(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ ม.4

คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 189 ข้นั ตอนท่ี 2 ตวั ที่ 2 เลอื กตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อกั ษรท้งั หมด ที่ไมซ ้ํากับตวั ท่ี 1 ขน้ั ตอนที่ 3 ตัวท่ี 3 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อกั ษรทั้งหมดที่ ไมซาํ้ กบั ตวั ที่ 2 ข้นั ตอนที่ 4 ตวั ที่ 4 เลอื กตัวอกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วธิ ี จากตวั อักษรท้ังหมดที่ ไมซ ํา้ กบั ตัวท่ี 3 ข้ันตอนท่ี 5 ตัวที่ 5 เลอื กตวั อกั ษรภาษาอังกฤษได 25 วิธี จากตวั อักษรทั้งหมดที่ ไมซํา้ กบั ตัวท่ี 4 จากหลกั การคูณ จึงไดว า มวี ิธสี รา งคาํ ทไ่ี มคาํ นึงความหมาย ซึง่ ประกอบดว ยตัวอักษร ภาษาองั กฤษ 5 ตวั โดยท่ตี ัวอกั ษร 2 ตัว ทีต่ ดิ กนั ตองแตกตางกันท้งั หมด 26 × 25× 25× 25× 25 =10,156, 250 วิธี 5. 1) รหสั ประจาํ ตวั พนักงานในบริษทั แหง น้ี ที่มเี ลขโดดซํา้ กันได ประกอบดว ย 2 สวน ดังนี้ สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตัว มไี ด 26 แบบ สว นท่ี 2 เลขโดด 3 ตวั ทีไ่ มเ ปนศูนยพรอมกนั มีได 999 แบบ จาก 001 ถงึ 999 จากหลักการคณู จึงไดว า รหัสประจาํ ตัวพนักงานในบรษิ ัทแหงนี้ ทมี่ เี ลขโดดซาํ้ กันได มีท้งั หมด 26× 999=25,974 รหสั สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

190 คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 2) รหัสประจําตัวพนกั งานในบริษัทแหง นี้ ที่ไมม ีเลขโดดซํ้ากนั ประกอบดวย 2 สวน ดงั นี้ สว นท่ี 1 ตวั อักษรภาษาอังกฤษ 1 ตวั มไี ด 26 แบบ สวนที่ 2 เลขโดด 3 ตัว มี 3 ขน้ั ตอน ดังน้ี หลักที่ 1 หลักท่ี 2 หลักท่ี 3 ขน้ั ตอนท่ี 1 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปนหลกั ที่ 1 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ได 10 วิธี ข้ันตอนท่ี 2 เลือกเลขโดด 1 ตวั เปนหลกั ท่ี 2 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ทีไ่ มซ ้าํ กับเลขโดดในหลกั ท่ี 1 ได 9 วิธี ขน้ั ตอนที่ 3 เลอื กเลขโดด 1 ตัว เปน หลักท่ี 3 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 ทไี่ มซาํ้ กบั เลขโดดในหลกั ท่ี 1 และ หลักท่ี 2 ได 8 วธิ ี จากหลกั การคณู จงึ ไดว า รหสั ประจําตวั พนกั งานในบริษัทแหง นี้ ทไ่ี มมเี ลขโดดซ้ํากนั มีทงั้ หมด 26×10× 9×8=18,720 รหัส 6. เน่อื งจากหมายเลขทะเบยี นรถยนตน ่งั สวนบคุ คลในกรุงเทพมหานคร มีองคป ระกอบ 3 สว น ไดแ ก สวนท่ี 1 เลขโดดที่ไมใช 0 มีได 9 ตวั ไดแก 1, 2, 3,  , 9 สว นที่ 2 พยญั ชนะ 2 ตัว ทมี่ ีเง่ือนไขตามที่โจทยกาํ หนด มีได (35×35) − 4 แบบ สวนท่ี 3 จํานวนเต็มบวกท่ไี มเกิน 4 หลัก มไี ด 9,999 ตวั จากหลกั การคณู จึงไดว า หมายเลขทะเบยี นรถยนตน ัง่ สว นบุคคลในกรุงเทพมหานคร มไี ดไมเ กนิ 9×[(35× 35) − 4]× 9,999 =109,879,011 หมายเลข สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 191 7. สรางจํานวนสามหลักทม่ี ากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดด ในแตล ะหลกั ไมซ ้ํากัน สามารถทาํ ได 3 ข้นั ตอน ดังน้ี ข้นั ตอนท่ี 1 หลักรอย เลอื กเลขโดดได 3 วธิ ี จากเลขโดด 3, 4, 5 ข้ันตอนท่ี 2 หลักสิบ เลือกเลขโดดได 5 วธิ ี จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 ทไ่ี มซ ํ้ากับเลขโดดในหลกั รอย ขัน้ ตอนที่ 3 หลกั หนว ย เลอื กเลขโดดได 4 วิธี จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 ที่ไมซํ้ากบั เลขโดดในหลกั รอ ย และหลักสิบ จากหลักการคูณ จึงไดว า จํานวนสามหลักท่มี ากกวา 300 จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 และ 5 โดยเลขโดดในแตล ะหลักไมซํ้ากนั ทงั้ หมด 3× 4×5 =60 จาํ นวน 8. วธิ ีท่นี กั เรียนจะทาํ ขอสอบประเภทใหเ ลือกตอบวาจริงหรือเทจ็ ซ่ึงมี 10 ขอ โดยจะตอง ตอบคาํ ถามทกุ ขอ สามารถทําได 10 ขน้ั ตอน ดังนี้ ขน้ั ตอนท่ี 1 ขอ ที่ 1 เลือกตอบได 2 วิธี คือ จริงหรือเทจ็ ขน้ั ตอนที่ 2 ขอที่ 2 เลอื กตอบได 2 วิธี คอื จรงิ หรือเทจ็ ข้ันตอนที่ 3 ขอ ที่ 3 เลอื กตอบได 2 วิธี คือ จรงิ หรือเท็จ   ขั้นตอนท่ี 10 ขอที่ 10 เลือกตอบได 2 วธิ ี คอื จริงหรอื เท็จ จากหลกั การคูณ จงึ ไดวา มีวธิ ีทีน่ กั เรยี นจะทาํ ขอสอบประเภทใหเ ลือกตอบวา จริงหรือเท็จ ซ่งึ มี 10 ขอ โดยจะตองตอบคําถามทกุ ขอ ท้ังหมด 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2= 210= 1,024 วธิ ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

192 คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 9. เขียนตารางแสดงแตม ท่ไี ดจากการทอดลกู เตา หนง่ึ ลูก สองครง้ั ไดดังนี้ ครัง้ ที่ 2 123456 คร้งั ท่ี 1 1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 1) วิธที ี่ 1 จากตาราง จะไดจ าํ นวนวิธีทีผ่ ลรวมของแตมเทา กับ 7 เปน 6 วิธี วธิ ีท่ี 2 ขั้นตอนท่ี 1 แตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตาครง้ั ที่ 1 มไี ด 6 วิธี ขัน้ ตอนที่ 2 เนอ่ื งจากผลรวมของแตมท่ีไดจากการทอดลกู เตา เทากับ 7 จะไดวา แตมที่ไดจากการทอดลูกเตา ครง้ั ที่ 2 มไี ด 1 วธิ ี จากหลักการคูณ จะไดจ าํ นวนวธิ ีท่ีผลรวมของแตมเทากับ 7 เปน 6×1 =6 วธิ ี 2) วธิ ที ่ี 1 จากตาราง จะไดจ ํานวนวธิ ีที่ผลรวมของแตมไมเทากบั 7 เปน 30 วธิ ี วธิ ที ี่ 2 เน่อื งจากจํานวนวิธที ่ีแตมท่ไี ดจากการทอดลกู เตา หนึ่งลูก สองคร้งั ทาํ ได 6× 6 =36 วธิ ี แตจํานวนวธิ ที ี่ผลรวมของแตมท่ไี ดจ ากการทอดลกู เตา เทา กบั 7 ทําได 6 วธิ ี ดังน้นั จาํ นวนวิธีที่ผลรวมของแตมไมเ ทากบั 7 เปน 36 – 6 = 30 วิธี วธิ ีท่ี 3 ขนั้ ตอนท่ี 1 แตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาครง้ั ที่ 1 มีได 6 วิธี ขั้นตอนท่ี 2 เนอื่ งจากผลรวมของแตมท่ีไดจากการทอดลูกเตา ไมเทากบั 7 จะไดว าแตมท่ีไดจากการทอดลูกเตาคร้งั ที่ 2 มีได 6 – 1 = 5 วธิ ี สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 4 193 จากหลกั การคูณ จะไดจาํ นวนวิธีท่ผี ลรวมของแตม ไมเ ทากับ 7 เปน 6× 5 =30 วิธี 10. วิธที ี่ 1 จาํ นวนวิธีในการจดั เรียงหนงั สอื 4 เลม จากหนงั สอื ที่แตกตางกนั 6 เลม วิธที ี่ 2 เปน แถวบนชั้น คอื 11. วธิ ีที่ 1 P6,4 = 6! (6 − 4)! = 6! 2! = 360 ดงั นั้น จาํ นวนวิธีในการจดั เรยี งหนังสือ เทากบั 360 วิธี เน่ืองจากการจัดหนังสือ 4 เลม จากหนังสือทแี่ ตกตา งกัน 6 เลม เปน แถวบนชัน้ ประกอบดว ย 4 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 ตําแหนง ที่ 1 เลอื กหนงั สอื ได 6 วธิ ี จากหนังสอื ทั้งหมด 6 เลม ขัน้ ตอนที่ 2 ตําแหนงท่ี 2 เลอื กหนงั สอื ได 5 วิธี จากหนงั สอื ทเี่ หลอื ขน้ั ตอนท่ี 3 ตาํ แหนง ท่ี 3 เลือกหนังสือได 4 วิธี จากหนงั สอื ทเี่ หลือ ขัน้ ตอนท่ี 4 ตาํ แหนงที่ 4 เลอื กหนังสือได 3 วิธี จากหนังสือที่เหลือ จากหลกั การคูณ จงึ ไดว า จาํ นวนวธิ ีในการจัดเรยี งหนังสอื เทากบั 6 × 5× 4 × 3 =360 วธิ ี จาํ นวนวิธีในการเลอื กคณะกรรมการชุดน้ี ซงึ่ มี 4 ตาํ แหนง คอื นายกสมาคม อุปนายกสมาคม เลขานุการ และเหรัญญกิ ทําได P50, 4 = 50! = 5,527, 200 วิธี (50 − 4)! ดงั นั้น มีวิธใี นเลอื กคณะกรรมการได 5,527,200 วิธี สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

194 คูมอื ครูรายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 วธิ ีที่ 2 เนอื่ งจากคณะกรรมการชดุ น้ีมี 4 ตาํ แหนง คือ นายกสมาคม อุปนายก สมาคม เลขานุการ และเหรัญญิก การเลือกคณะกรรมการชดุ นี้จากผสู มคั ร 50 คน ประกอบดวย 4 ขัน้ ตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 ตาํ แหนงนายกสมาคม เลอื กได 50 วิธี จากผูสมคั ร 50 คน ข้นั ตอนท่ี 2 ตําแหนง อปุ นายกสมาคม เลือกได 49 วธิ ี จากผสู มคั รท่เี หลือ 49 คน ข้ันตอนที่ 3 ตําแหนง เลขานุการ เลือกได 48 วธิ ี จากผูสมัครทเี่ หลอื 48 คน ขั้นตอนท่ี 4 ตําแหนง เหรญั ญิก เลอื กได 47 วธิ ี จากผสู มคั รทเ่ี หลือ 47 คน จากหลกั การคณู จงึ ไดว า มวี ธิ ีเลอื กคณะกรรมการได 50 × 49 × 48× 47 =5,527, 200 วิธี 12. จะมีสว นของเสน ตรงทีเ่ กิดจากการเช่ือมจดุ 2 จดุ จากจุด 10 จุด บนเสนรอบวงของ วงกลมวงหนึ่ง ทง้ั หมด C=10,2 =10! 45 เสน 8! 2! 13. วิธที ี่ 1 การจดั คน 5 คน ยืนเปน แถวเพือ่ ถายรูป โดยแตละคร้ังท่ถี ายรปู จะมี อยา งนอย 3 คน สามารถทาํ ได 3 กรณี ดงั น้ี กรณีท่ี 1 มีคน 3 คน ยืนเปนแถวเพ่ือถายรูป จะไดภาพทแ่ี ตกตา งกัน P5,3 ภาพ กรณีที่ 2 มีคน 4 คน ยนื เปน แถวเพื่อถายรปู จะไดภ าพทแี่ ตกตา งกนั P5,4 ภาพ กรณีที่ 3 มคี น 5 คน ยืนเปน แถวเพอ่ื ถายรปู จะไดภาพทีแ่ ตกตางกนั P5,5 ภาพ จากหลักการบวก จึงไดว า มีภาพทแี่ ตกตางกันทง้ั หมดจากการจัดคน 5 คน ยนื เปนแถวเพื่อถายรปู โดยแตล ะคร้งั ที่ถายรปู จะมีอยางนอย 3 คน เทากบั = 5! + 5! + 5! (5 − 3)! (5 − 4)! (5 − 5)! +ภาพP5,3 + P5, 4 P5,5 =60 +120 +120 =300 วธิ ที ่ี 2 การจัดคน 5 คน ยนื เปนแถวเพอ่ื ถายรปู โดยแตละคร้ังทถี่ ายรปู จะมี อยา งนอย 3 คน สามารถทําได 3 กรณี ดังน้ี สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 195 กรณที ี่ 1 มีคน 3 คน ยนื เปนแถวเพือ่ ถายรูป ประกอบดวย 3 ข้ันตอน ดังน้ี ข้ันตอนที่ 1 เลอื กคนที่หน่ึง ได 5 วิธี ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กคนที่สอง ได 4 วธิ ี จากคนที่เหลือ ข้นั ตอนท่ี 3 เลือกคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มีภาพทีแ่ ตกตางกนั จากการถายรูปคน 3 คน ทงั้ หมด 5× 4× 3 =60 ภาพ กรณีท่ี 2 มีคน 4 คน ยนื เปนแถวเพื่อถายรูป ประกอบดว ย 4 ขั้นตอน ดงั นี้ ขั้นตอนที่ 1 เลือกคนที่หนงึ่ ได 5 วธิ ี ขั้นตอนที่ 2 เลือกคนที่สอง ได 4 วิธี จากคนที่เหลือ ขั้นตอนท่ี 3 เลอื กคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ ข้นั ตอนที่ 4 เลอื กคนท่สี ี่ ได 2 วธิ ี จากคนทีเ่ หลอื จากหลักการคณู จงึ ไดวา มภี าพที่แตกตา งกันจากการถายรูปคน 4 คน ทง้ั หมด 5× 4× 3× 2 =120 ภาพ กรณที ่ี 3 มีคน 5 คน ยนื เปนแถวเพ่ือถายรปู ประกอบดว ย 5 ขัน้ ตอน ดังนี้ ขน้ั ตอนท่ี 1 เลือกคนทีห่ นึง่ ได 5 วิธี ขนั้ ตอนท่ี 2 เลือกคนที่สอง ได 4 วธิ ี จากคนทเ่ี หลอื ขนั้ ตอนที่ 3 เลอื กคนที่สาม ได 3 วิธี จากคนที่เหลือ ขน้ั ตอนที่ 4 เลือกคนทส่ี ่ี ได 2 วิธี จากคนที่เหลือ ขนั้ ตอนท่ี 5 เลอื กคนทห่ี า ได 1 วิธี จากคนท่เี หลอื จากหลกั การคูณ จึงไดว า มภี าพทีแ่ ตกตางกนั จากการถายรปู คน 5 คน ทั้งหมด 5× 4× 3× 2 ×1=120 ภาพ จากหลกั การบวก จงึ ไดว า มีภาพท่แี ตกตา งกันท้ังหมดจากการจัดคน 5 คน สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

196 คมู อื ครูรายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 ยืนเปนแถวเพ่ือถายรูป โดยแตละครงั้ ที่ถา ยรปู จะมอี ยางนอย 3 คน เทากับ 60 +120 +120 =300 ภาพ 14. จํานวนวธิ ใี นการจัดคนทีม่ าสมัครเขา ทํางานในทที่ ํางานแหงนี้ ประกอบดว ย 2 ขนั้ ตอน ดังน้ี ข้ันตอนที่ 1 เลือกตําแหนงสําหรับผูชาย 3 ตาํ แหนง จากผสู มคั รเขา ทํางานเปน ผชู าย 6 คน ได P6,3 วิธี ขน้ั ตอนท่ี 2 เลือกตาํ แหนงสาํ หรบั ผูหญิง 2 ตาํ แหนง จากผูสมัครเขา ทํางานเปน ผหู ญงิ 5 คน ได P5,2 วธิ ี จากหลักการคูณ จงึ ไดวา มจี ํานวนวิธีจัดคนท่ีมาสมัครเขาทาํ งานไดทั้งหมด P6,3 × P5,2 = (6 6! × (5 5! = 120 × 20 = 2,400 วธิ ี − 3)! − 2)! 15. 1) ชมรมเลนหมากรกุ มสี มาชกิ ท่เี ปน ชาย 6 คน และหญงิ 4 คน นนั่ คือ ชมรมน้มี สี มาชิกทั้งหมด 10 คน เนือ่ งจากการจับคูเ ลน หมากรุกจะตองเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรม 10 คน ดงั น้ัน จะมีจํานวนวธิ ใี นการจับคเู ลนหมากรุกโดยทีไ่ มมีเง่ือนไข =C10, 2 =10! 45 วธิ ี (10 − 2)! 2! 2) การจับคูเ ลน หมากรุกโดยที่เพศตรงขา มกันหามจบั คูกนั สามารถเกดิ ขนึ้ ได 2 กรณี ดังน้ี กรณีที่ 1 ผูเลนเปนผชู ายทั้งคู ดงั นนั้ การจับคูเลนหมากรกุ จะตอ งเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรมที่ เปน ผูชาย 6 คน จะมีจํานวนวิธใี นการจับ=คูได C6, 2 =6! 15 วธิ ี (6 − 2)! 2! กรณีท่ี 2 ผเู ลน เปน ผหู ญิงทั้งคู สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 197 ดงั น้นั การจับคูเ ลน หมากรุกจะตอ งเลือกคน 2 คน จากสมาชกิ ของชมรมที่ เปนผูหญิง 4 คน จะมจี าํ นวนวธิ ใี นการจับคูได =C4, 2 =4! 6 วิธี (4 − 2)! 2! จากหลักการบวก จึงไดว า มีจํานวนวธิ ีในการจับคเู ลน หมากรกุ โดยท่ี เพศตรงขา มกันหามจบั คูกนั 15 + 6 =21 วิธี 16. การเลือกกรรมการชดุ น้ี ประกอบดวย 3 ขน้ั ตอน ดังนี้ ขั้นตอนท่ี 1 เลอื กนักเรียนชาย 2 คน จาก 20 คน ทาํ ได C20,2 วธิ ี ขั้นตอนท่ี 2 เลือกนักเรียนหญงิ 2 คน จาก 25 คน ทาํ ได C25,2 วิธี ขัน้ ตอนที่ 3 เลือกครู 1 คน จาก 7 คนทําได C7,1 วิธี จากหลักการคณู จงึ ไดวา มีจํานวนวิธใี นการเลือกกรรมการท้งั หมด 20! × 25! × 7! = 18! 2! 23! 2! 6!1! วิธีC20,2 × C25,2 × C7,1 = 399, 000 17. การเลอื กกรรมการ 3 คน จากคน 9 คน ซ่ึงเปน ผชู าย 4 คน และผูห ญงิ 5 คน โดยตองมผี ชู ายอยา งนอ ย 2 คน สามารถทาํ ได 2 กรณี ดังนี้ กรณที ่ี 1 มีผูชาย 2 คน เปน กรรมการ ประกอบดว ย 2 ขน้ั ตอน ดงั น้ี ขั้นตอนท่ี 1 เลือกผชู าย 2 คน จาก 4 คน ทาํ ได C4,2 วิธี ขัน้ ตอนท่ี 2 เลอื กผหู ญงิ 1 คน จาก 5 คน ทาํ ได C5,1 วิธี จากหลักการคูณ จึงไดว า มีวิธีเลือกกรรมการ 3 คน โดยมผี ูช าย 2 คน ทําได C4,2 × C5,1 วิธี กรณีท่ี 2 มีกรรมการเปนผชู ายท้ังสามคน ทาํ ได C4,3 วิธี จากหลักการบวก จึงไดว า มวี ิธใี นการเลอื กกรรมการชดุ นี้ ( ) วธิ ีC4,2 × C5,1 + C4,3 =4!×5!+4! =  2!2! 1!4!  1!3! 30 + 4 = 34 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

198 คูมอื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 บทท่ี 4 ความนาจะเปน แบบฝก หดั 4.1 1. ให S1 , S2 , S3 , S4 และ S5 เปน ปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุมในขอ 1), 2), 3), 4) และ 5) ตามลาํ ดับ 1) เนอ่ื งจากในการหยบิ ลูกอม 1 เม็ด จากถุงท่กี ําหนดให จะหยบิ ไดล ูกอมรสสม รสองุน รสมะนาว หรือรสกาแฟ ดังน้ัน S1 = {รสสม , รสองุน, รสมะนาว, รสกาแฟ} 2) เนอ่ื งจากในการทําขอสอบแบบถกู ผิด 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน คะแนนสอบที่ เปน ไปได คอื 0, 1, 2, 3, …, 10 ดังน้ัน S2 = {0, 1, 2, 3, …, 10} 3) เนือ่ งจากในการแขง ขันวอลเลยบอลแตละครง้ั ผลการแขงขันทอ่ี าจเปน ได คือ ชนะ หรอื แพ ใหผลการแขงขันที่ชนะแทนดวย “ช” และผลการแขง ขันที่แพแ ทนดว ย “พ” จะได ผลลัพธของการแขงขันของทมี วอลเลยบ อลหญงิ ไทย 2 นัด ทอ่ี าจเปน ได คือ ชช, ชพ, พช หรือ พพ ดังน้ัน S3 = {ชช, ชพ, พช, พพ} 4) เน่ืองจากการทอดลูกเตา หนงึ่ ลูกหนงึ่ ครงั้ ผลลพั ธที่อาจเกิดข้นึ คือ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรอื 6 จะได ผลบวกของแตมบนหนาลูกเตา ท่ีอาจเกดิ ขึน้ ในการทอดลูกเตาสามลกู หน่งึ คร้ัง คอื 3, 4, 5, …, 18 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 199 ดังนัน้ S4 = {3, 4, 5, …, 18} 5) เนอื่ งจากในการขายพัดลม 5 เครอื่ ง จาํ นวนพดั ลมที่ขายไดอาจเปน 0, 1, 2, 3, 4 หรอื 5 เครอื่ ง ดงั น้นั S5 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2. ให H แทนเหรยี ญข้นึ หัว T แทนเหรยี ญข้นึ กอย จะได ผลลัพธท ี่ไดจากการโยนเหรียญหนึ่งเหรยี ญสองครั้งท่เี ปนไปได คือ HH, HT, TH, TT 1) ให S เปนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสมุ จะได S = {HH , HT ,TH ,TT} 2) ให E1 เปน เหตกุ ารณท่ีเหรียญข้ึนหวั ท้ังสองคร้งั จะได E1 = {HH} 3) ให E2 เปน เหตุการณท ่ีเหรยี ญขึ้นหนาตา งกัน จะได E2 = {HT,TH} 3. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี H แทนเหรยี ญขึน้ หวั T แทนเหรยี ญขน้ึ กอย ใหเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แทนลูกเตา ขึ้นหนา 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 ตามลาํ ดับ สามารถเขียนแผนภาพแสดงผลลัพธข องการทดลองสุม ไดดงั นี้ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

200 คูมือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 H1 H2 H3 H H4 H5 H6 T1 T2 T3 T T4 T5 T6 โดยท่สี ัญลกั ษณ Hi หมายถึง เหรยี ญขึ้นหวั และลูกเตาขึน้ หนา i และสญั ลกั ษณ Ti หมายถึง เหรียญข้นึ กอยและลูกเตาขน้ึ หนา i เมื่อ i ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} 1) ให E1 เปน เหตกุ ารณท ่ีเหรียญข้ึนกอยและแตมบนหนา ลกู เตา เปน จาํ นวนค่ี จะได E1 = {T1, T 3, T 5} 2) ให E2 เปน เหตุการณที่เหรียญขึ้นหวั และแตม บนหนาลูกเตาเปน จาํ นวนคู จะได E2 = {H 2, H 4, H 6} 3) ให E3 เปนเหตกุ ารณท ่ีแตม บนหนาลกู เตาเปน จาํ นวนทห่ี ารดว ย 3 ลงตัว จะได E3 = {H 3, H 6, T 3, T 6} สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 201 4) ให E4 เปนเหตกุ ารณที่เหรียญขึ้นกอ ยและแตมบนหนา ลกู เตาเปน จาํ นวนท่ี หารดว ย 7 ลงตัว เนอื่ งจากไมมแี ตมใดบนหนา ลูกเตาทเี่ ปนจาํ นวนท่หี ารดว ย 7 ลงตวั จะได E4 = ∅ 5) ให E5 เปนเหตกุ ารณท ่ีแตมบนหนาลกู เตา เปนจํานวนท่ีหารดวย 7 ไมล งตัว เนอ่ื งจากแตม บนหนาลูกเตาเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 7 ไมลงตัว จะได E5 = {H1, H 2, H 3, H 4, H 5, H 6, T1, T 2, T 3, T 4, T 5, T 6} น่นั คอื E5 = S แบบฝกหัด 4.2 1. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = 30 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จบั สลากไดเ ปนชอื่ ของนักเรยี นชาย จะมีวธิ ีเลือกนักเรียนชาย 1 คน จากนกั เรยี นชาย 18 คน ได 18 วิธี น่ันคือ n(E1 ) =18 จะได P(E=1 ) 1=8 3 30 5 ดงั นัน้ ความนา จะเปนของเหตกุ ารณที่จบั สลากชอ่ื ของนักเรยี นหน่ึงคนไดเ ปน ชือ่ ของนักเรยี นชาย เทา กับ 3 5 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ีจ่ ับสลากไดเ ปนชอ่ื ของนักเรียนหญิง จะมีวิธีเลือกนักเรียนหญงิ 1 คน จากนักเรยี นหญิง 12 คน ได 12 วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

202 คูม ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 นน่ั คือ n(E2 ) =12 จะได P(E=2 ) 1=2 2 30 5 ดังนัน้ ความนาจะเปน ของเหตุการณท ่ีจับสลากชอื่ ของนักเรียนหนง่ึ คนไดเ ปน ช่อื ของนักเรยี นหญงิ เทากบั 2 5 2. ให S แทนปรภิ มู ิตัวอยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S ) = 6 1) ให E1 แทนเหตุการณท ี่จะไดเ บีย้ ทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนเฉพาะ เน่ืองจากเบีย้ ทมี่ ีหมายเลขเปนจํานวนเฉพาะมี 3 อัน คือเบ้ียหมายเลข 3, 7 และ 11 ดังนน้ั จะมีวธิ หี ยิบเบ้ียทีม่ ีหมายเลขเปนจํานวนเฉพาะได 3 วธิ ี นั่นคอื n(E1) = 3 จะได P(E1 )= 3= 1 6 2 ดังนน้ั ความนา จะเปนที่จะไดเบ้ยี ทม่ี หี มายเลขเปน จํานวนเฉพาะ เทากับ 1 2 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีจะไดเ บ้ยี ทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนทห่ี ารดวย 3 ลงตวั เนื่องจากเบี้ยท่มี ีหมายเลขเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวมี 2 อัน คือเบ้ีย หมายเลข 3 และ 9 ดังนน้ั จะมวี ิธหี ยิบเบ้ียทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนทีห่ ารดวย 3 ลงตวั ได 2 วิธี นัน่ คอื n(E2 ) = 2 จะได P(E2 =) 2= 1 6 3 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ทีจ่ ะไดเบีย้ ทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดว ย 3 ลงตัว เทากบั 1 3 3) ให E3 แทนเหตุการณท จ่ี ะไดเบ้ยี ท่ีมีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดว ย 6 ลงตวั สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 4 203 เนอ่ื งจากไมมีเบ้ยี ที่มีหมายเลขเปนจํานวนทหี่ ารดว ย 6 ลงตวั ดงั นน้ั จะมีวธิ ีหยิบเบ้ยี ที่มีหมายเลขเปน จาํ นวนทีห่ ารดว ย 6 ลงตัวได 0 วิธี นั่นคอื n(E3 ) = 0 จะได P(E3 )= 0= 0 6 ดังน้ัน ความนา จะเปน ท่ีจะไดเบ้ยี ท่ีมีหมายเลขเปน จํานวนที่หารดว ย 6 ลงตัว เทากบั 0 4) ให E4 แทนเหตุการณท จ่ี ะไดเบ้ยี ท่มี หี มายเลขเปนจาํ นวนทเี่ ปนกําลังสองสมบรู ณ เนือ่ งจากเบ้ยี ทมี่ หี มายเลขเปนจํานวนทเี่ ปน กําลังสองสมบูรณม ี 2 อนั คือ เบ้ยี หมายเลข 4 และ 9 ดังนน้ั จะมีวธิ ีหยิบเบย้ี ทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนทีเ่ ปน กําลงั สองสมบรู ณได 2 วธิ ี น่ันคอื n(E4 ) = 2 จะได P(E4 =) 2= 1 6 3 ดงั นั้น ความนา จะเปนทจ่ี ะไดเบ้ยี ทมี่ ีหมายเลขเปน จํานวนท่ีเปน กําลงั สองสมบูรณ เทากบั 1 3 3. ให S แทนปรภิ มู ิตวั อยางของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S) =100 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ีจ่ ะไดเ หรียญทีม่ หี มายเลขเปนจาํ นวนเตม็ บวก ดังนัน้ จะมวี ิธีหยิบเหรยี ญท่ีมีหมายเลขเปน จํานวนเตม็ บวกได 100 วิธี นั่นคือ n(E1 ) =100 จะได P(E=1 ) 1=00 1 100 ดังนน้ั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดเหรียญทีม่ ีหมายเลขเปนจาํ นวนเต็มบวก เทากบั 1 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

204 คมู ือครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีจะไดเ หรียญทีม่ หี มายเลขเปน จํานวนคู เนอ่ื งจากเหรียญที่มหี มายเลขเปน จาํ นวนคูมี 50 เหรยี ญ ไดแก เหรียญหมายเลข 2, 4, 6, …, 100 ดังนน้ั จะมีวธิ หี ยบิ เหรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจํานวนคูได 50 วิธี นนั่ คอื n(E2 ) = 50 จะได P(E=2 ) 5=0 1 100 2 ดงั นนั้ ความนา จะเปนทีจ่ ะไดเหรียญที่มหี มายเลขเปนจํานวนคู เทา กบั 1 2 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดเ หรียญทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดวย 5 ลงตัว เนอื่ งจากเหรียญทม่ี หี มายเลขเปน จํานวนทห่ี ารดว ย 5 ลงตวั มี 20 เหรยี ญ ไดแ ก เหรียญหมายเลข 5, 10, 15, …, 100 จะมวี ิธหี ยิบเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปนจาํ นวนทหี่ ารดวย 5 ลงตัว ได 20 วิธี นั่นคอื n(E3) = 20 จะได P(E=3) 2=0 1 100 5 ดังนั้น ความนาจะเปนทจ่ี ะไดเหรยี ญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนท่ีหารดวย 5 ลงตัว เทา กับ 1 5 4) วิธที ี่ 1 ให E4 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดเหรียญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่ หารดว ย 5 ไมล งตัว จากขอ 3) มีเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนที่หารดวย 5 ลงตัว 20 เหรยี ญ ดงั นั้น มีเหรียญที่มีหมายเลขเปนจํานวนท่หี ารดว ย 5 ไมลงตัว 80 เหรยี ญ จะมวี ธิ หี ยิบเหรียญทม่ี ีหมายเลขเปนจาํ นวนที่หารดวย 5 ไมลงตัว ได 80 วธิ ี น่ันคือ n(E4 ) = 80 สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 205 จะได P(E=4 ) 8=0 4 100 5 ดังน้นั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดเหรยี ญทมี่ ีหมายเลขเปน จํานวนที่ หารดว ย 5 ไมลงตวั เทากับ 4 5 วิธีที่ 2 ให E4 แทนเหตกุ ารณทจี่ ะไดเ หรียญท่ีมีหมายเลขเปนจํานวนท่ี หารดว ย 5 ไมล งตวั เน่อื งจาก ความนา จะเปน ท่ีจะไดเหรยี ญท่มี ีหมายเลขเปน จํานวนท่ี หารดวย 5 ลงตัว เทา กับ 1 5 จะได P ( E4 ) =1 − 1 =4 5 5 ดงั นน้ั ความนา จะเปน ทจี่ ะไดเหรยี ญทม่ี หี มายเลขเปน จาํ นวนที่ หารดวย 5 ไมลงตัว เทากบั 4 5 4. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n(S) = 20 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่หยบิ ไดลูกปงปองสีแดง เน่อื งจากมีลกู ปง ปองสแี ดงอยู 15 ลูก ดังน้ัน จะมวี ธิ ีหยบิ ลูกปงปองสีแดงได 15 วิธี นั่นคอื n(E1) =15 จะได P(E=1 ) 1=5 3 20 4 ดงั นน้ั ความนา จะเปนทีจ่ ะหยิบไดลกู ปง ปองสแี ดง เทากบั 3 4 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ีห่ ยิบไมไดล ูกปงปองสดี ํา เนอ่ื งจากมีลูกปง ปองสีอื่นทไี่ มใชส ดี าํ อยู 19 ลูก สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

206 คูม อื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 ดงั นั้น จะมวี ิธีหยิบไมไดลกู ปง ปองสีดาํ 19 วิธี น่นั คือ n(E2 ) =19 จะได P ( E2 ) = 19 20 ดงั นั้น ความนา จะเปนทจ่ี ะหยิบไมไ ดล ูกปง ปองสดี าํ เทา กับ 19 20 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่หยิบไดลกู ปง ปองสดี าํ หรือสขี าว กรณที ี่ 1 หยบิ ไดลกู ปงปองสีดํา เนอ่ื งจากมีลูกปงปองสีดาํ อยู 1 ลกู จะมีวธิ ีหยบิ ลูกปงปองสีดาํ ได 1 วธิ ี กรณที ี่ 2 หยบิ ไดลูกปง ปองสขี าว เน่ืองจากมลี กู ปง ปองสขี าวอยู 1 ลกู จะมีวิธหี ยบิ ลูกปงปองสขี าวได 1 วิธี โดยหลกั การบวก จะมีวธิ ีหยิบไดลูกปงปองสดี าํ หรือสขี าว 1 + 1 = 2 วธิ ี นนั่ คอื n(E3 ) = 2 จะได P(E=3 ) =2 1 20 10 ดังนั้น ความนาจะเปน ท่จี ะหยิบไดล ูกปง ปองสดี าํ หรือสีขาว เทากับ 1 10 5. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n(=S ) C=5,2 10 ให E แทนเหตุการณทจี่ ะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสยี 1 หลอด ขัน้ ที่ 1 หยบิ หลอดไฟดี 1 หลอด จากหลอดดีทั้งหมด 3 หลอด จะได 3 วิธี ขั้นที่ 2 หยบิ หลอดไฟเสยี 1 หลอด จากหลอดเสยี ทั้งหมด 2 หลอด จะได 2 วธิ ี ดังนน้ั n(E) =3× 2 =6 จะได P(E=) 6= 3 10 5 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 207 ดงั นนั้ ความนาจะเปน ท่จี ะไดหลอดดี 1 หลอด และหลอดเสยี 1 หลอด เทากบั 3 5 6. ให S แทนปริภูมิตัวอยางของการทดลองสุม นี้ จะได n(=S ) C=4,2 6 ให E แทนเหตกุ ารณที่จะไดถงุ เทา ทั้งสองคเู ปน สเี ดยี วกัน กรณีท่ี 1 หยบิ ไดถงุ เทาท้ังสองคูเ ปนสขี าว มไี ด 1 วธิ ี กรณีท่ี 2 หยบิ ไดถ งุ เทา ทงั้ สองคเู ปน สีดํา มไี ด 1 วิธี น่นั คือ n(E) =1+1 = 2 จะได P(E)= 2= 1 63 ดังนน้ั ความนาจะเปนทจ่ี ะไดถุงเทา ท้ังสองคเู ปนสเี ดียวกัน เทากบั 1 3 7. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = 6× 6 = 36 ให E แทนเหตุการณที่ผลคูณของแตม ที่ไดเปน จํานวนคู วธิ ีท่ี 1 ในการทอดลกู เตาทีเ่ ทยี่ งตรงสองลูกหนึง่ คร้ัง ผลคูณของแตม ทไี่ ดจะเปน จาํ นวนคเู ปน ได 3 กรณี กรณที ี่ 1 ทอดลกู เตา ท้ังสองลูกไดแ ตมเปนจาํ นวนคู จาํ นวนคู จาํ นวนคู ลูกที่ 1 ลกู ที่ 2 แตมท่ีไดในการทอดลูกเตาลูกที่ 1 เปนได 3 วธิ ี คือ 2, 4 หรอื 6 แตม ที่ไดในการทอดลูกเตาลูกท่ี 2 เปนได 3 วธิ ี คอื 2, 4 หรือ 6 จะมีจาํ นวนวิธีที่ผลคูณของแตมท่ไี ดเ ปนจํานวนคู 3×3 =9วิธี สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

208 คูม อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 กรณที ี่ 2 ทอดลกู เตา ลูกที่ 1 ไดแ ตมเปนจาํ นวนคเู พียงลูกเดียว จํานวนคู จาํ นวนคี่ ลกู ที่ 1 ลกู ที่ 2 แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตา ลูกที่ 1 เปน ได 3 วิธี คอื 2, 4 หรอื 6 แตม ท่ีไดใ นการทอดลูกเตาลูกท่ี 2 เปน ได 3 วิธี คอื 1, 3 หรือ 5 จะมีจาํ นวนวิธีท่ีผลคูณของแตมที่ไดเ ปน จํานวนคู 3×3 =9วิธี กรณีที่ 3 ทอดลูกเตาลกู ท่ี 2 ไดแตมเปนจํานวนคเู พียงลูกเดียว จาํ นวนค่ี จํานวนคู ลกู ที่ 1 ลกู ที่ 2 แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตาลูกที่ 1 เปนได 3 วิธี คือ 1, 3 หรือ 5 แตม ท่ีไดในการทอดลกู เตาลูกท่ี 2 เปน ได 3 วิธี คือ 2, 4 หรอื 6 จะมจี ํานวนวธิ ีท่ีผลคณู ของแตมท่ีไดเ ปน จํานวนคู 3×3 =9วิธี โดยหลกั การบวก จะมีวิธีทอดลกู เตา ทีผ่ ลคณู ของแตมท่ีไดเ ปน จาํ นวนคู 9 + 9 + 9 = 27 วิธี นนั่ คือ n(E) = 27 จะได P(E=) 2=7 3 36 4 ดงั นน้ั ความนา จะเปนทีผ่ ลคูณของแตม ท่ไี ดเ ปน จาํ นวนคู เทา กบั 3 4 วธิ ีที่ 2 ในการทอดลูกเตา ท่ีเทยี่ งตรงสองลูกหน่ึงคร้ัง ผลคูณของแตมทไ่ี ดจะเปน จาํ นวนค่เี มอ่ื แตมท่ีไดจ ากการทอดลูกเตา ทั้งสองลูกเปนจาํ นวนคี่ จะไดจาํ นวนวิธที ีไ่ ดผลคูณของแตมเปน จํานวนคี่ C3,1 ×C3,1 = 3×3 = 9 วิธี สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 4 209 ดังน้ันจาํ นวนวิธีท่ไี ดผ ลคณู ของแตม เปนจํานวนคู 36 – 9 = 27 วิธี น่นั คือ n(E) = 27 จะได P(E=) 2=7 3 36 4 ดังนัน้ ความนา จะเปนทผี่ ลคูณของแตมท่ไี ดเปนจํานวนคู เทากับ 3 4 8. 1) ให S1 แทนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(=S1 ) C=4,2 6 ให E1 แทนเหตุการณที่หยิบไดลกู บอลสแี ดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลูก นั่นคอื ( )n E1 = C2,1 × C2,1 = 2 × 2 = 4 จะได P ( E1 =) 4= 2 6 3 ดงั นนั้ ความนาจะเปน ทีห่ ยิบไดล ูกบอลสีแดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลกู เม่อื หยิบ ลูกบอลสองลูกพรอมกนั เทา กับ 2 3 2) ให S2 แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได ( )n S2 = C4, 1 × C3, 1 = 12 ให E2 แทนเหตุการณทหี่ ยิบไดลกู บอลสแี ดงและสีเขยี วอยา งละ 1 ลกู กรณีที่ 1 หยิบลูกบอลลกู แรกไดส ีแดง มีวิธีหยิบลกู บอลลูกแรกไดสีแดง C2,1 = 2 วิธี มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลูกที่สองไดสีเขยี ว C2,1 = 2 วิธี ดงั นัน้ มีวิธหี ยิบลกู บอลลูกแรกไดสีแดง และลูกบอลลกู ท่สี องได สีเขียว 2× 2 =4 วธิ ี สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

210 คูมือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 กรณีท่ี 2 หยิบลูกบอลลูกแรกไดสีเขยี ว มีวธิ หี ยิบลูกบอลลูกแรกไดส เี ขยี ว C2,1 = 2 วธิ ี มวี ิธหี ยิบลูกบอลลูกทีส่ องไดสีแดง C2,1 = 2 วิธี ดังน้นั มีวธิ ีหยบิ ลูกบอลลูกแรกไดส เี ขยี ว และลูกบอลลูกทส่ี องได สแี ดง 2× 2 =4 วิธี โดยหลักการบวก จะไดจํานวนวิธหี ยิบไดลกู บอลสีแดงและสีเขียวอยา งละ 1 ลกู อยู 4 + 4 = 8 วธิ ี นนั่ คือ n(E2 ) = 8 จะได P ( E2=) 8= 2 12 3 ดังนั้น ความนาจะเปนทีห่ ยบิ ไดลกู บอลสีแดงและสีเขียวอยางละ 1 ลูก เมื่อหยิบ ลกู บอลทีละลูกโดยไมใสค ืนกอนจะหยบิ ลกู บอลลูกทีส่ อง เทากับ 2 3 3) ให S3 แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n( S3 ) = C4,1 × C4,1 = 4 × 4 =16 ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีหยบิ ไดล กู บอลสแี ดงและสีเขียวอยา งละ 1 ลกู กรณีที่ 1 หยบิ ลกู บอลลกู แรกไดส แี ดง มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลกู แรกไดสแี ดง C2,1 = 2 วธิ ี มีวธิ ีหยิบลูกบอลลูกทส่ี องไดส ีเขยี ว C2,1 = 2 วิธี ดังน้ัน มวี ธิ ีหยบิ ลกู บอลลูกแรกไดส แี ดง และลกู บอลลกู ท่สี องได สีเขยี ว 2× 2 =4 วิธี กรณที ่ี 2 หยบิ ลูกบอลลกู แรกไดสเี ขยี ว มีวธิ ีหยบิ ลกู บอลลกู แรกไดสีเขยี ว C2,1 = 2 วธิ ี สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 211 มีวธิ ีหยบิ ลูกบอลลูกท่สี องไดส ีแดง C2,1 = 2 วธิ ี ดังนนั้ มวี ิธหี ยิบลกู บอลลกู แรกไดสีเขยี ว และลูกบอลลกู ทส่ี องได สแี ดง 2× 2 =4 วิธี โดยหลกั การบวก จะไดจ าํ นวนวิธีหยิบไดลกู บอลสีแดงและสเี ขียวอยา งละ 1 ลูก อยู 4 + 4 = 8 วธิ ี น่นั คือ n(E3 ) = 8 จะได P(E3=) 8= 1 16 2 ดงั น้ัน ความนา จะเปนท่หี ยบิ ไดล กู บอลสแี ดงและสเี ขยี วอยา งละ 1 ลกู เม่ือหยิบ ลูกบอลทลี ะลูกโดยใสคนื กอนจะหยบิ ลูกบอลลูกทส่ี อง เทากับ 1 2 แบบฝก หัดทา ยบท 1. ให H แทนเหรยี ญข้ึนหวั T แทนเหรยี ญขนึ้ กอ ย 1) ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยา งของการทดลองสุมน้ี เนื่องจากผลลพั ธท ี่เปน ไปไดจ ากการโยนเหรยี ญหน่ึงเหรยี ญสามครงั้ คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH และ TTT ดังนั้น S = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT} 2) ให E1 แทนเหตุการณท ีเ่ หรยี ญขึ้นหัวเพยี งหน่ึงครั้ง เน่อื งจากเหตกุ ารณท ่ีเหรยี ญขึ้นหวั เพยี งหนึ่งครง้ั ไดแ ก HTT, THT และ TTH ดงั นน้ั E1 = {HTT , THT, TTH} สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

212 คูม ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 3) ให E2 แทนเหตุการณท เ่ี หรยี ญข้ึนหวั สามคร้งั เน่อื งจากเหตกุ ารณท ี่เหรยี ญขึ้นหวั สามครง้ั คอื HHH ดังนน้ั E2 = {HHH} 4) ให E3 แทนเหตกุ ารณท ีเ่ หรียญขน้ึ หัวอยา งนอยหนึ่งคร้ัง เนอ่ื งจากเหตกุ ารณที่เหรยี ญข้ึนหวั อยา งนอยหนึ่งคร้งั ไดแก HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT และ TTH ดงั นน้ั E3 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH} 5) ให E4 แทนเหตกุ ารณทเี่ หรยี ญไมขึ้นหัวเลย เน่ืองจากเหตุการณทเี่ หรียญไมข้นึ หวั เลย คอื TTT ดังนน้ั E4 = {TTT} 2. ให R แทนลูกบอลสแี ดง W แทนลกู บอลสีขาว G แทนลกู บอลสีเขยี ว 1) ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้ เนือ่ งจากผลลัพธท ่ีเปนไปไดจากการหยิบลูกบอลทลี ะลูกแลวใสค ืนกอนหยิบ ลูกบอลลกู ทส่ี อง จากกลอ งท่ีบรรจุลกู บอลสแี ดง 1 ลูก สขี าว 1 ลกู และสีเขยี ว 1 ลกู คือ RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW และ GG ดงั นน้ั S = { RR, RW , RG, WR, WW , WG, GR, GW , GG } 2) ให E แทนเหตุการณทไ่ี ดล ูกบอลสีขาวและสแี ดงอยางละหนง่ึ ลูก เน่อื งจากเหตกุ ารณทไ่ี ดลูกบอลสขี าวและสแี ดงอยางละ 1 ลูก ไดแ ก RW และ WR ดังน้ัน E = {RW , WR} สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 213 3. ให S เปนปรภิ มู ิตวั อยา งของการทดลองสมุ จากตาราง มีใบสัง่ ซ้ือสนิ คา ทัง้ หมด 212 + 389 +124 +105 +170 =1000 ใบ จะได n(S ) = 1000 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ีใบสัง่ ซื้อสนิ คาทส่ี มุ มาจะเปน ใบสั่งซ้ือสินคาจากภาคเหนือ จากตาราง มใี บส่ังซอื้ สนิ คาจากภาคเหนอื 212 ใบ น่ันคอื n(E1) = 212 จะได P(=E1 ) 2=12 53 1000 250 ดังน้นั ความนาจะเปนทีใ่ บสั่งซือ้ สินคาทส่ี ุมมาจะเปนใบส่ังซ้อื สนิ คาจากภาคเหนือ เทา กับ 53 250 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท ่ีใบสง่ั ซ้ือสินคา ท่สี ุมมาจะเปน ใบสงั่ ซื้อสนิ คา จากภาคกลาง จากตาราง มีใบสงั่ ซื้อสินคาจากภาคกลาง 389 ใบ นั่นคือ n(E2) = 389 จะได P ( E2 ) = 389 1000 ดงั นั้น ความนาจะเปนทีใ่ บสงั่ ซ้ือสินคาทีส่ ุมมาจะเปน ใบสง่ั ซอ้ื สนิ คา จากภาคกลาง เทากบั 389 1000 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีใบสัง่ ซื้อสนิ คา ทีส่ ุมมาจะเปนใบสั่งซื้อสินคา จากภาคตะวนั ออก จากตาราง มใี บสงั่ ซอ้ื สินคาจากภาคตะวนั ออก 124 ใบ น่นั คือ n(E3) =124 จะได P(=E3 ) 1=24 31 1000 250 ดังนัน้ ความนาจะเปน ที่ใบสั่งซือ้ สินคา ที่สุมมาจะเปน ใบสั่งซ้ือสนิ คาจากภาคตะวันออก เทา กบั 31 250 4) ให E4 แทนเหตุการณที่ใบสง่ั ซ้ือสนิ คาทสี่ มุ มาจะเปนใบส่งั ซื้อสนิ คาจากภาค ตะวนั ออกเฉยี งเหนือ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

214 คูมือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 4 จากตาราง มีใบส่งั ซอื้ สนิ คา จากภาคตะวันออกเฉยี งเหนือ 105 ใบ นัน่ คือ n(E4 ) =105 จะได P(=E4 ) 1=05 21 1000 200 ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่ีใบสง่ั ซือ้ สนิ คา ที่สุมมาจะเปนใบสัง่ ซอื้ สินคาจากภาค ตะวนั ออกเฉยี งเหนอื เทากบั 21 200 5) ให E5 แทนเหตุการณที่ใบส่ังซื้อสินคา ทีส่ ุมมาจะเปน ใบสงั่ ซื้อสนิ คาจากภาค ใต จากตาราง มีใบสง่ั ซื้อสินคาจากภาคใต 170 ใบ นนั่ คอื n(E5) =170 จะได P (=E5 ) 1=70 17 1000 100 ดังนน้ั ความนา จะเปนทใ่ี บสัง่ ซอ้ื สินคาที่สุมมาจะเปนใบสั่งซ้อื สินคาจากภาคใต เทา กับ 17 100 4. ให S แทนปริภูมติ วั อยางของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) =100 1) ให E1 แทนเหตุการณท น่ี กั เรยี นคนหนงึ่ จะสวมรองเทา เบอร 7 จากตาราง มนี ักเรียนที่สวมรองเทาเบอร 7 อยู 35 คน นน่ั คือ n(E1) = 35 จะได P(E=1 ) 3=5 7 100 20 ดังนน้ั ความนา จะเปนทีน่ กั เรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทาเบอร 7 เทากับ 7 20 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทนี่ กั เรียนคนหน่ึงจะสวมรองเทาเล็กกวาเบอร 8 จากตาราง มีนักเรียนทส่ี วมรองเทา ขนาดเลก็ กวาเบอร 8 อยู 3 + 12 + 35 = 50 คน นนั่ คอื n(E2 ) = 50 จะได P(E=2 ) 5=0 1 100 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 215 ดงั นั้น ความนาจะเปน ท่ีนักเรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทา เล็กกวา เบอร 8 เทา กบั 1 2 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่นี ักเรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทาเบอร 8 หรือ 9 จากตาราง มีนักเรยี นท่สี วมรองเทาขนาดเบอร 8 หรอื 9 อยู 27 + 16 = 43 คน นัน่ คอื n(E3 ) = 43 จะได P ( E3 ) = 43 100 ดงั นัน้ ความนา จะเปน ทนี่ กั เรียนคนหน่ึงจะสวมรองเทาเบอร 8 หรอื 9 เทากับ 43 100 4) ให E4 แทนเหตุการณท ่นี ักเรยี นคนหนึ่งจะสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 จากตาราง มีนักเรยี นทส่ี วมรองเทา ขนาดเบอร 5 หรือ 10 อยู 3 + 7 = 10 คน นนั่ คือ n(E4 ) =10 จะได P(E=4 ) 1=0 1 100 10 ดังน้ัน ความนา จะเปนท่ีนกั เรียนคนหน่งึ จะสวมรองเทาเบอร 5 หรือ 10 เทากบั 1 10 5) ให E5 แทนเหตกุ ารณท ี่นกั เรียนคนหนึ่งจะสวมรองเทา ใหญกวาเบอร 10 จากตาราง ไมมนี ักเรียนทส่ี วมรองเทาใหญก วา เบอร 10 น่ันคอื n(E5 ) = 0 จะได P(E5 ) = 0 ดังนั้น ความนาจะเปนที่นกั เรียนคนหนง่ึ จะสวมรองเทา ใหญก วาเบอร 10 เทากบั 0 5. ให S เปน ปริภมู ิตัวอยางของการทดลองสมุ จากตาราง มีจํานวนพนกั งานขายทงั้ หมด 30 + 50 + 80 + 70 + 20 =250 คน จะได n(S ) = 250 สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

216 คูม อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 1) ให E1 แทนเหตุการณท ่ีพนักงานคนหน่งึ จะขายสินคาไดต งั้ แต 10,000 ถึง 19,999 บาท จากตาราง จํานวนพนักงานขายท่ขี ายสินคาไดตัง้ แต 10,000 ถงึ 19,999 บาท เทากับ 50 คน นัน่ คือ n(E1) = 50 จะได P(=E1 ) 5=0 1 250 5 ดังนัน้ ความนาจะเปนทพ่ี นักงานขายคนหนงึ่ จะขายสินคา ไดต ัง้ แต 10,000 ถงึ 19,999 บาท เทา กับ 1 5 2) ให E2 แทนเหตุการณท ่ีพนักงานคนหนึ่งจะขายสนิ คา ไดน อ ยกวา 20,000 บาท จากตาราง จาํ นวนพนักงานขายทขี่ ายสินคาไดน อยกวา 20,000 บาท เทา กบั 30 + 50 =80 คน นัน่ คอื n(E2 ) = 80 จะได P(E=2 ) 8=0 8 250 25 ดังนั้น ความนาจะเปน ทพ่ี นักงานขายคนหน่งึ จะขายสินคาไดน อยกวา 20,000 บาท เทากบั 8 25 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีพนักงานคนหนงึ่ จะขายสนิ คา ไดต่าํ กวา 10,000 บาท หรอื อยางนอย 40,000 บาท จากตาราง จํานวนพนักงานขายทข่ี ายสินคา ไดตาํ่ กวา 10,000 บาท เทากับ 30 คน และจํานวนพนักงานที่ขายสนิ คา ไดอยางนอย 40,000 บาท เทา กับ 20 คน จะไดวา จํานวนพนักงานท่ีขายสินคา ไดต่ํากวา 10,000 บาท หรืออยางนอย 40,000 บาท เทา กบั 30 + 20 =50 คน สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 217 น่ันคอื n(E3) = 50 จะได P(E=3 ) 5=0 1 250 5 ดังนัน้ ความนา จะเปน ท่ีพนักงานขายคนหน่ึงจะขายสนิ คาไดต ่าํ กวา 10,000 บาท หรอื อยา งนอย 40,000 บาท เทากับ 1 5 6. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี จะได n(S) =10 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณทลี่ กู ศรจะชีท้ ชี่ องทม่ี ีเลขโดดเปน 1 จากรปู มีชอ งที่มีเลขโดดเปน 1 อยู 1 ชอ ง น่ันคอื n(E1) =1 จะได P ( E1 ) = 1 10 ดงั นนั้ ความนา จะเปน ท่ีลูกศรจะชท้ี ช่ี อ งท่ีมเี ลขโดดเปน 1 เทา กับ 1 10 2) ให E2 แทนเหตุการณท่ีลูกศรจะชท้ี ่ีชองที่มเี ลขโดดเปน 6 จากรูปมชี องที่มีเลขโดดเปน 6 อยู 2 ชอง นั่นคือ n(E2 ) = 2 จะได P(E2=) 2= 1 10 5 ดงั น้นั ความนาจะเปน ท่ลี กู ศรจะชที้ ี่ชองที่มเี ลขโดดเปน 6 เทากบั 1 5 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่ลกู ศรจะชีท้ ี่ชองที่มเี ลขโดดเปน จํานวนคู จากรปู มีชอ งท่มี ีเลขโดดเปน จํานวนคู คือ 2, 4 หรือ 6 อยทู ั้งหมด 6 ชอ ง นนั่ คือ n(E3 ) = 6 จะได P(E3=) 6= 3 10 5 ดงั นั้น ความนา จะเปนท่ลี ูกศรจะชท้ี ี่ชองท่ีมีเลขโดดเปน จํานวนคู เทา กับ 3 5 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

218 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 4) ให E4 แทนเหตุการณท ่ลี ูกศรจะชท้ี ่ชี อ งท่มี เี ลขโดดเปน จํานวนค่ี จากรปู มชี องทม่ี เี ลขโดดเปนจํานวนคี่ คือ 1, 3, 5 หรือ 7 อยทู ้งั หมด 4 ชอ ง น่นั คือ n(E4 ) = 4 จะได P(E4=) 4= 2 10 5 ดงั นน้ั ความนาจะเปนทีล่ ูกศรจะชท้ี ีช่ อ งที่มีเลขโดดเปน จํานวนค่ี เทากับ 2 5 5) ให E5 แทนเหตุการณท่ลี ูกศรจะช้ีทชี่ องท่มี เี ลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ จากรูปมีชองที่มีเลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ คอื 2, 3, 5 หรือ 7 อยทู ัง้ หมด 5 ชอ ง นั่นคอื n(E5 ) = 5 จะได P(E5=) 5= 1 10 2 ดังนั้น ความนา จะเปนทล่ี ูกศรจะช้ที ี่ชอ งท่ีมีเลขโดดเปน จํานวนเฉพาะ เทากับ 1 2 6) ให E6 แทนเหตุการณที่ลกู ศรจะชีท้ ช่ี องทีม่ เี ลขโดดเปนจํานวนท่ีนอ ยกวา 8 จากรปู มชี อ งท่ีมเี ลขโดดเปนจํานวนทนี่ อยกวา 8 คอื 1, 2, 3, 4, 5, 6 หรือ 7 อยูท ้ังหมด 10 ชอ ง น่ันคอื n(E6 ) =10 จะได P ( E6=) 1=0 1 10 ดังนั้น ความนาจะเปนทีล่ กู ศรจะชท้ี ช่ี อ งที่มีเลขโดดเปนจํานวนทนี่ อยกวา 8 เทา กบั 1 7. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยางของการทดลองนี้ เน่ืองจากใน 1 ป มี 365 วนั ดังนนั้ วันเกิดท่ีเปน ไปไดของคนหน่ึงคนมีได 365 วธิ ี จะไดว าวันเกิดทเี่ ปน ไปไดของคน 2 คน มไี ด 365×365 วิธี สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 219 นน่ั คอื n(=S) 365× 365 ให E แทนเหตกุ ารณทคี่ น 2 คน เกิดในวันท่แี ละเดอื นเดยี วกัน ข้ันที่ 1 วันเกดิ ของคนท่ี 1 มีได 365 วิธี ขน้ั ที่ 2 เน่อื งจากทัง้ สองคนเกดิ ในวนั ทแ่ี ละเดือนเดยี วกนั นัน่ คือวันเกดิ ของคนที่ 2 มไี ด 1 วิธี โดยหลกั การคณู เหตุการณที่คน 2 คน จะเกดิ ในวนั และเดือนเดียวกนั มีได 365×1=365 วธิ ี นนั่ คอื n(E) = 365 จะได= P(E) =365 1 365× 365 365 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ท่ีคน 2 คน จะเกดิ ในวันที่และเดือนเดยี วกนั เทากบั 1 365 8. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยา งของการทดลองสุมนี้ E แทนเหตุการณท่เี หรยี ญข้นึ หัวในการโยนเหรียญครัง้ แรก น่ันคอื n(S=) 2=5 32 เนื่องจากจํานวนวธิ ีทเ่ี หรยี ญขึ้นหวั ในการโยนเหรยี ญครั้งแรก ในการโยนเหรียญหนึง่ เหรียญ หา คร้งั มี 1× 2× 2× 2× 2 =16 วธิ ี น่นั คือ n(E) =16 จะได P(E=) 1=6 1 32 2 ดังนั้น ความนา จะเปน ทีเ่ หรยี ญแรกขึ้นหัว ในการโยนเหรยี ญคร้งั แรก เทา กับ 1 2 9. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยา งของการทดลองสุม น้ี เนื่องจากบุตรแตล ะคนเปน เพศชายหรือเพศหญิง จะได n(S ) = 2× 2× 2 = 8 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

220 คมู อื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่บตุ รทั้งสามเปนผูหญงิ ขน้ั ท่ี 1 เหตุการณทบ่ี ุตรคนท่ี 1 เปน ผูหญงิ มีได 1 วิธี ขัน้ ที่ 2 เหตุการณทบ่ี ุตรคนที่ 2 เปน ผหู ญงิ มีได 1 วิธี ขน้ั ที่ 3 เหตกุ ารณท่บี ุตรคนท่ี 3 เปน ผหู ญงิ มไี ด 1 วิธี โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีบตุ รทง้ั สามเปน ผูหญิง มีได 1×1×1=1 วธิ ี น่ันคอื n(E1 ) =1 จะได P ( E1 ) = 1 8 ดงั น้นั ความนาจะเปนทบ่ี ตุ รทั้งสามเปนผหู ญิง เทา กบั 1 8 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท่ีมีบตุ รชายอยา งนอย 3 คน เนือ่ งจากครอบครัวน้ีมีบุตร 3 คน ดังนัน้ เหตกุ ารณทมี่ ีบตุ รชายอยา งนอย 3 คน คอื เหตุการณท บ่ี ตุ รทั้งสามคนเปนผชู าย ขัน้ ท่ี 1 เหตุการณทบ่ี ุตรคนท่ี 1 เปนผชู าย มีได 1 วิธี ข้ันท่ี 2 เหตกุ ารณท ี่บุตรคนท่ี 2 เปนผชู าย มีได 1 วธิ ี ขั้นท่ี 3 เหตกุ ารณทีบ่ ุตรคนท่ี 3 เปน ผชู าย มีได 1 วิธี โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีมบี ตุ รชายอยา งนอย 3 คน มไี ด 1×1×1=1 วธิ ี น่ันคือ n(E2 ) =1 จะได P ( E2 ) = 1 8 ดงั นน้ั ความนาจะเปน ท่มี บี ุตรชายอยางนอย 3 คน เทา กับ 1 8 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณท่ีบตุ รคนแรกและคนสุดทา ยเปน ผชู าย ข้ันที่ 1 เหตกุ ารณท่ีบุตรคนแรกเปนผูชาย มไี ด 1 วิธี ข้ันที่ 2 เหตกุ ารณท ่ีบุตรคนสุดทายเปนผูชาย มไี ด 1 วธิ ี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 4 221 ข้ันท่ี 3 เหตุการณท ่ีบุตรคนที่ 2 เปน ผูชายหรือผูห ญงิ มไี ด 2 วธิ ี โดยหลกั การคณู เหตุการณท่ีมีบตุ รคนแรกและคนสุดทา ยเปนผชู าย มีได 1×1× 2 =2 วิธี นั่นคอื n(E3 ) = 2 จะได P ( E3 =) 2= 1 8 4 ดังน้นั ความนาจะเปน ทมี่ ีบุตรคนแรกและคนสดุ ทายเปน ผูชาย เทากบั 1 4 10. ให S แทนปริภูมิตัวอยา งของการทดลองสุม นี้ จะได n(S) = 6× 6 = 36 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ีผ่ ลบวกของแตมบนหนา ลูกเตาทง้ั สองมากกวา 3 เนอ่ื งจากเหตกุ ารณท ี่ผลบวกของแตมบนหนาลกู เตา ทัง้ สองไมมากกวา 3 ไดแก (1, 1), (1, 2) และ (2, 1) น่ันคอื จํานวนวิธีท่ีผลบวกของแตมบนหนา ลกู เตาทงั้ สองไมมากกวา 3 มี 3 วธิ ี จะได จาํ นวนวธิ ที ่ีผลบวกของแตม บนหนา ลูกเตามากกวา 3 มี 36 – 3 = 33 วิธี นน่ั คือ n(E1 ) = 33 จะได P ( E=1 ) 3=3 11 36 12 ดังน้นั ความนา จะเปน ท่ผี ลบวกของแตมบนหนาลูกเตา มากกวา 3 เทากบั 11 12 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณท แ่ี ตมบนหนาลกู เตาท้งั สองไมซ้ํากนั เน่ืองจากเหตุการณทแ่ี ตมบนหนาลูกเตาทั้งสองซํ้ากัน มี 6 วธิ ี ไดแก (1, 1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5) และ (6,6) จะได เหตุการณที่แตม บนหนาลกู เตา ทง้ั สองไมซ้ํากัน มี 36 – 6 = 30 วิธี น่นั คือ n(E2 ) = 30 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

222 คมู ือครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 จะได P ( E=2 ) 3=0 5 36 6 ดังนั้น ความนาจะเปน ทแ่ี ตมบนหนา ลกู เตาทง้ั สองไมซ ํา้ กัน เทา กับ 5 6 11. ให S แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุม น้ี จะได n(S) = 6× 6 = 36 ให E แทนเหตกุ ารณท ี่ผูประชมุ เขา และออกประตทู ่ีตา งกัน ขัน้ ท่ี 1 เลอื กประตเู ขา ได 6 วิธี ขั้นท่ี 2 เลอื กประตอู อกทีไ่ มซ ํ้ากับประตเู ขา ได 5 วิธี โดยหลักการคูณ จาํ นวนวธิ ที ี่ผูประชมุ เขา และออกประตูท่ีตางกนั ได 6×5 =30 วธิ ี น่ันคือ n(E) = 30 จะได P(E=) 3=0 5 36 6 ดังนนั้ ความนา จะเปน ท่ผี ูเขาประชมุ คนหนึ่งจะเขาและออกประตูท่ตี า งกนั เทา กบั 5 6 12. ให S แทนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S) = 5 ให E แทนเหตุการณท ่นี ักเรยี นคนนจ้ี ะตอบผิด เนือ่ งจากจาํ นวนวธิ ที ่ีนกั เรยี นคนนี้จะตอบถูก มีได 1 วิธี ดังนัน้ จํานวนวิธที น่ี กั เรียนคนนจ้ี ะตอบผดิ มีได 5 – 1 = 4 วธิ ี นนั่ คอื n(E) = 4 จะได P(E) = 4 5 ดังน้นั ความนาจะเปน ท่นี ักเรียนคนนีจ้ ะตอบผิด เทากับ 4 5 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 4 223 13. ให E1 เปน เหตุการณทีน่ ักเรียนจะด่ืมนํ้าสม ซ่งึ P(E1)= 1 ≈ 0.17 6 E2 เปนเหตุการณท่นี กั เรียนจะด่ืมน้ําเกกฮวย ซึ่ง P ( E2=) 3= 0.30 10 E3 เปน เหตกุ ารณที่นักเรียนจะด่ืมนม ซ่ึง P(E3 =) 2= 0.40 5 E4 เปนเหตกุ ารณที่นักเรยี นจะดื่มนาํ้ อัดลม ซ่ึง P ( E4=) 2 ≈ 0.13 15 นนั่ คอื P(E3 ) > P(E2 ) > P( E1 ) > P( E4 ) ดังนนั้ ถา รานคาตองการนาํ เครอ่ื งดื่มมาขายเพียง 3 ชนิด รานคาควรนํานม นา้ํ เกก ฮวย และน้ําสมมาขาย 14. ให S แทนปรภิ ูมิตวั อยางของการทดลองสมุ นี้ จะได n( S ) = C10, 1 × C9, 1 = 90 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ่จี ะไดล กู บอลสแี ดงท้ังสองลกู ขัน้ ที่ 1 มวี ิธที ่ีจะหยิบลกู บอลลกู แรกไดลกู บอลสแี ดง C3,1 = 3 วธิ ี ขั้นท่ี 2 มีวิธที จ่ี ะหยบิ ลกู บอลลกู ท่ีสองไดล กู บอลสแี ดง C2,1 = 2 วิธี โดยหลกั การคูณ มวี ิธีที่จะหยิบไดล ูกบอลสแี ดงทัง้ สองลูก 3× 2 =6 วธิ ี น่นั คือ n(E1 ) = 6 จะได P( E=1 ) 6= 1 90 15 ดงั น้นั ความนาจะเปนทีจ่ ะไดลกู บอลสแี ดงท้ังสองลูก เทากับ 1 15 2) ให E2 แทนเหตุการณท ีจ่ ะหยิบไดล ูกบอลสขี าวและสดี ํา กรณีที่ 1 มวี ิธีท่จี ะหยิบลกู บอลลูกแรกไดเ ปน สีขาว C2,1 = 2 วิธี มวี ธิ ที ่จี ะหยิบลกู บอลลูกทีส่ องไดเปนสดี าํ C5,1 = 5 วิธี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

224 คูม ือครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 โดยหลกั การคูณ มีวธิ ีทีจ่ ะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สขี าว และหยบิ ลกู บอล ลูกท่ีสองไดเปน สีดํา 2×5 =10 วธิ ี กรณีที่ 2 มีวธิ ที ี่จะหยบิ ลูกบอลลกู แรกไดเปนสีดาํ C5,1 = 5 วิธี มีวธิ ีที่จะหยิบลกู บอลลูกทส่ี องไดเ ปน สีขาว C2,1 = 2 วธิ ี โดยหลกั การคณู มีวธิ ีที่จะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สีดํา และหยิบลูกบอล ลูกทส่ี องไดเปนสีขาว 5× 2 =10 วิธี โดยหลกั การบวก มีวธิ ีท่จี ะหยิบไดล ูกบอลสีขาวและสดี าํ 10 +10 =20 วธิ ี นน่ั คือ n(E2 ) = 20 จะได P ( E=2 ) 2=0 2 90 9 ดังนั้น ความนา จะเปนทจี่ ะไดลูกบอลสีขาวและสดี ํา เทากบั 2 9 15. ให S แทนปริภูมติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได ( )n S = C8, 1 × C7, 1 × C6, 1 = 336 ให E แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะหยิบลกู บอลครัง้ ท่ี 1 ไดล กู บอลสแี ดง และครัง้ ท่ี 2 และ 3 ได ลกู บอลสีเหลือง ข้ันที่ 1 มวี ิธีที่จะหยิบลูกบอลลกู แรกไดเปน สีแดง C2,1 = 2 วธิ ี ขัน้ ท่ี 2 มีวิธที ีจ่ ะหยิบลูกบอลลกู ทส่ี องไดเปน สีเหลือง C3,1 = 3 วิธี ขัน้ ที่ 3 มวี ิธีที่จะหยบิ ลูกบอลลูกท่ีสามไดเปน สีเหลือง C2,1 = 2 วิธี โดยหลักการคณู มีวิธีที่จะหยิบไดลกู บอลสแี ดง 1 ลูก และสีเหลือง 2 ลกู ตามลาํ ดับ 2 × 3× 2 =12 วิธี นนั่ คือ n(E) =12 จะได P(=E) 1=2 1 336 28 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 4 225 ดงั น้ัน ความนาจะเปนท่จี ะหยิบลกู บอลครั้งที่ 1 ไดล กู บอลสีแดง และคร้ังท่ี 2 และ 3 ได ลูกบอลสีเหลอื ง เทากับ 1 28 16. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสุมนี้ จะได n=(S ) C=12, 3 12 ×11×10 3× 2 ให E แทนเหตุการณท่จี ะไดลูกแกว สีตา งกนั ทง้ั สามลูก นน่ั คอื ไดล กู แกว สเี ขยี ว 1 ลกู สชี มพู 1 ลูก และสฟี า 1 ลกู ขน้ั ท่ี 1 มีวิธีท่ีจะหยิบลูกแกวไดเปน สีเขียว C4,1 = 4 วิธี ขัน้ ที่ 2 มีวิธที ่ีจะหยบิ ลกู แกวไดเปน สีชมพู C3,1 = 3 วธิ ี ขน้ั ท่ี 3 มีวธิ ที ่จี ะหยบิ ลูกแกว ไดเปน สีฟา C5,1 = 5 วิธี โดยหลกั การคูณ มีวธิ ีท่ีจะหยิบลูกแกว 3 ลกู พรอมกัน ไดล กู แกวสีตางกนั ทงั้ สามลูก 4× 3× 5 วธิ ี น่นั คอื n(E) = 4× 3× 5 จะได P(E) = 4×3×5× 3×2 = 3 12 ×11×10 11 ดงั น้ัน ความนาจะเปน ที่ไดลกู แกวสตี างกันทั้งสามลกู เทากับ 3 11 17. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุมน้ี จะได n=(S ) C=30, 2 435 ให E แทนเหตกุ ารณทเ่ี ลอื กนักเรยี นท้ังสองคนไดเปน เพศเดียวกัน กรณีท่ี 1 มวี ิธที ่ีจะเลือกไดน ักเรียนทงั้ สองคนเปน นักเรียนหญิง C18, 2 =153 วิธี กรณีท่ี 2 มีวิธที ่ีจะเลือกไดนักเรยี นทัง้ สองคนเปนนักเรียนชาย C12, 2 = 66 วิธี โดยหลกั การบวก มีวิธีทจี่ ะเลือกไดน ักเรียนทัง้ สองคนไดเปนเพศเดยี วกนั 153 + 66 =219 วธิ ี นนั่ คอื n(E) = 219 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

226 คูม ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 4 จะได P(=E) 2=19 73 435 145 ดงั นน้ั ความนาจะเปนท่จี ะเลือกไดนักเรยี นทง้ั สองคนเปน เพศเดียวกนั เทากบั 73 145 18. ให S แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสุม นี้ จะได n=(S ) C=10, 2 45 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณที่พนักงานท่ีถกู เลือกเปนกรรมการเปนชายหนึ่งคนและหญิงหนึ่งคน ขัน้ ที่ 1 มีวธิ ที ีจ่ ะเลอื กพนักงานชายเปนกรรมการ 1 คน ได C7,1 = 7 วธิ ี ข้ันที่ 2 มวี ธิ ที ่จี ะเลือกพนักงานหญิงเปน กรรมการ 1 คน ได C3,1 = 3 วิธี โดยหลกั การคณู มวี ิธที ่จี ะเลือกกรรมการเปน ชายหนงึ่ คนและหญงิ หนงึ่ คนได 7 × 3 =21 วธิ ี นนั่ คือ n(E1 ) = 21 จะได P ( E=1 ) 2=1 7 45 15 ดงั นั้น ความนา จะเปนท่ีพนักงานทถี่ ูกเลือกเปนกรรมการเปนชายหนงึ่ คนและหญงิ หนึ่งคน เทากับ 7 15 2) ให E2 แทนเหตุการณทพี่ นักงานท่ีถูกเลือกเปน กรรมการเปน หญงิ อยา งนอยหนึง่ คน กรณที ่ี 1 กรรมการเปนผูหญิงหน่ึงคน มวี ิธีเลือกได C3,1 ×C7,1 =3× 7 = 21 วิธี กรณที ี่ 2 กรรมการเปนผูหญิงทั้งสองคน มีวิธีเลือกได C3, 2 = 3 วิธี โดยหลกั การบวก มวี ธิ ีทจี่ ะเลือกกรรมการเปน หญิงอยางนอยหนึง่ คนได 21+ 3 =24 วิธี น่นั คือ n(E2 ) = 24 จะได P ( E=2 ) 2=4 8 45 15 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 227 ดังนัน้ ความนา จะเปนทพี่ นักงานที่ถกู เลือกเปนกรรมการเปนหญงิ อยางนอยหน่ึงคน เทากบั 8 15 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณที่พนักงานทถี่ ูกเลือกเปน กรรมการเปนชายอยา งนอ ยหน่ึงคน กรณที ี่ 1 มวี ธิ ีที่จะเลือกพนกั งานชาย 1 คน เปนกรรมการได C7, 1 × C3, 1 = 7 × 3 = 21 วิธี กรณที ี่ 2 มวี ธิ ที จ่ี ะเลอื กพนักงานชาย 2 คน เปนกรรมการได C7, 2 = 21 วิธี โดยหลักการบวก มีวธิ ที ่ีจะเลือกกรรมการเปน ชายอยางนอยหนงึ่ คนได 21+ 21 =42 วิธี นน่ั คือ n(E3 ) = 42 จะได P ( E=3 ) 4=2 14 45 15 ดงั นั้น ความนาจะเปน ทีพ่ นักงานทถี่ ูกเลือกเปนกรรมการเปนชายอยา งนอ ยหนึ่งคน เทากบั 14 15 19. ให S แทนปริภมู ิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(=S ) C=5, 3 10 ให E แทนเหตุการณทไี่ ดผ ลรวมของหมายเลขบนบัตรมากกวา 10 เนอ่ื งจากเหตุการณทผ่ี ลรวมของหมายเลขบนบัตรเปน 11 มี 1 วธิ ี คือ หยบิ ไดบตั รซึ่งมี หมายเลข 2, 4 และ 5 และเหตุการณท ผ่ี ลรวมของหมายเลขบนบตั รเปน 12 มี 1 วธิ ี คอื หยิบไดบัตรซ่ึงมี หมายเลข 3, 4 และ 5 ดงั นั้น มวี ิธีทีจ่ ะหยิบไดบ ัตรไดผลรวมของหมายเลขบนบตั รมากกวา 10 อยู 1+1=2 วิธี น่นั คอื n(E) = 2 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

228 คมู ือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 จะได P(E=) 2= 1 10 5 ดงั นั้น ความนาจะเปน ที่จะหยิบบัตรไดผลรวมของแตม บนบัตรมากกวา 10 เทากับ 1 5 20. ให S แทนปริภมู ติ ัวอยางของการทดลองสุมน้ี จะได n(S ) = 40 ให E แทนเหตุการณทไ่ี ดน ักกีฬาท่ีมีฝาแฝด เนื่องจากมีนักกีฬาทีม่ ีฝาแฝด 3 คู ซ่ึงหมายถึงมีนักกีฬา 6 คนท่มี ีฝาแฝด นั่นคือ n(E) = 6 จะได P(E=) 6= 3 40 20 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทจี่ ะสุมไดนกั กฬี าทีม่ ฝี าแฝด เทากบั 3 20 21. ให S แทนปรภิ ูมติ ัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n=(S ) C=12, 4 12 ×11×10 × 9 4× 3× 2 ให E แทนเหตุการณทีไ่ ดเ งาะ 2 ผล และสม กับชมพูอยา งละ 1 ผล ขนั้ ท่ี 1 มวี ิธที ่จี ะหยบิ ไดเงาะ 2 ผล จะได C4, 2 = 4×3 วธิ ี 2 ข้ันที่ 2 มีวิธที ี่จะหยบิ ไดสม 1 ผล จะได C3,1 = 3 วธิ ี ข้นั ที่ 3 มวี ิธีที่จะหยิบไดช มพู 1 ผล จะได C5,1 = 5 วิธี โดยหลกั การคูณ มีวิธที ี่จะหยิบผลไมจ ากตะกรา 4 ผล พรอมกัน โดยไดเงาะ 2 ผล และสมกับชมพูอยางละ 1 ผล 4×3 ×3×5 วธิ ี 2 นน่ั คือ n(E=) 4× 3 × 3× 5 2 จะได P( E=) 4×3×3×5× 4×3×2 2 12 ×11×10 × 9 สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 229 ดังน้ัน ความนา จะเปนที่จะหยิบผลไมจากตะกรา 4 ผล พรอมกัน โดยไดเ งาะ 2 ผล และสม กับชมพูอยา งละ 1 ผล เทา กบั 2 11 22. ให S แทนปรภิ ูมิตัวอยา งของการทดลองสมุ น้ี จะได n(S ) = 5× 5× 5 ให E แทนเหตกุ ารณทีช่ ายคนน้ใี สจ ดหมายในตูไมซ ้าํ กันเลย น่นั คือ n(E) = 5× 4× 3 จะได =P(E) 5=× 4 × 3 12 5×5×5 25 ดังนัน้ ความนา จะเปนท่ีชายคนน้ีจะใสจ ดหมายในตูท ีไ่ มซ ้าํ กนั เลย เทากับ 12 25 23. ให S แทนปริภมู ติ วั อยา งของการทดลองสุมนี้ จะได ( )n S = C5, 1 × C5, 1 = 25 1) ให E1 แทนเหตุการณที่ไดบัตรท้งั สองใบมหี มายเลขเดยี วกัน มวี ธิ ีไดบตั รสองใบทีม่ หี มายเลขเดียวกัน 5 วิธี คอื (2, 2), (5, 5), (6, 6), (7, 7) และ (8, 8) นั่นคอื n(E1 ) = 5 จะได P ( E=1 ) 5= 1 25 5 ดังนนั้ ความนาจะเปน ทีไ่ ดบ ัตรทงั้ สองใบมหี มายเลขเดยี วกัน เทากบั 1 5 2) ให E2 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบ ัตรทัง้ สองใบมีหมายเลขไมซา้ํ กนั เนือ่ งจาก มีวธิ หี ยบิ ไดบัตรสองใบท่มี ีหมายเลขซํา้ กัน 5 วธิ ี ดังน้ัน มวี ิธหี ยบิ บตั รไดบัตรสองใบที่มหี มายเลขไมซ้าํ กัน 25 − 5 =20 วธิ ี นน่ั คือ n(E2 ) = 20 สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

230 คูม อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 จะได P ( E=2 ) 2=0 4 25 5 ดงั นั้น ความนาจะเปน ที่ไดบตั รทง้ั สองใบมหี มายเลขไมซาํ้ กัน เทา กับ 4 5 3) ให E3 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบัตรท้ังสองใบมหี มายเลขเปน จาํ นวนคู เนื่องจาก บตั รทีม่ หี มายเลขเปนจํานวนคมู ี 3 ใบ คือ 2, 6 และ 8 นน่ั คอื ( )n E3 = C3, 1 × C3, 1 = 9 จะได P ( E3 ) = 9 25 ดังนั้น ความนาจะเปน ทไี่ ดบตั รทัง้ สองใบมีหมายเลขเปนจาํ นวนคู เทา กบั 9 25 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทไ่ี ดบัตรทมี่ ผี ลบวกของหมายเลขบนหนา บัตรท้ังสองเปน จํานวนคู ในการหยิบใหไดบตั รท่ีมีผลบวกของหมายเลขบนหนา บัตรทัง้ สองเปนจํานวนคู เปน ได 2 กรณี กรณีท่ี 1 หมายเลขบนหนา บัตรท้ังสองเปน จํานวนคู จาํ นวนคู จาํ นวนคู ใบที่ 1 ใบที่ 2 มวี ิธหี ยบิ ไดบ ัตรสองใบมีหมายเลขเปน จํานวนคู C3,1 ×C3,1 =9 วธิ ี กรณที ี่ 2 หมายเลขบนหนาบตั รท้ังสองเปน จาํ นวนค่ี จํานวนค่ี จํานวนคี่ ใบท่ี 1 ใบท่ี 2 มวี ธิ ีหยบิ ไดบตั รสองใบมหี มายเลขเปนจํานวนคี่ C2,1 ×C2,1 =4 วธิ ี โดยหลกั การบวก จะมวี ธิ ีหยิบไดบ ตั รทีม่ ีผลบวกของหมายเลขบนบัตรท้งั สองเปน จํานวนคู 9 + 4 =13 วธิ ี สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 4 231 นน่ั คือ n(E4 ) =13 จะได P ( E4 ) = 13 25 ดงั นัน้ ความนาจะเปน ทหี่ ยบิ ไดบ ตั รทีม่ ีผลบวกของหมายเลขบนหนา บตั รท้ังสอง เปนจาํ นวนคู เทา กับ 13 25 24. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุม น้ี จะได n(S ) = P20, 4 = 20 ×19 ×18×17 ให E แทนเหตุการณทีส่ มศรีไดเปนนายกชมรมและสมปองไดเปน อุปนายกชมรม ขัน้ ท่ี 1 มีวิธีที่สมศรีไดเ ปนนายกชมรม 1 วิธี ขัน้ ท่ี 2 มวี ิธที ่ีสมปองไดเปนอุปนายกชมรม 1 วิธี ขั้นที่ 3 มวี ิธเี ลือกเลขานุการจากสมาชิก 18 คนที่เหลอื 18 วธิ ี ขัน้ ที่ 4 มวี ิธีเลือกเหรัญญกิ จากสมาชิก 17 คนที่เหลอื 17 วิธี โดยหลกั การคูณ มีวิธีเลือกคณะกรรมการทีส่ มศรีไดเปน นายกชมรมและสมปองไดเปน อปุ นายกชมรม 1×1×18×17 วิธี นน่ั คือ n(E=) 18×17 =จะได P(E) =18 ×17 1 20 ×19 ×18×17 380 ดังนน้ั ความนา จะเปนทส่ี มศรีไดเปนนายกชมรมและสมปองไดเ ปน อุปนายกชมรม เทากับ 1 380 25. ให S แทนปรภิ มู ติ ัวอยางของการทดลองสุมนี้ จะได n(S=) C52,=2 26 × 51 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท่ไี ดไพสีแดงท้งั สองใบ นัน่ คือ n( E1=) C26, =2 13× 25 สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

232 คูม อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที่ 4 จะได =P ( E1 ) 1=3× 25 25 26 × 51 102 ดงั น้นั ความนา จะเปน ท่จี ะไดไพสแี ดงทัง้ สองใบ เทากบั 25 102 2) ให E2 แทนเหตุการณท่ไี ดไพโพดาํ และโพแดง นน่ั คอื ( )n E2 =C13, 1 × C13, 1 =13×13 จะได P=( E2 ) 1=3 × 13 13 26 × 51 102 ดังน้นั ความนาจะเปน ท่ีจะไดไพโพดําและโพแดง เทากบั 13 102 3) ให E3 แทนเหตุการณทไ่ี ดไพ J ทง้ั สองใบ นัน่ คือ n( E=3 ) C=4, 2 6 จะได =P ( E3 ) =6 1 26 × 51 221 ดงั นัน้ ความนา จะเปน ทจี่ ะไดไพ J ท้ังสองใบ เทากับ 1 221 26. ให S1 แทนปรภิ ูมติ วั อยา งของการทดลองสุมหยบิ สลาก 2 ใบ โดยใสส ลากคืนกอนจะ หยิบสลากใบท่ีสอง จะได ( )n S1 = C10, 1 × C10, 1 =100 ให E1 แทนเหตุการณที่ผลบวกของหมายเลขบนสลากทั้งสองเทา กบั 10 เมอ่ื ใสส ลากคืนกอนหยบิ สลากใบทีส่ อง จะได E1 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)} นั่นคือ n(E1 ) = 9 จะได P ( E=1 ) =9 0.09 100 ให S2 แทนปริภมู ติ วั อยางของการทดลองสมุ หยิบสลาก 2 ใบ โดยไมใ สส ลากคนื กอนจะ หยิบสลากใบที่สอง สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาพน้ื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 233 จะได ( )n S2 = C10, 1 × C9, 1 = 90 ให E2 แทนเหตุการณท ผ่ี ลบวกของหมายเลขบนสลากทงั้ สองเทากบั 10 เม่อื ไมใ สสลากคนื กอนหยบิ สลากใบท่ีสอง จะได E2 = {(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1)} นั่นคอื n(E2 ) = 8 จะได P ( E=2 ) 8 ≈ 0.089 90 เนอ่ื งจาก P(E1 ) > P(E2 ) นั่นคือ ความนาจะเปนที่ผลบวกของหมายเลขบนสลากทั้งสองเทากับ 10 เมื่อหยิบสลาก แบบใสคืนมากกวาความนา จะเปนทีผ่ ลบวกของหมายเลขบนสลากท้ังสองเทา กับ 10 เมอื่ หยบิ สลากแบบไมใ สค ืน ดงั น้ัน แหวนควรจะใสสลากคืนกอนจะหยบิ สลากใบท่ีสอง 27. ให S แทนปริภูมติ ัวอยา งของการทดลองสุม น้ี จะได ( )n S = C5, 1 × C4, 1 = 20 ให E แทนเหตกุ ารณท ช่ี ายคนน้ีจะสวมเส้อื และกางเกงสีตางกัน เน่ืองจาก มวี ธิ ีแตงตัวโดยสวมเสอ้ื และกางเกงสีเดียวกัน (เสอ้ื สีดาํ และกางเกงสีดํา) C1, 1 × C2, 1 =2 ดงั น้นั เหตุการณทช่ี ายคนน้จี ะสวมเสือ้ และกางเกงสีตา งกนั มีได 20 – 2 = 18 วธิ ี น่ันคือ n(E) =18 จะได P(E=) 1=8 9 20 10 ดังนั้น ความนา จะเปนที่ชายคนน้ีจะสวมเสอ้ื และกางเกงสีตางกนั เทากับ 9 10 สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

234 คูมอื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 4 28. ให S แทนปริภูมติ วั อยา งของการทดลองสมุ นี้ จะได n(=S ) C=20 , 3 20 ×19 ×18 3× 2 1) ให E1 แทนเหตกุ ารณท ี่จะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพดีมากท้งั สามเครือ่ ง นั่นคือ n( E=1 ) C=8,3 8×7×6 3× 2 จะได P ( E1 ) =8× 7 × 6 × 3× 2 =14 3× 2 ×19 ×18 285 20 ดังนน้ั ความนา จะเปนที่จะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพดมี ากทงั้ สามเครอ่ื ง เทา กบั 14 285 2) ให E2 แทนเหตุการณที่จะไดพ ัดลมทมี่ ีคุณภาพปานกลางท้ังสามเคร่ือง น่ันคอื n( E=2 ) C=3,3 1 จะได P ( E2 ) =1× 3× 2 =1 20 ×19 ×18 1140 ดงั นั้น ความนาจะเปน ทีจ่ ะไดพดั ลมท่ีมคี ณุ ภาพปานกลางท้ังสามเครอ่ื ง เทากับ 1 1140 3) วิธที ่ี 1 ให E3 แทนเหตกุ ารณท จ่ี ะไดพัดลมทม่ี ีคุณภาพปานกลางอยางนอ ยหนึ่งเคร่ือง ซงึ่ แบง เปน 3 กรณี ดังน้ี กรณีท่ี 1 มีวธิ ที ่ีจะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพปานกลางเพยี งเครื่องเดียว วธิ ีC3,1 × C17,2 =408 กรณีท่ี 2 มวี ิธีทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมคี ุณภาพปานกลางสองเครื่อง C3,2 ×C17,1 =51 วธิ ี กรณีท่ี 3 มีวธิ ที ่ีจะไดพัดลมท่ีมีคุณภาพปานกลางทัง้ สามเคร่ือง C3,3 =1 วิธี โดยหลักการบวก จะมีวธิ ที จ่ี ะไดพ ัดลมคณุ ภาพปานกลางอยางนอ ยหน่ึงเครือ่ ง เทากับ 408 + 51+1 =460 วธิ ี น่นั คอื n(E3 ) = 460 จะได P ( E3 ) =460 × 3× 2 =23 20 ×19 ×18 57 สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าพ้นื ฐานคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 4 235 ดังน้นั ความนาจะเปนท่จี ะไดพดั ลมท่ีมคี ุณภาพปานกลางอยางนอ ยหน่งึ เครอื่ ง เทากับ 23 57 วิธที ่ี 2 ให E3 แทนเหตกุ ารณท ี่ไมไดพัดลมทมี่ คี ุณภาพปานกลางเลย นั่นคือ n( E3 ) = C17, 3 = 17! = 17 ×16 ×15 = 17 ×8× 5 วธิ ี 14!3! 3× 2 จะได P ( E3 ) = 17 × 8× 5× 3× 2 = 34 20 ×19 ×18 57 ดงั นนั้ ความนาจะเปนทจ่ี ะไดพัดลมที่มีคณุ ภาพปานกลางอยางนอ ยหนง่ึ เครื่อง เทา กบั 1− P ( E3 ) =1 − 34 =23 57 57 4) ให E4 แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะไดพ ัดลมท่มี คี ุณภาพดีมากสองเครื่องและปานกลาง หนึง่ เคร่ือง น่นั คอื ( )nE4 = C8, 2 × C3,1 = 8×7×3 2 จะได P ( E4 ) =8 × 7 × 3 × 3× 2 =7 2 ×19 ×18 95 20 ดังนนั้ ความนาจะเปนทจ่ี ะไดพดั ลมท่ีมีคณุ ภาพดีมากสองเครอื่ งและปานกลาง หนงึ่ เครือ่ ง เทา กับ 7 95 5) ให E5 แทนเหตกุ ารณทีจ่ ะไดพ ัดลมท่ีมีคุณภาพดีมาก ดี และปานกลางอยางละเครือ่ ง นน่ั คือ ( )n E5 = C8,1 × C9,1 × C3,1 = 8 × 9 × 3 จะได P ( E5 ) = 8 × 9 × 3× 20 3× 2 = 18 ×19 ×18 95 ดังน้นั ความนา จะเปน ทจ่ี ะไดพดั ลมที่มคี ณุ ภาพดีมาก ดี และปานกลางอยา งละเคร่ือง เทา กับ 18 95 สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

236 คมู อื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 4 แหลงเรยี นรเู พม่ิ เตมิ forvo.com เปนเว็บไซตท่ีรวบรวมการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ กอต้ังข้ึนเม่ือ ค.ศ. 2008 โดยมีจุดมุงหมายเพอื่ พฒั นาการส่ือสารทางการพูด ผานการแลกเปล่ียนการออกเสียงคําในภาษา ตาง ๆ ท้ังจากบุคคลท่ีเปนเจาของภาษาและบุคคลท่ีไมใชเจาของภาษา forvo.com ไดรับคัดเลือก จากนติ ยสาร Times ใหเปน 50 เว็บไซตที่ดีท่ีสุดใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจจุบัน เว็บไซตน้ีเปนฐานขอมูลท่ีรวบรวมการออกเสียงที่ใหญท่ีสุด มีคลิปเสียงที่แสดงการออกเสียง คําศัพทป ระมาณสล่ี า นคาํ ในภาษาตา ง ๆ มากกวา 330 ภาษา ครูอาจใชเว็บไซต forvo.com เพื่อศึกษาเพ่ิมเติมเก่ียวกับการออกเสียงคําศัพทคณิตศาสตร หรอื ชอ่ื นกั คณิตศาสตรในภาษาอังกฤษหรือภาษาอื่น ๆ ที่ปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 4 เลม 1 ได เชน finite set และ infinite set ซ่ึงเปนคําศัพท คณติ ศาสตรใ นภาษาอังกฤษ หรอื Georg Cantor ซง่ึ เปนชอื่ นกั คณิตศาสตรชาวเยอรมัน สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐานคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 4 237 บรรณานุกรม สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2524). คูมือครูวิชาคณิตศาสตร ค 012 ตาม หลักสูตรมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย พุทธศักราช 2524 ของกระทรวงศกึ ษาธิการ. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พคุรุสภาลาดพรา ว. สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2558). คูมือครูรายวชิ าพืน้ ฐานคณติ ศาสตร เลม 1 ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสตู รแกนกลาง การศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว. สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2556). คมู ือครรู ายวชิ าพื้นฐานคณติ ศาสตร เลม 2 ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง การศกึ ษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2554). คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร เลม 4 ชัน้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตรแกนกลาง การศึกษาขน้ั พ้นื ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2557). คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร เลม 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลาง การศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว. สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2561). หนังสือเรียนรายวิชาพ้นื ฐาน คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 4 ตามผลการเรยี นรูกลมุ สาระการเรยี นรูคณติ ศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว. สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

238 คูมอื ครูรายวิชาพนื้ ฐานคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 4 สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2557). หนังสือเรยี นรูเพ่ิมเตมิ เพ่ือเสริม ศกั ยภาพคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 ระบบจาํ นวนจริง. กรุงเทพฯ: พฒั นา คุณภาพวิชาการ. สํานกั งานคณะกรรมการการศึกษาขนั้ พื้นฐาน. (2552). หลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้นั พนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพิมพช มุ นุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย. สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี