ε2 Γτο παραπϊνω ςχόμα ΒΕ=4cm , ΕΓ=2cm , ΕΔ//ΑΓ και ΔΖ//ΒΓ1) Να αποδειχθεύ ότι (������������������ ) = 4 . (������������������ ) 92) Να βρεθεύ ο λόγοσ (������������������ )). (������������������3) Να αποδειχθεύ ότι (������������������������) = 4(������������������). 164 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
7. Ε Δ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Α το διπλανό ςχόμα εύναι : ΔΕ//ΒΓ , (ΑΒΓ)=100 ������������2 , Β 10 cm Γ (ΑΔΕ)=36������������2 και ΒΓ=10 cm Να υπολογύςετε την πλευρϊ ΔΕ.8. Ε A Γ το τρύγωνο ΑΒΓ η ευθεύα ΔΕ εύναι παρϊλληλη ςτην πλευρϊ ΒΓ και το ������1 = 9 Ε χωρύζει ςε δύο χωρύα με εμβαδϊ Δ Γ ������1 = 9������������2 και ������2 = 7������������2. ������2 = 7 Αν ΒΓ=8 cm , B 8 ������������ να υπολογύςετε το τμόμα ΔΕ.9. A το διπλανό ςχόμα εύναι ΔΕ//ΒΓ. 2 Αν (������������������) = 4 (������������������) , Δ 9 ������ να υπολογύςετε το x. B10. Ένα τετρϊγωνο ϋχει πλευρϊ α. Αν η πλευρϊ του αυξηθεύ κατϊ 30% του μόκουσ τησ να βρεύτε πόςο θα αυξηθεύ το εμβαδόν του. 165 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ11. ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ (������ = 90°) , φϋρουμε το ύψοσ ΑΚ και από το Κ φϋρουμε ΚΛ τμόμα κϊθετο ςτην ΑΒ. Να δεύξετε ότι : 1) Σα τρύγωνα ΑΚΓ , ΑΛΚ εύναι όμοια. 2) Να γρϊψετε τουσ ύςουσ λόγουσ που προκύπτουν από την ομοιότητα. 3) Αν ΑΓ=8 cm , ΑΚ=4 cm και το εμβαδόν ΑΛΚ εύναι 3 ������������2, να βρεθεύ το εμβαδόν του τριγώνου ΑΚΓ. 12. το παραπϊνω ςχόμα ιςχύει ότι το Κ εύναι μϋςο του ΑΒ , Λ μϋςο του ΑΓ και Μ μϋςο του ΒΓ. 1) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΚΛΜ εύναι όμοια . 2) Να βρεθεύ ο λόγοσ ομοιότητασ τουσ. 3) Αν το εμβαδόν του ΑΒΓ εύναι 40 ������������2, να βρεύτε το εμβαδόν του ΚΛΜ. 166 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΛΤΜΕΝΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙΘΕΜΑ 1το διπλανό ςχόμα ιςχύει ΔΕ//ΒΓ:α. Να αποδεύξεισ ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ εύναι όμοια.Β. Να υπολογύςεισ το ������.Λύςη :α. Σα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ εύναι όμοια γιατύ : ������ εύναι κοινό γωνύα των δύο τριγώνων και ΔΕ//ΒΓ: ������������������������ = ������������������ ωσ εντόσ-εκτόσ και επύ τα αυτϊ.β. Αφού τα τρύγωνα εύναι όμοια θα ϋχουν και τισ ομόλογεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ.������������������ ������ = ������������ = ������������ = ������������������������������ ������������ ������������ ������������ Άρα , ������������ = ������������ ό ������������ = ������������ ό 10 · ������ = 20 · 8 ό 10·������ = 160 , ������ = 16 ������������ ������������ ������ ������ 10 10 167 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΘΕΜΑ 2 Β Δε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ εύναι ������������ = 8 ������������ και ������������ = 6������������ .Αν από το μϋςο Δ τησ ΑΒ φϋρουμε ΔΕκϊθετη ςτην υποτεύνουςα ΒΓ , τότε : Γ Αα) Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ εύναι όμοια και να γρϊψετε τουσ ύςουσ λΓόγουσ.β)Να υπολογύςετε τα μόκη των τμημϊτων ΒΓ , ΒΕ και ΔΕ.Λύςη :α. Σα τρύγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ εύναι όμοια γιατύ : ������ εύναι κοινό γωνύα των δύο τριγώνων και ������ = ������ = 90°β. Για να βρω την πλευρϊ ΒΓ , εφαρμόζω πυθαγόρειο θεώρημα ςτο τρύγωνο ΑΒΓ : ������������2 = ������������2 + ������������2 ������������2 = 62 + 82 ������������2 = 36 + 64 ό ������������2 = 100 ό ������������ = 10 ������������ Σο Δ εύναι μϋςο τησ πλευρϊσ ΑΒ και ϋτςι ������������ = ������������ = 4������������ . Αφού τα τρύγωνα ΑΒΓ και ΒΔΕ εύναι όμοια θα ϋχουν και τισ ομόλογεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ. ������ = ΑΒ = ΒΓ = ������������ ό ������ = ������ = ������������ = ������ ������������ ������������ ΒΔ ������������ ������������ 4������������������ Άρα , (1) ������ ������������ (1) (2)������������������ ������������ = 4 (2) ������������ ������ ������������ 10 · ������������ = 4 · 8 4 = 10·������������ = 32 , ������������ = 3.2 ������������ 10 · ������������ = 4 · 6 10 10 10·������������ = 24 , ������������ = 2,4 ������������ 10 10 168 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΘΕΜΑ 3 Α ην δηπιαλό ζρήκα είλαη ΓΔ//ΒΓ . ������ 6 x Γ Δ 3 4 B Γ 1. Να αποδεύξετε ότι τα τρύγωνα ΑΔΕ και ΑΒΓ εύναι όμοια. 2. Να αποδεύξετε ότι ������ = 8 . 3. Να βρεύτε το λόγο ομοιότητασ τουσ ( λ ). 4. Αν το τρύγωνο ΑΔΕ εύναι 20 ������������2, τότε να υπολογύςετε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.Λύςη :1. Σα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ εύναι όμοια γιατύ : ������ εύναι κοινό γωνύα των δύο τριγώνων και ΔΕ//ΒΓ: ������ = ������ ωσ εντόσ-εκτόσ και επύ τα αυτϊ. 2. Αφού τα τρύγωνα εύναι όμοια θα ϋχουν και τισ ομόλογεσ πλευρϋσ τουσ ανϊλογεσ. ������������������ ������ = ������������ = ������������ = ������������ ΑΒ = AΓ ������������������ ������������ ������������ ������������ Άρα , ΑΔ AΕ 9 x+4 6= x 9 · ������ = 6(������ + 4) ό 9������ = 6������ + 24 9������ − 6������ = 24 ό 3������ = 24 3������ = 24 , ������ = 8 333. O λόγο ομοιότητασ τουσ εύναι ������ = ������������ = ������ = ������ ������������ ������ ������4. Σα τρύγωνα ΑΒΓ και ΑΕΔ εύναι όμοια και ϋτςι : (������������������ ) = ������2 (������������������ ) (������������������ ) = .3/2 ό (������������������ ) = 9 ό (������������������ ) = 9 (������������������ ) (������������������ ) 4 2 20 4 4 · (������������������) = 9 · 20 4 · (������������������) = 180 (������������������) = 45 ������������2 169 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΑ 170 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΕΝΟΣΗΣΑ 12.1. ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΤΓια τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ οξεύασ γωνύασ ωτου ορθογωνύου τριγώνου ΑΒΓ ιςχύει ότι :������������������ = ������������ϋ������������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������������������ύ������������������������������Δηλαδό , ������������������ = ������������ = ������ ������������ ������������������������������ = ������������������������������������ύ������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ ������������������������������ύ������������������������������Δηλαδό , ������������������������ = ������������ = ������ ������������ ������ ������������ϋ������������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊ������������������ = ������������������������������������ύ������������������������ ������ϊ������������������������ ������������������������������ϊΔηλαδό , ������������������ = ������������ = ������ ������������ ������ 171 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΙΑ ΟΞΕΙΑ ΓΩΝΙΑ ΜΕ ΣΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΕΝΟ ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΟΤ ΤΣΗΜΑΣΟ ε ϋνα ορθογώνιο ςύςτημα αξόνων παύρνουμε ϋνα ςημεύο ������(������, ������) τϋτοιο, ώςτε ������0������ = ������ .Βλϋπουμε ότι ορύζεται ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο ΟΜx.Από το πυθαγόρειο θεώρημα θα ορύςουμε ������������ = ������ = ������2 + ������2Σότε ορύζουμε να εύναι: ������������������������������������ϋ������������ ������������������ ������ ������ ������������������ = ������������������������������������ϋ������������ ������������������ ������ = ������������������������ = ������������������������������������ϋ������������ ������������������ ������ ������ = ������ ������ ������������ό������������������������������ ������������������ ������ ������������ό ������������������������������������ = ������������������������������������ϋ������������ ������������������ ������ ������ = ������ ������ ������������ό������������������������������ ������������������ ������ ������������ό ������������Οι παραπϊνω τύποι ιςχύουν και ςτην περύπτωςη όπου ������ = 0° , ������ = 90° , ������ = 180° .Με την βοόθεια των παρακϊτω ςχημϊτων υπολογύζονται οι τριγωνομετρικού αριθμού τωνγωνιών αυτών. 172 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟ ΚΤΚΛΟΣριγωνομετρικόσ κύκλοσ εύναι ϋνασ κύκλοσ με κϋντρο την αρχό των αξόνων και ακτύνα 1.Ξεκινώντασ από τον θετικό ημιϊξονα Ox να εύναι η μηδενικό γωνύα κινούμαςτε αντύςτροφατησ φορϊσ του ρολογιού και καταγρϊφουμε τισ γωνύεσ.Ο τριγωνομετρικόσ κύκλοσ δεύχνει το πρόςημο των τριγωνομετρικών αριθμών. το 1ο τεταρτημόριο εύναι όλοι θετικού αριθμού. το 2ο τεταρτημόριο εύναι μόνο το ημύτονο θετικόσ αριθμόσ. το 3ο τεταρτημόριο εύναι μόνο η εφαπτομϋνη θετικόσ αριθμόσ. το 4ο τεταρτημόριο εύναι μόνο το ςυνημύτονο θετικόσ αριθμόσ. τον παρακϊτω πύνακα δύνονται οι τριγωνομετρικού αριθμού βαςικών γωνιών. 00 300 450 600 900 1800 2700 3600 0ΗΜΙΣΟΝΟ 1 2 3 1 0 1 0 222ΤΝΙΜΗΣΟΝΟ 1 3 21 0 1 0 1 222ΕΥΑΠΣΟΜΕΝΗ 0 31 3 Δεν 0 Δεν 0 3 ορύζεται ορύζεται Για κϊθε γωνύα ω ιςχύει ότι : ������������������ − 1 ≤ ������������������������ ≤ 1 −1 ≤ ������������������ ≤ 1 173 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 2.1.1. Να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ������ = ������0������ όπου 1) Μ(3,4) 2) Μ(5, 4) 3) Μ( 1, 3) 4) Μ(0,3) 5) Μ(4,0)2. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : 1) ������������30° · ������������45° · ������������60° 2) ������������30° · ������������������60° − ������������������30° · ������������60° + ������������45° · ������������������45°3. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων1) (2 − ������������0°)(1 − ������������������90°)2) (1 + ������������180°)(1 − ������������������180°) ������������������ 180°+������������ 180°3) ������������������ 90°+������������������ 0° ������������������ 90°+������������ 90°4) ������������������ 180°+������������ 180°5) 9 + 2 + ������������ 3 4������������ 260° ������������������ 245° 2 60 °6) 3������������230° + 1 ������������������ 2 30°+ 2 4 ������������������ 2 45° ������������ 30°+ 2 ������������������ 45°+2������������������ 60°7) ������������ 45°+ 3 ������������ 30°+1 4������������ 30°������������������ 60°−4������������ 60·°������������������ 30°+������������ 45°·������������ 90°8) 2������������ 45°·������������������ 45°+������������ 30°·������������ 60°+������������������ 0°·������������������ 180° 174 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ4. Να βρεθεύ η οξεύα γωνύα φ ςτισ παρακϊτω περιπτώςεισ :α) 4������������������ = 1 β) 3������������������ = 3 ������������������γ) 2������������������2������ + ������������������������ − 1 = 0 δ) 1 − 2 + 1 = 0 ������������������ ������������ 2������5. το διπλανό ςχόμα το τρύγωνο ΟΒΜ M εύναι ιςόπλευρο. Να υπολογιςτούν :1. α) οι ςυντεταγμϋνεσ του Μ, β) οι τριγωνομετρικού αριθμού τησ γωνύασ 120° 60° ������(−2 , 0) 0 ������6. ε ϋνα ορθοκανονικό ςύςτημα αξόνων παύρνουμε τα ςημεύα Α(–3,0) , Β(2,–2) , Γ(–6,8) , Δ(0,–5). Να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ των γωνιών ������0������, ������0������ , ������0������ , ������0������ .7. Για μια αμβλεύα γωνύα ������ = ������0������ εύναι ������������������ = − 12 5 Αν το ςημεύο Μ ϋχει ςυντεταγμϋνεσ (κ,24), τότε να υπολογύςετε 1) Σο κ . 2) Σο ������������������ και ������������������������.8. Αν ςε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ ( ˆ 900 ) ιςχύει ότι ������ = 3������, να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ Γ.9. Να λυθούν οι ακόλουθεσ εξιςώςεισ : 1) ������ · ������������30° = ������������������45° 2) 3������������60° · ������ = ������������45° 175 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ10. Να υπολογιςτεύ η οξεύα γωνύα φ για καθεμύα από τισ ακόλουθεσ περιπτώςεισ :1) 4������������2������ − 4������������������ + 1 = 02) 6������������������2������ − ������������������������ − 1 = 03) ������������2������ − 1 = 04) 4������������������ = 3 ������������������11. Να υπολογύςετε τη μϋγιςτη και την ελϊχιςτη τιμό των επόμενων παραςτϊςεων:������) ������ = 3������������������ – 5 ������������) ������ = 4 – 2������������������������������������������) ������ = 7������������������ + 6������������������������ ������������) ������ = 2������������������ – 3������������������������12. Να βρεθεύ η μϋγιςτη και η ελϊχιςτη τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 2ςυν2x + 1.13. Να βρεθεύ η μϋγιςτη και η ελϊχιςτη τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 4ημ2x – 1.14. Να βρεθεύ η μϋγιςτη και η ελϊχιςτη τιμό των παραςτϊςεων : 1) ������ = −4������������������ + 2 M 150° 2) ������ = 5������������������������ − 3 30°15. το διπλανό ςχόμα το τρύγωνο ΟΒΜ εύναι B N0 ιςοςκελϋσ με ������������ = ������������ = 2 1) Να αποδειχθεύ ότι οι ςυντεταγμϋνεσ του Μ εύναι (- 3, 1) . 2) Να υπολογιςτούν οι τριγωνομετρικού αριθμού τησ γωνύασ 150° .16. το διπλανό ςχόμα το τρύγωνο ΑΒΟ εύναι Β ω ιςόπλευρο. ������(−4 , 0) 0 Να υπολογιςτούν : 1) οι ςυντεταγμϋνεσ τησ κορυφόσ Β, 2) οι τριγωνομετρικού αριθμού τησ γωνύασ ω, 3) την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = ������������2120° + ������������������260° + ������������2120° 176 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ2.2.ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΑΡΑΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΜΠΛΗΡΩΜΑΣΙΚΩΝ ΓΩΝΙΩΝ Οι παραπληρωματικϋσ γωνύεσ ω και 180 ° − ω ϋχουν το ύδιο ημύτονο και αντύθετουσ όλουσ τουσ ϊλλουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ. ������������(180° − ������) = ������������������ ������������������(180° − ������) = −������������������������ ������������(180° − ������) = −������������������ Παξαηεξνύκε όηη , ������ = ������������ = ������������’ = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 ������������������ = 4 5 ������������������������ = 3 θαη 5 ������������������ = 4 3 ������������������ = 4 5 ������������������������ = − 3 5 ������������������ = − 4 3ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα βρεύτε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ :α) ������������120° β) ������������������135° γ) ������������150°Λύςηα)������������120° = ������������(180° − 60°) = ������������60° = 3 2β) ������������������135° = ������������������(180° − 45°) = −������������������45° = − 2 2γ) ������������150° = ������������(180° − 30°) = −������������30° = − 3 3177 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 2.2.1. Να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ των γωνιών: ������ = 150° ������ = 210° ������ = 141° ������ = 135° ������ = 200° ������ = 70°2. Να αποδεύξετε ότι : 1) ������������120° = ������������60° 2) ������������������100° = −������������������80° 3) ������������1300° = −������������50°3. Να υπολογύςετε τισ τιμϋσ των παραςτϊςεων : 1) ������������50° · ������������������170° − ������������130° + ������������������10° 2) ������������135° · ������������������150° − ������������120° · ������������������135° 3) ������������120° · ������������150° + ������������135°4. Να αποδεύξετε ότι : 1) ������������2120° + ������������������2120° = 1 2) ������������2120° · ������������������2135° − ������������2135° · ������������������2120° = 1 4 3) ������������60° + ������������������150° − ������������135° + ������������150° + ������������������120° = 1 4) – ������������30° · ������������120° + ������������120° · ������������������150° = 1 4 5) ������������(70° − ������) = ������������(110° + ������)5. Αν Α, Β, Γ εύναι οι γωνύεσ ενόσ τριγώνου ΑΒΓ, να δεύξετε ότι: α) ������������(������ + ������) = ������������������ ������) ������������������(������ + ������) = – ������������������������ ������) ������������(������ + ������) = – ������������������6. Να απλοποιόςετε τα κλϊςματα : ������������(180° − ������) · ������������������������ ������ = ������������������ · ������������������(180° − ������) ������������150° · ������������������30° ������ = ������������45° · ������������������30° 178 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΜεθοδολογύα για την επύλυςη τριγωνομετρικών εξιςώςεων Η εξύςωςη ������������������ = ������ Δθαξκνγή. Αν δύο γωνύεσ ϋχουν το ύδιο ημύτονο Αλ ηζρύεη 0° ≤ ������ ≤180° και εύναι από 0° μϋχρι και 180° , τότε ������������������ = 3 ό εύναι ύςεσ ό παραπληρωματικϋσ. 2 Έςτω λοιπόν ότι ϋχουμε δύο γωνύεσ α και β με 0° ≤ α ≤180° και 0° ≤ β ≤180° . ������������������ = ημ60° Αν ιςχύει ������������������ = ������������������ , τότε : ������ = 60° ό ������ = 180° − 60° ������ = ������ ό ������ = 180° − ������ ������ = 60° ό ������ = 120° ������������������ = − 1 2 Δίλαη αδύλαηε δηόηη όηαλ 0° ≤ ������ ≤180° το ������������������ ≥ 0 Η εξύςωςη ������������������������ = ������ Δθαξκνγή. Αλ ηζρύεη 0° ≤ ������ ≤180° Αν δύο γωνύεσ ϋχουν το ύδιο ςυνημύτονο και εύναι από 0° μϋχρι και 180° , τότε εύναι ύςεσ. ������������������������ = 3 ή Έςτω λοιπόν ότι ϋχουμε δύο γωνύεσ α και β 2 με 0° ≤ α ≤180° και 0° ≤ β ≤180° . Αν ιςχύει ������������������������ = ������������������������ , τότε : ������ = ������ ������������������������ = ςυν30° ������ = 30° ������������������������ = − 3 ή 2 ������������������������ = −ςυν30° ������������������������ = ςυν(180° − 30°) ������������������������ = ςυν150° ������ = 150°179 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
Η εξύςωςη ������������������ = ������ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Αν δύο γωνύεσ ϋχουν την ύδια εφαπτομϋνη Δθαξκνγή. και εύναι από 0° μϋχρι και 180° , τότε εύναι ύςεσ. Αλ ηζρύεη 0° ≤ ������ ≤180° Έςτω λοιπόν ότι ϋχουμε δύο γωνύεσ α και β ������������������ = 1 ή με 0° ≤ α ≤180° και 0° ≤ β ≤180° . ������������������ = εφ45° ������ = 45° Αν ιςχύει ������������������ = ������������������ , τότε : ������ = ������ ������������������ = −1 ή ������������������ = −εφ45° ������������������ = εφ(180° − 45°) ������������������ = εφ135° ������ = 135°180 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ7. Αν 0° ≤ ������ ≤ 90° , να λυθούν οι εξιςώςεισ : 1) 2������������������ − 3 = 0 2) 2������������������������ − 1 = 0 3) ������������������ − 1 = 0 4) −5������������������ + 4 = 08. Αν 90° ≤ ������ ≤ 180° , να λυθούν οι εξιςώςεισ : 1) 2������������2������ − 1 = 0 2) 4������������������2������ + 3 = 0 3) ������������2������ − 3 = 0 4) 10������������������������ + 3 = 09. Να υπολογύςετε ςε κϊθε περύπτωςη τη γωνύα ������ :1) ������������������ = 3 22) ������������������������ = 2 23) ������������������ = − 3 24) 2������������������ − 1 = ������������������10. Aν η γωνύα ������ εύναι αμβλεύα και (2������������������������ − 1)2 = 4, να υπολογύςετε τη γωνύα αυτό. 181 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ Γωνύεσ τριγώνουΓια τισ γωνύεσ ������ , ������ , ������ ενόσ τριγώνου ΑΒΓ ιςχύει ότι : ������ + ������ + ������ = 180° ό ������ + ������ = 180° − ������Επομϋνωσ ιςχύουν : ������������ ������ + ������ = ημ 180° − ������ ϊρα , ������������ ������ + ������ = ημ������ ������������������ ������ + ������ = ςυν 180° − ������ ϊρα , ������������������ ������ + ������ = −ςυν������ ������������ ������ + ������ = εφ 180° − ������ ϊρα , ������������ ������ + ������ = −εφ������ 11. Δύνεται τρύγωνο ΑΒΓ . Να βρεύτε : α) το ημ������ , αν το ������������ ������ + ������ = 2 5 β)το ������������������ ������ + ������ , αν το ςυν������ = 3 4 12. ε ϋνα τρύγωνο ιςχύει ότι ημ������ = ������������������ ������ + 1 . 5 Να βρεύτε το ϊθροιςμα ������������ ������ + ������ + ������������������ ������ + ������ 13. ε ϋνα τρύγωνο ιςχύει ότι ������������������ ������ + ������ = − 1 και ������������ ������ = 1 2 Να βρεύτε : α) τισ γωνύεσ ������ ������������������ ������ . β) τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ������ . 182 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ2.3. ΦΕΕΙ ΜΕΣΑΞΤ ΣΡΙΓΩΝΟΜΕΣΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επειδό ςε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο οι κϊθετεσ πλευρϋσ εύναι μικρότερεσ από την υποτεύνουςα, ιςχύουν ότι: ������ < ������������������ < 1 και ������ < ������������������������ < 1 για οποιαδόποτε οξεύα γωνύα ω. Για οποιαδόποτε οξεύα γωνύα ω ιςχύουν οι βαςικϋσ τριγωνομετρικϋσ ταυτότητεσ :������������������ = ������������������ και ������������������������ + ������������������������������ = ������ ������������������������ 183 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤΑΠΟΔΕΙΞΕΙ������������������ = ������ (1) ������������������������ = ������(2) ������������������ = ������(3) ������ ������ ������με ρ= ������2 + ������2ό ������2 = ������2 + ������2 (4)1)Θα δεύξουμε ότι : ������������������ = ������������������ ������������������������Από τισ ςχϋςεισ (1) , (2) , (3) και ξεκινώντασ από το 2ο μϋλοσ ϋχουμε : ������������������������ = ������ = ������·������ = ������ = ������������������ .������������������������ ������ ������·������ ������ ������2) Θα δεύξουμε ότι : ������������������������ + ������������������������������ = ������Από τισ ςχϋςεισ (1) , (2) , (4) και ξεκινώντασ από το 1ο μϋλοσ ϋχουμε :������������2������ + ������������������2������ = .������ 2 + .������ 2 = ������ 2 +������ 2 = ������ 2+������ 2 = ������ 2 =1 . ������ ������ ������ 2 2 ������ 2 ������ 2 / / ������ε κϊθε ορθογώνιο τρύγωνο ������������������ ( ������ = ������������°) ιςχύει : ������������������ = ������������������������ και ������������������ = ������������������������ 184 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ ΑΚΗΕΙ 2.3.1. Αν για την γωνύα ω ϋχουμε ������������������ = 3 5 , να υπολογύςετε τουσ ϊλλουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ω.2. Αν για την οξεύα γωνύα ω ϋχουμε ������������������������ = 12 13 , να υπολογύςετε τουσ ϊλλουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ω.3. Αν για την γωνύα ω ϋχουμε ������������������������ = − 1 5 , να υπολογύςετε τουσ ϊλλουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ω.4. Αν για την οξεύα γωνύα ω ϋχουμε ������������������ = 5 12 , να υπολογύςετε τουσ ϊλλουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ω.5. Να αποδεύξετε ότι : 1) ������������2������ − ������������������2������ = 2������������2������ − 1 2) 1 − 2������������������2������ = ������������4������ − ������������������4������6. Να αποδεύξετε ότι: a) εφ2α – ημ2α = εφ2α . ημ2α. b) ημ4α – ημ2α = ςυν4α – ςυν2α. c) ημ4x – ςυν4x = 2ημ2x – 1.7. ������������ ������������������ = 3������ ������������������ ������������������������ = 4������ με 0 < λ < 1/4 , να υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ: Α = 25λ2 + (5λ – 1)3.8. Έςτω ότι η εξύςωςη ������2 + ������������������ ������ + ςυν2α = 0 ϋχει μοναδικό λύςη. Να βρεύτε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ α, αν η γωνύα ανόκει ςτο 4ο τεταρτημόριο.9. Να αποδεύξετε ότι: a) (������������������ + ������������������������)2 – (������������������ – ������������������������)2 = 4 ������������������ ������������������������. b) (3ημω + 4ςυνω)2 + (4ημω – 3ςυνω)2 = 25.10. Αν α = 3ημω ������������������ , β = 3ημω ������������������������ , γ = 3ςυνω να δεύξετε ότι: α2 + β2 + γ2 = 9.11. Αν 00 < x < 900 και ������������������������ = 2ημx – 1 να βρεύτε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ������. 185 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ12. Να υπολογύςετε τουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ τησ γωνύασ ������, αν εύναι 3ημx + 4ςυνx = 5.13. Αν η γωνύα ω εύναι αμβλεύα και ������������������ = 12 , 13 1) Να βρεύτε τουσ υπόλοιπουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ. 2) Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ : ������������(180° − ������) =………… ������������������(180° − ������) =…………. 3) Nα υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������������������ · ������������������(180° − ������) ������ = ������������135° · ������������(180° − ������ )14. Αν για την οξεύα γωνύα ω ιςχύει ότι : (������������������ − 4)2 + ������������������2������ = 131) Να βρεύτε το ������������������.2) Αν το ������������������ = 1 2 I. Να βρεύτε το ������������������������ και την ������������������ .II. Να βρεύτε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 2������������(180° − ������ ) + 4 ������������������������ − 3������������(180° − ������) 3 115. Αν 90° < ������ < 180° και ������������������ = 3 , να υπολογιςτούν :1) Να βρεύτε τουσ υπόλοιπουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ.2) Nα υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 4 2������������������ + 2������������������2������ + 2������������2������ + ������������������90°16. Αν 0° < ������ < 180° και ������������������������ = − 3 , να υπολογιςτούν : 53) Να βρεύτε τουσ υπόλοιπουσ τριγωνομετρικούσ αριθμούσ.4) Nα υπολογύςετε την τιμό τησ παρϊςταςησ : ������ = 5������������������ − 3������������������ + ������������2������ + ������������������2(180° − ������) 10������������������������ 186 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑΙΟΤ187 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187