(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.1

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 539 ∫3)  3 −3  = 5 −1  x 2 − x 2  dx  x2 − x 2 + c 5 −1 22 5 = 2x2 + 2 + c เมอื่ c เปน คาคงตวั 5x 4  3 −3  5 4  2x2 ∫  x2 − x 2  dx =  5  ดังนั้น 2 1  + x  1 =  2 ( 4) 5 + 2  −  2 (1) 5 +   2 4   2 2   5 1   5 = 57 5 4) ∫ ( x +1)( x + 3) dx = ∫ ( x2 + 4x + 3)dx = x3 +  x2  + 3x + c 3 4 2    = x3 + 2x2 + 3x + c เมือ่ c เปนคา คงตวั 3 1  x3  1  3  ดงั นั้น ∫ ( x +1)( x + 3)dx =  + 2x2 + 3x −1  −1 =  13 + 2 (1)2 + 3(1)   ( −1)3 + 2 ( −1)2 +    −   3  3 3( −1)  5) เนอื่ งจาก x −1 = 20 x+ x 3 ( x −1)( x +1) = x ( x +1) x −1 = x −1 = 1− x 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

540 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 จะได ∫ ∫x −1 dx =  −1  1 − x 2  dx x+ x  1 = x− x2 +c 1 2 = x − 2 x + c เมอื่ c เปนคา คงตวั ∫9 x −1 9 dx = x−2 x ( )ดงั น้ัน 4 x+ x 4 = (9 − 2 9) −(4 − 2 4) 6) เนือ่ งจาก =3 x + 2 = x + 2 เมอ่ื x ≥ −2 จะได ∫ x + 2 dx = ∫( x + 2)dx = x2 + 2x + c เมอ่ื x ≥ −2 และ c เปนคา คงตวั 2 ∫1  x2  1  2  ดงั นั้น x + 2 dx =  + 2x −2  −2 =  12 + 2(1)  −  ( −2 )2 +      2  2 2 ( −2 )  =9 2  1 1 34  x 2 + x3  dx ∫7)  = x2 + x3 +c 34 23 34 = 2x2 + 3x3 + c เมอ่ื c เปน คา คงตวั 34 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 541 3 4 64 ดังนน้ั 64  1 1   2x2 3x 3   3 4  ∫  x2 + x3  dx = +  1 1   2 ( 64 ) 3 + 4  −  2 (1) 3 + 4   2   2  3(64)3   3 3(1)3  =  3 4 4 = 6,383 12  1  2 1   x3 −1 x3 + x3 +1 x −1 =   8) เนือ่ งจาก 1 2 2  x3 −1 x3 x − x3  21 x3 + x3 +1 =2 x3 −1 −2 เมื่อ x ≠ 1 = 1+ x 3 + x 3 จะได ∫ ∫x−1 dx =  −1 −2 ดังนน้ั 1+ x 3 + x 3  dx 2   x − x3 21 = x + x3 + x3 + c 21 33 2 = x + 3x3 1 +c เมือ่ x ≠1 และ c เปนคา คงตัว 2 + 3x3 ∫27  x −1   2 1 27  dx   2  =  x + 3x 3 + 3x3    8  x − x3  2  8  2 1  2 1      =  27 + 3 ( 27 ) 3 + 3(27)3  −  8 + 3(8)3 + 3(8)3  2 2 = 59 2 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

542 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 56. 1) กราฟของ f ( x) =−3x + 7 เปน เสนตรง และ f ( x) ≥ 0 สาํ หรับทุก x∈[−5, 2] ให A แทนพนื้ ทขี่ องบริเวณทีป่ ดลอ มดว ยเสน โคง y =−3x + 7 กับแกน X จาก 2) x = −5 ถงึ x = 2 3) เนือ่ งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ที่อยใู นชวง [−5, 2] จะได A = ∫2  −3x2 + 7x  2 = 161  2  −5 2 (−3x + 7) dx =   −5 ดังนน้ั พ้ืนท่ีของบริเวณท่ปี ดลอมดว ยเสนโคง y =−3x + 7 กบั แกน X จาก x = −5 ถงึ x = 2 เทากับ 161 ตารางหนวย 2 กราฟของ f ( x) = 3x2 − 2x −1 เปน รปู พาราโบลาหงาย และ f ( x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x∈[1, 3] ให A แทนพื้นที่ของบริเวณทปี่ ดลอ มดวยเสน โคง y = 3x2 − 2x −1 กับแกน X จาก x =1 ถึง x = 3 เนอ่ื งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ท่อี ยใู นชว ง [1, 3] จะได ( ) ( )∫3 3 3x2 − 2x −1 dx = A= x3 − x2 − x = 16 1 1 ดังน้นั พื้นที่ของบรเิ วณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 3x2 − 2x −1 กบั แกน X จาก x =1 ถึง x = 3 เทากับ 16 ตารางหนวย กราฟของ f (x) = 12 − x − x2 เปน รูปพาราโบลาคว่าํ และ f (x) ≤ 0 สาํ หรบั ทกุ x∈[−6, − 4] ให A แทนพืน้ ที่ของบรเิ วณที่ปดลอ มดวยเสนโคง y = 12 − x − x2 กับแกน X จาก x = −6 ถงึ x = −4 เนือ่ งจาก f (x) ≤ 0 สําหรบั ทุก x ทีอ่ ยใู นชว ง [−6, − 4] ∫ ( )จะได A −4  x2 x3  −4 = 50 12 − x − x2 dx =− 12x − 2 − 3  −6 3 =−   −6 ดงั น้นั พ้นื ที่ของบริเวณที่ปด ลอมดวยเสนโคง y = 12 − x − x2 กับแกน X จาก x = −6 ถึง x = −4 เทากับ 50 ตารางหนวย 3 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 543 57. ข้นั แรกหาพกิ ดั ของจุด A เนอ่ื งจากจดุ A เปนจุดท่เี สน โคง f (x) =−4x2 +16 ตดั กับแกน X ให y = 0 จะได 4x2 =16 นน่ั คือ x = −2 หรือ x = 2 ดงั นัน้ พิกัดของจดุ A คอื (2, 0) ตอไปหาพกิ ัดของจดุ B เน่อื งจากจุด B เปนจดุ ที่เสนโคง f (x) =−4x2 +16 ตดั กบั แกน Y ให x = 0 จะได y =16 ดังนั้น พกิ ัดของจดุ B คอื (0, 16) เนอ่ื งจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ทีอ่ ยูในชวง [0, 2] จะได พ้นื ท่ีสวนทแ่ี รเงา = 2 + 16) dx − 1 (2)(16) ∫ ( −4 x2 2 0 =  −4x3 + 16x  2 − 1 (2)(16)  3  0   2 = 16 ตารางหนวย 3 58. ให s(t) แทนระยะทางท่ีรถบรรทุกเคล่ือนท่ีไปไดในเวลา t ชวั่ โมง และ v(t) แทนอัตราเรว็ ของรถบรรทุก ณ เวลา t ช่ัวโมง ตองการหาคา ของ s  49   60  เนอื่ งจาก s(t) เปนปฏิยานพุ นั ธของ v(t) 49 จากทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคลู ัส จะไดว า s  49  − s ( 0) 60  60  =∫ v(t)dt 0 เน่อื งจาก 49 60 = พ้นื ท่ีของบริเวณท่ีปด ลอมดว ยกราฟของ v บนชวง 0, 49  60  ∫ v(t )dt 0 = 1  20  ( 70) + 1  ( 49 − 25) + ( 47 − 27)  ( 60) + 1  ( 47 − 35) + (45 − 38)  ( 20) 2  60  2   2    60   60  ≈ 25.33 และ s(0) = 0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

544 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 จะได s  49  ≈ 25.33 กิโลเมตร  60  เนือ่ งจาก 25.33×15 ≈ 380 ซึ่งมีคานอยกวา 450 ดงั นัน้ พรนภาตองจายเงนิ คาขนยาย 380 บาท 59. จาก f ′′( x) = 0 สําหรับทุกจาํ นวนจรงิ x จะได f ′( x) = ∫ f ′′( x)dx = ∫ 0dx = c1 เม่ือ c1 เปน คา คงตัว ดงั นัน้ f ( x) = ∫ f ′( x)dx = ∫ c1dx เมอ่ื c2 เปน คาคงตัว เนือ่ งจาก = c1x + c2 ดงั นน้ั น่นั คอื f (−1) = 0 เนอื่ งจาก ดังนนั้ −c1 + c2 = 0 น่ันคือ จะได c2 = c1 เนือ่ งจาก f (1) = 4 c1 + c1 = 4 c1 = 2 f (x) = 2x + 2 ∫ f ( x)dx = ∫(2x + 2)dx =  x2  + 2x + c 2 2    = x2 + 2x + c เมือ่ c เปน คา คงตัว จะไดวา ปฏยิ านุพันธข อง f ( x=) 2x + 2 คือ F ( x) = x2 + 2x + c ดังนัน้ ( )∫2 f ( x) dx = x2 + 2x 2 1 1 = (22 + 2(2)) − (12 + 2(1)) =5 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 545 60. จาก F ( x) = ax2 + x +1 จะได F′(x) = 2ax +1 น่นั คอื F′(1) = 2a +1 เน่อื งจาก ความชนั ของเสนสัมผัสเสน โคง y = F (x) เมื่อ x =1 คอื 5 ดงั นัน้ F′(1) = 5 2a +1 = 5 น่นั คอื a =2 F (x) = 2x2 + x +1 และ f ( x) = F′( x) = 4x +1 เนอ่ื งจาก 4x +1 ≤ 0 บนชว ง −1, − 1 และ 4x +1 ≥ 0 บนชวง − 1 , 1  4  4  ดังนนั้ พนื้ ทปี่ ดลอมดว ยเสนโคง y = f (x) จาก x = −1 ถึง x =1 คอื −1 ∫ ∫4 1 −1 = −F (x) 4 + F ( x ) 1 1 − f ( x)dx + f ( x)dx − −1 4 −1 − 1 4 ( ) ( )= −1 1 − 2x2 + x +1 2x2 + x +1 −1 4+ 4 −1  2  1 2  1     4   4  + 1 2(−1)2 + (−1) +1   ( )= − − + − − ( ) 2 (1)2   1 2  1     4   4  + 1 +  + (1) +1 − 2 − + − = −  7 − 2  +  4 − 7  8  8  = 2 ตารางหนวย 61. เน่อื งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรับทุกจํานวนจริง x จงึ ไดว า สําหรับจํานวนจรงิ a,b โดยท่ี 0 ≤ a ≤ b พน้ื ที่ที่ปดลอ มดวยเสน โคง y = f (x) จาก x=a ถงึ x=b มคี า เทากับ b f ( x)dx ∫ a เน่อื งจากกราฟของ f มีแกน Y เปนแกนสมมาตร สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

546 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 จะไดว า f (−x) =f (x) สาํ หรับทุกจํานวนจริง x ดงั น้นั พื้นทีท่ ี่ปดลอ มดว ยเสนโคง y = f (x) จาก x = a ถึง x = b มคี าเทากบั พ้ืนท่ีทปี่ ด ลอ ม ดวยเสนโคง y = f ( x) จาก x = −b ถึง x = −a น่ันคือ b f ( x)dx = −a f ( x)dx สําหรับทกุ จํานวนจริง a,b ที่ 0≤a≤b ∫ ∫ a −b นอกจากนี้ สังเกตวา ถา f (x) ≥ 0 บนชวงปด [a, b] และ c∈[a, b] จะได พื้นทปี่ ด ลอมดวยเสน โคง y = f (x) กับแกน X จาก x = a ถึง x = b b = ∫ f ( x)dx a cb = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx ac ดังน้นั 2 012 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −1 −1 0 1 อ 112 = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 001 12 = 2 ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 01 เนอ่ื งจาก 2 f ( x) dx = 12 และ 1 f ( x) dx = 3 ∫ ∫ −1 0 จะได 2 12 = 2(3) + ∫ f ( x)dx 1 นน่ั คือ 2 ∫ f ( x)dx = 6 1 จะไดว า 2 −1 2 ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx −2 −2 −1 22 = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx 1 −1 = 6 + 12 = 18 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 547 62. 1) จาก W′(t) = − t 40 จะได W (t) = ∫ − t dt 40 = − t2 + c เม่ือ c เปนคาคงตัว 80 เนอ่ื งจาก W (t) คือปริมาณนํา้ ในถัง ณ เวลา t นาที ดงั นัน้ ปรมิ าณน้ําที่ไหลออกตั้งแตเวลา t = 0 ถึง t =15 นาที คือ W (0) −W (15) =  02 +  −  − 152 +  − 80 c  80 c     = 45 แกลลอน 16 2) จาก W (t ) = − t2 + c และ W (0) = 320 80 จะได − 02 + c = 320 320 80 นน่ั คอื c = 63. 1) จะได W (t) = − t2 + 320 80 เนื่องจาก W (t) = 0 เมื่อ =t 320 ⋅80= 160 ดังนนั้ ตอ งใชเ วลา 160 นาที นา้ํ จงึ จะไหลออกทง้ั หมด ให P(t) แทนจํานวนประชากรโลก (มีหนวยเปน ลา นคน) ในป ค.ศ. t จะได P′(t) = p(t) = −0.012t2 + 48t − 47,925 ดงั น้นั ∫P(t) = (−0.012t2 + 48t − 47,925)dt = −0.004t3 + 24t2 − 47,925t + c เมือ่ c เปน คาคงตวั เนือ่ งจากใน ค.ศ. 2017 มจี ํานวนประชากรโลกประมาณ 7,500 ลานคน ดังนนั้ P(2017) = 7,500 −0.004(2017)3 + 24(2017)2 − 47,925(2017) + c = 7,500 น่นั คอื c = 31,856, 245 จะได P(t ) = −0.004t3 + 24t2 − 47,925t + 31,856,245 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

548 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2) เน่อื งจาก P(2050) = −0.004(2050)3 + 24(2050)2 − 47,925(2050) + 31,856,245 = 9,495 ดงั นั้น จํานวนประชากรโลกใน ค.ศ. 2050 มีอยปู ระมาณ 9,495 ลา นคน 64. จาก dG = − P + 2 dP 25 จะได ∫G =  − P + 2  dP  25  = − P2 + 2P + c เม่อื c เปน คาคงตัว 50 เนอ่ื งจาก G = 38 เม่ือ P =10 จะได 38 = − (10)2 + 2(10) + c 50 นั่นคอื c = 20 จงึ ไดวา G = − P2 + 2P + 20 50 ดงั นน้ั ถาในโปรตนี ผสมสตู รพิเศษมยี ีสตอยรู อ ยละ 75 หนูจะมนี ้ําหนกั เพ่ิมขน้ึ − (75)2 + 2(75) + 20 =57.5 กรัม 50 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 549 แหลง เรยี นรูเ พิ่มเตมิ forvo.com เปนเว็บไซตที่รวบรวมการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ กอต้ังขึ้นเม่ือ ค.ศ. 2008 โดยมีจุดมุงหมายเพ่ือพัฒนาการสอ่ื สารทางการพูด ผานการแลกเปลี่ยนการออกเสยี งคําในภาษา ตาง ๆ ท้ังจากบุคคลท่ีเปนเจาของภาษาและบุคคลท่ีไมใชเจาของภาษา forvo.com ไดรับคัดเลือก จากนติ ยสาร Times ใหเ ปน 50 เว็บไซตที่ดที ี่สดุ ใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจจบุ ัน เว็บไซตน้ีเปนฐานขอมูลที่รวบรวมการออกเสียงที่ใหญที่สุด มีคลิปเสียงท่ีแสดงการออกเสียง คาํ ศพั ทป ระมาณสลี่ า นคําในภาษาตาง ๆ มากกวา 330 ภาษา ครอู าจใชเว็บไซต forvo.com เพอ่ื ศึกษาเพิ่มเติมเก่ียวกับการออกเสียงคําศัพทคณิตศาสตร หรือชื่อนักคณิตศาสตรในภาษาอังกฤษหรอื ภาษาอ่ืน ๆ ท่ีปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ได เชน finite sequence และ infinite sequence ซ่ึง เปน คําศพั ทค ณิตศาสตรในภาษาองั กฤษ หรอื Fibonacci ซง่ึ เปน ชอ่ื นักคณติ ศาสตรชาวอิตาเลียน สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

550 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 บรรณานุกรม คณาจารยภ าควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร จฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั . (2542). แคลคูลัส เลมที่ 1. กรงุ เทพฯ: พทิ ักษการพมิ พ. มาริสา มยั ยะ และ วันเพญ็ จันทรงั ษ.ี (2550). แคลคลู ัส I. กรงุ เทพฯ: สํานกั พมิ พแสงสวาง เวิลดเ พรส. วชิ าญ ล่วิ กรี ตยิ ุตกุล. (2562). คณติ วิเคราะห. กรงุ เทพฯ: วิสคอมเซ็นเตอร. สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2558). คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร เลม 3 ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว. สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2557). คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 6 ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศึกษาข้ันพนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติม คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ตามผลการเรียนรูกลมุ สาระการเรยี นรู คณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว. สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2558). หนงั สือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐาน คณิตศาสตร เลม 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2557). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 6 ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตร แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว. สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 551 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2557). หนงั สอื เรยี นรูเ พิ่มเตมิ เพอ่ื เสริม ศกั ยภาพคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 – 6 แคลคูลัสเบื้องตน . กรุงเทพฯ: พฒั นา คณุ ภาพวชิ าการ. สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2557). หนงั สอื เรยี นรูเพ่ิมเติมเพ่อื เสริม ศกั ยภาพคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 ลาํ ดบั และอนกุ รม. กรุงเทพฯ: พฒั นา คุณภาพวิชาการ. สํานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน. (2560). ตัวชีว้ ดั และสาระการเรยี นรูแกนกลาง กลุม สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพชุมนมุ สหกรณการเกษตร แหงประเทศไทย. สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

552 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 คณะผูจัดทาํ คณะทีป่ รกึ ษา สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจํานงค สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.ศรเทพ วรรณรตั น ดร.วนิดา ธนประโยชนศ กั ด์ิ คณะผูจ ดั ทําคมู อื ครู สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี วา ท่ีรอ ยเอก ดร.ภณฐั กว ยเจรญิ พานิชก สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวปฐมาภรณ อวชยั สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวอมั ริสา จันทนะศริ ิ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นายพฒั นชยั รววิ รรณ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวภิญญดา กลบั แกว สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.ศศิวรรณ เมลืองนนท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.สธุ ารส นลิ รอด สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นายกฤษณะ ปอมดี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.จิณณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.จุฬาลักษณ แกว หวงั สกูล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นายทศธรรม เมขลา โรงเรียนพระปฐมวิทยาลยั จังหวัดนครปฐม นางสาวปรารถนา วิริยธรรมเจรญิ โรงเรียน มอ.วิทยานุสรณ จงั หวัดสงขลา นายสถติ พงษ เพ็ชรถึง โรงเรียนยานตาขาวรัฐชนูปถมั ภ จงั หวดั ตรงั นางสุธิดา นานชา โรงเรยี นบุญวัฒนา จังหวัดนครราชสีมา นายสุบรรณ ตงั้ ศรีเสรี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 553 คณะผพู จิ ารณาคูมอื ครู สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี นายประสาท สอา นวงศ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี รศ. ดร.สมพร สตู นิ ันทโอภาส สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นางสาวจําเรญิ เจียวหวาน สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี นายสเุ ทพ กติ ติพทิ กั ษ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี ดร.สพุ ตั รา ผาติวสิ ันต์ิ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ดร.อลงกรณ ตงั้ สงวนธรรม มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สวนสุนนั ทา กรุงเทพฯ ผศ. ตีรวชิ ช ทินประภา มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสวนสนุ นั ทา กรุงเทพฯ ผศ. ดร.ธนชั ยศ จาํ ปาหวาย จุฬาลงกรณม หาวทิ ยาลัย กรงุ เทพฯ ดร.นธิ ิ รุงธนาภิรมย สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี บรรณาธกิ าร รศ. ดร.สริ พิ ร ทพิ ยคง โรงเรียนราชวินติ บางเขน กรงุ เทพฯ โรงเรยี นสาธติ แหง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร ฝายสนบั สนนุ วิชาการ ศนู ยว ิจยั และพฒั นาการศึกษา กรุงเทพฯ นางสาวขวัญใจ ภาสพนั ธุ โรงเรยี นสตรีภูเก็ต จงั หวดั ภูเกต็ นายณรงคฤ ทธ์ิ ฉายา โรงเรียนทับปุดวทิ ยา จังหวดั พงั งา โรงเรียนสตรสี ิริเกศ จงั หวัดศรสี ะเกษ นายถนอมเกยี รติ งานสกุล โรงเรยี นบางละมุง จังหวดั ชลบรุ ี นางนงนุช ผลทวี โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ ฬุ าภรณราชวิทยาลัย เพชรบุรี นางมยุรี สาลีวงศ จังหวัดเพชรบุรี นางสาวศราญลกั ษณ บุตรรัตน โรงเรียนเฉลมิ ขวัญสตรี จงั หวัดพษิ ณุโลก นายศรัณย แสงนลิ าวิวฒั น ขาราชการบาํ นาญ วาทีร่ อ ยตรสี ามารถ วนาธรัตน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี นางศุภรา ทวรรณกลุ

554 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 นายสุกิจ สมงาม ขา ราชการบาํ นาญ นางสปุ ราณี พวงพี ขา ราชการบํานาญ นายชัยรตั น สุนทรประพี นักวชิ าการอสิ ระ นางสาวปยาภรณ ทองมาก สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี ฝายนวัตกรรมเพื่อการเรยี นรู สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร