2110-2011 คณิตศาสตร์เครื่องกล

วธิ ีท�ำ จากสมBก1า ร=ท1ี่ 22.25=ตอ้14งท4รตาาบรคาา่ งนB้วิ1 และ BB22 กอ่ น = 576 ตารางนิว้ ดังนน้ั และ = 242 V = h B1 + B2 + B1 B2 3 = 135 144 + 576 + 144(576) ดังนั้น V = 5,040 ลูกบาศกน์ ิ้ว แตร่ าคาปูนลูกบาศกน์ ้ิวละ 1.50 บาท ∴ ราคาค่าปูนเป็น 5,040 x 1.50 = 7,560 บาท ทรงกลม ทรงกลม เปน็ รปู ทรงเรขาคณติ ทเ่ี กดิ จากการเชอ่ื มตอ่ จดุ ในระนาบสามมติ ิ ซง่ึ แตล่ ะจดุ อยหู่ า่ งจาก จดุ คงทจี่ ดุ เดยี วกนั ดว้ ยระยะ r ทีเ่ ท่ากนั จดุ คงที่ดงั กลา่ วเรียกว่า จดุ ศนู ย์กลาง (Center) ของทรงกลม ปริมาตร (V) และพื้นทผ่ี ิว (S) ของทรงกลมหาได้จาก S = 4πr2 (2.8) V= 4 πr3 (2.9) 3 ตวั อยา่ งท่ี 2.7 ถงั เกบ็ นำ้� รปู ทรงกลมวางอยดู่ า้ นบนของเสาทรงกระบอก ดังรูป น้�ำส่วนใหญ่ถูกเก็บไว้ในส่วนท่ีเป็นถังทรงกลมซ่ึงมีรัศมี 30 ฟุต ถ้าไมค่ ดิ ปรมิ าตรน้ำ� ในสว่ นท่อี ยู่ในเสา ถังเกบ็ นำ�้ ดังกล่าวกกั เก็บน�้ำได้สูงสดุ เทา่ ไร วธิ ที �ำ ตอ้ งการหาปรมิ าตรของถงั ทรงกลมซง่ึ มรี ศั มี 30 ฟตุ ใชส้ มการท่ี 2.9 คำ�นวณหาปริมาตรได้ ในท่นี ้ี r = 30 ฟตุ ดังนั้น 4 4 V= 3 πr3 = 3 π(30)3 22 7 V = 36,000p ≈ 36,000 x = 113,142.85 ∴ ถงั น้ีบรรจนุ �ำ้ ไดป้ ระมาณ 113,097.34 ลกู บาศก์ฟตุ 42 บทที่ 2 รปู ทรงเรขาคณติ

การค�ำนวณน้ำ� หนักของวตั ถุ การทจี่ ะหานำ�้ หนกั (W) ของวตั ถุ จ�ำเปน็ จะตอ้ งทราบมวล (m) ของวตั ถนุ นั้ กอ่ น ซง่ึ นำ�้ หนกั ของวัตถุ เกิดจากการคูณมวลของวัตถดุ ้วยความเร่งเนอ่ื งจากแรงโน้มถ่วงของโลก (g) ดงั นนั้ จึงอาจจะสรุปได้ว่า น้�ำหนกั ของวตั ถุ คือ แรงชนิดหน่งึ นั่นเอง ดงั นัน้ W = mg (2.10) จากหัวข้อที่ผ่านมาพบว่าปริมาตรของวัตถุรูปทรงเรขาคณิตต่าง ๆ สามารถคำ�นวณได้จาก สมการทางคณติ ศาสตร์ ถ้าทราบความหนาแนน่ (r) ของวตั ถุใด ๆ กส็ ามารถทจ่ี ะค�ำ นวณหามวลของ วัตถุไดจ้ ากความสัมพนั ธ์ m r = v (2.11) ตัวอย่างท่ี 2.8 จงค�ำนวณหานำ�้ หนักของฐานคอนกรีตในตัวอยา่ งที่ 2.6 ก�ำหนดให้ความหนาแน่น ของคอนกรตี เป็น 85,000 กิโลกรัมตอ่ ลกู บาศกเ์ มตร วธิ ที ำ� จากตัวอยา่ งท่ี 2.6 ฐานคอนกรตี มีปริมาตร 5,040 ลูกบาศกน์ วิ้ แต่ความยาว 1 นิ้วเท่ากับ 25.4 มิลลเิ มตร หรือ 25.4 x 10-3 เมตร ดังนน้ั 1 ลูกบาศกน์ วิ้ จึงเท่ากบั (25.4 x 10-3) 3 = 16.387 x 10-6 ลกู บาศก์เมตร m ดังน้นั จากสมการท่ี 2.11 r = v ฐานคอนกรตี จึงมมี วล m = rV = 85,000 kg/m3 (16.387 x 10-6) m3 \\ m = 1.39 กิโลกรัม บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณติ 43

แบบทดสอบและกิจกรรมการฝึกทกั ษะ บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณิต ตอนท่ี 1 อธบิ าย (หมายถึง การให้รายละเอียดเพิ่มเติม ขยายความ ถ้ามีตัวอย่างให้ยกตัวอย่าง ประกอบ) 1. อธบิ ายและแสดงตวั อย่างนิยามของวงกลม 2. อธิบายและแสดงตัวอยา่ งเสน้ รอบวง ส่วนของเสน้ โคง้ และพื้นท่ขี องวงกลม 3. อธบิ ายและยกตวั อยา่ งเรขาคณิตทรงตัน 4. อธิบายทรงกระบอกและปริซึม 5. อธิบายและยกตัวอย่างกรวยและพรี ะมิด 6. อธิบายและยกตัวอยา่ งฟรัสตัม 7. อธบิ ายและยกตัวอยา่ งทรงกลม 8. แสดงการค�ำนวณน�ำ้ หนกั ของวตั ถุ ตอนที่ 2 อธบิ ายค�ำ ศพั ท์ (หมายถึง การแปลค�ำ ศัพท์ ขยายความ อธบิ ายเพ่ิมเติม ถา้ มีตวั อยา่ ง ให้ยกตวั อยา่ งประกอบ) 1. Circles 6. Tangent 2. Radius 7. Geometric Solid 3. Chord 8. Circular Cylinder 4. Diameter 9. Vertex 5. Secant 10. Center 44 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณติ

ตอนที่ 3 แสดงวิธที ำ� 1. จงหาพื้นทีผ่ วิ ข้าง พื้นท่ีผวิ รวม และปรมิ าตรของรปู ทรงตันต่อไปน้ี 6\" …………………………………………………………. …………………………………………………………. 18\" …………………………………………………………. …………………………………………………………. 6 cm …………………………………………………………. 8 cm …………………………………………………………. 14 cm …………………………………………………………. 17 mm 15 mm …………………………………………………………. …………………………………………………………. 8 mm 17 in 15 in …………………………………………………………. …………………………………………………………. 16 in …………………………………………………………. 16 in บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณติ 45

16 in 10 in 9 in …………………………………………………………. 21 in …………………………………………………………. …………………………………………………………. 8 cm …………………………………………………………. 10 cm …………………………………………………………. 6 cm …………………………………………………………. 16 cm 2. จงหาพ้นื ท่ผี วิ ขา้ ง พน้ื ที่ผวิ รวม และปรมิ าตรของรปู ทรงตันต่อไปน้ี …………………………………………………………. 8 cm …………………………………………………………. …………………………………………………………. 20 cm 20 cm 50 cm 45.8 3 cm …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 60 cm 60 cm 46 บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณิต

3. จงหาพื้นทผี่ วิ ข้าง พื้นท่ีผิวรวม และปรมิ าตรของรปู ทรงตันตอ่ ไปนี้ …………………………………………………………. …………………………………………………………. 35 …………………………………………………………. 15.5 8.4 12.6 …………………………………………………………. …………………………………………………………. 9.6 …………………………………………………………. 21 17 …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 19 12 29 21 …………………………………………………………. …………………………………………………………. …………………………………………………………. 40 40 บทที่ 2 รูปทรงเรขาคณติ 47

…………………………………………………………. …………………………………………………………. 15 …………………………………………………………. 8 20 7 …………………………………………………………. 19 16 …………………………………………………………. …………………………………………………………. 14 14 …………………………………………………………. 13 12 …………………………………………………………. …………………………………………………………. 24 24 4. พื้นที่หน้าตัดของถนนสายหนึ่งแสดงดังรูป จงหาปริมาณของคอนกรีตเป็นลูกบาศก์หลา ที่ใช้ในการสร้างถนนนี้ยาว 1 ไมล์ (27 ลูกบาศก์ฟุตเท่ากับ 1 ลูกบาศก์หลา และ 5,280 ฟุต เทา่ กบั 1 ไมล)์ 6\" 12\" 24' 48 บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณติ

5. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวรวมของถังบรรจุก๊าซทรงกระบอกใบหนึ่ง ซึ่งมีรัศมี 48 ฟุต และสูง 140 ฟตุ 6. จงหาปริมาตรของถงั บรรจุก๊าซรูปทรงกลมรศั มี 10 เมตร 7. จงหาปรมิ าตรของกรวยซ่ึงเกิดจากการมว้ นแผ่นทองแดง ดงั รปู 110∘7.5 cm 85 mm 8. จะต้องใช้แผ่นสังกะสีกี่ตารางนิ้ว ในการสร้างปล่องควันให้มีรูปร่างเป็นฟรัสตัมของกรวยตรง ซึ่งมีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานด้านบนและล่างเป็น 3 และ 8 นิ้ว ตามลำ�ดับ โดยมี ความสงู เอียงเป็น 12 น้วิ 9. ภาชนะส�ำหรบั ใชเ้ ตมิ น้ำ� มันเครอ่ื งอันหนง่ึ มีมติ ดิ ังรูป ถา้ เส้นผ่านศนู ยก์ ลางท่อบรเิ วณ B และ A เป็น 3 และ 1 เซนตเิ มตร ตามล�ำดับ จงหาปรมิ าณของแผน่ พลาสตกิ ท่ใี ชใ้ นการสรา้ งภาชนะนี้ 10 cm B 13 cm A 49 บทท่ี 2 รูปทรงเรขาคณติ

10. ลกั ษณะขอทอ่ สง่ นำ้� มนั แสดงดงั รปู ถา้ ทอ่ สง่ น้�ำมนั ยาว 12 เมตร จงหาปรมิ าตรของวัสดทุ ใ่ี ช ้ ในการหลอ่ ข้นึ เป็นทอ่ นี้ 42 mm 57 mm 50 บทท่ี 2 รปู ทรงเรขาคณิต

บทท่ี งาน พลังงาน และเครือ่ งมือกล 3 เบื้องต้น จุดประสงค์เชิงพฤติกรรม (Behavioral Objective) หลังจากศึกษาจบบทเรยี นนี้แลว้ นกั ศึกษามีความสามารถดังน้ี 1. บอกนิยามของ งาน ก�ำ ลัง และพลังงาน 2. ค�ำ นวณหางานทีก่ ระทำ�ต่อวัตถุ 3. เปรยี บเทยี บพลังงานจลนแ์ ละพลังงานศกั ย์ 4. คำ�นวณหาความเรว็ ของการเคลอ่ื นท่ขี องวัตถุ 5. ค�ำ นวณหาการเปรยี บเชงิ กล 6. ยกตัวอยา่ งการเปลี่ยนแปลงของพลังงานกลกับการเคลือ่ นที่ของวตั ถุ 7. คำ�นวณหาค่าของแรงในการกระท�ำ ต่อวตั ถุ 8. ค�ำ นวณหาแรงในการหมุนของสกรู 9. ยกตวั อยา่ งการคำ�นวณหาแรงในการตอกของลม่ิ

งาน พลังงานและ เครอื่ งมอื กล บทท่ี3 เบ้ืองตน้ งาน (Work) งาน คอื ผลของแรงทกี่ ระท�ำ กบั วัตถซุ ่งึ กระท�ำ ให้วตั ถุเคลื่อนท่ไี ด้ระยะทางไปตามแนวแรงนนั้ ดงั นนั้ งานจงึ ค�ำ นวณได้จากผลคูณระหวา่ งแรงกบั ระยะทางท่วี ัตถเุ คล่อื นทีไ่ ดต้ ามแนวแรงนั้น W = Fs (3.1) โดยที่ W = งานท่ีทำ�ได้ มีหนว่ ยเปน็ นิวตัน - เมตร (N - m) หรอื จูล (J) F = แรงทีท่ ำ�ให้วตั ถเุ คล่ือนท่ี มีหนว่ ยเป็นนวิ ตัน (N) s = ระยะทางทว่ี ตั ถุเคลือ่ นทีไ่ ด้ในแนวแรง มหี นว่ ยเป็นเมตร (m) จากนยิ ามของงานจะเหน็ ไดว้ า่ ระยะทางทว่ี ตั ถเุ คลอ่ื นทก่ี บั แนวแรงตอ้ งขนานกนั จงึ จะเกดิ งานขน้ึ ถา้ ไม่มแี รงหรอื ระยะทางกจ็ ะไมเ่ กดิ งานขน้ึ ดังรปู ที่ 3.1 FF S รูปท่ี 3.1 งานจะเป็นสัดสว่ นโดยตรงของแรงและระยะทาง 52 บทท่ี 3 งาน พลงั งาน และเคร่ืองมอื กลเบอื้ งต้น

ตัวอย่างที่ 3.1 ออกแรงในแนวระดบั 3 นิวตัน กระท�ำ ต่อวตั ถุมวล 2 กโิ ลกรัม ใหเ้ คล่อื นทีไ่ ปตาม พื้นราบเป็นระยะทาง 2 เมตร จากนั้นจึงยกวัตถุนี้ขึ้นในแนวดิ่งไปวางบนม้านั่งที่สูงจากพื้น 1 เมตร จงหางานท้งั หมดท่ีกระทำ�ต่อวัตถุน้ี กำ�หนดใหค้ วามเร่งเนอ่ื งจากแรงโนม้ ถว่ งของโลกเปน็ 10 m/s2 วธิ ที �ำ จำ�ลองลกั ษณะการเคลอ่ื นทไ่ี ดด้ ังรปู แบ่งงานเป็นสองช่วง ชว่ งแรกเปน็ งานในแนวราบ และช่วงท่ีสองเป็นงานในแนวด่ิง F=3N m ในแนวราบ W = Fs W = 3 N(2 m) = 6 J ในแนวดิ่ง แรงคอื น้�ำหนกั ของวัตถุ Weight = mg = 2 kg(10 m/s2) = 20 N ดงั นนั้ งานในแนวดิ่ง W = mgs W = 20 N(1 m) = 20 J \\ งานทั้งหมดทกี่ ระทำ�ต่อวตั ถนุ ี้ = 6 + 20 = 26 J ก�ำลัง (Power) ก ำ�ลงั คอื อตั รากาPรท=�ำ งWtาน หรอื งา นทที่ ำ�ไ ดใ้ นหน ง่ึ หนว่ ย เวลา (3.2) โดยท่ี P = ก�ำ ลงั มหี นว่ ยเปน็ วัตต์ (Watts) W = งานท่ีท�ำ ได้ มีหนว่ ยเปน็ นวิ ตนั - เมตร (N - m) หรือจลู (J) t = เวลา มหี น่วยเปน็ วนิ าที (s) บทที่ 3 งาน พลังงาน และเคร่ืองมือกลเบอ้ื งต้น 53

เนอื่ งจาก W = Fs แทนค่าลงในสมการ 3.2 ได้ Fs แต่ s/t คอื ความเร็ว v ดังนน้ั t P = Fv (3.3) โดยท่ัวไปนยิ มเรยี กหนว่ ยของก�ำ ลงั ตามระบบอังกฤษ คือ กำ�ลงั ม้า (Horsepower, hp) โดยที่ 1 hp = 550 ft•lb/s = 33,000 ft•lb/min ค่าเทียบเคียงระหว่างก�ำ ลงั ม้ากับวตั ต์ คอื 1 hp = 746 Watts ตัวอยา่ งที่ 3.2 เคร่ืองสูบน้�ำมีก�ำลัง 5 แรงม้า สูบน้�ำจ�ำนวน 1,200 ลูกบาศก์ฟุตขึ้นจากบ่อน้�ำลึก 22 ฟุต จะใชเ้ วลากนี่ าที ก�ำหนดใหค้ วามหนาแนน่ ของนำ้� เปน็ 62.5 ปอนดต์ อ่ ลกู บาศกฟ์ ุต วิธที �ำ หาน�ำ้ หนกั ของน�้ำ D = 62.5 lb/ft3 และ V = 1,200 ft3 จาก m = DV = 62.5(1,200) lb หางานจาก W = Fs ซงึ่ ในทน่ี ี้ F = 62.5(1,200) lb และ s = 22 ft ∴ W = 62.5(1,200)(22) lb•ft ในทนี่ ้ ี P = 5(550) lb•ft/s ดังน้ัน หาเวลาไดจ้ ากสมการท่ี 3.2 62.5(1,200)(22) 5(550) = t ∴ t = 600 s หรือ 10 นาที พลงั งาน (Energy) พลังงาน คือ ความสามารถในการทำ�ให้เกิดงาน เช่น พลังงานความร้อน พลังงานไฟฟ้า พลังงานกล เปน็ ต้น หลกั การของกฎอนุรักษพ์ ลงั งาน (Conservation of Energy) กลา่ วไวว้ า่ พลงั งาน จะไมส่ ูญหายหรือถกู ทำ�ลายได้ แตส่ ามารถท่จี ะเปลย่ี นรูปไปมาระหวา่ งพลงั งานในรปู แบบหนึง่ ไปเป็น อกี รูปแบบหนึ่งได้ เช่น พลงั งานความร้อนทีไ่ ด้จากการสนั ดาปของเชอื้ เพลิงกับอากาศเปล่ยี นรูปไปเป็น พลงั งานกลโดยท�ำ ให้รถยนต์เคล่อื นท่ไี ปได้ เป็นต้น 54 บทท่ี 3 งาน พลังงาน และเคร่ืองมอื กลเบือ้ งตน้

พลังงานกล (Mechanical Energy) คือ ความสามารถที่วัตถุทำ�งานได้ จะแบ่งออกเป็น 2 รูปแบบดว้ ยกัน คอื พลังงานจลน์ (Kinetic Energy) และพลังงานศกั ย์ (Potential Energy) 1. พลงั งานจลน์ คือ พลงั งานทีว่ ัตถมุ ีอย่เู นอ่ื งมาจากวตั ถุนน้ั เคล่ือนท่ี คา่ ของพลงั งานจลนห์ าได้ จากงานที่ใชใ้ นการต้านการเคลื่อนที่ของวตั ถุจนกระทั่งหยุดนงิ่ 1 Ek = 2 mv2 (3.4) โดยท่ ี mEk = พลงั งานจลน์ มีหน่วยเป็นจูล (J) (kg) = มวลของวัตถทุ เ่ี คลอื่ นท่ี มหี น่วยเป็นกิโลกรัม v = ความเรว็ มีหน่วยเปน็ เมตรต่อวนิ าที (m/s) 2. พลงั งานศกั ย์ คอื พลงั งานทว่ี ัตถุมอี ยู่หรือสะสมไวแ้ ละพร้อมทจ่ี ะทำ�งาน (เปลย่ี นรปู ได้) เช่น พลังงานศกั ย์ไฟฟา้ ท่ีอยใู่ นถ่านไฟฉาย เปน็ ตน้ พลงั งานศักยท์ างกลจะแบง่ ออกเปน็ 2 ชนิด คอื ก) พลังงานศักยโ์ นม้ ถว่ ง (Gravitation Potential Energy) คือ พลังงานทีว่ ตั ถุสะสมไว้ เนอ่ื งจากมีผลต่างของระดบั ความสูงเม่อื เทยี บกบั ระดับอา้ งองิ เมอื่ มกี ารเปลีย่ นต�ำ แหนง่ วตั ถุก็จะปล่อย พลังงานศักยอ์ อกมา Epg = mgh (3.5) โดยท ี่ mEpg == พลงั งานศกั ยโ์ น้มถ่วง มหี น่วยเป็นจูล (J) มวลของวัตถุ มีหนว่ ยเป็นกโิ ลกรัม (kg) g = ความเรง่ เน่ืองจากแรงโน้มถ่วงของโลก มคี า่ 9.8 เมตร/วินาท2ี (m/s2) h = ระดับความสูงของวตั ถเุ หนอื ระดบั อ้างอิง มีหน่วยเป็นเมตร (m) ข) พลังงานศกั ยย์ ืดหยุน่ (Elastic Potential Energy) คือ พลังงานศักย์ทีส่ ะสมอยู่ในวัตถุ ทีม่ ีความยดื หยุน่ เช่น สปรงิ ยางยดื หรอื ฟองน�ำ้ ท่ีกดเอาไว้ เม่อื น�ำแรงกดออกวัตถกุ จ็ ะท�ำงานได้ 1 Epe = 2 kx2 (3.6) บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครือ่ งมือกลเบื้องต้น 55

โดยท่ี Ek p e == คพา่ลนังงจิ าขนอศงักคยวา์ยมดื ยหดื ยห่นุ ยมุ่นีหขน้ึนว่ อยยเปู่ก็นับจชลูนิด(Jข)องวตั ถุ มหี น่วยเป็นนิวตนั /เมตร (N/m) x = ระยะยดื หรือหดตวั ของวตั ถุ มหี น่วยเปน็ เมตร (m) การเปล่ียนแปลงของพลงั งานกลกบั การเคล่อื นที่ของวตั ถุ เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ วัตถุจะมีพลังงานจลน์เกิดขึ้น แต่ตามกฎอนุรักษ์พลังงาน พลังงานจลน์ ดังกล่าวนี้จะไม่สูญหาย ดังนั้น พลังงานจลน์นี้ต้องเปลี่ยนไปเป็นพลังงานรูปแบบอื่น เช่น ถ้าวัตถุนี้ เคลื่อนทขี่ ึน้ ไปในแนวดิ่ง พลงั งานจลนจ์ ะเปลี่ยนรปู ไปเป็นพลงั งานศกั ย์ ถ้าวัตถเุ คล่ือนทไ่ี ปในแนวราบ พลังงานจลน์ก็จะเปลี่ยนรูปไปเป็นงานที่เอาชนะความเสียดทานหรือเปลี่ยนไปเป็นพลังงานความร้อน โดยพลงั งานรวมจะไมม่ กี ารสญู หาย ดงั นน้ั การทว่ี ตั ถเุ คลอ่ื นทจ่ี งึ มกี ารเปลย่ี นรปู ของพลงั งานตลอดเวลา ตัวอย่างที่ 3.3 ลูกเหล็กตอกเสาเข็มตกลงมาจากปั้นจั่นที่ระยะ 3.5 เมตร เหนือเสาเข็ม จงหา ความเร็วของลูกเหลก็ ขณะกระทบเสาเข็ม 56 บทท่ี 3 งาน พลงั งาน และเครื่องมือกลเบื้องตน้

วิธีท�ำ จากหลักอนุรกั ษพ์ ลงั งาน กล่าวไว้ว่า ผลรวมของพลงั งานจะต้องมคี ่าคงทีเ่ สมอ ดังนัน้ พลงั งานรวมก่อนท่จี ะปลอ่ ยลูกเหล็กต้องเทา่ กบั พลังงานรวมขณะท่ีลกู เหลก็ กระทบเสาเขม็ พลังงานรวมกอ่ นปลอ่ ย = Epg + Ek 1 = mgh + 2 mv2 = mgh (เนื่องจากลูกเหล็กยังไมเ่ คลอ่ื นท่ี v = 0 พลังงานจลน์จึงเท่ากบั 0) พลังงานรวมขณะกระทบเสาเขม็ = Ep + Ek 1 1 = mgh + 2 mv2 = 2 mv2 (เนื่องจากลกู เหลก็ มีระยะ h = 0 เมื่อกระทบเสาเข็ม พลังงานศักย์จงึ เทา่ กบั 0) 1 \\ mgh = 2 mv2 ในทีน่ ้ี h = 3.5 m และ m ตดั ทิง้ ได้ ดงั นนั้ v = 2gh = 2 x 9.8 x 3.5 \\ v = 68.6 = 8.28 m/s นัน่ คอื ความเรว็ ของลูกเหล็กขณะกระทบหวั เสาเป็น 8.28 เมตรต่อวินาที ตัวอยา่ งท่ี 3.4 หินก้อนหนึ่งมวล 0.2 กิโลกรัม ตกลงมาจากตึกแห่งหนึ่ง ขณะที่อยู่ ณ ตำ�แหน่ง สูงจากพื้นดิน 5 เมตร ก้อนหินมีความเร็ว 20 เมตรต่อวินาที จงหาพลังงานของก้อนหิน ณ ขณะนั้น ให้ g = 10 m/s2 วธิ ีท�ำ พลงั งานจลน์ ณ ตำ�แหนง่ นั้น 1 1 EK = 2 mv2 2 (0.2)(20)2 = 40 J พลงั งานศกั ย์ ณ ตำ�แหนง่ นัน้ Epg = mgh = 0.2(10)(2) = 10 J \\ พลังงานรวม ณ ตำ�แหน่งน้นั = EK + Epg = 40 + 10 = 50 J บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเครือ่ งมือกลเบ้ืองต้น 57

เครือ่ งกลเบื้องตน้ เครอ่ื งกล (Machines) คอื อปุ กรณ์ทีใ่ ชเ้ พือ่ ชว่ ยเหลอื หรอื อำ�นวยความสะดวกในการทำ�งาน เชน่ ใชถ้ า่ ยทอดพลงั งานจากท่ีแหง่ หน่ึงไปยงั อกี ทห่ี น่ึง หรือเปลยี่ นทิศทางของแรง เป็นต้น โดยออกแรง พยายามน้อยเพื่อเอาชนะแรงต้านมากได้ ดังนั้น หน้าที่ของเครื่องกลคือช่วยผ่อนแรงในการท�ำ งาน เทา่ นั้น แต่ผลของงานยังคงเหมอื นเดมิ (ออกแรงนอ้ ยแตย่ งั คงได้งานเทา่ เดมิ ) เครื่องกลอยา่ งง่ายมีอยู่ 6 ประเภทด้วยกนั คอื 1. คาน (Level) 2. ล้อและเพลา (Wheel and Axle) 3. รอก (Pulley) 4. พื้นเอยี ง (Inclined Plane) 5. สกรู (Screw) 6. ล่ิม (Wedge) แรงทเ่ี กย่ี วขอ้ งกับเครื่องมอื กลจะมีอยู่ 2 ชนิด คือ แรงพยายาม (E) คือ แรงท่ีให้กบั เครือ่ งกล และแรงต้าน (W) ซึง่ สว่ นใหญ่ในเนอ้ื หาบทนี้ เปน็ น้ำ� หนักของวตั ถุ การได้เปรยี บเชงิ กล (Mechanical Advantage, M.A.) คอื อตั ราสว่ นระหวา่ งแรงต้าน กบั แรงพยายาม เปน็ ดชั นบี ง่ ชว้ี า่ เครอ่ื งกลนน้ั ผอ่ นแรงไดม้ ากเพยี งใด ถา้ M.A. มคี า่ เทา่ กบั หนง่ึ แสดงวา่ เครอ่ื งกลไม่ได้ผ่อนแรงแต่ชว่ ยเปลย่ี นทศิ ทางเทา่ นั้น ถา้ M.A. มากกวา่ หน่งึ แสดงว่าเครื่องกลน้ันได้ เปรียบเชิงกลมีการผ่อนแรง และถ้า M.A. น้อยกว่าหนึ่ง หมายความว่าเครื่องกลนั้นเสียเปรียบเชิงกล ไม่ได้ช่วยผอ่ นแรงแต่ชว่ ยในเรอื่ งของความสะดวกในการท�ำ งานเท่าน้นั การไดเ้ ปรยี บเชงิ กล แบ่งไดเ้ ป็น 2 ชนดิ คอื 1. การไดเ้ ปรยี บเชงิ กลทางทฤษฎี (Ideal Mechanical Advantage, I.M.A.) หมายถึง การได้เปรียบเชิงกลที่เกิดขึ้น เมื่อเครื่องกลไม่มีการสูญเสียพลังงานใด ๆ ประหนึ่งว่าเครื่องกลนั้น ไร้แรงเสยี ดทาน I.M.A. = WE0 (3.7) 58 บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครอื่ งมือกลเบอื้ งต้น

2. การได้เปรียบเชงิ กลทางปฏบิ ตั ิ (Actual Mechanical Advantage, A.M.A.) หมายถงึ การไดเ้ ปรยี บเชงิ กลทเ่ี กดิ ขน้ึ เมอ่ื เครอ่ื งกลมกี ารสญู เสยี พลงั งานในขณะท�ำ งานอนั เนอ่ื งมาจากแรงเสยี ดทาน A.M.A. = W (3.8) E ในการคำ�นวณ I.M.A. จะพิจารณาจากความไดเ้ ปรยี บเชงิ กลของตัวเครือ่ งกล ขณะท่ี A.M.A. จะพจิ ารณาจากแรงพยายามและแรงตา้ นท่ีเกิดข้นึ จรงิ ดังน้ัน ประสทิ ธิภาพของเครือ่ งกล (Machine Efficiency, h) จึงค�ำ นวณไดจ้ าก h = A.M.A. x 100% (3.9) I.M.A โมเมนต์ (Moment) โมเมนต์ คือ ปริมาณที่ใช้วัดผลการหมุนของแรงรอบจุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งหาได้จากผลคูณของ แรงกับระยะทางตั้งฉากจากแนวแรงไปยงั จุดหมุน M = Fd (3.10) โดยที่ M = โมเมนต์ของแรง มีหน่วยเปน็ นิวตันเมตร (N•m) d = ระยะทางตง้ั ฉากจากแนวแรงไปยังจุดหมนุ มหี น่วยเป็นเมตร (m) F = แรง มหี นว่ ยเปน็ นิวตัน (N) ลักษณะการหมุนของโมเมนตจ์ ะมี 2 ทศิ ทาง คอื โมเมนตต์ ามเข็มนาฬกิ า (Clockwise) และ โมเมนตท์ วนเขม็ นาฬกิ า (Anti - Clockwise) โมเมนตจ์ ะไมเ่ กดิ เมอ่ื แรงมคี า่ เปน็ ศนู ย์ หรอื แรงกระทำ�ผา่ น จดุ หมุน บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครอ่ื งมือกลเบ้อื งตน้ 59

คาน (Level) คาน คือ วัตถุแท่งยาว รองรับไว้ด้วยจุดหมุน ทำ�งานในลักษณะสมดุลโมเมนต์ของแรงต้าน กับแรงพยายาม ดังรูปที่ 3.2 น�ำ้ หนกั ควแาขมนตขา้ อนงทาน แขนของความพยายาม (W) F คาน แรงความพยายาม (E) จดุ หมุน แรงความต้านทาน (W) รปู ที่ 3.2 รายละเอียดของคาน ประเภทของคานสามารถจำ�แนกได้ตามลักษณะการวางตำ�แหน่งของแรงต้าน แรงพยายาม และจดุ หมุน ซง่ึ จะจำ�แนกไดเ้ ปน็ 3 ประเภท คือ 1. คานอันดับทหี่ นง่ึ จดุ หมนุ จะอยรู่ ะหว่างแรงต้านกบั แรงพยายาม ดังรูปที่ 3.3 ดังนั้น การทโี่ มเมนต์จะสมดุลได้ ทศิ ทางของแรงทั้งสองจงึ ตอ้ งไปในทิศทางเดียวกัน ตัวอย่างเครอ่ื งใช้ทีจ่ ัดเปน็ คานอันดับหนงึ่ ได้แก่ ครก กระเดอ่ื ง กระดานหก ค้อนงดั ตะปู ตาชง่ั เปน็ ต้น แรงความ ตา้ นทาน แรงความ จดุ หมนุ พยายาม รูปที่ 3.3 คานอนั ดบั ทีห่ นงึ่ 60 บทท่ี 3 งาน พลงั งาน และเคร่ืองมือกลเบือ้ งต้น

2. คานอนั ดับสอง แรงต้านจะอยู่ระหว่างแรงพยายามกับจุดหมุน ดังรูปที่ 3.4 ทิศทางของแรงทั้งสองจะ ตรงกันข้าม เครอ่ื งมอื ที่ใช้หลกั การของคานน้ี เช่น รถเข็นดิน ท่ีทับกล้วยป้ิง เคร่ืองตัดกระดาษ เปน็ ต้น แรงความ พยายาม แรงความ จุดหมนุ ต้านทาน รปู ท่ี 3.4 คานอันดับสอง 3. คานอนั ดับสาม แรงพยายามจะอยรู่ ะหว่างแรงต้านกับจดุ หมุน ทศิ ทางของแรงท้งั สองจะตรงกนั ข้าม เครื่องมอื ทีใ่ ชห้ ลกั การของคานนี้ เชน่ ตะเกยี บ ไมก้ วาด ปากกา คีมคีบน้�ำแข็ง รถเครนยกของ เป็นตน้ แรงความ จดุ หมุน พยายาม แรงความ ตา้ นทาน รปู ที่ 3.5 คานอันดับสาม สมดุลของคาน (คานอย่นู ่ิงในแนวระดบั ) จะเกิดข้นึ เมื่อ ก) ผลรวมของโมเมนต์ทวนเขม็ เท่ากบั ผลรวมของโมเมนตต์ ามเขม็ นาฬกิ า นัน่ คือ โมเมนต์ลพั ธม์ คี า่ เป็นศนู ย์ และ ข) ผลรวมของแรงลัพธ์มีคา่ เปน็ ศนู ย์ บทที่ 3 งาน พลังงาน และเคร่ืองมอื กลเบอื้ งต้น 61

ตวั อยา่ งท่ี 3.5 ค้อนถอนตะปูอันหนึ่ง มีขนาดดังรูป ถ้าออกแรงที่ปลายด้ามค้อน 20 นิวตัน จึงถอนตะปูขึ้นได้ จงหาแรงยึดที่ตะปูฝังลงในไม้ และถ้าประสิทธิภาพของค้อนนี้เป็น 90 เปอร์เซ็นต์ จะตอ้ งออกแรงในการถอนตะปูนเ้ี ท่าไร F1 = 20 N 28 cm F 7 cm วธิ ที ำ� จุดหมุนอยู่ที่หัวค้อนบริเวณที่สัมผัสกับพื้น ตะปูจะเริ่มถอนตัวออกเมื่อระบบแรงและ โมเมนต์อย่ใู นสภาวะสมดลุ โมเมนตท์ วนเขม็ = โมเมนตต์ ามเขม็ W x 7 = 20 x 28 \\ W = 80 ดังนน้ั แรงยึดของตะปูน้ีเทา่ กบั 80 นวิ ตัน จากสมการ 3.7, 3.8 และ 3.9 W 80 A.M.A. = E = F I.M.A. = 28 = 4 7 80/F 90 = 4 x 100% \\ F = 22.2 N ดงั นนั้ ถ้าค้อนมีประสิทธภิ าพ 90% ตอ้ งออกแรงเป็น 22.2 นวิ ตนั 62 บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครือ่ งมอื กลเบื้องตน้

ลอ้ และเพลา (Wheel and Axle) ลอ้ และเพลา เปน็ เครอ่ื งมอื ชว่ ยผอ่ นแรงอยา่ งหนง่ึ มลี กั ษณะเปน็ ทรงกระบอกตา่ งขนาดตดิ กนั และหมนุ รอบแกนซง่ึ ผา่ นจดุ ศนู ยก์ ลางรว่ มกนั ดงั รปู ท่ี 3.6 ทรงกระบอกอนั ใหญเ่ รยี กวา่ ลอ้ และอนั เลก็ เรยี กว่า เพลา เน่อื งจากว่าทรงกระบอกทง้ั สองใช้จุดศนู ยก์ ลางในการหมุนรว่ มกนั จึงทำ�ใหม้ ุมและรอบ ในการหมนุ เทา่ กนั (ความเรว็ รอบเทา่ กนั ) ตวั อยา่ งเครอ่ื งกลทใ่ี ชล้ อ้ และเพลา เชน่ สมอเรอื กวา้ นยกของ พวงมาลยั รถยนต์ ล้อรถจักรยาน หรอื เครอื่ งเจียร เปน็ ตน้ รูปที่ 3.6 ล้อและเพลา พจิ ารณาลกั ษณะงานท่ีเกย่ี วข้องกบั ลอ้ และเพลาในรปู ที่ 3.7 R ถ้าไม่คิดผลของความเสียดทานหรือความสูญเสียใด ๆ (ถือว่า ประสิทธิภาพเปน็ 100 เปอร์เซ็นต)์ แล้ว งานที่ปอ้ นใหก้ บั ลอ้ และ G เพลาจะเท่ากับงานที่ล้อและเพลาผลติ ได้ r รปู ท่ี 3.7 พิจารณาลักษณะงานของลอ้ และเพลา E B บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเครื่องมอื กลเบื้องต้น 63

เมื่อออกแรง E หมุนลอ้ ไป 1 รอบ เพลาก็จะหมุนดึงนำ้� หนกั W ได้ 1 รอบ เชน่ กนั งานเนอ่ื งจากแรง E = E x 2pR งานเนอื่ งจากแรง W = W x 2pr ดังนนั้ E x 2pR = W x 2pr หรอื ER = Wr M.A. = W = R (3.11) E r กรณีทีป่ ระสทิ ธิภาพไมถ่ งึ 100 เปอร์เซ็นต์ จะพจิ ารณาไดว้ ่า W R A.M.A = E และ I.M.A = r (3.12) จะเห็นได้ว่าถ้าต้องการให้ล้อและเพลาผ่อนแรงมาก ๆ รัศมีล้อควรจะมีขนาดใหญ่และรัศมี เพลาควรจะมขี นาดเลก็ ตัวอยา่ งที่ 3.7 ลอ้ และเพลาชุดหนึง่ มีประสทิ ธิภาพ 80 เปอร์เซน็ ต์ มเี ส้นรศั มีลอ้ 60 cm รศั มีเพลา 20 cm ตอ้ งการยกชนิ้ งานมวล 300 kg จะตอ้ งออกแรงเท่าไร กำ�หนดให้ g = 10 m/s2 วิธีท�ำ กำ�หนดให ้ R = 60 cm, r = 20 cm, W = 300(10) = 3,000 N และ h = 75% A.M.A. = 3,0E00 60 หาค่าจากสมการท่ี 3.12 และ I.M.A. = 20 = 3 3,000 E แทนคา่ ในสมการที่ 3.9 75% = 3 x 100% E = 1,333 N \\ ตอ้ งออกแรง 1,333 นวิ ตัน หรอื 133.3 กิโลกรัม 64 บทท่ี 3 งาน พลังงาน และเคร่อื งมือกลเบ้ืองตน้

รอก (Pulley) รอก เปน็ เครอ่ื งมอื กลอกี ประเภทหนง่ึ ชว่ ยในการผอ่ นแรงและเปลย่ี นทศิ ทางของแรง มลี ักษณะ เปน็ ลอ้ หมนุ ไดค้ ลอ่ ง ทข่ี อบลอ้ มลี กั ษณะเปน็ รอ่ งส�ำหรบั พาดดว้ ยเชอื ก ปลายขา้ งหนง่ึ ถว่ งไวด้ ว้ ยนำ�้ หนกั และออกแรงกระท�ำท่ปี ลายอีกขา้ งหน่งึ ดงั รปู ท่ี 3.8 แบ่งเป็น 2 ประเภท คือ Effort Load รปู ที่ 3.8 แสดงการท�ำ งานของรอก 1. รอกเด่ยี วตายตวั เป็นรอกตัวเดียวที่แขวนอยู่กับที่ โดยผูกปลายเชือกข้างหนึ่งไว้กับวัตถุที่ต้องการให้เคลื่อนที่ แล้วออกแรงกระท�ำ ท่ีปลายอกี ขา้ งหนึง่ เม่อื ออกแรงพยายามวัตถจุ ะเคลือ่ นที่ โดยทีต่ วั รอกยงั คงหมนุ อย่ทู ่เี ดมิ พิจารณาจากรูปที่ 3.9 แสดงการเปรียบเทียบรอกเดี่ยวตายตวั กับระบบคาน โดยจดุ ศูนย์กลาง การหมนุ ของรอกเปรยี บเสมือนจดุ หมนุ ของคาน และระยะจากขอบของรอกขา้ งหนึ่งไปยงั อีกขา้ งหนง่ึ ผ่านจุดหมุนเปรียบเสมือนตัวคาน จากหลักการของโมเมนต์ที่ว่าโมเมนต์ทวนเท่ากับโมเมนต์ตาม แต่เน่ืองจากระยะจากจุดหมุนไปยังแนวแรงพยายามเท่ากันกับระยะจากจุดหมุนไปยังแรงต้านจึงทำ�ให้ หักล้างกนั สง่ ผลใหแ้ รงพยายามกับแรงตา้ นมขี นาดเทา่ กัน หรอื W = E (3.13) บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเครื่องมือกลเบอ้ื งตน้ 65

Effort Load Effort Load Effort Load รูปที่ 3.9 การเปรยี บเทยี บรอกเดี่ยวตายตวั กับระบบคาน จะเห็นไดว้ ่า รอกเดยี่ วตายตวั ไม่เกดิ การได้เปรยี บเชิงกล (M.A. = 1) แตจ่ ะชว่ ยในเรอื่ งความ สะดวกในการทำ�งาน หรอื เพียงแคเ่ ปลย่ี นทศิ ทางในการท�ำ งานเท่านั้น 2. รอกเดย่ี วเคลอ่ื นที่ ดังรูปที่ 3.10 โดยการใชป้ ลายเชอื กด้านหนงึ่ ตรงึ ไวก้ ับที่ แล้วรอ้ ยผา่ นด้านลา่ งของรอก นำ้� หนัก หรือแรงต้านจะถูกผูกไว้กับตัวรอกโดยตรง เม่ือออกแรงดึง F จะท�ำให้เกิดแรงยกขึ้นสองด้าน เพ่ือยกทัง้ ตัวรอกและน้ำ� หนกั ขึ้น ดังน้ัน เมอ่ื แรงสมดลุ และไมค่ ดิ น้�ำหนักรอกจะได้ W E = 2 (3.14) Effort จะเห็นได้ว่า รอกเด่ียวเคลื่อนท่ีจะช่วยผ่อนแรงได้ครึ่งหน่ึง Load (M.A. = 2) น่ันคือ ออกแรงเพียงครึ่งหน่ึงของน�้ำหนักก็จะสามารถ เคลอื่ นทนี่ �้ำหนกั น้นั ได้ Effort เมื่อนำ�รอกเดี่ยวทั้งสองชนิดมาต่อเข้ากันในลักษณะต่าง ๆ จะได้ระบบรอกที่เรียกว่า รอกพวง เพื่อใช้ในการผ่อนแรงได้มากขึ้น การพิจารณาการผ่อนแรงให้ดูลกั ษณะการเคล่ือนท่ีของระบบ รปู ท่ี 3.10 รอกเดี่ยวเคลอื่ นที่ 66 บทท่ี 3 งาน พลังงาน และเครื่องมือกลเบือ้ งตน้

รปู ท่ี 3.11 แสดงรอกพวงในระบบที่ 2 แสดงตัวอย่างการพจิ ารณาระบบรอกพวงไดด้ งั นี้ จากรปู จะเห็นวา่ มีรอกอยู่ 2 ชดุ ชุดบนตดิ อยกู่ บั ที่และชดุ ลา่ งคลอ้ งกับวตั ถุซงึ่ เคลื่อนท่ีได้ โดยทร่ี ะบบรอกพวง ดงั กล่าวใช้เชือกโยงระบบเพียงเส้นเดียว ดังน้ัน แรงตึงในเสน้ เชือกจงึ คงท่ี เม่ือออกแรงดงึ E จะท�ำให้ รอกชดุ ลา่ งเคล่อื นท่ีไปพร้อมกบั น�้ำหนกั เม่อื แรงสมดลุ และไม่คิดน�้ำหนักของรอกจะได้วา่ แรงฉุดขนึ้ W เท่ากับน�้ำหนักดึงลง นั่นคือ 4E = W หรือ E = 4 ระบบรอกน้ีจึงผ่อนแรงได้ 4 เท่า เป็นตน้ Final Effort (e3) (e1) (e4) (e2) Load รปู ที่ 3.11 รอกพวงระบบทีส่ อง ตวั อย่างท่ี 3.8 ระบบรอกพวงดงั รปู ใช้ในการยกน�้ำหนกั W = 3,000 N ถา้ ไม่คดิ น้ำ� หนกั รอกและ รอกไรแ้ รงเสียดทาน จะต้องออกแรงในการยก E เท่าไร 8E 4E 8E 4E 2E E 2E W E บทที่ 3 งาน พลังงาน และเคร่ืองมอื กลเบ้ืองตน้ 67

วิธีท�ำ พิจารณาระบบรอก จะประกอบด้วยรอกเดี่ยวตายตัว 4 ตัว มีจ�ำนวนเส้นเชือกเท่ากับ ตัวรอก เมอื่ ออกแรงดึง E เชือกแตล่ ะเสน้ จะชว่ ยกันยกนำ้� หนกั W ขนึ้ ไป เขียนแรงทก่ี ระท�ำลงในระบบ พจิ ารณาได้ว่า แรงดงึ ขน้ึ = แรงดึงลง E + 2E + 4E + 8E = W \\ E = W = 3,000 = 200 15 15 ออกแรงในการยกน�ำ้ หนักเทา่ กบั 200 นิวตัน พนื้ เอียง (Inclined Plane) พนื้ เอยี ง จดั เปน็ เครอื่ งมอื ในการผอ่ นแรงอยา่ งหนงึ่ ใชส้ �ำหรบั การยกของทม่ี นี ำ้� หนกั มากขน้ึ จากพน้ื ดังรปู ที่ 3.12 B L HW E AA CC รปู ท่ี 3.12 พื้นเอียง ในการยกของน้ำ� หนัก W ขน้ึ ไปทส่ี ูง H อาจกระท�ำไดโ้ ดยการดนั ดว้ ยแรง E ขน้ึ พืน้ เอียงยาว L ได้ จากหลักการของงาน ถ้าพน้ื เอียงล่ืนไรแ้ รงเสียดทานและไมม่ กี ารสูญเสยี ใด ๆ (พน้ื เอียงมีประสิทธภิ าพ 100 เปอร์เซ็นต)์ จะได้ว่างานเนือ่ งจากน้ำ� หนักเทา่ กับงานเนอื่ งจากแรงดนั ดังนน้ั งานเนือ่ งจากนำ�้ หนัก = งานเนอ่ื งจากแรงดัน W x H = E x L หรือ W L M.A. = E = H (3.15) 68 บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเคร่ืองมือกลเบ้ืองต้น

กรณที ่ปี ระสทิ ธิภาพไม่ถงึ 100 เปอร์เซน็ ต์ จะพจิ ารณาไดว้ า่ A.M.A. = W และ I.M.A. = L (3.16) E H จะเหน็ ไดว้ า่ ถา้ ตอ้ งการใหเ้ กดิ การไดเ้ ปรยี บเชงิ กลมากใหเ้ พม่ิ ความยาวของพน้ื เอยี ง เพราะพน้ื เอยี ง ย่ิงลาดมาก ระยะทางทแ่ี รงพยายามเคลื่อนท่จี ะยงิ่ ยาวกวา่ ระยะทางที่แรงตา้ นเคล่อื นท่ี ตวั อย่างท่ี 3.9 ต้องการส่งวสั ดหุ นัก 1,200 นวิ ตัน จากพืน้ ขึน้ ท้ายรถบรรทุกซึ่งสงู 4 เมตร โดยใช้ แรงพยายาม 200 นวิ ตนั จะตอ้ งใชพ้ น้ื เอยี งทม่ี คี วามยาวเทา่ ไร และถา้ พน้ื เอยี งดงั กลา่ วมปี ระสทิ ธภิ าพ 80 เปอรเ์ ซ็นต์ จงหาแรงท่ีใชใ้ นการดนั วัสดุดงั กล่าว วิธีทำ� กำ�หนดให ้ W = 1,200 N, H = 4 m, E = 200 N จากความสัมพนั ธ์ของงานจะได้ W L 1,200 L E = H แทนค่าได้ 200 = 4 \\ L = 24 m ถา้ พน้ื เอียงมปี ระสิทธิภาพ 80% จะได้ A.M.A. = 1,200 และ I.M.A. = 24 E 4 1,200 E แทนค่าในสมการ 3.9 ได ้ 80% = 6 x 100% \\ E = 250 N จะตอ้ งออกแรงเปน็ 250 นวิ ตัน สกรู (Screw) สกรู เป็นเคร่ืองกลอีกประเภทหน่ึง มีลักษณะเป็นแท่งทรงกระบอกตันมีเกลียวพันรอบ ลกั ษณะการท�ำงานคล้ายพ้ืนเอียง เกลยี วสกรูเปรยี บเสมือนพ้นื เอยี งทย่ี าวมาก แตด่ ัดแปลงใหว้ นรอบ ทรงกระบอกเพอ่ื จ�ำกดั พ้ืนท่ี ตัวอย่างของสกรูดังรูปที่ 3.13 บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครือ่ งมือกลเบ้อื งตน้ 69

F PR รูปท่ี 3.13 สกรู เมือ่ หมุนคานรัศมี R ด้วยแรงพยายาม E ใหห้ มุนไปครบ 1 รอบ เกลยี วของสกรูจะขยบั ข้ึนมา 1 ช่วงเกลียว เรียกวา่ ระยะพิตช์ (P) เพอ่ื ยกน�้ำหนกั W ขน้ึ จากหลักการของงานจะได้ว่า งานที่กระท�ำจะ เทา่ กับงานท่ไี ดร้ ับ หรอื E x 2pR = W x P ดังน้นั การได้เปรียบเชิงกล คือ M.A. = W = 2πR (3.17) E P กรณที ีป่ ระสิทธิภาพไม่ถึง 100 เปอร์เซน็ ต์ จะพิจารณาไดว้ ่า A.M.A. = W และ I.M.A. = 2πR (3.18) E P ตวั อย่างท่ี 3.10 หมุนดา้ มของแม่แรง 5 รอบ จะยกรถยนต์หนกั 20,000 นวิ ตันไดส้ งู 10 เซนตเิ มตร ถา้ ดา้ มของแมแ่ รงยาว 50 เซนตเิ มตร และประสทิ ธภิ าพของแมแ่ รงเปน็ 75 เปอรเ์ ซ็นต์ จะต้องออกแรง ในการหมนุ ด้ามเทา่ ไร วธิ ที �ำ กำ�หนดให้ W = 20,000 N, R = 50 cm = 0.5 m, h = 75% หา E = ? เม่อื หมนุ ด้าม 5 รอบ ไดค้ วามสงู 10 cm ดังนั้น เมื่อหมุนด้าม 1 รอบ ไดค้ วามสูง 10/5 = 2 cm \\ P = 2 cm = 0.02 m 70 บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเครื่องมอื กลเบ้อื งต้น

แทนคา่ ในสมการได้ A.M.A. = 20,000 และ I.M.A. = 2π0.5 = 50p E 0.02 แทนคา่ ในสมการประสทิ ธิภาพได้ 20,000 E 75% = 50π x 100% ∴ E = 170 N ต้องออกแรงในการหมุน 170 นิวตนั ล่มิ (Wedge) ลิ่ม เป็นเครื่องมือกลอย่างหนึ่งใช้ในการแยกแบ่งวัตถุ มีลักษณะเป็นหน้าตัดรูปสามเหลี่ยมมี ด้านลึกทรงตนั มดี า้ นหน่ึงเปน็ สนั เพือ่ ใชส้ �ำ หรบั ตอกใหล้ ่ิมจมลงในวตั ถุ ดงั รปู ท่ี 3.14 รปู ท่ี 3.14 ลม่ิ บทที่ 3 งาน พลังงาน และเครอ่ื งมอื กลเบ้ืองตน้ 71

กำ�หนดใหส้ ันของลม่ิ กว้าง L และมคี วามสูง H โดยที่ E เป็นแรงพยายามในการตอกและ W เป็นแรงตา้ น (แรงยดึ ) ของวตั ถุ จากหลกั การของงานจะไดว้ า่ งานทตี่ อกจะเท่ากบั งานที่ต้านแรงตอก หรอื E x H = W x L ดังนั้น การได้เปรียบเชิงกลคอื W H M.A. = E = L (3.19) กรณที ่ปี ระสิทธิภาพไมถ่ งึ 100 เปอร์เซน็ ต์ ใหพ้ ิจารณาในลักษณะของการเปรียบเทยี บบญั ญตั ไิ ตรยางค์ ตวั อยา่ งท่ี 3.11 ลม่ิ ตอกไมก้ วา้ ง 6 cm ยาว 15 cm จะตอ้ งออกแรงในการตอกเทา่ ไร จงึ จะท�ำ ใหล้ ม่ิ จมลงไปในเนอ้ื ไมท้ ม่ี แี รงตา้ น 750 N พอดี และถา้ ลม่ิ มปี ระสทิ ธภิ าพ 80 เปอรเ์ ซน็ ต์ แรงดงั กลา่ วจะทำ�ใหล้ มิ่ จมลงไปไดเ้ ท่าไร วิธีทำ� ลิ่มจมลงไปในเนือ้ ไมพ้ อดี แสดงว่าลมิ่ มปี ระสิทธิภาพ 100 เปอร์เซน็ ต์ กำ�หนดให้ H = 15 cm, L = 6 cm และ W = 750 N ดงั นนั้ W H WL 750(6) M.A. = E = L หรือ E= H = 15 = 300 ∴ E = 300 N ต้องออกแรงในการตอก 300 นวิ ตัน เมื่อลิ่มมปี ระสิทธิภาพ 80% ดงั น้นั ประสทิ ธิภาพ 100 ลม่ิ จมลงได้ 15 cm \\ ประสิทธภิ าพ 80 ล่ิมจมลงได้ 15(80) cm = 12 cm 100 72 บทท่ี 3 งาน พลังงาน และเคร่อื งมือกลเบอ้ื งตน้

แบบทดสอบและกิจกรรมการฝึกทักษะ บทท่ี 3 งาน พลงั งาน และเคร่ืองมอื กลเบอ้ื งตน้ ตอนท่ี 1 อธบิ าย (หมายถงึ การใหร้ ายละเอยี ดเพม่ิ เตมิ ขยายความ ถา้ มตี วั อยา่ งใหย้ กตวั อยา่ งประกอบ) 1. อธบิ ายและยกตวั อยา่ งงาน (Work) 2. อธบิ ายและยกตวั อย่างก�ำลัง (Power) 3. อธบิ ายและยกตัวอย่างพลังงาน (Energy) 4. อธิบายและยกตัวอย่างการเปลย่ี นแปลงของพลังงานกลกบั การเคลอื่ นท่ขี องวตั ถุ 5. อธิบายและยกตัวอย่างเครอื่ งมอื กลเบ้ืองตน้ 6. อธิบายและยกตัวอย่างโมเมนต์ (Moment) 7. อธิบายและยกตัวอยา่ งคาน (Level) 8. อธิบายและยกตวั อยา่ งล้อและเพลา 9. อธบิ ายและยกตวั อย่างรอก (Pulley) 10. อธิบายและยกตัวอย่างพื้นทีเ่ อียง (Inclined Plane) 11. อธบิ ายและยกตวั อยา่ งสกรู (Screw) 12. อธิบายและยกตัวอยา่ งลมิ่ (Wedge) ตอนที่ 2 อธิบายค�ำศัพท์ (หมายถึง การแปลค�ำศพั ท์ ขยายความ อธิบายเพ่ิมเติม ถ้ามตี ัวอย่าง ให้ยกตวั อย่างประกอบ) 1. Work 8. Level 2. Power 9. Wheel and Axle 3. Energy 10. Pulley 4. Mechanical Energy 11. Inclined Plane 5. Machines 12. Screw 6. Mechanical Advantage (M.A.) 13. Wedge 7. Moment บทที่ 3 งาน พลังงาน และเคร่ืองมอื กลเบื้องต้น 73

ตอนท่ี 3 แสดงวิธีท�ำ 1. ในคราวเกิดเพลิงไหม้ตึกหลังหนึ่ง เจ้าหน้าท่ีดับเพลิงใช้กระเช้าปั้นจ่ันรับหญิง 2 คน จากชั้นท่ี 6 ลงมาด้วยอัตราเร็ว 3 เมตรต่อวินาที ในช่วงก่อนถึงพ้ืนดิน ถ้าตัวกระเช้าหนัก 1,200 นิวตัน และ หญงิ สองคนมนี �ำ้ หนักเฉล่ียคนละ 450 นวิ ตัน จงหาก�ำลังทีป่ ้ันจัน่ ใช้ 2. ถั่วเปลือกแข็งชนิดหนึ่งต้องการแรงบีบ 40 นิวตัน ในการบีบเปลือกให้แตก ต้องออกแรงบีบ F ในการบีบเท่าไรเพือ่ กะเทาะเปลอื กถัว่ น้ี สมมุตใิ หแ้ รง F กระท�ำ ต้ังฉากกับแนวของดา้ มบีบ F 12 cm c2m.6 F 3. ป้ายร้านหมอฟันแห่งหนึ่งเป็นรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวดา้ นละ 2 เมตร มมี วล 50 กโิ ลกรมั ถกู แขวน ไวบ้ นคานเบายาว 3 เมตร ทป่ี ลายดา้ นหนง่ึ ของคานผกู ไวด้ ว้ ยสายเคเบลิ ซงึ่ ยดึ อกี ขา้ งหนง่ึ ไวท้ ก่ี �ำแพง ณ ต�ำแหน่งทส่ี ูงจากบานพับ (Hinge) 4 เมตร ดังรปู จงหา ก) แรงตึงของสายเคเบิล ข) แรงกระท�ำที่บานพบั ทั้งแนวดงิ่ และแนวระดับ 4.00 m Cable Hinge Rod H. Pom 2.00 m DENTIST 2.00 m 3.00 m 74 บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเครื่องมือกลเบอื้ งต้น

4. ระบบรอกดังรูป มีอัตราส่วนแรงพยายามกับแรงต้าน (น�้ำหนัก) เป็น 1 : 4 น่ันคือ ออกแรง 25 นวิ ตนั จะสามารถยกของได้ 100 นวิ ตนั ใหด้ ดั แปลงระบบรอกนใี้ หม่ เพอื่ ใหส้ ามารถยกนำ�้ หนกั ได้ เป็น 150 นิวตัน โดยใช้แรงพยายามเท่าเดิม พรอ้ มท้ังหาความได้เปรียบเชิงกลของระบบรอกท่ี ดดั แปลงนี้ By V.Ryan 25 N Final Effort 100 N Load 5. ระบบรอกดังรูปใช้ในการยกน้ำ� หนัก 100 นวิ ตัน จงหา ก) ความได้เปรียบเชงิ กลของรอก ข) ตอ้ งออกแรงดึงอยา่ งนอ้ ยเท่าไร ค) ถ้าระยะแรงดึงในข้อ ข) เปน็ 3 เมตร จะยกน�้ำหนักไปไดส้ ูงกีเ่ มตร EFFORT m FINAL EFFORT EFFORT 3 (C)LOAD 100 N 75 บทท่ี 3 งาน พลงั งาน และเครือ่ งมอื กลเบอ้ื งตน้

6. ลังบรรจุอาหารมวล 15 กิโลกรัม ถูกลากขึ้นพ้ืนเอียงไร้แรงเสียดทานเป็นระยะทาง L = 15 m ขนึ้ ไปทร่ี ะดับความสงู h = 2.5 m ก�ำหนดให้ g = 10 m/s2 จงหา ก) งานที่ท�ำไดโ้ ดยน�้ำหนกั ของลงั อาหาร ข) งานท่ีได้จากแรงทล่ี าก ค) ถ้าพ้ืนเอียงมีความฝืด ท�ำให้ประสิทธิภาพลดลงเหลือ 85% จงหาแรงที่ใช้ในการลากลงั น้ี 7. สลักเกลียวมีระยะพิตช์ 3 mm ถ้าต้องการขันให้แน่นด้วยประแจยาว 150 mm ให้เกดิ แรงยึด ในสลัก 39,240 นวิ ตัน ต้องออกแรงทด่ี ้ามประแจเทา่ ไร 8. ลอ้ และเพลาชดุ หนงึ่ ประสทิ ธภิ าพ 75% มเี สน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางลอ้ 60 cm และเสน้ ผา่ นศนู ยก์ ลางเพลา 20 cm ตอ้ งการยกถังนำ�้ มวล 30 kg จะต้องออกแรงเท่าไร ก�ำหนดให้ g = 10 m/s2 9. หาขนาดของแรงแยกบนหน้าลิ่ม ถ้าล่ิมมีความยาว 130 mm และกวา้ ง 65 mm โดยออกแรง ตอกล่มิ 950 นวิ ตนั แล้วลมิ่ จมลงพอดี 76 บทที่ 3 งาน พลงั งาน และเคร่อื งมอื กลเบือ้ งตน้

4บทที่ ฟงั กช์ ัน ตรโี กณมติ ิ จดุ ประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม (Behavioral Objective) หลังจากศึกษาจบบทเรยี นน้ีแลว้ นกั ศกึ ษามีความสามารถดังนี้ 1. บอกชอ่ื หน่วยท่ีใช้ในการวดั มมุ 2. คำ�นวณหาขนาดของมมุ 3. ค�ำ นวณเปลี่ยนค่าองศากับเรเดยี นและเรเดียนเป็นองศา 4. ระบุฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ 5. คำ�นวณหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิตขิ องมุมจากรปู สามเหล่ยี มแบบตา่ ง ๆ 6. หาค่าฟังกช์ ันตรโี กณมิติจากวงกลมหน่งึ หน่วย

4บทที่ ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ มุมและการวดั มมุ มมุ ทใ่ี ช้ในวิชาตรีโกณมิติอยู่เสมอ คือ มมุ ในตำ�แหนง่ มาตรฐาน มุมในตำ�แหน่งมาตรฐาน ดังรูปที่ 4.1 คือ มุมที่จุดยอดมุมอยู่ที่จุดกำ�เนิด (Origin) หรือ จุดศูนย์กลางของวงกลมหนึ่งหน่วย และจุดเริ่มต้นออกจากแกน X วัดทวนเข็มนาฬิกามีเครื่องหมาย เป็นบวก วดั ทวนเขม็ นาฬกิ ามีเครอื่ งหมายเปน็ ลบ YA Y 0x 0x B A^OX วัดทวนเขม็ มีคา่ เปน็ บวก BO^X วัดตามเข็มมคี ่าเปน็ ลบ รูปท่ี 4.1 มุมในตำ�แหนง่ มาตรฐาน 78 บทที่ 4 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

หนว่ ยในการวัดมุมมี 2 ชนิด 1. การวดั มมุ ในหนว่ ยองศา นยิ มในการใชก้ บั การเดนิ เรอื และในทางดาราศาสตร์ ซง่ึ มมี าตราดงั น้ี 60\" (พิลปิ ดา) = 1' (ลปิ ดา) 60' (ลิปดา) = 1° (องศา) 90° (องศา) = 1 มุมฉาก 2. การวัดมุมในหน่วยเรเดียน การวัดมุมในหน่วยเรเดียนนิยมใช้มากในวิชาคณิตศาสตร์และ ในวิชาช่างอตุ สาหกรรม โดยมมุ ขนาด 1 เรเดยี น เป็นมมุ ทจ่ี ุดศนู ย์กลางของวงกลมทร่ี องรับดว้ ยสว่ นโค้ง ของวงกลมท่ียาวเท่ากับรศั มี ดงั รูปที่ 4.2 r θ s=r รูปที่ 4.2 การวัดมมุ เรเดยี น จะเหน็ วา่ ถา้ θ ขนาดโตขน้ึ คา่ r จะคงท่ี แตค่ า่ s จะมากขน้ึ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งขนาดของมมุ (หน่วยเปน็ เรเดียน) คอื ความยาวของสว่ นโคง้ ขนาด = รัศมี หรอื θ = = π = 2π ความสัมพันธ์ระหว่างมมุ ในหน่วยองศาและหนว่ ยเรเดียน เนื่องจากวงกลม 1 หนว่ ย มีจุดศูนยก์ ลางทีร่ องรับดว้ ยส่วนโค้งยาว s เรเดยี น ดังนน้ั 360° = 2π เรเดยี น และ 180° = π เรเดียน บทท่ี 4 ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ 79

ตัวอย่างที่ 4.1 1. จงเปลย่ี น 144° ใหเ้ ปน็ หน่วยเรเดียน 2. จงเปล่ียน 3 เรเดยี น และ π/5 เรเดียน ใหเ้ ป็นหนว่ ยองศา วิธีท�ำ 1. จาก 180° = π rad ดังนัน้ 144° = (144)π/180 = 4π/5 rad 2. จาก 1 rad = 180/π องศา ดังนั้น 3 rad = 3(180)/π = 540/π = 172 องศา จาก π rad = 180 องศา ดงั นน้ั π/5 rad = 180/5 = 36 องศา ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติมที งั้ หมด 6 ฟงั ก์ชัน ได้แก่ 1. Sine (Sin) 2. Cosecant (Cosec, Csc) เปน็ ส่วนกลับของ Sin 3. Tangent (Tan) 4. Cotangent (Cot) เปน็ ส่วนกลบั ของ Tan 5. Cosine (Cos) 6. Secant (Sec) เป็นสว่ นกลบั ของ Cos การเขียนฟังกช์ นั ตรีโกณมติ จิ ะต้องเขยี นรวมกบั มุมเสมอ ถา้ เขยี นรวมกบั มมุ θ ก็จะเขยี นเป็น sin θ , cos θ หรือ cot θ เปน็ ต้น ฟงั ก์ชันตรีโกณมิตขิ องมุม 30°, 45° และ 60° จากรูปสามเหล่ียมมมุ ฉาก รปู สามเหล่ียมมมุ ฉากมี 3 ด้าน ในเรือ่ งตรีโกณมิตเิ รยี กด้านแต่ละดา้ นของรปู สามเหล่ยี มมุมฉาก ดงั รปู ที่ 4.3 80 บทที่ 4 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ

A ด้านตรงข้ามมมุ ฉาก ดา้ นตรงขา้ มมมุ θ C θB ดา้ นประชดิ มมุ θ รูปท่ี 4.3 ด้านของรปู สามเหลยี่ มมุมฉาก เราสามารถหาคา่ ฟังกช์ ันตรีโกณมิติของมุมจากรูปสามเหล่ยี มมมุ ฉาก ไดด้ ังน้ี sin θ = ดา้ นตรงขา้ มมมุ θ = ส่วนกลบั คือ csc θ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก = ดา้ นตรงขา้ มมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม θ cos θ = ดา้ นประชิดมมุ θ = ส่วนกลับคือ sec θ = ด้านตรงข้ามมุมฉาก = ด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก ด้านประชิดมมุ θ tan θ = ดา้ นตรงขา้ มมมุ θ = ส่วนกลบั คือ cot θ = ดา้ นประชดิ มุม θ = ดา้ นประชิดมมุ θ ดา้ นตรงขา้ มมุม θ จากฟงั กช์ ันตรโี กณมิติข้างต้นจะได้ sin θ • csc θ = 1 cos θ • sec θ = 1 tan θ • cot θ = 1 sin θ cos θ tan θ = cos θ cot θ = sin θ A c b รปู ท่ี 4.4 ทฤษฎบี ทพิทากอรัส C a θB บทที่ 4 ฟังก์ชันตรโี กณมิติ 81

จากรูปท่ี 4.4 ประยกุ ต์กับทฤษฎีบทพิทากอรัส จะได้ a2 + b2 = c2 น�ำ c2 หารตลอดจะได้ + = หรือ + =1 แต่ = cos θ และ = sin θ ดังน้ัน sin2 θ + cos2 θ = 1 ในท�ำ นองเดยี วกนั น�ำ b2 หารตลอดจะได้ sec2 θ = 1 + tan2 θ น�ำ a2 หารตลอดจะได้ csc2 θ = 1 + cot2 θ การหาค่าฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ 30°, 45° และ 60° จากรปู สามเหลย่ี มมมุ ฉากน้นั พิจารณาจากรปู ที่ 4.5 จะได้คา่ ในตารางที่ 4.1 A 2 A 1 45∘ C 45∘ 30∘ 1 22 B 3 B 60∘ 1 C 1 60∘ D รูปที่ 4.5 ด้านต่าง ๆ ของรูปสามเหล่ยี มมุมฉาก 82 บทท่ี 4 ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ

ตารางท่ี 4.1 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิตขิ องมุม 30∘, 45∘ และ 60∘ มุม 45∘= π 30∘= π 60∘= π ฟังกช์ นั 4 6 3 sin θ cos θ 1 1 3 tan θ 2 2 2 cosec θ sec θ 1 3 1 cot θ 2 2 2 1 1 3 2 2 2 3 2 2 2 3 1 3 1 3 การหาคา่ ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติจากวงกลมหน่ึงหน่วย y (-x, y) P (x, y) 1 y x 0 θx A (1, 0) (-x, -y) (x, -y) รูปท่ี 4.6 วงกลมหนงึ่ หนว่ ย รศั มี OP 83 บทท่ี 4 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ

จากรปู ท่ี 4.6 กำ�หนดให้ O เปน็ จดุ ศนู ยก์ ลางของวงกลมหนงึ่ หน่วย รศั มี OP หมุนในทิศทาง ทวนเขม็ นาฬกิ า จากต�ำ แหนง่ เริ่มต้น OA ได้มุมขนาด θ จดุ ศนู ย์กลางของจดุ ปลายสว่ นโคง้ ทร่ี องรบั มุม θ คอื จดุ P (x, y) จะได้ cos θ = = x และ sin θ = = y ส่วนฟังก์ชันอ่ืน ๆ นยิ าม ดงั น้ี sec θ = และ csc θ = tan θ = และ cot θ = การหาคา่ ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องมมุ ทอ่ี ยบู่ น แกน x และแกน y π (0, 1) 2 π(-1, 0) 1 2π(1, 0) 1 3π (0, -1) 2 รูปที่ 4.7 วงกลมหนึ่งหน่วย รศั มี r จากรปู ท่ี 4.7 จดุ ปลายของส่วนโค้งมุม 0°, 90°, 180°, 270° และ 360° คือ จดุ (1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1) และ (1, 0) ตามล�ำ ดบั จะไดค้ า่ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ บนแกน x และ y ดงั ตารางท่ี 4.2 84 บทที่ 4 ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

ตารางที่ 4.2 ค่าฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องมมุ บนแกน x และ y มมุ 0° 90°= π 180° = π 270°= 3π 360°= 2π ฟังก์ชนั 2 2 0 0 0 sin θ 1 1 -1 -1 1 cos θ 0 0 0 tan θ หาค่าไม่ได้ 0 หาคา่ ไมไ่ ด้ 0 หาคา่ ไม่ได้ csc θ 1 1 1 sec θ หาค่าไมไ่ ด้ หาคา่ ไม่ได้ หาค่าไม่ได้ หาคา่ ไมไ่ ด้ หาค่าไม่ได้ cot θ 1 1 หาค่าไมไ่ ด้ หาค่าไม่ได้ 0 0 ฟังกช์ ันตรีโกณมิติของมุม 30°, 45° และ 60° จากวงกลมหนงึ่ หนว่ ย ตามรปู ท่ี 4.8, 4.9 และ 4.10 เป็นฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ ส�ำ หรบั มมุ 30°, 45° และ 60° ตามล�ำ ดับ และไดร้ วมท้งั สามมมุ ดังกลา่ วไวใ้ นรปู ที่ 4.11 π (0, 1) 2 π π(-1, 0) 1 6 7π 30∘ 6 21 2π(1, 0) 11π 6 3π (0, -1) 2 รูปที่ 4.8 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตขิ องมมุ 30∘ บทท่ี 4 ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ 85

π (0, 1) 2 3π 1 π 4 45∘ 4 π(-1, 0) 2π(1, 0) 5π 7π 4 4 3π (0, -1) 2 รูปที่ 4.9 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิของมุม 45∘ π (0, 1) 2 2π π 3 1 3 60∘ π(-1, 0) 2π(1, 0) 1 2 4π 5π 3 3 3π (0, -1) 2 รปู ท่ี 4.10 ฟงั กช์ ันตรีโกณมิตขิ องมุม 60∘ 86 บทท่ี 4 ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ

2π π (0, 1) π 3 2 3 3π π π 4 4 6 5π 6 45∘ (-1, 0)π 30∘ 2π(1, 0) 7π 11π 6 6 7π 5π 4 4 5π 3 4π 3π (0, -1) 3 2 รปู ที่ 4.11 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องมุม 30∘, 45∘และ 60∘ ตวั อยา่ งท่ี 4.2 ก�ำ หนดอตั ราส่วนของด้านของรปู สามเหล่ยี ม ให้พิจารณาว่าข้อใดเปน็ รปู สามเหลยี่ ม มุมฉาก ก) 8 : 12 : 10 ข) 12 : 13 : 5 ค) 6 : 10 : 8 วิธที ำ� ก) ไมเ่ ปน็ สามเหล่ียมมมุ ฉาก เนื่องจาก 122 ≠ 102 + 82 ข) เปน็ สามเหลีย่ มมมุ ฉาก เน่ืองจาก 132 = 122 + 52 ค) เปน็ สามเหลย่ี มมมุ ฉาก เนื่องจาก 102 = 62 + 82 ตวั อย่างที่ 4.3 จากรปู สามเหลย่ี มที่ก�ำ หนดให้ 7.5 จงหาความยาวของด้านท่ีเหลอื z 6 87 บทที่ 4 ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ

วธิ ีทำ� เนอื่ งจาก (7.5)2= z2 + 62 A ดงั นั้น z2 = 56.25 - 36 = 20.25 z = 4.25 ตวั อย่างท่ี 4.4 จากรปู ตน้ ไม้สงู เทา่ ไร วธิ ีท�ำ จะได้ AB2 = AC2 + BC2 302 = AC2 + 182 30 ฟ ตุ AC2 = 900 – 324 = 576 AC = 24, -24 เลอื กใช้คา่ บวก C ดงั นัน้ ตน้ ไมส้ ูง 24 ฟตุ B 18 ฟุต ตัวอยา่ งที่ 4.5 กำ�หนดจ�ำ นวนจริง θ ใหห้ าจดุ ปลายสว่ นโค้งทีย่ าว θ หน่วยทก่ี ำ�หนดให้ 1) θ = 136π -20π 2) θ = 3 วิธีทำ� 1) คา่ มุมเป็นบวกวัดทวนเขม็ นาฬิกา ครบรอบทุก 2π ดังนน้ั θ = 136π = 2π + π 6 π นัน่ คือ มมุ เดินเปน็ วงกลมทวนเขม็ นาฬิกาครบ 1 รอบ และเลยขึน้ ไป 6 หรือ 180/6 = 30° π/6 2π 88 บทท่ี 4 ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ

2) ค่ามุมเปน็ ลบวัดทวนเขม็ นาฬิกา ครบรอบทกุ 2π ดงั นัน้ -20π π θ = 3 = -7π + 3 นน่ั คอื มมุ เดนิ เปน็ วงกลมตามเขม็ นาฬกิ าครบครง่ึ รอบ 7 ครง้ั และถอยลงมา π หรอื 180/3 = 60° 3 -20π/3 -7π ถอยลงมา π/3 หมนุ ทางนี้ทีละ π จนครบ 7 ครง้ั ค่าของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซนข์ องจำ�นวนจรงิ ใด ๆ พจิ ารณารปู ท่ี 4.12 ถา้ ส่วนโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยที่เชอ่ื มระหว่างจุด (1, 0) กบั (x, y) ยาว |θ| หน่วย สว่ นโค้งของวงกลมหนึง่ หนว่ ยท่ีเช่ือมระหว่างจดุ (1, 0) กบั จดุ (x, -y) จะตอ้ งยาว |θ| หนว่ ย เมอ่ื θ แทนจำ�นวนจรงิ ใด ๆ y (x, y) x θ (1, 0) -θ (x, -y) รปู ที่ 4.12 วงกลมหนงึ่ หน่วยบนแกน x และ y 89 บทที่ 4 ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ

จากจดุ (x, y) และ (x, -y) สรุปไดว้ า่ sin (-θ) = -sin θ cos (-θ) = cos θ ดังน้ัน การหาค่าของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิของจำ�นวนจริงต้ังแต่ 0 ถงึ 2π จงึ เป็นดังน้ี จุดปลายสว่ นโคง้ ทีย่ าว θ หนว่ ยอยู่ใน ควอดรนั ต์ ที่ 1 ควอดรนั ต์ ที่ 2 ควอดรนั ต์ ที่ 3 ควอดรนั ต์ ที่ 4 0 < θ < π /2 π 3π 3π 2 < θ < π π < θ < 2 2 < θ < 2π sin (π - θ) = sin θ sin (π - θ) = sin θ sin (π + θ) = -sin θ sin (2π - θ) = -sin θ cos (π - θ) = -cos θ cos (π - θ) = -cos θ cos (π + θ) = -cos θ cos (2π - θ) = cos θ tan (π - θ) = -tan θ tan (π - θ) = -tan θ tan (π + θ) = tan θ tan (2π - θ) = -tan θ ตัวอย่างที่ 4.6 จงหาคา่ ของ cos 25π x cos 15π - sin 16π x sin 13π 4 4 3 4 25π 15π 16π 13π วธิ ีทำ� cos 4 x cos 4 - sin 3 x sin 4 = cos 6π + π x cos 4π - π - sin 4π + 4π x sin 4π - 3π 4 4 3 4 = cos π x cos - π - sin 4π x sin - 3π 4 4 3 4 = cos π x cos π + sin 4π x sin 3π 4 4 3 4 = x - x = 1 - = 1 - 2 2 \\ cos 25π x cos 15π - sin 16π x sin 13π = 4 4 3 4 90 บทท่ี 4 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของ จ�ำ นวนจรงิ หรือมุม ถ้า A, B เปน็ จำ�นวนหรือมุมท่ที �ำ ให้ฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ติ ่อไปนีม้ ีค่า แล้วฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตขิ อง ผลบวกและผลตา่ งของจำ�นวนจรงิ หรือมมุ เปน็ ดงั นี้ 1. sin (A + B) = sin A . cos B + cos A . sin B 2. sin (A - B) = sin A . cos B - cos A . sin B 3. cos (A + B) = cos A . cos B - sin A . sin B 4. cos (A - B) = cos A . cos B - sin A . sin B tan A + tan B 5. tan (A + B) = 1 - tan A . tan B 6. tan (A - B) = 1 tan A - tan B B + tan A . tan B) = coctoBt . cot A -1 7. cot (A + B + cot A 8. cot (A - B) = coctoBt . cot A + 1 B - cot A ตัวอย่างท่ี 4.7 จงหาคา่ ของ sin 15° วธิ ที ำ� พยายามทำ�ให้มมุ อยู่ในค่าของมมุ ทีท่ ราบค่า คอื 30, 45, 60, 90 เปน็ ต้น ดังนัน้ sin 15° = sin (45°– 30°) จาก sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B แทนคา่ ได้ sin (45 - 30) = sin 45 cos 30 - cos 45 sin 30 sin 15° = x - x 1 = - 1 = 0.259 2 ตัวอยา่ งที่ 4.8 ถ้า tan A = 2 และ A + B = 135° เมือ่ B เปน็ มุมแหลม แลว้ cos B มคี ่าเทา่ ไร tan A + tan B วธิ ีท�ำ tan (A + B) = 1 - tan A tan B แต่ A + B = 135 tan A + tan B ดังนน้ั tan (135) = 1 - tan A tan B บทที่ 4 ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ 91