(คู่มือ) หนังสือเรียนสสวท เพิ่มเติมคณิตศาสตร์ ม.6 ล.1

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 39 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 การประยกุ ตของลาํ ดับและอนกุ รม กจิ กรรม : ออมกอ นรวยกวา จดุ มุงหมายของกจิ กรรม กิจกรรมนี้ใชเพื่อใหนักเรียนฝกแกปญหาเกี่ยวกับเงินรวมเม่ือส้ินงวดที่ n ใน สถานการณท ่กี าํ หนดให โดยใชความรูเก่ียวกบั ผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม 1. ครูจับคนู กั เรียนแบบคละความสามารถ แลวใหน กั เรยี นแตล ะคูอ า นสถานการณตอไปน้ี วิภาวีฝากเงิน 10,000 บาท เปนประจําทุกวันที่ 1 ตุลาคม โดยเร่ิมฝากคร้ังแรก เม่ือวันท่ี 1 ตุลาคม 2550 และธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบตนรอยละ 2 ในวันที่ 30 กนั ยายน ของทุกป 2. จากสถานการณในขอ 1 ครูใหนกั เรียนพจิ ารณาวา ณ วนั ท่ี 30 กนั ยายน 2580 วิภาวีจะ มเี งินตน รวมจากการฝากเงนิ ทั้งหมดเทา ใด แนวคาํ ตอบ เน่อื งจาก วิภาวีเร่ิมฝากเงนิ ในวนั ท่ี 1 ตลุ าคม 2550 และฝากเปนประจําทุกปใ น วนั ที่ 1 ตุลาคม จนกระทัง่ ถึงวันท่ี 30 กันยายน 2580 นนั่ คือ วิภาวีฝากเงินงวดสุดทายในวันที่ 1 ตุลาคม 2579 จะไดวา วภิ าวีจะตอ งฝากเงนิ ท้ังหมด 30 งวด ดงั นนั้ จํานวนเงินตนรวมของวภิ าวี คอื 30×10,000 =300,000 บาท สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 40 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 3. ครใู หน กั เรียนอา นสถานการณตอ ไปน้ี วิภาวรรณเปนนองสาวฝาแฝดของวิภาวี วางแผนจะเร่ิมฝากเงินจํานวนหน่ึงในวันที่ 1 ตุลาคม 2565 และจะฝากเงินจํานวนดังกลา วเปน ประจําทุกป ในวนั ท่ี 1 ตลุ าคม โดยธนาคารจะคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตน รอ ยละ 2 ในวันที่ 30 กันยายน ของทกุ ป 4. จากสถานการณในขอ 3 ครใู หนกั เรยี นพิจารณาวา วิภาวรรณตองฝากเงินปล ะเทาใด จงึ จะมีเงินตน รวม ณ วันที่ 30 กนั ยายน 2580 เทากับเงนิ ตนรวมของวภิ าวที ่ีไดใ นขอ 2 แนวคําตอบ เนือ่ งจาก วิภาวรรณเริ่มฝากเงินในวนั ที่ 1 ตุลาคม 2565 และฝากเปนประจําทุกป ในวันท่ี 1 ตุลาคม จนกระทัง่ ถงึ วันท่ี 30 กนั ยายน 2580 น่นั คอื วภิ าวฝี ากเงินงวดสดุ ทา ยในวันที่ 1 ตลุ าคม 2579 จะไดว า วภิ าวีจะตอ งฝากเงนิ ทัง้ หมด 15 งวด เนื่องจาก จํานวนเงินตน รวมของวิภาวี คอื 300,000 บาท ดงั น้นั วิภาวรรณตอ งฝากเงนิ ปล ะ 300,000 ÷15 =20,000 บาท 5. จากขอ 1 – 4 ครใู หน ักเรยี นคาดการณว า ณ วนั ที่ 30 กันยายน 2580 วภิ าวีหรือวภิ าวรรณ จะมเี งินรวมมากกวา แนวคําตอบ ในขอนี้นักเรียนอาจยังไมไดคําตอบท่ีถูกตอง แตครูควรสงเสริมใหนักเรียนให เหตุผลประกอบคําตอบ เชน • วิภาวรรณจะมีเงินรวมมากกวา เน่ืองจาก ในแตละปที่วิภาวรรณฝากเงินมากกวา วิภาวี 2 เทา • วิภาวีจะมีเงินรวมมากกวา เนื่องจาก วภิ าวฝี ากเงินนานกวา และเปน การคิดดอกเบี้ย แบบทบตน • ท้ังสองคนมีเงินรวมเทากัน เน่ืองจากทั้งสองคนมีเงินตนเทากัน และธนาคารให ดอกเบ้ียเทากัน สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 41 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 6. จากขอ 1 และ 2 ครูใหน กั เรียนหาเงนิ รวมของวิภาวี ณ วันที่ 30 กนั ยายน 2580 6.1 เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงนิ ของวภิ าวี แนวคําตอบ 6.2 จากขอ 6.1 จงเขียนอนุกรมแสดงเงินรวมของวิภาวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 พรอ มทง้ั ระบพุ จนท ่ี 1 และอตั ราสว นรวมของอนุกรมที่ได แนวคําตอบ อนุกรมแสดงเงินรวมทั้งหมดของวิภาวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 คือ 10000(1.02) +10000(1.02)2 +  + 10000(1.02)30 โดยอนุกรมนมี้ ีพจนท ่ี 1 คอื 10,000(1.02) และอตั ราสวนรว ม คือ 1.02 6.3 จากขอ 6.2 จงหาเงินรวมโดยประมาณของวภิ าวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 โดย ใชค วามรูเกยี่ วกบั ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ แนวคําตอบ ( )Sn จาก = a1 1− rn 1− r ( )=จะได S30 (10,000(1.02)) 1− (1.02)30 ≈ 413,794.41 1 − 1.02 ดงั นัน้ เงินรวมของวภิ าวี ณ วนั ที่ 30 กันยายน 2580 คือ ประมาณ 413,794.41 บาท สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 42 คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 7. จากขอ 3 และ 4 ครใู หนักเรยี นหาเงินรวมของวภิ าวรรณ ณ วนั ท่ี 30 กันยายน 2580 7.1 เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงนิ ของวภิ าวรรณ แนวคาํ ตอบ 7.2 จากขอ 7.1 จงเขียนอนุกรมแสดงเงินรวมของวิภาวรรณ ณ วันที่ 30 กันยายน 2580 พรอมท้ังระบพุ จนท่ี 1 และอตั ราสวนรวมของอนุกรมทไี่ ด แนวคําตอบ อนุกรมแสดงเงินรวมท้ังหมดของวิภาวรรณ ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 คือ 20000(1.02) + 20000(1.02)2 +  + 20000(1.02)15 โดยอนกุ รมนม้ี พี จนท ี่ 1 คอื 20,000(1.02) และอตั ราสว นรวม คอื 1.02 7.3 จากขอ 7.2 จงหาเงินรวมโดยประมาณของวิภาวรรณ ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 โดยใชความรูเกีย่ วกบั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ แนวคาํ ตอบ ( )Sn จาก = a1 1− rn 1− r ( )=จะได S15 (20,000(1.02)) 1− (1.02)15 ≈ 352,785.71 1 − 1.02 ดงั นัน้ เงินรวมของวิภาวรรณ ณ วันที่ 30 กันยายน 2580 คือ ประมาณ 352,785.71 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 43 คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 8. จากขอ 6 และ 7 ครูใหนักเรยี นพจิ ารณาวา วภิ าวหี รอื วิภาวรรณจะมเี งนิ มากกวากนั ณ วันที่ 30 กันยายน 2580 แนวคําตอบ วิภาวจี ะมีเงินมากกวา 9. จากขอ 6, 7 และ 8 ครูสรุปวา ถงึ แมว าวภิ าวแี ละวภิ าวรรณมเี งินตน เทากัน และธนาคาร ใหดอกเบ้ียเทากัน แตเนื่องจากการใหดอกเบ้ียของธนาคารเปนแบบทบตน และวิภาวี เรม่ิ ตนฝากเงินในธนาคารกอนวิภาวรรณ (วิภาวีฝากเงินในธนาคารนานกวาวิภาวรรณ) จะไดวาจํานวนคร้ังทีธ่ นาคารคิดดอกเบี้ยใหกับเงินฝากของวภิ าวีมากกวา วภิ าวรรณ จึง สง ผลใหว ภิ าวีไดดอกเบีย้ จากธนาคารมากกวา วภิ าวรรณ ประเด็นสําคัญเก่ียวกบั เนอื้ หาและสง่ิ ท่ีควรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน • ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชเครื่องคํานวณชวยในการคํานวณเพ่ือแกปญหาเก่ียวกับ การประยกุ ตข องลําดับและอนกุ รม ทง้ั นี้ ครูควรเนนกระบวนการหาคาํ ตอบของนักเรียน มากกวาคําตอบสุดทาย ซงึ่ คําตอบสุดทายของนักเรียนอาจประมาณเปนจํานวนเต็มหนวย กไ็ ด โดยคํานึงถึงความสมเหตสุ มผลของคําตอบ • การประยุกตของลําดับและอนุกรมในบทนี้จะมีตัวอยางที่เกี่ยวของกับการเงิน ซึ่งครูไม ควรละเลยการสอนเน้ือหาดังกลาว เน่ืองจากเปนเนื้อหาท่ีสอดคลองกับชีวิตจริง ในหวั ขอการประยกุ ตของลาํ ดบั และอนกุ รม r จะแทนอตั ราดอกเบีย้ แบบทบตน ตอปซึ่ง แตกตางจาก r ที่เปนอัตราสวนรวมท่ีกลาวถึงในหัวขอลําดับเรขาคณิตหรืออนุกรม เรขาคณติ • ครคู วรสนบั สนุนใหนักเรียนเขียนแผนภาพประกอบการแกปญ หาเกยี่ วกับมูลคาปจจุบัน มลู คาอนาคต และคา งวด สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 44 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเห็นความสําคัญของการตรวจสอบเง่ือนไขใหถูกตองกอนนํา สูตรมาใชเสมอ เชน ในการกลาวถึงดอกเบี้ยทบตน (ตามทฤษฎีบท 9) มูลคาปจจุบัน และมูลคาอนาคตนั้น อัตราดอกเบี้ย i% จะเปนอัตราดอกเบ้ียตอป แตในการกลาวถึง คา งวดน้นั i% จะเปน อตั ราดอกเบี้ยตองวด • “เม่ือส้ินปที่ n” ตามทฤษฎบี ท 9 มีความหมายเชนเดียวกับ “ครบ n ป” ตามทฤษฎีบท 10 • การกลาวถึงการรับหรือจายคางวดในโจทยในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ตองมีขอมูลครบท้ัง 3 ประการ คือ รับหรือจายเทากันทุก งวด รับหรือจา ยตดิ ตอ กันทกุ งวด และรบั หรอื จา ยตอนตน งวดหรือส้ินงวด • จากแผนภาพแสดงคางวดแตละงวดที่รับหรือจายตอนตนงวด จะไดวา “งวดท่ี” อยู ระหวางตัวเลขท่อี ยูแถวบนสดุ ของแผนภาพ ดงั รูป สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 45 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 และสําหรับแผนภาพแสดงคางวดแตละงวดที่รับหรือจายตอนส้ินงวด จะไดวา “งวดท”่ี อยรู ะหวางตวั เลขทีอ่ ยแู ถวบนสดุ ของแผนภาพเชนเดียวกัน ดังรปู • ตัวอยา งสถานการณในชีวิตจริงที่เกยี่ วกับคางวดท่ีจา ยหรือรับตอนตนงวด คอื การฝากเงิน ในธนาคารแบบประจํา 24 เดือน และท่ีเก่ียวกับคางวดที่จายหรือหรือรับตอนสิ้นงวด คือ การผอนคาบาน อยางไรก็ตาม ครูไมควรยกตัวอยางการผอนคาบานใหนักเรียนหา คําตอบ เน่ืองจากบานมีราคาสูง และตองใชเวลาในการผอนหลายงวด จึงไมสะดวกใน การเขียนแผนภาพและการหาคาํ ตอบ • นักเรียนไมจําเปนตองจําสูตรการหาเงินรวมตอนตนงวดและส้ินงวด เน่ืองจากสามารถ คาํ นวณหาเงินรวมตอนตนงวดและสิ้นงวดไดจากสูตรการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต • การหาคาประมาณของทศนิยมเพ่อื ตอบคําถามของโจทยป ญหาในหัวขอน้ี ตองพจิ ารณา ความสอดคลองกบั บริบททีโ่ จทยกําหนดดว ย สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 46 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝกหัด • การหาคําตอบของแบบฝกหัด 1.5 ขอ 1 2) ซ่ึงตองมีการแกสมการ (1.04)n = 3 น้ัน อาจใชความรูเก่ียวกับสมบัติของลอการิทึมในการแกสมการเอกซโพเนนเชียล ซ่ึงทําได ดังน้ี จาก (1.04)n = 3 จะได n = log1.04 3 n = log 3 log1.04 n ≈ 28.01 ดงั นนั้ จะตองฝากเงนิ ครบ 29 ป จึงจะมเี งินเพ่มิ ขึน้ อยางนอยสามเทาของเงินตน นอกจากนี้ นกั เรียนอาจใชการหาคาประมาณของเลขยกกําลังท่ีมีเลขช้กี าํ ลังเปนจํานวน เต็มบวก ซ่ึงจะสังเกตไดวา (1.04)28 ≈ 2.9987 และ (1.04)29 ≈ 3.1187 แตเนื่องจาก n แทนจํานวนปท่ีนอยท่ีสุดท่ีจะทําใหมีเงินเพ่ิมข้ึนเปนอยางนอยสามเทาของเงินตน ดังน้ัน n = 29 จึงเปน คาํ ตอบของโจทยป ญหาขอนี้ • การฝากเงินตามเงื่อนไขในแบบฝกหัด 1.5 ขอ 9 น้ัน จะตองพิจารณาเงินที่ฝากเมื่อสิ้น ไตรมาสที่ 4 ของปท ่ี 4 ดว ย • การหาพจนที่ขาดหายไปของลําดับเลขคณิตหรือลําดับเรขาคณิตที่กําหนดใหใน แบบฝกหัดทายบท ขอ 16 ตองตรวจสอบท้ังลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต เนอื่ งจากบางลําดบั เปน ทงั้ ลาํ ดบั เลขคณิตและลําดับเรขาคณติ สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 47 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 1.3 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรยี น การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ นักเรียน ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ไดนําเสนอ แบบฝกหัดที่ครอบคลุมเน้ือหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 1 ลําดับและอนุกรม ครูอาจใชแ บบฝกหัดเพือ่ วัดผลประเมินผลความรูใ นแตละเน้ือหาไดด ังน้ี เนอื้ หา แบบฝกหัด การหาพจนใ นลําดบั จากพจนทั่วไปท่ีกําหนด 1.1.1 ขอ 1 – 3 การหาพจนในลําดับเลขคณติ และพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต 1.1.2 ขอ 1 – 14 การประยุกตข องลาํ ดับเลขคณติ 1.1.2 ขอ 15 – 16 การหาพจนในลําดบั เรขาคณติ และพจนท่วั ไปของลาํ ดบั เรขาคณิต 1.1.3 ขอ 1 – 12 การประยกุ ตข องลาํ ดับเรขาคณิต 1.1.3 ขอ 13 – 14 การหาพจนใ นลําดบั ฮารมอนิกและการประยุกตข องลําดับฮารมอนกิ 1.1.4 ขอ 1 – 3 การใชกราฟเพ่ือตรวจสอบการเปนลําดับลูเขา ลําดับลูออก และ 1.2 ขอ 1 หาลิมติ ของลําดบั ลเู ขา การใชทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตของลําดับเพื่อตรวจสอบการเปน 1.2 ขอ 2 ลําดบั ลเู ขา ลําดับลอู อก และหาลมิ ิตของลาํ ดบั ลเู ขา การประยกุ ตของลิมิตของลาํ ดบั อนันต 1.2 ขอ 3 – 4 การหาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณติ 1.3.1 ขอ 1 – 4 สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 48 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 เน้อื หา แบบฝก หัด 1.3.1 ขอ 5 – 10 การประยกุ ตข องอนุกรมเลขคณติ 1.3.2 ขอ 1 – 3 การหาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ 1.3.2 ขอ 4 – 10 การประยกุ ตของอนุกรมเรขาคณิต 1.3.3 ขอ 1 การหาลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รม 1.3.3 ขอ 2 – 3 การหาผลบวกของอนกุ รม 1.3.3 ขอ 4 – 9 การประยกุ ตของอนุกรมอนันต การเขียนสัญลักษณแสดงการบวกและการหาผลบวกของอนุกรม 1.4 ขอ 1 – 12 ที่เขียนอยใู นรูปสัญลักษณแ สดงการบวก การประยุกตของลําดับและอนุกรมเก่ียวกับดอกเบ้ียและมูลคา 1.5 ขอ 1 – 11 ของเงนิ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 49 คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 1.4 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 มจี ุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน ไดเ รยี นจบบทที่ 1 ลําดบั และอนกุ รม แลวนักเรียนสามารถ 1. หาพจนต า ง ๆ ของลําดบั เลขคณติ และลาํ ดบั เรขาคณิต 2. หาลิมิตของลาํ ดับอนนั ตโ ดยใชทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมติ 3. ระบไุ ดว า ลาํ ดับท่ีกาํ หนดใหเ ปน ลาํ ดับลเู ขา หรือลาํ ดบั ลูออก 4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 5. หาผลบวกอนุกรมอนันต 6. ระบุไดว า อนุกรมท่กี ําหนดใหเปน อนุกรมลูเขา หรืออนุกรมลูออก 7. ใชค วามรเู ก่ียวกบั ลาํ ดับและอนกุ รมในการแกป ญ หา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด ทา ยบทที่ประกอบดว ยโจทยเพื่อตรวจสอบความรหู ลังเรียน โดยมวี ตั ถปุ ระสงคเพื่อวัดความรูความ เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะที่มีความนาสนใจและโจทย ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ของบทเพอ่ื ตรวจสอบวานักเรยี นมคี วามสามารถตามจุดมุงหมายเมอ่ื เรียนจบบทเรยี นหรอื ไม ทั้งน้ี แบบฝก หัดทายบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 บทท่ี 1 ลาํ ดบั และอนกุ รม สอดคลอ งกับจดุ มงุ หมายของบทเรียน ดงั นี้ จุดมุงหมาย แบบฝก หัดทายบทขอที่ 1. หาพจนต า ง ๆ ของลาํ ดบั เลขคณติ และลําดบั เรขาคณติ 1 1) – 4) 2 3 4 5 9 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 50 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอที่ 1. หาพจนต า ง ๆ ของลําดบั เลขคณติ และลาํ ดบั เรขาคณติ (ตอ ) 10 11 12 13 16 1) – 4) 2. หาลมิ ติ ของลําดับอนนั ตโ ดยใชท ฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลมิ ติ 18 21 1) – 16) 22 3. ระบไุ ดว า ลาํ ดับทีก่ ําหนดใหเ ปนลําดบั ลูเขา หรอื ลาํ ดบั ลอู อก 20 1) – 6) 23 4. หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 24 25 26 27 31 32 1) – 3) 33 5. หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต 38 1) – 6) 39 1) – 8) 40* 46 1) – 2) 6. ระบไุ ดวา อนกุ รมที่กําหนดใหเ ปนอนกุ รมลูเขาหรืออนกุ รมลูออก 40* สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 51 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 จดุ มุงหมาย แบบฝกหดั ทายบทขอท่ี 7. ใชความรูเก่ยี วกบั ลําดับและอนุกรมในการแกป ญ หา 7 8 1) – 3) 14 15 1) – 2) 19 28 1) – 2) 29 1) – 6) 30 34 35 1) – 3) 36 1) – 4) 41 42 43 44 47 1) – 3) 48 49 50 51 52 53 54 55 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 52 คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทายบทขอ ท่ี 7. ใชความรูเก่ยี วกบั ลาํ ดบั และอนุกรมในการแกป ญหา (ตอ ) 56 ปญหาทาทาย 57 59 60 6 17 37 1) – 3) 45 46 3) 58 หมายเหตุ แบบฝก หัดทา ยบทขอ 40 สอดคลอ งกบั จุดมงุ หมายของบทเรยี นมากกวา 1 จุดมุงหมาย สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 53 คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 1.5 ความรูเพ่ิมเตมิ สาํ หรับครู ความรูเพิ่มเติมสําหรับครูที่จะกลาวถึงในคูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 บทท่ี 1 ลําดบั และอนกุ รม คอื การพสิ จู นทฤษฎบี ทเกีย่ วกบั ลาํ ดับและอนุกรมทก่ี ลาวถึงแต ไมไดแสดงการพิสูจนไวในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 โดยจะแยงการนําเสนอเปน 2 สวน ไดแ ก สวนท่ี 1 ทฤษฎีบท บทนิยาม และบทแทรกทีใ่ ชใ นการพิสจู น สวนท่ี 2 แนวทางการพสิ จู นท ฤษฎบี ทในหนงั สอื เรียน โดยมรี ายละเอยี ดในแตละสวนเปน ดังน้ี สว นที่ 1 ทฤษฎบี ท บทนิยาม และบทแทรกท่ใี ชใ นการพสิ ูจน • ทฤษฎบี ท i (อสมการแบรนลู ลี : Bernoulli’s Inequality) สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนจริง x ท่ี x > −1 จะไดว า (1+ x)n ≥1+ nx ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n • ทฤษฎีบท ii (สมบัตอิ ารคมิ ีดิส : Archimedean Property) 1. สําหรับทกุ จาํ นวนจริงบวก x จะมจี ํานวนเต็มบวก n ที่ x < n 2. สาํ หรับทกุ จาํ นวนจรงิ บวก x จะมจี าํ นวนเตม็ บวก n ท่ี 1 < x n • ทฤษฎบี ท iii ให a และ b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ 1. a − b = b − a (อสมการสามเหลี่ยม : Triangle Inequality) 2. a + b ≤ a + b 3. a − b ≤ a + b 4. a − b ≤ a − b • บทนยิ าม iv ให xn เปนลําดับของจาํ นวนจรงิ จะกลาววาลาํ ดับ xn ลูเขา สูจ ํานวนจริง x เขียนแทนดว ย สญั ลักษณ lim xn = x ถาสาํ หรับทุก ε > 0 จะมีจาํ นวนเต็มบวก N ซ่ึง xn − x <ε n→∞ สาํ หรบั ทกุ n ≥ N สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 54 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 • บทนยิ าม v ลําดับ xn เปน ลาํ ดับทีม่ ีขอบเขต (bounded) ถามี M > 0 ท่ี xn ≤ M สําหรับทุก จาํ นวนเตม็ บวก n • บทแทรก vi ลาํ ดับ xn เปนลําดับทไ่ี มมีขอบเขต (unbounded) เมือ่ สําหรับทุก M > 0 จะมีจํานวนเตม็ บวก n ท่ี xn > M • ทฤษฎบี ท vii ทุกลําดบั ลเู ขา เปนลําดับทีม่ ีขอบเขต • บทแทรก viii ทุกลาํ ดับที่ไมมีขอบเขตเปน ลําดบั ลูออก • ทฤษฎบี ท ix ให A ⊂  f : A →  เปน ฟงกชนั ตอ เนอ่ื ง ลาํ ดับ xn เปนลําดบั บน A และ x∈ A ( )ถา แลว lim xn = x =nli→m∞ f ( xn ) =f nli→m∞ xn f (x) n→∞ • ทฤษฎีบท x (หลักอุปนัยเชงิ คณติ ศาสตร : Principal of Mathematical Induction) ให P(n) แทนประโยคเปดทมี่ ีเอกภพสมั พัทธคือจาํ นวนเต็มบวก สมมตวิ า 1. P(1) เปน จริง 2. สาํ หรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก k ถา P(k) เปน จรงิ แลว P(k +1) เปน จริงดว ย จะสรุปไดวา P(n) เปน จรงิ สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนเตม็ บวก n สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 55 คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 สวนท่ี 2 แนวทางการพิสูจนท ฤษฎบี ทในหนงั สือเรยี น • ทฤษฎีบท 1 ให r เปน จํานวนจริงบวก จะไดวา 1. lim 1 =0 n→∞ nr 2. lim nr ไมมคี า n→∞ พสิ ูจน 1. จะแสดงวา lim 1 =0 เมือ่ r เปน จํานวนจรงิ บวก n→∞ nr ให r เปน จาํ นวนจรงิ บวก และ ε > 0 จะไดวา 1 >0 εr โดยสมบตั ิอารค ิมีดสิ จะไดวา มจี ํานวนเต็มบวก N ท่ี 1 1 N <εr ให n เปนจํานวนเต็มบวก ที่ n ≥ N 1 − =0  1 r ≤  1 r < ε nr  n   N  น่นั คือ lim 1 =0 nr n→∞ 2. จะแสดงวา lim nr ไมม คี า โดยแสดงวา ลาํ ดับ nr เปน ลาํ ดับทไ่ี มม ีขอบเขต n→∞ ให r เปน จํานวนจรงิ บวก และ M > 0 จะไดว า 1 >0 Mr 1 โดยสมบัตอิ ารคิมดี สิ จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก n ท่ี M r < n n=r nr > M จะไดวา ลําดบั nr เปน ลําดับทไี่ มม ขี อบเขต ดงั น้ัน lim nr ไมมีคา n→∞ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 56 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 • ทฤษฎีบท 2 ให r เปน จํานวนจรงิ บวก จะไดวา 1. ถา r <1 แลว lim rn = 0 n→∞ 2. ถา r >1 แลว lim rn ไมม คี า n→∞ พิสจู น 1. จะแสดงวา ถา r <1 แลว lim rn = 0 n→∞ ถา r = 0 จะไดว า lim=rn lim=0n l=im 0 0 n→∞ n→∞ n→∞ ให r เปนจาํ นวนจรงิ บวก ซง่ึ 0 < r <1 จะไดว า 1 >1 หรอื 1 −1 > 0 rr จะมจี ํานวนจรงิ บวก h ซึ่ง =h 1 −1 r ดงั น้ัน r =1 1+ h จากอสมการแบรน ลู ลี จะไดวา (1+ h)n ≥ 1+ nh ทุกจาํ นวนเต็มบวก n ให ε > 0 เน่ืองจาก h > 0 จะไดว า hε > 0 โดยสมบัติอารคิมดี สิ จะไดวา มจี าํ นวนเตม็ บวก N ท่ี 1 < hε N ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวก ที่ n ≥ N rn −0 = rn=  1 n ≤ 1 < 1 ≤ 1 < ε  1+ h  1+ nh nh Nh นั่นคือ lim rn = 0 เมื่อ 0 < r <1 n→∞ 2. จะแสดงวา ถา r >1 แลว lim rn ไมมีคา โดยแสดงวา ลําดบั rn เปนลาํ ดับที่ไมมขี อบเขต n→∞ ให r เปนจาํ นวนจริงบวก ซึ่ง r >1 จะไดว า r −1 > 0 จะมจี ํานวนจรงิ บวก a ซ่งึ a= r −1 ดงั นน้ั r= 1+ a สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 57 คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 จากอสมการแบรน ูลลีจะไดวา r n = (1+ a)n ≥ 1+ na สําหรบั ทกุ จาํ นวนเต็มบวก n ให M > 0 โดยสมบตั ิอารค ิมดี สิ จะไดวา มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซงึ่ N > M a พิจารณา r N = r N ≥ 1+ Na > Na > M ดังนัน้ ลาํ ดับ rn เปนลาํ ดบั ที่ไมมีขอบเขต โดยบทแทรก viii จะไดวา ลาํ ดับ rn เปนลาํ ดับลอู อก นน่ั คอื lim rn ไมมคี า n→∞ • ทฤษฎีบท 3 ให an, bn, tn เปนลําดับของจํานวนจรงิ A, B เปนจํานวนจรงิ และ c เปนคา คงตวั ทีเ่ ปน จาํ นวนจรงิ โดยที่ lim an =A และ lim bn =B จะไดว า n→∞ n→∞ 1. ถา tn = c ทุกจาํ นวนเต็มบวก n แลว nli→=m∞ tn l=im c c n→∞ 2. nl=i→m∞ can c=nli→m∞ an cA 3. lim ( an + bn ) =lim an + lim bn =A + B n→∞ n→∞ n→∞ 4. lim ( an − bn ) =lim an − lim bn =A − B n→∞ n→∞ n→∞ 5. lim ( an ⋅ bn ) =lim an ⋅ lim bn =A ⋅ B n→∞ n→∞ n→∞ 6. ถา bn ≠ 0 ทกุ จํานวนเตม็ บวก n และ B≠0 แลว l=im an nl=i→m∞ an A n→∞ bn lim bn B n→∞ พสิ ูจน 1. ให c เปน คาคงตัวทเี่ ปนจํานวนจรงิ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก และ ε > 0 จาก tn = c ทกุ จํานวนเตม็ บวก n จะไดว า tn − c = c − c = 0 < ε นัน่ คือ nli→=m∞ tn l=im c c n→∞ สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 58 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2. ให c เปนคาคงตัวทีเ่ ปนจาํ นวนจริง และ ε > 0 เน่ืองจาก c ≥ 0 ดงั น้ัน c +1 > 0 จะไดวา ε > 0 c +1 เนือ่ งจาก lim an = A n→∞ จะไดว า มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซ่งึ an − A < ε ทุก n≥N c +1 ให n เปนจาํ นวนเต็มบวก ท่ี n ≥ N can − cA = c ⋅ an − A < c⋅ ε <ε c +1 นนั่ คือ lim ca=n c=A c lim an n→∞ n→∞ 3. ให ε > 0 เนื่องจาก lim an = A n→∞ จะไดว า มจี ํานวนเต็มบวก N1 ซึง่ an − A < ε ทุก n ≥ N1 2 และจาก lim bn = B n→∞ จะไดว า มีจาํ นวนเต็มบวก N2 ซ่งึ bn − B < ε ทกุ n ≥ N2 2 ให N = max{N1 , N2} และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก ที่ n ≥ N จะไดว า (an + bn ) − ( A + B) = (an − A) + (bn − B) ≤ an − A + bn − B < ε +ε 22 =ε น่ันคอื lim ( an + bn ) = A+ B = lim an + lim bn n→∞ n→∞ n→∞ 4. ให ε > 0 เนื่องจาก lim an = A n→∞ จะไดว า มีจํานวนเตม็ บวก N1 ซง่ึ an − A < ε ทกุ n ≥ N1 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 59 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 และจาก lim bn = B n→∞ จะไดวา มจี ํานวนเต็มบวก N2 ซ่ึง bn − B < ε ทกุ n ≥ N2 2 ให N = max{N1 , N2} และ n เปน จาํ นวนเต็มบวก ท่ี n ≥ N จะไดวา (an − bn ) − ( A − B) = (an − A) − (bn − B) ≤ an − A + bn − B < ε +ε 22 =ε นน่ั คอื (lim an − bn ) = A− B = lim an − lim bn n→∞ n→∞ n→∞ 5. ให ε > 0 เนอ่ื งจาก lim an = A n→∞ จะไดว า มีจํานวนเต็มบวก N1 ซ่งึ an − A < ε ทุก n ≥ N1 2( B +1) เน่อื งจาก ลําดับ an เปนลําดบั ลูเขา โดยบทแทรก vii จะไดว า ลาํ ดับ an เปนลําดับท่ีมขี อบเขต ดังนัน้ จะมี M > 0 ซ่ึง an < M ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n เนอื่ งจาก lim bn = B n→∞ จะไดว า มีจํานวนเต็มบวก N2 ซ่ึง bn − B < ε ทุก n ≥ N2 2M ให N = max{N1 , N2} และ n เปน จาํ นวนเต็มบวก ที่ n ≥ N จะไดวา anbn − A=B anbn + (−an B + an B) − AB = (anbn − anB) + (anB − AB) ≤ anbn − an B + an B − AB = an bn − B + B an − A < M⋅ ε + B ⋅ 2( ε + 1) 2M B <ε นน่ั คอื lim (an ⋅ bn ) = A⋅B = lim an ⋅ lim bn n→∞ n→∞ n→∞ สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 60 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 6. ให bn ≠ 0 ทุกจํานวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0 ตอ งการแสดงวา lim 1 = 1 n→∞ bn B เนอื่ งจาก lim bn =B n→∞ จะไดว า มจี าํ นวนเตม็ บวก N1 ซ่ึง bn − B < B ทุก n ≥ N1 2 B − bn ≤ B − bn < B ทกุ n ≥ N1 2 bn > B−B ทุก n ≥ N1 2 bn >B ทุก n ≥ N1 ทกุ n ≥ N1 2 1 <2 bn B ให ε > 0 เน่ืองจาก lim bn =B n→∞ จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก N2 ซ่งึ bn − B < B2ε ทุก n ≥ N2 2 ให N = max{N1 , N2} และ n เปน จํานวนเตม็ บวก ที่ n ≥ N จะไดวา 1 − 1 =B − bn bn B bn B = 1 ⋅ 1 ⋅ bn − B bn B < 2 ⋅ 1 ⋅ B2ε BB 2 =ε ดังนั้น lim 1 = 1 n→∞ bn B สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 61 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 จากบทพสิ ูจนกอนหนา จะไดวา lim an = lim  an ⋅ 1  = lim ( an ) ⋅ lim 1  = A⋅ 1 =A n→∞ bn  bn    B B n→∞   n→∞ n→∞  bn  นั่นคือ lim an= =A lim an เม่ือ B ≠ 0 n→∞ bn n→∞ • ทฤษฎบี ท 4 B lim bn n→∞ ให an เปนลําดบั ซึง่ an ≠0 สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนเตม็ บวก n ถา lim 1 =0 แลว an n→∞ ลาํ ดับ an เปนลําดบั ลอู อก พิสจู น จะแสดงวา ถา lim 1 =0 แลว ลาํ ดับ an เปน ลําดบั ลอู อก an n→∞ โดยแสดงวา ลําดบั an เปน ลาํ ดับท่ไี มมีขอบเขต ให an เปน ลาํ ดับซ่ึง an ≠ 0 สําหรบั ทุกจํานวนเต็มบวก n และ M > 0 เนอ่ื งจาก lim 1 = 0 n→∞ an จะไดว า มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซึ่ง 1 −0 < 1 สําหรับ n ≥ N an M ดงั น้ัน 1 < 1 aN M aN > M นนั่ คือ ลําดบั an เปน ลาํ ดับทไ่ี มมีขอบเขต โดยบทแทรก viii จะไดว า ลาํ ดบั an เปน ลาํ ดบั ลอู อก สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 62 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 5 ให an เปนลาํ ดับของจํานวนจรงิ ทม่ี ากกวา หรอื เทากบั ศนู ย L เปนจํานวนจริง และ m เปน จาํ นวนเต็มท่มี ากกวา หรอื เทา กบั สอง จะไดวา ถา lim an = L แลว nl=i→m∞ m an m=nli→m∞ an mL n→∞ พสิ จู น ให m เปนจาํ นวนเต็ม ท่ี m ≥ 2 และ fm : + ∪{0} →  โดยท่ี fm ( x) = m x สําหรับ x∈+ ∪{0} จะเหน็ วา fm มีความตอเนอ่ื งบน + ∪{0} สมมติให lim an =L n→∞ เน่ืองจาก fm ตอเน่ืองบน + ∪{0} ลาํ ดบั an เปน ลําดับบน + ∪{0} และ L∈+ ∪{0} ( )โดยทฤษฎบี ท ix จะไดวา =nli→m∞ fm (an ) =fm nli→m∞ an fm (L) ดังนน้ั nl=i→m∞ m an m=nli→m∞ an m L หมายเหตุ สาํ หรับจํานวนเต็ม m ที่ m ≥ 2 ฟง กช นั fm : + ∪{0} →  นิยามโดย fm (x) = m x สาํ หรบั x∈+ ∪{0} จะมีความตอเน่ือง สามารถพิสูจนไดในแคลคลู สั • ทฤษฎบี ท 6 กาํ หนดใหอนุกรมเรขาคณิตมี a1 เปนพจนแ รก และ r เปน อัตราสว นรวม 1. ถา r <1 แลว อนุกรมนเ้ี ปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมนี้เทากับ a1 1− r 2. ถา r ≥1 แลว อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูอ อก พสิ ูจน 1. จะแสดงวา อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปน อนุกรมลูเขา และลูเ ขาสูคา a1 เม่อื r <1 1− r ∑ a1rn−1 n=1 สมมติให r <1 ให n เปนจํานวนเตม็ บวก สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 63 คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 พิจารณาผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี จะไดว า ( )a1 1− rn Sn = 1− r เน่อื งจาก r <1 โดยทฤษฎีบท 2 จะไดวา lim rn = 0 n→∞ ดงั น้นั lim (1− rn )= lim 1− lim rn = 1 n→∞ n→∞ n→∞ ( ) ( )ฉะนั้น lim n→∞ Sn = lim a1 1 − rn = a1 ⋅ lim 1 − rn = a1 n→∞ 1− r 1− r n→∞ 1− r น่ันคือ อนุกรมเรขาคณติ ∞ เปน อนุกรมลูเ ขา และลเู ขาสคู า a1 เมอ่ื r <1 1− r ∑ a1rn−1 n=1 2. จะแสดงวา อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปน อนุกรมลูออก เมื่อ r ≥1 โดยการพสิ จู น ∑ a1rn−1 n=1 หาขอขัดแยง ให r ≥1 สมมตวิ า อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปนอนกุ รมลูเขา ∑ a1rn−1 n=1 ดังนั้น ลําดับของผลบวกยอ ยเปน ลาํ ดับลเู ขา ให n เปน จํานวนเต็มบวก จะแยกพิจารณา r เปน 2 กรณี ดงั นี้ กรณี 1 r =1 จาก r =1 จะไดว า ∞∞ ∑ ∑a1rn−1 = a1 =n 1=n 1 และมลี าํ ดบั ของผลบวกยอย คอื a1,2a1,3a1,,na1, เน่ืองจาก lim na1 ไมม ีคา n→∞ ดังนนั้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยเปนลําดบั ลอู อก จะไดวา ∞ เปนอนกุ รมลูออก ซึ่งขัดแยงกบั ที่กาํ หนด ∑ a1rn−1 n=1 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 64 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 กรณี 2 r ≥1 โดยท่ี r ≠ 1 พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี จะไดว า ( )Sn = a1 1 − rn 1− r จากอนุกรมเรขาคณติ ∞ เปนอนุกรมลเู ขา ∑ a1rn−1 n=1 ดังนน้ั ลําดับของผลบวกยอยเปนลาํ ดับลูเขา นน่ั คอื จะมีจํานวนจริง S ที่ lim Sn = S n→∞ ( ) ( )S ดงั นนั้ = lim Sn = lim a1 1 − rn = a1 ⋅ lim 1 − rn ----- (*) n→∞ n→∞ 1− r 1 − r n→∞ จาก r ≥1 โดยท่ี r ≠1 จะแยกพจิ ารณาออกเปน 2 กรณียอย ดงั น้ี กรณยี อ ย 1 r >1 พิจารณาเม่อื n มากข้นึ โดยไมม ีท่สี ้นิ สุด จาก r >1 จะไดวา rn จะมีคา มากขึ้นและไมเขา ใกลจํานวนจริงใดจาํ นวนหนึ่ง ดังน้ัน −rn จะมคี าลดลงและไมเ ขาใกลจํานวนจริงใดจํานวนหน่ึง จะไดว า 1− rn จะมีคาลดลงและไมเขาใกลจ าํ นวนจรงิ ใดจํานวนหนึง่ ดงั นัน้ ( )lim 1− rn ไมมีคา ซ่ึงขดั แยงกับ (*) n→∞ กรณยี อย 2 r ≤1 พิจารณาเมอื่ n มากขน้ึ โดยไมมีที่สิ้นสดุ จาก r ≤1 จะไดว า rn จะมีคา แกวง กวดั และไมเ ขาใกลจาํ นวนจรงิ ใดจาํ นวนหนึ่ง ดงั น้นั −rn จะมคี า แกวง กวดั และไมเ ขา ใกลจาํ นวนจรงิ ใดจํานวนหน่ึง จะไดวา 1− rn จะมีคา แกวง กวัดและไมเขาใกลจ ํานวนจรงิ ใดจาํ นวนหน่ึง ดังนั้น (lim 1− )rn ไมม ีคา ซงึ่ ขดั แยงกบั (*) n→∞ จากทั้ง 2 กรณี สรุปไดว า อนุกรมเรขาคณติ ∞ เปนอนกุ รมลูออก เมื่อ r ≥1 ∑ a1rn−1 n=1 หมายเหตุ คาํ วา “มีคา แกวงกวัด” ในที่นี้หมายความวา มีคาเปน จาํ นวนจริงลบและ จาํ นวนจรงิ บวกสลบั กนั หรอื จาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจรงิ ลบสลบั กัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 65 คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 • ทฤษฎบี ท 7 ให n เปนจาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ จะไดว า 1. n เมอ่ื c เปนคา คงตวั ทเ่ี ปนจํานวนจรงิ ∑c = nc i =1 2. n n เม่ือ c เปนคาคงตัวทเี่ ปน จาํ นวนจรงิ ∑cai = ∑c ai =i 1=i 1 n nn ∑ ∑ ∑3. (ai + bi )= ai + bi =i 1 =i 1=i 1 n nn ∑ ∑ ∑4. (ai − bi )= ai − bi =i 1 =i 1=i 1 พสิ จู น 1. ให P(n) แทน n = nc เมอื่ c เปนคาคงตัวท่เี ปน จาํ นวนจรงิ ∑c i =1 พิจารณา P(1) เนอื่ งจาก 1 c= 1⋅ c ∑c= i =1 ดงั นนั้ P(1) เปนจรงิ ให k เปน จํานวนเตม็ บวกใด ๆ สมมตใิ ห P(k) เปน จริง นน่ั คอื k = kc ∑c i =1 พจิ ารณา k +1 k ∑=c ∑c + c i=1 i=1 = kc + c = (k +1) ⋅ c ดงั นัน้ P(k +1) เปน จรงิ โดยหลกั อปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n = nc ทุก n ทเี่ ปนจํานวนเตม็ บวกใด ๆ ∑c i =1 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 66 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 2. ให P(n) แทน n = n เม่ือ c เปนคาคงตัวท่เี ปนจํานวนจริง ∑ cai ∑c ai =i 1=i 1 พิจารณา P(1) เนอ่ื งจาก 1 ca1= 1 ∑ cai= ∑c ⋅ ai =i 1 =i 1 ดงั น้ัน P(1) เปน จรงิ ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ สมมตใิ ห P(k) เปน จริง นั่นคือ k = k ∑ cai ∑c ai =i 1=i 1 k +1 k =cai cai + cak+1 ∑ ∑พิจารณา i=1 i=1 = k ∑c ai + cak+1 i =1 ∑ k  = c  ai + ak+1   i=1  k +1 ∑= c ai i =1 ดงั นั้น P(k +1) เปนจริง โดยหลักอุปนยั คณิตศาสตร จะไดว า n = n ทุก n ที่เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ ∑ cai ∑c ai =i 1=i 1 3. ให P(n) แทน n nn ∑(ai + bi )= ∑ ∑ai + bi =i 1 =i 1=i 1 พจิ ารณา P(1) เนอื่ งจาก 1 a1 + b1 = 11 ∑(ai + bi ) = ∑ ∑ai + bi =i 1 =i 1 =i 1 ดงั นนั้ P(1) เปน จรงิ ให k เปนจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ สมมติให P(k) เปน จรงิ นัน่ คอื k + bi )= kk ∑ ( ai ∑ ∑ai + bi =i 1 =i 1=i 1 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 67 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 k +1 k (ai + b=i ) (ai + bi ) + (ak+1 + )bk+1 ∑ ∑พิจารณา i=1 i=1 ∑ ∑ ( ) k k  =  ai + bi  + ak+1 + bk+1 = i 1=i 1  ∑ ∑ k   k  =  ai + ak+1  +  bi + bk+1  = i 1=  i 1  k +1 k +1 ∑ ∑= ai + bi =i 1=i 1 ดงั นัน้ P(k +1) เปน จรงิ โดยหลักอปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n + bi )= nn ทุก n ท่ีเปน ∑ ( ai ∑ ∑ai + bi =i 1 =i 1=i 1 จํานวนเต็มบวกใด ๆ 4. ให P(n) แทน n − bi )= nn ∑ ( ai ∑ ∑ai − bi =i 1 =i 1=i 1 พิจารณา P(1) เน่อื งจาก 1 11 ∑ ∑ ∑(ai − bi ) = a1 − b1 = ai − bi =i 1 =i 1 =i 1 ดงั นนั้ P(1) เปน จริง ให k เปนจํานวนเตม็ บวกใด ๆ สมมตใิ ห P(k) เปนจริง นน่ั คอื k − bi )= kk ∑ ( ai ∑ ∑ai − bi =i 1 =i 1=i 1 k +1 k (ai − b=i ) (ai − bi ) + (ak+1 − )bk+1 ∑ ∑เนือ่ งจาก i=1 i=1 ∑ ∑ ( ) k k  =  ai − bi  + ak+1 − bk+1 = i 1=i 1  ∑ ∑ k   k  =  ai + ak+1  −  bi + bk+1  = i 1=  i 1  k +1 k +1 ∑ ∑= ai − bi =i 1=i 1 ดงั นัน้ P(k +1) เปน จริง สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 68 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 โดยหลักอุปนยั คณิตศาสตร จะไดว า n − bi )= nn ทกุ n ท่เี ปน ∑ ( ai ∑ ∑ai − bi =i 1 =i 1=i 1 จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ • ทฤษฎีบท 8 ให n เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ จะไดว า ∑n n(n +1) 1. i = i=1 2 ∑2. n i2 = n(n +1)(2n +1) i=1 6  n(n +1) 2  n 2  i = ∑ ∑n =3. i3 i 1= 2   i 1  พสิ จู น 1. ให P(n) แทน n n(n +1) ∑i = 2 i =1 พิจารณา P(1) เน่ืองจาก 1 1= 1(1 + 1) ∑i= 2 i =1 ดังนั้น P(1) เปนจริง ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ สมมติให P(k) เปนจรงิ นั่นคอื k = k (k +1) ∑i 2 i =1 พจิ ารณา k +1 = k ∑i ∑i + (k +1) i=1 i=1 = k (k +1) + (k +1) 2 =( k + 1)  k + 1  2 = (k +1)(k + 2) 2 (k +1)((k +1) +1) = 2 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 69 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ดังนั้น P(k +1) เปนจรงิ โดยหลกั อุปนยั คณิตศาสตร จะไดวา n n(n +1) ทกุ n ทเี่ ปน จํานวนเตม็ บวกใด ๆ ∑i = 2 i =1 2. ให P(n) แทน n = n(n +1)(2n +1) ∑i2 6 i =1 พจิ ารณา P(1) เนอื่ งจาก 1 12 = 1= 1(1+1)(2 ⋅1+1) ∑i2 = 6 i =1 ดงั นนั้ P(1) เปน จริง ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ สมมติให P(k) เปนจรงิ นัน่ คือ k = k (k +1)(2k +1) ∑i2 6 i =1 k +1 k i2= i2 + (k +1)2 ∑ ∑พจิ ารณา i=1 i=1 = k (k +1)(2k +1) + (k +1)2 6 = ( k + 1)  k ( 2k + 1) + ( k + 1)  6    ( )(k +1) 2k2 + k + 6k + 6 = 6 ( )(k +1) 2k2 + 7k + 6 = 6 = (k +1)(k + 2)(2k + 3) 6 (k +1)((k +1) +1)(2(k +1) +1) = 6 ดังนัน้ P(k +1) เปนจรงิ โดยหลกั อปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n = n(n +1)(2n +1) ทุก n ทเ่ี ปน ∑i2 6 i =1 จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 70 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ให P(n) แทน n  n(n +1) 2 ∑3. i =1 i3 =    2  พจิ ารณา P(1) ∑เนื่องจาก 1 13= 1=  1(1+1) 2   i3=  2  i =1 ดังนั้น P(1) เปน จรงิ ให k เปนจาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ สมมตใิ ห P(k) เปน จริง น่นั คอื k =  k (k +1) 2 ∑i3  2 i =1 k +1 k i=3 i3 + (k +1)3 ∑ ∑พจิ ารณา i=1 i=1 =  k (k +1) 2 + (k + 1)3    2  = (k + 1)2  k2 + (k + 1)   22    ( )(k +1)2 k 2 + 4k + 4 = 22 (k +1)2 (k + 2)2 = 22 =  (k +1)(k + 2) 2   2   (k +1)((k +1) +1) 2 =  2  ดงั นนั้ P(k +1) เปนจริง โดยหลกั อุปนัยคณิตศาสตร จะไดว า n =  n(n +1) 2 ทกุ n ท่เี ปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ  ∑i3   2 i =1 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 71 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 1.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 1 ลําดับและอนุกรม สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ทต่ี องการวดั ผลประเมนิ ผล ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. จงหาพจนท ี่ 20 ของลําดบั เลขคณิตท่มี พี จนท ี่ 3 และพจนท ี่ 17 เปน 12 และ 40 ตามลําดับ 2. จงหาอัตราสว นรว มของลําดับเรขาคณิตทม่ี พี จนท ี่ 2 เปน 2 และพจนที่ 7 เปน − 2 3 27 3. จํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 301 กับ 450 ที่หารดวย 3 ลงตัว แตหารดวย 6 ไมลงตัว มีทั้งหมด ก่จี าํ นวน 4. จงหาวา ( )− 2−9 เปนพจนท่เี ทาใดของลําดบั เรขาคณิตทม่ี =ี a2 4=, a6 1 4 5. จงพิจารณาวา ลําดับในแตละขอ ตอไปน้ีเปนลําดบั ลูเขา หรือลาํ ดบั ลูออก ถาเปน ลําดบั ลูเ ขา จงหาลิมิต 1) an = 1− n2 2) an = n2 − n +7 2 + 3n2 2n3 + n2 3) an = 2 −  − 1 n 4) an = 1 + (−1)n  2  6. ให an เปน ลําดับเลขคณิตทม่ี ีพจนที่ 8 เปน 50 และมีผลบวกหาพจนแ รกเปน 50 จงหาผลตางรว มของลําดบั เลขคณติ นี้ 7. ให an เปนลําดบั เรขาคณติ ที่มีพจนที่ 5 เปน 2 และมอี ัตราสว นรว มเปน −1 จงหาผลบวก 2 5 พจนแรกของลําดบั เรขาคณติ นี้ 8. จงหาผลบวกของจาํ นวนนับไมเ กิน 200 ทหี่ ารดว ย 4 ลงตวั 9. ลาํ ดับเรขาคณิตหน่งึ มี S9 = 513 และ S10 =1,026 จงหาพจนท่ี 10 ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี 10. จงเขียนทศนิยมซ้ํา • ใหอยูในรูปเศษสว น โดยใชความรูเรอ่ื งอนกุ รมอนนั ต 0.24 9 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 72 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 11. จงพิจารณาวาอนุกรมในแตละขอตอไปน้ีเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรม ลเู ขา จงหาผลบวกของอนุกรม 1) 4 +  − 8  + 16 +  − 32  + + 4  − 2 n +  3  9  27  81  3  3  2) 1 + 1 + 1 +  + 1 +  3 15 35 4n2 −1 12. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรม 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) +  13. โรงละครแหงหน่ึงจัดเกาอ้ีเปนแถวสําหรับผูเขาชม โดยแถว A มี 8 ที่น่ัง และแถวตอไปจะ เพิ่มจํานวนเกาอี้จากแถวกอนหนา 3 ตัวเสมอ ถาโรงละครน้ีมีท่ีนั่งตั้งแตแถว A ถึง Z จงหา วาโรงละครแหงนีส้ ามารถจผุ ูชมไดท้งั หมดกคี่ น 14. นิวฝากเงิน 10,000 บาท กับสถาบันการเงินแหงหน่ึงท่ีใหอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมของนิวเม่ือฝากเงินครบ 2 ป โดยที่ไมมีการ ฝากและถอนเงนิ ในระหวางนี้ 15. นิดตองการฝากเงินกับสถาบันการเงินแหงหนึ่งซ่ึงกําหนดอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป โดยคิด ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน ถานิดตองการใหมีเงินในบัญชีประมาณ 10,000 บาท เมื่อ ส้นิ สุดปที่ 3 นิดควรฝากเงินกับสถาบนั การเงินแหงนอ้ี ยางนอ ยกบ่ี าท 16. กุกไกซื้อโทรศัพทมือถือราคา 12,000 บาท โดยจายเงินในวันท่ีตัดสินใจซื้อโทรศัพทมือถือ 2,000 บาท และผอนชําระสวนทเ่ี หลือเปน จํานวนเงนิ เทา กนั ทกุ เดือน เปนเวลา 6 เดอื น โดย ผอนชําระทุกส้ินเดือน ถาอัตราดอกเบ้ียผอนชําระเปน 12% ตอป โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ ตน ทกุ เดือนแลว กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระประมาณเดือนละเทาใด เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท 1. จา=ก a3 1=2, a17 40 และ an = a1 + (n −1) d จะได 12 = a1 + (3 −1)d น่นั คือ 12 = a1 + 2d ----- (1) ----- (2) และ 40 = a1 + (17 −1)d น่ันคือ 40 = a1 +16d สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 73 คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จาก (1) และ (2) จะได d = 2 และ a1 = 8 ดังนั้น a20 =8 + (20 −1)(2) =8 + (19)(2) =8 + 38 =46 นน่ั คอื พจนที่ 20 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 46 2. จาก a2 = 2, a7 = −2 และ an = a1rn−1 3 27 จะได 2 = a1r 2−1 3 นนั่ คือ 2 = a1r ----- (1) 3 ----- (2) และ −2 = a1r 7−1 27 นนั่ คอื −2 = a1r6 27 จาก (1) และ (2) จะได r =− 1 =− 3 33 ดงั นัน้ อตั ราสว นรวมของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คอื − 3 3 3. จาํ นวนเต็มบวกที่นอยที่สุดที่อยรู ะหวาง 301 กบั 450 ที่หารดว ย 3 ลงตัว คอื 303 จํานวนเต็มบวกทีม่ ากที่สดุ ท่ีอยรู ะหวาง 301 กบั 450 ท่ีหารดวย 3 ลงตัว คือ 447 จะไดวา ลําดับของจํานวนนับท่ีอยูระหวาง 301 กับ 450 ทีห่ ารดวย 3 ลงตวั คือ 303, 306, 309, …, 447 เปน ลําดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 303 ผลตางรว มเปน 3 และ พจนท่ี n เปน 447 จาก an = a1 + (n −1)d จะได 447 = 303 + (n −1)(3) 149 = 101+ (n −1) n −1 = 149 −101 n = 48 +1 n = 49 ดังนน้ั จาํ นวนเต็มบวกท่ีอยูระหวา ง 301 กบั 450 ท่หี ารดวย 3 ลงตัว มที ้งั หมด 49 จํานวน สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 74 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จาํ นวนเต็มบวกทนี่ อ ยทส่ี ดุ ที่อยรู ะหวา ง 301 กบั 450 ทีห่ ารดว ย 6 ลงตัว คอื 306 จาํ นวนเต็มบวกที่มากท่ีสดุ ท่ีอยูร ะหวาง 301 กบั 450 ทห่ี ารดวย 6 ลงตวั คือ 444 จะไดว า ลําดับของจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 301 กับ 450 ที่หารดวย 6 ลงตัว เปนลาํ ดับ เลขคณิตท่ีมีพจนแ รกเปน 306 ผลตา งรว มเปน 6 และพจนท ี่ n เปน 444 จาก an = a1 + (n −1)d จะได 444 = 306 + (n −1)(6) 74 = 51+ (n −1) n −1 = 74 − 51 n = 23 +1 n = 24 ดังนนั้ จํานวนเตม็ บวกที่อยูระหวาง 301 กบั 450 ท่ีหารดว ย 6 ลงตวั มที ง้ั หมด 24 จาํ นวน นั่นคอื จาํ นวนเต็มบวกทอี่ ยรู ะหวา ง 301 กบั 450 ท่หี ารดวย 3 ลงตวั แตหารดวย 6 ไมล งตวั มที ้งั หมด 49 − 24 =25 จาํ นวน 4. จาก an = a1r n−1 จะได 4 = a1r2−1 นั่นคือ 4 = a1r ----- (1) และ 1 = a1r 6−1 4 น่ันคอื 1 = a1r 5 ----- (2) 4 จาก (1) และ (2) จะได r = 1 หรอื r = − 1 22 กรณี r=1 จะได a1 =8 2 ให ( )− 2−9 เปน พจนท ี่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ ( )จะได  1 n −1  2  − 2−9 = 8  1 n−1 −  1   2   29  = 8  1 n−1 =  − 1  1   2   29   23  สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 75 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1  1 n−1 = −  1   2   212   1 n−1 = −  1 12  2   2  ดังนัน้ ไมมีจํานวนจรงิ ใดทีท่ ําใหสมการน้เี ปน จริง กรณี r= −1 จะได a1 = −8 2 ให ( )− 2−9 เปนพจนท่ี n ของลําดบั เรขาคณติ นี้ จะได  1 n −1  2  ( )− 2−9 = ( −8) −  1 n−1 −  1   2   29  − = −8  1 n −1  1  1   2   29  23  − =  1 n −1 1  2  212 − =  1 n −1  1 12  2   2  − = − นั่นคอื n −1 = 12 จะได n = 13 ดงั น้นั ( )− 2−9 เปนพจนท ่ี 13 ของลาํ ดับเรขาคณิตทีก่ ําหนดให 5. 1) พิจารณา  1− n2  n2  1 − 1  n2 lim   = lim  2 + 3n2  n→∞  2 + 3 n→∞ n2  n2 1 −1 n2 = lim n→∞ 2 n2 +3 = lim 1 − lim1 n2 n→∞ n→∞ lim 2 + lim 3 n2 n→∞ n→∞ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 76 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 = −1 3 ดังนน้ั ลําดบั นเ้ี ปนลาํ ดับลูเขา มีลิมิตเปน − 1 3 2) พจิ ารณา  n2 − n + 7  n3  1 − 1 + 7   n n2 n3  lim   = lim  2n3 + n2  n→∞  1  n→∞ n3  2 + n  = lim 1 − lim 1 + lim 7 n n→∞ n2 n→∞ n3 n→∞ lim 2 + lim 1 n→∞ n→∞ n =0 2 =0 ดงั นัน้ ลําดับนีเ้ ปนลําดับลูเขา มลี ิมติ เปน 0 3) พจิ ารณา lim  2 −  − 1 n  = lim 2 − lim  − 1 n   2    2  n→∞ n→∞ n→∞ = 2−0 =2 ดังนั้น ลําดับนี้เปน ลําดับลเู ขา มีลิมติ เปน 2 4) จากพจนท่ี n ของลาํ ดับ คอื an = 1+ (−1)n จะไดลําดับ an คอื 0, 2, 0, 2,  นั่นคือ เมือ่ n เปน จํานวนค่ี พจนที่ n ของลําดับ an เปน 0 และเมอ่ื n เปนจํานวนคู พจนท ี่ n ของลําดับ an เปน 2 จะไดวา เมื่อ n มากขน้ึ โดยไมมีท่ีสิน้ สุด พจนท่ี n ของลาํ ดบั นี้ จงึ ไมเ ขาใกลจาํ นวนใด จํานวนหนึ่ง ดงั นั้น ลําดบั นเี้ ปนลําดับลอู อก สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 77 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 6. จาก a8 = 50 และ an = a1 + (n −1)d ----- (1) จะได 50 = a1 + (8 −1)d นน่ั คือ 50 = a1 + 7d จาก S5 = 50 _และ S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได 50 = 5 ( 2a1 + ( 5 − 1) d ) 2 นน่ั คือ 10 = a1 + 2d ----- (2) จาก (1) และ (2) จะได d = 8 ดงั นั้น ผลตา งรวมของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คอื 8 7. จาก =และa52,r = −1 an = a1r n−1 2 จะได 2 = a1  − 1 5−1  2  2 = a1  − 1 4  2  2 = a1  1   16  นัน่ คอื a1 = 32 จาก ( )Sn จะได = a1 1 − r n 1− r 32  −  − 1 5  1  2   S5 =  1  1 −  − 2  32 1 + 1  32  = 3 2 =  32 × 33  × 2  32  3 = 22 ดงั นนั้ ผลบวก 5 พจนแรกของลําดับเรขาคณติ นี้ คอื 22 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 78 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 8. จาํ นวนนับท่ีนอ ยที่สดุ ทีไ่ มเกิน 200 ทีห่ ารดว ย 4 ลงตวั คือ 4 จํานวนนับที่มากทีส่ ุดท่ีไมเ กิน 200 ที่หารดว ย 4 ลงตวั คือ 200 จะไดวา ลาํ ดบั ของจาํ นวนนบั ทไี่ มเกิน 200 ท่หี ารดวย 4 ลงตัว คอื 4, 8, 12, …, 200 ซึง่ เปน ลําดับเลขคณติ ท่มี ี=a1 4=, d 4 และ an = 200 จาก an = a1 + (n −1)d จะได 200 = 4 + (n −1)(4) 50 = 1+ (n −1) n = 50 พจิ ารณาผลบวกของจํานวนนบั ทไ่ี มเ กนิ 200 ท่หี ารดวย 4 ลงตวั โดยพิจารณา S50 จาก Sn = n ( a1 + an ) 2 จะได S50 = 50 (4 + 200) 2 S50 = 5,100 ดงั นัน้ ผลบวกของจาํ นวนนบั ไมเ กิน 200 ท่ีหารดว ย 4 ลงตวั เทากบั 5,100 9. เนื่องจาก S9 = a1 + a2 + a3 +  + a9 และ S10 = a1 + a2 + a3 +  + a9 + a10 จะได a10 = S10 − S9 = 1,026 − 513 = 513 ดังน้ัน พจนท ี่ 10 ของลาํ ดบั เรขาคณติ น้ี คือ 513 10. จาก 0.249 = 0.24999 = 0.24 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 + = 24 + 9 + 9 + 9 +  100 1,000 10,000 100,000 จะไดวา 9 + 9 + 9 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 1, 9 และ r= 1 1,000 10,000 100,000 000 10 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 79 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดวา อนุกรมนเี้ ปนอนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม 10 9 คือ =a1 1=, 000 1 1− 1 100 1− r 10 จะไดว า 0.249 = 24 + 1 = 25 = 1 100 100 100 4 11. 1) 4 +  − 8  + 16 +  − 32  +  + 4  − 2 n +  เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี 3  9  27  81  3  3  a1 = 4 และ r= −2 3 3 เนื่องจาก r =− 2 <1 จะไดวา อนกุ รมนี้เปนอนกุ รมลูเขา 3 4 และผลบวกของอนกุ รม คือ a1 =3= 4  2  5 1− r 1 −  − 3  2) สาํ หรบั จํานวนนบั k ใด ๆ จะไดว า=4k21−1 (2k −1)1=(2k +1) 1  1 − 1 2  2k −1 2k +1  เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดดังนี้ Sn = 1  1 − 1  + 1  1 − 1  + 1  1 − 1  +  + 1  1 − 1 1  2  1 3  2  3 5  2  5 7  2  2n −1 2n +  = 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 − 1  2  3   3 5   5 7   2n −1 2n +1  = 1 1 − 1 1  2 2n +  พิจารณา lim Sn = lim  1 1 − 1 1    2 2n +   n→∞ n→∞   = 1 lim 1 − 1 1  2 2n +  n→∞ = 1  lim1 − lim  1 1   2   2n +   n→∞ n→∞ สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 80 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1  n  1      n   = 1  lim1 − lim   2  n→∞ n→∞  n  2 + 1      n      1     = 1  lim1 − lim  n  2   + 1 n→∞ n→∞  2 n     lim 1   n→∞ n  = 1  lim1 −  2  n→∞ lim  2 + 1     n   n→∞ = 1  lim1 − lim 1 1  2  n   n→∞ lim n→∞   lim   2+ n→∞ n  n→∞ = 1 1 − 2 0 0  2 +  =1 2 ดงั นน้ั อนกุ รม 1 + 1 + 1 +  + 1 − 1 +  เปนอนุกรมลเู ขา มีผลบวกของ 3 15 35 4n2 อนุกรมเทากับ 1 2 12. จาก 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) + = ∞ ∞ ( n2 − n ) ∑(n(n −1=)) ∑ =n 1=n 1 จะได ผลบวก 20 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื ∑( )20 S20 = n2 − n n=1 20 20 = ∑n2 − ∑n =n 1=n 1 20(20 +1)(2(20) +1) 20(20 +1) =− 62 = 20 × 21× 41 − 20 × 21 62 = (10 × 7 × 41) − (10 × 7 × 3) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 81 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 = (10× 7)(41− 3) = 70 × 38 = 2,660 ดงั นัน้ ผลบวก 20 พจนแ รกของอนุกรม 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) +  เทากบั 2,660 13. ลําดับของจํานวนเกา อี้แตละแถวในโรงละครจากแถว A ถงึ Z คือ 8, 11, 14, , an ซ่ึงเปน ลาํ ดบั เลขคณติ ท่ีมี=a1 8=, d 3 และ n = 26 ดังน้ัน จํานวนเกา อ้ีทั้งหมดในโรงละครแหงนี้ คือ S26 จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d ) 2 จะได S26 = 26 (2(8) + (26 −1)(3)) 2 = 13(16 + 75) = 13× 91 = 1,183 ดงั นน้ั โรงละครแหงนีส้ ามารถจุผูช มไดทงั้ หมด 1,183 คน 14. ให= P 10000=, i 2=, k 2 และ n = 2 จะได= r =2 0.02 100 จะได จํานวนเงินรวมของนิวเมื่อฝากเงินครบ 2 ป คือ 10, 000 1 + 0.02 4 หรือประมาณ 2  10,406.04 บาท ดังนั้น เงินรวมของนิวเม่ือฝากเงินครบ 2 ป โดยที่ไมมีการฝากและถอนเงินในระหวางนี้ ประมาณ 10,406.04 บาท 15. ให =S 10000=, i 2=, k 2 และ n = 3 จะได= r =2 0.02 100 จะได มูลคาปจ จุบันของเงินรวม 10,000 บาท คือ P = 10, 000 1 + 0.02 −(2)(3) ≈ 9,420.45 2  ดังนัน้ นดิ ควรนําเงนิ ไปฝากอยา งนอย 9,420.45 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 82 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 16. ให R แทนคางวดทีก่ กุ ไกต อ งผอนชําระทกุ สน้ิ เดือน และ =i 1=2 1 จะได= r =1 0.01 12 100 เนอื่ งจากกกุ ไกจายเงินในวนั ท่ตี ัดสินใจซ้ือโทรศพั ทม ือถือ 2,000 บาท ทําใหเหลอื เงินท่ตี องชําระ อีก 12,000 – 2,000 = 10,000 บาท โดยกุกไกจ ะตอ งผอ นชําระทกุ สน้ิ เดือนเปน เวลา 6 เดือน เขยี นแผนภาพแสดงมลู คาปจ จุบนั ของเงนิ ผอ นแตล ะงวดไดด ังนี้ จากแผนภาพ จะได มูลคาปจจุบนั ของเงนิ ผอนงวดที่ 1, 2, 3, …, 6 คอื R (1.01)−1 , R (1.01)−2 , R (1.01)−3 , ..., R (1.01)−6 ตามลําดับ นน่ั คือ ผลรวมของมลู คาปจจุบันของเงินผอนทั้ง 6 งวด คือ R (1.01)−1 + R (1.01)−2 + R (1.01)−3 +  + R (1.01)−6 ซึง่ เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี 6 พจน โดยพจนแรก คือ R(1.01)−1 และอตั ราสว นรวม คอื (1.01)−1 ดังนัน้ ผลรวมของมูลคาปจจบุ ันของเงนิ ผอ นท้ัง 6 งวด คอื ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−6 1 − (1.01)−1 สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 83 คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จาก กุกไกเหลือเงินท่ตี อ งชาํ ระอีก 10,000 บาท จะไดวา 10,000 = ( )R(1.01)−1 1− (1.01)−6 1 − (1.01)−1 ( )10,000 1− (1.01)−1 ( )R = (1.01)−1 1 − (1.01)−6 R ≈ 1,725.48 ดังนนั้ กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระเดอื นละประมาณ 1,725.48 บาท สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน 84 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 บทท่ี 2 แคลคูลสั เบ้ืองตน แคลคูลสั เปนสาระการเรียนรูทสี่ ามารถบูรณาการรวมกับศาสตรอื่น ๆ อยางแพรหลาย เชน ฟสิกส แพทยศาสตร ภูมิศาสตร เพื่อศึกษาและสรา งแบบจําลองคณิตศาสตรท ี่เก่ยี วกบั การเปล่ียนแปลงท่ี พบในชีวิตจริง เชน การเปล่ียนแปลงความเร็วในการเคล่ือนที่ของวัตถุ การศึกษาการแพรกระจาย ของโรคติดเช้ือ การสรางแบบจําลองคณิตศาสตรเพื่อทํานายการไหลของมวลนํ้าเม่ือเกิดอุทกภัย ซึ่งในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 บทที่ 2 แคลคูลัส เบ้ืองตน ไดนําเสนอเนื้อหา เร่ือง ลิมิตของฟงกชันและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟงกชัน ความ ตอ เนื่องของฟงกชนั และความตอเนือ่ งบนชวง อนุพนั ธของฟงกชนั การหาอนุพันธของฟงกชันโดย ใชสูตร อนุพันธของฟงกชันประกอบ เสนสัมผัสเสนโคง อนุพันธอันดับสูง การประยุกตของ อนุพนั ธ ปฏิยานุพันธแ ละปรพิ ันธไมจ าํ กัดเขต ปริพนั ธจ ํากดั เขต และพนื้ ท่ีท่ีปด ลอมดวยเสน โคง ในบทเรียนน้ีมุงเนนใหนักเรียนบรรลุผลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพิ่มเติม และบรรลุ จุดมงุ หมายดังตอไปน้ี ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรียนรูเพิม่ เติม ผลการเรียนรู สาระการเรยี นรเู พ่ิมเตมิ • ตรวจสอบความตอเนื่องของฟงกช นั • ลิมติ และความตอเนื่องของฟงกชัน • อนุพนั ธของฟงกชันพชี คณติ ทก่ี ําหนดให • ปริพนั ธข องฟงกช นั พีชคณิต • หาอนุพันธข องฟงกช ันพีชคณิต ทีก่ ําหนดให และนาํ ไปใชแ กป ญหา • หาปริพันธไมจาํ กัดเขตและจํากัดเขต ของฟง กช นั พีชคณิตทก่ี าํ หนดให และ นําไปใชแ กปญหา สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 85 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 จุดมงุ หมาย 1. หาลิมติ ของฟง กช ันที่กําหนดให 2. ตรวจสอบความตอ เนอ่ื งของฟงกช ันที่กาํ หนดให 3. หาความชนั ของเสน โคง 4. หาอนุพนั ธของฟง กชันที่กําหนดใหแ ละนําไปใชแ กปญหา 5. หาปรพิ ันธไมจาํ กดั เขตและจํากัดเขตของฟง กช นั ทีก่ ําหนดให และนําไปใชแ กปญ หา ความรูกอนหนา ipst.me/10551 • จํานวนจรงิ • ความสมั พันธและฟงกชัน • เรขาคณิตวิเคราะห สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 86 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 2.1 เนือ้ หาสาระ 1. สาํ หรบั ฟงกชนั f ใด ๆ ท่มี โี ดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง ถา คาของ f (x) เขาใกลจํานวนจริง L เม่ือ x เขาใกล a ท้ังทางดานซายและขวาของ a แลว จะเรยี ก L วา ลิมติ ของ f ท่ี a ซ่งึ เขยี นแทนดวยสัญลักษณ lim f (x) = L และกลาว x→a วา lim f ( x) มคี า เทากับ L x→a แตถ าไมมีจํานวนจริง L ซง่ึ f (x) เขา ใกล L เมอ่ื x เขา ใกล a แลว จะกลาววา f ไมมี ลิมิตที่ a หรือกลา ววา lim f (x) ไมม คี า x→a อาจแทนสัญลักษณ lim f ( x) = L ดว ย f ( x) → L เม่ือ x → a x→a 2. สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ถา f (x) เขาใกล L เมื่อ x เขาใกล a แลว L อาจไมเทากับ f (a) ก็ได 3. ในการหาลิมิตของฟงกชัน y = f (x) เม่ือ x เขาใกล a นั้น จะพิจารณาคาของ f (x) วาเขาใกลจํานวนจริงใดในขณะที่ x เขาใกล a แต x ≠ a นั่นหมายความวา จะไม พิจารณาคาของ f (x) ท่ี x = a ดังนั้น ฟงกชัน f อาจจะนิยามหรือไมนิยามที่ a ก็ได แตฟง กชนั f จะตอ งนยิ ามทแี่ ตล ะจดุ ทใี่ กล a 4. สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L 1 เม่ือ x เขาใกล a ทางดานซายแลว จะเรียก L 1 วา ลมิ ติ ซา ยของ f (x) เมือ่ x เขาใกล a ทางดานซาย เขียนแทนดวย lim f (x) = L1 x→a− ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L 2 เม่ือ x เขาใกล a ทางดานขวาแลว จะเรียก L 2 วา ลมิ ิตขวาของ f (x) เมอื่ x เขาใกล a ทางดา นขวา เขยี นแทนดว ย lim f (x) = L2 x→a+ สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 87 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 รปู ที่ 1 รูปท่ี 2 จากรปู ที่ 1 และ 2 จะเหน็ วา lim f (x) = L1 และ lim f (x) = L2 x→a− x→a+ ถา L1= L2 แลว lim f (x) มีคา และ lim f ( x=) L=1 L2 x→a x→a แตถา L1≠ L2 แลว lim f (x) ไมมีคา x→a 5. ทฤษฎบี ท 1 ให a เปน จาํ นวนจรงิ จะไดวา 1) lim c = c เม่ือ c เปนคาคงตัวใด ๆ x→a 2) lim xn = an เมื่อ n ∈  x→a 6. ทฤษฎีบท 2 กาํ หนดให a, L และ M เปนจํานวนจริงใด ๆ ถา f และ g เปน ฟง กชนั ท่มี โี ดเมนและเรนจ เปนสบั เซตของเซตของจํานวนจริง โดยที่ lim f ( x) = L และ lim g (x) = M แลว x→a x→a 1) l=im cf ( x) c=lim f ( x) cL เมือ่ c เปนคา คงตวั ใด ๆ x→a x→a 2) lim ( f ( x) + g ( x)) =lim f ( x) + lim g ( x) =L + M x→a x→a x→a 3) lim ( f ( x) − g ( x)) =lim f ( x) − lim g ( x) =L − M x→a x→a x→a 4) lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =lim f ( x) ⋅ lim g ( x) =L ⋅ M x→a x→a x→a สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 88 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 5)  f (x) lim f ( x) L เมอ่ื M ≠ 0 lxi→ma= g ( x)  xl=i→ma g ( x) M x→a n =lim f ( x) ( )6) Ln เมือ่ n ∈  li=m ( f ( x))n x→a x→a 7) li=m n f ( x) n=lim f ( x) n L เม่ือ n ∈  −{1}, n f ( x) ∈  สําหรับ x ท่ีเขา x→a x→a ใกล a และ n L ∈ 7. ทฤษฎบี ท 3 ให p เปน ฟงกชนั พหุนาม และ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ จะไดว า lim p(x) = p(a) x→a 8. ทฤษฎีบท 4 ให f เปนฟงกชันที่ f ( x) = p(x) เม่ือ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม จะไดวา q(x) lim f (x) = p(a) สําหรบั จาํ นวนจรงิ a ใด ๆ ท่ี q(a) ≠ 0 q(a) x→a 9. ในกรณที ่ี lim f ( x) และ lim f ( x) มีคา x→a− x→a+ จะไดว า lim f ( x) = L กต็ อเมื่อ lim f ( x)= L= lim f ( x) x→a x→a− x→a+ 10. บทนิยาม 1 ให f เปนฟงกชันซ่ึงนิยามบนชวงเปด (a, b) และ c∈(a, b) จะกลาววา f เปน ฟง กช นั ตอ เนอื่ ง ท่ี x = c กต็ อเมอ่ื lim f (x) = f (c) x→c 11. ถา f เปน ฟง กชนั ตอเน่อื งท่ี x = c ตอ งมีสมบัตคิ รบทั้งสามขอดังตอไปน้ี 1) f (c) หาคาได (นนั่ คอื c อยใู นโดเมนของ f ) 2) lim f ( x) มีคา x→c 3) lim f ( x) = f (c) x→c สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี