Important Announcement
PubHTML5 Scheduled Server Maintenance on (GMT) Sunday, June 26th, 2:00 am - 8:00 am.
PubHTML5 site will be inoperative during the times indicated!

Home Explore maths_g_(1)_2016-2017

maths_g_(1)_2016-2017

Published by nantia.theou, 2016-09-09 08:39:33

Description: maths_g_(1)_2016-2017

Search

Read the Text Version

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.6.1. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ : 1. 4������ + 8 =………………………………………………………………………………………………………………. 2. 2������ + 6 =…………………………………………………………………………………………………………….… 3. −4������ − 4 =…………………………………………………………………………………………………………… 4. 2������������ – 4������������ =……………………………………………………………………………………………………….. 5. 6������3 + 3������2 =………………………………………………………………………………………………………. 6. 6������ + 3 =……………………………………………………………………………………………………………. 7. 2������5– 10 =…………………………………………………………………………………………………………… 8. 24������ – 16������ =………………………………………………………………………………………………………… 9. 14 + 49������ + 70������ = ……………………………………………………………………………………………. 10. 4������ – 6������3 + 8 =………………………………………………………………………………………………….. 11. 25������ – 75 ������ + 100 =……………………………………………………………………………………………. 12. 26������2 – 39������ =……………………………………………………………………………………………………… 13. 12������3 + 6������2 + ������ =……………………………………………………………………………………………… 14. 8������3 + 4������2 + 4������5 =……………………………………………………………………………………………. 15. 8������3������ + 4������2������2 =……………………………………………………………………………………………….. 16. 3������������3������ + 4������2������2 =…………………………………………………………………………………………….. 17. ������2 + ������������ =………………………………………………………………………………………………………….. 18. ������3 − ������2������ =………………………………………………………………………………………………………… 19. 3������2 − 6������������ =……………………………………………………………………………………………………... 20. 2������2������+������2 =………………………………………………………………………………………………………. 21. ������6 − ������5 =…………………………………………………………………………………………………………. 22. 5������3 + ������2 − ������ =………………………………………………………………………………………………… 23. 3������3 − 3������4 + 3������ =……………………………………………………………………………………………. 24. 2������3 − 4������2 + 10������=…………………………………………………………………………………………… 25. 12������������2 + 9������2������ + 3������3 =……………………………………………………………………………………. 26. 2������2������3 − 6������2������2 + 2������3������ =……………………………………………………………………………….. 51 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. Να παραγοντοποιόςετε τισ παραςτϊςεισ β) (������ − ������)������ − (������ − ������)������ α) (������ + ������)������ − (������ + ������)������ δ) ������������(������������ − ������) + 2(������ − ������������) γ) (������ − ������)������2 − (������ − ������)������2 ςτ) (������ − 2)2 − 3������ + 6 ε) ������(������ − ������) − 2������ + 2������3. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ:i. ������(������ + 3) + 2(������ + 3) vi. (2������ + 2)(������ – 6) – (3������ + 3)(2 – ������)ii. 2(������ + 1) – ������(������ + 1) vii. (������ – ������)3 + (������ – ������)iii. ������(������ + ������) + ������(������ + ������) viii. ������(������ – ������)2 – (������ – ������) ������2iv. ������(������ – ������) + ������(������ – ������) ix. ������2(������ – ������)������3 + ������(������ – ������)2������v. (������ – 1)(������ – 2) – (1 – ������)(2������ + 1) x. ������(������– 1) – ������ + 1vi. ������(2������ + 3������) – 7������(2������ + 3������) – (3������ + 2������) xi. (������– ������)2 + (������ + ������)2(������– ������)vii. ������(������– 3������) + ������(������– ������) – ������(������– 3������) xii. (5������– 2������)(4������– 3������) + (3������– 4������)������4. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :α) ������2 − ������������ + ������������ − ������������ β) ������������ − 1 + ������ − ������γ) ������2 + ������������ − ������������ − ������������ δ) ������������ − ������2 − ������������ + ������������ε) ������3 − ������2 − ������ + 1 ςτ) ������������ − ������������ − (������ − ������)25. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :1) 2������ + 4������������ + 6������ + 3 14) ������2 – ������ – ������������ + ������2) ������������ – ������������ + ������������ – ������������ 15) ������5 – 4������4 + 3������3 – 12������23) α3β2γ + α2βγ + 2αβ + 2 16) α3 + α2 + (α + 1)(α + 2)4) 4������2������ + 10������ – 6������������2 – 15������ 17) ������������ + ������������ + ������������ + ������25) ������������ + ������������ + ������ + ������������ + ������������ + ������ 18) 3������3– 6������2 + 5������ – 106) ������������ + 2������������ + 3������ + 6������ 19) ������3 – ������2������ – ������������2 + ������3 52 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

7) 5������ – 5������ – ������������ + ������������ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ8) ������������ – 2������ + 3������2 – 6������ 20) 8������������3 – 24������2 – 7������������������ + 21������9) 4������������ – 2������������ + 2������������ – ������������10) ������3 + ������2 + ������ + 1 21) ������(������ − ������) − ������ + ������11) ������5 + ������4 + ������3 + ������2 + ������ + 1 22) 3(������ − ������) − ������(������ − ������)12) ������ + ������������ – ������ – 1 23) (5������ − 2������)(4������ − 3������) + (3������ − 4������)(������ − 3������)13) ������2 + ������������ – ������ – ������ 24) ������������ + ������������ + ������������ + ������������ 25) ������������ − ������������ − ������������ + ������������ + ������������ − ������������ 26) ������������ + ������������ − ������������ − ������������ − ������������ + ������������ 27) 5������������ + 5������������ − 8������������ − 8������������6. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :α) ������(������ − 1) − 2������ + 2 β) ������(������ + ������) + ������������ + ������������γ) ������3 − ������2 − 4������ + 4 δ) ������3 − 5������2 − 4������ + 20ε) 2������ − 8������ − ������������ + 4������2 ςτ) 10������ − 5������ − 18������2 + 9������������7. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :1) ������2 − 25 12) 36������ 2– 92) ������2 − 16 13) (α + β)2 – 13) 1 − ������2 14) 49������2������4 – 644) ������2 − 100 15) ������2 − 35) 144 − ������2 16) ������2������2 − 166) −9 + ������2 17) ������2 − 817) ������2������2 – 4 18) −(5������2 − 20)8) 16������4 – 81������2 19) 10������2 − 909) 1 – 9������2 20) 2������2 − 1810) 64 − 25������2 21) 9������2 − 4������211) 36������2 – 100 22) (������ − 1)2 − 4 53 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ8. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ : 1) ������2 – (������ + 3������)2 2) (������ + ������)2 – (������ + ������)2 3) (������ + 2)2 – (������ + 2)2 4) (������ + 1)2 − 1 5) (5������ + 3������)2 – (3������ + 5������)2 6) α(������ – ������) + ������2 – ������2 7) (α – β)2 + α2 – β2 8) ������4 – ������2 + ������ + 1 9) αβ – β2 + α – β 10) ������5 – 8������2 + ������4 – 16 11) ������3 + ������2 + 5������ + 1259. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ :1. ������2 + 2������ + 1 12. ������2 −8������ + 162. 9������2 +12������ + 4 13. 5������4 – 100������2 + 5003. ������2−6������ + 9 14. (α + β)2 + 2(������������ + ������2) + ������24. ������2−4������ + 4 15. (������ + ������ + 1)2 – 2(������ + ������ + 1) + 15. ������2 + 10������ + 25 16. 1 ������10 + ������5 + 16. 9������4 + 6������2 + 17. 4������2 – 12������ + 9 48. 4������2 – 4������ + 1 17. (������ + 1)2 + 2(������ + 1) + 19. 25������2 + 20������ + 4 18. (������ + 2)2 + 4(������ + 2) + 410. 4������2 –4 ������������ + ������2 19. (������ − 3)2 − 6(������ − 3) + 911. 18 + 12������ +2������2 20. 2(������ + 5)2 + 20(������ + 5) + 50 54 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ10. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ : 1) ������2 +4������ + 3 2) ������2 +5������ + 4 3) ������2 −7������ + 6 4) ������2 −3������ + 2 5) ������2 −4������ − 5 6) ������2 – ������ − 6 7) ������2 + 7������ + 12 8) ������2 −10������ + 24 9) ������2 +3������ − 1011. Να γραφούν ωσ γινόμενο οι παραςτϊςεισ:1) ������7 − ������5 + ������3 − ������ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα2) ������ + ������ − ������2 − 2������������ − ������23) ������2 + 6������ − 4������2 + 94) 3α2������2 − 3α2������2 − 2������2 + 2������25) 3������3 − 3β ������ − ������2 +β6) ������2������2 − 4������2 − ������2 + 47) ������3(������2 − 1) + 1 − ������28) ������4 − 1 + ������3 − ������9) (������2 + 9)2 − 910) ������2 − 2������������ + ������2 − ������ + ������11) ������2 − 2������������ + ������2 − ������212) 1 − ������2 + 2������������ − ������213) (������2 − 4)2 − (������ + 2)214) ������2 − ������2 + 2������������ + ������215) ������2 − ������2 − 6������ − 916) 9 − ������2 + 2������������ − ������217) ������2 − ������2 − 6������ + 6������ 55

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ12. Να γραφούν ωσ γινόμενο οι παραςτϊςεισA = 2������2 + 3αβ + β2 B = ������2 − 2������������ − 3������2 ������ = ������4 + 4������413. Να γραφούν ωσ γινόμενο οι παραςτϊςεισ:A = 3x2 + 5x + 2 B = 2x4 + x2 − 314. Να γραφούν ωσ γινόμενο οι παραςτϊςεισ:A = ������4 + ������2������2 + ������4 B = ������4 + 415. Να γύνει γινόμενο η παρϊςταςη : Π = ������3 + ������3 – α – β – ������2β – α ������2.16. Να λύςετε τισ εξιςώςεισα) ������2 + 5������ + 6 = 0 β) ������2 − 3������ − 4 = 0 γ) ������2 − 3������ − 4 = 017. Δύνεται παρϊςταςη ������(������) = ������3 − ������2 − 4������ + 4 1) Να κϊνετε γινόμενο την παρϊςταςη. 2) Να λύςετε την εξύςωςη ������(������) = 0 .18. Να λύςετε τισ εξιςώςεισ : 1) ������4 − ������2 = 4(������2 − 1) 2) (������2 − 2������ + 1)2 = 4������2 − 8������ + 419. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = (4������ − 3)2 + (3������ + 4)2 − 24(������ − 1)(������ + 1) − 5 1) Να γύνουν οι πρϊξεισ ςτο πολυώνυμο και να το γρϊψετε κατϊ φθύνουςεσ δυνϊμεισ του ������. 2) Να παραγοντοποιηθεύ η μορφό του πολυωνύμου. 3) Να βρεθεύ το ������(−2). 4) Να λυθεύ η εξύςωςη ������(������) = 0. 56 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ20. Δύνονται οι παραςτϊςεισ ������ = (5������ − 2)2 και ������ = (2������ + 1)2 1) Να βρεύτε τα αναπτύγματα των παραςτϊςεων ������ και ������. 2) Να παραγοντοποιόςετε την παρϊςταςη ������ − ������ . 3) Να λύςετε την εξύςωςη ������ − ������ = 0 .21. 1) Να παραγοντοποιηθεύ η παρϊςταςη : ������ = 3������3 − 3������. 2) Να λυθεύ την εξύςωςη ������ = 0.22. Αν ������ + ������ = 3 και ������������ = 1 , να υπολογύςετε τισ αριθμητικϋσ τιμϋσ των παραςτϊςεων:������ = ������2 + ������2 ������ = ������3 + ������3 ������ = 3������2 − 5������������ + 3������223. Αν ������ + ������ = 3 και ������������ = 1 ,να υπολογύςετε τισ αριθμητικϋσ τιμϋσ των παραςτϊςεων:������ = ������2 + ������2 ������ = ������3 + ������3 ������ = 3������2 − 5������������ + 3������224. Αν ������ + 1 = 4 , ������να υπολογύςετε τισ παραςτϊςεισ : ������ = ������2 + 1 ������ = ������3 + 1 ������2 ������3 57 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ 41. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ( ΢ ) αν εύναι ΢ωςτϋσ και (Λ) αν εύναι Λανθαςμϋνεσ. 1) ������ − 2 = – (������ − 2) 2) ������2 + ������ = ������(������ + 1) 3) −4������ − 2 = – 2(2������ + 1)2. Να ςυμπληρώςετε τα κενϊ : 4. 3������(3������������ − ____) =____−15������2 5. ������2− = (… + 1)(…−…)3. Να παραγοντοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ: 1) ������2 − 16 2) 121 − ������2 3) ������(������ + ������) + ������(−������ − ������) 4) ������(������ – ������) + ������(������ – ������) 5) 12������������2+9������2 ������+3������3 6) ������ + ������������ – ������ – 1 7) ������2 + ������������ – ������ – ������ 8) ������2– β2 + α – β 9) ������2 – (������ + 3������)2 10) ������2 − 2������������ + ������2 − 9 11) ������(������ − ������) + ������(−������ + ������) 12) ������������ – ������2 + ������ – ������ 13) (������ − 1)2 − 4 14) 2������ + 4������������ + 6������ + 3 15) 16������2 − 81 16) ������2 − 100 − ������ − 10 17) (2������ + 3������)2 – (������ + 5������)2 18) ������4 − ������44. Δύνεται το πολυώνυμο : ������(������) = 2(������ − 1)2 − 3(������ − 2)(−������ − 2) − 10 + 4������ 1) Να δεύξετε ότι : ������(������) = 5������2 − 20 . 2) Να βρεύτε την αριθμητικό τιμό του πολυωνύμου για ������ = −1 . 3) Να παραγοντοποιόςετε το ������(������) . 4) Να λύςετε την εξύςωςη ������(������) = 0. 58 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.8. Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ΑΚΕΡΑΙΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΩΝ  Ελϊχιςτο Κοινό Πολλαπλϊςιο (Ε.Κ.Π.) δύο ό περιςςοτϋρων αλγεβρικών παραςτϊςεων , που ϋχουν αναλυθεύ ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομϊζεται, το γινόμενο των κοινών και μη κοινών παραγόντων τουσ με εκθϋτη καθενόσ το μεγαλύτερο από τουσ εκθϋτεσ του.  Μϋγιςτοσ Κοινόσ Διαιρϋτησ (Μ.Κ.Δ.) δύο ό περιςςοτϋρων αλγεβρικών παραςτϊςεων , που ϋχουν αναλυθεύ ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων ονομϊζεται, το γινόμενο των κοινών παραγόντων τουσ με εκθϋτη καθενόσ το μικρότερο από τουσ εκθϋτεσ του. Για να βρούμε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ πολυωνύμων : 1. Αναλύουμε τα πολυώνυμα ςε γινόμενο πρώτων παραγόντων. 2. Τπολογύζουμε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των αριθμητικών παραγόντων. 3. Βρύςκουμε το ΕΚΠ και το ΜΚΔ των πολυωνύμων εφαρμόζοντασ τουσ παραπϊνω οριςμούσ. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.8. 1. ΢τισ παρακϊτω ερωτόςεισ να επιλϋξετε την ςωςτό απϊντηςη: 1. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των ������ , ������ + 2 ; Α: Σο ������ , Β: Σο ������ + 2 , Γ: Σο 2������ , Δ: Σο ������(������ + 2) 2. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των 2α , 3α2 , 6α3 ; Α: Σο α6 , Β: Σο 2α3 , Γ: Σο 6α3 , Δ: Σο 3α2 3. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των ������ + 1 , ������ + 2 ; Α: Σο (������ + 1)(������ + 2) , Β: Σο 3������ + 3 , Γ: Σο 3������ , Δ: Σο ������ + 2 4. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των α – β , β – α ; Α: Σο ������ – ������ , Β: Σο (������ – ������)(������ – ������) , Γ: Σο ������ , Δ: Σο ������ 5. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των 5(������ – ������) , 2(������ + ������) , ������2 – ������2 ; Α: Σο ������2 – ������2 , Β: Σο 10(������2 – ������2 ) , Γ: Σο 10(������ + ������)2 , Δ: Σο 10(������ – ������)2 6. Ποιο εύναι τα Ε.Κ.Π. των 7������ , 14������2������ , ������ ; Α: 14������2������ , Β: Σο 14������2������2 , Γ: Σο 14������������ , Δ: Σο 14������3������2 59 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. Να βρεύτε το Ε.Κ.Π. και το Μ.Κ.Δ. των παραςτϊςεων:1) 12α3β2γ , 15α2β3γ , 6α4β32) 8������2������3 , 4������3������5 , 12 ������3������33) 3α2(α – β)2 , 6α2β, (α – β)2(α + β)4) 2������2������3������2 , 4������3������2������ , 6������������2������35) 4α2βγ , 8α4β , 12βγ36) 6(������������)2������������ , (2������)2������������3, 8������������37) α3 – 6α2 + 12α – 8 , α2 – 4 , α2 – 2α8) α2 + α , α2 – 1 , α3 – α9) (������ – 1)(������ – 1) , (������ + 1)(������ – 1)2 , (������ + 1)2(������ – 1)10) ������2 – 4������ + 4 , ������2 + ������ – 6 , ������2 – 411) 4(������2 – y2) , 6(������ + ������)2 , 3(������– ������)212) α2– 2α , α2 – 4α + 4 , α3 – 4α13) α3– 8 , α2 – 4 , α2 – 5α + 63. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������(������) = 2������3 − 4������2 + 2������ και ������(������) = 3������3 + 3������2 − 3������ − 3 α) Να κϊνετε γινόμενο τισ παραςτϊςεισ ������(������) και ������(������). β) Να βρεύτε το Ε.Κ.Π. και τον Μ.Κ.Δ. των ������(������) και ������(������). γ) Να λύςετε τισ εξιςώςεισ ������(������) = 0 και ������(������) = 0 .4. Α) Να ςυμπληρώςετε τουσ εκθϋτεσ των παρακϊτω μονωνύμων ώςτε να ϋχουν : ������ …. ������ …… ������ ….. ������������….. ������2������ ������. ������. ������. = ������3������2������2 και Μ.Κ.Δ.=������������ 60 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.9. ΡΗΣΕ΢ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕ΢ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΙ΢ Μια αλγεβρικό παρϊςταςη που εύναι κλϊςμα και οι όροι του εύναι πολυώνυμα, λϋγεται ρητό αλγεβρικό παρϊςταςη ό απλώσ ρητό παρϊςταςη. Οι μεταβλητϋσ μιασ ρητόσ παρϊςταςησ δεν μπορούν να πϊρουν τιμϋσ που μηδενύζουν τον παρονομαςτό τησ, αφού δεν ορύζεται κλϊςμα με παρονομαςτό μηδϋν.Για να απλοποιόςουμε μια ρητό παρϊςταςη : 1. Παραγοντοποιούμε τον αριθμητό και τον παρανομαςτό τησ. 2. Βϊζουμε περιοριςμούσ δηλαδό τον κϊθε παρϊγοντα του παρονομαςτό διϊφορο του 0. 3. Διαγρϊφουμε τουσ κοινούσ παρϊγοντεσ των όρων τησ.ΕΝΟΣΗΣΑ 10 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.9.1. Για ποιεσ τιμϋσ των μεταβλητών τουσ ορύζονται οι παραςτϊςεισ1) 1 2������2) 5 ������ −33) 5+������ ������ −14) 2(������−3) ������ −35) 5 ������ 2+16) 5+������ (������ −5)27) 2 ������ (������ +2)8) 2.016 (������ −1)(������ +5) 61 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. ΢ωςτό ό Λϊθοσ.1) Η παρϊςταςη 2x απλοποιεύται ςτη μορφό 2 ϊρα ορύζεται για ������ = 0. x 1  x 1 x2) Η παρϊςταςη 2x  4 δεν ορύζεται για ������ = 2. x 13) Η παρϊςταςη x3 δεν ορύζεται για ������ = 1 και για ������ = 3 και  x 1 x  3 x  3 για ������ = – 3 .4) Η παρϊςταςη 1 ορύζεται για όλουσ τουσ αριθμούσ εκτόσ του 0. 11/ x  x  x25) Η τιμό τησ παρϊςταςησ  1 για ������ = 1 και οποιοδόποτε α εύναι ύςη με το 0. 3  6) Η παρϊςταςη (   )(   )   2   2 δεν ϋχει νόημα για καμιϊ τιμό των α, β. 17) Ιςχύει x 5  x6 για οποιαδόποτε τιμό του ������ εκτόσ του 5. 1 x5 x68) Ιςχύει     1  , εφ’ όςον   0 . 9) Ιςχύει      , εφ’ όςον   0 . 10) Ιςχύει     , εφ’ όςον   0 . 11) Η πρϊξη x : x  2 ϋχει νόημα για οποιαδόποτε τιμό του x εκτόσ του 1. x 1 x 1 2x  4y12) Όταν x, y εύναι αντύθετοι η παρϊςταςη x2  y2 δεν ορύζεται.13) Η πρϊξη ������: (������ – 1) μασ δύνει την κλαςματικό παρϊςταςη  , εφ’ όςον   1 .  1 62 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Να απλοποιόςετε τισ παρακϊτω παραςτϊςεισ: a 2a  81) a2 13) a2  4a ax3   2) xa3 14)  2   2 6(t  1) x2 y  xy23) 2(t  1)2 15) x3 y  xy3  2 3 2x  44)  2 2 16) x2  4x  4 8(x 1)(x  2)2 4x2  4x 15) 24(x  2)(x 1)2 17) 1  4x2 14 15 2  66) 7(  1) 18) 25 3  4 2 6������ x5  x7) 2������ 2+4������ 19) x3  x2 3������ −9 2x  3yx  6 y  48) ������ 2−3������ 20) 3yx  3y  2x  2 (x 1)(x 1)     4  49) x2 1 21)   4    410)  2  2   2 xy  x  y  (   )2 22) x2  2 x   2 ������ 2−16 x2  2a  x  2ax11) ������ 2+4������ 23) x4  x2  4a 2 x2  4a 2 5������ 2−2012) (������−2)2 63 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ1.10. ΠΡΑΞΕΙ΢ ΡΗΣΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΠΑΡΑ΢ΣΑ΢ΕΩΝΠολλαπλαςιαςμόσ – ΔιαύρεςηΟ πολλαπλαςιαςμόσ ό η διαύρεςη ρητών παραςτϊςεων γύνεται με τουσ κανόνεσ τουπολλαπλαςιαςμού ό τησ διαύρεςησ ρητών αριθμών.Δηλαδό :1. ������ · ������ = ������·������ και ������ : ������ = ������ · ������ = ������·������ ������ ������ ������ ·������ ������ ������ ������ ������ ������ ·������ ������2. ������ = ������ ·������ (ςύνθετο κλϊςμα) ������ ������ ·������ ������. Πρόςθεςη – Αφαύρεςη Η πρόςθεςη ό η αφαύρεςη ρητών παραςτϊςεων γύνεται με τουσ κανόνεσ τησ πρόςθεςησ ό τησ αφαύρεςησ ρητών αριθμών.  Αν οι ρητϋσ παραςτϊςεισ ϋχουν ύδιο παρονομαςτό τότε : ������ ������ ������ ± ������ ������ ± ������ = ������  Αν όμωσ οι ρητϋσ παραςτϊςεισ δεν ϋχουν το ύδιο παρονομαςτό, τότε βρύςκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών και τισ μετατρϋπουμε ςε ρητϋσ παραςτϊςεισ με τον ύδιο παρονομαςτό και προςθϋτουμε όπωσ παραπϊνω. 64 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 1.10.1. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ:1)   1 4) 1    3 2     25  2 5 10    3 22) 2     9   x   y 2  4  xyw   y2   3  5)       4  x2  x  x3 2y y3) 6) 7  x2 2  x 14x  x  222. Να κϊνετε τουσ πολλαπλαςιαςμούσ:    2      4) 1  1 21)      2 2       2 2   22) x  x2  x 5) x  x x 1 x3  2  x2 2  x2 2        2 1  2   2  2     2    2 3    3)  6) 3 3   3. Να κϊνετε τισ διαιρϋςεισ: 1)  : 2 4)  :       2   3 2  9     2)  : 5) : ( ) 65 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ 1:  6) 5 :    6 3)  5 4. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:1) 2x  6  4x x2 x32) y  5  2  y y2 5 y3) xw  x3w2 x 2 w3 x2  w24) a a2  4 6  a  3 2 a  a2  2a5) x2  x  x2  5x  6 x2  4 x2  3x6) 4 y 4y2 9 9  y2  3y 2 12 y  2y2  3y7) x  4 : x  4 5 158) 2 y 1 : 1 2 y y 1 1 y9) x  y : x2  xy x2  xy x  y x2  4 x  210) x3  8 : x2  2x  411) 5x 1   x x2 9 x  325. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ: xw xy  xy3 4  4y1. xw 3. xy  x3 y 6  6x  x  w2 66 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ xw x 12. x  w 4. x 1 : x2  2x 1  x  w2 x 1 x2  2x 1 x 16. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ: 1) 1  1  1 5)    9) 4x  1 x 2x 3x  4x 2) 1  1 6)  1 10) 1  x 1 yx  x 3)  1 7)   3 11) 5x  5   4 x 1 x 1 4)  1  8) 11 1 12) 3  1  2 2 2   2  3 2x xy 3y7. Δύνεται η παρϊςταςη: ������2 − 2������ + 1 ������ + 2 ������ = ������2 − 1 + ������ + 1α) Για ποιεσ τιμϋσ του ������ ϋχει ϋννοια η παρϊςταςη;β)Να γρϊψετε την παρϊςταςη ςε απλούςτερη μορφό, αφού εκτελϋςετε τισ πρϊξεισ.8. Να κϊνετε τισ πρϊξεισ:1) 1  1 1 1 x 1 x 1 5) (2x 1)(x 1) (1 2x)2(x 1) 2 1 12) x  2  2  x  x  2 1  x  2x x  2 (x  2)2 (x  2)3 1  1 1 6) x2  xy xy  y2 xy3)4)    2 2 2  2 2 7)  2  1  2 1   1 2  2  (   )2  3 1 1   67 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΚΕΥΑΛΑΙΟ 2 ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢-ΑΝΙ΢Ω΢ΕΙ΢ΕΝΟΗΣΑ 1 68 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2.1. ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢ 1ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ������������ + ������ = ������ Η γενικό μορφό τησ εξύςωςησ πρώτου βαθμού με ϋναν ϊγνωςτο εύναι ������������ + ������ = ������ . Οι αριθμού α και β λϋγονται ςυντελεςτϋσ τησ εξύςωςησ. Για την επύλυςη τησ πρωτοβϊθμιασ εξύςωςησ ������������ + ������ = ������ διακρύνω τισ περιπτώςεισ :1η περύπτωςη : Αν ������ ≠ 0, τότε η εξύςωςη ϋχει μοναδικό λύςη :  x    0   x    x   2η περύπτωςη : Αν ������ = 0 και ������ ≠ 0 , τότε η εξύςωςη δεν ϋχει καμύα λύςη και λϋγεται αδύνατη.3η περύπτωςη : Αν ������ = 0 και β = 0, τότε η εξύςωςη γύνεται 0 · ������ = 0, αληθεύει για κϊθε πραγματικό αριθμό ������ (ϋχει ϊπειρεσ λύςεισ) και λϋγεται αόριςτη ό ταυτότητα. Αδύνατη εξύςωςη Αόριςτη εξύςωςη ό ταυτότηταΜια εξύςωςη που δεν ϋχει καμύα ρύζα , Μια εξύςωςη που ϋχει λύςεισ όλουσ τουσδηλαδό δεν επαληθεύεται από αριθμούσ , δηλαδό επαληθεύεται γιακανϋναν αριθμό , λϋγεται αδύνατη . οποιαδόποτε τιμό του ������ , λϋγεται αόριςτη εξύςωςη ό ταυτότητα.  Κϊθε εξύςωςη τησ μορφόσ :  Κϊθε εξύςωςη τησ μορφόσ : 0·x=β , β≠0 εύναι αδύνατη. 0·x=0 εύναι ταυτότητα.Να λύςετε τισ εξιςώςεισ :������. ������(������������ + ������) − ������������ = ������(������������ + ������) ������. ������(������������ − ������) − ������(������ − ������) = ������ −3(������ − ������)18x + 15 − 2x = 16x + 8 6x − 2 − 3x + 6 = 7 − 3 + 3x 6x − 3x − 3x = +2 − 6 + 7 − 318x − 2x − 16x = −15 + 8 6x − 6x = +9 − 918x − 18x = −7 0 · x = 0 , αόριςτη .(Άπειρεσ λύςεισ)0 · x = −7, αδύνατη.(Καμύα λύςη) Για οποιοδόποτε αριθμό ςτην θϋςη του ������ , τοΓια οποιοδόποτε αριθμό ςτην θϋςη του ������ , πρώτο μϋλοσ θα εύναι πϊντα ύςο με μηδϋντo πρώτο μϋλοσ θα εύναι πϊντα μηδϋν και ,δηλαδό ύςο με το δεύτερο μϋλοσ .δεν μπορεύ ποτϋ να γύνει ύςο με -7. 69 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Επύλυςη πρωτοβϊθμιασ κλαςματικόσ εξύςωςησ 1. Απαλεύφουμε τουσ παρονομαςτϋσ, πολλαπλαςιϊζοντασ ΚΑΘΕ όρο τησ εξύςωςησ με το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών. 2. Απαλεύφουμε τισ παρενθϋςεισ εφαρμόζοντασ την επιμεριςτικό ιδιότητα. 3. Φωρύζουμε τουσ γνωςτούσ από τουσ ϊγνωςτουσ όρουσ. 4. Κϊνουμε αναγωγό όμοιων όρων. 5. Διαιρούμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου.ΕΥΑΡΜΟΓΗ A. Να λυθεύ η εξύςωςη 2������−5 = 5������−3 − 8 3 43Ε.Κ.Π. (παρονομαςτών)=1212 2������−5 = 12 5������−3 − 12 8 , Πριν την απαλοιφό των παρονομαςτών , βϊζουμε παρενθϋςεισ ςτουσ αριθμητϋσ των κλαςμϊτων. 3 4343 412 (2������−5) = 12 (5������ −3) − 12 8 3 4 3 Κϊνουμε τισ πρϊξεισ , εφαρμόζοντασ την επιμεριςτικό ιδιότητα4(2������ − 5) = 3(5������ − 3) − 4 · 88������ − 20 = 15������ − 9 − 32 Φωρύζουμε τουσ γνωςτούσ από τουσ αγνώςτουσ8������ − 15������ = −9 − 32 + 20 Εφαρμόζουμε αναγωγό ομούων−7������ = −21 όρων−7������ = −21 Διαιρούμε με τον ςυντελεςτό του αγνώςτου−7 −7������ = 3 70 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.1.1. ΢ωςτό ό λϊθοσ:1) Η εξύςωςη 3������ = 3 εύναι αδύνατη.2) Η εξύςωςη 3������ = 0 εύναι αδύνατη.3) Η εξύςωςη ������������ = 1 δεν εύναι ποτϋ αδύνατη.4) Οι εξιςώςεισ (������ − 4)������ = 0 και (������ − 3)������ = 0 δεν μπορούν να εύναι ταυτόχρονα αόριςτεσ.5) Η εξύςωςη 2������ = ������ εύναι αδύνατη.6) Η εξύςωςη 6������−1 = 2������ + 3 εύναι αδύνατη. 37) Αν το ������ = 3 , η εξύςωςη (������ − 3)������ = 9 − ������2 εύναι ταυτότητα .2. Να επιλϋξετε τη ςωςτό απϊντηςη ςε κϊθε μύα από τισ παρακϊτω προτϊςεισ.α. Η εξύςωςη ������������ = 0 εύναι αδύνατη όταν: Α. λ=1 Β. λ=0 Γ. ποτϋ Δ. πϊνταβ. Η εξύςωςη (������ − 2)������ = ������ − 2 εύναι ταυτότητα όταν: Α. λ=0 Β. λ=2 Γ. πϊντα Δ. λ=1γ. Η εξύςωςη 2������ = 5������ ϋχει λύςη τον αριθμό:Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3δ. Η εξύςωςη 2������ − ������ = 1 ϋχει λύςη το ζεύγοσ: Α. (2, 2) Β. (1, 1) Γ. (0, 0) Δ. καμύα3. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ: ������. 3(������ + 2) = 4(1 − ������) ������. 5(������ − 2) = 8 − 4������ ������. 3(������ + 4) − 2(1 + ������) = ������ − 2 ������. 2(������ + 3) + 7(������ − 3) = 5������ − 5 ������������. 5������ − (4 + 5������) + 8 = 0 ������. 9������ − 15 = 3(3������ − 5) 71 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ: ������. 2[������ + (3������ − 1)] − 3 = 2[������ − 2(������ + 1)] ������. [5������ − 3(������ − 2)] = 26 − 3[1 − 3(5 − ������) + 2] ������. 8 − 5������ = 3[������ − 3(������ − 1)] − 6[7 − (1 − ������)] ������. 6 − 3������ − [2������ − 10(������ − 1)] = 6[−9 − (������ − 1)]5. Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ:3������ − 5 7x + 4������. 2 + x = 5 5������ x − 6������. 2������ − 3 − 5 = 3 + 7 30 + 9������ x + 7������. 2������ − 6 = 2 ������ + 1 3x − 1 x − 2������. 3 − 6 = 4 + 16. Να υπολογύςετε την τιμό του λ ώςτε η εξύςωςη : ������ + ������ + 3������ − 6 = 0 , να ϋχει λύςη το ζευγϊρι των αριθμών ( 2 , −1);7. Να βρεθεύ η τιμό του πραγματικού αριθμού λ για την οπούα η εξύςωςη : 3������������ = 2������ εύναι αόριςτη.8. Να βρεθεύ η τιμό του πραγματικού αριθμού λ για την οπούα η εξύςωςη : 5������ − 2������������ = 3 εύναι αδύνατη.9. Να βρεύτε για ποια τιμό του λ η εξύςωςη : (������2 − 9)������ = 2������ − 6 1) εύναι ταυτότητα 2) εύναι αδύνατη. 72 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2.2. ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢ 2ΟΤ ΒΑΘΜΟΤ ������������������ + ������������ + ������ = ������Η γενικό μορφό μιασ εξύςωςησ δευτϋρου βαθμού με ϋναν ϊγνωςτο εύναι ������������������ + ������������ + ������ = ������ .Οι αριθμού ������ , ������ , ������ ονομϊζονται ςυντελεςτϋσ τησ εξύςωςησ.Ειδικότερα ο αριθμόσ γ λϋγεται ςταθερόσ όροσ. ΕΙΔΙΚΕ΢ ΜΟΡΥΕ΢ ΣΗ΢ ΔΕΤΣΕΡΟΒΑΘΜΙΑ΢ ΕΞΙ΢Ω΢Η΢Α. Επύλυςη εξιςώςεων δευτϋρου βαθμού με ανϊλυςη ςε γινόμενο παραγόντων 1. ������������2 + ������������ = 0 , ������ ≠ 0Για την επύλυςη τησ δευτεροβϊθμιασ , ������������2 + ������������ = 0 , ������ ≠ 0μεταφϋρουμε όλουσ τουσ όρουσ ςτο α’ μϋλοσ τησ εξύςωςησκαι παραγοντοποιούμε βγϊζοντασ κοινό παρϊγοντα το ������.Έτςι , ϋχουμε : ������ · (������������ + ������) = 0  ������ = 0 ό ������������ + ������ = 0  ������ = 0 ό ������ = −������/������ΕΥΑΡΜΟΓΗ π.χ. 2 ������������������ − ������������ = ������  Να λυθεύ η εξύςωςη : π.χ. 1 ������������ − ������������ = ������  2 ������ · (2������ − 1) = 0  ������ · (������ − 3) = 0  ������ = 0 ό 2������ − 1 = 0  ������ = 0 ό ������ = 3 ������ = 0 ό 2������ = 1 ������ = 0 ό ������ = 1 2 73 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ 2. ������������2 + ������ = 0 , ������ ≠ 0Για την επύλυςη τησ δευτεροβϊθμιασ ������������2 + ������ = 0 , ������ ≠ 0υπϊρχουν δύο τρόποι :A. Σο α’ μϋλοσ τησ εξύςωςησ εύναι διαφορϊ τετραγώνων και παραγοντοποιούμε.ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα λυθεύ η εξύςωςη : ������������������ − ������ = ������  (2������)2 − 32 = 0 (2������ − 3) · (2������ + 3) = 0 2������ − 3 = 0 ό 2������ + 3 = 0 2������ = 3 ό 2������ = −3  33 x = 2όx = −2B. Η εξύςωςη ������2 = ������, όταν α εύναι θετικόσ , ϋχει δύο λύςεισ : ������ = ������ και ������ = − ������ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα λυθεύ η εξύςωςη : ������������ = ������������������ ������ = 144 ό ������ = − 144  ������ = 12 ό ������ = −12Όταν α εύναι αρνητικόσ, η εξύςωςη ������������ = ������ εύναι αδύνατη.ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα λυθεύ η εξύςωςη : 7 ������������ = −������������ ������ ������������ = − ������������  ������ ������ x2 = −2 , αδύνατη 74 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. ������������2 + ������������ + ������ = 0 , ������ ≠ 0Για την επύλυςη τησ εξύςωςησ ������������2 + ������������ + ������ = 0 , ������ ≠ 0ςυμπληρώνουμε κατϊλληλα το α’ μϋλοσ τησ εξύςωςησ για να δημιουργόςουμε τηνταυτότητα : ������2 + 2������������ + ������2 = (������ + ������)2 ό ������2 − 2������������ + ������2 = (������ − ������)2ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα λυθεύ η εξύςωςη : ������������������ + ������������������ + ������ = ������ (2������)2+2 · 2������ · 3 + 32=0 (2������ + 3)2 = 0  2������ + 3 = 0 2������ = −3  3 x = −2 Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.2.1. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ1) x 1 x  3  0 2)x  x  5  03)4  x x 1  0 4)2x 14x  3  02. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ1)x2  81 2)x2  83)3x2  27 4)16x2  645)49x2  169 6)25y2  17)x2  5 8)x2  09)5x2  1 10)4x2  511)  x2  4 12)16x2  16 75 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

3. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 1) ������2 – ������ = 0 2) 2������2 – 7������ = 0 3) 4������2 + 36������ = 0 4) 3������2 = 5������ 5) ������2 – 1 = 0 6) 3������2 – 27 = 0 7) 6������2 + 12 = 0 8) ������2 – 12 = 0 9) 5������2 – 10 = 0 10) ������2 + 3 ������ = 0 11) 4������2 – ������ = 0 12) ������2 = 12 34. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) ������2 – 2������ + 1 = 0 2) ������2 + 4������ + 4 = 0 3) ������2 + 16������ + 64 = 0 4) ������2 + 25 = 10������ 5) ������2 − 16 = 0 6) 3������2 – 27 = 0 7) ������2 = 2.016 8) ������2 + 12������ = −36 9) 5������2 − 20������ + 20 = 0 10) 18������2 + 9 ������ = 0 11) 4������2 – 8������ = −4 12) ������2 = 18 2 76

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ4. Επύλυςη δευτεροβϊθμιασ εξύςωςησ με τη βοόθεια τύπου .Για την επύλυςη τησ δευτεροβϊθμιασ εξύςωςησ ������������2 + ������������ + ������ , ������ ≠ 0χρηςιμοποιώ την διακρύνουςα και διακρύνω τισ περιπτώςεισ : ������ = ������2 − 4������������1η περύπτωςη : Αν ������ > 0, τότε η εξύςωςη ϋχει δύο ρύζεσ ϊνιςεσ : ������1,2 = −������ ± ������ 2·������ και το τριώνυμο παραγοντοποιεύται :x2   x     x  x1x  x2 2η περύπτωςη : Αν ������ = 0, τότε η εξύςωςη ϋχει μια ρύζα διπλό : ������0 = −������ 2·������ και το τριώνυμο παραγοντοποιεύται :������������2 + ������������ + ������ = ������(������ − ������0)23η περύπτωςη : Αν ������ < 0, τότε η εξύςωςη εύναι αδύνατη (δεν ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ) και το τριώνυμο δεν παραγοντοποιεύται. 77 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.2.1. ΢ωςτό ό λϊθοσ:1) Η εξύςωςη 2������2 – 2������ = 0 εύναι εξύςωςη 2ου βαθμού.2) Η εξύςωςη 3������2 + 1 = 0 εύναι εξύςωςη 2ου βαθμού.3) Η εξύςωςη (λ – 1)������2 – ������ + 4 = 0 εύναι εξύςωςη 2ου βαθμού για κϊθε αριθμό λ.4) Η εξύςωςη ������2– ������(������ + 1) – 2 =0 εύναι εξύςωςη 2ου βαθμού.5) Αν η εξύςωςη ������������2 + ������������ + ������ = 0 , α  0 δεν ϋχει πραγματικϋσ ρύζεσ τότε β2< 4αγ .6) Η εξύςωςη α������2 + ������������ + ������ = 0 , α  0 με γ = 0 ϋχει πϊντα δύο ρύζεσ.7) Η εξύςωςη α������2 + ������������ + ������ = 0 , α  0 με ������������ < 0 ϋχει πϊντα δύο ϊνιςεσ ρύζεσ.8) Η εξύςωςη α������2 + ������������ = 0 , α  0 ϋχει ρύζεσ το 0 και το  9) Η εξύςωςη ������������2 + γ = 0 , α  0 ϋχει πϊντα δύο ρύζεσ.10) Αν .������ 2 > ������������ τότε η εξύςωςη ������������2 + ������������ = 0, α  0 ϋχει δύο ϊνιςεσ ρύζεσ. 2 /11) Η εξύςωςη 3������ + 2 = 5 ϋχει λύςη ������ = 1.12) Αν ������2– 1 = 0 τότε οι λύςεισ εύναι ������ = ±1.13) Η εξύςωςη 0������ = 3 ϋχει λύςη ������ = 0.14) Η εξύςωςη 2������2– 5������ + 9 = 0 εύναι αδύνατη.15) Ο αριθμόσ -1 εύναι λύςη τησ εξύςωςησ −3������2 + 5������ + 8 = 016) Η εξύςωςη (2������ − 1)2 = 4������(������ + 2) εύναι 2ου βαθμού.17) Η εξύςωςη ������������2 + ������������ + ������ = 0 εύναι πϊντα δευτϋρου βαθμού.18) Η εξύςωςη (������ − 1)������2 + ������������ + ������ = 0 εύναι πϊντα δευτϋρου βαθμού.19) Η εξύςωςη (������ − 4)������2 + ������������ + ������ = 0 εύναι δευτϋρου βαθμού όταν λ ≠ 4. 78 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. Έςτω η εξύςωςη ������������2 + ������������ + ������ = 0 με   0 . Να ςυμπληρωθούν οι παρακϊτω προτϊςεισ: α. Αν η εξύςωςη ϋχει για λύςη τη ������ = 1 τότε η λύςη ………………….. την εξύςωςη. β. Αν η εξύςωςη αυτό ϋχει μύα διπλό λύςη τότε η Δ ….……. . γ. Αν η εξύςωςη ϋχει δύο ϊνιςεσ πραγματικϋσ λύςεισ τότε Δ……… . δ. Αν η εξύςωςη ϋχει πραγματικϋσ λύςεισ, τότε η Δ……. . ε. Αν η εξύςωςη ϋχει το πολύ μύα λύςη, τότε η Δ…... .3. Πόςεσ λύςεισ ϋχουν τα παρακϊτω τριώνυμα ;1) ������2 − 10������ + 25 Γηα λα απαληήζνπκε ζε κηα ηέηνηα εξώηεζε2) 2������2 + 3������ + 5 αξθεί λα ππνινγίζνπκε ηελ δηαθξίλνπζα3) 3������2 − 7������ + 4 ηνπ ηξηωλύκνπ.4) ������2 − 8������ + 165) ������2 − 2������ + 1  Αλ ������ > 0 , ηόηε ην ηξηώλπκν έρεη6) ������2 − 5������ + 6 δύν άληζεο πξαγκαηηθέο ιύζεηο.  Αλ ������ = 0 , ηόηε ην ηξηώλπκν έρεη ε δηπιή πξαγκαηηθή ιύζε.  Αλ ������ < 0 , ηόηε ην ηξηώλπκν δελ έρεη πξαγκαηηθέο ιύζεηο.4. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) ������2 + 2������ − 3 = 0 2) ������2 − 3������ − 4 = 0 3) 3������2 − 2������ − 1 = 0 4) 4������2 − 17������ + 15 = 0 5) ������2 + 2������ = 5 6) ������2 − 8 = −6������5. Να γραφούν με τη μορφό γινομϋνου τα τριώνυμα: Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα 1) ������2 + 15������ + 50 2) −6������2 + 7������ + 20 3) 5������2 − 2������ − 3 4) 6������2 + ������ – 2 5) ������3 + 6������2 − 91������ 79

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ6. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ ωσ προσ ������ ό ������: ������) ������2– 4������ = 0 ������) 3������2 = 4������ ������) 2������2 + ������– 15 = 0 ������) 5������2– 18������– 8 = 0 ������) ������2– 6������ + 7 = 0 ������) ������2– ������ + 1 = 0 ������) ������2– (������ + 3) ������ + 3������ = 0 ������) – 0,5 ������2 + 5������ + 1 = 0 ������) ������2 + 4������������– 21������2 = 0 ������) 4������2– 4������������– 35������2 = 0������������) 8������2 = 10������������ + 3������27. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) 200������2 = 2000������ 2) 3������2 = 75 3) ������(������2 – 4) = 0 4) 4������(������2 + 6) = 0 5) (������ – 5)(3������2 – 147) = 0 6) (2������ + 1)(8 – ������2) = 0 7) ������2 – 9������ + 14 = 0 8) ������2 – 12������ + 20 = 0 9) 12������2 – ������ – 6 = 0 10) 3������2 – 5������ – 2 = 0 11) (������ + 1) ������2 + 2������ – 8 = 0 12) 2������ – 1 (������2 + 3) ������2 + ������ – 2 = 0 13) ������3 – 2������2 – 9������ + 18 = 0 14) 2������3 + ������2 – 3������ = 0 15) ������3 + ������2 = 5������ + 58. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) (������ + 3)2 = 1 2) (������ + 1)2 = 2 3) 4(������ − 1)2 = 9 80 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ 4) (2������ − 3)2 = 16 5) 5������2 + 10������ = 0 6) (������ + 2)2 = ������ + 2 7) (������ + 2)2 + ������2 – 4 = 0 8) (������ – 1)2 + (������ + 2)2 = 29 9) ������2 + (������ + 1)2 = (������ + 2)2 10) (2������ + 1)2 + (3������ + 1)2 = (5������ + 2)2 11) 6������2 − 3������ (������ − 1) = ( ������ + 3)2 – 4 12) 25(������ + 2)2 – 9(������ – 2)2 = 0 13) (������ – ������)2 + (������ + ������)2 = (������ – ������)(������ + ������) + 4������������ 14) (������2 – 4)(������ – 1) = (������2 – 1)(������ – 2) 15) 5(������ − 5) + (������ + 5)2 = 5(������ − 5) 16) (������ + 1)3– 3(������ – 1)2 – 2(������ – 1)(������ + 1) = (������ – 1)3 + 89. 1) Να απλοποιόςετε την παρακϊτω παρϊςταςη: Α = (2������ – 3)2 – 8������2 – 7(1 – ������ – ������2) 2) Να λύςετε την εξύςωςη Α = 0.10. Δύνεται η εξύςωςη : (������2– 3������ + 2) ������2 + (������ – 2) ������ + 3 = 0. Να βρεθεύ ο πραγματικόσ αριθμόσ λ ώςτε η παραπϊνω εξύςωςη: 1) να ϋχει μύα μόνο ρύζα 2) να ϋχει διπλό ρύζα11. Θεωρούμε την εξύςωςη : ������������2 + 3������ + 1 = 0 . 1) Πότε η εξύςωςη αυτό εύναι δευτϋρου βαθμού; 2) Για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει λύςη; 81 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ12. Να βρεθούν δύο διαδοχικού φυςικού αριθμού που τα τετρϊγωνϊ τουσ να διαφϋρουν κατϊ 15.13. Δύνονται οι παραςτϊςεισ: Α = ������3 – ������2 – 4������ + 4 και Β = (������– 3)2 – 4. 1) Να απλοποιόςετε το κλϊςμα Α/Β και να βρεύτε τισ τιμϋσ που μπορεύ να παύρνει το ������ ώςτε αυτό ορύζεται. 2) Να λύςετε την εξύςωςη Α/Β= –12. 14. Θεωρούμε την εξύςωςη : ������������2+3������ + 1 = 0 . 1) Πότε η εξύςωςη αυτό εύναι δευτϋρου βαθμού; 2) Για ποιεσ τιμϋσ του λ η εξύςωςη ϋχει λύςη; 15. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = (2������ + 1)2 − 3������(������ + 1) − 7 1) Να αποδεύξετε ότι ∶ ������(������) = ������2 + ������ − 6 2) Να λύςετε την εξύςωςη : ������(������) = 0 3) Να παραγοντοποιόςετε το πολυώνυμο ∶ ������(������) = ������2 + ������ − 6. 16. Δύνεται το πολυώνυμο : ������(������) = (������ + 1)2 + (������ − 1)3 – ������3 + 7 1) Να αποδεύξετε ότι: ������(������) = − 2������2 + 5������ + 7 2) Να παραγοντοποιόςετε το ������(������) 3) Να λύςετε την εξύςωςη : ������(������) = 0 .17. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) (������2– 5������ + 4)2 + (2������2– 6������ + 4)2 = 0. 2) (2������2 − 18)2 + (������ − 3)2 = 0 3) 5 + (������ − 3)2 = 0 4) 5(������2 − 5������ + 6)2 = 0 5) (2������2 − 18)2,016 + (������ − 3)2 = 0 6) (������ − 3)2 + (������ + 3)2 = 0 82 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ18. A. Να γύνουν οι πρϊξεισ ςτισ παραςτϊςεισ : ������ = (2������ + 1)2 − 4������ · (������ + 2) + 5������ ������ = (3������ + 2)(3������ − 2) − (6������2 − 4) ������ = ������(������ + 5) B. Να λύςετε την εξύςωςη : ������ + ������ = ������ + 119. Δύνεται το πολυώνυμο ������(������) = (−������ − 1)2 + (������ − 1)3 – ������3 + 7 1) Να αποδεύξετε ότι ������(������) = − 2������2 + 5������ + 7 2) Να παραγοντοποιόςετε το ������(������) 3) Να λύςετε την εξύςωςη ������(������) = 0.20. Για ποιεσ τιμϋσ του πραγματικού αριθμού λ η εξύςωςη : ������2−4������ + ������ + 1 = 0 , ϋχει δύο ρύζεσ ύςεσ;21. Αν ������ = (������ − 3)2 − (������ + 3)2 και ������ = 3������2 − ������ και ιςχύει ότι ������ = 1 , ������ να βρεύτε τη τιμό του ������ με ������ > 0.22. Αν η εξύςωςη (������ − ������)2 + (������ − ������) + 6 = 0 ϋχει ρύζα τον αριθμό 5, να βρεθεύ η τιμό του πραγματικού αριθμού μ αν το μ εύναι ϊρτιοσ αριθμόσ.23. Να λυθούν οι διτετρϊγωνεσ εξιςώςεισ: 1) ������4– 6������2 + 8 = 0 2) ������4– 3������2– 4 = 0 3) ������4– 2������2– 15 = 024. Να λυθούν οι εξιςώςεισ: 1) ������ 2 + 2 ������ + 1 = 0 2) ������ − 1 2 − 4 = 3 ������ − 1 83 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2.3. Προβλόματα εξιςώςεων δευτϋρου βαθμούΜε την βοόθεια των εξιςώςεων 2ου βαθμού μπορούμε να λύςουμε πολλϊ προβλόματα τησκαθημερινόσ μασ ζωόσ , τησ Οικονομύασ , τησ Υυςικόσ κ.λ.π.Επύλυςη προβλόματοσΓια να λύςουμε ϋνα πρόβλημα με τη βοόθεια εξιςώςεων , εργαζόμαςτε ωσ εξόσ : 1. Επιλϋγουμε ποιο από τα ζητούμενα θα ςυμβολύςουμε με τον ϊγνωςτο ������. 2. Εκφρϊζουμε τα ϊλλα ζητούμενα (αν υπϊρχουν) με την βοόθεια του ������ . 3. Μετατρϋπουμε τισ εκφρϊςεισ του προβλόματοσ ςε μαθηματικϋσ ςχϋςεισ και ςχηματύζουμε μια εξύςωςη με ϊγνωςτο τον ������ . 4. Λύνουμε την εξύςωςη αυτό. 5. Εξετϊζουμε αν οι λύςεισ που βρόκαμε ικανοποιούν το πρόβλημα . Αν κϊποια λύςη δεν το ικανοποιεύ τότε την απορρύπτουμε. Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.3.1. Η πλευρϊ ενόσ τετραγώνου εύναι 4 cm μεγαλύτερη από την πλευρϊ ενόσ ϊλλου τετραγώνου. Βρεύτε τισ πλευρϋσ τουσ αν γνωρύζουμε ότι η διαφορϊ των εμβαδών τουσ εύναι 88 cm2.2. Δύνεται ϋνα ορθογώνιο ΑΒΓΔ με διαςτϊςεισ : ������ + 3 και ������ – 3. Σο εμβαδόν του εύναι 40 cm2. 1) Να δεύξετε ότι η αλγεβρικό παρϊςταςη που εκφρϊζει την περύμετρο του ορθογώνιου εύναι μονώνυμο και να βρεύτε το ςυντελεςτό και το κύριο μϋροσ του. 2) Να βρεύτε το ������. 3) Να υπολογύςετε την περύμετρό του. 84 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Σο εμβαδόν μιασ ςελύδασ ενόσ βιβλύου εύναι 300 cm2.Αν το μόκοσ τησ εύναι 5 cm μεγαλύτερο από το πλϊτοσ τησ, βρεύτε τισ διαςτϊςεισ τησςελύδασ.4. ΢ε ϋνα ορθογώνιο ������������������������ δύνονται ������������ = 2������– 7 ������������ , ������������ = ������– 5 ������������ και το εμβαδόν του ιςούται με 27 cm2. Να υπολογύςετε τισ διαςτϊςεισ του.5. ΢ε ορθογώνιο τρύγωνο ΑΒΓ με μόκη κϊθετων πλευρών 3������ + 2, 4������ − 3 και υποτεύνουςα 5������ − 1 να βρεθεύ το ������ και μετϊ τα μόκη των πλευρών του. Όμοια για κϊθετεσ πλευρϋσ ������ + 4, 2������ − 2 και υποτεύνουςα 3������ − 2.6. Σο μόκοσ τησ υποτεύνουςασ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου εύναι 5cm και η περύμετρόσ του ιςούται με 12cm. Να υπολογύςετε τα μόκη των κϊθετων πλευρών του.7. Να βρεθούν οι κϊθετεσ πλευρϋσ ενόσ ορθογωνύου τριγώνου, αν διαφϋρουν κατϊ 2cm και η υποτεύνουςα του εύναι 10cm.8. ΢ε ϋνα ορθογώνιο τρύγωνο η μια κϊθετη πλευρϊ εύναι κατϊ 1cm μεγαλύτερη από την ϊλλη, ενώ η υποτεύνουςα εύναι κατϊ 2cm μεγαλύτερη από τη μικρότερη κϊθετη πλευρϊ. Να βρεθούν οι πλευρϋσ του τριγώνου, η περύμετροσ του και το εμβαδόν του.9. Να υπολογύςετε τισ κϊθετεσ πλευρϋσ ενόσ ορθογώνιου τριγώνου με υποτεύνουςα 10m , αν η μια κϊθετη πλευρϊ εύναι ύςη με το ημιϊθροιςμα τησ υποτεύνουςασ και τησ ϊλλησ κϊθετησ πλευρϊσ.10. ΢ε ϋνα ορθογώνιο η μια πλευρϊ του εύναι κατϊ 2cm πιο μεγϊλη απ’ το διπλϊςιο τησ ϊλλησ. Αν το εμβαδόν του ορθογωνύου εύναι 60cm2, να βρεθεύ η περύμετροσ του και η διαγώνιοσ του.11. Σο ϊθροιςμα των τετραγώνων δύο διαδοχικών ϊρτιων φυςικών αριθμών εύναι ύςο με 100. Να βρεύτε τουσ αριθμούσ αυτούσ.12. Ένα τραπϋζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ//ΓΔ ϋχει τισ γωνύεσ Α = Δ = 900. Αν ������������ = ������������ = ������– 2 ������������ , ������������ = ������ + 10 ������������ και εμβαδόν 112 cm2 , να υπολογύςετε τισ βϊςεισ του και το ύψοσ του.13. ΢ε τετρϊγωνο αν οι πλευρϋσ αυξηθούν κατϊ 2 μονϊδεσ το εμβαδό του γύνει 49 τετραγωνικϋσ μονϊδεσ να βρεύτε την πλευρϊ και το εμβαδό του αρχικού τετραγώνου. 85 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2.4. ΚΛΑ΢ΜΑΣΙΚΕ΢ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΙ΢ Κλαςματικό εξύςωςη λϋγεται κϊθε εξύςωςη που περιϋχει ϊγνωςτο ςτον παρονομαςτό. Για να ορύζεται μύα κλαςματικό εξύςωςη ,θα πρϋπει οι παρονομαςτϋσ όλων των κλαςμϊτων τησ να εύναι διϊφοροι του μηδενόσ.Επύλυςη κλαςματικόσ εξύςωςησ 1. Παραγοντοποιούμε τουσ παρανομαςτϋσ τησ εξύςωςησ. 2. Βρύςκουμε τουσ περιοριςμούσ του x, δηλαδό για ποιϋσ τιμϋσ του x ορύζεται η εξύςωςη. 3. Απαλεύφουμε τουσ παρονομαςτϋσ με το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών, πολλαπλαςιϊζοντασ κϊθε όρο τησ εξύςωςησ με αυτό. 4. Λύνουμε την εξύςωςη που προκύπτει. 5. Δεχόμαςτε όςεσ λύςεισ ικανοποιούν τουσ περιοριςμούσ και τισ ϊλλεσ τισ απορρύπτουμεEF0π-ΕΥΑΡΜΟΓΗΝα λυθεύ η εξύςωςη. ������ + ������ ������������ − ������ ������ ������������ − ������������ − ������ − ������������ = ������ + ������Λύςη  Παραγοντοποιούμε τουσ παρονομαςτϋσ. Εύναι : ������������ − ������������ = ������(������ − ������) , ������ − ������������ = ������(������ − ������) , ������ + ������  Βρύςκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαςτών , το οπούο πρϋπει να εύναι διϊφορο του 0.  Ε.Κ.Π. (παρονομαςτών)= ������(������ − 2)(������ + 2)(1 − ������) ≠ 0 Πρϋπει : ������(������ − 2)(������ + 2)(1 − ������) ≠ 0 ⟺ ������ ≠ 0 ������������������ ������ ≠ 2 ������������������ ������ ≠ −2 ������������������ ������ ≠ 1 86 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Η εξύςωςη γρϊφεται : ������ + ������ ������������ − ������ ������ ������(������ − ������) − ������(������ − ������) = ������ + ������ x + 1 3(x − 1) 3 x(x − 2) − x(1 − x) = x + 2 x +1 + 3(x −1) = 3 x (x −2) x (x −1) x +2 x+1 3 3 x(x − 2) + x = x + 2 Ε.Κ.Π. (παρονομαςτών)= ������(������ − 2)(������ + 2)������(������ − 2)(������ + 2) ������ +1 + ������(������ − 2)(������ + 2) 3 = ������(������ − 2)(������ + 2) 3 ό ������ (������ −2) ������ ������ +2(������ + 2)(������ + 1) + 3(������ − 2)(������ + 2) = 3������(������ − 2) ό������2 + 2������ + ������ + 2 + 3(������2 − 4) = 3������2 − 6 ό������2 + 2������ + ������ + 2 + 3������2 − 12 = 3������2 − 6 ό ������2 + 9������ − 10 = 0Η εξύςωςη αυτό εύναι δευτϋρου βαθμού με ������ = 1 , ������ = 9 , ������ = −10 ������ = ������2 − 4������������ = 92 − 4 · 1 · (−10) = 81 + 40=121 ������1,2 = −������ ± ������ = −9± 121 = −9±11 = ������1 = −9+11 = 1 , απορρύπτεται 2·������ 2·1 2 2 λόγω των περιοριςμών. ������2 = −9−11 = −10 2 Άρα η λύςη εύναι : ������2 = −10 87 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.4.1. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :  13) x 1  x 1  2 x2  2 1) x  x  2 x  2 2  x x2  4 x 1 3x 14) 2x  3  4  6 2) 2 y  3  2 y2  0 x 2x  2x2  y y2  y3) x  2  x 1  5 3 3x x x 1  15) x 1  x 1  2 x2  3 x3 3 x x2 94) x  x 1  25 x 1 x 12 16) 3  1  1 2x2  2 8 4x  45) x  3x 1  4x2 1 x 1 x 1 x2 1 2x x 1 3 17) x 1  2x   3x  4 x2  26) 1  1 2 x 1 x4 1 2 x  x 1 18) x2  2x   2x  4  x2 0 x27) 1 1 x 1 x  x2  9 19)1  2x  1  1 x2   2 5 4y 1 3y  2 4 x 2 x y28)   y  22   y  23  0 20) 2x 1  1 1 7x  7 x3 x 1 x2  4x  39) 1  1  2x 21) 3  2   7  x2 x3 1 1 x2 1  x  32  x  32 x x10) y 3y  2  y 1 1 22) 2x  3  2  2x2 x  6  5x  3 y 1 x x3 x2  y 12  y 1311) 3 1  1 23) x2 3  4  x3 2x 5 x  x2 4 x2 x  3x  2x2   4x12) 7  2 y 1  y  3 24) x 1  2  0 3y 3y 1 x2 x2  2x 1 88 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ :1) 2x  27  6 1 15) x2  3x 2  x x  4 2x2  7x  4 2x 1 2x2  3x 22) x 1  x x 4  2x2 4  4 16) x 2 3   x  2x  3  3  x 1 3 2x 1   7x  8  3  x3) x3  10  x  x4 17) x  1  x 1 x2  2x 4  x2 x  2 x2  2x x xx  24) x2  2x 1  x2  3 3 18) 2x 1  x 1  4  0 x2 1 x2  2x 3 4x x  2 x  2 x2  45) 1  x 1  1 x  x2  4x  7 19) 2  1  6x 1 x 1 x2  5x 15 x  2 x2  x  6 xx  3 x  x 1 x  3 20) 10  2  x  06) x 1  2x  x 2 x2 1 x 1 x 1 3 x2 9 3 3 2 17) 5x  2  3 21) x 3  x2  2x 3  x 1 x2 16  x3 x 4 1 2 4x 8) 1  2x 1 1 22) x2   4  x 2  0  x2   x 2 4 x 2 23) 5  1  3 x 2x  3 3x  2x9) 2x  1  1 1 x2  4 x  2 x  2 3x  2 1 6 2x  3x10) 3  9  x  x2 24) x  x 1   x2  2 x3 x2 9 x3 9  x2 3x3  5x2  2x 111) x  5  x  5  10 25) x2  2x  3x 1 x5 x5 3 2 5x  212) x4  3  2 26) x 1  x2  x x2  2x  x x 2 2 13) 3x  2  3  4 27)  x 1  5  x 1  6 x2 5x   3  x x 6 x 2 x14) 2  4  2 28) 2  x2  x  x  1 x2  3x  2 2x2 8 x  2 x x 1 x 1 89 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3. Να λυθούν οι παρακϊτω εξιςώςεισ.1. (4������ − 1)(4������2 − 25) = 0 13. ������ −2 + 4 = 8 ������ ������ −2 ������ 2−2������2. 4 ������2 − 3 = 0 14. 3 − ������ = ������ 2+25 ������ +5 ������ −5 25−������ 2 33. ������2 + 3 = 04. ������3 + 2������2 + 6 + 3������ = 0 15. ������ + 6 = 4 ������ −1 ������ 2−15. 2(������2 − 1) + 3(������ + 2) − 16 = 06. 25������2 − 20������ + 4 = 0 16. .������+1/2 − 4 ������+1 + 3 = 07. ������2 − 2������ = 15 ������−1 ������−18. 3������2 + 4������ − 7 = 0 17. ������ +2 = ������ +3 − 4 ������ ������ +4 ������ 2+4������9. (������ + 5) (������2 − 2������ − 3)(2������ − 5) = 0 18. 2������ = 1 − 2 ������ 2+������ ������ +110. ������ −1 + ������ +1 = ������ ������ +2 ������ 2−������−2 1+������ 1 1 4 19. x 2 −3x +2 = x+2 − 4−x2 ������ 2+2511. 3 − ������ = 25−������ 2 20. 3 = 2ω +5 + 4 ������ +5 ������ −5 ω 2 −3ω −4 ω 3 +2ω 2 +ω ω 2 −4ω12. 2x = 1 − 2 y 2 +y y +1 3 2 ������ −4 21. κ +2 = ������ + ������ 2 +2������4. Δίνονται οι παραςτάςεισ : ������ = 2������3 + 10������2 + 12������ και ������ = ������2 + 6������ + 9 1) Να παραγοντοποιήςετε τισ παραςτάςεισ Α και Β. 2) Να βρείτε για ποιεσ τιμέσ του ������ ορίζεται η παράςταςη ������ και ςτην ςυνέχεια να την ������ απλοποιήςετε .5. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = 4������ − 8 , ������ = ������2 − 4 , ������ = 3������2 − 3 , ������ = 3������2 − 6������ + 31) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραπϊνω παραςτϊςεισ.2) Να απλοποιόςετε τα κλϊςματα : ������ , ������ . ������ ������3) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ = ������.6. Δύνονται οι παραςτϊςεισ : ������ = (2������ − 1)2 − 12 , ������ = 4������2 − 4 , ������ = ������2 − 9 , ������ = ������2 − 5������ + 61) Nα παραγοντοποιόςετε τισ παραπϊνω παραςτϊςεισ.2) Να απλοποιόςετε τα κλϊςματα : ������ , ������ . ������ ������3) Να λύςετε την εξύςωςη : ������ − ������ = 0. 90 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΡΙΣΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗ΢Η΢ 51. Α. Για την εξύςωςη ������������2 + ������������ + ������ = 0 , ������ ≠ 0 . Η διακρύνουςα δύνεται από τον τύπο : ������ = ……………Β. Να ςυμπληρωθεύ ο παρακϊτω πύνακασ. ΣΤΠΟ΢ ΕΤΡΕ΢Η΢ ΛΤ΢Η΢ ΠΛΗΘΟ΢ ΛΤ΢ΕΩΝ������ > 0������ = ������������ < 02. Να χαρακτηρύςετε τισ παρακϊτω προτϊςεισ με ΢ωςτό (΢) ό Λϊθοσ (Λ). 1) Ο αριθμόσ −2 εύναι λύςη τησ εξύςωςησ −3������2 − 5������ + 2 = 0. 2) Η εξύςωςη ������������2 + ������������ + ������ = 0 εύναι πϊντα δευτϋρου βαθμού. 3) Η εξύςωςη 9������(������ + 2) = (1 − 3������)2 εύναι 2ου βαθμού. 4) Οι όροι τησ εξύςωςησ 6 + 3 = 20 ϋχουν νόημα όταν ������ ≠ 3 και ������ ≠ 5. ������−5 3−������ ������ 5) Ο αριθμόσ 2 μπορεύ να εύναι λύςη τησ εξύςωςησ 6 + 3 = 20 . ������−1 ������−2 ������+3 6) Η εξύςωςη (������ − 4)������2 + ������������ + ������ = 0 εύναι πϊντα δευτϋρου βαθμού.3. Α. Πόςεσ λύςεισ ϋχουν οι παρακϊτω εξιςώςεισ ;1) ������2 − 5������ + 6 = 0 2) – ������2 − 4������ − 4 = 03) 2(������ + 2) + ������ = 3������ + 4 4) 3������2 − 5������ + 4 = 04) Να λύςετε τισ παρακϊτω εξιςώςεισ .1) 2(������ − 3) − 5 = 3(1 − ������) + 6 4) ������2 + 4������ + 2 = 2(������ + 1) 5) (������2 + 4)(������2 − 64) = 02) 2������(������ − 1) = 1 − ������3) ������+4 − ������−4 = 1−3������ − 253 155) Α. Να παραγοντοποιηθούν τα παρακϊτω τριώνυμα .1) − 2������2 + 5������ − 3 2) 9������2 + 12������ + 4B. Να λυθεύ η κλαςματικό εξύςωςη : 2 − 1 = ������ −1 91 ������ 2−1 ������−������ 2 ������ 2+������ Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ2.3. ΑΝΙ΢Ω΢ΕΙ΢ 1ου ΒΑΘΜΟΤ x 0 ό x 0Όταν πολλαπλαςιϊζουμε ό διαιρούμε τα μϋλη μιασ ανύςωςησ με αρνητικό αριθμό, τότεαλλϊζει η φορϊ τησ ανύςωςησ.Ανιςώςεισ που ϋχουν την παρακϊτω μορφό : Εύναι αδύνατεσ ������������ < ������ ό������������������ ������ < ������ Ιςχύουν για κϊθε πραγματικό ������������ ≤ ������ ό������������������ ������ < ������ αριθμό ������ (ταυτότητα) ������������ > ������ ό������������������ ������ > ������ 0������ < ������ ό������������������ ������ > 0 ������������ ≥ ������ ό������������������ ������ > ������ 0������ ≤ ������ ό������������������ ������ > 0 ������������ < 0 ������������ > 0 0������ > ������ ό������������������ ������ < 0 0������ ≥ ������ ό������������������ ������ < 0 0������ ≤ 0 0������ ≥ 0΢ΤΓΚΡΙ΢Η ΔΤΟ ΑΡΙΘΜΩΝα’ τρόποσΈνασ αριθμόσ  λϋμε ότι εύναι μεγαλύτεροσ από ϋναν αριθμό  , και γρϊφουμε    ,όταν η διαφορϊ    εύναι θετικόσ αριθμόσ. Ιςχύει :         0 ό ανϊλογα         0 .β’ τρόποσΑν τα  και  , εύναι ομόςημα μπορεύ να γύνει και ςύγκριςη του πηλύκου τουσ με τη μονϊδα.Δηλαδό , 1     ό  <1     ό  =1   .   92 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

Ιδιότητεσ διϊταξησ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ 1. Μπνξνύκε λα πξνζζέζνπκε ή λα Αν            αθαηξέζνπκε ζηα δύν κέιε κηαο αλίζωζεο ηνλ ίδην αξηζκό. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα αποδεύξουμε ότι αν ������ > ������ τότε ������ + ������ > ������ + ������ . (������ + ������) − (������ + ������) = ������ + ������ − ������ − ������ = ������ − ������ > 0 , ������������������ύ ������ > ������ Ά������������ , ������ + ������ > ������ + ������.2. Μπορούμε να πολλαπλαςιϊςουμε ό να διαιρϋςουμε τα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ      με τον ύδιο θετικό αριθμό.  Αν    και   0       ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα αποδεύξουμε ότι αν ������ > ������ ������������������ ������ > 0 ������ό������������ ������ · ������ > ������ · ������ ������ · ������ − ������ · ������ = ������ · (������ − ������) > 0 , ������������������ύ ������ > 0 ������������������ ������ > ������ Ά������������ , ������ · ������ > ������ · ������.3.      Μπορούμε να πολλαπλαςιϊςουμε ό να  Αν    και   0      διαιρϋςουμε τα δύο μϋλη μιασ ανύςωςησ  με τον ύδιο αρνητικό αριθμό , αλλϊζοντασ όμωσ την φορϊ τησ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θα αποδεύξουμε ότι αν ������ > ������ ������������������ ������ < 0 ������ό������������ ������ · ������ < ������ · ������ ������ · ������ − ������ · ������ = ������ · (������ − ������) < 0 , ������������������ύ ������ < 0 ������������������ ������ > ������ Ά������������ , ������ · ������ < ������ · ������. 93 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

4.   ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ   Μπνξνύκε λα πνιιαπιαζηάζνπκε ή λα    και     δηαηξέζνπκε δπν αληζώζεηο θαηά κέιε ,          αρκεί όλα τα μέλη να είναι θετικοί αριθμοί.μόνο για ,  , , θετικούσ αριθμούσ.ΑΠΟΔΕΙΞΗΘα αποδεύξουμε ότι αν ������ > ������ ������������������ ������ > ������ ������ό������������ ������ + ������ > ������ + ������ (������ + ������) − (������ + ������) = ������ + ������ − ������ − ������ = (������ − ������) + (������ − ������) > 0 , ������������������ύ ������ − ������ > 0 ������������������ ������ − ������ > 0 Ά������������ , ������ + ������ < ������ + ������.Δεν επιτρϋπεται να αφαιρούμε και να διαιρούμε ανιςότητεσ κατϊ μϋλη.5. Αν    και        (μεταβατικό ιδιότητα) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδό ������ > ������ τότε ������ − ������ > 0 (1) , όμοια επειδό ������ > ������ τότε ������ − ������ > 0 (2) . Προςθϋτουμε τισ (1) και(2) κατϊ μϋλη και ϋχουμε : ������ − ������ + ������ − ������ > 0 ������ − ������ > 0 ������ > ������.6. Για κϊθε πραγματικό αριθμό ������ ιςχύει : ������2 ≥ 0. Η ιςότητα ιςχύει όταν α=0.7. Για τουσ πραγματικούσ αριθμούσ ������ , ������ ιςχύει : ������2 + ������2 ≥ 0. Η ιςότητα ιςχύει όταν α=0 και β=0. 94 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ Α΢ΚΗ΢ΕΙ΢ 2.5.1. α) Να τοποθετόςετε το κατϊλληλο ςύμβολο (>, <, =) :1) Αν α ϋνασ θετικόσ αριθμόσ τότε α … 02) Αν α ϋνασ αρνητικόσ αριθμόσ τότε α … 03) Αν ������ > ������ τότε α – β …04) Αν ������ – ������ < 0 τότε α … β5) Αν ������ – ������ > 0 τότε α …. β6) Αν ������ < ������ τότε ������ – ������ … 0β) Να τοποθετόςετε το κατϊλληλο ςύμβολο, (>, <, =) :1) Σο τετρϊγωνο ενόσ μη μηδενικού αριθμού εύναι αριθμόσ …. 02) Ο κύβοσ ενόσ αρνητικού αριθμού εύναι αριθμόσ ….. 03) Ο κύβοσ ενόσ θετικού αριθμού εύναι αριθμόσ ….. 04) Δύο ομόςημοι αριθμού ϋχουν πϊντα γινόμενο αριθμό …. 05) Δύο ετερόςημοι αριθμού ϋχουν πϊντα γινόμενο αριθμό … 06) Η ϊρτια δύναμη ενόσ μη μηδενικού αριθμού εύναι πϊντα αριθμόσ …. 07) Η περιττό δύναμη ενόσ αρνητικού αριθμού εύναι πϊντα αριθμόσ …. 08) Η περιττό δύναμη ενόσ θετικού αριθμού εύναι πϊντα αριθμόσ …. 09) Σο πηλύκο δύο ετερόςημων αριθμών εύναι αριθμόσ …. 010) Σο πηλύκο δύο ομόςημων αριθμών εύναι αριθμόσ …. 011) Σο ϊθροιςμα δύο θετικών αριθμών εύναι αριθμόσ … 012) Σο ϊθροιςμα δύο αρνητικών αριθμών εύναι αριθμόσ …. 02. α) Έςτω α, β δύο θετικού πραγματικού αριθμού με α > ������.Να τοποθετόςετε το κατϊλληλο ςύμβολο (>, <, =) ∶1) ������ + ������ … 0 6) – ������ – ������ … 0 7) ������(– ������) … 02) ������ – ������ … 0 8) ������ – (������ – 2) … 03) ������������ … 0 9) ������ + 2 – ������ … 04)  … 0 ������ …5) ������ – 0 95 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤβ) Έςτω α, β δύο αρνητικού πραγματικού αριθμού με α > ������. Να τοποθετόςετε το κατϊλληλο ςύμβολο (>, <, =) ∶1) ������ + ������ … 0 6) – ������ – ������ … 0 7) ������(– ������) … 02) ������ – ������ … 0 8) ������ – (������ – 2) … 03) ������������ … 0 9) ������ + 2 – ������ … 04)  … 0 ������ …5) ������ – 03. ΢ωςτό ό Λϊθοσ:1) Μπορούμε να γρϊφουμε 0 < ������ <– 1 .2) Η ανύςωςη 0������ > 1 αληθεύει για όλουσ τουσ πραγματικούσ αριθμούσ .3) Η ανύςωςη 0������ – 1 αληθεύει για όλουσ τουσ πραγματικούσ αριθμούσ.4) Η ανύςωςη 0������ < 1 εύναι αδύνατη .5) Η ανύςωςη 0������ > 0 εύναι αδύνατη .6) Η ανύςωςη 0������ 1 αληθεύει για όλουσ τουσ πραγματικούσ αριθμούσ.7) Για κϊθε πραγματικό αριθμό x ιςχύει: (������ – 2)2>0 .8) Αν 0 < ������ < 4 τότε ������ = 1 ό ������ = 2 ό ������ = 3.9) Η ανύςωςη 3������ 0 αληθεύει για όλουσ τουσ μη αρνητικούσ αριθμούσ .10) Η ανύςωςη 1  0 αληθεύει μόνο για τουσ αριθμούσ ������ με ������ > 1 . x4. α) Αν a  0 ,   0 τότε, επιλϋξτε την ςωςτό απϊντηςη.  Α. β < 0 , Β. β = 0 , Γ. β > 0 , Δ. δεν μπορούμε να γνωρύζουμε αν ο β εύναι θετικόσ ό αρνητικόσ.β) Να λυθεύ η ανύςωςη 2 0  2x  6 96 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ5. Έςτω α, β δύο ομόςημοι αριθμού με ������ < ������. α) Διαιρϋςτε και τα δύο μϋλη τησ ανιςότητασ α < β με το γινόμενο αβ. Η ανιςότητα που προκύπτει ϋχει την ύδια φορϊ, γιατύ; 1 , 1 . β) ΢υγκρύνετε τουσ αριθμούσ ������ ������6. Έςτω α , β δύο αριθμού με ������ < ������. α) Να εξετϊςετε αν η διαφορϊ (2α – 3β) – (α – 2β) εύναι αριθμόσ θετικόσ ό αρνητικόσ; β) Να ςυγκρύνετε τουσ αριθμούσ 2α – 3β και α – 2β.7. Αν −1 < ������ < 1 και 2 < ������ < 5 τότε να βρεύτε μεταξύ ποιών τιμών περιϋχονται οι τιμϋσ των παραςτϊςεων : 1) ������ + ������ 2) ������ − ������ 3) ������ · ������ 4) ������ − 3������ 5) ������: 2 6) 2������ + 3������ 7) 2������ + 3������ − 18. Αν2.5 < ������ < 4 και0 < ������ < 1.5 τότε να βρεύτε μεταξύ ποιών τιμών περιϋχονται οι τιμϋσ των παραςτϊςεων: α) ������ + ������ β) ������ – ������ γ) 2������ – 3������ + 4 1 δ) ������9. Να δεύξετε ότι για κϊθε ������ ≠ 0 ιςχύει ������2 + 1 ≥ 2 . ������ 210. 1.Αν ������, ������ > 0 .Να αποδεύξετε ότι : ������ + ������ ≥ 2. Πότε ιςχύει η ιςότητα ; ������ ������ 2.Να αποδεύξετε ότι : ������2 + ������2 + 5 ≥ 2������ + 4������, για κϊθε α , β. Πότε ιςχύει η ιςότητα ;11. Να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων. 1. Να βρεύτε τισ κοινϋσ λύςεισ των ανιςώςεων: 1) 5 + 2(������ − 1) − 10������+2 > 3−������ και 2������ − 1 ≥ 3 − 6������ 42 3 9 2) 1 − 3������+2 ≤ ������−4 και 7������−4 − 1−������ < 5������−9 28 4 15 3 10 3) 3(������ − 2) + ������ ≥ 3 + 2������ και 4������ − ������−1 ≥ 4 5 10 6 33 97 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 ΢Τ΢ΣΗΜΑΣΑΕ 98 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤ3.1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΣΗ΢ ΓΡΑΜΜΙΚΗ΢ ΕΞΙ΢Ω΢Η΢  Γραμμικό εξύςωςη με δύο αγνώςτουσ λϋγεται κϊθε εξύςωςη τησ μορφόσ ������x + βy = γ με x, y ∈ ℝ και α, β ≠ 0.  Σα x, y εύναι ϊγνωςτοι, τα α, β οι ςυντελεςτϋσ και το y ο ςταθερόσ όροσ.  Κϊθε διατεταγμϋνο ζεύγοσ αριθμών ( x, y ) που επαληθεύει μια γραμμικό εξύςωςη ������x + βy = γ ονομϊζεται λύςη τησ εξύςωςησ .  Κϊθε γραμμικό εξύςωςη παριςτϊνει ευθεύα όταν τουλϊχιςτον ϋνασ από τουσ ςυντελεςτϋσ εύναι διϊφοροσ του μηδενόσ.Αν ϋνα ςημεύο ανόκει ςε μια ευθεύα, τότε οι ςυντεταγμϋνεσ τουεπαληθεύουν την εξύςωςη τησ ευθεύασ και αντύςτροφααν οι ςυντεταγμϋνεσ ενόσ ςημεύου επαληθεύουν την εξύςωςη μιασευθεύασ, τότε το ςημεύο ανόκει ςτην ευθεύα αυτό.Για καλύτερη κατανόηςη θα δοθεύ ϋνα παρϊδειγμα,Ελϋγξτε αν η ευθεύα ( ε2 ): y = −1x + 3 διϋρχεται από το ςημεύο Α(3,0) .Θα πρϋπει το ςημεύο αυτό να επαληθεύει την εξύςωςη τησ ευθεύασ. ϋχουμε : 0 = −1 · 3 + 3 0 = −3 + 3 0 = 0 , ιςχύει .Άρα το ςημεύο Α διϋρχεται από την ευθεύα ε2 . 99 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ’ ΓΤΜΝΑ΢ΙΟΤΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΓια να βρούμε τα ςημεύα τομόσ εξύςωςη τησ ������x + βy = γ με x, y ∈ ℝ και α, β ≠ 0 μετουσ ϊξονεσ: Για τον ϊξονα ������’������, βϊζουμε όπου y = 0 και λύνουμε την εξύςωςη ωσ προσ το ������ . Σο ςημεύο τομόσ με τον ������’������ εύναι τησ μορφόσ (������, 0) Για τον ϊξονα ������’������, βϊζουμε όπου ������ = 0 και λύνουμε την εξύςωςη ωσ προσ το y . Σο ςημεύο τομόσ με τον ������’������ εύναι τησ μορφόσ (0, ������)Για καλύτερη κατανόηςη θα δοθεύ ϋνα παρϊδειγμα,Δύνεται η ευθεύα ( ������1 ): 3������ − 4������ = 12 . Να βρεύτε τα ςημεύα τομόσ τησ ευθεύασ ε με τουσ ϊξονεσ.  ΢ημεύο τομόσ τησ ευθεύασ ������������ με τον ϊξονα ������′������ : Θϋτουμε ������ = 0 ςτην εξύςωςη τησ και ϋχουμε : 3 · 0 − 4������ = 12 ό − 4������ = 12 ό ������ = −3 Άρα , η ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα ������′������ ςτο ςημεύο ������(0, −3)  ΢ημεύο τομόσ τησ ευθεύασ ������������ με τον ϊξονα ������′������ : Θϋτουμε ������ = 0 ςτην εξύςωςη τησ και ϋχουμε : 3������ − 4 · 0 = 12 ό 3������ = 12 ό ������ = 4 Άρα , η ευθεύα τϋμνει τον ϊξονα ������′������ ςτο ςημεύο ������(4 , 0)  Η ευθεύα ������ = ������ εύναι μια ευθεύα παρϊλληλη ςτον ϊξονα ������’������ και τϋμνει τον ������’������ ςτο ςημεύο (0, ������) .  Η ευθεύα ������ = 0 παριςτϊνει τον ϊξονα ������’������.  Η ευθεύα ������ = ������ εύναι μια ευθεύα παρϊλληλη ςτον ϊξονα ������’������ και τϋμνει τον ������’������ ςτο ςημεύο (������, 0) .  Η ευθεύα ������ = 0 παριςτϊνει τον ϊξονα ������’������. 100 Δπηκέιεηα : Θένπ Νάληηα


Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!
Create your own flipbook