(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.1

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 439 และ f ′′(1) = 6 ซ่ึง 6 > 0 ดังนน้ั f มีคา สูงสดุ สมั พัทธท่ี x = −1 และคา สูงสดุ สมั พัทธคือ f (−1) =8 และ f มีคา ตํา่ สุดสัมพทั ธที่ x =1 และคาตา่ํ สุดสมั พัทธคือ f (1) = 4 3) จาก f ( x) =x3 − 3x2 − 24x + 4 จะได f ′( x) = 3x2 − 6x − 24 = 3( x2 − 2x − 8) = 3( x − 4)( x + 2) ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 4 หรือ x = −2 จะไดวาคาวิกฤตของฟงกชัน f มี 2 คา คอื 4 และ −2 ตอไปหาอนุพนั ธอนั ดบั ท่ี 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′(x) = 6x − 6 = 6(x −1) เนื่องจาก f ′′(4) = 18 ซ่ึง 18 > 0 และ f ′′(−2) = −18 ซึง่ −18 < 0 ดังนน้ั f มคี า สูงสุดสมั พทั ธท ่ี x = −2 และคาสูงสดุ สัมพทั ธค ือ f (−2) =32 และ f มีคา ตา่ํ สดุ สัมพทั ธท ่ี x = 4 และคาตํา่ สุดสัมพัทธค ือ f (4) = −76 4) จาก f ( x) =x4 − 8x2 +12 จะได f ′( x) = 4x3 −16x = 4x( x2 − 4) = 4x( x − 2)( x + 2) ดังนั้น f ′( x) = 0 เม่อื x = −2 , x = 0 หรอื x = 2 จะไดว า คาวิกฤตของฟง กช นั f มี 3 คา คอื −2 , 0 และ 2 ตอ ไปหาอนุพันธอ ันดับที่ 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′=(x) 12x2 −16 เนื่องจาก f ′′(−2) = 32 ซ่ึง 32 > 0 f ′′(0) = −16 ซง่ึ −16 < 0 และ f ′′(2) = 32 ซง่ึ 32 > 0 ดงั นน้ั f มคี า สงู สุดสัมพทั ธท ่ี x = 0 และคา สูงสุดสมั พทั ธคือ f (0) =12 และ f มคี าตา่ํ สุดสัมพทั ธที่ x = −2 และ x = 2 โดยคาตํ่าสดุ สัมพัทธคอื f (−2) =−4 และ f (2) = −4 ตามลําดับ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

440 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 5) จาก f ( x) =x4 − 4x3 + 8 จะได f ′( x) =4x3 −12x2 =4x2 ( x − 3) ดงั น้ัน f ′( x) = 0 เมอื่ x = 0 หรือ x = 3 ดังนั้น คาวิกฤตของฟงกชนั f มี 2 คา คอื 0 และ 3 พิจารณาคาของ f ′(x) เม่ือ x เปนคา วิกฤตและจํานวนจริงในชว งตาง ๆ โดยใช เสน จํานวน ดงั น้ี จะเหน็ วา f ′(x) ท่ี x = 0 ไมมกี ารเปล่ยี นจากจํานวนบวกเปน จาํ นวนลบหรอื ไมมกี าร เปล่ียนจากจาํ นวนลบเปนจํานวนบวก ดังน้ัน 0 เปนคา วิกฤตทีไ่ มไดทําใหฟ งกช นั มีคา สงู สดุ สมั พัทธหรอื คาต่าํ สุดสมั พัทธ เนอื่ งจาก ที่ x = 3 เปน จุดแบงท่ีทาํ ให f ′(x) เปลย่ี นจากจํานวนลบเปนจาํ นวนบวก ดงั นั้น f มคี าตา่ํ สุดสัมพทั ธท่ี x = 3 และคา ต่ําสดุ สัมพัทธค อื f (3) = −19 3. 1) จาก f ( x) = x2 − 4x + 3 จะได f ′( x) = 2x − 4 = 2( x − 2) ดังน้นั f ′( x) = 0 เม่อื x = 2 จะไดว าคาวกิ ฤตของฟง กช ันในชวงเปด (0,5) คือ 2 ตอไปคํานวณหา f (0), f (2) และ f (5) จะได f (0) = 3 f (2) = −1 f (5) = 8 สรปุ ไดวา f มคี า สงู สุดสัมบรู ณท่ี x = 5 และคา สงู สดุ สัมบรู ณคือ f (5) = 8 และ f มีคาต่ําสุดสัมบรู ณท ่ี x = 2 และคา ต่าํ สดุ สมั บรู ณคือ f (2) = −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 441 2) จาก f ( x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 จะได f ′( x)= 3x2 − 4x − 4= (3x + 2)( x − 2) ดงั น้นั f ′( x) = 0 เม่อื x = − 2 หรอื x = 2 3 จะไดว า คาวิกฤตของฟง กชนั ในชวงเปด (−2,3) คือ − 2 และ 2 3 ตอไปคาํ นวณหา f (−2), f  − 2  , f (2) และ f (3) จะได  3  f (−2) = 0 f  − 2  = 256  3  27 f (2) = 0 f (3) = 5 สรุปไดวา f มีคา สงู สุดสมั บรู ณท่ี x= −2 และคา สูงสดุ สัมบรู ณค ือ f  − 2  =256 3  3  27 และ f มีคาตา่ํ สดุ สัมบรู ณท ี่ x = −2 และ x = 2 โดยท่ีคา ต่ําสดุ สัมบูรณคือ f (−2=) f (2=) 0 3) จาก f ( x) =x4 − 2x3 − 9x2 + 27 จะได f ′( x) = 4x3 − 6x2 −18x = 2x(2x2 − 3x − 9) = 2x(2x + 3)( x − 3) ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = − 3 , x = 0 หรือ x = 3 2 จะไดวาคาวกิ ฤตของฟง กช นั ในชวงเปด (−2,4) คอื − 3 , 0 และ 3 2 ตอไปคํานวณหา f (−2), f  − 3  , f (0), f (3) และ f (4) จะได  2  f (−2) = 23 f  − 3 = 297  2  16 f (0) = 27 f (3) = −27 f (4) = 11 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

442 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 สรปุ ไดวา f มีคา สูงสุดสัมบูรณท่ี x = 0 และคาสงู สุดสมั บูรณค ือ f (0) = 27 และ f มคี า ต่าํ สดุ สัมบูรณท ่ี x = 3 และคา ต่ําสดุ สมั บรู ณค ือ f (3) = −27 4) จาก f ( x) = x3 + 5x − 4 จะได f ′( x) = 3x2 + 5 เนอ่ื งจาก f ′( x)= 3x2 + 5 > 0 ทุก x ∈(−3,−1) ดังนน้ั f ไมมคี าวิกฤตในชวงเปด (−3,−1) ตอ ไปคาํ นวณหา f (−3) และ f (−1) จะได f (−3) = − 46 f (−1) = −10 สรุปไดว า f มีคาสงู สุดสัมบูรณที่ x = −1 และคา สงู สุดสมั บรู ณคือ f (−1) =−10 และ f มคี าตํ่าสดุ สมั บรู ณท ี่ x = −3 และคาตํ่าสดุ สมั บูรณคือ f (−3) =−46 4. จาก f ( x) = x3 + ax2 + bx + c จะได f ′( x) = 3x2 + 2ax + b ดงั นัน้ คําตอบของสมการ f ′( x) = 0 คือ x = −2a ± 4a2 −12b หรอื x = −a ± a2 − 3b 63 เนอื่ งจาก คาวกิ ฤตคอื คําตอบของสมการ f ′(x) = 0 ดังน้นั f จะมีคาวิกฤต 2 คา เมอ่ื a2 − 3b > 0 f จะมีคาวิกฤต 1 คา เมอื่ a2 − 3b =0 และ f จะไมมคี า วิกฤต เม่ือ a2 − 3b < 0 จะไดว า ตวั อยางจาํ นวนจริง a, b และ c ท่ีทาํ ให 1) f มคี า วกิ ฤต 2 คา คอื a = 0 , b = −3 และ c = 0 2) f มคี าวิกฤตเพยี ง 1 คา คือ a = 0 , b = 0 และ c = 0 3) f ไมมคี าวิกฤต คือ a = 0 , b = 3 และ c = 0 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 443 แบบฝก หัด 2.8.3 1. จาก =p 100 − 0.04x เนอื่ งจากราคาสนิ คา p เปนจํานวนจริงท่ีมากกวา หรือเทา กบั 0 ดังนนั้ x∈[0, 2500] ให P(x) แทนกําไรทไ่ี ดจากการผลิตสินคา x ช้นิ เมือ่ x∈[0, 2500] จะได P( x) = px − (600 + 22x) = (100 − 0.04x) x − (600 + 22x) = −0.04x2 + 78x − 600 เมอื่ x ∈[0, 2500] ดังนั้น P′( x) = −0.08x + 78 ถา P′( x) = 0 แลวจะได −0.08x + 78 =0 น่นั คอื x = 975 ดังนัน้ คาวิกฤตในชว งเปด (0,2500) คือ 975 ตอ ไปคาํ นวณหา P(0), P(975) และ P(2,500) จะได P (0) = −600 P (975) = 37,425 P (2,500) = −55,600 สรุปไดว า P มคี าสงู สุดสมั บูรณท่ี x = 975 และคา สงู สุดสมั บรู ณค ือ P(975) = 37,425 ดังน้นั แมคาจะตองผลิตสนิ คาออกขายสปั ดาหละ 975 ชิน้ จงึ จะไดกําไรมากทส่ี ดุ 2. ให C (x) แทนคาใชจา ยรวมในการสัง่ ใหร ถบรรทุกวิ่งดวยอตั ราเร็วเฉลี่ย x กิโลเมตรตอ ชวั่ โมง เม่ือ x ∈[25,80] เน่ืองจาก ระยะเวลาทร่ี ถบรรทุกของบรษิ ัทว่งิ รบั สงสนิ คาคือ 500 ชั่วโมง x ดงั น้ัน บริษัทจะตอ งจา ยคานํา้ มนั 500  24 + x2  ( 24 ) บาท x  150    และจา ยคา เบ้ียเล้ยี งคนขบั 500 (49) บาท x สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

444 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 จะได C(x) = 500  24 + x2  ( 24) + 500 ( 49) x  150  x   = 80x + 312,500 เมือ่ x ∈[25,80] x ดังนั้น C′(x) = 80 − 312, 500 x2 ถา C′( x) = 0 แลวจะได 0 = 80 − 312,500 x2 312,500 = 80 x2 80x2 = 312,500 x2 = 3,906.25 x2 − 312,500 = 0 ( x + 62.5)( x − 62.5) = 0 นน่ั คอื x = −62.5 หรือ x = 62.5 เนอ่ื งจาก −62.5∉(25,80) ดงั นน้ั คาวิกฤตในชวงเปด (25,80) คอื 62.5 ตอ ไปคาํ นวณหา C (25), C (62.5) และ C (80) จะได C (25) = 14,500 C (62.5) = 10,000 C (80) = 10,306.25 สรุปไดว า C มีคาต่าํ สุดสมั บูรณที่ x = 62.5 และคา ตํา่ สดุ สัมบูรณคือ C (62.5) =10,000 ดังน้นั บรษิ ทั ควรใหคนขับขับรถดว ยอัตราเร็วเฉล่ยี 62.5 กิโลเมตรตอ ชั่วโมง จึงจะประหยดั ท่ีสุด 3. จากโจทยจ ะได 6x + 4y =200 นัน่ คือ =y 50 − 3 x 2 เนอื่ งจากความยาวและความกวางของรปู สเี่ หลย่ี มมุมฉากเปน จํานวนจรงิ บวก ดงั นัน้ x ∈  0, 100  3  ให A แทนพน้ื ท่ีของทดี่ ินที่ลอมดวยลวดหนาม สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 445 จะได A = 3xy = 3x  50 − 3 x   2  = 150x − 9 x2 เม่ือ x ∈  0, 100  2  3  ดงั นน้ั A′( x) = 150 − 9x ถา A′( x) = 0 แลวจะได 150 − 9x =0 น่ันคอื x = 50 3 ดงั นั้น คาวกิ ฤตในชวงเปด  0, 100  คือ 50  3  3 ตอ ไปหาอนุพันธอ นั ดับท่ี 2 ของฟงกชัน A จะได A′′(x) = − 9 เน่อื งจาก A′′ 50  = −9 ซ่ึง −9 < 0 3  ดังนนั้ A มีคาสงู สดุ สัมพทั ธท่ี x = 50 เพยี งคา เดยี วบนชว ง  0, 100  3  3  สรุปไดวา A มีคา สงู สดุ สมั บูรณที่ x = 50 บนชว ง  0, 100  3  3  และคาสูงสุดสัมบูรณคือ A 50  = 1, 250 3  ดงั นั้น จะลอมพืน้ ท่ีไดม ากที่สุด 1,250 ตารางเมตร 4. ให f ( x) แทนผลของการลบจาํ นวนจริง x ดว ยกําลงั สองของ x จะได f ( x)= x − x2 เม่อื x ∈(−∞,∞) ดังนัน้ f ′( x)= 1− 2x ถา f ′( x) = 0 แลวจะได 1− 2x =0 นน่ั คอื x= 1 2 ดงั นั้น คาวกิ ฤต คือ 1 2 ตอ ไปหาอนุพนั ธอ ันดบั ท่ี 2 ของฟงกช ัน f จะได f ′′(x) = −2 เนอ่ื งจาก f ′′ 1  = −2 ซ่งึ −2 < 0 2  สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

446 คูมอื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 ดังนั้น f มีคาสูงสุดสัมพัทธท ี่ x = 1 เพยี งคา เดยี วบนชว ง (−∞, ∞) 2 สรปุ ไดว า f มคี าสงู สดุ สมั บูรณที่ x = 1 2 นน่ั คือ จาํ นวนจริงที่เมื่อนาํ จาํ นวนดงั กลาวลบออกดวยจาํ นวนจริงนน้ั แลวไดผ ลลบมคี า มาก ทสี่ ุด คอื 1 2 5. ให x แทนจาํ นวนจํานวนหน่ึง จะไดวา จํานวนอีกจาํ นวนหนงึ่ มีคา เปน 10 − x ให f (x) แทนผลคูณของสองจาํ นวนดงั กลาว จะได f=( x) x(10 − x) เม่อื x ∈(−∞,∞) = 10x − x2 ดังนนั้ f ′( x) = 10 − 2x ถา f ′( x) = 0 แลว จะได 10 − 2x =0 น่ันคือ x = 5 ดังน้ัน คาวกิ ฤต คือ 5 ตอ ไปหาอนุพนั ธอ ันดับท่ี 2 ของฟงกชนั f จะได f ′′(x) = −2 เนอ่ื งจาก f ′′(5) = −2 ซ่ึง −2 < 0 ดังนน้ั f มีคา สงู สุดสัมพัทธท่ี x = 5 เพยี งคา เดยี วบนชวง (−∞, ∞) สรปุ ไดวา f มคี าสูงสดุ สัมบูรณที่ x = 5 นัน่ คอื จาํ นวนจรงิ สองจํานวนท่ีมีผลบวกเปน 10 และผลคูณของสองจาํ นวนนม้ี ีคา มากที่สุด คอื 5 และ 10 – 5 = 5 6. 1) ให x และ y เปน จํานวนจริงสองจํานวนทมี่ ากกวาหรือเทากบั ศูนยซ งึ่ x + y =1 ดงั นัน้ y= 1− x และ x ∈[0, 1] ให f (x) แทนผลบวกของกําลังสองของ x และ 1 – x จะได f ( x) = x2 + (1− x)2 = 2x2 − 2x +1 เม่อื x ∈[0, 1] ดงั นน้ั f ′( x) = 4x − 2 ถา f ′( x) = 0 แลวจะได 4x − 2 =0 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 447 นัน่ คือ x = 1 2 ดงั นนั้ คาวิกฤตของฟง กชนั ในชว งเปด (0,1) คือ 1 2 ตอไปคาํ นวณหา f (0), f  1  และ f (1) จะได  2  f (0) = 1 f  1  =1  2  2 f (1) = 1 สรุปไดวา f มีคาสงู สุดสัมบูรณที่ x = 0 และ x =1 โดยทค่ี า สูงสดุ สัมบรู ณคอื f=(0) f=(1) 1 ดังนน้ั จะตอ งเลือกจาํ นวนจรงิ สองจาํ นวนคือ 0 และ 1 จึงจะทาํ ใหผ ลบวกของกําลังสอง ของแตละจาํ นวนมีคา มากท่สี ุด 2) จากขอ 1) สรปุ ไดวา f มคี า ตา่ํ สดุ สัมบรู ณท ี่ x=1 และคา ตาํ่ สุดสัมบูรณค ือ f  1 = 1 2  2  2 ดังนนั้ จะตองเลือกจาํ นวนจริงท้งั สองจํานวนเปน 1 จงึ จะทําใหผ ลบวกของกาํ ลังสอง 2 ของแตละจํานวนมีคา นอยทีส่ ดุ 7. จาก p = 400 + 20x − x2 เนอื่ งจากกําไรและปริมาณปยุ ตอ งเปน จํานวนจรงิ ที่มากกวาหรอื เทา กับ 0 จงึ พจิ ารณาเฉพาะ x ∈ 0, 10 +10 5  จะได p′( x=) 20 − 2x ถา p′( x) = 0 แลว จะได 20 − 2x =0 น่นั คือ x =10 ดังนั้น คา วิกฤตของฟง กช ันในชว งเปด (0, 10 +10 5) คือ 10 ตอไปคํานวณหา p(0), p(10) และ (p 10 +10 5) จะได สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

448 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 p(0) = 400 p(10) = 500 ( )p 10 +10 5 =0 นน่ั คอื p(10) = 500 เปนคา สงู สดุ สัมบูรณ จะไดว า จะตองใชป ุย 10 กโิ ลกรมั ตอ ทด่ี ิน 1 ไร จงึ จะไดกําไรสทุ ธิสงู สดุ และกําไรสทุ ธิสูงสุด จากผลผลติ ตอไรคอื 500 บาท 8. จาก C (t) = 10 + 4t − 0.2t2 เม่อื t ∈[0,∞) จะได C′(t ) = 4 − 0.4t ถา C′(t) = 0 แลวจะได 4 − 0.4t =0 นนั่ คือ t =10 ดังนัน้ คา วกิ ฤตของฟง กชนั ในชว งเปด (0, ∞) คือ 10 ตอไปหาอนุพันธอ นั ดับที่ 2 ของฟงกชนั C จะได C′′(x) = −0.4 เนื่องจาก C′′(10) = −0.4 ซ่ึง −0.4 < 0 ดงั นั้น C มีคาสูงสดุ สัมบูรณที่ x =10 เพียงคาเดียวบนชวง (0, ∞) ตอไปคํานวณหาคา C (0) และ C (10) จะได C (0) = 10 C (10) = 30 น่นั คอื C (10) = 30 เปนคาสูงสุดสมั บรู ณ จะไดว า อุณหภูมิจะขึน้ สูงสดุ เม่อื เวลาผานไป 10 วินาที และอุณหภูมสิ ูงสุดเปน 30 องศาเซลเซียส 9. ให x แทนความยาวรว้ั ทลี่ อมดานที่อยตู รงขา มแมน าํ้ และ y แทนความยาวร้วั ท่ีลอมแตล ะดา นที่เหลือ เนอ่ื งจากตอ งการลอ มรั้วเปน รปู สี่เหลยี่ มมมุ ฉากทมี่ ีพ้นื ที่ 384 ตารางเมตร จะได xy = 384 นนั่ คือ y = 384 เม่ือ x ∈(0, ∞) x ให P แทนคาใชจ า ยในการลอมร้ัว จะได P = 3,000x + 2,000y สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 449 นั่นคอื P( x) = 3, 000 x + 2, 000  384  เมื่อ x ∈(0, ∞)  x  ดงั นั้น P′( x) = 3,000 − 2, 000 ( 384 ) x2 ถา P′( x) = 0 แลว จะได 2, 000 ( 384 ) = 0 3,000 − x2 น่ันคือ x = 16 หรือ −16 เนื่องจาก −16∉(0, ∞) ดังนนั้ คา วกิ ฤตของฟง กชนั ในชวงเปด (0, ∞) คือ 16 เน่ืองจาก P′( x) < 0 เมอื่ 0 < x <16 และ P′( x) > 0 เม่ือ x >16 จะได P เปนฟงกชนั ลดบนชว ง (0, 16) และ P เปนฟง กช นั เพมิ่ บนชว ง (16, ∞) ดงั นั้น P มีคาต่าํ สดุ สมั พัทธท่ี x =16 เพยี งคา เดยี วบนชวง (0, ∞) สรุปไดวา P มีคา สงู สุดสัมบรู ณที่ x =16 นน่ั คือ P(16) = 96,000 เปน คา ต่าํ สดุ สมั บูรณ เนอ่ื งจาก x = 16 จะได y = 384 = 24 16 ดังนัน้ จะตองสรางร้วั ใหม คี วามกวาง 16 เมตร และความยาว 24 เมตร จึงจะทําใหค าใชจาย ตาํ่ ท่ีสุด และคาใชจ า ยตํ่าท่สี ุดคอื 96,000 บาท 10. ให V (x) แทนความจุของกลองเม่ือตัดรูปส่ีเหลี่ยมจัตรุ สั ยาวดา นละ x เซนติเมตรท่ีมุมท้ังสี่ออก จะได V ( x) = (20 − 2x)(24 − 2x) x = 4x3 − 88x2 + 480x เน่ืองจากความกวา ง ความยาว ความสงู และปริมาตรของกลอ งเปน จาํ นวนจรงิ บวก จะได x ∈(0, 10) ดงั นน้ั V ′( x) = 12x2 −176x + 480 ( )= 4 3x2 − 44x +120 ถา V ′( x) = 0 แลว จะได ( )4 3x2 − 44x +120 =0 น่นั คือ x = 22 − 2 31 หรือ x = 22 + 2 31 33 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

450 คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 เนอื่ งจาก 22 + 2 31 ∉(0,10) 3 ดังน้ัน คา วกิ ฤตในชว งเปด (0,10) มีเพยี งคาเดียวคือ 22 − 2 31 3 เนือ่ งจาก V ′=′( x) 4(6x − 44) และ ′′ 22 − 2 31   22 −2 31   3  =4 6 3  44  ( )V − =4 −4 31 <0 ดงั น้นั V  22 −2 31  ≈ 774.16 เปน คา สูงสุดสัมพัทธ  3  เนอ่ื งจาก V มีคาสูงสดุ สมั พัทธท่ี x = 22 − 2 31 เพยี งคาเดยี วบนชว ง (0,10) 3 สรุปไดว า V มีคาสูงสดุ สมั บรู ณที่ x = 22 − 2 31 บนชวง (0,10) 3 และคาสงู สดุ สมั บูรณค ือ V  22 −2 31  ≈ 774.16  3  จะไดว า กลองจะมีความจุมากทีส่ ดุ ประมาณ 774.16 ลูกบาศกเซนตเิ มตร เมอ่ื x = 22 − 2 31 เซนตเิ มตร 3 11. ให P(x) แทนกําไรทไี่ ดจ ากการตั้งราคาสินคาช้ินละ x บาท เม่อื x∈[4,20] เนื่องจาก จาํ นวนสนิ คา ที่ขายไดเ มื่อตั้งราคาสนิ คาช้ินละ x บาท คือ 1,000 +100(20 − x) ชน้ิ ตอสปั ดาห จะได P( x) = ( x − 4)(1000 +100(20 − x)) = −100x2 + 3,400x −12,000 เมื่อ x ∈[4,20] ดงั นน้ั P′( x) = −200x + 3,400 ถา P′( x) = 0 แลวจะได −200x + 3,400 =0 นน่ั คือ x =17 ดังนัน้ คาวิกฤตของฟงกช ันในชว งเปด (4,20) คือ 17 ตอ ไปคาํ นวณหา P(4), P(17) และ P(20) จะได สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 451 P(4) = 0 P(17) = 16,900 P(20) = 16,000 สรปุ ไดว า P มีคา สูงสุดสมั บูรณที่ x =17 และคา สูงสดุ สัมบูรณคือ P(17) =16,900 ดังน้ัน พอคาควรจะตัง้ ราคาสินคา ช้นิ ละ 17 บาท จงึ จะไดกาํ ไรจากการขายมากทส่ี ดุ 12. ให x แทนความยาวของดา นของรปู สเี่ หลย่ี มมมุ ฉาก ดงั รปู ให S (x) แทนพืน้ ที่ของรูปส่เี หล่ยี มมมุ ฉาก เมื่อ x∈(0, 120) เนอ่ื งจาก ∆ ABC  ∆ ADE จะได AB = AD น่นั คือ 120 = 120 − x ทําใหไดวา DE = 90(120 − x) BC DE 90 DE 120 ดังนน้ั S ( x) =  90(120 − x)  x   120  = 90x − 3 x2 เมือ่ x ∈(0, 120) 4 ดงั นนั้ S′( x) = 90 − 3 x 2 ถา S′( x) = 0 แลวจะได 90 − 3 x =0 2 นั่นคือ x = 60 ดังนัน้ คา วกิ ฤตของฟงกช นั ในชวงเปด (0,120) คอื 60 ตอ ไปหาอนุพันธอันดบั ที่ 2 ของฟงกช ัน S จะได S′′(x) = − 3 2 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

452 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 เนื่องจาก S′′(60) = − 3 ซง่ึ − 3 < 0 22 ดงั นัน้ S มีคา สูงสดุ สัมพัทธท ี่ x = 60 เพียงคา เดยี วบนชว ง (0, 120) สรุปไดว า S มคี า สงู สดุ สมั บูรณที่ x = 60 ดงั น้นั ความยาวและความกวางของรูปสเี่ หลยี่ มมุมฉากท่ีมีพน้ื ที่มากทส่ี ดุ คือ 60 หนว ย และ 90(120 − 60) = 45 หนว ย ตามลําดับ 120 13. จากรูป จะไดว า =d a2 − w2 ดังน้ัน s = kwd 2 ( )2 = kw a2 − w2 = a2kw − kw3 เม่ือ w∈(0, a) ดังนนั้ s′(w) = a2k − 3kw2 ตอ ไปหาอนุพนั ธอนั ดบั ที่ 2 ของฟงกช ัน s จะได s′′(w) = −6kw เนื่องจาก s′′ a  = −2 3ak ซึง่ −2 3ak < 0 3  ดงั นนั้ s มีคาสูงสดุ สัมพทั ธท่ี w = a เพยี งคา เดียวบนชว ง (0, a) 3 สรปุ ไดว า s มคี า สูงสดุ สัมบรู ณที่ w = a 3 นน่ั คอื จะตองเล่ือยคานใหม คี วามกวา ง w = a เซนติเมตร และความหนา 3 d = a2 − w2 = a 6 เซนตเิ มตร จึงจะรบั น้าํ หนักไดมากทส่ี ดุ 3 14. จากโจทยจะไดวา เง่ือนไขของงบประมาณเขยี นแทนไดด ว ยสมการ 150x + 300y =315,000 นนั่ คือ=x 2,100 − 2y เมอ่ื 0 ≤ y ≤1,050 ภายใตเงอ่ื นไขน้ีจะ=ไดว า P 12 100(2,100 − 2 y)3 y 3 ใ=ห f ( y) 12 100(2,100 − 2 y)3 y 3 ตอ งการหาคา สูงสุดของ f ( y) บนชวงปด [0, 1050] สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 453 หาจดุ วิกฤตโดยพจิ ารณา f ′( y) = 100 ( 2,100 − 1  2  −1 2  1  ( 2,100 − )2 y −2 ( −2 )  3   3  3 2y)3 y3 +100 y 3 12 = 200  2,100 − 2 y 3 − 200  y 3  y   2,100 − 2 y  3   3   ให f ′( y) = 0 12 จะได 200  2,100 − 2 y 3 = 200  y 3     3  y  3  2,100 − 2 y  2,100 − 2 y = y y = 700 ดงั น้ัน คา วกิ ฤตในชวงเปด (0, 1050) คอื 700 ตอ ไปคาํ นวณหา f (0) , f (700) และ f (1,050) จะได f (0) = 0 f (700) = 70,000 f (1,050) = 0 ดังนั้น ถา y = 700 จะใหค าสูงสุดสัมบูรณบ นชว ง [0, 1050] น่นั คือ จาํ นวนปากกาลกู ล่นื ที่มากทีส่ ุดทโ่ี รงงานนจ้ี ะผลิตไดใน 1 ชว่ั โมงภายใตง บประมาณ 315,000 บาท คอื 70,000 ดาม 15. จุดบนพาราโบลาจะอยใู นรปู  y2 , y  เมอ่ื y เปนจํานวนจรงิ  2    ให d ( y) แทนระยะทางระหวา งจดุ (1, 4) กบั จดุ  y2  บนพาราโบลา  , y  2  จะได d(y) =  y2 2 + ( y − 4)2  2 −1   1 =  y4 −8y 2  4 +17    ดังนั้น 1 y4 − 1 ( )d′( y) = 4 2 −8y +17  y3 −8 2    สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

454 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 1 y4  − 12 4 +17   ( )ถา d′( y) = 0 แลวจะได 2  −8y y3 − 8 =0  นน่ั คอื y = 2 ดังนัน้ คา วกิ ฤต คือ 2 เนอ่ื งจาก d′( y) < 0 เม่ือ y < 2 และ d′( y) > 0 เม่ือ y > 2 ดังนนั้ d เปน ฟงกช นั ลดบน (−∞,2) และเปน ฟง กชนั เพ่ิมบน (2,∞) น่นั คอื d มคี า ต่ําสดุ สัมพัทธที่ y = 2 เพยี งคาเดยี วในชว งเปด (−∞,∞) ดังนน้ั d มีคาตํ่าสุดสมั บูรณท ี่ y = 2 และ d (2) = 5 เปนคา ตาํ่ สุดสัมบูรณ จะไดวา จุดบนพาราโบลา y2 = 2x ทอี่ ยูใ กลจุด (1, 4) มากที่สุด คือ  22 , 2  = ( 2, 2)  2    16. ใหจุด A มพี ิกัดเปน (a,0) เม่ือ a ∈( p,∞) ดังนัน้ สมการเสนตรงทผ่ี านจุด A และ ( p, q) และตดั แกน Y ท่ีจดุ B คอื =y  p q a  ( x − a)  −    จากรปู จะไดว า จดุ B จะมพี ิกัดเปน  0, qa   a− p    ให f (a) แทน OA + OB จะได f (a) = a + qa เมื่อ a ∈( p,∞) a− p ดังนน้ั f ′(a) (a − p)q − qa(1) (a − p)2 − pq = 1+ (a − p)2 = (a − p)2 ถา f ′(a) = 0 แลว จะได (a − p)2 − pq (a − p)2 = 0 นนั่ คือ a= p + pq หรือ a= p − pq เนอื่ งจาก p − pq ∉( p,∞) ดงั นั้น คาวิกฤตในชว งเปด ( p,∞) คอื p + pq เน่อื งจาก f ′(a) < 0 เมื่อ p < a < p + pq สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 455 และ f ′(a) > 0 เมื่อ a > p + pq ดังนั้น f เปนฟงกช นั ลดบน ( p, p + pq ) และเปนฟง กช นั เพ่ิมบน ( p + )pq,∞ นน่ั คอื f ( p + )pq = p + q + 2 pq เปนคา ตาํ่ สุดสมั พทั ธเพยี งคา เดียวบนชว ง ( p,∞) ดังนน้ั f ( p + )pq = p + q + 2 pq เปนคาต่ําสดุ สัมบรู ณบนชว ง ( p,∞) จะไดว า คานอยท่ีสดุ ของ OA + OB ท่เี ปนไปไดคือ p + q + 2 pq สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

456 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แบบฝก หัด 2.9 1. จาก F (x) = x2 −1 จะได F′(x) ( )=1 x2 −1 −1 (2x) นั่นคือ F′(x) 2 2 =x x2 −1 = f (x) ดงั นน้ั F (x) = x2 −1 เปนปฏิยานพุ ันธห นง่ึ ของฟงกชัน f (x) = x x2 −1 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫2. 1) x4 + 3x2 + 5x dx = x4dx + 3 x2dx + 5 x dx = x5 +  x3  +  x2  + c 5 3 3  5 2      = x5 + x3 + 5x2 + c เม่ือ c เปน คาคงตัว 52 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫2) 2x3 − 3x2 + 6 − 2x−2 dx = 2 x3dx − 3 x2dx + 6 1dx − 2 x−2 dx = 2  x4  −  x3  + 6x − 2  x−1  + c  4  3 3   −1        = x4 − x3 + 6x + 2 + c เมือ่ c เปน คาคงตวั 2x  x10 1  x10dx − x−3dx ∫ ∫ ∫3)  − x3  dx = = x11 − x−2 + c 11 −2 = x11 + 1 +c เม่อื c เปนคาคงตัว 11 2x2  1 2  x−2dx + 2 x−4dx ∫ ∫ ∫4)  x2 + x4  dx = = x−1 +  x−3  + c −1 2 −3    = − 1 − 2 + c เม่ือ c เปน คาคงตวั x 3x3 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 457 1 ∫ ∫5) xdx = x2dx 3 = x2 +c 3 2 = 2 3 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว 3 x2  3 2 32 ∫ ∫ ∫6)  x2 − x3  dx = x 2dx − x 3dx 55 = x2 − x3 +c 55 23 55 = 2x2 − 3x3 + c เมื่อ c เปน คา คงตวั 55  1 1  x−2dx − 1 −1 ∫ ∫ ∫7)x2−2x  dx = 2 x 2dx x−1  1 −1   = − 1  x2  + c 2  1  2 = − 1 − x + c เมอ่ื c เปน คา คงตัว x ∫8) x2 ( x − 3) dx ( )∫= x3 − 3x2 dx ∫ ∫= x3dx − 3 x2dx = x4  x3  + c 4 − 3 3    = x4 − x3 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

458 คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 x ( x +1) dx =  3 1 ∫ ∫9)  x2 + x2  dx 31 ∫ ∫= x2dx + x2dx 53 = x2 + x2 +c 5 3 22 53 = 2x2 + 2x2 + c เมอื่ c เปนคา คงตัว 53 ∫10)  x − 2  dx ∫ ( )= x−2 − 2x−3 dx  x3  ∫ ∫= x−2dx − 2 x−3dx = x−1 −  x−2  + c −1 2 −2    = − 1 + 1 + c เมอ่ื c เปนคา คงตวั x x2 ( )∫ ∫ ∫ ∫11) x2 + 5x +1 dx = x2dx + 5 x dx + 1dx = x3 +  x2  + x + c 3 5 2    = x3 + 5x2 + x + c เมอื่ c เปน คา คงตัว 32 ( )∫12) 6 x +15 dx 1 ∫ ∫= 6 x2dx +15 1dx  3   = 6 x2  + 15 x + c 3   2 3 = 4x2 +15x + c เมือ่ c เปนคา คงตัว สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 459 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫13) x3 + 5x2 + 6 dx = x3dx + 5 x2dx + 6 1dx = x4 +  x3  + 6x + c 4 5 3    = x4 + 5x3 + 6x + c เม่ือ c เปนคา คงตวั 43  6 +8  −1 1  x  6 x 2dx + 8 x 2dx ∫ ∫ ∫14) x dx =  1  3     = 6 x2  + 8 x2  + c 1  3    2 2 3 = 12 x + 16x2 + c เม่ือ c เปน คา คงตวั 3 ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫15) x4 −12x3 + 6x2 −10 dx = x4dx −12 x3dx + 6 x2dx −10 1dx = x5 −12  x4  +  x3  −10x + c 5  4  6 3      = x5 − 3x4 + 2x3 −10x + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั 5 3. จาก f ′(x) = x จะได f ( x) = ∫ x dx เนื่องจาก = x2 + c เมอื่ c เปน คาคงตวั 2 f (2) = 2 ดงั น้นั 22 + c = 2 2 น่นั คอื c = 0 จะได f (x) = x2 4. จาก 2 จะได f ′′( x) = −2 เม่ือ c1 เปนคาคงตวั f ′( x) = ∫ −2dx = −2x + c1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

460 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 เนอ่ื งจาก f มคี า สูงสุดสมั พัทธเ มอื่ x =1 จะไดวา 1 เปนคาวิกฤตของ f นัน่ คอื f ′(1) = 0 −2(1) + c1 = 0 c1 = 2 ดังน้นั f ′( x) = −2x + 2 จะได f ( x) = ∫(−2x + 2)dx = −2∫ x dx + 2∫1dx = −2  x2  + 2 x + c2  2    = −x2 + 2x + c2 เมือ่ c2 เปนคาคงตวั เนื่องจาก f (1) = 2 −12 + 2(1) + c2 = 2 ดงั นนั้ c2 = 1 f (x) = −x2 + 2x +1 5. 1) เนื่องจาก dy = x2 − 3x + 2 dx จะได ( )∫y= x2 − 3x + 2 dx ดังนน้ั สมการเสน โคง คอื y = x3 − 3x2 + 2x + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั 32 แตเสน โคงน้ผี านจดุ (2, 1) น่นั คือ x = 2 และ y =1 สอดคลองกบั สมการเสนโคง แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 2 และ 1 ตามลําดบั จะได 3( )1 =2322+ 2(2)+ c น่ันคอื c = 1 − 32 3 ดังนัน้ สมการเสน โคง ท่ีตองการคอื y = x3 − 3x2 + 2x + 1 32 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 461 2) เนื่องจาก d=y 2x3 + 4x dx จะได =y ∫(2x3 + 4x)dx ดังนัน้ สมการเสนโคง คอื y =x4 + 2x2 + c เมอื่ c เปน คาคงตัว 2 แตเ สนโคง น้ีผา นจุด (0, 5) นั่นคอื x = 0 และ y = 5 สอดคลองกับสมการเสนโคง แทน x และ y ในสมการเสน โคง ดวย 0 และ 5 ตามลําดับ จะได 5 =04 + 2(0)2 + c นั่นคอื c = 5 2 ดงั นัน้ สมการเสนโคง ท่ีตองการคือ y =x4 + 2x2 + 5 2 3) เนือ่ งจาก dy =6 + 3x2 − 2x4 dx จะได ∫( )y = 6 + 3x2 − 2x4 dx ดังนน้ั สมการเสนโคง คอื y = 6x + x3 − 2x5 + c เมอ่ื c เปน คาคงตวั 5 แตเสนโคง น้ผี า นจุด (1, 0) นน่ั คอื x =1 และ y = 0 สอดคลองกบั สมการเสนโคง แทน x และ y ในสมการเสนโคงดว ย 1 และ 0 ตามลาํ ดับ จะได 0 = 6(1) + (1)3 − 2(1)5 + c นนั่ คือ c = − 33 55 ดงั น้ัน สมการเสน โคงทีต่ องการคอื y =− 2 x5 + x3 + 6x − 33 55 6. 1) เนอื่ งจาก a(t) = v′(t) ดงั นัน้ v′(t) = 6 − 2t จะได v(t) = ∫(6 − 2t)dt เม่ือ c1 เปน คาคงตวั เน่ืองจาก = 6t − t2 + c1 v(0) = 5 ดงั นน้ั 6(0) − (0)2 + c1 = 5 c1 = 5 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

462 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จะได v(t ) = 6t − t2 + 5 เม่ือ 0 ≤ t ≤ 3 เนื่องจาก v(t) = s′(t) ดังนัน้ s′(t ) = 6t − t2 + 5 จะได s(t) = ∫(6t − t2 + 5)dt = 3t 2 − t3 + 5t + c2 เม่ือ c2 เปนคา คงตัว 3 เน่อื งจาก s(0) = 0 ดงั นน้ั 3(0)2 − (0)3 + 5(0) + c2 = 0 3 c2 = 0 จะได s(t ) = 3t2 − t3 + 5t เมือ่ 0 ≤ t ≤ 3 2) เน่ืองจาก 3 a(t) = v′(t) ดงั น้นั v′(t) = 120t −12t2 จะได v(t ) ( )∫= 120t −12t2 dt เนอ่ื งจาก = 60t2 − 4t3 + c1 เม่ือ c1 เปน คา คงตวั v(0) = 0 ดงั นั้น 60(0)2 − 4(0)3 + c1 =0 จะได c1 =0 เน่อื งจาก ดงั น้นั v(t) = 60t2 − 4t3 เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 10 v(t) = s′(t) s′ (t ) = 60t2 − 4t3 จะได ( )∫s(t ) = 60t2 − 4t3 dt เนือ่ งจาก = 20t3 − t4 + c2 เม่อื c2 เปน คา คงตัว s(0) = 4 ดังนั้น 20(0)3 − (0)4 + c2 = 4 c2 = 4 จะได s(t) = 20t3 − t4 + 4 เม่อื 0 ≤ t ≤10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 463 3) เนอื่ งจาก a(t) = v′ (t ) ดงั นั้น v′(t) = v(t) = t2 + 5t + 4 จะได ∫(t2 + 5t + 4)dt = t3 + 5t 2 + 4t + c1 เมือ่ c1 เปนคาคงตวั 3 2 เนื่องจาก v(0) = −2 ดงั นั้น (0)3 + 5(0)2 + 4(0) + c1 = −2 3 2 c1 = −2 จะได v(t) = t3 + 5t2 + 4t − 2 เมือ่ 0 ≤ t ≤15 32 เนอื่ งจาก v(t) = s′(t) ดงั นั้น s′(t ) = t3 + 5t2 + 4t − 2 จะได 32 เนอ่ื งจาก ∫s(t) =  t3 + 5t 2 + 4t −   3 2 2 dt   = t4 + 5t 3 + 2t 2 − 2t + c2 เม่อื c2 เปนคาคงตัว 12 6 s(0) = −3 ดงั น้ัน (0)4 + 5(0)3 + 2(0)2 − 2(0) + c2 = −3 12 6 c2 = −3 จะได s(t ) = t4 + 5t3 + 2t2 − 2t − 3 เมือ่ 0 ≤ t ≤15 12 6 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

464 คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 7. 1) ให s(t) เปนความสูงของวตั ถุจากพ้ืนดนิ (หนว ยเปนเมตร) ณ เวลา t วินาที v(t) เปนความเร็วของวัตถุ (หนวยเปนเมตรตอวนิ าที) ขณะเวลา t ใด ๆ a(t) เปนความเรงของวตั ถุ (หนว ยเปน เมตรตอ วินาที2) ขณะเวลา t ใด ๆ เนอื่ งจาก a(t) = v′(t) และความเรง มีทิศลงสพู น้ื โลก ดงั นน้ั v′(t) = −9.8 จะได v(t ) = ∫(−9.8)dt เน่อื งจาก v(0) = 98 = −9.8t + c1 เมือ่ c1 เปน คา คงตวั ดังนั้น v(0) = 98 −9.8(0) + c1 = 98 c1 = 98 นน่ั คือ v(t) =−9.8t + 98 เน่ืองจาก v(t) = s′(t) จะได s′(t) = −9.8t + 98 ดังน้ัน s(t ) = ∫(−9.8t + 98)dt เนอ่ื งจาก = −4.9t2 + 98t + c2 เมือ่ c2 เปนคาคงตวั s(0) = 0 ดงั นัน้ −4.9(0)2 + 98(0) + c2 = 0 c2 = 0 จะได s(t ) = −4.9t2 + 98t เนอ่ื งจาก s(t) ≥ 0 ดงั น้นั −4.9t2 + 98t ≥ 0 t (t − 20) ≤ 0 นนั่ คอื 0 ≤ t ≤ 20 จะได s(t) = −4.9t2 + 98t เมอื่ 0 ≤ t ≤ 20 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 465 2) จาก s′(t ) = −9.8t + 98 ถา s′(t) = 0 จะได t = 10 ดังนัน้ คาวิกฤตของฟง กชัน s ในชวง (0, 20) คือ 10 เน่อื งจาก s(10) =−4.9(10)2 + 98(10) =490 s (0) =−4.9(0)2 + 98(0) =0 และ s (20) =−4.9(20)2 + 98(20) =0 สรปุ ไดว า ฟง กช ัน S มคี า สงู สดุ สัมบรู ณท่ี s =10 และคา สงู สุดสมั บูรณ คอื s(10) = 490 ดังนัน้ วตั ถุข้ึนไปถงึ ตาํ แหนง สูงสดุ เมื่อเวลาผานไป 10 วนิ าที และตําแหนงสูงสุดของวตั ถุ คือ 490 เมตร 3) ตอ งการหา t ทท่ี ําให s(t) = 249.9 เน่ืองจาก s(t) = −4.9t2 + 98t เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 20 ดังน้ัน 249.9 = −4.9t2 + 98t นัน่ คอื t2 − 20t + 51 = 0 (t − 3)(t −17) = 0 จะได t = 3 หรือ t =17 น่ันคือ ตอ งใชเวลา 3 วนิ าที หรือ 17 วินาที วตั ถจุ งึ อยูส ูง 249.9 เมตร จากพ้ืนดนิ 8. เนอื่ งจาก a(t) = 1 (20 − t) เม่อื 0 ≤ t ≤ 20 และ a(t) = v′(t) 4 ดงั น้ัน v(t) = ∫ 1 ( 20 − t ) dt 4 = 5t − t2 + c1 เม่ือ c1 เปน คาคงตัว และ 0 ≤ t ≤ 20 8 เน่ืองจาก v(0) = 0 ดงั นนั้ 5(0) − 02 + c1 =0 8 c1 = 0 จะได v(t) = 5t − t2 เมอ่ื 0 ≤ t ≤ 20 8 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

466 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 เนือ่ งจากรถไฟแลน ดวยความเรว็ เทาเดมิ หลงั วนิ าทีที่ 20 และ v(20) = 5(20) − 202 = 50 8 ดงั น้ัน หลงั วนิ าทที ่ี 20 รถไฟแลนดว ยความเร็ว 50 เมตรตอ วนิ าที เนื่องจาก v(t ) = 5t − t2 เม่อื 0 ≤ t ≤ 20 และ v(t) = s′(t) ดงั นั้น 8 เน่อื งจาก ∫s(t) =  5t − t2  dt  8    = 5t 2 − t3 + c2 เมือ่ c2 เปนคา คงตัว และ 0 ≤ t ≤ 20 2 24 s(0) = 0 ดังนัน้ 5(0)2 − 03 + c2 =0 24 2 c2 = 0 จะได s(t) = 5t2 − t3 เมอื่ 0 ≤ t ≤ 20 2 24 เนื่องจาก s(20) = 5(20)2 − (20)3 = 2000 2 24 3 ดังนนั้ ณ วินาทีท่ี 20 รถไฟอยูหา งจากสถานตี นทางเปนระยะ 2000 เมตร 3 เน่ืองจาก หลงั วินาทีท่ี 20 รถไฟแลน ดว ยความเรว็ 50 เมตรตอวินาที ดงั นั้น จากวนิ าทที ี่ 20 จนถงึ วินาทที ี่ 30 รถไฟแลน ไดระยะทางเพิม่ ข้นึ อีก 50(30 − 20) =500 เมตร นั่นคือ เมื่อเวลาผานไป 30 วนิ าที รถไฟจะอยูหา งจากสถานีตนทางเปนระยะทาง 2,000 + 500 ≈ 1,166.67 เมตร 3 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 467 9. เนอ่ื งจาก d N (t ) = 1200t2 −15t4 dt ดังน้ัน ( )∫N (t) = 1200t2 −15t4 dt = 400t3 − 3t5 + c เม่ือ c เปน คาคงตวั เนื่องจาก N (0) = 600 ดงั นน้ั 400(0)3 − 3(0)5 + c = 600 c = 600 จะได N (t ) = 400t3 − 3t5 + 600 ดังนั้น จาํ นวนปรสติ ณ เวลา t สปั ดาห คอื 400t3 − 3t5 + 600 ตัว 10. เนอื่ งจาก d H (t) = 1 t 1 4 dt 4 ดังนน้ั ∫H (t) = 1 t 1 dt 4 4 5 เน่ืองจาก = t4 + c เมื่อ c เปน คา คงตัว 5 H (0) = 1 5 ดงั นนั้ 04 + c = 1 5 c =1 5 จะได H (t) = t 4 +1 5 5 ดังน้ัน ตนไมตน นีจ้ ะสูง t 4 +1 เมตร ในเวลา t ป 5 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

468 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 11. 1) ให C (x) เปนคา ใชจา ยรวมสาํ หรบั งานชนดิ หน่งึ (หนวย : รอ ยบาท) เมอ่ื x แทนจํานวนวันนับต้งั แตเริ่มงาน เนือ่ งจาก E ( x) = 120x + 60 และ C′( x) = E ( x) ดังน้นั C ( x) = ∫(120x + 60)dx = 60x2 + 60x + c เม่ือ c เปน คา คงตัว เน่อื งจาก C(0) = 0 ดังนัน้ 60(0)2 + 60(0) + c = 0 c =0 จะได C ( x) = 60x2 + 60x เน่ืองจาก C (10) = 60(10)2 + 60(10) = 6,600 ดังนั้น หากงานดังกลา วใชเ วลา 10 วัน คา ใชจ า ยรวมจะเปน 6,600×100 =660,000 บาท 2) เนอ่ื งจาก C (25) = 60(25)2 + 60(25) = 39,000 ดังน้ัน หากงานดังกลาวใชเ วลา 25 วัน คา ใชจา ยรวมจะเปน 3,900,000 บาท นั่นคอื คาใชจายรวมทเ่ี พิ่มขน้ึ นับตั้งแตวนั ท่ี 10 ถึงวนั ท่ี 25 คอื 3,900,000 − 660,000 = 3, 240,000 บาท 12. ให F (x) เปนพลังงานรวมโดยประมาณท่ีบา นอยูอาศยั ใช ณ ป ค.ศ. x + 2000 จะได F ( x) = ∫ f ( x)dx ∫ ( )= 2.17x2 − 9.74x +19.956 dx = 2.17 x3 − 4.87x2 +19.956x + c เมอ่ื c เปนคา คงตัว 3 ดังนน้ั =F (40) 2.17 (40)3 − 4.87(40)2 +19.956(=40) + c 39, 299.57 + c 3 F=(15) 2.17 (15)3 − 4.87(15)2 +19.956(15=) + c 1,644.84 + c 3 นั่นคอื พลงั งานรวมทบ่ี า นอยูอาศัยใชต้ังแต ค.ศ. 2015 ถงึ 2040 มคี า ประมาณ F (40) − F (15) =37,654.73 ลานลานบีทียู สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 469 แบบฝกหดั 2.10 1. 1) เน่ืองจาก ∫( x3 + 3)dx = x4 + 3x + c เมอ่ื c เปนคาคงตัว 4 จะไดวา ปฏิยานพุ ันธของ f ( x=) x3 + 3 คอื F ( x) = x4 + 3x + c 4 ดงั นั้น ∫( )4 =  x4 +  4 x3 + 3 dx  4 3x  3  3  =  44 + 3(4)  −  34 + 3(3)  4   4    = 187 4 2) เน่ืองจาก ∫( x2 − 2x − 3)dx = x3 − 2x2 − 3x + c 32 = x3 − x2 − 3x + c เม่ือ c เปนคาคงตัว 3 จะไดว า ปฏยิ านพุ นั ธข อง f ( x) = x2 − 2x − 3 คอื F ( x) = x3 − x2 − 3x + c 3 ดงั นัน้ ∫( )4 =  x3 − x2 4 x2 − 2x − 3 dx   − 3x 1  3 1 =  43 − 42 − 3(4)  −  13 − 12 − 3(1)    3  3  = −3 3) เนอ่ื งจาก ( )∫ 4x3 + 2x dx = 4x4 + 2x2 + c 42 = x4 + x2 + c เมื่อ c เปน คาคงตัว จะไดวา ปฏยิ านพุ นั ธข อง f (=x) 4x3 + 2x คอื F ( x) = x4 + x2 + c ดงั น้ัน ∫ ( ) ( )1 4x3 + 2x dx = x4 + x2 1 −1 −1 ( )( )= 14 +12 − (−1)4 + (−1)2 =0 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

470 คมู อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 4) เนอ่ื งจาก ∫ ∫1 = x −2 dx x2 dx = x−1 + c −1 = −1+c เมือ่ c เปนคา คงตัว x จะไดวา ปฏิยานุพันธของ f ( x) = 1 คอื F ( x) =− 1 + c x2 x ดงั นน้ั ∫−1 1  1  −1  x  −3 x2 dx = − −3 =  − 1  −  − 1   −1   −3  2 =3 5) เนื่องจาก ∫ ∫ ∫ 3  x3   x2 + dx = x2dx + 3 x−3dx = x3 +  x−2  + c 3 3 −2    = x3 − 3 + c เม่อื c เปน คาคงตวั 3 2x2 จะไดว า ปฏยิ านพุ นั ธของ f ( x=) x2 + 3 คือ F ( x) =x3 − 3 +c x3 2x2 3 ดงั น้นั ∫4  x2 + 3  dx =  x3 − 3  4  x3   3 2x2  2 2   =  43 − 3   23 − 3   3  −  3  2(4)2 2(2)2 1,819 = 96 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 471 6) เนือ่ งจาก ∫ (−x4 + x2 −1)dx = −∫ x4dx + ∫ x2dx − ∫1dx = − x5 + x3 − x + c เม่ือ c เปน คาคงตวั 53 จะไดว า ปฏยิ านุพันธของ f ( x) =−x4 + x2 −1 คือ F ( x) =− x5 + x3 − x + c 53 ดังนน้ั ∫ ( )1 =  − x5 + x3 − 1 −x4 + x2 −1 dx  5 3   −1 x  −1 =  − 15 + 13 −1  ( −1)5 + ( −1)3   5 3  −  −  5 3 − (−1) = − 26 15 7) เน่ืองจาก ∫ x( x2 +1)dx = ∫ ( x3 + x)dx = ∫ x3dx + ∫ x dx = x4 + x2 + c เมอื่ c เปน คา คงตัว 42 จะไดวา ปฏิยานพุ นั ธของ f=( x) x( x2 +1) คอื F ( x) = x4 + x2 + c 42 ดงั นัน้ ∫ ( )1 =  x4 + x2 1 x x2 +1 dx  4 2   0  0  14 + 12  −  04 + 02  =  2   4 2   4    3 =4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

472 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 8) เนอ่ื งจาก ( )∫ x2 x2 +1 2 dx ( )∫= x6 + 2x4 + x2 dx = ∫ x6dx + 2∫ x4dx + ∫ x2dx = x7 + 2x5 + x3 + c เมือ่ c เปนคา คงตวั 753 จะไดว า ปฏิยานพุ นั ธข อง =f ( x) ( )x2 x2 +1 2 คือ F ( x) = x7 + 2x5 + x3 + c 753 ดังนน้ั ∫ ( )1 =  x7 + 2x5 + x3  1 x2 x2 +1 2 dx  7 5 3  0   0 =  17 + 2 (1)5 + 13   07 + 2(0)5 + 03   7 3  −  7 3  5 5 92 = 105 9) เนื่องจาก ∫  2x − x3  = 2∫ x dx − 1 ∫ x3 dx  3  dx 3   = 2x2 − 1 ⋅ x4 + c 2 34 = x2 − x4 + c เม่อื c เปน คา คงตวั 12 จะไดวา ปฏยิ านพุ ันธของ f ( x=) 2x − x3 คอื F ( x) = x2 − x4 + c 3 12 ดงั นนั้ ∫4  − x3  dx =  x2 − x4  4  2x 3   12  1 1     =  42 − 44  − 12 − 14   12   12     = − 25 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 473 10) เนื่องจาก ( ) ∫( )∫ x x2 +1 2 dx = x5 + 2x3 + x dx ∫ ∫ ∫= x5dx + 2 x3dx + x dx = x6 + x4 + x2 + c เม่ือ c เปน คา คงตวั 622 จะไดว า ปฏยิ านุพนั ธของ f=( x) ( )x x2 +1 2 คอื F ( x) = x6 + x4 + x2 + c 622 ดังนน้ั ∫ ( )2 =  x6 + x4 + x2  2 x x2 +1 2 dx  6 2 2  0   0 =  26 + 24 + 22  −  06 + 04 + 02   6 2 2   6 2 2      62 =3 2. เน่อื งจาก v(t) เปน ปฏิยานพุ นั ธข อง a(t) ดงั นนั้ 5 = v(5) −v(0) ∫ a(t)dt 0 เนอ่ื งจาก 5 และ v(0) = 20 ∫ a(t )dt =10 0 ดังน้ัน 10 = v(5) − 20 น่ันคือ v(5) = 30 จะไดวา ความเร็วของรถยนตคนั นีข้ ณะเวลา 5 วนิ าที คือ 30 เมตรตอ วนิ าที สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

474 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 แบบฝก หดั 2.11 1. 1) กราฟของ f (x) = x2 เปน รูปพาราโบลาหงาย และ f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ท่ีอยู ในชว ง [−3, 0] ให A แทนพ้นื ที่ของบริเวณที่ปดลอมดวยเสน โคง y = x2 จาก x = −3 ถึง x = 0 เนื่องจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรับทุก x ทอี่ ยใู นชวง [−3, 0] ∫จะได A= 0 x3 0 = 0 − (−9) = 9 x2dx = 3−3 −3 ดงั นน้ั พื้นท่ีของบริเวณท่ีปด ลอมดว ยเสนโคง y = x2 จาก x = −3 ถึง x = 0 เทากับ 9 ตารางหนว ย 2) กราฟของ f (x)= x +1 เปน เสนตรง และ f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ทีอ่ ยูในชว ง [−1, 1] ให A แทนพื้นที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอมดว ยเสน โคง y= x +1 จาก x = −1 ถึง x =1 เน่อื งจาก f (x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x ทอี่ ยูในชว ง [−1, 1] จะได ∫A = 1  x2 + 1 = 3 −  − 1  = 2  2 2  2  ( x +1)dx =   x −1  −1 ดังน้ัน พื้นท่ีของบรเิ วณทป่ี ดลอมดวยเสนโคง y= x +1 จาก x = −1 ถึง x =1 เทากับ 2 ตารางหนวย 3) กราฟของ f ( x) = 6 + x − x2 เปน รปู พาราโบลาควํ่า และ f ( x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ท่ีอยใู นชว ง [−1, 1] ให A แทนพ้นื ท่ีของบรเิ วณที่ปดลอ มดวยเสนโคง y = 6 + x − x2 จาก x = −1 ถึง x =1 เนื่องจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ท่ีอยใู นชวง [−1, 1] 1  x2 x3  1 37 31 34 6x 2 3  6 6 3 6 + x − x2 dx=   =  −1 ∫ ( )จะไดA= + − = − −  −1 ดังนน้ั พนื้ ท่ีของบรเิ วณท่ีปด ลอมดวยเสนโคง y = 6 + x − x2 จาก x = −1 ถงึ x =1 เทากับ 34 ตารางหนวย 3 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 475 4) กราฟของ f (x)= 9 − x2 เปนรปู พาราโบลาควา่ํ และ f (x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x ที่อยู ในชวง [−3, 3] ให A แทนพื้นท่ีของบริเวณที่ปดลอมดว ยเสน โคง y= 9 − x2 จาก x = −3 ถึง x = 3 เน่ืองจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ที่อยูใ นชว ง [−3, 3] 3  x3  3 9x 3  −3 9 − x2   −3 ( )∫จะไดA= dx = − = 18 − (−18)= 36 ดังนนั้ พื้นที่ของบรเิ วณทปี่ ดลอมดวยเสนโคง y= 9 − x2 จาก x = −3 ถงึ x = 3 เทา กบั 36 ตารางหนวย 5) กราฟของ f (x=) x2 − 25 เปน รูปพาราโบลาหงาย และ f (x) ≤ 0 สาํ หรับทุก x ท่ี อยูใ นชวง [−1, 3] ให A แทนพนื้ ที่ของบริเวณทป่ี ดลอมดว ยเสนโคง =y x2 − 25 จาก x = −1 ถงึ x = 3 เนื่องจาก f (x) ≤ 0 สาํ หรับทุก x ทีอ่ ยูใ นชว ง [−1, 3] 3  x3  3 74 =272  3  3 3 A =−       −1 ( )∫จะได x2 − 25 dx =− − 25x =− −66 − −1 ดงั นั้น พ้ืนที่ของบรเิ วณท่ปี ดลอมดวยเสนโคง =y x2 − 25 จาก x = −1 ถงึ x = 3 เทากับ 272 ตารางหนวย 3 2. จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั จะไดว า 1 F (1) − F (0) =∫ f ( x)dx 0 เนอ่ื งจากพนื้ ทีข่ องบริเวณท่ีปดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [0, 1] เทากับ 1 (1)(2) =1 ตารางหนว ย 2 ดังนนั้ 1 ∫ f ( x)dx = −1 0 และเนอ่ื งจาก F (0) = 0 ดังน้ัน 1 F (1) =∫ f ( x)dx + F (0) =−1+ 0 =−1 0 ตอไปหาคาของ F (2) จากทฤษฎีบทหลักมลู ของแคลคูลสั จะไดวา 2 F (2) − F (1) =∫ f ( x)dx 1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

476 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 เน่ืองจากพน้ื ท่ีของบริเวณทป่ี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [1, 2] เทากับ 1 (2 +1)(1) =3 ตารางหนว ย 22 ดังนน้ั 2 f ( x)dx = −3 2 ∫ 1 และเนือ่ งจาก F (1) = −1 ดังนั้น F (2) 2 f ( x ) dx + F (1) =− 3 + ( −1) =− 5 2 2 =∫ 1 ตอไปหาคาของ F (3) จากทฤษฎบี ทหลกั มลู ของแคลคลู สั จะไดว า 3 F (3) − F (2) =∫ f ( x)dx 2 เนือ่ งจากพน้ื ที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอ มดวยกราฟของ f บนชวง [2, 3] เทา กับ 1 (1)(1) = 1 ตารางหนว ย 22 ดงั นั้น 3 f ( x)dx = −1 2 ∫ 2 และเนื่องจาก F (2) = − 5 2 ดังนน้ั F (3) 3 f ( x) dx + F (2) =− 1 +  − 5  =−3 2  2  =∫ 2 ตอ ไปหาคาของ F (4) จากทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคลู สั จะไดวา 4 F (4) − F (3) =∫ f ( x)dx 3 เนอื่ งจากพนื้ ที่ของบริเวณทป่ี ดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [3, 4] เทากบั 1 (1)(1) = 1 ตารางหนวย 22 ดงั น้ัน 4 f ( x) dx = 1 2 ∫ 3 และเนื่องจาก F (3) = −3 ดังนั้น F (4) 4 f ( x) dx + F (3) =1 + ( −3) =− 5 2 2 =∫ 3 ตอ ไปหาคาของ F (5) สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 477 จากทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคลู สั จะไดว า 5 F (5) − F (4) =∫ f ( x)dx 4 เนือ่ งจากพื้นที่ของบรเิ วณทป่ี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [4, 5] เทา กับ 1 (1)(1) = 1 ตารางหนว ย 22 ดงั น้ัน 5 f ( x) dx = 1 2 ∫ 4 และเนือ่ งจาก F (4) = − 5 2 ดังนั้น F (5) 5 f ( x) dx + F (4) =1 +  − 5  =−2 2  2  =∫ 4 สรุปไดวา F (1) = −1 , F (2) = − 5 , F (3) = −3, F (4) = − 5 และ F (5) = −2 22 3. ให F เปน ปฏิยานพุ ันธข องฟงกชนั f จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส จะไดวา 2 F (2) − F (0) =∫ f ( x)dx 0 เนอื่ งจากพ้ืนที่ของบรเิ วณท่ีปดลอมดว ยกราฟของ f บนชว ง [0, 2] เทา กับ 5 ตารางหนวย ดังน้ัน 2 ∫ f ( x)dx = 5 0 และเน่ืองจาก F (0) = 3 ดงั นั้น 2 F (2) = ∫ f ( x)dx + F (0) = 5 + 3 = 8 0 ตอ ไปหาคาของ F (5) จากทฤษฎบี ทหลกั มูลของแคลคลู สั จะไดว า 5 F (5) − F (2) =∫ f ( x)dx 2 เน่ืองจากพื้นท่ีของบริเวณทีป่ ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชวง [2, 5] เทากบั 16 ตารางหนว ย ดังนนั้ 5 ∫ f ( x)dx = −16 2 และเนื่องจาก F (2) = 8 ดังนัน้ 5 F (5) =∫ f ( x)dx + F (2) =−16 + 8 =−8 2 สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

478 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 ตอ ไปหาคา ของ F (6) จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคูลสั จะไดว า 6 F (6) − F (5) =∫ f ( x)dx 5 เนือ่ งจากพื้นที่ของบรเิ วณท่ปี ดลอ มดว ยกราฟของ f บนชว ง [5, 6] เทา กับ 10 ตารางหนว ย ดงั น้ัน 6 ∫ f ( x)dx = 10 5 และเนือ่ งจาก F (5) = −8 ดงั น้นั 6 F (6)= ∫ f ( x)dx + F (5)= 10 + (−8)= 2 5 สรุปไดวา F (2) = 8 , F (5) = −8 และ F (6) = 2 4. เน่ืองจาก v(t) = 60=เมื่อ t =20 1 ชัว่ โมง 60 × 60 180 ดังนั้น ตอ งหา s  1   180  เนอื่ งจาก s(t) เปน ปฏิยานพุ ันธของ v(t) 1 จากทฤษฎีบทหลกั มูลของแคลคลู ัส จะไดว า s  1  − s ( 0 ) 180 ) dt  180  =∫ v(t 0 เน่ืองจากพื้นท่ีของบริเวณที่ปดลอมดวยกราฟของ v บนชว ง 0, 1  เทากบั 180  1 (30)  60 5 60  + 1 (30 + 50)  5 + 1 (50 + 60) 10  =1418 ตารางหนวย 2  ×   60 × 60  2 60 × 60  2 1 ดังน้ัน ∫180 v(t ) dt = 11 0 48 และเนอื่ งจาก s(0) = 0 1 ดงั นนั้ s  1  = 180 11 + 0 = 11  180  48 48 ∫ v(t )dt + s(0)= 0 น่ันคือ รถยนตคนั นแี้ ลนได 11 กิโลเมตร ในเวลา 20 วินาที 48 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 479 แบบฝกหัดทา ยบท ( )1. 1) lim 7x6 −11x4 + 9 = 7(0)6 −11(0)4 + 9 = 9 x→0 2) lim x7 + x5 +1 = 17 +15 +1 =3 x→1 x 1 3) จัดรปู ฟง กช ันใหม ดังนี้ ( )x3 − x2 − x − 2 = (x − 2) x2 + x +1 = x2 + x +1 เม่ือ x ≠ 2 x−2 x−2 lim x3 − x2 − x − 2 = lim x2 + x +1 = 7 ( )ดังนนั้ x→2 x − 2 x→2 4) เนอื่ งจาก x −1 = −( x −1) เมือ่ x <1 จะได lim x −1 = lim x −1 x→1− x −1 x→1− −( x −1) = lim x −1 −( x −1) ⋅ x→1− −( x −1) −( x −1) = lim ( x −1) −( x −1) x→1− −( x −1) ( )= lim − −( x −1) x→1− =0 และเนื่องจาก x −1 = x −1 เม่อื x >1 จะได lim x −1 = lim x −1 x→1+ x −1 x→1+ x −1 x −1⋅ x −1 = lim x→1+ x − 1 เนื่องจาก l=im x −1 = lim x −1 x→1− x −1 x→1+ =0 l=im x −1 0 x→1+ x −1 ดังนนั้ lim x −1 = 0 x→1 x −1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

480 คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 5) จัดรูปฟง กช ันใหม ดังนี้ ( )1  x3 −1   = 1  ( x −1) x2 + x +1     x +1 x − 1 x +1  x −1  x2 + x +1 เมอื่ x ≠ 1 = x +1 ดงั น้นั lim  1  x3 −1 x2 + x +1 3     = lim = 2 x→1− x + 1  x −1  x→1− x + 1 6) lim x2 − 6x + 5 = 22 − 6(2) + 5 = −3 22 + 4(2) − 5 7 x→2 x2 + 4x − 5 7) จัดรูปฟงกชันใหม ดังนี้ x −1 = x −1 x2 −1 x −1 x +1 เนือ่ งจาก x −1 = −( x −1) และ x +1 = x +1 เมอื่ −1< x <1 จะได lim x −1 = lim x −1 x→1− x2 −1 x→1− − ( x −1) ( x + 1) = lim  − x 1 1   +  x→1− = −1 2 และเน่ืองจาก x −1 = x −1 และ x +1 = x +1 เมอื่ x >1 จะได x −1 x −1 lim = lim x→1+ x2 −1 ( x −1) ( x + 1) x→1+ เนอื่ งจาก 1 = lim x→1+ x + 1 1 = 2 lim x −1 ≠ lim x −1 x→1− x2 −1 x→1+ x2 −1 ดงั นั้น lim x −1 ไมม คี า x→1 x2 −1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 481 8) วธิ ีที่ 1 จดั รูปฟงกช ันใหม ดงั น้ี x2 − 4x + 4 x−22 = x−2 x−2 เนอื่ งจาก x − 2 = −( x − 2) เมอ่ื x < 2 จะได x2 − 4x + 4 x−22 lim = lim x→2− x − 2 x→2− x − 2 (−(x − 2))2 = lim x→2− x − 2 = lim ( x − 2) x→2− =0 และเนื่องจาก x − 2 = x − 2 เมอ่ื x > 2 จะได x2 − 4x + 4 x−22 lim = lim x→2+ x − 2 x→2+ x − 2 ( x − 2)2 = lim x→2+ x − 2 = lim ( x − 2) x→2+ =0 เนอ่ื งจาก x2 − 4x + 4 x2 − 4x + 4 l=im l=im 0 x→2− x − 2 x→2+ x − 2 ดังน้นั x2 − 4x + 4 lim = 0 x→2 x − 2 วิธที ี่ 2 จดั รปู ฟง กช ันใหม ดงั นี้ x2 − 4x + 4 = x − 2 2 ( x − 2)2 x − 2 เม่อื x≠2 x−2 == x−2 x−2 จะได x2 − 4x + 4 = lim( x − 2) = 0 lim x→2 x − 2 x→2 ดงั นั้น x2 − 4x + 4 lim = 0 x→2 x − 2 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

482 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 2. 1) lim f ( x) = lim ( x +1) x→0+ x→0+ = 0+1 =1 2) lim f ( x) = x +1 x→0− lim x→0− 1 − x (−x) +1 เน่อื งจาก x < 0 = lim x→0− 1 − x 0 +1 = 1− 0 =1 3) เน่อื งจาก lim f ( x)= 1= lim f ( x) จะได lim f ( x) = 1 x→0− x→0+ x→0 4) เน่อื งจาก lim f ( x) = lim ( x +1) x→2− x→2− = 2+1 =3 และ ( )lim f ( x) = lim x2 − 5x + 9 x→2+ x→2+ = (2)2 − 5(2) + 9 =3 ดังน้นั lim f ( x) = 3 x→2 5) lim f ( x) = x +1 lim x→−3 x→−3 1 − x −(−x) +1 เน่ืองจาก x < 0 = lim x→−3 1 − x = 3+1 1− (−3) =4 4 =1 6) lim f ( x) = lim ( x +1) x→3 x→3 22 = 3 +1 2 =5 2 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 483 3. 1) จดั รปู ฟง กช นั ใหม ดังนี้ x2 + x − 6 ( x − 2)( x + 3) เมอ่ื x ≠ 2 เนือ่ งจาก x > 0 = x−2 x−2 = x+3 ดังนนั้ lim f ( x) = lim( x + 3) x→2 x→2 2) = 2+3 =5 lim g ( x) = lim x x→2 x→2 = lim x x→2 =2 3) เนือ่ งจาก lim f ( x) และ lim g ( x) หาคาได x→2 x→2 จะได  f (x) lim f ( x) 5 lxi→m2= g ( x)  =lxi→m2 g ( x) 2 x→2 4) lim (5 f ( x) − 4g ( x)) = 5 f (−2) − 4g (−2) x→−2 = 5(−2 + 3) − 4(2) = −3 4. 1) จาก f ( x) =  x2 −1 , x ≠1  x2 −x  2 , x = 1 ดังนน้ั f (1) =2 เนอื่ งจาก lim f ( x) = lim x2 −1 x2 −x x→1 x→1 = lim ( x −1)( x +1) x→1 x( x −1) = lim x +1 x→1 x =2 เนือ่ งจาก lim f ( x) = f (1) x→1 ดังน้ัน ฟง กชนั f เปน ฟงกชันตอ เน่ืองท่ี x =1 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

484 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 2) จาก f ( x) =  x3 + x + 1 , x ≤1  + 2 , x >1  x 2 ดังนน้ั f (1) =3 เนอื่ งจาก lim f ( x) = ( )lim x3 + x +1 = 3 x→1− x→1− และ ( )lim f ( x) = lim x2 + 2 = 3 x→1+ x→1+ จะไดวา lim f ( x) = 3 = lim f ( x) x→1− x→1+ ดังนนั้ lim f ( x) = 3 x→1 เนื่องจาก lim f ( x) = f (1) x→1 ดงั น้นั ฟงกช นั f เปนฟง กชันตอเน่ืองที่ x =1 3) จาก f ( x) =  x3 −1 , x ≠1  x −1 , x =1  2 จะได f (1) = 2 และ lim f ( x) = x3 −1 lim x→1 x→1 x − 1 ( x −1)( x2 + x +1) = lim x→1 x −1 ( )= lim x2 + x +1 x→1 =3 เนื่องจาก lim f ( x) ≠ f (1) x→1 ดังนนั้ ฟงกชนั f ไมเ ปน ฟง กช นั ตอ เน่ืองที่ x =1  x −1 , 0< x <1  , x ≥1 4) จาก f ( x) =  x − 9  x10 10 ดังนั้น f (1) =10 และ lim =f ( x) l=im 10 10 x→1+ x→1+ ตอไปจะหา lim f ( x) ซึ่งเทากบั lim x −1 x→1− x→1− 9 x − x10 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 485 จดั รปู ฟงกช นั ใหม โดยใชเอกลักษณ xn −1= ( )( x −1) 1+ x + x2 + + xn−1  1  1 + 2 ++ 9   − 1 1 +  x10 x10 x10 x10 จะได x −1 = 9 1  9 x10  x10 −1 x − x10 12 9 1+ x10 + x10 + + x10 เม่อื x ≠ 1 =9 x10 12 9 ดงั นั้น ( )lim f x = lim 1+ x10 + x10 + + x10 x→1− x→1− 9 x10 12 9 1+110 +110 + +110 =9 110 = 10 เนื่องจาก lim f ( x) = lim f ( x) = 10 x→1− x→1+ ดังนัน้ lim f ( x) = 10 x→1 เนอ่ื งจาก lim f ( x) = f (1) x→1 ดังน้นั ฟง กชนั f เปนฟง กชันตอเน่อื งท่ี x =1 5. พิจา=รณา f ( x) =1 1 x2 − 7x + 10 (x − 2)(x − 5) จะได f ( x) เปน ฟงกช ันตอเนื่องท่ี x = a เมอื่ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ซ่งึ x2 − 7x +10 ≠ 0 เน่ืองจาก x2 − 7x +10 = ( x − 2)( x − 5) จะได f ( x) ไมนยิ ามท่ี x = 2 และ x = 5 น่ันคือ f เปน ฟงกช ันตอเน่อื งที่ x = c ทกุ c∈ −{2,5} 1) เน่อื งจาก 2∉(−∞,2) และ 5∉(−∞,2) จะไดว า f เปน ฟง กช ันตอเนือ่ งบนชว ง (−∞,2) 2) เนือ่ งจาก 2∉[3,4) และ 5∉[3,4) จะไดว า f เปนฟง กชนั ตอเนือ่ งบนชว ง [3,4) 3) เน่ืองจาก 2∉(4,5) และ 5∉(4,5) จะไดว า f เปน ฟง กช ันตอเนือ่ งบนชว ง (4,5) สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

486 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 4) เนื่องจาก 2∉(5,∞) และ 5∉(5,∞) จะไดว า f เปน ฟง กชนั ตอเนอื่ งบนชวง (5,∞) 6. พิจารณาความตอ เนือ่ งของฟงกช ัน g ท่ี x = −2 และ x =1 เนือ่ งจาก lim g ( x) =lim x − 2 =lim − ( x − 2) =−(−2 − 2) =4 x→−2− x→−2− x→−2− และ lim g ( x) =lim ( x + 6) =− 2 + 6 =4 x→−2+ x→−2+ จะไดวา =lim g ( x) =lim g ( x) 4 x→−2− x→−2+ ดังนั้น lim g ( x) = 4 x→−2 และ g (−2) =− 2 + 6 =4 เนื่องจาก lim g ( x=) g (−2) x→−2 ดงั นน้ั g เปน ฟง กช นั ตอเน่อื งท่ี x = −2 ตอไปพิจารณาท่ี x =1 เนอื่ งจาก lim g (=x) lim ( x + 6=) 7 x→1− x→1− ( )และ lim g=( x) lim x2 − x=+ 6 6 x→1+ x→1+ น่นั คอื lim g (x) หาคาไมได x→1 ดงั น้ัน g ไมเปนฟง กช นั ตอเนื่องท่ี x =1 1) เนอ่ื งจาก 1∉(−∞,− 3] จะไดวา g เปนฟงกชนั ตอเนื่องบนชวง (−∞,− 3] 2) เนอื่ งจาก g (1) =1+ 6 =7 นน่ั คอื g (1) = lim g ( x) x→1− จะไดวา g เปน ฟงกช ันตอเน่ืองบนชว ง (−2,1] 3) เนอื่ งจาก 1∈[−4,3] จะไดว า g ไมเ ปนฟงกชนั ตอเน่ืองบนชวง [−4,3] 4) เนอ่ื งจาก 1∉(1,∞) จะไดวา g เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งบนชวง (1,∞) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 487 7. 1) จากโจทย f จะเปนฟงกช ันตอเนอ่ื งทที่ ุกจดุ นน่ั คือ f เปนฟง กช นั ตอ เนือ่ งท่ี x = −2 ดังน้ัน lim f ( x) = lim f ( x) x→−2− x→−2+ ( )lim ax2 − x −1 = lim ( x − a) x→−2− x→−2+ a(−2)2 − (−2) −1 = (−2) − a 4a +1 = −a − 2 จะได a = − 3 5 2) จากโจทย f จะเปน ฟงกช นั ตอ เนอ่ื งท่ที ุกจุด นนั่ คือ f เปนฟง กชันตอเนอ่ื งท่ี x = 2 และ x = 4 เนือ่ งจาก f เปน ฟง กชนั ตอเนื่องที่ x = 2 จะได lim f ( x) = lim f ( x) x→2− x→2+ lim (ax + b) = lim 1− x x→2− x→2+ 2a + b = lim − (1− x) x→2+ 2a + b = 1 ----- (1) ----- (2) เนือ่ งจาก f เปนฟงกชนั ตอเน่ืองท่ี x = 4 จะได lim f ( x) = lim f ( x) x→4− x→4+ ( )lim 1− x = lim x2 − ax − b x→4− x→4+ ( )lim − (1− x) = lim x2 − ax − b x→4− x→4+ 3 = (4)2 − a(4) − b 4a + b = 13 จาก (1) และ (2) จะได a = 6 และ b = −11 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

488 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 8. g อาจเปน หรือไมเ ปนฟง กชันตอเนอื่ งทีท่ กุ จุดก็ได ตัวอยางเชน ให f (x) = 0 ทกุ x∈ จะไดวา f เปน ฟง กชันตอ เน่อื งที่ทุกจุด เนือ่ งจาก f (1) ≠ g (1) ดังน้นั ถา g (x) = 0 ทกุ x∈ แลว g จะเปน ฟง กชนั ตอเนอ่ื งทีท่ ุกจดุ ให g ( x ) = 0 , x ≠1 จะไดว า f (x) = g (x) สําหรับทุกจํานวนจรงิ x ≠1 1 , x =1 แต g ไมตอเนือ่ งที่ x =1 ดังนัน้ g ไมเ ปนฟง กชนั ตอเน่อื งที่ทกุ จุด 9. เน่อื งจาก f ตอ เน่ืองที่ x =1 ดังน้นั lim f ( x) มคี า x→1 นั่นคอื lim f ( x) = lim f ( x) x→1− x→1+ จาก f ( x) = ax −1 x − b , x <1 , x ≥1 (2a + b) จะได lim f ( x) = lim (ax −1) = a −1 x→1− x→1− และ lim f ( x) = lim ((2a + b) x − b) = 2a x→1+ x→1+ ดังนัน้ a −1 = 2a นนั่ คือ a = −1 เน่อื งจาก f ( x) = (2a + b) x − b = (b − 2) x − b เมื่อ x ≥ 1 ดงั นน้ั f ′( x) = d ((b − 2) x − b) = b−2 เมื่อ x >1 dx เน่ืองจาก f ′(2) = 2 ดังนนั้ b − 2 = 2 นัน่ คอื b = 4 จะได lim f ( x) = lim((b − 2) x − b) x→2 x→2 = lim(2x − 4) x→2 =0 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี