(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.1

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 239 ( )จาก Sn = a1 1 − r n 1− r 1 ( 5, 832 )  −  2 6  3 1  3   จะได = = 5,320 S6 1− 2 3 นนั่ คือ เม่ือครบ 6 วนั ใชน ้ําไปทั้งหมด 5,320 ลิตร ดังน้ัน เมอื่ ครบ 6 วนั จะมนี ้ําเหลอื อยใู นถัง 5,832 − 5,320 =512 ลิตร 7. จาก รถยนตมมี ลู คา ลดลง 20% หมายความวา ราคารถยนตคันนจี้ ะลดลง 20% ของราคา รถยนตคันน้ใี นปกอ นหนา บริษัทซื้อรถยนตค ันน้ีมาราคา 1,000,000 บาท เมือ่ ครบ 1 ป รถยนตค นั นจ้ี ะมรี าคาลดลง 0.2(1,000,000) บาท ทาํ ใหมูลคาของรถ เทา กบั 1,000,000 − 0.2(1,000,000) =0.8(1,000,000) บาท เมอื่ ครบ 2 ป รถยนตค นั นี้จะมีราคาลดลง 0.2(0.8(1,000,000)) บาท ทาํ ใหมลู คา ของรถ เทากบั 0.8(1,000,000) − 0.2(0.8(1,000,000)) =(0.8)2 (1,000,000) บาท เมือ่ ครบ 3 ป รถยนตคนั นีจ้ ะมรี าคาลดลง ( )0.2 (0.8)2 (1,000,000) บาท ทําใหม ลู คา ของรถ ( )เทา กับ (0.8)2 (1,000,000) − 0.2 (0.8)2 (1,000,000) =(0.8)3 (1,000,000) บาท ในทาํ นองเดียวกนั เม่ือครบ n ป รถยนตคนั นจี้ ะมรี าคาลดลง ( )0.2 (0.8)n−1 (1,000,000) บาท จะไดว า เมื่อครบ 1, 2, 3, , n,  ป รถยนตค นั น้ีจะมรี าคาลดลง เทากับ ( ) ( )0.2(1000000), 0.2(0.8(1000000)), 0.2 (0.8)2 (1000000) , , 0.2 (0.8)n−1 (1000000) ,  ซึ่งเปน ลําดบั เรขาคณิตที่มีพจนแรกเปน 0.2(1000000) และอตั ราสวนรวมเปน 0.8 ให Sn แทนผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตคนั นี้ เม่ือครบ n ป ดังนัน้ ผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตคนั นี้ เมอ่ื ครบ 5 ป คอื S5 ( )จาก Sn = a1 1− rn 1− r ( )จะได S5 = 0.2(1,000,000) 1− (0.8)5 = 672,320 1 − 0.8 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

240 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 นั่นคือ ผลรวมของราคาที่ลดลงของรถยนตค นั นี้ เมือ่ ครบ 5 ป คอื 672,320 บาท ดังนน้ั เมอ่ื ครบหา ป รถยนตคันน้ีจะมมี ูลคา 1,000,000 − 672,320 =327,680 บาท 8. ใ=ห a1 1=60, r 3 และ Sn = 2,110 2 ( )จาก Sn = a1 r n −1 r −1 จะได 2,110 =   3 n  160   2  − 1 3 −1 2 160   3 n −    2  1 2,110 = 1 2 2,110 =   3 n  320   2  − 1  3 n −1 = 211  2  32  3 n = 243  2  32  3 n =  3 5  2   2  n=5 ดังนั้น 9. ให a1, a2 , a3,  เปน ลําดบั เรขาคณิตทม่ี ี a1 + a2 =−3 และ a5 + a6 =− 3 16 จาก an = a1rn−1 จะได a1 + a2 = −3 a1 + a1r = −3 ------ (1) a1 (1+ r ) = −3 และ a5 + a6 = −3 16 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 241 a1r 4 + a1r5 = −3 16 a1r4 (1+ r ) = −3 ------ (2) 16 จาก (1) และ (2) จะได r4 = 1 16 นน่ั คอื r = 1 หรอื r = − 1 22 กรณี r = 1 จาก (1) จะได a1 = −2 2 ( )จาก Sn = a1 1 − r n 1− r −2  −  1 8  1  2   จะได S8 = − 255 = 1− 1 64 2 กรณี r= −1 จาก (2) จะได a1 = −6 2 ( )จาก Sn = a1 1 − r n 1− r ( −6 )  −  − 1 8  1  2   นั่นคือ S8 = = − 255  1  64 1 −  − 2  ดงั นั้น ผลบวกของ 8 พจนแรกของอนุกรมน้ี คือ − 255 64 10. ณ เวลาปจ จบุ ัน มีแบคทีเรยี 1,000 เซลล และแบคทเี รยี จะแบงเซลลโ ดยมจี าํ นวนเพิ่มขนึ้ 20% ในแตล ะชัว่ โมง จะไดวา เมื่อเวลาผา นไป 1 ชว่ั โมง จะมีแบคทีเรียเพิ่มข้ึนจากเริ่มตนจาํ นวน 1,000(0.2)เซลล ดงั นนั้ เม่ือเวลาผานไป 1 ช่ัวโมง จะมีแบคทีเรยี รวม 1,000 +1,000(0.2) =1,000(1.2) เซลล เมื่อเวลาผานไป 2 ชั่วโมง มีแบคทีเรยี เพิ่มขน้ึ จากชว่ั โมงท่ี 1 จํานวน 1,000(1.2)(0.2) เซลล ดังน้นั เม่ือเวลาผานไป 2 ชว่ั โมง จะมแี บคทเี รียรวม 1,000(1.2) +1,000(1.2)(0.2) =1,000(1.2)2 เซลล เมื่อเวลาผานไป 3 ชว่ั โมง มีแบคทีเรยี เพ่ิมข้นึ จากชวั่ โมงท่ี 2 จํานวน 1,000(1.2)2 (0.2) เซลล สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

242 คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ดงั นัน้ เม่ือเวลาผานไป 3 ชั่วโมง จะมีแบคทีเรยี รวม 1,000(1.2)2 +1,000(1.2)2 (0.2) =1,000(1.2)3 เซลล ในทํานองเดยี วกัน เม่ือเวลาผา นไป t ช่วั โมง จะมแี บคทเี รยี เพิม่ ข้นึ จากชวั่ โมงที่ t −1 จํานวน 1,000(1.2)t−1 (0.2) เซลล จะไดวา เมื่อเวลาผานไป 1, 2, 3, , t,  ชวั่ โมง จะมีแบคทเี รยี เพิ่มข้ึน เทากับ 1000(0.2), 1000(1.2)(0.2), 1000(1.2)2 (0.2), , 1,000(1.2)t−1 (0.2),  ซ่งึ เปน ลําดับเรขาคณติ ท่มี ีพจนแรกเปน 1,000(0.2) และอตั ราสวนรวมเปน 1.2 ให St แทนผลรวมของจาํ นวนแบคทเี รียทเี่ พิม่ ขน้ึ เม่ือครบ t ชวั่ โมง ดังนน้ั ผลรวมของจํานวนแบคทีเรยี ที่เพิ่มขึน้ เม่ือครบ t ชัว่ โมง คอื St ( )จาก St = a1 1 − rt 1− r ( ) ( )จะได (1,000(0.2)) 1− (1.2)t St = = 1,000 (1.2)t −1 1 −1.2 ดังนัน้ จํานวนแบคทเี รียทั้งหมดเมื่อเวลาผานไป t ช่วั โมง คอื ( )1,000 + S=t 1,000 +1,000 (1.2)t −1= 1,000(1.2)t เซลล พจิ ารณาเม่อื เวลาผานไป 10 ชั่วโมง จะไดว า จาํ นวนแบคทีเรียท้งั หมดเทา กับ 1,000(1.2)10 ≈ 6,191 เซลล ดังนัน้ สูตรทใี่ ชในการหาจาํ นวนแบคทีเรยี เมื่อเวลาผา นไป t ชั่วโมง และเม่ือเวลาผา นไป 10 ชัว่ โมง จะมีแบคทีเรยี ท้ังหมดประมาณ 6,191 เซลล สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 243 แบบฝกหัด 1.3.3 1. 1) จากอนุกรม 3+2+ 4 +  + 3  2 n−1 +  จะได 3  3  S1 = 3 S2 = 3 + 2 = 5 S3 = 3+2+ 4 = 19 3 3 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn ) จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเปน อนุกรมเรขาคณิต ที่มี a1 =3 และ r = 2 3 และผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิต คอื Sn = ( )a1 1− rn 1− r 3  −  2 n   n  1  3   1   จะไดว า Sn = = 9 −  2 1− 2  3 3 ดงั นัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมนี้ คอื 3, 5, 19 , , 9  −  2 n  ,  3 1  3   2) จากอนุกรม 1 + 5 + 25 + + 1 (5)n−1 + จะได 22 2 2 S1 1 = 2 S2 = 1+5 = 3 22 S3 = 1 + 5 + 25 = 31 22 2 2 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn ) จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 1 และ r =5 2 และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คอื Sn = ( )a1 1− rn 1− r สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

244 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 1 5n −1 =2 ( ) ( )Sn จะไดวา = 1 5n −1 5−1 8 ดงั น้ัน ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมน้ี คือ 1 , 3, 31, , (1 5n −1),  22 8 3) จากอนุกรม 1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + จะได 2  4  8 2n 1 S1 = 2 S2 = 1 +  − 1  = 1 2  4  4 S3 = 1 +  − 1  + 1 = 3 2  4  8 8 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเ ปน อนุกรมเรขาคณิต ท่ีมี a1 = 1 และ r = −1 2 2 และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r 1  −  − 1 n  1  −  − 1 n   n  2 1  2   2 1  2   1   จะไดว า Sn = = = 1 −  − 1  1  3 3  2 1 −  − 2  2 ดังนั้น ลําดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 1, 1, 3 , , 1  −  − 1 n   2 4 8 3 1  2   , 4) จากอนุกรม 2 + (−1) + (− 4) + + (5 − 3n) + จะได S1 = 2 S2 = 2 + (−1) = 1 S3 = 2 + (−1) + (−4) = −3 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเ ปนอนุกรมเลขคณิต ทม่ี ี a1 = 2 และ d = −3 และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต คอื S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 245 จะไดว า Sn = n (2(2) + (n −1)(−3)) = 7n − 3n2 2 2 ดงั นนั้ ลําดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 2, 1, − 3, , 7n − 3n2 ,  2 5) จากอนุกรม 3 + 9 + 27 + +  3 n + จะได 4 16 64  4  3 S1 = 4 S2 = 3+ 9 = 21 4 16 16 S3 = 3 + 9 + 27 = 111 4 16 64 64 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn ) จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเ ปน อนกุ รมเรขาคณิต ท่ีมี a1 = 3 และ r = 3 4 4 และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ คอื Sn = ( )a1 1− rn 1− r 3  −  3 n  3  −  3 n   n  4 1  4   4 1  4   31   จะไดว า Sn = = = −  3 1− 3 1  4 44 ดงั นน้ั ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 3 , 21 , 111 , , 3  −  3 n  ,  4 16 64 1  4   6) จากอนุกรม − 1 + 1 − 1, 1 +  +  −1 n + จะได 10 100 000  10  S1 = −1 10 S2 = −1+ 1 = −9 10 100 100 S3 = −1+ 1 − 1 = − 91 10 100 1,000 1, 000 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมที่กําหนดใหเปนอนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 = −1 และ r = −1 10 10 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

246 คูม ือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิต คือ Sn = ( )a1 1− rn 1− r − 1  −  − 1 n  − 1  −  − 1 n   n  10 1  10   10 1  10   1   จะไดวา Sn = = = − 1 −  − 1  1  11 11  10 1 −  − 10  10 ดังนนั้ ลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รมน้ี คอื − 1 ,− 9 , − 91 , , − 1  −  − 1 n  ,  10 100 1, 000 11 1  10   7) จากอนุกรม 100 +10 +1+ 0.1+ +103−n + จะได S1 = 100 S2 = 100 +10 = 110 S3 = 100 +10 +1 = 111 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn ) จากอนุกรมที่กําหนดใหเ ปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 100 และ r =1 10 และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คอื Sn = ( )a1 1− rn 1− r 100  −  1 n  100  −  1 n   n  1  10   1  10   1   จะไดวา Sn = = = 1, 000 −  1 9  10 1− 1 9 10 10 ดงั นนั้ ลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คอื 100, 110, 111, , 1, 000  1 n   9 1 −  10   , 8) สาํ หรบั จาํ นวนนบั k ใด ๆ จะไดว า 1 = 1 ⋅ k +1 − k −1 k +1+ k −1 k +1 + k −1 k +1 − k −1 = k +1− k −1 (k +1) − (k −1) = k +1 − k −1 ----- (1) 22 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 247 จาก (1) เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดใหมดังนี้ Sn  2− 0  +  3− 1  +  4− 2  +  5− 3  +  +  n −1 − n−3 =  2 2   2 2   2 2   2 2   2 2   n− n− 2  +  n+1 − n −1 +  2 2   2 2  ( )= 1 − 1 + n + n +1 2 ( )= 1 n + n +1 −1 2 จะได ( )=S1 1 2 2 1 + 1+1 −=1 2 1 2 + 2 +1 −=1 1 2 2 ( ) ( )=S2 2 + 3 −1 1 3 + 3 +1 −=1 1 2 2 ( ) ( )=S3 3 + 4 −1 ดงั น้ัน ลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมนี้ คอื ( ) ( ) ( )2 , 1 2 + 3 −1 , 1 3 + 4 −1 ,, 1 n + n +1 −1 , 22 2 2 4  2 n −1 เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี และ 2 3  3  3 2. 1) 3+2+ +  + 3 + a1 =3 r = เนื่องจาก r= 2 <1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา 3 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 3 = 9 1− r 1− 2 3 2) 1+5+ 25 + + 1 ( )5 n−1 + เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 1 และ r =5 22 2 22 เน่อื งจาก r= 5 >1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปน อนกุ รมลูออก สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

248 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 3) 1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 = 1 และ r = −1 2  4  8 2 2 2n เนอื่ งจาก r= 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปนอนกุ รมลเู ขา 2 1 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 2 = 1  1  1− r −  − 2  3 1 4) 2 + (−1) + (−4) ++ (5 − 3n) + เปนอนกุ รมเลขคณิต ทม่ี ผี ลบวกยอ ย n พจนแรก คอื Sn = 7n − 3n2 2 จากลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รมซง่ึ คือ S1, S2, S3, , Sn,   n2  2  2   n2 =   7n−=2 3  พจิ ารณา lim=1 lim  −23=n2  lim  lim  =0 0 Sn→∞  7n n→∞   7    0−3 n→∞  n2  n − 3   n→∞ n n  จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดับลอู อก ดงั นั้น อนกุ รมนี้เปน อนุกรมลูออก 5) 3 + 9 + 27 +  +  3 n + เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 3 และ r = 3 4 16 64  4  4 4 เนอ่ื งจาก r= 3 <1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา 4 3 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 4 = 3 1− r 1− 3 4 6) − 1 + 1 − 1 +  +  − 1 n + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 = −1 และ r = −1 10 100 1000  10  10 10 เนือ่ งจาก =r 1 <1 จะไดวา อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลเู ขา 10 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = −1 = −1 10 1− r 1 −  − 1  11  10  สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 249 7) 100 +10 +1 + 0.1 + +103−n + เปน อนกุ รมเรขาคณิตที่มี a1 = 100 และ r =1 10 เนอ่ื งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปนอนกุ รมลเู ขา 10 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 100 = 1000 1− r 1− 1 9 10 8) 1 + 1 + 1 + + 1 + 2+ 0 3+ 1 4+ 2 n +1 + n −1 เปน อนกุ รมทีม่ ผี ลบวกยอย n พจนแรกคอื =Sn 1( n+ )n +1 −1 2 จากลําดบั ของผลบวกยอยของอนกุ รมซ่งึ คือ S1, S2, S3, , Sn,  พิจารณา lim 1 = lim  2 Sn→∞  n +1 −1 n→∞ n+ n   2    n    n   = lim  n+1 −   n n   n→∞  n+ 1    n n  2  = lim  n n→∞  1 1+ n+1 −   n n 2   n  = lim  1+ 1  1  n→∞ 1+ −  n n lim  2  n  n→∞ =  1 lim 1+  1+ 1 − n→∞  n n 2 lim  1  n  n→∞ = lim1+ lim 1+ 1 − lim 1 n→∞ n→∞ n n→∞ n สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

250 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 2(0) = 1+ 1+0 −0 =0 2 =0 จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลําดับน้ีเปนลาํ ดับลูออก ดังนน้ั อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูออก 3. 1) อนกุ รม 3+ 3+ 3 + 3 ++ 3 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 =3 และ r = 1 2 48 2n−1 2 เนื่องจาก r= 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา 2 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 3 = 6 1− r 1− 1 2 ดังน้ัน ผลบวกของอนุกรมน้ี คือ 6 2) เนอื่ งจาก 4 +1 + 8+1 + 16 +1 + + 2n+1 + 1 +  9 27 81 3n+1 =  4 + 8 + 16 ++ 2n+1 +  +  1 + 1 + 1 ++ 1 +   9 27 81 3n+1   9 27 81 3n+1  พจิ ารณา อนกุ รม 4 + 8 + 16 + + 2n+1 + ซ่งึ เปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 4 9 27 81 3n+1 9 และ r = 2 3 เนอื่ งจาก r= 2 <1 จะไดว า อนกุ รมนี้เปนอนุกรมลเู ขา 3 4 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 9 = 4×3= 4 ----- (1) 1− r 1− 2 9 3 3 พจิ ารณา อนุกรม 1 + 1 + 1 + + 1 + เปนอนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 1 9 27 81 3n+1 9 และ r = 1 3 เนือ่ งจาก r= 1 <1 จะไดวา อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลเู ขา 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 251 1 และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 9 =1×3 =1 ----- (2) 1− r 1− 1 92 6 3 จาก (1) และ (2) จะไดว า 4 +1 + 8+1 + 16 +1 ++ 2n+1 + 1 +  = 4 + 1 = 3 9 27 81 3n+1 3 6 2 ดังนนั้ ผลบวกของอนุกรมน้ี คือ 3 2 3) เม่อื x เปนจํานวนจรงิ จะได 2 1 + (2 1 )2 + (2 1 )3 ++ (2 1 )n + เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี + x2 + x2 + x2 + x2 a1 = 2 1 และ r= 1 + x2 2 + x2 เนอื่ งจาก x2 ≥0 จะได 2 + x2 ≥ 2 และ 0 < 2 1 ≤ 1 <1 + x2 2 ดงั น=นั้ r 1 <1 2 + x2 1 จะไดวา อนุกรมนี้เปนอนุกรมลูเ ขา และผลบวกของอนกุ รม คอื a1 = 2 + x2 = 1 1− r 1 1+ x2 1 − + x2 2 1+ 1 1 1 1 2 + x2 2 + x2 2 + x2 2 + x2 = 1+ x2 ( ) ( ) ( )ดงั นัน้ + 3 ++ n + 2 สาํ หรบั ทกุ x ทเ่ี ปน จํานวนจริง 4. จาก 0.9 = 0.9999 = 0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + = 9 + 9 + 9 + 9 + 10 100 1000 10000 = 9 + 9 + 9 + 9 + 10 102 103 104 จะไดว า 9+ 9 +9 +9 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 =9 และ r =1 10 102 103 104 10 10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

252 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 เนือ่ งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรม คือ 10 99 a1 = 10 = 10 =1 1−r 1− 1 9 10 10 ดงั นั้น 0.9 =9 + 9 +9 + 9 + =1 10 102 103 104 5. 1) จาก 0.21 = 0.212121 = 0.21+ 0.0021+ 0.000021+ = 21 + 21 + 21 +  100 10000 1000000 = 21 + 21 + 21 +  100 1002 1003 จะไดวา 21 + 21 + 21 + เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 21 และ r= 1 100 1002 1003 100 100 เนอื่ งจาก=r 1 <1 จะไดวา อนุกรมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม 100 21 21 คือ a1 = 100 = 100 =7 1−r 1− 1 99 33 100 100 จะไดว า 0.21 = 21 + 21 + 21 +  = 7 100 1002 1003 33 2) จาก 0.6104 = 0.6104104104 = 0.6 + 0.0104 + 0.0000104 + 0.0000000104 +  = 6 + 104 + 104 + 104 +  10 10,000 10,000,000 10,000,000,000 = 6 + 104 + 104 + 104 +  10 104 107 1010 จะไดวา 104 + 104 + 104 + เปนอนุกรมเรขาคณิตทีม่ ี a1 = 104 และ r = 1 104 107 1010 104 103 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 253 เน่ืองจาก =r 1 <1 จะไดวา อนกุ รมนี้เปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม 103 104 104 คือ a1 = 104 = 10, 000 = 104 1− r 1 999 9, 990 1 − 103 1, 000 จะไดวา 0.61 04 =6 + 104 + 104 + 104 +  =6 + 104 =3, 049 10 104 107 1010 10 9, 990 4, 995 3) จาก 7.256 = 7.2565656 = 7.2 + 0.056 + 0.00056 + 0.0000056 + = 72 + 56 + 56 + 56 +  10 1,000 100,000 10,000,000 = 72 + 56 + 56 + 56 + 10 103 105 7 10 จะไดว า 56 + 56 + 56 + เปนอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 56 และ r = 1 103 105 7 103 102 10 เน่อื งจาก=r 1 < 1 จะไดว า อนกุ รมนีเ้ ปนอนกุ รมลูเขา และผลบวกของอนุกรม 102 56 56 คอื a1 = 103 = 1000 = 28 1− r 1 99 495 1 − 102 100 จะไดวา 7.256 = 72 + 56 + 56 + 56 += 72 + 28 = 3, 592 10 103 105 7 10 495 495 10 4) จาก 4.387 = 4.3878787 = 4.3 + 0.087 + 0.00087 + 0.0000087 + = 43 + 87 + 87 + 87 +  10 1,000 100,000 10,000,000 = 43 + 87 + 87 + 87 +  10 103 105 107 จะไดว า 87 + 87 + 87 + เปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี a1 = 87 และ r = 1 103 105 107 103 102 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

254 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 เน่ืองจาก =r 1 < 1 จะไดว า อนุกรมน้ีเปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม 102 87 87 คอื a1 = 103 = 1000 = 29 1− r 1 99 330 1 − 102 100 จะไดว า 4.38 7 = 43 + 87 + 87 + 87 += 43 + 29 = 724 10 103 105 107 10 330 165 5) จาก 0.0737373 = 0.073 + 0.00073 + 0.0000073 + = 73 + 73 + 73 +  1,000 100,000 10,000,000 = 73 + 73 + 73 + 103 105 107 จะไดว า 73 + 73 + 73 + เปน อนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี a1 = 73 และ r = 1 103 105 107 103 102 เนื่องจาก =r 1 < 1 จะไดวา อนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม 102 73 73 คอื a1 = 103 = 1000 = 73 1− r 1 99 990 1 − 102 100 จะไดว า 0.0737373 = 73 + 73 + 73 + = 73 103 105 107 990 6) จาก 2.999 = 2 + 0.9 + 0.09 + 0.009 + = 2+ 9 + 9 + 9 + 10 100 1,000 จะไดว า 9 + 9 + 9 + เปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี a1 =9 และ r= 1 10 100 1,000 10 10 เนอ่ื งจาก =r 1 <1 จะไดว า อนุกรมนี้เปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนุกรม 10 99 คือ a1 = 10 = 10 =1 1−r 1− 1 9 10 10 จะไดว า 2.999 =2 + 9 + 9 + 9 +  =2 +1 =3 หรือ 3 10 100 1,000 1 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 255 6. ให x เปน จํานวนจริงใด ๆ พิจารณา 1+ x + x2 + x3 + + xn−1 + ซึ่งเปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 =1 และ r = x จาก 1+ x + x2 + x3 + + xn−1 + =2 จะไดวา อนกุ รมนี้ลเู ขา และมผี ลบวกเทา กบั 2 33 ดงั นน้ั r <1 และผลบวกของอนุกรมคอื a1 = 2 1−r 3 น่นั คือ x <1 และ =a1 =1 2 1−r 1− x 3 จะได x = − 1 ซึ่ง x =− 1 <1 22 ดงั นนั้ คาํ ตอบของสมการน้ี คือ − 1 2 7. 1) เนอ่ื งจากรูปส่เี หลย่ี มจตั ุรสั ใหญม ีเสนรอบรูปยาว 20 หนว ย จะได รูปสีเ่ หลี่ยมรูปใหญมีดานยาวดานละ 5 หนว ย นนั่ คอื คร่งึ หนง่ึ ของดา นของรูปส่ีเหลีย่ มจัตรุ ัสยาว 2.5 หนว ย ดงั รปู 5 2.5 จะได ดานของรปู สี่เหลี่ยมจัตุรสั รปู เล็กยาว  5 2 +  5 2 = 25 =5 2 หนวย  2   2  22 ดงั นั้น รูปสีเ่ หลย่ี มจตั รุ สั รปู เลก็ มเี สน รอบรูปยาว 4× 5 2 =10 2 หนวย 2 2) ในทาํ นองเดยี วกันกับขอ 1) เมือ่ กระบวนการเกิดรูปใหมของรปู สีเ่ หล่ียมจตั ุรสั เกิดขึน้ อกี 1 คร้งั จะไดรปู สเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั รปู ท่ีสาม ซ่งึ มีดานแตล ะดานยาว  5 2 2 +  5 2 2 = 5 หนวย และมเี สน รอบรปู ยาว 4× 5 =10 หนว ย  4   4  2 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

256 คมู ือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ในทาํ นองเดยี วกัน เม่ือกระบวนการเกิดรูปใหมของรูปสี่เหลี่ยมจตั รุ ัสเกิดข้ึน อีก 1 ครงั้ จะไดรปู สี่เหลี่ยมจัตรุ สั รูปที่สี่ ซึ่งมดี านแตล ะดานยาว  5 2 +  5 2 = 52 หนว ย และมเี สนรอบรปู ยาว 4× 5 2 =5 2 หนวย  4   4  4 4 ดงั น้ัน เมอ่ื กระบวนการเกิดรูปใหมของรูปส่เี หลี่ยมจตั รุ ัสเกิดขนึ้ อยางตอ เนื่องไมส้นิ สดุ จะได ผลบวกของความยาวของเสน รอบรปู ของรูปสเี่ หลี่ยมจตั ุรสั ทั้งหมดเปน 20 +10 2 +10 + 5 2 + หนว ย พิจารณาอนกุ รม 20 +10 2 +10 + 5 2 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ทมี่ ี a1 = 20 และ r = 2 2 เน่ืองจาก =r 2 <1 จะไดว า อนกุ รมนเี้ ปนอนุกรมลเู ขา 2 และผลบวกของอนุกรมนี้ คือ a1 = 20 = 40 + 20 2 1−r 1− 2 2 ดงั นน้ั เมอื่ กระบวนการเกดิ รูปใหมของรูปส่เี หลีย่ มจตั รุ สั เกิดขน้ึ อยา งตอ เน่ืองไมสนิ้ สุด จะได ผลบวกของความยาวของเสนรอบรูปของรูปสี่เหลย่ี มจตั รุ ัสท้งั หมดเปน 40 + 20 2 หนวย 8. ในการแกวงครั้งแรก หัวเรือไวกิ้งจะแกวง จากตําแหนงซา ยสุดไปถงึ ขวาสดุ วดั ระยะทางได 75 เมตร เนื่องจาก การแกวง แตละครัง้ หัวเรือไวก้ิงจะแกวง ไดร ะยะทางสัน้ ลงเปน 3 เทา ของระยะทาง 5 ในการแกวง คร้ังกอนหนา จะไดว า ในการแกวงคร้งั ทส่ี อง หัวเรอื ไวกง้ิ จะแกวงไดระยะทาง 3(75) เมตร 5 ในการแกวง ครง้ั ทสี่ าม หวั เรือไวกิ้งจะแกวงไดร ะยะทาง 3  3 ( 75)  =  3 2 ( 75) เมตร 5  5   5  ในการแกวง คร้งั ทส่ี ่ี หวั เรอื ไวกิ้งจะแกวง ไดระยะทาง 3   3 2 ( 75)  =  3 3 ( 75) เมตร 5   5    5  นั่นคือ ระยะทางทั้งหมดท่หี วั เรือไวกิง้ แกวง คือ 75 + 3 (75) +  3 2 (75) +  3 3 ( 75) +  เมตร  5   5  5 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 257 พิจารณาอนุกรม 75 + 3 ( 75) +  3 2 ( 75) +  3 3 ( 75) +  ซง่ึ เปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี 5  5   5  a1 = 75 และ r=3 5 เน่ืองจาก r= 3 <1 จะไดวาอนกุ รมนีเ้ ปน อนุกรมลูเขา 5 และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ a1 = 75 = 375 1− r 1− 3 2 5 ดังน้ัน หากไมม ีการหยุดกะทันหนั หัวเรอื ไวกิง้ จะแกวงไปมาตัง้ แตเรมิ่ ตนเปนระยะทาง ทั้งหมด 375 เมตร 2 9. 1) ไมถ ูกตอ ง เพราะ 1+ 2 + 4 + 8 +16 + 32 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี r = 2 เนือ่ งจาก r= 2 >1 จะไดวาอนุกรมนีเ้ ปนอนุกรมลูออก นนั่ คอื ไมมจี ํานวนจรงิ ใดท่มี คี าเทา กบั ผลบวกของอนกุ รมนี้ ดังนน้ั การให x ท่ีเปนจาํ นวนจรงิ แทนผลบวกของอนุกรมจึงไมสามารถทําได 2) ไมถ ูกตอ ง เพราะ 1− 2 + 4 − 8 +16 − 32 + 64 −  เปนอนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี r = −2 เนอ่ื งจาก r= 2 >1 จะไดวา อนุกรมนเ้ี ปนอนกุ รมลูออก นน่ั คือ ไมมีจํานวนจริงใดที่มีคาเทา กับผลบวกของอนกุ รมนี้ ดังนนั้ การให S ทเ่ี ปน จํานวนจริง แทนผลบวกของอนุกรมจงึ ไมสามารถทําได สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

258 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 แบบฝกหดั 1.4 4 ∑1. 1) 2i = 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) i =1 6 ∑2) (3i − 2) = (3⋅ 4 − 2) + (3⋅ 5 − 2) + (3⋅ 6 − 2) i=4 7 3) ∑ (2 − i) = (2 − 2) + (2 − 3) + (2 − 4) + (2 − 5) + (2 − 6) + (2 − 7) i=2 52 ∑4) (i + 2) = (1+ 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + + (51+ 2) + (52 + 2) i =1 4 5) ∑ (10 − 2k ) = (10 − 2(1)) + (10 − 2(2)) + (10 − 2(3)) + (10 − 2(4)) k =1 ∑ ( )20 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6) i2 + 4 = 12 + 4 + 22 + 4 + 32 + 4 + + 192 + 4 + 202 + 4 i =1 5 5  5(5 +1)  3j =3 j j =1 j =1 ∑ ∑2. 1) = 3 2  = 45   50 = 50 × 8 = 400 2) ∑8 k =1 44 ( )∑ ∑3) i2 (i − 3) = i3 − 3i2 i=1 i=1 44 ∑ ∑= i3 − 3 i2 =i 1=i 1  4(4 +1) 2  4(4 +1)(8 +1)  =  − 3   2  6  = 100 − 90 = 10 ∑6 k + 4 = 2+4 + 3+4 + 4+4 + 5+4 + 6+4 2−1 3−1 4−1 5−1 6−1 4) k=2 k −1 = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 234 5 = 197 12 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 259 ∑ ( ) ∑ ∑5 5 5 5) k 2 + 3 = k 2 + 3 k =1 =k 1=k 1 = 5(5 +1)(10 +1) + (5× 3) 6 = 55 +15 = 70 15 15 15 6) ∑(i + 5) = ∑i +∑5 i =1 =i 1 =i 1 = 15(15 +1) + (15× 5) 2 = 120 + 75 = 195 20 20 9 7) ∑ (2i +1) = ∑ (2i +1) − ∑ (2i +1) i=10 =i 1 =i 1 ∑ ∑ ∑ ∑ 20 20   9 9 =  2 i + 1 −  2 i + 1 = i 1=i 1  = i 1=i 1  =  2  20 ( 20 + 1)  + ( 20 ×1)  −  2  9(9 + 1)  + ( 9 ×1)    2          2  = (420 + 20) − (90 + 9) = 341 ∑ ∑( )15 15 8) (k + 5)(k − 5) = k 2 − 25 k =1 k =1 15 15 = ∑ k2 − ∑ 25 =k 1 =k 1 = 15(15 +1)(30 +1) − (15× 25) 6 = 1, 240 − 375 = 865 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

260 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 20 20 ∑ ∑( )9) j2 (2 j − 3) = 2 j3 − 3 j2 j=1 j=1 20 20 ∑ ∑= 2 j3 − 3 j2 =j 1 =j 1  20(20 +1) 2  20(20 +1)(40 +1)  = 2  − 3   2 6  = 88, 200 − 8,610 = 79,590 10 10 ∑ ∑( )10) (i − 2)3 = i3 − 6i2 + 12i − 8 i=1 i=1 10 10 10 10 = ∑ i3 − 6∑ i2 +12∑ i − ∑ 8 =i 1 =i 1 =i 1 =i 1 =  10 (10 + 1) 2 −  10 (10 + 1)( 20 + 1)  +  10 (10 + 1)  − (10 × 8)   6  12    2  6  2    = 3,025 − 2,310 + 660 − 80 = 1,295 ∞ 3. 1) 1⋅ 3 + 2 ⋅ 4 + 3⋅ 5 + + n(n + 2) + = ∑i(i + 2) i =1 2) 1 + 1 + 1 + + 1 ∑n 1 456 n = i=4 i 3) 2 + 4 + 6 + + 2n n = ∑ 2i i =1 ( )4) 1 + 1 + 1 + + 1 + ∑ ( )∞ 1 (3) 2n−1 = 3 6 12 ( )i=1 3 2i−1 1 + 1 + 1 ++ 1 ∞ 1 + = ∑5) 2+ 1 3+ 2 4+ 3 n + n −1 i=2 i + i −1 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 261 n n ∑4. 1) 6i = 6∑i i =1 i =1  n(n +1)  = 6   2  = 3n(n +1) k kk 2) ∑(2i +1) = 2∑i + ∑1 i =1 =i 1=i 1 = 2  k ( k+ 1)  + k (1)  2    ( )= k 2 + k + k = k2 + 2k m m ∑3) 3⋅ 4i ∑= 3 4i i =1 i =1 ( )= 3 4 + 42 + 43 + + 4m เนื่องจาก 4 + 42 + 43 + + 4m เปน อนกุ รมเรขาคณิตทีม่ ี =a1 4=, r 4 ( ) ( ) ( )a1 1− rm และมผี ลบวก เทากับ 4 1− 4m =− 4 1 − 4m = 1−r 1−4 3 m 3 4  3  3⋅ 4i = 3 4 + 42 + 43 + + 4m i =1 ∑ ( ) ( )ดังน้นั 4m+1 = − 1− 4m = − 4 n nn 4) ∑(i2 − i) = ∑i2 − ∑i i=1 =i 1 =i 1 n(n +1)(2n +1) n(n +1) =− 62 = 2n3 + 3n2 + n − 3n2 − 3n 6 = 2n3 − 2n 6 = n3 − n 3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

262 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 5. 1) ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื 10 ∑1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3⋅ 4 + +10 ⋅11 = i (i +1) i =1 10 = ∑ (i2 +i) i =1 10 10 = ∑ i2 + ∑ i =i 1=i 1 = 10(10 +1)(20 +1) + 10(10 +1) 62 = 385 + 55 = 440 2) ผลบวก 10 พจนแรกของอนุกรมน้ี คอื 1⋅ 4 ⋅ 7 + 2 ⋅ 5 ⋅8 + 3⋅ 6 ⋅ 9 + 4 ⋅ 7 ⋅10 + +10 ⋅13⋅16 10 = ∑i(i + 3)(i + 6) i =1 10 ∑ ( )= i3 + 9i2 +18i i =1 10 10 10 ∑ ∑ ∑= i3 + 9 i2 +18 i =i 1 =i 1 =i 1  10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1)   10(10 +1)  =  +9  +18   2  6  2  = 3,025 + 3, 465 + 990 = 7,480 3) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) + +100(20 + 3) 10 ∑= i2 (2i + 3) i =1 10 ( )∑= 2i3 + 3i2 i =1 10 10 ∑ ∑= 2 i3 + 3 i2 =i 1 =i 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 263  10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1)  = 2  + 3   2  6  = 6,050 +1,155 = 7,205 4) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื 10 ∑12 + 32 + 52 + 72 +  + 192 = (2i −1)2 i =1 ∑( )10 = 4i2 − 4i +1 i =1 10 10 10 = 4∑i2 − 4∑i + ∑1 =i 1 =i 1 =i 1 = 4  10 (10 + 1) ( 20 + 1)  − 4  10 (10 + 1)  + 10 (1)      6   2  = 1,540 − 220 +10 = 1,330 5) ผลบวก 10 พจนแ รกของอนกุ รมนี้ คอื 11 + 1  + 2 1 + 1  + 31 + 1  +  + 10 1 + 1  ∑= 10 i 1 + 1  1  2  3  10  i =1 i  10 = ∑ (i +1) i =1 10 10 = ∑i+∑1 =i 1=i 1 = 10(10 +1) +10(1) 2 = 55 +10 6. 1) 1⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3⋅ 4 + 3⋅ 4 ⋅ 5 + +10 ⋅11⋅12 = 65 10 = ∑ i(i +1)(i + 2) i =1 ∑ ( )10 = i3 + 3i2 + 2i i =1 10 10 10 ∑ ∑ ∑= i3 + 3 i2 + 2 i =i 1=i 1 =i 1 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

264 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1  10(10 +1) 2  10(10 +1)(20 +1)   10(10 +1)  =  + 3  + 2   2  6  2  = 3,025 +1,155 +110 = 4,290 99 ∑2) 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3⋅ 4 + 4 ⋅ 5 + + 99 ⋅100 = n(n +1) n=1 ∑ ( )99 = n2 + n n=1 99 99 = ∑ n2 + ∑ n =n 1 =n 1 = 99(99 +1)(198 +1) + 99(99 +1) 62 = 328,350 + 4,950 = 333,300 7. จาํ นวนเตม็ ตง้ั แต 1 ถึง 100 ท่ีนอยทส่ี ุดที่หารดว ย 4 แลว เหลือเศษ 3 คื=อ 3 4(0) + 3 และจํานวนเต็มต้งั แต 1 ถึง 100 ที่มากทส่ี ดุ ที่หารดว ย 4 แลว เหลือเศษ 3 คอื=99 4(24) + 3 จะไดวา ลําดับของจาํ นวนเต็มตง้ั แต 1 ถึง 100 ที่หารดวย 4 แลว เหลือเศษ 3 คือ 3, 7, 11, , 99 ซ่งึ เปน ลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 3 ผลตา งรวมเปน 4 และพจนที่ n เปน 99 จาก an = a1 + (n −1) d จะไดว า 99 =3 + (n −1)(4) นัน่ คอื n = 25 จากผลบวกของจํานวนเตม็ ต้งั แต 1 ถึง 100 ท่ีหารดวย 4 แลว เหลอื เศษ 3 คอื 3 + 7 +11+  + 99 พจิ ารณา 3 + 7 +11+  + 99 = 3 + 7 +11+  + (3 + (25 −1)(4)) 25 = ∑(3 + (i −1)(4)) i =1 25 = ∑(4i −1) i =1 25 25 = ∑(4i) − ∑1 =i 1 =i 1 25 25 = 4∑i − ∑1 =i 1=i 1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 265 = 4  25( 25 + 1)  − ( 25 ×1)  2    = 1,300 – 25 = 1,275 ดังน้นั ผลบวกของจาํ นวนเตม็ ตัง้ แต 1 ถึง 100 ทหี่ ารดว ย 4 แลว เหลอื เศษ 3 คือ 1,275 1) ให n1 Sn = i=1 i (i + 1) ∑8. เนือ่ งจาก i 1 1)= (i +1) − i 1− 1 i (i +1) = i i +1 (i + ∑ดังน้ันSn = n  1 − i 1 1  i =1  i +  = 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  + +  1 − 1  +  1 − 1 2   2 3   3 4   n −1 n   n n +1  = 1− 1 n +1 =n n +1 จะได S20 = 20 = 20 20 +1 21 ดงั นน้ั ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมน้ี คอื n และผลบวก 20 พจนแ รกของ n +1 อนุกรมนี้ คอื 20 21 n1 Sn = i=1 (2i −1)(2i +1) ∑2) ให เนื่องจาก (2i −=1)1(2i +1) 1  ( (22i i+−11))−=(2(2i i+−11))  1  1 − 1  2  2  2i +  ( 2i −1) ( 1) ∑ดังนนั้Sn = n 1  1 − 1  i =1 2  2i −1 2i +1  ∑= 1n  1 − 1 2 i=1  2i −1 2i +1 = 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 3 − 1  +  1 − 1 1   2  3   3 5   5 7   2n − 2n −1   2n −1 2n +   สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

266 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 = 1 1 − 1 2 2n +1 =n 2n +1 จะได 20 20 41 S20 = 2(20) +1 = ดงั น้นั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมน้ี คอื n และผลบวก 20 พจนแ รกของ 2n +1 อนกุ รมน้ี คอื 20 41 ให n1 Sn = i=1 i (i +1)(i + 2) ∑3) เน่อื งจาก i (i +=1)1(i + 2) 1  i 1 − (i + 1 + 2)  2   (i +1) 1)(i ∑ดงั นัน้ n  1  1 − 1   Sn = =1  2  i ( i+ 1) ( i + i + 2 )   1)( i ∑= 1 n  1 − (i 1 + 2)  2 i =1   i (i +1) + 1) ( i = 1   1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  (n 1 n − n 1 1)  2   2 6   6 12   12 20    −1) (n + +  n ( 1 − ( n + 1 n + 2)      n +1) 1)( = 1  1 − (n + 1 n + 2)  2  2  1)( จะได S20 = 1  1 − 1  = 115 2  2 21⋅ 22  462 ดังน้นั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 1  1 − ( n + 1 + 2)  2  2  1) ( n และผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื 115 462 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 267 n1 Sn = i=1 i (i + 2) ∑4) ให เนอื่ งจาก i (i 1+=2) 1  (i + 2+)2−=)i  1  1 − i 1 2  2  2  i +  i (i ∑ดงั นน้ัSn = n 1  1 − i 1 2  i =1 2  i +  ∑= 1n  1 − i 1 2  2 i=1  i +  = 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  n 1 2 − 1  2  3   2 4   3 5   − n  +  1 − 1 +  1 − 1   n −1 n +1  n +   n 2  = 1 1 + 1 − 1 − n 1 2  2 2 n +1 +  = 1  3 − ( n 2n + 3 2)  2  2  +1)(n + จะได S20 = 1  3 − 43  = 325 2  2 21⋅ 22  462 ดังนัน้ ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมนี้ คือ 1  3 − ( n 2n +3 2)  2  2  + 1) (n + และผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรมน้ี คือ 325 462 9. 1) ผลบวก n พจนแรกของอนุกรมนี้ คอื 0 + 3 + 8 + + (n2 −1) = n ( i 2 − 1) ∑ i =1 nn = ∑i2 − ∑1 =i 1 =i 1 = n(n +1)(2n +1) − n 6 2n3 + 3n2 − 5n = 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

268 คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 2) ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมนี้ คือ 10. 1) ( )−1 + 0 + 9 + + n3 − 2n2 ∑( )n 2) = i3 − 2i2 i =1 nn ∑ ∑= i3 − 2 i2 =i 1 =i 1  n(n +1) 2  n(n +1)(2n +1)  =  − 2   2  6  = n (n + 1)  n (n + 1) − 2n + 1  3   4  ( )n(n +1) 3n2 − 5n − 4 = 12 ∑ ∑เน่อื งจาก ∞ ∞1 e−(n−1) = n=1 en−1 n=1 จะได ∞ = 1+ 1 + 1 ++ 1 + เปนอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี e e2 en−1 ∑ e−(n−1) n=1 a1 =1 และ r=1 e เน่ืองจาก r= 1 <1 จะไดว า อนุกรมน้เี ปน อนุกรมลเู ขา e และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ =a1 1=−1 1 e 1− r e −1 e ดงั น้นั ∞ เปนอนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนุกรมคือ e e −1 ∑ e−(n−1) n=1 ∑เน่ืองจาก ∞ (−1)n−12n−1 =1− 2 + 22 − 23 + 24 − 25 +  n=1 จะเห็นวา ∞ เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่มี ี a1 = 1 และ r= −2 ∑ (−1)n−12n−1 n=1 เนอ่ื งจาก r =−2 =2 >1 ดงั น้ัน อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลูออก สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 269 3) เนื่องจาก ∑∞ 9 = ∑∞ 9 = 9 + 9 + 9 + เปนอนุกรมเรขาคณติ ทีม่ ี 102 104 106 n=1 100n n=1 102n a1 = 9 และ r = 1 102 102 เนื่องจาก =r 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูเขา 102 9 และผลบวกของอนุกรมนี้ คือ=a1 =102 1 1 11 1− r 1 − 102 ดังนัน้ ∑∞ 9 เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมคือ 1 n=1 100n 11 4) สาํ หรบั จาํ นวนนบั k ใด ๆ จะไดว า 5 = 5 1 − k 1 k +1  k (k +1) เขียนผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รมไดใ หม ดงั น้ี Sn = 5 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 − n 1 1    2   2 3   3 4   n +    = 5 1 − n 1 1  +  = 5n n +1 เนอ่ื งจาก lim Sn = lim 5n n→∞ n +1 n→∞ = lim 5n 1 n→∞ n 1 + n  = lim 5 n→∞ 1 + 1 n lim 5 = n→∞ lim1+ lim 1 n→∞ n→∞ n =5 1+ 0 =5 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

270 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ดงั น้ัน อนกุ รมนี้เปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 5 5) เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดด ังนี้ Sn = 1 − 1  +  1− 1  +  1− 1  +  +  1− 1 2   2 3   3 4   n n +1  = 1− 1 n +1 เนื่องจาก lim Sn = lim 1 − 1 = 1 n +1  n→∞ n→∞ ดงั นั้น อนุกรมน้ีเปน อนุกรมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 1 เนือ่ งจาก ∞ 4n+1 16 16  4  16  4 2 ∑6) n=1 5n = 5 + 5  5  + 5  5  +  เปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 16 และ r = 4 5 5 เนอ่ื งจาก r= 4 <1 จะไดว าอนุกรมนเี้ ปน อนกุ รมลเู ขา 5 16 และผลบวกของอนุกรมน้ี คือ =a1 =5 16 1− 4 1− r 5 ดังนนั้ อนกุ รมน้ีเปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คือ 16 11. จาก พจนท ี่ n ของอนุกรมนี้ คือ 2n − 5 นน่ั คือ a=n 2n − 5 พิจารณาผลบวก 15 พจนแ รกของอนุกรมนี้ คือ 15 15 ∑an = ∑(2n − 5) n=1 n=1 15 15 = 2∑ n − ∑ 5 =n 1 =n 1 = 2  15(15 + 1)  − (15 × 5)    2  = 240 − 75 = 165 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 271 12. 1) จํานวนเตม็ ท่อี ยูระหวาง 9 ถงึ 199 ทีน่ อยทส่ี ุดทหี่ ารดวย 8 ลงตัว คอื 16 = 8(2) 2) และจาํ นวนเตม็ ท่ีอยรู ะหวา ง 9 ถึง 199 ท่ีมากทส่ี ุดทหี่ ารดว ย 8 ลงตวั คอื 192 = 8(24) จะไดวา ลําดบั ของจํานวนเตม็ ทอี่ ยูระหวาง 9 ถงึ 199 ทีห่ ารดวย 8 ลงตวั คือ 16, 24, 32, , 192 ซึ่งเปนลําดับเลขคณติ ท่ีมีพจนแรกเปน 16 ผลตา งรวมเปน 8 และพจนท ่ี n เปน 192 จาก an = a1 + (n −1) d จะไดว า 192 =16 + (n −1)(8) น่นั คอื n = 23 จากผลบวกของจํานวนเต็มที่อยูระหวา ง 9 ถึง 199 ท่ีหารดว ย 8 ลงตัว คือ 16 + 24 + 32 +  +192 พจิ ารณา 16 + 24 + 32 +  +192 = 16 + 24 + 32 +  + (16 + (23 −1)(8)) 23 = ∑(16 + (i −1)(8)) i =1 23 = ∑(16 + 8i − 8) i =1 23 = ∑(8 + 8i) i =1 23 23 = ∑8 + ∑8i =i 1 =i 1 23 = 23(8) + 8∑i i =1 = 184 +  23( 23 + 1)  8 2    = 184 + 2, 208 = 2,392 ดงั นน้ั ผลบวกของจาํ นวนเต็มทีอ่ ยรู ะหวา ง 9 และ 199 ทหี่ ารดวย 8 ลงตัว เทา กบั 2,392 กาํ หนดให เอกภพสัมพัทธ U คือ เซตของจํานวนเตม็ ทั้งหมดทอ่ี ยูร ะหวา ง 9 และ 199 A แทนเซตของจาํ นวนเต็มท้งั หมดที่อยูระหวาง 9 และ 199 ทีห่ ารดวย 8 ลงตัว จะไดว า เซตของจาํ นวนเต็มท่ีอยรู ะหวา ง 9 และ 199 ท่ีหารดวย 8 ไมล งตัว คอื A′ และ A=′ U − A ดังนน้ั ผลบวกของจาํ นวนเต็มทีอ่ ยูระหวาง 9 และ 199 ท่ีหารดว ย 8 ไมล งตัว หาไดจาก สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

272 คูม อื ครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 ผลบวกของจํานวนเต็มท้งั หมดท่ีอยูระหวา ง 9 และ 199 ลบดวยผลบวกของจาํ นวนเตม็ ท่อี ยูระหวาง 9 และ 199 ท่หี ารดวย 8 ลงตัว จากจํานวนเตม็ ท่ีอยรู ะหวา ง 9 และ 199 คือ 10, 11, 12, , 198 ซ่ึงมี 189 จํานวน 198 10 +11+12 + +198 = n ∑จะได n=10 198 9 = ∑n−∑n =n 1 =n 1 = 198(198 +1) − 9(9 +1) 22 = 19,701 − 45 = 19,656 จากขอ 1) จะไดวา ผลบวกของจาํ นวนเต็มท่ีอยูระหวา ง 9 และ 199 ท่ีหารดว ย 8 ไมล งตัว เทากับ 19,656 − 2,392 =17,264 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 273 แบบฝก หัด 1.5 1. 1) ในท่นี ้ีไมม กี ารฝากและถอนในระหวาง 10 ปน ี้ =ให P 1=00000, n 10 และ i = 4 จะไดว า =r =i 0.04 100 จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า จํานวนเงินเม่อื ฝากเงนิ ครบ 10 ป คือ 100,000(1+ 0.04)10 หรือประมาณ 148,024.43 บาท 2) จากเงินตน 100,000 บาท จะไดว า จาํ นวนเงินรวมเพิ่มข้ึนเปน 3 เทา ของเงินตน คือ จาํ นวนเงินรวม 300,000 บาท ให n แทนจาํ นวนปที่จะทาํ ใหมีเงนิ เพ่ิมขึน้ เปน 3 เทา ของเงินตน จากทฤษฎีบท 9 จะไดวา 300,000 = 100,000(1+ 0.04)n (1.04)n = 3 log (1.04)n = log 3 จะไดว า n = log 3 ≈ 28.01 log 1.04 ดงั น้นั ตอ งฝากเงนิ ครบ 29 ป จะทําใหมเี งนิ เพิ่มขึน้ เปน อยา งนอยสามเทาของเงินตน 2. 1) ดอกเบ้ียทีไ่ ดจ ากการฝากเงนิ ตน P บาท โดยธนาคารคิดดอกเบย้ี ในอัตรา i% ตอ ป และคดิ ดอกเบีย้ ใหค รัง้ สุดทายครงั้ เดียวเม่อื ฝากเงนิ ครบ n ป เทากบั P  i  n บาท  100  จาก P = 100,000 และ i = 3 ดงั นัน้ ดอกเบี้ยทไ่ี ดจากการฝากเงินนีเ้ ปนเวลา n ป เทา กับ 100, 000  3  n = 3, 000n บาท 100  จะไดว า จํานวนเงนิ ในบัญชเี มื่อครบปท่ี n เมอื่ ธนาคารคิดดอกเบีย้ ใหครง้ั สดุ ทา ยครง้ั เดยี ว เทากับ 100,000 + 3,000n บาท 2) ให P =100000 และ i = 3 จะไดว า=r =i 0.03 100 จากทฤษฎีบท 9 จะไดวา จํานวนเงินเม่ือฝากเงนิ ครบ n ป คือ 100,000(1+ 0.03)n บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

274 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 3. ให =P 100000=, k 4=, n 10 และ i = 4 จะไดว า =r =i 0.04 100 จากทฤษฎีบท 10 จะไดวา จํานวนเงนิ รวมเม่ือฝากเงินครบ 10 ป คอื 100, 000 1 + 0.04 4(10) 4  หรือประมาณ 148,886.37 บาท 4=. ให P 1=00000, n 10 และมีเงนิ รวม 141,060 บาท จากทฤษฎีบท 9 จะไดว า 100,000(1+ r )10 = 141,060 (1+ r )10 = 1.4106 1 + r = 10 1.4106 r = 10 1.4106 −1 r ≈ 0.035 ดงั นั้น ธนาคารแหงน้ีใหอัตราดอกเบ้ียประมาณ 3.5% ตอ ป 5. เมื่อตนปปญ ญาฝากเงิน 100,000 บาท กบั ธนาคารแหง หนึ่ง และฝากเงินเพมิ่ อีก 100,000 บาท ทกุ ตนป โดยธนาคารกาํ หนดอัตราดอกเบ้ยี 3% และคดิ ดอกเบ้ยี แบบทบตนทุกป เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงนิ เม่ือฝากเงินครบ 15 ป ไดด งั นี้ จากแผนภาพจะไดวา เมื่อฝากเงนิ ครบ 15 ป เงินฝากเม่ือตนปท ่ี 1 จะมีมลู คา 100,000(1.03)15 บาท เงินฝากเมื่อตนปที่ 2 จะมมี ลู คา 100,000(1.03)14 บาท สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 275 เงินฝากเมื่อตน ปที่ 3 จะมมี ลู คา 100,000(1.03)13 บาท  เงินฝากเม่ือตน ปท ี่ 15 จะมีมลู คา 100,000(1.03) บาท ดังนัน้ เมอ่ื ฝากเงินครบ 15 ป จะไดร บั เงนิ รวม 100,000(1.03)15 +100,000(1.03)14 +100,000(1.03)13 + +100,000(1.03) บาท หรือ 100,000(1.03) +100,000(1.03)2 + +100,000(1.03)15 บาท ซงึ่ เปน อนุกรมเรขาคณิตท่ีมี 15 พจน พจนแรก คอื 100,000(1.03) และอตั ราสว นรวม คอื 1.03 จะได ผลบวก 15 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื 100,000(1.03)(1.03)15 −1 1.03 −1 หรือประมาณ 1,915,688.13 บาท ดังนน้ั เม่ือฝากเงนิ ครบ 15 ป จะมีเงินรวมประมาณ 1,915,688.13 บาท 6. 1) ให= S 1000000=, i 4=, n 20 จะไดว า =r =4 0.04 100 จะได มูลคา ปจ จบุ นั ของเงินรวม 1,000,000 บาท คือ P = 1,000,000(1+ 0.04)−20 ≈ 456,386.95 บาท ดังนนั้ ราตรตี อ งฝากเงนิ ตนไวอยา งนอย 456,386.95 บาท 2) จาก ฝากเงนิ ตน P บาท เม่ือตน ปท ่ี 1 และฝากเพม่ิ อกี ปละ 2,000 บาท เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เมื่อฝากเงนิ ครบ 20 ป ไดด ังนี้ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

276 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จากแผนภาพจะไดว า อีก 20 ปขางหนา เงนิ ฝากตน ปท ี่ 1 จาํ นวน P บาท จะมีมูลคา P(1.04)20 บาท เงินฝากตน ปที่ 2 จํานวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.04)19 บาท เงนิ ฝากตนปท ่ี 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.04)18 บาท  เงินฝากตนปท่ี 20 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมลู คา 2,000(1.04) บาท นั่นคือ อีก 20 ปข า งหนา ราตรจี ะมีเงนิ รวม P (1.04)20 + 2,000(1.04)19 + 2,000(1.04)18 + + 2,000(1.04) บาท ( )จะได 2,000(1.04) (1.04)19 −1 1,000,000 = P (1.04)20 + 1.04 −1 P ≈ 430,119.07 บาท ดังนัน้ ราตรตี อ งฝากเงินตน ไวอยา งนอย 430,119.07 บาท 7. อนนั ตก เู งินจากวิเชียรจํานวน 2 ยอด โดยยอดแรกตองชําระ 12,682.42 บาท ในอีก 3 ป ขางหนา ยอดท่ี 2 ตองชําระ 26,115.36 บาท ในอีก 7 ปข า งหนา และวเิ ชียรกําหนดอัตรา ดอกเบ้ยี 8% ตอ ป โดยคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตน ทุก 3 เดือน พิจารณาการชาํ ระเงินยอดแรกในอีก 3 ปขางหนา ให =S 12682.42=, i 8=, k 4 และ n = 3 จะไดว า=r =8 0.08 100 จะได มูลคาปจ จุบนั ของเงนิ 12,682.42 บาท คือ 12, 682.42 1 + 0.08 − 4(3) 4  หรือประมาณ 10,000 บาท พิจารณาการชาํ ระเงนิ ยอดท่ี 2 ในอีก 7 ปข างหนา ให =S 26115.36=, i 8=, k 4 และ n = 7 จะไดว า =r =8 0.08 100 จะได มลู คา ปจจบุ นั ของเงิน 26,115.36 บาท คอื 26,115.36 1 + 0.08 −4(7) 4  หรอื ประมาณ 15,000 บาท ดังนั้น อนันตกเู งินจากวเิ ชยี รประมาณ 10,000 +15,000 =25,000 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 277 8. สดุ าฝากเงนิ 2,000 บาท เขา บญั ชีธนาคารทกุ ตน เดือน ไดรับอตั ราดอกเบี้ย 3% ตอป 3 (หรอื อตั ราดอกเบย้ี ตอเดือน คอื 3 % ) จะไดวา =r 1=2 0.0025 12 100 เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงินเม่ือส้ินปท่ี 5 (ส้ินเดือนที่ 60) ไดด ังนี้ จากแผนภาพจะไดว า เม่ือส้นิ ปท่ี 5 เงนิ ฝากเมื่อตน เดือนท่ี 1 จาํ นวน 2,000 บาท จะมีมูลคา 2,000(1.0025)60 บาท เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนท่ี 2 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)59 บาท เงนิ ฝากเมื่อตนเดือนที่ 3 จาํ นวน 2,000 บาท จะมมี ูลคา 2,000(1.0025)58 บาท  เงินฝากเม่ือตน เดือนที่ 60 จํานวน 2,000 บาท จะมมี ลู คา 2,000(1.0025) บาท นน่ั คอื เม่ือสน้ิ ปท ่ี 5 สุดาจะไดเงนิ รวม 2,000(1.0025)60 + 2,000(1.0025)59 + 2,000(1.0025)58 +  + 2,000(1.0025) บาท หรือ 2,000(1.0025) + 2,000(1.0025)2 + 2,000(1.0025)3 +  + 2,000(1.0025)60 บาท ซึง่ เปนอนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 60 พจน พจนแรก คอื 2,000(1.0025) และอตั ราสว นรว ม คือ 1.0025 ( )จะได ผลบวก 60 พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี คือ 2,000(1.0025) (1.0025)60 −1 1.0025 −1 หรอื ประมาณ 129,616.66 บาท ดงั น้นั เมอื่ ส้ินปที่ 5 สุดาจะไดเงินรวมประมาณ 129,616.66 บาท สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

278 คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 9. ทอแสงฝากเงนิ 3,000 บาท เขาบญั ชีธนาคารทุกสน้ิ ไตรมาส (1 ไตรมาส เทา กบั 3 เดือน) ไดรบั อัตราดอกเบีย้ 6% ตอ ป (หรอื อัตราดอกเบยี้ ตอไตรมาส คอื 6 % ) 4 6 จะไดวา =r =4 0.015 100 เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมูลคาของเงนิ เม่ือส้ินปท่ี 4 (รวมทั้งหมด 16 งวด) ไดดังน้ี จากแผนภาพจะไดว าเมื่อสิน้ ปที่ 4 เงนิ ฝากเม่ือสิน้ งวดที่ 1 จํานวน 3,000 บาท จะมมี ูลคา 3,000(1.015)15 บาท เงนิ ฝากเมื่อสิ้นงวดท่ี 2 จํานวน 3,000 บาท จะมีมลู คา 3,000(1.015)14 บาท เงนิ ฝากเมื่อส้ินงวดที่ 3 จํานวน 3,000 บาท จะมีมูลคา 3,000(1.015)12 บาท  เงินฝากเม่ือสิ้นงวดที่ 15 จํานวน 3,000 บาท จะมีมลู คา 3,000(1.015) บาท เงนิ ฝากเม่ือสน้ิ งวดท่ี 16 จาํ นวน 3,000 บาท จะมีมูลคา 3,000 บาท นั่นคอื เม่ือสิ้นปท ี่ 4 หรอื ส้นิ งวดท่ี 16 ทอแสงจะไดเงนิ รวม 3,000(1.015)15 + 3,000(1.015)14 + 3,000(1.015)13 +  + 3,000(1.015) + 3,000 บาท หรอื 3,000 + 3,000(1.015) + 3,000(1.015)2 + 3,000(1.015)3 +  + 3,000(1.015)15 บาท ซง่ึ เปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 16 พจน พจนแรก คือ 3,000 และอตั ราสวนรว ม คือ 1.015 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 279 จะได ผลบวก 16 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คือ (3,000 (1.015)16 −1) 1.015 −1 หรอื ประมาณ 53,797.11 บาท ดงั น้นั เม่อื สิน้ ปท่ี 4 ทอแสงจะไดเงินรวมประมาณ 53,797.11 บาท 10. ใบเตยซื้อรถยนตร าคา 700,000 บาท โดยจา ยเงินดาวน 200,000 บาท และผอนชาํ ระสวนท่ี เหลอื เทากันทุกเดือน เดือนละ R บาท เปน เวลา 5 ป โดยผอ นชาํ ระทุกสิ้นเดอื น อัตราดอกเบย้ี 3% ตอป (หรอื อตั ราดอกเบี้ยตองวด คือ 3 % ) 12 3 จะไดว า =r 1=2 0.0025 100 เขยี นแผนภาพแสดงการจา ยเงินซือ้ รถยนตของใบเตยเปนเวลา 5 ป (60 งวด) ไดดังน้ี จากแผนภาพจะไดวา มูลคา ปจจบุ ันของเงินผอนงวดที่ 1 คอื R(1.0025)−1 บาท มลู คาปจ จบุ นั ของเงนิ ผอนงวดท่ี 2 คอื R(1.0025)−2 บาท มูลคา ปจ จุบันของเงินผอนงวดท่ี 3 คอื R(1.0025)−3 บาท  มูลคาปจจุบันของเงินผอนงวดท่ี 60 คือ R(1.0025)−60 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

280 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 นน่ั คือ เม่ือครบ 5 ป ยอดเงนิ รวมที่ใบเตยจา ยเพอื่ ผอนรถยนตเทา กบั R (1.0025)−1 + R (1.0025)−2 + R (1.0025)−3 +  + R (1.0025)−60 บาท ซ่งึ เปนอนุกรมเรขาคณิตทม่ี ี 60 พจน พจนแ รก คือ R(1.0025)−1 และอัตราสว นรวม คอื (1.0025)−1 ( )จะไดผ ลบวก 60 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื R (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 บาท 1 − (1.0025)−1 เนือ่ งจาก ใบเตยตองจา ยเงินเพอื่ ผอนรถยนต 700,000 – 200,000 = 500,000 บาท ( )จะได 500,000 = R (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 1 − (1.0025)−1 น่ันคอื ( )500,000 1− (1.0025)−1 ≈ 8,984.35 ( )R = (1.0025)−1 1 − (1.0025)−60 ดงั นัน้ ใบเตยจะตองผอนชาํ ระเดอื นละประมาณ 8,984.35 บาท 11. วชั ระฝากเงนิ 10,000 บาท เขาบญั ชีธนาคารทุกตน เดอื น ไดรับอัตราดอกเบ้ยี 3.6% ตอป (หรอื อตั ราดอกเบีย้ ตอเดือน คอื 3.6 % ) 12 3.6 จะไดว า=r 1=2 0.003 100 เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงินและมลู คาของเงินเม่ือส้ินปที่ 4 (48 เดอื น) ไดดงั นี้ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 281 จากแผนภาพจะไดว าเมื่อส้นิ ปท ี่ 4 เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนท่ี 1 จํานวน 10,000 บาท จะมีมลู คา 10,000(1.003)48 บาท เงนิ ฝากเมื่อตนเดือนท่ี 2 จาํ นวน 10,000 บาท จะมีมูลคา 10,000(1.003)47 บาท เงนิ ฝากเม่ือตนเดือนที่ 3 จํานวน 10,000 บาท จะมมี ูลคา 10,000(1.003)46 บาท  เงนิ ฝากเมื่อตน เดือนที่ 48 จํานวน 10,000 บาท จะมีมลู คา 10,000(1.003) บาท นั่นคอื เมื่อสิน้ ปท ี่ 4 วัชระจะไดเงนิ รวม 10,000(1.003)48 +10,000(1.003)47 +10,000(1.003)46 +  +10,000(1.003) บาท หรอื 10,000(1.003) +10,000(1.003)2 +10,000(1.003)3 +  +10,000(1.003)48 บาท ซ่ึงเปน อนุกรมเรขาคณิตท่มี ี 48 พจน พจนแ รก คือ 10,000(1.003) และอตั ราสว นรว ม คอื 1.003 ( )จะไดผ ลบวก 48 พจนแ รกของอนุกรมน้ี คือ 10,000(1.003) (1.003)48 −1 1.003 −1 หรือประมาณ 516,996.95 บาท ดงั นั้น เมือ่ สิน้ ปท ี่ 4 วัชระจะไดเงนิ รวม 516,996.95 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

282 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) เนอื่ งจาก a1 =− 4, d =−5 และ an = a1 + (n −1)d จะได a8 = − 4 + (8 −1)(−5) = − 4 − 35 = −39 ดงั นั้น a8 = −39 2) เนอ่ื งจาก a1 =−5, d =2 และ an = a1 + (n −1)d จะได a9 = −5 + (9 −1)(2) = −5 +16 = 11 ดงั นั้น a9 =11 3) เนอ่ื งจาก a1 =− 1 , d =−2 และ an = a1 + (n −1) d จะได 2 a15 = − 1 + (15 −1)(−2) 2 = − 1 − 28 2 = − 57 2 ดังน้ัน a15 = − 57 2 4) เนอ่ื งจาก=a1 4=, d 1 และ an = a1 + (n −1) d จะได 3 3 a15 = 4 + (15 − 1)  1  3  3  = 4 + 14 33 =6 ดงั น้นั a15 = 6 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 283 2. จาก an = a1 + (n −1)d จะได ----- (1) ----- (2) 5 = a1 + (7 −1) d 10 = a1 + (12 −1) d จาก (1) และ (2) จะได d =1 และ a1 = −1 นนั่ คือ a100 = −1+ (100 −1)(1) = −1+ (99)(1) = 98 ดงั นน้ั พจนท่ี 100 ของลาํ ดบั เลขคณิตนี้ คือ 98 3. ลําดับเลขคณิตท่กี าํ หนดใหม ี a1 = 20 และ d =16 − 20 =−4 จาก an = a1 + (n −1) d จะได −96 = 20 + (n −1)(−4) n = 30 ดงั นน้ั −96 เปน พจนท่ี 30 ของลําดับเลขคณติ น้ี 4. จาก=a1 5=, a7 29 และ an = a1 + (n −1) d จะได 29 = 5 + (7 −1)d นั่นคือ d =4 a2 = a1 + d = 5 + 4 = 9 a3 = a2 + d = 9 + 4 = 13 a4 = a3 + d = 13 + 4 = 17 a5 = a4 + d = 17 + 4 = 21 a6 = a5 + d = 21 + 4 = 25 ดังนั้น พจนห าพจนด ังกลาว ไดแก 9, 13, 17, 21 และ 25 5. จะแสดงวา a2, b 2 , c2 เปน ลําดับเลขคณิต โดยพจิ ารณาวา b 2− a2 = c2 − b 2 หรือไม เน่อื งจาก 1,1,1 เปน ลาํ ดบั เลขคณติ b+c c+a a+b จะไดผ ลตา งรวมของลาํ ดับเลขคณิตนี้หาไดจ าก 1 − 1 หรือ 1 − 1 c+a b+c a+b c+a น่ันคอื 1−1 = 1−1 c+a b+c a+b c+a สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

284 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 2 = 1+1 c+a a+b b+c 2 = b+c+a+b c+a ab + ac + b 2 +bc 2ab + 2ac + 2b 2 +2bc = ab + ac + a2 + ab + bc + c2 + ac + bc ดังนั้น b 2− a2 = c2 − b 2 จงึ ไดวา a2, b 2 , c2 เปนลําดบั เลขคณติ 6. ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม เทา กบั 180 องศา ผลบวกของมมุ ภายในของรูปสี่เหล่ยี ม เทา กับ 360 องศา ผลบวกของมมุ ภายในของรูปหา เหล่ยี ม เทา กับ 540 องศา จะเหน็ วา ผลบวกของมมุ ภายในของรปู สามเหล่ยี ม รูปสี่เหล่ียม รูปหาเหล่ยี ม … เทา กับ 180,360,540, ซง่ึ เปน ลําดบั เลขคณิตที่มี a1 =180 และ d =180 จาก an = a1 + (n −1) d จะได an = 180 + (n −1)(180) นัน่ คือ an =180n เน่อื งจาก ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลีย่ ม เทากับ a1 องศา ผลบวกของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียม เทากบั a2 องศา ผลบวกของมมุ ภายในของรูปหา เหล่ยี ม เทา กบั a3 องศา  ดังน้ัน ผลบวกของมุมภายในของรูป n เหลยี่ ม เทา กบั an−2 องศา น่ันคือ ผลบวกของมมุ ภายในของรูป n เหลย่ี ม เทากับ 180(n − 2) องศา สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 285 7. การจดั แผนไมตามเงอ่ื นไขทีก่ าํ หนดเปนดงั รปู ช้นั ท่ี n แผนไม 7 แผน ชชช้นัน้ั้นั ททที่่่ีี 4 แแแผผผนนน ไไไมมม 49 แแแผผผนนน 3 50 2 51 ช้นั ที่ 1 แผนไม 52 แผน จากการจัดวางแผน ไมในช้นั ที่ 2 โดยใหแ นวก่งึ กลางตามดานยาวของแผน ไมแตล ะแผนอยู ตรงกบั รอยตอ ของแผนไมแตละคูในช้ันแรก จะไดว า ชน้ั ท่ี 2 มีแผนไมทีว่ างจํานวนท้ังหด 52 – 1 = 51 แผน จากการจัดวางแผน ไมในชัน้ ที่ 3 โดยใหแนวกึง่ กลางตามดา นยาวของแผน ไมแ ตละแผนอยู ตรงกบั รอยตอของแผน ไมแ ตละคูในช้ันที่ 2 จะไดวา ช้ันที่ 3 มีแผน ไมท ี่วางจํานวนท้ังหมด 51 – 1 = 50 แผน ให n เปนช้ันที่มีแผน ไมทีว่ างจาํ นวนท้ังหมด 7 แผน จะไดว า จาํ นวนแผนไมท วี่ างในช้นั ที่ 1, 2, 3, …, n คือ 52, 51, 50, …, 7 ซึง่ เปน ลําดับ เลขคณิตทม่ี ีพจนแ รกเปน 52 พจนที่ n เปน 7 และผลตางรว มเปน −1 จาก an = a1 + (n −1) d จะได 7 = 52 + (n −1)(−1) 7 = 52 − n +1 n = 46 ดังน้นั แผนไมก องนีม้ ีแผน ไม 46 ชัน้ เนือ่ งจาก แผน ไมแ ตละแผนหนา 3 เซนตเิ มตร ดังน้นั ความสูงของแผน ไมก องน้ี คือ 46×3 =138 เซนตเิ มตร หรือ 1.38 เมตร สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

286 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 8. พจิ ารณาการออมเงนิ ของฟางขาว ซงึ่ มเี งนิ เกบ็ เร่มิ ตน 4,200 บาท และออมเงินเพม่ิ เดือนละ 300 บาท ต้งั แตเดือนตลุ าคม 2560 จะไดว า เม่อื ส้นิ เดอื นที่ 1 (ตุลาคม 2560) ฟางขา วจะมเี งินเกบ็ ท้งั หมด 4, 200 + 300 =4,500 บาท เม่ือส้ินเดือนท่ี 2 (พฤศจกิ ายน 2560) ฟางขาวจะมเี งินเก็บทงั้ หมด 4,500 + 300 =4,800 บาท เมอื่ สน้ิ เดือนท่ี 3 (ธนั วาคม 2560) ฟางขาวจะมเี งนิ เก็บทง้ั หมด 4,800 + 300 =5,100 บาท  จะเห็นวา เม่ือสิ้นเดือนที่ 1, 2, 3, … ฟางขา วจะมเี งนิ เกบ็ ทง้ั หมด 4500, 4800, 5100, … บาท ซึ่งเปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก คือ 4,500 และผลตา งรวม คอื 300 ใหล ําดบั an แทน ลําดับของเงนิ เก็บท้ังหมดของฟางขาวเม่ือส้ินเดือน ตงั้ แตเดอื นตลุ าคม 2560 โดยพจนทว่ั ไป คอื a=n 4,500 + (n −1)30=0 4,200 + 300n ----- (1) พจิ ารณาการออมเงินของใยบัว ซง่ึ มีเงนิ เกบ็ เริม่ ตน 7,000 บาท และออมเงินเพิ่ม เดอื นละ 250 บาท ตงั้ แตเ ดือนตุลาคม 2560 จะไดว า เมอ่ื ส้นิ เดือนท่ี 1 (ตุลาคม 2560) ใยบัวจะมเี งินเกบ็ ท้ังหมด 7,000 + 250 =7, 250 บาท เมือ่ ส้ินเดือนท่ี 2 (พฤศจกิ ายน 2560) ใยบัวจะมเี งินเกบ็ ทั้งหมด 7, 250 + 250 =7,500 บาท เม่อื สน้ิ เดอื นท่ี 3 (ธนั วาคม 2560) ใยบัวจะมเี งินเก็บทัง้ หมด 7,500 + 250 =7,750 บาท  จะเห็นวา เมือ่ สน้ิ เดือนท่ี 1, 2, 3, … ใยบวั จะมีเงินเกบ็ ทงั้ หมด 7250, 7500, 7750, … บาท ซ่ึงเปนลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรก คอื 7,250 และผลตา งรวม คือ 250 ใหลาํ ดับ bn แทน ลําดบั ของเงินเก็บทั้งหมดของใยบวั เม่ือส้นิ เดือน ต้งั แตเ ดอื นตลุ าคม 2560 โดยพจนท่ัวไป คือ b=n 7,250 + (n −1)25=0 7,000 + 250n ----- (2) 1) สมมติให เมอ่ื สิน้ เดือนที่ n ฟางขาวมีเงินเกบ็ ทง้ั หมด 12,300 บาท น่ันคอื an =12,300 จาก (1) จะได 12=,300 4,200 + 300n ดงั น้ัน n = 27 น่ันคือ เม่ือส้ินเดือนที่ 27 หรือสน้ิ เดือนธนั วาคม 2562 ฟางขา วมเี งินเกบ็ ทง้ั หมด 12,300 บาท พจิ ารณาจาํ นวนเงนิ เกบ็ ของใยบวั เมือ่ ส้ินเดือนท่ี 27 โดยแทน n ดวย 27 ใน (2) สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 287 จะได b27= 250(27) + 7,000= 13,750 ดังนั้น เมื่อสนิ้ เดือนท่ี 27 หรือสน้ิ เดอื นธนั วาคม 2562 ใยบวั จะมีเงนิ เกบ็ ทั้งหมด 13,750 บาท 2) จาก ใยบวั ตองการนําเงินเกบ็ ไปซือ้ คอมพวิ เตอรร าคา 24,700 บาท จะไดวา ใยบัวตอ งมีเงินเก็บมากกวา หรือเทากับ 24,700 บาท สมมตใิ ห เมือ่ ส้นิ เดอื นที่ n ใยบวั มเี งนิ เกบ็ มากกวา หรือเทากับ 24,700 บาท นนั่ คือ bn ≥ 24,700 จาก (2) จะไดว า 7,000 + 250n ≥ 24,700 n ≥ 354 =70.8 5 จาก n เปน จาํ นวนเตม็ บวก จะไดว า ใยบวั จะตองออมเงินอยา งนอย 71 เดือน ตั้งแตเดือนตลุ าคม 2560 จงึ จะสามารถซอื้ คอมพวิ เตอรได 3) สมมติให เม่อื สิน้ เดอื นท่ี n ฟางขาวมเี งนิ เกบ็ มากกวา ใยบวั นนั่ คือ an > bn จะไดว า 300n + 4, 200 > 250n + 7,000 50n > 2800 n > 56 ดงั น้นั เมอ่ื สน้ิ เดอื นที่ 57 หรอื สน้ิ เดือนมิถนุ ายน 2565 ฟางขา วมเี งินเก็บมากกวา ใยบวั 9. จาก an = a1rn−1 อนกุ รมท่กี าํ หนดใหม ี a1 = −162 และ r = −1 3 จะได a12 =− 162  − 1 12−1 =2  3  2,187 ดังนัน้ พจนท ่ี 12 ของลําดบั เรขาคณติ น้ี คือ 2 2,187 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

288 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 10. เนือ่ งจาก ลาํ ดบั เรขาคณิตน้มี ี a2 = 8 และ a5 = 64 3 81 จาก an = a1rn−1 จะได= a2 a=1r2−1 a1r และ=a5 a=1r5−1 a1r4 ดังนนั้ 8 = a1r ----- (1) 3 และ 64 = a1r 4 ----- (2) 81 จาก (1) และ (2) จะได r3 = 8 นั่นคือ r = 2 27 3 ดงั นนั้ อตั ราสวนรวมของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คือ 2 3 11. เนื่องจาก ลาํ ดับเรขาคณติ นมี้ ี a1 =7, a2 =−21, a3 =63 และ a4 = −189 จาก an = a1rn−1 จะได −21 =7r2−1 นน่ั คือ −21 =7r ----- (1) และ 63 = 7r3−1 นนั่ คือ 63 = 7r2 ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได r = −3 นนั่ คือ a=n 7( )−3 n−1 7 ( )−3 n−1 เมอ่ื an = 5,103 จะได 5,103 = 729 = ( )−3 n−1 น่ันคอื (−3)6 = ( )−3 n−1 n −1 = 6 จะได n = 7 ดงั น้ัน 5,103 เปน พจนท ่ี 7 ของลําดับเรขาคณติ นี้ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี