(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4

บทที่ 3 | หลักการนับเบื้องตน 89 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 3.5 การวเิ คราะหแ บบฝก หัดทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 มีจุดมุงหมายวาเมื่อนักเรียนได เรยี นจบบทท่ี 3 หลกั การนับเบื้องตน แลวนักเรยี นสามารถ 1. ใชหลกั การนบั เบ้ืองตน ในการแกป ญ หา 2. ใชวิธีเรยี งสับเปลยี่ นเชิงเสน กรณที ่ีสิ่งของแตกตา งกนั ท้งั หมดในการแกปญ หา 3. ใชว ิธจี ดั หมกู รณที ่ีสิง่ ของแตกตางกันท้งั หมดในการแกป ญหา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทาย บทที่ประกอบดวยโจทยเพื่อตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความ เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทย ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ของบทเพ่อื ตรวจสอบวานกั เรยี นมคี วามสามารถตามจดุ มุงหมายเมื่อเรียนจบบทเรียนหรือไม ทงั้ นี้ แบบฝก หัดทา ยบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 บทท่ี 3 หลักการนับเบือ้ งตน สอดคลองกบั จดุ มุงหมายของบทเรยี น ดังนี้ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบอื้ งตน 90 คูมอื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 จุดมุงหมาย ขอ ขอ ใชห ลกั การนบั เบอื้ งตน ใชว ธิ ีเรยี งสบั เปลี่ยน ใชวิธจี ัดหมูกรณีท่ี ยอย เชงิ เสน กรณที ่ีสิง่ ของ สงิ่ ของแตกตา งกัน ในการแกป ญหา แตกตา งกันทั้งหมด ทง้ั หมด ในการแกปญหา ในการแกปญหา 1.    2.   3.  4.   5. 1)   2)  6.  7.  8.  9. 1)   2)  10. 11.  12. 13. สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนับเบ้อื งตน 91 คูมอื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 จุดมงุ หมาย ขอ ขอ ใชห ลกั การนับเบอื้ งตน ใชว ิธเี รยี งสับเปลย่ี น ใชวิธจี ดั หมูกรณีที่ ยอย เชิงเสน กรณที สี่ ิง่ ของ สง่ิ ของแตกตา งกัน ในการแกปญ หา แตกตา งกนั ทัง้ หมด ทง้ั หมด ในการแกป ญหา ในการแกปญ หา 14.    15. 1)    2)   16.  17. สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้ืองตน 92 คมู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 3.6 ความรเู พมิ่ เติมสาํ หรบั ครู • P ใน Pn, r มาจากคําวา Permutation ในภาษาอังกฤษ ซ่ึงมีความหมายวา “การเรียง สบั เปลย่ี น” ในบางตาํ ราจะใชสัญลักษณ Prn, n Pr , nPr หรอื P(n, r) • C ใน Cn, r มาจากคําวา Combination ในภาษาอังกฤษ ซ่ึงมีความหมายวา “การจัดหมู” ซงึ่ ในบางตําราจะใชส ัญลักษณเ ปน Crn, nCr , nCr หรือ C (n, r) 3.7 ตวั อยางแบบทดสอบประจําบทและเฉลยตวั อยางแบบทดสอบประจําบท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 3 หลักการนับเบ้ืองตน สําหรับรายวิชา พื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ที่ตองการวดั ผลประเมินผล ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ในการเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B สามารถไปทางถนนสายตรงได 2 เสนทาง และ สามารถไปทางถนนที่ผานเมือง C ได โดยมีถนนจากเมือง A ไปเมือง C จํานวน 2 เสนทาง และมีถนนจากเมือง C ไปเมือง B จํานวน 3 เสนทาง จะมีวิธีเดินทางจากเมือง A ไป เมอื ง B ไดท งั้ หมดกี่วธิ ี 2. ตึกเรียนหน่ึงมีประตู 3 ประตู ครูเลือกเดินเขาตึกเรียนดวยประตูหน่ึง ตอมานักเรียนสอง คนตองการเดินเขาตึกเรียนโดยใชประตูที่ตางจากครู จะมีวิธีเขาตึกเรียนสําหรับครูและ นกั เรียนไดทง้ั หมดก่ีวิธี สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 93 คูม ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 3. นิภาตองการต้ังรหัสผานสําหรับบัตรเอทีเอ็ม เปนรหัส 4 หลัก ที่ประกอบดวยตัวอักษร ภาษาอังกฤษตัวพิมพเล็กหน่ึงหลัก และอีกสามหลักท่ีเหลือประกอบดวยเลขโดดต้ังแต 0 ถึง 9 นิภาจะตงั้ รหัสทแี่ ตกตางกนั ไดทัง้ หมดก่ีรหสั 4. วิภูตองการต้ังรหัสกระเปาซ่ึงประกอบดวยเลขโดดต้ังแต 0 ถึง 9 จํานวน 3 ตัว จะมีรหัส ทั้งหมดก่ีรหัสที่เลขโดดในหลักสุดทายเปนจํานวนคู และเลขโดดในตําแหนงที่อยูติดกัน ตา งกนั 5. พรรณภามีแหวน 4 วง สรอยคอ 3 เสน พรรณภาตองการเลือกใสเครื่องประดับโดยใส แหวนไมเ กนิ 1 วง และใสสรอยคอไมเกนิ 1 เสน พรรณภาจะเลอื กใสเครื่องประดับไดก่วี ิธี 6. จงหาวาจะมีวธิ แี จกของขวญั ท่ีแตกตางกนั 7 ชน้ิ ใหเด็ก 7 คน คนละ 1 ชน้ิ ไดก ่วี ธิ ี 7. จงหาวาจะมีวิธีแจกของขวัญท่ีแตกตางกัน 7 ชิ้น ใหเด็ก 8 คน โดยเด็กแตละคนได ของขวญั ไมเกิน 1 ชน้ิ ไดก ี่วธิ ี 8. มจี ุด 10 จุดอยูบนระนาบ โดยไมมีสามจุดใดอยูบนเสนตรงเดียวกัน จะวาดรูปสามเหล่ียม ท่มี จี ดุ เหลา นี้เปนจดุ ยอดไดท้งั หมดกี่รูป 9. เซต A มสี มาชิก 7 ตัว จะมีสบั เซตท่มี สี มาชิก 4 ตัว ไดท้ังหมดกี่สบั เซต 10. จงหาวาจะมีวิธีแบงคน 9 คน ใหไปเที่ยวภูเขา 3 คน ไปเท่ียวทะเล 3 คน และไปทําบุญ ทวี่ ดั 3 คน ไดก ี่วิธี 11. ตอ งการสรา งรหสั ท่ปี ระกอบดวยเลขโดดตั้งแต 1 ถึง 9 จํานวนหาหลัก จะมีรหัสท่ีมีสามหลัก เปนเลขโดดตัวเดียวกัน และอีกสองหลักที่เหลือเปนเลขโดดตัวเดียวกัน (เชน 25252) ไดทั้งหมดกีร่ หสั สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบื้องตน 94 คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 ตัวอยา งแบบทดสอบประจําบท 1. พจิ ารณาการเดนิ ทางจากเมือง A ไปเมือง B ไดดงั น้ี กรณที ี่ 1 เดนิ ทางโดยถนนสายตรง มีเสน ทาง 2 เสนทาง กรณีท่ี 2 เดินทางโดยผา นเมอื ง C ขนั้ ตอนที่ 1 เดินทางจากเมอื ง A ไปเมือง C มเี สนทาง 2 เสน ทาง ข้นั ตอนท่ี 2 เดนิ ทางจากเมือง C ไปเมือง B มีเสนทาง 3 เสน ทาง จากหลักการคูณ จึงไดวา จะเดินทางจากเมือง A ไปเมือง B โดยผาน เมอื ง C ทําได 2×3 =6 วธิ ี จากหลกั การบวก จึงไดว า จะมวี ธิ เี ดินทางจากเมือง A ไปเมอื ง B ไดทง้ั หมด 2 + 6 =8 วธิ ี 2. การเขาตกึ เรยี นสาํ หรบั ครแู ละนกั เรยี น ประกอบดว ย 2 ขนั้ ตอน ดงั นี้ ข้นั ตอนท่ี 1 ครเู ลอื กเดนิ เขา ตึกเรียนดว ยประตูหนงึ่ จากประตูทั้งหมด 3 ประตู ทาํ ได 3 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 นกั เรยี นสองคนเลือกเดนิ เขาตกึ เรยี นโดยใชประตูทีต่ า งจากครู ทาํ ได 2× 2 =4 วธิ ี จากหลักการคูณ จึงไดวา จะมีวิธเี ขา ตึกเรยี นสําหรับครูและนักเรียนไดท ั้งหมด 3× 4 =12 วธิ ี 3. รหสั ผา นของนิภา ประกอบดวย 2 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาองั กฤษ 1 ตวั ประกอบดวย 2 ข้ันตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 เลือกหลักท่ีจะเปน ตัวอกั ษรภาษาอังกฤษ ได 4 วธิ ี ข้นั ตอนท่ี 2 เลือกตัวอกั ษรภาษาอังกฤษเพ่ือเปนรหสั ในหลักนี้ ได 26 วิธี จากหลกั การคูณ จึงไดว า จะมีวธิ ตี ัง้ รหัสดว ยตวั อกั ษรภาษาองั กฤษ เทากับ 4× 26 =104 วิธี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 95 คูมอื ครูรายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 สว นที่ 2 รหัสอกี สามหลกั ทีเ่ หลือเปน เลขโดดตั้งแต 0 ถึง 9 ทาํ ได 10×10×10 =1,000 วิธี จากหลักการคูณ จงึ ไดว า นิภาจะต้งั รหัสทแ่ี ตกตางกนั ไดทั้งหมด 104×1000 =104,000 รหัส 4. รหัสกระเปาของวภิ ปู ระกอบดว ยเลขโดดตงั้ แต 0 ถงึ 9 จาํ นวน 3 ตวั ซ่ึงมีขัน้ ตอนการตัง้ รหสั กระเปา ดงั นี้ หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลักที่ 3 ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปนหลักที่ 3 จากเลขโดด 0, 2, 4, 6, 8 ได 5 วิธี ข้ันตอนที่ 2 เลอื กเลขโดด 1 ตวั เปน หลกั ท่ี 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, …, 9 ทีไ่ มซ ้ํากบั หลักสุดทา ย ได 9 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 3 เลือกเลขโดด 1 ตัว เปน หลกั ท่ี 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, …, 9 ท่ไี มซ ํา้ กับหลักที่ 2 ได 9 วธิ ี จากหลักการคณู จึงไดว า จะมีรหัสท้ังหมด 5×9×9=405 รหัส 5. วิธที ่ี 1 การเลอื กใสเครอ่ื งประดับของพรรณภามไี ด 3 กรณี กรณที ี่ 1 เลือกใสแ หวน 1 วง ทําได 4 วธิ ี กรณที ่ี 2 เลือกใสส รอยคอ 1 เสน ทาํ ได 3 วธิ ี กรณีที่ 3 เลอื กใสท้งั แหวนและสรอยคอ ทําได 4×3 =12 วธิ ี จากหลักการบวก จึงไดว า พรรณภาจะเลือกใสเ คร่ืองประดับได 4 + 3 +12 =19 วิธี วธิ ีท่ี 2 การเลอื กใสเคร่อื งประดบั ของพรรณภามี 2 ขั้นตอน ขั้นตอนที่ 1 พรรณภาเลือกใสแหวน 1 วง จากแหวนที่มีอยู 4 วง หรือเลือก ไมใ สแ หวน น่ันคือ พรรณภาเลอื กใสแหวนไดท ้ังหมด 5 วธิ ี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 96 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 ขนั้ ตอนท่ี 2 พรรณภาเลือกใสสรอย 1 เสน จากสรอยท่ีมีอยู 3 วง หรือเลือก ไมใสสรอย นน่ั คอื พรรณภาเลือกใสส รอยไดทั้งหมด 4 วิธี จากหลักการคูณ จึงไดว า พรรณภาจะเลือกใสเ ครื่องประดบั ได 5× 4 =20 วธิ ี แตเ นือ่ งจากพรรณภาจะตอ งเลือกใสเ คร่ืองประดบั อยางใดอยา งหนง่ึ นั่นคอื จะไมเกิดกรณที ีพ่ รรณภาไมใ สท ้ังแหวนและสรอย ดงั น้ัน พรรณภาจะเลือกใสเคร่ืองประดบั ได 20 −1=19 วธิ ี 6. จํานวนวิธีแจกของขวญั ที่แตกตา งกัน 7 ช้นิ ใหเด็ก 7 คน คนละ 1 ชนิ้ เทากับ P77 = 5,040 วธิ ี 7. จํานวนวิธีแจกของขวัญท่ีแตกตางกัน 7 ชิ้น ใหเด็ก 8 คน โดยเด็กแตละคนไดของขวัญ ไมเ กนิ 1 ชน้ิ เทา กบั P8,7 = 40,320 วธิ ี 8. เนือ่ งจากมจี ดุ 10 จดุ อยูบนระนาบ โดยไมม สี ามจุดใดอยบู นเสน ตรงเดียวกนั ดงั นัน้ เม่ือลากสว นของเสน ตรงเชื่อมจดุ 3 จดุ จะไดร ปู สามเหลีย่ ม จะไดวา จํานวนรูปสามเหลี่ยมทม่ี ีจุดยอดอยูท่ีจดุ ท่ีกาํ หนดใหม ี C10,3 =120 รูป 9. เซต A ซึ่งมีสมาชกิ 7 ตวั จะมสี ับเซตทมี่ สี มาชิก 4 ตวั ไดท้ังหมด C7,4 = 35 สบั เซต 10. การแบง คน 9 คน ใหไ ปเที่ยวภเู ขา ไปเทย่ี วทะเล และไปทาํ บุญที่วดั ทาํ ไดด ังนี้ ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกคน 3 คน ไปเท่ยี วภูเขา จากคนท้งั หมด 9 คน ทําได C9 , 3 = 9! วธิ ี 6!3! ข้นั ตอนที่ 2 เลอื กคน 3 คน ไปเทย่ี วทะเล จากคน 6 คน ทีเ่ หลือจากขั้นตอนท่ี 1 ทําได C6 , 3 = 6! วิธี 3!3! สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบอื้ งตน 97 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 ขน้ั ตอนท่ี 3 เลือกคน 3 คน ไปทาํ บญุ ท่ีวดั จากคน 3 คน ทีเ่ หลอื จากขน้ั ตอนท่ี 2 ทาํ ได 1 วธิ ี จากหลกั การคูณ จะไดว า จํานวนวธิ แี บง คน 9 คน ใหไปเทย่ี วภูเขา 3 คน ไปเท่ยี วทะเล 3 คน และไปทาํ บญุ ท่วี ัด 3 คน เทา กบั 9! × 6! ×1 =1,680 วิธี 6!3! 3!3! 11. การสรางรหสั ที่ตอ งการประกอบดวยขน้ั ตอน ดงั น้ี หลกั ที่ 1 หลกั ที่ 2 หลกั ท่ี 3 หลกั ที่ 4 หลกั ท่ี 5 ขนั้ ตอนที่ 1 เลือกหลกั 3 หลกั ท่ีจะมรี หัสเปนเลขโดดตวั เดียวกัน ทาํ ได C5,3 =10 วิธี ข้นั ตอนที่ 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 1, 2, … , 9 เพื่อเปน รหัสในหลกั ทเี่ ลอื ก ในขั้นตอนท่ี 1 ทาํ ได 9 วิธี ขั้นตอนที่ 3 เลือกเลขโดด 1 ตวั จากเลขโดด 1, 2, … , 9 ท่ไี มซํ้ากับขั้นตอนท่ี 2 เพอ่ื เปน รหสั ในสองหลักที่เหลอื ทําได 8 วธิ ี จากหลักการคูณ จะไดวา มีรหัสที่ประกอบดวยเลขโดดตั้งแต 1 ถึง 9 จํานวน 5 หลัก โดยมีสามหลักเปนเลขโดดตัวเดียวกัน และอีกสองหลักท่ีเหลือเปนเลขโดดตัวเดียวกัน ท้ังหมด 10× 9×8 =720 รหสั 3.8 เฉลยแบบฝกหัด คมู ือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน คือ สวนที่ 1 เฉลยคําตอบ และสวนที่ 2 เฉลยคําตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลย สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลกั การนบั เบอ้ื งตน 98 คมู ือครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 แบบฝกหัดที่อยูในสวนน้ีเปนการเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ ตามครสู ามารถศกึ ษาวธิ ที ําโดยละเอียดของแบบฝกหดั ไดในสว นทา ยของคมู ือครเู ลมนี้ แบบฝก หัด 3.1 2) 30 วิธี 1. 25 วิธี 2) 810 จํานวน 2. 13 รูป 2) 360 วธิ ี 3. 90 วธิ ี 4. 1,738,283,976 ตวั 2) 90 5. 1) 6 วธิ ี 4) 1 3) 30 วธิ ี 6. 1) 900 จาํ นวน 3) 90 จาํ นวน 7. 676 คาํ 8. 1) 1,296 วธิ ี แบบฝกหดั 3.2 1. 362,880 วธิ ี 2. 1) 1,680 จ 3) 120 จ 3. 24 จํานวน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 3 | หลักการนบั เบ้อื งตน 99 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 4. 15,120 วิธี 5. 120 วธิ ี แบบฝกหดั 3.3 1. 56 วธิ ี 2. 15 วธิ ี 3. 21,162,960 วิธี 4. 1) 1,001 วิธี จ 2) 70 วธิ ี 3) 210 วธิ ี จ 5. 45 วธิ ี 6. 1) 676 วิธี จ 2) 12 วธิ ี 3) 0 วิธี นั่นคือ ไมสามารถหยิบไพ 2 โพดํา ท้ังสองใบจากไพหนึ่งสํารับ โดยหยิบไพ ทีละใบและไมใสคนื กอนหยบิ ใบท่ีสองได แบบฝกหดั ทา ยบท 2) 18,720 รหัส 1. 22 รปู สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี 2. 6 วิธี 3. 15,600 ท่ีน่งั 4. 10,156,250 วธิ ี 5. 1) 25,974 รหัส จ 6. 109,879,011 หมายเลข

บทที่ 3 | หลกั การนบั เบือ้ งตน 2) 30 วิธี จ 100 คมู อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 2) 21 วิธี จ 7. 60 จาํ นวน 8. 1,024 วธิ ี 9. 1) 6 วิธี จ 10. 360 วิธี 11. 5,527,200 วธิ ี จ 12. 45 เสน 13. 300 ภาพ 14. 2,400 วธิ ี 15. 1) 45 วธิ ี จ 16. 399,000 วิธี 17. 34 วธิ ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 101 คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 บทที่ 4 ความนาจะเปน การศึกษาเรื่องความนาจะเปนมีความสําคัญ เนื่องจากความนาจะเปนจะชวยใหนักเรียนรูจัก การแกปญหาท่ีเกี่ยวของกับการคาดการณบางอยาง ดังนั้นการศึกษาเร่ืองน้ีจะเปนเคร่ืองมือ ท่ีจะชวยใหนักเรียนนําความรูที่ไดไปชวยในการวางแผนและการตัดสินใจไดอยางมีหลักการ มากขึ้น เนื้อหาเรื่องความนาจะเปนที่นําเสนอในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 น้ีมีตัวอยางที่เพียงพอสําหรับเปนพ้ืนฐานในการเรียนรูเกี่ยวกับ ความนาจะเปน ท้งั ท่ีเปน ตวั อยางทสี่ ามารถพบเห็นไดในชีวิตประจําวัน และตัวอยางที่เก่ียวของ กบั ปญ หาทางคณิตศาสตร โดยบทเรียนนีม้ ุงใหนกั เรียนบรรลุตวั ชีว้ ัดและจดุ มงุ หมายดงั ตอ ไปน้ี ตวั ชี้วดั หาความนา จะเปนและนําความรเู ก่ยี วกบั ความนา จะเปนไปใช จดุ มุง หมาย 1. หาปรภิ มู ติ วั อยางและเหตกุ ารณ 2. ใชค วามรเู กี่ยวกับความนาจะเปน ในการแกปญหา สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 102 คมู อื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 ความรกู อ นหนา • ความรูเกย่ี วกบั จาํ นวนในระดับมัธยมศึกษาตอนตน • เซต • หลกั การนบั เบอ้ื งตน 4.1 เนื้อหาสาระ 1. การทดลองสมุ คือ การทดลองซึง่ ทราบวาผลลัพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถ บอกไดอยางแนนอนวาในแตละคร้ังท่ีทดลอง ผลท่ีเกิดข้ึนจะเปนอะไรในบรรดาผลลัพธ ที่อาจเปน ไดเ หลา น้ัน 2. ปริภูมิตัวอยาง หรือ แซมเปลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเปนผลลัพธท่ีอาจจะเปนไปได ทั้งหมดของการทดลองสมุ 3. เหตุการณ คอื สับเซตของปริภูมติ วั อยา ง 4. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสุมซึ่งเปน เซตจํากัด โดยสมาชิกทกุ ตวั ของ S มโี อกาสเกิดขึน้ ไดเทากัน และให E เปนสบั เซตของ S ความนาจะเปน ของเหตกุ ารณ E เขียนแทนดว ย P(E) โดยท่ี P(E) = n(E) n(S) เม่ือ n(E) แทนจาํ นวนสมาชกิ ของเหตุการณ E n(S ) แทนจํานวนสมาชิกของปริภูมติ ัวอยา ง S สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 103 คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 4.2 ขอเสนอแนะเกีย่ วกับการสอน ครูอาจนาํ เขา สูบ ทเรยี นเรือ่ งความนาจะเปน โดยใชก จิ กรรมเก่ียวกับ Galton board ดังนี้ กิจกรรม : Galton board ขน้ั ตอนการปฏิบัติ 1. ครแู นะนํา Galton board ใหน กั เรยี นรูจัก ซึง่ เปน กระดานทม่ี ลี กั ษณะดังรูป 2. ครูใหนักเรียนอภิปรายและคาดการณวา หากเทลูกแกวจํานวน 100 ลูก ลงไปในชอง ดานบนของ Galton board ลูกแกวจะตกลงไปในชองใดมากที่สุด พรอมใหเหตุผล ประกอบการคาดการณ 3. ครูอาจใหนักเรียนหาความรูเพิ่มเติม เชน คนหาวีดิทัศนเก่ียวกับการทดลองเทลูกแกว ลงใน Galton board โดยใชคาํ คน หาวา Galton board จากนั้นครูและนักเรียนรวมกัน สรปุ ผลการทดลอง 4. ครูสรุปวา ผลการทดลองดงั กลา วสามารถอธิบายไดโ ดยใชความรเู กี่ยวกบั ความนา จะเปน ท่ีจะไดเรียนในบทน้ี สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน 104 คูม ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 หมายเหตุ • ครแู ละนักเรยี นอาจประดิษฐ Galton board โดยใชอปุ กรณอยางงา ย เชน ไม หลอด โฟม หมุด และลูกปดทรงกลม ในลกั ษณะดงั รปู • นักเรียนอาจยังไมสามารถตอบหรือคาดการณไดถูกตอง แตครูควรสงเสริมใหนักเรียน ใหเ หตผุ ลประกอบคาํ ตอบ โดยแนวคําตอบของนักเรยี น อาจเปน ดงั น้ี o ลูกแกว จะตกลงไปในชองกลางมากทีส่ ดุ เพราะเปนชองทีต่ รงกับตาํ แหนงที่ปลอยลูกแกว o ลูกแกวจะตกลงไปแตละชองเทา ๆ กัน เพราะแตละชองกวางเทากันและลูกแกว แตละลูกมขี นาดเทา กนั o ไมสามารถระบุไดวาลูกแกวจะตกลงไปในชองใดมากที่สุด เน่ืองจากเมื่อลูกแกว กระทบกบั หมุด ลกู แกว อาจตกลงไปทางซายหรือขวากไ็ ด ซึ่งไมส ามารถคาดเดาได การทดลองสมุ และเหตกุ ารณ ประเดน็ สาํ คญั เกี่ยวกับเน้ือหาและส่ิงทีค่ วรตระหนกั เกีย่ วกับการสอน • ตัวอยางเกี่ยวกับการทดลองสุมที่นําเสนอในหนังสือเรียนเปนตัวอยางที่เพียงพอ สาํ หรับเปน พ้ืนฐานในการเรยี นเก่ยี วกับปรภิ มู ิตัวอยาง เหตุการณ และความนา จะเปน สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 105 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 • ในการสอนเร่ืองการทดลองสุมในระดับน้ี ไมไดเนนใหนักเรียนจําแนกสถานการณ ท่ีกําหนดใหวาเปนการทดลองสุมหรือไม แตตองการใหนักเรียนเขาใจความหมาย ของการทดลองสุม ความนาจะเปน ครอู าจนําเขา สบู ทเรียน เรือ่ ง ความนาจะเปน โดยใหนกั เรยี นทาํ กิจกรรม The Last Banana กจิ กรรม : The Last Banana ขน้ั ตอนการปฏิบตั ิ 1. ครูแบงกลุมนกั เรียน 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ จากนั้นครูใหนักเรียนศึกษาสถานการณ ปญหา The Last Banana ซ่ึงในสถานการณปญหาน้ีผูเลน 2 คน จะทอดลูกเตา 2 ลูก ผูเลนคนที่ 1 จะเปนผูชนะ ถาจํานวนที่มากท่ีสุดที่ไดจากการทอดลูกเตาแตละคร้ังเปน 1, 2, 3 หรือ 4 แตผูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะ ถาจํานวนที่มากท่ีสุดท่ีไดจากการทอดลูกเตา แตละครั้งเปน 5 หรือ 6 ครูอาจใหนักเรียนหาแหลงความรูเพิ่มเติม เชน คนหาวีดิทัศน เกีย่ วกับสถานการณป ญหา The Last Banana โดยใชคาํ คน หาวา The Last Banana 2. ครูใหนักเรียนแตละกลุมพิจารณาวาผูเลนคนใดในสถานการณปญหา The Last Banana จะมโี อกาสเปน ผชู นะ พรอมใหเหตุผลประกอบ 3. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายสถานการณปญหา The Last Banana โดยเชื่อมโยงกับ ความรู เรอ่ื ง ปรภิ ูมติ ัวอยางและเหตุการณ พรอมท้ังหาจํานวนสมาชิกของปริภูมิตัวอยาง เหตกุ ารณทผี่ เู ลน คนที่ 1 จะเปนผชู นะ และเหตกุ ารณท่ผี ูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะ สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 106 คูม ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 4. ครใู หนักเรียนหา o อัตราสว นระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่ผูเลนคนท่ี 1 จะเปนผูชนะตอจํานวน สมาชิกของปริภมู ิตวั อยา ง o อตั ราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่ผูเลนคนท่ี 2 จะเปนผูชนะตอจํานวน สมาชกิ ของปรภิ ูมติ ัวอยาง 5. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเก่ียวกับคําตอบที่ไดในขอ 4 โดยเช่ือมโยงกับบทนิยาม เกยี่ วกบั ความนา จะเปน หมายเหตุ • ในการอภิปรายคําตอบครูอาจเปดคลิปวีดิทัศนเพ่ือประกอบการอธิบาย หรือเขียนแผนภาพ แสดงผลลัพธท่ีเปนไปไดท้ังหมดของการทดลองสุมของการทอดลูกเตาที่เที่ยงตรงสองลูก หน่งึ ครงั้ ดังแสดงในหนังสือเรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ประเดน็ สําคัญเกยี่ วกับเน้อื หาและสิง่ ทคี่ วรตระหนกั เก่ยี วกบั การสอน • ครูควรเนนย้ําวาปริภูมิตัวอยางที่ใชในการคํานวณ เรื่อง ความนาจะเปนในระดับน้ี จะตองประกอบดวยสมาชิกทม่ี โี อกาสเกิดขึ้นไดเทากนั • ในการหาความนาจะเปนของเหตุการณ อาจพิจารณาเพียงจํานวนสมาชิกของ ปริภมู ติ วั อยางและเหตกุ ารณ ซงึ่ ไมจ ําเปนตองเขียนแจกแจงสมาชิกทุกตัว โดยเฉพาะเม่ือ ปริภมู ิตวั อยางและเหตุการณเ ปน เซตทีม่ จี ํานวนสมาชิกมาก • ในการแกปญหาเก่ียวกับความนาจะเปน อาจเช่ือมโยงความรูเรื่องหลักการนับเบ้ืองตน มาใชใ นการแกป ญหา สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 107 คมู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 ประเดน็ สําคญั เก่ียวกบั แบบฝก หัด แบบฝก หัด 4.2 5. กลองใบหนงึ่ บรรจุหลอดไฟ 5 หลอด ในจํานวนน้ีมีหลอดดี 3 หลอด และหลอดเสีย 2 หลอด ถาสุมหยิบหลอดไฟ 2 หลอด จงหาความนาจะเปนท่ีจะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสยี 1 หลอด แบบฝกหดั น้ไี มไ ดร ะบุวาการหยบิ หลอดไฟเปน การหยิบพรอมกัน (ลําดับไมสําคัญ) หรือหยิบ ไมพรอ มกนั (ลาํ ดบั สาํ คัญ) แตส ําหรบั ขอ นไี้ มวาจะหยิบอยางไร ความนา จะเปน ทไี่ ดจ ะเทากัน 4.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนงั สือเรียน กจิ กรรม : Monty Hall Problem Monty Hall Problem เปนปญหาคณิตศาสตรซ่ึงมีที่มาจากเกมโชวทางโทรทัศนช่ือ Let’s Make a Deal โดยออกอากาศในสหรัฐอเมริกาเมื่อ ค.ศ. 1984 – 1986 และ Monty Hall เปนพิธีกรของรายการ กติกาของเกมโชวนี้มีอยูวา “มีประตูท่ีมีลักษณะเหมือนกันอยู สามบาน คือ ประตูหมายเลข 1, 2 และ 3 โดยดานหลังประตูท้ังสามบานนี้จะมีประตูเพียง บานเดียวที่มีรถยนตซึ่งเปนของรางวัลใหญอยู และอีกสองบานที่เหลือจะมีแพะอยู ผูเขาแขง ขันสามารถเลือกประตูบานใดก็ได 1 บาน เม่ือผูเขาแขงขันเลือกประตูหมายเลขใด หมายเลขหน่ึงแลวพิธีกรจะเลือกเปดประตูท่ีมีแพะ 1 บาน จากประตูสองบานท่ีผูเขาแขงขัน ไมไดเลือก ดังน้ัน ตอนนี้จะมีประตูที่ยังปดอยูสองบาน ประตูบานหนึ่งคือประตูท่ี ผูเขาแขงขันเลือก และประตูอีกบานหน่ึงคือประตูท่ีผูเขาแขงขันไมไดเลือก จากน้ันพิธีกร บอกผเู ขา แขงขนั วา ใหโ อกาสผูเ ขา แขง ขนั สามารถเปลีย่ นใจมาเลือกประตูอีกบานหนึง่ ได” สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 108 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 ข้ันตอนการปฏบิ ตั ิ 1. จากสถานการณที่กําหนดให ถานักเรียนเปนผูเขาแขงขัน ควรจะเลือกเปล่ียนประตู หรือไม เพราะเหตุใด 2. เปด เว็บไซต goo.gl/9c2kWZ 3. ทดลองเลนเกม โดยคลิกเลือกประตูหมายเลข 1, 2 หรือ 3 จากนั้นโปรแกรมจะเปด ประตูบานที่เหลือที่มีแพะอยู 1 บาน คลิกเลือกวาจะเปล่ียนหรือไมเปลี่ยนประตู ตามทต่ี ดั สนิ ใจในขอ 1 4. ทดลองเลนเกมอยางนอย 30 ครัง้ โดยเลอื กไมเปล่ยี นประตู ใหนกั เรียนทําเคร่ืองหมาย X ลงในตารางตามผลลัพธท ่ีไดจากการเปดประตูท่ีนักเรียนเลือก สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 109 คมู อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 กรณีไมเปลย่ี นประตู ครัง้ ท่ี รถ แพะ ครง้ั ท่ี รถ แพะ ครง้ั ที่ รถ แพะ 11 21 1 12 22 2 13 23 3 14 24 4 15 25 5 16 26 6 17 27 7 18 28 8 19 29 9 20 30 10 5. จากการทดลองในขอ 4 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณท่ีเปด ประตแู ลวมรี ถยนตก ับจาํ นวนการทดลองเลน เกม 30 ครงั้ คิดเปน เทาใด 6. ทดลองเลน เกมอยางนอ ย 30 คร้งั โดยเลือกเปลี่ยนประตู ใหน ักเรียนทําเคร่ืองหมาย X ลงในตารางตามผลลัพธท ่ีไดจ ากการเปดประตูทน่ี ักเรียนเลอื ก สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 110 คูม อื ครูรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 กรณีเปล่ียนประตู คร้งั ที่ รถ แพะ คร้งั ที่ รถ แพะ ครั้งท่ี รถ แพะ 11 21 1 12 22 2 13 23 3 14 24 4 15 25 5 16 26 6 17 27 7 18 28 8 19 29 9 20 30 10 7. จากการทดลองในขอ 6 จงหาวาอัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปดประตู แลวมีรถยนตกับจาํ นวนการทดลองเลน เกม 30 คร้งั คิดเปน เทา ใด 8. จากผลการทดลองขางตน นักเรียนคิดวาการเลือกเปลี่ยนหรือไมเปลี่ยนประตู มีผลตอ การไดร างวลั หรอื ไม เพราะเหตใุ ด สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 111 คมู อื ครูรายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เฉลยกจิ กรรม : Monty Hall Problem 1. คําตอบของผูเรียนในขอน้ีอาจเปนเพียงการคาดเดาก็ได ข้ึนกับเหตุผลประกอบคําตอบ ของผเู รียน 2. – 3. – 4. กรณีไมเ ปลี่ยนประตู ครัง้ ท่ี รถ แพะ ครงั้ ที่ รถ แพะ ครง้ั ท่ี รถ แพะ 1X 11 X 21 X 2X 12 X 22 X 3X 13 X 23 X 4X 14 X 24 X 5X 15 X 25 X 6X 16 X 26 X 7X 17 X 27 X 8X 18 X 28 X 9X 19 X 10 X 20 X 29 X 30 X หมายเหตุ คําตอบข้นึ อยูกับการทดลองของผเู รยี น 5. จากการทดลองในขอ 4 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณท่ีเปด ประตแู ลวมีรถยนตก บั จาํ นวนการทดลองเลนเกม 30 คร้ัง คิดเปน 7 ≈ 0.23 30 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 112 คูม อื ครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 6. กรณีเปลี่ยนประตู ครัง้ ท่ี รถ แพะ คร้ังท่ี รถ แพะ ครั้งที่ รถ แพะ 1X 11 X 21 X 2X 12 X 22 X 3X 13 X 23 X 4X 14 X 24 X 5X 15 X 25 X 6 X 16 X 26 X 7X 17 X 27 X 8X 18 X 28 X 9X 19 X 29 X 10 X 20 X 30 X หมายเหตุ คําตอบขึ้นอยกู ับการทดลองของผูเรียน 7. จากการทดลองในขอ 6 จะไดวา อัตราสวนระหวางจํานวนสมาชิกของเหตุการณที่เปด ประตแู ลวมรี ถยนตกบั จํานวนการทดลองเลนเกม 30 ครั้ง คิดเปน 20 ≈ 0.67 30 8. การเลือกเปล่ียนหรือไมเปล่ียนประตูมีผลตอการไดรางวัล โดยจะมีโอกาสไดรางวัล มากกวาถาเลอื กเปลยี่ นประตู ซึง่ พจิ ารณาจากอัตราสว นในขอ 5 และ 7 หมายเหตุ 1) คําตอบขึ้นอยูกับผลลัพธที่ไดจากการทดลองของนักเรียนในขอ 5 และ 7 ในกรณีที่มี นักเรียนไดคําตอบในขอ 8 แตกตางจากเฉลย ครูควรใหนักเรียนเปรียบเทียบคําตอบกับ เพื่อน และควรสงเสริมใหนักเรียนอภิปรายรวมกันเพ่ือใหไดขอสรุปวา จากผลลัพธท่ีได จากการทดลองของนักเรียนสวนใหญ จะเห็นวาการเลือกเปลี่ยนประตูทําใหมีโอกาสได สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 113 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 รางวัลมากกวาไมเ ปลยี่ นประตู 2. การทดลองขางตนเปนตัวอยางหนึ่งในการหาความนาจะเปนเชิงการทดลอง (experimental probability) แนวทางการจัดกจิ กรรม : Monty Hall Problem เวลาในการจัดกจิ กรรม 50 นาที กจิ กรรมน้ีเสนอไวใหนักเรียนใชความรู เร่ือง ความนาจะเปน เพ่ือแกปญหาในสถานการณท่ี กําหนด ในการทํากิจกรรมนี้นักเรียนแตละคูควรมีเคร่ืองคอมพิวเตอรอยางนอย 1 เครื่อง โดยครูอาจเลือกจัดกิจกรรมน้ีในหองคอมพิวเตอรก็ได กิจกรรมนี้มีสื่อ/แหลงการเรียนรู และขัน้ ตอนการดาํ เนนิ กจิ กรรม ดังนี้ ส่ือ/แหลง การเรยี นรู 1. ใบกิจกรรม “Monty Hall Problem” 2. ไฟลก จิ กรรม Monty Hall Problem จากเว็บไซต goo.gl/9c2kWZ ขัน้ ตอนการดาํ เนนิ กิจกรรม 1. ครนู ําเขา สูก จิ กรรมโดยเปด สอื่ วดี ิทัศนหรอื เลา เรือ่ งราวสน้ั ๆ เกี่ยวกับ Monty Hall Problem 2. ครูแจกใบกิจกรรม “Monty Hall Problem” ใหกับนักเรียนทุกคนและใหนักเรียนทํากิจกรรม น้เี ปนคู 3. ครแู ละนกั เรียนรว มกนั อภิปรายปญหาจากสถานการณที่กําหนดให 4. ครูใหน ักเรียนตอบคําถามที่ปรากฏในขน้ั ตอนการปฏบิ ตั ิกิจกรรมขอ 1 ในใบกิจกรรม พรอ มใหเหตผุ ลประกอบ โดยไมต อ งคํานึงถึงความถูกตองของคําตอบ สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 114 คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 4 5. ครูใหนักเรียนแตละคูเปดไฟลกิจกรรม Monty Hall Problem จากเว็บไซต goo.gl/9c2kWZ จากนั้นครชู ้แี จงวิธีใชไ ฟลก ิจกรรมใหน ักเรียนเขา ใจกอนเร่ิมทาํ กจิ กรรมในไฟลกิจกรรม 6. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรมและตอบคําถามที่ปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 3 – 7 ในใบกิจกรรม ซึ่งในระหวางท่ีนักเรียนทํากิจกรรมครูควรเดินดูนักเรียนใหทั่วถึงทุกกลุม และ คอยช้ีแนะเมอ่ื นักเรียนพบปญหา 7. ครูใหนักเรียนตอบคําถามท่ีปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติกิจกรรมขอ 8 ในใบกิจกรรม โดยใหน ักเรยี นพิจารณาจากผลการทดลองที่ได และใหนักเรียนเปรียบเทียบผลการทดลองกับ นักเรยี นคูอื่น ๆ 8. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายและสรุปคําตอบของคําถามที่ปรากฏในขั้นตอนการปฏิบัติ กจิ กรรมขอ 8 ในใบกิจกรรม 9. ครูอาจเพิ่มเติมวาการทดลองดังกลาว เปนตัวอยางหนึ่งในการหาความนาจะเปนที่เรียกวา ความนา จะเปน เชงิ ประจักษ (empirical probability) 4.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวางเรียน การวดั ผลระหวา งเรียนเปนการวดั ผลการเรยี นรเู พื่อปรับปรุงและพัฒนาการเรียนการสอน และ ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องท่ีครูสอนมากนอยเพียงใด การใหนักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพ่ือประเมินผลดานความรู ระหวางเรียนของนักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดน าํ เสนอแบบฝก หัดทคี่ รอบคลุมเนอ้ื หาทีส่ ําคัญของแตละบทไว สาํ หรับในบทที่ 4 ความนาจะเปน ครอู าจใชแบบฝกหดั เพ่ือวัดผลประเมินผลความรูในแตละเนื้อหาไดดังน้ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 115 คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 เน้ือหา แบบฝกหัด การทดลองสุม ปรภิ ูมิตวั อยาง และเหตกุ ารณ 4.1 ขอ 1 – 3 ความนาจะเปนของเหตกุ ารณ 4.2 ขอ 1 – 8 4.5 การวเิ คราะหแบบฝกหดั ทายบท หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน ไดเ รยี นจบบทที่ 4 ความนาจะเปน แลว นักเรยี นสามารถ 1. หาปรภิ มู ติ วั อยางและเหตุการณ 2. ใชความรเู กยี่ วกบั ความนาจะเปน ในการแกป ญหา ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 ไดนําเสนอแบบฝกหัดทายบท ที่ประกอบดวยโจทยเพ่ือตรวจสอบความรูหลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความเขาใจ ของนักเรียนตามจุดมุง หมาย ซงึ่ ประกอบดวยโจทยฝ กทักษะท่ีมีความนาสนใจและโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรคู วามเขา ใจของนกั เรยี นตามจุดมุงหมายของบทเพ่ือ ตรวจสอบวานักเรยี นมีความสามารถตามจดุ มุงหมายเมอ่ื เรยี นจบบทเรยี นหรอื ไม ทั้งน้ี แบบฝกหัดทายบทแตละขอในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 บทที่ 4 ความนา จะเปน สอดคลอ งกบั จุดมงุ หมายของบทเรยี น ดังน้ี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน 116 คมู อื ครูรายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 ขอ จุดมุงหมาย ยอ ย ขอ หาปรภิ ูมิตวั อยางและเหตุการณ ใชค วามรูเกย่ี วกบั ความนา จะเปน ในการแกป ญหา 1. 1)  2)  3)  4)  5)   2. 1)  2)   3. 1)  2)  3)  4)  5)   4. 1)  2)  3) 4) 5) สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 117 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 ขอ จดุ มงุ หมาย ยอ ย ขอ หาปริภูมติ ัวอยางและเหตกุ ารณ ใชความรูเก่ียวกับความนา จะเปน ในการแกปญหา 5. 1)  2)  3)   6. 1)  2)  3)  4)  5)  6)   7.  8.  9. 1)   2)  3)  10. 1) 2) 11. สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 118 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 ขอ จดุ มงุ หมาย ยอ ย ขอ หาปรภิ มู ิตวั อยา งและเหตกุ ารณ ใชความรเู กย่ี วกับความนาจะเปน ในการแกปญหา 12.  13.  14. 1)  2)  15.  16.  17.  18. 1)   2)  3)  19.  20.  21.  22. 23. 1)  ก 2) 3)   สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 119 คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 ขอ จดุ มุง หมาย ยอย ขอ หาปรภิ มู ติ วั อยา งและเหตกุ ารณ ใชค วามรเู กีย่ วกบั ความนาจะเปน ในการแกปญ หา 4)  24.  25.  4.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจาํ บท ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 4 ความนาจะเปน สําหรับรายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 ซ่ึงครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู ที่ตองการวัดผลประเมินผล ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. คนสองคนเลือกเลขโดดจาก 1 ถึง 5 โดยท่ีไมซํ้ากัน จงหาเหตุการณที่คนที่สองไดเลขโดด ท่ีมีคามากกวา เลขโดดของคนแรก 2. ในการโยนเหรียญ 4 เหรียญ 1 คร้ัง จงหาความนาจะเปนท่ีจะไดจํานวนเหรียญท่ีข้ึนหัว เทากบั จาํ นวนเหรียญที่ขนึ้ กอย 3. จงหาความนาจะเปนท่ีคนสองคนมีวันเกิด (อาทิตย – เสาร) วันเดียวกัน แตหมูเลือด ( A, B, AB, O) ตางกัน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน 120 คมู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 4. ในการสมุ จํานวนทีม่ ีสี่หลัก มา 1 จาํ นวน จงหาความนาจะเปน ทีเ่ ลขโดดที่อยใู นหลักพันกับ เลขโดดที่อยูหลักหนวยเปนเลขโดดเดียวกัน และเลขโดดที่อยูในหลักรอยกับเลขโดดที่อยู ในหลกั สบิ เปนเลขโดดเดยี วกัน 5. ในการสุมจํานวนท่ีมีหาหลัก มา 1 จํานวน จงหาความนาจะเปนที่จะไดจํานวนที่มีหาหลัก ท่ีประกอบดวยเลขโดด 5 ตัว ที่เปนจํานวนท่ีเรียงติดกันซ่ึงเพิ่มข้ึนหรือลดลงทีละหน่ึง (เชน 23456, 76543 ) 6. ในหอ งเรยี นที่มีนักเรียน 40 คน มีนักเรยี นทชี่ อบออกกาํ ลังกาย 25 คน มีนักเรียนที่ชอบดู สารคดี 20 คน มีนกั เรียนท่ชี อบทงั้ ออกกาํ ลังกายและดูสารคดี 12 คน จงหาความนาจะเปน ท่ีสมุ นักเรยี นมาหนงึ่ คนแลวไดน กั เรียนที่ชอบออกกาํ ลังกายหรือดูสารคดี 7. กลองใบหน่ึงบรรจุลูกบอลสีแดง 1 ลูก และสีขาว 9 ลูก สุมหยิบลูกบอลออกจากกลอง 3 ลูก โดยหยิบทีละหน่ึงลูกและไมใสคืนกอนหยิบลูกบอลลูกตอไป จงหาความนาจะเปนท่ีหยิบ ไมไดลูกบอลสแี ดงเลย 8. กลองใบหนง่ึ บรรจุสลาก 10 ใบ โดยเขียนหมายเลข 1 ถงึ 10 กํากับไว จงหาความนา จะเปน ทจ่ี ะหยบิ สลากพรอมกนั 3 ใบ ไดสลากทผี่ ลบวกของหมายเลขบนสลากทงั้ สามเปน 17 และ ไมมีใบใดเลยที่มหี มายเลขท่นี อ ยกวา 3 9. ณชิ าเลอื กรหสั 4 หลัก ซงึ่ ประกอบดวยเลขโดด 0 ถึง 9 จงหา 1) ความนาจะเปน ท่ีณชั ชาจะทายรหัสของณิชาถกู ตองเพยี งสองหลักสดุ ทา ย 2) ความนาจะเปน ทณี่ ชั ชาจะทายรหสั ของณชิ าถกู เพยี งสองหลกั เทาน้ัน สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 4 | ความนา จะเปน 121 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 เฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท 1. ให S แทนปริภูมติ วั อยางของการทดลองสมุ น้ี จะได S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)} ให E แทนเหตกุ ารณท่คี นท่สี องไดเลขโดดทมี่ ีคามากกวา เลขโดดของคนแรก ดังน้นั E = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5)} 2. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S=) 2=4 16 ให E แทนเหตกุ ารณทจ่ี ะไดจํานวนเหรยี ญที่ขน้ึ หัวเทากับจาํ นวนเหรียญทข่ี ้ึนกอย เน่อื งจากเหตุการณท ่ีจะไดจ าํ นวนเหรยี ญทีข่ ึ้นหวั เทากบั จาํ นวนเหรยี ญท่ีข้ึนกอย คือ ไดเหรียญทขี่ น้ึ หวั 2 เหรียญ และไดเ หรียญที่ข้นึ กอ ย 2 เหรียญ จากการโยนเหรยี ญ ทง้ั หมด 4 ครง้ั นนั่ คือ n(=E ) C=4, 2 =4! 6 วธิ ี 2!2! จะได P(E=) 6= 3 16 8 ดังน้นั ความนา จะเปนทจ่ี ะไดจาํ นวนเหรียญท่ขี นึ้ หัวเทากบั จาํ นวนเหรียญที่ข้ึนกอย คือ 3 8 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 122 คูมือครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 3. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี ขัน้ ที่ 1 คนท่ีหนึ่งเกิดวนั ใดก็ได และมีหมเู ลือดใดกไ็ ด มไี ด 7× 4 วธิ ี ขน้ั ท่ี 2 คนทส่ี องเกดิ วันใดก็ได และมีหมูเลือดใดกไ็ ด มไี ด 7× 4 วิธี จะได n(S ) =(7 × 4)(7 × 4) ให E แทนเหตุการณท ่คี นสองคนมีวันเกิดวันเดียวกนั แตมีหมูเลอื ดตางกนั ข้ันท่ี 1 คนทห่ี น่งึ เกิดวนั ใดก็ได และมีหมูเลือดใดกไ็ ด มีได 7× 4 วธิ ี ขัน้ ที่ 2 คนที่สองเกิดวันเดียวกับคนที่หน่งึ แตม หี มเู ลือดตา งจากคนท่หี น่งึ มีได 1×3 วธิ ี จะได n(E) =(7 × 4)(1× 3) น่ัน=คอื P(E) =7 × 4 × 3 3 7×4×7×4 28 ดงั นั้น ความนาจะเปนทีค่ นสองคนมีวันเกดิ วันเดียวกนั แตมีหมูเลอื ดตางกัน คือ 3 28 4. ให S แทนปริภูมิตัวอยา งของการทดลองสุม นี้ เนื่องจากจํานวนท่ีมีสีห่ ลกั มีทั้งหมด 9,000 ตัว จะได n(S ) = 9,000 ให E แทนเหตุการณท ีส่ ุมไดจาํ นวนทมี่ สี ีห่ ลกั ทมี่ เี ลขโดดที่อยูในหลกั พนั กบั เลขโดดท่ีอยูใน หลกั หนวยเปน เลขโดดเดียวกัน และเลขโดดท่ีอยใู นหลักรอยกับเลขโดดที่อยูในหลกั สิบ เปน เลขโดดเดียวกนั เนอื่ งจากจาํ นวนท่ีมสี ห่ี ลกั ที่มเี ลขโดดทอ่ี ยูในหลักพนั กับเลขโดดทีอ่ ยูใ นหลักหนว ยเปน เลขโดด เดยี วกัน และเลขโดดที่อยูในหลกั รอยกับเลขโดดทอี่ ยูในหลกั สบิ เปนเลขโดดเดียวกัน มีอยู 9×10×1×1 =90 จาํ นวน นนั่ คอื n(E) = 90 จะได P=(E) =90 1 9000 100 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 123 คมู ือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 ดังน้ัน ความนาจะเปน ทีส่ ุม จาํ นวนที่มีสห่ี ลัก มา 1 จาํ นวน ไดจาํ นวนทมี่ สี ี่หลกั ที่มเี ลขโดดท่ีอยู ในหลกั พนั กบั เลขโดดที่อยใู นหลกั หนวยเปนเลขโดดเดยี วกนั และเลขโดดท่ีอยูในหลกั รอยกับ เลขโดดที่อยใู นหลักสบิ เปนเลขโดดเดยี วกนั คือ 1 100 5. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี เนือ่ งจากจาํ นวนท่ีมีหาหลักมีท้ังหมด 90,000 ตวั จะได n(S ) = 90,000 ให E แทนเหตุการณทสี่ ุมไดจํานวนท่มี หี า หลักที่ประกอบ ดวยเลขโดด 5 ตัว ท่เี ปน จาํ นวนท่ี เรียงตดิ กนั ที่เพ่ิมข้นึ หรือลดลงทลี ะหนงึ่ เนอื่ งจาก จํานวนทม่ี หี าหลักท่ีประกอบดวยเลขโดด 5 ตวั ที่เปนจาํ นวนทีเ่ รียงติดกันท่ีเพมิ่ ข้ึน ทลี ะหน่งึ มีอยู 5 จํานวน ไดแก 12345, 23456, 34567, 45678 และ 56789 และจํานวนท่ีมีหา หลักทปี่ ระกอบดว ยเลขโดด 5 ตวั ทีเ่ ปนจาํ นวนที่เรียงติดกันที่ลดลงทลี ะหนง่ึ มอี ยู 6 จาํ นวน ไดแก 98765, 87654, 76543, 65432, 54321 และ 43210 นน่ั คอื n(E) = 5 + 6 =11 จะได P(E) = 11 90000 ดังนน้ั ความนาจะเปนท่ีสมุ จํานวนที่มหี าหลัก มา 1 จํานวน ไดจาํ นวนที่มหี า หลักที่ประกอบ ดว ยเลขโดด 5 ตัวที่ เปน จาํ นวนท่ีเรียงติดกนั ซ่ึงเพิ่มขึน้ หรือลดลงทลี ะหนึง่ คือ 11 90000 6. ให A แทนเซตของนักเรียนทชี่ อบออกกาํ ลงั กาย B แทนเซตของนักเรยี นท่ีชอบดูสารคดี มนี ักเรียนทช่ี อบออกกาํ ลงั กาย 25 คน น่นั คือ n( A) = 25 มนี กั เรียนที่ชอบดสู ารคดี 20 คน น่ันคอื n(B) = 20 มนี ักเรยี นท่ีชอบท้งั ออกกาํ ลงั กายและดสู ารคดี 12 คน นน่ั คือ n( A ∩ B) =12 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 124 คมู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 จาก n( A ∪ B) = n( A) + n(B) − n( A ∩ B) = 25 + 20 −12 = 33 ดงั นั้น มีนักเรยี นทชี่ อบออกกําลงั กายหรอื ดสู ารคดี 33 คน ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ เน่ืองจากในหองเรยี นนี้มนี ักเรียน 40 คน จะได n(S ) = 40 ให E แทนเหตกุ ารณท่ีไดน กั เรียนที่ชอบออกกําลงั กายหรือดสู ารคดี จะได n(E) = 33 จะได P(E) = 33 40 ดังนนั้ ความนา จะเปน ที่จะไดน กั เรียนชอบออกกําลังกายหรือดสู ารคดี คือ 33 40 7. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ นี้ เน่อื งจากกลอ งใบน้บี รรจลุ กู บอลทง้ั หมด 10 ลูก จะได n(S ) = C10,3 = 10 × 9 × 8 ให E แทนเหตกุ ารณท่หี ยิบไมไ ดล กู บอลสแี ดงเลย จะได n(E) = 9×8× 7 จะได= P(E) 9=× 8× 7 7 10 × 9 × 8 10 ดงั น้นั ความนา จะเปน ที่หยบิ ไมไดล กู บอลสีแดงเลย คอื 7 10 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 125 คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 8. ให S แทนปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ เนื่องจากกลองใบน้ีบรรจุสลาก 10 ใบ และตอ งการหยบิ สลาก 3 ใบพรอมกนั จะได n(=S ) C=10,3 1=0! 10 × 9=× 8 120 7!3! 3× 2 ให E แทนเหตกุ ารณที่จะหยิบสลาก 3 ใบ ไดสลากทผ่ี ลบวกของหมายเลขบนสลาก ทั้งสามเปน 17 และไมมีใบใดเลยทมี่ ีหมายเลขที่นอยกวา 3 เนอ่ื งจากสลาก 3 ใบ ทผี่ ลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สามเปน 17 และไมมใี บใดเลยที่มี หมายเลขนอยกวา 3 ไดแ ก (3, 4, 10), (3, 5, 9), (3, 6, 8), (4, 5, 8) และ (4, 6, 7) จะได n(E) = 5 จะได P(=E) =5 1 120 24 ดังนัน้ ความนาจะเปนที่หยบิ สลาก 3 ใบ ไดส ลากท่ีผลบวกของหมายเลขบนสลากทง้ั สาม เปน 17 และไมม ีใบใดเลยท่มี ีหมายเลขท่นี อ ยกวา 3 คือ 1 24 9. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุม นี้ จะได n(=S ) 1=04 10000 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ณี่ ัชชาจะทายรหัสของณิชาถูกเพยี งสองหลักสุดทาย จะได n( E1=) C9,1 × C9,1 ×1×=1 81 จะได P ( E1 ) = 81 10000 ดังน้นั ความนาจะเปน ท่ีณชั ชาจะทายรหสั ของณชิ าถกู เพียงสองหลกั สุดทา ย คอื 81 10000 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนาจะเปน 126 คูมือครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 2) ให E2 แทนเหตุการณทณี่ ชั ชาจะทายรหสั ของณิชาถกู เพียงสองหลกั เทานัน้ เลอื กหลักสองหลกั ที่ณัชชาจะทายไดถกู มีได C=4,2 =4! 6 แบบ 2!2! จะได n( E2 ) =6 × C9,1 × C9,1 ×1×1 =486 จะได P=(E2 ) =486 243 10000 5000 ดังนัน้ ความนา จะเปนท่ณี ัชชาจะทายรหสั ของณิชาถูกเพยี งสองหลกั เทานนั้ คือ 243 5000 4.7 เฉลยแบบฝก หัด คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 แบงการเฉลยแบบฝกหัดเปน 2 สวน คอื สว นท่ี 1 เฉลยคําตอบ และสวนท่ี 2 เฉลยคาํ ตอบพรอมวิธีทําอยางละเอียด ซ่ึงเฉลยแบบฝกหัด ท่อี ยูใ นสวนนเ้ี ปน การเฉลยคําตอบของแบบฝกหัด โดยไมไดนําเสนอวิธีทํา อยางไรก็ตามครูสามารถ ศกึ ษาวธิ ที าํ โดยละเอียดของแบบฝก หดั ทกุ ขอไดในสวนทายของคูมือครเู ลม น้ี แบบฝก หัด 4.1 1. 1) S1 = {รสสม , รสองนุ , รสมะนาว, รสกาแฟ} 2) S2 = {0, 1, 2, 3, …, 10} 3) S3 = {ชช, ชพ, พช, พพ} 4) S4 = {3, 4, 5, …, 18} 5) S5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 127 คูมือครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 2. 1) S = {HH , HT , TH , TT} 2) E1 = {HH} 3) E2 = {HT , TH} ก 2) E2 = {H 2, H 4, H 6} 3. 1) E1 = {T1, T 3, T 5}ก 4) E4 = ∅ 3) E3 = {H 3, H 6, T 3, T 6} ก 5) E5 = S ก แบบฝกหัด 4.2 1. 1) 3 2) 2 2. 1) 5 5 1 3) 2 2) 1 3 0 4) 1 3. 1) 1 3 3) 1 2) 1 5 2 4. 1) 3 4 4) 4 3) 1 5 5. 3 10 2) 19 5 20 6. 1 3 7. 3 4 สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 128 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 8. 1) 2 2) 2 3) 3 3 1 2 แบบฝก หัดทา ยบท 1. 1) S = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT} 2) E1 = {HTT , THT , TTH} ก 3) E2 = {HHH} ก 4) E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH} ก 5) E4 = {TTT} ก 2. 1) S = { RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW , GG } 2) E2 = {RW , WR} 3. 1) 53 2) 389 250 1000 3) 31 4) 21 250 200 5) 17 100 4. 1) 7 2) 1 20 2 3) 43 4) 1 100 10 5) 0 5. 1) 1 2) 8 5 25 3) 1 5 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 4 | ความนา จะเปน 129 คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 6. 1) 1 2) 1 10 5 3) 3 4) 2 5 5 5) 1 6) 1 2 2) 1 7. 1 8 365 2) 5 8. 1 6 2 2) 2 9. 1) 1 9 8 2) 8 3) 1 15 4 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี 10. 1) 11 12 11. 5 6 12. 4 5 13. นม นํา้ เกกฮวย และนา้ํ สม 14. 1) 1 15 15. 1 28 16. 3 11 17. 73 145 18. 1) 7 15 3) 14 15

บทท่ี 4 | ความนาจะเปน 130 คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 19. 1 5 20. 3 20 21. 2 11 22. 12 25 23. 1) 1 2) 4 5 5 3) 9 4) 13 25 25 24. 1 380 25. 1) 25 2) 13 102 102 3) 1 221 26. แหวนควรจะใสสลากคืนกอนจะหยิบสลากใบท่ีสอง เพราะความนาจะเปนเมื่อหยิบสลาก แบบใสค นื มากกวา ความนาจะเปนเมอ่ื หยบิ สลากแบบไมใ สคนื 27. 9 14 2) 1 10 285 1140 23 28. 1) 57 4) 7 3) 18 95 5) 95 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 131 เฉลยแบบฝก หัดและวิธที าํ โดยละเอียด บทท่ี 1 เซต แบบฝก หดั 1.1ก 1. 1) { a, e, i, o, u } 2) { 2, 4, 6, 8} 3) {10, 11, 12,  , 99 } 4) {101, 102, 103,  } 5) { − 99, − 98, − 97,  , −1} 6) { 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 7) ∅ 8) ∅ 9) { −14, 14 } 10) {ชลบรุ ,ี ชยั นาท, ชัยภูมิ, ชุมพร, เชยี งราย, เชยี งใหม} 2. 1) ตวั อยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจาํ นวนคบี่ วกทีน่ อยกวา 10} หรือ {x∈ | x เปนจาํ นวนคต่ี ้ังแต 1 ถึง 9} 2) ตัวอยา งคาํ ตอบ {x | x เปนจํานวนเต็ม} 3) ตวั อยางคาํ ตอบ {x∈ | x มีรากทส่ี องเปนจาํ นวนเต็ม} หรอื {x | x = n2 และ n เปนจํานวนนับ} 4) ตัวอยางคําตอบ {x∈ | x หารดว ยสิบลงตวั } หรอื {x | x = 10n และ n เปนจํานวนนับ} 3. 1) A มสี มาชกิ 1 ตัว 2) B มีสมาชิก 5 ตวั 3) C มสี มาชิก 7 ตวั 4) D มสี มาชิก 9 ตวั 5) E มีสมาชกิ 0 ตวั 4. 1) เปนเทจ็ 2) เปนจริง สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

132 คมู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 3) เปนเทจ็ 5. 1) เปน เซตวาง 2) ไมเ ปน เซตวา ง (มี 5 และ 7 เปนสมาชกิ ของเซต) 3) ไมเ ปน เซตวาง (มี 1 เปนสมาชกิ ของเซต) 4) เปนเซตวา ง 5) ไมเ ปน เซตวา ง (มี −2 และ −1 เปน สมาชิกของเซต) 6. 1) เซตอนนั ต 2) เซตจํากดั 3) เซตอนนั ต 4) เซตจํากดั 5) เซตอนันต 6) เซตอนันต 7. 1) จากโจทย A = { 0, 1, 3, 7 } และเขียน B แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน B= { , − 2, −1, 0, 1, 2,  , 9} ดงั นน้ั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ B ที่ไมเ ปนสมาชกิ ของ A เชน −1∈ B แต −1∉ A 2) จากโจทย เขยี น A แบบแจกแจงสมาชิกไดเป=น A { , − 2, 0, 2, 4, 6, 8 } และ B = { 2, 4, 6, 8 } ดงั น้นั A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ทีไ่ มเ ปนสมาชิกของ B เชน 0∈ A แต 0∉ B 3) จากโจทย A = { 7, 14, 21,  , 343} และเขยี น B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน B = { 7, 14, 21,  , 343} ดงั นั้น A = B เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปน สมาชกิ ของ B และสมาชิกทกุ ตวั ของ B เปน สมาชิกของ A 4) จากโจทย เขียน A แบบแจกแจงสมาชิกไดเปน A =  0, 1, 2, 3, 4 ,    2 3 4 5    สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 133 และ B =  0, 1, 2, 3, 4,   2 3 4 5    ดังนน้ั A = B เพราะสมาชิกทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ B และสมาชกิ ทุกตวั ของ B เปน สมาชิกของ A 5) จากโจทย เขียน A แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน A= {−6, 6} และ B = { 6} ดงั นนั้ A ≠ B เพราะมสี มาชิกของ A ท่ีไมเปนสมาชิกของ B คอื −6∈ A แต −6∉ B 8. จากโจทย เขยี น A, B, C และ D แบบแจกแจงสมาชิก ไดดังน้ี A = {ก, ร, ม} B = {ม, ร, ค} C = {ม, ก, ร, ค} D = {ร, ก, ม} ดงั นั้น A ≠ B เพราะมีสมาชกิ ของ A ที่ไมเ ปน สมาชิกของ B คือ ก∈ A แต ก∉ B A ≠ C เพราะมสี มาชกิ ของ C ทีไ่ มเ ปน สมาชิกของ A คือ ค∈C แต ค∉ A A = D เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ A เปนสมาชิกของ D และสมาชิกทุกตัว ของ D เปนสมาชกิ ของ A B ≠ C เพราะมสี มาชกิ ของ C ทไี่ มเปน สมาชกิ ของ B คือ ก∈C แต ก∉ B B ≠ D เพราะมีสมาชิกของ D ที่ไมเปนสมาชกิ ของ B คือ ก∈ D แต ก∉ B C ≠ D เพราะมสี มาชกิ ของ C ท่ไี มเปนสมาชกิ ของ D คือ ค∈C แต ค∉ D สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

134 คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 แบบฝกหัด 1.1ข 1. 1) ถกู 2) ผิด 3) ผดิ 4) ถูก 5) ถกู 6) ผดิ 2. เขยี น A และ B แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเปน A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } และจากโจทย C = { 2, 4} ดงั นัน้ A ⊂ B เพราะสมาชิกทุกตัวของ A เปน สมาชิกของ B C ⊂ A เพราะสมาชิกทุกตัวของ C เปน สมาชิกของ A C ⊂ B เพราะสมาชกิ ทุกตัวของ C เปนสมาชกิ ของ B 3. เขยี น Y แบบแจกแจงสมาชกิ ไดเ ปน Y = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 1) เปน จริง เพราะสมาชกิ ทุกตวั ของ X เปน สมาชกิ ของ Y 2) เปนจริง เพราะสมาชิกทุกตัวของ Y เปนสมาชิกของ X 3) เปน จริง เพราะ X ⊂ Y และ Y ⊂ X 4. 1) ∅ และ {1} 2) ∅, {1}, { 2} และ {1, 2 } 3) ∅, { −1}, { 0 }, {1}, {−1, 0 }, {−1, 1}, { 0, 1} และ {−1, 0, 1} 4) ∅, { x }, { y } และ { x, y } 5) ∅, { a }, { b }, { c }, { a, b }, { a, c }, { b, c } และ { a, b, c } 6) ∅ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 135 แบบฝก หดั 1.1ค 1. จากสง่ิ ท่ีกาํ หนดให A และ B ไมมสี มาชกิ รว มกัน เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดด ังนี้ 2. กําหนดให U เปนเซตของจํานวนนับ 1) จากสงิ่ ทก่ี าํ หนดให จะได B ⊂ A เขยี นแผนภาพเวนนแสดง A และ B ไดดังนี้ สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

136 คูมอื ครูรายวชิ าพ้ืนฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 2) จากส่ิงทีก่ ําหนดให จะได C ⊂ B และ B ⊂ A เขยี นแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดด งั นี้ 3) จากสิ่งทก่ี ําหนดให จะได B ⊂ A และ C ⊂ A โดยที่ B และ C มสี มาชิกรวมกัน คือ 5 เขยี นแผนภาพเวนนแ สดง A, B และ C ไดด งั น้ี 3. 1) สมาชิกทอ่ี ยูใน A แตไ มอ ยูใน B มี 1 ตัว (คือ a ) 2) สมาชกิ ทไ่ี มอยใู น A และไมอยูใน B มี 2 ตวั (คือ d และ e ) 3) สมาชกิ ที่อยูท้งั ใน A และ B มี 3 ตวั (คือ x, y และ z ) สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 137 แบบฝก หดั 1.2 1. วธิ ีที่ 1 1) A มสี มาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8 B มสี มาชกิ คือ 0, 2, 4, 7 และ 9 ดงั น้นั A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } 2) A และ B มีสมาชิกรวมกนั คือ 0 และ 2 ดงั นน้ั A ∩ B ={ 0, 2} 3) สมาชิกที่อยูใน A แตไมอยใู น B คอื 1 และ 8 ดังนั้น A − B ={1, 8} 4) สมาชิกท่อี ยูใน B แตไ มอยูใ น A คอื 4, 7 และ 9 ดงั น้นั B − A ={ 4, 7, 9} 5) สมาชิกทอี่ ยูใน U แตไมอ ยูใน A คือ 3, 4, 5, 6, 7 และ 9 ดงั นั้น A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } 6) สมาชิกทอ่ี ยูใน U แตไ มอ ยใู น B คือ 1, 3, 5, 6 และ 8 ดงั นน้ั B′ = {1, 3, 5, 6, 8} 7) A มสี มาชิก คอื 0, 1, 2 และ 8 B′ มีสมาชิก คือ 1, 3, 5, 6 และ 8 ดงั นน้ั A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} 8) A′ มสี มาชกิ คือ 3, 4, 5, 6, 7 และ 9 B มีสมาชกิ คือ 0, 2, 4, 7 และ 9 จะได A′ และ B มีสมาชกิ รวมกนั คอื 4, 7 และ 9 ดังนนั้ A′∩ B ={ 4, 7, 9} สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

138 คูม ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 วธิ ีท่ี 2 A และ B มสี มาชิกรว มกนั คอื 0 และ 2 เขียนแผนภาพเวนนแ สดง A และ B ไดดงั นี้ จากแผนภาพ จะได 1) A ∪ B ={ 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9 } 2) A ∩ B ={ 0, 2 } 3) A − B ={1, 8} 4) B − A ={ 4, 7, 9 } 5) A′ = { 3, 4, 5, 6, 7, 9 } 6) B′ = {1, 3, 5, 6, 8} 7) A ∪ B′ ={ 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8} 8) A′∩ B ={ 4, 7, 9 } =2. ให U { 0, 1, 2, 3, =4, 5, 6, 7, 8 } , A {=0, 2, 4, 6, 8} , B {1, 3, 5, 7 } และ C ={3, 4, 5, 6} วิธที ่ี 1 1) A และ B ไมม สี มาชิกรว มกัน ดังนน้ั A ∩ B =∅ 2) B มีสมาชกิ คือ 1, 3, 5 และ 7 C มสี มาชกิ คือ 3, 4, 5 และ 6 ดังน้ัน B ∪ C ={1, 3, 4, 5, 6, 7 } 3) B และ C มีสมาชิกรวมกนั คอื 3 และ 5 ดังนัน้ B ∩ C ={ 3, 5} สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี